教资图形逻辑题解题技巧

两个方块，左右站队，左边乘务，右边加七十二，请问天气适当时成立直接告诉你没有？ 如果你这样像哭泣，你掉进了仙境。仔细观察，这个十字其实暗藏玄 机。两模型，关键就在单位， 剩下什么？别狂数一数一二三四，四个单位，四个单位等于七十二。七十二 结构拆开，现在拿起笔吧这题在纸上重新演绎，探索其中奥秘。数学不是算得快，而是看得清。

哈喽，大家好啊，这个视频呢，给大家介绍一个图形推理题的解题思路啊，就是找共性。 找共性？啥意思呢？就是当我们拿到一个图形推理题的时候，我们要去看所有的已知图形是否存在共性的地方，那为什么要找共性呢？大家注意了，一旦所有的图形都有共性的地方，那规律大概率与共性时相关的， 那那规律大概率跟共性相关什么意思？我们通过一个题目啊，来给大家去详细介绍，大家看第一题，那第一题所有的图形是不是都有圆啊，对吧？这就是共性啊，那规律大概率跟共性相关，也就是跟圆 相关，对吧？那此时我们就要围绕着这个圆去思考了，那我们就想一下，跟圆相关的考点都有啥呀？哎，有三个，对吧？跟圆相关的考点有三个，第一个呢，就相交相切呗， 对吧？如果所有图形都有圆，我们可以考虑相交相切的问题，对吧？第二个就是啥呀？圆上圆内的焦点问题啊，哎，我们可以考虑圆上的焦点，圆内的焦点呢，对吧？第三个是啥呀？就是圆内的线 或者是面，对吧？哎，这个呢，就是跟圆相关的一些考点啊，一旦所有图形都有圆，那我们就要围绕这三个啊去思考，对吧？不一定所有的题都能解决，但是大部分，哎，都 在这三个考察当中。好了，那这道题都有缘，那我们就围绕这三点来思考呗，对吧？首先看相交相切，那相交相切显然他是交替出现，对吧？与而相交，与而相切，与而相交，与而相切，与而相交。问号处选一个与而相切的图形，哎，那四题选项就可以了呗， 所以这道题我们正确答案就是死的啊。好了，那这是第一题，来，咱们再看第二题， 第二题又是所有的图形都有圆，那所有图形都有圆，还是啊？我们说规律大概率与圆相关，而与圆相关的规律，那就是我们刚刚总结的相交相接，圆上圆内焦点，或者圆内的线，或者圆内的面， 对吧？那这里面相交相接不存在规律，圆上圆内焦点，我们去验证，哎，圆内的焦点零 一二三四，这是元内的焦点，四个，所以问号处的话，那我们元内应该有五个焦点呗，谁想符合， 对吧？哎，这还是通过共性，哎，我们去寻求切入啊。来看第三题，第三题，同样共性的地方，所有图形都有圆，还是三大考点，验证一下。相交相切，圆上圆内交点，圆内的线或者面，那这里面前两个没规律，对吧？那我们看第三个，就是圆内的 线或者是面，那这里面第一个图圆内就一个面，第二图圆内一二两个面，第三个图一二三个面，然后下面一二三四个面，然后一二三四五个面，所以我们问号处圆内应该有六个面的， 对吧？语文的内部有六个面，那四的选项复合呀，对吧？那这也是通过共性来思考的来。再往下第四题，那第四题，同样啊，我们观察所有同型是否存在共性，有啥共性啊？就是这个四边形或者叫正方形， 每一个图形当中都有一个正方形，那我们要保证这样一个共性的特征存在，或者这个共性的规律存在的话，那我们问号数是不是也应该存在一个 正方形啊，对吧？那我们问号柱也应该存在正方形这个图形，那只有二 b 符合呀，对吧？只有二 b 选项，那存在正方形啊，所以这道题正确答案就是二 b 啊，对吧？那好了，这就是我们，哎，这个通过共性 我们去寻求切入，哎，发现所有图形都有正方形。好了，那我们问号出，最起码你得有与这个共性是相关的，也应该是有正方形，哎，刚好二笔选项存在， 那来，再往下第五题，第五题，同样所有的图形当中都有正方形，那规律大概率跟正方形是相关的。好了，那你就围绕正方形去思考呗，你看第一个图， 第一个图跟正方形相关，那是不是有一个圆跟正方形相交了，哎，有两个交点。第二个图呢，跟正方形相关，有一条线跟正方形相交，两个交点。 第三个图跟正方形有两个交点，第四个图同样跟正方形的交点为二，第五个图也是，所以我们问号处这个图形，哎，就是其余的图形部分与正方形的交点数，一定是二，对吧？ 那四题选项复合呀，哎，四题选项复合，所以这道题我们就选 cd 了，对吧？好了，这是第五题，来，再往下第六题，那第六题，大家注意了，我们前面这些题啊，共性极其明显，对吧？要不然都有圆，要不然都有正方形， 对吧？但是这道题你会发现，所有的图形并不存在一个极其明确的共性，但是呢，我们要有这种思维，这道题还是利用共性的思维去切入。什么共性思维呢？大家会发现，最起码前三个图有共性，都有，哎，这个四边形， 后边两个图都有共性，都有三角形啊，对不对？所以呢，我们就围绕四边形跟三角形来思考呗，你像第一个，哎，前前边这三个图啊，就第一段当中这三图，那这里面正方形的数量，三四五， 哎，等啥？竖立，那我们后边有三角形，那是不是我们就去数三角形的个数就可以了，对不对？三角形的个数，第一幅读一，第二幅读，大家注意了，这里面关于三角形的数法，我需要给大家去明确一下。关于三角形，有两种数法，可以数重复，可以不数重复， 那如果这个图我们数重复的话，他应该是两个三角形，对吧？这是一个小的，还有一个大的，所以呢，我们第三个啊，问号处应该有三个三角形啊，有三个三角形，那这里面有三个三角形的图形 a 选项， 那 a 两项啊，大家注意啊，三角形的数法可以数重复，可以不数重复，数重复什么意思？我给你画这样一个图，你看这里面如果数重复，他是三个，如果不数重复，他就是两个，对吧？ 这两种考法都存在啊，都存在。好了，那这道题我们就选了 a 选项，这也是通过一个共性的地方啊，只不过就是我们并不是所有的图形啊，而是，哎，局部，哎，前面的一组当中，后面的一组当中， 对吧？这也是一种共性的思维。来，再往下第七题，第七题，这道题也比较难，但是这道题呢，我们还是啊，利用找共性的思维，我们同样可以解决。 大家看一下，除了第一个图，其他图形是不是都有一个扇形，对吧？这个扇形是比较特殊的，那也就是一个共性的点， 那我们就围绕扇形去思考，那这里面扇形的大小是不是有变化的，对不对？所以我们围绕扇形大小去思考，第一个图扇形夹角四十五度，第二图扇形夹角九十度，第三个图扇形夹角。 哎，这显然是四十五加个九十，一百三十五啊，下面呢，这是一百八十度，所以呢，我们问号处啊，扇形的夹角应该是一百八十度加一个四十五度，那就是二百二十五度呗， 对不对？二百二十五度的，那只有 a 相符合呀，哎，一百八加四十五 啊，那这里面有同学说，老师，那第一个图我们就不考虑了吗？其实第一个图我们也考虑了，他这里面扇形夹角为零呗， 对不对？扇形夹角为零啊，所以这道题我们选了 a 选项啊，那好，那这道题呢，同样也是通过共性的这样一种思维啊，我们去切入解决的。 那好，那我们这个视频就到这里啊，这个视频就到这里，就是当我们拿到一个图形推理题，如果能发 发现啊大部分图形有共性的地方，那我们不妨先围绕共性去思考，规律大概率跟共性相关啊，那好了，希望今天的视频能够对大家有所帮助。

教师资格考试答题技巧系列之如何备考逻辑推理，虽然逻辑推理就考两道单项选择题，但是他的位置太特殊了，卡在单项选择题的最后两道。接下来呢，就是要做材料分析题，如果这两道题把你给做恶心了，那你的心态肯定会受到波动，势必呢会影响到后面主观题的发挥。 那最近几年的考试呢，一般来说，第二十八题考的是概率关系，第二十九题要么考的是图形推理，命题推理出现的可能性呢，是比较小的。第一个技巧， 概念类的答题呢，要抓准定义，逐一去对标。概念关系呢，一般都不难，只要是审题准确匹配到每个选项，或者是倒推排除选项也能够。大概呢推出哪个是符合题干所描述的概念之间的关系。 那第二个呢，就是数字推理的答题呢，要找规律，不要盲目的去硬算。重点呢，找三类高频的规律，那等差等比的规律。 第二个呢，是递推的规律，比如说前面两个数和第三个数之间的种关系，那周期的规律，比如说数字重复出现，我们一定要优先验证简单的规律，遇到复杂的数列呢，先排除明显不符合规律的选项，节省时间还不踩坑。第三个技巧呢，就是 图形推理的答题，我们要看特征定规律，那重点呢，要观察三个特征，图形组成相同，要看位置相似，要看样式不同，我们要看数量 特殊的一些元素，比如说小黑点，对称轴等等。那图形的属性，比如说对称、曲直、封闭等等。要记住啊，特征对应规律，不用逐一的去带入，尝试快速的锁定规律，就能够秒出答案，避开无效的推导。 总之呢，逻辑推理啊，咱们大概把每一类题目做个六七道题，摸清了规律就可以了，基本上是可以做到能够全对的。这样呢，你就可以给主观题打下一个坚实的心态基础。

刷到这条视频，说明就快要笔试了，可你还啥都不会呢，怎么办呢？姨来教给你一些临阵磨枪的招数，帮你快速过笔试，一起来学吧。 科一的单选一上来，前面四道题是职业理念的啊，然后中间是八道法律的， 之后是职业道德的，那么职业理念和职业道德他的原则是一样的。我来说啊，你就顺着素质教育促进学生发展这个角度来选啊，凡是不会的，靠感觉瞎蒙，蒙完了之后不要改啊，一改容易错啊，这是我们职业理念、职业道德。 那么法律法规模块呢？在你完全不会的时候就选四 d。 如果你说，哎，我感觉 a 和 c 有 道理啊，你就从 a、 c 里选，不要硬去选 d 啊。 我们认真审题，在题目当中有可能就给出你的线索来，所以你去看一看，推导一下，当选项有两个完全对立的选项的时候，一定是一对一错的啊，你不用管其他，你从这两个里头蒙一个，就容易蒙对。 什么叫具体做法全不对？题目给了你一个主体啊，学校啊，老师啊，学生啊，家长等等，他做了一件什么事情啊，那么他的一个做法，从过去的历年真题来判断，百分之九十是错的啊，哎，所以叫具体做法全不对啊。好，那么文化素养怎么办啊？文化素养 诀窍就是蒙 c 啊，在你完全不知道的时候你就蒙 c 啊，这是一个原则。那么另外一个原则就是你去看他的四个选项 啊，哎，都比较熟，你就选那个最熟的，但是都是生的呢，哎，你就选那个最生的啊，就是最熟的或者最生的这两个阶段他是出答案的啊， 那么对于信息处理的这个两个题啊，蒙四 d 啊，哎，逻辑思维的两个题别在那块扣字啊，我没有那么多时间，单选择题就是四十秒时间，所以逻辑思维的题扣字不出来，马上就蒙二 b 啊，这是科一的单选择题， 我们科一单选择题你错个八九个，还是有过的机会的，所以不用纠结啊。好，那我们来看阅读理解啊。阅读理解这个题你一定是 要给他预留出来十五分钟啊，你不要把前面职业理念、职业道德材料分析题占用太多的时间，导致最后阅读理解只能放弃阅读理解闭着眼瞎写也能得一半分啊，所以不要放弃这道题啊， 你要先看题目，再去阅读题目放在后面啊，两问啊，一问四分，一问十分啊，你看的时候就在题目上勾画出来关键词，因为我们考试的答题卡和试卷纸是分开的，你试卷纸上随便勾画，没人管啊。 然后你就继续带着任务去阅读，在原文当中去勾画出来的关键句啊，一般是跟题目问的事是一样的事情，还有开头结尾和总结分析的句子，都是关键句，把它勾画出来 抄在答题卡上。抄的时候一定要注意去抄原文中的词句，因为这些是得分点拿不准的啊，把它全抄上啊，因为它是按点给分 无关的，他不会倒扣分啊，控制好时间，要在十五分钟之内写完。这是三十二题阅读理解，那么三十三题作文啊，无论如何要把字书写够了啊， 哎，中学需要写够一千字，小学幼儿园需要写够八百字，他是按行算，半行也算啊，你写到八百或者一千标，在右下角写着八百或者一千的数字， 写到那一行啊，那么审题正确啊。哎，你要把它写成一个议论文啊，我们家是要求你结合教育写，这样可以多得几分，千万不要图改任何错误。不要图改啊，也别写错别字，写出来了，错了也别改，假装不存在啊，务必要先写标题啊。 很多人觉得我的标题拿不准，我先等一等，等一等就会忘了，忘了写标题就要扣五分啊，非常的重要啊。好，那有的人说，老师，我怎么快速的凑够字数啊，那我们来看啊。哎，你用我六万作文，六段写什么是固定的啊？ 然后你每一段结尾句啊，你写的时候都要努力的拐弯到下一行，因为我们按行算字数，你拐弯到下一行就相当于多占了一行啊。我们第五段提对策的时候，正常的你就写三条对策，那你说我发现了字数 不够，对吧？多写几条对策啊。还有一个办法是什么？你把每条对策都拆开，拆成一个单独的自然段，空两个格，另起一段写，然后写到最后一句话，想办法拐弯站到上一行下一行的前几个字啊。哎，他就算一行了，通过这种方式来占字数啊。我们的第六段 可以直接朝第一段啊，只把结尾句改成让我们怎么怎么样，把叹号这种格式，就其他的部分跟第一段完全一样啊。那么你写完了六段还不够的话，你可以加点万能结尾啊。哎，我们最常用的就是共勉，叹号前面空两个格啊，这是凑次数啊。 那我们可能会考到的方向啊。我一点在这我不用读啊，你可以按个暂停自己看啊。我来说科二啊，那么科二的单选题你要注意考到跟原题一模一样的概率 没。没有啊，所以当你发现，哎，跟原题怎么一模一样他有可能中间有坑，要仔细的看啊。另外呢，我们做题的时候用排除法先把不可能的选项先把它切掉啊，然后剩下两个再从里头蒙，容易蒙。对，蒙完了别改啊，一改就容易改错啊。 好，那我们来说科二的简答题。科二的简答题不怕多写，他也是按点给分啊。哎。所以你先把要点写出来，那么要点写先把要点写完了地方占上啊，之后再去 扩展，扩展的时候没有理论可以举例子口水话废话都有，反正你那块地方该扩展的东西你有一句话在那摆着就有分啊。那你说老师我怎么 记不全那怎么办啊。哎，我知道这里边有五条，但是我只记住了三条，另外两条我知道是有，具体是啥不知道，用头梁换柱啊 哎。切入类似的题目通过联想来回答，总而言之你给他写出来了五条啊，即使你写错了他不给你分他也不会倒扣分啊。那有的时候现在的这个检查题题目比较长哎，给你列举出来一堆什么什么东西啊。哎，他题目列举的是反面的，你分析的时候从正面分析， 那题目列举的是正面的呢，你就从反面分析，这样的话你就有词可写了。这是简答题，千万别空着啊。好，那我们来说材料分析题， 材料分析题，你也是带着任务去阅读，先看后边他问的啥，哎，琢磨琢磨他可能用到的知识点是什么啊，哎。然后带着任务去读材料，读的时候啊，脑子里头就去链接这个知识点， 你就可以写在试卷的空白处啊，把它这个勾画一下，然后旁边写上两个点啊，哎，这两个什么什么关键的点，对吧？好，之后啊，哎，读完材料之后， 哎，连接到具体的知识点，你说我连接不到啊，或者说我知道应该多写点，哎，但是我现在就写出一两条来，我估摸着我得写够四五条才够剩的，用这 一些常用的理论知识点来套啊，勉强能解释的通，你就往上套就可以啊。然后第三步，按照总分的这种答题结构啊，哎，凭借老师的做法，或者凭借学生的行为啊，然后 写上理论点解释，然后材料中老师的做法，他怎么怎么做啊，哎，用这种方式来写就可以多得点分啊。好，那我们来说中学科二，他有变细题，那么变细题要注意，最近这些年他的题干长度增加了啊，哎，但是考点上就是明确的，所以你在 看题的时候你勾出它的关键词，中学科二变细题，四道题啊，最常见的是错三个啊，所以 拿不准的时候你就认为他是错的就可以啊。我们的命题啊，四种类型啊，我一会给大家具体来讲啊， 我们先说答题的结构，一定要用主分结构啊，我们用一个关系颠倒型的来看主分结构啊，哎，上来判断说法正确是错误啊，哎，然后层层的来分析，最后总结啊，哎，所以教育目的和教育方针他不能等同啊，哎，他们是包含和被包含的关系，在原题当中他的关系是给 颠倒了啊，哎，把这点写出来就可以啊，那么其他的类型啊，像概念他混了啊，哎，说什么哎， 就是什么啊，哎，一种一般来说 a 就是 b 的 啊，他常常是错的啊，哎，所以你要把它写明白。 那么还有出现的绝对化的啊，哎，只有什么什么啊？怎么样，对吧？哎，那么他就是错的啊，这属于绝对化的表述。还有一种以 偏带权的啊，哎，强调的怎么样啊，哎，只有什么什么，他就是相对偏颇啊，像这个户对的教育相对独立性，所以你按照这样的逻辑层次来写中学科二这些题就比较容易得分啊。哎，我们刚才给大家讲的科一科二的怎么得分的点啊，一定要去考试，不要 细考，哪怕是裸考也要去考一考试一试啊，好好的考笔试，我们面试见。

