六年级圆锥副页制作教程

圆柱圆锥八合一演示套装六年级专用教具配置了面动成体器梁高器圆柱体积演示器圆柱表面积展开图圆柱体积演示器圆锥表面积展开图知识点一， 创新设计面动成体器快速转动小棒学习圆柱圆锥知识，结合实体操作更容易理解。知识点二，通过圆柱体积演示器 推导出圆柱的体积公式。知识点三，通过将圆柱体整体包裹，推导出圆柱的表面积公式。 知识点四，用量高器快速测量圆柱圆锥的高。知识点五，通过整体包裹圆锥体推导出圆锥体的表面积公式。知识点六，通过具体实验推导出圆锥的体积公式。 扫码看视频学习更多知识点圆柱圆锥八合一演示套装六年级专用教具配置了面动成体器梁高器圆柱体积演示器圆柱表面积展开图圆柱体积。

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小学到了六年级就要开始学习圆柱与圆锥，这就是适配课本内容的学习教具，还原书上的推导过程，包含了圆柱与长方体之间的转换，一目了然，等比等高的圆柱和圆锥可以演示出圆锥的体积是圆柱的三分之一，借助教具，孩子更容易理解推导公式， 圆柱表面积也能更直观理解，学习效率大大提升。小学到了六年级就要开始学习圆柱与圆锥，这就是适配课本内容的学习教具， 还原书上的推导过程，包含了圆柱与长方体之间的转换，一目了然。等比等高的圆柱和圆锥，可以演示出圆锥的体积是圆柱的三分之一。借助教具，孩子更容易理解推导公式，圆柱表面积也能更直观理解，学习效率大大提升。 小学到了六年级就要开始学习圆柱与圆锥，这就是适配课本内容的学习教具，还原书上的推导过程，包含了圆柱与长方体之间的转换， 一目了然。等比等高的圆柱和圆锥，可以演示出圆锥的体积是圆柱的三分之一，借助教具，孩子更容易理解推导公式，圆柱表面积也能更直观理解，学习效率大大提升。 小学到了六年级就要开始学习圆柱与圆锥，这就是适配课本内容的学习教具，还原书上的推导过程。 啊啊 啊。

首先我们先来测量它们是否等底等高，我们把圆锥和圆柱放在一个平角的桌面上，把指尺放在圆柱和圆锥的顶部，发现 尺尺和桌面平行，所以它们是等高的。我们再把圆锥和圆柱的底面重叠在一起，发现它们 两个底面完全重合，所以它们也是等底的。我们再来探求圆柱和圆锥体积之间的关系。我们把圆锥装满水往圆柱里倒 一次， 三次我们发现倒三次刚好装满。我们再把圆柱装满水，往圆锥里倒 一次，倒一次就展示一下， 三次发现到三次刚好到完。所以我们小组得出的结论是，等底等高的圆柱和圆锥中，圆柱体积是圆锥体积的三倍，反之，圆锥体积是 和他等底等高的圆柱体积的三分之一。我们小组本是我验证，最后都得出了相同的结论，那就是 等你等高了圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的体积的三倍， 反之圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。这么重要的结论，老师要把它记录下来。

六下圆柱圆锥必考题如图，一个圆柱形物体的底面直径是八分米，被斜截厚最低处高是十分米，最高处高的是十五分米。被截厚的物体体积是多少立方分米？ 这道题的破题思路就是拼接，既然它结掉一块，那咱就给它复制一个一模一样的残缺圆柱，然后把两个残缺的圆柱拼接到一起，这样就拼成了一个正经的圆柱。显然，原来残缺物体的体积就等于这个正经圆柱的体积的一半。正经圆柱的高是十分米加十五分米， 体面直径是八分米，根据圆柱体积公式直接代入数值，这就是正极圆柱的体积，再给它除以二，就是被截厚的物体的体积，答案就是六百二十八立方分米。

大家好，这里是小学数学重难点系列讲解，我是孙老师，方法虽有可观，思路方能致远。 大家好，我们今天接着来讲圆柱、圆锥，那么上一节课呢，我们是讲的是基础知识，对吧？那么这节课呢，我们要讲归类与拓展，剩下还有一个思路总结与发散。 好，那么这节课我们讲的规律与拓展呢？内容比较多，所以我们又分了上下两节一次性讲完，我怕有的孩子坐不住啊，他确实很长，太长了也不太好消化，所以我们分成两节课来把它讲完。 那么他有哪些内容呢？有五个内容，第一个表面积的变化是讨论表面积的第二个，等级变形。第三个，圆圆柱圆锥的内在关系。第四个，大小圆锥的体积关系。第五个， 静默与半静默。就是排水法，也是我们常见的题型了，是吧？分为这个五个类型啊，五块。那么我们今天讲一半， 先来看表面积的变化。表面积的变化呢，我们又从三个方面来讲，首先高的变化引起的侧面积的变化。第二个，横切与平，第三个，竖切与平。先来看第一个高的变化引起的侧面积的变化。 对于一个圆柱来讲，它的高如果发生了变化，影响的是侧面积，对不对？上下两个底会受到影响吗？不会 是不是？不会啊，高的变化，你看这边有个圆柱，旁边是它的侧面展开图，是吧？上下两个底肯定是不会发生变化的，对不对？如果高变低了，那么对于这个旁边的长方形来讲，长不会变，但是它的宽是不是变少了呀？ 对吧？如果高变多了，那么他的宽也会变多，是不是？好，所以高的变化会引起侧面积的变化。 来，我们看这道题，一个圆柱啊，底面周长和高相等，大家注意了，这是个很重要的条件，底面周长和高相等， 我们经常碰到这样的条件，对吧？如果高缩短了两厘米，高缩短两厘米，表面积就会减少了十二点五六平方厘米，大家注意啊，这个表面积的减少是减少在侧面积上，对不对？对于对于这个圆柱来讲，上下两个底是不会发生改变的。 我们在上一节课基础里面已经讲过了一个圆柱，它的表面积包括了侧面积和上下两个底，对吧？