二次根式证明方法手抄报

八年级下学期第一章之二二次根式的乘除急速扫码别问我都懂，超易懂的学科攻略！本期视频我们将为大家讲解二次根式的乘法与除法，以及它们的一些化简技巧。我们先看二次根式的乘法。 在进行二次根式的乘法运算时，我们将被开方数相乘，根指数保持不变，用字母表示为根号 a 乘根号 b 等根号 a 乘 b， 其中 ab 都必须是大于等于零的，那当多个二次根式相乘时，我们也依旧按照该法则进行计算。 而当二次根式前面有系数时，我们叠类比单项式，成单项式。被开方数的 g 作为被开方数， 那在这个章节中，我们经常会将乘法法则进行利用，来处理二次根式的化解问题。利用乘法法则，我们可以得到积的算数平方根等于积中各个音式的算数平方根的乘积。 这里需要注意，在利用法则时，我们一定要确保其中 a、 b 都是大于等于零的。例如，我们在计算根号负二乘根号负三，而写成根号二乘根号三。 接着我们来看一个简单的化简问题，这里要划见这个二次根式。我们首先看这两个数相乘是否产生能开方的因素。这里三十三可以拆成三乘十一，四十四可以拆成四乘十一。 所以利用乘法法则，我们就能得出它等于根号三乘根号十一平方，再乘根号二平方开方后，就能得出它等于二十二根号三。 接下来我们再看二次根式的除法法则，二次根式相除，我们将被开方数相除根指数保持不变。由于除数不能为零，所以这里 a 大 于等于零， b 大 于零，那同样，当多个二次根式相除时，也依旧可以按照该法则进行运算。 而当二次根式前面有系数时，我们把系数的商作为系数，被开方数的商作为被开方数 大于二次根式的乘法。类似，利用除法法则也可以达到对二次根式进行化简的目的。例如，要化简这样一个二次根式，我们可以利用二次根式的除法法则。 由于被开方数必须大于等于零，所以我们应该先将它改写成根号一百六十九分之五十，再利用除法法则进行化简。 啊，好，那了解完二次根式的乘法与除法法则，接下来还有一个我们必须要知道的概念，最减二次根式。当被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得进方的因式或因数时， 我们称它为最减二次根式。例如，类似三根号三，二分之根号 x， 平方加一 x 分 之根号二这样的式子都是最减二次根式。 那在进行二次根式的运算时，运算的结果一般需要化成最简二次根式。在化简时，如果分母还有二次根式，通常我们可以通过将分子、分母同乘它所含的二次根式 来将它转化为最简二次根式，那这个把分母去根号的过程，我们就称为分母有理化。接下来我们重点讲解一下二次根式的几种常见的化简类型。 首先，第一类，直接利用二次根式的性质进行化简类型的题目。这类型的化简通常有以下四种情况， 当被开方数中有能开的进方的因素或因式时，通常直接将这些因素或因式进行开方。比如这里十八含有能开的进方的因素。九、化简后就是三根号。二、那当被开方数是带分数时，我们先将带分数化成假分数，再进行分母。有理化， 那当被开方数是小数时，通常我们将小数化成分数，再进行化简。而当被开方数是多项式时，则需要先对它进行一次分解。这里因为 a 平方加 b 平方是大于等于零的，所以我们可以直接将它进行开方。 接下来常见化简类型的第二类，根据字母的取值范围进行化简。这道题已知 a 小 于 b， 要化简根号负 a 立方乘 b， 那 我们看根号里面包含了能开得进方的音，是 a 平方，但是已知条件中并没有明确 a 是 否为非固数， 所以这里我们不能直接对它进行开方。那这种情况，首先我们要联想到和次根式中最常用的一个隐含条件，被开方数大于等于零， 即负 a 立方， b 大 于等于零，那由于这里有一个负号，所以 a 立方 b 必须是小于等于零的，那两个数相乘要小于等于零，他们只能是一正一负。又因为 a 是 小于 b 的， 所以只能是 a 小 于零， b 大 于等于零， 这样 a 平方进行开方后，就应该是负 a， 所以 化简的结果就是负 a 乘根号负 a b。 最后，常见化简类型的第三类，复合二次根式的化简。我们看这道题，类似这样二次根式中跑的另一个二次根式， 我们就称为复合二次根式。那化简这类复合二次根式，我们通常可以利用配方的方式，通过将二次根式里面的这个部分配成一个完全平方式，也就是说把这个部分改写成 a 平方加 b 平方加减二 a b 的 形式， 那这里配方的套路就比较单一了，通常带根号的这个部分，我们把它当成二 a、 b 来进行配方， 前面这个部分我们就当成 a 平方加 b 平方，也就是说 a 平方加 b 平方等于七， a b 等于根号十。 接下来我们就要想办法凑出两数相乘等于根号十，并且他们的平方和等于七的数字。这时候记住了，一般我们从 a b 的 值入手来进行分析，两数相乘等于根号十，他可以是一乘根号十，也可以是根号二乘根号五， 那当然他们也可以是负一乘负根号十或负根号二乘负根号五。但是这里我们无需考虑 ab 的 正负性，因为无论正负，他们最后的化简结果都是完全相同的。接着我们看他们的平方和等于七，那显然这两个数就是根号二乘根号五。 接下来因为内部的这个二次根式前面是加号，所以我们要配成 a 加 b 的 和的平方的形式，也就是根号二加根号五的和的平方。这样化简之后，答案就是根号二加根号五。 接下来这类型的题目还有一种升级版的套路，就是当里面这个根式不是二 ab 的 形式，并且这个被开方数也无法进行开方，得出二 ab 时， 我们可以通过主动的将它乘一个二之后，外面再补一个乘二分之一的方式来达到凑出二 ab 的 目的。 这里我们把这个二分之一化简后，就是二分之根号二，根号里面剩下的就是八减二根号十五。接下来我们同样利用上一道题的方法，可以得出 a 平方加 b 平方等于八， ab 等于根号十五， 那根号十五可以看成一乘根号十五或是根号三乘根号五，因为这里他们的平方和等于八，所以就应该是根号三乘根号五， 其它可以配方成根号五减根号三的差的平方。因为根号五是大于根号三的，所以开方后就是根号五减根号三。最后化简的结果为二分之根号十减根号六。 好了，本期的内容就到这里，你学会了吗？拜拜。

