底面直径与高相等的圆柱怎么折

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元圆柱与圆锥的第二课时，圆柱的侧面展开图。上一节课我们认识了圆柱，它是由三个面组成的，上下两个底面，还有一个侧面是一个曲面。 大家思考一下，圆珠的侧面，如果我们给它展开，可能会是什么形状呢？你也可以动手试一试。现在我们把罐头盒的商标纸如下图所示，沿高剪开再展开， 这时候你会发现圆珠的侧面展开后得到一个长方形。那么大家继续思考，我们把圆珠的侧面展开后得到长方形吗？ 来看这道题，下面是同一个圆柱的展开图，说一说每个图是怎样展开的。比如第一幅图，它的侧面展开是一个长方形，那我们是怎么样给它展开的呢？对，是沿着侧面上的一条高展开的。 第二幅图是怎么展开的呢？我们是沿着侧面上的一条曲线展开的，所以它得到了一个不规则图形。 第三幅图我们是怎么做的？沿着侧面上的一条斜线展开，这样它的侧面就得到一个平行四边形。那如果现在让你判断一道题，圆柱的侧面展开图一定是长方形， 那很明显这道题是错误的，有可能得到长方形。还有不规则图形或者是平行四边形，只有沿着侧面上的高剪开才能得到长方形。 比如我手中的这个圆柱，如果沿着它的高剪开，展开以后还可能是正方形。但不管是不规则图形还是平行四边形，我们都可以通过割补法，然后通过平移把它转化成一个长方形。 比如平行四边形，把它割补，然后平移，也可以把它转化成一个长方形，包括这个正方形，它也是一个特殊的长方形。 那好，那我们就以长方形为例，来研究一下展开的长方形的长宽与圆柱有什么关系？把这个长方形重新包在圆柱上，你能发现什么呢？ 不管是把这个长方形围在这个圆柱上，还是让圆沿着长方形的长滚动一周，都会发现这个长方形的长就相当于圆柱的底面周长，那么长方形的宽就是 圆柱的高。这个长方形与圆柱之间的关系特别重要。来，孩子们你也跟着读一遍。长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于 圆柱的高。再根据长方形的面积等于长乘宽，所以我们得到圆柱的侧面积就等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测就等于 c h， 那 么 c 又等于二 pi r， 所以 还等于二 pi r h。 看来呀，要求圆柱的侧面积，我们只需要知道圆柱的底面半径，或者底面直径，或者底面周长和高，都可以求出它的侧面积。 那来看这道题，一个圆柱形茶叶桶的侧面贴着商标纸，圆柱的底面半径是五厘米，这张商标纸展开后是一个长方形， 它的长和宽各是多少厘米？那我们看长方形的长就相当于圆柱的底面周长。这里告诉了半径，能不能求出周长呢？ 半径乘二等于直径，直径乘派等于周长，也就是长方形的长。那么长方形的宽就等于圆柱的高，所以它的宽就是二十厘米。答，它的长是三十一点四厘米，宽是二十厘米。来，孩子们总结一下，通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 通过刚才的动手操作，我们发现圆柱的侧面沿高展开，得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽等于圆柱的高。根据长方形的面积等于长乘宽，我们推导出了圆柱的侧面积等于圆柱的底面周长乘高。那如果用字母表示 s 测等于 c h， 还等于二 pi r h。 圆柱的侧面积公式推导非常的重要，这里学好了，后面学习圆柱的表面积，那就轻松太多了，孩子们，你也试着把圆柱的侧面积的公式推导过程说一遍吧！

一个底面周长和高相等的圆柱将侧面沿高展开后，得到一个什么图形？我们知道一个圆柱，它的底面周长相当于展开后的长方形的长， 它和宽相等，那也就是长方形的长和宽相等，那么它展开以后，它就是一个 正方形，沿高展开应该是一个正方形。接着看第二题，一个底面直径和高相等的圆柱，将侧面沿高展开后，得到一个什么图形？ 当一个圆的底面直径和高相等，那么它的周长等于直径乘派，所以一定大于高，并且它是沿高剪开，所以这时候一定得到一个长方形，所以选择 c。

