冀教版八下数学公开课哪节好讲

上课起立，老师好，同学们好，请坐！ 上节课，我们刚刚结束了第二十章函数，研究了函数的概念以及三种表示方法。第二十一章，我们将目光聚焦于第一类特殊的函数，依次函数。 在这一张，我们将学习依次函数、依次函数的图像和性质，用待定系数法确定依次函数表达式、依次函数的应用以及依次函数与二元依次方程的关系。 这节课我们就一起走进第一节第一课时特殊的依次函数，正比例函数。请同学们齐读本节课的学习目标， 理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的特征，能利用正比例函数解决简单的实际问题。 嗯，好，大家猜猜这是什么地铁交通路线？哎，对，咱们答对了一部分，这是石家庄市二零二五年以后未来几年的轨道交通线路图。 二零一七年六月二十六日，石家庄地铁一号线正式开通运营。从此呢，石家庄进入了地铁时代，人们的出行更加便捷。 那事实上，地铁的运行是我们数学中的行程问题。嗯，行程问题涉及三个量，他们是路程、时间、速度。嗯，老师呢，有一个表格，请同学们观察表格， 表格中路程和时间它们的取值是 不同，不同，不一样。嗯，所以它们是变量。嗯，那这两个量具有函数关系吗？有，有，你是如何发现的？ 好，你来说。因为时间取一个值，路程就有一个唯一的一个数值和它对应， 所以路程是时间的函数，时间就是自变量。嗯，好，你说的非常的详细啊，发现了路程是时间的函数，并且时间是自变量。哎，请同学们再次观察表格并思考下面三个问题。 好，你来说说吧。第一问，路程随着时间的变化而变化，我们发现时间每增加一小时的时候，路程增加七十千米， 那么就可以得到地铁在做匀速运动。第二问，路程和时间成正比例，因为因为不管路程随着时间如何变化，路程与时间的比值永远都是七十。 我们用字母来表示， s 来表示路程， t 来表示时间就可以得到 s 比 t 等于七十。好，老师打断一下，那表格和问题中讨论的都是时间和路程这两个量，那么行程问题中的第三个量是什么？速度？它在哪呢？ b 值与七十等于七十， s 与 t 的 这个比值就是速度。好，请继续 第三问，因为我们根据刚才题知道地铁在做匀速运动，并且发现它的速度是七十每小时，那么根据公式，路程等于速度乘时间就可以得到 s 等于七十乘 t。 好梦涵同学通过对表格横向和纵向两个方面啊进行分析，都能发现地铁是在做 匀速运动，从而得到 s 等于七十 t。 事实上，我们生活中有很多这种匀速变化的函数关系，我们一起来发现。请同学们完成导学案中的坐一坐。

上课起，老师好，请坐！ 同学们，这是什么图形？平行四边形。我们已经学习了平行四边形的性质，如果给定条件，你能画出平行四边形吗？ 看下面的题目，数学课上，老师先画出了一组平行线 l 一、 l 二，要求在此基础上用尺规画一个平行四边形。佳佳的做法如下， 根据作图痕迹，你认为是平行四边形吗？郑涵 有作图痕迹，可以知道他做的是一个角等于已知角，即角 e、 b、 c 等于角 e、 a、 d。 这是一组同位角，同位角相等，两直线平行，所以 a、 d 平行于 bc。 又因为题目中给出 l 一 平行于 l 二，所以两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 用定义可以判定一个四边形是平行四边形。 再来看琪琪的做法， 老师画出了 l 一 平行于 l 二，我在 l 一 上任意找出 a、 b 两点，然后用圆规在 l 二上截取 c、 d 等于 a、 b， 连接 a、 d、 b、 c， 得到四边形 a、 b、 c、 d。 他 画出的是平行四边形吗？看着像观察，可知 他满足的条件是什么呢？来一组对边平行且相等。那么由此我们可以得到一个怎样的猜想呢？ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。好，我们得到这么一个猜想，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 如何来验证这个猜想呢？来，你说。我采用的是量角器度量的方式。由上一个图片我得到了启发，如果这个四边形的角 e、 b、 c 也等于角 b、 a、 d， 那 它是不是就是一个平行四边形呢？ 嗯，好，那大家动手来测量一下吧！ 哈哈 哈哈， 好，来紫月说一下你的测量结果，经过测量，我发现这两个角都是六十五度同位角相等，两直线平行，由此可得四边形 a、 b、 c、 d 也是一个平行四边形。好， 那么老师这边也想到一个方法，如果我将线段 ab 沿 bc 方向平行移动， 线段 a、 b 和 c、 d 能够完全重合，根据平移的性质可知， a、 d 平行于 b、 c， 也可以判定它是一个平行四边形。 那无论度量也好，用平移的观点解释也好，只是验证了我们的猜想，我们要想知道它的正确性，我们需要对它进行证明。 那如何来证明这个命题呢？ 我们在证明这个命题的时候，是不是要分清它的条件和结论，条件是什么呢？来，你说一个四边形的一组对边平行且相等结论呢？来，这个四边形是平行四边形。好，我们画出图形， 根据条件我们写出已知就是在四边形 a、 b、 c、 d 中， a、 d 平行于 b、 c， 却 a、 d 等于 b、 c。 求证的结论是，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形。

大声唱，老老师好啊！ 好！同学们好！今天我来与同学们一起来学习一次函数的图像和性质。首先我们来看一段视频， 一次函数征服珠峰。 mount everest twenty nine thousand feet the highest point on earth， 因为山就在那里。这是攀登珠峰的先驱乔治马勒里在被问为什么攀登珠峰时所说，珠穆朗玛峰是我们星球的最顶点，一度被认为是天堂的边缘。 在珠峰之上，每向前攀登一步，更彻骨的寒冷就更有可能将人吞食。 在珠峰上，海拔每升高一千米，气温就下降六摄氏度。如果山脚下的温度大概是五摄氏度，那么登高 x 千米与对应的位置的温度 y 摄氏度就满足 y 等于负六 x 加五的关系。 好的孩子们登山队发现了气温与海拔高度存在着依次函数的关系。那么今天我们就来学习 依次函数的图像，能够给我们提供哪些有用的信息呢？首先，我们从最特殊的正比例函数来研究。同学们来观察下表， 在表格当中，第一横行是自变量，第二横行是 y 的 值。我们从左到右来观察这个表格，会发现自变量 x 的 值逐渐 增大、增大、增大、增大。那么相应函数 y 的 值逐渐增大、增大、增大。那么当我改变系数 k， 把它变为零点五之后，我们观察表格中的数据， 自变量和函数值的变化规律发生了改变。没有没有没有没有！没有！ 那么现在我把 k 的 值变为负一，据我们来估计，这一规律又发生了改变。没有呢？ 没有没有没有没有没有啊！我将分析为没有，可是当我们把表格中的数据列出来之后，观察会发现函数 y 的 值在逐渐的怎么样呀？ 减小、减小，减小、减小。所以这里我们正比例函数的规律，我们小学所学的正比例的关系还是有所区别的。当自变量的值逐渐增大的时候，函数外的值再逐渐 减小、减小。当把负一换为负二之后，我们发现随着自变量 x 的 值逐渐增大，函数 y 的 值仍然是在逐渐减小、减小、减小、减小。 那么在这里我们就要思考了，正比例函数 y 等于 k s 的 增减性与它系数 k 的 符号究竟存在着怎样的关系呢？ 老师，我来回答这个问题。好的，当 k 大 于零时， y 的 值随 x 的 值的增大而减小。 好，非常好。我们继续往下看，根据下表，在同一坐标系内画出正比例函数的图像。 我们上节课学习了过两点可以做出一次函数的图像，在这里我们取两个比较简单的整点，我们取出谁呢？ x 等于零， x 等于零， y 等于 x 等于零， x 等于一， y 等于二， x 等于一。 我们在坐标系内把这两个点找到过，这两个点做出直线，它就是 y 等于二 x 的 图像。那么接下来 需要同学们在自己的学案中把函数 y 等于零点五 x， y 等于负 x， y 等于负二 x 的 图像画出来。