大家好，我是老曹，今天呢，我们继续讲解图形推理的几道题目，第一道题思考一下， 我们讲下第一道题啊，黑白球，黑白块，还是那六个高频考点啊，数量，位置叠加部分数对称性还有连接性啊。首先九宫格两段式当然要先看黑白叠加了，两个白块，两个白块，有黑有白不行，那 竖着看行不行呢？四个白块，四个白块，有黑有白还是不行啊，所以黑白叠加走不通就换规律啊，每一行黑块数量都是四个，优先考虑位置类呗。怎么动啊？第一个黑块向右动了一个， 第二个黑块向右动一个，遇到墙壁说弹回来了，哎，弹到左边了也叫反弹啊，也叫折反。三的黑块呢，每次向右动一个，向右动一个，四的黑块呢，也是向右动一个，所以第一行每一个黑块都是向右动一个啊， 遇到墙壁了，反弹折反跑第二行验证一下，标一的黑块向右动几个了，动了两个到墙壁反弹，哎，弹回来，动一个动两个，跑这里没问题啊。 二的黑块向右动两个跑这里，那动两个动一个，弹回来动两个跑这里没问题。 三个黑块向动两个，动一个，弹回来跑这里，不动了，对不对？继续向左动两个，一二来跑这里。所以第二行每次向右动两个，遇到墙壁弹回来， 第三行用规律呗。那三一的这黑块向右动几个了呢？向右动了就反弹了？第一行是一个，第二行两个，第三行就是三个呗，你看刚好弹回来一二三一的黑块跑这里没问题。 二的黑块先用动三个一一二再弹回来，跑这里没问题，那再去动三个，一一二弹回来跑这里。所以二的黑块在第二列。那只有第四个匹配啊， 一的黑块遇到墙壁继续弹，一二三一在最右边，那三的黑块先用动三个跑这里没问题， 那弹回来，一二三在这个位置最左边，所以第四个匹配啊。所以每一行都是动的常受力，只不过第一行是一个，第二行是两个，第三行是三个啊，遇到墙壁反弹也叫折反跑啊。所以第一题只有第四个匹配啊。 第二题思考一下。我们检查第二题特征图形，曲线明显吧，切点取至焦点曲线数数什么呢？数曲线数量，因为第一个图没有曲线对不对？零条曲线， 一条曲线，两条曲线，一二三条曲线。那找四条的呗。 a 没有， b 是 一条， c 选项一二三四刚好匹配。第四个是两条啊，所以第二题考察的是曲线的数量啊，等差数列 曲线明显，切点取之交点。曲线数数量没规律，别忘了取直性啊。第三题思考一下， 我们讲第三题啊，第三题第二图虽然有曲线，但其他图都没有，那就先不要考虑什么曲线的特点啊， 还有什么特征图呢？第三个图形，这是不是也叫日字型变形啊，也可以说端点明显。可以说什么呢？可以说笔画啊， 零个积点一笔画，两个积点一笔画，零个积点一笔画，找一笔画图形， a 多笔， b 两笔， c 两笔。第四个是不是刚好两个积点一笔画 好，那除了数笔画以外，你也可以数什么？你说连在一起的叫一部分，都是一个部分，也只有第四个匹配都可以啊，所以第三题既可以数笔画的数量，又可以看部分数啊，连在一起的线条叫一部分啊，只有第四个匹配数，哪个都一样啊。 第四题思考一下，我们讲下第四题，特征图形端点明显数笔画没规律啊。第一图形四个基点两笔画。第二图，两个基点一笔画一笔画，然后两个基点一笔画，没规律了啊， 还有什么特征图呢？封闭区间面，明显封闭区间的数量是不都是一个呀？哎，都是一个面，我上来先把 b 和 c 排掉， a 和 d 是 排不掉的，也都是一个面啊。那还能怎么看呢？ 面的数量没规律了。形状相等面最大最小面。你看啊，封闭区间这个面的形状。什么形状？三角形面， 然后呢？四边形面，然后呢？五边形面？六边形面，一二三四五六七八等差数列吧，找七边形面呗。 a 选项，二四六八边形面， 然后第四个呢？一二三四五六七七边形面，所以第四个匹配啊。所以第四题考察的是面的形状啊，等差竖立好，通过数量先排个两个没有问题啊，再去看形状相等面，最大最小面啊。这第四题， 第五题思考一下，我们讲下第五题啊。第五题，日字形变形，田字形变形的， 相交的圆优先数。笔画有的时候变形比较大啊，没有那么特别直观。两个基点分别三条线一笔画，两个基点分别三条线一笔画，然后呢？这是有几点吗？ 比如这个点，一二三四条线，一二三四条线，没有几点零个几点一笔画，零个几点一笔画，两个几点一笔画，所以都是一笔画图形 a 是 一二三四五六，那是三笔画。 b 的 话，四个基点都是三条线啊，两笔画。 c 选项，这是三条线，然后呢，这是 一二三四，这不是对不对？然后呢，这是对不对？ b 点啊，引出了三条线，一二三，所以 c 两个基点一笔，第四个断开了两笔画啊。所以第五题田字形，日字形变形啊，优先数笔画都是一笔画图形。 第七题思考一下，我们讲下第七题啊。第七题整体观察对称性明显吧，把轴画一下，斜向右，横轴斜向左，竖轴斜向右，每一次对称轴顺时针转四十五度，找一个横轴对称呗。 那先把 a 斜向左排掉， c 非对称排掉 b 和 d 中选。那我们 b 和 d 还有什么区别呢？对称轴还可以，跟图有关系吧？过点，过线，过面，过球都可以，你可以看对称轴跟图的焦点对不对？对称轴是不是跟图有几个焦点呢？一个，两个，三个？四个。 哎，那你说经过交点也可以啊，你数数量也行。对，伸轴跟图的交点是一二三三个交点。对，伸头，对，伸轴，跟图一二三四个交点。 对，伸轴跟图形是一二三三个交点，周期循环的吧。对，伸轴跟图形是一二三四个交点，所以找三个交点呗。 b 的 话是四个， 第四个的话刚好三个啊，所以答案选第四个也可以。怎么说？部署数量也行啊，每一个图形对称轴都经过了图形的交点，是不都经过交点的？部署数量也可以啊。那 b 选项是跟线相交，没有跟交点相交啊。第四个经过了交点， 所以第七题既要看对称轴旋转，又要看对称轴跟图的关系啊，只有第四个匹配。 第八题思考一下，我们讲下第八题啊，第八题，四面体折纸合，仍然是相邻面的位置关系保持不变啊，往里折一二三四个面，其中 a 选项需要就是一和二的两个面吧，相邻面的位置关系都对，没有问题啊。那选 a 就 结束了， 那 b、 c、 d 串哪里要知道啊，一个四，一个三，我们以 a 点为起点画一个箭头，三在箭头的右侧， 以 a 点为起点画箭头，三在箭头的左侧，左右不对。你也可以直接看公共点啊， a 点引出三和四两条线， a 点只引出四的一条线，不对啊，所以排除方法重要性啊。第二肯定不对， c 选项需要的是三的这个面有两种情况，一个是二，一个是一。 那我们来观察一下呗，还是画个箭头啊，以 b 点为起点画箭头， 这也在右侧吧，所以一定是二，因为一在箭头的正前方啊，一百八十度。这是公共边啊，可以转一下，把一转过来啊，所以肯定不是一，只能是二。好，那我们来观察一下，其中公共点就可以排掉啊。 b 点，这公共点是不只引出了三个这一小线呢，没有引出黑色的， 而题干中 b 点的公共点是不是引出了二的黑色的了，所以错了啊， c 不 对。而第四个呢，需要的谁呢？需要是四，这个面还需要的是一或者是二。那我们还是以这个 b 点 a 点吧，这个黑色的尖角啊，为箭头为起点画箭头，那黑色呢？在它的右侧啊， 那我们画完箭头之后，在右侧只能是谁呢？只能是一啊，因为二在正前方一百八十度一旋转，那可以转过来啊，那我们肯定不是二，那只能是一啊，一的话，我们把它移过来，四个面相连，直接把一一平移。你看一的黑色是不是要贴近四的公共边呢？ 而选项一和四黑色的三角形没有贴近公共边啊，所以第四个错。好，所以第八题啊， b、 c、 d 必须要清楚为什么错的啊，你在考试过程中，你快速的把 a 选掉，那没问题， 平时练习的时候也要研究啊，为什么错，下回遇到没有那么简单的题目的时候，你就可以快速排啊。第八题，选择 a 选项 第九题思考一下，我们讲下第九题啊，曲线明显切点，取之交点曲线数。首先我们发现第一个图没有什么取之交点啊，那交点的总数是不两个呀？ 第二图交点总数是三个哎，交点总数是四个。第四个图形一二三四五个等差数列 呗， a 的 话二四六个焦点， b 的 话二四五六七刚好匹配 c 选项四个五个六个，七个，八个九个多了。第四个呢，一二三四五少了。所以第九题啊，数的是焦点的总数量，焦点总数不多，也可以数总的啊。切入点呢，这道题肯定是曲线明显先切入啊，所以第九题选择第二个。 第十题我们思考一下。讲下第十题啊，第十题出现了小黑点功能类呗，优先看标定的方位，其中标定在焦点处。焦点处啊，每个图形这个点都标在焦点处，观察细节啊。第一个图标在什么焦点呢？取值焦点。 第二图呢，直线和直线交点，第三个呢，直线和直线交点，第四个也是直线，直线交点，所以二三四放一组呗。那一五六都是取之交点，验证一下，五的话曲线和直线交点，六的话取之交点。 所以第十题啊，考的是功能类标定的方位标定交点的特点啊。取之交点放一组，直线的放一组啊，这是今天的几道题目。

大家好，我是老曹，今天呢，我们继续讲解图形推理的几道题目。第一道题思考一下，我们讲下第一道题啊，第一道题整体观察对称性明显，我们优先看对称性啊，第一个图是中心夹轴对称， 第二图呢，是轴对称图形，第三个呢，还是中心加轴？第四个还是中心加轴？一三四都是中心加轴对称，二五六都只是轴对称，所以只有第四个匹配啊。所以第一题看的是对称的方式啊。第二题思考一下， 我们讲下第二题。相同线条出现整体相似，求同求异和叠加，有斜线有斜线没了，去同存异， 相同的去掉不同保留啊。有斜线有斜线没了，符合规律啊，用规律，有斜向左的，有斜向左的，没有。 a 选项有错了，那 b、 c、 d 中选， 然后呢？其他的线条保留下来啊，应该剩两条这样的线，那只有 c 匹配啊。所以第二题考察的是去同存异啊，相同线条出现求同求异和叠加。 第三题思考一下，我们讲下第三题啊，第一时间对称性还是明显的，竖轴，斜轴，竖轴都是轴对称。第二段呢，轴对称，中心加轴，规律就不明显了啊，选项也是轴对称图形， 还有什么特征图呢？封闭区间面也明显，可以优先考虑面的数量啊，两个面，三个面，四个面，等差竖列，三个面，四个面，那找五个面呗，五个面， a 选项刚好五个， b 选项四个面， c 选项四个面，第四个一个啊， 所以第三题数的是封闭区间面的个数。第四题我们讲解一下第四题，四面体折纸和相邻面的位置关系保持不变，都是往里折的啊， 其中一二三这三条线长的是一模一样的，也是难点。四的黑三角形比较特殊啊， a 选项需要的是四，其中四面体箭头法用的比较多，以黑尖角 a 点为起点画箭头， 正前方的一定是二这个面吧。一和三都是在两侧啊，起点不变，以黑界黑界为起点画箭头，其中二正前方没问题。那要看箱里面位置关系啊。引出二这条线的 b 点在箭头的右侧， 引出二的线，这个 b 点在哪侧啊？在左侧，所以 a 错了啊，一定不对。 b 选项需要的是两条线，那就是一二 一三会还有什么呀？还有二三三种情况啊，其中一二的话行不行呢？来，我们以 c 点为起点画箭头，二在箭头的右侧，不管谁是一谁是二，引住这条线为起点画箭头。在哪侧啊？左侧， 以这个点为起点画箭头，左侧啊，所以肯定不是一二二三也不对，因为二三的 边的中点处引出了二和三，两条线，边的中点处没有引出现啊，所以不是二三。那能不能是一三呢啊，那要会一面啊，其中一百八十度同一条直线是公共边，向里面把一一转一，一转完之后跑到这里啊，那对角线呢？ 里面这个线条，那起点还是不变的啊，引出这条线好来。同样啊，我以这个点为起点画箭头，三是在左侧， 以这个点为起点画箭头，二，一是在左侧，所以刚好就是一和三啊，一和三对的，所以这道题啊，也要知道 b 为什么对。排除法也可以看啊。 c 和 d 在 哪里？ c 选项还是以 a 点为起点画箭头四这个面，这是在哪侧呀？右侧。那右侧的话一定是谁呢？一定是一这个面了吧。 这两条绿色的边是公共边，那一转，把我们的它转过来，你在右侧啊，其中公共边中点有有这个焦点啊，那一的话在这呢。好，公共边中点又有焦点，公共边中点没有我们这个线焦点啊，所以错了，所以第四第三个啊，相邻面位置关系不对。 第四个呢，其中还是一二一三和二三，他是同一个公共点引出两条线有吗？一二的话只引出一条线对不对？只引出一条， 二三的话不是，是终点引出两条线，一三的话也没有同一个点引出两条线的啊。所以第四个三种情况都不对啊。所以第四题有点难度，要会观察相里面的位置关系啊。 第五题思考一下，我们检查第五题。第五题特征，图形小元素出现，小图形出现种类、数量和运算。 其中圆形和三角形一共有两种元素，每一个图形数都两种啊，上来应该第一时间把第四个先排掉。它是一种元素啊，只有圆形 个数的话，四个、三个四个，五个四个没规律啊，你可别找一个四三四五四六的，根本没有这规律，即使你找 a 和 c， 你 也排不掉啊，这也不叫规律，那怎么办呢？元素的换算，二倍的中间等于前项加后项， 就是等差竖列的中项公式啊，随便找三个挨在一起的套公式就行了。二倍中间两个圆乘以二四个圆加上两个三个三角形加后一向的两个，那是五个三角形， 前向一个圆加后向两个三个圆，一个圆等于三个三角形，把圆全都换成三角形啊，看有什么样规律。第一个图形一个圆刚好加上三个，那就是六个三角形。 第二图形六加一，七个，八个，九个，十个，十一个三角形啊。 a 选项四个圆已经超了，已经十二个了啊， 三三得九九加二十一，所以第二个匹配啊。所以第五题考的是元素换算，一般都是二倍，三倍，四倍，五倍啊，二倍三倍最多我们找任意三个挨在一起套公式就行了啊，有的解析也会写图二减图一等于图四减图三，公差相等。一样的啊， 大部分题目都是考等差数列啊，个别题目会考等比比较少，所以第五题只有第二个匹配。 第六题思考一下，我们讲第六题啊。第六题封闭区间面明显，先数面的数量呗，每一个图形是不都是三个封闭区间三个面呢？ a 是 两个， b 是 两个， c 是 四个三个，所以第四个匹配，所以第六题考察的是面的数量啊。 第七题思考一下，我们讲第七题，五角星出现，端点明显，优先考虑数笔画吧。 零个积点一笔画，两个积点一笔画，零个积点一笔画，零个积点一笔画，零个积点一笔画，都是一笔画。图形 a 是 三笔， b 的 话，一二三四五六三笔画啊。 c 选项一二三四个基点两笔画，第四个，两个基点一笔画，所以第七题只有第四个匹配啊。填字型，五角星，日字型，变形，端点明显，优先数笔画啊。 第八题思考一下，我们讲第八题特征，图形曲线明显，切点取之交点曲线数优先数，曲线数量不多啊，曲线是一条一条两条曲线，一条曲线 两条曲线出现明显折地方叫拐点。一共有三条曲线要分开数啊，没有规律，你说我把一二四放一组，你没答案，那怎么办呢？也可以数直线的数量啊，直线是两条直线零条直，一二三条直，两条直，一条直 两条直。他们是什么考什么考点呢？预算，直线减曲线的一，曲线减，直线的一，直线的减，曲线的一，一三四刚好选择 a， 剩下的都是曲线的数量减直线的一啊。所以第八题考的是图形运算，图形运算有高频的五个啊，直线曲线的运算，外边框的线条跟内部的运算，还有黑白部分的运算， 还有什么呀？还有形状，四边形面，三角形面，菱形面，正方形面的运算，最后一个对称轴跟点线面的运算啊，这五个运算出现了，优先看其他运算往后放一放啊，所以第八题只有 a 匹配啊。 第九题我们讲解一下。首先特征图形，每一个图形长的一样，都是一个白色 l 加一个黑色 l 组成啊，优先考虑位置类呗，怎么动的问题啊。其中图一图二 白色的 l 型是没有动啊，而黑色的 l 是 顺时针旋转了九十度，而图二图三黑色没动，说白色的逆时针旋转了九十度啊，这叫主体交替变换移动啊，先黑色动，再白色动，在我们近两年考题中也挺频繁的啊。 然后呢，图三图四又是黑色在顺时针转九十度啊，白色不动。图四图五呢，又是白色在逆时针转九十度，黑色不动。 所以呢，我们应该找一个黑色顺时针转九十度，白色不动，白色就是这个 l 对 不对？那黑色的顺时针转也这方向，所以只有 a 匹配主体交替移动啊，这第九个答案，你的 a。 第十题我们讲解一下。第十题在二五年省联考题中也考过类似的考点啊。首先呢，我们应该先把 a 这个面还有 b 这个面移到一起去啊，其中一面问题要会啊，然后再去对应看 a、 d、 b、 c 是 谁啊？其中 b 和 c 存在九十度一转，那这个黑块 b 一 转完之后，四时候跑这里了，然后二就跑这里， 然后呢，四个面相连直接一平移，那四的话就在右边，二的话就在左边 九十度旋转移动。四个面相连直接平移啊，存在九十度再一转，那四的话原本在右侧数跑上面去了，二的话在左侧跑下面来了。那折纸盒都是往里折啊，往里一折就变成题干这个图形了。其中一是不是 d 了， a 就是 四， a 就是 四啊，然后三就是 c， b 就是 二，所以一 d 二 b 三 c 四 a， 那 刚好是谁啊？ 刚好选择 a 选项。所以这种题目啊，就是你要会一面往里一折，能观察出他是谁就可以了啊，不要往外折，因为这里有是颜色的啊，必须要把颜色漏出来。所以第十题这种题目基本的一面问题也要会啊， 不要光靠想力去想啊，如果能想出来，有的时候确实好做，但有的题目比较复杂，你想的话就不好想了啊，这是我们今天讲的题目。

九分钟，边做边讲，十五道图形推理题，全对，依旧是图推的实战刷题啊。十五道，现在开始 这个题目九宫格，然后感觉他们的那个平行线组数非常的明显啊，不出意外应该是一二三的，一二三的这样一个排列， 一二三应该是没有什么错，因为这里是个特征图形嘛，两个三相似的三角形，所以问号出来应该也是这样子。答案给到 d 项， 再看这一题，中心对称，这个是对称，这个是两个都有，中心对称对称，两个是两个都有的。然后答案给到 a 项 啊，这个题目，这个题目很明显每个都是对称嘛。对称对称，对称，对称对称，那对称轴是在逆时针旋转四十五度，所以答案应该是这样子的。 答案这是这样子，所以是给到了递向。 这个题目都是线条图形。首先算笔画数嘛，一笔画，这个是三笔画，这里是一笔画，一二三四五六，三笔画，一笔画。 哎，所以问号处应该算一个三笔画的啊，三笔画，这个是三笔画，一二三四五六，这也是三笔画，所以算笔画数是得不到答案的呀。 那得不到答案，咱们算其他的嘛。面数嘛，一二三四四个面，这里四个面，三个面，一二三四五五个面，一二三四五五个面，那面数也没有 距离，再看一下，嗯，算什么东西呢？外框的边数吗？这里外框是三，这里是四，这里是五，这里是六，这里是七，所以问号处选择一个八个的，一二一二三四五六。 不是，那这里一二三四五六七八。只有 a 项是外框是八个八个边的， 那这个是六面底重勾，六面底重勾直接给他带进去啊， a 向，看看能不能带，这个为右上角 a 向他就是了呀。 那这个题目，这个题目，呃，大概看一下，应该是裂的感觉，因为这里二一二嘛，到变变成了二一，那就是对称过来了，然后从二一变成了五一。那个是，呃，上下翻转， 所以问号处应该这里零六是左右对称的，就左右翻转过来，不是叫对称还是翻转过来，翻转过来看看是选择， 首先零肯定是在这边 上下翻转，那应该是选择 d 向，哈， 这个字母和数字对应，那我们找到把这个边拼在一起就行了，这个给他移上去，翻滚给他滚上去，这边是二，这边是四。然后啊，把这个再移到这边来，那这个是二，这个是四。 因此啊， d 是 对应着一， c 呢是对应着三， c 是 对应着三，这里排除，这里排除，这里二是对应着 b， 所以 答案给到了 c 项。 这个题目黑白块，可以发现黑白块它都是对称的，这个白块有，呃，把它们对折画出来吧， 这里白块是平行，这里白块是四十五度，这里白块是四十五度，这里是平行，这里平行。那根据白块就可以得出来了，二五六是一组。答案给到一项， 那看这个题目， 这个题目从从第一组看，算他们的 部分数吧，这里白块是两部分，这里两部分，这里一二三三部分。黑块呢，是一二三部分，这里一二三，这里一二三四。所以黑块的部分要比白块要多。一，验证一下，这里白块是一二三四五。 黑呢，一二一二三四五，一二一二三四五，这里一二三四五，一二三四五六。 等下再看一下，好像不太对啊，一二三四五，那是算数量吗？这里是黑，是六个，这里一二三四五六，这一二三四五六七， 一二三四五六七。所以括号中选择一个七个数，一二三四五六七，这是七，一二三四五六七，一二三四五六七，那这个也不行啊，那是不是在搞移动呢？内外圈的移动，内外圈的移动也不是， 那是其他规律啊， 从第一行到第二行，使这一列发生变化，就是都往下移了 啊，那是在搞平移啊，都是在往下移，再往下移一格一格，那这边应该是二，再排除掉 c 和 d， 往这移一格，选择 a 项。哈，好，平移。 这个题目来看一下，从第一组，它们内部的元素都是相同的，它经过它就变成两行的它，它经过它， 那应该是变成在这个方向，应该是固定的啊，应该都是这样子，它就排除掉 c 和 d， 然后这是一二，变成两倍了，这里是二，那应该是变成了，就是有两列六倍。 先答案给到 b 项，那看这个题目 元素，这里是四个，五个，六个，七个，所以我们要选择一个八个的八个，这里是四个，不是不是。一二三四五六，一二三四五六七。看这里是不是八个， 这里给它粘起来了，不太确定，那应该是没有八个，没有八个。我们看一下，这里有曲线，有直线，这里直线是三，曲线是一，直线是二，直线是三，曲线是二， 这里曲线是三，直线是四啊。所以选择一个问号处，曲线为为五的一二三四五，选择 c 向。哈。 看这一题，又是六面底重勾，六面底重勾，这个面就这里，呃，和这里是对应，但是它不是在左边，它应该在右边啊，所以 a 项肯定不是， a 项不是， b 项完全就对应了。 来看这个题目，这个题目，呃，很明显啊，三，他是一个半开半闭的图形，四五也是，其他都是封闭的，所以三四五可以归为一类 来看这个，这个都是对称的，给它对折划出来一条一条两条一条两条三条， 所以他应该是对称轴加起来这一条一条两条一二三，这里是一二三四五，所以问号处选了一个五条对称轴的地向 来看，这个属于俯视图的，俯视图就从上往下看，从上往下看，按理来说这边应该是一的哈，但是这边是二三，这边三二， 但这里 e u 变到这边，所以他俯视读，他可能发生一些角度的旋转啊。首先一肯定是在二三中间，一在二三中间，他是在二四，所以 a 向肯定不是。 然后发现二三五四是逆时针吗？二三五四是逆时针， 这里是二三五四，这个是顺时针，不是这里二三五四这个逆时针，那他应该是这里二三四五肯定不是了，所以答案改到 c 项， ok， 做完了，感谢大家的观看。

