8年级下册第1单元几何证明题。
大部分同学都不会的分类讨论 半年级数学下册的啊。第一章三角形，我这里的第五题，它说在等腰三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于 x 度，当角 b 有 三个不同的度数的时候，求 x 的 体积范围， 这里始终注意它有不同的这个度数，那我们来看呢，它说是等腰三角形，哎，那我们画一个三角形，比如说 a、 b、 c， 对 吧？ a 为的顶角，哎，我们说不同的等腰三角形，那我们来看到这个等腰三的 a、 b、 c 啊，呃，它会是什么样的不同的情况呢？ 嗯，我们打个参考来看，那就是说 b 为顶角， c 为顶角，对吧？ a， b， c， a， b， c 啊，这样不同的情况， 当角 a 等于 x 度啊，角 a 等于 x 度，角 a 等于 x 度的时候，那我们呢，这个时候角 b 就是 a， b 等于 c 等于多少呢？一百八十度减去 x 度除以二， 这个式的角 b 等于多少呢？等于这个 x 度，这 x 度一百八十度减去二 x 度，呃，这个式的角 b 呢，就等于 x 度。 好，那么这样呢，我们看到由于有三个不同的度数，所以也就是一百八十度减 x 度除以二，要不能等于一百八十度减二， x 度要不能等于 x 度。 你看，一百八十度减二， x 不 能等于 x， 就 一百八十不能等于三 x。 也就是说，由此我们推出 x 不 能等于六十啊，如果 x 等于六十的话，那么它就是等腰三角形，变成等边三角形的话，它怎么拉出它就只有一种情况 啊。然后我们还要来看啊，这个角 b 啊，等于一百八十减二十。还有令 角 b 等于一百八十度减二， x 度的大为零，当然不可能等于零的啊，所以由此我们推到 x 小 于九十。也就是说，如果角 a 是 直角， 那么 a 只能作为顶角了，对吧？如果角 a 为直角，对吧？如果角 a 为钝角，对吧？如果角 a 为直角，你看角 a 为直角三角形，那角 b 怎么就这一种情况， 对吧？如果角 a 为那个叫做钝角三角形，我们看它钝角三角形。 角 a、 角 b、 角 c， 那 也只有一种情况，所以这角 x， 呃，必须是锐角啊，必须小于九十度，那么当然它的要是不能等于六十度，所以最后我们就可以得到它的体积范围，那就是小于 x 小 于九十，且 x 不 等六十。啊，这里 x 又度在这里啊，这就是最后的。呃，综上，我们得到 x 的 起值范围。好，刚才这是我的跟大家分析的过程。 呃，这是我前几年写的啊，哎，读大家听一遍这里我这么写的。当角 a 为等角或角 a 为 直角时，只能作为等腰三角形的顶角，此时角 b 只可能有一种曲值啊，不可能有三种不同的曲值。所以，当角 a 为锐角的时候，零小于 x 小 于九十，对吧？锐角就零到九十度之间， 角 b 可能存在了三种不同的度数，对吧？一种角 b 等于角 x， 角 a 等于 x 度，对吧？角 b、 角 a 都可。另外一种角 b， 角 c 为底角，角 a， 角 c 为底角。刚才就说了，一、一百八十减 x， 除以二，一百八十减二 x， 还有 x 三种情况，那么三个都不相等， 所以 x 呢，就不能等于六十。好，这是我前几年所跟大家分析的。 你看，我刚在这里画了图跟大家分析。呃，大家自己呢，多用不同的角度去思考啊，学会把过程给他理清楚，记得点赞关注哦！
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06:02查看AI文稿AI文稿经典的三角形几何证明，我们看到八年级数学下册的第一张等腰三角形的，这里的 三角形，这里的啊， a、 d 是 b、 c 边的中线，告诉 a d 就是 b， d 等于 c， d 好， 然后 e 在 e、 d 上连接这个角，看图， a、 f 等于 ef， a f 等于 ef 好， 等边对等角，这两个角就相等。 现在要证明什么呢？要证明这个 b 的 a、 c， 而这个 b 和 a、 c 不 在一个三角形当中，所以咱们想办法把这个 b、 e、 b、 e 在 哪里呢？ b、 e 是 这个 a、 c 是 这里的，把它变成在一个三角形当中去。 好，不同的同学有不同的证明方法。那么这道题呢？嗯，刚才我说把这个 b 啊和 a、 c 放在一个三题当中来理解，怎么弄呢？好，我们看到这两个角是对顶角相等， 刚才我们说这两个角相等，那咱们是不是在这里了，把这个 b 变成别的，那比如说等角对等边，你看咱们延长这个 a d 到一点，咱们过这里做一个平行线。 好，我们看到啊，做个平行，比如做这个叫做 b g 平行 a c， 对 吧？做 b g 平行 a c， 那 么这样我们就可以得到这个，你比如说这里是角一，就 这里的是是什么角呢？好，这个， 嗯，我们刚才是这两个角相等，对吧？啊？这两角一等于角积，角积等于角一，是吧？我们刚才做这个平行，做这个平行之后呢，那么由于这两个对顶角相等，比如说这个 角三等于角四，我这里写一个角二，因为这个角二呢？等一会我们用的等于这个角 啊，我们先看到由于 f a 等于 f e， 角一等于角三，对应角，角三等于角四。哎，刚才做这个平行角积等于这个角一角一。哎，所以角积就等于角四，也就是 b e 就 等于 b g， b e 等于 b g 的 话，那我们现在刚这个图画的有点不大标准啊。那我们来看到在三角形 b、 d、 g 中和三角形 c、 d、 a 中。 好，这里的对零角相等，当然也可以理解是这个角积等于这里了，然后 b、 d 等于 c、 d， 所以 两个三角形就相等了，所以 b、 g 就 等于 c a 了。 你看这个角等于这角也可以，这个角等于这角，这对零角也可以，不管你是角边角还是加角 b a， 因为这个 b、 d 等于 c、 d， 对 吧？比如说你这个角边角， 你比如说这个甲甲 b， 我 们刚才说都可以啊。呃，甲边角对吧？甲甲 b 对 吧？都可以。那么这样呢？ b、 d、 g 和 c d a 两三圈的时候， b g 就 等于 c a， 而 b g 等于 b e， 所以 b、 e 等于 ac。 好，我们来看一下啊，这里的。呃，我这里一个完整的步骤，刚才只是跟大家这么说啊。好，我们看到这个完整的步骤， 证明作 b g 平行 a c 加 a d 的 延长线锐点 g， 则角一等于角几，角二等于角 c。 因为等一会要用到的， 对吧？因为 a、 d 为 b c 边的中线，所以 b、 d 等于 c d。 把这个图我重新画了一遍，就容易懂一些，对吧？呃，角积等于角一，角二等于角 c b、 d 等于 c、 d。 所以 根据 a s 三角形 b、 d、 g 切成三角形 c、 d a。 呃，当然我刚才说了，你用 a s、 a 也可以，对吧？你用这个角二等于角 c， 这个对零角相当，也可以啊，所以每个人的做法不一定是一样的，大家不一定跟我一模一样，我写的只是供大家参考， 对吧？三角形 b d g 与三 c d a 两三切了之后呢？ b g 就 等于 c a， b g 就 等于 c a， b g 等于 c a。 好， 由于刚才我们这里有 a f 等于 ef， 这题目上刚才上面有 a f 等于 ef， 所以 角一等于角三，角三等于角四，角 g 等于角一，所以角 g 就 等于角四 啊。你看角 g 等于角一，角一等于角三，角三等于角四。等量代换，角 g 等于角四，所以 b g 就 等于 b e 啊。最后， b g 等于 b e， b g 等于 b e， 我 们在前面说了， b g 等于 c a， 所以 b e 就 等于 ac。 好， 这里是我这里的证明。当然，我在 这跟大家说的时候，你看我这里另外又画了一个图，所以如果你在这里，你先延长 a e 到一点 g， 你 说你死这个先做 b g 等于 b e 啊，先做 b 级等于 b e， 那 再来证明它平行做 b 级等于 b e， 做这个角等于这个角，对吧？这两角像呢？这两角像呢？所以这个角等于这个角等于这里，然后后面两直线平行，先做平行 后正相等是可以的，先做相等后做平行也可以的。当然呢，大家还可以其他的证明方法 啊，还可以其他的这种方法，嗯，有时间关系就不可能把所有的方法都讲。嗯，大家有兴趣的你多去探讨一些。呃，这样有利于你以后这个成绩的提高，让自己的脑子更聪明，记得点赞关注哦。
05:07查看AI文稿AI文稿大部分中学生不会用的三十度，大部分中学生不会用的三十度。 我们看到这里，八年级竖起下册的第一张的我这里的第十八题，如图，在三角形 a、 b、 c、 d 中，角 a、 c、 b 等于九十度。角 a、 c、 b， 这是直角 d 为三角形内部一点，并且 a、 d 等于 a， c 等于 b， c， a、 d 等于 a， c 等于 b、 c。 哎，这个 a、 c 等于 b、 c。 不 就是说 a、 b、 c 是 等腰直角三角形吗？那就说角 a、 b、 c 和角 c、 a、 b 都是四十五度了吗？ 啊，那么现在又有了这个哎，这个 a、 d 等于 c， 这是个等腰的哦，还有这个等腰叫 d、 b 的 d、 c、 d、 c 的 d、 b。 那 么现在求角 a、 d、 b 的 度数。哎，刚才这里是直角，这个是四十五度，这是四十五度，这个角 a、 d、 b。 那 我们就知道角 c、 d、 b 和角 a、 d、 c 是 多少度， 那我们刚才说除了直角之外，其他的角我们都搞不清楚，我们将怎么办？我们要从这个角当中的相等呢？找到边啊，这不说错了啊，从这个边相等呢呢？找到角的关系。 你看到这里啊， d 呢，是在 bc 的 中垂线上啊，因为这个 d、 c 等于 db， 所以 过这里。如果咱们做这个 d、 e 垂直， bc 如 e， 那我们就知道这个 c、 e 呢，等于 b、 e， 它都等于多少呢？呃，它是等于这个 a、 c 的 一半，当然也等于 a、 d 的 一半， 所以 a、 d 的 一半。我们来看呢，这里就有一个非常重要的内容了啊，有的同学一看了这个的就会做，有的同学不会做，刚才我说到哪里来了呢？我说的这个 c、 e 啊， a、 d 的 一半， c、 e 的 a、 d 的 一半，我们就找到这个角是三十度啊，哎，有人说，哪里有来了三十度呢？ 我们看啊，这个是直角，已知的这个做垂直，如果咱们过这里也做垂直，那么有三个角是直角的四边形呢，是矩形，也就是 d、 e、 c、 l 是 个矩形，那么这里是直角。所以，呃，现在这个 d、 f 呢？啊， d、 f 就 等于 c、 e， 对吧？