好，它的侧面积减少了十二点五六，那么在这个图形里面，其实这是个长方形了，这个两厘米其实是宽， 面积是十二点五六平方厘米，面积除以二，是不是可以求出它的长？这个长是啥呢？这个长就是这个圆柱的底面周长，因为这是侧面展开图嘛，对吧？这个长就是圆柱的底面周长，是不是？好，所以我们这样就可以列算式了。 底面周长是十二点五六除以二，等于六点二八厘米，这是底面周长。哎，大家注意啊， 这个圆柱的底面周长和高相等，所以它的高是不是也应该是六点二八，不要忘记了啊。好，那么我们要求这个圆柱体的表面积。在上节课我们总结了要求它的表面积，我们需要的是两个条件，第一个是底面半径， 第二个高啊，一个半径一个高，我们就可以求了，无论是表面积还是体积都可以求。那么现在咱们是周长，所以我们先要把怎么样半径求出来？半径就是周长除以三点一四，再除以二等于一厘米。好，我再说一下， 我们下面的 pi 全部取三点一四啊，取三点一四。好，六点二八除以三点一四，再除以二等于一厘米，这是半径对吧？所以它的底面积就好求了。三点一四乘半径的平方，因为是两个底，所以乘二等于六点二八底面积。两个底面积求完了之后，还要求还要怎么样把它的侧面积求出来？ 侧面积是什么？怎么样？底面周长乘高对吧？底面周长是六点二八，因为高相等，所以就是六点二八乘六点二八等于三十九点四三八四。最后俩底面积加上侧面积求出来是四十五点七幺八四。 好，这是第一个高的变化引起的侧面积的变化。其实这个题目在长方体正方体里面其实很多，有很多小朋友来讲，他不是个什么新新的题目，来，我们看第二个，其实也不是很新的啊，我们在长方体正方体里面都见识过。横切与平 来看，这是个圆柱啊，这是个圆柱体，我横着切一刀，哎，他会怎么样？多出来两个面是不是啊？横着切一刀，多出来两个面是吧？咱们肯定见过吧，是不是？好，那么接下来我们来看一个问题，一个圆柱体 横切成五段，多了几个面，来暂停思考一下 好了吗？想出来没有，多了几个面，哦，整个思考的过程应该是这样的，首先它切成了五段。 切成五段能够直接看出他又多了几个面吗？不能切成五段是切了几刀呢？切了四次是切了四刀，哎，前面我们说了，切一刀是不是多两个面，是吧？切一刀是不是多了这两个面？哎，切一刀多两面，那么切四次多了几个面？多了八个面 来在这里，当然了，呃，肯定有小朋友是会的啊。我为什么还要再强调一下？是因为我们很多孩子看着看了他切成五段，马上反应出来是多了十个面，不对，具体多了几个面，你得看他切了几次啊，多几个面是跟切的次数有关，跟切的段数他还不是直接关系， 所以，记住了啊。再强调一下，多了几个面，一定要看他切了几次，大家记住了吗？好，来，我们看题目， 把一段长一米，侧面积十八点八四平方米的圆柱体木料沿着和底平行的方向切截成两段，表面积增加了多少？好，来，大家把这道题目做一下 好了。我来讲，首先它是沿着和底平行的方向截成两段， 那么也就是说他多了，多了，怎么样？多了两个底对不对？是不多两个底啊？节省两段吗？切一刀就多出两个面，这两个面都是底面积，对不对 啊？多出来，多出来的是两个底面积，他要求的是表面积增加了多少，那我们就是要求他的底面积是多少，再乘二就完了。那要求底面积我们需要什么呀？ 需要半径是不是？是不是应该这么去思考，对吧？好，要要要半径，要半径。我们来看了，在这里告诉我的是，侧面积是十八点八四 长，一米长嘛，其实就是高了，哎，把一个圆柱把它放倒了，躺下来了，高就不就变成长了吗？对不对？ 所以侧面积除以这个一米，是不是得到了底面周长？侧面积等于底面周长乘高吗？是不是啊？侧面就是不是底面周长乘高啊？这个必须要非常熟练啊，所以我们用十八点八四除以一，得到十八点八四米，是不是就等于他的底面周长， 对不对？底面周长，那咱接下来咱们去求它的半径，底面周长除以三零四除以二吧，等于三米，是不是得到了半径，对吧？好，有了半径之后，那么再求一个面，再乘二，对吧？三零四乘三的平方再乘二，表面积增加了五十六点五二平方米。哎，五十六点五二，大家做对了吗？ 来比较简单的一道题对吧？好，我们继续看第二题。下面各图分别是由大小相同的小圆柱组合而成，哎，看到一个两个，后面是三个，对吧？一个一个的小圆柱啊，这个大小相同的小圆柱组合而成， 那么这个组合的过程我们会发现什么呀？发现随再多的这个小圆柱，把它贴在一起，从底面来讲，就上底和下底中间全给它叠起来了，对不对？叠起来那就不算了呀， 是不是只有上下两个底嘛，对不对？所以它发生变化的是哪里在发生变化？在表面积上面发生变化，哪里发生变化？上下底不变，表面积变的是侧面积，对不对？是侧面积在增加。好嘞，那么家人们看这个题目啊，如果用 m 表示小圆柱的侧面积， 用 s 表示小圆柱的底面积，那么 d n 负图的表面积是多少？来暂停写一下。 好，我刚刚说了啊，上下两个底是不变的，随便你多少多少个往上叠，上下两个底不变，所以就是二 s， s 表示一个底面积嘛，对吧？二 s， 但是侧面积在发生变化， 对吧？一个圆柱的侧面积是 n， 那 么 n 副图不就是 n 个 n 不 就是 n， n 加上上下两个底。二 s 很 简单， 听懂没有？会做不好，我就是用这个，这是我们刚不是切吗？这是拼，对吧？拼下来之后我们会发现，哎，只只留下了上下两个底，对吧？其他的全部拼在里面了。 好，我们再来看竖切啊，竖切是个啥情况？这是一个圆柱，我给他沿着直径竖着切一刀，哎，沿着直径和高啊，沿着直径和高给他竖着切一刀，他就会变成这个样子了，对不对？ 是不是啊？哎。这边的剖面是个什么形状？这个剖面是个什么形状？是个长方形，是吧？沿着直径给他切的啊？这是个长方形，这个长方形这一条边是不是底面的 直径？