大家好，我是老曹，今天呢，我们继续讲解图形推理的几道题目。第一道题思考一下，我们讲下第一道题，第一道题图形组成相同，优先考虑位置类。首先，图一到图二怎么变化的？那本来 左下角有一个 t 跑到了左上角，怎么变化呀？顺时针直接旋转九十度，左下跑到左上。 t 呢？原本向下变成向左了，右上跑到右下，原本 t 向上的跑到向右了，没问题吧？ 图二到图三不是旋转了，怎么实现呢？竖轴一翻转，左右翻，原本右面的 t 跑到左面，然后呢，左面的 t 跑到右面，所以刚好符合啊。 第二行验证规律，顺时针旋转九十度，左上角的 c 跑到我们的右上角，开口向右的一旋转九十度，一直一转，刚好开口向下，没有问题。 那继续转九十度，开口向上变成向右了来。图二到图三，竖轴一翻就可以了，右面跑到左面，左面跑到右下角，符合 来第三行用规律顺时针转，九时就不再看了啊。竖轴翻箭头原本是斜向右上，那一翻转斜向左上，斜向左上，把 a 和 d 排掉， b 和 c 找区别，哪里不一样呢？里面的线一个是斜向右的，一个是斜向左的啊。 竖轴翻原版是斜向右的，竖轴一翻应该斜向左，所以刚好只有 c 匹配啊。所以第一题考的是位置类旋转和翻转的结合啊。答案，选择 c 选项。 第二题思考一下，我们讲第二题。第二题整体观察对称性明显吧，把对称轴画一下， 轴对称，轴对称，中心对称，轴对称，中心对称，中心对称，所以一二四都是轴对称，图形三五六都是中心对称，刚好选择第四个啊。第二题考的是对称性。 第三题思考一下，我们讲下第三题特征，图形曲线明显吧？曲线明显切点取值焦点，曲线数数量没规律，也可以看取值性啊，其中第一个图形 取值焦点没有，那如果属曲线，是两条曲一条曲一条曲，一条曲三条曲没规律，那取值焦点的话，第一个图没有，但是有两个焦点， 焦点总数是两个，两个焦点。第二图形是三个焦点，第三个图形数四个呀，所以这道题数的是焦点总数啊，二三四五六七，找七个焦点呗， a 多了 b 选项一二三四五六七八，多了 c 选项一二三四五六七匹配。第四个是八个啊，所以第三题切入点一定是曲线明显。先看啊，焦点总数不多，也可以数焦点的总数啊，只有 c 匹配。 第四题思考一下，我们讲第四题啊，首先呢，是右面这个图形跟选项能拼成题干，左面这个 立体小块图形啊，那我们就对比凹凸位置呗，缺啥补啥。行了啊，这里缺两块，还缺一个三角形， 而且这两块和三角形是不连在一起的呀。那找呗， a 选项两块三角形连在一起，那 b 选项两块三角形连在一起有问题了，题干中是不是斜边跟这两块连在一起？错了， c 选项两块斜边连在一起，第四个三角形和两块根本没连在一起，所以在 a 和 c 中选呗。 那 a 和 c 的 区别在于什么呢？我们需要把它给它倒扣过来，对不对？倒扣过来以后，其中这两块在左边，那你把我们的 a 选项倒扣过来以后，两块在这里没问题。 那我们发现这一块是不是应该在这一侧呀？我们在里面缺了一个小块，所以只能把 c 给它倒扣过来啊，倒扣过来之后变成这个图形 刚好呢，我们这两块在这里，里面缺的这一块，这里凸出来了，往里一拼可以拼成这个图形啊，所以答案选择 c 选项。 所以在做这种题目的时候，一定要看图形的形状啊，缺什么补什么啊，当然还需要有一定的空间想象力，最起码你 a 和 c 怎么转的，拼上去你要会想啊。第四题，选择 c 选项。 第五题思考一下。我们检查第五题啊，特征图形封闭区间明显了吧？ 封闭区间面有两个零个面，零个面，三个面，一个面，不用数数量 把封闭图形存在。封闭图形的一五六放一组是不是行了呀？二三四都是开放图形，所以封闭区间有封闭图形的放一组，开放图形放一组。那只有 a 匹配啊，考的是封闭和开放。这是第五题 第六题思考一下。我们讲第六题，黑白点，黑白球小元素出现了种类、数量和计算。有黑球有白球，那分开数呗。 黑球两个，黑球零个两个两个规律不够明显。数白球一个白球两个，白球三个，白球五个白球，什么规律啊？ 一加二等于三，二加三等于五，三加五等于八吧。所以运算的话也是偶尔考啊，所以找八个白球， a 是 七个， b 选项二四六八先保留， c 选项五个，第四个二四六八先保留。既然白球是相加运算，黑球二加零等于二吧，零加二也得二，二加二等于四，所以运算也可以啊，四个黑球只有第二个匹配 小元素出现种类、数量和运算。第七题思考一下。我们讲第七题啊， 相同图形出现，考虑到求同求异和叠加整体是相似的啊，那我们发现 其中黑色的扇形是有的，黑色扇形有，黑色扇形有，第一时间当然想的是趣意纯同相同保留啊。 那我们发现其中右面这里有个白色扇形，第二图也有个白色扇形，应该保留是白色，它是黑色，所以你用去异纯铜不好使了。那怎么办呢？我们再换规律呗。那既然去异纯铜不好使，我们可以去铜纯异对不对？相同的去掉 右左上角的黑色的扇形，哎，去掉变成一个白色不同的保留，那其中我们右上角的黑色扇形是不要保留啊，哎，上面是一个黑色的扇形，然后呢，去同存异 右下角的白色扇形去掉，把我们左下角的黑色扇形保留，所以保留完之后是这个形状。怎么变成我们第三个图形啊？ 是不，经过旋转就可以了，给他旋转九十度是不就能变成他呀？好，旋转九十度啊，逆时针一转九十度，刚好变成我们第三个图形， 求同求异叠加经常跟旋转翻转一起。靠啊，来。第二个，用规律把相同的去掉，黑色去掉，边框去掉，剩的就是斜向右对角线 给他逆时针转九十度，刚好就是我们 c 匹配吧。所以第七题考的是去同存异加旋转啊，答案选择 c。 第八题思考一下，我们讲下第八题。第八题特征图形的话，当然曲线明显了，但是切点取值焦点曲线数是没有规律的啊，取直线也不行。 那还有什么特征图呢？封闭区间也明显，但是发现封闭区间数面的数量也没有规律啊。那我们还有什么特征图呢？没有那么直观。其中第一图形，我们发现这种图形断开是不是比较明显的？突然断开了， 断开明显，加粗的线条出现，可以考虑什么呀？不分数啊。第一图形，两个曲线两部分 线条连在一起是一部分啊，断开分开数，然后这个放大镜是一部分，边框一部分，一共有四个部分。 第二图形呢，里面竖线是单独的一部分，剩下的这些线条是连在一起的啊，这叫一部分，所以一共是两部分啊， 部分数的定义别忘了啊。第三个线条之间都连在一起一部分，第四个连在一起一部分，剩下这个叶子，这两个叶子和连在一起的一共两部分。 第六个都是连在一起的一部分，所以考的是部分数啊，把一部分放一组三四六，然后呢？一二五都是多部分啊， 一组一部分，一组多部分可以作为考点啊。也考过一组一个面，另外一组多个面，一组一笔画，另外一组多笔画啊。所以第八题考察的是部分数，图形线条断开明显，别忘了数部分数啊。 第九题思考一下，我们讲第九题啊，特征图形比较明确，端点明显了，可以优先数笔画两个端点，两个基点，一笔画 一个端点，加上 a 点是不连接了五条线呢？一二三四五基数条线叫基点啊，两个基点一笔画。 第三个图形，一二三四个基点，两笔画第四个图形，一二三四个基点，两笔画第五个图形，两个基点，一笔画第六个图形，这两个是基点， 剩下的 a 和 b 都是五条线啊，所以四个基点两笔画，把一笔画放一组，一二五三四六都是两笔。答案，选择第二个观点，填字型、日行及变型啊，优先数笔画。 第十题思考一下，我们讲下第十题，六面体折纸和往里折相邻面的位置关系保持不变，难点是一二三，这三个面长得一模一样， 然后呢？四和五长得一样，六的话就比较特殊了啊，那我们一定是会一面观察相邻面位置关系啊。 a 选项需要谁呢？两个三角形有两种情况，一个是一二， 然后呢？一个是二三，一三绝对不可能啊，一三相对面还需要的是四和五其中一个。那我们看呗，能不能是一二四呢？一二四的话，公共点是 a 点，是不连接了三条线呢。选项，公共点只连接了两条线，所以不能是一二四。 那能不能是一二五呢？一二五的话，把五往左一平移，四个面相连，直接平移，黑色的就跑到这里，这是黑色啊， 公共点呢，是我标的 b 点， b 点的话根本就没有引出三条线啊，他是引出零条线，所以这两种情况都不可能。还有二三，那二三的话还是两种情况，二三四和二三五都可以啊。 那二三四的话把三旋转呗，其实你三不转就行了，其中 c 点你三转过来，最多引出一条线，也没有三条线啊， 所以不可能是二三四。那二三五呢？二三五的话有可能会引三条线啊，我们转一下呗。黑色三角形，一转，三的黑三角形，原本右下角就跑，左下角 再转一次，左上角再转一次，那就是右上角是这里啊，这是三。好，那观察一下二和三公共点，确实三条线，但是二和三公共边两个黑三角都贴在公共边上， 而 a 选项两个黑三角形只有一个贴在另外一个，没有贴在一起，所以 a 四种情况都不对啊。所以这道题的难点就是 a 啊，有四种情况你得试啊，只要一种情况满足就可以，所以 a 不 对， b 的 话呢？ b 的 话根本不存在上面这个面。 我们六的话是两个小三角形，所以 b 直接排啊。 c 选项需要的是六，这个面还有谁呢？还有我们的四或五，还有一个黑三角形，其中如果是三的话， 三和六黑三角形，三的黑三角形没有靠近六的公共边，所以不能是三啊。那还能谁呢？还能是一了啊，只能是一， 一的话一转，那黑三角原本在左上角一转呢，跑到右上角，同样一和三的公共边，一的黑三角也没靠近公共边，那你 c 选项不管是谁，他都靠近了公共边，所以 c 一定错啊，所以答案只能选第四个啊。 第四个在真正做题的时候，你就不用去验证是谁了啊，我们可以验证一下，其中这是六，这是五，那谁可以满足呢？这是一就可以满足了，就是一五六就结束了啊。 所以第十题这种题目考的难一些，就是有一样图形啊，必须要会观察乡里面位置关系啊，乡里面的位置关系保持不变的。第十题只有第四个匹配，今这是今天的几道题目啊！

哈喽，大家好，今天我们继续来复盘刘一横图推七百题的第二十九套。首先来看第一题，第一题的话呢，发现这六个图形它都是比较规则的图形，所以所以我们优先考虑的是对称， 那画一下它的对称轴，通过画对称轴，我们发现一四六它都是轴加中心对称图形，二三五，呃，二三六的话，它都是这个轴对称图形，所以一四五为一组。选到底下看一下第二题。第二题，通过这个第二幅图的话，我觉得他考察的应该是一个部分数， 那这是两部分，这是三部分，这是两部分，两部分，两部分，那这这的都是有四个都是两部分，所以它的规律应该不是部分数。那继续通过第二个来考虑，那第二个为啥考虑它是部分数呢？因为它有这么三个图案，不一样的图案， 它是由这三部分组成的，所以那我还有一个切入点，就是，呃，这个有两到四个图案，所以我们考虑的是一个图形间关系。那考虑图形间关系的话，我们就发现 这个一它是包含的，这是分离的，这是包含，这是分离，这是分离，这是包含，所以它规律应该是一 三六，它是这个包含的。所以选倒 c 项看一下第三题。第三题的话，这个是我们之前说过的一个金字塔，金字塔模型它应该是两两相加得到上边的这个， 所以我们来看一下对比一下 abcd 选项。通过对比选项，我们发现第一个是一样的，那我们直接从第二个相加开始，两个灰色，那在底下找两个灰色的，嗯，这两个是灰色，两个深灰色，得到的是这个浅灰色，所以它第二个应该是浅灰色，可以排掉 ab， 那 第二个是浅灰色。我们继续来对比一下第三个。第三个的话，它是这个网格加斜线， 那网格加斜线，它等于的是一个网格，那它应该等于的是一个网格。所以选到 d 项，看下第四题。第四题的话，就是我们之前说过的一个二倍的二等于一加上三， 那二倍的二的话，应该是四个圆加两个三角形等于一，加三的话应该是，嗯，五个三角形加三个圆，所以一个圆，它是等于三个三角形，那我们来数一下三角形的个数 啊。圆等于三个三角形的话，那这是六，这九十七，这是八，这是九十，那我们找一个十一个三角形的这四个圆就十二个了。拍掉 a 项，这是九个，加上两个等于十一个。选到 b 项，检验一下 c 项和 d 项，这是二、四、五个，加上三个，这是八个，这是二个，所以选的是 b 项。 看下第五题。第五题的话，我们发现他这个上表面应该是，嗯，是一个这个六边形，那他应该是一个上表面为六边形的一个立体图形的拼合图，那拼在一块，他就是那么一个立体图形，那上表面如果是这个六边形的话，我们来数一下边，这是一条，这是两条，这三条，那我们找，因为 上表面是六边形吗？这有三条，那我们再找选项中有三条上表面有三条边的，这是两条，这四条。所以 a、 c 先排掉， 这是三条，这也是三条。但是我们发现 d 有 横着的一条，但是我们图中已经有横着的一条了，拼的时候就不需要再有横着的一条了啊，那我们就可以选到一个 b 项，如果啊看这不太确定的话，大家也可以带回选项中，稍微简单化一下，拼一下。 看到第六题，第六题的话，我们发现黑色部分，这是三四五六边形，这比较明显，他边数都是递增的，那这应该是两条边， c 是 一条， d 也是一条。然后我们发现他上面这个小的这个部分都是前一个图形大的这个部分，这让我们确定他肯定是 ab 选项， 然后他这个小的这个边数应该是一条边、两条边、三条边、四条边、五条边，那一条边的话，应该就是这个圆了，这是四条边嘛，正方形。所以选到 a 项，看下第七题。第七题，他面的特征比较明显，我们来数一下面数吧，一二三四个面，这是一二三四五六七八九个面，这是两个面，照相没有规律， 这三个面，五个面，七个面，这是相加的话，这是十五个面，这也是十五个面。哦，他那他的规律就是面数相加之和等于十五，那这应该是八个面，一个面相加等于十五的话，这需要六个面吧，才能等于十五。所以我们找一个六个面的， 这是六个面，这是两个面，四个面，三个面。所以选到 a 项，看下第八题。第八题的话，我们发现它都是由两个图案组成的，所以我们考虑图形关系， 那这两个图案之间，它是由两条线相交，一条线相交两条，一条，一条两条，所以一三六为一组选 a 项， 看下第九题。第九题的话，他这个外框都是一个正方形，然后里边发生了变化，他好像这个线条数增加了，然后面数也增加了，点数也增加了， 那线数增加的话，这一条、两条、三条，这是四条，那这总不能三点五条吧？不可能，所以他考察的不是线条数增加的规律。那是不是面数呢？这是两个面，这是 四个面，这是六个面，这是八个面，那这怎么能七个面吗？如果是七个面的话，是没有规律的，所以也不是面的规律，那就看一下他点数不是也增加了吗？看他是不是点的规律。这个因为他都是正方形，外快外边的四个点我们就不数了，直接看内框的点就行了。这两个点，这是一个点，这是两个点， 这四个点，所以我们找内框有三个点的，所以选到了 b 箱，看一下第十题， 第十题的话，他这个前四幅图他都是有曲线，有直线的啊，那会不会考曲直或者啊曲直或者是笔画呢？那我们看到这一幅图的时候呢，确定他考的肯定不是曲直，因为他只有直线啊。那我们就根据这一幅图来找一下规律。 那我们发现这幅图的话，他是有三角形的规律，而且还有一个直角的规律。我们数一下直角，一个直角，两个直角，三个、四个、五个，这是五个直角。然后这这个外框他是一个正方形吗？所以他是有四个直角， 这是有一个、两个、三个直角。哦，那他规律是不是一二三四五个直角呢？这是一个直角，这是两个直角，那我们找六个直角的这四个直角， 这是四个加上两个，这是六个，所以选到 b 项，那看到十一题，十一题的话，我们发现这两幅图是对称的，然后从这幅图到这幅图的话，是旋转了一百八十度，这两幅图对称，从这幅图到下一幅图旋转一百八十度，那这个小黑色角形到了下面，这个小圆球到了上面， 所以选到 a 项。如果不确定的话，你可以直接把试卷，到时候是肯定试卷，把试卷直接倒过来就能看到了。看下第十二题。第十二题的话，这个是火柴棍，它的这个移动，那我们可以通过相邻比较来看一下。 首先来看一下前两幅图，前两幅图的话，我们发现他的这个火柴棍棍都是六个吗？二四六对都是六个，然后只有他是七个，所以可以先排掉，你想这样瞄一眼，应该大概能判断出来啊。然后我们再来看一下，通过相邻比较，我们发现他就是相邻的两幅图， 只有两个火柴棍移动了，比如说这一条他移动到了这，然后这一条他移动到了这，那就只有两根火柴棍发生变化，我们可以直接到从这到这。然后我们来看一下 b、 c、 d 选项有哪个选项是指移动了两根火柴棍啊？那首先看 b 选项， b 选项的话，他是把这根移动到这了，移动了一根。 那看一下 c 选项， c 选项的话，他是把他是把这根移动到这了，也是移动了一根，那应该就是 d 选项了。那我们看看 d 选项他是咋移动的两根的，那 d 选项是把这的这根移动到这了，然后再把 嗯，这的这根移动到这了啊，总之是变了两根，然后看一下第十三题。第十三题的话，我们发现这个四和二都比较明显的一个点连接的特征，那他考的就是点连接或者线连接，二四六是点连接，所以选到地下 看一下第十四题。第十四题说的是不可能是该东面体的洁面，那这个 a 向的话，直接正正的切就能切出来， b 向的话，这样斜着切应该也可以出来。 c 向， c 向待定，不太确定，一眼瞄不出来，那看一下 d 向， d 向的话，他就是这样竖着切，他应该一高一矮，而且中间不应该有空啊。 嗯，那如果是这样，这个方向切过去呢？所以 d 向肯定是不可能的。 看一下第十五题，十五题考的是一个汉字，考汉字的话，我们先看相邻两个有相同，都是没有相同的，对吧？那本题属于这个无相同的情况，无相同的话我们就考虑一个，嗯，比较高频的考点就是生活化图形，那首先考虑的就是面数，其次考虑的是一个部分数，再考虑的话就是一个属性。 那首先来看面数，这是两个面，这是三个面，这是四个面，一二三、四个面，然后这是两个、三个、四个、两个、三个，那找一个四个面的，一个、两个、三个，这四个面，这三个面，这就已经有四个面了，再加上这六个面， 这三个面，所以选到一想四个面。看到第十六题，十六题的话，先不论先不应该先去考虑这个小黑球和小白球的部分数啊，什么之类的，我们应该来看一下它整体的一个规则，那它整体的这个规则的话就是对称， 把对称轴给画一下，这对称，对称，这不对称，这对称，这不对称，所以在 b、 c 当中对比一下，发现他小白球的数量不一样。再回到第二组图当中，我们发现小白球都是两个，所以选到 c 项，看一下第十七题。第十七题的话，我们发现这个第一行的话，他是能拼成一个四乘以二的一个长方形， 那第二行也可以拼成，那第三行怎么拼呢？就是把这个移过来，这是能拼成一个图形。选到 a 项， 看下第十八题，这个小黑球，他移动轨迹是这，然后到这再到这，那下一个选项应该是到这拍掉 bc， 然后我们看一下三角形，他移动规律，一二三，移动三格，到这一二三，移动三格，到这一二三，那下一个移动三格，应该在这个位置。 选到地箱，看一下第十九题。第十九题的话，这些图形真的都比较明显哈，都比较规则，所以我们考虑都是对称。那我们把对称轴给画一下的话，我们就发现， 我就发现下一个对称轴应该是怎样的呢？这两根一样的，这两个对称轴一样的，那这两个对称轴应该一样的，应该是这样斜着的，这是这样子的，这是这样子的，这样，这样子。所以选到 c 向，这最后考察的其实还是对称轴的一个方向问题， 看下第二十题，嗯，第二十题的话，第二十题的话，我会先考虑一个笔画，因为这是两个圆环套在一块呢，但是你看到第二幅图就知道他这是一笔画，这两笔画这也不是三笔画，所以他考虑的一定不是笔画，那是不是对称呢？这幅图告诉你肯定不是对称，他在这个图形中加了这么一点， 那还有什么面吗？一二三一二三二，这什么规律？然后我们再看，其实还有一个规律，就是点数，这是两个点，这三个点、四个点，一个点、两个点，三个点、四个点、五个点，这是六个点。所以找一个七个点， 这九个点，这八个点，这六个点，这四五六七个点选到地下。

