五年级数学下册折纸第二课时基础训练

今天我们一起来学习北师版五年级数学下册第一单元的第二课时折纸二。 首先我们对第一课时的知识进行一个复习，计算下列各式，四分之三加八分之一。分母四和八是一个倍数的关系，所以我们将四分之三的分母它 化成八等于八分之六加八分之一等于八分之七，九分之二加三分之一。九和三是倍数关系，所以分母选九等于九分之二加九分之三等于九分之五， 十五分之八减五分之二。同样的分母十五和五是倍数关系，所以分母给它化成十五等于十五分之八减十五分之六等于十五分之二， 七分之五减十四分之三。七和十四同样是倍数关系，所以分母等于十四分之十减十四分之三等于十四分之七。 十四和七同时约去七，最后化解成最减分数二分之一。 总结下来， e。 分 母分数相加减的时候要先进行通分，再按同分母分数相加减， 这是我们第一课时的知识。那接下来算一算，十分之七减六分之一，并与同伴交流你的做法。刚才我们做的分母，他们都是倍数的关系，而这里分母一个是十，一个是六。我们第一种方法是 把十分之七给他换成六十分之四，十二，六分之一换成六十分之十，也就是将分母十乘六七跟着乘六六乘十 一也去乘十相减，得到六十分之三十二，六十和三十二同时约去一个四，得到十五分之八。这是我们的方法一，也就是 用十乘六做分母。第二种方法，十分之七减六分之一，还可以看成三十分之二十一，减三十分之五等于三十分之十六。三十和六同时约去 二，得到十五分之八。这里我们是选举十和六的最小公倍数，三十作为它们的分母， 算一算十分之七，减六分之一，并与同伴交流你的做法。我们刚才是通过两种方法，一种是分母看成十乘六，另一种是分母看成十和六的最小公倍数。 那通过这两种计算方法，我们会发现通分时选用分母的最小公倍数做分母比较简易一些， 并且计算的结果能约分的要约分成最减分数。算一算，并与同伴交流你的做法。三分之二加八分之一， 我们要找三和八的最小公倍数。二十四分之十六加二十四分之三等于二十四分之十九， 四分之三减六分之一。四和六的最小公倍数是十二，十二分之九，减十二分之二等于十二分之七。 用分母的最小公倍数做公分母进行通分，计算起来比较简易一些。 进行一个小练习，六分之一加四分之一。四和六的最小公倍数可用短除法找他们的最小公倍数是十二，六分之一看成十二分之二，四分之一看成十二分之三。计算的结果是十二分之五， 四分之三减十分之七。四和十的最小公倍数是二十，也就是换成二十分之十五，减二十分之十四，最后得到二十分之一。 一减五分之二。这里的一我们可以看成分母是五的分数，也就是换成了五分之五，减五分之二，得到五分之三。那以上就是我们第二课时所学习的内容，感谢大家的支持！

今天我们一起来学习五北师版五年级数学下册第一单元分数加减法的第一课时，折指一。 在学习新课之前，我们先对之前学过的知识进行复习。七分之一加七分之二等于七分之一。加二等于七分之三。五分之三加五分之三加一等于五分之四。 九分之二加九分之五等于九分之二加五等于九分之七。七分之三减七分之一等于七分之三减一等于七分之二。 那我们发现刚才做的这些题，它都是属于分母相同的分数，那同分母的分数相加减的时候，注意分母不变，分子相加减 比较下面分数的大小。七分之二和六分之一比较大小的时候，属于异分母分数比较大小。那首先我们要把分母换相同，七分之二等于四十二分之十二， 六分之一等于四十二分之七。因为四十二分之十二大于四十二分之七，所以七分之二大于六分之一。五分之三和八分之五比较大小的时候，分母换成相同的。四十 五分之三等于四十分之二十四，八分之五等于四十分之二十五。因为四十分之二十四小于四十分之二十五，所以八分之三。五分之三小于八分之五。 那把分母不相同的分数化成和原来分数相等，并且分母相同的分数，这个过程就叫做通分。 接下来我们来学习今天的新知。淘气和笑笑在一起折纸，笑笑说，我折小船用了这张纸的二分之一，淘气折小鸟用了这张纸的四分之一，那问他俩一共用了这张纸的几分之几？ 首先我们要理解题意，条件是笑笑用了这张纸的二分之一，淘气用了这张纸的四分之一， 问题是他俩一共用了这张纸的几分之几，那求一共的话，也就是求二分之一和四分之一的和是多少？用加法计算，列式为，二分之一加四分之一， 二分之一加四分之一。方法一，我们可以通过画图直观的得出结论，将一张正方形的纸平均分成两份，取了其中的一份就是二分之一， 再将另外一张纸平均分成四份，取其中的一份就是四分之一。那么他们两个相加在一起，可以将我们第一张纸平均分成四份，也就是我们原来的二分之一，也就是现在的四分之二。 第一张纸是两份，第二张纸是一份，那合起来他们就是四份里面的三份，也就是四分之三， 最后的结果等于四分之三。方法二，利用通分来计算。 在计算同分母分数的加法时，我们要把分母变成相同的，也就是通分，可以把两个不同分母的分数化为和原来分数相等，并且分母相同的分数， 那二分之一和四，他们的最小公倍数是四， 所以我要把二分之一换成四分之二，加四分之一等于四分之三，最后的结果等于四分之三。答，他俩一共用了这张纸的四分之三。 分母不同的分数相加减怎样计算？根据刚才我们举过的例子，在计算一分母分数时，我们可以用通分的方法将它们分母换成相同的分数。 四分之三加八分之五，可以看成八分之六加八分之五等于八分之十一，写成代数的话就是 e 有 八分之三。六分之五，减三分之二等于六分之五，减六分之四等于六分之一。 先通分，将分母不同的分数化成分母，相同的分数就可以直接相加减。除此之外，我们还可以用画图的方式解释上面两题的计算过程。 四分之三把一张纸平均分成四份，取了其中的三份。八分之五是把一张纸平均分成八份，取了其中的五份。 那紧接着我们可以将第一张纸给它，从中间再分一下，平均分成八份，那我们刚才的四份里面的三份，也就相当于现在八份里面的六份， 合起来就总共是十一份。 写成代分数的话，就是一有八分之三，六分之五减三分之二，六份里面的五份。三分之二的话是竖着来看，把它平均分成三份，取得其中的两份，用黄色部分表示。 把这部分减去之后，现在剩余的就是我们六份里面的一份，也就是六分之一。 那今天我们的课程到这里就结束了，感谢大家的支持。