上课起立，老师好，同学们好，请坐！ 本周是我们的数学实践活动周，我们在这周第一课时学习了统计的一般过程，而且制定了本周的活动主题，用统计的方法来了解我校三千名学生的视力状况。 每个小组都提出了有关视力的一个问题，我们通过商讨制定了共同的调查问卷。 在第二个课时，通过对抽样调查和普查的学习，我们确定的调查方式是抽样调查，在全校范围内 随机抽取抽取学生的视力情况进行调查。我们一共有六个小组，每个组随机调查了 二十名同学的视力状况，共收到了一百二十份有效的调查问卷。都准备好了吗？准备好了，那这节课呢，我们要对收集到的调查问卷的数据先汇总整理，然后再进行下一步的分析。 好，汇总整理是以目的为导向的。那同学们想一想你们在第一节课提出的有关视力的问题，为了解决这个问题，你需要了解关于视力的哪些信息呢？ 好，张晓宇，我们需要，我们组需要了解 abcd 各各组别各有多少人数，很好 哎，你们组的徐佳宇，呃，我们想知道 a、 b， c， d 各各组各人的百分比，要知道百分比，请坐，还有没有李昊阳 哦，通过比例，我们想知道全校三千人的视力情况哦，从这个小样本我们要推断到整体，好，请坐！现在目的明确了，那我们每个组手里都有二十张调查问卷儿，我们下一步如何整理汇总这些数据呢？ 那魏子浩啊，我觉得啊，我们可以把所有的数据都放在一起啊，然后再开始整理我们的数据，先汇总再整理。好，请坐。还有不同的做法吗？李浩洋， 我认为这样的方法过于耗时，我认为应该在小组内，呃。整理，然后再汇总。他的意思是先整理再汇总，那同学们觉得呢？ 先整理再汇总。所以当我们需要整理的数据比较多时，可以先分组进行整理，然后再进行汇总啊。不着急啊，磨刀不误砍柴工，整理之前我们得明确方法， 你们小组打算采用什么样的方法来整理数据啊？申，运行，我们小组打算一个人念有四个人，分别写 a、 b、 c、 d， 最后一个人汇总啊，六个人要分工，全都去合作，还有呢？ 呃，那刘若轩，呃，也可以先将 a、 b、 c、 d 进行分类，然后再去整理分类再数。嗯，很好的方法。还有吗？ 魏子豪啊，我们小组啊，打算是一个人念另一个人过去参念的啊，来画正字来记录哦，就像我们选举唱票一样。对，好，请坐。大家的方法都可行，那下面我们就以小组为单位 分工合作整理数据。第一个完成的组告诉我数据，我把它记录在表格上进行汇总，第一名完成的记五分，第二名完成的记四分，依次类推，现在开始اr v c 九个 a， 六个 b， 然后五个 c， 两个 d， 哦，已经完成了，第一组完成，第二组第三、第四、第五，我都要来不及记了，大家都很快，我先把数据记录上去，最先的是第二组，你们的数据是？ 我们整理的数据是九个 a， 六个 b， 五个 c， 零个 d。 嗯，好，一会记得我们要给第二组加五分，我先加上去，请坐。

