八年级下册数学北师大版安装包

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接下来我们看一下外角的内容，我说外角是什么？三角形的一条边和另一个边的什么？延长，反向延长，对吧？也说有反向延长就会有外角的出现。好，我延长这个边， 那我说外角是他，那我说延长这个边呢？我说和角的一边，所以加角是他啊，所以这什么外角？那我再延长，那外角是谁？是他？那再延长外角是谁？是他啊？ 然后我再延长这边的外角是谁？是不是这个样子啊？那我再延长这边外角是谁？是不是他？所以我说一个三角形的外角总共有多少个？十六个啊？十六个。 好，那我说外角有什么特点？好，我来研究一下啊。我说原先的这个图中，我说这两条角加起来是多少？一百八，因为加起来是个平角吧。啊，我们来写一下，首先是角一加角四等于多少？一百八，那我说跟一百八挂钩的还有什么？三角形的内角和，对吧？好，我说三 角 a 加角 c， 然后加上一个角 b， 可不可以？不可以啊？我说角 b 能不能写角 b？ 不 行啊， 因为它有分式，直接写角什么？ abc。 那 我说角 a 是 吧角二，然后呢？角 c 是 吧角三，然后呢？ abc 是 吧？角四啊， 等于多少？一百八？十度。那好，我说这里面这两个里面一百八和一百八一样吗？一样。然后呢角四和角四也一样，所以我说这两个什么特点？好，我换个颜色啊，我说这两个怎么样？是相等的啊？ 那我是不是得到角一等于什么？角二加角三啊？这是什么结论？那我们来看一下这个是什么？我说这角一，角二，角三。哎，我说这句话应该怎么来表述？是不是一个三角形的外角等于 相邻吗？不相邻啊，我说这是相邻，这两个是不相邻，也说等于不相邻的两个内角是合啊。我说一个三角形的外角 等于与之不相离，注意，是不相离啊，不相离的有几个角？两个啊？两个内角之和。 那以后碰到我就可以直接用了啊，往往后面再看，我说角一和其他角关系是什么？角一等于什么？角二加角三，然后呢？证明。好，我来写一下啊，刚才思路我已经说过了，我直接写有提议的， 是不是出现是什么？角一加角四？嗯，是不是角一加角四等于多少？一百八，在三角 c、 a、 b、 c 中， 那是不是角 a 加角 c， 然后加上一个什么？角 a、 b、 c 等于什么？是不是等于角二加角三，然后加角四等于多少？是不是等于一百八十度？那接是不是角一等于什么？ 角二加角三啊？呃，这个部分我就讲解到这，问我说结论是什么？外角等于什么？与之不相邻的两个内角是和任何对应的，进一步可以得到什么？我说外角一定大于与之不相邻的两个内角啊，也就是什么意思？这里面我可以得出来，角一大于角二， 然后角一是答一角三的。那这个部分我就讲解完了，我们看一下第二的部分啊。三角形 abc 中，我说角 b 是 不是等于角 c， 然后接下来我说 a、 d 平分，所以我说这两角什么关系相等啊？ 好，我说这一块需要是什么外角，所以我要用到。我说象形的外角是谁？在这个图中是不是角 e、 a、 c 是 什么外角啊？角 e、 a、 c 是 外角。我说 e、 a、 c 等于什么？是不是等于不相邻的是谁？是不是角 b 和角 c， 所以 等于什么？角 b 加角 c 啊？好，我们写到这角 e、 a、 c 等于什么？是不是角 b 加角 c？ 那 我们说角 b 和角 c 什么关系？相等啊，所以我们可以等于什么？二倍的角 b 也可以等于什么？二倍的角 c。 可以 的，没有问题啊，那我这里面用二倍的角 b， 那 我说二倍的角 b 没问题，那我们发现这个 a、 d 还什么角？平分线啊，我说 a、 d 是 不是平分 角 e、 a、 c 的 什么角？平分线？ 那所以呢，我说大角 e、 a、 c 是 不是等于二倍的小角啊？等于哪个小角？这样都可以写出来，我一会看用哪个是不是角 e、 a、 d 的 什么二倍也等于什么角 d、 a、 c 的 什么二倍。那好，我说接下来我说这两个部分怎么样？相等不相等，所以我说这两个部分相等，那我可以得到什么？是不是角 b 等于什么 角 a、 d？ 好， 我们来看一下角 b 是 谁？角 b 是 不是在这？ a、 d 在 哪？是不是在这？哎，这两个角什么角？同位角，所以平行吧，平行啊，就可以了。好，我们来写一下是不是这两个条件可以得到什么？注意是哪两个？好，我画一下 是不是可以得到角 b 等于什么角 e、 a、 d。 那 我说这两个什么角？同为角，那同为角相等的两直线平行啊，所以我们可以得到 a、 d 平行于什么？ b、 c 啊？这是什么字母？然后我们看一下过程啊。正 啊，第一步用的是什么外角？那我直接写啊，角 e、 a、 c。 一 般这种情况我们可以直接写到什么因为里面啊，因为什么角 e、 c 等于什么角 b 加角 c 啊， 角 b 等于什么角 c。 所以呢，我说角 a、 c 等于什么二倍的角 b 啊？那接下来就是我说用什么角平分线啊？好，我们换个颜色，因为 a、 d 什么平分 角 a、 c。 所以呢，我是不是角 a、 c 等于什么？是不是等于二倍的角 a、 d 啊？也等于什么二倍的角 d、 a、 c。 我 刚才用到 d、 a、 c 了吗？没有，所以这里面可以不写它啊。 那我说都是两倍的，他两倍，他这两个部分怎么样相等不相等啊，这两个部分怎么样相等？所以呢，我说角 b 等于什么？是不是等于耶 d？ 那 我看了，我说角 b 和耶 d 什么角？我说角 b 在 哪？是不是这，然后耶 d 在 这，什么角？同位角，所以两直线怎么样平行啊， 所以 a、 d 平行于什么 b、 c 啊？那过程我们就讲解到这，我说违一吗？不违一，我们是不是落到了这个两个角，对吧？好，我们来分析，我说落到这两个角还可以落到，那 我这里面真正在做的时候也可以落到这两个角啊，因为这两个角内错可不可以正的相等？可以啊，为什么我们说由于角平分线，是不是角 e、 a、 c 等于什么二倍的角谁 d、 a、 c， 那 好，也等于什么二倍的什么角 c 啊？所以这两个角什么关系相当啊？这什么思路？ 我说方法其不为一啊。那这个题我就讲解到这，我们来看一下课本上的过程啊。第一步，哎，我说这两个条件合起来是什么角 b 等于角 c 啊，那是不是可以得到？我说这个可以换成什么角 c， 所以 二倍的角 c 等于什么角 a c 啊， 所以我说角 z 等于什么？二分之一的它也没问题啊，我一般很少这样写，你这样写有没有问题？没有啊，我通常会用它啊。 那接下来就是什么角平分线啊，所以呢，这两个长线合起来得到是什么相等啊？所以平行，注意他俩这个用是什么？我说平行用是什么内错角相等，两直线平行啊， 我们来看一下第三啊，我说 p 什么里面一点连接 p b 和 p c， 我 说让正什么 b， p c 大 于什么角 a。 好， 我说 b p c 和角 a， 那 我说这里面在正的时候，我们说考虑什么外角，那我说 b p c 现在是外角吗？现在不是啊，所以我要构造一个什么外角。那我说怎么做 连接 ap 并延长啊？延长之后叫 bc。 什么语义？那好，出现了没？出现了啊，我们来看一下这个部分是不是上面这个三角形的一个什么外角啊？好，我们来看一下是什么意思？这个角是上面这个三角形的一个外角，然后这个部分是右边这个三角形的什么外角啊？好，我把它标一下， 这个我们记成角一，然后角二角三，然后角四角五，然后这个什么角六啊。啊，我来写一下过程啊，我是不是可以得到？我说有提议的，或如图所示， 沿成什么？沿成 a p 交 bc 于 e 啊。交 bc 于什么 e。 那 我是不是可以有提议直接得啊， 是不是角三等于什么角一加角二，然后呢？角六等于什么角四加角五啊？ 好，那进一步，我是要正什么？我说角 b、 p、 c 啊，那我说角 b、 p、 c 等于什么？是不是等于角三加角六啊？ 所以呢，我们可以得到角 b、 p、 c 等于什么？是不是角三加角六，所以是角一加角二。好，我们写清楚啊，所以是角一加角二，然后加角四，然后加角五啊， 那我说角一加角四是什么？我说角一加角四就什么角 b、 a、 c 啊，我说是等于角 b、 a、 c， 然后加什么角二，然后再加上一个什么角五， 那我是不是可以得到？我说这两个谁大谁小，能看出来吗？能看出来啊，所以呢，我说角 b、 p、 c 大 于什么角 b、 a、 c 啊，那这个题我就讲解完了， 我说方法唯一吗？不唯一啊。好，我们来看一下课本上的一个给的，我说延长可不可以？可以啊，我们本质还是探讨是什么要用什么外角啊，我们来看一下延长之后可以得到什么？我说这个角 是可以吧，我说外角没问题啊，是谁的外角？三角形 a、 b、 d 的， 所以我把它记成角一和角二。那我说角一可以得到什么？角一是不是等于？我说这两个角是合啊，所以是等于角 a 加上一个角什么 a、 b、 d 啊？ 那好，角二等于什么？外角也是用什么外角。注意，一定要认出外角啊，我是这个三角形的什么外角，所以角二等于什么？是不是角 d、 c、 p 啊，然后加上一个什么角一。 那我们说角一是什么？是不是它，所以带进去啊？那可以得到什么？好，我来写一下啊，是角 d、 c、 p， 然后加上一个什么角 a， 然后再加上一个角谁 a、 b、 d 啊？所以呢，我是不是可以得到是不是大于什么角 a 啊？就结束了几 角 b、 p、 c 大 于什么角 a 啊？这是什么思路？然后我们看一下课本跟的一个过程啊，我说延长 a、 b、 p、 c 是 外角，所以呢，我说 b、 p、 c 大 于什么 p、 d、 c 啊，我说是什么意思？谁大于谁？ b、 p、 c？ 好， 这个角大于 这个角，也就是说角二是大于角一，那对应也是外角，也就是说角一大于什么角 a， 那 我说按照什么传递，对吧？所以我说角二大于角 a 也没问题啊。那这个用是什么？是不是用的是一个三角形的外角大于与之不相邻的任意一个内角，看到了没？ 好，那这个题我就讲，讲完了啊，我可以下手一套练习的部分啊，我说角 a 是 多少？是不是四十五度？好，我来标一下。然后呢， d、 c、 a 是 多少？一百度。那好，我们可以用内角和 d， 对 吧？可以，我是不是可以得到这个角，对吧？好，我直接写啊，在三角形 abc 中， 或者我直接写减，因为角 a、 c、 d 是 先要写 a、 b、 c 的 外角， 所以我们说角 a、 c、 d 等于什么？是不是等于角 a 加上一个什么角 b 来接， 是不是一百度，然后等于什么？角 a 是 多少？四十五度加上一个角 b， 所以 我说角 b 等于多少？是不是等于五十五度啊？我说这个题结束了吧？没有，第一个，你要算角 b， 已经结束了。第二步算什么？ a、 c、 b 啊？好，我来写一下。这是第二步了啊，我说 a、 c、 b， 那 我说 a、 c、 b 怎么算？用内角和吗？用内角和吗？可以啊，但是这里面我直接用什么？这两支和是多少？一百八啊？好，我直接写，因为角 a、 c、 b， 然后加上一个角谁？ a、 c、 d 等于多少？一百八十度，然后角 a、 c、 d 等于多少？是不是等于一百度啊？所以呢，我说角 a、 c、 b 等于多少？是不是一百八十度，然后减去一个角 a、 c、 d 啊？所以是一百八十度，然后减去一个什么？一百度等于多少？八十度啊？ 我说这里面还可以用什么？像我现在内角和啊，但是没有必要啊，我们来看一下啊。啊，我说角一、角二，角三，分别什么外角？那我说三个角的和是多少？那我们来看一下，角一是外角，那角一等于什么？好，我说这是外角，等于与之不相邻的两个内角之和， 与之不相悖是谁？是不是这个角和这个角之合啊？那所以我们来写一下啊，就是我说角一等于什么？是不是角 abc， 然后加上一个角什么 a、 c、 b 啊？这是我要说直接解有提议的， 那对一呢？我们的角二也是外角，那角二是外角，那等于什么？是不是不相邻的是谁？是不是这个角和这个角啊？所以等于什么？这两个角之和，所以是什么？角 b、 a、 c， 然后加上一个角什么 a、 c、 b 啊？ 那对应角三也是一样的，等于什么？它也是外角，等于与之不相邻的是什么？是不是这两个角之合啊？好，我们来写一下，角一等于什么？是不是角 c a、 b 或者 b a、 c 都可以啊？ b a、 c， 然后加上一个角什么 a、 b、 c 啊？那我们说这三个角之合呢？所以我们说角一加角二，然后加角三等于什么？是不是等于 这三个部分？怎么样加起来啊？这三个部分怎么样加起来？好，我写一下这一只角 abc， 然后加上一个角，是吗？ a， c、 b， 然后再加上一个角，谁？ b， a、 c， 然后再加上一个角 a、 c、 b， 然后再加上一个角，谁？ b， a、 c 啊？ 再加什么？ a、 b、 c， 那 我真正在算的时候，是写完之后我需要看一下啊，我们说这什么 a、 b、 c， 然后这 abc， 所以 abc 出现几次两次，然后我们说可以等于什么？二倍的角？什么 abc 啊？ 然后我们再往后面看，我们说这是什么？ a， c、 b， 然后这是什么？ a、 c、 b， 几次？两次，所以是什么加上一个？什么二倍的什么？ a、 c、 b 啊？然后接下来我们再看这是什么？ b？ a， c、 b， a、 c， 几次？两次，所以加上二倍的角。什么？ b， a、 c 啊？我们说是不是都有二，所以怎么样提出去？所以是二倍的角 abc， 然后加上一个角，是吧？ a、 c、 b， 然后再加上一个角，是吧？ b， a、 c 啊，我说这是吧？是不是三角形的三个内角，对吧？为什么？好，我来看一下， 那 abc 是 什么？ abc 是 这个角，然后 a、 c、 b 呢？是这个角，然后呢？ b、 a、 c 上面这个角，所以我们说这三个角就什么？这跟三角之合，也就是三角形的内角合是多少？一百八 九一等于十万二乘以十万一百八十度，等于多少？三百六十度啊，那这个题我就讲解到这。

