初三数学小练习册人教版答案三角函数

朋友们大家好，今天我们来看下面这道题，他说 d 为 r、 t。 三角形 a、 b、 c。 中点将三角形 a、 b、 d 沿 b、 d 翻折至三角形 e、 b、 d。 若 c、 e 比上 b、 d 等于三比四，让我们求弹琴的 a， 那 这个题可以从哪里出发呢？我们可以从这个翻折，即中点出发。 首先，因为翻折，也就是这个角 a、 d、 b 必然等于我们的角 b、 d、 e。 那为了方便我们导角，我们设这个角 b、 d、 c。 哎，就这个角，它为阿尔法，那么这个角 a、 d、 b， 它必然就是一百八十度减去阿尔法，当然了，也等于我们的角 b、 d、 e。 那我们设了角 b、 d、 c 等于阿尔法，所以呢，自然就能够得到这个角 g、 d、 e， 它就是一百八十度减去阿尔法，再减阿尔法，也就是一百八十度减去两倍的阿尔法。 那因为翻折的关系， a、 d 必然等于 d、 e， 而 d 点又是中点，所以呢， a、 d 又等于 c、 d。 所以 这个三角形 c、 d、 e， 它本身就是一个等腰三角形，它的顶角是一百八十度减去两倍的 r 法，所以这两个底角都是 r 法， 那这有 r 法，这有 r 法，这是内错角，所以就得到了一个 b、 d， 它呢平行于 c、 e。 而题目当中又告诉我们， c、 e 比上 b、 d 等于三比四，而要求的呢，是角 a 的 正切值，那也就意味着我们需要把 ac 和 bc 给表示出来， 题目当中没有给任何的数据，哎，我们通过 c、 e 比 b、 d 等于三比四，哎， 又通过平行能够知道，这一组三角形，它八字形相似 c、 f 比上 d、 f 必然也是三比四。那我们不妨呢设 c、 f， 它呢等于三 a， 那 么这个 d、 f， 它就是四 a， 那 整个的 c、 d 就是 七 a， 那 ac 呢？就是十四 a， 我们只需要再想办法把 b、 c 给表示出来就可以了。那 b、 c 怎么表示呢？现在我们知道这一组八字形相似， 它们的相似比是三比四，也就是这个 e、 f 比上 b、 f 等于三比四。考虑到 c 点处有个直角，所以我们再构造一组八字形，相似过 e 点做 a、 c 的 垂线， 让这个 e、 g 呢垂直于 a、 c， 那 又出来一对八字形相似，他们的相似比依然是三比四，那也就是说这个 g、 f 他 比上我们的 c、 f， 他 就等于三比四。 g、 f 的 长度不知道，但是 c、 f 的 长度我们是知道的，它不就是我们刚才射出来的三 a 吗？所以现在我们就得到了 g、 f 的 长度，它是多少呢？就是四分之九 a， 而我们整个的 d、 f 是 四 a， 所以呢，进一步可以得到 d、 g 的 长度就是四 a， 减去四分之九 a， 它呢就是四分之七 a， 它是四分之七 a。 得到这个能有什么用呢？因为我们是知道 d、 e 的 哎， d、 e 它不就是等于 c， d 也是等于七 a 的 吗？所以在这个三角形 d、 e、 g 当中，我们用勾股定律就可以求出来我们的 e、 g， 哎， e、 g 可求，那求出来 e、 g 以后，我们知道这个 e、 g， 它比上 bc， 它也是等于三比四的。那这儿把 e、 c、 e、 g 一 旦求出来带进去就得到了 bc 的 长度。 那 a、 c 呢？我们已经求完了，它是十四 a， 这样呢，就可以把它的角 a 的 正切值求出来了。

来看到这第十二题，第十二题画一个图形在这三角形里面吗？我们设 a、 b、 c， b， c 等于八， b， c 是 哪里？是不是这里？那我们通常这怎么直接判断它是哪条边？这是不是 a 边？然后这个 角角 b 所对的那条边角 c 所对的角的对面的那条边就是小 c 边，对吧？那现在我们看哪个字母 a， b， c， 哪个字母没有它就是哪条边，对不对？所以 a 等于八，那这里是不是 b 没有，所以 b 等于十，对吧？那现在是不是说这个再画一个形， a， b， c 这个角 a 边， a 边是八， b 边是十，我们怎么从这个 cosine 角 a， b， a， c 等于五分之三来求到这条边 c 呢？小 c 呢？对不对？那么我们有一条公式是 c 边等于 a 方加上 b 方减去二 a， b 乘上 cosine c， 但是它这个题目里面只给到你的角 a， 所以 你只是知道 cosine a 和这个 b 边和 a 边，对不对？这样子形不同，我们需要这一条式子的话，我们就得知道两个条件才能求出来，对吧？所以不行我们再换一条， a 边等于 b 方加 c 方减二 a， b， c 乘上 cosine a， a， 那 这条是不是行得通？那这个知道了， c 不知道， b 知道， c 不知道， b 知道， a 也知道，是不是就剩这个 c 了？刚好他把数带进去，得出来的是一个一元二次方程，我们就能解得出来。来，我们带一下，现在 a 边是不是八八平方等于 十的平方，加上 c 的 平方减去二乘上十，再乘上 c 乘上这个，这个条件五分之三，对不对？ 那我们来算一下，八八六十四等于一百，加上 c 平方减去这里约掉，约掉二四十二平方减去十二， c 加上三十六等于零，对不对？那解出来，因为它是雕塔，是等于零的，对吧？雕塔等于零，就有两个相同的根， 那么 c 等于六好， c 等于六，我们知道这个 c 等于六了，那么在三角形里面是不是勾股定律，我们就能判断一个三角形是否为直角三角形，那现在六八十很明显是我们常见的勾股数，对吧？那这个是不是 b 的 平方就等于 a 方加上 c 方，所以这个 b 是 九十度，那么现在我们知道这个三角形 a， b， c 是 九十度，那不是更好算吗？只见它的面积，面积 a， b， c 是 不是就等于二分之一的底？ b， c， b， c 就是 a， 底乘高高是不是 a c， a， c 就是 c 嘛？二分之一 a 是 多少？ a 是 不是八，乘上 c 是 多少乘六？那最后答案就是二十四，这题选 c。

