安徽江南十校哪些学校参加六安

江南职校，再难也决定不了你的高考成绩！同学们，刚刚考完的安徽省江南职校，又称安徽小高考，又称江南大屠杀， 全程总共两百多个学校参加考试，将近二十五万考生。但呢，安徽省几乎一半的考生了。他是一轮复习的收官，又是二轮复习的起点，难度确实大于高考。本次考试难度量大，计算量也大， 阅读量也大，情景比较新，压轴题的综合度也比较高，很多同学都考崩溃了，都考泄气了。这些我都能理解，但是我必须告诉你句真话，联考难不是为了打败你，而是为了筛选你的心态。 结合我去年带的学生来看，去年江南学校考四百七八十分的学生，高考都冲到六百分以上，去年考了五百四五十分的学生，高考都稳在六百三以上。 真正决定高考的，从来都不是这一次联考分数，而是你能不能稳住节奏，你就把这一次联考当成一次全面体检，检查你为了复习还有哪些不会的知识点，还有哪些掌握的不太熟练的地方。不要乱了自己的复习节奏，只要心态稳住，该怎么复习就怎么复习，高考你一定能发挥出理想的成绩。

各位安徽的家长们，江南职校的排名和复分都已经出来了，如果有需要查排名的，在你评论区打上选科和复分的情况。 于老师，娜娜老师这边帮各位家长查询排名情况。这次安徽省江南职校的省考排名还是很具有参考性的，总共有二十五万的考生，物理组有十七万 历史，有有七万考生，而且参加的院校都是安徽省各地市的头部高中，所以这一次的排名还是很有参考意义的。有需要排名的家长在评论区打上。

安徽高三的江南职校这个分数已经出了，包括这个排名已经都有了，然后如果需要查排名的啊，然后你们在评论区下面打出你的选科分数啊， 一定要打负分的啊。如果你是裸分的，打裸分，然后我来给你查一下当前你在省内的排名是什么，好吧？

咱们安徽江南水校已经出分了，陆续得出啊，还有一部分学校没出来，在七天学堂去查，大家赶紧去查，然后把查到的分数，把你的选科打出来，还有分数打出来， 我来给你分析院校层次。如果是裸分的话，你们就打裸分，加分数加选科，然后明天会有负分，然后打出了负分啊，要不然我没法给你分析，你们打出来吧，然后我们给你分析。

安徽高三江南市校这个数学结束了，那也就是我们这次的联考已经结束了，数学还是挺难的，但是相比较和去年比，还是稍微 简单一点吧，但是也挺难的啊，像我们选择题七题八题，这是单选择题啊，很难。像七这个，还有这个多选择题啊，多选择题，我认为这个是重灾区，你像我们九十十一这三道题很难啊，是重灾区，很多人我估计都都拿不到分。 还有我们填空题啊，填空题的第十四题啊，挺难的，他是一个古典概型这一块啊，然后我认为还是挺难的，这也就大题啊，大题十七题，十八题十九题，然后十三个大题都挺难 啊。还有最后亚洲题啊，亚洲题，像我们最后一问，他考的是这个逻辑推理能力是极高的，如果普通学生拿不到分啊，这个也是拉差距的分。 所以说我认为这次的联考，这是数学联考，还是挺难的。然后把整个的江南职校的卷子包括答案解析啊，电子版整理好了，然后你们去对一下，做一下，就是没考的可以做一下，考完的可以对一下，然后我觉得会对这次的高考呢， 会有一个大帮助，虽然难，但也不怕啊，去后面继续加油，不要被这个江南职校打倒，加油。

江南市校分数线这不刚结束吗？然后今天在直播的时候，很多家长让我估这个分数线，那接下来我仅代表个人，不代表任何学校和官方。我预估物理组的透分线是在四百四左右，本科线在三百九十五到四百左右， 历史透分线预估在四百六十五左右，本科线在四百二左右。这次卷子的确难， 我知道大家现在的心情有些波动，甚至有些慌，还有就是有些人比较泄泄气了已经， 但是我要给大家几组去年的数据，同样很难，但是去年那些扛住压力坚持到最后的孩子，高考都能考出来一个超预期的成绩。那你看啊，去年江南学校考了四百七十八，高考考六百二。 去年江南学校考了四百九十七，高考考六百一十八。去年江南学校考五百二， 高考考六百四。去年江南学校考六百一，高考考了六百七十二。事实就是，联考虽然难，用来是筛选心态的查缺补漏的。 现在我们正式一轮结束收尾了，那二轮已经开始了，这个关键节点上，不要被每一次联考这个分数所困扰，不要被这个外界的声音困扰干扰，你更不要这个因为我们一时这个起伏，这个成绩有好有坏，怀疑自己。 你要做到就是一件事，沉下心，专注学习，稳住节奏，按部就班。我相信啊， 在今年的高考，你们每个人都能交出最漂亮的答卷，然后接下来呢？有些人是查不到排名的，如果你想查排名，把下面打出来排名，但是必须是我的粉丝啊，所以说你们怎么样成为我的粉丝呢？

前两天刚考的安徽江南职校高三三月联考，几乎考的全是热点，计算量过大，对学生知识熟练掌握程度和综合能力要求非常高。难度近年最大。单选后三题均有难度。第六题的同类题型在刚考过的深圳一模式单选压轴题 难度可见一般。第七题结合几何图形的等比数列题，运算量稍大。第八题考察抛物线和圆的综合分析，难度较大。第十题考察立体几何的各种综合问题，需要很高的熟练度。第十一题考察三角函数综合性质， 尤其是对称性，还有核导函数的结合，也是有综合性。第十四题可以借助容斥原理来计算，需要仔细分类。这种题型近年出现次数较多的易错题、大题。前三题虽然相对基础，但第十六题的题干吓人。第十七题的计算量较大，在考场上很多同学被折磨的没有多少时间去做最后两道压轴题。 第十八题二三问需求出内心和重心坐标，最后面积可以利用千锤距离来计算，有心意选错方向计算量就很大。第十九题是三角函数结合指数函数的多变量不等式压轴题。第三问考的常规，但计算量大。

高三的江南市校大联考终于是结束了啊，把不少孩子给整麻了，尤其是今天下午刚刚结束的数学，连选择题都上强度了，像九十十一这三道题，我估计很多孩子都拿不到分。当然不得不说人家的试卷出的确实有水平，不愧是号称安徽的江南大屠杀。最后的压轴题就不用说了，普通学生肯定拿不到分 的。那试卷和答案解析呢？我都准备好了，全套的电子版，一定要拿回去练一练。那有需要的扣江南市校私信找我要一下。

江南职校的成绩啊，今天晚上九点之前可以全部能查询到，各位家长你们查询到了吗？那么这次考试难度是比较大的，很多同学呢，都考蒙了，之前能够考个六百分的啊，这次也只能考到五百多分啊，之前考个五百分的，尤其是五百分的中中分的同学，这次考的成绩呢，是差距会更大，可能只能考到四百多分。 要明天的话呢，我们这个所有的成绩啊，都可以全部上传完毕，我们也是可以查询到孩子的一个整体的一个排名的，然后最晚在后天我们就能够查询到我们的这个本科线和我们的特空线了啊。因为这次江南师范的难度比较大， 所以说呢，这个对于一些中分量的同学，就原来可以考到五百分的啊，五百五十分左右的同学，这次的他的差距呢会更大，可能只能考个四百多分， 原因就在于我们这次难度很大，对于一些中分的同学，可能之前他的基础题是没有问题的，他的中等题呢，他也能够拿到一部分分的，他的难题可能就彻底拿不到了。但是这次考试呢，我们都是难题啊，基础题呢又很少， 结果呢，他这个分差的幅度是比较大的，所以大家如果考的不是特别好啊，没有达到自己的理想的这个状态的话，大家也不要灰心，因为我们高考的出题， 它是有一个梯度的基础题，中等题和难题的啊，我们更多的去看中的是这个分数背后的一个排名啊，当然我觉得这个排名都没有那么的重要啊。然后呢，我们可以结合这个我们这次江南职校的呃，这个排名也可以结合我们年前的这个一末的排名啊，这两个综合起来， 大家可以看一看孩子在全省的一个位置啊，如果大家不知道怎么去查询排名的啊，也可以在评论区可以打个一啊，刘老师可以给大家去换算一下， 那么最后的话呢，刘老师再跟他去强调一下，就是我们下个月我们要有个强基计划，还有一个是高校专项，这两个这个升学的路径啊，是需要去报考的， 所以我们可以结合这次这个江南职校啊，包括前面的几次考试，我们综合判断一下自己的孩子是不是需要去报考那个强基，是不是需要去报考那个高校专项啊，做到一个心中有数，每次考完试以后，尤其是像这种江南职校比较难的考试，对吧？我们是在战略上忽略他， 但是呢，我们在战术上呢，要重视啊，认真去复盘一下啊，然后呢，再结合自己孩子的整体的一个水平再去，要不要去报考我们那个强基和高校 啊？如果说大家需要我们往年的强基报考的资料，以及我们高校专项报考的资料的话，大家也可以在后台私信刘老师啊，或者可以在评论区打个一刘老师给大家发过去啊。好，那么今天呢，就分享那么多啊，顺手点个关注，试学不迷路，咱们下期见，拜拜。

