江南十校联考高三数学几何

江南招生联考早已落下帷幕，这道圆锥曲线我认为真的非常的经典，这次我接下来好好讲一下这道题目。首先这个题目的核心就是有三个，第一个单动点问题，认准三角代换这个 p 点就是椭圆上的单动点对不对？ 然后问题就是你无论如何都要把 i 点和 g 点的坐标表示出来，你其他事情不要做，一定要做这个事。第三就是内心的最佳翻译，小平方线定律加上合并定律。 ok， 接下去我们带着这三个要点来好好讲一下这道题目。我们从这个第二问开始讲，第一问的方程直接写出来，首先 s 点和 t 点咱们标出来完之后，由于它是单动点问题，所以我直接用三角代换把 p 点设出来去的话，翻译内心的条件对不对？那我们这个时候用一个面积公式， s 的 二分之一 st 加上 ps， 加上 pt 乘以二， 这个时候的话我们可以进一步的计算，那我们说 s， 它又等于二分之一的 st 乘上多少？乘上 x p 嘛，就是根号三的 cosine c 糖，这样子我是不是就可以把二给解出来，这个代表二 a， 这个代表二 c 啊？ 那这样解出来完之后，它就是三分之根号三的 cosine c 糖，为什么我要把这个二解出来？因为你观察到这个 st 它是在 y 轴上， 所以说我们的这个 i 点的这个横坐标音就是 r， 但我先讲可以理解啊，那我们 i 点横坐标表达出来完之后，接下去的话就很简单，我们去表达 g 点的坐标对不对？也就是说 g 点和坐标， g 点横坐标也好算的要命，三分之 x p 加 x s 加 x p， 这个时候表达出来就是多少，就是三分之根号三的 cos， 所以 x i 就 等于 x g， 那这样子我们的第二问就证明完毕了，特别的简单，加去第三问其实也不难，那问我们怎么去处理啊？首先我们说要先表达这个面积的条件对不对？ s 它本身等于多少？等于 二分之一的 i g 乘上 x a 减去 x b， 水平宽乘以千垂钩，对不对？这个时候呢，我们只要进一步去量化 i g 和 x a 减 x b 就 好了， 那这个 i g 我 们怎么去表达？这个时候我们就要去求 i 点的坐标嘛，对吧？我们讲延长 e i 至 q 点，这个 q 点是与 y 轴的交点，我们说此时我们分两个三角形去表示，在 e t q 中， 根据角平分线定义，大家没问题哦。然后同理你在另一个三角形，这个叫做 p s q 中， 它就会有 ps 比去 qs 等于 pi 比去 i g， 这个设为一式，这个设为二式。然后去根据和比例啊， pi 比去 i g 等于这两个相加，我就可以把它写成 ps 加上 pt 比去多少比去 qt 加 qs， 这一步是非常重要的点，你观察到还是那句话， ps 加上 pt 就是 二 a u s 加上 q t 正好是二 c， 对 吧？此时表达出来正好等于二， ok， 那 我就得到了 pi 等于两倍的 ig， 得出了这个条件以后，那根据向量我们就可以写出 i 点的坐标。好了， i 点坐标我们写出来完之后，接下去我们说 g 点的坐标也可以很快写出来， 都是三分之一的关系，所以我们的 i g 就 能很快算出来了， i g 算出来，现在算 x a 减 x b， 这个时候我们就要利用钟点弦的条件，因为它这边有个相等的嘛，也就是 k a b 乘上 k o g 等于负的百分之四，这样的话我们就可以把这个 ab 的 斜率先求出来，你求出斜率了以后，接下去 ab 方程就能求出来，利用这个 g 点作为这个动点，这样的 ab 方程出来就是 三倍的三 c 塔乘以 y 加二倍根号三口三 c 塔 x 减二等于零。出现这个方程之后，接下去我们最后连立 ab 与椭圆可以得到的这个方程就是这样的。立这个的目的大家应该都知道，就是算 x a 减 x b 呗。 其实你发现 x a 加 x b 表达定律，大家连理也要有连理的门路，你写完了表达定律之后， x a 减 s b 就 可以轻松写出来，挺简单的啊， 最后我们的面积表达式就特别容易了。 ok， 那 后面的这个范围大家应该就不言而喻了。好，谢谢各位，我们下次再。

下面我们看合肥一模，已知一个椭圆离心率是二分之，根号三点 a 在 c 上，这很明显 b 等于一，那么猜想 a 等于二， c 等于根号三，应该很正常，此时离心率确实是二分之，根号三，所以第一问答案 四分之 x 方加 y 方等于一，不再赘述，看第二问 过点 e 零负五分之三的直线交 c 于 m n 两点。求证以 m n 为直径的圆过定点。这种题目我们一定要有一种思想方法，叫做由特殊到一般， 他说以 m n 为直径的圆过定点，他对 m n 并没有特殊的要求，只是过点 e 即可， 那么我们就可以让这条直线水平来一次，再垂直来一次。就像我下面画的这两个图一样， 对于垂直的，很明显他的圆心就是 o， 这样我们可以很轻松的画出这个圆来。而对于水平的情况，我们可能需要计算一下。 将 y 等于负五分之三带入到椭圆方程中，我们可以得到 x 是 等于正负五分之八的， 也就是说这个圆的半径就是五分之八，而我们不难发现这块的距离是一，也就是说以它为圆心的圆要经过上顶点。 另一种情况，垂直他也是经过上顶点，所以我们不难猜测，让我们证明的那个定点就应该是上顶点，这就是由特殊到一般的基本思路和过程。 那接下来我们事实上只需要证明他的上顶点，比如说这里是点 a 的 话，我们只需要证明 am 垂直于 an 即可，也就是 k a m 乘以 k a n 等于负一。这个相信大家已经在平常做题中做过无数次，我们简单走一下过程， a 点零一，设 m 点，坐标 x 一， y 一 n 点，坐标 x 二 y 二。当 m n 斜率存在时， 设 m n 的 方程， y 等于 k， x 减五分之三，然后跟椭圆连立，四分之 x 方加 y 方等于一， y 等于 k， x 减五分之三， 这是硬解最有用的地方之一。四、 k 方加一， x 平方减五分之二十四， k x x 一 加 x 二， 这两个如果你不会应解，当然也写得出来。但是下面的 y 一 加 y 二和 y 一 乘 y 二，如果没背过应解的话，算起来就要花一点时间了，但是背过就不存在了。 y 加 y 二，我们知道是 k 方 a 方加 b 方 分之二倍的 b 方 m， 所以 这里我们直接写就可以。但是写答案之前还需要假装写一步， 它等于 k x 一 减五分之三，加上 k x 二减五分之三，也即 k 方 a 方加 b 方分之二倍的 b 方 m 负的五分之六， y 乘 y 二，同样先假装写一下计算过程， 然后直接出结果。 k 方 a 方加 b 方分之 b 方乘以 m 方减 k 方 a 方 k a m 乘以 k， a n 等于 y 一 减一，除以 x 一 乘以 x 二分之 y 二减一等于 x 一 x 二 分之 y 一， y 二减 y 一 加 y 二，再加一，我们现在希望它等于负一。 将上面写的伟大定律这些东西代入这里，代入的时候注意这几个伟大定律，会发现它的分母都是一样的，所以这里分母完全没有写的必要，只是后面这个常数一要把它乘以分母，不要忘记。 所以 x 一 x 二，我们直接写负二十五分之六十四。上面 y 一 乘 y 二，只写分子二十五分之九减四 k 方减去 y 一 加 y 二，就是加上五分之六， 然后再加一。刚说过，我们把分母乘掉了，所以要加上四 k 方加一。到这时事实上连算都不用算，只要你伟大定律写的对的，它必然等于负一。所以 am 垂直于 an， 即以 m n 为直径 过点 a。 第二问，其实难度并不算大，主要是大家要有这种从特殊到一般的思想，并且在考试中学会使用。 下面我们看最后一问，再令起一页。当直线 m n 斜率存在时，即三角形 a m n 外接圆和内切圆半径分别为大和小二，且根号二倍的小二加大等于 m n， 求直线 m n 的 斜率。 这里我画了一个图，我们假设 m n 的 终点是点 p， 开始写之前我们需要去分析。经过上一问，我们发现以 m n 为直径的圆是过点 a 的， 换言之， am 垂直于 an， 也就是说三角形 amn， 它是一个 r t 三角形。 这里三角形 a m n 的 外接圆，或者说三角形 a m n 的 外心其实就是 m n 的 中点 p。 这个相信大家都知道，直角三角形的外心就在斜边的中点，而内切圆 直角三角形的内切圆半径相信大家应该也知晓，等于二分之 a 加 b 减 c。 如果不知道，同学可以赶快去查一下，并且学会证明，这个在考试中可以直接用，是无需证明的。好，分析完这些，咱们来开始研究。他说根号二倍的小 r 加大 r， 我 们需要先写一下 三角形 a m n 为 r t 三角形角 m a n 等于二分之派，故外接圆半径等于二分之一 m n， 而小 r 等于二分之 a m 加 a n， 再减去 m n， 这样我们可以得到将大和小代入其干给的条件。根号二倍的它加它等于， 也就是 a m 加上 a n 等于根号二倍的 m n。 这括号应该是不用打。 我们又知道 amn 是 个直角三角形，现在得到了它俩相加等于根号二倍的 m n， 这看起来有点像我们之前学的一一根号二， 所以我们可能会合理的猜测这是一个等腰直角三角形，有没有办法证明或者判断呢？我们接下来继续 由 am 方加上 an 方等于 m n 方，这是勾股定律对吧？再来，我对这个式子，两边平方 a m 方加上二倍的 a m 乘以 a n， 再加上 a n 的 平方，应当等于二倍的 m n 的 平方。这样我两个式子一比对，就会发现， a m 的 平方减去两倍的 a m a n， 再加上 a n 方要等于零，也即 a m 减 a n 的平方等于零，即三角形。 a m n 为等腰直角三角形， 知道吗？它是等腰直角三角形。那这个题就好做太多太多了。显然， k 等于零是符合题意的，因为根据对称性， k 等于零的时候， am 是 一定等于 an 的。 如果 k 不 等于零，我们还需要计算一下，因为它是等腰直角三角形，所以这里必有 ap 垂直于 mn， m n 的 斜率是 k， 也就是我们要求的，那么我们只需要让 ap 的 斜率乘以 m n 的 斜率等于负一，也就是说，我只要把 ap 的 斜率表示出来， k 也就算出来了。设 p 二分之 x 一 加 x 二，二分之 y 一 加 y 二为 m n 中点， 则把我们刚刚上面伟大定律求出来的 x 一 加 x 二和 y 一 加 y 二分别除以二，就得到了 p 点的横坐标和纵坐标。 这里我们稍微整理一下，写成十二 k 比上五乘以一加四 k 方，然后负的三比上五除以一加四 k 方 有 p 点坐标，我们就可以把 ap 的 斜率写出来。 kap 等于负五 k 方减二，再除以三 k， 由 k a p 乘以 k 等于三分之负五 k 方减二等于负一，我们可以解得 k 等于正负五分之根号五。 那么综上所述， k 等于零或 k 等于正负五分之根号五，也就是我们要求的直线 m n 的 斜率。 这道题的第三问，不知道大家听下来感觉难度如何？觉得它配不配？作为整个试卷的压轴题的最后一问， 我说实话，我觉得他还是配的，虽然说他的绝对难度确实不高，但是这一路想下来确实还是要花一定的思维的，再加上后面的这些转化，也确实不是每位同学都能想到的。 这道题主要给我们积累的内容就是直角三角形内切圆和外接圆的半径 的表示，以及复习一下直角三角形的外心在斜边的中点。当然，相较于最后一问，更为重要的是 第二问，第一小问的由特殊到一般的思想，它不仅在这道题中有用，由特殊到一般是一种非常重要的数学思想，在考试的各个板块各个位置都有可能用得到，希望大家好好体会，认真理解。 本期视频就录到这里，有什么问题可以在评论区留言，咱们下期再见！

