2025常州市中考数学标准答案

好，同学们，我们看下第八题。在马拉松、公路、自行车等耐力运动的这个比赛当中，为了合理分配体能，那么运动员呢？通常会记录每每行进一千米所用的时间，记配数，注意配数指的是什么？ 哎，就是最终表示的是行驶一千每一千米啊所花的时间，所以最终他还是时间是一个时间吧，对不对？所以小华参加五千米的这个骑行比赛，他的骑行配速就是每千米花的时间嘛，那么比如说第一千米花的时间是 四点几分钟，那所以他这个速度肯定比较慢了，那么第二千米花了三分钟，是不是？所以很明显第二个这个速度要更快，也就是说这个配数越大，它速度就会越慢，是不是配数越小，速度就会越快，那么第一 千米使用的时间是最长的，对的，他用了四点几，哎，剩下的这个都是什么？三三，这个不到四，这个就是二点几了，对不对？所以最后这个冲刺阶段速度是最快的，因为手滑的时间最短，所以 第一个是对的。他让你选错误的，那么 a 肯定不选，那么五千米的平均速度是最大的，对了，你看第五千米这个所画的时间，他是最短的，是不是他的配数最短？配数最短就意味着他行驶这个一千米所画的时间是最短，时间最短，说明他的平均速度是最大的，所以 b 也是对的。 再看 c， d 二千米和 d 三千米的平均速度相同，我们可以看一下第二千米所花的时间是三，第三千米所花的时间相同，所以自然它们的平均速度是相同的，所以 c 也是对的，那这个题目排除只能选 d， 那 么 d 为什么错呢？我们看一下 前两千米的平均速度大于后两千米的平均速度，是怎么计算的呢？ 我们看一下前两千米他所花的时间是多少啊？哦，两千米，我们可以算一下前两千米花的时间，第一个是差不多四点几吧，那么四点几我也不知道，那我就假设他是四点五吧，当然也不一定是四点五，反正就是四点几了，哎，再加上第二千米花的时间是不是三三， 那个相当于是三分钟啊，那么这个正好在这个三上面，是吧？这是前两千米的时间呢，我们也看一下他的路程是两千米，时间是多长呢？哦，这个相当于是 可以发现差不多是三点几，那三点七可能是，那我们就假设大约的，那么最后这个一千米说话的时间是多少呢？哦，很明显只有二点几， 二点几，所以你可以算一算啊，他们两个的平均数，这个分子都相同分母，很明显这个分母要大，所以很明显前面这个速度一定是小于后面这个速度的，所以他不可能是 大于，所以肯定是错了。你或者说你可以通过常识来判断最后要冲刺的，那最后的两千米的平均速度，冲刺阶段的速度肯定是比刚开始的速度要快的呀，所以常识上面来理解它也是不可能对的，所以正确答案，哎，选错误的指示一定是 d 错了。

同学们，我们来看这道题，题目说在一个直角三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 是 直角九十度挨的这条线平分角 c、 a、 b， 也就是角 c、 a、 d 等于角 d a、 b。 已知角 c、 a、 d 的 余弦值是十二比十三 ab 这条边的长度是二十六，现在要我们求点 b 到 a、 d 这条线的距离是多少？大家先看看题目和图形有没有哪里不明白的？ 老师，我有点看不懂这个图形。题目说 ad 平分角 c、 a、 b， 但是图形里 ad 看起来是从 a 到斜边 b、 c 上的点 d， 这样 ad 就是 角平分线吗？还有点 b 到 ad 的 距离是什么意思啊？ 同学，你这个问题问的特别好，咱们一步一步来看啊。首先， a、 d 确实是角平分线，角平分线是啥意思呢？就是从角的顶点 a 出发， 画一条线，把角 c、 a、 b 平均分成两个一样大的角，这条线就是 a、 d。 你 看 a、 d 从 a 点出发，连到 b、 c 边上的地点，完全符合角平分线的定义。 再来说说点 b 到 a、 d 的 距离，这个距离怎么算呢？我们学过点到直线的距离，对吧？就是从点 b 往直线 a、 d 画一条垂线，假设垂足是 q， 那 么这条垂线段 b、 q 的 长度就是我们要的距离。我在图上给你标出来啊， 停顿一下，现在清楚了吗？哦哦，我明白了。 a、 d 把角 c、 a、 b 分 成两个相等的角，然后 b 到 a、 d 的 距离就是从 b 垂直划到 a、 d 的 线段的长度。 老师，那接下来我们该怎么求这个距离呢？我看题目给了扣三角 c、 a、 d 等于十三分之十二，还有 a、 b 等于二十六，这些要怎么用啊？很好，你已经抓住了关键条件，咱们一步一步来分析。 题目告诉我们， cosine 角 c、 a、 d、 d 等于十三分之十二，而且角 c、 a、 d 是 一个锐角，在直角三角形里，余弦值就是邻边比斜边。你看角 c、 a、 d 在 哪个直角三角形里呢？ 对了，因为角 a、 c、 b 是 九十度，所以三角形 a、 c、 d 就是 一个直角三角形，角 c 是 直角， 那么角 c、 a、 d 的 邻边就是 a、 c， 斜边就是 a、 d， 所以 cos 角 c、 a、 d 等于 a、 c 比 a、 d， 也就是十二比十三。我们可以设 a、 c 等于十二 x， a、 d 等于十三 x， 这样比例正好是十二比十三。 根据勾股定律， c、 d 的 长度就能算出来了， c、 d 等于根号下 ad 平方减 ac 平方，也就是根号下括号十三 x 平方减括号十二 x 平方，等于根号下二十五 x 平方，也就是五 x。 这样一来，我们就能得到三角 c、 a、 d 等于对边儿比斜边，也就是 c、 d 比 a、 d 等于五 x 比十三 x， 约分后就是五比十三。这个三角 c、 a、 d 的 值很重要，咱们先记下来。现在 a、 d 是 角平分线， 所以角 c、 a、 d 等于角 b、 a、 d， 我 们把这个角叫做 alpha。 再看直角三角形 a、 b、 q， 角 q 是 直角 b、 q 就是 我们要算的距离， ab 是 斜边。题目说 ab 等于二十六角 b、 a、 q 也是 alpha。 在 这个直角三角形里，三等于什么呢？对了，三角法等于对边比斜边，也就是 b、 q 比 ab， 所以 b、 q 就 等于 a、 b 乘以三的。