圆柱和圆锥的基本元素创作一幅画

五年级下长方体和正方体，以及六年级下的圆柱和圆锥。在学习这两个单元的时候，有很多相似的地方，例如学习长方体和正方体的时候，除了基本的公式，例如冷场总和表面积体积基本公式，还有逆应用公式的综合应用外，必须要拓展， 例如长方体和正方体拓展这样的图形的展开，像这样的题目经常会成为考试题。 还有这样的题，另外关于长方体和正方体的表面积的拓展专项，这些必须要拓展。如果寒假没有时间，下个学期一定要抽时间， 因为表面积跟体积相比，其实表面积的计算更难，那体积方面呢？更重要的是拓展这样的排水法。排水法的题型很多， 课堂上大概接触最多的只是其中的一种，例如物体放入水中完全浸没，水位溢出，那么还有其他的题型，像这种物体只是一部分浸没 水没有溢出的题型，还有那种物体放进去水溢出的题型。其实开学之后接触更多的还是基础，对于重难点还有易错点相关题型，其实接触的太少了，练的也太少了，而这部分题型呢，就是考试的拉分题。 六年级也一样，圆柱和圆锥的他很多题型其实跟长毛体、正毛体有点像，表面积的相关计算是难点。 另外也有排水法， 有一些基本的数量关系，其实都是一样的，也就是五年级下长底正方体基础打得好，那么对于六年级下学习圆柱圆锥，它也是有帮助的，有很多相通的地方， 在学习相关单元的时候，更多的注意力要放在重难点、易错点上面，一定要额外加强，留够足够的思考、消化时间，有针对性的去练习、同步练习、专项练习、综合测评，它们的效果是不一样的， 像这样的同步的练习用来巩固基础，而专项练习就是用来加强重难点和易错题型的综合的测评练习，用来检测学习情况，以便于有针对性的去复习巩固，查漏补缺。

圆柱和圆锥垂直相贯，切换到左视图看投影形状。左视图圆柱与圆锥相切，切换到主视图看投影形状。相贯线积聚成两相交直线。第一步，找四个特殊点，在左视图标出四个特殊点。 主视图圆柱与圆锥的交点就是一点和三点。长队正在俯视图，找到一点和三点， 取两点和四点所在截屏面处的结交线半径，画圆弧， 延长圆柱轮廓线与圆弧交点就是两点和四点。 第二步，找四个一般点，找到圆柱与圆锥的切点，过切点做辅助线，并在主视图找到一点，标上五点和六点。 主视图相贯线积聚成两相交直线，连接得到两相交直线。取五点六点处的圆锥半径，再俯视图画圆弧， 圆弧与中心线交点就是五点和六点，做四十五度辅助线。辅助线与圆弧的交点处标上七点和八点。 取七点和八点处圆锥的半径，再俯视图画圆弧，取七点和八点的宽度尺寸平移，过点做辅助线，辅助线与圆弧交点就是七点和八点。 第三步，用光滑曲线连接各点，两点和四点右侧看得见，画成粗实线。两点和四点左侧看不见，画成虚线。 为了便于大家理解本题不擦辅助线，感谢观看！

这个集综合性比较强，我们一起来做一下。一个圆锥的底面周长是六十二点八米，高是九米九，体积是多少？我们来回顾一下圆锥的体积公式是什么呢？对，等于三分之一 s， 大家看这个高是九米，我们不用算，又已知啊，底面半径就可以求出这个底面积 来看。底面周长公式是什么呀？周长公式是二 pi r， 所以 我们可以知道 r 等于底面周长六十二点八，除以二 pi， 所以 r 等于十米。然后我们就可以求出底面积，底面积怎么算呀？公式是 pi r 平方，所以是三点一四乘以十的平方，等于三百一十四 平方米。最后我们用圆锥的体积公式为，等于三分之一 s h 就 等于三分之一，乘以三百一十四， 再乘以高是九，等于九百四十二立方，所以体积是九百四十二立方米。这个圆锥的体积计算方法你学会了吗？如果你学会了，听懂了，可以点一个免费的小心心，顺便转发给身边邻居的朋友。