前两天刚考的安徽江南职校高三三月联考，几乎考的全是热点，计算量过大，对学生知识熟练掌握程度和综合能力要求非常高。难度近年最大。单选后三题均有难度。第六题的同类题型在刚考过的深圳一模式单选压轴题 难度可见一般。第七题结合几何图形的等比数列题，运算量稍大。第八题考察抛物线和圆的综合分析，难度较大。第十题考察立体几何的各种综合问题，需要很高的熟练度。第十一题考察三角函数综合性质， 尤其是对称性，还有核导函数的结合，也是有综合性。第十四题可以借助容斥原理来计算，需要仔细分类。这种题型近年出现次数较多的易错题、大题。前三题虽然相对基础，但第十六题的题干吓人。第十七题的计算量较大，在考场上很多同学被折磨的没有多少时间去做最后两道压轴题。 第十八题二三问需求出内心和重心坐标，最后面积可以利用千锤距离来计算，有心意选错方向计算量就很大。第十九题是三角函数结合指数函数的多变量不等式压轴题。第三问考的常规，但计算量大。

这一节我们正是讲解江南时校数学的那道例题几何题。废话我们也不多扯了，直接开始讲解，第一问我们就不讲了，直接跳过第二问。说实话，这第二问我用的是几何法， 因为我之前跟大家讲过这么一句话，例题几何间隙法留到最后一问，其他问用几何法去做，所以这个题的第二问我用几何法，第三问才用间隙法。但是我想说的是，这个题的第二问用几何法比较繁琐，没有几何法来的简变。 这个题的第二问，我想出题人应该是推荐的适用间隙法，也就是给的解析答案，答案是间隙法，因为题是太明显了，这这二面角的题型，我们回到图中一看，这不就是明目张胆在告诉我们间隙的位置啊， 然后间隙一键 e 点和 f 点坐标一表示， e f 的 长度就来了。所以在做数学题时，我们一定要学会揣摩出题人给我们的方向。提醒。 但是虽然这第二问提醒我们用间隙法这么明显了，但是我选择的还是用几何法则形合一。我的笔记里也给大家展示的是几何法，因为我跟大家说过的那个原则，这个题还有第三问，所以我把间隙法留到第三问， 所以我现在给大家讲讲这个题几何法的思路，也就是我的笔记。我们从几何法角度面对，求距离长度肯定就是两个思路，勾股和余弦勾股占据大多数情况，所以我开始做的时候，就是把 e f 放置到一个直角三角形去求解。因此 我接下来做的就是去构造一个以 e f 为边的直角三角形，所以我过点做 m a c， 然后连接 e f m f， 这时候我就发现这就是一个直角三角形。 因为珠念 a d c m 珠，所以这 m 念 a d c， 而 m f 是 在念 a d c 内的，所以这就是一个直角三角形。思维到这一步，这个极基本就全不通了。最后用勾股定律求出 e f 就 ok 了。 在求 m f 的 过程中利用的余弦定力，所以计算细节就比较繁琐了一些，大家看我笔记那里就知道了。第二题我们讲解结束，接下来开始我们讲解第三题。第三题在看到问题时，两个平面夹角的余弦值，那肯定就是提醒我们用间隙吧， 所以不管是解析还是我的原则，这最后一问肯定是间隙吧。这里要注意一点是第二问折二面角，那是第三问的如果所以跟第三问是无关的，也就是第二问的任何结论都不是用第三问， 所以第三问间隙位置我们是不能直接看出来的，需要观察思考，选择间隙位置，然后证明间隙位置的成立性。 我选择的是取 o g 的 中点 n， 然后以 m 点为圆点间隙，而不是以图中的那个 o 点。间隙完成后，那接下来就属于简单环节，因为剩下的只需要动手了。 首先标两个平面的点坐标，然后标线段，最后求出两个平面的法向量，最后用公式求出两平面夹角于弦值。好了，这个题我们就讲解完毕了， 谈一下感受。这个提出的也可以属于那种说难也不难，但就是你做不出的那种味道，哈哈， 其实这种题重要的就是思维，认真审题，首先读出出题人的提醒，然后开始串联解析结构。就像我刚才给大家一步步剖析的环节，先确定解析方法，然后开始串联，最后打通思维，再开始无脑动手操作就行了。希望大家有所收获和成长。 say goodbye！

大家好，这里是龙虎七对近期模考题中圆锥曲线与三角形四心的综合题目时常出现，这类题目往往综合性强，计算量大，不易入手，给同学们造成较大困难。 这期视频我将选举几道有代表性的题目与大家分享，希望能够对大家有所帮助。首先看江南时校联考第十八题， 如果点 m 在 运动过程中总满足关系式，这是一个两点距离之合，等于四。设点 m 的 轨迹为五米格，求五米格的方程，那由提议 m 的 轨迹应该比较显然是一个椭圆，因为到两定点距离之合为定值，由提议 m 的 轨迹 零负一和交点 以四为长轴的椭圆， 故 三分之 x 方加上四分之 y 方等于一。做这类诡计问题大家一定要小心，在写完方程之后，务必要留心看有没有不符合题的点，那这道题应该是没有不符合题的点，所以我们直接就过。 接下来看第二问，若 s 零负一 t 零一，那也就是我们刚刚求得的上下顶点 p 为欧米伽上一点，不在坐标轴上设点 i、 g 分 别为三角形 p、 s、 t 的 内心和重心， 那三角形四心就来了。这题目中还有两个，一个是内心，一个是重心。第一小问证明 i g 所在的直线与 y 轴平行，那这里简单画了个图， 这里需要更多处理的其实不是点 g， 而是点 i。 因为我们知道，我这里随便写一下，假设现在有三个点 abc， 如果 g 是 abc 的 重心，那 g 的 坐标应该是三分之 x 一 加 x 二加上 x 三， 三分之 y 一 加 y 二加 y 三，那相信这个大家都清楚，考试中也不需要过多证明，咱们直接使用就可以。尤提 e， 那我们先把相应的点设一下，设 p 点坐标 x p， y p， i 点坐标， 则 g 点应该是显而易见的三分之 p t， s 横坐标之和，三分之 p t， s 纵坐标之和，那也即三分之 x p， 三分之 y p。 那么求出了 g 点的坐标之后，我们接下来要求 i 点坐标，而这里我们最主要是要求 i 点的横坐标，因为我们证明的是 i g 与 y 轴平行，所以我们只需要证明 i 点的横坐标跟 g 点的横坐标一样就可以了。 对于内心，我们常见的处理方式主要是通过角平分线性质转化为边长的比例，或者通过内切圆半径与三角形周长和面积的关系进行转化， 再或者利用圆锥曲线的光学性质等等。具体到这道题，由于 ts 分 别是椭圆的上下焦点，所以三角形 pts 的 内切圆半径其实就是 i 点的横坐标， 所以用周长和面积关系来转化，我认为会更加容易一些。那这里我们简单列一下三角形的面积 s， 三角形 pst 等于二分之一乘以 st， 再乘以 xp， 这应该是显而易见的二分之一底乘高，而我们知道 s 和 t 的 长度是二，因此就等于 xp。 与此同时，它还等于二分之一 加上 pt 乘以 x i， 再加上 ps 乘以 x i， 那 这就是利用内切圆把，或者说内心把三角形 p， t， s 分 成了三个三角形，然后它们的面积应该分别相加。那这里由于 二分之一 st 加上二分之一 pt， 再加上二分之一 ps， 我 们看它是不是一个定值， ts 是 二，所以二分之一 ts 就是 一，而 pt 加 ps 是 不是正好符合椭圆的低定义，所以它俩相加等于四，故整个这个式子相加等于三，那也即 x i 等于三分之一 x p。 到这我们还需要再交代一下，它们俩横坐标相等，并不一定就直接意味着平行，因为还有可能它俩重合，所以我们要把重合这件事情给排除掉。 又因为 p 不 在坐标轴上， 物 y i 一定不等于 y g， 因此那把我们要证明的结论抄一下， i g 所在直线 与 y 轴平行。 第三，问过 g 做直线 l 与轨迹欧米伽交于 a b 两点，且 a g 等于 b g， 求三角形 a b i 面积的取值范围。这里我们再另开一页， 求三角形 a b i 面积的取值范围。这里我们首先应该考虑如何表达三角形 a b i 的 面积。 由于上一问我们证明了 i g 与 y 轴平行，这个提示给的还是比较到位的，所以一个比较正常的想法， s 等于二分之一 i g 乘以 x 二减 x 一， 其中 x 二 x 一 对应就是点 a 和点 b 的 横坐标，相信这样表达大家大都能想的出来。那接下来我们看一下我们为了表达这个式子需要算些什么。 i g 的 长度 g 点我们横纵坐标都知道，而 i 目前我们只知道横坐标，还不知道纵坐标，所以求 i 的 纵坐标求完之后， i g 就 能得出得出 i g， 其实这个题也就差不多了。 那么如何求 i 点的动作表？这里方法其实也是有很多的，不过我们不妨先用更高的观点来看一下能不能先得出答案。 我们知道椭圆的方程是三分之 x 方加四分之 y 方等于一，简单化简一下就是四 x 方加上三 y 方减十二等于零。 根据椭圆的光学性质，我们知道 tp 和 ps 被 pi 平分，就是 pi 平分角 tps， 因此 pi 要垂直于 过点 p 与椭圆相切的直线。事实上， pi 的 斜率我们是可以直接知道的。我们设了 p 点，坐标是 x p y p， 因此 p 切就是四 x p x 加上三 y p， y 减十二等于零， k p 切等于负三 y p 分 之四 x p k p i 乘以 k p 切等于零。所以 k p i 等于四 x p 分 之三 y p。 这样我们代入 i 点坐标就可以得到 y i 减去 y p 等于 三 y p 除以四 x p 乘以 x i 减去 x p， 可以 解得 y i 等于二分之 y p。 当然，这是我们利用椭圆的光学性质，大家在草稿纸上简单算一下，但是这个方法肯定不能直接写在答题卡上，所以我们还是需要用高中所允许的方法来解。 i 的 纵坐标 截起来也不难，我们可以使用点到直线的距离等于半径。比如说我们设 ps， y 减一等于， 这是 ps 的 方程， i 点到 ps 的 距离 是不是应该等于 i 点的横坐标啊？因为这都是内切圆的半径，所以 i 到 ps 距离 三分之 x p 的 绝对值等于。这里我们写一下点到直线距离公式， 根号下 y p 减一的平方加上 x p 的 平方，上面是三分之一 x p 乘以 y p 减一减去 加上 x p 的 绝对值。这里我们就不用真的去计算了，因为刚刚已经通过光学性质算出来它的纵坐标，所以咱们直接出答案即可。得， y i 等于二分之 y p。 得到 y i 之后，接下来我们可以研究 x 二减 x 一 的绝对值。由于这里 a g 等于 b g， 也即既是 ab 的 中点， 处理中点弦的问题，我们最常使用点差法，因此这里使用点差法就非常的顺理成章。那我们先设一下坐标， 设 a 点 x 一 y 一 b 点 x 二 y 二。由于 g 是 ab 的 中点，则 x 一 加 x 二等于两倍的 x， g 等于三分之二。同理， y 一 加 y 二， 三分之二 y p。 将 ab 两点带入椭圆方程。这里我还是建议大家带一个通分后的椭圆方程，计算更方便一些。四 x 一 方加上， 然后两式相减， 左边是两个平方差，右边是零，然后通过一项，我们便可以获得 y 二除以 x 二减 x 一， 这是点差法的标准操作，我就不再过多赘述了。负， 由于刚刚已经写过 x 一 加 x 二和 y 一 加 y 二，所以这里直接等于负三分之四乘以 x p 除以 y p， 这样我们就得到了直线 ab 的 斜率。得到斜率之后，咱们来表达一下 ab 的 方程，故 ab ab 是 过点 g， 所以 我们可以用点斜式来表达。 y 减 y g， y g 是 三分之一 y p 等于 k， 负三分之四 乘以 x 减 x g， x g 是 三分之一 x p。 这样简单整理一下，可以得到 y 等于负 加上三 y p 分 之四。这个式子是一个看起来不太简化的式子，所以我们简化一下。射 k 三， y p 分 之四等于 m， 那 也即 y 等于 k， x 加 m， 此时我们再跟椭圆连立，便可以解得 x 二减 x 一 的绝对值。 y 等于 k， x 加 m 三分之 x 方加。 接下来就是应解定律发挥的空间了，咱们直接往上写， k 方 a 方加 b 方， x 方加上二 a 方 k m x 加上 a 方乘以 m 方减 b 方等于零。 由于我们要算的是 x 二减 x 一 的绝对值，所以 dara 是 肯定要计算的。 dara 等于四 a 方， b 方乘以 k 方， a 方加 b 方减 m 方。那这个式子里既带着 k 又带着 m， 计算起来是非常不方便的。