用几何图形绘制勾股定理的历史手抄报

副家长张晓宇先生， 烤并不是因为他的色彩炫耀，烤也并不在属于他的板面设计中。 我也预祝各位同学的人生越来越好，谢谢大家！

他就超出了绝大多数中学生的这个计算能力啊，或者这样说不准确啊，他是超出了绝大多数中学生的计算的勇气和探索的精神。对于中学生来说呢，这个学习数学啊，刷一定量的题目是必须的， 但是呢，刷题是不是刷的越多越好呢？或者说我们应该怎么样正确的刷题啊，才能提高我们这个刷题的效率 和这个收获。那其实这道题呢，就给了我们一个很好的一个提示啊，我一直坚持认为啊，对孩子们有一个很重要的能力，就是我们做题啊，切记不要把题目做完就算了， 题目做完以后立刻就扔掉了，对吧？一定要有这个回头重新审视这道题的能力和你延伸思考的能力，这个非常非常的重要啊，你只有具备了这个能力，你才能在你刷题的过程中有最大的收获。那这道题呢，其实给了我们一个很好的一个视力啊， 那上个视频我们讲了这道题呢，其实按原来呢，这个问题啊，并不是特别的难啊，呃，求线段 a e 的 长度啊，那我们做完这个题目啊，因为题目里说这四个线段是相等的吗？那上个视频我们已经算出来这个 a e 的 长度是多少呢？是这个根号五十八 啊，根号五十八，那什么叫做延伸思考能力，或者说回头审视这个题目的能力啊？呃，我在读的时候，这个题目说是矩形， 但是因为我观察图形呢，发现这个图形非常啊，像一个正方形，也就是说它的长和宽啊，非常的接近。那么同学们，你们在做完题的时候有没有这样一个 强烈的欲望，对吧？或者有这样一个冲动，我们已经把 a e 算出来了，对吧？ a e 和 c f 都是等于根号五十八的，那我想不想 把这个长方形的长和宽，也就说这个 a d 到底是多长，这个 c、 d 到底是多长？我们要把它算出来，有没有这样一种一种想法，对吧？那这个就是我 回头审视这个题目能力，或者说我延伸思考的能力。那进一步你要去想，那既然是这样，那出题人为什么不去直接问我们说这个长方形的长和宽分别是多少呢？如果你有这样一个思考，你就知道了，出题人为什么不去问他的长和宽分别是多少，对吧？ 那他之所以不问，是因为这道题如果问长和宽是多少，那么他就超出了绝大多数中学生的这个计算能力 啊，或者这样说不准确啊，他是超出了绝大多数中学生的这种呃计算的勇气和探索的精神， 对吧？他很多东西他不具备这样探索精神，对吧？因为做的这一步，如果我下面接着问这个长方形长和宽是多少呢？他其实就已经脱离了这个几何的范畴了，他纯粹是一个代数计算计算的过程。 但这个方程啊，有几种列法，我们我举两个例子啊，方程并不难列，为啥呢？我们算出来这个是根号五十八以后，那这里也是根号五十八吗？对不对？ 我们想要知道它的长和宽，其实就是知道 d e 和 d f 嘛。那这因为有两个线段的长度，我们这时候呢，需要设两个位置数，比方说我们设这个是 x， 这个是 y， 那 因为我们刚才分析过这个题目啊，对吧？呃，我们做这个垂线 或这里做垂线，那因为这个是四倍根号二， 那所以这个就是四嘛，这个就是二，对不对？那所以我们再把 e、 f 连接起来呢，我们很容易得到一个方程，就是 x 平方加 y 平方，等于这个二的平方加四的平方，也就是说等于二十的嘛。 那另外还有一个方程呢，就是在这个大的这个长方形的一半，这个三角形里面列个勾股定律，对吧？这个 a、 d、 c， 那 这个方程并不难列，对吧？那就是根号五十八加 x 括号的平方， 再加上括号根号五十八加 y 的 平方，那么它是等于因为这个地方是根号五十八，这个地方也是根号五十八，所以对角线的长度呢？是两倍的根号五十八 括号的平方，那么呢，这就是一个方程组，对吧？那有同学这时候就会提出疑问的说，老师，这个超出我的范畴了，对吧？这个叫二元二次方程组啊，中学阶段没有学过这个， 那确实是没有学过啊，但是我们学一二次方程的时候，大家会碰到我们真的讲一二次方程，我只能解二次方程吗？不一定，对吧？一些特殊的高次方程，其实我们是会解的，那包括这个方程也是一样的啊， 并不是普通的这个二元二次方程，我们在初中阶段是不学的，但是一些特殊的二元二次方程我们是会解的， 其实这个方程呢，并不难解啊。呃，只不过呢，数字稍微有点大，所以我刚才说了，呃，超出了相当一部分同学的什么？他的计算勇气，这个方程我给你列出来了，但他没有勇气继续的往下去做了，对吧？呃，或者他缺乏这种探索精神吧。 那我再换一个，列一个方程啊，我再列另外一种另外一组方程。为什么在列另外一组方程呢？大同小异啊，而且最后是殊途同归，只不过另外一个方程呢？感觉上好看一点。什么意思啊？我们再列一个方程，因为我们这样， 我们设备指数还是一样的，还是这个是 y， 还是这个是这个是 x， 这个是 y 啊，我们再把它延长， 那因为根据长方形的对称性嘛，这俩是相等嘛，所以这里是根号五十八，那这里也是根号五十八，那这里是 x 呢，这里也是 x 嘛，对吧？那所以呢，我从这里再做一个垂线 啊，做上去。