圆柱和圆锥怎么做不用胶

在生活中，我发现有许多物体和圆锥和圆柱都有关，比如说音响，胶带，胶水，还有这个衬托，它们都是圆柱而润滑油的盖子， 呃，火箭模型的顶部，还有这支笔的笔盖和这个和这个玩具钻石， 它们都是圆锥。而我发现圆锥和圆柱它们都各有各的特点。圆柱呢，它的上下两面是圆形，圆锥它只有底部是圆形， 他们从这里看是圆形，但是从侧面看，我发现圆锥它竟然是三角形的，而圆柱它竟然是长方形。接下来我们来做一个实心的圆柱和圆锥。首先我们拿出一盘橡皮泥，接着我们把它搓成这样搓，然后我们把它的上底和下底分别做平， 这样我们就做出了一个圆柱，接着我们再拿出一条橡皮泥，把它接着这样搓成一个三角形，三角形，然后我们把它的底部剁平，这样我们就做成了一个圆锥。我要制作空心的圆柱和圆锥。我做了圆柱和圆锥的展开图，接下来我要把它们剪下来， 我把它们剪好了，接下来我要开始粘点， 粘连好了之后，我们就能得到空心的圆柱和圆锥了。可以看出圆锥是由两一个圆和一个扇形组成的，而圆柱是由两个圆和一个长。接下来我要通过液体来测量圆柱和圆锥的体积。首先呢，由于它们俩都是木头做的，所以会浮起来，因此我们要借助一个金元宝。 我们先把这三个物体的名字全部写在这里。首先先测量金元宝的体积是多少毫升。 浇水后，我们把金元宝放入这个杯子里， 可以看到此时金元宝大约是五毫升，我们将金元宝倒进去，所以我们将这个碗里记录五毫升。接着我们测量这个圆柱的体积是多少， 因为它是木头做的，所以我们得接触一个铁做的东西来将它按下去，所以我在这上面捆了胶，将金元宝粘在这个上面，粘在上面后，我们将水倒入这个仪器中， 等它全部卖出来，卖完后我们再把它放进去，这么稍微来测量圆柱加金元宝的体积， 此时我们可以可以看到圆柱加金元宝的体积大约为五十毫升，我们把它倒进去，我们在圆柱这一栏记录五十毫升。 接下来我们来测量圆锥的体积， 我们把这个上面这个胶撕掉， 我们将这个插入这个， 我们可以看到它这个金元宝加圆锥的体积约为二十毫升， 我们把它这个记录下来。首先现在我们得出的数据是，圆柱为五十毫升，圆锥为二十毫升，元宝为五毫升。而圆锥和圆锥的五十和二十毫升都是分别加上五毫升的，所以把五毫升减掉就是它原来的体积。 圆柱就是五十，减去五等于四十五毫升。圆锥就是二十，减去五等于二等于十五毫升。接着我们来将它们消除，四十五除以十五等于三，所以圆柱的体积是圆锥的三倍。

大家好，这里是小学数学重难点系列讲解，我是孙老师，方法虽有可观，思路方能致远。 大家新年好，这条视频呢，是我们新年的第一条视频。首先呢，祝各位小朋友快快乐乐，健康成长，祝家长们平平安安，幸福生活。 那么寒假过半了啊，我们休息之余呢，把六下的两个非常重要的内容，圆柱圆锥和正反比例先预习一遍啊，圆柱圆锥呢，有些小朋友可能学过了啊。呃，再听孙老师讲一讲哪些不一样的体会。 那么圆柱圆锥呢，我们依旧是从三个方面来讲，从基础啊，构造到表面积和体积。 第二个呢，是归类与拓展啊，我们一向都是先讲基础，然后再进行提醒，归类啊，再拓展。那第三个呢？思路总结与发散。 那在我们把所有的类型的题目讲完了以后，在更高的视角，我们再来看一下这些类型，这些题目。呃，我们能总结出哪些思路？这些思路又怎么样能运用到更复杂更难的题目里面？ 这种学习方式呢，也是我们啊小学到初中的一个非常大的跳跃吧。小学呢，我们老师给你总结是吧，到了中学以后啊，需要我们小朋友自己总结。好，首先呢，我们这节课呢，是基础知识， 来，大家来看，这是一个长方体。呃，我在讲长方体正方体的时候就跟大家讲过啊，我说圆柱圆锥跟长方体正方体的题型百分之八十是差不多的，那那么长方体呢，是分成了 上下两个底和它的什么侧面？呃，就是前后左右四个面了，所以一共是六个面。那么也就是说，我要去求它的表面积的时候，是不是上底加下底，以及前后左右四个面， 那求出来，再把它一加，就是它的表面积。当然我们也有第二种求法，就是什么呢？把前后左右，因为它的展开图是一个长方形，我们又称之为侧面积，大家还记得不 是吧？这个前后左右展开是一个长方形，是我们的侧面积，这个侧面积的长是底面周长，是不是底面周长，是不是展开是底面周长啊？长是底面周长，宽的是高，所以侧面积又可以通过底面周长乘高得到， 是吧？底面周长乘高，底面周长就是长加宽的和乘二了，是吧？这个长方形的周长如果是个正方形，就是边长乘四。好，也就是说我们的表面积在长方体上面会有两种求法。好，那么接下来我们看到一个圆柱， 圆柱呢，依旧是分成了上底和下底，但是他没有前后左右啊，是不是我不能够说把前后左右全部求求出来，然后再相加，他没有前后左右，但是 侧面展开呢？依旧还是个长方形，是吧？所以我们可以通过第二种方式，上底加下底，再加上侧面积 把它求出来，可以通过上底下底再加上侧面积求出来，侧面积依旧是底面周长成高啊，那么这个底面周长啊，这个底面周长是啥呀？因为它的底面是一个圆嘛，所以底面周长就是这个圆的周长，圆的周长怎么求，大家还记得吗？ 啊？派乘直径对不对？派地或者呢？二派二，大家还记得吗？底面周长派地或者二派二 啊。我们在学习圆柱圆锥的过程当中啊，有一个很很重要的问题，我们有的小朋友可能前面的圆的知识啊忘记了，如果有忘记了，可以到前面我的视频里面再去复习一遍啊。 好，那么这样我们圆柱的表面积就是上底加上下底再加上侧面积，那底面周长成高，那么上底加下底呢？是怎么求来着？都是是两个圆，对不对？圆的面积是不是 pi r 的 平方，所以两个的话就是二 pi r 的 平方 再加上侧面积，侧面积是底面周长乘高，底面周长是二排二，对吧？二排二乘 h 高，所以这个就是我们的表面积了啊，上底加下底，再加上侧面积。