由于 c、 e 等于 b， e 等于 b， c 等于 a 啊，等于这个 c、 e 等于 b， e 等于 b、 c 的 一半啊，那么就等于 a、 c 的 一半，因为这个 a、 d、 a、 c、 e、 b、 c 相等嘛，那就也等于 a、 d 的 一半。那么在 a、 d、 f、 a、 d、 f 这个直角三角形中，那么有一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的锐角就是三十度。哎，这个三十度，你必须要学会用好，这个就是一十五度了， 对吧？哎，这一十五度，刚才 a、 c、 d 就 等于二三角形，我们就得到角， a、 d、 c 等于角， a、 c、 d 就 等于一百八十，减三十就是一百五十，除以二，就等于七十五度。 哎呀，这个角就是七十五度了，好，这个角七十五度，这角这就是一十五度了，这里也是一十五度，所以这个角是什么呢？叫做 c、 d、 b， 这两个一十五，一百八十斤，两个一十五，减三十就等于一百五十度了。好了，最后的结果加 a、 d、 b， 那 就等于三百六十度，减一个一百五十度，减一个七十五度， 对吧？那就等于三百六十度，减去多少呢？七五以上二百二十五度，对不对？ 嗯，这个就是五减二三，一百三十五度，所以最终的结果就等于一百三十五度，这个角 a、 d、 b。 哎， 其实刚才啊，我们发现这一数的这个是三十度呦，这个一十五度加三十度等于四十五度啊，一百八十减四十五，一百三十五。哎，您从这里来也是可以的啊。嗯，就是说每个同学你在做题的时候，你所看到的啊，想到的， 发现的可能地方不一样，所以每个人的做法也不是说完全一样的。 这道题是一道很重要的一道题。对，由于时间，我的过程呢？嗯，没有写啊，这是我在前几年写的过程，大家可以去参考一下啊。不会做呢，把这个截图截下来， 一定要模仿着写，写熟了考好大学记得点赞关注哦。
07:55查看AI文稿AI文稿即使你是成绩好的学生，你也没办法动笔的。 八年级数学下册第一章我这里的第三十七题啊，这个题目一般的学生是没办法动笔的啊，所以你要想成为优秀的学生，呃，跟着我一起多做一点好题目，培养你的数学思维。 呃，他说在三角形 a、 b、 c 中，角 c、 e 等于九十度啊，这是直角，哎，角 c、 e 等于九十度的话，那么我们就可以得到这个角 c、 a、 b 加上角 c、 b、 a、 b 是 九十度吗？对吧？直角三角形，两个锐角互余。 好，下面说三角形 a、 b、 c 的 角平行， a、 d、 b 交于点 o， 对吧？这个 o， 对 吧？这个点 o， 这个点 o 是 什么呢？点 o 就是 三角形的内心，对吧？内切圆的圆形，当然这里还没讲，但是这里告诉的叫角平分线呢，对吧？嗯，这个角一等于角二， 对吧？这个角三等于角四。刚的时候，角一、角二、角三、角四合起来是九十度，那我们就得到了角二加角四就应该等于九分之一半，等于四十五度。角二加角四等于四十五度，我们就得到角 a、 o、 b。 也不说错了啊，是一百三十五度。角 a、 o、 b 一 百三十五度，那么这个角， 哎，这一百三，这个角就是四十五度，就是角 a、 o、 e， 嗯，还有角 b、 o、 d 都是四十五度。 好，这里是四十五度，对吧？这是四十五度，嗯，这个角是一百三十五度，对不？ 哎呀，已知条件没多少，就这东西角平行。求证。四边形 a、 b、 d、 e 这个四边形的面积，得两倍的三角形 a、 b、 o 的 面积。 哎呀，从哪里开始呢？想一想啊，已知有直角，有两角平行没了，已知条件很少的，求证也就这么一点点内容。 嗯，那我们这样有正确的思路，我们怎么办呢？您看 a、 o、 b 的 面积，然后这个四边形呢，是 a、 o、 b， 再加这三个三角面积，换句话说就是这里的三个三角面积啊，等于 a、 o、 b 的 面积就行了。 所以那么这里我们可以什么办法呢？哎，咱们在这个由角一等于角二，对吧？咱们在这里就可以找一个。嗯，什么东西呢？你比如说这个叫做 a、 f 三角形 a、 f、 o 前等于三角形 a、 e、 o， 对吧？我们做 a、 f 等于 a、 e， 然后呢，这两个三角形做这个相等的，由于角 e 等于角， a、 o 等于 a、 o， 所以 两个三角形就切等两个三角切等，我们就得到了 o、 e 等于 o、 f， 并且啊，这个角是四十五度。 好，我们在这里呢，我们再来找什么呢？我们做了做这个叫做 b， 比如说我们做这个 b、 g 等于 b、 d。 三角形 b、 g、 o 前等于三角形 b、 d、 o， 欸，我们让这两个三角形切等这两个三角形，所以前等三角面积下呢，这个 a、 e、 o、 a、 f、 o 的 面积相等，三角形 b、 d、 o 三角 b、 g、 o 的 面积相等。好，现在要证明这上面三个三角形等于下面三 a、 o、 b 的 面积，我们现在只要证明 e、 o、 d 的 面积和 f、 o、 g， 当然这也是四十五度， 哎， a、 o、 d 一 百三十五度，这两边都四十五度，哎，这中间不还是四十五度了吗？ 好，现在我们要证明这个 o、 d、 e 的 面积和这个 o、 g、 f 的 面积相等。我们有一个重要的性质，就是根据等底等高的三个面积相等，你看啊，这个 o d 是 等于 o g 的， o d 是 等于 o g 的， 如果 o d 边上的高，然后 o d 边上的高，咱们做这个 f m 好， fm 好， 这个 fm 要等于 o g 变得高啊。说 em， 刚才说错了，这是 em。 哎，那就等于这里的 fm 好， 这是 f 啊，好，这里垂直的 fm 好。 如果说 o d 的 o g， 这个 em 要是等于 fm 的 话， 则就有了 s 三角形 o d e 就 等于 s 三角形，这个叫做 f o g， 对 吧？就这个三角面积跟这三角面积相等，叫做等底底呢，因为刚才这个 b d o 与 b g， o 两个三角相等的时候，前的三角就对应相等了，所以这个 o d 的 o g 不 就有了吗？ 好，现在这里要得到 f n 等于 e m， 那 我们看到三角形 f o n 如何？前等于三角形 f o n， e， o m， e o m 啊，我们看到这里都有直角， 呃，这里都有，这个叫做 o f 等于 o e。 刚才左边不是 a o f a o e 两个三就切等了吗？不就是有 o e 等于 o f 吗？斜边等于斜边，直角等于直角，这里四十五度，刚才我们说这四十五度， e o m 啊，跟 f o n 都是四十五度啊，所以根据 a a s 两三七呢？好，那么这样呢，这题我们就终于把它说完了，但是说是说完了，可过程怎么办？ 好这道题啊，由于时间的关系。呃，过程呢？呃，就简单的说到这里 啊，我们再说一遍，我们这里找 a o f 与 a o e 两个三角形呢，这里是做的啊，做这个 b g 等于 b d， 则 b g， o 与 b d o 两个三角形呢，这样就有了 o g 等于 o d， 这里有 o e 等于 o f， 然后呢，这里的两个三点七呢？这里两个三七呢？现在我们这证明 e， o d 与 f o g。 呃，由于 o d 的 o g 把 o d， o g 分 别当做底边，那高呢？那就是 em 和 f n， 所以 em 和 f n 在 em o 与 f n o 中， 由于这个 o e， o f 是 它们的斜边相等，有一个直角，所以我们找这个四十五度或这个四十五度。 嗯，这里过程好像写的也比较简单，复杂的题目也学会简单的写。 呃，这节题目确实难。呃，但是我讲完了之后呢，你是不是觉得其实也蛮容易的， 对吧？坚持听，我又没有收你的费，又没有问你要钱，你为什么就是花一点点的时间每天听一点，提高你的成绩不好吗？未来考个好的大学不好吗？即使你不想考大学，你也可以让自己更聪明一点不好吗？ 告诉你身边的人，让他们都来跟着我一起学。后面我一直要讲到，呃，不知道，讲到死吧。记得点赞关注哦！
03:26查看AI文稿AI文稿并不难的几何证明题，要确保拿满分。 八年级数学下册第一章我这里二十四题，这题就比较简单一点啊，但是很多同学对于这个角之间的关系，如何去证明是垂直的，它就是理不清楚。 我们看到在正方形 a、 b、 c、 d 当中， e 在 b c、 d 上，并且 a e 等于 b f， a e 等于 b f， 要求证 a e 垂直 b f。 嗯，要求证 a e 垂直 b f。 那 我们都要证明什么东西呢？这里是垂直的，已知这里有垂直的，这里有垂直的。嗯，那正方形当中呢？那告诉边长是相等的， 现在也告诉了这两个相等，对吧？所以我们可以从哪里写呢？我们学会就是几何证明呢？咱们擦，一个已知写一个结果，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 正方形 啊，是正方形，差一个已知写一个结果，所以 ab 等于 bc， 还有角 abc 等于角 c 等于九十度，对吧？ 然后我们来看到，哎，我们要证明这里是直角，我们把什么东西呢？我们来找一找这两个角的关系，你看到我这里写个角一，这里写角二，哎，由于这个角二加角三是九十度， 对吧？如果说角一加角三也九十度的话，所以我们看到在 r t。 三角形 a、 b、 e 于 r t 三角形 b、 c、 f 中，为什么写 r t 呢？ 因为这个斜边 a、 e 等于斜边 b、 c， 并且这个直角边 ab 等于直角边 bc， 所以 r t 三角形 a、 b、 e 前等 r t 三角形 b、 c、 f。 当两个直角三角形用 h l 来证明它相等的时候啊，我们最好在前面写上 r t 啊，直角三角形，斜边直角边。 好，那么两个三牵了之后，所以角一就等于角二前的三角对应角相等， 因为这里的角二加角三呢，是等于九十度，刚才就是这里的角 abc， 对 不？所以角一等于把这角二换成角一，所以角一加角三就等于九十度。 角一加角三等于九十度，那不就是说所以角 a g b 等于九十度了吗？角 a g b 等于九十度，所以那么这个 a e 就 垂直 b f 这题我们就整完了。 好，那么这道题的这个过程不多，特别是这里的角之间的关系是经常考的啊，所以这道题应该算是一道简单的题目，记得点赞关注哦！