然后呢，我在这个直角三角形另一边来列方程。那因为根据对称性嘛，这个是 x， 这个是 x 呢，这个也是 x， 那 所以这个呢，就变成了什么？就是，呃，根号五十八 减 x， 那 这个边呢？就什么这个边？就是根号五十八，怎么样？加 y， 根号五十八加 y， 那 这个对角线呢？因为这是四倍根号二嘛，那这里也是四倍根号，所以对角线呢，就是八倍根号，所以在这个里面我们可以列一个方程啊，那就是这个叫 根号五十八减 x 括号的平方，加上根号五十八减加 y 括号的平方，等于呢，这个八倍根号二括号的平方。 那同理呢，我们还可以因为这个图具有一定的对称性，对吧？我们把它画下来啊，把这个 x 还保留， 那这个时候呢，我们延长这个，对吧？延长 f o， 然后呢在这里再做一个垂线， 那这时候我们在这个三角形里面来列勾股定律，对吧？因为什么这个是这个，呃，这个是 y， 那 根据对称性呢？这里也是 y， 那 这里也是 y， 所以 这个地方呢，就是根号五十八减 y， 对 吧？所以同理我们就是根号五十八 加 x， 因为横的这这段是根号五十八加 x 嘛，对吧？呃，然后就是 平括号平方加上括号根号五十八减 y， 括号的平方等于，因为 o f 等于六嘛，那所以延长一个就是十二十二的平方， 那这个方程呢？也是一个二比二四的方程组啊，比刚才的方程就好看一点。为什么好看呀？因为这个方程具有很强的对称性啊，对吧？那下面呢，我就来解一解这个方程啊，因为这个解方程的过程呢，还需要一些注意的点，它其实并不难解啊。 首先我们具有很强的对称性嘛，那这是一个完全平方，这是一个完全平方，对吧？它有 x 平方，有 x 平方，这里有 y 平方，有 y 平方。我们先用这个下面的式子减上面，就下式减上式啊，比方说我们这个叫下减上， 它等于什么呢？下减上，是不是这个？呃， x 平方也减没了，五十八也减没了，这个 y 平方也减没了，这五十八也减没了，那剩的是什么呢？这个剩了一个两倍的根号五十八 x 啊，剩了个四倍啊，四倍，剩了一个四倍根号五十八 x， 那 这边是不是剩了一个四倍根号五十八 y 啊？并且是减啊，所以我们把四倍根号五十八都提出来， 就是减 y， 等于呢，这边是十二平方，减去八倍根号的平方，它是等于一百四十四，减去一百三十二等于十六的，那所以呢，这个 x 减 y 就 等于 这个根号五十八分之四，这个地方切记啊，千万不要去把它做分布有理化，因为我们下面还要进一步的计算，在计算过程中我们可以不用分布有理化， 只不过到最后计算结果去分母有理化，因为你在这个地方做分母有理化的话，会对你后面的计算啊造成很大的困难。好吧，那我们现在是把两个方程相减，然后呢，我们再把两个方程相加 啊，两个方程相加里，就是说下加上一加呢，因为那个中间项就没有了，就两倍的根号五十八。 x 这边是两倍的根号，这个五十八。 y 都加没有了，那还剩的是什么呀？它剩的就是这个。呃， 二 x 方，然后呢？这边是加二 y 方，然后呢？这里是这个两个五十八相加啊，根号五十八的平方是五十八吧？根号五十八，那所以总共多少？总共是四倍的根号五十八，所以，呃，不是四倍的五十八，再加四倍的五十八， 它应该等于什么呢？它应该等于这边两是相加，也就是一百四十四 加这个一百三十二，呃，不是一百二十八加八八，六十四加一百二十八。啊，这边挡住了。 好，那不管了，我们把这个化解一下呢，它就变成了 x 方呢，加 y 方等于二十， x 方加 y 方等于二十。那现在我们就得到了这样两个式子，得到了一个这个式子得到了一个这个式子，那这个时候我们往上面擦掉了啊，我们我们把它这个留出一点计算的空间来啊， 那这个时候计算的时候呢，我们就可以直接，呃，这个也不要了，这个也不要了。好，那我们就直接代入来，呃，消元来解这个方程啊，也就是说那怎么代入呢？我们这样，我们把这个根号五十八啊，先拿个字母代替它，在计算过程中我们根号五十八，先不要化简。 呃，我们把这个式子写成 x 等于就是 m， 那 就 m 分 之四加万， 然后呢，把这个 x 啊带入到这个里面来，那就得到了。什么？得到了这个，嗯，就是 m 平方分之十六加 m 分 之八 y 再加外方，然后再加外方等于二十啊，然后呢，我们这也还擦掉啊， 这个留在这啊，这个我们把它放到边上去，等会有用啊？放到边上去，放到这里来啊。好，那我们再整理一下，然后化简一下。化简完了，它的方程呢，就是 y 方 加这个 m 分 之四 y， 再加上 m 方分之八 减十等于零。那现在就已经变成一个呃，一元二次方程了吧？那这个方程怎么解呢？我们先来算算它的 delta 啊，它的 delta 应该等于 就是这个根。呃，我们算根号 delta， 直接算根号点子，那就等于根号。这个 b 平八就是 m 方分之十六减去 m 方分之三十二，再减加四十，再加四十。