这条边就是原来圆柱的高，对吧？直径乘高，直径乘高是这个剖面的面积，对吧？对圆柱来讲， 好，记住没有？来，我们看下面的题目把，一根长是三分米，底面直径是一分米的圆柱形，木头沿着底面直径垂直垂直于底面，切成大小完全相同的两半。表面积比原来增加了多少？ 表面积比原来增加了多少？不就增加两个剖面吗？对不对？就那俩什么？就那俩长方形。来，大家做一下很简单的这道题。 好嘞，多少？那一个长方形是不是底面直径乘高也就是一乘三嘛，是不是啊？俩不就再乘二？一共是六平方分米是吧？这里的长三分米是不是就是高啊？ 对不对？躺下来了吗？是吧？所以底面直径乘这个三分米就等于一个铺面的面积，再乘二等于俩铺面增加，俩铺面是六平方分米，大家做对没有？很简单的一道题，来，我们看下面一道题，一根两米长的圆柱形木料， 它的横截面的半径是十厘米，沿着横截面的直径和圆柱的高锯开，得到两个相等啊。相等的两块，每一块的表面积是多少平方分米？ 我们要求的是什么东西啊？啊？锯成两块相等的两块，我要求的是这一块每一块的表面积，那么这块表面积怎么求啊？ 哎，我们会发现上这个，这边的底是一半半个圆，这边的底是半个圆，凑在一起是一个底，刚好，对不对？然后侧面积呢？刚好又是半个侧面积，对不对？再加上一个剖面就可以了。那咱们一个一个来求啊， 他的很，他的横截面的半径是十厘米啊，我们先把这个单位换算一下长二米的这个圆柱形木料，因为最后我们要求的是表面积是多少平方分米，所以我们都把它变成分米，两米就等于二十分米 啊，十厘米，它的半径是十厘米，等于一分米，对吧？所以我们可以先把这两个半圆啊，这边一个半圆，这边一个半圆，加在一起就是一个圆，它的半径是一分米，所以一的平方乘三点一四，这两个凑在一起就是三点一四平方分米 一个圆吗？对吧？好，接下来咱们再把这个测面积求出来，测面积就等于整个测面积的一半，对不对？整个测面积是不是底面周长乘 高，他的高就是二十分米吗？长吗？是吧？底面周长是多少？半径是一，所以一乘二乘三等于四，是不是底面周长再乘这个长是二十，等于整个侧面积，整个侧面积再除以二等于半个侧面积等于六十二点八平方分米，对吧？ 最后咱们把再把这个抛面求出来，抛面最好求了，直径乘高，在这里是乘长，对吧？就是一乘二是直径，再乘它的长是二十，所以等于四十平方分米，把这三个把它加在一起， 等于一百零五点九四。好，这是这道题，大家听懂了没有？也不难，是吧？ 一个一个求就行了。好，我们看第三个，一个圆柱的底面半径是四厘米，如果沿着高将这个圆柱切成大小相等两个部分，切面正好是正方形，那么这个圆柱的表面积是多少平方厘米？来，大家思考一下，很简单的一道题。 好嘞，我来讲要求圆柱的表面积，那么我们需要两个东西，一个是半径，底面半径，还有一个是高是吧？还一个是高是吧？ 呃，从问题出发，找到你所需要的条件是不是啊？然后它的底面半径是四厘米，底面半径是四厘米。哎，底面半径有了，咱们还需要一个高啊？ 他的高，因为他的切面正好是一个正方形，他的剖面是正方形，这个剖面是不是一条边是底面的直径，另外一条边相邻的一条边是不是这个圆柱的高，对吧？那么如果是正方形，说明这个直径和高就是相等的，对不对？ 它的半径是四厘米，那么它的直径就是八厘米，也就意味着高它也是八厘米。好了，到现在这个要求圆柱的表面积所需要的条件我都有了，半径四厘米，高八厘米是不是都有了？好，我们一个个来求， 把俩底求出来。三点一四乘四的平方乘二是两个底，再加上侧面积，侧面积是三点一四乘四乘二，这是什么底？面周长，底面周长乘高是侧面积，这俩加在一起等于三百零一点四四平方厘米，这是它的表面积，大家做对了吗？ 好，我们接下来看下面一道题，依旧是竖切与拼，但这个呢，稍微有点变化啊，稍微有点变化。在讲这个之前啊，我们先不用管上面一大堆的文字，我们先来复习一下。 大家还记得我们在学圆的时候啊，是可以把圆切成啊，这一瓤一瓤的，然后把这些拿出来，可以拼成一个近似的长方形，对不对？这个长方形 它的宽呢，就是原来圆的半径，对吧？它的长呢，是这个圆周长的一半，对吧？圆的周长一半在上面，一半在下面，所以这个长方形的长是周长的一半， 还记得吗？这是圆的里面的，是吧？学圆的时候，是吧？把它拼成个近似的长方形，那么圆的面积也可以通过求这个长方形的面积来求出来，对吧？周长的一半再乘上二， 依旧也等于周长的周长，不是二派二，派二，二派二除以二，是不是等于派二？派二乘二等于派二的平方依旧还是圆的面积，对不对？ 好，但是要注意了，这是个平面图形呀，我们现在学的圆柱圆锥是立体图形，对吧？这个就相当于立体图形的一个底，如果给他再来一个高的话，就会是这个样子了， 是不是这个样子啊？来个高对吧？也给他切成一瓤一瓤的，你给他拼起来就不是个长方形了，就是个什么玩意，就是个长方体，近似的长方体是不是就可以拼成个近似的长方体？来，注意了，这个拼成的近似的长方体 这条边，那这上面还是个近似的长方形，是不是？那么这条边是不是依旧是上面的半径？底面半径是这条边是吧？而这条边呢？这条边这条长呢？这个长底的长呢？就是底面周长的一半， 是不是还是跟前面一样的呀？底面周长的一半，哎，半径是宽，长是底面周长的一半。高跟圆柱的高一样高，跟圆柱的高一样，是不是啊？好，这是我们要了解的啊，我们需要知道它每一块跟前面的联系，那么接下来有个很重要的东西， 这个圆柱的表面积和这个长方形的表面积发生什么变化了吗？ 有没有发现这个长方体的表面积比这个圆柱多了，你们你们能看出来吗？哪里多了呀？左右两个面，左右两个面本来是包在这个圆柱体里面的，对不对？ 哎，如果我们切开再拼的话，就被我们切出来了，是不是就多出来左右两个面？