听说二十二万安徽考生直接被江南职校考破防了，今天一条视频带你速通江南职校数学选填，每道题手把手算，一步一步带，听完还不会尽管来找我。 同学们，大家好，今天我们来讲解一下二零二六届的江南职校的数学试卷，这份数学试卷呢，同学们反馈难度有点大，不过没关系，无论考好考不好，我希望这套试卷呢，可以为我们接下来的复习呢去指明一些方向。接下来我们会主题讲解，手把手带大家做每道题目，希望我的讲解呢，能够带给大家一些收获。 好的。首先第一题，这是一个集合问题， a 集合呢，是一二三 b， 集合是二三四五，去求一下这个 a 并 b， 那 肯定是一二三四五嘛，对不对？ 这个题出的太好了，再来二十九个我就能满分了。第二题，他说这东西的一个共讧负数是什么？哎，那我们去写一下这个负数，我们把它化解一下，这个二 a 是 不是下面是个二加 a， 那 我们上下可以同时去乘上一个二加 a， 那 这样的话，大家去看下面他就是四去减掉一个 a 的 平方， 而上面呢，它应该是四 i， 再去加上一个二，下面它是四减掉 i 的 平方，哦，那就是四减掉负一，那就是五分之二加四 i 啊，或者说呢，在这个地方，我们这个负数就是五分之二，再去加上一个五分之四 i， 那 它的这个共讷呢，它就应该是五分之二，再去减掉五分之四 i。 所以 说这个问题应该选择 b 选项， 提出的也不错，哎，第三题，第三题也是我们喜欢的，你看总共是八个数，对吧？八个数要去求这个第七，是五百分位数，所以说呢，我们用八去乘上一个零点七五，算出来是多少，算出来是个六，对吧？那如果我们算出来整数的话，是不是我们就要去 用这个序号的数和他下一个数，然后去取一个平均值？当然了，这一切都是基于我们就是从小往大去排序的，你从小往大排序一、二、三、四、 五、六、七。哎，所以说啊，我们算出来六，我们就用从小往大排第六个数和第七个数去取一个均值，那这里呢，他就是七十三，去加上八十五，然后他再去除以一个二，所以我们算出来他是一个七十九，选择这个 a 选项。 那如果我们算出来不是整数呢？就比如说我在这个地方，我要去求这个第六十百分位数呢，那这时候我就用八去乘上一个零点六，算出来是个四点八，然后四点八呢？是不是他要向上去取整，算出来呢？他是一个五，那这样呢，第六十百分位数，他就是 五号，那就是六十。好的第四题啊，这完全是一个物理的问题啊，这是物理的我们这个行船问题，你看现在呢，我们是要去横跨这个长江，长江的这个宽度啊，在这个地方是一千米，一千米，然后汽车啊，是从 a d 出发。哦， 用车跨长江吗？那确实是非常硬核了，你看汽车从 a d 出发，他说啊，在净水中的速度是五根二，这个这个千米每小时，所以说呢，我们写一下啊，这个微净它是五根二 km 每时，然后水流的速度微水它是五千米每小时， 然后我们目前呢，他的目标是让这个航程是最短的，对吧？航程最短，我们期待的就是，哎，尽量呀垂直于这个长江，然后去跨过去，那这样的话航程最短他是个一千米，那能不能实现这一点呢？在这啊，我们知道这个汽车他的总的和速度，他这个向量呢，他应该等于就是水流的速度， 再去加上这个呃汽车在进水中的速度在这儿呢，比如说啊，我们去画一下这个速度适量的合成水流的速度呢？哎，它是往这个下游方向的， 然后我们是在这个呃水流的速度的这个终点，然后再去画这个进水的速度。所以说呢，其实我们这个进水速度它可以指向任意一个方向，然后这个长度它是个五根二，对不对？所以说就是以这个地方为圆心去画一个圆， 画一个半径为五根二的圆。好的，你看就比如说我们这个船他在进水中的速度，他在这个方向，那这时候是不是水速再加上进水中的速度，到最后这个河速度就是长这样的，对吧？这就是我们的这个位。 那所以我们现在的目标是怎么样呢？我们现在目标就是就是垂直于这个河岸，哎，这样去过这个长江，那所以说啊，我们可以考虑让我们这个船在进水中的速度，我们这样去开， 最终呢就能保证我们的这个核速度是黑色的长这样的。这时候我们来看这个地方，它的这个膜长，它应该是个五，然后这个红线是不是它的这个膜长，它是个五跟二， 然后这个黑色的是我们最终的这个速度，它的这个速度是多少呢？因为我们知道这里应该是个直角，所以说这是一个一，一根号二等腰，直角三角形，所以啊，这边它也是个五，所以我们就知道了，如果我们要使这个航程最短，我们就让船在进水中的速度是这样一个方向，最后呢使得这个核速度它是垂直于我们这个对岸的， 那这样的话核速度最后他是五千米每小时，那五千米每小时的话，嗯，其实就是一小时去走五千米吗？那想走一千米的话呢，其实我们就需要零点二个小时，对吧？零点二个小时，那他就应该是 d 选项十二分钟， 好的，那这是这个第四个题目，那当然呢，在物理中我们还会考虑另一件事，是不是就是如果我们想让这个时间最短的话，那怎么办呢？那如果让时间最短的话，是不是我们直接就是让这个净水中的速度，他始终就是朝向对岸的，所以说这时候他时间最短，他就应该是用这个一千米， 然后他再去除以我们的这个五根二千米每小时。注意啊，我们这里涉及到一个单位的转化，这就是这个时间最短，那我们所需要的最短时间是这些。 第五题，嗯，这是一个双曲线交点在 x 轴上，现在呢，我们在双曲线的左值啊，任取两个不同的点， p 一 和这个 p 二，然后它都能满足这个 x 一 乘 x 二，加上 y 一 乘 y 二，它是大于零的。 那你看这个东西它其实是什么呀？如果我们去取一个 o 点，它是零零，它是个圆点的话，那这玩意它不就是两个向量的点乘吗？ o p 一 向量去点乘， o p 二向量它是大于零的，那这说明什么呢？那这说明咱们的这个角，比如说我画一画啊，这是这个 o 点，这是这个 p 一， 嗯，这是这个 p 二， 是不是？这就说明咱们的这个角 p 一 o p 二就是这角 他就应该是小于九十度的，对不对？他应该是个锐角，哎，这个地方我问一下哈，就是向量点乘他大于零，其实并不意味着他就直接是个锐角，是不是？他也有可能是怎么样的？有可能是 p 一、 p 二和这个 o 点三点共线，或者说这个 o p 一 和 o p 二他是同向的， 那这个地方应该不能是同向的，对吧？所以说他肯定就是个锐角，那这样的话，也就是说我们这个 p 一 和 p 二无论怎么去取，我们都要保证这个角度他是小于九十度的。你看我们这个双曲线，他是有渐近线的。 最大的话，首先我这个 p 一 和 p 二肯定是不能取同侧的，你想吧，这个 p 二取在这， p 一 取在这，那这个角度它肯定非常非常小，对不对？肯定非常非常小，我们现在是想去找他，哎，什么时候尽量大这时候啊？其实随着我这个 p 一 它越来越靠左， 是不是？你看这样这样，这样，这样，是不是随着我这个 p 一 它越来越靠左？那最后这个 p 一 和这个 o 点的连线，是不是它和我们这个 x 轴成的角度是越来越大的呀？对吧？再画一下哈，大家感受一下，是不是这样的越来越大的， 那对于我这个 p 二也是一样的，随着我这个 p 二它越来越靠左，是不是 这个 o p 二，它和我们这个 x 轴成的角度也是逐渐增大的呀？所以说咱们的角 p 一 o p 二，如果想让它取得更大一些，我们就让这个 p 一 和这个 p 二，哎，让它离着咱的这个外轴更远一些，对吧？ 所以说当它离得非常非常远的时候，实际上我们这个 o p 一 和这个 o p 二，它就接近于这个非常贴近于我们的这个渐近线了。哎，所以说我们这个角度，它最大 是能无限的去逼近于咱们这两条渐近线所成的这个角度，对不对？所成的这个左右的这两个角度。所以说呀，是不是我们得去让这个角度，比如说我把这个角度设为 b 塔，我们这个角度角 p 一 o p 二，它是始终小于这个 bit 角，或者说它的这个取值区间就应该是零到 bit， 然后这玩意呢，它是小于九十度的，所以说我们这个 bit 它的最大取值它就应该是个九十度。 所以我们这个 beta 角的一半呢，是不是它的最大曲值它就应该是个四十五度？所以说我们这个间歇线的斜率呢，它是不是就应该是小于等于一的？哎，那我们就可以列出来了，是不是咱们的这个间歇线斜率应该是怎么样的？它在焦点在 x 轴的时候是 y 等于正负 a 分 之 b x， 那在这呢，我们这个 a 就是 a， 然后这个 b 呢，他应该是个根号二，所以我们要求他应该小于等于贪婪四十五度，然后等于一。当然其实我们就是他不是找一个离心率的这个临界吗？哎，我们知道就是等轴双曲线，他是个临界的情况，那肯定就是 a 等于 b 吗？所以说这时候直接选 c 啊，考试的时候你就不用再多想了， 我们还是继续给大家推一推，是不是这个 a， 它就会大于等于这个根号二，所以说我们这个离心率 e， 那 我们去写下这个 e 方吧， e 方它应该是 c 方，再去出一个 a 方，那对于这个 c 方呢，它是 b 方，再去加上一个 a 方，它再去出一个 a 方， 所以这家伙呢，它是 e， 再去加上一个 a 方分之 b 方， b 方呢，它就是个二，而这个 a 呢，它是 a 方，大于等于二，所以说 e 呢，它会小于等于根号二，所以说它的最大值是个根号二。 