好，接下来我们看一道题目， 一个圆柱的底面直径是两厘米，高是九厘米，它的表面积是多少？来暂停大家做一下。 好，我来讲很简单吧，是吧？底面直径，那我们先把上下两个底求出来，上下两个底吗？底面直径先除以二，求出半径对吧？二，除以二的平方，二平方乘派，对吧这是？呃，一个圆 再乘二，变成上下两个底，再加上侧面积，侧面积是二派二乘啊，这边是派地乘 h 对 吧？派地乘 h， 二乘三点一四是周长，周长乘高是侧面积，最后求下的是六十二点八，大家做对了吗？ 啊，并不麻烦是吧？很简单。好嘞，继续第二题，仓库里有很多的铁皮啊，然后呢，我们需要把这个铁皮啊，你看这是底，这是侧面，哎，看看哪两个可以 并成一组，做成一个无盖的圆柱形水桶，大家看一下。 好，我来讲，那么这是侧面，是不是这是侧面，要跟这个底能搭配的上，其实很简单了，我们只需要看什么这个侧面的长，是不是这个底的什么周长，对不对？底的周长，你看这边是直径是四分米，它的周长应该是多少？ 四派就是十二点五六，所以一和四是可以的，二后面不行，是吧？所以我们选择的是一和四。好， 来，我们看第三个，一个圆柱的侧面展开图，是一个正方形，这个圆柱的底面直径是四分米，这个圆柱的表面积是多少？ 看一下。是个圆柱啊，侧面展开呢，是个正方形，这说明一个问题，说明什么？底面周长和高相等，对吧？底面周长和高相等，这个圆柱的底面直径是四分米，这个圆柱的表面积是多少？来，大家先做一下。 好，我来讲。那么 我们要求它的表面面积需要上底下底加上侧面积，对吧？尤其是这里的底面周长和高又是相等的，所以我只需要把底面周长求出来高也就知道了， 对不对？底面周长很简单，直径告诉我了，是四分米，四派，所以四乘三点一四等于十二点五六，等于十二点五六。在这里啊，我讲的这些题目派都取三点一四啊。 好，四乘三点一四等于十二点五六，是底面周长又是高，所以他的测面积就很简单了，十二点五六乘十二点五六对一百五十七点七五三六啊，这个小点后面比较多啊。 好，那么这个测面积咱们已经求出来了，咱们还需要上下两个底的面积，对吧？他的直径是四分米，所以我们用四除以二，先把半径求出来，是二分米，那这样的话拍二平方 再乘二是吧？三点一四乘二的平方是一个底，十二点五六，十二点五六再乘二，就是两个底，再加上侧面积，一共加出来等于一百八十二点八七三六， 大家做的对吗？啊？有可能计算会出问题，对吧？这个计算麻烦了一点啊，计算要当心啊。 好，这是这道题，我们继续。那么我们前面讲了三道题，尤其第三道题，来，我们稍微总结一下，我们要求圆柱的表面积啊，是通过哎，把这两个求出来，两个上下两个底面积，然后把侧面积求出来，再一加就可以了，对不对？ 好，既然我要求这两个，那我需要啥呢？我求这个底面积就需要什么底面半径二， 侧面积，我们需要什么呢？需要底面半径二和这个高，对吧？所以总结下来，我们要求圆柱的表面积，其实是只需要两个东西，一个是什么二，一个是 h， 一个是底面半径，一个是高，对吧？我为什么给大家总结这个呢？就是我们在做题目的时候，你看到要求什么？首先脑子里面要反映出来我需要的条件是什么，于是你才能知道我从前面的这个描述的条件里面要提取什么样的信息，是吧？要往哪个上面去靠。 好嘞，我们继续。接下来我们分类啊。呃，我们不是求表面积吗？分类啊，把它这个表面积里面的这个内容啊，我们分类把它讲一讲。首先我们先来看侧面积， 呃，第一道题，一个水杯，那水杯上的装饰袋是八厘米，它的面积是多少平方厘米？来看一下，来，先做 好好，来，我们看这个侧面呢，这个装饰带啊，是一个高八厘米的一个侧面积，是不是啊？要求侧面积很简单，底面周长呈高，所以直径是六厘米，那么就是 啊，三点一四乘六，再乘八解决了。那我说了，这里派我们后面讲的题目派读去，三点一四啊，三点一四乘六乘八等于一百五十点七二平方厘米，答对吗？很简单的一道题啊，来继续。 压路机的前轮直径为一点二米，轮宽两米，压路机工作每小时每转动十周，问每分钟压路多少平方米？看这是个压路机的前轮， 它的直径呢？是一点二，轮宽是两米，它压出去是什么呀？它压出去是不是一个长方形，对不对？是吧？是个长方形， 这长方形的宽呢？其实就是两米长方形的长呢，是这个轮子滚动出来的距离， 是滚动出来的距离。滚动出来的距离大家还记得吗？还记不记得这个距离是怎么来着？这里面有个数量关系是什么来着？是圆的周长乘，滚动的圈数等于滚动的距离，大家想一想是不是啊？圆的周长乘，你滚动了几周，就等于你滚出去多少距离， 是不是那么圆的周长在这里直径已经告诉我了，是两，是一点二米吗？对不对？直径是一点二，所以周长就应该是多少？一点二乘三点一四，一点二乘三点一四，那么乘二呢？就得到了什么？就等于它滚动一周，它能滚出多少平方米？ 是不是滚动一周就是一点二乘三点一四，是周长，是周长滚动滚动一周，他往前滚的距离，再乘他的这个，这边的宽是两米，也就说我滚动一周滚出来的面积是七点五三六平方米，对不对？ 是吧？然后呢？然后滚动一周是七点五三六，他说每小时要滚动十周啊，所以我们用七点五三六乘十，对，七十五点三六平方米啊，这是十周，也就是说每一小时我能滚动这么多的面积， 那最后要求的是每分钟压路多少平方米？一小时等于六十分，所以我还得用七十五点三六除以六十等于一点二五六平方米，大家做对了吗？好，这也是一个典型的题目啊，很基础。好。第三个， 有一根长一米，横截面的直径是二十厘米的木头，浮在水面上，正好有一半露出水面，问，这根木头与水面接触的面积是多少啊？这个木头与水面接触的是多少？哎，大家先做一下。 好，我们看啊，它与水面接触是哪个部分？你看这边是一个半圆，对不对？看到没有？