八年级下册数学书湘教版坐标绘图做法

坐标已图形的位置，我来看这个动物园，我们描述喷泉的位置，我们到南门的时候，喷泉的位置怎么描述？ 在南门这一点建立坐标系， 然后我们看一下喷泉的位置， 那么我们到百花去谈之后又如何描述喷泉的位置， 我们来看这个四边形，怎样通过电话告诉这个四边形 边长为四的正方形。我们建立不同的坐标系，我们来看一下 建立不同的坐标系，各顶点的坐标该如何描述， 那么还可以怎样建立坐标系， 坐标系不一样，坐标也就不一样， 为了简单，我们要恰当身体，坐标系恰当意味着利用垂直对称和平行来看这道题，我们看如何减少坐标系是地点，坐标是六四，地 有地点，坐标有不同的情况，咱们看一下，按要求 先找到坐标原点，因为地的坐标，然后呢在地的左边，下边，然后及点地为原点，这样完成下面的几个问题。 我们看四个不同的图形， 这是建立坐标系的方法， 这个题我们得画图建立自标系，然后再去 看一下， 那么这些问题呢？我们都需要 图形，按照要求画出图形，然后再去求坐标， 简单作妖写的方法，中点 或者利用对称性。

预习教材帮成绩响当当！同学们好，我是张娟老师，今天由我来带领大家一起学习坐标方法的简单应用。呃，那么在以前呢，人们如果说出门出差呀，或者是旅游呀，都会自己带上一个地图来方便定位自己当现在什么位置啊，或者说方便去寻找他要去的这个目的地的位置 啊，那现在呢啊，我们出门带一个手机就可以了，手机导航啊，就可以看地图。那这里啊，给大家了一幅北京式地图的一部分啊，同学们一起来看一下。哎，我们怎么在这个上面用坐标来表示一些建筑的地理位置？ 好来，在刚才的那个地图上呢？啊，我们有这样的六个建筑啊，分别是天安门国家体育场，中国人民抗日战争纪念馆、北京朝阳火车站，首钢滑雪大跳台以及颐和园。 那么此时呢，我们分别得到这五个建筑，他相对于天安门的一个位置。来，你依次去看一下啊，在这你可以暂停一下， 那么此时大家想一下，哎，我们要去表示他们六个建筑的一个地理位置的话，此时我们是不是就可以以天安门作为这个基准，然后依次再去表示那五个建筑的位置就可以了。 好啊，所以这块呢，我们是以天安门所在的位置作为原点，然后呢，以正东正北方向啊，为 x 轴和 y 轴的正方向，去建立我们上节课所讲的平面直角坐标系， ok 吗？ 好，建好了之后呢，再去规定一个单位长度来表示一千米， 那么此时我们就可以在平面直角坐标系里面把这六个建筑的位置给他定位好了， 来，一起看一下啊，这是我们所画的平面直角坐标系，你天安门在哪里？在原点的位置，对不对？ ok， 来依次看一下，国家体育场在天安门的 以北约九千米处，那么此时我们以天安门为基准北的话呢，是在 y 轴的正方向，对不对？所以天安门往上多少九千米，也就是九个单位长度。好，来，你找一下，是不是在这个位置， 所以我们的国家体育场在这个平面直角坐标系里面的坐标呢，就是零九。 ok， 好， 接下来呢，你再来看一下第二个啊，中国人民抗日战争纪念馆，他在天安门 西十四点五千米，然后南呢六千米处。 ok， 来，从这以西，那应该是往 x 轴的负半轴这个方向去走啊，十四点五啊，大概在这个位置， 还有往南，那应该是往 y 轴的负半轴去走，走多少六千米？六个单位长度。好，你再去走一下好了，定位到这个位置，那么它的坐标呢？就是负的十四点五，负六， 剩下来三个同学们应该很好找了吧？来，我们依次看一下啊，这里的北京朝阳火车站，哎，他的坐标应该是九点五四， ok 吗？以及我们的首钢滑雪大跳台，哎，他的坐标呢，应该是负二十一零。好，最后的这个颐和园，他的坐标应该是负十一十。 行了，那你会发现，我们现在是不是可以在平面直角坐标系里面把这些建筑他的一个地理位置标识出来了， 所以呢，哎，我们就可以用平面直角坐标系，用坐标来表示地理位置。 ok， 来看一下，我们用平面直角坐标系来绘制区内的一些地点分布。平面图的一个过程是什么样子的？ 一共有三步啊。