七下数学第二章北师大版怎么画图垂直

哈喽，同学们，这节课我们来介绍两直线，垂直主要包括以下四个考点，咱们一起来展开介绍嘛。先看第一个考点关于垂直的概念，什么意思呢？因为我们上一节课已经讲过了，相交线，就是有两条直线这么相交对不对？而垂直呢，它指的就是一种特殊的相交线的情况， 也就是我们让这两条直线相交，然后它形成的四个角都是九十度。我们直接来看垂直的定义哈，它指的就是两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么就可以说这两条直线是互相垂直的， 为什么有一个角是直角就可以了呢？大家来想一想，根据我们讲的对顶角的性质，如果说这个角是九十度，那根据对顶角的性质，这个角也是九十度，对不对？然后我们再根据零角的性质， 这个角和这个角是互为零不角的，所以这个角也是九十度，他俩加起来应该等于一百八十度，那么对应的这个角也是九十度了，所以说只要有一个角是直角，那么剩下的三个角肯定也是直角，肯定也是九十度的，所以说咱们只需要知道一个角就行了。 然后呢，只要他满足这个条件，我们就可以说这两条直线是互相垂直的，其中的一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的焦点呢叫做垂足。这些概念呢，大家记得一定要自己先搞清楚，自己先读一遍，能了解他是什么意思就可以。 然后我们通常呢用这个符号来表示两条直线互相垂直。垂直是特殊的相交， 就是我们上一节课讲的相交线那一块嘛，对不对？比如说举个例子，你看下面这两条直线，直线 a、 b 和直线 c、 d 互相垂直，我们就可以记作 a、 b 垂直 c、 d， 或者说 c、 d 垂直 ab。 你 看这个写法大家要注意一下，我们读作 ab 垂直于 c、 d， 这个就是官方一点的，标准一点的读法哈， 这里的呢， o 点咱们就叫做垂足，像上面这些呢，就是关于垂直的一些相关概念，大家记得自己读一遍，搞清楚，了解清楚它指的到底是什么。 然后我们通过垂直的定义，其实我们可以得出两个点，也就是它具有双重作用。什么意思呢？就是我们已知直角可以得到线垂直，然后我们已知线垂直也可以得到直角。 比如说咱们用呃几何圆来写的话，就可以这么写，如果说我们现在知道角 a、 o、 d 是 九十度的话，如果咱们现在已知这个条件，那我们就可以推出 a、 b 是 垂直 c、 d 的， 因为如果有一个角是直角，那么就可以说这两条直线互相垂直，这个也可以理解为它是垂直的判定吗？对不对？ 然后第二种的话，就是如果我们已知 a、 b 是 垂直 c、 d 的， 大家这个时候来想哈，垂直是代表什么呢？代表有一个角是直角呀，代表四个角都是直角呀，所以我们就可以得到角 a、 o、 b 等于九十度，当然了上面剩下这三个角都是九十度哈，只是没写这个，咱们可以理解为是垂直的性质。 所以说通过这一页呢，就是想告诉大家，只要你发现了垂直，那么对应的这里就会有很多九十度的角，这是大家需要注意的，就是垂直 和直角他们是可以互相推的，我知道垂直，我就可以知道这里有九十度的直角，我知道这里有直角，我就可以说这两条线是垂直的。关于这个概念呢，大家需要搞清楚 这里呢，我们给大家做题来练一下。先看第一题，他说如图，直线 a、 b 和 c、 d 相交于点 o o e 垂直 o c， 你 看这里不就有了一个垂直的条件吗？那你这个时候就要立马反应出来，有垂直，那就有九十度，就有直角，所以说我们就可以得到角 c、 o e， 这里它就是九十度嘛，对不对？ 然后他又告诉我们角 a、 o、 c 是 等于六十八度，那你看这个时候我们可以继续往下推什么呢？如果说你要推条件的话，我们根据对顶角的性质，我们可以推出角 b、 o d， 它也是等于六十八度的。然后再根据零补角的性质，我们可以得到角 a、 o e 和这个角 e、 o b， 它是零补角，所以说这个角 e、 o b 的 度数我们也能求，对不对？所以说大家一边读题要一边往外推条件哈。然后我们来看一下这道题要求什么？他要去求角 e、 o b 的 度数， 那这个时候直接用零不角的性质就可以了，它就等于一百八十度。减去什么呢？减去角 a、 o e 的 度数，然后 a、 o e 的 度数呢？就是六十八度，再加九十度呗，对不对？我们这个时候来算一下，六十八再加九十呢，就是一百五十八度， 一百八再减去个一百五十八就是二十八吗？二十八度。所以说这就是第一题的答案。然后我们再来看第二题，他说如图，已知直线 a、 b、 c、 d 相交于点， o o e 垂直 c d， 那 大家来想啊， o e 垂直 c d， 那 这里是直角，这里也是直角，是不是有了两个九十度的条件呢？对不对？ 这个咱们先在图上标好哈，画一个，你看画一个，这个符号表示它是垂直的，然后 o f 是 平分角 b o e 的， 也就是这个角和这个角是相等的。这个咱们也先标清楚， o f 平分角 b o e， 所以 角 e o f 等于角 f o b， 角 a o c 等于十八度，这个角是等于十八度的。那么根据对顶角的定义，其实这个角也是十八度，咱们一边读题一边往外推嘛，对不对？ 然后他让我们求的是角 boe 和 d o f 的 度数，一个一个来看，先看 boe， boe 呢，就是这个大角，你看 boe 就是 这个大角的度数是多少。 我们这个时候给大家用别的颜色给大家标一下哈， boe 是 在这里，你看要求的是这个角的度数， 那我们这个时候就想一想性质呗，是根据对顶角还是零补角呢？很明显，零补角要更要更方便一点，因为它和这个角 aoe 是 零补角。那我们就来求一下角 aoe 的 度数呗， aoe 它是等于什么呢？它是不是在这个直角角 eoc 里面用角 eoc 再减去角 aoc 不 就求出来了吗？我们来算一下哈，就等于九十度减去 aoc， aoc 是 十八度，所以我们就可以求出它是七十二度。 那你再来想哈， a o e 是 七十二度，然后再根据零步角的定义，那么角 b、 o e， 它就等于一百八十度，再减去七十二度就等于一百零八度，你看是不是又算出来了？ 再来看第二个，第二个要去求角 d、 o、 f 的 度数， d、 o f 在 哪里呢？我们来标一下， d、 o、 f 是 这个角，那这个角的度数怎么求呢？ 其实很很简单哈，我们现在已经知道 b、 o e 的 度数了，这个大角的度数是一百零八度，那么根据 off 平分角 b、 o、 e 这两个条件，一综合，我们是不是可以求出角 f、 o b 的 度数呢？ f o b 就是 一百零八度，除个二嘛，就等于五十四度，我们知道 f、 o b 是 五十四度了，那这个角不就是五十四度，再减去十八度吗？对不对？所以说我们要求的角 d、 o、 f 的 度数就等于五十四度，再减去十八度，大家来算一下， 是不是就等于三十六度呢？所以说这道题我们也就做出来了。咱们通过这两道题呢，给大家讲了一下垂直的概念，就是当你在做题目中，当你发现垂直这个条件的时候，就要去想直角，就要去想九十度这个条件哈， 然后我们继续往下看，给大家讲一下垂线的画法。呃，垂线呢？经常他怎么去考呢？就是让你去过某一个点，然后画某一个直线的垂线， 比如说经过直线 l 上一点 a， 画 l 的 垂线，或者说经过直线 l y 一 点 b 画 l 的 垂线。举个例子，比如说你看这里现在有一条直线，这个直线呢，咱们写成 l， 然后这个直线 l 上现在有一点 a， 那 我们现在要做它的垂线，怎么去做呢？ 我们先给大家这样画一下吧，你看这里是个 l， 然后这个是 a， 怎么做他的垂线呢？那这个时候你就拿出你的直角板，我这里没有三角板了，我就用这个，其实都是一样的道理哈，就是你看你给他旋转过来，然后你看你这样给他对齐， 对齐以后，接下来你再用，呃，你再用你的笔，你看这么画一条线，沿着这个边画一条线就可以了嘛，然后我们最后得到的这条线呢，他就是就是我们要找的垂线了，这里是垂直的， 像大家平时呢，其实你直接用三角板就可以了，你看把这个三角板的底边注意哈，让这个三角板的底边和这个直线 l， 你 看重合贴到一块， 然后呢让他的顶点经过点 a， 然后你再过这一边做个垂线，做个直线，那这条直线就是垂线了，大家可以再看，再看一下这个图哈，整体来讲呢，就是你把三角板放到这里，然后来画一条线就可以了， 然后如果是过直线 l y 一 点 b， 画 l 的 垂线呢？还是一样的思路呀，比如说这里有一条直线 l， 然后这里有一个点 b， 那 过点 b 画这个直线 l 的 垂线的话，还是一样的道理，比如说这里有一个三角板的话，你看哈，这里有一个三角板的话，那把这个三角板放到哪里呢？ 你就还是让这个三角板的底边，比如说你让这个三角板的底边跟下面，你看让他底边跟这个直线 l 放到一块，重合到一块，然后让他的另外一条边呢过这个点，过这个点 b， 然后这个时候我们就全部对齐完成了。然后接下来呢，你就直接 你看沿着这条边来做一条直线，这个就是已知直线 l 的 垂线，你看这不就做出来了吗？这个是我们最最常用的思路哈，大家可以把这个图自己再看一下， 那我们现在知道了怎么画垂线，接下来给大家练几道题。先看第一题，他说如图平面上有四个点， a、 b、 c、 d， 按要求作图。第一问是画出线段 a、 b， 那 我们来画一下哈，他要画出线段 a、 b 的 话，我们就是直接把 a、 b 连接起来就可以了嘛，对不对？然后第二问呢，画出直线 c、 d， 注意这时候画的是直线了，所以说咱们要这样来画， 画的是一个直线的形式哈。然后第三问过点 a 做直线 c、 d 的 垂线，那这个时候你看你是不是就要拿出你的三角板了呢？对不对？因为我这里没有哈，我就用用这个直尺，都是一样的道理，就是你就给他旋转过来，给他转正，然后你看 让他的，你这就是让这个尺子的刻度，你看这个刻度三四五六七八九十，这个你就用这个刻度把它， 你看对齐，跟这个底边对齐就可以了，用任意一个刻度跟下面这条直线对齐，然后呢把这个，然后把这个，把这个直尺往右边移，让他靠到这个点 a， 你 看这个时候是不是，你看哈 他既过既跟这个直线，已知的这个直线，你看刻度是不是平了呢？对不对？这时候说明他已经是重合了，然后他又过了这个点 a， 所以 说这个时候你就可以来做一条直线了，那这条直线就是他的垂线， 就你看你就直接沿着这个点 a， 你 就来做一条直线就可以了，那这条直线呢？就是咱们做的直线 c、 d 的 垂线，你看这也就做出来了。 再来看第二题，如下图， p 是 角 a， o b 的 边 o b 上的一点。第一问过点 p 画 o b 的 垂线，交 o a 与点 c， 那 我们这个时候还是一样的思路，大家，大家直接画就行了，我们要做的是 o b 的 垂线，那这个时候旋转一下，你看让它跟 o b 边是重合的， 你看这样差不多就是重合了，对不对？然后咱们要做一条直线嘛，比如说让他跟三这个刻度重合，然后并且移过来，让他过点屁，那接下来剩下的就是直接我们做直线就可以了，你看我们这里做一条直线， 他是不是过点 p 的？ 过点 p 做了一个垂直 o b 的 一条直线，这个时候他交 o a 与点 c， 那 这个点就是我们要找的 c 点，第一问就做出来了。再来看第二问，第二问是过点 p 画 o a 的 垂线段垂足为 h， 那么还是一样的思路，大家来看，我们让这个尺子，你看让他跟 o a 这条线是重合的，然后他要过点屁嘛，所以说我们就还是移到屁这里，你看这个时候是不是重合了呢？那接下来大家直接来画这个垂线就可以了，你看我们来画一下 他交与一点，然后这个点呢，咱们就叫做 h 点，所以说第一问，第二问都就做出来了，是不是还是比较简单的垂线的画法呢？说白了，你拿个三角板，或者说拿个直尺，直接就可以做出来了。 接下来呢，我们继续往下看，再来看第三个考点，关于垂线的性质。因为你像咱们刚才已经教大家垂线怎么画了，对不对？那么垂线有什么性质呢？第一个性质就是在同一个平面内过一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。 关于这条信纸，我们可以回过头来再看一下垂线的画法，我们这里讲的，我们刚才在讲，你看过直线 l， 呃，过直线 l 上一点 a 做垂线的时候，是不是只能画出一条线呢？你可以自己试一下，只能画出这一条 过直线外一点。壁画这个垂线的时候，你自己试一下，也只能画出来这一条。所以说我们总结一下就可以得到什么呢？经过一点，不管这一点是在已知直线上，还是在直线外，我们能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，对不对？ 也就是说这里的垂线有且只有一条，这是我们刚才实际自己去画图的时候，我们总结出来的经验。