同学们准备上课了，请大家打开摄像头，如果家里的网速不好，也可以不开，但是要保证可以正常上课。好，我们开始上课， 上节课我们学习了函数的定义和它的三种表示方法。老师，检验一下大家的掌握情况， 判断下列问题当中的两个变量是否满足函数关系，并说明理由。请看问题一， 水位是时间的函数吗？李明欣回答一下， 呃，老师，我认为是的，因为在这个表格中，我们可以发现水位它在随着时间的变化而变化。 哎，非常好，你说了它是一个变化过程，并且这里边有两个变量，一个是时间，一个是水位，但是它还应该满足一种特殊的对应关系。是什么？ 嗯，时间确定的时候，水位也是只有那一个确定的啊，那你能举例说明吗？ 例如，时间是一小时的时候，水位就是三点三米。时间是四小时的时候，水位就是五点六米。时间是七小时的时候，水位就是五点一米。 哎，非常好。那我们判断他是不是函数关系，需要看他的定义。在这个变化过程当中，存在了两个变量，是时间和水位，当给定时间的一个值，就能确定水位的一个值， 所以我们说水位是时间的函数。那接下来我们再来看问题二， 路程是时间的函数吗？王嘉蕊 老师，我在，嗯，它是，嗯，我们可以给 t 代入数值。 嗯，假如说 t 是 一的话，那 s 就 为六十，如果 t 为二的话， s 就 为一百二十，如果 t 为三的话， s 就 等于一百八十。然后呢，依次代入，代入数值就可以发现 啊，路程是随着行驶的时间的变化而变化的。哎，你取了那么多数，你主要是想说明什么？当 t 给定 s 怎么样？ s 会随着 t 的 时间而变化， s 的 值会怎么样？ 嗯，会随着它那个行驶的时间不断增长，然后呢，路程也不断增，增长。当 t 等于一， s 等于多少？六十，那所以当 t 给定 s 怎么样？ 也唯一确定。哎， s 唯一确定，那么所以它满足这种函数关系。那我们再来看问题三， 崔立新老师，我在高度 h 是 时间的函数吗？是，你的理由是？ 嗯，如果时间给定，那么高度也为一确定。哎，能举例说明吗？嗯，当时间为一的时候，高度为五米， 时间为一，高度为多少？高度十米，嗯，呃，当时间为 五的时候，高度为十米。哎，非常好，也就是给定时间的时候，它的高度就唯一确定。那么我们在判断图像类型题的时候，可以这样去操作， 或 x 轴上任意一点，向 x 轴做一条垂线，它都与图像有一个交点，那自然就对应唯一的一个函数值。 在这条直线左右平移的过程当中，它都与图像仅有一个交点，那么自然也就对应了唯一的一个函数值，那所以它是一个函数。 那接下来我们再来回顾一下这三个问题，它们都是以什么样的方法来表现的？佩奇， 第一个是以数值表的方式来表现的。第二题， 第二题是以表达式的方式来展现的。第三个，第三个是图像法。 哎，非常好，看来我们同学对函数这块内容掌握的还是不错的啊。这三种方法都能够表示函数，那他们之间的优缺点是什么？他们之间又具有怎样的联系？那我们这节课将。

同学们大家好，上一节课我们学习了用一次函数的模型解决单个函数的应用问题，那么这一节课让我们一起来学习一下，用一次函数的模型解决双函数的应用问题。 那么在今天的学习之前，让我们先进行一个简短的复习。 同学们，函数是一种数学模型，我们可以借助它解决很多的实际问题。回忆一下我们都学过了哪些函数模型？ 依次函数，正比例函数。那么依次函数的解析式是什么？ 那么当 b 等于零时，它是什么的函数？解析式，正比的函数。所以我们说谁是最特殊的一次函数？ 正比的函数。同学们回答的都很流畅啊！那么下一个问题，函数的表示方法有几种？ 三种？三种分别是什么？图像表法，向量法，一致式法。好，同学们回答的都很全面啊，我们从竖的角度上来讲，有列表法和解析式法，从形的角度上来讲，有图像法。 那么同学们，你会用一次函数模型解决实际问题吗？让我们一起来试一试。 同学们，请看这道题，那么需要听清楚老师的要求，这道题老师只允许同学们动脑，不要书写，看看谁能回答的又快又好。 好，刘明清同学是第一个举手的，我们来请刘明清同学给大家进行一下讲解。乘等于速度，乘时间。设这个函数解析式为 y 等于 k x， 然后题中告诉我们，假骑自行车速度是十千米时，所以这个函数解析式就是 y 等于十 x， 那么你能去 x 取值范围 x 大 于等于零，非常好。那么你能迅速地去画出函数图像吗？ 