九江一模数学圆锥曲线怎么做

梳理圆锥曲线十八种题型方法，圆锥曲线的大题题型比较多，方法也比较多，有时候我们做题的时候呢，没有选对方法，做半天发现也做不出来，所以我们接下来呢，就梳理一下这个圆锥曲线大题的题型，还有这些方法。 那首先呢，先说一下解析几何它做题的一个思路，我们看到这个题目的第一眼就是题目给我们的呢都是几何条件，我们需要通过分析呢，把它表示成一个代数式啊， 然后再计算它，得到一个计算的结果，然后把这个计算的结果呢，再返回到这个几何的特征， 其中最重要的一部分呢，就是几何条件到代数式的这个转换，我们一般叫翻译，翻译，这呢我分了几部分啊，第一部分就是向量的，第二个呢就是长度的，第三个是面积的，呃，第四个就是角度， 还有一部分呢，就是代数式列出来了，然后呢要计算了啊，得到一个计算的结果，那我们知道解析几何呢，计算是一个大头啊，然后他也有很多，就是 就是各种方法，各种技巧吧，然后我在这呢分了一下啊，基本上就是这些啊，就是定制定点的非对称表达的处理，然后这种点成双根的这种，呃，方法后面呢我就一个一个讲， 那我们先看第一部分啊，就是翻译的向量啊，这部分第一个我分的呢，是以九十度作为临界条件的啊，比方说 p 点在以 a b 为直径的圆上，我们做题的话，比方说这有一个 直线交于 ab 两点，然后这是 o 点吧， o 在 以 ab 为直径的圆上的话，如果我们用那个圆吗？就是，呃，点到圆心的距离小于半径，那这样的话比这是 p 吧， 那 o p 的 距离比这个二分之一啊， ab 这个距离如果要小的话，那你看这个 o p 和这个弦长 表示起来都比较麻烦。那如果我们换一种想法啊，就是这有一个圆，这有一个直径 a b p 在 ab 为直径的圆上的话，就说明这里应该是一个直角， 那这样的话，也就是说 p 在 以 ab 为直径的圆上，我们转化成 pa 向量点乘 pp 向量等于零，数量积等于零，这个比较好算，那如果在圆内 园内的话，就是，哎，钝角，那这样的话就小于零，园外的话就是锐角，数量积就大于零。 那我们看一个例题啊，这个例题的话，呃，第一问就不做了，第一问直接给出来了，那这个题的第二问的话，就相当于是这有一个椭圆，然后有一个直线 y 等于 x 加 m 与椭圆相交于 p q 两点啊，这个椭圆呢，这儿给了就是二分之 x 方加 y 方等于一，然后圆点 o 在 以 p q 为直径的圆的内部，那我们刚才说点在圆的内部的话，就可以表示成 o b 向量点成 o q 向量，呃，数量积小于零， 那我们现在需要的是 p 点和 q 点，那这个时候直接给它连立就可以了，先连立这个方程，消元得到一个二次方程，然后因为直线和 椭圆有两个交点，所以我们得先列一个得它大于零，然后就可以解出来这个 m 的 范围是负根号三到正的根号三，然后 o p 向量点上 o q 向量小于零，你看就是 x 一 x 二加 y 一 y 二小于零，这个呢比那个列长度啊要简单很多。 这个就是纯带尾达定里边啊，带入之后就可以出 m 的 范围， m 方是小于三分之四的，然后 m 的 范围就是这和上面这个式子呢，取交集就可以啊，交集的话应该下面这个式子更小一点，所以就取下面这个就可以了。 那这个第一部分呢，就是以九十度作为临界的啊，当然其他的也可以，只要是九十度的啊，都可以用向量。 好，那我们看第二部分，我分的呢，是三个点，在曲线上的时候啊，就是这个 p a b 在 曲线上，然后 o p 向量呢，等于拉姆大倍的 o a 向量加缪倍的 o b 向量， 那这样的话，这个 p 点的坐标就可以写成，拉姆大 x 一 加缪倍的 x 二，拉姆大 y 一 加缪倍的 y 二，然后把 p 点代入，因为是三点在曲线上嘛， 带入之后呢，这个式子啊，看起来比较麻烦，那我们只要把它写开，合理的分配一下，你看这一部分啊，就是拉姆大方 x 一 的平方比 a 方和这一部分拉姆大方外一的平方比 b 方放在一起， 那这样一整理就会发现，这个式子和这个式子应该都是等于一的啊，所以我们把这个带进去的话，哎，就出这了，那这个 x 一 乘以 x 二和 y 一 乘 y 二啊，它那个就是正常的一个尾答，电路代换就又变得好做了。 那我们看一下这个例题啊，第一问这个离心率啊，这个不用管，我们还是看这个第二问就可以， 就相当于是呃，这里有一个这个这个椭圆，然后过右焦点 f 二，有一个直线和椭圆交于 p q 两点， 然后第二问说这个直线的斜率是一，然后问你 c 上存不存在一点 m， 使得 o m 向量等于二倍的 o p 向量加 o q 向量？ 第一问这个结果呢，是三分之根号六啊，就给到这了，就是 a 和 c 的 关系， a 分 之 c， 那第二问的话，按我们刚才说的就是这个 m 的 坐标，就可以写成二倍的 x 一 加 x 二，二倍的 y 一 加 y 二，然后这个时候呢，我们把它代入，然后代入之后就会出现这个 a 方分之二 x 一 加 x 二和 b 方分之二 y 一 加 y 二的平方等于一， 然后我们把它展开，展开之后呢，还是去给它配这个这个式子和后面这个式子啊，这里少有一个四倍， 这个式子跟这个式子去配，那这样的话我们一配就会得到应该是四加一，然后再加上四倍的 a 方 x 一 乘以 x 二和 b 方 y 乘 y 二啊，等于一。 那这个时候呢，也就是我们现在只需要 x 一 乘以 x 二和 y 一 乘 y 二，那这两个式子肯定是尾答定律，那尾答定律的话，我们就要把这个 p q 直线啊，这个是 y 等于 x 减 c， 然后这个 椭圆的方程啊，应该是 a 方分之 x 方加 b 方分之 y 方等于一连力啊，整理出来这么一个二次函数，嗯， 这个二次函数的话，我们整理一下，就是 x 方 x 啊，后边呢是常数部分伟大定律写出来， 然后的话把这个式子，你看这个式子的话，这里是四，这里是一，这里也是一，把这个一跟这个一一削，然后这个四挪过来就是负四，这个负四跟这个四约一下，就可以得到这个式子啊，它等于负一，然后我们把它带入 就会出这个式子，就是 a 方加 b 方，分之 c 方减 b 方，然后 a 方加 b 方分之 c 方减 a 方，这样一减的话，就可以求出来 c 等于零，那这个 c 等于零的话，它应该是不对的啊，所以这个题呢，就是不存在，然后这个是一个比较久的一个高考的题。 接下来是向量的等分点， a p 向量等于拉姆单位的 p b 向量， 这个时候呢，我们就可以得到一个等量关系啊，就是 x 零减去 x 一 等于拉姆大倍的 x 二减 x 零， y 零减 y 一 等于拉姆大倍的 y 二减 y 零。呃，这个时候呢，我们需要做一个判断啊，就是看一下这个 x 零和 y 零，谁等于零， 谁等于零的话，呃，那这个时候它的关系就会比较简单，假设这个 y 零是等于零的，那这个时候你看它 y 之间的关系呢，就会变成负的 y 等于拉姆达 y 二，也就是说它的 y 会更简单一点。那这个时候我们做表达定理的时候，就得设 x 等于 m y 啊，也就是我们需要得到 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后呢把这个式子带进来， 带进来之后呢，这个 y 一 就会等于负拉姆达 y 二，那这样的话，往这一带就会出现一减拉姆达 y 二，然后下面这里就会出现负拉姆达 y 二方， 然后我们把上面平方，然后除以下面这个 y 二呢，就消了，只剩下了拉姆达。好，我们来看一下具体的例题啊，这个 抛物线方程呢，这儿已经有了，就是 x 方等于四 y， 嗯，设斜率为 k 的 直线，经过点 b 二零， 且与抛物线交于两点不同的两点 m n， 然后这是 b m 向量等于拉姆大倍的 b n 向量。拉姆大属于四分之一到四，求 k 的 取之范围，也就是说我们这个要求的是 k， 给的是拉姆大， 那我们现在要找到拉姆达和 k 之间的关系。通过题目给的这个等量关系，我们发现，哎， x 一 减二等于拉姆达倍的 x 二减二，然后 y 等于拉姆达 y 二，也就是说拉姆达和 x 一 x 二或者 y 一 y 二是有关的。 呃，这个 k 我 们知道啊，这个连立方程的时候，斜尾答定里啊，也会和这个 k 有 关，也就是说 x 一 加 x 二，或者是 y 一 加 y 二啊，会等于一个 k 的 函数， 并且 y 一 y 二和拉姆达有关， x 一 x 二也和拉姆达有关。也就我们的目的呢，就是利用这个伟大定律，把拉姆达和 k 啊放到一起。 那这个时候我们通过观察呢，发现 y 的 式子更简单一点，所以我们列伟大定律的时候，就要列这个 y 的， 那我们设方程就要设 x 等于 m y， 那这样的话，整理啊，就会出现一个关于 y 的 二次方程，写这个伟大定律， y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后把这个式子啊给它带进来， 那 y 一 加 y 二，就等于一加拉姆达 y 二，然后 y y y 一 乘 y 二，就是拉姆达 y 二的平方，然后这个式子呢，把 这个整体平方，然后除以下面，就会得到一加拉姆达的平方除以拉姆达，然后等于四减四， m 的 平方除以四 m 方，那这个时候呢，拉姆达是有范围的，所以左边这个啊，就可以写成拉姆达分之一加，拉姆达加二，这个呢，这不是一个 对勾函数嘛，然后它的范围就可以写了，就是这个四到四分之二十五，然后 这边啊，它有也就可以整理一下啊，整理成这个 m 分 之二减二啊，这个的话相当于是先约一个四就是 m 方，然后里边就会剩下，呃，约一个四的话， 相当于是二减二 m， 那 这样的话，我们相当于是把这个平方去掉这个整体来一个平方啊，这样，那这个时候再把平方开掉，就可以得到 m 分 之二减二的一个范围， 那这个范围的话就把 m 分 之二能解出来了。 m 分 之二解出来之后呢？呃，因为这个题需要有交点嘛，所以得先判断一下这个 delta， delta 大 于零，得到的 m 的 范围是小于二分之一，那这个时候呢，我们再写 m 分 之一的范围，因为 m 分 之一就是 k 嘛， 就可以写出来这个 k 的 范围了啊，就解完了。 然后就是条件翻译的这个第二种形式啊，长度，长度呢，我们最常用的就是根号下一加 k， 方程乘以根号下 x 一 加 x 的 平方减四倍的 x 一 x 二， 这个式子，如果做题的时候推荐记，这个就是根号下一加 k 方 a 分 之根号下 third 啊，这个的话就不用 带进去再化简了啊，直接带这个式子就比较简单。还有一个比较就是不太关注的，就是根号下一加 k 方 x 一 减 x 是 绝对值， 这个的话我们高考考了好几次啊，你看，呃，这里假设中间有一个 f， 假设是二零吧，这个是 a 点，这个是 b 点。那我们现在要求 af 乘以 bf 的 话， 如果我们直接想两点间距离公式啊，基本上就没法做了。如果我们用下面这个代的话，它就得根号下一加 k 方，然后 x 一 减二的绝对值，乘以根号下一加 k 方 x 二减二的绝对值， 那这个时候的话就可以得到一加 k 方，扩起来乘以 x 一 减二，呃，再乘以 x 二减二，扩起来绝对值，那这样的话，这个式子又就变得能做了啊，也就是长度翻译的话，注意一下，这个根号下一加 k 方， x 一 减 x 二绝对值。 我们看一个具体的例题，这个的话也是只看第二个啊，就是说有一个椭圆 x 方比十二加上外方等于一，然后呢？呃，上顶点就是 p 是 零一， 嗯，这个点 q 在 线段 a b 上，其实就是说明过 p 点做了一个直线，然后这个直线呢，和椭圆交于 a、 b 两点，然后我们把这个 pa 和 p b 又连起来了， 然后连起来之后呢，它分别和 y 等于二分之二分之一， x 加三，这个直线交于 c、 d 两点。然后第二问呢，我们要求这个 c d 的 最小值，按我们刚才说的那个呢，直接写成根号下一加 k 方，然后 x c 减 x d， 而这个 k 呢，是等于二分之一的，那也就是根号下一加四分之一。那我们接下来就求这个 x c 和 s d 就 行了。 那我们首先呢，先设这个 a b 的 直线方程， y 等于 k， x 加二分之一，那这样的话 a 点就是 s 一 y 一， b 点就是 s 二 y， 然后连立方程，连立方程之后呢，整理出来一个二次函数，这个呢就是得到伟大定律，这个伟大定律是关于 a 和 b 的， 然后我们接下来呢写这个 a p 直线和 b p 直线，呃，然后接下来就该写这个 c 点和 d 点了， c 点和 d 点呢？是 ap 直线和 y 等于负二分之一， x 加三啊，这个是负的负二分之一 x 加三，这个少打了一个，这样的话就可以交出来 c 点，那同理 d 点啊，也就出来了，这样的话 x， c 和 s， d 就 都出来了， 然后带我们刚才那个式子， c， d 呢，就等于根号下一加 k 方，然后 x c 减 s， d 的 绝对值，这样带入进去之后呢，直接化减就行啊，其实带尾答定你化减就可以。后面这个式子啊，求最值的话用的是一个， 你看它下面是，嗯，这里是个绝对值， 然后上面这个式子的话，十六 k 方加一，它除以这个三 k 加一是除不了的，所以上面这里配了一个这个柯西不等式啊，你看根号，呃，十六分之九，十六分之九的话，就是四分之三的平方， 然后加一的平方，那这样的话就是四 k 乘以四分之三，然后一乘一，这样的话上面就变成三 k 加一了， 然后这里平方再开方，开完方之后，呃，也是三 k 加一的绝对值嘛，和下边这个三 k 加一的绝对值就约了，然后这样的话，最后出来这个五分之六倍的根号五，这个范围反是不好出。 解析，几何里边的面积表示，最常规的就是二分之一底乘高，你把这个三角形的底和高分别表示出来，然后给它成一块就行。第二个呢，就是分割 这个三角形里边如果有一根竖线啊，比如说固定的这个长度，如果是二，那我就可以写二分之一乘以二，然后再乘以 x 的 叉， x 二减 x 一， 就是这两个顶点的 x 坐标。呃，如果有一根横线是固定的，比如说这个是三，那就二分之一乘以三，然后再乘以 y 的 叉， 这个应该比较好理解。第三种表达方式呢，就是二分之一 x 一 y 二减 x 二 y 一， 这个 x 一 和 x 二呢，表示的应该是这个三角形边儿的项链啊，就是 x 一 y 一 x 二 y 二， 这个三角形的两条边向量比较好表示。那这个时候呢，我们一般用这个公式去做，那我们来看一个例题啊，我们例题我们就只讲这个。第三种 有一个椭圆啊，这画了四分之 x 方加二分之外方等于一，已知上面有一个 a 点 x 一 y 点 x 二 y， 然后 o 呢为圆点，直线 o a o b 斜率相乘， 就是等于负二分之一 q o a q o b， 那 这样的话，我们一般都会设这个直线 ab， 然后 o a o b 的 斜率相乘等于负二分之一。这个时候我们去列北大定律呗，然后屁为椭圆上异于 ab 的 一个动点啊，就是这还有一个 p 点，然后我们现在要算这个 a o p 的 面积和 b o p 的 面积， 这样你看，嗯， s 一 s 二，我们要探求 s 一 的平方加 s 二的平方是否为定值。如果这个你用底层高的话啊，比方说 ap a p 的 长度啊，这个好像也不行，或者你用这个 o a 的 长度，那这样的话，它都代换不了韦达定律，因为韦达定律的话需要 x 一 和 x 二，呃， a 点和 b 点，还有这个 p 点， p 点设成 x 零 y 零，那这样的话，这个 a p 这两个这个三角形的两个边儿，它的向量是可以表示的，这就是 x 一 外一，这就是 x 零外零。那我们就用我们刚才说的这个表达式啊去求。 那首先第一步呢，是先连立，然后整理出来一个二次方程，伟大定律写在这儿，嗯，然后呢， k o a 乘以 k o b 等于负二分之一，那我们带到这个式子里边，呃，整理一下，就是 x 一 x 二加二倍的 y 一 y 二等于零， 然后代位达定里啊，代入，代入之后呢，就可以得到 m 方等于二， k 方加一啊，这是一个关系。接下来呢，我们就设 p 点是 x 零外零，那这样的话， s 一 的平方就会等于四分之一， s 一 外零减 x 零外一， 那这样的话再平方一下，就不用绝对值了，那同理 x 二也是一样的，那我们接下来呢，就把它们俩加起来， x 一 的平方加 x 二的平方，然后整理一下，就是 x 一 的平方加 x 二的平方，这里是 y 一 的平方加 y 二的平方，这里是 x 一 y 一 加 x 二 y 二。 然后这个式子的话，我们就直接带伟大定律就行了啊，这三项带伟大定律带入，带入之后求出来分别是四二零，然后我们再把它带进去，就是四分之一四 y 零方加 s 零的平方啊，它就等于二，就可以证出来它是定值了。 我们来看这个角度的翻译解析，几何里边如果遇见了要求这个角度，一般是没有办法直接求的，我们都是通过这个 tangent 把它转化成直线的斜率 k， 这样就可以做了。 遇到了这种三点共线的问题的话，我们也是用斜率来表示啊， k a b 等于 k a c， 这样就可以证明三点共线，还有就是证明四点共圆， 这样的话就证明这个对角相加等于一百八，那证明它两个的 tangent 相加等于零就可以了。那这个 tangent theta 呢？ 它用这两个直线的倾斜角来表示啊，这个是 alpha， 这个是 beta， 那 这样的话，这个 tangent theta 就会等于 tangent r 减 beta， tangent r 减 beta 展开之后，应该就是 k 一 减 k 二，然后一加上 k 一 乘 k 二，这样的，也就是把这个角度还是通过 tangent 转化成斜率。 我们来看一个这个题目啊，就是椭圆的标准方程，这是四分之 x 方加三分之 y 方等于一，然后他说过右焦点 f 且斜率为 k 的 一个直线 哎，交于 a b 两点，问你 x 轴上是否存在异于 f 的 一个定点 t 是 否存在这提个 t， 然后 a f 乘以 b t 等于这个 b f 乘以 a t 成立，那这个的话，你把它换一下就可以知道， a f 比上 b f 等于 a t 比上 b t， 就 a f 比上 b f 等于 a t 比 b t， 那 这样一拉，这个不就是角平分线吗？ c t 啊，也就是说我们现在要算这两个角度相等，那这样的话，我们应该就是直接证明 a t 和 b t 的 斜率相反啊，也就是说我们只需要证 k a t 加上 k b t 等于零就可以了。那有了这个思路之后呢，肯定是先连立， 这是画的那个图，我们先连立方程，然后整理出来一个二次函数，然后这个二次函数出尾答定里 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后 写这个条件啊，因为由这个条件得到角 a t f， 这个角等于角 b t f， 那 这样的话，我们就可以得到 k a t 加上 k b t 等于零，然后我们再代入，就是 y 一 比上 x 一 减 t 等于零，然后我们再代入，就是 y 一 比上 x 二减 t 啊，这就是斜率。 嗯，整理一下，直接带尾答定理啊，就可以整理出来这么一个式子。因为我们这个 t 木要的是横乘力， m 呢是变量，所以我们让 m 的 系数为零就可以了。四减 t 啊，让等于零，那 t 就 等于四，那它定点坐标呢，就是四零， 也就是说，呃，直接遇到这种角度相等的啊，就是相等啊，或者说互补什么的，然后直接求贪婪他就可以了。 然后就是这个四点共圆椭圆的方程呢？还是已经有了？就是八分之 x 方加四分之外方，等于一过 f 二，画了一条直线 l， 然后它和 c 呢，交于 a b 两点 与 y 轴交于点 p 啊，下面这里有个点 p， p 在 e 的 下方的话，待会这个直线就会有一个要求， q 为点 p， 关于圆点的对称点 q 在 上边， 然后 q b 交 x 轴于 r， q b 一 连交 r， 是 否存在直线 l 使得 q r f 二 a q r f 二 a 啊，就是点的这四个红点啊，共圆，如果存在的话，判断直线的 l 的 条数不存在，说明理由， 那我们直接设这个直线 l， 然后把这个 l 求出来有几条，那这样的话答案就是几条，那我们主要是要表示这个四点共圆这个条件。四点共圆的话，我们刚才说了，就是正他的对着的这个角就可以，就是正这个角跟这个角正这两个角相加等于一百八， 也就是角 a q r 和角 a f 二 r 啊，等于 pi 加起来，那这个时候我们就可以转换成 tangent 啊，就是 tangent a q r 等于负的 tangent a f 二 r， 那 这样的话 tangent a q r a q r， 它是这样的啊，这个是 q， 这个是 a， 这个是 r， 这个角度 theta 跟上面这个角度 theta 是 一样的，那我们就可以用 a q 直线的这个角减去 q r 直线的这个角，那这样呢？但是 q r 呢？也是 q b， 那 这边呢？就可以写出来这个角，然后下面这个角呢是这样的， 这个点是 a， 这个点是 f， 二，这个点是 r， 这个角 tangent 啊，前面加一个符号，那就跟下面这个角的 tangent 是 相等的，所以我们这直接写 k a b， 那 我们的等量条件呢，就已经有了，就是列这个式子就行了。 那我们接下来呢，先连立出伟大定律，然后出这个 y 加 y 和 y 乘 y 二， 这个角度加起来等于派，然后这两个 tangent 啊互为相反数，然后得到我们刚才在草纸上推的这个结论啊，就是你在试卷上写的时候，得这样正着去写， 那这个 k q a k q b 啊，还有这个 k a b 直接带就行了，你看这个式子， k a b 直接带进来，然后 k q a 这个 q 的 话，就是这个 p 点， p 点坐标就是零啊，负二，那这个 q 点坐标就是零二呗，那这个坐标呢，就是可以直接写的， 嗯， x 等于啊，不对，这个应该是 m 分 之负二，这个上面应该是 m 分 之二啊，这 q， 那 我们带完之后呢，就可以整理出来这么一个式子， 然后题目说了一下这个，这是后边有整理的一下，这个是等于零，然后后面说 p 在 e 的 下方，那这样的话，也就是说这个 m 分 之负二是小于负二的， 那这样的话，这个就会得到一个 m 的 范围是零到一。这个题目让我们判断的是条数啊，它并没有让你求等于什么。 那我们刚才也说了，这个设了一个直线，这个直线解出来有几条就是有几条，那也就是说我们现在要判断的是这个式子等于零的 m 有 几个解啊？有几个解就有几个答案。这个式子呢比较复杂啊，直接看看不出来，所以我们就直接对它求导就可以了，构造一个函数 f m， 然后对它求导，求完导之后呢，这个导数是这样的，它是大于零和一吗？零的时候带进去 是趋近于富无穷的，一的时候带进去是二，二是大于零的富无穷，这大于零啊，所以这样合起来它就会有一条。这个就是角度的一些翻译。 接下来我们说解析几何的定值问题。第一种呢就是题目说什么，你写什么，然后经过化简计算，它直接就是一个常数，这种呢最好了。 第二种呢，就是你化简计算完之后呢，它还有字母啊，当然这个时候我们看它这个形式啊，是整式还是分式啊？两种情况。如果是整式的话，比方说 m 加二，括起来 k 加三啊，这个式子它是一个定值，那这样的话，变量如果为 k， 那 变量的系数就得为零，也就 m 加二等于零， m 等于负二。 那如果它是分式的话，你看分式，因为我们作尾答定理吗？它经常会出现这种形式，比方二 k 方加一，上面是 m 加二，括起来 k 方，然后再加三， 然后这个式子为定值。如果我们现在只让上面这个 m 加二等于零，呃，下面这个二 k 方加一呢？ 它这个 k 变仍然会影响啊。所以说分式为定值的话，我们一般让对应的比对应部分乘比例，就是让 m 加二比二等于三比一，也就是说让上面是多少倍的二 k 方加一，然后把它约去啊，是这个意思， 那我们来看一下具体的例题。这个还是椭圆的表达式啊，就是九分之 x 方加外方等于一，然后他说在 x 轴上是否存在一个定点 t， 使得 ta 向量点成 tb， 向量为定值，呃，然后这个 ab 啊， ab 是 过 f 一 的直线啊，和椭圆交于 ab 两点，那这样的话很明显啊，就直接连立就可以了。那我们先说这个斜率存在的时候，然后 ab 的 直线呢，就是 y 等于 k 倍的， x 加二，倍根号二， 然后连立连立出来，整理出来一个伟大定律，然后 x 一 加 x 二和 x 一 乘 x 二， 那我们设这个 t 的 坐标就是 t 零呗，那我们 t a 向量点成 t b， 这样代就可以了，然后经过整理呢，整理出来这么一个分式， 这么一个分式的话，你看它这个分母，分母是九加九， k 方加一。上面整理出来，前面这个是 k 方，后面这个是常数，那我们只需要让 k 方的系数 比和常数比相等就可以了，那这样的话就算出来这个 t 呢，等于负的九分之十九倍的根号二啊，这样就做完了啊，这个就是分式为定值 解析几何里边的直线过定点问题。我们一般呢就是先设直线 y 等于 k， x 加 m， 然后求 m 和 k 的 关系， 如果求出来 m 等于一个常数，然后三它过定点呢，就应该是零三 m 如果等于 k 的 一次函数，然后三 k， 它过定点呢，就应该是负三零 m 如果等于 k 的 一次函数，三 k 加二，它过定点呢，就是负三二。 所以我们直线过定点的目的啊，就是通过化简约分得到 m。 关于 k 的 一个表达式啊，一般就是一次函数。 那我们来看这个题目啊，直线的方程被这个椭圆的方程呢，是四分之 x 方加 y 方等于一，然后直线 l 不 经过 p 二啊，也就是说 与椭圆 c 相交于 ab 两点 ab， 然后这里有一个 p 二， p 二 a 与 p 二 b 斜率和为三。试问这个直线是不是过定点啊？若过定点的话，求出来定点坐标， 那我们刚才说直线过定点，我们就直接设这个直线 y 等于 k， x 加 m 就 行了， 然后把它连立啊，整理出来一个二次方程，写尾答定里，然后呢把这个等量关系写上，就是 pa 加 pb 等于三。 那这样的话整理出来一个二次函数，整理出来一个就是这个代换的表达定例，然后直接把它带进去啊，就可以解出来， m 等于三分之二， k 减一，然后再给他带到圆直线里边。你看通过这个就可以看出来，它过定点应该是呃负三分之二，呃负一， 这样就做完了，也就是直线过定点，我们只需要设 y 等于 k， x 加 m， 然后求 m 等于 k 的 关系就行。 另外一个就是圆过定点，圆过定点的话，这个就比较麻烦了啊，所以我们一般不通过这个表达式去出，我一般就是先猜后正啊，先找两个特殊位置，一般呢就是找对称的，画两个圆， 然后画完圆之后呢，找到它的焦点，它的焦点呢，就是这个定点。比方说先画两个圆啊，这两个圆有个焦点 p， 那 我们接下来呢，就正这个 p 点在圆上就是 p a 向量点乘 p b 向量正，它等于零就可以了。那这个 或者写这个圆的直径是 x 减 x 一 乘以 x 减 x， 二 加上 y 减 y 一 乘以 y 减 y 二，括起来等于零，但是这个式子也不太好写啊。圆过定点的话，一般推荐这个第一种方法就是先找一个特殊位置，把这个定点猜出来，然后再正这个点在圆上。 解析几何里边有一类这个双切问题啊，就是过一点做圆或者椭圆的两条切线。那我们来看一下这类题应该怎么做。 这个题的话，椭圆的方程啊，这给了就是四分之 x 方加外方等于一，然后过点 a 做这 a 的 话就是上顶点啊，零一做圆， 它的两条切线啊，分别于椭圆 c 交于 b、 d 两点，然后当这个 r 变化时，求直线 b、 d 是 否过定点？ 那这样的话，我发现过 a 点做的两条切线啊，他应该是存斜率，是存在一个关系的，因为如果你 ab 直线确定了，那这个圆的半径呢，也就确定了，所以这个 a d 直线呢，也就确定了， 那所以我们第一步呢，就是先找这两个斜率的关系，那这个时候我们先设切线啊，就是你别说设谁，你就直接设过 a 点的切线， y 等于 k， x 加一， 然后呢你来表示这个和圆相切的一个等量关系啊，就是圆心到直线的距离等于半径， 这个时候呢，你整理出来一个二次方程，这二次方程啊，它是关于 k 的， 那这个时候 k 呢，就会有两个根，这两个根分别就是 ab 和 ad 的， 所以我们就可以得到 k 一 乘以 k 二啊，等于一，当然是因为这个 k 一 加 k 二，它没有这个固定的关系，所以就没写啊，就是用不到 k 一 乘 k 二是等于一的，这个关系比较特殊啊，所以我们要用它。那接下来呢，我们就设 b d 直线， b d 直线的话跟它连立，连立完之后，整理出来一个二次方程，就会出来这个尾答定律， x 一 加 x 二和 x 一 乘以 x 二，然后根据我们刚才写的这个 k 一 乘 k 二，其实就是 k a b 啊，乘以 k a d 等于一，代入这个尾答定律。 呃，然后再整理就会求出来， m 等于负三分之五， m 等于负三分之五的话，结合这个啊，就可以求出来这个直线过定点是零负三分之五啊，这个就是双切的一个问题。 然后就是同构，同构用的最多的呢，应该就是写几点几线的时候， 我们比较基础的就是过一个点，过椭圆上一个点做切线啊，这是 x 零 y 零，那它切线方程呢？就是 x 零， x 比 a 方，加上 y 零， y 比 b 方等于一。 然后我们还有一个说法，叫做几点极限啊，就是过椭圆外一点做椭圆的两条切线，然后这是 a 点，这是 b 点，然后连 ab 求这个 ab 的 直线方程， 这个 p 点是 x 零 y 零，然后它也是这个 x 零， x 比 a 方，加上 y 零， y 比 b 方啊，等于一。那它这个怎么求的呢？我们先设 a 点是 x 一 y 一， b 点是 x 二 y 二， 然后这样的话， pa 的 直线方程就是 x 一， x 比 a 方加上 y， e， y 比 b 方等于一。 pb 的 直线方程啊，就是 x 二， x 比 a 方，加上 y 二， y 比 b 方等于一。 然后把 p 点代入，就是 x 一 x 零比 b 方等于一，这的话就是 x 二， x 零比 a 方， 加上 y 二， y 零比 b 方等于一。然后通过这两个式子作比较，我们发现这个 x 一 x 二， y 一 y 二啊，是变的，所以我们把它变成一个 x， 就是 x， x 零比 a 方加上 y， y 零比 b 方等于一， 那 a 点在这个直线上， b 点也在这个直线上，那也就说明 a b 的 直线方程啊，就是上面这个式子，这是通勾的，一般的一个想法。 通勾，这里有一个比较典型的例题，涉及到这个三角形的外形，我们先看一下这个题目啊，就是 椭圆的标准方程是这个九分之 x 方加八分之外方等于一，然后这里有一个点， c 是 负三零，然后 d 点呢，是二零过 d 的 一个动直线与曲线 c 交于 m n 两点， 然后三角形 c m n 的 外心是 q， 我 们平时做题一般做的都是那个重心啊，很少做这个外心的。 o 为坐标原点，然后问你直线 o q， 然后与直线 m n 的 斜率之积是否为定值，也就是说我们现在应该要求一下这个 q 点，如果是定值，求出定值，如果不是的话，说明理由。 那好，那我们看啊，就是这个外心，它是垂直平分线的交点，你看这垂直平分线，呃，再连一个 c m， 再连一个 c n， 在 解析几何里边表示这个垂直平分线的话，我们需要知道终点， 然后的话，呃，再写这个，反正就是比方说 c m 吧，就是跟 c m 垂直的一个直线啊，这个反正写出来就不太好写，所以我们的一个想法呢，就是找这两个直线的时候，找这个 c m 和 c n 啊，因为它们俩是有一个对称的结构， 不找这个 m n 啊，虽然我们做题的时候会先设这个 m n， 但是我们不找它，我们看一下这个题目啊，就是先设，嗯， m n 的 直线 x 等于 m y 加二， 因为我们待会要设的是这个 m n 的 斜率和 o q 的 斜率，所以说这个 m n 的 斜率呢，是 m 分 之一啊，待会记着 连累这个方程，然后整理出来， y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后 c m 的 终点我们就可以写了，就是二分之 x 一 减三和二分之 y 一， 然后 c m 的 斜率啊，也可以写，写完之后呢，就是写这个 c m 的 垂直平分线， 这个点差啊，直接写就行了。整理一下，就是 y 等于这个是 k， 然后 x 减后面这个，那 c m 的 垂直平分线，如果是这样的话， 那 c n 的 垂直平分线呢？同理可得啊，直接把 y 一 换成 y 二就行了。然后我们现在呢，相交于 q 点，也就是说 q 点啊，可以代入这两个方程啊，其实就跟那个极点极线的那个写法是一样的， 带完之后呢，我们就会发现 y 一 y 二呢，是这个方程的两根。你看这个式子，就是把这个 x 就是 把这个 x 换成了 x 零， y 换成了 y 零，然后这不是 y 一 y 一 y 二 y 二，然后这个吗？然后我们就把这个换成了 y， 你看这个式子啊，也就是说下面这个式子里边，这个 y 一 带进去是对的， y 二带进去也是对的。那这样的话，我们一整理它就是一个关于 y 的 二次方程，并且呢，这个 y 一 y 二啊，就是它的根。 那这个时候呢，我们就可以得到 y 一 加 y 二啊，应该是等于这个式子的。而上面这个 y 一 加 y 二呢，也有啊，所以他们俩就相等， y 一 乘 y 二等于八十 x 零。上面这个 y 一 乘 y 二呢，也有啊，所以他们俩也相等带进来。 带进来之后呢，你看我们让这两个啊，让他去做一个比一做比的话啊，就会得到这个式子 五分之四 m 零对，五分之四 m， 然后再整理一下呢，就是这个 x 零 就 s 分 之外零就等于负五 m， 然后这个 s 零分之外零，不是刚好就是这个 k k o q 吗？我们这个题目就是让你求这个 k o q 乘以 k m n k m n， 我 刚才说的是 m 分 之一啊，这个是负五分， 负五，然后乘的话就等于负五就结束了啊，这个象形的外心还是见得非常少的啊，他就用这个同构去做，那这还是挺难的， 我们这次讲的呢，是非对称表达定理的处理方法。非对称表达定理呢，一共有三种处理方法啊。