那么对应的它其实就可以总结成垂线的性质，也就是在同一平面内过一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。大家要注意哈，这里说的过一点 里面的点，它可以是在已知直线上，也可以是在已知直线外。就比如说这种，你看一个是过点 a 做一个垂线，这个时候是在已知直线上吗？也可以是过过点 b， 这个时候就是在已知直线外吗？你看做一个垂线对不对？ 第二个需要注意的点呢，就是有且只有，在有且只有里面这里的有，指的是什么呢？指的是存在，就是他一定是存在一条垂线的，然后只有什么意思呢？只有指的是唯一性，也就是也就是我们只能找到一条直线和已知直线垂直，这是大家需要注意的第一条性质哈， 然后我们这里给大家做一个易错辨析哈，比如说这里有一条直线 l， 有 多少条垂线呢？是一条吗？不是的， 如果说他只说了做直线 l 垂线的话，那我们是有无数条的，比如说你看这里来一条垂直，这里来一条垂直，这里又来一条，又来一条又来一条，是不是可以有无数条直线呢？对不对？然后我们这里说的有且只有一条指的是什么呢？指的是过一点， 如果说咱们只要必须强调过一点，然后做某一个已知直线垂线的话，比如说这里有一个直线 l， 让他必须要过点 a 的 话，那么就只有一条了，你看只有这个时候才成立，所以说关于这两个的对比，大家一定要注意一下哈，看他有没有强调过一点，这是大家容易易错的地方。 再来看第二个性质，第二个性质呢，就是关于垂线段的性质。什么叫垂线段呢？就是咱们过直线外的某一点， 做了某一个已知直线的垂线，对不对？那么在垂线上交的这个点，比如说设为点 o 的 话，那么这个他和直线 l 的 交点和他本身的这个点形成的这个线段，咱们就叫做垂线段，是不是很好理解？ 就是把垂线变成线段了吗？对不对？取了两个点组成了一个线段，然后这两个点呢，一个就是跟直线 l 的 交点，一个就是他过的那个点， 还是很好理解的。而这个垂线段的性质，指的就是连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这里少了个字，垂线段是最短的。 简单说成呢，垂线段最短，其实也很好理解呀，你看 po 就是 垂线段，因为这里是垂直的吗？那为什么 po 是 最短的呢？就是你自己，你看，你用肉眼就可以看出来呀，你看，不管别的线怎么画，他都不可能比 po 长度更短，对不对？ 这个是我们用肉眼就可以观察出来的，所以说对于第二个性质，大家记得搞清楚哈，就是垂线段最短， 我们这里直接做题来给大家练一下。呃，关于垂线的性质，先看第一题，他说如图，在三角形 a、 b、 c 中， a、 c 垂直， bc， 你 看是不是有一个九十度的直角了呢，对不对？然后又告诉我们， bc 等于十二， a， c 等于十六， ab 等于二十 点， d 呢？是 ab 边上的一个动点，注意哈，这是一个动点。然后他问我们线段 cd 的 最小值是什么？那你看线段 cd 它指的是什么呢？ 这个 d 它是，它是在线段 ab 上在动的，对不对？然后 d 一 直在动，那么 cd 它对应的是什么呢？不就是我们这里刚讲的吗？连接直线外一点和直线各点的所有线段中， 垂线段最短。所以说这道题要让我们去求线段 c、 d 的 最小值，那什么时候有最小值呢？肯定是垂线段的时候有最小值呀，对不对？ 这个就是垂线段的一个应用，垂线性质的一个应用，对不对？那对应的我们其实求的就是过点 c 做这个线段 ab 的 一个垂线，比如说我们交遇了点呃， d 撇吧，然后咱们现在要求的就是 c 撇的长度是多少，那这个时候怎么做呢？ 大家来想，其实我们可以利用等积法，因为它是一个，这里是一个直角，对不对？所以说我们求三角形 a、 b、 c 面积的话，可以写成二分之一乘 b， c 再乘 a、 c。 还有一种写法呢，就是二分之一乘 a、 b， 再乘 c、 d 撇，你看 我们分别以 ab 为底和以 c、 b 为底，对不对？我们用了两种表述方式，这个就叫做等积法，现在还不太清楚的同学可以记一下哈。这个叫等积法， 那我们来算一下，那就是二分之一乘 bc 是 十二， a， c 是 十六，就等于二分之一乘 ab， ab 是 二十，再乘个 cd 撇，那你想下，这个时候不就直接能算出来了吗？二分之一和二分之一消掉了，然后二十的话，我们这里消个四剩下五了，这里消个四剩下四了， 然后所以 cd 撇呢？就是十二乘四，是四十八，四十八除五吗？这个就是我们最终的答案了，五分之四十八， 大家看一下自己能不能想清楚，他考察的就是典型的垂线段最短这个性质哈。再来看第二题，他说如图要在河堤的两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段 p n， 理由是什么？ 那你看这里有 m、 n、 c、 q 四个点，为什么这个桥一定要搭成 p n 的？ 为什么要选这条线呢？为什么一定要搭成 p n 呢？大家来想 用的是哪条性质呢？是两点，确定一条直线吗？肯定不是了呀，那是两点之间线段最短吗？肯定也不对呀，因为 p m， p n， p c， p q， 它指的都是线段呀，对不对？那这个肯定不对了嘛， c 的 话是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中垂线段最短。那你看，很明显 c 是 正确的，因为咱们为什么要说最短的是线段 p n 呢？因为它是垂线段，然后我们又知道垂线段最短，所以说这个题勿庸置疑，就是选 c 了哈。再往下看， 那接下来呢，就来看我们的最后一个考点吧，就是点到直线的距离。呃，我们直接来看，他说直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就叫做点到直线的距离， 是不是也很简单？他其实说白了就是把这个垂线段，这个垂线段，然后又给了他一个名字，他其实又代表的就是点到直线的距离。比如说我们现在要求点 p 到直线 l 的 距离，那你说这个距离指的是哪一个线段的长度呢？大家来想一下， 我们已经说了是垂线段的长度，所以就是求 po 这个线段的长度，对不对？ po 这个线段的长度就叫做点到直线的距离，这大家需要注意的哈， 那我们这个时候直接给大家做题来练吧。第一题如图，村庄 a、 b 位于一条笔直的公路 l 的 两侧，现在要在公路 l 上设立一个公交站台 c， 使得它到 a、 b 两个村庄的距离之和是最小的，让我们画出公交站 c 的 位置，并说明理由。 这个其实利用到我们之前讲过的一些知识点了哈，你看两个点要求到他两点距离最小，那不就是两点之间线段最短吗？对不对？所以说直接把 a、 b 连接起来就可以了呀，那你想在上面任意取一个点，肯很明显这个路程都要更长，咱们利用的就是两点之间线段最短， 这个大部分同学应该是在七年级上册学过的哈，咱们就这里不多说了，然后再来看第二问。第二问呢是一问，一位 a 庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地，请在图中画出公路 l 上 最近的上车点 h 的 位置，说明理由，也就是他要从 a 点到这个直线 l， 直线 l 是 一个公路哈，他要去路上打车，那他去哪个点就是最快呢？那你想这个时候他考察的是什么呢？ 不就是垂线段最短吗？对不对？所以说这道题呢，你就直接过点 a 往这里做一条垂线，假如说这个垂线呢，他说是 h 嘛，对不对？那你这就做出来了，让你说明理由，理由就是垂线段最短呀，对不对？你就可以直接写垂线段最短就 ok 了。 如果说这道题再让你求一下，嗯，他问你，哎，那我从这个 a 点出发，我要走的距离是多少呢？那我要走最近上升点 h 的 时候，我走的距离是多少呢？ 他要让你去求点到直线的距离的时候，说白了求的就是 a、 h 的 长度哈，这个大家要注意，就是我们要知道，垂线段其实指的就是点到直线的距离。 然后我们继续往下看，再来看第二题，如图三角形 a、 b、 c 中告诉我们，角 a、 c、 b 等于九十度， c、 d 垂直 ab 于点 d。 现在知道 ab 等于五， ac 等于三， bc 等于四， cd 呢？等于五分之十二。让我们去求点 c 到直线 ab 的 距离是多少？ 这道题是不是很简单，你看一个点，然后直线 ab 点到直线的距离，不就是垂线段的长度吗？对不对？那不就是 c、 d 吗？ c、 d 就是 垂线段呀。然后我们现在又知道 c、 d 等于五分之十二，所以直接就算出来了呀，那就是五分之十二了呗，很简单呀，对不对？ 所以说像这里呢，咱们就是做一些基础的概念题，帮大家去理解清楚这些概念，这些小呃小的知识点，他指的到底是什么？ 这是大家需要注意的哈。然后再来看最后一道题，他说如图，在六乘六的正方形网格中，每个小正方形的边长均为一顶点，称为格点点 a、 b、 c、 d 均在格点上，只用尺。在给定的网格中按下列要求作图。第一问，让我们做出直线 a、 b， 射线 a、 d。 那这个很简单呀，咱们直接连起来就行了嘛，就是你你的那个时候，你用尺子哈，自己比着，然后把它连一下，把 a、 b 和 a、 d 连起来，然后大家要注意哈， a、 d 是 射线，所以说咱们这个时候，你看你连的时候，一定要注意，要出来一点，要表示清楚，这是一个射线的意思。 大家看第二本，他说点 d 到直线 bc 的 距离是线段什么的长度呢？点 d 在 这里， bc 在 这里，然后呢，这些正方形网格，它都是小正方形，那这里肯定是垂直的呀，对不对？ 所以说点 d 到直线 bc 的 距离，那不就是垂线段吗？垂线段不就是 dc 吗？所以说对应的这里应该填 dc， 它是线段 dc 的 长度。再来看第三问，他说在线段 b、 d 上找一点 o， 使得它到 a、 b、 c、 d 四个点的距离之和最小。作图的理由是什么？大家 这时候来想哈，我们现在随便标一下，比如说这里有一个点 o， 它要找的是什么呢？ o 到 a、 b、 c、 d 四个点的距离之和最小，这个是 a， 这个是 b， 这个是 c， 这个是 d， 要找 o a 加 o b 加 o c 加 o d， 他 们的加起来的值是最小的。那大家这时候来想哈，我们肯定要化简一下，我们先写一下，不然这么这么四个线段肯定不好讨论呀。 这个时候可以可以，先怎么化简一下呢？大家能看出来吗？大家可以暂停视频，先先想一下哈，看这个能不能先往下化简一下，就是把这个四个相加给咱们，给他转化的少一点。 我们直接来讲哈，很明显 o、 b 加 o d， 它是固定的，因为 o b 加 o d， 它就等于 b、 d， 所以 说它是一个确定的长度，然后 b、 d 的 长度是多少呢？ 这个无所谓，它不需要让我们去求，我们只需要知道距离最小是在哪个点就行了。所以说我们现在就可以知道 o b 加 o d， 它是一个定值，定值 b、 d 嘛？ 然后呢，它再加 o a 加 o c， 所以 说其实说白了我们就是去找 o a 加 o c 的 最小，那这个时候不就简单了吗？两个点找最小， o a 加 o c， 什么时候最小呢？两点之间线段最短呀，对不对？所以说怎么去找这个点 o 呢？ 咱们的整体思路就是直接把 a、 c 给连接起来就可以了，你看我们直接把 a、 c 连接起来，然后交 b、 d、 b、 d 与点什么呢？交 b、 d 与点 o， 那 么这个 o 点就是到 a、 b、 c、 d 四个点距离之和最小的这个点做图的理由是什么呢？那就是两点之间线段最短呀，对不对？第三题也就做出来了， 其实咱们这里做题呢，复习了一下，比如说期上的一些知识点，咱们都是呃综合到一块进行考察的，像大家后面到中考的话，其实都会是这样，不同年级不同学期咱们学到的知识点都可能综合到一块进行考察，所以大家提前注意一下，了解一下哈。 ok， 以上就是我们这节课的全部内容了，大家点击下方合集，继续来听我们的下一节课哈。