另外一个我们在讲的时候，圆柱侧面展开得到的一定是一个长方形吗？不一定，还有可能是什么型？正方，正方形。那这个时候咱们再拿一张正方形，那我这有一个正方形的纸，对不对？我也是给他沿着这个一卷，此时这也是一个圆柱，对不对？这个圆柱我依然两底之间的距离是高，上下两个是底面 沿着高展开以后得到的是一个什么形状？正方形。那此时当侧面展开得到的是一个正方形的时候，那此时这个正方形的这条边相当于圆柱的什么？底面周长这条边相当于什么？也就是当侧面展开得到的是一个正方形的时候，底面周长 和高是怎么样的？一定要记住，这是我们考试的时候一定会考的题。如果侧面展开得到的是一个正方形，此时圆柱的底面周长和高 高是相等的。 ok， 有 没有问题？那此时我们刚刚讲了圆柱侧面来的可以得到的是长方形，第一种情况对不对？那第二种情况得到什么形？还有没有其他形？有没有四边形？非常好？能不能得到的是一个平行四边形？是可以的。这个时候这是一个圆柱， 我这么着剪，我这么斜着，一开口是不是得到也是一个？我必须折一下，是不是平行四边形？我这么卷出来以后是不是也是一个圆柱，对不对？也就是这个圆柱侧面还可以得到长方形，正方形得到平行四边形，对不对？

哇，这是一张地图，跟着地图走就能找到更多能量圆柱体吗？我要怎么把地图拿下来随身携带呢？同学们，快来帮我想想办法吧！ 哇，有这么多剪开方式，只有沿高剪开才能得到一个长方形，看来我得沿着高来剪了。 我知道了，沿高展开后，长方形的长等于圆柱的高。 原来如此啊！沿斜直线展开后，平行四边形的底等于圆柱底面周长，平行四边的高等于圆柱的高。对了，同学们，什么情况下圆柱的侧面展开图是一个正方形呢？ 原来当圆柱底面周长等于高的情况下，侧面展开是正方形。太棒了，今天学了好多新知识呢，谢谢大家！ 长方形的纸，横着卷和竖着卷可以卷成不同体积，而且没有底面的圆柱。

今日知识来了，把一个正方体木块削成一个最大的圆柱体，如果圆柱的侧面积是三百一十四平方厘米，那么正方体的表面积是多少呢？ 读完题目之后，我们发现题目中给出的两个条件，一个是最大的圆柱，那我们就要知道最大的圆柱，他底的直径是和正方体的边长相等的，圆柱的高和正方体的高是相等的，这样他才是一个最大的圆柱体。 第二个条件给出的是侧面积是三百一十四，那我们就想圆柱的侧面积是三百一十四，那我们就想圆柱的侧面积的公式是等于派 d 乘以 h， 那么它的直径和它的边长是相等。假如说它的边长是 a 的 话，那么测面积就等于底部的周长，也就是 pi 乘以 a， 再乘以高，也就等于 pi 乘以 a 的 平方，也就代表着 pi 乘以 a 的 平方，它是等于三百一十四的。 然后最后我们再回顾一下正方体的面积公式是什么，表面积公式是等于一个面的面积乘以六。理解好这些思路之后，题目迎刃而解。 一百一十四除以三点一次我们算出来的是 a 的 平方， a 的 平方等于一百，那么我们可以推出 a 等于十，也就是正方形的边长是十，那么代入面积公式就等于十乘以十，再乘以六，等于六百平方厘米。