刚才我们已经算出来，三等于五比十三， a、 b 等于二十六， 所以 b、 q 就 等于二十六乘以五比十三，结果是十，这样就求出距离了。现在你觉得哪一步还需要再详细解释吗？ 哇，原来是这样，我明白了。先用 cos 角 c、 a、 d 等于十三分之十二，在三角形 a、 c、 d 里设出边长比例，然后用勾股定理求出 c、 d 得到三角 c、 a、 d 等于十三分之五。因为 a、 d 是 角平分线，所以角 b、 a、 d 也是凹法。在直角三角形 ab q 里，用三凹法等于 b q 除以 ab， 就 能求出 b q 了。 不过老师我有个小疑问，为什么我们不用先求出 x 的 值呢？这个问题问的特别好，你观察的很仔细，我们设 ac 等于十二 x， a、 d 等于十三 x， 这里的 x 其实是一个比例系数目的，是用字母表示出边长的比例关系。你看，当我们求三角 c、 a、 d 时，用的是 c、 d 除以 a、 d， 而 c、 d 等于五 x， a、 d 等于十三 x， 所以 c、 d 除以 a、 d 等于五 x 除以十三 x， 这里的 x 就 约掉了，直接得到十三分之五。也就是说，三角 c、 a、 d 的 值和 x 的 大小没有关系，不管 x 是 多少，这个正弦值都是十三分之五。 后面求 b q 时， b、 q 等于 ab 乘以赛尔法， ab 是 已知的二十六，赛尔法已经求出来是十三分之五，所以直接用二十六乘以五除以十三，就能算出 b、 q 等于十。整个过程里， x 根本没参与最后的计算， 所以设 x 只是为了方便我们用比例关系表示边长，最后 x 会被约掉，不需要具体求出 x 值，这样是不是更简洁啊？ 原来如此， x 是 一个中间变量，最后会被约掉。老师，我还有一个问题，如果题目没有给出 a、 b 的 长度，只给了 cos 角 c， a、 d 等于十三分之十二，我们还能求出 b、 q 吗？ 这个问题非常有深度，咱来仔细分析一下。 b、 q 是 点 b 到 a、 d 的 距离。根据之前的推导， b、 q 等于 ab 乘以 sine 阿尔法，这里的阿尔法就是角 c、 a、 d sine 阿尔法的值是十三分之五，这个值是固定不变的。 因为 cos 角 c、 a、 d 等于十三分之十二，已经确定了这个角的大小，但是 b、 q 的 长度还取决于 ab 的 长度。举个例子来说，如果 ab 等于十三，那么 b、 q 就 等于十三，乘以十三分之五， 结果是五。如果 ab 等于二十六， b q 就是 二十六，乘以十三分之五等于十。再比如， ab 等于三十九， b q 三十九乘以十三分之五，结果是十五。 你看 ab 的 长度不同， b、 q 的 结果也会跟着变化。所以，如果题目没有给出 ab 的 具体长度，我们只能得到 b、 q 等于 ab 乘以十三分之五这个关系式，但没法算出具体数值。 因此， ab 的 长度是求必扣的关键，已知条件，没有它，我们就无法确定必扣的具体距离。老师我完全明白了。这道题的关键点有三个， 第一，要理解 a、 d 是 角平分线。第二，要用空三角 c、 a、 d 的 值求出三角 c、 a、 d。 第三，要知道点 b、 a、 d 的 距离就是 ab 乘以三角 b、 a、 d， 也就是三角 c、 a、 d。 而且必须有 a、 b 的 具体长度才能算出具体数值。谢谢老师这么详细的讲解，老师再见！

上个视频呢，我们讲了二零二五年南京市中考数学的最后一道压轴题，那个题目非常的精彩，但是好在出题人他没有刻意的去为难你们，所以那个题目呢，难度本来应该非常的难的，但是他稍微降低了一点， 但是也是很难啊，所以大家可以去反复看一下我们上个视频。那么今天呢，我们来讲二零二五年常州市中考数学的两道题目，其实我总共准备了四道，那么今天呢，我们先用两道几何题来跟大家说一下，我们在做几何题的时候，这个辅助线啊， 是怎么添加的，以及我们添加的时候应该在想些什么东西啊？我们先来看第一道题，他说如图，在三角形 abc 中啊角 c 的 正切值是三分之四，然后 d 呢，是 bc 上的一点， 将三角形 a， c， d， 呃，沿着 a d 给它翻折一下，然后得到了 a e d， 使得 a e， b c 相交于 f 点，如果告诉我们 c f 长等于五，那么 e f 长等于二，要我们求 a c 的 长。 这个题目第一个难点啊，告诉我们贪心的 c 等于三分之四，但是这里面又没有出现直角，那很明显是让我们自己去做直角，有没有问题？没有问题，那怎么去做直角呢？那百分之九十五以上的人啊，第一反应是什么呢？过 a 点 做垂线，比如说这个是 h 点，那这样子的话就是垂直了呗，那么垂直的话，你看啊，如果我设 a h， 它等于呃，四 m， 那 么 h c 就 等于三 m， 那 么这样子的话， a c 呢？就等于五 m， 对吧？好，那意思就是我如果知道了 m， 这个 a c 不 就知道了吗？好，有的人看到这就很兴奋，是不是，哎，很兴奋，然后怎么办呢？这个，这个 cf 和 ef 我 们都还没用呢。 好，那个，这个 e f 该怎么用啊？哎，很多人想到了， a c 长又等于 a e 长，好，那这样子的话， af 长是不是等于 a e 减去 ef， 它就等于 ac， ac 就是 五， m 减去 ef， ef 就 等于二，哎，这个 ef 我 用上了，好，这是第一个，那么第二个呢？第二个是 cf 等于五，该怎么用呢 啊？ c f 等于五的话， h c 长三 m， 那 说明什么？那说明 h f 的 长度应该是等于三 m 减去五的呀， 对吧？ h f 等于三 m 减五啊，好，好，那么接下来该怎么办呢啊？到这之后，很多人就，哎，没有任何的想法了，没有任何的想法了， 怎么办呢？哎，有的人还说，哎，我学过角平分线定律，对吧？这里面我知道，尔法等于贝塔，这两个角相等的话，说明什么啊？ 说明 a f 比上 a c， 哎，等于 f d 比上 c d， 你 看，而且我们知道什么 f d 加上 c d 等于多少？等于 五，那这样子的话，我们可以把 f d 算出来， c d 算出来，它肯定是用 m 表示的一个式子， 哎，算，这，有人说，哎，兴奋，兴奋，兴奋，对吧？