hello， 大家好，这节课咱们来学习第二张相交线跟平行线。第一节的第二课时， 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的一个位置关系？那么通过图中呢，咱们能够看到，比如说第一幅，这个是黑板 相交直线，他们之间应该呈现的是一个直角，也就代表着他们的关系是互相垂直的。第二个呢，水平竖直，这些线也都相交成直角，包括最后一幅图，这是一个三维立体哈， 是一个墙角，那么三条线也都是互相垂直的，比如说我们看第一个红线哎，所相交的位置，第二个呢，水平竖直，第三个墙角的位置， 三条线互相都是垂直的。那么在日常生活中啊，如图中的两条直线的关系非常常见， 你能再举一些例子吗？因为这种我们小学的时候就接触过，他们的位置关系就是垂直的。那么我们在初中呢，仍然是重新对他们进行一个探究，所以我们先来探究第一个概念，就是垂直。 思考这样的一个问题，两条相交直线在什么情况下是垂直的？ 两条相交直线，你可以沿着这个焦点转，在转动的过程当中，当他们的角度就会发生变化，那当他们的角度成为多少度的时候， 他是垂直的呢？很明显是九十度。所以说呢，当两条相交直线的那个相交的角是九十度的时候，这两条直线就垂直了。 我们来看一下这个图，角一是六十度，那么角二的度数就用一百八减六十，哎，一百二，角三呢，他和角一是对顶角，所以也是六十度，角四和角二是对顶，角也是一百二十度。 如果我改变图中角一的大小，比如说角一等于九十度了，那角二是不是自然也是九十度，角三也是九十度，角四也是九十度？这个时候这两条直线的关系就是垂直 啊，这时候他们的关系就是垂直，那么这两条直线，这就是两条直线相交的一种特殊的情况。之前我们学过两条直线相交，并没有讲到他有多少种情况，他最特殊的情况就是 垂直。下面呢，我们再来总结一下什么叫做垂直，垂直的定义。两条直线相交成四个角，这个是肯定的，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫另外一条直线的垂线，他们的焦点叫垂足。这些基本概念大家要理解的基础上进行记忆。同时理解定义之后呢，我们还要注意 线段和线段，线段和射线。射线，射线，线段与直线，射线与直线 垂直，指的就是他们所在的直线互相垂直。哎，有的时候可能说哪条线段垂直，哪条线段其实指的就是整条，就这条线段所在的整个直线是互相垂直的啊，我们垂直指的都是直线， 即使弹线段也指的是直线，两条直线互相垂直，那么形成的四个角就是直角。反过来， 如果要说明两条直线垂直，那么我们就只需要说明这两条直线相交的角中有一个直角就可以了。哎，也就是说，你只要能证明这个角是直角，咱们就立刻能说明这两条线是垂直的。 好嘞，那么垂直概念我们认识了，下面我们再来看一下垂直的表示方法。怎么来表示两条线的垂直？在这里边啊？我们数学语言需要引入一个几何符号 用，像一个一竖一小横用它就来表示垂直，它叫垂直符号。 比如说来，咱们看这里边一个例子，如图， ab 和 cd 垂直，咱们就写成 ab， 用这个小符号，它读作垂直于 ab， 垂直于 cd， 这样的话，咱们就把这些文字性的东西都变成了我们数学符号啊。语言 或者写 c d 垂直 ab 也行，因为垂直没有顺序的啊，谁垂直谁都行，其中呢点 o 是 垂足直线 l 要是与 m 垂直，我们就直接写成 l 垂直于 m。 好 的，这是垂直的一个表示方法。 下面我们来思考一道题。如图所示， o 是 直线 ab 上的一个点，角 a o c 等于角 b o c。 当读到这的时候，我们就要注意一下了，哎， o 是 a b 上一点，那说明角 a o b， 这是一个平角一百八，他又告诉 a o c 得 b o c， 那 不就相当于把一百八怎么的平分了吗？左右都是九十，咱们就能断定这两条线的关系是垂直的。来，你看，他说问你 o c 与 a b 垂直吗？为什么？那肯定就写先答 垂直。为什么呀？因为我们刚才说了，你只要能求出一个九十度，就能说明他俩垂直。我们看一下， 呃，我是这样思考的，由于角 a o c 得角 b o c， 而他们俩相加得一百八，所以各自九十，所以就垂直，对不对呀？哎，很正确的。二、以下是小勇的思考过程，就是我们刚才看的这个，他的想法正确吗？是不是很对呀？ 你知道它每一步的依据是什么吗？哎，这个依据啊，其实蛮重要的，就是我们做题的方法，为什么 它和它相等，根据什么来的？那么我们一起来分析一下哈。首先第一个角， a o c 得角 b o c， 我 们管它叫已知， 什么叫已知呢？就是已知条件中告诉我们的。哎，在条件中给我们的就叫已经知道的条件，简称已知。由此 我们而且得到的就是角 a o c 加角 b o c 等于一百八。那这一句话是为什么呀？两个角相加等一百八，说明它俩是什么补角，所以我们根据这是什么补角的性质， 因为我们已经知道了整个 a o b 是 平角嘛。一百八，那就说明它俩相加，它俩互为补角，互为补角的话，相加就是一百八，所以用到的就是补角的基本性质。 所以呢，咱们就能够得到这个角 a o c 得角 b o c 都等于九十度，那这个位置呢？我们用到的是等量代换，它俩各自为九十度， 最后就能得到 o c 垂直 ab 为什么得九十度，咱们就能得到垂直了？因为根据的是垂直的 定义啊，根据垂直的定义，也就意味着呀，我们今后再做几何题的时候，你每一步都是有依据的。哎，为什么这么做？因为它是已知，为什么？因为它是补角的性质，因为它是等量代换，因为它是垂直的定义， 所以呢，我们就会把步骤写的更完整一些了。好，我们再继续看。第三问，如果 o c 垂直 o a b， 哎，这回呢，他是先告诉咱们了，他俩垂直， 那咱们是不是就立刻得到九十度啊？问咱们角 aoc 和角 boc 相等吗？为什么那么肯定是相等的？因为他俩都是九十度。那怎么求的？这个过程怎么写？我们来梳理一下。 注意啊，这也是两问题，我们必须得先答这两个角相等。一般情况我们都是这么写的，叫理由如下， 哎，理由如下，为什么先从已知条件开始，这里最重要的唯一的一个已知条件是不是就垂直啊？那你就先因为他俩垂直， 因为垂直了，咱们是不是就能得到九十啊？哎，你垂直四个九十，我全能得出来，他俩都是九十了，那相不相等啊，所以他俩就相等。同样，咱们也把这个理由写一下， 因为 o c 垂直 ob， 为什么 o c 垂直 ab 已知条件告诉的，所以咱们管它叫已知，所以就能得到这俩角相等，这俩角都得九十度。哎，为什么垂直就得九十度？根据我们垂直的定义，垂直定义就是这么规定的呀， 然后他俩都得九十度。我们把这个词刚才其实就提到了，我没有细讲，把这个词叫等量代换。什么叫等量代换呢？相等的量之间进行一个代替替换。 哎，他也和九十度相等，他也和九十度相等，那他俩肯定也相等，他们三都相等嘛，所以这种情况我们叫等量代换。 好，下面我们再来看一道练习题，如图， c 为直线 ab。 上一点告诉这点的目的就是为了让你说明这有一个平角一百八， 过点 c， 引了两条射线 c e 和 cd， 而且角 a c e 三十一，角 b c b 五十九， 左边三十一，右边五十九，整个一百八。那咱用一百八把这俩角减去，是不就能得到角 e、 c、 d 的 度数了？哎，轻轻一算，九十度。 那么说 c、 e、 c、 d 的 位置关系，你看，咱都知道了，角 e、 c、 d 得九十了，那你说它俩位置关系是什么呀？互相垂直呗。 为什么看好没有？又是两问题，你得先干什么？先答，然后写什么？理由如下， 我们整个初中七年级、八年级、九年级都会有类似的题，你都按照这个格式来写，先作答逗号。理由如下，冒号。没问题啊，到什么时候咱都是这么写的。来， 先达垂直。理由如下，啥理由啊？咱是不得先根据已知条件来呀。哎，已知条件来看，好，一个三十一，一个五十九，同时还有一个平角， 因为这两个度数，这是已知的，所以角 e、 c、 d 咱们就能求出来了，用一百八十度减去这俩角。大家注意这啊，你要先写公式，不要直接就写角 e、 c、 d 等于一百八十度，减三十一度，减五十九度，等于九十九十度。 一定要先把他们的公式写进去，就是用哪个字母表示的，然后再来一步代入度数的过程， 最后求出角 e、 c、 d 等于九十度啊，求出九十度，那它九十度了，我们是不是就可以根据垂直的定义写成 c、 e 垂直 c、 d 了？哎，好的，这就是这么一个小题，大家不要看这种小题，简单哈，让你 做出结果，你可能一下子就答出结果了。但我们现在更多的是要求这个过程，每一步都要有依据啊，都要有依据。下面我们来看第二个探求，叫垂线的画法。 尝试思考，你能用折叠的方法来折出互相垂直的直线吗？试试看，那这个折叠肯定是需要用到纸了，我们可以准备一个长方形的纸片， 接下来呢，我是沿着折痕进行对折，也就是在角的位置给它折一下， 折完之后呢，左边折一下，之后在右边折一下，那最后展开的时候，就可以折成了一个垂线，当然折的时候啊，要对齐沿着，比如说第一下，你可以随便折， 折完第二下呢，你要沿着那个折痕折痕重叠，哎，这样的话，你展开就一定是了，有兴趣的同学可以拿纸尝试一下哈。 第二个，如果用尺尺，你能画出图中方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？ 方格纸上呢，已经给咱们提供了三条直线了，那么对于这三条直线来说，第一条直线肯定是最好画的， 沿着格子水平，那么咱们只需沿着格子竖直画就可以了。后边的这两个稍微复杂一点，但是呢， 我们这个尺子啊，他有一些刻度，刻度上面就有一些叫做刻度线，所以呢，大家在画的时候，你让那个刻度线 对齐，和我们这个这条所给的线重合，因为本身刻度线和我们尺子这个画线这个边缘就是垂直的，所以呢，你让刻度线和所给线段重合画下来， 沿尺子边缘画下来，那么你所画的线一定就和所给的线段是垂直的了。 总结一下，方格纸上每一条横线跟竖线都是互相垂直的，那么我们可以利用隔线来画出两条互相垂直的直线，当然这个指的是对于第一个图来说啊，后两个图的话，我们就可以用我刚才所说的方法， 呃，下面总结一下画已知直线的垂线的一个方法。第一种就是用 直角三角尺来画垂线，利用它上边的这个刻度，线和尺面是垂直的。第二呢，用两角器画垂线，这个咱小学就会画出九十度。第三呢，借助网格纸来画垂线，网格纸本身它就是水平和数值的， 这里有一个练一练的小题，下面是画在方格纸上的两个图形， 请分别找出图中互相垂直的线段。大家在找线段的时候吧，我们有两种方法。第一种，先凭直观感受， 比如说第一个图，咱们直观感受一看，哎，这个 a o 跟 c o 差不多， b o 和 d o 也差不多，那么垂不垂直呢？你可以用量角器，也可以用尺子来进行尝试，发现它俩都是垂直的。 第二个呢，我们直观一看，哎，中间这条线好像 g 和左边的 bc 垂直，也和右边的 c e 垂直，都垂直 看比较好看。下面我们再来看一下。第三个，探求垂线的性质和点到直线的距离。咱们前边呢，首先是先认识了垂线的概念，垂直垂线。然后呢，又 呃介绍了怎么来画一条直线的垂线，那么我们最重要的是应用应用，咱们主要应用的就是它的这个性质，同时又引出来一个新的知识点，叫点到直线的距离啊。来，我们一起看一下， 如图所示，点 a 在 直线 l 上，你能用三角尺过点 a 画直线 a 的 垂线吗？你能画出多少条？怎么做的同伴进行交流。 这个其实我们小学的课本上就有提及到，在这里边呢，就相当于重新又学了一下。用三角尺的话呢，我们就可以把这个三角尺给他靠在这个直尺上边，我们必须得借助直尺和三角尺两个一起啊。来，我们具体看一下这个画图啊。 首先先把直尺呢和这个所给的直线 l 重合，然后拿出一个三角尺，让这个三角尺的直角顶点跟 a 重合，这样的话，此时它们就是垂直的，哎，是不就能画出来呃，一条垂线呢？ 用三角尺过点 a 画直线 l 的 垂线，咱们是不是就能只画这一条了？哎， 这里边给我们总结了一下这个画它的一个步骤啊，一放，把这个一放，放的是直尺，二靠，靠的是三角尺，它跟直尺靠一起。三移，是把这个 呃三角尺给他移走啊。三移，移动，移动三角尺，直到三角尺的直角顶点和 a 重合，停止四画。然后呢，沿着三角尺的另一边画出一条直线， 所以我们总结呢，过直线上一点，画直线的垂线可以画一条，哎，你在直线上随便找到一点，我想过这点，过这条直线的垂线，咱们只能做一条啊，只能做一条。再来看， 刚才点在直线上，这回呢，我这个点在直线的外边点 a 在 直线的外边过这个点， a 画直线的垂线，问咱们又能画多少条？操作方法是一样的， 直角放在 l 上，三角尺放在直角上，移动三角尺，让这个所给的点过三角尺的一条边，接下来画条垂线。 经过操作之后，我们发现过直线外一点也只能画一条垂线， 哎，刚才我们点只有两种位置关系，他和直线，要不然就是在直线上，要不然就是在直线外。我们刚才都画了，发现都只能有一条直线跟这条直线垂直，所以呢，我们把这个知识点总结一下，蛮重要的啊， 是垂线的第一个性质，叫做在同一个平面内过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 在这里边大家注意一下这个语言的描述，可能我们第一次见到这种形容，是不是什么叫有且只有啊？先强调有就过一直线，过一点到一条直线有垂线 哎，有多少条呢？用个且字连接叫且只有一条，哎，这就叫有且只有的意思啊，有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意的是过一点中的点可以在直线上，也可以在直线外，哎，都行啊，有且只有指的是有，有指的是存在，只有指的是唯一，哎，只有一个，就这意思。 