第一步呢，首先你要先找到原点，找到你的 x 轴、 y 轴的这个正方向，建立好这个平面直角坐标系。 建好系了之后，接下来来到第二步，根据具体的一个问题来确定它的单位长度。哎，是多长， 比如说刚才呢，我们就是一千米为一个单位长度，对吧？好，接下来来到第三步啊，那么在平面直角坐标系里面，把这些点给他画出来，然后写出各点的一个坐标，以及对应的地点名称就 ok 了。 ok， 好， 那么同学们看到，哎，我们是不是可以用平面直角坐标系里面的这个点的坐标来表示地理位置？ 好，这也是我们知识一啊要讲的内容，那么接下来呢，我们看一下知识点二啊，这里我们用什么？我们用方向和距离来表示平面内的这个点的位置，除了用平面直角坐标系里面的点的坐标，还可以用方向和距离来看一下怎么表示啊？ 这里说啊，一艘船在 a 处遇险之后呢，它向相距三十五海里，然后位于 b 处的这个救生船报警， 那么我们这里如何用方向和距离描述这个救生船相对于遇险船的一个位置，那么这里呢，我们是以遇险船作为这个精准来说的啊，来看到 此时我们的救生船在它的什么方向呢？上北啊，下南，左西右东，它是由北往东偏了一个六十度，所以方向呢，就是北偏东六十度，那距离是多少？这里标了三十五海里， 所以我描述他的时候呢，就说啊，救生船在遇险船被偏东六十度的方向上，与遇险船的距离是三十五海里。好，那你在这看到了，我们是不是用这个方向还有距离就可以描述你平面内的这个点的位置了？ ok， 好， 那接下来的话呢，我们看一下这样的一个总结的步骤啊，就是如何在平面上我们用方向和距离来刻画两个物体相对的这个位置。那第一步就是你要选好参照点啊，比如说刚才呢，我们是以这个预显传作为参考点的。 好，接下来第二步呢，就是去确定方向，我们从这个参照点出发，一般情况下啊，是以 正北或者正南作为基准，然后去往他的这个东或者西，爱看旋转多少度来表示他的方向。一般情况下，我们写成北偏东多少度，或者北偏西多少度，或者南偏东多少度，南偏西多少度的一个形式。 那这块呢，有一些特殊的位置啊，比如说你是正北、正南、正西、正东，那你直接就像刚才这样描述就行了啊，就是正什么这样的方向，比如说啊，北偏东四十五度，我们一般用的是东北方向 好吗？那么北偏西四十五度呢，我们一般用的是西北方向啊，这些特殊的，你们可以得额外的去记一下啊。好，那么南偏东四十五度，那么应该是东南方向。 同样的道理，如果是南偏西四十五度，那就是西南方向。所以特殊的几个方向啊，除了这里的东北、西北、东南、西南之外，还有刚才所说的 正北、正南、正西、正东啊，这些八个特殊的位置，你去额外的记一下，剩下的呢，我们都给他写成北偏东、北偏西、南偏东、南偏西这样的形式， ok 吗？好，这是我们说的第二步啊，来确定它的方向。那么接下来第三步呢，就是去确定距离，这块我们就是用测量工具，从你的这个参照点出发，到目标点的这个直线距离，就是这块所说的一个距离了。 好，最后呢，来描述点的位置就可以了啊，通常我们是先写方向，再写距离，通过这两个要素就可以确定你这个点的位置了。 好，那么这是我们今天讲的知识点二，用方向和距离也可以表示平面内点的这个位置。 那么接下来呢，来到我们的第三个知识点啊，这里我们可以用坐标来表示平移，哎，坐标的又一个用处，前面讲了，用坐标可以表示点的位置，对不对？那么接下来呢，我们用坐标还可以表示这个平移。好，来看一下，思考一 说。如图，将这个点 a， 它的原来坐标呢，是负二负一，向右平移五个单位长度，哎，得到了这个点 a， 以向左平移两个单位长度，得到了这个点 a 二。那现在让我们在图上标出这两个点，并写出它的一个坐标 好了，那么这里呢，我们一起来看一下。首先把这个点 a 给它怎么样？向右平移五个单位长度。来，你在图上看一下移到哪了？移到 a 一 的这个位置了，此时我们可以很容易得到它的坐标，应该是三负一没问题吧。好，三负一。 好了，那么大家来观察一下我们这两个点的这个坐标，哎，平移前后他们的坐标有什么关系啊？