六年级下册半径为二厘米圆柱，教程

同学们好，今天我们接着预习六年级下册的第三单元，求圆柱的体积。在没有求它的体积之前，我们首先要知道圆柱的体积公式是什么？ v 等于 s h， s 代表的是它的底面积，也就是下方的圆的面积。圆的面积公式又可以写成 pi r 的 平方，所以它还等于 pi r 的 平方，乘以 h， h 就 相当于这个圆柱的高。 好，再看这道题目，圆柱的半径给我们了，是二，它的高是十，所以我就可以直接代公式了。 所以 v 等于 pi r 的 平方， h 就 等于三点一四。乘以 r 等于多少是二，所以乘以二的平方，再乘以高，高是十， 所以它就等于四十。乘以三点一四，也就等于一百二十五点六。单位是 厘米，所以说我们要写成立方厘米，因为它是体积单位，所以要带立方。所以像这样的圆柱的体积公式你要记清楚的情况下，下面的就比较好做了。假设给你一条直径的，我们也是先求出它的半 径。假设给你的是圆柱的底面周长，我们依然可以先求出半径，再求出它的面积。所以圆柱的体积你学会了吗？

同学们，今天给大家介绍一位和你们一样大的小伙伴，他的名字叫小方，他是一个小小发明家，他平时最喜欢做的事就是动手设计各种各样的飞船，我们一起来看看吧！ 完成了，我的方块之一号，就差最后一块了，魔法引擎就看你的了。 哇，成功了，他挡住了啊， 哇哈哈哈哈，点火起飞暴风车， 哇，太棒了，哈哈，微微能量快没了吗？坚持住啊 啊， 这好像有一种能量，说不定能给我的积木飞船补充能量呢，我需要更多的能量，快来帮我找找吧！ 看来这次小芳同学遇到了麻烦，他的积木飞机因能量不足迫降神秘峡谷，这里藏着圆柱体能量晶石，快来一起认识圆柱体，收集晶石帮他重启飞机吧！ 这个发光的东西就是圆柱吗？它到底是用哪几部分组成的呢？它有什么特征能帮我给飞行器补充能量呢？ 我知道了，圆柱有无数条高，同一个圆柱所有的高都相等，那你知道生活中圆柱的高有哪些不同的叫法吗？ 太好了，认识了，圆柱的里面、侧面和高，我离找到更多能量，修好飞行器又近了一步。

同学们好，今天我们开始预习六年级下册的第三单元圆柱题。先看丹老师画在黑板上这个圆柱，丹老师手里拿着一个水杯， 它也是一个圆柱体。圆柱的表面分为几个方面来。首先认识一下，这就圆柱的上底面，它是一个圆形的，这是它的上底面，那么下面依然是一个圆形的，它也称为是底面，只是它的下底面 来，下底面都是圆形的，而且大小相等的两个圆。再看周围的这一圈的就是什么它的侧面，这是它的侧面。 好了，也就说这个水杯一周的这样的面就称为它的侧面，它的侧面是一个什么面？ 哎，是个曲面，对不对？侧面就是一个曲面。再来看这个圆柱的高有多高，是不是圆柱的高呀？从上底面到下底面的垂直距离就称为这个圆柱的高，也就是从它的圆心到这个圆心的距离就是圆柱的高。 好，再看一下圆柱里面有多少条高，从这个地方到这个地方是不是一条高，从这里到下面，这里如果是垂直的情况下，是不是都是高？ 所以从上底到下底所做的垂线都是这个圆柱的高，所以高有无数条，它有无数条。 再来研究一下圆柱的侧面是一个什么样面？曲面，那么我要想把它的侧面展开后是一个什么样呢？今天丹老师用一张纸可以把这个圆柱形的水杯的侧面给它包裹起来 来，你看正好严丝合缝的包裹起来了，那包裹起来了，我要把它展开的情况下，你猜它会是一个什么形状？ 如果说我沿着它的高来剪开的情况下，那么我展开之后它就是一个长方形，对不对？这是不是一个长方形？你再观察一下，我展开之后，它这个长方形的长就是原来的谁， 我展开之后，这个长方形的长就是原来这个圆柱的。什么看一下能不能观察出来？圆柱的顶面圆的周长有没有观察出来？这个好好理解一下。所以我展开之后侧面的长是 底面周长，清楚这个非常重要，我展开图的宽是谁来看？还是我把这个圆柱形的水平包裹起来？我展开之后这个长方形的宽是谁？宽就是这个圆柱的，是吗？高对不对？是不是圆柱的高呀？所以宽 就是圆柱的刀。理解这一点，这个展开的面积是不是就可以求出来了？你认识圆柱了吗？

有的同学会问说，王老师六年级数学下册哪一个单元最难？很多同学可能都会想到第三单元，圆柱与圆锥。那今天呢，王老师来说一说有关圆柱体它的侧面的面积的问题。 我们这道圆柱体，它有三部分组成，分别是上底面、下底面和中间的侧面。上下两个底面是完全相同的两个圆啊，就是圆的面积，中间的侧面呢，是一个曲面。 那么如果我们把这个圆柱体沿高给它剪开，展开以后，它是这样一个形状， 上下两个完全相同的圆，中间的一个侧面展开之后是一个长方形，那么同学们来观察，这个长方形的宽就是圆柱体他的高，这个没有任何问题啊，有疑问，那么 中间的这个长方形的长，同学们发现啊，我把它还原回去之后，是不是就是这个底面圆的周长，所以这一部分就是 底面周长？我们知道底面周长是圆圆的周长，那圆的周长我们用字母 c 来表示，所以这个圆柱体它的侧面的面积，这个公式就有了哈，也就是 s 侧 s 测应该等于什么呢？就等于底面周长是不是乘高啊？那底面周长，我们用大写的字母 c 来表示，那高呢？用 h 来表示，所以圆柱体侧面积，那就等于 c h， 那 又因为这个 c 啊，我们还可以把它换成是 我们这个圆的周长等于圆周率，是不是乘直径，所以我可以把根据这个 c 等于派地，我把它换成派地，然后乘 h。 那如果已知的是底面圆的半径啊，我们还可以把这个 d 换成二耳，也就是等于二排二，把 c 换成二排二，那它还等于二派二 h 啊。所以啊，那这个圆柱体它的侧面积就有这样的三个公式， s 等于 c， h 等于派 d h 以及二排二 h。 那对于王老师所讲的这期视频，有关圆柱体的侧面积的面积求解，你学会了没有？关注王老师，下一期我们会讲底面积加侧面积，叫底侧公式。你们在学校里没有学过，拜拜。

同学们好，我们今天来看圆柱切格里明的纵切圆柱相弯解法，将一个圆柱沿底面直径竖直切开两个半圆柱，想一想表面积会发生哪些变化？ 没错，表面积会增加两个全性的切面，也就是两个长方形的面积，那每个长方形的长就是圆柱的高 h 宽是圆柱的底面直径，也就是 d， 直径等于两倍的半径， b 等于二 r。 根据已知条件，我们先来计算圆柱的直径，已知高是十厘米，增加的面积是八十平方厘米。根据公式， 面积等于 e h。 注意，我们增加的是两个长方形切面的面积，所以说我们需要给它乘二 就等于增项的表面积。八式 h， 我 们知道了 h 是 十，那我们把十代入公式 二， d 乘十等于八十，那么二 d 等于八， d 就 等于四，直径为四，注意单位，厘米，那么半径就是四，除以二等于两厘米 得到半径。我们来计算圆柱的体积，圆柱体积 v 等于 pi 二方 h 把数值代入进去， v 等于三点一，四乘二的平方乘十等于三点一，四乘四，乘十等于十二点五，六乘十等于一百二十五点六立方厘米。 注意单位，你学会了吗？你还有更紧密的接班吗？打在评论区跟我们一起来讨论一下吧！

来看一道圆柱体的奥数思维题，一个圆柱体高减少二厘米，表面积就减少了十八点八四平方厘米，让我们求这个圆柱体的底面积， 我们知道圆柱体的底面，它是一个圆，要求底面积，要么知道圆柱体的底面半径， 底面直径，或者是圆柱体的底面周长，那么接下来我们来分析，那么圆柱体的高减少了二厘米，各位假设这个圆柱体，那么他的高减少二厘米， 那也就说这一段呢，就是减少的那二厘米。那么同学们想，我们把这个圆柱体他在横切面给他减少二厘米以后，那减少的部分是哪一部分呢？ 减少的部分是上面这一段高为二厘米的圆柱体的是不是侧面的面积，那么侧面的面积那就是十八点八四平方厘米，那我如果把这个高给他展开以后，各位展开以后，那么他将变成 这种形状，那减少的相当于是一个小长方形的面积，那长方形的面积是十八点八四平方厘米，那么长方形的宽呢？就是减少的圆柱体的这段高为二厘米，那么我是不是就能求出 这一段这个长长方形的这个长啊？那这个长方形的长是不是相当于是底面圆的什么呀？周长，所以底面圆的周长，那就可以用十八点八四，然后除以二，十八点八四，除以二是九点四二 厘米，那么圆柱体的底面圆的周长啊，我求出来了，底面周长求出来了，那么它的底面积能不能求出来？那底面周长求出来，那底面圆的半径我就能求出来，因为 r 呢，等于 c 除以 pi， 然后再除以二， 那 c 是 多少？九点四二除以派取三点一四，每一特殊情况啊，然后再除以二，我们知道九点四，二是三派，三派除以派是三，三除以二。呢是一点五厘米， 那底面圆的半径是一点五厘米，那底面圆的面积，那圆的面积啊， s 就 等于 pi， r 的 平方，直接代入就可以了。 pi 取三点一次， r 是 一点五，一点五的平方，我们设的一点五的平方啊，就是二点二五，二点二五， pi 我 们背过是 七点零六五平方厘米。那这道思维题奥数题各位你学会了没有啊？关键是要抓住，减少了原子体的高，减少了二厘米，实际上减少的表面积就是 高为二厘米的圆柱体的侧面的面积，沿高给它剪开以后，侧面积就是一个长方形，那用长方形的减少的面积，除以它的宽，就是它的长长，即为底面圆的周长，底面圆的周长 求出来了，底面的半径求出来，那底面积也就能求出来了。关注王老师，让数学变得更简单。