下面我们来看一个练习下列各图中过直线外一点 p， 划直线的垂线三角尺操作，正确的是根据我们那四步操作，应该选 c 选项。 下面我们再来看一下这道题，如图所示，点 p 是 直线外一点 c o 呢？垂直直线 l， 点 o 是 垂足 a b c 在 直线上。让咱们来比较 po、 pa 和 cbpc 的 长短，你发现了什么问题？ 通过比较啊，咱们怎么比较呢？我们正常来比较线段长短的方法吧，其实是用这个 圆规，我们以这个点 p 为圆心，然后呢，依次去画它们的长度，我们就会发现这个 p o 是 最短的 哎，你无论这个点在 l 的 任何位置，连接 p 后，它都会比 p o 长，所以我们又总而 p o 是 什么呀？ p o 就是 过直线 l y 一 点 p 向直线 l 做的垂线 组成的线段的长度，我们会把这个线段叫做垂线段 啊。再说一遍，过直线外一点向已知直线做垂线所组成的这条线段，咱们管它叫垂线段，那么这就形成了过垂线的第二个性质， 叫做直线外一点和直线上各点所连的所有的线段中，垂线段是最短的， 简称为一句话叫做垂线段最短，其他任何地方都要长一点。 那么这里边又涉及到另外一个概念，叫做点到直线的距离。什么叫点到直线的距离呢？咱们看右图，直线外边有一个点 a 过这个点向这条直线做垂线， 那么这个点到垂足之间的这条线段叫垂线段，这个线段的长度就叫点到直线的距离。那用他这个话咱们总结一下，就叫做 如图所示，过点 a 做直线，垂线垂足 ab 线段 ab 的 长度，就叫做点 a 到直线 l 的 距离，这个就叫点 a 到直线 l 的 距离。 下面呢，我们对应着来看一道练习题，如图所示，在立定跳远过程当中， 体育老师这样测量运动员的成绩，把一块三角尺的一条直角边靠在起跳线上 拉直的皮尺和另一条直角边重合，则皮尺测量的 a b 的 长度即为运动员的成绩。那么这样做的理由是什么？可能大家平时有一些喜欢体育运动的会参加过这个项目， 那么我们都是以垂直距离作为你的最后成绩的。那这样做的理由就只有我们这节课所学的这个叫做垂线段最短，垂线段最短。 下面我们来看一道大体立体，如图所示，已知直线 abcd 相交于点 o， 马上看图。哎，相交没有特别大的已知条件啊，有些对顶角之类的小平角啊，小对顶角 o c 呢？垂直 o e 是 蛮重要的，图中直角标已经标出来了，那不仅是角 c o e 得九十，右侧角 d o e 也得九十，心里要有数 o f 呢？平分角 a o e 哦， a o e 被 o f 平分，那么被它平分，说明角 a o f 等于角 e o f， 角 c o f 等于三十四度。求角 b o d， 这个度数给的稍微迟了一点， 前边介绍了垂直，这里有个三十四，所以咱们首先应该求的就是角 e o f 对 不对？哎，角 e o f e o f 求出来了，它又告诉角分线了，所以是不是马上能推角 a o f 啊？ a o f 有 了再减 c o f， 那 a o c 是 不就有了？而我们要求的 b o d 是 不刚好和 a o c 相等呢？哎，这样就陆续的出来了，也就是这对于类似这种的几何题型啊，我们在 分析题的时候，就是你能读出来的条件，能得到什么结论，你就尽量的给他多得点，可能最后他要求的答案已经在你的掌控之中了。好的，下面我们一起来写一下这个过程。 首先先根据第一个已知条件，因为垂直垂直咱们主要得的是什么？九十度，所以先得到这个角是九十度， 然后再减那个，是不是来看我们怎么写的？又因为它是三十四，所以咱们就能得到角 e o f 等于五十六，这里最好有一个九十度减啊。 然后再因为角平分线，所以咱们就能得到角 a、 o、 f 也得五十六， 所以咱们就能得到角 a、 o、 c 得二十二，再根据对顶角相等，咱们就能得到角 b、 o、 d 等于二十二度了。 好，下面我们再来看第二。如图所示，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 得九十度， c、 d 垂直， ab 垂足为 d。 如果 a、 c 得四， bc 得三， ab 得五，则点 a 到 bc 的 距离， 点到直线的距离就是这个点到直线垂线段的长度就是谁啊？ a c， 所以 说第一个填四，那 b 到 a、 c 的 距离呢？指的就是 bc 的 距离呢？指的是 c、 d， c 到 ab 的 距离，哎，指的是 cd， 那 cd 的 长是多少啊？ 哎呀，这个方法目前咱们还算不了，要用勾股定律之类的，咱们知道是谁就行了，这个就先不算了啊。二点四来，咱们再来看最后一道例题，说呀，已知 p 是 直线外一点 abc， 你 看这个题没有图，那我们自己在读题的时候就要画个图，然后 abc 呢？它是直线上的三个点，但是具体位置现在还不知道。在读 点啊， pa 的 长是四，哎，那你就画一个 pa 是 四， p b 是 五， pc 是 二，我们发现谁最短的 pc 最短，然后 pa 皮 b 更大一点。说 p 到直线的距离 abcd 第一个一定等于四，对吗？距离是点到直线的最短的长度了， 等于二，一定等于二吗？未必，因为可能 p c， 它如果不跟直线 m 垂直，是不是说明还可能比二小啊？是不是？哎， c 它说小于二，那也未必，万一 p c 刚好跟直线 m 垂直，那是不是就等就等于二了？ d 不 大于二，那这个说的就比较严谨了，哎，可能等于二，可能小于二，所以我们总结下来叫叫做不大于二啊。 好了，这就是我们这节课所学的内容，两条直线位置关系的第二部分的内容，首先介绍了垂直的定义，又介绍了它的画法，然后学习了垂线的一个性质，有两条。 最后呢，介绍的是点到直线的距离。这节课的内容都挺重要，希望大家在理解的基础上进行记忆。后边呢，有几道题来，大家有兴趣的可以做一下啊。

这道题呢，咱们来看如何利用垂直去求角度？依旧是一道大题，如图，直线 a、 b 和 c、 d 相交于点， o f 垂直 c d。 哎，看到垂直，你就要想到垂直，它一定会有九十度的角，那现在 o、 f 垂直 c d。 九十度角在哪里？图中都给你标出来是这个角 c、 o、 f 是 等于九十度的。好，接着往下看， 那又说这个 o、 f 呢？平分角 a o e， 角 a o e。 在 这个地方 o f。 既然平分角 a、 o e， 那 我知道这个角的度数和这个角的度数是相等的。画两个三角形，这两个角的度数是相等的。 又给了一个角 b、 o、 d 的 度数，是不是跟角 a、 o、 f 的 度数是相等的呀？ 那如果说我能求出角 a、 o、 f 的 度数，是不是就可以得到角 e、 o、 f 的 度数？好，那么看角 a、 o、 f 的 度数怎么去求呢？角 a、 o、 f 是 在这个九十度的角当中，减去这个角 a、 o、 c 是 不是就可以得到角 a、 o、 f 的 度数？ 好，那现在角 a、 o、 c 的 度数可不可以求？哎，你仔细观察角 a、 o、 c 哦，你会发现它跟角 b、 o、 d 是 互为对顶角的关系啊，它俩将互为对顶角，那他们两个就是相等的。好，这道题的解析思路有了之后呢，我们来补充完整它的过程。 首先是根据这个 o、 f 垂直 c d。 因为 o f。 垂直 c d 嘛，所以我可以得到这个角 c、 o、 f 的 度数是等于九十度的。好，接下来呢，我又通过观察，知道了这个角 b、 o、 d 与咱们的这个角 a、 o、 c 呢，是互为对顶角。 我们说对菱角的性质，是啊，对菱角相等，对吧？所以就可以得到这个角 b、 o、 d 的 度数是等于这个角 a、 o、 c 的 度数是等于二十五度的。 好，那我们就可以知道。所以我可以知道这个角 a、 o、 f 的 度数，它就等于这个角 c、 o、 f。 减去这个角 a、 o、 c 好， 就等于角 c、 o、 f 是 等于九十度的角，减去一个二十五度的角 是等于六十五度的。好，那我们再记住这个平分来求角 e、 o、 f 的 度数。我们说因为 o f， 它是平分这个角 a、 o、 e 的， 所以我知道这个角 e、 o、 f 的 度数跟我们的角 a、 o、 f 的 度数是相等的。角 a、 o、 f 上一步已经求出来了，它等于六十五度， 所以题目问的角 e、 o、 f 的 度数也出来了，是六十五度。那这道题就解决了。

上回书说到，两直线相交，会形成四个角，这四个角的度数会随着直线的转动而改变。当这四个角恰好相等，也就是说都等于九十度的时候，这两条相交线就达到了一种特殊的状态，垂直。在图上垂直的符号就是一个小直角，一般这么标，看到垂直符号，你就可以果断的说这是九十度。 看到九十度时，你也可以果断给它标上垂直符号。而在式子中，两条直线垂直，这么表示 a、 b 垂直 c、 d。 反过来写也没问题。 有时你还会见到这种写法，角 a、 b 垂直 c、 d 于 o、 o 呢，就是两条直线的交点了，在这角垂足。既然讲到了垂直，就与咱之前说的互余密不可分。比如这个图，角一和角二的关系是啥？ 我说过，看到垂直符号，果断标九十度，看到这仨角拼成了平角，也就是说，角一加九十度，加角二得一百八十度。把九十度减过去，角一加角二就是九十度，所以它俩互余。 我把这个图丰富一下，延长 c、 o 到 d， 做 o、 m 平分点， a、 o、 d， 也就是这俩点相等。现在问题来了，已知角 e、 o、 b 等于三十度，求角 o、 d 的 度数。角 e、 o、 b 是 这个角，它是三十度。角 m、 o、 d 在 这它是要求的，这可咋求呢？慢慢来嘛。 先把垂直翻译成九十度，角 a、 o、 b 是 个平角，那这个角应该就是一百八减三十，再减九十，也就是六十度了。 它的零步角，也就是这个角，就应该等于一百八十度，减去六十，也就是一百二十度嘛。 o、 m 是 它的角平分线，所以分出的两个角相等都是六十度，如此看来，角 m、 o、 d 就是 六十度了，是不是非常简单？ 好了，又到总结时间，这个视频我给你讲了垂直的概念和表示。两条直线相交成九十度角时称为垂直，焦点叫垂足垂直，符号在图上长，这样写成式子就是 a， b 垂直 c， d。 在 角度计算中，你只要牢记垂直与九十度的互换，按步就弯的求出各个角度，答案自然就出来了。

好，这节课我们来讲第二小节，垂线啊。首先我们先来看质数的部分，第一点啊，一般的如果说两条直线 a 和 b 相交所形成的四个角中， 有一个角是九十度的时候啊，那我们将这个九十度可以去做直角啊，比方说有一个角是直角的时候啊，或者说有一个角是九十度的时候，那么我们就可以说直线 a 与直线 b 互相垂直，既做 a 垂直 b 这个符号，我们称之为垂直符号啊，是一条竖线加一条横线啊，然后下方是不要这样抄出来啊，我们就这样写的，这叫垂直符号。好，那解释什么意思？比方说这是一条直线 a 直线， 这是一条直线 b 直线，那么两条直线相交，一定会形成四个角，我们称之为两线四角。比方说这是角一，这是角二，这是角三，这是角四。那么按照上节课所学的结论，很明显，角一 与角二、角四是互为零补角的关系的啊，这是我们上节课学过的。然后角一和这个角三 啊，是互为对顶角的关系的，那我们说零补角互补，对顶角相等，那么什么时候会出现一个直角呢？就是我的直线可以这样画，比方说这条是 a 直线，这条是 b 直线，那么在 a 和 b 所形成的这个角一、角二、角三、角四之后， 我们发现如果其中一个角是九十度的话，那么按照对顶角相等，所以这个角四也得是九十度， 那么按照零补角互补，所以说角一加上角三就得等于一百八十度，一旦其中的角一是九十度，那么角三就必须也是九十度啊，所以说角三也就是九十度了，那么再按照对顶角相等，所以角三的对顶角角二也得是九十度 啊，所以这个图应该是这样的，就说想形成一个垂直的关系，这个直线 a 啊，就要长这样，直线 b 就 要长这样，然后中间有一个垂直符号 啊，所以说此时角度一定是九十度，那我们可以去做 a 直线垂直于 b 直线。好，这个就是本节课的这个图，那么他说其中一条直线就会叫做另一条直线的垂线啊，一条线是另一条线的垂线，比方说 a 直线是 b 直线的垂线， 你可以反过来 b 直线，他也是 a 直线的垂线，然后其中两条垂线的这个交点啊，这个交点，比方说咱们叫做 o 点，那这个交点我们称之为垂足 啊，然后这个符号啊，在角度上画的这个符号表示垂直符号，然后还可以这样去画啊，就说我们如果写式子的话，就应该是 a 垂直于 b， 如果在图上画的话，就是这样垂直的，这个角度符号啊，可以这样标上。 好，这个就是垂线的定义啊，那么事实上咱们小学也学过，我们就可以快速去过了。