好像每个边都算出来了，然后呢？然后怎么办呢？ 哎，然后就不知道，很多人到这步之后就就就就完全不知道了，或者说有的人说，哎，我这样，我过一点啊，我做他垂线， 你看，我过一点做他垂线，比如说这是 r 一 点，你看三角形 a f e 和 e i f 是 不是相似的？肯定啊，肯定相似啊，那这样子的话，你看我，我这个 h f 能算出来，是不是， 对吧？我 e f 也知道了， ar 也知道了啊，不，这个 af 也知道了，那么这样子的话， fi 是 不是就能算出来了？你看， fi 算出来了，我 e r 也算出来了，是不是？然后，然后呢？有人说我再把这个东西连接一下，我把这个这个 cf 给连接一下，你看，我再把 这个连接一下，哎，你看啊，多连接一些，对吧？我总会能找到一些规律的啊。别说这是，这是尖，你看，这也是垂直的， 你看啊，我这个三角形 e c i 和三角形，呃， d c 尖是不是相似的？哦，它俩相似的，它俩相似的话，那么这个角是公共角嘛，对吧？所以这个角也等于这个角，而这个角等于这个角， 对不对？那说明什么？说明三角形 a h d 和三角形 c i e， 哎，你看啊，三角形 a h d 相似三角形 e， 呃， a h a h d， 呃，相似三角形 c i， 嗯， c i e， 对 吧？啊？相似，相似，比乘比例，是不是啊？我 e i 比上 c i 值，因为我这个这个 f i 不是 算出来了吗？ f i 算出来了，那么， 呃， c i 是 不是就算，算出来了？好，那么 c i， 哎，再比上一个 a h 是 不是等于 e i 比上？呃，比上什么？ 比上 h d， 那 h d 怎么算？ h d 是 不是等于 h c 减去 c d， 这能不能算出来？能，但是你算完之后三十分钟过去了 三十分钟过去了，这个题目是什么题啊？这是个填空题啊，如果填空题你都这样算的话，那后面大题你怎么办？我这样能不能算啊？这样肯定能算啊，就按照我刚刚这个思思路，能不能算？能算啊， 当然是可以算的，但是你这样算的话，这个题目你就废了呀。我这个几分我宁愿不要，我也要把后面题目给做一做， 我宁愿不要他。虽然是填空题的压轴题，哎，挺有挑战性的，但是这个题目我算两分钟一点思路没有，还在这各种各种劣势子，我就放弃了呀，赶紧去算后面的。这是中考题啊，他不是你平时练习啊，我们一题多解没有问题的。 中考题一两分钟一点思路也没有，赶紧放弃去做后面的。那这个题目说明你到这你就算错了，肯定是哪有问题， 不可能这么复杂的。中考题里面他不是竞赛题，竞赛题的话你搞得很复杂，你觉得可能可能就是这么干的，是不是他就是这么复杂？这是中考题，前面题目不可能很复杂。那怎么办呢？说明你辅助线做错了啊，做错了怎么做呢？ 你一开始不是过 a 点做 b c 的 垂线吗？对不对？但是弹性 c 的 要求是什么要求？有个直角对不对？那么直角的话，你非要过 a 点做 b c 垂线吗？你不一定呢，你可以过 d 点做 ac 垂线， 是不是你可以过 e 点做 a c 垂线，哎，一点好像不行，对吧？你可以过 f 点做 a c 垂线，过 b 点做 a c 垂线，行不行？行的呀， 但是很明显应该做哪个？应该过 f 点做 a c 垂线，为什么？因为 f c 的 长度告诉你了是五。那这样子的话，我们是不是可以把一些边给求出来了？ 那这样子的话 h c 等于多少？ h c 就 等于三。 f h 呢？等于四啊，因为你 f c 等于五吗？是不是让我们求 a c 长度，那么 a c 长度是不是等于 a e 长度 有没有问题？那这样子的话，你看这样子的话， f e 它等于减，等于二， 那这样子的话，我们 a f 呢？ a f 是 不等于我我我求 a c 吗？我把 a c 给它写一下， a c e 减去 f e 减去二， 是不是？那我 a f 又能够用 a c 来表示？那你看在三角形 a f h 里面， a f 的 平方是不是等于 ff 的 平方加上 a h 的 平方， 是不是啊？ a h 等于多少啊？ a h 是 不是等于 a h 等于 a a c a c 减去 h c 啊？ h c 等于三， 是不是啊？化简一下好， a f 等于 a c 平方， a c 减二。那就化简一下， a c 的 平方加上四，减去四倍的 a c 等于 f h 平方十六， 加上 a c 的 平方加上九，减六倍的 a c， 是 不是 a c 平方， a c 平方没有了，这个移过来就是两倍的 a c 等于十六加九，二十五减四二十一， 是吧？推倒出来， a c 等于二分之二十一，你看是不算出来了？ a c 等于二分之二十一， 这个才是一个正常的解析的一个过程，而很多人纠结在那每一个线段，每一个线段，每一个长度里面的关系，这样子搞你肯定做不出来的。这个题目两三分钟就应该能做能能给他算出来了，而不是两三分钟你还在列各种关系式， 那两三分钟你还在列关系式的话，说明你的辅助线做错了啊，做错了，你的方法肯定能算，但是很麻烦，那这个分我们就不如不要 明白我的意思吧。好，那这是一个填空题，我讲他呢，不是因为他有多难，而是想借助这个题目跟大家说一下，我们在做辅助线的时候 啊，会经历什么样的一个过程啊？一开始肯定是哦，过 a 点做 b、 c 曲线。有这么个想法，但是呢，你发现练完这个等式之后发现，哎，很麻烦，那就赶紧去想，我除了过 a 点做 b、 c 之外，还能不能再做别的了。哎，一看，哦，可以过 f 点做 a、 c 曲线，那这时候一切迎刃而解， 是不是好，这是第一个。那么看第二个，他说在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 c 和 b、 d 相交于点， o、 a、 b 呢，等于二， a、 d 等于一。 好，然后告诉我们角，那三角形 abd 等于。呃，三角形 abd 是 个等腰三角形，那么等腰三角形的话，这个 b、 d 场，他要么等于 ab 场，要么等于 ab 场，对吧？如果他等于 ab 场，那就等于二，就是一二二 啊，很明显，它考的是三角形两边之隔大于大于第三边，两边之差小于第三边，对吧？呃，说明什么？