05:21查看AI文稿AI文稿优秀的中学生都觉得这些题目是简单的， 你觉得是难的吗？八年级数学下册第一章我这里的第二题，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，角 a 等于十五度，求 b、 c 比 a、 c 的 值。 呃，第二十一题，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度，角 a， 二十二点五度，求 b、 c 比 a、 c 的 值。好，那么这里我觉得这里是比较简单的，所以我就拿我原来写的这个过程的图形来看啊，角 c 等于九十度，角 a 等于十五度， 这个角 a 是 一十五度，那么这个是直角，我们要求 b、 c 比 a、 c， 我 们来看啊，我们把它找一个三十度的角， 所以在这里我们做 a、 b 的 中垂线加 a、 c 于点 d 啊，那么连接 b、 d、 b、 d 和 a、 d 相等的时候，那么这样呢？我们就到了这个角也是一十五度啊，我们做这个做什么呢？做这个。 呃， a、 b 的 中垂线加 a c 于点 d， 对 吧？或者说直接说做 d b， 在 a、 c 上取点 d， 使 d b 等于 d a， 对 吧？呃，那么这样呢，我们就到三角形的外角等于和内角的和 好，那么这个角就等于六十度直角。好，我们可以怎么呢？设 b、 c 等于 a， 那 么这样三十角所对的边斜边中吧。这个，呃，加 b、 d， 那 就等于二 a， 哎，这个 c、 d 呢？那就是根号三 a， 刚才这个 d、 b 的 d a、 d、 a 就是 二 a， 对 吧？呃，所以这个时候我们就可以得到这个 b， c 比 a、 c， 对 吧？这个 b， c 比 a、 c， 那 就是 a 比上二 a 加根号三 a 加根号三，括号 a， 对 不对？那就等于一比二加根号三。 分母有理化分子分母同时乘以二减根号三，好，这里的是二加根号三，乘以二减根号三呢，那就是二的平方减根号三的平方四减三等于一。 那如果写竖式的话，那我们就直接要写二减根号三了。当然未来我们在讲解直角三的形的时候，我们还要继续讲，呃， 这里的 bc 比 ac 就是 吞引一十五度，对吧？吞引一十五度，但是这边比邻边等二减根号三， 但呢，我们还说七十五度的啊，因为现在还没学这么多，但是现在呢，我们先多积累一些，未来呢，我们就会觉得容易的多了。我们看第二十一题啊，刚才这题的过程，在这你可以看一下二十一题， 好，二十一题的过程，在这样你可以看我们下面就直接来看这个图啊，如果说角 a 二十二点五度，像刚才上一题一样的，对吧？咱们找二十二点五度的两个二十二点五度，这不就四十五度了吗？ 对吧？哎，也就是我们认为是做 a、 b 的 中垂线交 a、 c 于点 d， 或者直接说在 a、 c 上去点 d， 使 d， b 等于 d a， 则这个角 d、 b、 a 等于角 a， 都是二十二点五度， 于是角 b、 d、 c 等于四十五度，这个角也是四十五度。我们说 b、 c 等于 a， 则 c、 d 等于 a， 则这个 b、 d 等于根号二， a、 d 呢，也等于根号二， a 呢，也等于根号二， a 就是 根号二， a 加一就是根号二加一，括号 a。 分子分母约去个一等于一，比根号二加一，分子分母同时乘以根号二减一，那么这个根号加一，乘以根号二减一，根号二的平方减一的方就是一， 那然后我们实际就是根号减一了。呃，这里的 bc 比 ac 啊，其实是通引一十二点五度 等于根号减一。但是这些我们现在还没学这么多啊，以后到了初三我们会要学的更多，但是现在我们在八年级的时候呢，哎，我们对于这个，呃，如何通过三十度 啊来找十五度的关系，通过四十五度找二十二点五度之间的关系，多练一练，呃，让你的思维更活跃啊。未来，呃，到高中大学，那就是更容易理解，更容易取得好的成绩，记得点赞关注哦。
03:47查看AI文稿AI文稿哇哦，在江苏家里有八年级娃的家长，这个寒假孩子应该已经预习过四边形了吧。接下来，老王准备更新一些跟四边形相关的证明题，您可以点赞收藏一下，回头给娃听一听， 看看娃预习的效果怎么样。其实四边形的证明题考察的往往不会过于复杂，但很多同学的过程写的是有瑕疵， 老王准备详细的讲一讲该怎么去写过程好，我们来看这样一道题，这个题其实也选自江苏，去年月考真题，他说矩形 a、 b、 c、 d 的 对角线， a， c， b、 d 交于点 o， 这是一个矩形，然后说 b、 e 平行， a、 c。 我 比较喜欢用这样的箭头标记平行，而且呢， c、 e 又平行于 d、 b。 要证明四边形， o， b， e、 c 是 一个菱形。 首先对于菱形的判定方法要非常清晰，其实一共有三种方法。第一种方法永远是定义法，菱形是基于平行四边形下的定义，有一组菱边相等的平行四边形是菱形。我在课上呢，经常跟同学们讲，可以简单的去记忆，就是平四 加上零边相等就可以了。平四加零等还有两条判定定律，其中有一条判定定律呢，是四边相等的四边形是菱形，这是基于四边形去证菱形的方法。四边相等还有一条判定定律，也是基于平行四边形去证明的。 我们只要能够证明这个平行四边形的对角线互相垂直，他肯定是个菱形。课上呢，我喜欢跟娃们剪辑为平四加对垂，对垂指的是对角线互相垂直。梳理一下，有两种方法是基于平四去证明的， 你可以给平四加一组菱边相等，或者加上对角线互相垂直，他就可以判定菱形了。还有一种呢，就是基于四边形，你直接去证明四边相等，那么他也就是菱形了， 就这三种方法。然后咱们来看这个题目，因为题目条件有两组对边分别平行，那么这个四边形本身就是平行四边形，这个是平行四边形的定义，两组对边分别平行，课上呢，我喜欢把它叫做平平。 ok， 证明了这个四边形是平行四边形以后，那我们是不是就有两条路来证明菱形了， 要么能够找到一组零边相等，你要么能够找到对角线垂直，目测连对角线不太现实。那么这个题目结合本身给出的四边形是一个矩形，不难知道 o b 应该等于 o c 吧，所以我们可以找到下一组零边相等，结合它是个平四。 于是呢，我们可以用平四加零等，也就是菱形的定义证出它是菱形。那整个过程该怎么去书写呢？里面有一些细节需要注意，下面我在写的过程中间来说明啊。好，我们证明。第一步咱们可以先证它是一个平行四边形，那因为两组对边分别平行，就是 b、 e 平行， a、 c 平行 的，所以咱们可以证明四边形 o、 b， e、 c 是 平行四边形。接下来呢，咱们来证这样的一组菱边相等，这个是通过矩形来证的， 但是不能因为矩形直接得到，而是应该先通过矩形的性质。矩形的对角线呢，有两点性质，一个呢是互相平分，其次呢是对角线相等，我们要同时用这两个性质才能证出 o b 等于 o、 c， 不 能直接得由对角线互相平分。我们知道 o、 b 是 等于 b 的 一半， o、 c 等于 a、 c 的 一半， 又因为对角线相等比得等于 a、 c， 所以 o、 b 才会等于 o、 c。 一定要这样说，那么还有个地方要注意，我们在说因为的时候啊，不要直接写因为矩形 a、 b、 c、 d， 而是要把它写成因为四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，然后我们来得到它的性质，一个呢 是 o、 b 等于二分之一 b、 d， 其次呢是 o、 c 等于二分之一 a、 c 的， 这叫矩形对角线相等的性质。 同样呢，我们才能知道 o、 b 等于 o、 c 由一组菱边相等，以及四边形是平行四边形，所以咱们马上说四边形 o、 b、 e、 c 是 菱形。好，这个题目可以让娃写一写，题目是不难的，看看娃的过程有没有瑕疵，加油！
184江苏初中数学老王
07:35查看AI文稿AI文稿经典好题，决定你是否在百分之五的 啊，你是否在学校排名为百分之五以内的，那么通过这一题就会来检验一下，你会做，你就是百分之五以内的，不会做，你就排到百分之五之外去了。 好，我们看到八年级数学下册的第二十九题，如图，四边形 a、 b， c， d， a、 c 平分角 d a， b a， c 平分角 d， a、 b 这两角相等角 d， a、 b， 咦， a、 c 平分角，角 d， a、 b 等于六十度又平分，这不就是说每个角都等于三十度了吗？ 哎，三十度角所对的边等于斜边的一半，而且三十度角，对吧？你看呢？这个三十度的角， 这个三角三角板，对吧？三十度，六十度，九十度，那么这个三十度这个角所的边等于斜边的半，一比根号三比二，对吧？一比根号三比二，这个关系要牢牢的记清楚。 现在角 b、 c、 d 等于一百二十度，哪里呢？ b、 c、 d 等于一百二十度， 一百二十度加这个六十度，不就等于一百八十度吗？那就是说这个角加这个角也是 一百八十度啊，因为四边形的四个角的和等于三百六十度，对吧？这个对角互补，那么这两个角加起来也是一百八十度。那么这个地方我们就发现一个问题，什么的问题呢？就是这个角啊，它是等于这里的角的 啊，这里的角的。现在题目要求成 a、 b 加 a、 d 等于根号三的 a、 c。 刚才这里提到这个角平分线，所以马上我们想到角平分线上的点到角的两边距离相等好做，这个叫做 c， e 垂直于 ab 加延长线，如 e 做这个 c， f 好 做， c， f 垂直于这个 ad 啊， 加 a 等于点 f， 那 么这样我们就有了三角形 a， c、 e 是 前等三角形 a、 c、 f， 你 看这个直角三十度 公共边，直角三十度公共边，对吧？这样的两个三角形就确定了这两个三角形呢？哎，因为题目最后要求证的是 ab 加 ad 等于根号三的 a、 c， 我 们看到根号三的 a、 c 在 哪里？ 我们看到这个哪里有根号三呢？ 嗯，三角形 a、 c、 e 前的三角形 a、 c、 f， 对 吧？我们根据 a a、 s， 那 么这里我们刚才说这叫一比根号三比二的关系，所以我们就有了 a e 啊，是等于 af 的， 并且 a e 等于 af 等于几呢？它是等于这个 a e 呢？是等于 c e 的 根号三倍，又等于 c e 的 根号三倍， 对吧？当然 c e 也是可以理解为等于 c f 的 根号三倍，对吧？等于 c f 的 根号三倍。嗯，那么 c e 等于 c f 的 根号三倍。而另外 c e c f， 且这个 c e 是 等于 c f 等于多少呢？等于二分之一 a c、 e 的， 因为三十角所得的角 b 等于斜边的半。另外我们看到这两个三角形，刚才我们说了这个角 b a、 d 加角 b c、 d 等于这个一百八十度，那我们刚才说了角 d 加角 a b、 c、 e 也就一百八十度，所以角 d 等于这个角， 那么现在这里直角这个角，这边等于这边，所以这两个三角形就是全等三角形，那么这两个三角形哪来的呢？ c d、 f 前等于三角形 c d f c b e 哎，当然呢，你也可能不是这样证的，比如说你证明角 b c、 e 等于角 f c d 也可以，为什么？因为这个六十度角，这是直角，所以这个角啊， e c， f 等于一百八十减六十度等于一百二十度，你看啊，加 e， c， f 等于一百二十度，加 b， c、 d 等于一百二十度，一百二十度减去中间的角，所以留下来的角 b， c， e 等于角 f， c、 d 也是可以的。 呃，这里意思是说每个人的阵法不一定是一样的啊，大家不一定跟我一样的，我在这里只是给大家提供一个思路啊，你也可以跟我不一样的啊，就是自己多揍多发现，他就发现有很多种。呃， 步骤啊，方法好，刚才我们说到这两个三角形的时候，我们就可以得到什么东西呢？叫做 d f 等于 b， d f 等于 b e。 好， 现在我们来看呢，这个题目上的 a b 加 a d， a b 加 a d 读什么？ a b 就 应该等于 a e 减去 b e， 对吧？ a b 等于 a e 减 b 加 a d， a d 就 应该等于 a f 加 d f。 刚才我们说了 d f 等于 b e， 那 么所以也就是说 a b 加 a d 等于什么呢？等于 a e 加 a f， 而 a e 加 af， 那 么刚才 a e 等于 af， 对 吧？那么就等于。呃，什么呢？就是根号三的 c e 加上根号三的 c e， 那 我们都等于根号三，这个 c e 两倍的根号三，所以就是两倍的根号三 c e， 而 c e 等于多少呢？又是二分之一 a， c、 e 好， 二分之二约分不就等于根号三 a、 c。 这题我们就整完了，所以 ab 加 ad 等于根号三 ac。 当然，刚才这里只是分析的过程，而你真的要把它写出来还不是一件容易的事情， 因为时间的关系。嗯，我我我没有办法就是跟大家，因为我要再一步步的跟大家写出来。 那要说很长时间了，那视频就弄得很长了啊，很长的视频呢，有时我发出去呢，很麻烦，很不容易发的出去啊。网络上有的是太长的视频呢。嗯，很难发出去的，所以这里呢就只能是大家自己，您截屏下来去看看。啊 啊，这里的到这，但是我这里又写了另外的正法，有兴趣的同学你自己去看看。这么难的题，你是不是很害怕呢？当你攻克了它，你就是非常优秀的学生，记得点赞关注哦。
05:51查看AI文稿AI文稿百分之八十的中学生都不会做的几何题。 八年级数学下册第一张的第十九题，以至于图在三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于九十度， a、 b 等于 a、 c。 嗯，角 a 等于九十度， a、 b 等于 a、 c 的 话，那这不就是说这是个等腰直角三角形，对吧？这是四十五度，这四十五度， a、 b 等于 c， 这是直角。 呃，题目说 a、 b 等于 c， 还有 b， c 等于多少呢？ b， c 等于根号二加一， b、 c 的一个文化节点 m、 m 分别是点 m、 m、 m 分别是什么呢？ b、 c， m 是 b， c， n 是 a b 上的动点， 沿着 m、 n 所在的直线折叠角 b， 使点 b 的 对应点 b 一 撇，始终落在这个 a、 c 上。如果说角 m、 b 一 撇， c 是 直角三角形，求 b m 的 长度， 这个 m、 b、 c 是 直角三角形的话，那可能这里是直角，也可能这里是直角，对吧？呃，这个角呢，是四十五度的， 这个角是不可能是直角啊。角 c 呢，是永远是四十五度的，那么所以这地方呢，要是直角，这点直角。哎呦，我这里的电子版的这个图啊，打印的好像不太标准，所以我这重新画了。如果说这个地方是个直角的话，哎，垂直的话， 什么是垂直的呢？哎，您看，这个是四十五度，这，这，这个角就等于四十五度啊。那如果是这个角等于四十五度，马上我们就联想到了他这个图形，哎，是不是这样画的？ 这是 m， 对 吧？呃，这里是 b， 到这里呢，就是 b 一 撇，那就是 b 一 撇，跟那个 a 是 重合的。呃，这个时候 b 一 撇，也叫做在 a、 c 上的， 对吧？好，那么这个时候的这个 m 啊，在哪呢？那就在这儿。 哎，刚才我们说这个，我们做 a m 垂直于 b c， 则角 a m c， 也就是 m 一 撇啊， b 一 撇 m c， 这个角是 直角，那么这个呢，是直角三角形，而且 b 的 对应点 b 撇在 a c 上，这个时候呢， m 就是 b c 的 中点，所以这个 b m， 那 就等于 b c 的 多少呢？二分之一的 b c， 那 就等于多少呢？二分之根号二加一， 这 b b m 就 等于这个。好，刚才我们说的是这个 m， 这地方的角是直角，那如果说这个图当中我们所画的假如说这里是直角啊，假如说这里直角，好，我们比如说是这样的一种情况 啊，比如说这个 m 在 这啊，这里是直角，哎，这个角就是四十五度了， 哎，这里角也是四十五度，哎，这里已知直角，那么这不这两只线是平行的关系吗？对吧？大概是这样的一种画法，哎，然后呢，这个 m 应该怎么折叠的呢？ m 应该是这样折叠的，哦，大概是， 对吧，哎，这样折过来的时候呢，我们就得到就，哎，就是这样翻过来了，哎，哎，这两个长度就相等了， 对吧？我们看到这个 b c 等于什么呢？就等于这个 b m 加 mc， 对 吧？ b c b c 等于 b m 是 什么？ b m 就 等于 b 撇 m 加 mc， 对不对？哎，我们来发现，如果说这里指直角这四十五度，所以这个 b c 就 等于 b 撇 m， b 撇 m 加 m c 等于根号的 b 撇 m。 为什么呢？因为这是个等腰直角三的形，等腰直角三斜边等于直角边的根号二倍。嘿，所以你现在发现啊，这个 b c 是 多少呢？已知，这里说的是根号二加一。好， 根号二加一就等于把 b p m 提出来，这里就是一加根号。那我也写根号加一吧， 所以 b p m 等于一，那就是 b m 等于一了，对吧？所以这样我们综上，我们就可以得到 b m 等于一，或者是 b m 等于二分之根号二加一。 哎，刚才我们说第三种情况，角 c 为九十度是不成立的。好，大家可以看一下我这里的过程 啊，这道题的完整的过程在这啊，这是我前面写的刚才说的时候呢，这个过程呢，就没有写出来 好这种几何题吗？关于翻折的这道题啊，也是很重要的一道题啊，应该说很多同学都不会做，说心里话，每天坚持跟着我做这期题目。 那你的数学一定是呱呱叫的非常好的啊，未来全国的那个好学校，你可以随便去挑了，记得点赞关注哦！
05:56查看AI文稿AI文稿如何变化线段之间的关系？ 我们看到八年级数学下册的第一章，我这里的兴趣第一十二题好，已知等边三角形 a， b， c 的 边长是一啊， a b c 是 等边三角形是一， q 是 b c 那 现在连线的一个关键的叫 c q 的 a p e 啊，当然这这角 a 角 b 角 a c b 都是六十度 a b b c c a 都等于一。现在有个做 p e 测的 a c b， 这里有个垂直的 呃，叫我们求 d 的 长度，已知的条件是边长等于一，要求 d e， 我 们就要从这个 a p 等于 c q 来开始 a p 的 c q 这里时候你看哈，这个三角形是呃，六十度 a p 直角的，那么如果我们把这个 a p 是 斜边放到这里的， a p 也是斜边的，这种情况下来理解 看我们如果我们做这里做这个 q f， 测出 ac 加 ac 的 延链线锐点 f 的 话，看，这是直角， 这里直角这个六十度，这里六十度，这里当然也是六十度，这个边斜边等于啊，这个斜边呃，直角六十度 b， 直角六十度 b。 所以 这里那就有了三角形 a p e 前等于三角形 a p e c q f a a s 两三千呢，这个时候我们就有了什么呢？叫做 pe 等于 q f pe 等于 q f。 当有了 p 等于 q f 之后呢？我们说我们又一次得到三角形，叫做 d e p 前等三角形 d f q d e p d f q 为什么呢？这直角等于这直角对菱角相等， 对吧？这个相等的时候，那就是对菱角直角 b， 那 就是也是 a s 是 吧？ 好，那么这样我们就有了 d e 等于 d f， 而 d f 等于什么呢？等于 dc 加 cf， 而 dc 加 cf 等于 dc 加 a e。 就是 刚刚在这两个三角形的时候，除了得到 d e p e 等于 q f 之外，我们还有 a e 啊，等于 cf。 哎，我们来看看，就是说这个 d e 等于什么呢？ d c 加 a e， d c 加 a e， 于是就等于二分之一乘以边长是一，边长是一，所以 d e 的 长度就等于二分之一。 好，来看一下这里的我手写的过程。好，要是不明白的，把这个截屏截下去仔细看啊。 已知，如图，等边三角的边长是 e p 是 ab 上一点， q 是 bc 延长线线上一点，并且这个 c q 呢，等于 ap 啊，这个重要的已知，这是重要的已知。然后这里还有个垂直作 q f 拆出 ac 加 ac 延长线，如 f， 因为 pe 拆出 ac， 所以 这个角 p e a 加 p e d， 角 q f c q v d 都可以，这都是直角。 因为三角形 a b c 是 等边三角形，所以角 a 角 b 角 a c b， 当然了，还包括这个角 q c f 啊，包括这 q c f， 呃，都是六十度。嗯，又因为 a p 等于 q c， 所以三角形 a p e 和三角形这个 c q 啊， a p e， 那 就是 a p e a p e c q f a p e 哟，这里写的不太对啊，应该是 c q f a 六十度 p 三十度 e a p e， 那 就 c q f 看来这前几年我写的对应的不好。而且呢，这个直角等于这个直角写了，对吧这一边，而且这个六十度没有写出来，所以刚才角 q c f 哦，这里写了是吧 啊？ q c f 等于角 b c 等于这个角。哦，刚才这个角 b 没写，角 b 没写，无所谓 啊。等于角 b， 这个写不写无所谓啊。嗯，看来还是可以就这个对应的写的不好啊，对应的写的不好。嗯，有的时候我要是写错了也不好的，大家给我指出来。好吧，在评论区当中给我指出来，然后更正一下啊， 所以这个 p e 呢等于 q f， 并且 a e 呢等于 f c 好， 然后我们又在这个 p d e 和那个 q d f 中对零角相等角 p d e 等于角 q d f 呃，直角相等角 p d e d 等于 q f 然后呢， p e 等于 q f 根据 a s 三角 p d e 和 q d f 两三千呢，所以 d e 呢就等于 d f d c 加 c f， 对 吧？就是 d c 加 a e 就是 a c d 半等于一。 呃，这些过程呢，大家一定要多练啊，把这个思维过程写清楚，慢慢你就会觉得学几何啊，证明呢，也是很有趣很好玩的，记得点赞关注哦。