同学们，我们今天继续来预习第二单元因数和倍数啊，第二课时找一个数的因数和倍数。 嗯，学习之前，我们先来复习一下上节课。什么？我们认识了因数和倍数，知道啊，一个定义，在整数除法当中，如果商是整数且没有余数或者余数为零的啊，一定是这个前提下，我们就说除数是倍数数的倍数啊，有前提的要注意。 然后并且我们知道因数和倍数之间探探间他俩的关系，什么呀，哎，相互依存的。然后非常要注意的一点就是第三点啊，为了方便我们在探求因数和倍数的时候啊，我们所指的数是自然数，但是当中怎么办呢？不包括零啊，看一下 这节课的一个学习目标啊，上完这节课了，你要学会以下两点，第一点，学会找一个数因数和倍数的方法。第二点啊，发现因数和倍数的特点。 那我们先来说找一个数的因数，哎，学习他的方法在这里呢。老师，以十八为例啊，有两种方法去找一个数的因数，第一种方法就是根据定义去除法，他不说在整数的除法当中啊，两个数相除，如果商 怎么办？是整数且没有余数啊，我们就能说啥除数是被 a 除数的，啥因数，对不对？所以我们可以利用除法去找， 然后把找谁，比如说这道题当中，我们找十八的因数，我们就可以 a 把十八当做倍数数，然后怎么去想呢？想十八除以多少啊，它的商是整数，没有余数，那这个除数不就是十八的啥因数了吗？对不对？所以啊， 我们一般从哪开始试呢？为了防止重复和遗漏啊，我们一般从非零的自然数一开始试，十八除以一等于，哎，十八，这个时候我们就找到了一对 除数一和商十八，它俩都是十八的因数，对吧？然后我们继续再去试， 依次往下除啊。我们先试的是一，再去怎么办？除以二，二几十八，二九十八，所以我们又找到了第二对，然后再用十八 除以三等于三六十八，哎，第三对再继续用十八除以四，哎，四几十八，四五二十三，四十二，有吗？没有对不对？所以这个四不可以对不对？ 然后再用十八，哎，除以五几乘五的十八，乘法口诀当中没有，是不是证明他有余数啊？我们一定要记记住余数，不能为得为零。然后我们再继续是十八除以六，哎，我们发现三六十八，这个可行，但是这时候同学们要注意一点， 哪里了？发没发现出现了重复的因素，上面这个六和上面这个六怎么办？重复了，当我们啊在试的时候发现有重复的因素出现，当出现了之后就怎么办？不需要再找了，证明所有的因素我们都已经找到了，就是上面这这些， 所以十八的因数有一二三六九十八啊，这是第一种方法，用除法去找一个数的因数啊，还有我们还可以用乘法 去找一个数的因数，哎，用乘法怎么找？我们可以想每两个整数相乘，它的结果，哎，等于十八，那这时候我们一般也是从一开始啊， 想一乘多少等于十八，那么这两个因数都是十八的啥因数？二乘多少等于十八， 三乘多少等于十八，这样依次的去找啊，那我们从第一个开始，一乘多少等于十八，一乘十八等于十八，所以这时候我们就一下找出了一对了，一和十八都是十八的啥因数？这个是第二种方法，用乘法啊，然后二乘多少等于十八，二 九十八，哎，第二对，一对一对的找啊，第二对找到了三呢？三六十八，哎，第三对，然后再用四四乘几等于十八呢？没有四四十六，四五二十，哎，这个不行，然后再用五乘多少等于十八， 有吗？没有。那六呢？六乘三等于十八。这当中我们又发现了这个 两个因素与上面的怎么办？重复了，哎，就不需要再找了啊，当出现重复的因素时候就不需要再找了，证明我们的因素都已经怎么办？找到了啊， 这是两种找因素的方法，同学们可以自行选择，你选择用除法，也可以选择用乘法，也可以乘法，就想两个整数相乘，它的结果，哎，比如说我们这道找十八的因素吗？它等于十八，这两个数就是十八的因素。那找完了之后我们得表示出来啊，表示的时候有两种方法，第一种 我们可以用列句法写出十八的分数，有， 然后我们写的时候啊，老师用不同的颜色给大家伙写出来，要注意我们写因数的时候忘防止重复和遗漏。我们按从小到大的顺序去写，看老师这个箭头啊，比如说这个我们从哪写？从一，哎这样的，然后 哎这个顺序去写，然后看十八的因素，有一写一个之后要给它间隔开，用逗号啊，二 三六九十八，最后一个用句号啊，这是用列句法表示，我们还可以用几何图的形式表示。 那这时候啊，我们找十八的因素呢，我们先画一个椭圆啊，然后把上面写上十八的 因数，然后我们依次还是按从小到大的顺序去写，十八的因数有一，然后一定都是用逗号隔开二 三六九十八，这个跟上面有一个区别啊，不需要写句号了啊，然后那我们观察啊，一个数的因数，你发现它有什么特点了吗？你看十八的因数有这么多， 发现当中最小的因素是几啊？是一，然后最大的因素是十八，也就是最大的因素是它本身，然后因素的个数是啥？有限的对不对啊？这是我们找因素的方法，这两种除法和除乘法，哎，你用哪个都可以，然后呢，表示的方法也有两种 哎，你用哪种表示自行选择，你喜欢哪个就用哪个啊，来，接下来我们看下面这个表啊，因素的一个特点，在找上面找因素的过程中，你有什么发现呢？一个数的一个数最小的因素是几啊？一，最大的因素是它本身， 然后一个数的因数的个数是啥呀？有限的对不对？因为最小的是一，最大的是它本身，所以它肯定是有限的啊，这就是找因数的一个方法。那掌握了之后，同学们我们来小试一下牛刀啊，你可以拿出你的本来找一找。那老师啊，在这里， 这面就是老师的草稿纸了，老师在这找一找啊，让找三十的因数，老师呢，就用乘法了，我用乘法去找，我想， 哎，一乘多少等于三十，二乘多少等于三十，三乘多少等于三十，对不对？用这种方法去找，那一乘多少等于三十啊？一乘三十等于三十，我这不就一对一对的找出一对了，对不对？然后呢？ 二乘多少等于三十，二乘十五等于三十，三乘十等于三十，那四乘多少等于三十，有没有？没有？没有怎么办？将它划掉，然后五呢？五六，三十， 然后这个可不可以？可以，那继续。六乘多少呢？六乘五等于三十。哎，老师强调一个事忘没忘，当我们发现啊，我们在找的过程当中有重复的因素出现的时候就怎么办？不需要再找了啊，这个我们可以划掉，证明我们是上面这些哎， 已经找到了三十的所有的因素，对不对？然后在书写的时候啊，我们要从怎么办？从小哎到大的一个顺序去写，防止遗漏，老师在规范的在这面给大家书写一下啊，首先这有两种表示方法，第一种是列句法，我们可以写 有多少？一，用逗号隔开啊，三四，可不可以四划掉了对不对？五六，然后呢是十十五，三十，哎，这是第一种表示方法，列句法我还可以用，怎么办？集合图的方法，集合图的方法就是 老师这圈画的不怎么样啊，大家伙可以对付看，然后我们就可以前面字啊，一定要写成三十的因数。有这两种方法啊，你自己任选，喜欢哪个用哪个，但是要注意你在写表示因数的时候啊，要从小到大去写，防止给它落下啊，然后用逗号隔开， 现在这两种方法就是表示因数的一个方法啊， 然后我们学完了因如何找因数的方法，我们下面要进行的如何去找一个数的倍数，在这里呢？老师，以二为例，我们同样的啊，还可以从定域除法啊去找，用除法去找， 那用除法我应该怎么想啊？二的倍数，我就想，谁除以二，得到的商是整数，没有一数，对不对？这个谁， 这个倍数数不就是二的啥倍数吗？对不对？那我们可以想，二除以二等于一，还可以谁谁除以二，所以这二就是二的啥倍数，理解这意思吧，然后四除以二等于二，四就是二的倍数。但是老师感觉用除法去找不是很明智啊，在找一个数的倍数的时候啊，用乘法 更简单，那用乘法我们怎么去想呢？我们就乘法，我们该怎么去找呢？我们就依次的用二去乘，非零的自然数乘一，哎，二乘二，然后它的结果 g 是 多少， g 是 多少，这个 g 就是 二的倍数啊，二乘二，二乘三，二乘四，对不对？二乘五，然后 g 是 多少，这个 g 就是 二的一个倍数，所以啊，找一个数的倍数时候用乘法 更推荐大家啊，我们现在来写一下啊，二乘一，一二得二，二二得四啊，那个二是不是二的倍数？四也是二的倍数，二三得六，二四等于八，二五一十，那我还可以继续去写这些，哎，都是啥？二的倍数对不对？我还可以继续去乘 二乘六，二乘七等等。因为自然数的个数是啥无限的，所以我们就知道了一个数的倍数也是啥无限的，但是呢，我们发现 当中，哎，我们说学习因素的，知道了最小的因素是一，最大的因素是它本身，那跟倍数呢？倍数的个数是无限的，所以它没有最大的倍数，但是它有最小的倍数，最小的倍数是谁？是二，让找二的倍数，哎，它最小的倍数就是二，所以我们可以得到啥？一个数最小的倍数是它本身， 那么我们来小试牛刀，练一练，找一个数倍数的方法。那我们看一下啊，找出五个三的倍数，为啥说五个？因为一个数的倍数是啥？无限的，哎，老师刚才教你了，用乘法找更快一些，哎， 用让找谁的倍数，我们就用谁去依次乘。非零的自然数，一般是从一开始，对不对？一乘三等于三，哎，三就是三的倍数，找五个就可以来三乘二 等于六这几个了，六也是三的倍数啊，三乘三等于九，三乘四等于十二，三乘五等于十五，是不是轻轻松松，哎，都找完了， 这几个就是啥？就是三的倍数啊，然后在表示的时候，我们可以怎么去写啊？同样的还是有两种方法啊，我们可以写三的 倍数，有依次按照，从小到大啊，三六九，十二，十五，哎，后面怎么办？ 放一个省略号。为啥要放省略号，同学们知道吗？因为，哎，倍数的个数是无限的啊，还可以用集合图的形式，比如说三的倍数， 然后画一个椭圆的圈啊，然后三六九，十二十五，然后怎么办？后面省略号啊，这就是找一个数倍数的方法。然后 我们啊，这一节课学完，我们要知道啊，找一个因数的方法，我们可以用除法， 还可以用啥乘法，一对一对的去找啊，从一开始试，然后找一个数的，找一个数倍数的方法呢？用这个数依次去乘自然数，一般是从一开始乘啊，本节课到这里啊，就已经要结束了。同学们啊，下面这两个就是 因数和倍数的特点，看看你发现了吗？一个数最小的因数是一，最大的因数是它本身，一个数最小的倍数是它本身，它有最大的倍数吗？没有啊，一个数的因数个数是有限的，它的倍数个数是无限的啊。要注意后面的这两道题，同学们可以截图去做一做。