第一种呢，就是用曲线代换啊，当然呢，他有一个要求啊，就是这里必须是 x 一 加 a， 这边呢是 x 二减 a， 然后这样的话，我们上下同乘一个，这个 x 二加 a， 那 这样的话我们就可以得到 x 二的平方减 a 方，然后呢就可以代换成这个式子，负的 b 方分之 a 方， y 二的平方， 这样的话，下面这个 y 二跟上面这个 y 二就消了啊，所以呢，我们就可以得到负的 b 方分之 a 方 y 二，那跟前面这个 y 一 交叉， n 倍的这个 x 二加 a， 跟这边这个 x 一 加 a 交叉，嗯，这样的话就又能做了。 第二种方法呢，是这个乘法转换加法，那这个时候呢，我们写完未答定义之后，先让他们俩比一下啊，得到一个值，那这样的话，这个 x 一 乘以 x 二，就等于 m 倍的 x 一 加 x 二，那也就是说把这个乘法呢直接转换成加法。 第三种呢，就是题目给了一个大的分式，并且他说这个分式是定值，那这个时候呢，我们就可以根据一个就是已知结果是定值了，所以说 上面这有一个 n 倍的 y 一，下面有一个 s 倍的 y 二，那这个时候我们让它凑成伟大定律，也就是说上面直接给它写成 y 一 加 y 二，那就像是多了一个 n 倍的 y 二，那你后边呢，就得减去一个 n 倍的 y 二，因为它是定值 啊，因为前半部分啊，就是伟大定律代换了，这有一个负 n 倍的 y 二， 题目说了，这个式子是被定值了啊，你没有办法，所以他必须得消去啊，所以结果呢，一定是负的 s 分 之 n 啊，这个呢，是需要有一个提前知道的结果。 好，那我们现在讲的这个例题呢，是第一种方法对应的啊，这个曲线代换，看这个题目啊，已知一个椭圆，并且还知道了 p 点零一， ab 呢，为椭圆的左右顶点， 过 a 点作斜率为 k 一 的直线，交椭圆于 e， 连接 e p 并延长交于 f， 然后直线 b f 的 斜率为 k 二，告诉我们一个 k 一 等于三倍的 k 二啊，让你求 直线 ef 的 方程。那我们先来把这个图画一下，首先就有一个椭圆，然后题目给了一个 p 点零一，嗯，左右顶点 ab， 过 a 点，做了一个 k 一 啊，斜率为 k 一 的一个直线，它和椭圆交于 e 点，然后我们再把这个 e p 延长交于另外一点的 f， 再连这个 b， f 是 k 二，然后 k 一 等于三倍的 k 二。求直线 ef 的 方程，其实就是求直线 ef 的 k 呗， 所以我们考虑的话，直线 ef 呢，它是过定点零一的，所以我们设 ef 的 直线方程，跟椭圆连立啊，就可以得到 e 点和 f 点，然后呢，再表示这个 a e b f 的 斜率啊，也就是这个 k 一 等于三倍的 k 二，这样的话就可以得到一个等式了啊，这个等式里边未知数呢，只有 ef 的 斜率啊，就能解出来。 好，那我们来看这个过程啊，首先呢，就是先设这个 e f 直线啊， e 点 f 点坐标，然后把这个椭圆跟直线连立，连立完之后呢，整理出来一个二次方程，这二次方程呢，有伟大定律， x 一 加 x 二， x 一 乘以 x 二， 然后因为 k 一 等于三倍的 k 二，那我们就可以直接写了。前面这个式子是 k 一 等于三倍的 k 二，那我们发现下面是 x 二减二啊，所以我们就处理它都成一个 x 二加二， 那这个式子的时候呢，就变成了 x 二的平方减四呢，又可以写成负二倍的 y 二的平方啊，因为这个 x 二的平方比四，加上 y 二的平方比二，应该是等于一的两边都乘四，那 x 二的平方减四，就会等于负二倍的 y 二的平方，这样带的， 这样带完之后呢，跟上面这个 y 二就消了啊，消完之后就可以得到后面这个式子，那这样的话还是这个负的 y 二，负二倍的 y 二，那把这个擦一下， 这边这个负二倍的 y 二啊，跟前面这个 y 一 乘，这个 x 一 加二，跟三倍的 x 二加二乘，这样的话，我们就可以得到一个式子啊，负二倍的 y 一 乘 y 等于三倍的 x 一 加二乘以 x 二加二， 这样的话，我们就把这个非对称表达定律啊，它这个系数不相同，给它转变过来了啊，用的是曲线代换， 那在知道的这个前提下呢，我们再直接代换伟大定律啊，就可以得到这个式子， 这个式子呢，解出来两个 k， 那 k 等于一和二分之一，这个二分之一是可以舍去的啊，这个舍去的过程我就不写了，这有点麻烦。然后所以这个 e f 的 直线方程就是 y 等于 x 加一，嗯，这个是处理非对称伟大定律的一种方式啊，就是曲线代换。 今天我们来讲其次话啊，一个在特定情况下特别好用的一个方法，那它处理的呢，一般是斜率相乘啊，或者相加，当然我们平时做题遇到斜率相乘或者相加还挺多的，所以这个其次话呢，还是有比较学习一下的。 我先举一个例子啊，就是它问题的形式，如果是 y 一 减 s 比上 x 一 减 t 啊，乘以 y 二减 s 比上 x 二减 t 的 话，你看这个就是两个斜率相乘啊。如果是这种形式的话，那我们可以考虑，如果把 y 减 s 比上 x 减 t， 这个式子，如果作为一个整体的话，那上面这两个量明显就是这一个二次函数的两个根啊，所以我们只要找到这个二次函数就行了。 那我们高中呢，要什么东西啊，我们就自己拿就可以了啊。我们这个时候呢，先改椭圆，因为我们要的是 x 减 t 和 y 减 s 嘛，所以我们就直接改，改成 x 减 t 再加 t， 改成 y 减 s 再加 s 啊，就硬拿。 这个时候呢，直接展开，展开之后啊，你看把它整理一下，你就发现这个是平方向，但是这个呢是依次向，后面呢是常数向。 那这个时候呢，好像不太行啊，因为如果都是二次项的话，你看如果都是二次项，我们做一个除法啊，同除这个 x 减 t 括起来的平方， 如果都是二次项的话啊，就可以，但是你像现在呢，他都是有二次的，有一次的啊，也有常数项，那怎么办呢？就得靠这个直线了啊，我们把直线也写出来，直线也是啊，我们要什么就还是硬拿，呃，就 x 减 t 和 y 减 s， 然后我们把这一部分，因为这个直线这个方程不是等于一吗？然后我们把这两部分给它相乘， 那这个时候乘出来之后呢，他就是一个二次的长竖向这部分呢，你把这个直线，因为直线这不等于一吗？你把它平方，然后再跟他乘， 那这样的话也就会变成二次的。但是这个就比较麻烦了，我们高考里面出的很多题，还有模拟题啊，这个长竖向这部分啊，一般都是零。那我们再来看一个例题， 现在有一个双曲线啊，二分之 x 方减 y 方等于一点 a 呢，是二一直线和双曲线交于 p q 两点啊，求这个已知的是 k a p 加 k a q 等于零，求直线的斜率。 那我们看题目要求的结果呢是 y 一 减一除以 x 一 减二，加上 y 二减一除以 x 二减二等于零，他呢非常符合这个奇次化的形式，跟刚才说的哎，一模一样。所以呢，我们就来上手了，还是要什么直接拿，嗯， 我们要 x 减二来了啊，要 y 减一啊，也来了，那这个直线呢，仍然也是减二减一，那我们把这个 曲线啊，先整理一下，曲线整理完之后呢，我们就发现后面这部分是一次的，你看前面这部分是二次的，那我们就把后面这部分， 你看把后面这部分和这个直线相乘，因为这个直线是等于一嘛，所以它成了之后呢，应该是不动的，那这样的话把它再一整理， 你看这个时候呢，就都是二次的了，那都是二次之后呢？方方程两边同时除以这个 x 减二的平方。 好，那这个时候呢，他就可以换成这样啊，同除 x 减二的平方吗？那我们就发现这个， 你看他现在就作为一个整体的变量了，那二次函数的两根啊， x 一 加 x 二， 用尾答定律啊，就可以直接表示出来，然后它是等于零的，它如果等于零的话，那也就是上面这个四 n 减四 m 等于零，也就是 m 等于 n， 就 可以求出来这个 k 等于负一。 这个题次化唯一不好的就是他没有解答定例那一步，也就是说高考的时候呢，要不然你就做对，要拿一个满分，如果你结果错了，过程分可能得不到，所以我一般不太建议我的学生用这个题次化。 今天我们来说的是仿设变换啊，做解析几何题的时候啊，有的时候比较复杂，然后经常会看见有人说这个仿设变换可以直接秒， 那我们今天呢，就来讲一下这个放射变换是个什么意思。当然呢，这个放射变换呢，我是不建议考试的时候用的，我们来看一下它具体的一个过程。 放射变换的话，就是有一个椭圆，那这个时候呢，我们给它做一个伸缩变换啊，变成一个单位圆，因为这个椭圆的话， 哎，他不就这样有点扁吗？然后我们给他 x 方向和 y 方向啊，分别都缩小 a 倍和缩小 b 倍，那这样的话，我们就可以把它缩成一个圆了，那这个时候我们只要能找到先后的这个顺序， 先后的这个性质啊，这样的话我们就可以把这个椭圆的各种的问题转化成圆的各种问题，而圆的话就会比较好做 变换。前后的点呢，我们前边就是 ab 啊，后边的话就是 a 撇和 b 撇，斜率就是 k 和 k 撇， a o aob 的 面积啊，就是 s 和这个 s 撇， s 撇都是变换之后的第一个性质呢，就是它这个斜率 k 等于 a 分 之 b， k 撇啊，也就是 k 比 k 撇等于 a 分 之 b， 因为它我们这个变的话，它数值方向啊，变 a 倍，水平方向变 b 倍，那数值方向如果变的话，它相当于是在扩大，然后水平方向变 b 倍的话，它相当于是在缩减， 因为它是一个除法嘛，斜率啊，是数值的除以水平的，它虽然都是扩大的一个倍数，但是反映到这个 k 方面啊，数值方向这个扩大的倍数 就是这个还是这个倍数，然后水平方向扩大的这个倍数就应该是它的分之一 面积面积，这个呢就是啊水平方向和数值方向的放缩，那这个的话就是直接乘起来啊，因为面积嘛，就是底乘高， 那他这个高放缩的倍数和这个底放缩的倍数直接乘起来就是结果。还有一个就是长度啊，这个长度的话就需要记一下，让他不太那么正常。 还有一些就是位置关系啊，就是三点共线啊，直线的平行啊，还有这个直线和椭圆的关系啊，就是相交啊，相离啊， 还有这个相切啊，就是原来如果是这个关系，他放缩成这个圆之后啊，还是这个关系，还有这个直线的等分点，比如三等分点，二等分点，这个三角形的四心，然后就是变完之后，这个东西还是 就是还是在那个位置线段的笔直，也就是说如果你求的是两线段的笔直啊，在椭圆里边，然后当你放缩成这个圆之后啊，它仍然是一个笔直，就这个笔直是不变的 面积的比值，也就是说你求的是在椭圆里边一个面积的比值，然后你放到圆之后，直接求在圆里边对应的比值就可以，这样的话操作就会简单很多。 我们看这个题，有一个椭圆啊，动点 p 满足 o p 向量等于 o m 向量加二倍的 o m， o n 的 斜率之积为负二分之一， 然后存在问你存不存在两个点， f 一 f 二，使得 p f 一 加 p f 二为定值，那 p f 一 加 p f 二定值的话，那这个 如果有一个 f 一 有 f 二加起来还是定值，那他显然应该就是一个椭圆啊。如果是椭圆的话，那其实就是求这个 p 点的轨迹嘛。好，那我们看这个我们的求法，我们就求 p 点的轨迹方程就可以了， 那我们先把它做一个这个反射变换， x 撇等于二分之 x 啊， y 撇呢，等于根号二分之 y 啊，就是一个是 a， 一个是 b 嘛。然后大家往这一带啊，就是 四 x 方被四， x 撇平方比四加上二倍的 y 撇的平方比二等于一，那这样一整理的话，就会变成这个了，那 s 撇平方加 y 撇平方等于一，这个呢，就是一个圆，然后呢，这个 m n p 点坐标啊，分别也变一下， 变完之后呢，这个 k o m 啊，乘以 k o n， 这个斜率原本等于负二分之一，当我们变完之后呢，它应该就等于负一了啊，就是我们刚才上面那个性质， 那相乘等于负一的话，也就是说 o m 撇和 o n 撇，它应该是垂直的，那它垂直的话， p 撇 p 点这个啊，这应该是 p 撇， p 撇坐标呢，设成 x 撇 y 撇，然后 n 撇坐标直接用三角代换，三角代换的话，这个是阿尔法，嗯， 椭圆里边，这个，你看椭圆里边，如果你设这个点坐标的话，参数方程它是 a 位的 cos 尔法， b 位的萨尔法，这个阿尔法呢，不能代表这个角度啊，就是这个角度不是阿尔法， 但是如果在圆里边的话，你看这个点坐标，如果是 r cos 尔法啊， r 萨尔法，这个阿尔法呢，就代表的是这个角度。 好，那因为它是九十度的话，所以我们这个 m 撇对应的坐标呢，就可以是 cos 阿尔法加二分之派和这个 cos 阿尔法加二分之派。 诱导公式啊，把二分之派去掉，负的 cos 阿尔法， cos 阿尔法，然后再利用这个 op 向量啊，因为它这个 项链嘛，其实放松完之后，它是关系是不变的，那这个屁撇呢，就可以得到二倍的 cosine 法减 cosine 法和二倍的 cosine 法加 cosine 法。 这个时候呢，我们直接把它们两个平方加起来，就发现它等于五，也就是说这个屁撇的轨迹呢，是一个圆啊， s 撇的平方加 y 撇平方等于五， 那我们放松的时候，就是你看这个经过仿设变换之后，圆题目的椭圆就仿设成一个圆了啊，也就是说如果我们再变回去的话，这个圆呢，也会变成椭圆，那这边这个圆他仿设变换回去也会变成一个椭圆， 那反射变回去之后呢，就可以变成这个就是屁点坐标，二十分之 x 方加十分之 y 方等于一，也就是说存在的这两个点呢，就是它的焦点啊，这样就可以了，反正这个反射变换呢，就是 把这个椭圆直接按倍数给它变了就可以啊，变成圆，然后这里边的各种性质呢，就直接， 嗯，把这个背一下就可以，像这种各种性质。当然考试的时候呢，其实就正常做就行，这个不太建议用。 今天我们来讲一下这个几点极限，在做解析几何大题的时候有什么用？嗯，几点极限这个东西呢，它其实是一个二级结论，但是很多人呢，总是说，哎，这个几点极限记了也没有用呀，对吧？啊？在大题里边也不能直接写， 那我们今天呢来展示一下这个几点极限，记住之后呢在大体中的作用。首先呢就是这个几点极限的定义， 这个啊应该很多人都没有问题啊，这如果不太清楚的话，可以去看一下我写的那个圆锥曲线的二 g 结论啊，那个里边有证明，就是你果椭圆 y 一 点， p x 零 y 零，嗯，做椭圆的两条切线， p a p b， 然后把这个 a b 连起来， a b 的 直线方程呢，就是这个，呃，就是换一半啊，其实跟那个切线的规律是一样的，当然这个 p 点如果在椭圆内啊，也是一样的，过 p 点做一根弦，然后这两个弦的端点呢，是 a 和 b 过 ab 分 别做切线，那这个时候呢，他这个切线啊，就会有一个焦点 m， 然后这个 m 呢在定直线上，这个直线呢也是啊，这个换一半的规律， 大家首先呢得先明白这个，然后呢就是得明白一个字集三角形啊，大家可以暂停把这个定义看一下，然后呢我来解释一下啊，这个怎么理解？ 考试的时候呢？呃，我们自己三角形的理解呢，就是任意一个四边形啊，就任意找一个四边形， 这个的话就是 abcd， 然后这个四边形呢，对角线连线会有一个交点，你看就是这个 p 点，然后这个边的延长线啊，也会相交 m 点和 n 点，然后这个时候呢，这个 这三个点构成的三角形呢，叫自极三角形，也就是说 p 点它所对应的极限呢，就是 m n， 然后 这个 m 点对的极限啊，就是 p n， 也就是说，如果你知道了 m 点的坐标，那 p n 直线的方程呢，你就能写，如果你知道了 p 点的坐标，那 m n 直线的方程你也能写好。 那我们来看这个题目啊，这是我们的一道模拟题，大家可以先看一下题， 他说呢，有一个椭圆 e， 它的 ab 呢是左右顶点啊，然后点 m 大 m 小 m 零，与椭圆上点距离的最小值为一，那这个的话，求这个小 m 的 坐标是很容易求的，就是三零， 然后主要是第二个过这个 m 做一个直线 l 交椭圆 e 于 c d 两点，然后连接这个 a， c， b， d 交于点 g， 证明啊，这个这点在定直线上，那正这点在定直线上的话，其实我们就是成求这个这点的横坐标 x 跟他的纵坐标 y 之间的关系。 那我们先画一下图啊，有一个椭圆，还有一个 m 点过 m 的 拉直线 c、 d， 然后把这个 a、 c 和 b、 d 连起来，相交于点 g。 那我们做题的思路呢，也很简单，就是先设过 m 的 直线 c、 d， 然后连立出伟大定律。第二个呢，就是直接写直线 a、 c 和 b、 d 啊，两点式写就可以了，相交呢，得到 g 啊，也就是说这两个式子呢，连立 好。第一个呢，就是先设这个直线方程，然后椭圆跟直线连立出伟大定律 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后呢再写这个 a、 c 直线，再写 b、 d 直线。好，那接下来应该怎么办呢？ 嗯，其实接下来的话，就应该求这个这一点的横坐标啊，跟这个这点纵坐标。那这个时候呢，我们发现这个 a、 b、 d、 c 这四个呢，可以构成一个四边形，而且这个 m 点是边长的延长线，这个这点呢，也是一个边长延长线啊，所以也就是说， 嗯，哎，这个点是 c， 这个点是 a， 这个点是 b， 这个点是 d， 这是 m， 然后这是 j， 也就是说这个 j 是 边长延长线的交点，这个 m 呢也是，那也就是这个 j 呢，应该在 m 点对应的极限上， 这应该在 m 点对应的极限上，对吧？因为那个自极三角形嘛，那这个 m 点对应的极限，我们代入啊，就是三 x 比四加上零 y 比啊，没有 等于一啊，也就是解出来这个 x 呢，应该是等于三分之四的，也就是说我们现在知道这个这点，他所在的直线啊，应该是 x 等于三分之四，也就是说你求这个这点的横坐标啊，他应该是横成立的啊，所以这个式子 我们让它外相等，这样就能解 x 了啊，也就是说我们让它外相等，也就是这个式子等于这个式子啊，这个式子不就是用来求 x 的 吗？然后我们就可以直接得到 x 等于三分之四， 这样的话你就可以得到满分。当然如果你这个有时间比较多的话，你可以在这一步啊，把这个 x 整理一下，然后把尾答定里带入一下，这样的话这个估计更能得满分， 可以吧，就是说这个字迹三角形和几点极限记一下还是非常有用的。 关于这个调和点列的知识啊，我想把它分成三部分来说，第一部分就是这个调和点列和这个阿是圆，那第二部分是这个调和点列和这个几点极限啊，这个也是考试中考的最多的。 第三部分呢是这个调和线数与自极三角形，这个的话就比较难了，如果知道这个结论的话，将会做的特别好做，如果不知道一般呢也就做不出来了。我们这一次呢，先看第一部分啊，就是这个调和点列和这个 r 是 圆。 先看这个调和点列的定义啊，就是对一个给定的线段 a、 b， 他 有一个内分点 c 有 一个外分点 d， c， a 比上 cb 等于 d， a 比上 db， 那 这个时候呢，这个 a、 c， b， d 四点就构成一个调和点列， ab 叫做基点啊，也就是说 开始的两个点先给出来 cd 呢，叫做内外分点，画图的话就是这样画，就是 ab 两个点先给了固定，然后出来一个 c， 出来一个 d， c， a 比 cd 是 一样的。 那到这的话，我们就会想到这个 r 式圆的定义， r 式圆的话就是有一个线段 a b c 点呢，是动的，然后 ca 到 c b 的 比值是定值，那这个时候的话，如果我们放在这啊，就是 ca 比 c b 等于 k， 那 这样的话，它就是 r 式圆，对吧？它如果是 r 式圆的话，那你看啊， 和我们这个题的定义是很像的，因为它如果是 r 是 圆的话，那我们画出来图，就是有一个 ab， 两点是固定的，然后这个 c 呢，到 ab 的 距离比为定值，然后 c 点啊，它的轨迹是一个圆，这样一画，那这个圆呢，就会跟 a b 这两点有两个交点啊， c 一 和 c 二，那这个 c 一 呢，是符合 a c 一 比上 b c 一 等于 k 的， 那 c 二这个点也符合 a c 二比上 b c 二等于 k， 那 这个式子的话，它不就是这个调和点列吗？ 这个呢，是比较简单的一个，那我们看一下这个类似的题，有一个三角形 abc， 然后这个 ab 等于六，有一个边长 ac 等于二倍的 bc， 求这个三角形面积的最大值，那这样的话，也就是说 ab 是 定的， c 是 一个动点，那我们就找这个轨迹呗，那由 r 是 圆可知呢？这个 c 点的轨迹为一个圆，那如果我们画图的话，它就是这样的，那这个时候呢，这个圆和 ab 就 会有两个交点， c 一 和 c 二， 那这样的话，它 a c 一 bc 二，它是一个调和点列，所以呢，它就符合我们这个规律，也就是说 a c 一 等于二倍的 bc 一， 那这个时候我们就可以解出来这个 bc 一 等于二，那同时 a c 二呢，也等于二倍的 bc 二，就可以解出来 bc 二等于六，那这两个联合起来，就可以解出来这个 c 一 c 二的长度啊，就是八，也就是说这个二 r， 那 也就是说半径啊，这个半径这个高 是四啊，最大的时候，所以这个面积 s 就 等于二分之一，乘以底乘高就算出来最大值了。那这个是做题的时候考试的一般就是填空选择会出的 这个是调和点列，和这个 r 是 圆啊有关的一个知识，那我们如果想学好这个调和点列的话，还得了解一下它的几个性质啊。第一个呢就是调和性， a c 分 之一加 a， d 分 之一等于 ab 分 之二，那这个呢是得背一下的 共恶性，也就是说如果你正着说 a， c， b， d 是 调和点列的话，那你反着说 d， b， c a 也是调和点列，那这样的话它也符合这个调和性这个等式。 第三个的话就是啊，这个不是调和性，就是 ab 的 中点为 m， 然后这个 m a 的 平方等于 mc 乘以 m d 啊，这个也是就背一下就行。 c d 的 中点为 n， 就是 反过来吗？ n c 的 平方等于 n， d 的 平方等于这个 na 乘以 nb。 我 们今天来说的呢，是这个调和点列和极点极线相结合的时候啊， 那首先呢就是这个调和点列，我们在上一篇已经说过了他的定义，那如果他和几点几线相结合的话，首先就是这个椭圆外有一个点屁，然后我们过这个屁点呢 拉一根弦，那这样的话他和这个椭圆就会交于 ab 两点，然后这个上面呢？ q 啊， q 是 怎么产生的呢？就是做 p 的 极限，然后这个 p 的 极限呢，会跟这根弦相交于点 q， 那 这样的话，这个 b q a p 啊，就是一个调和点，调和点列，那 同样啊，就是如果我们这里已经有一个 p 点了，然后我们先找到它的极限，这个时候呢，我们过 p 点再做一根啊，这个椭圆的弦相交于 ab 两点，那这个时候呢，和极限啊，也会交于点 q b q a p 啊，也是一个调和点列， 这个呢是它的两个性质，那我们来看这个题目啊，这里已知有一个椭圆，四分之 x 方加二分之外方等于一过这个 p 点四零的动直线 l 和 c 交于不同的两点 a b， 在这个线段 a b 上呢，取一个点 q， 它满足的呢是 a p 乘以 q b 等于这个 a q 乘以 p b， 证明这个 q 点总在定直线上。那如果我们画一下图的话，它的图像大概就是这样的， 所以我们可以看一下它符不符合这个调和填列，那也就是说把这个已知条件给它变一下，变成这个 p a 除以 p b 啊，就等于这个 q a 除以 q b， 这样一比的话，我们就发现它应该是符合这个调和点列的，也就是说这个 q 点呢，应该在 p 点所对应的极限上啊，也就是 x 等于一，那也就是说呢，这个 q 点 最后要求的结果就是在定直线 x 等于一上。那我们接下来呢，就是要写这个过程，那首先就是写这个直线 y 等于 k 倍的 x 减四，最后把这个 q 的 横坐标整理出来，然后得到这个 一个关于 k 的 表达式啊，直接让它等于一就可以了。那我们来写过程的话，首先是先写 a b q p 的 坐标，把这个长度表示一下，这个长度其实就是它的翻译方式吗？根号下一加 k 方乘以这个 x 之间的差， 这个是已知条件啊，然后把这个已知条件代入整理这个 x 二， x 一， x 零，还有这个四啊，它都是有大小关系的，所以可以直接去绝对值，那去完之后呢，等于这个式子，然后我们再把它整理整理成 x 零等于什么？ 我们其实已经知道这里的 x 零是等于一了，对吧？那我们得分的话，写一下这个连立，整理出来伟大定律， 然后整理出来伟大定义之后呢，我们下一步就直接带入等于一啊，因为考试的时候，对吧？你想得到这个分数，你想多写一步的话，你就把上一步这带好啊，当然呢，这个算的结果就省了，绝对结果肯定是一， 那这样的话就得到结论， x 等于一，也就是说这个方法呢，还是非常好用的，当然你用这个定比点差去正啊，也是可以的。 今天我们来讲调和线数与自极三角形，这个相对于极点极线来说呢，就更麻烦一点。那我们首先呢来看一下它的定义啊，和它的一些性质， a、 c、 b、 d 四个点呢，是调和点列啊，这个是一个前提， o 呢为直线外一点，那我们把 o 跟这四个点分别连起来， 那这样的话，这四根直线呢，就构成了调和线数，他的第一个性质呢，就是如果你再找一根直线啊，和这四个直线相交，那这个时候呢，这四个交点仍然构成调和点列，也就是说这个啊是调和线数，那我们旁边再拉一根直线， 又会有四个新的交点，那这四个交点呢，仍然是调和点列。第二个呢，就是调和线数呢，一共有四条直线，如果我们取其中一条的平行线， 那这样的话，这根直线呢，就会跟另外三条相交 abc， 那这个 b 呢，就会是 a c 的 终点。那我们这个例题讲的也是这个性质，它是应该是高考的一个乙卷啊，一个高考题， 那从图像上来看的话，就是这样的，就是四根直线，呃，我这个其中有一根直线是水平的，那我再拉一根水平的直线，那这样的话有三个焦点，那这三个点呢？ b 就是 它的终点。 第三个性质呢，就是调和线数的四条直线，如果有一条是和 x 轴垂直的，那这个时候呢，另外三条直线的斜率啊，是成等差竖列的，就是这样的，就是一条垂直，另外三条呢，成一个等差竖列。 那我们看啊，这个，这是我们这个自极三角形，那自极三角形的话，它这两个点 m 点，还有 n 点，你看它这里就是延出来了四根直线啊，这四根直线呢，刚好就是调和线数， m 点和 n 点，对的，这四根直线都是一个调和线数。好，那我们来看一下这个例题啊，这个忘了取消啊，待会我们看这个，先看这个例题，这就是那个高考的一个乙卷， 已知这有一个椭圆，然后过 p 点一负二，它这个直线呢，和 e 交于 m 两点，有点 ab 啊，这两个点呢，是椭圆上的点，过 m 做一条 平行于 x 轴的直线和线段， a b 交于点 t， 然后这个点 h 呢？满足 mt 向量等于 t， h 向量其实就是过 m 点交于点 t， 然后再往这沿沿，这个长度一样的啊，到这个 h， 然后它让我们证明的是 h n 过定点，那画图的话就是这样的一个图， 那这个图的话，这个题做过的啊，不管是老师还是学生啊，应该 就是都都还是挺烦的啊，因为他这个题的计算量特别大，那我们观察这个题的话啊，你看这个 p 点，他所对的极限呢，是这个二 x 减三， y 减六等于零，而我们这个题的直线 ab 的 个 方程，刚好就是 p 点所对应的极限，那也就是说这个 n 点啊，还有这个焦点 m 点，再加上这个 p 点，这四个点呢，刚好就是一个调和点列，那这里有一个 a 点，那你看这个 ap， 呃， am， 这是 a， 嗯，这个是 p am， 然后这是 ab 这根直线，然后这个是 an 这根直线，那这样的话，它刚好呢就是一个调和线数， 过 m 点拉的是一根水平的线，那这个水平的线呢，跟 ap 啊，他就平行，根据我们刚才调和线数的那个性质呢，和 ab 的 交点是 t， 那 我们假设和 a n 的 交点如果是 d 的 话， 那这个时候呢，这个 mt 啊，就会等于 t d， 而根据题目的描述呢， mt 等于 t h 啊，也就是说这个地点和这个 h 点啊，应该是同一个点，也就是说题目让我们正的这个 h n 过定点， 也其实它过的这个定点呢，应该就是 a 点，对吧？那所以待会呢，我们正的时候直接正这个 h n a 三点共线啊，就就就更好了。那我们看一下这个，知道这个之后呢，就可以在我们做题的过程中啊，省掉好多东西。 做题的思路呢，首先第一个就是设过 p 点的直线，设这个直线方程连利伟达定里呢，写出 m 点和 n 点的坐标，这个时候未知数啊，只有一个 k。 第二个就是通过 m 点，还有这个直线 ab 写出来这个 t 写出来 t 之后呢，再得 h， 这个时候未知数呢？还是过 p 的 这个直线的 k 啊？第三个呢，就是通过写两点式 得到 n h 的 直线，研究新直线的 k 和 b。 那 我们刚才呢，其实还有一个想法，就是 直接研究 nha 三点共线啊，这个呢应该是更好，那这样的话，设直线的时候， 他没有说这个 k 不 存在吗？对吧？所以说我们可以先考虑这个特殊情况，不存在的时候，那我写的时候就不写这个 k 不 存在了，我就直接按这个 k 存在的部分啊写一下，就是先设这个直线 y 等于 k 倍的 x 减一加二，然后 m 和 n 点的坐标连立，这个方程啊，写 x 一 加 x 二和 x 一 乘以 x 二为达定例。然后呢，这个直线 ab 表达出来， ab 表达出来之后呢，我们根据这个，因为是在 m 点，就这是 ab， 这个点是 m 吗？ m 往这拉一根线水平拉的啊，所以说这个 t 点坐标能求，因为这个长度 h 点长度跟它相同，所以这个 h 点坐标呢，也可以求出来。 那求出来之后呢，我们就是想的是直接正啊，三点共线，那这样的话，我们就写两个向量， a n 向量和 a h a h 向量，然后证明它共线的话，其实就是直接把它们之间做一个减法啊，当然这是交叉相成之后的减法， 如果我们算出来等于零就对啊，如果算出来不等于零啊就不对，当然如果我们没有就是没有说这个调和线数这个知识的话，就是我们不知道他们三点共线，也就是说我们想着，哎，算出来之后万一不对呢？ 但是如果我们知道这个调和线数的话，我们已经猜好了啊，他就是这三点就是共线了，也就是说他减出来之后呢，一定是零。那我们这个时候啊，直接带一样伟大定律啊，也不用算，直接让它等于零啊就得了，那这样的话我们就可以挣出来这个直线过的定点呢是零啊。负二， 这个如果你纯算的话，大家感兴趣可以查查这个答案啊，就是计算量特别大， 我们来讲一下这个定比点差访在解析几何大题里边的应用。 那首先呢，我们就得先了解一下这个定比分点公式啊，知道 ab 两点的坐标的时候啊，可以求出来这个 p 点坐标， 那这里呢有一个证明，已知条件呢是 a p 向量等于 l m w 的 pp 向量， a 点坐标和 b 点坐标， p 点坐标呢，我们设成 m n， 然后我们要求这个 p， 那 这个时候呢，直接写这个向量的一个表达式就可以啊，然后就可以把这个 m 推出来， 那同理呢，这个 n 也可以推出来，那这个时候呢，我们就可以得到 p 点坐标了。 好，这个呢是我们需要记的一个公式。那我们来看一下这个题目实际中的应用。看这个例题啊，这里呢有一个椭圆 m， 然后呢斜率为 k 的 直线 l， 嗯， 它和 m 呢有两个不同的交点， a b， a 点和 b 点，然后有一个 p 点啊，这个负二零，这里有一个 p 直线 pa 和椭圆 m 的 另一个交点为 c， 然后直线 p b 与 m 的 另一个交点为 d 啊，也就是说我们需要把 pa 和 p b 连一下， 产生了 c d 两个点，然后 c d 和 q 是 共线的，那也就是说把这个 c d 直线一连，它经过这个 q 点啊，这个负四分之负的，嗯，四分之七，还有四分之一， 求 k 的 值啊，这个 k 呢，是直线 ab 的 这个 k， 那 也就是说呢，我们已知的条件啊，是一个 p 点和一个 q 点坐标，然后呢这个 c d 直线经过 q， 求这个 ab 的 斜率， 那我们这个题呢，主要就是把这个条件翻译一下， abcd 四个点坐标，然后已知的呢是这个 cd 过定点嘛，所以说我们就可以写出来这个 cd 的 一个关系，然后让我们求的呢是 ab 的 斜率啊，那也就是 y 一 减 y 二除以 x 一 减 x 二呗， 那也就是说我们呢，把上面这个式子里边的啊，这个 y 三 x 三， y 四 x 四，转化成这个 y 一 y 二 x 一 x 二啊，就可以了，也就是说我们需要找他们之间的关系，然后做题的思路呢，就是把这个啊转化成后边， 然后呢我们利用定比点差啊，这么一个参数啊， round 的， 然后呢实现一个转化。 好，那我们来看做题啊，我们先设这个点坐标，然后呢设 a p 向量，等于拉姆大倍的 p c 向量， b p 向量呢，等于喵倍的 pd 向量，那这个时候呢，根据这个公式啊，就可以直接出这个 x p， 那 这个外 p 呢也能出来，那然后呢 a c 在 椭圆上，所以我们就可以写两个式子代入，后面这个式子呢是相当于是都除了都成了一个拉姆方， 然后呢把这两个式子做叉，做叉的时候呢，我们把它整理一下，那这样的话，你看就是蓝色啊，就是蓝色的这一部分，他应该刚好呢就是这个 x p， 然后绿色的这一部分呢， 现在还不知道，就在这放着就可以了，然后蓝色的这部分 y， 那 你看他刚好就是这个 y p， 所以 这个时候呢，我们把它带入，就可以得到 一个式子啊，也就是说这个式子啊， x 一 减拉姆的， x 三除以一减拉姆的啊，等于负二分之三， 那这个时候呢，我们把这个式子写在这和 x 一 x 三有关的呢，还有这里有一个式子，那你看这个 x p 等于负二啊，也就是把这个式子拿过来了啊，这个式子， 然后这两个式子连累呢，我们就可以解出来 x 一 等于多少， x 三等于多少，也就是说把这个拉姆达呢，作为一个中间变量，就可以把这个 x 三变成 x 一， 那同理呢，这个 x 二和 x 四啊，也可以得到，那再根据这个向量，然后我们可以把 y 的 关系呢也写出来。好，那这个时候呢，也就是说这个关系呢，我们就剩下代换了， c d q 共线啊，那这个时候呢，就是 k 相等嘛，然后我们就可以写出来这么一个式子，那这个式子之后呢，我们把这个 y 三 x 三， y 四 x 四啊都代换掉，代换完之后呢，这个式子里边现在就只有 y 一 y 二 啊，这个是我们要的啊，但是这个拉姆达和缪呢，我们不要啊，也就是说我们在利用这边这些式子，你看这个拉姆的这个式子和这个式子，拉姆达和缪呢，其实都可以换成这个 x 一 和 x 二，那我们再一换呢，就可以换出来下面这个式子， 然后它就等于这个 x 一 减 x 二，也就是说 y 减 y 二除以 x 一 减 x 二就等于一啊，也就是 k， 这样的话，这个题就做完了，也就是说定比点差这么个东西呢，它只是找，就是利用它作为一个桥梁啊，把这个坐标之间做一个转换。 