高一数学必修一第五章函数思维导图

挑战十五分钟，带你速通高一数学第五张三角函数所有必考知识点主要包括向前角的判断、幅度值与角度值的关系、三角函数符号与概念、记忆、特殊角的三角函数值、三角函数的图像与性质等等。所有必考知识点 项目区打上，高考必胜！我们开始第五张三角函数一、任意角的分类按中间的旋转方向，任意角分为了，正角按逆时针旋转形成的角，负角按顺时针旋转的角。菱角 不做任何旋转的角。二、象限角角 a 的 顶点与圆点重合，角的死边与 x 轴的背负半轴重合，中边落在第几象限，则称阿尔法为第几象限。第一象限的集合为，阿尔法大于 k 乘以三百六十度。小于九十度， 加 k 乘以三百六十度。第二象限角的集合为，阿尔法大于九十度，加 k 乘以三百六十度。 小于一百八十度，加上 k 乘以三百六十度。第三象限角的集合为，阿尔法大于一百八十度，加 k 乘以三百六十度。小于二百七十度，加上 k 乘以三百六十度。第四象限角的集合为，阿尔法大于 二百七十度，加上 k 乘以三百六十度。小于三百六十度，加上 k 乘以三百六十度角阿尔法的中边不在任何一个象限， 就称这个角不属于任何一个象限。中边在 x 轴非负半轴的角的集合，阿尔法等于二 k pi 中边在 x 轴 非正半轴的角的集合等于阿尔法，等于 pi 加二 k pi 中边在 y 轴非负半轴的角的集合为，阿尔法等于二分之 pi 加上二 k pi 中边在外轴非正半轴的角的集合等于负的二分之派加二 k 派中边在 x 轴的角的集合， alpha 等于 k 派 中边在外轴的角的集合等于二分之派加 k 派中边在坐标轴的角的集合， alpha 等于二分之。 k 派中边相同的角与角， alpha 中边相同的角的集合为 beta， beta 等于 alpha 加上 k 乘以三百六十度，其中 k 属于整数。三、弧度至长度等于半径长的弧所对应的圆形角叫做一弧度。角度与弧度相互转换关系二、 k 等于三百六十度，一度等于 k 除以一百八一，弧度等于一百八十度， 除以 pi 约等于五十七点三度。五、扇形公式，半径为 r 的 圆的圆心角。阿尔法所对弧的长为 l， 则角的弧度数的绝对值是阿尔法的绝对值，等于 l 除以 r。 若扇形的圆心为阿尔法。 注意， r 法为弧度值，半径为 r， 弧长为 l， 周长为 c， 面积为 s， 则 l 等于。也就是弧长等于半径乘以你对应的圆形角，弧度周长等于二 r 加 l， l 为圆形角，所对应的弧长面积等于二分之 l， r 等于二分之一，阿尔法乘以 r 平方。六、三角形的概念设阿尔法是一个任意大小的角，阿尔法的中边上任意一点 p 的 坐标是 x， y， 它与圆点的距离是 r， r 等于根号下 x 平方加 y 平方大于零，则 cosine r 法等于 y 除以 r 过 cosine r 法等于 x 除以 r。 贪婪的 r 法等于 y 除以 x。 第七、三角函数的概念，一权正，二正弦， 三正切是余弦。第八，记忆特殊角的三角函数值。当角度等于十五度时，对应的弧度至为十二分之派 塞眼耳法等于四分之根号六，减根号二，扩散耳法等于四分之根号六，加根号二。贪婪的耳法等于二减根号三。当等于三十度的时候，弧度至为六分之派塞眼耳法等于二分之一。 扩散而法等于二分之根号三。贪婪的而法等于三分之根号三。当为四十五度时，对应的弧度为四分之派上扬而法为二分之根号二，扩散而法等于二分之根号二。贪婪的而法等于一。当为六十度的时候， 弧度至三分之派塞耳法二分之根号三，扩散耳法二分之一。贪婪的耳法。根号三，七十五度，弧度至十二分之五派塞耳法四分之根号六，加上根号二， 扩散耳法四分之根号六，减去根号二。贪婪的耳法二加根号三。九十度，弧度至对应的二分之派散耳法等于一，扩散耳法等于零。贪婪的不存在。 阿尔法等于一百二十度，弧度至为三分之二派散养阿尔法为二分之根号三，扩散养阿尔法为负的二分之一， 探见它等于负的根号三。一百三十五度，弧度至为四分之三派散养阿尔法二分之根号二，扩散阿尔法 负的二分之根号二。探见阿尔法为负的二分之根号三，探见阿尔法为负的三分之根号三。一百八十度 对应的弧度值为 pi 散显 r 法等于零，扩散 r 法等于负一。 tan 角的 r 等于零。二百七十度，弧度值为二分之三。 pi 散显 r 法为负，一扩散 r 法为零。 tan 角不存在。 三百六十度，弧度值为二。 pi 显 r 法等于零，扩散 r 法等于一。 tan 角的 r 等于零。同三角函数的基本关系， 一、散养二法的平方加上扩散二法，平方等于一。由此可以推导出散养二法平方等于一，减去扩散二平方。扩散二法平 方。散养二法除以扩散二法等于贪婪的二法。贪婪二法等于贪婪的二法乘以扩散二法，扩散二法小于贪婪二法等于三元二法除以贪婪的二法。十、诱导公式口诀即变而不变符号看象限。散引 二 k 派加尔法等于三眼尔法。 cosine 二 k 派加尔法等于 cosine 二法。 time 二 k 派加尔法等于 time 尔法。 sin pi 加 r 法等于负的三眼耳法。扩散音 pi 加 r 法等于负的扩散音 pi 加 r 法等于贪婪的耳法。 pi 负的耳法等于负的散耳法。扩散音负 r 法等于扩散音，而法等于扩散 音，而法等于负的贪婪的耳法。 pi 减 r 法等于负的贪婪的耳法。 pi 减 r 法等于负的扩散音耳法等于负的扩散音耳法。 贪婪的 pi 减 r 法等于负的贪婪的 r 法。三、引二分之 pi 减 r 法等于扩散而法。扩散引二分之 pi 减 r 法等于散引 r 法。散引二分之 pi 加上 r 法等于扩散引 r 法。 扩散引二分之 pi 加上 r 法等于负的散引 r 法。三角函数的图像与性质 y 等于 sin x 定义域为 r， 值域为 正负一、最值。当 x 等于二 k， pi 加二分之 pi 时，此时 y 取最大值等于一。当 x 等于二 k， pi 减去负二分之 pi 时， y 此时取最小值等于负。一周期性上，引 x 的 周期性为二 pi 既有性为奇函数单调性。 在二 k 派减二分之派以及二 k 派加二分之派是真函数。在二 k 派加二分之派到二 k 派加上二分之三派的 b 区间是减函数。 k 属于整数， 对称性，对称中心开区间。 k 派以零的坐标对称轴 x 等于 k 派加上二分之派， y 等于扩散。 x 定义域为 r， 直域域为正负一。当 x 等于二 k 派时，此时 y 取最大值等于一。当 x 等于二 k 派加派时， y 此时取最小值等于负一。扩散衍的周期为，二派是偶函数。 在二 k 派减派到二 k 派的 b 区间上是正函数。在二 k 派到二 k 派加派的 b 区间是减函数，对称中心，二分之派加 k 派为横坐标，零为纵坐标对称轴 x 等于 k 派。摊减的 x 定义域 x 不 等于 二派加 k 派，值域为 r。 最值，既无最大值，也无最小值。周期性 tangent 阿法的周期为 pi， 属于奇函数。 在 k 派减二分之派到 k 派加二分之派的开区间是正函数对称中心以二分之 k 派为横坐标，零为纵坐标，无对称轴。两角和差的正弦与弦正切公式。 扩三英阿尔法减贝塔等于扩三英阿尔法。扩三英贝塔加上三英阿尔法乘以三英贝塔。扩三英阿尔法加贝塔等于扩三英阿尔法。扩三英贝塔减去三英阿尔法乘以三英贝塔。三英 阿尔法减贝塔等于三英阿尔法。扩三英贝塔减去扩三英阿尔法三英贝塔。 单引阿尔法加贝塔等于单引阿尔法。 cosine 贝塔加上 cosine 阿尔法乘以单引贝塔。贪婪特阿尔法减贝塔等于贪婪的阿尔法减去贪婪的贝塔 除以一，加上贪婪的阿尔法乘以贪婪的比特。对应的衍生公式，贪婪的阿尔法减去贪婪的比特等于贪婪的阿尔法减比特括号乘以一，加上贪婪的阿尔法乘以贪婪的比特。 贪心的阿尔法加贝塔等于贪心的阿尔法加贪心的贝塔除以一，减去贪心的阿尔法乘以贪心的贝塔。贪心的阿尔法加上贪心的贝塔等于贪心的阿尔法加贝塔括号一减去贪心的阿尔法乘以贪心的贝塔。 二倍角公式塞引阿尔法乘以贪心的贝塔。二倍角公式塞引阿尔法扩散阿尔法 扩散以二而法等于扩散，而法平方减去三而法平方等于二倍的扩散，而法平方减去一等于一减去二倍的三。乙二法平方扩散，而法平方等于二分之扩散以二而法加一 散乙二法平方等于二分之一减去扩散以二而法看成的二而法等于 一减去贪婪的阿尔法平方分之二倍的贪婪的阿尔法。半角公式，塞以二分之阿尔法等于正负，根号下二分之一减 cosine 阿尔法扩散以二分之阿尔法等于正负，根号下二分之一加 cosine 阿尔法。 find 的 二分之二法等于正负，根号下一加 cosine 二法分之一减 cosine 二法。 find 的 二分之二法等于一减去 cosine 二法除以 cosine 二法等于 cosine 二法除以一加 cosine 二法。十五、辅助角公式， a 倍的扇 x 正负 b 倍的扩散 x 等于根号下 a 平方加 b 平方扇影 x 正负不在其中 tan 的 不在等于 b 除以 a 点 a， b 在角菩萨的中边上。十六函数 y 等于 a 的 三，以幂幂加 x 加上菩萨加上 b 的 图像。性质，图像变化先平移后伸缩。函数 y 等于三 x 的 图像上所有点向左右平于菩萨一个单位， 得到函数 y 等于 sin x 加普赛。再将函数 y 等于 sin x 加普赛的图像上所有点的横坐标伸长缩短到原来的 omega 分 之一倍，得到 函数 y 等于 sin。 欧米伽 x 加普赛的图像。再将函数 y 等于 sin 欧米伽 x 加普赛的图像上所有点的重坐标伸长得到原来的 a 倍。注意，重坐标不变。 得到函数 y 等于 a 倍的 sin。 欧米伽 x 加普赛的图像上所有点的横坐标伸长到原来的， 我们改分之一倍。注意，众筹不要不变。得到函数 y 等于 sin， 我 们改 x 的 图像。再将函数 y 等于在我们改 x 的 图像上所有点向左或者右平移，凸 side 绝对值除以我们改个单位长度，得到函数 y 等于 sin， 我 们改 x 加上菩萨的图像。再将函数 y 等于 sin， 我 们改 x 加菩萨的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 a 倍， 得到函数 y 等于 a 乘以 sin， 我 们改 x 加菩萨的图像。补点法画图。函数 y 等于 a 倍的 sin， 我 们改 x 加菩萨的性质 定义域为 r， 直域域为负 a 到 a。 单调性，根据函数 y 等于 sin x 的 单调区间，求函数的单调区间奇偶性。当普赛等于 k 派 k 等于整数时，函数 y 等于 a 倍的 sin， 我 们改 x 加普赛。是奇函数。当普赛等于二分之派加 k 派 k 等于整数时，函数 y 等于 a 倍的 sin， 我 们改 x 加普赛是偶函数 周期 t 等于二派除以欧米伽。十七函数 y 等于 a 倍的塞尼欧米伽 x 加普赛 加 b 的 应用 d 整幅为 a， 周期为二派除以欧米伽。频率为 f 等于周期的导数等于欧米伽除以二派。相位欧米伽 x 加普赛出象等于普赛。 最值函数 y 等于 a 倍的 sine omega x 加普赛加 b。 当 x 等于 x 一 时，取得最小值为 y 最小值。当 x 等于 x 二时，取得最大值为 y max， 则 a 等于二分之一 y max 减去 y mix b 等于二分之一 y max 加上 y mix 二分之 t 等于 x 减 x 分 之一二分之 t 的 周期等于 x 二减去 x 一， 其中 x 二 大于 x 一。 好了，以上就是一休一所有的重点知识和必备公式，一定要点赞收藏哦！

同学们好，欢迎来到周志伟的高中数学课堂，今天这节课我们来看三角函数图像这一部分的常考题型。先看下这个表格，这是在知识精讲课给大家总结过的正弦型、余弦型、正切型函数性质汇总， 能记住同学就记，但我更建议大家自己去画函数图像，从函数图像中看出性质，那我在这里就不重复讲这些性质了，我只强调一点就是我们的解析思路就是将 omega x 加 five 看做一个整体， 利用图像进行求解。我们来看本节的题型与例题汇总，那第一种题型就是图像变换以及解析式确定，第二种题型就是定域问题，第三种题型就是三角函数单调性问题，那第四种题型就是三角函数值域和最值问题。 第五种题型就是三角函数周期性、对称性问题。第六种题型就是三角函数基有性问题。第七种题型就是三角函数的零点问题，那第八种题型就是三角函数的综合应用。今天这节课我们先讲前四种题型， 那后四种题型我们下节课再讲。这是本节所有的例题汇总，我建议同学们自己先做一做题目，自己先思考一下，然后再来听我的解析。这是例题汇总一， 这是例题汇总二，这是例题汇总三， 这是例题汇总四，这是例题汇总五。 好，我们来看第一种题型叫三角函数图像变换以及解析式的确定。那常考的题型有两种，第一种是问你图像变换，那首先我们要知道 sine x， cosine x， tannex 它的图像是怎样的， 这个是最基础的知识，然后我们要了解 a、 omega、 phi、 b 对 图像有什么影响。 我们说 a 是 把图像上下伸缩， omega 是 把函数图像左右伸缩， a、 phi 是 把函数图像左右平移，那 b 就是 把函数图像上下平移。 那在图像变化的过程中，我们有两个途径，第一个途径是先平移后伸缩，第二个途径是先伸缩后平移，那在先伸缩后平移的时候，我们一定要注意 最后一步平移多少量的问题。这个 y 是 等于 a 被 sign 中括号欧米伽被小括号 x 加上 five 比上欧米伽 中国号再加 b， 那 我们说平移是对 x 的 左加右减，所以先伸缩后平移，最后一步是平移 five 比上欧米伽 好，这一点同学们一定要牢记，很容易出错。那我们还要注意，图像变换是同名三角函数之间的变换， 比如说我由 sine x， 我 把它向左平移二分之 pi 的 单位，我得到了 sine x 加 二分之 pi。 在 图像变换过程中，三角函数名称是不会改变的，虽然这个结果它是等于 cosine x。 那第二种题型就是求解析式，我们一般是先求 a 和 t， 再求 omega 和 five， 那 a 对 应的就是图像的最高点和最低点的纵坐标， 就这里和这里，那 t 就是 一个周期的长度。比如说我们这里的 a 点到 b 点的距离，它就是 t。 那有的时候题目告诉你的是 a 点到 c 点的距离，那 a 点到 c 点就是半个周期的长度，那有的时候他告诉你的是 a 点到 d 点的距离，那 a 点到 d 点的距离就是四分之一个周期的长度。 好求出来 t 之后，我们由 t 等于 r， pi 除以欧米伽，我们就能得到欧米伽的值。 那当然了，对于弹力呢，它是 t 等于 pi 除以欧米伽啊。得到欧米伽的值之后，我们再选特殊点，把特殊点坐标带到函数解析式里面，就能求出发的值。 那选特殊点的时候，我们一般选最高点和最低点，也就是最大值点和最小值点，那这样不容易出错，也比较方便我们计算。 这里还有一点需要注意，如果我们对函数图像进行了上下平移，比如说我们这里蓝色图像向上平移，得到了红色图像，那红色图像与 x 轴的两个交点，比如说 f 跟 g 这两个点， 那 f、 g 之间的距离和周期就没有什么特殊的关系了，它并不是二分之一个周期啊，这一点同学们注意 好。我们来看题目，函数 y 等于 sin x 减六分之 pi， 它的图像可以由函数 y 等于二分之一 cosine x 图像经过怎样的变换得到？那三角函数图像变换是同名之间的变换， 所以我们要把 y 等于二分之一 cosine x 变成 sine， 然后把 y 等于二分之一 cosine x 向右平移 二分之 pi 的 单位，就得到了 y 等于二分之一 cosine x 减二分之 pi， 那 就等于二分之一 cosine 二分之 pi 减 x 就 等于二分之一 sine x 得到 y 等于二分之一 sin x 之后，我先上下拉伸两倍，就得到 y 等于 sin x， 那 接下来我再左右压缩两倍，就得到 y 等于 sin x， 然后我再向右平移 十二分之 pi， 我 就得到了 y 等于 sign 二倍括号 x 减十二分之 pi 括号，那就等于 sin 二 x 减六分之 pi 好， 这道题就做完了。那同学们想，当我得到 y 等于二分之一，三 x 之后，我是先伸缩后平移的，那我如果先平移后伸缩呢？ 那我是不是先向右平移多少？六分之拍，我就得到了 y 等于二分之一 sine 括号 x 减六分之拍， 然后我再上下拉伸两倍，我就得到了 y 等于 sine x 减六分之 pi。 接着我再左右压缩两倍， 我就得到了 y 等于 sine x 减六分之一。排好，这种方法就是先平移后伸缩。好，两种方法都可以，关键的区别就在于这个平移的量是多少。 好，下一题，函数 f x 等于 a 被三 e omega x 加 alpha， a 大 于零， omega 大 于零， alpha 的 绝对值小于二分之 pi。 部分图像如图所示，求 a omega alpha 的 值。 第二个问题， f x 图像可由三 x 图像经过怎样的变换得到来？我们看图，在这个十二分之七 pi 到六分之五 pi， 它们之间的距离就是四分之一个周期。 好，那六分之五 pi 减十二分之七 pi， 这个距离再乘以四就是一个周期，那周期 t 又等于二 pi 除以欧米伽， 那我们就能解出来，欧米伽等于二，那这个函数的最高点，它的值是三，所以 a 就 等于三， 所以 f x 就 等于三倍。 sign r x 加上阿法， 那接下来我就带一个特殊点的坐标进去求阿尔法的值。特殊点我们优先选择最高点和最低点， 我们就带这个十二分之七 pi， 那 就得到了负三等于三倍 sign 二乘以十二分之七 pi 加上阿法，所以三六分之七 pi 加上阿法就等于负一， 那接着我们把这个六分之七 pi 加法看成一个整体，这个整体就等于二分之三 pi 加上二 k 牌，那 k 是 属于 z 的， 所以 alpha 就 等于三分之 pi 加上 r k pi， 那 alpha 的 绝对值是小于二分之 pi 的， 所以 alpha 就 等于三分之 pi， 那 f x 的 解析式就是三倍。 sign r x 加三分之 pi， 那三 x 我 先向左平移 三分之 pi， 左加右减，我就得到了三 x 加三分之 pi， 它图像三 x 加三分之 pi， 我 再左右压缩两倍， 我就得到了 sine x 加三分之 pi， 那 sine x 加三分之 pi， 我 在上下拉伸三倍， 我就得到了三倍 sine x 括号 x 加三分之 pi， 它的图像。当然了，我们也可以先伸缩后平移，这个留给同学们课后自己思考 好。下一题将函数 f x 等于 sin x 加 theta， theta 是 小于二分之 pi， 大 于负二分之 pi， 它的图像向右平移 five 单位后，得到了 g x 图像。若函数 f x， g x 图像都经过点 p 零二分之根号三，则 five 的 值可以是哪一个？ 那 f x 经过点 p 零二分之根号三。我们把 p 点坐标代入 f x 解析式，我们就得到了二分之根号三等于 sign theta， 那 theta 又是大于负二分之 pi， 小 于二分之 pi 的， 那我们画图， 那 sine theta 在 负分之 pi 到 i 分 之 pi 上是单调递增的，所以 sine theta 等于二分之根号三，我们就能得到 theta 是 等于三分之 pi， 那 g x 图像是 f x 图像向右平移发一个单位后得到的，那 g x 就 等于 sine 括号 r 倍的括号 x 向右平移，左加右减， x 减 five 括号再加 c， 它向右平移是对 x 的 左加右减啊， 那就等于 sign r x 减 r five 加 c， 它 那 g x 图像经过点 p 零二分之根号三，能把 p 点坐标带到 g x 形式中，我们就得到了 二分之根号三等于 sign 负二 five 加 c， 它也就是等于 sign 负二 five 加上三分之 pi。 我 们来看 sign 在 一个周期内的图像， 我们先看一个周期，然后再进行拓展。负 r phi 加三分之 pi， 它的范围是不确定的，那由图像我们知道 sine。 负 r phi 加三分之 pi 等于二分之根号三的话， 那负 r phi 加上三分之 pi 加上二 k pi 的， 那负二 five 加上三分之 pi， 也有可能等于三分之二 pi 加上二 k pi， 也就是图中 a 点和 b 点两个点对应的函数值都是二分之根号三。 那由上面这个式子我们解出来， five 等于负 k 派，那下面这个式子我们解出来， five 等于负六分之派减 k 派， 那当 k 等于负一的时候，下面这个式子就等于六分之五派。 所以这道题选 b， 那 么在实际的考试中，当我们得到了三引括号负二 f i 加三分之 pi 等于二分之 pi 三之后，我们可以把 abcd 四个选项都带进去算一算，验证一下，看哪个选项是正确的。那直接解方程的话，同学们一定要注意，这里有两种情况， 不要漏了。那第二种题型是三角函数定义域问题，通常是将三角函数和其他函数结合起来考察，我们的解题方法就是利用数形结合法来解不等式 来。我们看题目，第一道题让你求函数 y 等于根号一减二比三 x 乘以 log 括号二比三 x 减一，它的定义域。 好，这里有个二次根式，所以被开方数一减二倍 cos x 要大于等于零，那后面是 log 是 对数函数，所以二倍 sign x 减一要大于零。这两个要同时成立，那我们就能得到 cosine x 小 于等于二分之一，那 cosine x 要大于二分之一。那接下来我们来画图。 这个红色的是 cosine x 在 零到二 pi 之间的图像，这个蓝色的是 cosine x 在 零到二 pi 之间图像 这条黑色的直线表示 y 等于二分之一它的图像。那 cosine x 小 于等于二分之一，就表示 cosine x 图像在这个 y 等于二分之一图像它的下方。 而 sine x 大 于二分之一，就表示 sine x 图像要在这个 y 等于二分之一这个图像的上方。那我们观察一下这个图像，我们就知道在 a 点到 b 点之间的这一段是符合要求的， 那 a 点对应的 y 等于二分之一和 cosine x， 它的焦点是能够取到的。 而 b 点对应的 y 点二分之一和三 x 图像的焦点是取不到的。那 a 点的坐标就是 三分之 pi， 而 b 点的坐标我们很容易知道，它是六分之五 pi， 所以这个不等式组的解集就是， x 要小于六分之五 pi， b 点是取不到的。 加上二 k pi 要大于等于三分之 pi， 加上二 k pi 三分之 pi， 这个点是能取到的，那 k 是 属于 z 的。 好，下一题求函数 f x 等于根号三倍的 tangent 括号二 x 减三分之 pi， 括号加根号三，它的定义域， 这里有个二次根式，所以被开方数三倍的 tangent 的 括号。二 x 减三分之 pi， 再加根号三要大于等于零， 所以 tan 的 二 x 减三分之 pi 要大于等于负三分之根号三。 那我们把这个二 x 减三分之 pi 看成个整体，假设它是 z， 我 们来看一下 tan 二 z 的 图像，这里是负三分之根号三， 它对应的红坐标是负六分之 pi， 所以 我们有图像可以知道这个整体 z， 也就是二 x 减三分之 pi， 它要大于等于 负六分之 pi 加上 k pi， 但同时它要小于二分之 pi 加上 k pi， 也就是 r x 要小于六分之五拍，加上 k 拍。大于六分之拍加上 k 拍，那哎，大于等于 那 x 就 要小于十二分之五拍，加上二分之 k 拍。大于等于十二分之拍，加上二分之 k 拍， 那 k 属于 z。 好 解 tan x 相关的题目的时候，同学们一定要注意， tan x 是 分段的。 接下来我们看第三种题型，三角函数的单调性问题，那这里会有三种题型。第一种题型是单调区间的求解， 在 a 大 于零， omega 大 于零的时候，我们是将 omega x 加 five 看作一个整体，利用三 x， cosine x 它们的单调性进行求解。 那在 a 小 雨林，我们打小雨林的时候，这时候我们要注意三 x， cosine x， tannex 它们单调区间会发生变化。我们来举个例子， 对于 sine x 来说，在零到二 pi 这个区间内，它的图像是这样的，但是对于 sine 负 x 来说，此时啊，就是 omega 是 负一了，它在零到二 pi 之间，图像是这样的。 此时如果我们把负 x 看成一个整体，看成 z， 那 sine z 在 零到二分之 pi 上是 单调递增的， r c 等于负 x， 它属于 零到二分之 pi 的 话，那 x 就 属于负二分之 pi 到零，那在负二分之 pi 到零上 sin 负 x， 它是单调递减的，那这样我们求出来的单调区间就是错误的， 那在 a 小 于零， omega 小 于零的时候，我们就把它转化成 a 大 于零， omega 大 于零这种情况进行求结。 那第二种题型就是比较大小，在比较大小的时候，我们要画锐角，画同名，画成同一个单调区间进行比较，这样比较方便。我们来看， 比如说我要比较 a 点跟 b 点这两个点对应函数值的大小，那直接这样比较是很难比较的。 我用诱导公式对 b 点这个角进行化简，我知道 b 点和 b 点对应的函数值是一样的，那这个时候 a 点和 b 点的函数值大小就很好比较了， 因为 a 点和 b 一 这个点都在零到二 pi 之间，那我就可以用单调性进行比较了。那第三种题型就是解不等式， 大家解题的时候，同学们要注意，在选择三 x 和 cos 三 x 的 二 pi 长度区间的时候，也就是一个周期的长度区间的时候，我们要尽量确保单调区间集中在一段， 尽量不要让单调区间分段。比如说我们在求单调递增区间的时候，那对三 x， 我 们就选择负二分之 pi 到二分之 pi 这个区间，那这样单调递增区间就是一段。 好，我们看题目，当 x 属于零到二 pi 的 时候，求函数 f x 等于三 x 加四分之 pi， 它的单调递减区间， 我们把 x 加四分之 pi 看成一个整体 z， 三个 z 是 在二 pi 到二分之三 pi 上单调递减的。 就是 z 要小于等于二分之三 pi 加上二 k pi 大 于等于二分之 pi 加上二 k pi， 那 k 是 属于 z 的。 也就是 x 加四分之 pi 要小于等于二分之三 pi 加上二 k pi 大 于等于二分之 pi 加上二 k pi， 那 x 就 小于等于 四分之五 pi 加上二 k pi 大 于等于四分之 pi 加上二 k pi， k 是 属于 z 的。 那题目中要告诉我 x 是 属于零到二拍之间的，所以我在这个区间内选出零到二拍之间的 x 的 范围，那就是 x 小 于等于四分之五拍，大于等于四分之拍。 好，下一题求函数 y 等于 sin 负二， x 加六分之 pi， 它的单调递减区间。好，这里 x 前面的 omega 是 负二，所以我就要把它变成 omega 大 于零这种情况， 那就是 y 等于负 sine 二 x 减六分之 pi， 那题目要我求这个 y 的 单调递减区间，那现在我是不是只要求这个 sine 二 x 减六分之 pi， 它的单调递增区间就可以了？