大家好，我是老曹，今天呢，我们继续讲解图形推理的几道题目啊。 第一道题思考一下，我们讲一下第一道题，特征图形呢，其中出现了曲线，但是切点取之交点曲线数，没有规律啊，还有什么特征图呢？第三个图形，日字型变形吧。 第四个图形呢？填字型变形，可以优先考虑数笔画啊。第一个图形，零个基点一笔画，第二图还是零个基点一笔画。 第三个图，两个基点一笔画。第四个图呢，也是零个基点一笔画啊。第五个图形，这是五条线，一二三四五那两个基点一笔画， 都是一笔画。图形 a 选项，一二三四个基点两笔画。 b 选项，上面这个点引出了五条线啊，它是基点，还有下面这个点，两个基点一笔画，所以刚好第二个匹配 c 选项，四个基点两笔画。 第四个呢，同样一二三四个基点两笔画啊。所以第一题特征图形，田字形、日字形及变形啊，有的时候没那么直观，也要去优先数笔画。答案选择第二个。 第二题思考一下，我们讲下第二题，第二题呢，出现了两个图形，两个图形，多个图形出现，优先考虑静态位置类结构，方位连接性。首先很明显，两个图形是不是交在一起了呀？相交结构，两个考点， 第一个相交区域几边形，第二个相交区域相似性啊，相交区域，三角形，三边形，相交区域是四边形， 相交区域一二三四五边形等差数列。第二段用规律呗，相交区域，一二三四五六六边形。 相交区，一二三四五六七边形，找八边形。相交区八边形， a 选项是五边形不行， b 选项是三角形， c 选项是四边形。第四个一二三四五六七八。所以第四个匹配啊， 出现两个图形，多个图形，别忘记静态位置类的考点啊，结构，方位，连接性。这是第二题，第三题思考一下。 九宫格两段式出现了黑白球，优先考虑黑白叠加吧，黑加白等于黑，验证一下继续找啊。第二行黑加白等于黑，没什么问题，黑加黑等于白，黑加黑等于白。可以啊，用规律 白加白找白加白呗。标三的位置，白加白等于黑，左上角是黑色，把 b 和 d 排掉， a 和 c 找不同，右下角一个白一个黑，黑加白，黑加白等于黑，所以刚好选择 c 选项啊。所以第三题考的是黑白叠加啊。有的时候求同求异也可以用啊。这道题用去同求异也可以， 黑色白色保留，黑色黑色黑色去掉一样的啊，没有区别，所以第三题选择 c 选项。 第四题思考一下。我们讲下第四题，洁面图问的是不可能，洁面图的基本定义要清楚啊，首先他本来就是一个圆柱体，是不是切完之后放上面去了？ 首先圆柱体怎么切矩形来着？垂直切对不对？圆柱体垂直切有无数个矩形啊，一定是垂直，垂直往下切有无数个矩形啊。那 a 选项垂直往下一切，左面一个，右面一个，刚好可以，所以 a 没问题啊。 那 b 选项 b 选项怎么切？要切这个三角形，肯定要斜刀切，斜刀经过这个点， a 点。 那既然斜刀切完之后方向不能变啊，继续斜刀切。那我们圆柱体如果斜刀一切两边变什么线呢？变成曲线这个基本定义别忘了啊， 只有垂直切才是矩形，斜刀切两边是曲线或叫弧线啊。那斜刀一切，因为你上面是一个三角形，斜刀切过来方向不能变，两边是曲线。所以 b 错就错在两边应该是曲线，绝对不能是直线啊，所以第二个错了。 那同学说，那我先斜刀切，再竖刀呢？那是切两刀绝对不行，我们截面图全都是一刀切啊，所以第二错了。其实也是考察圆柱体基本切法的问题啊。 垂直切是矩形，斜刀切是两边曲线啊，那 c 怎么切呢？给它分成两部分，上面是一个矩形，下面一个矩形，怎么实现？垂直往下一切就行了，方向不变啊，上面刚好是一个矩形， 继续竖刀切，那下面也是一个矩形，说刚好是个 l 型啊，所以 c 没问题。那第四个怎么切呢？第四个的区别在于右面多出一块，怎么实现呢？仍然是垂直切， 你把右面留出一部分就可以了啊。垂直一切刚好右面突出一部分，继续垂直切，不就是这个形状吗？所以我们 a、 c、 d 都可以切出来啊，只有第二个切不了。这是第四题啊， 第五题思考一下。我们讲下第五题啊，立体拼合，我们还是考察 他的空间想象力啊，我们第一时间当然可以数一下选项的块的数量，我发现数完之后没有区别啊，都是五块。那我们只能去拼题干图形了啊。那第一个图形需要旋转一下，怎么转呢？往前一转，变成什么形状？变成它， 变成它以后怎么拼？直接这三块放在这里，然后呢，这个 l 型刚好在这。好，那我们第二梯子型应该也转一下啊，变成这个梯刚好塞到里面去。 好，那缺的什么？缺的不就是这个 l 型？然后呢，底下是不还有两块啊？底下还有一两块啊，所以这个 l 型怎么实现？把第四个一转转成这个形状？ 刚好是这个 l 型，底下还有两块，说拼这里就行了。那我平时练习过程中可以用分层法题干中，这是第一层，第二层我们分成两层啊，第一层一共是这几块，第二层一个九宫格啊，可以看到被遮挡部分， 这个三块刚好在第一层有三块，然后呢，第二层有两块在这里，然后呢我们 t 字形， t 字形的话做完之后这个直接放在第二层里啊，放在这里。好，剩下的就是这个 l 型呗，上面这个 l 型刚好这个 l 型放这里， 下面有两块刚好在这里。所以可以用分层法去锻炼自己的空间想象力啊。但是这个旋转一定要会转啊，旋转是前提条件，所以第五题只有第四个匹配啊，有一定难度，去锻炼锻炼啊。 第六题思考一下，我们讲下第六题，外边框、多边形，外边框、圆形边框明显优先考虑到内部的点线面。我们第一时间单数内部的点啊，内部焦点是两个， 内部焦点是两个，内部焦点是两个，内部焦点是一个，内部焦点是两个。没规律啊。 那内部的点线面都可以数数线呗。内部线是四条，内部线是三条，内部线是四条，那内部线是三条，内部线是四条，所以刚好一四六放一组。答案选择 c 呗， 边框内部的线条数啊，外边框多边形，圆形都可以数，内部的只有 c 匹配。 第七题思考一下，我们讲下第七题啊，第七题整体观察对称性明显，我们把轴画一下，横轴竖轴斜轴斜轴竖轴横轴， 那对称轴方向没有规律啊，俩横轴，俩斜轴俩竖轴，那还能看什么呢？对称轴跟图的关系呗，过点过线，过面过球对称门，对称轴跟两个线相交，跟焦点相交，跟焦点相交。所以二三六放一组都是对称轴过焦点。 一四五呢，都是跟线相交啊，只有 c 匹配。第八题思考一下，我们讲第八题啊，黑白面出现给大家整理过高频考点啊。第一个考点就是黑色面占比没有规律啊，黑色面跟白色面位置关系也没有。 然后呢？黑色面压边框线没有，黑色面自己型棒也可以啊，黑色面是一个三角形，黑色面是一个四边形，黑色面是一个三角形，黑色面四边形，三角形周期循环吧， 我们其他的题目也考过。黑色面是等差数列的啊，所以找一个四边形呗， a 选项刚好匹配 b， c， d 都不是四边形啊，所以第八题考的是黑色面自己的形状啊，只有 a 匹配。 第九题思考一下，我们讲下第九题啊，黑白球还是那几个高频考点啊，数量位置叠加部分数，对称性，连接性，九宫格两段式。当然先是黑白叠加了， 白加白，有黑有白不好使。那我们应该怎么办呢？应该去看其他的啊。首先黑球数量也不多啊，黑球是五个，黑球是六个，黑球是七个，等差数列 三个黑球，四个黑球，那找五个黑球呗。 a 选项四个， b 选项六个， c 选项七个，第四个刚好五个啊，所以第九题选择第四个黑球的个数。等差数列啊。 第十题思考一下，我们讲下第十题特征，图形曲线明显切点，取的焦点曲线数。那曲线数比较少，先数曲线数量啊，曲线数量是两条， 曲线数量是三条，曲线数量是两条，没规律，那还有什么明显呢？直线也不多，把直线也数一下啊。一二三四四条直线，一二三四条直线，一二两条直线，它们之间运算吧。直线和曲线的运算。 二一零等差竖列，所以直线减曲线啊，等差竖列第二段呢，就有点不好数，曲线呢，一二三四五条取，那直线呢？一二三四五六 六条直，然后呢？第二段它是第二个图形啊，曲线一二三三条曲，直线的三条直，那一相减一零负一。等差数列呗。 所以第二段啊，就变成负一了，找一个取直线减曲线等于负一的，就曲线比直线多一条呗。 a 选项曲线三条，直线两条，刚好 a 是 负一啊，而 b、 c、 d 都不满足，所以考的是图形的运算啊，有五个高频的直线和曲线，外边框的线和内部的点，线面的运算。 那还有什么呢？还有形状四边形面，三角形面的运算，还有对称轴跟 点跟线跟面的运算。也可以啊，一般考相同比较多。最后一个呢，就是黑白部分的运算啊，所以这五个运算要去优先试一试啊，如果出现以后。好，那这是我们今天讲的题目啊。

咱们参加教资考试的同学有没有到现在这个点还没有睡的这条视频呢？给大家来一个超级大猛料，科目二的必考易错点，还非常被大家容易忽略的点，你赶紧听，你就可以拿到分数。教学的组织形式，这个知识点非常的难记，所以我给大家捋了一个我自己独有的 内在逻辑，方便咱们去实际去区分，这样我们就可以把选择题，把简答题拿下。咱们常见的教学组织是，首先第一个个别教学制，这个我们可以追溯到古代，在那个时候接受教育的人还没有那么多， 私书也好，学书也好，它里面只有几个人，然后我们老师呢，就对这几个人来去警示教，所以呢个别教学制它就是指咱们教师在同一时间内，以特定的内容面向一个或者是几个学生来去进行教学的形式，我们把它称之为是个别教学制。那么在这里呢，大家单选题来进行备考，你要记住它是最古老的教学组织形式。 好，那么随着时间的流逝，接受教育的人越来越多，我们的班级授课组织而来的，我给大家捋出来了一条线， 我们先来看一下第二个哈，班级授课制，这是一个考试非常大的一个重点哈，那么大家首先要注意班级授课制的地位，它是我国中小学最常用的教学组织形式，选择题来进行备考，接下来呢，看一下班级授课制的地位。 那么什么叫班级授课制呢？要注意它是把学生按照年龄和文化程度分成固定人数的班级，我们老师呢根据课表，根据规定的时间表来进行教学的一种组织形式，大家结合含义呢，你能够反显出来，班级授课制就可以了。 班级授课制有什么样的特点呢？大家简答题来进行备考，我给大家哎，五固定来掌握它！什么叫五固定呢？ 一、以班为单位集体授课，说明它是场所固定，学生人数固定呢，说明是学生固定，按课教学说明是内容固定，按时教学，说明是时间固定。还有一个固定是 教师固定，所以它的基本特点是五固定，场所固定、学生固定、内容固定、时间固定，教师固定好，这是班级授课制的特点，大家简单的来进行备考，那么班级授课制它是怎么产生，又是怎么发展的？我给大家捋了一条线哈。首先呢，班级授课制我们可以先追溯到班级，班级这一词源，最早的提出者是伊拉斯莫， 单选题来去进行备考，然后紧接着是班级授课制的萌芽昆体良，单选题来去进行备考，紧接着是详细论书，班级授课制的人是跨梅啊纽斯。单选题来去进行备考。再紧接着，中国最早采用班级授课制的地点是一八六二年的京师同文馆，然后我国以法定形式将班级授课制推广至全国，实施的是 会某学制，所以这里全部都是单选择题来去进行备考好。最后呢，是班级授课制的优缺点，大家也是作为简答题来进行备考哈。首先我们先来说一下优点，因为它是一个制度，所以呢，有严格的制度就能保证教学质量。 那么第二呢，它是一种集体教学，所以它有利于大面积培养人才。第三呢，哎，我们班级授课制主要是以教师为主导的，所以有利于发挥教师的主导作用，也有利于发挥集体作用，但是他也有不足，大家注意哈，有制度 必然就会不灵活，有利于大面积因材，以大面积培养人才，就必然难以因材施教。有利于发挥教师的主导作用，就必然难以形成学生的探索精神、创造能力和实践能力。所以他们的优缺点是对应着来的。 好，这个就是班级授课制所有的内容。哈，班级授课制，大家你就结合定义，结合特点，结合它的一个产生和发展，以及它的优缺点来去进行掌握。好，这是我们的班级授课制，它是我们现代教学的一个最基本的组 组织形式，而接下来的这些内容呢，都是围绕着班级授课制而来的。我们刚才说了班级授课制的缺点，它是难以因材施教，难以培养学生的探索精神、创造能力和实践能力，所以它就出现了。哎，咱们的班级授课制的辅助形式， 我们把它称之为是个别辅导和现场教学。你不是说班级授课制呢，因材施教吗？所以它就出现了个别辅导。个别辅导呢，它主要指的就是在课堂教学基础之上，我们教师在针对不同学生的情况进行个别辅导。 你不是说学生难以探索、难以创创造、难以实践吗？所以他又出现了现场教学。现场教学呢，就是组织学生到工厂、到农村、到生活场所中来去进行观察，去进行操作，进行学习， 所以这个是班级授课制的辅助形式，个别辅导现场教学好。那么我们在一些条件偏远地区，哎，出现了班级授课制的特殊形式，我们把它称之为是复式教学。 复式教学他是个什么情况哈，他也是所有的人都在一个班里面，只是呢，这个班里面，他是由不同年级的学生所组成的。比如说，我 把一二三年级放在一个班里面，我给一年级上课的时候呢？三年级二年级写作业，我给二年级上课的时候呢？一三年级写作业。所以呢，这种把两个或两个以上不同年级的学生编在一个教室里，有一位老师用不同的教材来去交替进行教学的形式，就叫复式教学。 大家想一下，这种教学效果好不好？那必然不好，对不对？我们现在沿海内陆是不是很少有这种教学形式？但是在一些偏远地区贫困地区，一个学校里面，他就那么一两个老师，是不是那一个班级里面的学生，哎呀，就寥寥无几，所以我们哎 还是依旧采用这种教学组织形式。所以哈，复式教学呢？哎，他经常存在于一些偏远贫困地区，这是班级授课制的特殊形式。那么接下来呢，又到了班级授课制的标准形式，我们把它称之为上分 分组教学，或者是分层教学能力分组。那么它主要指的是什么？哈，大家也是单选择题来去进行备考。它的含义分组教学呢，也被称为分层教学，它是按照学生的能力或者是成绩，把他们分为水平不同的组来去进行教学，所以它是按能力或者是成绩来去进行分组的，那么它分为内部分组和外部分组， 大家注意哈，你要区分开，这里非常喜欢出选择题的，那么什么叫内部分组呢？内部分组它主要指的是，哎，按年龄的基础 上，我们再去按能力或者是成绩，这个就类似于咱们学校里面的重点班式的哈，比如说我们都是同一年级哎，我们老师呢，分为了 超重点班、重点班、实验班、普通班，那么这个就是属于哎，在年龄的基础之上，又按能力或者是成绩，这个就是属于内部分组。而外部分组呢，他是不按年龄，只按能力或者是成绩。你比如说咱们天才班里面，对吧？他有小神童，十二岁的小少年，对吧？也有二十三岁的小青年，对吧？ 这一个班里面，哎，他主要是不按年龄，只是按能力和成绩来给他们去进行分组，这个就是属于外部分组。所以在这里大家把内外部来给啊区分开。当然呢，哎，分组教学是不是在咱们哎， 他是国外的一个教学组织形式啊，但是大家想一下，就类似于咱们现在学校里面是也有一些组织形式是分组教学啊。好，所以我们可以把它理解为是班级设置的标准形式，主要是为了方便大家记忆哈，那么当然这种分班肯定是有不足之处的，对吧？它优点就是它能够有利于因材施教吗？它能够把这些人都给你进行分了，但是缺点就是，哎， 凭什么把人家分在不好的班量，对吧？你很难科学的鉴定他们每个人的能力，而且你给人家造成的内心伤害也是比较大的哈，好，这是分组教学，所以大家看看，到现在为止，班级授课，班级授课制的辅助形式有了，班级授课制的特殊形式有了，班级授课制的标准形式也有了，那 这个时候呢，班级授课制风靡一时，此时就有人站出来反对他了，所以就出现了班级授课制的反对形式，叫设计教学法和道而顿制。所以大家在这里要注意哈， 班级授课制他关注的是什么呀？是学科知识，是不是主要是让学生学知识的。那么设计教学法和道尔顿制呢？他是他的反对形式，说明他俩就都关注学生。但是在这里，大家还要区分一下， 既然都关注学生，他们有什么不同，因为这里会考选择题哈。哎，你要能够选出来，他到底是设计教学法还是道尔顿制，那么设计教学法呢？他是由哎课博区所提出来的，那么设计教学法大家注意，他是学生自己负责的，决 决定学习内容，而道尔顿制呢？他不是的，道尔顿制，他是教师为学生指定内容，然后学生自己去学，学完之后再找老师来去，哎，进行考试，对吧？哎，签订他们，他们是签订学习公约的，所以哈， 两个你就去分开，自己决定的就选设计教头法，教师指定的呢，就选道尔顿制好，这是他的反对形式。当然呢，也有比较聪明的，你说说人家班级授课制这么受欢迎，我怎么能反对他， 哎，我保持中立，所以就出现了，哎，班级授课制的中立形式叫特朗普制，为什么说他是中立形式？他也被称为灵活的课程表， 因为他既结合了班级授课制的优点，又结合了个别教学的优点。他是大班上课，小班研究，个别教学，大班呢，时间非得占到百分之四十，小班呢，占到百分之二十，个别教学呢，占到百分之四十。 所以，他既有班级授课的优点，能够，哎集体传授知识，当然也有利于啊，因材施教，有利于学生探讨。但是呢，你想想，一节课一共那么点点事哎，管理起来比较麻烦。 好，所以教学组织形式就这么短的时间内，大家就全都掌握了。最后呢，哎，你要能够把他们区分开，各自作为单选择题来去进行备考，里面喜欢出简答题的点是班级授课制的点。大家，哎，你再把班级授课制着重去记一下就可以了，晚安喽。

这样的图形题看起来很难，其实有技巧，先看题，长方形 a、 d、 e、 f 的 面积是十六。三角形 a、 d、 b 的 面积是三，它是三。三角形 a、 c、 f 的 面积是四，它是四。那么三角形 a、 b、 c 的 面积是多少？ 长方形的面积是十六，我们要将这里的三角形跟长方形拉上关系，例如这个地方是四，能够看出跟十六有倍数关系。四是十六的四分之一，十六是四的四倍，也就是说，这个三角形的面积是长方形面积的 四分之一。关于三角形和长方形的面积，我们可以铺垫一下 这样一个长方形，找准它的长，这边的中点，宽这边的中点。 这样一个三角形跟这个长方形的面积之间有什么关系？我们可以知道这个直角三角形， 我们可以知道这个直角三角形，它的面积可以等于底乘高除以二。除以二呢，可以看成是乘二分之一，而我们可以发现，这条其实是长方形的长乘二分之一，这条呢，是长方形的宽乘二分之一。那为什么 二分之一乘二分之一等于四分之一？这个三角形的面积并不是长方形面积的四分之一， 不信我来分一分，将长方形分成了跟他相同的这样的八分一、二、三、四、五、六、七、八，只能说明这个三角形是长方形面积的八分之一。哎，刚刚二分之一乘二分之一等于四分之一，为什么不是四分之一呢？还得记住， 三角形它的面积是底乘高，还得除以二，所以二分之一乘二分之一还要除以二，也就是二分之一乘二分之一乘二分之一等于八分之一， 这样的规律正着用，反着用能用，那这样的难题就能很快的解决。再举个例子，这样一个三角形，能够看出它的面积等于底，乘高除以二， 这个呢跟长方形长相等，把它看作一，这个等于长方形宽的四分之一，那么这个三角形是长方形面积的几分之几。一乘四分之一，除以二，除以二，写成乘二分之一， 这个三角形的面积是长方形面积的八分之一。一二三、四五六七八八分之一。 那如何用到刚刚说的这道题呢？我们回到这一道题，首先我们已经知道了三角形 a、 c、 f， 这个三角形跟长方形的面积是四除以十六，那么是四分之一的关系， 就能够说明 c 点其实是中点，为什么？因为这条一，这条二分之一，一乘二分之一，再乘二分之一才等于四分之一，也可以理解成 长，这边是一要宽，这边不知道是几分之几，那么就括号，再除以二等于四分之一。一乘括号乘二分之一等于四分之一，就能知道这个地方是二分之一，就能够知道这个点其实是中点，那么这条就是长方形宽的二分之一，那这条呢？不知道， 不知道可以利用旁边三角形 a、 b、 d。 三角形 a、 b、 d， 跟这个三角形其实没什么关系，那怎么办？添加一条辅助线，添加的辅助线就是连接 a、 e， 为什么要连接 a、 e？ 因为我们要利用三角形 a、 d、 b 和三角形 a、 b、 e， 为什么要利用这两个三角形？它两等高等高，首先以 d、 b、 b、 e 为底的话，做它们对应的高过的是 a， 这个点 做的高是相等的。两个三角形等高的话，底的关系就是面积的关系， 底的关系就是面积的关系。那么三知道，而三角形 a、 b、 d 的 面积不知道怎么办呢？刚刚我们添的这条辅助线，相当于画了这个长方形的对角线，这样一画 就把长方形对半分了。长方形十六除以二等于八。三角形 a、 d、 e 的 面积是八，它的面积是八， 八减三等于五。三角形 a、 b、 e 的 面积是五。三角形 a、 d、 b 和三角形 a、 b、 e 面积一个是三，一个是五，它俩是等高的底的关系，就是面积的关系。面积是三比五，那么底也就是 b、 d、 d、 b、 b、 b、 e 就是 三比五。像这样的规律如果没掌握，这样的题目解起来很难解，它看作三份， 它看作五份。由此我们就能知道， b、 e 这条边是长方形，长的八分之五，三份加五份是八份，相当于长方形的长，看作看成八份， 而 b、 e 呢，占了其中的五份，那就是八分之五。看回三角形 b、 c、 e， 它的面积跟长方形的面积有什么关系？那就是二分之一乘八分之五除以二， 二分之一乘八分之五乘二分之一，也就是三十二分之五，说明这个三角形是长方形。面积的三十二分之五。十六乘三十二分之五， 结果等于二分之五，也就是二点五。这个三角形的面积是二点五，上面这个是四，这个是三，要求中间这个三角形的面积，用长方形的面积十六去减三减四，减二点五就行， 相当于减的是九点五，结果就等于六点五。三角形 a、 b、 c 的 面积就是六点五。