所以我们需要把 k 跟 m 消一下，看一下能不能都用 x p 或者 y p 来表示。四十八 四十八 x p 的 平方除以九 y p 方加四，减去九 y p 方分之十六，化简一下就是三 y p 方分之两千零四十八。 这个数确实还是不是特别好算。得到德尔塔之后，我们再写一下伟大定律， x 一 加 x 二等于三 k 方加四分之负的六 k m x 一 x 二等于三 k 方加四分之三倍的 m 方减四。 这里写伟大定律的目的主要是我们得到它是需要用伟大定律才能推得出来的。虽然结果我们能背得过，但是我们伟大定律需要写在答题卡上，它等于根号下点塔除以 k 方， a 方加 b 方。 简单化简一下，就是三十二倍。根号六比上三 y p 的 绝对值乘以四加三 k 方。 得到它之后，所以 s 三角形 a b i 等于二分之一 i g 乘以 x 二减 x 一 的绝对值。我们知道 i g 的 长度是六分之一 y p， 所以 这里我们化简一下，就是 十二分之一 y p 乘以 三 k 方加四分之三十二倍，根号六 y、 p 约掉三十六分之三十二，约个分就是九分之八，上面是根号六，下面是三。 k 方加四， 此时三角形 a、 b、 i 的 取值范围将完全转化为 k 的 取值范围。这里我们知道， k 方属于零到正无穷， 所以 k 方最小的时候整体就最大， k 方最大的时候整体就最小，那么 k 方最小是零，但是零是取不到的，所以是 k 区间，此时对应最大值 k 等于零的时候是三十六分之八，根号六约个分就是九分之二倍的根号六。 当 k 方为无穷的时候，整个分母都是无穷无穷分之常数自然极限是零，所以取值范围最小就是零，但是开区间是取不到的，这样我们就求得了三角形 a、 b、 i 面积的取值范围。 总的来说，这道题难度还是不小的，重心和内心，这道题主要是内心的处理方式，希望大家能够积累下来，在以后的学习考试中可以用得上。

听说二十二万安徽考生直接被江南职校考破防了，今天一条视频带你速通江南职校数学大题，每道题手把手算，一步一步带，听完还不会尽管来找我标题，嗯，第一问啊， m 点 x 符号 y， 在 运动过程中始终满足这个式子，然后记这个 m 点的轨迹是 omega， 然后你看啊，第一问，求这个 omega 的 方程， 其实它就是 m 点到这个零一的距离和到这个零负一的距离加起来呢，它是个四。所以啊，它是不是符合我们这样一个以零逗号一以及零逗号负一为焦点的这样一个数值的这个椭圆的这样一个定义啊？对于这个椭圆呢，我们这个小 c， 它是等于一，然后四呢，它应该是个二 a， 所以 说小 a 它会等于二， 所以我们可以把它写出来，它是一个四分之 y 方，再去加上一个三分之 x 方等于一。那我们提醒大家啊，就我刚才说的那些话，你最好写一下，你不要直接来个这个东西啊，你一定去说这个 m 点的轨迹，它是以零一零负一为两个焦点，然后长轴二 a 等于四的这样一个椭圆后，再去说这个椭圆的方程，为什么它这个小 a、 小 c、 小 b 都是怎么样的取值？然后椭圆方程是什么啊？ 第二位呢？他说点 s， 它是零负一点， t 点呢，它是这个零一，然后 p 点呢？是 omega 轨迹上的一点，然后不在坐标轴上，那不在坐标轴上，意味着这个 p 点，它的这个横纵坐标都不为零。那画一下这个图哈，其实这个三角形，它就是一个我们熟悉的焦点三角形，那这是一个椭圆， 这个椭圆是长这样的， 然后上面呢，它是一个 t 点，下面它是一个 s 点，它是两个交点，然后 p 是 在我们这个 omega 上的，比如说它在这连接一下这个 pt， 连接一下这个 ps， 然后得到这个交点三角形。 接下来呢啊，它说 i 和 g 分 别是内心和重心。然后第一位让我们去证明这个 i g 所在的直线，它是与 y 轴平行的，那这其实就是在说这个我们 i 点它的横坐标和这个 g 点它的横坐标， 他应该是相同的一个值，对吧？在这呢，我觉得我们可以去把这个 p 点坐标设起来，比如说 p 点坐标，他说是 x 零 y 零，当然我们是知道的啊，这个 x 零他不等于零，这个 y 零呢，他也不等于零。 此时我觉得比较好写的是我们这个，嗯，重型的坐标，重型的坐标好写，那你看，对于这个重型的坐标，我们这个 x g， 他 就应该是三分之零加零，再加上一个 x 零，他会等于一个三分之 x 零， 那对于我们这个 y 几，它会等于三分之负一加一，然后它再去加上一个 y 零，它会等于个三分之 y 零。所以这个 g 点坐标我们就成功表达出来了，它就应该是三分之 x 零啊，三分之 y 零， 哎，其实我们更关注这个 g 点的横坐标啊，毕竟我们第一问要去证明它的就是这个 g 点的横坐标和这个 a 点的横坐标它是相同的。接着我们再去找这个内心的坐标，内心的话呢，是不是它是这个内切圆的圆心？如果咱们去画个简单的图的话呢？比如说画成这个样子，对吧？它和我们这个三角形的三个边，它都是相切的， 哎，这是垂直，这也是垂直，这很难吧？是不是我们把这个 r 给它求出来了， 那我们就知道它这个横坐标是多少，对吧？那怎么去求 r， 怎么去求 r？ 用这个等面积法呗。是不是我们可以把整个的这个大三角形的面积还给他去分成三个小三角形的面积， 你看这是一号三角形，二号三角形，三号三角形，那一号三角形它的面积就是二分之一，去用 ts 的 长度再去乘上一个 r。 二号三角形的面积，它就是二分之一，去用这个 sp 的 长度去乘上一个 r， 最后呢，它会等于我们整个大三角形 s t p 它的这个面积，对吧？所以我们可以把它写起来，那就是二分之一 c 三角形 s t p， 它再去乘上一个 r， 它就会等于 s 三角形 s t p。 经过这个式子呢，我们就可以把这个二给它去写成两倍的 s 三角形，嗯， s t p， 它再去出一个我们的周长，那这个面积我们可以把它写成二，再去乘上一个，是不是 这个面积，它就是二分之一，去乘上 ts 的 长度，再去乘上 p 到这个 ts 的 这个距离，就是乘上这个二分之一，再去乘上一个 ts 的 长度，它是个二，然后 p 到这个 ts 的 距离，是不是如果它是在我们这个 y 轴的右侧，它就是个 x 零，而如果是在左侧的话，是不是完全对称的？哎，所以我们在这里啊，我们不妨去假设，不妨设 咱们这里 x 零，它是大于零的， p 在 外轴右侧， 所以这个地方我们就可以放心大胆的去写这个 p 到 ts 的 距离，它就是个 x 零就不用担心加绝对值啊，加绝对值也麻烦，那这周长周长更简单了， ts 的 长度是个二 p t 加上 ps 呢？这个椭圆的定义嘛，就是它加起来是个二 a 嘛，所以说它是个二加四， 所以说对上面来说啊，它应该是个二 x 零，对下面来说它应该是个六，这么一除呢，它是个三分之 x 零，而这个 r 呢，它就会等于，呃，因为我们现在是已经把这个 p 点不妨射在了我们这个外周的右侧了，我们这个内切面的原形，它肯定是也是在这个外周的右侧，那就是我们这个内心的横坐标，这样是不是我们就得到了这个 g 点的横坐标和这个 i 点的横坐标它是相同的，哎，但是啊，你说他说这个 i g 所在的直线呢，与这个外轴平行，其实我觉得在这个地方我们还得去说明这个 就是 e 点的，这个 i 点的纵坐标它是不相等的。哎，只有这样的话，是不是我们这个 g 点和这个 i 点它才不会去重合？ 你这个地方不正的话，反正你下面去求这个面积的时候，你还是得去找这个 i 点的纵坐标，那所以我们在这个地方也去找找这个 i 点的纵坐标，那怎么去找它呢？那怎么去找它的这个纵坐标呢？其实我们可以去利用一下，你看这个点是个 i 点啊，然后我们去连接一下这个 pi， 求这个 pi 它是一个角平分线，然后我们还知道这个 i 点它的横坐标是三分之 x 零， p 点它的横坐标是这个 x 零，所以如果我们能知道这个点的坐标，怎么知道呢？因为它是一个角平分线，是不是我们就知道了角平分线， 它会有分线段成比例的这样一个性质，我们这个 pt 的 长度去比上一个 ps 的 长度，其实就是这个长度去比上这个长度。而我们可以把这个点呢去设为，比如说是 q 有 没有 q 点，没有 q 点，我们就设它是 q， 这样我们来看我们这个 pt 的 长度去比上一个 ps 的 长度，它会等于 t q 的 长度 去比上 s q 的 长度，那在这这个 pt 的 长度可以怎么样去表示呢？如果你知道我们这个交半径公式，尤其是第二定义去推出来交半径公式， 那你肯定就能直接写出来这个 pt 的 长度，它应该是 a， 再去减掉一个例外令，在我们这呢， a 它是个二，然后 e 呢，它是个二分之一，你就可以这样去把它写出来，然后对于这个 ps 呢，它就是二，再去加上一个二分之一外令。当然了，现在我们是需要去在大题中写一个过程的，所以我们需要去写一个简单的推导。你看，对于咱的这个 pt 去比上一个 ps， 那 p t 的 话呢？哎，我们直接去用两点加距离公式给它写一写，那就是 x 零，它的平方再去加上一个 y 零减一的平方，它再去除以下面是多少呢？下面应该是这个根号下 x 零的平方，然后它再去加上一个 y 零加一的平方。好，这时候上面我们可以把这个 x 零方 利用我们这个 p 点在椭圆上进行一个转化，因为 p 点在椭圆上，所以 p 点满足椭圆的方程，所以 p 点呢，我们可以带进去四分之 y 零方，再去加上一个三分之 x 零方，它是等于一的。所以由这个式子啊，我们知道这个 x 零的平方，它会等于三，再去减掉四分之三 y 零方， 所以上面它就是根号下的，这应该是个三，再去减掉四分之 y 零方，所以说呢，它应该是四分之 y 零的平方，然后这里呢它有个减掉一个二 y 零， 然后这里是个三，这里是个一，所以说他再去加上个四，下面这家伙呢，他应该是根号下这个四分之外零方，然后他再去加上一个二外零，然后他再去加上一个四， 上面这家伙呢，我们可以把它去看作成四分之一，就是这个外零，再去减掉一个四这东西的平方，然后这东西再开根号呢，他其实就是一个二分之一外零减四的这个绝对值，所以说上面我们把它写成 这个二分之一 y 零减四的绝对值，然后我们又知道这个 y 零它是有取的范围的，对吧？它最高也就是取个二，最低呢也就取个负二，而且两边还取不到。为什么两边取不到？因为 x 零它不能等于零，所以说呢，在我们这里这个 y 零它是介于这个负二到二的，那我们就知道了， y 零减四，它肯定是个负的，取个绝对值呢？ 哎，我们再来一步吧，还是取个绝对值的话，是不是在后面我们要把它变成这个相反数，那就应该是二，再去减掉一个二分之一 y 零， 然后下面呢，他是二分之一 y 零的绝对值加四啊，下面呢他就是二，再去加上一个二分之一 y 零，所以这么一比呢，这个结果他就是四减 y 零去比上一个四加 y 零，然后他会等于我们这边的这个 t q 去比上一个 s q， 那 所以这家伙 t q 的 长度是多少啊？ 就是我们肯定用这个 t 点的坐标去减掉这个 q 点的坐标，对吧？我们写一下啊， t q 去比上一个 s q， 那 这个 t 点的纵坐标，它是个一 q 点的纵坐标呢？它是个 y q， 这就是我们想求的。 那这个 s q 是 不是我们用 q 点的坐标再去减掉 s 点的坐标，那就是 y q， 它再去减掉一个负一，那就是加上一个一啊，或者说呢，下面它就是个一加 y q， 然后最后啊，这个货和这个货它能相等，它俩相等的话，哎，我们把它写在一块去， 然后对这个式子我们可以去处理一下，上下同时除以一个四，那就是一减掉四分之外零，它去逼上一个一加上四分之外零。所以能不能看出来啊？ 是不是这时候我们就要求这个 y q， 它应该是等于四分之外零的，除此之外的话，是不是没有其他情况了吧？哎，那是不是也得说明一下没有其他情况了？没有其他情况的话，我们可以去把这两个东西都给它分离一个常数， 这里给它写成个负一，然后再加上一个二，你看这部分它就是个负一，所以说呢，给它变成负一，再去加上二，再去出一个一加 y q， 然后后面就这个东西把它写成个负一，然后后面再加上一个二，所以这部分它就是个负一，所以说负一再去加上一个一，加上四分之 y 零分之二， 最后这两者相等。