这两个面怎么求的？是半径成高？好，大家记住了， 一个圆柱体给它切成很多瓤，给它拼成一个近似的长方体，表面积变多了，多了，哪里多了？左右两个面，左右两个面怎么求出来的是半径成高，记住了吗？ 这一定要记住啊！好，我们再看上面的题目啊，一个底面直径和高都是四厘米的圆柱，底面直径和高都是四厘米的圆柱把底面平均分成若干份，切开后拼成一个正方形，长方体的长相当于圆柱的什么？ 底面周长的一半对不对？是不是底面周长的一半，对吧？来，下面几个空自己填一下。哎，还是你们自己填啊，来填一下 好了。我来讲，长方体的长相当于这个圆柱底面周长的一半，跟这前面是一样的 宽，相当于圆柱的底面半径，是不是？哎，然后长方体的高等于圆柱的高，这个没有变，对吧？ 这个长方体的底面积是多少？长方体的底面积不就是这个圆柱的底面积发生变化了吗？没有变化是多少？我们求一下。它的底面直径是四，所以半径是二，所以二的平方乘 pi 等于十二点五六二，平方是四四乘三等于四十二点五六平方厘米。 拼成的。这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了多少平方厘米？那么增加的是两边啊，我们刚刚说过了，对吧？两边每个面是半径成高啊，记住了啊，半径成高， 那么半径乘高的话，这个直径和高都是四厘米，那么半径就是二厘米，高是四厘米，二乘四等于八，因为是两个面，所以八乘二是十六平方厘米。好，那么这题讲完了，那么这个类型的题目呢？我们还要做几个练习巩固一下啊。来看第五题， 把圆柱切成底面，是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方体，拼成后的长方体的表面积比原来的圆柱体的表面积增加了十平方厘米，那么也就是说是左右两个面了，是被切出来的，对吧？原来是包在里面的，那每一个面就是五，对吧？ 但他最后要求的是啥？是侧面积？来，大家先做一下。好，我来讲 给的是半径乘高，这个面，要求的是侧面积。侧面积是啥？是底面积乘高是吧？哎，我总觉得这里面有点联系，对吧？我们要找他们之间的关系，一般的做法是什么来着？把他们的代数式给他写出来。 一个是半径乘高，侧面积是啥？是底面周长乘高，二派二乘 h， 我 们会发现这里面是什么关系啊？是不是下用上面的乘二派就可以了，对不对啊？所以 半径乘高是十除以二等于五，一个面是五，就是二乘 h， 然后再乘上二派，是吧？所以二乘三零四乘五等于三十一点四平方厘米，大家做对了吗？ 好，在这里再强调一下，我们后面有很多题目都是这么去讲的啊，我们要找啊两个量之间的关系的一个很简单的办法，就是把他们的代数式给他写出来， 你不写你说我，我就问你啊，这个侧面和侧面肌啊，这个两边，这个面和侧面肌是什么关系，你答的上来吗？我们根本不知道，对吧？但是如果你把代数式给他写出来，是不是就特别容易找对不对？好，大家记住这个方法啊，来，我们看第六题， 把底面直径为四厘米的圆柱啊，切成若干等分，再拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了二十平方厘米。圆柱的表面积是多少？体积是多少？好，这道题目先做一下 啊，我来讲啊。好，我们要求圆柱的表面积以及体积，我们需要的是底面半径和高，不要忘记了啊。好，那么这里面他告诉我 这个直径是四厘米，所以半径就是二厘米，对吧？底面半径有了，然后咱们还缺个啥呢？缺个高， 他说拼成一个径四的长方体后，表面积比原来增加了二十平方厘米，是左右两个面是增加二十平方厘米，所以那么一个面不就是二十除以二等于十平方厘米，对吧？然后这个面呢，是半径乘高，半径是二，所以高也出来了，高就是五厘米。 好，现在我要的半径和高都有了，那么接下来我要求表面积或者体积都好求，是吧？表面积就是 两个底面，上下两个底面加上一个侧面积等于八十七点九二平方分米，体积，体积是底面积乘高六十二点八。好，这道题做对了吗？好，我们看下面一道题。 好，接下来我们是圆锥啊，圆锥的竖切，圆锥的竖切。来，我们看，他说将一个圆锥沿底面直径和高 切成两个完全相同的部分啊，两个部分表面积比原来多了六十平方分米，圆锥的高是五分米，求体积啊。下面的问题我们先不看，我们先来了解一下，圆锥如果竖切会出现的是一个什么形状，在脑子里面想一想，是个什么形状， 是个什么形状，沿着这个直径啊，底面直径和高往下一切 切出来是个什么？是个三角形，是不是个三角形啊？等于三角形，是不是？他说比原来多了六十平方分米，说明一个面，他不是多出两个面吗？那么一个面他的面积啊，就是三十平方分米，对吧？而且他还告诉我，他的高是五分米，高是五分米， 那这样的话，就是不是可以求作为这个三角形的底，也就是说原来这个圆锥的底面直径是不是？这个就是原来圆锥的底面直径，我们用面积乘二除以高，等于底面直径是十二分米，对吧？好，那么接下来就好求了。 直径是十二，半径就是六分米，那么它的体积就是什么？六的平方派至底面积乘高五，再除以三等于体积一百八十八点四立方分米，对吧？然后他说比和他等底等高的圆柱体体积少了多少， 少了多少？等底等高的话，他们比是体积是一比三的关系，是不是？既然是一比三，不就少了两份吗？是不是少了两份，那么圆锥的话是一份，少了两份的话，那么用一份乘二就可以了，对吧？一百八十八点四乘括号三减一，等于三百七十六点八立方分米。 好嘞，这是一个圆锥的剖面，是个三角形啊。好，接下来我们看下这个图， 一根圆柱形的木料，如果按照一所示的方式切成完全相同的四块啊，这么切啊，一二三四四块，是吧？