因为它的单调递增区间加了一个符号之后，就变成了单调递减区间。 那我把这个 r x 减六分之 pi 看这个整体 z， 我 来看 sign z 的 图像，那由图可知这个整体这个 r x 减六分之 pi 就要小于等于二分之拍加上二 k 拍。大于等于负二分之拍加上二 k 拍。所以 r x 就 要小于等于三分之二拍，加上二 k 拍。 大于等于负三分之 pi 加上二 k 牌，那 x 就 小于等于三分之 pi 加上 k 牌大于等于负六分之 pi 加上 k 牌， k 是 属于 z 的。 好，下一题求函数 y 等于三倍的弹性的括号。六分之 pi 减四分之 x 的 单调递减区间。好，这里 x 前面系数又是负的，那我用诱导公式， y 等于负三倍 弹力的四分之 x 减六分之 pi， 那 要求 y 的 单调递减区间，此时我只要求这个弹力的四分之 x 减六分之 pi， 它的单调递增区间就行了。 那我把四分之 x 减六分之 pi 看这个整体 z， 我 们来看弹力 z 的 单调递增区间， 但求同可知这个整体。这个四分之 x 减六分之 pi 要小于二分之 pi 加上 k 牌。注意是加 k 牌，因为 tan x 周期是 k 牌。 大于负二分之拍加上 k 拍，那四分之 x 就 要小于三分之二拍加上 k 拍大于负三分之拍加上 k 拍， 那 x 就 要小于三分之八拍加上四 k 拍大于负三分之四拍加上四 k 拍， 那 k 是 属于 z 的。 好。下一题比较大小，那第一个 sign 一 和 sign 三分之拍， 二分之 pi 大 约是一点五七，那三分之 pi 大 约是一点零五，所以三分之 pi 在 这里， 三分之 pi 大 概是一点零五，那一是在这里， 所以一是小与三分之拍是小与二分之拍，那大于零，那在之间。三 x 是 单调递增，所以撒引一小与撒引三分之拍，那第二个 cosine 七百六十度，那我们要画锐角，然后尽量把这两个角画同一个区间，那 cosine 七百六十度，七百六十度是七百二十度加上四十度，那 cosine 负七百七十度，负七百七十度是负七百二十度减五十度， 那就等于 cosine 负五十度，而 cosine 负五十度是等于 cosine 五十度的，所以第二小题就转化成了 cosine 四十度和 cosine 五十度的比较。 我们来画图，那四十度是小于五十度，小于九十度，大于零度的，而 cosine 在 零到九十度之间是单调递减的，所以 cosine 四十度就要大于 cosine 五十度。 那第三小题弹力二和弹力的三好，这里是二分之 pi 啊，这里是 pi， 所以 r 在 这里， 而三在二的右边在这里。那二是小与三，三小与 pi， 但二是大于二分之 pi 的， 而在二分之 pi 到 pi 这个区间上， tanne 是 单调递增的， 所以弹力的二就要小于弹力的三。同学们，如果这里出现一个弹力的一问，你弹力一和弹力二怎么比较啊？这里是一， 那弹力的一是大于零的，而弹力的二是小于零的，所以弹力的一就大于弹力的二。 同学们，不要说一小与二，那弹力的是单调递增的，所以弹力一小于弹力二，这是不对的啊。因为 tannex 图像是间断的，我们只能说它在每一段区间上单调递增， 那一和二是分属于不同区间的，那这时候我们就用零作为中间值来比较，一个比零大，一个比零小啊，这种错误同学不要犯啊。已知阿尔法贝塔为锐角三角形的两个内角，下列结论一定成立的是。 我们来看。 a 选项，三亚法小与三亚白塔三亚在零到九十度之间是单调递增的，那由三亚法小与三亚白塔，我们就能得到阿法小与白塔，阿法小与白塔一定成立吗？不一定。 b cosine 法小语 cosine 法好，这里出现了 cosine， 出现了 sine， 那 我们就要把异名画同名，怎么画？凑二分之 pi 就 能让三角函数名称发生改变。 我们想啊， alpha 加上 beta， 它是等于 pi 减掉另一个角，我们假设它是角 theta 这个三角形是锐角三角形，所以 theta 也是锐角，那 pi 减 theta 就是 一个钝角， 也就是 pi 减 theta 是 大于二分之 pi 的， 那 alpha 加 beta 大 于二分之 pi， 那 alpha 就 要大于二分之 pi 减 beta 的。 beta 是 锐角，所以二分之 pi 减 beta 肯定是大于零的， alpha 也是锐角，所以 alpha 小 于二分之 pi 的， 而 cosine 在 之间是单调递减的，所以 cosine 阿尔法叫小与 cosine 二分之 pi 减贝塔， 那 cosine 二分之 pi 减贝塔，我们由角等公式可知，它就等于 sign 贝塔，所以就是 cosine 阿尔法小与 sign 贝塔，所以选 b。 我们再来看下 c alpha 是 锐角，那 cosine 在 零到九十度是单调递减的，所以由 cosine alpha 小 于 cosine b， 它，我能得到 alpha 大 于 b， 它 alpha 大 于 b， 它一定成立吗？不一定， d 选项 cosine alpha 大 于 cosine beta 好， cosine 在 零到九十度之间单调递减，所以 alpha 要小于 beta。 alpha 一定小于 beta 吗？不一定，所以这道题选 b 好。 下一题已知函数 f x 等于三倍的 sine 括号， omega x 加六分之 pi， omega 大 于零的，在区间零到十二分之 pi 上单调递增求 omega 的 最大值， 那这个单调递增区间是零到十二分之 pi 就是 x 小 于十二分之 pi 大 于零，那 omega x 就 小于十二分之 omega pi 大 于零，那 omega x 加上六分之 pi 就 小于十二分之 omega pi 加上六分之 pi 大于六分之 pi， 那 我们将 omega x 加六分之 pi 看作整体看作 z， 看作整体看作 z， 那 我是不是要看 sine z 的 单调区间， 那 sine z 要在六分之 pi 到十二分之 omega pi 加六分之 pi 上单调递增，所以这个区间的右端点，也就是十二分之 omega pi 加上六分之 pi， 一定要小于等于二分之 pi， 因为如果这个区间超过了二分之 pi， 那 就会出现单调递减的情况，那由此我们能得到十二分之欧米伽 pi 小 于等于三分之 pi， 所以 欧米伽就要小于等于四，所以欧米伽的最大值就是四。 好同学们，这道题三以内 x 加六分之 pi 前面还有个系数三，这个三是大于零的，是把图像上下拉伸，它不会对单调性产生影响，所以三我们就可以直接不用考虑了。 接下来我们看第四种题型，三角函数的值域与最值问题。那常考有四个点，第一是考你单调性和正弦余弦函数的有界性。那什么叫有界性呢？给大家画图看一下。 对于三和 cosine 图像来说，它最大不会超过一，它最小不会低于负一， 也就是说三 x cos 总是在负一到一之间的，它是有界限的，那这就叫正弦与弦函数图像的有界性。而它最大不会超过一，一就叫上界， 而最小不会小于负一，那负一就叫下界。好同学们只要知道这个概念，知道这个原理就行了，有界性在大学数学里面还是会学的。 那第二个点就是考你用换元法把三角函数问题转化成其他函数问题，比如说转化成二次函数，求最值问题等等。 那第三种考法就是考你分离常数法。分离常数法要求题目中的式子要分子分母其次，只有其次才能出常数。那第四种考法是考你反表示法，也就是用 y 表示 x， 比如说对于函数 y 等于二倍三 x， 我是 用 x 表示 y， 那 我就能得到三 x 等于二分之 y， 那 我再根据三 x 的 有界性，也就是三 x 小 于等于一，大于等于负一，我就能求出来 y 的 取值范围了。 好，我们看题目。求函数 f x 等于弹性的括号 x 加十二分之 pi， x 是 属于负十二分之 pi 到六分之 pi 之间。求它的值域， 那 x 是 小于等于六分之 pi 大 于等于负十二分之 pi 的。 所以 x 加上十二分之 pi 就 小于等于 十二分之三 pi， 也就是四分之 pi 要大于等于零。当把这个 x 加十二分之 pi 看成一个整体 z， 那 么我们看 tan 零 z 的 图像，那由图可知，在零到四分之 pi 这个区间内， tan 零 z 是 单调递增的， 所以弹性的 x 加上十二分之 pi 就 小于等于弹性的四分之 pi 大 于等于 弹性的零，弹性的零就等于零，而弹性的四分之 pi 是 等于一的，所以 f x 的 值域就是零到一。 好，下一题求函数 y 等于二倍 sin 括号六分之 pi， x 减三分之 pi， x 是 大于等于零，小于等于九。求这个函数的最大值和最小值， 那 x 是 小于等于九大于等于零，那六分之 pi， x 就 小于等于六分之九 pi， 也就是二分之三 pi 大于等于零，那六分之 pi， x 减三分之 pi 就 要小于等于六分之七 pi 大 于等于负三分之 pi， 那 我们把这个六分之 pi x 减三分之 pi 看成个整体是为 z， 看成个整体是为 z。 我 们来看三 a z 的 图像， 红坐标是 z， 由图可知，在负三分之 pi 到六分之七 pi 之间，三和 z 的 最大值是一 assign 负三分之 pi 是 等于负二分之根号三的。 assign 六分之七 pi 是 等于负二分之一的， 所以负二分之根号三更小，它是最小值。很多同学算到这一步就直接写了最大值是一， 最小值是负二分之根号三，这样对不对？这样不对，为什么？ 因为这个函数解析式是 y 等于二倍 sign 这个整体还有个二倍啊！不要忘了，那实际上最大值就是一乘以二就等于二，最小值是负二分之根号三乘以二等于负根号三。 好，下一题求函数。 f x 等于一加四倍，三 x 减四倍 cos 平方，那 x 是 大于等于负六分之拍，小于等于二分之拍，求它的值域，那这里有三 x 有 cos 三 x， 那 我肯定要换成同圆， 那 f x 就 等于一加四倍 cos 减四倍 cos 平方，我把它换成一减 cos 的 平方， 那它就等于四倍 sine x 的 平方，加上四倍 sine x 减三，那接下来我换元。另 三 x 等于 t， 那 x 是 小于等于二分之 pi 大 于等于负六分之 pi 的。 我们来看一下三 x 图像，这里是二分之 pi， 这里是负六分之 pi， 所以 在负六分之 pi 到二分之 pi 之间，三 x 是 单调递增的， 所以 t 就 要小于等于 sine 二分之 pi 大 于等于 sine 负六分之 pi， 也就是 t 要小于等于一大于等于负二分之一。 好，画圆之后一定要考虑新的圆，就是新的未知数，它的取值范围，那 f t 就是 等于四 t 平方加四， t 减三， 那我来配个方，就等于二 t 加一，括号的平方再减四。 那现在这道题目就演变成了求 f t 在 t 大 于等于负二分之一小于等于一这个区间内的值域，这就是一个二次函数求值域的问题。那我们画 f t 的 图像，它对称轴是负二分之一， 那最低点是负四，红坐标 t 的 取值范围是负二分之一到一， 所以 f t 就是 这一段蓝色图像这一段。那由此可知， f t 在 负二分之一到一上是单调递增的。 f 负二分之一等于负四， f 一 等于 五，所以 f t 的 值域就是小于等于五大于等于负四，也就是 f x 的 值域是小于等于五大于等于负四。 好，这道题就是用换元法把三角函数的值域问题转化成二次函数的值域问题好，下一题求函数 f x 等于三倍，三 x 加一，比上三 x 加二，它的值域 好。这道题分子分母其次，那我们就来分离常数， f x 等于三倍括号，三 x 加上二， 那加了一个六，就要减掉五，就最后才是加一比上三 x 加上二，那就等于三减五比上三 x 加上二， 那三 x 是 小于等于一大于等于负一的，所以三 x 加上二就小于等于三大于等于一，所以一比上三 x 加上二就小于等于一大于等于三分之一，那么五比上 三 x 加上二就小于等于五大于等于三分之五，那负五比上三 x 加二，就小于等于负三分之五大于等于负五， 那三减五比上三， x 加上二，那三边同时加上一个三小，也等于负三分之五加上三， 这就是三分之四，大也等于负五加三就是负二。所以 f x 的 值域就是 小于等于三分之四大于等于负二。好，我们这里采用的是分离常数法来求值域。那这道题呢？我们换一个方法，我们用反表示法，反表示法就是用 y 来表示 x， 我 们来看啊，分母的三 x 加二，它是不可能等于零的，那我就把三 x 加二乘过去， 我就得到了 y 乘以括号，三 x 加上二等于三倍，三 x 加上一，那整理一下，就得到三减 y 倍的三 x 等于二， y 减一， 那么我们此刻验证一下， y 等于三是不可能让这个等式成立的。 经过我们的验证， y 是 不可能等于三的，所以我们可以把三减 y 除过去，就得到三 x 等于二， y 减一，比上三减 y， 那 到这一步我们就实现了用 y 来表示 x， 那三 x 是 有界限的，它是有范围的。三 x 是 小于等于一大于等于负一的， 也就是二 y 减一，比上三减 y 就 小于等于一大于等于负一。那由此我们可以解出 y 小 于等于三分之四，大于等于负二。好，我们这样也把 y 的 值域求出来了， 那我们用的方法就叫反表示法，用 y 表示 x， 然后再用三 x 的 取值范围来求 y 的 取值范围。 好，下一题，若关于 x 的 函数， y 等于三， x 平方加二倍， cos 在 区间负三分之二， pi 到 a 上的值域是负四分之一到二，求实数 a 的 取值范围。 好，我们看函数解析式里面既有 sine， 又有 cosine， 那 我先画成同名三角函数， y 就 等于一，减 cosine x 平方加上二倍 cosine x， 然后我再配个方，它就等于负的括号 cosine x 减一， cosine 平方加上二， 我们令 cosine x 等于 t， 那 f t 就 等于负的。 t 减一括平方加上二， 那 x 的 区间里面还有个参数 a， 所以 此时我不能明确的算出 t 的 取值范围。但是有一点是肯定的， t 是 小有等于一，大有等于负一的，因为 t 等于 cosine x， 那 我们来画 f t 的 图像 对称轴是 t 等于一，而当 t 等于一的时候， f t 的 函数值是二，而正好跟这个值域的右侧是一样的，而值域的左侧是负四分之一，那我令 f t 等于负四分之一。 我能解出来， t 一 等于负二分之一， t 二等于二分之五，而 t 等于 cosine x， t 是 大于等于负一小于等于一的，所以 t 不 可能等于二分之五， 所以 t 只能等于负二分之一，也就是负二分之一。这个点，它对应的函数值是负四分之一， 所以 f t 函数，它就是从负二分之一到一这一段 就是蓝色图像这一段，它的值域是负四分之一到二，它的定义域就是负二分之一到一， 也就是 t 小 于等于一，大于等于负二分之一，也就是 cosine x 又小于等于一大于等于负二分之一， 那我们再来画 cosine x 图像， cosine x 的 定义域是负三分之二 pi 到 a cosine x 的 值域是负二分之一到一，假设这里是负三分之二 pi， 我们算一下 cosine 负三分之二 pi， 它正好就是负二分之一，而 cosine x 的 值域是负二分之一到一，这里是一， 所以 a 肯定要在零的右边， 因为如果 a 在 零的左边的话，那 cos x 就 取不到一了，那同时 a 也不能超过三分之二 pi， 因为三分之二 pi 对 应的函数值也是负二分之一。 five 分 之一等于 cosine 三分之二 pi， 如果 a 点超过三分之二 pi 的 话，那么 cosine x 的 最小值就要比 five 分 之一要小了。 那由此我们知道， a 的 取值范围一定是小于等于三分之二 pi 大 于等于零。 好，这就是一个三角函数值域问题，它的参数相关问题。解这种题目啊，我们要重点关注参数的变化，对于函数值，对于定义域等等它的影响。 好，这节课内容我们就先讲这么多，剩下几种题型我们下节课继续讲。

各位同学好，今天我给大家开始要讲函数的图像了，那么正弦图像和余弦图像正，余弦图像好，我看正弦图像，正弦图像我们画一个坐标轴，以零零为开始，然后往上画， 那么标准的图的话，我们会画的比较高耸一点，因为方便作图。那么我们说零零开始到二拍，豆零结束， 那左边呢？也是可以画的，那么我们一般是画一个半，那这边呢？是副拍豆零， 你说我的周期是二拍，然后呢，他有四个转折，从零点到最高点， 最高点再到零点，零点再到最低点再到零点做一个周期，所以呢，他每个间隔，因为周期是四拍，每四个一个间隔，那就四分之二分之拍。 比如说零后面是按拍，按拍之后是拍，拍之后是按三拍，然后再是二拍，这是我们的图像正选图像，那么余选图像怎么画呢？我们是以零一 开头，注意了，我们在零一的时候已经达到了三 x， cosx 有 个最大值是一，最小值是负一，在零一的时候已经达到最高点了，如果你下后面就要走下坡路了，哎，空下来 左边也是一样的，一样，这个是零一点，那这里就是二拍到一点，这是我们的 鱼选图像，那么也一样，每个转折位就是从最高点到零点是二分拍，所以这个点坐标是二分之拍到零，所以这是鱼选图像，我们要认识一下正鱼选图像。好，我们再来看看具体题，这个函数 在上面有两个不同的点，好，两个不同的点，零点，零点的话，就是让函数 f x 等于 cos x 减 a 等于零， 所以呢，就导致 cos x 等于 a， 要有两个解，所以 零点方程问题，零点问题变成方程，方程又变成函数，就相当于是 y 等于 cos x 与 y 等于 a， 这两个图像啊，都有两个交点， 没错吧？好，我们注意这个题目是 y 等于 cos x， cos x 放在这里了，但是它要求是怎么样？是在负三分之拍到二分之拍之间，好，我们找到负三分之拍在这里， 那么到二分之拍在这里。好，我们就相当于只看这中间的图像， 他要与 y 等于 a， 注意 y 等于 a， 不是 y 等于 x， y 等于 x。 过圆点的一个直线就是我们说的正比函数， y 等于 a 是 画横线的， a 是 参数，比如我们 a 是 等于二的话，那是这么一个线， 你看这个线和我们的图像有两个焦点吗？没有。好，我们 y 等于一，有一个焦点 还是不满足，那么我现在用虚线啊，后面，哎，你看，这样就恰好有两个焦点，一个焦点在这里，一个焦点在这里，那么我们看，我们再画在这个位置， 好，我们画个图， 我们把我们的满足条件的图像画这么画，用蓝色的线 把它标示出来呀，你现在看它的焦点呢，只有这一个，所以这有个临界位置就是 y 呀，我们的 a 呀，要比 e 要小，对吧？那么它的临界线在哪里呀？在这个位置 啊，这样的时候呢，注意它是十点啊，所以这个时候恰好有两个交点，所以呢，我们就要算出这个点，就是，也就是 cos 负三分之拍， 它等于多少？那 cos 负三分之拍，因为 cos 呢，它是偶函数啊，这个要先背一下，所以这符号呢，是消失掉， 就等于二分之一，所以 a 要夹在二分之一到一之间，那么能不能等于二分之一呢？可以，但是能不等一呢？不可以，等一的话是没有两个交点的，所以答案选择的是 c 选项。好，这是我们这个题， 我们来到第二题，这个题目呢，是个当务员问题，当务员就用当务员的思维去想象哈。那么首先呢，我们这个角，阿法的初始始边为 x 正半轴，这个是绘法了啊，就以交点为 a 点，你说这个角为阿法。 然后呢，我们要求出这个图像的大致图像，那么我们必须要求出 y 等于 alpha 这个的函数解释是怎么样的？好，那么我们看看，我逆时针加 alpha 去拍，那么新的角逆时针是加着 alpha 加上 alpha 去拍， 我要求的是 b q 的 长度， b q 的 长度它已经暗示我们了，是 y 是 不是 b q 的 长度，其实就是我们的注意长度啊，其实就是 p b 点的纵坐标， 没错吧，再加一个绝对值，所以我们要求 b 点的重坐标就可以了啊，在我们的之前讲过啊，就是我们中边的问题，就是 y b 比上 r 等于 sine 法， 就是你的重坐标比上半径是等于三亚法，那现在呢，我们要看一下啊，所以 y b 呢， 这个 alpha 是 指它对应的角，那么现在半径呢，已经说了是单位圆是一，所以 y b 就 直接等于三引 alpha 加上二分之一拍， 没毛病吧？所以那个 alpha 是 泛指啊，泛指那个角。那现在我们的 b 点对应的角呢？是 alpha 加上二分之一拍，那么根据诱导公式，三引 alpha 加二分之一拍等于 cosine alpha， 所以呢，我们的这个数值啊，就等于 cos 和 off 的 绝对值，而且我们的 alpha 属于 零到拍，那现在就简单了，我们的减式是 y 等于 cos 和 alpha 的 绝对值，那么我们的 cos 和 alpha， 它在零到拍的画法， 这就是我们 cosine x 在 零到拍的方法。加那个绝对值的话，我们讲函数的人讲的很清楚了，凡是整体加绝对值，只要把小的小的零的部分往上怎么样翻折就可以了， 所以它图像是下面擦掉长个这样子的，这是凹着拍啊，所以我们如图，哪个是符合的呀？ b 选项是符合的，所以答案就选 b。 这道题比较巧妙，就是你还要把它的解释怎么样啊，给我求出来。那么还是用的单位元 和中边的点的问题，就要想到那个公式了，就 y， b 比上 r 等于 sine f， x 比 r 就 等于 cos f 平行 f 等于 y 比 x。 第三题下条图像与图中曲线一致的是，这就考了刚才我们的那个绝对值的问题了， 那我们来看一下啊。三 e x 本身是这么画的，它的周期是二拍，但是加了绝对值之后呢， 它是长这样子的，那么它的周期变成什么？除了一半就等于拍了。 cos x 亦是如此， 它本来长这样子的，然后呢，加完全加垂直，把下面 x 轴下面的往上翻折，它的周期也变成了原来的什么一半。所以呢，我们要注意，三 x 周期是二拍，它的加角的值就是拍了。好，我们看这个题目， 很明显这个有个二分之一在在这里，也就是说它一定过零到二分之一点，所以我就把 a 和 c 排除了， 因为 a 和 c 三零啊，是等于零的，它不等于二分之一，所以答案选择 b 和 d。 好， 那么我们来看一下 b 选项， b 选项原本它的周期是二拍，如果没有觉得值，有，有觉得值的话，就是什么就是拍， 而这个周期你发现没有，恰好是拍，所以答案就选择 b， 我们就不能选 d 了。这道题还有一个排除之后呢，我们可以把三 x 绝对值的人啊，三 x 绝对值长这啊，如左图，如这个的处事啊，然后我们再往上移二分这个单位，我们发现也能得到 b 选项，就是你自己画了啊，就是绝对值怎么画？ 第四题， 第四题考的是这个我们标准的这个负函数，也就是我们的 f x 等于 a， sine or m x 加 f 加 b 的 图像怎么画？ 当然这个题目呢，它是一个呃，不要你画它，这是给个表给你。那么我们画这个题目啊，都是把这个看一个整体写在这个位置， 然后让它等于零，因为我们画五个关键点叫五点画，先画零，二的拍，拍二的三拍和什么和二拍这五个数字，对吧？然后，然后呢？哦，这个等于零的时候， 当然我们看的是这个解，是因为后面没有加 b， 这里没有加 b， 你 看这个等于零的时候，那么 a 就 等于零， a 乘零就等于零，如果这个整体等于二，你拍三，二，你拍等于一，所以呢，我们就得到的是 a， 那 这里写的 a 是 等于几啊？四，所以我们得出第一个数据，就 a 等于四。好， 然后呢，以此类推发这个数值，然后呢，我们让这个整体 omega x 加 pi 啊，等于零的时候，得出了结果， x 等于六分的 pi， 那 么第二个信息给到你，什么是 omega？ x 加上 pi， 如果等于我们的 pi 的 话，它的结局是三分之二 pi， 那这样我就可以根据这两个式子啊，你了解这个意思，那么这里是六分之拍， omega 加 five 等于零，这里是三分之二拍， omega 加 five 要等于拍，那我可以把这两个式子的边啊相减， 那就得到了二分就拍， omega 就 等于拍了， omega 就 等于二，所以我们先要搞定 omega 的 值是多少是二，所以我把我们的 b 和 d 排除， 那么然后把 omega 等于二，随便带在哪个式子在这个式子啊， find 呢，就等于负的三分之拍，所以答案就选择 a， 这是方法。这个方法，第二个方法呢，我们看从第一个关键点，这是第二个关键点，这是第三个关键点，我们知道一，我们总共五关键点，间距就是一个周期， 那么你看一到三个关键点，他卷积是二对不对？所以他占了半个周期，所以半个周期就等于三分之二排，减掉我们的六分排， 那这种思维会更更快一点，就不用写那个了。所以周期就等于我们的拍，拍周期就等于二拍除以 omega， 所以 omega 啦，就等于二，能得到，这是二。然后呢，你要知道这个数字是什么意思，就是当 x 等于六分之拍时， 二 x 加 y 就 要等于零，所以把 x 等于六分之一带进去。好，我们来进入第五道题之前呢，我们来讲一个问题，就是图像的，就是我们的解解我们的方程问题，比如说，比如说我们三 x 等于二分之一，那 x 应该等于多少？那老师六分之一， 因为三十三就等于二分之一嘛？对，我们只能说 x 等于二分之一，但是三 x 等于二分之一，不能推出 x 只能等于六个，它有很多别的值，对不对？所以呢，我们现在就说到就是解 不等式解方程问题，那么我们一般都是采取图像法。好，我们画一个正弦图像， 我们一般都是画一个半。好，那现在要注意了，我们知道 凡是四分之拍的，跟四分子结合在一起的，那么它的正弦值和余弦值呢？都是等于二分之二， 当然是我的六分之拍，三分之拍有关的，当然就是说是三十度的整数倍，但不是九十度整数倍的角啊。我们要注意，他的证券值值可能是对应两个值，一个是二分之一，一个是二，你刚好三。那我们又知道刚好三是等于一点七三二， 他的一半呢？是零点八几，反正就是非常接近一一个一的数字。好，那么现在问题来了，我们把这个是零，是不是这个是二分之拍？ 他们中间的差值是什么？是九十度是吧？那么如果我们把它分为三等分，因为九十度分，三等分就是一个是三十度， 一个是六十度，那我们知道三十度他对应的值啊，还是六十度的值。要么就有两个，一个是二分之一，一个是二分之什么刚好三？很明显，这个点的纵坐标 就是在最高点也是一的一半的位置，而这个位置点呢，他的纵坐标是非常接近一，所以我们就立马得到他是二分之什么刚好三啊？比如说我们要算一个三分之二排 三分之二牌是在九十的基础上再加上一个三十度，所以我们一定要画标准的，那么你画的标准就是取他的三等分这个位置，那你就会发现他是一个非常接近的数字，所以我们立马就得到他的数值是等于二分之什么高三。 好，首先我们了解这个概念，第二个我们了解三以 x 等于二分之一，我们就可以变成 y 等于三以 x 与 y 等于二分之一的交点问题，那 y 等于二分之一，我们是画在这个一半的位置， 很明显，那么在零到二拍之间呢？它是有两个解的，一个这个，一个这个， 那么我就得到我们的 x 的 值啊，是等于六分之拍是一种，是吧？