这边是个半圆啊，这边也是个半圆，那这两半圆凑在一起变成一个整圆，再加上， 再加上什么？这是半个侧面积，对不对？侧面积的一半。好，好，现在我们知道了，它跟水接触的面积是一个整圆，加上侧面积的一半，对吧？那现在就好求了， 单位换算一下，长一米，因为他最快求平方厘米，所以一米等于一百厘米。那接下来呢？直径是二十厘米，那么他的半径就应该是十厘米，哎，把半径求出来，方便我们去求这个整圆的面积，所以三点一四乘十的平方等于三百一十四，哎，这个两个半圆加在一起就是三百一十四 平方厘米，对吧？接下来我们求测面积，测面积很好求啊。呃，测面积的一半嘛，所以用这个圆的周长乘一米的这个长度，对不对？所以用二十啊，三点一四乘二十，周长再乘一百，是他的长 对吧？是等于他的测面积，然后除以二等于半个测面积三千一百四十，最后把这两个加在一起，三百一十四，加上三千一百四十，等于三千四百五十四平方厘米， 走对了吗？好，继续。好，第二个呢，我们讲组合体的表面积，来来看 好这个呢，我们会发现这个图啊，上面的这个部分就是我们刚刚求的那个啊，一个半个侧面积，然后前后两个半圆加在一起，是一个整圆，跟我们刚刚求的是不是一样，对不对？然后下面这个部分呢，是一个正方体啊，正方体的几个面？ 五个面吧，是不是五个面？好，大家先做一下。好嘞，我们来对一下答案， 二的平方乘三点一四就是什么？前后两个半圆加在一起是一个整圆，对不对？然后呢，四乘三点一，四乘四就是它的侧面积，再除以二是侧面积的一半，是吧？四乘三点一，四不是周长吗？周长乘四对吧？是这个长， 哎，然后呢，这是一个整个的测面积，再除以二得了半个测面积，这个加在一起就等于上面这个部分三十七点六八， 然后下面就很简单了，是五个正方形，是吧？所以是四的，它的边长是四吗？四的平方乘五，再加上上面的三十七点六八，等于一百一十七点六八平方分米，答案对吗？好看，下面一个 在一个棱长为五分米的正方体木块前后上下左右 各个面的中心位置挖去一个底面直径是两分米，高为两分米的圆柱，大家注意啊，啊，这个黑的这个部分进去是个圆柱啊，他会往里面挖啊，他有高的啊， 他的直径是两分米，高是两分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是多少？大家先做一下。 好，我来讲。这个挖出来之后啊，大家会发现， 虽然这个面被挖掉了，但是他到里面去了呀，是不到里面去了，对不对？里面一样也有这个面，我们在求表面积的时候，里面这个面可以移上来，也就是换句话说是什么呢？说明，说明这个 正方的这个面跑到里面去了， 是吧？正方体的表面积没变的同时，他还多出来了什么，因为他往要往里挖，他是有高的，还挖出去一个侧面积圆柱的，这里面有个侧面积，大家能理解不？几个侧面积呢，六个，前后左右上下每个面都有吧？六个侧面积，也就是说 这个模型的表面积是由一个正方体的表面积，一个完整的正方体的表面积加上六个圆柱的侧面积构成的，对不对？大家，大家想对了吗？是吧？所以那接下来我们就好做了。好，我们用 五乘五乘六是整个正方体的表面积，再加上啊侧面积，一个侧面积是三点一，四乘二乘二，是吧？因为它的直径是二，所以三点一，四乘二等于它的周长再乘它的高二就等于它的侧面积里面周长乘高嘛，对吧？一共是六个，再乘六， 哎，这俩加在一起就等于这个模型的表面积是二百二十五点三六，大家做对没有？好，这个也是，其实你看我们讲在这里啊，这些题型跟我们长方体、中方体的这以前求的这个表面积和体积是不是一样？其实这题我们都做过的，是不是啊？ 好，来我们看下面一个，第三个，三个半径是三厘米，两厘米、一厘米高，都是两厘米的圆柱体，连接成如图的立体图形，求它的表面积是多少？好，大家先做一下。 好，我来讲这三个圆柱体啊，它的半径分别是三二一厘米，高呢？都是两厘米。 然后我们会发现一个问题，哎，我们首先你看我们刚刚在求这个表面积啊，组合图形的组合体的表面积的时候啊，大家一定要注意， 我们需要知道我们要求的是哪些部分，那你得把这些部分给他搞清楚，这样我才能有目的的去求，是吧？那我要求的是哪些部分？我们会发现 这个上面，你看这个小的圆柱的这个上面， 再加上这个大圆柱的上面，凑在一起，不就是大圆柱的上面吗？大家能理解不？这三个凑在一起就是什么大圆柱的上底，对不对？是不是？呃，然后再加上这个大圆柱的下底，也就是上下 的这个表面积，就是这个大圆柱的上底加下底，对吧？好，那我只需要考虑什么呢？侧面，侧面，侧面就是大圆柱、中圆柱和小圆柱三个圆柱的侧面， 是不是？所以我们现在把它这个分析好了，我们要求的是大圆柱的上下两个底，以及这三个圆柱的三个侧面， 对不对？好，那么接下来我们就可以求了，首先大圆柱的上下两个底，三点一四乘三的平方乘二，对吧？大圆柱的上下两个底是五十六点五二平方厘米，那么接下来我要求的是这三个圆柱的侧面积， 三点一四乘三，求这个大圆柱的侧面积三点一四证明是半径吗？三吗？所以三点一四乘三乘二，三乘二是直径，对吧？所以派地底面周长再乘高，高是两厘米啊，乘下来等于三十七点六八，这是大圆柱的侧面积。 然后中圆柱的侧面积三点一四乘二乘二，它的半径是二嘛？所以二乘二是直径，三点一四乘直径等于底面周长，底面周长乘高等于侧面积，这是中圆。 哎，上面的这个小圆柱呢？三点一四乘一，乘二，乘二，十二点五六。最后咱们把这些怎么样加在一起等于一百三十一点八八平方厘米，大家做对了吗？ 好，那么接下来我们要讲圆柱的体积，首先我们依旧还是从长方体来往圆柱上面引啊，因为毕竟长方体我们学过嘛， 长方体的体积咱们怎么求来着？是长乘宽乘高，对不对？那么长乘宽又是什么底面积？