高二立体几何知识框图

给大家总结一下，其实啊，我们用面平行，正线平行的时候，人家让你正这条线跟这个面平不平行，你其实就是找到过这个面的一个三角形。什么样三角形呢？如果这三角形另外两条边都能跟那面上两条相交，直线是平行关系，那么这三角形的第三条边就跟这个面平行。 继续来看第三题，他问我， ab 和这面是不是平行关系？这个面太熟悉了吧，中点，中点，中点，它是不是能延展来着，把另外，呃，这三个交点全都连起来，延展成一个正六边形，你如果会延展，那这道题结束了，我不看这个小绿面了，我看大绿面， 这大绿面上显然有一条线跟 ab 是 平行关系，那线线平行，线面就平行。第三个也是对的啊。那如果你不知道这个怎么延展，你不会展了，或者有一道题你展不了了怎么办？用面面平行来整，我要找过 ab 的 某一个面， 这面是平行关系，想找你就过 a 点或者过 b 点做这面上某条线的平行线。刚才一直是在过 a 点做，那我我现在过 b 点来做一个。好吧，因为 a 处在这个位置太密了啊，我画起来不好画，我过 b 点，过 b 点，你做哪条线的平行线最好做？你肯定不能选 pm 啊，因为你做支出去了啊，不好做。 p 好 做 n p， 什么 n p？ 这这终点连线是不是跟这个面对角线是平行关系？那我 b 也在这个面对角线上，所以直接我这么一连，三角形就有了，这也连起来。在这个图形当中，这两个平行，这两个也平行，所以我在这个三角形当中，两个边都对应着，找到了这个平行关系，那面面就平行 面，面平行，三角形的第三条边就跟这个面平行。第四题，再问我这条线和这个面这个平行不呢？你看着可能不太好看啊，因为 m n、 p 又是一样的， 你 m n 在 这个体的表面上，但是 mp、 np 都是在体内的，它不完全。怎么样能完全延展一下？最长的方法过某点做另外一条边的平行线，比如过 p 点做 m n 的 平行线，那，那不就这条线吗？所以原来哦， 找到了，你这本身其实就是一个面，所以这粉面我不看了，我看它的延展完的大粉面，嘻嘻，你这个绿线都跟我这个粉面有交点了，你还能说它俩是平行的不？显然就不平行了，所以一、二、三。 ok， 今天我们讲了非常非常多的内容。

立体几何中截面问题有的很好想，但是这道题没那么好想。正方体 a、 b、 c， d， a， e， b e， c， e， d 的 棱长为一 m n， 分 别为 c， e， d， e 和 b e， c e 的 中点用过 a m n 的 平面去截正方体 a， m， n 得所得截面图形的周长为，要算周长，首先我们得知道截面图形是个什么样子吧？应该怎么截呢？ 我们可以发现 a 是 个比较特殊的点，这个点处它是一个顶点，而且这个点处比较尖，我们可以想，如果对它这么做一下，就是平行于 m n 做一条线，这怎么办？就不做这条线呗，可以换一种来做， 我们发现 a 它还在这样一个面里，所以是不是可以考虑不做这样一条在外面的线，而是找到这个平面，我们结 a 一 b 一 ab， 不 对，应该是 a 一 b 一 b a 所得的那条线段，这怎么结呢？ 把它延长到这里，这两个交在一起是一，这两个相连。最后就是这一段，我画大括号的这一段，就是我们要照的前面截出来的线段。 既然现在知道了我们截出来的是哪一条线段，接下来我们就要求这条线段的长度。打球呢？搁骨钉里， 既然这两个三角形应该是相似的，我们应当先求出 b e、 f， 所以 我们就直接把 b e 认成二分之一，要求的是这一段。这两个三角形相似，它是二分之三，它是一。 竖着比横着应该等于这边的竖着比横着 x 等于三分之一，那么就可以求出这一段的长度，对不对啊？ 求它的长度，这一段是一，这一段就是三分之二，这里是一，所以就可以得到 a f， 那 等于根下一加九分之四，三分之根十三。这就是 a f 的 长度， 这是周长的一部分。还要求出我们这里的 f n， f n 应该等于根号下 f b 一 方加上 b n 方， f b 一 方是九分之一， b n 方呢？ b n 方应该是四分之一。下一起开根是 三十六分之十三。开根， f n 也求出来了。接下来 m n， 这个是比较简单的， m n 等于二分之根二。后面别忘了，并不是 a m， 而是两条边截出来的是一个五边形，而不是一个四边形。 由于正方体是一个比较有平行性的图形嘛，所以前面这条边和后面这条边应该是平行的，这里是二分之一，这是三分之一。 同样的比例，此时通过二分之一和三分之一一平方相加，可以得到 g m， 应该也是六分之跟十三。那 a g 呢？ a g 和我们刚才写的这一段是相等的，而 g m 和这一段是相等的， 此时就都取出来了。我们将他们几个加在一起，一个二分之二。我们来数一数，一共有几个三分之根号十三，这两个加一起是一个，第三个，不对，第二个，第三个。