好，这节课我们学习第十九章二次根式的第一小节，二次根式的概念。首先我们先来看，这是梳理部分，一般呢，我们将形容根号下 a， 备注， a 大 于等于零的式子，称之为二次根式，那么其中 a 我 们称之为被开方数。 好，听完定义呢，我们来解释一下这个定义的这个意思啊，这个叫做被开方数。 好，我们来看，第一，我们呢将形如长成这样的一个式子，称之为二次根式。我们可以举个例子啊，跟咱们在这个初一所学的这个平方根算数平方根有点像。 那比方说，首先我们写个根号，根号里的数呢，可以是任意的一个数，只不过这个任意的数必须是一个大于等于零的非负数。那么比方说啊，我写个根号下一，根号下二，根号下三啊，这些我们都称之为二次根式， 包括这个被开方数可以等于零，所以我们写根号下零，他也是二次根式都没有问题。好，那么为什么叫做二次根式呢？我们知道啊，在这个根号的左上角，其实是有个字数有一个这个数字二的， 而这个二呢，我们一般是省略不写啊，所以说这个二次根号下三，其实可以写成根号加几啊，根号加三，他们是同一个意思啊，这个二可以省略不写，由于左上角是二，所以我们称之为二次根式。 那么照着这个定理啊，我们去推，比方说左上角的位置，我们去写个三啊，这是我们初一所学的这个立方根，所以说他的名字就称之为三次根式啊。好，这个跟咱们这个初一啊学的都有点接近。 好，那我们接着来看啊，那么将形容这样的式子称之为二次根式，其中这个被开方数 a 啊，不能是一个负数，那么也就说，如果我写这个根号下负三呢，这个式子就是很显然就是不成立的，就是错的啊，这个不对， 那么比方说这个式子负的根号下三啊，这个是对的，因为这个三作为被开方数，它在根号的里面，它是一个大于等于零的数，那么我只是在这个根式的整体的前面加了个符号，所以它表示一个负数啊，但是它是有意义的，它是一个负数。 好，这个就是我们的知识点部分啊，我们就讲是这么多。好，接下来看第二个知识点，二次根式根号下 a 有 意义的条件啊，这个知识点特别重要啊，就是说想让一个二次根式根号下 a 有 意义，那么知道这个 a 此时做避开方数， 那么 a 作为被开方数，它的条件就要是一个大于等于零的数，你说它这个非负数，所以说要想二次根式成立，那么被开方数必须要大于等于零。好，这是咱们听的第二个知识点。 好了，看第三个二次根式具有一个性质，称之为双重非负性。那么什么叫双重非负性？我们来看第一个要求被开方数是一个非负数。什么意思？根号子的这个数 a， 它得是一个非负数 啊，所以说这是第一层非负的性质啊，就说里面的这个被开方数必须是一个负数，这是第一层。那我这么想，由于里面的被开方数是一个非负数， 我们在对一个非负数开方的时候，这个整体仍然应该是一个非负数啊。所以说不光是 a 要大于等于零，其中根号下 a 这个整体其实也会大于等于零，那么两个叠合在一起，称之为双重非负性啊。 好，这个第三个我们再解释一遍。二次根的双重非负性，指的是首先要求被开方数，也就是根号里面的这个数，它是一个非负数。 那由于里面这个数是一个非负数，我们在对一个非负数开方的时候，这个整体仍然是一个非负数。 好，这个就是整数的部分。那么按照咱们之前初一啊所学的这个平方根啊，包括算数平方根那些概念，我们可以举个例子，比方说根号下三、根号下二、根号下四，这些数我们可以通通的称之为二、四根式。那么只不过就是说这个根号三， 根号二，没法继续化简了，他就是根号三，他就是根号二，我们不会再化简了。但是像根号四，他是可以开出来的，他是几啊？他是二。那么同理的，比方说根号下零点零四，他开出来就应该是零点二。所以像这些数， 这些数，包括根号下九开出来是三，根号下零点零九开出来是零点三，这些数都是能开的啊。好，这个就是支数理部分，我们稍微回顾一下。好，现在我们来看今天的四场训练。 再看第一题，下列各式中一定是二次根式的式，那我们来看 a 选项，这是三次根号，它叫三次根式，所以说 a 不 对，然后这个 b 啊，其实这省略了个二，所以乍一看它是二次根式，但是也不对，因为这个里面我们没有对这个 x 做一个性情条件， 比方说 x 如果是负一的话，那么 b 选项就会变成根号下的负一。哎，这个式子是错的，因为被开方数不能是一个负数啊，所以说 b 不 一定啊，他是负数就不一定了。但如果 x 取零， 他写成根号下零就是对的。如果 x 取十，他写成根号下十也是对的，所以说这个 b 是 不一定啊，他不能选。 再看四选项，根号下的数是一个负数啊，所以也不行，这样的话， a、 b、 c 都不成立，只能选择四 d。 那 我们来看 d， 首先它是一个二次根式，没有问题啊。然后再看这个被开方数，这个 pi 啊， 很明显，这个 pi 是 三点一四一五九二六等等等等，它是一个大于零的数，大于零的数加一永远是大于零啊。所以这里面这个数 pi 加一，它是一个永远大于零的数，我们称之为恒大于零。 由于被开方数横为正数，所以说它是有意义的。综上，四 d 是 正确的。好，这是第一题。接下来我们看第二题。若想让这个代数式根号下 x 加二没有意义，那 x 的 值可以取多少？那么这么想， 我们希望他有意义吧。比方说，想让根号下 x 加二，有意义的条件是不就应该是让被开方数大于等于零啊。那么这个 x 加二这个整体作为被开方数，应该是 x 加二，这个整体要大于等于零。 按照初一所说的这个不等式啊，咱们移项，那么 x 应该是一个大于等于负二的值。好，我们记住，数轴来分析，也说，只要 x 是 一个大于等于负二的值， 那么他就应该是有意义的，但是题目要求是没有意义，那我就把这个值给他反过来，哎，说明在这个 x 小 于负二一个空心点的时候，他就是无意义的，因为等于负二是实心点，有意义，那么取不到负二，包括负二的左侧就是无意义的。那比方说负三 负四负十，或者说负的三点四啊，负的十点三啊，其实都对，我们可以随便选一个，比方说选负三啊，负四都可以，比如说 x 的 取值可以是像负三啊，负四这样的数，因为他问的是可以取的值是多少，所以我们听一个数， 如果他们 x 的 曲值范围，我们就要写 x 小 于负二，而不是大于等于负二啊。注意，大于等于负二是有意义的，所以说 x 小 于负二就是无意义的。好，这个是第二题，我们就说到这，接下来看第三题， 他说用五百块相同的正方形地砖将一个面积为四十五平方米的地面铺满，问的是每块地砖的边长，那么这个边长不知道，我们求边长就可以设边长啊，所以我们首先可以先设这个每块地砖的边长啊，即为 a， 单位是厘米，那我们就写 a 厘米啊，所以本道题这是平方米啊，这是厘米，所以说咱们牵扯一个单位换算啊。但我们先留着，我们来看，由于边长是 a， 所以 说一块地砖的面积就应该是 a 平方， 他这有五百块，就那就应该是五百个 a 平方，用五百个面积是 a 平方的地砖，可以刚好把这个面积铺满，那所以说五百乘 a 平方就会等于四十五， 那么首先咱们化系数为一，所以说 a 平方就应该等于四十五除以五百啊，这个值很简单，约分之后是零点零九啊，所以说 a 平方是等于零点零九的。 那么接下来按照咱们初一所学的这个平方跟开方的概念，那么知道 a 方，如果我开方就应该是 a， 这就应该是根号下的零点零九啊，因为负值我们舍去地砖，不能是地砖的这个边长不能是负啊，所以说负值咱们舍去了 中间啊，是一个开放的过程啊。如果我们写的详细一下，可以这样写，就说这个 a 应该等于正负，根号下零点零九啊，答案，负值舍去啊，所以我们就直接说 a 就是 根号下的零点零九就可以了。 当明说过了，这个根号下的零点零九是可以开的，所以说 a 的 值就可以叫做零点三了啊，他就是零点三，当然单位呢，是多少是零点三厘米啊，因为最开始我们说的边长就是厘米，那么 a 的 边长是零点三厘米，呃，啊，不，我们这应该是米啊，不好意思， 这个边长，这应该是米啊，因为他问的是厘米，我们改一下这个单位啊，呃，因为我们要在这铺四十五平方米嘛，所以这个面积这个边长啊，就应该改成 a 米才对啊，应该是 a 米， 那么最后算出来这个 a 啊，应该是零点三米啊，因为这个四十五的单位是啥？是平方米，对吧？所以说这个 a 啊，也得用这个米的单位来做， 那么 a 是 零点三米，最后问的边长是多少厘米啊？所以说一米等于一百厘米，我们来乘一百，那么 a 就 等于零点三米，乘以一百个厘米，对吧？答，应该就等于三十厘米啊，所以这填的应该是三十厘米。 好，完，道题啊，咱们就到这里，中间主要牵扯一个单位的换算，咱们再啰嗦一句啊，这个 a 的 单位啊，也在米，所以这应该是设的是边长是 a 米才对啊。 好，这是第三题，接下来我们来看第四题，下列式子中哪些是二次根式，哪些不是二次根式。那么就注意，想让一个式子是二次根式，就要满足根号下 a 的 双重非复型。其中第一种就是被开方数是大等于零的，以及被开方数 开根号的这个整体也是一个大等于零的啊，两个条件同时满足，才能称之为二次根式。那么第一个根号下二，那么很明显这个二是一个大于零的数啊，所以说他是二次根式。 好，第二个三次根号下三啊，这个就不是，虽然三是大于零的，但是他开的是三次根号，我们要的是开二次根号啊，这有隐藏的二，对吧？好，所以第二个就不是啊，第三个安全人也不是啊。 好，这是一个分式的格式啊。好，再一个，根号下 x， x 大 于零，我们知道他对 x 做了一个备注啊， x 是 一个正数，那么根号下的正数是有意义的，所以说他是二次根式。 横根号下零啊，这个也是，这是一种特殊情况，对吧？我们说了，被开方数 a 可以 取零啊，根号下零，他是有意义的，并且他算出来的结果就是零啊，所以这个也可以。四次根号下二，这个不可以，他开的是四次根号啊，不行，然后负的根号二，可以，我们解释一下负的根号二，我们先看这一部分， 这个很显然二次根式啊，他是根号下的数，这个二是个大于等于零的值，那么只不过他整体是个负数而已，所以他是一个负的二次根式，但他毕竟也是二次根式啊，所以这个也是可以的。那么这个 x 加 y 分 之一啊，很显然也不可以啊，他是一个分式类型的结构啊， 然后根号下 x 加 y， 他 备注了 x 是 一个非负的， y 是 一个非负的，那么两个非负数相加，整体一定是一个非负数啊，所以说他也是可以的。那么综上啊，就是打了对勾的是二次根式，打了叉的就不是二次根式啊。 好，第五题啊，第四题啊，咱们就到这里，接下来看第五题。问，当 x 是 怎样的一个实数范围内有意义？我们看第一小问， 根号 x 加六，想让他有意义，就要要求被开方数大于等于零啊，所以说第一个很简单，我们略式计算就可以了。 来第一个，呃，想让根号 x 加六等于零成立，那么就要要求二 x 加六必须要大于等于零啊，理由是被开方数大于等于零，那么咱们先一下，二 x 就 大于等于负六， 两边同时除以二，由于同时除的这个二是个正数啊，所以咱们并不会骗号，就是这个不等式的这个解法啊，所以说 x 是 个大等于负三的值，也就是说，如果 x 大 等于负三，那么第一个是就是有意义的啊，所以第一道题啊，就做完了。 看第二道题，我们常规套路来分析，想让被开方数 x 平方加二大于等于零就可以了，那么我们一向这发现 x 平方是大于等于负二，那么到这去，我们发现很显然啊，我们这个一元 二次不等式咱们没学过，对吧？这个是二次不等式，咱们不会解啊，所以说很简单的题不是这样做的，咱们回退，那不能这样做，我们要分析了。好，这个就用数学的思维来分析啊，就说根号下 x 加二什么时候能让他有意义，其实他在这个 x 取任意实数的时候都成立 啊，为什么？我们来解释一下为什么是任意实数都成立？我们先把这个答案写上啊， x 取任意实数都成立啊，为什么来看这个 x 是 一个平方数？我们知道，比方说 x 取一个正数， 那么正数的平方一定是个正数，对吧？如果 x 取零，零的平方是零啊，这个正数也好，这个零也好，他都叫非负啊 啊，所以没问题，即使 x 取到一个负数，那我们知道负数的平方一定是一个正数啊，所以说不管 x 取正也好，零也好，负也好，最终结果永远是一个非负数啊，所以这个 x 的 平方是一个非负数， 那么什么叫非负数？他是不是一个大于等于零的数叫非负数？哎，这么知道吗？这个 x 平方是永远大于等于零的，那么我们给一个大于等于零的数加二，他是不是会永远大于等于二的呀？或者说他是永远怎么样 大于零的啊？我们填大于等于二都行啊，大于零也行，那不管它是大于等于二的值还是大于零的值，你说这个被开方数永远是一个非负数，那么它就是成立的啊，所以说第二小分不论挨个子取任何数，它永远成立。好，这就是第二小分啊，咱们就说这么多，接下来看第三小分， 那么很明显，第三小问啊，有两个根号啊，从这写一下，第一个 x 减二，那就要求被开方数大于等于零。第二部分是二减 x， 那 就要求被开方数大于等于零啊， 这个式子一定是同时成立的，所以他这个大括号为什么要同成立？因为他是在同一个代数式中出现的两个根式，他们要同时符合条件，那么他第一个式子 x 减二等于零。咱们一项就是 x 大 于等于正二， 二减 x 大 等于零。咱们先一项就是负 x 大 于等于负二，两边同乘负一，由于负一是一个复数，我们是需要编号的，所以说 x 是 小于等于正二的，哎，那结果就完了，这个 x 大 于等于二，以及 x 小 于等于二，那么就要想了，既要让未知数 x 大 于等于二，同时还要让未知数小于等于二，那么综上所述，这个未知数是不只能等于二了呀？ 啊，我们再来体会一下啊，就是既要大于等于二，还要小于等于二，两个式子要同时成立，那么公共解是不只能是 x 等于二了？哎，所以第三小问就是说，只有在 x 等于二的时候，这个式子啊，才成立啊。帮老铁整理一下。第一小问， 在 x 大 于等于负三的时候，第一小问根号加 x 加六有意义，然后第二小问， x 取任意实数，它都有意义。然后第三小问，只有在 x 等于二的时候，它才有意义啊。好，这第五题咱们就说这么多， 往后看，本节课的最后一道题啊。第六题，他说当 x 区分呃，当 x 分 别取下列值时，求二次根式，这个根号下九减八， x 的 值啊，这个值他还没写，我们来抄一下。第一个是 x 等于零啊，第二个是 x 等于二分之一， 然后第三个是 x 等于负二。你说 x 分 别取下列哪些值的时候，让我们去求这个式的值啊？咱们来第一个啊。第一种情况 就是小圈一啊，就是当 x 等于零的时候，这个只要我们代入啊，其实很简单，对吧？就是根号下九减八乘以几啊零，那么负八乘零还是零，所以就是根号下九，根 号下九可以开，看看是几啊三，所以说当 x 等于零的时候，二次根式就是三。好，第二个我们接着往里带，就是当 x 等于二分之一的时候， 好，我们代入，就应该是根号下九减八乘以二分之一啊，我们注意，负八乘以二分之一，应该是这个负四，所以应该是根号下九减四减四是几啊？就是根号下五， 那么根号下五没法开了，我们就写根号下五本身就可以了，如果能开啊，像这个我们给它开出来，像这个不能开的，我们就保留好。第三种情况就是说当 x 等于负二的时候， 我们还是代入，应该是根号下九减八乘以负二啊，咱们应该是先乘除后加减，那么负八乘负二应该等于二八十六，就是根号下九加十六啊，负得正 九加十六是根号下二十五，二十五能开，答案应该就是五。好，这样的话，第六题啊，咱们就做完了。好，本节课咱们就到这里。