那化简以后它应该等于根号四十减去 m 方分之十六， 然后呢，我们把 m 方分之四啊提取出来，它就变成了 m 分 之二，然后里面呢，变成了这个十 m 方减四 啊，放在这里了啊，然后这个时候我们可以把 m 方带进去了啊，因为 m 我 们设的 m 等于根号五十八嘛，那这个 m 方就是五十八，那一，这个就是五百八十减，那它就等于 m 方， 然后根号五百八十减四，等于啊，写不下了啊，换个地方啊。呃，就写在这里吧，它就等于这个 m 方分 m 分 之二，然后底下的根号五百七十六，那这时候你要熟悉熟悉。哎，这个五百七十六也看不见啊，这边我挡住，写在上面吧， 这里啊，也就是说这个根号 derta 是 等于 m 分 之二，根号五百七十六， 那这时候呢，你要对数字稍微熟悉熟悉啊，这个二百五百七十六啊，其实这个完全平方数啊，是可以开方的，它是二十四的平方，所以根号 derta 呢，它就等于 m 分 之四十八， 那根号 d， 它算出来，我们现在就可以用求根公式了嘛，所以 y 就 等于什么呢？这个 y 就 等于，那我们背一下求根公式，对不对？方程在哪呢？方程在这个地方， 方程在这个地方，对吧？叫二 a 分 之负 b， 对 不对？我们背一下啊，二 a， 那 就是二分之，那注意，二分之，我们还是把它写下来吧， 二分之负 b， 也就是负的 m 分 之四，这地方加减根号 d、 r、 t， 但是呢，减号我们很显然是要省去省略的啊，因为如果减号的 m 就 变成负的啊，所以就是加上根号 d、 r、 t， 也就是说这个 m 分 之 四十八，那所以呢，它就等于什么呢？还是被打落还写在这上面，所以它这个 y 就 等于，呃， m 分 之呃，四十四十八减四十四就是二十二，哎，就是 y 等于 m 分 之二十二了，那这个时候我们再把 m 带进去嘛，因为 m 是 什么呀？ m 是 根号五十八，然后这个时候分母有理化，就变成了二十九分之十一倍的根号五十八， 对吧？那然后在这里啊，因为这个 x 减 y 等于这个嘛，然后我这时候把它化解一下，它就是二十九分之二倍的根号五十八， 那所以我们 y 求出来了，那所以 x 就是 什么呢？我就把 x 写在这吧，哎，写在这就没有，然后呢？写在这地方擦掉掉了啊。好， x 就 等于这个， 嗯，二十九分之十三倍的根号五十八啊，这就是这道题就做完了，对吧？这个 y 求出来， x 也求出来了， 对，他们差距很小，对吧？差了二十九分之二，你说这个 x 和 y 啊，差了二十九分之二，那这道题你要说，呃，它超出了我们的这个学习范畴嘛，也没有，对吧？它没有用到超纲的知识，只不过我刚讲过了啊，这道题。 那我们回头来想一想，出题老师为什么不去考 a、 d 的 长？为什么不去考 c、 d 的 长，对吧？不去考这个正方形的长和宽，是因为 啊，绝大多数同学，对吧？他没有这种计算的勇气，我们不说他没有计算能力啊，他没有这种计算的勇气，或者说他缺少这种探索的精神，好吧，所以这道题呢，我觉得还是非常有意义的啊。呃，能够给大家一些思考，当我们再去面对一些题目的时候， 我们一定要有这种延伸思考能力，或者说做完以后一定要有回头审视这道题的能力。好吧，希望这道题能够引起大家一些思考。

几何图形挖土机画。

副校长张晓宇先生 好，并不是因为他的色彩设计好，也并不在属于他的反面设计中。 我也预祝各位同学的人生越来越好，谢谢大家！

同学们，好啊，这里是三只猫数学课堂，我们接着上节课的内容，接着来看哈。第二十章勾股定律的第三节课二十点一勾股定律的应用。同学们把课本翻到第二十八面， 把课本翻到第二十八面，我们接着上节课的内容，接着来看哈。这个二十八面。上来第一个就是思考，对吧？这个思考讲的什么东西呢？讲的就是在八上， 在八上的时候，我们得出一个结论，就是这个 h l 证明三角形全等，证明三角形全等的五种方法之一， h l 来证明三角形全等。当时那个课本上给予的证明，嗯，不是那么的严密，不是那么的好， 对吧？然后现在我们学了勾股定力之后，我们用勾股定力就可以更好的去证明这个 h l 了，就是斜边、直角边分别相等的两个直角三角形全等，对吧？哈，我们来看一下怎么去证明啊？就是说 让你求证的是这两个直角三角形全等，条件就是说九十、九十，然后是斜边，和什么呀？和这个和这个直角边，是这个意思啊，根据这个勾股定律，在这个三角形和这个三角形中，对吧？哈， bc 等于多少呢？等于 ab 方减 ac 方 b 撇 c 撇等于多少呢？ a 撇 b 撇方减 a 撇 c 撇方，是这意思，这两个是相等的，这两个是相等的，那不用说， bc 就 等于 b 撇 c 撇， 是这个意思啊，那这两个三角形就全等了，是边边边全等，对吧？这样证明的话，是不是就啊舒适很多了，对吧？哈，再看下面这个探秋，哈，下面这个探秋也很重要， 我就跟你这么说吧，下面这个探秋是考试必考的必考的类型啊，百分之百会考，你买的任何一本练习册里面都会有这个类型的题目，对吧？他讲一个什么东西啊？就是说 我们知道任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，那，那你用，那你能用此规作图， 画出来这个，比如说这个什么根号一、根号二、根号三、根号四、根号五、根号六、根号七，根号八等等等等，对不对？