大家好，我是老曹，今天呢，我们继续讲解图形推理的几道题目。第一道题思考一下， 我们讲第一道题啊，相同线条出现，整体相似，考虑求同求异和叠加吧， 有横线，有横线没了，那第一时间考虑去同存异啊，相同的去掉不同的保留，验证一下，有横线，有横线没有了。可以啊，再验证一步，有竖线没竖线保留下来，去同存异。 那我们来看第二段啊，有曲线，有曲线，应该去掉 b 选项，有曲线错了。然后呢，再看其他地方啊， 其中这里有曲线，这里没有保留下来，其中我们的 c 选项和第四个选项是不是都没有啊，所以刚好选择 a 啊，去同存异就可以了。 第二题思考一下，我们讲下第二题啊。第二题，立体拼合，我们在观察过程中还得需要一些空间想象力啊。 题干加选项，拼成我们左面这幅图形。这道题出的不够严谨啊，两个选项都可以拼，所以在考试过程中，你选出一个就行了。那其中第一块可以怎么拼？我直接把这个 l 型拼到这里是不可以啊，把它这么一转就行了啊， 那第三个可以怎么拼？第三个呢？我直接把这个形状给倒扣过来，变到这里是不可以实现呢？ 然后呢，第四个块直接塞到这里。好，那我们剩下的怎么拼？其中二的这个填字型？填字型可以放底下啊，有一个填字型 缺的什么？缺的就是一个 l 型吧，也是一个 l， 所以 刚好把 c 扣过去，就放在这里啊，所以选 c 没有问题。那这道题呢，还有另外一种拼法，所以出的不够严谨啊，还可以怎么放其中我们把三呢，直接放底下啊， 直接放底下这一个 l 型好，然后呢，我们再把这个一呢给它放上面放这里啊， 好，那我们再怎么放二的话，我给它放上面这一个填字型，然后第四个呢？填字型立起来，底下还有个填字型啊，那缺的什么？是不缺两块刚好把四塞进去啊。所以 c 和 d 都是可以拼成的啊。来，我们看这个图形， c 和 d， c 选项和 d 选项都可以通过我们往里翻转旋转拼进去啊，能够拼成题干的这个图形啊， 需要有一定的空间想象力，如果实在没有，那也平时通过练习的时候多练一练啊，提高自己的空间想象力。如果想不出来啊，那就可以选择性跳一下啊，别强求，这是第二题， 第三题，我们讲解一下汉字数字和字母高频考点还是那五个面，笔画线求同求异，结构还有部分数啊，优先数面的数量，一个封闭区间，一个面，两个面，一二三三个面，等差竖列， 这是两个面，一二三三个面，那找四个面呗。 a 选项没有面，这是开放图形啊， b 选项六个， c 选项一二三四五六个多了，第四个数刚好四个面呢，所以第三题考的是封闭区间面的个数啊，白色的窟窿数只有第四个匹配。 第四题思考一下，我们讲第四题啊，第四题特征图形有干扰曲线明显切点取之交点曲线数。我们发现系数这几个数量没有规律啊， 看曲直性呢，也排不掉，因为我们发现 a、 c、 d 都是直线加曲线，题干也是。那还有什么特征图，整体观察对称性明显吧。第一个图竖轴对称， 第二图横轴对称，第三图竖轴对称。第四个图横轴对称，对称的方向吧，横轴竖轴，竖轴横轴，周期循环找竖轴对称的那只有谁啊？只有第二个是竖轴对称啊，所以第四题考察的是对称轴的方向啊， 周期循环只有第二个复合。第五题思考一下，我们讲下第五题啊。第五题特征图形仍然是曲线明显，切点，取之交点，曲线数，曲线数量都是一条， a、 b、 c、 d 根本排不掉啊。 取之交点呢，也没有规律，还有什么明显呢？直线也挺明显的啊，直线是一条，直线是两条，三条直线，四条直线找五条直线呗。 a 六条， b 选项是七条了， c 选项呢是四条，第四个刚好是五条直线啊，所以选择第四个直线的数量啊，切入点肯定是曲线明显啊。 第六题思考一下，我们讲下第六题啊。第六题特征图形，黑白球，黑白块。高频考点有六个数量位置叠加部分数，对称性还有连接性。首先看什么呢？其中中间区域是不都有一个黑块啊，我们中间四个格啊， 什么考点分层移动，内外旋转啊，里面的黑一块每次在顺时针转一个，每次都是转一个啊，所以下一个右上角，那我们 a 左上角错了， b、 c、 d 都是复合的啊，看外层，外层呢，二的黑块是逆时针还是顺时针呢？顺时针转了两个对不对？转两个跑，这转两个跑，这转两个跑这还有一个数量变化。每次在 我们二的这块的后面是不是都增加一个呀，都在前一个图形基础上增加一个块啊，所以二动两个跑这里。 在这几块的基础上再增加一个块，有五个呗，一二三四五应该到，这，对不对？所以只有 c 匹配啊，所以有细节变化啊，内外分层的旋转，加上外层，在前一个图基础上增加一个黑块啊，只有 c 符合。 第七题，思考一下第七题，六面体折纸和相邻面位置关系保持不变，让你找展开图啊，其中他就是把其中的一个面一和二是不拆成了两个三角形啊？ 那我们来观察呗，这个对角线斜边是不是重合的在一起的呀？所以我们在拼的过程中，应该把一和二这两个三角形斜边重合。 a 选项，你不管谁是一谁是二，斜边不重合，直角边重合是不是错了呀？ b 选项，那我们转一下，其中如果左面是一，右面是二，那一旋转，那我们一就跑这了，二呢？二就跑这里，那你看这个斜边重合不了一起去，对不对？你再转不就顶上了吗？那二继续一转，那刚好在这，所以根本斜边不重合啊。 来第三个，那其中一在这，二在这其中，把 a 和 b 九十度一旋转，那一旋转二跟着转跑这里。好，这回斜边你再一转，是不刚好二能转过来呀，所以 c 匹配 第四个呢，其中这如果是一，这是二，四个面相连直接平移，二可以直接平移到这里，然后呢，再转一次，再转一次的话，它会变成什么样呢？好，那一转的话就变成了这样的形状， 就转成它了，对不对？那你看，再转一次，又是直角边重合了，根本不是斜边重合啊，所以第七题只有 c 匹配，就是把这两个三角形要斜边重合在一起去啊，所以只有第三个匹配啊。这第七题， 第八题思考一下。我们讲第八题啊，非常规折纸盒也是一样，都是往里折啊，要把这些图案漏出来，不要往外折啊，不要往出折，你往出折看的是内表面长什么样根本不知道啊， 其中一和二长的是一样的。那我们就是难点了啊，你分辨哪个是哪个？其中 a 选项需要的是三的这个曲线， 我们以这个三的 a 点其为起点啊，画个箭头，其中一在箭头的右侧，二在左侧，脸朝着箭头站啊，一个右手边，一个左手边 来，我们起点不变，以 a 点为起点，这是左手边对不对？左手边黑色靠近他的公共边，公共边就这两条红色的没问题。 题干是选错的啊，别看错了， a 没问题， b 选项同样起点不变， a 点为起点画箭头，这在右手边，右手边这两条绿色的仍然是公共边，还是黑色靠近公边没问题，所以 b 也不选 来 c 选项。 c 选项需要的是四的这个面，那四的这个面以 b 点为起点画箭头，这是右边吧， 那我们起点不变，以这个 b 点为起点画箭头，这是右边，谁靠近公共边呢？来，你看啊，两个蓝色的是公共边，是二的白色靠近公共边呢，黑色不靠近，所以 c 错了啊，这里错了，所以答案选的 c。 第四个 b 点为起点画箭头，你看这里面还是右边， 二的白色靠近公共边没问题。所以第八题啊，必须要会观察相邻面位置关系啊，只要六面体的你会变个图形，仍然可以做啊，只有 c 匹配。 第九题思考一下，我们讲下第九题啊。第九题特征图形，其中封闭区间明显，我们发现鼠面的数量第一行有规律，第二行就没有了， 还有什么称图呢？曲线明显啊，切点取值焦点曲线数数量规律不明显，可以看什么呀？取值性别忘了啊，第一列全是由直线组成的，第二列全是由曲线组成的，第三列都是由直线加曲线组成。 那我们找直加取的呗， a 和 b 纯直线， c 是 纯曲线，第四个直线加曲线啊，所以第九题只有第四个是直线加曲线组成啊。 第十题思考一下，我们讲下第十题啊，第十题呢，特征图形仍然是曲线明显，切点取之交点，曲线数还是没有规律啊。 如果我们去看曲直性，确实存在规律，第一个图是直线加曲线，第二图也是直线加曲线， 第三个图是直线图形，第四个图是直线加曲线。如果找个直线加曲线的，确实能选到第二个啊，但是这个规律不是特别明显，因为关于中间两边对称的看，我们说过啊，其实频率不是特别高。 这道题呢，还有个更严谨的看法，看什么呢？看笔画，因为切点也是笔画的特征图形啊，填字型日行即变形，端点明显，相交的圆切点出现优先。可以数笔画，一笔画，两笔画，三笔画，四笔画。那找五笔画呗。 a 选项不是五笔是一笔啊。 b 选项呢？多了，这是一二三四五六笔了。 c 选项呢，它是五笔啊，一二三四五六七八九十十个基点五笔画。 第四个呢，是六个基点三笔画啊，所以第十题数笔画更严谨，但是可能第一时间没有看出来啊。 那如果有同学看了部分数，哎，连在一起一部分两部分，三部分四部分，找个五部分他也没答案。 没有五部分的啊，所以数笔画等差数列更严谨一些啊。也建议大家按笔画去数，如果你按照曲直性去选答案了，可能大概率会选错啊。所以第十题选择 c 选项啊。这是今天的几道题目。

同学们，你知道吗？图形推你完全可以作弊，只要你学会我这套图推的万能秒题口诀，我让你的图推十秒一题直接秒杀。 好，首先我来简单的测试一下各位同学，给同学们十五秒钟的时间，你自己来做一下这道题。如果说你拿到这样一道题，你没有任何的思维，没有任何的逻辑，那么接下来我讲的图推万能公式，你一定要认真听，听完我就让你的图推十秒一题直接秒杀。 好吧，那么第一个万能公式叫做，我们只要今后在做图推的时候，只要遇到了大箭头这样的东西，这样的东西或者说平行四边形，或者说梯形，他只能考虑一个考点，叫做平行线。 同学们，现在不要觉得简单啊，这只是一个简单的思维，后面还有非常进阶的思维啊。那么我们为什么遇到这些东西需要去考虑平行线呢？我们要知其然，知其所以然，我来把原理给大家解释明白啊。首先， 为什么我们的大箭头要这样画，而不是去这样画呢？箭头明明可以这样画，为什么不这样画而去这样画呢？因为如果说我这样画出来的箭头，他没有平行线， 如果说我这样画出来的箭头，你看，很明显这里构造了一组，这里又构造了一组，这里又构造了一组。所以呢，他这样画这个箭头的目的就是为了构造平行线，所以我只要看到大箭头，就要去思考平行线。同理呀，你看 平行四边形也是一样的，我们顾名思义，平行四边形，平行四边形。我们知道平行四边形最本质的特征就是有两组平行线，同理啊，你看梯形也是一样的呀，梯形也是最本质的被最本质的特征是突出这个平行线啊， 所以我们只要看到这些图形，要优先去思考平行线。好吧，那么来简单的带大家做几道题目，好吧，先做几道比较基础的题目，后面还有比较难的进阶题目啊，比如说这道题出现了箭头啊，平行四边形梯形考虑平行线，我会发现 一三五为一组是一组平行线，二四六是三组平行线。这个我就不带大家数了啊，大家自己去数一下。再比如说这一题，我这里出现了 t 型啊，我这里出现了 t 型啊，我这里出现了平行四边形，所以我考虑平行线，这里是两组，这里是两组，这里是两组，这里三组三组。问号处我需要填三组，只有 a 选项是三组，好吧，那么到这里很多同学你在市面上都听过，都学过，这平行线谁不会了？ 那么到这里有很多同学也心里面会有一个疑问啊，说老师，我一直非常困扰我的问题，就是我三条线，它到底是算一组平行线还是两组平行线，还是三组平行线？在这里我给大家明确的规定啊，三条一样的线条永远只能算一组平行线，为什么？ 因为有的人说算两组，我来给你们解释一下，你看，比如说我这里是不是有三条一样的线，如果说你是算两组的话，来，我来给大家标一个，这里是一，这里是二，这里是三。来，如果说我算两组，我一和二，你算一组，那么我二和三也能算一组，那么我排列组合，我一和三也能算一组呀， 我排列组合，我有三种方式，我为什么不能算三组啊？算，算三组了。所以呢，同学们，你只要记住，只要出现了三条一样的线条，我们只能算做一组平行线。同学们，这个原理我给大家讲明白了吧？那么讲明白了之后，来看一下二五年中考题目，只有百分之八的正确率啊，非常的低的正确率的一道题啊。 首先我这里出现了平行四边形，出现了梯形，所以我只能考虑平行线这个考点。来我数平行线， 这里是不是一组来，横着的是一组，斜着的是一组，所以它是三组啊，这里是两组，你看这样是一组，这样是一组两组。那么这里呢？你看，三条一样的线，我算 一组。好吧，那么竖着的也有三条一样的线，我再算一组，那么斜着的你看也是三条一样的线，我也算一组，所以呢，分别有三组，那么问号数我不知道。接着看，这里来，横着的又有三条一样的线算一组， 竖着的三条一样的线算一组，斜着的三条一样的线又算一组，所以也是三组。那么有什么规律呢？我会发现平行线是三二三二三二这样 交替出现，所以我的问号处要填一个两组平行线的，那么只有二 b 选项，你看，这里是一组啊，这里是一组，是不是两组平行线，所以我选 d。 那 么到这里，很多人说，老师，我平行线的考点就结束了吗？并没有，还有进阶的思维，进阶的逻辑。我们再来再比划这一题， 二五年生考的题目，当时考场上是拦倒了一大片英雄好汉啊，有的说，老师，这一题太简单了，你看我怎么做？我这里出现了一个平行四边形啊，出现了一个梯形，所以呢，你刚刚跟我说了，出现梯形要考虑平行线，所以我数平行线，你看，这里一组，哎，这里一组哎，这里一组。 然后呢，这里是一组的，这里是一组的，所以问号处必然填一组呀，谁也不会呀，太简单了。但是呢，同学们， 我们会发现， a 选项是三组， b 选项这里是一个一组，呃， d 选项这里也是一组平行线，我 b 和 d 我 选不出来了呀，怎么办？这里就思考，这里就到了我们这个今天平行线的非常非常非常重要的一个考法，叫做复合考法。 所有同学啊，该做笔记做笔记，该截图截图。关于我们平行线的复合考法，第一类叫做 单一的考法，就单一的看啊，看平行线，如果说我的平行线的数量看不出来啊，组数看不出来，我们就要思考第二个非常重要的复合考法，就去看线的数量。 比如说啊，我一组平行线，他到底是有两条线构成还是有三条线构成？因为我刚跟他说了，我三条线他也算做一组平行线，所以你这个点要非常非常的格外重视啊，我大胆预测，二六年的省考，他大概率会考到这一点啊啊，你比如说这题， 我刚刚是不是保留了我的 b、 d 选项，我 b、 d 选项都是一组呀，因为我这道题，我问号处需要填一个一组平行线的，你看，我 b 选项是由三条线构成的一组平行线，而我们的 d 选项是由两条线构成的一组平行线，那么我再次去返回题干，我来看一下题干， 我题干中所有的一组平行线都是由两条线条构成的，所以我只能选择四 d 选项，这题就是选 d。 好吧，所以各位同学，我今天跟大家讲的啊，这个图推的万能公式到底该如何识别啊，以及关于我的争议点，坑点，以及关于我们啊这个，呃，到底该如何识别以及前面讲的一些啊，关于我今天的复合考法，我全部都给大家整理成思维导图了，大家自己拿回去看， 以及汉字字母结构图的我们今天直今天这个啊，短视频没有办法讲那么多，所以呢，我全部给它整理成思维导图了，大家自己拿回去认真看，认真学好不好？嗯，跟大家说一下怎么领取吧！所有同学， 各个模块的所有资料全部无偿分享给大家。首先你要给我点个关注，你在我的评论区回复万能公式这几个字，我将把所有的资料全部无偿分享给大家，好吧，除此之外呢，最为关键的是这两节精品课， 这两节精品课是对我前面送给大家所有资料的一个详细的讲解，如果说你能把这两节精品课给认真听完，你的行测最少还能提高个十到十五分，好吧，我绝不是跟大家微言所听，大家自己去听一下成效。好吧，那么最后我希望送给大家一句话 啊，最后，审考还有二十多天的时间内，你一定要拒绝盲目的刷题，因为你会发现，你刷的题目越多，越会陷入你的思维的坑点，就像今天我讲的这些题目一样，你刷再多的题目你也体悟不到，体会不到这种思维和逻辑，所以呢，一定要学习真正的实战的方法和逻辑，就像我今天啊 短视频跟大家讲的这些方法一样，好吧，所以同学们把这些资料认认真真的拿回去看，认认真真的学。最后我送你九个字，各位同学，来得及，学得会，考得上。各位同学，我们一起加油！

教资笔试，一看到材料分析题就脑袋空白，写了满满一页却总被扣分，问题不再不会背，而在你根本没抓住出题逻辑。 所有材料分析题本质都围绕七个核心，教育理念、教学问题、班级管理、突发事件、班主任工作、教学评价，先判断方向，再套理论分，自然就稳了。第一大类教育理念，必考三观，教学观，从以教为中心到以学为中心，从教知识到教方法， 从重结论，轻过程到更重过程，从关注学科到关注人。学生观，学生是发展的人、独特的人、具有独立意义的人。 关键词，发展潜能、因材施教，尊重差异。教师观，教师是学习的促进者，强调尊重、赞赏与启发引导。第二类教学问题，重点答，教学原则和方法原则，常考启发性，循序渐进，因持施教理论，联系实际 方法常考讲授法、讨论法、演示法、发现法、问答法，再结合预设与生成相结合教育机制进行分析。 第三类德遇问题，牢记原则，疏导原则，知行统一，言辞相忌，常善就施。方法，说服教育榜样，示范、实践锻炼。第四类班级管理，抓自主参与，教管结合，情通理达。第五类突发事件原则，教育性、客观性、冷处理 方法，冷静调查，公平处理，及时引导。第六类，班主任工作，分层教育，先进生、中等生、后晋升，加强家校沟通。第七类教学评价，强调发展性评价、多元评价、过程性评价。结尾记住公式， 方向判断加理论表述加结合材料分析，掌握框架，材料再长都能写满分。结构完整版资料说一声，我要就有了！

