八上数学线段垂直平分线的画法动画讲解

这是一道安徽省二零二五年的中考数学的几何压轴题。已知点 a 撇在正方形 a b c d 内，点 e 是 在 a d 上， d， e 是 线段 a a 撇的垂直平分线，并且 a 一 撇在这个对角线 b b 上，他讲 a a 一 得一，求 a b 的 场。那我们第一题第一题他讲 a a 一 等于一， a 等于一。因为 d， e 是 线段 a a 撇的垂直平面线， 所以这里 e a 撇 e a 撇，它就是等于 a 一 的，等于 a 一 等于一，且三角形 e a 撇 d e a 撇 b， 它是全等于三角形 e a 撇 e a b 啊 e a b e a b 这个角是直角角 e a 撇 d 啊 e a 撇 d， 它是等于九十度的，等于九十度。 这边等于一啊，这边等于一。这是一个直角啊，这是一个直角，这是四十五度啊，这是四十五度啊，这是四十五度！右角 一 d a 撇角一 d a 撇一是等腰直角三角形， 等于二，直角三角形。所以这个 d 一 啊，所以 d 一 d 一 的长，它就是等于根号二倍 d a 撇的啊！ d a 撇啊，或者是 e a p e a p e a p 也就是等于根号二，也就等于根号二，所以 d 的 场是根号二。那么所以这个 ab 啊 ab， 它是等于啊 d a 的 d a d a， 它也就等于 d e 等于第一加上 e a 加 e a， 也就是等于根号二加一， e a 的 场是一。这是第一问，第一问，第二问， 第一小问延长 a a 撇交 b， c 与 f 连接 c a 撇它求证角 c a 撇 f 的 度数为四十五度。 那我们看已知条件，因为 b a 等于 b a 撇 b a 撇也等于 b c 撇，也等于 b c 撇，所以三角形 b a a 撇 啊 a b a 撇和三角形 a， p， b， c 都是等腰三角形， 它都是等腰三角形。我们设这个角为 alpha， alpha 设这个角为 beta 为 beta， 那 么如果 alpha 加 beta 角等于一百三十五度的时候，那么这个角我们这个角就是四十五度啊。 我们根据已知条件，这里 r 加 b 大 角呢，这里也就是 r， 这个角会 r， 这里也就是 r， 那 么这里也就是 b 大， 那么 r 加上二倍的，它就是等于多少，它就是等于三百六十度。减去这里是九十度，它就是等于二百七十度， 那就是得二百七十度，所以 r 凡加倍大角，它就是等于一百三十五度，所以角 c a p f c a p f， 它就是等于四十五度。第二题呢？第二问， 设 a， f， b， e 相交于 g 点啊 a， f， a， f 与 b e 相交于 g 点，相交于 g 点，连结 c， g 连结 c g 啊， d g 连结 d g 还有 d a 撇，大家加了个条件， c g 啊，这里 c g 啊，这里 c g 等于 c b 的 啊， c b， 它要判断三角形啊， a 撇 d g 的 形状， 那我们现在猜想一下啊，猜想一下，这个三角形，它可能就是一个等腰直角三角形。如果要是等腰直角三角形呢，那我们这个这个三角形呢，跟这个三角形它就是可能是全等的关系啊，因为这边是等这边的啊，这个角是等于这个角的啊，这个角是等于这个角的，那是不是全等的呢？我们看啊，我们看，因为 啊，因为 a d 等于 a b， a， d 等于 a b 啊，这个角跟这个角是相等的角 a 撇 a 撇 a d a d a d a d a d 啊 a 撇 a 撇 a d， 它是等于角 g b a 的 g b a g b a， 那 么这里就有一个边一个角相等了，那我们能不能找出这条边跟这条边相等呢？就是 a 撇 a 与这个 d g 能不能相等？如果相等呢？