七下数学55页，教程

现在来讲，第五十五次作业填空，我们已经学过用三角板和直角画平行线的方法，如图，直线 a、 b。 直线 a、 b 沿 m、 n 的 方向 平移的 cd， 且 cd 经过点 p。 由于直线在平行下的象是与它 平行的，因此 a、 b 平行 c、 d。 直线 a、 b 沿 n、 m 的 方向 平移的 c、 d， 且 c、 d 经过点 p。 由于直线在平移下的象是与它平行的直线， 因此 a、 b 平行于 c、 d。 二题，如图，用第一题的方法 过图中的点 a， 画 a、 e 平行于 b、 c。 我们画平移，要画平行的方向，画平 一看，看一看，我们两看哈，先一看， 把三角形的一边靠在 b、 c 边上，靠在直线 b、 c 上。第二， 将三角板，将直角或者三角板 靠在刚才这个三角板的另一边上。好，我们这样靠，要注意了，靠紧了哈，靠紧了，不能让它移动哈。好，我们现在平移 平移就推动，先是看哈，然后推动，推， 推动。我们要注意，推到这里呢，我们要注意一下挺按笔尖哈，要能够找一个 d 四， 要留一个按笔尖的位置出来，有时候我们这笔尖要按在 a 点 好了，然后第三步就是画好，我们把这个三角板按按住， 这样现在我们看起来我们这里还没有移到 a 这个位置，实际上我们就是要注意到，我们画图画画这个的时候，我们要留一留一个位置来安笔尖啊。 如果我们把这个三角板直接移到移到 a 那 个点位置来了，那么我们画的时候，我们就画到左边去了哈，所以我们画的时候注意。 哎，我又让了一点，要把三角板按紧了，我们画的时候不要让三角板移动哈， 不要让三角板移动。 现在我们画的这条线就是 a 一 截，如图 a 一， 我们再演示一下哈，先用一个三角板靠在 b c 上， 靠在 b c 上， 然后将智齿或另一个三角板靠在刚才这个三角板的另一边上。 我们靠近了，靠近了，不能让这三角板再移动了哈， 然后再推。第二步是推沿着沿着这个三另一个三角板或者直直的里边这边刚才靠近的这边推，知道再靠近这个三角板， 要把它按住哈，不能让它移动，不能让它能左右移动哈。好，然后这里推， 我们推过来要注意了，推过来要停按那个按笔尖哈， 这能够按笔尖，不能移的太多了，我们不能移到 a 那 个，真正移到 a 那 个位置了，不听按笔尖了。那么我们画出来线就在靠 a 点的左边了哈， 所以我们画在这里呢，要注意，要听，要能够安笔尖儿一说。我们笔尖儿要放在 a 点，笔尖儿要放在 a 点，然后再再这样画画出来哈。 好了，我们现在来看第三题。 如图，将三角形 a、 b、 c， 将三角形 a、 b、 c 沿 o m 方向平移一定的距离，得到三角 a、 b、 a、 b、 b、 c 平 o m 方向。哦，这图上我们 o m 没画出来哈， o m 忘了打上箭头了哈。将三角 a、 b、 c 沿 o m 方向平行一定的距离，得到三角 a 比 b 比 c 平。 这下列结论中不一定正确的是，我们来看一下哈， a a、 a 一 撇平行于 bbb。 哎，这是对的， 这个是对的，这是根据平移的基本性质，一是 两组对应点的连线平行或在同一条直线上。我们这个图的话，那么 a a 撇平行 b， b 撇平行 c c 撇根据平移的基本性质的话， 所以 a 是 正确的。平移的基本性质根据平移的基本性质平移。 平移过程中两组对应点的连线 相等，因为它们因为图形上每一点它平移的距离是相等的， 所以 b 是 正确的哈，这也是根据平移的基本性质。 c b， c 等于 b p， c p， 这是正确的。根据平移不改变图形的大小 根据平移不改变图形的大小。那么意思说，我们从这个图上来看的话， ab 等于 a 撇 b 撇 b， c 等于 b 撇 c 撇 ac 等于 a 撇 c 撇，说的就是这个意思哈。呃，书上是说 平移过程中 人平移不改变啊。平移保持图形中任意两点间的距离不变。 平移的，现在还有一条，平移不改。平移保持 角的大小不变。意思说角 a， b， c 等于角 a p， b p c p 角 a c b p b p， 角 b a， c 等于角 b p a p， c p 啊，那说的是这个意思哈，我们看一下 d 答案，角 a， c， b 等于角 a 一 撇 b 撇 c。 撇错了，角 a 一 撇 b 撇 c 撇跟角 a， c， b 不是 对应的角哈， 所以 d 答案不一定正确。我们这个题就是叫我们选不一定正确的哈，所以就该选 d。 你说 a 答案 b 答案 c 答案是一定是正确的，一定是正确的，只有 d 答案不一定正确，所以我们就选 d。 嗯， a 答案 b 答案是 根据平移的基本性质哈。嗯， c 答案是根据平移的性质。平移不改变图形的形状、大小和方向。好了， 我们就讲到这里了，还有不懂的下来问啊。

大家好，今天要讲的是那个七年级下册人教版数学第一单元的第一小节七点一相交线是在课本第二页， 首先我们这一路演，首先我们这里面讲的是说两条直线相交，我们假设我们先讲先把这个题，先把这个例题先讲了。首先我们这里是不是两条直线相交，一条直线 a b 相交，相交于点， 相交于点 o， 那 这个点 o， 然后我们从这个图，从这个题目已知之前我们在七年级上册已经学过 什么叫做补角，就是说负为补角的两个数是相加等于一百八十度，那顶那与角是相加等于一百相当相加等于九十度。那我们再来这里看， 这里面看的是说我们来这里怎么样去看是说角一和角二，角一和角二不为零补角。什么叫零补角？ 首先我们来一般这个零补角什么概念？零补角？首先这个补补角我们都知道，就是说两个角加起来一定是等一百八十度，这个零就相当于是相邻的意思。那我们这里再看角一和角二，这两个角它是属于一个平角， 就相当于角一加角二是不等一百八十度。然后他们公共的边其实这条是 o c， 是 不是我们用尺子画画图画的不是很标准，大家谅解一下啊。所以说他们公共边是不是 o c， 然后反向延长线， 那个角角一和角，角一和角二，他这里面说说他这里公共边是不是属于是 o c， 那 反向延长线相当于是 o， 相当于是 o b 和 o a， 是 不是？ 所以说我们就说角一和角二是零补角，而且角一和角四也是零补角， 还有角四和角三，我们说角三和角二也是零补角， 因为每两个角你看相当于这个公共边，角二和角三他们的公共边是 o b， 然后这里面的 o c 和 o d 是 他们的反向延长线，而且必须有一个公共顶点 o， 所以说想要满足零补角的概念是什么？第一个就是说有一个公共公共顶点 o， 而且他们有一条共同的边 o c， 就是 说我们只假设以这条这道题，咱们讲这里面这道公共顶点是不是 o， 然后这里面公共边是不是 o c， 他 们的反向延长线，所以说 o， 我 们的 o a 和 o b 就是 他们的反向延长线，所以说角二和角三是负为零补角，而且角二加角三，它是等于一百八十度的。 然后这里面还有一个点是什么？对顶角，角二等于角四，角一等于角三， 咱们首先我们角二他们这里是不是也有个公共顶点 o， 然后我们说角一、角一和角三他们的反向延长线，所以说角二跟角四是相等的，角一跟角三也是相等的，他们都属于对顶角，对顶角啊。 所以说我们对题来讲，第一个一定是有个公共顶点 o， 而且角一角一的两边 分别是这角一两边，你看这边和这边是不都是角三的？角三的反向延长线， 所以说有一个公共顶点 o， 而且角一的反向延长线是角三的，那我们就称之为角一跟角三，角对顶角，而且对顶角是相等的啊。 ok， 这个题目讲例题讲完了，我们回归正题哈， 等一下黑板上我们先做几例题，这是 首先我们看如图三条直线相交于点 o， 则角 b、 o、 d 的 零点零股角是多少？这里面给了我们四个 a、 b、 c、 d。 然后我们来看，首先找到角 b、 o、 d， 角 b、 o、 d 是 不是指的这个角， 这个角，那我们来看，之前我们上刚刚开始有讲角 b、 o、 d 是 什么概念？ b、 o、 d， 那 我们来看角 b、 o、 d 指的是这里是一个一条直线，是不是这里是一条？就说按照我们的公共边是不是 o b 和 o c， 那 我们说这个角，那我们说两个角加起来等于八度，那我们说角 b、 o、 c 这条线 其实也是，他就是说角 b、 o、 d 加上角 b、 o、 c 是 不是等于一百八十度？那角 b、 o、 c 是， 是不是也是一个零补角？而且大家再来看，我们来说角 b、 o、 c。 大家可能很多人这里面 他一个角 a、 o、 d。 我 们来再看啊。角 b、 o、 d 在 这里，那我们说这里面是一个零，这里面是一个角，那我们说这里面的是一个公共点，那公共点的话是不是还有在 o、 d 这里，你看 o、 d， 他 这里面是他们的共同的边，那 o、 d 的 话在这里 e、 o、 d， 那 我们来再看看啊。 所以说这个角加上这个角，其实它也是一个平角，我们说以这条直角，我们这里是不是一个平角，是不是角 e、 o 不是 角 a、 o、 d。 就是 说这个角，你看 这个角加上这个角，其实它也是等一百八十度的，那就叫角 a、 o、 d。 说说这道题目选择 a， 哈，那么再来看这种题目应该怎么去解答，下次如果大家不理解的话，有一种方法大家更好理解哈， 那么你看三条直线，角 b、 o、 d， 我 们这里是角 b、 o、 d， 干嘛 不可以？那我们说角 b、 o、 d， 那 我们说这里 b、 b、 b、 o d、 b、 o、 d 的 话，那我们说这里是一条公共边，那我们 b、 o 先写出来角 b、 o 是 不是 角 b、 o、 d， b、 o， 我 们都在这里，是不是？那我们公共边的话是不是它的反向延长线是不是在这里面？ b、 o、 d， 首先我们要去找到，那这里是一条平角鱼，首先我们认这一条直线啊 c、 d， 那 我们要加这个大角是不是等于一百八十度？ 然后我们角 e、 o、 d， 这里还有一条直线，那我们说 a、 o、 d， 那 这个角其实他也是相加起来四点零八度，说这道题目选择 a 哈。然后我们现在来看第二道题目，如果角 a、 o、 b 和角 b、 o、 c 负为零补角，并且角 a、 o、 b 比角 b o、 c 大 十八度，那么角 a、 o、 b 等于多少度算这道题目我们利用六年级的数学思维去找单位 e， 那 我们说 比四比占相当于后面的量。看大卫衣，那我们就可以说有这个这种题目，我们可以利用方程去把它们解答出来。首先我们说减 设这里面比，这后面是角 b、 o、 c， 所以 说我们设角 b、 o、 c 为 x 度，那我们说角 b、 o、 c 来说角 a、 o、 b 是 不是在这个 x 度的上面基础上面还要大十八度，那我们说则 角 a、 o、 b 等于 x 加十八度， x 加十八度，是不是这样子？