那确实，试试咱的这个 y q， 它只能等于四分之外零了，那我这一步是干嘛的吧？有同学可能从这这个相等啊，直接去推出来这个 y 零等于啊，应该是四分之外零等于 y q， 对 吧？肯定有同学是直接推的，但是其实你更严格的，你得再写一步，因为从这 你确实你能看出来这个 y q 它和这个四分之外零的这个地位，它就是做了个对调。但是有没有其他情况呢？你不知道， 如果你分离出来这个常数之后，通过这个式子，两个式子相等，那负一和负一是不是干掉？最后呢？是不是它会等于它二和二又是一样的？所以说你就得要求一加外零等于一加四分之外零，所以说呢，它是可以唯一的去推出来这个 y q， 它是等于四分之外零的啊，这是我这个紫色的这一步它的原因。 那这样咱们就知道这个 q 点坐标了， q 点坐标它就是零，四分之百零，那这时候我们就可以通过这个 p i q， 它是共线的，然后去把这个 i 点它的这个纵轴要给确定下来了。你看我们比如用向量吧，这个 p q 向量 它应该是平行于我们这个 i q 向量的，那 p q 向量呢？它应该是负 x 零，然后负的四分之三外零，它平行于 i q 向量， i q 向量它应该是负三分之 x 零，然后用这个 q 点的纵坐标，也就是四分之外零，再去减掉一个我们这地方的 y i。 好的，那这东西呢？它就等价。于是不是我们说这个 x 一 y 一 去平行于 x 二 y 二，那它其实就是我们这个 x 一 y 二，它会等于 x 二 y 一， 或者说你也可以怎么样呢？直接由它去推，你看它比它是一个三，所以说它比它也得是个三，所以说这地方它就是个负的四分之 y 零，那这样我们这个 y i 呢，它就应该是个二分之 y 零。 好的，那这样我们就找到了这个 i 点它的纵坐标，那这时候呢？是不是我们这个 g 点的坐标，它是三分之 x 零，三分之 y 零，而我们这个 i 点的坐标呢？它是三分之 x 零，二分之 y 零， 我们 x g 它等于 x i， 且这个 y g 它不等于 y i， 因为我们这个 y 零它是不等零的嘛， 所以说他俩永远不可能想到，那我们就可以去推出来，是不是咱们这个 l g i， 他 应该是平行于 y 轴的，那这样的话我觉得才是比较好的好。当然在这个地方哈，我们给大家多提一句，就是你还可以怎么做呢？或者说你还可以联想到什么呢？如果我们去过 p 做一个切线的话， 我们发现 p 是 这个切点连接了这个 p 和两个焦点，那这时候一定去想椭圆的光学性质。 我们刚才应该是在第八题中遇到了抛物线的光学性质，这地方是椭圆的光学性质，就是如果有一束光，它是经过了椭圆的其中一个焦点，然后在椭圆反射之后呢？哎，他就会去经过另一个焦点，然后他会遵循这个反射定律，反射定律是什么呀？是不是反射角它会等于入射角，然后我们这个切线呢？哎，你就可以把它去当成一个平面镜，然后 这个地方是不是他就是个角平分线？哎，我们说这个，这个 pi 刚才说过了，他是一个角平分线，对不对？然后这个角平分线其实就是我们这个平面，就呢他的这个法线，也就是说你看这不是这个切线了， 然后这就是这个法线，哎，我们这个法线是不是我们可以去直接写出他的方程，然后我们这个法线呢？他是去平分这个角 tps 的， 这样的话我们过屁点啊，如果是不是这个斜率就有了这个斜率，有的话 q 斜率就有了。哎，你也可以这样去做， 我们瞄一瞄啊，这个角和这个角它是相同的，我们看一下第三问，第三问呢，他说过这个 g 点啊，去做直线 l 与这个椭圆是交于 a b 两点的，能够满足 a g 等于 b g， 说明这个 g 点它是个终点嘛？哎，那你瞧 g 点它是个终点的话，比如说这里是这个 a， 这里是这个 b， 哎，当然我画的好像不太像终点啊，大家凑合着看吧。啊？ 其实我觉得，呃，我们应该是有两套大的翻译方式，第一种翻译方式呢，就是我们已经知道这个 g 点他可以用这个 x 零 y 这样去表达，所以说既然这个 g 点他去做一个中点的话，那我们根据中点弦的理论，我们知道 o g 的 斜率去乘 ab 的 斜率，他应该是个定值一方减一， 那这一点呢？可以用点查法去论证，所以说这样的话我们就知道了这个 ab， 他的这个斜率就用 x 零 y 去表示了。哎，我来写一下，比如说我去设这个 a 点坐标，它是 x 一 y 一 b 坐标，它是 x 二 y 二， 这时候我们知道这个 a 点坐标，那它肯定是满足我们椭圆的方程，四分之外一的平方去加上这个三分之 x 一 的平方，它会等于一，然后 b 点坐标肯定也满足我们椭圆方程。 写一下，这样的话，两个式子相减，是我们得到这个四分之 y 一 的平方，去减 y 二的平方，然后再去加上一个三分之 x 一 的平方去减 x 二的平方，最后这家伙它是等于零的，这是两个式子相减我们得到的东西。 然后我们刚才说是不是去取这个 o 点 o g 的 这个斜率去乘 ab 的 斜率，那这时候我们去写一下 k o g， 他 去乘上一个 k ab， 那 对这个 g 点的坐标呢？我们这里啊，就用这个 x 一 y 一 x 二 y 二去表示了，因为这个 g 点他就作为 ab 的 终点嘛。所以 g 点坐标我们写成二分之 x 一 加 x 二，然后二分之 y 一 加 y 二， 那这样的话开 o g， 它其实就是 y 一 加 y 二，去除以二，去除一个 x 一 加 x 二去除以二，那这个二分之我就都给他约了啊。然后后面呢，它应该是 y 一 减 y 二，去除一个 x 一 减 x 二，所以我们这个东西它应该是 y 一 的平方减 y 二的平方，去除一个 x 一 的平方减 x 二的平方，这玩意呢，它一定会等于一个一方减一的， 哦，还不是一方减一呢，忘记了他是个竖着的椭圆，如果是竖着椭圆的话，是不是他应该是个一方减一分之一啊？如果刚才我说一方减一，你没有反应过来啊，那说明你也忘记了，我说忘记了哈，你压根不知道的话就麻烦了， 一定记住啊，焦点在 y 轴上的时候，他是一方减一分之一，当然呢，就是这个东西他的这个笔直，我们可以从这去推，从这去推，可以去推出来这玩意他应该是个负的三分之四。好，那这样的话 k o g k o g 的 话，我们还是用它去写，那它就是一个 y 零，去除以一个 x 零， 然后他再去乘上一个 k a b， 他 会等于一个负的三分之四。所以说呢，我们可以去推出来这个 k a b， 他 应该是负的 四 x 零，去除一个三 y 的 话，那我们成功把这条直线它的这个斜率也用这个 x 零 y 去表达出来了。是不是我们又知道这个 g 点坐标，它是三分之 x 零 y， 那 我们就可以把它的这个直线方程给写出来，然后再和我们团去连立。然后第二种方式呢，我们直接去设这个直线 g 点呢，它这个斜率它就是个 k， 那这个地方还是写成 k a b 吧。那是不是 k a b， 它再去乘上一个 x， 减三分之 x 零，它会等于一个 y， 去减掉一个三分之 y 零，然后我们连立这个直线和我们这个椭圆的方程四分之 y 方，再去加上一个三分之 x 方，它会等于一。 那最后呢，我们联立出来这个 a 点和 b 点的这个维达定律，那就是 x 一 加 x 二， x 一 乘 x 二，然后最后我的表达呢是这个二分之 x 一 加 x 二，它最后呢，它会等于我们这个 g 点的横坐标，它会等于三分之 x 零，通过这个式子呢，最后才能求出来这个 k a、 b， 它的这个取值， 哎，这样我觉得也是可以的，就是这两套方案吧，上面是这个一号方案，下面是这个二号方案，哎，这是我们立马就能想到的。 我们从降低计算量的角度去看，其实这个地方的连律并不简单。然后包括就是我们求出来这个斜率，求来这个斜率的话，我们再去写这个 ab 的 方程，那就是负的三外零分之四 x 零，然后 x 再去减掉一个三分之 x 零，然后它等于 y 的 去减掉一个三分之外零，然后你再对它进行整理 啊，其实这个连力呢，确实不简单，对不对？然后你再拿它和我们这个椭圆去连力，哦，得到我们这个 a 点 b 点，它的这个微带定律哦，哎，这样啊，它的这个后续计算量就小一些呢，这地方大家注意啊，我们可以去直接设这个直线 ab， 它是我们最熟悉的 y 等于 k x 加 m， 比如说在前面我们已经论证出来了，哎，我们这个看 ab， 它就是这个家伙，但是啊，我们不把它带进去，我们直接去设这个直线方程，它是 y 等于 k x 加 m， 我 们知道这个 k 呢，它就这个地方的这个取值， m 呢，它就是截距，然后我们拿着它去和我们这个椭圆方程去联立，那这时候你就好做了，四分之外方，再加上一个三分之 x 方，它会等于个一 地方。我们首先把下面的这个椭圆方程呢，给它写成，嗯，三外方，再加上一个四 x 方，然后把这个外方给它带进去，那就应该是三 k 方，再去加四 x 方，然后再去加上六 k m x， 再去加上这个 m 方，那三 m 方再去减掉一个十二， 这个东西它是等于零的。然后这时候啊，我们去列写一下咱们的这个微大定律，是不是 x 一 加 x 加四， x 一 乘 x 二， 它会等于这个三 k 方加四分之三 m 方，再减十二。当然我们知道在这个地方嘚，它肯定大于这天经地义的事情啊，为什么？因为我们这个 g 点，它在椭圆内部，你过 g 点的这样一条直线，你进来得出去吧？得进来得出去吧，是不是肯定和我们这个椭圆有两个交点啊？ 接下来对于这个咱的 k 和 m， 哎，我们把它都用这个 x 零外零去表示出来，其中刚才我们已经知道了，这个 k 它应该是 负的三外零分之四倍的 x 零，然后这个 m 呢？ m 怎么去算？我们知道这条直线它是去过咱们的这个三分之外零，然后三分之 x 零的，所以说这个 m 的 去值，它会等于我们去用这个三分之外零再去减掉一个 k 倍的三分之 x 零。 我们算一算，它就是三分之外零，再去减掉 k 是 多少 k， 就是 把它带进去三外零分之四 x 零，它再去乘上一个三分之 x 零，然后它就变成了九外零分之四 x 零方。 那对于这个四 x 零方，我们又知道什么呢？我们又知道这个是不是 x 零外零，它是在我们椭圆上的，所以它必然满足椭圆的方程，四分之外零方，它再去加上一个三分之 x 零方， 他会等于一。有这个式子，我们知道这个四 x 零方，他会等于十二，才去减掉一个三外零方，所以我们把这个式子，比如说他是三号式子给他带进去，他就是三分之外零，再去加上一个四 x 零方，写成了十二，再去减掉一个三外零方，他再去出一个九外零。那这样的话，大家注意看这个部分，这个部分是个负的三 三分之外零，对不对？这里是个正的三分之外零，所以最后这个部分和这个部分干掉，干掉，所以最后他还剩下一个九外零分之十二，他其实就是一个三外零分之四。 这个黑色部分的操作到底是在干什么？大家一定要明确哈，我们刚才说了，就是这个东西啊，你直接去写出我们这个 ab 的 极限方程，用 x 零外零去表示，可以可以写出来，但是你得和椭圆连力，你连力的这个过程啊，麻烦怎么样避免这个东西？麻烦你去设这个值，它是 y， k x 加 m， 斜率肯定存在，因为斜率都求出来了， 然后拿着 y 等于 k， x 加 m 和我们这个椭圆连力连力之后嘚它微达定律写出来，那这时候我们付出的代价是我们多引入了两个变量 k 和 m， 所以说我们后面要把这个 k 和 m 再给它，再用 x 零外零再给它表示回来。但是我们得到的这个利益呢，在于就是我们这个连利，这个过程简单了， 我们通过多引入变量的方式便宜了我们这个地方的计算。那如果是按照第二种方式我们去做的话，那我们又得怎么做啊？是不是我们得到这个东西之后，它就应该是等于两倍的 x g， 所以 说它应该会等于一个三分之二 x 零，这是第一个式子呢？是不是我们还是把这个三分之外零给它带入到这里，然后这时候再去接我们的 k 是 多少， x 是 多少， m 是 多少，对吧？接下来呢，我们就可以去建值，我们的目标，那目标是什么？我们最终啊是要去找这个 a b i 这个三角形的面积的取值范围。