今天我们讲这个队友点差，在解析几何里边的一个应用。那首先呢，我们先来了解一下这个队友式，它核心的意思呢，就是说 如果这个直线上有 ab 两个点啊，并且这个直线过的如果是 x 轴上的定点 大 m 啊，这个小 m 零，那这个小 m 的 这个式子啊，就可以直接写出来啊，这个公式呢，我们把它背一下，然后他有一个对应的这个对偶式啊，在这，那他如果直线过的是 y 轴上的定点 n 啊，这个零 n 的 话，这个小 n 的 值啊，也可以直接用公式带出来。那这里呢，这这边有一个证明啊，大家可以自己去看一下啊，就是设 am 向量等于拉姆单位的 mb 向量，然后三个点坐标都写出来，这个时候呢，这个外值啊，这个值是等于零的，所以我们就可以得到拉姆 单位负的啊，这个 y 一 比 y 二，然后呢我们把这个拉姆单位到上面这个式子里边啊，就可以出来这个 m 的 表达式， 这个 m 的 值就正出来了，下面这个式子呢，我们把方程两边同乘以 y 二的平方，再把方程两边同乘以这个 y 一 的平方，嗯，然后这个时候把两个式子相减，就可以得到下面这个式子。 下面这个式子呢，再整理一下就可以得到。这个队友是 x 一 y 二加上这个 x 二， y 一 等于呃， a 方乘以这个 y 二的平方减 y 一 的平方除以 x 一， y 减去 x 二 y 一， 它和那个定比点差一样，也是，你记住这个公式，然后套用就可以了。 我们来看一下这个例题，已知一个椭圆啊，四分之 x 方加 y 方等于一，然后这里有一个直线，这个直线呢，过的这个应该是负一零，这个点 与 e 交于两个不同的点 m n， 这里有一个点 p 一 零，然后 pm 和 p n 分 别与 e 交于 cd 两点，判断这个直线 cd 啊，是不是过定点，那我们来画一下图啊，首先呢，就是有一个椭圆， 有一个 p 点啊，这个是一零，题目告诉我们了。然后这个直线呢，它过的点是负一零，那与椭圆相交于 m n 两点啊，这个是 m n， 然后我们再连这个 mp 和这个 np 分 别和椭圆交于 c d 两点， 然后再把这个 c d 连起来，让你证这个 c d 呢，是不是过定点，它这个还是呢，有两条相交的直线啊，并且 这两条相交的直线呢，它过的这个点都是这个一零， m n 直线呢，过的点是负一零，那它都过的是 s 轴上一个定点，所以我们就会考虑到先设这几个点的坐标， 然后呢，直线 m n 过的点是负一零啊，所以就可以写一个对偶式，这个小 m 等于 x 一 y 二减去 x 二， y 一 除以这个 y 二减 y 一 等于负一。 直线 mc 和 n d 啊，它也都过 s 轴上的一个定点，所以这两个式子呢，我们都可以写一个关系啊，一个是 x 一 y 三减 x 三， y 一 除以这个 y 三减 y 一 等于一。 一个是 s 四， y 减去 x 二 y 四啊，除以这个 y 二减 y 四等于一。 如果我们能得到这个 x 三减 y 四乘以 y 四减去这个 s 乘 y 三，比上这个 y 四减 y 三等于几的话，比方说我们算出它再等等于五啊，或者等于六啊，那我们就能证明这个直线过的这个定点啊，是五零或者是六零。 好，这个呢，是我们的一个想法。所以呢，我们就是把题目中所给的这个 x 一 x 二， y 一 和 y 二啊，都转化成 x 三 x 四和 y 三 y 四。 那基于这个想法呢，我们来看一下这个题目，就是我们整体的思路啊，是从这往这变啊，先写这个 mc 的 队友，是 因为这个 mc 队友是他过的是一零这个点嘛，然后我们把这个一还有这个 a 方啊都带进去， 然后我们这个时候整理呢，就可以得到 y 一 和 x 一。 因为我们刚才说了，我们是想把这个 x 一 x 二 y 一 y 二啊，上边这一排换到下边这一排。 好，那我们同理呢，也可以得到 y 二和 x 二，那这个时候呢，就好办了， m n 他的队友是呢，有一个这个式子啊，就是 x 一 y 二减去 x 二， y 一 等于 y 一 减 y 二，这个式子里面呢，都是 x 一 x 二 y 一 和 y 二，而我们要的呢是 x 三 x 四 y 四， 上面这里啊，刚好求出来了他们的关系，所以我们就直接把他们带入就可以了。 然后这个带入之后呢，再整理一下啊，也就是我们刚才说的这个，我们要整的是 x 三 y 四减去 s 四， y 三等于后面这是七分之十三倍的这个 y 四减 y 三， 那这样的话，我们就能通这个直线 cd 的 队友式啊，知道直线 cd 过的定点呢，应该是七分之十三零，这个队友式的话，他需要背的这个 方程啊还是比较多的啊，也是直接套用就可以。我们再来看一个这个队友点差的一个例题，那首先呢，就是这个队友点差的一个例题，那首先呢，就是这个队友式啊，还是必须要记清楚 看这个题目啊，已知一个椭圆 x 方比九加上外方比五等于一，然后过这个椭圆呢，左右两个顶点， a 一 a 二 做了一个直线 a 一 m a 二 n， 然后与 c 分 别交于 m n 两点，他说的这个 m 应该是在上方， n 在 下方， 与 y 轴呢连线啊，连线的话与 y 轴会交于这个 p q 两点，那若这个直线 m n 横过定点一零啊，并且呢 op 的 模等于拉姆大倍的 o q 的 模，让你求这个拉姆大的值。 那我们先画一下图啊，把这个题目好翻译一下。首先呢就是一个椭圆啊，两边分别是这个 a 一 a 二两个顶点， 然后我们不按题目的这个说法去理解啊，我们先写一个 m n 直线啊，这个 m n 直线过一零这个点，然后呢把 a e， m 和 a 二 n 分 别连上，这个时候呢，它和外格的交点啊，分别为 p 和 q， 然后呢我们再去求这个 p 点和 q 点的一个纵坐标，让他们作比，就可以求出来 round 的。 然后这个呢，我们发现啊，它也是两条这个相交的直线啊，并且呢 m n 这个直线它过的还是 x 轴上定点一零，所以呢我们就会考虑啊，先设这个 m n 点 p 点和这个 q 啊， 先写直线 m n 的 一个队友式，那这样写出来 x 一 y 二减去 x 二， y 一 等于这个 y 二减 y 一， 这边的话就是 x y 二加上 x y 一 等于九乘以 y 二加 y 一。 这个时候呢，我们整理一下，其实就是把这两个式子加一下，然后减一下，求出来这个 x y 二和 x y 二 y 一 分别等于多少。 然后呢再根据这个斜率啊写出来 m n 啊，这两个值，其实就是你看这个，这个的话其实就是 a e p m 三点共线，后面这个的话呢就是 a 二 q n 三点共线， 然后我们直接给他做比啊，就是负的 m 比 n。 整理一下呢，就是 x y 这个 x 二 y 一 跟上边这个啊能对起来，然后这个 x y 二啊，这个是对这个，后面这个是对 x y 一。 然后对完之后呢，我们把这个带入五倍的他啊，带到下面这里，这里是五倍的四外二啊，带到上面这，然后呢我们就会整理出来这么一个式子， 二倍的 y 一 加四倍的 y 二啊，除以这个四倍的 y 一 加八倍的 y 二啊，就等于二分之一，这样的话就出来了啊，他这个的话也是啊，就是这种交叉的两条直线交叉的，我一般喜欢用这个对偶式去写， 今天来讲的呢是斜率双用啊，这个呢，也是最近比较流行的一个做法啊，也是为了后面讲那个武汉二调那个题，嗯，做一个铺垫。那现在比较流行的呢，就是这个 直取啊，不连力，也就是说我们以前一般都是连力写伟大定律啊，但是有一些题他特别难啊，但我们那个武汉二将那个题啊，可以看一下啊，他就特别难，所以呢，不连力啊，这个反而就好做了。 还有这个讨书不求倒啊，当然也有大家就调侃高考呢，不交卷，但是不交卷的话，零分也是分啊， 那我们先看这个斜率商用，先看椭圆的第三定义啊，就是这个 m 点，如果是 x 零外零， a 点是 x 一 外一， b 点呢，和 a 点对称是负 x 一 负外一， 那这个时候呢， m a 和 mb 的 斜率啊，就会存在一个关系， k m a 点乘 kb 等于负的 a 方分之 b 方。嗯，它的图像的话，大概就是这样的， ab 呢，是关于零零对称。 还有一个最主要的呢，就是这个直线的表达式，直线两点式的话，这个写的肯定是没有问题， 如果我们把它整理的话，就会出现一个东西， x 一 y 二减去 x 二 y 一， 那这边呢，是 x 倍的 y 二减 y 一 减去 y 倍的 x 二减 x 一。 那也就是说，如果我们把一个直线整理成这么一个形式了，那这个直线呢，就会经过 m n 这个点啊，其实就是一个形式上 弄成一致的。那我们来看一个例题，这个呢是那个例题， 这好像也是一个高考题，一九年 a 方分之 x 方，第一问直接写出来呢，就是六分之 x 方加三分之外方等于一，直接看第二问就可以，这个点 m n 呢？在 c 上，且 am 垂直于 an ad 呢？垂直于 m n， d 为垂足啊，证明存在定点 q， 使得 d q 的 长度为定值， 它画图的话，大概就是这样的，你看过 a 点的往 m n 做了一个垂线 q， 那 我如果我们想求它过定，求这个 d q 为定值的话，那我们其实呢，就是求 m n 直线过定点， 你看求这个 m n 直线过定点 p， 那 这样的话，这个 d p 和 d a 是 垂直的，也就是说地点应该在以 ap 为直径的圆上，那这样的话， d 到 ap 的 中点啊，也就是说这个圆心 q 的 距离呢，应该就是定值啊。所以说这个题正 d q 为定值，其实就转化成了正 m n 直线过定点， 那我们刚才写的那个直线的表达式的话，也就是说我们能写出来那么一个队友式啊，就可以说明直线过定点。那那我们首先呢，先设这个 m 点和 n 点啊， x 一 y 一 和 x 二 y 二， 然后呢，这个 m n 的 直线方程啊，就可以这么来写，对吧？就是按那个两点式整理的。好，那我们接下来呢，写这个 n 点的对称点啊，如果为 b 的 话，那这样的话，这个 k a b 乘以 k a n， 就 等于后面写的这个式子， 这个应该没问题啊，就是刚才那个第三定义。所以呢，我们就可以推出来这个 k a n 啊，等于后面这个式子， 也就是说利用这个曲线把 k a n 做了一个转换。那我们接下来要求的呢，就是 k a n 乘以 k a m 啊，等于负一，因为它俩垂直嘛， k a m 啊，这个不动 k a n 呢，利用刚才那个代换啊，代换掉，这个时候呢，把它整理一下，就可以整理出来一个 x 二 y 减去二倍的 x 一 y 二。 但是这个呢，并不是我们要的，我们要的应该是 x 一 y 二，减去 x 二 y 一 啊，它这系数应该是一样的，你像现在系数不一样，所以呢，我们就得再操作一遍刚才那个流程， 同理我们就可以得到另外一个式子， x 一 y 二，减去二倍的 x 二 y 一。 你看上下两个式子啊，就是把这个 x 一 和 x 二， y 一 和 y 二互调一下就可以。 然后这两个式子呢，再相减啊，就可以得到三倍的 x 一 y 二减去 x 二 y 一， 等于后边这里是二倍的 y 二减 y 一， 那这里是一倍的 x 二减 x 一。 那这个时候呢，我们把这个三除过来啊，三分之二，这呢就是三分之一。但是我们那个形式，这应该是负的啊，所以这应该是减去负三分之一。 那这样的话，也就是说我们就可以说明这个直线过的定点是三分之二，负三分之一， 也就是说这个 q 点啊，应该为 ap 的 中点，三分之四啊，三分之一。当然这个题如果用直接的做法做的话，也挺好做的，我们讲这个方法呢，主要是用来处理一些特别难做的啊，就是比方说，就是那个武汉的二调那个题， 我们之后把那个题讲一下。

大家好，今天呢，咱们来讲一讲非常难的一道圆锥曲线大题，是佛山一模的这道圆锥曲线大题。这道题的话，因为出现了定点，所以第三问我想用其次化的方法来解决。第一问的话特别简单，他的答案我就直接写了，嗯，也就是这个圆锥曲线啊，这个双曲线它的解析式是 x 方 减外方等于一。第一问就不讲了，咱们来讲第二问和第三问。第二问的话，因为出现了这种，你看，其实题目中给的是非常明确了，首先 a 点 b 点，它不在这样一个双曲线上，但是呢， 此时的 p 点和 q 点，它是在双曲线的右之上的，而且是不同的两个点，这个说的很清楚，然后括号一又给了一个零的，这想都不用想了，一定是定比点差法， 那么定比点叉法和点叉法的区别就是点叉法，如果是点叉法，那么此时肯定会出现弦的中点啊，也就是 p q 中点。这道题不一定是中点啊，但是它这个比值，这个横的是确定的，所以那大概率呢，就是定比点叉法。那如何用定比点叉法来做？ 首先注意啊，咱们现在做的是括号二的第一问，也就是第二问，来看一下 p 点 p 点坐标，那咱就假设 x 一 y 一 呗，然后 q 点坐标呢？那就 x 二 y 二，然后 d 点坐标，你想证明这个 d 点坐标在每条直线上，咱们就假设它是 x 零 y 呗，这样来记就行了。那么根据题目中的意思， a p 等于多少？你 a 点坐标是有的啊，然后 p 点坐标是有的，所以 a p 向量我就直接写成这样一个形式了， x 一 减去二，逗号外一减去三等于零等，后边是个 a q 向量吧，那 a q 向量你写成坐标形式就是 x 二 减二，然后 y 二减三，好，这是第一个。那另外还有一个呢，就是 p q 等于零的，它，那继续写呗。那 p q， 呃，这个 pd 啊， pd 的 话， 就是 x 零减去 x 一， y 零减去 y 一 等于零的，然后 x 二，然后减去 x 零，这个都写的很清楚了，我们经过整理之后， 一定是要写成什么形式。肯定啊，这个二逗号三是要单独写到一边，然后这个 x 零 y 也是单独写到一边的。根据第一个式子， 那也就是 x 一 减二等于楞的倍的 x 二减二，我们单独的把这个二提出来，会得到这样一个结果，这个很轻松，我就不多说了啊，这是 x 一 减楞的，它其实也这个定比分点定理啊，那么继续来， 它是一减 m 的 分之 y 一 减 m 的 y 二，好，这是第二个式子。那么继续来看，根据第二个 p d 等于 m 的 d q， 那 么我们可以得出来的是， 同理嘛， x 零等于 x 一， 再加上楞的外一，这是一加楞的，然后这个外零写出来，就是一加楞的分之外一，再加上楞的外二。那么接下来应该怎么处理呢？这都是常规套路了。首先因为 p q 在什么上面？因为 p q， 它是在这样一个曲线 c， 也就是双曲线上的，所以咱们分别把 p 点和 q 点坐标代入嘛。比如说 x c 的 平方减去 y e 的 平方 等于一，这是第一个式子，那第二个式子就是 x 二的平方减 y 的 平方等于一。不过在这呢，因为会出现了么的，你看 x y 一 没有了，么的 x y 一 都没有了，么的。但是这啊，这个地方应该是 x 二啊，这个地方写错了，然后呢，这个地方是 x 二 y 二都跟着楞的， x 二 y 二都跟着楞的，所以我小小的处理一下，也就是圈二这个式子呢，我要给它整理一个什么，我直接给它一个楞的方就可以了啊，左边乘个楞的方，那然后呢， 右边呢？首先我把楞的方就提出来吧。好，那右边一乘楞的方，那不还是楞的方吗？对，我这样来处理， 为什么要这么处理啊？很简单，首先咱们看了一和二这两个式子，咱们怎么处理？一减去二吧， 那实际上就变成了 x 一 的平方，减外一的平方，然后呢，再减去楞的平方。事实上你处理之后的话，你会出现 x 一 减楞的平方， 再乘它。对，然后再继续写，那就是减去 y 一 方，然后呢，再减去多少？ 再减去这个地方的话是篮的方， y 二方，那等号右边等于多少呢？等号右边就是一减篮的方呗，这个式子还是蛮重要的。那接下来我想问的是，你说画圈这两个方程组它有什么作用呢？ 好说，首先二和 x 零我们要相乘一下，那二和 x 零相乘的话，左边相乘就是二乘 x 零，那右边相乘的话，会得什么结果呢？ 来，二不就是刚才的一减咱们的分之 x， 一 减咱们的 x 二，对吧？然后呢， x 零， 看到了吧，他就是一加栏目的分之 x， 一 加栏目的 x 二。呃，那么继续了，还有谁？还有就是三和外零， 对，也就是接下来画圈这两个式子，左边和左边相乘，右边和右边相乘，同样的道理嘛，那么右边的话，三是谁？就是一减栏目的分之外二外零是谁？一加栏目的分之， 这个是 y 二，呃，这个是 y 一， 再加上棱的 y 二，这都常规操作了，那索性我们二倍的 x 零减去三 y 零吧， 是不是？那你看分母是谁啊？根据平方差公式嘛，那都是一的平方，减去棱的的平方，我就这么直接这么写了。然后分子，你看一下是什么东西啊？分子的话，咱们会得到 x 一 的平方， x 二的平方。 对，然后再减去 y 一 方，减去篮的方， y 的 平方。那你说这个分子就这个部分得什么样子啊？刚才已经得出来了呀。 哎，原来这个部分就是一减篮的方啊，那你代入不就行了吗？所以就是一减篮的方，再比上一减篮的方，原来等于一。也就是说我们得到了这样一个二 x 零减三外零， 他肯定是等于一的好，也就是说点 d 一定在什么上面。所以说嘛，点 d x 零 y 零，一定满足的是 二 x 减三， y 减一等于零这条直线上。好了，这个第二问呢，咱们就做完了，主要是第三问， 这个第三问的话，我给大家把图画出来。首先呢，咱们看一下标答上的方法，它究竟有多麻烦，现在大家看到了吧，这道题是标答，如果标答，你用纯粹的这样一个连力为它定离，然后呢？什么消炎等等等等 这样一个方法来解，一二能写完吗？没有，远远没写完，这才一半啊。继续来看第二页，还有同样多的，你说如果你用标准的这样一个连力用二次方程判别式伟大定律标准的方法来解的话，你最后你有时间写完吗？给你半个小时都未必能做对的，所以咱们尽可能这道题不用 这样一个表达上的连力维达定律的方法来解，那么既然表达这个方法那么的难，那现在我们就要换一个思路了，用什么方法呢？用其字画，准确的来说，这是一个标准的 平移歧次化的题目，那么平移歧次化的核心就是从定点引出的两条斜率，他的和或者他的成绩之间有怎样一个固定的关系。所以这个题如果我们用歧次化的思路来做的话，我们是把 b 点平移到坐标原点的位置，那肯定是向下平移一个单位， 然后呢，向左平移两个单位得到的。那么平移之后呢？我们接下来先要讨论的就是 b q 应该写 b 撇啊， b 撇 q 撇平移之后，跟这个 b 撇 r 撇之间它两个斜率有什么关系？平移前后直线的斜率不会改变啊。 然后呢，再得出此时的 q 撇 r 撇，它这条直线是过哪个定点的？平移之后过哪个点，那你再平移回来吗？ 对不对？然后就知道平移回来的这个 r q 这条直线过哪个定点了。思路是这样的，那么怎么去写这个过程？来吧，看好了啊，首先怎么平移？将 b 点 向下吧，向下平移几个单位，一个单位，向左平移两个单位，那平移到什么位置呢？那肯定平移到坐标原点的位置，零的号零这样一个位置，那当然 a 点平移之后，那也是向下平移， 呃，一个单位，然后向左平移两个单位，零的号二对的，然后继续来看了平移之后的这个 p 撇， q 撇，这个应该不用我多说吧？ 首先他的横截距不确定，那我就直接这么写了，那纵截距呢？他过外轴上的定点，零的话，二纵截距是二吗？所以咱们写外比乘二 等于一好，这就是截距式。好，那接下来平移之后的曲线咱写清楚吧。双曲线， 双曲线平移之前是 c 平移之后咱就写 c 撇向下平移一个，向左平移两个，那反而是 x 加二，向下平移一个呢？咱们写成 y 加一，那么展开之后，把双曲线的这样一个平移之后的方程展开，那就变成了 x 方 加四， x 减， y 方减二 y， 嗯，数字的话是四减一，再减，那就是二了，对吧？这个都很简单的，但是你注意平移。平移哪平移了？咱们早就已经完成平移了，刚开始就已经平移了，从这开始 我们做的工作就是平移。那往后呢？你还得有其次话呀。 那么其次化，其次化，你现在齐了吗？没齐，这是个几次的？这是个一次的。 x 平方是几次的？这是个二次的。那这个常数你看成是几次的？零次的，所以次数不齐， 不齐的话，咱们统一都给他变成二次式不就行了吗？那操作大家也肯定都懂的，我在二二年的时候，二二年高考考的就是一个标准的其次化的题目，然后在二二年那一年的四月，我就讲过一个其次化的这样的方法，大家可以回头看一下那个， 那么看成个一呗一的代换呗。谁是一啊？就这个 mx 加上二分之外，这玩意就是一呗，你乘上一，你说变了吗？本质上没有变啊， 包括后边也是，这也是吧。 mx 加上二分之外，这是一吧，那一的话，你说标准上变了吗？没有，本质上没有变啊。 然后后边呢？还有一个加二，加二的话，你就注意一下了，你就不要再乘这个 mx 加上二分之外了。为啥你得来个平方？因为这个里头的话，既会有 x 方，又会有外方，还会有 x y， 这都是二次式，我们得保证拆开以后是个标准二次式的。原来如此， 剩下我就跳步了，这是。再说了，这也是草纸上完成的任务啊，所以经过整理之后，我们会标变成这个标准的。哎，看三外方二次式吧， 减四 x y 二次的吧。关于 x y 的 二次式，然后呢？四 m 方加八 m 加二 x 方，这还是个二次式吧。那好，你的斜率是什么？ 你要注意，你的斜率是你要研究的。是谁的斜率啊？应该不用我多说了吧。其实对于这道题来说，哎，有个 p q， 有个 b q， 哎，那行了，我就写吧，继续操作了。怎么操作？左右两边同时除个 x 方这个整体嘛，那左边就变成了三倍的 x 分 之外的整体的平方，是吧？然后呢，减去四倍的 x y， 然后再减去 你这个含 m 的 话，就看成什么？就看成一个常数项了，对不对？那所以说很简单，此时 b p 和 b q 它的斜率之合是等于多少的？那显然是要等于三分之四的嘛，对不对？其实也就是 x 一 分之 y 一， 这不就是 b p 的 斜率吗？然后呢，这不就 b q 的 斜率啊，再加上 x 二 y 二。 对呀，你应该把 x 分 之 y 看成一个整体。我们关于 x y 的 这样一个一元二次方程。哎，两根之和维拉定律，那显然是负的。 a 分 之 b 这道题就是三分之四。太棒了。 你想啊， b p 就是 谁，其实 b p 就是 b r， 所以 我现在我就要写 b r 了啊， b p 和 b r 是 共线的嘛， b 撇 r 撇，再加上 b 撇勾撇，它的斜率是三分之四 a。 那你说现在这个柿子有什么作用？很有作用，我先把它放到这一会，还要继续用这个三分之四呢。啊，相当重要了，标型号。那接下来怎么办？ 来，你光研究 ap， 不要光研究 ap， 你 还得研究一下什么？还得研究一下嗯？过什么呢？再研究一下这个 r q 吧，因为最终你要研究的是什么？是 r 撇 q 过哪个点？所以 这个 r 撇 q 撇这条直线，咱们怎么假设？因为他的横截距、纵截距都不知道，所以咱们就直接写这个了。注意啊， r q 不 能重合，所以 r q。 你 放心吧，他反正 r q 是 不能重合的啊。咱一会会用这样一个条件。 那继续了，接下来即使就是同理了嘛，对不对？同理，你把这样一个双曲线拆开成 x 方加四 x， 意思是不行，我直接来个 a x b y， 这很简单吧，然后减外方减二 y， 意思是不行，我直接乘个 a x 加 b y， 那后边还有个加二呢，那同样的操作呀，哎，二乘 a x 加 b y 的 平方，你把 ab 看成什么呢？看成数字来对待。 a 其实就是横截距的倒数， b 呢，那就是纵截距的倒数，这是对于 r 撇 q 撇这条直线来说的。 那么我们经过处理之后，合并一下嘛，就会变成什么式子？会变成二 b 方减二 b 减一， 然后再加上什么四 b 减二， a 减四 ab， 这个是 x y， 然后再加上什么二 a 方，加上四 a 再加一，这个呢，是 x 方。 那整理一下吧。哎，我跳步吧，希望大家能跟上啊，因为你这么处理之后的话，这个外方，咱左右两边同时除 x 方吗？好，这个地方也除 x 方吧，他除 x 方，那不就变成了 x 分 之外这个整体的一次方，他除 x 方，那就变成一。 原来是这么回事啊，根据这样一个关于 x 分 之外这个整体的一元二次方程，所以我们知道了谁，其实就是 b b r b 撇儿撇吧，再加上 b 撇 q 撇，它的斜率呢？现在啊， x 分 之一啊，然后 x 二分之 y 二等于几？其实就是等于咱们带一下， 嗯，负 b 除二 a， 这是负 b 啊，负 b 的 话，那来个倒数，就是二 a 减四， b 再减四 a b， 嗯，除 a 是 吧？ a 的 话长这个二项系数，那就是二 b 方减二 b 减一等于几？刚才不是说了吗，它两个斜率斜率之合是等于三分之四，原来等于三分之四啊，天呐，太棒了，到这几乎就已经出答案了，只不过呢， 接下来的计算有点重要。这个式子经过整理之后，咱们会得到这样一个结果，你把八 b 方四 b 减四，放到等号的一边，那整理之后呢？对吧， 他会变成什么样子？变成六 a 减十二 a b， 那 看吧，看左边音是分解之后，其实你把四提出来，就是二 b 方加 b 再减一等号，左边还是横行音，是分解的， 你直接来个二 b 乘 b， 再来个负一乘正一，这不正好错对了吗？所以我就直接跳步了啊。也就说左边因式分解会得到二 b 减一， b 加一，右边的话，你直接把这个六 a 或者说这个负六 a 提出来，负六 a 提出来的话，那就是二 b 减一呗。行， 仔细观察画横线的这样一个式子，或者这个式子的话，我写成什么呢？写成这个圈二吧。仔细观察圈二这个式子，那肯定要分着讨论。第一种情况，如果二 b 减，因为左边有二 b 减，右边有二， b 减一等于零， 也就是 b 等于二分之一，这个呢，我觉得你就不用看了，知道为什么吗？因为 r q 是 不同的两个点，所以 r q 是 不可能过谁的，不可能过点 a 啊，那此时就舍掉了。为什么？ 因为此时的 r 撇 q 撇过什么了？过点 a 了呀？ r q 过点 a 或者 r 撇 q 撇过 a 撇，那这个时候不行的， a 撇不就是那个总结句二吗？ 是不是？所以啊，这个二就是解总结句啊，过 a 撇，这不符合题，所以就舍掉了，所以只能是第二种情况了。也就是说 b 不等于二分之一，如果 b 不 等于二分之一的话，他不是零吧？他不是零吧？这两个画圈部分不是零的话，咱们直接来化简，是不是就简单多了？对，也就是说接下来我们讨论的就是左边就是 b 加一，应该是四倍的 b 加一啊， 右边就是负六 a 了呗。行，我呢再看一下，再化简一下，那不就是 b 等于负的二分之三， a 减一，这个式子究竟有什么用？反正这个呢，是通过刚刚的斜率之和等于三分之四，我们连累得到的 b 等于负的三分之，负的二分之三啊，二分之三， a 减一，我看对不对？对的啊，你带入带入哪？带入 ax 加 b， y 等于一这条直线，也就是 q 撇二撇这条直线里头呗，带入里头就变成了什么？ ax 加上负二分之三， a 减一 y， 然后减一等于零。那么经过处理之后，我们得到这样一个式子，原来是 ax 减去二分之三， y 减去 y 加一等于零。那现在我换一种说法吗？ a 是 什么？ a 是 横截距的倒数，也就是不管这个参数 a 怎么选，这个方程必须等于零。那所以你应该知道了吧， x 减去二分之三， y 等于零， y 加一也必须等于零，这样才能消去这个参数 a 的 影响。不管这个参数小， a 怎么变，我们始终过的那个定点就求出来了，所以这个定点坐标求出来是多少？ y 是 等于负一的， x 是 等于负的二分之三的。 所以说我们的 q 撇 r 撇这条直线过定点，过哪个定点过平一之后的定点呢？那就是负的二分之三都好负一了，但是 我们怎么样的？你要注意，你是平移之后的呀，怎么平移的？向下平移一个，向左平移两个单位之后， 所以那 q r 呢？哎， q r 过的定点就好说了，平移之前的定点，你反过来平移呗，向上平移一个单位，负一加一变成了零， 然后呢，向右平移两个单位，负二分之三加上二，那就是二分之一。所以这道题答案就是二分之一。逗号零啊，那这道题就解完了。所以你说平移奇次化的这个方法好不好啊？好啊，如果出现了定点跟斜率有关的这样一个圆锥曲线的考法，咱们就用平移奇次化。应该听懂了啊，那么今天我们就讲到这。

大家好，本期视频给大家带来一个有关于我们椭圆一些特定题型的简化计算的技巧。放射变换， 那我们先来看一下什么是放射变换。放射变换其实就是把我们的坐标性进行一系列的平移伸缩，然后从而得到我们一个新的图像。我们看看我们原来的图像，这里是一个椭圆，好，我们这里的短轴，它它长度为 b， 对 不对？我们现在把我们的重坐标 去伸缩到我们原来的 b 分 之一倍，那你现在这个长度是不是就变成了一同样横坐标，原来的横坐标的长度为 a， 那 我把横坐标变为原来的 a 分 之一倍，那么现在它的横坐标的长度呢？是不是也变成了一？所以我们这里只需要把我们的横重坐标去变为我们原来的 a 分 之一倍，或者说 b 分 之一倍，那原先它的椭圆， a 分 之 x 方加上 b 分 之 y 方等于一， 就变成了我们的 x 方加上 y 方等于一，从而就变成了什么一个圆？我们想一想，如果原本的图像它上面有任意一个点，我们既为 a x 一 y 好， 我们进行反射变换之后，它是不是应该有一个与之对应的点 a 一 撇，那此时呢，它的横坐标变为了什么呀？原来的 a 分 之一倍，所以横坐标呢，当然就是 b 分 之 y 一 了。 我们所以原本图像上任意的点，经过反射变换之后，同样存在一个与之对应的点，只不过横纵坐标同样发生了变化，这个呢就是我们所谓的反射变换，我们要把圆变换回去，是不是只需要把我的横坐标变为原来的 a 倍，重坐标呢？变为原来的 b 倍，我们就可以把我们的圆怎么样？ 变回原来的椭圆，对不对？好，那么现在既然 a 点，它有一个与之对应的点，同样我现在给一个 b 点 x 二 y 二， 那么肯定也会有一个与之对应的点， b 一 撇 a 分 之 x 二， b 分 之 y 二。而且它们的象限肯定是不会改变的，放射前后，为什么呀？它只是把它压缩了而已嘛，对不对？好，那么既然这样的话，我们来研究下它的斜率，我们原本它的斜率 a b 跟反 反射变换之后，它的斜率 a 一 撇 b 一 撇有什么关系？我们把它直接表示出来， k a b 就 等于 x 一 减 x 二分之 y 一 减 y 二。然后呢，我们变换之后的 k a 一 撇 b 一 撇呢？它就等于 a 分 之 x 一 减去 a 分 之 x 二分之 b 一 减去 y 二，就可以了吧？ b 分 之 y 一 减去 b 分 之 y 二。好，我们整理一下，就等于 b 分 之 a， 然后呢， x 一 减 x 二分之 y 一 减 y 二。所以我们通过这个试试，你是会发现 k a b， 我 们的 k a 一 撇 b 一 撇，怎么样？它们是有一个比例关系的，对不对？所以我们就能得到我们的 k a b， 它是等于我们的 a 分 之 b 的 k a 一 撇 b 一 撇。 根据这个式子，那我们是不是能够推到一些结论呢？比如我们原来的两条平行直线变换后呢？它的位置关系会不会改变？所以我们现在来证明一下。看到第一个 假设，我们原来有两条直线，我们记为 l 一 l 二，那么有 k 一 等于 k 二，意味着什么呀？它们两个是平行的吧，我们反射变换之后，它的 k 一 一撇，它应该等于我们的 b 分 之 a 倍的 k 一， 然后呢， k 二一撇就等于 b 分 之 a 的 k 二，你会发现 k 一 一撇跟 k 二一撇怎么样？它们仍然还是一样相等的吧。因为 k 一 等于 k 二，所以我们的 k 一 一撇就等于 k 二一撇，没问题吧？所以我们能得到第一个结论是什么呀？反射后我们的什么平行关系是不变的？反射后平行关系 不变，不变是什么意思啊？你原来是平行的，那么你现在呢？也应该是平行的，对不对？然后我们再看到第二个结论，你既然平行关系都不变，那我们原来是共线的呢？你变换之后当然怎么样？仍然是共线的吧。所以我们可以写放射后 能贡献，如果原来是贡献的，我们这个前提哈。还有第三个结论，就是我们反射之前，如果 a o 比 ob 是 一比一，那我们变换之后呢？ a o 与 ob 当然也是一比一，如 如果原本 a o 比 ob 是 二比一的话，那我们变换之后，同样它的比例也是二比一。证明方法跟我们的前面一样，同学们可以自己去证明一下。我们来写一下，就是三点共线，当一个前提啊，三点共线的时候，我们反射前后， 反射后怎么样？它们的比例关系是不变的，三点间比例关系 不变啊。这三个结论同学们可以记一下，如果记不住的话，没有关系，我们可以自己去推一下嘛，我们这个式子其实还是挺好推的，对不对？这里提醒一下大家，我们这种技巧性的东西，只是为了给大家开拓一下思路，我们平常做练习的时候呢，还是要以我们 的常规法为主，那个才是重心，不要把这个看的太重了。然后我们再看到第二个有关于我们反射前后的一些结论，好看到面积关系，我们如果在反射之前有一个 多边形吧，我们这里以三角形为例，好了我们的三角形 abc， 那 么反射之后的三角形 a 一 撇， b 一 撇 c 一 撇，他们的面积又有什么关系呢？我先告诉同学们结论， s 三角形 abc 比上我们的 s 三角形 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇就等于 ab， 那 它是怎么来的？我这里给同学们提一下应该就能够理解了。我们这里化成了垂直，就算它不垂直，你想想看， 原来我们这条啊，这个三角形的面积怎么求啊？是不是底乘以高？假设 ac 是 底，可以吧？然后我们的高去做它的高。好，那我们现在反射之后，它的底 a 一 撇 c 一 撇，跟原来 a c 是 什么关系啊？ 我们现在 a 一 撇 c 一 撇，是不是等于原来的 a 分 之一倍的 ac， 能不能够理解？因为我们的横坐标变为原来的 a 分 之一倍的 ac， 能不能够理解的？第一个， a 一 撇 c 一 撇就等于 a 分 之一倍的 a c， 那 假设原来的高为 h， 好， 我们原来的高为 h， 那 么我们反射之后它的高又是多少啊？我们的高是不是数值的呀？因为 a 一 撇 c 一 撇，我们假设是平行 x o 的， 可以吧？那么既然高，它是数值的，原来是 h， 那 我现在的 h 一 撇是不是也变为了原来的 b 分 之一倍啊，所以我们的 h 一 撇就等于 b 分 之一倍的原来的 h。 那 么以前的三角形面积 a b c 怎么表示呢？它就等于二分之一的 a c， 然后再乘以 h。 