2026深一模难度如何
二零二六深圳异模数学透露今年高考四大命题趋势。这套卷子所有题目都来自课本和高考真题改编，完全对标今年高考一号文件的最新要求。第一，文件明确要求加强教考衔接，注重考察三基。这次异模直接打乱题型顺序，圆锥曲线变成第三题，送分题 专选最后两道全是常规题，基础不牢，今年真可能上不了分。第二，文件强调优化素材选取，融入科技前沿。这次考试大量出现符号理解和文字理解题，题目里藏条件，描述里藏分类，读不懂题，连第一步都迈不出去。第三，文件要求 加强探索式、项目式真实情境问题设计一模，直接打破套路，空间几何不尽细导数提力加根号，圆锥曲线，椭圆双曲线混着考，不连力不套路，全靠思维变通。第四，文件提出浸润人文教育，考察学科素养，概率统计，结合生活实力， 考的就是你能不能把数学用在现实里。这套卷子所有高三生都该做一遍，是题和答案，我放在评论区打印出来练起来。
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03:40查看AI文稿AI文稿最近高三开学之后啊，各地都在进行一模考试，看到一份特别有意思的试卷，也就是三月四号，由深圳市教科院秘制的深圳市的一模试卷，那么这份试卷与全国其他地方的模拟题不同的不同在哪里？这份试卷呢的十九道题全部来自于课本的改编，这就非常有意思了。 以往啊，广东深圳的一模题其实考的很偏，但是我看这份试卷就是非常接近于二四年二五年高考题的命题的逻辑，就从这份试卷当中透露出来了。以下的四个比较大的命题趋势，值得我们二零二六年的高考学生去重视。 第一个就是从这份试卷当中，你看选择题和填空题，他注重基础考察，不设那种小压轴题了，他的单选择题的第八题，多选择题的十一题，包括填空题的第十四题，相对于以往的试卷来看，难度不是那么大， 当然也有难度就没有以往的像那种压轴题的那种难度。那么这是第一个注重基础知识考察，他试题打乱了以往的顺序。这份试卷有意思的是，第一题考察的是统计的相关知识。从我们的认知当中，一份高考的模拟卷或者高考试题，第一题一定是考集合题， 但是从二五年的高考题就看出来了，很多题的顺序是打乱的，那么这也是迎合高考的一个变化。第二个是基础题的考察，它结合生活实际，从前面的单选择题，多选择题、填空题，包括解答题的这个基础题能看出来， 体现出层次性出来。第一类他直接是对教材当中的重要概念定义进行的一些相关考察，比如这个单选择题的前面的七个题和填空题的前面两道题， 都是对教材当中重要概念、重要的定义的一些基本元素，基本命题点的考察，那么它的第二类是通过引入一些新定义，结合生活的实际来进行考察，你像多选题的第十一题和填空题的第十四题都属于这一类，这也说基础考察进行了分层。 第三个趋势是难题的考察，设计了多个细分的命题点，这个是我们以往一直在给同学们说的，要注重基本命题点的考察。比如这份试卷当中的选择题的第十题，关于圆锥曲线的考察，它涉及的基础命题点就比较多， 你像是斜立，像是长度，像是三角形的基本命题点的计算，在一道题当中会考察多个点。那么第四个趋势是解答题，他出出了不同章节之间的组合， 改变了以往的一些长期固化的考察的模式。你比如我们第十七题这个空间几何的这个考察，他不侧重于建立坐标系了，那么这道题你通过垂直推理去做二面角来进行计算就可以做出来。 第十八题导数的考察，求导后你得变形，通过分子有理化变为二次函数之后才可以去计算。那么引零点的代换，他也是打破常规的， 只是选举其中的部分进行代换，然后观察相同的构成去进行抵消，找相同结构，不是整体代换，部分代换。那么这个题和二五年的新高考二卷的第十八题的考察，其实比较像注重于预算逻辑，那么第十九题圆锥曲线你不用去连理方程来求解了， 通过射出点的坐标，用点的坐标计算平行和垂直，以往的圆锥曲线其实非常套路化的，射出直线方程直取连力，最后去求参数。那么从以上的这份试卷当中反映出来的这些信息和趋势，我们二六年高考时要引起足够的重视。 这份试卷对标着我们二四年、二五年的高考真题，他真的很贴近于高考题的命题逻辑，特别是对基础知识、基本能力、基本题型的考察。所有题来自于教材试题，他是怎么改编的？想要这份试题的可以主页来找我们打出来，让孩子可以看一看。
439张文龙《解题王》主编
10:16查看AI文稿AI文稿那各位大家好啊，那个声音模数学刚考完，考的还挺难的。那我们讲一下这次比较瞩目这个亚洲题吧。第十九题，我这里想到了一种 啊，一种跟标准答案不太一样的方法，但也有也有类似的地方，反正我觉得我跟他出发点是不一样的，我是从向量入手的，从向量的贡献，然后用的是定比点差法，我把它写出来了。好，今天跟他讲一下啊， 主要这个题目呢，第一问和第三问，特别第三问其实也挺常规的，他主要是拿的第二问嘛。那我主要体现就是第一和第二问，我跟他方法有点区别， 好像第一问呢，他这一说，我们这个椭圆和双曲线啊，他们 a 都等于根号三， b 都等于啊，都是相同的啊，所以他们共顶点，对吧？左右两个顶点分别是负根号三和根号三都零，这个时候呢，他说射，呃，你从这个 m 点和 n 点，对吧？ m 点和 n 点就是分别是椭圆上和双曲线一个点，然后去跟这个 a 一 a 二分别去连线，斜率相加等于零， 然后你来证明三点共线，这个这个第一位好证的，他就用了一个奇次性，就是我们还是要去擅用双曲线和椭圆方程。我们知道双曲线和椭圆方程里面的 x 和 y 都是二次项。好，那首先像这里哈，我们如果去计算，假设 n 点是 x 一 的 y 一， 呃，表一下 啊，这个 m 点是 x 二的 y 二的话，那 k 一 加 k 二，按照这个定义，就是这两个斜率之合，对吧？我们就可以分别进行两个分别进行计算。为什么要这样做呢？因为我们可以发现，实际上这里要分离变量一次嘛， x 一 和 x 相互独立的， 所以 k 一 加 k 二乘以通分之后，得到这个式子啊，分子是二倍的， x 二乘以 y 二。我们改卷的时候肯定会发现，其实很多学生不会怎么处理这个东西，其实就是用到这个方程嘛，我们可以把这个椭圆方程变形一下，就是 y 方等于三分之 b 方，乘以括号三减 x 方。所以在这里我们可以怎么样？就是给他借一个项嘛， 给它乘一个 y 二，再除一个 y 二回去啊，这样就可以够到一个 y 的 一个二次项，就是保证了一个奇次性，然后就得到等于二倍的 y 二的平方除以 x 二的平方减三，乘以一个 x 二乘以 y 二。哎，这个东西呢，化简出来是谁啊？ y 二平方除以 x 二，平方减三，不就这个不就是这个方程吗？ 就是负三分之二 b 方，这是个系数乘以一个这个 x 二除以 y 二，这个式子，同理呢，我们把双曲线也这样计算，计算一个 x 二除以 y 二，这个式子，同理呢，我们把双曲线之后呢，就没有这个负号了哈 啊。最后由这个题目的信息，其率相等等于零，说明什么呢？其实就可以把这个三分之二 b 方给提出来嘛，然后两边约掉，其实就是得到 y y 分 之一， y 一 分之 x 一 减去 y 二分之 x 二 等于零，也就是这个东西相等。这个东西我们就联想到实际上它就是 x 一 逗 y 一， x 二逗 y 二这两个向量，当它们都不是零向量，且它们的各个分量都不为零的时候， 这是他们贡献的一个条件啊，更，更准确说是这个，这个是向量贡献，对吧？所以就想到可以把 o n 向量等于 number of o m 向量写出来，这其实就说明这两个向量平行，而且呢，他们有个公共点是点 o， 所以 就可以说明他们共贡献了三点。 好，那我们第二问的，我的做法就是接着这个第一问的这个向量贡献定律啊，就用这个这个设参数那么大去做，因为我看到一件事情哈，就是 点 n 和点 m 它是有一个相关点的关系了啊，相关点的关系，也就是其实 x 二到 y 二就是，呃，用 x 一 到 y 一 可以完全的表示出来，而而且呢，呃，而且这里我们可以看到这个有个比值关系，是那么大比一的关系吗？ o n 比 o m， 所以 我们可以认为这个点 m 是 个什么？是个定比分点，对吧？点 m 是 个定比分，它分了这个 o n 这个线段，呃，然后呢， 这个时候再去想到有这样一件事情哈，就是这里的椭圆和双曲线参数相同，我们在用点叉法的时候，一般来说点叉法就是把两个点坐标带进同一个方程里面去去捉查，对吧？一般我们不会想到说，哎，这两个点分别在两个不同的曲线上也能去点查，但是这里很特殊，就是因为他们的参数是一样的 好，所以我们就可以考虑一下 m n 的 这个大路方程中作差啊，其实就是一个定比点差法。好，那我们去分析下这个问题啊，这个第二问，要我们正什么？要我们正 m f 一 平行， n f 二，你要去正这两个平行，这两条线平行，哎，其实就等价于正。什么？ 他们不是共顶角啊，就是就等下正这两个三角形相相似啊，这两个三角形相似，那相应的，我们的第一位已经求了 o n 比 o m 的 比值是那么大，所以呢，其实就是变成正这个东西，就是他们是有一个相似比，这两个三角形这个相似比就是那么大，等于 o f 二，变成 o f 一 就是更大，这个三角形的底边 o f 二 比上 o f e， 其实就是这个双曲线的，嗯，交半距比上椭圆的交半距就是等于那么大，看能不能把它正出来哈。好，那这里的话，我们首先啊，可以通过圆锥曲线第三定义 啊，可以很快的发现这个圆锥曲线第三定义。在选择性必修一的课本上是一道例题，讲的就是这个椭圆上的任意一个点到两个顶点的，是吧？到它两个顶点 a 一 a 二之间 啊，所构成的这个两条直线的斜率相乘是个定值。同样这个性质呢，对，双曲线也是成立的 啊，也是成立的，大家可以回顾一下。所以，呃，我们很快就可以观察到这个事情， k 一 乘以 k 二等于负三分之 b 方， k 三乘以 k 四等于三分之 b 方，也就是负 a 方分之 b 方和 方分之 b 方，这两项相加当然等于零。所以，呃，就可以想到把题目中的这个方程呢，给他配一下，因为他想到他配完全平方吗？就可以跟第一问我们求的东西联系在一起。我们第一问不是求的是 k 一 加 k 二和 k 三加 k 四吗？ 所以呢，因为这时候 k 一 k 二加上 k 三 k 四等于零，所以干脆这个式子就可以配成这个 k 一 加 k 二括号平方，加上 k 三加 k 四，括号平方等于八。好， 另外一方面呢，按照我们该讲，我们要用定比分点的方法，对吧？你得把 x 一 的 y 一 和 x 二的 y 二分别代进，一个是双曲线方程，点 n 是 在双曲线上，对吧？第一个方程，第二个方程点 m 在 椭圆上，然后再根据这个定比分点的性质， x 等于那么大为 x 二，或者叫做相相等共线的性质， y 等于那么大为 y 二啊，因为它们起点都是点 o 零零，这个点非常好。 然后可以代进第二个方式里面，我们把 x 二 y 二用相关点法给它消掉啊，相关点法啊，就可以很快可以化解出来， x 一 方除以三，加上 y 一 方除以 b 方，等于那么大方。这时候呢，这是之前这个方程是一式，这个是二式，我们一式加二式，一式减二式，可以把 y 一 方 x 一 方向消掉，分别就求出来了， 就是点 n 的 坐标是可以用那么大来表示，这就是相关点啊。好，有了这个事情之后呢，很快呢，我们就在看回之前我们得到的那个方程， k 一 加 k 二括号平方，加上 k 三加 k 四括号平方，它有办法也用那么大来表示，或者用参数 b 来表示啊，就是用已有的参数来表示，实际上也是可以的，对吧？啊？就是根据我们第一问求的东西， 我们第一问已经求过 k 一 加 k 二了，是这个式子， k 三加 k 四，也求过，只要带进去就发现实际上这个式子呢，就是它，它等于八，哎，这里有个四，是不是可以约掉，对吧？约掉一个四，然后同时呢？这个，哎，这个提，呃，这个提取公音像之后的括号之内， x 一 方和 x 二方属于 y 二方， 我们可以发现这两个式子就是相等的，因为因为向量共线嘛，还是一样向量共线，所以它们乘比例，恒量坐标对应乘比例，你可以认为就斜率相同所在直线， 所以这两个东西是相等的，我们就统一用个二倍的 x 一 方除以 y 一 方来表示，那就再把这个二也除过去，所以整个式子化简一下，我们就得到这个 x 一 方除以 y 一 方等于九，除以一个 b 方， b 四方把这个九乘过去哈，得到了。 最后呢，我们从这一步继续哈，啊，我们之前不是求了 x 一 和 y 一 的坐标吗？那就可以把它再带一次，所以就是我说的 x 一 y 一， 最后通通这个方程用那么大的表示， 带进来之后呢，就得到一个我们需要的那么大的方程啊。最后两边化解一下啊，看，这里有一个 b 方分之三，这里有个 b 方分之三平方两边约一个，就得到这个式子，那么大方减一分之，那么大方加一等于 b 方三，哈，这是纯计算而已， 最后化简一次。好，我们是进行一个交叉相乘分式的交叉乘分化整，就是 b 方乘以那么大方加上 b 方等于三倍，那么方减三。 像这个式子我们就已经可以看出点端倪了哈，为什么呢？因为我们知道对椭圆来讲，它的 c 方是等于谁啊？各位， a 方减 b 方，这是椭圆的一个恒等式吗？椭圆的 a 是 最大的， c 是 怎么样？ c 是 没有 a 大 的， c 是 小于 a 的， 而对于双曲线来讲呢？它的 c 一 撇的平方是怎么样？等于 a 方加 b 方的，所以这个时候呢，我们在这里看到出现了一个三加 b 方和三减 b 方，你就可以分别把它看成什么呢？ 你就可以把它当成是，比如三加 b 方就当成是这个双曲线的半焦距的平方，而这个三减 b 方就当成是椭圆的半焦距的平方。把这个除过去，不就得到我们需要东西吗？开的更好， 就是那么大等于 c 一， 除以 c 二，我这一设就是 c 一 和 c 二，就是分别是双曲线除以椭圆的半焦距，那就这就是整完了，最后就证明三角形相似，也就是这个平行。喜欢这个题第三问反而非常简单很常规的圆的曲线压轴，最后一个很喜欢考这种，就是一个动点，对吧？一个动点，然后让你求它轨迹，这个轨迹一般都是谁啊？ 一般都是圆，而且一般就是喜欢跟这样一个性质联系在一起。什么性质？就是直径所对的圆周角等于九十度吗？等于二分之一，一般都喜欢跟这个联系在一起。那你会说这个题目条件怎么就跟圆的方程联系在一起呢？其实我们画个图就知道，你要正 角 a 一 p f 一 等于角 a 二 p f 二，哎，其实我们可以把这个稍微转化下，各位你可以发现这两个小的角之间夹了这样一个角，这个中间夹的这个角叫什么？叫角 a f 一 p a 二嘛？所以我们可以拿这个中间他们夹住的这个角跟这两个角分别去配， 也就是我们可以去分析，你要去证这个角 a 一 p f 一 等于角 a 二 p f 二，你把这个角 f 一 p f 二分别跟这两个方程左右相加之后，其实就是证这个，就是证一个更大角 a 一 p a 二等于角 f 一 p f 二。而我们根据第二问，呃，求的那个 x 一 和 y 一 的公式呢？可以把 x 一 和 y 一 的坐标很快的充分表示成只有 b， 其实就可以把这个 n f 一 和 m f 二所在的直线方程给写出来。你可以发现斜率一个是一，一个什么？一个是负一，所以实际上这个点 p 哈，它其实是个垂足，它就是 n f 一 和 m f 二这两个相互垂直的直线，因为斜率相等等于负一嘛，啊，在一个垂足，所以这个角 f 一 p f 二就是等于多少？对，就等于二分之八，所以你只需要去挣什么就行了，就是挣剩下这个角 a 一 p a 二，他也是九十度啊，那就是变成一个我说的点 p 为动点，点 p 在 a 二为直径的圆上，那点 p 又是什么？点 p 就是 两个直线的交点，对吧？那就连立两个直线方程，两边平方一下就求出来这个了， x 方加 y 方等于三，半径为根号三圆形为零，零啊，就整完了，很简单。
63数菜多练CLUB
00:41查看AI文稿AI文稿声音模整体难度怎么样？我们就以理科的数理化来讲，整体难度中等偏上，非常贴合高考难度。化学相对于数学和物理来说会简单一点， 但非常考察学生的基础知识掌握能力和细心能力。而数学也非常考察孩子的做题速度，因为题目的计算量比较大，做题速度 慢的孩子时间就会显得非常紧张，这就体现出平常现实训练的重要性。而物理呢，非常讲究情景建模以及 信息提取的速度。这套试卷呢，也非常适合高二的孩子提前拿回去练练手。需要试卷和答案的评论区留言声音模或者预约今晚七点三十分的直播间，国强老师亲自为你答疑解惑！
36博强素养
02:05查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，到今天为止呢，咱们二零二六年的深一模的全部考试就都啊完美的谢幕了。那么如果我们通览二零二六年深一模的理科考试，数学、物理、化学三科啊，我们基本上可以用一个字来概括， 那就是难啊，那明显难于二零二二年咱们整个全国新高考一卷的所有考试的难度，同时它也难于我们二零二五年和二零二四年这两年咱们深一模的考试。 当然大家知道啊，像深一模，深二模这种哎，给大家作为高考备战型的考试，他一考大家知识，二也考大家的心态，所以对高三的同学来讲啊，那么通过这次考试，锤炼自己的心态啊，防止出现二零二二年高考出现那种难度的时候，大家手足无措的这种情况来讲， 那我会觉得这个考试啊，他的目的是达到的。那么同时呢，他也给高三同学一个启示，那就是说我们不能机械刷那些我们已经很熟练的题目，对一些，计算量大 对一些哎，我们应该有好方法的，这种题目啊，我们有更多的涉猎，同时方法的不同带来效率的不同。我们以第八题举例，数学的第八题，你会发现常规的构造函数的方法费时费力且不能算对，如果用 哎我们这个带特值的这个方案，你会发现这道题基本上可以做到秒解。而二零二五年的这个高考的第八题，跟他就是同一个类型，两种截然不同的方法，带来两种截然不同的效果。 那么同时他也给咱们高一高二的同学啊，带来一个很大很大的启示啊，那这里边孟老师特别提醒高一高二的同学，大家知道除了实验和咱们龙高两个学校平时的考试难度比较大， 其他多数学校的考试难度啊，都是比较小的啊，难度都是中等甚至中等偏下的，所以大家绝对不能满足于当下。哎，我的数学考了多少分 哎，我们整个的理科还是不错的。其实那有可能是假象啊，我们还要对平时的这个深度啊，加上更多的这种锤炼啊，并且要对一些优秀的方法来进行这个提炼。 那么当然也希望高一高二的同学能够把基础打牢，也希望咱们高三的备战路上能够走得更加顺利。
28穆老师