那这个三角形面积取值范围啊，你看我们这个 i g 是 不是它是数值的？它是数值的，在我们这里就起到很关键的作用了，为什么呢？我们可以用铅垂高去乘这个水平宽，去计算这个三角形的面积， 画一下，这是这个 a i， 填起来，这是这个 b i， 那 这个三角形的面积，我们可以用铅垂高去乘这个水平宽，水平宽的话就是 x 二减 x 一 这东西的绝对值。当然啊，不要忘记乘二分之一啊，所以说这个地方的面积，你看这个千分之多少，能不能告诉我这是二分之外零，这是这个三分之外零一减，它是个六分之外零，外零不一定是正还是负，所以说呢，加个绝对值是不是六分之外零的绝对值？所以说呢，我们去表示这个面积 s 三角形 a b i， 我 们用二分之一去乘这个 i g， 然后再去乘上这个 x 二减 x 一 的绝对值，那这个 i g 呢？它就是二分之一，再去乘上六分之 y 零，然后他再去乘上一个 x 二减 x 一， 把这个 x 二减 x 一 呢？去使用我们的这个伟大定律，去使用伟大定律的话，是不是还是用这个 k 和 m 的 形式去写，然后最后再去做代换，那就是 x 一 加 x 二，这东西的平方，它就减掉一个四分之四的 x x， 所以 说这东西的一个平方，哎，它其实就是三 k 方加四，这种平方 上面是个三十六 k 方 m 方，然后他再去减掉一个四倍的 x x 二，那就是减掉一个四倍的这个三 m 方减十二， 然后下面它是个三 k 方加四，然后平方一下，这边来个三 k 方加四，那这东西我们去算一算啊，那底下它肯定还是个三 k 方加四，这还是平方，上面的话呢，三十六 k 方 m 方，减掉它就乘它减没了。那如果是减掉它去乘它呢？是不是这里是个负的四十八 m 方， 然后它再去乘它，再去乘上一个三 k 方，那就是加上一个一百四十四 k 方，然后它去乘它，再去乘它，那就是四十八，再去乘四，那就是加上一个一百九十二。所以说呢，最后出来这个结果是这个东西，然后还要再去开这个根号，那我们看看哈，这个东西去开根号的话，那下面 它肯定是这个三 k 方加四，对吧？它肯定是个正的啊，当然前面它还有一个十二分之 y 零的绝对值， 它再去乘上，嗯，下面它是个三 k 方加四，上面呢？哎，这东西去开根号的话，我们把四十八提出去，那根号下四十八，它是一个嗯，四倍的根号三，把它拿到外面去，然后剩下的部分呢，它是根号下的，我们发现呢， m 方前面来个符号，加上一个三 k 方， 然后他再去加上一个四，是这样的回事。最后是不是这里面的这个 mk 哎？我们都给他换成我们的 x 零和 y 零，然后我们再去推进一下，你看前面他是十二分之 y 零的绝对值，然后后面呢，这是个四根三，然后根号下的这个部分他应该是个负的 m 方，那就是负的九 y 零方分之十六，再去加上一个三 k 方， 三 k 方的话呢，他是一个三倍的这东西的平方，但他是个九万零方分之十六 x 零方，然后他再去加上一个四，是这么回事，然后下面他是三 k 方加四，那就是三，再去乘上一个 k 方，那就是九万零方分之十六 x 零方，然后他再去加上一个四， 好，这时候继续去算一算，哈，马上看到这个这个胜利的过时了，然后这家伙他再去冲上一个，你看这这个是个四根三，算了，不留它了，这个四根三放前面去吧，放前面去的话，它就变成了一个三分之根号三。 好，然后后面这个根号里面呢？根号里面它应该是个根号下的九万零方， 上面它是个负十六，再去加上一个四十八 x 零方，然后它再去加上一个三十六 y 零的平方。那这时候是不是我们需要用到这个家伙，那对于这个家伙我们已经好几次用它了，对吧？它是一个九 y 零方， 再去加上一个十二 x 零方，然后它会等于一个三十六，我是左右两边同乘三十六，哈，同乘三十六得到它，它和它呢只有一个倍数关系了， 嗯，这样的话，再给他去乘四的话，他是三十六 y 零方，再加上一个四十八 x 零方，然后他会等于等于一百四十四。有的人说，你为什么不直接去乘个一百四十四啊？因为我没注意到，所以一会啊，下一行我们就能把它换成一百四十四了，然后下面这玩意他是一个三 y 零方，分之十六 x 零方，然后他再去加上一个四， 那他再去加上一个四的话呢？是不是这个地方他就相当于加上一个十二 y 零方，哎，所以说这个东西是不是也能换啊？十六 x 零方和这个十二 y 零方，那对，这个式子我们左右两边同时去乘上个四十八，是不是我们得到 十二 y 零方，去加上一个十六 x 零方，他等于一个四十八，所以啊，一会我们可以把它换成个四十八，所以说呢，前面他还是三分之根号三 y 零的绝对值。至于后面我们说过这东西是个幺四四，幺四四，减掉一个幺二八，去除以一个九， 出一个九还出不开了，出不开拉倒，那就是一百二十八，去出一个九外零方。这个东西在开根号那上面啊，他应该是个八倍的根号二，下面他是个三倍外零的绝对值，对吧？开根号吧，你这个外零肯定得加绝对值啊，所以说他是个三外零的绝对值，然后上面是个八根二，下面这地方他是个四十八啊，是个四十八的话， 它就是四十八，除以一个三外零方，那就是十六，再去出一个外零的平方，最后它到底是多少啊？我们算算啊，它的这个系数，它是三分之根号三，然后后面呢，这里是个三分之八根二，然后它再去出一个十六，所以其实这一部分它就应该是个六分之根号二， 所以它是一个十八分之根号六。好的，我们再看 y 零，它的这个次数，你看它和它应该一成就没有了，对吧？然后这里 y 零方给它翻到最上面去，所以说呢，它有一个 y 零方，所以这玩意它等于个十八分之根号六 y 零的平方， 然后我们是去找它的取值范围，我记得是怎么回事？我的天，我们写了，写了好几页了，取值范围的话，是不是我们去看这个 y 零 y 的 取值范围，它应该是 大于负二，小于二，还不能等于零，对吧？他说过这个 p 点他也不能在坐标轴上啊，所以说呢，哎，我们这里呢写一下这个外零，他的绝对值，他应该是大于零小于二的，所以说外零的平方呢，他是大于零小于四的。那所以说最后这个地方， 我们这个取值区间就是用十八分之根号六，再去乘上零到四这样一个开区间，最后我们这个 s 三角形，他的这个取值范围，他就应该是零，再去到九分之二根六。 这个题目我觉得还是很有计算量的啊，比较有挑战，觉得我们这种方式已经不错了哈，就是我们不直接去，不直接去拿这个 斜率，用 x 零外零去表示，把这个直线去斜分，然后再强行连理。我们是先去设这个 y 等于 k， x 加 m， 然后再去它连理，然后再去找这个 k 和 m， 它怎么样用 x 零外零去表示，我觉得这样应该是挺不错的啊，不过这个题目计算量确实会有一些超乎我们的想象啊，我们给大家拆解的还是非常详细的啊，希望大家有收获。 十九题第一问，嗯，去求一个切线方程，哎，这个会做啊，先怒砍三到四分 f x， 把这个 a 的 取值带进去 e 的 x， 再去乘 cos 三 x， 减掉应该是 e 的 三 x 次方，再去减派啊。三 x 减派次方，然后再去乘上一个 cos， 然后，呃，我们先去写一写这个切点，你切点的话，横坐标是个二分之派，它它的纵坐标呢？纵坐标的话，我们写一写 e 的 二分之派次方，然后他再去乘上一个 cosine 二分之三派，然后他再去减掉后面他应该是 e 的 二分之三派次方，然后再去减二分之三派减派次方，那就是二分之派次方，对吧？他再去乘上一个乘个 cosine 二分之派，那这么一合计啊，这东西他直接就是个零啊。 然后我们再求一下导哈，求一下导，找到这个切线的斜率 fpx， 他 应该是那对这个家伙这个部分前导后不导， 加上一个后倒前不倒，那就应该是 cos 三 x， 再减掉一个三倍的 cos 三 x， 然后对于后面这个部分是不是也是遵循我们这个前倒后不倒，然后再去加上一个后倒前不倒，前倒后不倒的话，它就是三倍的 e 的 三 x 减派次方，去乘上一个 cos x， 然后后倒前不倒，就应该是减掉一个，这里应该是个三 x， 它再去乘上 e 的 三 x 减派次方。是这样的，哎，这里注意啊，我们 q 三 x 去求的话，它是负的三 x， 所以 说呢，我们可以把后面这个部分啊，我们 e 的 指数给它拿到外面去， 这些的部分它就应该是三倍的 q 三 x， 然后再减掉一个三 x， 好 的，那这样呢，我们去计算一下这个 f 撇二分之 pi f 撇二分之派，它会等于前面是 e 的 二分之派次方，然后它是一个 cosine 二分之三派，再去减掉三倍的 sine 二分之三派， 它再去减掉 e 的 二分之三，二分之三派，然后再减掉派，那就是二分之派次方，然后三倍的这个 cosine 二分之派，然后它再减掉一个 sine 二分之派。 那这样的话，大家去看是不是这地方它是个零，这地方它也是个零，然后这里的话呢，它应该是个正的三，那这里呢，它应该是个正的一，对吧？因为这里有个符号，这里也有个符号，而所以说呢，它应该是最后是个四倍的 e 的 二分之差，所以啊，我们这个切线方程，它就应该是斜率， 然后它再去乘上一个，是不是我们 x x 零，它会等于一个 y 减 y 零，然后这里 x 去减 x x 零是多少？ y 零就是个零，对吧？ 所以我们可以把这个方程呢给它写成这样，然后我们再稍作整理，那就是 y 等于四 e 的 二分之 pi 次方 x， 然后它再去减掉它，再去乘它，那就是二派 e 的 二分之 pi 次方。 来看一下第二问，第二问他说 f x 在 这个 x 在 零到四分之派上，这个开区间啊，他是没有零点的。去求一下我们这个实数 a 的 取值范围，求参数取值范围，那你看就是我们要去分析这个 f x 它的这个零点，对吧？哎，那所以说比较开心的一个事情，是不是这里有 e 的 x 方，这里有 e 的 三 x 方， 对于我们去分析零点，就是我们提供音式去音式分解，能够帮我们简化一些，对吧？他能把一个就是复杂的式子拆成若干个小式子，然后你去分析左边，这是一种父而知之的思想， 当然了，同样的这个思想呢，是不是也体现在我们这个求导层面？我们去求导分析单调性的时候，是，我们也是关注这个 fpx 它的这个正负型，所以说呢，我们也是喜欢把它音式分解 好，在这个地方 e 的 x 四方肯定是它可以提出去的。那对于这个 cos 三 x， 其实 cos 三 x 啊，我们这里可以去推一下三倍角公式，那这个三倍角公式里面它会含有这个 cos 三 x， 这个 cos 啊，我们也可以拿到外面去，然后其实我们分析的东西呢，就会大幅度的变得更简单。那在这呢，我首先去推导一下这个 cos 三 x， 它的这个三倍角， 那这家伙呢，我们就把它写成这个 cos 二 x， 嗯，再去加上一个 x， 那 它会等于这个 cos 二 x cos， 然后再减去 cos 二 x cos， 然后对于前面的这个 cos 二 x， 我 们把它写成两倍的 cos 方 x 再去减一，然后它再去乘上一个 cos x， 然后对于后面的这家伙三幺 x， 我 们把它写成减掉一个，这应该是两倍的三 x cos 三 x， 他 再去乘上一个三 x， 这里来个平方，那这个地方来个平方啊，你看三一方 x 啊，咱直接给他换成一减 cos 方，是不是很简单啊？那他就变成了这里是个两倍的 cos 三次方 x， 然后再减掉一个这个 cos x， 然后他再减掉一个两倍的，应该是一减 cos 方 x， 再去乘上一个 cos， 所以 最后啊，他出来的结果，他应该是个四倍的 cos 三次方 x， 然后他再去减掉一个 cos 三 x。 哎，这是我们这个三倍角的这个公式啊。 当然啊，你看我们这个题用到的是它，那下一个题他不一定用到的是它，对不对？下一个题他有可能就用的是 cos， 等于三倍的 cos， 然后再减掉四倍的 cos 的 三次方。这个东西大家可以自行尝试推导一下啊。 这样的话呢，我们是不是就把这个圆函数 f x 就 给它写成了 e 的 x 次方，再去乘上一个 cos 三 x， cos 三 x 呢？我们给它换掉，那就是四倍的 cos 三次方 x， 然后再减掉三倍的 cos x， 然后后面呢，它应该是 减掉一个 a 倍的 e 的 三 x 次方，然后再去乘 cos。 