三的倍数特征， 自从有了二五这两个数的倍数特征，做题轻松，妈妈再也不用担心我的数学了。哎，要是所有数的倍数都有特点该多好？ 想得美，不过想的还挺对，今天博士再送你们一个数的倍数特征，那就是三的倍数。有请百数表 三六九十二，十五、十八、二十一，一直到九十九。现在你能发现三的倍数的特点吗？ 横看竖看，怎么看都没啥特点啊。那除了横着看，竖着看，咱们还可以怎么看呢？没错，还可以斜着看嘛，是这样吗？ 比如这些数按这个方向看的时候，十位数字每次增加一个位数字每次减少一。 你发现了吗？如果咱们把十位数字和个位数字加起来，那每个数的所有数字加起来的和都是三。 再看这个十位数字，还是每次增加一个位数字还是每次减少一，每个数的所有数字的和都是六。 同样的，这些数的数字和是九，这些是十二，这些是十五，这个是十八。咱们刚才斜着看，咱们把三的倍数每一位上的数字加起来了，得到的和有什么特点吗？ 三、六、九、十二、十五、十八，不都是三的倍数吗？ 也就是说，对于一个数，咱们把它所有数字加起来，得到的数字和是三的倍数，那么这个数就是三的倍数。 比如说五十一，咱把它每一位数加起来就是五，加一得六，六是三的倍数，所以五十一就是三的倍数。 这样判断三的倍数是不是快了很多？那你判断判断五十七是不是三的倍数呢？ 选 a， 五加七等于十二是三的倍数，所以五十七是三的倍数。优秀，那么一亿一千一百一十一万一千一百一十一是不是三的倍数呢？ 选 a， 一 共有九个一，加起来是九九是三的倍数，所以这个数就是三的倍数。没错没错，有了这个秘诀，翻越倍数大山都不是事儿。 今天咱们知道了三的倍数特征，如果一个数的所有数字加起来得到的数字和是三的倍数，那么这个数就是三的倍数。

今天我们继续来预习第二单元，因数和倍数的第一课是认识因数和倍数，哎，同学们学完之后，你就会发现啊，原来因数和倍数之间他存在这样的关系啊。同学们，老师会在视频的最后呢，给同学放几道题啊，你可以动笔去做一做，然后把你的答案打在评论区，老师会去看看你做的对不对。那我们先来看例一， 在前面的学习当中啊，我们知道两个整数相处有下面的两种情况，同学们仔细观察这两种情况，你有发现他这两种情况有什么特点呢？哎，有什么不一样的地方哎，这时候有同学说了，郭老师，我发现了啊，他第一种， 他的 b 除数，除数和商，哎，都是啥？整数。然后呢，第二组，虽然说 b 除数和除数是整数，但是他的商不是整数，也就是说他的余数不为零。 那在这里老师给同学们进行了一个归纳总结，在除整数除法中，如果商是整数，且没有余数，或者说余数为零的啊，这个前提下，我们就说除数是被除数的因数，也称之为月数，那被除数是除数的一个倍数。 那这时候同学们说啊，这节课结束了，我咋没听懂这个总结的话是什么意思呢？有点迷蒙，是不是 不要迷茫啊，老师通过一个除法的算式给大家伙讲完之后，你就会恍然大悟了啊，我们看这个十二除以二等于六对不对？在这个除整数除法中，是不是商是整数前面有余数啊，一定是这个前提条件下啊，我们再说啊，我们看二是谁呀？二是除数， 然后十二是被除数，那我们就可以怎么去说说二是十二的因数对不对？然后继续下句话说， 可以说被除数是除数的倍数，那被除数在这道题当中是谁？十二除数是二，那我们就可以说十二是二的 倍数。哎，理解了吧，这就是后面这两句话的一个意思啊，但是前提条件得是啥？商是整数且没有余数啊。那我们这个除法算式，我还可以把它写成十二除以六等于二，那我们说的时候就可以说，二是 可以说六是十二的因数，十二是六的倍数。那这两道除法算式，我还可以把它写成乘法， 解成乘法就是二乘六等于十二。哎，同学们想想这个该怎么去说呢啊，你看看跟老师说的一不一样啊，像二乘六等于十二这个算式呢，我可以把它说成啊，二和六是十二的因数，十二是二和六的倍数。这三个算式， 老师给大家伙进行了一个归答，统一的去说啊，我们可以怎样去说，就可以去说说二和六是十二的倍数，十二呢，是二和六的倍数。那下面啊，有两道题，同学们可以试着说一说，谁 是谁的音数，谁是谁的倍数。那看看你说的跟老师的一不一样啊。首先第一个，六，十除以十等于六，我们就可以说，哎，十和六是六十的音数，六十是十和六的倍数。第二个啊， 十除以二等于五，我们就可以说五和二是十的因数，十是五和二的倍数。那同学们仔细的听一听啊， 你有什么发现呢？老师在说的时候啊，都在说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，那因数和倍数他俩之间就是存在的一定的关系的， 他俩这个关系就是什么关系？相互依存。哎，这时候同学说，相互依存啥意思啊？老师在这里给你个解答，也就是说因数和倍数他俩都不能单独存在。比如说这道题啊， 六十除以十等于六啊，我们都说六和十是六十的因数，对不对？ 那我要说六是因素，只说一个数，六是因素，可不可以？不可以啊？他俩是相互依存，相互依存的就意思就是，哎，缺一不可。我们在说的时候一定要说，哎，谁是谁的因素？以这道题为例，我们就可以说六是六十的因素 啊。我，我只说六是因素，可以吗？不可以，这是一种错误的，这是我们考试非常要注意的一个易错点。 也就是说啊，因素和倍数他俩不能单独存在，不能说。哎，一个数是因素，或者说一个数是倍数，一定要说谁是谁的因素，谁是谁的倍数，他俩的关系就是相互依存的，这是我们要注意的第一个点啊。 然后我们要注意的第二个点就是为了方便在研究因素和倍数时，我们所指的数一般是自然数，但是呢，当中 一般不包括零。为啥不包括零？因为我们都知道零不能做啥，除数，对不对？这就是本节课的一个内容，我们学完之后知道两个知识点，第一个知识点就是什么 因素和倍数不能单独存在啊，必须说谁是谁的因素，谁是谁的倍数，他们之间的关系是相互依存的。第二个要注意的点就是啊， 在研究因数和倍数的时候，我们所指的数一般是自然数，但是一般不包含啊，不包括零。下面这个题呢，孩子们可以去截图做一做啊，把你的答案放在下面，老师看看你们是否对这节课掌握了。