接下来我更新十二页。好，我们之前学的是什么？等腰三角形的性质， 那我说等腰三角形的性质是什么？是不是两底角相等啊？两底角相等， 那我把它反过来是什么？我说有两个角相等的三角形是等于三角形，对吧？那我说这句话到底对还是不对啊？那我来看一下。有人说这什么意思？如果说这两个角怎么样相等，那我可以得到这两边相等吗？这是哪一个问号？ 那我说如果说相等相等的话，我说把边的相等我需要转化成什么？什么情况下会出现边的相等，是不是？我说三角形全等中对应边相等，对吧？ 所以我们需要构造以 abac 为边，构造什么三角形？那我怎么做？是不是需要一条线啊？我说这条线先不知道是什么，我需要划到两个三角形中，这两个三角形全等，对吧？那我说这条线做什么？是不是我能想到什么？第一个我说角平分线、中线和高线，那我来看一下。 我说高线，然后中线，然后角平分线，那我们看一下条件够还是不够啊？都看一下。 那么第一个如果是高线，那是不是垂直？那我说这两个象形全等。第一个是不是直角？三角形中这个边什么公共边，对吧？好，我说条件一，是不是我说 ad 等于什么 ad？ 然后第二个条件是不是直角？也就是说角 adc 等于什么角 a， d、 d 等于多少？是不是等于九十度？然后条件三呢？是不是角 b 等于什么角 c？ 那 我说此时能不能得到全等？好，我来看一下边，然后这是角，这是角，那这个边是什么？是不是这个角的对边？所以是什么？两角积积一个角的什么对边？所以又是什么？ a a、 s 啊？可以得到全等吗？可以，也就是说全等之后呢？我说边相等吗？相等啊， 等于说什么意思？有这个我们可以得到两个三角形全的，那我说也就是说得到什么角 b， 若等于角 c， 那 一定可以得到什么？ ab 等于 ac， 那 进一步我们说这是什么等腰三角形，也就是三角形 abc， 是 不是什么等腰三角形啊？ 那我说中线可不可以？好，我们来看一下啊，我们做中线的，同样要落到什么？是不是落到了什么？是不是三角形的全等？我说如果是中线，那这两边是不是相等？好，我们来看一下， 第一个条件是不是 b、 d 等于什么？ d？ c， 然后第二个条件是不是？我说角 b 等于什么角 c， 然后第三个条件是不是 a、 d 等于什么？ a d 啊？ 那我说能不能得到全的，那我来看一下啊。我说第一个 b、 d， 然后这是什么？是不是角？然后这是边。我说两边一角的时候，这个角必须为什么夹角，那此时我们看这是边，然后这是边，这什么角？哎，这个角是这个夹角吗？不是啊，所以能得到全的吗？不行， 你说如果你做的是这个边上中线，能不能得到这两三角形全的？不可以啊，你说你要证明这两边向的，或者说这个三角形是等腰三角形中线，这种方法是不可取的。然后接下来我们看一下角平分线可不可以啊？好，我们来看一下， 那一样做到证明这两角形全等啊？我说如果角平分线，这两角是不是相等啊？所以我看一下条件，第一个条件是不是角一等于角二，然后第二个条件是不是？我说了角 b 等于什么角 c？ 然后第三个条件是不是 a、 d 共用啊？ 那此时能不能得到全等？好，我说这是条件一，然后条件二，然后这什么条件三，两角及其一个角的什么对边又是什么？ a、 a、 s 啊， 也就是说他也是可以做到什么？我说全等的，那全等之后，哎，后面是一致的啊，那也就是说我们结论是什么？如果说一个象形中两个角相等，那这两个角对的边怎么样？相等？所以三角形为等腰三角形啊，那这个部分我就过了啊， 然后后面让你证明，我就不再写了啊。然后定理是什么？是不是角相等对应什么边相等，所以什么等于幺？那我说减数为什么等角对等边啊？也就是说它的什么？判定定理， 判定定理，判定什么？判定一个象形是什么？等幺象形的方法啊， 那这个部分我就 a、 b 等于什么 d、 c？ 好， 我们标一下， 然后接下来 b、 d 等于什么 a、 c 啊？ b、 d 等于什么？ a、 c？ 哎，我们发现有什么？是不是有一个公共边是吧？是不是 a、 d？ 所以 我们直接会得到我们的三角形 a、 b、 d 和三角形是吧？ a、 d、 c。 怎么样全等啊， 全等条件够还是不够？够啊？我说三个条件，条件一是什么？是不是 a、 b 等于什么？ dc？ 然后条件二，是不是 a、 c 等于什么 b、 d？ 然后条件三是什么 a、 d 等于什么 a、 d？ 所以 我们说三角形怎么样全等，那就三角形 a、 b、 d 全等于三角形对应弦， 所以是什么 d， 然后是 c a 啊？那全等之后呢？我们会得到什么对应角相等啊？也说这两个角属于什么对应角啊？所以角 e、 a、 d 等于什么？是不是角 e、 d、 c 啊？那我说等角对什么等边，所以我说这两边什么关系相等啊？所以我说 a、 e 等于什么 d、 e 啊？ 那所以我要说三角形 a、 e、 d 为什么等腰三角形啊？那好，我们来看一下这个题，为什么？是不是让你正等腰三角形？那就结束了，第一步用什么全等啊？我说第一步是什么全等，然后第二步用什么性质？然后接下来什么判定啊？就是判定定律， 等边对等角啊。 接下来我们看一下课本中的一个过程，第一步是什么全等，第二步呢？这是什么全等性质，然后从它到它什么？我说等幺象形的判定定律， 然后这个部分我们就讲解到这，接下来我们看一下思考的部分啊。我说一个象形中如果角不相等，那角对的边也不相等，你说如果这是命题的情况下，这是什么条件？ 然后这个是结论啊，那我说这个结论到底正确还是不正确？那我这里面给了一个新的方法，叫什么反正法？那我需要第一步把结论取反，我说两个角所对的边怎么样不相等，那 相反的是什么？是不是角对的边怎么样相等啊？然后我画一个图，三角形 abc 啊，我说角 b 不 等于角 c， 那 结论是什么？是不是 对应是什么 a、 b， 然后不等于什么 a、 c、 r， 那 我说要证明它的话，我说第一步结论取反，也就说 a b 等于什么 a c、 r。 所以 我说第一步先假设与结论相反，那假设什么 a b 等于什么 a c， 那 则我们说等边是吗？对，等角，所以我们会得到什么角 b 等于角 c。 但是呢，我说条件是什么？是不是角 b 不 等于角 c， 而角 b 不 等于角 c？ 所以呢，我说假设错误，也就是说假设错误 原命题怎么样正确啊？ 也就什么意思？结论是什么？我说如果角不相等，对的边也不相等啊，这是我说它是正确的，那我说反正法第一步干什么取反，结论取反。然后第二步呢？推出与条件怎么样相反的结论。所以我要说假设错误原命题正确啊。 那这个部分我就讲解到这，然后我们看一下课本给答啊，我们说要么相等，要么不相等，他假设什么相等 a， 是 不是我说的结论怎么样取反啊？ 接下来我是不是有等边对等角可以得到相当 a 与已知条件怎么样矛盾？所以我说不想等啊。那这个部分 接下来我们看一下课本上的啊。我说已知，我说要正数吗？是不是 a b 也不等于 a、 c 啊？所以做的是什么？第一步取反，所以是什么 a b 结论取反啊， 所以假设什么 ab 等于什么 ac， 那 根据呢？我说边相等对于什么角相等，也就说等边对等角啊，所以我说得到两个角相等，但已知条件已经说了，我说这两个角怎么样不相等，所以怎么样矛盾， 所以呢，我说与已知条件矛盾，所以我说假设错误圆命题正确，也就是说 ab 不 等于 ac 啊，所以我说这个反证法非常的重要啊，注意，第一步跟什么结论取反， 然后第二步呢，推出以已知条件矛盾， 矛盾，然后第三步，原命题正确啊，也就说原命题也就是原结论是正确的啊，结论正确。 好，我们来看一下下面部分反正法我刚才已经说过了啊，第一步干什么？结论不成立。然后第二步呢，推出于什么定义？然后基本事实已有定力或已知条件矛盾的，所以呢，我说命题结论一定成立啊，记住，假设错误，原命题正确啊。 好，我们看一下第二个部分，我们说不能有两个角是直角，这什么意思？第一步，我们说结论取反，对吧？人说结论取反，说不能有，所以是有两个角是什么直角啊？所以我们第一步假设 一个象形中 有两个角是直角， 那这两个角我们是不是需要记出来？所以我们记为什么角 b 和角 c， 则 三角形 a、 b、 c 中，三角形 a、 b、 c 中三个角之合，是吗？是不是角 a 加角 b， 然后加角 c， 这个是不是等于一百八十度？等于什么？角 a 加上什么一百八十度， 然后是不是大于什么？一百八十度与三角形内角和是多少？一百八十度怎么样矛盾啊？与角 a 加角 b， 然后加角 c 等于多少？是不是等于一百八十度，怎么样矛盾啊？所以呢，我要说圆命题怎么样？错误，呸， 所以怎么样？圆命题正确啊，所以是什么？一个象形中不能有什么两个角是什么直角啊？那我们来看一下课本上的，那我说已知象形 a、 b、 c， 我 们说不能有两个是直角。我们说第一步，假设什么有两个角是直角，不妨设。为什么？ 我们来看一下课本上的一个过程啊？我们说求 求证，不能有两个角，那我说假设是有两个直角，不妨设什么角 a 和角 b。 你 可不可以设角 b 和角 c？ 可以 的，没有问题。所以于是有这样子的，我说角 a 加角 b， 这个是不是一百八十？所以加上。 接下来我们看一下课本中的一个过程啊。我们说是已知三次 abc， 然后不能有两个角，什么直角？那我说假设有两个直角，我说不妨记成什么角 a 和角 b。 接下来我们看一下课本中的一个过程啊。我们说已知，然后我们说不能有两个角是直角，它设了一个什么有两个角？直角不妨设什么角 a 和角 b， 你 也可以什么角 b 和角 c， 或者角 a 和角 c 都行啊。 那于是会有三个角加起来是等于角 a 加角 b 是 多少？是一百八，所以呢，我是不是这三个角加起来大于一百八？那我说三角形内角和定力是多少度？一百八十度，怎么样？矛盾。所以呢，我说假设不成立，也就是说他不能有两个角，是什么直角啊？ 在这个题我就讲解到这，我说反正法一定要会啊，我说虽然不常考，但是碰到了一定要会啊。 接下来我们看一下随堂练习的部分，我们说三角形 a、 b、 c 中，我说 b、 d 平分，所以我说这两个角怎么样相等啊？我说平分可以得到角一，等于角二， 然后我说做什么平行，我说这两条线平行，那可以得到什么？好，我说 d e 平行，什么 bc， 那 平行之后我就去找内错角同尾角和同把内角，而且跟刚才条件挂钩的角是什么？是不是我们去找 a 内错角，这两个角什么关系相等啊？我们把它记成什么角三，比如说平行可以得到角二等于什么角三，角一等于角二，这两个条件合起来是吗？是不是角一等于角三？角一和角三相等？也就是说角一和角三在这个三角形中那两角相等， 角一和角三，在这个三角形中， 角一和角三在这个象形中角相等对应什么？角的对应的边怎么样相等？ 角一和角相怎么样相等？是不是在这个象形中，我说所对的边是这两个边，所以我说角相等，对的什么边相等，所以这两个边怎么样相等？所以我说三角形 b e、 d 什么象形等于幺啊？好，我说是什么等于幺三角形。 那接下来我们来写一下过程啊。我说正因为什么 b d 平分， 所以呢？我是不是角一等于角二，又因为什么平行啊？因为我说 d e 平行于什么 b c， 所以呢？我是不是角二等于角三？那这两个条件合起来指的是哪两个啊？注意，是这两个条件，所以呢，我是不是可以得到角一等于什么角三？ 那我说角一和角三，在这个三角形中，我要说两个角相等，所以我要说这两个边什么关系相等啊？所以 b e 等于什么？ d e 啊？所以我要说三角形 b e d b、 d、 e 是 什么？等腰三角形啊？ 那这个题我就讲解到这，接下来我们来看一下第二题啊，我要说和是多少等于五分之一， 接下来我们看一下第二题，已知五个正数的和是多少？一、用反正法证明，我们说至少有一个大于或等于五分之一。哎，我们说结论是什么？取反， 接下来我们看一下。二，我们说五个数， 接下来我们看一下啊，五个正数的和是多少？一、用反正法证明，我说至少有一个大于或等于五分之一。我说结论，这是结论对吧？结论取反，是吧？至少有一个反义词是吧？没有一个啊，就是没有一个 大于，或者说等于怎么样？五分之一，也就是说没有一个大于或等于五分之一，那对应是什么？是不是每一个都怎么样小于五分之一啊？ 所以第一步往上，假设五个正数均小于什么五分之一，不妨记这五个正数为， 然后 a 一， a 二， a 三，然后 a 四 a 五，则右 a 一 小于五分之一，然后 a 二也小于五分之一。 a 三小于什么？五分之一，然后 a 四小于什么五分之一，然后 a 五也小于五分之一。于是 有什么？我们说五个数之合，所以我们是不是加起来？于是 a 一， 然后加 a 二，然后加 a 三，然后加 a 四， 然后加 a 五，怎么样？是不是小于五分之一，然后加五分之一。加五分之一。几个是不是有五个啊？我们再加 这几个，结果是几一等于一，所以我们就得到了 a 一， 加 a 二，然后加 a 三，然后加 a 四，加 a 五，怎么样？是不是小于一？那已知条件，他说的和是几一啊？已知条件与已知条件 a 一， 然后加 a 二，加 a 三加 a 四加 a 五等于谁？一，怎么样矛盾啊？所以我要说是什么结论正确啊？ 所以呢？我们是不是就得到了？ 所以我要说假设错误，原命题正确，也就说五个正数中至少有一个大于或等于五分之一啊。那这个部分我们就先讲到这。

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接下来我们更新第七页啊，好，我们看一下七题，一点一的部分好看一下第一题啊，我说三个的比值知道吗？知道，那我说三个角度可以算吗？可以啊，因为我说的三角形的内角和是多少？一百八十度啊。好，我来算一下角 a， 那角 a 等于什么？是不是等于一百八十度，然后乘以什么？它的占比，那总共是几分？是不是四加三加二，然后呢？角 a 占了几分，是不是四分，所以分之几？四，所以等于一百八十度乘以多少？这是多少？是不是九分之几？四，所以等于多少？八十度啊， 那对应我算一下角 b， 那 角 b 等于什么？一百八十度乘以什么？四加三加二，他占了几分？是不是占了三份？乘，上面是三啊，所以是多少？六十度啊？然后接下来我们再算一下角 c 等于多少？一百八十度，然后乘以占几分？两份啊，下面什么四加三加二 等于多少？是等于四十度啊？那我说第一题就讲解到这，接下来我们来看一下第二题啊，我说三角形 abc 和三角形什么 a、 d、 c 中，我说首先平行。好，我们看一下 平行可以得到什么？我说这两角属于什么？内错角，怎么样相等啊？那我说它可以得到什么 角？ b， a、 c 等于什么角？ a、 c、 d 啊，那接下来我们再看角 b 等于什么？角？ d， 也就是这两个角什么关系相等啊？那我说 a、 c 属于什么？公共边，那我说这两三角形的关系是什么？全等啊。好，我把这一步写一下， 是不是我要用平行了？平行，我说这个条件直接用，然后这个 a、 c 边属于什么？公共边也是直接用，那这一步需要证明，所以我们把这个写在前面啊。我说因为 ab 平行于什么 cd， 所以 角 b、 a、 c 等于角 a、 c、 d 啊，好，我说条件够了吗？够了啊，我说在三角形什么 a、 b、 c 和三角形 c、 d、 a 中，大括号括起来角 bc， 这是条件一， 然后条件二是什么角 b 等于什么角 d， 然后条件三呢？是网绳公共边 ac 等于什么 ac。 那 所以呢？网绳三角形谁和谁全等 abc 啊，全等于三角形，我们注意 b 对 应什么 d， 然后 a 对 应什么 c 啊，所以是 c、 d， a 啊， 那全等之后由什么？是不是对应边相等啊？我说 ab 是 几三，那所以呢？我说对应边是什么？ ab 等于三，然后所以 cd 也是几三啊？我说由全等可以得到什么？所以 abcd 怎么样相等啊？那我说又因为 ab 等于几三，所以呢？我说 cd 等于几三啊，那这个题我就讲解到这， 接下来我们来看一下第三题啊，我说是什么外角？注意，外角有什么？我说等于不相邻的两个内角之合啊。好，我们来看一下这个图中我说不一定正确的是我说角 b 和 a、 c、 d。 好， 我们找一下角 b， 角 a、 c、 d a， 我 说角 b 大 于 a、 c、 d， 对 吗？不对啊，我说角 a、 c、 d， 角 a、 c、 d 是 三角形 abc 的 一个外角，所以我说外角一定大于与之不相邻的两个任意一个内角啊，所以我说角 a、 c、 d 是 大于角 b， 所以 我说第一个一定是错的啊， 是什么正确的结论？是吗？角 a、 c、 d 是 大于什么角 b 啊？好，我们来看一下第二个，我们说角 b 加角 a、 c、 b。 好， 我们看一下角 b 在 哪？角 b， 然后 a、 c、 b a、 c、 b。 好， 我们说它等于什么？是不是等于一百八十度？我们说三角形内角和一百八十度三角形 a、 b、 c 中那角 b 加上一个角 a、 c、 b， 然后加上一个什么角 a 是 不是等于多少？一百八十度，那么把它移到右边是不是就可以得到第二个？所以我说第二个是什么？