那 这样的话，我们把 e 的 x 次方给它提出去 cos 呢，也给它提出去剩下的部分啊，它是四倍的 cos 方 x， 然后它再去减掉一个三，再减掉一个 a 倍的 e 的 二 x 次方。我们这个条件去说啊，是不是 f x 它在零到四分之派上它是无零点的呀？ 那既然是无零点的话，是不是我们得要求这个部分，这个部分和这个部分，这三个部分是不是他在零到四分之差上都没有零点啊？那他肯定没零点，他肯定也没零点，所以说，关键就是他也没有零点，他没有零点呢，就可以把这个 a 的 垂直范围呢给他去推一推了。怎么推 a 的 垂直范围呢？我们接下来就可以去写是不是 四倍的 cos 方 x， 再去减三，再去减 a 倍的 e 的 二 x 次方，这个东西等于零，他在这个啊，我们零到四分之排上 是无解的，那这样的话呢，接下来我们可以选择去给它分离出来这样一个参数， 是不是这个方程它就等价于什么呀？这个方程它就等价于这一坨，它应该等于 a e 的 二 x 次方，所以说我们再把 e 的 二 x 次方给它除到左边去，它就变成了就是 a， 它会等于 四倍的 cos 方 x， 然后再去减三，它再去除以 e 的 二 x 次方，不是，它在我们这个 x 零到四分之 pi 上，它是无解的，对吧？其实呢，我们去把这个函数右侧的这个函数呢，给它分析清楚， 它在零到四分之派上的这样一个图像，那怎么样走的？然后我们让 y 等于 a 呢？就这条直线和它的这个图像在这一段上的图像是不是没有交点，然后就会得到我们 a 的 去的范围啊？ 那对于这个家伙，你看它下面是这个 e 的 二 x 字方，上面是四倍的 cos 方 x， 然后再去减三，那其实我们完全可以把这个 cos 方 x 给他去利用一个降密升角的公式，哎，把它去写成这个 cos 二 x， 我 们可以再去换一部圆，这样会更简单一些。哎，我来给大家去写一下啊，我们把它复制一下。好，我的意思呢，就是说 我们可以去给它改造一下下面这个 e 的 二 x 字方，它不变，然后上面是我们知道两倍的 cos 方 x 减一，它会等于个 cos 二 x， 所以 说上面这个分子部分啊，它其实就是两倍的 cos 二 x， 然后它再去减一，是这样的， 也就是说它是在我这个 x 取值是零到四分之派上，它是无解的。那这样啊，我们就可以去令咱们的这个二 x， 比如说它就是个 t， 它其实 a 等于 e 的 t 次方，去分之两倍的 cosine t 减 e， 它就应该是在 t 介于是不是 x， 它本来是零到四分之派上，那就是 t， 它的取值应该是零到二分之派上，它应该是无解的。 那为什么这样去处理？你这样处理简单啊，你看这个函数和这个函数，你说求导哪个好分析啊？好的，那这样的话呢，咱们就来分析一下这个 h t h t 呢，它就等于这个式子，然后我们分析一下它在这个零到二分之派，它的这个单调性，包括这个整个的这个图像是怎么走的。 h 撇 t， 他就会等于这里是 e 的 梯次方，然后他去平方，然后上到下不到，那就是负的两倍的三 a t 下不到，然后再减去一个，下到上不到，那就是减去一个 e 的 梯次方，然后上两步去求到， 那这样的话呢，上下我们同时去约一个 e 的 梯次方，那上面呢，他就是负二三 a t， 然后还有一个减二扣三 a t， 然后他再去 加一，然后对于这个部分呢，他其实是一减去两倍的，这个地方是三 a t， 再去加上一个 cos 梯，那三 a t 去加 cos 梯，他应该是根号二倍的三 a t， 再去加上一个四分之派。所以说呢，我们可以进一步把它去写成这里是一的 t 次方，然后一再去减掉二根二三 a t， 再去加上一个四分之派。 在这个地方，我们这个 t 啊，它是介于零到二分之派的，那所以说进一步我们知道是不是 t 加四分之派，它应该是介于这个四分之派到四分之三派的，所以说 sine t 去加上一个四分之派， 它就应该是去介于二分之根号二到一之间的。 那这样的话是我们就知道了，这地方咱们的一再去减掉一个二根二三 a t， 再去加上一个四分之一，它就应该是小于零的，那所以说咱们这个 a 这撇 t， 它应该是小于零横乘以， 而我们这里这个 h t 呢，因此它就应该是在零到二分之派是单调递减的，那我们可以去计算一下。对于这呢，咱们的这个 h 零把它带进去是 e 的 零次方分之两倍的 cosine 再去减 e， 但它其实就是个 e， 然后 h 二分之 pi 呢，它应该是负一，再就出一个 e 的 二分之 pi 符号。所以说呢，我们知道这个 h t， 它这个图像呢，它是不是得这样去画，这个地方是零多少 e， 然后在这呢， 它这个地方对应的这个纵坐标，它应该是负的 e 的 负二分之派次方，然后是这样减下来的，这个地方对应的横坐标是这个二分之派，是这样，对吧？所以啊，我们需要让我们的 y 等于 a， 是 不是和这段是没有交点的？没有交点的话，是不是？哎，我这个 y 等于 a， a， 它可以选择就是去大于等于 e 啊，也可以选择就是 a， 它是小于等于负的 e 的 负二分之派次方。所以啊，我们就知道了这个 a 的 学制范围，最终结果它就是负无穷到这地方的负的 e 的 负二分之派次方，它再去并上 e， 再去到正无穷。好的， 当然啊，我们这个地方变形，是不是首先是用了一个降密升角公式，把它写成了这样一个 cos 二 x 的 形式，然后再做了一个换元，那并不是说就是我们从这一步他就没法做，对吧？你当你从这一步呢，也是可以做的，比如说我们就令他是个 t x， 能不能往下做？也可以，也可以，你看 t p x 它等于什么？ 那下面去求导的话啊，不是下面不是去求导了，下面去平方的话写成这个样子，然后上导下不导，上面去求导啊，四倍的 cos 方，他去求导，他应该是八倍的 cos x， 然后他再对这个 cos x 求导，那是个负的三 x， 然后上导下不导， 再减去一个下导上不导，那就是减掉一个两倍的 e 的 二 x 次方，然后他再去乘上一个，就是上面不动写成这个样子。 那这样的话啊，你看我们上下首先把这个 e 的 二 x 方给约掉一个，那这个地方他是负八 q 三 x 三 x， 那 他其实就是负四三二 x， 然后对于后面呢，是不是这个地方，这个地方我们可以把它视为两倍的 q 三 x， 然后再去减 e， 所以 说呢，他是再去减掉一个 这个地方的二，再去乘上两倍的扣三二 x， 再去减一，那就是减掉一个四倍的扣三二 x， 然后它再去加上一个二，这样的话，我们把它去变成就是下面是一的二 x 次方，然后二再去减掉一个四根二， 这里是三二 x， 再去加上一个四分之一。然后你再去分析这玩意呢，它是大于二分之二的，从而去分析整个的我们这个 t x 它是小于零的， 是不是判断出来我们这个 t x 的 单调递减的，然后去画它的图像也可以这么做。我还是觉得如果你变性能力，就是但凡稍微有一点的话，你可能都得去做这样一个变性。当然考试可能慌里慌张的就慌不择路了，也是比较正常。比如说我们再给大家举个例子啊，我们想去求这个 x 方分之绕眼 x 它的这个最大值， 那我们可以怎么办呢？你看这个 x 方分之绕眼 x， 我 们可以选择在前面乘个二分之一， 然后再给他去乘个二，我们把这个二呢给他放到这个真数上去，那这样的话，是不是在这他就凑成了一个 t 分 之绕一 t 的 形式，那对这东西是不是他会小于等于一个 e 分 之一，当 t 等于 e 的 时候去取最大值， 所以说这个家伙呢，他就会小于等于一个二 e 分 之一。什么时候去取最大值呢？就是我这个地方 x 方他去取 e， 也就是 x 他 去取根号 e 的 时候能去取最大值啊。注意啊， x 他 可不能取负根 e， 为什么？因为 x 他 必须得是正的， 这就是一个就是很朴素很简单的变形啊。另外我觉得这个卷子或者说这个题啊，去做一个复习的题目，他好就好在就是他跟你去强调这个音式分解的这样一个重要性，对吧？有很多同学上手去做这个第二问，他可能直接就去分析这个东西，直接对他去求导，这么盲目的去求导 肯定是不行的，你最起码最起码你也得知道，把这个 e x 次方先给它分出来吧，然后再去分析剩下的这个 cos 三 x， 再去减掉 a e 的 二 x 次方 cos， 就是 前面这东西没零点，然后你去分析后面这个东西没零点，对吧？ 所以说哈，一定去强调音式分解这个东西非常重要，当然我们这个地方是通过提供音式的方式进行音式分解，而我们这个去年的这个江南职校三月份的考试呢，它的第十六题是个导数，它求完导是这个东西 h p s， 它等于一个 cos 方 x， 再去减掉一个 cos 方 x， 然后他再去加上一个散 x， 再去加上一个 cos。 哎，当然还会有一些其他东西啊，其他东西我已经忘记了，可能那还会有一些系数，那对于这个东西，很多同学直接把这个 cos 方解散也方去给它转化成了 cos 二 x， 然后接下去啊，就处理不下去了。你看，你得明白我们求导为什么我们求导是为了分析单调性， 分析单调性的话，是不是我们只去看这个导函数的正负性，它就决定了原函数的单调性？所以说我们能把这个导函数的这个复杂的形式给他去做一个因子的形式。 我考考大家，如果你遇到这个问题，怎么样去因式分解简单啊？是不是你把这个 cos 方减三一方啊？你给他写成这个 cos x 加 cos x， 然后他再去乘上 cos x 减 cos x， 然后他再去加上后面的这个 cos 加 cos x， 就是 这样的话，我们这个 cos 加 cos x， 它就提出去了，剩下的部分呢， 是不是就是弹呀？所以说我们就分别去考虑这两边他的这个零点或者说正负型，所以说啊，音式分解啊，他在分析零点啊，或者说这个分析这个导函数，他的这个正负性的时候，他是有这个举足轻重的地位的，一上来就去盲目的求导，哎，这是这个十九题第二问，想传达给大家一点东西， 我们来看一下第三问，那第三问呢？当 a 等于零的时候，我们这个 f x 呢？我们需要对这个 f x 先去求个导，那这个 f x 啊，他会等于就是前导后不导，再去加上个后导前不导，那就应该是 这玩意去乘 cos 三 x， 然后它再减掉一个三倍的三 x， 是 这样，那这样啊，我们去写一下，我们的这个 g x， 它就是两倍的 e 的 x 四方，再去乘上一个 cos 三 x， 然后它再去加上一个 e 的 x 四方，它再去乘上一个 cos 三 x， 再去减掉一个三倍的 cos 三 x， 那 这样的话呢，它是三倍的 e 的 x 次方，然后剩下的部分呢，它是个 cos 三 x， 然后再减掉一个 cos 三 x， 是 这么着，然后对这个家伙呢？哎， 我们要分析它这个 x 零到二分之派这样的一个区间，然后 x 一 x 二 x 三呢，去满足这样一个等式，它是小于零的，最后去证明 x 一 加 x 二加 x 三，它是大于四分之三派的。 所以说啊，我们要对这个 g x， 包括这个 g p x 啊，都有一定的了解，那怎么样去了解它啊？哎，是不是当前我们就有一个很好的了解手段，叫做辅助要公式，你看我们根据辅助要公式呢，我们可以把它去变成是不是三倍的根号二 e 的 x 次方， 然后剩下的部分呢，它是个 cosine 三 x， 再去乘上一个二分之根号二，再减掉一个 sine 三 x， 去乘上一个二分之根号二，那这时候我们可以把这个二分之根号二，把它去视为咱们的 sine 四分之 pi， 那 这时候呢，其实这个式子它就是 cosine 三 x， 再去加上一个四分之 pi， 没问题吧？我们把它写成这样， 哎，这个括号应该是加在这儿，好的，对，这个家伙呢，哎，我们可以去把它的零点给掏出来，那你看，哎，我们去令这个 g x 它等于零，那其实就是找这部分它等于零，这部分等于零的话，是不是这个部分它应该取 这个二分之派啊，二分之三派啊，这样的一些取值，对吧？