不怕同桌是学霸，就怕学霸过寒假。寒假的下学期各单元串讲，哎，一个单元一个口诀，先开窍，再预习一二。单元讲完了，这次讲六下的重头戏，圆柱和比例啊，其中圆柱 就俩东西，一个表面积，一个体积，这俩公式你都不用背了啊，我教你一招，永远记住了啊，圆柱的表面积，你现在转个拳头， 你看，这不就是个圆柱吗？你看，上面一个圆，下面一个圆，中间一个柱就是侧面这一圈他们仨加起来就是表面的呗，背什么公式啊，圆柱一直在你手里呢，你要用起来啊， 而且圆柱的展开体你顺便也会了，你看，手一打开，哎，圆柱变手掌了是吗？所以说圆柱的侧面积就是个长方形啊，合上是圆柱，打开是长方形，你看这一下子是不是开窍了，拳头法厉害吧，哎，赶快跟我学吧啊，好体积，咋开窍？ 体积更简单，你看啊，这是一张饼，就是个圆，这一堆饼你看落一起了，不就露出一个圆柱了。所以圆柱的体积归根结底就是底下这张饼乘以这一摞底，面积乘高，明白了吧，体积公式也学会了，书上这些练习题啊，会出的啊，截图 好，整个小学最重要的单元来了，比例，为啥？因为他初中就叫函数了啊，一共五个知识点，其中重中之重啊，预习要放在这两个上面，解比例和正反比例。解比例。 为什么内向机等于外向机？哎，学霸都不知道，现在我教你，大车比小车等于大车比小车，你看这比例没错吧？好，小车乘以大车，是不就等于大车乘以小车，这不就是内向机等于外向机吗？一下子就明白了呗，对吧？这个不多讲， 大 boss 来了，正反比例。哎，这个难啊，谁和谁成正比例，谁和谁成反比例，谁和谁成什么比例关系？全是这种题，而且每道题都不一样，千变万化，但是你记住一个人就行。 记住谁啊？正总啥意思？只要这里边谁和谁中间有一个是总量的，比方说啊，总价和谁，总路程和谁，总工作量和谁，有一个表示总的， 他就是这个比例。你看总价和数量有总吧，这个比例，哎，总产量，工请数有总吧，这个比例看费用，总费用吧，订阅数量有总，这个比例反过来没总了，这些全是反比例。 好，为什么？那你想总是啥？张总，李总，王总带总的都厉害呗，都挣钱多呗，你看总量，总价，总路程，总工作量，说明他多呗， 他后面带一个小的，哎，这个小的多了，他就多了，这个小的少了，他就少了，这不就是正比例吗？所以记住正总这俩字。哎，正反比例， 你瞬间就开窍了啊，书上这些练习题会出啊！截图，这是六下各个单元的寒假预习清单题型的总结啊，大图找我要下集讲五下各单元串讲点收藏，别错过！

六下数学最难的圆柱和圆锥，就这六大题型，寒假练完稳进前三，可打印六下数学圆柱和圆锥六大题型加解析技巧专题一切专题二，削专题三，溶注专题四，增高减高专题六，旋转体 应用题专项训练专项练习一、与圆柱表面积有关的实际问题与圆柱体积有关的实际问题与圆锥体积有关的实际问题以上均用电子版。