这两个三角形就是纯等关系啊，纯等关系， 那我们要找根据，从已知条件出发，他讲 c g 啊，等于 c b 的 c g 等于 c b， 我 们做啊， c h 垂直于啊，我们做 c h， 垂直于 b g b g， 那 我们得到 这 g h 啊，这 g h， 它是等于 h b 的 h b 啊，我们再看这两个三角形啊，三角形呢，这个 g， 这个 c h b c h b 啊，它是全等于三角形，全等于三角形。 b g a 的 b g a b g a， 它为什么全等呢？这边跟这边相等，是不是这个角跟这个角相等，这又是直角，这也是直角啊，也是直角啊，这是这两个角相等，角角边的关系，角角边的关系啊，这两三角已经全等了，所以 这里 g h g h 等于 h b 啊， h b 啊，它也等于呢，这个 ga 的 也等于 ga 啊， ga 啊， g a 又等于 a， 撇 g 的 又等于啊， a 撇 g 的 a 撇 g， 是 吧？ a 撇 g， 所以 这四边这四条小边都是相等相等的，那么所以这里 a 撇 a， a 撇 a 啊，它就是等于 g b 的， 等于 g b 啊，等于 g b， 所以 这两三角形是全等的，所以三角形啊， d a 撇 a， 它是全等于三角形。 b g a 的 b g a b g a， 它这里是啊，边角边的关系啊，边角边的关系，纯等，边角边的关系啊，这里这两条线是纯等的，那么纯等了以后，那么这个边就等于啊，这条边也等于这条边，这个角就是直角，所以这个 d a p 啊， d a p 啊， d a p， 它就等于啊 a g a g， 它也等于啊， 这个 a 撇 g 啊， a 撇 g a 撇 g。 这是两个边相等，这个角呢，也就是直角角呢？ d a 撇 g 啊， d a 撇 g， 它也就等于角。 这个角 a g b a g b a g b 啊，它也就是等于九十度，等于九十度。所以这个三角形，它就是一个等腰直角三角形啊。所以三角形。 a 撇 d g a 撇 d g a 撇 d g 是 等腰直角三角形，是等腰 直角三角形 啊，是等腰直角三角形。

这道初中辅助线常考题涉及到了垂直平分线这个核心的知识点，题中给了我们一个三角形 abc， 角 b 等于一百零二度 b， d 等于 c d， 说明 d 点是 bc 的 中点 d e 垂直于 bc， 并且 c 的 长度正好呢，就等于边 ab 的 长度。让我们求角 c 等于多少度， 要求这个角的大小啊。题中只告诉我们角 b 的 度数，那我们看不出直接的思路。解题的关键啊，就是要把这个垂直和两个线段相等的条件给用起来。我们注意到 d 垂直于 bc， 并且呢 d 经过了 bc 的 终点，那么直线 d 就是 线段 bc 的 垂直平分线。看到垂直平分线，我们就要讲到垂直平分线的性质里， 垂直平分线的点到线段的两个端点的距离相等。图中我们只要连接一下 e、 b， 那 么线段 e、 b 的 长度必然就等于线段 e、 c 的 长度，而线段 c， 它等于线段 e、 b， 那 说明这三条线段啊，长度都是相等的。那三角形 a、 b、 e 与三角形 e、 b、 c 呢，是两个等腰三角形，之后再求角 c 的 大小呢，就非常容易了。我们可以设角 c 为 x 路， 等边对等角，那么角 abc 必然也是 x 度，这个角 ab 呢，是这个三角形的外角，外角就等于不相邻的两个内角的和 x 加 x， 也就是二 x 度，那么这个角 b、 a、 e 在 这个等腰三角形当中，等边的等角很显然也是二 x 度，然后我们就可以建立关于 x 的 方程了。在三角形 a、 b、 c 这样呢，用内角和等于一百八十度，那么角 b 一 百零二度，加上角 a 二 x 度，再加上角 c x 度就等于一百八十度，轻松解除 x 就 等于二十六度，那么这个角 c 的 话，实际上就是二十六度。