二次根式的一个运算，当然这个地方呢，嗯，可能就是很多同学容易出错的。其实并不难啊，但是呢，就容易出错，原因就是计算的太少了，念的太少了啊。所以我希望大家在初二阶段，如果你想要念计算，你就去念什么，就去练习二次根式和因式分解，就这两个部分的计算，需要狠狠的念一下啊， 二次根式的运算。那么要学习二次根式的运算啊，首先我们得学的第一个知识点就是最简二次根式。 哎，咱们这个定义要弄清楚。最减二次根式。什么叫最减二次根式呢？刚才我们学了二次根式的定义，那么那么多二次根式，哪些是最减的二次根式呢？哦，他其实只要满足两个条件，来两个条件，第一个叫背开方数中没有开方开不进的。 来，我一会举例来说明啊，背开方数中没有 开方开不进的。第二个 背开方数中背开方数中不含 分母，你只要满足这两个条件，那么他就是最减二次根式。来，我举个例子。举个例子啊，什么意思？比如说同学们感受一下。嗯， 我出几个二次根式的这个最减二次根式的例子给大家看看，比如说根号二啊，根号三啊，呃，还有什么根号五啊，根号七啊， 根号十啊，还有等等，根号 a 方加一等等，这些都属于最减二次根式吧。这些是不是都是最减二次根式？你看它里面是不是没有可以开方开的进的呀？ 拍最减二次根式。好，那下面我再举几个他不是最减二次根式的，比如说你看一下根号八，他是不是最减二次根式呢？ 他是不是，哎，不是。为什么？因为根号八里面他可以写成四乘以二，而四是不是就是根号四乘以二啊？ 哦，根号二啊啊？四，根号四是什么？是不是二根号二，所以由此可见，根号八里面它含有一个四，哦，可以，它存在那个开方没有开的进的，所以被开方数中没有开方开不进的， 是不是？那这个时候它已经存在了一个开方开不进的，所以肯定是不对，不对了，是不是？好，下面我们继续往下看。 比如说根号七百二十，这个是指来同学们看一下，他也不是一个最减二次根，是吧？但是有同学说，老师，这个我怎么会呢？没关系，你能看出几就几。比如说这个七百二十，有同学说，老师，我一下子就能看出来，哎，你很厉害，对吧？你很牛，对不对？我也表扬一下你，我能看出来是一百四十四乘以五， 那你能一下子看出一四四乘五，那更好。有人说我看不出来，那怎么办？你能看出什么就是什么。比如说有人说了，老师，我看不出来，但是我能看出来它是三十六乘以二十，我相信这个大家能看出来吧。首先你如果实在看不，你总能看出来四乘以多少吧？ 你如果说你再不行，你二乘以多少，总归能看出来吧。就对这个七百二十乘，你就对它进行分解之因素，你可以看到二乘以三百六，总归是能看出来的吧。 再不行，你二乘以二，再乘以一百八，你总归能看出来吧。那一百八你再把它换成二乘以二乘以二，再乘以九十这种能看出来吧？ 但是这个就是你实在不行，你这一步一步的对它进行分解，质数就有点慢，但是你快，同学，你，你能看出哪个算哪个？比如说你这个二乘以三百六肯定能看出来，那三百六你发现，哎，这里面有一个完全平方数，就三十六，就是二乘以十乘以三十六 能看出来。哦，三十六是个完全平方数，所以你可以先把三十六拿出来，你首先你看出来这个数字里面中有没有一个完全平方数，你先看出来， 是不是你任何一个都行，比如说是四乘以什么也是可以的，对吧？好，那我们能看很明显这个能看出来是三十六吗？就等于根号三十六乘以根号二十 啊，那么根号二十，根号三十六可以是六吗？那根号二十又可以看成什么？四乘五、四五二十，这个很容易，那么根号二十是四乘五的话，就六乘以根号四，再乘以根号五，所以根号四是二二六十，二十二乘以根号五，就十二根号五，结束， 能看得懂吗？哦，这就是我们的最减二次公式啊。前面这个不是最减的，能不能看懂？这也是最减的，这也是最减的，就是被开方数当中没有开方开不进的。哦，没有开方开不进的了， 对吧？他没有开方开不开不进的了，还还不？反正不能再开了，开到不能开为止，这就最减最减啊。这个就不是最减啊。那比如说我们再来一个，还要满足什么呢？他的分母中就是被开方数中不能含有分母。比如说我们再举个例子，二分之一 它是不是最减二次根式呢？很明显不是，因为它最减二次根式还要满足第二个条件，就是被开放数中不含分母才行。 那不含分母，可是它含分母，那肯定不行啊，那不含分母怎么办？有人说这个分母怎么办呢？很简单，你对它进行什么？利用分数的性质，分子分母同时乘以二，那么就变成四分之二，那这个四分之二，你会不会就是根号二除以根号四， 而根号四是谁？是不是二分之根二？结束会了吧？一定要反复去练习啊，这个东西你熟练了之后就很简单，比如说我们再举个例子，根号下，呃，三分之二吧， 那这等于什么？哦？分子分母同乘几，同乘三就变成九分之六，那就等于根号九分之，根号六，那就等于三分之根号六结束。好，我们再比如说 分号，呃，十二分之五吧，那有人说，老师，这个我会自告奋勇的想上来做，是吧？你看，如果你，你会的话。有人说，老师，我这个可不可以变成一百四十四分之什么？呃，五乘十二，五乘十二就是六十，对不对？哎，是不是这样的吗？但同学们，你这么做确实是对的， 但是有点复杂，比如说我们把这个按照你的思路去做一做，有同学想要怎么做？他会这样啊？分子分不同的十二分之，呃，这个五乘十二， 是吧？这时候你就变成了啊，十二，根号十二的平方就是十二，上面就是根号下五乘十二啊，这是。哎，同学们感受一下，上面他是不是一个开放开镜呢？并不是，为什么，因为这个十二当中他还有一个什么， 还有一个四可以开出来，对不对？所以根号下五乘三乘四，下面是十二，没错吧？那这个是十二分之三五十五，十五乘以根号四，就是乘以二，所以答案是六分之根号五。看出来没有？但是同学们，我在做这个题的时候，我有没有更简单的方法？有，怎么做？ 我可以这么做。首先我的目标很简单，我就是希望分母是一个完全平方数，所以我才乘了十二，难道只有乘十二可以让它变成完全平方数呢？我能不能乘别的东西？比如说我最好乘以几，乘以三行不行？ 当然可以啊，那比如说我用黄色的笔写，假如说我乘以三，你看看哦，十二乘三变成三十六，十五乘三变成十五哦，此时此刻你变成根号三十六分之，根号十五，你会发现根号三十六分之，根号十五。结束老简单了，对不对？好，这个是不很简单，那比如说， 嗯，再来最后一个吧，这样根号十二分之五。那这个时候我们要分母，就是要那个什么化减，这个化成最减二十根式怎么化呢？有同学说，老师我分母再乘一个十二，刚讲过乘多少比较好， 乘多少比较好，乘三，对不对？所以我这个地方是根号十二乘以三，注意上面是五乘三还是五乘根号三，其实我乘的是根号三，能不能看懂？我存在这个根号下面了，那如果说同学们看不懂的情况，我再给大家加个步骤， 加个步骤我是怎么做的哦？分子分母同时乘以根号三，就是根号十二乘以根号三，这也是五乘以根号三， 只有这样之后我才能够，哎，同在这个根号十二乘以根号三，那就是根号下十二乘三才能变成三十六，一个完全平方数吧。所以这个地方可以直接写成是六分之五。根号三 能看得懂吗？这个两者之间的区别啊，我就怕同学们自己算错。其实这种题目难不难呢？他不难，但是你也会，但是做的时候你就不小心。老师我这个没看好。老师我眼睛没看好， 反正各种没看好，然后最终不小心做错的。这种基本上都是这种啊，二次根式你说难吗？不难，但是你能百分之百做对吗？或者说你让你的正确率不说百分之百，百分之九十，你能达到吗？初学者基本都达不到， 当然你要练习一段时间之后，你发现你也可以达到百分九十。如果你啥也不练，光靠老师上课给你讲了，你听懂了，结果你做的时候你啥都会，但是你总是做不对，能听得懂这意思吗？