06:18查看AI文稿AI文稿如何求外角的一半是百分之九十五的学生都不会做的，这题你会做，那你一定就是班上成绩好的。 我们看到这是八年级数学下册第一张的，我这里的编印的第三十三题，如图，在三角 a、 b、 c 等于五十度，角 a、 c、 b 等于六十度。 哎，我们要学会养这种习惯，再给它标出来啊，这个角是多少度呢？五十度啊，这个角呢？是多少度呢？是六十度。 哎，这样呢，这个角 b、 a、 c 根据三角形的内角合，等于一百八十度，一百八十减五十减六十，那就剩下的是七十度， 对吧？三角形三个内角都知道点 d 在 b、 c 的 延长线上角。啊，这个打印的这个没写在一起啊。角 a、 b、 c 的 平分线。哦，那这两个角不就都是二十五度了吗？ 对吧？这里二十五度，这二十五度有没有什么用呢？我们先看看啊。如角 a、 c、 d 的 平分线，那这不也都是六十度了吗？哦， 嗯，平分线相加于点 p 连接 a、 p， 求角 p、 a、 c 的 度数，求这个角的度数。 很多人呢，对于这里就不知道怎么办，很显然，这个角就是外角的一半，对不对？咱们把 b、 c 呃，延长一些，你看呢？刚才这个角 b、 a、 c 等于七十度，角 c、 a 往这里拉，那不就是一百一十度了吗？ 一百一十度，就这个角，如果说这两个角要是相等的话，这个角 p、 a、 c 等于五十五度，不就做完了吗？ 所以现在我们就要想这个，这两个角怎么会相等呢？哎，我们来看到这里，已知说 这个 p 是 什么？ p， 这个交点是角 a、 c、 d、 e 的 平分线，如角 a、 b、 c、 e 的 平分线的交点，所以你要把这个角平分线的性质啊，给它充分的搞清楚。 a、 c、 d 的 平分线，角平分线上的点到角的两边距离相等，所以咱们比如说做这里 p e 垂直于这个 b、 d， 对 吧？那么然后呢，我们做这个 p p、 f 垂直于这个 a、 c， 所以 p e 就 等于 p f。 因为角平分线上的点 p e 到角的两边距离相等， 那么同样这个 p 也是这个角 a、 b、 c 的 角平分线上点，所以那么点 p 到 b、 c 的 这边距离不还是 p e 了吗？那就等于到什么呢？ b a 这边的距离。好，我们把这个垂直的给它做出来。 好，咱们做这个 p g 垂直于这个 b a， 如 g 好， 由于这个 p e 等于 p f， p e 又等于 p g， 所以 p e， p f 就 等于 p g， 对 吧？有这个 p e 等于 p f， 对 吧？ p e 等于 p g， 那 我们不就得到了 p f 等于 p g 吗？ p f 等于 p g， 那 我们知道到这个角的两边到这个角 c、 a、 g 的 两边的距离相等的点，那就在角的平行线上，那我们就可以得到这个 a p 呀，是平分角 c、 a、 g 的 这两个角相等就出来了，所以我们就知道小 p a c 就 等于二分之一的角 c， a g， 对 吧？呃， c、 a g 呢？我们刚才说的是这个 等于这个五十度加这个六十度一百一十度，所以这个二分之一百一十度等于五十五度。你看，这就做完了。 呃，做完了，我们要把这个规律给总结一下啊，就这个他脑子里要留有印象啊，因为时间的关系呢，这个具体的步骤我没去写。呃，这里是我上一届教学生的时候 所写的步骤，你看我每一题，上一年的话，我每一题我都用手写，而且把它步骤写清楚。那么你说我这样认真教书的这个老师，你说 我现在跟你讲，对吧？又没有收你的钱，对吧？你呢？就只要听一听，提高你的成绩，我现在又不认识你， 对吧？你说你为什么不点个赞，不关注，不告诉你的同学好友，让他们也跟着把成绩提高呢？哎，你说这么好的机会，你失去了多可惜啊， 对吧？后面我还会跟你讲很多很多好题目啊，不懂可以把这个截屏截下去啊。 刚才这里我们说这个一定要搞清楚，这个角的平分线上的点到角的两边的距离，下面这个距离等于这个距离，然后这个距离等于这个距离。所以这两个相呢，实际上就是角平分线的定离心力与逆定律的运用， 所以当我们知道这两个相等的时候，我们就得到这个也就成了角平行，实际上这里也就是三角形的内角，外角啊，他们的平行线，呃，加入一点，对吧？这个一个内角，这个两个外角平行线呢，也是加入内点的，而这个点我们把它叫做旁形 啊，后面我们就成为角旁切圆的圆形，叫旁形。所以有以后我们还会讲到的啊，记得点赞关注哦。
07:13查看AI文稿AI文稿百分之九十的中学生都不会用的用一分为二的方法来解决我们的几何题目。 我们看到这里是八年级数学下册的第我编印的第三十六题的如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a c、 b 等于七十五度，哪里呢？角 a c、 b。 哦，这个角是七十五度啊，它是七十五度， 那么这个角 c a、 b 加角 c b a， 那 就是一百零五度了，对吧？角 c a、 b 加角 c b a， 那 就是一百零五度了，对吧？ 好， o 是 三角形 a、 b、 c 的 三条角平行的交点，三条角平行的交点，那就是说 o 是 内心， 对吧？内心是内切圆的圆心到三面的距离相等。但是这里我们也不知道用不用啊， 现在呢，说这个 c a 加 a o 等于 c b， 求这个角 abc 的 度数油。刚才说什么那个内心到三面的距离相等，好像这个没什么用处哦， 现在你看着这个题目的已知条件呢，你要从这个关键的这个入手，这个是两个与一个线段，所以我们这题啊，有一个重要的叫做合二为一， 呃，或者说叫一分为二。所谓合二为一，就是把这个 c a、 o 啊，咱们合在一起变成一条线呢。你比如说我们延长 c a 到这里， 对吧？使这个 a 什么等于 a o， 然后这个长度呢，就等于 c b 了，这个就叫合二为一。那么一分为二呢？那就说咱们把这里啊，这个 c、 b 上找一个长度等于 c a， 但是这个图好像不太标着啊，比如说我们在呃 c b 上，我们截取这个 c d 等于 c a， 由于已知 c a 加 a o 等于 c b， 那就是 c d 加 db， 这意思不就是说这个 o a 等于这个 db 吗？对吧？ o a 等于 db 了吗？由于已知的是角平分线啊，由于已知的是这个角平分线， 那么这个角平分线呢？那我们看到这里，哎呀，我们得到什么关系呢？哎，这两个角是相等的，这两个角是相等的，哎，刚才我们这个 c a o 与 c d o 两个三角等的时候啊， 嗯，那这个角就应该等于这个角了，对吧？ 那现在我们得到什么内容呢？ 刚才我们这两个角是相等的，这个角又等于这个角， 刚才我们的 a c o 与三点 d c o 两个三点相等，对吧？哦，大家来发现这里啊， 有一个叫做，刚才我们说这边等于这边已知，哎，现在这个等于这个，好，我们来找一找啊。哎，这两个三七，因为因为这个图画的不标准，所以让我看的就整的很别扭，所以等一会呢，我们重新去看图啊， 好，这个就等于这里面像呢，好，这两边像呢？哦，明白了，这两个角相等啊，这个角就等于这个角，呃，然后呢？就成了，哎呀，打三胡吧， 被人记好，好，这两个项呢，这两个项呢？所以现在我们就怎么办呢？我们用一个符号来表示，我们是这个角为 阿尔法啊，这角为阿尔法，这角为阿尔法。那在这个角为阿尔法， 这个角为阿尔法。这个角等于他，他在等于阿尔法，这个角等于他对阿尔法。那么这是二四五六，所以这里我们叫的六阿尔法，那就等于一百零五度，对不对？ 所以这个角 abc， 那 就等于多少呢？ abc 就 等于阿尔法， 对吧？阿尔法，那就等于多少呢？就等于这个两面除以三，对吧？阿尔法就是这里除以三就是三分之一百零五度，就等于三十五度吧。咦，做完了加 a b c 就 等于三十五度。 好，大家看一下我这个上一年教学生时所手写的，哎，这里我们就是用的是叫做一分为二的方法，这里我用的是合二为一的方法， 哎，这种方法过程没有详细的写哎，这一种方法的过程就稍微比较详细的写了一遍啊，哎，像刚才这个图画的就稍微好一点， 您看啊，这个已知 c a 加 a c 啊，加 a o 等于 c b， 所以 我在这个 c b 上接近 c d 等于 c a， 然后这个 d b 呢，那就等于 a o， 根据已知，呃，然后呢，两三千的时候呢，这个 d o 也等于 a o， 所以 这个 d o 等于 db 啊，大家发现 d o 等于 db， 于是呢，我们就知道这个这个角都相等四五六啊，我这里写角四、角五、角六都相等，角一呢，等于角二等于角三，而且角一等于这两角的和。 嗯，实际上这个 o d 跟 ab 是 平行的，但是这里我们也没用上去啊。好，那么我就用阿尔法，阿尔法二，阿尔法二，阿尔法二，阿尔法六，阿尔法等于一百， 呃，一百零五度，这里我没写是吧？好，那么当然我每一次写的步骤的时候呢，也不一定完全是一样的， 总之这里的题嘛，都是非常灵活的，换句话说就是有一定的难度的，一般的学生是做不出来的。 那么只要你是好学的学生，你坚持跟我去学听，其实我认为我讲的还是很清楚的，对吧？ 呃，这么好的，我免费跟你讲，你也得给我点个红心，对吧？给我关注一下，给我告诉你身边的啊好友，让他们也跟着学习，对吧？我不认识你，对吧？也可能你认识我，或者你不认识我。 传播更好的方法，让更多的人受益，这是有良心的表现，记得点赞关注哦。