今天这节视频重点讲思路，讲大家如何去做辅助线，讲大家如何去想对一些书写的规范。比如说啊，你想说明线面平行的时候啊，找到线线平行了，你还得附加条件。说啊，你这条线呢，在这个面上，以及这条线不在这面上，这些附加条件，这些书写规范，今天不做要求， 要不然这视频太墨迹了啊。今天这个视频的主要作用是帮大家串思路，你得先会正了，你再去想书写过程。 ok， 那 我们正式开始啊，三棱柱八八八八， e 是 a b 的 终点， e 是 a b 终点，然后让我证明 b c， e 跟 a e， c 是 平行的。 说实话，这题老生常谈了，大家看，这是线面平行，不是几个方法，给我打个数出来，一个两个还是三个还是四个来着？在这呢，你要么找平行四边形，你要么找中位线，你要么做平行面，咱一个一个试。 首先用神奇的目光或者神奇的小尺子，你把这个线往那个面上去移，大家自己看，你这条线太长了，对不对？太长太大了，这个这个面他根本容纳不下你这么长的东西。所以咱如果想主动找什么平行四边形，稍微有点难，那你也别在一棵树上吊死怎么办呀？做中立线喽， 看好中位线。第一步，你得在这个线跟面之外上选一个点啊，你选谁呀？那有同学想，哎，我选 b 一， 哎，你这么一选完，你跟这一个端点连完之后，你要想跟这面怎么有交点？你这么交，这是交出去了，不是特别好做。所以这个 b 一 啊，不能用 啊，你整个图形，你就一二三四五六七，一共七个点，你 b 不 能用，你只能用谁？是不？只能用 a 来这 a， 我 跟两个端点进行连接，一个 两个。那我现在关心的是这两条线和我这个大黄面，它的焦点在哪？上面这好看不？这我都交出来了，这焦点必然在 a、 a， e， c， e， c 那 面上吧。我设一下这点焦点之一。 第二个，这条线跟黄面有没有焦点？傻了，那不就点 e 吗？我不用设了，我现在需要做的是把这俩焦点连起来。我需要说明这 e、 g、 e 是 不是 b、 c， e 的 中位线呀？ 多笨的宝贝才能看不出来啊？你 e 是 a、 b 的 中点，那 g 是 a、 c， e 的 中点，因为侧面是一个平行四边形，平行四边形的对角线肯定是相互平分的，所以在整个大三角形当中，这俩中点一连接，必然是中位线。 那就证明完了， e、 g 跟 b、 c e 线线平行，那因为 e、 g 呢？在这个面上， b、 c， e 呢？不在那面上，所以线面就平行了。第一个，乘法结束， 接下来再来一个乘法，先证明线线平行步。第一，咱可以做平行面，对不对？哎，平行怎么做来着？过俩端点做这面上某条线的平行线，比如说过 b 点啊，做平行线，我觉得做 a、 e 平行线特别好做。 大家看啊，我把这条线一到穿过 b 这位置的时候，我发现，哦，我这么一做，看这点很明显，它应该是一个终点。我做一下， 那究竟这两条线是否真的平行，那你就去研究这侧面上的事呗。这侧面是一个平行四边形，因为他不是三棱柱吗？那具体他没说是直的，所以呢，这个地方我也不敢说他是直角啊，我就直接画一个普通情况， b 一 是上面的终点， e 是 下面的终点，这你考试的时候都不用一步一步正，你就说，显然他是一个平行四边形，因为对边平行且相等呗，所以有了两条绿线平行。 哦，那过 b 点主动做了个平行之后，我发现，哎，这三点就已经确定一个面了。我为了说明真的是面面平行的，我找到一对平行还不够，还得找另外一对，哎，能找 b c 一 不？不能， b c 一 是你最后要正的，你得找另外的这条线，这条线跟刚才咱这面上有没有某条线肯定是平行的。傻了， 神奇的目光，我把这条线往下移移移，往这面上去推一下就推到 e c 了。呀，咱知道上下底面肯定是全等三角形，那我做了这个中线出来，它俩肯定平行，所以两对线线平行，我就找到了两对线线都平行了，那它这两条线所形成的面 a e， e c 和 c e b 啊，这点没设，这两面面平行正完了，这是面面平行的做法。 好嘞，第二问，它设 f 是 a a e 的 中点好，然后 b f 跟 a e 这焦点，它是一个大 m， 然后呢， c f 跟 a e c 也有个焦点，这焦点呢，是一个大 n， 怎么样让我证明是 m n 跟 b c e 平不平行， 最最后落这点，它是线线平行。哎，线线平行怎么正来着？是不告诉大家有两个思路，第一个思路，你用平面几何去做。第二个思路，你用力的几何的线面平行去做，你看有没有一个现成的线面已经平行了，然后你再去过这面做个交线出来，那交线跟着线一定平行。两个方法我全都讲，因为对这道题来说，那的确两个方法真的都能用。 首先我用立体几何方法，大家看啊，在题目里面有没有一个线面平行，我已经已知的哦，第一问是不就有啊，我不是都知道了吗？绿线跟蓝面平行啊，我刚正完，我不能忘了哦，那大家自己看 m n 是 啥东西？ m n 好 像是 c e b f 这面上的线吧，我连接一下， 而且 m 好 家伙，还是这蓝面跟绿面的焦点嘞，所以用这几个方法，啥辅助线都不用，绿线跟蓝面是平行的，经过绿线我做了一个面，结果这两面呢？还有交线呢？交线跟我原来这些必然平行，直接结束 哦，那我光讲这个我觉得还不太够，因为有时候大家真识别不出来这个线面平行，有的人真忘了哈，所以我不能强求大家一定得会这个方法，大家还得会第二个，用平面几何的知识去做 哈，让我证明 m n 和 b c e 平行不？题目中说 m n 怎么来的，它是 c f 和 b f 这么交来的， 那大家自己看喽，我想说明他俩平行不平行哎，我只要证明这俩三角形是否是相似的是不就行了。换角时，我只要证明这边的比例关系跟另外这边的比例关系，这 m n 是 否都是各自边上的相同的极等分点喽？那我按照这个思路来想一想啊。 首先我来看一下 n 点，它是极等分点，绿的比粉的，大家能不能用平面几何知识告诉我，我已经看出来了，大家看出来没哦，这是绿的比粉的，这是不是绿的比粉的呀？这是不是绿的比粉的呀？因为这个绿三角形跟粉三角形居然是相似的嘞，因为这俩不平行线吗？ 相似比是几比结， f 是 中点，所以 a、 e、 f 应该整个 c、 c 的 一半是一比二，一比二，一比二，所以 n 点应该是一个一比二的三等分点。