我 们变换之后 s 三角形 a 撇 b 撇，然后 c 一 撇，就等于二分之一的 a 撇 c 一 撇，然后再乘以 h 一 撇，它是不是就等于 二分之一 a 分 之一 a c， 再乘以 b 分 之一 h， 没问题吧？所以你看到我们的面积是不是变为了原来的什么 a b 分 之一倍啊？所以原来的面积比我们变换之后的面积就等于 a b。 当然你写 a b 比也是没有任何问题的。 我们这里是以一个一边 a c 平行于 x 轴的三角形为例，如果我们碰到了面积啊，多边形，它不是三角形怎么办？ 它是不是一样的呀？我只要把它切割成无数个呃，这类似的三角形，我们就能够把它的面积给表出来吧？那当然，不管它是什么样的多边形，它的面积之比呢？反射前后的 比例就为 a b 比。上一，这个推导过程同学们可以掌握一下。根据这个结论，我们是不是就可以把我们椭圆的面积去表示出来呀？我们圆的面积是什么？是 pi r 平方对不对？ 派 r 平方。你原本的面积应该说好是要乘以 ab 倍吧，所以我们这里有 s， 它的椭圆面积就等于派 r 平方乘以 ab， 这里的 r 呢？它是不是 e？ 它是一个单位圆嘛，所以就是我们的什么呀？ 派 a b。 所以 我们的椭圆面积的表达式呢？其实从这个式子里面，我们是可以直接去给推出来的， 下面我们来看到具体的应用，给了我们一个椭圆，它说直线 l 是 经过圆点，并且与 ab 两点 p 呢，是 不同于 a b 的 任意一点，那我们就求证 p a b 乘以 p， p b 等于负 a 方分之 b 方。当然我们的常规法做这个题目 也不会很难，我们这里主要是讲我们的反射变换，我们把它变成圆之后，你想一想， a 一 撇 b 一 撇怎么样？它是不是应该也要经过圆点呢？那既然你经过圆点，我们的 p 一 撇，它是在圆上面的，所以我们这个角 p 一 撇，它一定是个直角，这个应该没有任何问题吧， 就能得到我们的 k a 一 撇， p 一 撇乘以我们的 k b 一 撇 p 一 撇，它是不是直接就可以得到等于负一啊？然后我们反射变换之前的 椭圆，它上面的斜率跟我们变化后的斜率是什么关系？我们的 k a p 是 不是就等于 a 分 之 b 倍的 k a 一 撇 b 一 撇公式呢？在这里同学们记不住的话，可以自己再去推一下嘛。所以我们的 k a 一 撇，再乘以我们的 k b 撇 b p， 没有一撇，这里啊，就等于负一，乘以我们的 a 分 之 b 乘以 a 分 之 b， 不 就是 a 分 之 b 的 平方吗？所以直接等于负的 a 方分之 b 方。那么这个题目是不是看起来非常的简单就证明完了？ 好，那其实跟这个同样的道理，还有我们的垂筋定律，我们在圆里面是不是有垂筋定律？垂筋定律同学们还记不记得我们在圆上 如果有任意一条弦，我们就画一条弦，然后呢？我们过圆心，然后与我们这条弦的中点去连一下，我们就会得到我们这里的 o， 然后这里是 e， 好 了，这里是 c 一 撇， d 一 撇，我们是不是能够得到我们的 o、 e 一 撇啊？这里写一撇吧， 我们能得到 o、 e 一 撇，垂直我们的第一撇， c 一 撇啊，那么就由我们的 k o、 e 一 撇乘以我们的 k、 c 撇，第一撇就等于负一。那我们在椭圆里面呢，同样有我们的椭圆里面的垂筋定力，我们把它变换回来之后，那它就变成了我们的 c， 这里呢就是 d， 然后同样这里我们只能用 e 来表示了，那我们现在有什么呀？有我们的 k o、 e 乘以我们的 k、 c、 d， 那 等于什么呢？跟我们上面的推导方式是不是一模一样的呀？我们就能够得到我们的 k、 o、 e 乘以我们的 k、 c、 d， 它就等于负 a 方分之 地方，这个呢就是我们椭圆里面的垂筋定律上上面的呢就是我们的周角定律啊，这两个定律希望同学们也能够有所了解。我们再来看到一个有关于面积问题的一个题目，已知椭圆给了我们，那就若 a、 b 为椭圆上任意两点，让我们去求 s 三角形 a、 b、 o 面积的最大值， 我们同样把它仿设变换为一个圆之后，那我们这个圆里面这个三角形的面积怎么去表示啊？或者说我们这个椭圆里面这个三角形的面积，它跟这个椭呃圆里面的面积，它们是有什么关系呢？我们的 s 三角形 o、 a、 b， 它是等于 a、 b 分 之， s 三角形 o a 一 撇， b 一 撇，我们前面的结论嘛，对不对？那我们 s 三角形 o a 一 撇 b 一 撇，是不是在我们的圆里面？那在圆里面的话，我们直接就表示出来，就等于 a b 二分之一。好， o a 一 撇乘以 o， b 一 撇乘以它们假角的正弦值吧，就等于二分之一，然后 r 再乘以 r， 然后再乘以 c e c t， 我 们设它们的假角为 c t 好 了，那就等于，因为它是个单元嘛，所以它的半径肯定就为一啊，所以就等于 二分之一倍的 a b sine theta， 那 我们这个 sine theta， 它是不是属于负一到一？所以呢，它就小于等于二分之一 a b， 我 们这里的 a 是 不是二？然后呢， b 它是根号三，椭圆给了我们嘛，所以就等于啊，二分之一乘以二，然后再乘以根号三， 不就是我们的根号三嘛。我们再接着看到一个有关于比例问题和面积问题综合起来的放射变换的题型， 已知椭圆给了我们，它说三角形 a b c 是 它的内接三角形，若圆点 o 点恰为它的重心。好，这里要知道重心，它是中线的焦点，对不对？并且呢，我们能得到的条件是什么呀？是我们的 a o 比上 o d， 它等于二比 以一，能不能够理解？并且我们的第一点呢，它是 bc 的 中点，所以我们变换之后啊，我们就能够得到什么？我们的第一撇，它是我们的 b 一 撇， c 一 撇的中点吧？而且我们之前啊，前面有我们的 aoc， 它 aod 吧，它三点是共线的。那我们仿示变换之后呢，我们的 a 一 撇 o d 一 撇，同， 同样它是三点共线的嘛，并且比例也不会变，我们的 a 一 撇 o 比上 o 第一撇，同样它是等于二比一，那么你想一想看，这是一个圆，对不对？我们的 a 一 撇第一撇，它是经过了我们的圆心， 并且呢是交于我们 b 一 撇 c 一 撇这条弦的中点，所以我们这个地方它是不是就必然是垂直的呀？我们的垂筋定律对不对？所以我们这里能得到什么呢？我们的 a 一 撇， d 一 撇，它是垂直我们的 b 一 撇， c 一 撇的，并且我们的 d 一 撇，它为我们 b 一 撇， c 一 撇中点。 我们通过这两个，你是不是又能够得到我们这是一个什么等腰三角形呢？你又是垂直，然后呢又是终点，我们根据三线合一，就能够得到我们的 a 一 撇， b 一 撇是等于我们的 a 一 撇 c 一 撇，当然我们再去画一条线的话，你这样证明过来，它同样是一个什么 等边三角形，这里我们不这样正怎么去正？你等会就能够算出来。好，我们接着往下做，它既然是一个等腰三角形，并且是在圆里面的，我们去看看 o a 一 撇，它的长度是不是就为一？它是半径吗？我们这个长度它为一，那下面这个长度呢？就为二分之一，对不对？我们说了比例不变，前面是二比一，那这里自然也是二比一了。那我们连接 o、 c 一 撇， o c 一 撇，它怎么样？它也是一个半径吧，所以这里的长度同样它为一，这是一个直角三角形，这里是二分之一，这里是一。那么这条 d 一 撇 c 一 撇呢？就很明显我们知道它是什么二分之根号三， 所以呢，这里它就是一个什么三十度的夹角，对不对？然后我们这边是三十度，所以这个角它是六十度，那么它就是一百二十度，并且我们这里也是个等腰吧，这里是一，这里是一，所以我们这里自然也是一个三十度的角，那我们就能够求出来 a 一 撇， c 一 撇， 呃， b 一 撇，它是什么六十度的角，那这边呢？自然也是六十度的角了，我们就能够推的到什么呢？推的到我们的 s 三角形 a 一 撇， b 一 撇、 c 一 撇为一个正三角形。能不能够理解？好，那既然它已经推出来之后， 它让我们求的是 a、 b、 c 这个三角形的面积吧？我是不是只需要把我们的 a 一 撇， b 一 撇、 c 一 撇的面积求出来就可以了呀？因为我们有一个 s 三角形 abc， 它是等于我们的 ab 乘以 s 三角形 a 一 撇， b 一 撇、 c 一 撇的吗？那我们来看一下我们圆里面的三角形的面积，他怎么去求？现在底跟高我们是不是能够求出来这条长度为二分之根号三，所以整体他的 b 一 撇， c 一 撇呢？就等于二分之根号三。我们多写一部二分之一的 b 一 撇， c 一 撇， 然后再乘以我们的 a 一 撇第一撇，对不对？因为我们的 a 一 撇第一撇，它是垂直于底边的，我们的 a 一 撇第一撇，这边是一，这边呢是二分之一，所以是二分之三吧，就等于 a、 b 乘以二分之一， a 撇、 c 撇啊，我们先写 b 一 撇， c 一 撇， b 一 撇， c 一 撇是根号三， 然后再乘以 a 一 撇第一撇就是我们的二分之三，所以最后它算出来等于四分之三倍根号三。 ab， 我 们只要把我们的 ab 带进去就可以了，所以最后算下来就是四分之三倍，根号三。 a 呢，它是二，然后 b 它是根号三，所以最后答案算出来是二分之九，那么这种题目我们根据圆里面算面积，当然会比较简单了。好，那么本期视频呢？我们讲到这里，希望同学们能够有所收获，再见。

本视频耗时八百八十八点八八小时，梳理讲解圆锥曲线大题题型和方法。 圆锥曲线的大题题型比较多，方法也比较多，有时候我们做题的时候呢，没有选对方法，做半天发现也做不出来，所以我们接下来呢，就梳理一下这个圆锥曲线大题的题型，还有这些方法。 那首先呢，先说一下解析几何它做题的一个思路，我们看到这个题目的第一眼就是题目给我们的呢，都是几何条件，我们需要通过分析呢，把它表示成一个代数式啊， 然后再计算它，得到一个计算的结果，然后把这个计算的结果呢，再返回到这个几何的特征，其中最重要的一部分呢，就是几何条件到代数式的这个转化，我们一般叫翻译， 翻译，这呢我分了几部分啊，第一部分就是向量的，第二个呢就是长度的，第三个是面积的，呃，第四个就是角度， 还有一部分呢，就是代数式列出来了，然后呢要计算了啊，得到一个计算的结果，那我们知道解析几何呢，计算是一个大头啊，然后他也有很多，就是 就是各种方法，各种技巧吧，然后我在这呢分了一下啊，基本上就是这些啊，就是定制定点的非对称表达的处理，然后这种点成双根的这种，呃，方法，后面呢我就一个一个讲， 那我们先看第一部分啊，就是翻译的向量啊，这一部分，第一个我分的呢，是以九十度作为临界条件的啊，比方说 p 点在以 a b 为直径的圆上，我们做题的话，比方说这儿有一个 直线交于 ab 两点，然后这是 o 点吧， o 在 以 ab 为直径的圆上的话，如果我们用那个圆嘛，就是，呃，点到圆心的距离小于半径，那这样的话比这是 p 吧， 那 o p 的 距离比这个二分之一啊， ab 这个距离如果要小的话，那你看这个 o p 和这个弦长 表示起来都比较麻烦。那如果我们换一种想法啊，就是这有一个圆，这有一个直径 a b p 在 ab 为直径的圆上的话，就说明这里应该是一个直角， 那这样的话，也就是说 p 在 以 ab 为直径的圆上，我们转化成 pa 向量点乘 pp 向量等于零，数量积等于零，这个比较好算，那如果在圆内 园内的话，就是，哎钝角，那这样的话就小于零，园外的话就是锐角，数量积就大于零。 那我们看一个例题啊，这个例题的话，呃，第一问就不做了，第一问直接给出来了，那这个题的第二问的话，就相当于是这有一个椭圆，然后有一个直线 y 等于 x 加 m 与椭圆相交于 p q 两点啊，这个椭圆呢，这儿给了就是二分之 x 方加 y 方等于一，然后圆点 o 在 以 p q 为直径的圆的内部，那我们刚才说点在圆的内部的话，就可以表示成 o b 向量点成 o q 向量，呃，数量积小于零， 那我们现在需要的是 p 点和 q 点，那这个时候直接给它连立就可以了。先连立这个方程，消元得到一个二次方程，然后因为直线和 椭圆有两个交点，所以我们得先列一个 delta 大 于零，然后就可以解出来这个 m 的 范围是负根号三到正的根号三，然后 o p 向量点成 o q， 向量小于零，你看就是 x 一 x 二加 y 一， y 二小于零，这个呢，比那个列长度啊，要简单很多。 这个就是纯带尾达定里边啊，带入之后就可以出 m 的 范围， m 方是小于三分之四的，然后 m 的 范围就是这和上面这个式子呢，取交集就可以啊，交集的话应该下面这个式子更小一点，所以就取下面这个就可以了。 那这个第一部分呢，就是以九十度作为临界的啊，当然其他的也可以，只要是九十度的啊，都可以用向量。 好，那我们看第二部分，我分的呢，是三个点在曲线上的时候啊，就是这个 p a b 在 曲线上，然后 o p 向量呢，等于拉姆达倍的 o a 向量加缪倍的 o b 向量， 那这样的话，这个 p 点的坐标就可以写成拉姆达 x 一， 加缪倍的 x 二，拉姆达 y 一 加缪倍的 y 二，然后把 p 点代入，因为是三点在曲线上嘛， 带入之后呢，这个式子啊，看起来比较麻烦，那我们只要把它写开，合理的分配一下，念这一部分啊，就是拉姆大方 x 一 的平方比 a 方和这一部分拉姆大方外一的平方比 b 方放在一起， 那这样一整理就会发现，这个式子和这个式子应该都是等于一的啊，所以我们把这个带进去的话，哎，就出这了，那这个 x 一 乘以 x 二和 y 一 乘 y 二啊，它那个就是正常的一个尾答定律代换就又变得好做了。 那我们看一下这个例题啊，第一问这个离心率啊，这个不用管，我们还是看这个第二问就可以， 就相当于是，呃，这里有一个这个这个椭圆，然后过右焦点 f 二，有一个直线和椭圆交于 p q 两点， 然后第二问说这个直线的斜率是一，然后问你 c 上存不存在一点 m， 使得 o m 向量等于二倍的 o p 向量加 o q 向量？ 第一问，这个结果呢，是三分之根号六啊，就给到这了，就是 a 和 c 的 关系， a 分 之 c， 那第二问的话，按我们刚才说的就是这个 m 的 坐标，就可以写成二倍的 x 一 加 x 二，二倍的 y 一 加 y 二，然后这个时候呢，我们把它代入，然后代入之后就会出现这个 a 方分之二 x 一 加 x 二和 b 方分之二 y 一 加 y 二的平方等于一， 然后我们把它展开，展开之后呢，还是去给它配这个这个式子和后面这个式子啊，这里少有一个四倍， 这个式子跟这个式子去配，那这样的话我们一配就会得到应该是四加一，然后再加上四倍的 a 方 x 一 乘以 x 二和 b 方 y 乘 y 二啊，等于一。 那这个时候呢，也就是我们现在只需要 x 一 乘以 x 二和 y 一 乘 y 二，那这两个式子肯定是尾答定律，那尾答定律的话，我们就要把这个 p q 直线啊，这个是 y 等于 x 减 c， 然后这个 椭圆的方程啊，应该是 a 方分之 x 方加 b 方分之 y 方等于一连力啊，整理出来这么一个二次函数，呃， 这个二次函数的话，我们整理一下，就是 x 方 x 啊，后边呢是常数部分伟大定律写出来， 然后的话把这个式子，你看这个式子的话，这里是四，这里是一，这里也是一，把这个一跟这个一一削，然后这个四挪过来就是负四，这个负四跟这个四约一下，就可以得到这个式子啊，它等于负一，然后我们把它带入， 就会出这个式子，就是 a 方加 b 方，分之 c 方减 b 方，然后 a 方加 b 方，分之 c 方减 a 方，这样一减的话，就可以求出来 c 等于零，那这个 c 等于零的话，它应该是不对的啊，所以这个题呢，就是不存在。然后这个是一个比较久的一个高考的题。 接下来是向量的等分点， a p 向量等于拉姆大倍的 p b 向量， 这个时候呢，我们就可以得到一个等量关系啊，就是 x 零减去 x 一 等于拉姆大倍的 x 二减 x 零， y 减 y 减 y 零。呃，这个时候呢，我们需要做一个判断啊，就是看一下这个 x 零和 y 零，谁等于零， 谁等于零的话，呃，那这个时候它的关系就会比较简单。假设这个 y 零是等于零的， 那这个时候你看它 y 之间的关系呢，就会变成负的 y 一 等于拉姆达 y 二，也就是说它的 y 会更简单一点。那这个时候我们做表达定理的时候，就得设 x 等于 m y 啊，也就是我们需要得到 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后呢把这个式子带进来，带进来之后呢，这个 y 一 就会等于负拉姆达 y 二， 那这样的话，往这一带就会出现一减拉姆的 y 二，然后下面这里就会出现负拉姆的 y 二方，然后我们把上面平方，然后除以下面这个 y 二呢就消了，只剩下了拉姆的。好，我们来看一下具体的例题啊，这个 抛物线方程呢，这儿已经有了，就是 x 方等于四 y， 嗯，设斜率为 k 的 直线，经过点 b 二零， 且与抛物线交于两点不同的两点 m n， 然后这是 b m 向量等于拉姆大倍的 b n 向量。拉姆大属于四分之一到四，求 k 的 取之范围，也就是说我们这个要求的是 k， 给的是拉姆大， 那我们现在要找到拉姆达和 k 之间的关系。通过题目给的这个等量关系，我们发现，哎， x 一 减二等于拉姆达倍的 x 二减二，然后 y 等于拉姆达 y 二，也就是说拉姆达和 x 一 x 二或者 y 一 y 二是有关的。 呃，这个 k 我 们知道啊，这个连立方程的时候，斜尾答定里啊，也会和这个 k 有 关，也就是说 x 一 加 x 二或者是 y 一 加 y 二啊，会等于一个 k 的 函数， 并且 y 一 y 二和拉姆达有关， x 一 x 二也和拉姆达有关，也就我们的目的呢，就是利用这个伟大定律，把拉姆达和 k 啊放到一起。 那这个时候我们通过观察呢，发现 y 的 式子更简单一点，所以我们列伟大定律的时候，就要列这个 y 的， 那我们设方程就要设 x 等于 m y， 那这样的话，整理啊，就会出现一个关于 y 的 二次方程，写这个伟大定律， y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后把这个式子啊给他带进来， 那 y 一 加 y 二，就等于一加拉姆达 y 二，然后 y y y 一 乘 y 二，就是拉姆达 y 二的平方，然后这个式子呢，把 这个整体平方，然后除以下面就会得到一加拉姆达的平方除以拉姆达，然后等于四减四， m 的 平方除以四 m 方，那这个时候呢，拉姆达是有范围的，所以左边这个啊，就可以写成拉姆达分之一加拉姆达加二。这个呢，这不是一个 对勾函数嘛，然后它的范围就可以写了啊，就是这个四到四分之二十五，然后 这边啊，它有也就可以整理一下啊，整理成这个 m 分 之二减二啊，这个的话相当于是先约一个四就是 m 方，然后里边就会剩下，呃，约一个四的话， 相当于是二减二 m， 那 这样的话，我们相当于是把这个平方去掉这个整体来一个平方啊，这样，那这个时候再把平方开掉，就可以得到 m 分 之二减二的一个范围， 那这个范围的话就把 m 分 之二能解出来了。 m 分 之二解出来之后呢？呃，因为这个题需要有交点嘛，所以得先判断一下这个 delta， delta 大 于零，得到的 m 的 范围是小于二分之一，那这个时候呢，我们再写 m 分 之一的范围，因为 m 分 之一就是 k 嘛， 就可以写出来这个 k 的 范围了啊，就解完了。 然后就是条件翻译的这个第二种形式啊，长度，长度呢，我们最常用的就是根号下一加 k 方程乘以根号下 x 一 加 x 的 平方减四倍的 x 一 x 二。 这个式子，如果做题的时候推荐记这个啊，就是根号下一加 k 方 a 分 之根号下单调啊，这个的话就不用带进去再化简了啊，直接带这个式子就比较简单。 还有一个比较就是不太关注的，就是根号下一加 k 方 x 一 减 x 的 绝对值。这个的话我们高考考了好几次啊，你看，呃，这里假设中间有一个 f， 假设是二零吧，这个是 a 点，这个是 b 点， 那我们现在要求 a f 乘以 b f 的 话，如果我们直接想两点间距离公式啊，基本上就没法做了。如果我们用下面这个代的话，它就得根号下一加 k 方，然后 x 一 减二的绝对值，乘以根号下一加 k 方 x 二减二的绝对值。 那这个时候的话就可以得到一加 k 方扩起来乘以 x 一 减二，呃，再乘以 x 二减二，扩起来绝对值，那这样的话，这个式子又就变得能做了啊，也就是长度翻译的话，注意一下这个根号下一加 k 方， x 一 减 x 二绝对值。 我们看一个具体的例题，这个的话也是只看第二个啊，就是说有一个椭圆 x 方比十二加上外方等于一，然后呢？呃，上顶点就是 p 是 零一， 嗯，这个点 q 在 线段 a b 上，其实就是说明过 p 点做了一个直线，然后这个直线呢和椭圆交于 a b 两点， 然后我们把这个 pa 和 pb 又连起来了，然后连起来之后呢，它分别和 y 等于二分之二分之一， x 加三，这个直线交于 c d 两点。 然后第二问呢，我们要求这个 c d 的 最小值，按我们刚才说的那个呢，直接写成根号下一加 k 方，然后 x c 减 x d， 而且这个 k 呢，是等于二分之一的，那也就是根号下一加四分之一，那我们接下来就求这个 x c 和 s d 就 行了。 那我们首先呢，先设这个 ab 的 直线方程， y 等于 k， x 加二分之一，那这样的话 a 点就是 s 一 y 一， b 点就是 s 二 y， 然后连立方程，连立方程之后呢，整理出来一个二次函数，这个呢就是得到伟大定律，这个伟大定律是关于 a 和 b 的， 然后我们接下来呢，写这个 ap 直线和 bp 直线，呃，然后接下来就该写这个 c 点和 d 点了， c 点和 d 点呢？是 ap 直线和 y 等于负二分之一， x 加三啊，这个是负的负二分之一， x 加三，这个少打了一个，这样的话就可以交出来 c 点，那同理 d 点啊，也就出来了，这样的话 x， c 和 s， d 就 都出来了， 然后带我们刚才那个式子， c， d 呢，就等于根号下一加 k 方，然后 x， c 减 s， d 的 绝对值，这样带入进去之后呢，直接化减就行啊，其实带尾答定里化减就可以。后面这个式子啊，求最值的话用的是一个， 你看它下面是，这里是个绝对值， 然后上面这个式子的话，十六 k 方加一，它除以这个三 k 加一是除不了的，所以上面这里配了一个这个柯西不等式啊，你看根号，呃，十六分之九，十六分之九的话就是四分之三的平方， 然后加一的平方，那这样的话就是四 k 乘以四分之三，然后一乘一，这样的话上面就变成三 k 加一了，然后这里平方再开方，开完方之后，呃，也是三 k 加一的绝对值嘛，和下面这个三 k 加一的绝对值就约了， 然后这样的话，最后出来这个五分之六倍的根号五，这个范围反是不好出。 解析，几何里边的面积表示，嗯，最常规的就是二分之一底乘高，你把这个三角形的底和高分别表示出来，然后给它乘一块就行。第二个呢，就是分割 这个三角形里边如果有一根竖线啊，比如说固定的这个长度，如果是二，那我们就可以写二分之一乘以二，然后再乘以 x 的 叉， x 二减 x 一， 就是这两个顶点的 x 坐标。呃，如果有一根横线是固定的，比如说这个是三，那就是二分之一乘以三，然后再乘以 y 的 叉， 这个应该比较好理解。第三种表达方式呢，就是二分之一 x 一 y 二减 x 二 y 一， 这个 x 一 和 x 二呢，表示的应该是这个三角形边儿的项链啊，就是 x 一 y 一 x 二 y 二， 这个三角形的两条边向量比较好表示。那这个时候呢，我们一般用这个公式去做。那我们来看一个例题啊，我们例题我们就只讲这个。第三种， 有一个椭圆啊，这儿画了四分之 x 方加二分之外方等于一，已知上面有一个 a 点 x 一 y 点 x 二 y， 然后 o 呢为圆点，直线 o a o b 斜率相乘 就是等于负二分之一 q o a q o b， 那 这样的话，我们一般都会设这个直线 ab， 然后 o a o b 的 斜率相乘等于负二分之一。这个时候我们去列北大定律呗，然后屁为椭圆上异于 ab 的 一个动点啊，就是这还有一个 p 点，然后我们现在要算这个 a o p 的 面积和 b o p 的 面积， 这样你看，呃， s 一 s 二，我们要探讨 s 一 的平方加 s 二的平方是否为定值。如果这个你用底层高的话啊，比方说 a p a p 的 长度啊，这个好像也不行，或者你用这个 o a 的 长度，那这样的话，它都代换不了韦达定律啊，因为韦达定律的话，需要 x 一 和 x 二，呃， a 点和 b 点，还有这个 p 点， p 点设成 x 零 y 零，那这样的话，这个 a p 这两个这个三角形的两个边儿，它的向量是可以表示的，这就是 x 一 外一，这就是 x 零外零。那我们就用我们刚才说的这个表达式啊去求。 那首先第一步呢，是先连立，然后整理出来一个二次方程，尾答定里写在这儿，呃，然后呢， k o a 乘以 k o b 等于负二分之一，那我们带到这个式子里边，呃，整理一下，就是 x 一 x 二加二倍的 y y 二等于零， 然后代位达定里啊，代入，代入之后呢，就可以得到 m 方等于二， k 方加一啊，这个是一个关系。接下来呢，我们就设 p 点是 x 零外零，那这样的话， s 一 的平方就会等于四分之一， s 一 外零减 x 零外一， 那这样的话再平方一下，就不用绝对值了，那同理， x 二也是一样的，那我们接下来呢，就把它们俩加起来， x 一 的平方加 x 二的平方，然后整理一下，就是 x 一 的平方加 x 二的平方，这里是 y 一 的平方加 y 二的平方，这里是 x 一 y 一 加 x 二 y 二。 然后这个式子的话，我们就直接带伟大定律就行了啊，这三项带伟大定律带入，带入之后求出来分别是四二零，然后我们再把它带进去，就是四分之一四 y 零方加 s 零的平方啊，它就等于二，就可以证出来它是定值了。 我们来看这个角度的翻译解析。几何里边如果遇见了要求这个角度，一般是没有办法直接求的，我们都是通过这个 tangent 把它转化成直线的斜率 k， 这样就可以做了。 遇到了这种三点共线的问题的话，我们也是用斜率来表示啊， k a b 等于 k a c， 这样就可以证明三点共线，还有就是证明四点共圆， 这样的话就证明这个对角相加等于一百八，那证明它两个的 tangent 相加等于零就可以了。那这个 tangent theta 呢？ 它用这两个直线的倾斜角来表示啊，这个是 alpha， 这个是 beta， 那 这样的话，这个 tangent theta 就会等于 tangent r 减 beta， tangent r 减 beta 展开之后，应该就是 k 一 减 k 二，然后一加上 k 一 乘 k 二，这样的，也就是把这个角度还是通过 tangent 转化成斜率。 我们来看一个这个题目啊，就是椭圆的标准方程，这是四分之 x 方加三分之 y 方等于一，然后他说过右焦点 f 且斜率为 k 的 一个直线 哎，交于 a b 两点，问你 x 轴上是否存在异于 f 的 一个定点 t 是 否存在，这提个 t， 然后 a f 乘以 b t 等于这个 b f 乘以 a t 成立，那这个的话，你把它换一下就可以得到， a f 比上 b f 等于 a t 比上 b t， 就 a f 比上 b f 等于 a t 比 b t， 那 这样一拉，这个不就是角平分线吗？ c t 啊，也就是说我们现在要算这两个角度相等，那这样的话，我们应该就是直接证明 a t 和 b t 的 斜率相反啊，也就是说我们只需要证 k a t 加上 k b t 等于零就可以了。那有了这个思路之后呢，就好做了啊，第一件事呢，肯定是先连立， 就是画的那个图，我们先连立方程，然后整理出来一个二次函数，然后这个二次函数出尾答定里 y 一 加 y 和 y 一 乘 y 二，然后 写这个条件啊，因为由这个条件得到角 a t f， 这个角等于角 b t f， 那 这样的话，我们就可以得到 k a t 加上 k b t 等于零，然后我们再代入，就是 y 一 比上 x 一 减 t 等于零，然后我们再代入，就是 y 一 比上 x 二减 t 啊，这就是斜率。 嗯，整理一下，直接带尾答定理啊，就可以整理出来这么一个式子，因为我们这个 t 木要的是横乘力， m 呢是变量，所以我们让 m 的 系数为零就可以了。四减 t 啊，让等于零，那 t 就 等于四，那它定点坐标呢，就是四零， 也就是说，呃，直接遇到这种角度相等的啊，就是相等啊，或者说互补什么的，然后直接求贪婪他就可以了。 然后就是这个四点共圆椭圆的方程呢，还是已经有了，就是八分之 x 方加四分之外方，等于一过 f 二，画了一条直线 l， 然后它和 c 呢，交于 a b 两点 与 y 轴交于点 p 啊，下面这里有个点 p， p 在 e 的 下方的话，待会这个直线就会有一个要求， q 为点 p， 关于圆点的对称点 q 在 上边儿， 然后 q b 交 x 轴于 r， q b 一 连交 r， 是 否存在直线 l 使得 q r f 二 a q r f 二 a 啊，就是点的这四个红点啊，共圆，如果存在的话，判断直线的 l 的 条数不存在说明理由，那我们直接设这个直线 l， 然后把这个 l 求出来有几条，那这样的话答案就是几条， 那我们主要是要表示这个四点共圆这个条件。四点共圆的话，我们刚才说了，就是正它的对着的这个角就可以，也就是正这个角跟这个角正这两个角相加等于一百八， 也就是角 a q r 和角 a f 二 r 等于 pi 加起来，那这个时候我们就可以转换成 tangent 啊，就是 tangent a q r 等于负的 tangent a f 二 r， 那这样的话 tangent a q r a q r， 它是这样的啊，这个是 q， 这个是 a， 这个是 r， 这个角度 theta 跟上面这个角度 theta 是 一样的，那我们就可以用 a q 直线的这个角减去 q r 直线的这个角，那这样呢？但是 q r 呢？也是 q b， 那 这边呢？就可以写出来这个角，然后下面这个角呢是这样的， 这个点是 a， 这个点是 f 二，这个点是 r， 这个角 tangent 啊，前面加一个符号，那就跟下面这个角的 tangent 是 相等的，所以我们这直接写 k a b， 那 我们的等量条件呢，就已经有了，就是列这个式子就行了。 那我们接下来呢，先连立出伟大定律，然后出这个 y 加 y 和 y 乘 y 二， 这个角度加起来等于派，然后这两个 tangent 啊互为相反数，然后得到我们刚才在草纸上推的这个结论啊，就是你在试卷上写的时候，得这样正着去写， 那这个 k q a k q b 啊，还有这个 k a b 直接带就行了，你看这个式子， k a b 直接带进来，然后 k q a 这个 q 的 话就是这个 p 点， p 点坐标就是零啊，负二，那这个 q 点坐标就是零二呗，那这个坐标呢，就是可以直接写的， 嗯， x 等于啊，不对，这个应该是 m 分 之负二，这个上面应该是 m 分 之二啊，这 q， 那 我们带完之后呢，就可以整理出来这么一个式子， 然后题目说了一下，这个啊，这是后边又整理的一下，这个是等于零，然后后面说 p 在 e 的 下方，那这样的话，也就是说这个 m 分 之负二是小于负二的， 那这样的话，这个就会得到一个 m 的 范围是零到一。这个题目让我们判断的是条数啊，它并没有让你求等于什么。 那我们刚才也说了，这个设了一个直线，这个直线解出来有几条就是有几条，那也就是说我们现在要判断的是这个式子等于零的 m 有 几个解啊？有几个解就有几个答案。这个式子呢，比较复杂啊，直接看看不出来，所以我们就直接对它求导就可以了，构造一个函数 f m， 然后对它求导，求完导之后呢，这个导数是这样的，它是大于零和一吗？零的时候带进去 是趋近于富无穷的，一的时候带进去是二，二是大于零的富无穷，这大于零啊，所以这样合起来它就会有一条，这个就是角度的一些翻译。 接下来我们说解析几何的定值问题。第一种呢，就是题目说什么，你写什么，然后经过化简计算，它直接就是一个常数，这种呢最好了。 第二种呢，就是你化简计算完之后呢，它还有字母啊，当然这个时候我们看它这个形式啊，是整式还是分式啊？两种情况。如果是整式的话，比方说 m 加二，括起来 k 加三啊，这个式子它是一个定值，那这样的话，变量如果为 k， 那 变量的系数就得为零，也就 m 加二等于零， m 等于负二， 那如果它是分式的话，你看分式，因为我们作尾答定理吗？它经常会出现这种形式，比方二 k 方加一，上面是 m 加二，括起来 k 方，然后再加三， 然后这个式子为定值。如果我们现在只让上面这个 m 加二等于零，呃，下面这个二 k 方加一呢？ 它这个 k 变仍然会影响啊，所以说分式为定值的话，我们一般让对应的比对应部分乘比例，就是让 m 加二比二等于三比一，也就是说让上面是多少倍的二 k 方加一，然后把它约去啊，是这个意思， 那我们来看一下具体的例题。这个还是椭圆的表达式啊，就是九分之 x 方加外方等于一，然后他说在 x 轴上是否存在一个定点 t， 使得 ta 向量点成 tb 向量为定值啊？然后这个 ab 啊， ab 是 过 f 一 的直线啊，和椭圆交于 ab 两点，那这样的话很明显啊，就直接连立就可以了。 那我们先说这个斜率存在的时候，然后 ab 的 直线呢，就是 y 等于 k 倍的 x 加二，倍根号二，然后连立连立出来，整理出来一个伟大定律，然后 x 一 加 x 二和 x 一 乘 x 二， 那我们设这个 t 的 坐标就是 t 零呗，那我们 t a 向量点成 t b 向量，这样代就可以了，然后经过整理呢，整理出来这么一个分式， 这么一个分式的话，你看它这个分母，分母是九加九， k 方加一，上面整理出来前面这个是 k 方，后面这个是常数，那我们只需要让 k 方的系数 比和常数比相等就可以了，那这样的话就算出来这个 t 呢，等于负的九分之十九倍的根号二啊，这样就做完了啊，这个就是分式为定值 解析几何里边的直线过定点问题，我们一般呢就是先设直线 y 等于 k， x 加 m， 然后求 m 和 k 的 关系， 如果求出来 m 等于一个常数，然后三，它过定点呢，就应该是零三 m， 如果等于 k 的 一次函数三， k 加二，它过定点呢，就是负三二。 