好了，看第二个，在同一个平面内过一点啊，有且只有一条直线 与已知直线是垂直的啊，什么意思？说什么意思？那是说在一个平面当中，经过一个点，有直线，并且只有一条，叫做有且只有有，而且只有一条。 这样的直线和已知直线是垂直的。什么意思呢？可以画个图啊，来举例一下。我们来看这个绿色部分啊， 比方说，首先我先取一条直线 a 直线，然后这个点是直线外的一个点，我们就做 a 点， 那么我想经过 a 点去做一条直线，和直线 a 是 垂直的，我只能做出一条啊，哪一条就是过点 a 做直线 a 的 垂线啊，我可以出去啊，出去不出去都对， 我只能做出这一条直线，跟已知直线 a 直线是垂直关系。那有同学老师，那我这样做不行吗？我经过 a 点，我这样做，那很明显这个角他是不垂直的啊，即使说把这条线啊画的 啊，稍微就是歪一点啊，那这个角他也不是九十度啊。所以说经过直线外的一点啊，我们只能做出一条直线外的一点啊，我们只能做出一条直线外的一点啊，我们只能做出一点，他应该是直线 a y 的 一个点啊，直线 a y 的 一个点，那我们可以这样想，如果这个 a 点它不在直线 a 的 外面，它刚好在直线 a 上，会发生什么情况？我们还是来验证一下。比方说这个是 a 直线，那么我在直线上取一个点做 a 点， 我依然想经过 a 点做出一条垂直于直线 a 的 直线，那么还是只能做这一条啊，只有这一条是垂直的，中间是垂直符号，即使我稍微写的话，他这个角度也不是九十度。所以说，不论这个点是在直线外， 还是说这个点在直线上，我始终只能做出一条直线，能够与已知直线是垂直的这个定力啊，我们就将这个直线外和直线内统称为在一个平面内啊，也就是说在一个平面内，不管这个点 他是在直线外啊，不管这个点在直线外还是直线内，都尤其仅有一条直线能够与已知直线垂直啊，我只能画出一条，画不出来无数条。 好，这个就是我们的知识梳理部分啊，我们就说这么多，接下来我们来看随堂训练。好第一题，我们来看如图，已知 q a 垂直，直线 l， 我 们来看 q 点在这啊，很明显这个 q 是 一个垂足的位置啊，我们来标一下， q 是 一个垂足，然后 a 点就是这个直线外，一点 过 a 点只能做一条直线， a q 和已知直线 l 是 垂直的。好， b 点也在直线外，那么过 b 点也只能做一条直线， q b 能够与已知直线 l 是 垂直的，所以说 q a 垂直 l， q b 垂直 l， 那 么此时 q a 直线 和 q b 直线一定是一条重合直线啊，这个是没有问题的，那么理由呢？应该是二 b 选项啊，这是我刚才说过的，在平面内啊，经过一个点，只有一条直线能够与已知直线垂直啊， a 点在直线外， 所以做的这条 a q 和 l 是 垂直的，然后 b 点也在直线外，所以说 b q 也和 l 是 垂直的，因为只能有一条线，所以说这个 a q 和 b q 只能是重合的直线啊，它不能分开，因为我只能做一条啊，所以说它一定是重合线。 好，那我们来看一下这个 a c d 啊，错在哪里？我们来看过两点，只有一条线啊，这句话本身没有问题啊，经过两点只能确定一条直线，这个画是没问题的，但是跟咱们本道题啊是没有关系的，我们是讨论垂直，而不是讨论直线的个数，所以说 a 九不对，但是画本身是对的啊， 然后 c 垂线段最短啊，这个也是对的。就说我经过一个点做垂线，一定是垂线最短，这是咱们未来要讲的知识点啊，跟本节课无关。他的道理呢，一样的，就是说这句话没什么问题，但是跟题目没什么关系啊，所以也不选。 然后 d 选项过一点，只能做一条垂线，这个就有点不严谨了啊，他就是错的，相当于 b 和 d 啊，应该对着去看啊，就是 b 说的很清楚，首先是在一个平面内，经过一点，只能做一条与已知直线垂直的直线， 而 d 选项他说过一点只能做一条直线，这个话本身是错的啊。我们可以举个例子，比方说这个点我就记作 d 点，然后这个是已知直线 l 啊，我们将它记为已知直线，那么我过 d 点只能做一条直线，跟 l 垂直，这个是没问题的。但我如果我这么想，我把这个 d 点 定了之后啊，我不给一条直线，我就说过地点能做几条垂线，那么很显然过地点可以做无数条直线啊，什么意思？比方说这有条直线 l 一， 那很明显 a 这样的话，这样划，这是垂直的第一条直线了， 好，这条直线 l 二，那么郭弟弟啊，又能画一条垂线，好，这一条直线 l 三，好，给他延长一下，那么郭弟弟又能做一条垂线啊，所以说如果不加这个限定条件的话，那么经过一个点，其实可以做出无数条垂线啊，所以说这个 d 啊，是正确，呃，直接就是错的， 好，本道题的选项啊，应该是二 b， 我 们就说这么多，接下来看第二题，如图， a、 d 垂直 bc 啊，这说明角 a、 d、 b 或者角 a、 d、 c 都是九十度啊。虽然垂直符号标在 ab 的 位置啊，角 a、 d、 b 是 九十度，但是我们知道这个 b、 d、 c 是 一大大的平角，所以它的隔壁啊，这个角 a、 d、 c 其实也是九十度啊，这是垂直符号的意义啊。 好，他说角一等于角二，角一等于角二，那么就可以发现三角形 a、 b、 d 啊，他应该是我们小学阶段所学过的等腰直角三角形啊，因为我们小学学过一个三角形，其内角和应该是一百八十度啊，这个我们都知道 好，小学就学过了三角形内角和一百八十度之后，我们会发现这个三角形 a、 b、 d， 它的这个角和应该是角一加上角二加上角 a、 d、 b 应该是一百八十度啊，小学知识内角和一百八，其中角 a、 d、 b 是 九十啊，所以说角一啊，咱们填，所以啊，因为咱们还没学逻辑符号啊，这是，所以，所以角一加上角二加上九十度啊，就应该是一百八十度， 咱们一旦一项啊，所以说角一加角二就会等于九十度，因为一百八减九十是九十。其中题目还说了，角一和角二相等，那说明他们各自就应该是四十五度了啊，所以说角一就会等于角二，就会等于四十五度。好，这样的话我们就解出来了，角一是四十五度，角二也是四十五度。 好，题目又说角 c 是 谁啊？角 b、 a、 c 是 这个角， 那很明显，这个角 bc 应该等于角一加上这个角三。好，那要分析了，这个角三是多少度啊？那不难发现，在三角形 a、 d、 c 中，他依然也是一个内角和啊，所以说在这个三角形 a、 d、 c 中，还是利用这个内角和可以得到角 a、 d、 c 加上角 c 加上角三，应该也是一百八十度的， 其中角 a、 d、 c 是 垂直的直角，它应该等于九十度。角 c， 题目告诉我们了，是六十五度，然后加上角三等于一百八啊，咱们一向 角三就应该是一百八，减去九十度，减去六十五度啊，很明显，角三应该等于二十五度啊，咱们算就可以了。这个角 b、 a、 c 啊，合起来就应该是角，一加，角三就应该等于四十五度， 加上二十五度应该等于七十度，所以选项应该是 a 选项好，这个是我们用的内角和去分析。那么事实上，除了角和啊，我们还有一个结论是学过的，就是说在一个直角三角形中，其两锐角应该是互余的关系。那么不难发现啊，这个三角形 a、 d、 c， 它应该是一个直角三角形，它的两个锐角啊，分别是谁啊？应该是角三 和角 c， 他 俩是两个锐角，对吧？那我们知道啊，在直角三角形中，两个锐角是互余，什么叫互余啊，是不是相加得一百啊，相加得九十度啊，哎，所以可以说角三加上角 c， 其实是九十度的性质。就是说在 直角三角形中，两个锐角是互余的，那其中啊，这个角 c 给了六十五度啊，所以角三就可以直接等于九十度，减去六十五度，依然是等于二十五度的啊。所以说，红色的方法是用了这个锐角互余的性质，绿色是用了这个内角和的性质啊，其实都对啊，方法都一样。 好，这是第二题啊，选项是 a 选项，咱们就说这么多，往后看第三题，如图，当角一与角二满足什么条件的时候，给的是 o a 垂直 o b。 那 么这样想，要想， o a 垂直 o b 是 不意味着角 a o b 必须是一个垂直的，这个九十度，它就是一个直角，对吧？ 那我们就发现这一条横线是一个大大的平角，想让中间等于九十度，是不得，意味着一百八十度，减去这个角一加角二就得是九十度啊。那此时很明显了，就需要保证角一加角二是九十度才行，因为平角减去 九十度就会等于中间这个九十度啊，所以说条件应该是角一加角二，只有在九十度的时候才能符合 o a 垂直 o b。 好， 这个是第三题啊，咱们就填填这个角一加角二等于九十度啊，或者说可以填角一 与角二互余啊，都可以啊，都对，互余也是相加为九十度嘛。好，这是第三题，接下来我们看第四题， 如图，直线 ab 和 cd 相当于点 o 给了 e o 垂直 ab 啊，所以说角 e、 o b 等于九十度啊，这有垂直符号，他是九十度。 好，他说角 c o a 等于三十度，我们来看 c o a 等于三十度。哎，那我们发现一个东西啊，就是说角 a o c， 他的这个对顶角应该是角 b o d 对 顶角相等，所以说角 b、 o d 等于三十度。题目问的角 e、 o d 就 这个角。 哎，那所求的这个角 e、 o d 不 就等于角 e、 o b， 然后加上角 b o d 吗？我们带数据就应该等于九十度，加上对顶角相等的三十度，数值应该等于一百二十度， 这个空填的应该是一百二十度啊，理由是这有一个三十度，对，顶角相等九十加三是一百二啊。好，第四题咱们就到这，接下来看六题。第五题呢，是要求用三角尺啊，分别做出这个垂线，那我们就把这个图啊，稍微放的大一些。 好，那么我们接下来就借助三角尺来这个画垂线啊，其实垂线呢，嗯， 好，这个差不多有九十度了吧。啊，同学们，你要比好啊，我就是差不多就行，那么过点 c 啊，我可以很显然啊，做一条线啊，然后标上垂直符号就可以了。好，这是一条垂线啊，有点没画好，他应该是经过 c 点啊。好，经过 c 点做的这个垂线，我们把这个垂直符号标好。好，然后这个， 这样，对吧？差不多，同学们，比好一点，比准一些。好，这个就是过点 c 做的 ab 的 垂线，所以说这是垂直的，然后这一个我们就得这样画了。 好，这可能有点不垂直啊，我们得差不多就行。好，这个好，这是 垂线。好，然后我们画出垂直符号，然后这个很明显啊，是我们小学所学过的这个钝角三角形。那么想做 ab 的 垂线，首先应该是反向延长 ab 啊，延长线应该是虚线啊，所以把 ab 给它延长一下，延长之后就应该是过点 c 做 ab 的 垂线了 啊，这个我们好，那应该是过点 c 啊，然后做 ab 的 垂线。好，所以画出来啊，应该是这样的，这条线就是那个垂线啊。 好，这是垂线，那么由于垂线呢，我们其实还要标垂足啊，所以我们还没标垂足，那么换成橙色，把这个垂足给它标上，比方说 d 点就是垂足，然后这个 d 点是垂足啊，所以这就是 c d 垂直于 ab 啊，这也是 c d 垂直 ab， 对 吧？然后这个我们把垂足标上，这是 d 啊，所以也是 c d 垂直 ab。 好， 最后一个这个垂足我们也记为 d 点啊，所以依然是 c d 垂直 ab。 只不过第四个是个对角三角形啊，我们应该是延长某条边，然后过另一个点去做延长线的垂线。好，本节课咱们就到这里。