当然考试的时候，你只要意识到这个零件是个直角，直接就选 c 就 可以了。哈，好，第六题第六题首先是给了这个式子，哎，那我们先把它去处理一下，你看，首先这家伙， 这家伙的话，它是个 log 二，二根二 a， 那 我们可以把它去写作就是 log 二抵 a， 再去加上一个 log 二，去抵上一个二分之根号二，是这样吧，那这个二分之根号二，它其实是个根号二分之一， 他其实就是这个二的二分之一次方分之一，他其实是二的负二分之一次方，对吧？所以说这家伙他就是个负二分之一，所以啊，这家伙他等于 log 二比 a， 再去减掉一个二分之一。哦，好嘞，然后继续啊，故计重施， 是不是咱们 log 三去抵上一个三根三 b， 那 他就是等于 log 三的 b 再减掉一个二分之一啊，同样的方法哈，不重复了。 log 三去抵上一个三分之根号三，他肯定是等于一个负的二分之一的。最后这家伙，嗯，这家伙的话， 你看，我们可以选择对他的这个底数和真数同时去取一个倒数吧，然后他就变成了 log 五去抵上一个根号五分之 c， 这没问题吧？算了，我再给你写写吧。那就是 log a 抵 b， 是 不是我们说 a 的 m 次方去抵上一个 b 的 n 次方，它会等于这个 m 分 之 n， log a 抵 b， 那这时候啊， m 和 n 都去取负一的时候，你会发现，是不是这里它就是个一。所以说我们得到 log a 的 负一次方，去抵 b 的 负一次方，它会等于 log a 抵 b 啊，这里我们就是把这个底数和真数都去取了个负一次方。哦，好的，那这玩意它会等于 log 五抵 c， 然后再减掉一个 log 五抵根号五， 那就是减掉一个二分之一，就是这三者相等，对吧？这三者相等他都有一个减掉二分之一，所以说二分之一咱就不用管了，我们得到的式子就是 log 二抵 a 等于 log 三抵 b， 等于这个 log 五抵 c 啊， 我们可以把它去令成一个小 t， 然后我们去看一下 t 在 不同取值的时候，咱在 abc 的 取值，它到底是怎么样的？这样的话呢，就可以去排除一些答案， 这是第一种思路。哎，你看，比如说我们让 t 取一个负一，那这时候我们发现这个 a 呢，它是个二分之一， b 它是个三分之一， c 是 个五分之一， 那所以对应的是哪种情况？ a 大 于 b 大 于 c， 对 吧？所以 c 选项 c 选项它是可以成立的哈，可以成立的，所以我们得把它排除 好。第二种情况，比如说我们让 t 等于零，那 t 等于零，那是不是 a 等于 b 等于 c 等于一啊？ 哎，所以说，是不是 b 选项我们得把它排除。那第三种情况， t 等于一，那是不是 a 等于二， b 等于三， c 等于五呀？所以说呢，是不是 c 大 于 b 大 于 a 啊？所以说 d 选项咱们得把它排除，所以说 a 选项它就是最后的答案，非常轻松啊，非常愉快。好，除此之外，还可以怎么办呢？我们还可以去画图像呢， 画谁的图像？是？我们可以去画 log 二底 x、 log 三底 x 和 log 五底 x 它们的图像，我们把它画在一张图里面，画在一张图里面，比如说这是我们的这个坐标系，然后在这呢，我们可以去画一下这个 x 等于一， 他们都应该是过这个一度耗零的，只不过这个 log 二 d x 呢？它是不是会增的更快一些？哎，这是我们的这个 log 二 d x， 然后这个 log 三 d x 呢，它也是单调递增的，只不过它增的速度呢，应该是适中。那这样我们这么去画， 然后最后啊，我们这个 log 五 d x， 它增的会慢一些，它增的会慢一些。 好的，嗯，标一下啊，这是我们 log 三底 x， 这是我们这个 log 五底 x， 那 你看，我们去画一下这个 y 等于 t 这条直线，如果我们这个 t 它是大于零的，这时候啊， a 它会小于 b， 小 于 c 啊，如果我们这个 t 它是小于零的，画一下啊， 这时候是不是咱们这个 a 它就会大于 b， 就 会大于 c 啊，那如果题等于零呢？是不是 a 等于 b 等于 c 等于一啊？好的，那这就是这个问题了。然后我们看下一个，哎，下一个题目啊，这个题目考场上难倒一批同学，但实际上他还挺简单的，前提是你得把人家这个规则读明白啊。 他说一张这个 ai 型号的纸张呢，沿着这个长边中点进行裁剪，那分开之后呢，得到的是两张 ai 加一型号的纸张， 哎，就比如说呢，他说 a 零纸呢，去对裁之后呢，得到两张 a 一 纸，然后 a 一 纸对裁，去得到两张 a 二纸，然后如此循环下去，对吧？就是我们可以去画个图，去画个图，比如说是这样的， 比如说现在它就是我们这个 a 零纸，然后 a 零纸我们要去取长边的中点，这么一连，这么一连，这一半呢，它就是一个 a 一 纸，对不对？能读明白哈，没有问题啊，他说 a 零型号的这个纸张的面积是一平方米，那还是真不小呢哈， a 十纸呢，是一个最小的规格，再小可能就不太有用了哈，然后他说第三个所有 a i 型的这个纸张长宽比它都是不太有用了哈，然后他说第三个所有 a i 型的这个纸张长宽比它都是不太有用了哈，然后他说第三个所有 ai 型的这个很有用的信息啊， 后续去找这个周长的话，是不是我们得去确定一下这个 a 零这个纸，它的这个长和宽到底是怎么样的？但是它告诉我们这个条件加上这个面积，实际上就能求了。为什么呢？看我们假设这个 a 零纸，它的这个长呢？它是一个小 a， 然后它的这个宽呢？我们假设它是一个小 b， 那 这样是不是我们知道长宽比它就应该是 a， 去除一个 b， 好 的，然后我们裁剪之后是不是得到这个 a 一 值？那 a 一 值，我问你，它的长是什么？它的长是不是这里，对吧？它的长就是我们的小 b 啊？ 那它的这个宽呢？它的这个宽是不是就是我们的这个小 a 啊？啊？不是不是小 a 了，是二分之 a 啊，对不对？ 所以这样呢，我们是不是就得到了这个二分之 a 方，它会等于个 b 方。同时我们还知道它的这个面积是一平方米来着， 也就是说 ab 相乘，它应该是等于一的。然后由上面这个式子呢，我们可以得到这个 a 方，它是等于二 b， 那 就是 a， 它会等于根号二 b， 那 么我们一算的话，来利用这个式子和这个式子，这两个式子一算的话，就是我们得到了这个根号二 b 方，它是等于一的，所以说这个 b 方呢，它会去等于根号二分之一， 或者说这个二的负二分之一次方，那这样的话，是不是我们这个 b， 它就会等于二的负四分之一次方？ 所以啊，由此我们就可以去解出来，咱们这个 b， 它会等于二的负四分之一次方，咱们这个 a 呢，它会等于二的四分之一次方。那这样我们可以去写一写啊，你看我们这个 a 零的长， 他是二的四分之一次方， a 零的宽，他是二的负四分之一次方，那经过这个对才对才的话，是不是原先的这个宽，他就变成了 a 一 的这个长，所以说 a 一 的这个长呢，他就是二的负四分之一次方，而这个 a 一 的这个宽呢？ 他是不是就应该是原先 a 零的这个长，再去除以二啊？他是个二分之 a， 记得吧？他应该是个二的负四分之三次方。你这么一看，是不是 他俩首先他这个长宽比是一样的，说明什么？说明这个长方形他应该是相似的，对吧？他这个相似比是多少呢？就是从他到他，他应该是除以了个二的二分之一次方，也就是说是除以了个根号二，或者说相当于是去乘了一个二分之根号二。那既然这个 相似比是个二分之根号二，是不是周长之比，他肯定也是变成了原先的二分之根号二。我问你面积之比呢？面积之比他应该是相似比的平方。 我觉得这个初中应该很熟悉啊，就是相似三角形，比如说这是一个小三角形，这是一个大三角形，我们说它的相似比是一比二，它们的长度对应长度对应边长之比呢？它是个一比二，对应周长之比，它是个一比四。 所以说呢，它这个面积之比是不是就应该是乘了个二分之一？哎，这是不是也和我们这里的对才去对应起来了？你看对才嘛，一分为二的话，那后者肯定是前者面积的二分之一， 我们也可以通过这个角度呢，去得到。那我们这个相似比，它应该是个二分之二，也就说后者的周长应该是前者的二分之二。既然是这样的话呢，哎，我们就知道我们可以去把这个 a 零这个值，它的这个周长设为 c， 比如说我们就直接设为 c 吧，它这个 c， 它应该是二，再去乘上一个 a 加 b， 那 就是二的四分之一次方，再去加上一个二的负四分之一次方。 而我们这里最后的目标呢，是每种型号的纸各取一张，问，所有纸张的这个周长之合，从 a 零到 a 十，注意哈，这是多少种纸？