所以我们直线过定点的目的啊，就是通过化简约分得到 m 关于 k 的 一个表达式啊，一般就是依次函数。 那我们来看这个题目啊，直线的方程被这个椭圆的方程呢，是四分之 x 方加 y 方等于一，然后直线 l 不 经过 p r， 也就是说 与椭圆 c 相交于 ab 两点 ab， 然后这里有一个 p 二， p 二 a 与 p 二 b 斜率和为三。试问这个直线是不是过定点啊？若过定点的话，求出来定点坐标， 那我们刚才说直线过定点，我们就直接设这个直线 y 等于 k， x 加 m 就 行了， 然后把它连立啊，整理出来一个二次方程，写伟大定律，然后呢把这个等量关系写上，就是 p a 加 p b 等于三， 那这样的话，整理出来一个二次函数，整理出来一个就是这个代换的表达定例，然后直接把它带进去啊，就可以解出来， m 等于三分之二， k 减一，然后再给他带到圆直线里边。你看通过这个就可以看出来，它过定点应该是负三分之二负一， 这样就做完了，也就是直线过定点，我们只需要设 y 等于 k， x 加 m， 然后求 m 等于 k 的 关系就行。 另外一个就是圆过定点，圆过定点的话，这个就比较麻烦了啊，所以我们一般不通过这个表达式去出，我一般就是先猜后正啊，先找两个特殊位置，一般呢就是找对称的，画两个圆， 然后画完圆之后呢，找到它的焦点，它的焦点呢，就是这个定点。比方说先画两个圆啊，这两个圆有个焦点 p， 那 我们接下来呢，就正这个 p 点在圆上就是 p a 向量点乘 p b 向量正，它等于零就可以了。那这个 或者写这个圆的直径是 x 减 x 一 乘以 x 减 x， 二 加上 y 减 y 一 乘以 y 减 y 二，括起来等于零，但是这个式子也不太好写啊。圆过定点的话，一般推荐这个第一种方法就是先找一个特殊位置，把这个定点猜出来，然后再正这个点，在圆上。 解析几何里边有一类这个双切问题啊，就是过一点做圆或者椭圆的两条切线。那我们来看一下这类题应该怎么做。 这个题的话，椭圆的方程啊，这给了就是四分之 x 方加外方等于一，然后过点 a， 做这个 a 的 话就是上顶点啊，零一做圆， 它的两条切线啊，分别于椭圆 c 交于 b、 d 两点，然后当这个 r 变化时，求直线 b、 d 是 否过定点？ 那这样的话，我发现过 a 点做的两条切线啊，它应该是存斜率，是存在一个关系的，因为如果你 ab 直线确定了，那这个圆的半径呢，也就确定了，所以这个 a d 直线呢，也就确定了。 那所以我们第一步呢，就是先找这两个斜率的关系，那这个时候我们先设切线啊，就是你别说设谁，你就直接设过 a 点的切线， y 等于 k， x 加一， 然后呢你来表示这个和圆相切的一个等量关系啊，就是圆心到直线的距离等于半径， 这个时候呢，你整理出来一个二次方程，这个二次方程啊，它是关于 k 的， 那这个时候 k 呢，就会有两个根，这两个根分别就是 ab 和 ad 的， 所以我们就可以得到 k 一 乘以 k 二啊，等于一，当然是因为这个 k 一 加 k 二，它没有这个固定的关系，所以就没写啊，就是用不到 k 一 乘 k 二是等于一的，这个关系比较特殊啊，所以我们要用它。那接下来呢，我们就设 b d 直线， b d 直线的话跟它连立，连立完之后，整理出来一个二次方程，就会出来这个尾答定里， x 一 加 x 二和 x 一 乘以 x 二，然后根据我们刚才写的这个 k 一 乘 k 二，其实就是 k a b 啊，乘以 k a d 等于一，带入这个尾答定里。 呃，然后再整理就会求出来， m 等于负三分之五， m 等于负三分之五的话，结合这个啊，就可以求出来这个直线过定点是零负三分之五啊，这个就是双切的一个问题。 然后就是同勾，同勾用的最多的呢，应该就是写几点几线的时候， 我们比较基础的就是过一个点，过椭圆上一个点做切线啊，这是 x 零 y 零，那它切线方程呢？就是 x 零 x 比 a 方，加上 y 零， y 比 b 方等于一。 然后我们还有一个说法，叫做几点极限啊，就是过椭圆外一点做椭圆的两条切线，然后这个是 a 点，这是 b 点，然后连 a b 求这个 a b 的 直线方程， 这个 p 点是 x 零 y 零，然后它也是这个 x 零， x 比 a 方加上 y 零， y 比 b 方啊，等于一。那它这个怎么求的呢？我们先设 a 点是 x 一 y 一， b 点是 x 二 y 二， 然后这样的话， pa 的 直线方程就是 x 一， x 比 a 方，加上 y 一， y 比 b 方等于一。 pb 的 直线方程啊，就是 x 二， x 比 a 方，加上 y 二， y 比 b 方等于一。 然后把 p 点代入，就是 x 一 x 零比 b 方等于一。这的话就是 x 二 x 零比 a 方 加上 y 二， y 零比 b 方等于一。然后通过这两个式子作比较，我们发现这个 x 一 x 二， y 一 y 二啊，是变的，所以我们把它变成一个 x， 就是 x， x 零比 a 方加上 y， y 零比 b 方等于一， 那 a 点在这个直线上， b 点也在这个直线上，那也就说明 a b 的 直线方程啊，就是上面这个式子，这是通勾的，一般的一个想法。 通勾，这里有一个比较典型的例题，涉及到这个三角形的外心，我们先看一下这个题目啊，就是 椭圆的标准方程是这个九分之 x 方加八分之外方等于一，然后这里有一个点， c 是 负三零，然后 d 点呢？是二零过 d 的 一个动直线与曲线 c 交于 m n 两点， 然后三角形 c m n 的 外心是 q， 我 们平时做题一般做的就是那个重心啊，很少做这个外心的。 o 为坐标原点，然后问你直线 o q， 然后与直线 m n 的 斜率之积是否为定值，也就是说我们现在应该要求一下这个 q 点，如果是定值，求出定值，如果不是的话，说明理由。 那好，那我们看啊，就是这个外心，它是垂直平分线的交点，你看这垂直平分线，呃，再连一个 c m， 再连一个 c n， 在 解析几何里边表示这个垂直平分线的话，我们需要知道终点， 然后的话，呃，再写这个，反正就是比方说 cm 吧，就是跟 cm 垂直的一个直线啊，这个反正写出来就不太好写，所以我们的一个想法呢，就是找这两个直线的时候，找这个 cm 和 cn 啊，因为它们俩是有一个对称的结构， 不找这个 m n 啊，虽然我们做题的时候会先设这个 m n， 但是我们不找它，我们看一下这个题目啊，就是先设，嗯， m n 的 直线 x 等于 m y 加二， 因为我们待会要设的是这个 m n 的 斜率和 o q 的 斜率，所以说这个 m n 的 斜率呢，是 m 分 之一啊，待会记着 连立这个方程，然后整理出来， y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后 c m 的 终点我们就可以写了，就是二分之 x 一 减三和二分之 y 一， 然后 c m 的 斜率啊，也可以写，写完之后呢，就是写这个 c m 的 垂直平分线， 这个点差啊，直接写就行了。整理一下，就是 y 等于这个是 k， 然后 x 减后面这个，那 c m 的 垂直平分线，如果是这样的话， 那 c n 的 垂直平分线呢？同理可得啊，直接把 y 一 换成 y 二就行了。然后我们现在呢，相交于 q 点，也就是说 q 点啊，可以代入这两个方程啊，其实就跟那个极点极线的那个写法是一样的， 带完之后呢，我们就会发现 y 一 y 二呢，是这个方程的两根。你看这个式子，就是把这个 x， 就是 把这个 x 换成了 x 零， y 换成了 y 零，然后这不是 y 一 y 一 y 二 y 二，然后这个嘛，然后我们就把这个换成了 y， 你 看这个式子，也就是说下面这个式子里边，这个 y 一 带进去是对的， y 二带进去也是对的。 那这样的话，我们一整理，他就是一个关于 y 的 二次方程，并且呢，这个 y 一 y 二啊，就是他的根。那这个时候呢，我们就可以得到 y 一 加 y 二啊，应该是等于这个式子的。而上面这个 y 一 加 y 二呢，也有啊，所以他们俩就相等， y 一 乘 y 二等于八十 x 零。上面这个 y 一 乘 y 二呢，也有啊，所以他们俩也相等带进来。带进来之后呢，你看我们让这两个啊，让他去做一个比一做比的话啊，就会得到这个式子， 五分之四 m 零对，五分之四 m， 然后再整理一下，就是这个 x 零 就 s 分 之外零，就等于负五 m， 然后这个 s 零分之外零，不是刚好就是这个 k o q 吗？我们这个题目就是让你求这个 k o q 乘以 k m n k m n， 我 刚才说的是 m 分 之一啊，这个是负五分， 嗯，负五，然后乘的话就等于负五就结束了啊，这个象形的外心还是乘的话，就等于负五就结束了啊，这个象形的外心还是挺难的。 我们这次讲的呢，是非对称表达定律的处理方法。非对称表达定律呢，一共有三种处理方法。第一种呢就是用曲线代换，嗯，当然呢，他有一个要求啊，就是这里必须是 x 一 加 a， 这边呢是 x 二减 a， 然后这样的话，我们上下同乘一个这个 x 二加 a， 那 这样的话我们就可以得到 x 二的平方减 a 方，然后呢就可以代换成这个式子，负的 b 方分之 a 方 y 二的平方， 这样的话，下面这个 y 二跟上面这个 y 二就消了啊，所以呢，我们就可以得到负的 b 方分之 a 方 y 二，那跟前面这个 y 一 交叉， n 倍的这个 x 二加 a， 跟这边这个 x 一 加 a 交叉，嗯，这样的话就又能做了。 第二种方法呢，是这个乘法转换加法，那这个时候呢，我们写完未答定义之后，先让他们俩比一下啊，得到一个值，那这样的话，这个 x 一 乘以 x 二，就等于 m 倍的 x 一 加 x 二，那也就是说把这个乘法呢直接转换成加法。 第三种呢，就是题目给了一个大的分式，并且他说这个分式是定值，那这个时候呢，我们就可以根据一个就是已知结果是定值了，所以说 上面这有一个 n 倍的 y 一，下面有一个 s 倍的 y 二，那这个时候我们让它凑成伟大定律，也就是说上面直接给它写成 y 一 加 y 二，那就像是多了一个 n 倍的 y 二，那你后边呢，就得减去一个 n 倍的 y 二，因为它是定值 啊，因为前半部分啊，就是伟大定律代换了，这有一个负 n 倍的 y 二。 题目说了，这个式子是被定值了啊，你没有办法，所以他必须得消去啊，所以结果呢，一定是负的 s 分 之 n 啊，这个呢，是需要有一个提前知道的结果。好，那我们现在讲的这个例题呢，是 第一种方法对应的啊，这个曲线代换，看这个题目啊，已知一个椭圆，并且还知道了 p 点零一， ab 呢，为椭圆的左右顶点， 过 a 点做斜率为 k 一 的直线交椭圆于 e， 连接 e p 并延长交于 f， 然后直线 b f 的 斜率为 k 二。告诉我们一个 k 一 等于三倍的 k 二啊，让你求 直线 ef 的 方程。那我们先来把这个图画一下，首先就有一个 p 点零一，嗯，左右顶点 ab 过 a 点，做了一个 k 一 啊，斜率为 k 一 的一个直线，它和椭圆交于 e 点，然后我们再把这个 e p 延长交于另外一点的 f， 再连这个 b， f 是 k 二，然后 k 一 等于三倍的 k 二。求直线 ef 的 方程，其实就是求直线 ef 的 k 呗， 所以我们考虑的话，直线 ef 呢，它是过定点零一的，所以我们设 ef 的 直线方程，跟椭圆连立啊，就可以得到 e 点和 f 点，然后呢，再表示这个 a e b f 的 斜率啊，也就是这个 k 一 等于三倍的 k 二，这样的话就可以得到一个等式了啊，这个等式边未知数呢，只有 ef 的 斜率啊，就能解出来。 好，那我们来看这个过程啊，首先呢，就是先设这个 e f 直线啊， e 点 f 点坐标，然后把这个椭圆跟直线连立，连立完之后呢，整理出来一个二次方程，这二次方程呢，有伟大定律， x 一 加 x 二， x 一 乘以 x 二， 然后因为 k 一 等于三倍的 k 二，那我们就可以直接写了。前面这个式子是 k 一 等于三倍的 k 二，那我们发现下面是 x 二减二啊，所以我们就处理它都成一个 x 二加二， 那这个式子时候呢，就变成了 x 二的平方减四呢，又可以写成负二倍的 y 二的平方啊，因为这个 x 二的平方比四，加上 y 二的平方比二，应该是等于一的两边都乘四，那 x 二的平方减四，就会等于负二倍的 y 二的平方啊，这样带的， 这样带完之后呢，跟上面这个 y 二就消了啊，消完之后就可以得到后面这个式子，那这样的话，还是这个负的 y 二，负二倍的 y 二，那把这个擦一下 这边这个负二倍的 y 二，嗯，跟前面这个 y 一 乘，这个 x 一 加二，跟三倍的 x 二加二乘，这样的话，我们就可以得到一个式子啊，负二倍的 y 一 乘 y 等于三倍的 x 一 加二乘以 x 二加二。 这样的话，我们就把这个非对称伟大定律啊，它这个系数不相同，给它转变过来了啊，用的是曲线代换， 那在知道的这个前提下呢，我们再直接代换伟大定律啊，就可以得到这个式子， 这个式子呢，解出来两个 k， 那 k 等于一和二分之一，这二分之一是可以舍去的啊，这个舍去的过程我就不写了，这有点麻烦。然后所以这个 e f 的 直线方程就是 y 等于 x 加一，嗯，这个是处理非对称伟大定律的一种方式啊，就是曲线代换。 今天我们来讲题次化啊，一个在特定情况下特别好用的一个方法。那他处理的呢，一般是斜率相乘啊，或者相加，当然我们平时做题遇到斜率相乘或者相加还挺多的，所以这个题次化呢，还是有比较学习一下的。 我先举一个例子啊，就是它问题的形式，如果是 y 一 减 s 比上 x 一 减 t 啊，乘以 y 二减 s 比上 x 二减 t 的 话，你看这个就是两个斜率相乘啊。如果是这种形式的话，那我们可以考虑如果把 y 减 s 比上 x 减 t 这个式子，如果作为一个整体的话，那上面这两个量明显就是这一个二次函数的两根啊，所以我们只要找到这个二次函数就行了。 那我们高中呢，要什么东西啊，我们就自己拿就可以了啊。我们这个时候呢，先改椭圆，因为我们要的是 x 减 t 和 y 减 s 嘛，所以我们就直接改，改成 x 减 t 再加 t， 改成 y 减 s 再加 s 啊，就硬拿。 这个时候呢，直接展开，展开之后啊，你看把它整理一下，你就发现这个是平方向，但是这个呢是依次向，后面呢是常数向。 那这个时候呢，好像不太行啊，因为如果都是二次项的话，你看如果都是二次项，我们做一个除法啊，同除这个 x 减 t 括起来的平方，如果都是二次项的话啊，就可以， 但是你像现在呢，他都是有二次的，有一次的也有长竖向。那怎么办呢？就得靠这个直线了啊，我们把直线也写出来，直线也是啊，我们要什么就还是硬拿，呃，就 x 减 t 和 y 减 s， 然后我们把这一部分， 因为这个直线这个方程不是等于一吗？然后我们把这两部分给它相乘，那这个时候乘出来之后呢，他就是一个二次的 长竖向这部分呢？你把这个直线，因为直线这不是等于一吗？你把它平方，然后再跟他乘，那这样的话也就会变成二次的。但是这个就比较麻烦了，我们高考里面出的很多题，还有模拟题啊，这个长竖向这部分啊，一般都是零。 那我们再来看一个例题，现在有一个双曲线啊，二分之 x 方减 y 方等于一点 a 呢，是二一直线和双曲线交于 p q 两点啊，求这个已知的是 k a p 加 k a q 等于零，求直线的斜率。 那我们看题目要求的结果呢，是 y 一 减一除以 x 一 减二，加上 y 二减一除以 x 二减二等于零，他呢非常符合这个奇次化的形式，跟刚才说的哎，一模一样。所以呢，我们就来上手了，还是要什么直接拿啊？ 我们要 x 减二来了啊，要 y 减一啊，也来了，那这个直线呢，仍然也是减二减一。 那我们把这个曲线啊，先整理一下，曲线整理完之后呢，我们就发现后面这部分是一次的，你看前面这部分是二次的，那我们就把后面这部分， 你看把后面这部分和这个直线相乘，因为这个直线是等于一嘛，所以它成了之后呢，应该是不动的，那这样的话把它再一整理， 你看这个时候呢，就都是二次的了，那都是二次之后呢方，方程两边同时除以这个 x 减二的平方。 好，那这个时候呢，它就可以换成这样啊，同除 x 减二的平方嘛，那我们就会发现这个 你看它现在就作为一个整体的变量了，那二次函数的两根啊， x 一 加 x 二， 用尾答定律啊，就可以直接表示出来，然后他是等于零的，他如果等于零的话，那也就是上面这个四 n 减四 m 等于零，也就是 m 等于 n， 就 可以求出来这个 k 等于负一。 这个题次化唯一不好的就是他没有解答定理那一步，也就是说高考的时候呢，要不然你就做对，要拿一个满分，如果你结果错了，过程分可能得不到，所以我一般不太建议我的学生用这个题次化。 今天我们来说的是仿设变换啊，做解析几何题的时候啊，有的时候比较复杂，然后经常会看见有人说这个仿设变换可以直接秒， 那我们今天呢，就来讲一下这个放射变换是个什么意思。当然呢，这个放射变换呢，我是不建议考试的时候用的，我们来看一下它具体的一个过程。 放射变换的话，就是有一个椭圆，那这个时候呢，我们给它做一个伸缩变换啊，变成一个单位圆，因为这个椭圆的话， 哎，他不就这样有点扁吗？然后我们给他 x 方向和 y 方向啊，分别都缩小 a 倍和缩小 b 倍，那这样的话，我们就可以把它缩成一个圆了，那这个时候我们只要能找到先后的这个顺序， 先后的这个性质啊，这样的话，我们就可以把这个椭圆的各种的问题啊，转化成圆的各种问题，而圆的话就会比较好做 变换。前后的点呢，我们前边就是 ab 啊，后边的话就是 a 撇和 b 撇，斜率就是 k 和 k 撇， a o， aob 的 面积啊，就是 s 和这个 s 撇， s 撇都是变换之后的第一个性质呢，就是它这个斜率， k 啊等于 a 分 之 b， k 撇啊，也就是 k 比 k 撇等于 a 分 之 b， 因为它我们这个变的话，它数值方向啊，变 a 倍，水平方向变 b 倍，那数值方向如果变的话，它相当于是在扩大，然后水平方向变 b 倍的话，它相当于是在缩减， 因为它是一个除法嘛，斜率啊，是数值的除以水平的，它虽然都是扩大的一个倍数，但是反映到这个 k 方面啊，数值方向这个扩大的倍数 就是这个还是这个倍数，然后水平方向扩大，这个倍数就应该是它的分之一 面积面积，这个呢，就是啊水平方向和数值方向的放缩，那这个的话就是直接乘起来啊，因为面积嘛，就是底乘高， 那他这个高放缩的倍数和这个底放缩的倍数直接乘起来，那就是结果。还有一个就是长度啊，这个长度的话就需要记一下，让他不太那么正常。 还有一些就是位置关系啊，就是三点共线啊，直线的平行啊，还有这个直线和椭圆的关系啊，就是相交啊，相离啊， 还有这个相切啊，就是原来如果是这个关系，他放缩成这个圆之后啊，还是这个关系，还有这个直线的等分点，比如三等分点，二等分点，这个三角形的四心，然后就是变完之后，这个东西还是 就是还是在那个位置线段的笔直，也就是说如果你求的是两线段的笔直啊，在椭圆里边，然后当你放缩成这个圆之后啊，他仍然是一个笔直，这个笔直是不变的 面积的比值啊，也就是说你求的是在椭圆里边一个面积的比值，然后你放到圆之后，直接求在圆里边对应的比值就可以，这样的话操作就会简单很多。 我们看这个题，有一个椭圆啊，动点 p 满足 o p 向量等于 o m 向量加二倍的 o m o n 的 斜率之积为负二分之一， 然后存在问你存不存两个点， f 一 f 二，使得 p f 一 加 p f 二为定值，那 p f 一 加 p f 二定值的话，那这个 如果有一个 f 一 有 f 二加起来还是定值，那他显然应该就是一个椭圆啊。如果是椭圆的话，那其实就是求这个 p 点的轨迹嘛。好，那我们看这个我们的求法，我们就求 p 点的轨迹方程就可以了， 那我们先把它做一个这个反射变换， x 撇等于二分之 x 啊， y 撇呢，等于根号二分之 y 啊，就是一个是 a， 一个是 b 嘛。然后大家往这一带啊，就是 四 x 方被四 x 撇平方比四加上二倍的 y 撇的平方比二等于一，那这样一整理的话，就会变成这个了，那 s 撇平方加 y 撇平方等于一，这个呢就是一个圆，然后呢，这个 m n p 点坐标啊，分别也变一下， 变完之后呢，这个 k o m 啊，乘以 k o n， 这个斜率原本等于负二分之一，当我们变完之后呢，它应该就等于负一了啊，就是我们刚才上面那个性质， 那相乘等于负一的话，也就是说 o m 撇和 o n 撇，它应该是垂直的，那它垂直的话， p 撇 p 点这个啊，这应该是 p 撇， p 撇坐标呢，设成 x 撇 y 撇，然后 n 撇坐标直接用三角代换，三角代换的话，这个是阿尔法，嗯， 椭圆里边，这个，你看椭圆里边，如果你设这个点坐标的话，参数方程它是 a 位的 cosine 法， b 位的散而法，这个而法呢，不能代表这个角度啊，就是这个角度，不是而法， 但是如果在圆里边的话，你看这个点坐标，如果是 r cosine 法啊， r 散而法这个而法呢，就代表的是这个角度。 好，那因为它是九十度的话，所以我们这个 m 撇对应的坐标呢，就可以是 cos 阿尔法加二分之派和这个 cos 阿尔法加二分之派。 诱导公式啊，把二分之派去掉，负的 cos 阿尔法， cos 阿尔法，然后再利用这个 op 向量啊，因为它这个 项链嘛，其实放松完之后，它是关系是不变的，那这个屁撇呢，就可以得到二倍的 cosine 法减 cosine 法和二倍的 cosine 法加 cosine 法。 这个时候呢，我们直接把它们两个平方加起来，你就发现它等于五，也就是说这个屁撇的轨迹呢，是一个圆啊， s 撇的平方加 y 撇平方等于五， 那我们放松的时候，就是你看这个经过反射变换之后，圆题目的椭圆就仿射成一个圆了啊，也就是说如果我们再变回去的话，这个圆呢，也会变成椭圆，那这边这个圆他反射变换回去也会变成一个椭圆， 那反射变回去之后呢，就可以变成这个就是屁点坐标，二十分之 x 方加十分之 y 方等于一，也就是说存在的这两个点呢，就是它的焦点啊，这样就可以了，反正这个反射变换呢，就是 把这个椭圆直接按倍数给他变了就可以啊，变成圆，然后这里边的各种性质呢，就直接， 嗯，把这个背一下就可以，像这种各种性质，当然考试的时候呢，其实就正常做就行，这个不太建议用。 今天我们来讲一下这个几点极限在做解析几何大题的时候有什么用？嗯，几点极限这个东西呢，它其实是一个二级结论，但是很多人呢总是说，哎，这个几点极限记了也没有用呀，对吧？啊？在大题里边也不能直接写， 那我们今天呢来展示一下这个几点极限记住之后呢在大体中的作用。首先呢就是这个几点极限的定义， 这个啊应该很多人都没有问题啊，这如果不太清楚的话，可以去看一下我写的那个圆锥曲线的二 g 结论啊，那个里边有证明，就是你果椭圆 y 一 点 p x 零 y 零，嗯，做椭圆的两条切线， p a p b， 然后把这个 a b 连起来， a b 的 直线方程呢，就是这个，呃，就是换一半啊，其实跟那个切线的规律是一样的，当然这个 p 点如果在椭圆内啊，也是一样的，过 p 点做一根弦，然后这两个弦的端点呢是 a 和 b 过 ab 分 别做切线，那这个时候呢，他这个切线啊，就会有一个焦点 m， 然后这个 m 呢在定直线上，这个直线呢也是啊，这个换一半的规律， 大家首先呢得先明白这个，然后呢就是得明白一个自极三角形啊，大家可以暂停把这个定义看一下，然后呢我来解释一下啊，这个怎么理解？ 考试的时候呢？呃，我们自己三角形的理解呢，就是任意一个四边形啊，就任意找一个四边形， 这个的话就是 a、 b， c、 d， 然后这个四边形呢，对角线连线会有一个交点，你看就是这个屁点，然后这个边的延长线啊，也会相交 m 点和 n 点，然后这个时候呢，这个 这三个点构成的三角形呢，叫自极三角形，也就是说 p 点，它所对应的极限呢，就是 m n， 然后 这个 m 点对的极限啊，就是 p n， 也就是说如果你知道了 m 点的坐标，那 p、 n 直线的方程呢，你就能写，如果你知道了 p 点的坐标，那 m， n 直线的方程你也能写。好， 那我们来看这个题目啊，这是我们的一道模拟题，大家可以先看一下题， 他说呢，有一个椭圆 e， 它的 ab 呢是左右顶点啊，然后点 m 大 m 小 m 零，与椭圆上点距离的最小值为一，那这个的话，求这个小 m 的 坐标是很容易求的，就是三零， 然后主要是第二个过这个 m 做一个直线 l 交椭圆 e 于 c、 d 两点，然后连接这个 a、 c， b， d 交于点 g， 证明啊，这个这点在定直线上，那正这点在定直线上的话，其实我们就是成求这个这点的横坐标 x 跟他的纵坐标 y 之间的关系。 那我们先画一下图啊，有一个椭圆，还有一个 m 点过 m 呢，拉直线 c， d， 然后把这个 a、 c 和 b d 连起来，相交于点 g。 那我们做题的思路呢，也很简单，就是先设过 m 的 直线 c、 d， 然后连立出伟大定律。第二个呢，就是直接写直线 a c 和 b d 啊，两点式写就可以了，相交呢，得到 g 啊，也就是说这两个式子呢，连立 好。第一个呢，就是先设这个直线方程，然后椭圆跟直线连立出伟大定律 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，然后呢再写这个 a c 直线，再写 b、 d 直线。好，那接下来应该怎么办呢？ 嗯，其实接下来的话，就应该求这个这一点的横坐标啊，跟这个这点纵坐标。那这个时候呢，我们发现这个 a、 b、 d、 c 这四个呢，可以构成一个四边形，而且这个 m 点是边长的延长线，这个这点呢，也是一个边长延长线啊，所以也就是说， 嗯，哎，这个点是 c， 这个点是 a， 这个点是 b， 这个点是 d， 这是 m， 然后这是 j， 也就是说这个 j 是 边长延长线的交点，这个 m 呢，也是，那也就是这个 j 呢，应该在 m 点对应的极限上， 这应该在 m 点对应的极限上，对吧？因为那个自极三角形嘛，那这个 m 点对应的极限，我们代入啊，就是三 x 比四加上零 y 比啊，没有 等于一啊，也就是解出来这个 x 呢，应该是等于三分之四的，也就是说，我们现在知道这个这点，他所在的直线啊，应该是 x 等于三分之四，也就是说你求这个这点的横坐标啊，他应该是横成立的啊，所以这个式子 我们让它外相等，这样就能解 x 了啊，也就是说我们让它外相等，也就是这个式子等于这个式子啊，这个式子不就是用来求 x 的 吗？然后我们就可以直接得到 x 等于三分之四， 这样的话你就可以得到满分。当然如果你这个有时间比较多的话，你可以在这一步啊，把这个 x 整理一下，然后把尾答定里代入一下，这样的话这个估计更能得满分， 可以吧，就是说这个字迹三角形和几点极限记一下还是非常有用的。 关于这个调和点列的知识啊，我想把它分成三部分来说，第一部分就是这个调和点列和这个阿是圆，那第二部分是这个调和点列和这个几点极限啊，这个也是考试中考的最多的。 第三部分呢是这个调和线数与自极三角形，这个的话就比较难了，如果知道这个结论的话，将会做的特别好做，如果不知道一般呢也就做不出来了。我们这一次呢，先看第一部分啊，就是这个调和点列和这个 r 是 圆。 先看这个调和点列的定义啊，就是对一个给定的线段 a、 b， 他 有一个内分点 c 有 一个外分点 d， c， a 比上 cb 等于 d， a 比上 db， 那 这个时候呢，这个 a、 c， b， d 四点就构成一个调和点列， ab 叫做基点啊，也就是说 开始的两个点先给出来 cd 呢，叫做内外分点，画图的话就是这样画，就是 ab 两个点先给了固定，然后出来一个 c， 出来一个 d， c， a 比 cd 是 一样的， 那到这的话我们就会想到这个 r 式圆的定义， r 式圆的话就是有一个线段 a， b， c 点呢是动的，然后 c a 到 c b 的 比值是定值，那这个时候的话，如果我们放在这啊，就是 c a 比 c b 等于 k， 那 这样的话，它就是 r 式圆，对吧？它如果是 r 式圆的话，那你看啊， 和我们这个题的定义是很像的，因为它如果是 r 是 圆的话，那我们画出来图，就是有一个 ab， 两点是固定的，然后这个 c 呢，到 ab 的 距离比为定值，然后 c 点啊，它的轨迹是一个圆，这样一画，那这个圆呢，就会跟 a b 这两点有两个交点啊， c 一 和 c 二，那这个 c 一 呢，是符合 a c 一 比上 b c 一 等于 k 的， 那 c 二这个点也符合 a c 二比上 b c 二等于 k， 那 这个式子的话，它不就是这个调和点列吗？ 这个呢，是比较简单的一个，那我们看一下这个类似的题，有一个三角形 abc， 然后这个 ab 等于六，有一个边长， ac 等于二倍的 bc， 求这个三角形面积的最大值，那这样的话，也就是说 ab 是 定的， c 是 一个动点，那我们就找这个轨迹呗，那由 r 是 圆可知呢，这个 c 点的轨迹为一个圆，那如果我们画图的话，它就是这样的，那这个时候呢，这个圆和 ab 就 会有两个交点， c 一 和 c 二， 那这样的话，它 a c 一 bc 二，它是一个调和点列，所以呢，它就符合我们这个规律，也就是说 a c 一 等于二倍的 bc 一， 那这个时候我们就可以解出来这个 bc 一 等于二，那同时 a c 二呢，也等于二倍的 bc 二，就可以解出来 bc 二等于六，那这两个联合起来，就可以解出来这个 c 一 c 二的长度啊，就是八，也就是说这个二 r， 那 也就是说半径啊，这个半径这个高 是四啊，最大的时候，所以这个面积 s 就 等于二分之一，乘以底乘高就算出来最大值了。那这个是做题的时候考试的，一般就是填空选择会出的 这个是调和点列，和这个阿是圆啊有关的一个知识，那我们如果想学好这个调和点列的话，还得了解一下它的几个性质。嗯，第一个呢就是调和性， a c 分 之一加 a， d 分 之一等于 ab 分 之二，那这个呢是得背一下的 共恶性，也就是说如果你正着说 a c， b d 是 调和点列的话，那你反着说 d b c a 也是调和点列，那这样的话它也符合这个调和性这个等式。 第三个的话就是啊，这个不是调和性，就是 ab 的 中点为 m， 然后这个 m a 的 平方等于这个 mc 乘以 m d 啊，这个也是就背一下就行。 c d 的 中点为 n， 就是 反过来吗？ n c 的 平方等于 n， d 的 平方等于这个 na 乘以 nb， 我 们今天来说的呢，是这个调和点列和极点极线相结合的时候啊， 那首先呢就是这个调和点列啊，我们在上一篇已经说过了他的定义，那如果他和几点极限相结合的话，首先就是这个椭圆外有一个点屁，然后我们过这个屁点呢 拉一根弦，那这样的话他和这个椭圆就会交于 ab 两点，然后这个上面呢？ q 啊， q 是 怎么产生的呢？就是做 p 的 极限，然后这个 p 的 极限呢，会跟这根弦相交于点 q， 那 这样的话这个 b q a p 啊，就是一个调和点，调和点列，那同样啊，就是如果我们这里已经有一个 p 点了，然后我们先找到它的极限，这个时候呢，我们过 p 点再做一根啊，这个椭圆的弦相交于 ab 两点， 那这个时候呢，和极限啊，也会交于点 q b q a p 啊，也是一个调和点列，这个呢是它的两个性质， 那我们来看这个题目啊，这里已知有一个椭圆，四分之 x 方加二分之外方等于一过这个 p 点四零的动直线 l 和 c 交于不同的两点 ab， 在这个线段 a b 上呢，取一个点 q， 它满足的呢是 a p 乘以 q b 等于这个 a， q 乘以 p b， 证明这个 q 点总在定直线上。那如果我们画一下图的话，它的图像大概就是这样的， 所以我们可以看一下它符不符合这个调和填列，那也就是说把这个已知条件给它变一下，变成这个 p a 除以 p b 啊，就等于这个 q a 除以 q b， 这样一比的话，我们就发现它应该是符合这个调和点列的，也就是说这个 q 点呢，应该在 p 点所对应的极限上啊，也就是 x 等于一，那也就是说呢，这个 q 点 最后要求的结果就是在定直线 x 等于一上。那我们接下来呢，就是要写这个过程，那首先就是写这个直线 y 等于 k 倍的 x 减四，最后把这个 q 的 横坐标整理出来，然后得到这个 一个关于 k 的 表达式啊，直接让它等于一就可以了。那我们来写过程的话，首先是先写 a b q p 的 坐标，把这个长度表示一下，这个长度其实就是它的翻译方式嘛，根号下一加 k 方乘以这个 x 之间的差， 这个是已知条件啊，然后把这个已知条件代入整理这个 x 二， x 一， x 零，还有这个四啊，它都是有大小关系的，所以可以直接去绝对值，那去完之后呢，等于这个式子，然后我们再把它整理整理成 x 零等于什么？ 我们其实已经知道这里的 x 零是等于一了，对吧？那我们得分的话，写一下这个连立，整理出来伟大定律， 然后整理出来伟大定义之后呢，我们下一步就直接带入等于一啊，因为考试的时候，对吧？你想得到这个分数，你想多写一步的话，你就把上一步这带好啊，当然呢，这个算的结果就省了，绝对结果肯定是一， 那这样的话就得到结论， x 等于一，也就是说这个方法呢，还是非常好用的，当然你用这个定比点差去正啊，也是可以的。 今天我们来讲调和线数与自极三角形，这个相对于极点极线来说呢，就更麻烦一点。那我们首先呢来看一下它的定义啊，和它的一些性质， a、 c、 b、 d 四个点呢，是调和点列啊，这个是一个前提， o 呢为直线外一点，那我们把 o 跟这四个点分别连起来， 那这样的话，这四根直线呢，就构成了调和线数。他的第一个性质呢，就是如果你再找一根直线啊，和这四个直线相交，那这个时候呢，这四个交点仍然构成调和点列，也就是说这个啊是调和线数，那我们旁边再拉一根直线， 又会有四个新的交点，那这四个交点呢，仍然是调和点列。第二个呢，就是调和线数呢，一共有四条直线，如果我们取其中一条的平行线， 那这样的话，这根直线呢，就会跟另外三条相交 abc， 那这个 b 呢，就会是 a c 的 终点。