那么我们今天做一道关于补角的题目啊，首先一点我们需要了解一下什么是补角？补角就是两个角的和是一百八十度这样的，那么一个角是另外一个角的补角。好，我们看一下啊，首先一点，他告诉你的什么直线？ ab 和 cd 相交于 o 点，然后呢，这个 o f， 这个 o f 和 o d 分 别平分了哪两个角啊？一个是 a、 o e 这个角，也就是说这两个角相等， 好，我们再换一个颜色啊，红点啊，好，这两个角呢也相等啊，他是这样平分的，然后呢，他叫你求什么？求 d、 o e， 也就是说求这个角的什么？补角有几个？好，我们现在看一下啊，也就是说他叫你求这个角的补角是多少？好， 那么我们我们做这道题的时候，首先一点我们要把已知条件充分充分用上，是吧？好，我们看一下啊，我们先把它，嗯，先看一下， 首先一点我们看这条直线，这条直线它是一百八十度， ab 这条直线围绕 ab 这条直线，我们看又拿这个角相加，是一百八十度，是不是这个角，我们说角一吧，这个说角二吧，好不好？这个好，是不是角一 加上角 a， 什么 a、 o d， 是 不是？也就是说角一加上角 a、 o、 d， 它们等于什么？一百八十度，我们先找直线，我们先找直线，好，这条直线找完了，我们再找这条直线，好不好？找这条直线。好，这条直线我们看一下啊，是不是还是个角一啊？ 角一加上多少啊？是不？下面这个角角什么加上什么角 c、 o b， 他 们也等于一百八十度，对吧？好，你看这条直线，那么他的上面呢？角二是不是加上这个角是也等于一百八十度呀？ 那我们先把已知条件先把它都罗列上，这个呢吗？是角 c o e。 哎，他们也等于一百八十度。好，现在我们看一下啊， 因为他要求角二的，是不是啊？求角二和他们的那个，那我发现了，因为什么角一是不等于角二啊？因为他们是不是平分呀？ 角一等于角二的话，那这样你看一下他是不是这里边所有的角一这边都可以把它带成什么？带成角二吧，我们最终也就求求什么角角，什么角 e o d e o d， 也就是角二，那么这里边角一等于角二，你把它都带进去，也就说这三个，这三个角呀， 这三个角是不是都是什么都是角二的补角呀？所以说我们说他们有几个角啊？这边是有三个角，分别是哪三个角呀？我们说分别就是 角 a o d， 角 c o b， 角 c o e。 哎，通过这道题，我们要先明白是什么，什么是补角。好，我们再好，同学们，我们讲这道题的第二问啊，第二问好，首先他说判断呀，这个 o f 和什么 c d 他们的位置关系，并说明理由。其实 o f 和 cd， 我 一看他是个垂直关系，但是我们一定要证明，而不是你看出来的。那么我们先说说什么 o f 垂直于 cd， 那 么我们要证明 o f 垂直于 cd 是 不是好，他要什么垂直好？首先我们我们看一下啊，我们看这个 这条直线的四个角，我们设一二三四，我们角一、角二、角三、角四，把线这样标出来，那么也就是说嘛，我们看角一、加角二、加角三加角四， 是吧？他们都等于什么？加起来是一百八十度，对吧？好，又说角三等于什么？角三等于角四？好，角一等于角二，这是我们上一个已知条件知道的，对不对？那么这样的话，是不是它同相等的话都是二分之 一，是不是？也就是说二分之一的什么角 e o f 加上二分之一的这个角，是不是？这个角是什么？ e、 o d， 它是不是就等于什么？二分之一乘以一百八十度，也就等于九十度？ 所以说我们说了怎么说啊？这两个角是什么？他们是互相垂直的，他是九十度，哎，也就说这个是九十度，也就是所以说角什么 哦， f o d 等于个九十度，也就所以说 o f 垂直于 c d。 好， 同学们你听明白了吗？

同学们好，我是刘老师，今天我们一起来学习我们数学迁移下册第七章相交线与平行线七点二点二平行线的一个判定，那我们这节课的主要的一个学习目标呢，就是我们能够掌握我们三种呢我们的平行线的判定办法。 然后第二个呢就是我们要理解我们在我们探索过程中呢，简单的会类证和推理，最后呢要了解我们转化的一个数学思想，我们来看一下。 好，我们上节课呢，已经学习了我们的平行线，对吧？我们在一个平面内的不相交的两条直线呢，就是平行的，这个前提是呢，我们两条直线呢是不重合的。 那我们来想一下，你如何来判断我们两条直线能够平行呢？那有的同学说了，我知道，那如果说两条直线不相交的话就平行，对吧？这是我们要用什么呀？用我们的数学符号去表示， 那我们来想一下，如果说我们用数和符号语言数学符号来表示，我们如何来写呢？那大家还记不记得我们如何来画一组平行线呢？比如说我们现在给了你一个直线，让你去画一个直线呢，和它平行，你如何来画呢？还记不记得我们当时教你的办法 是一放把我们的这个什么呀三角板放在这里，然后呢二什么呀？靠，当我们把我们的这个直尺靠在我们他的边上的时候呢？然后三移可以移任意的位置， 也就是推推任意的位置都可以。最后呢画，那是不是就能画出我们两条直线平行了呀？ 好，当我们画出 c、 d 和 ab 平行的时候，我们来看一下我们的这个三角尺啊，在我们的画图过程中起着一个什么样的一个作用呢？我们来看一下，你看这里的角一和角二是什么样的一个关系呢？数量关系呢？ 是不是角一和角二是相等的呀？也就是我们的三角尺。当你知道角一和角二相等的时候，你会发现角一和角二是我们所学的三线八角的哪两个角呢？是不是他是我们的同位角， 那此时我们是不是同位角相等呀？那当他俩同位角相等的时候，是不是我们就能得出来角一等于角二的时候，是不是 a 也就是平行于 b 了呀？那你可以再试试，比如说我们这个角和这个角是不是也是同位角呀？他俩相不相等，或者说你判断不出来的时候，那你想一下，我这个角和这个角是不是角一和角二的对顶角，那既然是对顶角呢？相等，是不是你是你俩也相等呀？ 那有由此可以证明出是不是同位角相等，两直线是平行的呀？所以说这是我们的基本事实啊，所以我们得出来第一个我们的判定办法，就是如果说呢，我们两条直线被第三条直线所截，如果什么呀？同位角相等，我们就是两直线平行。简单的来说， 同位角相等，两直线平行大家应该能理解，所以说用我们数学符号语言来表示，就是因为角一等于角二，所以 a 平行于 b， 也就是用的是什么呀？用的是同位角相等，两直线平行，对吧？ 好，那我们知道同位角相等，两直线平行，那我们来看看，那其他的内错角和同旁内角呢，是否一样能用我们刚刚的办法来判断他俩是平行的？好， 再来看，那我们来看一下直线 ab 呢，也是被我们 c 所截，然后角一和角二，你看角一和角二，首先我们知道角一和角二是内错角的关系，那你想一下 来，角一如果说等于角四的话，那角四和角二相不相等，是不是角四和角二也相等？那反过来，角二和角一相不相等，是不是也相等呀？那是不是就是说两个 是不是也就是说我们同一角相等能判断出来？那此时呢？是不是我就能证明出我角一等于什么呀？角二呀， 为啥呢？是不是角二和角四是对顶角，那角四和角一是同一角相等了，相等之后呢？你角二和角一也相等了，是不是他俩也就相等了？所以说我们就知道第二个判定办法， 两直线被第三条直线所截的时候，如果内错角是什么呀？相等，那么我们就能说明两个直线是平行关系， 对吧？用我们符号符号语言来写的话，就是角一等于角二，那么 a 平行于 b， 也就说内错角相等，两直线平行。 好，那我们已经学了两个了同位角和内错角。最后再来看一下我们的同旁内角，那你会发现呢，我们此时的角一和角三呢，就是同旁内角，那此时我们能够得到一个什么样的一个关系呢？我们来想一下， 我们已经知道角一和角二是相等的，那角二加角三是不是等于一百八十度？那你想一下，角一加角三能不能等一百八，是不是也等于一百八呀？ 所以说我们最后就能得出最后一个，也就是说同旁内角。什么呀，一定是同旁内角互补，也就是角一加角三等于一百八，那此时就是相等了，所以说我们最后能得出角一加角三等于一百八， a 平行于 b， 也就是同旁内角互补，两直线是平行的，对吧？ 所以说我们三个判定呢，已经学完了，我们来重复一下，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，以及最后一个同旁内角互补，两直线平行。好，这三个判定办法大家一定要记住，然后呢，并且呢也要会书写我们的符号语言， 那我们最后再考虑一个东西，如果说啊，我们在同一平面内，两条直线呢，都垂直于同一条直线，也就是说啊，我 a 和我的 a， 我 的 b 和 c 都垂直于 a， 那 你想一下，我们角一和角二是不是都等于九十度？那他俩都等于九十度的时候，那你想一下 b 和 c 是 什么关系啊？ 是不是 b 平行于 c， 为什么角一和角二是同方同为角，对吧？相等，那你看一下这两个，如果说他也，他是不是也等于九十度？也能用我们同旁内角互补以及内错角相等，都可以证明，是不是我们就能得出一个基本的一个事实，大家可以去按照我们这样的方法去证。 最后呢，我们得出一个结论，在我们同一平面内，如果说垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的，对吧？没问题啊，垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的。 好，当我们学完之后，我们来看一下，第一道来如何能判断 ab 平行 c、 e 呢？也就是我们前面三个判定办法，对吧？第一个，角 a 和角 b 在 这里，它俩是什么？角是完全 没有关系，对吧？脚一和脚 a， 脚一和脚 a 是 什么脚呀？应该属于我们的什么呀？ 来，我把它颠倒过来啊，脚一和脚 a 应该属于什么？我们的同旁内角也不行。最后我们来看脚三和脚 b， 是 不是脚三和脚 b 是 同为角相等，是不是就能判断出来两直线平行呀？好，再来看一下，一个学员呢，在我们广场上练习，我们的脚 b 是 同为角相等，是不是就能判断出来两直线平行呀？ 好，再来看一个学员呢，在我们广场上练习，我们的车位角相等，是不是就能判断出来两直线平行呀？好，再来看一下。一个学员呢，在我们广场上练习，我们的广场上练习我们的方向与原来相同， 那肯定是拐了两次之后，他们的拐度拐的角度是一样的，对吧？也就是三十度，三十度应该选我们的 b。 好， 再来看他让你判断已知角一等于三十度，让你看角三等于多少度，就能证明他俩平行呀？是不是他俩是内错角的关系？内错角怎么样？内错角相等，那是不是也等于三十度就可以？ 好，那我们这节课来总结一下，我们学了四个三个平行线的判定，一个是同一角相等，两直线平行。第二个呢，是内错角相等，两直线平行。第三个呢，是我们的同旁内角互补，两直线平行，最后一个 在同一平面内垂直于什么呀？同一个直线的两条直线是互相平行的，对吧？这三个呢，判定呢，一定要记清楚。最后呢要理解。这个最后的一个是互相平行的，对吧？这三个呢，判定呢就上到这里，我们下节课再见。

七下数学在所有的版本中，最难的就是北师大版，那么我们来看一共六个章节，其中难点我们来给大家圈一下，整式乘除，平行线圈成三角形，走对称两个变量之间的关系。 而且这五个章节每个章节都可以出压轴题，你期末考试的压轴题，期中考试的压轴题，从任何这五个章节里面都可以出， 所以七下北师大版在所有的版本里面是最难的。但是如果说你七下能够真正的把北师大版这五个章节能真正吃透学会的，那么证明你在初中阶段数学是真正开窍的。那么接下来我们结合着北师大版给大家讲一下开学的规划，每个章节的重难点，题型以及他学习的侧重点应该在哪， 当然在视频的结尾呢，我会把这个专题的整理的资料包给大家呢，去做分享，家长朋友们你们也可以呢，直接领回去打印出来，带着孩子呢去举一反三系统练。 我们先来讲第一个章节，叫整式的乘除，其实整式的乘除这个章节呢，在北师大版里面是两个章节，其中一个叫密的预算啊，那密的预算在书科版里面是直接是单独的一个章节的，那在北师大版里面，它相当于合并了一个叫密的预算，密的预算里面 啊，他有些难点，比如说给大家举个例子哈，二的 a 次方等于五的 b 次方等于十，我让你去求 a 乘以 b 比上 a 加 b 的 式，那这种题很多孩子一会发现 a 和 b， 我 根本就求不出来，我如何求这个式的次，这就是整体构造的思路，密的预算里面的难点基本上是这种题型，要么同底的形式，要么同密的形式来进行整体构造 啊，那这是密的预算，那除了密的预算呢？它的核心点就是整式的乘除平方差，完全平衡公式的应用，那这里面经常会考的，你像换元法 啊，你像复式法的思路，你像配方法啊，包括你像素形结合啊。当然这个地方还有个难点，杨辉三角 啊，整式的乘除里面，其实这个地方相当于哈你真正的开始接触代数啊，大家都觉得初中阶段代数比较简单 啊，七年级下学期你上来去接触整式的乘除，很多孩子会反应不过来，因为这个章节啊，整式的乘除在人教版里面是在八上出现的， 也就是最起码大家经过了七年级一年的学习，到了八年级才慢慢的去接触整式的乘除，你的接受能力也好，理解能力也好，反应速度也好，应该要更好一点。但是你七年级上学期哈，如果你的数学一百二十分，只有八十分左右水平呢，你到了下学期去听整式的乘除和平线，你会发现 学完这两个章节，你直接就不及格了，一百二就考到六十分，考到七十分的期中考试，能明显的看出来差距啊。那么接下来我们来说平行线， 平行线啊，我们讲有的孩子在上学期遇到线段和角还不会写步骤了，那直接从这个地方你就开始完全的掉队，那么他的难点在哪呢？四大模型，比如说铅笔模型、猪蹄模型、骨折模型、臭脚模型这几个模型呢，实际上是讲的辅助线构造拐点的问题，拐点的问题怎么去构造辅助线？ 那这个类型你能搞明白之后，一百二的卷子基本上可以考到一百零五分，但是你如果想真正突破一百一，考到一百一十五分，你还需要具备一个能力，动脚相关的问题，平线和动脚的结合也就动态变化的问题。 那这个点来自于我们上学期讲现代和脚遇到的动脚问题。大家会发现哈，你上学期没搞定的难点，如果你寒假里面也没做复习，你下学期呢，遇到这个地方，你会发现他的能力依然是上不去。所以很多孩子呢，你们假期里面做了错误的规划， 仅仅是为了做下学期课本的预习，没有去做复习，而且新学期的预习呢，也没有学的太深，你看了学会发现你都是在应付老师的作业。但是想真正解决这些难题呢，很多孩子依然是不具备能力，没有培养出来真正做难题的能力。 那概率和统计这个章节呢，实际上比较简单，期中考之前，他的难点就在这两个章节，那期中考试完之后， 每个章节都难全等三角形啊，不用说，整个初中阶段，几何里面只要碰到全等三角形，出题类型是最多的。