啊，因为它是正比例函数，所以我们只用找一个点啊，我找的点是二到二十， 然后我呃过圆点连接这个点。啊，就是这个假的函数图像里面有一点小瑕疵。首先我想请问 y 等于 k x， 在 这道题当中，我们有没有必要把它设出来？ 没有必要吧？是的，这个题实际上我们直接就可以由路程等于速度乘以时间得到 y 等于 k x。 另外，在画图的过程当中，可能刘云金同学一直手拿手机啊，没有办法去做垂直的虚线，也就是当我们确定这个点的时候，一定要用尺子去做垂直于 x 轴和 y 轴的虚线。问同学，我们的正比例函数，它是一条直线，这个地方我可不可以出头？ 不可以，可以，为什么不可以大于等于零等于等于零？是的，很好。那么同学们，刚刚呢，我们做了一道文字序数型的题，现在我们一起来读图。 同学们，你能写出乙的函数解析式和自变量值范围吗？那么同学们现在可以在自己的导学案当中完成，完成的同学可以在互动消息里面扣一个一好开始。 好的，我看到大部分同学都已经完成了。那么我想请陈天傲同学、贵新宇同学和刘子玉同学上传你们本道题的图片。 小宇同学给大家点评一下，他们做的都对不对，谁写的格式最规 范？嗯，第一位同学做的是对的。

上课起立，老师好，同学们好，请坐。 好，同学们，本章我们研究的对象是分式，从分式的概念到分式的基本性质， 接着我们又学习了分式的乘除，那同学们想一想，分式之间除了乘除还可以进行哪些运算呢？加减，这一节课我们就一起来学习分式的加减。 好，请同学们结合我们学过的知识，在你的练习本上写几个分式加减的例子，并且试着写出结果。好，开始 写好的同学请坐好。 哪位同学来展示一下你的例子，并且说一说你是如何想到这个例子并且能得到结果的。请举手 啊一，嗯，老师，我举的例子是 a 分 之一加上 a 分 之二等于 a 分 之三， 因为我想到以前学过分数的加减，呃，那么就像是五分之一加上五分之二也等于五分之三，我就认为可以就是说把这个五换成 a， 也差不多就是 a 分 之一加上 a 分 之二等于 a 分 之三。嗯，说的非常清楚。好，请坐，还有其他的例子吗？ 啊，我这个例子是三 x 分 之一，嗯，加上二 x 分 之三。 然后呢，首先，首先呢，我们在原来这个分数加减的过程中，我们学过这个三分之一加上二分之三，然后呢，我们在计算，我们在计算这个十字的时候，我们是需要把这个分母去通分的， 然后呢，现在我们这个用这个分，这个分式的这个加减我觉得也可以，也可以运用这个通分的方法，就是可以把三 x 分 之一转化为六 x 分 之三， 然后把这个二 x 分 之三转化为六 x 分 之六 x 分 之九， 然后，哦，对，那个六 x 分 之三。啊，写错了。哎呀妈呀，这个这个写成六 x 分 之二。嗯对。 然后呢？再把分子相加就等于六 x 分 之十一。好，也表达的很清楚，他想到了异分母的情况。好，请坐。还有不同的意思吗？ 张家明，嗯，我举的例子是 a 分 之五减去 a 分 之四等于 a 分 之一，因为。嗯，前两个同。

老师好，同学们好，请坐！大家去没去过电影院看电影啊？去过，那你有没有过坐错座位的情况呢？ 有，那我们来看一个生活当中的小情境，进入我们今天的数学之旅。有一天，小明做好后，小刚发现小明坐错了位置。 小明，你坐错了位置，这个是第四列第三个座位，那我们应该往哪里走呢？你是第二列第二个座位，你应该先向下走一个，再向左走两个就是你的位置了。 你认为小刚说的对吗？小刚说的是否正确呢？对啊，那我们就来带着这个疑问开始我们今天的课程。我们先来复习一下一个点在数轴上平移后所表示的数， 数轴上点 a 表示的数是秋兰静夫。二，好，请坐。那我现在如果将点 a 向右平移三个单位平移到哪了呢？ 黄晨习，你上来平移一下， 好，对不对？对，非常好。那平移后表示的数是什么呢？一，曹雨桐，一，好，请坐。