八年级下册数学8页呢

你记住啊，中考必考等腰，跟我一起做练习八年级数学下册小册子第八页纸。我们看到第一题，若等腰三天，一边长十六， 等腰三角形，一边长六，那么它下面有一个关键，就有一个角是六十度，有一个角是六十度的等腰三角形呢，我们说是等边三角形，那么一边周长三了一十八啊，这个就说明他是等边三角形呢，就是这个意思啊。我们看到第二个，如图， 如图，我们来看到这里说，在三角形 a、 b、 c 中， a b 等于六角， b c 等于三十度，角 b c 等于三十度。那我们来看到这里角平分线 啊，还有什么？还有 m n 呢？是动点 b m 加 m 的 最小值， b m 加 m， 那 么这个角平分线是什么意思呢？ 就是说这个 m n 它关于 a、 d 的 对称线段， a 是 相等的，你看这个角一等于角二，对吧？这个 a m 等于 a m 啊，如果对称的，那么这个 a， 这个 a 一 撇等于这个 a n 啊，就是对称的两个图形牵等形， 现在 b m 加 m n， 那 就等于 b m 加这边的 m， 当这三点共线的时候，并且什么垂线呢？最短 什么意思？那就是 m 在 这 m 一 撇在这， m 大 概就在这 啊，就这样的啊，那么这个是三十个角所在的直角， b n 等于斜边的一半，那么这个 a b 等于六，这个 b n 一 撇就应该等于三 变，所以这个 b m 加 m n 等于 b， m 加 m n 一 撇啊，根据垂线的这段，那么它就等于三 啊，这个难度并不大，以后还有更难的。我们看到第三题，如图，以这港口 a 的 南边东八十度的方向有一座海岛 b 啊，这个海岛 b， 这里是八十度的角啊，哎，从这个南往这里八十度的， 有一艘轮船从港口 a 沿南偏东四十度，四十度，这不就说这个是也是四十度吗？刚才说它是八十度吗？行驶八十海里， 到达了 c 这个地方，此时观察这个岛小岛 b 在 c 的 北偏东六十度的方向。 好，这个时候求这个 b 与 c 啊，这个轮船与小打 b 之间的距离，哎呀，这距离怎么求呢？坐车直的还是干嘛呢？大家发现一个问题啊，北南北南这方向是平行的，所以这个四十度意味着这里就是四十度， 也就是说角 a、 c、 b 等于四十加六十等于一百度。角 c、 a、 b 等于四十度，所以这个角 b 也就等于四十度。根据等角再等 b a， 所以 这个时候我们要得到的是 c、 b 等于 c， a 等于八十，哈利， 对吧？这个题目上这样写，那我们也可以这样写。好。第二个在小打 b 的 周围的，这个周围的三十六海里的地方啊，是暗礁区， 这个是货轮，如果说他自西向东一直就这么航行下去，有没有触礁的危险？有没有？那我们再看到这一点，到这个航线， 这个暗交，他是从这个暗交里面穿过去呢？还是绕过去？所以我们来看到这样的一个长度 最垂直，刚才说这个等四十，这个等六十，这就三十三度角所对的直角边呢，斜边的半。刚才这个是八十啊，这个四十度，这个三十度，这六十度，这个长的等这里的八十哈里，所以这就是四十哈里，那就说这个暗交大概就在这个范围内， 嗯，还没到这个来啊，这个四十呢，是大于三十六的，所以无触交的危险啊，所以这里没有触交的危险啊。通过图形来分析，我们看到第四题 d、 c、 d。 我 们看到在三角形 a、 d、 b 中， a、 d、 b 的 呢？角 a、 d、 b 等于六十度， d、 c。 平分，角 a、 d、 b。 角 a、 d、 b 等于六十度平分，所以这每个角都等于三十度， 对吧？加 ab 于点 c， 然后那个 d、 c 垂直 ab， 这垂直耶，这个垂直的话，那这三十度，这个不就是六十度了吗？ 那这个角也是六十度了，对吧？那么这样三角形 a、 d、 b 不 就三个角都是六十度了吗？所以，那么三角形 a、 d、 b 就是 等边三角形，我们就整完了，有时间呢，我就没有写过程啊。 好，我们记下来。看到第二个要证明 a、 e 垂直 db， a、 e 在 哪呢？ a、 e、 a、 e 的 已知条件在哪有呢？这里有 c、 e 平行于 d， a、 ce 平行 d， a， 那 这角不就是角 c、 e、 b 等于角 a、 d、 b， 这也是六十度，当这个 e、 c、 b 就 等于角 d、 a、 b 也是六十度，所以也就是说这我们就得到正三角形 b、 c、 e 正三角形 bce。 那 我们现在还能得到别的什么东西？哎，刚才这个 bdc 是 垂直于这个 ab 的， 所以这角三十度，这角六十度，对吧？ 那我们得到这个 ec 跟 bc 跟这个 b 呢，是相等的， 那么这个 b、 c 呢，是等于多少呢？刚才的等边三角形等于 b、 d 的 d、 b 的 一半，当然也等于 a、 c 的 d、 b 的 一半，所以也就是这个 b、 e 呀，等于 b、 c 等于这个 b、 d 的 一半，那就说我们得了 e， 为什么 b、 d 的 中点， 所以最后 a e a e 乘以 d b 根据什么东西呢？有时间没写完啊，等腰三角形底边的中线，也是底边的高线啊，这里重点就是三线合一 啊，因为时间的关系，过程没有都写出来。我们得到这个 b 啊，等于 b c 等于这个 c e 啊， b c 是 等于这个 a b 的 一半的，或者说等于 b、 d 的 一半啊。每个人的步骤可能有所不一样，只要正确就可以，记得点赞关注哦！

多做好题，出成绩。八年级数学下册小册子的第六页纸，我们看到第八题，以至于图在四边形 a d b c 中， b c 等于二倍的 b d， 这句话什么意思呢？ b c 等于这个两个乘 b a 平分角 d b c 啊，这两个角相等， ab 等于 c， 哎，这里有个等幺三角形， ab 等于 c 等幺三角形，那我们就有底边上的高，底边的中线， 嗯，那么这里要证明的是，这里是直角，哎，我们说我们能不能得到这里直角，这个或者说都什么东西呢？我们看到如果说我们做 a h 垂直于 b d 啊， a h 垂直于 b c 于 h， 呃，因为 a b 等于 a c， 对 吧？所以这个 b h 等于 c h， 那 就等于二分之一 b c 了。 当然了，你要是做中线，做中线可以得到垂直，做垂直可以得到中线， 当然您做这个角平分线其实也是可以的，为什么呢？因为等腰三角形，底边的中线，底边的高线，顶角的平分线呢？是同一条线段是互相重合的啊。当然你就看您这做哪个你证明比较好。写好， bh 等于 c h， 那么刚在这里我们来看到这个因为什么？因为这个 bc 等于两倍的 bd， 那 么它也等于两倍的 bh， 两倍的 bd 为 h， 所以 这个 bd 就 应该等于 bh， 对吧？就说 bc， 以这条结论说 bc 的 bd 的 两倍，我们刚才 bh 的 c h 的 二分的 bc 就是 bc 的 两倍的 bh 的 意思好要因为 b a 平分角，呃，叫什么角 dbc， 所以 角 dba 等于角 hba， 那我们看到在三角形 dba 与三角形 hba 中， 那我们就有这个 bd 等于 bh， 刚才正了角 dba 等于角 hba 刚才与这里面角平行，然后这个 b、 a 是 公共 b a， b， a 等于 b a， 所以三角形 b， d， a 全等于三角形 b， h， a 好， 这里理由叫走 s a， s 边角边好，那么所以有了角 b， d， a 就 等于角 b， h， a 就 等于九十度， 好，九十度就是垂直的意思，所以 a、 d 垂直于 b、 d 好， 这样我们就正完了。那么在这地方呢，我们要证明这两个三角形呢？这个地方跟这地方角都是直角，就意味着垂直好，合理利用三线合一的内容。 好，下面我们看到第九题，在这如图，在三个 a、 b， c 中，角 a， b， c 等于四十五度，好，这个角是四十五度，然后呢？ cd 垂直。呦，垂直到这角不也是四十五度了吗？ 嗯，这角不也是四十五度啊。那么我们再来看到 d 等于 ad， d 在 哪里？ d 在 这里等于 ad b 的 这，哎，这是直角，我们看到 a、 d， c 和 b， d， e 好， 这个过程我都不写了。在三角形 b、 d、 e 和三角形 c， d， a 中， b， d 等于 c， d 哪来的 b， d 等于 c， d 呢？因为这个 c、 d 垂直 ab 啊，并且这个角 abc 是 等腰直角三角形，所以 b、 d 等于 c、 d， 对吧？这里直角那是车的油，那么这个 d， e 等于 d， a， 所以 三角形 b、 d、 e 且等于三角形 c， d， a。 这里的理由是 s a， s 啊，这个比较简单，我都不写那么多了，没有数的时间写了啊。 好，第二个呢，若 ab 等于 bc， 如果 ab 等于 bc 的 话，那么这个 abac 就 成了等幺三角形，对吧？就成了等幺三角，等幺三角形。那我们看到这里 等幺三角形之后呢？那我们能够得到什么呢？你看题目求证的是什么？求证 b 等于两倍的 c、 f 啊。求证 b 等于两倍的 c、 f、 b、 e 等于两倍的 c、 f。 在 那里，刚才我们证明这个三角形 b、 d、 e 与三角 c、 d、 a 两个三圈等的时候啊，那就有了一个叫做 b、 e、 d、 c、 a 了 啊，有个 b e、 d、 c、 a 好 b、 e、 d、 c、 a。 要求成 b、 e、 d。 两倍的 c、 f 就 求成 c， a 等于两倍的 c、 f 要求成 c， a 等于两倍的 c、 f。 哎，那 f 如果是中点就好了啊， f 至终点呢？我们刚才是 b、 a 的，是 b、 c 的 时候，如果我们要能够得到，得到什么呢？得到这个， 哎，得到这个 b、 f 是 角平分线，等幺三角形顶角的平分线，也是底边的高线，也是底边的中线就可以了， 那我们哪里能得到角平分线呢？我们再来看啊， b、 d、 c。 刚才这说明是等腰直角三角形， 那么等腰直角三角形之后，我们刚才证明的 b、 d、 e。 等于 c、 d、 a。 这个角四十五度，那我们就可以得到角 a。 等于角 b、 c、 a 等于多少呢？一百八十减四十五除以二，六十七点五度， 对吧？角 a 等于这角六十七点五，六十七点五度，那我们就可以得到这个四十五的这个角叫做角 a、 c、 d、 e 呢？是等于刚才这个角 d、 b、 e 的 等于角 d、 b、 e 的， 那就应该等于六十七点五减四十五，二十二点五度，那么这个角二十二点五度，这个角也是二十二点五度，所以这个角 c、 b、 e。 对，就等于角 a、 b、 e 也是等于二十二点五度，所以我们就可得到的 b、 f 平分角 abc 好， 由于时间的关系啊，这过程没有写清楚啊。 b f 平分角 abc 好， 等腰三角形 ba 等于 bc， 顶角的平分线也是底边的中线，所以 c a 等于 c f 的 两倍。由于第一个证明 b e 等于 c a， 所以 b e 等于 c f 的 两倍。好，自己把这过程把它理。记得点赞关注哦。