说明，首先，两边之差小于第三边，那说明 a、 d， 那 说明 b、 d 一定是大于二减一的等于一的， 说明 b、 d 一定大于一，而 b、 d 一定是大于一的，说明 b、 d 一定是等于二的。 有没有问题？没有问题，这个多简单啊，对吧？好，我们再来看第二个， 第二个，已知 o、 b 等于 o d， o b 等于 o、 d 的 话，说明 o 点是 b、 d 的 一个中点。好， 那么关于中点的辅助线就有很多了，要么过 o 点做 a、 d 的 垂 a、 d 的 那个平行线啊，这样子的话，就是 ab 的 一个中中点了，这第一个，第二个呢？呃， 第二个呢？是啊，过 b 点做 a、 d 的 个平分线啊，平行线，那这样子的话，呃，应该会得到一个， 会得到一个平行形啊，这是长期的两个思路啊。我们再往后面看啊，他说 o b 等于 o d， 然后呢？ a c 等于 b， d 好。 第一个，如果 o a 等于 o c 好， 你看 o a 等于 o c， 又 o b 等于 o d， 对角线互相平分，说明它是个平行四边形，是不是？然后他说，呃，它是个，它是个什么样的特殊四边形？哎，有人说，哎，那就是个平行四边形呗。 不对啊，它虽然是平行四边形，但是它更特殊，因为告诉我们了 a、 c 等于 b、 d 了，这个条件不要忘了啊， a c 等于 b、 d， 说明对角线相等，那是，那它应该是矩形，对不对？ 它是个矩形啊，好。第二个，在三角形 a、 c、 d 中， c d 平方等于 a、 d 平方，加上 a、 c 平方，那很明显 这九十度。首先这个我们得搞清楚，对吧？啊，勾股定律的一个逆定律，是吧？求 a c 的 场 啊。题目中告诉我们这是二，这是一，那我们刚刚讲的这个这个平行线啊，啊，这个这个中点啊，你要做辅助线的话，要么两个啊，要么呢，你就是过 o 点 做 ab 的， 找到 ab 的 一个中点，比如说这是 e 点啊，连接一下，那这个长度呢，就等于一了，对吧？这是 这是一，这三边都相等了，是不是？ 嗯，你这样子的话，那这样子的话说明什么啊？ 说明这是，你看，哎，出来了，是不是其实有两个方法可以可以做的啊， 你看 o 点是中点吗？是必定中点吗？要么它有两个方法，一个方法是过 o 点做 ab 的 一个 a， b 的 一个中点上的，就是找到一个中中点 e， 然后把 o e 一 连，那么 o e 是 不是平行且等于二分之一 b 的 ad， 对 吧？ o e 肯定平行 ad 嘛。那这样子的话， o e 是 不是垂直 a o 啊？因为你 d a 垂直 ac 嘛，那这样子的话， o 一 场是一，是吧？ a 一 场 o 一 场是 d a 啊， o o o 一 场不是一角，是二分之一角，我写错了啊，抱歉， 二百零五写错了，我脑子想的是二分之一，但是写的是一。 o e 场是二分之一， a e 场等于一，那说明这个角等于三十度，哎，对吧？等于三十度，好，它等于三十度 啊，那就简简单了吧，你看啊，让我们求 a c 场， a， c 场就等于 b d 场，对不对？那么过 d 点做 ab 的 垂线， 把这 b a 延长好，比如说这个是 f 点， f 点啊，然后呢，你看角 d， a， f 等于多少度？ d， a f 那 等于一百八十度，减九十减三十，那等于六十度， 对吧？那这些直角，那说明三角形 d a f 它是有一个六十度的一个角，然后还是一个直角三角形，那就很简单了吧。 d a 等于一，那说明 a f 等于二分之一，然后呢啊， f d 就 等于 a c 吗？那求 b d， b， d 就 等于根号下啊， d f 的 平方，那就是四分之三，嗯，加上啊 b f 平方， b f b a 是 二啊， a f 是 等于二分之一二加二分之一二分之五，二分之五就四分之二十五， 还有四分之二十八，跟我七跟我七啊，你看这个题目也不难啊，很简单，是不是很简单？那么今天呢，讲了两道非常简单的题目啊，过这题目你也可以，怎么办呢？你可以过 b 点 做 a， c 的 垂线也可以啊，你如果过 b 点做 a、 c 的 垂线的话，你把这一点，比如说这是这是 h 点的话，你把 a， 你 把这个 d h 啊给它一连 d h 一 连，那这个 d h b a， 它其实是一个平行四边形，为什么？因为， 因为这是垂线嘛，对吧？所以两个三角形可以证明全等 a， 呃， d o a 和 h o b 啊，它两个是全等的，全等的话， o a 等于 o h， 所以 它是个呃对角线互相平分的一个四边形，所以它是个平行四边形 啊，平行四边形，那么平行四边形的话，这也能够证明这个角等于三十度啊，也不难也不难，因为 h b 等于一了嘛， h b 等于一， ab 等于二，也是两倍关系，所以呢，这个角也是三十度，所以这个题目呢，都不难啊，所以你就看到终点啊，你就想到要么把这个中位线延长啊，要么就是做一个中位线啊，非常常见的一个做题思路。 好，明天呢，我们来讲剩下的两道题，剩下两道题，好，那今天呢，我们就把这个常州市的两道题给大家讲清楚了啊，其实重点还是 讲了一下这个几何题做辅助线的一个基本的技巧和思路，就是我们在碰到像这个题目，你如果过 a 点做 b， c 的 垂线的话，就很难很麻烦，肯定可以做，但是很难很麻烦。 好啊，那希望大家能够从这个视频里面得到一些启发，以后在自己做辅助线的时候，能够能够有一点自己的思路。 好，那么今天呢，我们就讲到这，呃，如果家长觉得还不错的话，可以分享给孩子。如果同学们觉得还不错的话，可以分享给你的朋友，那我们下个视频，再见。拜拜。