那么还可以等于哪个角啊？ 这个角，这个角对应的也是二分之一，很明显他是在拍的基础上往左移三十度，因为移三十度他就对应的是二分之一，移六十度就是对应的二分之三，所以我很明显他更靠近于我们的拍一点，所以另外一个角是六分之什么五拍， 然后再加上什么二 k 拍，为什么要加二 k 拍呢？因为啊，它不只是零到二拍，是有那两个解的，如果我们把范围的任何角的话，就是零六个拍加二 k 拍和六个五拍加二 k 拍 好，完成好。然后呢，我们如果每次都画图也挺麻烦的，是不是？好，我们再教大家一个方法，如果你的三 x 等于等于的是一个正值啊，二分之一啊，或者二分之二啊，或者二分之三 是正值啊，那我们可以直接写 x 等于六分之拍是一个，那我们要去一个口诀，两角互补，它的正弦值是相等的，所以六分之拍是等于二分之几，那六分之五拍呢，也是等于二分之几，然后你再加上二 k 拍，这里也加上二 k 拍， 如果等于二分之三加上二 k 拍， x 等于三分之二拍，加二 k 拍也行。 如果老师你说等于负值怎么办呢？负值的话，你就还还是老老实实画这个图就行了，所以我们这就是我们的画这个求这个题目的一个 啊，解方程的一个标准，过程用通过图像就来搞定啊。那么 cos 等于 x， 然后再被公式 cos， x 五等于二分之一，那么你写 x 等于三分之拍和负三分之拍加上二 k 拍， 那么因为余弦它是个偶函数，你经过它图像也知道它是个偶函数。如果正的三分之 pi 等于二分之几，那负的三分之 pi 呢？也等于二分之几，然后再加上二 k pi。 好。也就是说如果三 x 如果等于非一负一零的方程，我们通过画图可以得到， 如果三 x 等于一，那我们被 x 等于二，我们就拍加上二可以拍 等于负一。哪个角的负一啊？是负啊，我们就拍再加上什么。 ok， 拍等于零呢？注意是三零等于零，但是经过图像你会发现它是每格 拍有一个点，所以我们是零加 k 拍。那么解方程的规则是什么啊？就是找到零到拍里面找到一个角，零到二拍，一个周期找到一个角，然后再加二 k 拍，但是有一个三 x 零， 本来是也是在零到二拍找的，找的值是零加 k， 二 k 拍和拍加二 k 拍，但是呢，它综合在一起就是 k 拍，好吧，或者是我们找到哎，零的时候，每隔拍有一个，所以要加 k 拍。 如果是非这个的数值的话，你要记住它 x 是 有两个值，一个值是，然后再加上 for， 都是加二 k 开搞定。好吧，这是我们的这个题的概念，那么当这呢？ x 呢？等一个数值呢？ 它就比较简单，因为正切图像，我们来画一下正切图像，正切图像叫三点两线，其实画两线 一点就可以了，因为当 x， 它是三， x 除以 cos 乘以 x， 所以 cos 乘以 x 是 不能等于零的，所以 x 不 能等于 of 去拍和 for 去拍， 然后它是一个单调递增的，那么它的周期就是拍，然后以此往后面延， 它的周期是拍，然后呢，它是奇函数，是正确图像，所以当前 x 等于一，它在它的一个周期里面只能找到一个，那当前 x 等于一，那 x 只能等于四个去拍，然后再加上 k 拍，因为每隔拍有一个，所以加 k 拍，所以正确的， 正确的。呃，求解。正确，基本上不用画图，比如说当前 x 等于负，根号三， 那 x 应该等于哪个角的正值等于负的根号三呢？我们首先看到三分之一块的正值等于根号三，那负三分之一块，因为它是奇函数， 再加上 k 拍就可以了，他不需要画图，直接写方程就可以了，所以这是解我们的方程的一个概念。导，听了刚才那个问题，我们就来可以看到第五题了，第五题 又是零点 x， 零是这个方程的零点。首先呢，我们知道 f x 向右移发一个单位 能得到 g x 就 等于三 x 加上六分之拍，那反之我这里变，这里应该是向左平移发一个档位，所以我们的 f x 就 等于三 x 加六分之拍，再加 f x 的 解释，这是 g x 解释好，它告诉我们 x 零剩下一个零点，所以 f x 减七 x 等于零的几，一个解一个解哈，就是一个零点，不是说它的解，所以 x 就 等于什么零，所以他想表达就是 f 零等于积零，就这么简单， 所以绕一点点，所以 f 零带进去就是三引六分之拍，加 f 要等于三引六分之拍。好， 那么除以两个三异相等，不代表这个角一定是相等，是不是？所以呢，我们就能知道，这个就不要用两个 f 三异相等来理解了，三异六呢，等于二分之一。那么回到刚才那个问题了， 那么一个角的正弦值等于二分之一，我们刚刚说如果三角值等于正值，我们直接背一下就可以了，就这个角一定有两个解，一个是哪个角的正弦值，正弦值等于二分之一啊，就是六分之一拍，但是你要加上什么二 k 拍， 那么以及呢，它的补角，因为正弦看补角，它的补角就是六分之五拍，所以我的发的值呢，有两个，一个是等于二 k 拍， 一个是等于三分之二拍，加上二 k 拍，这两组解都可以，所以 five 的 值有无数个， 但是现在问的是 five 的 最小值，你看啊，当该等于零的时候，不满足这一组啊，该等于零就是零嘛，然后是二拍，所以它如果等于这一部分的话，它的最小值是二拍， 那这里 k 等于零，因为只有 k 等于零才是正值。又发现一张大脸是三分之二拍以及三分之二拍，再加上二拍，很明显这一组值里面只有 five 等于三分之二拍才能行， 才是最小值。所以答案选择什么？ c 就是 我们先要了解解方程的核心思维，以后不要看到两个三异相等，就是角一定要相等，而是用解方程的思维。 第六题，这个函数 第六题， f x 图像和这个图像在这个交于 a、 b、 c 三点，看到两个图像交于几个点的时候，我们反应一就是什么入手，什么就是画图， 第二个就是怎么样啊？焦点问题就是解方程， 那很明显三引拍 x 啊，这个图啊和 cos 拍 x 这个图啊，就有点难画了，所以我们就转到第二个思维解方程。你不要求焦点吗？那我就算三引拍 x 等于 cos 拍 x， 求焦点就是连立方成， 哎， sine 等于 cosine， 我 们讲上一次内容就知道了啊，就是一定要变成正切，就碰到的 pi x 一定要等于几啊？一 三以拍 x 等于一。那么啊，那老师啊，这个到这一步的话，有个问题，就是你除了 cos 以拍 x， cos 拍 x 等于零怎么办呢？注意， cos 拍 x 等于零，那么三以拍 x， 它一定等于正负一，它两个就不可能相等了，所以我们单以拍 x 等于一没毛病。 那刚刚讲了，正切的话，你愿意画图也好，不画图也行，因为正切就简单，就是找出特殊值。哪个讲的正切值等于一啊，我们就说拍 x 等于四分之拍，然后你在最后加个 k 拍就可以了。正切解方程， 当你的 x 零要等于某个数值的话，那么就找到那 x 零有一个值了，再加二 k 拍就行了，所以呢，我们的 x 就 等于四分之一， 加上 k 对 k 属于任何整数。好，那证明他有无数个解，对不对？包括哪些呀？四分之一啊，对吧？ 然后呢？ k 等于一的时候就四分之五， k 等于负一的时候是负四分之三，然后呢，往两边扩散，他有无数个解，但是我们只要他在负一到几啊，负一到二上的解，负一到二， 那么就是这三个数字。好，所以我们就可以得到第一个点，坐标是负四，不是三。逗，把它带到其中任何一个就可以了，就是 sign。 负四不是三拍， 那么就是负四分之三，那么这个讲过，它是奇函数，所以变成负三乘以四分之三拍，而四乘的对应的补角是什么？四分之拍，所以我们得到是负的二分之二。第二个点，过程就是四分之一，然后三乘以四分之一拍，就是二分之二， 第三个点就四分之五，四分之五带进去就三，四分之五拍。第三个角减，减拍前加负号，就是前面的知识二，所以是负的二分之根号。二，所以我们得到这三个点， 三个点坐标都出来了，那我们要求它的面积，那么我们稍微画个图，负四分之三的时候在这里，四分之一的时候是这里， c 在 这里，很明显，我们要求这个面积， 那就以 a c 的 长作，为什么？作为我们的底， a c 有 多长啊？ 因为它重坐标是相同的横相减，所以它的长度是四十五减，四十三减，负三就等于二，那么高呢？高其实就是 b 和 a 的 什么重坐标的差值，也就是 我们的高就等于二分之高，二减掉负二，这个也就是根号二，所以根据三角形面积是底乘高，再乘二分之一，所以得到是根号二选 c。 如果这道题你用第一个思维去画图的思维，你去求焦点就比较麻烦了。好吧，所以应该是解方程的思维。方程，那肯自然要讲一下不等式了，不等式应该如何解 好？首先呢，我们看一下不等式一般伴随的要么解不等式，要么是定域的问题。这个函数的定域，我们看函数的定域，要满足第一根号里面的数要大一点零，但是当你作为分母了，所以满足 cos x 要大于零。 第二， f 二 x 就 二 x 也要在定义域内，所以二 x 要小于四拍，要大于什么二拍？所以下面就得到 x 的 呢？啊，是小于二拍大于拍， 叫你要满足 x 要在拍到二拍之间，而在 cos x 又要代零。好，那我画出余弦图像， 我们只要画出零到二拍之间的，那实际上只要画出拍，拍在这里啊，二拍在这里，在拍到二拍之间，它的 cosine 值又要大于零，那么这个点很明显就是二三拍， 所以呢，它的共同解集就是交集，就是二五三拍倒拍，所以它定义域是二五三拍，倒拍就是解不等式，就是画图。 第八题，三 x 要大于我们 cos x 的 值，它有两个方法，法一呢，就是解不等式， 那比较麻烦。法二呢，就是画图， 因为三 x 也好， cosx 觉得值好，它画图还是蛮简单的，我们用画图法来解决问题。三 x 是 过零零点， 只要画零到二拍就可以了。那 cosx 我 为了区编开来哈，我把 cosx 给画一个蓝色的图， 它过零一点，先画 cosx， 然后把小零的往上，怎么样啊？翻折，那这边就不要了， 那很明显三 x 要大于 cos x 的 值，就是三 x 图像要在上面，红色在蓝色的上面的， 红色在蓝色上面的，仅此这里这个位置。好，那这个位置很明显呢，根据我们的三 x 啊，要等于 cos x， 因为开始 cos x 开始还没有变嘛， 那就得到之后我们的 t x 等于，是吗？等于一啊，到了直接写了三 x 等于 cos x， 在 离到二等拍之间就四等拍， 那么我们会发现这个是我们对准轴，是二等拍，对不对？那这个点呢，肯定是关于二等拍怎么对称，所以另外一个点就是什么四分之三拍， if 则写三 x 是 等于负 cos x， 那么就是我们的 x 减四等三拍满足，所以答案就选择什么 a 选项。那么法一呢，就麻烦一点，就是 cos 等 于 x 属于零到二分之拍的时候啊， cos 是 一个什么值啊？正值 就是大于 cos x， 那 x 属于二分之拍，到二分之三拍的时候， cos x， 就是 在二三象限吧，二三象限 cos x 是 负的，负数的角值等于它的相反数，你要写成这样， 然后呢，二三拍到拍之二拍之间的时候，又是三 x 大 于 cos x， 然后一一一解，那么你要发现答案选择吗？选择 a， 但是没有画图来的好。刚才做的题目呢，我们发现一个特点都是在有就是零到二拍啊，之间呢，就是在一个周期里面，所以我们就不用加上什么 k 拍二 k 拍了，但是呢， 这里是任意角，就 x 为任意值的时候，我们就跟刚才就麻烦一点点哈，解不等式，我们看怎么做。 首先呢，这个函数定域啊，因为定域我们就要知道这是个对数，对数里面的数就是两倍的三 x 平方 x 减掉五个三 x 加上二， 它一定要大于零，所以很明显的，这是一个十字相乘法，一二负二负一，所以写成三 x 减掉二，乘以两倍的三 x 减掉一，要大于零。 好，那是我们一定要注意三 x 的 有界性。用解不等式解方程的时候啊，三 x 永远夹在负一到一之间，所以三 x 减二呢，一定是一个什么数， 所以三 x 减二一定是个小于零的数，非常重要，所以两个数，哎，这两个相乘以大零，所以两边的三 x 啊，减一一定要怎么样啊？我们要小于零， 所以呢，我们的三 x 呢，就要小于我们的二分之一，或者直接我们无视这个式子，我们要了解就开始，不， 不管它，这是个约二字不等式，不等式，我们要大于，这是大于号吗？这大于大的，小于小的，所以就三 x 要小于二分之一，或者三 x 要大于二。但是我们的三 x 大 于二是不成立的，所以我们就折取三 x 等于什么？小于二分之一。 好，所以你要解的就三 x 小 于二分之一，那么之前我讲过三 x 等于二分之一，就实写 x 等于什么？我们的六分之拍加二 k 拍和六分之五加二 k 拍，如果小于怎么办呢？那我我们还是画图在零到， 那么这个是另一角，我们就画稍微多一点点， 注意是画一个 y 等于三 x 小 于 y 等于二分之一，所以我画一个 y 等于二分之一的线， 是你小于的话，就是在这个线的什么三 x 小 于二分之一，在这个线的下方，很明显我们发现在它的下方的点呢，有有很多，是不是啊？ 那么连续性好，那么我们看看啊，如果我们还是取零到二拍，从这里开始 到这里结束，那么就有两段，一个是这一段，一个是这一段，但是呢，我们要注意解不等式的问题啊，一定只能用一个，就说我们如果写的话，应该是六零到六分之拍， 并上这个点是六分之五拍到二拍，那这样写了就不好了，因为我必须要用，你看他的结果是什么，只有一个，一个连续期间啊，所以呢，我们就是不从零开始，你看啊，我要这个线的下方，那我们可以从 我们把这往这边挪一下啊，从二分之拍开始到二分之五拍结束，在这个范围内，又在这个线的下方，看到没有，是这段图像， 那这段图像是连续的，那我们就可以说这个点，注意是二分之一，我们说了，刚才说了走台阶问题，这是什么？ 这是我们的拍，这是我们的二拍，从零到二分之一，很明显你一看就知道他只占了三分之一的基础，所以是拍减六分之拍，也就是六分之五拍，所以一个零件值是六分之五拍，这里就是二拍， 加上六拍要走三分之一个路程，就在六分之十三拍，所以呢，你要小于二分之一，所以你的 x 应该要大于六分之五拍，小于六分之什么十三拍， 那么只是在这一段，如果你反应另一个，你就要记住加上二 k 拍就可以了，所以加上二 k 拍 可以属于整数。答案呢，就是我们的六分之五拍到我们的六分之十三拍，再加上二可以拍。哎，老师，这里没有这个选项啊，可以，因为我们不是取了这个吗？其实我们也可以从这里开始到这里结束， 那我们就不要避免写了，我们就要在这个计数上，如果没有选项，我们就在这个计数上减二拍，这里也减二拍就可以了， 那么这个减二拍是负六分之七拍，这个减二拍就六分拍，所以你写负六分之七拍到六分拍也是行的，看你个人喜欢啊，个人喜欢，所以答案就选择什么。 c 很 简单，所以要解我们的方程还是不等式，解方程非要简单，简单一点我们就要对那个公式，如果实在是等于负值的话，我们记不住，我们就画图， 那么解不等式了，就一定要画图，就找到连续的一个区间，满足条件在一个周期里面 啊，然后呢就加上二 k 拍就行了。第十题，刚才我们一直提到定义，定义，定义的话，我们以前学的定义就是什么根号偶字方根里面的数要大于等于零，然后分母分是分母不等零 是吧，以及对数的真数要大于零，已知零分之密底数 x 啊，零字方 x 不 等零，我们是这四种，可能现在我们学了正弦余弦图像了，就多多加一个，就是正切 三 x， 它的 x 是 不能等于二分之拍加 k 拍，那么为什么？因为它是 cos 三 x 分 之三 x， 因为 cos 等于零的时候啊。我们注意，我们刚才讲过等于正负一和零的时候啊，就直接去求就可以了，哪个找到正确值等于零啊，是 of 的 牌。 然后呢，注意，只有解方程里面只有什么零点等于零的时候才是加 k 拍上全是加二 k 拍，所以呢，我们的 x 等于零，那 x 等于二的拍加 k 拍，所以它的，但是它是不能等于零，所以看到正弦一定要想到 x 不 能等于二的拍，加 k 拍好。这个函数呢，要跟 x 等于拍没有交点，那么跟竖线没有交点其实就是指它在 x 等于拍处啊，是没有意义的， 因为函数的性质在 x 等于一个数值的时候，要么有一个交点，因为没有交点，没有交点就没有意义。 好，所以我们看就是求它定义的意思，含蓄的表达求定义，当然求定义就是 x 减 five 是 不能等于我们的 of 去拍加上 k 拍的，所以 x 是 不能等于 of 去拍加 five 加上 k 拍的， 那么它也它没有焦点，也是说 x 不 能等于拍，这么一拍就是 of 去拍，加 five 加 k 拍就一定要 是这个方程的是吗？一个解就等可以等于拍了，所以 find 的 值就等于二分之拍减 k 拍，所以 k 是 属于任何整数的 好，那么现在 find 又是要大于等零，所以当 k 等于零的时候就是二分 之三拍，以此类推，也可能等于负的等于我们的正一的时候就是等于负的二倍拍， 但是因为 five 的 值要怎么样啊，要大于等于零，所以它的最小值就是 of 牌。答案选择 c， 这考察的是我们的正切的定域问题。

hello， 同学们，天赋不够，努力来凑！今天我们将进入到高中的第一个函数，叫做密函数，那么密函数，嗯，它其实是相对来说比较简单的，因为我们初中的时候都嗯接触过，比如说 y 等于 x， 或者是 y 等于 x 分 之一，它都是属于密函数的一种。那么嗯，我们在高中的时候学习密函数，它往往的常见题型有哪一些呢？它比如说让我们求一个函数值， 或者是给定一个参数，让你去求参数，或者是定点的问题，或者是增减性的问题，那么函数增减性就是函数性质了，对吗？那在做这四道题目之前呢？我们先一起来回顾一下什么叫做密函数吧。我们说形如 y 等于 x 的 a 次方，这个叫做密函数。那么它的特点，第一说是 a 为任意常数吧。 第二个，我们说密的系数 为一，也就是自变量的系数为一。 第三个能说自变量为单个的 x。 第四个，有函数，那就一定有定义域吧，定义域 与 a 有 关吧，定点为一一，好，那么你知道它定义之后，还要知道它的图像怎么画吗？我们简单再回顾一下它的图像， 我们说先画第一象限 内的图像，再根据奇偶性 画另一象限的图像吧。 好，那它的图像有什么性质呢？我们一起来看一下。它要过一个定点。一一， 你说当 a 大 于零的时候，它是一个真函数，对吗？当 a 大 于零小于一的时候，它长得非常的慢。 a 大 于零小于一，哦，当 a 大 于一的时候，它长得非常快。当 a 小 于零的时候， 还是不一个减函数，减函数，真函数，只是它真的很慢吧，真 快，真慢吧，对吧？所以它的定义域是跟它的自变量，所以它的定义域是跟它的 a 的 曲值有关的吧。好，那么到这里的时候，我们再一起来看一下题目吧。 第一道题目，他说他是密函数，我们怎么求解析式来着，还记得吗？第三种解析式，人家告诉他是什么函数，直接设他解析式就好了吧。解 设 f s 等于 x 的 a 次方，因为 f 四等于十六，所以 f 四等于四的 a 次方等于十六，所以 a 是 不等于二， 所以 f x 的 解析式是不是求出来了？那么 f 负四是不等于负四？括号的平方还是等于十六吧。好，那么第二道题目，好，我们一起来看一下第二道题目。 第二道题目，它说它是一个密函数，求 m n 的 值，我们知道什么是密函数，它的系数是不是一定要为一的？因为 f s 为密函数， 所以 m 平方加上二， m 减二，它是不是等于一啊？所以 m 平方加二， m 减三等于零，那么 m 加三， m 减一是不等于零啊？所以 m 一 等于负三， m 二等于 一吧。好，那这个时候，因为它是密函数，所以二 n 减三是不等于零，这么求出来， n 等于二分之三，中上 数数 m 等于负三或者一， n 等于二分之三。结束，好，我们看一下第三道题目，第三道题目，他题目，他说他过一个点，那我们知道他是密函数，所以我们有 m 平方减二， m 加一是不等于一了？ 求出来 m 减二， m 是 不等于零，所以 m 乘以 m 减二是等于零的。 m m 一 等于零， m 二等于二，又因为它过四二这个点，所以我带进去 f s 过四啊，就 f 四呗。 f 四等于四的， m 减二分之三，它是不等于二，所以你求出来， m 减二分之三应该等于二分之一吧，对吗？所以 m 应该是等于二的，对不对？ 所以 f s 应该等于 x 的 二分之一次方吧。好，结束，我们再看一下第四道题目。第四道题目他说他是定义域上的减函数，我说他只有当 a 小 于零的时候才是减函数吧，且他又是幂函数，所以他应该等于一吧。那我们求呗， 因为他为幂函数，因为 f s 为幂函数， 所以 m 平方减二， m 加一是不等于一的，所以 m 等于零，或者是 m 等于二吧。好，又因为 m 减二分之三要小于零，所以 m 是 不等于零呐。 所以 f x 的 解析式就应该等于 x 的 负二分子。那到这里时候，我们就要求它的定义域了吧。那它的定义域我们知道是跟 a 相关的，那它的 o 侧方根是一定要大于零的吧？所以我们知道它的定义域是开口，那么我们知道它定义域是大于零的。 又因为 f a 加一大于 f 二， a 减三，因为它为减函数， 所以它的自变量的变化方向和函数值的变化方向是不是相反？所以就有 a 加一小于二， a 减三，又因为它的自变量取之方是要大于零的，所以 a 加一要大于零，二 a 减三是不是也要大于零？ 最终我们来一起求一下，求的结果就是 a 大 于四，所以 a 的 范围 为四到正无穷。好，结束。好，希望今天的视频对大家有一点帮助。嗯，那么今天视频就到这里，再见。

各位同学好啊，今天我给大家讲一下三角函数的单调性，那么第一道题呢， 就是比较这个角的正弦与弦和正切的一个大小。那么我们正弦和余弦呢？它可以，因为正弦可以化为余弦，余弦也可以化为正弦，但正切就不行了，所以正切了，我们要利用一个中间量，因为七分之二拍， 它是比四分之拍怎么样要大的？在第一象限，我们的正切图 是长这个样子的，所以它是单调递什么递增的，所以七分之二拍比四分之拍要大，所以 ten 的 七分之二拍 要大于它键的四分母牌。为什么要用四分母牌来弄呢？因为它正弦和余弦，它的值是要夹在正负一之间的，如果它键的值比一大，因为它的四分母牌恰好是等于几啊？等于一，所以呢，我们就能得到 a， 它的七分之二牌是大 于的，所以 c 是 最大的，所以 c 是 最大的。我们就把 bc 的 呢啊排除， 把 b、 c 排除好。然后我们再看 a 和 b， a 和 b 的 话，因为七分之五拍， 它是比二分之拍要大，也说它是在第几项呢？在第二项线，那我们习惯性把它变成锐角 啊，两角互补，正弦相等，所以三分七分之五拍就等于三影，七分之用二就用拍，减掉七分之五拍就七分之二拍。因为七分之五拍和七分之二百相加是等于拍的，所以他两个人互补，他的正弦值相等， 那么这是 call， 这是 a， 就 等于这个，那 b 呢？又等于 call。 三、七分之二排，那么它都在七分之二排，很明显比我们的二排要小，所以它都在第一项线， 但是它是一个正弦和一个余弦，所以我可以把余弦变成正弦，或者把正弦变成什么余弦都可以。那么我们的正弦在第一项线，它是单调递增的， 所以呢，我们比较喜欢单调立增，所以我把余弦变成正弦，是等于三引二分之拍减掉七分之二拍，一个是十四分之七，一个是十四分之四，就等于三引十四分之三拍， 没错吧，是四分之七减掉十四分之四。好，那现在的一个七分之二拍和一个十四分之三拍，明显七分之二拍是十四分之四，它比较大， 那么三又在第一项线呢，是单调递增的，所以 a 我 们 a 就 大于 b， 所以 答案是 c a， b， 答案选择 d 选项， 利用单调性。但是呢，我们要一般是全部画成什么鱼弦或者画成正弦，然后呢，最好是锐角，因为锐角我们比较喜欢。第二题， sin alpha 大 于 sin， 比打 都是 sin， 那 好办呢？就不用把 sin 变成 cosine 或者 cosine 变成 sin， 那 么一个在第四象限，那我画个图像， 一个在第四象限，一个在第三象限，那么它们 竟并不是只有具有一个单调性的。不呢，所以我们要转变，那我们的个人习惯呢？还是一样的，我们看第三象角 b， d 三减 b 打，我们要把它变，怎么变呢？我们叫角减，二拍不会改变大小，但是角减拍呢？不行，那你非要减可以，那么你要加什么前加符号，所以三三减 b 打可以等于 b 打减掉拍前面加一个什么号符号， 那么其实它是用的是诱导公式。我们在讲第一个章节的时候已经讲了啊，就是要记住，那么哎，这个比较大小，这里就有一个负号，所以这个式子就可以等同于 si in 阿法大于负 si in b d 减派。 这前面有个符号，我们没办法用，单调性啊，所以我们的三引阿法也能变成个符号就可以了。但是我们叫三引阿法是在第四象限，而且呢三引是一个奇函数，奇函数一个特点就是三引阿法是等于负的三引负阿法， 所以这个式子继续可以变变成负三引负阿法要大于负三引逼打减掉拍。那现在呢，我们知道两个都是符号，我把符号怎么样啊？ 去掉两边同时乘个负号，那么符号要什么呀？要改变不等式要改变。好，那现在我们看一下，因为负阿法阿法属于负二分之拍到零，那负阿法自然就属于零到二分之拍， 必打属于二拍到二分之三拍，你减了拍之后， 他就属于零到二分之一拍，他们两个都是在第一象限，而且呢都是在零到二拍之间，所以呢他就有什么零到二拍之间，他有个单调递增的性质， 所以你这个要小，那么你的脚就要小于拍 b 大 减掉拍。那这样的话呢，我们就能得到 r 加 b 打移过来倒过去大于拍，所以答案就选择 a 选项。 听懂了意思吗？就是一定要把它放在同一个范围内，具有单调性的范围，然后就可以做题了。然后呢为这前面怎么变的话，就是我们一般的中心思想就是要把它变成都市锐角。零到二的拍的时候我们比较喜欢这个这个范围内。第三题， 这个函数有零点，教你求 m 的 范围，哎，这是我们函数的跟函数要结合在一起了，有零点呢，横乘立啊和存在不等式啊等等啊，所以我们这种题目呢，首先它有零点，就是两个 sin x 加 cosine 的， x 加 m 要等于零，在 x 属于负三分之拍到三分之拍的时候 啊，有解有解问题就参变分离，那么参变分离一般是把 m 放单独放一边，因为这两个系数是正的，所以我们直接把 m 变成负 m 会好一点，因为好看一点，因为我们比较喜欢正数啊，不喜欢负数， 所以负有零点的话就是负 m 的 啊，他没说有几个零点，他只要有零点就可以了，就是这个有解，有解的话就负 m 和这个这个函数的值域啊，要怎么样相同，所以我把它变成一个新函数， g x 是 等于两倍的三 x 加上乘以的 x， 然后我们把这个的范围求出来，那么负二的范围跟它是保持一致的，而这属于负三分之拍到三分之拍，现在是要求范围，就是求直域了，求直域的话，我们想到单调性好看它的图像，它的图像正确图像 是这样画的，它在负二的拍到三分之拍也是单调的。什么递增的 系数乘个二还是单调递增正确图像呢？它在负二倍拍和二倍拍之间也是单调递增的，那导致它在负三倍拍到三倍拍也是单调递增的，所以两个增加在一起，用函数的性质增加。增等于什么增？ 所以 g x 是 一个在我们的负三倍拍到三倍是单调递增的，所以它的最小值 就是等于七的负三分之一，所以我们把它带进去，就是两倍的 cosine 负三分之一，加上 cosine 的 负三分之一， 因为三根我们的他想都是一个基函数负号提出来，所以这是负根号三，这里是提出来也是负的刚好三，所以是负两倍的刚好三。