这是十一种纸啊，你千万别按照十种去算了啊，十种去算，你就选 d 选项去了，想都不用想，我就知道，如果你选出来这个 d 选项，你肯定是等比数列的时候，你那个 n 就 使用的这个十。 好，那这时候呢，我们去算一算哈，那这个 a 零是不是它的这个周长，它就是 c， 那 a 一， 它就是二分之根号二 c a 二呢，它就是二分之根号二的平方 c， 然后一直加加加， 加到这个 a 十，就是二分之根号二的十次方 c， 那 这玩意啊，它会等于把 c 提出去啊，把 c 提出去剩下的部分，它是一，再去加上一个二分之根号二一次方，再去加上一个二分之根号二平方，一直加加加加，加到这个二分之根号二的十次方。 好，那这东西它是 c， 再去乘上 c， 再去乘上啥呢？用比数来求和，对吧？第一项，它是个 a 一， a 一 的话，它是个一，然后一，再去减掉一个二分之根号二的，注意哈，这里应该是十一次方， 然后下面他是一，再去减掉一个二分之根号二。好的，那我们把这个 c 给他带进去吧。 c 的 话，他是二，再去乘上一个好像是二的四分之一次方，再去加上一个二的负四分之一次方，是这样，对吧？然后嗯，他再去乘这个东西，乘这个东西，这怎么算呢？ 怎么算呢？你看这是一减去二分之根号二的十一次方， 那就去化简一下前面这个东西，那这东西怎么化简呢？你看对他来说，对他来说，我可以上下同时去乘个二，上下同时去乘个二的话，下面他是个二减根号二，上面他是个二，然后二去除一个二减根号二，请问得到什么？是不是肯定得到二加根号二，所以这里啊，我们直接把它写成二加根号二。 好，那接下来往哪个方向去整理呢？你去看我们四个选项啊，是不是这一部分它都是有的，对吧？那前面呢？你看它都是往这个根号二加一的平方这个方向去整理的，对不对？所以说这边我们也去往这个根号二加一的平方方向去整理， 你看这个地方它是一个二，对吧？那这个地方它是二的四分之一次方，去加二的负四分之一次方，哎，所以说啊，我们可以从二里面给它分出来一个四分之一次方，留下一个四分之三次方。那这样的话，是不是 这两个货我们让它去结合一下，你就会发现这个整体它就是一个根号二加一， 然后后面呢，他是二加根号二，那二加根号二的话，是我们可以把它写成二的二分之一次方，然后他再去乘上一个根号二加一，那是不是这里他又出了个根号二加一，然后再去乘上后面这个中国号里面这一堆东西， 对吧？所以说啊，我们最后就出来了，他应该是二的四分之三次方，等于乘二的二分之一次方，那就是二的四分之五次方，我们可以把它写成两倍的四次根号下二，然后他再去乘上一个根号二加一的平方，然后他再去乘后面的一对。所以这个题目让我们对照一下，是不是应该选择这个 c 选项， 我们再看一下这个第八题，第八题呢是抛物线方程， y 方等于二 p， x p 是 大于零的。最后让我们去解 p 呢，就确定一下这个方程交点是这个 f 点 圆心呢，是在这个 x 轴上圆 e， 他 和我们这个抛物线在第四象线有且只有一个公共点 m， 那 说明他在这边其实也是会有一个公共点的，对吧？然后后面解释一下，他说这个他们在 m 点处的切线呢，是同一条直线，那我们肯定要把这个切线画出来嘛，人家都说了这个切线 好，后面你看他给我们这个条件啊，他说 m 点，他的横坐标是三 x m， 它等于三， 然后这个角度 f m， e， 它是一个六分之派，你看这个角度都告诉我们了，如果你知道抛物线的光学性质，哎，这个题马上就可以推进这个抛物线的光学性质，它是这样去说的，哎，就是如果有一束光，它是经过我们这个抛物线的焦点，然后去打到这个抛物线上，那这时候经过我们这个抛物线的反射， 它一定会去平行于，哎，抛物线的这个轴四个字记住过，交平行。 好的，那根据我们光路是可逆的。所以说啊，如果你是平行于我们这个抛物线的轴，过来之后，是不是 它也一定会去经过反射，它是过焦点的啊？所以说我们把它去记作为平行过交啊，过交，平行平行过交，那非常简单啊，抛物线光学性质，那这个光学性质它肯定得遵守这个我们的反射定律嘛，对吧？反射定律告诉我们是不是应该是垂直于我们这个， 嗯，这个，这个红色的切线，对吧？所以说这个 e m 呢，我们应该可以把它称为这个叫法线，对吧？哎，然后法线这边会有一个反射角，反射角呢，它会等于入射角，所以啊，这个角度它是个三十度，它这角度它也是个三十度。哎，这图画的真好啊，你看，把一个六十度的角画成一个钝角， 不去说它了，我们继续去推进这个题目。那你看啊，这条线和这条线它是平行的，平行的话，是不是同旁内角应该是一百二十度。 标一下啊，一百二十度，哎，那我问你这个角度是多少啊？肯定是三十度吗？你三角形都知道两个角了，剩下一个角肯定是三十度，所以再标一下这角度他就是三十度。 这样的话，是不是我们就知道了，这个三角形他应该是我们熟悉的一一刚好三的三角形，对吧？等腰三角形，等腰三角形。好的，那现在啊，我们知道这个 m 点的横坐标了，那知道 m 点的横坐标了，其实我们就可以去翻译一下这个 fm 的 长度了。你看 m 点到 f 的 这个距离， 它一定等于 m 点到准线的距离。那 m 点到准线的距离是不是 x m 再去减掉一个负的二分之 p， 所以 说它会等于三，再去加上一个二分之 p， 同时啊，我们又因为它是一个等腰三角形，我们知道了这个 f m， 它会等于 f e， 哦， 然后我们知道这个 f 点的坐标，它是个二分之屁，逗号零。是不是？我们就知道了，这个 e 点的坐标应该是在 f 点这个横坐标的基础上，再去加上了一个三加二分之屁，所以这是个二分之屁，这是个三加二分之屁，加在一起，它是个三加屁，逗号零。 那这样啊，是不是 e 点坐标表示出来了 m 点坐标呢？嗯，是不是我们可以把它的这个纵坐标去求一下啊？你看 m 点横坐标，它是个三，横坐标是个三的话，带进去 y 方，它等于个六 p， 所以 说 y 它等于个负的根号下六 p， 所以 说 m 点的坐标我们可以写成三，然后负的根号下六 p。 那 最后我们怎么去翻译这个条件呢？ 我们用用用这个角是不是会更简单一些？为什么？因为 e 点和这个 m 点我们都写出来了呀？这样我们可以直接去写这个 e m 的 斜率啊，对吧？这个 e m 的 斜率，这个角度他是个三十度，他最后应该等于个三分之根号三，或者也可以怎么样呢？也可以去用 我们这个 fm， 是 不是他的这个斜率，你看这个角度他是个一百二十度，所以说我们用这个 f 点的坐标和这个 m 点的坐标，是不是表示出来这个斜率他应该是个根号三 啊？虽然这个图画着好像这个斜率是负的，但实际上他的这个斜率就应该是根号三，对吧？哎，甚至我们后一种方法，我们连这个一点坐标都不用求了啊，好像真是这样的哈，甚至一点坐标都不用求。那你看，我们去写一下啊，这个 k f m， 他 应该等于我们用这个零再去减掉一个负的根号六啊 p， 然后用这个二分之 p 再去减三，所以它上面它是一个 根号六 p 下面它是一个二分之 p 再去减三，然后最后这家伙它会等于一个根号三。我们上下，呃，不是上下了，应该是左右同时去平方，它就变成了这个六 p， 它去除以下面是二分之 p 减三的平方，然后它会等于一个三， 所以由这个式子呢，左右两边我们把三划掉，我们就得到了这个二 p， 他 会和这个我们的，我们的这个分母是相等的，就是二 p， 他 会去等于二分之 p 再去减三的平方， 我们这个 p 估计得相对大一些，对吧？四个选项往里带吧，我们就不去减他了。 a 选项 p 等于十八三十六， 这边是什么？这边是九点三的平方，哎， a 选项就是正确答案，对吧？第九题，下列说法正确的是，你看他说成对的样本数据啊， x y i 他 都坐在同一条直线上，则变量 x 和变量 y 之间这个样本相关系数呢？满足这个二的绝对值等于一，肯定是这样的，对吧？二等于一或者负一，它是完全正相关，完全负相关。 a 选项正确， b 选项 p a 大 于零， p b 大 于零。然后他说啊，事件 a b 相互独立，和这个事件 a b 互斥，不能同时成立。如果这个 a b 相互独立的话，他就得满足 p a b， 它等于 p a 再去乘上一个 p b， 这时候其实就意味着 p a、 b 它是大于零，对吧？就是如果事件 a、 b 相互独立，那则 p a、 b 是 大于零的。那如果 a、 b 互斥呢？是不是它能够推出来咱们这个地方的 p a、 b， 它应该是等于零的。 p b 互斥就是不能同时发生嘛？所以说 p a、 b 等于零， 所以这两者是不是它是相互矛盾的哈？就是如果左边成立，则 p a、 b 大 于零，如果右边成立，则 p a、 b 等于零。