所以我们又可以用底面积乘高，对吧？然后那么到圆柱上面我们就要注意了呀， 圆柱它有长宽吗？它没有哎，对不对？所以我们只能用底面积乘高，底面积乘高，那么我怎么去理解底面积乘高能求体积这个事呢？ 大家注意我们可以怎么去理解？我们可以把这个圆柱或者这个长方体理解成是有很多个底面积啊，叠在一起的对不对？很多个底面积叠在一起对吧？然后求他们的和，能不能理解 有多少个底面积呢？有高个高就是底面积的个数，能不能理解？ 哎，不知道有没有小朋友能理解哎，我就把一个底面积求出来乘高就表示他有很多的底面积叠在一起，对吧？然后求他们的和，这就变成了一个圆柱体，大家能不能理解再去求他的和。如果你能理解的话，那么恭喜你 这就是微积分这就是微积分啊，你已经迈入了我们大学高数微积分啊，你已经迈入了我们大学高数微积分啊。他的核心思想就是先微分再求和 啊，把你看求体积的时候把它变成很多的体积啊，底面积，然后切分成很多的底面积，再去求他们的核，就变成了体积。 我们在高中的时候啊，学到低分的初步啊，导数和积分的初步，那么主要学微积分的还是到大学，所以如果你能听明白了，那你已经把这个微积分的核心思想掌握了 啊，所以你已经很厉害了。呃，我们钱学森老人家说过啊，说这个十四岁还能不会微积分吗？哈，这个我们当做一个玩笑话，大家觉得他可能太聪明了啊，不了解我们普通人的智商，但实际上 实际上能理解吗？好理解的并没有那么复杂哈，是不是我觉得我在听的小朋友们应该都理解了，对吧？如果当然了。呃，我们是理解了他的核心思想， 如果我们真要去运用微积分的话，当然我们还缺几个这个知识没学过，比方说你需要掌握的是导数 还有极限的思想，对，把这两个掌握了，那么微积分你就能用了啊，如果感兴趣的孩子可以去搜一搜啊，关于这个导数啊，就是微积分方面的这个简单的课程，去看一看 这个比你做多少，这种什么小蓝本，小成本，做多少道这种题目他都来的，对你来说更重要，价值更高。 哎，这才是真正去学习数学啊，讨论数学，研究数学的方向，不是去做那么几道死磕几道的那几道难题就管用了，去学这个，这个对你来说帮助大。好嘞， 来我们来看啊，我们现在已经知道了，这个圆柱的体积是底面积乘高，对吧？那么接下来我们看一看，这边有四个图形哎，哪些图形是可以用底面积乘高来计算的呢？来看一下 哪个二和三，对不对？是不是二和三？为啥？大家注意啊，我们用底面积乘高有一个条件是这个底面积从下到上，无论在哪哪一块，他都必须相等，对不对？这样你才能乘高啊， 是吧？高的意思是几个底面积吗？对不对？你底面积都变化了，那你怎么能称得上是几个相同的底面积呢？不行的，是不是你像这个， 这个就不行了，你直接成高不行，因为下面的底面积明显要大一点，上面小对不对？这是个圆柱，那更不行了是不是？所以能用底面积成高的必须怎么样？哎，他这些面跟下面要垂直是吧，也就是满足什么，就是这个底面积从上到下他不能变， 哎，只要是不能变的，我都可以用底面积乘高的方式来算，能理解不？哎，这道题可以更方便的让大家理解，假如我为什么用底面积乘高，为什么长方你乘方，你能用底面积乘高？圆柱圆锥它也能用底面积乘高。 好，来看第二个，一个圆柱形玻璃杯侧得内直径是八厘米 啊，杯内豆浆的深度是十六厘米，正好占杯内容积的百分之八十，这个杯的容积是多少？在这里我要说一下， 呃，在长方里上正方体里面我们已经讲过了，我们求容积的时候啊，是不考虑这个容器的容积 b 的 厚度的，所以我们一般直接把体积当容积啊，当然这不是精确的算法，那在这里呢，我们只是忽略到那个 b 的 宽度，是吧？的厚度。好，那么大家做一下。 好，我来讲很简单，底面积乘高是体积对吧？在这里也是它的容积。 首先直径是八，所以除以二等于四厘米是半径，那么它的底面积就应该是四的平方乘三点一四， 深度是十六乘十六，体积求出来了，而这个体积又占杯内容积的百分之八十，对应关系相除，是吧？分量除以分率得到单位一，总共的容积是一千零四点八， 一千零四点八，大家做对了没有？哎，单位再换一下是吧？从立方厘米变成了，呃，毫升。 好，继续从圆柱形水桶里面倒出三点一四升的矿泉水，那么水面的高度正好降低了五分之一，已知水桶的底面直径是二十厘米，水桶里原来的水有多少升？好，大家先做一下。 好，我来讲。呃，那么我怎么讲呢？这题目有方法有很多，那么我们呢，讲的方法呢？从问题出发的，先把思路捋一遍，首先他要求的是水桶里面的水有多深，也就是说求高， 那么求高的话，我们是什么体积？除以底面积吧，是不是啊？体积除以底面积，那么也就是说我们需要体积和底面积，需要把这两个求出来，这里面呢， 底面直径是二十厘米，哎，有直径，那么底面积肯定是能求的，对不对？是吧？那关键是呢，体积不知道，他说倒出了三点一四升的矿泉水，水面高度正好降低了五分之一，这里面是什么关系呢？注意， 倒出的三点一四升的矿泉水和总共的体积的关系是什么？哎，他们的关系是什么？他们都是底面积乘高吧，是不是？而高的比是一比五来，水面的高度正好降低了五分之一，这说明倒出了一份，而总共的高度是五份， 是吧？这个很好理解，对吧？那么体积呢？是不是都是用底面积乘高啊？所以倒出的体积是 s， 底乘上高是一，呃，总的体积是 s， 底乘五，那么把底约掉之后，我们会发现，他们的体积的比是不是就是他们高的比一比五啊， 对不对？就是一比五，体积的比是一比五，那么倒出三点一四升的矿泉水不就占了整个体积的五分之一吗？所以整个的体积是不是就是 三零一四除以五分之一等于十五点七升，这是这个整个的体积，总的体积，对吧？然后总的体积有了，再除以底面积，就等于水的水的高度，对吧？好，我们用 三点一四乘二十除以二的平方，这是求的是什么底面积对不对？