再把我们的最大值求出来，最大值 就是等于 g 三分之拍啊，也是就等于两倍的杠三，所以呢，我们这个 g x 的 值域啊，是负二倍的杠三到二倍杠三， 那负 m 也要属于它，就导致 m 就 属于负二百的杠三到二百的杠三。所以啊，答案呢，就选择 d 选项。好，我们来到第四题啊，题目的小小小错误啊，改正了一下， 我们看第四题，这个函数的单调去增区间，很明显是一个负函数，负函数，然后里面有个二等三拍，因为我们在看这个时候呢，就想到这个诱导公式是二等三拍，是二等拍的基数倍， 所以这个式子我们把它变形一下， f x 是 等于 a log 二分之为底， cos 二三拍减二 x， 根据诱导公式，既变偶不变，所以它要变成我们的 三影二 x。 然后呢，我们把这看这个锐角二分之三拍减的锐角还在第三象限的余弦值是负值，所以负的 这个好。然后呢，我们对数的负函数啊，我们看这个是同增异减，因为对对数来说它是减，那这里应该也是减，因为相同才是增嘛。 但是呢，这个负三 x 呢，它的前面有个系数是什么？是负号，那么就变成了这个要求单调的什么递增的话，那么三元二 x 一定是单调递增 好，那么另外一个呢？我们发现呢，对数最麻烦的地方就对数，它的真数要大于零，所以负三幺二 x 还要满足大于零，推出三幺 x 一定要小于零 好，那么虽然满足两个条件，一个是三幺二 x 要小于零，一个是啊，三幺 x 要单调递增，那我画出正弦图像， 那么求这种单调性的话呢，我们一定要注意，一定要加什么 k 拍，二 k 拍之类的， 那么我们来看一下，作为正确图像，它要单调递增的话，我们先找到离，因为它有无数个增区间，离 y 轴最近的，就是要夹在负二分之拍到二分之拍之间 啊，那么他因为他无数个，所以我们发现他每隔一个周期就有一个增肌间，这里也是增肌间，所以我们要加上什么二 k 拍，这里也要加上二 k 拍， 但是呢，我们同时要满足三一二 x 要小于几啊？小于零，所以呢，你你看，我们只看这个区间， 既要满足是增，又要满足小零，所以这里不能写二五的牌，要写成什么零。另外增减期间我们一般是可以写成等于号的，就可以包括这个转折点，小于等于在这个地方可以，但是因为它是要小于零，所以这个是不可以的，所以我们就要满足二 x 要怎么样啊？大于等于负二拍加二 k 拍，小于零加二 k 拍，两边同时除以我们的二，就是负四分之拍，加上 k 拍到我们的 k 拍， 然后 k 属于任何整数，那么写成我们的区间的形式，答案就选择我们的 b 选项。注意这里是要打实的，这里打虚的啊，就是一个中过弧和一个小过弧的问题，所以答案就选择什么 b， 这道题出的很好，既考虑了函数的 单调性，还要考虑它定域，这是我们典型的函数问题啊。再结合我们的第五题， 那这个呢，不再是求整体的单调性，他只要你求零到拍的什么单调性就可以了。 首先呢，我拿到这个函数，这个函数啊，我们会发现这个里面这个角啊，这个变量，它的系数是什么值啊？是负值，那我不喜欢这样的，因为我们喜欢 a omega， x， omega 是 大零的，但是小零，所以我们利用函数的单调性 啊的奇偶性，哎，三 e 是 奇函数，所以这个符号可以提出来是负两倍的三 e 二 x 减掉六分之八，先写成这样子， 因为它的系数是什么负值，我们要求的是减区间，减函数区间，所以呢，我们这有个符号，所以去求这部分，也就是 y 等于三 e 二 x 减六分之八的什么增区间。 好，这是我们的这这个问题啊。然后呢，我们先把这种带范围的零到拍，只要零到拍这个范围的单调性的话，我们先把它的增距圈求出来。 好，一样的，如果你熟悉的话，我们就背了，增距圈是负二的拍，加上二 k 拍到二分之拍，加上什么二 k 拍， 因为增减性的话要加等于号，因为怕好填空题要小于等于，小于等于。好吧，如果还是不熟悉的同学，我们就画图，把政权的标准图像，注意啊，不是画他的图像，是把他看的一个 t， 我们发现离 y 轴最近的增区间就是负二五拍到二五拍，然后再加上二 k 拍就可以了，所以我们只要保证二 x 减掉六百的这个整体，满足这个条件就行。进而就把它的 解一下，就是三分之二拍加上二 k 拍，这里移过来是负三分之拍加上二 k 拍，所以 x 是 小于等于三分之拍，加上 k 拍，大于等于负六分之拍加上 k 拍， k 属于整数，它有无数个什么增区间，但是我们只要求零到拍的，那我给同学的建议是画一根素轴，零在这里拍在这里， 我们只要求这个范围内的增区间就可以了，那我只要求这个范围以这个范围的重叠部分就行。好，我们发现 k 等于零的时候， 也就是说他有一个增区间是负六分之拍到三分之拍是增的， k 等于一的时候是什么？是六分之五拍到三分之四拍是增的，所以呢，我们看负六面在这里，三分之拍在这里， 然后六十五拍和三分之四拍，很明显它有两部分重叠， 一个是零到三分之拍，一个是六十五拍倒拍。所以答案就选择 b 选项。这种类型就是求带方位的增区间或者减区间，就先把它增减区间用 k 来表达。函数在零到一上是单调递增的啊，靠正切的单调线。 好，我们把正切图像画出来，标准的正切图像， 我发现标准的正切图像它只有增区间，没有减区间。 好，所以呢，我们来看一下啊这个函数。首先呢，一常数加减常数是不会影响单调性的，那么这个符号会影响，所以也就是 y 等于同类的 omega 减四拍， 它呢要求单调递什么递减？因为它系数是负的，求它的减，加个负值就是求它的增，那刚才我说了，正切是没有什么减期间的，那除非呢？这个 omega 它的系数是什么值啊？是负值， 所以呢，因为它我们后面还是要令 t 等于 omega x 减四的拍，然后呢，求出它减的 t 得这样，因为它减的 t， 它只有增，那么所以这个一定是减，所以我们就得到第一个信息， omega 要小于零。 好，那么我们再看一下它们的 t 就是 增值键了， t 在 范围是什么呢？因为 omega， 我 们的 omega 是 小零的，而且 x 是 什么？是零到一的，那么 omega 乘以 x， 注意了啊，它是 omega 到零， 因为我们在 x 基础上就 omega 乘以 x， 我 们乘的乘 omega 是 负值，所以要换个位置， omega 到零，不是零到 omega 啊，所以 omega x 减掉四分之一拍，就属于 omega 减四分之一拍到负四门拍之间 t 啊， t 在 这个范围，那么它们的 t 要是增区间负四门拍在这里， 那如果你的 omega 减四十拍，那一定是在这里不能超过负二十拍这个线，超过负二十拍的线，那么它就不能说在这个范围，因为它有中断是不是 不连续函数，所以它不能说它在负 omega 减四十拍到四十拍，负四十拍是单增的，所以我们叫满足 omega 减四十拍一定要 大于等于我们的负，我们的牌为什么可以等于呢？因为我们要注意这个，这是个开之间，所以呢，我们这个是表示落点而已，所以呢，我们一定可以啊， 可以等于负二分之一排，所以推出 omega 一定要大于等于负四排，结合 omega 要小为零，所以答案自然就选择是吗？ d 也是一个负函数啊， 已知函数是 tan x 加 c 档有这四个里面呢，有两个是正确的。好，我们来分析一下到底哪两个是正确？第一，我们的在零到四等拍的时候，它是单调递减的。 好，一样，因为 x 属于什么？我们的零到四分之一牌，我们令 t 等于 x 加 c 打，所以 x t 呢，就怎么样啊？就属于零， c 打到 c 打加上四分之一牌， 那么我们会发现呢，因为我们的这个是递减，这个 x 加 c 打了它的系数， x 系数是什么？是正的， 那么就导致这个单调的 t 呢？这是增，单调 t 呢，就一定是增，因为因为我们正解函数不可能什么有减函数，所以这个也是增，所以根据同增异减的概念就得到它一定是增，所以无论怎么样， c 打 x 属于零到四零拍是不可能单的逆增的，所以甲就要排除，所以甲是错的。好，以 f， x 是 等于 tangent x 加上 c 打正确图像哈，我们知道它只有对称点，没有 对称轴，所以呢，它关于 x 三分之一拍对称，那么也一定错的，所以乙也是错， 那么现在已经复制出了，所以甲乙都错，只有丙跟我们的丁就一定是正确的。好，一样的，我们看一下丙哈， x 属于负二拍到零， 所以我们令 t 等于 x 加 c 打，就属于负二个拍加 c 打到 c 打，它是单调的。什么递增的？因为 t 等于 x 加 c 打，这个是增，所以我们它点 t， t 只要把 y 等于它点 t 是 单调递增就可以了。 好，那么我们画图，正切图像是这么的画的，我们的负二点拍加 c d， 它的范围，因为我们的 c d 属于零到拍，所以负二点拍加 c d 就 属于我们的 负二十拍到二十拍之间，所以一定是在这个之间，所以它的起点夹在之间，那么你要保证到 c 的 结束还是单脚递增，所以 c 的 就一定不能超过什么二分之拍， 因为它是开之间，这也是开之间，所以 c 档就可以小于等于二分之一拍，注意哈，大于零，所以到最后第一个信息， c 档是小等于二分之一大于零的好， 这个函数的对应中心是六分叉到零，首先呢，这个纵坐标，因为它后面没有加上一个 b， 所以呢啊，这个零没什么作用，我们看当前的 x 加 c 打， 它的对应轴怎么求啊？对准中心怎么求？对中心就是让这个整体 x 加 c 打 它是等于，因为正切的对称中心是二分之 k 拍。讲函数的单对称性的时候已经讲过了， 因为正切图像在这里点对称，这里也点对称，所以是二分之 k 拍。 那么因为六根拍是他的一个顿中，是六根拍，证明六根呢，是这个方程的一个根，所以六根拍加 c 打就等于二分之 k 拍， c 打就等于负六分之拍加上二分之 k 拍 c 的 有无数个解啊，那现在一样，但是我们 c 的 有范围啊，所以 k 等于零的时候是负六分之拍， k 等于一的时候是三分之拍， k 等于二的时候是六分之五拍，但是呢，又要夹在零到二分之拍之间，所以我们只能选 三门就拍，所以答案就选择 b。 这道题很容易选择 d 去了啊，所以还是考函数单调性。第八题，这个函数它有两个对称中心，而且是相邻的对称中心，我们讲前面也讲过对称性啊， 就是如果是两个对称，我们就一定看的是周期。我们正切图像 他两个相邻的标准啊，相邻的对准中心，这个一个这个一个这一个都是。如果两个相邻对中心，就将刚好是相差 半个周期，就是看他相差多少个周期。所以这个题非常简单，就是说这两个点是相邻的对中心，所以他的间距也是六分之五拍，减掉三分之拍就等于二分之拍，就等于半个周期，所以得到周期就等于拍。 而正确的周期是排除以 omega 的 绝对值啊，排除以 omega 的 绝对值，所以呢，我们就能得到 omega 是 等于一， 或者是 omega 等于什么负一，没错吧？对，一定是要加绝对值哈，那么又是一样的了，因为刚刚说了，如果正切只有单调递增，没有单调递减，所以呢， omega x 加 five 啊，就是如果你令 t 等于 omega x 加 five， y 呢，就等于当减的 t， 那 证明这个是增，那么这个就因为它是要单调递什么递减的，所以这个一定要是单调递什么递减，所以 omega 一定是负值，所以我们得到 omega 一定等于负一 好，等于负一，所以 f x 就 等于它减的负 x 加 f， 那么因为就负的 x 减掉 f 好， 那么就相当于 y 等于同类的 x 减 f， 因为它前面有个系数是负值，要这个单调的减，那么就在这个上面单调的什么递增啊，那就这个信息 好，所以这是我们的第一个就是求出 omega 的 值是负一，而不是正一。第二个，这个 两个相邻的，因为我们是两个相结合得到 omega 的 数值，那么单独的三分之拍是他的，单是他的对准中心表，三分之拍是他对准中心，我们要对准中心，怎么去挖？是 x 减 five 要等于二分之 k 拍，所以 三呢？介绍它一个解，那么证明三分之拍减掉否就等于二分之 k 拍，所以断的推出 omega 是 等于三分之拍减掉二分之 k 拍， k 属于任何整数 没错吧？所以 omega， 所以 我们的否当 k 等于零的就是三分之拍， k 等于我们的 等于三分之拍。如果 k 等于我们的正一的话，就是负六分之拍 啊，所以是三分之拍和负六分之拍。所以呢，答案就选择 a 和我们的 d。 注意啊，这道题比较仁慈，因为我们这里是一个什么题啊？是一个多选题，所以呢，因为在这个范围内， find 范围内是小的样子拍，只有这两个值 是符合的，其他都值都不符合，所以到现在我们只有 a d 能选，所以我们直接选 a d 了。那本来还是要讨论一下这个三分之拍到二拍要单调地增，要把它的 它的范围写出来，那么我就不做了，因为它也只能选择 a d。 这道题又跟前面一样，典型的求 omega 的 取值范围。 omega 取值范围之前讲过，就是一它的区间含零跟不含零的问题，含零的话就稍微简单一点啊。那么这道题都是用整体思想，整体思想，因为我们会发现这个图像你是画不出来的， 所以呢，我们一样的令 t 怎么样啊？等于 omega x 加三分之拍 好，那么因为它这个呃在零到三六分之拍是单调递增的啊，这里应该加个条件是 omega 大 于零的情况下啊， 那么我们看一下啊，那么画这个图是画不出来的，所以我们又是用整体思想， t 等于这个，那么 t 是 omega x 加三分之拍，那么我们把零到六分之拍带进去，把这个范围求出来，是三分之拍到六分之拍 omega 加上三分之拍， 那么 y 就 等于三引七。很简单，我们画个正弦图像， 这叫一端固定，因为一端是三分之一，另外一端不定。那简单了，那我把三分之一标出来，那么我们到这个上面是单调递增的，所以我们后面这个呢，就不能超过二分之一拍， 它一定要在这个 alt 在 左边，在右边，就是有增又有减了。所以这道题非常简单，六分之拍 omega 加上三分之拍，一定要大小于等于二分之拍 等于，可以啊，所以呢，六分之拍 omega 就 要小，等于六分之拍 omega 就 要小。等于几码一， 再结合， omega 是 要怎么代零的？所以答案是零到一，选择 c， 这叫一端固定，一端固定就是含零的，因为零是 omega 就 会等于零嘛。 第十题还是要求 omega 取的范围还是刚才那个思维，只要注意啊，这个二啊， 就不会影响它单调性了，所以呢，要求它在上面单调递增，你看这里上面啊，不含零，我们一样令 t 等于 omega x， 那 么 omega 是 大于零的，所以我们就是负三分之拍 omega 到四分之拍 omega， 然后画出正弦图像。虽然这道题它们两边都不定，但是呢，因为一个是负三分之拍 omega 一个，剩下 omega 很 明显，一个大零，一个小零，所以一个只能画在左边，一个只能画在零的什么右边， 但是要保证它是单调递增的，那么很明显了，负三分之拍 omega 一定要怎么样啊？ 小大于等于负二分之一拍没错吧？而我们的四分之拍 omega 呢，就一定要小于等于二分之一拍，一旦它超过这个界限，就是有增又有减的，所以这两个结合，这里能推出 omega 是 小于等于我们的二分之三， 而这里能推出 omega 小 等于我们的二，所以两者相结合， omega 只能小于等于二分之三，再结合，它本身要大于零，所以是零到二分之三， 两单不固定，但是恰好了有个七，一个在零的左边，一个在零的。我们来到第十一题，还是求 omega 的 取范围，就是我要把这种类型的各种形式跟大家讲清楚，那么我们看到啊，没含零就有点麻烦了，我们一样令 t 等于 omega x 加三分之一拍，注意， omega 是 带零的，所以呢， t 的 范围就是把六分之一拍带进去，是六分之一拍， omega 加三分之一拍和我们的二分之一拍 omega 加三分之一拍。 正弦图像画出来，我们发现这两个区间就是它的两边啊，小零这个也不会啊，它们两个都是带零没错，但是呢， 他并不是快零的，所以他有可能都，他不是要单调递减吗？有可能都夹在这个第一个地方，也可能夹到后面呢， 也可能夹到这个区间，当然以此类推，还可以夹到后面，所以这时候呢，我们就搞不定了，跟刚才不太一样啊。但是呢，我们要理解一下，因为正弦图像啊，他是有一半是增，一半是什么？是减， 那么这个就是要把 omega 的 范围来缩小一下，就说如果说这个区间里面是单调立减的，那证明假设我们从这里开始 到这里结束，他一定是有增有减的，所以你只有到这里时候才是单调递，什么递减，也说你这个跨过的区域啊，不能超过半个周期。注意啊，一个三，一个正弦余弦，他的某某范围是单调递增还是递减， 证明他的间距也是二分之一拍减，六分之一拍等于三分之一拍，是一定要小于等于半个周期的话，一定是有增有减， 懂了吗？所以这样就可以把 omega 的 范围缩小，因为 t 又等于二拍除以 omega， 所以 这二跟二约掉，所以 omega 就 小等于三大于零，这个条件非常非常非常重要。 那现在呢，我们只要看一下六分之 pi， omega 加上三分之 pi， 它的起点在什么范围，那我再把 omega 在 零到三之间呢？怎么样啊？把它带进去等于零的时候，就三分之 pi 等于三的时候 就是二分之拍，加上三分之拍是六分之五拍，所以你们发现他呢，他的起点就这个起点，他必须要夹在三分之拍到六分之五拍之间。三分之拍在哪里啊？在这里，六分之五拍在哪里啊？在这里， 那么它又要是单调递减，所以如果它在这里的话，我在这其实到任何结束它都是有增距性的，它不可能只是单调递减。所以我们的六分之拍 omega 加三分之拍一定要大于等于二等拍，它一定要在二等拍的什么右边 好，它的结束，如果你的起点在这里，那又是单调的减，你的结尾就不能超过二分之什么三拍，所以二分之拍 omega 加上三分之拍就一定要小一等于二米三拍。这道题是有两个取值范围， 就是把 omega 的 范围求出来，然后再把它起点判断它的起点在什么范围，然后根据起点和终点的位置来确定它到底是在一二三，就是往后走还是往前走这个范围内啊。所以我们就得到这么两个信息，所以这里能得到 omega 是 要大于等于一的， 这里减是 omega 三减掉三分之一，一个是六分之 九，一个是六分之二，所以六分之七拍，所以我们的 omega 就 要小于等于三分之七。相结合一下，所以 omega 就 一定要属于一到三分之七之间， 所以答案选择 b。 像这种啊，后面我们也会遇到两端都不固定的时候，一定要分析它的起点是在六分之三到六分之五拍 之间，那么他只能怎么样啊？如果他在三分之拍这里起开始的话，就一定有增句间不会只有 不会有，不会只是单调递减的。第二个就是遇到两段不固定的时候了，又是单调递减，就是你要记住一个规则，就是他的间距不能一定要小于等于半个周期，超过了半个周期一定是有增。我们来到第十二题， 在这上面单调递什么递增？哎，有含零的就简单，所以整体思想令 t 等于 omega， x 减掉什么三分之拍，没错吧？ 那么呢，把 x 属于零，负十二分之拍到零带进去，所以 t 就 属于负十二分之拍， omega 减三分之拍，到负三分之拍，在这上面是单调递什么递增的？那我们把正弦图像画出来， 那么它是一端固定，一端不定，它的终点是固定的，是负三分之拍，它的起点是不定的，但是它要保证在这上面是单调递增的，所以它的起点也是负十二分之拍。 omega 减三分之拍，就一定不能在二负二分之拍的左边， 所以呢，它只能再落在这个位置到这里，才能保证它是单调递什么递增。那这样的话呢，我们就能解得负十二分子拍 omega 要大于等于负六分子拍，所以 omega 乘过来乘负号有变号啊，所以 omega 要在零到二之间 啊，这是我们的第一个范围。好，我们再看下一句话，它在这上只有一个零点，零点问题，所以一样，我们令 t 等于 omega x 减三分之 pi， 它就属于二分之一拍， omega 减掉三分之一拍，到我们的二分之三拍， omega 减掉三分之一拍，那你发现没有，它是两端都怎么样啊？都不固定。所以呢，我们就要讨论它呢，跟它的一样，讨论它起点的范围。 起点的范围。好，我们看起点在什么范围呢？我们先画出证券图像出来，还是画三点 t 的 图像？ 零点，我们看它零点有零拍，二拍，往后之后还有哈，所以我们关键看它的起点在什么范围。因为 omega 是 小等于二大于零的，所以二，我们就拍 omega 减三分之拍，要大于等于负三分之二拍 啊，小于我们的三乘二就小于三分之二拍。 在这个方位，负三胞胎在哪里啊？在这里，三分之二百在哪里啊？在这里，你看，这就有问题了，如果它起点在零的左边，就包含零这个零点，如果在零的右边，就不包含这个零的， 包含这个零点，所以我们就要分类讨论，这是为什么呢？选项有 b、 c、 d， 有 啊，有两种选择啊。然后呢，我们来看一下 它如果在零的左边，也就是二分之 pi， omega 减掉三分之 pi 是 大于负三分之 pi 小 于等于小于零的时候， 不能再等于零，因为它是开之间，它如果等于零，就这个开的话，就不包含零这个零点了啊， 那么然后呢，如果他的零的左边，他只能包含零这个一个零点，所以他的尾巴也就二的三拍减掉三拍就要怎么样啊？要比零大，但是呢，要比拍要怎么样？要小， 对吧？啊？因为它是开机键，所以呢啊，所以它可以刚好落在拍这个位置，因为它也不好拍这个点嘛，那么上面就怎么样？就解出来， 要解一下，下面也要解一下，那我就不解了，为什么？因为它的 b、 c、 d 啊，它的前面都是长的一模一样的，都是九分之二到什么三分之二，那解的就没有意义了， 所以呢，我们肯定能得到 omega 是 怎么样啊？是夹在我们的九分之二到三分之二之间， 所以 b、 c、 d 都不能排除，所以关键点是在后面，所以现在我们就当二分之拍 omega 减三分之拍怎么样啊？它是大于等于零的时候， 因为它等于零也是打空的，只是指它的落点在零这个位置，所以它不包含零这个零点，那么就只能包含拍这个零点了，所以导致我们的 二分之三拍，欧米伽减掉三分之拍就一定要夹在拍和二拍之间，一样道理，因为它要包含拍这个零点，所以这里不能，因为它是打空的， 所以呢，它不能等于拍，但是能等于什么？二拍，所以现在要两者相结合，这里推出 omega 要大于等于 我们的三分之二，而这里的话就是三分之四拍，二分之三拍， omega 小 等于三分之七拍，然后相乘，这里乘过来乘三分之二就等于九分之十四， 这里乘三分之二就九分之八，那么要求两个的交集，那么因为九分之八比三分之二要大，是不是？所以就是这个结果，所以我们后面的结果就是九分之八到九分之四能等于九分之八，但是不能， 不能等，就是我们答案就选 c 了啊，就不能等于九分之八了，所以答案选择 c， 所以 这是分类讨论的一种类型。

哈喽，同学们天赋不够，努力来凑。今天我们将进入到函数的第三个性质，叫对称性和周期性，这两个性质相较于前面的单调性和基性来说，嗯，有一点难理解，但是大家不用害怕，我们尽量通过通俗易懂的语言让大家能够理解的清晰一点。如果这个视频对大家有帮助的话，请大家留下一个免费的关注吧，谢谢。 那么我们要学对称型的周期，我们先一起来看一下，他往往会在哪种题型当中去体现呢？首先第一个，他往往会说给定我们一个小的区间内的一个解析式，然后让我们求一个非常大的数值，怎么样去求呢？他会给定一个关系，那么这个关系往往会通过求周期 把这个非常大的一个数变成一个小小的一个数，也就是变到这个区间内的一个数，再带到这些式里面就结束了。这个也是一样的，通过这一个算式的变化，使得这个一个大的数可以变到这个里面的一个小小的数，变到里面小小的数之后，再带到零到四之间的这些式去求解，一样的 好。第三个他告诉我们是一个奇函数，然后通过这一个怎么样去把这些大的数字变成一个小小的数字再去求呢？ 这种相较于前面两个又有一点难度了。然后第四个他给定了我们两个关系式，然后再去求两个不相干的数字的和怎么去做呢？我们一起来回顾一下，先，什么叫对称性和周期性，什么叫做周期 形，如 f x 加 t 等于 f x， 这个时候我们说 t 为周期，对吧？第二个，什么叫对称？ 我们上节课学奇偶性的时候，我们说 f s 等于 f 负 x， 我 们称之为 f x 为偶函数， 且关于 y 轴对称，对吧？我们说若 f x 等于负的 f 负 x， 我 们说 f x 为奇函数，且关于圆点对称， 那这个时候我们会发现它对称是有两种的，第一个是关于轴对称，第二个是关于圆点对称，也就是一个点对称，一个轴对称。那具体的题目我们应该怎么样去区别它呢？我们会发现，第一个， 我们会发现自变量的系数，它相同的时候为周期，自变量系数相反的时候为对称，且为轴对称，发现了没有？所以我们去做题的思路 是不是更清晰一点了？首先找 找函数，自变量的系数相同，则为求周期吧，对不对？好，不相同？ 求不相同其实就是相反吧，对吗？就是一号，这是自变量的系数 x， 那 么就是求对称，那怎么去求对称呢？然后我们再去找 a， 观察 函数值，也就是 f x 吧，函数值的系数相同，则为轴对称， 相反，也就是一号吧，折为点对称。好，那到目前为止来说，我们基本底层的逻辑是懂了，那具体的题目我们应该怎么样去计算呢？遇到周期怎么样去算？你怎么样能够区分是求周期还是求对称呢？我们一起来看几个例子。 若 f a 加 x 等于 f b 加 x， 若 f a 加 x 等于 f b 减 x， 若 f a 加 x 等于负的 f b 减 x， 那 这个时候我们要求什么呢？对于这个来说，我们首先看自变量的系数，自变量系数什么时候，我们就来看一下他让我们求了什么，这个是不是求周期啊？ 相反哦，相反，我们求对称，但是我们说了，对称有两个，如果是自变量的系数相反，求对称函数值的系数相同，那么是求对称轴吧， 那这一个是不是也是求对称，求对称中心吧， 对吧？那这应该怎么求呢？我们说要找出 f a 加上一个 x 等于 f t 加 f x 等于 f x 吧，对吧？这个时候我们要令 x 等于另外一个变量，令 x 等于 x 减 a， 这个时候我们就可以得到 f x 是 不是等于 f b 加上 x 减 a 啊？所以这个时候我们就可以求出来它的周期等于 b 减 a 了。当然你令 x 等于 x 减 b， 是 不是也可以求出来？那 t 是 不等于 b 减 a 的？ 绝对只求两种的。那第二个让你求对称轴的时候，怎么去求 对称轴？ x 对， 直接是等于括号里面的相加，等于二分之 a 加 b， 对 称中心也是二分之 a 加 b， 括号里面相加，然后函数值相加除以二结束。 那么在实际的题目当中，我们再一起来应用看看。第一道题目，减，因为 f s 等于 f x 减四，所以我们说 f x 加 t 等于 f x， 又因为 f x 减四等于 f x， 所以 现在 t 是 不等于四了，周期为四，也就是四是一个循环，所以 f 二零二三是不等于 f， 括号四乘以五百零五加上三了，对吗？ 所以它就是等于 f 三的刚好，因为当 s 大 于等于零小于四时，它的解析式是等于 x 加三，根号下的，所以 f 二零二三等于 f 三，就等于根号下六结束。好，我们一起来看一下第二道题目， 一样的，给定一个式子，给定一个小区间，让你求大的，其实就是想通过周期的转换吧，我们来看一下它的自变量系数是不是相同，所以我们直接求周期就好了。那怎么样求呢？我们说另 x 等于另外一个变量吧，因为 f s 等于 f s 加四分之一，所以宁 x 等于 x 加四，所以原式就变成 f x 加四等于 f x 加八，括号分之一吧。又因为 f 括号 x 加四，是等于 f x 分 之一吧，通过这个去化解，对吧？所以 f x 分 之一等于 f x 加八分之一吧，所以 f x 等于 f x 加八，所以 t 是 不是等于八呀？好，那周期求完之后， f 二零二三是不是就等于 f 八？乘以一个二八十六是五八四十二八十六加七呀，对吗？那现在就等于 f 七了， f 七， f 七是不等于 f 三分之一啊？通过这个式子吧，对不对？ f 三分之一三又是在这个区间内，就等于直接带进去 四分之一，结束吧。好，我们看第三题，第三题就相对于说更复杂一些，因为人家让你求的是求和，现在给定一个奇函数，然后给定一个设式子，这个式子让我们求的是什么呢？我们发现自变量的系数它是相反的，是不求对称呢，求对称什么呢？哦，我发现它的函数值系数是相同的，所以求对称轴了吧。好，因为 f 一 减 x 等于 f 一 加 x， 所以 f x 的 对称轴为为括号内相加除以二吧，是不是为 x 等于一啊，对吧？那这个时候我们发现 g 函数，一个 g 函数的对称中心是零点，然后它又是关于一对称， 我们说给定一个对称中心和一个和一个对称轴，那么它的周期是多少呢？我们可以发现一下，来，随便画一条草图，在草尾上画一下草图， 帮助我们去分析，若零到一之间的图像是这样子的，那又关于一对称，所以是不是应该这样躺下来，对吗？又因为关于圆点对称，所以它是不是要成这样子， 对吗？所以它的整个周期应该是 t。 又因为 f x 为奇函数，所以 f s 的 周期是等于多少？等于四，对吗？所以人家让你求 f 二零二三，我就要看有多少个四吧，对吧？好， f 一 是等于多少的？ f 一 等于二， f 二呢？ f 二是不等于大于？这个式子里面去， f 二是不等于 f 零呢？那 f 零又等于多少呢？因为它是 r 上的奇函数，是不是等于零呢？ f 三等于多少呢？ f 三是不等于 f 负一啊？ f 负一，又因为它的奇函数是不等于 f 一 啊，对吧？负的 f 一 吧等于负二吧，那 f 四又等于多少呢？ f 四是不是等于 f 零了？因为周期为四吧，就等于零了，所以这个时候我会发现，所以 f 一 加上 f 二，加上 f 三，加上 f 四，是不是等于零了？那么人家让我们求到 f 二零二三加这么多，那我就看 f 二零二三有多少个四吧。那是等于 f 四乘以 五零五加三，所以这个时候 f 一 加 f 二加 f 三加上 f 二零二三， 就等于五百零五个 f 一 加 f 二加 f 三加 f 四吧。结束了没有？没有结束还要加上这个三呢？三是不是 f 一 加上 f 二加上 f 三了，所以他最终的结果这一串是不等于零了，那就等于 f 一 加上 f 二加上 f 三吧，那他就等于等于零了吧，所以他的结果为零。好，希望今天的视频对大家有一些帮助，如果大家还有不懂得，欢迎大家留言，然后那今天的视频就到这里，再见。