在很久很久以前，没有量角器，也没有直角尺，古人却能精准地画出直角柱，起笔直的城墙，铺出平整的道路， 他们靠的竟是一根打了结的长绳。这位老工匠把长绳等距打上十三个结，像这样分别取三段、四段、五段的长度，用木桩固定成一个三角形。这个三角形里竟稳稳地出现了一个直角。 三、四、五这三个简单的数字藏着怎样的秘密？今天，我们就从这根古老的绳子出发，一起探索勾股定律的另一面，它的逆定律，看看平方和相等的三角形是否真的都是直角三角形。 由勾股定律可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 反过来，如果三角形的三条边满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？

同学们，生活里藏着好多数学知识呢！看王师傅家新做了一个门框，他想知道这个门框的角是不是标准的直角，可他手里只有一把卷尺，你们能帮他想想办法吗？ 同学们，我这新做的门框总觉得不太值，可我只有一把卷尺，你快教教我咋检查。 大家回忆一下我们学过的勾股定律，逆定律是什么？如果一个三角形的三边满足两边平方和等于第三边平方，那它就是直角三角形。 那我们能不能用这个原理帮王师傅设计一个检测方案呢？谁来说说我们需要量出哪些边的长度哦，量三边就行。我量了 ab 是 八十厘米， bc 是 一百七十厘米， 你能帮我判断一下角 b 是 不是直角吗？对了，只要量出门框的两条邻边和对角线的长度，就能判断是不是直角啦！ 那如果我的卷尺只有一米长，量不完整，门框的边还能检查吗？对了，我们可以在边上各量一小段，用小三角形来验证大角是不是直角。这就是数学里以小见大的智慧。懂了，就是在 a、 b 边上量八十厘米， b、 c 边上量六十厘米。在量这两个点之间的距离要是刚好一百厘米，就说明大角是直角，这筐子真省事儿。 同学们，大家有没有注意到两艘轮船的航行路线在空间中形成了一个什么样的几何图形？ 如果我们要判断这两艘轮船的航行路线是否垂直，也就是航线形成的夹角是否为直角，大家可以回忆一下我们学过的哪些数学知识可以帮助我们解决这个问题呢？

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第七十一页练习 啊。第一题，求证四个角都相等的四边形是矩形。那么这样呢，这个题呢，也是一个命题，首先呢，我们给它改成已知和结论啊，已知和求证类编成一道题啊，第一题，他说已知 四个角都相等的四边形，那我可以说已知四边形 a、 b、 c、 d 啊，角 a 能等于角 b 能等于角 c 等于角 d 啊，四个角是不是相等？然后让我们求证啊，这个四边形是个矩形。求证，四边形 a、 b、 c、 d 是 矩形，然后配个图， 然后证明。那这道题呢，它要想证明它是个矩形啊，我们要了解一下矩形的判定定律啊，矩形的判定定律呢？嗯，有一条是 有三个角是直角的四边形，它就是矩形啊，有三个角是直角的四边形，它就是矩形。那还有一个呢，对角线相等的平行四边形是矩形。 还有就是矩形的定义叫，嗯，有一个角是直角的平行四边形，它是矩形。那这道题呢，我们可以用这个有三个角是直角的四边形来证明。 那我们首先呢，可以由四边形内角和啊，因为那个四边形内角和 内角和为四减二乘以多少？一百八等于三百六十度。 然后又因为你的角 a 等于角 b 等于角 c 等于角 d， 那 你看这四个角是不都相等，所以呢，你的角 a 等于角 b 等于角 c 等于角 d 就 等于 啊，三百六十除以四等于九十度。那你看，现在咱都四个角是直角了，所以四边形 a、 b、 c、 d 是 什么形？是矩形啊，这是第一种做法，第二种做法呢，我们也可以先求出这四角都是九十度， 然后呢，因为你的角 a 加角 b 的 一百八，能得出 a、 d 平行于 b， c。 同理，角 b 加角 c 等于一百八，能得出 ab 平行于 cd。 那两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再加有一个角是九十度，那它就是矩形，这个用判定定理啊，就是定义那个也能证明。那我们来看第二题， 他说平平行四边形 a、 b、 c、 d 的 对角线 a、 c 和 b、 d 交于点 o 说三角形 a、 a、 o、 b 是 等边三角形， 那么这个读到这等边三角形，你要考虑到他三条边都相等，然后呢，三个内角都等于六十度啊，然后一告我 a、 b， a、 b 等于二，哎，那你看 a、 o 和 b、 o 是 不是都应该等于二？然后让我们求的是平行四边形 a、 b、 c、 d 的 面积， 那你说平行四边形 abcd 的 面积，那不就是底层高吗？对吧？底层高啊，那么我们可以证明出什么呢？证明出 abcd 是 个矩形，那你想长乘宽是不就是它的面积 啊？按照这个思路，咱们来写一下啊，因为啊，先写减， 因为四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，那平行四边形有什么性质呀？ 对角线互相平分，也就是 o， a 等于 o， c， o， b 等于谁 o、 d 啊，这些呢，应该是相等的，然后又因为你的这个 三角形 o、 a、 b 是 等边三角形， 所以呢，你的 a、 b 会等于 o、 b， 它等于二吧，是不是？然后这样呢，我就可以得出。什么呢？得出你的 a、 c 啊， a、 c 能。嗯，怎么写呢？ a、 c 等于二倍的 a、 o， 然后你的 b、 d 会等于二倍的 o、 b 啊，所以你的 a、 c 这么写，这块写因为， 然后 a、 c 会等于 b、 d 等于几等于四啊。然后你看，这不就对角线相等了吗？那对角线相等的平行四边形是不是就应该是矩形？所以呢，你的四边形 平行四边形 abcd 啊，是矩形， 看这矩形不就求出来了吗？矩形求出来之后，那我就会得到角 a、 b、 c， 它等于九十度啊。所以在 r、 t 三角形 a、 b、 c 中，你的 b、 c 会等于根号下，嗯，四方减二方等于二倍根号三。 所以你的平行四边形 abcd 的 面积就等于二乘以二倍根号三，它等于四倍根号三啊。这就是第二题。那我们看一下第三题，如图， 三角形 a、 b、 c 中 ab 等于 ac 等腰了，是吧？然后呢？ d， 呃， d 呢？是 bc 的 终点，这两段相等， e 呢？是啊， a、 d 的 终点，那这两段相等， 然后过点 a 做 a， f 平行于 bc 啊，这上下两个边是平行的，交这个 b、 e 的 延长线与点 f 连接 c、 f， 然后让我们求证 a、 d， c、 f 是 矩形， 那这里边啊，首先呢，你想，呃，我这个 a、 b 等于 a、 c， 它是个等腰，然后这有个中点，那会有一个性质，叫做三线合一，那这有个垂直， 那有一个角是九十度了，那我只要证明这是一个平行四边形，那他是不是就是矩形？那平行四边形的判定定律一共有五条啊，叫两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等，然后对角线互相平分啊。还有一条是， 嗯，对角，两组对角分别相等，那这里边呢啊，他肯定用不到对角线啊，也不可能用到对角，所以呢，他要么就是两组对边分别相等，要么就是啊，一组对边平行且相等。 那这题里呢，正什么呢？用的判定定律应该是一组对边平行且相等。为啥呢？因为这里有个全等，看见了吗？这有 相等的边，这有对顶角，这还平行？内错角相等。那你看上下两个三角形，是不是应该是全等的全等了呢？ a、 f 跟 b、 d 相等，而 b、 d 又跟 c、 d 相等 啊，那 a、 f 跟 b、 c 又平行，所以 a、 f 跟 dc 就 平行，那 e 组对边平行且相等的四边形，它就是平行四边形，那有一个角是直角了，它就就是矩形了啊，所以这题呢，我们可以啊，先正啊，全等 证明，因为这个 e 是 a、 d 中点， 所以呢， a、 e 会等于 e d 啊，然后又因为 a、 f 平行于 bc， 所以 你的角 a、 f、 e 会等于角 e、 b、 d， 那我们就可以证全等了。在三角形 aef 和三角形 ebd 中， 然后角角边 afe 等于角 ebd， 然后角 aef 等于角 bed 边 ae 等于 e、 d， 所以三角形 a、 e、 f 会全等于三角形 e、 b、 d 用到的是角角边，然后，所以呢，我会得到 a、 f 等于 db 啊，又因为你的 d 呢是 d 是 bc 的 中点，并且呢， ab 会等于 ac， 所以 一会得到 b、 d 等于 dc， 二呢，会得到 a、 d 垂直 bc 啊，三线合一对吧，然后我就会得到 a、 f， 它会等于 dc 等量代换对吗？啊，然后你的角 a、 dc 呢，等于九十度， 然后又因为 a、 f 会平行于 bc， 所以 你的四边形 a、 d、 c、 f 是 平行四边形，先推平行四边形啊，然后又因为角 a、 d、 c 等于九十度，所以平行四边形 a、 d、 c、 f 是 矩形。