那我们这个例题讲的也是这个性质，它是应该是高考的一个乙卷啊，一个高考题， 那从图像上来看的话，就是这样的，就是四根直线，呃，我这个其中有一根直线是水平的，那我再拉一根水平的直线，那这样的话有三个焦点，那这三个点呢？ b 就是 它的终点。 第三个性质呢，就是调和线数的四条直线，如果有一条是和 x 轴垂直的，那这个时候呢，另外三条直线的斜率啊，是成等差竖列的，就是这样的，就是一条垂直，另外三条呢，成一个等差竖列。 那我们看啊，这个，这是我们这个自极三角形，那自极三角形的话，它这两个点 m 点还有 n 点，你看它这里就是延出来了四根直线啊，这四根直线呢，刚好就是调和线数， m 点和 n 点，对的，这四根直线都是一个调和线数。好，那我们来看一下这个例题啊，这个忘了取消啊，待会我们看这个，先看这个例题，这就是那个高考的一个乙卷， 已知这有一个椭圆，然后过 p 点一负二，它这个直线呢，和 e 交于 m 两点，有点 ab 啊，这两个点呢，是椭圆上的点，过 m 做一条 平行于 x 轴的直线和线段， a b 交于点 t， 然后这个点 h 呢，满足 mt 向量等于 t， h 向量其实就是过 m 点交于点 t， 然后再往这沿沿，这个长度一样的啊，到这个 h， 然后它让我们证明的是 h n 过定点，那画图的话就是这样的一个图， 那这个图的话，这个题做过的啊，不管是老师还是学生啊，应该 就是都都还是挺烦的啊，因为他这个题的计算量特别大，那我们观察这个题的话啊，你看这个 p 点，他所对的极限呢，是这个二 x 减三， y 减六等于零，而我们这个题的直线 ab 的 个 方程刚好就是屁点锁定的极限，那也就是说这个 n 点啊，还有这个焦点 m 点，再加上这个屁点，这四个点呢，刚好就是一个调和点列，那这里有一个 a 点，那你看这个 ap， 呃， am， 这是 a， 嗯，这个是 p am， 然后这是 ab 这根直线，然后这个是 an 这根直线，那这样的话，它刚好呢就是一个调和线数 过 m 点，拉的是一根水平的线，那这个水平的线呢，跟 ap 啊，他就平行。根据我们刚才调和线数的那个性质呢，和 ab 的 交点是 t， 那 我们假设和 a n 的 交点如果是 d 的 话， 那这个时候呢，这个 mt 啊，就会等于 t d， 而根据题目的描述呢， mt 等于 th 啊，也就是说这个地点和这个 h 点啊，应该是同一个点，也就是说题目让我们正的这个 h n 过定点， 呃，也其实它过的这个定点呢，应该就是 a 点，对吧？那所以待会呢，我们正的时候，直接正这个 h n a 三点共线啊，就就就更好了。那我们看一下这个，知道这个之后呢，就可以在我们做题的过程中啊，省掉好多东西。 做题的思路呢，首先第一个就是设过 p 点的直线，设这个直线方程连立伟达定里呢，写出 m 点和 n 点的坐标，这个时候未知数啊，只有一个 k。 第二个就是通过 m 点，还有这个直线 ab 写出来这个 t， 写出来 t 之后呢，再得 h， 这个时候未知数呢？还是过 p 的 这个直线的 k 啊。第三个呢，就是通过写两点式 得到 n h 的 直线，研究新直线的 k 和 b。 那 我们刚才呢，其实还有一个想法，就是 直接研究 nha 三点共线啊，这个呢应该是更好，那这样的话，设直线的时候， 他没有说这个 k 不 存在吗？对吧？所以说我们可以先考虑这个特殊情况不存在的时候，那我写的时候就不写这个 k 不 存在了，我就直接按这个 k 存在的部分啊写一下，就是先设这个直线 y 等于 k 倍的 x 减一加二，然后 m 和 n 点的坐标连立，这个方程啊，写 x 一 加 x 二和 x 一 乘以 x 二为达定力。然后呢，这个直线 ab 表达出来， ab 表达出来之后呢，我们根据这个，因为是在 m 点，就这是 ab， 这个点是 m 吗？ m 往这拉一根线水平拉的啊，所以说这个 t 点坐标能求，因为这个长度 h 点长度跟它相同，所以这个 h 点坐标呢，也可以求出来。 那求出来之后呢，我们就是想的是直接正啊，三点共线，那这样的话，我们就写两个向量， a n 向量和 a h a h 向量，然后证明它共线的话，其实就是直接把它们之间做一个减法啊，当然这是交叉相成之后的减法， 如果我们算出来等于零就对啊，如果算出来不等于零啊就不对，当然如果我们没有就是没有说这个调和线数这个知识的话，就是我们不知道他们三点共线，也就是说我们想着，哎，算出来之后万一不对呢？ 但是如果我们知道这个调和线数的话，我们已经猜好了啊，他就是这三点就是共线了，也就是说他减出来之后呢，一定是零。那我们这个时候啊，直接带一样伟大定律啊，也不用算，直接让它等于零啊就得了，那这样的话我们就可以挣出来这个直线过的定点呢是零啊。负二， 这个如果你纯算的话，大家感兴趣可以查查这个答案啊，就是计算量特别大， 我们来讲一下这个定比点叉反在解析几何大题里边的应用。 那首先呢，我们就得先了解一下这个定比分点公式啊，知道 a b 两点的坐标的时候啊，可以求出来这个 p 点坐标， 那这里呢有一个证明，已知条件呢是 a p 向量等于 l m w 的 pp 向量， a 点坐标和 b 点坐标， p 点坐标呢，我们设成 m n， 然后我们要求这个 p， 那 这个时候呢，直接写这个向量的一个表达式就可以啊，然后就可以把这个 m 推出来， 那同理呢，这个 n 也可以推出来，那这个时候呢，我们就可以得到 p 点坐标了。 好，这个呢是我们需要记的一个公式，那我们来看一下这个题目实际中的应用。看这个例题啊，这里呢有一个椭圆 m， 然后呢斜率为 k 的 直线 l， 嗯， 它和 m 呢有两个不同的交点， a b， a 点和 b 点，然后有一个 p 点啊，这个负二零，这里有一个 p 直线 pa 和椭圆 m 的 另一个交点为 c， 然后直线 p b 与 m 的 另一个交点为 d 啊，也就是说我们需要把 pa 和 p b 连一下， 产生了 c d 两个点，然后 c d 和 q 是 共线的，那也就是说把这个 c d 直线一连，它经过这个 q 点啊，这个负四分之负的，嗯，四分之七，还有四分之一， 求 k 的 值啊，这个 k 呢，是直线 ab 的 这个 k， 那 也就是说呢，我们已知的条件啊，是一个 p 点和一个 q 点坐标，然后呢这个 c d 直线经过 q， 求这个 ab 的 斜率， 那我们这个题呢，主要就是把这个条件翻译一下 abcd 四个点坐标，然后已知的呢是这个 cd 过定点嘛，所以说我们就可以写出来这个 cd 的 一个关系，然后让我们求的呢是 ab 的 斜率啊，那也就是 y 一 减 y 二除以 x 一 减 x 二呗， 那也就是说我们呢把上面这个式子里边的啊，这个 y 三 x 三， y 四 x 四，转化成这个 y 一 y 二 x 一 x 二啊，就可以了，也就是说我们需要找他们之间的关系，然后做题的思路呢，就是把这个啊转化成后边， 然后呢我们利用定比点差啊，这么一个参数啊， round， 然后呢实现一个转换。 好，那我们来看做题，我们先设这个点坐标，然后呢设 a p 向量等于拉姆大倍的 p c 向量， b p 向量呢等于喵倍的 pd 向量， 那这个时候呢，根据这个公式啊，就可以直接出这个 x p， 那 这个外 p 呢也能出来，那然后呢 a c 在 椭圆上，所以我们就可以写两个式子代入，后面这个式子呢是相当于是都除了都成了一个拉姆方， 然后呢把这两个式子做叉，做叉的时候呢，我们把它整理一下，那这样的话，你看就是蓝色啊，就是蓝色的这一部分，他应该刚好呢，就是这个 x p， 然后绿色的这一部分呢， 现在还不知道，就在这放着就可以了。然后蓝色的这部分 y， 那 你看他刚好就是这个 y p， 所以 这个时候呢，我们把它带入就可以得到 一个式子啊，也就是说这个式子啊， x 一 减拉姆的， x 三除以一减拉姆的啊，等于负二分之三。 那这个时候呢，我们把这个式子写在这和 x 一 x 三有关的呢，还有这里有一个式子，那你看这个 x p 等于负二啊，也就是把这个式子拿过来了啊，这个式子， 然后这两个式子连累呢，我们就可以解出来 x 一 等于多少， x 三等于多少，也就是说把这个拉姆达呢，作为一个中间变量，就可以把这个 x 三变成 x 一， 那同理呢，这个 x 二和 x 四啊，也可以得到，那再根据这个向量，然后我们可以把 y 的 关系呢也写出来。好，那这个时候呢，也就是说这个关系呢，我们就剩下代换了 c d q 共线啊，那这个时候呢，就是 k 相等嘛，然后我们就可以写出来这么一个式子，那这个式子之后呢，我们把这个 y 三 x 三， y 四 x 四啊都代换掉，代换完之后呢，这个式子里边现在就只有 y 一 y 二 啊，这个是我们要的啊，但是这个拉姆达和 miu 呢，我们不要啊，也就是说我们在利用这边这些式子，你看这个拉姆的这个式子和这个式子，拉姆达和 miu 呢，其实都可以换成这个 x 一 和 x 二，那我们再一换呢，就可以换出来下面这个式子， 然后它就等于这个 x 一 减 x 二，也就是说 y 一 减 y 二，除以 x 一 减 x 二就等于一啊，也就是 k， 这样的话，这个题就做完了啊，也就是说定比点差这么个东西呢，它只是找，就是利用它作为一个桥梁啊，把这个坐标之间做一个转换。 今天我们讲这个队友点差，在解析几何里边的一个应用。那首先呢，我们先来了解一下这个队友式啊，它核心的意思呢，就是说 如果这个直线上有 ab 两个点啊，并且这个直线过的如果是 x 轴上的定点 大 m 啊，这个小 m 零，那这个小 m 的 这个式子啊，就可以直接写出来啊，这个公式呢，我们把它背一下，然后他有一个对应的这个队友式啊，在这，那他如果直线过的是 y 轴上的定点 n 啊，这个零 n 的 话，这个小 n 的 值啊，也可以直接用公式带出来。那这里呢，这这边有一个证明啊，大家可以自己去看一下啊，就是设 am 向量等于拉姆单位的 mb 向量，然后三个点坐标都写出来，这个时候呢，这个外值啊，这个值是等于零的，所以我们就可以得到拉姆 单位负的啊，这个 y 一 比 y 二，然后呢我们把这个拉姆单位到上面这个式子里边啊，就可以出来这个 m 的 表达式， 这个 m 的 值就正出来了。下面这个式子呢，我们把方程两边同乘以 y 二的平方，再把方程两边同乘以这个 y 一 的平方，嗯，然后这个时候把两个式子相减啊，就可以得到下面这个式子。 下面这个式子呢，再整理一下就可以得到。这个队友是 x 一 y 二加上这个 x 二， y 一 等于呃， a 方乘以这个 y 二的平方减 y 一 的平方除以 x 一 y 减去 x 二 y 一， 它和那个定比点差一样，也是你记住这个公式，然后套用就可以了。 我们来看一下这个例题，已知一个椭圆啊，四分之 x 方加 y 方等于一，然后这里有一个直线，这个直线呢，过的这个应该是负一零，这个点 与 e 交于两个不同的点 m n， 这里有一个点 p 一 零，然后 pm 和 p n 分 别与 e 交于 cd 两点，判断这个直线 cd 啊，是不是过定点。那我们来画一下图啊，首先呢，就是有一个椭圆， 有一个 p 点啊，这个是一零，题目告诉我们了，然后这个直线呢，它过的点是负一零，那与椭圆相交于 m n 两点啊，这个是 m n， 然后我们再连这个 m p 和这个 n p 分 别和椭圆交于 c d 两点， 然后再把这个 c d 连起来，让你证这个 c d 呢，是不是过定点，它这个还是呢，有两条相交的直线啊，并且 这两条相交的直线呢，它过这个点都是这个一零。 m n 直线呢，过的点是负一零，那它都过的是 x 轴上一个定点，所以我们就会考虑到先设这几个点的坐标， 然后呢，直线 m n 过的点是负一零啊，所以就可以写一个对偶式，这个小 m 等于 x 一 y 二减去 x 二， y 一 除以这个 y 二减 y 一， 等于负一 直线 m c 和 n d 啊，它也都过 s 轴上的一个定点，所以这两个式子呢，我们都可以写一个关系啊，一个是 x 一 y 三减 x 三 y 一 除以这个 y 三减 y 一 等于一。 一个是 s 四， y 减去 x 二 y 四啊，除以这个 y 二减 y 四等于一。 如果我们能得到这个 x 三减 y 四乘以 y 四减去这个 s 乘 y 三，比上这个 y 四减 y 三等于几的话，比方说我们算出它再等等于五啊，或者等于六啊，那我们就能证明这个直线过的这个定点啊，是五零或者是六零 啊，这个呢，是我们的一个想法，所以呢，我们就是把题目中所给的这个 x 一 x 二， y 一 和 y 二啊，都转化成 x 三 x 四和 y 三 y 四。 那基于这个想法呢，我们来看一下这个题目，就是我们整体的思路啊，是从这往这变啊，先写这个 mc 的 队友，是 因为这个 mc 队友是他过的是一零这个点嘛，然后我们把这个一还有这个 a 方啊都带进去， 然后我们这个时候整理呢，就可以得到 y 一 和 x 一， 因为我们刚才说了，我们是想把这个 x 一 x 二 y 一 y 二啊，上边这一排换到下边这一排。 好，那我们同理呢，也可以得到 y 二和 x 二，那这个时候呢，就好办了， m n 它的对偶式呢，有一个这个式子啊，就是 x 一 y 减去 x 二， y 一 等于 y 一 减 y 二，这个式子里面呢，都是 x 一 x 二 y 一 和 y 二，而我们要的呢是 x 三 x 四 y 四， 上面这里啊，刚好求出来了他们的关系，所以我们就直接把他们带入就可以了。 然后这个带入之后呢，再整理一下啊，也就是我们刚才说的这个，我们要整的是 x 三 y 四减去 s 四， y 三等于后面这是七分之十三倍的这个 y 四减 y 三， 那这样的话，我们就能通这个直线 cd 的 队友式啊，知道直线 cd 过的定点呢，应该是七分之十三零，这个队友式的话，他需要背的这个 方程啊还是比较多的啊，也是直接套用就可以。我们再来看一个这个队友点差的一个例题，那首先呢，就是这个队友点差的一个例题，那首先呢就是这个队友点差的一个例题，那首先呢就是这个队友，是啊，还是必须要记清楚 看这个题目啊，已知一个椭圆 x 方比九加上外方比五等于一，然后过这个椭圆呢，左右两个顶点， a 一 a 二 做了一个直线 a 一 m a 二 n， 然后与 c 分 别交于 m n 两点，他说的这个 m 应该是在上方， n 在 下方， 与 y 轴呢连线啊，连线的话与 y 轴会交于这个 p q 两点，那若这个直线 m n 横过定点一零啊，并且呢 op 的 模等于拉姆大倍的 o q 的 模，让你求这个拉姆大的值。 那我们先画一下图啊，把这个题目好翻译一下。首先呢就是一个椭圆啊，两边分别是这个 a 一 a 二两个顶点， 然后我们不按题目的这个说法去理解啊，我们先写一个 m n 直线啊，这个 m n 直线过一零这个点，然后呢把 a e m 和 a 二 n 分 别连上，这个时候呢它和外格的交点啊，分别为 p 和 q， 然后呢我们再去求这个 p 点和 q 点的一个纵坐标，让他们作比，就可以求出来 round 的。 然后这个呢，我们发现它也是两条这个相交的直线啊，并且呢 m n 这个直线它过的还是 x 轴上定点一零，所以呢我们就会考虑啊，先设这个 m n 点， p 点和这个 q 啊， 先写直线 m n 的 一个对偶式，那这样写出来 x 一 y 二减去 x 二， y 一 等于这个 y 二减 y 一， 这边的话就是 x y 二加上 x y 一 等于九乘以 y 二加 y 一。 这个时候呢，我们整理一下，其实就是把这两个式子加一下，然后减一下，求出来这个 x y 二和 x y 一 分别等于多少。 然后呢再根据这个斜率啊写出来 m n 啊，这两个值，其实就是你看这个，这个的话其实就是 a e p m 三点共线，后面这个的话呢就是 a 二 q n 三点共线， 然后我们直接给他做比啊，就是负的 m 比 n。 整理一下呢，就是 x y 这个 x 二 y 一 跟上边这个啊能对起来，然后这个 x y 二啊，这个是对这个，后面这个是对 x y 一， 然后对完之后呢，我们把这个带入五倍的他啊，带到下面这里，这里是五倍的四外二啊，带到上面这，然后呢我们就会整理出来这么一个式子， 二倍的 y 一 加四倍的 y 二啊，除以这个四倍的 y 一 加八倍的 y 二啊，就等于二分之一，这样的话就出来了啊，它这个的话也是啊，就是这种交叉的两条直线交叉的，我一般喜欢用这个对偶式去写， 今天来讲的呢，是斜率双用啊，这个呢，也是最近比较流行的一个做法啊，也是为了后面讲那个武汉二调那个题，嗯，做一个铺垫。那现在比较流行的呢，就是这个 直取啊，不连力，也就是说我们以前一般都是连力写伟大定律啊，但是有一些题他特别难啊，但我们那个武汉二调那个题啊，可以看一下啊，他就特别难，所以呢，不连力啊，这个反而就好做了。 还有这个讨书不求倒啊，当然也有大家就调侃高考呢，不交卷，但是不交卷的话，零分也是分， 那我们先看这个斜率商用，先看椭圆的第三定义啊，就是这个 m 点，如果是 x 零外零， a 点是 x 一 外一， b 点呢，和 a 点对称是负 x 一 负外一， 那这个时候呢， m a 和 mb 的 斜率啊，就会存在一个关系， k m a 点乘 kb 等于负的 a 方分之 b 方。嗯，它的图像的话，大概就是这样的， ab 呢，是关于零零对称。 还有一个最主要的呢，就是这个直线的表达式啊，直线两点式的话，这个写的肯定是没有问题， 如果我们把它整理的话，就会出现一个东西， x 一 y 二减去 x 二 y 一， 那这边呢，是 x 倍的 y 二减 y 一 减去 y 倍的 x 二减 x 一。 那也就是说，如果我们把一个直线整理成这么一个形式了，那这个直线呢，就会经过 m n 这个点啊，其实就是一个形式上 弄成一致的。那我们来看一个例题，这个呢是那个例题， 这好像也是一个高考题，一九年 a 方分之 x 方，第一问直接写出来呢，就是六分之 x 方加三分之外方等于一，直接看第二问就可以，这个点 m n 呢？在 c 上，且 am 垂直于 an ad 呢？垂直于 m n， d 为垂足啊，证明存在定点 q， 使得 d q 的 长度为定值， 它画图的话，大概就是这样的，你看过 a 点的往 m n 做了一个垂线 q， 那 我如果我们想求它过定，求这个 d q 为定值的话，那我们其实呢，就是求 m n 直线过定点， 你看求这个 m n 直线过定点 p， 那 这样的话，这个 d p 和 d a 是 垂直的，也就是说地点应该在以 ap 为直径的圆上，那这样的话， d 到 ap 的 中点啊，也就是说这个圆心 q 的 距离呢，应该就是定值啊。所以说这个题正 d q 为定值，其实就转化成了正 m n 直线过定点。 那我们刚才写的那个直线的表达式的话，也就是说我们能写出来那么一个队友式啊，就可以说明直线过定点。那那我们首先呢，先设这个 m 点和 n 点啊， x 一 y 一 和 x 二 y 二， 然后呢，这个 m n 的 直线方程啊，就可以这么来写，对吧？就是按那个两点式整理的。好，那我们接下来呢，写这个 n 点的对称点啊，如果为 b 的 话，那这样的话，这个 k a b 乘以 k a n， 就 等于后面写的这个式子， 这个应该没问题啊，就是刚才那个第三定义，所以呢，我们就可以推出来这个 k a n 啊，等于后面这个式子， 也就是说利用这个曲线把 k a n 做了一个转换。那我们接下来要求的呢，就是 k a n 乘以 k a m 啊，等于负一，因为它俩垂直嘛， k a m 啊，这个不动 k a n 呢，利用刚才那个代换啊，代换掉，这个时候呢，把它整理一下，就可以整理出来一个 x 二 y 减去二倍的 x 一 y 二。 但是这个呢，并不是我们要的，我们要的应该是 x 一 y 减去 x 二 y 啊，它这系数应该是一样的，你像现在系数不一样，所以呢，我们就得再操作一遍刚才那个流程。 同理，我们就可以得到另外一个式子， x 一 y 二，减去二倍的 x 二 y 一。 你看上下两个式子啊，就是把这个 x 一 和 x 二， y 一 和 y 二互调一下就可以。 然后这两个式子呢，再相减啊，就可以得到三倍的 x 一 y 二减去 x 二 y 一， 等于后边这里是二倍的 y 二减 y 一， 那这里是一倍的 x 二减 x 一。 那这个时候呢，我们把这个三除过来啊，三分之二，这呢就是三分之一。但是我们那个形式，这应该是负的啊，所以这应该是减去负三分之一。 那这样的话，也就是说我们就可以说明这个直线过的定点是三分之二，负三分之一，也就是说这个 q 点啊，应该为 ap 的 中点，三分之四啊，三分之一。 当然这个题如果用直接的做法做的话，也挺好做的，我们讲这个方法呢，主要是用来处理一些特别难做的啊，就是比方说就是那个武汉的二调那个题，我们之后把那个题讲一下， 嗯，因为解析几何这个题是有一定难度的，但是呢，它又不是最后一道题，所以说如果我们想得到一百二或者一百三左右，那这个解析几何呢，还是需要攻克一下的， 但是呢它的计算特别的麻烦，所以呢我们今天就讲两个这个计算技巧，可以帮我们节省非常多的时间。 第一个呢就是这个点乘双根啊，它解决的形式呢是这种括号乘括号啊，比如说 x 一 减 m 乘以 x 二减 m， 或者这种 y 一 减 n 乘以 y 二减 n， 我 们做解析几何的时候，遇到还是非常多的。 那在说这个之前呢，我们先来说一个这种基础的一个呃，理解啊，就是二次函数的话，它的根和二项二次项的系数，如果固定之后，这个二次函数呢，就唯一了，比如说有一个二次函数啊，它的根是一和二，二次项系数呢是五。 那如果让大家写一下这个二次函数的话啊，那我们一般呢就会这么来写，就是五倍的 x 减一乘以 x 减二，那这样的话，这个二次函数就是呃根为一和二，然后二项式系数为五的一个二次函数，并且呢只有这一个。那 所以说如果我们做解析几何的时候，你看我们经常这样连立嘛，那这个时候呢，它是一个二次函数，那我们先看它二次项的系数啊，就是一加五 k 方， 然后这个二次函数的根呢，我们连立嘛，对吧？我们一般设的就是 x 一 和 x 二，所以呢就可以写成 x 减 x 一， 乘以 x 减 x 二， 那也就是说这个二次函数连累完之后呢，和右边这一部分是一样的，也就是他们两个都是一个二次函数，并且根呢都是 x 一 和 x 二 二项式的系数，二次项的系数是一加五 k 方，那这两个二次函数既然一样的话，那左边 x 等于一，右边的 x 呢，也就可以等于一， 那这个时候你看左边是可以算出来一个数的，而右边呢，就可以得到一减 x 一 乘以一减 x 二这个整体啊，因为有这个式子，所以才产生了我们点成双根的这个算法。 那我们来看一下具体的这个题目啊，如果有一个椭圆 x 方比二十，加上 y 方比四等于一，有一个直线 y 等于 k 倍的 x 加二，当然这个直线呢，怎么着都行。这个呢，就是呃，那个题目圆体里边的这个直线我拿出来了， 然后他如果连立的话，呃，就是这个，直接把呃两边通成二十，然后把这个 y 带入嘛， 那这个时候呢，他就可以整理成右边这个式子啊，他的解释呢，就是我们刚才解释的根是 x 一 和 x 二，二次项系数呢是一加五 k 方，所以呢他们俩是相等的， 那也就是说二次函数等于二次函数，确保这个二次项的系数和根相同即可。好，那我们来看一下这个例子啊，就是具体的用处， 如果我们想求 x 一 减二乘以 x 二减二，哎，那我们就会发现，哎，这个 很像啊，但是差点意思就是差这个 x， 如果我们让 x 等于二的话，它就可以一样，那我们就另 x 等于二代入，你看左边这个式子，当你把二代入之后呢，它就只剩一个 k 了，右边这个式子代入之后呢，就是我们想要的这个东西， 那这个时候我们再来整理一下，左边就是八十 k 方减十六，右边呢就是这个整体，那我们只要这个二减 x 一 乘以二减 x 二，所以我们把这一块留下来，把一加五 k 方除过去啊，就得到了这么一个式子， 那这样的话，这个二减 x 一 乘以二减 x 二啊，就可以不用拆，直接算出来。 那我们看一下这个 x 一 加三乘以 x 二加三，大家可以效仿一下刚才上面那个列的话， 哎，这个那如果是 x 一 加三乘以 x 二加三的话，我们就会发现这个 x 呢，应该是等于负三，我们等于负三，把它带进去， 就可以得到这样的两个式子。那右边这一块啊，这个还是我们要的，那我们把左边合并啊，就是五 k 方减十一，那右边这个式子呢，就是整理一下，把一加五 k 方除过来啊，这样就可以了。 当然有的同学可能觉得就是这个式子嘛，然后你就直接拆开，那比方上面这个 x 一 乘以 x 二减二倍的 x 一 加 x 二，然后再加四，你算着也很好算，对吗？直接带入伟大定律，然后通分就可以啊。这个确实是啊，没问题。 那如果遇见稍微难一点的，那比方说这个 y 一 乘 y 二，这 y 一 乘 y 二的话，大家如果直接展开啊，这个肯定也没问题，但是如果我们按刚才那个想法做的话，就会更快一点， 那这里看到 x 一 加二乘以 x 二加二，那我们直接就让这个 x 等于负二，你看他跟上面这个式子就会一样，如果等于负二的话，直接代入，那左边部分呢，直接等于负十六， 右边部分呢就是一加五 k 方，然后呢？呃，我们要求的这个整体，然后把这个整体除过来啊，负十六除以一加五 k 方，等于二加 x 一 乘以二加 x 二， 然后 y 一 y 二呢，是 k 方倍的它，所以它再乘以 k 方，就是负十六 k 方再除以这个。 当然这个呢，其实你用这个伟大定律啊，直接代入算也是没问题的。好，那我们再看，如果是这种 y 一 减 y 一 加一乘以 y 二加一，那我们代入的话啊，它后面这个式子呢，就会出现这个二 k 加一， 那如果你再用伟大定律代换的话，直接展开就是二 k 加一扩起来的平方，那这个式子呢，是要跟那个分式通分的，也就是说他应该通分的时候要乘以这个一加五 k 方， 那这个式子呢？呃，也能展开啊，就是展开的时候就会有一点麻烦。那如果按我们刚才讲这个方法算的话， 这个 x 一 和 x 二，它前面的系数都是 k， 我 们把 k 给它提出来，那就是 k 方，那这个时候呢？呃，后面这个式子就是 k 分 之二 k 加一，那我们这个时候带的话，就是带这个 k 分 之二 k 加一就可以了。 当然因为上面这个列的话是 x 减 x 一 和 x 减 x 二，所以我们利用它等于负的 k 分 之二 k 加一，然后把它代入， 带入之后整理的话，你看左边这一部分啊，就是我们要的，那我们直接管右边就行啊，不对，右边这部分是我们要的，我们直接管左边，那左边一合并啊，就是这个式子，因为这个一加五可以放，是整体除过来的，所以你实际写的时候，这个一加五可以放先不除啊，也行， 然后到这之后呢，我们题目要乘的式子呢，是 k 方倍的它，所以我们这里前面呢，需要再乘 k 方，那上面这个 k 方就会消掉啊，就会直接等于这个式子，二 k 加一或者平方减十五 k 方除以一加五 k 方啊，直接就是这个外一加一乘以外二加一， 它处理这种复杂的式子啊，就比较好用， 比如这个 x 一 减一乘以 x 二减一，那我们这个式子明显就是 令 x 等于一， x 等于一的话，一带啊，你看这个左边一带进去，直接就是四十五 k 方减十九，然后再除以一加五 k 方就可以。那如果是 x 一 减乘以 x 二减，哎，你看也是这个 n 带进去啊， n 方，然后五 k 方加 n 乘二的平方减二十，把一加五 k 方直接除过来啊，就完了。 那如果是外一减一乘以外二减一，那这个时候直接带进去啊，是把 k 方提出来，那里边就会剩下这个 k 分 之二 k 减一，然后我们带的时候还是带负的啊， k 分 之二 k 减一，往里边一带， 就是这个式子，然后把这个一加五 k 方处过来，然后再同乘一个 k 方，这个式子也就出来了。这个如果用惯了特别好用的，刚开始用的时候就是可能有一点麻烦，就是 计算方面就是理解问题没问题，就是理解题的话没问题啊，就是计算有一点卡的，可以学学，这个特别好用，这个是点乘双根。 第二种呢，就是这个非对称表达定律啊，这个大家做题应该遇到特别多啊，非对称表达的话，它处理的问题呢，就是 x 一 与 x 二系数不同，或者是 y 一 与 y 二系数不同的，当然是加法，因为乘法的话就无所谓这个系数了。 那我们处理他的话，一般有三种方式啊，第一种就是曲线代换，就是这里是 y 一， 这里是 n 倍的 y 二，他们这个系数不是不一样吗？我们把这个 x 一 减二，然后统一给他乘一个 x 二加 a， 这 x 二减 a 啊，同乘 x 二加 a， 那这样的话，它就可以用这个曲线代换了啊，然后这里呢，就是代换成这个负的 b 方，分之 a 方啊，乘以 y 二的平方，当然如果这里后边还带常数的话啊，就换不了了。待会我们讲这个具体例题的时候来说一下， 然后换完之后，上下这个 y 二就消了，那你看这个式子跟这个式子，这个式子跟这个式子，它们在交叉相乘的时候，就不会出现这个非对称伟大定律了。 第二个呢，就是这个乘法和加法的互换啊，就是把 x 一 乘以 x 二转化成一个加法，一般是这种依次的。 第三个呢，就是分式为定值，就是题目已经提前告诉你啊，这个式子是定值，那这个时候呢，我们可以通过强行的配凑尾答定理就是剩下一个啊，只剩下外一或者只剩下外二就可以。那我们先来看这个第一个曲线代换 表完题目中的曲线是这个，然后直线是 y 等于 k， x 加一， x 一 加 x 二和 x 乘以 x 二上都有。然后我们题目的给的一个等量关系呢，是 y 一 比上 x 一 加二，然后等于三倍的 y 二比上 x 二减二， 那这个式子如果我们要整理的话，就是这个这样啊，就是 y 一 倍的 x 二减二乘以三， y 二倍的。呃，这个 x 一 加二，那这个时候其中呢，有一个这个负二倍的 y 一 和六倍的 y 二， 你看这个式子如果挪过来之后呢，它应该是六六倍的 y 二加二倍的 y 一， 那这个时候 y 一 和 y 二的系数呢，是不一样的，所以我们再用尾答定里直接代换呢，就不好代了。 那这个时候呢，我们就会考虑啊，就是可以用曲线代换，你看这个用曲线代换的话， 把右边这部分啊，就是右边啊，是上下同乘一个 x 二加二，因为这里是 x 二减二嘛，不能两边同乘啊，就是你动一边就可以了，那动的话，我们的想法是给它乘一个平方差，那 x 二加二， 那乘完之后呢，这里就是 x 二的平方减四，那你看，根据这个式子， x 二的平方减四的话，应该等于负二倍的 y 二的平方啊，就是这样， 那你看，那通过这个大家应该可以发现啊，就是只有这个 x 二减二的时候，这里才可以用，如果你这里是减的三，那这里就会得到二倍的外方，负二倍的外方，然后还有一个常数啊，这个就做不了了， 所以说能不能用曲线代换呢？主要看这个。呃，平方差这个公式啊，就是他能不能刚好只剩下一个 y， 那 这个时候呢，我们就是得到负二倍的 y 二的平方，上面是 y 二，那这个 y 二跟下面这个 y 二就会消掉一个，那消掉完之后呢，你看它就成这样了啊，就是 y 一 比上 x 一 加二等于三倍的 x 二加二除以负二倍的 y 二， 这个时候呢，你再给他交叉相乘，哎，你看负二倍的 y 一 y 二，这里就变成 x 一 加二乘以 x 二加二了，那这个式子呢，它是就不会产生这个非对称的回答了，所以我们直接代入啊，就可以， 这个代入的话， y 一 乘 y 二，这个还有这个 x 一 加二乘以 x 二加二，就可以用前面那个点乘双根去代啊，就特别快就可以求出来这个 k 呢是一或者二分之一，当然这个实际的题里面这个二分之一还会被呃根据实际情况呢，会舍去， 反正就是说非对称表达定律处理啊，就是用这个曲线代换就行。 第二个呢就是乘法换加法啊，就是我们已知的是 x， 就是 题目里边有 x 一 乘以 x 二，然后也有这个 x 一 加 x 二，这个乘法呢，它是不会存在什么系数不一样的，其中这个 x 一 加 x 二呢，它的系数不一样了，所以我们就会考虑把这个乘法换成加法。 你看这个曲线还是这个式子啊，这个直线直线是 y 等于 k， x 加一，跟刚才那个是一个，我用的是跟刚才那个一模一样的。 那如果这个等量关系呢，就是 y 一 除以 x 一 加二啊，等于三倍的 y 二除以 x 二减二， 就是，呃，还是交叉相乘啊，直接交叉相乘，然后负二倍的 y 一 和六倍的 y 二，还是这个问题啊，就还是处理不了。那这个时候呢，我们不考虑刚才那个曲线代换了，我们考虑直接给它乘起来啊，那这个时候呢，我们就把这个 y 给它代换掉， 代换掉之后呢，直接交叉相乘，哎，你看就会整理出来这么一个式子，这个二 k 加三和六 k 减一 x 二，它俩系数呢？不一样啊，不能用伟大定律，所以我们就会考虑把这个乘法 x 一 乘以 x 二啊，直接给它换成加法二， k 乘以这个 x 一， x 二等于 x 一 加 x 二，也就是看一下它们俩之间的关系。 那这个时候我们直接带进去啊，带进去之后呢，就刚好可以提出来一个一减 k， 要得到这个式子等于零，那这个时候呢，肯定是 k 等于一或者 x 一 等于后面这个式子， 那这样的话后面这个式子就可以舍掉，因为后面这个式子它不是一个定值啊，是一个变量。 这个呢就是斐对式尾谈的第二种换法啊，就是把这个乘法换成加法。

