这个视频中,我来带你学习大名鼎鼎的对勾函数,形如 y 等于 ax 加 x 分之 b, ab 不等于零的函数,都叫做对勾函数。这次咱只看 ab 都大于零的情况,其余情况暂不考虑。 首先分析下 y 等于 x 加 x 分之一这个最简单的例子,这个函数其实是由 y 等于 x 和 y 等于 x 分之一两部分合成。 x 大于零时,当 x 越来越大, x 分之一就越来越小, x 加 x 分之一就越接近 x。 当 x 越接近零时, x 就越来越小, x 分之一则越来越大, x 加 x 分之一就越接近 x 分之一。因此这俩一合并就成了这样,像一个对勾,这也是他名字的来历。 而 x 小于零时就和大于零的部分相反,因此图像就是个反着的对勾,明白了吗?图像大概画出来了,那接下来咱就看看 他的单调性。由于 x 小于零的部分和 s 大于零的部分相反,因此我们只研究 s 大于零的部分即可。这个对勾肯定是先递减后递增,但问题是,对勾的弯是在哪拐的呢?也就是递减到什么时候呢?嘿嘿,发现没,这个拐弯处肯定是函数大于零时的最小值,那就让我们来求一下他吧。 这里我提前给你介绍个很厉害的定理,叫均值不等式。已知 ab 都大于零,那 a 加 b 就大于等于两倍根号 ab。 这个式子很好证明,一象一下,其实就是根号 a 减根号 b 的平方当然大于等于零了。那等号在什么时候取到呢? 很明显,就是根号 a 减根号 b 等于零,也就是 a 等于 b 时取了,明白了吧?好应用均值不等式,那 x 加 x 分之一就大于等于两倍,根号 x 乘 x 分之一,也就是二,那取最小 小值时, x 等于二十分之一,也就是 x 等于一了。所以 x 大于零时,函数在 x 等于一时取最小,那函数就在一到正无穷上递增,在零到一上递减。相反的,那小于零的部分就是在负无穷到负一上递增,在负一到零上递减啊。 通过这个意思,相信你已经明白了,对勾函数的单调区间有四段,利用对称性,先只看大约零的部分,使用高科技武器均值不等式,找到什么时候取最小值,也就得到了单调性变化的拐点,再根据图像就可以写出每个单调区间了。那简单介绍下一般形式的对勾函数, 外等于 ax 加十分之 b, ab 都大于零,图像就是由外等于 ax 和外等于 x 分之 b 叠加而成。利用均值不等式, x 大于零, ax 加 x 分之 b 就大于等于两倍。刚好 ab 取最小值时,就是 ax 等于 分之 b, 也就是 s 等于根号 a 分之 b, 那通过图像可得底增区间就是根号 a 分之 b 到正无穷和负无穷到副根号 a 分之 b, 递减区间就是零到根号 a 分之 b 和副根号 a 分之 b 到零。 最高函数的单调性都会判断了,那接下来咱就用定义证明一下他的单调性。由于四段每段都类似,我就只拿第一段示范一下,求证。 y 等于 x 加 x 分之一,在负无穷到负一上是增函数。 由第一法设 x 一小于 x, 二小于负一,带入解析式, fx 一减 f, 四二就等于 s, 一加 x 一分之一减 x 二减 x 二分之一。把分式放一块通分下,就是 x 一减 x 二加 x 一, x 二分之 x 二减 x 一。 提供音式 x 一减 x 二得 x 一减 x 二乘一减 x d, x 二分之一, x 一减 x 二小于零。 那一减 x 一 x 二分之一怎么判断呢?这就要用到 x 一 x 二都小于负一,所以 x 一 x 二就大于一,因此 x 一 x 二分之一就小于一,那后面这块就大于零,从而整个式子就小于零,也就是 f x 一减 f 四二小于零,就是单调递增的了。 证明也讲完了,整体总结一下这个视频给你讲的对勾函数 y 等于 ax 加 x 分之 b 在 ab 都大于零时的性质。他的图像由 y 等于 ax 和 y 等于 xb 叠加而成,会形成两个对勾, 对勾的拐点就是最直点,通过均值不等式可得最值。在 s 四等于正负根号 a 分之币时,取到底层区间,就是根号 a 分之 b 到正无穷和负无穷到负根号 a 分之 b 递减区间就是零到根号 a 分之 b 和负根号 a 分之 b 到零。 要证明他的单调性,就用定义法。怎么样,最高函数的性质是不是都了解了?那就赶紧去秒杀题目吧!