今天我们通过两道例题来深入理解圆柱的展开图。我们先看例一，如图有一块长方形塑料板，剪下两个圆及一个长方形，正好可以做成一个圆柱， 这个圆柱的底面半径是两厘米，那么这块长方形塑料板的面积是多少平方厘米？要求长方形塑料板的面积，我们需要知道这个塑料板的长和宽， 那我们看根据条件可以先求出什么。题上告诉我们圆柱的底面半径是两厘米，我们可以标一下，这一段是两厘米，可以求出塑料板的宽，它是四个半径，用二乘四 塑料板的宽是八厘米，再求出塑料板的长就可以了。那它的长分为两部分，一部分是底面圆的直径，另外一部分是图色长方形的长，直径是四厘米，我们可以求出来， 那这段的长度是多少吗？我们需要考虑圆柱的展开图。圆柱是由两个底面和一个侧面组成的，那这里的长方形就是圆柱的侧面，我们可以得到底面周长等于长方形一边的长，为什么说一边的长呢？因为分为两种情况， 一种情况是底面周长与长方形的长相等。我们把这两种情况的图分别画出来， 这是这两种情况的展开图。第一种情况，底面周长等于长方形的长，那我们先求出底面周长，已知底面半径是两厘米，我们用二 pi r 二乘三点一，四乘二等于十二点五六厘米， 说明长方形的长也是十二点五六厘米，这样才能做成一个圆柱，也就是这一段就是底面周长十二点五六厘米， 这样我们可以求出塑料板的长用直径四加十二点五六，直径是二乘二加十二点五六等于十六点五六厘米，塑料板的宽是八厘米，二乘四等于八厘米。塑料板的面积长乘宽 十六点五六乘八等于一百三十二点四八平方厘米。第二种情况，底面周长等于长方形的宽，那我们看一下是否符合题。 底面周长用二 pi r 二乘三点一，四乘二等于十二点五六厘米， 而长方形的宽呢？刚才算过了，是八厘米，二乘四等于八厘米。我们发现底面周长与长方形的宽是不相等的，所以这种情况不符合题，他不能做成一个圆柱，十二点五六不等于八，不符合题， 所以只有这一种情况是符合题意的。这里我们是把展开图的两种情况分别画出来了，帮助我们理解。那我们再由原图来思考一下。 我们知道了图色的长方形是圆柱的侧面，那就要想到底面周长可能与长方形的长相等，也可能与长方形的宽相等。第二种情况，长方形的宽是底面周长， 而底面周长等于派 d， 也就是底面周长是直径的派倍。而通过图形我们发现长方形的宽是直径的两倍，宽等于二 d。 那我们可以得到什么？宽能等于底面周长吗？不能，所以第二种情况是不符合提议的，那我们就只用考虑第一种情况，让长方形的长等于底面周长再来计算。我们来看例二，下面的长方形纸片剪开后正好可以做成一个圆柱， 这个圆柱的底面直径和底面周长各是多少分米？跟刚才的图形是一样的，这是圆柱的展开图，有两个底面和一个侧面。那我们来分析一下它的展开图。第一种情况，这个长方形的长等于地面周长。第二种情况， 这个长方形的宽等于地面周长。这是这两种情况的展开图。那看一下是否都符合题。地面周长用直径表示是排地，而第二种情况，长方形的宽等于直径的两倍，宽等于二地， 说明底面周长和宽是不相等的，底面周长不等于宽。所以第二种情况不符合题。我们只考虑第一种情况，底面周长与长方形的长是相等的，也就是这个展开图。接着怎么分析呢？从已知条件入手， 十六点五六分米是大长方形的长，它分为两部分，第一部分是圆的直径， 第二部分是底面周长，也就是直径加底面周长等于十六点五六分米。由这个式子我们可以求出底面直径。先把这个式子写出来，然后把底面周长也用直径来表示。 d 加三点一四， d 等于十六点五六，变成关于 d 等于十六点五六，求出 d 等于十六点五六，除以四点一四， d 等于四。底面直径是四分米，再求底面周长， 用三点一四乘四，底面周长是十二点五六分米。我们来看一道练习题，利用图中的图色部分，刚好能做成一个圆柱形的油桶，接头处忽略不计， 求它的表面积。图色部分是圆柱的表面，由两个底面和一个侧面组成。考虑一下它的展开图，有两种情况， 第一种情况，长方形的长等于地面周长。第二种情况，长方形的宽等于地面周长，是否都符合提议呢？底面周长是派地，周长是直径的派背， 那我们发现长方形的宽刚好等于直径，所以底面周长和宽是不相等的。 第二种情况，不符合题，我们只用考虑第一种情况就可以了。长方形的长等于地面周长，接着从已知条件入手看可以得到什么？二十点五六分米包含几部分，它是有两个底面直径 和一个底面周长组成，也就是二 d 加底面周长等于二十点五六分米，我们由这个式子可以求出底面直径，看一下怎么来求。我们把这里的周长也用直径来表示。 派 d， 也就是三点一四 d 可以 得到二 d 加三点一四， d 等于二十点五六，变成关于 d 的 一个方程。五点一四， d 等于二十点五六，求出 d 等于二十点五六，除以五点一四， d 等于四，要求圆柱的表面积，让这三部分面积加起来。一个侧面加两个底面， 先算侧面积，长是直径，用底面周长乘直径， 里面周长是 pi d， 三点一四乘四，再乘直径四等于五十点二四平方分米，再求底面积。底面积是 pi r 的 平方，需要先求出半径四除以二等于二分米。 三点一四乘二的平方，十二点五六平方分米，最后求表面积，一个侧面加两个底面加十二点五六乘二，等于七十五点三六平方分米。那今天内容就讲完了，你学会了吗？

大家好啊，今天呢，我们来看一下六年级下册第一单元的圆柱和圆锥的第二课，圆柱的表面积，其实这一单元你要是说吧，它非常简单，其实第一课是面的旋转，主要是什么？认识一下圆柱和圆锥 旋转吗？然后接下来呢，现在呢就是圆柱的剩下的就是表面的体积，还有体积了，为什么不缺圆锥的表面？因为圆锥的表面涉及到扇形，扇形这个是属于初中内容啊，然后今天的内容非常多，我们赶紧讲啊， 这个我们就直接来看研究一下啊。首先呢圆柱体，我们知道圆柱的表面，它是分为两个底面，还有一个侧面积的 底面，他就是圆，他就是我们六上学校的圆，哎，我不会求的，可以看一下我圆的面积的讲解视频拍儿方，那这个呢，就是两个圆，就是你得看他什么情况，最基本的圆柱他就是两个圆，哎，没有问题， 两个圆就是两个底面积，然后再加这个侧面，我们现在就来研究下侧面积怎么算侧面，你其实你把它展开啊一下就能发现了，看一下 圆柱的表面积，然后来看一下，我们来研究下侧面，侧面给他展开之后呢，他其实就是一个长方形，哎，你仔细观察就能成，可以自己做一下实验，然后给他展开啊一下你就看出来了， 他就是一个这个长方形，知道吧？然后呢底面的周长，呃，但是这个长方形的长和宽仔细自己量，自己实验一下，这个长呢，就是底面周长，就圆的周长高呢，呃，不是宽呢，就是圆柱的高， 这样呢，长方形的面积是等于长乘宽，那么圆柱的侧面积也就等于底底面周长乘高了。哦，那现在可能有人觉得是比较乱啊，然后我们现在来捋一捋， 总体来说呢，现在我们圆柱的表面积就是两个底面积加上一个侧面积，而底面积是 pi r 方两个底面积。最基础的圆柱表面积啊， 就是二派二方，再加上什么呢？再加上侧面，侧面是什么呢？里面周长是不就是派的，也可以写成二派啊，就是派的 h 二派二 h 也是可以，所以这个公式就是圆柱的表面积。哎，可能有些第一年级的不知道我在说什么啊，呃，这个上六年级自己就知道了。 然后呢，这个就是曲面面积转化成长方形面也就能算了，很简单呢，然后呢，如果，呃，他这个吧，你得看他什么呢？你得看他这个底面周长和高是否相等，如果他们相等的，那很就是正方形了啊，这也是很很简单。 然后呢，如果我们不沿高展开，这个圆柱可能是什么样的这个 图形的，哎，可以，可能有很多种图形，这种斜圆柱的一个预预期。然后现在我们来看一下，你能算出至少多大面积的值板吗？这个就是一个实际实践操练了。怎么说呢，这是一个圆柱侧面的展开图，侧面就是底面周长乘高，底面周长是三点一四乘十乘二，再乘三十， 哎，这样就对了。然后，然后接下来呢，我们在这个就是侧面，然后我们再加上三点一四乘十的平方，在那个加上一八八四就可以了。 哎，非常的简单，只要知道公式就可以了啊，这是推导的公式，我们过调好。这个是练习啊，很简单，就算底面周长啊。 哎，等一下等一下。这里还有一道题是吧？这道题，呃，他没有给详细的解析。呃，还是把公式给大家啊。二派二，二派二方加上二派二 h 也可以拍的啊。 这个就是圆柱的表面积的公式了。那下节课呢，我们来继续来深入看一下圆柱的表面积。那我们下节课再见了。

我们分享一道课本上的附加题，这是一道常考常错的题型，看题。一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，求这个圆柱的底面直径与高的比。 那我们看圆柱的侧面展开图是一个正方形，我们看这个圆柱，这个圆柱沿着侧面上的高线剪开的时候，得到的展开图是一个正方形。我们知道这个正方形的这条边，哎，正方形的这条边就是圆柱的底面周长， 那么这一条边就是圆柱的高，因为它是一个正方形，正方形的四条边都相等，所以当圆柱的 底面周长和高相等的时候，圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以我们能得出圆柱的底面周长 c 就 等于它的高 h， 这是由已知条件的，我们得出这个条件。那么这个问题求的是圆柱的底面直径与高的比。底面直径我们一般用字母 d 来表示，那么高，我们用字母 h 来表示， 那么第一笔比上 h 等于什么？我们看 h 等于圆柱的底面周长，所以它就等于直径 d 比上它的底面周长 c， 那 么底面周长 c。 我 们又知道了，底面周长 c， 它等于派 d， 还等于二派 r。 那 现在我们求的是与直径 d 的 比值，那么我们选择的就是派 d， 这时候根据比的基本性质，比的前向后向，同时除以 d， 那 么就等于一比派。 这是这个题，它的突破口就在于侧面展开图是一个正方形，哎，就决定了这个圆柱的底面周长和它的高相等，这是这个题的突破口。把这个题收藏起来，让孩子们试一试。