然后我们因为他们说角 a、 o、 b 互和角 b、 o、 c 互为零补角，所以说， 所以说不为零角，那它们两个角是不是加起来是以等于一百八十度？那我们说角 b o c 加角 a o b b o c 是 等于 x 加上 x 加上十八等于一百八十度。哎，这个能看懂吗？这里是谁的？这里是角 boc 的， 这里是角 aob 的， 这里是角 boc 的， 那他们两个加起来是不等于一万，因为他们说赵婷婷已经告诉我们，他们是误为零角。零角的概念就是说两个角加起来一定是等于一百八度，所以我们就把这个方程解出来，就可以求出这个角 b o c 是 等于多少度。那我们再看啊， 角标中这里是两个 x， 我 们就把它合并起来，就是二 x 加上十八度等于一百八十度，那二 x 等于一百八十度，减去十八度等于一百六十二度，一百六十二 x 就 等于八十一度， 所以说我们角 b o c， 角 b o c 等于八十一度，那 b o c 等于八十度。角 a o b， 角 a o b 是 不等于 x 加十八度，那我们这里 x 已经求出来是等于八十一， 八十一加十八就等于九十九度，这道题目说这道题目等就等于九十九度，大家以后一定要找准我们说。所以说数学想要学好，我们说基础也得跟上六年级的，这也可能就用到六年级的那个笔字，后面要把谁看作为单位，也能根据 把这个思维给写出来，然后根据他们解方程去列出来啊，这个其实也用到什么哦？解方程，然后就说去怎么样，首先要去怎么去把它设为还是怎么去求哈。 然后我们再回到第三道题，第三道题目会有一点难度，其实也不是很难，我们把旁边这道题目先擦掉哈， 那么现在读第三道题，它说如图，直线 a， b， c， d 相交于点 o o e 把角 o d， o e 把角 o d 平分成两部分， 分成两就是说 o e 把这个角 b、 o、 d 分 成两部分。然后说图中角 a、 o c 的 对顶角，之前我们讲过 a、 o c 的 对顶角，首先他们一定是有个公共的点点，首先我们讲到找 a、 o c， a、 o c， 那 就是这个点呐， 那 a、 o c 他 们的公共顶点应该是在这个角哦，他们一定是有个公共的顶点，而且这里面的是他的反向延长线，你看这个角，他们的反向 o a 的 反向延长是不是 ob， o c 的 延长线是不是 o d， 所以 这两条就表达的角 b、 o d， 这里面就是角 b、 o d 哈，然后我们再来看一下角 bo e 的 零步脚，然后我们继续再再继续去找 bo e， 那 我们说 bo e 这是哪个点呢？ 是不就这个点？然后我们在这个，我们如果想要去找零步脚 b， 找到它，同等它有三个点，一定是有个公共顶点 o， 然后是有一个共同的边，那我们来看这里哈，这里面说 boe， 我 们以这个边为概念，那这里是不是他们的公共的边，那么再去看啊，公共的边的话，首先 ab 它是 aob， 它是一个 平角，所以说这就利用到有跟我们四年级啊，四年级学的基础之，也就是说怎么样区分平角周角，这个也有关系哈，那我们就说这里面其实是一个一百八十度的平角， 那我们来看我们 boe 在 这里面的它的零股角是不是就相当于是 aoe？ 所以 说这个零股角就相当于是 aoe 或者是 eoa 都可以，那我们因为这个 o 点是他们的共同顶点，这个 o 一定要写在中间啊， 而且你看，首先你看这条线，这个就比数，那我们说这个顶点相当于说角，这个点 a o e 加上角 b o e 是 一百八十度的， 所满足这个条件，那我们来看，如若角 a o c， 那 我们再来画掉啊，所以说我们要利用去做图，去理解思维很重要啊，那我们再看，这个是他们的，这里是顶点 o， 那么那个落角 aoc 是 aoc 吗？角 aoc， 那 角 aoc 等于七十度，我们写这里 角 aoc 等于七十度，那我们这有讲过啊，写 o 平分角 b o d， 所以 说什么叫平分线呢？ o 一， 平分角 b o d， 所以 说角 b o e 和角 e e o d， 它们是相等的，平分线就相当于白纸尿线，平均分成两份，就相当于我们之前七年级上册所学的是什么二等分点的 b 的 概念啊，一样的哈，那我们再来解题哈， 你看这边角 a o c 等于几度，那我们说角一一角一 角 d o b 是 不是也得等于七十度？那因为 o e 平分角 b o d， 那 o e 平分角，所以说那这个角其实就等于三十五度，这个也等于三十五度，是不是？那我们再来看啊，因为这里面角 a o c 跟角， 角 a o c 跟角 a o d， 他 们叫不为零补角，所以说，那我们这说 a o d， 那 这里是不是等于一百一十度？大家不知道会不会算啊？ 那我们就来求出来了，那我们这求是什么？角 a o e， 角 a o e。 那 我们求出这里错，那相当于是说角 a o d 加角 e o d， 那 就相当于一百一十度加三十五度，等于一百四十五度啊，这道题目啊，那我们再来写下过程哈，因为 角 a o c 等于七十度，角 a o c 等于七十度，而且角 a o c 等于七十度，而且角 b o d， 角 b o d 和角 a o c。 我 们前面有写，对顶角 o c 负为对顶角， 所以角 b o d 等于角 a o c 等于七十度。大家这个能看懂吗？因为他们对顶角，我们这根弦，边弦啊，对顶角是相等的，又因为 o e 平分，角 b o d， 所以 角 b o e 等于角 d o e 等于二分之一，乘以七十度，等于三十五度。这个也能看懂啊， 平分就说它的一半平分，就这个意思啊，等于三十五度。那么大家看，又因为角 a o， 角角 a o c 的 零补角 零角为角 a o d， 那 所以角 a o c 加上角 a a o d， a o d 等于啊，七十度，加上 加 a o d 等于一百八十度，是不是这概念？因为它们负为零，不角，但我们角 a o c 等于多少度？角 a o c 等于七十度，那我们角 a o d， 所以 角 a o d 等于一百八十度。减掉七十度等于一百一十度，我们就能求出来，是不是？所以说角说，又因为， 又因为我们这里只求角 a o e， 又因为角 a o e 等于角 e o d 加上角 e o d 加上角 a a o d 加上角 a o d， 所以 等于 e o d 是 等于多少？等于三十五度。 然后我们说 a o d 是 等于一百一十度，所以说等于一百四十五度， 因为我们现在步入七年级，下册了很多这种解答题，要知道怎么去写过程，根据一个问题来， 因为每道题目都是环环相扣，我们从上面已知它对顶角是什么，所以这个单元其实，呃，一定要明白对顶角和零补角，首先明白它们的 他们的脚要怎么去找，什么叫符合他们的脚能根据这个椅子关注和九十这道大题，这一般都属于大题后面，呃， 算是中等型的一种题目，也不是很难哈。那所以说角 a o e 是 等于一百四十五度，这个一定要去学会，学会去写过程啊。过程很重要啊，要一道题目，一道题目啊。 ok， 今天先讲完，先讲到这里啊。

同学们大家好，今天呢，我们来讲解七年级下册名校课堂七点一点二两条直线垂直相关的题型 好。首先呢，我们来看第一题考察的知识点一，考察的是垂直的定义好。第一题，如图，直线 ab 与 cd 相交于点 o。 第一问，如果角 a、 o、 c 等于多少度的时候，那 ab 垂直于 cd， 我 们根据垂直的定义呢？可以知道，当两条直线相交，有一个角为九十度时，那么这两条直线就相互垂垂直， 所以呢，角 a、 o、 c 呢，就等于九十度时，则 a、 b 垂直于 c、 d 好。 如果若 a、 b 垂直于 c、 d， 则角 a、 o、 c 的 度数是这个，我们可以根据垂直的性质，如果两条直线垂直，那么它们所相交所形成的四个夹角都为九十度，所以呢，角 a、 o、 c 的 度数就是九十度。好。我们来看第二题， 如图， o、 a 垂直于 o、 b， 那 角 a、 o、 b 就 等于九十度。好。如果角一等于六十二度，那我们角二就等于九十度减六十二度，对，等于二十八度，因此呢，我们这一题选 a 好。 第三题，如图，直线 a、 b、 c、 d 相交于点 o、 o、 e 垂直于 o、 c。 若角 a、 o、 c 等于五十八度，那问我们角 e、 o、 b 的 度数等于多少？好，这个时候我们可以看到 e、 o、 b 是 不是在这好 o， 因为我们知道 o、 e 是 不是垂直于 o、 c， 所以呢，也就相当于这样，对吧？那 c、 o、 e 等于九十度，同时呢， e、 o、 d 是 不是也等于九十度，对吧？好， e、 o、 d 等于九十度的话，这边也是垂直 a、 o、 c 等于五十八度，那我们根据 对菱角相等，角 b、 o、 d 也等于五十八度，因此呢，角 e、 o、 b 呢？角 e、 o、 b 就 等于九十度，减去角 b、 o、 d 等于九十度，减去五十八度，也就等于三十二度。因此第三题呢，我们就选 b。 好。第四题，过直线 l、 y， 一 点 p， 画 l 的 垂线 c、 d。 问，使用三角板的操作，正确的是好，过一点画以已知直线的垂线，对吧？好，那我们就紧跟着 垂线的画法，它的规则来。第一个，我们看 a 选项 a 的 话，这个三角板的直角边，你是不是要落在这个已知直线上，所以这第一个肯定错。第二个呢，直角边都没有落到已知直线上，所以 b 也错误。第三、第三， c 呢，虽然你这个直角边落到已知直线上，但你另一条直角边没有经过这个已知点，对不对？ 你另一条直角边，你就要过点 p 啊，对吧？好，那只有我们的 d 选项了，对吧？你看这条直角边呢，过一只直线，另一条直角边呢？过一只点，沿着这条直角边画直线，也就是过点 p 画直线 l 的 垂线。 好，我们来看第五题，过点 p， 画出射线 ab 的 垂线。第一个啊，过点 p， 画射线 ab 的 垂线，我就直接画了，大家要用三角板来画， 当我们画完之后呢，垂直符号一定不能忘。好。第二，过点 p， 画出线段 a、 b、 c、 d 的 垂线垂足分别为 m、 n， 我 们先过点 p， 画线段 a、 b 的 垂线 垂直符号。好，那我们画这个 c、 d 的 垂线的时候，我们会发现这个 c、 d 不是 线段吗？其实画线段的一条垂线呢，过点画线段的垂线，就是画线段所在直线的垂线，这个时候我们就要延长 c、 d， 延长 c、 d 之后呢？这个啊，这个刚刚垂足，是不是 m 一定要写上？然后呢，过点 p 画直线线段 c d 的 垂线，画它延长线的垂线，这样画下来，然后这个垂足呢，是点 n。 好， 这是第五题 第六个，如图，在一张透明的纸上画一条直线 l， 在 直线 y l y 任取一点 q， 并折出过点 q 且与 l 垂直的直线，那其实就相当于让我们我们先可以先画吗？