这是二零二五年常州市中考数学第二十七大题。本题是一个二次函数的综合体， 我们来看题。如图，在平面直角坐标系 x o、 y 中，给出一次函数是 y 等于负的二分之三， x 加三，它的图像以坐标轴、 x 轴、 y 轴分别交于 a、 b 两点， 而点 c 是 线段 a、 b 上的一个动点，且 c 与 b 不 重了。 又给出一个二次函数， y 等于 ax， 平方加 b， x 加 c， 其中 a、 b、 c 是 常数，且 a 不 等于零，它的图像经过 b 点，顶点为 c， 将该二次函数的图像平移后，得到新的抛物线， b、 p、 c、 p 分 别是 b、 c 的 对应点，且 b 点落在 x 正半轴上， c、 p 点的总坐标为负。二 分三个小题。第一小题是求 o， b 等于多少，第二题求西点的坐标。第三题是求新抛物线，如果与 y 轴交于极点零二分之五 点， d 坐标是三， y 一 一是 x， y， 它们都在新的抛物线上。 若对于任意满足 x 二大圆小于等于 m 加一的任意实数 x 二， y 二始终大于 y 一， 求 m 的 体积方。 我们先看第一小题要求 ob 等于多少，我们只要注意到这个 b 点是一次函数，以 x 的 交点， 所以我们 x 等于零，代入得到 y 等于三，我们就可以求得 b 点的坐标是零三，那么 o、 b 的 长度我们就可以得到 o， b 等于三。 好，下面我们看第二小题求 c 点的坐标。 这个题目有点意思，初看我们 c 点是抛物线的顶点，但是现在这个抛物线只知道 b 点坐标，因为 b 点坐标我们第一小题已经求出来了。 实际上这里有个关键的点，我们要注意， b 撇、 c 撇分别是 b、 c 的 对应点， 它们向下平移之后得到 b p 点， c p 点， 我们来关注一下， b p 点是由 b 平移得到的，它原来的总坐标是三，现在落在 x 的 正半轴上，所以我们发现这个 b 到 b p 是 向下移动的三个单位， 所以 c 和 c p 也是同样的，它向下也移动了三个单位，但是它现在 c p 的 总坐标是负二，所以我们就可以得到 c 点，原来的总坐标应该是一。 好，那么这样子我们就分析出来了， c 点的总坐标是一，那么 c 点又在一次函数上，我们把它代入一次函数， y 等于负的二分之三， x 加三，我们就可以求出 c 点的坐标。 所以这道题目要关键要注意 b c 和 b p、 c 的 对应关系。 所以这个题目最后结果啊， c 点的坐标是三分之四一。好，下面看第三小题是本题的一个难点， 我们来看已知新的抛物线与 y 组交易，起点是零二分之五， 所以这个几点是新跑线的。那么我们看现在问的是点 d 三 y 一 x 二， y 在 新跑线上，而且满足 x 二大 m 小 一等于 m 加一的任意实数 x 二，都要使得 y 二大于 y 总成内要我们求实数 m 的 体积范围。我们这个题目首先要把新的抛物线求出来， 那么怎么求新的抛物线呢？利用顶点坐标知道了，再经过 b 点就可以把圆抛物线求出来。所以第一步我们把圆抛物线求出来， 因为顶点三分之四一过 b 点，所以我们可以直接求出。这个是原来的抛物线是通过平移得到的， 由 b 移动到 b p， 首先它是向下移动了三个单位，这个刚才我们已经分析了，因为移动到 x 轴的正半轴，但是到正半轴上，说明 b 到 b p 是 向右移动的。 所以在这里我们假设向右移动了 x 个单位，向下移动了三个单位，所以新的抛物线应该是 x， 这个地方我们减掉 h， 整个设置我们应该减掉三，然后我们把极点代入，就可以求出 h， 进而求出新的抛物线。 好，本题我们新的抛物线知道了，我们说 d e 是 新抛物线上的点，我们说 x 等于三十 y 一， x 等于 x 二十， y 等于 y 二。我们要使得 y 二始终要大于 y 一， 我们就要关注这个抛物线。因为抛物线 a 等于八分之九，所以它是开口向上的， 那么要使 y 二大于 y 一 总成率。我们这要保证 x 与对称轴的距离，要远的话，它才能够这个对应的 y 的 大。所以我们要保证 x 等于 x 二十和 x 等于三十，它离开对称轴要远。我们本题的对称轴新的抛物线对称轴 x 等于二，我们可以 指 x 等于二，我们新的抛物线，这样子我们把对称轴画出来，但是这个底点它的横坐标知道了 x 等于三，对应的十是 y 一。 根据对称性，我们知道 在 x 等于二对称轴的左边也有一个点，它的函数值也是 y 一。 但是我们可以根据对称性知道 d 点的坐标是三 y， 那 么对称点 d p 点的坐标应该是一 y。 好， 下面我们要保证 y 二大于 y， 那 么当它在对称轴 右边的时候，它必须要在 x 等于三的右边， 当再对称着左边的时候，这个 x 必须要在 x 等于一的 左边，所以要满足这个关系。好，我们刚才分析了，那么我们只要把这两个不等式解出来，那么就可以得到 m 的 范围。 同学你听懂了吗？再见。

二零二五年数学中考真题如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于二， b， c 等于三，然后点 e 在 边， b、 c 上， e， c 等于二倍的 b、 e， 所以 b， e 是 一， e， c 是 二。 然后我们要求线段 a、 e 的 长直接勾股定律，用 ab 的 平方加 b， e 的 平方开根号就可以得出答案，结果就是根号五。 第二文 f 为 c， d 的 中点，那么我们可以标出来 d， f 等于 f， c 都是一， m 为 a， f 的 中点，那么我们知道 a、 d 是 三， a， d 等于 b， c 是 三， a、 f 就 等于。由勾股定律就可以得出等于根号十，那么 m、 f 就 可以得出是二分之根号十。若 f m n 是 七十五度，那么求 m、 n 的 长度。由第一问可以知道 a、 e 是 根号五， 那么我们再来看三角形 e、 c、 f 这个三角形由股股定律可以得到， e， f 也是根号五。再可以联想一下 a、 e、 f 这个大三角形， a， e 是 根号五， ef 也是根号五， af 是 根号十。那么我们大胆的猜想一下，把这些都平方 会发生什么？是不是这俩相加就等于这个呀？根号五的平方加根号五的平方等于根号十的平方，所以这是一个直角三角形， 再加上两个根号五，它是一个等腰直角三角形，所以三角形 a、 f、 e 这个角就是四十五度，那么角 m、 n、 f 就是 六十度。然后我们可以怎么做 取 ef 的 终点，终点为 h， 我 们可以连接 m h， 那 这是一个什么线？因为 m 是 af 的 终点， h 又是 ef 的 终点，所以 m m h 就是 a、 e、 f 的 中位线， 所以 m h 就 等于二分之一的 a， e 就 等于二分之根号五。又因为 m h 平行于 a e， 所以 我们可以知道 m h f， 这也是一个直角，直角那直角我们可以想到什么三角函数，这是六十度，所以塞阴六十度 就等于对边 m h 比上斜边 m n 就 等于二分之根号三。 那么我们就可以把 m h 提换成二分之根号五。一项就可以得到 m n。 等于二分之根号五。乘 根号三分之二二消掉就可以得到 m n， 就是 三分之根号十五，所以答案就是三分之根号十五。