对的啊， 好，我们来看一下第三个，我说角 b， 加角 a、 c、 b， 我 说角 b 加角 a、 c、 b 加上角 a 等于一百八，所以呢，它一定是小于一百八的，没有问题啊，那我来看一下。四，我说 f、 e、 c。 好， 我们找一下 f、 e、 c， f、 e、 c 是 这个角啊，然后和角 b 的 关系。首先我说这个是外角吗？我去找啊，三角形，这个三角形的外角是不是就这个角？所以我们可以得到什么？是不是他？我说角 f、 e、 c 是 大于什么？角 a 同样也大于什么，是不是这个角啊？我们把它标出来，等于说角 e、 f、 e、 c 是 大于什么角 a、 f、 e 啊，那同样，我们看一下它是不是外角，我们来看一下它是不是外角？是，是这个象形的什么外角，所以我想说这个角大于它也大于这个角啊。好，我来写一下 角 a、 f、 e 啊，是大于什么角 b， 那对应呢？我传递一下，我说 f、 e、 c 是 大于什么？ a f e a， f e 大 于什么角 b， 所以呢，我找 f、 e、 c 是 大于什么角 b 啊？那我说它也是没有问题的啊。 好，接下来我来看一下四啊，我说三角形 abc 中 d 什么上的一点，我说 d、 a、 c 等于角 b。 好， 我们找一下 d， a、 c、 d， a、 c 是 这个角，然后角 b 是 这个角，那好，我说要正什么？ 我要证 a、 d、 c 和 b， a、 c 怎么样相等啊？我说可以得到吗？好，我们来看一下。首先我说 a、 d、 c 等于什么？用外角 是这个角加上这个角啊。好，我来写一下等于什么？是不是角 b 加上一个角什么？ b， a、 d， 那 好，我说角 b 等于什么？ d， a、 c。 啊，所以呢？我说角 b 等于什么角 d， a、 c， 那 所以呢？我说 a、 d、 c 等于什么？ 是不是等于 d、 a、 c， 然后加上一个角 b， a、 d。 好， 我们来看一下这两个角之合是什么？ d， a、 c、 d， a、 c 是 不是这个角？然后 b、 a、 d 是 这个角加起来是什么？ b， a、 c 啊， 等于什么？ b， a、 c， 那 我说这个题就结束了啊。好，我们完善一下过程。正，这什么？有题的，或者直接写，因为也可以啊。 因为好，我直接写两个，因为一般不会连在一起啊，我直接写 u、 t 的， 然后这个是因为，所以好，没有问题啊，我们来看一下。第五题，我说 abc 中 a、 c、 b 是 多少？九十，我说垂直好，垂足让正什么？这个角和什么这个角什么样相等？好，我来记一下啊，我说一二， 那我说有题，我说 a、 c、 b 九十可以得到什么？我说正啊，我说正，因为 a、 c、 b 角 a、 c、 b 等于多少？九十，那可以得到什么？所以呢？角一加，角二是不是等于多少？九十？ 那好，我说 c、 d 是 垂直于 ab， 那 这个可以得到什么？好，我来用一下啊，我说 c、 d 垂直于什么？ ab， 那 垂直的话可以得到什么？这是直角，所以这两个角怎么样互余？也就是说直角在行中，两锐角互余啊。 所以呢，是不是角一加上一个角 a 等于多少？九十？那好，我们说这什么角一，然后这个也是什么角一，那所以呢，我们可以得到什么同角的什么与角相等啊？所以角二等于什么？角 a 啊？ 那我说角二等于角 a， 就是 我要的一个结论啊。这个题我就讲解到这，接下来我们看一下答案。我说 ab 和 cd 平行，我说跟角 a 挂钩是什么？我说平行，跟角 a 挂钩是什么？同排内角，对吧？好，我们直接写啊。正 因为 ab 平行于什么？ c、 d， 所以呢，我是不是角 a 加上一个什么角 c 等于什么？一百八十度？好，我来写一下啊，我说等于什么？一百八十度。那所以我，我说角 a 等于什么？ 角 a 是 不是等于什么？一百八十度，减去一个什么角 c？ 那 接下来我再看这两个角，我说 c、 e、 d。 好， 我来表一下 c、 e、 d 是 不是这个角，然后角 d 是 它。 我说在象形 c、 d、 e 中，那角和是多少？一百八，是不是一、二、三加起来，对吧？那我说这两个角之和等于什么？是不是也等于一百八十度减角 c、 r。 好， 我来写一下这一步，因为 角 c 加角 d， 然后加上一个角 c、 e、 d、 r 等于多少？一百八十度。所以呢，我说角 c、 d， 然后加上一个什么角 d 等于什么？一百八十度， 减去一个什么角 c， 这是一百八十度减角 c， 这个也是一百八十度减角 c。 相等吗？相等啊，所以呢，我们这两个条件合在一起，所以角 a 等于什么角 c、 d， 然后加上一个什么角 d 啊？那这个题我们就讲解到这， 接下来我们看一下七啊，我说象形 a、 b、 c 中，我说 b、 f 怎么样平分，所以我说角一等于角二， c、 f 也平分，所以呢，我说角三等于什么角四啊？我说角 a 是 多少？六十五度，我说求角 f， 怎么求？ 首先我们说利用什么三角形内角和那角 f 等于什么？是不是等于一百八十度？减去一个角二，减去一个什么？角四也等于什么？一百八十度，我们把减号放在括号外面，所以是角二加角四，也就是说我们需要算什么？是不是角二加角四？那我说角二加角四怎么算？ 那好，我说角二加角四知道吗？或者角二是多少知道吗？不知道，但是我说这两个角是合，能不能算？可以啊，那我说大角 abc， 然后加上一个角 a、 c、 b。 好， 我写一下角 abc， 然后加上一个角 a、 c、 b 等于什么？是不是等于？我说了橡皮内角和是多少？一百八，是不是这两个角之和可以算吗？可以，或者说可以表示吗？可以是什么？一百八十度，把这个角怎么样减掉，所以等于什么？一百八十度，减去一个什么角 a 啊？ 我说角二加角四，跟这两个角质合有关系没？好，我们来看一下，首先这两个角质合什么？是不是角一加角二，然后加角三，然后加角四，那我们需要得到的是什么？是不是角一和角二相等，角三和角四相等？ 那是不是可以写作二倍的角二加上一个二倍的角四等于什么？一百八十度，减去一个什么角 a， 那 我说要的是什么？角二加角四，那所以角二加角四呢？等于什么？是不是等于九十度减去一个二分之角 a， 那好，这个题我们就可以带进去，把这个部分给他带进去啊。所以我说角 a 等于什么？一百八十度，减去一个什么九十度，然后减二分之一角 a 啊，那我整理一下，所以是九十度，然后加二分之一，是吧？角 a 啊， 好，我说这是什么结论啊？注意，这是结论，也就是说他是角平分线交点的时候，我说结论是什么？是他的，是吧？二分之一倍，然后加九十度啊，这结论。好，我写一下这个过程啊， 这个结论需要记一下，填空和选择可以直接用啊，大体需要写一下过程啊。好，我来写一下，先用的是什么？我们可以到这写，我们先求的是这两个角正好，对吧？好，我直接写。 在三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于多少？六十五， 所以我们说角 abc， 然后加上一个什么角 a、 c、 b 等于什么？一百八十度，减去一个什么六十五等于多少？是不是等于一百一十五度啊？然后接下来我是不是要角二和角四了？好，我说角平分线用了啊， 因为什么 b、 f 平分角 abc， 然后呢？ b、 f 也平分， c、 f 平分什么 a、 c、 b 啊？ 角 a、 c、 b， 所以 我们是不是角一等于什么？角二， 角三等于什么？角四？所以呢，我说角 abc， 然后加上一个角 a、 c、 b 等于什么？是不是等于角一加角二，然后加角三，然后加角四等于什么？二倍的角二加二倍的角四等于多少？ 是不是等于？我们直接可以写二倍的什么？角二加角四等于多少度？是不是一百一十五度啊？所以呢，我说可以得到什么角度知道吗？知道啊，可以选的啊， 所以我说角二加角四等于多少？它的一半是多少？我直接可以想啊，是五十几度，五十七点五度啊。那接下来我需要算什么？是不是？我说了需要算是什么？角 f。 好， 我说又因为 角 f 加上一个角二，然后加角四等于什么？一百八十度啊？所以呢，我说角 f 等于什么？一百八十度，然后减去角二加角四 等于什么？是不是一百八十度，然后减去一个五十七点五度啊？所以等于多少？一百二十二点五度啊？那这个题过程就是这样子，那我说真正填空题的时候 或选择，我只需要记住结论就可以了。我说当角平分线的时候得到是什么？我说结论是什么？角 f 等于什么？九十度加二分之角 a， 那 如果不是角平分线的焦点，而是垂直平分线的焦点的话，我们来看一下也是一个结论啊， 如果 f 是 垂直平分线的焦点，我们可以得到角 f。 怎么来表示啊？我来连接一下，我们把 a， f 连接 f 是 垂直平分线的焦点。 好，我们把它记成什么？角一，然后角二，角三，然后角四，角五和角六。 好，那我说垂直平分线上点到角，两边距离相等。这什么意思？也就是这三条线什么关系？相等吗？相等，那我们看这两条线相等可以得到什么？角一和角二相等，然后这两条线的相等可以得到什么？角五和角六，怎么样相等啊？好，我们是写有题的， 是不是可以得到？我们说角一等于什么角二，然后角五等于什么角六，然后角三等于什么角四啊？ 那好，我们看一下，也就是说什么意思？我们说角二加角五就什么，是不是角一加角六？好，我们来写一下。那我们现在角 f 怎么表示？首先角 f 是 不是等于一百八十度，减去一个什么角三，减去一个什么角四？那好，我们说角三和角四 可以表示吗？好，我们把放在括号里面啊，把减号放在外面，所以是角三加角四，也就是说我现在需要表示什么角三加角四， 那角三加角四怎么表示？好，我们说大的三角形 abc 一 百八，对吧？内角和一百八，我们说角三，角四怎么表示好？是不是等于一百八十度，然后减去一个角一，减去角六，减角二，然后减角五，对不对？我们说角一和角二什么关系相等，我们说角一和角二怎么样相等， 然后呢？角六和角五怎么样相等？那我说可以得到什么？是不是一百八十度？我们说角一和角二什么关系相等啊？ 所以合在一起减去二倍的角一，然后角五和角六怎么样相等啊？所以是减去二倍的什么角六？嗯，二提出来，所以是一百八十度，减去一个二倍的什么框里面，什么角一加角六，然后我说角一加角六，什么？是不是就是角 a， 所以 等于什么？一百八十度，减去一个什么二倍的角 a？ 好，那我说这个就结束了，那我说这个算的是谁？我说这个式子算半天算是谁？是角三加角四啊？那好，我说角 f 等于什么？是不是一百八十度减去一个什么角三，加角四， 所以等于什么？是不是把这个部分带进去啊？可以得到一百八十度，然后减去一个什么一百八十度减二倍的角 a。 那 我整理一下，所以是什么 减号变号，所以一百八减去一个一百八十度，然后加上一个什么二倍角 a， 所以 等于什么二倍的角 a 啊，也就是说结论是什么？也就是说当我们是角平分线交点的时候，我们说这个角是什么，他的什么，就是角 f 等于什么？角平分线交点的时候， 角 f 等于什么？九十度加二分之一角 a， 那 如果是垂直平分线的交点的时候，我们说角 f 等于什么二倍的角 a 啊，这是什么结论啊？就是这个大角好，我们把它 不能这样表示，因有分值了，我们写成 b、 a、 c 啊，也说填空和选择结论可以直接用啊，但大体你就正常写过程就可以了。 接下来我们可以加班啊。我说 a、 d 和 a、 e 分 别什么？角平分线和高角平分线，所以这两个角什么关系相等啊？角 b 是 多少四十，然后角 c 是 多少六十，这二求一。所以我说上面这个大角可以算吗？可以啊，我直接写，借 三角形 a、 b、 c 中，角 b 等于多少四十，然后呢，角 c 等于多少六十。那所以呢，我们说角 b、 a、 c 等于多少？是不是一百八十度减去一个什么角 b， 然后减去角 c 等于多少？一百八十度 减去一个四十，减去一个多少六十等于多少八十度啊，还可以算什么？是不是角平分线可以用了啊？我说因为什么 a、 d， 然后平分角是 a， b， a、 c 啊，所以呢？我是不是角 b、 a、 d 等于什么？角 d、 a、 c 啊？等于什么？二分之一大角 等于多少？是不是等于四十度啊？好，我来标一下，这是什么？四十，那这个角也是四十。那好，我说可以算什么？这个角可以算吗？可以啊，这二求一，这个角可以算吗？可以啊，和它是什么？零步角，或者可以用什么外角，这个角是什么？这两个角折合成，所以是多少？八十。 那好，这个是八十，这个是九十，所以这个是多少？十度啊，那我说能算的，算完了吗？算完了啊，我说 d、 a、 e 可以 算吗？可以啊，好，我们写一下这个过程。我们直接写啊。 所以角 a、 d、 e 等于什么？是不是角 b 加上一个角什么？ b， a、 d 等于多少？四十加四十等于多少？八十度啊。 又因为角 a、 e、 d， 我 是不是这个题这块给是什么高啊？我们直接写，因为 a、 e 是 高，因为 a、 e 是 高，象形 abc 的 高。 所以呢，我们说角 a、 d、 e 加上一个角什么？就这两角怎么样？互余？两锐角互余啊。 角点 e 等于多少？是不是等于九十啊？那我说这个角知道吧？知道啊，算我就可以算了，他是多少？是不是八十？所以我说这个角是多少？所以角点 e 等于多少？等于九十度。减去一个角 a、 d、 e 啊，等于多少？十度啊？ 嗯，第一问就讲解到这，我说这个过程为一吗？不为一，思路也是不为一的。你比如说我们算这个十度还可以怎么算？我们这个角多少多少知道吧？知道是多少？四十，这个角是多少六十，所以这个角是多少三十，也可以用这个角减去它等于多少十度啊？思路不唯一啊。 好，我们来看一下第二文啊，我们说 d a、 e， 好， 我们找一下 d， a、 e 是 哪个角？ d a e d a e 好， 角 b 和角 c 有 什么特点？好，我们说 d， a、 e 怎么表示？首先它是不是我说 的是等于这个角，然后减去这个角，对吧？那我说这个角怎么表示？好，我来表示，首先这个角和这个角，我们先看第一步啊， d， a、 c 怎么表示？我们用黑色，我们首先这个大角是不需要表示，因为它是大角的一半嘛，所以我说 d， a、 c 首先是一百八十度，减去一个角 b， 然后减去一个什么角？ c， 那 结束了吗？取的是一半，所以是二分之一的它，那我整理一下，所以是九十度， 减去一个什么二分之一的角 b， 角 c 看到了没？然后这是吧？ d， a、 c， 然后接下来我是不是要表示后面这个绿色的小角，我需要表示什么？ 也就是说现在我们把谁表示出来？这个角表示出来了，现在我们需要表示什么？这个绿色角怎么表示？我们说角 e， a、 c 是 不是等于一百八十度？减去一个什么？就这个象形中是不是减去一个角 c 啊？ 减去一个角 c， 然后减去一个多少九十？那我也可以用什么两锐角互余啊，可以直接写成什么？是不是等于九十度，然后减去一个什么角？ c， 然后接下来我们说 d， a、 e 等于什么？ d， a、 e 是 不是等于黑色？减去绿色的，所以等于什么？ d， a、 c， 然后减去一个角什么 d？ a、 c 啊？那好，我们带进去。所以是九十度减二分之一是吗？角 b， 减二分之一是吗？角 c， 然后再减去一个九十度，然后减角 c 啊，接下来干什么？取括号。所以是什么九十度，然后减二分之一角 b， 然后减二分之一什么角 c， 减去一个多少？九十， 然后加上一个什么角 c？ 那 我整理一下，我们说九十和九十怎么样？约掉了，然后这两个一合并，什么二分之一角 c， 所以 等于二分之一角 c， 然后减去二分之一角 b。 啊， 二分之一可以提出来，也可以不提，比如说提出来就什么二分之一倍的角 c。 