今天我们一起来学习北师版五年级数学下册第二单元长方体一的第三课时展开与折叠 漂亮的礼品包装盒都是用包装纸做成的，那把包装盒展开，你知道是什么样子的吗？接下来我们来欣赏他们的展开图。 将立体图形的表面按一定的顺序而连续地摊平在一个平面上，所得到的同样就是展开图。 那你能把一个正方体的盒子沿着棱剪开，得到一个展开图吗？笑笑和淘气狗 在剪的时候，淘气狗遇到了这样的问题，不小心把我们这个面剪下来了，那所以笑笑告诉淘气狗说这是展开图，至少有一条边相连。 请你找一个正方体的盒子剪一剪，把你得到的展开图画下来 观察。我们沿着一条棱将其展开之后，得到这样的一个图， 将我们这个展开图画下来， 就得到了最上面是一个正方形，中间是四个正方形，一四一。 除此之外，沿着另一条棱剪开， 可以得到这样形状的一个展开图，那整体也是最上面是一个正方形，中间有四个，最下面是一个，也是一四一。 那同学们可以自己动手试着剪一剪，看你能剪出多少种不同形状的展开图，并说一说分别是如何得到的。那这里老师把我们的结果汇总出来， 观察我们这些展开图，它都属于一四一形，上面有一个正方形，中间有四个正方形，下面有一个正方形。如我们下图所示，一四一， 一四一这种形的，我们可以剪出六个不同的形状。 除此之外，展开图当中还有二三一形，也就是上面有两个正方形，中间有三个正方形，下面有一个正方形，如图所示，二三一。 紧接着还有二二二形，上中下三行各有两个正方形， 就像我们的上台阶一样，三三形仅有两行，每行各有三个正方形。那这里要注意，我们这里是将这两个正方形连在一起， 也就是我们这块形成了一个日字，汇总出来，正方体的展开图一共有十一种，分别是一四一形， 第一行都是属于一四一型，紧接着二三一型，二三一型的有三种，还有二二二型和三三型，共十一种。 那正方体展开图的每个面都是正方形，正方形的边长其实就是正方体的棱长。那同伴合作，把每一种展开图再重新折叠成正方体， 动手试一试，观察在展开图中具有什么样的关系的。两个面折叠成正方体后，分别是相邻的还是相对的。 那接下来有一个练习题，下面是一个长方体和正方体的展开图，请分别说出与一号、二号和三号面相对的各是几号面。先想一想，再利用副业一中的图一试一试。 如图，我们的一号面对的是六号面，上下相对，二号面对的是四号面，中间隔了一个图形，三号面对的是五号面。 在观察正方体当中，同样也是上下四对的是二，一对的是五，中间隔一个三对的是六。把一个长方体的盒子沿棱剪开，想一想它的展开图是什么样子的？ 黄色的红色，紧接着又是黄色，往下画红色，然后让左右两边的绿色分别放在左右两边， 可以得到一四一型，下对的是上前，对的是后，左对的是右。 练习一下面的图形分别是上面哪个盒子的展开图，想一想连一连。 第一个图长方体，它的展开图是我们下面的第二个图，圆柱的展开图，上下两个面都是圆形，中间展开图是一个长方形 三棱柱，左右两边是三角形，最后一个是正方体，每个面都是正方形。好，那今天我们的课程到这里就结束了，感谢大家的支持。

爸爸，看你的肚子圆的干什么啊？考你数学题，答不对就做蹲起。什么数学题？十八的因素有哪些？十八的因素 三六，还有你。嗯，错错错。那是什么？十八的音数有一、二三，六九和十八。 这么多吗？嗯，答错一个做十个。蹲起来吧。四个，四十个，蹲起，快点，哎呀，哎呀，给我起来做蹲起。哎呀， 我做蹲起。一，二，三，四，五，六，七八，九， 十，十，一，十二，十三，十四，十五，十六，十七，十八，十九，二十二，十一，二十二，二十三，二十四，二十五。起了，二十七，二十八，二十九，三十三，十一，三十二，三十三，三十四，三十五，三十六，三十七。坑爹，成功累倒爸爸一枚。

我们今天一起来学习一下北师大版五年级数学下册第一节折纸， 这一节我们主要学习异分母分数加减法，异分母也就他们的分母不相同， 那么我们来看一下二分之一加四分之一等于多少呢？以前我们都是用画图的方法来做，那么现在我们来画一下，二分之一表示把一个单位一 平均分成两等份，取其中的一份，这个是二分之一。四分之一呢表示把单位一平均分成四等份，取其中的一份， 这是四分之一。那么二分之一加四分之一应该等于多少呢？ 我们来看一下这个是四分之一，对吧？我把这个单位仪平均分成四等份， 要涂其中的一份，那么左边的这个二分之一，那么应该是涂这个部分， 那么我们就要看清楚，二分之一他其实表示的就是四分之二，四分之二加上四分之一，所以说最后的结果竟然等于四分之三，也就是说我们在算 时候，我们要把分母不相同的给他转化成分母相同的分数。但是我们平时在做的时候，如果每次都画图，是不是特别麻烦呀？那么我们看一下应该怎么样来做呢？ 也就是说我们要把两个不相同的分母给他转化成分母相同的分数。我们来看一下二和四有什么关系啊？二和四是倍数关系，那么 我们就要给他进行通分，通分的话二和四存在倍数关系，那么他们的最小公倍数就应该是较大的数，所以应该是四。 所以说二分之一加四分之一，就应该等于 把它的分母变成是四分母，扩大两倍，所以分子也要扩大两倍，一二到二，四分之二加四分之一就应该等于四分之 三，所以我们用的方法就是通分的方法。同学们，那么现在老师给大家出一个题，看一下你学会了没有，比如说 三分之一加上四分之三应该等于多少？同学们自己算一下，在评论区告诉老师你的答案。