我们又考虑到这个 x 它是介于零到二分之派的，如果这家伙它等于个二分之派，那我们解出来三 x 它等于个四分之派，那这样的话呢，是不是三 x 它会等于一个四分之五派，所以说呢，咱的这个 x 它会等于一个 十二分之五派，哎，当然了，我们只需分析零到二分之派这样一个曲线就可以了。这时候如果我们尝试去画一下 y 等于 g x 它的这个图像，哎，我们估计啊，它应该是长什么样呢？就是先点出来这个十二分之派都好，零这个点，再点出来十二分之五派都好，零这个点，然后这是两个零点，对吧？ 这两个顶点中间呢？是不是这个部分他应该是小于零的，那估摸着应该是在这一段上，他是个先减后增的这样一个态式，对吧？其实对于前面的这一部分和后面这一部分其实也不重要了，为什么不重要了？因为我们已经知道了这个前面这一部分他是不是个正的，那后面这个部分他是不是也是个正的？我是说零到十二分之派和十二分之五派到二分之派这两两个区间， 但他既然都是正的话，是不是咱们的这个 x 一 和 x 三也不在这两边这个区间上？咱们 x 一 和 x 三啊，肯定都在这个地方，对吧？然后中间这个 x 二呢，也是夹在里面的，所以说我们接下来的分析，这个这个区间呢，是不是就转化成了这样一段，对吧？把这样一段给它分析清楚， 哎，这是我们的这个主要目标。好的，截止目前呢，我们是知道了这个 x 一 他应该会大于个十二分之五派，然后他会小于一个 x 三，然后他再去， 哎，应该是 x 一 大于十二分之二，然后他再去小于 x 三，小于这个十二分之五派，然后这时候啊，我们再去看一下这个 g 撇 x 二， g 撇 x 二他是小于零的，他是小于零的话，是不是他就应该是取在比如说这个地方，那这个地方我有一个基值点， 我把他先去设一个 x 零，我估计啊，他应该就是这样一个很简单的先减后增的，对不对？那这时候是不是我们这个 x 二他应该是在这样一段上，对吧？所以啊，我们这个 x 二他应该是在这样一段上，对吧？所以啊，是不是我们这个 x 二，他应该是在这样一段上，对吧？所以啊，是不是我们这个 x 二，他应该是在这样一， 我如果从这再去求倒的话呢，那它就是个三根二，然后一的 x 次方，然后后续的内容呢？嗯，它应该是 cosine 三 x， 再去加上一个四分之派，它就去减掉一个三倍的三 x， 再去加上一个四分之派，然后这时候是不是这个地方的 x 零，它就对应的是我这个 g 撇 x 零，它会等于零， 那这时候对这个东西让它等于零，哎，我们是不是再用一步负二幺公式怎么办呢？我们可以看到这个地方系数是个一，这里是个负三，我们可以把一个根号十给它拿到外面去，它就是三根二啊，再去乘上一个根号十，然后一的 x 四方，后面的内容呢，它就变成了 cosine 三 x， 再去加上一个四分 之 pi， 它再去乘上一个十分之三根十， 那这时候呢，我们把这个十分之根号十给它去视作为，譬如说是三分之三根式，譬如说把它视作为 cos 三，这时候呢，我们就可以把这个 g 撇 x 给它写成啊，前面这个地方它是一个应该是六倍的根号五 e 的 x 次方，然后后面呢，它就是三以 f， 然后它再去减掉我们这个三 x 加四分之 pi， 那这样啊，我们知道这个斐这个角度，你看它的散移值是十分之二十吗？它的这个余弦值是十分之三根，是吗？首先它这个锐角，其次呢，它的这个散移斐是不是还小于这个二分之一呢？所以说这个斐它的取值范围应该是零到六分之派，那我们又知道我们这个 x 的 取值范围， x 的 取值范围呢？它是从这个十二分之派去取到一个十二分之五派， 所以说我们整个这里面它的这个取值，是不是它就是 x 等于十二分之派带进去 计算出来呢？嗯，它应该是个 five， 再去减掉一个二分之派，如果是把这个 x 等于个十二分之五派带进去呢？那这样算出来应该是 five 再去减掉一个三分之啊，应该是四分之五派，再去减掉一个四分之派。所以说呢，它应该是 five， 再去减掉一个二分之三派， 然后到这个 f 再去减掉一个二分之 pi， 是 这样的，所以说如果我们去减这个东西，它等于零的话呢？我们令这个 g 撇 x 等于零，其实我们就让这个 f 减三 x 零，再去减四分之 pi， 它应该会等于多少呢？是不是这个去值区间， 我们直接让它去等于这个负 pi， 然后从而去推我们这个 x 零，它的这个去值，它会等于四分之 pi， 它再去加上一个三分之 pi， 最后介于我们这个斐的去置范围呢，它是零到六分之派，我们就知道了它的这个去置范围，它应该是四分之派，到这个四分之派去加上一个十八分之派，那这玩意呢？它是一个三十六分之九派，再去加上一个三十六分之三十六分之二派，那它是一个就是三十六分之十一派。 这样的话，其实我们会意识到一件事情，就是我们这个 x 零，它是一个极小值点，对吧？然后这个极值点啊，是不是它应该是往右偏的？为什么呢？因为这里是十二分之派，这里是十二分之五派，它中间呢？它是不是应该是个四分之派？但是我们这个 x 零啊，它应该是在四分之派的右侧，所以说我们知道了。诶，它的这个极值点啊，它应该是右偏的， 那即这样右偏意味着什么呢？意味着我们正的这个方向呢？我们就可以去尝试先去证明 x 一 加 x 三，它是大于二分之一的，然后再去证明剩下的 x 二它是大于等于四分之一。但是我们回到下面去稍微写写过程啊，就是我们知道了现在是在这个十二分之一到这个 x 零， 其实我们会发现呢，这个 g p x 它是小于零的，然后 g x 它是单调递减的，然后这个 x 呢？它如果是在 x 零到这个，嗯，十二分之五派，然后我们这个 g p x 呢，它是大于零的，然后咱们这个 g x 它是单调递增的，然后下面呢，我们尝试去证明 我们的 x 一， 去加上 x 三，它是大于二分之派的，那就证明这个东西我给它做下等价，是不是去证 x 一 它是大于 二分之派，再去减掉一个 x 三。哎，这是我们这个极简偏移的这个构造手段，对吧？那下一步是干啥？下一步是去找这俩的范围，这个 x 一 呢？他的这个范围是不是他会去大于这个十二分之派，小于这个 x 零，然后他再去小于这个 x 三，然后他再去小于一个十二分之五派，其中 x 零的范围是他。那所以说啊，你看 x 一 的范围 是不是他肯定是介于这个十二分之派到四分之派之间的，反正他是在单调递减区间上的，那二分之派减 x 三呢？是不是他的这个区间范围，我们可以去分析出来， 那 x 三他肯定是大于这个四分之派的，所以说呢，他的这个区值范围，他应该是这个十二分之派啊，我是说这个整体的区值范围啊，到如果这个地方 x 是 趋近 x 三是趋近于这个四分之派的话，那就是到这个四分之派的。 所以说呢，是不是他们都在我们这个单调递减区间上，就是这个区间，他也是在我们这个单调递减区间上的，我们单调递减区间是十二分之派到这个地方的 x 零 用这个 x 零呢，它是大于四分之派的，那这个就让我们很开心啊，既然他们都在这个单调递减区间上，所以说我们要去证明这个，我们只需去证明什么呀？我们只需去证明这个 g x 一， 它是不是去小于这个 g 二分之派减 x 三啊？对吧？除减端移了，然后把它做一下转化，所以说我们就证这个东西，那这个东西的话，我们给它写开，它是一个多少来着？三倍根号二 e 的 x 三次方， 然后扣在三倍的 x 三，再去加上一个四分之派。哎，是这个数吧，有点忘记了，我们往上翻一翻啊，这个咱们的 g x 在 哪呢？啊？对对对，确实是这个东西啊，那小于这个三根二， 然后 e 的 二分之派减 x 三次方，然后后面呢？它是扣三，是不是二分之三派，再去减三 x 三，然后再去加上一个四分之派。那这时候我们注意到哈，其实这个东西，这个东西我们很喜欢它，为什么呢？它是扣在四分之七派，然后再减掉一个三倍的 x 三，那这玩意啊，四分之七派，我们写成个负四分之派，不过分吧？ 那这个东西和这个东西是不是由于我们鱼限制它这个偶函数，所以说相等吧，相等了，这还不算完，你还得知道它的正负，正负的话很好考虑，因为我们这个 l 三，它的这个取值区间可以确定下来，你能判断出来这俩货都是负的，这俩货都是负的话，所以说消掉的时候需要编号三根二，三根二，直接给它划掉，划掉之后呢，我们只需要去正 证这个式子，那我们只需去证是不是这个 e 的 x 三次方，它去大于这个 e 的 二分之派减 x 三次方。那所以说这玩意呢，我们只需去证这个 x 三，它是大于二分之派减 x 三的，那这个东西呢，它就等大于这个 x 三，它是大于四分之派的，而这一点呢，它是显然的。 你看这个题目，哎，我们这个出发点的这个动机呢，来源于我们找到了这个 x 零，他的这个取值区间呢，是偏右的，所以说我们知道极点右偏，所以我们开始尝试，尝试的过程呢，我们就是用最基础的这个极点偏移，然后去构造的方式去证明的，不过呢，他要比我们普通那种极点偏移要简单，因为你普通的，你是不是对这个东西的证明，你还要去构造来， 是不是你得勾到这个东西，然后再去求到你？这个题根本不用啊，这个题直接划掉了，划掉了之后直接就是显然的了，我觉得这一部分还是非常非常好正的。好的，然后我们接着继续往下走，现在呢，这一部分已经被我们证明了，我们接下来就去思考怎么样去证明这个 x 二它是大于等于四分之派的。那这个地方呢，我们刚才是求出来 x 零它的范围，它是介于 四分之派到这个三十六分之十一派，这时候咱们这个 x 一 啊，它有可能是比这个四分之派要小的，哎，也有可能呢是比这个四分之派要大的，但是呢，它再大它也不会超过 x 零它的最大值，对吧？ 那这时候我们可以分成两类去分析。首先第一种我觉得最简单的情况，倘若呀，咱们的这个 x 一 它是大于等于四分之派的，那所以说呢，它大于 等于四分之派，那 x 二它大于四分之派是不是就直接成立了？这个东西它是直接成立的，所以说接下来我们只需要去分析第二种情况，也就是说 在我这个 x 一， 它是介于十二分之派到这个四分之派之间的时候，哎，我们去试图论证实此时 x 二它是大于等于四分之派。这时候既然我们这个 x 一 它处在这个区间，那对于这个 g x 一， 你肯定得利用这个式子啊，对不对？那对于咱的这个 g x 一， 我们知道是不是 g x， 它在十二分之派 到这个四分之派到 x 零，它是不是都单调递减的？所以说它到这个四分之派，肯定它也是单调递减的，所以说咱们这个 g x 一， 它的这个取式，它应该是 小于一个 g 十二分之派，然后它再去大于一个 g 四分之派，是这样的一个区间，这个 g x， 哎呦，我又忘记它是什么了，好像是三倍根号二 e 的 x 四方，然后扣在三 x， 再去加四分之派吧， 这样的话是我们去可以算一算这个 g x 一， 它具体的这个取值范围，那 g 四分之派，那四分之派给它戳进去，那这个地方它是个 cos 派， cos 派它是个负一，这里是个四分之派，所以说呢，它就是一个 负三根二，然后 e 的 四分之派四方，然后十二分之派，十二分之派给它戳进去的话，那这个地方它是个二分之派，二分之派直接变成零了。哈，好，这就是咱们这个 g x 一， 它的这个取值范围是在这， 那接下来再把我们的分析对象转到我们的这里 g p x 二，那分析这个 g p x 二，我们前面应该是已经求出来这个 g p x 了。 g p x 的 话，我记得刚刚我们是把它整理在哪了？是不是整理在这个地方了，对吧？那对于这个东西我们赶它给它拷贝过来。 好的，那就是这家伙，这家伙我们可以分析什么呢？被我们要去证明的是这个 x 二它是大于等于四分派的，所以说在这我们可以去假设咱们的这个 x 二， 它就是在十二分之派到四分之派这里面的， 然后我们去试图推矛盾，你看我们挣出来这个 x r， 它不能在这里边，所以我们就说明了 x r 它是大于等于四分之派的了 啊，这是我们要分析的问题，我们现在要去正他，你分析 x 二，他在四分之派以上的这个区间没有用，你得去分析的是他在十二分之派到四分之派，他不行，这是我们的目标。