沈阳一模数学大题立体几何

哈喽，艾瑞巴蒂，大家好，我是老王。那么今天我们来分享一下关于高三一模啊，沈阳一模这个第十七题， 这道题呢，有很多宝贝们呢，在这个栏的这个位置算错了啊，就是这个栏的算的时候有问题，那么如果你现在的这个成绩啊，如果说在一百分以上，并且做这个题很丝滑，没有任何问题，那你现在可以划走了 啊，但这个视频你可以不用听了，这个哈哈，如果，但如果你是一个艺考生，或者是单招，或者说说你的成绩这次考试没到一百分， 那么并且这道题还错过啊，比如说第一问的立体几何那么平垂直这块可能真的有的时候有问题，包括在这个第二问做的时候挺麻烦，然后第三问呢，我们懒得没算出来。 那老王强烈建议你听一听这个视频，这个视频我会详细的去给大家解答一下这种立体几何题过程应该如何写，什么地方写的好，什么地方应该不用太去详细写，然后呢？什么地方必须要写，然后最后我们还会在这个呃，这个题就稍微大家看的给大家讲一下怎么算 这里边呢，我讲的方法呢，跟答案稍有区别啊，比答案稍微简单一些，然后还有一些细节东西，相信你听完会收获满满。好话不多说，我们现在来看这道题啊，这个题首先第一问呢， 我们只说注意事项啊，至于具体的思路，我们说答案上面都有啊，我们来看第一问正那个 p 也平行于 b 的 e， 对 吧？那很多同学都会写的，那接下来我们来看这道题它怎么写啊？它说连 a c 交 b 的 o， 然后四边形 abc 的是菱形， a o 等于 c o， 这首先来说这个辅线上边呢，怎么去说呢？就连完之后呢？在前面全写完，然后接下来这个地方呢， a o 等于 c o 之后啊， pe 等于 c e， 所以 说呢，这个 o e 就 平行于 p a 了。 接下来大家也不要忘了什么这个线不在面内和线在面内，然后所以说这个线就平行于这个面了，所以说这个地方的小细节啊，大家一定要特别注意。 好，那这个第一问呢，我们也就完事了，接下来我们来看一下这个第二问啊，这第二问呢，说这个求三棱锥 p b 的 e 的 这个体积 啊，我们看答案的方法其实比较麻烦，如果说按老王的方法来说的话，其实咱们在做这种 p b 的 e 的 时候，我们应该先干什么呀？先把这个 p b 的 e 给他，把顶点换一下对不对？换成以 b 的 e 分 别算， 看看是以 b 为顶点， p 的 e 好 算，还是以得为顶点好算，还是以 e 为顶点好算。通常不会是 p 为顶点好算，因为题中给的是 p 为顶点嘛，所以说这个式子呢，就是这三个中的某一个，那么这个呢，我们来说是比较好算的，大家有没有看出来以 b 为顶点， p 的 e 比较好算？看一下， 先看思路啊， b 为顶点， p 的 e 为底面，你看在这那由于这个底面呢，它是一个面面垂直的，那 p c 的 和这个 a b c 的 它俩垂直的，所以其实 b 到这个 c 的 距离 这段长，实际上就是它的高，就是 b 到面 p 的 e 的 高，然后接下来结合 p 的 e 的 面积， 三分之一底面乘以高，那这个式子就应该算完了。在这里边呢，在老王说一下，就是首先来说你看这道题其实体现了一个什么，就是像这种体积的问题很少考，对吧？以前我们准备的时候都是以这个空间向量间隙为主， 但是你看他这个式子呢，他现在放在的第十七题之后呢，他变成三个问了，所以说他可能会考一些关于这个立体几何中其他的东西，比如说下回可能会考你表面积 体积，还可能考考什么棱台或者是内切球的，或者外接球的这个半径什么的，这都有可能在这个题中考啊。那这里边呢，咱们说他这个题主要就是说什么时候 把它换顶点，换底面做，什么时候割补呢？通常一个三棱锥啊，主要还是以换顶点换底面做会比较好。那么在这里边，这个点到这平面的距离哪个高好求？一般就是用 b 为作为顶点，就是因为 b 到这个 p 七的这个距离的个高，就这段上的高好求， 所以才是基于这样一个逻辑。然后 p 得 e 这个式子呢，我们在做的时候不要去只是局限于 p 的 e， 你 应该把眼光放长远一点， 那 p 的 e 和 p c 的 它俩不在一个面内吗？对不对？所以这样的话，你如果看成是 b 到 p c 的 距离，这样的话，这个点 b 到 p c 的 距离，你就能比较容易的看出来，是啊， b 到 c 的 距离了。 好，接下来我们来看一下这个第二个的过程啊，我们首先来说可以取一下 c 的 的终点 m 啊，那我们取完终点 m 之后呢，我们可以连接一下这个 bm， 连接一下 b m 啊，这条线连完之后呢，那么因为这个四边形 abc 的是菱形，你注意我写的这个过程啊，如果你写的没有我写的详细，我建议还是以我写的为准啊，因为你的过程可能会扣分，你可能说这次没扣，那下次不一定扣不扣了，所以以老王写的为准啊。四边形 abc 的 菱形，然后它是等边， 然后 bm 的 高三， bm 垂直于希得， bm 垂直于希得了之后呢，因为 p 的 垂直面也被希得，哎，这都得去描述去证明啊， p 的 垂直面也被希得，所以 p 的 垂直于 bm， p 的 垂直于 bm， 对 吧？然后所以说 p 的 还希得小于 d 了，所以这个 bm 垂直两条相交线，那 bm 垂直于 p， 希得。 接下来呢，我们说 p 的 垂直于希得，然后 p 的 等于希得等于二，所以说 d e 呢，这是在求三角形 p 的 面积， 那这样的话呢，我们说三角形 p 得 e 的 面积二分之一，底乘高就等于了一，这样的话，三棱锥 p b 得 e 的 体积就可以变成三分之一，底面乘以高，变成 b， p 得 e 的 体积， 然后就三分之一乘 b m 乘 p e， 然后等于三分之高三。这题就搞定了啊，大家可以看一看，这个过程呢，比这个标准答案给的过程呢，要简单一些， 而且呢，这边拓展一下思维啊，大家一定要注意，这个体积好不好求，主要看高好不好求，这是第一个，第二个，咱们在做底面积的时候呢，一定要眼光放长远一点，可以把这个底面积给它延长，这样的话看起来可能会更容易能看得出来。 ok， 这是我们说的第三，嗯，第二问。 好，接下来我们看第三问啊，说这个呃，棱 a p 上是否存在一点 f， 使得 f b 得 e 的 这个正弦值是十四分之三倍到二十一，这个很多同学啊，都没做出来， 原因呢，就是因为大家见的细啊，可能跟答案见的细不太一样，在这里边老王需要去提示一下啊，我们见细的时候呢，尽可能的要以这个底面的这个垂直为出发点， 就是说在这道题的时候，它这个 a b c 的是个菱形，对吧？所以你应该把 a c 给它连上，然后以这个点为圆点做，会相对比较好做。有很多的宝贝们是这么做的啊，是这个得 a 为为这个 l 轴完了之后，这个线 过了这个终点啊，为他为 y 轴，然后去建的一个系。这样做的方法呢，倒不是不行，但是如果说这个数啊，相对比较麻烦的时候，他可能会不太好做。而且呢，建议大家，如果说要是想更好的间隙的话，尽量找底面的垂直啊，找底面中的垂直。 所以这道题呢，我们就可以把这个 a c 的 连上，然后呢终点就可以设为 o， 这个 o a 呢是 l 轴，然后 o b 呢是 y 轴，然后接下来你经过点 o 呢，自己往上去做一条线，是 z 轴，这个怎么说？这个话来看，我给你写，已经很写的很详细了，大家可以看一看啊，以 o 为圆点过 o 作 o n， 垂直于平面为奇的啊，那你就考试的时候，你在这上面标个 n 呗， 然后以 o a， o b， o n 为 s， y， z 轴解析，然后接下来就开始写点坐标啊，写点坐标，点坐标呢？正常情况来说，先需要什么点坐标就写什么点坐标，然后在你找二面角的时候，尽量用一个必得，因为这样的话，这个必得可以用两遍，求 f， b 的 反向量可以用一遍，求 b 的 e 反向量也可以用一遍，对吧？ 然后接下来看我们的做法啊，你看我怎么做的？我是先求的是这个栏的，因为这个 f 点呢，他肯定是用栏的表示，对吧？这里边一定要特别注意一个小细节，就是这位置一定要去看啊，这个位置， 这个位置，阿拉伯一定要加范围，因为这个题问的是什么？问的是是否存在，所以说阿拉伯算完之后，如果在这个零到一范围内，他就存在，不在零到一范围内，他就不存在啊，一定要加一个范围，这是小细节啊。然后接下来呢，我们来说一顿算，算完之后， f 表示出来了， l 表示出来之后呢，接下来就求向量乘，它也相乘得零。在做这种向量相乘得零的时候呢，也希望大家要注意。先去做什么？你看我做怎么做的，我先去做必得 e， 为什么？我为什么不先去做 f b、 d 呀？因为我怕做 f b d 的 时候挂了，因为 f 不 带喇嘛的嘛， 他不好算。这样的话呢，我先求必得 e 的 反向量，如果说我这个后边这个式子没算出来的话，老师给我判卷的时候，你看这对对对对对对，哎，到这也对，好，他就得分了，对不对？那你说，你如果说不先去做这个，然后你先去做这个的话， 那你这个过程如果说挂掉了，错了，比如说，哎，这个，这个跟答案写的不一样，完了之后呢？那这个地方人家老师可能就不会给你看了，所以你会少得两分，一定要注意啊，这都是细节，你让老师天天给你扣，扣着你的题去给你找分啊，对不对？不可能老师十秒钟就趴完这张卷了啊， 不是说错了，十秒钟就趴完这道题了。好了，回到这道题啊，那向量 n 呢？那我们来说就正常做呗，向量 m 先去做 必得一的反向量，这就不多说了啊，求出这个反向量，令其中一个为一，对吧？那我们说答案的方法呢？其实它更丝滑一些。答案的方法呢，是不是令它为一？是应该令它为二或怎么样的？这样的话，它算的这个反向量是一个，呃，整数，而不是分数。 这块呢，我们给你的建议是什么呢？如果说你平时就习惯令谁为一，那你就尽量就还是令谁为一，因为这个东西不是说在于简单不简单的问题，主要在于说你的这个过程是不是熟练， 你别今天令他为一，明天令他为二，后天令他为高三啥的，你说，哎呀，这个别人算，算的简单，别人算的简单并不一定会适合你啊， 一定要注意，因为你的这个数学呢，并不是特别好，一定要认这个事。所以说什么时候才能让自己准确率高呢？就是你做的熟练，你才能高啊。一定要注意，不是说答案做的方法就一定好，也不是说别人的方法就一定适合你，一定要找到适合自己的方法。 好，那个向量 m 求完这个反向量之后啊，然后向量 n， 向量 n 呢？那么这个是 n 乘 b 的 n 乘 n 乘的 f 的 零。其实这个我在做的时候也会有考虑的，就是你在做这个得 b 的 f， 你 要看一下这两个 这个向量选择谁会比较简单，一定要特别注意啊，那么这个得 b 比较简单，然后得 f 比较简单啊，所以说这个向量 n 才算的相对简单。你在做任何一个向量的题的时候，这种东西都需要有考量的啊， 不是说你随便找 b 得也行，得 f 也行， lp 也行，随便找，你随便找的话很容易错啊，或者说很容易算的时候会很麻烦， 所以说在你找点坐标，找这个啊向量的时候也都要特别注意。好了，那接下来我们来看令 z 二的一呢？然后接下来这个 c 特是它的二面角。看这道题还有一个细节，这道题中呢，求的是题中给的是正弦值， 你一定要先干什么？先去做出他的余弦值，用正弦值去做出余弦值。那话说回来了，如果说这个后边又挂了前面，后边这个计算又又错了，那最起码你这么写还给分呢，对不对？哎，这有一分那有一分，加起来也不少分。 好，那接下来这个口算其的算完之后就变成这样了，就下来 m 乘以下来 n 等于他乘他比他末乘他末。接下来我来给大家实际操作一下，这道题应该怎么算啊？如果大家在算这个篮子没算出来的宝贝们啊，应该仔细看一看，看看老王怎么去算，可能会给你一些灵感和收获啊。 好，我们来观察，你就记着啊，这种比较麻烦的题一定要多观察。我们先去从谁入手呢啊？我们来观察一下上边呢，其实也没有什么好方法了，上面我就正常做了。那就是横成横，纵成纵呗，是不是？嗯， 二栏减二比乘根号三栏的啊，加上二分之根号三就得得这个了，下边注意看这个东西有点意思啊，这个东西它得什么呢？等于根号下一加上四分之三，对不对？