你都背下来了吗？八下数学课本的第八页纸上的，我们看到例四，在四边形 a、 b、 c 的 角 a 加角 c 等于一百八十度， 我们说四边形的内角和呢，就是，呃，叫做四减二乘一百八十度， 就是两个三百六，两个一百八十等于三百六十度，那么这两个加起来三一百八十度，所以这两个加起来也是一百八十度，很容易去计算啊，所以如果四边形的一组对角互补，那么另外一组对角也是互补。 下面要我们思考的是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形，这八边形的每个内角是多少度？如果计算正多边形的每个内角的度数， 好，这里我们要记住啊，在上一讲当中，我们要理解 n 边形的那角和过 n 边形的一个顶点的这角线呢，有 n 减三条，那么这样呢？分成的三角形呢，有 n 减二个 啊，这个，然后呢我们叫 n 减二个，呃，三角形，所以内角和就一百八十度乘以 n 加，当然这里总的对角线的条数是 n 乘以 n 减三， n 勾，然后有重复的除以二 啊，因为时间的关系，这里可能就没有讲那么详细，这里都要知道。那么如果一四边形的一组对角互补，那么另一组对角也是互补的啊，这里我们要刚才课本上的问题，记住啊， 正三角形的内角会是一百八十度，也就是三角内角会一百八十度，他的每个内角一百八十度除以三等于六十度，那么这样我们就成了是正，呃，正多边形的是正，就是多边形当中的这个每条每一边都像的，每个角都像这样的多边形，我们把它叫做正多边形， 那么他的外角和呢是三百六十度，我们在前面立体当中有料把它记住，那么每一个外角都相等三百六十度除以三等于一百二十度。正方形的内角和是三百六十度，每个内角九十度。外角和三百六十度，每个外角九十度。 这五边的内角和呢，就是三个一百八十度，五百四十度，每个内角是一百零八度啊，外角三百六十度，每个外角是七十二度。 正六边形呢，也就是螺丝帽。他的内角弧是七百二十度，每个内角是一百二十度。他的外角弧是三百六十度，每个外角是六十度。正八边形的内角弧， 实际上正八边形，我们可以从外角弧上来想啊，外角弧它是三百六十度，呃，每个外角三百六十度除以八等于四十五度，所以每个内角是一百三十五度。 当然如果你先从内角和 n 减二，就是八减二六六乘一百八十度，等于一千零八十度。当然这里的七边形，正七边形的内角和是等于九百九百度。这个七我们平时用的不多，那么这个地方呢，我们平时呢，大家最好给我背下来 啊。那么因此，如果一个多边是正多边形的话，他的每个内角就等于他的内角和除以 n， 对 吧？ n 加乘以一百八十度除以，而他的每个外角呢是三百六十度除以，其实也等于每一个中心角。好，这个部分呢，我们有时间没有去讲 好，刚才这里呢，我们就把它要把它背下来啊，如果减掉一个长方形的一个角，剩下来的纸片是几边形，那么它的内角和是多少度呢？好，如果有一个长方形， 我们要是这样减去一个角的话，那它就变成了就是五边形，它的内角和那就成了是五百四十度， 对吧？如果要是这两个都是从边上来剪的，如果有一个经过顶点的话，你比如说有一个经过顶点，这样剪掉了一个角的话，那么原来的四边形呢？他现在还剩下来的还是四边形，那么他的那角弧那就应该是三百六十度。 当然，如果你过这个定力或过这里的这个定力，这样把这个四边形减去一个角的话，那么结果他就成了是三角形了。剩下来的三角形，所以他在内角和呢就是一百八十度， 所以剩下来的可能是五边形或四边形或者三角形，他在内角和可能是五百四十度，可能是三百六十度，可能是一百八十度。 好，我们看到小兵求的一个正多边形的一个内角是一百四十五度，它的计算正确吗？ 那我们来看看啊，我们开始不知道正不正确。如果我们说这是 m 边形， n 减二乘以一百八十度， 他说是正多边形，每个内角都相等，对吧？除以 n 如果等于一百四十五度，若啊，先假如有，那么这样呢？ n 乘以一百八十度 减三百六十度，等于一百四十五度。乘以 n 一 百八十度减一百四十五度，就是三十五度乘以 n 等于三百六十度， 所以 m 就 等于三十五分之三百六十。呃，用七五七五呢？那就是七十二。 呃，这个呢，不是整数啊， m 不是 整数，所以，呃，它的计算呢？不正确 啊。计算不正确啊，为什么不正确呢？这里我们就说了，因为按呢，如果说它计算一百三四十五度的话，那么 n 等于七分之七十二，它不是整数啊，正多边形的边呢，那是整数条边，对吧？ 当然这里我们要说的是 y 角和我们下一讲再说。记得点赞关注哦。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第七十六页练习 啊。第一小题，他说把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片啊，为什么？ 那么这里边呢？首先你要知道，大的啊，最大的这张纸呢，它是矩形啊，那矩形呢，它有什么样的性质呀？ 矩形它的性质是啊，对角线相等，然后呢，四个角都是九十度啊，所以说呢，你的矩形四个角都是九十度，那 说将这个矩形纸片啊，沿途给它折叠一下，那你说这个九十度是不是折到这里头了，对吧？那现在呢，你这么一折叠，除了你的这个角能折到这来之外，你的这条边是不应该折到这来， 对吗？那么由你的这个三个角都是九十度的啊，四边形，首先判定它是一个矩形，然后呢，再加上一组邻边相等，那么你的矩形就变成了正方形 啊，你的矩形就变成了正方形。那么，呃，我们把这个题啊，用文字给它描述一下 啊，为什么？这个咱们写在上面吧，把这个涂掉。嗯， 来第一题，括号一啊，首先我们说，因为 矩形四个角 都是九十度， 都是直角吧，直角是不是也九十度？然后呢，嗯，按图中方式折叠 得到的四边形， 得到的四边形啊，是有三个角 是九十度啊，是直角，并且呢，有一组 邻边相等啊，那么根据 正方形的判定，嗯，有一组邻边相等的 矩形是正方形， 所以可以裁出一个正方形纸片 啊，这就是第一个，那么第二个呢，他说如何从一个矩形木板中啊，裁出一块面积最大的正方形木板， 那么这个题呢，你首先啊，在我们小学咱就学过，说在一个矩形里啊，裁出一个最大的啊，面积最大的一个四边形， 那么要以它的宽为边长啊，那么这样呢，你折你那个裁出来的这个正方形木板才能是面积最大的，是不是？就咱那个小学咱就学过，所以呢，你要以矩形的什么 矩形的宽为边长啊，再矩形木板上 截出，截取正方形，这样 结出的正方形面积最大， 因为你要是以长为边长的话，你这宽也不够长宽呐，是不是？你说我这个长这么大，我这边我要取一个，这么啊，取一个这么长的那个，那个边长，你这个宽的长度也不够，所以呢，一定要是以宽为边长，然后呢，截一个正方形，它的面积才能最大啊， 这是第一个，那么第二小题他说如图啊，呃，一块正方形场地的四个顶点 abcd， 说李明呢和张华在 ab 上啊，取了一点 e， 还知道呢， bc， ec 啊，这是得三十的， 然后 e， b 呢，是得十的，然后让我们求这个场地的面积，那你说这场地面积不就是 bc 的 平方吗？然后呢，你对角线的长，那对角线不就是 bc， 叫一比一比根号二，对不对？所以呢，应该是根号二倍的 bc 啊，根号二倍的 bc， 所以 说他的那个分析上难度啊，并不是特别大。那现在呢，咱们来写一下过程，首先啊，第二题写减， 第二题啊，写减，因为这个四边形 a、 b， c， d 是 个什么形？正方形，是吧，正方形，所以呢，你的嗯， ab， 嗯，不用写 ab， 你 就写 ab， 不 对， bc 等于 cd， 然后你的角 b 等于多少度？九十度啊，角 b， 你还得写等于角 b、 c、 d 啊，一会呢，用这个做勾股定律。然后呢，求对角线的时候还得用这个直角啊，用这个直角也行，用这个直角我就得写 ab 等于 bc 了啊，行，写这边吧。 然后呢，我就可以说，嗯，在这个二 t 三角形 b、 e、 c 中，你的 b、 c 的 平方是不应该等于三十的平方，减十的平方，然后就等于八百， 那你 b、 c 方是不是直接就是面积了？ b、 c 方是不是直接就是面积了？然后，所以呢，这个是平方米，所以啊，这个先不答，最后再答。然后我们来求这个对角线 啊，对角线呢，我们可以连接 b、 d 啊，然后在这个 r、 t 三角形 b、 c、 d 中啊，你的，嗯， b、 c 方加上 c、 d 方开平方是不是应该等于 b、 d， 对 吗？那么 b、 c 方是得八百的，那 c、 d 方是不是也应该得八百，所以等于一千六百，然后等于多少？四十，然后单位是米，所以这块 场地的面积为八百平方米，对角线 长为四十米啊，为四十米。这是第二小题，来，咱们看第三小题， 说如图啊，一个正方形的草坪的四个顶点， a、 b、 c、 d 说要修建 b、 e 和 af 两条路，十点 e 和 f 分 别在 a、 d 和 c、 d 上，然后且 d、 e 它等于 c、 f， 那么这两条路等长吗？那等长吗？不就是问你 a、 b、 e 和 af 是 否相等吗？然后他们有什么位置关系？位置关系，除了平行就是垂直呗，那现在目测咱们就说他应该是啥关系的， 应该是垂直的，对吧？所以呢，这道题实际上就是让我们证明 b、 e 和 f 一个数量关系，一个是位置关系， 那数量关系是相等，位置关系应该是垂直啊，所以嘞，那么要想证明两条线段相等，那最好的办法肯定是正啥？正全等是不？这么个意思，来吧，那我们来 证明一下啊。首先来写写理由，不是写结论， b、 e 会等于谁？ a、 f， 然后，并且呢，你的 b、 e 会垂直于 a、 f， 然后写理由如下， 减，嗯，因为你的四边形 a、 b、 c、 d 是 个什么形啊？正方形，对吧？所以呢，我要用到这个 a、 b 等于 a， d 等于 c， d 角 b a、 e 写下一行来，角 b， a、 e 会等于角 d 等于九十度 啊，然后又因为你的 d、 e 会等于 c、 f， 所以呢，你的 a、 d 减 d， e 会等于 c， d 减 c、 f， 即你的 a、 e 会等于谁？ d、 f， 那 a、 b 等于 a、 d 一 组边，然后 a、 e 等于 d、 f 两组边，再加上中间夹角相等，那你这个三角形是不能正全等了。那我们在三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 d、 f 中 来摆齐条件， a、 b 会等于 a， d 角 b， a、 e 会等于角 d， a、 e 会等于 df， 所以 三角形 a、 b、 e 会全等于三角形 a、 d、 f 用到的是边角边，然后呢，我的什么数量关系是不就先证出来了？ a、 b、 e 等于 af， 然后你要正位置关系的话啊，你得用这个，嗯，角啊，你得用这个角，嗯，那我们可以设一下，这个角为一，这个角为二， 这个角呢？为三啊，那我们相全等之后，我会得到角一等于谁？等于角三，然后因为你的角一加角二等于多少度？ 九十度，所以我等量代换角一换角，三角一换角三，那么角三加角二是不也得九十度啊？也得九十度，所以呢，你看这俩相加得九十，那这是不是就垂直了？所以你的 a a f 会垂直于谁？ b e 啊？ a f 会垂直于 b e， 那 么这一题呢？就完成了。