还在面对三角函数的题目发愁吗？其实呀，咱们初中数学的三角函数呢，一共就这六种考法，那么今天量呢，将从这六大核心板块出发，每个板块我们搭配一道经典的例题，带你一次性理清所有重点题型。那么看完这个视频呢，你会发现全都是纸老虎， 嘿嘿嘿，那么第一个板块跟第二个板块呢，整体来说难度不大啊，我们通过课本甚至都可以搞定。那么第三个，求三角函数，他有可能在选择填空题，有可能在大题里面考察，那么平均水平呢，还是比较适中的啊。 那么从第四个开始，和我们的元呐相似呀，对吧，融合在一起啊，就是我们一些常规的应用啊，整体难度也不大。但是到第五个呢，三角函数 他有可能跟我们的旋转翻折动点相似，我们的圆啊，各种融合在一起，那么整体难度就会变得比较大了，属于几何综合了。那最后一个呢，就是我们中考啊，特别喜欢考的三角函数的应用题了，那整体难度也比较适中，但很多同学呢，可能比较怕他，仅此而已。 首先第一个就是三角函数的定义，比方说像这种他表示的是哪两边之比，你得知道， 比方说给出一个直角三角形啊，角 c 等于九十度，好， tan 币呢，等于五分之十二，好，那我画一个就差不多大概长这个样子了，草图，嗯，好，角 c 九十度就是 c， 好， tan 币，它的对边比邻边啊，对边更大，邻边更小，对吧？所以我们 b 在 这里啊，我的对边比邻边五分之十二嘛。 好，那我们知道 a 点就在这，通过勾股定律，我们可以求出来，这个边呢是十三的，让我们求什么呢？求三，以 a 就是 a 的 正弦值，也就是它的对边比上斜边五比上十三，所以选什么呢？选我们的 b， 选项搞定。 那么第二个呢，就是我们特殊角的三角函数，比方给出三十度呀，四十五度呀，六十度呀，他们的正弦与弦正切分别是什么呢？你一定要非常快速的把它反映出来，那比方说给出一个三角形，告诉你角 a 的 正弦和角 b 的 余弦，巴拉巴拉，满足这么一个等式，对吧？ 请问这个三角形是一个什么形？创，说白了，我只要把角 a 角 b 求出来就可以了。好，那其实你会发现，那这里面是一个平方，这里面是一个绝对值，相加等于零，那不用多说了 啊，你这个框里面为零，对吧？也就是我们知道根号三倍的贪婪的 a， 哎，减三 等于零，所以我们知道，也就是你这个贪婪等于多少贪婪，它是等于根号三的，是不是？你想想 一个角的正切值等于根号三，你想想这个角等于多少度呢？啊？很明显，我们知道角 a 呢等于六十度，嗯， 好，另外呢，我们知道那绝对值里面也等于零，也就是二倍的 cosine b 呢，减一等于零，一样的道理，那这个我们求出来 cosine b 呢，也就是二分之一，一个角的余弦值等于二分之一。如果你说来了这个东西，咋判断呢？其实我告诉你啊， 特殊角他只会出现在两种三角形，一个，还有三十度，六十度直角三角形，一个等腰直角三角形嘛，你想想一个什么样的角，对吧？余弦值是，呃，一比二的二分之一，就是我的邻边比斜边是一比二，那你这个角 b 不 就是这个角吗？对吧？ 所以我们知道这个角肯定是三十度了，你这个角不就六十度吗？对不对？因此我们可以求出来。你说角 a 咋来的呀？一样的道理嘛，你画一个， 对吧？也就是啊，我们这个角 a 呢，它的对边比邻边是根号三的，那就根号三比一，好吧，你求出来这个边是二吗？你角 a 是 不是在这里对边比邻边，所以你有犯一二根号三，很明显这个角也是六十度吗？不就求出来了吗？就如果你能 记住，当然更好，对吧？哎，非常这个，呃，清晰的把所有的这个角度的三角函数值把它记下来。如果你说亮亮我老是忘，或者我不想记，你就索性用三十度直角三角形，或者用四十五度直角三角形的三边比例关系，呃，去怎么样呢？辅助性的记忆它就可以了。 你这个角六十度，这个角六十度，那剩下一个角呢？那当然也是六十度，对吧？所以我们知道角 c 六十度，那因此它是个等边三角形，所以我们选 b 搞定。 第三个，求三角函数。其实这个考点亮亮个人觉得它其实有一点说法的，因为首先求三角函数，它呈现的形式不一样，比方说它可以在三角形中，可以在四边形中，可以在我们这种网格中，对吧？就它求解的这种，呃，题型不一样。另外呢， 求三角函数它的方法也不一样，那不管你是在三角形四边形圆，对吧？哎，甚至在我们这种平行线里面，或者说在我们这种网格里面求三角函数，总共只有三种方法，那我索性在这里跟大家说一下啊。 第一个方法就是什么呢？首先你要看这个角是不是一个特殊角，比方说这个角如果它是个三十度，四十五度、六十度，你想想 你还需要把它放在一个呃，直角三角形中吗？就完全不需要了，对吧？哎，我们可以直接求解我们刚才才提到的特殊角的三角函数吗？好，第二个呢，就是如果你发现他根本就不是特殊角，那不是三十，不是四十五，不是六十度，干嘛？那么此时你就需要做垂线，对吧？干嘛？ 你肯定要把它放在一个，哎，哎，直角三角形中，对吧？用边长比例关系来求我们的，呃，这种三角函数值，那么除此之外呢，我告诉你有个极其重要的方法叫做 怎么样呢？等角转换，就是你让我求这个角的三角函数，对吧？我不，你这个角呢？犄角旮旯的，你这一看就不好处理，这谁求呀？对吧？我把你等角转换一下，我把它转换成我相等的角，我就求那个角的三角函数就可以了。比方说网格里面 它就可以经常用到等角转换的思维，嗯，比方说那在边长为一个单位的正方形网格里面，哎，说白了连接 a、 b， 连接 c、 d， 会产生一个夹角，对吧？好，让我们求角 a、 o d， 哪个角？ a、 o、 d， 就 求求这个角的三角函数，很明显，那它也不在一个三角形中 啊，那它是一个特殊角吗？三十度，四十五度，六十度，其实扭转它也不是的，所以我们要求它，你可以做垂线，对吧？啊？特殊角肯定不行了嘛。你，不是的， 所以你要不做垂线，把它放在一个直角三角形中，你要不等角转换？两个方法，其实我告诉你都可以啊，那在这里面能等角转换的，我们优先考虑等角转换，比方说呢？嗯， 那 c d， 哎，我把它给挪到这里来，可不可以比方这样在这放个屁啊？哎，放个红色的屁，臭死那些听半天不关注我的各位同学们。嗯， 那你想想，我们这是正方形的对角线，这也是正方形对角线，你告诉我这两条线平不平行？一定平行吧？也就是这一条红边， 他一定平行于这条红边，而这两条红边呢？两条边平行，他被我们这第三条边所截了，对吧？因此我们知道同位角相等，是不是也就是你这个角他一定等于我们这个角，我把它标出来，也就是等于这个角， 所以我只要求这个角他的正切值是不就可以了？好，那问题来了，他也说亮亮，那有啥区别？你放在这个三角形跟放这个三角形有区别吗？只不过这个小一点，这个胖一点，大一点，好处理，对吧？嗯，没有什么区别。我告诉你啊， 我们刚才说在网格中求三角函数，除了做垂线，除了等角转换之外，还有一个就是网格中我们经常会利用正方形的对角线， 你用对角线来进行等角转换，你还可以用对角线来构造我们的直角三角形，比方说你是一个等腰直角三角形，咱们知道这个角一定四十五度，对吧？好，我再连一下，你会发现我把 a p 连接起来，那不用说了，百分百会经过地点的啊，其实经不经过都不重要， 你会发现我也是一个大的正方形嘛，二乘以二的正方形对不对？哎，所以你会发现 a p 是 整个二乘以二正方形的对角线，正方形的对角线与边的夹角。那我们知道这个角百分百也是四十五度，那你会发现 两个四数都放一起，这是一个大大的直角哦，你让我求它，我不，我去求它的正值，是吗？而它我们就把它放在 a p b 这样的一个大的直角三角形中了。你的边上不是一个单位吗？你是一，你是一，所以这个边是根号，对吧？哎，你这个边是二， 哎，你这个边是二，所以你会发现咱们用勾股定底或者等腰直角三边比例关系。嗯，所以整个边呢？二倍根号， 所以我这个角的正切值等于这个边二倍根号比上这个边根号，那其实你们都可以口算了，等于几？ 很明显，也就是等于二，对不对选 d。 其实另外我跟大家说一下啊，我们这面刚好可以等角转换，刚好可以利用网格中的对角线来巧妙的构造直角三角形，但如果有的题目你无法等角转换，你无法令对角线，怎么办呢？ 你只能做垂线，该怎么处理好？我告诉你啊，有机会跟大家说下。网格中我不管你怎么样，有一个万能方法叫做等面积法， 有机会跟大家聊，好不好？不管什么样的犄角旮旯的，对吧？一个角度，不管考的有多么玄乎，有多么为难，我们用这个方法百分百可以求出所有网格中三角函数值。 悄悄告诉你，其实这三种方法就是在我们内部系统班所讲到了，所以其实你会发现亮亮在我们内部系统班好像有讲不完的方法，对吧？像这种东西我可以给你拓展很多很多的一些怎么样的小技巧 好，来到我们三角函数几何应用啊，你会发现它是一个非常具有代表性的，对吧？在我们三角形四边形中和我们这种三角函数啊结合求边呐，求角度，求面积啊等等的啊啊，整体难度比较适中，好，给出一个四边形 a b c d， a b c d 好，干嘛呢？ ab 垂直 b， d， 就是 咱们这个角是一个大大的直角。好，然后呢？ bc 平行 a， d 啊，就是 bc 平行 a， d。 我 告诉你啊，就在我们整个几何图形里面，平行线，它往往就是告诉你怎么样呢？等角 啊，百分之九十九点九九九九九九，就这一个问题是吧？哎，就是两直线平行，什么同位角、内缩角，同胞内角会满足一定数量关系啊。 好，现在连接 a、 c、 b， d 啊，连接 a、 c， 连接 b、 d， 会产生一个焦点异，整个图形来说，嗯，不是很复杂。我告诉你，角 b， a、 c 等于角 a d， b， a c 是 哪个角？ b， a， c 啊，就是你这个角，对吧？我换一个颜色啊，比方说这个角呢，我用一个蓝角， b， a、 c 等于谁呢？等于 a d b a d b 就是 等于这个蓝角。 好，先不要走，我们刚才是不是说了，平行往往意味着等角我们还没有用，对吧？你想想，两直线平行 被我们第三条边所截，所以你会发现我们这个角跟这个角是不内错角的关系，你是蓝角，所以咱们知道这个角也是个蓝角，哎，我们把能求出来的角把它给标出来，嗯，两个蓝角相等，好吧，其实我们这个角 还等于这个角，但这两个角呢，它好像跟蓝角也没有关系，对吧？好，那我们就先过了。好，现在我告诉你。 tan， 一 a d b 等于二分之一， a d b 是 哪个角？ a d b， 哎，那首先我就令这个角是 ar 法，所以你这个条件就相对告诉我， tan， 一 ar 法等于二分之一啊，大家一定注意，我们刚才讲到了等角转换，对吧？你这个角的正切值二分之一，那我们这个角，对吧？我所在的这个直角三角形，这个边比这个边也是二分之一， 包括如果你待会把这个 a r 法锐角，你要是把它放在一个直角三角形中，我的正题是也等于二分之一，好，继续往后， a e 呢，等于二分之三倍的根号五，就是哪条线段，哎，告诉我们，这个斜边， 就咱们这个边呢，是二分之三倍的根号五。好，其实在这里面我跟大家说一个口算的小技巧，像这种题目我一般都是直接口算的，我待会告诉你怎么做到的啊？ 比方说第一个题目求 b d 的 长度，求哪个边？求这个边，对吧？就在正常情况下，很多同学说，亮亮，你看看这个 a r 反正截值二分之一，所以我这个 a r 反正截值的也等于二分之一，对吧？啊，所以这个边比这个边，哎，是不是一比二呀？那我令你是 x， 可不可以 这个边 x， 那 你这个边是二 x， 可不可以？可以吧，所以你犯在整个直角三角形中你的平方，嗯， 加上你的平方，嗯，他一定等于什么呢？一定等于他的平方对吧？你可不可以把 x 求出来我告诉你一定可以，但是 我个人觉得这个方法特别的慢慢很标准啊，你考试得这么写，但是太慢了，有没有稍微简单一点，快一点的方法呢？比方说啊，尤其是在我们选择填空题的时候该怎么处理大家一定要注意啊。 一比二的直角三角形，它也是一个特殊的直角三角形，就是在这里面讲到你会发现它不只是这个题目啊，它在很多题目里面都会用到。比方说呢你这个边是 x 这个边是二 x 好 不好， 大家不要觉得这是三十度啊，你要是这么讲的话那量就崩溃了啊。你这个边是二 x 对 吧？哎，这个我们是一比二关系，你才是三十度啊，我们直角边一比二他不是任何的特殊角好不好？好，那问题来了那这个边等于多少呢？ 这边你们估不定的求他是根号五倍的 x 也就是如果一个直角三角形，两直角边是一比二的斜边一定是根号五，说白了就是我的斜边一定是较短直角边的根号五倍这个东西有什么用呢？我觉得特别重要啊， 他在我们很多的相似呀。呃，三角函数，直角三角形，他经常会出现，这个边是四这个边是八，我是不是你的二倍，所以斜边一定是他的根号五倍，所以四倍的根号五。 明白了没有？好，那反过来如果有听我说同学们呐嘿嘿嘿说起来怪不好意思的啊，这个斜边等于四倍根号五，现在我告诉你，这两条直角边呢，是一比二的关系，那你告诉我，请问这个边等于几？ 一比二嘛？所以从这个边到这个边，我们是乘以根号五，对吧？那反过来呢？从这边到这个边呢，你得除以根号五，是不是四，是不是很快？我们是一比二的关系吗？我不就是八吗？对吧？所以我们这一定是一比二，比根号五， 对吧？也就我一定是你的根号五倍，你直接用它除以根号五，那 x 是 不是出来了？所以你看整个 b 长度等于多少呢？就是你除以根号五是二分之三，所以我们可以求，也就是这条边的长度呢，是二分之三，那这条边的长度呢？ 你会发现，我们可以非常快速求出来，也就是三，对吧？那剩下的，那这个角所在的直角三角形挠一边， 一比二，所以你会发现这个边呢，它是不是等于六呀？ b、 d 的 长度是你的二倍吗？搞定了，所以其实你会发现，我们用这个结论来处理我们的第二问，他也会比较快。现在我告诉你什么呢？ b、 c 等于根号五，也就是哪个边这个边是根号五的，对吧？让我们求谁？求 c d 的 长， c 里求这个边，这太简单了，好过 c 点直接往上。因为为什么呢？ ar 是 个锐角，我知道它的三角函数，你说你如何把一个角的三角函数用上呢？当然把它放在直角三角形中了，最常见就是做垂线，对吧？比方说放个红色的屁，那你会发现 ar 它的对边比上长的直角边，这是一比二了，所以呢，你这个边是不是一啊， 以及你整个边的长度是不是二呀？