大家好，这里是小学数学重难点系列讲解，我是孙老师，方法虽有可观，思路方能致远。 大家新年好，这条视频呢，是我们新年的第一条视频。首先呢，祝各位小朋友快快乐乐，健康成长，祝家长们平平安安，幸福生活。 那么寒假过半了啊，我们休息之余呢，把六下的两个非常重要的内容，圆柱圆锥和正反比例先预习一遍啊，圆柱圆锥呢，有些小朋友可能学过了啊。呃，再听孙老师讲一讲哪些不一样的体会。 那么圆柱圆锥呢，我们依旧是从三个方面来讲，从基础啊，构造到表面积和体积。 第二个呢，是归类与拓展啊，我们一向都是先讲基础，然后再进行提醒，归类啊，再拓展。那第三个呢？思路总结与发散。 那在我们把所有的类型的题目讲完了以后，在更高的视角，我们再来看一下这些类型，这些题目。呃，我们能总结出哪些思路？这些思路又怎么样能运用到更复杂更难的题目里面？ 这种学习方式呢，也是我们啊小学到初中的一个非常大的跳跃吧。小学呢，我们老师给你总结是吧，到了中学以后啊，需要我们小朋友自己总结。好，首先呢，我们这节课呢，是基础知识， 来，大家来看，这是一个长方体。呃，我在讲长方体正方体的时候就跟大家讲过啊，我说圆柱圆锥跟长方体正方体的题型百分之八十是差不多的，那那么长方体呢，是分成了 上下两个底和它的什么侧面？呃，就是前后左右四个面了，所以一共是六个面。那么也就是说，我要去求它的表面积的时候，是不是上底加下底，以及前后左右四个面， 那求出来，再把它一加，就是它的表面积。当然我们也有第二种求法，就是什么呢？把前后左右，因为它的展开图是一个长方形，我们又称之为侧面积，大家还记得不 是吧？这个前后左右展开是一个长方形，是我们的侧面积，这个侧面积的长是底面周长，是不是底面周长，是不是展开是底面周长啊？长是底面周长，宽的是高，所以侧面积又可以通过底面周长乘高得到， 是吧？底面周长乘高，底面周长就是长加宽的和乘二了，是吧？这个长方形的周长如果是个正方形，就是边长乘四。好，也就是说我们的表面积在长方体上面会有两种求法。好，那么接下来我们看到一个圆柱， 圆柱呢，依旧是分成了上底和下底，但是他没有前后左右啊，是不是我不能够说把前后左右全部求求出来，然后再相加，他没有前后左右，但是 侧面展开呢？依旧还是个长方形，是吧？所以我们可以通过第二种方式，上底加下底，再加上侧面积 把它求出来，可以通过上底下底再加上侧面积求出来，侧面积依旧是底面周长成高啊，那么这个底面周长啊，这个底面周长是啥呀？因为它的底面是一个圆嘛，所以底面周长就是这个圆的周长，圆的周长怎么求，大家还记得吗？ 啊？派乘直径对不对？派地或者呢？二派二，大家还记得吗？底面周长派地或者二派二 啊。我们在学习圆柱圆锥的过程当中啊，有一个很很重要的问题，我们有的小朋友可能前面的圆的知识啊忘记了，如果有忘记了，可以到前面我的视频里面再去复习一遍啊。 好，那么这样我们圆柱的表面积就是上底加上下底再加上侧面积，那底面周长成高，那么上底加下底呢？是怎么求来着？都是是两个圆，对不对？圆的面积是不是 pi r 的 平方，所以两个的话就是二 pi r 的 平方 再加上侧面积，侧面积是底面周长乘高，底面周长是二排二，对吧？二排二乘 h 高，所以这个就是我们的表面积了啊，上底加下底，再加上侧面积。好，接下来我们看一道题目， 一个圆柱的底面直径是两厘米，高是九厘米，它的表面积是多少？来暂停大家做一下。 好，我来讲很简单吧，是吧？底面直径，那我们先把上下两个底求出来，上下两个底吗？底面直径先除以二，求出半径对吧？二，除以二的平方，二平方乘派，对吧这是？呃，一个圆 再乘二，变成上下两个底，再加上侧面积，侧面积是二派二乘啊，这边是派地乘 h 对 吧？派地乘 h， 二乘三点一四是周长，周长乘高是侧面积，最后求下的是六十二点八，大家做对了吗？ 啊，并不麻烦是吧？很简单。好嘞，继续第二题，仓库里有很多的铁皮啊，然后呢，我们需要把这个铁皮啊，你看这是底，这是侧面，哎，看看哪两个可以 并成一组，做成一个无盖的圆柱形水桶，大家看一下。 好，我来讲，那么这是侧面，是不是这是侧面，要跟这个底能搭配的上，其实很简单了，我们只需要看什么这个侧面的长，是不是这个底的什么周长，对不对？底的周长，你看这边是直径是四分米，它的周长应该是多少？ 四派就是十二点五六，所以一和四是可以的，二后面不行，是吧？所以我们选择的是一和四。好， 来，我们看第三个，一个圆柱的侧面展开图，是一个正方形，这个圆柱的底面直径是四分米，这个圆柱的表面积是多少？ 看一下。是个圆柱啊，侧面展开呢，是个正方形，这说明一个问题，说明什么？底面周长和高相等，对吧？底面周长和高相等，这个圆柱的底面直径是四分米，这个圆柱的表面积是多少？来，大家先做一下。 好，我来讲。那么 我们要求它的表面面积需要上底下底加上侧面积，对吧？尤其是这里的底面周长和高又是相等的，所以我只需要把底面周长求出来高也就知道了， 对不对？底面周长很简单，直径告诉我了，是四分米，四派，所以四乘三点一四等于十二点五六，等于十二点五六。在这里啊，我讲的这些题目派都取三点一四啊。 好，四乘三点一四等于十二点五六，是底面周长又是高，所以他的测面积就很简单了，十二点五六乘十二点五六对一百五十七点七五三六啊，这个小点后面比较多啊。 好，那么这个测面积咱们已经求出来了，咱们还需要上下两个底的面积，对吧？他的直径是四分米，所以我们用四除以二，先把半径求出来，是二分米，那这样的话拍二平方 再乘二是吧？三点一四乘二的平方是一个底，十二点五六，十二点五六再乘二，就是两个底，再加上侧面积，一共加出来等于一百八十二点八七三六， 大家做的对吗？啊？有可能计算会出问题，对吧？这个计算麻烦了一点啊，计算要当心啊。 好，这是这道题，我们继续。那么我们前面讲了三道题，尤其第三道题，来，我们稍微总结一下，我们要求圆柱的表面积啊，是通过哎，把这两个求出来，两个上下两个底面积，然后把侧面积求出来，再一加就可以了，对不对？ 好，既然我要求这两个，那我需要啥呢？我求这个底面积就需要什么底面半径二， 侧面积，我们需要什么呢？需要底面半径二和这个高，对吧？所以总结下来，我们要求圆柱的表面积，其实是只需要两个东西，一个是什么二，一个是 h， 一个是底面半径，一个是高，对吧？我为什么给大家总结这个呢？就是我们在做题目的时候，你看到要求什么？首先脑子里面要反映出来我需要的条件是什么，于是你才能知道我从前面的这个描述的条件里面要提取什么样的信息，是吧？要往哪个上面去靠。 好嘞，我们继续。接下来我们分类啊。呃，我们不是求表面积吗？分类啊，把它这个表面积里面的这个内容啊，我们分类把它讲一讲。首先我们先来看侧面积， 呃，第一道题，一个水杯，那水杯上的装饰袋是八厘米，它的面积是多少平方厘米？来看一下，来，先做 好好，来，我们看这个侧面呢，这个装饰带啊，是一个高八厘米的一个侧面积，是不是啊？要求侧面积很简单，底面周长呈高，所以直径是六厘米，那么就是 啊，三点一四乘六，再乘八解决了。那我说了，这里派我们后面讲的题目派读去，三点一四啊，三点一四乘六乘八等于一百五十点七二平方厘米，答对吗？很简单的一道题啊，来继续。 压路机的前轮直径为一点二米，轮宽两米，压路机工作每小时每转动十周，问每分钟压路多少平方米？看这是个压路机的前轮， 它的直径呢？是一点二，轮宽是两米，它压出去是什么呀？它压出去是不是一个长方形，对不对？是吧？是个长方形， 这长方形的宽呢？其实就是两米长方形的长呢，是这个轮子滚动出来的距离， 是滚动出来的距离。滚动出来的距离大家还记得吗？还记不记得这个距离是怎么来着？这里面有个数量关系是什么来着？是圆的周长乘，滚动的圈数等于滚动的距离，大家想一想是不是啊？圆的周长乘，你滚动了几周，就等于你滚出去多少距离， 是不是那么圆的周长在这里直径已经告诉我了，是两，是一点二米吗？对不对？直径是一点二，所以周长就应该是多少？一点二乘三点一四，一点二乘三点一四，那么乘二呢？就得到了什么？就等于它滚动一周，它能滚出多少平方米？ 是不是滚动一周就是一点二乘三点一四，是周长，是周长滚动滚动一周，他往前滚的距离，再乘他的这个，这边的宽是两米，也就说我滚动一周滚出来的面积是七点五三六平方米，对不对？ 是吧？然后呢？然后滚动一周是七点五三六，他说每小时要滚动十周啊，所以我们用七点五三六乘十，对，七十五点三六平方米啊，这是十周，也就是说每一小时我能滚动这么多的面积， 那最后要求的是每分钟压路多少平方米？一小时等于六十分，所以我还得用七十五点三六除以六十等于一点二五六平方米，大家做对了吗？好，这也是一个典型的题目啊，很基础。好。第三个， 有一根长一米，横截面的直径是二十厘米的木头，浮在水面上，正好有一半露出水面，问，这根木头与水面接触的面积是多少啊？这个木头与水面接触的是多少？哎，大家先做一下。 好，我们看啊，它与水面接触是哪个部分？你看这边是一个半圆，对不对？看到没有？这边是个半圆啊，这边也是个半圆，那这两半圆凑在一起变成一个整圆，再加上， 再加上什么？这是半个侧面积，对不对？侧面积的一半。好，好，现在我们知道了，它跟水接触的面积是一个整圆，加上侧面积的一半，对吧？那现在就好求了， 单位换算一下，长一米，因为他最快求平方厘米，所以一米等于一百厘米。那接下来呢？直径是二十厘米，那么他的半径就应该是十厘米，哎，把半径求出来，方便我们去求这个整圆的面积，所以三点一四乘十的平方等于三百一十四，哎，这个两个半圆加在一起就是三百一十四 平方厘米，对吧？接下来我们求测面积，测面积很好求啊。呃，测面积的一半嘛，所以用这个圆的周长乘一米的这个长度，对不对？所以用二十啊，三点一四乘二十，周长再乘一百，是他的长 对吧？是等于他的测面积，然后除以二等于半个测面积三千一百四十，最后把这两个加在一起，三百一十四，加上三千一百四十，等于三千四百五十四平方厘米， 走对了吗？好，继续。好，第二个呢，我们讲组合体的表面积，来来看 好这个呢，我们会发现这个图啊，上面的这个部分就是我们刚刚求的那个啊，一个半个侧面积，然后前后两个半圆加在一起，是一个整圆，跟我们刚刚求的是不是一样，对不对？然后下面这个部分呢，是一个正方体啊，正方体的几个面？ 五个面吧，是不是五个面？好，大家先做一下。好嘞，我们来对一下答案， 二的平方乘三点一四就是什么？前后两个半圆加在一起是一个整圆，对不对？然后呢，四乘三点一，四乘四就是它的侧面积，再除以二是侧面积的一半，是吧？四乘三点一，四不是周长吗？周长乘四对吧？是这个长， 哎，然后呢，这是一个整个的测面积，再除以二得了半个测面积，这个加在一起就等于上面这个部分三十七点六八， 然后下面就很简单了，是五个正方形，是吧？所以是四的，它的边长是四吗？四的平方乘五，再加上上面的三十七点六八，等于一百一十七点六八平方分米，答案对吗？好看，下面一个 在一个棱长为五分米的正方体木块前后上下左右 各个面的中心位置挖去一个底面直径是两分米，高为两分米的圆柱，大家注意啊，啊，这个黑的这个部分进去是个圆柱啊，他会往里面挖啊，他有高的啊， 他的直径是两分米，高是两分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是多少？大家先做一下。 好，我来讲。这个挖出来之后啊，大家会发现， 虽然这个面被挖掉了，但是他到里面去了呀，是不到里面去了，对不对？里面一样也有这个面，我们在求表面积的时候，里面这个面可以移上来，也就是换句话说是什么呢？说明，说明这个 正方的这个面跑到里面去了， 是吧？正方体的表面积没变的同时，他还多出来了什么，因为他往要往里挖，他是有高的，还挖出去一个侧面积圆柱的，这里面有个侧面积，大家能理解不？几个侧面积呢，六个，前后左右上下每个面都有吧？六个侧面积，也就是说 这个模型的表面积是由一个正方体的表面积，一个完整的正方体的表面积加上六个圆柱的侧面积构成的，对不对？大家，大家想对了吗？是吧？所以那接下来我们就好做了。好，我们用 五乘五乘六是整个正方体的表面积，再加上啊侧面积，一个侧面积是三点一，四乘二乘二，是吧？因为它的直径是二，所以三点一，四乘二等于它的周长再乘它的高二就等于它的侧面积里面周长乘高嘛，对吧？一共是六个，再乘六， 哎，这俩加在一起就等于这个模型的表面积是二百二十五点三六，大家做对没有？好，这个也是，其实你看我们讲在这里啊，这些题型跟我们长方体、中方体的这以前求的这个表面积和体积是不是一样？其实这题我们都做过的，是不是啊？ 好，来我们看下面一个，第三个，三个半径是三厘米，两厘米、一厘米高，都是两厘米的圆柱体，连接成如图的立体图形，求它的表面积是多少？好，大家先做一下。 好，我来讲这三个圆柱体啊，它的半径分别是三二一厘米，高呢？都是两厘米。 然后我们会发现一个问题，哎，我们首先你看我们刚刚在求这个表面积啊，组合图形的组合体的表面积的时候啊，大家一定要注意， 我们需要知道我们要求的是哪些部分，那你得把这些部分给他搞清楚，这样我才能有目的的去求，是吧？那我要求的是哪些部分？我们会发现 这个上面，你看这个小的圆柱的这个上面， 再加上这个大圆柱的上面，凑在一起，不就是大圆柱的上面吗？大家能理解不？这三个凑在一起就是什么大圆柱的上底，对不对？是不是？呃，然后再加上这个大圆柱的下底，也就是上下 的这个表面积，就是这个大圆柱的上底加下底，对吧？好，那我只需要考虑什么呢？侧面，侧面，侧面就是大圆柱、中圆柱和小圆柱三个圆柱的侧面， 是不是？所以我们现在把它这个分析好了，我们要求的是大圆柱的上下两个底，以及这三个圆柱的三个侧面， 对不对？好，那么接下来我们就可以求了，首先大圆柱的上下两个底，三点一四乘三的平方乘二，对吧？大圆柱的上下两个底是五十六点五二平方厘米，那么接下来我要求的是这三个圆柱的侧面积， 三点一四乘三，求这个大圆柱的侧面积三点一四证明是半径吗？三吗？所以三点一四乘三乘二，三乘二是直径，对吧？所以派地底面周长再乘高，高是两厘米啊，乘下来等于三十七点六八，这是大圆柱的侧面积。 然后中圆柱的侧面积三点一四乘二乘二，它的半径是二嘛？所以二乘二是直径，三点一四乘直径等于底面周长，底面周长乘高等于侧面积，这是中圆。 哎，上面的这个小圆柱呢？三点一四乘一，乘二，乘二，十二点五六。最后咱们把这些怎么样加在一起等于一百三十一点八八平方厘米，大家做对了吗？ 好，那么接下来我们要讲圆柱的体积，首先我们依旧还是从长方体来往圆柱上面引啊，因为毕竟长方体我们学过嘛， 长方体的体积咱们怎么求来着？是长乘宽乘高，对不对？那么长乘宽又是什么底面积？所以我们又可以用底面积乘高，对吧？然后那么到圆柱上面我们就要注意了呀， 圆柱它有长宽吗？它没有哎，对不对？所以我们只能用底面积乘高，底面积乘高，那么我怎么去理解底面积乘高能求体积这个事呢？ 大家注意我们可以怎么去理解？我们可以把这个圆柱或者这个长方体理解成是有很多个底面积啊，叠在一起的对不对？很多个底面积叠在一起对吧？然后求他们的和，能不能理解 有多少个底面积呢？有高个高就是底面积的个数，能不能理解？ 哎，不知道有没有小朋友能理解哎，我就把一个底面积求出来乘高就表示他有很多的底面积叠在一起，对吧？然后求他们的和，这就变成了一个圆柱体，大家能不能理解再去求他的和。如果你能理解的话，那么恭喜你 这就是微积分这就是微积分啊，你已经迈入了我们大学高数微积分啊，你已经迈入了我们大学高数微积分啊。他的核心思想就是先微分再求和 啊，把你看求体积的时候把它变成很多的体积啊，底面积，然后切分成很多的底面积，再去求他们的核，就变成了体积。 我们在高中的时候啊，学到低分的初步啊，导数和积分的初步，那么主要学微积分的还是到大学，所以如果你能听明白了，那你已经把这个微积分的核心思想掌握了 啊，所以你已经很厉害了。呃，我们钱学森老人家说过啊，说这个十四岁还能不会微积分吗？哈，这个我们当做一个玩笑话，大家觉得他可能太聪明了啊，不了解我们普通人的智商，但实际上 实际上能理解吗？好理解的并没有那么复杂哈，是不是我觉得我在听的小朋友们应该都理解了，对吧？如果当然了。呃，我们是理解了他的核心思想， 如果我们真要去运用微积分的话，当然我们还缺几个这个知识没学过，比方说你需要掌握的是导数 还有极限的思想，对，把这两个掌握了，那么微积分你就能用了啊，如果感兴趣的孩子可以去搜一搜啊，关于这个导数啊，就是微积分方面的这个简单的课程，去看一看 这个比你做多少，这种什么小蓝本，小成本，做多少道这种题目他都来的，对你来说更重要，价值更高。 哎，这才是真正去学习数学啊，讨论数学，研究数学的方向，不是去做那么几道死磕几道的那几道难题就管用了，去学这个，这个对你来说帮助大。好嘞， 来我们来看啊，我们现在已经知道了，这个圆柱的体积是底面积乘高，对吧？那么接下来我们看一看，这边有四个图形哎，哪些图形是可以用底面积乘高来计算的呢？来看一下 哪个二和三，对不对？是不是二和三？为啥？大家注意啊，我们用底面积乘高有一个条件是这个底面积从下到上，无论在哪哪一块，他都必须相等，对不对？这样你才能乘高啊， 是吧？高的意思是几个底面积吗？对不对？你底面积都变化了，那你怎么能称得上是几个相同的底面积呢？不行的，是不是你像这个， 这个就不行了，你直接成高不行，因为下面的底面积明显要大一点，上面小对不对？这是个圆柱，那更不行了是不是？所以能用底面积成高的必须怎么样？哎，他这些面跟下面要垂直是吧，也就是满足什么，就是这个底面积从上到下他不能变， 哎，只要是不能变的，我都可以用底面积乘高的方式来算，能理解不？哎，这道题可以更方便的让大家理解，假如我为什么用底面积乘高，为什么长方你乘方，你能用底面积乘高？圆柱圆锥它也能用底面积乘高。 好，来看第二个，一个圆柱形玻璃杯侧得内直径是八厘米 啊，杯内豆浆的深度是十六厘米，正好占杯内容积的百分之八十，这个杯的容积是多少？在这里我要说一下， 呃，在长方里上正方体里面我们已经讲过了，我们求容积的时候啊，是不考虑这个容器的容积 b 的 厚度的，所以我们一般直接把体积当容积啊，当然这不是精确的算法，那在这里呢，我们只是忽略到那个 b 的 宽度，是吧？的厚度。好，那么大家做一下。 好，我来讲很简单，底面积乘高是体积对吧？在这里也是它的容积。 首先直径是八，所以除以二等于四厘米是半径，那么它的底面积就应该是四的平方乘三点一四， 深度是十六乘十六，体积求出来了，而这个体积又占杯内容积的百分之八十，对应关系相除，是吧？分量除以分率得到单位一，总共的容积是一千零四点八， 一千零四点八，大家做对了没有？哎，单位再换一下是吧？从立方厘米变成了，呃，毫升。 好，继续从圆柱形水桶里面倒出三点一四升的矿泉水，那么水面的高度正好降低了五分之一，已知水桶的底面直径是二十厘米，水桶里原来的水有多少升？好，大家先做一下。 好，我来讲。呃，那么我怎么讲呢？这题目有方法有很多，那么我们呢，讲的方法呢？从问题出发的，先把思路捋一遍，首先他要求的是水桶里面的水有多深，也就是说求高， 那么求高的话，我们是什么体积？除以底面积吧，是不是啊？体积除以底面积，那么也就是说我们需要体积和底面积，需要把这两个求出来，这里面呢， 底面直径是二十厘米，哎，有直径，那么底面积肯定是能求的，对不对？是吧？那关键是呢，体积不知道，他说倒出了三点一四升的矿泉水，水面高度正好降低了五分之一，这里面是什么关系呢？注意， 倒出的三点一四升的矿泉水和总共的体积的关系是什么？哎，他们的关系是什么？他们都是底面积乘高吧，是不是？而高的比是一比五来，水面的高度正好降低了五分之一，这说明倒出了一份，而总共的高度是五份， 是吧？这个很好理解，对吧？那么体积呢？是不是都是用底面积乘高啊？所以倒出的体积是 s， 底乘上高是一，呃，总的体积是 s， 底乘五，那么把底约掉之后，我们会发现，他们的体积的比是不是就是他们高的比一比五啊， 对不对？就是一比五，体积的比是一比五，那么倒出三点一四升的矿泉水不就占了整个体积的五分之一吗？所以整个的体积是不是就是 三零一四除以五分之一等于十五点七升，这是这个整个的体积，总的体积，对吧？然后总的体积有了，再除以底面积，就等于水的水的高度，对吧？好，我们用 三点一四乘二十除以二的平方，这是求的是什么底面积对不对？然后再用呃呃换算一下，换算成这个三点一四平方分米，因为这个前后都是分米嘛，前面是深呀，前面是深呀，所以最后我们用十五点七除以三点一四 等于五分米，原来的水桶里的水深是五分米，大家做对了吗？哎，这里面主要是一个从高的比啊，从高的比去看出他们的体积的比，因为底面积相同，所以高的比他就是体积的比，对不对？ 来接下来我们要看圆锥的表面积，到了第三个部分了，这是个圆锥， 那么圆锥的表面积怎么求呢？在这里啊，我说一下，在小学我们圆锥的表面积，他没有做更多的要求 啊，没有做更多的要求，但是我孙老师呢，会给大家拓展一下，因为他并不难，只要你们能够理解，哎，而且是从小学知识点往上延伸的，我都会给大家进行拓展。那么首先这个圆锥的表面积啊， 他是不是分成了？下面是一个圆，圆锥下面是个圆，对吧？他的侧面展开啊，是个扇形， 对不对？大家再看一下是不是侧面展开，底下面是个圆，侧面展开他是个扇形，是个扇形。那么我们求的时候就就就就就怎么办？就用底面积加上侧面积这个扇形就可以了啊，我们在六年级就是这么求的， 就是怎么求的扇形怎么求啊？扇形是呃，一个整圆的一个部分，对吧？我们需要知道的是这个扇形的这个圆形角是多少，对不对？我们知道了这个度数，哎，我们就知道了，它占整个圆三百六十度的几分之几，我就可以把这个扇形给求出来了，对吧？这个大家应该都会， 那么关键是我需要知道的是什么？这个半径，对，我得把这个半径得得得求出来，知道了半径，知道这个圆心角，我就能求出这个扇形的面积，也就是这个圆锥的侧面积，是不是？好，这是我们小学的求法， 但是到了初中啊，到初三我们就不这么求了，我们初三怎么求呢？大家注意我们在这里的半径，其实就是哪啊？哎，就是这个这条线是圆锥的顶点到底面这个圆的圆周上的距离， 到圆周上任意一点到这个圆锥顶点的距离，叫什么呢？叫母线， 在这里叫半径啊，实际上在圆锥里面这叫母线，叫母线啊，记住啊，这个半径和这个母线是一样长的啊，一样的啊，我们只不过把它，把它，把它圈起来了，对不对？叫母线。好，在这里我们要回忆一个知识点， 这是一个圆，我可以把一个圆切拼成一个什么一个长方形，径四的长方形，对不对？ 所以圆的面积啊，我们就是什么用，因为这个切出来这边宽是半径，大家还记得不？下面是什么呀？是周长的一半，是周长的一半，所以这个圆的面积就是什么周长的一半，成半径，对不对？大家还记得吧，这个知识点。好，我们如果知道了，记住了这个知识点，那么大家注意， 如果一个扇形的一个扇形，是不是也可以把它切开，只不过他拼成了这个长方长方形短了点吗？对不对？是不是？大家能不能理解？他不是扇形有一部分，这个圆的一部分被切掉了，是吧？现在是个扇形，他也可以拼啊，切，拼啊，只不过这个长方形没那么长了吗？对不对？ 是不是？而他依旧是这边是他的半径，而这边呢？这个弧长一半在上面，一半在下面，对不对？对吧？这个弧长其实在我们圆锥里面，是不是就是底面周长啊？大家能理解吗？是不是那底面周长的一半，这是底面周长的一半，所以 这个扇形的面积又可以怎么求呢？底面周长的一半乘半径，而是吧，底面周长的一半乘半径，而这个半径又是什么来着？我们刚刚说的叫什么？叫母线，对不对？所以，哎，所以这个扇形又是母线乘底面周长除以二， 哎，我要是直接说母线乘底面周长除以二，大家可能理解不了，但是我用上面这个图，大家再看一看，再理解一下，你就能理解了，对吧？因为这个知识点咱们学过呀，咱不是学过，整圆可以切片成一个长方形，那么圆的一部分作为一个扇形来讲，当然也可以切喽，对不对？ 来，这就是作为圆锥来讲啊，它的侧面积啊，我们初三的一种求法就是母线乘底面周长除以二，用字母表示的是 pi l pi r l r l 是 母线的意思啊。好嘞，这是给大家拓展了一下。呃，我觉得是能理解的， 能理解的，是吧？哎，我们所有的基础知识我们都具备，所以理解起来也不困难，这是测面积好了，那么圆锥的表面积，我说了啊，呃，小学阶段的不做更多的要求，哎，我该拓展的给大家拓展，大家理解了，那么接下来我们主要来讲圆锥的体积， 这是个圆锥，这是个圆柱，这俩呢，他们的底面积相等，他们的高也相等，那么他们体积的比是一比三啊，也就是说等底等高的圆锥是是与他等底等高圆柱的体积的三分之一。 那我要去求圆锥的话，是不是就是用底面积乘高之后再乘三分之一？那因为底面积乘高是求出来跟他等你等高的一个圆柱的体积再乘三分之一，就等于什么圆锥的体积，大家听明白了吗？ 大家听明白没有啊？就是底面积乘高再乘三分之一啊，或者除以三也行。那么至于体积的比，为什么是一比三呢？我们小的阶段 不做要求，为什么不做要求呢？他需要还是得需要用微积分来进行推导啊？那么我前面说了，可能有小朋友去看了啊，如果你学了，学了微积分之后，你能够把这个一比三的这个笔啊能推导出来， 那我要给你竖大拇指，你可太厉害了哈。呃，不信你去问问你们学校里的老师，看看他能不能给你解释为啥是一比三，你可以解释给他听啊，那你就超级厉害。好了，那么我们现在知道了啊，圆锥的体积是怎么来的？ 接下来我们看题目，一个圆锥的底面半径是五厘米，高是十二厘米，这个圆锥的体积是多少？很简单吗？来做一下 底面积乘高再除以三，对不对？底面积，底面积是五的平方派五的平方乘三点一四，再乘高十二，这求出了等底等高的一个圆柱，而圆锥需要除以三，所以等于三百一十四，大家对吧？很简单，一道题，好，下面一道题， 这边有两，这边是个沙漏啊，是两个完全相同的圆锥形容器沙漏，大家都见过吧，是吧？然后呢，就上面的往下面漏沙，哎，他说这个高呢，是六厘米啊，每个圆锥的高是六厘米，里面装满了细沙， 这个漏口每秒可漏细沙，零点零六立方厘米，漏完全部的细沙，用十五分钟。这个沙漏的底面积是多少？大家先做一下。 好，依旧思路先搞清楚啊。要求沙漏的底面积是不是用体积除以高，是不是体积除以高 哦，这是圆柱，但是要注意的是，这里是圆锥哦，圆追求体积的时候是不是除以三，所以我反过来要求底面积的时候，需要先用体积乘三，再除以高，才等于底面积，这就跟什么一样， 就跟我们当初学三角形一样，三角形要知道了，底要求底边上的高，是不是面积乘二除以底， 为什么？因为我求这个面积的时候是底乘高除以二来的嘛，大家能不能理解这个意思，是吧？好，所以依旧我们还是先把体积求出来。体积，那体积，他说每秒漏细沙零点零六立方厘米，一共用了五分钟，这说明 他的体积就是多少，哎，这相当于是个工程问题，工作效率是每秒零点零六，工作时间是五乘六十三百秒，对吧，所以算出来是十八立方厘米，一共漏了这么多的沙，也就是他的体积啊，能理解吧？ 好，知道了它的体积，我们用体积乘三除以它的高等于底面积，这道题目就做出来了，哎，在这里我要强调的就是一定要注意我们沙漏啊，我们这个圆锥啊，要求底面积或者求高的时候不要忘记了，体积要乘三， 千万不能忘了啊，我们有些小朋友比较粗心的，这个不能忘记啊，提醒自己。 好，我们接下来看，这是我们最后一道题了，一个直角三角形的两条直角边，分别是三厘米，四厘米，斜边是五厘米。哎，三四五啊，勾三股四减五啊，这边这边呢，又也稍微有点超啊， 哎，我们一旦看到是三四五这样的三角形，那么他一定是一个直角三角形啊，为什么呢？他满足勾股定律，三个平方加上四个平方就等于什么五个平方啊，三四五，这个等到了初中以后啊，一看这个知道这是个直角三角形。好嘞， 那么接下来他要做的是分别以三条边所在的直线为轴，把三角形旋转一周，得到一个立体图形啊，那很简单，旋转一周嘛，来， 这是以四厘米作为轴啊，旋转一周之后得到了一个圆锥，得到了一个圆锥，对吧？ 以四厘米为轴，旋转一周不到了个圆锥吗？这个圆锥的，呃，高是四厘米，底面的半径是三厘米，就是这条边，对不对？半径是三厘米哎，它的体积好不好求，很好求吧！ 来，底面积乘高，再乘三分之一或者除以三等于三分之一，乘三点一，四乘三个平方，乘四等于三十七点六八立方厘米，对吧，很好求的。好嘞，那么当然这是这是第一种啊，这是第一种啊，它剩下两边，大家先做一下，比一比，看看谁的体积大。 好嘞，我来讲了啊，我们继续，我们求出来第一个图形了，接下来我们看第二个， 哎，我把它这样放了，我沿着三厘米这条边来来转，以三厘米的为轴，对吧？那么这样转下来的话，就变成这样一个扁扁的圆锥了，是吧？它的高是三厘米，它的底面的半径就变成四厘米了，对不对？变成四厘米了，那么它的体积也好求， 体力就是三分之一乘三零四乘四的平方，乘三等于五十点二十四立方厘米啊，这个不难，那么麻烦的是什么呢？还有一个五厘米，对不对？以五厘米为轴，他转出来会是什么样子的？会是这个样子的， 那会是两个圆锥，上面一个大一点的圆锥，下面一个小一点的圆锥，是吧？这个 这是丙图啊，他的这个半径底面半径，这个底面积是不是上下两个圆锥都一样，对不对？半径是多少呢？半径是多少半径我现在不知道，我得求出来半径其实就是五厘米这条斜边上的高啊，是不是？这个半径是不是五厘米斜边上的高啊？ 对，五厘米斜边上的高，好求了吧，三乘四除以五就可以了，对不对？是吧？五厘米斜边上的高，那么 他的这个上面的这个大的圆锥和下面大小的圆锥的高啊，我们分子也称之为 h 一 和 h 二啊，这边是两个高嘛？大圆锥的高和小圆锥的高，是吧？所以这个丙这个图形的面体积应该怎么求啊？ 是两个圆锥加在一起，对不对？所以我们先把这个半径求出来，三乘四除以五等于二点四厘米，这个大家都会吧，三乘四啊，斜面上的高，然后 接下来我们求大圆锥加小圆锥，三分之一乘三点一，四乘二点四的平方乘 h 一， 这是什么？上面的大圆锥，三分之一乘三点一，四乘二点四的平方乘 h 二，是下面的小圆锥，对吧？这两个加起来大圆锥加小圆锥，哎，那么我们会发现 前面都是三分之一乘三点一，四乘二二点四的平方，那么这个是不是可以提出来了？是不是提出来之后乘剩下的相加 h 一 加 h 二。注意了， h 一 加 h 二是多少？是不是这个五厘米啊？ 是不是斜边啊？所以 h 一 和 h 二这两个高，我们不需要单独把它求出来，直接把它加在一起，变成了三分之一乘上三点一四乘二点四的平方乘五，对吧？ 最后等于三十点一四四立方厘米。好，这个大家会做吗？做下了没有？哎，这是我们今天讲的，稍微麻烦一点题目，今天都是讲的基础啊，哎，大家听的应该是比较轻松的，也不难，对不对？好，最后比较一下谁大呢？ 五十点二十四大于三十七点三十七点六八大于三十点一四四，乙的体积大于丙的体积，大于丙的体积，所以最后奇的体积最大啊，好，今天讲的不难吧， 哎，今天是新年的第一节课啊，没有很困难，讲点基础的，中间呢，我们有体积的推导方式，我们用了这个积分的方式啊，我觉得大家应该是能理解的，对吧？好，那么今天我们就先讲到这里。