同学你好，我们在中考考题中解含有字幕系数的方程呢。呃，值得重视，是近几年中考的新方向， 这类题目对学生的计算能力要求比较高，我们冲刺高分的学生呢，值得练习。下面我们一起看二零二五年常州市中考数学压轴大题第二十八题。 本题就是一个阅读理解题，而且它用到了含有字幕细处方程的解法。下面我们一起来看题。 题目给出一个平面直角坐标系，要我们探见以下两种方式所得到的线段的关系。 第一种方式就是将线段向右平移一个单位，然后绕圆点凹，按逆时针旋转九十度。 第二种方式是先旋转，就先绕圆点凹，按逆时针方向旋转九十度，然后向右平移一个单位长度。 现在小明将线段 ab 就 按照这两个方式运动，分别得到了 a 一、 b 一 和 l b 二，他发现他们使得长度相等外，还有其他关系， 我们来看一下。首先我们要关注的这两种运动方式主要是次序不一样，一个是先向右平移再旋转，另一个是先旋转再向右平移。 好，我们来操作一下，先向右平移再旋转，那就得到 a b， 再来看先旋转再平移。好 好，我们熟悉了这两种方式，下面我们具体来看题目。第一个要我们实际体验一下，就是说按照他的方式我们来做一下， 如图二，小明已经画出了线段按方式一运动得到的 c 叶 d 叶，现在要你利用方式二 把这个线段运动得到 c 二极，那么我们就要注意，方式二是先旋转再平移， 那么这种线段的旋转我们主要是端点的旋转，我们先看 c 点逆时针旋转到这个位置， c 点从这个位置转到这个位置，我们可以看成是这个直角三角形的旋转，同样 d 点的旋转，我们由这个位置旋转到这个位置，所以旋转之后得到的是这一条， 下面我们再来看向右平移，所以我们就得到了 c 二、 t 二， 下面我们这个体验不仅仅是一种操作，我们更重要的是要看到它这个点的坐标的变化规律。 在这里我们看第一种方式，先平移，我们假设它原来的坐标是 x、 y， 那 么向右平移，它的横坐标就加一， 而旋转之后，这个横坐标就变成了总坐标，第一象限的总坐标就变成了横坐标，但是我们要注意，变成了横坐标的相反数。 好，方式二，我们是先旋转旋转，横坐标变成总坐标，总坐标变成横坐标的相反数，然后再向右平移横坐标增加一 啊，这就是这两种运动方式他们对应的坐标变化。 好，这个是实际体验，我们要掌握的，下面我们继续看探索发现 二，在平面直角坐标系中，我们将线段 a 按照方式一、方式二运动，分别得到线段 a 一、 a 二，这线段 a 一、 a 二所在直线可能是一二三三种情况当中的 哪些情况？那么这个题目我们可以按照刚才的分析，线段的运动实质上就是端点的运动，所以我们设 a 的 端点，分别为 p、 q， 坐标是 x、 y、 e、 x、 y， 我 们先把它按照方式运运动，得到它对应的坐标 p 一， 我们先平移横坐标加一，再按逆时针旋转得到对应点 p 一， 同样 q 点，我们也先平移得到，然后再旋转得到 q 一。 同样我们也用两种旋转平移、旋转平移，按方式运运动得到对应点。首先我们把它的对应的点 求出来。好，下面重要的地方来了，我们把它运动之后的线段的解析式求出来。 首先我们来看运动之后按照方式一 p 一 q 一 的解析式就是 a 一 线段所在的射线 啊，我们这里看一下啊，对应点我们都刚才都求出来了，下面我们设 a 的 表达式，使 y 等于 p， x 加 q 好， 把坐标带进去就得到方程组。 通过加减消减法，我们就可以求出一次函数的系数 p 和 q 好， 这个 p 决定了直线的倾斜方向， q 就是 y 轴的焦点。 这个详细的解法我们最后我给出了负数，大家可以看一下，特别同学们要自己认真的解一下。 下面把线段 a 二所在的实线也用代定系数法求出来，我们只要将 p 二 k 二代入就可以了， 方法相同。好，我们这里我们注意到，由于 p 和 m 都是依次向系数它们相等，所以说明 a 一 a 二所在的实线是平行的， 所以二符合要求。我们再来看以 y 轴的焦点 q 跟 m， 我 们在这里我们注意到这一部分是相等的，这个分母也是相等的， 只有分子当中 q 有 个 y 减 y， n 有 个 x 一 减 x 二，所以我们发现，当 y 一 减 y 等于 x 一 减 x 二时，这个 q 跟 n 也有可能相等。 如果 p 等于 m， q 等于 m， 这时候 a 一 a 二所在的直线不仅是平行，它更是同一条直线，所以本题我们选择二和三， 而本题的一个关键点就是这一类含有字母系数的方程啊。下面我们看 下一个问题，如图三，已知极点坐标二三 h 点 x y 是 是在第一象限内两个不重来的点，我们将线段 g h 按照方式一二运动， 得到新的线段。第一个问题，若 h 一 以极重来求 h 点的坐标， 那么显然本题我们也只要将 g h 按照两种运动方式，看看它对应点的坐标是什么。 这个方法我们跟前面一样，不再详细讲解。好，下面我们看第一小题。 h 一 g 一 重呢？ h 一 极夜宠爱，所以它们对应的坐标相等，所以我们可以列错方程组，求作 x y， 由此得到 a 级的坐标是一二。 好，下面我们看第二题。若线段 g 一 h 一 g 二 h 二有公共点，要我们写出它对应的函数表达式，并且求出 x 的 范围。 下面我们先来看，我们根据前面我们可以看到 g 一 h 一 和 g 二 h 二它们是平行或者是 怎么样，或者是同一条直线，所以我们就想了，现在要有公共点， 而且要平行，事实上他们必须要在同一条直线，所以这个题目我们就想到了 g h 一 g 二 h 二，他们是在同一条直线上的， 所以这个函数表达式就是一个一次函数，所以我们只要将 g 一 g 二这两个已知的点代入这个一次函数表达式，求人求出函数关系式。 