初中数学动画第一集轴对称，现在 a、 b 是 轴对称图形，那对折后得到 a、 b 的 对称轴， c、 d 对 称轴， c、 d 是 直线。那这条直线有什么特点呢？ 结合前面学过的轴对称知识，很容易想到对称轴 c、 d 会垂直这条线段 ab， 并且呢，会经过 ab 的 中点。我们就说 c、 d 是 线段 ab 的 垂直平分线，所以线段的垂直平分线就是指经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线。 那回到旺财跟他遇到难题中，哎，知道定义还是不知道从 d 点到 a 点和 b 点到底哪边更近呢？我们还要知道垂直平分线的性质才行。继续看， 已知 g、 d 所在的直线是 ab 的 对称轴，所以 g、 d 所在直线其实就是线段 ab 的 垂直平分线。那我们来手动操作一下，做线段 ab 的 垂直平分线 g、 d 在 g、 d 上呢，找任意一些点，再量一量每个点，他们到 a 点和 b 点之间的距离。 哎，令人惊讶的是，每个点与 ab 两点连出来的线段都一样长。所以我们猜想啊，垂直平分线可能有这样一条性质线段，垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 然而数学什么严谨的学科不能光靠猜想就判定这句话是对的，需要证明才是靠谱的。已知直线 g、 d 是 线段 ab 的 垂直平分线点， p 是 g、 d 上的任意一点，求证 pa 等于 pb， 证明线段相等。哎，这里又有两个三角形，是不是自然就会想到用三角形全等呀？那用哪个判定定理呢？哎，我们先看一下条件啊， 有垂直平分线哎，就能得到垂直和线段中点，也就是说这两个角都是直角，是相等的， 那 o 点呢，是 ab 中点，所以 o a 等于 o b， 而 po 呢，这里呢，又是公共边，所以这三组条件凑到一起，正好是用 s a s 来证明全等呀。那证明了三角形 a o p 和 b o p 全等，自然就能得到 pa 等于 pb 了。证明过程如下， 那不管是手动操作还是严谨证明，我们都发现线段垂直平分线上的点与这条线段两端的距离确实是相等的，这就是垂直平分线的性质了， 而且这个性质还在证明中呢，可以直接去用，能够省略一个刚才正选等的过程啊，注意点，这个点屁啊，是垂直平分线上的任意一点，也就是说垂直平分线的性质呢，我们就知道，嘿嘿，刚才这个旺财啊， 不管选哪一边，距离都是一样的。那么旺财的问题解决了，咱们做道题练练手吧。 题目，让我们求三角形 abc 的 周长，其实呢，就是求 ab 加 bc 加 ac 的 和， 那其中一条边长 ac 是 五厘米，已经知道了，这时再求 ab 加 bc 的 和就行了。那现在已知下边的小三角形 ab 的 周长，那也就是 ab 加 bc 的 和是十二厘米。 而且呢，这个 ab 加 bc 可以 写成 ab 加 b， d 再加 c d， 看到了吧，对比一下可以发现，只有 ab 和 cd， 这是不一样的。 所以呢，如果能够证明 ab 等于 cd 的 话，那三角形 abd 的 周长就能转化成 ab 加 bc 的 和了。

这个视频咱来讲讲做图，看看怎么用尺规做图，做出现断的垂直平分线。尺规做图自然需要直角和圆规了，还记得不，这个直角是没有刻度的，而圆规是用来保证长度一致的。 要做线段的垂直平分线，就来想想垂直平分线是怎么判定的呗。到线段端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上，如果找到两个这样的点，两点连线，就是垂直平分线了。 那么问题来了，怎么通过尺规找这样的点呢？对了，用圆规，圆规可以保证长度一致， 以这个点为圆心，选一个半径，注意这个长度必须大于线段的一半，然后以它为半径，画个小弧，之后，圆心换到另一端，半径不变，再画个小弧。哎，这个交点不就满足这两条线段相等吗？ 那还差个点呀！没关系，你刚才画弧的时候，上面来个小弧，下面也来个小弧，另一个圆心的时候也这样，这个交点到两端点，距离也相等，这不就是俩点了吗？这俩点一连，这条线就是线段的垂直平分线了。 值得一提的是，这条线既垂直又平分，所以找中点和做垂直也用这种方法。