好， n 点这事我证明完了，我问大家， m 点它是这几等分点， 那这图形现在已经太复杂了，对不对？哦，那你看看 m 点是几等分点的话，这个问题好像正好是在侧面上的一个问题，我把这侧面单独拨出来给大家看， 像扒皮一样。刚才已经扒过了，说了，这侧面它是个平行四边形， a、 b、 b、 a、 e、 f 都是各自的终点，各自连一下。 现在我想知道这 m 点究竟是这蓝色 f m 比 mb 这条线段上的极等分点，大家能不能看出来？有没有一步到位的方法？ 这可不是高中数学知识哦，这平面几何知识，我把 a、 e、 b 连起来，大家能不能看出来？你看，在这整个大三角形里， a、 e 是 一个边上的一个中线，同时 b、 f 也是这三角形的中线，俩中线相交，这心是重心吧？重心有什么性质？ 那么妥妥的把中线分成一比二的性质吗？所以这 m 点它也是一个一比二哦，一比二，一比二，平行线线平行类结束。 这咱也可以把一整个立体几何问题分解成两个不同面上平面图形的问题，用平面几何来做。 ok， 这就是今天要讲的第一个平行证明的小例题。呃，难度还好吧？

呃，我们通常画洁面呢，跟画胶线它的原理是一样的，因为洁面是由胶线构成的，对吧？然后我想在适当的请大家回忆一下，我们昨天说了，画胶线有什么方法，基本是十三是吧？还有就是 线面平行的性质定律，亦或是面面平行的性质定律是吧？好的，没有问题。那么我们在画洁面的时候呢，由此可以衍生出应该是有三种方法，分别是第一种我们叫直接法， 然后第二种我们叫平行线法，第三种方法我们称之为延长线法。然后这个直接法呢，我给大家举个例子啊， 好，然后我们这个直接法呢，它的原理非常简单，比如说我现在知道这个平面跟正方体，或者是跟某个跟某个多面体，它的焦点是有哪些的，我直接连接这几个焦点，应该也就能够得到一个完整的洁面。 好，比方说我现在呢，给大家画一个，我这呢有个点 b， 这边呢有个点 a， 这边呢有个点 c， 这边呢有个点 d。 那 么我连接这几个点，我得到的应该就是这个蓝色平面和这个正方体相交，然后得到的一个完整界面，假定它是一个平面啊， 这叫直接法 ok 吗？非常简单。其实啊，当然他的局限性是比较强的，通常情况下呢，只有他告诉我我是有哪些公共点的，并且他都在几何体的外表面上，我才能用这个方法，然后找到他的对应结面， 这叫直接法 ok 吗？好，最简单的。然后在这个里边呢，我们通过题目来渗透一下这个方法，看一下咱们的二杠一。好，那么接下来呢，我们再看一下这个里边的第二种方法，我们称之为平行线法，那么它的原理是什么来着？还能回忆起来吗？ 平行线法，它指的是有一条直线和一个平面是平行的，另外的一个面呢，经过这条直线，然后交线跟他应该就是平行关系， 或者说呢，有两个平面是互相平行的，第三个平面同时和这两个平面是有交线的，是吧？两条交线应该也是平行关系。 那么在这个方法里边呢，一定是你已经发现了它存在着一个线面平行，亦或是面面平行，我才能够用到这个方法， ok 吗？好的，那么接下来呢，我们也是通过题目来渗透一下，看一下咱们的二杠二， 然后在这个正方题当中呢，他说点 p 是 bb 一 的中点 p 点在这个地方，然后要画出经过 a 一、 b 一 和 p 这三个点的界面，但是我们要找的是完整的这个界面，然后连完之后呢，大概就是这个样子的，是吧？但是我觉得大家应该能想象到，我这个平面他还可以再延展， 他延展完之后呢，他跟正方体的后边，包括右边有没有交线都是有的，是吧？我都得找到这两条交线。那么在这个里边呢，我们就可以用到平行线法， 因为我发现在这个结面当中存在着一条直线跟正方体的某个表面是互相平行的，比方说这条线和这个面是平行的， 是吧？然后这个面呢，又经过这条线，这个面呢，和这个面应该有交线，所以说这个交线应该跟它是什么关系啊？平行的，那么也就意味着你只要过点 p 做出它的，也就是它的平行线应该就行了。那怎么做呢？ 我就直接找 c c e 的 中点，然后假定这个中点是 q， 连接 p q， 再连接第一 q， 应该就能够找到这个完整界面，因为我应该也能发现这条线跟后边这个面是互相平行的，这条交线正好跟它也会是一个平行关系，它正好是满足的， ok 吗？好，这道题方法就是平行线法，可以在旁边补充一下，就是存在着线面平行， 然后这个结面呢，正好和这个面有交线，我们也就能知道这个交线肯定和这条直线是互相平行的，根据这个原理也就可以找到这个交线的位置， ok 吗？然后整理好之后呢，我们再来看一下这个记法二的一个拓展二杠三， 也是希望大家能够用这个方法找到这个完整洁面。你自己再画一个正方题，反正我这画是很方便的。然后这个延长线法呢，我们通过一道题目来渗透吧，直接讲有点抽象，先看一下咱们的二杠四， 然后在这个题目里边呢，他说 e 点、 f 点、 q 点分别是这三条的中点，然后想画出过这三个点的洁面，标注一下，这个题能用平行线吗？ 咋画呀？先过点 q， 做 e f 的 平行线， c c e 上的什么点？中点连接 q 点和这个点是吧？ 然后应该能发现这条线和这条线是平行的，是吧？好的，没有问题。而且我这个平面呢，和正方体的这个对角面应该有交线，是不是？好的，没有问题。那再然后呢， 就可以像刚才一样连接这两点，然后过这个点做他的平行线，依次类推就可以了，是不是？好的，没有问题，取消吧。那么在这道题目里边呢，咱们能不能尝试用延长线法找一下这个交线， 延长某条线，是吧？