那从负二到一发生了怎样的变化？ 袁子涵，加三，哎，也就是说向右平移三个就是加三，非常好。再来看，竖轴上点 b 表示的数是 洛雨格，三，好，请坐。那如果我将点 b 向左平移四个单位平移到哪了呢？马士林， 对不对？对，请回。那现在表示的数是什么？刘奇伦，负一，非常好，请做。那从三到负一又是怎么变化的？变， 刘子民，减四，好，请坐。所以向左平移四个就是减四，那你能现在发现点在竖轴上平移有什么规律吗？ 陈新阳，嗯，往左平几个就是减几，往右平几个就是加几，非常好。那你能再简化一下你的语言吗？嗯，左减右加，太棒了，请坐。 那我们现在通过点在数轴上的平移，我们继续来研究一下点在坐标系当中的平移。来看一个小视频， 在平面直角坐标系上，一只小蚂蚁在圆点 o 的 位置上，它想要去吃点 e 处的食物。 小蚂蚁爬行的路径为，从点 o 到点 a， 从点 a 到点 b， 从点 c 到点 d， 从点 d 到点 e。 你 能说出这五个点的坐标吗？ 谁能说出这五个点的坐标？杜鹃红， a， a 是 零二好，请坐刘雨欣， b 是 三二好，请坐陆雨泽。

好，上课起立，老师好，同学们好，请坐！ 上节课我们学习了条形统计图和扇形统计图，对一组数据进行描述，那么这节课我们接着学习，用新的统计方法来对一组数据进行描述。请看， 二零一三年至二零二零年我国城镇居民人均年收入如下表，同学们发现这组数据是以什么样的形式呈现的？ 统计表，我们除了用统计表来整理数据，还可以用学过的哪种统计图来描述数据呢？ 好，李梦涵，你来说一下条形统计图。好，请坐。那么咱们同学们会画条形统计图吗？会。好，下面请同学们来画一画， 画完的同学请举手。 好，放一首。老师也画了一幅条形统计图，你们和老师画的一样吗？一样。那么哪位同学来说一下条形统计图和统计表相比有什么优点？ 汉民达，你来说一下。嗯，可以更直观的看出数量的多少。好，请坐。也就是说与统计表相比，条形统计图更直观，表示数量的多少多少。第一个枝条，你知道表示什么意思吗？ 李树月，二零一三年我，我国城镇人均年收入两万六千四百六十七元，你是怎么看出来的？ 横轴代表年份，纵轴代表数值，他们的相交点就是城镇居民年收入的源，其他也是类似，也就是说标上数值更直观。好，请坐。 那么我们发现这个直条有高有低，说明数据是怎么样的呢？在变化。 除了用直条的高和低来表示数据，还有什么方法可以表示数据呢？ 直条可以把它看作是一条直线，线是由什么组成的直线，所以说还可以用什么方式来描述数据？谁能说一下？ 王子晴，还可以用点好，请坐。如果我们把每一个数据都看作一个点，你能用点把这些数据表示出来吗？ 能，好，下面请同学们在你的学习单上把这些个数据用点描一下， 瞄完点的同学请举手。好，放一首 和老师瞄的点一样吗？一样，我们观察点有高 有低，说明数据是在变化的。那么你们用什么方式来表示数据的变化呢？刘思雨。

嗨，朱迪，找我来有什么事吗？尼克，快进来，快帮我看看我新买的电视机，商家说是四十九英寸， 但是我量了电视机屏幕只有一百厘米长和七十五厘米宽，我被商家骗了吗？嗯，我想想，或许商家说的尺寸不是这样肚量，同学们，你们能帮忙一起想想商家有没有坑我吗？ 通常所说的电视机的尺寸是指其屏幕对角线的长度， 所以商家没骗人。