它是不是等于二分之根号七啊？ 那这个是，你看它是二分之根号七，你看这是不是也有个根号七？所以说啊，你可以先把这个二分之根号七给它乘到 等式的右侧，就让它乘个二分之根号七，你可以把它划了，然后把二分之根号七乘到这边来。那你看这个上面是不是变成了二分之七了？比成十四对不对？然后七和它约成二，是不得四分之一啊， 所以说这样的话这个根号三，讨厌的根号三就没了，这边变成四分之一了，然后这有个根号，对吧？照抄根号三栏的。那这个其实你也可以在这个位置，你一看好像没有什么太好的方法，到这你就只能硬算了， 三 l 的 方，然后四 l 的 方减去八 l 的 加上四，然后再加上一个一， ok， 当你坐在这之后再来再看，下一步再观察，你能观察出什么？这个东西你就去想，我要不要通分呢啊？通分简不简单呢？如果简单你就通，不简单就不通呗，对不对？ 然后你去给他通个分，看一看他通分之后应该等于什么，你发现他好像还行，所以说你通个分， 那就二倍高三栏杆上面是四，栏杆减四，然后加上三栏杆，哎，你会发现它等于二倍高三栏杆的分之七栏杆减四，对吧？哎，这些东西你在答案中你是看不出来的啊，这都是一些小细节啊。好，那接下来我们来说，它就是 二倍根号，三栏的上面是七栏的减四不动，然后接下来呢，我们来说下边下面是根号下，你看下边根号下也没有什么好方法了，就通分呗。 所以把底下通个分啊，底下通个分就是三栏的方分之，那就是七栏的方减去八栏的加上四， 等于多少呢？等于四分之一，哎，然后接下来你发现一个什么问题啊？你发现这个柿子他这边底下是不是有个二， 然后这有个四，对不对？所以说你把这个二和四他俩可以成在一起。好，那接下来呢，我就观察，你看啊，就是所有的过程，你说那你怎么能看出来？ 多看呗，我也不是一眼就看出来了，对吧？你要一定要继续做这个题的时候你做这个，呃，你现在，你看你现在这个数学不太，不太难，不太难的话，那就谁算的好，谁就是王道呗，对不对？你别到时候你挂这道题了，这道题你挂了的话，及格就很难了啊。 好了，那这道题做到这之后呢？接下来再来看，那么这个二和这个四，他俩可以约剩个二，对吧？然后接下来你看他应该怎么去化简呢？你发现一个什么问题？看这看这， 这是不是有个三栏的房开出来是什么？开出来是不是高三栏的，对不对？开出来是不是高三栏的，那这是不是有高三栏的？他俩是不可以 划掉了，对不对？哎，所以说你可以把这个和这个给它划掉，你说那我能，我能，那我哪能看出来，你多观察肯定也能看出来啊。把二把这个二给它乘到分子上，就是十四篮子减八， 然后等于刚下啊，就是七栏的方，然后减八栏的加四啊，然后接下来呢？平分，那这个没没办法了，那就是一千一百九十六栏的方加六十四，这就说命运让我们必须得这么算了啊，那我们只能这么算，二十八乘以八，八百六十四，八百六十四，二百二十四，二百二十四栏的 等于七朗的方减八朗加四， ok， 嗯，得到这个之后呢，然后接下来求这个朗的一百九十六朗的方减去七朗的方啊，那就等于呢，这个一百八十九 l m 的 方，然后减去二百二十四，加加上八，是二百一十六啊，然后加上六十等于零， ok， 接下来我们两边同时出个三来，变成六十三 l m 的 方减去七十二 l m 的 加上二十等于零。 有很多同学也会挂到这啊，比如说，哎，坐到这之后发现这个十字相乘啊，不会怎么试也试不出来啊，有可能这个试十字相乘确实有点麻烦，如果实在实在不行，那你只能求用公式了 啊，就是二百分之负 b 加减 b 方减 c， 因为你想啊，这题不能落在这，是不是你，就你，你想想，你做到这之后，你要是空了的话，那扣你四分，五分啥的都很有可能，那就有点不合适， 所以说我们说尽可能的就这道题就是这么设计的，因为其他题比较简单吗？所以说这道题可能算起来就会比较这个难一点啊，所以说你不要觉得说都简单或者都难，嗯， 这道题啊，它是三和二十一，当然我也不是一下就想到的啊，我也是去试了一下啊，那这个呢，应该是就是负二和负十啊， 那么所以说就是三栏呢减二乘上二十一，栏呢减十的零啊，所以栏呢等于三分之二或者二十一分之十。那有同学说，那你这个跟答案不一样啊 啊，因为我这个呢跟答案设的栏的也不一样那，但是最后的结果是一样的啊，所以说大家不用担心，你看答案，答案应该是三分之一和二十一分之十一，他跟我这个不是正好是一减的关系吗？所以说他的意思是没有毛病的啊， 好了，那栏得这俩之后，他都在零到一之间，所以栏的算的就是他了，然后接下来让你求什么？让你求这个啊， a f 的 长度，那两点间距离公式，这样就搞定了。 所以说老王去要去给大家去总结一下，大家这个时间会比较长啊，那么你在听的时候呢，尽可能听一些细节啊， 因为这道题你想做对的话，它的过程是很重要的。然后还有就是计算一定要总结一个事，就是如果你对于这种比较麻烦的计算的时候，多做多注意多观察啊，老王手动给你做这块，大家可以看一看是不是 以观察为主，对吧？你如果什么东西都硬算，不是说都能算出来的啊？好，那希望大家通过这只视频呢，能对这道题有一些灵感啊。那么好，今天的分享就到这里，祝你的数学越来越好，拜拜。

高中立体几何，你们最怕什么？不好，间隙外接球翻折动点。今天给大家来一道题，这些问题全都有，要不要挑战一下十七的特别狂野？你们先把题目读一下，这道题我今天讲了十几分钟才把它讲完，真的复杂， 疑问超简单，题目说 a b 等于 a， c 等于 p， c 等于一，这个垂直这个角度一百二十度，要你证明 p a c 垂直于 abc 啊。若两个面垂直，要你证明 p c 垂直 ab， 我 直接就写下了啊。这个题的疑问很简单，但 第二问，特别是第三问，往死里来，我就直接大字写过程了， a b 是 不是垂直 a c 的？ 这题目给的。然后呢，两个平面垂直是不是垂直于交线的？直线垂直 a c， 所以 ab 是 垂直于交线的，它就垂直平面 p a c 垂直平面 p a c， 那 么呢，它就垂直平面里面任何一条直线， p c 又包含于我。今天我的有个学生就问我老师，这个包含到底有没有下面这个横线呢？你们说有没有？ 我跟他回复了一下，我说如果在集合里面包含余，是有横线的，在立体几何里面，这个包含余下面是没有横线的啊，你们就看课本上就可以了。好吧， 一问很简单，第二问，第二问难度就稍微大一点了啊，所有同学啊，这个题我给我们的正式卷是用了两种方法讲的，第一种是几何法，第二种是空间向量的方法，我在这里面就直接用空间向量去做了。好吧，那么怎么样做个题呢？间隙以 a 点为圆点， ab 为 x 轴，这个 y 轴 z 则 x y z， 那 么呢， a 点的坐标好，表示零零零，引着标零零零， b 点的坐标就是一零零， c 点的坐标 零一零，这是 x 轴，这是 y 轴，这是 z 轴。 a、 b、 c 都搞定了， p 点的坐标怎么表示呢？各位，两个平面是垂直的 p 点坐标怎么表示？回答一下，是不是应该过这个点 p 直接做这个 y 轴的垂线 就可以了，其中呢，这个长度是一，你看这长是一，这个角度是六十度，这角三十度，这垂直三十度所的咱们的斜面半。所以呢，我们假设这个垂足是个 m 点，这个就是二分之一，这个就是二分之根三。所以 p 点的 x 轴上是零，在外轴上呢，就是二分之三，在这轴上呢，就是二分之根号三，球心 o 点坐标 x y z 啊，那么那我们是不是就有 o a 等于 o b？ 二零二五年新高考的那个立体几何也是求它的球心啊， 等于 o d， 那 么 o a 等于 o b 是 不是平方就行了？所以就是 x 方加外方， 然后再加上这方等于 x 减一的平方，加上 y 的 平方，加上 z 的 平方，然后这个呢，就是 x 方加上 y 方加上 z 方，然后 o c 呢，就是 加上 y 减一的平方，加上 z 的 平方，这个呢，就是 x 方 加上 y 方，再加 x 的 平方，就等于 o d 呢，就是 x 方加上 y 减去二分之三的平方，加上 z 减去二分之根三的平方。那我们就解它呀，这外方、外方，这方，这方都相等，那么 x 方对 x 减一的平方，这个 x 等于几呢？ x 等于 二分之一，同样， x 方 x 方， z 方， z 方消掉， y 等于几呢？ y 也等于二分之一，是 o p， 不是 o d， 哎， o p 啊， sorry o p。 那 么呢，我们现在再把二分之一这个 x 方这个一消掉，那么呢，我们就可以得到外方就等于四分之一 加上 z 的 平方，这边呢，一加上 z 减去二分之根三 括号的平方。好吧，然后呢，我们把这个括号一打开，所以呢，就是四分之一加上 z 的 平方等于一加上 z 的 平方 减去根三， z 加上四分之三，所以呢，就等于我们把根三 z 提过来，一加四，三减去四分之一，一加二分之一就等于二分之三，那么 z 就 等于二分之根号三，所以我们 o 点的坐标就是二分之一， 二分之一，二分之根号三。来，各位能不能听懂这题最难的是第三问啊，都给你们分享一下 o 点坐标，知道了要你求 o a 与 abc 加角的正弦值，这是 a 点， 这是 o 点。下面就是 abc 平面，要求这个角度的正弦值， abc 的 法向量 n 等于几 零零一。其中这个题目我们要求的是上引 c 塔，上引 c 塔就等于扩散 a o 向量和这个法向量的加角的余弦值，加个九的值搞定了。 为什么要加绝对值？因为线面加角的取值方一定是零度到九数之间，它不可能是负数，所以加绝对值啊。于是呢，我们这个地方， a o 向量就等于 a o 乘以 n， 再除以 a o 的 模， n 的 模， a o 乘以等于什么东西呢？ a o 乘以就等于二分之根号三，二分之根号三。然后再来 a o 的 魔就等于根号下四分之一，加上四分之一，加上四分之三，加四分之三， 再乘一，也就是四分之五，二分之根号五，答案就是根号五分之根号三，就等于五分之根号十五。几何法咋做 几何法呢？就是需要找到它的球心，球心就在任何一个面外接圆的圆心的垂线上，垂在这个地方，然后这里面是 圆形的垂线， ok， 大家看能不能懂？这个是 o 一， o 一 就是 abc 的 外接的圆心，这个是 o 二，这个是 a、 c p 的 外径圆心，它们的做垂线 才刚好是一个点。 o 啊，这个点是个 n 点吧， n 点刚好是 a c 的 中点。然后呢，我们就可以算出这个 sin theta 等于什么东西呢？ o o e 比上 a o 就 行了，比上 a o， 其中我只要把 o、 o e 算出来就可以了，为什么呢？因为 a、 o、 e， 这才是好算的，这就等于多少？这是根号二， 它乘以二分之二，我只要算出这个来就行了。那么这个怎么算呢？这个就等于 o 二 n， 于是呢，一百二十度的等腰三角形，它的外心在什么地方？就是 o 二，实际上要形成个菱形， o 二就在这个地方，然后做垂线就行了啊，做垂线就行了。好了，这个 就是 o 二，这个就是 a， 这个是 c， 这是 p。 所以呢，我们做垂线，这个点就是 n 点， 这个是二分之一，那么这个长度是二分之根三，也就是什么东西呢？ o 一 就等于 o 二， n 等于二分之根号三， 这个上面就等于二分之根号三。其实如果几何法会更简单一下啊，我觉得，然后这个 a、 o 的 长度等于什么呢？ a o 的 长度，这个就等于根号下二分之根号三括号的平方，再加上 二分之根号二括号的平方，因为这个二分之根号三，这个二分之根二勾股定律啊，所以呢，就等于二分之根号五，二分之根号五，所以就是二分之根号三。 比上二分之根号五，就是五分之根号十五，蓝色比的就是我们的几何法。但这个题还没做完啊，这个题最难的是这一问，哎呀，这问难的要死。二面角， 首先这个题目这就用不了了啊，这就用不了了，好吧，因为这个弱是在第一问的这个地方，二面角的正切值为根号二 a 杠 p c 杠 b， 求 b p 的 长。这题真的非常复杂，为什么？因为 p 点坐标你没办法表示，我来跟大家讲一下啊，这题看能不能给你们讲懂啊，这题估价大费周章。 