并且在这个过程当中，大家也可以尝试延长几何体外表面的某条棱，让它们相交找焦点， 循环往复，也就能够找到它的所有的公共点，连接起来也就能够形成这个界面，这叫延长线法。 好的，我们来试一下。我们在延长的时候呢，需要注意啊，最好是先延长在几何体外表面的这条交线。听懂我的意思啊，最好先延长位于几何体外表面的这条交线，就是要么先延长它，要么先延长它， 都可以，但不要延长他，他在里边， ok 吗？好的，没有问题。比方说啊，我在这个里边想研究啊，想延长 e、 f， 那 么你考虑一下我延长他之后，他会和正方题的哪条棱的延长线有交点， 你琢磨一下，你延长它 a d 或者是 b、 c 都行， ok 吗？好的，我们来操作一下。所以我现在呢，先把这个 e、 f， 比方说向上延长啊， 比方说先向上延长，然后再延长谁 d c， 好 的，没有问题，再延长 d、 c 两条延长线的焦点，我给它标注一个字母，比方说我设成 这，然后在正方体的外表面上，哪个点和这同时在一个平面当中，通过连接这两点能够形成一条交线，当然那个点也得在这个平面内，有吗？有吗？现在 还没有。那先不管它，我还可以怎么做？向下延长，我再延长谁 b a， 好 的，它们会有交点， 然后我假定这个点是 h， 然后我想问一下这个 h 点它和哪个点同时在两个平面当中哎？ q 点，所以我们只要把这个 h q 连接一下， 应该就对应着这个结面和正方体的左面的交线， ok 吗？好的，没有问题。 那再然后怎么办呢？我其实还得找到他和上边这个面，包括后边这个面相信是什么，是吧？我现在还不够是吧，那我可能还得再延长。还要延长谁呢？你考虑一下 q 谁？ q e 往哪延长？ 往这边还是往这边？嗯，可以啊，你都试一下啊，比方说往这边， 那再延长谁？你先别画啊，你先看我画啊，它会和正方提到哪条棱的延长线有交点？ b e a e 是 吧？好的，那我往这边走一下，然后这个交点我先不管了啊，它和哪个点同时在两个平面当中呢？你能找到这个点了吗？ 那没什么意义啊，你得往上找了是吧？有吗？这不就是这条线吗？没有意义啊，我连它是吧，找其他点没有是吧？那反方向这个我我不管了，我不要了。 反方向延长再延长谁？ bc， 这是两个面 a 啊， b b 一。 好的，没有问题。然后这两条延长线呢？存在，你先别画啊，你们先别画，先看我画啊。好，这两条延长线存在什么交点？它和哪个点也同时在两个平面当中，有吗？ 这个点是在前边这个面里边，还有哪个点在前面就它了没了呀，是吧？然后这个点是不是也在这个面当中？还有哪个点也在这个面当中？ f 点，所以我可以连接它和 f。 好的，先别画，先别画，看我好看，我画完你们再写啊，然后怎么办呀？我这个线都出去了，是吧？我这个线都出去了，我不能找这个线呀， 我应该是把它再进行延长，是吧？延长到什么地方？它会和谁相交？它会和 c c 一 存在交点， ok 吗？好，然后我找到这个点，那你能不能发现这个点同时在正方体的哪个面当中呢？ 后面和右面是吧？那还有哪个点也在正方体的后面这点？所以呢，我在连接 j h， ok 吗？然后也再进行延长，它会和哪条线存在交点？ d e c e。 好 的，然后这个点呢？ 右在正方体的后表面上，也在正方体的上表面上，是吧？好的，没有问题。再然后呢？ 哎，可以的，延长 q h， 或者说刚才我还延长了这条线和它嘛，是吧？这两个点是不是也同时在正方体的上表面上？ 那我只要连接这两点，其实也行的，一样的，是不是？好的，然后这样子的话呢，我就能够找到所有的这些焦点，应该就是这个点，这个点，这个点，这个点，这个点和这个点 ok 吗？ 但其实我们刚开始这样做的话有点麻烦，其实我觉得我们直接这样做就好了，刚开始换个颜色啊，直接把它延长到这个地方，然后呢，我能直接找到这个点， 对吧？然后刚才呢？我这个点是通过延长他和他得到的，是吧？我们有没有什么其他方法？其实是不是也可以再延长他呀？ 延长他，然后延长这条棱是不也行？然后我再把这个点跟他进行相连，就能一步到位，直接找到这两个点， 这样会更快一些。能不能理解？好的，没有问题，那么综合以上我们也就能够形成这个完整洁面，咱们画一下 应该是一个这样子的正六边形， ok 吗？好的，可以把过长自己完善一下。我们在延长的时候呢，优先是延长位于几何体外表面的这条交线， 然后再延长几何体的某条棱，让他们有焦点，对吧？找到这些焦点然后连接起来，也就能够形成完整洁面。

好，我们先做一道小题，来帮大家感受一下这种垂直啊，这里面既涉及到线面垂直，又涉及到面面垂直。好，我们先来看一看画图。二零一四年浙江高考， mn 是 不同的直线， alpha、 beta 是 两个不同的平面，问 a 选项对不对？ 两条线啊，线线垂直，然后一条线跟一个面平行，哎，这线面平行，我好画啊，我先画线面平行，这个 n 和 r 线面平行，呃，然后那个 m 和 n 又是垂直关系，然后问这个线跟面垂不垂直？ 如果说你这个 m 画垂直的时候， m 和 n 不 垂直吗？如果你竖直向下画，哎，你竖直往下画啊，你竖直往下画了，那确实这个 m 和 alpha 看起来像线面垂直。但是啊，你说你画一条线的垂线，你除了往竖直向下画，哎，如果你这样画，这是垂直，你发现没？那那你 m 和 alpha 还有可能平行呢？ 哎，咱就举这个这个正方体里面这个例子，这是 m， 这是 n， 它垂直的，对不对？好，那我底面跟我的 n 那 个绿线，哎，是线面平行关系，对不对？好，那你说你这颗线跟这个面垂直吗？不一定垂直吧。那你如果再分析一下，为什么有可能不垂直呢？