奶牛木桩正确答案

请问奶牛拴在哪个木桩上？测测你的眼力有多好？

请问奶牛被拴在几号木桩上？测测你的逆向思维能力有多强？

请问奶牛被拴在几号墓桩上？测测你的眼力有多好？

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同学们好，我们今天学习勾股定律的逆定律，第一课是，首先我们回忆一下勾股定律的内容， 勾股定律，如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、 b， 斜边长为 c， 那 么 a 方加 b 方等于 c 方。 根据这个定律的提设和结论，可以看出勾股定律由形的特殊性。三角形中有一个角是直角，可以得出三边之间的数量关系。 那反过来，如果三角形的三边具有 a 方加 b 方等于 c 方的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢？ 我们今天就一起来研究这个问题。我们可以借鉴一下古埃及人的做法。 据说古埃及人曾用下面的方法画直角，把一根长绳打上等距离的十三个结， 然后以三个结间距、四个结间距、五个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，你认为结论正确吗？ 古埃及人的做法说明，如果三角形的三边分别为三、四、五，这些数满足三的平方加上四的平方等于五的平方，这样的数量关系，那围成的三角形是直角三角形。 下面同学们也来实践操作一下，我们换成其他数试试。 首先画一画下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方， 分别以这些数为边长画出三角形，它们是直角三角形吗？第一组数二点五、六六点五，第二组数六、八十。 可知，二点五的平方加六的平方等于六点五的平方，六的平方加八的平方等于十的平方。 先画出这些三角形，接下来量一量，用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数， 最后想一想，判断这些三角形的形状，并提出猜想。同学们自己动手做一做， 我们可以发现这两个三角形的最大角都为九十度。这样我们可以提出猜想， 如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a 方加 b 方等于 c 方，那这个三角形是直角三角形。接下来就是要证明这个猜想是正确的。 想要证明一个命题是真命题，我们需要分析命题的提设及结论，并改写已知求证， 这样做好准备工作，下一步我们就要证明了。 同学们自己先思考一下， 要证明三角形 a、 b、 c 是 直角三角形，只要证明角 c 是 直角，由命题的已知条件能直接证明吗？ 对于三角形 a、 b、 c， 我 们难以直接证明它是一个直角三角形，那怎么办呢？好好想想。 如果能证明三角形与一个以 a、 b 为直角边长的直角三角形 a、 e、 b、 c 全等，那么就证明了三角形 a、 b、 c 是 直角三角形。 为此，我们可以先做出直角三角形 a 一、 b 一、 c 一， 使得 b 一、 c 一 等于 a a 一 c 一 等于 b， 角 c 一 等于九十度，则三角形 a 一、 b 一、 c 一 就是一个以 a、 b 为直角边长的直角三角形。 根据勾股定律，我们可以计算得出 a 一、 b 一 的平方等于 a 方加 b 方，根据已知条件可以算出 a、 b 一 等于 c。 这样，三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 e、 b、 e、 c、 e 三边对应相等，这两个三角形全等，从而得出角 c 等于角 c、 e 等于九十度。 三角形 a、 b、 c 为直角三角形，这说明我们的猜想是正确的， 当我们证明了猜想是正确的，那么这个猜想就成为一个定理， 如果三角形的三边长 abc 满足 a 方加 b 方等于 c 方，那么这个三角形是直角三角形。 我们可以利用这个定理判定一个三角形是否为直角三角形 来看。第一，判断由线段 a、 b、 c 组成的三角形是不是直角三角形。 提示一下大家根据勾股定律及其逆定律判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方， 同学们自己先算一算。 第一个，因为十五的平方加八的平方等于二百二十五，加上六十四等于二百八十九，十七的平方等于二百八十九， 所以得到十五的平方加上八的平方等于十七的平方。这样就说明以十五、八十七为边长的三角形是直角三角形， 这样能够成为直角三角形。三条边长的三个正整数称为勾股数。 第二个，因为十三的平方加十四的平方等于一百六十九，加上一百九十六等于三百六十五， 十五的平方等于二百二十五，所以十三的平方加上十四的平方不等于十五的平方。这说明以十三、十四、十五为边长的三角形不是直角三角形。 最后一个，因为四的平方加五的平方等于四十一，根号四十一的平方也等于四十一， 所以四的平方加五的平方等于根号四十一的平方，所以以四五根号四十一为边长的三角形是直角三角形。你都做对了吗？ 我们来看之前学过的勾股定律，还有这节课学的这个定律， 这两个命题的提设和结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题， 所以我们今天学的这个定理就是勾股定理的逆理。 下面说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗？ 请同学们自己先想一想。 一、两条直线平行，内错角相等。 逆命题是内错角相等，两直线平行，这是我们以前学过的定理，它是真命题。 第二个对顶角相等逆命题是相等的，角是对顶角，这显然是不成立的，所以这个命题是假命题。 第三个，线段垂直平分线上，点到线段两端点的距离相等。 逆命题是到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。这也是我们前面学过的定律，它是真命题。 从这道小题中呢，我们可以看出，任何一个命题都有逆命题，原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题，这一点同学们在今后学习中要注意， 下面来看。例二，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于三， bc 等于四， c、 d 等于十二， a、 d 等于十三角， b 等于九十度。求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积， 自己先想一想。 这道题要求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积， 我们可以看到线段 a、 c 把这个四边形分成两个三角形，所以要求四边形的面积。我们可以分别求两个三角形的面积。 三角形 a、 b、 c 是 直角，三角形，两条直角边都知道，所以可以直接计算面积。 而三角形 a、 c、 d 我 们只知道两条边 c、 d 和 a、 d 的 长度， a、 c 的 长度不知道。另外我们也不确定这个三角形的形状，所以呢，我们先要算出 a、 c 的 长度， 根据已知条件， a、 b 等于三， bc 等于四角， b 等于九十度。所以利用勾股定律算出 a、 c 等于五， 又因为 c、 d 等于十二， a、 d 等于十三，所以 a、 c 方加上 c、 d 方等于一百六十九， 而 a、 d 的 方也等于一百六十九，所以 a、 c 方加上 c、 d 方等于 a、 d 方，这说明三角形 a、 c、 d 是 个直角三角形， 那这样的话，计算这个三角形也只要知道两个直角边就可以了。所以最后我们算出四边形 abcd 的 面积，等于二分之一乘以三乘以四，加上二分之一乘以五乘以十二，等于三十六，你算对了吗？ 通过这节课的学习，我们不仅学习了勾股定律的逆定律，还认识了像六、八十八、十五、十七、三四、五、五十二十三这样的勾股数。 大家有没有发现六、八十三、四、五这两组勾股数有什么关系？再有类似这样的关系，七，二十四、二十五，九十二十五是否也是勾股数？如何验证呢？ 