05:01查看AI文稿AI文稿结合时代特征，考察同学们的认知深度，是思辩精神在高考作文中的重大体现，也是高考作文题的热点面临方向。就像刚刚考完的深圳一模的作文题， 考了这个什么戏剧性的瞬间和这个对过程的忽视，显然符合这一规律啊。所以人们总是偏爱这种浪漫的瞬间，而忽视这种艰辛探索的过程。 问你这会对人的认知和行动产生怎样子的影响？对这种比较复杂的作文题，应该如何构思才能抓到一流的利益，从而写出高分呢？有两个步骤。首先第一个步骤，我们要去找材料的核心关键词，然后再构建它的变量关系。 材料是什么关键词呢？显然是戏剧性的瞬间和过程的复杂与缓慢呢？这两者是对立统一的关系。为什么对立呢？因为什么喜欢这种戏剧性的瞬间，不太在意 忽视过程的探索啊，喜欢这，不喜欢这，所以是对立的。然后为什么又是联系统一的呢？因为这种戏剧性的瞬间来自于漫长探索的过程， 所以是矛盾对立统一的。整明白这个对立统一的二元关系之后啊，我们就开始进入第二个步骤，就是我们论正思路的构建。如何构建层层递进缜密的论正思路呢？用我们的四字真言法 成然，但是本质怎么办？各写一段就能构建层层递进的论正脉络，我们来试一下。首先，我们先写成然段。说成然呢，对这种戏剧性瞬间的偏爱 是一种普遍的存在呀，高光时刻，亮眼夺目，他异于传播，满足了人们的猎奇心理和对美好的向往啊，而且这种戏剧性的瞬间，他赋予了漫长艰辛探索过程以浪漫的想象，所以更加容易传播，广为传播，为人们坚 津津乐道啊！这是我们的成然段，要肯定存在这种现状，然后马上笔锋一转，写第二段。但是，但是呢，如果只是把成功简化为偶然的灵光一现， 用这种美好的瞬间，戏剧性的瞬间来替代了漫长探索的过程，这无疑是一种巨大的认知误区啊，也是一剂温柔的毒药。为什么他是温柔的毒药呢？ 首先，在认知的层面，他会蒙上我们的双眼，让我们的认知浅层化，让我们对决定事物发展规律的本质逻辑视而不见，从而让我们迷失在时代发展的滚滚洪流当中， 这是认知层面。然后第二个层面，从行动来讲，他会捆住我们的双手啊，他会让我们掉入空想主义的陷阱，显得急功近利 力呀，当我们比较偏爱捷径，就会显得浮躁，功利呀，就很难再沉下心来砥砺奋斗，从而在人生的路上啊，难以致远。所以这两个原因显然会导致一个不好的结果，长此以往，它就会让我们陷入到群体浮。 我在我当中。你看，现在人人都想做网红，渴望一夜爆火，一夜成名，在爆火暴富的想象中，蹉跎了岁月而不可得，人生难以致远，何其可惜。你看西游记就讲了，说成佛尚需九九八十一难，所以成功从来不是易事。 所以这是我们的但是的层次啊，从两个层面来描述他带来的危害，然后讲完，但是马上皆是他的本质， 本质上来认知这种现象啊，人们之所以偏爱偶然性的瞬间，其实是对人成长阵痛的一种逃避啊。说成长是痛苦的，成功从来都是艰辛而漫长的，人 一旦有了未满的心理，就会对确定性的过程产生焦虑啊，就喜欢用这种浪漫美好的瞬间来消解探索过程的痛苦，这才是问题的根源。 想明白了问题的根源和本质之后，我们顺势可以写第四个层次，我们应该怎么办呢？首先，我们要有直面残酷现实的勇气，要抛弃浮躁洁净的幻想。然后，我们要有认知真相的理性，不要陷入空想主义的狂热当中。 最后，我们要有什么呢？沉潜深耕的定力啊，日拱一足，才能在人生道路上且行 情致远。所以，以上的四个关键词不就帮助我们把分论点的层次构建起来了吗？那我们的中心论点怎么办呢？简单概括提炼就好了。说我们要摒弃戏剧性瞬间的幻想， 直面成长的阵痛，要远离浮躁的捷径，沉潜深更为其如此，才能让你在人生的路上行稳致远，走向最终的成功。所以，以上的论证思路，中心论点有了， 分论点的四个层次也有了，你把它展开来写，补上论句写出来，自然而然可以帮你拿下高分。
02:35查看AI文稿AI文稿一模考完试之后，高考成绩是不是就定型了？今天跟大家说一下。一模考完试之后有这么几个重要的时间节点。二模考试通常是在一模过后的三十天，今年东营、烟台如果连考的话， 应该是在四月的中上旬会有二模考试，按往年出题的惯例，二模考试难度会比较大，一模考完试结束之后，一定要好好的分析，不光分析东营的，还要分析其他地区的，因为一模考试出题人并没有走，能够给我们带来很多的启发， 重点是有很多的启发。三模考试一般会安排在高考前的三周左右进行，这个时间想要通过考试提分已经是不太现实，毕竟高考就在眼前，一般三模难度不大，目的是给你提升自信心， 减轻心理压力。来到咱们大家关心的问题，这三次模拟考试，哪一次成绩最接近于高考？今年学期实在是太短了，尤其是对于今年的高考生中考生时间非常的紧张，不到三个月时间。 对于今年的高考来讲，他们的知识体系，包括题型掌握，在年后得不到大规模的成体系训练，他们的成绩说实话在年前基本上已经定住了， 为什么这么说，年后该有的大型模拟考试一个不能少，而时间就这么短，一定程度上已经破坏了学习的连贯性，基本上是三天两头的都在考试。一个大型考试刚考完 三月，四月份可能是讲完卷子，接着就再考单题，包括考试暴露出来的弱点，知识点，题型都没有得到有效的补漏，基本上又下一个考试开始了， 进行一个车轮战，这也是没有办法，每一年都是这么安排，只不过今年这个学期太特殊了，当然没有必要焦虑，也没有必要气馁，到这个时间节点，信心比时间重要，你认为你能翻盘就能翻盘，要有信心，更要脚踏实地。 全市的排名包括特超线和一段线，看看就好，每年这个意义不是很大，你不能现在负完分之后四百零几分，四百一十分，四百二十分，看着好像是超过一段线很多 没有问题，但往年的惯例是非常多的，这个分数段的孩子在高考和现在的分数一样，并没有说超过一段线好几十分。如果有一个学生，他考到了四百一，好像是比本科线高出了二十分， 可能是有学上，但实际考出来这种学生太多了，还是四百一十分还是四百二十分，也就是说，你现在的这个线你看看就好，该要脚踏实地的去提分，还得要好好提分，要有信心，不到最后一刻，依然会有机会进行翻盘，孩子们要好好加油！
38东营中高考商可喜
03:15查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好啊，那么今天咱们深圳高三的这个深一模的数学试卷啊，就已经出来了啊，那么这套试卷呢，为什么选择在现在来给大家录这个视频呢？也是因为这个试卷我刚刚把它做完啊。坦率来讲，这次的这个试卷呢，我们用八个字来概括，那就属于情理之中，预料之外 啊，那么情侣中的原因是什么呢？就是情侣中，就是咱们深圳一模的这个考题啊，继续与咱们高考不符啊，这已经不是第一年第二年这个样子了，那么情侣之中的话呢啊，也能遇见到是吧？深一模，深二模向来的风格就是高估高考 啊，可以这么说，这套深一模和咱们二十四年二五年高考的风格啊，起码和咱们新高考数学一卷的这个风格 啊，是完完全全不一样的，最初最突出的这个特点，那就是他的计算量会比高考的计算量要大，非常非常非常的多啊。那如果我们分开来看啊，因为这道试卷我也是刚刚做完，是吧？那你会发现前面的八个选择啊，八个选择可以说四个字，一马平川。那么第八道题的话，只要你用带特殊值的方式， 从二零二五年全国一卷的这个情况来讲的话，那你就会发现啊，几乎就是完全一样啊，这个高考风格还是很强的，那么到咱们的这个多选题，到咱们这个填空题的前两道都是如此，那么今年申一模的这个风格是很大程度借鉴了二零二五年高考风格的哪一点呢？ 是把新定义的问题既给它去掉又不去掉，这话怎么讲？第十四题，大家可以把它理解为一个新定义的问题啊，那么题，这个解答题，第十五题，可以说啊，非常的这个普通啊，竖列的求和的这个列向求和的问题，那么到咱们第十六题呢？哎，这个其实是我们寒假重点来给大家讲过的，咱们这个概率统计当中的 函数问题，只不过是我们分的三类函数中最简单的一类函数啊，所以忘了第十六题，这也可以说啊，非常非常的这个，呃，普通了啊。那么到底十七题这个立体几何里，相信出乎很多同学的意外，他不是普通的间隙，他不是普通的线面角和二面角的这种考法，他把它考成了一个什么呢？ 球的内接八边啊，内接的这个，呃，咱们这个八面体的这个情况，哎，就是我们可以看到啊，如图所示，是吧？哎，内接八面体的这个情况，那么这道题的难点在哪呢？这道题难点呀，在于设备质量和计算 啊，在设备上和计算，而且不再是一个常规的间隙就能搞定的问题。那么啊，那我相信这个是咱们深圳教科院啊，对咱们整个高考出题的这么一个啊，这么一个这么一个理解的一个方式吧啊，但是呢，在我看来，这个点是不符合咱们新高考的这个风格啊。然后那么第八题啊，属于我们寒假重点讲过的类型，就是我们的极简教材 啊，是我们当中讲的其中的一类。那么最后一题，圆柱曲线啊，属于非常规的问题，但是他的第一问 一共三问吗？第一问和第二问都比较简单，那么到第三问的时候实话实说，这就算你做的有些瑕疵，大家大差不差啊。但是这二五年的高考加今年的这个深一模，大家都笃定了一个方向，第十九题不再是咱们哎，二十四年出现的这个 新定义的这种问题了啊，新情景的这种问题，那我觉得这个是今年大家出题的一个主要一个风格的变化吧。好吧，那么，呃，可以这么说，这里边的核心的内容当中啊，都有重点的这个讲解啊。所以 如果大家接下来，哎，想对咱们这个身衣膜，对自己现在的这个程度啊，如果想有一个把脉和诊断的话，大家可以后台滴滴我。
20穆老师
01:50查看AI文稿AI文稿各位学生别走开，后面有试卷分析，这是一份深圳高三一模的数学卷子，在三月四号那天刚考完。这本卷子出的还是不错的，它的整体难度还可以，但是它的一个区分度是特别明显，也就是说基础生，中档生，还有优生，它们的一个分数差距还是比较大的。 一起来简单来剖析一下这次的一个卷子，首先呢，它前七题呢，还是出的比较基础一点，送分了。然后这里的多选择题，第九题和第十题还是相对来说比较常规， 包括这个十二题和十三题填空题，他考察的一个内容还是相对基础一些。这个解答题部分呢，十五十六题也是中规中矩，没有太大难度。而这里的十七题还有十八、十九这三个解答题。呃，他的第一问呢，还是分数还是比较好拿的，但是他第二问开始呢，都是比较不好拿。而我刚刚说他区分度比较明显的是在哪里呢？就刚刚我没说的题喽， 比如说第八题，第十一题，第十四题，这十四题我真的是要吐槽一下我本人，我自己在做这份卷子的时候，第十四题我连题目都没看懂，何况学生呢？我足足看了五分钟，我不不太能理解他在讲什么，无从下手，根本就无从下手， 考啥呢？又感觉考语文，考阅读理解，但是他的文字很短，我，我没办法理解啊，如果有看得懂题目的，麻烦教教我，我真的不太懂。然后这个十七题的第二问呢，我相信应该有绝大部分的学生是没办法做出来的。然后包括这个十七题的第二问呢，我相信应该有绝对曲线， 先说圆的曲线吧，圆的曲线的解答题，它的预算量是非常大的，我本人在两个小时内没有完全做完，想象一下那个预算量真的是很大， 做到我后面都放弃了。然后十八题呢，还是出的不错的，很考计算能力，也很考这个变形，还有观察的一个能力。我建议广州的学生可以做做这个十七 一题和十八题。而我刚刚说的这个区分度呢，是在哪里呢？是在第八题、第十四题，第十一题，还有十七、十八、十九的第二问。我算了一下这里的分数，大概加起来是五十分，那也就是说深圳的考生，如果你可以考到一百分，那你很强了，如果你能考到这个一百一以上，那你特别牛了。
29:12查看AI文稿AI文稿好，今天我们来一起写一下这套这个物理声音模的物理啊，好，我们尽快速战速决啊，尽量可能拿到高分。首先呢，先看第一题，它要求半衰期，对吧？我们先知道半衰期是什么，我们 是有一大块这个原子啊，这个它要就是会和衰变的啊，那么我一半这样子，再切一半， 那么这用的时间呢？是十六天，那么我这用的时间呢？那应该就是八天，对吧？这就是二分之 n 零，所以说用选 b 啊，第二个，第二个是这个外有引力，那么我设这个图，图 v 六是二零，然后呢 n 一， 那么月球 是什么呢？一九就是 r 二 m 二，好，分别列出这个外引射式的，那我自己先列一个先啊，这个应该是要进行一个熟记的，那么就是四派，因为我这边已经忽略到这个小 m， 对 吧？ r 四派二， ok， 然后呢连立起来另外一个，所以说我们可以连立出来这玩意，好，我们连一下这玩意，然后呢找到我们这些数据，然后带进去， 就等于是七十五，好，这些呢，我们应该能拿到分好，第三个，首先呢，我们先看到这是个垂直状态，然后呢这是二，这是一，这个角呢就是三十度，然后呢画出他受力图，向下一个车，然后呢向左一个推力 f， 然后你先过来，这个与这个相似，所以说这个就应该是三十度，所以说 f 比上去等于是 tangent 三十度，所以说选 c 好， 再看第二，再看第四，拨速为六啊，我们先看它，这是什么？它这个是一 k 啊，这个不知道为什么给我的卷子是有点不清楚的，是一 k， 我 们先搞清楚，如果 置点啊，置点这个拨动，它在平衡位置时候呢，它这个是速度是最大的，然后呢，在这个 这个波峰，这个波谷位置呢？它这个是 f 回最大， 所以说我们如果这个一 k 就 它代表它的速度，对吧？所以说四这边是它速度最大的，二这边也是速度最大的，所以说这两个呢，还有这四啊，这三个呢，它就在它的平衡位置中间啊，所以说选 c， 然后呢波周期呢？看到这就是四，然后呢你 v 呢？等于是 number 除以 t， 然后这应该是二十四啊，所以说这两个错的，然后这个这不用看，这也是错的，然后呢，这个呢？ 啊是弹簧的过程啊，我们知道弹簧还有两个过程，但是呢，他看的是什么？ 我们看题啊，他这个看也下面斜面向下是正方向，他看的是下滑的过程，那干嘛要选这其他三个呢？ 那我下滑，那我这重力是不是下降了，然后下降到那么多？下降到它的弹簧弹最大时弹，呃，那个形变最大时候，那是不是就这样这样子，从这里到这里， 那它的这个弹性势呢？这不是它的重力势呢，比较下降吗？一直下降，对吧？那选 d 啊，而且它的弹性势能没有这重力势能，它不跟它这个运动有关，它只，而且它也就这也问你是 x 的 关系，对吧？所以说 d 的 话是可以直接选出来的，其他就不用考虑了啊。好，这个呢，我们它题目中已经给你已知了，这个红光的反射率小于蓝光反射率，我们一起再背一遍这个，当 n 增大时候，那个 sign c 啊显小，这是一个老生常谈问题，这里应该有一串 这个，当 n 增大时候，其他一些关系是都要记住啊，这些呢，我们我就会在这边粘出来啊。所以说 a 是 错的，因为你看这个偏折角越小，因为他这个往这边偏折越大的话，那么他折算率就越大，所以说这个逼光呢，应该是蓝啊蓝， 然后呢， a 光呢？是红，所以说 a 是 错的。那我们刚刚这也说了，这个 n 是 n 大 sin c 减小，所以说 b 也是错的啊，然后呢，啊，这个 b 错，那 d 也肯定错了，那只能选 c 啊。 好，再看这个并连啊，并连，我们要想到什么呢？越并而越小，对吧？越并而越小，他说如果 我这一面切了一个的话，那么我并连的 r 就 上升了，它 r 总就上升了，所以说 r 总上升呢？它代表什么？因为为什么要高压输电呢？这是个知识点来的，高压输电它 压越高，它你陷览的 r 越小，它损失的越小啊，当你这个 r 升高时候，它 v 损是升高的， 微损升高，所以说它这个输出这边 v 一 撇，它就降低了，所以说 a， 我 用置疑就直接选了，好吧，好，这个第八题啊， 第八题他说是带正电的正电，就就像这样子，我是一个正极，然后一个负极带正电，那不应该是往这负极吸引吗？所以说 a 是 正确的，那我调大电是差，那么就不是 q u 等于是二分之一 mv 方，那你 你就算没有生活常识，你也知道这个吧，对吧？所以说 a 和 d 都直接选的，其他就直接，那怎么可能是隐藏电厂吗？他，他都这样子了，他又，他又不是平行的，所以说 a b 是 错误的， 电视能增大，你想想看他这个什么他 v 他 一 k v 身高，一 k 身高，那他一 p 就 应该是向降低的，所以说 c 是 错误的。好，再看这个，这个的话，我们先看图像，所有这种题，先看图像，好吧，那么 物块是从四开始到二，那么他 a 一 呢？等于是一秒，每一米每秒平方，然后呢这个物块这个小车呢是从零到一，那么他 a 二呢？是等于是二分之一啊。 好，接下来我们进行这个先算出他的缪，好吧，因为他什么没给，他只给了这个大车就这样为六 k g。 但是呢，我们知道我们已经拿到了这物块的一个什么，他物块的一个加速度，一重二弹 三摩擦，所以说我们知道它这个外力只有摩擦力，对吧？所以说负喵小 m g 等于是小 m a 一。 好，所以说喵直接出来是零点一，所以说 b 也是错的， b 它是零点五，对吧？零点一啊。然后呢， 我们也可以先把这个什么先把这个小物块的给求出来一些。因为什么？因为在板块模型中我们有说过， 这个物块的摩擦力相当于是给这个小车一个动力，对吧？所以说是 m g 等于是大 m a 二，然后可以求出来 m 呢，等于是三 k g。 好， 我们先来继续看啊， 因为这什么他这个小，这个雾块呢？这边走是多少呢？这边走应该是六米，明明啊，这走六米，那这个雾小车呢？走的是什么？一米，所以说我们看他这个，因为，呃， 从这边他这边他就不加速了，对吧？他不加速他就没有这摩擦力，他就是他就是什么飞出去了，这个也是一样，他也没有摩擦力给他作为一个动力，他这个外力是 平衡的，所以说他没有外力，对吧？所以说这两个呢啊，就到这里到二这秒，他这个物块就已经飞出去了，所以说我这个什么他走了多少呢？那我这物那脚踩 x 就是 小车长度 l 嘛，就是我物块走的， 走减去我小车走的，那就等于是五米，对吧？好，所以说 a 选了前两秒产生的热量啊，产生热量公式呢？再说一遍，那 q 呢，等于是 阻力啊，就摩擦力乘以相对位移调它 x， 然后呢？三乘以五等于十五交 c 可以 选了，然后呢？前两秒摩擦力最小最小，车的冲量大小啊，你摩擦力是三牛 乘以两秒六有每秒，对吧？就算你没看出来这个摩擦力，你算没算出来摩擦力你也能求，因为我们可以用动量定律，对吧？ m 就是 大 m， 吊塔 v， 吊塔 v 等于一，然后大 m 等于是六，那这也是等于六牛每秒，对吧？所以说 a c、 d 应该是很容易就能选出来的。 好，大家看这个第十题啊，这个第十题它看起来很麻烦，我们不如先标数据，它这个每卷线圈是三十 r， 这个宽 l， 杂数 n 等电阻 r 要构成闭合回路。 好，所以说我这一个产生的。这样我们应该是看，无论是算电动式，算单边的一个安培力，它都应该用的是一个线圈的每组线圈的，这是什么电视？呃，这个电动式对吧？ 然后你看到这个什么，这不就是电机，这个是发电机吗？你发电机产生的是交流电，这是个常识，所以说 a 是 错的。好，接下来我们再看他说什么。当这个阳，这个卷阳碱半径 r 等于就半径为十 r， 那 么这个卷，呃，卷阳碱，它这个和线圈是同轴转动，所以说它的欧米伽是一样的， omega 是 一样，那么我们这个限速，这也是 v， 那 么我们可以通过它的相比的话，可以推出来这个 v a， b 呢？等于是一点五倍的 v 啊，这因为就 omega 一 样的，你就自己相处一下，就可以比出来这个比例了。好吧， d 是 可以选的。然后呢，每组线圈产生的总电动势两边切割，然后呢，先写出 nbl， 因为两边切割二乘以一点五 v 啊，二，因为它两边切割嘛，对吧？所以说它是三 nblv 啊。好，再看 d， d 的 话呢，直接是因为它单边嘛，它又不是双边单边就是 n b i l， 因为它共用，它共用一个这个电动式，所以说，那么直接写出来，对吧？就是三 n 方 b l v 除以 r， 所以 说 d 是 错误的。 好，回来看一下这个说。呃，这个多选单选和多选他难吗？他也不难，对吧？只要你规规范范的画了图，分析清楚，你就是可以拿到这个分的，便是全对。 呃，当然，我知道如果是在考场上面的，必然是有些失误的啊，可能有点紧张了之类的。好，我们来继续看啊，这个实验题，这个实验题首先看 a， 这个老生常谈，对吧？既然你要这么平衡摩擦力，那你应该先打开气泵，然后再将滑块放在这个气垫导轨上面，这时候它才是一个消除，就是相当于一个外力平衡呢，就是也相当于什么，也相当于它是一个没有摩擦力的环境，那所以选 b， 这是一个实验步骤啊， 他说好，大家看这个，他说 t a 到 a 这里过的时间 比到 b 这里过时间还要快，那么什么变什么使的时间变快了，那不就是 v a 大 于 v b 吗？对吧？所以说 v a 大 于 v b 了，它必然就是它自己向下倾斜，所以说它向下的话，它就可以进行一个加速了，对吧？ 所以说要调节是什么？应该是调节这个，这个调频螺丝啊，对吧？所以说选这调频螺丝啊，好，他要验证什么动量守恒，他再看什么，他这个标注数据出来，标注数据出来， 然后将滑块一放于 a b 之中，好，那么我 这里是滑块 b， 是 滑块 a， 那 我经过了光电门，那么我从这里到这里，他他这个状态呢？他依然是他有一整个动量啊，然后呢？撞之后呢？这 a， 然后 b 往这边走， a 往这边走，那么他这动量已经分配给两个物块了，对吧？ 所以说啊，就可以直接写出来了啊，这当然也是啊，我你可以先这样子写，就是 v 一 等于是 mv 二加上 mv 三，因为 v 等于什么？ d 除以 t 啊，所以说直接可以写出来，就是 t 等于是 n 除以 t 二加上 n 除以 t 三。好，这个 p 的 好，继续看这个 p 啊，就是 p， 你 要是先算出来这个是零点二六啊，然后呢？ t 除以，这个话，你要先看清楚单位啊，看清楚单位之后就可以算出来，它就等于一米每秒，所以这是等于零点二六，零点二六， 好，再看第十二，第十二，首先呢，是先先调整欧姆调零使，这个 肯定是零啊，对吧？