那我再深入讲解一下。就你说，现在我想做啊，这个 n 这条线的其他一条线跟它线线垂直， 你理论上能做出来无数条啊。比如说，我就先做一个跟 n 这条线垂直的面，抛出这道题，我想做跟这条线垂直的那个面，啊，很好做呀，我，我就这样做一个，是吧？像你，哎，这是桌腿的这个桌子是吧？桌腿是桌子，这不就线面垂直吗？好，所以我想，呃，做出来这条线的一个，我先做一个它的垂面，那么大约，呃，我就这样做，是吧？ 现在线面垂直，那线面一垂直了，那你这个线跟面上的任何一条线，比如说我这样画线，这样竖直往下画线， 这样画线，这样画线。理论上我这每一条红线在这是能转圈的，每一条线都跟 n 线线垂直啊，都满足题。但是我这么能转圈的这么多条线，跟 r 法关系那就是大不一定的，有可能跟你 r 法是平行的，有可能跟你 r 法是完全垂直的，对吧？好，这通过图形呢，我们深入了解一下这个 a 选项，那我们来看一下这个 b 选项， m 和 beta 平行。 好嘞，这是 m， 这是 beta 干什么呢？ beta， alpha 是 面面垂直。哎呦，面面垂直，那说实话，那你另外那个面咋画可就是不一定的，有可能我选择 这样画，那我这么画，哎，确实 m 和这个面有可能是先面平行，但是我那个面是不还有可能这样画，那这时候我这 m 跟这个面就有可能平行了吧。所以你这这，这是其实不一定的一件事情。我们来看 c 选项， 这样说， m 垂直于贝塔好，这是 m， n 也垂直于贝塔好，这是 n。 哎，那我先不管别的，我能知道什么呢？你这根同一个面垂直的两条线，那这两条线肯定是平行的，是吧？啊，这，这不需要任何定力啊。那第三个条件， n 和 r 发垂直， n 和 r 和根和 n 垂直的面，那不就这么做一下吗？是吧？这样做一下， 这绿面就是 alpha， 问 m 和 alpha 垂直不，这是 m， 这是 alpha， 我 这一看就是垂直，对不对？不需要什么定力啊，重点就是感受你做不出来别的情况，是吧？你即便说啊，你这个做这个 alpha 呀，它它它能做出来无数个面啊，因为你跟一条 n 啊，跟一条固定直线垂直的面，它有无数个，但是你即便是无数个宝贝们， 你也是像穿糖葫芦一样，线面垂直，线面垂直。你这多个面之间面面应该是平行关系，对不对？相当于把 alpha 呀上下平移，那你平移其实没有改变 alpha 的 方向，无论是你哪个方向，你 m 和 alpha 都线面垂直。 最后来看一下 d 选项，线线垂直，线面垂直。好，那我先画线面垂直，这是贝塔，这是 n， 然后他说 m 垂直于 n， 哎，我要做一条线的垂线，那，那不就跟这个图是一样的吗？我其实能做出来无数个能转圈的，是吧？那我先做一个垂面出来，他说啊，跟这道题目前是没有关系的，我先做一个线面垂直的垂面， 然后在面上任意的选线都能，其实能成为跟 n 垂直的，这个 m 啊，它能转圈。然后第三个条件， beta 跟 alpha 这个垂直面面垂直呗。好的，面面垂直，我就把 beta 当成地面，然后呢？我加七个墙啊，在这七个墙七个墙出来，我当成，哎，这个 alpha， 那 你说 m 和 alpha 之间，因为 m 是 能转的，那它跟 alpha 的 位置关系完全不确定，所以选 c 结束，这是一道小题啊，就重点我们来去用画图的方法去感受啊，它跟 alpha 的 位置关系完全不确定，所以选 c 结束，这是一道小题啊，就重点我们来去用画图的位置关系完全感受一下。

那接下来我们来进入第二部分，线面垂直。我们先来讲一下线面如果垂直了，它的定义和性质。它的定义是，如果啊，如果一条直线和一个面内任意一条直线都是垂直的，那么我们就称直线跟平面相互垂直。 这之前这个例子给大家举过了，这是你家门前那块地，这是政府给你家支的这个电线杆子，这电线杆子跟这个地面如果不是豆腐渣工程，就应该是线面垂直，对不对？这电线杆子跟你地面上画的任何一条直线啊，你随便画直线，他都是线面垂直关系，你把任何一条直线，哎，平移到那去啊，在立体几何这个这个观感下，他就是直 角， ok 啊，这句话是有关线面垂直的，这个这个这个含义呢？如果现在题目中已经告诉你这 条线跟这面已经垂直了，那么你天然就能得到这面上任何一条直线都跟这条线线垂直。所以内涵逻辑式，我可以由线面垂直推出线线垂直。用语言写一下啊，如果 l 和 alpha 线面垂直，那么 l 和 m 线线垂直 机器和我们学平行的时候一样，你这么写，写错逻辑没错，但是形式上有点问题，那你前后 l 是 没变的，但是你由这个 r 面突然转化到 m 线上，那你 m 和 r 啥关系？是不是得发生关系，你才能这么来回推啊？ m 在 r 发上这一条箭，你得加上 ok 二推一，这才对。 这是今天的第一个啊，性质定律，你已知线面垂直了啊，他有什么性质？那反过来，我如何判定一个线和一面是否线面垂直呢？如何判定？非常非常关键。如果线有一条直线和一个面内的两条相交直线都垂直，那么线面就垂直。 我们还从刚才这个定义开始讲起啊，线面垂直，你得满足，哎，这条直线跟平面内任何一条直线哎，都垂直，他才叫啊线面垂直。 但是这个判定定律告诉你了，其实不用那么多条直线，不用判定平面内无数条直线，你只要满足平面内两条相交直线都和你 l 是 垂直关系，那末线面就垂直， 追剧里面的，嗯，相交很重要啊，你两条直线不相交不行。因为什么呢？