比如说能画出根号十三这个点吗？ 他强调是用这个此规作图，能不能画出根号十三，对不对？包括这根号根号三，根号五这种，对不对？哈？那怎么去画这个根号十三呢？用这个什么呀？用这个结合这个勾股定律，对不对？也就是说长为根号十三的线段是两条直角边的长都是 正能说的直角三角形的斜边是这个意思啊，也就是说根号十三是等于多少的呀？ 等于四加九，就是等于多少呀？等于二的方加上多少呀？三的方，也就是说有一个直角三角形，对吧？两个直角边是二和三，对吧？两个直角边是二和三，那么斜边就是多少呀？斜边就是根号十三，是这个意思，那怎么操作呢？ 那这个长度是三，这个长度是二，那你这样一连 ob 不 就是根号十三了吗？是这个意思吧？连一下这个 ob 是这个意思啊，就是 o b 就 等于多少呀？就等于这个 ab 的 平方加上 a o 的 平方，是的吧，就等于二的方加上三的方就等于多少呀？根号十三 没有问题吧？哈，然后干嘛呀？然后再以这个 o 点为圆心， o b 为半径，哎，这边画一个什么圆弧，对吧？画一个弧线就可以了哈？ 画用圆规画一下，对吧？这个焦点就是我们这个 c 点，那我在竖轴上我就画出了什么，我就画出了根号十三，这一点，对吧？就画出了根号十三，这一点，是这个意思哈？ 那这个，这个可以用尺规做出来做的。你比如说画一个竖轴，然后这个过这个三，这一点做这个竖轴的垂线，我可以用尺规做出来做吧？ 过直线上一点，做这个直线的这个垂线，没有问题吧？哈？然后再以 a 为圆心，这个长度为半径，再划拉一下，对不对？这个长度不就是二了吗？对不对？哈？然后再以 o 点为圆心， o b 长度为半径，再划拉一下，对不对？哈？这个 不就等于这个吗？是，是这意思啊，就是我们的 o b 是 等于这个 oc 都是等于这个根号十三的，没有问题吧？也就是说啊，你给我一个任何一个根号二，根号三啊，还是根号五，我都能在数轴上去画出来，就是理论上我都是能画出来 的，是这个意思啊。你比如说下面这个什么类似的利用勾股定律可以画什么根号二呀、根号三呀、根号五呀，都是没有问题的，对吧？ 他这里给出了这个原理，对吧？很好理解啊，你一，一根号二，对不对？这是根号二了。这里搞了一个垂直，是一，对不对？哈？根号二一，那这就根号三，对吧？根号三一，这就根号四， 对不对？根号四一，这就根号五，对吧？根号五一，对不对？这，这做的是直角哈，他这做的是直角， 这都有这个直角啊？都是，要不然他怎么用这个勾股定律呢？是这个意思，能，能看明白吗？他的做的都是直角，对不对？你比如说这个根号五的方加上一的方不就等于，嗯， 不就等于这个六吗？再开根号不就根号六了吗，对吧？根号六的方加一的方啊，不就等于这个七了吗？这个斜边不是根号七吗？然后以此类推，这样转圈 就可以了，对吧？那想做多想做多少就做多少，是这个意思啊？啊？这个在竖轴上就这样画，你比如说啊，这个根号一就是一的，不用说，对吧？那根号二是怎么来画的呢？这个是一，这个是一，这个长度不就根号二吗？对不对？以这点为圆形，这么长为半径，划了一下，那根号二不就跑到这里来了吗？ 对不对？哈？然后再做一个长度是一，对吧？这个长度是根号二，那这不就根号三不就下来了吗？ 这个长度是根号三，这个长度是一，那这个长度不就是根号三的平方？一的平方不就根号四，呃，不就是那个四了吗？对不对？那这个不就是根号四了吗？划拉一下子不就是这根号四，不就是二吗？ 对不对？同理，干嘛呀？根号四和这个一对不对？根号四就二吗？二的平方不就是这个四吗？对，加上一不就是五吗？所以这个长的是根号五，一划拉一下，根号五不就下来了吗？对，也就是说想画什么就画什么，是这个意思，能听懂我意思吧？对，这个是考试必考的哈，你不要看着这个东西 那啥的，对吧？考试是必考的，百分之百会考，你等着做，对吧？哈，我们看下面这个练习哈，在竖轴上画出根号十七的点哈。根号十七很明显是等于多少的？ 等于这个十六加一，也就是说等于四的平方加上一的平方，对吧？我们画一个竖轴，对吧？ 换一个数字，这是一两三四四点，好，那这个长度是四，这个长度是一，对吧？再搞一个什么一就可以了，对吧？ 很简单哈，这个长度是一，可以吧？就是说这个长度是四，这个长度是一，那这连不就是那个啥了吗？对不对？不就是这个根号是七了吗？对吗？ 是的吧，十六加一，根号十七， no problem， 是， 这是这意思，然后这个以以以这个 o 点为圆心，对吧？这么长为半径，再划拉一下，不就划拉下来了吗？是的吧，一划拉，对，我画的可能不太像啊，我用手随意画的哈， 是你用圆规句画一下，对吧？这个点不就是根号十七了吗？对吧？这个可能会考此规做图啊，对吧？他会有这样的这个做图题，让你去画，是这个意思啊。 然后我们再来看下面这个第二题啊。第二题，等边，三角形的边长是六，边长是六、六三三，那 a、 d 就 有多少呀？