有一个问题一直困扰了我很久，那就是圆锥曲线中的多动点抽象直线问题，为什么放眼全网还没有个老实人讲清楚？这明明是解析几何中最重要的板块啊，如果你没有学过系统的方法，考试甚至连下笔都成了困难。就像这几天有不少同学问树飞的广东佛山一模、惠州二调以及广州市林木， 这几道题都有着共同的特征，就是曲线上有三到四个动点以及多直线情况。大家用一二四定义点确实可以分析清楚点的先后产生顺序，但是这个计算量却是异常的复杂，尤其是最后的深层点以及深层直线，无论是表示还是计算都难以处理， 这是由于曲线中多变量的复杂性带来的必然结果。比如这道广东佛山一模整张卷子的第十六道题，名副其实的压轴题，题目中 p、 q、 r 三点均为动点。想证明直线 q r 过定点，需要表示出 q r 的 直线方程。然后大家先要设出 p、 q、 p、 r 以及 q r 三者的直线方程。如图所示， 是有着六个变量， k 一、 b 一、 k 二、 b 二、 k 三、 b 三，极难化解与处理。那大家如果现在采用一二次定点的分析思路的话，我们可以减少变量。大家想表示出 q r 的 方程，需要 q r 的 坐标，其中 r 点是 p b 与双曲线的交点，因为 b 点已知，所以就需要求解 p 的 坐标，所以 p 点和 q 点就是依次定义点 是所有点产生的源头。所以我们就可以设 p q 的 直线方程为 y 点， k b 的 x 减二加三， q 点和 r 点就可以用 p 以及 q 的 坐标来表示了，这当然是正确的思路，官方的标答也是这么做的。但是各位同学们，你们看一下官方标答这个答案写的 这个计算量，你考试能写的下去吗？就算你能写的下去，你考试的时间够吗？考试的答题卡够写吗？显然是不够的。所以对于这种最后一条直线疑难处理，非常难表示的情况，我们统一称之为多动点抽象直线问题。归根结底，这类问题难算的原因终究还是因为变量过多。 如果你说这直线不好，那我们可以设 p、 q、 r 三点的坐标， x 一、 y 一， x 二， y 三、 y 三，也是六个坐标，依旧难以处理。 所以对于这种情况，我们的正确思路是采用三角代换，把变量减小为三个，即 t 一、 t 二、 t 三三角直线方程，我们用 t 一、 t 二、 t 三即可直接表示，极大减少计算量以及思维难度，这就是三角代换的优势所在。所以现在各位同学们，我们来看一下三角代换到底是如何秒杀这类抽象直线问题的。 哈喽，大家好，我是苏菲啊，欢迎我们二零一六年寒假特别更新专题片三角大幻。那么这一部分主要是帮助各位同学解决，在解析几何压轴题中遇到多个动点，以多个直线，尤其是最后一条直线啊，特别难表示的题目， 我们用三角代换就可以轻松解决。为什么要讲这个专题呢？因为有很多同学特别想学一学圆锥曲线不连的一个体系，但是我告诉各位同学啊，你像定比点差了，斜率双用斜率调整，世上都是有一些门槛的，你学起来没那么轻松，包括考试应用的时候肯定想不到，但是我告诉你，三角代换和刚才讲的所有方案都不同， 它是一个门槛特别低的，基本上你只要见过一次，写过几道题，就能轻松解决，轻松学会的一个方法，而且它实用性特别高， 百分之九十以上的定点定值问题，你用三角代换做起来都超级简单啊，所以我个人觉得它是原子取旋不连体体重啊，可以爬到 number one 的 一个方法，所以希望大家能好好体会，来学习一下。 我们来讲这个三角代换之前啊，前面的这个开头也给大家介绍了三角代换最大的特征啊，就是可以减少变量，比如说你用三个位置直线的时候，有六个变量，但是你采用三角代换可以将变量减少为三个，就是这里 t 一 t 二 t 三，一个同学会说，哎飞哥， t 一 t 二 t 三什么意思呢？实际上 t 呢，就等于贪进了 alpha 的 c， 它 我们在写题目的时候啊，就是把这个 t 贪进了 alpha 的 c， 它用万能公式把扩散和散哎变到同样的式之中。我们来简单讲下啥意思啊， 首先啊，大家都知道 a 八 x 方加 b 方方等于一的时候，咱可以用什么三角换元，或者说有什么叫参，叫这个参数方程啊， x a b 扩散 c d y 等于 b b c d。 然后大家注意，我们事实上可以用万能公式啊，把扩散和 c 同时用贪心的二分之 c d 来表示，怎么表示呢？我们拿这个三以 c d 来表示。 c， d 可以 写成什么？可以写成二乘上二分之 c d a 角公式吗？所以它等于二乘上一个 散以二分的 c 乘扩散二分的 c， 分 母不是一吗？一又可以十多，谁散平方二分的 c 加上扩散平方二分的 c 大。 好，这一步呢？上下同时除以一个扩散平方二分的 c 大。 好，大家发现了，这是谁啊？ 它不就是二乘上散以二分的 c 大 除以扩散二分的 c 大， 分母呢？就一加上 c 的 平方二分的 c 大 除以扩散平方二分的 c 大。 好，那么大家知道了， sin 二分之 c 除以 cos 二分之 c， 这不是贪婪的二分之 c 吗？分母是贪婪的平方二分之 c， 那 它是谁啊？它不就是等于二倍的 贪婪的二分之 c 除以一加上一个贪婪的平方二分之 c， 它。所以如果说我们再来进一个换元令 t 呢，等于贪婪的二分之 c 它，我们三分之 c， 它就等于谁啊？它呢就等于二 t 除以一个一加 t 方了。 所以同样的道理，我们扩散 c， 它呢可以表示成扩散平方二分的 c， 它解决三平方二分的 c 它，那么它呢？上下同时除以扩散平方二分的 c， 它就变成了一个一减 t 方除以一加 t 方了。那么前面这个系数 a 啊，不要忘啊，下面有个系数 b， 那 么这个是基本的还原过程啊， 我们三角代换换出来之后呢，大家发现我们 x 和 y 啊，居然都可以用什么一个相同的圆，就说这个 t 来表示，事实上这是个非常强的条件啊，这是为啥呢？比如给大家举个例子啊，假如说你椭圆分成四分之 x 方加 y 方等于一， 你如果不进行代换的话。有同学说，飞哥，假如说 x 一 y 呢？在椭圆上，我 x 一 和 y 呢？在椭圆方中也能互相表示，比如说 y 一 方呢？等于一减去四分之 x 一 方。好，你这里 y 是 不是要开个根号呀？来个什么？来个正负，把根号开掉， 来正负根号。好，那错了，飞哥，你看我现在 y 一 和 x 一 也是互相表示了，但是也是个圆，比如说你这 y 一 也变形一下。但是我想问一下各位同学啊，你这个地方能直接进行加减乘除的一个运算吗？ 比如说你 x 一 乘上一个 y 一， 你把这个东西好， y 一 等于它带进去，你能直接运算出来个有理的结果吗？运算不出来有根号，你或者 x 一 加上 y 一， 你能运算出来吗？运算不出来。 大家注意，你这里面 x 加 y， 就 x 和 y 他 两个同时用 t 来表示的时候，这两个都是有理的一个式子。你无论是 x 加 y， x 减 y 加减乘除任何结果，他都是有理的，预算不包含根式。那有，他又说了，飞哥，三角函数中他不也是只有一个圆 c 大 吗？ 那大家在想个问题啊，你三角函数中你散 c 大 加扩散 c 大 是能用辅助角公式啊，但事实上它局限于三角函数这个 三元预算中还是有限度。但是大家想像这种公式的一个结构，他加点乘除有限制吗？没有任何的限制，随便你怎么算，往后写就完事了。所以这就是三角代换为什么计算量简单的一个原因啊，他可以直接进行有理的计算， 然后下一步我们发现这里面这个点坐标是能设出来之后啊，你比如说你设 m 点坐标是什么？ a 倍的一减 t 一 方，一加 t 一 方， b 倍的二 t 移除以一加 t 一 方 n 点，同样设这里，变成什么？变成个 t 二，好，那么这时候我们 m n 的 斜率要可以怎么办？ b m 的 斜率 就变得像，比如说这这个什么这 x 二 y， 这是 x 一 y 一 好，等于 y 一 减去一个 y 二， x 一 减去一个 x 二，这不是斜率的关系式吗？你把这两个东西都带进去，它事实上结果就是个非常好看的形式，等于 a 分 之 b 乘上 t 一 起 t 一 乘 t 二减一 除以 t 一 加 t 二，这是个非常好看的结果。然后我们同样呢，这个 m n 的 直线方程啊，也是可以表述出来的，这个大家一定要注意啊，这是 m n 的 一个方程，是必须要去记住的。我们在三角代换中啊，只有两个东西要记住，一个什么我们的点构造的形式，另一个直线方程，你比如说像这里面斜率啊， 你直线方程都有了，那你 k m n 是 不是自然就有了呀？比如你左右同时除以什么 a b 的 t 加上 t 二，好，你把这个负 b x 这个整体再移到右边， 那斜率不就是前面的系数吗？就 a 分 之 b 乘上后面这玩意啊，那这就是它的斜率，所以直线方程记住之后，后面都很简单。那有同学说，飞哥，这个直线方程怎么得到的呀？那事实上呢，苏菲可以跟大家分享一个什么？分享一个三角统购的一个做法， 那这个方法的话算是什么？我们这里面三角代换最完美，也不说最完美吧，最优美的一个真法。 首先啊，我们可以设一下这里面这个直线方程，假如说像这里面我们用的是 m n 嘛，我们把 m n 的 直线方程就设为一个 y 等于一个 k， b 的 x 加 m， 然后你看我们刚才讲两个点吗？是吧？ a 倍的一减 t 一 方， a 倍的一加 t 一 方二， b， t 除以加 t 一 方，同样还有二呀，所以说我们这里啊，可以用 a 小 标 a 来表示，二等于一，都二，对吧？它两个点都可以，一个是 m 点，一个是 n 点，你把这两个点啊，代入到这个直线中， y 等于 x 加 m， 带进去，你就发现它可以写的是什么？有关于 t i 平方的一个关系式。那这里实际上你看，第一个是 t 一 的平方 t 一， 第二是 t 二的平方 t 二， 它是两个方程，但是呢，可以写到同一个关系式中，所以你就发现了这个是什么？这是同构方程呀，有些，有些老师也叫什么叫空减方程，你就可以得到， t 一 加 t， 二等于二， b 除以 m 减 ak， t 乘七，二呢等于 ak 加 m 除以 m 减 ak， 那咱们令大 a 呢，等于 m 减一 k， 就 这个分母，所以咱们发现啊， t 加 t， 二等于二， b 除以 a， t 乘 t， 二等于 a， k 加 m 除以。好， t 乘 t 加 t 乘 t 减一，分别等于这两个数。好，现在大家注意，我们对 a 乘上 t 加 t， 二 b 乘 乘上一个 t 乘 t 减一， ab 再乘 t 乘 t， 二加一，得到一二三三个式。好，我们拿二式除以这个一式， 就下面除以上面我们发现，哎， r a b r a 除以 r a b a r a b a 是 不是都消掉了，就剩个单独 k？ 所以 咱们发现斜率 k 的 结果是什么？ b 乘 t 一， b 乘上有个 t 乘 t 减一，分母是 a 倍的 t 一 加 t 二。 好，我们拿三式再来除以，一时候会发现什么 i b a 又消掉了，最后得到 m m 等于这个玩意好，他发现我们不是 m 的 值线，是 y 等于 k x 加 m 吗？所以你现在 k 和 m 都有了，你把它带到直线方程中，那么它就是 y 等于好分母， a 倍的 t 加 t， r 分 之一都可以给它提出来嘛。提到前面去， b 倍的 t 乘 t， r 减一， x 加上一个 a b， t 乘 t， r 加一。好，大家发现我们这个 b 倍的 t 乘 t， r 减一，移到左边， 发现不就是个直线方程吗？这直线方程是谁？就是 a 倍的 y 乘上 t 加 t 二加上 b 倍的 x 乘上 t 乘 t 二减 e 等于 ab 乘上一个 t 乘 t 二加 e 啊。这个直线方程大家写几次就能记住，并且证明过程也给大家讲清楚了。 那我们讲一下啊，怎么有，怎么有，没有什么快速的办法记住这个直线方程啊？那其实最好的办法呢，就是大家把我刚才写这个证明过程啊，自己去推倒一遍，你就能记个大概了。那有同学说我比较懒，怎么办呢？那我也教你怎么记。首先你要记住啊，前面有个 a， y， b x， 右边是不是有 ab， 所以 它们这三个系数啊，你看， 对，因为是方程嘛，直线方程肯定有 x y 嘛， a 和 x 放一起，你像椭圆方程中 b x， a y 是 不是刚好交叉的关系啊？所以你先把前面几个系数记住 a y， 那后面注意，这是减 b x 啊，这个减 b x， 然后右边呢？等于一个 a b。 好， 下一步记谁呢？记这个 a y， 后面这个结果 t 一 加 t 二，因为它是这个单独独立出来的。 好，我说你把这个东西记完，你结束了，为什么呢？因为大家注意，你看剩下这两个数， t 乘 t 减一， t 乘 t 加一，它两个长得很像嘛，只不过是什么？是一负一正，这时候你就要记系数，你看前面是不是减 b x 啊，所以减 b x 和这个负一放一起，你看负一乘负一不就是个正一吗？右边也是个加一 啊，所以大家记住了，这左右两边啊，夫夫得正，你就看看这个系数好不好。那你就知道前面有个符号的对应谁啊？就对应呢是 t 一 乘 t 二减一，右边是个正好，就 t 一 乘 t 二再加上一，这个呢就是 m n 的 直线方程，这是一定要去记住的，各位同学们一定要记住它。 好，那我们先看一下这个双曲线中三角代换这个方程是怎么回事啊？大家记住双曲线这个设的这个点啊， x 和 y 这 c 大 探径值，它是变化了一下，它用的是什么？它用的是扩散平方 c 大 分之一减去探径的平方 c 大 等一，用的是这个三角函数。 怎么来的？就是一减去三平方 c 大 等于扩散平方 c 大。 你看，原来不是三一方加扩散方等于一吗？你把三一方移到左边，变成一减三一方。好，这时候左右同时除以扩散平方 c 大， 右边变成个一了，就变成扩散平方 c 大 分之一减去贪婪的平方 c 大 等于一。 好，那你和我们这个双曲线方程对应一下， a 方 x 方减 b 方， y 方等于，所以 x 等于多少？ a 倍的扩散 a 出一个扩散 c 的， y 等于 b 乘它的 c 的， 你看两个是对应嘛？所以说这里面这三角换元啊，是这么来的啊，它用了一个新的恒等式， 然后呢大家需要去注意一下，我们用了新的恒等式之后，我们这个点一样，干嘛要用万能公式去变，你看扩散 c， 它一样分母，对吧？分子是个一，那同时扩散平方二分之 c， 它就变成一个 a 乘一加地方除以减地方 单进的 c， 它呢其实可以直接用什么二乘上二分之 c， 只是二倍角公式展开就等于二 t 呢，除以一减地方了。 所以他现在发现了，我们 x 和 y 市场都可以买一样，双曲线中一样可以用 t 来表示，那么他一样啊，我们把 ab 设出来之后，我们有个什么有 ab 的 方程了，所以这个 ab 的 方程大家也需要去注意一下，也需要去记忆。然后我们现在注意给大家写一下吧，我们这个 椭圆方程是上面，对吧？上面是什么？上面这是椭圆的方程，然后双曲线的方程是什么样呢？来，其实我可以给大家写一下，我给你们写到一块，大家就好记忆了。双曲线的方程啊，市场唯一的区别 就是这里面。来，我给大家写一下，等我用这个紫色的笔标，唯一的区别呢，就是这个负一正一，他变了一下号，对吧？这里减号变成加号，后面的加号变成个减号， 其他结果大家看是没有任何的变化，你看把这个 y 移到前面去，这 x 移到前面去，原来式子也不变。所以说椭圆和双曲线中啊，你是上设的直线，方程中唯一的区别就是这个减一变成加一，后面的加一，仅此而已好吗？朋友，大家注意啊，我们这个设点的方程也有个巧妙的记忆方式，来大家对比一下。 我们上面呢是这个椭圆的这个 x 和 y。 好， 下面是双曲线的 x 和 y， 大家发现其实系数 ab 都是一样的嘛，那唯一的区别是什么？其实我可以告诉大家，就是 t 方变成一个负的一个 t 方了，大家可以看一下来很多标，一加 t 方除以一减 t 方除以加 t 方。 这个双曲线是一加 t 方除一减 t 方。来给大家写一遍，一减 t 方，这是椭圆的，前面是椭圆， 一减 t 方除以一加 t 方。然后双曲线是什么？是一加 t 方除以一减 t 方来，大家发现了唯一的区别是什么？不就是 t 方变成负地方了，前面负的变成正了，分母的是什么？正的变成负了，就这么简单。然后你看这个纵坐标 二 t 是 依次向不动了吗？然后下面正的 t 方变成什么？变成负地方，所以仅此而已。 t 方变成负地方就是椭圆变成双曲线的这个式子就得出来了。 然后我们再讲下这个双曲线的三角代换啊，这个双曲线三角代换呢？事实上大家直接记结果就行了，就是 a 等于 r p t 方，这是 r p t， 你 看把它带进去啊。 y 方呢等于二 p x， 你 看这是 x， 这是 y， 你 把它带进去 r p t， 它的平方是不是刚好等于二 p 乘上一个二 p t 方呀？啊，所以说双抛物线三角代换直接记形式就可以了，但其实一般也很少碰到这个双曲，这个抛物线的三角代换用的比较少，大家关键还记什么？记椭圆和双曲线，这个是在考试中啊，绝对高频的一个考点。 好，各位同学，我们来看下前几天新考的广东佛山一模啊，这本章卷子的第十九题，难度非常之大，并且在视频开头，苏菲给他展示了一下，那么长的计算量，就是连力体现一下。这道题的第三问，超级难算， 那么我们怎么样更好的处理这道题呢？就是运用三角代换，大家可以注意到本道题难表示的原因啊，就是因为这 r q 这个直线太难写了。那我们其实可以干嘛？可以采用三角换元，我们直接把 r q 的 方式给默写出来，后面其实就好写很多了，那这也是三角换元的基本思想所在。 朋友大家记住啊，写三角换元题目时啊，我们的方法步骤实际上就四步。第一步啊，开始读题，找题目中的动点及动直线。第二步啊，我们要把这个动点坐标都给设出来，并且默写这些动直线的方程。第三步，找到已知条件，得到 t 一 t 二 t 三的关系，因为你看每个点 t 一 t 二 t 三吗？ 然后用所这个。现在第四步啊，找所用直线的两个 t 的 关系。啥意思呢？我们都会讲啊，比如说你看，我们需要证明 q r 过定点，那你看了 q r 这个直线，用的是 q 和 r 这两个点，什么就是 t r 和 t 三，所以你要找的什么是让 t r 和 t 三之间的关系？事实上就四步，所以咱们现在一步一步来啊。第一步找动点动直线，这个题目中读下题， x 方减 y 方等于一的双曲线好， a 二三 b 二一，这是两个点得到之后啊， 现在题目这么说的， a p 向量等于纳曼塔倍的 a q 向量，说直白点， a p q 三点攻线，或者说 a p 直线交下面这个少女线啊，于一个 q 点就 p q 两个点嘛，然后过点 p 呢？又来一个直线， p b b 是 二逗号，一是一个定点 与这个双曲线，另一个点交于什么？交于一个 r 点好， r 点的定义交代了，现在说让你证明啊，刚才的一个 q 点和 r 点，这个直线是过一个定点，并且要把这个定点坐标给求出来。所以正常连线体系下，我们视频开头也讲了，你需要用什么一二四定义点分析清楚啊，最后的这个坐标啊，极其的丑陋，极其的难看 啊，并且这个计算量很大啊，很多同学考试肯定算不完的，所以我们看下怎么三个吗？ p q r， 你看除此之外还有其他啥吗？ a b 不是 定点吗？然后动直线有几个？大家发现 p b 一个， p q 一个， r q 是 一个呀，那三个点只有这什么？只有三个动直线吗？就是 p q， r q 以及什么以及 pr。 所以 现在啊，我们接下来干嘛？下一步第二步就是把三个动点坐标给设出来，你看分别用 t 一， t r t 三来表示，然后去默写直线方程 p q r q pr 来表示出来就行了。咱们过程怎么写呢？恕非给大家来写一下，设 p 的 坐标， q 的 坐标， r 的 坐标。 当我们把点写出来之后啊，下一步就是要去默写这个直线方程，那默写直线方程有个步骤，大家需要注意一下，你需要把这个 p q， 比如说 p 啊，直线方程的证明过程简单写一写。怎么写呢？就要这么写啊，就写个则，那比如说 p q 直线方程写出来是多啊，就 y 减去一个二倍的 t 一 除以一减去 t 一 方 等于多少呢？你看，这就这么理解啊，就 x 一 y 一 x 二， y 减去 y 一 等于多少？ k p q 乘上一个 x 减 x 一 k p q 斜率怎么写呢？就 y 二减 y 一 x 二减 x 一， 把它带进去就行了，把每个点给它带入啊， 非常简单。那这个是二倍的 t 一 啊，除以一减 t 一 方，减去一个二倍的 t 二除以一减去 t 二方，那分母多少呢？就一加上 t 的 平方，除以一减 t 的 平方，减去一加上 t 二的平方，除以一减去 t 二的平方，你把它代入， 那乘上多少呢？ x 减去一加上 t 的 平方，除以一减去 t 的 平方啊，你把这知识点写出来 这个地方，其实大家发现了，我们证明是用什么，是用铜锣三角去做的，但是考试没有人会在乎这些东西啊，你直接下不来个什么，来个化简可得。哎，你把你说我把这些方程化简得了，没毛病吧，那肯定是可以来化简可得， p q 这些方程来 p q 这些方程，除非在大家带这个大家再来背一下啊， 前面是多少呢？前面是 a b 的 y 乘上多少，乘上一个 t 一 加 t 二来 t 一 加 t 二，然后减去一个 b， b 的 x 乘上多少呢？乘上一个 t 一 乘上一个 t 二，然后面 右边有个 a b， t 乘 t 二，然后面呢？这加减一，加减一怎么看呢？我们刚才讲了，你如果是椭圆的话， 负负得正吗？这里是个减一，右边是加一，但你看这里不是个双曲线吗？所以说这里负啊，这是正一，右边是减一，大家记住了吗？啊，你是这么去记一个正负的？哎，这里加一啊，右边呢，是一个减一，然后我们这里面啊，由于说 x 方减 y 方等于啊，所以说 a 是 一， b 也是一。那我们这个方程就简单了呀， 就是一个 t 一 加上一个 tr， 你 看全部都是一嘛，一一一都给去掉了。 t 加 tr 乘 y 减去一个 t， 一 乘上 tr， 加一乘上一个 x， 那 你把 x 写前面也可以啊，你像我平时喜欢把 x 写前面，方便看见啊，然后右边的话是多少 t 一 乘 tr， 再来减去一，这个就是 b q 的 直线方程了。 那下一步干嘛呢？你需要把这个 d r 和 q r 的 直线方程写出来。大家发现我们如果想撇 p r 和 q r 的 方程的时候，大家注意 唯一的区别，你比如说你写 pr 的 时候，相当于把 q 换成 r 嘛，区别就是把 tr 变成 t 三。其他方程有任何的结构变化吗？没有任何的结构变化，所以下一步啊，直接默写就行了，你可以直接来一个同理，对吧？我给它写出来了这一步， 下步就直接同理，对吧？你把这个 p 啊和 r q 方程直接写出来，行，因为这是同理。可得啊，这方程的结构啊，都是一模一样的，所以我自己就说啊，这世上就是什么，这就是上完完整整的一个什么默写 t， 所以 来个同理， 同理 d 啊和 r q 两个方程也写出来了。好，现在我们前两步完成，射度点动直线写出来，射度点默写直线方程也写出来了。第三步，找已知条件， 得到 t 一 t 二 t 三等的关系。这个已知条件怎么找呢？事实上非常简单啊，就直接看这个题目来，我们看第二问，读下题， p q 是 右值上两个点存在时数，然后它使得 a p 向量等于 a p q 向量。这句话说的直白点，第一个条件来了，那就是我们刚才讲的嘛， 这个 p q 这个直线是不是过点 a 啊？ a 的 坐标多少二得号三。所以你把这个 p q 直线，这个是第一个条件嘛，它过 a 的 话二得号三，然后下一步再找条件。 第二问，直线 b b 与这个抛物线这个双曲线另一支啊，交于一个 r 点，对吧？就与这支交个 r 点，那他发现了这句话意思是什么？世上不就是 p r 这个直线过 b 点吗？所以说第二个条件来了， p r 过 b 点， d r 直线过 b 点， b 点坐标是二逗号一。好，咱们现在发现了两个条件都有了，一个过 a 多 a 二逗号三，一个过二逗号一。来，咱们先看可以得到啥关系啊，来，后面写一下，首先 p q 呢，它是过多少二逗号三这一个点的，然后 p r 呢，是过二逗号一这个点的。来， 咱先看 p q 过二逗号三啊，就相当于把 p q 这个直线方程带入。什么把这个二逗号三带入，那这里大家需要注意一个细节啊，前面这里是个 y 啊，所以说你带的时候，原来同学第一次写你喜欢把你把 x 的 话带反掉了，你看这里是三啊，这是二，你带二逗号三的时候不要带反了，耿总别带反， 这是个小细节，所以带进去的时候， t 一 加上一个 t 二乘上一个三，减去一个二倍的 t 一 乘 t 二加一，右边呢，等于 t 一 乘 t 二，再来减去一。好，你这可以提个三过来吗？ 然后大家一看啊，我们这个事实上可以再进行化简一步啊，但是其实也没必要啊，因为目前就能看到这么多了。然后下一步啊，这个 pr 呢，是过二逗号一的，这是一，这是二，你把它带进去，你发现什么啊？我们发现 t 加上一个 t 三，这变成一和三了吗？然后减去一个二倍的 t 乘 t 二 加一，等于 t 一 乘 t 二，对吧？这是三了，对吧？这是三，因为 r 是 三嘛，你看把这个 p r 带进去，这里是一，这里是二，好，是这样的形式结果啊，咱们其实可以把这形式结果写的好看一点啊，你比如说这个二倍的 t 一 t 二移到右边，变成三倍的 t 一， t 二，右边是减一移过去变成加二， 所以说这里实际上可以把它写的更好看一些，就是三倍的 t 乘 t 一 加上 t 二之上呢，是可以写为等于 t 一 乘上 t 二，再乘个三，就三倍的 t 一 乘上 t 二，最后呢，再来加上一个一的，右边可写的稍微好看点，然后下面同理啊，你看 负这个负二倍的 t 一 t 三，再来加上二，负一消掉，变成个正一，然后这里变成三倍的 t 一 t 三， 这个结果可以写的稍微好看一些，那等于三倍的 t 一 t 三啊，然后再来加上个 e。 好， 现在呢，我们这个第三步完成了，找到已知条件，得到 t 一 t 二 t 三等的关系，就这两个式的 关系得到了，来，咱看下一步。下一步呢，说我们要找所用直线的两个 t 的 关系，来，大家好品一下这句话什么意思啊？我们需要证明 q 啊过的定义，说白了我们需要看这里面 q 这个直线方程中，它用的是哪两个 t 啊？ 不就是 t 二和 t 三吗？你需要找到 t 二和 t 三的关系，这样才能证明直线过定点。那怎么样得到直线过定点？其实非常简单， 大家发现我们这里前面这个式子来这地方用的是 t 一 和 t 二的关系，下面这个式子是不是可以得到 t 一 和 t 三之间的关系？那大家都知道了，比如说你 a 是 等于三 b 的， 然后 a 又等于四 c 了。现在我想问你 b 和 c 之间的关系，同学们会不会啊， 你不就是拿这个 a 当做踏板就能得到 b 和 c 的 关系吗？所以你看，我们想找这个所用直线的关系，就是 t 二和 t 三之间的关系怎么找？就是用这个 t 一 作为踏板，你把 t 一 作为踏板，就会得到二和三之间的关系了。所以这一步啊，事实上非常的简单， 来把 t 一 当做个主圆移到一边，就是三倍的 t 一 减去一个三倍的 t 一， t 二移到一块去啊，就变成 t 一 呢，是等于三倍的 一，减去 t r 分 之一，减去一个三倍的 t r 分 母这个分子一减去三倍 t r 等于它的，而下面同样道理啊，你把这个三倍 t 三移到左边， t 一 等于多少呢？分母一减去三倍， 分子呢？是一减去 t 三。好， t 一 等于它， t 一 也等于下面这个东西，然后两者是相等呀，所以你写出来了，所以 t 一 等于多少？两个式咱移过来啊， 后面就是什么唇默写了，没有什么难度了已经。来给大家看一下， t 一 是等于它的，然后等于这个东西，然后咱们现在现在干嘛呢？直接给它交叉相乘啊，你就得到 t r t 三这关系了。交叉相乘，三倍的一减去 t r 乘上一个一减， t r 乘上一减三倍 t 三，对吧？交叉相乘 加上之后把它展开啊，这左边是变成一个三乘一减去 t 二乘上加上 t 二 t 三，然后减去 t 二，减去一个 t 三，右边等于 一加上九倍的 t 二乘上 t 三，然后减去一个三倍的 t 二，加上 t 三。好，这时候大家注意一下，这里可以写成减去 t 二加 t 三，前面是有个三嘛，所以这就是负三倍的 t 二加 t 三，右边是不是也有个 不三倍的 t r 加 t 三？所以说这两个 t r 加 t 三啊，咱直接给去掉它没了，然后这式子变成三加上三倍的 t r 乘 t 三， 结果等于一加上九倍的 t r t 三。哎，所以这式子一过来啊，就变成一个六倍的 t r 乘 t 三，结果呢，等于个二，所以 t r 乘 t 三，结果等于多少啊？ 结果呢，就等于一个三分之一的。好，那既然 t 二乘 t 三等于三分之一呢，咱能不能把它带入到我们这个 r q 之间方程中呢？你不就可以证明 r q 之间方程过定点了吗？所以下一步啊，就把它带入到我们的 r q 方程里面就完事了。所以说，将 t 二乘 t 三等于三分之一 代入到我们的 r q 方程中， r q 的 方程是多少？就是它来，咱移过来，带进去，把 r q 的 方程得到，这是 r q 的 方程。来，咱看一下，移过来 啊， q 的 方程是它移过来了，然后现在呢？我们需要干嘛？需要去证明它过定点？三分之一代入就是 t 二加上 t 三，乘上一个 y 减去 x， 注意，这不三分之一吗？就乘上个三分之四，就减去三分之四 x 了。带一下 三分之四，右边呢是三分之一减一，那是负的三分之二吗？移到左边是多少？加上个三分之三分之四 x 加三分之二。好，这式中可以提个负三分之二出来，变成一个多少二 x， 最后再减去个一，所以它呢，就是 减去一个三分之二 x， 三分之二乘上二 x 减去一，结果等于零，这个就是二 q 的 一个方程。好，那么这时候大家注意啊，我们现在想证明什么？直线这个 q 啊，过定点来， 他怎么过定点啊？说了这半截就是这个形式，结果 t 二和 t 三不是变量吗？你说说，说白了，这个前面这个系数吗？ y 前面系数得，不管它怎么变化，如果想保证方程为恒为零的话， y 得为零，后面二 x 减一也得为零，那直线不就过定点了？所以 二 x 减一等于零，所以你就发现 x 等于多少不是二分之一，所以说这个定点为多少 r q 过定点二分之一零嘛， 那么这就是非常完美的解决这个过程。然后我这想讲一下，前几天有个同学给我提个非常有意思的问题啊，说飞哥， 为什么我这个地方能直接，我老师就想写，所以这个东西等于零，另，这东西等于零，直接得到直线过定点，我感觉这个逻辑有点突兀啊，其实大家我可以跟你们说啊，你可以用这个思路把定点二分之零得到，你可以换种写法， 对吧？这个将二分之一零带入到我们这个 r q 直线方程，就这一堆啊，带进去你发现什么成立， 然后发现它是成立的，所以 r q 干嘛过二分之一零？因为你想嘛，你把一个定点带入到直线方程中，它发现它是不是横成立啊？所以说这个直线过这个地点，这个逻辑没毛病，非常的顺畅 啊。所以说有的同学们感觉这个这个逻辑，说实话我也感觉有点小毛病啊，但是所有老师都这么写，所有同学也这么写，也没人追究 啊，实际上后面这个逻辑啊，会更加好一点，大家体会一下。那各位同学们看这个第二题啊，第二题事实上是个标标准准的难题啊，非常的困难。可能有些同学看这个图形啊，好像很简单，证明直线 c d 过定点，但是我想告诉大家，你不信自己尝试，你用任何连击的做法都异常的复杂， 目前市面上比较流传两种解法，一种是定比减差，另一种就是我们现在讲的三角代换啊。这题为什么连力难做？其实原因非常简单，就是因为本题啊，丧失了这个对称性。我之前说这个直线过哪个定点，大家就能体会清楚啊，他过二分之五，负二分之三这一个定点， 那么这个定点它既不在 x 轴，也不在 y 轴上。大家同平时做的题嘛，可能在 x 轴或者 y 轴上，你就好做一些。像这种在平面中，比如说不确定在哪个坐标轴上的一个点，它实际上就比较难做了，属于一般性点，没有对称性，那你连立起来计算量就会巨大， 非常难写啊，所以我们一般呢，不用连立做这种题目。你比像这里面是有什么 a、 b、 c、 d 总共有四个点啊，四个点，事实上设计的多条动直线啊，那就很难做了啊，所以大家呢， 不建议用这个连进去做啊，用我们今天讲的三角代换就可以了。然后大家需要去注意个细节是什么呢？我们刚才讲的是双曲线嘛，所以有个设点的方式，这里的话，它什么，它是一个椭圆，所以我们椭圆的这个结果是什么？来，苏菲带大家背一下 a 背的啊，这个是 x y 嘛？就是 a， 这后面还有个 y。 来给大家写一下，带大家把这个东西背一下。 首先纵坐标事实上最好背，为什么？因为它是二 t 除以一个一加 t 方啊，这是最好背的，因为想证明过程中本来就三平方二的 c 大 扩散平方二的 c 大， 就这个一加 t 方嘛，最好背上面二 t 不 动， 然后所以你知道它两个分母一样，所以说这个地方分母呢，是一加 t 方，然后你知道了，我们刚才说过有一个负数是一减 t 方，所以椭圆中是 a 被的一减 t 方除以加 t 方， b 乘二， t 一 加 t 方， 然后这个方程是什么呢？直线方程，大家请记住啊，是 a 倍的 y 乘上一个 t， 一 加 t 二 减去一个 b， b 的 x 好， 右边呢，等于 ab 啊，一样，这是 t 一 t 二，然后后面呢，可能是加减一，加减一，不知道，那大家怎么去记忆呢？记住，这是个椭圆，所以说你负负得正。这里是减一，后面是加一，我不知道这么说大家有没有记忆清楚了， 这里是减一，后面是加一，然后本道题四三的一个椭圆，所以 a 等于二， b 等于根号三二，根号三啊。所以大家请把直线方程以及这个设点的形式啊，都给大家记，都给他记住了，因为这是完完全全的什么一个默写的过程，所以淑芬呢，直接把步骤给大家写清楚。你看， 我们把 a 的 坐标设出来， b 坐标设出来， c 坐标设出来， d 坐标设出来，你看这里面有几个点啊？题目这么说的，椭圆 e 四分之 x 方加三分之八方，等于斜率为 e 的 直线 l， 是 这个东西， ab 啊，与椭圆交于 ab， 两点啊，过，并且说这个什么 a， c 过什么直线 m 四零， b， d 也过直线 m 四零这个意思，剩下就证明什么直线 c， d， 它是过一个定点的， 等于说什么 c d。 这个题目为什么难做啊？因为大家体会下意思啊，是这么说的，先有 ab， 然后 m， a 呢？与椭圆交于 c 点， mb 呢？与椭圆交于 d 点， c 和 d 都是最后产生的，你时常想通过这种连力呢，比如 x 一 y 一 x 二 y 来表示出来是异常困难的，这气喘量超级无敌大， 这也是本道题难做的一个点啊，同时也因为它四个，它是有四个动点啊，所以做起来也会复杂一些啊。 但没关系，你看我们这个基本的默写步骤， a、 b、 c、 d 写出来， ab 是 它直线，你看，注意这个地方，一定要装模作样写一下。大家你不装模作样写一下会扣分的，化简可得就行了呀。同理， a、 c 是 它， b、 d 是 它， c、 d 是 它。下一步干嘛呀？我们要找条件了 对吧？我们条件怎么找呢？看题目有谁啊？来读下题。第一个映入眼帘的斜率为一的直线， l 交椭圆于 a、 b 两点，也说什么 k、 a、 b 斜率等于一的，那下一步点 m 四零， am 与椭圆交于 c 点， b， m 椭圆交于 d 点，换句话来说，不就是 a、 c a、 c 什么过这个 m 四多号零吗？然后同样 b、 d 直线是不是也过这个 m 四多号零啊？所以我们的条件看事实上是不是也过这个 m 四多号零啊？所以我们的条件看事实上是不是可以告诉大家， 你有四个洞点的话，就有三个条件。你像我们上一题中啊，是不是有 p、 q、 r 三个洞点啊？所以我们的条件是要两个。你像过两个点点，它是要两个条件。那如果你说有四个洞点的话，就是三个条件，比如你下到底可能五个洞点呢？那其实应该说要找到四个条件才对， 但在高考范围内啊，只像这种四个四个四个动点的情况，已经是撑破天的难度了啊。所以大家也没必要去说啊。飞哥，考到五个怎么办？不可能，考到五个就特别难了，考试呢，正常年龄答案应该是写不了了，所以出题人不会那么出。 咱们现在把这些条件都给带入啊。来， kb， 大家看，你直线方程不是有了吗？既然你直线方程有了，你看你的斜率，左右同时除以一个二倍的 t 一 加上个 t 二啊，你把这负根号三以左边，所以你发现你的斜率多少啊？ kb 就 等于一个根号三倍的 t 一 乘上 t 二 减一，除以一个二倍的 t 一 加 t 二。哎，这个结果实际上还是非常简单的，然后它呢，是等于一的，所以咱就发现了，二倍的 t 一 加 t 二， 结果等于谁啊？就等于根号三倍的 t 一 乘 t 二，就来减一。好，这第一个 t 与 t 的 关系。然后咱别忘了，这个 a c 是 不是过四零啊， b、 d 也过四零，所以咱们把它代入啊， b、 d 呢，也是过四，逗号零的来分别代入 a、 c 过四，逗号零的话，这里就是零嘛，这是个四，所以发现负四倍根号三乘了 t， d 乘 t 三减一，右边有二倍刚好三，所以左右同除二倍刚好三，这里升个负二 好，所以最后结果变成一个负二乘上 t 一， t 三减一等于右边是一嘛？就是 t 一 乘上 t 三加一。其实这里写出来挺好看的啊，就是咱直接得到就是移过去啊，三倍的 t 三， t 一， t 三一于左边，二减一等于一，就三倍的 t 一， t 三啊，结果等于一。那大家注意一下，下面不是总理吗？ b d 直线和 a c 直线，它不是相同结构吗？ 所以既然相同结构的时候，你这个式子啊，最后变形的结果，毫无疑问呢，一定是一变成二，三变成四，你都不用看了，带的结果一定是三倍的 t r t 四减一等于 t r t 四加一。所以咱发现多多三倍的 t r t 四啊，结果等于多少？等于个一。其实你可以写出来啊， 就是 t 一 等于三倍的 t 三分之一，然后 t 二等于个三倍的 t 四分之一。 好，现在找完条件了，那么大家看读下题题目，让我们去求证 c d 这个直线，它是过定点的。好， c d 是 我们做过求的，大家看 c d 直线与它有关的是哪两个 t 啊？我给大家写出来， 是不是 t 三和 t 四呀？然后我们看一下目前手里有的有几个条件，这是一个，下面也是两个，总共只有三个条件，你要找到 t 三 t 四的关系，这怎么找？咱们刚才讲，你比如说你 a 用 b 和 c， 对 吧？通过 a 这个跳板，你得到 bc 之间的关系， 那么对于这个式子而言啊，你有了 t 一 t 二这样的关系，就发现 t 一 可以用 t 三表示， t 二也可以用 t 四表示。你把这两个玩意带入到上市中，你看 t 一 是不是变成 t 三多少了， t 二变成 t 四多少了，他是不是就会有 t 三 t 四这样的关系了？所以这一步是这么来的，这里打个星号， 将 t 一 等于三倍的 t 三分之一， t 二等于三倍的 t 四分之一，我们代入到新式中。好，代入进去啊，就变成了一个二倍的，这是三倍的 t 三分之一。咱写一下， 三倍的 t 三分之一加上一个三倍的 t 四分之一，右边呢，等于根号三乘上一个九倍的 t 三乘 t 四分之一之后，再来减去一个一啊。所以左右同时乘上九倍的 t 三 t 四，这里变成三倍的 t 三加 t 四，结果就变成六倍的 t 三 加 t 四。右边剩个多少呢？剩个根号三乘上一个一，减去九倍的 t 三 t 四。 好啊，那么写到这个条件的时候，大家发现了我们已经有了什么，已经有了 t 三与 t 四之间的关系了。那么聪明一点的同学能想到了，飞哥，现在我是不是可以用 t 三把它写成多少倍的 t 四，就像我们刚才上面这里表示的一样。 然后我们可以把 t 写成多少倍的 t 二，这里能不能把 t 三写成多少倍的 t 四啊？等于多少多少的 t 四分之一，多少多少 t 四。然后把这个东西呢，再带到 c、 d 直线方程中，把两个变量变成一个变量，最后得到直线过定点呢？可以得到。但是我说你要想到这种方法，同学你，你有点傻了，那虽然有点聪明，但不多， 我们可以怎么办呢？我们之前在讲奇次化的时候讲过这样的一种法，这样的一种做法，比如你知道 a x 加 b， y 加上二等于零了，你发现三 x 加上二， y 加上二等于零，你是不是直接能得到这个直线？ l 是 干嘛？它是过三，逗号二的，直接就能把这个条件得到。所以我们看嘛，观察下这个条件的结构， 来观察 c、 d 直线和下面的方向的结构。这里有 t 三加 t 四，这有 t 三加 t 四， t 三乘 t 四减一，哎，有 t 三 t 四，右边又有 t 三 t 四，所以他们两个结果事实上是非常相似的， 唯一的区别在哪呢？是一减去九倍的，这里是加 a， 这减一，所以我们要干嘛？我们需要把它呢，拆成这两块，一个 a 一个 b， 把它拆开就行了。那么怎么拆开呢？用待定系说法 来，咱们看一下这步，就用标准的代入系数法，把这个一减九倍 t 四方啊，一减去九倍的 t 三 t 四，把它代定出来。代定系数 啊，这个技巧就有点高级。那不说高级了，他有的时候有点想不到啊。但没关系啊，听石伟讲一遍啊，你下一个做题就能想到代定系数， 你把系数代进出来啊，就问题不大了。一减去九倍 t 三 t 四啊，咱代进乘 a 倍的，你看像左边 t 三 t 四减一吗？ a 倍的 t 三 t 四减一，加上一个 b 倍的，右边 t 三乘 t 四加一， 把它分成两块代进出来，然后合并下系数，就是 a 加 b 乘上一个 t 三 t 四啊，加上一个 b 减去 a 嘛，前面这是一个负一。好，我们对比下左右的系数，你发现 t 三 t 四前面的系数是多少？它是一个负九， 对吧？所以说 a 加 b， 它就等于一个负九。那再写出来啊， a 加 b 等于负九，那长数上不是一吗？所以说 b 减 a 二，结果等于一了，然后这两个式能解 a 和 b 吗？上下两个式相加二， b 结果就等于一个负八的，所以 b 呢，是等于负四。 那既然 b 等于负四，你代进去吗？ a 不 就等于一个负五吗？所以这个代定啊，顺利完成，它就是负五。一个是前面是负五嘛，后面是负四。这个代定结果啊，就是顺利的结束了， 然后我们来看下一步，你把这个代定结果写出来吗？在方程中 c 三 t 四， 来把它移过来复制一下右边啊，分成负五和负四啊，所以减去一个五倍的根号三乘上一个， 你看把这是分成两块了吗？减去五倍根号三乘 t 三 t 四减一，然后减去一个四倍的根号三， t 三 t 四 加一。你看你把这个一减九倍 t 三 t 四分成两块，为什么要这么分呢？还那句话，大家看 c d 直线方程， t 三 t 四减一对应清楚了吗？ t 三 t 四加一是不是也对应清楚了？所以把负五倍根号三这个玩意移到左边来，那么我们的问题就顺利的结束了， 它变成等价于六倍的 t 三加上一个 t 四，然后加上一个五倍根号三乘上 t 三 t 四减一，然后右边呢是等于负四倍根号三， t 三 t 四加一。好，咱们现在可以把这两个方程放在一起，方便大家去看，我们来对比下系数 怎么样，把这个定点给找到来。这 c d 之间方程好，大家看 t 三加 t 四有了， t 三 t 四减一有了，但是右边它不相同呀，我们说右边长向量应该是相同的，右边是二倍根号三，这是负四倍根号三，所以我们要做一步什么左右同除 负二，对吧？你通出负二，右边才能变成多少二倍根号三，乘上 t 三 t 四加一嘛，让右边这个结果相同的，然后左边别忘了，你看这是多少五倍根号三，所以变成负二分之五倍的根号三， t 三 t 四减一， 这里面写的很拥挤啊，移开一点，然后左边乘这个同除个负二嘛，就变成多少，变成了一个负三，负三乘上一个 t 三，加上一个 t 四。好，然后咱们现在把这个方程啊和 c d 值线来对比一下，大家注意右边呢，都是二倍根号三 t 三 t 四加一，两个是相同的，一样的 b 三七四减一，两个相同的一样的。好，那就说前面的负根号 x 应该等于负二分之五倍杠三，它两个相同的，所以对比系数的结果就出来。来对比系数我应该用另一个给大家写啊， 你看负二分之五倍根号三就等于负的根号三 x， 同样前面是负三，它应该等于谁啊？是不是等于二倍的 y 啊？比如说对比系数可得 对比系数可得负三等于二倍的 y， 同时负二分之五倍的根号三，结果等于多少？等于根号三 x， 所以 咱发现了这个 y 结果等于多少啊？ y 就 等于一个负二分之三同时。这里面啊啊，这是 sorry 前面的符号对吧？你看下面不是一个负的根号三 x 吗？ 所以说 x 啊，结果就等于二分之五。所以说你说这个直线共有定点多少呢？你发现了哦， c d 它是过定点了，只不过这个定点坐标多少啊？是二分之五负 二分之三这个题吗？真的是非常难度，难度非常之大的一道题，正常连力去做的话，计算量超级大，至少目前我还没看到市面上有哪个大神用连力法或者说三角代换。三角代换应该算是本道题最好的做法，不过因为本道题啊，它是四个， 也是有四个动点嘛，所以最后我们还需要干嘛？来一个配凑才能顺利的把它做出来。好吧，好，各位同学们看这第三题啊，也是前几天考的会中二调这道题这么说的，有个椭圆，十六十二的椭圆，然后说 f 二是焦点二零 a， 坐标是二头号三过焦点， f 二来了一个直线 m n 与椭圆交汇了 m n 两点。 然后现在说既 a m 斜率呢，是 k 二， a n 斜率是 k 三，说 m n 斜率啊，是 k 一。 好，现在说让你找一下 k r 加 k 三减兰木塔 k 一 是否为定值，如果存在，请求出兰木塔，并把这该定值也求出来。好，所以像这种题吧，我觉得各位同学应该最最自然的思路应该是什么？我们也简单讲一下吧， 那肯定是奇次化呀，为什么这么说呢？首先 m n 直线过定点，那过定点大家应该想到有存在什么斜率 k 一 加 k 二等于定值这种形式，那这里呢，是 kr 三嘛，就是 kr 加 k 三可能等于定值，或者说 kr 乘 k 三为定值。 题目都在暗示你呢，大概率 k 二加 k 三可能等于一个定值或者其他的结构嘛。所以奇字化绝对是一种可以尝试并且非常简单的思路啊。我们这里那一般要写的话就是 m n， 对 吧？把它设为 m 倍的 x 减二，加上 n 倍的 y 减三，等于一，你看这个直接写出来不就可以了吗？ 好，直接写出来之后与我们的椭圆进行连立，那么这个数也给大家把过程写好了，咱来看一下怎么去做啊。 奇次化来写非常简单了，就 m 的 直线呢，设为一个 m 倍的 x 减二，加上 n 倍的 y 减三就可等于一嘛。这有个等号等于一，然后 m 坐标写出来， n 坐标写出来，奇次化连接过程，对吧？连接出来这个方程，那 k r k 三呢？是方程两根，所以咱发现 k r 加 k 三等于二分之一， m 加四分之一 n， 这个是前面有个负号，别忘了十二分之一加上个二分之 n。 但是大家别忘了个东西啊，就说我们这个 m n 它是干嘛？是不是会过一个定点啊？就过 r 逗号零这个点，所以把它代入啊，你看零加上一个负三， n 就 负三， n 等于一啊， n 就 等于一个负的三分之一， 所以你把 n 等于负的三分之二，哎，代入到这里，二分之一 m 减十二分之一，分母的话，大家注意啊，十二分之一呢，再再加上一个二分之 n 就 变成了十二分之一啊，减去个六分之一，前面还有个符号，所以这个放在分母上就变成多少六分之一减十二分之一嘛，还剩个十二分之一，所以最后的结果变成二分之一 m 减十二分之一，除以十二分之一，所以结果啊，就变成一个六 m 减去一了啊，就等于六 m 减一。但大家别忘了，你看我们这是 k 二加 k 三吗？先得出来了， k 二加 k 三是等于一个六 m 减一的 k 一。 咱还没说等于谁啊，你看直线方程不是 m n 吗？是等于它的 m 倍 x 加 n 倍的八减三，所以它的斜率 k 一 啊， 左右同时除以这个 n， 然后再把这个式子移到右边，那它是不是等于负的 n 分 之 m 呀？ n 刚说了等于负的三分之一啊，所以这结果就等于三 m， k 一 就是三 m， 所以 说六 m 多少？它是二乘上三 m 吗？就是二倍的 k 一， 再来减去一。好，咱们发现了， k 二加 k 三 等于二倍的 k 一 减一啊，奇次化直接秒杀啊， k 二加 k 三减去一个二倍的 k 一 啊，结果等于负一啊，所以像这种能直接用奇次化的题吗？我觉得各位同学，你看到一定要去尝试去练一下自己奇次化的手法， 这种题目考试看到那属于说这个牙大牙都要笑掰了呀，非常简单的一道题啊，但是这个还是那句话啊，其次话简单，年龄并不简单，年龄还是比较复杂的。那我们看一下今天刚讲的这个三角代换怎么去做这道题呢？也是一样可以去做的，来咱们看一下， 并且做起来啊，也不是很困难。首先我们如果要设点，注意 a 点、 m 点和 n 点，这 a 点虽然说是个定点，但是你看看到这个动直线斜率中啊， k 二 k 三身上的斜率是动的，所以咱们理解为啊，这个 a m 和 n 直线斜率也是在动的嘛，因为点在动，所以说直线也在动， 等于说 am 和 an 以及 m n， 它就有三条动直线，那既然三条动直线的话， a 坐标， m 坐标， n 坐标是不是都得射出来啊？来，三角代换换出来了，然后大家注意，由于说这个 a 点是一个定点啊，所以说 y a 它是不等于三呀， 代入进去，你看这个方程是什么，它不是二次方程吗？所以解出来一正一负两个根。由于说这个 y a 等于三是个正值，所以说你看分母是正的吗？那分子是不是肯定也是正的？所以说 t e 等于三分之根号三啊， t e 就 确定了，然后 a m a n m n， 你 看三个之间方程能不能默写啊？能默写，然后下一步干嘛找条件， 这个条件是谁呢？大家一读起就发现了， m n 过二得号零嘛，它就是条件，所以把这个条件啊，你看 m n 过二得号零，带入零减去这个玩意，吧啦吧啦一堆，你发现了 t r 乘 t 三条件来了， t r 乘 t 三等于负的三分之一， t r 和 t 三关系有了呀，然后下一步 k 一 等于多少呢？ k 一 就是把这个带进去，你看 k 一 左右同时除以这个 四倍的 t 一 加 t 二，这四倍的这个 sorry， k 一 是二和三嘛，就同时除以一个四倍的 t 二加 t 三，在这个方程中，你把 k 一 给得到了。同样，由于说 k 二，这里面，大家注意 k 二这里面依旧是四倍的 t 一 加 t 二，但是啊，上面是 t 一 乘 t 二，我们可以把 t 一 等于三分之二再给它代入，就这个玩意好， k 二有了，然后 k 三，大家想你是不是也有了，你也可以把 t 一 等于三分之根号三代入啊，所以 k 三也有了，然后大家先想求是什么是 k 二加 k 三减兰博纳 k 一 嘛，所以你把 k 二加 k 三，巴拉巴拉等于这东西代入，然后你看，注意通分，然后把这个展开，这个展开式实际上非常的简单啊，你化简完最后是谁啊？分母呢？就是根号三倍的 t 二加上 t 三， 分母啊，分母是这个玩意啊，分子是负四减去根号三啊， t 二加上一个 t 三，好，所以他发现，哎，负根号三， t 二加 t 三，分子分母它相同啊，只不过拖了个负号，所以负一可以提到前面去，还剩了一个什么？这是根号三吗？咱可以选择三分之根号三，就是负的三分之四倍根号三 t 二加上一个 t 三，好，大家注意 我们这个 k 一 是谁啊？是不是负的三分之二倍刚好三 t 二加 t 三分之一啊？哎，所以说，你看他两个这玩意不就刚好是个二倍的 k 一 吗？哎，你看，就像这乘二，是不是负三分之四倍刚好三和它系数一样呢，分母也一样， 所以它呢，实际上就二倍 k 一。 所以咱又发现了， k 二加 k 三呢，等于负一加上二倍 k 一。 你把二倍 k 一 到左边，就是 k 二加 k 三，减去二倍 k 一， 等于一个负一。好吧， 所以这道题啊，推荐大家用三角代换去做，也推荐大家用这个圆锥曲线中的这个齐字画去做。那大家有同学会说了，飞哥，我感觉这题好像齐字画更简单呀。但大家想一个问题啊，你齐字画世上还涉及了一个什么连力的过程，你改造方程要连力吗？但是大家看，我们现在讲了三题了， 这第几题？第三题我们哪一步连累了呀？是不是只需要把直线方程写出来，找条件，然后 t r t 三找一找关系就结束了呀？你没有一步是连累啊，所以这就是圆锥曲线不连累体系，你不需要连累方程，你不需要找那个什么 x e x r 什么关系，你只需要找什么， 用这个直线方程写出来，用不连线的体系成功把定点定值给它解出来好吗？好，各位同学们来看这第四题啊！第四题是二零二六届的南京市中华学校的一月月考题，那这道题难度非常的够啊！同时各位同学，如果你的观察力不太好的话，这道题会是个非常繁琐的难题，那我们来简单读下题啊， 就双曲线 x 方减三分之外方等于点 a 坐标一逗号零点 q 坐标与这个双曲线交于 bc 两点 啊，现在说呢，这个 h 点啊，在这个点，在这个线 b c 上。现在说了第三问，我们再看最后一问啊，说设直线 ab 呢，与 y 轴交于点 d， a c 与 y 轴交于点 f， 然后这个 e 点呢？看了这句话很重要， a h 直线呢，与 y 轴交于点 e， 这句话其实蕴涵那个意思是什么？是 a e h 共线，大家一定要搞清楚这个顺序啊，如果有个同学没搞清楚这个顺序的话，是非常难受的。 哎呀，后面一句话别忘了，这个 e 呢，是 d f 的 一个终点对吧？说的这半天，这句话翻译过来就是 y e， 结果等于二分之 y d 加 y f。 好， 为什么我说这句话很重要呢？大家简单想一下，这个点 h 题目让你证明的是什么？点 h 在 一条定直线上好，大家想 h 怎么来的？有些同学说，飞哥， h 点不是 a e 直线与 bc 的 一个交点吗？好，所以有的同学这么做的， a e 方程想办法写出来， bc 方程想办法写出来，两个连立啊，去解出 x e 等于多少， y e 等于多少啊，对， x h 对 吧？ x h 等于多少， y h 等于多少啊，想办法去证明它在这条直线上，如果你去这么做的话，它是个非常难受的一件事，所以 e 点在最后产生，它是 f 和 d 的 一个终点，写出来不太好写。然后这个 bc 方程呢，本身就是个带参数的一个方程，所以你最后解出来结果一定不好看，计算量会是巨大的。 所以我们要换个方式想。大家想 a、 e、 h、 a 这三个点，它不是共线的吗？所以既然共线的话，想证明点 h， a 在 定值线上， h 点不是在 a e 值线上吗？所以这个地方换句话来说，是让你去证明什么？去证明 a， e 是 一条定值线，大家想听清楚了吗？ 是让你证 a， e 为一个定值线啊。然后大家再回过头看一下 a， e 如果是定值线的话，你想个东西吗？ a 坐标不是 e 轴号零吗？它是个定点啊，对，它等价于去证。什么？等价去证 e， 它是一个定点呀，没错吧？如果说 e 是 一个定点的话，那么大家简单想下就明白了， 我们 a 一 零吗？ e 是 定点的话，说明它斜率固定呀， a 又是一个定点，所以说这是一条定值线。所以这道题本质上证明什么？让你证明 e 是 一个定点啊？各位同学们，所以它又是个什么？又是一个定点？问题，想证明 e 是 定点，但我估计很多同学看到这道题会想到谁啊？二零二三年全国乙卷理科数学解析几何题 那道题啊，也是让你证明啊，两个直线在外状的交点，他的终点呢？是一个定点，你无论连立还是奇字画都能做。但我都说到奇字画了，有同学反应过来了，这题能不能用奇字画呀？当然是可以的，我们来简单看一下啊。 首先，这个 y e 啊，是等于二分之 y d 加 y f， 所以 y d 加 y f， 它等于多少？是不是等于二倍的 y e 啊？好，咱们来看斜率，既然奇次化，肯定有斜率啊，咱们看最长的是 y a f 和 y a d 来再写出来啊， y a f 加上 y a d， 那么这个结果啊，其实应该不应该这么写啊。 sorry， good！ 哎，这么写就是 k a f 啊，斜率啊， k a f 加上 k a d 啊，那等于 y f 减去零除以 x f 就 零呗。 a 的 横坐标是一，加上一个 y d 减去一个零，除以一个零减一就是负的 y d 加上 y f。 好， 大家别忘了， y d 加 y f 是 不是等于二倍的 y e， 所以 它等于负二倍的 y e。 好， 所以现在给我同学清楚了，如果说 e 是 一个定点的话， k a f 加 k a d， 它是不是一个定值呢？ 比如说这个玩意现在是一个定值了。好，那它定它是定值有什么用呢？我说这题已经结束了，有些同学观察能力好的话，会发现 afc a b d 它不是贡献的吗？所以 k f 是 谁啊？它不就是一个 k a c 吗？你看 贡献呢？ k f 就 k a c 同样 k a d 是 谁啊？它不就是 k a b 吗？只要加上一个 k a b。 哎，你看这把转化过去，然后它等于负二倍 y e 的 吗？这是一个定值呀。所以如果你想证明什么， e 的 这个坐标它是个定点，对吧？你说要证明 y e 是 定制，你等下要证什么？是不要去证 k a c 加上 k a b 为定制啊？那既然想证 k a b 加 k a c 为定制的话，先各位同学清楚了，这不其次话吗， 标准的奇次化呀。为什么说标准奇次化呢？首先大家想一下，这个 b c 直线过点 q 一 逗号二是个定点好定点条件，有了 a b a c 两个关联斜率 a 又是在曲线上的一个定点，好奇次化的各种条件都具备了，并且是非常好算的奇次化。所以你明白了啊，我们的 b c 方程怎么设呢？ m 倍的 x 减一，加上 ny， 结果等于一好吧，然后呢，把它呢与我们这个双曲线进行连累，连累完之后得到有关斜率 k 的 方程，你就发现啊， k a c 加上 k a b 过程我就不写了，它等于多少，实际上就等于三了。 那加等于三，它是不是等于负二 b 的 y e 啊，所以你发现了 y e 啊，结果等于负二分之三，也就是说 e 的 坐标是多少就零逗号负二分之三好，那么 a 坐标不是一逗号零吗？对， a e 方程是个定值线， y 等于，那斜率嘛，就是二分之三除以一，就是二分之三乘上 x 减 e， 而又又说 h 在 什么 a e 直线上，所以 h 就 在个定值线，并且定值线是 y 等于二分之三倍的 x 减 e。 这道题用奇字画呢，是非常好做的，但是呢，需要一点观察能力，有些同学如果说你观察能力弱一弱的话，就做不了了。 好吧，这道题就写不完，那我们怎么办呢？哎，用三角代换去做三角代换，比起奇字画好的一步是吗？就有些反向奇字画这个题目里面啊，你观察不出来斜率关系，你不知道该找谁。 你会不会三角三角代换呀，你以前没学过，今天不是教你了吗？大家看好了，首先去找这个题目中的动点以及动直线， 这里面 bc 是 动点，有的同学说我这里面斜率 a， b， a， c 斜率啥之类的，其实这里面 a 点坐标不需要设，因为有关式上这个动直线只有一个 bc 嘛。你看 bc 带动的 f 和 d 带动 a 是 个定点，所以 b 和 c 的 坐标设出来之后， bc 的 方程怎么写？能写， 能写出来之后 bc 注意现在找条件了。题目说了， bc 过谁啊？点 q 一， 逗二，把它代入好。代入之后你发现 t 一 加 t 二等于根号三倍的 t 一 乘 t 二。好，现在第一个条件有了，下一步我们看一下。 我们就需要找什么？找 f 和 d， 它两个纵坐标加起来是否为定值啊？如果为定值， e 就是 个定点呀。所以你需要把 y， d 和 y f 找到。怎么找呢？需要 ab 和 ac 的 直线， a， b， a， c 之间想写出来要干嘛呀？是不是需要 k a， b 和 k a， c 的 斜率啊？来，你看 k， a， b 的 斜率，直接拿 b 的 重做半角， y 一 就 x 一 啊，就 y 一 减零，然后这 x 一 再来减一，把它代入，直接就化解了，上下同时乘上个一减地方，化解结果就等于根号三除以 t。 同样 k， a， c 呢，等于根号三除以 t 二。 所以 a b 和 a c 两个方程是不是直接有了？那有了之后，你把这个方程令 x 等于零，就能得到截距， y d 等于负，根号三除以 t 一， 那令 x 等于零，得到 y， f 等于负，根号三除以 t 二。所以你现在发现了啊，我 y e 结果不等于二分之 y d 加 y f 呢？把这两个玩意带入大家会吧，你带入之后发现上面不才讲过吗？ t 一 加 t 二等于根号三倍的 t 一 乘 t 一 乘 t 二，你代入上除下，这结果不就是个根号三吗？所以结果等于负的根号三，根号三除以二就负的二分之三嘛。那既然负二分之三，说明 e 的 做到零，负二分之三， a 做到 e 的 号零，所以 a， e 是 个定值线点， e 在 这个上直接做完啊， 就非常顺利。大家你想这个和我们刚才奇思画比起来，你要观察哦， a f 斜率， a d 斜率 b c a b a c 斜率是让需要点脑子的，但你看我们这四道题，三角代换需要啥脑子呀？不直接往下写过程就完事了吗？所以为什么苏菲要讲这个，大家现在能理解了吗？帮你处理，多动点，多实现，问题中 就是不用动脑，不用动思路，对吧？你也不用与曲线连力，就很快就能把它写出来，这就是三角代换的魅力所在。嗯，这个最后一道题啊，这个苏菲被大家讲了，我就给大家提个提示吧， 写起来一点也不困难啊，就要设一下这个 p 的 坐标，这个 p 的 坐标呢，你设为 a 倍的扩散 c 它， b 倍的散也 c 它啊，还是设我们看三角代换的这个结果都可以啊，就比如说那个 a 倍的一减 t 方，一加 t 方 啊， b 倍的二 t 除以加 t 方，你设两个设谁都可以，大家可以自己去尝试一下，就 s 一 除 s 二，直接用这个 p 把它换成单元坐标，直接写就完事了，非常简单的一道题好吗？ ok， 那 么以上就是我们今天这个寒假特别偏的三角代号的全部内容了，不知道各位同学感觉如何呢？如果你感觉不错的话，可以给树飞点上免费的一键三连，你的支持就是树飞坚持下去的最大动力， 当然这里呢可以打个小广告，树飞呢，现在开启了这个寒假的一个精英班，大家如果想提升自己的这个解析几何导数的能力的话， 可以在我们评论区置顶链接报一下我们这个寒假的精英班里面讲的内容啊，都和我们思想代号专辑类似的，这种境界的专辑可以帮助你的数学啊突破到一百四十分以上，因为你想吧人去倒数就是高考最难两个板块，你把它突破了，剩下还差啥呢 啊？同时这里说一下，如果有些同学啊，你的这个分数低于多少分呢？低于这个九十分或一百分以下，那建议你赶紧把数学的重音学的合集啊，赶紧看完啊， 寒假正是弯道超车的关键时刻，如果你不去把这丛林去好好看一看，会有很大的问题啊，你在后面二轮复习，三轮复习有漏洞啊，学的会非常困难好吗？那么以上就全部的内容了，那么谢谢大家，我们下个星期再见，拜拜！