我给大家举个反例，现在这个底面上有 a、 b， 还有 c、 d 啊两条直线，然后在这个底面 y 有 一条直线， 是这个 a、 d， 那 会发现我要平移，一平移一平移，我发现，哎呦，平移到这来，这条绿线跟俩粉线都 都是九十度，都是线线垂直关系。意思就说你这绿线跟平面内两条直线都垂直，那你这条线跟平面垂直吗？显然不垂直，平行关系吧。 我们就线面垂不垂直的判定，一定要求平面呢，你得找到两条相交直线都跟我这条直线垂直啊。那来写一下具体过程，如果两条直线分别是 m 和 n， 当我发现如果 l 和 m 线面垂直了， l 和 n 也线面垂直了，而且 m 和 n 还是相交直线，你得写出来啊。那有交点啊，交点是 p 好 了， m 交 n 与点 p， 那末推出线和面线面垂直，那就又漏条件啦。这回我不说了，讲一百遍了，大家自己说你漏了哪个条件，是不是你又 m、 n 这个线，然后突然你推到面线面啥关系？ m n 都在面上， 必须要写这个定律。内在逻辑是我有两对线，线垂直，最终能推出线面垂。

我们来做一道经典例题，超级超级经典，一定要画个大型号。现在有个直三棱柱。什么叫直？意味着侧棱跟底面是不是线面垂直的关系啊？然后 给了我一些长度，我看都是谁啊？呃，有 ab， 有 ac， 有 a a e 啊，他说这三条边的长度都是一样的，那至于 bc 是 多少，跟这个几个条边一不一样？人家没说 目前来看呢，我只知道底面是一个等腰三角形，是不是等边我不知道啊， b c。 呃，大概率我可能得求呗。然后他又多加了一个条件，非常奇怪，他给我了一个线线垂直条件。哪条线和哪条线呢？是 a c 和 b c e 啊？这两条线是垂直的，那这个条线它相当有用，对吧？应该， 关键是怎么用？有的人说啊，你线线垂直，那我就找你这个两条线的焦点，找这个假角九十度，他一看，哎呦，你这两条线在这有有个焦点，所以啊，这就垂直的， 你这么想你就完犊子了。为什么？因为你这粉线在这个面上，你那个绿线在那个面上，它根本就是异面直线，这个只是你视觉上你感觉有交点，实际上那两条线根本没交点的啊。所以你得想一个思路，你得把这个线线垂直调节，你给我用上，我们梳理一下题目的这个条件啊，首先它这三条边相等的，然后别忘了它，它直直意味着我这个这个，这是线面垂直的。哎， 你线面如果垂直，那意味着你线面如果垂直，那意味着你这个面上 a a e 和你这个 a c 就是 垂直的。哎，你这个既垂直，然后这两边还都相等，那我问你，整个这四边形嘛？图形呢？它是邻边相等的矩形，那不是正方形吗？那正方形最关键的特质，现在 a、 e、 c 已经帮你连好了，你说你还要连一个什么东西？是不是咱得把 a、 c、 e 也偷偷连起来啊， 好吗？一连完两条对角线，它是不是一定是垂直关系？发现没？这两条线的垂直关系是需要你通过题目条件自己找， 那到这我就有两条线线垂直了，一个是题目给我的啊，这个绿线和这个粉线线垂直，哎，你这个绿线又和谁垂直？又和这条粉线垂直， 然后两条粉线显然是一个相交关系，那你一个绿线跟两个相交的粉线都垂直，那末就跟两条粉线所形成的面，按照我们的判定定律是线面垂直。 大家第一次接触这种题，有可能会觉得有一点点难度啊，所以我必须讲的慢一点。我们在垂直当中经常用到的一种出题角度，或者你做题的角度，就是题目中非常常见，先给你特别好心的给你一个线线垂直， 你光有一个线线垂直一点用没有？你一定要在题目当中再找到有关这条线的另外一个线线垂直，那基本上，哎，你会发现 m 这条线和你新找的这条线肯定是相交关系，那就跟这个线所形成的面线面垂直， 那推到这有没有结束呢？一定是没有的，因为你一旦有线面垂直的话，那么这条线就跟面上任何一条线线垂直， 而最后这个线线垂直，你如果找到了，才能帮助你做题，这是垂直当中最常用的思路。题目先给一个线线垂直， 这是题目条件，然后另外一个线线垂直，你得自己找，或者你自己连辅助线，两对相交的线线垂直，推出来，线面垂直，但是线面都垂直了，那线跟面上任何一条线线垂直。就拿刚才那道题来说， 题目中先给了你一个小绿和小粉垂直，这条线嘛，又没有啊，一个线垂直没用，两个就有用了，第二个需要你自己找。按照题目说的，侧面是正方形啊，那你侧面对角线，这个绿的跟这个粉的有线线垂直， 所以这个小绿 a、 e、 c， 哎，它像一个交际花一样，一会跟这个垂直，一会它又跟这个垂直，那这个交际花就跟这两条线所形成的面线面垂直。哪个面呢？嗯，显然是 a、 b、 c 这个面呗。 我写的是这个逻辑过程啊，当然你这个最后我们还得加上你真正写这个大体的话，还加上一些附加条件，我不写了。比如说啊，这两条线是相交的，然后两条线呢？都在这个面上啊，我写逻辑的时候我不写了。 那你推折了，你线面垂直了，推到根上了呀。咱不跟大家说了吗？线面一垂直，这个绿线跟面上任何一条线都是垂直。哪条线啊？你说你这三角形一共就三条线对不对？你跟你这俩都垂直，那就跟第三条边线线垂直， 考试考垂直啊，基本上就是这个考法好了，那现在我已经推到了啊，这个绿线跟这个粉线线线垂直又有何用？说实话，我还是没看出来有啥用，因为你这两条线根本就不在一个面上，我还是一面直线。那怎么办呢？按刚才那个逻辑再来一遍呗， 别眨眼啊，现在你已经知道了啊，线线垂直了，一条线垂直没用，你说这这这， a、 b 还和谁垂直？直三棱路是不是这个侧棱跟底面任何一条线，包括 ab 是 线线垂直， 这三条线关系谁是交集化？是不是 ab 既跟你这个绿的垂直，又跟你这个绿的垂直，那它就跟俩绿线所形成的绿面线面垂直，那你线面一垂直，就跟面上任何一条线，包括你没用上的，你这面上还没谁，谁还没用，是不是 a、 c 没用，你俩线线就垂直？我推完了，原来这是九十度， 那题目还说，哦，你俩相等，所以底面是一个等腰直角三角形，你这根号六，这根号六，那它的斜边啊，这这 b、 c 是 斜边，就刚好十二、题目问什么呢？题目问 b、 c 一， 谁呀？这是 b、 c、 e， 我 求它的长度，我得放在直角三角形里啊，谁是直角三角形？ c、 c、 e， b 就 直角三角形，你这这不直角吗？直三楞住位，所以勾股定点用一下呗。这个长度跟 a 一 长度是一样的啊，根号六，所以它就是它方加它方啊，就是三倍根号二选 c。 这道题，哎，作为我们今天这个垂直的第一个题目，说实话，确实哎，稍微有一点点难度，但是我想用这道题告诉大家出题的逻辑，以及你未来做题的逻辑是什么。