哈喽，各位宝子们，今天啊，王老师来讲黑板上的这一道有关圆柱的表面积的一道易错题。首先呢，王老师来读题，一个圆柱原来高八厘米，原来啊，这段高呢，是八厘米 高，增加二厘米，厚，表面积增加了六十二点八平方厘米。问，原来这个圆柱的侧面积是多少平方厘米，那现在呢，我让他的高增加二厘米， 那高增加二厘米，假设增加的这段高呢？是这么多，那么他的表面积，各位， 它的表面积啊，增加的这个表面积是哪一部分呢？同学们来观察增加的表面积啊，是增加的高为二厘米的这样一段圆柱体，它的侧面的面积对不对？ 那这一段是非常关键的。各位啊，那么圆柱体的侧面的面积是六十二点八，他的高是二厘米，那么这个圆柱体的底面圆的这个底面的周长是不能求出来。 底面周长求出来以后，那么上面这个圆柱体的底面周长和下面这个圆柱体的底面周长是一样的，所以原来这个圆柱体的侧面积，我就用底面圆的周长乘圆柱体原来的高，是不是就能求出它的侧面积呢？ 思路有了，非常简单。那首先我先求出圆柱体的底面圆的周长啊，这个 c 啊，就等于 s 测 除以增加了这个高，高是假设这一段是 h 啊，那这样的话就是六十二点八除以这个 h， 增加的 h 是 二，那这样的话六十二点八除以二，结果是三十一点四 厘米，那底面圆的周长是三十一点四，这个底面的周长和这个底面的周长都是一样的。 那原来圆柱体的测面积，那不就用原来圆柱体的底面周长乘原来圆柱体的高吗？所以那原来圆柱体的底面周长三十一点四乘高，高是八。 我们知道八派是二十五点一二，这里可不是八派，我可以把这个三十一点四给它拆成，呃，三点一四乘十，八派二十五点一二，再乘十呢？那就是二百五十一点二 平方厘米。那对王老师所讲的这道有关圆柱体的易错题，你们学会了吗？关注王老师，让数学变得更简单。