有没有问题？你这个 x 我 给你擦掉了。这个边是不是二，有没有问题？这个边是二，所以你会发现，那我们刚才说呐，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白。第一小问，整个 b d 等于六，所以我们知道这个边呢，是不是四哦， 在这个直角 p c， d， 它是个直角三角形嘛，四一勾股定律，根号时期。所以其实你会发现我们需要打草稿吗？完全不需要，对吧？嗯，非常简单，搞定。 好，那么接下来来到我们的几何综合，我们刚才说经常跟我们的翻折呀，旋转呀，什么三角形，四边形，对吧？动点问题啊，相似呀， 圆呐啊，各种来进行结合啊。我觉得这个题就是一道比较具有代表性的题目。首先给出一个矩形， a， b， c， d 啊，大大的长方形了。好， e 是 ab 的 中点，也就是告诉你这条边等于这个边，对吧？ 哎，你是个中点。嗯，两条线段相等好， f、 h 呢，分别是两边上的点， f 在 这里， h 在 这里，好像没有什么特殊性，但我告诉你， ab 等于 b， f a b 也就这个边呢，等于这个边啊，就是我们两个边相等的。好，我们先放下这个条件，我暂时没有用上， 我把它框起来啊。好， d h 等于三倍的四 h， 你 没完没了了，就这条线呢，等于它的三倍。行，我忍不了了，我令你是 x， 好 吧，我就是令你，这个线段呢，是 x。 喏，所以我们知道这个边一定是三 x， 没问题吧？整条线呢，是个四 x， 所以你是不是也是四 x， 对 吧？哎，包括我是不是也是四 x， 为什么呢？ a b 等于 b f 嘛？你是四 x， 所以 咱们也是四 x， 你 是个终点，两条线段相的，所以你是二 x， 以及你呢，也是二 x。 好， 其实你会发现，在这面我们可以得到一个什么，它肯定是个直角三角形，对吧？也就是我们可以得到一个一比二的直角三角形。你看，跟我们上一题讲的是不一样的， 所以你发现这种直角边是一比二。直角三角形在我们整个几何题目里面出现的概率极其大。好，现在把这个三角形沿着 e f 啊，就是把这个三角形翻一下，翻到这里，使得这个 b 点呢告落在了 g 点位置。好，现在让我们求什么呢？ 你发现这个题目我们都不知道可以求什么，对吧？他突然蹦出来，那么 h g 比上 a g， h g 是 这条线段，比上这条线段，该怎么处理呢？这个题看起来好像让人感觉蒙蒙的，对不对？好，其实很简单， 如果我们令这个小小的角等于 a r f， 那 你会发现我在一个二比四啊的直角三角形中，也就是我们的正切值等于二分之一的。 好，我们知道，那你把这个三角形翻过去，所以我们知道这个角呢，一定也等于 a r 法，对吧？好，接下来 你让我求两边之比嘛，我只要把这条线段以及这条线段用 x 的 式子把它表示出来就可以。那怎么表示呢？我们当然用到这个 a r 法所在直角三角形的边长比的关系。好，那注意啊，在正面，我索性带你们快速的推角，比方说，各位同学来告诉我。亮丽， 我们知道这个角是 ar 法，这个角是 ar 法，请告诉我，那这个角度我们可不可以把它给求出来？有了这个咋求呢？好，那我们索性背一点啊，用最憨的方式。你这也是直角为什么翻过来的嘛？ 你这个角是 ar 法，所以我们知道这个角是不一定是九十度减去 ar 法。同样的，你这个角是 ar 法，所以这个角是不是也是九十度减去 ar 法没问题吧？ 所以，因此你会发现，喏，整个大角是一百八十度，我减去你，我减去你。所以剩下你会发现，我们这个角多少度？一定是二倍的。 ar 法 还没完，我们还可以求出哪些角呢？注意，我们是把这个三角形翻过来的，你这个边是二 x， 所以 我们知道 e g 这个边呢，它的长度一定也是二 x， 对 吧？也就是，喏，这条线呢？二 x 这条线呢，也是二 x， 所以 它是不是一个等腰三角形？喏，请问一下， 一个等腰三角形的顶角是二倍的 alpha， 请告诉亮亮，那我这个等腰三角形的每一个底角等于多少度？也就是我们这个角可以求出来吗？很明显，对吧？ 哎，你用一百八十度，我们减去顶角二倍的 alpha， 我 们再除以二了，所以你会发现， 那这是不是很笨的方法，所以我们求出来等于多少？等于九十度减去 arf， 对 吧？哦，就是你这个角呢，等于九十度减去 arf。 好， 接下来我请问，那各位同学，请告诉亮亮，我们这个角可以表示出来吗？ 一个大的九十度角里面拿走它，所以剩下这个角一定也是 arf， 对 吧？哦，跟我们下面这个蓝角是完全相等的。好，接下来我把其中的干扰条件把它给清掉， 那么整个图形就大概长这个样子。好，那问题来了，我们这个线段 h g 和我们线段 a g 该怎么表示呢？好，我们一个一个来，比方说先拿矮的嗯 做作为突破口，先求 a g。 啊，这个 a g 怎么办？你会发现这是一个等腰三角形，我的两腰是二 x， 顶角呢，是你这个 a r 的 二倍，我可不可以通过边长以及这个角把整个底边求出来？ 好，求，为什么呢？你只要过顶点往下做垂线就可以了，这么做垂线有什么好处呢？首先等腰三角就有三线合一的性质，你把整个二倍的 ar 平分，也就是我们这个角呢，其实就是我们熟悉的 ar 角， 而我们知道 ar 所在的直角三角形，它的较短直角边比上较长直角边，一定是一比二的关系。那现在我们知道斜边是二 x， 如何求较短的直角边呢？大家记不记得 从较短边到斜边，你乘以根号五，所以从斜边到较短直角边，你只要除以根号五就可以了，也就是我们这一条线段等于多少？ 这条线段一定是等于挠，也就二 x 除以根号五的，对吧？也就是等于怎么样？五分之二倍的根号，五 倍的 x。 而我们知道等幺三角三线合一吗？你过顶点往下做垂线，除了平分顶角之外，还平分整个底边，对吧？ 所以这条线段等于这条线段，因此整个 a g 呢，等于它的二倍，也就是我们的 a g 等于多少？等于你的二倍，也就是五分之四倍的根号五 x。 好，那我们剩下的 g、 h 怎么求呢？很简单，这个角大家不要忘了，它是不是在我们 a、 d、 h 这个大的直角三角形中， a、 r、 f 所在直角三角形，它的两边之比，对吧？较短直角边，比上较长直角边一定是一比二的，你是三 x， 所以 我们知道这个边一定是六 x。 好，一样的道理，一比二的直角三角形，斜边呢，一定是较短直角边的根号五倍，也就是我们整条线段 a、 h 的 长度等于多少？你的根号五倍，也就是三倍的根号五 倍的 x。 好， 现在我们已经拿走一段了，这段等于多少呢？等于五分之四倍的根号五。所以剩下我们这个 g h 的 长度等于多少呢？ g h， 我 们只要用整个长度三倍根号五倍的 x 减去你这个，对吧？五分之四倍的根号五 x， 所以 我们求出来等于五分之十一倍的根号五倍的 x 就 可以了。 所以最后你会发现 h g 呢，等于这么多， a g 呢？等于这么多，我用它比上它，也就是用五分之十一倍的根号五倍的 x， 比上那这个五分之四倍的根号五倍的 x。 那 最终你会发现，那这里面很多东西呢，我们都给约掉 x x 干掉了 分母分母根号五根号，所以最终你只要用十一比上四就可以了啊，所以我们的答案呢，等于四分之十一选 b 搞定。当然了，这个题的标准答案呢，也给大家展示一下，你们可以对比一下啊，就是量的方法和这个标准答案的方法，你们更喜欢哪一个 好？第六个，三角函数的应用题，这个可以说是我们全国绝大多数地区那必考的一种类型的题目了。你像我们以前还喜欢考什么仰角、俯角呀，方位角呀，什么坡度的问题，对吧？但现在慢慢转化成什么呢？跟我们的实际生活结合起来了。比方说水龙头， 哎，这个行李箱对吧？还有纽曼各种什么自行车，对吧？呃，包括我们之前讲过的高锰酸钾制氧气那个玩意都出来了，包括纽曼。这个是什么？这是我们教学楼平面一个视域图啊，让我们求这个高度，哎，那么整个题目呢，我们把它简化一下，它大概长这个样子，好， 那么如图一呢，是我们学校平面视域图的一个展板啊，就是在这里，对吧？哎，比方这是我们的教学楼呀，食堂呀，图书馆呀，呃，还有网呸，实验室呀， 好，我们简化一下，比方说呢，它是一个学校平面的视域图展板啊，就大概长这个样子，对吧？我们这个学习小组呢，想要测量此展板最高点到地面的高度，他们绘制了图二的一个侧面的， 呃，展示图，他这个洁面图就把这个板子呢侧过来啊，他大概长这个样子，说白了就是想测这个点到我们这个底下的高度，对吧？你拉个尺子一量，其实就很简单了，但是呢，他不，嗯， 我们学了三角函数，我们得把它用起来，对吧？嗯，为难为难。大家好，现在我测了 a、 b 等一百二，就哪一个？就这条线段是一百二十厘米。 好， b、 d 呢？等于八十。哪个呢？啊？就是这条线段，我把它标出来吧，就是这个红色的边，它等于多少呢？等于八十，我就不带单位了好不好？甚至我们知道这个蓝色的线段等于多少呢？这条蓝色的边它等于多少？它是等于一百二的啊，我刚才没有写好把它标出来。 好，现在问题来了，我要开始告诉你了，嗯，这个角 a、 b、 d 等于九十度，你确定吗？这个题其实你有办法特别偷懒啊，这个角很明显是个大的钝角，对吧？大家，不，我告诉你九十度， 那他就是九十度。好，现在我告诉你， b、 d、 q 等于六十度， b、 d、 q 就是 哪个角呢？就咱们这个角对吧？啊？就这个角，它是六十度角，这个角我们还能接受，是不是？好，六十度角 啊？大概在这里能看到不？好。底座四边形啊，为矩形， e、 f 等于五，就是底下呢，是一个长方形矩形，对吧？然后呢， e、 f 等于，就是这个高度，五啊，就是这条边是五的，我把它写在这里啊。 好，那么让我们计算结果精确到一厘米，参考书里根号等于根号，哎，包括这个根号三，好，第一个，咱们把点 b 到地面 p、 f 的 距离， 就是 b 点到我们整个地面的距离，那其实很简单了，是吧？你这个已经是五了吗？所以接下来我们需要做的是干嘛呢？就是我们只要知道你这个 b 点到我们这个 q、 e 是 不是到你这个 小长棒上面的距离就可以了。好，它大概长这个样子，对不喽？大概长这个样子，对不喽？这是个直角，对吧？而我们知道呢，你还有六十度，这个就不用说了，那肯定就是含有三十度直角三角形，我们知道 三十度数对直角边等于斜边的一半，所以你可以首先把这个边求出来，等于多少？这个边一定是四十，对吧？你的一半吧。嗯，所以这个边等于四十。那剩下这条边呢？ 你不管用勾股定力，还是用特殊直角三角形三边比例关系来求，这个边都是四十倍的根号三，没有问题吧？ 所以我们这个 b 点到整个地面的距离呢，就是你这一段，再加上这一段五，也就是怎么样呢？四十倍的根号三， 再加上五，对吧？好，最终呢？呃，你要精确到一厘米，所以我们必须得把它算出来，根号三是一点七三，好，我们再乘以四十六八，六十九点二，加上五，七十四点二啊，七十四点二，那最终呢？约等于多少？精确到整数，对吧？嗯，七十四厘米， 好，单位，我们就直接把它放在后面了。第一步，搞定好接下来这个题目，你会发现，哎呀，好吧，算他有良心啊，他本来是九十度，对吧？好，现在干嘛呢？其实也没有良心，你会发现 他从九十度增大到一百零五度中哪个角？ a、 b、 d 嘛？你好，他给个九十度角呀，你这个也不是九十度，好吧？好，问这个最高点 a 到地面的高度增加了多少？其实我想问一下，增加的高度是哪一部分？ 我问一下你这个，你这个蓝色的线绕着 b 点转来转去，转来转去的，你这个角度变来变去， b 点到整个底下高度，你这段高度变不变，永远不变，对吧？ 所以你只要求一下，你原来九十度，你的高度多少？你的一百零五度高度多少吗？好，我们首先求什么呢？比方说，如果你是个直角九十度好不好？那么你 a 点，我们就要求这个 a、 b 之间的高度差就可以了。好吧，哎，把它给求出来，你想想，嗯，咱们这个角是不是三十度，大家记不记得？嗨，我们就这么说吧。呐， 因为这条线跟这条线平行的，你是六十度，所以我们知道这个角呢，一定也是六十度。我写的比较小啊，在这里大家能看到吗？ 这个角百分百是六十度，对吧？好，如果你 a、 b、 d， 它是一个九十度角，你拿走六十度，所以我们知道第一种情况呢，也就是你这个角它一定是三十度角，对吧？三十度角，而我们知道三十度数对的直角边呢，一定是斜边的一半，所以此时这个高度呢，是六十， 没有问题吧？哎，如果你是一个直角，你别管啊。嗯，这个 a、 b 应该长这个样子，对吧？我们就利用不太标准的求出标准的，我是你一半，此时 a 点到 b 点，这个数值的高度差是六十。 好，那现在我增加了多少呢？我就是看看在这个六十呃，厘米的基础上，我的高度是多少，减去六十就可以了。好，现在我想问一下，如果我增大到一百零五度，你这个角是一百零五度，对吧？你拿走六十度，所以请问此时这个角一百零五减去六十，你这个角会变成四十五度吗？ 好，那你就不再是六十了。是什么？你这个等腰直角三角形了。等腰直角三角形斜边是一百二啊，所以你不管用勾股定律，还是用特殊直角三角形三边比的关系高度呢？六十倍根号， 那你本来是六十，对吧？本来是六十厘米，现在变成了高了六十倍根号，所以我们的高度增加了多少呢？你只要用我们后来的高度六十倍的根号，我减去六十就可以了，对吧？好，在这里面等于多少呢？ 根号是一点四一四吗？就是六十乘以，提个六十出来，根号减一，对不对啊，根号二约等于一点四一四，把一点四一四带进去，所以也就是怎么样呢？等于六十乘以一点四一四，减它呢？就是零点。呃，零零点怎么样呢？ 四一的，对吧？所以再乘以它等于多少？等于二十四点六，所以我们怎么样最终取整？精确到，精确到一厘米，大家不要忘了，所以它约等于二十五厘米，最终作答我们就不再说了啊。搞定 好，相信通过这六大核心板块的梳理呢，你已经对初中三角函数有了系统的掌握，那么今后在考场上，无论题型如何变化，你都能够一眼看透考点，精准作答，一分不丢啦。当然啦，对于我们今天这个配套的资料，亮亮也给大家整理好了，然后来提升自己，跟着亮亮无脑学习。