我要是出题人，这洁面不是手到擒来吗？双椭圆叠加洁面首先感谢这位同学的提问，这是一道非常好的例题，下方是一个圆锥，上方是一个圆柱，它们重叠的部分呢，是掏空的。我们先看简单的洁面 c 选项，直接横切上半部分就行了，同心圆。 其次比较简单的 a 选项，直接竖着切，切到最中间就行了，竖切圆柱上方是矩形，并且过了圆锥的顶点，竖切他是三角形，所以 a 选项是正确的。然后昨天这位同学说选二 b， 大家看我沿着顶点这个水平线为轴去转动的时候，我得到的就是三角形。 这就暴露出来一个问题，大家还是对圆锥圆台不是那么的熟悉，老师之前总结的基础界面里面，斜切圆锥顶点，他得到的是三角形。 这道题，这个洁面把圆柱、圆锥难点全部囊括了，非常值得我们结合起来学习。我把洁面斜切的角度压大一点，我们来看一下现在这个洁面。首先斜切完整的圆柱侧面，我们看这两个椭圆不是同心的斜切圆锥得到的，椭圆会靠下一点 洁面继续往下走，大家仔细观察它的变化。当洁面横穿圆柱下底直径的时候，我们看上半部分椭圆是斜切圆柱得到的，下半部分椭圆加上中间的那个空心的椭圆，组成一个完整的椭圆，这个椭圆是斜切完整的圆锥侧面得到的。 虽然讲的这个洁面和我们的体里面没有任何关系，但是这是非常重要的要点，洁面角度继续压大，我们可以看到刚才讲的更为明显， 此时洁面穿过单独的下方圆台，洁面继续往上提，我们看这两个椭圆并不是同心的，内部的会靠下，因为是斜切圆锥得到的。老师反复强调的东西大家要熟记，上了考场直接做个秒选。

大家好，上节课我们学习了扇形统计图的相关内容，还记得扇形统计图的特点吗？ 它可以清楚地表示出各部分数量和总数量之间的关系。今天我们来学习六年级下册第二单元圆柱和圆锥的内容。 先来看第一，第一，看图，第一幅图，图中展示了 八个物体，那上面哪些物体的形状是圆柱体？观察一下上面的图片，这八个物体上面哪哪些是圆柱？我们看第一个，这个圆柱形的， 看起来它应该是圆柱，第二个，它中间部分是一个圆柱，第三个，一支铅笔，它是一个圆柱，第四个明显不是圆柱，第五个是圆柱。第六个， 看一下，可能有同学会怀疑它不是个圆柱，但实际上你观察一下，它其实是一个非常扁的圆柱体，第七个是一个圆柱，第八个，一个土，一个沙堆，也不是一个圆柱。 那生活中还有哪些物体的形状也是圆柱呢？ 大家可以思考一下，举几个例子，比如说常见的茶叶罐，还有你们吃的那个薯片的罐子，它是不是也是一个圆柱啊？还有喝的可乐的易拉罐， 平时用的固体胶擀面杖，还有路上可以看到的压路机之类的，是不是都是它的圆形状？是圆柱体的 圆柱体，它可以简称是圆柱，然后下面它还有个柱，它说本书中所有的圆柱都是直圆柱，就是这样子，竖直的圆柱。最后我们都会把这个圆柱体简称为圆柱。那么观察一下 你身边有没有圆柱形的物体，可以拿来帮助认识一关，帮助你认识圆柱，我们来看一下圆柱有哪些特征？第一个， 圆柱从上到下一样粗，你看这些圆柱它的上下是不是一样粗的？ 第二个，它的上下两个面都是完全相同的圆，那是一个大圆，一个小圆哦。第三个圆柱有一个面是弯曲的，它的侧面是不是弯曲的面啊？所以圆柱有这三个特征，我们给它边上一、 二、三，那么下面有一个图形，我们一起来看一下。首先 圆柱的上下两个面我们都给他叫做底面，而围成圆柱的曲面我们给他叫做侧面，而上下两个底面之间的距离我们就叫做高。 记住了吗？曲面是它底面是圆柱的上下两个面，而侧面就是它的侧面，最后两个底面之间的距离叫做高。三个 名词要牢记圆柱各部分的名称，你们可以拿手中的圆柱分别指一指哪个是它的底面，哪个是侧面，以及看看能找到它的高吗？ 那接下来我们看看它这三个圆柱的各有什么特点。首先它的底面是两个完全相同的圆，对吧？那这个底面是 平的，那我们可以叫它平面，而围成圆柱的曲面叫做侧面，它的侧面是一个曲面。第二个之间的高，那高有几条呢？