今天我们分享一组易混易错的题型，看第一题，一个圆柱的侧面积是七十五点三六平方厘米，高是六厘米，这个圆柱的底面半径是多少厘米？ 我们指到要想求圆柱的底面半径，我们首先要指到圆柱的底面周长，那么怎样求圆柱的底面周长？我们首先指到圆柱的侧面积 s 测， 它就等于底面周长乘以高，那么有侧面底等于底面周长乘以高，我们得到底面周长 c， 它就等于 s 除以它的高 h。 这时我们首先知道，要想求这个底面周长，那么底面周长 c， 他 就等于测面积七十五点三六除以他的高六厘米，我们就得到底面周长就等于十二点五六厘米。 底面周长有了，我们有底面周长 c 等于十二点五六，我们进而求出圆的半径 r 就 等于 c 除以 pi 除以二，它就等于十二点五六， 除以三点一四除以二，最后就等于二厘米。这是第一小题，那么再看第二小题，一个圆柱的侧面底是九十四点二平方厘米，底面半径是五厘米，这个圆柱的高是多少厘米？ 我们根据圆柱侧面积公式 s 测，等于底面周长乘以高，我们进而推出圆柱的高 h 就 等于侧面积除以底面周长。题上给了侧面积，那么我们现在要首先求出它的底面周长 c， 那么底面周长 c， 它就等于二派，二就等于二乘以三点一四乘以五，最后就等于十派，那就是三十一点四厘米， 底面周长是三十一点四厘米，那么我们进而求出这个圆柱的高 h， 它就等于侧面减 s 除以底面周长 c， 它就等于九十四点二，除以三十一点四， 最后就等于三厘米。这是一组易混易错的题型，把这个题型收藏起来，让孩子们试一试。