所以呢，它俩这两个事呢， 他是不能同时发生的，或者说这两个事他是呼哧的，对吧？ b 选项正确的， c 选项独立性检验，进行推断两个分类变量的相关性啊，然后他让我们把这个所有的数据都去扩大到原来的十倍，相同的检验标准下呢，结论不受任何影响，这肯定是错的呀。你想啊，你这个样本数据都扩大到了十倍， 统计的多了，你的这个结论肯定会更可靠一些，犯错误的概率肯定会更小一些啊，这我们定性上去分析，如果我们定量上去分析呢？哎，这是由于我们的这个咖方呀，它本身并不其次。我给大家去写一下，这个咱们的咖方是不是它会等于， 嗯，这个 n 再去乘上一个 a d 减 b c 的 平方，然后下面它是 a 加 b， c 和 b 加 d， 你 看它不是其次的 啊，我这个地方的 n， 我 这个地方 n 是 多少啊？我这个地方是 n 是 n， a 加 b 加 c 加 d， 对 吧？ 所以你看哈，这是个二次的，它在平方它是个四次的，然后再去乘前面这个一次的，所以上面它是个五次的，但下面它是个四次的， 所以如果你每个数据都扩大到原先的十倍，是不是我们这个咖方就要乘十 近的话呢？你可能把这个 a 去替换成这个十 a， 把这个 b 呢去替换成这个十 b， 把这个 c 呢去替换成十 c， 把这个 d 呢去替换成这个十 d， 在 这时候你会发现下面是变成了原先的十的四次方，上面呢是变成了原先的十的五次方，所以我们这个咖方呢， 是不是它会变成原先的十倍？ 所以他这个结论呢，是不是可能会受到一定的影响，对吧？当然也有可能不影响，为什么有可能不影响呢？大家可以理解吗？ 比如说你原先啊，你认为他在犯错误概率不超过百分之五的情况下，可以认为他们是相关的，那你这个咖方变成十倍了，是不是他肯定还是相关的，对吧？这个结论呢，是可能会受到影响。这个 d 选项呢？ d 选项是一个非常经典的问题，他在我们这个数学必修第二册统计那个地方有一个男生女生，嗯，这个身高。 这个问题呢是这么讲的，就比如说呢，有这个 m 个男生啊，男生的平均身高是 x 八，男生的方差呢，他是 s 一 的平方，然后有 n 个女生，女生这个平均身高呢，他是 y 八，然后女生的这个方差呢，他是 s 二的平方，然后让我们去估计总的这个平均数，总的平均数这个 z 呢？ z 八，它会等于，应该是啊，我们 m 加 n 分 之 m， 那 就这个东西它应该是男生在所有人中的占比，对吧？这是个比例系数，然后它再去乘上一个 x 八，去加上一个女生的比例系数 m 加 n 分 之 n， 它再去乘上一个 y 八，是这样的， 那当然了，你也可以认为它是 x 八和 y 八的一个加权，前面呢是它的这个权重， 然后对于这个方差呢，方差这个式子你要去记一记啊，就是总的这个方差大 s 方。注意啊，我们这里要用男生的方差，再去加上男生的均值，减掉总的均值 的平方，然后这东西再去乘比例系数，比例系数是 m 加 n 分 之 m， 然后再去女生呢，再重新干一遍， m 加 n 分 之 n， 然后用这个女生的方差， 再去加上女生的均值，减掉总的均值平方。好，我们这个题呢，就是去考的这一点，你看他说这个 x 一 到 x m， 他的平均数和这个方差， y 一 到 y n， 他的平均数和这个方差，然后他说这个混合之后，平均数和方差分别表示成这样，然后他说 z 八呢，它是二分之一 x 八，再加上 y 八，我们刚才说了，是不是这个 z 八，它应该会等于 m 加 n 分 之 m， m 加 n 分 之 m， x 八，再去加上 m 加 n 分 之 n， 这个 y 八啊，所以说呢，你看现在它前面的权重是不是都是二分之一啊？啊？都是二分之一，说明什么呢？说明 m 等于 n， 对 吧？ m 它是等于 n 的， 所以说它的这个权重均为二分之一。 然后这时候是不是我们去按照那个式子去写一写我们这个 s z 的 平方，那 s z 的 平方，它会等于比例系数，再去乘上是不是 s x 的 平方，再去加上 x 八，减掉一个 z 八， 这东西的一个平方，他再去加上一个二分之一，是不是后面他是个 s y 的 平方，再去加上一个 x， 不是 x 了 y 吧，再去减掉一个 z 吧， 他的这个平方，那你看这东西是不是他肯定大于等于零，他也大于等于零，所以说这玩意他大于等于二分之一倍的这个 s x 的 平方，再去加上一个 s y 的 平方，那完全没有任何一点问题啊。那如果我们这样去看的话，这个 d 选项好像就是对的了，对吧？但是你想啊，我们这个地方权重他一定是二分之一吗？ 哎，权重是二分之一，那肯定有这个式子，但是这个式子它不一定就能推出来权重是二分之一，为什么呢？也许有这样一种可能，比如说我这个 x 八，它是等于 y 八的， 当这种情况发生的时候呢？是不是我的这个 z 八，根据公式，它是 m 加 n 分 之 m， x 八，再去加上一个 m 加 n 分 之 n y 八，因为 x 八等于 y 八，那就比如说它等于一吧， 那这样的话，是不是这是一个一，这是一个一，他加他也是一个一。所以在这种情况下，是不是我们这个 z 八、 x 八、 y 八是不是都等于一啊？那这个式子是不是他也是成立的？也是成立的话，你看这种时候我们就不用要求 m 等于 n， 对 吧？比如说 m 他 是个三， n 是 个二， 他这里的权重可能是五分之三，这里的权重呢？可能是五分之二，但是由于 x 八等于二分之一， x 八加 y 八也能够发生，所以说这里他不能去推出来权重为二分之一， 他只能是去推出来权重，要么是二分之一，要么是 x 八等于 y 八。如果是前一种情况发生的话，那我们发现这个总的方差他确实大于等于二分之一这个平方两个方差的这个和。 但是如果是后一种情况发生， x 八等于 y 八，那这时候是不是我们这个 z 八也会去等于 x 八 y 八，那这时候是不是咱的这个 s z 的 平方，他就会等于应该是 m 加 n 分 之 m， 然后 s x 的 平方，然后它再去加上是不是 x 八，再减掉 z 八的平方，因为这个地方 x 八它等于 z 八，所以说它再去加上一个零， 然后它再去加上后面是不是 m 加 n 分 之 n x y 的 平方。对，这个家伙它有没有可能是小于右侧的？有可能，对吧？就比如说它小于右侧二分之一 s x 的 平方，什么时候它就小于了呢？我们举个例子，比如说 这个权重我们去取个五分之一，这个权重我们去取个五分之四，如果这个方差，这是一个十啊，这是一个零， 这是一个十，这是一个零，你带进去算算，是不是这边他就应该是个二，这边他就应该是个五，是不是二小于五？所以说这个 d 选项呢，他是不一定发生的， 定在哪呢？不一定就是这种情况， x 八有可能是等于 y 八的，那这时候这个二分之一啊，这个权重它是假的，它真实的权重，因为 x 八等于 y 八，它已经体现不出来了，选项呢，它应该是错误的，所以这个题呢，应该选 ab。 当然对于这个题目的这个 a 选项，哎，其实有同学提出来，他说都落在一条直线上，他可以是，比如说都落在一条水平的直线上， 这个 x 值在变化，这个 y 的 值，那它都是一定的，或者说落在数值的直线上，那这时候，哎，这个样本相关系数，它这个绝对值也不等于一啊。哎，我觉得你说的确实有道理，但是这个 c 选项 d 选项肯定是最明显的错误。多选择题，我们考试选个 ab， 但实际上这个 a 它可能也不太严谨，对吧？ 好的，第十题，正方体正方体又太熟悉了，他说这个 bc 一 和这个 bc 是 交于这个点， o 的， m 点是 ab 的 一个中点，然后正方体其余面的这个中心。啊，什么叫其余面呢？因为这个地方已经有一个面的中心了，对吧？其余五个面的中心分别是 e、 f、 g、 h、 i。 结论正确的是，首先 a 选项 d、 o 它是垂直于我们的 bc 一 的， d、 o 是 这条线， bc 一 是这条线垂不垂直呢？肯定是垂直的。为什么垂直？你看我们的这个 bc 一， 它其实是垂直于我们这个蓝色的平面的。 给大家画一画，是不是这样的？为什么它垂直于我们蓝色的平面？因为 bc 一 它垂直于 bc， 同时 bc 一 它还垂直于，比如说 cd， 所以 说它垂直于我们这个蓝色的平面内两条相交的直线， 比如说它垂直于我们这个蓝色的平面，那因为它垂直我们蓝色的平面，所以 d、 o 是 在这个蓝色平面里面，所以说呢，是不是它和我们这个 bc 一 就是垂直的？ a 选项正确， b 选项这个 d、 b 一 和 c、 m 所成的这个角度的正弦值是十五分之根号十五，哎，你这个我们就直接去用这个向量的方式吧。