初三数学，每日一练，今天练三角函数与坡度。坡度是垂直高度比水平宽度，记住坡角正切等于坡度，找准边角关系，计算不出错。关注我，每天练一题，中考不丢分！

首先呢，这一题他不是指挥作图，他不是指挥作图，你们再看一遍条件，他说不需要指挥作图，但是保留作图痕迹。对，所以你就理解为有点像你们平时做几何题，做个辅助线过哪个点， 然后，呃，做谁的对称点，连接谁跟谁，跟谁，跟谁交于谁就之类的话，你能够说出来就 ok 了。然后你不需要说拿圆规啊，把那些什么作图痕迹很很完整的表示出来，不需要，因为他要的也不是这一个， ok 吗？然后这一题来遇到了将军印马里面比较难的一种呢？首先这个题目他这里是这么说的， 这里有块地，这里有个桥，那地跟桥肯定是平行的吗？ ok 吧？然后上面有个顶，那个顶就跟他不平行，不平行完了之后呢，这里有个 p 一， 这里有个 p 三，然后这样这样那样那样，但他这四条之和最小值，所以你们看都看得出来，他肯定想考的是什么模型，将军的吗？ ok， 他 们肯定想考的就是将军印马。所以你们刚刚 做的这些作图痕迹，你都会围绕着将军印码去展开的，但是你又会觉得这个将军印码印不出来了，印不出来什么原因？ 你能够想得通这一点，其实这个题目它就很好做。这个题目至少两种解决方法啊。来，首先再再看一遍将军印码的模型是怎么样的？先在一条直线上有一个什么东西点，那个点是怎么样的点 动，点动还是定动？哎，这里直线上有一个动点好，然后在直线的同一侧不能够一边一个啊，同一侧要有两个点，这两个点必须是定点。对， 说白了将军密码他就是一动两定，然后动点必须走的是直线，如果动点走的不是直线，来复习一下韩佳刚讲的，如果他走的是圆形呢？八十圆，八十圆嘛，对吧？好，然后如果这两个是动点，我要请他们两个值和的最小值，请他们两值和最小值怎么做？ 第一步先做其中一个对称过去，对完了之后呢？跟另外一个点连接起来，连完之后这个点就是你们真正要找人的一个点了。 o 不 ok？ 好， 这个其实你们都知道已经很熟了，那这一题我先拿这个题先。先拿这个图来说啊，这个题你们会觉得看起来很奇怪的是什么呢？你现在对照这个模型你就会发现奇怪在哪里了。 p 一 动不动动， p 三动不动动还是不动？动还是不动动？ p 一 p 三都不动。对，这里这个是定眼这里这个是定眼，但是上面的 q 一、 q 二跟 p 二都是动眼动的，所以你这里就不是两定一定，而是变成了两定一定了啊。 动点了就是你这里一个将军印麻吗？这里你想搞一个将军印麻吗？他这是不分拆两个将军印吗？没问题吧？就是你知道就是这两条为一组，这两条为一组的吧？这两条为一组，这两条为一组。这里看起来是不是两个将军印麻的模型？但是这两个将军印麻里面他是不是各有两个动点？变成两动一定了？好，再来。 如果像你们现在某些同学做到你搞定了这边，可能他是说，哎，这边我做个垂直或做个对称什么的，你能搞定？这边最小，你能够保证他们四条之合同时加起来是最小吗？可以，同样的道理，你比如说我这里有做做垂直，我搞定这一边最小值了。搞定这一边你能保证这一边之合让他们四个加起来最小吗？ 不一定吗？对不对？所以这里你要有一个整体意识，不是说我搞定左边或者搞定右边就 ok 的 了 o 不 ok？ 好， 然后再来。既然你觉得哇这里好多个洞点怎么办呢？其实你这么想，既然你已经确定了他就是考将军印码，那有没有可能将军印码不只是印一次， 有没有可能印两次？再问一遍，有没有可能将军印码不止印一次？印两次。怎么说呢？来，我讲的时候你不要做笔记啊。那你先感受一下现在这个定点不动了，是不是？这个定点也不动了是不是？你试一下，如果说这条加这条，这条在这里标个标个号吧。一二三四。 我们刚刚说将军印码就是先做一个点的对称点，是不是相当于把这一条线段甩过去，对面对不对？好，那现在想甩甩哪一条？ 没事，方法不唯一。先甩一条，比如说一二这里甩一条过去，对面甩谁？甩一甩一。好，如果你把一甩过去，是不是相当于做了 p 一 的对称点过去，对吧？你先别管这个过程，就比如说你把这一条甩过去，那什么时候一加二最小？ 哎，直线贡献的时候这样子是不是就是最短的时候，对吧？就是你把这一条甩过去，对面让他贡献的时候就最短了。好，如果你这边甩一的时候，你这边想甩一个四，好，这个四把它甩过去，对面什么时候最短？ 什么时候最短？什么时候三加四最短来甩过去。哎，也是贡献的时候最短啊，所以你有没有发现呢？这条甩过去贡献看这里， 这条甩过去贡献看这里，是不是你现在变成要的是这条加这条的最小值了？好，然后我再问你，当你把这条一甩过去这里的时候，这个点是定点还是动点？ 定点，因为你本身 p e 就是 定点。对啊，所以他甩过去之后，这个是不是依然是个定点？同样的道理，你这一条甩过去的时候，这个是不是依然是个定点？同样的道理让他贡献这里是不是定点？ 这里？对啊，所以你再看，这是一个定点，这是一个定点，这不就是两定移动的吗？

好，来我们看一下这个第十六题，这个题是比较难的，网格中有很多拼的图形，网格中的正方形要求的是三角函数的，其实这求的就是两个线段之比。我们做过很多这样的题目，我们前面讲那个摄影的，你还记得吗？ 现在比心的那个讲义，大家如果还能找到上面有很多，现在比心的本质上这这个角弹力呢？是气球， am 比上一个 me 对 不对？ am 比 me 的， 那这如果是设未知数，一般怎么设？这下面为一，上面是 x 对 不对？我们是不是一般这样设的， 能懂吗？这样设有什么好处？我们不管用相似也好，全等也好，各种模型我们求出来，解完列完关系式，解出来的结果就是这个答案对不对？那这个题是这样设吗？ 他说是这个立方体的展开图，立方体，而且这个是正方形，那每个面都是正方形，而且要求的这个角的三角函数值，这个角如果直接不好求，我们也可以找到跟他相同的角，这个角是等于上面这个角，对不对？也等于上面这个角，能能明白吗？对， 也等于这个是吧？也等于这个，那我们总要去勾到相似的，总要去设未知数的，只设一个可以吗？像这个题只设一个，这个边又不知道对设 ab 是 a 是 吧？不 可以的，你只要能算出来就行，看我怎么设这个题，我就设这是一，这是一正方形，边长是一，我再设一个，谁看好了？ 我设 o 倒是 x， a b 等于一， o 倒等于 x 啊， q 倒是 x 对 q 倒是 x， 为什么这样设呢？ 这个时候你看弹性的这个角等于弹性，这个角是不是就等于答案就等于 x， x 比一，明白吧？这个角等于这个角，弹性的就等于 x 比一了。只要我解出来 x 就 行了。 那剩下怎么做？我们需要做辅助线了。这有点难想。有同学过点 f 做垂直做 k 字形，或者过这个点做 k 字形延长出去 再用。你只要能列出来式子就行，答案肯定不止一种。有的同学还有摄影定律什么东西的，我说一个简单的方法，难想一点的，这题就是没几个做出来的。去延长这个边，到它 终于得到一个垂直标上垂直为 m， 已经有 m 了是吧？ h 好 h。 那 这有什么用？你看这正方形靠在一起的，这都是九十度，这个边等于三对不对？这边是不是等于一会发现上面是不是 s 减一设的这个整整个长度为 x 吗？能看出来吗？ 剩下已经可以列式子了，知道吗？同学们用什么就用这个三角形，跟这个三角形是三垂直的相似，整个这个九十度中间有一条线做垂直做垂直是不是相似？听懂那箱子怎么比？你看上面这个三角形，长边比短边， 就是三比 x 减一左边这个三角形长边比短边，是不是就得 x 比一解一下就行。取正这个探针的明显大一的对不对？大家应该二分之 刚好十三减一刚好十三减一是吧？加还是减？不知道加一加一到底加还是减加一加一是吧，你们学校都讲过了是吧？信达也讲了。好，就这样再念一下。 题目很好，像思路就是求线段比线段的时候怎么设未知数，然后再去勾到相似，这样设未知数会简单一点，有的同学也能做出来设个 s y， 你 看可以设这个 s， 这是 y 求 s y 的 关系列一个式子，是吧？甚至这边还要再求一个，设一个可能会稍微麻烦一点。