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的猜想呢？请同学们先自己思考。 我们可以发现六、八十三、四、五这两组勾股数是倍数的关系。 另外，通过计算可以得到，七的平方加上二十四的平方等于二十五的平方， 九的平方加上十二的平方等于十五的平方，所以说这两组数也是勾股数。那通过对以上勾股数的研究，我们可以得到这样一个结论， 若 a、 b、 c 是 一组勾股数，那么 a、 k、 b k、 c、 k 为正整数，也是一组勾股数。熟练掌握这些常用的勾股数，那计算起来就比较方便。 最后我们来梳理一下这节课所学的内容。一、勾股定律的逆定律的内容是什么？它有什么作用？ 二、本节课我们学习了原命题、逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗？三、在探讨勾股定律的逆定律的过程中，我们经历了哪些过程？ 给同学们一些时间，把我们这节课所学的知识方法梳理一下， 这节课我们就学到这里。回去请同学们完成课后作业中的题目，同学们再见！同学们好，这节课我们来学习勾股定律的逆定律。第二课时， 我们已经学习了勾股定律及其勾股定律的逆定律。利用勾股定律可以解决直角三角形边长的数量关系， 而利用勾股定律的逆定律可以来判断一个三角形是否为直角三角形。那这节课我们将综合运用所学的勾股定律及其逆定律来解决问题。 来看练习。一、在直角三角形 a、 b、 c 中，已知 a 等于一， b 等于三角， b 等于九十度，求第三边 c 的 长。 这道题给出了角 b 等于九十度，那就明确了直角三角形中哪条边是斜边，角 b 所对的边 b 为直角三角形的斜边， 那么第三边 c 就 等于根号下三的平方，减一的平方等于两倍根号二。 那如果题目中没有明确给出哪个角为九十度，有什么区别吗？ 没有明确给出哪个角为九、十度，我们就不清楚这个直角三角形中哪条边是斜边，可能 b 是 斜边，也可能是第三边， c 为斜边，所以这道题就需要进行分类讨论。 那 c 的 长度为两倍，根号二或者是根号十 来看练习。二，分别以下列四组数为一个三角形的边长，第一组三、四、五。第二组四、五、六。 第三组五十二十三。第四组八十五十七。其中能构成直角三角形的有， 要判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方即可。 另外我们还知道三、四、五、五十二、十三、八十五、十七。这三组数是常用的勾股数，所以以这三组数为边长的三角形都是直角三角形。 而第二组数由于四的平方加上五的平方不等于六的平方，所以这组数为边长的三角形不是直角三角形。 此题能构成直角三角形的应该是一、三、四。 接下来我们来看例一，如图，每个小正方形的边长都为一。求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积与周长角 b、 c、 d 是 直角吗？ 给大家一些时间，自己先来思考， 我们一起来分析一下这道题。要想求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积周长，我们可以先来求周长。要想求四边形的周长，只需计算四条边长的长度， 那如何计算每条边长呢？可以利用网格 做辅助线，建立直角三角形，把 b、 c 放到直角三角形 b、 e、 c 中。在这个直角三角形中， e、 c 和 b、 e 的 长已知，所以可以利用勾股定律算出 b、 c 的 长， 那同理可以算出 c、 d、 a、 d 和 ab 的 长度。这样我们根据勾股定律可得， bc 等于根号下四的平方，加二的平方等于两倍。根号五 c、 d 等于根号下二的平方，加一的平方等于根号五， a、 d 等于根号下四的平方，加一的平方等于根号十七， a、 b 等于根号下五的平方，加一的平方等于根号二十六。最后我们得到四边形的周长为三倍，根号五加上根号十七，加上根号二十六。 下面来看如何求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积？我们可以采取补形的方式，将要求的四边形 a、 b、 c、 d 补形成一个大的正方形， 然后利用这个大的正方形面积减去四个直角三角形的面积，再减去一个小正方形面积就可以了。 这样通过计算得到四边形 a、 b、 c、 d 的 面积为二十五，减二分之五，减四，减一、减二，再减一，最后的结果是二分之二十九。 最后如何来判断这个角 b、 c、 d 是 直角呢？ 我们只需利用勾股定律的逆定律来说明三角形 b、 c、 d 是 个直角三角形，从而说明角 b、 c、 d 是 直角，那需要计算 b、 d 的 长度， 计算 b、 d 的 长度可以像前面的做法一样，把 b、 d 放到直角三角形 b、 f、 d 中。 利用勾股定律计算 b、 d 的 长度等于根号下四的平方，加三的平方等于五，这样得到 b、 c 方加 c、 d 方等于 b、 d 方，从而说明三角形 b、 c、 d 是 直角三角形那角 b、 c、 d 是 直角 来看。例二，已知 abc 是 三角形 abc 的 三边， 且满足 a 方， c 方减去 b 方， c 方等于 a 的 四次方，减去 b 的 四次方是判断三角形 a、 b、 c 的 形状，并说明理由。请同学们先来自己想一想， 我们一起来分析。要想判断这个三角形的形状，我们需要从条件中的这个等式出发， 通过对这个等式左右两边进行变形，利用因式分解，左边变为 c 方乘以 a 方减 b 方等于右边分解为 a 方加 b 方乘以 a 方减 b 方。 这样在提取共因式得到 a 方减 b 方乘以 a 方加 b 方减 c 方等于零， 那两个式子相乘为零，每一个式子都有可能为零，所以可能是 a 方减 b 方等于零，或者是 a 方加 b 方减 c 方等于零。然后利用 边长的数量关系，从而判断出这个三角形的形状是等腰三角形或者为直角三角形 来看，例三，如图三角形 a、 c、 b 和三角形 e、 c、 d 都是等腰直角三角形，其中角 a、 c、 b 等于角， e、 c、 d 等于九十度， d 为 a、 b 边上的一点。求证 a 地方加上 d， b 方等于 d 一 方。同学们先思考一下， 我们一起来分析。从结论出发，要想证明这个 a 地方加上 d、 b 方等于 d 一 方， 需要说明这三条线段在一个直角三角形中，并且 d、 e 是 这个三角形的斜边， 那么我们观察它们在图中的位置， a、 d、 d、 b、 d、 e 这三条线段并不在一个直角三角形 a、 e、 d 中。那我们可以考虑把 b、 d 通过图形变换转换到这个三角形中。那如何做到这点呢？我们再根据条件， a、 c、 b 和 e、 c、 d 这两个三角形都是等腰直角三角形，我们很容易得证。三角形 d、 c、 b 和三角形 e、 c、 a 全等， 这样利用全等的性质，我们就可以得到 b、 d 等于 a、 e。 所以 利用 a、 e 替换 b、 d 这样要求的三条线段在一个三角形中，再说明这个三角形是直角三角形就可以了。 那其中 cad 是 四十五度，角 e， a、 c 等于角 b 也等于四十五度，所以这个角就是直角，这样我们就解决问题了。那把我们刚才的分析过程一起来梳理一下 证明，因为角 a、 c、 b 等于角 e、 c、 d， 所以 角 a、 c、 d。 加角 b， c、 d 等于角 a、 c、 d 加角 a、 c、 e， 所以 角 b、 c、 d 等于角 a、 c、 e。 又因为 b、 c 等于 a， c， dc 等于 ec， 所以 三角形 a、 c、 e 全等于三角形 b、 c、 d， 所以 角 b 等于角 c， a、 e 等于四十五度，所以角 d， a、 e 等于九十度。 这样我们得到 a， d 方加 a， e 方等于 d， e 方。再利用 a、 e 和 d、 b 相等，我们等量替换得到 a、 d 方加 d， b 方等于 d， e 方。 下面来看练习。一、这是一道实际问题，同学们自己先好好读题，自己先想一想， 解决这道实际问题呢？我们要通过认真的读题，把题目中所给的已知条件对应到相应的图形中，然后在这个图形中解决问题。根据题， e、 p、 q 等于二十四， p， r 等于十八， q， r 等于三十。因为二十四的平方加十八的平方等于三十的平方，所以 p、 q 方加 p， r 方等于 q， r 方。 