同学们，欢迎来到解析几何入门专练。今天的题全部选自二零二六届各地高三一模真题核心聚焦两大一轮复习必考点，圆锥曲线、轨迹方程 求解与面积最值问题突破。整套题共四道单选填空解答题全覆盖难度，从基础到综合逐一性，从椭圆爬物线的基础性质到轨迹方程的核心求法， 再到面积最直的解析思路，完全适配一轮复习的基础巩固与入门提升。接下来我们主题拆解， 先看首页的考点分布，跟着节奏一步步吃透方法。现在来看第一题，这是一道椭圆基础单选择题， 核心考椭圆焦点三角形加向量数量积运算，先抓核心条件椭圆方程，给出 a、 bc 的 基础值，结合焦点三角形面积为一，先求点 p 的 总坐标绝对值， 再带回椭圆方程得横坐标平方。这里要注意，椭圆焦点三角形面积公式是高频考点， 能帮我们快速建立角度与边长的关系。最后用向量坐标运算算数量积步骤里的坐标转化和平方展开是基础。易错点，跟着解析里的标注，把每一步的逻辑理清楚，椭圆基础计算就能稳拿分。接下来是第二题， 抛物线交点性质加四边形面积计算且贴关键是设平行于 x 轴的直线， 用 t 表示直线纵坐标，再写出两个抛物线交点 p 一 p 二的坐标，通过 p f 一 等于 p f 二列方程求出 t， 再结合对称性判断四边形是矩形，面积计算就迎刃而解了。解析里的点距离和对称性标注是解决这类题的核心技巧，记好这两个点，抛物线综合题就能快速突破。第三题是解答题，分两小问， 核心考轨迹方程，求解夹三角形面积最值。第一问，求轨迹方程，核心方法是设坐标列斜率关系化简整理， 利用对称点 q 的 坐标，结合斜率之积为负四分之一，列方程整理后就能得到椭圆方程，这里要注意 x 的 取值范围，这是轨迹方程的关键细节。 第二问，求面积最值。先通过对称点 m 构造垂直关系，把面积转化为 x y 的 形式，再结合椭圆方程，用基本不等式求最大值。解析 里的直角三角形面积和基本不等式标注是解决面积最值题的核心套路，一轮复习一定要吃透这种方法。 最后是第四题综合解答题，分三小问，核心考轨迹方程。定义法加面积最值加定点证明。第一问，求动圆圆心轨迹，用定义法加圆的弦长公式，结合圆心到定点的距离等于半径 到挖折的距离，结合弦长公式就能转化为抛物线方程。第二问分两小问 i 求面积最小值，核心式设直线连立抛物线，用维达定律表示弦长， 再结合面积公式求最值 i i 证明定点。利用点关于 x 轴对称的性质，设直线方程后，令 y a 等于零，验证 x 为定值即可。解析里的伟大定律，定点在 x 轴等标注是解析几何定点 最值问题的经典思路，整套题做完，就能掌握圆锥曲线综合题的核心逻辑。

你要想学好圆锥曲线，就要具备几个能力啊。第一件事必须得会翻译，平面解析和对你的翻译的要求是非常高的，你读完一句话，你都得知道他是在考什么，当然你得是做过一定量的题，研究过一定的方法，你才可能会翻译。第二呢，是需要去总 结的，如果是圆锥曲线，你没有一些常见的二级结论的话，我觉得做题还是挺困难的。第三个，你的计算能力必须得过关。 其实圆的曲线我认为几乎没太有思维，只是一顿狂涎就可以了。第四个啊，就是考平面几何的转化，就初中的知识，可能是未来趋势啊，通过这四个方面，绝对能够修好圆的曲线。这个的题考的什么呢？就是 f 一 是椭圆的左焦点，过圆点的直线，大家可以看一下啊，我给大家画个图， 我们这种题肯定是一边读题一边画图，这是个椭圆对不对？ f 一 是它的左焦点，左焦点，然后过圆点的直线，交于 ab 两点。哦，它说交于 ab 两点， m n 分 别是它的中点。 ok， 这是 m n。 好，来看一看。这辆不一定是垂直啊，画的有点特殊，这个地方是 m， 它是终点，这个地方呢，是 n， m n 是 它的终点。现在呢，他说以 m a 为直径的圆过圆点，然后求离心率的曲值范围，谁能告诉我突破口在什么地方？ 我再给你画个图。画的太特殊了啊，是不是相当于以 m a 为直径的圆过圆点的意思是不是说明这点有个垂直关系对不对？大概是这个点是垂直的。哎，这辆是垂直的啊， 哎，这个地方是垂直的啊，以 m a 为直径的缘故， m a， 但是这个地方是垂直的话还不够，这显然是中位线，他俩是平行的，这俩是，他俩是平行的。还有一点你没想到，你能想到对称。不 清清楚我们做题的时候什么时候是突破口？他告诉你一个焦点的时候，你别忘了，我要画出另外一个焦点来，他有可能另外一个焦点也是有用的，也就说这个地方他是有一个平行的突破口，这道题基本上就做出来了。 也就说为什么他是一个平行四边形呢？就是因为这个四边形的对角线是相互平分的。我们见到了对角线相互平分，他肯定是平行四边形。 又因为这个角是直角，他是中点，这个 o 是 f 一 f 二的中点，所以这张是中位线。那这个点垂直，说明这个角就是垂直的。因为他都是平行的吗？这个角是垂直的，说明这个角是垂直的，说明他是一个矩形。 这道题基本上就做出来了，听明白了吗？说明白了吗？再说一遍，因为这呢是垂直的，对不对？然后呢，这是一个平行四边形。再说一下为什么？因为 ab 和 f 一 f 二对角线是相互平分，对角线相互平分的四边形是一个平行四边形。 因为这个角是九十度，他们是平行，他们是平行，说明这个角是九十度，说明他是一个矩形。他是一个矩形的话，说明这个角是九十度。那也就说这道题翻译成这个顶角是九十度，然后求离心力的曲度范围，那这道题就做出来喽。那你说这个角是九十度，怎么求离心力的范围呢？当然这道题又考了一个知识点， 我问大家个问题，这个角 a， 我 们就记得角 a 了啊，这是个焦点，你说这个角 a， 这个角 c， 它是怎么变化的？ 这个角假设是 c 塔，他是不是在短轴的时候取得最大值，听明白了吧？是不是在短轴的时候是取得最大值的？也就是说这个角永远都是比这个角大的， 我不证明行不行，用均值不等式，均值不等式能证明出来这个角在这是取得最大的。所以这道题我们就应该，我们假设这个角是 p， 那 所以角 a 是 九十度，那么我们就应该转化成角 f 一 p f 二，它就应该是大于等于九十度， 因为这个角是比较大的，它比这个比这个角 a 要大。那么这时候呢？我们讲的这个 c， 它不是它了啊，因为这个角 a 是 九十度嘛。明白了，所以我们讲是一半是 c， 它，那这就说明一半的角就应该是 c， 它就应该是大于等于四十五度。 那所以 c c 的 话，就应该是大于等于二分之根二。而 c c， 它等于什么呢？大家可以看对边比斜边，对边正好是 c， 斜边正好是 a， 所以 它的正弦值就是离心率。 a 分 之 c， 所以离心力是大于一，等于二分之二，所以二分之二到 a 就 可以了。好，能听懂不？所以这么一道题，实际上他考的知识点非常非常多，如果你没有这么多知识点，这道题很难做出来。

大家好，今天给同学们带来应解定律以及他的定义方式。我们应解定律主要是解决我们圆锥曲线里面一些计算问题而衍生出来的一套公式。 我们知道圆锥曲线他很多题目，可以说是大部分的题目吧，都需要去与什么我们的直线连立，那么 连利之后呢？我们根据它的系数关系总结了这么一套公式，方便同学们去计算，只限于取现。连利之后，我们能推得到一个关于 x 或者说关于 y 的 一元二次方程，对不对？所以呢，我们这里先不写， 然后我们求这个方程的目的为了是求我们的 x 一 加 x 二，或者说是 y 一 加 y 二，包括德塔以及我们的弦长等等。我们的 x 一 加 x 二，注意，我们这里所有的分母它都是一样的，都是我们的 a 方， 大 a 方加上小 b 方，再乘以大 b 方。那么 x 一 加 x 二，它的分子是什么呢？我们这里要的是什么呀？是 x 对 不对？所以我们这里有 y 的 地方我们都消掉，然后剩下的这三项啊，它所有的系数我们放在一起相乘就可以了， 就它变成了 a 方，然后大 a 乘以 c， 我 们这里有一个系数，对不对？系数？同学们不要急，我们等会儿统一来讲，那么有 x 一 加 x 二，自然就有我们的 y 一 加上 y 二， 我们记忆的方法是一样的，分母，注意它都是一样的，小 a 方大 a 方加上小 b 方，大 b 方分之。我们前面说它是因为是 x， 所以 我们把我们的 y 全部不要，那这里是 y 呢？所以把我们的 x 全部不要，它的 其他的系数我们放在一起就是小 b 方大 b 乘以 c， 当然我们还需要我们的 x 一 乘以 x 二等于分母呢，注意， a 方大 a 方加上小 b 方大 b 方。这我提醒一句啊，我们这里的小 a 方，比如我们的曲线是四分之 x 方加上三分之 y 方等于一，我们这里的 a 方呢，它就是四，同学们不要把它写成十六，明白吗？然后它的分子我们再记一下， x 一 乘以 x 二的分子，我们注意，我们这里是 x 一 乘以 x 二，它是一个二次的，对不对？所以呢，我们去看到二次的，在这个地方它对应的系数是 a 方，我们是不需要 y 的， 所以它前面有一个 a 方，然后括号里面同学们另外记一下， 我们用我们的直线的系数的长数的平方，然后再减去小 b 方大 b 方，那我们这里怎么记呢？我们 c 方减去小 b 方大 b 方。我们注意 我们前面是不是已经有了 a 方，所以呢，我们分母里还有小 a 方，我们就不要，它减去的是分母的另外一半，所以括号里面我们可以记成 c 方减去分母的一半。我们这里可以写一下，这个是什么分母的 一半啊，同学们可以去记一下。然后我们还有什么 y 一 乘以 y 二，对不对？那么 y 一 y 二也很好记，分母是一样的，小 a 方大 a 方加上小 b 方大 b 方， 那这里是 y 一 y 二，所以我们需要的是什么呀？需要的是 y 二字下面的系数 b 方，所以这里是 b 方。括号 c 方减去分母的一半，那我们这里有了小 b 方，所以呢，有小 b 方的这一部分不要，然后我们只要减去小 a 方， 大 a 方就可以了。这几个式子呢，就是我们的维达令里常用的一些式子，还有一些我们比较常见的 x 一 y 二加上 x 二， y 一， 那此时它的式子怎么记呢？好，分母，我们先把它写下来，小 a 方大 a 方，加上小 b 方， 大 b 方，分之。我们这里怎么样？它是四项全部都含有，对不对？所以呢，我们这里每个系数这四个含 x、 y 的 系数全部抄下来就可以了，它就变成了小 a 方大 a， 小 b 方大 b。 好， 做到这里，我们再来看到我们的系数，很多同学说，老师你这里的系数都没有写，我们这里怎么去记忆呢？我们可以把 x 一 看成负一， y 一 呢，以及 y 二，包括我们的 x 二， 我们全部把它看成负一，那这么做有什么好处呢？我们来看一下，此时我们的 x 一 变成了负一， x 二也是负一，所以加起来它就是负二，对不对？所以我们前面的系数直接加上一个负二就可以了。同样 y 一 加 y 二呢，这里也是负二， x 一 乘 x 二，负一乘负一，它是正一吧，所以这里是一，我们就不写了，同样这里有个一，我们也不写。再看到这一项负一乘负一变成了一，再加上负一乘负一加上一，所以这里的系数它是二。我们如果这样去记的话，我们会把我们这五个数字的系数全部给记住了。 那我们求出这些式子之后，利用硬结定律记出这些之后，那我们的连利之后的方程，我们该怎么去写呢？我们知道连利出来的方程它有两种形式，一个是消 x， 一个是消 y。 我们先写一个关于 x 的 方程，它应该是多少倍的 x 方，然后再加上多少倍的 x， 对 不对？然后最后呢，再加上一个我们的常数，它等于零。好，我们根据我们下面这个 x 一 加 x 二以及 x 一 乘 x 二，把它前面的系数给推倒出来。 我们知道 x 一 加 x 二，它等于的是负 a 分 之 b， x 一 乘 x 二呢，等于 a 分 之 c， 所以 我们这里的分母它就可以看成什么呀？看成我们的 a 对 不对？看成我们这里前面的系数，所以我们知道我们 x 方前面的系数，它就是 a 方大 a 方加上小 b 方大 b 方，然后一向前面的系数呢，我这里是负 b， 负 b 是 负二倍的小 a 方，大 a 乘以 c， 所以 b 它应该就是两倍的 a 方，大 a 乘以 c。 还有个常数呢，常数就是我们的 c 就是 这一项， 所以最后再加上一个 a 方，括号 c 方，减小 b 方大 b 方。同理我们也能够去求出我们关于 y 的 一元二次方程，它的结到它的公式。我们把这两个带进来，我们能知道我们的 a， 它是等于 小 a 方大 a 方加上小 b 方大 b 方。然后呢依次向我们仍然看到上面的也就是二倍的 b 方，大 b 乘以大 c， 然后最后再看到 c， 它就是这一项，所以呢，是 b 方，括号 c 方，减去小 a 方大 a 方。那这样呢，我们就能够把我们连累之后的方程给 解出来。当然我们做题目的时候，他肯定都是一些数据了，不会有这么麻烦，对不对？那我们同学们在书写的时候注意留两行位置给他们去写，好吧，不要写的太紧了，我们最后肯定是要连累之后才能得到这一些的，因为我们在考试的时候，你不能说有应解定理得没有这个东西的。 那我们常见的还有一些什么设置呢？我们的得它也是我们经常要去求的，对不对？而且我们这里得它有两种形式吧，一个是关于 x 的， 一个是关于 y 的， 那么我们这里两种形式都写一下。第一种我们关于 x， 同学们记一下。那么首先前面呢就是四倍的 a 方 b 方，这个应该系数很好理解吧，我们德塔不是 b 方减四 a c 吗？所以有一个系数四把它记住，然后 a 方 b 方， 然后呢它在括号里面。注意，我们这里是分母 a 方，大 a 方加上小 b 方，大 b 方，然后再减去一个我们直线常数 c 的 平方。如果这里是关于 x 的 得它的话，注意我们要乘以一个直线 b 前面系数的平方，也就是说我们要再乘以一个大 b 方，那么如果是关于 y 的 得它呢？同样它前面是一样的四倍的 a 方 b 方。括号 分母大 a 方加上小 b 方，大 b 方减去 c 方，那你既然是一个关于 y 的 得它，所以我们要乘以一个我们 x 前面系数的平方，所以再乘以一个我们的大 a 方。这里呢就是我们的 x 与 y 两种形式的得它，上面呢是关于 x， 下面呢是我们的关于 y 的 得它。那我们求得它是为了什么呀？不就是求我们的弦长嘛。 所以最后我们还有一个我们的弦长公式，弦长公式呢，同学们也可以记一下，其实它是非常的简单的，我们的弦长公式是什么呀？不就是根号一加 k 方，绝对值 x 二减 x 一 嘛？那我们的绝对值 x 二减 x 一， 可以写成 x 一 加 x 二的平方 减去四倍的 x 一 x 二，对不对？那么我们用伟大定律来把它代一下，那这里就是负 a 分 之 b， 它就是 a 方分之 b 方，减去四倍的 a 分 之 c， 那 么就是 a 分 之四 c， 我 们通下分不就是 a 方分之 b 方减四 a c。 来看看这个是什么呀？这个不就是得它吗？那我们开根号之后，那么上面呢，就是根号得它，下面开出来不就是 a 吗？注意，我们这个 a 不是 这里的小 a 啊，是我们一元二次方程的二次项前面的系数，所以呢，它可以写成 根号一加 k 方，绝对值 x 二减 x 一。 当然我们用我们这里的式子来代替它，就等于根号一加 k 方。我们刚刚说了，它推导出来是根号得它 比上我们的这里的 a 是 小 a 方大 a 方加上小 b 方大 b 方。这个呢，是利用到了我们关于 x 的 啊。弦长公式，那关于 y 的 有什么区别吗？我们只要把这个 k 换成 k 分 之一，这个得它呢？换成关于 y 的 得它就可以了。所以到此为止，我们全部常用的一些公式的应解定律我们就推导出来了，希望同学们能够把它记住。 这里呢，我们讲的是椭圆，那么双曲线怎么办？我们双曲线的方程，它是 a 方分之 x 方，减去 b 方分之 y 方，等于一对不对，我们可以把它写成 a 方分之 x 方 加上负 b 方分之 y 方等于一。我们只要把这里全部的公式的 b 方换成负 b 方就可以了，注意是负 b 方，不是负 b 的 平方啊， 就比如我们这个，你得把这个 b 方换成什么？换成负 b 方，所以前面的符号呢，就没有了，对不对？我只是举个例子，每个都是一样的，这个 b 方呢，也要换成负 b 方，这里的包括分母的 b 方都要换成负 b 方。 所以其实双曲线的啊，我们只要把椭圆记住了，那么双曲线呢，自然就记住了。下面我们举一个简单的例子来实际的应用一下，比如现在给了我们一个椭圆的方程，以及一条直线的方程，我们设出来的，那么第一步我们要干嘛？我们肯定要把我们的直线化成，一般是四分之 x 加三分之 y 方等于一， 然后呢就是我们的 k x 减 y 加 b 等于零。根据我们的因解定律，首先我们去求 x 一 加 x 二，注意我们这里漏啊，空几行啊，我们等会要写什么联立之后的方程吧，还有德塔以及设点， 我们此时我们的 x 一 加 x 二，它等于，那么分母还记得吗？是小 a 方大 a 方加上小 b 方大 b 方，所以是四 k， 然后呢，加上我们的三乘以负一的平方加上三，然后分之 x 一 加 x 二的分子，同学们还记不记得我们只要把关于 y 的 全部不要另外的系数呢？全部乘起来，也就是四倍的 k b， 注意我们这里的系数还没有写，我们说的是令 x 一， x 二， y 二都等于负一吧，所以这里是负一加负一是负二， 所以我们前面呢还有一个负二乘以它，其实呢，它就等于负八倍的 k b， 然后我们的分母是一样的四 k 加上 b 好 加上三啊，不好意思，这里是三，四 k 加上三，然后我们还有的是什么 x 一 乘以 x 二 分母呢？它是一样的四 k 加三分之。那我们的分子还记不记得我们前面是这里是 a 方嘛？对不对？因为我们这里是 x 一 乘以 x 二二次的，我们只要看 x 方下面的系数，所以是四倍的括号，然后里面是什么呀？里面是我们的 c 方减去分母的一半，对不对？那我们这里的 c 方是什么呀？是依次函数的常数项吧，所以它就是 b 方，然后减去分母的一半，哪一半呢？我们这里用到了我们的四，所以这一项是不要的，只要减去后面的三就可以了，所以是 b 方减三。 好，那么到此为止，我们的 x 一 加 x 二以及 x 一 乘 x 二就写出来了，然后我们再根据这个我们去反推回我们连累之后的式子。 我们知道 a， 它就是我们的分母，然后 b 呢，是这一项，这个是负 b 啊，注意，我们把这个符号去掉的话，就是我们的 b， 那 这一项就是 c 了，所以我们可以写出来，我们应该是四 k 加三倍的 x 方，然后加上 八 k 必背的 x， 再加上我们的常数四倍的 b 方减三等于零，那他就是他们连累之后所得到的。还有呢，我们的得他也可以去写得他，其实我不建议同学们去背哈，我们四字都写出来了，得他还写不出来吗？也就是八 k b 括号的平方减去四倍的 四 k 加 b， 然后呢再乘以四倍的 b 方减三。好，我们只要说明得它大于零就可以了吧。然后接下来干嘛？接下来我们再去设我们的点，设我们的 a 点为 x 一 y 一， 然后呢， b 点为 x 二 y 二，然后我们就知道 x 一 加 x 二以及 x 一 乘 x 二，这个呢就是我们圆锥曲线前面的解体步骤的通法。 然后接下去该干嘛，该让我们求什么，我们往下写就可以了。今天这期视频讲到这里，希望同学们能够有所收获。下期我们将用旗子画去解决两斜率之和或两斜率之积为定值的一些问题。关注我，我们下期视频再见！

来，朋友们，咱们继续啊，三省三效啊，这个一模的这个第十八题啊，我觉得需要再说一说，这个第十八题啊，出的计算量非常非常大， 而且呢，不管用什么样的方法啊，都不会太节省你的计算的量啊，所以说啊，需要跟大家说一说这种题的思路，思路一定要明确啊，如果思路不明确的话，这种题自己算一算就给自己算懵了 啊。来，咱们先看这第一问啊，他说椭圆离心率啊，是二分之一，然后呢，短轴长是二倍根号三，短轴长是二倍根号三，那可说明二 b 是 二倍根号三，所以说通过这个条件能知道 b 呀，等于根号三 是吧？哎，然后呢，这个离心率等于二分之一，那么他的一方就应该等于四分之一等于一，减去 a 方分之 b 方，对不对啊？所以说通过这个呢，能算出 a 方等于四， 哎，那么这样的话，我们能写出这个第一问的这个椭圆方程了啊，椭圆方程四分之 a 方加上三分之 y 方啊，等于一，这没有啥问题啊，第一问比较简单，然后咱们再看这个第二问，第二问呢，他说 abc 啊，全都是椭圆上的一个动点， 直线 a c 啊，直线 a c 和直线 b c 啊，然后还有这个直线 ab 啊，三兄弟。 然后呢， a c， a b， b c 啊， a c， a b， b c 分 别为 k 一 k 二 k 三三兄弟。然后呢，第一问呢，他说呀，分别 a c 跟 b c 啊，分别过左右交点啊，这是非常重要的一个条件啊。然后呢， 他问，你，当这三兄弟啊，乘等差数列的时候啊，问你这个点 c 的 坐标啊，这题计算量非常非常大， 那么我第一时间想到的呢，实际上是定定比点差，对吧？因为这个 a 点和 c 点呢，哎，中间经过了 f 一 点，而 c 点和 b 点中间也经过这个，经过了 f 二点， 所以这道题定比点差应该能做，但是呢，想了一下，计算量也不会小啊，所以说呢，我觉得这道题吧，正常做啊，就行啊，当然，后边我会说一下这个定比点差的方法，是吧，来，咱看一下啊，这第二问发一啊，就正常做呗， 那正常做，因为这道题啊，都是跟 c 点相连的，对吧？是 c a 跟 c b 经过 f 一 f 二，所以说，我在设点的时候，哎，就设成 a 点，坐标是 s 一 到 y 一， b 点坐标是 s 二到 y 二 啊， c 点呢，是 l 零 y 零啊，用这种方法去做，那么我们不管你用什么样的方法，还是一样，你得先把 k 一 k 二 k 三都表达出来啊，这是最重要的， 对吧？我看，那咱们看 k 一 啊， k 一 怎么表达呀，对吧？ k 一 是 a c 的 直线方程，那么它就等于当然了，你可以用 c 点和 f 一 点的 两个坐标去做它们的斜率，你也可以用 f 一 和 a， 你 也可以用 c 和 a， 那 到底应该用哪个呢？ 因为啊， c a 跟 c b 一个 k 一个 k 三啊，都有点 c 啊，所以说肯定得带点 c， 那 带点 c 了之后，我当然是要到 f 一 了，这样的话呢，我能少点这个未知数啊，在表达 k 一 的时候，对不对？哎，所以说， k 一 的坐标啊，一定要写成啊， y 零 减零啊，比上 x 零减负一，那就是 l 零加一，那么相应的 k 二呢，我们就可以写成啊， y 零减零，比上啊， x 零减一，是吧？哎， k 一 k 二就表达了，那 k 一 k 二表达完了之后啊， k 三呢？这是啊， k 三，然后呢？再表，咱们再表达这个 k 二啊，那这个 k 二啊，没有什么好表达的，因为你不知道 ab 的 横横过哪个点，他也没说呀，是吧？所以说这道题啊， ab 你 就没有办法了，你只能用 y 二减 y 一 比上 x 二减去 x 一， ok， 那 么这道题啊，它题干告诉我，它三乘等差数列，也就是说它俩相加一定得等于二倍的，它 ok。 那 么你看，这个式子里边，现在有很多未知数，有 i 零、 y 零，还有 x 一、 y 一、 x 二 y 二，因此呢，这道题 k 一 和 k 三里边只有 i 零和 y 零。 因此，我们现在这道题的目的，我们的任务是什么？就是把 k 二里边的 x 二、 y 二、 x 一 y 一 都得转化成用 x 零和 y 零表示 啊，这就是我们接下来要做这个，不管你怎么做，是普通连力还是这个定力点差啊，都是 得记住你自己的目的，你要干啥啊，就是都要用 x 零和 y 去表达， ok， 那 么假如说我们用普通连力的方法去连力，那我们应该怎么做呢？哎，因为我们要找的是 x 一 y 一 和 x 零 y 零的关系， 因此我一定要求谁啊，一定要设 c a 的 直线方程啊，当然了，你还得设 c b 的 直线方程，都得设， ok， 那 咱们呢，先做这个 c a 的 直线方程，那我们设， 那怎么做呢？因为它横过点呢，是在负一到零，如果你直接设这个直线方程啊，是 y 等于 k x k 倍的加一的话，那么这道题，你这个直线方程里边儿，这个这个 k 啊， 你会在 x 啊，这是有这个 k， 而且长数项也会有 k， 也就是说你这个式子里边， x 前面的系数和常数 都会有未知数。那么如果这个这样的话，那么你再跟这个椭圆方程连立，连立完了之后，你再把 k 换走的时候，你会多换一项啊，至少多换一项，但实际上你是不止多换一项的式子，会计算量会 成倍的增加。因此我们在设这条直线的时候，争取让这个未知数只在一向上待着，那怎么办？哎，因为它横过的是负一到零，横过的是 s 轴上的点，所以说我们最好给它设成 x 等于 m， y 加 n 这种形式 啊。因此呢，我们就管它叫啊 x 等于 m 一 吧，啊， m 一 y 减一啊，这么设，这样的话，你看只有 y 前面有未知数 啊，剩下 x 和常数都是啊，正常的数啊，所以说这么设计算量会小很多啊。然后呢，再把这个椭圆方程写上 三 a 平方加上四 y 方减十二，你看就是你的思路要非常非常清晰，对吧？有很多同学肯定设 ab 直线方程了，那如果这道题你设 ab 直线方程，你是导不出 x 零和 x 一 之间的关系的啊。 ok， 然后咱们继续设，继续做。 那么一换完了之后，那么带进去了之后，它就应该等于这是三 m 一 的平方，再加四倍的 y 方， 减去六倍的 m 一 y， 是 吧？再减九啊，等于零，还能得到它，我跟他，咱们怎么去表达？呃，找到 y 一 和 y 零的之间的关系呢？ 当然你可以用 y 一 加 y 零啊，就是这个两根之和，那两根之和的话，不好算，还得通分，所以说最好用两根之积，因此啊， y 零乘以 y 一， 对吧，等于 a 分 之 c 啊，也就说等于三 m 一 方 加四分之负九，哎，至此，你看，我们找到了 y 一 和 y 零之间的关系，对不对？但是这里面还有 m， m 是 我不想要的， 而 m 是 什么？ m 一定就是 k 一 分之一啊，所以说，你把它占进来呗，对不对？这样的话，我不就找到 y 一 和 y 零啊之间的关系了吗？这式子里边也都是用 x 零和 y 零表达的，对不对？哎，因此，我们再算一步， 那它就应该等于负九比上，这是啊，怎么写呢？这是三倍的 m 一 的平方， m 一 的平方呢，就是 x 零加一比上 y 零啊的平方，哎，再加四呗，就得它，是吧？然后呢，把这个 y 零翻上去， 因此，就应该等于负九倍的 y 零方，这是三倍的 x 零平方，加上六倍的 y 零加三，然后这是加上四倍的 y 零方，对吧？哎，因为你得通分嘛， 那么你注意，哎，三倍的 y 零方加四倍的 y 零方，这是啥呀？哎，它等于十二啊，因为你这个 c 点也在椭圆方程里啊，对吧？所以说它就变成了 啊，六 x 零加十五啊，分之负九倍的 y 零方啊，就等于它了，那么咱们再给它化解一下，那么把这个 y 零除过去，对吧？哎，把这个 y 零啊除过去，因此，我们得到啥？能得到 y 一 啊，等于，这是 还能通，还能约个分，那就是二 x 零加五分之负三， y 零就是它， ok， 这就是 y 一， 那么 y 一 知道了之后，那我们可以算 x 一 了，对吧？那 x 一 等于啥呀？往这方程里带呗啊，往这方程里带，因此就应该等于，这是 y 零分之， x 零加一乘以二， x 零加五分之负三。 y 零计算量吧，是挺大，但是呢，也没到绝望的程度哈， 这 y 零 y 零约掉了，所以说，二 x 零加五分之，这是负三， x 零减三，然后再减一通分，减去二 x 零再减五啊，应该等于，这应该是二 x 零加五分之负五位的 x 零减八， ok 啊，这两个非常重要啊，画一下这个圈圈啊， ok， 这是 x 一 与 s 之间的关系和 y 一 与 y 零之间的关系，这样的话呢，我们就把 x 一 和 y 一 都转换呢，成了 i 零 y 零， 对吧？ ok， 那 当然了，同理，我们是不要把这个 x 二 y 二也要转换转换过去啊，而 x 二 y 二，你怎么设呀？ 啊，换个色啊， x 二 y 二 y 加一啊， 对吧？哎，唯独区别就是 m 的 下角标啊，从一变成二了，然后呢，他别原来是减一，现在是加一， ok， 那 我们观察一下啊，不用再重新算了，再重新算一遍，太费劲了。说，我们观察一下，到底有哪种有区别？那你看，这是 m 二 y 加一啊，这是减一，那么减一带进去了之后，会导致哪出现变化呢？都是这这变加号了， 但是呢，我们算的是这个 a 一 分之 c 啊，所以说这地方减号变加号了，有关，那个有关系吗？跟咱们这块没关系。是，所以说 y 零乘以 y 二啊，也应该等于这个玩意啊，这是没有变化的，而 换过来的时候又有变化了，对吧，这应该变成减一了，是吧，所以说这块减一，所以说这块变负的， 哎，你看就是，你要看明白啊，到底哪块是有变化的，是不是？哎，因此啊，只有在这个 l 零这块是有变化的，所以说，哎，我们就可以说啥了，同理可得嘛，是吧？哎，同理 可得， y 二，哎，他应该等于啥呀？哎，把。这个 y 二他应该等于啥？等于二 x 零啊，减五分之三倍的 y 零，对不对？哎，其实他就只有 x 的 一次项变了，就是这块变了啊，变成就这块变了。 看一眼啊，这块变成负的了，负二 l 加五，然后分之负的，那么正好这两个负的约掉，这块变成减号，对不对？哎，咱们得看出来，它哪变了，然后呢，这个 x 二呢？哎， x 二哪变了， 对吧，它就应该等于还是二 x 零减五分之，那这个时候呢，就变成五 x 零减八了， 对不对？哎，同理，我们就把 x 二 y 也写出来了，它关于这个 i 零与 y 零之间的关系。那既然这样，那我们是不就可以把这个 k 二全都换了呀？哎，因此啊， k 二它应该等于啥呀？哎， y 二减 y 一， 比上 x 二减去 x 一 套进去没啊？没有什么办法啊，兄弟们，这就得算哈，那个 y 二，哎，刚写完的二 x 零减五分之三 y 零，是吧，然后减去 这个 y 一 啊， y 一 在这呢， y 一 在这啊，这是有，正好有个符号，那我就变加号了啊，就变成二 x 零加五分之三 y 零了，然后比上 x 二减去 x 一 x 二呢，等于 二 x 零减五分之五， x 零减八，再减去，这种也提个符号出来啊，在这是吧，等于 这是二 x 零加五分之五， x 零加八啊，就得这个， 哎，你会发现，这分子分母分别得通分一通分呢，分母没了是不？哎，分子分母上面的分母全没了，哎，就剩这个分子了，那分子通分完了之后，你看分子的通分变成了六倍的 s 零 y 零，加上十五倍的 y 零， 然后呢？再加上，这是，呃，六倍的 x 零啊，减去十五倍的 y 零， 那么这就可以约掉了，对吧？加十五倍百零，减十五倍百零啊，啊，分子就是这个分母呢？咱们再看分母通完分了之后，上面你看啊，要观察，这是五 i 减八，这是二 i 加五， 而这变成五 i 加八，二 i 减五了，所以说他一次项全被约掉了，剩下的是啥？是十倍的 x 零方啊，再减去四十，剩了两个它， 对吧？哎，剩了两个塔，因此就等于这个玩意。然后咱们简写一下啊，化简一下，那上面就变成啥了，十二倍的 l 零 y 零，底下就变成了，这是 二十倍的 x 零方，减去八十，那当然了，很明显能同时除以四，是吧？哎，同时除以四，那就是三， l 零 y 零五， x 零方减去二十啊，就是它， 因此我，然后接下来我们可以用到了，哎， k 一 k 二 k 三乘等差除列，也就是说 k 一 加 k 三啊，一定得等于 k 二啊， 对不对？按照提议，对吧？所以说，我们算一下，二分之 k 一 加 k 三啊， k 一 加 k 三，算一下异通分，那这就变成 啊，就变成分母啊，分子就是 x 零方减一了，而分子呢，一个减 y 零，一个加 y 零，约掉了，所以说上面应该有二倍的这个 i 零 y 零，又因为有个二分，之所以说它就变成 i 零 y 零啊，就等于它而等于 k 二啊， k 二等于这个 啊，五 x 零方，减去二十分之三倍的 x 零 y 零， ok， 那 你看这道题，很明显，这已经有一个解了， x 零等于零，或是吧， 或 y 零也能得零啊， y 零也能得零，然后咱们一会再说舍解的事啊。然后呢，咱们继续算，那如果不是 x 零和 y 零等于零， y 零等于零的话，那上面分母分子就可以约掉了啊，剩个三， 是吧？哎，因此呢，我们就可以算，它应该等于这是啊，三倍的 l 零平方减去三呗，对吧？就应该等于五， x 零方减去二十， 这算完是二 x 零方啊，应该得等于十七呀，对吧？也就是说啊， x 零方应该等于二分之十七， ok， 这又是一个解，那我们看啊，哪个解是需要要的呢？首先，如果它 y 零等于零的话， 比如说这个 c 点啊，在这或者在这，那不可能，对吧？因为你这个 c a 啊，想经过 f 一， c b 呢，还想经过 f 二，那如果你这个 c 点在这的话，那就直接就一条横线了， 是吧？那 c a 跟 c b 重合了，所以说这种情况是不可能的啊， y 零等于零是不可能的。然后我们再看，由于这个直线啊，由于这个椭圆方程啊，它这个 x 零啊，顶天就是正负二，而你这个 s 平方等于二分之根号十七，已经比四大了， 对吧？因此他也是不可能的啊，这不可能是椭圆上的点，所以说，这道题只能有 i 零等于零啊，只能有 x 零等于零，那么当 i 等于零的时候，那么很很明显啊， y 零啊，是等于正负根号三的，往图二方程里一带就行了，是不是？哎，因此，这道题点 c 的 坐标终于出来了，零度正负根号三啊，完活啊，那咱们再看。哎，那如果这道题用定比点差啊，可不可以做呢啊？当然可以了， 当然了，这个定比检查呀，我已经讲过很多次了啊，所以说呢啊，现在呢，如果还有不清楚的同学可以看我之前的视频啊，我在这就不多赘述了啊，我只是说一下这个定比检查的演算过程啊，首先这道题啊，因为 a c 直线啊，因为 a。 哎呦我天， 因为啊，这个 a c f 一 啊，三点共线， b c f 二，三点也共线啊，所以说这道题定频点差绝对可以解啊。 ok， 那 咱们可以设对吧，设 这个 c f 一 向量啊，等于喇么的倍的 f 一 a 向量，那当然了，那么 c f 二向量就应该等于 mu 倍的啊， f 二 b 呗，哎， 就是这两个两组向量啊，它们之间是有比例关系的。哎，我们把这个比例关系设出来啊，虽然说我不知道它到底是多少比例，那么我就可以设嘛，对吧，一个篮子一个缪，因此啊，根据定比分点，我们可以得到这是负一呗，应该等于一加篮的分之 x 零加上 lamb 的 倍的 x 一， 对吧。然后呢，零应该等于一加 lamb 的 分之 y， 零加上 lamb 的 倍的 y 一 啊，这是第一个，第二个就是这边啊，一等于，这是一加 lamb。 其实这边不用写啊，写吧， l 零加上 lamb 的 x 二，那么零就应该等于一加 lamb 的 x 二，那么零就应该等于一加 lamb 的 y 二 就是他。 ok， 那 接下来我们看得到了这个负一和零啊，就是 x 零与 x 一， y 零与 y 一 的关系。那你说老师为啥你用这种方法，哎，我要找的不就是 x 零与 x 一， y 零与 y 一 的关系？ x 零 x 二， y 零 y 二的关系。 那你不用它，你用啥呀，对不对？你这多好，对不对？ ok， 然后接下来怎么呢？我应该把 c 点和 a 点带到椭圆方程里，对吧？那么 c 啊， c 点带到椭圆方程里，那就是四分之 x 零方加上 三分之 y 零方，一定等于一啊，哎，开始做点差了，那只不过呢，它跟真正的点差比呢，在这四分之 x 一 方加上三分之 y 一 方，等于，对吧？