我的 抖音。

今天我们通过两道例题来深入理解圆柱的展开图。我们先看例一，如图有一块长方形塑料板，剪下两个圆及一个长方形，正好可以做成一个圆柱， 这个圆柱的底面半径是两厘米，那么这块长方形塑料板的面积是多少平方厘米？要求长方形塑料板的面积，我们需要知道这个塑料板的长和宽， 那我们看根据条件可以先求出什么。题上告诉我们圆柱的底面半径是两厘米，我们可以标一下，这一段是两厘米，可以求出塑料板的宽，它是四个半径，用二乘四 塑料板的宽是八厘米，再求出塑料板的长就可以了。那它的长分为两部分，一部分是底面圆的直径，另外一部分是图色长方形的长，直径是四厘米，我们可以求出来， 那这段的长度是多少吗？我们需要考虑圆柱的展开图。圆柱是由两个底面和一个侧面组成的，那这里的长方形就是圆柱的侧面，我们可以得到底面周长等于长方形一边的长，为什么说一边的长呢？因为分为两种情况， 一种情况是底面周长与长方形的长相等。我们把这两种情况的图分别画出来， 这是这两种情况的展开图。第一种情况，底面周长等于长方形的长，那我们先求出底面周长，已知底面半径是两厘米，我们用二 pi r 二乘三点一，四乘二等于十二点五六厘米， 说明长方形的长也是十二点五六厘米，这样才能做成一个圆柱，也就是这一段就是底面周长十二点五六厘米， 这样我们可以求出塑料板的长用直径四加十二点五六，直径是二乘二加十二点五六等于十六点五六厘米，塑料板的宽是八厘米，二乘四等于八厘米。塑料板的面积长乘宽 十六点五六乘八等于一百三十二点四八平方厘米。第二种情况，底面周长等于长方形的宽，那我们看一下是否符合题。 底面周长用二 pi r 二乘三点一，四乘二等于十二点五六厘米， 而长方形的宽呢？刚才算过了，是八厘米，二乘四等于八厘米。我们发现底面周长与长方形的宽是不相等的，所以这种情况不符合题，他不能做成一个圆柱，十二点五六不等于八，不符合题， 所以只有这一种情况是符合题意的。这里我们是把展开图的两种情况分别画出来了，帮助我们理解。那我们再由原图来思考一下。 我们知道了图色的长方形是圆柱的侧面，那就要想到底面周长可能与长方形的长相等，也可能与长方形的宽相等。第二种情况，长方形的宽是底面周长， 而底面周长等于派 d， 也就是底面周长是直径的派倍。而通过图形我们发现长方形的宽是直径的两倍，宽等于二 d。 那我们可以得到什么？宽能等于底面周长吗？不能，所以第二种情况是不符合提议的，那我们就只用考虑第一种情况，让长方形的长等于底面周长再来计算。我们来看例二，下面的长方形纸片剪开后正好可以做成一个圆柱， 这个圆柱的底面直径和底面周长各是多少分米？跟刚才的图形是一样的，这是圆柱的展开图，有两个底面和一个侧面。那我们来分析一下它的展开图。第一种情况，这个长方形的长等于地面周长。第二种情况， 这个长方形的宽等于地面周长。这是这两种情况的展开图。那看一下是否都符合题。地面周长用直径表示是排地，而第二种情况，长方形的宽等于直径的两倍，宽等于二地， 说明底面周长和宽是不相等的，底面周长不等于宽。所以第二种情况不符合题。我们只考虑第一种情况，底面周长与长方形的长是相等的，也就是这个展开图。接着怎么分析呢？从已知条件入手， 十六点五六分米是大长方形的长，它分为两部分，第一部分是圆的直径， 第二部分是底面周长，也就是直径加底面周长等于十六点五六分米。由这个式子我们可以求出底面直径。先把这个式子写出来，然后把底面周长也用直径来表示。 d 加三点一四， d 等于十六点五六，变成关于 d 等于十六点五六，求出 d 等于十六点五六，除以四点一四， d 等于四。底面直径是四分米，再求底面周长， 用三点一四乘四，底面周长是十二点五六分米。我们来看一道练习题，利用图中的图色部分，刚好能做成一个圆柱形的油桶，接头处忽略不计， 求它的表面积。图色部分是圆柱的表面，由两个底面和一个侧面组成。考虑一下它的展开图，有两种情况， 第一种情况，长方形的长等于地面周长。第二种情况，长方形的宽等于地面周长，是否都符合提议呢？底面周长是派地，周长是直径的派背， 那我们发现长方形的宽刚好等于直径，所以底面周长和宽是不相等的。 第二种情况，不符合题，我们只用考虑第一种情况就可以了。长方形的长等于地面周长，接着从已知条件入手看可以得到什么？二十点五六分米包含几部分，它是有两个底面直径 和一个底面周长组成，也就是二 d 加底面周长等于二十点五六分米，我们由这个式子可以求出底面直径，看一下怎么来求。我们把这里的周长也用直径来表示。 派 d， 也就是三点一四 d 可以 得到二 d 加三点一四， d 等于二十点五六，变成关于 d 的 一个方程。五点一四， d 等于二十点五六，求出 d 等于二十点五六，除以五点一四， d 等于四，要求圆柱的表面积，让这三部分面积加起来。一个侧面加两个底面， 先算侧面积，长是直径，用底面周长乘直径， 里面周长是 pi d， 三点一四乘四，再乘直径四等于五十点二四平方分米，再求底面积。底面积是 pi r 的 平方，需要先求出半径四除以二等于二分米。 三点一四乘二的平方，十二点五六平方分米，最后求表面积，一个侧面加两个底面加十二点五六乘二，等于七十五点三六平方分米。那今天内容就讲完了，你学会了吗？