03:51查看AI文稿AI文稿经典的好题，优秀的学生都觉得简单的题目，但是呢，实际上我们考试的时候是很多人都， 嗯，做不完全对的。我们看到八年级数学下册第一章，这里二十三题一直在正方形 a、 b、 c、 d 中， e 是 c、 d 的 终点， e 是 c、 d 的 终点， f 在 b、 c 上，且 b、 f 等于四分之三 b、 c、 b、 f 等于四分之三 b、 c。 第一个判断 a、 e、 f 的 形状， 并说明理由。第二个，如果正方形的面积是一十六，求 a、 f 的 长。哎，这题呢，哎，我们觉得怎么做更方便呢？有时他说的是正方形呢，我们说正方形的边长为四 a 啊，这样来做，所以大家平时都总结些，做，总结些，一是终点，所以 c 是 二一， d 是 二一，那么这样呢，我们就可以得到这个直角，那么一比二比根号五，所以这个呢？呃，那就是 啊，这个是一十六 a 的 平方加二的四，二十 a 的 平方，对吧？二十，根号二十呢？四五，二十二根号五啊，就是二 a 的 根号五倍。 哎，那么这个刚才说 b、 f 等于 bc 的 四分之三，所以这个就是三分，这就是一分，对吧？你看这只角，一比二比根号五，这就是根号五 a， 这三 a 呢？这四 a 呢？那就是五 a， 所以 这个我们来看呢？呃，根号五 a 的 平方就是五 a 的 平方，这个平方是五 a 的 平方， 对吧？这个 e、 f 的 平方等于二 a 括号的平方，加 a 的 五 a 的 平方，那么这个 a、 e 的 平方等于四 a 括号的平方加二 a 括号的平方，那就是一十六 a 的 平方加四 a 的 平方等于二十 a 的 平方， 那么这个 a、 f 的 平方呢？这里只讲等于三 a 括号的平方加四 a 括号的平方， 是吧？那就是九 a 的 平方加十六 a 的 平方等于二十五 a 的 平方，这个 a、 f 的 平方，二十五 a 的 平方，而 a、 e 加 e、 f 它们两个的平方和二十 a 的 平方加五 a 的 平方也是二十 a 的 平方，所以这里是直角，也就是说三角形 aef， 它属于直角三角形，那么当它直角三角形，如果说正方形的面积等于一十六正方形的面积，那就是说 s 正等于多少呢？就是四 a 的 平方， 正方形等于一十六， a 的 平方等于一十六，那 a 的 平方等于一， a 就 等于一，这里我们不要复制，那么 a、 f 等于五呢， 对吧？你看这题是不是变得很简单的呢？ 好，这里的第二十三题，呃，有的同学啊，嗯，没有设这个 a 啊，那这样有的是不大好做。还有的同学呢，设这个正方形的边长为 a， 你 设这边长为四 a， 你 看好做， 那你设 a， 你 自己设一下啊，还有人设其他的什么东西，这个地方我们要巧妙的设它为四 a， 这就变得这里很简单的了，对吧？ 那不要两分钟就能够把它做完的啊。但结果实际上考试的时候还总是许多同学写不清楚，记得点赞关注哦！
05:44查看AI文稿AI文稿你会用三角形的角平分线性质定，你去呃进行有关的计算吗？ 在这里是八年级数学下册第一张的。这里的三十一题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， c、 d 是 高 c， d 是 三角 a、 b、 c 的 高 c、 e 是 角平分线。 我们在上一节我们说了这个 c、 e 是 角平分线呢，那么它分对边所乘的两条线段， a、 e 比 b， e 是 等于 a、 c、 e 比 b、 c 的 啊。三角形的角平分线分对边所乘两条线段的比，等于这个角的两边之比。现在 a、 c 等于一十五， b、 c 等于二十，这不就三比四吗？ c、 d 等于一十二， c、 d 等于一十二，那么 a、 d 就 知道等于九了， a、 d 等于九，要求 c、 e， 这里是垂直的，我们把 d、 e 给它求出来就可以了，要求 d、 e， 我 们用 a、 e 解 a、 d， 所以 我们都要求求 a、 e 好， 那么由此我们就得到 a、 e 比上 b、 e 是 多少呢？哎，我们来看啊， 嗯，这里我们还得到什么东西呢？ 呃，得到刚才这个 a、 d 等于九啊， b、 d 等 b、 d 等于一十六。 那为什么呢？因为二十的平方减一十二的平方，四百减二百五十六等啊，四百减去一百四十四等于二百五十六，所以 b、 d 的 平方等于二百五十六， b、 d 等于，也就是 ab 等于二十五， ab 等于二十五。之后我们就得到这个是直角 哦，那就是 a、 c、 b 是 直角三，这个图就有点不太标准了啊。好，那么这个 a、 e 比上这个 b、 e， 那 就成了是二十五，减去 a、 e 好， 它就等于 a、 c 一 十五比上二十，不就是等于那个五三一十五，四二十。 好，我们来算一算啊，四倍的 a e 就 等于三乘二十五，七十五减去三倍的 a e， 呃，移过来啊，七倍的 a e 等于七十五， a， e 等于七分之七十五，是吧？ 好， a e 等于七分之七十五，那我们看它 d e 等于多少？ d， e 就 等于 a e 七分之七十五，减去 九九就是七分之六十三，七分之六十三，那就是七分之七十五，减七分之六呢，就是七分之一十二。 好， d 等于七分之一十二的话，那我们看呢， c e 就 应该等于根号， c 等于等于一十二的平方，加上七分之一十二的平方， 即使这里啊，有的同学懂这个道理，你也不一定能够算的出来，你看就这个根式就不知道难死了多少人，你看这里得多少呢？可以得一十二的平方， 对吧？加上一十二的平方，乘以四十九分之一，对吧？就七分之一十二，跨的平方就一， 一十二乘一十，这七就四十九，那为什么这样写呢？那我们就可以写着一十二的平方，这里就可以括号，一加四十九分之一就是乘以四十九分之五十就是 一，就是四十九分之四十，四十九分之五十，而一十二拿出来等于一十二，这个四十九拿出来等于七，这五十拿出来呢，就等于这个二十五乘以二二十五就是五，哎，就这样的，所以就等于七分之六十根号二。 好， c 等于七分之六十根号，那这题我们就做完了，好，刚才的这里具体的过程呢？ 好，我们可以看到这里的具体的过程截，因为 c d 是 高，对吧？所以这个 a d 呢，我们就等于根号的十五的平方减十二的平方等于九 b d 呢，等于根号的二十的平方减十二的平方等于十六，所以 a b 呢，就等于二十五。 嗯，因为这个，嗯，这个，刚才我说这是直角三角形吧，但是这里不用，直角三角形也是可以做出来的，所以我这里就没有用，没有把这个直角三角形写出来， 对吧？因为这个 c e 平分角 a c b， 所以 a e 比 b e 等于 a c 比 bc， a e 比二十五减 a e 等于 呃，三比四。刚才 a e 的 七分之二十五， b e 的 七分之一十二，所以 c e 呢，就等于根号七分之一十二。跨的平方加十二的平方等于七分之六十。根号二。 这道题啊，不仅要理清它们之间的关系，还有这个计算的过程也是难倒了不少人。 嗯，这题当然也不是那么特别的难，不过对于大多数同学来说还是做不出来的。所以我这里的视频呢，也没有多少人喜欢看。 呃，如果你刷到了我的视频，并且坚持看了我的视频，那说明你一定是一个非常好学的，非常优秀的人，记得点赞关注哦。
05:06查看AI文稿AI文稿巧妙的方法，求三角形三边高的关系 啊！这里的几何证明呢？咱们怎么样呢？快速而又正确地把它证出来呢？有的同学布置的很复杂，我们看到这里的八年级数学下册第一张的三角形的第七题，如图，在三角 a， b c 中， a， b c 等于 c， a c b d 垂直 a c 于 d， p 是 a b b c 上一点 p e 乘以 ab， p f 乘以 ac 乘除是 ef， 求证 p e 加 p f 等于 b d。 那 么对于这里的这个题目呢，我们其实有一种很简单的证明方法，那就是说我们把这个叫做 a p 啊，给它连起来， 那么连接 a p 的 话，我们根据 s 三角形 a， b， c 可以 等于二分之 a， c 乘以 b d， 那 么可以等于 a b p 与 a c p 面积二分之一的 a b 乘以这个 p e 加上二分之一，这个 a c 乘以 p f。 由于 p a b 等于 a c， 所以 二分之 a c 二分之 a c 二分之 a c， 所以 我们就有了这个 b d 啊，是等于 p e 加 p f。 很 简单的啊，我们用这种方法， 比如说我们看下面的这个第八题， p e 是 等边三角形内的一点 啊， p e 拆出 ab 如 e， p f 拆出 b c 如 f， p g 拆出 a c 如 g， 其中 b d 呢？又拆出 a c 如 d。 要求的 p e 加 p f 加 p g 等于 b d， 那 么跟刚才上面一样的，上面是等腰， 这里呢是等边，那么等边，咱们把 p b， p c 呃 p a， 咱们都把它连起来， 所以我们可以到 s 三角形 a， b c， 那 加 s 加正三角形，对吧？可以等于二分之 a， c 乘以 b d 啊，三角 a， b、 c 的 面积，因为这里说的是等边三角形，二分之 a c 乘以这个 b d， 那 么等于呢？ a c p 的 面积二分之 a， c 乘以 p g， 然后加上这个 b， p c 的 面积二分之一 b， c 乘以 p f。 还有三 a b p 的 面积二分之一 a， b 乘以 p e。 那么因为这是正三角形，所以我们就有 a b 等于 a， c 等于 b c， 对 吧？二分之 a c， 二分之 a c， 二分之 a c， 二分之 a c， 那 么我们同两名同学注意，所以 b d 就 等于 p g 加上 p e 加上 p f。 哎，这种方法是很简单的证明方法。好，大家看一下我这里的第七题，你看，写这么一点点。 第八题，你看写这么一点点，但是刚才我在说的时候，有些这个垂直的也都没抄出来 啊。那么，呃，对于这道题来讲呢，我们有的同学用一些啊，其他的方法，我们再说一遍，比如说有的同学在这里啊，他做这个什么东西呢？我们看看吧，他做这个 p m 乘以 b d， 然后 p m 垂直 b d， 然后这里直角，这直角证明 p m d f 是 一个矩形，然后这个 p m 呢，就等于这 m d， 然后呢，根据这个 p m 平行 a c， 因为这里是直角，这里直角，对吧？两直线，这个 哪呢？这直线跟这直线平行，对吧？这里是垂直的，这里是这个同位角相等， 对吧？那么这两直线平行，然后呢，它就可以得到什么呢？得到这个角 m p b 等于这个角 c 啊，因为 a b 等于 c， 所以 角 e b p 等于角 a c， p 等于角 m c p， 然后这里只角，然后这只角，它说三角形呢？角 e b p 前等于三角形 m p b 啊，然后呢，就可以得到这个 p e 呢？ 呃，等于什么呢？ bm 哎，这种方法是对的啊，但是它过程写起来就多了，所以我们说我们应该尽可能用一些简编的方法，这里呢就是用面积法， 所以这个面积法非常简单。希望听了我讲的同学一定要学会这种方法，记得点赞关注哦。