过点 p 做直线 l 的 垂线是不是有且只有一条？那这样的直线我们是不是就 沿着这个垂线折对吧？ 因此这样的直线呢，只能折出一条，对不对？依据是什么呢？ 依据就是在同一平面内过一点，有且只有一条直线，与已知直线垂直。 好，下面这是第六题，我们下面看第七题，下来说法正确的是垂线段是什么呢？我们就是垂线段的定义呢？这个考察就是垂线段呢，就是过直线外一点，向已知直线做垂线，这一点到垂足之间的线段，我们才叫做垂线段。七题考察的是定义，所以我们选 d 好。第八题呢，从直线 ef、 y 一 点 p 向 ef 引四条线段，分别是 pa、 pbpc 以及 pd， 其中我们最短的一条考察的什么？那就是垂线段最短对不对？我们可以看到 pb 是 不是垂直于 ef， 因此呢，最短的一条，我们就选 b， 那 就是 p b。 好。 第九题，自来水公司为某小区 a 改造供水系统，如图呢，沿道路，沿路线 a o 铺设管道，和主管道 b o 衔接，同时 a o 呢，垂直于 b o， 那 路线最短，工程造价最低，根据什么？根据是梁过直线，那就是垂线段最短，对不对？ 我们要过点 p 嘛，相当于做这个 b o 的 垂线，这个垂线段最短。 第十题，下列图形中，线段 p q 的 长度，表示点 a 到直线 a 的 距离的，是 那一点到直线 l 的 距离，我们就是向点 p， 就是 点 p 到直线 a 的 垂线段的长度，对不对？好，那我们就过点 p， 向直线 a 做垂线。好。 首先呢，我们要过点 p 向直线 a 做垂线 a 选项，那肯定是不对的，因为他垂线怎么做，是不是应该这样做？那这一点才是点 q 对 吧？好，第二个呢，也是他做反了，我们应该是过点 p 向直线 a 做垂线，这是应该是点 q。 第三个显然是正确的。那第四个呢，这是线段 a 对 不对？ 直线 a 的 话不够长，那我们就要适当的延长。然后呢，过点 p 做线段，做直线 a 的 垂线，这才是点 q， 所以呢，这一题我们选 c 选项好，那我们看第十一题，某同学呢，在体育课上跳远后留下的脚印呢？如图所示，那么他的跳远成绩是 abcd， 我 们选哪一个？ 我们首先要知道呢，跳远成绩是从起跳线到脚印最近点的垂直距离好，这是起跳线到脚印最近点 p 呢？那肯定是按点 p 对 不对？ 起跳线到脚印最近点的垂直距离，那就是垂线段 ap 的 长度，对吧？那它的跳远成绩呢，我们就选择 c 选项 ap 的 长。 下面呢，我们来看第十二题，已知直线 a、 b， c、 d 相交于点 o、 o e 垂直于 c， d 垂足为 o， 若角 a o e 等于五十度，问我们角 b、 o、 d 的 度数为多少？首先呢，这个这个题呢，他没给我们画图，对不对？我们当我们画图的时候，这个地方有个小陷阱， 这个图形呢，我们要考虑周全。好，它有两种情形，第一种呢，是 ab， 是 这个方向， a 在 左上， a 在 右上， b 在 左下。好，这是点 o、 o、 e 垂直于 c、 d， 那 我们再画一条直线， o、 e 垂直符号标上，现在问我们角 b、 o、 d 的 数，也就是这个大角对不对？那 b、 o、 d 的 话，是不是和 a、 o、 c 是 对？顶角对不对？和 a、 o、 c 是 多少度呢？我们知道 a、 o、 e 是 五十五度，又因为 o、 e 垂直于 c、 d， 那 这个是九十度，对不对？那这个角 a、 o、 c 呢？就相当于五十五加九十，五十五度加九十度，那就等于一百四十五度，对吧？好，第一种情况的四是一百四十五度，这是一种情况。第二种情况呢，也就是如果我这个，这是 c， 这是 d， a、 b 是 朝这个方向的。 好，这个时候我再画一个 o、 e 垂直于 c、 d， 那 这个时候呢，角 a、 o、 e 等于五十五度，现在问我们角 b、 o、 d 是 多少度， 那我们会发现 a、 o、 e 加 e， o、 d 加 b、 o、 d， 是 不是一个平角九十度对不对？等于一百八十度，对吧？那这个是九十度，那这俩角相加是不是也是九十度？那它角 b、 o、 d 就 等于九十度，减去五十五度，等于三十五度。好，所以呢，这一题就是一百四十五度或者三十五度。 好，来我们看下一题。第十三题，如图，已知直线 ab 垂直于 l， bc 垂直于 l， 垂足为 b。 那 问我们 abc 三点在什么什么上？因为我们发现 ab 垂直于 l， bc 垂直于 l， 那 b 点垂足为点 b 对 不对？那 abc 肯定都是在同一条直线上，对， 依据呢，就是在同一条平面内过一点，有且一条直线与已知直线垂直。 好，下面呢，我们来看第十四题，如图呢，这是光的反射视域， c、 o 呢是入射光线， o、 d 呢是反射光线， o、 e 是 法线， e、 o 呢？垂直于 ab， 角 e、 o、 d 是 入射角角 c、 o、 e 角 e、 o、 d 是 反射角角 c、 o、 e 等于角 e、 o、 d。 如果角 a、 o、 c 呢，等于二倍的角 e、 o、 d， 那 么入射角 c、 o、 e 的 度数为多少？好，我们重做题的时候，从这个这个这个这个信息出发，角 a、 o、 c 等于二倍的角 e、 o、 d 对 不对？因为我们知道 e、 o、 d 和角 c、 o、 e 是 不是相等， 那么就相当于 a、 o、 c 等于角 a、 o、 c 等于二倍的角 c、 o、 e 对 不对？这个角等于二倍的角 c、 o、 e， 那 我们就相当于把这个角这个， 因为我们知道 o、 e 是 不是垂直于 ab 的， 对不对？九十度嘛，那 a、 o、 c 是 这个角的二倍，那相当于我们把这个九十度平均分成三份，对不对？九十除以三，等于三，三十嘛，所以 c、 o、 e 呢，就等于三十度。 好，来，我们看第十五题，三角形 a、 b、 c 直角三角形 a、 b、 c 中呢？ a、 c、 b 等于九十度， b、 c 呢？等于四， a、 c 呢等于三， ab 等于五。好，第一问，点 b 到直线 a、 c 的 距离是点 b 到直线 a、 c 的 距离， 那就是垂线段的长度，对不对？过点 p 向直线 a、 c 做垂线垂线段 b、 c 的 长度就是点到直线 a、 c 的 距离，对吧？垂线段的长度是谁呢？就 b、 c 的 长度嘛，那就是四单位带上， 题上给了厘米，那我们在写答案的时候，单位也要带上，那么点 a 到 b、 c 的 距离呢？ 同时呢，也是我们点 a 到 b、 c 过 b、 c 做垂线，垂线段 a、 c 的 长度，那就是三厘米。 好，那我们第二题的画出点 c 到 a、 b 的 距离的垂线段 c、 d， 并求出 c、 d 的 长，那我们过点 c 做 a、 b 的 垂线， 这是 d， 好， 让我们求垂线段 c、 d 的 长度。那我们利用什么呢？三角形面积相等嘛，对不对？因为你看这个三角形的话，我们按直角边底乘高二除以二，对吧？等于按这个底，按这个高除以二，对吧？好，我们开始 二分之一乘以底的话，我们按 ac 乘以三乘以四等于二分之一乘以底，按 ab 的 话，就是乘以五乘以 c、 d， 那 所以呢， c、 d 就 等于 五分之十二 cm 厘米啊。好，第三题， ac 和 cd 比大小 ac 和 cd 比大小，你看 ac 和 cd 是 啥意思？你看，相当于 点 c 做了过点 c， 做了直线 ab 的 垂线，对不对？然后呢，这是一点，那我点 c 到直线 ab 的 距离肯定垂线段最短嘛，所以 ac 肯定是大于 cd 的， 对不对？理由是什么？垂线段最短？ 好，下面我们来看第十六题，如图呢，直线 ab， cd 相交于点 o、 o、 m 呢，垂直于 ab， 那 这个呢，就是直角，我们先把直角符号给它标上。好。第一问，我们是角 a、 o、 c， 这个角 a、 o、 c 的 邻补角。好，我们写一个相邻且互补的角嘛，我们是不是角 c、 o、 c 是 不是互为邻补角 好，角 a、 o、 c 的 邻补角为角 b、 o、 c。 好。 第一题，下面第二问，如果角一呢，等于角二，判断 o n 与 c d 的 位置关系， 并说明理由，我们可以首先从题中呢，因为我们是不是知道 o m 垂直于 ab 对 不对？ 那这个 m o b 就 等于九十度，对不对？ m o a 也等于九十度，对吧？所以呢，角一加这个角是不是就九十度？我们又因为角一和角二是不是相等，所以角二加这个角也等于九十度，那么角 n o c 等于九十度之后，那 n o c 是 不是就垂直于 cd 了，对不对？那我们就可以这样写了， 因为首先这个解都要写上啊，解，因为 om 垂直于 ab， 用垂线的定义对不对？所以呢，角 a o m 等于九十度，那它等于九十度之后呢？所以角一加角 a o c 就 等于九十度，对不对？又因为角一等于角二，所以角二加角 a o c， 也就是角 n o c 等于九十度，对吧？因为这个角等于九十度，所以我们 o n 就 垂直于 cd， 对 吧？利用的也是就是垂线的定义嘛，就是垂线垂直的判定，所以呢， o n 垂直于 cd， 好。 下面呢，我们来看第三问， 那就是因为角一等于四分之一角 b o c 对 不对？我们并且角一加角 m o b 等于角 b o c， 角一加角 b o m 等于角 b o c， 好。 这一点呢，我们要看角一等于四倍，四分之一角 b o c 是 不是？那就是四倍的角一等于角 b o c， 对 吧？等一下啊，再往下写一步，即四倍的角一等于角 b o c 角一加角。 然后呢，我们就把这个角 b o c 等量代换嘛，不就相当于 四倍的角一是不是等于角一加角 b o m， 所以呢，那就相当于三倍的角一等于角 b o m 呢，等于九十度，那所以呢，角一就等于三十度，对吧？好，角一等于三十度的话呢，我们要求的是什么？求的是角 b o d 的 度数，角 b o d 不 就等于， 所以角 b o d 等于九十度，减去三十度，等于六十度，对吧？好，最终答案呢，是角 b、 o、 d 等于九十度，减去三十度。最后呢，我们来看第十七题， 如图，直线 ab 和 cd 相交于点 o o b 平分角 d o e o b 平分角 d o e， 那 么这两个角就相等了，对不对？角 b o d 等于角 b o e。 好， 第一问， 若，若角 b o e 比角 e o c 等于一比四，求角 a、 o c 的 度数，让我们求角这个角度数，其实角 a o c， 我 们会发现和角 b o d 是 不是对零角，对不对？因为这个是不是平分线 o b 是 角平分线，所以这三个角是不是都是相等的，对吧？ 那其实我们可以设这个角为 x， 那 这个角也是 x， 这个角也是 x， 因为角 b o e 比角 e o c 等于一比四，所以这个是不是四 x， 那 这个 x 加四 x 加 x， 一 共是六 x， 是 不是等于一百八十度？