这是适合初中的尖子生用来备考数学竞赛，准备名校自招的硬核资料。尖子生夺冠必刷好题！二次跟式第二版全书分九个大专题，对二次跟式的题型方法进行了细致全面的梳理。每种题型方法他都精选了多组优质题型， 供同学们进行针对性的强化练习。全书选择题典型优质，难度逐步提升。每个题组都会按照一星到五星进行分级， 其中一星到二星为基础题，贴合校内知识，兼容中考要求。三星到四星为中高难度题，结合奥赛基础题型，强化思维拓展，适合备考自招考试或者竞赛入门。五星是高难度的竞赛真题， 聚焦难题攻坚，适合冲刺顶尖赛事。借助从基础巩固到思维拓展再到竞赛突破的分层设计，助力同学们扛起基础，培养数学思维，适应竞赛命题逻辑，循序渐进，提升解析能力。练习的解析在书的最后质量水平非常高的一本优质资料，适合准备高水平考试的数学自优生选用。

这道题太难了啊，双重二次根式的化简可谓是我们整个八项二次根式这个计算章节的王炸题型，为什么？因为这类题目隐晦的考察了你构造的思想，今天我用一个视频，三个步骤带你搞定这类亚洲题。 那有关于二次根式这里的题型啊，老师也给大家准备了计算必刷的五十题，这个假期家长们就可以帮孩子打印出来，逐个题型来进行练习，每天十道题，把计算能力咱一定要提升上去，速度提上来啊。下面咱们一起来看这道题， 想想这道题，我想化解双重的这个二次根式，把它的帽子摘下去。那怎么样才能把二次根式小帽子摘下去呢？咱们想到二次根式的性质， 是不是？我们有根号下 a 方等于 a 的 绝对值的这个性质对不对？所以如果我把根号下的这个家伙变成谁的平方的形式，咱们是不是就可以摘帽了？这个就叫做摘帽仪式。 那怎么把它变成谁的平方形式呢？咱们这个时候就搬救兵了，这个救兵就是我们所说的，哎，完全平方公式，完全平方公式长成什么样啊？ a 方加减二 a b， 再加上 b 方的形式对不对？那你看，这有一个二乘根号三，好像是一个二 a b 的 形式，所以我要把二乘根号三，就可以写成二乘根号一， 再乘以根号三，可不可以？哎，那这个时候我们还要拆前面四，我得拆成两个数， 我得让对应他们满足 a 方加 b 方，哎，两数相加等于四，而且这两个数开方之后相乘得等于这里 ab 的 形式对不对？也就是等于这个根号三形式， 所以找两数相乘等于根号三，哎，对不对？那两数相乘等于根号三，这两数的平方相加还等于四，这两个数是啥呀？ 不就是对应哎一的平方和根号三的平方吗？对不对？哎，这个时候你会发现这个式子有首平方，有尾平方，哎，中间是不是还有 g 的 二倍呀？所以构造出了一个完全平方形式，它就直接等于一加根号三的完全平方了， 再加上外面的小帽子对它进行化简，而一加根号三一定是正的，所以去掉我们的小帽子，它就直接等于一加根号三了，完美的脱帽仪式。 那下面啊，给大家留一个小小的练习，大家自己做一做。请你啊来给它化简一下，还是一样凑完全平方公式，找两个数相乘等于它，找这两个数的平方相加等于它。那下面请你自己做一做，把答案留在下面。