那你会发现他俩的纵坐标都是负一，是相同的，没有变，但是横坐标呢，由负二变到了三，相当于是增加了一个五， ok 吗？哎，横坐标加了一个五， 好，那接下来我们再来看一下啊，把这个点 a 再给他，怎么样？向左平移两个单位长度，那此时他得到的是 a 二。好了，来移一下啊，向左移两个，到了 a 二，那 a 二的坐标呢？很显然是负四负一。那同样来观察一下， 平移前后这两个点的坐标有什么关系？纵坐标是不是相同的，都是负一，横坐标呢？由负二变到了负四，相当于是减了一个二， ok 吗？横坐标减了一个二。 来，你在这块注意一下啊，我们如果是右移五的话，横坐标是加五，然后如果是左移二的话，横坐标是减二。你把这两个点先记下来，一会我们要总结的啊。 行，那么继续啊，我们再来看一下思考二这个问题。同样的还是把这个点 a， 此时呢给它向上平移六个单位长度到了这个 a 一， 然后向下平移四个单位长度到了这个 a 二。来。现在我们在图上再把这个 a 一 a 二给它找到，看看它们平移前后的这个点的坐标有什么关系啊？ 这是我们的 a 点，然后给他向上平移六个单位长度，来往上走六个单位长度到哪了？哎，到这个位置，你去看一下他的坐标应该是负二五， ok 吗？好，负二五。来观察他们的这个平移前后点的坐标有什么关系？ 哎，是不是我们的这个纵坐标由负一变到了五，加了一个六啊，横坐标是没变的。 好，再来，我们把这个 a 一 呢给它向下平移四个单位长度啊，来，看到往下四个单位长度到哪了？到这了啊，得到 a 二的坐标是一个负二负五。好，那你再来观察一下 此时平移前后两点的坐标，横坐标没变，纵坐标由负一变到了负五，相当于是纵坐标减了一个四。来，再对比一下啊，往上移六个单位长度，纵坐标加六，往下移四个单位长度，纵坐标减四，看到了吗？ 把刚才思考一和思考二我们得到的这个结论一起总结一下，你会发现什么？ 在平面直角坐标系里面啊，如果我们把一个点给他向右或者向左平移 a 个单位长度的话，此时改变的是他的什么坐标？ 横坐标对不对？那你看到他的横坐标会变成什么样子？如果是向右 a 个单位长度的话，那么他的横坐标对应的是加 a， 如果他的横坐标对应的是减 a， 看明白了吗？ 嗯，好，再来看上下，那如果我们把这个点给它向上或者向下平移 b 个单位长度，此时你的纵坐标是不是就要改变了？那如果我们是向上平移 b 个单位长度，那么它的纵坐标就应该是要加 b， 那如果把它向下平移 b 的 单位长度的话，那它的纵坐标就是减 b。 来，把这个规律我们一起用一句话来总结一下啊，叫做左右平移，是横坐标左减右加重坐标是不变的。 自己去结合这个图想一下啊。好，那么上下平移呢？我们是横坐标不变，然后纵坐标是上加下减， 其实你简单的记八个字就可以了啊，就是这里的左减右加，上加下减，当然你要知道它针对的是什么，左右平移改变的是你的纵坐标。 好，这是我们所说的用坐标可以表示这个平移。那么接下来的话呢，我们再来看一下这样的一个问题啊，刚才我们研究的是点，那如果我把这个点给你变成一个图形，那我们刚才的这个规律，哎，还变不变 来这个题呢，说有一个正方形 a、 b、 c、 d 啊，它在这个位置依次告诉了我们点 a、 点 b， 点 c、 点 d 的 一个坐标，你对着去看一下， 那么现在说把这个正方形先向下平移七个单位长度，然后再给它向右平移八个单位长度，那么两次平移后，四个顶点相应的啊，变成了点 e、 f、 g、 h， 嗯，问这四个点的坐标分别是多少？来吧，我们在图里依次给它平移一下， 首先把它先向下平移七个单位长度，好，到这个位置了，你自己去对着看一下，一二三四五六七，没问题吧，然后再向右八个单位长度啊，一二三四五六七八， ok， 是 不是到这个位置了？行了，那你对应的这个 e、 f、 g、 h 四个点是不是在这样的一个位置， 此时他们的坐标是多少呢？你可以看图去写一下啊，点 e 的 坐标，点 f 的 坐标，点 g 的 坐标，点 h 的 坐标，依次在这我给大家都写出来了啊，这块应该不算难点了。 