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在看二次比一次这种情况之前,我们先看看对勾函数和双道函数的性质。什么是对勾函数呢? 星不爱克斯加爱克斯分之一的函数就叫对勾函数。因为他的函数图像画出来长这样,看起来像个对勾,所以叫对勾函数。可以看到 在下线他有个最低点,在零到最低点之间未单调低解函数,在最低点到郑无穷大之间未单调低奏函数。那么这个最低点在哪呢? 答案就是加号左右相等,也就是艾克斯等于艾克斯分之一的时候,此时艾克斯等于一,函数值为二。同理,在第三象限有个最高点,最高点的艾克斯值为负一,在负一道零之间位单调地铁,在负无穷大道负一之间位单调地侧。 什么是双道函数呢?形容艾克斯解 x 分之一的函数就叫双道函数,因为它的图像长这样,看起来像两把刀,所以叫双道函数。它的性质比较简单,在副无穷大道林之间单调地走,在林道中无穷大之间也是单调地走。


同学们大家好,这节课给大家补充两个函数,对勾函数和飘带函数。 我们学习一个函数的逻辑,往往是先看函数的定义,然后我们会去研究这个函数的三要素,紧接着我们会基于函数的图像去研究这个函数的各种性质。好,那首先我们先看一下什么是对勾函数。 对勾函数的定义是这么说的,形如 f x 等于 a, x 加 x 分之 b, 这里只要保证 a b 同号,就可以确定这个函数是一个对勾函数。 其中如果 a b 同正 g, a 大于零, b 大于零的时候,那么我们的图像位于一、三象线,就是形容我们 右侧的示意图,如果 a b 同负,此时图像位于二、四象限。而在我们现阶段所遇到的绝大多数问题其实都是 a b 同证,即图像位于一三象限的情况,所以我们只要见到能够识别出就可以了。 按照我们研究函数的方法,接下来我们看一下对勾函数的定域和值域。首先看定域,对勾函数的定域是负无穷到零并零到正无穷,值欲是负无穷到二根号 ab 并上二根号 ab 到正无穷。 其中图像在第一象限的最低点和第三象限的最高点,我们是可以通过基本不等式来求解证明的,只要令 a x 等于 x 分之 b 即可得出。 而对勾函数的对应法则就是定义当中的解析式。 f x 等于 a, x 加 x 分之 b, a b 大于零,这是对勾函数的三要素。 接下来我们看对勾函数的图像,研究它的性质。对勾函数的图像它是以黄色的 y 等于 a, x 这个正比例函数和 y 等于 x 分之 b。 这个反比例函数为间接线 图像,分布在一三象限蓝色的曲线。看得出来这个函数图像很像两个勾,所以对勾函数图像是以它的形状来命名的, 也有人把它叫耐克函数。那接下来我们就基于图像来研究它的性质。函数的四大性质,单调性,即有 性、对称性和周期性。对于对勾函数,我们会更加关注它的单调性和基友性。 首先看单调性,我们可以通过定义来证明,对勾函数在负无穷到负根号下 a 分之 b 和根号下 a 分之 b 到正无穷是单调递增的。 在负根号下 a 分之 b 到零和零到根号下 a 分之 b 是单调递减的。对于基偶性,我们从图像和解析式上很容易可以得到,对勾函数是其定义上的基函数。 关于对过函数的图像和性质,我们就学到这里。那么这里还有一个和它非常类似的函数,我们把它 叫做飘带函数或者是双刀函数。接下来我们来看一下。我们先来看一下飘带函数的定义,形如 f x 等于 a, x 减 x 分之 b 的函数为飘带函数,那这里同样要保证 a b 同号。 我们所遇到的问题经常也是 a 大于零, b 大于零的情况,所以我们就以 a b 同为正的情况来解释飘带函数。 比如举个例子,我们在平时会遇见这样的函数, f x 等于 x 减 x 分之一,这是最常见的。当然我们也会见到这样的函数, f x 等于二, x 减 x 分之三,这都是类似结构的,都称之为飘带函数。 我们在学习当中遇到他要能够快速识别出来,那么飘带函数的定律仍然是负穷到零并上零到正无穷。不一样的是,从值欲开始的飘带函数的值欲是负穷到正无穷, 它可以取到整个实数及 r, 所以飘带函数的定域是负无穷到零并上零到正无穷。值欲是实数及 r。 对应法则 f x 等于 a x 减 x 分之 b, a b 大于零, 这是三要素。那基于函数图像来研究性质,这个飘带函数的图像大家都看到了,通过图像我们来研究它性质仍然是两个方面的性质,单调性和基偶性。 飘带函数在负无穷到零和零到正无穷上是单调递增的,那这里我们注意 他这个单调区间的表示,我们可以用和或者是逗号,这两种表示都是正确的。而飘带函数的基偶性,通过看图和从解析式利用基偶性的定义,我们是可以轻松判断出来的。飘带函数是一个基函数。 好了,各位同学,关于对勾函数和飘带函数,我们就讲到这里。