八年级下册人教版数学第一章二次根式第一节二次根式及其性质 我们在回顾这一节的知识点之前呢，来先回顾在七年级下册讲过的平方根。一般的，如果一个数 x 的 平方等于 a， 也就是 x 方等于 a， 那 么这个数 x 叫做 a 的 平方根，或者是二次方根。 求一个数的平方的运算叫做开平方，开平方与平方呢，是互为逆运算。在这一节里面， 首先要掌握的第一个知识点就是二次根式。一般的我们把形如根号 a， a 大 于等于零的式子是叫做二次根式，二次根式也是代数式， 根号 a 中的 a 既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。已知根号 a 是 二次根式， 就意味着满足 a 大 于等于零。为什么 a 要大于等于零呢？也是我们后边指示点二，就是使形如 这个根号 a 的 式子有意义的条件。好在知识点一当中，我们还要清楚如何来识别一个式子是不是二次根式，有一个方法是需要去进行掌握的。 首先第一个看他是不是形容这个根号 a 的 式子，也就是说是不是含有二次根号，如果不含有呢，他就不是一个二次根式。如果有，那我们接下来看被开方数是否为非负数， 如果他是一个负数，那么他就不是一个二次根式。如果是一个非负数，那么像这样的既含有根号二次根号，又是一个非负数被开方数，那么他就是一个二次根式。好，我们来举例，例如根号负五， 它是形容根号 a 的 一个式子，也就是它含有二次根号。好，再接下来看呢， 看背开方数，背开方数，这里是负五，它不是非负数，所以它不是一个二次根式。好。再例如根号下 x 加 y， 它是含有二次根号， 但是我们再来看被开方数 x 加 y， 它可能为负数，所以它不是一个二次根式。 好，我们再继续来看到第三个根号下 x 方加四， x 加四。首先第一个，它是形如根号 a 的 式子，也就是说含有二次根号， 然后我们再来看被开方数 x 方加四， x 加四，它是等于 x 加二的平方。那你看， 我们在前面就已经知道，任何实数的平方是要大于等于零，也就是说它是一个非负数， 所以它就是一个二次根式，好，第二个知识点，也就是形容根号 a 的 式子有意义的条件。 刚刚我们就讲了，任何实数的平方是大于等于零的，也就是非负数，所以要是形容根号 a 的 式子有意义的条件，也就是 a 是 大于等于零。 例题一当中我们可能将会用到解不等式啊，我们在解决这样的一些题型的时候，可能也会用到这个解不等式组的一些知识点去解决 好。第三个知识点是讲到了这个二次根式的性质，我们来看到这个笔记。 第一条，一个非负数的算数平方根是非负数，它的应用以及拓展，我们在这里可以去进行一些积累。第二条，一个非负数的算数平方根的平方等于这个数的本身，这也是我们相对应的一些应用以及拓展。第三条， 一个数的平方的算数平方根等于这个数的绝对值，这也是它的应用以及拓展。 好，那我们最后呢是讲到了这一个化简，二次根式化简，包括啊，我们这一个计算二次根式化简呢，我们要去记一些完全平方数 啊，例如说这个根号下三十六，它是等于六，例如根号二百五十六，它是等于十六，例如根号四百是等于二十。那么在题型当中我们有两道题来注意一下，看到习题十九点二， 第二题的第四题，五倍根号五的平方，那我们在这里就要运用这个积的乘方运算法则，对它们分别进行平方，再来进行一个运算，这就是形如 b 倍根号 a 的 平方，在这里 a 是 大于等于零的一个式子，我们就是要结合 g 的 乘方运算法则。好再来看第六题，根号下负十的平方，我们有两个解决方法，第一， 根号下负十的平方，它是等于根号下十的平方。 我们前面已经讲了吧，任何十数的平方是大于等于零，也就是非负数吧，所以负十的平方，它也就是等于十的平方，那么根号下十的平方呢？是等于十。第二个方法， 第二个方法，根号下负十的平方。那么我们分两步来进行计算，去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，等于负十的绝对值等于 十。第二步就是去绝对值符号，这是我们在第一单元第一节当中的知识点， 那么我们在下一个视频将会来回顾到二次根式的乘法与除法的这一个需要掌握的知识点。

八下数学最难的二次根式全部吃透，稳进班级前三。八年级下册数学二次根式化简寒假预习必备例题答案 二次根式化简分母有理化。一、被开数是整数，二被开数是分数。三、分母有理化。二。六、新版八下数学寒假衔接计算题必刷一百题二次根式的混合运算 电子版！

八下数学最难的二次根式十大考点，寒假吃透开学领跑全班！考点一，二次根式的定义与性质考点二，最简二次根式。 考点三，同类二次根式。考点五，二次根式的混合运算考点时多重二次根式的化简完整版评论领取！

我们这次来看一下关于实数的第二部分，也就是二次根式的计算。那我们首先来了解一下二次根式的概念，什么叫做二次根式？那他给出的概念是这样的啊，他说形如根号 a， 这个 a 呢，大于等于零的这样的代数式就叫做二次根式。那你像是 根号五啊，或者是根号七啊，这样的式子都叫做是二次根式。那我们再看这个也跟前面的跟我们相关的啊，其实也是什么呀？就是 算数平方根吗？对不对？他其实，呃，跟我们的联前面的联系在一起的话，他好像就是一个算数平方根，对不对？那呃，另外的话呢，还有一个延伸的概念是什么呢？就是 n 次根式。什么叫 n 次根式呢？就是形容 n 次根号 a 这样的代数式，你就是开 三次方，对吧？三次根号 a， a 这个东西就是三次根式，那四次根号 a 就是 什么呀？四次根式，当然这个里边，如果这个 n 是 偶数的时候啊，就是偶次方根的时候， 开方数是要大于等于零的，这个我们在后期还会再详细的讲这块的话呢，我们就重点的去理解二次根式就可以了。那在二次根式里边， 我们首先来了解一下二次根式的性质。二次根式的性质第一个是什么呢？就是它的双重非复性。什么叫做双重非复性呢？就是这个根号 a 啊，就是在这个根号 a 这个式子里面，首先我们在前面说过了，被开方数 a 是 不一定是大于等于零的呀，对吧？其次 根号 a 它本质上表示的是什么呀？就是这个 a， 它的算数平方根对不对？表示的它其实是它的算数平方根，所以算数平方根都是非负的吧？都是大于等于零的，所以 a 被开方数大于等于零算出来的这个数呢？根号 a 这个本身也是大于等于零的， a 两个都是大于等于零，所以我们说是什么呢？双重非负性，这是它的第一个性质，这是它的第一个性质。 另外的话呢，我们还有两个性质啊，我们还有两个性质那，呃，其中一个是这样的，就是 根号下 a 乘以 b， 根号下 a 乘以 b， 可以 被拆成什么呀？可以被拆成根号 a 乘以 根号 b。 当然我们要求这个 a 必须得大于等于零， b 也是大于等于零的，他就是这样的一个意思，他是这样的一个意思啊。那我们举个具体的实例，比如说根号下十五对不对？这个十五是不是可以看成是三和五相乘得到的，对吧？所以这个根号十五就可以被拆成根号三乘以 根号五。哎，这个性质啊，这是它的第一个性质。那同样的我们也可以拆谁啊？比如说根号二十，根号二十，根号二十，这个二十是不是可以拆成四乘以五啊？对吧？所以这个根号二十也可以被拆成根号四乘以根号五，可以被拆成根号四乘以根号五。哎，这是这样的一个性质， 这是他的第二个性质啊，第二个性质。然后我们再来看他第三个性质，第三个性质是这样的，根号下 a 分 之 b， 也就说一个分数，对吧？开放一个分数，开放他可以写成什么呢？他可以写成根号 b， 比上根号 a， 他 可以被拆成根号 b 比上根号 a， 比如说什么呢？根号三分之一，对吧？根号三分之一，他就可以被拆成根号三分之一，他就可以被拆成根号三分之一。我们依然要求怎么样呢？这个 a 和 b 要大于零，你看 a 大 于零， b 是 大于等于零的。那说这块说为什么 a 不 能等于零了？上面这个式子还可以，对吧？那你要注意 a 为什么不得等于零？因为在这个式子里面，他跑到分母上了，对吧？分母是不可以等于零的啊。所以在这个式子里面， a 要大于零， a 他 可以被拆成这样。那再举个其他的例子，比如说根号下四分之三， 根号下四分之三，对吧？那这个式子 a 就 可以拆成什么呀？根号四分之，根号是四分之，根号三就是一个两个数相乘， a 怎么样呢？ 开放可以被拆成分别开放，两个数相处开放也可以拆成什么呀？分别相处再开放。这是关于二次根式的性质。那我们后边关于二次根式的很多运算啊，都是在这个性质基础上得到的都是在这个性质基础上得到的。那这个要理解，这个要理解。