减角 b， 也可以写成这个样子啊。都可以啊，那这个题我就讲解到，这 过程的话，我们直接也可以这样去写的啊，关系是什么？我们说角定义等于什么二分之一的角 c， 减去二分之一的角 b， 然后为什么这是过程啊？ 正，这是第一步。注意，这是第一步啊，这是第一步，然后这个什么第二步，然后这个什么第三步啊。那这个题我就讲解完了， 接下来我们来看一下角啊，我们说 d 在 什么内部？求证 b， d， c， 我 们找一下 b， d， c 和角 a， 好， 能看出来大于吗？好，我来延长一下，就是我们课本上的一个例题，很像像啊，我们延长把这个角记成什么角三。好，我们直接第九题。正， 第一问，直接证啊，我们说是不是外角，所以大于什么角 a， 你 注意为什么是这样子？我们说这个角是这个象形的外角，所以大于与之不相邻的两个任意内角啊，所以我们说角三，那我们直接写啊，延长 c、 d 交 ab 与 e 啊，是不是可以得到有提议的？ 是不是角三大于什么角 a？ 那 我们再看，我说这个角是什么？是不是这个三角形的外角，所以大于它没有问题啊？所以我说因为角 b、 d、 c 是 三角形 b、 d、 e 的 什么外角， 所以呢，我们说角 b、 d、 c 是 大于什么角三？那我说角三大于角 a， 所以呢，我们说角 b、 d、 c 大 于什么角 a 啊？那我说第一问就结束了，我们来看一下第二问啊，我们说 b、 d、 c 等于什么？好，我们用是什么外角？那好，我们说角三是什么 三角形 a、 e、 c 的 什么外角？ 我们一样正啊，因为，所以呢，我们说角三等于什么？角 c 加角 a 又因为什么？是不是又是外角？我们说角 b、 d、 c 是 三角形 b、 d、 e 的 外角。 所以呢，角 b、 d、 c 等于什么？是不是等于角三加上一个什么角 b？ 那 接下来是不是就可以角三用这个部分来代替啊？ 所以呢，角 b、 d、 c 等于什么角 c 加角 a， 然后再加上一个什么角 b 啊？那这个题我就讲解到这，我们来看一下。十啊，我说 d 在 什么 bc 的 另一侧，我说这是什么 bc， 然后在另一侧，那是不是在左侧啊？我说 d 点在这个位置。好，我来画一下 这什么地点，那我说可以得到什么结论了？我说这四个角之间有什么关系？我说 abc 之间有什么关系？你注意啊， a、 b、 c、 d 是 一个什么图形？四边形，对吧？这条线没有，那四边形的话，我说这两个连起来，我说这两个点连起来分割成几个三角形，两个三角形， 一个三角形的内角和是多少？一百八，那两个呢？是不是三百六啊？所以我说结论是什么？就是角 a， 加角 b， 然后加角 c， 然后加角 d 等于多少？三百六十度啊？那这个题我就讲解完了。

接下来我们更进二十页，我们看一下直角象形，这里面也分为两个，一个什么性质，一个什么判定。 好，那我们先看性质的部分，我们说作为一个直角象形，是不是有两个锐角？怎么样互为？为什么？我们说直角象形中， 这时我要说 a， 然后 b、 c， 我 说角 b 等于多少度？九十度，那我说三角形内角和是多少度？是一百八十度，所以我要说角 a 加角 c 等于什么？是不是一百八十度减去一个角 b 等于多少？一百八十度，然后减九十度等于多少？九十度啊，所以我们得到什么？两锐角怎么样互约？好，这是我们得到的第一条性质。直角三角形是什么？我说两锐角怎么样互约？ 那我说他的性质还有什么？我们巴尚是不是学过了？我们说作为直角三角形有什么？是不是勾股定律？也就是说给的是边之间的关系。 什么意思？就是这样直角边的平方和等于什么？斜边的平方啊，这个给的是什么？是边之间的关系，而这个给的是什么？角之间的关系。也就是说我们探讨三角形的时候，其实探讨是什么？边和角，对吧？那我说除过这两个之外还有其他的吗？其实我说这里面补充一下啊， 我们说斜边上的高线可不可以算？可以啊，我们把这个记成 d， 那 我说斜边上的高线可不可以算？可以啊，我们把这个记成 d。 那 么三角形 a、 b、 c 等于什么？ 是不是？我说以直角边 bc 为 d， 高是什么？ ab， 所以 等于什么？二分之一的 bc 乘以什么？ ab 也等于什么？如果我们以 ac 为 d， 也是斜边为 d， 然后高是什么？是不是 bd 啊？所以等于什么？二分之一的 ac 乘以什么 bd 啊？那我整理一下，我说斜边上的高是什么？ bd 斜边的高，斜边上的高， b、 d 等于什么？是不是二分之一？可以怎么样约掉？所以我说 b、 d 等于什么？是不是等于 a、 c 分 之什么？两个直角边的乘积啊？ 等于什么意思？两个直角边的乘积除以斜边，对应是什么？斜边上的高啊？这是我说的第三条，比如说碰到的可以直接用。比如说这个题给了我说直角三角形，给了两只角边，让你求斜边上的高，一定要会算啊。 然后第四条是什么？我说斜边上的中线等于什么？斜边的一半啊，我说斜边上的中线等于什么？斜边的一半， 中线等于斜边的一半， 这是什么意思？也就是取中点，那我们会得到这是中点，所以这两边什么关系相等？那写边中线是不是就是它等于写边的一半？所以这三边什么关系相等啊？那这个部分我先做了解，有这个结论就行，那后面我会学他的证明啊。 然后接下来我要说判定，那我说判定也是两种方向去考虑的，一个什么从角的方面，一个什么从边的方面去考虑？那我说角的，那我说三角形中有三个角，对吧？如果这两个角互圆，那一定可以得到它什么？九十度，也就是第一种两锐角互圆 的三角形是什么？直角三角形啊，这我是第一种，然后第二种呢？我是可以得到，比如说我要说三个角的比角 a 比上角 b 比上角 c 等于什么？是不是一比一比二？那我可不可以得到？可以，也就是说最大角是多少度？九十度就可以了， 我要说最大内角是九十度就可以了， 那我们可以得到什么？你看啊，我说两个锐角互余，两个锐角互余是不是就是我们说两个角加起来是多少度？九十度，也就是说等于最大角，对不对？ 那我们发现这是一份，一份两份，是不是也可以理解为这两个角之合等于它也说最大角等于什么？两个小角之合啊？都可以。然后接下来我说边的方面去考虑什么，是不是？我们说勾股定律的什么 e 定律， 也就什么意思，如果在一个三角形中有两边的平方和等于什么第三边的平方，则这个三角形一定。为什么直角三角形啊？那好，接下来我们来看一下课本上的啊，定力一和二是吗？直角三角形，锐角互余，这是什么性质？ 让这个什么是不是判定？那我们发现这两个有什么特点？ a， 是 不是我们可以理解为这是不是一个命题？是啊，这是一个什么命题 啊？下面这个也是一个什么命题，但是我们发现这两个命题有什么特点？我说这是第一个，然后第二个，第一个的，我说他的条件是什么？是不是直角三角形，然后结论是什么？两锐角互余啊？ 然后呢？第二个的定理部分，我说他条件是什么？两个角互余对不对？所以他什么条件啊？我说结论什么直角三角形啊？ 也就是说定例一和定例二有什么特点？是不是条件和结论互换了一下？所以我说这两个互为什么逆命题啊？ 首先是互为逆命题，其次如果两个都是对的，那就是互为什么逆定律啊。 然后这个部分我们就讲解到这，接下来我们看一下勾股定律的部分，我之前也学过，指的什么两直角边的平方和等于什么斜边的平方。好，我们看一下课本上的一个证明啊，那这个部分我们就了解就行了，理解他思路就行。好，我们看他是怎么做的， 他是做了一个图，构造了这两个象形的，一个什么全等可以得到这个角等于它等于多少度？九十度也就得到什么直角象形。 好，那我看一下他做图的话直接做全了吗？肯定是不现实，我说做的条件，然后正这样向心全等得到九十度，那我们看他做的是什么？第一个我们做的角 a 撇是多少？九十， 然后呢？ a 撇 b 等于什么？ ab。 好， 我们标一下这两边什么关系相等，然后 a 撇 c 等于什么？ ac， 也就这两边什么关系相等。我知道二图他是一个直角相切，所以我说 b 撇 c 撇的一个平方等于什么？ 是不是等于 a 撇，然后 b 撇的一个平方，然后加上一个什么 a 撇，然后 c 撇的一个平方，它是不是等于 ab， 所以 等于什么？ ab 的 平方，然后它等于什么？是不是 ac 的 平方，然后 ab 的 平方加 ac 的 平方，已知条件是不是有是什么 bc 的 平方啊？等于什么 bc 的 平方， 所以我得到什么，是不是这两边什么关系相等啊？所以我得到 b 撇 c 撇等于什么？ bc， 也就这两个象形 可以得到什么？是不是这两边也什么关系相等？那我说可不可以得到全等？可以，为什么？我说条件一，你做的是什么？ a 撇 c 撇等于什么 ac？ 然后条件二， a 撇 b 撇等于什么？ ab， 然后条件三，是你正得的得到什么 bc 等于什么？ b 撇 c 撇，所以可以得到全等吗？可以是 s s s， 那全等之后对应角什么关系相等？那我可以得到角 a 等于什么？ a 撇等于多少度？九十度，也说得到什么？象形，直角三角形啊。 那这个部分我就讲讲到这，接下来我们看一下观察交流的部分啊。我说定力一和定力二有什么特点？好，我说这是定力一，定力二，定力一的，我说条件是什么？这条件是直角三角形，我说他结论是什么？是不是锐角互约？ 那我再看定例二的部分，我说他的条件是什么？是不是两个角互余的什么三角形？这是什么条件？ 然后结论是什么？是不是直角三角形？那好，我们再看一下，我说定例二和定例一有什么特点？我说一的条件是第二个的什么结论，然后第一个的结论是第二个的什么条件，也就什么意思？这两个定例的条件和结论怎么样？互换， 条件和结论互换。 我们把这样的第一步先成为什么？我说匿命题啊，互为匿命题， 那我说命题是不是有真假？如果说我说匿命题是什么？真的好，比如说我们这是什么？原命题一是原命题，然后二什么是不是匿命题？ 那我说第一个是对的，所以叫什么？是不是定力？他是定力。哈，那我说逆命题呢？我说他逆命题是不是也是对的？所以也就是说他是真的，所以他的逆命题也是什么真命题？ 那我也常问什么是不是定力？也就是说一和二现在都什么？虽然都是命题，但他都什么真命题，也叫什么定力也是这两个怎么样互为定力啊？互为逆定力。 我们再看定力三和定力四的部分，我们说定力三它条件是什么？是不是直角造型，而我要说这是它的条件，然后结论是什么？是不是直角边的平方和等于什么斜边的平方，这是什么结论？ 然后我们再看定力四的部分，它的条件是什么？是不是两边的平方和等于什么第三边的平方，这什么条件？然后呢，我们说它什么结论啊？ 也就一样，我们发现三次怎么样，是不是条件和结论互换了一下，那我说他如果是真的，也就说一个原命题本身是对的，或者说正确的，我们称为什么真命题，也称为什么定力。然后呢，当我们把这个命题分为条件和结论，怎么样？互换了 条件和结论，我们给他互换一下位置，形成了他的什么逆命题。那逆命题的情况下，如果他是真的，那我就说这两个怎么样互为逆定力啊？ 好，那我们再往后看啊，如果两个角是对顶角，这是什么条件？然后结论是什么？他们相等， 那我说也就是说命题我之前强调过是什么条件加结论，那我说给了这个条件，能不能得到这个结论？可以，也就说他什么对的，也就真命题啊。 那我再看他的逆命题，是不是条件和结论互换一下位置啊？那我说就是说两个角怎么样相等，这是什么条件？就上面这个的什么逆命题啊？ 条件词是什么？两个角相等，结论它们是对零角，这是什么结论？我们说相等的角是对零角，对吗？不对啊，我们说相等的角不一定都是对零角，你比如说我们画一个图，这两个角什么关系？我们说两线平行的时候，这两个角什么关系？ 同一角，对吧？那相等吗？相等，但它们对零角吗？不是啊，所以它的应用题是什么假命题。 那我们再看一下三，如果 a 等于 b， 那 么 a 方等于 b 方，这是什么条件？然后这个什么结论？那我们说 a 等于 b， a 方一定等于 b 方，它没问题啊，所以这是一个什么真命题？ 然后下面这个部分呢？如果 a 方等于 b 方，则 a 等于 b， 这是一个什么假命题？那我们说它的反例是什么？ 好，你看 a 方等于 b 方，我们说负二的平方是不是等于二的平方？但是我们说负二和二相等吗？不相等啊，所以它是一个什么假命题？那么一般判断它是否为假命题，怎么样举反例啊？ 一个象形中相等的边所对的角怎么样相等？那我说减数，为什么是不是等边对等角啊？ 这是不是我说的定力啊？就性质定力， 也就是它什么真命题啊？好，我们再看下面三角形中相等的角所对的怎么样？边相等，这是什么等角对等边啊？ 对等边，这也是一个什么真命题啊？那就这两个互为什么逆定律啊？而这个只能说互为什么逆命题， 然后这个也是一样互为什么逆命题啊？ 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论是另一个命题的什么结论和条件，这是什么意思？也就是说两个命题条件和结论怎么样？互换位置对照了一下，我们称为什么匿命题互为匿命题啊。 那其中一个为原命题，另一个呢？就是它的一个什么匿命题啊？那我说命题都有真假，也就是原命题有真假，然后匿命题也有真假之分啊。 我们看一下尝试思考的部分，如果两个有理数相等，那么他们的平方相等，这是什么条件？然后这个是什么结论？那我说需要写他的什么一米题，也就是什么意思？如果两数的什么平方相等？ 平方相等， 走啊，两个有理数怎么样相等啊？两个有理数怎么样相等？ 那我说是真命题吗？我说有理数相等，平方一定相等吗？是，那所以我说这是一个什么真命题 啊？它的逆命题，我说平方相等，我说两个数一定相等吗？不一定啊，所以这是一个什么假命题？ 原命题是真命题，逆命题不一定是真，也就说不一定是真，也就是说逆命题有真假啊。 那如果说我们说逆命题证明是真命题，那就说它是一个什么定力，也就是说一个定力是另一个定力的什么定力？ 接下来我们看一下随堂练习的部分，象形 abc 中角 a 等于角， b 等于多少？四十五度。好，我们画一下这个图啊， 我们说这是什么？两锐角加起来是多少？九十，所以我说得到什么直角三角形啊？我们说两锐角互余，得到什么直角三角形好？ 也就直角，这是多少？四十五度，然后这个也是多少四十五度，那这个是几三，然后这个是几三啊？我们标一下这是 a， 然后 b、 c， 那 我说求什么？ ab 可以 求吗？用什么勾股定力啊？第一步是不是得正？它是一个直角三角形好，我们直接接， 因为角 a 换我直接用角 c 也行啊，角 a 等于角 b 等于多少？四十五度，所以我说角 c 等于什么？是不是一百八十度减去一个角 a， 然后减角 b 等于多少度？是不是九十度？所以三角形 abc， 为什么 r、 t 三角形？那我们说三个形中是不是两个角相等，则这两个角对的边怎么样相等啊？我说因为角 a 等于角 b， 再用一次，所以呢，我们是不是得到 ac 等于什么？ bc， 然后又因为我们说 bc 等于几三，那所以我们得到 ac 也等于几三，然后接下来干什么？是不是勾股定律好？我说有勾股定律 有，那 a、 b 等于什么？是不是等于根号下的什么？ a、 c 的 平方加上 b， c 的 平方等于根号下三的平方加三的平方等于什么？三倍的根号二啊。 那这个题我们就讲解到上，接下来我们看一下第二题，三角形 a、 b、 c 中还有一样给它画图，然后 a、 b、 c 中 那 ab 等于多少？十三，然后 bc 是 多少？十？ bc 边上的中线，所以我们取 bc 的 中点是什么？ d， 那 连接 a、 d， 我 们说得到 a、 d 是 多少？是不是十二？ 