上课起立，老师好，同学们好，请坐！今天我们继续学习依次函数的图像和性质。 上节课我们学习了依次函数图像的画法，下面通过以下问题对上节内容进行复习巩固。第一个问题，依次函数的图像是什么图形？ 于梦南，一次函数的图像是一条直线啊，回答正确，请坐。那么正比例函数的图像呢？ 正比例函数，谢俊祥，呃，也是一条直线。嗯，确实正比例函数的图像它是一条直线。 那你还有补充吗？呃，对，它还是过远点的直线。哦，它还过远点啊，那么这个回答就到位了， 我们知道正比例函数是特殊的一次函数，那么它的图像呢？也有特殊性，就是要经过坐标的原点。好，请坐。第三，如何更快的画出一次函数的图像？ 张一木，嗯，可以先找出两点，然后再连线啊。两点，你为什么要找两个点呢？因为两点确定一线啊，两点确定一条直线，好，那你还有补充吗？没有，好，请坐其他同学 站前。就是这找的两个点，应该是尽量是整数点。尽量是整数点啊，横纵坐标为整数的啊，可以啊，请坐。其他同学呢？ 李浩文，我觉得可以找与坐标轴的交点。嗯，好，请坐。那么不管是横纵坐标为整数的点，还是说与坐标轴的交点，它们都有一个共性，那就是容易描出。 所以呢，我们应该是确定图像上两个容易描出的点。通过以上问题可以看出，同学们对上节课内容掌握的总体不错。那么今天呢，我们来继续研究一次函数图像的性质。请大家打开课本九十二页， 用描点法完成，做一做，在这个过程当中，大家要体会如何更快的描出一次函数的图像。 同学们，在列表的时候呢，我们可以把两个表格合并成一个，也可以分开画， 还有那个解释要不要上 好，同学们，请抬头啊，大家都已经画完了，那么刚才老师在转的过程当中啊，拍了几幅同学的作品，下面呢，我们来一起欣赏一下。 首先看第一幅图，大家看一看有没有问题，有问题的请举手 教燃它没有标函数解析式，嗯，好，请坐上节课，我们在讲函数图像的时候，重点强调了，画完图像之后，应该在图像的旁边标出它的解析式，还有其他问题吗？ 嗯，张一木，嗯，他找点的时候没有找整数点，就是画画图像的时候会不准确。好了，我们来看。呃，下面这幅图像应该是 y 等于二分之一， x 减二，大家可以清楚地看到 零负二，这个点与 y 轴的交点是一个整数点。那么另外一个点呢，我们得需要看一看它列的表格，好在这里。

旋转之后呢，我们可以发现两个平行四边形完全重合，所以我们认为它是中心对称图形。 来，那老师们，你们旋转的时候绕着哪一个点旋转呢？我们旋转绕着点圆点 o 去旋转啊，那圆点 o 有 没有啥特殊性？我们可以观察到圆点 o 是 两条对角线的交点， 所以他是对对称中心。哦，那底下同学对于这个小组的结构你们认同吗？认同。还有没有其他的结构？ 没有没有。那就说明我们发现平行四边形是中心对称图形，谁是他的对称中心呢？两条一条线的交点 是对称中心，非常的好啊。好，来，第二个同学，我们发现平行四边形无论怎样折叠，他都无法完全重合，所以说平行四边形他不是轴对称图形。 哦，这个同学发现折了之后不能重合，所以他不是轴对称。那底下同学有没有和这个同学一样折了之后不能重合的？有些同学是不是有 啊？那来，那这个同学呢，我们可以发现他完全重合了，所以我们组认为平行四边形是否对称图形。哦？这个同学他们组折叠之后发现又重合了，那底下同学有没有折叠之后重合的呢？有些同学，没有，是吧？ 好了，那也就是我们通过刚刚的折叠，我们发现有些平行四边形能够怎么样重合？有些平行四边形折叠之后不能重合， 对不对？那就说明平行四边形它是不是一个轴对称图形呢？不一，有些是，有些怎么样？不是。那到底满足什么条件的时候，那这个就是我们后面研究的更为 特殊的四边形，我们九年级将要研究，我们今天研究的就是平行四边形的一般性质，所以它不一定是一个轴对称图形。很好啊，好，来第三个同学， 我们小组通过测量发现平行四边形的对边以及对角都是相等的，所以我们小组得出结论，对角也相等哦，这个组的同学他是通过测量得出我们后面两个结论，对边相等，平行四边形的对角相等的横号来。那这个组的同学呢？ 所以我们得出结论，平行四边形的对边与对角相等哦，这个组的同学是通过旋转就得到了我们这样的两个结了，很好啊，好了，那上面五位同学代表他们小组将咱们组的这个讨论结果给大家做了一个展示啊，展示的非常的棒， 大家把掌声送给这五个小组，那通过刚刚同学的展示，我们知道平行四边形它是一个中心对称图形， 对吧？