今天我们一起来学习北师版五年级数学下册的第二单元，长方体。第一课是长方体的认识一， 那生活中哪些物体的形状是长方或正方呢？说一说，认一认，如下图，水立方和我们的魔方。水立方的形状，它是长方体，长长方的，而我们的 魔方它属于正正方方，它是正方体。接下来我们来认识一下长方体的面。 长方体的每一个平面都叫做长方形的面。如图，那面与面相交的这个线段就叫做长方形的棱， 三条棱相交的点叫做长方形的顶点。 接下来认识正方体，这是正方体的面， 正方体的棱以及正方体的各个顶点。 正方体的每一个平面都叫做正方体的面，面与面相交的线叫做正方体的棱，三条棱相交的点叫做正方体的顶点。 如图，将水立方抽搐成一个长方形的框架时， 分别找出长方体的面棱和顶点。将魔方抽象成正方体时，分别找出正方体的面、棱以及它的顶点。 那长方体和正方体各自有什么特点呢？可以做一做，填一填，在比较的时候，可以比一比个个面的大小，数一数有几个点点，量一量棱的长度。 经过比较长方体，我们会发现相对的面完全相同。 再看前后， 通过动画演示，长方体有六个面，分别是上下、左右和前后。相对的两个面大小完全相同。紧接着长方体的棱，垂直于地面的棱 有四条，会发现相对的棱长度相等， 这四条棱的长度同样也相等。紧接着 会发现倾斜的棱长度也是完全相等。 数一数，我们会发现长方体它有八个顶点， 那就是长方体有十二条棱，刚才我们蓝色的有四条， 红色的有四条倾斜的，紫色的也有四条，三四、十二，所以是长方体有十二条棱，相对的棱长度是相等的，除此之外，它有八个顶点，那正方体 我们也会发现，上下前后左右正方题有六个面，六个面完全相同。紧接着看正方题的各个棱， 我们会发现正方体同样也是十二条棱，并且十二条棱完全相等，除此之外，也是有八个顶点，那将其总结出来， 顶点长方体和正方体每每个图形都有八个顶点，面的个数都有六个面形状， 长方提示长，每个面是长方形或者是正方形，那正方的每个面都是正方形。大小的关系，长方当中相对的两个面大小是相同的，而正方当中每个面的大小都相同。 再观察棱条数，都是十二条长度关系。在长方体当中，相对的棱长度相同，而正方体当中每条棱的长度都相同， 那长方体和正方体那长方体相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽和高。 那正方体是特殊的长方形，正方形是特殊的长方形，正方体是特殊的长方体嘛？认一认，想一想，长方体当中，我们把相交于同一顶顶的三条棱分别叫做长、宽、高，那在正方体当中， 每个边都叫做棱，因为它们的长度都相等，由此正方题可以看成是长宽高都相等的长方体， 那也就是正方题是特殊的长方体。那今天我们这节课的内容到这里就结束了，感谢大家的支持！

同学们好，我是清华大学附属小学陈军老师，很高兴和全国的小朋友同上一节课。在上课过程中，大家有任何疑问都可以通过直播平台给我留言。好，请做好课前准备，我们开始上课。 今天这节课，我们一起来学习北师大版数学五年级下册第一课，折纸 折纸起源于中国，诞生在两千多年前的西汉中期，是中华民族优秀的传统文化。折纸，动手又动脑，既能启迪智慧，又能开发创造力。很多小朋友都非常喜欢 笑笑和淘气，就非常喜欢折纸。一张正方形纸，笑笑折小船用了二分之一，淘气折小鸟用了四分之一。看到这样的信息，你能提出什么数学问题呢？ 请看！一些同学在预习之后提出了这样的问题。问题一，他俩一共用了这张纸的几分之几？问题二，笑笑比淘气多用了这张纸的几分之几。问题三， 还剩下这张纸的几分之几。你提出同样的问题了吗？这些问题该怎样解决呢？ 我们先来看问题一，他俩一共用了这张纸的几分之几。请你画图表示出结果，列式计算出结果。 对照图式和小伙伴们说一说思考过程。好，开始吧！ 好，让我们一起来看一位同学是怎么思考的。我是用折正方形的方法来解决这个问题的，我将这个正方形纸的面积表示为一。首先，我将这个正方形纸对折， 将这个正方形纸的一半表示为二分之一。 然后，我将这个正方形纸再次对折， 将这个部分表示为四分之一。 那么两个阴影部分的面积之和应该表示为多少呢？从图中我们现在无法直观的看到，所以我在二分之一这里加一条线， 这样整个正方形就被平均分成了四分。折纸右画图可以很容易得到，四分之三，四分之二，二分之一加四分之一等于四分之三。 同学们，你是这样想的吗？还有其他方法吗？我们再来看第二位同学的方法， 是画正方形图解决的，把正方形平均分成两份，其中一份就是他的二分之一，再把正方形平均分成四份，其中一份就是他的四分之一。二分之一加四分之一等于四分之三，他俩一共用了这张纸的四分之三。 画正方形图可以很直观的表示出是二分之一加四分之一的和，你是这样想的吗？还有其他方法吗？请看第三位同学的方法。 我是用画线段图解决问题的，我先画一条线段表示单位一， 在线段上取一段表示二分之一， 再在二分之一的后面接着取一段表示四分之一。 那么这两条线段和是多少呢？ 从图中无法直接看出。我们把二分之一再平均分成两份， 这两条线段合就是三份，原来的单位一就被平均分成了四份，所以二分之一加四分之一 等于四分之三。画线段图可以很直观的表示出两部分和的关系。同学们，你想到这种方法了吗？还有什么方法呢？再看第四位同学的方法， 我是列式转化成同分母分数解决的，二分之一和四分之一是一分母分数，分数单位不同，不能直接相加，要先通分转化为同分母分数， 运用分数的基本性质，把二分之一、分子分母都乘二，它等于四分之二。四分之一不动，直接移下来，它就是等于两个四分之一加一个四分之一，也就是四分之三。 这位同学在计算当中提到了我们以前学过的一个知识，通分。你知道通分能解决什么问题呢？ 通分是把同一分母分数化成了同分母分数， 那么通分是运用什么来进行的呢？是用我们以前学过的分数的基本性质，可以把分子和分母同时扩大相同的倍数。 那么通分就把异分母分数、不同的技术单位转化成了相同的技术单位，便与我们直接相加。你答对了吗？ 好，还有其他方法吗？我们来看一看。淘气是这样计算的，二分之一加四分之一等于六分之一，你同意它的算法吗？ 那么淘气的方法，我们对照前面同学的方法，我们可以发现，异分母分数相加。 我们通常用画图的方法，可以画直观图，也可以画线段图。这两种图都能够清晰地表示出部分与总体的关系，也就是不总关系，我们也可以略视。 通分转化成同分母分数，把不同的技术单位转化成相同的技术单位，然后再把相同的技术单位的个数相加。 那么淘气是把分母直接相加，分子不变，它的计算在计算的道理上是错误的。同学们，你想明白了吗？ 好，接下来解决了问题，我们再来看问题二，笑笑比淘气多用了这张纸的几分之几，请你试一试，算一算，再想一想背后的算理。 这张纸的二分之一是阴影部分，这个阴影部分等于这张纸的四分之二。四分之二减去四分之一，得到的是四分之一。 这是一位同学用画直观图的方法解决的，你是这样做的吗？再看这位同学，三分之 一减四分之一，二分之一和四分之一是一分母分数，分数单位不同，不能直接相减。先通分转化为同分母分数，运用分数的基本性质，把二分之一转化成四分之二， 再用四分之二减去四分之一，就等于四分之一。 这位同学列出把分母不同的两个异分母分数转化成了分母。相同的同分母分数，其实也就是把不同的技术单位转化成了相同的技术单位，然后再把相同技术单位的个数相减。 看来异分母分数减法和加法类似，都是找到相同的技术单位，然后进行加减。接下来让我们通过这两道题反思总结一下异分母分数加减法的算法和算理。 四分之三加八分之五，它们的技术单位不同，我们要通分转化成相同的技术单位。八分之一， 六个八分之一，加上五个八分之一，就等于十一个八分之一，六分之五减三分之二。 他们的技术单位不同，要转化成相同的技术单位，六分之一用五个六分之一减去四个六分之一，就得到一个六分之一。 那么这两题都用了转化的思想，就是把不同的技术单位要转化成相同的技术单位。 那么在转化之后，我们就可以把相同的技术单位的个数再进行相加减，这就是一分母分数加减法的算法和计算的道理，同学们，你是这样总结的吗？ 接下来让我们在填一填当中再进一步去体会一分母分数加减法的算理。 三分之一加九分之一，他们的技术单位不同，是三分之一和九分之一，我们要用通分的方法转化成相同的技术单位九分之一， 然后取三个九分之一，再加上一个九分之一，就得到四个九分之一，也就是三加一得到四个九分之一。 再看第二题，三分之一减六分之一，他们的技术单位分别是三分之一和六分之一，我们要转化成相同的技术单位六分之一，这样两个六分之一减去一个六分之一，就得到一个六分之一。 同学们，你是这样填的吗？还记得开始问题三吗？接下来我们看问题三，还剩下这张纸的几分之几， 通过直观图是不是很清楚的能够看到，还剩下就是这张纸的四分之一。 我们也可以画线段图，通过线段图我们很容易发现 二分之一、四分之一和还剩的这三部分与总量单位一之间的关系。我们可以用总量减去前面两部分，也就列式为一减二分之一，减四分之一， 通分转化成相同的计数单位四分之一，然后把相同的计数单位的个数四减二减一，得到一个四分之一。 那么我们也可以用总量减去前面两部分之和，于是列式为一，减去二分之一加四分之一的和， 然后统一技术单位，最后也能够得到四分之一。同学们，你是这样解决的吗？看来线段图真是我们的好帮手， 接下来我们看气象小组统计九月份雨天总天数，九月份雨天占全月总天数的三分之一，晴天占全月总天数的十分之三。请提出数学问题并解答。 同学们，你会提问题吗？一位同学是这样做的，他首先啊画出了线段图，表示出雨天、晴天和总量之间的不总关系。这样是不是很容易提出问题了呢？ 我们可以提出和的问题，也可以提出差的问题，甚至还可以提出背的问题。这位同学就提出了和的问题， 他提出了雨天和晴天共占全月总天数的几分之几，于是列式为，三分之一加上十分之三。 他们的技术单位三分之一，十分之一不同，要转化成相同的技术单位。三十分之一，十个三十分之一，加上九个三十分之一，就得到十九个三十分之一。再写上答语， 同学们，你还会提其他的问题吗？课后就试着提一提，并解答好算一算，四分之三加八分之一，我们该统一成什么技术单位呢？ 统一成八分之一，六个八分之一加一个八分之一，也就等于七个八分之一。再看，九分之二加三分之一，该统一成什么技术单位呢？ 九分之一，二个九分之一，加上三个九分之一，就等于五个九分之一， 十五分之八减去五分之二，我们该统一成什么技术单位？十五分之一，八个十五分之一，减去六个十五分之一，就得到二个十五分之一， 七分之五减去十四分之三。我们统一层技术单位，十四分之一，十个十四分之一减去十四个，三个十四分之一，就得到七个十四分之一， 再进行约分，就得到二分之一。同学们，你是这样想的吗？好，这节课啊，学到这里。如，如果让你总结一下你的收获，你会怎么总结呢？一位同学是这样总结的， 异分母分数加减法，它的算法可以去画图、直观图形、线段图，也可以去列式，然后通过通分转化成同分母分数。 而他背后的算理，其实就是把相同的技术单位的个数进行加减。同学们，你会这样总结吗？好，学了这节课，你还有什么问题吗？这位同学提出了这样的问题， 分数整数、小数加减法的算理一样吗？请你带着这样的问题走进下一节课的研学。