一横一竖切表面积会增加六百平方厘米， 其实是切了两刀啊，是吧？切了两刀，切了两刀的话，如果我们按照直径这么来算的话，其实多了四个面，对不对？那一刀两个面，一刀两个面，是吧？四个面，好，如果按照图二的方式，图二的方式其实是横切，对不对 啊？切成完全相同的三块，表面就会增加三百一十四平方厘米。求这根木料的体积，要求体积，我们需要底面积和高， 是吧？底面积，底面积，我们从这个横切来，他说切了，切成了 三块，也就是切了两刀，切两刀增加几个面，四个面，是吧？切两刀增加四个面，一共多了三百一十四平方厘米， 所以我们用三百一十四除以四，求出一个面是七十八点五，也就是底面积了，是不是咱们还需要一个高，咱们还需要一个高，所以我们先把 这个它的直径求出来啊。七十八点五除以三点一四等于二十五平方厘米，这求的是什么呀？这是半径的平方，是不是啊？这是底面积吗？底面积除以 pi 不 就等于半径的平方吗？是二十五平方厘米，半径的平方是二十五，所以它的 这个半径就应该是五，对吧？直径就是十，直径就是十，也就是这条边在这里，是吧？竖切的时候按照直径来切嘛，对吧？好，然后他告诉我，按照一的方式切呢，是切成了完全相同的四块，表面积会增加六百平方厘米，表面积增加六百， 那么切成四块，其实切了两刀，两刀就增加了四个面，所以每一个面就是六百除以四，是一百五十平方厘米， 对吧？这是一百五，而直径是十，所以他的高不就是 一百五十除以十等于十五厘米。好，现在底面积有了，高也有了，那么求体积就很简单了，七十八点五乘十五，等于一千一百七十七点五立方厘米。好，这是这道题，大家听明白了吗？ 好，我们继续。好，我们已经把表面机的变化咱们讲完了，我们是第一个是高的变化引起的，侧面机的变化大家还记得不？哎？侧面机的变化是由高引起的啊，上下两个底不变，接下来我们讲了横切与竖切， 是吧？横切与竖切，好，这是表面机的变化，那么接下来我们讲第二个，等机变形， 等极变形啊。那么其实在长方题、地方题里面，我们见的题目也很多啊，比方说像榫柱啊，还有像这种题目， 一个圆锥形的骨堆，底面周长是十八点八四米，高是一点六，如果将这些骨子全部倒入底，面积是六点二八平方米的圆柱形骨仓正好装满，问这个骨仓有多高？很简单，大家做一下 好了，我来讲这个往里倒嘛，这股子的体积是不变的呀，甭管你是放在圆锥里面，还是放在圆柱里面，体积是不是不会变，对吧？所以这个属于等级变形， 既然体积不变，它最后要求装到圆柱的骨仓里面的高，那我就用体积除以底面积嘛，底面积已经告诉我是六点二八，是不是啊？所以咱把体积求出来。 体积呢，前面已经告诉我，圆锥的底面周长是十八点八四，高是一点六。咱们先把半径求出来，十八点八四除以三点一四除以二等于三米，然后半径的平方派再乘一点六乘高，再乘三分之一，等于它的体积十五点零七二平方米。然后知道了体积之后，那我们再怎么样 除以圆柱，以圆柱形骨仓的底面积，这样我就可以把它的高求出来了，是二点四米。 好，大家做对了吗？很简单一道题啊，来看第二题，有一个高是十二厘米，底面直径是六厘米的圆锥形钢块，如果把它熔铸成底面直径是八厘米的这个圆柱形钢块，那么 啊，熔铸成的圆柱形钢块的高是多少啊？从圆锥熔铸成圆柱是吧？呃，也很简单，大家做一下吧。 好，我来讲。因为体积不变，所以咱们先把圆锥的体积求出来，也就是熔铸成了圆柱的体积，对吧？ 好，那么直径是六，所以半径是三，然后我们用三的平方 pi 乘高，再乘三分之一，等于它的体积是一百一十三点零四立方厘米，那么这也就是熔铸成钢块的体积， 然后用它除以这个钢块的底面积，圆柱的底面积就等于它的高，是吧？那么它的直径是八厘米，所以除以二半径是四厘米，所以用一百一十三点零四这个体积除以底面积，这是底面积，对吧？就等于它的高是二点二五厘米 啊，很简单一道题来继续。好，这个呢，就比较有代表性了，这是圆锥里面圆柱，圆锥里面比较有代表性的题目啊，我们看一个装满水的瓶子，大家看，这边有个装满水的瓶子， 它的内直径是八厘米啊，注意下面的这直径啊，是八厘米啊，顶面直径，他喝了一些水后，水的高度还有十二厘米， 水的高度还有十二厘米，然后呢，把这个瓶盖拧紧后倒置平放倒过来了，倒过来之后呢，无水的部分，那上面一半，上面一部分是空的呀，没有水的，对吧？高多少呢？高十厘米。问聪聪喝了多少水？ 来，这题我们大家先思考一下。好，我来讲。首先我们要注意这里面有两个体积是不会变的。 那那两个体积啊，第一个是这里面的水啊，正着放的这里面的水的体积和倒着放的水的体积没变吧？他后面又没喝，哎，是不是所以水的体积不会变？第二个是什么呢？空的地方他体积是不是也不会变？ 空的地方是不是啊？空的地方他也不会变，所以他要求匆匆喝了多少多少水，那么本来是装满的呀，也就是说我要去求这空的地方是多少体积？那在前面一个这个瓶子里面求空的，你没法求哎，他是个不规则的图形，是不是你没法求， 但是等他倒过来之后，哎，这个好求了，变成一个规则的圆柱体，对不对？高是十厘米，他这个底面的直径告诉我了，是内直径是八厘米，是吧，所以就很好求了。直径是八，所以除以二半径是四厘米，用底面积乘高三点一四乘四个平方乘十，等于五百零二点四立方厘米。 好，大家注意啊，这个题目要注意的是，你甭管你这个瓶子怎么放啊，正着放，倒着放，躺着放，随便怎么放，它里面的水和它空的这个体积它是不会变的。 但是呢，因为如果你正着放，它有不规则的地方，是吧？所以有的时候它不好求我怎么办呢？我可以把它倒过来，对吧？变成个规则的部分再去求。好，来，我们再来看一道题。 好，接下来我要求这个瓶子的容积啊，我加了一个问题，如果要求这个瓶子的容积怎么办 啊？