三百根三，可以用一下这个勾股定律，在这个 a、 b、 d 中用一下勾股定律，对吧？你可以说一下，在这个 r、 t 三角形 a、 b、 d 中， a、 b、 d 中，那这个 a、 d 它就等于多少呢？等于根号下 a、 b 的 方再减去多少呀？减去 b、 d 的 方，是这个意思啊，就等于这个六的方 减去三的方，对吧？就等于这个三倍跟三，是这个意思哈。第二小问，让我们算这个三角形 a、 b、 c 的 这个面积二分之一底层高，对吧？底是 bc 就是 六，高就是 a， d 就是 三倍跟三， 对吧？就是我们的九倍根三哈，在这里我要补充一个哈，在这里我要补充一个，就是边长为 a 的 等边三角形的面积是四分之三倍的根号三的 a 平方，这个是让我们记住的，这个是要记下来的哈，是让你记得哈， 是必须要记住的。这个就是边长为 a 的 边长为 a 的 等边三角形， 边长为 a 的 等边三角形。这个是 a 方减去二分之 a 的 平方，对吧？ a 方减去四分之 a 的 这个，呃，平方就等于这个四分之根四分之三， a 方再开根号，那就是多少呀？开根号就是二分之根三 a 是 这个意思啊，就是 a 二分之 a， 二分之根号三 a， 对 吧？那这个三角形的面积就有了，对吧？就是 s 三角形的面积 就等于二分之一，底是 a， 高是多少呀？高是二分之根号三 a， 对 吧？底是 a， 高是二分之根号三 a， 答案就是多少呀？答案就是四分之根号三 a 平方，这个是让你记住的哈， 都要记下来，对不对？就是说边长为 a 的 等边三角形的面积是四分之根号三 a 平方，这个是让你记住的，对，是需要记的一个小结论，很好记吧，对不对？记，记这个的话，考试做题会非常快啊，对吧？ 就补充了这样一个结论哈，然后再看下面的第三题啊，第三题在在这个 a、 b、 d 中，在这个 a、 c、 d 中用一下勾股定律就可以了，非常简单啊。在这个 r、 t 三角形 a、 b、 d 中， a、 b、 d 中有这个，呃，有这个，这个方加这个方等于 s 一， 对不对？ s 一 不就是 ab 的 方吗？是的吧，就是我们 a、 d 的 方加上这个 b、 d 的 方， 就等于这个 ab 的 方，是的吧？也就是说这个 a、 d 的 方就是 a、 d 的 方，对吧？ b、 d 的 方， b、 d 的 方就是这个 s 三，对不对啊？ ab 的 方就说 s 一， 是这个意思啊，好理解吧，对不对啊？这个 b、 d 的 平方不就这个正方形的面积吗？这好理解，对不对啊？这个是我们的一四，可以吧？在 r、 t 三角形 acd 中， 就等于这个 a、 d 的 方加上 c、 d 的 方，就等于 a、 c 的 方，是这个意思哈。 a、 d 的 方加上我们的这个 c、 d 的 方， c、 d 的 方就 s 四 ac 的 方就是 s 二，这个是我们的第二个四字，对不对哈？由这个一减二，二减一都无所谓，你 c 减 c 都行的，你就先把这个 a、 d 减掉就是了。你要得到的就一二三一二三之间的关系，你减一下就可以了。比如说由一减二得 就是 s 三减去 s 四，对吧？ s 三减去 s 四，就等于这个 s 一 减去 s 二，当然了，你也可以由这个二减一，对吧？四减三等于这个二减一，也是没有问题的啊，你随便写，对吧？这个就是我们最终的这个结论了，对吧？哈， 那这个视频我就先讲到这里，好吧，下个视频我们来看，题型，二十点一。好，那我们下个视频再见。好吧。

同学们，好啊，这里是三只猫数学课堂，我们接着来看第二十张。第二十张的第一课，二十点一，勾股定律。好，同学们把课本翻到第二十二面，翻到第二十二面，我们来看第二十张的勾股定律，哈， 这个勾股定律我相信同学们肯定都是不陌生的哈。在我国古代，人们就把这个直角三角形较短的这个直角边叫做勾， 短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦，对吧？哈，在什么？我国这个 数学典籍周必算经中就有所记载，周必算经中就有所记载。公元前十一世纪，嗯，很早，对吧？公元前十一世纪人们就知道了。勾三股四弦五，对吧？勾三股四弦五， 就算你没学过勾股定律，那你也听过这句话，对吧？勾三股四弦五啊。后来人们又进一步的发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系，也就是后面讲的这个两只角边长的平方和等于斜边长的平方，这个就是什么呀？ 这个就是勾股定律啊，发现据，有据，据，有关这个典籍记载肯定是中国人我们这边先发现的哈，但仅仅只是发现发现了这样一个关系，勾三股四弦五，然后就没了弦五就弦五就是了，然后呢？就没有然后了， 对吧？因为大家都在研究孔子提出的那一套，学而优则仕，对吧？就是读书做官挣大钱，对吧？你这显武显武就是了，有跟我有啥关系？显武就显武就是了，还能怎么样呢，对不对？可能不太在乎这个东西啊，对吧？ 我们称这个为奇迹引巧不登大雅之堂的东西，对吧？啊？