二次根式最容易丢分的地方就是有意义的条件，这道题必须会，今天我们要讲的是二次根式有意义的条件，我们先从基础题来讲起，那么首先二次根式它有意义，必须满足什么条件呢？这里呢，举个例子， 我们用根号 a 来表示，它是一个二次根式，那么这个 a 呢？它必须要满足 a 大 于等于零。 大家还记得我们在讲这个算数平方根的时候吗？这里呢，你也可以理解为相当是 a 的 算数平方根，所以它必须放在这个根号里面，它必须要大于等于零。那么如果你这个性质掌握呢？其实我们在做一般的题呢，是没什么问题的。先来看一题， 他说根号下 x 减三有意义，那么我们刚才说了，这个根号下这个 x 减三相当于 a， 所以 我们只要保证这个 a 大 于等于零就可以了。那么容易出错的地方就是等于零的情况下，往往会被大家给遗忘掉，它也是可以的啊，比如说我们的根号零 就是零的上述平方根，其实它就是等于零，它是可以的，所以等号不要忘记。好，那么现在呢，我们只要解一下这个不等式就可以了，那我们直接把三负三移过来就可以了，那么记住一定要变号，所以呢是 x 要大于三，那我们这里填的是 x 大 于三。 好，接下来我们来看一下第二道题，同样呢，它也是这样的问法，如果里面这个是一个分式，它相变得相对复杂一点，它说它有 e， 则 s 的 值范围，那么我们刚才已经讲过了，这时候这个 a 呢，就相当于 啊整个括号，这，呃，整个根号里面这一部分，所以我们只要保证 x 加一，除以 x 减二，我们只要保证它大于等于零就可以了。 但是到这里的时候，很多同学他就不会解了，他不知道这个是怎么回事啊？那怎么样才会大于等于零呢？大家可以转换一个角度啊，那我们两个除完大于等于，说明你这两个应该要干嘛？是不是应该要分子分母，它应该是一个同号的， 它除完才会大于等于零啊，对吧？那它同号呢？它可以是同正，也可以是同负啊，那如果同正的话呢，也就意味着它应该是 x 加上一要大于，但是这里要注意一下，它有等于零，所以你这个分子是可以等于零的。 好，那么你这个分母呢，你就要保证它不会等零，当然呢，我们这里大于零了，它就肯定不会等零，所以这里呢，咱们可以解一下它的解集，那么第一个解出来是 x 大 于等于一，这个解出来是 x 大 于二，那我们要求它的解集是不是得去画数轴啊？ 好，画一下数轴，这个是负一，这个是二。大于等于负一呢，就应该是要实心，然后往右走， 然后大于二呢？应该是空心，也是要往右走，那么它的解集是哪一部分呢？找重合这一部分，那么其实应该是 x 要大于啊，那么如果它是同步的情况下呢？ 好，那么首先呢，我们的 x 加上一，这个分子呢，它还是它可以小于它也可以等于零啊？等于零这个点是最容易被忽略掉的，那么 x 减二，它也必须小于零，那么咱们就觉得第一个 x 要小于负一，第二个呢， x 小 于二。 好，同样呢，咱们也是要进行夸述中。 好，小于等于负一呢，应该在负一的左边，那么小于二呢？记住，应该是一个空心，也是要往左边， 所以这时候重合是哪一部分？是后面这一部分，那么值上就应该是 x 要小于， 所以咱们这样的结果怎么写呢？应该是 x 小 于等于一，或者是啊，因为是两种可能，要么是他，要么是他，所以中间用或字来连接，那么 x 大 于二，所以这个题呢，是有点难度的。 好，接下来我们来看一下第三题，要是这个 e 乘 x 的 值，其实它的问法呢，都一样，但是呢，就是它这个式子呢，是越来越复杂，那我们知道你放在根号里面，你是不是必须要都满足等于零啊？ 所以实际上咱们读到这里就可以得到一个不等式，那么这是二减 x， 你 必须要大于等于零，同时呢，你这个 x 减二也必须要大于等于零， 那咱们只要解一下这个不等式就可以了。那么第一个呢，咱们解出来是负 x 大 于等于 二，那么咱们同时要除以一，我们记得不等号方向一定要改变，那是小于等于二。那么第二个呢，我们得到的是 x 要大于等于二。好，大家想一个问题，我既要小于二，我又要大于等于二，那咱们是不是相当得取这两个他的公共部分呢？ 那么就算它的解析应该是什么 x 的 二，所以这里问 x 的 值，咱们直接填的是二。 好，接下来我们来看一下我们的第四道题，他说这个有 x 等于多少？那同样里面这个式呢，是个代数式来的，最高值是二， 所以是一个二次三项的代数式。那咱们可以采取的是什么呢？先把这个负 x 方加上二 x 减一，咱们先把它整理一下，你可以提个符号出来，对它整理成完全平方啊，变成 x 平方，记住符号提出来，你每项都要改变它的符号， 但是呢这个负一这一项呢，其实你可以放出来，你可以不放啊，比如说我放出来，那么就改变它的方，那么里面呢，刚好是一个完全平方，是跟 x 减一的差的平方，好，也就是说现在这个东西呢， 它必须要大于等于零，对吧？那么大家想一个问题啊，我们知道呢，你这个 x 减一的差的平方，它这个平方它会大于等于零，对吧？但是你加了一个符号给它， 相当于变成他的相反数，所以他说法国人是不是小于等于？现在我们要求这个是大于等于，那么就只能取谁啊？是不是只能取等号的时候，所以只是我们这个是呢，他要满足条件，他必须，其实他只能等于， 不可以等于其他的。所以我们这里填的应该是什么呢？这个等于零，那么意味着什么呢？我的 x 减一是应该要等于零，你里面这个要等于零啊，那么所以咱们就得到了 x， 它必须等于一，所以这里咱们填的就是一。 好，接下来我们来看一下我们的第五题，同样也是一个分式啊，其实跟这个第二题呢，有一点类似啊，那么他说有意义，我们刚才已经说了，这个 x 除以 x 减一，咱们只要保证它大于等于零就可以了， 那么这个是呢？还是大家可以刚才这个第二题啊，我希望这道题大家赞一下，视频自己做一做好，大于等于零，那么咱们就想到了分子好，分母，它一定是要同号才可以。 好，分两种情况，如果它是同时之正的话，好，那么也就说它要满足什么呢？你的分子呢？要大于零，大家注意一下，等于零，这里可不可以啊？可以，对吧？一定不要漏掉它啊。好，接下来呢，我的分母 x 加减一要大于零， 这个等于零就不可以了，在分母上这个是大于，那咱们解一下，一个解出 x 大 于零，第二个解出 x 大 于一，那么咱们的 求下它的几级？那你就画一个数轴啊，大于等于零往右，那么大于一应该是空心的往右，那么重合的部分其实应该是 x 要大于一。 好，接下来呢，如果是同负的情况下，那它的分子呢？一样，那么这个 x 就 会变成小于等于零，那么 x 减一小于零，那咱们整理一下，得到了， x 小 于等于零。好， x 小 于一。好，我们画一下数轴 好，小于等于零应该在零的左侧。好，小于一应该一是空心则为零，那么它的空心，它的重合部分应该是这部分，那么也就说是 x 要小于等于零， 所以两个是两种情况，咱们中间就用或字来连接起来，所以这个答案咱们写的应该是 x 小 于等于零，或者是 x 大于一，所以这个题到这里就正式结束了啊。好，那么关于这部分二次根式有意义的题目呢，咱们就给大家讲解到这里，我们下个视频呢？继续来讲解二次根式的一些性质。好，那我们下个视频再见。