那我说中点是平分线段，所以相等是几五啊？那我们说五十二十三，所以什么直角三角形啊？也就是说中线和高线，那我想到什么？是不是等腰三角形，那就可以得到什么 ab 等于什么 ac 啊？好，我们写一下过程， 是不是直接写因为什么 d 是 bc 的 中点， 所以 b、 d 等于什么？ bc 等于二分之一的 bc 等于二分之一，乘以什么十等于多少五。那好，我们写在三角形 a、 b、 d 中， 让 b、 d 等于几五，让 a、 d 等于十二，让 ab 等于多少？十三。那有什么？ 是不是因为我说 b、 d 的 平方加上一个什么 a、 d 的 平方等于五的平方，加十二的平方等于什么？是不是十三的平方，也就是什么 ab 的 平方啊？所以呢，我说 r、 t 三角形，什么 ab 啊？ 也可以直接写，我说角 a、 d、 b 等于多少度？九十度啊，让我写一下， 所以角 a、 d、 b 等于多少度？是不是九十度？也就是说它是一个什么象形？直角象形，所以是不是 a、 d 垂直于什么 bc？ 又因为我想说 b、 d 等于什么 dc， 所以呢，我想说 ab 等于什么 ac， 这个利用什么？我想说三线合一啊。 好，我们来看一下第三题，我说下列一个什么秘密题，也就是说我做秘密题的第一步，我需要分清楚它的条件和结论，然后再去判断它的真假啊。我说第一个，它的条件是什么？是不是四边形？然后结论是什么？多边形， 那它的秘密题是什么？是不是我翻过来条件和结论互换，也就多边形是什么？四边形， 那我说它是真的吗？不是啊，我说多边形不一定是四边形，所以它是一个什么假命题， 我们来看一下第二个，嗯，它的条件是什么？平行，然后结论是什么？互补，那我翻过来是什么？是不是同旁类角互补， 然后结论是什么？是不是两直线平行？ 它是我们的平行的一种判定，所以它是什么真命题啊？也就说是对的。然后我们看一下三，如果 a、 b 等于什么？零，那么 a 等于零， b 等于零，我说条件是什么？这是条件，然后结论是什么？是不是 a 等于零， b 等于零啊？这是什么结论？那逆命题呢？就是如果 a 等于零，然后逗号 b 等于零，走 a， b 等于零，我们说这是对的吗？没有问题，为什么零乘零等于零啊？所以它是一个什么真命题？ 接下来我们看一下二十四页，我们说两象形全等的时候，出现两边一角，它这个角为什么加角的时候可以？如果这个给的是两边一角，为什么加角的时候可以啊？我说上面这个是不可以的。 好，那如果其中一个什么边对的角是什么直角的时候，这什么意思？好，我画出来看一下啊。 然后其中一组边怎么样相等？比如说这组边怎么样相等，然后另一组边对的角是什么直角，那比如这个角是直角，也就是什么意思？这两个边对应相等的时候，此时这两个角形能不能得到全等是可以的啊。 那后面的话，我们再看他证明，我说怎么判断这个条件能不能得到全等，根据是什么？就是说他给的条件能不能确定什么唯一的一个三角形啊？唯一的三角形，如果可以，那可以作为什么全等的判定，如果不能确定唯一的三角形，那就不可以啊。 那好，也就是说相当于这个条件，已知什么是不是一组什么直角边相等，然后其次一个一组什么斜边相等，那我说可以做出一个唯一的直角三角形吗？好，我来看一下这个图啊， 那说已知什么斜边和一组直角边，那我说能不能确定为一三角形？好，我们画图怎么来画啊？已知线段 a c， 然后做角， c 是 多少就是。好，我们画下这个草图， 那角 c 是 九式， ab 是 什么 c？ 好， 我们来标一下 ab 是 什么 c， 然后 bc 什么 a， 那 我说这个做图的时候怎么做？首先我们说确定什么 bc 线段，所以我们先做什么？一条射线， 然后这个点往进城 c， 也就是说我们以这个为顶点去做的啊，然后接下来我们说 c， b 的 长度，知道吗？知道，所以以 a 长度为半径去画弧，那我们焦点这个焦点就是什么 b， 然后接下来是不是要做直角，那我说这个点确定吗？确定，所以我说过 c 做什么 c b 的 垂线， 然后接下来我说上面这个点线能确定吗？也就是说以 c 为圆心，它的半径是多少，清楚吗？不清楚，但是我说了 ab 长度，知道吗？知道啊，那也就是说此时要以谁为圆心， 以 b 为圆心啊？ ab 长度是什么 c， 所以 接下来是以 b 为圆心， ab 长为什么半径，也就是什么以 c 长度为什么半径去画弧，那此时有焦点和这一条线有一个什么焦点，那这个点我们记成什么 a 连起来就是我们要求的什么三角形 a， b， c 啊，也是说当我们给一个直角边和斜边的时候，我们说能不能确定三角形？可以，那我们说这样的条件就可以作为什么权衡的判定啊？ 那我们作为直角象形的判定所特有的什么？我想说 h l 这个 h 指的什么直角边啊？ l 指的什么是斜边？ 那我们再看后面的部分啊，这个画图的话，我们看一下就行，不用管啊。 结论是什么？我们说斜边知道，我们说斜边相等，然后一条直角边对应相等呢？我们说这两个三角形怎么样？全等什么三角形？直角三角形啊， 也就是说直角三角形所特有 h l。 好， 我们看一下，如图所示，三角形 a、 b、 c 和三角形 a p， b p， c p。 已知呢，我们说角 c 等于什么？ c p。 好来标记啊，这是一个角，然后呢边什么 ab 等于什么？ a 撇 b 撇，然后 a， c 是 什么？ a 撇 c 撇啊，好，来标记出来。那我说两个造型能不能得到全等？我说全等的判定方法，我说有几个？好，我来数一下，是几个 四加一啊？ s s s s a s， 然后 a a s a， 那 好，我说这个在全等的时候，我说条件一，是不是已经有了 ab 等于什么？ a p， b 撇， 然后第二个条件，什么 a， c 等于什么？ ap cp， 那 接下来我要说要正全的话，我需要从角的方面和边的方面，那角，我是不是只知道直角，那我说两边一角，这个角必须为什么加角？那此时这给的直角是这两个边加的角吗？ 不是啊，所以此时角用不上，所以我考虑什么边，那我再想一下，我说直角三角形，那我说这个边确定，我说这个边能确定吗？可以的啊，也就是说我需要正什么？ 是不是可以得到 bc 和 b 撇 c 撇要怎么样相等？那好，我说这一步要怎么走？那是不是我要说斜边相等，在 r、 t 三角形 a、 c、 b 中，那我们是不是有 bc 方等于什么？是不是等于 ab 的 平方减去一个什么 ac 的 平方？那我们同样在 r、 t 三角形 a 撇，然后 c 撇、 b 撇中， b 撇、 c 撇的平方等于什么？是不是 a 撇、 b 撇的平方减去一个什么 a 撇、 c 撇的一个平方？那这里面我们知道什么？是不是这两个相等吗？相等 ab 等于什么？ a 撇 b 撇，然后 ac 等于什么？ a 撇 c 撇，那所以我们可以得到它相等吗？可以啊，所以我们是不是 bc 的 平方等于什么？ b 撇、 c 撇的平方？也就是说进一步可以得到什么 bc 等于什么？ b 撇 c 撇，所以这是什么条件？词案，那我们发现这三个条件都什么边？所以判定方法是什么？ s、 s 可以 得到什么？全等案。好，我们来看一下课本上的一个过程。 那第一步做的是什么？是不是 bc 方等于什么？然后 b 撇、 c 撇的平方等于什么？那是不是由于 ab 等于什么？ a 撇 b 撇，然后这个是不是可以得到 bc 和 b 撇、 c 撇怎么样相等？这是条件一，这是条件二，这是条件三。所以什么 s、 s、 s 判定可以得到什么全等。也就是说以后碰到我说作为直角相乘，给了一组什么直角边和斜边对应相等的时候，我们可以得到全等吗？可以，可以，作为什么定力直接用啊， 也说到现在为止，我说全等的判定方法是几种？五种啊，那我说这个减数为什么斜边直角边，然后 l 就 指的是斜边？ 接下来我们看一下例题长度相等的梯子，那这个条件含义是什么？是不是就是 b， c 等于什么 e、 f？ 好， 我们写到这 b、 c 等于什么？ e、 f， 然后接下来是什么 a， c 和 d、 f 相等，好，我们找一下 a、 c， d、 f 怎么样相等，然后这个边也什么关系相等，那我说三角形 abc 和三角形，我们写到这 和三角形 d、 e、 f 什么造型？是不是都是直角三角形啊？那我说可以得到全等吗？可以，我说了是什么 h、 l 指的什么？一组直角边和一组什么斜边对应相等的两个直角三角形怎么样全等啊，那我说可以得到全等。好，我们写一下，也就 r、 t 三角形，什么 c， a、 b， 我 一般把直角写在中间啊，全等于三角形 r、 t 三角形谁？那我说 c 对 应是哪个角？我说 c 对 应是不是这个角，所以是什么 f、 d， e 啊？那我说判定方法是什么？是 h、 l。 那 全等之后呢？我说对应边什么关系相等，那对应角呢？是不是相等，那我们就可以得到相等的角是什么？我们标了，这是第一组相等角， 然后第二组相等角，是这两个角什么关系相等啊？那我说要问什么？我说 cba， 好， 我们找一下 cba 在 哪？ cba 是 不是这个角，然后呢？ e、 f， d， e、 f、 d 也就这两个角什么关系？我说全等之后，这个角是不可以就换到这了，对吧？然后这两个角什么关系？是不是互余？所以我说这两个角什么关系？互余啊？好，我们写一下 是不是全等可以得到？我们说角 e、 f、 d 等于什么角 b、 c、 a， 然后呢？又因为我说角 b、 c、 a， 然后加上一个什么角 c、 b、 a 等于多少？是不是等于九十度？那我是不是可以替换一下 e、 f、 d， 替换一下它，所以得到什么？是不是角 e、 f、 d 加上一个什么角 c、 b、 a 等于多少？九十度啊？ 好，我们来看一下过程啊。那我说有题的，我说这什么九十度啊，也就说明确的什么直角型，然后这是什么？我说的一个是 h， 一个对应是 l 啊， 那我说哪个？ bc 和 ef， bc 和 ef 对 应是什么？我说 l， 这个什么是 h 啊？那我得到全等对应角，什么关系？相等啊？替换一下就可以了。 接下来我们看一下所以他练习的部分，我说两锐角分别相等的直角象形能不能得到全等？不可以啊，我说两锐角相等的直角象形，能确定唯一的直角象形吗？显示不行啊，必须有边的参与啊。所以我说这个是一个什么假命题啊？ 那我来看一下第二个，我说斜边和一组锐角相等。好，我画一下这个是斜边，然后一组锐角相，你注意啊，我说直角象形有隐藏的，我说两个直角怎么样相等，那其中一个锐角也怎么样相等？我说可以得到全等吗？可以啊，是什么？是两角及其一个角的什么？对边 是什么？ a、 a、 s 可以 得到全等，所以它是一个什么？真命题，那我们再来看一下三两直角边分别相等的两个直角相形能不能得到全等？好，我画图看一下啊。 那我说这是直角边，然后这是第二组直角边，怎么样相等？而且有什么直角啊？两边一角，这角什么夹角？可以判断全等吗？可以啊，这也是一个什么真命题判定方法。 s a s 啊，我们来看一下四，往出一条直角边相等，横画一下， 这是一条直角边，怎么样相等？然后另一个呢？往出直角边上的什么中线，横画一下它的中点，然后连接起来， 那这两个线段什么特点相等啊？然后再画，这也是取中点，然后连接起来，这两部分也怎么样相等？他是中线，怎么样相等？什么意思？就这两边怎么样相等。我们看一下小的这两象形什么特点？全等吗？全等啊，是直角边对应相等，然后斜边对应相等，可以得到全等吗？可以， 那全等之后对应边什么关系？相等也就这两边怎么样相等啊？这个点分别都什么中点，所以我进一步可以得到什么？我说这两边什么关系，相等吗？相等。那我说大三角形可以得到全等吗？可以啊， 条件。我们来看一下这是不是第一个条件，然后第二个条件我是不是有他，然后第三个条件是不是有直角？也是什么 s a s 啊？只不过用了几次两次全等啊，那我说他是一个什么真命题？ 接下来我们看一下第二题，我们说长度均为什么？十二米的绳子，然后一端记在什么 a 点，那我说绳子长度相同吗？相同啊，所以我说这两个线段什么关系相等？ 那我说是，这个是不是垂直的，那我说这个边属于什么公共边，所以我说左右两个象形什么关系？全等啊，那全等之后呢？我说这两边什么关系，相等吗？相等啊，我说距离相等啊。 好，我们写一下它的过程证，是不是直接写由题的 角 a、 o、 b 等于什么角？ a、 o、 c 等于多少度？是不是九十度？然后接下来是不是？我说 a、 o 是 公用，所以可以不用管啊？我说由题除过得到直角还可以得到什么？我是边相等啊，可以得到 a、 b 等于什么 a、 c 啊？ 那我们再写在三角形 a、 o、 b 和三角形 a、 o、 c 中，大括号括起来， ab 等于什么 a、 c， 然后 a、 o 等于什么 a o？ 所以 我们说 rt 三角形 a、 o、 b， 然后全等于 rt 三角形什么 a、 o、 c 啊？那我说判定方法 h r。 那 我说全等之后呢？我说对应边相等啊，所以我说 b o 等于什么 o、 c 啊？

接下来我们更新二十七页。好，我们看一下第一题啊， a、 b 平行于 c、 d， 也就是说两条直线平行，然后 b、 a、 e 是 多少度？二十五度。好，我们标到这儿， 让 c、 d、 e 是 多少？是六十五度啊？那 a、 e 是 几二，让 d， e 是 几三，我们求什么？ a、 d？ 那 我说这个题在做的时候啊，我们需要第一步做什么？过 e 点，做什么？ ab 的 平行，或者说 dc 的 平行啊，我们直接做 ef 平行于什么 ab。 好， 我们画一下这条线。哦， 那我说焦点什么是 f， 那 我说平行之后会有什么内错角和同位角，还有什么同旁内角？那我说和它相关角是什么？是不是这个角？那这个角是多少？是不是二十五度啊？好，我们标一下，把这个记成角一，然后这个记成角二，那是不是这两个平行可以得到 我们角？ b、 a、 e 等于什么？是不是角一？那我说 b、 e 是 多少度，是不是二十五度？那可以得到角一是多少？是不是二十五度啊？那同样我们说 ab 平行于什么？ e、 f 已知条件，还有什么？ ab 平行于 c、 d。 好， 我们先到这 ab 平行于 c、 d， 也就这两个条件可以得到什么？是不是？我们说合起来 得到是什么？我们说 e、 f 平行于什么？ c、 d， 那 我说平行之后我们得到什么？平行得到 角二等于什么？角？ c、 d、 e 等于多少？是不是六十五度啊？那我说这个角一知道吗？知道，角二知道吗？知道。那我们角一加角二是多少？是不是九十度？那角一加角二是哪个角？好，我们看一下这角一角二加起来什么？是不是 a、 e、 d 二，所以这个角是多少？九十 啊？ a、 e 是 直角边知道，然后 d、 e 也是直角边知道。那我说斜边可以算吗？可以啊，有什么勾股定律啊？这是什么？四楼，接下来我写一下它的过程，接 过 e 作 e、 f 平行于什么？ ab， 角 ad 于什么 f， 接下来什么？是不是平行的性质啊？我说由平行可以得到，所以我们说角 e 等于什么？角 b、 a、 e， 那 b、 a、 e 是 多少度，是不是二十五度？所以我说角 e 是 多少度，是不是二十五度？好，我们写一下。因为角 b、 a、 e 是 二十五度， 所以我们角一等于多少度？二十五度啊，然后接下来是不是我说需要和另一个平行去结合？好，我想一下，又因为 ab 平行于什么？ c、 d， 那 我们是这两个条件去结合啊，所以可以得到 e、 f 平行于什么？是不是 c、 d， 那 我说平行是不是有角二等于什么？角 c、 d、 e 啊？