x y 我 想问一下大家，只通过这几句话，你们觉得 p 点的轨迹是什么？ ab 等于 ac， p， c 也等于一，这个角度一百二十度，你们说 p 点的轨迹是什么？只通过这句话， p 点轨迹什么？有没有能说出来？你们想到没有？这就像是一个棍子，然后这有个三角尺，这个三角尺呢，是固定的，现在绕着这个 a、 c 去旋转，那么 p 点的轨迹就应该是 一个圆，一个圆是以什么为圆心呢？过点 p 做它的垂线啊，做这个外折的垂线，这个垂足是 m， 就是 以 m 为圆心，这个是二分之一，这个是二分之根三，二分之根三为 半径的圆。现在 abc 的 坐标我们还是依旧表示出来，零零零 b 点的坐标一零零 c 点坐标 零一零， p 点坐标呢？在 x 上不知道，在外轴上肯定是二分之三，在 z 轴上不知道，你可以设这个为 x z， 但是我是怎么样去做的呢？为了减少未知量啊，为了减少未知量在个圆上的点，我们是不是可以设成二分之根三扩散 c 塔，然后二分之根三散 c 塔。 为什么这样设呢？因为它是这个圆上运动，这个圆面，它是平行于 x、 o、 z 的， 所以它的 x 和 z 半径是二分之根三，二分之根三扩展 c 塔，二分之根三散散 c 塔。说白了，你就看它的左视图，它的左视图是一个这样子的图，我跟大家分享一下啊。有同学有点懵哈，它的左视图，这是 x 轴，这是 z 轴， p 点呢？它的左视图 是这个样子的，其实这个半径是多少呢？半径，这个半径就是二分之根号三。所以呢，我们设这个角，如果 c 塔的话，那么这个 p 点在 x 轴上就是二分之根三乘扩展 c 塔，二分之根三乘三 c 塔。 只不过就是你们以前的话，大家都学参数方程，这个就好理解一点，现在没学参数，大家会觉得很陌生，在你们学三角函数，也学单位圆上一点扩展 c 到 c 点 c 塔，这只不过半径是二分之根三的嘛，这不是半径是二分之根三的对不对？是不是就仅此而已？当然你们实在不会啊，你就设 x z 得了 x， 然后呢， p 点满足什么东西呢？它的 y 的 距离是二分之二三，就是 x 平方，加上 z 的 平方等于二分之三的平方，但这样子会更简单，我觉得它至少是一个未知数，会好一些啊。这个计算量大到吓人，我们来看一下啊。现在题目说 a、 p、 c、 b 的 正确值，我们空间直角坐标系都建好了，现在是不是把这个 a c a c a c 向量零一零，然后呢？ a p 向量 就是二分之根三扩散 c 塔二分之三，还有一个二分之根三散散塔。然后呢，我们去看一下这个法向量啊，就是 a p c 的 法向量，我们设为 x 一 y 一 z 一， 然后一相乘，就是 y 一 要等于零，然后就是一个二分之三 y 一 加上二分之根三扩散 c 塔乘以 x 一， 加上二分之根三散散塔 乘以 z 一 等于零。两个一连立起来，其中 y 一 等于零都已知了，就不用管了，现在我就是要把这两个给算出来。所有同学啊，就是你们说你 x 一 等于几会比较好，往往很多老啊，你看它等于等于等于，你不要总觉得等于一等于就比较好， 一定不要出现分式好不好，不要出现分式。所以念 x 一 等于几呢？念 x 一 等于 sin theta， 那 么我们的 z 一 就等于负的扩展 theta， 于是呢，我们这个法向量 m 就 等于 散析塔零，负的扩散塔，好，这是我们 a p c 的 发向量。我们再来啊， b p c b p c， 我 就搞一个 b c 了啊， b c 向量 c 减 b 就是 负一一零 c p 向量 就等于二分之根三扩散 c 塔，然后二分之一，二分之根三散析塔，好，我们设 这个平面 m 向量 n 向量的这个法向量是 n 向量，就是 x 二 y 二 z 二，于是呢，就是负的 x 二加上 y 二等于零，这是第一个，是指第二个呢，就是二分之根三倍的 扩散塞塔乘以 x 二，再加上二分之一的 y 二，再加上二分之根三的散散塞塔 z 二就等于好，这个实验难度比较高的啊，第十七题就这么狂压更加，比如说十八十九了， 这个式子我们就可以知道，什么呢？ x 二是等于 y 二的，那我们另可以把这个式两边同乘以二啊，同乘二就是根三倍的扩散系数，乘一个 x 二，再加上 y 二，再加上根三倍的散系数，乘 z 二等于零，我们可以另 x 二 等于几呢？令 x 二直接等于 sin theta， 则 y 二也等于 sin theta。 然后呢，我们把这两个都带到下面这个式里面，就可以得到根三倍的 cos theta， sin theta 加上 sin theta， 再加上根三倍的 sin theta， 乘以 z 二等于零。于是呢，我们算出来 z 二等于多少呢？ sin sin 全部消掉，负的一项过去都是负号，负的根三分之根三 扩散 theta 加上一，所以 n 向量就等于我们的 sin theta， sin theta 负的我们直接分裂参数负的扩散 theta 减去三分之根号三。做了这步以后， 告诉你，正切值等于二，所以这个角你们看一下，明显是个锐角，对不对？你们观察这个图像，明显是个锐角，也就是探子 c 塔等于根号二，你们可以这个时候干嘛呢？在旁边画一个这样的三角形，一根号二，根号三，这个就是 c 塔， 探子 c 塔就这么多。所以呢，我们看一下图，扩散下是零比斜一比根号三，一比上根号三， 所以扩散 m n 的 绝对值，你们说等于几？这个就等于我们的根三分之一，或者是三分之根三啊，都可以，那么就是 m 乘以 n， 所以 m 的 模， n 的 模。你们说这个题做一个第十七列是不是有点吓人？这么写，上面加绝对值等于 根三分之一， m 乘 n 等于什么东西呢？ m 我 们已经知道，在这 n 的， 在这我们看两个相乘就等于三 c 塔的平方，再加上负扩展，乘以负负得正扩展 c 塔的平方再加上三分之根，三扩展 c 塔绝对值，然后再 除以 m 的 模，就是 m 模等于几？ m 的 模等于几？ m 模是不是等于一，对吧？ n 的 模根号下三 c 塔的平方加上三 c 塔的平方，减去 去就是变加号，因为这个符号取了个符号出来啊，一平方无所谓了啊，三分之二的根，三扩散 c 塔，再加上三分之一，这个等于几呢？等于三分之一。写到这份上了以后呢，继续啊，只需要把这个方程解出来就可以了啊。上面呢，就是一 加上三分之根，三扩散 c 塔的绝对值，然后我两边直接一平方，两边平方得了啊，这边一平方，其中散的平方加扩散平方就等于一，所以呢，就是下面一平方就散 c 的 平方加上三分之二倍的根号，三倍的扩散 c 塔 加上一加上三分之一倍的扩散， c 的 平方加上 三分之二倍的根，三倍的扩散 theta 就 等于这个，这个是怎么办呢？既有散，有扩散，全部变化成扩散得了有散的平方，就可以把它改变一下，再加上三分之二倍的根，三扩散 theta 加上三分之四。于是呢，我们这个地方 就是扩散的平方，这里面又有个扩散的平方，把它拿过来，这三乘三是不是一说是两倍的扩散 c 它的平方，然后这个乘这个呢？二倍的根三扩散 c， 它再将这个再减去，这个二减去，它加上二倍的根三， 就三分之六，三分之六减三分之二，三分之四，三分之四倍的根三扩散 c， 然后常数下呢，这个是一个三三把一减就是二二，再减三分之四，就是加上三分之二等于零。两边同乘三六倍的扩散 c 的 平方加上 四倍根三扩散 c 塔，加上二等于零，同时再除以高二三倍的扩散平方。这没有一个强大的计算能力和自信算这个题绝对会放弃的啊。这个平方就等于零， 所以扩散 c 塔等于负的三分之高三。那么呢，散 c 塔，散 c 塔呢，就等于正负三分之 根号六，所以呢，屁点的坐标啊。负的三分之根号三，乘以二分之根号三，就等于负的二分之一，这个呢是二分之三，这个呢是正负二分之根号二，我看对不对二，留着三和他约掉 搞定。现在要求 b p 的 长 b 点知道这个知道，所以就是一减，就是二分之三的平方加上二分之三的平方，加上正负二分之根二的平方开根号，所以就等于根号下四分之九， 加上四分之九，加上四分之二，于是四分之二十，四分之二十五。 觉得这道题可以鼓掌了啊，可以鼓掌了，这个版书和计算能力和思维。这主要是计算能力啊，这个计算是不对一般的学生来说，这是真的要吓人的要死啊。这在高考题里面绝对是一个比较狂野的，比那个二零二五年的新高考的第十期就难多了。跟着勇哥跑数学一定好。

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考这种老掉牙的三十头的还原了， 以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三式图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？你要抓的是教材背后的拓展模型， 这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置，有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 柱体啊，常见的柱体，锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分，就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四点线面的位置关系，这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六，一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂。因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积表面积里面的一些分析，全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合，不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么巨型模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三、垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题，辅助线一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角，二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做？甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面， 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略。 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型。胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好，好好下课！