对这个自然科学可能不是那么感兴趣，对吧？哈？但是 古希腊那边的人就是欧洲那边的人，他们对这个自然科学还是挺感兴趣的。据说是毕达格拉斯发现这个好像是公元前五世纪。对啊，你看我们发现的公元前十一世纪，他是公元前五世纪，对吧？就毕达格拉斯发现了这个 啊。定力之后他就给予了证明，对吧？他不仅说哎呦，勾三股四弦五，为什么呢？这普通的直角三角形也满足这样一个关系吗？对不对？他就给予这个，呃，据有记载来说干嘛？应该是他进行了这个比较系统的证明，对吧？ 证明完了激动坏了，给他。我去，这是发现了不得了的东西给他，然后据说是宰了一百头牛。呃，命名为必。达格拉斯定力给他， 这个可能是古希腊那边这个欧洲人更加重视这个自然科学，对吧？啊？发现这个居然宰了一百头牛给他，那个时候宰了一百头牛，对吧？啊，不知道是不是真的哈，你们可以听过这个故事吧？肯定有同学听过这个故事哈，对吧？ 可能我们不太重视这个自然科学，对吧？没有那个欧洲那边人重视这个东西哈。啊，我们再接着看哈，就是我们本章将探索并证明勾股定律及其逆定律。啊，勾股定律怎么讲的呢？就在一个直角三角形 a b c 中， 直角 a b c 中，这个是 c 边， a b c 边，对吧？哈，也就是说把 t 三角形 abc 中 就有什么呀？角 c 等于九十度，角 c 对 的是小 c 边，对吧？角 a 对 的是小 a 边，角 b 对 的是小 b 边，是这个意思哈。然后就会有什么东西啊， 就会有这个 a 方加上 b 方等于 c 方，就是刚刚说的这个直角边长的平方和等于斜边长的平方。那反过来说呢？反过来成不成立呢？反过来也是成立的，对吧？哈？这样叫什么呀？叫勾股定律 这样叫勾股定律，反过来说就什么呀？就是其逆定律了，对吧？就是由 a 方加 b 方等于 c 方，也能推出来干嘛？这是一个直角三角形，而且这个是斜边， 对吧？而且这个是斜边，是这个意思，反过来说也是成立的，我们把它叫做逆定律，对吧？啊？ 我们再接着往下看啊，课本翻到第二十三面，我们看二十点一勾股定力及其应用。 这里讲到什么？在周瑜算经的开篇，商高啊，构造了一个商高，是一个人哈，公元前十一世纪。所以说勾股定力叫什么？又叫做商高定力。 商高定力讲的也是勾股定力啊，可能勾股定力是名称最多的一个定力哈，对吧？也有也叫勾股定力，也叫商高定力，对吧？欧洲那边叫必达格拉斯定力，他宰了一百头牛，所以叫摆牛定力，对吧？名称特别多，你可以上网上搜一下啊。 然后他这他这边讲了一个什么东西呢？讲的就是勾股定力的面积不就这个平方吗？对， 这个正方形的面积不就这个的平方吗？这个正方形的面积不就这个的平方吗？对，发现了干嘛呀？这个这边的面积加这个面积等于这个面积，那不就是这个平方加这个平方等于这个平方了吗？是这个意思哈。 然后下面这个探究就是在这个网格之中啊，画了这样一个三角形，三角形，然后去让你探究这个 abc 这三个正方形之间的面积关系。 为什么要在网格纸中画呢？在网格纸中画的话，我们更容易去呃，算这个面积，对吧？你可以数这个格子，比如说这个面积是一面积，是一面积，是一通过去拼凑的方式去算出这个三角形的这个面积，对吧？就在网格纸中更好去算这个面积，就这样一个意思，在网格纸中画， 对吧？好。然后这边的话，可能有同学看不太懂这句话什么意思啊？我们来讲一下啊。一个直角三角形，斜边长的斜边，斜边为边的，这个为边的这个正方形的面积。你比如说这个是小 c， 可以 吧？ 这个是 a， 这个是 b， 这个是 c， 可以 吧？哈，这个就是 c 方，是这个意思，等于某个正方形的面积。这个正方形的面积等于多少呢？等于 a 加 b 的 平方 减去四个直角三角形的面积。四个直角三角形啊，就这个直角三角形，就这个直角三角形二分之一， a 乘 b， 就这样一个意思，就是二 ab， 也就是说他讲什么意思呀？他讲的是这个 c 方， 对吧？就这个正方形的面积等于什么呀？等于这个减去这个，就这样一个意思，对吧？就等于 a， a 加 b 的 平方减去多少呀？减去二 ab， 是 这个意思啊，就是这个啊，这有一个二 ab， 这个减去二 ab 没了，就是多少呀？ a 方加上这个 b 方，也就是什么呀？也就是 c 方， a 方加 b 方，他表达就这样一个意思，对吧？可能有同学看不太明白，对吧，讲的就是什么呀？ a 方加 b 方等于 c 方啊，你去数格子也可以是这个意思哈。 然后我们再往后面看这个第二十四面啊，第二十四面，第二十四面的话就是用加粗字给了这个蓝色的字强调了这个勾股定律，对吧？又强调了一下，同学们都不陌生哈，然后下面就是去证明这个勾股定律啊， 这里给了一个非常巧妙的证明啊，是用赵爽玄图来证明的， 就是这个赵爽也是我国的一个数学家啊，我国古代的一个数学家，赵爽约三世纪给出了一个正法， 这个正法是比较简单的。为什么说比较简？他是通过类似于那种拼图的方式来证明这个勾股定律啊，用这个面积相等的一个拼图的方式，对吧？啊？ 这个是文言文对吧？我就不读了啊，同学们自己读一下，看你能不能读明白。