同学们好，今天这节课是三角恒等变换的知识精讲课，那本节课的主要知识点有两角和以差的公式、背角公式、几何和差与和差化积以及两个推论，万能公式和辅助角公式。 我会逐一给大家进行公式的证明，并揭示公式之间的内在联系。 首先看第一部分叫两角和以差的公式。我们来看 cosine alpha 减 betta。 我 们在单位圆里面证明，假设 o a 所在射线逆时针旋转到 o p 一 所在射线得到了角 alpha， 那 o a 所在射线逆时针旋转到 o a 一 所在射线形成了角 betta。 那角 a e o p 一 就是角阿尔法和角贝塔的差值就是阿尔减贝塔。那我再过 o 点做一条射线， o p， 我 让角 a o p 也等于阿尔减贝塔。然后我连接 a p 和 a e p 一 这两条线，那么 o a 就等于 o p 等于 o a 一 等于 o p 一， 它们都是圆的半径， 那角 a o p 是 等于角 a e o p 一 的，它们都等于 r f 减 b t。 那 由此我就能得到三角形 a o p 全等于三角形 a e o p e 那 因此 a p 的 长度 就等于 a e p e 的 长度。我们来看一下 a p， a e p e 这四个点的坐标， 那 a 点坐标就是一零，那 p 点坐标就是 cosine alpha 减 beta。 cosine alpha 减 beta， 那 a 一 点的坐标就是 cosine beta sine beta， 那 p 一 点的坐标就是 cosine alpha sign。 阿尔法，那由两点间的距离公式我能知道， a p 的 距离就等于根号一减 cosine 括号， alpha 减 beta， 它的平方。再加上 cosine alpha 减 beta， 它的平方，那 a e p e 的 长度就是等于 根号 cosine beta 减 cosine alpha 括号的平方，再加上 signify 减 signify 括号的平方。那两边平方之后再去括号，我就得到一减二倍 cosine 符号减 bet 加上 cosine 符号减 bet 的 平方，再加上 signify 减 bet 的 平方，等于 cosine beta 平方减二倍 cosine beta cosine alpha 加上 cosine alpha 的 平方，再加上 cosine beta 平方减二倍 cosine beta cosine alpha 加上 cosine alpha 的 平方。那整理一下，我就能得到 cosine 括号 alpha 减 beta， 它是等于 cosine alpha 乘以 cosine beta 加上 cosine alpha 乘以 cosine beta 的。 那这个公式就叫做两角叉的余弦公式。那我们把 cosine 括号 alpha 减 beta 减记为一个大写的 c， 然后在 c 的 右下角写小括号 alpha 减 beta。 知道了 cause are in alpha 减 beta 之后，我们再来看 cause are in alpha 加 beta。 我 们有两种方法可以得到 cause are in alpha 加 beta 的 公式。第一种方法就是和证明 cause are in alpha 减 beta 一 样，用单位元的方法去证明。 那在这里呢，我更想用另外一种方法，就是用角的拼错的方法，简称凑角，因为角的拼错是这一节，甚至可以说是整个三角函数这一章最重要的方法之一。 那我们来看怎么拼错。 cosine alpha 加 beta 是 等于 cosine alpha 减掉负 beta 的， 我们把负 beta 视为一个整体，它就相当于 cos are in alpha 减 beta 这个公式里面的 beta。 那 因此根据 cos are in alpha 减 beta 的 公式，我们就能得到它等于 cos are in alpha 乘以 cos are in beta 加上 sine alpha 乘以 sine 负 beta 等于 cosine alpha cosine beta 减掉 cosine alpha 乘以 cosine beta。 那 这就是两角和的余弦公式。我们把 cosine alpha 加 beta 减记成一个大写的 c c 的 右下角写括号 alpha 加 beta。 我们接着看两角和以叉的正弦公式，对于 sine alpha 减 byta 来说，它是等于 cosine 二分之 pi 减掉括号 alpha 减 byta 的， 这是诱导公式，然后我们再重新组合一下，等于 cosine。 我们把二分之 pi 减 alpha 组合在一起，然后再加上 beta， 那 就等于 cosine 二分之 pi 减 alpha 乘以 cosine beta 减掉 sine。 二分之 pi 减 alpha 乘以 sine beta 等于 sine alpha 乘以 cosine beta 减 cosine alpha 乘以 sine beta。 我 们这里用的也是凑脚的方法， 那对于 sine alpha 加 beta 同样的思路，它是等于 cosine 二分之 pi 减括号 alpha 加 beta 的， 那我们再重新组合一下，它等于 cosine。 我 们把二分之 pi 减阿法组合在一起，再减掉一个 bet， 等于 cosine 二分之 pi 减阿法乘以 cosine bet 加上 sine。 二分之 pi 减阿法乘以 sine bet 等于 sin alpha 乘以 cosine beta 加上 cosine alpha 乘以 sine beta。 当然，这里还有另外一个思路， sine alpha 加 beta， 我 可以把它看成 sine alpha 减负 beta。 然后用刚刚证明的 sine alpha 减 beta 这个公式来证明，那就等于 sine alpha cosine f beta 减掉 cosine alpha sine f beta 就 等于 sine alpha cosine beta 加上 cosine alpha， sine beta。 这两种凑脚的方式都可以。好，那这里就是两角和与差的正弦公式，那对于三引阿尔减 bet， 我 们减记作一个大小的 s s 的 右下角写个括号阿尔减 bet。 那 三引阿尔加 bet， 我 们减记作一个大小的 s s 的 右下角写阿尔加 bet。 那接下来我们看两角和以差的正切公式，对于弹性的 alpha 减 beta， 它是等于 sine alpha 减 beta 除以 cosine alpha 减 beta 等于 sin alpha 乘以 cosine beta 减掉 cosine alpha 乘以 cosine beta。 比上 cosine alpha 乘以 cosine beta 加上 sine alpha 乘以 sine beta。 然后我分子分母同时除以 cosine alpha 乘以 cosine beta 这个整体，那分子除以 cosine alpha， cosine beta 这个整体分母也除以 cosine alpha cosine beta 这个整体， 那就等于 tanine 的 alpha 减 tanine 的 beta 比上一加 tanine 的 alpha 乘以 tanine 的 beta， 那 tanning 的 alpha 加 beta 就 等于 tanning 的 alpha 减掉负 beta 等于 tanning 的 alpha 减掉 tanning 的 负 beta 比上一加弹力的阿尔法乘以弹力的负百塔等于弹力的阿尔法加上弹力的百塔比上一减掉弹力的阿尔法乘以弹力的百塔。 那弹性的 alpha 减 beta， 我 们就减记一个大写的 t t 的 右下角写括号 alpha 减 beta， 那 弹性的 alpha 加 beta， 我 就减记一个大写的 t t 的 右下角写括号， alpha 加 beta。 在使用两角和以叉的正切公式的时候，我们一定要注意，我们要使每一个弹定的都有意义，就是弹定纳法要有意义，弹定的 betta 要有意义，弹定纳法减 betta 要有意义，弹定纳法加 betta 也要有意义。 那接下来我们把我们刚刚所证明的两角和与差的正弦与弦正切公式汇总在一起，我们看一下它们的规律。对于两角和与差的正弦公式来说， 等式右边的两项都是一名相乘的类型，就是 sign 乘以 cosine 的 类型。等式右边第一项的 signalfa 在 第二项就是 cosinealfa， 第一项的 cosine betta 在 第二项就是 sign betta。 三角函数名称是调换的等号左边的 sign alpha 加 beta， alpha 和 beta 之间是加号，那等号右边 sign alpha， cosine beta 和 cosine alpha sign beta 这两项之间也是加号，它俩是同号的， 那 sign alpha 减 beta 也是同样道理。一名调换同号， 那对于两角和与差的余弦公式来说，等式右边是同名相乘的类型，就是 cosine 乘以 cosine 和 sine 乘以 sine， 那三角函数名称也要调换等式右边第一项的 cosine alpha 在 第二项就是 sine alpha， 第一项的 cosine beta 在 第二项就是 sine beta。 等号左边的 cosine alpha 加 beta， alpha 和 beta 之间是加号， 但是在等式右边， cosine alpha， cosine beta 和 sine alpha sine beta 之间是减号，它俩是异号的，那 cosine alpha 减 beta 也是同样道理，同名相乘调换异号， 那 tanine alpha 加 tanine alpha 和 tanine alpha 减 beta 这两个公式大家记一记了，它的符号呢，有个规律就是分子同号，分母异号 等式左边，弹力的后面， alpha 和 beta 之间是加号，那等式右边，分子的弹力 alpha 和弹力的 beta 之间就是加号，但是分母的 e 和弹力 alpha 乘以弹力 beta 之间是减号，弹 力的 alpha 减 beta 也是同样的道理。记下这些特征啊，能帮助我们快速记住公式， 那接下来我们来看辅助角公式，我们用两角和与差的公式来推导辅助角公式，那对于 a 倍三 x 加上 b 倍 cos x， 如果我们想用两角和的正弦公式来变形的话，我们就要想办法把 a 啊 变成 cosine sita 的 形式，把 b 变成 sine sita 的 形式。在直角三角形中， cosine 是 邻边比上斜边， sine 是 对边比上斜边， 那我就以 a 和 b 为直角边来构建直角三角形。 两条直角边是 a 和 b， 那 斜边就是根号 a 平方加上 b 平方。假设 b 这条边对应的角是 c t， 那 么 cosine c t 就 等于 a 比上根号 a 平方加上 b 平方。 signit 就 等于 b 比上根号 a 平方加上 b 平方。 那么对于 a 被 sign x 加上 b 被 cosine x 来说，我把它先除以一个根号 a 平方加上 b 平方，我再乘上一个 根号 a 平方加上 b 平方，那这样变形的话，我们就能用到 cosine theta 和 sine theta 了，那它就等于根号 a 平方加上 b 平方乘以括号。 这里的 a 比上根号 a 平方加 b 平方就是 cosine theta， 那 就是 cosine theta 乘以 sine x 加上，那 b 比上根号 a 平方加 b 平方就是 sine theta， 那 就加上 sine theta 乘以 cosine x， 那就等于根号 a 平方加上 b 平方乘以 sine x 加 theta， 那 我们就可以利用辅助角公式把两项三角函数的和变成一项三角函数，这样可以方便我们去研究这个 a b 三 x 加 b b cosine x， 它的一些最值啊，单调性啊等等性质， 那我们这里就很容易看出它的最大值就是根号 a 平方加 b 平方。但是辅助角公式它的变形方式不是唯一的，如果我们令 a 这条边所对应的角是 c， 它的话， 那 sign c， 它就等于 a 比上根号 a 平方加上 b 平方， 那 cosine theta 就 等于 b 比上根号 a 平方加上 b 平方，那 a 倍三 x 加 b 倍 cosine x 就 等于根号 a 平方加上 b 平方乘以 a 倍 cosine x 加 b 倍 cosine x 比上 根号 a 平方加上 b 平方等于根号 a 平方加上 b 平方乘以 sin x sin x 加上 cosine x， cosine x 等于根号 a 平方加上 b 平方乘以 cosine x 减 c。 所以 同学们要根据题目的条件以及要我们求的值来灵活地选择辅助角公式的变形方式 来。我们看例题，利用辅助角公式化简。第一个三， x 加上 cosine x， 那这里 sine x 和 cosine x 前面的系数都是一，所以 sine x 加上 cosine x 就 等于根号一的平方加上一的平方， 再乘以 sine x 加上 cosine x 除以根号二 等于根号二乘以二分之根号二三 x 加上二分之根号二 cosine x 等于根号二乘以 cosine 四分之 pi 乘以 cosine x 加上 cosine 四分之 pi 乘以 cosine x 等于根号二被 cosine x 加四分之 pi， 好！第二题三， x 减根号三 cos 等于根号一的平方加上负根号三，括号的平方乘以三 x 减根号三倍。 cos 比上前面乘了一个二，所以这里要除以一个二 等于二乘以二分之一， sine x 减二分之根号三 cosine x 等于二倍 sin x 乘 cosine 三分之 pi 减 cosine x 乘以 sine 三分之 pi 等于二倍， sine x 减三分之 pi 好！下一题已知 alpha beta 都是锐角， cosine alpha 等于七分之一， cosine alpha 加 beta 等于负十四分之一。求 cosine beta， 那 我就先把这个 cosine alpha 加 beta 展开。 cosine 括号 alpha 加 beta 等于 cosine alpha， cosine beta 减 cosine alpha， cosine beta 等于负十四分之十一。 题目中已经告诉我了 cosine alpha 等于七分之一，而且 alpha 是 锐角， 所以我就能算出来， sine alpha 就 等于根号一减， cosine alpha 的 平方等于根号一减七分之一平方等于七分之四倍根号三， 所以七分之一乘以 cosine beta 减掉七分之四倍，根号三乘以 sine beta 等于负十四分之十一。 而且 cosine beta 的 平方加上 sine beta 的 平方是等于一的，那由这个方程组我就能解出来 cosine beta 等于二分之一。 这里由于篇幅的原因，我们又给大家展示解方程组的过程了解这个方程组的计算量是非常大的，而且容易出错，所以我更推荐大家用凑脚的方法来解这类题目，我们来看一下怎么凑 要我们求的是 cosine beta， cosine beta 是 等于 cosine alpha 加 beta 再减掉 alpha 的。 就等于 cosine alpha 加 beta 乘以 cosine alpha 加上 cosine alpha 加 beta 乘以 cosine alpha 等于负十四分之十一。 那 alpha， beta 都是锐角，所以 alpha 加 beta 肯定是第二象限的角，所以撒引 alpha 加 beta 就 等于根号 e 减 cosine alpha 加 beta 的 平方， 那就等于十四分之五倍。根号三。而 cosine alpha 是 等于七分之一的， alpha 是 锐角， 所以我就能解出来 sine alpha 等于根号一减， cosine alpha 的 平方等于七分之四倍。根号三， 那这个 cosine beta 就 等于负十四分之十一乘以七分之一，加上十四分之五倍根号三 乘以七分之四倍，根号三等于九十八分之四十九等于二分之一。 好，那这样计算，我们的计算量就小了很多。接下来我们看第二个知识点，二倍加公式 我们刚刚已经学了 sign alpha 加 beta， 如果我念 beta 等于 alpha， 那 我就能得到 sign alpha 加 alpha 等于 sign alpha cosine alpha 加上 cosine alpha， sign 阿尔法等于二倍 sign 阿尔法 cosine 阿尔法，那 sign 阿尔法加阿尔法就是等于 sign 阿尔法， 那 sign 阿尔法减记一个大写的 s， s 的 右下角写阿尔法。我们刚已经学了 cosine 阿尔法加 bet 两角和的余弦公式。 如果我们念 better 等于阿尔法，那我就得到 cos 在 阿尔法加阿尔法等于 cos 在 阿尔法乘以 cos 在 阿尔法减掉 siin 阿尔法乘以 siin 阿尔法 等于 cosine 阿尔法的平方减掉萨因阿尔法的平方，那 cosine 阿尔法加阿尔法就等于 cosine 阿尔法，那 cosine 阿尔法减记一个 c， 右下角写阿尔法， 那我们对 cosine r alpha 等于 cosine alpha 平方减 cosine alpha 平方进行进一步的变形，我们把 cosine alpha 平方变成一减 cosine alpha 的 平方， 那我就能得到 cosine r alpha 等于一减 sine alpha 平方。再减 sine alpha 平方等于一减二倍 sine alpha 的 平方。 或者我们也可以这样变形，我们把三幺二平方把它变成一减 cosine alpha 的 平方，那 cosine alpha 就 等于 cosine alpha 的 平方。减掉括号一减 cosine alpha 的 平方 等于二倍 cosine alpha 的 平方。减一，那由 tanning 的 alpha 加 beta 这个公式，我们令 beta 等于 alpha， 我 们就能得到 tanning 的 alpha 加 alpha 等于 弹力的阿法加上弹力的阿法比上一减弹力的阿法乘以弹力的阿法等于二倍弹力的阿法比上一减弹力的阿法的平方， 那弹性的 alpha 加 alpha 就 等于弹性的 r alpha， 那 弹性的 r alpha 我 们减记记作一个大写的 t， t 的 右下角写 r alpha。 刚刚我们证明的这几个公式啊，都是一个角的两倍，它的正弦、余弦和正切，那这就叫二倍角公式。我们通常把 r 字省略，简称倍角公式。 那背角公式啊，有很多变形，比如说由三幺 r 法等于二倍三幺 r 乘以 cosine r 法，我们就能得到 cosine r 法等于 sine r 法比上二倍 sine r 法，那在这些变形当中，最重要的两个变形，一个叫深密降角，另一个叫降密深角。 由 cosine r alpha 等于一减二倍三幺二平方，我们就能得到一减 cosine r alpha 等于二倍三幺二平方。 由 cosine r alpha 等于二倍 cosine r alpha 平方。减一，我们就能得到一加上 cosine r alpha 等于二倍 cosine r alpha 的 平方。同学们看这两个式子， 等号左边的 cosine 都是一次的，而等号右边的 cosine 和 cosine 都是二次的。次数升高了，那就是升密了，但升密的同时，角是降了的，由阿尔法变成了阿尔法， 这就是生密降角，那由一减 cosine r alpha 等于二倍 cosine r alpha 平方。我们把二倍从等号的右边除到等号的左边， 那我们就能得到 sine alpha 平方等于一减 cosine r alpha 除以二， 那由一加 cosine r alpha 等于二倍 cosine r alpha 的 平方。我们把等号右边的 r 除到等号左边，我们就能得到 cosine alpha 的 平方等于一加 cosine alpha 除以二， 那这两个式子等号的左边 sine 和 cosine， 它的次数都是二次的，而等号的右边 cosine 是 依次的，那就是降密。 降密的同时，角升高了二 alpha， 这就是降幂乘角，那把 sine alpha 平方和 cosine alpha 平方相除，我们就能得到 tan alpha 平方等于一减 cosine alpha 比上一加 cosine alpha 那在降幂乘角的三个公式里面，如果我令 alpha 等于二分之 c， 那 我就得到了对角公式的另一种变形来，我们看 令 alpha 等于二分之 c， 它，我们就可以得到三二分之 c 的 平方等于二分之一减 cosine c 它 cosine 二分之 c 的 平方等于二分之一加 cosine c， 它的二分之 c 大 平方等于一减 cosine c 它比上一加 cosine c 它。 那这几个公式啊，其实就是我们刚刚讲的降密深角。但是 tanning 的 alpha theta 还有一个比较特殊的， tanning 的 alpha theta 还等于 sine theta 比上一加 cosine theta 等于一减 cosine theta 比上 sine theta 角度深了，由 alpha theta theta 变成了 theta， 但是次数没有变化，左边的 tanning 和右边的 sine 和 cosine 都是依次 来，我们看这公式怎么证明排列的。二分之四等于 sign。 二分之四比上 cosine 二分之四 分子分母同乘以二倍 cosine 二分之四等于 cosine 二分之四角乘以二倍 cosine 二分之四角 分母是二倍 cosine 二分之四的平方， 那就等于 sine sine 比上分母的二倍 cosine 二分之四平方就等于一加 cosine sine。 为什么？因为公式在这里， 那 sine theta 平方是等于一减 cosine theta 的 平方，所以就是 sine theta 乘以 sine theta 等于一加 cosine theta 乘以一减 cosine theta。 那把一加 cosine theta 从右边除过去，除到左边，再把左边的 sine theta 除一个除到右边去，那我们就能得到 sine theta 比上一加 cosine theta 等于一减 cosine theta 比上 sine theta， 那 我们刚刚又证明了 sine theta 比上一加 cosine theta 是 等于 tan 的 二分之 theta 的 好，我们就证明完成了。那这四个公式都叫半角公式，那接下来我们来看被角公式的另一种变形，叫万能公式。 sine theta 等于二倍 sine 或者 theta 乘以 cosine theta， 我把它除以一个 sine 二分之四的平方加上 cosine 二分之四的平方，然后我分子分母再同时除以 cosine 二分之四的平方， 那它就等于二倍 tanine 的 二分之四的平方加一， 那 cosine theta 等于 cosine 二分之四的平方减 sine 二分之四的平方，我把它除以 cosine 二分之四的平方加上 sine 二分之四的平方， 然后分子分母再同时除以 cosine 二分之 c 的 平方，那它就等于一减 tanine 的 二分之 c 的 平方。比上一加 tanine 的 二分之 c 的 平方 好，那 tanine 的 c 这个公式我们就不用动了，它就是二角角公式里面，我令 r， f 等于 c， t 就 可以得到了， 那这三个公式就叫万能公式。