好，底下呢，我们讲一下这个啊，立体几何双垂三角形，这双垂三角形呢，主要是计算那个外接球的啊，所以说他画图的时候呢，就相当于是这样，这是一个三角形，对吧？然后这是一个 三角形，然后这两个三角形互相垂直啊，互相垂直，那这个时候呢，我们就计算啊，计算 它有两个三角形，找见这两个三角形的外接圆啊，比如说找见 a 撇、 b、 d 的 外接圆和找见 b、 c、 d 的 外接圆，外接圆半径 就是 r 一 和二，然后呢？ l 是 什么？ l 就是 它们的交线，交线在这里面就是 b、 d， 然后利用这个公式， r 一 方加二方减去四分之交线的平方， 然后这个呢就是它的外接球的半径。来，我们看这个题啊，三角锥，对吧？三角锥 s， 这个都在那个同一球面上，所以画草图的时候就相当于是这样的， a， a， a， a， 这是 s， 这是 a、 b， c， 对 吧？都在同一球面上， ab 等于三， ab 等于三， ac 等于五， c 等于五，然后 bc 等于七， bc 等于七，对吧？侧面 s、 a、 b 为正三角形。侧面 s、 a、 b 为正三角形，与底面垂直，现在是有两个三角形， s、 a、 b， s， a、 b 为正三角形，对吧？正三角形。那这个正三角形它的外接圆，对吧？外接圆，外接圆呢？就是用那个正弦定律啊，因为边长为三三比，成个三六十度，就等于二二，对吧？等于二二， 然后这个化解下来，这个三除以个二分之二，然后再化解，二应该等于个， 我记下来，你看 r 应该等于根号三，对吧？应该是小 r 啊， r 一 等于根号三，这就算这个一个侧面，然后再算底面，这个底面 abc 嘛？ abc， 呃，底面，这是一个 abc， 然后去画出来这是 abc， ab 是 三， 然后 bc 是 七，然后这是五。哎呀，这个不太好求啊。然后这有个角度 c 塔，我们先求 cosine c 塔， cosine c 塔应该等于一个三方加上七方 减去五方，出一个二乘，一个三乘以七，用圆定力把它求出来，然后再转化成三角形，然后这个再用五出一个三角形，就那个二倍二二， 对吧？这个 r 一 r 就 算出来了。 r 一 r 算出来之后再用那个公式啊，表面积 r 方就等于多少？ r 一 方加上 r 二方减去四分之，嗯，交线长，交线长，现在是 ab， 哎，把这个公式一用，这答案就出来了啊。所以这个题其实就是套用公式，就是单独把每个三角形放出来，一个是 s a b， 一个是 abc 啊 啊？一个是 s a b， 一个是 a b c， 因为这两个三角形是互互相垂直的，分别求出这两个三角形的外接圆的半径来就可以了。外接圆半径，一个是 r 一， 一个是 r， 所以 在这的时候呢，更精确的去写，这应该是写成 r 一 r 倍的 r 一， 哎，小 r e， 那小 r 一， 这样就能算出 r 一 来，再算出 r 来， r 不好算，那他给了三边啊，给了三边，那就用，就用这三边求出余弦值，然后再转化成正弦值就可以。 那。呃，这个关于求呢，其实你要学一个系统东西啊，比如说正方体的，长方体的，还有正方体，长方体的切割，对吧？这个正四面体 啊，还有这个，这个，这个四棱锥等等啊。呃，都要把它系统去学一下。这个呢，都在九九方案里面啊，所以说看一下这个就行啊。 来，我们再看一个啊，你看四面体当中，对吧？什么是四面体？四面体不就是什么呀？三棱锥呗，对吧？然后它有 a、 b、 d 和这个均为这个 a、 b、 d 在 这里面， b、 d 肯定是什么？ b、 d， 这是 a， 对 吧？然后这是这是 b、 d， 然后这是 c， 所以 说这个里面呢，这个 b、 d 肯定是定个交线，对吧？交线，所以它有两个三角形，一个是 a、 b、 d， 对 吧？一个是 a、 b、 d， 一个是 c、 b、 d 均为正三角形，则它们所在面互相垂直，已知 ab 等于二， ab 等于二，那说明这这个其实是。 嗯，其实是一个 a、 b、 d 是 一个等边三角形， c、 b、 d 也是等边三角形，它们的这个半径是一样的，呃，就外接圆半径是一样的，所以说应该是二。针，对于这个三角形 a、 b、 d 来说，应该是二。 边长是二吗？比上角三六十度就等于个二倍二一，二倍二一啊，然后一化减，这个二一应该等于个二分之零，杠三杠三分之二，对吧？然后同理那个 r 也是它，然后这个 外地外地球的这个半径就应该等于 r 一 方， r 一 方是三分之四，加上 r 二方也是三分之四，减去交线，交线长是二，这个这个 ab、 ab 就是 四，化解下来三分之八， 哎，这个四分之四分之 l 方啊，四分之 l 方，四分之 l 方就是一，三分之二，应该是三分之五，对吧？三分之五。然后外接球的这个面积 s 等于多少？四 pi 乘以 r 方，对吧？四乘以 pi 乘以个三分之五， 应该等于三分之二十，对吧？三分之二十 pi， 哎，就这么来算，直接用公式就可以啊。

下面我们讲一下第二十四题，他说在三角形 a、 b、 c、 a、 b、 c 中， ab 等于 ac， 然后等于四根号二 角 b、 a、 c 等于九十度，那么这个三角形 abc 就是 等腰直角三角形，然后说 d 是 直线 bc 上的一个动点， 那么 b， 那 d 啊， d 就 有可能在这个 bc 上，也也可能在这个 bc 的 延长线上， 然后且不与 b 和 c 重合，连接 ad， 以 ad 为一边做正方形 adef， 它是这个逆时针排列啊，然后连接 cf。 第一个 他说当这个 d 在 线段 bc 上时，让我们来判断这个线段 b、 d 和这个 c、 f 的 这个关系。 我们从这个图大致能看出这个地方啊，好像是个直角，是吧？这个 b、 d， 它垂直于这个 c、 f， 那 么这个里面呢？我们看啊，这个角 a、 c、 b， 这个角 它是四十五度角，对吧？那么如果我们能证明出这个 c、 f 啊， f、 c、 a 就是 这个角，它等于什么呀？它等于这个角 b， 那 它俩它俩相等的话，那这个角 f、 c、 a 就是 四十五度，那它加上这个角 a、 c、 b 就是 九十度，是吧？那就是说 f、 c、 b 是 九十度， f、 c、 b 是 九角， f、 c、 b 是 等于九十度的话，那就说明这个 c、 f 和这个 b、 d 就是 垂直的。 那么我们怎么证明这个角 f、 c、 a， 它等于角 abd 呢？我们看看啊，它这里面说了， 这个四边形 a、 d、 e、 f， 它是一个正方形，那正方形呢？那这个角是直角，并且 a、 f 应该等于 a、 d， 然后这个三角形 a、 b、 c， 它是一个等腰直角三角形，那么说明这个 a、 c， 它应该等于 ab， 并且 角 b、 a、 c 应该是个直角，那通过我画的这两个直角，我们能得出什么呀？能得到这个角 f、 a、 c 应该等于角 b、 a、 d 等于这个角， 把这再重新写一下啊，应该这个啊，减 f、 a、 c 应该等于减 b、 a、 d， 那 我们就可可以证明三角形 f、 a、 c 和这个三角形 abd 应该是全等的。 那我们把这过程写一下啊，第一个，第一个呢，这个 c、 f 应该是垂直于 b、 d 的， 理由如下， 因为这个四边形 a、 d、 e、 f 它是正方形， 所以呢， a、 f 它等于 a、 d， 然后并且这个角 f、 a、 d 应该等于九十度， 然后又因为角 b、 a、 c 是 等于九十度，这是条件啊，所以角 f、 a、 c 就 等于角 b、 a、 d。 好， 这与读角相等了，然后我们再加上边啊，因为 a、 f 等于 a、 d， 角 f、 a、 c 等于角 b、 a、 d， 然后 ab 等于 ac 是 他给的三角形，这个等边三角形条件啊，所以三角形 f、 a、 c 和三角形 d、 a、 b 是 全等的， 所以这个角 f、 c、 a 应该是等于角 b， 我们正用这个角 b 四十五度也行啊，然后用角 b 加上角 a、 c、 b 等于九十度也行啊，我，我就写一个啊，写一种方法，因为 角 b、 a、 c 是 等于九十度，所以角 b 加上角 a、 c、 b 就是 九十度，对吧？然后前面证明出， 那就说明角 fca， 角 fca 是 等于角 b 的， 那么角 fca 加上角 acb 就是 九十度， fca 加上 acb， 那 就是什么呀？ 那就是这个角 fcb 是 九十度，那我们就能推出这个 cf 是 垂直于 bc， 那么也能得到这个 c、 f 是 垂直于 b、 d 的，是吧？哎， 这就第一个啊，我们看第二个。第二个呢，它说连接 d、 f， 连接 df a、 e 查了啊，连接 df 和这个 a、 e， 然后呢交于一点，那就是说这个正方形对角，呃，正方形，这个对角线的交点啊， 这个是 o， 然后连接 b o， 若三角形 a、 b、 o 是 以 ab 为直角边的直角三角形，那么以 ab 为直角边的这个直角三角形，那他有可能什么？假如这是 ab 啊， 那有可能 o 是 在这，那么这么是直角，是吧？那有可能什么呀？ o 在 这面这么的是直角，所以就两种，两种情况啊，那么我们这个 o 可以 看啊，它是以 ab 为直角边的直角三角形，那就可能这个地方是直角，是吧？这个地方要是直角的话，因为这个 ab， 因为这个角 b、 a、 c 是 一个直角，那，那就说，那你这个要是角 b a、 o 也是直角的话，那就说明这个 o 点应该在什么呀？应该在这个 a、 c 上，对吧？我们就简单分析一下啊， 你这个 o 要是在这个 a、 c 上，嗯，下面画一下啊， 这个是 c a b 刚才也说了啊， o 是 在谁啊？ o 是 在这个，呃， ac 上， o 是 在 ac 上呢，那这个 d 它就应该什么呀？ d 应该是 ad， 应该是垂直于 bc 的， 然后这么做一个正方形， 然后 c 点和 e 点是重合的，这个是 f 点，这个是 o 点， 呃， e 点和 c 点重合，然后呢？ a、 d 是 垂直于 bc 的， 此时这个对角线交点这个 o， 把这个连接起来，这个三角形 a、 b、 o， 它就是以 a、 b 为直角边的这个直角三角形啊， 因为正方形啊，对角线交点，这个地方要是四十五度，这个地方四十五度呢？那这个， 这个就是四十五度，那这个 a、 d 他 应该是垂直于 b、 c 的 啊，他这个是个填空题啊，我们看看，他说这个 ab ab 它是等于 ac， 它是等于四倍根号二，那么我们推出这个 bc 应该等于根号二倍的 ab， 那 就应该等于 八，对吧？哎，然后呢，这个 cd 它应该等于什么呀？ cd 它应该等于二分之一的 bc， 他就等于二分之一乘上八，那就是四，这个空就填上四，这就是第二。里面第一个啊，我们看在下页写啊，第二个， 第二个呢，他说当点 d 在 这个 b c 啊， c b 的 延长线， c b 的 延长线，那就是在这个方向啊， 当 d 在 这个 c、 b 的 延长线时，然后呢，刚才也说了哈，它是以 ab 为直角边的这个直角三角形，我们画一下啊， 就这样画也行啊， 因为 ab 是 直角边，然后我们就以它做垂直啊，上面是应该是 o， 然后呢，这个 a 和 d 啊， 这个地方应该是个直角，因为它是正方形，正方形这个对角线啊，应该是相互垂直且平分的 呀，这应该交 e 点上啊，这画的问题，这应该是 d， 然后我们往这边做， 就简单画一下啊，这是 f， 这个是 e， 把这个 c、 e 连上啊， 这个里面呢，这个 a d e、 f， 它是一个正方形，然后正方形对角线交点，这个是 o， 然后这个地方是个直角啊，这个地方是个直角，这要是个直角呢？ 那么怎么样啊？另外这个角 abc 它是四十五度，那么我们就能得到这个角 cbo 是 四十五度，对吧？哎，然后我们要证明啊，我过 a 点做这个 bc 的 垂线， 我设这个是 h， 然后连接这个 o h， 我 们可以证明出这个角 o h b， 就是 这个角和这个角是相等的，它俩都是四十五度角， 它俩要是都是四十五度角啊，我们通过这个 ab 和 ac， 它俩都是四倍杠二，跟前面正计算方法一样啊，我们可以得到这个 b h b h 它的长度 b h 的 长度计算出来了，然后这个三角形 h o b， 它是一个等腰直角三角形，那么我们就可以把这个 o h 计算出来啊， 还有这个 b， 这个 o、 b 也能它俩是相等的啊，然后我们再去证什么，再去证明这个，我们可以证明这个这个角 c a f 等于角 h a o， 然后用这个边相等啊，不是边对应边成比例，我们再能证明出这个三角形 c a f 和三角形这个 h a o 是 相似的， 然后我们证明出这个 o a 制的长度了，我们就可以计算出这个 c f 长度，这个 c f 长度计算出来了， 然后如果我们能计算出这个 df， 我 们是不是利用这个直角三角形就可以得到这个 c d 长，对吧？