但是呢，你 x 一 和 y 一 这块全都有栏目的，所以说得配栏目的方啊，这边 这边就变成了配点栏目的方，然后这是圈一，这圈二，然后怎么的？一减二呗， 哎，一减二得到，哎，四分之一倍的啊，它俩相减是不平方差公式啊，对吧？所以说等于 x 零加上 lamb 的 倍 x 一 乘以 x 零减去 lamb 的 倍 x 一， 是吧，然后加上 三分之一倍的。同样啊， y 零加上 r 的 倍的 y 一， 再乘以一个 y 零减去 r 的 倍的 y 一 啊，等于这个等于一减 r 的 方，那一减 r 的 方呢？哎，等于一加 r 的 乘以减 r 的， 然后我把一加 r 的 乘以减 r 的 除过来啊，这就变成一加 r 的， 一减 r 的， 一加篮的，一减篮的，哎，得到它了，然后我把，你看这整体代换呢，对吧，这玩意不就它吗？ 你看这玩意不就它吗？对不对？哎，咔嚓，一个整体代换，把负一和零往里一带就变成啥了，哎，四分之一啊，乘以负一，再乘以 s 零减去篮的啊，这个玩意加上这是零啊，所以说加零啊，等于一。你走到这个了， 我能得到第一个啊，就是把这个一减 m 的 和四都整过去啊，变成了 x 零减去 m 的 倍的 x 一 等于四， m 的 减四，能得到这个，然后呢，还通过原来的这个式子在这， 哎，放下来，那就是 x 零加上 m 的 x 一 呢，还等于负 m 的 减一啊， 是不？哎，还等于负篮的减一。因此，通过这两个式子，我能不能把 x 零和能，能不能把这个 x 一 用指含有 x 零的式子表达啊，太能了呀，对不对？那你看这两式啊，加一起能得到啥呀？ 相加能得到啥是不得到啊，二 x 零应该等于三篮的减五，对不对？所以说，哎，篮子等于啥呀？应该等于二 x 零加五除以三， 那这个式子两式相减，哎，你是不就能得到这个，哎，你比如说，这叫圈三吧，这叫圈四，对吧？我用四减去三，那能得到啥呀？哎，这不得到 啊，二栏目的倍的 x 一 啊，就应该等于这是负栏一减去四栏的，应该等于负五栏的，对吧？哎，所以说等于负五栏的加三，哎，加三，对吧？因此啊，我可以得到 x 一 啊，就等于 负五 nums 加三，比上二 nums， 哎，得到它，得到它了之后，你再把 nums 这个 式子往里一带，是不就得到了 x 一 与 i 零之间的关系，哎，一化减，哎，就等于啥了，等于二 x 零加五分之啊，负五 x 零减八，哎，跟之前的一样，你看这玩意儿， 这是二零二 i 零加五分之，负 i 零减八啊，二 i 零加五分之，负 i 零减八啊，都一样，所以说这计算呢，这个难啊，难和 易啊，是因人而易，对吧？如果大家对于这个定位检查非常熟悉的话，其实他算的也挺快啊，我只是给大家提供一种思路，当然了， y 一， 然后呢，这个 x 二百二都是一样的就可以，这个同理可得了，是不是？ 然后咱们再看这个最后一个问啊，最后一个问，哎，首先啊，咱们看啊，这个 a c 和 b c 过左右焦点啊，这个条件是只有第一个问有的啊，因为这是弱啊，所以说第二个条件它是没有这个条件了的啊。那么第二个小问，他说 abc 的 重心是坐标原点 啊， a b c 的 重心是坐标原点，那么问你，这个三角形 a、 b、 c 的 面积怎么算？ ok， 那 重心在圆锥曲线里边怎么用啊？哎，当然了，肯定是哎，三分之 l 零加 x 一 加 x 二等于零， 对吧？等于这个重心的横坐标，然后三分之 y 零 y 一 y 二也等于重心的重坐标啊，这没有问题，那么还有什么呢？哎，那比如说 o c 啊，一定是 o c 这条直线啊，在延长啊，一定是，假如说这点要点得，那么得点，一定是 ab 中点， 而且呢， o 点呢，一定是 c 的 三分点啊，这是一定有的，哎，因此，那么如果这道题你要算三角形面积，你就得想，这三角形面积咋算呢？ 我总不能真的用这个底乘高硬算吧，对不对？所以说，我一定要转换，把这三个洞点呢，最起码的其中一个洞点给我转化没呀，这肯定的，因此，怎么办呢？哎，往 o 上转化呗， 对不对？哎，因为啊， o 点是三分点，所以说这块 a、 o b 的 面积是不就应该是三分之一倍的总面积啊？ 哎，那么我求三角形 a、 o b 的 面积肯定是要比求三角形 a、 b、 c 面积好求啊，因为 c 点你还都不知道搁哪呢，对吧？它是动点，而 o 那 个 o、 b 是 零到零啊，好算。所以说，这道题我们一定是要用三倍的 a、 o、 b、 c 面积来算这三角形 a、 b、 c 面积呢？ ok， 那 么这三角形 a、 o、 b 的 面积怎么算呢？哎，还是一样，对吧？那三角形 a、 o、 b 的 面积硬算也不好算。所以说，这道题啊，面积你可以用这个啊，二分之一 x 一 百二，减去 x 二百一，用向量啊这种方式去做。但是这么做呢， 啊，有一定风险，是吧？有一定风险，因为这个柿子，这个三角形面积公式，你得正一下子，是吧？哎，当然了，你也可以这个不，不正，那你还可以怎么整呢？你还可以用这个种截距算呢，对吧？哎，那比如说这个点我要点嘚 啊，就是 ab 与 s 的 交点，那这个点叫点得，这个就不就是 y 等于 k i 加 b 里边那个 b 吗？然后呢，再乘以这个 a 和 b 点的横坐标之差，哎，这么做能简单一些，是不是？兄弟们，哎，所以说，这道题啊， 啊，搁这写吧，地方应该够用。第二问没有那么难啊。 ok， 那 么现在我们得先确定一下，我们要算这个三角形面积 s， 它应该等于啥？等于三倍的 s 三角形 a、 o、 b 的 面积，对不？哎，咱们刚说完，它就应该等于三倍的二分之一乘以 啊，这个重叠句，我肯定要设这个 y 等于 k， i 加 m 啊，这个就是 m 的 绝对值，然后呢，再乘以 x 一， 减去 x 二，哎，就等于它， ok， 他 想让我算这个面积是定值， 那既然这个面积是定值，我们就得把我们的式子里边的啊， m 和 x 一 减 x 二，都用同一个未知数来表达呀， 对吧？然后这个未知数这会能约掉啊，就得这么整，对不对？那你用哪一个位置同一个未知数呢？用什么同一个未知数？一定得用 x 零八一零啊，对吧？一定得往这个点 c 上走啊，要不然这道题你不可能是定值的， 是因为点 c 啊，关于 o 点的，呃，这个对称相当于类似于对称，这个点实际上呢，是负二分之 x 零都负二分之 y 零，是因为这个点正好是 ab 的 中点，它才能够面积是定值的。 所以说，这道题我的目的是一定要把 m 和 x 一 x 二都往 x 零 y 这边转化， ok， 那 么咱们看，那么我这条这条直线 ab 啊，这条直线我怎么设呢？肯定是 y 等于 k i 加 m， 那 这个 k 有 什么关系吗？太有关系了，有终点就有点差呀，对吧？所以说，假如说这个点，我就管它叫 m 点是不？ k o m 乘以 k a b， 一定等于负的， a 方分之 b 方啊。而又，因为 m 点就这个点的中点坐标，是不就等于负二分之 x 零到负二分之 y 零啊， 一定等于他呀，因为这个点 o 点是三分点吗？哎， o 点是三分点，所以说一定等于他啊，一定等于他。因此，那么这个玩意和这个玩意跟零斗零， 哎的这个写率是不就是 k o m 了，对不对？哎，所以说这个二和二都能约掉，符号和符号也能约掉，就是 y 零比 i 零，对不对？所以说这道题，哎，怎么的， k k a b 啊，乘以这个 k o m， 这个 k o m 就是 谁呀？ y 零比 i 零，嗯， 它一定是等于负的， a 一 方分之 b 方，哎，负四分之三，当然了，这个你得这个用点查法的内容正一下啊，你得正一下考试的时候。因此啊， k 啊，就一定等于四 y 零分之负，三 x 零呗，就得它 啊，就等于它， ok， 那 我们是不是就可以写这个直线方程了？又因为这个 ab 这条直线一定怎么的 一定过这个刚才所说的这个 m 点呢？哎，所以说，我就点这个，把点带进去啊，点斜式，对不对？所以说就是 y 减去负二分之 y 点，相当于加上 啊，二分之 y 零就应该等于 k 倍的，也就是说，四 y 零分之负，三 x 零倍的括号 x 减去 y 零，那个 y 零就应该是负的啊，所以说是加上二分之 x 零就等于它。然后我们化简一下子啊，这就是 y 零， 应该等于负啊，四 y 零分之负，三 x 零倍的 x， 这相当于是减去啊，八 y 零分之负啊，这是减去了，是吧？那就是三倍的 y 零方， 然后我这边呢，还得挪过来一个，是不？把这个二分之 y 零挪过来啊，一挪过来了之后还得通分，那它也得变成八 y 零， 那它变成八 y 零的话，那上面就得是四倍的 y 零方了，对吧？四倍的 y 零方，哎，那你会发现，三 x 零方加四 y 零方是不又等于十二了呀？所以说这个式子，哎，其实啊，没有这么麻烦，等于 四 y 零分之负三 x 零倍的 x， 然后再减去，这是十二十二跟八能约了一下是吧？哎，剩了这个二 y 零分之三就等于它 啊，这就是这条直线的方程。哎，这条直线方程我们写出来了，然后怎么呢？跟这个椭圆方程连立呗，对吧？椭圆方程，三 x 平方加上 四 y 方啊，减十二等于零， ok， 两个式子啊，一个连立连立完了之后，等于的就是三 s 零啊，三 x 方加上三 x 零倍的 x， 再加上三减四 y 零 方啊，就等于它，哎，你看，这连立完了之后，非常简单，因为这个 y 零啊，都当分母直接约掉了， ok， 那 么直接算这个 x 一 减 x 二就行了，对不对？哎， x 一 减去 x 二 的绝对值啊，就应该等于 x 一 加 x 二， x 加 x 二等于的是负 s 零啊，是吧？就等于负 s 零的平方，那就是 x 零方，然后减去四倍的 s 一 乘 s 二， s 一 乘 s 二呢，就减去三分之四倍的啊，三减四 y 零方， 对吧？哎，就等于它四 y 零方，哎，就等于它， ok， 然后呢，我们把这个三提出来呗， 哎，先通分，那这上面就变成了三倍的 s 零方，然后你这是三提出来了，就是十六倍的，是吧？加上十六倍的 y 零方，再减去十二， 那你看兄弟们啊，这都是隐藏的。三 x 零减去十二，你看三零方减去十二等于啥？等于负四 y 零方加上十六倍的，那就变成十二倍的 y 零方，那除以三就是四倍的 啊， y 零方，四倍的 y 零方开根号，那就是二 y 零。哎，你看这题是吧，都能够，哎，非常巧妙的化解掉啊，因此这道题 s 就 应该等于在这呢， s 在 这， 对吧？哎，他就应该等于二分之三啊， m 的 绝对值乘以 x 一 减去 x 二，哎， m 等于啥了？算完了，搁这呢？ m， 所以 说他应该等于啊，二分之三乘以这是啊，负的 二 y 零分之三到绝对值，是吧？这是它的 m 乘以 s 一 减 x 乘以二 y 零到绝对值，因此 y 零约掉了，因此等于二分之九定反火。 ok 啊，那么这道题啊，计算量确实是非常非常大。 呃，不管怎么算都比较麻烦，但是他考察的就是大家的硬功夫，大家能不能够，哎，通过已知条件你去分析啊，按照正确的路线，在正确路线上去做，因此一定还是目标函数是所所有的问题当中最首要的问题。 看到这道题了，第一时间先把目的关键条件给我转化了，目标函数给我写出来，这样的话你才能用正确的方法做，而不是上来就想怎么连力啊，那是不对的。 ok 啊，这个十八题我们搞定了，我们下个视频见，拜拜。

你听懂？老师感觉您讲的真好，我们算 ip 啊， x 零， x 一， 还有像咱们算起率乘积，那什么情况呢？咱们先大致去画一下来，比如说这是个椭圆啊，嗯， 这样它的第一象限这个点 p， 然后它有内切圆， 内切圆大致就这样吧，嗯，内切圆的圆心，哎，在这，哎，那么这个 i 呢？就是内切圆心，那内切圆半径呢？咱知道是个一，那么 等面积法肯定可以用，没错吧？姑娘，对于我们这样的一个交三角来说，你说它的面积，它就应该是 a 加 c， 也就是说五加三，然后告诉咱内切圆半径了，也就是乘一呗， 可以这样去算，于是你可以算点什么出来呢？那我这个 a、 b、 c、 d 四个选项当中有哪个东西咱可以慢慢推呢？ 啊？我们是不是还可以抓住等面积，它还等于 c 乘以 b， 那 么 c 呢？就是我们椭圆当中的 cd 是 什么呀？ d 是 我们这个点 p 到我们这个长轴的距离，也就是现在这个点 p 的 纵坐标外零， 因为点 p 在 第一象限，那所以其实它的纵坐标呢，就是点 p 到长轴距离，我们可以用二分之一顶成高呀。那这样你是不是就可以直接算出 y 零是等于三分之八的吗？ 那你说我要 x 零啊，我不要 y 零啊，那你这个点在椭圆上，你有了纵坐标，你当然可以去求横坐标呀，你再带回去，又因为二十五分之 x 零方加上一个十六分之 y 零方是等于一的，你带一带， 你就能够把那个 x 乘出来，所以其实这个 b 还是对的， ok 吧，姑娘，他还是考了你一个等面积法啊，那好，那你说这 b ok 了，那剩下的东西呢？ 那我怎么去算呢？就要考一些额外的知识点了，比如说，既然都有那些元了，你在初中就一定知道，其实我这个 p f 一 和我这个 p f 二 都和我这么一个圆相切的话，咱把切点分别记为一个点 a 和点 b， 那 咱是不是有 pa 和 pb 相等， 对吧？那么 f 一 f 二呢？也和我们这个圆相切，那切点呢？如果记为一个点 c 的 话，那 f e a f e c 那 是不是相等的呀？ f 二 b f 二 c 是 不是也相等？ 哎，有点什么用呢？那这个时候你看，那咱这个 p f 一 加上 p f 二，然后呢，再减去那个 f 一 f 二是不是相当于 pa 加上 a f 一， 然后呢？ p b 加上 b f 二， 然后再减去那个 f 一 c 加上 c f 二， 根据线段定律，这俩相等没了，这俩相等也没了，那最后它不就剩下一个 pa 加 pb 吗？而 pa 加 pe 还是一个二倍的 pa 呀， 没错吧，姑娘，嗯，这个和 pb 长度还相等呢，所以你看，那这不就是二 a 减二 c 正好等于 pa， 那 我就能够把 pa 算出来， pa 呢，就是一个 a 减 c， 也就是多少呢，对吧？那么有了 pa， 那 不就能算这 ip 了吗？ 因为过起点的半径和这个切线垂直呀，你是不是就可以勾股一下，所以这个 ip 它不就是根号五了吗？ 两条直角边，一个是二，一个是一，所以这个 a 选项他也是正确的，可以吧，姑娘，嗯，这就会考你初中的东西，这个东西你在初中肯定用过 啊，而且咱们要想考一百四以上，这玩意必须得知道， ok 吧，姑娘，所以你现在还是欠练，可以吧，稍微一复杂一点反应不过来了吧？嗯，是不是这感觉？嗯，前面，嗯，你说 a 一 对一，二对二，丁是丁某行，没问题，稍微一综合，嗯，卡壳了。 所以在平常练题的时候，你做这种题是不是五分钟以上？你是不还在这花时间继续在做 是不是？嗯，过了五分钟你说我必须把它抠出来，但是咱们有时候抠那个点一定要一一给它对应上，所以也就是说你把那些基础东西过完之后，然后我看一看，为什么？你说，哎，这题看着简单，你说为什么给你发这些，想看看你平常简单的想的怎么样，怎么想的，所以我才根据难度再给你在课上再加一些题目 一波，姑娘，我知道你是什么水平之后，下一课之后，嗯，我就给题目难度做一些适当的调整，所以咱上课就是什么呢？ 课前会给你发题目，你可以自己啊，就是有自己的思路啊，先捋一遍，课上认真听我讲，然后把我的思路传授给你，看看有什么不同，咱们取长补短， 然后之后呢，课下再做一遍这个题目就什么呀？用我讲的思路，如果比你好的，你就用了，然后咱们再写一写，练一练，可以不？姑娘，这个题目就是反复的做，反复的练，题目再精不在多好吗？姑娘，嗯，再精不在多，想通了就是最好的。 那所以对于三角形内切圆来说，咱们可以玩一个切线长度的定义的，那所以两边之和呢？点去这个第三边其实会等于什么呢？会等于这俩小段的和，然后呢，我就可以把这俩小段长给他去整到啊， 那这不就是初中经常用的这个东西吗？所以说如果课上有额外的，你不用担心，都会给你补充到啊。 那这道题有意思的就是，哎，我和初中的也合一下，来这么一个综合，那继续，那再来，那剩下的东西你说怎么处理呢？刚刚你说咱不是有这个内切圆和 x 轴相切半径为一吗？所以显然我这个点 i 它的纵坐标你是不是知道了呀？ 对吧？纵坐标就是一，那你现在点 p 的 坐标你知道？点 i 的 纵坐标你知道？ i p 的 长你还知道，那你能算它横坐标吗？姑娘， i p 这个东西，它不就相当于是根号下的 咱们这个 x 一 减去 x 零的平方，然后呢，再加上 y 一 减去 y 零的平方，它是等于一个根号五的， 现在 x 零我们算完了，然后呢， y 零我也知道， y 一 呢，我清楚是个一，那所以我肯定是不是能求出 x 一 来，没错吧？姑娘？嗯，所以最后你去算，这我就不算了啊，还是老老实实算，嗯，答案这里可以算出根号五，所以 c 是 错的。 嗯，而到了最后，你这个 y 的 坐标已经知道了，那这个斜率之积你还需要纠结吗？姑娘， 不用了吧，嗯，那么咱们这个 i f 一， 你要去算斜率，那不就是纵减纵比上横减横吗？那么不就是一减零比上一个根号五，然后再减去那个什么呀？三啊 a， 然后呢？ i f 二写律不又是一个纵减纵比上横减横吗？所以又是一个一减零比上一个根号五减去。正则一算，那你就能算出来，它就是一除负四，所以负的选项就是正确的，所以答案 abd。 这道题的话，我们这样去算的话还是比较方便的。它的关键突破点在哪呢？就在这个大红色写的地前面啊，什么？等面积法？说实话不能啊， 没错吧？姑娘？嗯，等面积法咱们现在很有感觉，他的难点就在于这个大红，那如果咱能想到我这个切线长定里， 然后呢？由它延伸，我们会有内切圆的这个呃，这么一个玩法，那么我们就很容易去把我们这样一个长度算出来。嗯，那为什么会想到这样一个东西呢？就是因为他问了一个 ip， ip 你 要算长度，关键是你要知道 pa 是 多长。 那其实我并不需要说我把什么坐标全给找到 i p， 我 要算长度，我们 之前新鲜热乎的那个圆还有印象吗？姑娘？那个基本的几何性质，那个半径和切线垂直，那我想算 i p， 关键是我要知道切线长 pa 呀，那么你这个 pa 呢？ pb 呢？相等 啊，那剩下的这些什么东西，我玩一会有什么特点呢？哎，我就想到啊，初中有这么一个东西，然后就可以算把 ip 算出来，而有了 ip 剩下的坐标也好，斜率也好，其实都是高中的东西啊，就结束了。 那这种考法的话，就是一种比较典型的难题选填难题的考法，它的点在于综合，但是这道题还不是压轴的那个国卷，它是一个次压轴。

hello， 大家好。呃，我是陈老师，今天我们继续看二零二四年全国卷一的第十六题啊，也就是大题的第二题。先读一下题， 已知点 a 零到三和点 p 三到二分之三为椭圆， x 方除以 a 方加上 y 方除以 b 方，等于一上的两个点，第一个求离心率啊。 第二，过点 p 的 直线 l 交 c 于另一点 b， 且三角形 abp 的 面积为九，求 l 的 方程。 那么读完题以后，我们知道啊，这是一个圆锥曲线的问题。第一问是比较简单的求离心率，或者说求这个呃圆锥曲线的一个方程，那么应用的方式呢，就是利用相关的定义往里代运算就行了。 第二个问呢，是涉及到一个面积的问题，涉及到一个呃动点或者动直线，然后有一个固定的面积，然后求这个直线的相关的要素的问题。 那这类问题呢，其实也是呃相对比较考的比较频繁的一类题了，我们要做的呢，就是利用面积公式想办法呃，把这个式子 方程列出来，然后去解就行。那总体来看呢，这道题出在这个大题的第二题，这就证明了这道题是一道相对比较简单的圆锥曲线的问题啊，那可能它的考点相对来讲就是呃在计算上， 其他呢，在逻辑包括在列式上应该是比较简单。好，我们来做一下。第一问，已知 a 点的坐标是零到三，那我们知道，对于椭圆来讲呢，零到三是这个椭圆画一下啊，是一个画一下。 那么椭圆呢，我们在高中阶段呢，他是出题的时候呢，或者说考题的时候，他是基本上不平移的啊，全是关于这个圆点对称的，所以这个零到三， 呃，一定是他的上顶点。换句话说，通过这个条件我能知道的什么呢？我们知道这个 b 就 等于三，对吧？然后另一个点 p， 他 是三到二分之三，那大概在这个位置啊，也就这个点是在椭圆上的，所以呢，我们通过这个条件得到 b 了， 然后呢，我再用另一个条件代入椭圆的方程，就会把 a 求出来，那 ab 都求出来了，呃，自然离心率就可以求了。好，我们下面算一下啊，由这个 b 等于三，我知道这个椭圆方程变成 x 方除以 a 方 加上 y 方除以三的平方，九啊，等于一。然后呢，将这个点 p 代入，也就是三的平方除以 a 方加上 二分之三，括号的平方除以九等于一，那这样算一下，是 a 方分之九加上二分之三，平方四分之九，四分之九和九，约调是四分之一，等于啊，所以这样一解呢，是 a 方分之九等于四分之三，所以 a 方等于这个约调 乘以十二啊，所以这个图方乘以十二加上 y 方除以九等于一， 那么 a 方是十二，呃， b 方是九的话，那么 c 方是 a 方减 b 方自然是三，对吧， 所以这个异方就是 a 方分之 c 方，也就是十二分之三等于几啊，呃，四分之一，所以这个离心率就求完了，是二分之一 啊。整体来看，第一题是最基础的题，就是我们把这两个点往里带就行了，当然我一眼能看出来 b 四级，我就相当于带另一个点就可以了。剩下呢，就是妥儿的基本的一个，呃，离心率的一个定义，就还有剩下就是一个基本的运算啊，比较简单。好，我们来看第二题啊， 第二题说过点 p 的 直线 l 交椭圆于另一点 b 啊，画一下，你随便画一个吧，就假设这个是 b 啊，然后 abp 的 面积为九，我们把这个连一下 啊，也就是三角形 abp 啊，这个面积等于九，让我们求 l 的 方程。 那，那我们观察一下这道题啊，这道题呢，是一个说，呃， b 点是不确定的 啊，其实就是因为过 p 点的这个直线啊，他是不确定的，那么自然它和椭圆的焦点 b 也是不确定的。好，就是问我们，当这个面积正好等于九的时候， 那么这个确定的 b 或者说确定的直线方程是什么？那这里呢，最关键的一点，我们要分析如何来把这个面积表示出来，也就是三角形的面积。那我们知道三角形的面积来讲呢，我们计算的方式呢？第一类啊， 就是我们高中学的面积等于二分之一 a， b， c 啊，或者二分之一 bc， 三 a 等等，就是这公式吧。啊，那么这里面呢， a p 是 固定的点，但是 b 是 动点，而题里给我的面积的固定的值，我知道这里没有给我角的一个相关的信息，所以很显然用这个公式来讲呢，就是一个相对不明智的，因为没有角的信息吗？没有，更没有角的挣钱值的信息了。 所以呢，我自然想到用我们以前初中学过的或者小学都学过的啊，底面积乘高 啊，不对，是这个底层高啊，二分之一底再乘高就可以。好，那用这个算的话，我们要确定把谁当底，把谁当高 啊？那这里其实我们如何来确定呢？就是我们心里啊，或者说这类题我做的比较熟了，咱们心里给他推演一下，看看哪个方法能计算量相对比较小。好，那第一个，这个我们不用，我们用第二个底层高除以二啊。那么这里首先 咱们推演一下，我把谁当底呢？那我们传统的做法呢，就是说把 b p 当底 啊，把这个 a 点到 b p 的 距离当高，这样来算，也就是二分之一乘以 b p 乘以这个 h， 我 用 h a 表示 a 点到 b p 的 距离吧。好吧，我如果这么算的话，那我需要怎么做呢？我需要把 b p 的 距离求出来， 我求 b p 的 距离的时候， ok， 我 可能需要把这个直线射出来，射的斜率为 k， 然后利用这个点 p 把这个直线写出来，那么应该是这样， y 减二分之三等于 k 倍的乘以 x 减三，对吧？然后把这个直线和椭圆方程进行连立啊，这是我们常规的做法，对吧？ 我为什么要连立啊？因为连立之后，我可以削掉一个字母，然后留另一个字母，然后利用弦长公式把 b p 可以 求出来，用 p 表示出来 啊。然后呢，这个 h a 呢？就是点 a 到这个直线的距离，那这个直线我射出来了点 a， 我 也知道是不 h a 也可求啊，对吧？理论上这两个是都可求的，但是这个方法对于这道题来讲并不是一个好方法， 为什么呢？就是因为这个直线，咱们看一下，你把这直线如果带入校园过去，是不是这样的， 对吧？我这样的话，如果把这个 y 往这个呃土壤方寸里一带的话，我发现这个其实理论上能给它展开，这是一个三项，你三项再去完全平方去算，这样的话，我认为它的计算量是偏大的，它的计算量是偏大的， 对吧？所以这个计算量偏大以后，联利之后涉及到的伟大定律，那个式的相对就更复杂 啊，你还要确定这个得他，他得是大于零啊？得有俩焦点啊，是不是？那你整个的计算量就比较大了？ 所以这个方法我认为不是一个好方法，就是因为他的计算量偏大。计算量偏大的原因在于这条直线的形式，他其实是一个三项式，那么三项式我再往里带入给他完全平方再整理的时候，这就比较麻烦 啊，所以这个方法我认为不是一个好方法。好，那我们不用这么算面积，我们用什么来算呢？其实这道题我个人认为更简单一点，是这样来算，把谁当底，把 a p 当底， 把这个 b 点到 a p 的 距离当高，这样算为什么好算呢？因为 a 点的坐标和 p 点的坐标我都知道，所以这个距离我用两点间距离公式一算， ok， 它是个数 啊。第二，这个 b 点到这直线的距离也好求，为什么呢？因为这个直线这俩点都知道，这直线我是不是可以写出来了，对不对？没有参数的呀？然后我什么呀？用点 b 到这个直线的距离，用点到直线距离公式一带就行了， 对吧？一带就行了。而对于 b， 我 们怎么来设呢？ ok， 因为 b 是 一个坐标，所以我自然设的横坐标为 m， 中轴位为 n 吧。好吧，就这样，那我们说这有两个位置函数，我需要列两方程， 那列哪两个方程呢？其实刚才说过了，第一，这个点到这直线的距离，我们是可以求的，因为面积给我了，对吧？这底我知道， 所以我通过面积公式，我就可以把这高求出来，也就是 b 到这直线的距离这个数，我列出一个方程，关于 m n 的 一个方程。那么第二个方程很简单了，因为这个点 b 在 椭圆上啊，它是满足这个椭圆方程， 所以我这么一做的话，我会算这个计算的流程是什么。最后我会得到一个关于 m n 的 一个二元二次方程，我去把这方程解出来， 那么点 b 的 坐标球，点 b 坐标球来了，自然之前跑到，所以我认为这个方法可能计算量会更小一些。 好，下面我们将它实践一下。那按照咱们刚才的流程，首先第一步先求这个距离， 这个距离呢，就是两点间距离了，它用两点间距离公式，根号下零减三括号平方，加上三减二分之三括号平方， 我发现这里一带呢，就是三的平方，加上这个二分之三或二平方。其实这个不用算了，咱们心里都清楚， 这两个式子是一比二啊，那么根据勾股数，他应该是一比二倍根号五，当然你算完以后，算出这个 a p 的 距离，也是这个二分之三倍根号五，对吧？一比二倍根号五吗？好了，这个 a p 我 求完了， 那么 a p 我 求完了呢？我根据面积公式，因为这个面积给了是二分之一比一 乘以这个高，它等于呃九，那这里呢？ a p 我 求出来了，我往里一带，也就是二分之一乘以二分之三倍根号五，再乘以 b 的， 这个高啊，等于九，所以这个高我就求完了， 算一下，这个约分是三三乘四是十二，这是根号五分之十二啊，也就是五分之十二倍，根号五。当然，咱们在在实际操作运算的时候写这个就行啊，可能后面还更好算一点。 好了，现在这个 h b， 也就是 b 点到这直线的距离，我求完了五分之十二倍根号五。那么很自然，下一步我要把这个直线方程求完以后，点到直线距离公式，我就得到 m n 的 第一个方程了。 而这个直线呢？ ap 直线呢？两点式也行，点斜式也行，怎么都行啊，那我就用点斜式吧，先求 k 吧， k 等于 二分之三减三，除以这个三点零，应该是负二分之一，对吧？然后再结合他过 a 点零到三，那是 y 等于 k， x 加 b 嘛， 对吧？是这样，把它化成这个一般式，化成一般式乘以二是二， y 等于负， x 加六，也就是 x 加二， y 减六等于零。好了， 下一步这个点 b 到它的距离是五分之十二倍根号五。那么这个距离公式啊，也就是 a b 啊，它等于根号下一方加二方， 然后这个点 b 的 坐标往里带 m 加上二 n 减六，这个数，它等于五分之十二倍，根号五。哎，我写根号五分之十二吧。 啊，那这个数一算，也是根号五，这就约掉了。所以最终我得到了一个式子， m 加二， n 减六的绝对值等于十二。那这里来讲呢，无非就是两个方程，对吧？第一个 m 加二， n 减六等于十二，第二个 m 加上二 n， 减六等于负十二啊，也就是 m 加二 n， 第一个等于十八，第二个 m 加上二 n 等于负六。好了，这是关于 m n 的 第一个方程， 有两种情况，我们一会要分别验证是不是都行，那第二方程呢，就是点 b 在 椭圆上了，所以第二方程就是 m 方除以十二，加上 n 方除以九等于一。所以我下面要做的就是分别把这个椭圆的方程 代入以后的方程和这两个直线。 m 加 n 等于十八，以及十二分子 m 方加上九分子 n 方等于一和 m 加 n 等于负六。他们分别进行连律，然后求解就行了 啊，也就是标为全一方程和全二这两个方程组。好，我们先解全一方程，那么代入消元法吧， m 等于负二， n 加十八，然后带入进去。当然这些过程都是你在考试中的草纸上算的啊，我这里呢，就是呃，也把这个计算过程算一遍，可能有呃哪个地方能简变一些，也能让同学们有一些参考啊。 那么代入的时候呢，这个方程呢，最好还是把它变成整数方程啊，不要有这个分数啊，分母不要有，分母是这个意思，所以我们呢，对于这个方程来讲，我先上下同时乘以三十六， 呃，左右乘以三十六，乘以后应该是这个三 m 方加上四 n 方等于三十六啊，那应该是往这里面代，所以 把 m 换成负二 n 加上四八括号的平方加上四 n 方等于三十六。那 这里面呢，不要直接算这个负二 n 和十八，可以提个二出来，那么二的平方在四四乘三就是十二呗，里面是负 n 加九的平方，负 n 加九的平方就是 n 加 n 减九的平方，完全平方。公式打开，我这里跳步了啊， n 方减十八， n 加上八十一啊， 加上四 n 方等于三十六啊，那么这个式子呢，两边可以同时约个四啊，也就是三 n 方减去十八， n 加上八十一，括号加上 n 方等于九，那么三方加 n 方是四， n 方三乘以四八是五十四， n 三乘以八十一是二百四十三减九，二百四十三减九是二百三十四 啊。好了，我们一看这个方程，这个方程，其实如果说我们对数字相对敏感的话，我一眼看出来也就五十四括号的平方减去四乘以四，再乘以二百三十四，这个数是小于零的啊，我们可以算一下这个数啊，呃，大概是等于 负八百多吧，我不算了，肯定是小于零的啊，肯定是小于零，所以换句话说，整个圈一方程是无解的啊，是无解的，所以我们继续算圈二方程。那圈二方程，呃，这个是 m 加二 n 啊，少超过二。 好，那么算，求二方程还是一样带入向量法，对吧？那由这个 m 等于负二， n 减六啊，然后带入还是带入这个方程往里带，三括号，负二， n 减六括号的平方加上四 n 方等于三十六， 所以这里呢，还是提个负二出来，负二的平方是四四乘差还是十二倍？提了负二以后呢，这里是变成 n 加三的平方，那是 n 方加上 n 加三的平方， n 方加六， n 加九啊， 然后加上四 n 方等于三十六，然后同时除以四，这是三倍的 n 方加六， n 加九，然后加上 n 方等于九，那么三方加 n 方是四， n 方三乘六十加十八， n 三九二十七，二十减九，十加十八 等于零啊，那这可以约个二，也就是二， n 方加上九， n 加上九等于零，那么这个方程呢，其实啊，可以四舍相乘的，三三二一，对吧？所以，呃，在这写了，它是二， n 加上三乘以 n 加三 等于零，所以减出来 n 两个值，第一个是负二分之三，第二个呢，就是负三啊，那也就对应于 m 以把负二分之三往这里面带，那是负二乘以负二分之三，括号再加六，应该是，呃， 九啊，也就是第一个是九，第二个呢，把负三往里带，那负二乘以负三括号再减六，那是零啊，所以是零 m 二。嗯，所以最终我算出来，这个 b 点的坐标有两个，第一个是九度负二分之三，第二个呢，是零度负三 啊，所以最终呢，也就是 b 一 和 b 二啊。那这题让我求什么来着？让我求这 l 方程，那你说 b 的 坐标都知道， p 的 坐标知道，然后用两点式，或者用这个点斜式怎么写都行了。 那么总体看呢，这题就做完了啊，啊，把它缩小一下啊，把这题总结一下，其实这个题呢，它就是一个相对简单的圆锥曲线的一个大题啊。第一个问，考察基本的定义， 求方程或者是求离心率。第二个是一个传统的面积问题，只不过我们首先要确认一点，就是我们用什么算方法来算面积啊？刚才我也说过了，如果把 b p 当底，把 a 到 b p 的 这个直线的距离当高，这里不好的地方在于什么呢？在于这个计算量会非常大，大的根本原因在于这个直线连立之后，它是一个三项的啊，平放以后带起来会非常麻烦。所以这里呢，我们把 ap 当底啊， 把 b 点到 ap 的 距离作为高好处是什么呢？这个底它是一个竖，并且这个点 b 到这个直线的距离我是可以通过三角形面积去求出来的。 那么无非就是第一 b 到这个直线的距离是一个方程，第二 b 连在椭圆上，那就是两个条件解拉未知数吗？对吧？并且这个二元二次方程也相对其实相对还是好解的，只不过第一个它嘚它这个小于零它就无解了嘛，这个咱们的眼力需要能看出来啊， 咱考试的时候你也可以验证嘛，对吧，这都没问题的啊。剩下呢就是这个计算，咱们计算量相对还是呃比较大的，因为原理曲线嘛，他计算肯定是一个他最重要的一个考点之一了 啊，那么咱们认真稳稳当当算就可以了啊。那么总体来讲呢，这个题的就是难度基本上就是体现在第二分上，第二分体现在以下两点，第一点就是你要选择一个 相对更好的一个路径，什么路径让你计算量更小的一个路径？第二就是在你计算的过程当中不要出错，稳稳当当算就可以了。 当然这道题在考试中一定是花时间的是吧，可花时间多了，如果再没算对对我们造成很大的心理压力，打后面就呃就会有一定的这个呃影响吧，可能出题人的意思也就在这，也是对我们心理的一个考验， 那么整个呢？这个题就跟大家分析到这如果说从难度来讲，这个题难度我认为是值得一个三星半的难度的啊，好吧，这题说到这，好，谢谢大家。