然后再用呃呃换算一下，换算成这个三点一四平方分米，因为这个前后都是分米嘛，前面是深呀，前面是深呀，所以最后我们用十五点七除以三点一四 等于五分米，原来的水桶里的水深是五分米，大家做对了吗？哎，这里面主要是一个从高的比啊，从高的比去看出他们的体积的比，因为底面积相同，所以高的比他就是体积的比，对不对？ 来接下来我们要看圆锥的表面积，到了第三个部分了，这是个圆锥， 那么圆锥的表面积怎么求呢？在这里啊，我说一下，在小学我们圆锥的表面积，他没有做更多的要求 啊，没有做更多的要求，但是我孙老师呢，会给大家拓展一下，因为他并不难，只要你们能够理解，哎，而且是从小学知识点往上延伸的，我都会给大家进行拓展。那么首先这个圆锥的表面积啊， 他是不是分成了？下面是一个圆，圆锥下面是个圆，对吧？他的侧面展开啊，是个扇形， 对不对？大家再看一下是不是侧面展开，底下面是个圆，侧面展开他是个扇形，是个扇形。那么我们求的时候就就就就就怎么办？就用底面积加上侧面积这个扇形就可以了啊，我们在六年级就是这么求的， 就是怎么求的扇形怎么求啊？扇形是呃，一个整圆的一个部分，对吧？我们需要知道的是这个扇形的这个圆形角是多少，对不对？我们知道了这个度数，哎，我们就知道了，它占整个圆三百六十度的几分之几，我就可以把这个扇形给求出来了，对吧？这个大家应该都会， 那么关键是我需要知道的是什么？这个半径，对，我得把这个半径得得得求出来，知道了半径，知道这个圆心角，我就能求出这个扇形的面积，也就是这个圆锥的侧面积，是不是？好，这是我们小学的求法， 但是到了初中啊，到初三我们就不这么求了，我们初三怎么求呢？大家注意我们在这里的半径，其实就是哪啊？哎，就是这个这条线是圆锥的顶点到底面这个圆的圆周上的距离， 到圆周上任意一点到这个圆锥顶点的距离，叫什么呢？叫母线， 在这里叫半径啊，实际上在圆锥里面这叫母线，叫母线啊，记住啊，这个半径和这个母线是一样长的啊，一样的啊，我们只不过把它，把它，把它圈起来了，对不对？叫母线。好，在这里我们要回忆一个知识点， 这是一个圆，我可以把一个圆切拼成一个什么一个长方形，径四的长方形，对不对？ 所以圆的面积啊，我们就是什么用，因为这个切出来这边宽是半径，大家还记得不？下面是什么呀？是周长的一半，是周长的一半，所以这个圆的面积就是什么周长的一半，成半径，对不对？大家还记得吧，这个知识点。好，我们如果知道了，记住了这个知识点，那么大家注意， 如果一个扇形的一个扇形，是不是也可以把它切开，只不过他拼成了这个长方长方形短了点吗？对不对？是不是？大家能不能理解？他不是扇形有一部分，这个圆的一部分被切掉了，是吧？现在是个扇形，他也可以拼啊，切，拼啊，只不过这个长方形没那么长了吗？对不对？ 是不是？而他依旧是这边是他的半径，而这边呢？这个弧长一半在上面，一半在下面，对不对？对吧？这个弧长其实在我们圆锥里面，是不是就是底面周长啊？大家能理解吗？是不是那底面周长的一半，这是底面周长的一半，所以 这个扇形的面积又可以怎么求呢？底面周长的一半乘半径，而是吧，底面周长的一半乘半径，而这个半径又是什么来着？我们刚刚说的叫什么？叫母线，对不对？所以，哎，所以这个扇形又是母线乘底面周长除以二， 哎，我要是直接说母线乘底面周长除以二，大家可能理解不了，但是我用上面这个图，大家再看一看，再理解一下，你就能理解了，对吧？因为这个知识点咱们学过呀，咱不是学过，整圆可以切片成一个长方形，那么圆的一部分作为一个扇形来讲，当然也可以切喽，对不对？ 来，这就是作为圆锥来讲啊，它的侧面积啊，我们初三的一种求法就是母线乘底面周长除以二，用字母表示的是 pi l pi r l r l 是 母线的意思啊。好嘞，这是给大家拓展了一下。呃，我觉得是能理解的， 能理解的，是吧？哎，我们所有的基础知识我们都具备，所以理解起来也不困难，这是测面积好了，那么圆锥的表面积，我说了啊，呃，小学阶段的不做更多的要求，哎，我该拓展的给大家拓展，大家理解了，那么接下来我们主要来讲圆锥的体积， 这是个圆锥，这是个圆柱，这俩呢，他们的底面积相等，他们的高也相等，那么他们体积的比是一比三啊，也就是说等底等高的圆锥是是与他等底等高圆柱的体积的三分之一。 那我要去求圆锥的话，是不是就是用底面积乘高之后再乘三分之一？那因为底面积乘高是求出来跟他等你等高的一个圆柱的体积再乘三分之一，就等于什么圆锥的体积，大家听明白了吗？ 大家听明白没有啊？就是底面积乘高再乘三分之一啊，或者除以三也行。那么至于体积的比，为什么是一比三呢？我们小的阶段 不做要求，为什么不做要求呢？他需要还是得需要用微积分来进行推导啊？那么我前面说了，可能有小朋友去看了啊，如果你学了，学了微积分之后，你能够把这个一比三的这个笔啊能推导出来， 那我要给你竖大拇指，你可太厉害了哈。呃，不信你去问问你们学校里的老师，看看他能不能给你解释为啥是一比三，你可以解释给他听啊，那你就超级厉害。好了，那么我们现在知道了啊，圆锥的体积是怎么来的？ 接下来我们看题目，一个圆锥的底面半径是五厘米，高是十二厘米，这个圆锥的体积是多少？很简单吗？来做一下 底面积乘高再除以三，对不对？底面积，底面积是五的平方派五的平方乘三点一四，再乘高十二，这求出了等底等高的一个圆柱，而圆锥需要除以三，所以等于三百一十四，大家对吧？很简单，一道题，好，下面一道题， 这边有两，这边是个沙漏啊，是两个完全相同的圆锥形容器沙漏，大家都见过吧，是吧？然后呢，就上面的往下面漏沙，哎，他说这个高呢，是六厘米啊，每个圆锥的高是六厘米，里面装满了细沙， 这个漏口每秒可漏细沙，零点零六立方厘米，漏完全部的细沙，用十五分钟。