06:24查看AI文稿AI文稿我班最聪明的数学男孩，这道题啊，呃，都要来问我的， 呃，这是八年级数学下册第一张，我这里编印的这个题目啊，这里的题目每天我都跟大家讲，这就非常好的题目啊，锻炼您的数学思维，对吧？这期题目如果您都会做，都弄懂，高中数学就好办了 啊，未来大学，那一定不会差的，那至少是二幺幺以上的大学，但是要坚持去听我每天都给大家讲好的题目。 好，我们看到这里的第三十五题，如图，在三角 a、 b、 c 中， ab 等于 ac， 角 a 等于二十度，角 a 等于二十度啊，我们把它标一下啊，这个是二十度， 然后有 a、 b 等于 a、 c， 那 么一百八十加二十，一百六十，一百六十除以二，那就等于八十度，所以这个角等于八十度， 咱们标出来，对吧？ a、 b 等于 a、 c 等边对等角角 a、 b、 c 也是八十度，但是这里有一个 b、 d 平分角 a、 b、 c， 所以 这个角就是两个四十度啊，这个就变成两个四十度的角， 你看四十角，八是一百二十度，那这个角就是六十度，当然这个角一百二十度。这些角都搞清楚了， 现在 bc 等于 m， b、 d、 b、 d、 b、 d 等于 m， 问， a、 d 等于多少？你说从哪里找起呢？ 对吧？我呢，其实在此后呢，也尝试了多种方法啊，嗯，然后呢，我们，嗯， 那发现他们这角之间的关系，你看啊，这个四十、四十、八十、六十，所以咱们把这个 b、 c、 d 啊，给它翻过来啊，你看这个 b、 c， 如果说咱们把它把这个 b、 c、 d 翻到这边来 啊，翻到这边来，你看这里是 e， 因为这两个角下呢，我们要做 b、 e 等于 bc， 对 吧？这个是公共边， b、 d 公共边，对吧？三角形 b、 e、 d 前等于三角形 b、 c、 d， 那么我们就得到了这个 b、 e 就 等于 bc 等于这个 m， 而且呢，这个角等于八十度，对吧？那么这个角等于六十度，哎，六十六十呢，这角也等于六十度，这角等于二十度的话，那这角等于一百度， 哎呀，这又不是特殊三角形，怎么办呢？所以我开始呢，准备做这边的中垂线， 但实际上这不行的，这就是为什么我们班上成绩最好的男孩啊，他也就没有，所以我们刚才把这个翻过来，现在我们把这个 b、 d、 e 又把它翻一遍，沿着，因为这六十六十，我们把这个 d、 b 呢，我们要翻到这里来 啊，这个 b、 d、 e 翻成这里，比如说 f 好画的可能不一定那么标准啊，翻成了这个 f， 好， 我们现在有什么东西呢？这个就是叫做三角形 d、 b、 e 前等三角形 d， b、 e， d、 f、 e 好，把它放到这边来，那么就是做这个叫做 b、 d、 m 吧，那么叫做 d、 f 等于 n， 对 吧？做这边等于这边，然后这六十六十，这公共比好了，然后这个四十度呢，这里就是四十度了， 对吧？哎，这个角是八十度了，哎，那这角是二十度了，哎，所以这 e、 f 就 等于 a， f 等角等于 e， f 多少呢？ e， f 就是 这个叫做 b、 e 翻过来的，所以这边等于 m， 好， 那这边等于 m， 那 这个就做完了，所以这个 a、 d 就 等于 m 加 n 做完了，对吧？你看懂吗？好，有时间的关系，我的过程呢，我这是上一届教学生的时候所写的过程，你看我都是手写的，画图的，你看我是不是非常认真的， 嗯，我现在讲给你听，又没有收你的钱，对吧？哎，我又不认识你，你说这么狠耐心的跟你讲，你为什么不给我点个赞，不关注，不告诉你身边的同学，让他们也跟着一起学呢。 好的东西传不过更多的人，对吧？那么我觉得我这是凭自己的良心在呃传达呃这个知识啊，传播知识，那么希望有更多的呃小伙伴呢，能够取得好的成绩， 不管你是我的学生，还你不是我的学生啊。我现在教书四十年了，马上两年就退休了，所以我未来我坚持每天都跟大家讲好的题目，但以后死的时候呢？哎，我也知道我能够做了一件好事， 告诉你身边的人，让他们都坚持都跟着我们一起来学啊。这道题是很难的 啊，由于时间，这个中间的过程不大粗了，直接把这个 b、 c、 d 翻到这里， b、 e、 d， 然后把这个 b、 d、 e 呢又翻到这边了， 然后又成了是这两个切点，这两个切点这里是等腰就把这个 m 变成了这个 m， 变成这个 m， 这个 m 呢就变成这个 m， 这个 a、 d 呢？就是 m 加 n。 你看你以后多练了这样的题目，等考试的碰到那些稀奇古怪的难题的时候，你就觉得不害怕了，记得点赞关注哦。
05:32查看AI文稿AI文稿百分之九十的学生不会的，二元二次不定方程的求法。 八年级数学下册第一章的。呃，一个直角三角形的三条边长呢？都是整数。 呃，这里不仅仅是整数啊，而且它是正整数啊，虽然没有写正字，实际上是正整数的意思，也只有他的一条直角边的长是一十五啊，这个一十五是一条直角边， 那么另外一条直角边有几种可能性？最大的是多少？当然了，呃，三角形当中还有个斜边的问题。哎，那这里我们怎么办呢？ 哎，我们已经知道是直角三角形，我们根据勾股定律啊，咱们来求一下，咱们说一，另一条直角边， 它的长度是 x， 还有斜边它的长度呢？是 y。 呃，这样我们就知道了， x 小 是 y， 对 吧？当然这里还有它们都是整数，这个要搞清楚，那么根据勾股定律我们就可以知道 x 的 平方加上这个一十五的平方啊。是的， y 的 平方， 也就是说 y 的 平方减 x 的 平方等于二百二十五， y 的 平方减 x 二百二十五。那么由于它们是整数，所以我们就想 y 的 平方减 x 平方二百二十五等于什么呢？那就可以理解为是 y 加 x 乘以 y 减 x 等于一乘以二百二十五 等于那个二等于多少呢？哎，我们把二百二十五给它分解一下，有多少个音？是啊，那个三七二十一，三五一十五，三三二三得六三五，一十五，五五五二十五。哎呦，那就是二十五乘以九了， 所以一乘以二百二十五可用三乘以多少呢？七十五，嗯，那可以等于五乘以九四十五啊。嗯，那就还可以等 三乘以九乘以二十五，还有么？就是等于两个相乘，是吧？五，两个五，嗯， 五五，二十五乘以三七十五，这里有了三三三得九，三五，一十五，九，还有吗？ 好像就这么多啊。好，那么这样呢？ y 加 x， 那 比 y y 减 x 要大，所以，那我们就可以知道， y 加 x 可能是二百二十五， y 减 x 可能是一，那么这个时候两个相加二， y 就 等于二百二十六 啊，挖的二，挖的二百二十六，二百二百二十六，挖的一百二百二十六，一百一十三，所以 x 那 就应该等于一百一十二了啊。 c b， 所以 也就是一十五，一百一十二，一百一十三。 好，那我们看了，可能是 y 加 x 等于七十五， y 减 x 等于三， 对吧？题目只是求直角边啊。那我们就两个相减吧， y 减 y 等于零， x 减负 x， 二 x 七十五减三就七十二，七十二，二， x 等于七十二， x 就 等于三十六， 对哇，你可以不求题目，问的是另外一条直角边，对吧？好，我们看到可能是 y 加 x 等于四十五， y 减 x 等于五，那我们只求 x 的 话， 嗯，把两个相减 x 减负 x， 二 x 四十五减五就四十二， x 等于四十， x 就 等于二十， 对吧？好，那还有， y 加 x 等于二十五， y 减 x 等于九， 那么这样我们就可以得到 y 等于 x， 我 们求 x 两个相减二 x， 这个就是二十五减九，一十六啊，一十六，二， x 等于一十六， x 等于八，所以 x 的 最小值是八，八十五十七， 对吧？八十五十七，那么然后呢？ x 的 最大值，也就是说另外一条 gdp 的 最大边最大的情况是一百一十二。好，这题我们就找完了，有四种可能性 啊。第二十二题有四种可能性，对吧？呃，另外一条 gdp 有 四种可能性，可能是一百一十二，可能是八，那么它最大的可能性那就是一百一十二。 好，这里的您看到这里就是两个位置受到二月二次方程。哎，他的解呢？在。 呃，如果在单独这个方程，他是无限所解的，所以在有限的呃，这个正整数的这个特定的实际的限制的条件下，他就成了。呃，有一些有限的解了。 好，这个不定方程呢，学的多利，让自己更聪明，记得点赞关注哦。
06:01查看AI文稿AI文稿理不清的面积之间的关系，八年级数学下册第一张的三角形的第二十五题， 以至于图在正方形 abc 中，点 e 在 b、 c 上，点 f 在 c、 d 上啊，这里首先告诉是正方形 abcde， 还有三角形 a、 e、 f 是 等边三角形，当然我这里的这个图画的不太标准啊，求证，三角形 c、 e、 f， 呃，它的面积与三角形 a、 b、 e 还有 a、 d、 f 的 面积相等， 这一个三角形的面积等于两个三角形面积的和。所以在这地方我们怎么办呢？我们想办法把两个三角形的面积合二为一，所以在这里我们可以延长 c、 b 到一点， 是吧？使这个 b、 g 等于这个 d、 f， 就是 说我们把这个三角形移到这里来，当然我们可以说把三角形 a、 d、 f 绕着点 a 顺时针旋转九十度 啊，那么也是可以的。这个就说这个辅字线呢，每个人呢他的说法，呃，在写的这个时候可能有不一样的 啊，所以比如说我这里是延长 c、 b 到一点积时， b、 g 等于 d、 f， 由于正方形这里直角，这里直角，这里直角，然后呢，这一边等于这一边，所以我们就有了三角形 a、 d、 f 是 前等于三角形 a、 b、 g 的 啊，这个三角形全等的，那么这个三角形的全等呢？所以这个三角形的面积就等于这个三角形面积，嗯，所以我们现在只要证明这两个三角形的面积相等就可以了。我们现在怎么设呢？设等边三角形的边长是 a， 那么等边三角形的边长是 a 的 话，那么 s 三角形 c、 e、 f， 那 就等于二分之一乘以 a， 由于这是直角，这个就应该， 嗯，实际上刚才这里啊，这个是六十度的角，这两个三角形也是相等的。我们刚才说这两个三角形啊，其实这两个三角形也是相等的，为什么呢？因为这个 a e 等于 a f， 嗯，这直角等于直角，这个 a b 等于 a d， 哎，根据斜边直角边啊，这个根据 h l， 哎，这个呢，是根据那个 s a s， 对 吧？根据 h l 叫做三角形 a d、 f 是 前等三角形 a、 b、 e 啊，这个根据 h r t e 三角形， 嗯，那么也就说刚才 d f 是 等于 b e 的， 那么所以 c e 等于 c f， 呃，于是这个等腰直角三角形，它的面积二分之一乘以底乘以高，高是多少呢？高就是底边的一半，等于二分之一， 也就是等腰占据底边的中线，等于底边的一半，也就是四分之 a 的 平方。 那我们来看到这个 s 三角形 a b e 加上 s 三角形 a d f， 那 么刚才我们说 s 三的 a d f 等于 s 三 a b e， 所以 就等于 s 三 a g e， 那 么 s 三 a g e 就 等于 a f， 那 么高过多少呢？我们过点积作 做这个垂直，对吧？