那么接下来呢，我们来看这样的一个问题，说如果我去直接来平移这个正方形的话，使得这个点 a 让他直接移到这个点 e 的 位置，那么他和我们前面得到的这个正方形相同吗？你来想一下哦，直接移过来 是不还是相同的？我把你哎直接挪到这个位置吗？ a 对 应的就是我们的点 e 的 这个位置，那么 b 对 应的就是点 f， c 对 应的是点 g， d 对 应的是点 h， 所以 它和我们第一次得到的这个 e、 f、 g、 h 呢，是完全重合了，位置是相同的。 那么这块其实说明一个什么事情啊？你看，我把这个图形啊，给你沿着坐标轴的方向两次平移到了这样的一个位置，其实也相当于把它从原来的位置一次平移得到， ok 吗？好了，那么这里呢，咱们来总结一下啊，你看，在刚才的这个例子的分析过程中呢，我们会发现，我们的这个图形平移了之后呢，它上面的所有的点是不是也都发生了相同的这个平移？ 这个很好理解，因为我们的图形就是有点来构成的嘛，那你图形怎么平移，你上面的这些点他不就怎么平移吗？那反之，哎，我这个图形上的其中一个点啊，我任取一个点，他的这个平移的方式，也就是咱们图形的平移方式， 对吧？那么，哎，你的上面的这个点平移的这个坐标变换规律是不是也同样适用于我们的这个图形平移的这个坐标变换规律 ok 吗？啊，就是你这个图形上，我知道有一个点哎，他是这样平移的，他的横纵坐标进行了一个什么样的一个变化？那么其他的点也应该满足这样的一个变化啊，因为其他的点是跟随着这个点在一起进行相同的平移的。 好，这是我们所说的第一个点啊，那么第二个点呢，就是刚才所讲过的，我们把这个图形给他依次沿着两个坐标轴的方向平移，所得到这个新的图形，相当于是把你原来的图形进行一次平移，得到的那一次平移就可以得到了， ok 吧？ 好，那么接下来呢，我们来做一下今天的第一道例题啊，来练一练。这里第一小问说的是长方形 a 撇， b 撇， c 撇， d 撇，可以由长方形 abcd 经过怎样的一个平移得到？来看图对应点的这个坐标有什么变化啊？首先先来看怎么样可以得到， 那我们知道你的这个图形是怎么平移的，你图形上的点就是怎么平移的，所以这块呢，我们只要去找到上面的对应的点它是怎么平移的，就可以描述你图形是怎么平移的。那么找谁呢？啊？我不妨就找这个 a 和 a 一 撇吗？它俩是对应点，对不对？好，那你看一下由 a 到 a 一 撇，它是怎么平移的， 是不是相当于，哎，我的 a 先向右平移了多少个单位长度？三个单位长度，看到了吗？然后再向上由二到四平移了两个单位长度。好，那我们的点 a 是 这样平移的，我们的图形是不是也就是这样平移的？好，我写到这里啊， 点 a 啊，它到这个 a 一 撇呢，有一个右三 上二这样的一个平移方式，所以我们的长方形也是右三上二， ok 吧， 那么我们的这个长方形啊，他应该也是经过右三上二的这样的一个平移，你写的时候呢，就写先向右平移三个单位长度，再向上平移两个单位长度，明白吧？哎，答这一问的时候啊，我们是这样去写的，先向右平移三个单位长度，再向上平移两个单位长度，我在这简写了， ok 吧？ 好，再问说这个对应点的坐标有什么变化？那你来看一下右三，说明我们的这个点的横坐标 应该要加三，是吗？上二呢，说明我们点的这个纵坐标应该要加二。好，我这里都是简写啊，你写全就行了。那么接下来我们再来看一下第二问， 说这个点屁啊，它的坐标是负三，一是长方形 a、 b、 c、 d 上的一个点，写出点屁的对应点屁一撇的一个坐标。来，我们把点屁先在这个图上给你画出来啊，在这个位置， 那么你想一下我们的长方形怎么平移它上面的这个点就是怎么平移的。刚才说过了，长方形是怎么平移右三上二嘛，所以此时，哎，我们的这个点呢，也应该是右三 上二。好了，得到 p 一 撇的坐标，来给点 p 的 坐标用三，横坐标加三啊，所以应该是负三加三，零上二，纵坐标一加二啊，所以应该是三，这是我们 p 一 撇的坐标，没问题吧？ 