那 x 是 不是就等于三十度？这样我们就能求出来了？ 好，我们开始，因为呢， ob 平分角 d o e。 好，然后呢，我们就设角 a、 o c 等于 x， 对 吧？这个是 x 的 话呢，这个也是 x， 这个也是 x， 因为 b o e 比 e o c 等于一比四，所以呢， 角 e、 o c 等于四 x 度，也就是四 x， 对 吧？角 b o e 呢，等于 x， 因为这三个角相加是不是等于一百八，所以 x 加四 x 再加 x 等于一百八十度，所以 x 呢，就等于三十度。 因此呢，我们求的角 a、 o c 就 等于三十度。好，来，我们看第二问， 那我们在一的条件下呢？也就是说这几个角都是三十度的条件下，这几个角是不是都是三十度，对吧？三十度，它也是三十度。在一的条件下，画 o f 垂直于 c、 d， 请写出角 e、 o f 的 度数。那这样的话，应该是不是也应该有两种情况，如果 o f 的 话是在这儿， f 垂直于 c、 d， 这是一种情况， f 在 上面，因为你看这样嘛， f 可能在这， f 也可能在这，分两种情况，我们一个一个来讨论。好。第一种情况，我先画个图。 好，那我们来看第一种情况的话呢，这是 o f 啊，这个点好，那因为我们知道 o f 画 o f 垂直 c 里直接写出角 e、 o f 的 度数，角 e、 o f 就是 这个，对吧？好，那我们看好这个。首先是九十度，对不对？这是三十，这是三十，那就是九十加六十，那就是角 e、 o f 等于一百五十度。也就是当 o f 在 直线 ab 上方时， 角 e、 o f 等于一百五十度。那我们再看第二种情况， 当 o f 在 直线 ab 下方时，我们看角 e、 o f 等于多少度，这是不是 o f 垂直于 o d， 对 不对？那这个是九十度。现在问我们 e、 o f 等于多少度？这个是三十，这个三十，这个是六十，对不对？那我们九十减六十，是不是就是三十度？ 好， 第二种情况是，当 o f 在 直线 ab 下方时，角 e、 o f 呢，就等于三十度。

我们来看这几道题怎么做啊？先看第一道题。 第一道题是 m 的乘方除以啊，这两个是同级秘书相乘的。好嘞，我们先算这个啊。先算乘方。呃，我不写减了啊，不写减了，你们住嘴。也有写好了。这个呢，我们就按照这个来算呢，是吧？ a 呢，三乘以二 啊，除以 a， 四方乘以 a。 这个要注意啊，他们两个本来先算好 他俩呢，现在啊，我们还说是从左到右，因为这里是除，这里是乘，可记得来啊。这个地方呢，有很多同学会啊，会把他心算出来是吧？啊，那他就等于 a 三六 六次方，除以 a 的四次方，再乘以 a 的一次方。这是乘啊，这是乘。好，那么我们来算同题。秘书相除你不变指数相减，再乘以 a， 那么就等于 a 平方乘 a， 等于 a 的三次方啊。 注意一点啊，你如果这个地方有个在家，家里算的就不对了，这是从左到右，这个规律还是没有改变的，他是一样的啊。哎，先算乘除法，后算加减，对不对？我们现在引入了乘方，那就先算乘方， 再算乘除，后算加减啊。那么如果他们都是及时压的，比如说这个这边是除，这边是乘，那么按照从 从左到右这样来算，这这个题要注意一点是吧？好， 那么我们再来看这道题啊。这道题他有没有括号？有括号，我们要先算括号对不对？先算括号啊，我直接写这道题啊。那既然先算括号呢？他照抄同级别数相除几，不变指数相减四加 好这个 x 平方啊。熟练了以后，就可以直接写 x 平方了啊。哎，平方好。下面是什么呢？六式除法，同级别数相除底不变，指数相减， 所以等于 x 四字啊。啊，这面题就是这个题，要注意点啊，很多同学会欣赏这个 对吧？那有括号的是应该先长大，但他没有括号是吧？好，我们再来看这个。啊。这个结。这个是加，这个是除法，所以我们应该先穿这个。可是啊，哎，先穿这个啊。哦，二哎，三方加上哎，这个有个麻烦，同学们发现呢， 分什么？这地方是负担负。 a 的三次方有三十七数，这个结果是个负担，可是个负担。哎，他是个负担。那么这个一出了以后呢？这个结果也应该是个负担跟一个负担。所以我们把负担写到框外面来。 谢谢了。外面的啊，这样就变成了 a 的六次方除以 a 的三次方， 底不变，指数相减。好了，这题目应该是这样的。看啊。 啊，我再说一遍啊，你如果熟练了以后，可以直接把这个号给他改掉，因为他是负的。这两个一阵一负对吧？哎，一阵一负，他们两个相处，那么他符号应该是负的 啊。哎，这应该是负的啊。这有好几种做法，根据你个人的喜好啊。个人的喜欢。好吧。啊，我呢，就把这个老括号他的结果负的。我拉到前面来。同级秘书相处底不变，指数相减 啊。 a 三方减去 a 三方。那这个的结果就是 a 三方， a 三吗？好好，同学们，我来发这几道题看一下啊。呃，八分之一的零次发八分之一的零。 零次法应该等于七啊，应该等于七是不是？哎，不等于零的数的零次方等于一啊，那就等于一。 好。那么一乘以他，我们就读书了啊。一乘以乘以四个负二次方，乘以二个四次方。 那这个时候怎么办呀？啊，这里是四，这里是二，不同底。可是呢，是不是发现不同底啊。这个时候我们要变啊，要变这个四，我们可以把变成这样来看啊，这个衣服就可以填了四，我们可以把写成二的平方， 然后再什么再发四方看。好嘞。哎，对吧，我为什么要变啊？有的要变成同体秘书啊。同体秘他是四，他是二，不行。那四我怎么变呢？我变成二的平方。 然后这个又怎么办呢？这个给按照这个来算，按照这个来算啊。好，那咱就等于啊，乘上一个狂欢付啊， 再成长一个二的四字方。可是啊，对吧。哎，应该是这么做了啊。好，这样我就把他两个变成什么啦？同级啦。同级必数相乘几不变，怎么样？指数相加这负四加四，零 二的零次方，二的零次方。那么他应该等于几呢？应该等于一 啊。这个题就是在这个地方啊，和同学们的身边就是这道题跟别的题不一样的地方。 看，好像很简单啊。看，好像很简单，但是我要学会这个。那么 来看看这一道题啊。这一道题又怎么办呢？我们也要变啊。好，你看我来做 这个，我们可以做两遍。二十二，这个是十一，我可以把它写成这样子的啊。二乘以十，一乘以二十五的十一次方， 对吧？哎，我为什么要变声音，我尽管有时间，我第一是没有办法变样了。这下第一是没办法了，但是我可以把它指数变一样。 这几为什么变不能变？因为他是二十五，五是单数是吧？他呢？二呢？二呢？怎么变也变不出来。二十五，或者说二十五，怎么变都变不出来啊。这个时候我们要想到变指数啊。变指数呢。同学们说，这怎么变？你看我变成二十十一，不就是十一了吗？ 好，那再来啊。那这个又怎么办呢？可以变成这样的。同学们看啊，哎， 这个啊，这个，我倒过来也是使用啊。我把倒过来使用的是不是按的平方十一次方。好，这里再写一个二十五乘十一次方。 他两个指数是一样的，指数是一样。我们在上学期就学习，学过了是吧？上学期就已经会了哦。啊，但是我们可以把它写到外面来。你看是这样的。 好嘞，那就等于一百的十一次啊。这题本就这么做啊。这后面这几道题灵活性比较大一点啊。你看这个 和这一个，我们都要学会变。那这一道题呢？啊，这道题又简单啊。这道题简单。嗯， 指数是一样的吧，我们可以仿照这个同指数来做，对吧？好。二乘上二分之一，括号二零一零次方。 那么他一个比一，这是一种方法。还有一种方法呢？在这里他出这道题的目的不是让我们用这种方法来算的，他是需要我们把这个变成同级啊。好，我再说一下啊。二的二零一零乘上一个二分之一，二零一零， 他应该是等于二的二零一零啊，乘以二分之一，我们可以把它写成二的负一次方， 对不对？二的负一次吗？就二分之一啊，二零一零。好嘞，就是命的乘方。我们再写啊，再写二的二零一零乘上一个二的负，他俩是相乘的关系啊。 密的乘法。我们来理由啊。好嘞，二零一零，这样我们就变成同级啦对吧？同级秘术相乘几不变，指数相加。这两个相加刚好是等于零。哎 哎。他编这道题的目的是要求我们像这样做的哎。其实我们也可以这样来做，但指数不一样啊，指数不一样，这个我们上学期就会做到是吧。好啦，那同学们就是关于啊这个同级必输的相传和相 相处这方面知识了，我们就全部讲完了。下一步我们要开始学单相识多相识，混合相乘了。啊。好，今天课就到这里了，结束再见。

折叠求角度问题一定是我们七年级下册相交线与平行线这一章节的一个压轴题之一，那百分之九十五的同学都不知道如何利用同位角、内错角、同胞内角这三角的关系来解这类题目。那今天呢，我们来看这样的一道经典题型 们来看题。如图，将一张长方形纸片 a、 b、 c、 d 连 e、 f 折叠后， c、 d 两点落在点 c 撇 d 点的位置， c 撇移交 a、 f 与点距，测得角一为五十五度，这让我们求角二的度数是多少度， 那照求一个难，大难点就在于说这角一和角二是没有直接的关系的，那没有直接关系我们要怎么去做呢？ 这里我们来用同位角，同旁内角还有内错角这三者关系来做一下这道题目。那本道题目解题思路有很多，这里我们来讲其中的一种好。首先呢，我们来看一下， 根据这道图，我们可以先得到两个信息，那一个是 a、 d 平行于则 bc， 因为它是一个长方形纸片， 然后还有一个就是 d 撇 f 平行于 c 一， 因为我们这里把它折回去完以后，它们两个也是在 b、 c、 a、 d 两条边上，所以它们也是平行的，那这样的就是一个隐形的条件，那为什么说我要用上这样的隐形条件，这里的话还有一个隐形条件就是在于角 c 撇 e、 f 和这角 e， 我们知道他这里折叠出来，那折叠出来的这角和这个角一，它的度数是相等的，对吧？所以我们就可以得到第三个信息，就是 角 c 撇一 f 等于角一等于五十五度，那他等于五十五度，他也等于五十五度，那两个相加起来是不是可以得到角 c 撇一 c 的 度数了？所以调 c 撇一 c 等于角一的两倍，等于一百一十度，那这个大角我们标一下，它是一百一十度， 那有的同学会问说，那我们做好这一步的意义在哪呢？别着急，我们来看一下，那这是大角一百一十度，它和哪些角有特殊关系呢？哎，我们来看一下这角，角 c 撇 g、 f， 这是角，我们发现它是不是和这一百一十度的角是不是为同位角关系？ 那我们知道两直线平行，这里 a、 d 和 b、 c 是 不是平行了？那同位角是相等的，所以就可以得到 角 c 撇 g、 f 是 等于角 c 一 c 等于一百一十度的，我们这里给它标一下。好，那么都要这角完以后，我们来看一下这个角它和角二有什么关系？那这里我们可以把图给它画出来一下， 图画出来以后，这两条直线它们是平行的，然后这是角二，这就是我们该所求到的一百一十度的这角，那我们来看一下，如果我们这里把手机屏幕给它倒过来一下，我们会发现，哎，这个角和角二是不是同旁内角， 那我们知道两只线平行，同旁内角，它们关系是互补的，所以我们就可以得到角二等于一百八十度，减去一百一十度等于七十度。那这样一来，我们是不是就构建起了角一和角二的这个关系，从而求得角二的度数就为七十度，那我们这道题目就解完了， 那么这只是其中一个解析速度，那么你还有其他的解析速度吗？欢迎你在评论区留言哦！