这说明这个三角形是一个直角三角形，角 q、 p、 r 等于九十度， 再根据已知条件，角一是四十五度，从而得到角二也是四十五度。那这样的话，我们就知道了海天号沿哪个方向航行了，它应该是沿西北方向航行。 最后我们来看练习二，那这道题呢？同学们自己读题好好分析一下。 我提示一下同学们，要想求正角 a、 e、 f 等于九十度，只需证明三角形 a、 e、 f 是 直角三角形， 那我们就需要利用勾股定律的逆定律，把三条边表示出来，然后去证明 a、 e 方加 e f 方等于 af 方。 但是这道题没有给任何数据，那我们怎么办呢？我们可以利用题目中所给的条件，一个是四边相等，再有 e 是 b， c 的 中点， 再有 c， f 等于四分之一的 c、 d。 不 妨设最小的线段长， c、 f 为 a， 那 这样其他各个线段都可以表示出来，那我们就可以去计算 ne、 ef 和 af 的 长度， 从而说明 a 一 方加 e f 方等于 af 方，说明它是一个直角三角形，那么角 a、 e、 f 等于九十度。那么这道题的完整过程，请同学们在笔记本上自己梳理完成。 通过这节课的学习，我们复习了两个定理，勾股定理及其逆定理， 还有两种重要的思想，初入相补的思想，以及塑形结合的思想。这节课我们讲过的所有问题，都请同学们在笔记本上认真梳理， 最后回去呢？完成课后作业中的题目，那这节课我们就学习到这里，同学们再见！ 同学们好，今天我们学习勾股定律及其逆定律的综合应用。首先进行知识回顾 勾股定律，如果直角三角形两直角边分别为 a、 b， 斜边为 c， 那 么 a 平方加 b 平方等于 c 平方，如图，由 r、 t 三角形 abc 中角 c 是 直角这一图形结构， 可以得到 a 平方加 b 平方等于 c 平方，即两者角边的平方和等于斜边的平方这一数量关系。 因此，勾股定律体现了由形到数的思维过程。勾股定律的逆定律，如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方，那么这个三角形是直角三角形。 如图，在三角形 a、 b、 c 中，若有 a 平方加 b 平方等于 c 平方，即两条较短边的平方和等于最长边的平方这一数量关系 可以得到三角形 a、 b、 c 为直角三角形最长边 c 所对的角为直角这一图形结构。 因此，勾股定律的逆定律体现了由数到形的思维过程。本节课在勾股定律及其逆定律学习的基础上进行综合应用，研究三角形和四边形中的相关数学问题。下面进行点例分析， 请看例一、如图，四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 b 等于三， b、 c 等于四， c、 d 等于十二， a、 d 等于十三角 b 等于九十度，求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积。请同学们认真审题， 并将已知条件标注头中。本题已知不规则四边形的边长和其中一个内角为九十度，要求它的面积，求不规则四边形的面积。我们通常添加辅助线转化为求三角形的面积。 因为四边形 a、 b、 c、 d 中有已知条件角 b 等于九十度，所以只能连接 a、 c 才能构造出直角三角形 a、 b、 c 同时得到三角形 a、 c、 d。 直角三角形 a、 b、 c 中已知两直角边面积一，求同学们，那怎么求三角形 a、 c、 d 的 面积呢？ 对了，需要先确定其底和高。题目中已知其两边的长，我们可以先求出第三边。 方法一，判定其是否为直角三角形，若是两者角边就分别作为底和高，根据三角形面积公式求出其面积。方法二，若不是直角三角形呢？请大家思考。 有同学说可以把其中一边作为底，通过其对顶点做高，设未知数，利用勾股定律建立方程来求高， 再求面积。是的，相当正确，不过计算起来复杂，因此我们先求 a、 c。 在直角三角形 a、 b、 c 中，由勾股定律可以求出其斜边 a、 c 为五，因此三角形 a、 c、 d 三边长分别为五十、二、十三，这是一种典型的勾股数， 我们可利用勾股定律的逆定律判断其为直角三角形，进而以两者角边分别作为底和高，求出其面积。此题得解， 下面请同学们看具体的解答过程。连接， a、 c。 在 r、 t。 三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于九十度， a、 b 等于三， bc 等于四。 由勾股定律得 a、 c 等于根号下， ab 平方加 bc 平方等于五。在三角形 a、 c、 d 中， a、 c 等于五， c、 d 等于十二， a、 d 等于十三， a、 c 平方加 c、 d 平方等于一百六十九， a、 d 平方等于一百六十九。所以 a、 c 平方加 c、 d 平方等于 a、 d 平方。由勾股定律逆定律得三角形 a、 c、 d 为直角三角形，并且最长边 a、 d 所对的角 a、 c、 d 等于九十度。 所以四边形 a、 b、 c、 d 的 面积为直角三角形 a、 c、 d 和直角三角形 a、 b、 c 的 面积之和。利用三角形面积公式，我们代入具体数据，得到四边形面积为三十六。 同学们立一用到哪些主要的知识点和方法？我们小节一下 对了。分割转化，通过添加辅助线将不规则四边形面积转化为两个三角形面积。 还有勾股定律，在直角三角形 a、 b、 c 中，利用勾股定律求出 a、 c 等于五勾股定律的逆定律。在三角形 a、 c、 d 中，利用勾股定律逆定律判定其为直角三角形 三角形面积公式，计算两个三角形的面积，并求和得到四边形的面积。请同学们看，跟踪训练便是。一、如图，每个小正方形的边长都为一， 一、求四边形 a、 b、 c、 d 的 周长。二、求证角 b、 c、 d 是 直角。 本题是不规则四边形中求周长，并证明一个内角为直角。 其实要求四边形 a、 b、 c、 d 的 周长，我们需要找出其各边的长度。 本题要求解的部分刚好是圆例题的已知部分。另外，与圆例题的不同之处还有在网格中求不规则四边形的边与角的问题。 求边，同学们容易想到构造直角三角形，利用勾股定律进行计算正直角。就目前所学知识，可考虑利用勾股定律逆定律判定直角三角形。因此，根据网格中四边形各边的位置特点， 如图所示，以四边形各边为斜边，网格线为直角边，沿四边形外部方向构造出四个直角三角形。 当然也可以沿内部方向进行构造。根据网格中小正方形的边长，可以得到各直角三角形两直角边的长度，进而利用勾股定律进行计算。 请同学们看具体的解答过程。由勾股定律得四边形 a、 b、 c、 d 各边的长为 a、 b 等于根号下一的平方，加五的平方等于根号二十六。 同样方法可以求得 a、 d 为根号十七， b、 c 为二倍根号五， c、 d 为根号五。因此四边形的周长为三倍根号五、根号十七与根号二十六的和。我们再看第二问， 要证明角 b、 c、 d 是 直角，我们连结 b、 d 得到角 b、 c、 d 所在的三角形 b、 c、 d。 再考虑利用勾股定律逆定力判定直角，其条件是要满足两边的平方和等于第三边的平方。 同学们借助第一问中构造直角三角形求边长的经验，用同样的方法可以构造出三角形 b、 c、 d 各边所在的直角三角形。 我们先由勾股定律计算各边的平方，再由逆定律条件判定直角三角形。请同学们来看具体的证明过程。 连接 b、 d 由勾股定律得 b、 d 平方等于三平方加四平方等于二十五。 b、 c 平方等于二平方加四平方等于二十。 c、 d 平方等于一平方加二平方等于五。因此 b、 c 平方加 c、 d 平方等于 b、 d。 平方。所以三角形 b、 c、 d 为直角三角形且最长边 b、 d 所对角 b、 c、 d 为直角。 本题是网格中找直角三角形和构造直角三角形的综合应用，让我们学会了网格图形中利用勾股定律求线段长度及勾股定律逆定律判定直角的方法。本题继续通过头型的变化， 对头型进行部分截取，再去掉网格，可以变为以下问题， 请同学们看便是。二、如图，在正方形 a、 b、 c、 d 中， e 是 b、 c 的 中点， f 为 c、 d 上一点 c、 f 等于四分之一， c、 d 证明角 a、 e、 f 是 直角。借助上题的头型，此题去掉了网格线，保留了上题中基本的头型结构，变成特殊正方形中判定直角， 其解析思路与上题的证明直角的思路相同。