像这种探求题，他一定是根据前面的几问去做题来看这个题，这是一个关于三角函数的探求题啊，研究探求题 啊，也可以说是一个算找规律吧。那我们看第一问，我们知道探出六十度等于根号三，三十度等于三分之根号三， 所以 tanthan 阿尔法等，让你发现结论就根据这个嘛。 tanthan 阿尔法等于二乘以 tanthan 二分之一阿尔法吗？如果是二乘以二分之一， tanthan 阿尔法应该是 三分之二根号三吧，所以肯定不等于啊，这很简单，第一问很简单。第二问呢，也是你看如图，给你一个图，跟你说角 c 等于九十度， a、 c 等于四，那很明显 ab 是 五嘛， 让你求它的二分之一角 a、 b、 c 的 值，哎，然后他知道你不会做吗？然后告诉你了研究思路，你看，构造一个二分之一角 a、 b、 c 的 角三角形，于是这么做，这么做，做出来这个啊，也就是说他做的是 b、 d 等于 ab， 所以呢，他就构造出来了一个角，这个角，你看角 d 是 等于角 b、 a、 d 的， 所以它们两个都相等，也等于二分之一角 a、 b、 c， 是 不是因为这是外角嘛，对吧？啊，它俩相等，所以我们这里可以求出二分之一角，它的角二分之一 a、 b、 c 不 就是 八、九九分之三，不就是三分之一吗？是不是因为？嗯，它构造的二分之一角 a、 b、 c， 这我就不多讲了啊。第二问也很简单，但是呢，第三问有可能就不会了。 在三角形 a、 b、 c 中，角 a 是 锐角，你看这里难点，第一个难点，它有图吗？它没有图。第二问，它简单在哪？它是有图的。 第三问，还告诉你，角 a 是 锐角，没有直角，三角形更是，哎，也不是直角，根本就没有三角 a、 b、 c， 所以 这里你得怎么样啊？你得自己画一个三角形，那画的时候就有问题了，那这个三角形 a、 b、 c 是 钝角啊？还是直角的还是锐角的三角形啊？ 这里我们也不知道，来继续往后看看还有没有什么提示啊？ tan 呢？ a 等于三分之一角 b 等于两倍的角 a、 ab 等于二根号十三，求三角形 a、 b、 c 的 面积。这里啊，首先就有个问题，我们在画三角形的时候，我们先得确定它是一个什么样的三角形，那这里怎么确定呢？ 来，其实咱们学过贪婪的 a 等于三分之一，而贪婪的三十度等于三分之零。三，我们知道正切值， 在一个角角二法大于零小于九十度时，这个角的正确正切值是随着这个角的增大。这个正切值怎么样的？是增大的， 具体我就不不讲为什么增大了，但是呢，嗯，结论是这样的啊，这个我上课时候讲过，你们老师应该也讲过啊， 当阿尔法越大，摊着它就越大。所以说，你看，三十度的正切值是比这个角 a 的 正切值要大的。所以这个角 a 肯定是怎么样， 小于三十度，是不是？那角 b 呢？角 b 就 小于六十度吧， 是不是？所以这个三角形我们初步一定确定好了，这一定是一个什么三角形？钝角三角形嘛，你看他告诉你他这三角形肯定是有原因的。来，钝角三角形，我们知道了，画一个钝角三角形， 这是角 a， 这是角 c， 他说贪婪的 a 等于三分之一，贪婪的 a 等于三分之一角 b 等于两倍的角 a， a， b 是 二根号十三。 那这里就有问题了，他告诉你，贪婪的 a 有 什么用呢？没有直角三角形啊，所以我们第一步得干什么？得自己去构造直角三角形，那我们还得把这个角 a 的 正确使用上呢，所以我们这里只能从 c 做出一些， 从 c 做垂线，做出 c d 来了，但是有什么用呢？那这个时候我们就要想一想第二个条件，角 b 等于两倍的角 a， 这个条件 是干什么用的？你看，在前面的第一问里，他让你探讨了角阿尔法和二分之一阿尔法的正切值的关系，然后又在第二问，你看这个第二问很关键，他给你构造了一个哎，他这里给你构造了一个二分之一角 abc， 那你说有没有可能这个角 a 也是通过这个方法构造出来的？这里我们一定是要能想到这个这个问题啊，像这种探求题，他一定是根据前面的嗯，几问去做题 啊，应该是差不多，所以我们要试着也要试着去构造一下这样的三角形。为什么？因为这个角 b 等于两倍的角 a 吗？你看这里这个角不就是等于两倍的这个角吗？ 所以这里我们会想到我，我们能不能在 a b 上找一个点 e， 让 c e 等于 a e， 哎，我找这个 c e 等于 a e 有 什么好处呢？你看，如果 c e 等于 a e 同时同时角 a， 是 不是等于二分之一角 b 啊？那角 a 还等于角 a c e 对不对？而角 c e b 是 不是也等于两倍的角 a 啊，是不是这个角也等于两倍的角 a， 所以 c、 e 是 等于 c b 的， 这是一个等幺三角形， 那这里相等的边这么多，那我们 ab 又知道，我们这里不就是让我们求 cd 吗？那我们求 cd， 求谁射谁把 cd 射给 x 呗。 c、 d 是 x 吧？第一个啊，这里告诉我们角 a 的 正切值是三分之一，所以 a、 d 就是 三 x 吧。 cd 是 x， ad 就是 三 x， 那 ad 是 三 x， 而 ab 是 二根号十三。这个二根号十三是怎么组成的？是由 a e 加 e， d 加 b， d 组成的吧， 对不对？它等于二根号十三。这里我们能不能运用一下这个勾固定里 这个三角形 c， d， e 啊？能不能把用 x 分 别表示出 c， e 和 d e 来，那这个题不就做出来了，是吧？那这里肯定是现在这个 c e 不 太好表示， d， e 也不太表示，我们只能去借助一下这个 二根号十三了，所以我写出来了 a、 b 的 这个式子呢，你看 b， d 和 d e 不 就是，它俩是一样的，是不是应该是二 b， d 加 d， e 等于二根号十三， 而这个 d， e 也就是 b d 啊，而这个 b、 d 又等于啥呢？ b、 d 是 不是等于 d， e 等于三 x 减 a， e 啊， 是不是？那我不就可以把这个 b、 d 带进去了吗？就是六 x 减二， a， e 加 a， e 等于多少？ 六 x 减二，根号十三，所以 d 一 我们就也表示出来了。 d 一 不是等于三 x 减一吗？也就是三 x 减六， x 加二，根号十三，等于二根号十三减三 x。 你看 d， e， c， e 和 d e， c， d 和 c e， 也就是 a e。 哈，我们都用含有 x 的 式表示出来了，那不就可以用勾股定律了吗？也就是 x 方加 d 是 二根号十三减三， x 的 平方就等于六 x 减二根号十三的平方，然后花点把 x 解出来，面积是不是就可以解出来了啊？这个题难点在哪？就在于 d e 和 a e 这里不太好，表示很多同学他不会用这个二根号十三。好，那这个二根号十三怎么用呢？我们只能是去用另一个式子去慢慢给它进行推导。嗯，没有什么特别的技巧。然后这种题啊，像这样的探求题，你只能是多做多积累 啊，也没有什么很好的方法去把这种题做出来。就是你做的多了，有感觉了，慢慢的你就自信了，这种题你就能。嗯，比较轻松的在考试中面对。

嗯，正等腰啊，你看啊，这块就是怎么求这个长度是十啊。嗯，现在你先 a o b d， 你 正反是菱形的吧？嗯，对，这十，对不对？对，是不是这个这点叫 d 哈。 d b 等于 b o 吧。 哦，得病的病。哦哦，这直角吧，西边，中间等西边。哎。不，不，但是这是逆用啊，你现在光有直角三角形，你没有终点，你得正终点是吧？嗯，怎么正的？就跟刚才一样，就这样，他俩等吧。等，你这两边等，这不这俩角等吗？对，然后这个加这个是不是九十度？嗯，这加这也九十度吧。 嗯，所以这俩对号等吗？对，所以得 b 等于 b e 了，整完了。哦，跟上面一样，这也是，你看这十十十。好，那就可以在这个三角形得 b e， 这三角形里现在是不是直三了？嗯，是不可以求任意三个角，三角还是直了， 推，你可以推所有了都。嗯，这个怎么求呢？当然是打垂了。对，那你就把垂长度求来，就得 h 比得 b 啊。对，但是你现在这个，这叫 q， 你 这个得 q 长度，你怎么求啊？这有没有头角？哦哦。