我们可以观察发现它的高跟 每个侧面你给他旋转之后，他都能画出一条高，那说明圆柱有无数条高，对吧？而且根据平行线之间距离处处相等，我们可以得知他的高有都是一样长的，而且他有无数条高， 那如果我们来给他看看他的侧面是什么样子的，如果我们沿着底面平行的方向，把圆柱切成两部分，就是从他的中间这里他切成两部分， 他最后他出来的这个切面就是我们切开的这个面会是一个什么形状？也是一个圆吧？而且他跟底面的圆是一样的圆。 那如果沿着底面的直径切，就是沿着这个直径给他上下中间给他切开来，那我们会发现他的切面应该就是一个， 就是一个长方形，而且这个长方形可以是这个圆柱中最大的一个长方形。如果我们不按着直径切，而在他前面或者后面稍微歪一点的地方切的话，那切出来的这个 长方形大小是不是会变小？但它同样也是一个长方形。 然后我们总结一下，圆柱的底面侧面高有什么特点？底面的特点就是上下两个面完全相同，上下两个面完全相同的圆。底面的特点， 侧面呢？侧面的特点是个弯曲的面，我们给它叫做曲面， 侧面的特点是它是一个曲面，然后高高是什么样呢？高有无数条高，而且这些高的长度都是相等的，记住这个是圆柱的特征。接下来我们看一下 圆锥下面这些物体都是圆锥体，我们也可以简称是圆锥，比如说这个冰淇淋， 这个后面这个铅锤，还有沙堆以及塔的屋屋顶，它的其中一部分是圆锥吧，上面这个凸起可不算在里边啊。那这些 生生活中还有哪些物体的形状也是圆锥？比如说漏斗，还有我们常见的削过的柄尖，是不是一个圆锥？那这些物体有什么共同的地方呢？ 我们仔细来观察一下，来说说看圆锥有哪些特征。第一个圆锥有一个顶点， 就像这上面的图，看，这里有个点，下面这里有个点，这里也有个点，所以这个圆锥的那个尖尖就叫做它的顶点，而它的底面这些圆锥的底面也是一个圆， 另外他的侧面也是一个曲面，跟前面圆柱一样，也是个曲面。然后我们总结一下，圆锥的底面是一个圆，而侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高， 那他的高和圆柱不同了吧，他只有一个高，那我们如何知道他高的长度呢？通过的是平行线之间的距离，处处相等，给他在这里画个平行线，然后把高移到外面，然后方便我们测量。值得注意的是，圆柱 他有无数条高，但圆锥只有顶点到他底面圆心的距离才是他的高，只有一条高，只有一条啊！记清楚，圆柱有无数条，但是圆锥只有一条，而他的顶点就是这个圆锥的尖尖就是他的顶点。 底面是一个圆，侧面也是跟圆柱一样是个曲面。所以拿出你身边的圆锥，你可以试着找出它的顶点和底面。 记住啊，圆锥的三个特征，一个顶点以及底面是一个圆，侧面也是曲面。 如果我们把上面这个圆柱经过顶点和底面的圆心，我们把圆锥给它切开，拆开看，切开来它是一个什么图形？ 是一个三角形，而且是个等腰三角形，而这个等腰三角形的高就是圆锥的高，而它的底 三角形的底就是下面底面圆的直径。然后我们对比一下圆柱和圆锥它们各有什么特点。 第一个圆柱它的底面是 两个完全相同的圆， 而圆锥它是只有 一个圆， 而它们的高呢？圆柱有无数条，而且都是相同的圆锥，它只有一条， 而它们的侧面， 圆柱的侧面展开来是一个长方形或者一个正方形。圆锥侧面展开来是扇形。 接下来我们来进行练一练，说说下面哪个物体的形状是圆柱，哪些物体的形状是圆锥？第一个， 它的上下不一样粗，所以上下两个的底面大小不同，所以它不是圆柱。第二个，它上下底面都是圆一样的圆，而且它的侧面是个曲面，是一个圆柱。