立体几何中的最值问题，和平面几何中的一样，也是要找到动点的轨迹。正方体 a、 b、 c， d， a、 e、 b， e、 c， e， d， e 的 棱长为二，随便标一个 点， o 为底面， a、 b、 c、 d 的 中心点。 p 在 侧面 b、 c、 c， e、 b、 e 的 边界及其内部运动 p， 若 d、 o 垂直于 o p， 则 d， e、 c、 e， p 的 面积最大值 d， e、 c， e， p。 这里它告诉我的是， p 在 侧面上运动，它的运动范围是一个面，我们要的不是一个面，而是一条线。 这里的 d、 e、 o 垂直于 o p， 我 们就可以找另外一个垂直于 d、 e、 o 的 面，那么 p 一定会在那个面上，而且 p 还在右边这个面上，就说明 p 一定在这两个面的交线之上，这就变成了一条线。 现在问题就转化成了，怎么找两条相交线垂直于 d、 e、 o， 我 们怎么考虑这个问题呢？肯定最好找的应该是同一个面上的 d、 e、 o， 很 容易发现它，在这个面上，把它单独摘出来研究， 这应该不是正方形，这里稍微长一点，长是宽的根号二倍，这是二，这是二倍根号二。已知的 o 是 底面的中点，说明在长方形上应该是这里的中点。 o 要找到和它垂直的二根号二，竖着比横着应该是根号二倍。那我们接下来就找到一个竖着比横着是根号二分之一倍的，这两个应该垂直， 横着是根号二，所以竖着这里取中点就是一，那么竖着比横着就是根号二分之一呗，正好和它的比例是倒数关系，设为 q。 这两个垂直 证明了垂直之后还要另找一个线是垂直于 d、 e、 o 的， 已经在这个面上找完了，我们就可以想在别的面上能不能找 垂直关系多的很明显， o c， 它垂直关系和这个面比较多，因为这两个垂直，而且 d、 e、 d 垂直于底面，它肯定也垂直于 o c。 另外还有 d b 垂直于 o c， 因为 o c 和 o d， o c 和 o q 相交于 o 点，所以就会有面 o c q 垂直于 d e o， 所以 得 p 应该是在 o c， q 上的。 又因为已知了 p 在 b c c， b e 上，所以应该是在这两个面的交线之上。 这两个面的交线画一下，应该是 c q， p 属于 c q， 得到 p 属于 c q， 接下来就快完事了，因为要证明的是它最大值，最大值一般就是底乘高，底应该就是 d c 的 d c， 这是很好找的，高呢， d c 垂直于这样的面，所以 c、 e、 p 就是 高，要求高的最大值应该是在这里 应该画一个正方形，在这里取中点，那哪里面积最大呢？那肯定是这里它的高最大，所以面积肯定也对应的最大。 二分之一乘以二，再乘以这一段的长度，一二分之一平方相加，在开根之后，应该是二分之根号五， 但是这里是二，那说明应该是根号五啊，这里是二，所以根号五，所以最后就是根号五。完毕，感谢大家的收看！

我是把 x y 轴啊这个平面图变成了一个直观图，哎，那我们这个三维空间它还有高呢，对不对？那你光给我介绍了这个 x y 轴它怎么变？那这个这个高三维空间那个 z 轴怎么办？我们以这个例子为例，给大家画一下三维图形啊， 给他说有一个长方铁，我先大致给大家画一个这个三维图形，这是它的前面这个面，这是它的上里面，然后再来一个侧面别的用虚线画一下， 这是我随便画的长宽高。他说啊，这是四，这是三，这是二，虽然他已经非常非常漂亮了，但是他不标准，我们用标准的斜二测得画成啥样呢？追求完美啊，完美一点，用斜二测来画 这里面啊，原来他是肯定是一个矩形，我先画出来啊，底面是一个四比三的矩形，那如果我把这放成 x 轴，这放成 y 轴，那照我们刚才所讲的，跟 x 轴平行的啊，或者在 x 轴上的线，长度不能变的， 还得是还得是四这么长。但是跟 y 轴平行的这条这两条线原来长度是三的话，那现在你这个长度就不能是三这么长了，而应该是减为原来的 一半，它是二，应该是画成一点五，对不对？所以这是四的情况下，它的一半是二，我还得画一点五，那意味着我一点五得比这一段还要短，画一点点。 好了，底面我再补全一下，先画完了，但是三维空间我这高，怎么办呢？斜二色画法的最后一个原则，这数值大家想象有个 z 轴哈， z 一 平与 z 轴平行的线，长度和 x 是 一样的， 不变。你原来是二，我画在新的图形里面，我的长度也得是二。最后这个图形就让我画出来了，把上底面也连出来。我当然就为了避免歧义，那么该画虚线的位置，哎，你看不见的，后面的要画成虚线，这也全都是虚线。 ok， 这就是这节课的所有知识。是不是非常简单，就是我们在纸上画三个图形当中， 不能随便画，人家有原则。最重要的有这么几条垂直的 x 轴， y 轴现在变成了四十五度的，跟 x 轴平行的线长度不变，跟 y 轴平行线长度变了一半。最后他还补充了，跟 z 轴平行的线长度也不变。然后你再记住一个前后的面积公式啊，长度呢，是二倍，根号二倍，原来的面积大之后的这个面积压扁了，变小了。就这么点事儿。 我提醒大家一下，这只是我们最标准最应该这么画的画法。但实际上我们平时做题啊，平时自己私下画的时候，你不需要画的这么标准，你你大致画一个，这只做一个标准，人家可能考的时候你会画就行了。这写二次画法本身可并不是我们立体几何的重点啊，重点在下节课晚间散画。