那么这个 df 长度怎么计算呢？我们可以通过直角三角形 a b o， 因为这个 ab 边知道，然后刚才我们说了这个 b、 o 边知道，那么我们就可以得到这个 a o 边长度。 a o 边长度，它应该等于二分之一 d f 边长度，因为它是正方形啊，正方形对角线相互垂直平分， 然后正方形它对角线还得相等啊，所以我们就能得到这个 d f 长， d f 长知道， c f 长知道，那我们就可以用这个直角三角形勾股定力，从而计算出这个 c d 的 长度啊，把这过程写一下啊。圈二， 这个是减过 a 做 a h 垂直于 b c， 然后我们连这个 h o， 因为 ab 等于 a， c 等于四倍根号二，然后角 b， a， c 是 等于九十度的，所以 bc 它就等于根号二倍的 ab， 算一下就是八 bc。 知道了，那这个 bh 它应该等于二分之一 bc， 那 它就是四啊。 然后我们还能得到一些角，就是角 abc 等于角 b， c， a 还等于角 c， a、 h 都是四十五度， 然后我们还能知道这个 a h 啊， a h 比上 a c 应该等于二分之根号二。一会我们要正相似啊，需要用到，所以写一下。然后因为 o 为 正方形， a， d， e， f 对角线交点，所以角 o， a、 f 是 等于四十五度， 并且 a o 比上 a， f 等于二分之根号二。我用对应边乘比例啊，正相似， 所以我们能得到啊，这样两个角都是四十五度，那么它减去相同的这个角，我们从而能得到这个角 c， a、 f 就 等于角 o， a h， 然后用相似啊，因为角 c， a， f 等于角 o a h， 并且 a、 h 比上 ac 等于 a， o 比上 af 都是二分之根号二， 所以三角形 h a o 就 和三角形 c， a、 f 是 相似的。相似呢，那我们就能得到 对应角相等，那么角这个 o h a 就 等于角 f c a 还能得到这个 c f， 它应该等于根号二倍的 h o 就是 h o 比上 c f 应该也是等于二分之根号二啊，我就写这个 c f 等于根号二倍的这个 h o 了， 然后我再去正这个四十五度啊，因为 d c 是 垂直于 f c 的。 前面说了啊，这个 b、 d 嘛， b、 d 和这个 c、 f 的 关系啊，那么这个 dc 它就和 c、 f 也是垂直的，然后这个角 b、 c、 a 是 等于四十五度， 所以这个角 o、 h、 a， 它应该等于角 f、 c、 a， 它就等于一百三十五度，是九十度加四十五度哈，一百三十五度。然后因为 角 b、 h、 a 是 等于九十度，这是我们做的垂直啊，所以角 o、 h、 b， 它就等于四十五度。 好，我们证明这这个角是，我们再证明下面角四十五度啊，然后因为角 a、 b、 o 是 等于九十度啊，以 ab 为直角边的这个直角三角形，然后角 abc 是 等于四十五度， 所以角 h、 b、 o 就 等于角 o、 h、 b， 它俩就都是四十五度角，它俩都是四十五度角， 那么我们就能得到这个 o、 h 应该等于 o、 b， 它俩应等于二分之根号二倍的。这个 b、 h。 我 们前面算出来了， b、 h 等于四， 所以二分之根号二乘乘上四，它就是二倍的根号二，那么这个 c、 f， 它等于根号二倍的 o、 h， 那 就是再乘上根号二，那就是四。 好了，这个 c、 f 我 们知道了，对吧？然后我们要求这个 d、 f 长，我刚才也说了啊，你要想求 d、 f 长，我们把这个 a、 o 长度计算出来就可以。那么这个 a、 o 怎么计算呢？我们就可以在这个直角三角形 a、 b、 o 中啊， 在这个直角三角形 a、 b、 o 中， a、 o 等于根号下， a、 b 方加上 b、 o 方， 这个 ab 啊， ab 是 他给的，是四倍根号二，然后呢？ b、 o 是， 我们刚才算了，他是二倍根号二，所以这个算完是二倍根号十， a、 o 就 计算出来了， a、 o 计算出来了，所以这个 df 他 应该等于 a o 计算出来了，所以这个 d f 他 应该等于 a o。 计算出来了，所以这个 d f 他 应该相等， 然后并且互相垂直平分，它就等于二倍的 a o， 它就等于四倍根号十。 df 有 了 c f 知道那么 cd 啊，那就在这个直角三角形 c f d 中 cd， 它就等于根号下 d f 方减去 c f 方， 那就是四倍根号十的平方，再减去 cf， 是 我们 cf， 我 们刚才算的四啊，那就是四的平方，这个算完是根号一百四十四，那就是十二， 那我们这个最后啊，他说求这个 c 的 长，我们把这个 c 长就计算出来了。好，我们这个题就计算完了。

hello， 大家好，这是我们培优试听课的最后一节，我们培优课主要串讲各个板块压轴知识，有需要的同学可以看动态置顶或者联系屏幕上的联系方式进行咨询和报名。 ok， 我 们来讲这个题，你这样一看不太熟悉，但是我给你画个图，你马上就熟悉了。 我们画个平面的，其实对这个题你非常熟悉，比如这是 a， b， c， 让我们平面里面有一点，比如说就叫做 m， 然后过 m 的 这个动直线交 a， c 于两个点，不妨是 e 和 f， 然后让我们求跟 a， e 和 af 有 关的一些东西，那是不是我现在的这个过 m 动平面交射线 o a o b， o c 于 p q， r 跟我们这个二维里面的过 m 的 直线交 a， b， a， c 于 e f 其实是一个道理，只不过把二维推到三维， 所以你就明白了这个图形是怎么构建的，我们整体的证明逻辑是什么。那当时我们这种问题是怎么来证明的？这不是我们说我们可以把 am 写成一个 ab 加 ac 的 线圈组合， 那写成一个线圈组合之后，我们可以把 a， e 和 a f 设成 x 和 y， 然后我们利用比例去导成这个 number， a， e， 这个 a， e 和我们 x 有 关，然后加上这个 miu 倍的 af， 然后这个 miu 呢跟我们的 y 有 关，然后最后利用 e， f， m 三点共线，是不是我们的拉布拉加 miu 等于一， 然后呢我们就可以到 x y 的 关系，然后利用 x 的， 然后利用 x y 的 关系去算出它的一些面积周长这些东西。那这是我们二维在高一的时候非常常考的一种题型，那所以我们这个题的整整体证明逻辑基本上就这个样子了。 我们先来看第一问的第一小问，求 o m 的 长，我们这里六十度都有，对吧？所以理论上你 a， b， a， c， b， c 都可以求出来，然后 n 是 一个三等分点，然后 m 是 一个中点，你都可以求出来，全部都可以求出来，但是这样真的好做吗？我们来看二为中我们是怎么做的？比如说这是个向量型， 然后有个中点，然后让我们求这个的长度， a e 的 长度，或者这是一个四边形， 然后我们这里有个什么中点，然后有三等分点连过来，让我们求这段长度，对吧？这种题是不是经常出现在我们的选择题前几题？所以在二维情况下是非常简单的，我们都知道可以利用向量去做，那放到三维里面我们也是一样的，现在有这三条边 的长度，然后有这它们的夹角，所以我们也可以理解为我们可以以 o a， o b， o c 作为一个基底去表示我们向量，因为它们长度知道夹角知道你去表示之后，我们就可以把它长度算出来，这是我们的核心思路。我们来看第一问， 我们的 o m 向量可以写成一个二分之一倍的 o a， 加上 o n， 然后呢？我们这个 o n 可以 由我们定比分点，写成 o b 和 o c， 对 吧？所以我们 o n 向量整体上就等于三分之一倍的 o c 向量，加上三分之二倍的 o b 向量。 有了这个之后，我们就可以把 o m 用 o a， o b， o c 来表示，就是二分之一， o a 加上六分之一 o c， 再加上三分之一 o b， 这是我们的 o m 向量。那我们现在知道 o a 的 长度， o b 的 长度， o c 的 长度，它们假假都知道，所以你只需要对折式子两边平方就把它 o m 求出来了，那么 o m 的 长度就是 三分之根号四十三。 okay， 我 们再来看第二小问，第二小问的话，空间中一个动点 t 定义这个东西，然后当四面体体积最小时是否算点 t 时，这个东西。所以我们应该先关注当四面体体积最小的时候是什么时候， 对吧？那我们根据条件，刚刚我们有二维的，其实是可以得到什么？得到我们的这个 x 和 y， 它们之间有关系，都是导数和的关系啊，如果你做多了就知道我们先把这个 p 口来画一下 p 啊， 所以我们也可以模仿刚才用一样的思路去写，因为现在已经写出来 o m 和 o a， o b， o c 的 关系，所以我们一样可以得到 x， y， z 这样的关系，对吧？如果我们把 o p 设成 x， o q 设成 y， 然后 o r 设成我们的。呃，这个啊，连错了，不好意思啊，应该在下面 o 娃设成我们的 z， 我 们就可以同理到这样的关系。我们的 o a 是 等于 x 分 之二 o p， 那 这个比例呢，就是我们这个长度的比例，对吧？那 o b 呢？是等于我们的 y 分 之三 o q， 我 们的 o c 是 等于我们的 z 分 之四 o r， 所以 我们就可以把这个 o a， o b， o c 全部带进去，然后得到 o m 是 等于一个 x 分 之一 o p 加上 y 分 之一 o q， 加上三 z 分 之二 o r， 让我们利用 m p、 q r 共面，我们就可以得到 x 分 之一，加上 y 分 之一，加上三 z 分 之二等于一。 当然这个题我觉得有一个地方出的不好，他出的这个思路是好的，但是他忽略了一个事实，就是我们在高中阶段讲的这个极值，其实只讲了二元极值， 包括基本目的是和各种函数导数，然后你消元之后一个二元条件极值，然后消元之后成一个单元的情况，对吧？ 那我们在平面的情况是当然可以的，因为平面的情况我们只有两个肌底，所以你只有两个未知数，两个未知数它们之间有一定的关系之后，那你就是一个单元极值，对吧？但是如果是三元的情况就不好说了。三元的情况的话，我们高中阶段其实是没有讲多元极值的。 所以说我觉得这个题唯一有一点瑕疵的地方，就是说他很多地方会用到多元极值的一个想法，那这个想法呢？可能对于很多高中生来说没有接触过，可能算一点超纲。 ok， 我 们得到 x、 y、 z 的 关系。然后下一步是我们来看这个体积怎么表示。 这个四面体 o 杠 p 是 吧？你现在有 z 了，有 y 了，所以我们底面是很好表示的。底面我们是不是 s 就 等于二分之一乘上二分之根号三三点六十度嘛，再乘上 y z， 所以 我们看体积怎么表示。 体积的话，我们首先是不是要过 p 做一个垂线下来，不妨就是 p 一 撇， 让它垂直于底面，垂直底面我们 p p 一 撇就是我们的高，那 p p 一 撇怎么算呢？我们 p 这不好算，但是 a 这很好算呀，对吧？因为你 o a p 是 共线的，所以我们可以把 a 这算一下。现在是 a 一 撇 勾线的话，由于我们现在 a、 o、 b、 c 是 不是这个四边形是固定的？只要这个四边形是固定的，我们这个 theta 是不是就是确定的，对吧？你也别管这 c 大 是几， c 大 是几根本不重要。为什么？因为我们要求的是当它体积最小时，也就是说我们只需要求当它体积最小时候， x、 y、 z 是 几就好了，我们根本不需要知道你最后体积最小是多少，他没有问，对吧？ 所以我们只需要知道这里有个三 n、 c 就 可以了。那这个 c 大 距离是多少，那也不用算出来，所以我们就可以把这个 v 写成什么？ 首先是我们三分之一的底底是什么？二分之一， 二分之根号三 y、 z 那 么高，什么高？是不是 p b 撇 p b 撇？