你能做到基础题不扣分吗？ 我们看到八年级数学下册的第一课本第十页纸 c 题一点一的。我们看到第一题，已知角 a、 角 b、 角 c 的 度数的比是四比三比二。在三角形中，三角形三个内角的和等于一百八十度，所以那么这样呢？我们来看到这个角 a， 我们整个三角形的内角和是一百八十度，所以等于一百八十度，乘以多少呢？四分三分两分就是七九分九分之四，对吧？二十，所以等于八十度。 角 a 等于八十度，那么当然角 b 那 就可以等于一百八十度，乘以九分之三，就三分之一等于六十度，对吧？角 c， 那 就等于一百八十度，乘以九分之二，又分二，得四十度 啊。那么这样的题目都是很简单的，我们看到第二题，如图，在三角 a、 b、 c 与 c、 d、 a 中， a、 b 平于 c d， a、 b 平于 c、 d 两直线平行，内错角相等。 角 b、 a、 c、 d 等于角 a、 c、 d 对 吧？ a、 b、 c、 d 看清楚，角 b 等于角 d， 角 b 等于角 d 啊，然后呢？ ab 等于三。 问 cd 等于几呢？我们看到哈，这个角 b 等于角 d， 由于 a、 b 平行 cd， 我 们得这个内错角相等， 然后还有呢，这是公共边，所以角 b 等于角 d。 角 b， a、 c 等于角 d、 c、 a、 c 等于 c、 a， 所以 三角形 我们就三角形 b、 a、 c 前等于三 b、 a、 c、 d、 c、 a 留 a、 a、 s 两个三角形等，所以这个 a、 b 就 等于 c、 d， 对 吧？ a、 b 等于三，所以 c、 d 等于三， 对吧？这个过程有时间我就不多说了啊，我们要把这个 a、 s 写清楚。我们看到第三题， 角 a、 c、 d 是 三角形 a、 b、 c 的 角 a、 c、 d。 在， 这是三角形 a、 b、 c、 d。 一个外角过点 d 的 直线。好，我们看哪一个不正确？第一个，角 b。 大 于角 a、 c、 d。 应该是角 a、 c、 d。 大 于角 b 啊，应该是角 a、 c、 d。 大 于角 b。 为什么呢？因为这个角 a、 c、 d。 是 三 a、 b、 c、 d。 外角三角形内角就是角 a、 c、 d。 大 于角 b。 角 a、 c、 d。 大 于角 e。 所以 第一个是错误的。好，我们来第二个，角 b。 加角 b。 角 a、 c、 d。 大 于角 e。 所以 第一个是错误的。 好，我们来第二个，角 b。 加角 a、 c、 d。 等于一，第二个是错误的。好，我们来第二个角 b。 加角 a、 c、 b。 加，这是对的， 对吧？也就是角 b。 加角 a、 c、 b。 加角 a 是 一百八十度嘛，所以这两个角它是一百八的，减它，这这里。第三个角 b。 加角 a、 c、 b。 角 b 在 哪里？角 a、 c、 b。 就 这两个角的弧 小于一百八十度，因为这两个角要加上一个角 a、 a。 才等于一百八，所以这两个角的弧小于一百八就对了。好，我们看到角 f、 e、 c、 e 在 哪里？ f、 e、 c。 这 角 f、 e、 c。 啊，是大于角 e、 c、 d 的， 因为这个角是这个三角形的外角，而这个角 e、 c、 d。 是 大于角 b 的， 所以角 f、 e、 c。 是 大于角 b 的。 好，这个也是对的。因此第三题呢？第一个是错误的，我们看了第四个， 如图，点 d 是 三点 a、 b、 c。 边 bc 上的一点，如果角 d、 a、 c 在 哪里 d、 a、 c。 在 这，这个角等于角 b， 则角 a、 d、 c。 等于角 bc。 我 们看到这个角 a、 d、 c。 角 a、 d、 c。 应该是等于角 b。 加上角 b、 a、 d。 对吧？三题的外角等于这两个和它不相邻的这两个内角的和，而这个角等于它，所以我们等量的话，所以等于角 c a d 加角 b a d。 好， 这个角加它，那不就是等于角 b、 a、 c 吗？所以我们课本上的题目都是很简单的题目啊，有的时候没有什么很多要讲的必要性，那么这样的题目考试是确保拿满分。我们看的第五题， 过多边形，呃，一个顶点的所有对角线，过一个顶点的对角线是 n 减三条啊，这个上课讲的是，你要记住， 那么将这个多边形分成的是五个三角形，哎，刚才说对角线呢，是 n 减三条啊，但是这 n 减三的对角线分成的三角形是多少个呢？是 n 减二个， 现在的 n 加二个是五个，所以 n 等于七，也就是说这是个七边形， 而这个七边形的内角和是多少呢？好，我们根据公式， n 加二乘以八十度，那七减二乘以一百八十度，那就是七加五五乘以八等于九百度，所以它的内角和，那就是九百度。 我们的第六题，一个多边的内角和是一千零八十度，它是几边形？好，我们看到设它为 n 边形， n 减二乘以一百八十度，等于一千零八十度， 我们看到 n 减二就等于一零八零除以一百八十，呃，一百八十分去了一个零一十八分之一百零八，呃，用九来除，这里就是二九，呃，就是一十八，就 等多少呢？ 一百零八除以一十八，对吧？用二二九，一十八，二五十四，一六啊，等于六啊，这个等于六。 n 减二等于六， n 九等于八，那么 n 等于八呢？这就是八边形 啊，我们前面大家记住啊，呃，三角形的内角和是三百六十度，五边形的内角和是五百四十度，六边形的内角七百二十度，八边 啊，七边形的内角和是九百度，八边形的内角和是一千零八十度，每多一边形，他的内角和就多啊，一百八十度啊，当然我们在做的时候我们要根据公式来做啊，其实这里有的同学一下就可以口算的，知道啊，这个不算他的这是八边形，记得点赞关注哦。

陪你一起做练习 八年级数学下册的这个配套的小练习小册数学作业本的第九页纸，如图，在 r、 t 三角 a、 b、 c 中，角 b 等于五十度。他说了 r、 t 直角三角形五十度， 那么这个角 a、 c、 b 就是 四十度。现在 c、 d 平分，则这两个角都是二十度，所以第一题选择 b 二十度，第二题 c、 f 平行于 d 啊，两者就平角 a、 c、 b 九十度。角 a 等于三十度，这个角等于三十度，所以角 b 就 等于六十度，角 e 等于一十八度。那我们可以来过这里， b 做一个跟 这个 c、 f 平行的直线，所以这个角呢？又这六十度，所以这边的角就等于四十二度， 所以这个跟上面平行，跟下面也平行。哎，对顶角相等，所以这个角就应该等于四十二度角二，也就是四十二度，所以我们选的 a。 第二题选的 a。 第三题等边三角形的各角都等于六十度。他的秘密题呢，就把这个条件和结论倒过来说，就是各个角都是六十度的三角形，是等边三角形啊 啊，如果有一个三角形，它的各个角都等于六十度。反过来，如果一个三角形的各个角都是六十度，各个内角啊，那么这个三角形等于三。我们说这个逆命题啊，它是真命题，对吧？三个角都是六十度的三角形，它当然是等边三角形。 第四题有一个裁缝加个长方形的布料折叠，这个角 baf， baf 在 那里，这个角 等于五十度。 b、 a、 f 等于五十度，那么 b、 a、 d 是 九十度，所以这个应该是四十度。由于这个折过来，所以这个角等于二十度，这角等于二十度，因为折过来两个角相等，呃，这里是直角，所以角 a、 e、 f 就 等于直角，再连锐角互为，这是七十度， 所以角 a、 e、 f 等于七十度。包右上角的这个小圆圈呢？有人总是不给我写清楚。 好，我们看到第五题， e 是 三角形 a、 b 边上的一点连接，这没有图形啊。那角 a 等于十度，角 b 等于五十度。当三角形 b、 c、 e 为一个直角三角形的时候，角 a、 c、 e 是 多少度？哎，我们打个草稿，好吧， 十度可不大好画了啊。嗯，这一个角是五十度，这个角是十度。 好大概啊，大概。这个，比如说，这角 a 是 十度啊，画的不大像啊，大概的样子，这角 b 是 五十度，现在 bce 是 直角。三题 a 可能就这个 在这，那么这个角 bc， 呃， bc 呢？就是四十度，那么这个五十度，这十度就是六十度。这个角 a、 c、 b 原来就是一百二十度。 角 a、 c、 b 等于一百二十度的话，那么这个角就应该等于八十度，对吧？好，我们再继续来看。当然呢，这个，刚才我们说 e， 这就是直角的顶点，那么它也可能是这样的， 对吧？这样的 a、 b、 c 是 直角，乘以这是直角，那么这是直角，那这个角呢？那就应该是四十度 啊，四度等于十度，加这角就三十度，所以或者三十度没有了。这角 b 不 能是直角，对吧？所以可能 e 这地方是直角顶点，或者 c 这地方是直角顶点。所以这道题是两个答案。好，我们看到第六题， 如图，在三角 a、 b、 c 中， a、 d 是 bc 边上的高， a、 d 是 高， 嗯，还有什么呢？角 d、 c、 m 哪里呢？在这等于角 m a e 等于这个角，我们说这这点角是相等的。角 a m e 等于角 c m d， 所以 角 a e d 啊 a e m 角 a e m 就等于一百八的减，这两个角也得一百八的减，这两个角等于这个角，所以它就等于九十度，也就说三角形 a， e m 是 直角三角形，这个比较简单，就不多说了。我们看到第七题， a、 d 是 三角形 abc 的 角平分线 a d， 然后呢？又 ab 等于 a c， 所以呢，是底边的高线，底边的中线，对吧？ 第一个说明 a、 d 是 等幺三角形哦，题目是这个问题，那么等幺三呢？我们看到这里有一个叫 d e 平行于 c， 所以 这个角 c a d 啊，等于角 a d e， 于是角 e a， d 等于角 a d e， 所以 这个我们就有了这个 a e 呢？等于这个 d e， 所以 三角形 a d e 是 等幺三角形。嗯，再说一遍， 因为这个 a、 b 等于 a c a d 呢，是顶顶角的平分线，所以这两角相等。 要因为 a、 c 跟 d 平行，所以两证明内侧角相等，所以这个角 e a， d 等于角 e d a 等于 e d， 所以 三角形 a、 d 是 等腰三角形。好看到第二个入 a b 等于十， 那当然这个 a c 也等于十了啊。 bc 等于一十二，那这就等于六，这就等于六，那这个 a、 d 就 等于八。 哎，刚才为什么等于六呢？等幺在你底边上的这个。呃，等腰顶角的平分线也是底边的中线，也是底边的高线，三角合一，对吧？这里等幺三角形， 哪里呢？顶角的平分线也是底边的中线，所以这十二对吧？这不就是六，这就是六吗？然后也是垂直的，记得点赞关注哦。

小柯，你看这田埂围起来的图形，四条边都连在一起，这就是四边形吗？对啊，小夏， 这就是四边形，平面内四条线段首尾连起来，围成封闭的图形，就是四边形哦，可是这两块田的形状不一样，一块方方正正，一块便是斜的，怎么都叫四边形呀？ 因为他们都只有四条边呀，方方正正的是矩形，两组对边平行，四个角是直角， 只有一组对边平行的是梯形，他们都是特殊的四边形。那平行四边形和矩形有啥不一样呀？我看着都差不多，你再给我说说。 你看两组对边都平行的是平行四边形，如果有一个角是直角，那就是矩形了，很好区分的。小柯，你看这个伸缩门的形状，是不是就是你说的平行四边形？对了对了，就是平行四边形， 他能伸缩，就是利用了平行四边形容易变形的特点呀。小柯，不管是什么形状的四边形，内角和都是一样的吗？怎么证明呀？ 很简单哦，你看画一条对角线，四边形就变成两个三角形，三角形内角和是一百八十度，两个就是三百六十度，所以四边形内角和都是三百六十度。 原来如此，四边形的知识这么有趣，谢谢你小可，我现在都懂了。不客气呀，小夏，咱们带着这些发现去课堂上再好好巩固一下吧。 边形也是一种基本的几何图形，今天我们来学习四边形的一些概念和性质。