这些实验基本流程啊。然后呢，我们再看这个到底哪一个是正极，我们先知道这电流呢，在欧姆表中是从黑表比出，红表比入，然后呢， 黑表笔从到这里的话，他这里不通啊，他这也是断路的，但这也是通的，所以说这个应该是正极，从正极流到负极，所以说这个应该是 a 端才是二极管的正极，然后读数吧，读数老生常谈了，对吧？ 二八零零，然后呢，欧姆表不孤独，然后三次测量不同原因是什么？首先呢，你要知道二极管它是什么？是非限性原件， 所以先寻原件的话，当你而变，改变了 i 变， i 变，那么它不是，它不是这样子，它是这样子，那你 i 变它，你肯定测它测出来是不一样的哟，对吧？好，我们继续。 接下来就是这个老生常谈的求这个呃 u 和 i 的 一个关系，那么还是依旧是呃 这个闭合回路，欧姆定欧姆定律，对吧？所以说 e 等于是 u 加上 i r， 对 吧？你要去相当于把这个 r 看作是它的内阻，然后 i r 呢，是相当于是内点压，然后内点压加 y 等于是它的动势，对吧？然后呢移过来，那就等于 e u 等于是 e 减 i r， 那 这个是五十 an， 把它带进去就好了啊，这个是什么？五十 o 把它带进去就好了。好，接下来我们要看这个 二极管工作定律啊，它就符安特特性，用它怎么算呢？因为它符安特性，你要是 这个相相当于什么？你二点零，他必须是五，就是必须是五毫安的话，他才能工作。然后此时呢，我们先转换一下，要转换一下，好，算吧，对吧？我们把这这一串改为毫安为记啊， 所以说这什么等于一，就是三啊，这个把这个代入去是三三减零点零五啊，这个安，好，三点零点零五，安，我们把这个画到这图啊，我们取这个， 我们取这个，什么二点五，这一点呢，他应该是十，然后取一点零呢，他应该是四十连线过来这边呢，呃，读是十七，当然你十六到十九啊，都是可以的。 嗯，这看人吧。好，接下来我们来看这个计算题啊，计算题要怎么算呢？首先我们先看这个先标所有计算题，先标数据，先把数据给我画出来，好，这个体积为 v， 然后呢， 首先初始温度为 t 一， 然后呢，你先看他是先把开水烧掉，你以为这是什么？以为这是真空，对吧？但因为他什么排空气，对吧？但是你要注意是他还有一个气管，所以说他初始状态他应该是 p 零才对啊，对吧？ 好，这个初始状态初始温度为 t 一， 然后呢，这个倒到水槽中要固定玻璃瓶，你可以看到有喷泉现象，然后已知初始时候这个上方细管为 h， 水密度为 u， 然后大气压向为 p 零。 好，首先刚刚好有水一出的时候，那么他就应该是 h， 从这里到这里就是 h， 我 们先算他瓶内的压强。好，这是个受力分析啊，首先我们这边往下面压，这应该是 p 一， 然后呢，这边又产生了柔 g h， 然后呢这边又产生了 p 零，所以说啊，那我们就有什么 p 一， 加上 rogh， 等于是 p 零。然后呢，再这是一式， 再进行第二式，因为它是一个等容啊，它是一个等体积的，所以说这个是 p 零， t 一 等于是 p 一 t 二，这个是二式，所以说一是一是二式，年历出来就可以得到 t 二呢，是等于这个 好，等于是这个。我们接下来看这个。第二问下叶面积槽下降了零点二，那么我应该是再往上升了零点二，所以说它产生的液体氨强，那就应该是等于是 u g h 加上零点二 h 的 和 啊，好，所以说 p 二加上 ro g h 加上零点二 h 等于是 p 零。好，你看一下它什么，它把这个水压进了这个，呃，压进了这个瓶子里面，所以说体积变了， 压墙变了，温度又变了，所以说只能是写一个完全的式子， p 零 v 除以 t 一 等于是 p 二， v 一 撇就等于 t 三。好，接下来呢，就是 v 一 撇又等于是什么？它原始的 v， 它进入水里面，它进入水，它把空气给压了，对吧？减去掉它。 v 好， 这个是什么？这是三式了，三式，四式五式连立出来就是这个东西。好，就是这一个东西，虽然说挺丑陋的。这个结果 好，呃，其实这种热力学题只要分只，你只要呃加强分析的得当，然后呢，过程分析的得当，你就能搜那答案啊，你不要担心你的结果很丑陋，或许有时候丑陋的就是这个正确的结果呢，对吧？ 好，此次呢，是喜闻乐见的什么组合唱这，但是你要考，你要想清楚，这也是广东，他不会考你复合唱，好吧，首先呢，先是一个例子，加速了，从 n 点打入打到 n 点啊， 然后呢，刚刚好什么呢？呃，他这个半径啊，已经有了，然后他是分别这样，分别是这个，然后呢，电和量是为 e， 然后呢，粗速度不借啊，飘入加速电场，所以说他他这边呢是等于零，他 v 等于零，好，所以说，然后呢，就是我们要真正打入的是 棚啊，棚离子啊，从这边从 n 点打入好，首先我们先分析 a 呀 a， 因为你什么他电压量， 加速电场都一样的，他唯一变化的就是他的一个质量，所以说 写出来这两个式子，这很容易，因为就这基本上必拿的分，好吧，你写出来一二，一二连一之后呢，你就比一下就可以得到的是 v 一 比上 v 二，等于是七比上，刚好十一 好看。第二问，第二问，首先呢，他题目中他说是已知这个硼离子，他是在这 n 点射出，所以说由此可知他这个偏转半径 r 一 呢，等于是二倍 r 好，然后呢，因为他没给你这个磁场大小，对吧？所以说你要先算出磁场大小，十一 m v 一 方除以 r 一 好，这个呢算出磁场大小， 好，接下来呢，我们拿这个去算，这个什么这个粒子啊？二号粒子，它这个偏转半径好，很明显它是大于二 r 的 好，所以说他可能从 c d 边打得出吗？不可能，对吧？接下来我们要分析的是什么？分析的是如果他打到 d 点的，他能不能打到 d 点，对吧？如果要怎么算他能打到 d 点呢？我们先假设出来他一个偏转半径，这是个 r d 啊，这也是个 r d 啊，这肯，这也是个老生常的问题，你要求偏转半径，那你就先画图出来，这个呢，什么 r d 点去二 r， 然后呢？这是三 r， 然后勾股定律出来，那么 r d 呢？等于是十三分之四 r， 你 比较一下，呃，当然同样也是小于是 r 二的，所以说不能。 哎，好，这个呢，其实也是个很简单的题目，你只要分析的当就行，主要是你要通过分析，你要先，你要先判断它两个零界值， 对吧？你要先判断它是否能从 c n 这这一段打出，也就是说它这个偏转半径是小于这个硼离子的，这个打出偏转半径， 但是你验证之后他就发现不能，然后你再来再验证他一个极端，就是如果我能从 d 就 打出的话，能不能？如果你先求出来这个 r d， 如果说我要 r d， 他 是小于他 r 二这个偏转半径的话，他肯定是不能，对吧？因为他打到这里或者打到这里，他就已经没了。 好，接下来是最后一题，十五题啊，就是这算压轴题，那你这压轴题是出奇的简单。首先呢，我们先看，呃，这个题目有什么好读的？它主要是把这些已知条件分布在这些题目里面。好，先标出已知条件。 首先呢，沿切线水平方向射出，然后你有高度差，那它不就是个平抛吗？对吧？这是个 x， 从这边到这边 h， 那 么我要怎么算这个 x 呢？因为你要知道它是什么， 它是从水平就切线方射出，所以说从这到这是 x， 那 么不就一个勾股制出来的吗？对吧？ x 方等于是 r 方减去小 r 方，然后呢，大 h 等于是二分之一根号，具体方以后呢？ x 等于是 v 零 t 好， 三个式子连一出来呢？那 v 零呢？等于是两米每秒。 好，接下来继续好，脱水后继续研究脱水栏外固定一个轻遮挡片。 r 零，从这到这呢， r 零加上 r l 释放功马下降，降之后测得限速 v 等于一秒每米，要一米每秒 拓展下速度。那，那这不是个很弱智的题目吗？结膜写公式， v 等于是 omega 零， r 零加上 l 直接出来， omega 零等于是十 red 每秒。好，接下来呢，这个就是 啊，终极压轴题啊，但终极压轴题我们也是可以破解的，我们也是可以有思路破解的，就算你没法破解，你应该也写上些式子，对吧？首先呢，他说是求公马下降这么多 阻力，就是克服阻力大，这做工大小都做工了，那你干嘛不想想看这个能量方面的问题呢？对吧？ 首先呢，你这攻马下降，那攻马下降肯定是给他这个整个系统一个动能啊，以及这个克服阻力的做工。首先是大 m g h， 然后呢，等于是 当我下了六米的时候，那我设这个设为 v 一 好吗？这个攻嘛，他转他这个下降，他这个速度是 v 一 二分之一大 mv 一 的平方，他给出来了这个拖布头以及拖出来的总动能啊，那这就不用怎么多想了， 八分之三 m omega 方， r 零方，然后再加上因为它系统，它只有这两个东西，它是动的，对吧？然后呢，其他没了，然后这样一个 wf， 就是 这个克服阻力，做工大小，他们机械能是手横的啊，这机械能就是这个重力势能转化为这么多个能。好， 接下来我们就你写这个势子就有分，好吧，写势子就有分。然后接下来你就先慢慢求这个 v 了，求 v 要怎么求呢？因为他这边也写了，他下降六米时候，我们看这个 b 这个第二题，他下降六米时候，他这个 他这个会转，他这个会转来，对吧？所以说他这个下降速度以与这个转的速度呢是有关系的。也就是说我先，我先表达出 b 等于是他像他，他下降 d， 然后是滑脚踏 t， 然后呢？ 我这个下降了这个 d， 它，它转它，它是这样子转，它就是 v 脱水盘，它要它转这个线速度等于是二派尔岭，它一个周长啊，它一个周长，除以它这个 n， 然后这个 n n， 然后呢就再除以这个迭塔 t， 好， 然后呢比一下，比一下 v e 除以 v 托， 就等于是什么呢？ d 二 pi r 零 n 就 等于是十六比一，因为你相当于迭塔 t 里面它下降了，它下降了这个什么 d， 他 也转了 n， 对 吧？这边也写了，好，所以说我拿这个什么 第二题结果啊，就是下降 h 时候限速注为一啊，不对， 好，现在我们先去求这什么？求这个脱水盘，因为我们这个第二问，他求的是这个之光之光条，这里因为他 r 已经改变了，所以说我们求这 这个什么脱水篮，这个呢是零点零八米，所以说乘以十呢，那这个脱水盘的速度呢？就应该是零点八米每秒，然后呢带过来 v 一 呢，就应该是什么零点零五 米每秒啊，然后带回去就得出来这个 wf 呢，就等于是一点一九七交。所以说 我们做题要有一个什么思想呢？我们先去找到我们想要求的是什么，就像这道题我们从功能的方向思考的话，那么我 这个重力势能，我给它转化为系统的，还有什么克服阻力做功啊？还有这个物块它的一个动能，再加上一个拖把头，以及这脱水篮总动能。 所以说你得到这个关系式之后呢？你想想看你还有什么位置啊？就比如说这里我有 v 一 位置，那我就再去求 v 一， v 一 有什么关系呢？ v 一， 我们再看这个第二问，第二问就讲述的这个和 v 一 的关系，对吧？ 然后呢？再带回来，然后再求出来这个比值，然后再算一下就可以得到了。好，所以说整关整套是二六年深一魔物理的话， 他难度不是很高，他难度相比起去年来说的话确实是降低了，因为他今年没那么抽象了。好，就是今天的那。
03:14查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，只讲干货，不说水词。今天我们讲的是深圳深一膜的作文啊，刚出炉不久，我们需要翻译 翻译啊，这个作文题呢，出的有点意思，但是不多，那翻译翻译，我们才能知道什么叫惊喜。好了啊，先来看一下我们这个视频，这节课需要核心解决的问题是哪些？当题干，他可能给我们提供的是一个寓言性质的故事， 或者说是一种对当下现状的描述，甚至他可能是假定出了人们常规会出现的一些行为，是一个很抽象的，很笼统的，很含糊的这样的一种描述性的语句的时候，他没有直接给我们提取出核心的关键词。那我们如何找准利益 这样的作文题曾经在高考的真题啊里面出现过，而且给当时的考生造成了很大的挑战，那至今可能都是很多人回想起来的噩梦 啊，比如说幸存者偏差，大家如果搜一下二零一八年的高考题的话，就会发现这个作文题啊，仍然他出现在各种各样的论坛和网站里面，成为大家讨论的一个重点 啊。原因就在于说至今啊，大家回去看那些泛文高分满分泛文的时候，还会发现，这些当时被临选出来的很不错的作文，其实在找利益这个层面上，仍然可能保留了一些问题，他们只不过是相对发挥还不错的被筛选出来的啊，这样的一些 表达吧，但是他并不是尽善尽美的表达。所以说，呃，在审题利益这一关，可能这样的作问题就会拦住绝大部分的学生。 那所以我们如果勉强的闯过了这一关，就比如说我们找的利益是合格的，那也不代表说万事亨通了，很有可能在整个行文的过程中，我们把这个利益延续下去，形成我们更加丰满的一些语段的时候， 他也许还会在一些角落或者是一些层面上造成某种偏差，也就形成某种偏题，甚至可能是跑题，所以这也对考生的行文的控制力要求也非常的高。 那在这样一个推进的过程中，有的同学啊，本来对自己找的这个利益可能就不太自信，一个是不太自信他是否准确，还有一个是在想我找的这个利益是否是唯一的利益，或者是是否是最佳利益， 也就是他是否有多重解读的可能性。那在产生这样的困惑之后啊，我们还必须得在现实的条件下完成这篇作文，很有可能大家就将信将疑的啊，不断的去勉强的推进这个文章啊，写的也会特别的难受， 所以合在一起这样的作问题，对我们的挑战是很高的啊。那好消息是我们这次深圳出题的完成度没有那么高， 也就是他对人形成的挑战没有那么高，坏消息是他出题完成度不高，也就意味着他出题有些不严谨的地方，也会造成很多考生在答题时分神的一个状态， 就大家会产生困惑的地方可能更多，或者说直白一点说，大家阴沟里翻船的可能性也更高，所以我们来一起看一下这道题啊。
15安老师忙着呢
07:06
00:59查看AI文稿AI文稿烟台高三的一模考试成绩已经出来了哈，那么本次咱们烟台共有超过三万人参加考试，一段线是按照烟台市的一万九千名划在了四百二十七分左右， 一本线就是特招线是按照烟台市的一万一千名划在了四百九十一分左右。这次一模的题目我觉得出的还是比较有水平，质量比较高的哈，它既能够考察基础，同时又能够通过难题来拉开区分度。 以数学和物理为例，它的两级分法是比较严重的哈，难题是比较难的，能够拉开孩子们的差距，但是他基础分和中等分也很多， 你基础足够扎实的话呢，你数学考个七十分到九十分并不难，但是高分选手想要考到一百二十五分以上却比较难，物理也是一个逻辑，所以说成绩比较基础或者是比较中等的同学们，一定要务必好好重视基础， 不要好高骛远，眼高手低。同时呢，这种大型的艺考考试，咱们可以用来等位，换算一下你在山东省的排名和大致能够过的学校，如果不知道的，可以把你的分数和选科以烟台市的排名放在评论区，我给你推荐一下。
247左老师聊升学～烟台
04:54查看AI文稿AI文稿高潮到底是不足百天，拒绝复杂讲解，今天带大家速通高三生必看的魔考题，深圳一魔。这句话说呀，许多人都偏爱戏剧性的瞬间，直接把写作的核心告诉你啊，戏剧性的瞬间， 他说这几个字啊，脑子没有形成一些特点的认知，他是一种什么东西啊？他是一种普遍的心理状态。那提到这个关键词，第一个叫偶然，第二个叫高光，第三个叫顿悟，简称坏。 那么这个材料其实出到这一层比较格力啊，他比如后面的话，跟细菌性瞬间之间不构成因果关系，科学发现往往要经历无数人的殚精竭虑，接续努力，这个过程复杂而缓慢。 大家有没有发现一个事情，这个东西跟细菌瞬间刚好是相反的。如果用关键词来总结这一层材料，我能想到这几个，第一个是长期，第二个是艰苦，第三个是漫长，第四个是集体的积累。那么到底谁才是真相呢？这个是虚象， 而这个是真相。这个题目的章例在于啊，很多人相信的是虚相，而不相信真相， 但是他们愿意相信牛顿被平若砸入脑炸而发现望远远利阿基米德某次坐进浴缸时发现浮力定律。 那么这个呢，相当于啊，直接明拍了，人们只相信什么，只相信瞬间的传奇，不信漫长的过程，那么进而正愿意相信了写作的立足点， 心理普遍存在于社会生活各个领域，对人们的认知与行动产生影响。相当于啊，给这材料定性了，不装出现在科学领域，材料具有非常强的普遍性， 而且材料累积的情况啊，定性了，他是一个负向的，那既然是负向的行为，我们要马上想到一个东西，叫做影响和反思。快速描记这个题，老师需要大家引入一个利润的逻辑，这利润逻辑呢，适用于所有的复杂社会学概念，导出某个结论来的作用。 我们可以先剖析这个现象，由这个现象呢，到背后的心理，由心理呢？谈论题目的本质，那本质之后呢？点名题目的危害， 最后呢，进行一个辩论的思考。我们简称社会现象或者社会心理类，作为理论的五步法。具体而言，我可以先写人们偏爱戏剧性的瞬间，本质上是对洁净心理的渴求与对复杂过程的本能回避。如果是在医卷地区啊，你还可以生化的论述。 然而，所有看似偶然的戏剧的瞬间，从来都不是凭空出现的奇迹，而是长期积累的必然回响。相当于啊，用第一个论点或者第二个论点完成整个作文材料，剖析到利润的过程， 进而可以大刀阔斧的直接谈危害了戏剧性的这个偏爱。如果长期的蔓延，不仅会误导个人的认知，有可能影响社会的价值导向。最后辩论思考，那么我们要奉行长期主义是没有错的，但是请不要忽视， 戏剧性的瞬间是值得被铭记的，因为它确实是长期积累的结晶，它是努力之后的高峰时刻，给我们希望和力量。 相当于透过戏剧性的瞬间，我的实质写的是长期的漫长主义的积累过程。针对我的四重论书呢，也帮大家准备好了高级的素材，比如如何论述本质的心理回避呢？可以用这个句式啊，我们总津津乐道什么什么却不愿深究什么什么直接过渡到社会现象就退了。 那如何论说戏剧性的瞬间背后是厚积薄发呢？可以就题目的牛顿和阿基米德的例子啊，进行深入的论述，以利打利。那如何论说戏剧性的瞬间对社会的危害呢？可以通过泛利的形式去论，于社会而言，什么什么科研领域怎么怎么，教育领域怎么怎么 这样子做人是不好举例子的，如果用这样的方式去，论据的丰富性啊，会更强。那如何对戏剧性的瞬间进行思辨的论说呢？也挺有范例。我们要铭记运动员在赛场上夺冠，看到他们日复一日的训练，我们要铭记科研工作者突破平静的瞬间，也要知道他们探索的勇气。最后啊，这句话写的很好， 唯有读懂瞬间背后的努力，才能真正汲取力量，在脚踏实地中奔赴属于自己的装潢时刻。相当于题目的表层啊，一定是在写戏剧性的瞬间，但是深层啊，一定要到长期主义之上。那当然呢，我也为大家准备好了自己的原创范文，大家可以好好看一看啊。 这里人这范儿的开头啊，很创新，在你面前惊艳亮相之前，我想我也走了很远的路吧，相当于很多人啊，过分的偏重于瞬间。或许牛顿的苹果，阿基米德的水啊，都曾在我们的生活当中蔓延过，都曾砸到了我们的生活。 但是没有人愿意经历阵痛，没有人愿意经历一路的繁华和负累，只会感叹，戏剧性的瞬间，终将把人生的意义变成虚无。那颗苹果曾砸中你，可是只有我走了很远的路，所以我在你的面前是高光时刻。
1119今天写作文了吗