这个沙漏的底面积是多少？大家先做一下。 好，依旧思路先搞清楚啊。要求沙漏的底面积是不是用体积除以高，是不是体积除以高 哦，这是圆柱，但是要注意的是，这里是圆锥哦，圆追求体积的时候是不是除以三，所以我反过来要求底面积的时候，需要先用体积乘三，再除以高，才等于底面积，这就跟什么一样， 就跟我们当初学三角形一样，三角形要知道了，底要求底边上的高，是不是面积乘二除以底， 为什么？因为我求这个面积的时候是底乘高除以二来的嘛，大家能不能理解这个意思，是吧？好，所以依旧我们还是先把体积求出来。体积，那体积，他说每秒漏细沙零点零六立方厘米，一共用了五分钟，这说明 他的体积就是多少，哎，这相当于是个工程问题，工作效率是每秒零点零六，工作时间是五乘六十三百秒，对吧，所以算出来是十八立方厘米，一共漏了这么多的沙，也就是他的体积啊，能理解吧？ 好，知道了它的体积，我们用体积乘三除以它的高等于底面积，这道题目就做出来了，哎，在这里我要强调的就是一定要注意我们沙漏啊，我们这个圆锥啊，要求底面积或者求高的时候不要忘记了，体积要乘三， 千万不能忘了啊，我们有些小朋友比较粗心的，这个不能忘记啊，提醒自己。 好，我们接下来看，这是我们最后一道题了，一个直角三角形的两条直角边，分别是三厘米，四厘米，斜边是五厘米。哎，三四五啊，勾三股四减五啊，这边这边呢，又也稍微有点超啊， 哎，我们一旦看到是三四五这样的三角形，那么他一定是一个直角三角形啊，为什么呢？他满足勾股定律，三个平方加上四个平方就等于什么五个平方啊，三四五，这个等到了初中以后啊，一看这个知道这是个直角三角形。好嘞， 那么接下来他要做的是分别以三条边所在的直线为轴，把三角形旋转一周，得到一个立体图形啊，那很简单，旋转一周嘛，来， 这是以四厘米作为轴啊，旋转一周之后得到了一个圆锥，得到了一个圆锥，对吧？ 以四厘米为轴，旋转一周不到了个圆锥吗？这个圆锥的，呃，高是四厘米，底面的半径是三厘米，就是这条边，对不对？半径是三厘米哎，它的体积好不好求，很好求吧！ 来，底面积乘高，再乘三分之一或者除以三等于三分之一，乘三点一，四乘三个平方，乘四等于三十七点六八立方厘米，对吧，很好求的。好嘞，那么当然这是这是第一种啊，这是第一种啊，它剩下两边，大家先做一下，比一比，看看谁的体积大。 好嘞，我来讲了啊，我们继续，我们求出来第一个图形了，接下来我们看第二个， 哎，我把它这样放了，我沿着三厘米这条边来来转，以三厘米的为轴，对吧？那么这样转下来的话，就变成这样一个扁扁的圆锥了，是吧？它的高是三厘米，它的底面的半径就变成四厘米了，对不对？变成四厘米了，那么它的体积也好求， 体力就是三分之一乘三零四乘四的平方，乘三等于五十点二十四立方厘米啊，这个不难，那么麻烦的是什么呢？还有一个五厘米，对不对？以五厘米为轴，他转出来会是什么样子的？会是这个样子的， 那会是两个圆锥，上面一个大一点的圆锥，下面一个小一点的圆锥，是吧？这个 这是丙图啊，他的这个半径底面半径，这个底面积是不是上下两个圆锥都一样，对不对？半径是多少呢？半径是多少半径我现在不知道，我得求出来半径其实就是五厘米这条斜边上的高啊，是不是？这个半径是不是五厘米斜边上的高啊？ 对，五厘米斜边上的高，好求了吧，三乘四除以五就可以了，对不对？是吧？五厘米斜边上的高，那么 他的这个上面的这个大的圆锥和下面大小的圆锥的高啊，我们分子也称之为 h 一 和 h 二啊，这边是两个高嘛？大圆锥的高和小圆锥的高，是吧？所以这个丙这个图形的面体积应该怎么求啊？ 是两个圆锥加在一起，对不对？所以我们先把这个半径求出来，三乘四除以五等于二点四厘米，这个大家都会吧，三乘四啊，斜面上的高，然后 接下来我们求大圆锥加小圆锥，三分之一乘三点一，四乘二点四的平方乘 h 一， 这是什么？上面的大圆锥，三分之一乘三点一，四乘二点四的平方乘 h 二，是下面的小圆锥，对吧？这两个加起来大圆锥加小圆锥，哎，那么我们会发现 前面都是三分之一乘三点一，四乘二二点四的平方，那么这个是不是可以提出来了？是不是提出来之后乘剩下的相加 h 一 加 h 二。注意了， h 一 加 h 二是多少？是不是这个五厘米啊？ 是不是斜边啊？所以 h 一 和 h 二这两个高，我们不需要单独把它求出来，直接把它加在一起，变成了三分之一乘上三点一四乘二点四的平方乘五，对吧？ 最后等于三十点一四四立方厘米。好，这个大家会做吗？做下了没有？哎，这是我们今天讲的，稍微麻烦一点题目，今天都是讲的基础啊，哎，大家听的应该是比较轻松的，也不难，对不对？好，最后比较一下谁大呢？ 五十点二十四大于三十七点三十七点六八大于三十点一四四，乙的体积大于丙的体积，大于丙的体积，所以最后奇的体积最大啊，好，今天讲的不难吧， 哎，今天是新年的第一节课啊，没有很困难，讲点基础的，中间呢，我们有体积的推导方式，我们用了这个积分的方式啊，我觉得大家应该是能理解的，对吧？好，那么今天我们就先讲到这里。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第二课时，圆柱的侧面展开图。上一节课我们认识了圆柱，它是由三个面组成的，上下两个底面，还有一个侧面是一个曲面。 大家思考一下，圆珠的侧面，如果我们给它展开，可能会是什么形状呢？你也可以动手试一试。现在我们把罐头盒的商标纸如下图所示，沿高剪开再展开， 这时候你会发现圆珠的侧面展开后得到一个长方形。那么大家继续思考，我们把圆珠的侧面展开后得到长方形吗？ 来看这道题，下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的。