那我们可以来啊，来给大家做一个演示看，先是一个黄色的拼音四边形，我们再给他一个完全相同的紫色的拼音四边形。来，我们旋转看啊，老师让他旋转，旋转了多少度？一百八十度，这可谁旋转的 两条对角线的交点，那一百八之后干什么了？模糊了。对，那您凭四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心 啊。好了，那下来我们是不是还有这两个结论呢？那刚刚我们同学通过测量和旋转是不验证了我们这个猜想是正确的。 那老师来问大家，那是不是我们这两个猜想就可以直接拿来当性质用的呢？不直接就说平行四边形就有这样的性质呢？ 我们必须通过严格的什么绝对的逻辑可以证明。好，那下来我们就来证明第一个结论，平行四边形的什么对边相等？ 好，那这个是对一个文字命题的证明。八项对于文字命题的证明，我们要经过哪几步？第一步要干什么？画对，非常的好，先要画图，根据图形再去干什么？ 先一个图啊，我们先来画一个平行子练习。好，那我们画出图形了来，那下面又干什么了？ 胡锦熙写的，一直走着，来，咱们做一个同学来试一下，试一下，来，已知，我们写已知四边形，四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，很好。来，写完了来求证求证。 a、 d 等于 b， c， a， b 等于 b， c， a， d 等于 b， c， a， b 等于 bc， 写完了没有？写完了好，走，来，大家看这个同学写完了没有？写完了，非常的好啊，那其实我们在证明文字性的命题的时候，我们往往要将文字语言先转化成我们的 图形语言，根据图形语言写出符号语言，非常好。来，那现在我们来看该怎么样去证明它？ 咱们先来看他的这个证明结论是证明对边相等，也就是我们常说的证明线段相等 对不对？那大家想我们证明线段相等往往用的是什么办法？三角形全等，我们用三角形的全等，对不对？好，那现在来看，在这个题里面，平四边形里面，我们只能不能直接用三角形全等来占 不能。为什么一个角形有没有三角形呢？没有三角形怎么构造呢？连接对角线连接什么？ 连接一个 a c 或者我们还可以连接成的是我们这一个题的关键，我们通过连对角线将平行四边形的问题转化成了三角形的问题，非常的好。好，那现在来看我们证明三角形全等勾股 啊，想想都有哪些条件？你先看一看条件够了没？够了，来，先给大家说一下条件里有哪些条件？来，这个同学，呃，因为 a、 d 平行于的 c， a 的 平行于 bc， 所以 角 b a c 等于角 a c b。 呃，角 a c d， 角的 a c 等于角 a c b， 它是咋来的？两直线平行内错角相等，那老师再来问你，那两直线平行你又是咋知道的呢？呃，通过平行四边形的定义得， 大家听对不对？平行四边形的定义是不是直接答了用了是好。来，根据这个同学的口述来，我们梳理一下证明过程，证明第一步先干什么？连接，哎，那下来呢？所以是不是才有了对边平行？对，因为 四边形 abcd 是 什么？平行四边形啊， 那所以我就得到了什么？对的，所以我的平行杠 a、 d 和 bc 平行可以得到什么？角？角三等于角，四角角一等于二， 两个条件还差一个条件呀，正确呢，又因为 a 等的条件够了没有？够了，来看看一个排列，这里角 c 角很好， 那所以三角形 a b c 全等于三角形。说非得非得，是得 a 得 c 还是 c 的 a 呢？ c 的 a。 我 们说我们在证全等的时候一定要注意字母的对应，对吧，将对应的字母要写在对应的位置上，那 abc 对 应的是哪一个三角形 c， 那 这两三角形全等，三角形全等就有什么相等对应边相等很好来。那所以我就能得出什么 a 小 b a b 等于 uh。 哦，有些刚才你的同学说了，他还得出了什么 a b 等于小 b。