为了方便计算，利用正方形的性质，根据已知条件中 e 和 f 两点在正方形边上的位置， 同学们可设正方形的边长为四 a。 具体解答过程如下， 连接 a、 f， 设正方形的边长为四 a 根据已知条件得 b 一 等于 c， 一 等于二， a、 c、 f 等于 a， d、 f 等于三 a。 在 r、 t。 三角形 a、 b、 e 中，由勾股定律得 a 一 平方等于 a 平方的二十倍。 在 r、 t。 三角形 e、 c、 f 中，由勾股定律得 ef 平方等于 a 平方的五倍。在 r、 t。 三角形 a、 d、 f 中，由勾股定律得 af 平方等于 a 平方的二十五倍。 所以在三角形 a、 e、 f 中，有 a、 e 平方加 e、 f 平方等于 a、 f 平方，所以三角形 a、 e、 f 为直角三角形，且角 a、 e、 f 是 直角。 本题由变式一、网格中不规则四边形的情况去掉网格线，保留了基本头型，变为特殊头型。正方形中找直角三角形和构造直角三角形， 让同学们学会在不同环境中应用勾股定律及其逆定律解决问题，请同学们看。例二， 在三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于五， a、 c 等于十三、 b、 c 边上的中线 a、 d 等于六，求 b、 c 的 长。请同学们先把已知线段的长度标注头中。 本题已知三角形两边及第三边中线的长要求第三边。同学们发现这里无法直接利用第三边找出或构造直角三角形， 因此我们紧扣 a、 d 为中线的已知条件，由 d 为中点得 b、 c。 等于二倍 c、 d 或二倍 b、 d。 利用转化的思想方法要求 b、 c。 可以 先求 c、 d 或 b、 d。 在 学习三角形中线的知识时，同学们经常会用到倍长中线的方法构造三角形全等， 我们不妨也实验一下，延长 a、 d 至一，使 d、 e 等于 a、 d 等于六连接 e、 c。 利用边角、边全等判定三角形 a、 d、 b 全等于三角形 e、 d、 c。 进而得到 c、 e 等于 a、 b 等于五。请同学们把所求数据标注图中， 容易看出三角形 a、 e、 c 的 三边长是一种勾股术，利用勾股定律、逆定律可判定其为直角三角形，且角 e 为直角。 同学们从中又发现 c、 d 是 小直角三角形 d、 e、 c 的 斜边可以利用勾股定律求得 c、 d 的 长，进而求得 b、 c。 下面请同学们看具体的解答过程。 延长 a、 d 至一，使 d 等于 a、 d 连接 e、 c。 因为 a、 d 是 b、 c 边上的中线，所以 b、 d 等于 c、 d。 由边角边的全等判定方法证得三角形 a、 d、 b 全等于三角形 e、 d、 c。 进而得到 c、 e 等于 ab 等于五。因为在三角形 a、 e、 c、 中 c、 e 等于五， a、 e 等于二倍 a、 d 等于十二， ac 等于十三 c 一 平方加 a 一 平方等于一百六十九， ac 平方等于一百六十九，所以 c 一 平方加 a 一 平方等于 ac 平方，所以三角形 a、 e、 c 为直角三角形，且角一等于九十度， 在 r、 t 三角形 d、 e、 c 中由勾股定律求得 c、 d 等于根号六十一，所以 bc 等于二倍根号六十一。 本题是三角形中线，将圆三角形分割成两个小三角形，抓住中线 a、 d， 即 d 是 b、 c， 中点得 b、 d 等于 c、 d， 同时利用倍长中线做辅助线、构造权等，进一步得到直角三角形，将复杂问题转化为简单问题求解。 通过两三角形边角边判定全等的结构图，我们连接 a、 c， 得到了原例题的基本头型三角形及其中线，再连接 b、 e， 我们得到一个特殊的四边形，即平行四边形。本节课是第十七章勾股定律的最后一节课，同学们，我们即将开启第十八章平行四边形的学习。 到时按我们把直角三角形融入到平行四边形中，综合利用勾股定律及其逆定律解决更多的数学问题。我们的新课就讲到这里，下面我们进行课堂小结。 通过逆一，我们学习了将不规则的四边形经分割转化为基本头型的数学方法。 通过逆二，我们学习了将中线背长经构造转化为基本图形的数学方法，即分割转化和构造转化。 今天的课就上到这里，同学们再见！同学们好，我是福州第十九中学的程老师。在今天的课程中，我们将与费马、怀尔斯等数学家们一同回顾这名费马大定律的故事。现在就跟着我走进数学历史画廊吧！ 关于此，我确信已发现了一种美妙的阵法，可惜这里空白的地方太小，写不下。 大家听过费马这句在数学界十分有名的话吗？它所指的就是费马大定律的证明， 后世为了找到他的证明方法花费了三百多年，而事实证明空白的地方确实太小，因为第一个成功证明他的论文足足有一百多页。 三百多年里，一代代数学家们都用自己的努力将定力的证明往前推进一小步。这个接力证明的故事要从大家熟悉的勾股定理说起。 我们已经知道，任意直角三角形的两条直角边长 a、 b 和斜边长 c 满足 a 方加 b 方等于 c 方。 这个等式也可以看作关于 a、 b、 c 的 方程。显然，这个方程有无数组解，其中满足方程的正整数解 a、 b、 c 通常叫做勾股数组。 老师先来考考大家，以下数组中哪些是勾股数组？正确答案是 a 和 c。 相信学习了勾股定律及其逆定律的你可以理解，我们之所以研究勾股数组，是因为每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。 因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。这里体现了形数转化的思想方法。 正是勾股定力，使几何学与代数学两大门类结合起来，为数学进一步的发展拓宽了道路。 人类对数学的探索也离不开类比和推广的思想方法。有了勾股定律这种形式的方程，人们自然还想知道高于二次的方程，如 a 的 三次方加 y 的 三次方等于 c 的 三次方， a 的 四次方加 y 的 四次方等于 c 的 四次方等等。是否也有正整数解呢？这个问题引起了法国数学家费马的研究兴趣， 他首先试着探究 n 等于三的情况，现在也请同学们一起来找找当 n 等于三时，方程是否有正整数解吧。 那么，探究可以从何入手呢？数学上常常运用从具体到抽象，从特殊到一般的方法， 所以我们可以先试试算一些比较小的正整数的立方和如一的立方、加二的立方、二的立方、加三的立方等等。请大家完成计算，并想想，这些计算结果可以写成某个正整数的立方吗？ 通过计算发现我们找不到正整数，可以填入等式最右侧的横线上。也就是说，我们尝试的这些具体情况找不到正整数解。大家别担心，费马做了更深入、更抽象的计算和研究，同样也没找到。 后来他又找了当 n 等于四的正整数解，结果还是没找到。于是他就猜想，当自然数 n 大 于等于三时，方程 a 的 n 次方加 y 的 n 次方等于 z 的 n 次方，没有正整数解。 菲马是个爱做读书笔记的人，他的很多想法都是从留存的手稿中挖掘出来的。 费马在读古希腊数学家丢番图的算术一书时，在有方程 a 方加外方等于 c 方的那页页边上，用拉丁文写下了具有历史意义的一段文字， 将一个高于二次的密分为两个同次的密，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的阵法，可惜这里空白的地方太小，写不下。 这就是费马大定律的由来。也可以说，它其实只是一个猜想，因为费马当时并没有给出完整证明。从费马留下的稿件中发现，它仅写下了对 n 等于四十的证明。 老师听说呀，在预习本节课时，小易同学对费马的证明非常感兴趣，特地研究了一番，现在我们就请他来分享一下 n 等于四十的证明方法。 我在预习时上网查阅到关于费马对 n 等于四十猜想成立的证明，他利用的是无穷递减法，十分的巧妙。那在我们理解这个证明之前，我们要先了解 像这样的最简形式的勾股数组都可以写成这样的形式，其中 m、 n 均为证明数，且 m、 n 互斥 m 大 于 n。 那 么至于为什么可以写成这样形式，包括 m、 n 为什么互斥，有兴趣的同学可以自行上网查一页研究。那么现在我们就是要证明方程 x 的 四次方加 y 的 四次方等于 g 的 四次方。没有正解数解 可以令 t 等于 g 的 平方。