同学们好，从今天开始，老师就带着大家一起来预习五年级下册的内容，那五年级下册的数学知识难度又再次升级，它的概念比较多，那我们要想把题目做对，必须要先去正确理解它的概念。 我们从第二单元因数和倍数的认识开始，同学们看到因数和倍数， 我们知道它肯定是在乘法和除法当中来进行研究的，因为我们在除法当中被除数，除以除数等于商，在乘法当中因数乘因数等于七。 所以第一个前提因素和倍数一定是在除法算式当中来研究的，并非在加减法算式当中。那我们来看到黑板上的这两种除法算式，我们来看看他们有什么共同的地方和不同的地方呢？ 首先我们来看，哎，这些数呀，都是我们学过的最简单的整数，它没有小数吧，没有分数吧，哎，它们都是整数，那我们把被除数 是整数，除数也是整数，像这种算式，我们把它叫做整数除法。 首先它是一个整数除法，那同学们我们来看看后面部分有什么不同的地方呢？ 非常容易观察到，这里的商是整数，这里的商也是整数，但是这里出现余数了。哎，第一种情况，它没有余数， 它没有余数，并且它的商是整数。好，那今天这节课我们要讲的因数和倍数就是在第一种情况当中去探求它的， 它是有两个前提条件，第一，它是一个整数除法，也就是被除数和除数都是整数，这是第一个前提条件。第二， 他的商也是整数，并且没有余数。哎，如果他的倍数数和除数是小数，是分数了，那因数和倍数就不存在。 同理，他如果有余数了，那因数和倍数也不存在。好，这是他两个大的前提条件。那接下来我们具体来看看，到底什么是因数，什么是倍数呢？我们这样子说， 被除数是除数的倍数，反过来除数是被除数的倍数，那这个倍数还有一个名字也叫做约束， 同学们请看哈，你一定不要把关系弄混了，被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。那我们举个例子，就拿这两个算式，我们一起来说一说。 在十二除以二等于六这个算式当中，我们可以说十二是二的倍数，反过来二是十二的因数。 再来变一个下面这个算式，三十是十六的倍数，反过来六是三十的因数。 在这里要强调一个东西，这里的因素和倍数它是一种关系， 他们不能单独存在。举个例子，我是你的老师，你是我的学生，我们是一种老师与学生的关系。 因此我们不能单独的说十二是倍数，二是因数，这样子说是不可以的，只能把它们联系起来说十二是二的倍数。好，理解之后，我们再来练一练，跟着老师一起说。我们来看到这个算式， 我们一起来说一说，哎，二十四是四的倍数，反过来四是二十四的 因素。好，同学们请观察这个算式。我们利用除法算式当中的各部分关系，我们还可以写出另外一个除法算式，也就是二十四除以六等于四， 是不是被除数，除以除数等于商，被除数除以商等于除数。那这个算式我们也可以继续说，二十四是六的倍数， 反过来六是二十四的因数。那同学们，你来观察这两个算式，它的商和除数变了位置， 但是倍除数没有发生变化呀。在这个算式当中，二十四是四的倍数，在下面这个算式当中，二十四是六的倍数，因此我们可以合起来说，二十四是四和六的倍数。 再来一次，二十四是四和六的倍数，那反过来我们也可以合起来说，四和六是二十四的因素，再来四和六是二十四的因素。 同学们，你会说了吗？那我们来总结一下，今天这节课我们一共有这些知识点。首先 你要知道，因数和倍数是在除法算式当中来研究的，它有两个前提条件。我们的这个除法算式啊，没有小数，没有分数，就是我们最简单的整数除法。 被除数和除数都是整数，这是第一个前提条件。第二个，它的商也是整数，并且没有余数。 因此在以后的作业当中，你看到一个除法算是出现小数，出现分数，出现余数了，那他肯定不存在因素和倍数。 好，这是第一两个大前提。第二个难点也是重点，我们一定要捋清楚谁是谁的倍数，谁是谁的倍数，除数是被除数的因素，因素也称约束 好。第三个容易错的地方，因素与倍数呀，它是一种关系， 他们一起存在，一起消失，只要有因素，他就有倍数，只要有倍数，他就有因素。所以我们在说的时候一定要同时说出来，而不能单独说谁是因素，谁是倍数。 好，同学们，下来之后，你自己写几个我们的整数除法，来说一说谁是谁的一数，谁是谁的倍数呢？