哈喽各位，今天我们来讲解二零二六省考图推理拼合当中的秒杀技巧，当然了，这个秒杀技巧呢，是我们根据大数据互联网云计算得到的经验性的结论。 那么这个时候呢，我们再来看一下，我们把整个立体拼合呢分为两种题型，第一种题型呢，纯白色方块，如果问不可能，那么这个时候我们只需要在选项当中优先去选不对称的。 而如果题目当中既有白色方块又有黑色方块，我们只需要在选项当中优先去选黑色方块在右上角的选项就可以了， 但这个方法他并不能保证每一道题都对，但是可以保证你在上考场的时候碰到一些难题，你没有方向的时候，给予你一个方向。或者对于我们有一些同学来说，死马当活马医，他可以让我们把有些题目提高他做对的概率。 那你比如说这道题，我们只需要去选不对称的就行了， a、 b、 c、 d 当中 c 选项不对称，那么答案选 c， 当然我们也可以看一下它的平和， a、 b、 c、 d 都可以， c 不 行。 第二道题，同样看选项， a、 b、 c、 d 当中好像每个选项都对称，但是你发现 a、 b、 d 都有个竖的对称轴，但是 c 是 斜着的，那么通过选项排除法，答案选 c。 同样呢，我们也可以来看一下其余选项排除法，答案选 c。 同样呢，我们也可以来看一下 c 选项拼不出。 那么接下来呢，我们来看第三道题，同样纯白色方块，问的是不可能，那 a、 b、 c、 d 当中二 b 选项不对称，所以答案选二 b。 那 接下来呢，我们来看一看 a、 c、 d 到底怎么拼？ ok， 好，接下来我们来说一说关于既有黑色方块又有白色方块的这种题目，我们优先去选黑色方块的右上角的 a、 b、 c、 d， 当中四 d 是 在右上角，答案选四 d。 这块都稍微注意一下，二 b， 二 b 选项是在正后方啊，他不对的，同样我们来看一下如何平和吧，那四 d 选项放进去就可以了。 好，接下来我们来看第五题，那这道题同样可以看到，既有黑色又有白色，选黑色方块右上角选项正确答案选的就是四 d， 而二 b 选项呢，也是在正后方，可以简单来看一下我们的选项，那你只需要把我们的四 d 选项给它立起来，放到这就可以了。 好看，第六题，同样既有黑色又有白色，选黑色方块，右上角的那只有二 b 满足，正确答案选二 b。 同样呢，我们来看一下这个图形应该怎么去进行拼，二 b 选项立起来放到这就可以了。 那接下来我们来看我们的第七题，同样呢，既有黑色又有白色，正确答案选黑色方块，右上角的 a 选项在右上角，答案选 a。 同样的，来看一下吧，这个选项拼合的时候，需要把 a 先给他倒过来，然后再拼接进去。那么第八道题，同样既有黑色又有白色，选黑色方块，右上角的选项当中只有二 b 满足，所以答案选二 b。 同样呢，我们来看一下 如何拼合，那么只需要把我们的二 b 选项给它放到这个位置，直接放进去就可以了。 ok， 好， 以上呢，就是我们二 b 选项给他放到这个位置，直接放进去就可以了。 ok， 好， 以上呢就是我们二 b 选项给他放到这个位置，直接放进去就可以了， ok， 好， 以上呢，就是我们二零二六省考图推立体拼合的两种做题技巧。