第三个，它是一个圆锥，给它标一个三角形。 第四个，它也是上下不一样粗，所以它不是圆柱，也不是圆锥。第五个， 它是一个圆柱。第六个，中间它宽出来了，所以既不是圆柱，也不是圆锥。第六个是圆柱，第七个圆柱。最后一个圆锥，大家会辨别了吗？ 接下来我们看一下圆柱的表面积。 例题二，一种圆柱形的罐头，里面直径是十一厘米，高是十五厘米，它的侧面有一张商标纸，如右图，商标纸的面积大约是多少平方厘米呢？ 接头处可以忽略不计。那我们如果沿着接缝把这个商标纸展开，展开后是什么形状啊？啊？是一个长方形，观察一下，是个长方形。 那这个长方形的长和宽与圆柱有什么关系呢？ 长方形的长是不是相当于原来这个圆柱底面圆的周长？ 长方形的长等于圆柱的底面周长宽，又等于 圆柱的高。最后，这个圆柱的侧面积就是等于底面周长乘以高，就相当于这个长方形的面积底乘高， 那么我们列式算一下。 首先我们已知圆柱的侧面积就等于长方形商标，长方形商标纸的面积，那么长方形的面积 我们可以用长乘宽来计算， 那圆柱的侧面积 的长可以替换成下面挺圆的周长 宽可以转化成高， 那它的面积可以表示成 s 侧 等于 d， h 等于派， d， h 也等于二派 r h， c 就 代表体面圆的周长是 c， 高用字母 h 表示，所以写成公式就是 x 特等于 d h。 你是怎么算的？先算什么再算什么？我们先算底面圆的周长，再算高。如果要算圆柱的侧面积， 就要算底面圆的周长，那需要知道圆的直径或者圆的半径以及高这些条件。那这道题商标指的 面积它已经告诉我们了，它的长里面的直径是十一，那就可以使用三点一四 乘以十一就是派底，再乘以它的高十五，得到结果是五百一十八减一 平方厘米。或者也可以这样计算，用十一 pi 乘以十五等于一百六十五 pi， 所以 商标处的面积大概是一百六十五 pi， 或者减五百一十八点一平方厘米。 然后这节课的学习就到这结束了，盼期待下次和您再见！

那为什么？是不是你们在偷懒，想课堂上练得越少越好？那是什么想法？ 呃，可能是因为，呃，圆柱和圆锥有些题型是一样的。哦，好，坐下来。哎， 他说的，你们有没有注意到？他说可能有些题型是一样的，那么同类的我们就可以，哎，不用再练了，很好， 所以我们选题的时，做题的时候不能盲目的去练，并不是练的越多越好。我们在练习的过程当中，更主要的是什么？ 练的合适，练的怎么叫练的有效 啊？搞懂。那就要我们在练的过程中不仅要写，更主要的要怎么样啊，对，这很重要。好， 我们就先聊到这，我们就准备上课了，上课起立，同学们好，老师好，请坐。 今天我们和大家练习圆柱和圆锥的体阶。还记得什么叫体阶吗？物体所容占的空间 这，呃，这个物体所占的空间的的体积， 体积。哎，有同学补充了，就是物体所占空间的大小。对，很好。那 圆柱、圆锥的体积公式分别是什么呢？还记得了，肯定个个都记得。谁说说，你说 圆柱的体积公式是底乘高，底面积乘高，圆锥的体积也是底面积乘高除以再乘三分之一，对不对？对，哎，很好，如果用字母公式就是这样， v 等于 s h， 那 还记得圆锥的体积公式我们是怎样推导出来的？ 呃，在一个圆锥形容器里面灌满水，再把里面的水倒到一个，呃，圆圆柱体里面。呃，此时我们发现，呃， 圆圆锥体里面的水在圆柱体里面占了整个圆柱体积的三分之一， 所以有补充，要等底等高。嗯，等底等高能不能少？不能还有补充吗？请做 到几次倒满三次，那说明什么？ 