好方法，就这样子，四点在 s 线，所以我们是表达式。 y 等于 k x 加 b， 这样急急要代入，我们就求出来 y 等于负 x， 所以 这个表达式我们就 解决了下面这个时数 x 它的体积范围。好，我们重新看一下 这个，刚才我们已经求出来了这个四，这个点都在 y 等于负 x， 由于 四个点都在 y 等于负 x， 同学们要注意，我这个 x h 刚才是 x y， 现在我为了使着方便，把它写成 a b， 这个 a 就是 x， b 就是 y。 刚才要求 x 的 范围，现在就变成了求 a 的 范围，那么对应的点我们将 x y 就 换成了 a b。 由于四个点都在 y 等于负 x 上，说明它们很坐标，总坐标是互为相反数，所以 h h 二，我们就换成 这样子的形式，横坐标，总坐标互为相反数啊，而且它们都在 y 等于负 x 这一条线上啊，极一极二我们已经标出来了啊。这两个，那么要是它们在一直线上有公共点，那么我们看实际上只有两种情况， 第一种情况就是 h 二要在 g h 一 之间， 所以此时我们发现应该是 h 二的横坐标要大于 h 一 的横坐标，小于 g 的 横坐标，由此解出 a 大 于等于三。 第二种情况我们也放大一下化一下，就是当 h 一 在 g 二 h 二之间， 那么我们就得到 h 一 的横坐标应该大于 g 二的横坐标大于等于小于等于 h 二的横坐标，由此解出 s 在 负二分之一到一之间。 但是我们要注意到 h 点在第一象限，所以 a 应该大于零。 综合这三点，我们就得到 a 大 于零，小于等于一或者大于等于三。而我们要求的 x 的 体色范围就是 a 的 体色范围。 所以本题的结论， x 大 于等于零，小于等于也或者 x 大 于等于三。 最后我们改错，刚才用待定系说法求含字母 系数方程的解法，这个同学们一定要掌握，就是代参数的代定系数法，求一次函数的解析式，因为他的系数就是含有字母的 啊，这个同学一定要多练习啊！本题就讲到这里，再见！

来，中考真题，时间到哈！这是二五年的一道中考真题，我之前还查了一下数据，但是不是官方给的数据哈，他的得分率只有百分之四十，然后这道题得 平均得分应该在这道题满分的一半以下，也就相当于他并不是说多难的题哈，但是他的得分率并没有很理想，所以我们来看看这个题 同学们都是在哪丢分的呢？也是在考场上的时候是没有思路呢还是怎么样呢？我们把这道题来拆解一下啊。如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 是 三倍根号二，标注上 bc 是 五 b， a、 c 是 四十五度。好，这是四十五度的话，我们就要注意了，因为在图形当中啊，四十五度角啊，三十度角啊，六十度角，都是比较特殊的角，是吧？ 动点 p， 从点 a 出发，沿边 a、 c 以每秒一个单位长度的速度向中点 c 匀速运动。当点 p 出发后，以 a、 p 为边做正方形 a、 p、 d、 e。 好， 这是一个正方形， 使点 d 和点 b 始终在边 a、 c 的 同侧，也就是说我只能在这一侧做三角做正方形，设点 p 的 运动时间为 x， 秒正方形 a、 p、 d、 e 与三角形 a、 b、 c 重叠部分，图形的面积为 y。 让我们求的是 a、 c 的 长。 好了，这是一个什么样的函数呀？这是一个什么样函数题型呢？它跟我们之前做的一次函数，二次函数不太一样，是吧？在这里面我们要看的是他让我们求什么呀？来第一问，先看他求的是 a、 c 的 长哦， a、 c 在 哪？ a、 c 在 这个大的三角形里，是吧？那么这个第一问呀，实际上我们可以把它看成什么，是不是就是解 三角形的问题，是吧？那么在这个解三角形的问题里面，已知了什么呀？已知了两条边，已知了一个角，所以啊，我们要从这个角下手啊。怎么下手呢？我们来看，我们想求的是 a、 c， 对 吧？好，我们呀， 做一条垂线，比如说这是 m 的 话，我是不是把这个大三角形分成了两个小三角形？那这两个小三角形什么关？什么样的特殊图形呢？ 这有四十五度，这垂直，所以这个是多少？这是什么呀？这是等腰直角三角形是吧？斜边长至三倍，根号二，那每条直角边的长就是三， 是吧？转头再看，在这个三角形里面，这是五，这是三，那剩的这个边角就是四，所以 a、 c 的 长是多少？九十 七是吧？第一问呢，是我们常见的解直角三角形的问题，那么这个专题呢，之后老师都会持续更新中考真题，我们去分析解三角形的问题是怎么具体求的哈。 好，来，我们接着看这道题得分率很低的。第二问和第三问哈。第二问说求 y 关于 x 的 函数解析式，并写出自变量 x 的 取值范围。 好，首先我们要明确的就是在这里面 y 和 x 分 别表示的是什么？那 y 在 这里说的是什么呀？ y 说的是正方形与三角形重叠部分的面积，那 x 呢？就是运动的时间是吧？ 好，我们先看啊，正方形与三角形 a、 b、 c 重叠的部分，那么很明显在这里面他有一个点 b， 也就说我这个正方形 点 p， 沿着 a、 c 运动的时候，我正方形是逐渐变大的，但到哪到这是吧？所以我们以点 b 为一个分割点来看， 从点 a 到点 b 做垂线的这点，那么这个时候 x 取值范围是多少？是不是就是零到三？因为点 m 做的垂直之后， am 这条边就是三，是吧？所以这个是三。好，那么在这个阶段的时候，我正方形 同样变，我如果假设点 p 到这的话，那么正方形变成什么呀？是不就是这样的正方形？那么我们可以发现三角形 abc 与正方形重叠部分面积始终 是这一小块，那么这个时候我们就知道了吧，所以当 x 大 于零小于三的时候，我 y 关于 x 的 解析是什么，是吧？重叠部分的面积不就是这个吗？那么 ap 看好， ap 是 这儿，它每秒运动一个单位长度，运动时间是 x， 所以 ap 是 多少呀？ 好，我换个颜色比看， ap 写在这儿，所以 ap 是 不就是 x， 那 么 ap 是 x 的 话， pd 呢？是不是 pd 也是 x， 所以 这个时候外观是不是二分之一 x 平方，是吧？ 这一段啊，很好求的。