比如第一幅图，它的侧面展开是一个长方形，那我们是怎么样给它展开的呢？对，是沿着侧面上的一条高展开的。 第二幅图是怎么展开的呢？我们是沿着侧面上的一条曲线展开的，所以它得到了一个不规则图形。 第三幅图我们是怎么做的？沿着侧面上的一条斜线展开，这样它的侧面就得到一个平行四边形。那如果现在让你判断一道题，圆柱的侧面展开图一定是长方形， 那很明显这道题是错误的，有可能得到长方形。还有不规则图形或者是平行四边形，只有沿着侧面上的高剪开才能得到长方形。 比如我手中的这个圆柱，如果沿着它的高剪开，展开以后还可能是正方形。但不管是不规则图形还是平行四边形，我们都可以通过割补法，然后通过平移把它转化成一个长方形。 比如平行四边形，把它割补，然后平移，也可以把它转化成一个长方形，包括这个正方形，它也是一个特殊的长方形。 那好，那我们就以长方形为例，来研究一下展开的长方形的长宽与圆柱有什么关系？把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么呢？ 不管是把这个长方形围在这个圆柱上，还是让圆沿着长方形的长滚动一周，都会发现这个长方形的长就相当于圆柱的底面周长，那么长方形的宽就是 圆柱的高。这个长方形与圆柱之间的关系特别重要。来，孩子们你也跟着读一遍。长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于 圆柱的高。再根据长方形的面积等于长乘宽，所以我们得到圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测就等于 c h， 那 么 c 又等于二 pi r， 所以 还等于二 pi r h。 看来呀，要求圆柱的侧面积，我们只需要知道圆柱的底面半径，或者底面直径，或者底面周长和高，都可以求出它的侧面积。 那来看这道题，一个圆柱形茶叶桶的侧面贴着商标纸，圆柱的底面半径是五厘米，这张商标纸展开后是一个长方形， 它的长和宽各是多少厘米？那我们看长方形的长就相当于圆柱的底面周长。这里告诉了半径，能不能求出周长呢？ 半径乘二等于直径，直径乘派等于周长，也就是长方形的长。那么长方形的宽就等于圆柱的高，所以它的宽就是二十厘米。答，它的长是三十一点四厘米，宽是二十厘米。来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 通过刚才的动手操作，我们发现圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽等于圆柱的高。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测等于 c h， 还等于二 pi r h。 圆柱的侧面积公式推导非常的重要，这里学好了，后面学习圆柱的表面积，那就轻松太多了，孩子们，你也试着把圆柱的侧面积的公式推导过程说一遍吧！

圆柱、圆台、圆锥旋转体动画演示，简单明了，可以调整他们的高与半径。如果你对圆柱、圆锥、圆台不太理解的话，可以参考这个视频，提高几何空间想象力。

随性的发挥，大耳朵图图做了将近十分钟的东西。

这是两种，这是周长公式，这是面积公式，那么还有一个比较重要的是侧面积， 侧面积呢在表面积之中是必不可少的，那么侧面积我们把圆柱展开之后，首先就去获得获得一个长方形，旁边有两个圆，这就是一般大部分常见的圆柱的展开图，那么我们可以发现，展开之后圆，我们把底面积圆圆的周长就相当于 这个侧面积的长，所以说长就等于拍 d 或 r 拍二，那么这个宽呢？从实践中我们可以得知，因为我们的侧面就是沿高展开，所以说呢侧面高就是呃宽就是高，那么这下我们就可以求出来了，那这个呢就是 r 拍二 h， r 拍二 h 或者是拍 d h， 这两种都是测面积公式，那么我们来推导一下表面积公式，表面积公式照样也有两种， r 拍二 h 加上 我们说的拍二的平方乘以二，这就是如果已知半径的话来求，如果不知道半径的话，就变成了拍 d h 加上拍括号 d 除以二的平方再乘以二， 这是两种不同的公式。那么体积呢？现在我们要讲的最重要的一部分体积，体积呢，我们首先体积怎么推到呢？这是我们从上面来看这个圆柱，那么我们给它分成若干份等等等，这分的只是其中的很小一部分，之后呢我们再拼合，你就会得到一个长方体， 你就会得到一个长方体，那么这个长就是圆周长的一半， 圆周长的一半，那么这个就相当于我们所说的这个半径，那么这俩一乘就相当于整个圆，也就相当于我们的底面积，那么这是高，所以说长方形它有两种公式，一种是底面积乘以高， 另外一种是长乘宽乘高。那这种方法呢，我们暂时不要采用这种，这个呢，现在我们已经知道了，圆的底面积等于 这个长方体的底面积，那么他既然他俩相等的高，也是一定相等的，所以说呢，我们就可以得知，原圆柱的公式就是底面积 乘高，字母表示就是就是 v 等于 s h， 这个 s 大家都知道，就是底面积，那么圆锥，圆锥呢？我们来看一下。 首先大家都见过这两种最常见的平面图形，平面图形我们可以发现长方形和三角形等底等高，那么如果我们拿一根棒棒在这里旋转一周，我们就会获得一个圆柱形圆柱体，那么 那我们把三角形旋转一周，这是直角三角形，我们就可以获得圆锥。 那么既然他们在原来的图形中是两倍关系，那么在立体图形中，他们是否是两倍关系呢？经过实测，我们把圆锥 中间的部分掏空，我们装上沙子往圆锥里面倒，倒了三次才成功倒满，说明圆柱是圆锥的三倍， 那么由此我们就可以推出圆锥的公式， v 等于三分之一 s h， 这个三分之一怎么来的我都不用说了吧，是从 v 等于 s h 除以三，把这个除以三变成乘以三分之一，我们可以把三分之一放在最前面，就变成了三分之一 s h， 这就是圆锥的立立体体积。