五年级下册一开学就要用的几何教具，千万别等上课老师要求买，可就来不及了！长方体和正方体的面积与体积是五年级下学期的重难点，孩子借助教具更直观，学起来轻松无压力。 他把常见的十五款立体图形都凑齐了，还是透明无惧的设计，更利于孩子全方位的观察图形内部结构。不管是学习物体的表面积、体积，还是培养空间思维都非常有帮助。自带收纳盒，带去学校也方便。寒假快给你家孩子准备起来吧！ 五年级下册一开学就要用的几何教具，千万别等上课老师要求买可就来不及了。长方体和 我这陪伴才是体贴， 这逃避比较容易。

五年级不能心软，一定要狠抓长方体和正方体！因为这是下册数学的重点、难点、易错点内容，抽象难理解动作快的妈妈已经准备好了这本专项训练，他把五年级要掌握的长方体和正方体题型都给你整理好了， 包含长方体和正方体的表面积应用题长方体和正方体的体积体积应用题容积应用题体积单位间的进率 体积单位换算思路，体积单位换算专项容积单位间的进率容积和体积单位换算思路，容积和体积单位换算进率以及单位换算专项。关键是每种题型都有例题精讲和知识点总结，让孩子每天十五分钟学练结合，不知不觉就提升了计算速度和准确率。 数学越学越轻松五年级不能心软，一定要狠抓长方体和准确率！数学越轻松！五年级不能心软，一定要狠抓长方体！因为这是下册数学的重点、难点、易错点内容抽 i love you！

学完了因数和倍数，现在我们要去找他们之间到底有怎样更密切的联系来看到这个题，说十四和二十一它都是七的倍数，那十四与二十一的和 是七的倍数吗？方法一，你可以把它的和算出来，看它是不是七的倍数，是不是算出来，是吗？是，是。那现在我们不仅要知道它是七的倍数，还要知道为什么。来，我们来推理一下哈。 我们先来看十四和二十一为什么是七的倍数，来，第一个，十四 等于说七乘二，七乘二，来接着二十一是七的几倍，三倍，那我们就写成二十一等于七乘三。 刚才我们说了十四是七的两倍，二十一是七的 三倍，那么合起来十四与二十一的和就应该是七的五倍，它们是七的五倍，因此它是七的倍数，能明白吗？好，那么这是第一种用法，用倍数关系来想来。方法二，我们可以用算式来表达 十四加二十一，我们把这两个算式给它写上去，刚才我们的十四等于七乘二，二十一等于七乘三，七乘三，要把它们加起来，哎，你看这个算式 联想到什么呀？乘法分配律来提取相同的因数，七乘二加三的和等于七乘五，哎，你看 现在这个叫做二十四与二十一的和等于七乘五，是不是就把这一句话变成了一个乘法算式呀？是不是在乘法算式当中， 这个七是这两个因素的倍数，因此二十四与二十一的和不就是他的七吗？是不是他确实是七的倍数，确实是七的倍数，是七的几倍呢？五万，对，能听能听，明白吧？来，我们回顾一下。方法一， 他是两倍，他是三倍，合起来是五倍，可以这样子想。方法二，用乘法分配律把这个算式列成这个样子，也变成一个乘法算式，也可以发现他们的和是七得五倍， 好用。同样的思想，我们来看第二道题，二十七和十八都是九的倍数，问他们的什么呀？ 差，这个是问他们的和，这个是问他们的差。一个加法，一个减法，虽然符号不同，但是思想一模一样。 来，我们看看。首先按照那边的思路，我们举一反三。一下啊，你们说老师写来，二十七是九的倍数，几倍呢？三倍，因为二十七等于九乘三，他是他的三倍。 下一个十八是九的几倍呢？两倍，因为十八等于九乘二，他是他的两倍。 那现在要问，二十七与十八的差，二十七与十八的差，一个是三倍，一个是两倍，那他们的差就是他的一倍差的一倍了。 三倍减两倍就是一倍，是不是？好，这个是这个想法，可以来，同样我们可以用把这个算式表示出来，它就等于二十七写成九乘三，九乘三，十八写成九，二九乘二，中间是九。哎，同样也可以利用 乘法分配，等于九乘三减二的差等于九乘一，你看这个叫做二十七与十八的差， 是不是？九的倍数等于九乘一，是不是？是，那它是九的几倍啊？一倍，九的一倍。哎，一样也符合我们刚才推出来的这个原理，能明白吧？嗯，好，所以哈。由这两个题我们得到一个结论，我写这题， 如果告诉你了 a 和 b， 它们两个都是 c 的 倍数， 告诉你了这个数学信息你能当什么？地点？我请人回答。 张玉可， a 加 b 的 和也是 c 的 倍数。嗯，听明白的举手。 a 和 b 都是 c 的 倍数，无论它是几倍，它们的和不也是 c 的 倍数。不就是那边的第一题吗？能懂吧？你们一起说就说明了钱 就证明了 a 加 b 的 和是 c 的 倍数。倍数很好，请做上一课表扬。这是定格式信息，还知道什么？ 已经举了一个例子了哟，剩下的就应该会说了哟。谁来易米诺， a 减 b 的 叉还是 c 的 倍数？对， a 减 b 的 叉，它也是 c 的 倍数。前提 前提 a 大 于 b。 这个结论记住了没有？好，请坐原理，刚才老师给你们推出来了哈，利用我利用具体的数给你们推出来了。为什么 几倍加起来也是他的倍数，几倍相减也是他的倍数，听懂了吧？嗯，好，把这个结论记在你的树上。