那么问题就转化为证明方程 x 四次方，将 y 四次方等于 t 的 平方没有正整数解， 我们可以假设存在正整数解，满足这个方程，则可以用互斥的 a 和 b 来代表原来的这三个数。 通过第一个式子进行一项，又可以得到这个式，这个式子则我们又可以用 c、 d 来代表这三个数，其中 c、 d 互斥。 将这两个数带回这原来的这个式子，就可以得到 y 的 平方等于四 c、 d 乘 c 的 平方加 d 的 平方的和。因为 c、 d 互斥，所以我们又可以证明 c、 d、 c 的 平方加 d 的 平方的和。为完全平方数，我们可以设 e、 f、 g 的 平方 为原来的这三个数，那么我们将这 c、 d 代入这个式子，就可以得到 e 的 四次方加 f 的 四次方等于 g 的 二次方。而因为这个式子可以得到 g 等于根号 c 的 平方加 d 的 平方的和 结合这两个式子，又可以得到 g 是 小于 a 小 于 t 的。 也就是说，我们可以找到比原来正整数减还小的正整数减，但是正整数是不可能无穷逆向的，所以矛盾了，假设不成立， 也就是说，我们可以证明方程 f 四次方加 y 四次方的 t 等于 t 的 平方是没有正整数解的，因此也可以推导出原来的方程也是没有正整数解的。这人是怎么推导过来的呢？同学们可以用类似的假设方法进行思考。 费马采用的无穷递降法其实是一种反证法，反证法是代数推理中的一种间接证明方法。在七年级下学期学到的平行线性质定律，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 和根号二不是有理数都可以用反证法证明。我们说回费马大定律， 费马自己只写下了 n 等于四的证明方法，如果 n 为其他数值呢？猜想仍然成立吗？这引起了世界各国数学家的关注， 包括欧拉高斯勒贝格在内的许多著名数学家都对这个命题做了深入的研究，但一直没有证明它。 费马制造了这个谜题，十七到二十世纪的数学家是怎样为了这个谜题而前仆后继的呢？听听数学画廊的小小讲解员对这段震撼人心的接力证明史的介绍吧！ 大家好，我是数学时讲解员，下面由我来为大家讲述数学家们花费三百多年证明费马大定律的历史故事。 一七五三年，瑞士著名数学家欧拉在写给哥德巴赫的姓周表明，他证明了 n 等于三十的费马猜想。一八一六年，巴黎科学院把费马猜想转化归结为 n 是 激素数十的情况，并称之为费马大定律。 十九世纪出法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当 n 和二 n 加一都是素数时，费马大定律的反例 x、 y、 z 至少有一个是 n 的 整倍数。 大约在一八五零年前后，高四的学生、德国数学家库莫尔运用独创的理想述说理论，一下子证明了费马大定律对一百以内除了三十七、五十九、六十七以外的所有基数都成立， 是证明问题取得了第一次重大突破。但在库莫尔之后的半个多世纪里，费马大定律的证明都停滞不前。 一九零八年，戈廷根皇家科学协会公布沃尔夫斯凯尔奖，凡在二零零七年九月十三日前解决废马大定力的人，将获得奖金十万马克。 提供该讲的沃尔夫斯凯尔是德国实业家，年轻时曾为情所困，决意在午夜自杀，但在临自杀前读到库莫尔，那是科西和拉梅证明废马定力的错误，让他情不自禁地计算到天明。 结果设定的自杀时间过了，他也放不下问题的证明。他在费马大的礼中获得重生，并在后来成为了大富豪。一九零八年，这位富豪去世前立下遗嘱，将一半遗产捐赠设奖，以谢其救命之恩。 一九二二年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，如果莫德尔猜想成立，那么费马大定律中的方程本质上最多有有限多个整数解。 二战后，随着计算机的出现，大量的计算已不再成为问题。数学家们逐步对五百以内、一千以内、一万以内的值完成了费马大定律的证明。 一九八三年，德国数学家弗尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定律研究的新篇章。 一九五五年，日本数学家谷山峰提出了一个著名猜想，后经伟一和治村五郎尽力不精确化而形成了谷山治村猜想。 这个很抽象的猜想使一些学者都搞不明白，但他又是费马大定力的证明，向前迈进了一步。 一九八四年，德国数学家弗雷在一次数论研会上宣称，假如费马大定力不成立，则有费马方程可构造一个椭圆曲线，它不可被磨形式化。简单来说就是谷山智村猜想将不成立。 所以弗雷命题如果得正，费马大定律就与谷山志村蔡相等价。 一九八六年，英国数学家安德鲁怀尔斯听到李贝特证明了弗雷命题后，赶到攻克费马大定律，到了最后的公关阶段， 于是开始默默努力。怀尔斯是故事后半段的主人公，他在十岁时在公共图书馆的一本书上碰巧发现了费马大定律，就被这个问题深深的吸引住了。解决费马大定律成为了他的童年梦想。 直到一九三三年六月，怀尔斯在剑桥牛顿学院举行的学术会议上分三次做了演讲。 听完演讲，人们意识到谷山治村猜想已经证明，由此把穆德尔猜想、弗雷命题和谷山治村猜想联合起来，就可说明费马大定律成立。 其实这三个猜想每一个都非常困难，怀尔斯最后的证明使他成为完成费马大定律证明的最后一棒。 但此刻数学界反倒十分冷静，明确指出论证还是仔细核查。华尔斯的证明被分为六个部分，分别由六人审查，其中第三部分被查出有严重缺陷。同年十二月，华尔斯公开承认证明有问题，但表示很快会补证。 不久后，华尔斯教授邀请好友理查德泰勒来到了普林斯顿，帮助自己解决难题。 在流言蜚语中，华尔斯开始认为自己可能注定会和所有前辈们一样失败，但自我安慰他至少想要了解他失败的原因。 perhaps， i could best describe my experience of doing mathematics in terms of entering a dark mansion when it goes into the first room and it's dark and stumbles around bumping into the furniture and gradually you learn where each piece of furniture is and finally after six months or so you find a light switch you turn it on and suddenly it's all illuminated you can see exactly where you were at the beginning of september i was sitting here at this desk when suddenly totally unexpectedly， i had this incredible revelation it was the most the most important moment of my working life nothing i ever do again will。 在怀尔斯接受严峻考验的岁月中，他汇集了二十世纪述论中所有的突破性工作，并把他们融合成一个万能的证明，他创造了全新的数学技术，并将他们和传统技术与人们从未考虑过的方式结合起来。 一九九四年十月二十五日十一点，华尔斯向世界数学界发送了费马大定律的完整证明邮件。至此，费马大定律得正。 一九九五年证明过程发表在数学年刊第一百三十一卷上。证明过程包括两篇文章，共一百三十页，占满了全书。 在过去的几个世纪中，为了解决这个问题，数学家们发展和创新了大量数学理论，许多数学成果甚至是数学分支在这个过程中诞生。这些理论在密码学、物理学等多个领域都有所应用。 费马大定律也因此被数学界称为是一只会下金蛋的鹅，它的证明则被称为世纪性的成就，并被列入一九九三年的世界科技十大成就之一。 同学们，了解了这段历史之后，你们有思考或感想吗？下面我们请两位同学来谈谈自己的收获。 这节课我学习到费马大定律这么困难。著名的数学问题的提出和证明也涉及到平时数学学习中所运用的思想方法，比如将勾股定律延伸到费马大定律时用的类比和推广思想 研究 n 等于四时运用的从特殊到一般的方法。费马证明对于 n 等于四命题成立的反证法等等。所以，不论简单还是困难的数学知识，数学思想方法都是渗透其中的，我们在学习中更应该注重体会他们。 通过这个故事我了解到，费马大定律是一个困扰数学界三百多年的数学难题。