01:31:05查看AI文稿AI文稿今天我们用一张二零二六年最新的中考异模数学试卷，带领大家进行一场最完美的一轮复习。时间宝贵，咱们直接开始。首先我们来看第一题， 下来交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是哪一个？什么叫中心对称图形呢？就是把这个图形绕着某一个点旋转一百八十度，能够和自身重合，那么它就属于中心对称图形了。 什么是轴对称图形呢？就是关于某一条直线对称，对吧？哎呀，它能够左右两边完全重合，我把它叫做轴对称图形， 所以你有发现它属于轴对称图形，但不属于中心对称图形。它属于轴对称图形，但是不属于中心对称图形。而这个呢，它既不属于轴对称图形，也不属于中心对称，所以这里面满足条件的只有我们的 a 选项。好，我们看立二， 现在我告诉你，有一个坡坡高呢，是等于一的，就是这个是一，而且水平距离 bc 呢，等于根号三。问，我们整个斜坡 ab， 也就是这条坡，它的坡度是什么？ 其实我们一个斜坡的坡度是用这个斜坡的高啊，也就是用一比上整个斜坡水平上的宽度，也就是比上根号三，所以我们知道坡度呢，也就是三分之高三，所以这题我们选的依然是 a 选项。好，接下来我们继续往后第三题。 如果 x 比上 y 呢，等于四分之七，那么 x 减 y 比上 y 的 值等于多少？其实这个题考的是我们见比设参，它的一个怎么样的方法技巧啊？比方说呢，你可以令它是七 m， 对 吧？那么它就是四 m 了，那么整个分子呢，它就会变成七 m， 减去四 m， 整个分母呢？它就会变成怎么样呢？四 m， 对 吧？哎，我们除以四 m， 所以 也就是三 m 比上四 m 等于多少？等于四分之三，所以选 d。 当然，像这种题，其实尤其是选择题目，你我我建议大家直接怎么样呢？ 你把这个就当做七，你把这个呢？就当做四，那整个题目它就会变成七，减去四，再除以四等于几呢？那不也是四分之三吗？搞定 好，接下来我们再来看第四题。 o 第四题看起来好像有一点点难度，对吧？有一个立方体的木块静止在斜面 o v 上啊，就是，这是个木块对吧？这是我们的斜面。好，它的受力分析呢？如图所示哈， 受力分析其实是我们高中物理里面的一个分支了。好，它的重力计的方向数值往下啊，这个就是这个物体自身带的重力。 好摩擦力 f 一 的方向与鞋面平行，就这个方向呢，和我们的鞋面是平行的，往上了，他到底想干嘛？支持力啊，就是我们这个面对他的一个弹力，对吧？哦，往上弹的一个力怎么样呢？与鞋面是垂直的哦，也就是这个呢，你如果把它延长，跟整个鞋面是垂直的关系。好，我们继续往后了。 如果鞋面的坡角角一等于三十度，就这个角多少度呢？啊，我告诉你是三十度的。好，现在让我们求什么？求支持力？ f 二啊，就是这一条线与我们重力啊，重力计这条线他们的夹角的度数是多少？那么这个你一看就知道，他肯定是一个钝角，并且跟我们三十度有关吗？ 和三十度有关的钝角，你说是哪一个呢？很明显，对吧？当然如果你说这样呢，我想系统性的求其怎么办？其实这里面方法很多， 但我个人觉得比较常规，比较简单的方法是哪一种呢？举个例子，比方说我直接把它延长出来，你正面你可以用什么平行线来进行搞定，对吧？啊？亮，在这里我索性就用什么呢？就用我们的呃八字模型吧啊来进行处理 啊，因为你要知道这个是垂直的吗？也就是这个角呢，它是九十度，对吧？这个角是直角，这个角呢是 直角，能看到，画的比较小。哈，好，你会发现喏，还有啊，我把它标一下，也就是我们这个角能看到吗？这个角 跟我们这个角这两个绿角是相等，大家能不能看到？把它放大，可以吧，两个绿角相等啊，对顶角吗？那么此时你会发现在这个三角形以及这个三角形中能不能看到？在这个，这个，这个这个三角形跟这个三角形中，对吧？我的对顶角等于对顶角， 我的直角和直角对应相等，你垂直吗？所以这个角一定是九十度，对吧？三角形内角和呢？一百八十度。现在我有两组内角对应相等，一组内角对应相等，两组内角呢？对应相等，对吧？ 对，我们的第三组内角一定对应相等，你这个角是三十度，所以我们知道也就是这个角能看到吗？这个角它一定也是 三十度。理解没有。当我们求出这个角等于三十度，那剩下的它的零补角，也就是我们角二呢一百八减去三十度嘛，所以也就是一百五十度了，因此这里我们选什么？哎，我们刚才说和三十度有关的，对吧？很明显也就是 b 选项了。 当然在这里面，如果你像这样做平行可不可以呢？也可以做出来方法非常多啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，我们再来看一下第五题了， 第五题这个题其实本质上考的是我们相似的判定呐。首先我告诉你，三角形顶点都在正方形的网格格点上呐，像这种这种这种都在格点，对吧？那么下面鹰眼三角形，你发现它的顶点也在格点上，那么哪一个相似呢？ 其实我告诉你，这个题正常情况你应该怎么做呢？我讲两种方法，第一个呢就是我们所谓的常规的方法，第二个就是流氓法。好，首先标准方法他是这么描述的， 你这个三角形在网格里面三边可以求，你这个边长度是几呢？这个边的长度一定是我们的单位一，对吧？好，那这个边的长度呢？它是正方形的对角线，在这个等腰直角三角形中，你可以求出来它是根号二，没有问题吧？ 剩下的那这条边的长度等于多少呢？嗯，你会发现他在一个一乘以二的直角三角形是一根号二，根号五。 那么我请问各位同学们，那我们剩下的 a、 b、 c、 d 每一个三角形的边长可以求出来吗？百分百可以举一个例子，比方说这个边长是几呢？是根号二，对吧？这个边长是几呢？你会发现它在一个一乘以三的 一乘以三的直角三角形中，你用勾股定律可以求出来，这个边是根号十，也就是这里的每一个每一个三角形，它的三边你都可以求出来，哪怕慢一点。 求出来之后呢？我们知道相似的判定里面有一种两个三角形，如果三边对应成比例，那么这两个三角形一定相似，对吧？但是在这里面你会发现我们需要怎么样呢？一二三四， 我们要求四个三角形的三个边，我们要求十二条边，而且我们要比来比去的比较麻烦，那这里有没有稍微快一点点的方法呢？哎，首先你要知道我是不是一个钝角三角形，没问题吧？我这个钝角三角形的钝角等于多少度呢？首先这个角是九十度直角，没问题吧？ 剩下你会发现我们这个角呢，也就是这个角多少度呀？这个角这是等腰直角三角形吗？因此我们这个角一定多少度是不等于四十五度，没问题吧？ 那此时你会发现我们整个大大的钝角等于多少度？四十五度加九十度，也就整个钝角他一定是一百三十五度，没有问题吧？哦，我是一个含有一百三十五度的钝角三角形，你但凡跟我相似，你是不是必须得有一个一百三十五度才可以，对吧？ 那请问 abcd 哪个三角形，哪个钝角三角形它有一百三十五度角呢？很明显只有谁只有 a 选项，对吧？你这是九十度吗？ 你这是一个等腰直角三角形，这个角四十五度吗？九十度加四十五度，一百三十五度。除了 a 选项之外，你会发现 bc 里它都不含有一百四十五，一百三十五度，为什么呢？你比方说你这个角是四十五度，你这个角一定是小于九十度的，对吧？这个角是不是百分百小于九十度， 所以你整个角一定是小一百三十五度？不行，同样的，我们再看 c 选项，就你这个角是直角，对吧？但你这个角呢？它大于四十五度，为什么呢？你会发现我们连一下，对吧？连一下，你是个等腰直角三角形，因此我们这个角呢，等于四十五度， 对吧？那你整个大角不就大于四十五度吗？那你加在一起，所以我们知道，那整个大大大大的钝角一定大于一百三十五度，也不满足题。 好，最终我们再来看 d 选项，那 d 选项怎么判定呢？你想想，如果我这个角等于一百三十五度，那么这两个角相加一定等于四十五度，那么也就是每个角等于多少度呢？每个小角一定等于二十二点五度，对吧？那它等于二十二点五度吗？ 你想想，你连接一下，对吧？我们知道它是一个等腰直角三角形，咱们这个角呢，百分百等于四十五度嘛？ 四十五度是整个三角形的外角，那么肯定等于这个角加上这个角了。你想想，你是二十二点五度，那我这个角不也是二十二点五度吗？能不能理解？就这个角他也是二十二点五度， 那么也就是我们是一个等腰三角形了，也就是你这个边呢长度。哎，这个，这个边的长度怎么样呢？等于这个边的长度，你觉得可能吗？ 我这正方形的边长是单位一吗？你这个是正方形对角线根号，对吧？所以很明显，也就是我们可以推出来这个角，能理解吗？这个角跟我们这个角它的大小是不相等的，因此呢，它不可能是四十五度一分为二的二十二点五度。因此呢，我们 d 选项 它也不是一个含有一百三十五度的钝角三角形，因此满足题的只能是我们的 a 选项。好，我们继续往后了，再来看一下我们今天的例六， 这里考的就是我们位次图形，让我们找位次中心啊，也就是有一个三角形 a、 b、 c， 还有另外一个三角形 a、 b、 c， 对 吧？那么请问它的位次中心的坐标是什么？什么是我们的位次中心呢？它的特点就是你的 a 点跟 a 对 应点的连线， 以及你的 c 跟 c 点对应点的连线，对吧？哎，我不知道交于哪啊？包括你的 b 点跟 b， 你 对应点的连线，你一定会交于同一点，这个三条直线相交的同一点就是我们这两个位置图形的位置中心。 既然三条直线会交于两点，我们真的需要把三条直线都画出来吗？不需要，我们只需要画两条就可以了。比方说，首先我们画 a 跟 a 点，哎，这一条直线把它画出来，所以我们知道 v 四中心一定在我们的 y 轴上。好，接下来我们再找怎么样呢？找我们的 c 跟 c 点这两个对应点， 你会发现这两个多一点，他在一个二乘以三的怎么样的大大的长方形中，所以你接着画的话，他依然会在一个二乘以三的大的长方形中，也就是怎么样呢？他整个的连线是这么走的，他会走二乘以三的这个长方形矩形的对角线，对吧？ 所以也就是在哪里呢？啊？就在这个位置，那么这个点呢，很明显就是零负一，所以我们选择 d 选项。搞定。好，接下来我们再看一下 例期，其实你我发现前面整体来说都比较简单，例期其实也不难啊。好，我们给出一个烧瓶球的半径是五厘米。好，我们知道它的半径呢，等于五。好，液体已过半，现在我告诉你， c、 d 等于七厘米，整个 c d 是 七，那就相当于告诉你，这个边的长度呢，是等于二的，对吧？半径是五吧。 好，那么请问圆中的弦 a、 b 的 长度等于多少？这个题很明显考的是我们的垂径定理，那么正常情况下，我们的线应该用虚线表示，我就直接连了啊，我们知道圆的半径是五吗？你的半径是五。好，那么此时我们用勾股定理，我们可以求出来，那剩下这个边的长度呢？哎，求一下， 斜边是五，直角边呢是二，用勾股定律我们求出来，等于根号二十一，对吧？根据垂线定律，那么这个边也是根号二十一，所以整个长度呢，也就是二倍的根号二十一，选 c。 好， 我们继续往后了，这是我们今天的例题，我们再看例八， 例八，它属于我们三角函数的一个实际应用。好，首先学生甲在量体 a 处，量体在哪？在这里，对吧？测的弧形岛。 c 啊，就是弧形岛啊， c 点在其南偏西十五度的方向上，什么意思啊？就是 哦，把 a 当做一个我们的观测中心啊，这左西右东，上北下南嘛，这时候就是我们的南，这边就是我们的西，对吧？ c 在 a 的 南偏西，南偏西，就是从南边往西边，这边偏段，偏十五度，对吧？偏十五度的方向， 其实就是告诉你角一等于十五度嘛。哎，好，我们把它清掉。那说白了，咱们白说了，也就是这个角等于多少度呢？它等于十五度 是吧？哎，我把它标出来可不可以？哎，我把它写在旁边，这个角是等于十五度的。好，我们继续往后 右，从 a 处向正东，正东就是水平，往右干嘛呢？行驶三百米到达凉亭 b 处，也就是告诉你这个长度是三百。好，测得弧形 c 在 其南偏西，六十度，一样的嘛，对吧？ no， 这是南岸， 这是 c 在 b 的 南偏西，六十度啊，这个六十度已经给你标出来了。好，我们继续往后啊，已经标出来，我们就不用管他了。 好，那么请问此时 b 和 c 之间的距离，也就是 bc 的 长度等于多少？其实在这里面，我们知道他相当于告诉我们怎么样两个条件，第一个条件就是我们这个角他一定是三十度，没有问题吧？好，第二个条件是什么呢？他相当于告诉你这个角他的度数等于多少度。 这个角是九十度吧，没问题吧？九十度加十五度，其实也就是一百零五度。那我想问一下，剩下的我们这个角的度数等于多少度， 也可以求，对吧？三角形内角和一百八十度吗？减去一百零五度，再减去三十度，所以我们知道剩下的一定是 四十五度。挠，我就觉得比较简单了。在一个还有特殊角的直角三角形中，我们知道其中任何一条边，他所有的边长，所有边长全部都可以求解出来，为什么呢？比方说我们过 a 点直接做垂线 对吧？做垂线，比方说亮在这里放个屁，看到没有，我在这放了个红色的屁啊，臭死，那踢一半就逃跑了，各位同城。 哎，我们知道三十度所对的直角边是整个斜边的一半，就是一百五，对吧？所以你这个等腰直角三角形，我们这个边也是一百五了。 你不管用勾股定力，还是根据特殊直角三角形三边比的关系，我们都可以求出来，这个边呢是一百五十倍的根号三，所以整个程度呢，那自然就选择 b 选项了，一百五加上一百五十倍的根号三，其实比较简单啊。好，接下来 我觉得目前稍微有那么一点点难度的，也就是我们的第九题。嗯，这里看起来好像很火人的样子，就是很多推看到这么亮了，我脑袋都大了，对吧？这怎么处理？其实我个人觉得比较简单啊，给出一个抛物线啊，像这样的啊，我告诉你， a 大 于零，开口向上吧， 它与 x 轴交于 a 点 m 零交于 b 点 n 零，并且 m 呢，在这个范围里面，请问 n 的 取舍范围是什么？ 其实这个理本质上他也是有流氓法的，但我个人觉得我们完全没有必要去掌握那么多的，让大家觉得怎么样呢？ 呃，需要记的方法，我们直接用标准方法来搞定，可不可以？首先我们可以得到两个条件，第一个条件，开口是向上的。第二个条件，他的对称轴是二分之一，因此我们可以画出一个开口向上的抛线，就大概长这个样子，现在怎么样呢？他与 x 轴，注意他有两个焦点，对吧？他有两个焦点。 那问题来，有人亮亮，那你这个 a 点跟 b 点谁在左谁在右呢？你又没有说，对吧？那乌七八糟的，那谁知道呀？好，其实因为这个题目，我告诉你，我们的对正轴是什么？咱们整个抛线的对正轴多少呀？ 抛物线对中轴是二分之一，对吧？那对正轴也就是 x 等于二分之一嘛？你其中一个焦点是什么呢？我现在已经告诉你，其中一个焦点的横坐标是负一到零之间，对吧？也就是这个呢，是负一，这个呢是零吧， 对不对？所以很明显也就是你这个 m 呢，那一定在对称轴的左边吗？对称轴二分之一非零，不都在二分之一的左边吗？好，问题来了，那另外一个焦点的横格标 n 的 取值范围是什么？其实这个题你会发现看起来好像很难的样子，其实它考的是什么呢？三个字，抛物线的对称性。 什么意思呢？你想讲啊，那你这个焦点在两个整数之间，对吧？那关于对称，那我这个点他也可以在两个整数之间吗？那请问这两个整数分别是什么呢？比方说，那请问这个点，对吧？ 那比方说我另这个点跟他关于对称轴对称，大家告诉请问这个点是多少？你可以用对称器，你也可以用距离嘛。比方说，同学们，实在不会的，你到我们对称轴二分之一个单位吧，对不对？所以你到我们的这个，呃，这个对正轴呢，也是二分之一个单位嘛？ 对称轴本来就是二分之一，你再往右边走二分之一，所以我们是几呢？哦，就这个点，对呢，就是一嘛，对不对？ 那剩下的你说另外一个点呢？他在两个怎么样呢？整数点之间嘛？剩下一个点一样的道理。 no， 你 会发现，哎，你索性求吧，负一在对应轴，负一在二分之一的左边，二分之三个单位，对吧？那你往右边走个二分之三呢？ 二分之一加二分之三减，那不就是二吗？对吧？所以也就是我们剩下一个焦点，我把它清掉了，那么剩下你这个焦点呢？一定在一到二之间，所以这个题呢，我们选择 c 选项搞定，是不很简单，不过如此吗？ 好，接下来我们再看一下我们今天的例式哦。这个题看起来好像就有一点点的难度了，呃，是吧，很多同学比较头疼的什么？呃？选择题的压轴题，填空题的压轴题。 好，我们一起来看看这题它到底有什么样的一个难度啊？给出一个矩形纸片，我告诉你， a、 b 是 十二的哪一个？就这个边等于十二。好， a d 等于十，就这个边呢？它的长度是十，我把它在图中标注出来， 好点， e 是 中点，那么也就是这个边是六，这个边是六，我们尽量把题案中的条件标注在我们图示里面。好，现在问题来了，把这个纸纸片呢折叠两次，第一次怎么折？ 使得，哎，沿着他们这样翻折，对吧？使得 a 点翻折到 e 点。这里其实我跟大家说一下，你可以把这些边呐，这些边呐，这些边呐全求出来，为什么呢？他是六吗？ 你另他是 x 可不可以？这个边不就是十减 x 吗？没问题吧？你把这个图形翻折到这里，你这边是不是也是十减 x？ 你 在这个直角三角形中用勾定力，你一定可以把 x 求出来，就是你在拿到题干的时候，你的脑海里面一定要有怎么样呢？啊？第一种像这种反应， 好，接下来我们再看，当然我们先放一下干嘛呢？好，接下来连接我们的 m e， 呃， n e 就 连了很多，之后呢？第二次折叠，你怎么折？哎，使得 n 与 e 重合，就像这样再折一次，对吧？使得 n 点跟 e 点重合，这是怎么折的？大家观察一下 哦，也就是折痕是 h g 了，对吧？沿着这里折叠是不是？哎，是的，你这个 n 点呢？折到哪去？折到 e 点这里，你这个 b 点呢？就落在 b 点，说白了也就是把这个图形，对吧？沿着 h g 折叠到这个图形，哎，这看起来好像不是特别的友好，好，现在问题来了， 折完之后呢，其实整个图形的形状、位置、大小、折痕全都是固定的。现在让我们求什么？求 e h g 哪个角 啊？ e h g， 也就这个角，对吧？我把它标出来，也就是我们这个直角它的正切值，嗯，是不是这个角？ e h g， 求三角函数方法，它只有三种，第一种干嘛呢？就是你判断它是不是特殊角，对吧？如果这个角是一个特殊角，那就不用说了。哎，我，其实我就 今天就尽量不要见题讲题吧，这个题其实我们直接讲非常快啊，但是我希望跟大家去分析他的底层逻辑，分析他的一些怎么样的处理方法。这个特殊角，如果他是三十度，四十度、六十度，那你就不需要管他在什么样三角形中直接求解就可以了？ 好，第二种方法是什么呢？如果他不是特殊角，对吧？你根本就不知道他多少度，那么此时你就需要把它放在一个直角三角形中，如果不在呢？你可以作出一些，对吧？哎，我们需要构造 哎，或者寻找一个直角三角形，如果没有，你得做垂线，这是第二种方法。第三种方法是什么呢？就是等角转化， 如果一个角的三角函数，你会发现在这里面怎么都无法求解，不好求，对吧？那你此时你就需要稍微的转换一下，你不好求，我就找一个和你相等的角来转化一下，进行求解就可以了。比方说，那我想问一下各位同学们，因为你要知道 正面他会产生折痕啊，注意，我们把这个四边形翻折，得到这个四边形，对吧？那我请问，根据对称性，我们这两个直角相不相等是不一定相等的，对吧？ 啊？他一定等于我们这个直角两只角相等，我可不可以求这个角的三角函数呢？一定可以，其实你有发现，那根据对称性，这还是九十度呢？他本身就在一个直角三角形中，对吧？好， 他多少度你知道吗？反正我是不知道的，我相信在座各位同学，你们也无法直接判断出来他是具体多少度。好，问题来了，你把它变成这个角，那又能怎么样呢？我想问一下各位同学们，因为你要知道脑，咱们是把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？ 我们这个角是直角九十度吧，你翻折到这里面，这个角是不是也是九十度？没问题吧？我们刚才说了，那你这一条折痕他怎么样呢？就是你要知道啊，你对应点的连线 一定被我们的折痕垂直平分了。哎，这个大家懂不懂？也是，这个角一定是直角，对吧？那我想问一下你呢？垂直于 e n， 我呢也垂之于人，那我请问这两条线它平行吗？也就这两条绿边，这两条绿边它平不平行？ 百分百是平行的，两只线平行，对吧？哎，比方说被我们第三条边所接，所以你要知道哦，咱们的同位角相等， 也就是咱们这个角跟我们这个角它是不同一角，所以它相等的，是吧？啊，也就是我们这个角呢？哎，我们转换成，你只要求这个角就可以了。好，那这个角接下来那又该怎么求结呢？其实你会发现，这个角本质上它等于哪个角， 它就等于我们这个角，对吧？是不等于这个角有没有问题？所以你只要把这个角把它求出来，我们依然可以轻松搞定。 其实到这里我们就已经可以直接求解了，但是为了让整个题目变得更加简单，好，我继续等角转换。比方说，哎，我去干嘛呢？我去连接这一条线，大家看清楚啊，我连接一点跟 a 点，对吧？哎，我们把它标成一条虚线，可不可以？ 好，我们知道，因为咱们是干嘛呢？咱们是把这个三角形翻折到这个三角形了，对不对？所以我们 a 点和 e 点是对称点吧。说白了，我们知道这个角一定是直角九十度，如果把这个角标做 a r 法呢？你会发现我们剩下了这个小小的绿角，也就是我们这个角，哎，这个角 它一定等于多少度呢？一定是九十度减去 a r 法，对吧？好，这么标有什么好处呢？此时你会发现，在我们整个大大大大的直角三角形中，我一个锐角是九十度减 a r 法，此时你会发现剩下这个角， 它不就是我们想要找到的 alpha 吗？