有了万能公式，如果我再令 tanning 的 二分之 theta 等于 t 的 话， 那就是换元，那 tanning theta， tanning theta 都可以表示成跟 t 相关的一个式子或者函数，这样能方便我们进行下一步的运算。 我们看例题，已知角 alpha 为锐角， cosine alpha 等于四分之一加根号五。求 sine 二分之 alpha， 那 我们由半角公式 sine 二分之 alpha 的 平方等于二分之一减 cosine alpha 等于二分之一减四分之一加根号五等于 八分之三减根号五，那 alpha 为锐角，所以二分之 alpha 肯定也是锐角， 所以 sine 二分之 alpha 就 等于根号八分之三减根号五 等于根号十六分之六减二倍，根号五等于根号十六分之。 我把六拆成五加一，五减二倍根号五加上一等于根号十六分之。 根号五减一。括号平方等于四分之，根号五减一。 接下来我们看第三个知识点，积化和差与和差化积。我们来看 sin alpha 乘以 cosine beta。 我们刚已经学了两角和与差的正弦公式，就是 sine alpha 加 beta 和 sine alpha 减 beta。 如果我把这两个公式左边加左边，右边加右边，那我就可以把 cosine alpha， sine beta 给消掉了。来，我们看 萨因阿尔法加贝特加上萨因阿尔法减贝特等于二倍萨因阿尔法 cosine 贝特。所以萨因阿尔法 cosine 贝特就等于二分之一。 中国后萨因阿尔法加贝特加上萨因阿尔法减贝特。 那这样我们就把 sine alpha 和 cosine beta 这两个三角函数的积转化成了两个三角函数和的形式，这就叫即化合。 我们接着来看 cosine alpha 乘以 sine beta。 我 们把 sine alpha 加 beta 和 sine alpha 减 beta。 这两个式子左边减左边，右边那 sine alpha 乘以 cosine beta 就 消掉了。我们来看 萨因阿尔法加贝特减萨因阿尔法减贝特等于二倍。 cosine 阿尔法 cosine 贝特。 所以 cosine 阿尔法乘以萨因贝特等于二分之一。中国后萨因阿尔法加贝特减掉，萨因阿尔法减贝特。 这就是 cosine alpha 和 cosine beta 的 积化成了两个三角函数的差。 我们接着来看 cosine alpha 乘以 cosine beta 我 们把 cosine alpha 加 beta 和 cosine alpha 减 beta 这两个公式左边加左边，右边加右边，那 cosine alpha 乘以 cosine beta 就 消掉了我们来看 cosine alpha 加 beta 加上 cosine alpha 减 beta 等于二倍 cosine alpha cosine beta。 所以 cosine alpha cosine beta 就 等于二分之一。中国后 cosine alpha 加 beta 加上 cosine alpha 减 beta， 那我们就把 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔化成了两个 cosine 的 和。 接着来看 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔我们把 cosine alpha 加贝塔和 cosine alpha 减贝塔，左边减左边，右边减右边，那 cosine alpha 乘以 cosine 贝塔就消掉了。 我们来看 cosine 阿法加贝塔减掉 cosine 阿法减贝塔等于负二倍 cosine 阿法 cosine 贝塔 所以 cosine 阿法乘以 cosine 贝塔等于负二分之一倍。中国后 cosine 阿法加贝塔减掉 cosine 阿法减贝塔。 那这里我们就把 sine alpha 乘以 sine bata 化成了两个 cosine 的 差值。 刚刚我们看的四个式子都是把三角函数的极化成三角函数的和或者差。那接下来我们就把三角函数的和或者差化成三角函数的极。 我们先来看 sine alpha 加 sine beta 我 们刚刚已经证明了 sine alpha 乘以 cosine beta 等于二分之一倍。括号， sine alpha 加 beta 加上 sine alpha 减 beta 那 如果我令这个 alpha 加 beta 等于 c， 它 alpha 减 beta 等于 five， 那我就能解出来 alpha 等于二分之四加 five， beta 等于二分之四减 five。 然后我再把 alpha beta 带入这个 sign alpha 乘以 cosine beta 这个公式中，我就得到了 sine 二分之四加 five 乘以 cosine 二分之四减 five 等于二分之一 sign sign 加上 sign five， 也就是 sign sign 加上 sign five 等于二倍 sign 二分之 sign 加 five 乘以 cosine 二分之 sit 减 five 我 这里是用 sit 和 five 来表示的，那你如果看的别类的话，你就换成 a 法和 beta 字母表示不会影响公式的成立， 那通过这个公式，我们就可以把两个 sine 的 和转化成 sine 和 cosine 的 积，这就是和化积。 我们再来看 sine alpha 减 sine beta， 我 们还是令 alpha 加 beta 等于 ceta alpha 减 beta 等于 five， 那 我们得到 alpha 等于二分之 ceta 加 five beta 等于二分之 ceta 减 five 我 们把 alpha 和 beta 代入 cosine alpha 乘以 sine beta 这公式中我们就能得到 cosine 二分之四加 five 乘以 sine 二分之四减 five 等于二分之一 sine sine 减 sine five， 也就是 sine theta 减 sine phi 等于二倍 cosine 二分之 theta 加 phi 乘以 sine 二分之 theta 减 phi。 那 通过这个公式，我们就可以把两个 sine 的 差化成 sine 和 cosine 的 积。 接着看 cosine alpha 加 cosine beta， 我 们还是令 alpha 加 beta 等于 theta。 令 alpha 减 beta 等于 five， 我 们得到 alpha 等于二分之 theta 加 five， theta 等于二分之 theta 减 five， 我 们把 alpha beta 代入 cosine alpha 乘以 cosine beta 这公式中我们就能得到 cosine 二分之四加 five 乘以 cosine 二分之四减 five 等于二分之一括号 cosine theta 加上 cosine five， 也就是 cosine theta 加上 cosine phi 等于二倍 cosine 二分之 theta 加 phi 乘以 cosine 二分之 theta 减 phi。 好， 下一个看 cosine alpha 减 cosine beta， 我 们还是令 alpha 加 beta 等于 theta。 令 alpha 减 beta 等于 five， 那 alpha 等于二分之 theta 加 five， theta 等于二分之 theta 减 phi。 我们把 alpha beta 带入 si in alpha 乘以 si in beta 这个公式中，我们就能得到 si in 二分之四加 five 乘以 si in 二分之四减 five 等于负二分之一。括号， cosine theta 减 cosine phi， 也就是 cosine theta 减 cosine phi 等于负二倍 cosine 二分之 theta 加 phi 乘以 cosine 二分之 theta 减 phi。 好， 同学们，我们把极化和差和和差化积八个公式列在一起，我们来做个比较。 基化和差和和差化基的公式是两两一组，相互对应的。 sine 和 cosine 的 基要化成和的形式肯定是两个 sine 的 和或者差。 同样的两个 sine 的 和或者差要化成基的形式的话，肯定是 sine 乘以 cosine 类型的。 那两个 cosine 的 基要化成核的形式的话，就是两个 cosine 的 核。那同样的两个 cosine 的 核要化成基的形式的话，也是两个 cosine 的 基， 而两个 cosine 的 基化成核叉的形式的话，是两个 cosine 的 叉。 但是同学们要注意，这里 sine alpha 乘以 sine 贝塔右边它的系数是负二分之一。为什么要用负二分之一？因为我们是为了确保右边角度它的一致性。 右边第一项总是 alpha 加 beta， 右边第二项总是 alpha 减 beta， 方便我们记忆。 同样的 cosine alpha 减 cosine beta， 要把 cosine 的 叉化成基的形式的话，那就是两个 sine 的 基。 大家注意，两个 sine 的 积前面也是一个负号，为什么呢？也是为了保证角度的一致性，方便记忆。公式。右边第一项都是 alpha 加 beta， 右边第二项都是 alpha 减 beta。 来我们看看例题，已知 sine alpha 加 beta 等于二分之一， sine alpha 减 beta 等于三分之一。求证 tan 的 alpha 等于五倍 tan 等于 tan。 已知告诉你的是 sine， 而要你求证的是 tan 的， 那我们先把结论中的 tan 的 切划弦，看一下要我们证明的到底是什么。 它念的阿法就是萨因阿法除以 cosine 阿法等于五倍。它念的贝塔就是萨因贝塔除以 cosine 贝塔， 那变形一下就是萨因阿法乘以 cosine 贝塔等于五倍，萨因贝塔乘以 cosine 阿法。那我们就考虑用积话和差的形式 来证明 sine alpha。 cosine beta 是 等于二分之一中括号 sine cosine 类型的积是化成两个 sine 的 和， 那就等于二分之一中括号 sine alpha 加 beta 加上 sine alpha 减 beta 等于二分之一乘以括号二分之一加上三分之一等于十二分之五。而 cosine alpha， sine beta 就 等于二分之一。 sine alpha 加 beta 减掉 sine alpha 减 beta 等于二分之一，乘以二分之一减三分之一等于十二分之一。 所以 sine f 乘以 cosine beta 等于五倍， cosine f 乘以 sine beta。 那把 cosine alpha 除到左边，把 cosine beta 除到右边，我们就能得到 tanine 的 alpha 等于五倍 tanine 的 beta。 好 证明完成， 那接下来我把三角横点变换，所有的公式汇总在一起，我们来看一下公式之间的关系。 两角和以叉的公式是所有公式的基础，那在两角和以叉的公式中，对于 sin alpha 加 beta， cosine alpha 加 beta 以及 tanne alpha 加 beta， 如果我令 tanne 等于 alpha 的 话， 我就得到的是背角公式，就是 tanne alpha， cosine alpha 和 tanne alpha 它们三个的公式。 对于 cosine alpha 的 公式，如果我令 alpha 等于二分之 c， 它我就得到了半角公式就是 cosine alpha 分 之 c 大 平方 cosine alpha 分 之 c 大 平方和 tanning 的 二分之 c 大 平方。 这三个公式都是降密阔角的，但是半角公式还有个比较特殊的， tanine 的 二分之 c 等于一减 cosine c 大 比上 tanine c 大 角度变成 r 倍扩角了，但是次数没有变。 那对于倍角公式，如果我令 alpha 等于二分之四，它同时分子分母同时除以 sine 二分之四，它的平方加上 cosine 二分之四，它的平方 就是除以一，那我就得到了万能公式。万能公式的用处就是用 tanthan 分 之 theta 来表示 tanthan theta 和 cosine theta 以及 tanthan theta。 那 g 化和差公式是由两角和与差的正弦余弦公式通过加减肖像解方程组的方法得到的。得到了 g 化和差的公式之后， 再念 alpha 加 beta 等于 theta， alpha 减 beta 等于 phi， 那 就可以解出来 alpha 等于二分之 theta 加 phi， beta 等于二分之 theta 减 phi， 然后再画圆，就可以得到和差化积的公式。 所以计划和差的公式和和差化积的公式总是两两对应 好。这就是本节所有的公式，它们之间的联系，那你头脑中只要有这个脉络在，那本节的知识框架就搭建起来了。 好，同学们，这节课的内容我们就讲到这里，我们下节课再见。

刚学得了，我们来看这一题，函数 m x 等于三 x， 加两倍的绝对值，三 x x 属于零到二派的 b 之间的图像与直线 y 等于 k， 有 且仅有两个不同的交点，求 k 的 距离范围。 那这题我们看，首先呢，它给我们的这个函数 find f x， 它让我们看见这函数绝对值有点麻烦，那我们可以把它重新构造一下，也不是说重新构造，我们呢把它分成两类，嗯， 一类是三 x， 大 一点零的时候，那就是三倍的三 x， 当然由于三 x 是 要大一点零的，所以呢，我们就有 x 是 要 可以等于零，然后到 pi， 并且也可以等于 pi 这样的，然后呢，当三 x 是 小于零的时候，那就是负三， 那这就是 x 属于 pi 至二 pi， 二 pi 可以 取到，但 pi 不 能取到，是这样，所以呢，那我们可以画一个图 让我看。 那首先呢，先画这一段，那就是大概是这样， 这里就是 high， 然后是 full size， 那 这里的话也是隆起来的，只不过会更小一点， 那就是这样，所以呢，让我们观察到，这个时候，这个 y 点 k 尤其仅有和这个 y 点 k 尤其仅有两个不同的交点，那就是大概要取到这个范围， 这个范围它是可以取到两个交点的，不，我们只得到了 k 的 取范围， k 属于这个点呢，是三， 并且呢一和三个不能取到，如果取到一的话，那就是三个焦点，如果取到三的话，那就是只有一个焦点，那所以 e， d， a， d 讲完了，斜列型呢？首先我们可以把这个数字改一下，分成两段，变成分段来数， 这样，然后根据这个分段函数，这个我们就会更清晰的直观的看出来，从而能够画出一个直观图变成这样。那这样的话我们就可以很明显看出 k 在 哪一个取的范围，那它就是一到三，但一和三都不能取到的一个范围内，那这一讲呢？下个视频再见。

今天这节课我们看一下三角恒等变换的常考题型。单独看本节的话，常考题型就只有一种，就是三角函数的运算问题，那运算又包括化简、求值、证明三小类。 三角函数这一章基本上所有的问题都会涉及到运算，所以运算能力是解决本章问题所必须要具备的基础能力和基本技能。 在解决运算问题的过程中啊，我们首先要学会构造角，就是利用已知角和未知角的联系来凑角，在凑角的过程中，我们要有整体的思想。 举两个例子看一下，第一个例子，题目中给了我们 alpha 加 beta 和 beta， 让我们求 alpha， 那 我就把 alpha 加 beta 看作一个整体，然后 alpha 加 beta 减 beta 就 等于 alpha。 第二个例子，已知 alpha 减四分之 pi 和 beta 加四分之三 pi， 让我们求 alpha 加 beta， 那 我就把 alpha 减四分之 pi 和 beta 加四分之三 pi 加起来，就得到了 alpha 加 beta 加二分之 pi。 但是题目要我们求的是 alpha 加 beta， 所以 我要把 alpha 乘以到等式的左边，然后再结合右导公式来求结。 那解决预算问题，我们还要熟练运用公式，不仅仅是包含本节的恒等变换的公式，也包括我们之前学过的右导公式、同角三角函数基本公式等等。 那同时我们还需要掌握一些技能，比如说错误完全相反式，去根号去绝对值时候的符号判断一一的代换。三角函数名称的转换就是利用切化弦和弦化切，实现三角函数名称的统一， 以及生密降角，降密生角等等。总结一下，就是我们要从角度，从三角函数名称，从式子、结构三个方面去分析问题。 我们看题目，第一题是化简，一加 cosine alpha 加 cosine 二 alpha 加 cosine 三 alpha 比上 cosine 平方减 sine 二分之二的平方， 那一和 cosine 二 alpha 加在一起。由被角公式可以知道，它是等于二倍 cosine alpha 的 平方，再加上 cosine alpha 加上 cosine 三 alpha， 那 两个 cosine 的 和。我就想到和差化积， 那就加上二倍 cosine 二分之三 alpha 加上 alpha 乘以 cosine 二分之三 alpha 减 alpha 比上分母的第一项 cosine alpha 平方我先不动，因为我分子也有 cosine alpha 平方，说不定能约分， 那就 cosine alpha 平方减掉 cosine 二分之 alpha 平方，由半角公式可知，它等于 二分之一减 cosine alpha。 我 们都化成同名化成 cosine， 那 就等于二倍 cosine alpha 的 平方加上二倍 cosine 二 alpha 乘以 cosine alpha 比上二分之二倍 cosine alpha 的 平方减一加上 cosine alpha 等于四倍 cosine alpha 的 平方加上四倍 cosine alpha 乘以 cosine alpha 比上二倍 cosine alpha 的 平方减一，加上 cosine alpha 等于分子。我提出一个四倍 cosine alpha， 四倍 cosine alpha 乘以括号 cosine alpha 加上 cosine r alpha 比上分母的二倍 cosine 平方减一就是 cosine r alpha 再加上 cosine r alpha， 然后分子分母的 cosine alpha 加 cosine r alpha 就 约分约掉了，那就等于四倍 cosine alpha。 好， 我们是边化简边观察，然后调整我们的化简方向。好，下一题化简弹力的 alpha 乘以弹力的 r alpha 比上弹力的 r alpha 减弹力的 alpha 加上根号三倍括号三幺平方减。考三幺平方减二倍三幺括号 r r 减三分之一。排 好了，这道题有切有弦，我们切划弦，我们先不管正弦与弦的一部分，我们先看正切这一部分等于什么，那这一部分就等于弹力的 r 乘以弹力 r， r 是 二倍 弹性阿法比上一减弹性阿法的平方比上弹性阿法是二倍弹性阿法比上一减弹性阿法的平方，再减掉弹性的阿法， 再加上后面我先省略先不管等于那弹性。这个式子，我分子分母可以先约掉一个弹性 alpha， 这后面就是减一，然后我分子分母再同乘以一减弹性 alpha 平方， 那我就得到二倍弹性阿法比上二减掉。括号一减弹性阿法的平方，再加上后面我也是先省略先不管 等于二倍弹性阿法比上一加弹性阿法的平方，再加上省略等于二倍 sin alpha 除以 cosine alpha 比上一加上 cosine alpha 的 平方比上 cosine alpha 的 平方，再加上后面先省略 等于分子分母再同乘以 cosine alpha 平方，我就得到了二倍 cosine alpha cosine alpha 比上 cosine alpha 的 平方，加上 cosine alpha 的 平方，再加上省略 等于 sign r r 法，那我现在开始算后面了。那前面既然出现了 sign r r 法了，那后面我都往 r r 这个角去凑，那后面就是减掉根号三倍 cosine r r 法， 再减掉 r r cosine 三分之 pi 减掉 cosine r alpha cosine 三分之 pi 等于 cosine r alpha 减根号三倍 cosine r alpha 减二倍 sin r r 乘以二分之一减 cosine r r 乘以二分之根号三 等于 cosine r r 减根号三倍 cosine r r 减 cosine r r 加上根号三倍 cosine r r。 那三幺 f 减三幺 f 消掉了。负根号三口三幺 f， 根号三口三幺 f 消掉了，那就等于零。 好，下一题是求值。弹力的二十一度加弹力的三十九度加根号三倍。弹力的二十一度乘以弹力的三十九度，那这前面是二十一度和三十九度两个弹力的和，后面是二十一度三十九度两个弹力的积。我们就要想到公式， 弹性的 alpha 加 beta 等于弹性的 alpha 加上弹性的 beta 比上一减弹性的 alpha 乘以 弹性的 beta， 那 它的分子就是两个弹性的和分母就有两个弹性的积。 那我就让这个阿尔法等于二十一度，让这个白塔等于三十九度。弹力的二十一度加上三十九度，这个里面正好是六十度，是个特殊值。 等于 tanning 的 二十一度加上 tanning 的 三十九度，比上一减掉 tanning 的 二十一度乘以 tanning 的 三十九度， 二十一度加三十九度就是六十度。弹力的六十度是根号三。等于弹力的二十一度加上弹力的三十九度，比上一减掉弹力的二十一度乘以弹力的三十九度， 所以弹力的二十一度加上弹力的三十九度等于根号三减根号三倍。 tanning 的 二十一度乘以 tanning 的 三十九度，所以 tanning 的 二十一度加上 tanning 的 三十九度加上根号三倍。 tanning 的 二十一度乘以 tanning 的 三十九度，就等于根号三。好，这道题就是考你凑巧以及公式的运用。 好，下一题还是求值。题目中有切有弦，那我切划弦，我们来看一下它等于 括号。 sine 十度比上 cosine 十度减。根号三，我先不动，乘以 cosine 十度比上 sine 五十度， 那我把这个 cosine 十度乘到括号里面去，我就得到了 sine 十度减根号三乘以 cosine 十度比上 sine 五十度，那分子我就用辅助角公式把它画成一项三角函数，等于二倍 二分之一三十度减二分之根号三。 cosine 十度比上 cosine 五十度等于二乘以 cosine 十度乘以二分之一是 cosine 六十度， 减掉 cosine 十度乘以二分之根号三。是 cosine 六十度 比上 cosine 五十度等于二乘以分子是 cosine 括号十度减六十度，分母是 cosine 五十度 等于二乘以分子是 sine 负五十度， sine 负五十度是负， sine 五十度，分母是 sine 五十度，那就等于负二。 好，下一题，在三角形 a、 b、 c 中， sine a 加 b 等于三分之二， cosine b 等于负四分之一。求 cosine a， 那 我们先凑脚， cosine a 就 等于，那这道题很简单，它就是 cosine a 加 b 括号再减 b。 那题目中告诉我了， cosine b 等于负四分之一，所以 b 肯定是第二象限的角， 那 sine b 就 等于根号一减， cosine b 的 平方等于根号一减负四分之一的平方等于四分之根号十五 角， b 是 第二象限的 a、 b、 c 是 三角形的三个内角，所以 a 加 b 也是第二象限的，那 sign a 加 b 是等于三分之二的，所以 cosine a 加 b 就 等于负的根号一。减掉 sine a 加 b 的 平方等于负的 根号一。减掉三分之二的平方，等于负的三分之根号五。 所以 cosine a 等于 cosine a 加 b 减 b 就 等于 cosine a 加 b 乘以 cosine b。 加上 cosine a 加 b 乘以 cosine b 是 负三分之根号五 乘以 cosine b 是 负四分之一，加上 sine a 加 b 是 三分之二乘以 sine b 是 四分之。根号十五 等于十二分之根号五加上二倍根号十五。 好，下一题已知。 alpha 小 于四分之三 pi 大 于四分之 pi beta 小 于四分之 pi 大 于零，且 cosine 四分之 pi 减 alpha 等于五分之三 sine 四分之三 pi 加 beta 等于十三分之五。求 sine alpha 加 beta， 那我们要先把 alpha 加 beta 这个角给凑出来。题目中有一个负 alpha， 有 一个 beta， 那 我用 beta 减掉负 alpha 就 出来了。 alpha 加 beta 我 们来看 四分之三 pi 加上 beta 减掉四分之 pi 减 alpha 等于 alpha 加 beta 再加二分之 pi， 那 它两相减之后，除了 alpha 加 beta 之外，还有一个 alpha 值 pi， 那 我就要把 alpha 移向移到等号的左边。好，我们来看 sign alpha 加 beta 等于 sign 四分之三 pi 加上 beta 减掉四分之 pi 减 alpha 再减二分之 pi， 那 把这个括号四分之三 pi 加 beta 减掉括号四分之 pi 减 alpha 看作一个整体， 那就等于负 sign 二分之 pi 减 alpha 看作一个整体，那就等于负 sign 二分之 pi 减掉 四分之三 pi 加上 beta 减掉括号四分之 pi 减 alpha， 那 有诱导公式，我知道它等于负 cosine 括号四分之三 pi 加 beta 减掉括号四分之 pi 减 alpha， 那 再展开 等于负 cosine 四分之三 pi 加上 beta 乘以 cosine 四分之 pi 减阿尔法 减掉 si 四分之三 pi 加 beta 乘以 si 四分之 pi 减阿尔法。那题目的条件告诉我了， beta 是 小于四分之 pi 大 于零的， 所以我能得到四分之三 pi 加上 beta 叫小与 pi 大 于四分之三 pi， 所以 四分之三 pi 加 beta 是 在第二象限的，那题目中已经告诉我了 sign 四分之三 pi 加 beta 是 等于十三分之五的，那我就能求出来 cosign 四分之三 pi 加 beta 等于 food 根号一减 sign 四分之三 pi 加 beta 的 平方等于负的根号一减掉十三分之五的平方等于负十三分之十二。 那题目中告诉我 alpha 是 小于四分之三， pi 大 于四分之 pi 的， 所以负 alpha 就 要小于负四分之 pi 大 于负四分之三 pi， 那 我就能得到四分之 pi 减 alpha 要小于零大于负二分之 pi。 