你们看，这个伸缩门的每一个格子都是标准的平行四边形，难怪它能灵活伸缩，不会变形。散架 对两组对边分别平行，完全符合我们即将学习的平行四边形定义。而且它能变形，就应该是平行四边形的特性之一吧。 没错，平行四边形易变形的特性让伸缩门能自由伸缩，这就是他在生活中最常见的应用，既便捷又稳固。 原来竹篱笆也用到了平行四边形，这些格子都是两组对边分别平行，既 通风透光，又能稳固的围住花园。而且这种平行四边形结构比单纯的长方形更节省材料，还能承受一定的外力，不容易被压变形。 平行四边形不仅易变形，也具备一定的稳定性，竹篱笆正是利用了这一点，兼顾实用性和美观性。 平行四边形在建筑界的应用非常广泛，高楼玻璃幕墙用它兼顾美观与采光，桥梁支架用它分散压力，增强稳固性，体育馆屋顶用它实现大跨度设计，这些都离不开平行四边形的特殊性质。 原来平行四边形的性质能解决建筑中的这么多问题，太实用了，看来我们今天要学到平行四边形性质， 能解决数学题，还能解释生活和建筑中的很多现象。平行四边形在我们的生活和建九中无处不在， 它的易变形、稳定性、节省材料等特点让它成为隐形帮手。今天我们就一起深入探讨平行四边形的边角对角线的核心性质。 根据定义画一个平行四边形，并进行度量，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？ 我们通过度量可以发现对边和对角是相等的，那么怎么证明它们呢？ 现在来证明你的猜想吧， 请你自己证明角 b a d 等于角 d c b。

你会求外角和吗？我们看第八页纸小刚在公园里沿五边形的步道按逆时针方向走，比如从这个 a 这样逆时针方向走， 那么他走的转过的角度是多少？ 你看他从这往这走，转过了这个角度好，从这里往这里走，往这里转过的角度好，然后他往这边走， 转过的角度，然后他往那边走，转过的角度往这边走，然后要转到原来的方向来，他转到这里也就是一、二、三、四、五这五个角，那么这五个角加起来等于多少度呢？ 那其实不管是五个角还是 n 个角，我们看到这个外角跟这个内角、外角跟内角、外角、内角它们的和呢是一个平角，也就是一百八十度。假如说这是 m 边形， 那么五边形有五个顶点，五个内角五条边，那么我们说五边形有十个外角，那么除了这里的这个外角之外，那么其实我们看呢，还有这边的这个外角，这两个角是对零角， 当然在这个地方，我们现在只画一个外角，那么这每一个外角与每个内角的弧是一百八十度，所以总共有多少对呢？ n 明星就 a n 对 一百八十度，那么我们要把这个外角和啊，我们把它这个五个外角的和求出来，那我们就减去内角和就可以了， 那么就是所有外角内角的和加起来，减去内角和，内角和，就是 n 减二乘以一百八十度。 好，我们来看呢，就是一百八十度乘以 n 减去 n 乘以一百八十度。负负得正加号二乘一百八，等于三百六十度。 好，那么这样呢？一百八十度乘以 n 减去 n 乘一百八十度就等于零，所以它就等于三百六十度。 呃，这里我们把这个三百六十度啊叫做多边形的外角和，不管这是五边形，这是六边形还是多少边形，你看刚才我们用 n 来表示的，把这个要给我记住， 所以刚才这说，如果这个走五边形的路，或者六边形或者八边形，那么得到它的外角和啊，都是等三百六十度。 好多边形内角的一边与内边的反向一样的线所组成的角叫做多边的外角。我们在前面讲过的就不多说，每个顶点，注意每个顶点取一个外角，记上他们的核，叫做多边形的外角核。 多边形的外角核是个特定的概念，不是说多边形所有外角的核不是这个意思 啊，那么多边形所有外角的弧是多少呢？实际上多边形所有外角的弧啊是等于七百二十度，你看这是外角， 你看到这里这个是外角，那我们说这边的这个角也是他的外角 啊，所以过多边形的一个顶点只有一个内角，两个外角，注意啊，这个不是啊，这个不是，那么这两个外角是相等的，所以我们过每个的呢，我们只计算一个外角， 我们这样把它的和呢，我们就给他取个名字，这个名字就叫外角和，所以这外角和并不是所有外角都和啊，所有的外角都和，实际上是七百二十度， 所以我们这里外角和是个专业的一个名词，你要把它记住啊，所有多边形，因此叫做 m 边形的外角和，等于三百六十度。这要记住外角和是不会发生变化的，我们后面还会接着来跟大家解释， 我们看到一个多边形的内角和等于外角和的三倍，那我们这里公式内角和是 n 加二乘以一百八十度等于外角和三百六十度的三倍，所以那我们可以来，你看这个 n 减二，两边同时除以一百八， 那么这就是三乘二等于六，对吧？所以 n 加二等于六， n 就 等于八，也就是八边形。 好，有时间，有的我们就不多说了，我们看了。呃，如果一个多边形的这个内角和的外角和的两倍，那么外角和我们刚才说是三百六十度。任何多边形，那么内角和呢？那就是七百二十度， 所以内角和 n 减二乘以一百八十度的 y 角和的两倍，你看它这个约分 n 减二呢，就等于二得四，所以 n 等于六，也就说它是一个六边形。 好，我们看下面，如果这个多边形的每个内角都相等，那么六边形的每个内角都相等的话，那么这个每个内角的度数，我们就 n 减二 乘以一百八十度，是内角弧除以 n， 对 吧？刚才也就是七百二十度。呃，除以六等于一百二十度 啊，每个内角啊，每个内角是得多少度呢？一百二十度，其实我们也可以从每个外角来看，他的每个外角得多少度呢？外角会是三百六十度啊，一共有六个外角，对吧？ 就说我们过每个零点的一个外角，那才是六个外角，其实准确的他应该是一十二个外角啊，所以那么我们来看呢，呃， 对吧？每个外角就是六十度，因此他的每个内角呢？那就是一百二十度。呃，做这样的题目，未来你可以从内角的角度入手，也可以从外角的角度来入手，记得点赞关注哦！