问题，就是下一段，我们看当点 p 运动到这一侧的时候，我们看这个正方形现在是什么样了呀？好，老师把这画出来哈，正方形应该 就是这样，是吧？那么这个时候啊，重叠部分的图形面积是哪块？是不就是这一块了呀？ 对吧？那我们看啊，这一块面积怎么求呀？它明显不是一个规则的图形，是吧？那还记不记得老师前两天也讲过一种不是规则图形怎么办呀？是不是就把它转化为规则图形？那我们看 重叠部分这一块的四边形面积是不是就是这个大的三角形 a b c 减去这个小的三角形面积啊？ 大三角形面积不是问题吧？ ac 已经知道了，高也知道了，那问题是什么？问题就是这个小的三角形面积是吧？所以啊，我们就把问题转化成了，我只需要求这个小的三角形面积是不就可以， 那么这小三角形面积我们该怎么求呢？三角形面积啊，等于底乘高除二是吧？那么这是垂直，明显它是一个直角三角形啊，直角三角形我得知道两条直角边吧， 那么这条直角边我运动到这的时候，点 p 是 不是已经在这了？所以 a p 这一段还是 x 是 不变的，那 p c 这一段呢？是不就是七减 x？ 七是谁啊？七是我们算出来 a c 的 长是吧？那好，这个直角边就解决了，剩的就是什么？剩的就是这条直角边了是吧？哎呀，这条直角边该怎么办呢？别忘了呀，我们第一问算出来了很多有用的条件，是吧？ 角 c 在 这，那么弹进的 c 等于多少呀？ 直角边比直角边是吧？是不就是三比四？那同样的弹进的 c 在 这个直角三角形里面不也是一样的吗？是吧，它还等于什么呀？ 我这个时候把这个点啊设成 n 是 吧？那这个时候弹进的 c 就是 什么呀？就是 p n 比上 n 是 吧？ p n 比啊， p c， p n 是 谁呀？ p n 是 我们要求的 p c 呢？就是奇减 x 是 吧？通过角我们就可以把这条边求出来了，那么我们再代入到面积公式里是吧，分段函数就出来了，所以这个第二问呢， 分段函数大家一定要注意，然后我们写出来的时候，把字典量取值范围写到括号里就可以了，是吧？第二问和第三问，因为都是解答形式的哈，然后老师一会儿同样整理到下面，大家来看就可以。 好，我们看第三问，第三问呀，他说当正方形 apd 的 对称中心与点 b 重合时，直接写出 y 的 值，首先在这里面看，直接写出 y 的 值， y 是 谁？ y 是 我们第二问求来的重叠部分的面积，是吧？所以我们想求 y 的 值，我只要确定此时 x 的 值是多少就行，因为第二段我们已经解出来解析式了，对吧？我有解析式，我想求 y 值，我只需要求 x 就 可以。 那么这道题的关键在于哪呢？首先第一个我们要明确正方形的对称中心。什么叫正方形的对称中心呢？正方形对称中心是谁？是正方形的中心，也就是说对角线的交点， 对吧？这个就是他的对称中心。所以这道题的解析关键就是，第一，我们首先要明确他的对称中心啊，正方形的对称中心与点 b 重合的时候呀，这个地方老师写错了，是吧？这个地方应该是 b 哈，这个是 c 与点 b 重合的时候啊，那也就证明我现在这个正方形中心就应该在这，那证明什么？证明它是对角线的焦点，是吧？那么 ab 是 三倍根号二，对应这个图形里面的这一小段，就应该是三倍根号二，是吧？ 我们要求 x 呀， x 对 应的是谁呀？ x 对 应的是它在这移动的时间，是吧？所以呀，这个图形大致就应该怎么样啊？在这 是吧，大致就应该是这样一个正方形，好了，这是三倍根号二，我们要求谁呀？我们是不是求这一段就可以，因为这一段是正方形边长，也就是点劈运动的时间，是吧？好了，这是三倍根号二， 做个垂直，这是三，是吧？那这一侧就是三。那这个时候 x 应该是多少呀？ x 应该是六，所以我们算出来 x 之后，带入到第二问的函数解析式里， y 是 不就求出来了， 是吧？这个呀，是整个这道题的解析思路。这道题考察的知识点很综合。第一考察了什么？考察了函数，考察了三角，函数，考察了等腰直角三角形，考察了正方形的性质， 是吧？他考察知识点很多，但是呢，这道题他的难度并没有说达到非常高哈。 所以希望通过老师的讲解，如果日后碰到类似的题型的时候，希望大家都可以得分得满分哈。好了，今天就这样，拜拜。

同学你好，这是常州市二零二五年中考数学第二十四题，题目比较基础，也是初二学生练习。其中第二小题作图题，同学们容易忽视 常规的几个基本注头，我们可不能疏分啊，今天老师祝你中考轻松拿捏基本注头题，下面一起听老师分析。 如图，三角形 abc 中 abc 等于 a、 c 点 d、 e。 在 b、 c 上， b、 d 等于 c、 e。 我 们要有这个习惯，把相等的做适当的标注。 第一小题求证三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e 这个题目一看已经有两条边对应相等，所以要证明全等，我们这要 加角相等，也就是角 b 要等于角 c， 所以 我们怎么来证明角 b 等于角 c 是 这道题目的关键。 那么同学们应该一看就知道，因为 a、 b 等于 a、 c， 所以 角 b 等于角 c， 这样我们这个证明全等的三个条件多 全了，所以问题得到解决。所以第一步的证明，我们先要证明角 b 等于角 c， 具体这样子，因为 a、 b 等于 a、 c， 所以 角 b 等于角 c， 这就是等腰三角形的性质，等边对等角。 然后我们按照习惯的写法，这个三角形当中三个条件都有了，边、角边无三角形全等的条件。下面我们看第二题， 用实测和圆规作角 d、 a、 e 的 平分线 a、 f 要求只保留出头痕迹，不要求写出发，这就是基本出头角平分线的出发。 第一步，我们以 a 为圆心，适当的长为半径画弧，跟角 d、 a、 e 的 两边 a、 d、 a、 e 分 别相交 焦点 m、 n。 第二步，分别以 m、 n 为圆心，以大于二分之一 m、 n 为半径画弧， 得到焦点 a f 连接 a f， 这 a f 就是 角 d a e 的 角平分线， 同学们要对基本作图要能够熟练地绘制。 还有一个基本作图线段的垂直平分线，过一点做已知实线的垂线，这些都是基本作图，包括做一个角等于已知角。 同学们可以看一下我前面的视频，有专门对作图的讲解，今天就讲到这里，再见。