你看我们从这个地点去间隙， d、 a 呢，它是 x 轴， d， c 呢，它是个 y 轴，然后 d、 d 一 呢，它是个 z 轴， 这样咱们这个 d、 b 一 这个向量，它就是二二二，咱们这个 c、 m 这个向量呢，它就应该是 二负一零。哎，所以我们去找他们夹角的这个余弦值， 或者说加个绝对值吧。那这样的话，就是上面是两者点乘，两者点乘的话，二学乘二，二学乘负一，所以说是个二，然后下面呢，它就是两个的这个魔长二根三，再去乘上一个根号五，所以呢，它应该是个根号十五分之一，对吧？所以它的余弦值是十五分之， 根号十五，然后这里是我们两个向量的这个余弦值的绝对值，其实就是这两个直线他们夹角的这个余弦值，它是个十五分之根号十五，所以它只是个正弦值，呃，反正不是十五分之根号十五，具体是多少，你再用 e 减去这个 cos 方，再开根号就算了，反正不是这个 b 选项啊， b 选项它是错的。 c 选项 m 点它去到这个 a、 b、 e、 c 这个平面，我们看一下 a、 b、 e、 c 是 哪个平面呢？是这个平面。哎，这个平面是不是会熟悉一些啊？来，我们把它瞄一下啊，你看，为什么我们熟悉这个平面呢？这是因为啊，如果我们去连接一下这个 d、 e、 b， 我 们去连接一下这个 d、 e、 b， 那 这时候咱的这个 d、 e、 b， 它一定会去垂直于 面 a、 b、 e、 c 有 这回事吧？记得这回事吧，必须得知道啊，你看这是我们的正方体的体对角线，这个体对角线呢，它会垂直于这个面，它还会垂直于这个面， 哎，这个面，还有我们刚才画的这个面，这两个面呢，应该会把这个体对角线进行三等分，所以说呢，嗯，对于我们的这个 c 选项来说， 其实我们知道这个 b 它到平面 a b c， 它的这个距离，它应该是三分之一倍的。这个梯对角线 刚才我们已经说了哈，是三等分的啊，就比如说我们这个蓝色的蓝色的平面和这个我们黑色的线，黑色的梯对角线交于这个点，那就这段它应该是我们梯对角线的三分之一，也就是 b 到这个蓝色平面的这个距离。 那我们现在棱长是二提对角线应该是个二根三，所以说它应该等于个三分之二根三。那我想请问你 m 点它到我们这个蓝色平面的距离是多少呢？我们给大家画一画啊，画一画这个图，你看这是一个蓝色的平面， 然后这里有一个 b 点， b 点呢，它到我们蓝色平面的这个距离，它是一个三分之二跟三。然后这个 a 点呢，它是在蓝色平面上的 m 点呢，它是一个 a b 的 中点，所以说 m 点它到我们这个蓝色平面的这个距离，它应该是 b 点到蓝色平面的距离的一半。大家可以理解吧？ 就是这段它和这段应该是个中位线的关系，所以说它到我们这个蓝色平面的距离应该是 b 到这个蓝色平面距离的一半，所以说 c 点向它是正确的， 三分之三点向这个多面体，它的这个内切球半径，这个多面体非常简单啊，它不就是一个这个正八面体吗？ 是这样的，想去找这个内切球的半径，我们可以怎么样呢？我们可以用等体积法，我们去写这个三分之一，是不是 s 表面积，再去乘上一个内切球的这个半径，它应该会等于整个的体积，这个表面积是多少呢？是不是这表面积每一个面它都是一个正三角形，那比如说我们取这个中间，取这个中间，然后再取前面这个， 那这时候我们会发现是不是他每一个这个棱长，他都应该是都应该是个根号二，所以说我们这里表面积啊， 它会等于四分之根号三倍的 a 方，四分之根号三 a 方，它是我们这个等边三角形的面积公式。我们现在知道它的这个边长呢，它是个根号二，所以它再去乘上一个根号二的平方，然后就这家伙 它再去乘上一个八，所以最后出来呢，这个表面积它应该是个四根三，然后我们再看一下这体积，体积的话呢，首先这个面积我想问大家是多少？是不是对于这个它应该是个正方形，这个正方形它的这个 边长应该是个根号二，然后上顶上面这个点呢，到这个面的距离他应该是一个一，所以说这个上半个 正四棱锥，他的这个体积就应该是三分之一，去乘这个正方形的面积，然后再去乘这个高，他应该是个三分之二，然后下面是不是还有一半啊？是不是他又是一个这个三分之二，所以说他的这个 r 呢？他就会等于三 v， 再去除以一个 s 表， 它会等于四，再去出一个四根三，它等于个三分之根或三。呀，所以说怎么着呀？ d 选项正确的， 这个题目选择 a、 c、 d， 但是这个题他出的正方题啊，我们对正方题太熟悉了，如果你对这个非常熟悉的话呢？我觉得这个题从读题到选结果一分钟都用不了。接下来我们再看第十一题，十一题他说给了一个这样的函数， f x， 首先 a 选项，它的最小正周期是派。 那我们看到哈，这里有一个二分之一倍的三 e 二 x， 那 三 e 二 x， 它的这个最小正周期肯定是个 pi， 对 吧？那关键我们就去看剩下的这两个家伙，剩下这两个兄弟，他的这个最小正周期是 pi 吗？好像看上去不是很靠谱呀。你看，比如说我们可以去试一下，我们只看三 e x 加上三分之一倍的三 e 三 x 啊，我们看一下，当 x 等于六分之 pi 的 时候，它的取值应该是多少？这是一个二分之一，然后这边是三分之一，再去乘上一个一，它应该是个六分之五。 好，那我们再试一下哈， x 等于六分之七派的时候，你把它带进去的话呢？嗯，这里应该是个负二分之一，然后这边它应该是三零二分之七派，那就是个负三分之一，你算出来它是个，它是个负的六分之五了哈， 那所以说是不是就这一部分它的这个周期，反正不是派，对不对？所以说它的这最小正周期是派，然后这一部分最小正周期它不是派，你加在一起，那肯定最小正周期也不是派， a 选项是错误的，而且啊，就是我们也可以怎么样呢？就是我们可以去把这个 这个地方算一算三 x 加派和算一算三 x， 再去加上一个三派，那这样的话呢，我们会发现它应该是等于一个负的三 x， 再去减掉一个三分之一位的三 x 三 x。 所以说啊，我们知道如果我们去令它是个 g x 的 话，我们这个 g x 加 pi， 那 它还得等于负 g x 呢。好的啊，总之 a 选项错误的， b 选项 f x 图像它是关于 pi 多号零中心对称的。那你看，首先三 x 它关于 pi 多号零中心对称，哎，我们说对于这个正弦函数或者余弦函数，它的这个对称中心就是取零的时候，对不对？就这 这这都是他的对称中心，都是他对称中心，所以说呢，三 x 他 肯定是关于派多号零对称的，那对于他来说呢，你把派带进去，你把派带进去的话，三二派他是不是也是零啊？所以说对于这部分来说，他也是关于这个派多号零对称的。同理，你把派带到这里面去，算出来也是个零 x 等于派代数算出来是个零，所以说它也是关于派多少零中位对称的。所以说这三个家伙它都是关于派多少零中位对称的，它是不是整个的 b 选项它就是正确的，对吧？这是 b 选项第一种方法， b 选项的法一就是三个部分均关于 派零对称，当然你肯定还有其他的方法了。第二个方法，我们可以去计算一下 f 二派减 x， 然后找一找它和我们 f x 之间的关系， 这个就教给大家了哈，你最后会发现这东西，那这样的话你就知道了。诶，是不是由这一点我们就知道 f 二派减 x， 它再去加上一个 f x， 它会等于零，说明什么呢？说明我们这个括号里面的这两套东西，比如说它是 x 一， 它是 x 二， 如果 x 一 加 x 二等于二派，或者说 x 一 和 x 二平均数，它是派的话，那是不是我们这个二分之 f x 一 去加 f x 二，它会等于零？那翻译成人话不就是横坐标关于派对称，纵坐标就关于零对称吗？ 对吧？所以 b 选项正确的 c 选项研究它在四分之派到四分之三派的单调性。那研究单调性，我们首先想到的肯定是就直接看，直接看的话呢，你会发现四分之派到四分之三派，它应该是先增后减的，然后这家伙呢，它应该是是单减的， 然后这家伙呢，是他也会有自己的这个单调性。哎，总之啊，这个好像没法直接去看，没法直接去看，我们就想到再去求导试试。求导的话， f p x， 它等于 cos x， 加上一个 cos 二 x， 再加上一个 cos 三 x， 哎，那我们去判断这个导数的正负性，然后从而去看我们这个原函数的单调性，对吧？ 判断导数的正负性的一个强有力的手段是什么呢？就是阴式分解，一定要明白哈，就是在导数里面，阴式分解它是占据着非常非常非常高的地位的， 哎，就比如说我给你写个式子，这个 x 方减五 x， 然后他再去加六，然后比如说我让你判断一个 x 的 取值，它的是正是负，你可能不太好判断，但是我把它写成 x 减二，它就乘上一个 x 减三的时候，哎，你就可以去分别考究这两个东西，它到底是正是负了，对吧？它能够把一个复杂的式子的， 复杂式子的，嗯，这个这个东西的判断正负变成若干个简单式子的，这个判断正负分别是判断正负，这是我们数学中一个叫分而治之的思想，对吧？ 那在这里怎么样去因式分解呢？