同学们，你们在做题的过程中看到这一类图来给大家复习一遍，第一个， 大家看到什么？日字、田字、假呀，深啊、月亮啊，对吧？圆相切呀， ok 吧？这样一些图及其五角星呢， 对不对？看到这一些图及其变形图， 对吧？你们马上就要去思考谁一笔画和多笔画，这是第一个，这是第一个，第二个，大家要注意的是，你在做题的过程中看到有很多很多的什么端点，第二个， 你看到了端点图， 亦或是你看到了什么漏头的线 思考笔画，你看到了有丁字交叉点， 你看到了有 t 字交叉点， 你要思考笔画数， ok 吧？你要思考笔画数，好，你看到了线乱搅在一起， 你要思考笔画数， ok 不？ 你看到了很多小黑点连成一块， 对不对？连成一块形成一些特殊的什么十字交叉图形，对吧？黑白点连接形成的十字交叉，丁字交叉， 你们要去思考笔画数， ok 不？ 哎，所以说这些我要给大家说，就是你们要形成对图形的敏感， 对图形的敏感，没有学过的同学，你把它记下来你就会了。好，我接下来在讲这些题的过程中，正好把我们常见的这些东西给大家 敏感一遍，然后呢，你们就能够快速的做题，敏感一遍，我们就能够快速的做题，好，记住了啊，这些在我们考的过程中还包括了多部分的图， 对不对？来跟着老师一起敏感一遍，那怎么敏感来看到这个，你看这幅图在设置的时候三部分，这幅图在设置的时候一二三四部分，多部分， 第二幅图在设置的时候多个端点，多个端点，第一幅图也有多个端点， a 选项更是有多个端点， b 选项更是有多个端点。 同学们马上就能够判定这个题大概率考察一笔画和多笔画，敏感，培养起来，记住它，记住它，就是这样的。所以说这个题在考察的过程中，它考察笔画的可能性是最大的。那笔画有简单、扁复杂， 那应该选择一个较为复杂的笔画，对不对？那我数的过程中，只需要数谁 数倒数第二幅图要几笔画就完事了， ok 吧？倒数第二幅图有几笔画就行了。那我们来看看它有几个几点？一二三四五六七八八个几点？四笔画，那后面应该是五笔画， ok 吧？五笔画， 大家看看五笔画是谁啊？首先四 d 的 上面三部分就有三笔画了，下面再加两笔画，选四笔， ok 不？