今天呢,我们来介绍一种特殊的函数,对勾函数。对勾函数呢,是数学中一种常见的而又特殊的函数,在教材中没有具体的介绍,但是呢,考试的时候呢,经常考到。 我们先介绍一下表达式的构成, fx 等于 ax 加 f 分之 b, 我们把这个对勾函数可以看成是 fx 等于 ex 这个正的函数和 f 分之 b 这个反比例函数,两个函数的叠加, 其中呢,有一个重要的一点是 ex 这条直线呢,我们在对过函数的头像中把它叫做是渐进线,所以说对过函数 有两条渐进线,一条是 fs 等于 a s, 然后另一条就是呢外轴,这是他的两条渐进线。好, 我们先研究一下 a 大于零, b 大于零,就是 a b 同号的情况。第一种,在这种情况下呢, a 等于一, a 等于一,也就是说他的占据线是 y 等于 x, 或者说 fx 等于 x, 由于指的这一条, 这是他的真情。那么另一个真心的是外轴,这个函数我们要研究的判断, 甚至呢,最主要的是研究他的两个顶点,他的顶点坐标好,他的顶点坐标怎么来求呢?我们利用了是 我们的基本不懂事,这样来求,基本不懂事是这样的, fx 等于 ax 加 x 分之 b, 利用基本不等式,他是大于等于二倍的根下 ab, 当却仅当 代谢减。当 ax 等于 x 分之 b 的时候,等号成立, 这个说明了什么呢?说明了他的最低点是在这,也就是说他的最低点 是二倍的根下 ab, 他的横坐标 s 等于根号六分之一, 这就说明这股函数的顶点坐标是 根号 a 分之 b, 二倍的根下 a b 电量坐标达到以后, 我们就对这个这个函数的右支,我们就可以做了一个具体的性质判断。在 x 从零到根号下一分之 b 这个取件以内呢?这个函数是一个解函数, 假函数,当 x 大于根下 a 分之 b 的时候,它是一个增函数。好,咱们看一下他左边这一只,左边这一只,同样的,他的顶点,我们直接写他的顶点是根数的根下 a 分之 b, 腹部的二背,根下推臂, 这是他的酒量坐标。 那么他的 增减性呢?是 s 从负无穷到负的根下 a 分之 b 是增函数,在负的根下 a 分之 b 到零这个区域里面呢,它是减函数。 他的即值在右值,他的最小值,外值的最小值是二倍的更加 ab。 在左值他的最大值负的二倍更加 ab, 这是推中推钩函数的基本性值。好, 我们来把 a 和 b 的符号改变,看下他的图像变化情况。 我们把 a 变为负一, 还是在现研究 a b 同号的情况下, b 也等于负一,这时候我们可以看到 他的渐进线,我刚才说了是 y 等于 ax, 现在 a 变为负一,斜率为负一,他的渐进线是 y 等于负 x 和 y 轴, 他的顶点变为了腹部的根下。培训之地, 动作改五遍,耳背在根下给力。 同样右边的景点是变为了根号 ab c b 后的二倍的跟下一比, 他的增减性还是遵循刚才同样的规律 好,这是在 ab 同号的情况下。那么我们现在来看一下 ab 一号的情况,我们先把先把 a 设为一, b 为负一。首先我们还是想判断他的鉴定线是外等于 x, 鉴定线还有外轴, 这个函数变为了类似于双曲线的图像。他的重要的一个点是在哪?在这 也就是和 s 轴的交点,图的坐标是 根下,可以分至腹壁 零,因为什么呢?因为 b 是负的, 那么他们右边的坐标呢?是 跟上 a 分之 b 零。在一号的情况下,记住两个重要点就可以了。然后我们把 a 变为负一, b 变为一, 同样还是类似于双曲线的两条曲线。最重要的两个点是和 s 的交点是不变的, 他的鉴定线是 y, 等于负 x。 好,这是对国函数的基本限制和他的精密图像。

对勾函数值域怎么求?一分钟教你推到所有形式最一般的 fx 等于 x, 加上 x 分之一,怎么求其值域 配方三个关键, x 大于零,最小值为二。确定条件, x 等于一。再由于 fx 为奇函数中心对称可得另一版图像有图可制值域, 那么已经过了新手教程,请开始对抗各级 boss 电池一配方可得最小值,两部分相等可得确定条件,对称可见值。欲 变十二找不同怎么处理? x 减一换圆有点眼熟。换圆变十二,化为变十一,向上平移变十三,一次分次二次,怎么化为对勾函数?分离变十三化为变十二,还能怎么办?换圆变十三,化为 变十一,变十四,二次分之一次,怎么化为对勾函数,这是关键。四为闪亮一瞬求到倒转范围,要忽略分子为零的情况。连通范围求到变十四,化为变十三 便是五,二次分之二次怎么化为对勾函数?分离同分为什么分离一二次?像细数比分离便是五,化为便是四。 这次对勾函数作为我们的核心功法,加上几种技法可以解决对勾函数所有形式配方,换圆、分离求道,此乃一律破弯法。