首先咱们来看到类型一，利用方程思想求角一，如图，已知 a、 b 平行 c、 d， 角 a 等于角 c 等于五十度啊， 好，那么这个时候我们是不是就可以在图中把这些已知条件哎，可以标一下啊，五十度， 好。线段， a、 d 上从左到右依次有两个点 e、 点 f， 点不与点 a、 点 d 重合， 一是说明，一是说明 a、 d 平行什么？哎， bc 啊，好，那么要说明 a、 d 平行 bc 好 了吗？知道角 a 的 度数啊，而题目还已知了一组什么哎，平行线已知 a、 b 平行 cd， 那 么在这里 a、 b 平行 cd， 并且角 c 等于五十度啊，那么我们是不是就可以用什么？哎，同城内角互补求得角 a、 b、 c 是 什么？一百八十度减五十度也就是什么，哎，一百三十度啊， 好，那么它是一百三十度。角 a、 b、 c 加上角 a 是 不等于一百八十度啊？那么根据同旁内角互补两直线平行，那么由此是不是就可以推得 a、 d 平行 bc 呀？ 好，这个是我们的 d 小 问 a、 b 平行 c、 d， 所以 角 a 加角是吗？哦，它是从这边导的 a、 d、 c 啊，也是可以的是不是？ 好，那么角 a 加角 a、 d、 c 等于一百八十度啊，那么刚刚老师是不是先求的是角 a、 b、 c 啊？哎，你也可以像他一样利用什么 a、 b 平行 c、 d， 哎，先把我们的角 a、 d、 c 给求出来啊。 好，那么角 a 是 五十度啊，所以说角 a、 d、 c 是 不是就是一百三十度啊？呃，然后因为角 c 等于什么啊？五十度啊，所以说角 c 加角 a、 d、 c 是 不就等于一百八十度啊？所以啊， a、 d 是 平行 bc 的 啊， 好，看到第二小问，若角 f、 b、 d 好， 我们先把已知条件啊，把它标一下，角 a 是 什么？哎，五十度。并且在第一问，哎，咱们是不是求了角 a、 b、 c 是 什么？哎，一百三十度啊， 还有啦，角 c 也是五十度，呃，然后 ab 平行 cd， a、 d 平行 bc 啊，好，然后我们再来看一下第二问，若角 fbd， fbd 比上角 cbd 好，那么它们的比值是什么？哎，一比四，那么出现了什么？哎，角度的比值，那我们实际上是不是就可以采用什么等比设差的方式去做啊？好，那么如果说在这里我们设角 f、 b、 d， 为什么？哎，它的度数为 x， 那么角 c、 b、 d 啦，是不就是四 x 好， 那么它是四 x 好， 可以在图中标一下啊，这个是度数为 x， 这个为啦四 x 好， b、 e 平分角 a、 b、 f 啊，也就说明呢，角 a、 b、 e 和角 e、 b、 f 这两个角是相等的，且角 e 等于角什么？ a、 b、 d、 c 好，那我们来看一下，角一和角 b、 d、 c 相等，那么这两个角既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，那么它们相等好，那么在这里，我们是不是就会借助到我们之前所带来的什么平行？你看 a、 d 平行 bc 好， 那么 a、 d 平行 bc， 那么实际上，哎，角一和什么角 e、 b、 c 是 不就是相等的呀？哎，两直线平行类错角相等，而在这里，角 b、 d、 c 实际上和角 a、 b、 d 是 不就是相等的呀？哎，那么理由是什么？ ab 平行什么 cd 好？ ab 平行 cd 啊，所以说，带来角 b、 d、 c 是不就等于角 a、 b、 d 啊？好，那么经过什么？哎，等量替换，那么实际上在这里，角 e、 b、 c 和角 a、 b、 d 相等。好，你看 e、 b、 c 和角 a、 b、 d 都有一个什么公共角 e、 b、 d， 那 么我们同时把角 e、 b、 d 减去，是不就会带来什么？角 a、 b、 e 是 等于角什么？哎， c、 b、 d 的 啊？好，那么 a、 b、 e 等于角 c、 b、 d， 也就说明了， a、 b、 e 是 不是也是，为什么？哎，四 x， 而 b、 e 呢，又是平分角 abf 的 啊？所以说，在这里， e、 b、 f 是 不是也是什么四 x？ 好，然后呢，它让你判断 b 一 与 a、 d 的 什么位置关系啊？那么 b 一 与 a、 d， 哎，这两条直线，那么两条直线的位置关系，那么是什么？ 哎，有什么特殊的位置关系呢？其实我们可以先去什么啊？猜测，因为它们已经是相交了，所以说不可能是什么，哎，平行的，所以会猜测它是什么？哎，垂直对不对？好，那我们 是不是就需要去把角一给求出来？而角一等于角 c、 b 一 啊，也就等于什么？哎，九 x。 那 么在这里，我们是不是就需要去把 x 给求出来呀？ 而 abc 是 已知的哎，并且是不还可以用什么四 x 加四 x 加 x 加四 x 来表示对不对？好，所以说，在这里，我们是不是就可以列方程啊？四 x 加上四 x 加上 x 加上四 x， 是 不就等于什么？哎，一百三十度啊， 好，也就是什么四加四，然后呢？再加四，哎，那也就是十三 x， 然后等于一百三十，解得 x 等于多少呀？哎，十度啊， 好， x 等于十度，而我们代求角，角一是等于什么？哎，九 x 啊，所以说角一等于九十度，则 b 一 和 a、 d 是 不就是一个垂直的位置关系啊？ 好，我们来看一下标准的一个什么哎，解答过程啊，好，它让你判断 b、 e 与 a、 d 的 位置关系啊。解， b、 e 是 垂直 a、 d 的 哎，例如如下， 那么因为 a、 d 平行 bc 啊，所以说角 e、 d、 c 等于角什么 a、 b、 d 的 啊， 好，又因为题目条件告诉了角一等于角什么哎， bdc 好， 所以说角 a、 b、 d 等于角什么？哎， e、 b、 c 啊， e、 b、 c 好， 那么同时减去公共角 e、 b、 d， 也就是什么角 a、 b、 e 是 等于角什么哎， d、 b、 c 的 好，然后等比设差啊，设角 f、 b、 d 等于什么？哎， x 度啊， 则角 d、 b、 c 啦，是不就是四 x 度。那么又因为 b、 e 是 平分角 a、 b、 f 的， 所以说角 a、 b、 e 等于角 e、 b、 f 等于什么？哎，四 x 啊，好，那么利用角 a、 b、 c 等于什么？哎，一百三十度去构建方程，也就是，所以四 x 加四 x 加上 x 加上四 x 等于什么？哎，一百三十， 所以 x 等于十，所以角一是不就等于九十啊，那么所以啊， b 一 垂直 a、 d 好， 那么这是我们的第一小题好，那么第一小题哎，主要是考察了平行线的什么哎，判定以及它的一个性质啊，那所以说，你看，我们可以哎，做完一道题可以进行一个什么哎，小结， 好，我们看一下，你看，如果说下次我们再遇到这种什么欸，角度的 big 数关系，那我们是不是就可以进行什么欸，等比设参 好，那么无论是告诉你什么啊，角度的相等关系，角角度的一个什么啊，它的一个比值或者是倍数关系啊，我们都可以去什么啊？等比设参，再去结合已知条件啊，进行什么啊，利用方程思想去解析啊？好，这是第一小问， 大家没问题的同学可以在聊天栏里回复一个。一，如图，直线 a、 c 平行 m， n 点 b、 d 分 别在什么 a， c、 m、 n 上连接 b， d， b、 e 平分角 c， b、 d。 好， 那也就是什么角 c， b、 e 等于角什么哎， e、 b、 d 啊， 动点 p 在 线段什么哎 b 一 上不与点 b 一 重合去连接 d， p。 好， 第一小问，求角 b e n， b e， n 加上角 d， b e。 好， 我们看一下哎，那么实际上第一问是不是我们就可以快速的把它给做出来呀？好，你看 b e、 n， b， e， n 加上角什么哎 d、 b、 e 而根据什么哎， b e 平分角 c， b e 啊，那么实际上这里相当于是什么角 b， e、 n 加上谁啦？ 因为 b e 平分角 c、 b、 d， 所以 说 b、 b、 e 实际上是等于什么哎， c、 b、 e 的， 所以说这里是不是就相当于加上角 c， b、 e 啊？好， b e， n 加上角 c， b e 是 不是等于一百八十度啊？是不是啊，那么因为它什么 有一组平行 a、 c 是 什么哎，平行是 m、 n 的 啊，那么由此是不就可以推得它是等于什么哎，一百八十度的啊？ 好，这是第一小问好，大家可以看一下一个标准的一个解答过程啊，解，因为什么啊？大家好，自己看一下第一小问的解答过程，老师就不再练了啊。 好，那我们一起来看到第二小问，若角 a、 b、 d 等于什么哎，五倍的角 p d 一， 那么刚刚在上一题，老师说了， 遇到这种什么哎，角度的比值或者是什么哎，倍数关系的时候，我们是不是就可以去等比设差呀，所以说在这里，那我们可以设什么？哎， p d 一。 哎，假设为什么阿尔法 而而 a， b， d 呢？等于五倍的角 p d， e 也就是多少呀？ a， b， d 是 不是就是五 r 法呀？好，且，角 b， p d 啊， b p d 加上 n 倍的角 p d， e 是 等于什么？哎，九十度的 n 大 于零，要求什么 n 的 值？好，那么实际上在这里我们的等量关系题目已经给出来了，对不对？ 角 b， p d 加上 n 倍的角 p d， e 等于什么九十度？好，而在这里 p d， e 我 们是不是用 r f 去表示了呀？那我们就来看一下 allow for 去用什么 算法的一个代数式去把角 b， p d 给表示出来。好，那么在这里我们来观察一下 b， p d 它好像哎，与我们的什么？哎，你看已知的这两个角，那么与这两个已知角是不是就没有直接的联系啊？ 那么如何才能把我们的什么 b， p d 与啊题目中告诉的这些角去联系起来啦？那么实际上在这里我们是不是就可以通过添加什么啊？平行线，那么通过平行线的一个性质啊，去把它们给联系起来？好，我们可以过点 p 去做什么 a c 的 平行线啊， 好做 p q 平行 a c 啊，好，根据什么平行线的传递性啊，而在这里 a c 又平行什么 m n 啊？所以说，实际上，那么 p q 不 仅是什么平行 a c 的， 是不是还是平行什么 m n 的 啊？那么这是什么？哎，三条直线都是互相平行的啊，好，我们看一下，你看， 那么如果说 p q 平行 m n， 那 我们是不是就可以推得角什么 q d 是 不就等于角 p d e 等于 r 法呀？