做，比如说 e m e m 垂直，那我们刚才实际上这个是六十度， 哎，刚才我们说这两三千呢，你说这就是一十五度，这也是一十五度，对吧？那么这个角也是一十五度，那就说在这个三角形 a m b 中，三十度角所在的 b a 等于斜边的一半， 呃， em， 那 就等于 a e 的 一半， em， 等于 a e 的 一半，所以 em 呢，也就是二分之一 a 了，耶，不也就等于四分之 a 的 平方吗？ 对吧？所以这两个三角形的两个面积和等于这个面积，那么这一题呢，我们就整完了， 哎，当然刚才这里只是说一下怎么做，而且这个图呢，还不咋标准，所以大家可以看一下这里的已知在这么些 a、 b、 c、 d 中，对吧？三角形 a、 e、 f 是 等边三角形 e、 f 在 边上， 要求准三角形 a、 e、 f 的 面积等于三角形 a、 b、 e 的 面积加上三角形 a、 d、 f 的 面积。 好，那么这个我现在这里的证明过程在这里，对吧？呃，我这里写的时候呢，是把三角形 a、 d、 f 绕着叠，甚至这旋转九十度啊，根据旋转得来的，我刚才呢，这里是延长它，呃，这个都是没有关系的， 好，这里的过程自己把它理一遍啊。 s 三角形 c、 f 是 等于四分之 a 的 平方， s 三 a、 b、 e 加 s， a、 d、 f 也是四分之 a 的 平方，所以刚才呢，我们说这个等边三角形的三边的长度为 a 啊，具体的过程呢？呃，自己去看啊，这里呢，在没有看到这个过程之前呢，我想很多学生是做不出来的， 即使这里我讲了，也仍然是很多人做不出来的，所以我的视频呢，没有多少人看，因为现在呢，也没有多少人想读好书的，记得点赞关注哦！
06:10查看AI文稿AI文稿经典的好题， 把你的竖起下侧第一张的这里的第二十六题，如图，在三角形 a、 b、 c 中， b、 c 的 垂直平分线交 b、 c 于 d。 注意啊， b、 c 的 垂直平分线，所以一定要搞清楚，垂直平分线上的点到线段两端距离相等的两端，对吧？那么它的中垂线上的点， 他说加 bc 与 d， 那 就是 e， d 是 bc 的 重叠性，那这个 e 呢？到 b 的 距离和到 c 的 距离，那就是相等的，中垂线上的点到线上的两段距离相等啊，把这个一定要搞清楚，那要该背的背熟。 角角 b、 a、 c 的 平分线，如点 e、 b、 a、 c。 哎，这又来了一个角 b、 a、 c 的 平分线呢？角平分线上的点呢？它又是到角的两边距离相等的 这个角 b、 a、 c 的 两边好，到角的两边，比如到角的这一边 啊，这个距离大，角的这一边，哎，这里 e、 f， 这是垂直的，那就说 e 大 a、 b 的 距离，哎，那就是 e f e 大 a c 的 距离呢？哎，这个题目上没有，那我们就做一下这个 e g， e g 垂直于 a、 c 如 g， 那 么这里也就是说有这个叫做 e f 的 e g， 哎，那我们就可以得到这个三角形 e f b。 三角形 e、 f、 b 就 全等于，那我们叫 r t 三角形 e t c。 好，我们加个 r t e， 就是 说我们根据 h l 来证明两个三角形。切等的时候啊，我们通常把 r、 t、 e 给我写出来啊，斜边直角边，对吧？斜边 e、 b 等于斜边 e c。 直角边 e、 f 等于直角边 e、 g 分别是线段中垂线上的点到线段的两端距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等。呃，已知好像都用完了啊。 嗯，现在我们要求成 a f 等于二分之一的 a b 加 e c， 我 们来找找 a f 在 哪里？在这里。 那么刚才我们得到这个就是这个 e b 啊。 呃，说错了，叫做 f b 啊，叫做 f b 等于 c g f b 等于 c g。 那 么现在我们还要得到什么东西呢？就是刚才我们说这个 e f 等于 e g 的 时候啊，实际上我们可以得到三角形 a e f 是前等于三角形 a e g 的， 你看这是角平分线，对吧？呃，这里是直角，这直角这个 a e 是 共边。 嗯，当然呢，这个 a s。 我 刚才直接用角平分线的。这里大家的两边距离相等，但是在这里呢，我们要证明这个 a f 等于 a g e， 所以 我们是不是把这个三角形 a e f， 如 a e g e 两三切等呢？给它写一写。 你看， af 就 等于 ag 了，对吧？ af 等于 ag， 那 我们看到 af 是 什么？ af 就是 ab 加 bf 等于 ag， ag 等于什么呢？等于这个 ac 减 cg 是 吧？ ac 减 cg 就是 ag， 所以 我们来看哈，这个 af 等于 ag， 那 就是 a 二倍的 a f。 哦，这个题目说这两边我们同时乘以二的话，二倍的 a f 可以 立，就是 a f 加 a g 啊， a f 加 a g， 就是 ab 加 b f， 再加上一个 a c 减 c g， 刚才这个 b f 等于 c g， 你 看 b f 等于 c g， 所以 b f 减 c g 等于零，那就等于 ab 加 a c 了， 所以能看到二倍的 a f， 所以 a f， 那 就等于二分之一的括号 a b 加 e c。 好， 这样呢，我们就整完了。 嗯，刚才只是给大家分析这个过程，那我们来看一下这里的具体的这个证明的步骤 已知， bc 的 中轴线还有角 bc 的 平分线啊，这个图就画的标准多了。 呃， b c 的 重叠性，我们得到 e b 等于 e c 角的平分线上的点 e e f 等于 e g 啊，这个 e g 是 我们所做的啊， 哎，我们就可得到 a f e 和 a g e 两个三角形等，所以这里我们有 a f 等于 a g 啊，当然这里 e f 等于 e g 也是有的。 呃，我们还要证明这个 b f e 跟那个 b f e 跟那个 c g e 啊，这两个三七呢 h l。 所以 我们得到 f b 等于 g c， 所以 a f 等于 a g e 的 话， 哎， a f 等于 a g a g 是 等于 a c 减 c g。 哎，我这里不是这么写的是吧？嗯，我这里是这样写的。好，但不管怎么推导，我们最后的二倍的 a f 等于 ab 加 ac， a f 等于二分之一的 ab 加 ac。 多练一练，熟能生巧，几何就变成容易的，因为在中考的时候啊，几何的题目你要么拿满分，要么你就是得零分。记得点赞关注哦！
05:23查看AI文稿AI文稿你能分清三角形的角平分线与角平分线的它们这个定力之间的关系吗？ 八年级数学下册的第一张，我们这里的第三十题，如图， a、 d 是 三角形的角平分线。 请注意，三角形的角平分线呢，是三角形一个角的平分线与对边相交交点与顶点之间的这个线段叫做三角形的角平分线啊。所以三角形角平分线呢，它是一条线段， 而角平分线向我们前面这个整就是角平分线的，应该是一条射线。角平分线上的点到角的两边距离相等啊，比如说，这是角平分线到角的这边，这边的距离相等，那是角平分线的性质定力。 那么这个三角形当中的角平分线呢？当然这个点 d 到这个两边的距离当然也是相等的， 比如说我们做这个 d、 e 垂直 ab 于 e， 做这个 d、 f 垂直于 a、 c 于 f， 对 吧？那么已知这个 a、 d 平分角 bc， 所以 d、 e 也是等于 d、 f 的。 但是在三角形当中啊，它不仅是 d、 e 等于 d、 f， 而且呢，它分对边所乘的两条线呢？ b、 d 和 c、 d 它们的比呢，刚好是等于 a、 b 与 a、 c 的 比， 这就是三角形的角平分线分对边所乘两条线段的比，等于这个角的两边之比。 这个，呃，要记住。但是我们的北斯拉版课本呢，没有讲这个东西，但是以前的老课本呢，是经常考的，我读书的那个时代，这个东西是经常考的 啊，所以我们，呃，想优秀的学生也还是要把它弄清楚好。我们来说，为什么 b、 d 比 c、 d 等于这个 a、 b 比 a、 c、 e 呢？ 当然不同的同学有不同的做法，那么在这个地方呢，我们根据 s 三角形 a、 b、 d 比 s 三角形 a、 c、 d， 这个 a、 b、 d 与 a、 c、 d 啊， 它的在这里的，我们如果就刚才我们画的这个图，可以等二分之 a、 b 乘以这个 d、 f， 对吧？三角形的面积二分之一乘以底乘以高，二分之一乘以底乘高啊，这二分之一又分呢 d 的 d、 f， 刚才我们说了 d 是 等于 d、 f 的， 所以它就等于 a、 b、 b， a、 c。 所以 这个三角形 a、 b、 d 与三角形 a、 c、 d 面积的比，它就是 a、 b、 b、 a、 c。 但是呢，我们又知道三角形 a、 b、 d 比三角形 a、 b、 a、 c、 d 啊，可以理解，是什么呢？二分之一 b、 d 乘以这个高 a、 h 啊，我们过这个 a 啊，做这个 a、 h， 这就是这 bc， 所以 二分之 b， d 乘 ah。 那 么 a、 c、 d 的 面积呢？二分之一，这个 c、 d 乘以 a、 h。 现在你看二分之一个分 a、 h 一个分，所以 b、 d 比 c、 d 的 ab 比 ac。 哎，这样呢，我们就把它证完了，这个我们是通过面积来证明的。 好，大家看一下这里的完整的证明过程。已知图 a、 d 是 三角形 a、 b、 c， d 角平分线求证 b、 d 比 c、 d 等于 a， b， b、 c 证明作 d， e 乘以 ab 为 e 作 d， f 乘以 ac 为 f 又作 a， h 乘以 b， c 为 h， 则 s 三角形 a、 b、 d 比 s 三角形 a、 c、 d 乘 a， h 比上二分之 c， d 乘 a、 h。 当然它也同时等于二分之 a， b 乘 d， e。 呃，比上二分之 a， c 乘 d， f。 二分之二分之约掉了 a、 h 约掉了 d， e 等于 d， f， 嗯， d， e 等于 d、 f 呢？你看到这里，我这里补充说明了， 对吧？嗯，这个因为 a d 平分角 bc， 嗯，这里的车值已经说了，所以 d e 的 d f 啊， d e 的 d f。 那 么这样呢？我们就有了 b d 比 c d 的 ab 比 a c。 把这个记住。再说一遍，三角形的角平分线分对边所成两条线段的比等于这个角三角形的角平分线性质定律。 呃，另外，那个角平分线的性质定力是角平分线上的点，大家的两边距离相等，你是否都搞明白了？都记住了， 这些都是优秀的学生，都熟能生巧的解决几何问题的一个重要的保证，记得点赞关注哦！