是不是我们可以利用 c 来表示我们 o p 是 x， 所以 是不是 x 乘上三以及它？ 那我们刚说过这 c 两是个定值，是多少呢？其实你根本不用求，没关系，那么相当于求什么？求 x、 y、 z 的 最小值， 我们有了这个，然后我们求 x、 y、 z 的 最小值，那是不是很明显，你用一个均值不等式就可以了，但是这也是三元均值不等式是略微有一点点超纲， 所以我们你也别管是几，那三分之一不等式最后区等是什么？三分之一不等式最后区等是不是 x 分 之一加上啊？不对，等于 y 分 之一，等于我们的三 z 分 之二，那由于它们三个相加是几？相加是一，所以每个等于三分之一， 那么就可以把 x、 y、 z 全部求出来， x 就 等于三， y 就 等于三，然后 z 呢就等于二，然后我们就可以把这个 x、 y、 z 全部带回来，带到原来的带 x、 y、 z 的 式子里面。所以我们就会有 o m 是 等于一个三分之一 o、 p 加上三分之一 o q， 再加上三分之一 o r， 这是我们的 o m， 那 么发现这个三分之一，三分之一，三分之一，这三个三分之一之间，它能暗示我们什么呢？ 还是一样的，我们可以从平面中思考，平面中如果有一个点啊，这里是 o， 然后 a， 然后 b， 如果有个点满足， o m 等于二分之一 o a 加二分之一 o b， 其实你可以马上反应出来，这个点肯定是终点，对吧？我们这个 m 肯定是终点，那对于我们三维的情况，这三分之一，三分之一，三分之一，如果你熟悉的话，你可以马上反应出来，其实是三角形重心，也就是我们从二维的中点推到了一个三维的重心的一个情况。 那如果你不熟悉呢？不熟悉没有关系，我们把它往 mp、 q、 m、 r 上面转， 所以我们这就会等于三分之一 o m 加 mp 加上 o m 加 m， q 加上 o m 加 mr， 是不是就发现我们有什么呢？我们有，我们的 mp 加 m， q 加 mr 是 等于零的，那这个是不是我们三角形重心的一个向量表达呀？那是不是意味着我们 m 是 三角形 p、 q、 r 的 重心， 因为我们把它条件翻译完了，就是当四面体 o 杠 p、 q、 r 提最小的时候是什么情况呢？它就发现出一个条件，就是叫做 m 是 三角形 p q r 中心，然后其他都没有了，其他都不重要了。 ok， 有 了这个之后，我们再来看剩下的东西， d t 是 我们这个 t 到我们这个三角形 p q r 顶点的一个平方和，然后问是否存在点 t 使得 d t 小 于 dm。 这个设问是什么意思呢？就说是否有一个点 t 使得这个 d t 比 dm 更小，于是相当于就是什么这个 dm 是 否为最小值，对吧？如果 dm 是 最小值，那就不存在， dm 不是 最小值，那就是存在，对吧？ 这是我们这个设问，所以我们就想要这个东西，想要这个平方和怎么来考虑啊？我们现在把 p q r 解出来， t q r， 我 们随便画几个嘛，比如说上面有个 t， 然后这个 t 感觉挺大的，对吧？如果平面里面有个 t 呢？ 感觉挺小的，你再往下下面有 t， 感觉还是挺大的，对吧？那这个感觉我们怎么描述呢？所以我们就来看我们这个 t 应该怎么计算。 当然我这里会讲两种思路，第一种就是说我们这个平方和怎么算， 第一种是我们这里有个 t， 那 我们要算这个 t p t q t r， 我 们怎么算？是不是 t？ 往这边做个摄影， t 一 撇，然后我们把它转到这个 t t 撇的一个平方，加上 t 撇 p 的 平方， t 撇 r 的 平方，加上 t 撇 q 的 平方，然后这个 t t 撇要加三遍嘛？这是我们的平方和。我们就发现一个很 很那个什么的问题，就说我们如果直接取这个 t 撇是不是就行了？因为我们 t 撇是不是一定比我们的 t 要小？因为我不用加上这一段，这一段的平方加三遍，我不用加，对吧？ 所以我们因为要求最小，所以我们可以这样说，就说什么呢？就是说若 t 在 平面 p k， 而 y 又没要求最小，我们就尽量把它往小了画就行。 我们做 t t 撇垂直平面 p k r， 然后呢，我们有这个呃， t p， 在 平面 p k r 内， 我们就一定会有 d t 要大于 d t p， 这是非常好说明的，因为你中间有一段嘛，对吧？我们说呢，这行之后，我们下一步是不是就转到了平面内？我们只需要在平面内寻找什么最小就行了。一个三角形截口 r， 我 们寻找这个平面内到这个三角形顶点距离的平方和最小的点是哪个点，只要把这个找清楚我们就 ok 了。 如果说你熟悉解三道形的一些相关知识的话，那么你知道它肯定是我们的重心，你不熟悉的话，我们也可以证明一下，这里可以拿向量证啊，也可以拿解析法证，都可以。我个人是比较喜欢解析法的，就说我们把这个 p q r 都拿我们坐标来表示， x 一 y 一， x 二， y 二 x 三 y 三，然后我们这个 m 呢，就是 x y， ok， 然后我们来写一下这个平方和我们的平方和 m p 方， 加 m q 方加 m r 方，就等于我们的 x 减 x 一 的平方。加 y 减 y 一 的平方。加 x 减 x 二的平方。 加 y 减 y 二的平方。加 x 减 x 三的平方。加 y 减 y 三的平方。那这个东西我们就是一个关于 x 和 y 的 一个二次方程，二次函数嘛，对吧？咱们可以整理一下，它就等于 三个 x 方减二倍， x 一 加 x， 二加 x 三， x 加上 x 一 方，加 x 二方，加 x 三方，然后加上 三 y 方减二 y 一 加 y， 二加 y 三， y 加上 y 一 方，加 y 二方加 y 三方。 ok， 这是我们说这个表达式，那我们可以把它既看作关于 x 的 二次函数，也把它可以看作关于 y 的 二次函数。所以我们在 x 等于三分之 x， 一 加 x， 二加 x 三， y 等于 三分之 y， 一 加 y， 二加 y 三的时候取最小的，对吧？所以我们就说重心取最小， 动心取 m i n， 所以 我们的 dm 就是 我们的 m i n 这样子，所以就不存在嘛，对吧？ 这是一个思路，那另一个思路。我这思路其实我觉得是比较好想的，就是说我们既然这整个题都是在空间中，就是把我们二维的平面的东西推掉，推广到空间中， 那我在解决这个问题的时候，我就想，那我能不能先画到平面里面？先画到平面里面，我就想到了，如果它不在平面里面，我们就可以把它归到平面里面，那我们只需要证明平面里面的东西，单这个题你也可以直接证，就是说 我们不妨就 p q r 这个平面嘛，对吧？我们外面有一点 t， 所以 我们就不妨 p q r 这个平面的纵坐标都是零，所以我们相当于就在后面加一个 z 减零的平方，加 z 减零的平方，加 z 减零的平方， 然后这边多一个三 z 方，那是不是 z 取零也同样的说明，我们这个肯定是在平面内取得到一个最小值，对吧？ 这个是两种思路，当然我自己是不敢直接设这个重坐标的，因为我觉得可能有点害怕，因为你坐标多了的话，我觉得可能会比较复杂，所以我是选择这种方法，当然你设一个 z 也没有问题，最后可以得到 z 零 o。 这我们第二个 教第二步呢，整体思路还是比较简单的，在做到这一步之前都是在翻译我们的这个条件。 o 杠 p 幺 r 体积什么时候最小？那这个呢？就是根据我们经典的解散型的题型，平面向量的题型，那个面积就是之前可以画那个图，这个图 这个面积什么时候最小，根据这个来的，那把这个推广到三维立体的图形之后，就成了这样一个题，成了这样一个题之后，后面都是比较简单的一些东西了。 ok， 这我们第二问，整体来说我觉得第二问难度还好，第三问也还好，第三问就是有点难算，但思路很好想 角 c 大 等于二分之 pi 时，即四面体 o p q r 内切球半径为 r 球 r 的 最大值，二分之 pi 的 话，你大家可以画一下，就长这样，呃，就做标准的样子嘛，对吧？ 这里面的话虚线感觉没连上啊。 ok， 那 我们现在是不是 pk 完它全部在弄？我们现在根据上一位我们得到一个东西，就是这个，这个跟我们角度是没有关系的，对吧？我们全程是跟角度没有关系的， 根据上一页我们有这个 x 分 之一加上 y 分 之一加上 三， z 分 之二是等于一的，就这个东西，有了这个东西之后，我们来看这样一个四面体，这样一个四面体的话，你的 p、 q、 r 是 不是全在运动？全在运动，那我们怎么来刻画这个那些球呢？我们怎么来刻画那些球的半径呢？ 是不是我们现在连这个内切球的球心你基本上都找不到？因为你 p、 q、 r 全在动，我这里也是啥？这也是 q， 这样，呃，这样对吧？全在动你根本找不了。所以我们就想到我们在解决内切圆问题的时候是怎么解决的？ 内切圆的 r 我 们是怎么算的？我们是不是说这个内切圆只要你定不了圆心，我们一律是用 s 等于 r p 去算的。 在平面中是不是 s 等于 r， p， r 是 不等于 s 除以 p， 我 们 p 是 半周长，对吧？ 那对于三维的我们的那些球，我们也可以有一个差不多的公式，叫做什么呢？叫做我们的 r 是 等于三 v 除以 s 表， 这什么东西呢？这就说我们可以把这个球心揪出来 i， 然后把这边连一下，把它看成四个四面体的体积求和，我们都用这个底面乘上我们这个高，比如这里是高， 然后同样的另外的高度是一样的，然后最后就等于它的一个总的体积，对吧？所以说我们就可以得到这样一个公式，叫 r 等于三 v 除以 s 表。那这下就稍微好一点，因为我们至少有一个表达式可以来表达这个 r， 所以 我们就要看一看这个 v 和 s 表的是多少？ v 是 等于 六分之一 x y z， 对 吧？因为你这都九十度嘛，你 x y z， 然后二分之一，然后乘的时候再乘三分之一嘛？六分之一。我们来看 s 表， s 表的话，首先这个 o、 p、 q、 o、 p、 r、 o、 q、 r 都很好表示， 二分之一 x， y 加上 y， z 加上 x， z 加上 s。 三角形 p、 q、 r 什么难点就在于什么呢？如何来表示这个 s 三角形？ p、 q、 r 这个东西，我们现在知道它三边长度，你这里是 x， 这里是 y， 这里是 z。 三边长度，这边是根号 x 方加 y 方，这边是根号， x 方加 z 方。这边是根号， y 方加 z 方。 ok， 我 们有这三边长度之后，我们就可以 来求这道题面积。那三边求面积我们最常想到的应该是什么？三边求面积，我们最常想到的是不是函数公式？ s 等于根号下 p p 减 a， p 减 b， p 减 c， 但是我们说函数公式在这里很难用， 为什么呢？因为你这全是根号啊，你这就半周长根号，根号，根号再减根号，你根号消不掉，你这个乘出来太大了，对吧？这是我们函数公式。那你想到函数公式不好用之后，我们马上就想到函数公式，还有个变形叫什么？叫秦九少公式，对吧？秦九少公式长这样。 s 等于根号下我们的四分之一， a 方 c 方减掉 二分之 a 方加 c 方减 b 方的方。这个东西你发现它有一个好处叫什么？它有一个好处叫我们在用三边去求面积的时候，它都是平方向，所以对于代根号的非常友好。 举个例子，你如果是什么根号七，根号五，然后二倍根号二这种三角形，你用函数公式是不是非常难求？你每一项又是根号二，根号五，根号七，但是你会发现，如果你用秦九少公式全是平方，你全部都可以消掉，对吧？所以就很好算， 并且秦九少公式是初中课本有的，这个只是我在这里说一下，当然应该应该是绝大部分同学都不知道这个公式的， 因为我觉得公式是非常好用的。为什么好用呢？就是在三边求边长的时候，它是平方，海伦公式不是平方，这是它的区别。 所以对于三边边长为根号的这个三角形，你用奇数差公式求它的面积，绝对是很好算的。如果我们不知道怎么办呢？不知道也可以嘛，我们就来算一算嘛， 我们用我们常规的去证明整数乘公式，或者证明函数公式。一个思路嘛，我们用余弦定里写出一个假角，然后把这个假角再写成正弦，再用正弦定里去表示面积。