你看，这里有个 cosine 二 x， 哎，这是个 cosine x， 这是个 cosine 三 x。 是 不是我们想到了对它俩进行这个叫核叉化机，对，这个 cosine 加 cosine 的 核叉化机， 我们可以把这个 cosine x 呢给它去视作为 cosine 二 x， 再去减掉一个 x， 嗯，把这个 cosine 三 x 呢去视作为 cosine 二 x， 再去加上一个 x， 那 前者呢？它就是 cosine 二 x cosine x， 再去加上一个 cosine x 啊， cosine 二 x cosine x， 然后后者呢，它就是 cosine 二 x cosine x， 然后它再去减掉一个 cosine 二 x cosine x。 哎，所以啊，给这俩货加起来， 是不是这两对冤家就给他请走了？剩下的呢，是不是就是两倍的 q 三二 x q 三 x 啊？所以啊，就变成了这个 q 三二 x， 他 是不变的，然后他再去加上 q 三二 x， 再去乘上一个 两倍的 q 三 x， 所以 啊，它就变成了 q 三二 x， 它再去乘上一个一，加上两倍的 q 三 x。 哎，当然啊，你熟练了，我觉得你应该是一步过来的啊，一步过来的，所以说，哎，我们就去分析就这个式子它的这个正负性，分析它的这个正负性，我们就去找它零点吗？找它零点还不简单？那么前面等于零，要么后面等于零。 如果是前面等于零的话，那要求我们这个 x 它取一个四分之派，四分之三派，四分之五派等等等等。如果要求后面这东西等于零的话，那就是我们 q 三 x， 它要去取一个负二分之一，那它要取个负二分之一的话， x 它应该去取一个，嗯，比如说是这个三分之二派，对吧？ 或者说这个三分之四派是不是也行？对对对对，现在啊，我们要分析的这个区间是四分之派到四分之三派的，我发现啊，在这个区间里面是不是有这个三分之二派作为他的一个零点啊？所以说呢，我们可以去分析一下，你看在这个四分之派到这个三分之二派的时候呀， 咱们 cos 二 x， 它应该是个负的小于等于零的啊。准确的说 cos 二 x 人家是小于等于零的，咱们的一加上两倍的 cos 二 x， 它是大于等于零的，这么一乘呢，咱们 f 撇 x， 它是小于等于零的，所以 f x 单调递减啊，你分析到这下面都不用分析了， 这一段已经单调递减了。 c 选项直接错啊， b d 直接选直接下一题了，你说这卷子你会啊？他也是真好做，你仨多选择题加起来五分钟直接走人了，选项看都不用看啊。当然我们现在去讲的话呢，我们也去说一说这个 d 选项，你看对于这个题目，我们去研究它的零点，首先我们可以关注到这个 f x， 呃，我们刚才说呢，是不是这东西如果我们把这个 x 加派带进去的话，我们发现呢，它会变成一个相反数，所以说呢，这东西它的这个周期会有一个二派，它的这个周期也是个二派。所以说我们这个 f x 是 不是首先它的这个周期 它最小正周期就应该是个二派？然后我们又知道，你看 b 选项，其实我们它是关于这个零零中心对称，对吧？关于零零中心对称肯定也关于零零中心对称，你看他们都是关于零零对称的， 所以啊，他还去关于零零对称，那所以说我们要去分析零点的话，我们只去分析零到派这一段上就行了， 你想想是不是这么回事？你只要把零到派分析明白了，负派到零，根据这个关于零零对称是不是就能对称出来？然后这样的话，我们是不是就得到负派到派这样一个 这样一个完整的周期了啊？完整周期也是一样的，所以说我们只去分析零到派就不行了，分析这个零到派呢？那我们绕不开去分析这个单调性，那分析这个单调性呢？是不是我们可以在前面去分析， 在前面呢，我们已经分析了这一段了，在它之前呢，应该是有个零到四分之派它的这个单调性，这时候我们发现这个 cosine 二 x 它是大于等于零的，一加上两倍的 cosine x 它也是大于等于零的，所以说咱们 fpx 大 于等于零，在这段上我们 fx 它应该是单调递增的。 然后下一段呢是三分之二派到，这个三分之啊，不是应该是四分之三派，那在这段上我们这个 cosine 二 x 它还是小于等于零的，一加上两倍的 cosine x， 它应该是小于等于零的。此时我们 fpx 它是 小于等于零，不是，应该是大于等于零，然后 f x 它应该是单调递增的，然后在这个四分之三派，是不是它再去倒派这个区间，我们发现这个 cos 二 x 呢？它应该是大于等于零的一，加上两倍的 cos 二 x， 它还是小于等于零的。我们 f p x 它是小于等于零的。 f x 呢？它应该是单调递减的。 然后我们去画一下这个图，画一下零到派的这个图，我们知道它过零零，我们还知道它过派零，所以说它应该是先增 再减，哎，减的话是不是减到这个三分之二 pi 啊？它减到这个三分之二 pi， 我 们得知道这个三分之二 pi 的 取值是多少，对吧？到底是有没有穿下来啊？是不是这样的？所以我们得去计算一下 f 三分之二 pi， 那 它就会等于 sine 三分之二 pi， 加上二分之一倍的 sine 三分之四 pi， 再去加上三分之一倍的三二派，这部分它是个零，这部分它是个二分之根号三，这部分它是加上一个二分之一，再去乘上一个负的二分之根号三，所以它等于一个四分之根号三。所以哈，我们就知道了这个地方它是减掉三分之二派，但是它没有， 他没有减破零，对不对？他还是在零之上的，然后他再增上去，增到这个四分之三派，然后他再减下来。所以说我们发现呢，从这个零零到派零，他是不是只有两端，他是零点的？所以我们就论证，要想出零点，我这个 x 必须得去取派的这样一个整数倍来 d 选项正确。 看到这二题， a 的 这个模长是三， b 的 模长是根号三，然后向量 a 在 向量 b 上的投影，向量是根号二倍的 b 向量，那这时候我们可以选择，你看现在是 a 去往 b 上去投影，我们把这个 b 向量给它固定住，好不好呀？给它固定住，这就是咱们的 b 向量， 然后 a 向量往它上面去投影，最后投出来根号二倍的 b 向量，那肯定出来的就是比 b 要长一些，对吧？所以说我们画一画啊，比如说这个 a 它是长这样的，然后它往我们这个 b 向量上去投影，投出来呢，就是这么一段， 那我们知道这个 a 的 模长，它是个三哎，我们这个 b 的 模长呢，它是个根号三，所以这段是个根号三。然后我们还知道啥呢？是不是这个长度它应该是 根号三的根号二倍，所以说啊，我们去描一下，其实这个长度它就应该是根号六，那我们还知道这里是个水纸啊，我们要去求这边这个余弦值，这个余弦值它就是根号六，再去除以斜边这个三三分之二六，简单吧。 接着看十三题，十三题呢，他说三角形 abc 对 边得对角这个十字，嗯，这个十字怎么去用呢？我觉得我们可以把这个边 都给他先画成角了，你看后面这些都是给我们这个角度嘛，所以说边去画成角，三 a 扣三 b， 加上根号三倍的三 a 三 b， 然后他再去减掉一个三 b， 再去减掉一个三 c， 他 会等于零，哎，这时候你看啊， abc 三个角哎，我们知道加起来肯定是个 pi， 所以 说这里啊， 你看都是前面 a b 之间混，你这个三 a c 进来干啥呀？我们把这个三 a c 换掉好不好呀？哎，我们知道这个三 a c， 它会等于三 a 减 c， 这是诱导公式告诉我们的。派减 c 是 不是等于 a 加 b， 因为它们在三角形里面，三 a 加 b， 它会等于三 a cosine b 加上 cosine a cosine b， 哎，这是和角公式告诉我们的， 所以哈，我们把三 a c 用这个数字给它代换一下。我这里讲的比较清楚啊，实际上你你应该知道的，直接把这个三 a c 就 可以换过来，让我们发现呢，就是这个部分，他再去减掉， 减掉它，再去减掉 q， 三 a 三 a b， 最后呢，它会等于零，那么看这一项和这一项是不是干掉了， 那剩下的是不是就是这三项？一二三，那这三项啊，你看哦，是不是都有散隐 b 啊？太高兴了，散隐 b 啊，我们直接给他提出去剩下的部分，他是根号三倍的散隐 a， 再去减掉 q， 散 a， 再去减掉一个一， 那这家伙他就等于零，那要么就前面等于零，要么后面等于零，前面等于零不了，因为 b 的 取值范围啊，他是零到派之间的，所以散于 b， 他 大于零，只能是后面这家伙等于零喽，后面这家伙等于零，减出来 a 的 这个取值。考试的时候，为了图快嘛，你看这地方有个根号三，估计散于 a 也得带根号三，要么六十度，要么一百二十度六十度带进去呢。 根号三乘二分之，根号三减二分之一再去减一，直接就是对的，一百二十度带进去发现不对，所以说呢， a 他 应该是个三分之派， 当然哈，我觉得你还是用 for 幺公式再去做一步吧，哈，要是有两个结果，那你就遭殃了。