今天要讲的题目是北师大版数学八年级下册第六十页的水倒面习 第一题。已知 s 大 于 y， 下列不等式一定成立吗？并说明理由。 第一个， s 大 于 y， 然后不等号左右两边同时减去一个相同的数， 不等号的方向不改变才对它改变了，属于错误。第二个， s 大 于 y， 不 等号，左右两边同时乘一个正数，不等号，方向不改变才对，这边改错误。 第三个， s 大 于 y， 不 等号，左右两边同时乘以一个负数，不等号方向就要改变。正确。这一个是 s 大 于 y， 不 等号，左右两边先同时乘个正数。二，不等号方向不改变，在不等式左右两边同时加一个数，不等号的方向依旧不改变，所以正确。 第二个，解下列不等式，并将解集表示在数轴上。现在这一个不等式左右两边可以同时加一个。一， 左边乘的 s， 右边乘的三，不等号方向不改变。所以第一个解揣死是大于三， 在数轴上表示零一二三负一大于三，空心大于右边。 第二个，不等号，左右两边同时乘负数，负一， 左边变成 s， 右边是负六分之三，因为同时乘的是负数，不等号方向要改变。 s 大 于负六分之五， 零负六分之五大于右边。第三个，现在我们在不等号左右两边同时乘个二二， 左边是 s， 右边是 a， 三得六，同时藏的是正数，所以不改变不等号的方向。 s 小 于六，零，嗯， four 四六小于左边，完成。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第十四页练习。 这页练习呢，主要讲的是有理数的加减法啊，不对，二次根式的加减法啊，二次根式加减法的方法呢？是这样的，他说二次根式加减时啊，先将二次根式化简，再将被开放数相同的二次根式合并。 什么叫做被开方数相同的呢？你比如说三倍根号三和二倍根号三，他俩就能合并 啊，那你要是根号三加根号二，那你看这两个被开方数不相同，那他就不不能相加减了 啊，他就不能相加减了，那你看相加减的方法啊，根号二十七加根号十二。那首先呢，他说了，先将二十七化简，那你看根号二十七化简为三倍根号三， 根号十二化解为二倍根号三，然后呢，再将被开方数相同的啊，那你观察这两个被开方数相同不？那这两个被方的被开方数如果相同了，那么你观察是根号部分不变，然后他们前面的系数相加减 啊，三加二等于五倍根号三，这就是有理数加减法的方法。那我们看一下这个题型，第一小题说下列计算是否正确，为什么？ 那第一个根号四加根号九等于根号下四加九，咱们这个根号加减法呀，他还没有说把这两个数拉在一个根号下来算的，是不是？所以呢，你得进行化减啊，所以这道题呢，是错的 啊。那么这道题啊，为什么错了呢？是因为你的这个方法错了啊，方法错了，那正确的呢，应该是根号四化解为二，根号九化解为三，所以他等于五，这才是正确的，他没有拉着一个高下来算的方法啊， 所以第二道题也是错的啊，他俩就啊，不可能拉到一个高下的算，那按照法则是不应该是先将根号进行化简，然后呢，被开方数相同的，才能够进行相加减， 那加减的时候呢？是啊，根号部分不变，系数相加减，而这个题，你看他用的方法就是错的。 那么这道题正确答案呢？你先把根号八化简为二倍根号二，然后再减根号三，你观察根号二和根号三被开方数是不相同的，所以他不能加减了，那这就是结果了。 那第三个啊，你观察这个被开方数是根号二，这个被开方数也是根号二，他已经是最减的了，所以呢，根号二部分不变，系数相加减三减去一是不等于二，所以这道题是正确的 啊，这道题是正确的。第二题，计算第一道题啊，括号一，二倍根号七，减去六倍根号七。你观察 第一呢，这两个数呢，都是最减的根式啊，并且呢，跟被开方数是相同的，所以呢，这个两个数是能够进行计算的，那么在计算的时候呢，就是系数相加减，根号部分，那么等于负四倍根号七。 那第二小题呢，继续进行化简了，根号十二呢，是四乘三，四能开方得二， 所以它等于二倍根号三，根号七呢，是九三九二十七，九能开方得三。嗯，一个三留下减去 三倍的根号下三分之一。这个呢，咱们来啊，化简一下啊，这个在烟草纸上化简完，咱们写上三倍根号下三分之一，因为你分母呢，被开放数里含分母了，对吧？所以进行分母由里化 啊。三乘三，一乘三，然后三乘以个，这个开放得三，上面是一，三得三，然后约分，他等于根号三，那这应该减根号三， 那我们把这三个数都化简之后，你观察他们被开方数是不都相同的，那如果被开方数相同了，那么他们的，嗯，方法呢？就是把你的系数相加减，也就是二加三，再减一，最后等于四倍根号三啊。第三道题呢， 同样，你观察这三个数啊，都不是最减的，所以第一步要化减。嗯，十八呢，是二九十八，那九能开方得三啊，余下个二， 然后括号直接去了啊，这个九十八呢？嗯，你看九十八，我们是不能一目了然看出来，那我们可以用短除法啊，先商二 等于四十九，那你看四十九是不就是平方数了？那就不用算了，四十九开放得七， 然后二留下，然后减去。因为你这块是减加号，所以去了括号呢，符号是不变的，那根号二十七呢，是三九二十七，那么九能开放得三，那个三留下， 然后这个时候呢，你观察前两个数，能够进行计算，后面这个数跟他们被开放数是不相同的，也就是他们不属于同类二次根式， 被开放数相同的叫做同类二次根式，所以呢，前两个能计算，那么根号二不变系数相加减三加七等于十，然后再减三倍根号三， 那这两个呢，就算不了了，放在这就可以了。那么第四个题，你观察这几个数是不都需要化减啊？这个是最减的，这些都得化减啊。那你的根号二十四呢，是 四六，二十四是二倍根号六，然后加上零点五呢，是根号下二分之一，然后等于二分之根号几啊？二分之根号二， 然后直接去括号啊，减去根号下八分之一啊，等于根号下八呢，去乘以几呢？ 嗯，乘以二是不就变成平方数了？所以二六二八一十六是得四的，所以是四分之根号二，减去四分之根号二，然后这负负得正，加上根号六。 那这时候呢？你观察啊，这个二倍根号六和根号六是同类二四根式，这两个根号下面都是二的，这是同类二四根式。所以呢，二倍根号六加上根号六，等于三倍根号六， 然后这个是通分四分之二，再减四分之一等于四分之一，加上四分之根号二 啊，四分之一被根号二，不就是四分之根号二吗？所以这是第四小题，第五小题说如图啊，两个圆的圆心相同，那圆心相同，我们把它叫做什么？叫同心圆，对吧？ 他们的面积分别是六十二点八和一百一十四点三，求圆环的宽度。 d。 那 圆环的宽度不就是大半径减小半径吗？是吧？大半径减小半径。那你说大半径减小半径的话，那么已知面积来求什么？ 来求半径呗，是吧？那我们来列式计算一下啊。我们先设一下，来设大圆半径为大二， 小圆半径呢 为小 r 啊，然后大半截儿大 r 呢？呃，大圆面积是六，呃，大圆面积是一百四十一点三，对不对？所以呢，就是派大 r 方等于一百四十一点三， 然后大二方等于派分之一百四十一点三，所以二呢，应该是等于呃，正的根号下派分之一百四十一点三 啊，然后派取三点一四，对不对？所以大 r 呢？就约等于。哎呦，这个一百四十一点三除以三点一四，这也不太好算呢，是不是？嗯， 一百四十一点三去除以三点一四，哎，这个等于四十五。 因为 pi 是 一个记时值啊，所以这我给写个约等号，然后化解一下，等于三倍根号五，这是大 r， 那 么小 r 呢？就是 pi 小 r 方等于六十二点八， 那小二方呢？等于派分之六十二点八，那小二等于根号下派分之六十二点八，然后小二约等于六十二点八除以三点一四，这个还挺好算的，是吧？ 等于根号二十，然后化简一下，等于二倍根号五。 四五二十吗？啊？四五二十啊，那么 d 呢？就应该等于大 r 减小 r， 所以 就等于三倍根号五。减二倍根号五就等于多少根号五，所以答环宽 圆环的宽度 d 为根号五。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第七十三页练习。 这页练习呢，主要是研究的啊，练习的是菱形的性质和判定啊。菱形呢，有什么性质呢？菱形呢？嗯，首先我们知道，要知道菱形它的定义是有一组邻边相等的平行四边形啊，在这呢， 也是说平行四边形的基础上，加一组邻边相等，它就变成了菱形，然后菱形的性质呢，它具有平行四边形所有的性质啊，但是呢，它，嗯还有 菱形特有，而平行四边形没有的。你比如说四条边都相等啊，两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 啊，人说菱形的对角线，这是垂直的，有垂直，你就要想到用勾股定力啊，求边长。 然后呢，菱形的对角线平分一组对角也说这个对角线平分，这个角也平分，这俩啊，也平分这个角，那同理，这也平分啊，这都是菱形的性质。 那么菱形还有一个面积的求法啊，菱形呢，它属于平行四边形，所以它可以用底层高来求面积，同时呢，也可以用对角线乘积的二倍啊，来求这个对角线乘积的一半啊，来求这个面积啊。 嗯，所以这个题里头呢，他涉及到了这些，一个是求边长，一个是求面积，还有求三角形周长啊，验证，嗯，等边。那我们来看一下第一小题啊， 说四边形 a、 b、 c、 d 啊，是菱形对角线， a、 c 和 b、 d 呢，相交于点 o， 并且呢 ab 等于五， a、 o 等于四，然后让我们求 a、 c、 b、 d 的 长以及菱形的面积，那这里相当有三个问题，对吧？那我们来，呃，画个图配个图啊，菱形 画的有点丑了。嗯， ab 等于五， a o 等于四， 这等于五， a o 等于四，对角线相交于点 o， 那 这的四。然后呢，让我们求 a c 的 长， b d 的 长，还有那个菱形的面积，是吧？那么第一题， 嗯，撇儿如图啊。首先呢，我们先由 嗯勾股定力来求 o b 的 长啊，或者是说，你可以先由这个菱形的性质啊，咱可以先求第一个问题， a o 的 长不是 a c 的 长啊，因为 a c 等于二倍的 a o 啊。那我们来说，因为四边形 可以根据菱形的性质啊， a b c d 是 菱形， 所以呢，一个是 a c 能等于二倍的 a o， 嗯，然后你的 b、 d 能等于二倍的 o d 啊，不是 o b， 一 会咱用勾股定律求这个 o b 啊。然后再有就是对角线互相垂直，你没有垂直的话，你用不了勾股定律 啊，那这些求出来，他让我们求 b、 d 求菱形面积啊，够了啊。然后呢，我们可以说，因为你的 a o 等于四， 所以呢，你的 a c 等于二倍的 a o 等于几？等于八。第一个问题是不求出来了，然后呢，再写在 r t 三角形 a o、 b 中， 你的 o、 b 应该等于根号下五方减四方等于几啊，等于三，那所以你的 b、 d 就 会等于二倍的 o b 等于六 啊，你看，这不就是两个小长边数都求出来了。然后我们再求菱形面积，因为菱形的面积啊，它有一个公式叫做对角线乘积的一半啊，所以我们可以求 s 零 a b c d， 它应该等于 a c 乘 b d 乘以多少？二分之一，所以等于六乘八乘以二分之一等于多少？等于二十四啊？所以呢， a、 c 的 长 为八， b、 d 的 长为六，那么菱形 a、 b、 c、 d 的 面积为二十四啊，这就是第一问。第二个，它说，如图，菱形 a、 b、 c、 d 中 b、 d 等于四， 然后说角 a 与 abc 的 比为一比二，那你说角 a 和角 abc， 这不是菱形的一组菱角吗？这叫菱角，对不对？那平行四边形的性质都是菱角互补，那么菱形属于特殊的平行四边形，所以呢，它的菱角也应该互补。 那我就能求出这六十这一百二，然后他让我们求的是 abd 的 呃，周长，那你说 abd， 它有 ab 和 ad 是 菱形的边，所以呢，你的 ab 和 ad 应该是相等的，然后你再加上这个角是六十度，那这不就是等边三角形吗？那我就可以证明出 ad， ab 和 bd 它们都得四，那它的周长不就是十二了吗？啊，那我们来写一下第二题， 角儿，同样，我们先由它是菱形啊可知，因为它啊，这里好像还没有性质啊，这颗石叫性质啊，不对，这颗石叫判定。那这颗石都是性质啊，那都是已知四边形 abcd 是什么形？是菱形，先知道它是菱形，所以呢，我会得到 ab 等于 ad， 邻边相等。然后呢，我还知道啊，菱角互补， 对吧？菱角互补，嗯，这是需要用到的。然后呢，我们再说，因为你的角 a 比上角 abc 等于一比二，所以角 a 应该等于一百八十度，乘以个一加二分之一等于多少度等于六十度 啊？把这个六十度求出来之后啊，我们可以说，所以三角形 abd 是 什么？三角形的 是等边三角形，对吧？上面有一个邻边相等，再加有一个夹角是六十度，这叫含有六十度的等腰三角形，是等边三角形。那所以呢，你的 ab 就 会等于 ab， 等于 bd， 都得几 都得四，所以三角形 abd 的 周长为 四乘三，等于多少？十二。这是第二题来第三题， 他说如图，在菱形 a、 b、 c、 d 中来， a， b， c、 d 中角 a 得六十。这个菱形当中如果有一个小角等于六十的话，你记得啊，它有一个特殊的性质，就是连接较短的这个对角线之后，那左右两个三角形都是等边的， 因为啥呢？因为 ab 和 ad 相等，夹角是六十度，对吧？它夹角六十度，那不还有六十度的等腰三角形，是等边三角形吗？ 然后呢，左右两个是对称的，所以它是两个都是等边的啊。说连接对角线 b、 d 说 e 和 f 啊，是 ab 和 bc 的 中点，哎，这个中点呢，也好用 啊，怎么好用呢？因为它是等边三角形的，那就会有三线合一的性质，那也说这应该是三十，这应该三十，这都应该得九十 啊。然后这个位置啊，和这个位置这都是相等的，那我就能求出 b、 e、 d， f 和 b f 能相等，然后说连接 d， e， f 还有 e、 f， 让我们求证 d， e、 f 是 一个等边三角形， 那么你想我这能求出三十，这也能求出三十，这个三十咋来的？等边三角形三线合一这块六十，这一半不就三十吗？所以呢，这叫只要能证明 d、 e 和你的 d、 f 相等啊，那么你的这个 也是用含有六十度的等腰三角形，是等边三角形啊，我们去证明他。那这个题呢，怎么去写过程呢？嗯，过程可能能比较繁琐一点啊， 你看我给你写的这个方法，你能不能看懂？因为它方法不唯一啊，方法是不唯一的 来，首先起头还是由菱形的性质可知啊。第三，证明能不能看清啊？因为四边形 a、 b、 c， d 是 菱形。 那我们会用到啥呢啊？我想证明的是 d， e 和 d f 相等，那要想证明这两个边相等，我可以正左右两个三角形全等， 全等，这两个边就相等了，然后这个角一百二， 这俩角相等去到三十，这块得六十啊，我也可以用这种方法正， 嗯，那么它的性质呢？我们可以得到，我要选用正这两个三角形全等啊。 啊，主要推的是 d， e 和 d f 相等，那我要乘这俩三角形全等呢，我就要用到 a、 d 和 d c 相等啊，那这两个边也要用到，因为，呃，中点嘛。然后我的 a、 e 和 c、 f 能相等，然后再加这九九十度， 然后用斜边，直角边能整，我用角角边，角边角边角边。哎呀，这个，这个方法太多了啊，你看我正这俩三角全等型，我正这个三角形和这三角形全等也可以的 啊，都可以，都能证明 d， e 和 d f 相等，那我要证这个和这个相，那个不对，这个全档他也能证明啊，所以他方法不为一啊。那我们可以写来四条边都相等，等于 bc， 等于 cd， 等于 d a， 然后呢？哦，这个六十，这个六十， 那我这三线合一。嗯，我，我想想啊，正三线合一，我正这俩三角形全等之后，这两个全等了，这两个边相等了，然后这俩角相等了， 那我可以推这个角是三十度，那我可以用邻角互补，角 a 加角 a、 d、 c 等于一百八十度 啊。角 a 加角 a、 d、 c 等于一百八十度，我求出这一百二，然后垂直， 然后因为你的 d、 e 垂直于 ab， 然后你的 d、 f 垂直于 bc， 所以 你的角 d、 e、 a 会等于角 d、 f、 c。 嗯，我看看啊，这块还得补一个。角 a 等于角 c 等于六十。 一。会我用这个推这个三十度，这不就得九十了吗？是吧？然后所以我的角 a、 d、 e 就 会等于角，嗯，等于。 好，这 a、 d、 e 等于九十度，减角 a， 然后你的角 c、 d、 f 也等于九十度，减谁？角 c， 所以 你的角 a、 d、 e 会等于角。 嗯， c、 d、 f 也说我把这两个角相等推出来了。哎，应该可以直接得三十度 啊，这不九十度减六十吗？九十度减六十，是不是这块得三十，这块得三十，所以它俩都得三十，这两个都得三十，然后我再推这个 得六十啊，我还没正全等呢，是不是先把这角推出来吧。嗯，这两个又因为你的角 a 加上角 a、 d、 c， 它等于一百八，所以角 a、 d、 c 会等于多少？一百二十度，对吧？ 啊？然后所以你的角 e、 d、 f 会等于角 a、 d、 c 减去角 a、 d、 e 再减角 c、 d、 f 啊，他就会等于一百二，减三十，减三十等于六十度。 也是我把这个六十度先推出来了啊。然后呢？我去，正这个全等吧， 这个全等的条件就多了，你看这角，知道这角，知道这角，知道这个边，也知道是不是你是角边角还是角角边呢？全都能证明是吧？那就是在三角形 a、 d、 e 和三角形 c、 d、 f 中 啊，我用哪个呢？用这个角角边角吧。角 a 会等于角 c 等于六十， ad 会等于 dc 啊，角 a d， e 会等于角 c d f 所以 三角形 a， d， e 全等于三角形 c， d f 用的是角边角。 所以呢，我的 d e 会等于谁？ d f 然后又因为 e d f 等于六十度，所以三角形 d， e f 是 等边三角形。你看 啊，它呢，实际上方法很多啊，看你怎么样去描述，只要能描述清楚即可。