什么？就是这么想的，我们不妨设置里为 sine。 我们的口三 c 倒又等于什么？括号就等于我们的 x 方加 y 方加 x 方加 z 方减 y 方减 z 方。底下就是根二倍根号下 x 方加 y 方，乘上根号下 x 方加 z 方。 ok， 我 们把这东西整理一下，就等于 根号下 x 方加 y 方，乘以根号下 x 方加 z 方。除上啊，不比上 x 方啊，分之 x 方，不好意思，说错了， ok， 我 们有一个向量函数，我们下面写算一下，它下面就算面积的过程，算一下，它就等于我们的根号下 e 减。我们的可在方嘛，那就是 x 方加 y 方， x 方加 z 方，上面就是 x 四次方。然后这个东西等于看一下 底下还是 x 方加 y 方，然后 x 方加 z 方。 上面什么？上面是我们这个东西成开嘛？ x 四方加 x 方， y 方加 x 方， z 方加 y 方 z 方减掉 x 方，所以就剩下 x 方 y 方加 x 方， z 方加 y 方 z 方， 所以我们就得到这个东西。我们得到这个东西之后，我们算 s， s 等于二分之一乘上三 e， c， 它乘上根号下 x 方加 y 方，乘上根号，下 x 方加 z 方加 z 方，它又等于什么？我们分母就约掉了吧，就等于二分之 根号下 x 方 y 方加 y， x 方的一方加上 y 方的一方， 我们就找到这个东西的面积，找到这个东西面积之后，我们就可以把它全部带入我们的 r 表达式里面。 r 就 等于我们分子应该是这个六分之一。 x， y、 z 等于三，所以是二分之一。 x、 y、 z 分 母呢？ s 表它又是一个二分之一。 x， y 加 y， z 加 x， z 加上二分之一根号下 x 方 y 方加 x 方， z 方加 y 方 z 方。 ok， 我 们只要除以这个式子就好了。那我们把 x、 y、 z 都除下来，它就等于我们底下 x 分 之一加上 y 分 之一，加上 z 分 之一，加上根号下 x 方分之一加 y 方分之一加 z 方分之一 分之一，对吧？我们就拿它这样表达式，这样一个表达式，然后我们把这个东西来考虑一下，这样一个表达式里面有多少个未知量呢？我们表达式是不是三个未知量？三个未知量，但是我们只有一个方程，所以这意味着什么？ 意味着我们这个题是不是有两个变量？那对于两个变量求极致，我们一般是怎么办？ 两种思路，多变量求其值。第一种，要么整体换元，你能整体换掉，比如说你有 x 和 y 两个变量，你现在把 x 加 y 作为一个整体，那换掉是不是只有一个变量了？那单变量我们来处理， ok， 这是第一个，如果能整体换元，可以整体换第二个呢？主元法 就是有两个变量，我们去求其值，我们就一个一个处理，一个一个处理之后，你先处理掉一个比较好处理的，我们再处理那个难处理的，那都处理完了，我们是不是就可以算到它最小值，对吧？所以这个也是一样的，你很明显没有办法整体还原，所以我们先把它代换一下， 这边就是一加上三， a 分 之一上面是一， 那剩下这根号里面怎么办呢？我们是不是因为我们还有一个自由度，所以我们可以把 x、 y 处理掉，然后把它变成一个只剩 z 的， 所以我们在这里可以利用一个我们的基本不等式， 我们基本不等式的话，是不是有 a 方加 b 方，因为这个 x 方分之和 y 方分之，相当于是这两个的平方嘛？是不是 a 方加 b 方会大于等于二分之 a 加 b 的 平方啊？对吧？我们和的平方跟这个平方的和的一个比较， 所以我们这里可以写成小于等于根号下二分之一，一减上三， z 分 之二的平方加上 z 方分之一， 我们是不是就顺利的先把 x、 y 这两个变量搞掉了，对吧？然后最后就剩下一个 z， 因为我们在处理这里时候相当于什么？相当于先把 z 看作参数，我们主元先定 x、 y， 对 吧？我们先把 z 看成参数，然后主元法先把这处理掉，之后我们再处理 z， 然后我们只要求出后面这个式子的最大值就可以了。 那怎么求呢？第一步肯定是先和等变形一下，还是我说的，你在处理函数导出题的时候，你先能代数和等变形，先变形，那么这里先换个元，令 t 等于我们的三 a 分 之二， 呃，三 a 分 之一吧，三 a 分 之一主要是把这里面的这个呃 z 都处理掉。零 t 等于三 a 分 之一，它有一个取值范围，是哪里呢？你换元千万别忘了换了元的取值范围，你一旦忘了这个事，你很容易算错， 我们前面这里是不是这些都是正数？所以你的三 a 分 之二是不是属于零到一？所以我们这个是不是属于零到二分之一？ 它属于零到二分之一，我们就可以把这边再等于下去， 等于我们的一加 t 加上根号下 十一 t 方减二， t 加二分之一分之一。 ok， 那 我们知道这个式子之后，我们就另分母嘛，另 f t， 我 们只需要把这个极值处理一下就好了。一加 t 加上根号下十一 t， 方减二， t 加二分之一，那有这个东西呢？我们就对它求导嘛， f 撇 t 就 等于一加上根号下十一 t 方减二 t 加二分之一，上面是十一 t 减一， 那我们就要判断这个东西的真负。 f 撇 t， 那 这个东西我们说你现在令它等于零， f 撇 t 等于零， 然后我们就会有，你现在是一个这边根号 十一梯方减二 t 加二分之一等于一减十一 t。 那 解这个方程我们怎么解呢？ 你第一步是不是就想到这个可以两面平方，但是什么问题？在初中数学老师有反复强调过，你要两面平方，你一定要考虑增根的问题， 就是因为我这边可能是比如说我这边是个 a， 这边是个负 a， 你 平方的结果其实是一样的，所以说平方我们很容易会出现增根，为了避免增根出现的情况，我们在采取两边平方的时候，我们一般都是先讨论正负，这样的话你可以避免后面去验证增根的情况，这个是一些初中的一些问题， 所以说我们先考虑一下。第一种 t 属于我们的十一分之一到我们的二分之一， 那此时我们说我们的 f 撇 d 就是 大于零的，因为这两边都是大于零的，对吧？所以我们第二种情况， t 属于零到十一分之一，那此是我们这东西两面平方差没有问题，对吧？两边都是正数， 因为你对两边平方筋求解方程，这并不是一个等价变形，我们就有这个十一 t 方减二， t 加二分之一 等于一减十一 t 的 平方，然后我们就可以解开了 t 解的我们 t 就 等于一个 一百一十分之十减三倍根号五，于是我们就有我们这个 f t 在 零到 一百一十分之十减三倍根号五上递减，然后我们 一百一十分之十减三倍根号五到我们的二分之一上递增，于是我们就可以把它最小值写出来了。 f t 的 最小值就等于我们的 f 一 百一十分之十减三倍根号五， 结果是多少呢？结果是一个十一分之十二加三倍根号五， 然后我们再加进去算 r， r 就 小于等于 三分之四减根号五，所以 r 的 最大值就是一个三分之四减根号五， ok， 这是我们这个题，这个题的第三问，其实难点在哪里？第三问你会发现我们的表述其实并没有难点，其实难点全部都在你后面的运算上面，你如何处理这个多元函数，如何求它的极值， 对吧？难点就在就在这里。前面的表述，我觉得只要你会一些基本的例题集合和基本的我们平面向量，平面几何解散到形的知识，我觉得前面都很好处理的， ok， 就 我们这个题， ok， 我 们来看下题，第一问就直接不多说了。第一问的话比较简单，就是我们证明 p a 垂直 f g， p a 垂直我们的 f g， 那 由于我们发现我们标一标这些是根号二嘛？这些是一嘛，对吧？根号二， 我们顶上这个是一个等腰直角三角形，对吧？所以说我们两边都是等腰直角三角形的话，你就取个中点，两个垂直就结束了，所以第一个就不多说，我们来看第二个。首先我们来思考一个问题，在看第二个之前，我们这图形是怎么生成的？ 我们现在叫 pc 垂直底面，然后我们把 pc 给定了， pc 是 二，这底下是二，然后这里有四十五度，两个角四十五度， 然后这四十五度限制我们的 b 和 d， 所以 你就想一个事情，就叫做我们这个图形应该怎么来刻画 我们 f 和 g， 还有我们的 e， 这几个点是不是依赖于我们 b 和 d， 只要我们 b 和 d 刻画好了，我们这几个点是不是你就出来了，我们就可以表示了，所以说我们这个图形的生成逻辑是什么？ 本身有个 p、 a、 c， p、 a、 c 是 我们固定的核心图形，然后这里有两个四十五度，这两个四十五度就刻画了我们的 b 和 d， 然后刻画 b 和 d， 之后我们接下来这些 f、 g、 e 就 全没有了，对吧？ 所以说我们这个题的核心难点在哪里？核心难点在如何利用好这个四十五度去刻画 b 和 d。 当然如果你 直接去刻画，我们是很好想 b 和 d 的 轨迹是什么的，因为你想想我们这里都是四十五度，那只要满足是四十五度就可以，那满足是四十五度，你是不是是一个圆锥，这样圈下来 是不是这样一个圆锥？这个角度是四十五度，这个角度四五四十五度，它是个圆锥，然后我们这个底面去结这个圆锥，那结出来 b 和 d 的 轨迹肯定是什么？ b 和 d 的 轨迹肯定是圆锥曲线，你平面结圆锥结出来肯定是圆锥曲线， 对吧？所以相当于我们就去刻画这个 b 和 d 的 轨迹。刻画好了，我们这个题就会有点困难。 ok， 这个是在讲第二问之前要说明的事情，就我们这个图形的一个生成逻辑，我们有了这样一个事情之后呢，我们就要看怎么做。 首先我们说要去刻画 b 和 d， 然后刻画这个角，那其实按照刚刚我说的那个逻辑，你就知道这个题几何法基本上做不了。 为什么？第一个你已经料想到他的轨迹是圆锥曲线了，那你怎么用几何法做呢？你几何法怎么能算出圆锥曲线呢？对吧？这第一个，第二个呢？是我们来发现一下，就是说你这个角很好表示吗？你刚刚画的那个 h 就 可以表示这个角， 对吧？这个就是我们的这个要算的 theta， 要算的 theta 之后呢，我们相当于 f h 和这个呃， g h 都是二分之杠二，然后我们只需要算 f g， 是 不是就可以得到这个 theta 的 数值范围了？算 f g f g 呢？你这又是个等幺， 对吧？并且你长度也知道都是一，所以呢，你就需要这个是，你就需要这个角，你需要这个角的话， 那我们发现一个很核心的问题，叫你需要这个角，你用几何法，你还是要刻画一个东西，叫什么？叫 b 和 d， 你 b 和 d 没有刻画， 然后我们就发现我们这旋着一个四十五度，旋着这个四十五度去刻画我们这个 b 和 d， 你 会发现用几何法有点困难，对吧？你怎么刻画都刻画不好这个 b 和 d 的 轨迹，你刻画不好之后，我们就很难继续进行下去，就说旋着的四十五度， 再加上我们刚刚说的，我们已经可以预判到它的轨迹是圆圈曲线了，所以我们就可以利用间隙的方法，并且这题为什么好间隙，是因为你这个有线面垂直啊，对吧？所以说我们就建个系 x 这边， y 上面 z 间隔 c 间隔 c 之后我们这四十五度就很好刻画了，因为我们我们只需要把这个向量写出来，夹角是四十五度，我们算夹角角是不是就行了，对吧？ 所以说我们来写一写 c 就是 零零零，我们的 a 就是 二零零， p 就是 零零二，于是我们把这个 b 和 d 设一下， b x b y b 零，于是我们就可以把这个方程写一下，啊，不是方程，把这项量写一下， pa 等于一个二零负二， p b 等于一个 这个 x b y b for arc ok， 有 了之后我们就可以算这个空间中两直线的角嘛，对吧？我们的 cosine pi p b 就 等于我们的二倍 x b 加四，底下就是一个二倍根号二，乘上一个 x b 的 平方，加 y b 的 平方再加四，拆开我们的口算四分之派等于二分之根号二。于是我们就可以利用这个把我们 x b 和 y b 的 关系算出来，我们就可以得到 y b 方等于四 x b 相当于我们这个平面给它截了一个抛物线出来。 