好吧，我就大致讲一下赵爽是怎么挣的，好吧哈，这个赵爽闲途非常重要哈，你在以后的考试 或你买的这个练习册里面啊，都能见到这个赵爽闲途哈，这个非常有名的一个考试，也是非常考的一个赵爽闲途啊，就就这个东西，就这个东西，也就是说通过就是拼图，对不对？你看看有几个三角形，一个 两个，三个，四个直角三角形，而且一模一样的对不对？加上中间一个小的黄色的正方形，对不对？就就在这里，对不对？ 你看这个不就是这个吗？是这个意思，也就是说你干嘛，你干嘛呀？你看这个不是有四个三角形吗？一两三四，对不对？哈？你看这里有一个、两个、三个、四个、 四个直角三角形一模一样的，就是拼图吗？对吧？就说，呃，一个两个、三个、四个五个图形，然后给他拆开，对吧？然后组一个两个、三个、四个、五个， 对，这样去拼，这样拼过了，这个边长是 b， 对 吧？这个边长是 a， 这个边长是 b， 对 不对啊？ b 减去 a， 所以 这个就是我们的这个，这一段是 a， 这一段就是 b 减 a， 是的吧？这个是 b 减 a 加上 a， 所以 这个也是 b， 那 就拼成了什么呀？一个正方形和一个正方形，对吧？这个面积和就是 a 方加上 b 方， 对吧？ a 方加上 b 方，所以 a 方加上 b 方，就是这个大的正方形的面积就等于多少呀？ c 方正方形的面积不是这个边长的平方吗？就是 c 方就等于多少呀？这个 a 方加上 b 方， 对不对？哈？有些人说，老师这怎么拼的，你看看中间给你讲怎么拼的了，你把这个怎么，这个这个长方，这个这个三角形给他扣下来，给他放到这里来， 对吧？把这个三角形给他扣下来，给他放到这里来，对不对？不就变成了这样一个东西吗？我就变成了这样一个吗？能看到吧，对不对啊？哎，你要实在理解不了，咱就说手头手手边有没有这个 啊？纸，对不对？剪刀，你把这个图给画下来，你用剪刀给他剪下来，你自己去拼一下就明白了，对不对？这个也能想好，想到你没玩过拼图吗？真的是，对吧？好理解，对吧？哈？这个中间这个我就不去读了哈， 他表达的就是这样一个意思，能看懂就行啊，就是一个拼图，对吧？就证明了这个 a 方加 b 方等于这个 c 方。用的什么呀？用的是面积相等，对吧？用的是面积相等，对吧？ 因为这个这个图形的面积肯定是不变的呀，他这形状不改变，只是以不同的方式去摆放，面积肯定是不变的呀，是这个意思啊，就是 用什么来着？用这个作为图形的分割拼接，利用面积关系证明了这个勾股定律给他这个又叫什么？又叫做出入相扑法，对吧？出入相扑法讲的也是这个造访，先图是是这意思哈， 然后再看下面这个证明啊，看下面这个探究，对吧？下面这个探究，这个造爽前途，你能通过计算前途的面积推导出勾股定律吗？也是可以的啊，我们在上面看一下，好吧， 看一下。这个是 a， 这个是 b， 对 不对？那这个三角形，三角形 s， 三角形 abc 就 等于多少呢？二分之一 a 乘 b， 是 的吧？哈，那有几个这样三角形呢？有四个呀， 不是有四个三角形吗？是这个意思哈，四个三角形就是我们的二分之一 a 乘 b， 还要乘以几啊？还要乘一个四， 对吧？再加上再加上中间这个黄色的这个正方形的面积，对吧？啊，这个是 a， 对 不对？这个是 a， 没有问题吧？这里是 a， 哈， 对吧？这个总长是 b， 这个是 a， 那 这一段就是多少？就是 b 减 a， 好 理解吧？ b 减 a 没有问题啊，那这个正方形的面积就是 b 减 a 的 平方，是的吧，就是这个 b 减 a 的 平方就等于多少呀？就等于这个 c 的 方，对吧？你不说了吗？这一个三角形对的，有几个？有四个呀， 对吧？四个三角形对吧？不就一个两个三个四个吗？再加上中间这个正方形，不就整个的面积吗？整个的面积不就边长的平方， c 的 平方吗？ 是的吧，你再给他化简一下就可以了哈。这个是 r a， b 加上 b 方， a 方减去完全平方，公式展开是这个意思，那这个就约掉，约掉，那剩的不就是 a 方加 b 方等于 c 方吗？ 是吧，剩的不就这个东西吗？对不对哈，这样去证明也是可以的，通过这种拼图的方式来证明也是没有问题的，对不对？这个是通过这个计算弦图的面积推到勾股定律肯定是没有问题的哈，证明这个勾股定律的方式是多种多样的，方法巨多 得。证明勾股定律的方法是巨多的啊，后面我们嗯有很多题目，包括这个课本上有很多练习题去证明这个勾股定律，等下我们后面会讲到。好吧， 来看我们下面这个例一哈，例一的话就是六八十对吧？就是六的方加上八的方等于 ab 的 方，对吧？就等于这个十就可以了。还有这边呢，十七十五多少呀？八对吧？十七十五八对吧？就是 这个十七的方减十五的方，再开根号是这个意思哈，这个用什么？这个用平方差公式来做是比较好做的哈。十五啊，十七减去十五，十七加上十五，对吧？一加三十二，一减二，二乘三十二，六十四，一开出来就是八， 是这个意思啊，第一的平方等于六十四，第一不就等于八了吗？对不对哈，像这些是让同学们记住的哈，这些关系是让我们记住的哈，这叫什么呀？