hello， 同学们好，今天呢，我们讲的是五年级下册第二单元，找音素，找倍数， 很多孩子呢，一找就乱，一多就漏了，所以今天这十分钟，我教你 不重不漏的方法，考试再也不会丢分。所以第二课时听完，你就会快速找到一个数的全部因素，正确找到一个数的倍数，不会写漏，不会写写错， 家长可以先点赞收藏，给孩子慢慢看。好，那么上节课我们学到了 什么是因素？什么是倍数，对不对？我们就说除数是被除数的因素，被除数是除数的倍数。那么之前呢，老师教了一个大家一个方法，小是大的因，大是小的倍。 ok， 看四和二十四，小是大的音，所以四是二十四的音数，大是小的倍，二十四是四的倍数。那么 我们今天所要学习的这一块， 咱们打开课本的第六页，对不对？第六页好，十八的因素以及二的倍数。但是呢，老师这里要教大家一个不一样的学法， 咱们先把后面这三句话学明白。首先，一个数最小的因素是 几呢？一个数最小的因素是一， 最大的因素是它本身。 好，第二个，一个数最小的倍数是它本身， 这里呢也就是一倍，一倍，有没有最大的倍数呢？没有， 没有最大的倍数，因为我们找不出来。 ok， 第三个，一个数的因素的个数是有限的，一个数的倍数是什么？ 无限的，这是在这一张结找因素，找倍数，这一张结，咱们最主要的要把这个知识点把它弄懂，弄明白。好，那么咱们通过这个知识点来做这个题， 课本例题，到了咱们提高巩固知识点的时候了。好，十八的因素有一二，那么我们是怎样找到十八的因素呢？ 课本的问题咱们一定要搞明白，搞懂。好，接下来看一个数的因素，也可以向右图这样表示。 三十的因素有哪些呢？三十六呢？那么老师这里要告诉大家，咱们找因素最主要的是要学会乘法口诀， 咱们的乘法口诀一定要背熟。好，接下来咱们要运用到什么呢？知识点，一个数的最小因素是一，最大是它本身。好的，咱们来看课本的例子，十八， 咱们十八开始找因素，一定要记住一对一的找，一对一，看老师的例子啊，最小的因素是一对不对，最大的因素是它本身。嗯，你看， 马上就找出来了两个因素了，对不对？一，十八， 最小的因素是一，最大是它本身。搞定好，接下来呢，咱们运动乘法口诀，咱们想二乘以什么等于十八呢？因为一到二对不对？正好有个二九十八好 看，老师怎么写啊？二九十八，哎，咱们又找出了怎么样来第二组了，二九， ok， 下一个。咱们又想到一个什么呢？三六十八对不对？好，你看三六十八， 三六十八， ok， 好， 所以呢，十八因素就是一二三六九十八 简不简单，所以不是什么内容都要从头看，对不对？咱们先把怎么样啊？知识点搞定好，接下来到什么呢？三十的因素， ok， 同样的方法 好运用什么呢？知识点，最小的因素是一，最大因素是它本身。好的，咱们搞定一个，一，三十一和三十，那么接下来有个什么呢？二， 因为三十是二，得什么呢？二乘以什么等于三十呢？十五，那这一个咱们又搞定了，对不对？接下来到什么呢？三， 三乘以什么等于三十呢？三乘以十，你看咱们把那个范围越缩越小，到了什么？三和十之间了，对不对？然后四，那么咱们想一下，四跟三十相处是得不到怎么整除， 得不到整除他就没有因素，但下一个是什么呢？五对，有五有零，咱们要想到个五，五，什么三十呢？五六三十，看对不对？ 一对一的找了好处就是它不会怎么样啊，让咱们找漏，最大找到，越到后面，最大是六，最小是五。 ok， 倍数 这一块，因素这一块咱们就搞定了。好，接下来咱们看什么呢？倍数知识点， 一个数最小的倍数是它本身就是一倍，没有最大的倍数，因为我们找不出来，哈哈，好，同样的，咱们也是要运用到乘法口诀， 运用乘法口诀，所以你看 找二的倍数呢，就是二的一倍是二，最小的倍数是它本身找不到最大的倍数，一定要记住，二的两倍乘以二，三倍乘以三，都是什么呢？乘以一，乘以二，乘以三，能不能乘以零呢？记住不能乘以零。 好，所以呢，二的倍数他给了几个例子呢？一个两个乘以二，那么乘以三等于六、乘以四等于八，乘以五等于十，乘以六等于十，二，都是怎么样啊？乘出来的二，所以三的倍数有哪些？就是三乘以一等于三， 三乘以二等于六，三乘以三等于九，好，以此类推。所以呢， 一个数的最小倍数是它本身没有最大倍数，这个咱们一定要记住。然后第三个，一个数的因素是有限的，因为什么呢？因为最小是一，最大是它本身。一个数的倍数 的个数是怎么样呢？无限的。 ok， 好， 咱们知识点还有咱们的题目，讲到这里的话，咱们的总结就是什么呢？一个数的最小因素是一，最大因素是它本身， 一个数的最小倍数是他本身没有最大的倍数。记住，一个数的因素的个数是有限的，一个数的倍数是无限的。好， 然后老师在视频的结尾留给了同学们的 提升，找因素，找倍数的练习题，家长们可以让孩子现在就做，把咱们做出来的答案发在评论区里面，老师在线批改。 如果咱们家长觉得有用，那么就点个关注，下节课咱们还要怎么样啊？继续讲解二五三的倍数。咱们的视频在每天每天下午七点三十分更新， 记得点赞、关注、收藏，不会的，多看几遍，咱们下节课再见！拜拜！

第一题，判断题符合的，打勾不符合，打叉，嗯，这个图形分别要符合上面这三种情况。那第一个图形 从正面看，那就是这个面第一行有三个，第二第二行有一个，那这里第一行有三个，第二行有一个，这他的正面是符合的，然后看他的左面。好，那我们从左面看这个图形符不符合？第一行他的左边是有两个，嗯， 第二行他是有一个，一个的话，他是在右面，是在右面的话，那这个地方刚好是符合在他的右面啊， 所以这也是符合的。那从上面看，从上面看的话呢？这款一二三四三个，然后他右上角的这块刚好是符合这里，所以第一个图形还是符合的。 那第二个图形第二个图形他的正面正面很明显他是符合的，然后他的左面第一层也是有两个是符合的，然后他的上面这里也是在右上面也是符合的，没有问题。 那从上面看他是不符合的啊，因为上面如果从上面看的话，这一二三、一二一二三四，应该有一二三，但是他这里右上角这里应该有个图形，但是他没有有个图形，这个图形是在中间，所以这是不符合的。 然后第二个图从正面看，刚好是这几个图形刚好他的正面是符合的。从左面看的话，嗯，你从左面看，因为这有两个，所以他这边这一排就有两个，没问题。后面这里有两个，刚好这里把这个往后面推了就有两个，所以他也是符合左面的啊。然后 从上面看，从上面看是一二三，然后他的第一层是三个，没问题，然后上面的这里是在 右上角，然后也是符合的。啊？那这个图我们来看一下，从正面看，因为正面他这里是缺了一个的，但是他这里正面有了一个，所以从正面看的时候就不符合了，所以我们就直接可以判断他是不符合的。嗯，你再去验证的时候，从左边看，左边看他这里有两个，嗯，符合， 这边有两个。把这两个往前这一堆，他的左边是符合的。那上面看上面看的话，他应该是少了这个的，但是他这里有这个用，他这块少了这个，所以他有了，那从正面和上面看他都不不符合，所以这个肯定是不符合。

倍数及倍数的特征。 勤勤酷酷，咱们的花到了，出来搬花了来啦，哼哼， 我的两盆两盆花终于搬到了。哦哦哦，哎，一次只能搬两盆啊，终于终于搬完了，哎 哎啊，我都搬了三次了，我的也终于搬完了啊，叫叫你们平时不锻炼身体看看，不是我身体身体倍棒。 嘿嘿嘿，别在意这个哎，咱刚搬了几盆花了， 咱用班的次数乘二就是咱们班的盆数吗？这些算式眼熟不？博士，你不会又要讲因数倍数了吧？ 嘿嘿，你看，这些算式和 a 乘 b 等于 c 多项， c 是 a 和 b 的 倍数。所以咱刚算出的二四、六都是二的倍数吗？ 看出来了没？求一个数的倍数啊。比如说二，咱要靠乘法算式，用二和整数依次相乘，也就是从一开始乘乘积就是它的倍数。那你知道五的倍数有哪些吗？ 选 a， 这个简单，五十十五，二十二十五，三十三十五，四十四十五，五十五。哎，不是这五的倍数没完没了了。 聪明，整数啊，是数不完的，要这么找下去，咱用五可以一直乘，是根本找不到头的。那你能找出五最大的倍数吗？ 选 a， 五的倍数都找不完，哪里还有最大的数啊？没错，五啊，是没有最大的倍数的。那五有没有最小的倍数呢？ 选 c。 聪明，这就是五最小的倍数的秘密，五最小的倍数啊，就是五，自己记住喽，任何数最小的倍数都是它自己， 它们没有最大的倍数。不过，虽然它没有最大的倍数，但是咱可知道它最大的倍数啊。那你还记得五最大的倍数是谁吗？ 选 c， 五最大的因素是五啊，优秀。那五最小的因素是谁呢？这个我记得最清楚，任何数最小的因素都是一。 嗯，不错不错。哎呀，看你俩这么累，那咱去吃点东西恢复下体力吧。 go， 厉害厉害，发现了吗？八既是八最小的倍数，也是八最大的因素。 今天咱们学习了，找一个数的倍数，把这个数与整数依次相乘，乘积就是他的倍数，而这个数既是他最小的倍数，也是他最大的因素。 一个数的倍数，个数是无限的，所以一个数没有最大的倍数，而一个数的因素是有限的，他有最大的因素。