也就说四分之 pi 减 alpha 是 在第四象限的， 那 cosine 四分之 pi 减 alpha 等于五分之三，所以我能求出来 sine 四分之 pi 减 alpha 等于负 根号一减 cosine 四分之 pi 减 alpha 的 平方 等于负五分之四。所以 sin alpha 加 beta 就 等于负的 cosine 四分之三 pi 加 beta 是 负十三分之十二 乘以 cosine 四分之 pi 减 alpha 是 五分之三减掉 sine 四分之三， pi 加 beta 是 十三分之五乘以 sine 四分之 pi 减 alpha 是 负五分之四， 那就等于六十五分之五十六，好，这道题就是凑完角以后还要用右导公式进行变形。 好，下一题已知 sine alpha 减二 bet 等于七分之四倍 cosine 二 alpha 减 bet 等于负十四分之十一，且零小于 bet 小 于四分之 pi 小 于 alpha 小 于二分之 pi 求 alpha 加 bet， 好。这道题是给了三角函数的值，让我们求角度。那我们还是要先凑角，先把阿法加白塔凑出来。我用题目中给我们的阿法减白塔减掉阿法减二白塔， 我们来看，阿法减白塔减掉括号，阿法减二白塔 就等于 alpha 加 beta。 好， 我就把 alpha 加 beta 凑出来了。那题目中告诉我了， beta 是 大于零小于四分之 pi 的， alpha 是 大于四分之 pi 小 于二分之 pi 的， 所以 alpha 加 beta 就 要小于四分之三 pi 大 于大于四分之 pi， 这就说明啊， alpha 加 beta 有 可能是第一项线，也有可能是第二项线， 那让我求 alpha 加 beta 这个角度，那这个角有可能在第一项线，也有可能在第二项线，那我就优先选择 cosine， 因为我们求出 cosine alpha 加 beta 之后，如果它的值是正的，那 alpha 加 beta 就 在第一项线，如果它的值是负的，那 alpha 加 beta 就 在第二项线，它不会产生多个结，需要我们去判断。这个我们前面也讲过的这个技巧同样要掌握， 那 cosine alpha 加 bet 就 等于 cosine r alpha 减 bet 减掉。括号， alpha 减 bet 等于 cosine r alpha 减 beta 乘以 cosine alpha 减 r beta 加上 cosine r alpha 减 beta 乘以 cosine alpha 减 beta， 那 beta 是 大于零小于四分之 pi， 所以 负 beta 叫小于零大于负四分之 pi， 那 alpha 是 小于二分之 pi 大 于四分之 pi， 那 r alpha 叫小于 pi 大 于二分之 pi， 那我就能得到阿尔法减贝塔要小于 pi 大 于四分之 pi， 也就说阿尔法减贝塔有可能在第一项线，也有可能在第二项线。 但此时我们不需要去判断了，因为现在我们已经知道了 cosine 阿尔法减贝塔，而我们要求的是 sine 阿尔法减贝塔。 那三 in 在 第一项线和第二项线，它都是正的，那三 in 阿尔法减贝塔就等于根号一减掉 cosine 阿尔法减贝塔，它的平方 等于根号一减掉负十四分之十一，它的平方等于十四分之五倍。根号三， 那负 bet 是 小与零大于负四分之 pi 的， 那负 r bet 叫小与零，大于负二分之 pi， 那 r 又是小于二分之 pi 大 于四分之 pi 的。 所以 alpha 减二 beta 就 要小于二分之 pi 大 于负四分之 pi。 也就是说， alpha 减二 pi 有 可能是第四项线，也有可能是第一项线。那此时啊，我们要求的是 cos are in alpha 减二 beta， 那不管在第四项线还是在第一项线， cosine 总是正的。所以 cosine alpha 减二 betta 就 等于根号一减掉 sine alpha 减二 betta， 它的平方 等于根号一减掉七分之四倍。根号三的平方等于七分之一。 所以 cosine alpha 加 beta， 它就等于 cosine alpha 减 beta 是 负十四分之十一 乘以 cosine alpha 减二， beta 是 七分之一。再加上 cosine alpha 减 beta 是 十四分之五倍。根号三 再乘以 si in alpha 减二百，它是七分之四倍。根号三等于 九十八分之四十九，等于二分之一。 那 alpha 加 beta 肯定是第一象限的，所以 alpha 加 beta 就 等于三分之 pi。 只有唯一确定的值。 好，下一题让我们证明。 sine alpha 乘以 sine beta 等于 sine 二分之 alpha 加 beta 的 平方减掉 sine 二分之 alpha 减 beta 的 平方。 要我们求证这个式子左边简单，右边比较复杂，那我就从右向左证明，那右边就等于右边是个平方。差， 它等于 sign 二分之 alpha 加 beta 加上 sign 二分之 alpha 减 beta 乘以三英二分之阿尔法加贝塔减掉三英二分之阿尔法减贝塔。 我把这个二分之阿尔法加贝塔看成一个整体。把二分之阿尔法减贝塔看成一个整体， 那这两个音式就是两个 sign 的 和乘以两个 sign 的 差，那对每一个音式我就想到用和差化解， 那等于对于第一个式子，两个 sign 的 和化成积是 sign 乘以 cosine 类型，那就是 r 乘以 sign。 二分之 二分之 alpha 加 beta 加上二分之 alpha 减 beta 乘以 cosine 二分之二分之 alpha 加 beta 减掉二分之 alpha 减 beta， 那 对于第二个音式，两个 sine 的 差就是 cosine 乘 sine 类型的 乘以二倍 cosine 二分之二分之阿尔法加 betta 加上二分之阿尔法减 betta 乘以萨因 二分之二分之阿尔法加 betta 减掉二分之阿尔法减 betta， 那 整理一下，就是 r 倍撒英二分之阿尔法乘以 cosine 二分之贝特乘以 r 倍 cosine 二分之阿尔法乘以撒英二分之贝特。 然后再重新组合一下，把这个 a、 b c 幺分之 alpha， cosine 幺分之 alpha 组合在一起就是 cosine alpha 幺分之 beta 幺， b c 幺分之 beta 组合在一起就是 sign beta， 那 就是等于。左边好证明完成正 b。 本节课的例题我们就讲这么多，同学们在课后一定要大量的做题，大量的练习，我们下节课再见。

大家好，今天呢，我们来聊一聊高一函数的一个重难点。函数是数学的一个核心基础，很多同学觉得难，别担心，今天来帮你轻松去掌握。 首先呢，函数是什么？它是一种渗透关系，输入一个值，输出另一个值。 重难点第一点，定义域，它表示自变量的一个取值范围，比如 f， x 等于 x， 分 之一定义域就是 x 不 等于零，忽略掉它，咱们的计算肯定会出错。 难点难点二呢，是值域函数值的可能范围，求值域的时候结合图像或不等式。难点三，单调性判断增减，用导数或图像对比 真函数 x 越大， y 越大，减函数相反。难点四，奇偶性 图像对称圆点，偶函数 f 负 x 等于 f， x 对 称 y 轴， 这两者可千万不能混淆，这是一个大忌。比较容易出现的一个错误，就是忘记定义与限制，从而导致咱们答案错误。解法很简单，第一呢，要理解概念，多画图。比如说咱们举例说明一下， f， x 等于 x 的 平方是偶函数，定义域是全体实数值域 y 大 于等于零， 单调性 x 大 于零递增， x 小 于零减。多做练习就肯定能熟练学会了没有呃，评论区留言，有任何问题可以发到评论区，到时候杨老师帮你解答一下。

同学们好，今天我们来讲三角函数图像常考题型第二部分我们会讲第五种到第八种题型，也就是三角函数周期性对称性问题、三角函数基友性问题、三角函数零点问题、三角函数的综合应用。 我们先来看第五种题型，三角函数的周期性对称性问题。我们先来看周期性，从数的角度来看，周期性的定义就是对于定义域类的任意 x， x 和 x 加 t 的 函数值是相等的，那同学们要注意，这里的 x 要是定义域类的任意一个数， 那这里的 t 也不能等于零。那周期性反映在图像上，就是重复片段相应的重复点之间的最小距离， 那这里加上了最小两个字，那我这里指的就是最小正周期。我们来看一下三 x 图像， 那三 x 是 二 pi 长度的图像片段，不断地复制和延伸，那我在这里画了两个片段， a 点和 b 点是这两个片段相对应的重复点， 那 a 点到 b 点的距离就叫最小正周期，那最小正周期正好就是等于一个重复片段的长度 好。所以对于三 e 和 cosine 来说， t 等于 r， pi 除以 omega， 那 对于弹性的说， t 就 等于 pi 除以 omega， 那 这里 omega 都带了绝对值，表示正数。那再看对称性，对称性同学们画图看就知道了， 但我要强调的是，对称轴指的是直线，而对称中心指的是点。我们以 tanning x 为例，我们来看一下，对于 tanning x 来说，函数图像与 x 轴的每个交点， 以及渐近线与 x 轴的每个交点都是它的对称中心。但是 tiny x 是 没有对称轴的 好。我们来看题目。设 f x 定义为 r 最小正周期是二分之三 pi。 若 f x， 当 x 大 于等于负二分之 pi 小 于零的时候，它等于 cos x， 当 x 大 于等于零小于 pi 的 时候，它等于三 x。 让我们求 f 负四分之十五 pi 的 值。 负四分之十五 pi 既不在负二分之 pi 到零，也不在零到 pi 之间，那我们就要用周期性的数的定义，对自变量进行等价变形。 f 负四分之十五 pi， 它是等于 f 负四分之十五 pi 加上二分之三 pi 的 好，这就是周期性的数的定义，那它等于 f 负四分之九 pi， 那 负四分之九 pi 也不在负二分之 pi 到零和零到 pi 之间，那我们继续用周期性的数的定义， 那它等于 f 负四分之九 pi 加上二分之三 pi 等于 f 负四分之三 pi， 那 负四分之三 pi 仍然不在负二分之 pi 到零和零到 pi 之间，那我们继续用周期的数的定义， 那它就等于 f 负四分之三 pi 加上二分之三 pi， 那四分之三 pi 就 在零到 pi 之间了。所以我们把它往 f x 解析式里面带，它就是等于 sine， 四分之三 pi 等于 sine 拍减，四分之 pi 等于二分之根号二就是用诱导公式来求值。 好，下一题。设 y 等于 r 与函数 f x 等于 tangent omega x。 图像相交的相邻两点间的距离是四分之八，求 f 四分之八。 我们以 tangent x 为例，我们来看一下图象相交的相邻两点间的距离是什么意思。 我们假设 y a 等于二，与 tan x 相交的相邻两个点分别是 a 和 b 点， 那 a 点和 b 点之间的距离就是重复片段相应重复点之间的最小距离，那这就是最小正周期的图形的含义。 所以对于这道题，对于这个 f x 来说， f x 的 最小正周期 t 就 等于四分之 pi， 而最小正周期 t 是 等于 pi。 除以 omega 的 omega 是 大于零的啊，绝对值就不用带了，所以 omega 就 等于四， 所以 f x 就 等于 tenin 的 四 x， 那 f 四分之 pi 就 等于 tenin 的 四。乘以四分之 pi 等于 tenin 的 pi 等于零。好，这道题就是考察我们周期的图形的含义。 好，下一题。函数 f x 等于二倍的 tan 的 括号，三 x 加六分之 pi 加一的一个对准中心可以是 这里 f x。 解析式后面有个加一，那就是把二倍 tan 的 三 x 加六分之 pi， 整体向 y 轴正方向平移一个单位，上加下减， 那我们把三 x 加六分之 pi， 这个整体视为 z。 那 我们先看二倍 tanning z 的 图像。 tanning z 的 对称中心是函数图像与 x 轴的每一个交点，以及渐近线与 x 轴的每个交点。那 tanning z 前面的二倍对于对称中心是没有影响的。 那 r 倍 tan y， z， 它的对称中心就是二分之 k pi 零。那 f x 图像是把 r 倍 tan y， z 图像向 y 轴正方向平移一个单位， 那 a、 b、 c、 d 这些对称中心也会相应地向 y 轴正方向平移一个单位，就变成了 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇，那这些对称中心的纵坐标就是一。那 a、 b 两个选项我就排除了 那 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇，它们的红坐标和 a、 b、 c、 d 的 红坐标是一样的， 所以就是三 x 加六分之 pi 等于二分之 k pi， 所以 x 就 等于负十八分之 pi 加上六分之 k pi， 那 当 k 等于零的时候， x 就 等于负十八分之 pi。 所以 这道题选 d 好， 同学们要注意，这道题有一个上下平移。 好，下一题，函数 f x 等于绝对值 tan x， 它的对称轴方程是哪一个？我们先来画图，先画 tan x 图像， 由 tan x 图像到绝对值 tan x 图像怎么画？就是把 tan x 函数值为负的部分变成函数值为正的。 那怎么变呢？那我们就要把 tan x 函数图像在 x 轴下方的部分，沿着 x 轴翻折，翻到 x 轴上方，那 x 轴下方的部分我们就不要了， 那绝对值 tan x 图像就是图中标蓝的这些，那我们再来看它的对称轴， 那我们从图中可以看出来，绝对值 tan x， 它的对称轴就是 tan x 图像与 x 轴交点所在的竖线，以及原来的每一条渐近线。我们来把坐标标一下， 那我们很容易看出 f x 等于绝对值弹性 x， 它的对称轴方程就是 x 等于二分之 k pi， k 是 属于 z 的。 好，下一题，已知函数 f x 等于 cosine， 括号 omega x 减三分之 pi， omega 大 于零，它的图像关于直线 x 等于二分之 pi 对 称，求 omega 的 最小值。 我们把 omega x 减三分之 pi 看作一个整体，设为 z。 我 们来看一下 cosine z 的 图像， 那 cosine z 的 对称轴就是 k pi， 也就是 omega x 减三分之 pi 等于 k pi， 那我由这个式子解出来的 x 就是 f x 的 对称轴啊。题目中告诉我了， f x 对 称轴是 x 等于二分之 pi， 所以我把 x 等于二分之 pi 带进去，我就能得到 omega 乘以二分之 pi 减三分之 pi 等于 k， 所以 omega 就 等于三分之二。加上二 k， 那 k 是 属于 z 的， 那 omega 的 最小值就是 k 等于零的时候， omega 等于三分之二。 接下来我们看三角函数的奇偶性问题，那对于 y 等于 ab sine omega， x 加 f i 来说，如果 f i 等于 k pi， 那 这个函数化简之后就得到了正负 ab sine omega， x， 那它就是奇函数。那如果 phi 等于 kpi 加二分之 pi， 除了 kpi 之外，又多出来了二分之 pi， 那 既变偶不变， 那 y 等于 ab 三 omega x 加 phi 化简之后就得到了正负 a b cosine omega， x， 那 此时就是偶函数。 那对于 y 等于 a 倍 cosine omega， x 加 f 来说，如果 f i 等于 k pi， 那 它化简之后就得到正负 a 倍 cosine omega， x， 那 此时就是偶函数。那如果 f i 等于 k pi 加二分之 pi， 那 化简之后就得到正负 a b sine omega， x， 那 此时就是奇函数。 那对于 y 等于 a 被 tan 的 omega x 加 five 来说，如果 five 等于 k 拍，那 ten in 是 由 sine 除以 cosine 得到的，那 sine 此时是奇函数， cosine 此时是偶函数，所以 sine 除以 cosine 此时是奇函数。 那当 five 等于 k 拍加二分之 pi 的 时候， sine 此时是奇函数，那 sine 除以 cosine 此时还是奇函数。 那对于 y 等于 a b sine omega， x 加 pi 和 a b cosine omega， x 加 pi 和 a b tangent omega， x 加 pi 来说，如果 pi 既不等于 k pi， pi 也不等于 k pi 加二分之 pi， 那此时它们三个化简之后得到的都是非基非偶函数。因为它们化简之后啊，既得不到正负 a 倍三 in omega x， 也得不到正负 a 倍 cosine omega x。 好， 我们看题目。已知函数 f x 等于 m 倍 tan x 减 k 倍三 x 加二。若 f 三分之 pi 等于一，求 f 负三分之 pi， 那这就是已知 f x 求 f 负 x， 我 们先看下 f 负 x 等于什么啊？ f 负 x 等于 m 被 taning 的 负 x 减 k 被 taning 负 x 加上二。等于负 m 被 taning x 加上 k 被 tan x 加上二。 我们观察一下 f x 和 f 负 x， f x 里面有 m 被 tan x 减 k 被三 x， 那 f 负 x 里面有负 m 被 tan x 加 k 被三 x， 那 它俩是正好是相反的。 所以如果令 g x 等于 f x 减二等于 m 被 tan x 减 k 倍三 x， 那 么 g 负 x 就 等于 f 负 x 减二，就等于负 m 倍 tan x 加上 k 倍三 x， 所以 g x 就 等于负的记负 x， 所以 g x 就是 积函数。 那题目中告诉我们了， f 三分之 pi 等于一，那 g 三分之 pi 就 等于 f 三分之 pi 减二等于一，减二等于负一， 那既负三分之 pi 就 等于 f 负三分之 pi 减二，那既三分之 pi 等于负一，那既负三分之 pi 就 等于一， 所以 f 负三分之 pi 就 等于三。好，这道题主要考察就是构造一个 g x， 让 g x 具有奇偶性。 好，下一题已知 f x 等于 a 被三，引 omega x 加 five， a 大 于零， omega 是 零。大 pi 之间 pi 的 绝对值小于等于二分之 pi 是 定义在 r 上的奇函数，且当 x 等于二的时候， f x 取得最大值二，求 f 一 加 f 二加 f 三，一直加到 f 一 百它的值， 那这道题肯定是要找规律的。那 f x 是 定义在 r 上的奇函数，所以这个后面的 f i 肯定要等于 k pi， 因为只有 f i 等于 k pi， f x 化简之后才能得到正负 a 被 sine omega x 才是奇函数。 那题目中又告诉我了， five 的 绝对值要小于等于二分之二，所以 five 只能等于零。那 f x 的 最大值是二，所以 a 就 等于二， 所以 f x 就 等于二倍 sign omega x， 那 最大值是在 x 等于二的时候取到的，所以二倍 sign 二， omega 就 等于二， 所以 sine 二， omega 就 等于一。那结合 sine x 图像，我们知道这个二 omega 要等于二分之 pi， 加上二 k pi， k 属于 z， 而 omega 又是大于零，小于二分之 pi 的， 所以我就能解得 omega 等于四分之 pi， omega 等于四分之 pi， 那 f x 就 等于二倍 sign 四分之 pi x， 它的周期 t 就 等于二， pi 除以四分之 pi 等于八，那周期 t 等于八，我就以 f 一 加 f 二加到 f 八为一组， 因为 f 九是和 f 一 相等的。我们来看， f 一 加上 f 二加上省略加上 f 八， 我把它们作为一组，那 f 九就和 f 一 相等。 f 十和 f 二相等，加上 f 十六，它和 f 八是相等的， 那省略那最后一组八个数，就是 f 八十九加 f 九十，加上省略加 f 九十六， 那我们想总共有多少组？总共有十二组， 因为每个组是八个数，那总共就是九十六个数，就是 f 九十六， 那还剩下四个就是 f 九十七， f 九十八， f 九十九，还有 f 一 百， 那过了 f 九十六之后，到 f 九十七， f 九十七和 f 一 又是相等的，因为一加上九十六等于九十七，就是一加上十二乘以八等于九十七， 那 f 九十七等于 f 一。 又开始重复出现了， f 九十八等于 f 二， f 九十九就等于 f 三， f 一 百就等于 f 四， 那我们再来看每一组的 f 一 加到 f 八，它的值是多少， 那 f 一 加上省略加上 f 八，它就等于二倍 sine 四分之二 pi 加上二倍 sine 四分之三 pi 加上二倍 sign 四分之四拍，加上二倍 sign 四分之五拍，加上二倍 sign 四分之七拍，加上二倍 sign 四分之八拍，那正好是等于零的， 那每一组的和是零，那前面十二组加在一起就是零，就是 f 一 加到 f 九十六等于零，所以这个 f 一 加到一百，最后就等于 f 九十七加 f 九十八加 f 九十九加 f 一 百，就等于 f 一 加 f 二加 f 三加 f 四， 所以 f 一 加到 f 一 百，就等于十二个零加上 f 一 加上 f 二加上 f 三加上 f 四， 那 f 一 是二倍 sign 四分之 pi 加上 f 二是二倍 sign 四分之二， pi 加上 f 三是二倍 sign 四分之三， pi 加上 f 四是二倍三。四分之四拍，就等于二乘以二分之根号二加上二乘以一加上二乘以二分之根号二加上零， 等于二加二倍根号二。好，这道题就是考察了我们三角函数解析式的求法，考察了我们利用周期性来找规律。 好，第七种题型是三角函数的零点问题，看题目，若函数 f x 等于三， x 减二， m 减一， x 属于零，大派有两个零点，求 m 的 取值范围。 f x 有 零点，那我们就要求 f x 等于零， f x 等于三， x 减二， m 减一等于零，那这个方程直接解不好解，那我们就把 f x 的 零点问题转化成图像焦点问题。 我们由三 x 减二， m 减一等于零，我们能得到三 x 等于二， m 加一，我们令 y 一 等于三， x 令 y 二等于二， m 加一，那我们来画图， 这是 y 一， 那 y 二等于 r m 加一，就是一条平行于 x 轴的直线。如果 y 二经过三 x 的 最高点，那此时只有一个零点， 那如果 y 二经过三 x 的 最低点，那此时也只有一个零点。如果 y 二就是 x 轴所在直线， 那此时在零到 pi 上有三个零点，那这三种情况都是不符合题目要求的，那符合题目要求的 y r 就是 在这里 以及这里，也就是 r m 加一要小于一大于零， 或者 r m 加一要小于零大于负一，那我们就能解出来， m 小 于零大于负二分之一，或 m 小 于负二分之一大于负一。 好，下一题。若函数 f x 等于 sine， omega， x 减三分之 pi， omega 大 于零，在零到 pi 上至少有五个不同的零点。求 omega 的 最小正整数。 我们观察一下 f x 的 解析式，当 x 等于零的时候， f x 是 等于 sine， 负三分之 pi 是 等于负二分之根号三的， 这就是 f x 图像所过的一个特殊点。我们来画 f x 图像， f x 过特殊点，零负二分之根号三，那这里就是负二分之根号三。 那 f x 在 零到二 pi 上至少有五个不同的零点，就是 f x 图像在零到 pi 上和 x 轴至少有五个交点，那 a， b， c， d e， 所以 r pi 这个点要在 e 点或者 e 点的右边才符合题 e。 那 么有图可知，从 a 点到 r pi 这个点，这段区间至少要容纳两个函数周期吧。 那我们来看一下 a 点的红坐标怎么算？那 a 点是函数象与 x 的 交点， 所以 sign omega x 减三分之 pi 要等于零，而 a 点是 f x 图像与 x 轴正半轴的第一个交点，我可以把 a 点看成是圆点向右平移得到的， 所以我就可以念这个整体。 omega x 减三分之 pi 等于零，那解出来的 x 就是 a 点的红坐标，那 x 就 等于 pi 比上三 omega， 那 a 点到 r pi 这个点，这个区间长度要至少容纳两个周期， 所以 r pi 减 pi 比上三倍欧米伽要大于等于 r t， 也就是 r pi 减 pi 比上三倍欧米伽要大于等于二倍 r pi 除以 omega， 那 我们能解出来 omega 大 于等于六分之十三，所以 omega 的 最小正整数就是三。 接下来我们看第八种题型，三角函数的综合应用，看题目已知 a， 星号 b， 这是一种新算新定义。如果 a 大 于等于 b 的 话，那运算的值就是 a。 如果 a 小 于 b 的 话，那运算的值就是 b， 那 就是谁的值大，运算的结果就等于谁。比如说一星号二，那二的值比较大，那运算结果就是二。 那让我们求函数 f x 等于三 x 信号 cosine x 的 值域，那我们来看 f x 就 等于谁的值大，运算结果就等于谁。 当 sine x 大 于等于 cosine x 的 时候，运算结果是 sine x。 当 sine x 小 于 cosine x 的 时候，运算结果就是 cosine x。 我 们在零到二 pi 这个区间来画 cosine x 和 cosine x 图像， 那这个红色的是 cosine x， 蓝色的是 cosine x 图像，那 f x 等于 cosine x， 星号 cosine x 就是 谁的函数值大，运算结果等于谁， 那函数值大反映在图像中，就是图像在上方，那函数值小的图像就在下方， 那我们就在零到二 pi 这个区间。三 x 和 cos x 图像中找出图像在上方的那一部分，我们把图像在上方的部分描黑色，那黑色这一部分就是 f x 的 图像。 从图像中我们可以看出， f x 最大值是可以取到一的，那 f x 的 最小值，它就取不到负一了，它是在 a 点处取得最小值， 那 a 点对应的就是三 x 和 cos x 的 交点。 我们由 sine x 等于 cosine x， 我 们就能解出来， x 等于四分之 pi， 或者 x 等于四分之五 pi， 那 a 点的红坐标明显是 x 等于四分之五 pi， 那 a 点的纵坐标就是 sign 四分之五 pi 等于负 sign 四分之 pi 等于负二分之。更好啦， 这里是负二分之根号二，所以 f x 的 值域就是负二分之根号二到一。 好，下一题，若关于 x 的 不等式，三 x 加一乘以绝对值，三 x 减 m 加二分之一大于等于 m， 对 x 属于零到二分之 pi 横乘，以求 m 的 取值范围。 好，题目中的不等式有绝对值，那我们要先去绝对值那，因此我们要比较三 x 和 m 的 大小，那 x 是 属于零的二分之 pi 的， 所以 三 x 是 小于等于一大于等于零的，那我就以这个零和一为两个分界点来对 m 进行分类讨论。 