大家知道怎么求吗？大家想一想，哎，我现在求这瓶子的容积，刚刚我是求的是空的地方，是多少，对吧？现在求瓶子的容积啊，有人说了，求瓶子容积很简单，是不是把空的地方加上这个水的体积，加上水的体积不就求出来了吗？对不对？ 对吧，但是我要在前面求水的体积，加空的地方是不好求的，这个空的地方呢，在后面其实是十厘米高的圆柱，那么是不是也就意味着这个瓶子的容积就是前面十二厘米高的圆锥，加上后面十厘米高的圆锥，水加空的地方等于整个瓶子的容积，对不对？ 是吧？哦，那么就好简单了。呃，那么加在一起不就是二十二厘米的高吗？用底面积乘高就可以了，大家听懂了没有？ 所以，哎，三点一四乘四的平方，这是底面积，再乘括号十加十二，就能把它这个体积求出来了，对吧？是水啊，水加上空的地方，但这空的地方这边不能求，但是在后面好求，是不是好，这是这个题目的特点， 好，这个就是等级变形啊，这个类型少一点啊，来，接下来我们看一个大的类型。第三个， 圆圆柱圆锥的内在关系，那么在今天呢，我们只讲圆圆柱的关系 啊，在下一节课里面，我们再讲圆柱圆锥啊，那么讲到这里已经蛮长时间的了，我们很多孩子可能坐不住了啊，有点累了， 大家加油啊，我们今天把这个今天该讲的讲完。下图呢，是一块长十六点五六分米的长方形铁皮啊，来这里的宽已经告诉我是八分米，对吧？然后呢，刚好能做成一个圆柱形的油桶，问他的体积是多少， 那么要求体积，我们是不是需要底面半径，是吧？底面积，底面半径或者直径还有一个高，对不对？一般来说，我们要求到高和底面的半径，是吧？这是我们核心的要求体积的所要的条件。 那在这里呢，我们会发现啊，在这个长十六点五六分米里面，它包含了一个圆的直径，因为这是上下两个底吗？对不对？这个是什么？ 这是不是侧面积啊？侧面积的长不就是周长吗？对不对？所以这里面是一个直径加上一个周长， 哎，这是这个铁皮的长，对吧？而周长又又是几个直径啊？三点一四个直径，所以整个长十六点五六零五六分明，里面包含了四点一四个直径，大家发现没有？ 好，那么接下来是不是就好做了？十六点五六除以四点一四等于四分米，就是它的直径，那直径求出来，那就好办了，对吧？底面积三点一四乘括号四除以二平方，再乘八，就等于它的体积。 好，这种类型不止这一个图，但是先把这图记住了啊，它是四点一四个直径，大家记住了。好，接下来我们再看第二题， 说有一张长方形的铁皮，如图，剪下阴影部分可制成铁桶，求这个铁桶的容积，大家注意啦，这里面稍微有点变化啦，这个长方形的铁皮上面这个是什么？是侧面肌吧？这边呢是两个底，对吧？那这个很简单， 这个长方形铁皮的长是不是就是底面周长，对吧？底面周长，所以它直接包含了三点一四个直径， 也就是十八点八四，是不是？所以这道题好做，十八点八四除以三点一四，求出直径是六分米，哎，这是直径，是六分米的话，那么上面这部分高不就是四吗？对不对？这不也是六吗？也是直径啊，对不对？是吧？所以十减六等于四分米是它的高啊，那就好办了， 三零四乘六除以二的平方，这是底面积，再乘高等于它的体积，对吧？好，这是这道题，大家记住没有？ 好，那么这种类型还有第三幅图，这是第三幅图，大家看下这三幅图啊，这个第三幅图大家能看懂吗？这个长方形的铁皮这么剪啊，剪完了之后能够拼成一个圆柱，能拼成一个圆柱， 那么这里有一个直径，这里有一个直径，这个是它的侧面积，对吧？所以这个长方形铁皮啊，它的宽是个直径，长，里面包含了几个直径啊？ 来，我们来看一下，这俩中间是三点一四个直径，所以它一共包含了多少？五点一四个直径， 是不是五点一四个直径？记住了。哎，这种类型就这三幅图， 一个是两个圆，在两在一侧，是吧？哎，在在，在旁边，这种图长方形的长，里面包含了四点一四个直径，对吧？这一个直径，这底面周长是三点一四个直径。四点一四个直径， 那么这个图呢？这个长就是底面周长是三点一四个直径，这个图呢，两边各一个直径，中间是三点一四个直径，加在一起是五点一四个直径。这三个图一定要都记住了，肯定会考的啊。 好，你可以暂停下来记一记。好嘞，那么讲到这里，我们今天的课就先讲到这啊，剩下的内容我们下节课再讲。哎，因为这块内容我们分了上下两个部分。好，那么今天就到这里。

hello， 大家好，我是六年级七班的苏尚轩，今天我给大家表演两个魔术。首先第一个大家请看，这是一张经过裁剪穿好线的平面图形，那么接下来我拉动绳子将会发生神奇的一幕，大家请看。 拉动绳子，我们发现它变成了一个标准的圆柱体，圆柱体上下有两个完全相等相互平行的圆形底面，侧面是光滑的曲面，上下粗细均匀。 通过拉绳子的方法，我们能够清晰的看出圆柱体从平面图形变成立体图形的全过程。接下来是第二个小魔术， 还是和刚才的一样，拉动绳子同样会发生神奇的一幕，大家请看。 我们发现它变成了一个圆锥，圆锥还有有一个顶点， 但是他只有一个圆形底面，圆形底面逐渐向上靠拢就变成了顶点， 那么这两个就是我的魔术，感谢大家的观看，谢谢！

来看这道小升初的必考题，也是六下数学圆柱与圆锥这张的重难点题型，出错率达百分之九十。一个圆柱和圆锥，它们的高相等，体积之比是四比三，圆锥底面积是三十六，要求圆柱底为几。 我们知道在等比等高的情况下，圆柱的体积是圆锥体积的三倍，但是这里他只说高相等吗？你的底面积不一样，体积比也不一样，我们具体有什么通用的方法来做呢？ 这类题你就可以把它们的体积比上。这个圆锥的体积已知是四比三吗？那你把它具体用公式展开来， 体积等于底面积乘高啊，也就是 s h， 那 底面积是不一样的。所以呢，你在 s 下面，这里要标一个角标，这里表示 s 柱是圆柱的底面积乘高， 后面呢就是三分之一 s h， 这个 s 下面也有一个角标，是锥，表示圆锥的底面积。 那因为高相等，所以我都用同一个字母 h 表示。你想比号相当于就是除号，所以你这里高是能够约分约掉的。那我们就得到了什么？ s 柱比上三分之一的 s 锥是等于四比三，那根据比例的基本性质，两个内向之积等于两个外向之积， 我们就得到三乘。 s 柱等于这里三分之一 s 锥乘四，也就是三分之四 乘 s 锥。圆锥的底面积知道是三十六了，所以你可以带入进来，最后 s 柱算出来是等于十六，这个方法你学会了吗？