此时你会发现，我们需不需要像刚才这样引着未知数呀，去构造方程，完全没必要，对吧？最终你会发现我们要求解的这个角，我们最终把它转化到这个直角三角形中去了，也是怎么样呢？哎，我们知道这个边呢，它是六的吗？对吧？ 以及我们这个边呢，它等于多少？等于十，对不对？所以你方我们需不需要引入未知数？完全不需要。这个角它的正切值等于多少？等于它所对的直角边，比上相邻的直角边，也就用十比上六，所以我们最终求出来三分之五搞定。 所以你会发现所有很多所谓的压轴题，它其实处理的方法是非常有限的，而且它的突破口呢，也往往都是一些常规的内容。好，接下来我们看填空题第十一题，那给出一个三角形啊，告诉你， a c 大 于 a b， a c 大 于 a b， 我 们自己就可以看出来 好， d 点在 a c 边上啊， d 点呢？跟 a c 不 重合的。好，我们需要再增加一个条件，就可以使得 a、 b、 d 哪个三角形？就是这个三角形，相似于 a、 c、 b， 对 吧？哎，相似于整个大三角形，你这个都画的其实不是特别标准啊， 我们要学会利用不太标准的图形求出我们标准答案。其实很简单，你会发现这个三角形跟整个大三角形，它本身就有一个公共的顶角，对不对？所以在这里面你千万不要去为难自己啊，我们再加上一组等角就可以了，干嘛呢？我使得你这个三角形的角 a、 b、 d， 对 吧？ 等于什么呢？等于整个大三角形，它的角 c 就 可以了，也就是角 a、 b、 d 等于角 c 就 可以了。当然，如果你说我要舍得两组边对应成比例，可不可以呢？也可以。或者你说我们这个角等于这个角，呃，就是这个角等于这个大角，行不行呢？也可以，对吧？ 你只要属于我们相似的判定都可以了。简单，我们就过得稍微快一点点。好，接下来看一下我们的例式二，这个东西属于我们的反比例里面的等比模型。好，在这里我也尽量跟大家讲的详细一点。 首先给出一个反比例函数， y 等于 x 分 之一啊，就是这条直线呢，是 y 等于 x 分 之一，对吧？为什么？因为 k 大 于零嘛，它经过一三项线，对不对？所以经过第三项线的啊，它的 k 是 正的，那 x 小 于零，就是我们取它第三项线，是吧？横格标负数的，也就这个半截。好。现在我们连接 o a， 连接 o a， a 点在哪呢？不知道，你可以把它当做一个动点嘛？现在我永远过 o 点做 o a 的 垂线和另外一个反比的函数呢，交于 b 点，我告诉你，是 o b 等于三倍的 o a， 就是我这条线段的长度，永远是你的三倍。好，在正面我们就索性先，哎，我们先直接把它写出来吧。就是这条线段呢，它是三 m 好 不好，这条线段呢，是三 m 的 长度，你这个线段呢是小 m， 我是 你三倍。 好，现在问题来了，嗯，那当 a 点在这个图像上运动的时候，点 b 呢？在另外一个反 b 的 函数图像上运动，这个反 b 的 函数呢？就是 y 等于 x 分 之 k， 对 吧？现在让你求反比函数的表达式。其实我告诉你啊，这个等比模型的结论是什么呢？它的结论就是 你这两个 k 之比的绝对值，对吧？一比上 k， 哎，就是你要知道我们平常为什么要去学习很多的方法技巧，二者之比的绝对值一定等于什么呢？ 它一定等于。哎，这两个之比的平方等于这两条线段之比的平方啊，等于 o a 比上 o b 之比的平方，这个结论百分百成立， 对吧？ o a 比上 o b 是 一比三嘛，所以它就应该等于一比三的平方，所以它们的比值一定是一比九，理解了没有 啊？既然是一比九，那剩下你会发现他就比较简单了。为什么呢？因为你要知道你这个 k 是 呃，一，对吧，所以我们这个 k 呢？当然，我是经过二四象限的吗？ k 是 负的，所以他一定是负九。 所以你不妨当你学学会很多方法技巧之后，我们做题呢？那别人可能要五分钟呀，十分钟，甚至没有思路，那我们可能十秒钟就只能能够直接口算出来。好，问题来，这个问题我们该怎么去证明呢？其实很简单，对吧？因为你要知道，在我们这一条直线上呢，在一条直线上，我们出现了一个直角，九十度吗？ 那在一条线上出现了直角，所以如果你过端点分别往下做垂线，比方过 a 点往这边做垂线，对吧？哎，比方说就像这个样子，嗯，一样的，我们再过 b 点往这边做垂线，就像这样的， 对吧？那我把它标下，也就是咱们这个角呢？它是直角，它是直角，它是直角。那我请问 各位同学们，左右两个三角形相不相似？就是左边这个三角形跟右边这个三角形很明显，它一定是相似的，一线三垂直，我就不再说了，可不可以？ 那请问这两个三角形的相似比是多少呢？比方，这个我把它标作 m， 这个把它标作 n， 可以 吧？也就是三角形 o a m， 它一定相似于三角形 o a m 和怎么样呢？和我们的 b o n， 对 吧？和 b o n 两个三角形一定相似。相似比多少？很明显，你的斜边是 m， 我 的斜边是三 m， 也就是它的相似比呢？相似比多少？ 相似比，它就是等于 o a 比上 ob 的。 我先懒得用什么 e 比三呀啊，或者 m 比三 m 来表示，就是 o a 比 ob， 没问题吧？以这个线比上这个线，那不就是我们的相似比吗？好，那现在我想问一下，请问接下来那我们的 k 跟什么有关呢？ 相似比等于这么多，那我请问这两个三角形的面积比等于多少？大家能告诉吗？面积比等于多少？面积比是不等于相似比的平方是不等于 o a 比上 o b 的 平方没问题吧？你会发现 o a 比 o b 的 平方不就出来了吗？ 而这两个三角形的面积比还等于什么呀？举个例子，比方，你这个 x 分 之几呢？我就是 k 一， 可不可以？你这个呢？就是 k 二，可以吗？一个 k， 一个 k 二，那你要知道， ab 都是反比例函数图像上的点，你向 x 轴做垂线与坐标原点与坐标原点所围成这个直角三角形，面积等于多少？它是不是二分之 k 一 的绝对值？你这个面积是不等于二分之 k 二的绝对值，有没有问题？ 所以你用这个面积比上这个面积，那不就是 k 一 的绝对值比上 k 二的绝对值？ k 一 比 k 二， 那其实就是 k 一 比上 k 二的绝对值，我们是不是证明完毕？那也就是你只要过坐标原点，对吧？你发射一个九十度角，这个角呢，和两个反比的函数交 a b 两点，你要知道， 那么这两条线度啊，比值的平方一定等于这两个 k 之比的绝对值，因此这个结论呢，我们在这里就证明完毕了。你刚才这个就是 k 一 吗？对吧？你这个就是 k 二，理解没有？ 嗯，不就是怎么样呢？等于二者比值的平方吗？对吧？所以剩下你会发现，喏，它 o a 比上 o b 是 几比几？ o a 比上 o b 在 整个题目中，哎，我把整个题目还原了好不好，不然大家可能看起来觉得有一点点乱。 这个题我并没有单纯的说就题讲题啊，如果只是单纯就题讲题的话，我们完全可以脱离这个结论，对吧？啊？快速告诉大家，很明显，这个值多少就是一比九，是不是 啊？ k 等于多少？ k 一 他是一吗？所以也就是怎么样呢？ k 二的绝对值，你这个是一了，你这个下面 k 二绝对 k 二是负的吗？注意啊，他是经过二四象限的，所以你这个 k 一定是负的理解没有， 一比上一个负数绝对值等于一比九，所以这个 k 呢？你想想一比上一个负数的绝对值，对吧？中等一比九的，你这里面负数只能填几，只能填负九，理解没有。 好，那么接下来我们继续往后再来看一下我们的第十三题。这个题我个人觉得就简单一点点啊。首先给出一个平行四边形， a， b， c， d。 啊，我是一个大大大大的平行四边形， e 是 a、 d 的 中点，就是这条边呢，等于这条边两边相等， 现在点 f 是 c、 b 延长线上一点啊， f 在 整个 c b 的 延长线上，就像这个样子啊，并且 e、 f 的 平行 b d， e， f 平行 b， d 就 像这个样子，对吧？其实你要知道啊，咱们这一条线，它是平行于这条线的，对吧？ 另外这一条线呢，还平行这条线，是不是因此我们知道它也是一个平行四边形嘛？两组对边分别平行，它就是平行四边形了。好，现在我告诉你， a g 比上 a， e 等于 a。 呃，什么意思？ a g 比上 a e。 其实我告诉你各位同志们，就是在我们平常考试，如果你处理比例关系，尤其像这种，对吧？让你求比例关系最快的方式 就是令分母式单位一也是，我就令你是 a， 我 令你是一，对吧？那我比上你不就是 a 比一吗？你会发现整个题目里面就只含有一个字母了啊，对吧？那当然他也是一，但如果你说练了不行啊，那我们要是大题写过程怎么办呢？好，如果你大题写过程，你就引入两个未知数好不好？ 其实我更加建议平常自己做题的时候，尤其是选择填空，你就使得其中一个边为单位，一会更快的啊。好，我比上，你呢是 a 倍的。好，那我也是小 m， 你 这个边是二 m， 所以 这个边呢，也是二 m， 对 吧？以及你是 m， 所以 我们这个边呢，也是 m， 对 边相等吧。平行四边形 好，那接下来你会发现，喏，在这个三角形跟这个三角形中，大家能不能看到两直线平行？首先咱们知道内错角相等，对吧？ 哎，内错角相等，平行吗？另外，你还会发现我们的对顶角相等，咱们的对顶角相等，所以你会发现这两个三角形什么关系？它就不再是简单的相似，而是全等，对吧？这两个三角形，红角等于红角，绿角等于绿角。我有 m， 你 有 m， 所以 全等了。 你是 am， 所以 我们知道剩下这个边呢，它也是 am， 对 不对？就这个边是 am， 就是 这条边嘛。 好，剩下让我们求 b g 比上 f c。 b g 是 什么呀？它不就是 am 吗？好，整个 f c 呢，它不就是三倍的 m 吗？咔嚓，约掉了，所以等于三分之一。嗯，也是比较简单简单，我们就过得稍微快一点点啊，我们继续往后啦，哒哒哒。 好，再来看一下我们今天的例十四，其实这个题它的处理方法我个人觉得比较多，这个题我们最少可以用三种不同的方法来进行处理啊， 比方在边长为四的正方形，它的外侧啊，边长为四行，你的边长了四，你的边长了四，我们就把它标出来。好，现在我们干嘛呢？做一个直角三角形 a d， 使得这个角 a e d 呢，等于九十度，就这个角呢，是一个直角， 好， a d 呢？三十度，哪个角？也就是我们这个角是三十度的，对吧？啊？就是这个角啊，这个角 多少度？他是三十度，那其实我们可以求出很多线段的长度，比方说呢，你要知道咱们正方形的这个边长等于几？边长等于四吗？对吧？三十度所对的直角边等于斜边四的一半，所以我们知道这个边是二，以及你用勾股定律或者特殊直角三角形，我们求出来二倍根号三。 好，接下来我们看看这里到底想干嘛啊？好，第一个，让我们求 a e 和 d 的 长度和 a e 和 d， 哈哈，你这个有点瞧不起我了，也就是二加上二类根号三吧，对吧？长度和好。第二个，如果 o 是 a c 的 中点， 对角线的中点，正方形的性质大家必须得知道啊。连接 o e， 让我们求 o e 的 长是什么？ 这个题你可以直接怎么样的？用勾股定力，对吧？那求一条斜边，最常见就是把它放在一个横平竖直的直角三角形。先这么去求，可不可以？我告诉你，百分百可以， 你再遇到这种方正的几何图形里面，如果你没有思路，你想要拿下满分，你可以用间歇法都可以，对吧？那么在这面我用一个我个人觉得比较常见的方法啊，叫做边等角补模型，什么意思呢？首先你连接我的对角线也不算连接对角线吧，连接我们的 o d， 对吧？那么根据正方形的对，正方形的对角线是互相垂直平分且相等的，所以他是一个等腰直角三角形，明白了不？所以连接完毕之后，我们知道也就是这条绿边呢，他一定怎么样呢？等于这条绿边， 嗯，对吧？我这个方法，我个人觉得计算量是比较小的啊，绿边等于绿边，并且咱们这个角呢，一定是直角，他一定是九十度，对吧？ 哎，直角，好，现在我告诉你，所以你看看，你们平常错过了很多很多的几何，哎，哎，你们真的错过了很多的几何模型，什么叫做边等角补模型呢？边等角补就是一个四边形，如果零边相等， 对角互补，那你看看，这是不零边相的，这是不零边相的，对吧？我对角是不互补，对角是不互补，那么此时像这种图形，它的万能处理方法，旋转，你只要旋转，百分百就会轻松处理，你会翻很多答案，他会告诉你，同学们，转一下，为什么转呀？ 为什么要这么转，对吧？你倒是说呀，好，怎么转呢？你会发现连接对角线，他会把整个图形分成一个两个三角形，你随便旋转任何一个三角形就可以。怎么转呢？比方把这个三角形我们直接转到这里， ok， 哎，差不多就转到这里吧，就转过来，好不好？哎呦，我觉得稍微有一点点误差吧， 哎，就这样吧，好吧，就这样，我们把它转过来，有这样的，那对角互补有什么用呢？边等有什么用呢？你把这个三角形转到这里， 因为你这个绿边跟这个绿边相等，所以你把这个三角形转过来之后呢，你可以靠着这个绿边，对吧？那角补。对角互补有什么用？ 其实你要知道啊，我们这个角跟这个角对角互补，那么我们这个角跟这个角对角也是互补的。好，把它标一下，比方我把这里的三十度，我把它给清掉。嗯，如果我令这个角呢？比方这个角它是 arva， 可以 吗？这个角是 arva， 那 剩下我令这个角呢？它是贝塔， 就是用蓝角。这个角呢？我令它是 beta。 好， 角补有什么用？你把这个三角形旋转过来，你这个角是 alpha， 所以 我们知道，那剩下这个角它是不是也是 alpha， 对 吧？我们刚才说了吧，你的对角是互补的，你的 alpha 加 beta 一 百八十度， 那 ar 法在这，贝塔在这，那相加一百八十度，所以它是个大大的平角，懂了没有？如果你没有对角互补这个条件，你旋转过来呢？那它就不再是一个平角，它就不再是一条线，它就会翘起来，就翘成什么样子，就翘成可能像这个样子。懂了， 不对吧你，你整个图形，它就不再是一个完整的三角形了，它是一个三角形加另外一个三角形，它是个四连形，懂了吧？ 哎，对角互补可以保证，哎。比方放个哎屁，可以保证 p d e 三点在同一条线上。好，那旋转完毕，我们可以得到什么呢？其实我们百分百可以得到一个等腰三角形，哎，为什么呢？比方说我另这个边是一个红边好不好？你这个三角形有一条边是红边，可以吧？ 你把这个三角形旋转到这里之后呢？你这个边是红边，我们这个边一定也是红边，所以看到没有，你只要旋转边等角部，一定可以得到一个等腰三角形。 当然了，你把这个三角形转过来，你这个边是二，所以我们知道这个边呢，它也是二，对吧？就是 p d 这个边它也是二。那然后呢？注意啊，咱们这个角是九十度，九十度意味着什么？你可以用旋转的思想去处理，或者你说这样哈，我不太会用各种思想。行，那你这个角是 a r 法，可以吧？ 好，接下来你这个角呢，是贝塔行不行？哎，我们就不再用刚才的 a r 法，贝塔重新再来这个角直角嘛。那你不就相当于告诉 a r 加上贝塔是不一定等于九十度的，没问题吧？ 你把这个三角形旋转到这里，你这个角是 alpha， 所以 我们知道这个角呢，一定也是 alpha， 对 不对？我们刚说 alpha 加 beta 等于九十度嘛，你这个是 alpha， 你 这个是 beta， 所以 相加等于九十度呢。这个角是一个大大的直角，因此你会发现 我们可以得到一个大大大大等腰直角三角形。我们知道斜边是二加二倍根号三，那么请问直角边 o e 的 长度呢？等腰直角三角形，你从斜边到直角边，你除以根号就可以了，理解没有， 对吧？从斜边到直角边，二加上二倍根号三，这个就是我整个斜边吗？从斜边到我们的直角边，你除以根号就行了。除以根号，你除以根号呢？他就是根号，对吧？你除以根号呢？你算出来的根号六。嗯， 所以这个题你看，虽然是个大题，他为什么敢出填空呢？一般同学你去猜什么根号三呀，根号七呀，对吧？哎，什么二倍根号呀，你们猜一个的话，很难猜中的，根号加根号六。搞定。好，那接下来我们继续往后再来看一下我们今天的解答题。 那么解答题其实我们全国有百分之八十以上的中考，我们整个大题里面特别喜欢考我们这种怎么样呢？实数的运算跟我们逆的运算呀，啊，绝对值的化解呀，我们这种三角函数呀，对吧？哎，综合起来考察分值比较高。 呃，然后呢，又比较简单，所以大家千万不要轻易的丢分。好，一样的，首先我们我就不写几了，扩散六十度等于多少？ 扩散六十度，其实大家得知道啊，你画一个六十度的直角三角形，对吧？六十度，这个角就是三十度嘛， 哎，一二根号三，对不对？所以扩散六十度就是他的邻边比上斜边是不是二分之一，所以也就是三乘以二分之一。好，我们减去一个数，只要他不等于零， 他的零次方呢？一定等于几？一定是一，明白，没有什么派的零次方呀，哎，这个八的零次方呀，七分之五零次方都等于一，好减去。那么像这种负指数密怎么办呢？比方说七的负二次方，他说等于七的二次方，再来一个分之一的 比方说呢？哎，这个这个五的负三次方，他就是先把五三次方再来个分之一就可以了。好，这是我们负指数密，他的怎么样呢？一个运算的法则，所以在这里面你去算他怎么办呢？首先负四分之一，你先来一个平方，对吧？ 不，四分之一，你先求它的平方，它的平方等于多少？等于十六分之一嘛，对吧？你再把它倒过来，求它的倒数，你想想十六分之一，它的倒数呢？是不等于十六，所以这个东西你求出来它就是十六的，理解了吧， 我们减去十六。好，最终我们减去，最后还有一个什么呢？有一个绝对值，一样的绝对值，你在去处理的时候，你首先判断里面的正负根号三减二，那这个不用说了，一定是负数吧，负数带绝对值去掉之后呢，变成自身相反数，那么它的相反数等于多少？ 你减我的相反数，就是我减你根号三减二，相反数就是二减根号三，所以最终我们求出来等于多少？等于二减根号三，所以最终我们求出来等于二，再减根号三， 所以也就是，哎，加上根号三，呸，所以最终我们求它等于根号三，怎么样呢？我们最终再减去十七又二分之一， 对吧？把前面放在一起等于这么多，你用这种代分数或者假分数都可以啊，这种答案都是对的。好，我们继续往后了，我们再来看一下今天的例十六，这个题其实我个人觉得也比较常规啊，然后把这个图稍微的缩小一下，不然大家可能看不到，哎，再缩一点点好不好？ 这里你会发现我们整个中考里面喜欢考我们这种旋转呀面积哈，那往往也是送分了。好，那首先给出一个格点图形，它每一个小正方形的边长呢？都是一个档位 啊，就是边长都是一边长，都是一对吧。好，现在 abc 的 顶点都在格点上面， o 就是 这个，就是三角形 abc， 它的格点呢？顶点都在格点上面。好，普通，建立平面直角坐标系，使得圆点是 o， ab 坐标分别是这么多，其实这个量呢，就直接画就可以了好不好？ 嗯，负三负一，所以我们整个平面直角坐标系呢，就大概长这个样子？好，大家来验证啊，你会发现 a 点坐标包括我们 b 点坐标呢？是不是题干中所给出的这样，嗯，这是我们的 x 轴，这是我们的 y 轴，以这个呢是我们的坐标原点，可以吧？ 好，接下来这个题第二问，我觉得有些同学他可能就会丢分了，他干嘛呢？现在我们要以 o 为位次中心， 化州三角形的 v 四三角形 a d、 c， 干嘛使得这两个三角形的相似比是二比一，注意啊，我和你相似比是二比一，对吧？你说前面是后面这个图形的二倍， 注意以谁以 o 为 v 四中心吗？其实我告诉你，它应该正常情况下，它应该有两种怎么样的图形？我可以像这样去发射一个 v 四中心吧，大家懂不懂？使得我们的 a 一 在这里，明白吗？ 对吧？我们的 c 呢？在这里，以及你的 b 一 呢？ b 一 在这里，懂吗？哎，这个边等于这个边， 这个边等于这个边，以及呢？这个边等于这个边，懂了没有？他也是以 o 为谓词中心的，但是你要注意这个题目，那两个第一个呢？他要求我们怎么样呢？嗯， 呃，在格格点这个图形中去作图，对吧？另外一个，你想想你，你这边都没有格点，你怎么找呀？你不好找，是不是我们要利用网格来进行作图嘛？所以在这面我们有第二种方法，也是怎么样呢？哎，我们连接 a o b 延长，是吧？ 注意啊，因为你要知道你这个连接 a o， 他 在一个什么？他在一个一乘以三的长方形中，他跟我们前面题目比较像，那你就反复的走一乘以三的 长方形，对吧？