大家好，我是讲数学的小胡老师，今天我来讲解八年级下册数学第七十五页练习。 嗯，这个练习呢主要，嗯，练习的是菱形的判定啊，那菱形的判定有几条呢？第一是菱形的定义，就是一组邻边相等的平行四边形，它是菱形。 第二呢，就是对角线，在这里啊，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，然后第三条是四条边相等的四四边形是菱形。 所以呢，我们在嗯，证明菱形的时候啊，一定要往这三个判定定律上去，嗯，考虑啊，去找这个，挖掘这个已知条件。那么你看第一题，在四边形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c 和 b、 d 啊，相交于点 o， 且互相垂直平分。什么叫互相垂直平分？也就是 a、 c 垂直于 b、 d， 然后并且平分就是 o， a 等于 o， c， o， d 等于 o， b 啊，得到这个，就这几个字，就能得到这么三个已知条件。然后呢，让我们判定它是菱形。 那我们这一题呢，你想啊，他的对角线能够互相平分，互相平分的对角线互相平分的四边形就能是平行四边形，再加对角线垂直，是不是就是对角线互相垂直的平行四边形就是菱形了？所以他呢，一点都不难啊。来第一题 证明，首先，因为这个 a、 c、 b、 d 是 互相垂直平分， 所以呢，我会得到 a、 c 垂直于 b、 d， 然后 a、 o 等于 o， c， o， b 等于 o、 d。 然后呢，我们根据对角线互相平分，能得出四边形 a、 b、 c、 d 是 平行四边形， 然后再加对角线互相垂直， a、 c 垂直于 b、 d。 所以呢，你的平行四边形 a、 b、 c、 d， 它是菱形 啊。第一题呢，难度不是特别大啊，那我们看第二题，他说如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起 平行来， ad 和 bc 平行， ab 和 cd 平行，那么你想两组对边分别平行了，那这四边形首先得到它是平行四边形，那这个等宽胶带是什么呀？等宽就是 a 到 bc 的 距离，还有 a 到 cd 的 距离，应该是什么关系的？ 应该是相等的啊，不等宽的吗？那 a 到 c、 d 的 距离是不是斜着这个纸条的宽度？那 a 到 b、 c 的 距离就是横着这条纸条的宽度，那么这两个宽度是相等的 啊。然后呢，你的平行四边形，它的面积可以以 b、 c 为底，以这为高，还可以以 c、 d 为底，这为高，那么等面积法高还相等，那我们的底是不就能相等？ 这不叫一组邻边相等的平行四边形，它就是菱形了吗？是不是然后重合部分构成了一个四边形，是一个菱形吗？为什么？首先答，是啊，来，咱们把这个题写到这里， 这上面啊，嗯，第二题首先答四边形， a、 b、 c、 d 四菱形。 然后呢，我们再说理由啊，然后写理由如下， 首先，我们可以说，因为 ab 平行于 cd， 然后 ad 呢，又平行于 bc， 所以 来验证四边形 abcd 是 平行四边形， 这不平行四边形就推出来了吗？然后呢，我们可以过 a 做 am 垂直于 bc， 然后 a、 n 垂直于 c、 d 来 m n 啊，把你的 m、 n 标上，然后这两个垂垂直之后呢？嗯，因为因为你的这个 两张纸条是等宽的啊，因为两张纸条等宽， 所以呢，我们会知道 a、 m 等于谁？ a n 啊，然后，因为你的平行四边形面积可以， 呃，平行四边形 abcd 的 面积可以是 bc 乘以谁啊？ a m 还可以是 cd 乘以谁 a n 啊，然后你的 am 等于 an， 就 会得到 bc 等于谁等于 cd 啊？ bc 等于 cd 啊。所以呢，你的平行四边形 abcd 就是 一个什么形 菱形啊，这不就临边相等了吗？啊，这是第二题，那我们看第三题，说一张三角形纸片啊，如图所示，搁这呢啊，请你用纸片折出一个菱形 啊，让我们折一下，使角 a 是 菱形的一个内角，也说这个位置是角 a 的 一个内角，那你你想 ab 和 ac 就 应该这就应该是菱形的两条边，就这么个意思呗。 啊，得让他做一个内角吗？然后说和点 a 相对的顶点呢？在 bc 上，那也说 a 对相对的顶点在这边呢，那你想他是不得可以这么折过来啊，并说明所折图形是菱形的理由，他还得要求我们说明理由。 那现在呢，咱们来看一看，应该怎么折啊？首先呢，咱们要知道，他呢，要以角 a 为菱形的一个内角，那这个角呢，他要不动。第二呢，你要知道菱形的对角线互相垂直 啊，然后呢，零四条边都相等这些性质。所以说啊，还有一个就叫，嗯，菱形的对角线是平分一组对角的啊。所以呢，既然 a 是 他的一个内角，那我就可以先折出一个角 a 的 一个角平分线 啊，角 a 的 一个角平分线啊，那个，这个题呢，我写在哪里呢？我写在这啊，这个位置，看看能不能看到图啊，应该能看到图在这，嗯，写在这个位置啊。第三题，角， 咱们先折出这个三角形， a， b、 c 中角 b， a、 c 的 角平分线， 因为你这个 a 是 呃它的一个内角，然后呢，角平分线能够平分一组对角，是不是？所以呢，我们先折出这个呃角平分线，那也就是说，把你的 a、 b 折到这个 b、 c 边上去啊， 就是将 a、 b 啊，折到与 a、 c 重合， 拿个歌词啊，给它做一下， 就是这么样的，给它折过来，能能看，能看明白不？那折过来的话，你的你的这个三角形 啊，这个 b 点就落在这个 a、 c 上了啊，就坐在落在 a、 c 上了，那我设这儿啊，交 b、 c 于点 d， 那 么写上折痕， 交 b， c 于点 d， 那 也就说我的 a 和 d 应该是对称点啊， a 和 c 啊， d 啊，应该是相对的两个顶点，那你现在呢？ a、 d 啊，它是两个相对的顶点，那么既然它是相对的顶点，那我的 a、 d 呢，还得是做菱形的对角线。所以第二步来啊，再 将，再将点 a 折到与点 d 重合，那点 a 与点 d 重合啊，嗯，再将啊，再， 嗯，这么的吧，它折过来是相当于做了一个 ad 的 垂直平分线吧，那你就写将呢，再折出， 这么写，再折出 ad 的 垂直平分线啊，也就是把你的这个 a 折到点 d 上啊，做一个垂直平分线 啊，折 a、 d 的 垂直平分线，交 a、 b， a o， a、 c 于点 e 和 f， 这为 e， 这为 f， 那 这是不是垂直了？那我的 e、 f 不 就应该是，嗯， e、 f 就 应该是另一条对角线啊，另一条对角线。然后呢，最后 将这个呃，不写，将盐， d， e 还有 d、 f 折叠， 就得到， 就得到符合，满足条件，符合条件啊，都可以满足条件的 菱形 a、 e、 d、 f 啊，那也就是说沿着这再折一下， 沿着这再折一下啊，再折一下，那么他的那个理由是什么呢？理由是，对角线啊，垂垂直平分的四边形能，是啊，矩形。 就像我们第一题似的，你的对角线能够垂直平分啊，对角线能够垂直平分来写上。理由是，嗯，对角线 互相垂直平分的四边形是 菱形啊，这就是第三小题。