首先三角函数啊，我当时就说过，我认为三角函数我能够帮助你的只有两件事情，或者做三角函数的题目比较重要的两件事情是什么来记住，就辅助线也好，或者你的知识点联想也好，就什么都行，你觉得你在想啥？ 三角函数想什么？哎，初中学三角函数至少在什么图案才能出现，对吧？所以我们第一个信息就是一定要构造 直角，三角形就做垂直，做垂直。第二件事情就是我在圆里面可能遇到的比较多啊，你知道我要说什么吗？ 就是我好像要求这个角，但是我只要求出等角数就可以，所以我们的方法叫等角转化。 对，它这个正过来的意思就是题目的如果给了你一个角，三角函数你发现用不起来，对吧？找一个跟它相等的角，用这个不也行吗？哎，大家知不知道这个东西啊？本质上三角函数题是属于相似的一种， 知道了吧？本质上属于相似啊，好，这是大前提啊，谁都我们做题的时候呢，就围绕这两个辅助线，要么就搞直角，要么就是换角。好，然后它相关的有一些琐碎的经典小小结论和小知识啊，比如第一个， 这个已经讲，讲过了啊，说如果这是个三四五，你你还记得我要讲啥吗？ 三十啊，三十。不，不，但我不是想说这个，呃，四的这个角是不是大一点，如果做一个角平分线， 什么结什么结论，一二个，一二个，哎，对，就首先反正我们是有办法把这两个边是用那个角平分线定义，是不是可以求出来或者勾股定律也可以求出来勾股定律，这样是勾股定律，反也能求出来啊。 最后我告诉你，这个长度会算出来是二分之三，也就是说我教过大家，就是如果是个三四五中间切一个角平分线，这个角平分线就是一比二比根号五， 这个结论大家可以记住，就是说一般也不会考，但如果考的话，呃，如果是哪一点题目啊，你就比别人做的更快了，一下就反应过来这个地方有这么一个东西，这考频肯定不高啊，差生也也能用，可以这个知道一下没坏处。 好，第二件事情就是说有些人，如果，对吧，他学过高中知识，他会知道这个三角函数的话，你知道，呃，三十度，四十五度，六十度，其实有很多度数你都是可以求的啊，比如说十五度，七十五度，一百零五度 啊，一百零五度，你可能不理解，反正就十五度跟七十五度是都可以求的，对吧？那是用高中的这个超纲知识啊，那么我们利用初中知识啊，能不能求出十五度的三角函数， 哎，对，就我们就，哎，对，就不太确定的，我们就记一下。好吧，就说我们可以先画一个三十度的，它是不是一比二比根号三，然后我们只要在左边延长画一个二， 对吧？那这个是不是十五度？那所以你讲十五度的哪个参考率会更好求一点，是不是 ten 呢？会更好求一点？你说什么？你说太这个太难听了，好吧，但是我们大家可以可以，呃，建议大家背一下，就，我就把答案告诉你，可以默一下 sin 十五度等于四分之根号六减根号二啊，对吧？然后呢？ cosine 十五度就应该等于四分之根号六加根号 啊，然后 tangent 十五度，你可以口算 tangent 十五度得减，你看看这个图吗？这就一除以二加根号三，但是要化解，这答案就是什么，这就二减根号三， 对吧？啊？这个知识需要了解一下。 然后，然后那个英选一我还讲了什么？好像没有了吧。你记过什么笔记吗？你啥也没记？我没有啥也没记。那就先这样吧，我还有道题，那道题我不记得了，我去找一下，有一道非常好的题， 我们把书翻开啊，把书翻开，它还有一些就是就是超纲的啊，比如说什么增大而增大呀，这些东西啊，包括说什么塞方加口，塞方得一啊，这些其实都都不属于初中掌握的，你可以自己看一下六十三页，六十四页，你包括六十四页那边有个公式，你看见了六十四页最上面有个公式， 这个也是这个不会考的，你如果想考托马斯，那你可以了解一下，可以背下这个公式，你看比如说那个周正天，你纠结上次那个 专家，他有一道题就是用这个公式做，就做的很快，就是反正这个六十四页最上面啊，这个公式你爱背不背啊？你自己看着啊。 我，我可以教你个高中的背法，因为我们高中生就是这么背的，有一个小口诀，因为高中生这么背的，就是你这样念就很难念嘛，你要知道是不是阿尔法和贝塔两个角，对不对？所以你后面的公式呢？肯定是阿尔法贝塔，阿尔法贝塔就是这个一次的嘛，阿尔法贝塔就一次的 你关键就是前面这个东西是不是会搞混淆。知道是不是有个口诀啊，就是萨尔法加贝塔等于萨库加库萨就是用这种啊，就是这种谐音啊，是吧。克萨尔法加贝塔等于库库减萨萨， 就这样，你爱背爱背的可以背一下啊，然后你看下面这个，如果萨尔法减贝塔，你看是什么， 减法是什么？就这很像的，你猜一下嘛。什么反过来这这把加改成了减吗？ s c 减减，别说 s， 就是 萨库减库萨。那这个地方是 r 法减为它呢， 你模仿什么萨？哦，你是这么想的？不是，是库库加萨萨，你把，你可以把它抄一下。这这是他们这个寒假刚学的高一这个寒假刚学的。 这还有很多呢，我不是跟你讲，虽然来说少说有少说啊，我感觉说五六十个都少了，少了一百个公式。呃，就是有些公，你像这个这个公式不就相当于就是背一个就哦，背两个，红的就两个紫的不就出来了吗，对吧。 这个无所谓啊你，你不用找我这个他最最多就是超人考试，考还不一定考。好吧， 然后你就接着往下做啊，然后我去我去找找，我去找找，有道题我去找一下， 这样吗？不管不管，你你你你先做。你先做啊，我去找找看。你反正接着做题啊，我去找找看有没有那个好题。哎， 你自己出一个吧。其实不是，其实那个题我知道，我只是数据不记得，我怕，我怕这个数据最后出来特别难算。你知道题？我是知道数据不记得怎么办？ 那要不然就这样吧。 呃，数据如果算得不好你不要怪我好不好？来，我们开版，开版我们来做一道题啊。做一道题你把笔记本拿出来，笔记本拿出来，这题要上笔记本啊。我忘记我们有没有讲过了。我，我感觉是没有讲过。肯定是没有讲过。 abc 啊，这个三角形呢？是一个三四五。 好，现在我们要求 tangent 二分之 a， tender 二 a 和 tender 三 a， 就 这么一个道题，就数据我不记得了，不知道是不是三四五就。我们就用三四五做吧。应该可能是的，我本来想去确认一下， 你看看前两个应该都挺好做，第三个会难一点， 我们就坐下去，你在笔记本上记一下这个题。天才，二分之一都可以口算。姐，就刚才那个球十五度的时候不就用了这个方法，快说呀， 三分之一啊，不是三分之一吗？对吧？就我只要把这边，只要把这边倍长到五，这是不是就五加四？是不是九三比九？第一个是不是三分之一？ 不不不，那个是四，是这个的小跟根线才是 啊。也可以啊，角度线加那个定，角度线定里嘛，也可以也可以，没问题没问题，只是我的意思是从往左边延长位置更更更方便。哎，对啊，你如果照这么讲，你上这边这个题也可以画角度线嘛？三十度角度线是不是就十五度，然后再用相似加勾五什么也能做，但肯定这个快啊，肯定这个快 啊，二 a 怎么办？往里切。对，那你做嘛，你把它答案做出来好不好啊？然后还有个三 a 怎么办？ 三 a 是 最难的，二 a 也就正常。那完蛋，那说明这个题肯定出错了，不是一比二高，但可能是一比三。不是，但那个答案我记得是整的呀。答案不可能是 哦，三 a 超了对吧？三 a 超九度呀，但超九度也也有，也能求啊。那，那怎么办？那我编个什么数啊，肯定不带根。我记得那道题不带根号啊。没事没事没事，不要管那二 a 算得几啊。 那二爷就不讲。那三爷怎么办，我想出个东西能做呀，他都是整。当时那道题答案都是整的呀。没事没事没事，代课后都算完了。算了，我们就烦人，来个太难缠。我送你， 你别照你别照别照，给我一点时间。 哦对对对，你们说对，你们说。对，应该一比二比更厚。我刚才用高中的东西算了一下， 改改一下啊。一比二比根号五。不用不用了，你就算天才三应应该估计是这个估计是这个应该应该这个可以算一比二比根号五。 就我刚才反解了一下，发现能解这个，这个能解出来，应该应该这个应该这个。 高中这个他们这个寒假上的。这个可有意思了， 就是根本算不出来。就就是都会，但是算不出来就计算量大。哎，我先提醒你一下，怎么哪来的三 a 啊？哪来的三 a 啊？ 应该是先二 a， 你 看二 a 是 不是中垂线，对不对啊？所以相当于这个就是 r 法。这是不是叫 r 法？然后呢？我们现在是这个，这个是不是也是 r 法？是吧，所以我们应该是在这个地方。 呃，我再解个 r 法，那这个角是不是就三 r 法，对吧？好，这个是标字母啊，这个 a， b， c， d， e 啊，其实就是。呃，就是相当于就是研究这个角 c、 e、 b， 对 吧？好，然后我再提醒你一下啊，你，你们算我，但是我提醒你一下，有一个这个， 这个是多少度？光标看一下啊，我这换颜色吧。看，看不清楚吗？这多少度？阿尔法，这个呢？阿尔法，这是什么？子母型？子母型相似， 你现在做做看能不能做了啊，我就就教教，就尽力教教给你了。对对，把数据换换成一比二，你告诉我你应该是用一比二的， 哎，但我总感觉不是这样的，但是忘了，就这样吧，就这样，这次应该能算吧，所以我就不记得那道题了嘛，随便编了一个，我不太确定这个答案，这能整不整？我记得是整的，就如如果说不行，你就劣势子也行。 估计不是，我，这个我觉得不太可能我觉得不太可能。 嗯，好像也不是。哎，你看这边就可以闹一个结论了。哎，你想没想过，这是一比二比根号五，所以这个三角形是个什么三角形？ 刚才一比二比根号五，所以这个这是个两倍角，哎，所以这是个什么三角形？三四五，哎，你看这不就刚刚讲完这个结论吗？三四五，四的这个一半 是不是一比二比更好？五，嗯，对吧，所以这是一个三四五，那么这条边实际上长度就是几啊，是不是四分之三，对吧？ 我也不知道是几，反正等我算了。等我我，我又不记得答案，对吧？好，这是这是四分之三，能接受吧？好，那上面这个边是不是就是四分之五先放在这啊？好，然后怎么办呢？然后我们现在是不是要看算里面这个，我们设它为 y， 因为 x 设过了嘛？设它为 y， 那这个就是减四分之三，减完用，用一下子母 c e 的 平方等于什么？ 四分之三减 y 乘以一个二减 y 结束了，它等于一加 y 方，相当于双勾股定力吗？它是不是？你这个是子母，这个是不是勾股，然后解这个方程就可以了。 没有 y 一 等于二，没有 y 一 啊，大哥，这个 y 方消掉了。大哥，这是个一元一四。嘿嘿嘿，这肯定是一元一四。 y y 方不是消掉了吗？这姐还要我姐吗？你啊，你就是。那那就那我就相信你，你是姐， 二分之十啊，那，那答案应该就是二分之十一。老师你刚刚自己说的好不太对，我说我不记得他不会是二次大哥，但是就是二分之十， 他在跟我不知道。就是，但是你不用跟我争这个对吧？就，我不管你答案是什么，你说就不可能是二次。你这话说的很搞笑， 我用的是 c p 和 a p 啊，就换别的笔。那再说嘛。啊，这个这个是，这个是二分之十一，是最终答案是吧？是的，那求着我还就十一分之二吧，应该是。对对对，好，就这样过了，过了啊。