在解决这一数学难题的过程中，一代代数学家艰苦探索，前赴后继， 他们不屈不挠的科学精神和在探索过程中的所展现的聪明才智令我折服。同时我也意识到，原来解决一个数学问题有时需要耗时耗力如此之多， 所以今后当我面对数学难题时，会更加有耐心，迎难而上，我也会努力学习数学，希望将来有一天能够看懂费马大定律的证明。 看来大家都从费马大帝里的历史故事中收获颇丰。数学不仅仅是数字和公式的游戏，在数学公式背后蕴涵的是人类对未知世界的探索和对完美解答的追求，是一次次燃到爆的智慧接力。 数学之美，逻辑之光皆在其中。费马大定律的故事就讲到这里，大家课后还可以看看相关记录片，与同学分享自己的感悟，谢谢大家！ 同学你好，今天我们来学习探究第十七章勾股定律数学活动。 勾股定律是初等几何中的一个基本定律，是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达格拉斯定律，但远在毕达格拉斯出生之前，这一定律早已被人们利用。 几乎所有的文明古国希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等对此定例都有所研究。我国以前也叫毕达格拉斯定例，二十世纪五十年代曾开展关于这个定例命名问题的讨论， 最后确定叫勾股定律。那它在实际生活中怎样应用？勾股定律可以通过哪些方法证明？今天我们就一起来解决一下以上问题吧。 先请看活动一、学校需要测量旗杆的高度。同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知，你能直接测量出旗杆的高度吗？ 在没有专业工具的辅助下，我们很难直接测量出旗杆的高度。那能否利用勾股定律提出一个解决这个问题的方案？ 我们都知道，利用勾股定律解决实际问题，首先要从构建直角三角形开始。那我们就一起来看看这位同学是怎样通过构建直角三角形来解决这个实际问题的。 我们已经知道旗杆与地面是垂直关系，就相当于已经有了直角。现在我们将旗杆作为一条直角边，将绳子拉开拉直，使其末端与地面齐平。以绳子作为斜边， 以绳子末端到旗杆底部的水平距离作为另一条角边，就可以构造一个直角三角形了。 测量得出绳子多一部分长度为二十二厘米。现在我们需要将绳子拉开拉直，使其末端与地面齐平。测量得出绳子底部到其杆底部的距离为二百三十厘米。我们现在就可以利用这些数据来计算其杆的长度。 通过我们的现场测量得出绳子垂下时多一部分，长度为二十二厘米， bc 等于二百三十厘米。我们不妨设 ab 等于 x 厘米，则 ac 等于 x 加二十二厘米。在平行三角形 a、 b、 c 中， 由勾股定律的 x 平方加二百三十平方等于 x 加二十二的平方解得 x 等于一千一百九十一点三厘米，所以弦的高度约为十二米。 通过这位同学的操作实验，我们可以总结出利用勾股定律测量旗杆高度的步骤。 一、设旗杆高度为 h， 测量绳子垂到地面多处的部分即为 a。 二、将绳子拉直并拉至底端与地面齐平，测量绳子底端到旗杆的距离，即为 b。 三、根据勾股定律可得 a 七的平方，加 b 的 平方等于 a 七，加 a 的 平方 a、 b 为已知量，可求出 a 七的值及旗杆的高度。 那如果条件变为旗杆顶端的绳子长度刚好等于旗杆的高度，你还能用勾股定律来解决这个实际问题吗？ 来看看这位同学的做法。同理，我们已经知道其杆垂直于地面，但此时绳子长度与其杆高度相等，将绳子拉开拉直后，绳子末端不能接触地面，就不能构成一个直角三角形了。 此时我们需要借助一个标杆，这个标杆可以是一个凳子，将绳子拉开拉直后，使其末端与凳子顶部齐平。这时我们就得到了一个以绳子为斜边， 以绳子末端到其杆底部水平距离为一条直角边。以其杆高度剪掉凳子高度为另一条直角边的直角三角形了。 测量得出绳子末端到其杆底部的距，水平距离为二百八十厘米。现在我们需要测量凳子的高度，测量得出凳子的高度约为三十二厘米。通过这些数据，我们就可以利用勾股定律来计算其杆的高度。 箭头如所示，我们测得得出 bc 等于二百八十厘米，凳子的高度为三十二厘米。我们不妨设其杆的高度为 x 厘米。由于绳的长度与其杆一样长，所以绳子 ab 等于 x 厘米，则 ac 等于 x 减三十二厘米。 在二十三角形 a 和 c 中，根据勾股定律可得 x 平方等于 x 减三十二之差的平方，加二百八十个平方，即可算得 x 的 值。 根据这位同学的解决思路，对于绳子跟旗杆一样长的情况，要测量旗杆的高度，我们可以按如下步骤进行，一、设旗杆的高度，即绳的长度为 h。 选一个垂直于地面且高度为 a 的 标杆，这里的标杆可以是一个人，也可以是其他的物体，比如凳子、木桩等， 可结合实际操作的可信度来选。二、将绳子拉直并拉至底端，与标杆顶端齐平，测量绳子底端到其杆的距离即为 b。 三、根据勾股定律，可得 h 减 a 的 平方加 b 的 平方 ab 为已知量，可求出 a 七的值及旗杆的高度。 那如果条件变为旗杆顶端的绳子比旗杆的高度还短，你还能用勾股定律来解决这个实际问题吗？ 来倾听这位同学的说法。类比变式音的做法，我们先测量出绳子末端到地面的距离，这时我们测量得出绳子末端到地面的距离为九十四厘米。 现在，我们将标杆更换为一名同学，将绳子拉开拉直，使绳子的末端与这位同学的头顶齐平，测量得出绳子末端到其杆的距离为三百六十厘米。通过这些数据，我们即可利用勾股定律测出其杆的高度。 卷图如图所示，我们测量得出绳子垂下时距一定的距离为九十四厘米，人的身高为一百六十四厘米， b、 c 的 长度为三百六十厘米，我们不妨设其高的高度为 x 厘米，则绳子 a、 b 的 长度为 x 减九十四厘米， a、 c 等于 x 减一百六十四厘米。在平行三角形 a、 b、 c 中，我们可以根据六个面积所得， x 减一百六十四之差的平方，加三百六十的平方等于 x 减九十四之差的平方，这个算出 x 的 值 不难看出，对于绳子比旗杆短的情况，要测量旗杆的高度，我们可以按如下步骤进行，一、设旗杆的高度为 h， 选取一个垂直于地面且高度为 a 的 标杆。 二、测量绳子垂下时底端与地面的距离记为 c。 三、将绳子拉直并拉至底端，与标杆顶端齐平，测量绳子底端到其杆的距离即为 b。 根据勾股定律，可得 h 减 c 的 平方等于 h 减 a 的 平方，加 b 的 平方 abc 为已知量，可求出 h 的 值，即其杆的高度。 通过亲自动手操作，我们近距离感受到了勾股定律的魅力，明白了数学来源于生活，应用于生活的道理。接下来请看活动。二、 用四张全等的直角、三角形纸片拼一个含有正方形的图案。要求拼图时，直角、三角形纸片不能互相重叠。你能拼出哪些图形？试一试， 我们可以拼成的图形有很多很多，那如果设直角三角形中的两条直角边长分别为 a、 b， 斜边长为 c。 请你用两种不同方法计算下图中大正方形或小正方形的面积， 并谈谈从中你有何发现。有位同学是这样做的， 要计算大正方形的面积，我们可以由边长乘边长来得到，即 s 大 正等于 a 加 b 正好的平方， 我们也可以看成由四个小的直角三角形面积加上中间小正方形的面积来得到， 即 s 大 正等于四倍 s、 r、 t 三角形加 s 角正等于四乘二分之一， ab 加 c 平方。 于是我们可以得到 a 加 b 正好的平方等于四乘二分之一 ab 加 c 平方。展开得到 a 平方加二， ab 加 b 平方等于二， ab 加 c 平方。化解得 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 要计算小正方形的面积，我们也可以由边长乘边长来得到，即 s 角正等于 c 平方。也可以看成由大正方形减掉四个小的直角三角形的面积来得到，即 s 角正等于 a 加 b 角平方，减四乘二分之 a， b 化解得到 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 通过以上过程，我们发现，通过不同方式来计算大正方形或小正方形的面积，可以得到勾股定律的结论。于是这可以作为证明勾股定律的一种方法。 这位同学通过用不同方法计算大正方形或小正方形的面积，证明了勾股定律。 这种证明方法是我国近代数学家邹元志所采用的方法，也被称为邹元志证明，在国内常常被提及， 和西方数学家所猜测的毕达格拉斯的证明方法有相似之处。