g t 八点一第一题，已知圆柱的底面半径为一，母线长是二，则圆柱的侧面积侧面积应该等于 底面周长乘以高应该是二乘以 pi 乘以，而是一再乘以它的高，也就是母线长是二，所以应该是四 pi。 答案，选择 d 选项 第二题，已知圆柱的底面直径是二，侧面积为八， pi 则圆柱的高。根据侧面积的公式， 二乘以 pi 乘以底面的半径是一，再乘以它的高 h 等于八 pi， 所以 我算出来高应该是四。答案，选择 b 选项第三题，天宫开物是我国明代科学家宋应钦所著的一部 综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法。某校六年级计划实践这种方法，为学生们准备了制瓦用的黏土和圆柱形的木质圆筒。圆筒底面外圆，它的直径是十八厘米，也就是说，从这个位置到 这个外圆，他的半径是九，高呢，是十八厘米。首先，在圆筒的外侧面均匀包上一层厚度为一厘米的黏土，包上厚度为一厘米的黏土之后，那他的底面的半径就变成了是 十厘米。然后呢，沿着圆筒母线方向，将粘土层分割成四等份，等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦片。每名学生制作四片瓦片，全年级呢，是 一千名学生需要准备的粘土量是多少？那首先，我要把一名学生他需要的粘土量算出来，那 v 应该是等于 抹上黏土之后，这个圆柱的体积减去这个圆桶的体积，那也就是 pi 乘以 r， r 现在应该是十的平方，再乘以它的高是十八，减去里面的圆桶的体积是 pi 乘以九的平方乘以十八， 所以应该是等于 pi 乘以十八，再乘以十九，那算出来应该是等于三百四十二 pi， 那 这个时候这是一名学生，他需要的黏土，现在是一千名，所以应该是 一千乘以三百四十二 pi 算出来应该是约等于一点八立方，所以答案应该是选择 c 选项。

这道题解析核心是合并底面。首先我们观察图形结构，三个圆柱叠放在一起可以看出大圆柱的下底面是暴露的，三个圆柱上面暴露的环形面积正好可以拼接出一个大圆柱的上底面， 所以总面积等于大圆柱面积加中圆柱侧面积加小圆柱侧面积。二、拆分计算先计算大圆柱的完整表面积，再计算重圆柱的侧面积，因为它的上下底面被遮挡，只需要计算侧面。最后计算小圆柱的侧面积，同理，上下底面被遮挡只计算侧面。 第三步，总和求解。将大圆柱的表面积、中圆柱的侧面积、小圆柱的侧面积相加，就是这个组合物体的总表面积。最终答案，这个物体的表面积是三十二点九七平方米，你学会了吗？

第九题，一个圆柱的侧面展开图是长方形，这个长方形的棱边长是六和八，则这个圆柱的底面半径是多少？说长方形展开的一边长，他应该对应的是底面这个圆的周长， 而现在棱边长是六和八。假设我的底面的这个长是六的话，那么这个时候 r pi r 应该是等于六，所以我算出来底面半径应该是 pi 分 之三。那如果这个底边长是 八的话，底边长是八，那么这个时候二 pi r 等于八，所以我算出来 r 应该等于 pi 分 之四，那底面的半径是 pi 分 之三，或者是 pi 分 之四。第十题，如图，一个圆柱体底面周长是十六厘米，高是 六厘米， bc 呢，是上底面的直径。一只蚂蚁从 a 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 c， 则爬行的最短路程长是多少？要求最短路程长。那我把这个圆柱的侧面展开展开之后，那就变成 a， d 变成了在中间的中点， c 在 这个位置， b 在 这个位置，要是 a、 c 的 距离最长，那么连接 a、 c 算它的长度。告诉你，在这个直角三角形当中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，也就是 a、 b 的 平方加上 b、 c 的 平方，应该等于 a、 c 的 平方。那现在看 b、 c 的 长度，告诉你，底面周长是十六，底面周长对应的就是我们展开的这个侧面长方形，它的 下面的这个长度也就是 a e 的 长度。而现在呢， bc 它是 a e 的 一半， a e 是 十六，那么 bc 应该是八，所以应该是六的平方，加上八的平方等于 ac 的 平方，所以我算出来 ac 应该是十厘米。