数学圆柱与圆锥立体手抄报教程来了！下单后会提供这些图片，亲们可以根据自己情况选择打印。视频中展示的是彩图打印效果，一共需要打印三张图，建议亲们选择打印黑白线稿图色后再剪贴， 这样效果会更加真实，像自己手绘的。开始做之前，咱们需要准备的工具，剪刀、泡沫胶针和线下面开始制作。第一步，把每个小图案剪出来，圆锥和圆柱图案剪下来后，可以沿着虚线折一下 这两份图案，有字的和无字的选择一个即可。为了方便演示，我选用带文字的。 第二步，把小图案背面贴上泡沫双面胶，视频中用的泡沫胶是零点五厘米厚的，亲们可以做个参考。第三步，粘贴组装。可以先大致摆一下图案位置，然后再撕开泡沫胶粘贴就可以。 圆锥体和圆柱体我用的是针线穿的。首先第一步，从底面圆的外侧穿，然后按顺序依次穿过图上留的圆点。注 力针从哪一面穿出来，需要再从同一侧面穿过去，最后穿回到第一个洞，再把线打上结，多余的线条剪掉，再把圆柱和圆锥的笛绵圆贴上泡沫胶粘贴到合适位置，这个作品就完成了。 最后一起来看看成品效果吧！

孩子们好，今天我们来学习六年级下册圆柱与圆锥的例例，圆柱的容积。首先我们来回忆一下，上一节课我们学习了圆柱的体积， 圆柱的体积公式是怎么推导的？我们把圆柱等分成若干份，拼成了一个近似的长方体，我们在转化的过程当中，我们发现长方体的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积， 长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积等于底面积乘高，所以推导出了圆柱的体积也等于底面积乘高。用字母表示 v 等于 s h， 或者是 v 等于 pi r 的 平方 h。 那 今天这节课我们学习的是圆柱的容积， 那大家首先回忆一下什么叫容积，还记得吗？对，容器所能容纳物体的体积叫做容积，也就是说它里边能有多大的空间，就叫做它的容积。 我们在五年级已经学习过长方体、正方体的容积，它和体积的计算方法完全一样，所以容积的计算方法与体积的计算方法相同，但是它所用的数据要从容器的里面来测量。 大家还记得我们常用的容积单位有哪些吗？所有的体积单位都可以用做容积单位，比如立方米、立方分米、立方厘米，但是当里边装液体的时候，我们还要用到容积单位，谁呢？升与毫升， 那么这些容积单位之间的净率是一个非常易错的点，我们来一起梳理一下。一平方米等于一千立方分米，一立方分米等于一千立方厘米， 相邻两个体积单位间的净率是一千立方分米呀。当时装液体的时候，它还有另外一个名称，就是升立方厘米，也就是我们所说的毫升。因为立方分米和立方厘米的净率是一千，所以升与毫升的净率 也是一千。不管是做填空题还是解决问题，这些单位的换算特别容易出错，孩子们，请你按下暂停键来记一记吧。 那好，知道了容积的计算方法和体积的计算方法一样，还知道了容积单位之间的戒律。那么今天我们学习的例六就非常简单了，来看例六 下面的杯子能不能装下两袋这样的牛奶，数据是从杯子里面测量得到的。首先我们来看告诉了杯子的内直径是八厘米，还告诉了一袋牛奶的容积是二百四十毫升。 那要解决这个问题，其实也就是计算什么呢？对这个杯子的容积，杯子它是一个圆柱体，那么我们该怎么样求出圆柱的容积呢？容积和体积的计算方法一样，那我们是不是要求出来这个杯子的底面积 乘高，那告诉的是直径，所以杯子底面积三点一四乘直径除以二的平方等于三点一四乘四的平方，最后结果等于五十点二四平方厘米。知道了杯子的底面积，再用底面积乘高等于它的容积。注意这里得到的是五百零二点四立方厘米， 问能不能装下两袋这样的牛奶，我们要给他换算成毫升，因为一立方厘米还有一个名字就是毫升，所以五百零二点四立方厘米就等于五百零二点四毫升。 接着我们求出来两袋牛奶的体积是二百四十乘二，等于四百八十毫升。然后把杯子的容积和两袋牛奶的体积进行比较，五百零二点四大于四百八十。答，杯子能装下两袋这样的牛奶。 通过这道题我们发现，求圆柱的容积是不是和它体积的计算方法一样，只要注意单位的换算。来，孩子们，我们规范总结一下，圆柱容积的计算方法与体积的计算方法相同，只是所用的数据要从容器的里面来测量， 用到的体积公式是一样的， v 等于 s h 或者 v 等于 pi r 的 平方 h。 第二点也是我们计算时最容易出错的一点，要注意单位是否统一。 掌握了方法以后来看这道练习题，我们教材二十五页做一做的。第一题，小明和妈妈出去游玩，带了一个圆柱形保温杯，从里面量底面直径是八厘米，高是十五厘米。 如果两人游玩期间要喝一升水，但这壶水够喝吗？这道题他和例题同一类型，那我就交给你了。王老师把这道题的答案放在评论区，如果你能做对，给自己点个赞吧！

六、下数学最难的圆柱与圆锥，就这五大题型练完，开学稳进前三。可打印圆柱与圆锥。一、圆柱组成表面积形成切面纵切横切体积典型题型。题型一，圆柱的展开图题型二，面动成体，形成圆柱 梯形。三、切拼节削挖圆柱切拼节削挖梯形。四、巧球体积容积球不规则瓶子倒置等阶变形排水板梯形。五、其他常考梯形。以上均有电子版。

六下数学最难的圆柱和圆锥，就这六大题型，寒假练完稳进前三，可打印六下数学圆柱和圆锥六大题型加解析技巧专题一切专题二，消专题三，融注专题四，增高减高专题六，旋转体 应用题专项训练专项练习一、与圆柱表面积有关的实际问题与圆柱体积有关的实际问题与圆锥体积有关的实际问题以上均有电子版。