不过，周元制简化了拼图的过程，用树形结合的方法给出了勾股定律的详细证明。除了这种证明方法，还有其他证明方法吗？ 在拼出的其他图案中再试一试，看看哪些图案能用类似的方法证明勾股定律。这位同学又给出了两种证明方法。 第一种证明方法是这样的，如图所示，我们可以拼成这样算有正方形的形式，通过计算大正方形或小正方形的面积来证明勾股定律。 大正方形的面积可以由边长乘边长来得到，即 s 大 正等于 c 平方。我们也可以看成由四个小的直角三角形加中间小正方形的面积来得到，即 s 大 正等于四倍 s 二 t 三角形加 s 小 正等于四乘二分之一 ab 加 b 减 a a 之差的平方，所以 c 平方等于四乘二分之一 ab 加 b 减 a 之差的平方，换算得到 a 平方加 b 平方等于 c 平方。同理，计算小正方形的面积也可以由边长乘边长来得到，所以 s 角正对于 b 减 a 之差的平方， s 角正也可以看成由大正方形的面积减掉四个小的直角三角形的面积来得到，即 s 角正等于 s 大 正减四倍 s r、 t 三角形等于 c 平方减四乘二分之一 ab。 所以 我们可以得到 b 减 h 加的平方等于 c 平方，减四乘二分之一 ab。 画就得到 a 平方加 b 平方等于 c 平方都不等于得正。 这种证明方法是我国著名的赵爽闲途证明。赵爽闲途证明的基本思想是图形经过割补后，面积不变，这就是中国古代数学中重要的面积出入相补原理，是我国古代数学的特色之一。 玄图之美，美在简约然不失深厚，经典而久远，被誉为中国数学界的图腾。二零零二年八月在北京召开的国际数学家大会的会徽式意图就取材于它， 可以说是充分肯定了我国古代数学成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化。我国经过努力，获得了二零零二年国际数学家大会的主办权，也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。 另一种证明方法是这样做的，我们也可以拼成无图所示。还有正方形的形式。通过计算多边形 a、 b、 c、 d 的 面积来证明根底里 多边形 a、 b、 c、 d、 e 的 面积。可以由大正方形 a、 e、 d、 f 剪掉两个小的直角三角形的面积来表示，即 s。 多边形 a、 b、 c， d、 e 等于 s。 正方形 a、 f， d， e 减 s。 三角形 a， f， b 减 s 三角形 f、 c、 d、 e 的 面积也可以由多边形 a、 h， g， d、 c、 b。 剪掉两个小的直角三角形的面积来表示。 延长 f、 c 加 g h 于点 m。 多边形 a， h， g， d， c、 b。 又可以分为正方形 g、 d、 c、 m 和正方形 ab， m、 h。 所以 s。 多边形 ab， m， h 加 s 正方形 c， d， g， m 减 s 三角形 a、 h， e 减 s 三角形 e、 d、 g。 所以 c 平方减二分之一 a、 b 乘二等于 b 平方加 a 平方减二乘二分之 a、 b。 化解得到 a 平方加 b 平方等于 c 平方，都无定力得正。 这种证明方法是通过用不同方式计算多边形 a、 b、 c、 d、 e 的 面积来得到。这种证明方法被称为没文顶证明法。 梅文顶是我国清代数学家、天文学家，被世界科技史界誉为与英国牛顿和日本无效合齐名的世界科学巨薄。 勾股举愚是他研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定律的证明和对勾股算术算法的推广。 他一辈子活了八十九岁，不走仕途，学历法，毕生致力于复兴中国传统的天文和算学知识。 梅文鼎在数学方面写了二十多种著作，将中西方数学进行了融汇贯通，对清朝数学的发展起了推动作用。 除了今天我们做的两个小活动，勾股定律还可以解决许多直角三角形中的计算问题，也是直角三角形特有的性质，在数学的发展和现实世界中有着广泛的引用。 此外，历史上勾股定律的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 我国古代数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界瞩目，并获得高度评价，是值得我们自豪的。 勾股定律是平面几何中一个最为重要的定律，世界上各个文明古国都对勾股定律的发现和研究作出过贡献，特别是对定律的证明，据说方法有四百余种， 那今天的作业就请你从有关书籍或互联网上再找一些证明勾股定律的方法，并与同学交流。 今天这节课就到这里，再见，同学们好，我是来自南宁市第二中学的陈艳纯老师。 本章我们学习了勾股定律及其逆定律。勾股定律被认为是数学中最重要的定律之一。本节课我们来梳理与勾股定律相关的知识， 相信通过这节课的学习，同学们能够更好地感受它的作用与地位。 勾股定律的内容是，如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、 b， 斜边为 c， 那 么 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 勾股定律反映了直角三角形边长的数量关系，它是直角三角形的性质。 我们在探究勾股定律的时候，首先了解了毕达格拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定律的传说。 然后我们观察同样的图案，通过研究等腰直角三角形这种特殊直角三角形的面积关系，发现它的三边之间的数量关系 在由特殊到一般。对于一般直角三角形三边为边长的正方形进行切割拼接， 发现一般的直角三角形三边之间的数量关系，两直角边的平方和等于斜边的平方。 我们沿着毕达格拉斯的足迹，重新探索勾股定律的发现过程，利用图形面积关系从特殊到一般也发现了这个结论。 古今中外对勾股定律的研究有很多，我国对其研究在国际上得到肯定。勾股定律是我国古代研究的重要成就， 我国三世纪数学家赵爽的证明方法，也是一种面积法。 他依据图形在经过适当切割后，再另拼接成一个新图形。 切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法得到等量关系。 勾股定律把形的特征转化成数量关系，将形和数密切联系了起来。这种数形结合的思想，我们之前在推导，平方差公式、完全平方公式等也有接触。 借助于图形的面积研究相关的数量关系，是我国古代数学研究中经常采用的重要方法，它充分显示了古人的卓越智慧。 勾股定律在实际问题中也有广泛的应用，请看问题二，一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端三尺处，折断处离地面的高度是多少？ 这里一丈等于十尺。这是我国古代数学著作九章算术中的一个问题。 解答的时候，同学们首先要将实际问题转化成数学问题，特别注意勾股定律的使用条件是直角三角形。我们将竹子折断后的图形抽象成直角三角形 abc， 其中角 c 等于九十度，由提一得 bc 等于三尺。已知一边及两边的关系，求第三边。 对于这样的问题，我们可以利用方程思想设其中一条边 a、 c 为 x 尺，再根据勾股定律列方程。 勾股定律常用于解决直角三角形边长的问题，我们可以根据已知条件直接求解，或通过设圆列方程求解。 得到一个数学结论后，经常要研究其逆命题是否成立。勾股定律的逆命题是一个定律，它的内容是， 如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a 平方加 b 平方等于 c 平方，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定律的逆定律给出了判定直角三角形的一种方法。勾股定律及其逆定律从相反的路径对直角三角形进行刻画。 同样的，对于勾股定律的逆定律，我们还探求了它的证明方法。 勾股定律的逆定律的证明是借助三角形全等先做一个合适的直角三角形，然后证明已知条件的三角形和此直角三角形全等。 我们来回顾它的证明方法。如图，画一个直角三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇，使得 b 撇、 c 撇等于 a， a 撇、 c 撇等于 b 角， c 撇等于九十度。 