好，所以说角 q p d 等于角 p d 一 等于什么？哎， r 法啊，好，然后我们再来看一下，那么要表示出 b p d， 那 么 b p d 等于角 d p q 加角什么？哎， b p q， 那 么现在是不是就要把 b p q 给表示出来？好，在这里 b p q， 哎，那么它是不是等于角 c b p 啊？是不是？好，所以说我们会想到把角什么哎 c b p 给求出来， 好，那么我们知道大题目条件 b e 平分角 d b c 啊，所以说角 c b p 是 不是就等于什么 d b c 的 一半？而 d b c 和 d b a 是 不是又是一个互补的关系啊？所以说它是不是就等于什么二分之一 乘 一百八十度去什么？哎，减去五 r 法啊， 好，那么 c b p 出来了啊，那么它是不是就等于角，是吧啊？ q p b 啊， 好，那么所以角 b p d 好，我们就把它给表示出来了，也就是角 d p q r， 然后呢，加上二分之一乘以一百八十度减五 r 啊，那我们把它化解一下，也就是加上什么？哎，九十度 减去什么二分之五 r 好， 也就等于九十度 减去什么二分之三什么阿尔法啊，好，然后把它带进去，对不对？好，那么又因为角 b p d 好， 那也就是九十度 减去二分之三阿尔法好，加上 n 倍的角什么？哎， p d 一 好，那也就是加上什么 n r 等于什么？哎，九十度啊，哎，那我们会发现这里是不是九十度和九十度是不是就消掉了呀？那么解 r 和 r 法也可以消掉，对不对？所以说 n 是 不是就等于什么？哎，二分之三啊， 好，所以说 n 就 等于二分之三，好，这是第二题的第二小问啊，大家看听懂了没有？呃，听懂的同学可以在聊天栏里回复一个一。 好，然后我们一起来看一下一个标准的解答过程应该如何来书写啊。 首先，是不是就去交代它的一个辅助线啊？减如图，过点 p 做什么啊？ a、 p、 q 平行 a、 b， 因为角 a、 b、 d 等于五倍的角，是吗？ a、 p、 d、 e 啊， 然后进行一个什么哎，等比设差啊，设角什么哎， p、 d 一 为 x 度，则角 a、 b、 d 是 五 x 度啊，所以说角 c、 b、 d 啦。一百八十度减角 a、 b、 d， 也就是一百八十度减去五 x， 好， 那么所以角 c、 b、 e 啊，二分之一角 c、 b、 d， 也就是九十度，减去二分之五 x 度， 好，那么再因为 a、 c 是 什么？平行 m、 n 的， 那么平行于同一条直线的两直线是平行的啊，所以说 a、 c 平行 p q 平行 m、 n， 所以 角 c、 b、 e 等于角什么啊？ b、 p、 d 啊， 是不就等于九十度减去什么二分之五 x 啊？ 角 q p d q， p d 是 不等于角什么啊？ p、 d、 e 是 等于 x 度的啊，好，那么因为角什么哎？ b、 p、 d 它是由角 d、 p q 和角什么哎 b、 p、 q 哎，组成的啊，它们之合好，所以说角 b、 p、 d 是不就等于把它们俩加起来啊，那也就是 x 去加上九十，减去二分之五 x， 好， 那么把它化简一下，也就是九十度，减去什么二分之三 x 啊， 好，那么根据已知条件，角 b、 p、 d 加角 n 倍的角 p d 一 等于什么哎，九十度啊，所以，那么你看，九十度减去二分之三 x 度，加上 n x 等于九十，哎，再去把 n 给解出来是等于什么？哎，二分之三的啊， 好，这是我们的第二题啊，好，那么第二题哎，实际上是一个非常经典的一个什么哎，拐点模型啊，那么让我们当我们下次自己再遇到这种哎，那么有这样的一个什么哎，拐点， 拐点，是不是？然后还有一组什么哎，平行线的时候，那么如何让拐点处的角与我们的已知角或者是带正的这些角联系起来啦？那我们是不是就可以通过什么哎，做平行，利用什么哎，平行线的性质， 哎，进行转角，那么进而与什么已知角或者是带球角去联系起来啊，好，这是第二题，大家看一下还有没有问题？好，没有问题的同学可以在聊天栏里回复一个一， 嗯，那么这道题它写的是什么？哎，一题多解，那么一道题有多个什么哎，解法，呃，如图， a b 平行什么哎， e， d 啊， 角 a， b， f 等于三分之一角，什么 a， abc 啊，角 e， d， f 等于三分之一角 c， d， e。 好， 若角 b， c， d 等于什么？九十度， 则角 f 的 度数。好，那么根据我们刚刚上一题，我们说，呃，遇到这种什么哎，拐点模型，那么如何将已知角与什么哎，你看他问的是什么？角 f， 那 么这个拐点处的角，那么如何去与什么啊？已知角去联系起来，对不对？那么是不是就 要通过什么来做平行，对不对？所以说，在这里我们可以分别过 c 点和 f 点做 a b 的 平行啊， 好，过什么？哎， f 点做什么？ f m 平行 ab 啊，同样的，那么过点 c 去什么？做 c， n 去什么？哎，平行 ab 啊， 好，那么做完平行之后，那么 m、 f 除了与 a、 b 平行之外，是不是还与 c、 n 或者是什么 d， n 是 不是也是平行的呀？哎，那么这四条直线是不都是平行的呀？ 好，呃，那我们来看一下啊，好，首先角 b、 c、 d 是 什么？哎，九十度啊，好，那么它是九十度， 而它是由什么？哦，老师，这里标一下，角一角二好，那么角 b、 c、 d 等于什么？哎，九十度， 所以说角一加上角二是不是就等于什么九十度啊，好，角一加角二等于九十度啊，而在这里 a、 b 是 平行 c、 n 的 啊，好，那么 a、 b 平行 c、 n， 所以说角 a、 b、 c 啊，那我们是不是就可以于什么啊？已知角啊，它所在的这里什么啊？这个小角角一去联系起来，角 a、 b、 c 是 不就等于一百八十度 减去角一啊？好，那么同样的 e、 d 是 什么平行 c、 n 的 啊？ 好，我把这里擦一下啊， 好，那么同样的，哎，这里是 a、 b 平行什么？哎， c、 n 啊， 好， a、 b 平行 c、 n， 然后平行是吧？哎， e、 d 啊，好， c、 n 平行是吧？哎， e、 d 啊，所以说角 e、 d、 c 是 不就等于一百八十度？减去什么角二啊？减去角二好， 那么 a、 b、 c 和 e、 d、 c 啊，好，那么表示出来了是不是？好，然后我们看一下，带求角角 f 的 度数啊，好，那么在这里角 f 的 度数啊，那我们把这个平行 做到这边，因为它求的是角 f 的 度数啊，我们可以把这边标成什么角三和什么啊？角四好，那么角 f 等于是什么啊？等于角三加上角四， 所以说我们只需要知道什么角三和角四的和，其可不一定说非要把角三和角四哎分别求出来，那么有的时候已知条件是不是求不出来的呀？所以说，我们只需要知道角三和角四的和 好，那么看一下啊，角三和角 abf 是 什么关系啊？是不就是相等的关系啊？好，那么角三是等于角什么哎， e、 d、 f 的 啊， 而 a、 b、 f 和什么哎， e、 d、 f， 哎，分别等于什么？三分之一角 a、 b、 c 和什么三分之一角 c、 d、 e， 那 我们要知道，角三和角四的和，相当于只需要知道什么 角 a、 b、 f 和什么角 e、 d、 f 的 和啊，所以说相当于需要知道什么角 a、 b、 c 加上角 c、 d、 e 的 和啊，所以说在这里是不是就可以把它们给加起来？好，我们看一下它们的和，角 a、 b、 c 加上角 e、 d、 c 是不是就等于什么哎，三百六十度去什么减，去角一加上什么？哎，角二，好，那么所以说在这里 角 a、 b、 f 加上角什么 e、 d、 f， 是不就是用什么啊？三百六十度减四角一加角儿的和，然后去什么啊，乘以三分之一，对不对？好，那三百六十度减三，也就是一百二十度， 好，减去角一加角二，其实是九十，对不对？好，好，在这里来算一下吧，三百六十度等于九十，是不是二百七十度啊？哎，我们可以直接用什么二百七十度除以三，也就是什么哎，九十度啊， 好，所以说这里是不是就是九十度啊？ 好，所以说它就是九十度，也就意味着什么角三加角四是不就是九十度啊？所以说横线上是不就填上，是吗？哎，九十即可。 好，这是，呃，这道题的一个什么哎，答案详解啊。好，那么解法一，哎，也就是刚刚老师所讲的这一种方法啊，那也就是分别是什么？过 c 点和 f 点去什么哎，做这样的什么哎，平行线啊，然后再进行倒角。 好，那么解法二啊，好，我们看一下。解法二，你看它是不是哎，除了过点 c 做 c、 k 平行 ab 之外，它是不是还在什么哎，拐点处啊，选择 角 b、 f、 d， 哎，它一条边所在的这条直线，哎，把它进行一个什么哎，延长，对不对？哎，与分别与我们的平行线去相交。好，那么这样的话，是不是也把我们的什么哎 e、 f、 d 啊，去与什么平行现象的夹角去什么啊联系起来啊？好，那么第二种解法，我们一起来看一下它的一个答题过程啊。 好，那么首先这里啊，由解法一所得，角 a、 b、 f 加角 e、 d、 f 等于九十度， 那么因为 a、 b 平行什么啊？ d 一 啊，所以说角 f、 l、 d 等于角什么 a、 b、 f 啊， 角 b、 f、 d 等于什么啊？一百八十度啊，好，那么因为角什么 d、 f、 l 啊？好，那么这里是不是就利用了什么哎，三角形的内角和啊？好，那么，呃，因为这是一个哎，选填，大家在小学也知道三角形的内角和是一百八十度啊，所以说在选填中我们是不是也可以快速的用一下哦，那么角 d、 f、 l 等于一百八十度，减去 角 f、 l、 d 减去角什么 e、 d、 f 等于九十度啊，所以说角 b、 f、 d 是 不是就等于一百八十度，减去角 d、 f、 l 啊，也就等于九十度啊？好，这是这一道题目， 已知 a、 b 平行什么 a、 c、 d 如图一，若什么 e、 k 平行 c、 d。 好，你看 a、 b 平行什么？哎， cd 了，然后呢？一 k 平行 cd 了，也就说明呢 ab 是 什么？哎，平行 cd 还是平行什么？哎，一 k 的 啊， 好，是说明角 b、 e、 c 加角 b 等于一百八十度啊，好，我们看一下要正的是什么 角 b， e、 c 减角 c。 而在这里我们来看一下角 c 这个角， 由于 k、 e 是 平行 cd 的， 那么角 c 这个角实际上和角什么 k、 e、 c 是 什么关系啊？是不就是相等的关系啊，那么实际上这里相当于是正角什么？哎， b、 e、 c 减去什么角 k、 e、 c 啊，加上角 b 等于什么？哎，一百八十度啊，好，那么这里的理由是不就是一 k 平行，是吗？ a、 c、 d 啊，所以说把角 c 换成角 k、 e、 c。 好， 那我们看一下角 b、 e、 c 减去角什么 k、 e、 c 实际上也就是角 k、 e、 b 啊，所以说这里相当于要证角 k、 e、 b 加上角 b 等于什么？