走它的对角线，这不就是一乘以三的这个长方形的对角线吗？这不就是一乘以三的长方形的对角线吗？对吧？走到对角线，你说走到哪个位置呢？你就走到这个位置，这个点就是我们要找到的 啊，怎么样呢？ a 一 了，对吧？这是我们的 a 一， 好，一样道理，接下来我们再找另外一个啊。好，我把它清掉了，清掉，不要了。 呃，然后接下来我们再找另外一个。呃，找 b， 他的位置对应点。好，一样的，你看他也是一乘以三的直角三角形吗？我们走走走，走一乘以三的直角三角形，走一乘以三的直角三角形，是不走到这里了呀，所以这个点他就是我们的 b e， 对 吧？好，最终我们再来找下 c 点啊，清掉，清掉，大家看起来可能会更加舒服一些。 c， 他 就在一个什么呢？他在一个二乘以三的直角三角形，对吧？二乘以三的直角三角形，我们走二乘以三的， 我们走二乘以三的吗？这不就二乘以三的一个直角三角形，对吧？二乘三，二乘三，所以你有发现我们这个点呢？哎，哪个就是这个点， 对吧？他就是我们的 c 了，所以这种扭法我们连接起来，我换个颜色连啊，好不好？换个比方说，胖胖的紫色吧， 连一下，他就是我们要找的我们的 v 四图形了。好，接下来我们看第三个，第三个是把某一个三角形绕着某一个点顺时针方向旋转九十度。什么叫顺时针呢？这是你们家的钟表，对吧？哎，你们家中表一边往这边转，这个叫顺时针， 那这边呢？就叫逆时针。首先你不要把这个方向给弄混了啊，不然的话你就直接嗝屁了，也就是把这个三角形绕着 b 点顺时针往这边转九十度。很多同学亮亮，我怎么去把一个三角形旋转呢？其实很简单啊，你就转什么呢？转对应顶点或者转转边，你直接旋转的话，很多同学可能不知道， 为了方便大家理解，我把这坐标系都清掉了，这样的话，我们做起来可能会更加的直观一点点。其实很简单，你把这一条线绕着 b 点设置针转个九十度是不可以了。那怎么样旋转线呢？很简单，你把这个线放在一个直角三角形中，理解没有， 对吧？他在一个二乘以四的直角三角形中，你旋转完毕之后呢？你把这个整个直角三角形绕着 b 点旋转九十度吗？你这个数值的他不就转到水平的位置了吗？就转到这里了，懂了没有？你这个水平的，他不就转到数值的位置了吗？ 懂了吗？就像这个样子吗？各位同学能不能理解，你这个二乘以四的直角三角形绕 b 点旋转九十度，就会到达我们的 a 二， 看到没有，这个点就是我们的 a 二了，明白了不啊？就像这样一样的道理，那接下来我们再转 o 这个 c 点，我觉得旋转是比较简单的啊，为什么呢？你这个线它就是水平的吗？三个单位，所以你转完之后是不是就是三个单位啊？所以我们这个，哎，我们的 c 二呢？就在这里，对吧？ c 二就在这里，是不是？其实我个人觉得这个图好像也不是特别标准，为什么呢？你绕 b 点旋转的话哈，其实有 b 二吗？他没有，对吧？其实这个三角形他就是我们旋转后的我们对应的图形。 b 点呢？你绕着 b 点转吗？这不就转完之后的我们旋转之后的三角形吗？ 搞定好简单，我们就过的稍微快一点点，我们继续往后了，一起来，再来看我们今天的历时期。 这个题其实本质上是我们三角函数的一个应用，其实我们现在全国各个地方三角函数以前有什么呢？有什么羊角福角问题，有什么方位角的问题，对吧？有我们的什么坡度问题。但是全国现在 慢慢慢慢的更形成我们三角函数的生活中的实际应用，比如水龙头呀，我们的行李箱呀，对吧？哎，我们的夹子呀，我们的这个平常生活的这种什么呢？照明灯呀，就是跟我们的实际生活联系的，它依然是什么呢？ 依然是我们所谓的什么仰角、俯角的问题啊。好，现在某校为了检测师生的体温，再需要这么安装了。某型号的侧卧门。好，如图，是侧卧门的。呃，前面是一图，现在我告诉你整个 a d 的 顶部 a 处距离地面是二点二米。你发现这种题的就是比较啰嗦， 你就直接告诉整个高度是二点二就可以了，对吧？就整个高度多少呢？是二点二我就不带单位了。 好，为了了解自己有效的测温区间，身高一点五米的小熊做了如下实验。啊，身高一点五米对吧？他在地面 n 处时测的，嗯，就是测温门开始显示额头的温度，就是在这里的时候开始测温度，此时在额头 b 测的阳角是十五度，阳角是什么呢？ 就是这个角，说白了啊，就这个角，对吧？你抬头去看你这个 a 嘛，你的水平视线跟你的啊，就是水平线跟你的视线所夹的这个角，就是我们，怎么样的啊？阳角十五度， 好，那然后呢？在地面 m 处就是你小葱跑到这里，对吧？那么此时阳角十五度，阳角十五啊，四十五度， 仰角多少度呢？仰角是四十五度，也就是告诉你怎么样呢？这个角它又等于四十五度了啊，就这个角对吧？它等于四十五度，一般像这种角度呢，我们都会尝试把它放在直角三角形中。好，我们继续往后了。 小聪的身高是一点五米，所以也说你这个 b n 是 一点五，你这个 c m 也是一点五，对吧？好，现在我告诉你，小聪在地面有效测温 m n， 让我们去求这一段的长度该怎么办？ 这个长度也就是求 bc 或者求 m 都可以，对吧？怎么求结呢？首先你要知道啊，这个十五度和这个四十五度。十五度，知道三角函数四十五是一个特殊直角三角形，所以我们都容易想到要把它放在一个横平竖直的直角三角形中，哎，也就大概长这个样子， ok， 好， 把它延长出来。 好，延长出来之后呢，比方说，呃，这个角呢，也就是九十度了，我在这里就放一个屁，行不行？你这二点二，先走开， 放个黑色的屁吧，看到没有？亮了，放个屁，臭死。那些听一半逃跑的各位同学们，好，现在你要知道咱们整个的高度多少？整个高度是二点二吗？ 而你这个高度一点五，这个高度一点五，所以咱们这个高度也是一点五，对吧？因此我们可以知道剩下的这一段的长度等于多少呢？这一段长度他这一点是二点二，减去一点五，也就零点七，没有问题吧？ 啊？这个长度它一定是零点七。好，现在我想问一下，四十五度怎么用的？你是一个等腰直角三角形，所以我们知道这个边的长度是不是也是零点七没问题吧？零点七。好，剩下的你让我求谁？你让我求 m n， 对 吧？我不，我只要求 bc 不 就可以了吗？ 求 bc， 我 不，我只要求整个 p b 是 不是就可以了？那接下来怎么求？这是一个含有十五度的直角三角形，我知道它的对边，我要求它的邻边，我要用什么？我一定要用它的正切值，对吧？也就是我们知道 tan 紧的 十五度，它等于多少呢？我就不再写什么 a p 比上 pb， 我 就不再写了，我直接用零点七比上 pb， 可不可以用零点七比上 pb， 它等于多少？约等于零点二七嘛？哦，约等于零点二七，但说白了 也就怎么样呢？左边乘以 pb， 右边乘以 pb， 右边乘以 pb 呢？也就是零点二七倍的 pb 等于多少？等于零点七，对吧？ 那接下来也就是 p b， 你 可不可以求出来？一定可以吗？你把 p b 求出来，约等于多少？你用零点七除以零点二七吗？哎，我们打个草稿，零点七除以它呢？其实就是七除以二点七，就是七十除以二十七嘛？ 七十除以二十七，我们上几呢？上三不够上二，好吧，二五十四，也就是剩下十六十六，我们上几呢？呃，你借了一个零，也是我们上 九，可以吗？试一下好不好？哎呸呸呸，什么叫亮亮你唱我揍你啊，求你，我们上上六行吗？六，一百二，四十二，不行，我们上五，对吧？好，五七三十五，一百三，剩下二十五，对吧？ 呃，那剩下也就二百五十除以二二十七呢？那此时我们好像真的可以上亮刚才所说的 九了。对，我们试一下啊，你上个九七九六十三，对吧？哎，六十三，嗯，一百八，二百四十三，所以也就于七。哦，也就是怎么样呢？ 他是二点五九，你在上就是上二三也不够，对吧？所以也就是他是约等于二点五九的，有没有问题？ p b 是 二点五九吗？整个是二点五九，所以我们整个 bc 的 长度呢？也就是我们要求的你的 m n， 对 吧？它就等于 bc， 等于什么呢？用这个二点五九，我减去你这个零点七吗？减去零点七，所以等于多少？等于一点 八九，但你要知道这个题目精确到零点一啊，精确到怎么样？精确到我们小数点后一位，所以我们知道它约等于多少？约等于一点九。 好，我就不带单位了，最终作答的部分呢，量就省略了好不好？所以其实你有办法像这种题呢，我个人觉得还是比较常规，也是比较简单的。好，接下来我们继续往后了， 我们再来看一下我们今天的例十八这个题，它相当于是我们相似的一道简单的综合应用了啊，我个人觉得难度也不高。好，首先呢，我们给出一个三角形 abc， 大 大大大三角形 好， d 分 别在两边上， d 点在这，一点在这啊。然后呢， d、 e 平行 bc， 而我们 d、 e 呢， 是平行于 bc 的， 对吧？哎，那既然平行，我们知道这个三角形跟整个大三角形百分百就是相似的。好，现在 a、 f 比上 f、 d， 我 告诉你 a、 e、 f 比上 f、 d 干嘛呢？等于 a， d 比 d， b 等于 a， d 比上 db， 这啥呀， 这个边比这个边，等于这个边比这个边，风马牛不相及，乌七八糟的，对吧？好，第一步，让我们求成 e f 平行 d， c， e f 平行 d， c。 其实我们去求两直线平行啊，当然，你可以用什么同位角，内错角，同旁内角，对吧？除此之外呢，在我们整个相似里面，你有两种方法，第一个，就用相似去证明我和你相似了吗？ 这个三角形要是相随整个大三角形，那不用说，我一定跟你平行，我就不再多解释了啊。第二个呢，用平行线分线段成比例定义，什么意思呢？比方说 d， 我 直接放这里啊， 因为 d 平行 bc， 好 吧，我们知道 d 是 平行 bc 的， 我考试，哎呀，我怎么直接比了呢？因为他 d 是 平行 bc 的， 对吧？两直线平行这个边，平行这个边。那我请问各位同学们， a、 d 比上 b、 d 等于什么？所以我们知道 a、 d 比上 b、 d， 它一定等于什么呢？ 哎，当然，这个题说了，等于 af 比 f、 d， 对 吧？啊，还等于 af 比 f d 好， 行，等于 af 比上 f、 d， 题目说的嘛，是不是 还等于什么呢？你这个线跟这个线平行，所以我左边比左边，那就一定等于右边比右边，对吧？所以它一定等于 a e 比上 e、 c， 结束了， 没了，搞定了你会发现 a、 f 比 f、 d 就是 这个边比这个边等于什么呢？等于这个边比这个边吧，对吧？所以我们知道，那这两条线一定平行， 平行线分线段乘比例定里是不是？那你只有这两条线平行，才能左边比左边，等于右边比右边吧，理解了，没有百分百是平行的啊。 好吧，好，当我们推出来平行之后呢？那第一问不就搞定了？那其实我们也知道这个三角形一定相似于整个大三角形，对吧？好，接下来我们继续往后了。这里我告诉你， a f 这三 af 这个边是三， f d 是 六，这个边是六，那你比我是一比二吗？所以这个边比这个边一定也是一比二了，对吧？没问题吧？所以也就是我们知道 a e 呢，比上 e、 c 就 等于你的三比六，也就是一比二的吗？是不是？我是 m， 你 一定就是二 m 了，一比二， 好，你要注意啊，世界上没有无缘无故的爱恨，也没有不明不白。第一小问，第一问我们就用到了吗？一边，好，现在我告诉你， d 是 六倍根号三，这个题太简单了，这个边呢？六倍根号三，让我们求什么？求整个底边 bc 的 长度等于多少？我们刚才说了， 这个三角形一定相似于整个大大大大三角形，相似比是几比几，你不要觉得是一比二啊，这个三角形它的 m 比上整个大三角形三 m 相似比是一比三的，你是六倍的高三，所以整个里边十八倍的高三。简单，我就快一点，我就不再写标准过程啊， 我们直接过了。好，接下来我们来看一下我们后面的例十九。好，其实在我们正考里面，除了我们常规的像全等的判定呀，箱子的判定这种题目之外，还有一种他很多题目他喜欢考我们这种常规的四边形， 什么平行四边形，矩形啊，菱形，正方形，他简单的性质与判定的综合，比方说他就是一道非常具有代表性的题目。好，我们一起来看看。 首先我给出一个长方形，也就是矩形 a b， c， d 在 这里，对吧？好，延长 a d 至 f 点延长 a d 到 f 有 什么要求呢？使得 d f 等于 a d 好， d f 等于 a d， 并且我们知道这个角一定是直角。哎，其实你会发现啊，各位同学们， 那你这条线不就是 a f 的 垂直平分线，有没有问题？我这个线我既垂直，你吗？我怎么样？我还平分你吗？对吧？ 所以它是垂直平分线，垂直平分线上点到线段两端距离相等对不对？以及垂直平分线上点到线段两端距离一定相等的。好，我们继续往后了，说白了就是怎么样呢？子边等于子边对吧？ 以及呢？绿边等于绿边，但是子边跟绿边相不相等，不知道啊，你目前为止你是不知道的，明白了没有？子边等于子边，绿边等于绿边。 好，这个题目先来告诉你，那过 a 点做 a e 平行， c f 就是 a e 呢？和 c f 是 平行的，那平行其实在几个题目里面就相当于怎么样呢？嗯，告诉你内错角同位角之间的关系，就这个角呢？它等于这个角，对吧？ 是不是这两个角相等？那又能怎么样？注意啊，因为你这个三角形，对吧？绿边的绿边等腰三角形，它有三线合一的性质， 你是底边上的中线，底边上的高，你一定是顶角的角平分线，所以这两个角相等，明白没有？ 这两个角相等，你是 a r 法，我也是 a r 法，我也是 a r 两个 a r 相等，所以咱们是等腰三角形，所以紫边跟绿边相等，也就我们可以推出四边相等，好不好？四边相等我就不再说了。这边，哎呦吼，四边相等，也就是这些角呢，我都把它清掉，可以吗？ 哎，这边角度七秒，我们正出它是个啥呀？它就是个菱形嘛，我就把它都标成子边，咱们都把它标成子边，可以吗？好，你给我发第一问，让我们证明菱形，我们就搞定了。 好，接下来我们看一下第二问好，连接我们的 b 交 a d 于点记。什么意思啊？但你发现我们后面好像跟点记没有关系啊，他说当 ab 等于二， ab 是 二，你角 a c b a c b 是 哪个角？ a c b 是 我们这个角，对吧？这个角， 这个角的正切值是一比二的啊，就是我的对边比上我的零边是一比二的，所以我们知道旁边这个边呢，他就一定是四啊，就是咱们这个边是四。其实让我求什么？求 b 的 长，这是不是有点过于简单了， 对吧？你是二吗？所以我这个边不也是二吗？那菱形的对角线相等且互相平分，这个边不也是二吗？你让我求 b， 这这这啥意思呀，对吧？ 而且你要知道这是一个长方形，长方形这个角还是个直角，对吧？所以你发现在这个大大大大直角三角形中，一条直角边四，另外一条直角边也是四，根据勾股定律，所以也就求出来四倍根号。这个题你会发现我们没有写任何的我们的函数标准过程，求解完毕，我们直接过了啊 啊，所以你看前面大题，我个人觉得都比较常规。好，接下来我们再看第二十题。这个题我觉得也不难。好， ab 是 圆的直径啊， ab 呢？而不是圆的弦啊。好， o d 垂直 ab， 那 你过圆心向弦做垂线，不用说了，垂进定力，这个边一定等这个边，对吧？ 好，垂直是 h， 好， bc 呢？垂直 ab， bc 垂直 ab， 那 已经标出来了，好，连接 a、 d 延长交 b 啊，这个，这个交 a d 的 延长线呢？于 c 点。好，现在问题来了，第一个求证， d 是 ac 的 终点， d 是 整个 ac 的 终点，也就是求证这个边等于这个边，对吧？其实证明的方式也有很多，比方说我求证，嗯，你用相似于整个大三角形一定相似的， 相似比是几比几呢？你这个三角形用这个边比上整个大三角形的这个边，相似比是一比二， 所以你这个三角形的这个边比上整个大三角形的这个边相似比是不是也是一比二？那 d 不 就是终点了吗？对吧？那除此之外，还有还有没有什么其他的方法呢？有，比方说，各位同学们， 我们就用到我们刚才所谓的垂进定律的结论吧，好不好？我们比方说连接一下 b d， 连完之后你要知道，首先这两个角相等，我觉得各位同学应该没有问题吧，是吧？就是这个角，对不对？ 等于这个角没问题吧，为什么呢？因为你垂直于弦，你平分弦，而且平分弦所对应的弧，也就是这条弧一定跟这个弧相等，等弧对等弦嘛，所以也就这条弦等于这条弦，对吧？嗯？等弦 对等角吗？所以，哎，也也不呸。不是啊，说你是个等腰三角形，所以两底角相等，除此之外，你还可以垂直平分线的。我既垂直你，我又平分你，我不就是等腰三角形了吗，对吧？哎，我到你两边距离相等吗？等腰三角形，所以这两个直角一定相等。 好，我离你是阿尔法，我离你是阿尔法。好，接下来你有法，我们用最笨的方式，你是个大大大大直角三角形，对吧？啊，这个角是直角的，题目中说的 对不对？你这个角是 ar 法，所以我们知道这个角一定多少，一定是九十度减 ar 法，你这是一个大大的直角，没问题吧？拿走 ar 法，所以这个角呢，也是九十度减 ar 法。 好，到这里就证明完毕了。那依然是重点。为什么呢？你是个等腰三角形，所以咱们这个蓝边一定等于蓝边，对吧？等腰， 同时我也是一个等腰三角形，这个绿角等于绿角嘛。所以呢，我也是个蓝边。哦，你是蓝边，我是蓝边，你也是蓝边。三条蓝边相等地是个重点，所以我发现我们不管怎么样都可以挣出来搞定， 我们用两种不同的方法去推倒他了。啊。好，现在我们再来看一下那。哎呦，这个行吧，不要就不要，有什么大不了的，清掉 都不要了，可以吗？我们主要来看第二问，第二问现在告诉你， ab 呢是六，这个是三，这个是三了， ac 是 二倍的根号十三，那你这个边呢，就是根号十三，对吧？ 你要知道我们刚才第一问求证，你是终点吗？这不就根号十三吗？这个不也是根号十三吗？对吧？我们都知道根号十三，但是中间呢，我把它用一个彩色的点把它割开， 让我们求圆的半径，这是有点过于简单。首先你要知道啊，这是个直角三角形，知道斜边，直角边，我们可以求出这条边的长度几呢？这个边的长度一定是二，虽然这个度不是很标准啊，你让我求半径，那我首先得把半径给构造出来，对吧？好比方我们去连接 o a 吧， 可以吗？好，连接完毕之后，也就是差不多长这个样子，连接 o a， 那 此时扭法我们要求半径，我就令半径是 r， 可以吗？你这个是不是也是半径呀？对吧？也是半径拿走两个单位，所以剩下你会发现这条线段的长度呢？是 半径减去二，是吧？那最终在这个直角三角形中，咱们用勾股定律可以直接求解吗？你的平方，也就是半径减二的平方， 加上你的平方，就是我们垂径定律非常常见的一种题型，对不对啊？等于斜边的平方，所以我们求出半径的平方减去四倍，半径加上四加上九等于多少？等于半径的平方左右两边咔嚓了，我们知道四倍的半径等于十三，所以我们求出的半径呢，等于四分之十三。 计算过程，那样写的就稍微快一点点啊，我们继续往后了。好，接下来我们再来看看，我们后面稍微有一点点的，终于来了，对吧？我觉得这个题目算是我们所有大题里面有那么一点点分量。第二十一题， 好，首先我告诉你，你是角 e r 法角贝塔都是锐角，一个角的正切是二分之一，一个角正切是三分之一啊，求这两个角的度数之和。 好，如图一，小亮同学呢，在边上唯一的正方形的网格中画出了角 b a d 和角 c a d。 其实我告诉你，这个叫做一二三四五模型，他在我们处理某些特殊三角形或者某些怎么样的，嗯，线段求解的时候非常非常的快啊， 好，然后干嘛呢？在图中画出角 b a、 d 和角 c a d， b a d 是 哪个角？ b a、 d 是 这个角，对吧？你发现这个角呢？它的正切值不就是，喏，它在个一比二的直角三角形中吧，对吧？所以这个角的正切值呢，就是二分之一的，对不对？这个角的正切值二分之一， 好，剩下还有一个角 c a d c a d 在 哪？ c a d 其实就是这个角嘛，对吧？你会发现这是一，这是三，所以这个角的正切值呢，不就是三分之一吗？啊，一个是 a r a， 一个是 beta， 所以这两个角的度数之隔也就是这个角了，是不是阿尔法加贝拉就这个角嘛，对吧？好，现在问题来了，嗯，按照这个思路，求阿尔法和贝拉，也就是求这个角的度数之隔，这个很简单啊，那我们去求，既然能求出来，你觉得这个角可不能比方七十三度呀， 哎，四十六度呀，像这个咋求我都不会，对吧？