选一个长一点的半径，然后这么画个弧，再这样一下，换个圆心，半径不变，再来两个小弧，连接两点，就是垂直平分线，这是终点，这是垂直， 这就是尺规。做垂直平分线是不是很简单？那就来个小题目练习一下。说某村计划在一条河边挖一个小水塘，它得到 a、 b 两块田地的距离相等。题目要求你用尺规作图，在图中确定水塘的位置。 哎，这个题跟垂直平分线有啥关系呢？你看这个水塘要到 a、 b 的 垂直平分线上作出这条线， 以 a 为圆心，选个半径这么一画，再这么一画，然后以 b 为圆心，半径不变，这么一画，再这么一画，最后把两个焦点连起来，这条线上的任何一个点都满足到 a 和 b 距离相等这个要求。 但是哪个点是水塘呢？水塘总得在河边吧？那垂直平分线跟河边又满足到 ab 距离相等，就是题目要求的水塘位置了。 以上就是垂直平分线的作图问题，画垂直平分线的方法就是这样画两个弧，再这样画两个弧，连接焦点就可以了。 这条线上的任意点到线段端点的距离都一样，用这个性质，你可以解决一些实际问题哦。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

来吧，这个视频带你掌握单招数学的垂直平分线啊。那咱先了解一下这个垂直平分线，假如说这个点呢是 a， 这个点是 b， 那 么他的终点呢？咱们叫做 m 过，他的终点呢？这个 m 呢？一条直线与这个 ab 呢是垂直的，那这条直线咱们就叫做垂直平分线。 也就是说你需要准备三个东西来看，第一个啊，第一个呢，是需要算中点，也就是说 ab 的 中点得算出来 m， 他 就是二分之 x 一 加上 x 二，二分之二，逗号二分之这个零，逗号四 就是四啊，零加四啊，相当于这个一逗号二就是它的中点 m 算出来了，一会要用动它设底斜式啊。再看第二步，第二步呢，是斜率的 a b 呢，和这个 l 的 这个斜率，它是相乘等于负一的。什么意思呢？因为两条直线包括两条线段，它如果互相垂直的情况下，它们的斜率相乘是等于负一。 然后也就是说，咱们先把它这个 a b 的 斜率呢给求出来， k a b 等于 x 二减去 x 一， 相当于四减零 除以这个三减负一，就是三加一啊四。然后呢，现在你看它是一一乘以这个 k l 呢，它还是这个负一，所以说这个垂直平分线的斜率它肯定是负一了。 然后咱们现在这个点呢，有了，斜率也有了，你就直接设这个点，斜式就可以做出来了，对吧？也就是说外减外零等于 k 倍的 x 减去 x 零，直接代入外减去这个外零呢，是这个二， k 呢，就是这个负一，负一乘以 x 减去这个一，然后展开啊，就是 y 减二等于负 x 加上这个一，然后移到对面去，这两个都移到对面去啊，就是相当于 x 加上 y 减三等于零，所以咱们这道题呢，是选四 d 的 垂直平分线，就是三个步骤总结下来拿捏。

这道八年级几何常考题用到了垂直平分线常用的辅助线，其中给了我们一个直角三角形， a、 b、 c 角， b 是 直角， a、 d 等于 c、 d， 那 说明 d 点是斜边， a、 c 的 中点过 d 点做 a、 c 的 垂线与 bc 相交于一点， ab 的 长度就等于 b 的 两倍， e、 c 的 长度呢，就等于根号五。让我们求线段 b 的 长度， 要求这条线段的长度啊，我们看不出直接的速度，但是我们知道 ab 是 等于两倍的 b 的， 那我们如果说 b 的 长度为 x 的 话，那么 ab 的 长度也就是二 x， 这个时候我们只要想办法建立关于 x 的 方程，就可以求出 b 的 长度。如何来建立方程呢？那我们还是要想办法用好已知条件，把第一点是 a、 c 的 中点以及这两个垂直给充分用起来。如果把 d 点是中点以及 d、 e 垂直于 a、 c 这两个条件放到一起来考虑的话，我们就知道直线 d、 e 实际上是线段 a、 c 的 垂直平分线。 看到垂直平分线，大家有没有想到出动几何当中垂直平分线常见的几何坐标，垂直平分线常见的几何坐标呢？