圆柱圆锥八合一演示套装六年级专用教具，配置了面动成体器、梁高器圆柱体积演示器圆柱表面积展开图圆柱体积演示器圆锥表面积展开图知识点一，创新设计面动成体器 快速转动小棒学习圆柱圆锥知识，结合实体操作更容易理解。知识点二，通过圆柱体积演示器推导出圆柱的体积公式。知识点三，通过将圆柱体整体包裹，推导出圆柱的表面积公式。 知识点四，用量高器快速测量圆柱圆锥的高。知识点五，通过整体包裹圆锥体推导出圆锥体的表面积公式。知识点六，通过具体实验推导出圆锥的体积公式。 扫码看视频学习小学到了六年级，就要开始学习圆柱与圆锥，这就是适配课本内容的学习教具。 还原书上的推导过程，包含了圆柱与长方体之间的转换，一目了然。等比等高的圆柱和圆锥可以演示出圆锥的体积是圆柱的三分之一。借助教具，孩子更容易理解。推导公式，圆柱表面积也能更直观理解，学习效率大大提升。锥体的水倒入圆柱体中， 连续到三次就可以把它装满，这样很容易就可以发现，同底同高的圆柱体体积是圆锥体的三倍， 所以圆锥的体积就等于圆柱体积的三分之一。是的，圆柱圆锥的表面积和体积是六年级下册的重难点，需要孩子有几何空间思维能力，可以借助这套圆柱圆锥演示器，帮助孩子直观理解。按照课本要求， 把圆柱切开，分成许多相等的扇形，再拼起来可以得到一个近似的长方体，由此可以得出圆柱的体积公式是底面积乘以高。通过这套教具的演示，帮助孩子轻松掌握体积和表面积的计算原理。 直观学习圆柱圆锥，拓展孩子思维家里有六年级的孩子，小学到了六年级就要开始学习圆柱与圆锥，这就是适配课本内容的学习教具 还原书上的推导过程，包含了圆柱与长方体之间的转换，一目了然。等比等高的圆柱和圆锥，可以演示出圆锥的体积是圆柱的三分之一。借助教具，孩子更容易理解推导公式，圆柱表面积也能更直观理解，学习效率大大提升。将锥体的水倒入圆柱体中， 连续到三次就可以把它装满。这样很容易就可以发现，同底同高的圆柱体体积是圆锥体的三倍， 所以圆锥的体积就等于圆柱体积的三分之一。是的，圆柱圆锥的表面积和体积是六年级下册的重难点，需要孩子有几何空间思维能力，可以借助这套圆柱圆锥演示器，帮助孩子直观理解。按照课本要求，把圆柱切开，分成许多相等的扇形，再拼起来 可以得到一个近似的长方体，由此可以得出，圆柱的体积公式是底面积乘以高。通过这套教具的演示，帮助孩子轻松掌握体积和表面积的计算原理。直观学习圆柱圆锥，拓展孩子思维家里有六年级的孩子，赶紧准备一套吧！八合一演示套装 六年级专用教具配置了面动成体器、梁高器圆柱体积演示器圆柱表面积展开图圆柱体积演示器圆锥表面积展开图知识点一， 创新设计面动成体器，快速转动小棒，学习圆柱圆锥知识，结合实体操作更容易理解。知识点二，通过圆柱体积演示器推导出圆柱的体积公式。知识点三， 通过将圆柱体整体包裹，推导出圆柱的表面，记公式。知识点四，用量高器快速测量圆柱圆锥的高。知识点五，通过整体包裹圆锥体， 推导出圆锥体的表面，记公式。知识点六，通过具体实验推导出圆锥的体积公式。扫码看视频，学习更多知识点！

圆柱圆锥八合一演示套装辅助学习六年级圆柱圆锥单元学习圆柱表面积，用这个套上桌长纸盖上地面，展开，论正了课本所说的 接下来。圆柱分为两半，厚尺和可以得到一个近似的长方体，套用一下长方体的计算公式，就能推导出圆柱的体积了。学习圆锥表面基，用这个包括好扇形尺和底面，展开后得出表面基的推导公式， 安装并使用量高器得出圆柱、圆锥等底等高，将圆锥装满水，倒入圆柱中，三次即可装满圆柱，得出圆锥体积的计算公式。 内含圆柱圆锥旋转片旋转一周，圆柱圆锥立线，把旋转片粘在旋转棒上，快速旋转，可观察形成什么形状。 圆锥推导学具适配小学六年级数学课只管演示表面积与体积、公式、推导等底等高关系清晰，环保安全。材质课堂自学两用，助力攻克几何难点，提升数学思维 小学到了六年级就要开始学习圆柱与圆锥，这就是适配课本内容的学习教具。还原书上的推导过程，包含了圆柱与长方体之间的转换， 一目了然。等比等高的圆柱和圆锥可以演示出圆锥的体积是圆柱的三分之一。借助教具，孩子更容易理解推导公式，圆柱表面积也能更直观理解，学习效率大。 学具适配小学六年级数学可直观演示表面积与体积、公式、推导等比等高关系清晰，环保安全。材质课堂自学两用，助力攻克几何难点，提升数学思维 小学到了六年级就要开始学习圆柱与圆锥，这就是适配课本内容的学习教具。还原书上的推导过程，包含了圆柱与长方体之间的转换， 一目了然。等比等高的圆柱和圆锥可以演示出圆锥的体积是圆柱的三分之一。借助教具，孩子更容易理解推导公式，圆柱表面积也能更直观理解，学习效率大大。 圆柱圆锥八合一演示套装辅助学习六年级圆柱圆锥单元，学习圆柱表面积，用这个套上桌长纸盖上地面，展开论证了课本所说的 接下来，圆柱分为两半，厚尺和可以得到一个近似的长方体。套用一下长方体的计算公式，就能推导出圆柱的体积了。学习圆锥表面肌，用这个包括好晒型尺和底面，展开后得出表面肌的推导公式。 安装并使用量高器得出圆柱、圆锥等底等高，将圆锥装满水，倒入圆柱中，三次即可装满圆柱，得出圆锥体积的计算公式。 内含圆柱圆锥旋转片旋转一周，圆柱圆锥立线，把旋转片粘在旋转棒上，快速旋转，可观察形成什么形状。