嗯，好，我们来看一下演示的过程。等底等高 倒一次，两次，三次以后怎么样？倒了正好说明 圆柱的体积是它等底等高圆锥体积的三倍，三倍，三倍。对了，好，把刚才回忆的部分记下来， 你们不用记，再贴出来。 通过实验，我们发现等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积比 是多少？三米，这太简单了， 反过来， 这个圆锥的体积是那个圆柱的多少？ 三分之一？那个圆柱的三分之一有多大是怎样的？在脑子里面想一想， 是想出这样的，跟老师点点头。 这一个小圆柱和圆锥有什么关系？ 它们的体积相等，还有水补充， 它们的底面积相等，你们都同意吗？同意，体积相等，底面积也相等。如果我们用四个字来概括，就叫做等级。 很好， 我也把它们提起来。 刚才发现的是它们两个相等的部分，还有吗？ 圆锥的高是这个小圆柱的高的三分之一。呃，三倍， 不紧张，慢慢来，重说一遍。呃，圆锥的高是小圆柱的高的三倍，反过来，这个小圆柱的高是圆锥的三分之一，对不对？对，发现的同学举举手。 好，放下来，请坐。换一句话说，就是这个小圆柱与圆锥高的比 是几比几？举手的同学一起说一根， 为什么是一比三？你能结合前面的实验过程说明一下吗？ 嗯，因为实验中圆锥的体积倒到与它等底等高的圆柱圆柱杯中是三分之一， 但是他们现在顶面积相等，高，体积也相等，所以说高只能是他的三倍，是不是？是，好，请坐。这个图还在， 倒一次就是这个形状，对吧？倒三次倒满，说明这个小圆柱的高是大圆柱高的， 而大圆柱的高和圆锥的高，所以小圆柱的高是圆锥高的。很好， 知道了他们的关系，一正一反可以帮助我们灵活思考。请看谁把题目读一遍。 一个圆柱和一个圆锥底面半径都是三厘米，高都是十二厘米，他们的体积一共是多少立方厘米？题目简单吧，请坐，你会用几种不同的方法解答呢？

我们分享一道物体的形状发生改变，而体积没有发生改变的体型。看体，一个圆锥形沙堆底面积是二十八点六平方米，高是三米，用这堆沙在十米宽的公路上铺了二厘米厚的路面，能铺多少米？ 这个题我们通过读题，通过观察图形，它是由圆锥这个形状变成了长方体的形状，也就是说物体的形状发生了改变， 但是圆锥这个物体和长方体这个物体，它们所占空间的大小没有发生改变，所以物体的体积是不变的，体积不变， 它们两个的体体积是相等的。 这个题我们可以用算数的方法来解答，也可以用列方程来解答。我把这个题用列方程的方程来解答，比较好理解。所以这个题我们先把二厘米 同一单位二厘米化成米，等于零点零二米。然后这个题求的是铺在十米宽的公路上铺了二厘米厚的路面，能铺多少米？所以我们结识啊， 能铺 x 米，那么根据它们的体积相等，我们知道长方形的体积是长乘以宽乘以高，所以它就等于 宽十乘以它的厚，也就是这个长方体的高零点零二，再乘以长 x， 这是长方体的体积，那就是长乘以宽乘以高，它就等于圆锥的体积三分之一。底面积乘以高，底面积是二十八点六， 高是三米，那么左边就等于这是圆锥的体积， 那么左边就等于零点二 x， 右边我们通过约分就等于二十八点六，然后 x 就 等于一百四十三。 所以啊，能铺一百四十三米。这个题它的突破口就是我们要知道由圆锥体变成长方形， 它的形状发生改变，而体积没有发生改变。我们根据体积相等列了这样一个方程，把这个题收藏起来，让孩子们用算数的方法把这个题做一做。关注我，每天分享易混易错的题型。