根据勾股定律， a 撇、 b 撇的平方等于 b 撇、 c 撇的平方加 a 撇、 c 撇的平方，即等于 a 平方加 b 平方。 由于 a 平方加 b 平方等于 c 平方，所以 a 撇、 b 撇等于 c， 进而证明三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。 这里运用了全等三角形边边边的判定方法，从而证明角 c 等于角， c 撇等于九十度。即三角形 a、 b、 c 是 直角三角形， 这里是用两边及其夹角构造直角三角形，也可以用斜边和直角边做直角三角形。 同学们，类似勾股定律与其逆定律，你还能找到互为逆定律的两个结论吗？ 比如，两条直线平行，同位角相等与同位角相等。两直线平行是互逆定律，前者是平行线的性质，后者是平行线的判定。 再比如，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，与到角两边的距离相等的点在角的平分线上，也是互逆定律。 我们知道一般的原命题成立逆命题未必成立，你能举例说明吗？ 比如，对顶角相等是成立的，但它的逆命题相等的角是对顶角不成立。再比如，若 a 等于三，则 a 平方等于九成立，但其逆命题不成立， 相信同学们还能找出其他例子。同学们，这是本章的知识结构图，我们通过图形面积发现、推演勾股定律， 通过构造三角形全等证明勾股定律的逆定律。在学习知识的时候，我们不但要知其然，还要知其所以然。 勾股定律及其逆定律分别是直角三角形的性质和判定。直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，那么勾股定律在三角形中具有什么样的地位和作用呢？ 下面我们一起来对已学的与三角形相关的知识进行梳理。 勾股定律反映了直角三角形边之间的数量关系，那么请同学们思考，关于直角三角形，我们还学过什么性质？ 同学们回忆出的直角三角形的两个锐角互余，它是直角三角形什么元素之间的关系？ 是的，它是直角三角形，角之间的关系是直角三角形的性质。 你能说出它对应的逆命题吗？没错，它的逆命题是有两个角互余的三角形是直角三角形，这是直角三角形的判定。 除此之外，我们是否还有学习体现直角三角形边与角之间的关系的知识呢？ 对三十度的角，所对的直角边等于斜边的一半，这也是直角三角形的性质。 有关直角三角形的这些知识，我们还相应应用它们解决问题。 我们梳理了直角三角形的知识，如果我们将研究视角延伸至一般三角形，知识之间又会有什么联系呢？ 对一般三角形的角进行特殊化，当一个内角为九十度时，该三角形为直角三角形，这是直角三角形的定义。 由此可知，直角三角形的研究路径是定义性质判定应用。 请同学们思考，对于一般三角形的边进行特殊化，比如两边相等，是什么特殊三角形呢？没错，是等腰三角形。 等腰三角形的研究路径是否与直角三角形一样呢？我们来进行回顾。 学习完等腰三角形的定义后，我们学习其性质，两腰相等、等边对等角，三线合一， 然后学习其判定两边相等的三角形是等腰三角形，等角对等边，而后应用其性质判定解决问题。 因此，对于特殊三角形，一般遵循定义、性质判定应用的研究路径。 同学们，一般三角形、等腰三角形、直角三角形之间又能进行怎样的转化呢？请同学们思考。 你能否通过添加辅助线，在一般的三角形中构造出直角三角形？ 没错，通过做高，我们就能在一般的三角形中构造出直角三角形，借助直角三角形的性质，勾股定律解决线段长度的问题。 那你能否通过添加辅助线，在等腰三角形中构造出直角三角形？除了做高，还能怎么添加辅助线？ 是的，由于等腰三角形具有三线合一的性质，我们还可以做其底边上的中线、顶角的平分线来构造直角三角形。 同学们，从这里我们知道，一般三角形和等腰三角形都可以通过添加辅助线构造出直角三角形，进而借助勾股定力来解决问题。 因此，勾股定力在三角形中发挥了重要作用，它是平面几何中最重要的定力之一。 本节课我们构建了本章以及三角形的知识体系。我们不仅重温了勾股定律及其逆定律的核心内容与推导逻辑， 还梳理了将一般三角形和等腰三角形转化为直角三角形的方法，为解决复杂几何问题开辟了新路径。 这一系列学习不仅巩固了基础知识，还能提升我们分析问题、解决三角形问题的能力。 最后再请同学们思考一个问题，我们知道三十度角所对的直角边等于斜边的一半，那么除此之外，含三十度角的直角三角形其他边是否也有特殊的关系？ 如果将三十度换成四十五度、六十度直角，三角形的边之间又有什么关系？而勾股定律在这其中起到什么作用？ 这些问题我们将在后面进行学习，进而完善三角形的知识体系。 同学们，假如将勾股定律比喻为一棵大树，那么三角形就如同它所生长的广袤森林， 我们不仅要精研大树的每一片叶子及深入理解勾股定律的内涵与应用， 同时更要纵览森林全貌，梳理三角形的联系，实现由点到面、从局部到整体的全面认知，提升领略数学的逻辑美 好。同学们，本节课我们就学习到这里，同学们，再见！

如果你把墙上的白蚁洞堵上，白蚁会试图咬穿它逃走，但当它们无法逃脱时，就会向整个蚁群释放警报信息素，随即触发蚁群扩张。公蚁们开始向四面八方啃咬，新的隧道不断深入墙体内部。所以正确的做法是直接将白蚁毒药注入洞内，从内部消灭整个蚁群。另外一头奶牛大口撕扯着青草，并 迅速吞咽下肚。过一会，他会反刍出一团湿漉漉的草团，然后慢悠悠的反复左右咀嚼，并再次咽下去。而这就是奶牛进食的方式，他们第一次咀嚼并不充分，于是他们会把草储存在一个满是微小虫子的大胃里， 这些虫子将草分解成营养物质，然后奶牛反刍出湿漉漉的草团后，再次咀嚼吞下。切牛油果的时候，如果你手拖着往下切，刀很容易从果核上滑下去，伤到手。 正确方式很简单，把牛油果放在案板上，沿着果核轻轻划一圈，然后握住牛油果一拧就分成两半了。取果核时，用刀刃敲一下果核，再一转，果核就会跟着刀刃一起出来。如果你把果核洗干净，用湿纸巾包一下，放上几周，它就会开始发芽，然后再把它放进土里，就有可能长大接触牛油果了。 切橘子时，把橘子横着放，用刀从中间切成两个均匀的两半，然后用拇指从外侧的果皮上用力一推，你会发现半个橘子直接被翻了出来，里面的果肉像花瓣一样散开。这种方法不仅好看，还能直接掰成一口一个的小块，吃起来干净又方便，再也不用怕橘子沾手了。 为什么农场主要给公鸡戴上眼镜？原来如果一只鸡看到另一只鸡身上有血，那他就可能会把另一只鸡啄死，并且在拥挤的鸡舍里。 这种行为会让其他鸡也互相攻击，但如果他们带着有色眼镜，那么他们看到的场景都是红色的，这会让他们分辨不出血液，也就不可能去着击其他的鸡。 另外，腿上绑着刀的公鸡冲过去割伤了一名男子的小腿。这种斗鸡在这个国家是一种违法行为，因为这些鸡经过训练后，会在非法比赛中会攻击并割伤对手。现在这只公鸡就割开了男人的腿，并且刀伤切中了动脉， 鲜血开始喷涌而出，他被紧急送往医院，但后来还是因伤势过重而死亡。要是你狂喝牛奶，会因为其中的蛋白质而变得肌肉超级发达吗？ 其实牛奶富含糖分，大量饮用会让你发胖。这就是为什么会给小牛和婴儿喝牛奶，就是为了实实在在的给 他们增肥。但如果你让牛奶通过一组特殊的薄膜，像糖这类较小的分子太大，穿不过去就留在牛奶中，这样牛奶的蛋白质含量 超高了，要是再添加些维生素、矿物质以及你独特的调味料，基本上就能得到一种助力增肌的超级牛奶，但那可得费不少功夫，所以你还是直接来一杯优质奶昔吧。

养牛的朋友大家好！嗯，今天呢给大家分享一下，就是最近在直播间里面提问我最多的一个问题，母牛生产小牛以后该怎么护理，该怎么喂？ 今天就这个问题，我给老铁们简单的说一下。母牛生产完小牛以后了，在四个小时左右，咱们可以用一百克的盐，一百克的苏打，加上腐皮两斤，红糖一斤，益母草一斤。 咱们用那个二十斤的温开水给他进行搅拌均匀以后给牛灌服。益母草是补血的，他会使这个牛体内的恶露尽快排出，减少这个子宫炎的发生。我说 的这个办法连续喂三天这个大母牛，他会恢复的很快。母牛下小牛以后，咱们一定要让这个母牛多多的进行运动，加快生殖器官的恢复，才能使他尽快的发清配种。 大牛下小牛以后，咱们一定要在他稍作休息以后，缓慢的把他赶起来，缓慢的行走十五分钟左右，能够预防子宫的宫脱和这个大出血的现象。 嗯，希望我的这次分享呢，对咱们所有的养牛户都有一个很好的帮助。今天我就分享到这里，感谢朋友们的观看，传播正能量。我是志诚养殖，给个关注，点个红心。