就是运用垂直平分线的性质定律， 垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等。图中我们只要连接垂直平分线的 c 点和线段 a、 b 的 两个端点，那这个时候我们根据垂直平分线的性质定，就知道线段 c 的 长度必然就等于线段 c、 b 的 长度。当然我们通过这两个直角三角形的全等啊，也很容易挣出来。 接下来我们就可以运用线段相等或者三角形的全等来解决我们的问题。在我们这道题目当中，我们只要连接垂直平分线 d 上面的这个一点与线段的两个端点 a 点和 c 点， 根据垂直平分线的点到线段，两个端点的距离相等，那么 e、 c 的 长度必然就等于 e 的 长度都等于根号五。这个时候再结合这个垂直，我们在直角三角形 a、 b、 e 当中 直接用勾股定就可以建立方程。 b 的 平方也就是 x 平方，加上一个 a， b 的 平方也就是二， x 平方就等于 a 的 平方，也就是根号五的平方。注意 x 肯定是大于零的，解这个方程轻松可以解出 x 就 等于一，也就是说 b 的 长度就等于一。

今天继续讲初二数学第十五章周对称前面的课。我们已经研究了线段垂直平分线的性质， 也就是说啊，线段垂直平分线上的点到线段两段的距离相等，这个是线段垂直平分线的性质以及它的命名题。命名题就是说到线段两段的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上，那么线段的垂直平分线可以看成与这条线段两段距离相等的所有点的集合。这句话的意思就是说，你看到线段两段的距离相等的点 都在这个垂直平分线上，那么这条垂直平分线是由具有这些特点的所有的点所组成的，所以这条垂直平分线可以看成是具有这些特点的所有点的集合。 你看这个前面一段，这个命题与后面段的逆命题，是吧？他的题设与结论是相反的，具有这种关系的命题就叫互逆命题，其中一个叫原命题，另一个就叫他的逆命题。 原命题成立时，他的逆命题可能会成立，也可能不一定会成立。我举个例子啊，如果两个角会对顶角，那么这两个角相等，这个原命题是正确的。 那么他的逆命题呢？如果两个角相等，那么两个角就会对顶角，这个逆命题就不一定成立的，是吧？哈，比如 像那个内错角，他也会相等的，是吧？这两直线平行内错角相等，是不是我们这里所讲的垂直平分线的两个命题都是正确的？比如像他的原命题，是吧？哈， 垂直平分线上的点到线段两段的距离相等，这个命题也是正确的，到线段两段的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上，是吧？这个命题也是正确的，所以垂直平分线性质的原命题跟逆命题都是正确的。如果一个定律的逆命题经过证明是正命题，正命题就是正确的，哈，那么它也是一个定律， 这两个定律叫做互逆定律，其中一个定律叫做另一个定律的逆定律。我举一个例子，哈，两直线平行，内错角相等，这是一个真命题，所以它是一个定律。 他的逆命题是内错角相等，两直线平行，这也是一个真命题，是吧？所以他也是一个定理，所以这两个定理叫互逆定理。这个命题两直线平行，内错角相等，他是正确的，是真命题，也可以叫做定理。 我叫他定理一，哈，这个命题内缩角相等，两直线平行，他也是正确的，也是正命题，所以他也可以叫定理。这是定理二，定理一是定理二的逆理， 定理二是定理一的逆理，因为他们是互逆定理嘛，哈，其中一个定理叫做另一个定理的逆理。出三个判断题，判断对错，并找出为什么。 第一道题两直线平行，同位角相等，这个命题是正确的。他的逆命题是同位角相等，那么两直线平行，他的逆命题也是正确的。第二道题全等三角形对应角相等，是吧？这个命题是正确的。他的逆命题是在两个三角形中， 如果他们的对应角分别相等，那么这两个三角形全等，这个逆命题是错误的。 你看这两个三角形，它是成比例的扩大，这个三角形比这个三角形大，它是成比例的扩大，但是它们的对应角是相等的，是吧？它是相似三角形，它不是全等三角形，所以这个命题是错误的。 第三道题，如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等，这个命题是正确的。 他的逆命题是绝对值相等的，两个实数相等，是吧？他是错误的。你看，比如像负的绝对值是等于五的绝对值，是吧？但是负是不等于五的，是不是？