更不要说你们了，说他很显然是一个特殊角，特殊角，它往往出现在特殊的直角三角形中，我们连接 bc 好 不好？ 连接 bc 之后，你会发现我们可以得到什么结论呢？你会发现呐，各位同学们呐，我们这是什么？这是一个一乘以二的直角三角形，对吧？同样的，我们这是一个什么呢？这也是一个一，哎，这也是一乘以二的直角三角形，看到没有 啊？大家都是一乘二，大家都是一乘二的直角三角形，所以这两个三角形一定全等。理解了。没有全等对边相等嘛，所以你这个子点 一定怎么样呢？等于此边，我们目前正出它等腰了，我们再正出一个直角就可以了，对吧？直角怎么正的？非常简单，比方说啊，我用最快的方式把它标注出来，我令这个角呢，是 a r f 可以 吗？那你全等对应角相等，这个角一定也是 a r f 没问题吧？好，接下来我再用这个角呢，我再令这个角是，嗯，比方说，这个角我把它丢一边去啊，这个一走开，我再令这个角是 b 的， 对吧？再用这个表示 beta 搞定了。因为你会发现，在我们这个直角三角形中，喏，在这个直角三角形中， a r 加 beta， 哎，我我，我们这个题有 a r 加 beta， 哎，你就忽略一下好不好？忽略忽略啊，你把 a r 加 beta 一定是九十度嘛，对吧？ a r 加 beta 一定是九十度直角，你这是 alpha， 你 这是 b 呢？我们刚说 alpha 加倍到九十度，苏宁凡他一定是一个直角，理解，没有。苏宁凡，我们是一个等腰直角三角形。因此，这个题，我们本来要求的这个角多少度呢？就这个角，对吧？一定是四十五度 好不好？哎，所以第一问呢，我们求出来四十五度，搞定了。好，接下来我们再来看一下啊。呃，第二问，第二，我觉得他跟第一问好像没有什么关系啊，那我就直接把它清掉了，我把这个也清掉了，可不可以？ 我把这个咱本来就不能带有阿尔法和贝塔，所以我都把它清掉。四十五度。好，现在我告诉你，如果一个角正切是刚好三，另外一个角正切是三分之刚好三，求阿尔法解密了，其实你要知道谁的正切等于刚好三呢？在这里面我就不再详细解释了。可不可以？我们前面其实已经讲的比较憨了，对吧？这个角是六十度， 对吧？你这个角多少度呢？这个角三十度，对应完我们再处理三角函数，我们如果知道它的特殊角，你就先把它求出来，就这两个角相加呢？你这完全送分的吗？九十度。 第二问比第一问更简单。好，这个题难的是我们的第三问。好，现在我告诉你，埃尔法，贝塔，呃，包括那个，这，这个念什么我已经有点忘了啊，对吧？他们都是锐角。嗯，现在我告诉你，我的正极是七分之一，对吧？ 啊？并且这两个角相加等于它让我们求它的正值，该怎么办？嗯？ 是 c 卡马还是 f 七龙啊？好像不对啊，好像是，不管读什么，嗯，就是求它的正值。就是首先我们需要构造一个三，一比三和一比七的。首先一比七，你要知道它是比较难构造的，我们先把它构造出来。可不可以画一个七， 这是怎么样呢？这是长度为七，没问题吧？是不是你数一下长度为七，然后另外一个长度为一，是吧？就像这个样子，那所以你要知道这个角就是我们的 beta 角，这个角是不是我们的 beta 角 把它标出来，就这个角，是不是这个角是咱们的贝塔角？好，那，呃，正确，是一比七。那现在这个一比三怎么弄的？一比三，你会发现如果你像这样画的话，他就有点麻烦了，是吧？我们用用用这个蓝色的画吧。一比三，你这么画出来， 这有啥用呀？你这个角呢？是埃尔法，埃尔法加贝塔，就这个角你放根本搞不定，对吧？这，这怎么求解？ 有点麻烦。那么在这面我们会想，一比三为不要放在一乘以三，我可以放在二乘以六的直角三角形中，可不可以，可以吗？对吧？我做两个一乘以三吧，所以你有法，也就这个边是二，剩下一个边是六，行不行？行吧？那所以也就是这个角呢？它就是我们的阿尔法，是吧？ 它就是我们的 a r 法，所以你所谓的就是让我们求这个角的正切值了，怎么求呢？有量了，可是这个好像也搞不定啊，大家会发现，其实我们刚才标注的是一个什么，它就是一乘以三的直角三角形，大家记不记得等下我在这里把它标出来啊？黑色的， 黑色的，大家记得吗？这是一个二乘以六，哎呸，二乘以六的一个直角三角形，对吧？ 好，接下来你会发现，各位同学们，如果我把这个去掉呢？看清楚啊，你，你，我这个红线怎么移动？你这个贝纳角肯定是不变的吗？对吧？我红线怎么移动，你这个贝纳角肯定不变吗？是吧？你这个角依然是不变的。好，接下来大家看看，如果我连接这条线呢？ 连接起来，大家观察一下，你会发现我把这条线放在了一个直角三角形呢，我也把它放在了一个 v， 为，能看到吗？所以切正反，这个边是一吧，这个边是三吧？哦，你是个二乘以六直角三角形，你两边这里是一比三，我也在一个一比三的直角三角形中。请问接下来各位朋友 护理完毕了没有？是不是已经搞定了？然后把它清掉不要了？把它清掉不要了，可不可以？所以大家能想到吗？你会发现呐，咱们这个直角三角形两只角边是一比三，我们这个直角三角形两只角边，这里也是一比三，所以这两三角形一定是相似的，对吧？ 啊，那既然相似，那我请问一下，举个例子，比方说我们令这个角，我就不再去像刚才那样犯错了啊，比方我令这个角是 x， 好吧，相似了，那你这个角是不是也是 x？ 没问题吧？好，接下来我再令这个角是 y， 比如这个角我们令它是 y， 对 吧？你告诉 x 加 y 等于多少度？它是一个直角三角形嘛？所以我们知道 x 加上 y 一定等于九十度，那你是 x， 你 是 y， 我 们刚说 x 加 y 等于九十度嘛，所以我们可以推出，那这个角百分百是一个直角， 对吧？所以我们把 ar 法加倍啦，直接把它放在了一个直角三角形中，你让我求整个大角它的正切值，对吧？你只要用这条边比上这条边就可以，那这个需要求出来吗？你可以把这个边求出来吗？你可以把这个边求出来，但这需不需要？求不需要， 因为你会发现这个三角形跟这个三角形相似比是几比几？我的一比上，你的二相似比是一比二吗？所以你用这个直角三角形的斜边比上这个直角三角形的斜边，那不就等于相似比吗？那不就是一比二吗？所以你把它的正切值呢？就是二分之一。 嗯，好吧，其实这个题主要考察我们所谓的一种转化思维了，我们接下来继续往后了，再来看一下我们今天的第二十二题，其实这个题你会发现呢，我个人觉得还没有我们前面那道圆难的 好。首先，在我们三角形 a、 b、 c 中，我告诉你， ab 的 ac 的 啊，就是 ab 这个红边，对吧？等于 ac 这个红边，这两个红边是相等的好 啊， d 是 bc 终点。你这么说的话，我觉得就有点看不起我，你连接 bc， 他 百分百是个等腰三角形吗？你取终点，所以也就是我们知道这个边等于这个边，对吧？你这会还知道这个角呢？一定是直角，对吧？这个角一定是直角啊，就这个角一定是 我标这里吧，一定是九十度，可以吧？嗯，好，现在你看它又给出一个条件，角 abc 谁啊？ abc 就是 这个角，对吧？它的角平分线，交 a， 交 a d 一 点啊，这是个角平分线，角平分线。那行吧，我就把它标出来，你这两个角角相等吧，就是咱们这个角，对吧？ 怎么样呢？哎，我画的稍微好看一点点吧，就咱们这个角怎么样？一定等于这个角， 两个小角相等，两个蓝角相等。好，问题来了，嗯，现在我们以 o a 圆心啊， o e 为半径，以 o a 圆心， o e 为半径干嘛呢？ 呃，点 o 在 延长线上面，对吧？我们画个圆。好，如果 ab 是 二倍根号三，你想想啊，你这是二倍根号三，对吧？你是二倍根号三，我也是二倍根号三，你 b d 是 刚好三呀，你 b d 是 刚好三。其实说白了它是个什么东西？各位同学们， 他不就是一个等边三角形吗？对不对？等边三角形，你现在让我求半径，这咋处理？等边三角形 每个内角怎么样？六十度，你平分这个角三十度，所以呢，你要知道没有问题吧？等边三角形吧，所以这两个角都是三十度， 你是个直角三角形，所以我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们要求怎么样呢？求圆的半径。哎，我把这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道这个角呢，一定六十度，对吧？好，剩下的我们知道，这个角呢？拿走 连一下，这不就是半径吗？嘿嘿，那，那你会发现剩下我觉得非常简单。为什么呢？这个边是半径吧， 这个边是半径吧，两边相等吧。等腰三角形，等腰三角形一旦含有六十度，他立马是个等边，对吧？这不百分百是等边，那其实说白了也就是我们这个角呢，他也是六十度，是不是这个角，这不也是六十度的直角三角形，你看看较长直角边是刚好三吧。 嗯，这个直角边是刚好三，所以你不管根据勾股定律还是特殊直角三角形三边比的关系，这个边呢，他是一，这个边呢十二， 所以也就是我们求了第一半，你十二，当然这个题的方法很多啊，对吧？方法非常非常多啊，我们在这里随便说其中的一种。好，我们把它清掉了。清掉了好，第一个的条件在第二个里面有能用吗？他就不能了，因为他说的弱吗？对吧？ 那所以你会发现这些长度呀，这些特特殊的线段呀，你就不能再用了啊。好，我们都把它清掉。好，接下来我们一起来看第二问清的。第二问是什么呢？是圆和 a d 延长线交界 f， 呃，你把 a d 延长，对吧？和圆交 f 点好， m 是 c f 的 中点好，也就是我们告诉你这两边相等的，对吧？这个边等于这个边。其实我们知道这是一个直角三角形嘛，直角三角形斜边中线一定等于斜边的一半，也就是这三条线段一定相等。好，接下来 连接 md， 边延长的交于 n 点，对吧？让我们求什么？求 b n 等于 b d， 哈哈， b n 等于 b d， 这太简单了，我们为什么这么说呢？首先你会发现呐，各位同学们， 咱们可以标注一些角度啊，也就是我们可以推出这个小的蓝角，它一定等于这个小的蓝角，对吧？等于幺三角形，两底角相等吗？ 而你要知道，这个角呢，是我们这一段弧所对的圆周角，那么一定等于这段弧所对的另外一个圆周角也是怎么样呢？咱们这个角它也是一个蓝角。 好，那到这里你会发现还有什么呢？这个蓝角它的对应角是谁？我先把你这个绿色的九十度清掉啊，好，它等于这个角，对吧？ 好，当我们知道这两个角相等之后，整个题目就结束了，为什么呢？因为你要知道咱们这个角是直角的，是吧？我们刚才已经标注出来了。嗯，好，你会发现呢，那也就是你跟我相加是直角九十度，那么我跟你相加自然也是直角九十度，没问题吧？ 也就你会发现咱们这是一个直角三角形，我标哪比较好？标这里，对吧？这个角一定是九十度，那这时你会发现 我这是一个三角形。那我顶角的角平分线吗？角 abc 的 平分线，一个三角形，顶角的角平分线同时是底边上的高，那么他一定是等腰三角形，所以也就是我们可以推出怎么样呢？哦，也就是 b， d 这个边呢？一定等于边，这个边证明完毕，搞定 好，接下来我们看最后一题。那么给出一个抛物线 y 等于 a， x 方加 b x 减三，与 x 轴交于 a 点，负四零啊，就是 a 点坐标呢，是负四零的，我们把它在途中呢，把它标注出来。 好， b 点坐标是一零， b 点坐标一零，与 y 轴交于 c 点，其实 c 点坐标我们也可以求出来，对吧？也就是零负三，我们看一下它到底想干嘛？ p 点是直线 a， c 下方抛物线上一点，也就是又在直线 a， c 的 下方，又在抛物线上，所以 p 点只能在这一段红色的圆。哎，这个，呃，弧线上运动好。 b 问，让我们求 a 加 b， 其实说白就是让我们求二次函数表达式啊，你想想知道，三个点坐标求二次函数表达式，我就直接省略了好不好。 y 等于四分之三， x 平方加上四分之九 x， 再怎么样呢？减去三，所以 a 等于四分之三， b 等于四分之九。因此呢，我们可以求出来 a 加 b 等于几，我们直接求出来。等于啊三， 好不好？简单，我们就过的稍微快一点点。好，这个题的第二个主要考察我们所谓的面积问题啊，好连接 a、 p、 c， p、 bc 啊，你会发现，把 a、 p 连接起来，把 c、 p 连接起来，把 bc 连接起来干嘛呢？ 好过 p 点做 x 轴的垂线啊，垂轴是 f， 和直线交一点，对吧？好，他帮我们做了很多线， 说当 p、 a、 c， 也就是这个三角形的面积等于五分之四倍的 a、 b、 c 等于这个三角形面积五分之四倍的时候，让我们求 p 点坐标。 其实我告诉你这个题常规的方法是什么呢？注意就是把 a、 b、 c 的 面积求出来，可不可以求知道 a、 b、 c 的 面积一定可以求出来，对吧？ 求完出，求完之后呢，那么五分之四倍的我们自然就会轻松搞定了，也就是我这个面积，整个三角形的面积等于一个固定的值， 你可以把这个三角形面积把它表示出来吗？用我们的牵扯法就可以了。在这里面我们会用到另外一个我个人觉得更加有意思的方法，叫做什么呢？叫做平行线的方法。什么意思呢？你想讲你这个三角形跟这个三角形，他们是不是有一条公共的底边？ a、 c 没有问题吧？ 那现在我要面积等于你的五分之四，底是公共的，是相等的，是重复的，我如何使得面积是你的五分之四呢？ 很简单，我只要使得 p 点到你的距离我的高和 b 点到你的距离，我只要使得这两条高是一个四比五的关系，说白了 就是我这条高是你的高的五分之四是不就可以了？好，如何保证我的高是五分之四呢？我们只要做一条平行线就可以轻松搞定了。首先呢，我们把直线 a、 c 把它画出来，那我想问一下，直线 a、 c 的 表达式咱们可不可以求出来？各位同学 一定可以，对吧？为什么呢？因为你要知道我们 a 点坐标是负四零， c 点坐标零负三吧，是吧？你是负四零，你是呃，零负三，呸，所以我们知道整个直线表达式一定给求出来，给我一点时间，好吧，零减负三三，呃，负四减零，负四三除以负四，也就是 负四分之三，也就是 y 等于负四分之三， x 再减去三。好吧，大家可以验证一下，你会发现量求的是对的。好，接下来我们过 b 点呢，直接做他的平行线，过 b 点做你这条直线的平行线。好，做完之后大概长什么样子呢？就大概长。哎，我把它画一下啊， 我把它画成虚线，可以吗？嗯，也就差不多长这个样子。那你要知道啊，两直线平行 k 是 相等的吧，你的 k 是 负四分之三，所以我的 k 一定也是负四分之三，对吧？好，那问题来了，我这个 b 怎么求呢？ 因为你要知道，咱们经过一零，我们不是随便画的平行线，我们是过一零点所做的平行线，有时候你把一零带进去，一定一定可以使得整个等式成立，对不对？所以你说你后面加的是几，你把一零带进去吗？横坐标零等于负四分之三，对吧？ 哎，有数量的我不理解，注意听清楚啊。你把横坐标一带进去吗？右边不就是负四分之三加上谁吗？等于左边你把 y 等于零带进去吗？是吧？所以你发现这里面就是四分之三了， 是不是你加上四分之三才能等于零吗？哦，也就是我们的屁股是什么呢？咱们后面这个屁股是加上四分之三。好，问题来了，各位同学，我如何使得 b 点到你的距离和你这个 p 点到你距离是 五分之四倍的关系呢？其实很简单，你首先看看他相当于往上平移了几个单位。我把这个都清掉啊，你想想从我们下面这个线到上面这个线，从这个线到这个线往上平移了几个单位得到的呀？你往上平移了，从负三到四分之三，他相当于往上平移了 四分之十五，相当于往上平移了四分之十五个单位，对吧？ 你往上平，我往下平移距离只要是你的四分啊，只要是你的五分之四是不就可以了？你往上平两个单位和往下平移两个单位之间距离相等吗？你往上平移和往下平移距离，对吧？哎，我往下平移，如果往下平移 四分之十五个单位，那么 p 点到你距离跟你 b 点到它距离百分百是相等的。但现在我要保证我的高是你的五分之四吗？那我干嘛？我直接乘以五分之四就可以了。理解，没有 咔嚓，咔嚓咔嚓也是。我们怎么样呢？往下平移三个单位就可以了。好，也是怎么样呢？我们往下移三个单位就可以轻松搞定了。 往下移三个单位我们可以得到什么样的直线呢？也就是差不多啊。哎，我随便画一下，在哪不知道啊，就差不多在这个位置，可不可以？嗯，大概长这个样子，你想想这条直线往下平移嘛，那也是在屁股上直接减三，对吧？所以也就是等于负四分之三 x， 你再减三呢？那不就减六了吗？哦，也就是我们这条直线上与抛线的交点就是我们要的 屁点了，理解没有？则是 b 到我的距离跟屁到他距离，我的距离一定是你的五分之四，面积就是五分之四，所以这个交点呢？这个就是我们的第一个屁，这个就是我们第二个屁。我们可以把所有屁点一个不拉全都求出来 好吗？可是问题来了，这个屁怎么求呢？太简单了，你讲讲二函数表达式，知道了你这个一函数表达式，也知道求二者的焦点简不简单？非常简单，对吧？使得它等于它构造方程吧。所以也就是怎么样呢？嗯，我写一下， 四分之三 x 平方加上四分之九， x 减三等于负，四分之三 x 减去六啊，这里的空间不够了，所以我直接稍微口算一下，给我点时间啊， 等一下我好不好？我同时移过去，四分之三 x 加上四分之二，也是加三， x 加上三分之四 x 方加上三分四 x 加上四。哎，刚我们求出来也就是他是 x 加二的平方，对吧？哎，等于零，所以我们求出来也是 x 一 等于 x 二等于负二啊。比如我们求出来 x 一 等于 x 二等于负二，其实这个意味着什么？各位同学们，就意味着也就是我们最终怎么样的。 它刚好是相切的，是吧？它只有一个焦点。为什么呢？我们算出来整个方程的解只有一个对应的数字吗？也是，我们求出来。你这个坐标呢？我写哪？写这里吧。哎，好不好？这里写不下，所以屁点的横坐标也就是负二，对吧？ 嗯，那纵坐标是多少呢？纵坐标。一个把屁点带到这里面去啊一个把屁点带到整个抛线里面去啊。那我们肯定带到这里面去了。乘一下二分之三减去二分之十二也是怎么样呢？等于负的二分之九 好不好？负的，哎，等于这个负的二分之九，我们直接写负的二分之九。好，我们写到这里。嗯，好，接下来我们再继续往后来看一下。第三问啊，其实我个人觉得第三问这个题 有一点放水了。你就是他属于角度的存在性问题，但是我个人觉得有点过于简单了。他是怎么描述的？你看啊，他是这么问的，有点过分。清掉清掉，都清掉，好不好？都清掉，这都不要了。 嗯，他这么说的。那同学们点 m 是 直线， a c 上方，抛线上一动点啊，又在 a c 的 上方，又在抛线上，所以要么在这一段，要么在这一段，对吧？哦，要不要分类讨论呢？嗯，并且使得 m a o 等于 o c a o c a 是 哪个角？ o c 是 这个角吗？就这个角的，它的大小多少呢？我不知道，但我知道这个角一定是固定的，对吧？哎，我只要舍得这个角等于这个角就可以了啊。其实你要知道啊， m a o m a o 是 什么呀？ m a o 其实你会发现 就是我们一条线。哎呦吼，就是我们这一条线怎么样呢？跟我们 a o 的 夹角，对吧？哎，我要跟整个 a o 的 夹角呢，会产生一个锐角，我要舍得。这个锐角怎么样呢？等于你这个角，是不是这个意思？ 好，其实正常情况下这个锐角应该有几个呢？应该是有两个的，为什么呢？我可以在你的上方产生一个加角，我使得这个加角等于你，对吧？我还可以怎么样？我还可以在你下方产生一个加角，对吧？使得这个加角，但你有办法下方呢？ 我们这个点就跟 c 点重合了，是不是？而且这个题目明确要求只能在抛线的上方，所以这个题我个人觉得它就比较简单，是不是？嗯，就这个点呢？就是我们的 m 点，这个该怎么求？这个我个人觉得比较简单啊， 我们在角度的存在性问题。我顺便说一下啊，整个初中阶段所有角度存在性问题，他只有三种方法，第一种方法干嘛呢？我写哪？我写这吧，好不好？第一种方法也就是构造全等或者相似。第二个就是干嘛呢？嗯，构造直角三角形斜边中线。 构造直角三角形斜边中线，好不好？来进处理。第三个干嘛呢？第三个做平行， 做平行啊，所有角度的存在性问题用这三个方法都可以搞定，比方说在正面，原来呢，我们该怎么处理呢？其实这个理我觉得用这三种方法中的任何一个都有点小题大做了，我怎么样使得这个角等于这个角呢？ 你这个题太没有水平了，你其其实直接把 c 点对吧？你对称上去找 c 一 撇啊，这两个角是不就相等了？其实我们这个原理是什么呢？这个原理它就相当于是构造全等啊，明白了没有？嗯，好，也就是我在这先把这个线清掉， 好不好？咱们首先找一个对应点，四点坐标是零三吧，我又找出一个点，使得这个点的坐标，是啊，零负三，我找出这个点是零三，这样的话，我这个点跟这个点啊，是不是就对称的？对称完毕之后，你会发现，你一旦把它连接起来连一下， 你这么想吧，其实你这么连，对吧？这个三角形跟这个三角形是不一定全等呀，全等三角形对应角，对应角自然就相等了，是不是？所以一定相等，你把这条线延长吧。哎呦，你这个还有点为难，我还把它延长， 对吧？延长。所以你要知道，这个点就是我们要找到 m 点，此时 m a、 b 呢，指的不就是这个角吗？它自然就等这个角了，是吧？ 那剩下我们该怎么求解呢？一样道理非常简单喏，我们知道 a 点坐标，知道这个点的坐标，知道两点坐标，求这个一次函数表达式非常简单，等于三减零，等于三零减负，四三除以四，四分之三，哎，口算一次函数 四分之三 x 加上三就可以了。好，现在你会发现，知道一次函数表达式，知道二次函数表达式，求二者的焦点，这个求焦点还需要量去描述吗？ 使得这个函数和这个函数表达式相等，对吧？也就是四分之三 x 平方加上四分之九 x 减三，等于什么呢？等于这个东西我真的担心，有些同学可能我不构造，他就觉得有点卡壳啊，所以最终我们求出来整个方程的解是什么呢？ 呃，等一下，我觉得我用表达定理求是不是更快一些？移过去，移过来，负六，对吧？二者相乘等于三分之四，乘以负六， 负八，负四二，对吧？也就是我们的 x 一 呢，等于负四， x 二呢？等于二，是吧？这个方法我们也会讲哦，在这里面我们就不再多说了啊。你说我们最终求出来有两个焦点，一个焦点横坐标负四。为什么呢？因为这条线与抛线的焦点是 a 点吗？横坐标不就负四吗？ 所以另外一个焦点横坐标是二，也就是指的是 m 点的横坐标是二。纵坐标呢？你肯定带到这里面去吗？ 嗯，二分之三加上二分之六，也就是怎么样呢？二分之九好不好？所以我们求出来也就是 m 点的坐标， m 点的坐标，横坐标二，纵坐标二分之九。搞定，跟着亮亮无脑学习。