所以我们接下来就是先用一些圆锥弦的方法，就是把这个 b 和 d 的 关系得到，因为我们还我们依然有这个 d x d y d 零嘛，所以我们这个 d 也有 y d 方等于四 x d 有了之后呢，我们标就都刻画好了，刻好了之后我们看它还有条件呢，叫 pc 平行于平面 ebd， pc 平行，平面 ebd， 那 是不是我们就知道线面平行，推线线平行，就是说我过这个线做的一个平面与我们另一个平面有交线，那这样和交线平行对吧？我们是不是 ebd 啊？ 那不妨交线交在哪里呢？交线底下交一个 h， 那 由于我们这个 p c 平行 e h， 我 们是不是知道我们这个呃，不对，交应该就在这里。 我们 p c 平行 e h， 我 们 e 是 终点，所以你是不是得到我们的 h 也是终点，所以说 b d 过 h h 是 多少呢？幺零零，所以我们就可以利用我们在底下这个平面里面的关系，得到这个 b 和 d 之间的关系。然后我们就不妨可以设一下， b 设成 m 方二 m 零， e 设成 n 方二 n 零。这个你怎么设都可以啊，你设参数方程呀，直接设坐标啊，都是可以的，只是系数不同啊，你设一个这个 x b 和 x d 也可以，都可以。 然后我们就找到这样一个式子，找到这样一个式子之后，我们先没 b d 过这个一零零，所以说我们就可以由斜率底下这个平面的斜率啊，你现在不管哪一种，就会有 m 这个二 m 除上一个 m 方减一，对吧？等于一个二 n 除上一个 n 方减一，我们就可以推出来我们的 m n 是 等于负一的， m i 等于负一之后，我们现在有了这个 pa 和 pb 的 这些向量，我们就可以去算法向量，把这个平面 pa 和 pa 向量算出来就可以了。所以我们设平面 pa 比还有 pa 地把向量分别为 n 一、 n 二。 ok， 我 们有了这个之后，我们就呃还是把它坐标写一，写 n 一 等于 x 一 y 一 z 一 n 二 等于我们的 x 二 y 二 z。 有 了这个之后，我们现在就去写我们的这个呃垂直，所以我们有 p a 点乘 n 一 是等于零的， 然后 p b 点乘 n 一 是等于零的。因为这个立体几何题已经非常复杂了，所以说你就没有必要太去纠结中间专业细节了，专业细节他不会扣你的，我们就会有 二倍 x 一 减二， z 一 是等于零的， m 方减二， x 一 加二， m y 是 等于零的，所以我们可以取一个这个 n 一 出来， 取一个我们的 n 一 是等于二 m 二减 m 方二 m， 同理我们可以取一个 n 二改成 n 就 行了， n 二 就等于一个我们的二 n 二减 n 方二 n。 有 了这些之后呢？ 那接下来就写我们的余弦嘛，对吧？我们的 cosine 这个 n 一 n 二，把这些全部算进去，就等于个 五加上二倍 m 方加 n 方分之二减一。 然后呢，我们现在不是有这个 m n 等于负一吗？所以我们去算一下呗。我们现在有这个 m n 等于负一，我们这边 m 方加 n 方就会大于等于， 因为这个肯定是正的，我们 m n 肯定是一正一负嘛。所以我们这里注意， m 方加 n 方是大于等于二倍 m n 的 绝对值，因为你现在是一正一负，你这个基本功能是要求都是正数，正数的话，你把这两个取绝对值就好了，对吧？所以我们就会得到它是一个小于等于负 九分之七，所以说我们这个 cs r 的 一个最大值就是一个负九分之七。 ok， 这我们的第二文我们来看最后一文，最后一文的话，我觉得 它主要就是如何翻译这条件，把这个条件翻译到我们的一个函数问题上去。首先我们来理解一下条件， 就是说若 b d 平行 f g 就 先别管吧，我们看后面是干嘛的，点 p a b d 都在同一个球面上，且给定该球半径时候，三菱锥的体积有三个可能值，求该球半径取的范围。啥意思？相当于我们现在是不是一个半径叫做 r， 然后一个体积叫做 v， 那什么叫给定半径时，我的这个 v 有 三个可能值呢，就是我们把 r 写成一个 f v 的 形式，对吧？那我现在 就是说我 r 取多少的时候，我这个 v 有 三个取值，相当于我们就变成了一个这个函数的焦点问题， 比如说我 v 长这样，长这样，你 r 去哪去，这样的时候是不三个区，对吧？就是这个道理。所以说我们的本质就在什么本质，就说我们要建立这个 r 和 v 的 关系式，只要把关系式建立好，我们接下来就可以解决掉， 对吧？ ok， 这我们来建立一下啊。但是你要始终理解一个什么东西， 你要始终理解我们这个立体几何的构图，它一定是以 b、 d 为核心的，你不要去设什么微，不要去设什么其他的 f 点呀， g 点呀， e 点这种东西，你一定就设我们的 b、 d， 因为你的核心逻辑 f、 g、 e 这些全部点是依赖 b、 d 生成的，只要你 b、 d 刻画了，你剩下全部都能刻画好。 ok， 我们现在来看，若 b、 d 平行 f、 g 是 什么意思？ b 在 这里平行 f、 g， 我 们第一问是不是得到了我们 pa 是 垂直我们的这个 f、 g 的， 所以我们 pa 就 会垂直我们的 b、 d 嘛？所以我们就会有 b、 d 垂直 a、 c 嘛，因为你这个 p、 c 也垂直 b、 d， 我 们这个 b、 d 垂直这整个平面，所以 b、 d 是 垂直 a、 c 的。 首先 b d 垂直 a、 c， 这个是比较好得到的。让我们来看剩下的 b、 d， 那 由于 b、 d 垂直 a、 c， 所以 说我们 b 和 d 的 干嘛？横坐标是不是相相同的，对吧？横坐标相同，那 z 坐标就呈相反数嘛，所以我们不妨 b 就是 一个 t， 二倍根号 t 逗里， d 就是 我们的 t 逗负，二倍根号 t 逗里。 ok， 这是我们的第三设了一个条件。 那我们再看，我们现在需要去表示它的一个外接球，外接球怎么表示呢？对吧？我们就想一个能表示的方法， 外接取，我们是不是？首先你要有一个外接圆，那我们现在 b、 d 都有了， a 也有了，是不是底面外接圆是最好表示的？所以把外接圆原先需要取一下，不妨记作 s， 所以 我们先把这个 s 点确定下来， s 点确定下来就可以了，所以我们不妨 s， 嗯，就等到右边来吧。对， s 点就是我们的 x 零逗零逗零， ok， 我 们的 s 点，然后把 s 点的一些 x 里的关系求出来先。我们是不是可以利用这个 s a 等于 s b 啊， 对吧？利用 s a 等于 s b， 我 们可以把 x 零和 t 的 关系求出来，我们 s a 就 等于我们的这个二减 x 零嘛，对吧？你这里整个是二，这边是 x 零，二减 x 零，我们再说 s b， s b 等于什么？ s b 等于根号下，这边加这边吧。垂直的等于根号下我们的二倍根号 t 的 平方加上 t 减 x 零的平方，所以我们由 s a 等于 s b 就可以得到我们的二减 x 零的平方等于二倍根号 t 的 平方加上 t 减 x 零的平方，然后我们就可以建立 x 零和 t 的 关系， 我们就有我们的这个。呃， x 零是等于一个 t 方加四， t 减四，然后二倍 t 减二，注意这里 t 要大于零。 ok， 我 们接下来再看， 然后是什么？然后是我们要求这个外接球嘛？我们现在有这个外接圆了，那所以我们是不是外接圆往上做垂线就可以了？做垂线做到哪呢？ 做垂线我们做到一个 o a 等于 o p 是 不是就可以了？那 o a 等于 o p， 由于我们 os 垂直底面，我们 p c 垂直底面，所以我们 pc 跟 os 是 不是平行的？平行的话它们几个是不是共面的，对吧？那共面就很好说了，共面的话，我们这个 o 是 不是一定在我们 p a 的 中垂线上？那哪里是中垂线呢？我们是不是 c e 也是中垂线？因为就是个等腰直角三角形，所以相当于是我们 o e c 共线， o e c 共线的话，相当于这里是四十五度， 四十五度，四十五度，这也垂直，我们又有什么？我们是不是有这两段相等的？所以我们这边 r 又可以跟 x 零建立上关系，我们就有 r 方， 就等于我们的 x 零方加上二减， x 零的平方就等于我们的二倍， x 零的平方减上四倍， x 零加四。 ok， 我 们有了，然后我们外接球的半径有了，我们就差一个什么？差一个我们的体积，呃，体积在哪呢？哦，这里体积下面写写体积，体积很好写啊，体积 v 就是 我们的这个高度乘上底面的面积，然后再乘三分之一，这就是一个三分之一 乘上我们的这个二分之一底面积 四倍，根号 t 乘 t， ok， 我 们全部表示出来了，我们 r 方等于这个， v 等于这个，然后 x 等于这个，而现在就是我们如何把这个 r 方跟我们如何把 r 跟 v 建立上联系。 所以你会发现我们整体的逻辑叫什么？ r 跟 r 方有关系， r 方跟我们 x 零有关系， x 零跟我们 t 有 关系， t 跟我们 v 有 关系， 所以相当于中间有这么长一串逻辑链，我们要从 r 导到 v， 我 们需要从 r 到 r 方，再到 x， 再到 t， 再到 v， 那 这样的话，三个可能值好像很难想，对吧？这么长个链条，你三个可能值，这怎么想？ 所以说我们就要分析下这每一步间的关系，由于我们 r 是 大于零的，对吧？ r 肯定大于零， r 大 于零的话，我们 r 跟 r 方之间是不是一一对应呀？ 有一个 r 就 一定有一个 r 方，有一个 r 方也一定有一个 r， 它不会有，多的也不会没有，对吧？说明这是一对应。我们再看 v， 这里 v 和 t 是 不是也是一一对应啊？对吧？我们是单调的嘛，这东西单调的，单调的话就意味着我们这边是不是也是一一对应？ 就是有一个 t 就 有一个 v， 有 一个 v 就 有一个 t， 对 吧？所以我们现在到了哪里呢？中间这两步，我们发现中间这两步这式子可就不单调了啊，就不一一对应了呀。所以我们核心逻辑叫什么？ 叫 r 方和 t 的 对应，只要把这个对应好，用中间的 x 零对应好，那我们 r 和 v 就 自然可以对应上。那这是我们的最后一步，就是如何把 r 方跟 t 对 应。那你会发现我们 r 方写成了一个 x 零的函数， x 零写成一个 t 的 函数，那这就是什么？这就是复合函数零点问题啊， 对吧？或者说复合函数交点问题也可以，零点问题也可以， 在我们高一的题型里面很常考的就什么 f， g， x 有 几个零点，或者什么我们的这个 a f 方 x， 什么加上四倍 f， x 加什么七种，能修几个零点？就这种问题， 这种问题，负函数零点的问题，我们首先应该干嘛？首先是不是应该把两个函数分析清楚？把这两个函数分析清楚之后，剩下就简单了，对吧？ 首先我们来看第一个函数叫 x 零等于 t 方加四， t 减四，除上一个二倍的 t 减二， 我们来写写，它是等于我们的。先分解一下常数 t 减二的平方，加上一个八倍的 t 减二， 再减上一个，再加上一个八，这边是一个二倍的 t 减二， 所以我们这就等于什么？等于我们的，呃，二分之 t 减二，加上这个 t 减二分之四， 再加上我们的四，对吧？所以我们这个函数实际上是怎么来的？这函数是不是由我们这个函数变来的？就叫做二分之 x 加上 s 分 之四这个函数变来的。所以我们先把这个函数刻画一下，画个图， 那对于我们 x 分 之四加上二分之 x 这个函数，它是不是长这样？这边还有底下的 x 分 之四，呃，这个二分之 x 加上 x 分 之四，那它的这个最小值在哪？取到二倍根号二，对吧？然后取到最小值是多少？ 也是二倍根号二，那这边由于是个奇函数，所以它底下是长这样的，完全一样的，所以我们有了这个之后，我们就可以把我们的我们现在这个平移过后的函数刻画出来，上加下减，左加右减向右平移两个单位，向上平移四个单位，得到这样一个东西， 这里是二画高一点吧？长这样， 二倍根号二加二，这里是二倍根号二加四。然后这边是一算一下它长这个样子，这里是 t， 这是 x 零。 ok， 我 们把第一个函数分析清楚，我们还要分析第二个函数，这个函数就是我们的这个函数，这个二次函数 r 方。