今天继续讲初二数学上册第十五章与垂直平分线有关的题目。这是一个作图的题目，用尺子跟圆规做 a、 b 这条线段的垂直平分线， 分别以点 a、 点 b 为圆心，以大于二分之一 a、 b 的 长为半径画圆弧。 你看这里画个圆弧，上面画个圆弧，下面也画个圆弧，哈，以 a 为圆心，同样长度为半径，你看上面画个圆弧，上交于一点 c， 下面再画个圆弧，上交于一点 d， 是 吧？连接 c、 d 这个 c、 d 就是 要求做的线段 ab 的 垂直平分线。我现在来证明一下哈， c、 d 为什么是线段 ab 的 垂直平分线？假设 c、 d 叫 ab 于点 o， 因为你看 a、 c 是 等于 b、 c 的， a、 d 是 等于 b、 d 的是吧？哈，因为都是那个半径嘛，哈，以同样的长度为半径嘛，是吧？哈， 然后 c、 d 是 等于 c、 d 是 公共边，所以三角形 a、 c、 d 全等于三角形 b、 c、 d。 所以 角一是等于角二，所以三角形 a、 o、 c 全等于三角形 b、 o、 c。 它是边角边相等。因为你看 a、 c 是 等于 b、 c 是 吧？哈，都是圆的半径嘛？哈， 然后角一是等于角二是吧？哈，然后共共边是吧？边角边相等嘛，是不是？所以这个角三是等于角四，角三跟角四，它两个加起来是一百八十度，所以角三等于角四是等于九十度的， a、 o 是 等于 b、 o。 哈，因此 c、 d 垂直平分线段 a、 b。 这个第二道题目已知 b、 d 是 等于 d， c 的， a、 d 是 垂直于 b、 c 的 这个点 c 是 在线段 a、 e 的 垂直平分线上，它有两个问题。第一问， a、 b、 a、 c 还有 c、 e 这三条线段有什么关系？ 我来解哈，因为 a、 d 是 垂直于 b、 c 的， 又因为 b、 d 是 等于 d， c、 a、 d 边是公共边是吧？所以三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 d 是 吧？是边角边相等，因此 a、 b 是 等于 a、 c 的。 又因为点 c 是 在线段 a、 e 的 垂直平分线上，所以 a、 c 是 等于 c、 e 的， 因此 a、 b 等于 a、 c 等于 c、 e 这三条线段是相等的关系。第二问， a、 b 加 b、 d 与 d、 e 有 什么关系？ 因为 b、 d 是 等于 dc 的， d、 e 是 等于 dc 加 c、 e 是 吧？又因为 ab 是 等于 c、 e 的， 这个低问的时候已经证明了， 所以 ab 加 b、 d 是 吧？是等于。你看 ab 用 cd 去取代 cd， 用 cd 去取代，就等于 cd 加 cd 是 等于 cd， 因此 ab 加 cd 是 等于 cd， 因此 a、 b 加 b、 d 与 d、 e 是 相等的关系。这第三个题目也是跟垂直平分线有关的题目。已知 a、 b 是 等于 a、 c、 m、 b 是 等于 m、 c。 问，直线 a、 m 是 线段 b、 c 的 垂直平分线吗？对，因为 a、 b 等于 a、 c、 m、 b 等于 m、 c 是 一致的， a、 m 是 公共边，所以这个跟蝴蝶一样的三角形是全等的， a、 b、 m 全等于三角形 a、 c、 m 所以 角一是等于角二的这个焦点是低点了哈，又因为你看 a、 d 是 公共边是吧？ a、 b 是 等于 a、 c 是 一致的，角一等于角二边角边相等，所以三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 d 是 吧？哈，因此 b、 d 是 等于 dc， 角三等于角四等于九十度哈，因此这个直线 a、 m 是 垂直平分线段 bc 的。