好，我们写一下。所以角二等于角 c、 d、 e， 那 我说 c、 d、 e 知道吗？知道啊，又因为角 c、 d、 e 等于多少？是不是六十五度？ 所以我们角二等于多少？六十五度啊，有时候我们也可以直接合起来，这里面也可以直接写什么等于多少度？六十五度啊，注意一下。 那我说角一角二，知道吗？知道，所以我说这个大角，知道吗？知道啊，所以我说角 a、 e、 d 等于什么？角一加角二 等于多少？是不是二十五度？然后加上一个六十五度等于多少？是不是九十度？也就说明我们说三角形 a、 d、 e， 什么三角形？直角三角形啊，那我说直角边知道吗？知道啊，好，我们先最后一步，三角形 r、 t， 三角形 a、 e、 d 中， 然后写因为什么 a、 e 等于几，是不是等于二，然后 d、 e 等于几，是不是等于三？由勾股定律 是不是可以得到？我说 a、 d 等于什么？是不是等于根号下的什么 a， e 的 平方加上一个什么 d， e 的 平方啊？ 等于根号下二的平方加上一个什么三的平方，那我们再算一下里面是几四加九是多少？十三，所以是什么根号十三能化解吗？不能，那我放在这就可以了。 接下来我们看一下第二题， bc 和 ac 什么关系？是不是垂直？那我说它是一个什么三角形？直角三角形啊，就大三角形 abc， 然后角 a 是 多少度，是不是三十度？那我说三十度所对直角边是斜边的一半，我说斜边长度，知道吗？知道是多少十，那我说这个边可以算吗？可以啊，所以第一步可以算什么 bc 啊，那我写一下因为什么 bc 垂直于什么 a、 c， 所以 我说角 b、 c， a 等于多少度，是不是九十度？又因为我说 a、 b 等于多少，是不是等于十？然后角 a 等于多少度？三十度，所以我说 b、 c 等于什么？二分之一的 a， b 等于二分之一乘十等于多少五啊，那所以 bc 等于几五，那我说第一步就先结束了，我说 c、 b 一 垂直于什么 ab， 也就是这个是一个什么直角，我说这个角是多少？三十，那这个角是多少？是不是六十？那我说这个角可以算吗？可以啊， 那是多少度？是不是三十度，也就出现了什么三十度的直角三角形，那我们就可以用什么三十度，所对直角边是斜边的一半，那这个边是多少？是不是二分之五？那接下来有什么勾股定律可以求什么 c b 一 啊？好，我们写一下这一部分啊，我们需要这个角是多少度？是不是六十度？好，我们来写一下啊。 在 r t 三角形 a c b 中，因为角等于多少，是不是九十？ 角 a 等于多少？是不是三十？所以我们说角 b 等于多少，是不是两锐角互余啊？九十度减去一个什么角？ a 等于九十度，然后减去一个三十度，等于多少？六十度啊，然后接下来我们是不是用这个垂直，然后算出来这个角啊？好，我们写一下。 因为 c b 一 垂直于什么？ a b 二，所以我们得到 b b 一， 然后 c 等于多少？九十，那我说这个角是多少？六十，所以我们得到角 b 一， 然后 c b 等于多少？是不是九十度，然后减去一个什么？角 b 等于多少度？是不是三十度？ 那接下来我说这个边知道吗？知道啊，所以我说是 b b 一 等于什么？二分之一的 bc， bc 是 几，知道吗？知道，是几五啊，所以等于什么？二分之一乘以五等于什么二分之五啊。 那我说这个部分就结束了，那我还需要算什么？是不是 c b 一？ 我说 c b 一 可以算吗？可以，用什么勾股定律啊？啊？有勾股定律 可以算什么？是不是 c b 一 等于什么？是不是等于根号下的？我说 b c 的 平方减去 b b 一 的平方啊？接下来我们代下之所以是五的平方，减去一个二分之五的一个什么平方，整理一下，所以是什么二分之五倍的根号三啊？ 这个化简我们也细致讲一下里面是什么二十五，然后减去一个什么，是不是四分之二十五，整理一下是不是四分之七十五啊？是不是带根号？好，我们再带根号上面部分是不是等于根号下二十五，乘根号三，然后下面什么根号四，整理一下这个部分是几，是不是二， 然后上面这个部分是几五，所以是什么二分之五倍的根号三啊？那这个后面你们自己算一下就行，一定要会算啊，那这里面我就省略了，直接写了，所以我说这个边知道吗？知道了啊，那接下来我再看下面部分，我说 b 一 c 一 和 a c 什么关系？是不是垂直？ 然后接下来我说这个是三十度，那我说这个是垂直啊，我说两条直线什么关系？是不是平行？那这个角是多少？是不是三十？我说这个三十度的 做法为一吗？不为一啊，你也可以利用什么？我说直角三角形，这个角是多少，算出来这个是多少？六十，这个是三十，没有问题啊，用平行也没问题的啊。那么说又有了什么三十度的直角三角形？好，我们写一下这一部分啊， 因为 b 一 c 一 垂直于什么？ a c 啊？那我们是不是还有一个垂直啊？我们写到一起， b c 垂直于什么 a c， 所以可以得到什么？我说垂直于同一条直线的两条直线怎么样？平行，所以 b 一 c 一 平行于什么？ bc 啊？那平行之后，我说这两角什么关系？是不是相等啊？是内错角啊，所以我说角 c 一， 然后 b 一 c 等于什么角 b 一， 然后 c b 等于多少？是不是三十度？ 那是不是有直角相形了？什么相形？直角相形，且有一个角是多少度？三十度啊？好，我们写一下，在 t 三角形 b 一， 然后 c 一 c 中，那我们是不是角 c 一 b 一 c 等于多少度？是不是三十度啊？然后这个角是多少？九十。我们也给它写出来角 b 一 c 一 c 等于多少度？九十度。那我说前面这个九十度有没有出现？没有。那我是不是有垂直可以得到？ 有这里面的垂直，我们给他补一个什么九十度啊？就是我们说角 b 一， 然后 c 一 c 等于多少度？九十度啊，那接下来我们是不是就可以用了啊？所以我们可以得到什么？是不是 c c 一 等于什么二分之一的什么 c b 一 啊？等于什么？是不是等于二分之一乘以什么 是二分之五倍的根号三，所以是什么四分之五倍的根号三？我们这个题求什么是 b 一 c 一， 那我们 b 一 c 一 能算吗？能算啊，为什么？我说这个边知道吗？知道。这个边知道吗？知道。那用什么勾股定力啊？我写一下， 在 r t 三角形 b 一， 然后 c 一 c 中，由勾股定力 是不是可以得到？我说 b 一 c 一 的平方等于什么根号下的 b 一 c 的 平方减去一个什么 c c 一 的平方啊？ 接下来我来代一下值，然后这个部分知道吗？知道。是二分之什么五倍的根号三的平方，然后减去这个部分是多少？是不是四分之五倍的根号三的什么平方再开什么根号啊？好，我们来算一下， 那这个部分分子部分是不是可以直接提出来是什么五倍的根号三啊？然后呢？分母是什么？里面变成什么？是不是二分之一的平方，然后减去四分之一的平方，怎么样？开根号啊， 那我们再整理这个是多少，是不是四分之一，然后减去十六分之一，然后开根号，所以是多少？十六分之三开根号，所以是四分之根号三， 乘以四分之根号三，那么再整理一下，所以是多少？是不是等于四分之多少？十五啊？那这个题我就讲解到这，我说相对来说过程会复杂一点，但其核心是什么？就是我说三十度的直角三角形啊，那这个部分我就讲解到这， 接下来我们看一下三啊， d 什么 bc 边的一个什么重点，好标记一下什么关系相等啊，然后我们再看是不是有垂直啊？那我说这是一个什么？是不是都是什么直角象形？那我说 d、 e 等于什么？是不是 d、 f？ 那 我说这两个象形什么关系？全等吗？全等啊，那为什么 我说这是什么 h、 l 啊？哪两个象形是这两个小的啊？好，我直接写，那我说这个全等之后呢？我说这两角什么关系，相等吗？相等，那我说等角对，等边，所以什么造型？等腰啊？好，我写一下，证明过程减。因为什么？是不是我说垂直啊？好，我写一下 d、 e 垂直于什么？ a、 c， 然后 d、 f 垂直于什么？ a、 b 啊？所以我们得到角 b、 f、 d 等于什么角？ d、 e、 c 等于多少度？是不是九十度啊？然后这是第一个条件，我们说得到了条件 e， 然后接下来是不是终点？我们说因为什么 d 是 bc 的 终点， 所以呢，我们是不是 b、 d 等于什么 d、 c 啊？ 那 d、 e 还等于什么 d、 f 这个需要证吗？不需要，这个对应是什么？我说这什么斜边，然后这是一组直角边相等，那我们满足条件，满足啊，是什么？ h、 l。 所以 我们说在 r、 t 三角形 b、 f、 d 和 r t 三角形 d、 e、 c 中，大括号括起来第一个条件是什么？ d、 f 等于什么？ d、 e 这是什么已知条件，然后 b、 d 等于什么？ d、 c 是 完整的啊，所以我要说三角形怎么样全等啊，就是 b、 f、 d， 然后全等于三角形，什么 c、 e、 d 啊，全等判定方法是什么？ h、 l 注意这是 r、 t 项形往对应去写啊， 那我说全等之后呢？对应角什么关系相等，所以我说角 b 等于什么角 c， 那 我们三角形中等角对什么等边啊？所以我们说是 ab 等于什么 ac 啊，所以三角形 abc 是 什么等腰啊，那这个题我就讲解到这， 接下来我们看一下。四啊，我说这两边什么关系相等啊，我说垂直，说明两个是什么直角相形，那我说 d、 e 和 b、 f， 找一下 d、 e 和 b、 f 怎么样相等，那我们说能得到全的吗？可以是什么 h、 l 啊，好，我们直接写因为什么 d、 e， 我 们直接写正 d、 e 和什么垂直？ a、 c 垂直，然后 b、 f 垂直于什么 a、 c 啊，所以我们得到角 e、 d、 c 等于什么角 a、 f、 b 等于多少度？是不是九十度？ 然后接下来我们说这两个数相等的条件需要着吗？不需要啊，我们直接写在 r、 t 三角形 d、 e、 c 和 rt 三角形是吗？ a、 f b 中大括号括起来两个条件放进去，一个什么 ab 等于什么 cd， 一个什么 d， e 等于什么 b、 f 可以 得到全等啊。所以我说 rt 三角形是吗？ d、 e、 c， 然后全等于 rt 三角形 b f a、 r， 那 我说全等判定什么 h l， 那 全等之后呢？我说对应边什么关系相等，对应角呢？相等啊， 那我说可以得到什么对应边，就是这两边什么关系相等，所以我得到 a、 f 等于什么 e、 c 啊，那我说这两个长边相等，中间有什么？是不是公共的边，所以我减去公共边，两个短边也什么关系相等啊？好，我想一下， 所以 a、 f 减去什么 e， f 等于什么 e、 c， 减去一个什么 e、 f， 那 我说前面部分是什么？是不是 a e， 然后后面部分是多少 f c 啊？所以我说这两边什么关系相等，那我说第一步就结束了， 接下来我们再往后面看一下啊，我说全等还可以得到什么？我说这两角什么关系相等啊，所以我们可以写到后面吗？可以啊，我们也可以补在什么位置？补在这个位置，由全等可以得到啊，我写到这儿，角 a 等于什么？是不是角 c？ 我 们也可以把它单独写出来，没有问题啊， 好，写由 r t 三角形是吗？ b f a， 那所以我说对应角什么关系相等？角 a 等于什么角 c， 那 我说这是什么内错角，我说内错角相等吗？相等，那两直线呢？平行，所以 ab 平行于什么 cd 啊？那我们第四题就讲解到这， 接下来我们看一下第五题啊，我们说已知 ab 的 两边分别取什么 o m 等于 o n？ 好， 我们标记啊，这两边什么关系相等 啊？接下来是不是分别做垂线？所以我说这是一个什么直角？那我说这两边什么关系相等，而斜边属于什么公共边，所以两个三角形怎么样？全等。那全等之后呢？我说这两角什么关系，相等吗？相等，所以是什么角？平分线啊？好，那接下来我写一下这个过程啊，正 因为什么，是不是我哪个需要，是不是垂直九十度需要啊？所以我们写一下，因为 p m 垂直于什么 o a， 然后 p n 垂直于什么 o b 啊，所以我们得到角 om p 等于角， o n p 等于多少度？是不是九十度啊？我们说这个边和这个边相等一致，巧见，这个边属于什么公共边，也不需要正啊，所以我们直接写在 r t 三角形 o m p 和 r t 象形，是吗？ o n p 中啊，大括号直接括起来，两个条件是什么？第一个，我们说 o m 等于什么 o n， 然后 o p 等于什么 o p 啊，所以怎么样？是不是全等啊？所以我们说 r t 象形 o m p， 然后全等 r t 三角形，谁是不是 o n p 啊？那我说 h l。 那 全等之后呢？我说定一边什么关系相等定角呢？相等啊，那我说相等可以得到哪个和哪一个相等，是不是这两个啊？所以我们可以得到角 m o p 啊，等于什么叫 n o p。 那 我说相等之后呢，就说明它什么叫平分线啊？那所以是什么叫平分线啊？那这个题我们就讲解到这， 接下来我们看一下第六题啊，我们说命题的真假，我们说怎么去判断它的真假，一般用什么？我们举反例就行了。 好，我们来看第一个，我们说两边分别相等的两个直角三角形怎么样全等啊？那我说定力部分是怎么说的？我们说是斜边和一条直角边分别怎么样相等，也说在判断直角三角形全等的时候，它明确了什么斜边和直角边， 而这里面两边相等，有没有说是直角边还是斜边？所以我们需要看一下情况啊？好，我们画两个图看一下 两边，比如说两边都给是什么直角边，比如说这两边相等，然后这个边和这个边什么关系？相等，那我说能不能得到全等？可以啊，但是呢，你打个比方，比如说我要说这是三，然后这是四，这是五， 那比如说这个是四，然后这个是三，这个边是多少？是不是更好记？我说两个三角形全等吗？不全等啊，所以我举出来他的一个什么反例，所以他是一个什么假命题啊？那我们再来看第二个，一样给他举反例就可以了。 这是一个直角三角形，两个直角三角形，然后锐角相等，我们把给定的这个角给怎样标出来？那标出来之后我说一条边相等，哎，这个边是哪一条边啊？是哪两个边啊？有没有说没有啊？ 那如果说是这两边相等，可不可以全的？可以，但是呢，如果是这个边和这个边相等，可不可以得到全的？不可以啊？为什么我说这个里面是角边角，然后这个里面是什么角角边啊？所以是不可以，一定是对应的啊，所以它也是一个什么假命题。 接下来我们看一下第七题啊，我说距离 a 处三十米，这个指的是什么意思？就是我说 d、 e 长度是多少？三十也可以理解为这一段长度啊。我们把它标出来这个什么 f， 那 我说它是三十，然后接下来是阳角三十度，那这个角是多少度？三十度，然后这个线什么水平，这个什么数值，所以我说这个加角是多少？是不是九十？ 比如说三角形 b、 e、 d 什么造型？是不是直角三角形啊？那我说有三十度，那我说这个边知道吗？知道啊，那接下来我是不是用三十度所对直角边是斜边的一半去用啊？那我说这个三十度所对直角边和斜边都不知道，所以需要设一个，比如说这里面 g、 b、 e 什么 x 米， 那对应我说 b、 d 等于什么？是不是等于二倍的 b、 e 等于什么？是不是二 x 米？然后接下来我用什么？是不是勾股定力啊？那我说在 r、 t 造型什么 b、 e、 d 中， 是不是勾股定力？可以得到 b、 e 的 平方，然后加上 d、 e 的 平方等于什么？ b、 d 的 平方？好，我们带进去啊，所以得到 x 的 平方，加上一个什么三十的平方，等于 二 x 括号的平方。再整理一下，所以 x 方加上一个九百等于四 x 方，那就三 x 方等于多少？九百，然后 x 方等于多少，是不是三百？那 x 等于什么？是不是十倍的根号三啊？那我写到这十倍的根号三， 那我说 b 知道吗？