来看今天的题目啊，今天题目呢，锐角三角数里边会涉及到几个？呃，新的概念也不叫新的概念，但是我们前面没咋说啊，看到没有？复习到这个点没有啊。呃，就是哪个就是这个坡度啊，就这个坡度。 来，我们看看题目啊，它说测量一棵树得一的高度啊，给你标上了阳角，这个角是三十，然后下了坡， 阳角是六十，已知 a 点的高度 ab 等于二， ab 的 高度等于二台阶 a c 的 坡度等于一比二。那好了， 这时候我们说什么叫坡度？坡度是度数吗？其实从这个题里面看，已经能知道它不是度数，对吧？它坡度不是等于二十度，等于三十度，不是那个度数，对吧？它是一个比值，对吧？那是你要想坡度等于谁比谁呢？ 那 a c 的 坡度，我们说坡度等于这个角的对边比邻边，对吧？你或者把它记成什么值？ tangent 值，记得不？ tangent 值啊，所以这是我们当时说的一个重点概念啊。那所以这个 a c， 它的坡度就这个角了呗。坡度那等于谁比谁等于对边， a b 比上邻边，邻边是谁？邻边是 b， c 是 一比二，对吧？所以 a b 是 二， b c 就是 四，对吧。所以 这个时候就转化到横平竖直的长度了啊，那这个时候，那再看，嗯，这里面没有其他长度了吧， 还是一样的道理啊。讲了好几个这题了，还是一样道理。先找直角三角形，一个直角三角形 r t。 三角形得 a， 哎，他这没标是吧？啊？这个垂垂线做过来，他不标。我们就说一下，这垂直 h a h 垂直于得 e 啊，得 a h， 一个直角三角形有什么？有度数对吧？没有边长，然后第二个 r t 三角形 d c e 有 什么？有六十，哎，也没有边长，对不对？所以这二求三又不满足，怎么办？射 x， 对 吧？射 x， 射谁是 x 呢？射两个三角形都能用上的， 设两个三角形都能用上的，设谁啊？我们是一般设 c e 啊，设 c e 是 x， 那 这个时候两个三角形都可以用了啊。看在得 c e 这个三角形里边，六十度一个， x 一个，所以呢，我们是不是能表示这个边 三十度？六十度的直角三角形是不是用边长比例就能解决？所以 c e 是 x， 那 所以得 e 是 就等于根三倍根三 x， 对 不对？所以这个时候，那你看啊，我想要带到另一个大三角形得 a h 里面去的时候， 这是根三 x 是 不是直接带，带不进去？它是不多了，这一段减去这段就行。这段是多少呢？就是这个横平竖直的，哎，这是二，那所以得 h 啊，得 h， 它是不是就等于根三 x 减去二，对不对啊？这是根三 x 减二啊？那这个时候得 a h 这个三角形三十度所对的直角边是根三 x 减二，得 h， 那 它的邻边呢？是 a h， a h 是 多少呢？直接平移下来 是多少？四加 x 对 不对？所以我们还可以直接用比例关系，那就是短直角边根三 x 减二，乘以根三啊。乘以根三是不是就等于长直角边，就是等于 x 加四，对不对？所以解这个。呃，这个，这个，这个方程就行了啊，解这个方程就行了。这这个方程要会解啊。根三乘以根三，三 x 减二倍，根号三等于 x 加四，对吧？挪过来二， x 等于四加二倍根号三， 对不对？所以 x 就 等于二加根号三，对吧？二加根号三，二加根号三。是 x， 不是 我们要求的值。我们要求的值是谁？求的是得益的高度， 得益是谁？得益是根三 x， 对 吧？所以呢？它再乘以根三就等于二倍根三加三，对吧？所以等于， 对啊，这是最终的答案，他是不是让你保留根号？哎，看到这啊，好开心啊，终于不用算了，小数点了，对不对？所以这个是对你们是仁慈一点的这个题啊，结果保留根号，所以是这个解式幺三型的题啊，就这。

大家还记得前天发的二三年的中考真题的第二十三题压轴题的解析过程吗？嗯，有很多同学注意到了最底下这条黄线标注的， 首先是直接记忆在十五度或者画三十度、六十度、九十度的直角三角形加勾股定律计算。很多同学问我啊，直接记忆有可能记忆错乱，那这个构建三角形具体是怎么构建的呢？ 嗯，那刚好我也想给大家讲一下初中一般涉及到的三角函数。嗯，首先我们先从这个三十度、六十度、九十度怎么构建的开始讲。 首先我们画一个三三角形 abc， 如果是三十度、六十度、九十度的话，那它比例应该是二比一比根号三。此时第二步延长 ca 到 d 点， 如果让 ab 等于 ad 的 话，那么他是不是一个等腰三角形呀？然后我们知道根据三角形外角定里的话，那这个三十度是不是应该等于这个角 加上这个角 d 呢？同时他们两个还相等，那他们两个相等，相加等于三十度，那他们一个角是不是就是十五度？然后我们标上数字吧，这个是二，那这个 a、 d 也是二，所以说底下这条边是不是二加根号二，那顶上这个边是不是一？ 那么我们能不能直接用勾股定律算出来 b、 d 应该就等于这样一个式子，最后得出来解出来是根号六加根号二。 好，我们都知道三条边了，那我们接下来求十五度的 sine、 cosine 和 tangent 是 不是就轻而易举了？ sine， b、 d、 c 就 应该等于对边比上斜边，最后得出来四分之根号六减根号二， cosine， b， d， c 就 等于零边比上斜边，最后答案是四分之根号六加根号二。那么我们昨天这道题是求两个之和，那么列一个式子，最后答案就是二倍二分之根号六。 然后呢，我们涉及到的比较多的就是，首先第一个等腰直角三角形，一比一比根号二，我们一般涉及到是四十五度，四十五度我们看三眼就是一比，对边比斜边，靠三眼就是临边，比斜边， tan 的 就是对边比上临边， 这个答案我们都要记住，然后紧接着看这个，三十度，六十度，九十度，好，三十度对的这个边 就是三一，三十度二分之一，二分之根号二， tan 的 三十度三分之根号三，然后还有六十度六十度所对的对边比边二分之根号三， 对边比上邻边根号三，邻边比上斜边二分之一。在考场的时候，如果实在想不起来的话，一定要在脑子里过一下这些特殊的三角形，知道这几个类型的就行。然后这是一个简单的总结， sign cosign， 大家不要死记硬背这些，这些最好是在脑子里面有一个图形，然后其实也花不了多长时间， 嗯，书能生巧吗？大家就这么记忆吧。然后还有额外要提醒的就是三亚阿尔法在这个零到九十度之间的话，它随角度增大是正弦，是越来越大的，大家可以看到是吧？ 逐渐递增的，靠三弦的话跟它相反，余弦的话，你会发现随着角度增大的话，它这个值是整体减少的。

hello， 各位高中的同学们大家好，我是王老师，今天给大家总结一下三角函数的小题技巧。 首先我们看第一个最简单的 sin alpha， cosine alpha， tanthan alpha 之一求二。这个我们要用到哪两个式子呢？第一个是 sin alpha 的 平方加上 cosine alpha 的 平方等于一，然后第二个式子就是 tanthan alpha 等于 tanthan alpha 除以 cosine alpha， 这个比较简单，接下来咱们看第二个， 第二个 c 啊加上 cos 啊，还有 cos 啊减去 cos 啊，然后 cos 啊乘以 cos 啊分之一求二的关系， 那么这个老师可以给大家画一个图。那么从 cos 啊减去 cos 啊的平方，再到 cos 啊方加上 cos 啊方，最后再到 cos 啊加上 cos 啊的平方，这个可以用我们初中的完全平方公式，它 分别加的都是二倍的 c r 乘以考辛 r 中间这一项 c r 的 平方加上考辛 r 的 平方是等于一的。这三个我们知道其中一个式子的值就会求，就会求出其他两个式子的值。接下来我们一起来看一下老师给大家举的这个例子， 告诉我们 r 是 属于零到派之间的，然后 c r 加上考辛 r 等于三分之根号三，让我们求 c r r 和考辛 r r。 首先这个要用到我们的二倍角公式， c r r， 它就等于二倍的 c x 乘以考辛 f。 我 们都知道考辛二 f， 它是等于考辛 f 的 平方减去 c x 的 平方， 然后等于一减去二倍的 c x 的 平方，还等于二倍的考辛 f 的 平方减一。那么这三个式子我们选择哪一个呢？我们会发现考辛 f 的 平方减去 c x 的 平方，它等于什么？ 他等于考 c f 加上 c f， 然后再乘以考 c f 减去 c f。 大家观察题目里面的已知条件，还有我们要求的这个式子，题目里已知 c f 加上考 c f 对 不对？然后让我们求二位的 c f 乘以考 c f， 还有这个式子，这个是不是我们刚刚讲的这个题型之一，求二对不对？所以他进一步就等于 c f 加上考 c f 括号的平方减去一，那么这个式子考 c f 加上 c f， 题目里面是知道的，等于三分之根号三。那我们现在需要求考 c f 减去 c f， 那 我们可以通过老师刚刚给大家画的这个图， 我们可以写出来考 c f 减去 c f 括号的平方， 它是等于一减去 c 二 f， 那 么 c 二 f 上面这个式子我们是不是就可以求出来对不对？然后求出来把它带到第二个式子里面，考进二 f 就 求出来了。 接下来我们来看第三个，第三个是我们考试中最常见的一个形式， c 二 f 和考进二 f 的 其次分式。那么这类题型通常还告诉我们的已知条件，它的已知条件是有关于探长 f 值。 那我们就要想到 c r f 考 c r f 的 其次式。那么遇到这种题我们应该怎么处理呢？我们可以上下同时除以考 c r f 上这个式子，我们上下同时除以考 c r f， 它就会变成 a 倍的贪吃的 f 加上 b， 然后下面是 c 倍的贪吃的 f 加上 d， 然后把题目里面的贪吃的 f 带进去就行了。 我们会发现分子和分母的最高次数都是二，那么我们继续上下同时除以考辛 r 的 最高次，我们上下同时除以考辛 r 的 平方，那么第一项就变成了贪吃的 r 的 平方，然后后面这个变成二， 然后下面就变成了二倍的贪吃的 r， 然后继续把题目里面的贪吃的 r 带进去就可以了。有时候这个奇次式不是很明显， 比如我们看第三个，第三个我们会发现它是一个整式，对不对？式子？它题目里面的已知条件还是它的 r 的 话，我们就要想到 c 和考性的其次式，那我们怎么把它转化成其次式呢？ 对，我们可以用我们的 c r 的 平方加上考 c r 的 平方，等于一这个式子给它构造一个其次分式，这个时候就变成我们刚刚的其次式了，对不对？那么我们就可以上下同时除以考 c r 的 平方。 接下来我们来看最后一个队友，是当这个题目里面告诉我们， m 的 m 倍的 cx 加上 n 倍的考 cx 等于 p， 通常这个 m n 和 p 它都是已知的， 那么这个时候如果让我们求 sin， 考 sin 或者贪婪，我们都可以用构造对偶式的方法给它求出来，是非常解变的。那么这个对偶式我们怎么构造呢？这里我们要让 c x 变为考 c x， 然后让考 x x 变为 c x， 加法变为减法， 减法变为加法，然后再给两边的式子进行平方。那么说完这个方法，可能有的人还是有点云里雾里，对不对？接下来老师通过下面这个例题给大家实操一下。 首先我们一起来构造他的队友，是 c 变考 c， 那 么就是考 c x 加法变减法，三倍的 c x， 我 们不知道等于多少，我们给他设一个 n， 他 等于 n， 然后接下来给两边的式子进行平方，我们首先给第一个式子进行平方，我们用完全平方公式给它展开 c x 的 平方，加上六倍的 c x 乘以考 x， 然后再加上九倍的考 x 的 平方， 等于负根号十平方，他就是十，然后接下来我们给第二个十字平方，第二个十字平方完，就是考 c x 的 平方，减去六倍的 c x 乘以考 x， 然后再加上九倍的 c x 的 平方，然后等于 n 的 平方，那么我们只要把 n 求出来，我们就会得到有关 c x 和考 x 的 方程组，对不对？然后我们就把 c x 和考 x 求出来，求出来了。为什么我们要构造这个队友？是你会发现 构造完对偶式给他平方以后，他会出现 c x 的 平方，考 c x 的 平方，他俩加起来是不等于一了，然后中间这两项 就互相抵消了，然后最后九倍的考 c x 的 平方，加上九倍的 c x 的 平方，最后的结果是九，你会发现整个左边 c x 和考 c x 都没了，所以整个左边就等于十， 那么十就等于十。加上 n 的 平方，我们可以得出来 n 等于零，那么现在我们已经把 n 求出来了，那么这个式子考 c x 减去三倍的 c x， 它就等于零。 然后接下来我们可以求 c x， 求 c x 的 话，我们就把考 c x 约掉就行了，我们可以给第二个式子乘以三，是不就把考 c x 约掉了，对不对？那么 c x 求出来以后，我们可以用两种方法，第一个方法是用我们的画三角形法则，可以把考 c x 和贪吃 x 求出来。 第二个方法就是你还可以继续用方程组把 c x 约掉，然后把考 c x 求出来以后，然后再用 c x 除以，考 c x 就是 贪吃 x。 以上四种就是我们三角函数里面小题最常见的四种情况，今天的题目你学会了吗？完课的同学可以尝试做一下第一题和第二题，做完的同学可以在评论区核对答案哦！