孩子们好，今天我们来学习六年级下册第三单元第二个章节圆锥的第一课是圆锥的认识，来看一下老师给大家带来的这幅图，认识吗？认真观察上面这些物体的形状，它们有什么共同点呢？ 都有一个圆圆的底面，还有一个尖尖的顶点，像这些物体的形状都是圆锥体， 简称圆锥。那生活中你还见过哪些圆锥形的物体呢？请打在评论区。 今天呢，王老师也给大家带来了一些生活中的圆锥，来看孩子们是不是经常见到这些圆锥，它有什么特点？今天我们对圆锥进一步的认识 好了，孩子们拿出你课前准备的圆锥形物体看一看，摸一摸，它有哪些特征呢？首先它有一个尖尖的点，这个尖尖的点呢叫顶点，它还有一个底面，并且这个底面是个圆形， 所以圆锥的底面是一个圆圆锥的，它的侧面是一个曲面。如果我们沿着圆锥的顶点和底边上的任意点沿直线剪开，我们发现它的侧边展开以后是一个扇形， 所以它的侧面是一个曲面，展开以后是个扇形，就会发现圆锥是由两部分组成，一个底面是圆形，一个侧面是曲面，两部分围成的立体图形。大家继续回忆一下圆柱体，它有高， 并且它有无数条圆锥，它有高吗？什么叫圆锥的高呢？来一起看。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高，用 h 表示，那圆锥只有一个顶点，所以你们猜圆锥它有多少条高呢？对，圆锥只有一条高，那圆锥的高 摸不着，看不见，又该怎么测量它的高呢？孩子们，你有方法吗？书中告诉我们了， 测量时，圆锥的底面要放水平，需要一幅三角尺。首先要放 如图所示，各放一把三角尺，并使右方的三角尺的零刻度与平板的上边缘对齐。 第二量，圆锥顶点紧挨着直角边，与平板之间的距离就是圆锥的高， 从零刻度到七点五之间，那么所以这个圆锥的高就是七点五厘米。这里需要注意的是，三角尺的零刻度一定要和平板的上边缘对齐，并且这两个三角尺要紧紧地挨在一起。 在学习圆柱的时候，我们知道把木棒粘在长方形的一条边上，然后快速旋转，我们得到一个圆柱。那么圆锥能不能通过平面图形旋转能得到呢？来，请你动手做一做，如下图所示，把一张直角三角形的硬纸 贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出来是什么形状。王老师也做了一个这样的三角形木棒，粘在了比较长的这个直角边上 快速旋转，我们会发现形成的是一个圆锥。一起来看，我们发现转起来像一个圆锥。如果我把木棒粘在比较长的这条直角边上， 那形成的这个圆锥都是高高的，那么这条直角边就是圆锥的底面半径，所以就得到一个高高的瘦瘦的圆锥。 如果王老师把木棒粘在直角三角形这条短的直角边上，快速旋转，仍然得到一个圆锥，那也就是以长直角边为轴，它就是圆锥的高。短的直角边就是圆锥的底面半径。 如果以短边为轴，那么它就是形成圆锥的高长的直角边就是形成圆锥的底面半径。孩子们，你也动手做一下实验吧！我们不仅认识了圆锥的表面特征，还要对它进一步的认识来。孩子们， 如图所示，将下面的圆锥切成两部分，切开后的结面分别是什么形状？连一连，请你先想一想，然后动手操作验证一下。王老师给大家带来一根胡萝卜， 如果我从下面切开，它的结面是一个圆形，越往上，我们发现它的结面的圆会越来越小，所以第一幅图 它的结面是一个小圆，如果往下结，它的横结面得到的是一个大圆，所以第一幅图它的结面连小圆，第三幅图它的结面连大圆。那第二幅图是沿着圆锥的顶点切下去，平均分成两份。 我们发现它的横截面是一个等腰三角形，并且它的表面积增加了两个这样的等腰三角形，所以第二幅图的横截面是等腰三角形。孩子们，下课以后，你也像这样动手操作验证一下。 我们认识了圆柱，认识了圆锥，来比较一下圆柱和圆锥它们有什么相同点和不同点。首先来看它们的相同点，圆柱和圆锥的底面都是圆形，侧面都是曲面。它们的不同点呢？圆柱有两个底面，圆锥有一个底面， 圆锥的侧面展开是一个扇形。圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 这些概念的理解可以帮你进一步认识圆柱和圆锥。好了，孩子们来回忆一下今天这节课的学习，你有了什么收获呢？ 我们认识了圆锥的特征，并且知道了圆柱和圆锥的相同点和不同点，还知道了面动成体。如果这节课你觉得自己有收获，给自己点个赞吧！

六年级下第一单元圆柱与圆锥，我们来看一道相关问题，如果一个装满小麦的粮屯就这个啊，已知呢？圆柱的底面直径是四米，高是四点五米，圆锥的高是圆柱的五分之二， 那么如果每一平方米小麦约重七百五十千克，那么这个粮屯他的小麦大概要重多少千克？ 那么其实这道题呢，就是让我们来算这个圆柱加上圆锥的总体积，对吧？体积算出来了以后，乘上每平方米七百五，那就是总共的千克数。好，我们来算等于圆柱加圆锥，圆柱的体积等于 pi r 方 h 三点一四乘上圆柱的直径是四，那半径就是二二的平方，还是四，高是四点五。 好，那么这个是圆柱的。然后我们来看圆锥的，圆锥的话也是一样，三点一四乘上四，再乘上高，他说了圆锥的高是圆柱的五分之二，那是不是就是四点五乘上五分之二，别忘了还有一个三分之一。 好了，那我们来算一下这个啊，这个计算的结果，五十六点五二，后面这个是七点 五三六，最后加在一起等于六十四点零五六单位平方米。好了，他最后问的是重量，小麦的重量就等于体积乘上千克数， 七百五十千克，好，最后我们算下来等于四万八千零四十二千克，好，最后不要忘了作答一下。