同学们大家好，今天老师要跟你们分享的是一道关于圆柱和圆锥表面积的题目，这道题目出现在我们附加题第二周当中的一道题型，但是呢，这道题目它本质上并不算太难，我们一起来看一看。 有大小两种不带盖的圆柱形木桶，它们的表面积之和是五千四百三十三平方分米， 小桶和大桶用料面积的比是一比二，小桶的底面周长是六十二点八分米，大桶的底面周长是九十四点二分米，求大小两个木桶的侧面积。 同学们，我们来看这道题目里面首先有哪些字是需要咱们注意的呢？题目中提到了三个字，不带盖， 也就是我们通常说的无盖题型，他们的表面基之合。我们看到了本题与圆柱的表面基有关， 那么大脑里面就要立刻想到咱们圆柱的表面基啊，指的是两个底面以及侧面基，不过今天是不带盖的圆柱，所以我们只需要一个底面和侧面基。 本道题目还涉及到了比例，小桶和大桶的用料面积的比是一比二，在比例问题中也是我们同学们 容易出错的地方，但比例问题我们往往可以把比看作分数，也就是我们就想到了咱们三年级啊，第一次接触到线段图中有这样的一个题型，小桶大桶。 如果小桶用一份表示，那么大桶咱们就要用两份表示，这就符合了一比二的概念，他们的和是五千四百三十三， 这是我们在三年级解决问题中要了解的一个题型，叫做合背问题。 只要你能画出这样的线段图，那么你就能够非常轻松的解决出大桶和小桶所用料的面积。我们首先来写一写小桶的用料面积，是 盒里面包含了三份， 而小桶就是其中的一份，所以小桶的面积应该是一千八百一十一平方分米，而大桶的面积我们也能够解决出来了， 大桶的面积同样利用核倍问题，大桶是这样的两份，所以大桶的面积应该是三千六百二十二平方分米。 我们这一步就求出了大小桶的面积所用面积之和，而同学们一定要记住，在这里所谓的用料指的其实是物体的表面积， 而本道题目因为它是一个无盖的木桶，所以用药用的也就是底面和侧面，也就是咱们一千八百一十一啊，它其实只是一个底面积 加一个侧面肌， 同样大桶的三千六百二十二也是一个底面和侧面积。 本道题目虽然它不难，但是涉及到的知识点比较多，比较杂，所以我们一定要一步一步仔细的去考虑。 接下来我们看到的是小桶的底面周长以及大桶的底面周长，在这里为什么要告诉我们底面的周长呢？那是因为我们发现底面和侧面积的总和是一千八百一十一，我们要能够将底面积算出来，那么 就能够得到侧面积，所以我们如何把小桶的底面积算出来呢？这时候我们要关注到用到了其中的周长， 需要同学们唤醒大脑中的关于圆形周长以及面积公式，那么我们就想到了圆的周长其实应该是 二 pi r， 而我们要算的是底面的面积，我们还要唤醒大脑中关于圆面积的公式， pi r 的 平方，那么现在我们要想算面积，我们得先把半径算出来，那么小圆的半径 r， 我们可以用周长六十二点八除以二除以 pi， 也就是三点一四，得到我们的半径应该是十分米。有了半径十分米，我们自然就能算出圆的面积。 pi 二的平方十乘十乘三点一四，得到小圆的底面积是三百一十四平方分米。 同学们，底面积和侧面积的和是一千八百一十一，而底面积又是三百一十四，所以我们的侧面积就非常简单了，用 面积之和一千八百一十一减掉三百一十四，所以得到我们的侧面积应该是 一千四百九十七平方分米。那么这道题目呀，通过计算小桶，那么大桶就变得非常简单了。大桶在计算过程当中，同学们一定要注意，因为这里涉及到了三点一四的计算，所以同学们一定要足够的细心。 大桶的半径我们可以用大二来表示，九十四点 九十四点二除以三点一四除以二，得到大圆的半径是十五分米，从而大圆的面积我们也能够求出来了，应该是七百零六点五 平方分米。接下来我们用同样的方法，大圆的用料面积减掉其中的底面积，所以得到大圆的侧面积是 两千九百一十五点五平方分米。那么同学们，这道题目到这里就被咱们解决出来了。题目的每一步都很简单，但是题目涉及到的知识点比较多， 题中的已知条件也比较多，我们要通过条件来想一想，帮助咱们解决哪些 得数。那么回顾本题，在本题中我们复习了和倍问题的线段图，我们复习了圆的周长以及圆的面积公式， 那么了解了一个无盖的圆柱体，其实是由两部分组成，当然我们还要知道圆柱的侧面积以及底面积相关的算式相关的公式。 那么同学们，今天这道题目就讲到这里，你能自己独立把它写出来吗？