一百八十度啊，好，角 k、 e、 b 加上角 b 等于一百八十度啊，好，那么这里是不就因为是什么啊？ k、 e 是 平行 a、 b 的 对不对， 进而进行一个什么？哎，证明啊，好，这是第一小问的一个解析过程。 好，那我们来看一下它的一个什么哎，答案想解啊，解，因为 a、 b 平行 cd， e、 k 平行 cd 啊，平行于同一条直线的两直线平行，所以 a、 b 平行 e、 k 平行 cd 啊，所以角 c、 e、 k 等于角 c， 角 b e、 k 加角 b 等于一百八十度，因为角 b、 e、 k 是 等于什么啊？角 b、 e、 c 减去什么角 c、 e、 k 啊，也就是角 b、 e、 c 去减去这个角 c。 好，所以说角 b c 减角 c 加角 b 等于角 b 一 k 加角 b 啊，两直线平行，同旁内角互补啊，所，所以说等于一百八十度啊， 好，看到第二小问啊，已知什么啊？ b f 是 什么哎，平分角 a b 一 的 b f 平分角 a b e 啊，也就会带来角 a b f 和角 e b f 是 一个相等的关系。一如图二，若 e g 平分角 b e c 好， e g 平分角什么哎？ b e c 那 么这边的两个角 b e g 和角什么 g e c 是 相等的好，然后呢？ b h 还是平行什么哎， g e 的 啊？ g e 的 判断角 f b h f b h 与什么啊？角 c 之间的一个什么关系啊？好，我们看一下角 c， 好， 那么在这里，如果说要找到角 f b h 与角 c 之间的关系，那我们是不是就需要去什么啊？做平行对不对？因为那已知的什么 c e 平分角 b e c 哎，已知的这个条件要让它发挥作用的话，那么这里是不是一个哎？拐角对不对？让我们会想到把点 e 哎放在平行线上对不对？哎，所以说可以什么哎，过点 e 去做一条平行线啊， 好，做 e m 去什么哎，平行 c d 啊， 好，那么 em 平行什么啊？ cd， 而 ab 是 平行 cd 的 啊啊，所以说在这里 em 是 什么啊？平行 ab 平行什么啊？ cd 的 好，问的是 f b h 与角 c 之间的关系，而在这里我们是不是分别有两组等角啊？好，那我们可以设它们等角哎，假设为 r 法 a b f 是 r 法啊， f b e 啦，是不是也为 r 法呀？角 b e g 是 啊，贝塔角，角 c e g 啦， 是不也是一个什么？欸，贝塔角好，我们可以用什么含有 r 法或者是贝塔的代数式去表示这两个角，进而去找到这两个角之间的一个关系啊？好，我们看一下。呃，比如说可以先找什么 f b h 啊，好， f b h 它实际上是 f b e r 法去减去角 h b e， 而在这里 b h 又平行 e g 啊，所以说 h b e 实际上是等于什么？哎，贝塔，角的啊，好，因为 b h b e 等于角 b e g 是 不就等于什么？欸， beta 角好，所以角 f b h 是就等于什么 r 法啊？也就是角 f b 一 啊， f b 一 是 r 法，也就是 r 法减去什么？哎，贝塔，角啊， 好，再去看一下角 c 好， 那么角 c 由于 c d 是 平行什么？哎， em 的 啊，好，因为 c d 是 什么？哎，平行 em 的 好，那么 c d 平行 e m 好， 我们看一下，角 c 是 不是就和角 c e m 是 一个互补的关系？好，你看一下。所以说角 c 是 不就等于什么？哎，一百八十度减去什么角 c e m 好，那我们看一下 c e m 和 alpha 和 beta 有 什么联系啦？那么在这里，由于什么 a b 是 平行 e m 的 啊，所以说角 b e m 是 不就等于角 a b e 等于二 alpha 呀？ 而 b e c 是 什么？二倍它，所以说 c e m 实际上是阿尔法减二倍它呀，好，因为 ab 平行什么 e m 好， 所以角 b e m 等于角 a b 一 等于什么？二 f 好， 所以角 c e m 也就是什么角 b e m 减去角什么？哎， b e c 啊，也就等于什么 二倍的，什么 r 减倍它的一个什么 a 叉好，那么它表示出来了，那么角 c 是 不也就表示出来了呀？好，所以说角 c 是 不就是一百八十度减去角 c e m， 一百八十度减去二倍的什么 alpha 减去什么 beta 好？ 看一下角 c 和角什么 f、 b、 h 的 一个什么关系？你看 alpha 减 beta 实际上是不是就是角 f、 b、 h 啊？ 好，那么所以说角 c 就 等于什么一百八十度减去两倍的角 f、 b、 h 好，所以说它们之间的一个数量关系是不也就出来了呀？哎，你除了可以写成这种形式，那么有的老有的同学是不是写成的是什么 角 c 加上两倍的角 f、 b、 h 等于一百八十，是不是也是可以的呀？或者是有的同学把角 c 移过来，写成了一百八十度减去两倍的角 f、 b、 h 减去角 c 等于零，哎，这样也是可以的啊！ 好，这是我们的这一道题，那么听懂了没有问题的同学可以在聊天栏里回复一个一 好，大家可以看一下。哎，这个解析部分啊， 好，那么是不是还有一个小问啊？好，那么如图三啊！好，那么如图三啊！那么我们是不是要知道我们上面题目的一个条件啊？那么 a b 仍然是什么平行 c、 d 的 啊？你看一下我们的第二题的话，是不是还有一个已知条件， 也就是 好，也就是什么？哎， b f 是 平分角 a、 b、 e 的， 对吧？这个条件大家别弄掉了啊。好，那么 b f 是 什么？ 平分角 a、 b、 e 的 好，所以说角 a、 b f 和角什么 f b、 e， 它们仍然是什么？哎，相等的好，若 c n 平分角 e c d， 哎，那么这两个角是什么？哎，相等的 b f 的 反向延长线和 c n 的 反向延长线交于点 m， 且角一加角 m 是 一百三十度啊， 请直接写出什么，哎，角一的一个什么度数啊，好，那么在这里我们仍然是不是可以通过做什么？哎，平行啊，分别过点一和点 m 去做什么？哎，平行线啊， 好，那么做 m h 啊，平行 ab， 好， 那么 e f 啊， f 点有了 e k 啊，平行 ab 啊， 好，过点 m 做什么？ h m 平行 ab 啊，好，然后再做一个什么 k 一 平行什么 ab 啊， 好，那么根据什么 ab 还要平行 cd， 哎，根据平行，同一条直线的两直线是平行的啊，那就说明了这四条直线都是平行的啊，好，所以 ab 平行，什么 k 一 平行 h m 平行，是吧？哎， c d 啊，好，它们都是平行的，那我们利用平行线的性质来进行转角， 嗯，好，他说要求角一的度数啊，那么是不是就可以根据这个等量去求啊？好，我们可以把相等的角啊，那么假设角 a b f 是 r 法呀， 角 f b e 啦， r 角 e c n 贝塔角则角 n c d 啦，是不是也是贝塔角啊，好，我们来把用 r 法贝塔角去表示什么？哎，角一和角 m 啊， 好，呃，那么首先我们可以来表示一下，是吗？哎，角一啊，好，这里我们就快速的来表示一下啊，因为 c d 平行 k 一 啊，所以说 k e c 啦，等于哪个角啊，是不就等于角一 c， d 啊，也就等于什么？二倍它角， 而 k e， b 呢，是不等于一百八十度，减去什么二 r 法啊，好，在这里把它写一下，好，所以角 k e， c 等于角什么啊？ e c， d 等于什么？二倍它角，角 k e b 等于一百八十度，减去角 a b e， 也就减去二 r 法，好，所以说，哎，这里的角 e 指的是什么？角 b e c 啊，好，指的是角 b e c 就等于什么？哎，这里的 r beta 角去减去什么？一百八十度，减去 r alpha， 也就是什么二倍的 alpha， 去什么？加上 beta， 然后再去什么？减去一百八十度啊， 好，这是角 b c 的 度数啊，那么同样的我们是不是可以表示出什么啊？角 m 啊，角 m， 那 么角 h m c 啊， h m c 是 等于 m c d 的， 那么 m c d 呢？是不是就是一百八十度减去一个什么 r b 它角啊，好，而在这里 h m f 是 不等于 r 发角啊， 好，那么所以说用什么角 m， 也就是 f h c 是 不就等于什么一百八十度 去什么？减去二，贝塔再去什么？哎，减去 r 法对不对啊？再去减去这个 r 法就等于角 m 好， 角一加上角 m 一 百八和一百八，消掉了啊，好，然后是二 r 减 r 法，也就只剩下一个 r 法，然后贝塔角是不也就消掉了呀？ 好，这里一百八十度和一百八十度消掉了啊，阿尔法，阿尔法，那么两倍的贝塔和贝，那么所以说在这里是不是就可以把阿尔法给求出来啊？那么阿尔法给求出来， 好，我检查一下啊，看一下有没有哪里写错啊？角 b e c， 角 b e c 是 不就是二倍它角减去什么？呃，一百八十度，然后再减去二 r f， 那 也就是二 r f 加二倍，它去减去一百八十度啊，好，然后啦，呃，然后是， 这是角一的度数啊，然后是加上这个什么？哎，角 m， 那 么角 m 啊，这里， 好，这里纠正一下啊，好了，这里角 m c d 啊，是不是应该等于一百八十度减去角 n c d， 对 不对啊？所以说这里是不是就是一个减 beta 角，对吧？ 好，一百八十度减贝塔角啊，那么角 h m c 是 不是也是一个一百八十度减去贝塔角啊？然后再去减去角什么 h m f 啊？好，所以说我们可以把这个二给它去掉啊，好，那么把它们加起来了，也就是 r 加上什么 贝塔角是不是就等于什么，哎，一百三十度啊，好，那么所以说，哎，角一 也就是什么二乘以什么一百三十度，也就是二百六十度，二百六十度去什么减去什么，哎，一百八十度也就等于什么，哎，八十度啊， 好，那么所以说最终角一的度数是不就是，哎，八十度啊，八十度。 二四年武汉江夏区月考的题目啊，如果角阿尔法和角贝塔的两边分别平行啊，且满足二阿尔法等于贝塔角加四十度，那么角阿尔法的一个度数啊， 好，那么，呃，角两边分别平行啊，分别平行，好，那么 这是一种情况，对不对啊？那么如果说把它反向延长过去啊，那么角三和角一是不是也是满足提议的呀？所以说与角一啊，角两边都分别平行的话，是不就有两种情况啊？ 好，那么第一种情况，哎，角一和角二，我们来找一下它们的一个关系。好，那么根据什么啊？同位角相等啊，那么角一和这个角四是不就是相等的呀？所以说角二和角四是不就是一个相等的关系啊？所以说第一种情况， 也就是什么哎，角一是等于什么角二的啊，这里是不是也就是什么阿尔法是等于贝塔的啊？ 好， alpha 等于 beta， 那 么解的 alpha 是 不是就等于四十度啊？ 好，那么第二种情况啦，那么角三和角二是一个什么？