几何里面呢啊，难点百分六十以上都在全等三角形。 那么轴对称靠的是将近一码相关的问题，两个变量之间的关系。这个章节呢，其貌不扬，但是这个章节竟然在很多地方出现压轴题的最后一个题。因为这类问题，我们其实也可以把它理解为是几何，它的核心是赌徒的问题。 而这个图像有很多孩子看不明白，你给他文字表述，他能看明白，但是给他几何里面呢？给他图像他搞不明白。那我们先从全等三角形来开始讲哈，如果你平行线这个章也没学明白， 什么找等量关系的问题啊，角 a 与和角 b 之间呢关系啊，你这些地方搞不明白，你会发现全等三角形会学的更难，因为几何这一条线，它的背后也是找等量关系，比如说平行线里面呢，两直线平行，同轴角相等，这就叫等量关系， 那三角形里面的等量关系会更多。第一个他会把平行线的内容全部考一遍。第二个，三角形的内角和外角和三角形里面的啊，各种中线角，平行线、高线的问题也会涉及到里面，那全是三角形这个地方。首先你像八字形、 a 字形，飞镖模型，哎，你要理解这些，他怎么去推导的？包括双角平行线的类型，双内角、双外角，一个内角，一个外角的角平行线， 他的结论的推导啊，你要的不是把它记下来，你是要反反复复知道，在推导的过程中呢，如何去找到他的等量关系。那这些地方呢，实际上是归为叫三角形里面的基本知识，那如果再加上两个字叫全等，那就是我们讲的边边边边角边角角边角边角正全等的知识。这个地方要更难， 难的在于哈，我们刚才讲的，比如说边边边整全能这些东西呢，都是属于打基础的。那么真正体现难度的呢，是截长不短、背长中线、三垂直、手拉手、对角互补、半角相关的类型，那这几个类型都可以出材料题，也可以都出现压轴题。当然除了这个之外，我们还要再补充一个叫 全能三角形与动点相结合的问题。很多孩子觉得动点难，动脚难，上学期直接去学清，发现你开始真的上难度的时候还是掉队 啊。很多孩子假期里面做预习，只是维持一个基础水平，并没有真正去解决做难题的能力，所以这个能力是需要持续的培养和积淀的。那么你最起码你在下学期每个周要拿出来三个小时以上的时间去做难题，每个章节都是这样 啊，你学到全能三要素，很多孩子的掉队，你会发现啊，他可能上一对一也补不上来啊，就是整体的思维已经掉队了。 好，这个全等三角形这六大类型的汇总啊，包括像动点的问题，我们在资料包里面呢，也有给大家做的系统的梳理哈，那么这些题实际上就是考试的方向，大家可以领回去呢，去重点练好。接下来我们来看轴对称。轴对称这个章节呢，它的难点在于求对称的问题，我们经常会用到一类叫将军吧， 那将军马这一类题呢？你不用去记住所谓的题目中有一个洞点还是有两个洞点，有两个定点，两个洞点还是啊，一个定点两个洞点的问题，他本质上来说呢，方法都一样，就是将军马的问题呢，他的核心是做对称 啊，题目中先做对称，做对称干什么呢？实现等量边的转化，那等量边的转化完了之后干什么呢？化则为值，求最短。那这一类题的思路就比较固定，化则为值，求最短，或者说我们称它为叫三点攻陷，或者说甚至会出现四点攻陷的问题，求角度也好，求距离的问题也好，那 这一类问题他的方法啊，包括做图题里面都是一样啊。那么最后一个章节啊，我们刚才说了它其貌不一样，两边的关系，它是为我们后面讲函数做铺垫的。 但是函数大家知道哈，函数难是难在两个变量之间的关系比较多，有的孩子会看到，比如说正比例函数，反比例函数，但是两个变量之间的关系，有可能既不是正比例，又不是反比例，又不是二次函数。他可能有很多的生活中实际的问题，比如说相遇 啊，比如说我们遇到的像单图像，双行程相关的问题，很多孩子图像读不明白。而这种题呢，大家可以翻翻哈你们往届的期末考试的试卷，很多地方竟然把它作为压轴题啊，至少是八到十分，所以很多孩子在这种题上也拉开了差距。那我们综上所述哈，其实下学期每个章节都难 概率，这个章节在所有的版本里面都是最简单的，都相当于是送分题。所以很多孩子哈，如果你们上学期一百二只能考到九十分的，你，下学期一定要重视，你首先先保持住，九十分很难 啊，甚至你可能会跑到七八十分，六七十分。很多家长想象不到，我们一直讲，上学期你要让孩子做朋友，一定要做难题，你搞不明白，但是你会发现，下学期才真正的正儿八经的，像初中的数学，而且这个地方的挑战啊，那么真正拉开差距的关键 啊，他的专项资料包，杨老师给大家做了系统的梳理，家长朋友们呢，可以领回去带着孩子呢，来去举一反三，重点突破核心，关键还是在于思维的提升。

好，同学们，我们今天继续做呃，七年级下下学期的第一章一道例题啊，他说如图所示呢，这个直线 a b 和 c d 相交。哎，我们主要是讲这个，这道题是讲两条线相交，然后产生了角，好，相交以后呢，产生 o 点，然后 o a 啊， o a 平分什么了？平分了角 e o c， 那 么它既然是平分呢？就是说这两个角呢，是相等的，所以我们在这个地方标一下啊，相等的， 然后他又说这个 e o c， 这个角和 e o d 是 两比三的比例，好，总共。然后呢，他求需要，求什么？ b o d， 好， 我们求这个角的好，我们看大体已知条件，我们都明白了，对不对？然后我们现在就开始算一下啊， 首先一点，我们想充分要利用什么已知条件，我们看一下我怎么把已知条件充分利用度啊？好在已知条件里边他没有具体的度数，但是他给你了两个什么两个角的比例，也就是说，呃，我换一个颜色啊，我换一个颜色，换一个绿色吧。然后呢，也就是说这个角 比上什么？再换一个颜色啊，比上这个角，他们是什么？是二比三，对吧？是二比三，那么这就是总共五份，总共五份呢，这个绿色的占了什么？两份，对不对？这个蓝色的呢？占了三份。 好，我们现在看这两个角他们有什么关系？突然发现这两个角他都在一条直线上，我们知道在一条一条直线上，他的角是一百八十度，所以说呢，就因为什么角 e o c， 也就是角这个角 e o c 加上一个角什么 e o d， 对 吧？ e o d 好， 它们等于多少？它等于一百八十度。这个啊，一百八十度，但是我们又发现这两个角有一个比例，是吧？它们是，它是占五分之二，它是占五分之三，那么所以我们说就可以看出角什么 e、 o、 c 啊，我们就可以把它度数能求出来，等于什么？也就等于五分之二乘以个一 百八十度，是不是啊？它也就占了五分之二，那么它等于多少呢？我们看一下，等于七十二度。好，我们看一下，它等于七十二度。 好，这个大角等于七十二度。刚才我们还有一个已知条件，它是什么？ o、 a 平分 e、 o、 d， 也就是这两个角相等的，这两个角相等的，是不是我们就能求出角 a、 o、 c 了，是不是啊？所以说这个角 a、 o、 c 就 等于多少呢？是不等于二分之一乘以个七十二度呀，对吧？它是它的一半，因为它两个角相等等于等于多少？等于三十六度。好，三十六度。那么这个我们求出来，这个等于三十六度，对吧？它俩是什么？ 他俩刚好是两条线相交对顶角，所以说我们说角 b、 o、 d 等于什么呀？又等于三十六度。哎，这个地方我们说 稳稳的拿捏了，他等于三十六度，同学们，你们学会了吗？这里边主要就是一个是两线相交对顶角相等，又是什么？平分，平分角，两个平分角是相等，他巧妙的利用了一条直线是一百八十度，然后又巧妙的利用他们的比例， 像这种比例你就把它按份数，哎，占二的这个就是五分之二，他们总共是五份嘛？是不是总共五份？一个占了五分之二，一个占了五分之三。好，同学们，这道题我们先讲到这里。

从今天开始，我们与同学们来学习新的知识。首先与同学们一起来欣赏一组图片， 请大家在欣赏的过程中仔细观察他们的特征。好，这个图片我们已经欣赏完了， 同学们觉得刚才这些图片中间有什么共同的特征呢？看哪个同学做出回答。曹姐，你说一下，都是对他的问题，味道很好，请坐下来。还有其他的特征没有了， 是不是都很漂亮？其实不论是在视野界中，还是在建筑中，不论是在艺术中，还是在科学中，甚至在最普通的日常生活用品中，对称的形式随处可见。 美丽的恒温城倒映在泥土中，这是令人难忘的对称景象。 自远古以来，对称的形式都被认为是和谐美丽的。 那么今天我们这节课就与同学们一起来学习生活中的主对称。首先，我们先来学习一个微视屏，什么样的东西算对称呢？ 屋顶警官说，两边一样的东西就是对称。那问题就来了，怎么知道两边是一样的？看上去一样就一样吗？ 我们的脸就是个好例子。乍一看呢，脸都是对称的，但如果把半边脸复制到另一边，新的脸是完全对称的，但明显跟真的脸不一样吧。 实际上，脸左右两边是不对称的，接近对称而已。那怎么才算百分之百的对称呢？这两组图案看上去都挺对称的，那实际上只有一对是百分之百对称的哪一对？秘诀就是把纸折叠，把一个图案折到另一个上面去。 如果不管怎么对齐，都没法完全重合，那他们就不对称的。如果能完全重合，那就是百分之百对称的啦！那你来判断一下下面哪对五角星按标注的直线对折后可以完全重合呢？ 好，同学们看看 a、 b、 c， 觉得是哪一组呢？ a、 b、 a， 有 选 a 的， 有选 b 的， 我们仔细看这个结果，看到底是哪个答案。答案是 a。 首先，两边的图形必须形状大小相同，否则完全重合肯定没隙。第二，折就要折他们的正中间， 否则对折后是错开的选项， a 中不仅图形相同，而且就是从中间折的，试一下，果然完全符合了吧！所以它们就是对称的对称关系。一旦确定了，一串新的概念就冒出来了， 把纸展开，经过这条折痕的直线就是两个图案的对称轴。注意了，对称轴不是线段或射线，必须是横贯平面的一条直线。 所以要问对称轴在哪，回答就是折痕是错误的。应该说对称轴是折痕所在的直线。本章的大明轴对称，说的就是关于一条直线的对称关系。 两个图形若成轴对称关系，他们的每一个点都能对应到对称轴另一边相同的位置，这样遥相呼应的一对点就叫对称点。两个图形都是由对称点组成的。刚才举的这个例子是两个图形之间的轴对称关系， 但很多图形自己折一折，也能让折的两边完全重合。比如五角星本身就是对称的，他这么对折就重合了。 所以这条折痕所在的直线就是五角形自己的对称轴。像这样自己沿一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形就叫轴对称图形。好，视频看完了， 请同学们根据我们刚才所学习的这个视频总结这个里面讲的什么主要的内容，看哪个同学呢？ 说一下，你说我们刚才观看的这个视频中间里面讲的什么样的？六乘方轴对称图形是指一个图形可以沿一条直线两边完全重合，不要说这个这么多，主要讲了， 你说你的意思是找了这个轴对称图形，对不对啊？对啊，很好，请坐下来。还讲了其他的对，讲了这个轴对称图形其实指的是一个图形，对不对啊？ 那么还有谁回答你？来说一下，软件还讲了什么是轴对对，还讲什么是对称轴啊？还讲了什么是对称轴啊？很好，请坐下。还讲了其他什么东西没有了，喝一口啊，如何判断什么是轴对称啊？很好，请坐下。 还有不同的意见吗？还讲了什么成轴对称的两个图形？你，你说这两个图形，这两个图形成什么轴对称？轴对称。回答，很好，我们掌声鼓励一下好不好？对，我说刚才杨家齐同学所说的还讲了两个图形成轴对称， 其实我们这节课的主要内容就是这两个也是我们生活中的轴对称，可以有轴对称图形，还有可能是两个图形称，什么轴对称啊？下面我们首先来学习这个轴对称图形，我把刚才在图片欣赏中的 一个图形是轴对称的图形，我老师把它列出出来了。同学们根据刚才的视频和这些图形， 仔细看看足对的图形，他有什么样的特征，你怎样给他下个定义呢？嗯，你看每一个图形，我就以一个为例，我把它绕着某一条直线翻折过，直线的两侧能够完全的重合， 你看其他的图形是不是都有这个特征？是对，像这样的图形就是轴对的图形，能给他下一个定义吗？哪个图形回民连一条直线对折，两边能完全重合的图形叫走对称图形， 回的很好，我们掌声鼓励一下，刚才看懂你们听清楚没有？你说，如果一个图形，注意是一个图形 圆桌，一条直线对折，或者翻折过去，两侧的图形能够完全的重合，那么这个图形就是轴。对称图形 好，那么是圆桌，一条直线对折，你能把这些图形中间的这条直线都找出来吗？ 横，你说折横对不对？那么第一个图形，这条直线在哪里？中间竖下来对不对？老师刚才演示了都找不出来。第二个，这个蝴蝶的中间对不对？竖向斜着的，这个国旗中 间剪纸中间脸谱中间蜻蜓斜的。也是说 每一个轴的和弦都存在着这样一条直线圆桌，这条直线对折，他的两侧部分能够完全的什么轴？我们就把这一条直线给他一个名字，叫做 对称轴，你说折横所在的这条直线叫做对称轴， 好，那么同学们仔细观察这个定义，我们应该注意哪几个地方呢？如果一个什么图形指的是几个图形？一个一个图形圆桌，一条直线是一条什么 直线？是不是曲线？不是是不是线段？