一点数学，秒懂数学，大家好，我是小老师。这个视频我们来看一下有关二次根式的相关概念以及性质。由于我们之前的视频都有点长，所以我把它调了一下，很多人反映说语速太快了，所以一些相关概念我就直接写出来了， 我们挑其中的重点去说一下，那么我们跟之前还是一样的，先来看一下二次根式的相关概念以及性质。那二次根式相关概念这一块， 最基础的概念就是我们二次根数的内容，二次根式的概念呢，就是形容这个的式子就叫做二次根式。我们这里的重点就是 a 必须是大于等于零的，比如说我们的根号 a 可以 是根号二，根号三，根号零点几，根号十分之几，根号几分之几都是可以的，但是根号负几就是错的。 然后这一块呢，我们还有一个最减二次根式，那最减二次根式呢，有两个条件，第一个条件就是被开方数不含分母，比如说我们的根号 a 分 之 b， 这是不是被开方数是 a 分 之 b， a 分 之 b 是 一个 分数，它里面含有分母了，所以它不是最减二次根式。然后第二个条件呢，就是被开方数中不含能开得进方的因式或者因数，那么它是什么意思呢？ 比如说我们的根号九，根号九是不是能开放？能开放那他就不是最减二次根式。还有呢，比如说我们的根号十二，那根号十二是一样的，他是等于根号下四乘 三的三开不出来，但是四是可以开出来的，所以我们这叫里面含有了能开放的一数，那么这个也不是最减二次根式， 接下来呢就是二次根式的性质了。二次根式的性质，它的最重要的一个性质就是我们的双重非复性。双重非复性是什么意思？二次根式本来就是根号 a 对 不对？它是不是有一个被开方数，还有一个它本身，它的被开方数和它本身都是大于等于零的，也就都是啊非复数，这个叫做双重非复性。说简单一点，其实就是我们二次根式是一个非复数， 二次根式里面的这个被开方数也是一个非负数，也就是我们这里的 a 大 于等于零，根号 a 也大于等于零，这是我们的双重非负型。考的最多的就是我们的被开方数 大于等于零，这块一定要注意一下。然后第二个呢，就是根号 a 的 平方，它是等于 a 的， 也就是说一个数先开方再平方，它又等于这个数的本身，然后再对比看我们下面这个第三个。第三个是一个数先平方再开放，然后再对比看我们下面这个是先平方再开放， 他呢有两种结果，一种结果是 a， 一 种结果是负 a， 他 这个就类似于我们 a 的 绝对值，因为这个 a 你 不确定他是正的还是负的，有可能是正，有可能是负，如果是正的话，他开出来就是 他本身，如果是负的的话，那么开出来就是相反数。如果对这一个比较熟悉，那么我们直接去记什么？直接去记根号 a 平方等于 a 的 绝对值就可以了。 第四个和第五个呢，就比较简单，一个是两个数积的开方等于两个数开方的积，一个是两个数商的开方等于两个数开方的商。这里要注意的时候， 大于等于零，大于等于等于等于这一部分是大于零的，为什么？因为我们的 b 做了分母了，分母不能为零，所以它只能大于零。 那么以上就是我们二次根式的相关概念以及性质了，接下来我们来看一下这个题。题说下列各式化成最简二次根式，正确的是 a 选项，根号十分之七等于根号零点七。首先根号零点七的这个形式，它是不是相当于里面还是有分母的？那么这个 a 选项我们应该怎么去画呢？来看一下 根号十分之七。首先我们根据这个式子能得出来根号十分之，根号 七八。现在的重点是不要把分母变成一个有理数，那现在是不是重点要把这个变成一个有理数，那这个要变成一个有理数，是不是只能给它乘一个相同的根号十，那就等于根号十乘以根号十。但是如果只给分母乘根号十的话，我们整个式子是不变了， 那就要给根号七也乘以一个根号十，这个是不是保证我们这个式子是不变的？仍然是根号十分之七，那也就根号七乘以根号十， 那根号十乘以根号十，是不是就是我们的十？根号七乘以根号十，这个是怎么算的？我们根据这个逆运算是不是就能得出来？因为根号 a b 等于根号 a 乘以根号 b， 所以 根号 a 乘以根号 b， 那 就等于根号 ab， 也就是根号七乘以十，那就是根号 七十。那到这里我们是不是只有一个被开方数，就是这个根号七十，而被开方数没有分母八，所以这个就是我们的最简二次根式。然后这里有一个重点，就是我们从这一步到这一步叫做分母有理化的过程， 也就是我们的根号 a 乘以根号 a 乘以根号 b 乘以根号 a， 这一步的目的就是让分母的根号 a 变成一个有理数，那就要给他乘一个相同的根号 a， 这样的话他就能变成 a， 但是又要保证这个数不变。我们要给分子分母同时乘以根号 a， 最终的结果就等于 a 分 之根号 a b， 这是我们分母有理化的过程。 那接下来我们再来看这个 b 选项，那 b 选项的算法是不是就一样了？根号下二十五分之二十四，是不是就等于根号二十五分之。根号二十四，那就等于五分之根号二十四。哎，算到这以后，会发现跟我们 b 选项的后面是一样的， 那这个错在哪里？这就是我们的第二个条件了。还有一个条件是我们的被开方数乘不能含有能开得进方的因数或者因式。 继续往后看，我们是不是就等于五分之二十四，是不是四乘六，也就是说他等于根号下四乘以六，四乘以六， 那根据这个公式，是不是得出来五分之根号四乘以根号六，根号四能能开出来，所以他应该等于五分之二倍的根号六， 这样的话，我们的被开方数就只有一个六吧，开不出来，也没有分母，这就是我们最终的最简二次根式，这才是对的，而我们这个呢，是错的，当然我们 a 选项也是错的， 接下来我们来看 c 选项， c 选项根号下零点一，这是不是跟我们刚才说的那个零点七是一个道理？我们要画成分数，那就是根号十分之一，那就等于根号十分之根号 一吧，跟我们上面的算法是一样的啊，那就等于根号十乘以根号十分之根号一乘以根号十，就等于十分之根号 十，十分之根号十和十分之根号十一样的，所以这个也是对的，那我们的 d 选项肯定也是错的，我们再来验证一下，看这个 d 选项到底是多少。 d 选项他根号下三分之二就等于根号三分之根号二，这是不是跟我们的 a 选项和 b 选项是一样的？也是被开方数里面有分母，那就等于根号三乘以根号三分之根号二乘以根号三，根号三乘以根号三是三吧，那就等于三分之 根号二乘三十，根号六等于三分之根号六，而这里写的是三倍的根号六，所以这个是错的，这个才是对的。所以我们这个题正确选项应该是 c 选项。 这个题考的知识点呢，主要就两部分，一部分就是我们的最简儿子根式，一部分就是我们儿子根式的性质。以上的就是我们这一块的内容，那这个视频呢，我们就讲到这了，拜拜。