你整体回顾一下咱们这个题啊，你会发现，它首先是根据点 a 的 一个坐标变换来得到长方形的一个平移规律啊，它是怎么平移的？然后第二个呢，再根据长方形是怎么平移的，得到它上面的点 p 又是怎么平移的？ 进而得到平移之后对应的这个 p 撇的坐标。哎，这个逻辑理清楚啊。 好了，那么前面呢，我们基本研究的是通过这个图形的平移或者点的平移来得到它对应的这个坐标是什么样子？那接下来呢，我们要研究的是反过来了，对你的这个图形上点的坐标哎，进行一些变换，来看看你的图形又是怎么来变化的啊？ 来看这里有一个三角形， a、 b、 c， 然后它的三个顶点坐标，咱们现在都是知道的，第一份呢，我们先把这三个顶点的这个横坐标都给它减一个六，纵坐标是不变的，依次得到 a、 b 一 和 c 一。 那么问啊，这三个 a、 b、 c 一 的坐标分别是多少？然后把这个新的三角形我们画出来， ok， 首先呢，我们先对这三个坐标横坐标减六，那么此时我们得到 a 一 的坐标， b 的 坐标以及 c 一 的坐标，这个应该是没啥问题的。然后你把它呢绘制成这个平面直角坐标系里面， a 一、 b 一 和 c 一 绘好了之后呢，然后一连，此时我们就得到了这个新的三角形了， 好，这样子没啥问题吧？然后接下来呢，我们看一下他的第二问啊，他问这个三角形和原来这个三角形它们的大小形状和位置有什么关系？ 首先你先来看一下它的大小形状有没有变化，是没有任何变化的对不对？只是它的位置进行了一个改变，位置怎么变了？你看由 a 到 a 一 是不是相当于是向左平移了六个单位长度， ok 吗？然后由 b 到 b 也是，由 c 到 c 也是，所以相当于是我们这个 原来三角形向左平移六个单位长度，就得到了这个新的三角形啊，所以此时我们的一个关系在这里大家可以来看一下，关键是什么？ 圆三角形向左平移六个单位长度，得到了新的三角形，并且这两个三角形大小形状是没有变的。 好，继续啊，我们再来看。那么接下来呢，我们对这个三角形 abc 的 三个顶点再做这样的一个操作啊，纵坐标给他减一个五，此时得到 a 二、 b 二和 c 二，来把这三个点的坐标先写一下， 这都没问题吧，写完之后呢，我把这三个点给他绘制在平面直角坐标系里面。好，画好了之后呢，把这个新的三角形连出来，连出来之后，大家一起来看一下，现在这个圆三角形和新三角形它们的大小形状改变吗？很显然也是不改变的。那位置呢？ 来，你对着看一下，相当于是我由原来这个三角形往下平移了五个单位长度，得到了新的三角形，对吧？好，这块有这样的一个位置的变化，大小形状都是没有变的。 行，我们整体一起来总结一下。哎，你会发现，如果我们对原来的那个图形中的各个点的横坐标去加或者减一个正数 a 的 话， 那么此时我们的新图形就相当于是把原来的那个图形给它向右或向左平移 a 个单位长度。得到的理解一下， 横坐标加 a， 这里 a 一定是个正数了啊。横坐标加 a， 那 么相当于是向右平移 a 个单位长度。横坐标减 a， 相当于是把原图形向左平移 a 个单位长度。 好，那么同样的道理，如果我们把它的纵坐标加或者减去一个正数 a， 那 相当于是把原来这个图形给它。怎么样？向上或向下平移 a 个单位长度得到了新的图形， 对吧？加 a 相当于是向上 a， 减 a 相当于是向下 a， 所以 这块其实和我们前面所讲的你的图形的平移导致它坐标的一个变化，那个规律是相同的，也是左减右加上加下减， 前后一定对比着。理解啊，这块本质是相同的。好了，那么接下来我们做一下第二这道题啊，这里给了一个三角形 a、 b、 c 啊，把它进行一个平移，得到了三角形 a、 b、 c 一， 然后说其中任意一个点 p， 它的坐标是 x 零 y 零，平移后的对应点呢？是 p 一。 来看一下 p 到 p 一 是做了一个什么样的变化？横坐标加了一个五，纵坐标加了一个三，所以此时我们由这里就可以得到你的 p 到 p 一， 它是怎么去平移的？