不是，是不是射线？不是，是一条直线两侧的图形可以能够完全重合，这样图形就是轴对的图形 折痕所在的所这条直线叫做对称轴，注意是这条直线， 这就说明了对称轴是一条直线，是不是一条线段，是不是一条侧线？不是，记清楚是折痕所在的什么这条直线。好，这就是我们今天数的第一个概念轴。对称图形是指的是一个图形， 下面我们看两个图形呈轴对称，仔细观察这些图形的特征， 看能不能给他下个定义，我演示一个，对，最后这个做演示，两个图形对不对？我把其中的一个图形圆着某一条直线 翻折过来，他能与另一个图形完全的重合，对，他就有这样的特征，你看其他的图形有没有这个特征？有，有，那么能给两个图形乘除对，剩下个定义吗？ 老同学牛一起，这个图形以沿某一条直线这个东西能完全重合得到两个图形，两个图形圆中两个图形同时折叠，请做下来看哪个图形补充一下，用我教你帮他补充一下， 一个图形沿某一条直线折叠，能与另一个图形另一个图形完全重合的图形，所以说这两个图形呈轴对称，回答的很好，我们掌声鼓励一下好不好？就是一个图形， 所以我们刚才演示的时候发现了是一个图形，对不对啊？这个图形圆着某一条直线，什么翻折过去， 如果能够与另一个图形完全的什么重合，那么我们就说这两个图形什么乘龙对乘， 这条直线就叫做什么对称轴，能把这些图形的对称轴都找出来吗？能，第一个图形对称轴水平面水面，第二个图形是照镜子对不对？在哪里？中间这个镜面， 第三个水面，第四个中间最后一个了，中间最后一个就是我们刚才折叠的这一个，对不对？对，好，注意这个概念，也要注意这个红色字体的地方，是把一个图形圆中某一条直线翻折过去，如果他能够与另一个图形 完全成活，那么我们就说这两个图形成轴对称，这个直线就叫做对称轴。好，刚才这个微课中间还讲了什么内容？还讲了对称点，回答很好，请坐下来。还讲了什么对称点，你说两个图形的对应点 就是对称点，什么是对称点？就是两个图形重合时互相重合的，是吗？点好。那么哪位同学能把图形中间的 abc 三点的对称点找出来？哪个同学来找一下？朝下点 a 的 对称点是点 d， 点 a 是 点 d 的 对称点是点 f， 点 b 的 对准点是点 f 的 对准点是点 c 的 对准点是点 f， 点 b 的 对准点是。等于一改正过来了。点 b 的 对准点是什么？点一点 c 的 对准点才是什么点 f 啊？请作兴了，因为把它对折以后能够什么 重合的啊？请你们小心一点， b 的 对准点是什么点一点 c 的 对准点是什么点 f， 要能够重合的点。 好，同学们，看，我把这两个五边形对折过来，圆周这一条直线对折过来，能够完全重合，对应的边 重合了，没有重合，对应的角没有重合。既然能够重合，所以它们的对应边相不相同。相等，对应角相等，所以我们就可以得出它的一个性质轴对正的角相等，所以我们就可以得出它的一个性质轴。对正的两个图形， 他们的对应线段相等，对应角也什么相等对应线段就是对折后重合的什么线段？对角就是对折后重合的什么角，就是我们足对胜图形的 一个重要的性质。好，我们刚才学习了足对胜图形和两个图形成足对胜，同学们比较一下， 能发现他们的相同点和不同点吗？仔细看一下，你就根据两个图案图形，这一个是关于一个图形的什么左对称图形，这个是两个图形成什么成主对称，那么看他们有什么共同点 和不同的地方。好，下面通过观察填这个表格，哪个同学会填了，你就把手走起来，让同学想走手，又有点担心，没关系，错了，没关系，曹家。这个是一个图形， 走对的同学是一个图形，那么两个图形从中间对是两个图形，好联系。一圆桌，一条直线对折，直线两旁的部分地能够完全重合， 都有对称轴。三、如果把一个轴对称图形圆对称轴分成两个图形，看，把它分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线 成轴对称，对是两个图形，所以是关于这条直线什么成轴对称，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，看成一个图形，那么这个图形就是 轴对的图形。回答非常棒，我们掌声鼓励一下，你说这个成轴对的图形和独对的图形有没有严格的？这个区域？没有。如果你把两个图形看成一个整体，他就是轴对的图形，对不对？ 你把一个图形把他从中间劈成两半，那么他就是两个图形成什么中间成，其实他们是没有绝对的区别的。 下面我们看一个问题，同学们想一想，正多边形是组的，是图形吗？是，是的，为什么呢？老同学来回答，这个是不是有点难度？为什么呢？ 都知道，是的啊，我提示一下，我这里演示一下，你看，这是正多边形，正三边形看正四边形， 正五边形，正六边形，一直到正 a 边形，看能不能回答，为什么回一口。因为他们圆着某一条直线对折过去，他的都两侧这个 直线，这个折痕两部分都能够完成什么重合，根据他的建议对不对？回答很好，掌声鼓励一下，回答很好，他们为什么是折的？因为他们都存在着这样的直线圆桌，它对折以后两部分能够完成什么？ 错错错，这就是定义对不对？好，第一个问题我们解决了，那么第二个问题，如果是，那么正多边形的对正角有什么特征？首先我们看这个正，一起来回答算了，这个正三角形有什么特征？ 有三条，我们刚才搬着过来都知道了，那么还有两条在哪里？请一个同学来回答，给你们这个机会，不搬了，还有两个脚，写另外两个脚，这是什么对称的直线？ 应该是另外两个角平分线所在的什么直线？应该是另外两个角 角平分线所在的什么直线？要说清楚。好，第二个几啊？四条，第一条我们知道了，后面三条谁说一下，你们听，第二条连着输了，第二条跑一个 横的，其实这两条边中点所在的什么直线线，这两条边中点所在的什么直线线？还有两条整个事情，两个角 角平分线所在的直线，只知道表达不出来，九十九了，应该是两个对角的问题。你说两个什么 对角的，我还不。你刚才说什么两条角平，两条对角线所在的什么直线？两条对角线所在的直线啊，这一定是什么线？一定是直线。好，这五边前几条 五条，哪五条就是顶点和对边中点所在的直线。这六边前几条 六条，六条是吧？六条。对边终点所在的直线和对角线所在的直线六条。看样子同学们这个表达能力还是有待加强。

现在我们来讲第四十二次作业第一填表，不懂是主，不懂是主的解析。我们先看第一个哈， x 大 于或等于负， x 大 于负三有两个根，一个根是负，一个根是负三。大大取大啊，我们上节课才讲了大大取大， 大于大根，我们看一下，一个根叫负，一个根叫负三，负三这个根要大，所以我们就取 x 大 于取大的这个根。哈大于大根 看，这是第一种。第一个我们在数字上画一下，看是不是哈，一个根叫负五，一个根叫负三。 大于负五大于负三看，我们就要取，这是公共部分，是吧？我们就取大于负三，这个，这就是大大取大， 大大取大，大于大根就取大，大的那个根。这种情况，大于一负小于负等于负三 大于一负小于负等于负三。看中间这部分是公共部分。看一下中间这部分是公共部分哈， 那就是我们上节课讲的大小小大取中间，大小大于小根小于大根取中间。 大小小大取中间。我们就写 x 大 于负大于小的这个根小于或等于负三。小于大根，这个哈， x 减五小于零，我们就写成 x 小 于五， x 加三小零一项的 x 小 于负三有两个根，有两个根，一个根叫五，一个根叫负三。一负三是小的一个根，五是大的，一个根 小，小小取小，这就是小小取小， 两个小于两个根小于两个根，我们就取小的那个根啊，小于小的那个根小小取小，这样哈，小小取小， x 小 于负三。 好注意，一个 x 减五大于零， x 就 一项， x 大 于五， x 小 于负三，那么在数字上画一负三是小根， 五是大根，因为不包括，都不包括哈。小于小根，大于大根，这就是大大大于大根，小于小根，大大小小 大一大根，小一小根，大大小小无解，大大小小无解， 这里就写无解好了，我们就有四种情况哈， 一个是大大取大，一个是小小取小，一个是大小小大取中间。还有一个就是大大小小无解。四种情况， 第一种大大取大，第二个大小小大取中间，第三个小小取小。最后一个大小小大无减。 二题，我们解方程组要解不等式组解，解了之后马上看编号， 然后我们是写减减不等式一得。 好，我们在草稿纸上写一下吧。啊，这个是 二 x 减去 x 小 于四加一， x 小 于五，哎，打这个打 x 小 于五。 第二个，二 x 减四大于负， x 减一，然后二 x 加 x 大 于四减一，三 x 大 于三， x 就 大于一，这是凑合着哈，这是凑合着。 x 减不等式二得。 x 大 于一 大于小的个根只有有两个根，一个根是一，一个根是五， 一个根是一，一个根是五。大于小的，这个根小于大的，这个根就是大小小大取中间。所以 原不等式主的解集式，原不等式主的解集 四 x 大 于一，小于五， 二，我们并号不等式一，不等式二减不等式一得。 好了，我们把草稿纸写在这里哈，三 x 加二大于二， x 减二，然后移向三 x 减去二 x 大 于负二，这个二移过去负二再减二。好，然后合并同类项。 x 大 于负，四 减不等式二得 一，项四 x 减三， x 小 于或等于三减二。还记得 x 小 于或等于一， x 小 于或等于一，我们看一下情况哈，有两个根，一个根呢是负四，负四不包括负四哈， 大于负四，一个根是一小于或等于一，这是属于大小小大取中间那种。 所以原不等式组的解集是 x 大 于负四小于或等于一啊，这也就是超格子哈， 我们看三并号减不等式一得。 呃，二 x 小 于三减一，二 x 小 于二， x 就 小于一啊，它 x 小 于一 减不等式二得减不等式 二得。我们一道乘法，三 x 小 于二减四，三 x 小 于负，二 x 就 小于负的三分之二， x 小 于负的三分之二。 有两个根，一个根是负三分之二，一个根是一，都是小小小取小，小小取小啊，我们这边是公共部分啊， 所以原不等式组的解结式， x 小 于负三分之二， 好，这是乘法。 再去中间部分 实验题，并号减不等式一得 打乘法二， x 减 x 小 于二， x 就 小于二。合并同类项， x 小 于二， x 小 于二减不等式二得。 x 减去四， x 小 于负六减三，负三， x 小 于负九， x 大 于三。 好，现在有两个根，一个根是二，一个根是三，二是小，根写在左边，三是大的个根写在右边，小与小这个根，大与大的这个根， 哎，这就是大大小小。无解。没有公共部分哈，解决没有公共部分，所以原不等式组的解集是原不等式组的，原不等式组 无解。 好了，我们看一下，第一小题是大小小大 取中间。第二小题也是大小小大取中间。第三小题是小小取小。第四小题是 大大小小无解。好了，我们先讲到这里，还有不会的下来问。

我们今天要讲的内容为七年级下册数学里边的平行线的判定。那么这些题这个题呢，经常会出现在的几何证明题中，给出你很多条件，让你去证明这两条直线是什么位置关系，是平行啊还是垂直啊？ 那么如何证明两条直线是平行呢？那么只需要找对应的角就行了。 那么我们跟着理论呢，就是同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行。所以我们要去证明他去平行的话，只需要找这些角相等就行了。比如说 如何证明 a 和 b 相等啊？我只需要找到看一下角一和角二什么关系啊？同位角，只要是证明角一和角二相等，那么这两条直线就平行的，同位角相等，两直线平行，同样的，你告诉我角二和角六什么关系啊？ 角二和角六为内错角，或者角三和角五呢？也是内错角，我要想证明他们两条这两条直线平行，我只需要得到角二和角六相等就行，或者是角三和角五相等就可以。 那么如何根据同旁内角互补证明两条直线平行呢？假设还是证明他俩平行的话，角二和角五是什么关系啊？ 是不是为同旁内角？那只需要证明角二加角五等于一百八十度，或者是说角三和角六也是同旁内角，他们两个相加等于一百八十度。 得到这些条件，我们就可以通过他得到两条直线平行。所以总结一句话就是想证明两条直线平行，只需要找到同位角相等，内错角相等，或者是说什么呢？同旁内角互补就可以了。 那么经常要错的一个点是什么点呢？看一下假设说我这画一个平行四边形，经常要错的，搞不清谁是截线，谁是平行线。 那我们看一下，这是 ab cd 角一和角二，你告诉我 什么关系啊？是内错角了，也说了角一和角二为内错角，我通过它可以判断 a c 平行于 b d， 对 吗？ a c 和 b d 平行是根据角一和角二来的吗？这是一个容易错的点。那么看一角一和角二是内错角，这个是没没有毛病的。那我们看角一和角二是不是截线呀？截线的话 谁是背斜直线，是不是 ab 和 cd 啊？所以角一和角是内错角相等，证明了谁呀？ ab 和 cd 平行，这个一定要去把它搞明白就行了。关注大哥老师，我们每天学一点，争取我们开学以后我们能跟上我们的大部队。