这叫勾股数， 这叫勾股数。什么叫勾股数呀？就是可以构成一个可以构成一个直角 三角形三边可以构成一个直角三角形三边的一组。什么呀？ 正整数叫做勾股数啊，我们需要记一些常见的勾股数啊， 比如说三四五呀，六八十呀，还有这个什么八十五、十七啊，对啊，你遇到的这些比较简单的勾股数一定要记住，也没有必要去刻意的去记啊，只要你平时认真学习，认真听课，认真做题，自然而然就记住了， 真这样，你做的，你通过做题，自然咱就记住这些钩股数了，对不对？为什么非要记这些钩股数呢？当然是为了计算的时候更加的快呀，更加的便捷呀，但你知道钩股数就可以直接写了呀，难道不是吗？对吧？ 你比如说下面这个练习的第一题，对吧？你要记得勾股数的话，就是六十，那 b 一定是多少呀？八，对吧？前前提是这个是斜边啊，这斜边啊，对不对？这个斜边长是 c， 对 吧？所以说 b 就 等于零，根号下 c 的 方减去 a 的 方，就等于根号下 十的方减去六的方，就等于八六八，是勾股数吗？ c 就 等于多少呀？这个是 a 的 方加上 b 的 方就等于多少呀？五的方加上十二的方，这个也是勾股数，是十三，对吧？哈，这个 a 也就等于这个 c 的 方减去多少呀？ 这个 b 的 方，对吧？就等于这个二十五的方减去十五的方。用这个平方差公式来算一下啊，这个是二十对，这些都是勾股数啊，比如说六、八十，对不对哈？五十二、十三，还有我们的十五、二十五、二十都是勾股数，这需要你去记忆的哈。 然后再看下面这个第二题啊，第二题第二题也非常简单啊，这个他给的是 a、 b、 c、 d 的 边长都给了给他 a 的 边长是十二， b 的 边长是十六， c 的 边长是九， d 的 边长是十二。让我算这个 e 的 这个面积，对吧？这个有了，这个有了，这个就有了，这个有了，这个有了，这个就有了，对吧？这个有了，这个有了，这个就有了， 是这个意思啊，你比如说这个长度是多少呢？就等于这个十二的方加上十六的方，是这个意思啊？ 就这个十二的方加上十六的方，再开根号，对不对？再开不用开根号，不用开根号。这个表示什么呀？表示的就这个的平方，对不对？来标一下 abcd， 这是 m n， 好 吧，这个是 m n 两个点，这我标的是这两个点啊，对不对啊？所以就等于 m n 的 平方，是吧？就等于这个 m n 的 平方，对不对？不要标 m n 的 平方了吧，要不然直接标这个正方形，标这个正方形，好吧，这个 abcdef g， 对 不对？就是 sf。 这个三角形的面积就等于十二的方加上十六的方，是这个意思啊。十二的方加上十六的方，你也可以说把这个边长算出来也是可以的，你也可以不算是这个意思啊。 然后再标这个 s g 的 方。 s g， s g 就 等于多少呢？就等于这个的方加这个的方，就等于这个的方，就是这个三角这个正方形的这个面积，对吧？就是九的方加上十二的方，对吧？哈， 然后再看这个 s e， s e 就是 这个边的方加上这个边的方，这个边的方不就这个正方形的面积吗？是的吧，也就是说 s e 就等于 s f 加上 s g。 啊，加一块，加一块，答案就是多少？六百二十五，同学们自己去加一下也可以啊，当然了，你也可以把这个边长算出来，对吧？把这个边长算出来啊，知道边长了再来算，这个也是可以的啊，怎么算都行啊。 然后再看这个第三题啊，第三题很简单吧， ab 之间的这个距离就等于多少呀？这个方加上这个方等于 ab 的 方，开根号就可以了，是这个意思， ab 就 等于根号下， 嗯，四的方加上五的方就等于多少呀？啊？十六，二十五，四十一，根号下四十一，所以答案就是多少呀，答案就是根号四十一 就可以了。好吧，那这个视频我就先讲到这里，好吧，下个视频我们接着来看这个勾股定律的这个应用，好吧，同学们，我们下个视频再见，好吧。

大家好，我们今天要做的是几何装米盒，它的原理是勾股定律，三角形的这条斜边的平方等于两条直角边的平方和。 这是制作几何装米盒的材料。首先我们裁一个直径为三十厘米的圆， 接着分别裁出三个大小不一的正方形和一个三角形。第一个是一个边长为六厘米的小正方形，第二个是一个边长为八厘米的正方形。第三个是一个边长为十厘米的正方形。 最后是一个直角三角形，它的斜边为十厘米，直角边分别为八厘米和六厘米。然后我们再制作四个长度不同的长方形， 第一个是宽为三厘米，长为十八厘米的长方形。第二个是宽为三厘米，长为二十四厘米的长方形。第三个是宽为三厘米，长为三十厘米的长方形。最后一个是宽为二点八厘米，长为二十厘米的长方形。 像这样贴在图板上， 再把相同编成的纸板、眼罩边用胶粘起来，全部围起来，板与板筋的缝隙也要粘起来。 将三角形的两边留下空余的位置，以便米的流通。用大米填满半个长方形， 将大正方形用大米装满，再用胶带将边缘分起来，用彩色的纸条沿边装饰一下， 剪掉多余部分。 这就是生活中的数学知识，既锻炼了动手能力，又加深了对勾股定律的理解。我是很热初一七班的学生苏雨桐。