那第一种情况，当 m 大 于一的时候，那 m 肯定大于三 x， 那 去绝对值的话，就是 三 x 加上一乘以 m 减三 x 加上二分之一，要大于等于 m， 然后化简就得到了三 x 平方加上一减 m 乘以三 x 减二分之一，小于等于零。 我们再换元令， t 等于 sine x， 那 t 就是 小于等于一大于等于零的。 那画圆之后，我们就得到了 t 平方加上一减 m 乘以 t 减二分之一，小于等于零，那接下来我来画这个二次函数， t 平方加上一减 m 乘以 t 减二分之一，它的图像， 它的对准轴是二分之， m 减一是大于零的， 那当 t 等于零的时候，函数值是负二分之一， 此时这个函数值要在零到一之间小于等于零横成立。 我只要一这个点对应的函数值小于等于零就可以了。正的一啊，在对称轴左边还是对称轴右边，对我的结果没有影响。 那一这个点的函数值是一的平方加上一减 m 乘以一减二分之一，要小于等于零，那我就能解出来 m 大 于等于二分之三。 那第二种情况，当 m 小 于零的时候，那此时三 x 肯定大于 m 的， 那去绝对值就得到了 sin x 加一乘以 sin x 减 m 加上二分之一大于等于 m， 整理一下就得到 sin x 平方加上一减 m 乘以 sin x 加上二分之一减二。 m 大 于等于零， 那换元令三 x 等于 t， 那 t 就是 零到一之间。那换元之后，我就得到了 t 平方加上一减 m 乘以 t 加上二分之一减二。 m 要大于等于零，那接下来我来画这个二次函数， t 平方加上一减 m 乘以 t 加上二分之一减二 m， 它的图像， 它对正轴是二分之， m 减一是小于零的。 那现在这个函数值大于等于零，要在零到一上横成立，而这个函数在零到一上是单调递增的，所以我只要零这个点对应的函数值大于等于零就可以了， 也就是二分之一减二。 m 大 于等于零，那我就能解出来 m 小 于等于四分之一， 那这种情况的前提是 m 小 于零，所以 m 小 于四分之一是不行的， m 需要满足 m 小 于零。 刚刚我们讨论了 m 大 于一和 m 小 于零这两种情况，那接下来我就要讨论 m 小 于等于一大于等于零这种情况了，那三 x 也是小于等于一大于等于零的。所以我在讨论 m 小 于等于一大于等于零这种情况的时候，我就要和三 x 进行比较了， 那此时啊，我又要分两种小情况了。好，第三种情况的第一种小情况就是你三 x 和 m 都是大于等于零小于等于一的，但是三 x 是 小于 m 的。 小于等于一大于等于零，那此时去绝对值的话，就是三 x 加一乘以 m 减三 x 加上二分之一大于等于 m， 化简就得到 sine x 平方加上一减 m 乘以 sine x 减二分之一，要小于等于零 化圆令 t 等于 sine x， 那 t 此时就是小与 m 大 于等于零的。 那化圆之后就得到 t 平方加上一减 m 乘以 t 减二分之一小于等于零， 那接下来我们来画这个函数， t 平方加上一减 m 乘以 t 减二分之一，它的图像，它的对准轴是二分之， m 减一是小于等于零的， 那此时函数在 t 属于零到 m 之间是单调递增的，那要求函数值小于等于零，我只要 m 点对应的函数值小于等于零就可以了， 那 m 点对应的函数值就是 m 平方加上一减 m 乘以 m 减二分之一小于等于零， 那我就能解出来 m 小 于等于二分之一。但别忘了，这种情况有个前提， m 大 于三 x 大 于等于零，所以 m 肯定是大于零的。 那第三种情况的第二种小情况就是三 x 和 m 都是大于等于零，小于等于一，但是 m 要小于三 x， 那 要小于等于一大于等于零， 那此时去绝对值就得到了三 x 加一乘以 三 x 减 m 加上二分之一大于等于 m， 那 化简就得到三 x 平方加上一减 m 乘以三 x 加上二分之一减二。 m 大 于等于零， 那再画圆，零 t 等于三 x， 那 t 此时就是在 m 到一之间， t 大 于 m 小 于 m 等于一， 那画圆之后，就得到 t 平方加上一减 m 乘以 t 加上二分之一减二。 m 大 于等于零， 那此时我再来画 t 平方加一减 m 乘以 t 加二分之一减二。 m， 它的图像，它的对准轴是二分之 m 减一，那就是小与零的。 那此时啊，这个函数在 m 到一之间是单调递增的，那要求函数大于等于零，在 t 大 于 m 小 于等于一横成立的话，我只要 m 点对应的函数值大于等于零就可以了。 也就是 m 平方加上一减 m 乘以 m 加上二分之一减二。 m 大 于等于零， 那我就能解出来 m 小 于等于二分之一。但别忘了，此时 m 还有个条件是 m 大 于等于零，所以 m 就 要小于等于二分之一大于等于零。 好，那综合以上我们讨论的三种情况，综上，我们能得到 m 的 取值范围就是负无穷到二分之一，并上二分之三到正无穷。 好，这道题我们就做完了。那这道题的整体思路就是利用换元法把三角函数问题转化成 as 函数问题，其中又涉及到参数以及去绝对值的分类讨论，所以这道题是要非常细心才能做对的 好。下一题，如图，函数 y 等于 a， b 三 omega x 加 five， a 大 于零， omega 大 于零 five 的 绝对值小于等于二分之 pi。 它的图像与坐标轴有三个焦点， p， q， r 满足 p 点，坐标是一零 角 p， q， r 等于四十五度 p， q， r 是 这个角四十五度， m 为 q， r 中点， pm 的 长度是二分之，根号三十四，求 a 的 值， a 就是 这个解析式里面的这个 a 让我求 a 的 值，那题目中唯一跟长度相关的就是这个坐标和这个 pm 的 长度。 我们假设 q 的 坐标是 m 零，那 m 肯定大于一的角 p， q， r 等于四十五度， 所以三角形 o q r 就是 等腰直角三角形，所以 o r 的 长度也是 m， 那 r 点的坐标就是零负 m， 那 点 m 是 q r 的 中点，所以点 m 的 坐标就是二分之 m 加零 二分之零加负 m， 那 p 点和 m 点的坐标都知道了， pm 的 长度是二分之，根号三十四，那么由两点间的距离公式，根号一减二分之 m， 括号的平方加上括号零减 二分之负 m， 括号的平方等于二分之，根号三十四。 那我们就能解出来， m 等于五或 m 等于负三，那 q 点是在 p 点的右边的，所以 m 等于负三是不可能的，所以 m 只能等于五， 那 m 等于五，那 p q 的 长度就是五减一等于四，而 p q 正好是半个周期， 等于二分之一 t， 而 t 又等于 r pi 除以欧米伽， 那这样我们就能解出来 omega 等于四分之 pi， 那 函数的解析式就是， y 等于 a， b sign 四分之 pi， x 加上 phi， 那 接下来我就要求这个 phi 了。 我们把 p 点，它的坐标是一零，带入函数解析式，我们为什么选择 p 点？因为 p 点的纵坐标是零，那这样我们在求 five 的 时候就可以把 a 削掉了。 把 p 点带入函数解析式，我们就得到 a b sign 四分之 pi 加上 five 等于零， 那四分之 pi 加上 pi 就 等于 k pi， 那 pi 就 等于负四分之 pi 加 k pi， 那 pi 的 绝对值是小于等于二分之 pi 的， 所以 pi 就 等于负四分之 pi， 那接下来我就可以求 a 的 值了。求 a 的 值的时候，我们把 r 点坐标代入解析式。 r 点坐标是零负五，我们为什么要选择 r 点，为什么不选择 q 点呢？ 因为 r 点的纵坐标不是零，这样 a 不 会被消掉。那把 r 点坐标代入函数解析式，我们就得到了负五等于 a 被 sign， phi 等于 a 乘以 sign 负四分之 pi 等于 a 乘以负二分之根号二，那我们就能解出来 a 等于五倍根号二。 好，下一题。设函数 y 等于 tan 的 omega， x 加 five， omega 大 于零， five 是 零到二分之 pi 之间的。若函数图像与 x 轴相邻的两个焦点间距离是二分之 pi， 且图像关于点 m 负八分之 pi 零对称。 那第一个求函数解析式。我们先来看一下 tan x 图像， 那这里的 a 点和 b 点就是叫函数图像与 x 轴相邻，两个交点，那它的距离我们从图中可知，它就是 tan 的 x， 一个周期的长度，那对于这道题来说， 周期 t 就 等于 r pi， 而周期又等于 pi， 除以欧米伽，所以欧米伽就等于 r， 那 函数图像关于点 m 负八分之 pi 零对称，那负八分之 pi 零就是它的一个对称中心。 我们把这个 omega x 加 five 看成一个整体，它对称中心的红坐标就是 omega x 加上 five 等于二分之 kpi， 那 omega 是 等于二的， 那这个图像的对称中心红坐标是负八分之 pi， 那 我们就能得到 r 乘以负八分之 pi 加上 pi 等于二分之 k pi， 那 pi 是 在零到二分之 pi 之间的，那我们就能解出来 pi 等于四分之 pi， 那 函数解析式就是 y 等于 tanning 的 二 x 加四分之 pi， 这是第一小题，那第二小题求函数单调区间，那 tanning x 在 每一段是单调递增的，所以 r x 加四分之 pi 要小于二分之 pi 加 k， pi 大 于负二分之 pi 加 k pi， 那 k 是 属于 z 的， 那 r x 就 要小于四分之 pi 加 k pi 大 于负四分之三 pi 加 k pi， 那 x 就 小于八分之 pi 加二分之 k pi 大 于负八分之三 pi 加上二分之 k pi， k 属于 z， 那 tan 类型函数是没有单调递减区间的好。第三小题求不等式 y 大 于等于负一小于等于根号三的解集。 我们先来看这个负二分之 pi 到二分之 pi 这一个区间，那负一这个函数值对应的红坐标就是负四分之 pi， 那 根号三这个函数值对应的红坐标就是三分之 pi， 那 tanning 的 二 x 加四分之 pi 小 于等于根号三大于等于负一， 那 tanning 的 x 负二分之 pi 到二分之 pi 以上是单调递增的，所以我就能得到二 x 加上四分之 pi 加上 k pi 大 于等于负四分之 pi 加上 k pi， 那我就能解出来， x 小 于等于二十四分之拍加上二分之 k 拍大于等于负四分之拍加上二分之 k 拍， 那 k 是 属于 z 的。 好。下一题，已知函数 f x 等于二倍 sin 括号 omega x 减六分之 pi， omega 大 于零，最小正周期为 pi。 第一个让我们求 f x， 解析式， 最小正周期 t 等于 r pi 除以 omega， 它是等于 pi 的， 所以 omega 就 等于 r， 所以 f x 也提示就是 f x 等于 r 倍 sine 二 x 减六分之 pi， 那第二小题，当 x 属于六分之 pi 到三分之 pi 之间时，求 f x 值域，那 x 是 小于等于三分之 pi 大 于等于六分之 pi 的， 所以 r x 就 要小于等于三分之二 pi 大 于等于三分之 pi， 那 r x 减六分之 pi 就 要小于等于二分之 pi 大 于等于六分之 pi。 我 们把这个 r x 减六分之 pi 看作一个整体，视为 z。 我 们来看三 z 的 图像， 由图可知，在六分之 pi 到二分之 pi 上， sine z 是 单调递增的， 所以 sine 二 x 减六分之 pi 就 要小于等于 sine 二分之 pi， sine 二分之 pi 是 等于一的， sine 六分之 pi 是 等于 二分之一的，所以二倍 sign 二 x 减六分之 pi 就 小于等于二大于等于一。也就是说，当 x 属于六分之 pi 到三分之 pi 时， f x 值域是一到二 b 区间。好。第三小题将函数 f x 图像向左平移，发一个单位后，得到函数 g x 图像，且 g x 为偶函数，求发一的值， 那 five 是 在零到 ip 之间的，而且是向左平移，所以左加右减。 我们来看，七 x 等于二倍 sign 中括号二倍括号 x 左加右减加 five， 再减六分之 pi 等于二倍 sign， 二 x 加上 r five 减六分之 pi。 现在题目告诉我，这个 g x 是 偶函数，求 five 的 值，那 g x 是 偶函数，所以 sin 里面 r x 后面的 r phi 减六分之 pi， 它要等于 k pi 加二分之 pi， r phi 减六分之 pi 等于 k pi 加上二分之 pi。 为什么？ 因为只有它等于 k pi 加二分之 pi， g x 用诱导公式化简之后，才会变成正负二倍 cosine x 才是 o 函数，那我们就能解出来 five 等于三分之 pi， 加上二分之 k pi， k 是 属于 z 的， 所以 five 就 等于三分之 pi。 那第三小题还有另一种解法，就是用特殊点的方法，那 g x 是 偶函数，偶函数图像是关于 y 轴对称的，所以在 x 等于零的时候， g x 要么取得最大值，要么取得最小值， 所以 g 零就等于二倍 sign， r phi 减六分之 pi 等于正负二三一类型的函数，要取得最大值或者最小值，那 r phi 减六分之 pi， 它就要等于二分之 pi 加上 k pi。 为什么后面不是加二的 pi 呢？因为您这个点有可能取得最大值，也有可能取得最小值， 那我们就能解出来 five 等于三分之 pi， 加上二分之一 k pi， 那 再结合 five 大 于等于零，小于等于二分之 pi， 我 们同样能得到 five 等于三分之 pi。 好！ 这种的方法我希望同学们都要会好。本节课内容就到此结束了，我们下节课再见。

到底为什么变？到底为什么？这个，这个，这个 x 分 之一可以替换 x 呀？啊？好，好啊。

同学们，好久不见，我们接着来讲我们的生娃教材系列。好在前几个月呢，我们讲到了第三章第二节，函数的性质已经讲完了，那么今天我们来学习第三章第三节的内容，密函数， 好。也就是从这节开始，我们开始脱离了函数的抽象性，进入到具体的某个出等函数来研究它的性质，图像等等。我们来看这个教材上说的什么啊？ 他说我们前面已经学习了函数的概念，利用函数概念和对图像的观察，研究了函数的性质。好都是废话。本节我们利用这些知识研究一类新的函数，这个新的函数是什么呢？他不告诉你，他让你看几个例子。我们来看这个例子啊。第一个例子说， 如果张红以一元每千克的价格购买了某种蔬菜 w 千克，那么他需要支付 p 等于 w 的 函数， 好。第二个例子，正方形的边长和正方形面积之间的关系， s 等于 a 方，我们说 s 是 a 的 函数好。第三个是一个体积问题， v 等于 b 的 三次方， v 是 b 的 函数好。第四个同理， c 等于根号 s， 然后说 c 是 s 的 函数。 第五个呢，则是说一个人骑车的平均速度， v 等于 t 分 之一千米每秒，所以 v 等于 t 的 负一次方，这里 v 是 t 的 函数。好，注意哈，这里有一个 t 的 负一次方，是啥意思呢？它就等于 t 分 之一， 它的负指数密是等于它的这个密的倒数的。接着课本让我们去观察这里面的五个解析式有什么共同特征呢？我们发现，哎，都是一个变量，是另一个变量的某一个分数，但这个次数呢，可能为正数，可能为负数，也可能为一个分数而已。 好，那么课本上就给我们总结一下啥叫密函数呢？像 y 等于 x 的 a 字方这种形式的函数就叫做密函数 power function， 其中 x 是 自变量， a 是 常数。 好，那么 a 有 没有规定呢？ a 没有规定好，它可以取很多数，但是这里我们在教材上只研究这五种 a 的 取值时候的性质。也就是说，我们对应 y 等于 x， x 的 平方， x 的 三次方， x 的 二分之一次方和 x 的 负一次方时候的图像。好，接下来课本提示我们说，你觉得怎么研究这些函数呢？我们知道函数是有三要素的哈，定义域、值域对应关系。而函数的性质呢，又包含 基友性、单调性。所以前面学了那么多新的定义啊，新的性质是为了干什么？是为了让你用你的概念和性质来研究某一类具体的函数，给它研究透彻了，你才能做题。 好，现在我们来看，要研究一个函数要怎么做呢？书上这里其实只是一句话带过，但实际上是我们在研究函数问题时很重要的一个方法。 我们要根据函数的解析式求出定义域，所以第一步永远是定义域问题，你定义域都没有写出来，遗漏了或者写错了，你后面把图像画完，你把什么都研究完，都没有用 好。第二步是干什么画出函数的图像？第三步呢，是利用图像和解析式来讨论直域、单调性、极有性这等等等等的问题。 所以函数问题的解决方法就藏在这一句话里面，第一步，定义域，第二步画图，第三步来利用图像和解析式研究函数的各类性质和值域等等。 好，接下来课本上画出了这几个函数的图像，我们发现这个绿色的哈，一般是一个作为基本线的存在，是 y 等于 x， 很 特殊的一条直线，过圆点 好。其他的 y 等于 x 方， x 的 三次方和 x 的 二分之一次方和 x 的 负一次方都在这个图像上。这里面这个图非常多，所以第一眼你会容易找不到重点。 但是我们可以一个个来看， y 等于 x， 很 显然是这条直线，而 y 等于 x 方呢，是一个抛物线，是我们初中学过的二次函数，开口向上过零点，是这一条粉紫色的线。 y 等于 x 的 三次方呢，是这条蓝色的线，在第一项线，它是这一边，但是由于它是个奇函数，所以在第三项线，它还有一部分图像， y 等于 x 的 二分之一次方，其实是等于根号下 x， 所以 首先定域就要求 x 大 于等于零，因此它只在第一项线这有图像。 而 y 等于 x 的 负一次方呢，则是 y 等于 x 分 之一。这是什么？是反比例函数，因此我在这个黑色的这黑色两条线，这就这个两个反括号，就是我们的 y 等于 x 负一次方的图像。 好，基于这个图像。哈，课本上说，大家来探索一下啊，每一个函数定义域啊，奇偶性，单调性都有什么特点呢？其实就看图说话就行了，这一部分大家可以自己去完成。 好。接下来课本上呢，去观察上面的这几个函数，它的一些共同性和不同性，得到了以下的结论。首先过定点问题，他说这几类函数都过一个点 e e， 而实际上对于密函数 x 的 a 次方而言的话，所有的密函数都过这个定点， e e。 第二个结论说什么是奇偶性， 他说这三个是奇函数，后面的 y 等于 x 方是偶函数，那什么时候是奇函数，什么时候是偶函数呢？最后我们可以推广到一个结论哈，就是我的 a 的 取值哎，是一个奇数还是偶数的时候，你就能决定它是奇函数还是偶函数了。 最后是这样子去推广的哈，好。第三个讨论的是什么？第三个讨论的是单调性啊，单调性，同学们也可以自己想一下，我们怎么样把这个单调性推广到更多的 a 的 曲值上去呢？ 比如说，当我的 a 大 于零时， a 在 零到正无穷上单调递增，当我的 a 小 于零时，在零到正无穷上单调递减，其实是推广到这个结论， 好。最后第四个点说的是什么？无限接近。什么叫无限接近？我们把无限接近这个概念叫做渐近线。渐近线是什么意思呢？渐近线，我们从图像上来看哈，就是说我的这个图像与这个 x 轴 哎，他的这个正半轴无限的接近。当我的 x 趋近于正无穷的时候，我的 y 就 要趋近于零了， 但是我永远无法达到。以我们这个 y 等于 x 分 之一为例来说，其实渐近线是一个极限的思想， 你一定有 x 趋近于正无穷的时候，你的 x 分 之一是等于零的好，等于零。但是我前面是一个极限符号，我不是说 x 分 之一直接等于零了， 正无穷是 x 在 最右侧永远无法达到的一个很远的地方，所以零也是 y 永远无法达到地方。渐近线的意思就是这个意思。接下来我们来看课本上的简单例题啊， 这道例题需要我们证明，密函数 f x 等于根号 x 是 增函数啊。其实 f x 等于根号 x 就是 我们上面讲过的 x 的 二分之一次方啊。 去画图是可以去看出来的，但是在我们必修一的内容里，所有让你去证明它的增减性。单调性的问题，我们一定要用课本上规定好的方法。这个方法的步骤是什么？首先写出它的定义域， 然后我任意在这个定义域上取两个点，并且规定好这两个点的大小关系，然后来讨论 f x 一 和 f x 二的大小关系， 讨论它大小关系，我采用做差法与零做大小比较好。不管怎么着吧，我们最后变换得到这样式子， 一个分式，然后上面 x 一 小于 x 二，所以上面的分子是小于零的好，下面是两个正数相加是大于零的，因此整体就小于零。 那么 f x 一 就小于 f x 二，我们的增减性就得正了。这是必须要在我们在高一的时候必须要掌握的一种证明单调性的方法。紧接着我们来看三个小练习题， 第一题，他说 m 函数 y 等于 f x 的 图，像过这个点，二根号二。求这个函数的解析式考的是什么？考的是 m 函数的基本形式， f x 是 等于 x 的 a 次方的 好，所以我们把这一个二根号二带进去的话，那二的 a 次方就等于根号二，根号二是二几次方呢？根号二是二的二分之一次方，因此我的 a 就 等于二分之一。好，那我解析，这就求出来了， x 的 二分之一 没问题了。好，但是注意，这里是涉及到一个定义域问题的，由于我是二分之一次方，也就是根号 x， 所以 我有一个定义域， x 大 于等于零。如果你不带这个定义域啊，这道题会扣分。好，第二小题，利用密函数的性质来比较两个值的大小。经典的比较大小问题，利用密函数的性质，我们就得把这两个数给应用到同一个密函数上，找到一个符合这两个数形式的一个函数模型， 然后在这个图像上来看他们的图像高低关系。好，我们找到一个基础的函数是 x 的 三次方，其中 x 分 别取至负一点五和负一点三，那我们把 x 三次方图像给画出来， 在这，于是负一点五，哎，这是负一点五，那这是负一点四，由于它这个单调性，你就能知道他们的大小关系了。 好，同理哈。第二小问，我们要找的一个函数模型是 x 的 负一次方，然后去比较 x， 分 别取值负一点五和负一点四的时候，它们大小关系就完了。 接下来我们来看第三题，说根据单调性和奇偶性的定义来证明这个函数的单调性和奇偶性，它的奇偶性是很好证的哈，我们不讲我们讲单调性，单调性，实际上我是对于任意的 x 一 x 二，它们都属于 r。 然后我不妨令 x 一 小于 x 二，然后我来研究 f x 一 减 f x 二。这里有一个隐藏的考点是啥？ 你最后算的是 x 一 的三次方减 x 二的三次方，这里有立方差公式的展开哈，我们要把它展开成 x 一 减 x 二乘以 x 一 的方，加上 x 二的方，再加上 x 一 x 二。那这种形式里面呢，你就需要去证明他两个式子分别是小于零还是大于零。前面一个是比较好判断的，由于 x 一 小于 x 二，所以这一项一定 小于零。那后面这一项呢？后面这一项根据他的图像啊，我知道他肯定是一个在整个 r 上都单调递增的函数， 但是怎么证明呢？我就需要证明拿着目标来找我的线索这一部分，我需要证明它大于零，我才能使得这个整体小于零，所以它才是单调递增嘛。 好，这个大于零呢？怎么证呢？好想要证后面这个项大于零，你一定是要构造一个平方之类的东西来证明它大于等于零嘛。那我们就配方， 我发现 x 一 方加上 x 一 x 二，其实可以后面再补一个什么？补一个四分之一的 x 二的平方，因为这样它整体就可以配成 x 一 加二分之一 x 二的平方了。 那我这就少一个四分之三 x 二平方，再补一个四分之三 x 二的平方，也就是我把 x 二平方进行的分拆，这样我就把这个式子变成两个平方向的加和，它一定是大于零的。 为什么不能等于零？因为我的 x 一 不等于 x 二啊，所以两项相乘，一个小于零，一个大于零，那么这个项相乘完就是小于零，所以 f x 一 就小于 f x 二。 再对比我的原始假设 x 一 是小于 x 二的，我的单调增就得正了。下面我们来看习题三点三有哪些题值得我们重点关注的？首先第一题让我们画出 y 等于根号下 x 的 绝对值。讨论函数的单调性。 好，其实画了图哈，这玩意，你就能够根据图来判断了，关键是这个图怎么画这个图，它和 y 等于根号 x 这一个函数比，多了个什么呢？多了一个很可恶的绝对值， 所有的只要涉及绝对值的函数，其实就是分段函数。好，因此我这里其实 x 就 可以允许他取到小于零的部分了。当 x 大 于等于零的时候，我绝对值直接脱掉，变成根号下 x。 那 当我的 x 小 于零的时候呢，则变成根号下负 x 好， x 大 于等于零时候，他的图像是好画的。因为书上已经给了我们是这样子一个图形，这个是根号 x， 但是当 x 它小于零的时候，根号下负 x 是 怎么画的呢？同学们想一下这个问题啊，实际上我们是根据 y 轴对称去得到的这样子的一个图形，左侧和右侧呢，它是一个对称图形，那这个图像整体就是 根号下绝对值 x， 它的函数图像好，单角形和奇偶形呼之欲出了，我们就不说了啊。接下来我们来看第二题，这是一个函数的应用类型的提示密函数的应用类型。所以呢，它说的是，哎，流量速率 v 和这个 r 的 四次方成正比， 然后写出来他的函数解析式，其实就是说 v 要等于 r 的 四次方。那当然前面你可能会加一个 k 啊，因为他只说成正比，没说一定是一比一，那当然，我的 k 已经是大于零的哈，因为他说成正比嘛。 好，接下来在第二问，把他给的数据带进来，把 k 求出来，就你的表达式出来了。好，第三题， 第三题，秒点法要画出 f x 等于 x 的 负二次方图像， x 的 负二次方是啥？是 x 方分之一。 好，其实说是用秒点法画哈。实际上我们可以用我们前面学过的一些逆函数的形式，它其实最接近是什么？它一是接近 x 方，二是接近 x 分 之一，其实是这两个函数进行的一个复合，你可以这么认为。 那如果用妙点法啊，首先 x 肯定不能等于零，是吧？那他肯定就还是类似于 x 分 之一，是一个括号型， 但是，但是有个 x 方，那我们瞄点肯定过一定点是肯定的，那过二分之一的时候呢，他会很高，他会到四这个点。好，那这就这样走，剩下的呢？也是无限取进，这样走渐近线怎么求？刚刚我们已经用极限方式讲过了，大家自己下去掌握一下。 接下来就是判断极有性 x 方分之一，那就说明我的这个函数值肯定都得是正的，是吧？然后又由于他是一个偶函数，所以我直接在这画一个 轴对称就完了，这道题图就画完了。只要图画完了，你剩下的定义、域域、单调性、极有性都是好做的哈，只是在证明上你可能要画一些功夫而已。接下来我们来看探求与发现， 探究与发现里面，这里出现了一个重要的函数， y 等于 x 加 x 分 之一。同学们肯定听过这个函数叫什么？叫做对勾函数， 而实际上呢，我们还有另一个函数叫飘带函数，它是 y 等于 x 减 x 分 之一。在这里面我们课本上长篇大论的告诉你怎样去探究一个未知的函数的图像，以及通过图像来推导它的性质。 好，所以这个函数图像为什么能画一个对勾？这个勾为什么能被 y 等于 x 这条线和 y 轴这条线给框住？最低点又是什么？这里用到基本不等式的知识，我不给同学们展开了啊，同学们有兴趣的可以自己去 看一下课本上这一大块，其实课本上是想告诉你方法，让你以后把这个方法用在解其他的函数型问题上的。那我们的第三章第三节就先讲到这里。