八年级下学期第一章之一二次根式的速成攻略啊！放过我吧！超易懂的学科攻略！本期视频我们将为大家带来二次根式章节的第一课，二次根式的定义与性质 那什么是二次根式呢？我们把形如根号 a， 其中 a 大 于等于零这样的式子叫做二次根式， 这个符号称为二次根号。那在写根号 a 的 时候，其实我们省略了根指数二根号 a 里面这个数 a， 我 们称为被开方数，它可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，但是它必须是大于或等于零的。 在判断一个式子是否为二次根式时，我们只看它的原始形式。比如根号四，虽然它计算后的结果为二，但判断的时候我们只根据它的原始形式来判断，所以根号四是二次根式。 那在二次根式章节中，我们经常会遇到类似这样的问题，要求 x 的 矩阵范围使某个含有二次根式的式子在实数范围内有意义。 这种类型的题目非常简单，我们只需要清楚十二次根式有意义的条件，那条件只有一个，就是被开方数为非负数。反之，要是二次根式无意义，则被开方数小于零 这道题。根据这个条件，我们可以得出 x 减五大于等于零，并且八减 x 大 于等于零。解这个不等式组，我们就能得出五小于等于 x 小 于等于八。那由于这里是一个分式，所以我们还要使分式有意义，也就是 x 减五不等于零， x 不 等于五， 所以最后 x 的 取值范围就应该是五小于 x 小 于等于八。接下来我们要介绍的是本节的一个难点，二次根式的性质。 首先，二次根式具有双重非负性，他说的是一个非负数的算数平方根是非负数。这句看似很复杂的话，其实说的就是两点，一个是根号 a 是 大于等于零的，另一个是 a 大 于等于零。 那二次根式的双重非负性经常会应用在类似这样的问题中，比如根号 a 加绝对值， b 加 c 平方等于零，要求 abc 的 值，那由于它们都是非负数，且和为零，那就只有一种可能，那就是它们分别为零。 那除了双重非负性外，本街还有两个非常容易混淆的概念是你必须要知道的，一个叫做非负数算数平方根的平方，另一个叫做一个数的平方的算数平方根。 我们先看左边这个式子，由于 a 是 非负数，所以它的算数平方根的平方就等于它本身，即 a 的 算数平方根的平方等于 a， 那这个性质我们经常可以用在类似这样的化减场合，比如三的算数平方根的平方化减后等于三， a 平方加一的算数平方根的平方化减后等于 a 平方加一。 我们再看右边这个式子，由于 a 的 取之范围是任意时数，所以 a 的 平方的算数平方根就等于绝对值 a。 既当 a 大 于等于零时，根号 a 平方等于负 a。 通过上面的比较，我们可以看出， a 的 算数平方根的平方与 a 的 平方的算数平方根，它们在意义、运算顺序、 a 的 取值范围以及结果的表达形式这几方面都是不同的，那我们在进行化简时，就必须先理清它们的形式，再进行化简计算， 那当平方在二次根号的外面时，我们可以直接得出化简的结果，那当看到平方在二次根号里面时，必须根据 a 的 取值范围来进行化简， 那当然它们之间也不是毫无关联。我们观察这两个表达式，可以发现它们的计算结果都是非负数，并且当 a 是 一个非负数时，它们的计算结果是相同的。 接下来我们通过两道例题来熟悉一下它们的性质。第一道题要使这样一个等式成立，首先我们要理清它成立的条件， 要使 x 减一的平方的算数平方根等于 x 减一算数平方根的平方，也就是我们在之前的这个表格中提到过的这种情况。当 a 是 一个非负数时，它们的化简结果是相同的。 记 x 减一大于等于零时，该等式成立，所以这道题的答案为 x 大 于等于一。接下来我们再来看到二次根式的计算题， 那在化简这类二次根式时，首先我们要知道，无论是非负数算出平方根的平方，还是一个数平方的算数平方根，他们的计算结果都是大于等于零的。 接下来第一个式子，平方在根号里面，所以它等于绝对值负三。第二个式子，平方在括号的外面，因此我们可以忽略到这个符号化简后就是二。 最后这个式一样平方在根号的里面。化简时，我们就需要加上绝对值符号，那由于一是小于根号二的，所以它化简后就是减去括号根号二减一，在进行计算后可以得出结果为六减根号二。 最后这道题是一个求值问题，那要求 x 减九百九十九平方的值，显然我们需要通过已知的等式来寻找答案。 这里一致的等式是一个绝对值加上一个二次根式，但是他们相加的结果并不是零，所以我们无法利用绝对值和二次根式的非复性来解析。那这种情况千万要记得，二次根式中还以它的一个条件被开方数的非复性， 也就是 x 减九百九十九是大于等于零的。 g， x 是 大于等于九百九十九，那这个 x 的 取值范围要怎么使用呢？我们看这个绝对值有 x 大 于等于九百九十九，我们可以得出九百九十九减 x 是 小于等于零的。 也就是说这个等式我们可以化简为， x 减九百九十九加根号 x 减九百九十九等于 x， g 根号 x 减九百九十九是等于九百九十九的。 那这时我们再看我们要求值的这个式， x 减九百九十九平方，那如果我们将这个等式的两边同时平方， 根据一个非负数的算出平方根的平方等于它本身，我们就可以得出 x 减九百九十九等于九百九十九平方。再进行一向后就能得出 x 减九百九十九平方等于九百九十九。 好了，本期的内容就到这里，你学会了吗？拜拜！

八、下数学最难的二次根式六大题型，寒假吃透逆袭班级前三八年级数学下册同步训练！二次根式六大重难点题型题型一、判断二次根式的个数 题型二、根据二次根式定义求字母的值题型。四、根据二次根式有意义条件求值 题型。五、利用二次根式性质化简题型六，化简复合二次根式完整版分享！

那第三个同类二次根式 记笔记啊，别老让我提醒记笔记好。什么是同类二次根式呢？首先几个二次根式化成最减二次根式后，就首先他们必须是最减二次根式。几个二次根式 化成最减二次 根式后，他得化完化成最减二次根式后，然后呢，被开方数相同，哦，被开方数相同，这样的二次根式，我们就叫做开方数 相同，哦，这样的二次根式我们就叫做最减二次根式。那比如说我们举个例子，请问根号十二是吧？哦，换一个吧，根号八，这个好，举一点，根号十八，请问他俩是不是最减二次根式？哦，他们是不是同类二次根式？ 是不是有人说不是啊？你看同类二次根式不是要是被开放式相同吗？一个八，一个十八，他们怎么能相同呢？哎，注意，他说了一定要把这几个二次根式化成最减二次根式之后，然后看他的 b 减那个什么被开放数。首先他们是最减二次根式吗？ 很明显他们不是呀，所以你要把它化成最减二次根式。那么化最减二次根式的方法我把它写在下面啊。 画最减二次根式的方法是什么？讲过哎，对于他而言是什么东西呢？哎，首先我们知道是根号下四乘二，那么四是不是可以变成他的算数平方根到根号外面来， 这个呢？可以看成什么九乘二，九是不是也变成他的算数平方根到外面来？所以再次看他们最减二次根式的时候，同样，你看此时此刻他们的被开方数相同吗？相同，所以他们是同类二次根式，可以理解吧？所以同类二次根式最重要的就是要化成最减二次根式，就是它是最减二次根式之后， 然后你再去判断他的备胎方数是否相同，如果相同就是最紧要是同一次公式，如果不相同，那就不是同一次公式，对吧？再比如说，嗯，你再看这个格式，再再举个例子， 二分之一根号二分之一和他是不是最同样四根式呢？同样，这个根号二分之一，他也不是最减的，你要把它化减一下哦，他就变成根号四分之二，所以化减一下四，是不是可以变成他算数平方根跑到根号外面去根号二，所以同学们感受一下他的被开方数相不相同 哦？相同啊，所以他也是他们的同类二次根式，可以理解吧？啊，所以同类二次根式的概念了解了之后，下面我们就进入到二次根式的运算里面的一个环节叫，嗯，第一个叫二次根式的加减法 的加减法，我们要知道二次根式的加减法它的本质是什么？它的本质是什么？ 它的本质就是同类二次根式的合并，或者说叫合并同类二次根式，本质 就是合并同类项的感觉。二次根式， 比如说你两个根号加三个根号加起来就等于五个根号二，再加上二分之根号，就是五五又二分五点五个根号二，好理解吗？尽量不能写五点五，要写二分之十一，写成假分数，也不要写代分数啊。能不能理解这个意思？合并同类二次根式， 但是就这意思，比如说，我们来举个例子吧，可能这么说有点抽象啊啊，比如说，就以这个为例吧，就以我刚才举的这几个为例，比如根号八加根号十八减根号二分之一。好，那这个十字你们算一算，它等于多少？ 你好，是不是就等于二根号刚才划过了，加上三根二，减去二分之根号二。哦，你看两个根号加三个，减去二分之一个根号，是不是就等于二分之九个根号二啊？那 有的时候题目中他会很莫名其妙的出现，后面有个根号三，那你这个地方加上根号三，那你最后还加上根号三，有人甚至到这了，他会变成了很搞笑的啊，二分之九，根号二加三是五，能不能这么做？ 一定不行，这已经是最后的结果了，你千万不能说我加个根号三，我把根号三跟二加起来，那绝对不行啊。就是这个，这已经是最后的结果了，听明白了没有？好，这是关于二次根式的加减法，那么二次根式还有一个乘法，那就更简单了，来第二个， 二次根式的乘法和除法。乘法。 好，二次根式的乘除法。首先，嗯，这个其实很简单啊，我说一下，什么叫乘法呢？乘法什么意思？ 被开方数相乘，那么指数不变，因为你乘法，就首先你被开方数相乘，什么意思？比如说根号二乘以根号三。哦，被开方数相乘，指数不变，就是本来这个是二次的还是二，这个二省略掉不写的，这个还是省略不写。哦。二乘三，被开方数相乘，那么指数 不变就可以了。是二还是二，可以理解吧？就是零根号六，这就是乘法，好理解吧，一会给大家举个例子，先写下来吧。啊，他的口诀叫被开方数 相乘，指数不变。第二个除法，二次根式除法，同样的也是被开方数相除 相除相成。啊，写成相同了，被开放水相除，那么指数不变，我也给大家举个例子。哎，什么意思呢？比如说。呃， 其他颜色换个颜色。比如说这个地方根号二乘以根号三，他就等于根号下二乘三，那就等于根号六。 同样根号二除以根号三，那就等于根号下二除以三，二除以三分母啊，这个地方很明显，它的分子分母要同时乘以三八，变成九分之六，就等于三分之根号六。 结束能看得懂吗？首先要把分母变成一个完全平方数，然后变成算数平方根到根号外面来就可以了呀，对吧？乘法除法，这很简单啊。

八下数学二次根式的运算全部吃透，稳进班级前三。八下数学二次根式的运算用法则计算，用运算规律计算，用乘法公式计算。 回归教材二次根式的化简求值技巧一，技巧三巧用二次根式的非复性提醒探讨二次根式的双重非复性。完整版可分享。