47.6万亮亮巧解数学
05:36查看AI文稿AI文稿生意模考完了，那么吭声来给这个卷子做个解析，那么也就是我们最后高考九十多天，咱们高考数学一些冲刺小建议给到大家，我们先说结论啊，就这张卷子肯定比你高考真题是要更难的， 所以各位同学如果没有发挥好，或者被卷子难度给吓到，然后就想着说，哎，我高考怎么办？我焦虑啊，同学们，咱不用那么焦虑好吗？相信坑神啊。那么这个卷子我第一时间想法是什么？就是看到他第一时间蹦出来的就是二年新高考一卷， 就是我不知道咱们考深一模卷子的同学有没有这种感受啊，你听我跟你说一说，看准不准啊，如果准的话打一个准好吧，评论区就是看上去都很熟悉， 但是呢，就是计算量比较大，这张卷子的计算量确实很大啊，咱实事求是来讲，就是如果给你多一点时间，比如说有同学可能说给我十分钟，我可能都能做完二十分钟甚至三十分钟，就是只要给我多点时间，我都能够去完成，但是我就是时间不太够， 以及说有一些可能平常我做卷子我手拿把赚的题，比如说我们像小题的前六个对吧？单选，然后可能一些填空一些这种多选，包括大题的前三个，比如说这次反馈比较多的就第十七题， 对吧？就是感觉这个对我来说应该是啊，轻松得分，但就是呢，我做可能就也做出来了，但我这个分呢，我就拿的不痛快啊，我这个就心情很难受啊，影响我的情绪啊，影响我后面做十八十九题的情绪，有没有这种情况？ 那这个其实就是我们二年新高考一卷这样卷子的风格，只是说啊，之前学长学姐是在高考考场上碰到这张卷子， 咱们是在审一模，那我觉得也不是坏事，你们觉得呢？对吧？就是我们也是一种磨练，那么这样卷子通体看起来它其实是没有创新题，哪怕是我们的选填的难题，包括大题后面的十八十九，其实都是属于常规，但是常规不代表说简单 啊，就是他也是挺难的啊，就是说白了，平常我们是能复习备考到位的，然后也没有什么模块融合题，所以说这个卷子就是让大家会在考场上做的， 就是又爱又恨，爱呢？我题目我可能都见过，恨呢，就是我写不完。那当然同学们就会想着说啊，这张卷子这种风格是不是要重新出现在高考？会不会我们会来考到坑神？个人判断是不太会的，因为二年的真题卷已经被骂惨了， 以及说同学们，咱们是深圳的娃，咱们还有广东很多其他地方，当然我没有任何地域歧视的意思，只是说相对说教育水平发达有差别， 那么大家可能做这个卷子可能做的就痛苦，那很多其他地方其实会做的更痛苦，因为我们高考出题还是要追求一个教育咱们发展的一个公平的原则。 ok， 所以 说这个卷子呢，你体验一下，我觉得挺好，对吧？就是在我们高考之前做一张这样风格的模拟卷，然后呢，忘掉这个卷子的结果， 对吧？去我们迎接明天的考试，那么在最后九十多天我们可以去做点什么呢？那么第一点，同学们就是我的祖宗们，我的小祖宗们就是我，真的就差给大家跪下了， 一定请记住，我们一定要在最后这九十多天磨练咱们的答题步骤的书写，特别是我们的男神们，咱们的男祖宗们就是广东数学高考卡步骤改卷，这个是属于打名牌 啊，这个是真的是打名牌，就是你不要在这个步骤上请给我去随便丢分。第二个呢，我们还是要去多尝试一些不同的解法，你比如说这次我们的例题几何题，我相信会给咱们一些同学敲响警钟，就特别是我们平常只见细的同学， 就这一次的题，你会发现间隙不是说不能做，他就会比较卡壳， 但是你用传统几何法，因为那个图形很对称，你用传统几何法的会做的更快，所以咱们同学们在平常的这种复习当中也要去注意方法的多元性。那其实这个也会对应到我们一些就是比较冷门的东西，因为大家平常用空间向量间隙用的太多了， 太习惯了，可能已经忘了一些传统几何法，所以对于一些类似于这种包括其他的知识板块的冷门东西，我们是需要去在最后冲刺阶段去看一看的。第三点呢，就是我们还是要去多做一些这种现实训练，虽然我说的就是我们在从这几年的高考出题来看，二年难上的天 后面逐渐的往下降，那么在我们前面的这个题目的难度一定会让他躺下去，因为让更多同学能够拿分，因为他出卷不只是面对咱们深圳的同学， 对吧？所以说我们后面冲刺阶段的话，如果可以的话，大家还是可以做一些就是更压缩时间的限时训练， 特别是说你在平常的时候，就说你可能平常做选题，举个例子可能做四十五分钟，五十分钟，那你平常的训练给自己的目标可能是要卡到咱们三十五到四十分钟去往下去。卡 很简单嘛，就是求其上得其中，求其中得其下，你在平常给自己更多的要求，更多的卡时间，那么你在考场才能什么，才能够有更好的状态？ 那最后呢，想送给大家一句话啊，就坑神这么多年，也陪伴非常多一届又一届的同学去奋战，什么高考生艺模其实没有那么重要，放平心态，把它当成是一次全真模拟去体验考试就可以了。
09:52查看AI文稿AI文稿那我在写一篇什么样的作文呢？我先给大家展示，你来判断一下，同学们也可以给我打一个分好不好？首先你们要珍惜啊，很少有一个语文老师敢把自己写的作文给学生看， 敢把自己的分数给学生分享。你别看我弄成电子版了，和那个原来的几乎一字未改，除非那些错别字我把它改过来了，其他的都没改掉。那大家也来评判一下吧，我写的作文我来念吧。 我的标题很奇怪，那人却在灯火阑珊处之我见朱海浪 元宵刚过，驾轩的名作青玉案，元夕空前热闹，变转于朋友圈。 人们常常迷恋那些瞬间的璀璨，如那夜空烟火东风夜放花千树，更吹落，心如雨，更轻现于那千回百转后的怦然相逢。迷醉于蓦然回首，那人却在灯火阑珊处的刹那。惊喜与浪漫。 此皆为戏剧性的瞬间。人人偏爱，无可厚非。但是否有人深度思考这些瞬间从何而来？ 或者换一个问题，如果没有前面的众里寻他千百度，还会有后面的那人却在灯火阑珊处吗？我在这做了一个替换，蓦然回首，哎，我一回头， 你居然在那，原来你也在那。我。我认为这就是一个戏剧性的瞬间，很有戏剧性，确实也是一个瞬间。为什么呢？蓦然回首，蓦然就是突然。我一回首，原来我找了这么久，你就在这啊。所以我以这样的一个标题。紧接着， 理性者或许会以概率论之，无论找与不找，人就在那里，方向不对，一切白费。有时选择大于努力，机缘胜过人力。 这也尝试那些不甘平庸而又不愿努力的自取智慧者的遮羞谎言，是自欺欺人者的自我麻醉。 他们只在乎牛顿被苹果砸下的瞬间，懊悔自家没有阿基米德的浴缸，却总是忽视牛顿被砸前的长期探索，忽略阿基米德从未停止的努力与思考，既被这些瞬间迷惑，又被这些瞬间耽误。是的， 过度偏爱戏剧性的瞬间的后果，可能严重到会耽误人的一生。他常常带来功利主义与机会主义。守株待兔的预言，成不？我期在现代社会甚至愈演愈烈。 我是一个反驳啊，那这些人往往会在乎那些瞬间，会在乎牛顿被苹果砸下那个瞬间，会在乎阿基米德在浴缸里面洗澡的那个瞬间，但是他们忽略了他们背后的一个努力。那 我这段又在谈过度偏爱戏剧性的瞬间，他的后果。什么后果呢？可能会耽误人的一生，带来功利主义和机会主义。他们只相信那些瞬间，不愿意再相信那些长期的努力和探索。 这好比守守株待兔吗？那个农民在一个树桩旁边突然碰到一个兔子，撞在那个树桩上，撞死了。这是不是瞬间？ 有没有戏剧性？这我举了一个例子啊，但是他之后做了一个什么决定啊？他一直在那等，一直在那等候那只兔子的再次出现，一直在等又一个的戏剧性瞬间。那这个后果可能会很严重啊，会耽误自己的一生。而这种守株待兔式的 偏爱戏剧性的瞬间，在现代社会甚至愈演愈烈。接着展示。而同样是面对灯火阑珊的戏剧性瞬间，王国维却悟出古今成大事业者的最高境界，趋于得道。 因为他清醒的认识到，若想成就大事业，必经昨夜西风凋敕树，独上高楼，望尽天涯路的崇高和衣带渐宽终不悔，未衣消得人憔悴的坚守。如此，方能产生蓦然回首的惊喜与奇遇。 换言之，一切的戏剧性瞬间，皆由众里寻他千百度的世俗努力而换得 下一段自许。聪明者自可反驳。如慧能的顿悟，以菩提本无数，彻底消解神秀的时时勤福式的苦修。 更不必提世间本就有奇迹、惊喜、不劳而获，以及那深不可测的命运。然而这种以个例代替普遍，并且相信自己就是那个个例本身，就像极了将瞬间视为一切，并空手等待瞬间的人。 我在这讲的你可能有点不太理解，因为他涉及到一个禅宗的故事，六祖慧能和那个五祖的一个故事，五祖叫红忍。红忍年纪大了， 他要传授他的衣钵了，我把我的佛法传给谁呢？说的简单一点，我这个身份，我这终身的一个佛法事业，我要传给谁？那他一直有一个得意的弟子，这个弟子叫神秀。 然后那个五祖红人就要考察他的弟子吗？让他们写一个佛记，你能从这个寄语当中表明你对佛法的理解，那他的大弟子神秀很优秀啊。他写了一首佛记，佛记的内容是这样子的，身是菩提树， 心如明镜台。时时情浮世，莫时染尘埃。我就是菩提树，我就是明镜台。我要每时每刻，我要去服侍他，我要去打扫，然后不要让我的内心，不要让我的身体染了世俗的尘埃，这个境界其实也很高的，就是时时情浮世嘛。 偏偏这个时候出现了一个叫惠能的人，这惠能没有文化，然后也没有地位。有一天就是众弟子啊，看到神秀写的那个佛记，贴在那个墙上，众弟子都在瞻仰，都在学习。然后惠能看了，他也不识字啊，他就让他的师兄念给我听，然后原来是这个意思，然后惠能就说， 不过如此嘛，写的我觉得不够深，于是惠能也写了一记。他写了一记什么呢？菩提本无树， 明镜亦非台，本来无一物，何处惹尘埃？他觉得没有菩提树，没有明镜台，什么都没有，何处惹尘埃呢？那谁的境界更高呢？就是红人认为慧能的境界更高，因为佛教强调什么？ 强调无，强调空。那慧能没有文化呀，他是顿悟，什么叫顿悟？突然醒悟就在于一个瞬间，马上就明白，大彻大悟是顿悟，那 神秀，他代表的是苦修。红人于是把一波悄悄传给了慧能，然后他又担心神秀要去坑害他，他把一波传给慧能之后， 让他偷偷逃走，到另外一个地方，创立了禅宗。后来禅宗逐渐势大，更加的流行了。这是这样的一个故事，你看到我这举了这样的一个例子，我其实反其易而行之了， 就是聪明的人可能可以给我反驳，因为我前面在说，一切的吸引力瞬间都是由世俗努力而获得的。有的人会反驳，谁说的，世界上就是有一些巧合，有一些偶然，有一些瞬间，比如说，也有些不劳而获，也有些不可知的命运，比如说人家惠能，人家也没有努力啊， 人家也不识字啊，但人家就是牛，就是顿悟了。我在这反驳，反驳的点就在于，慧能的顿悟好像消解了时势情浮世的苦修。但是这些都是个例，极小的个例，而这些人往往希望通过个例 来改变人生，或者相信自己就是那个个例，这本身就是不够明智的。所以，这是我这一段的一个用意啊。接下来，偏爱瞬间本属人之常情，但若迷失其中，则失了清醒， 或会导致人们沉溺于瞬间的期许中，虚度余生。那此时的人生确实犹如瞬间，毫无意义过。而人人皆可偏爱戏剧性的瞬间，但更需懂得这些瞬间的来之不易， 此外，还需为了这些瞬间而不懈努力。恰如李尔克所说，他们要开花，开花是灿烂的，但我们要成熟，这就叫甘居幽暗而努力不懈。 与其迷恋开花的灿烂，莫若从此刻起就为成熟而努力，唯有长期不懈的坚持，经年累月的殇金节律，方能有戏剧性的瞬间，这些瞬间也才更有意义。 所以啊，人生不是那人却在灯火阑珊处的突转式的浪漫神话，而是众里寻他千百度的长期持守。这是我的一篇文章。 我这还换用了雷尔克的诗，我的素材到底合不合适？雷尔克说，他们要开花，开花是灿烂的， 但是我们要成熟，这就叫甘居幽暗而努力不懈。啥意思呢？是人都喜欢花朵的绚烂，都喜欢那一份璀璨。就好比我们材料当中，人们都偏爱于戏剧性的瞬间，因为开花是绚烂的，是短暂的，是充满戏剧性的。但是 真正理智的人应该干嘛？要追求成熟，而不是一味的开花？那追求成熟要你怎么去做呢？ 甘居幽暗而努力不懈，你要心甘情愿的聚于幽暗之中，然后努力不懈的去耕耘，努力不懈的等待开花的那个刹那。换而言之就是你想要获得那个瞬间，你就要长期的努力，长期的耕耘。所以我的素材其实也很合适。那到这 我的作文就完成了，完全了，我们要讨论一下这篇作文到底如何？思考一下，如果你是我的老师，你会给我多少分？
2820海浪文学课
07:44查看AI文稿AI文稿我们来看一下这道题来自于二零二六年深圳高三一模填空压轴题，是一个新定义的题，比较有意思啊。已知 a 一， a 二 a 三，一直到 a 八是八个正整数， s 等于这么一大串，它的值等于八二八三，一直到八九，则这八个正整数中最大数与最小数的和为多少？这个题的难度来自于对这些数学语言的一个理解， 知道吧？我们来看一下这个 s 是 什么一个东西啊？ s 等于这个大括号， s 是 一个集合，对于谁的集合呢？ a i 一， 一直加到 a i 七，什么意思？你看 i 代表的是 a 的 角码， 这里是七个数啊， i 一 到 i 七，一到 i 七七项，是吧？ 有七项，求七项的和组成的一个集合。这个七个项哪七项呢？你看这里的意思啊， i 一 小于 i 二小于一，只小于 i 七，什么意思呢？就是说不重复的 这些项是不重复的项，并且是七项的和，而且是能够取到 a 一 到 a 八里面的任意的七项， 整个是八个正整数，任意七项的和是这么个意思， 他们的值等于这几个数，知道吧？好，我们来看一下他的值啊，八二八三八四八五八六八七八九一二三四五六七，他的结果是七个数。 我们知道看那个奥运会的跳水的时候，那个解说员说去掉一个最高分，去掉一个最低分，那么他的总分为多少多少，是不是这里呢？就是说这里有八个正整数，相加去掉其中一个， 我们知道 c 八去掉其中的一个就是取七个，所以它的结果是八个，对不对？ 八个。如果这里八个正整数都不相等的情况下，那么他得到的结果一定是八个结果，而这里只有七个答案， 七个答案说明这八个正整数里面有两个是相等的， 同不同意，想清楚是吧？八种情况为什么只有七个答案呢？对不对？所以说有两个是相等的数，这样子根据集合的互异性只显现出七个值， 好，没毛病。好，到此为止，我们就解决了一个难题，有两个相等的，接下来就更加有意思了啊，如何得到最大这八个数？ a 一 a 二， a 三， a 四， a 五， a 七 a 八，如何得到最大的？是不是去掉那个最小的那个， 对不对？其他的七个相加得到最大八十九，然后你看一下这个八十七怎么得到的？是不是要去掉第二小的那个？第二小的那个去掉是不是？ 而且他们是相差二的，看到没有？也就是什么意思呢？我去掉最小的那个得到八十九，去掉第二小的那个，得到八十七，说明最小的那个和第二小的那个 两叉二，同不同意？我把最小的那个去掉，比这个还大二，对不对？所以最小的那个为 a 的 话，那么第二小的那个就是 a 加二，同不同意？ 同不同意？然后你这个为什么会得到八十六？是不是要去掉第三小的那个？你看他们是连续的第四小，第五小去掉第六小，这里是去掉最大，所以说后面的那个，哎，第三小的那个是 a 加三，他们是连续的， 其他的数其实都是连续的 a 加四， a 加五， a 加六， a 加七， 一二三四五六七七个数，这里有八个正整数，所以还有一个相等的，是吧？我不知道这个相等的是哪个相等啊？哪个相等？所以我令他为 b 为 b， 可能是 a， 可能是 a 加二，可能是 a 加三，所以说有这七种情况，对不对？然后去掉这个最小的这些数，六个数加上这个 b， 就是 八乘九 八十九，等于它们相加啊。你看一个 a， 两个 a， 三个 a， 四个 a， 五个 a， 六个 a， 六 a 加上一个九，两个九，三个九，二十七，再加一个 d， 八十九。嗯，你看，我只要解出这个 a， 这个最小值和这个最大值就出来啦，是不是？所以主要是解 a， 但是这里有两个未知数，你是不是想到还可以列列其他的方程啊？你看这个最小的八十二怎么来的？八十二就等于 这个速相加吧。这些速相加是吧？也是六个 a， 五十二十，再加一个相同的 整理一下。你看这个移过去就是八十二等于六。 a 加 b， 这个也是啊，六十二，六十二，六十二，这个也是六十二等于六。 a 加 b， 两个一样的，没有用啊，你用这个也是一样的，也一样啊，也一样。所以怎么办呢？ 哪个地方出现了问题啊？对了，他是正整数， 有这个就够了。为什么？因为 b 只能在这七个数里面去取，我干脆让它 令他为 a 加，要么是零，要么是二，要么加三，要么加四，要么加五，要么加六，要么加七。 a 加 k， k 只能取零，二三四五六七，对不对？由于他是正整数，所以他势必这个七七 a， 七 a 啊，这里七 a 等于六十二减 k， 这个势必又能被七整除，漂亮吗？因为它是正整数，是不是？所以也就是这个数是七的倍数？ 七九六十三？不可能啊，当 a 等于九的时候，不可能，因为它是怎么样。 k 只能取零零二三四五六七这个数，所以 a 等于八，看可不可以。 a 等于八七八五十六，六十二减去六，是不是 六十二减去六刚好是五十六，符合题意是吧？这个相同的数就是 a 加六， 如果 a 等于七的话，七七四十九，它要减十三才可以。不行啊， 所以唯一的答案是， a 等于八，最小是八，最大是十五。然后两式相加，两数相加等于二十三，轻松搞定，十分自然。你学会了吗？牛逼牛逼！
65中高考数学王老师
01:38查看AI文稿AI文稿一起看看这个同学，同学，这次深一魔英语你能考多少分？呃，这个数啊，一百五十分。这么屌？没有啊，就三十分之一。呃，阅读题就拿了五分呐，呵呵， 同学同学，这次深一魔的生物考的怎么样？ 一般有什么令你印象深刻的大体吗？看到两只牛蛙在我视线上跳，它还会变性，一会变公，一会变母，一会变雌，一会变雄，一会这样跳，一会那样跳，我真是破防了。兄弟们， 同学同学，这次声音模考得怎么样啊？ just so so。 有 什么感想吗？希望下次题能出难一点，要不然拉不开差距。 同学，同学，这次声音模数学你能考多少分？应该是这个数吧，一百五十分。这么高吗？应该是平均腰斩成三截吧。那这次考试中有什么令你印象深刻的题目吗？ 那应当是我打底卡翻面后看到那两个球了。本以为只有在抖音上能看到的题目，居然出现在我的试卷上，一下子给我尿下了两滴。啊，那最后那两个大题呢？ 两个大题？等一下，电话响了，好像是我妈叫我回家吃饭了，哎喂，妈哟！
504无水硫酸铜