同学们，这个视频老师接着来给大家讲我们的交线问题。首先这是一个四面体三角形， a、 b、 c 是 正三角形，然后 a、 c 大 是直角三角形，且 a、 c 大。 a、 b、 c a、 b、 c， 它是正三角形， a、 c 大， 它是直角三角形，且 a 大 等于 c 大， 说明 a 大 等于 c 大， 说明角大是直角。 然后平面 r 法过点 a 和 c， 且 b 大 垂直于平面 r 法， b 大 垂直于平面 r 法，则平面 r 法与侧面 c、 b 大 的交线是多少？ c、 b 大。 要使得 b 大 垂直于 r 法，根据我们已知条件，我们的 c 大 是垂直于 a 大 的，已经有一个垂直了，而底面 abc 是 一个正三角形的话，正三角形。我们通常想到它三相合一，那我们就找到 a 的 中点为 o 点，我们连接起来， 连接起来的话，我们就有 b、 o 是 垂直于 a、 c 的， 能正，然后它正三角形，直角三角形。我们还有 ab 等于 b 大， ab 是 等于 b 大， 它是等于二的，它两个是等于二，那这个因为底面是等边三角形，二 底面等边三角形，这里是一，一，所以说根号二，这里是根号二， 那它这里。因为等腰直角的话， b、 o、 b、 o 是 垂直于 a、 c 的， 而根据等腰直角，我们的大 o 它也是垂直于 a、 c 的， 那我就可以正到 a、 c 实际上是垂直于平面 b、 o 大 的 a、 c。 如果一旦垂直平面 b、 o 大 的话，那我就可以 b 大 是在平面 b、 u、 d 里面的，所以我就推出 a、 c 实际上是垂直于 b 大 的，那我们要过要做平面 b 大 是垂直于平面 r 发，那说明我们的 a、 c 是 不是在平面内？ a、 c 是 包含于平面 r 发的嘛？因为平面它要过。哦，人家说了过点 a、 c， 我 们已经证到了 a、 c 是 不是垂直于 b 大， 那已经有一条垂直了，那我们只需要再去证明一个 垂直 b 大 的，是不是就能找到我们的 b 大 垂直平面，那过 a 点或 c 点，随便找一个点，假设 c 点过 c 点做 c h 垂直于 b 大， c h 垂直于 b 大， 那 c h 垂直于 b 大， 我们的 b 大 又垂直于 ac， 是 不是就能证到 b 大 是垂直于平面 ac 的？ 那这个也就是我们的 r 号码，我们把 a、 h 连接起来，连接起来，我们现在要去求交线，交线的话，平面它要和平面 bc 大 的交线，其实就是要求 c h 的 长，那 c、 h 的 长的话如何来求？ 刚才我们是做的 c h 垂直于 b 大， 那我们在 bc 大 这个三角形里面，我们看一下怎么来求 bc 大 的话，我们把它的平面图形画出来 bc 大， 而我们的 b 大 是等于二的。题里面已经有了，然后 bc 也是等于二，而 d c 是 等于根号二， d c 等于根号，我们过的 c 点做的是 b 大 的垂线， 垂线，那我们可以要求高 c、 h 的 话，我们是不是用等面积法，等面积法的话，只需要把三角形的面积求出来，而这三角形的话，我们现在只知道三角边随便用一个 角，用哪个角，肯定用这等腰的底角啊。这里做个高，假设为 g 点，那我们很容易就可以把这个角求出来。因为这里是二分之根号二，所以我们的 b g 的 话，它应该是等于二的平方减去二分之根号二的平方 开根号，也就是根号下四减二分之一，二分之七，就是二分之根号十四。 b、 g 等于二分之根号十四，所以我们的三角 b 搭 g 等于 二分之根号十四，比上二，也就是四分之根号十四。所以根据等面积法的话，就是二分之一乘以 b 大， b 大 的话，是不是二再乘以 c、 h 要求的等于二分之一乘以二乘 根号二，再乘以四分之根号十四。把这二分之二约掉，把这里二约掉，这里根号二，这里还剩下根号七，约一个二， 所以 c、 h 应该等于二分之根号七，所以答案应该是二分之根号七。我们再来捋一下这这个题的思路，这个题的思路因为它要过点 ac 做一个平面 r 法与已知的 b 直线 b 大 垂直，那么很明显我们 b 大 是垂直于 a、 c 的， 但是我们刚才也再次证明了 b 大 为什么垂直于 a、 c 的 啊？ b 大 既然已经垂直了 a、 c， 那 我要垂直这个平面，要过这两个点，那我可以过 a 点做 a、 h 垂直于 b 大， 那这个时候我们要求的话就是我们这个结面与 a、 b 大 的交线，而我们要做的是在平面 b、 c 大 的交线上，那我肯定就是过 c 点做 b 大 的垂线，这个时候 c、 h 是 垂直于 b 大 c、 h 一 旦垂直 b 大 的话，我们可以得到 b 大 是垂直于这个 a、 c、 h 这个平面，而 a、 c、 h 的 平面也就相当于是我们的 r 法，然后再根据解三角形的方法就可以把我们的交线求出来。关注我，后面更新更多的解析技巧。