大家好，我是零下教数学的石老师，然后今天给大家讲一道初三下册锐角三角函数的实际问题应用的一道题，这道题不太难，很简单， 那像这种题咱们怎么做呢？三英三十度是不二分之一，考三英六十度是不二分之一。 tan 四十五度是不一，那咱们肯定要根据锐角三角函数去做。首先咱们画出它的图像，画出一个 r t 三角形， 这个角 a 它是不是九十度？那这个角是不是角 a， 这是九十度，然后这个是 b， 这个是 c， 那 咱们知道 bc 它是不是为根号二，然后这个时候那它的呃，那它的角 b 是 不是又是，是不是四十五度？那最后咱们要求它的面积，那求它的面积的话，咱们是不是可以 先求出是不是它的 a c 的 边， ab 的 边，那根据余弦定律，考三因 b， 考塞因 b 的 话是不等于零边比斜边，那它是不是也就是 ab 比上是不是根号二？斜边 ab 比上是不是也就是 bc？ 那 么考塞因四十五度是不等于二分之根号二，然后等于 bc 的 话 等于根号二，然后 ab 不知道那十字相乘是不二， ab 是 不就等于是不二， ab 是 不就等于一？那 ab 如果等于一之后，那么咱们再知道角 c 它是不是也是四十五度？那么咱们把 ac 的 长求出来的话，那考三英 c， 考三英 c， 它是不就等于零边是否比斜边，那 a c 比上是否 bc？ 考三英四十五度是不等于二分之根号二， 然后等于 ac 是 否不知道，然后 bc 它是否为根号二，那么这个时候这个 ac 咱们十字相乘之后， ac 做出来是不是也是一？那 ac 是 一，然后 ab 也是一，那么这时候它的面积 s 三角形的面积是不是就等于二分之一乘以底， 然后再乘以高，然后是不等于二分之一？所以这道题咱们应用锐角三角函数的知识点， 三音等于对边比斜边考三音等于零边比斜边， can 等于对边比零边。咱们是不是最后求出它的边长进，而是不是求出它的三角形的面积？然后各位家长和同学如果有什么不懂的，可以在评论区留言。

同学们，这种题啊，死记也得记下来，什么题啊，就是用三角函数来证明几何问题来看这道题。 角 b 等于角 c， 三十六度角 b， 角 c， 这是三十六度 a、 h 垂直于 b、 h， 这是九十度，对吧？ a、 d 是 b， a、 c 的 三等分线， 这个是三等分线，然后呢， a、 e 是 是这个角 a 外角的四等分线 a、 e 是 四等分线，然后呢， a、 d 等于 p， a、 d， 这是 p 是 吧？ a、 e 是 q， a、 e， 这是 q， a、 h 是 小 h， 然后求什么呢？求这个式子， p 方分之一加上 q 方分之一等于 h 方分之一。 你看到这种题啊，只给了角度，只给角度，没有给任何的长度，对吧？那这种题就什么呢？就是用三角函数关系来证明几何问题来，咱们看这个题啊， 根据这个已知条件啊，咱们能得出什么？ 那这是什么？看着角 b、 a、 d 等于多少度啊？这个角等于多少度？ 是不是三分之一倍的角 b、 a、 c 是 吧？然后角 b、 a、 c 等于多少角 b、 a、 c， 它是不是等于 一百八十度减小角 b， 减小角 c 是 吧？角 b， 角 c 是 多少度？三十六度，这是七十二度，对不对？然后呢，一百八十减减去七十二，这是一百零八度， 那三分之一的它是多少？三分之一三三十六， 对吧？角 b、 a、 d 啊？ b， a、 d 三十六度，那角 d， a、 c 等于多少角 d， a、 c 等于， 是不是三分之二倍的这个对吧？那就是七十二度，那角 c、 a、 e 是 多少？ 是不是四分之一？四分之一角 c 就是 四分之一角 a、 d 外角，对吧？角又外角，这是多少度啊？一百八减去 角 b、 a、 c 是 吧？就是这个呗，对吧？ 也就是这个角加这个角，是吧？那就是七十二度， 然后它的四分之一 十八度，对吧？那求那看这个角是多少啊？这个角角 d， a， e 是 不是等于它加它呀？是吧？ d a c d a c 加上 c a e， 对 吧？那就是七十二加上十八等于九十度，对吧？那这个角是所以三角形啊，我这边来了啊，我这边来了 三角形 d， a， e 为直角三角形， 然后呢，它是不是和三角形 a， d， h 相似啊，对吗？它相似能推出什么？能推出啊，看着吗？ h h 比上 p h 减 p， 是 不是？ a， h 比上 a d， 是 吧？等于口三十八度，对吧？这个角等于这个角， 对吧？是不是？然后呢？看这个三角形里边啊， h 比上 q 是 不是等于 a， h 比上 a， e 等于多少？三十八度啊，对不对？看这个式子中推什么两边平方， 看是不是 a 比上 p， 它的平方加上 h， b 乘 q， 它的平方等于这个加这个的平方就是 三一十八度的平方加上 o 三一十八度的平方，是不是等于一啊， 对吗？所以啊，拆开来的 h 方比上 p 方加上 h 方比上 q 方等于一，对吧？所以能证明出什么？ p 方分之一加上 q 方分之一等于 h 方分之一啊。 所以啊，这道题啊，死记也要也要记住啊，它都什么三角函数啊，用三角函数来证明几何问题。

来，我们看今天这个题目啊，还是个入角三弦入的题，还是一个大题啊。他说 a、 b 啊，后面有一座办公楼，这个 c 得光线，地面加角二十二， 留下了三米高的影子 c e 好， 所以这个长度是三，对不对？这个长度是三，然后当光线与地面加角四十五度时，地面影子是长三十米的距离，那就是 楼顶 a 在 地面上，影子 f 与墙角 c 有 三十米的距离。那所以你读懂题啊，千万不要化成 b， f 是 三十啊，是 f 与 c 有 三十米距离，所以这个是三十， 对不对？好了， ok， 这个时候说现在要在 a、 e 之间挂一些彩旗，求 a、 e 之间的距离， 那就是求 a 的 长度呗，是吧？就这时候我们在还是还是说这个问题就是，呃，先找直角三角形，对吧？要放在直角三角形里边才有意义嘛，对不对？那所以这个时候二十二度是不是肯定得用上，对吧？四十五度肯定得用上，四十五度已经在 a、 b、 f 这个直角三角形里边呢，那所以二十二度怎么办呢？过点 e 啊，直接做个垂线，是不是？比如这个是 h， 那 直接做个垂线，又出现了一个直角三角形 a、 e、 h， 对 吧？那所以这个时候看哪些长度有用啊？ c f 是 三十， c f 是 三十，所以这个时候呢，我两个直角三角形，一个是 a h e， 一个直角三角形 a、 b、 f 都没有完整的边吧，对不对？所以怎么办？遇见这种情况，我们说过，知二求三，你不成立的话， 射方程对不对？射 x， 所以 这个时候我射这个 b， f 是 x 啊， b， f 是 x， 那 么 abf 这个三角形是什么三角形呢？是个等腰直角三角形对不对？所以 ab 的 长度是不是也是 x 啊？ ab 的 长度是 x 的 话，这个这个这个 c e 是 三，那这个也是三呀？那所以 a h 这一段是不是就是 x 减三， 对不对？所以这个时候呢，可以把 a h 放在另外一个大三角形里边了，就是 a h e 在 a h e 这个三角形里边， a h 是 对边对吧？然后呢， h e 是 二十二度，什么边？ h e 是 邻边对不对？那应该对边，邻边应该用 tan 的 值对不对？ tan 的 二十二等于谁呀？等于 a h 比上一个 e h 对 不对？就等于套进去就是 a h 是 x 减三，比上一个，那是 e h， 咋弄了？ e h 他 不是就跟 bc 是 相等的吗？对不对？是 x 加三十对吧？ 啊？题里边给了约等于多少呢？它的二十二是五分之二对不对？所以这个时候，哎，解方程就能解出来 x 对 不对？ 呃，解出来 x 之后，但是他不是让我们求了这个对不对？求了 x 之后就想想这个 x 等于几啊？这个 x 都忘解出来 x 之后，那么呃， 解出来 x 了，那 a h 是 不是就算出来了啊？ e h 是 不是也算出来了？然后让求 a e 之间的距离两种方式。第一个勾股定律可以不啊？解出来之后 a h 知道对吧？ e h 知道， 然后呢？求 a e， 这不是就是平方加平方等于平方吗？对不对？开个方就行了，对不对？这是一种方法啊，这是一种方法。另外还可以怎么办呢？你看 a e 是 什么边？ a e 是 二十二度这个三角形里面的斜边，对不对？你求出来，你比如说你用 a h 算啊， a h 二十二度，对边 a e 是 斜边，所以对边斜边是不是森 二十二就等于 a h a h 算出来了，记得啊，比上一个 a e 吧，对边比斜边，所以这个时候三角值又告诉你了啊，等于八分之三，所以这个时候 a e 是 算出来了的。呃， a h 算出来了了的，然后解 a e 就 行了啊，如果你用 那个 e h 算，那 e h 是 不是这个这个邻边啊？ a e 是 斜边对不对？那邻边斜边用什么？用 cosine 对 不对？ cosine 邻边 cosine 二十二等于什么？等于 e h e h 也是算出来了了的啊， 比上一个 a e 啊，对吧？然后这个时候约等于十六分之十五啊，那这个时候呢？一样啊啊， e h 往里一套，所以整个解方程就是 a e 啊，所以这个最后算出来，就想想， 好像是五十八点七吧。啊，五十八点七，我记得最后答案啊，五十八点七，所以这个值呢？这个呢，也不难，属于我们那种 两个直角三角形都不知道完整的边，怎么办？那就设方程啊，用方程解决。当然勾股定律也是我们的一个常用工具啊，也可以用。