横坐标加五应该是右五， 纵坐标加三应该是上三，没问题吧？好，那你的 p 到 p 一 是怎么平移的？咱们的这个三角形是不是也应该是这么平移的？ 那么人家让你写出三角形 a、 b、 c， 一 种沿坐标轴方向的一个平移方式，我刚刚不是说了吗，先右五再上三，是不是？好，然后呢，再写 a、 e、 b、 c、 e 的 这个坐标 a、 b、 c 由谁来呀？由原来的 a、 b、 c 得来。那你的屁是这样得来的，我们的 a、 e、 b、 c、 e 是 不是也都是由原来的 a、 b、 c 这样得来的？ 横坐标给他加五，纵坐标给他加三就可以了吗？好，这是我们的第二这道题。那么今天呢，咱们核心就讲到这啊，然后接下来给大家做一个总结 啊，这节课呢，我们讲了坐标方法的一个简单应用，那么在这呢，我们知道我们可以用坐标来表示地理位置，然后除此之外，我们也可以用方向和距离来表示位置，对不对？ 坐标怎么表示呢？平面坐标系见出来之后呢，你根据这个横坐标就可以确定了，那么关键啊，这块的方向和距离同学们第一次见可能会比较陌生啊，这里我们用的核心的元素就是方向，距离啊， 相对于那个参照点，它的方向是什么方向哎，以及相距多少，整个的一个表示步骤，四个步骤在这都列出来了，你可以再来回忆一下。好，除此之外呢，我们这块由坐标的一个应用还衍生出了什么呀？ 哎，他还可以来表示平移，对吗？那么这块呢，我们首先讲了点的平移啊，他的平移规律是什么？哎，在这啊，左减右加是给横坐标的，上加下减是给纵坐标的。 好，那么有点的平移我们也可以隐身得到图形的平移，图形更复杂呀，所以我们要把它转化为点的平移去理解，那么图形平移也是满足这样的一个平移规律的啊， 那么在这呢，有些问题里面呢，我们就可以利用这个平移啊，来求相应的一些点的坐标了，就像我们刚才那道题一样，对吧？好了，那我们这节课就讲到这里，哎，同学们，我们下节课再见吧，拜拜。

同学们大家好，现在我们开始上课，呃，今天老师呢，给大家讲三点按揭简单图形的作为表示。 呃，坐标表示的话呢，我们做这种一定要先建立坐标系，先建立坐标系，我们来看一下这道动脑筋啊，他给了一个正方形 abcd， 对不对？边长十六，他说要你以 b 为远点， bc 所在的直线为 x 轴建立平面直线坐标系，那么 y 轴是哪条直线？你看 他直角的话，你看只有这个 a、 b、 c 是直角，对不对？ b 又是远点的 c、 b、 c， 这里是 x 轴，那只能是 a， b， 这里为 y 轴，对不对？所以你看他这个人是不是建立这样的 b， c， d， a， 对不对？ xy 是这样子的，那今天这边走对不对？他说的边长为六，那就是全部是六的话，这个 b 点是不是零零，然后十一点的是不是六零，对不对？这是十六吗？第一点，这里是不是就变成六六了呀？对不对？ 然后 a 点呢？是不是零六，对不对？那是不是这个，这个四个坐标就出来了，对吧？好，呃，然后呢？呃， 第二个，他说如果以正方形的中心为圆点，建立平面指的坐标系，那么 xy 这分别是哪两条直线？然后也要你算坐标，那以中心的话呢？ 你就要这样子来见坐标走了，知道吧？见坐标写了 a、 b、 c、 d， 对不对？那你看他是不是 这六分成了一半了呀？这里是负三，这里是三，对不对？这里是三，这里是负三，所以你看 a 点是什么呢？是不是负三三， b 点呢？是不是负三负三？ c 点呢？是不是三负三？ d 点呢？是不是三三，对不对？那就把它写出来了，写出来了。 好，那我们来看一下立体啊，他说 矩形 abcd 的长和宽，一个是八，一个是六，让你建立坐标系，表示举行 abcd 个体的坐标。那这种呢？其实最好的还是像我们第一种方法，知道吧？把这个 b 当成一个圆点， 你看这是八，这是六，对不对？所以 b 是不是零零，然后 a 呢？你看他是零六，对不对？这个 ab 等于六，然后 c 呢？是不是八？零 d 呢？是不是八六，对不对？那就把它写完了。 好，嗯，那这道题呢？讲到这里，谢谢大家。