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第七十八页练习。 嗯，七十八页这练习呢，基本都是正方形的判定啊，因为正方形它属于一个完美图形，它具有平行四边形、菱形和正矩形所有的性质 啊。那么正方形的这个定义啊，以及判定啊，他都不是有唯一标准的啊。所以呢，你这个你需要从他的文字啊，从他的语言当中去啊，挖掘啊，一层一层的去推理证明。 你比如说第一题，他说满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？那你看第一个，第一个呢，他问你对角线互相垂直且相等的平行四边形， 他是不是正方形？那你细抠一口啊，你说，嗯，他说他是平行四边形，那对角线如果互相垂直的平行四边形就是什么形了？ 就是菱形吧，菱形对角线互相垂直，对不对？那对角线互相垂直的平行四边形是菱形，那你再这么看，你说对角线相等的平行四边形又是什么形？ 什么又是矩形？那你说这个图形既是一个菱形，又是一个矩形，然后还具有平行四边形所有的性质啊，那你说他不就是一个正方形吗？是吧？来，那我们把这个理由写一下啊。第一题 二，一，首先答是正方形。 理由啊，第一个点就是对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形。 菱形四条边是不都相等了，对角线还互相垂直，对不对？菱形，那个对角线平分一组，对角是不是正方形也都具有？然后呢，再有对角线 互那个相等，对角线相等的平行四边形 是什么形？矩形吧，那矩形是不是就具有了四个角都是九十度了？那你正方形是不是也是四个角都是九十度？然后呢？又是啊，既是菱形 又是什么？矩形的四边形 就是什么形了？是正方形啊，他就是正方形了啊。这是第一问。那第二问说对角线互相垂直的矩形，那么你首先你想他是矩形，那矩形呢？他有什么性质呀？ 矩形有啊，对角线相等，对吧？然后对角线互相平分，然后你你再看对角线互相垂直的矩形，他是不是就变菱形了， 对吧？所以说你的矩形满足了四个角都是九十度，然后呢，你对角线互相垂直的矩形又是菱形，那菱形啊，再加有一个角是直角，那他不就是正方形了吗？ 对吧？所以呢，他应该是正方形， 我们可以先有矩形的性质啊，矩形性质来，矩形的对角线怎么样？ 相等且互相平分， 然后呢，再加他给你这个条件，对角线互相垂直， 对角线互相垂直的矩形就是什么形？是菱形， 那既是矩形又是菱形， 得四边形就是什么形？是正方形啊？这是第二问。那第三个对角线相等的菱形，那你说对角线相等 啊？菱形它有对角线互相垂直，正方形也对角线互相垂直， 然后菱形呢？嗯，对角线互相平分，然后你的正方形也对角线互相平分，然后如果他现在是菱形了，你再加对角线让他相等， 那你说这个菱形它是不就是？嗯，怎么说？对角线相等的菱形？对角线相等的菱形， 菱形如果对角线让它相等了，那矩形对角线才相等，是不是对不对？所以呢，你的对角线相等的菱形应该是一个矩形啊， 对角线相等的菱形应该是个矩形，然后呢，你又是菱形又是矩形，你这不就变成正方形了吗？啊？来，应该是正方形， 因为菱形得对角线 是互相垂直平分的，互相垂直平分的，你说你正方形是不也是互相垂直平分，是吧？然后呢？对角线相等的菱形。 对角线相等的菱形 是个什么形？是个矩形，对吗？那你看，由对角线相等的菱形能让它变成矩形，然后呢，你这个图形本身它就是个菱形，你又是菱形又是矩形，那它不就是正方形了吗？对吧？ 然后既是菱形又是矩形的四边形，是正方形 啊，记住啊，这些都可以用来判定你的正方形的啊。那么第四条 他说对角线互相垂直平分且相等的四边形来，那你再来分析分析啊，如果对角线互相平分，那他是不是就变成平行四边形了？然后呢，你对角线互相垂直的平行四边形是不是就变菱形了？ 然后呢，你对角线相等的菱形是不是就变成了矩形了？ 或者说，对角线相等的平行四边形是不是就变成矩形了？那他又是菱形又是矩形，那你这四边形就是啥形？就是正方形了，对吧？所以这个呢，得啊，三层次啊，三个层次，先推，先推平行四边形， 对角线互相平分 得四边形是平行四边形。 然后呢？嗯，对角形相等的平行四边形，对角线相等得平行四边形， 它就变什么形了？矩形了吧？对不对？矩形了？那对角线互相垂直的平行四边形呢？对角线互相 垂直的平行四边形是不是就是菱形了？ 那你这个四边形既是菱形又是矩形，那他就是正方形了呗，对不对？既是菱形 又是矩形的四边形， 是正方形啊，你看，这些都可以用来推理你的正方形，那么第二题 说如图啊，在二 t 三角形 a， c， a， b， c 中啊，角 a， c、 b， 这得九十。说 c、 d 呢，平分 a， c， d， 这两个角相等，然后 d， e 垂直 bc， 然后 d、 f 垂直于 a、 c。 那 你看角平分线上的点到角的两边的距离相等，他俩是不是应该相等， 对吧？垂足为 e 和 f， 然后让我们求证，他是四边，那正方形。那么你先看啊，这有一个直角，这加垂直，这加垂直，这是不是三个角是直角，那你三个角是直角的，嗯，四边形他应该是一个矩形， 那矩形了呢？你再加一组邻边相等啊，这个矩形是不是就变正方形了， 对吧？所以说这个题他用到的就是一组邻边相等的矩形，他才能是正方形啊。那么我们来证明一下，来证明， 因为这个 d、 e 垂直于 bc， d， f 垂直于 a、 c， 所以角 d， e， c 等于角 d， f、 c 都等于九十度，然后又因为你的角 a、 c、 b 也等于九十度，所以呢？四边形， 四边形，你的四边形谁呀？这是 c， e， d， f， c， e， d， f 是 矩形 啊，是矩形。那么矩形之后呢？呃，我们会 再用这个角平分线啊，它的性质得出异阻尼边相等，然后你写，因为 c、 d 平分 角 a， c、 b， 然后你的 d、 e 垂直于 b， c， d， f 垂直于 a、 c， 这是角平分线的性质的几何符号？圆啊，所以 d e 呢？能等于 df 啊？ d e 等于 df， 嗯，所以，嗯，矩形 c e， d f 是 正方形啊。这是第二题，那我们看第三题。 他说王芳在商场中啊，看见了一条丝巾，他不确定其是不是一个正方形式样，于是呢，售货员拿起这个丝巾呢，给他拉起一组对角，把丝巾对折了，就像这样的给他对折了，对折之后啊， 嗯，让王芳看这个丝巾是否完全重合，那你想他这个重合你想什么？图形还能做到 菱形，是不也能做到菱形啊？你这个只能验证他的那个两组邻边是相等的，说这条边和这个边相等，这条边和这条边相等啊，两组邻边相等，然后说现在还有些犹豫啊，这个售货员又拉起另一组对角，把丝巾对折了，也说在这样的， 这么的又给他对折过来了，对折过来之后，看是否完全重合，说王芳发现这两次啊，都重合了，就买下了这条丝巾。你认为王芳买的这条丝巾是正方形式样的吗？ 嗯，其实啊，他买的这个不一定是正方形，你像我们刚才说的，你这个第一次对折，我们能得出啊，他这个林边啊，林边是相等的 啊。第二次对折呢？你想我这么对折过来，这么再对折，你这个夹角应该是九十度，说明你的对角线应该互相垂直 啊，但是呢，你这个对角线互相垂直了啊，他呢，也只能是说明啊，垂直平分了，也只能说明他是一个菱形， 你想菱形对角线互相垂直，然后也能平分。一组对角这玩意是不都能平分？那你现在缺的条件是啥？你不知道这个有没有一个直角？ 如果有一个角是直角的菱形，那它就能是正方形。那你现在你所有的那个折叠证明的它都只能证明到菱形这个层次啊。所以呢，我们可以答啊，不一定是正方形。式样 来理由。嗯，因为， 因为第一次对折 可以说明 丝巾 丝巾的这个邻边相等 啊，邻边相等，然后呢，第二次对折 可以说明对角线互相垂直， 互相垂直平分 啊。那这些条件 只能说明 丝巾是菱形啊。那什么情况下才能是正方形？刚才我说了，当有一个什么角是直角时， 才能说明 丝巾是什么型 的，是正方形的。

你会做吗？八年级数学 下册的小册第三页纸，我们看到第一题，下列说法正确的是第一个，多边形的边数每增加一，它的内角和则增加一百八十度，这个是正确的啊。三角形内角和一百八十度，四边形的内角和呢，是三百六十度，五边形的内角五百四十度，对吧？所以这个 现在 a， 我 们看到多边形的边数每增加一内角和增加三百六十度，这个是错误的啊，它是正确的。我们，呃，每个角都相等的多边形是正多边形，每个角都相等的，我们来看到它的反例就是矩形， 哎，也就是小七所说长方形，你看长方形的四个角都是九十度，他不是正多边形，因为他们的边不一定相等，那么每条边都相等的多边形是正多边形的，这个也是错误的啊，那么他的反例就是什么呢？菱形， 菱形的每条边都相等，但是呢，它的每个角都不一定相等，所以 b、 c、 d 啊，都是错误的。我们看到第二题，这个角是直角，所以这两个加起来都是九十度， 那么这个角一加加二呢？这是一个平角一百八，这个平角一百八，对吧？三百六十度减九十度等于二百七十度啊，角一加加二等于二百七十度。当然呢，你也可以有其他的计算方法。 好，我们来第三题，六平行 a、 b、 c、 d、 e、 f 是 正六平行，正六平行就说明这个角是一百二十度，正六平行的每个内角是一百二十度。直线 a， 直线 b 啊，如图所示，记到 a 平行于 b， 如果角一等于五十四度， 那么角一等于五十四度，那么这个角呢，那就应该这两个角的和等于这个角。我们在以前学过啊，那么这个角就等于六十六度，那么这样角二呢，那就等于一百一十四度 啊，当然呢，你也可以，你也可以这样来做啊，哎，怎么做呢？我们过点，第一做平行线， 对吧？这个角以五十四度，所以这个角就是五十四度，然后这个角就得一百二十度减五十四度等于六十六度，然后这个角就得一百八十度减去六十六度。两只起名同名的就互补啊，但是每个人的做法是不一样的，只要结果正确就可以了。我们看到第四题， 在五边形 a， b， c， d， e 中， a p 平分，角 e， a， b， a p 平行于 d， e， 呃，现在角 c 呢，是等于一百度，角 d 等于七十五度，角 e 等于一百三十五度， 这里有个平分啊，那我们看到这里两直线平行的时候呢，那这个角也是七十五度， 对吧？那现在我们这里，哎，我们这里刚才两这边这个地方呢，那就是四十五度了，有两这一名这个同班的角互补，但这两个角下呢，这也是四十五度。好，于是我们就看这个角 b， 那就等于这个四面形内角和三百六十度。三百六十度减去这个一百度， 再减去这七十五度，减去这四十五度。三百六十度减一百度就两百六十度，两百六十度，这个七十一是一百二十度，两百六十度减去一百二十度，就等于一百四十度啊，所以角 b 等于一百四十度。 好，我们看到第五题，小东我把一个多边内角和啊求出了，是一百一十度，小兰说多边内角和不可能是一百一十度啊，你一定是不是多加了一个锐角呢？ 好，那我们说这个八边形的内角和是一千零八十度啊，八边形的内角和。 呃，七边形的那角和是九百度，对吧？六边形的那角七、八二十度，这些最好都要背下来啊。那么这样的一千零八十度，那肯定是多加了个二十度的角啊，你多加六角的度数是二十度，而你所求的本应该是八边形的那角和啊， 如果这个多边形是正多边，正八边形的话，正八边形的每个外角呢，是四十五度，所以它的每个内角是一百三十五度。当然了，你也可以把它的嗯内角和给它求出来啊。对，内角和 n 减二乘一百八十度。 呃，这个有时间我们就不多说了啊，这个很简单啊。啊，这个每个内角八边形的正八边，每个内角是一百三十五度啊，他的每个外角是四十五度，你可以从外角往内角来找，当然你也可以直接去找内角。 小灯。将一个正六平行，如果正八平行，而如图所示，放置 a、 b、 c、 d 在 同一条直线上，那么我们说正六平行，这个是一百二十度的角，那么这个角是六十度，那么正八平行，这个是一百三十五度。对，我刚才说要背下来，这是四十五度 啊，六十度加四十五度是一百零五度，因此这个角呢，这就是七十五度，这个角叫做 b、 f、 c 就是 七十五度，当然这个角也是一百二十度，这个角呢，也是一百三十五度啊，比较小。 嗯，大家没看清楚，所以角 e、 f、 g、 e 就 应该等于整个三百六十度，减去一百二十度 啊，减去一百三十五度，再减去这个七十五度，三百二十减一百二十九，两百四十。 嗯，这个一百三十五加七是二百一十，两百四十减两百一十，就是三十度。所以角 e、 f、 d 呢？是等三十度。记得点赞关注哦！