用 for 幺公式的话，你看，我们把它提出去一个二，然后它就变成了三 a， 再去乘上一个二分之根号三，减掉一个 q， 三 a， 它再去乘上一个二分之一，然后这家伙再去减一，它会等于零，那就是这家伙等于一，或者说呢， 我们把这个二分之二三给它看作成这个 cosine 三十度，把这个二分之一要看作成 cosine 三十度，所以说它就是两倍的 cosine a， 再去减掉一个三十度， 它等于个一，那这家伙它等于个二分之一，对吧？它等于个二分之一的话，我们就得让它，是不是它等于一个六分之派，或者是六分之五派？六分之五派肯定是不行了，所以只能是六分之派，所以解出来 a 是 个三分之派， a 是 个三分之派。直接运用到这个式子里面，那 cosine 它就是个二分之一。 咱们这地方 cosine b， cosine c， 是 不是就知道了？ cosine b， cosine c， 它会等于二分之一，那你看这儿让求什么？让求 cosine b， cosine c， 哎，我们已知 cosine b， cosine c， 我 们又知道 a， 这题是真不错呀。你看，我们知道这个 cosine a， 它可以去写成 cosine b， cosine c， 再去加上一个 cosine b， cosine c， 然后三 a， 它就是三六十度，三六十度它就是二分之根号三，然后它会等于三 b 扣三， c 是 我们要求的，然后它再去加上一个二分之一，合着这家伙它不就是二分之根号三，再减掉一个二分之一吗？所以最后答案呢，它是一个二分之根，三减一 十四。题是一个摸球的问题，不透明的口袋中呢，有八个球，三个红的，五个白的红球呢，分别标有一二、三，白球呢，是一、二、三、四、五。若一次性呢，从口袋里面去摸出三个球。接下来下句话注意了哈，摸到三个球同色，或者是摸到三个球数字之合为三的倍数就中奖，则中奖的概率是多少？ 首先这肯定是个古典概念，对吧？八个里面摸三个总情况数是非常明确的，是不是 c 八三，他会等于八乘七乘六，去出一个三的阶乘七八五十六。 也就说呢，只要满足这两种情况的任意一种，那他就中奖了。那这时候我们去画一个这个维恩图，其实我们会发现，就是总共他是有五十六种情况， 其中一部分呢，它是三个球同色，另一个部分呢，它是三个球数字之和为三的倍数。当然是不是还会有一部分，还会有一部分，它就是三个球，它既同色同时呢还加出来呢，它还是这个三的倍数，对吧？所以说呢，我们首先可以去数一数，比如说 a a， 它是三个球同色有多少种情况？ 然后我们再去数一数 b b 的 话呢，它是加起来和是三的倍数有多少种情况？然后是不是我们得减去，减去这一部分， 对吧？减去既是三个球同色，又是和为三的倍数，这种情况。然后总共呢，看看我们这个符合提议的情况有多少个？首先我们先去找三个球同色吧，那三个球同色的话， a 三个球同色，是不是要么就是三个红球，那就是 c 三三， 要么就是三个白球，三个白球的情况多一点，就是五选三嘛， c 五三，所以说一再去加十，它是个十一，好，接着再去找 b b 的 话呢，它这里会相对麻烦一点啊。他说摸到三个球数字之和为三的倍数，那你就想了哈，我们去把它分类啊，一定去分类， 或者你挨个的去数也可以，就比如说一二三，然后固定一二，然后去移动，这里是一不行，这里是二不行，这里是三就行了， 然后固定住一二，发现了其他的不行了，然后再固定住一三，然后发现这里来个二行，你就按照这个顺序分别去数，你这样倒是也可以，我个人觉得还是分类会好一点哈，你看你分类去数的话，它和是三的倍数有哪几种情况呢？首先它和为三行不行，和为三的话肯定不行，对吧？你和为三的话 实现不了啊，即使这个地方摸一，这个地方摸一，再摸一个二，它核才是四呢，所以说首先是核为六，如果核为六的话呢，是不是首先我们想到这里有个一二三，这里有个一二三，也就是说呢，核为六的话，它有两个一、两个二，两个三。 那所以说我们去选一的时候，是不是可以选这个一，也可以选这个一。选二的时候呢？可以选这个二，也可以选这个二，选三的时候可以选四，这个三，也可以选这个三。所以说它是多少种情况？ 这边就单单这一部分，他就是八种情况了，一定注意啊，他是二的三次方，这是八种情况了，还有没有其他的能实现？这个和为六啊？可以是一，一四，对不对？所以说最后他应该是二的三，次方去加一，他应该是九种情况，和为六呢，他是九种情况的，其他就不行了。那接下来啊，和为九， 对于和为九呢，我们给出两种方式去给大家去数啊。首先第一种按顺序数，按顺序数呢？我们化学数那个同分异构体一样啊，一，一定一，比如说我们固定住一，固定住二，剩下的去找，看看能不能加起来是九。不行。固定住一，固定住三，剩下的加起来去找，能不能是九。一三五，可以的。 然后固定住，这里是一，这里是四啊，不，这里是一，然后剩下再去找，不行，固定住，这里是一，这里是二，剩下再去找，不行。固定住，这里是一，这里是三，剩下再去找。哎，一三五，但是这两个一三五它不一样啊，因为它们的三不一样。 然后固定这里是一，这里是四。不行，哎，固定住一五也不行，哎，这个一完成历史使命，滚蛋了。好，在这呢，我们固定住二三，然后去找二三四，是不是可以啊？ 固定这里二，这里一，是不是没有其他的？固定这里二，这里二啊，这里可以找个五，二二五，是不是他也可以啊？然后固定这里是二，这里是三，我们可以找个二三四，是不是？这也可以啊？ 然后固定这个地方是二，这个地方是四。不行。固定这个地方是二，这个地方是五。也不行。好，二也完成历史使命了，光荣退休。三的话呢？哎，固定这里是三，这里是一，嗯，三，一四三一四。加错了哈，应该是三，一五。 好，然后固定这里是三，这里是二，是不是三？二四，嗯，然后剩下的三三不行，三四不行，三五不行。三，完成历史使命，然后固定这里是一，这里是二，不行，固定这里是一，这里是三。哎，一三五是不是可以啊？ 好，然后固定这里是一，这里是四，不行，固定一五也不行。哎，所以说这个一光荣退休，然后固定这里是二，这里是三，是不是有个二三四啊？ 二三四，然后二三五不行，那，然后固定这里是二，这里是四，嗯，不行，固定这里是二，这里是五，不行。二，完成历史使命，三四五，那肯定也不行，所以说呢，结束总共是九种情况也可以，怎么办呢？也可以，你就直接去想怎么样才能相加是九呢？首先可以是一加三加五， 然后也可以是二加三加四。如果是第一种情况的话呢，五他只能从这个白球里面出，但是一三是不是一，他有两种选择，三有两种选择，所以啊，这个对应的是四种，对不对？ 下面也是一样的，这个四啊，肯定是从白球里面出，但是这个地方呢，二三他是不是有两个二，两个三啊？所以他有两种选择，要么红球，要么白球，要么红球，要么白球，所以说他对应的也是四种，你看看这和我们数的是不是一样的，一三五是有四种的， 二三四也是有四种的。最后不要忘记，这个地方还能是二加二加五嘞，这是一种，所以加在一起呢，它是九种啊，总之哈，你一定数。对对，我推荐你去放羊，放羊不能放多，只能放一只，多了人家数不过来，最后呢，是不是和他也有可能是十二啊？啊？和为十二的话呢？ 这时候他只能是三四五，对吧？要么是这个三四五，要么是这里的这个三四五，所以说他是两种情况哈， 所以说我们发现这个 b 呢，他应该是总共是九加九加二，他是二十种情况啊， a 是 十一种情况， b 是 二十种情况，然后我们还得去数 ab 同时发生有多少种情况，那 ab 同时发生就是同色，并且加起来是三的倍数同时发生， 那首先这个地方是不是一二三同色，并且这个加起来是三的倍数，这是一种 看，这是这个红球里面的一二三，然后对于这个白球里面同色，然后加起来是三的倍数， 可以是一二三，可以是二三四，可以是三四五，也可以是一三五，总共呢是五种情形，所以说哈，这里是十一，再去加上一个二十，再去减掉一个五， 那最后出来他应该是个二十六，所以说啊，我们最后去用二十六，再去除以五十六算，算是个二十八分之十三。哎，这就是我们最后的结果了。

安徽高三的啊，五号和六号江南学校的大联考就要来了，这是年后的第一次大考，也可以理解为全省的一模考试，预计呢，有三百多个学校，共计二十多万人参加，而且这次参加的学校都是一些省示范的一个高中，像合肥的幺六八，芜湖一中，安师附中这些。 按照往年的惯例呢，江南职校的难度是比较大的，而且呢，因为人数比较多，所以非常有参考价值，一定要提前好好准备了。去年江南职校的试卷，包括答案解析啊，我都整理好了。电子版的啊，可以拿回去下载打印，提前给孩子看一看题型，如果有需要的呢，扣江南职校私信找我要一下。