如图，题中给了我们一个边长为四的正方形 a、 b c d， e 点为 a， d 的 中点连接 b， f 为 b e 上一点，并且呢， e、 f 的 长度就等于 b f 的 长度。看得出来， f 点呢，实际上是 b e 的 中点 f g 垂直于 b e， 并且呢与 c、 d 相交于 g 点。让我们求线段 c、 g 的 长度啊，我们就必须要把这个垂直和这个中点的条件给用起来。 看到垂直和中点，我们就很容易想到中垂线模型，所谓中垂线，就是线段的垂直平分线。当我们遇到这个条件的时候，我们经常通过连接线段垂直平分线的点和线段的两个端点来做几何辅助线。在我们这道题目当中， 我们只要连接线段垂直平分线的 g 点与线段的两个端点 e 点和 b 点。 根据线段垂直平分线的性质定，我们知道 g 的 长度必然就等于 b g 的 长度。那么如何运用这个结论来求出线段 c、 g 的 长度呢？我们就要用到方程思想和勾股定理。 我们可以设线段 c g 的 长度为 x， 那 么边长为四，线段 d g 的 长度也就等于正方形的边长四，再减去 x， 这个时候我们注意到 e g 等于 b g 的 长度也就等于正方形 g d e 当中。 在这两个直角三角形当中啊，我们只要用勾股定律就可以轻松得到线段 e g 的 平方，实际上就等于 e、 d 的 平方加上一个 d 的 平方，也就是二的平方加上一个四减 x 的 平方。而 b g 的 平方呢，它就等于 g c 的 平方加上一个 bc 的 平方， 也就是 x 的 平方加上一个四的平方，这两条线段的长度是相等的，那么平方之后呢，也必然是相等的，所以说呢，我们根据这两个式的相等，就可以建立一个关于 x 的 方程，二的平方 加上一个四减 x 的 平方就等于 x 的 平方加上一个四的平方展开之后，他就是一个简单的一元一次方程，我们可以轻松解的 x 就 等于二分之一，而 c 的 长度就是 x， 所以 说呢，也就是二分之。

同学们好，在之前的课程中，我们学习了相交线。想象一下，两条直线在平面上相交，它们会形成四个角， 随着两条直线的夹角变化，这四个角的大小也在变。但是有一种特殊情况非常重要，当这两条直线相交所构成的四个角中有一个角变成了直角，也就是九十度时，我们就说这两条直线互相垂直。 这两条直线的焦点有一个专门的名字，叫做垂足。垂直是几何图形中最完美、最稳定的状态之一，在我们的生活中随处可见，比如墙角、书本的边缘。今天我们就来深入探索垂直的奥秘。 现在让我们在平面内画一条直线，记作直线 l， 然后在直线 l 之外或者直线上任意取一点 p。 我 们的任务是过点 p， 画直线 l 的 垂线。 大家可以拿出手边的直尺和三角板试一试，你会发现，无论点屁在哪里，你都能画出一条垂线，但是你能画出第二条吗？试着转动一下尺子，只要稍微偏一点角度就不是九十度了。 所以我们得到了一个非常重要的性质，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 这里的有且只有包含两层意思，一是有代表存在性，说明一定能画出来。二是只有代表唯一性，说明只能画出这一条，绝无分号。 接下来我们来看一个更有趣的问题。假设直线 l 是 一条比直的小河，点屁是你现在站的位置。如果你想用最短的路线走到河边，应该怎么走呢？ 我们可以从点 p 向直线 l 画出无数条线段，线段 p a、 p b、 p c、 p d 等等，其中只有一条是垂直于直线 l 的， 我们把它叫做垂线段。其他的线段因为是斜着过去的，我们教他们斜线段。 通过测量或观察，你会惊讶地发现，在这所有的线段中，那条垂直的线段。垂线段，它的长度是最小的， 这就是著名的垂线段最短性质。