哎，互补的一个关系啊，所以说，角三和角一是不也是一个互补的关系啊？也就意味着 alpha 和 beta 是 不就是一个互补的关系啊？也就等于什么？哎， alpha 加 beta 是 不就等于一百八十度啊？ 好，那么要求 alpha 的 度数啊，那么把 beta 角换成什么啊？一百八十度减去 alpha 加上四十度。 好，那也就是三阿尔法等于什么？二百二十度啊！所以说，阿尔法等于什么？三分之二百二十度？好，所以说，这里是不是就有两个答案啊，一个是什么三分之二百二十度，一个是或者是什么四十度啊？好，这是第五题。 好，我们来看到这一个第六题，二四年北京师大附中实验中学的这一个月考题啊，犹如图，直线 a、 b 平行 c、 d。 直线 l 与直线 a、 b、 c、 d 相交于点 e、 f 点 p 是 什么？哎，射线 e、 a 上的一个动点，将三角形 e、 p、 f 沿着什么 p、 f 折叠，使顶点 e 落在什么点 q 上？若角 p e、 f 等于什么？五十二度， 点 q 恰好落在其中一条平行线上，则角 e、 f、 p 的 度数啊？好，那么恰好落在其中一条平行线上，那么这里是不是有两条平行线啊？有 a、 b 和 c、 d， 那 么可能落在 a、 b 上，是不是也可能落在 c、 d 上啊？ 好，我们假设这样折过来，落在什么 a、 b 上，那么实际上 由于什么？哎，折叠前后啊，这两个角是相等的，对不对啊？所以说，其实此时 f、 p 是 什么？哎，垂直 ab 的 对不对？好，那么要求的是角什么 e f p 的 一个什么度数啊？求这个角的度数，而 p e f 是 什么？哎，五十二度， 好，所以说角 e f d 啦，是不也是什么五十二度啊？好，所以说角什么 e f p， 是 不就用角 p f d 去减去五十二，也就是什么？呃，三十八度， 好，所以说第一种情况是不就是三十八度啊？好，我们看一下。第二种情况啊，也就是折叠之后 好，折叠之后落在什么？哎， c d 上啊，落在 c d 上， 好，那么这个位置啊，假设是 p 啊，好， q 点，落在这里， 好，问的是什么 e f p 的 度数， e f p 的 度数，哎，是不是就是这个角啊？ e f p 的 度数。好，那么由于角 q f e 是 一百八十度，减去什么？哎，五十二度，也就是一百二十八度。 而折叠前后角 q f p 和什么 p f 一 是相等的，所以说角 e f p 是 不是就等于它的一半啊，也就是什么？哎，六十四度啊，所以说这里是不是就有两个答案，一个是三十八度，一个是六十四度啊？

好的，各位同学，接下来和大家分享的是我们的第四题。 先看题目，果园里有三种果树，共三百六十棵，苹果树的棵数是梨树的三倍，桃树的棵数是梨树的两倍，梨树有多少棵？ 先找等量关系。这道题的等量关系能找到的同学给老师打个一，哪是等量关系，在哪呀？在这 共什么意思？他们三个数的数量加起来等于三百六十克，能看懂吗？再想一下，这三棵树的个数数量怎么表达？ 苹果树是梨树的三倍，桃树的棵树是梨树的两倍，那说明它们都跟谁比呢？跟梨树比呢？对不对？跟谁比？先射谁对不对？解 射，梨树 有多少呀？ a x 颗， 同学可以吗？再讲一下，用含有未知数的柿子去表达苹果树和桃树，苹果树是梨树的三倍，那我们知道了苹果树，如果我们表达的话，苹果树， 哎，有多少？有三 x 颗，同学同意吗？那桃树呢？桃树是梨树的两倍，那桃树有二 x 颗， 同学同意吗？再想一下，三个，现在我们都表达了它三个加起来是三百六，那就是 x 加二， x 加三， x 等于三百六十。 左边的可以通过计算，都含有 x， 所以 是六， x 等于三百六十，六， x 除以六等于三百六十除以六， x 等于六十，能看懂吗？ 你算的这个 x 是 谁呀？离数的对不对？ 桃树的要怎么样？重新？苹果树要重新算的，哎，苹果的是用六十乘三等于一百八十颗， 桃树的话，哎，我们是用六十乘二等于一百二十颗。 来，各位同学这个题目看懂的给老师打个一，谢谢各位同学，谢谢大家！

第三十五页 to a 部分首先看题目， listen to the conversation between jane and her family back in the uk。 听 在 jane 和英国家人的对话， fill in the blanks 并且填出空白的部分。首先我们来听这篇文章的录音， section a activity to a listen to the conversation between jane and her family back in the uk fill in the blanks hi dad how are you hi jane i'm fine how's life in guangzhou we're having a holiday here？ how e and i are making zongzi that sounds great？ are you making them for the dragon boat festival that's right what about you？ what are you doing i'm washing the car right now is mom there too is she feeling better yes her cold is gone she's gardening hold on here's mom hi mum how are you doing good？ thanks it's great to hear your voice yours too i'm happy you're feeling better thanks are you having fun in china？ yes， i am how e and i are making zong zh and watching dragon boat races on tv oh， i have to go now let's talk later okay bye darling。 听完对话，我们来共同看一下空格内要填的内容。首先第一句， how are you？ 你 好吗？这是对问候对方的一个问句，你好吗？ 好。第二句， how's life in guangzhou？ 在 广州的生活怎么样呢？随后呢，我们会在文章中进行详细的解读，现在我们只看一下每个空白的答案。好！第三个 is she feeling better 她感觉好些了吗？ how are you doing？ 你 正在做什么呢？好，同学们根据老师的答案呢，认真把 自己的填空核对一下，并且改错。好，现在我们来讲解三十五页的 to a 部分的这篇文章 来看。 hi dad hi 爸爸 how are you？ 你 好吗？ hi， jane i'm fine。 我 很好注意这两句话。 how are you 和 i'm fine 是 对于问候的一组问答，也就是在我们通常的情境对话当中或者补全对话当中，会放在一篇对话的开头表示问候。 how's life in guangzhou？ 广州的生活怎么样呢？ we are having a holiday here。 我 们正在这儿度假呢。好，这里看到了 are having 正在进行时 郝毅 and i are making 粽子。郝毅和我正在做粽子而读 in that sounds great 听起来真棒。 are you making them for the dragon boat festival？ 你 们是为端午节来做它们的吗？这里 the dragon boat festival 叫做龙舟节，也叫做端午节。 同样呢，这是一个现在进行时的一般疑问句，你们正在做什么吗？ that's right？ 是 的， what about you？ 你 呢？爸爸， what are you doing？ 你 正在做什么？ are doing？ 结构， i'm washing the car right now。 我 现在在洗车呢。 be doing 好， right now 是 一个短语，叫做此时现在。

七下重点抢先学，今天带孩子彻底吃透开学考必考压轴考点，命运算之构造法解压咒题命运算中的构造法一定是月考、期中、期末压轴题中的必会方法，百分之九十的孩子都会丢分， 今天韩老师带你彻底学会这种方法，听完后再把这套寒假预习订阅练习题下载给孩子做一做，就不用再买别的资料了，做完后开学考稳稳拿分！我们一起来看这道题。 a 的 m 四方等于二十， b 的 n 四方等于二十， a 乘 b 等于二十，则 m 乘 n 分 之 m 加 n 的 值是多少？ 那这是一道非常典型的要用运算中的构造法来求解的问题。咱们要求的 m 和 n 分 别在指数上面，那么显然就要去构造指数。那在这里我们来观察一下咱们要求的式子，其实可以把它拆开，拆成 m， n 分 之 m， 再加上 m， n 分 之 n， 那 么通过约分以后得到的其实就是 n 分 之一加 m 分 之一。那这里我们求得了一个关于 m 和 n 的是指和的形式，那他们在指数上面要想让指数求和， 肯定要找到同底数，因为有一个运算法则叫同底数密相乘，底数不变，指数相加。那这个时候我们又观察题目中二十、二十、二十，它们都是一样的，并且它都在底 数的位置，那我不妨就将二十看成同底数，那我可以想办法将第一个等式的二十的指数构造成 m 分 之一，那我既然要给它变成 m 分 之一次方，那左边为了保证等式成立，也要 变成 m 分 之一次方，那同理我可以将这个二十的指数变成 n 分 之一，那为了保证等式成立，左边也要 n 分 之一次方， 所以这个式子就变成了 a 的 m 次方的 m 分 之一次方是等于二十的 m 分 之一次方，而 b 的 n 次方的 n 分 之一次方是等于二十的 n 分 之一次方，那左边用到逆运送的运算法则，底数不变， 指数相乘， a 的 一次方就等于二十的 m 分 之一次方，那同理，这里 b 的 一次方就等于二十的 n 分 之一次方，那我既然要将它俩相乘，才能出现指数相加的形式，那所以说，我就将一式和二式乘起来， 左边乘左边是 a 乘 b， 右边乘右边是二十的 m 分 之一次方。乘二十的 n 分 之一次方，那么它就等于同底数密相乘，底数不变，指数相加。而 a b 题目又告诉我们了，是等于二十，那对于这个等式，左右两边相等， 比数又是一样的，那说明左边的指数一就等于 m 分 之一加 n 分 之一，而我们要求的恰恰也是这个式子。所以最终答案为一，你学会了吗？