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师，今天让我们一起来学习一下圆柱的认识。 在之前我们学过立体图形，有正方体、长方体，那圆柱到底是什么呢？我们来看几组图片， 这三个立体图形都是圆柱，那在生活中都有哪些圆柱形的物体呢？我们来看一看像彩色铅笔 这样的盒子、储罐、柱子、砧板和台灯，这些都是圆柱的形状。那大家看了这么多元柱形的物体，那圆柱到底是什么样的呢？我们拿一个圆柱来观察一下， 观察这个圆柱，看一看它到底是由哪几部分组成，它有什么样的特征呢？首先我们来看它的上面和下面都是两个圆形， 这叫做它的两个底面。再来看我们如果把上面的圆形给它重合到下边，我们发现这两个底面的大小是对大小是相同的，所以圆柱的底面都是圆形，并且大小一样， 这是底面的特征。再来看除了上下两个底面，中间的这个我们叫做它的侧面，标准的话来说就是圆柱周围的面叫做侧面，当然上下底面除外， 这个是我们观察一个圆柱得到的信息。那如果是两个圆柱呢？又会有什么新的问题？我们来看这两个圆柱，这两个圆柱的大小不一样，高低不一样， 那他们的高矮与什么有关呢？在圆柱中有一个关键的特征叫圆柱的高，我们来看什么是圆柱的高？在圆柱中，圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 那怎么样来测量圆柱的高呢？测量什么地方是最方便的？我们一起来演示一遍。 在这要注意一个问题，测量的时候，圆柱和刻度尺要水平放置，否则会量不准， 会量高。之后又出现了新的问题，那圆柱的高到底有多少条呢？它们之间有什么关系呢？我们来看一个最简单的例子， 像超市里边卖的这些成桶的棉签，他外边的形状是一个圆柱，而里边棉签的长度都是一样的， 所以每一根棉签都是上底和下底之间的距离，这的每一根棉签都可以当做圆柱的高，也就是说圆柱有无数条高， 并且它们的长度都是相等的。那在生活中圆柱这么多，它们是不是都叫圆柱的高呢？我们来看， 其实在日常生活中，圆柱的高也会有不同的称呼。我们来看几个例子。第一个， 第一个是水井，水井的高在生活中我们叫做水井的深。第二个它是一根一根的圆形钢管， 他的高我们在生活中就叫做他的长。第三个是一个圆柱形的小镜子，他的高就叫做镜子的厚。 所以在日常生活中，我们要分清楚什么是圆柱的高，不同的称呼也可能都是圆柱的高。接下来我们来看一个小活动， 把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，看一看转出来是什么形状，我们一起来转一下 看，转完之后它是一个，对，它是一个圆柱形。那大家观察一下， 长方形的长宽与圆柱的底面半径高之间有什么关系呢？在这个图片中，亮的这条边是长方形的长，转出来之后它变成了圆柱的，对，它变成了圆柱的高。 所以以长方形的哪条边为轴旋转，这条边就是圆柱的高，而长方形的另一条边旋转一圈后变成了一个圆形，所以另一条边就是圆柱底面的半径。 了解完圆柱的特征之后，我们来看一道题，题目是下面哪些图形是圆柱？在括号里画对号 来看第一个图形，它有两个圆形当底面，并且这两个圆形的大小是相同的，符合圆柱的特征，所以第一个是圆柱。第二个 它虽然下面有一个圆形，但是上面的圆形是椭圆，不符合圆柱的特征，所以第二个不是。 再来看第三个，第三个也是有两个底面是圆形，大小相同，所以他也是一个圆柱形。再来看第四个，第四个虽然有两个底面都是圆形，但是这两个圆形的大小不相同，所以第四个不是圆柱。第五个， 第五个有两个大小相同的圆形，分别在圆柱的左右两边，所以第五个也是圆柱。上课上到这里，我们来把这节课总结一下，我们主要学习了圆柱的特征。 在圆柱中有两个同样大小的圆，他是圆柱的两个底面。 除底面外，圆柱周围的面我们叫做侧面，侧面是一个曲面。还学习到了圆柱有无数条高， 并且每一条高都是相等的。好了，今天我们的课就学到这里，小朋友们，你们听懂了吗？

掌握知识点，做题有方向。大家好，我是小鹿老师。今天我们接着来学习圆柱的体积。上课之前，我们先来回忆一下圆柱的体积公式。 当我们知道圆柱的底面积和高之后，就可以用底面积乘高来求，用字母表示就是 v 等于 s h。 如果知道底面半径，我们就可以用 pi r 平方 h 来表示。那如果给了直径呢？ 因为半径等于直径的一半，所以我们把 r 换成二分之 d， 也就是 pi 乘括号里二分之 d 括起来的平方乘 h。 那 如果给了底面周长呢？我们要先把半径给算出来，有周长求半径的时候，应该让周长除以 pi 除以二， 也就是二 pi 分 之 c。 把 r 换成二， pi 分 之 c 后，就变成了 v 等于 pi 乘括号二 pi 分 之 c 括起来的平方 h。 这些公式我们都要会互相转化和应用，只有理解了这些公式怎么来的，做题才不会有负担。好了，我们来看书上的例六，题目中说下图中的杯子能不能装下两袋这样的牛奶？ 想一想，我们要回答这个问题，要先计算出来什么呢？杯子里容纳物体空间的大小就是容积，所以我们要先求出来杯子的容 积。容积的计算方法和体积的计算方法是相同的，二者唯一的区别就是体积是从外面量的，容积是从里面量的。 这道题题目中说明了数据是从杯子里面测量的，所以数据可以直接用杯子给了。底面直径是八厘米， 我们要先求出来底面半径，底面半径是直径的一半，所以就是八除以二等于四厘米。 有了半径之后，我们直接套体积公式 v 等于 pi r 的 平方乘 h， 把数字带入进去之后，就是三点一四乘四的平方乘十， 求出来是五百零二点四毫升。再来看牛奶的体积，牛奶一袋是二百四十毫升，题目中说是否能放两袋，所以我们要先求出来两袋牛奶的体积， 一袋是二百四十，那两袋就是二百四十乘二，求出来是四百八十毫升。 因为杯子的容积五百零二点四，大于牛奶的体积四百八十，所以杯子能装下两袋这样的牛奶。 我们再来找两道题练习一下，先来看书上二十八页练习五的第十二题，题目中说下面是一根钢管，求他所用钢材的体积。 我们先来观察一下这个钢管，这个钢管中间是空心的，所以刚才的体积就是大圆柱的体积减去中空的小圆柱的体积， 大圆柱和小圆柱都给了底面直径，我们可以直接用公式派乘括号里边的二分之 d 括起来的平方乘 h。 先来看大圆柱，大圆柱的直径是十厘米，代入公式之后就是三点一四乘括号里十除以二扩起来的平方乘八十， 求出来是六千二百八十立方厘米。再来看小圆柱，小圆柱的直径是八厘米， 代入公式之后就是三点一四乘括号里的八除以二括起来的平方乘八十，求出来是四千零一十九点二立方厘米。 刚才的体积是这两个圆柱的差，也就是六千二百八十减四千零一十九点二，求出来是两千二百六十点八立方厘米。来看下一道题练习五的第九题 来看题，两个底面积相等的圆柱，一个高为四点五分米，体积为八十一立方分米，另一个高为三分米，它的体积是多少呢？ 这有一个重要信息是两个底面积相等，所以第一个圆柱的底面积求出来之后，第二个圆柱的底面积我们就知道了。 圆柱的体积等于底面积乘高，反过来说，底面积就等于体积除以高， 所以第一个圆柱的底面积就是八十一除以四点五，那第二个圆柱的底面积也是八十一除以四点五， 圆柱的体积是底面积乘高。第二个圆柱我们知道高为三分米，所以它的体积就可以用八十一除以四点五乘三来求出来， 求出来是五十四立方分米。接着我们来看练习五的第十题，题目中说一个装水的圆柱形容器的底面内直径是十厘米， 一个铁块完全浸没在这个容器的水中，将铁块取出后，水面下降了两厘米，问这个铁块的体积是多少？这道题用的方法是排水法， 铁块的体积实际上就是水下降的体积，所以我们把水下降的体积求出来之后，铁块的体积也就求出来了。水下降的体积实际上是一个高为两厘米的圆柱形， 题目中又给了底面直径是十厘米，所以我们直接套公式， v 等于派乘括号里边的二分之 d 括起来的平方乘 h， 也就是三点一四乘括号里十除以二括起来的平方乘二 求出来是一百五十七立方厘米。好了，今天的知识我们就讲到这里，小朋友们你们听懂了吗？