它告诉我们，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。这不仅是几何真理，也是我们生活中寻找捷径的数学依据。 既然垂线段是最短的，它就具有了特殊的地位。在数学中，我们把从直线外一点到这条直线的长度叫做点到直线的距离。 这里大家一定要注意区分两个概念，垂线段和点到直线的距离。垂线段是一个图形，是可以画出来的线段，看得见，摸得着，而点到直线的距离是一个数量，是长度，通常用具体的数值来表示。 比如我们说这段垂线断长五厘米，那么五厘米就是点到直线的距离。理解了这个定义，我们在解决实际问题，比如测量跳远成绩、设计最短路线时， 就知道该测量哪一条线了，也知道我们求出的结果应该是一个具体的数字。 最后让我们来总结一下今天学到的核心内容。首先是定义，当两条直线相交成直角时，互相垂直，焦点较垂足。其次是性质，在同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 第三是核心定律，垂线段最短，这是解决最短路径问题的金钥匙。最后是应用点到直线的距离，就是这条垂线段的长度，切记它是数量而不是图形。 这四个知识点环环相扣，构成了我们对垂直关系的完整认识。希望大家在课后多观察生活中的垂直现象，加深理解。今天的课程就到这里，同学们再见！

hello， 今天给大家讲一下这个尺规作图，制作角平分线，看一下这个角 b、 a、 c 要做它的角平分线，我们怎么做？首先拿出圆规， 以 a 为圆心，任意长为半径画弧，然后呢，再以 c 为圆心， 大于二分之一 c、 d。 注意，大于二分之一， c、 d 为什么要大于二分之一？ c、 d 不 大于二分之一 c、 d， 我 们再以 d 为圆心，这个半径我们不动啊。再画弧，如果不大于二分之一，那么它们两人就没有交点，那我们此时 连接 a、 e， 那 么 a、 e 就是 它的角平分线。那老师讲一下它的底层逻辑是什么呢？我们来看，首先以 a 为圆心， 任意长为半径做的这一根线上，也就是说 这个 a、 c 和 a、 d 是 相等的，然后以分别以 c、 d 为圆心，大约二分之一， c、 d 为半径， 这个作弧什么意思？也就说，如果我们连线 c、 e， 我 们在连线 d、 e， 那 说明什么呢？啊？ c、 e 和 d、 e 是 相等的，为什么呢？因为圆规我们就是截等长的啊。 看啊，这一道的杠的和一道杠相等，两道杠的和两道杠的相等，同时它还有一个隐藏条件，什么？就是 a、 e 等于 a、 e， 那 就说这两个三角形起形是全等的，所以 全等之后，对应角是相等的，也就是说角一和角二是相等的，所以 a、 e 是 它的角平分线。 那同理，我们此时也可以再做一个线段的垂直平分线。是怎么做的啊？啊？我们如果这是 p， 这是 m， 我 们还是以 p 为圆心， 大于二分之一， pm 为半径，还是一个意思啊？你如果不大的话，它没有焦点啊，看半径，不要动，再以 m 为圆心 啊，有个焦点啊，在上面有个焦点，在下面也有焦点，你也可以整个的画完啊，可以整个的画完，没关系啊， 整个的画完，你看这是不是有焦点？如果他是 x， 这是 y 的 话，啊，大写的 y 啊，大写的 y， 那 我们只需再连接 这个 x， y 就是 它的这个垂直平分线，为什么呢？啊？再给我们讲一下，因为呢，如果我们连接 p x 和 x m 的 话，啊，这是一个什么？这是一个等腰的三角形， 那等腰三角形，为什么呢？啊？因为 p d 和 m d， x 和 mx 是 相等的，因为我们的半径都没有变， 我们的半径都没有变，所以这两个边是相等的，所以这是等腰三角形，对不对啊？等腰三角形，那同样的， 我们连接 p y 和，嗯， m y， 那 这形成这四条边是不是啊？ 相等的，这是一个菱形，菱形对角线是互相垂直平分的。菱形对角线互相垂直平分，这就是我们角平分线和 线角的角平分线和线段的垂直平分线 z 的 画法和原理，你学会了吗？哼。