知道。那我说这个高度可以算吗？可以啊，所以我们就会得到它高度十倍的根号三，加上一个多少？ 加上一个一点五二，我说根号三是多少？是约等于一点七三二，好，我瞅一下，所以是多少？十七点三二，然后再加上一个一点五二等于多少？好，我们加一下 是十八点八四二。 那这个是什么思路？然后接下来我们完善一下过程啊？我们直接写 g， 第一步干什么？是不是我说先设了，所以我说这是第一步，然后接下来干什么？是不是勾股定力啊？那我说明确他为什么直角三角形，是不是我们可以有提议的这个角是多少？九十度，然后接下来在直角三角形中按好，我们不选一下， 有提议的， 我们直接这里面设 角 b、 e、 c 等于多少度？九十度，然后在 r、 t 三角形中接下来是直角三角形，由什么勾股定律啊？ 有这个算出来之后，我们再占进去大概单位就可以了啊。接下来我们看一下第八题啊，我说三条线段长度给的六十米，给的是什么南北方向？好，我画一下六十米的这个方向，然后接下来它既然有一条是东西向，那我说东西向的应该是什么？是不是直角边啊？好，我来画一下 那东西向是直角边，是不是较小的边，应该什么四十五，然后接下来我们对应另一条长度是什么？是不是斜边啊？此时才会有东西向啊？前提条件，这个是直角的时候，也就是说我们需要验证这三个边围成的三角形是否为什么直角三角形。那好，接下来我们直接验就可以了啊。 姐，我知道四十五的平方加上一个六十的平方，等不等于七十的平方啊，那我先说四十五的平方是多少号？这里面我直接算一下就行了。五五二十五，然后二百二十五，然后四五二十，然后一百八， 然后接下来这是什么？二五零减一二零五零啊？加上一个什么三千六百，是不是五二，然后六五就是等于五千六百二十五。 那我知道七十个平方等于多少？四千九，我说相等吗？不相等。所以是直角吗？不是啊，所以有没有东西相等？没有啊， 那这个题我们就讲讲到这，接下来我们看一下第九题，我说两个直角相乘，有一条直角边相等。好，我画一下这个图啊， 这是两个直角相乘，然后其中有一条直角边已经相等，也就这两边相等。现在添加什么条件可以得到全等啊？ 那我们看一下现在给的。我说边角，那我说无非添加的是什么？第一个我们添加边，然后第二个我们添加什么角啊？第一层边，第二层是吧？是不是角？那我看添加边的时候可以添加什么？是不是可以添加这两边相等？这是第一种方法啊。 好，我们标一下 a、 b、 c， 然后 a 撇，然后 b 撇 c， 那 我们添加条件第一种是什么？是不是 bc 等于什么？ b 撇 c 可不可以？可以， 那此时的判断方法是什么？我说两边一角，这个角加角，所以是什么？ s， a， s 全等啊，这是第一种，然后第二种呢？我们可以添加哪个边？是不是 ac 等于什么？ ap cp？ 那 这个此时判断方法是什么？是不是 h l、 r？ 然后接下来我再添加角的时候，我们来看一下添加哪个角， 那我们可以添加哪个角？其实都可以啊，你比如说我们添加这个角可不可以？可以啊，那我说这一组角相当，那我说判断条件是什么？我说这是角，这是边，也就是说两角及其一个角的什么对边啊？好，我们写一下。 方法一，添加什么角？ c 等于什么角？ c 片判断方法什么？是不是 a？ a s， 那 除过添加这个锐角，还可以添加哪一组锐角？是不是？我说 a 等于什么？ a p r 角， a 等于什么角？ a 撇，那此时判断方法是什么？好，我来看一下啊，这个角，然后这个边，然后这个角，所以是什么两角一边，这个什么加边啊？所以什么 a s a 等于说当我们添加条件不同的时候，我们判断方法相同吗？也不同啊。那这个部分我们就讲解完了， 接下来我看一下，十啊，我说角 c 是 多少？九十，角 b 是 多少？三十，所以我说这个角是多少，是不是六十？ 然后接下来是不是我说折叠啊，折横是什么？一个是 d， 一个什么 e？ 所以 我说折横是什么？ d？ e， 你 知道什么意思？我说也 d 翻折，这两项形怎么样？是不是重合了？ 所以我说怎么样全等啊，我说步骤 e 可以 得到什么样？等量关系，是不是？我说全等，对一边什么关系相等？对，你讲的相等，那我说这两边相等啊， 这两边也怎么样？相等，然后角的是不是相等啊？好，我来写一下，全等之后呢？我说对应边什么关系相等，对应角的也相等啊，所以我说角的关系就是 d a b 等于角，什么 a？ b？ d 啊，这是我说角的，然后边呢，是不是 a、 d 等于什么 b、 d 啊？ 然后还有什么 a、 e 等于什么 b、 e 啊？这是我说第一小问，然后接下来我们说需要干什么？我说 a、 c、 d 和 a、 e、 d， 我 们找一下这两个角形 a、 c、 d 和 a、 e、 d 这两全等吗？好，我来看一下条件。那我说第一问的时候，我说这个角是三十，这个角是多少？三十，所以我说这个角也是多少？三十， 这个是什么？是不是直角能得到吗？可以啊，这里面需要浅浅的去证明一下，因为你第一步的全等只能得到这两角相等，并不能直接得到它九十，那还需要进一步， 就这两个不是互补吗？这两个相等，所以我说这两个角各是多少？九十度啊，那我说在这两个三角形，好，我们写一下在三角形 a、 c、 d 和三角形什么 a、 e、 d 中是不是有两个直角，也就是角 c 等于什么角？ a、 e、 d 等于多少？九十，这是我说条件一，条件二呢，是不是两个角是多少？三十二角 c、 a、 d 等于角 e、 a、 d 等于多少度？是不是三十度？ 然后接下来什么 a、 d 等于什么 a、 d 啊？那我说可以得到全的吗？可以啊，那我看一下判断方法是什么？这是角角边，所以是什么？ a、 a、 s 怎么样全等啊？那我写一下它的证明过程。第二问，写一下它证明过程， 那我需要干什么？是不是这个角是多少？九十？那好，我们写由，一得 是不是角 aed 等于什么？是不是角 b、 ed。 二又因为我们说角 aed， 然后加上一个角 b、 ed 等于多少？是不是一百八十度？所以呢，我们是不是可以替换一下 b， ed 可以 替换成什么？上面这个角就是 aed 二，所以我们得到二倍的 aed 等于多少？是不是等于一百八十度？ 所以呢，我们可以得到角 a、 e、 d 等于多少？是不是等于九十度啊？那我说这个角 c 也是多少？九十。那好，我说因为角 c 等于多少？九十。所以呢，我说角 c 等于什么？角 a、 d 等于多少度？九十度啊，这是我说的，这个条件就正了。 然后接下来我们是不是要这两个角去用 a， 那 我说同样有 e 的， 那我说角 d、 a、 e 等于角 b 等于多少度？三十度啊，然后在 r、 t 三角形 a、 c、 b 中， 那角 b 是 多少？三十度。然后角 c 等于多少度？是不是九十度？所以我们得到角 c、 a、 b 等于多少度？是不是六十度？ 然后上面这个小角线是多少？是不是三十？所以我可以算下面这个角吗？可以啊，所以我说角 c、 a、 d 等于什么？是不是角 c、 a、 b， 然后减去一个角，什么 d、 a、 e 啊？ 等于六十度，然后减三十度，等于多少？是不是三十度啊？所以我说这两个小角什么关系相等啊？指的是哪两个这两个角啊？ 所以我们得到什么？是不是角 c、 a、 d， 然后等于角 d、 a、 e 啊？这什么？是不是条件二？我说条件三，需要证明，不需要，因为它是公共边，所以我们就接下来是什么？在 r、 t 三角形 a、 c、 d 和 r t 三角形 a、 d、 d 中， 待括号括起来，然后填进去，所以怎么样全等啊？ r、 t 三角形 a、 c、 d， 然后全等于 r t 三角形 a、 e、 d 啊，全等的判断方法是什么？刚才说过了，是什么 a a s 啊？那这个题我们就讲解到这， 接下来我们来看一下第三问啊，我说任意一个尺二角形是否能分成三个全等的？不可以啊，这是三十度所特有的啊。那这个部分我们就讲解完了。

接下来我们更新三十六页，我说角平分线，第一层你要学它画图， 然后第二层你要学它性质，也就是说角平分线上的点有什么特点。然后第三个你要学它的一个判别，或者说怎么去判断这个点在不在它的角平分线上啊？再一个我们需要明确角平分线它是一条什么射线啊？ 那接下来我再看下面的部分啊，我说角平分线的画法是什么？我先画一个角，是角的角平分线啊， 那先画一个角，我是以第一步，以它为顶点为圆心，以 o 为圆心，然后任意长度为半径啊，我去画弧是不是有两个角点？第二步呢？是以这两个点为圆心啊，以 ab 为圆心 为圆心，谁为半径大于二分之一？ a b 长度，为什么半径去画弧有个焦点和连接起来， 那这一条就是什么它的角平分线啊，那我说画图，就讲解到这儿，然后接下来我说它性质是什么？我说角平分线上的点，就说上面有一点有什么特点，到角两边的距离相等，那有什么特点？这两边相等，那为什么？ 那接下来我们看一下他的一个证明啊，以后碰到可以直接用啊。那我说如图，已知条件， o c 什么角平分线？ p d 垂直于什么？ a o， 然后垂直我正什么？注意正的是什么？ p d 等于 p e 啊？那首先需要明确，我说他什么角平分线，那所以角一等于什么角？二， 然后呢？这两个是不是直角，那是不是垂直？我说这是第一个条件，第二个条件我说这两个角是多少度？九十度，也就是说角 o d， p 等于什么角？ o e p 等于多少度？九十度，这是条件啊，那条件三呢？是不是有一个公共边是吧？是不是 o p 等于什么 o p 啊？所以我说这两项形什么关系？全等啊， 那拳头的条件已经有了，拳头的判定方法是什么？好，我看一下，这是角角，这是边，所以是两角平行一个角的，是吧？对边啊，那判定方法 a a s。 拳头之后呢？我说对一边什么关系相等，所以这两边什么关系相等，也就得到了 p d 等于什么 pe 啊？ 那课本上的过程我看一下，由垂直我可以得到，这是吧？九十度，这条件一，然后角一等于角二，这是为什么？我说这是角平分线，等到了啊， 然后接下来 o p 等于什么？ o p， 所以 全倒啊，这是条件二，然后条件三判定方法 a a s 啊，那也就是说以后碰到这个我就可以直接用了。我说角平分线上点到角两边距离怎么样？相等啊，这是什么性质？ 接下来我看一下尝试思考的部分，我说它的一个逆比题，那它条件是什么？我说角平分线上的点，对吧？结论是吧？到角两边距离相等，那我说它的逆比题应该反过来，是吧？到角两边距离相等的点在什么角平分线上？我写一下。 到角两边距离相等的点 在角平分线上啊， 这是它的一个什么？ e b t， 然后接下来我证明它是真还是假？ no， 好， 我来看一下啊，我首先需要明确它的已知条件是什么？我说 p 式里面的一点，然后 p d 呢？我说到角两边距离相等，先做什么？角两边距离， 所以是 p d 等于什么 p e 啊？已知条件， p d 等于什么？ p e， 这，这个什么角一等于角二，这还考虑什么全等啊？ 那我看一下条件，那我第一个条件 d p 等于什么 p e 啊？这是什么条件一？然后第二个条件是不是有直角，对不对？好，我直接写一下条件二呢？是不是？我说垂直，也就是角 o dp 等于什么角？ o e p 等于多少度？九十度，这是什么条件二？ 那条件三呢？我说 o p 是 不是属于公共边？ o p 等于什么？ o p， 我 说可以全的吧？可以，我说直角三角形所特有的什么 h l r 啊，这个部分我思路就是这样子，然后接下来我看一下课本给的一个过程啊， 我说垂直 a 是 不是九十度，说明什么 r t 三角形啊，然后接下来 pd 等于 pe， 这是已知条件，然后这个是什么公共边， 所以怎么样全等判定方法？ h l 全等之后呢？我说这两角什么关系相等啊， 所以它是角平分线啊，那这个部分我就讲解完了，也就是说角平分线的性质是什么？我说角平分线的点到角两边的距离怎么样相等，反过来呢？我说到角两边距离相等的点在什么角平分线上啊？我说这两句话都是对的啊，以后碰到可以直接用的。 这个弟弟我刚才说过了，是什么到角两边距离相等点在什么角平分线上，也就是说如果我说角内的一个点到角两边距离相等，那么这个点一定在什么角平分线上啊？那我们来看一下利益，这样写， a b c 中 b， a， c 是 多少度？是不是六十度？ 然后 d 在 什么 bc 上或 a、 d 是 几十？这个可以先放着，然后接下来这是什么？我说 d、 e 垂直于什么？ a、 b， 也就是说 d、 e 是 什么？就是我说到边的距离，对吧？然后 d、 f 同样做，垂直是什么？ d、 f 是 什么？到 a、 c 边的一个什么距离？ 那我说 d、 e 等于什么？ d、 f， 也就这两边是有关系相等，我说到角，两边距离相等的点在什么角平分线上，也说 d 是 角平分线上点，对吧？那所以我可以得到 a、 t 是 吧？是不是角平分线啊？好，我写一下这一步啊， 因为 d、 e 垂直于什么 ab， 然后 d、 f 垂直于什么 ac， 且 d、 e 等于什么 d、 f， 所以 我们是不是可以得到 d 是 角平分线上的点，所以 ad 是 什么角平分线啊？所以 ad 是 什么角？ bc 的，是吧？角平分线啊， 所以我是不是两个小角就可以表示了，对吧？所以我说角 e、 a、 d 等于什么角？ d、 a、 f 等于什么？二分之一的大角，也就 b、 a、 c 啊，用英文我说角 b、 a、 c 等于多少度，是不是等于六十度？所以我说小角，知道吧？知道啊，所以 e、 a、 d 等于多少度，是不是等于三十度啊？ 那我求什么？第一，我说第一在哪个象形中，是不是这个象形中？然后这个角是多少三十，这个边是多少十？这个是吧？直角，那我是不是可以用三十度？随对直角边是斜边的一半啊？那就可以用了。接下来，因为第一垂直于什么？是不是 ab， 所以我是不是可以得到这个角？角 a、 d 等于多少度？九十度。然后又因为我说 a、 d 等于多少，是不是等于十啊？所以呢？我是不是用三十度所对直角边是斜边的一半啊？所以我说 d、 e 等于什么？是不是等于二分之一的什么 a， d 等于几五啊？那这个题我就讲解到这啊， 我看一下课本上给的一个过程啊，垂直，然后相等，可以得到角平分线，对吧？然后所以这个角是多少？是不是三十度啊？然后接下来就是在直角形中，三十度所对直角边是斜的一半啊。那这个部分我就讲解到这， 接下来我们看一下随他练习的部分啊，我说到铁路和公路距离怎么样相等，我知道他什么边，我说到边的距离相等，你要想到什么？我是不是角平分线啊？ 所以我是以这个点为圆心，以任意长度为半径去画弧，有两个交点，然后接下来呢，以这两个点为圆心，大于这个长度的什么二分之一为半径，再去画弧，是不是有交点？我说连接起来， 那我说这个要求的这个点我要记成 m， 那 一定会在这条线上，对不对？然后接下来我说到交叉处的距离是多少？五百米，那我说在图上是多少，那我知道比例尺指的是什么？图上比实际啊， 等于多少？一比上两万，那我说实际，知道吧，知道是五百米，那我说图上可以算吧，可以，我也可以把这个五百米给它画成什么厘米，因为图上一般是什么用厘米的啊？ 五百米等于多少？是不是五百？然后补两个零，后面带什么厘米？那我知道图上比实际，那就说图上知道吧。不知道，所以我设图上是吧，距离为 x， 距离为 x 厘米，那可以得到什么？图上比上实际是多少？是不是五万啊？ 等于多少？是不是一比上一个多少两万啊？那我说 x 知道吧？知道是多少，是不是二点五，什么厘米啊？然后接下来我画一下就可以了。 这是什么要求的？ md， 那 这个题我就讲解到这。注意，第一个我需要明确它是万角平分线，考察是万角平分线，然后其次它是万比例尺啊。 接下来我们更进三十八页。好，我三角形 abc 中 ac 等于什么？ bc 说明什么？等于幺啊？那角 c 是 九十，说明什么？等于幺？直角相斜，也就是说碰到这个两条箭，你要想到 a 等于幺直角相斜，对吧？那我说 ad 是 什么角平分线？ 那 a、 d 这样是角平分线， d 是 吗？角平分线上一点，我们看到 c、 d 是 吗？是不是相当于往 d 往 a、 c 边引了一个垂线，对吧？那同样我们说角平分线，你要想到什么？我说角平分线上点到角，两边距离相等，也就是说一般情况我们说 如果是角平分线上点，我做图是怎么做往角的两边引垂线啊？我说往 ac 边引垂线是吧？ cd， 然后往 ab 边引垂线是吧？ d？ 而题目条件已经告诉了我说 d 垂直于什么 ab 啊， 那我说它是角平分线上点到角，两边距离相等，那就说明这两边什么关系相等啊， 这两边什么关系相等？那相等之后呢？我说已知条件 c、 d 是 减四，然后这个是四，我说大造型等腰直角，这个是多少度？四十五度 小的也是什么等腰直角啊？那所以我说这个边可以算吧？可以啊，这个是减四，等腰直角，所以我说这个边等于这个边等于减四，那这个边就是什么？是不是根号下四的平方？加四的平方等于什么？ 是不是等于根号下的三十二等于什么？是不是等于四倍的根号二啊？那这个题第一问我就结束了啊，那接下来我写一下这一部分的一个过程啊，减 我第一步干什么？是不是 d、 e 等于什么？ c、 d 啊，那我做这个，因为 d、 a， d 是 x， a、 b、 c 的 什么叫平分线？ 然后再把垂直加上啊，我说角 c 等于多少度？是不是九十度，然后 d、 e 垂直于什么？ ab 啊，所以我是不是可以得到 c、 d 等于什么？ d、 e 等于几？是不是等于四啊？接下来我是不是需要它的四十五度啊？所以我直接写在三角形 a、 c、 b 中，因为角 c 等于多少度？九十度。所以呢，我是不是可以得到角 c、 b， 然后加上一个角 b 等于多少度？九十度。然后又因为我是不是知道 a、 c 等于什么？ bc 啊，我说这是什么等边？对等角啊，所以我得到角 c、 b 等于什么？是不是角 b， 所以我是不是带进去可以得到什么？是不是二倍的角 b 等于多少度？九十度。那角 b 等于多少？是不是等于四十五度？也说这是一个什么角形？ b， e、 d 什么角形？等腰直角角形啊，那接下来就是在象形谁中？我说 d、 b、 e、 d 中， d， e、 d 中都可以， 一般我们说把直角写在中间，所以是 b、 e、 d 中啊，那角 d、 e、 d 等于多少度？是不是九十度？ 然后接下来是不是我说这个是多少度？四十五度，角 b 等于多少？四十五度。所以呢，我是不是可以得到角 e、 b、 b 等于多少？是不是等于一百八十度？然后减去一个角什么 d、 e、 b， 然后再减去一个角 b 等于多少？是不是等于四十五度啊？那我说这两角什么关系相等，所以我说角 b 等于什么角 e、 d、 b 啊？那 b、 e 等于什么？是不是 d、 e 等于多少四啊？然后接下来是什么勾股定律啊？有勾股定律 可以得到什么？是不是我说 b、 d 等于什么？根号下的 d、 e 的 平方加上一个什么 b、 e 的 平方啊？那我带进去就是根号下四的平方加四的平方等于什么？四倍的根号啊。 接下来我看一下课本上的过程，第一个，我是不是得到 d、 e 是 几四啊？然后第二步呢，我是为了得到四十五度，看到了没？等边对角四十五度，得到之后就是为了得到什么 b、 e 是 几？是等于四啊？ 然后接下来是不是我说在三角形 r、 t， 三角形 b、 e、 d 中有什么勾股定律啊？那这个部分我就讲解完了，接下来我看一下第二问。呃，我知道，第一问中我说 a、 d 是 角平分线，然后垂直垂直，所以我说 c、 d 等于什么 d， e 啊？ 然后 a、 d 属于什么？勾股边 a、 d 等于什么 a、 d？ 所以 这两个三角形是什么关系？全等啊。好，我写一下这一步 是不是正因为什么 a、 d 是 什么角平分线， abc 的 什么角平分线？我解起来了。然后其次，我是不是做垂直角 c 等于多少度？九十度，然后 d、 e 垂直于什么？是不是 ab？ 所以我是不是可以得到 c、 d 等于什么？是不是等于 d e？ 然后勾勾边需要什么？不需要啊，所以我直接写在三角形 r t 三角形中 a、 c、 d 和 r t 三角形中 a、 e、 d 中啊， 大括号括起来两个条件，一个是吧，我说 c、 d 等于什么 d、 e， 然后另一个条件 a、 d 等于什么 a、 d， 所以 我可以得到什么？全等啊，所以我可以得到 r t 三角形 a， c、 d， 然后全等于 r t 象形，是吧？ a、 e、 d 啊，那全等之后的我是不是对应面相等？所以 ac 等于什么 a e 啊？ 那我说要证什么？是不是 ab 等于什么？是不是 ac 加上一个什么 cd？ 那 我说 ab 本身等于什么？是不是等于 a、 e 加上一个什么 b， e 啊？ 那我是不是有全等已经得到 a、 e 等于什么 ac， 所以 我已经把它替换成什么 ac？ 那 接下来是不是要 b、 e 和 c、 d 什么关系相等？我说 b、 e 和 c、 d 相等吗？ 好，这个边是几？是不是四？然后这个边是几四，这个边还是几四啊？所以我说 b、 e 和 c、 d 什么关系？相等吗？相等啊，然后接下来我写一下后面的部分啊。嗯，全等是不是得到对应边什么关系相等，所以我说 a、 c 等于什么 a， e 啊？那由一得， 是不是 b、 e 等于什么？是不是等于 d， e 等于几四？然后 c、 d 等于什么？ d， e 等于几？是不是四？所以呢，我是不是可以得到 c、 d 等于什么 b e 啊？ 所以我们得到 a、 b 等于什么？是不是 a、 e 加上一个什么 b e， 然后 a、 e 是 谁？ a e 就是 什么 a c 啊，然后 b、 e， 什么 c、 d 啊？那这个题我就讲解到这，接下来我看一下课本上的过程啊，我说一全等可以得到 a、 c 等于什么 a、 e， 然后这个是由 e 可以 得到的啊， 然后这个部分我就讲解完了，接下来我们看一下第三个部分啊，我说角平分线 b、 m 和角平分线 c、 n 相交于什么点？ p， 也说 p 是 角平分线上点，我们碰到角平分线就是要想到角平分线上点到角两边距离怎么样相等啊， 所以我说过 p 做，我说这是角平分线 b、 m 角平分线，所以角两边引垂线啊，我做一下这个是什么 d， 然后再做垂直 这个是吧？ e， 那 是不是可以得到？我说 pe 等于什么 pd 啊？接下来一样的，我们是不是 c、 n 也是什么角平分线？往这个角的两边沿垂线，这是一个，然后这边再沿一个， 我可以记成什么 f 可以 得到什么，是不是 pd 等于什么 pdf？ 那 我说这两个条件合起来是吧？是不是 pe 等于什么 pdf？ 那 我说 pe 和 pdf 是 不是可以理解为这两边上的一个什么点？ 角两边距离相等点？我说一 d 在 什么角平分线上，所以我说 p 在 角 b、 a、 c 的 什么角平分线上，所以我这个题就结束了啊，然后接下来我写一下来的一个证明过程。正，我是不是要做图？好，我直接做 p d 垂直于什么 bc 交 bc 于 d， 然后 pe 垂直于什么 ab 交什么 ab 于什么 e 啊？ p f 垂直于什么 a c， 然后角 a、 c 与什么 f 啊？那我是不是接下来就是我说角平分线的性质去用了啊？因为什么？我说 p 是 角 abc， 然后角平分线上点，然后 pe 垂直于什么 ab， 然后 pd 垂直于什么？是不是 bc？ 所以呢，我是不是可以得到 pe 等于什么 pd 啊？那接下来是不是后面的我说这个相等是不是跟同理的，所以我可以直接写啊，同理 是不是有什么？我是不是 p d 等于什么 pm 啊？那我说这两个条件可以得到什么？所以我说 pe 等于什么 pm， 那 这两边相等，是不是我说到角两边距离相等，那点在什么角平分线上，所以我是不是得到 p 在 角平分线上啊？ p 在 角 b、 a、 c 的 什么角平分线上？那及角 a 的 角平分线经过点 p 啊，那这个题哇，就讲解完了， 接下来我看一下课本上的一个过程啊，我说角 a 的 角平分线经过点 p 需要什么条件？是不是我说了到角两边距离相等的点在什么角平分线上，所以我说它一定在这个角的角平分线上啊， 也就是需要证这两边什么关系相等啊。那我看一下具体的证明过程。我做垂直，然后角平分线 p d 等于什么 p e 就是 我刚才说的同利 p e 等于什么 p f， 那 就说为什么这两边什么关系相等啊，就是 p d 等于什么 p f， 所以 在角平分线上啊， 在这个部分我就讲解完了，那注意，这个点其实蛮重要的啊，我说角平分线的交点呢，我说到 c 条边的距离怎么样相等，那如果是我说到这三个点的距离相等，我需要想到什么垂直平分线的交点啊， 注意一下啊，那我说这里面有没有其他结论？有啊，你不要说这两个角有什么关系，我说角 b、 p、 c 等于什么？是不是等于 九十度加二分之十吧。角 a 啊，这是什么结论啊？以后碰到可以直接用。那我说垂直平分线有什么关系？是不是角 b p、 c 等于什么二倍的角 a 啊？这两不一样的。这什么？我说角平分线的角点的时候， 然后这个什么垂直平分线角点的时候，这两不要记反了。如果是选填题，我可以直接用结论的大题，我需要走一下它具体的一个过程啊。 接下来我们看一下随堂练习的步伐啊。我说 abc 中 a、 c、 b 是 多少，是不是九十度，角 b 是 多少？六十度， 然后 a、 d 是 往 c、 e 角平分线，我是不是相交于什么点 f， 也就是说 f 呢？是角 b a c 角平分线上点，我是不是往这边移垂线，另一边也得移垂线啊？所以我们做正直接做 f h 垂直于什么 a c 啊？ 角 a、 c 与什么 h， 那 我是不是角平分线这点到角两边距离相等，所以这两边什么关系相等啊？我写一下这一步啊，因为 a d 平分角 b a、 c 啊，然后且我是不是 f m 垂直于什么 ab 啊？然后这个是不是也是垂直？所以我是不是可以得到 f h 等于什么 f m 啊？那头里呢？ 是不是可以得到？我说第一条什么 c， e 是 什么？我说 c、 e 是 这个角的，所以我说这两边什么关系相等啊？图里可以得到 f h 等于什么 f n 啊， 那我说这三个边什么关系，是不是相等啊？所以我说 f h 等于什么 f m 等于什么 f n？ 我 是不是得到了 f m 等于什么 f n 啊？好，我们标记一下 f n， 然后接下来我说这个题要证什么 e、 f 等于什么 f d， e f 等于什么 f d， 那 我就说想到什么是不是全等， 那全等的话，你要明确三角形是哪两个三角形全等啊，肯定是这两个小的，对吧？那我就写出来三角形 f n、 d 和三角形 f、 e、 m 怎么样？全都。我看一下条件，首先都有什么直角，我写一下 e、 m、 f， 然后等于什么角？ f， n、 d 等于多少度？是不是九十度？ 然后其次我们说 f m 等于什么 f n， 然后接下来我再看其他条件。题目条件是不是给了角度，我说角度到现在为止一个都没有用，我用一下角度啊， 这个角是多少度？六十度。然后呢？我说这个角是多少度？都算吧，因为角平分线，所以他多少？四十五度，所以我说这个角可以算吗？可以啊，我角是什么？是不是 m e， f， 这个角可以算吗？可以，是不是等于一百八十度，然后减去一个什么六十度， 减去一个多少？是不是四十五度等于多少度？可以算吧？可以啊，所以是七十五度啊，那这个角是七十五度，那我是不是需要知道这个角可以表示吧？如果说表示出来是七十五度，那是不可以正确的了啊，所以我需要表示这个角在这个角可以表示吧？好， 你注意啊，这个是九十度，所以我说这两个角什么关系？好，我来标记这两个角什么关系？互余啊，这个角知道吗？知道，十五度，所以这个角是多少度？七十五度啊，所以这两个角什么关系相等啊？就这两个角，所以全等条件够了吧？够了啊，我再写一下， a、 d、 c 也等于多少，是不是七十五度啊？所以我说这两个角什么关系相等啊？所以这什么条件三， 那全都条件够了没？够了，那我看一下判定方法是哪一个？这是角，然后角这是什么边啊？所以是什么？两角及其一个角的是吧？对边 a、 a、 s 怎么样？全都啊，那好，我说 一二、三条件，哪个需要整？这个我刚才整过了，然后这个需要整完，好简单写一下，对吧？然后这个需要整啊，所以这两个需要整一下啊。好，我来写一下啊，是不是我们先写这个部分？这个好说，我是不是垂直就可以得到啊？因为 fm 垂直于什么？ ab， 然后 f、 d 垂直于什么？是不是 bc 啊？所以呢，我是不是可以得到角 a、 m、 f 等于什么？角 f、 n、 d 等于多少度？是不是九十度？或者说这个条件就结束了？接下来我看一下这一部分的一个证明啊，那证明的话，我需要它是七十五度，需要什么条件？这个已知条件，然后这个角是不是需要知道啊？然后我直接写， 因为角 a、 c、 b 等于多少？是不是九十度，然后角平分先用一下啊，然后 c、 e 平分，是吧？ 角 a、 c、 b 啊，所以我是不是可以得到？我说 b、 c、 e 等于什么？是不是等于二分之一的角 b、 c、 a 等于多少度？是不是四十五度？ 在三角形是不是 bc 中啊？那我说角 b 等于多少？是不是六十度？然后呢？角 bc 等于多少？是不是等于四十五度？ 所以呢，我是不是可以得到角 bc 等于多少度？七十五度啊？然后接下来我是需要这个角是多少，是不是七十五度啊？那我是不是需要这个角是多少？十五度啊？那首先需要这个大角是多少？三十度啊？那好，我直接写三角形 a、 c、 b 中，三角形 a、 c、 b 中。 然后呢，我说角 a、 c、 b 等于多少？是不是等于九十度？然后角 b 等于多少？是不是六十度？所以呢，我是不是可以得到角 b、 a、 c 等于多少？三十度。然后接下来个什么？是不是角平分线啊？因为 a、 d 什么平分 角谁 b、 a、 c 啊？所以我是不是可以得到这个小角？就是我说角 d、 a、 c 等于什么？是不是等于十五度啊？等于二分之一的角 b、 a、 c 等于多少？是不是十五度？然后这个十五，这个是九十，所以我说这个角可以算吗？可以啊，在三角形水中， a、 c、 d 中， 我说角 d、 a、 c 等于多少？是不是十五度？然后角 a、 c、 b 等于多少？是不是九十度？所以我是不是可以得到角 a、 d、 n 等于多少？是不是等于七十五度？所以我是不是可以得到这两个角什么关系相等啊？所以我说角 a、 d、 n 等于什么？是不是角 b、 c、 r 等于多少度不重要，重要的是这两个角怎么样相等啊？那我说这个需要吗？我刚才已经做过了啊，这是什么 条件？我说这是条件一，然后条件二，条件三，我说这是什么？是不是条件二？我这个部分证是什么？是不是条件一？然后剩下的这个部分证的就是什么条件三啊？在全等之后呢？我说对一边什么关系相等啊？所以我说这两边什么关系相等，那这个部分我就加减完了， 全等条件已经证完了，然后接下来就是在相似谁和 j 中，然后大括号括起来，怎么样？全等啊，那全等之后呢？网是对应边什么关系相等啊？那我这个题就讲解到这。