今天我们分享一道有关圆柱展开图的重点题型，看题。把一张长方形纸片按如图所示的方法剪开后，正好可以做成一个底面直径是四厘米的圆柱，这张长方形纸片的面积是多少平方厘米？ 我们观察图形，我们发现把这张长方形纸片呢剪成了两个相等的圆和一个长方形，然后他们能拼成一个圆柱， 这个圆柱的底面直径是四厘米，那么我们就观察图形就可以知道这就是圆柱的上下的两个底面，他们的底面直径是四厘米，那么这条线段就是四厘米。 那么我们观察这个长方形的宽，它的宽里面就是有两个这样的直径，所以我们就可以取出这个纸片的宽，它就是两个四厘米，那就是四乘以二 等于八厘米，这是这个长方形的宽，那么这个长方形的长是怎样构成的？那么这一段我们通过观察图形发现它就是一个直径四厘米， 那么我们要求的就是这条线段，它等于什么？然后题上告诉我们，它做成的是一个底面直径是四厘米的圆柱， 我们知道两个圆和一个长方形，要想围成一个圆柱，它满足的条件就是这个圆的底面的周长要等于这个长方形的长或者宽。我们知道这个长方形这边是八厘米， 那么这个圆的底面周长一定等于这个长方形的长，这个圆的直径是四，那么它的周长就是四拍，我们就能得到这条线段就是四拍， 那么我们进而求出这个长方形的长就是四拍加四，进而求出长方形的面积，所以我们先求出这个长方形的宽， 它就是有两个比面直径构成，那就是四乘以二就等于八厘米。那么长方形的长， 他就是有一个底面直径，四就等于四再加上这条线段，这条线段我们通过分析就等于这个圆的底面周长，只有这样他们围成圆柱的时候，才正好围成一个圆柱，所以他就等于四拍， 它就等于四加十二点五六，就等于十六点五六厘米，那么这个长方形的面积就等于长乘以宽 就等于十六点五六乘以八，它就等于一百三十二点四八平方厘米。 这个题的突破口，我们一定要通过观察图形发现，哎，它的宽是两个直径，它的长是由一个直径加上这条线段，这条线段它恰好等于这个圆柱底面圆的周长，也就是四拍，从而找出长长方形的长和宽，进而求出它的面积。

下面哪个图形是圆柱的展开图？那通过这三幅图的观察，我们会发现啊，你看中间这三个图形都是长方形，说明啊， 这三个图都是沿着圆柱侧面上的一条高来进行展开的，对不对？ 那得到的长方形。那像这种情况，我们只要通过判断图中的圆的周长是否等于长方形的长，来判断该图是不是圆柱的展开图，对吧？好，那我们先来看图一 啊。图一，那它圆的周长是派地，对不对？那图一它的这个 直径是二厘米，那它的周长就是三点一四乘二，得到的是六点二八厘米， 那你看圆的周长是六点二八，那告诉我们，你看这个长方形，它的长也是六点二八，所以等于长方形的长。 说明啊，这个图就是这个圆柱的展开图。好，我们接着看图二，那它的周长同样用派递来计算，那图二告诉我们，这圆的直径是 四厘米，那它的周长就是三点一四乘四，得到是十二点五六厘米， 那十二点五六厘米，他告诉我们这个长方形的长是二十厘米，所以十二点五六不等于二十厘米。说明啊， 这个图形就不是这个圆柱的展开图。好，我们来看图三，我们同样的算出它的周长，那大家来看图三，它的直径是三厘米，那它对应的周长就是三点一四乘三， 算得等于九点四二厘米。我们来看，你看，他告诉我们这个长方形的长是三厘米，那显然九点四二不等于三厘米，所以啊， 这个图也不是该圆柱的展开图。同学们，你听懂了吗？

我们今天来讲圆柱的切割问题，三道题型掌握变化的是哪些面？我们先来看第一个题型，沿着圆柱的横截面切开，那切一刀可以将圆柱分成两个小圆柱，那我们想一下 表面积发生了什么变化，我们会发现新增加了这两个面，也就是这两个面原来是没有的。切开之后增加了这两个面，所以表面积跟原来相比，增加了两个底面， 也就是增加了两个圆的面积。那这种题型我们可以总结一下，沿着横截面切一刀，增加两个底面，那如果切两刀呢？增加几个底面？我们再切一刀，一共切了两刀，增加四个底面， 切三刀就增加六个底面。那我们来看第一一个圆柱型木料的底面，半径是零点五米，长是两米，如图所示，将它截成四段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 本来是一根圆柱形木料，结成了四段，求增加的表面积，那考察的就是这个知识点。沿着横截面切一刀，就增加两个底面，那结成四段要切几刀呢？ 一刀、两刀，三刀，结成四段要切三刀，增加几个底面，增加了六个底面，这里切一刀，增加两个底面，再切一刀，又增加两个底面，最后再切一刀，增加两个底面， 一共增加了六个底面，那求增加的表面积实际上就是求六个底面的面积，底面积是 pi r 的 平方，六个再乘六， 已知底面半径是零点五米，我们可以直接代入求值，三点一四乘零点五的平方，这是一个底面积，再乘六等于三点一四乘零点二五，再乘六， 等于四点七一平方米。最后答一下，那这种题型我们要先清楚他切了几刀，再求增加了几个底面。我们来看例二第二个题型。我们参考这个图，将一个圆柱形沿着底面直径垂直切成两个半圆柱， 这是沿着底面直径垂直切开，分成两个半圆柱，那想一下表面积有什么变化，我们发现切一刀也是增加了两个面，那这两个面是什么形状呢？ 它是两个长方形，沿着直径切开，那这条边就是直径，那这一条边呢？它是圆柱的高，所以这一个长方形的面积等于底面直径乘高， 也就是沿着直径切开一个结面的面积等于圆柱的底面直径乘圆柱的高。 当底面直径与圆柱的高相等时，那这一个结面就是正方形。那我们总结一下，沿着直径切一刀，增加两个长方形， 那这里长方形的面积，我们可以用底面直径乘高， d 乘 h， 所以 切一刀增加的面积等于直径乘高再乘二。 直径乘高是一个长方形的面积，因为切一刀增加了两个长方形，所以后面需要再乘二。那我们来看例题，一根圆柱形木料 里面，周长是九十四点二厘米，高是五十厘米。将这根圆柱形木料沿着底面直径垂直切成两个半圆柱，那么两个结面的面积 一共是多少平方厘米？求两个结面的面积，也就是求这两个长方形的面积。那我们可以直接用直径乘高再乘二，已知底面周长。我们可以先求直径已知周长，求直径用周长除以 pi， 九十四点二除以三点一四等于三十厘米，高是五十厘米，直接代入求值，直径三十乘高，五十再乘二， 等于一千五百乘二等于三千平方厘米。最后答一下，那这种题型关键是要理解，沿着直径切一刀，增加的是两个长方形，那增加的面积我们用直径乘高再乘二， 我们来看第三。第三种题型是将圆柱变长或变短表面积的变化情况。我们先看这个圆柱， 现在将这个圆柱变长，想一下表面积发生了什么变化。原来圆柱的表面积是一个侧面加两个底面 变长之后呢？两个底面没有变，但是侧面积发生了变化，所以增加的是侧面积。同样的，如果把这个圆柱变短，也就是截去一部分，那表面积跟原来相比肯定会减少。那一部分呢？上下两个底面没有变， 减少的仍就是侧面积。所以我们说圆柱变长或变短，侧面积会跟着变，比如圆柱变长，那么增加的就是侧面积， 那圆柱变短，减少的也是侧面积。我们来看第三。如图，一个圆柱高被截去五厘米后，圆柱的表面积减少了三十一点四平方厘米。求原来圆柱的表面积是多少 高倍。截去五厘米，说明圆柱变短了，那表面积就会减少，减少的面积就是这一部分的侧面积， 也就是上面这个圆柱的侧面积是三十一点四平方厘米。再根据已知条件看可以求出什么。我们知道侧面积是底面周长乘高，现在侧面积知道了， 圆柱的高也知道了，那我们可以求出底面周长，用侧面积除以高，求出底面周长。所以第一步求圆柱的底面周长， 三十一点四除以五等于六点二八厘米。再看问题，让我们求原来圆柱的表面积，原来圆柱的表面积等于原来圆柱的侧面积。加两个底面积， 测面积是底面周长乘高。底面周长是六点二八，高是二十厘米。我们可以直接求出原来圆柱的测面积，用六点二八乘二十等于一百二十五点六平方厘米。再看底面积， pi r 的 平方要求底面积，需要知道半径，已知周长，求半径用周长除以 pi 除以二，六点二八除以三点一四除以二，半径是一厘米。再求底面积，三点一四乘一的平方 等于三点一四平方厘米。最后求圆柱的表面积，一个侧面加两个底面一百二十五点六，加三点一四乘二等于一百三十一点八八平方厘米。最后答一下 这种题型的关键是要清楚，圆柱变长或变短，侧面积跟着变，也就是增加或减少的是这一部分的侧面积。然后想侧面你公式底面周长乘高， 如果告诉这一段的高，我们可以求出圆柱的底面周长。那如果告诉圆柱的底面周长，我们可以求出这一段的高。这是一个做题思路，那今天的内容就讲完了，你学会了吗？