所以对于我们这里的这个 g p x 是 不是我们也是去分析这个 x 他 介于十二分之派到四分之派这样一个区间，那此时呢，我们会发现这个整体再减三 x 再去减四分之派， 取值区间就应该是，呃，我们把这个 x 等于四分之派带进去，那就是派再去减掉一个派，把这个 x 等于十二分之派带进去的话，那就是派再去减掉一个二分之派，然后我们还知道这个派的取值范围，派的话，它是零到六分之派的这样一个区间，那这时候如果我们去画一下这个 y 等于三 x 这个图像， 那这个派减二分之派大概是在这样的一个位置， 所以我们来看这个 g 撇 x， 随着我这个地方 x 逐渐的增大，我这个 f 减三 x 减四分之派，它是逐渐的减小的，所以我们去借助这个图像，它既然是逐渐减小的，它就应该是 从右往左走的，然后它是先减后增的，而我们整个的这个 g 撇 x， 它是先减后增， 其中什么时候去取到最小值呢？取最小值的这个地方，是不是我就让这个 f 减三 x 减四分之派，它去等于负的二分之派，那此时它就能去取到一个最小值，那在这种情况下，我们去推一下这个三 x， 它会去等于一个 f 再去加上一个嗯，这个四分之派， 那这样这个 x 它会等于十二分之派，再去加上一个三分之派。所以说我这个地方所谓的这个先减后增，它是应该是从十二分之派减到哪，一直减到 十二分之派去加上一个三分之派，它是单调递减的，然后从这个十二分之派加上一个三分之派到 四分之派，这个区间它是单调递增的啊，我们这里都是去集中分析它啊，集中分析它，这是我们三角函数的基本功啊。由于它是先减后增的，我可以去画一下我们 g p x 它的图像吧， y 等于这个 g p x， 它是先减后增的， 其中对于这个 g p x， 它就是六倍，根号五 e 的 十二分之 pi 次方。把十二分之 pi 带到这里面，它就是 sine， 再去减掉一个二分之 pi， 那 这东西根据诱导公式， 我们知道它会等于一个负的 cosine， 所以 说它是一个六根五，然后 e 的 十二分之 pi 次方，然后前面来个符号 cosine。 那 cosine 是 多少啊？忘记了哈，忘记了，翻前面 cosine， 它是个十分之三根十，那这玩意它再去乘上个十分之三根十， 或者说呢，你这个地方你也不用搞这么复杂哎，因为我们这个 g p x 啊，我们是已知的，我们直接给它戳到这里面去，哎，戳到这里面去是不是也行？那我们来看一下哈，我们直接把这个十二分之 pi 把它放进去。 可以去计算出 g p 十二分之 pi， 它会等于三根二，然后 e 的 十二分之 pi 四放十二分之 pi 带进去的话呢，这个地方它是个负三， 它是一个负的九根二，然后再去乘上一个 e 的 十二分之派次方。我们再来算算 g 撇四分之派，四分之派把它带进去，那它是个三根二 e 的 四分之派次方，四分之派带到这里呢，是个 cosine 派， cosine 派的话，它是个负一，负一再减掉后面四分之派带到这里，那是个三一派，三一派的话它是个零，所以说呢，这里它就是个再去乘上个负一嘛， 所以它是个负的三根 r e 的 四分之 pi 次方。然后这两个东西啊，谁大谁小，这个也挺关键的。哎，如果是它大的话呢，这东西它就得这么画， 如果是它小的话呢，这东西它就得这么画，对不对？到底谁大呢？很显然去做个比值就可以了，做个比值的话，你会发现上面它还剩下个三，下面它还剩下一个是不是六分之 pi？ 那 很明显三是肯定会大于这个 e 的 六分之 pi 次方的，所以说呢，它会去 大于负的九根二 e 的 十二分之派四方。这个地方可以再去说明一下啊，这样的话，对于我这个 y 撇 y 等于 g 撇 x， 它就应该是从十二分之派到这个四分之派，它是一个先减后增的，我们可以去画一下它的图像， 其中这个最小值呢，它是一个十二分之派，再去加上一个三分之派，然后这里它是一个十二分之派，这里呢，它是一个四分之派。所以这时候我们就发现了，是不是我们刚才假设我们这个 x 二它是在这个区间上的，那这时候我们就可以分析出咱们的这个 g x 二， 它的这个取值区间一定是从这个地方的最小值到这个地方最大值，只不过这个地方最大值它取不到，所以说 g x 二呢，它一定会小于咱们的 g x 二，它就一定会小于咱们的 g 撇四分之派， 它是一个负的三根二 e 的 四分之派次方。那这样我们终于找到了这个 g p x 二，它的这个取值范围，当然这个最小值我们需不需要求呢？我们一会再考虑它，你看啊，哎，我们这个 g x 一， 它是在这样一个取值范围，我们这个 g p x 二，它是在这样的一个取值范围。 刚才是假设这个 x 二在这个区间，我们说应该得推出来矛盾，那这个矛盾怎么去找呢？看在这种情况下，我这个 g p x 二是小于这个数的，但是在这种情况下，事实我这个 g x 一 它是大于这个数的，所以说呢，在这是不是它进一步去小于 g x 一， 这就是矛盾。为什么这是矛盾？因为原题干中它要求这俩相等啊，是不是它就和题干矛盾了？ 矛盾说明什么？说明我们这个假设是错误的，这个假设是错误的。说明什么？说明我这个 x 二它是大于等于四分之派的。如此一来呢，我们就通过这样一个，反正是不是去说明了我们在第二种情形下，我们这个 x 二也是大于等于四分之派的，所以说在这两种情形下，我们这个 x 二它都是大于等于四派四分之派的。哪呢？ 通过这两个式子论证出来，我们最后的结论它是正确的，这就是这个题目。哎，我觉得最起码这个地方呢，截止到这个地方，我觉得都是非常简单的。对于后面的这个分析呢，就稍微会绕一点弯了。

注意看安徽天一大连考三月检测的预估分数线里面，数学的九八五线是九十九分，二幺线是八十九分，特工线是六十分，本科线是四四十八分，青北线是一百三十三分。啊，这个九八五线我感觉，我感觉这次数学的难度可能比那个三月份江南职校的难度还要大。 嗯，这次数学的特点听说是中弹题特别多，就弹题跟难题的叠加导致他的难度特别大。很多一百四平时连考能考一百四的选手，这次可能只有一百分，一百出头多一点点，九八五线是九十九。你们来评评这次数学的这个难度吧。

我们来看第八题，第八题是一个抛物线的题目，这里说的是抛物线的方程啊，外放的 r p x 焦点为 f， 圆心在 x 轴上的圆 e 与抛物线在第四象限，尤其只有一个公切点，并且在 m 点处的切线为同一条直线。如果 m 的 横坐标是三 f m e， 这个角度是 六分之派，求实数 p 的 值，那么这一题主要用的是这一个抛物线的一个光学性质，那是什么意思呢？那也就是说，我们这一个当你平行于平行于 x 轴的直线， 从这里呢，与抛物线交于点 p， 与准线交于 p 一 撇的话，那么我们连接 p p 一 撇， p p 一 撇的长度就等于 p f 的 长度。好，这时候呢， 我们可以证明， p 一 撇， p 一 撇和 f 这两个点。关于这一个过点 p 的 切线呢，它是对称的，对称了之后呢，这里就是垂直，然后，嗯，这样子呢，这一个线 就会和 p 点的这一个反线呢，会平行，那就是说这两个角相等，也是这个对顶过去，这两个角相等，从而这两个角也相等，所以这就是入射光线，这就是反射，光线平行于 x 轴，射入的必定会 反射通过这里的焦点 f。 好， 那这一个我们搞清楚之后呢？那我们怎么把它用到这个题目当中来呢？那我们还是这里画一个切线，画一个切线之后呢？ 那我们看到的是这一个，嗯， f m 是 通过了 f， 那 我再过 m 做一个平行于 x 的 直线，所以这两个角度啊，就相等，他说 f m e， 这里是六分之派，那这里也是六分之派。那内错角上来，这个角也是六分之派， 这六这个角是六分之派，之后我们可以使用利用它两次 f 一 现在就等于 f m， f m 等于多少呢？我们把准线 写出来，那就是 m 点到准心的距离就是三，加上这里的二分之 p。 好， 那这一个搞清楚之后啊，我们的 f 坐标本来就是二分之 p 零，所以现在一点的坐标呢，就是三加二分之 p， 再加二分之 p， 就是 三加 p 多好，零好一点。坐标出来之后，然后我们 m 点的坐标，横坐标是三，纵坐标呢，它现在如图是在第四象限的，那就是纵标是一个负数负的根号下，把它带进去，负根号六 p 好， 利用我们的 e m 这两个点，可以求出它的斜率 k， e m 刚好是等于我们贪婪的六分之派，那么这样的话，零减去它，那就是 根号六， p 除以三加 p 减三，那就是 p， 这是斜率的公式。这边呢是三分之根号三，这样的话， 嗯，平方以下 p 的 平方分之六， p 就 等于三分之一，这样的话 p 呢就等于十八。答案呢，选 a。

我们来看一下这道概率题，他说有一个摸奖游戏啊，总共里面呢有三个红球和五个白球，然后还编号了，那我们就写一下，红一、红二，红三 白一，白二，白三，白四白五。好， ok， 他 要一次性摸三个球，抓取不放回，摸到三个同色球，或者摸到三个数字之合为三的倍数就中奖， 问我们中奖的概率是多少？大家去想一下，摸到三个同色球这个事情是不是其实还是可以搞得定的？然后摸到数字之和为三这个事情也是可以搞得定的，但是他的问题是，你这两个是不是可能会有重复的部分？对，那我是不是只要分别计算之后，再把重复的部分减掉就可以了， 大家能听懂吗？好，那么我们就去计算，请问总情况数是多少呢？五十六，总情况数是不是应该是 c 八三 八个球里面挑三个？好，我们先来看颜色铜是不是比较简单？我们先把颜色铜算出来，颜色铜是不是要么就摸三个红 c 三三，或者从三个白里面摸三个 c 五三？好， ok， 继续再来。接下来就是数字之和为三的倍数，大家去想一下，你这个数 他要是数字之和为三的倍数，你想一个数，他是不是只有三种状态，一种就是被三整除，要么就是被删除于一，要么就被删除于二，他只有这三种状态，所以我们把它归为什么呢？ 啊？被三整除是不是就是鱼雷或者鱼一或者鱼二，所以你数是不是其实只有这三种状态？那么我这三个数想要能被整除，是不是有可能是 零零零就三个被三整除的数和减是不是应该也是被三整除？如果说他里面要有一的话，那他后面的和是不是应该要是二，那么是不可以是一一一三个被三除以一的数和减是不是也可以？也可以是一二零，是不是也是可以的？好，再来， 如果是二呢？当然会有二，一零是不是也是可以的？好，再来，如果是二呢？当然会有二，一零是不是也是可以的？好，再来，如果是二呢？二二二。 所以总计数就这么多种情况，我们一种情况，一种情况去找来看第一个数，红一是不是被除以一？红二被被三，被删除于二，这是被删除于零，这是一，这是二，这是零，这是一，这是二。好来，首先看第一种有没有可能是零零零， 这里面有三个零给我吗？不可能，不可能，所以这种情况就没了。好，再来，有没有可能是一一一，有可能红一白一加白四，所以这里是不是就会有一种？ 我们直接去美举他不就行了吗？好，再来。来，一二零，来，一二零，有多少种？来一有多少个？ 是不是三个？那么我是不是一二零的话，一是不是有三种情况好？二有几种？二有两种，三种好，零呢？两种两种，所以合计一共有十 八种。十八种。来，我们正顺带看一下这个十八种里面有没有铜色的，我们就可以。或者是三个白的情况里面会有几个？是不是白？三是肯定要挑的。对。 然后一是不是会有两种？二是不是有两种？所以是不是一共有四种？所以三个红一二零是不是一种？三个白？一二零是不是应该有四种？所以合计是不是应该有五种？所以这里是不是要减掉一个五加十三？好， ok， 继续再来。 还有什么二二二二二的话是不是就一种？而且这种是不是也不会遇到红色的情况？所以是不是直接加一就可以了？彻底结束？来，我们计算一下， c 八三八乘七乘六，再除以六，所以是五十六。好， c 三三一， c 五三十十，然后再加十五，所以应该是五十六，分之 二十六，二十六，那再除以二就等于二十八，分之十三就结束了。这道题目其实是不是也没那么难啊？对吧？好，你只要分类清楚，然后后面再稍微每举一下就结束了。

这首旅行带泪的雨送给黑黑 dj 张宁， 我计划带着音乐远航，能不能和我浪迹天 涯，风景诱人的夜晚，携手我们走在塞纳河 畔。还记得我们说好的去游乐园玩一下，飞 机就在我神侧，在我神 侧庄园深处和景象来自浪漫的国度， 对姻缘还有感情，我们都藏着痛苦和期许喜欢我现在哪里也不能去，是你眼睁睁每天这么过去，那你是我这个假期最快乐的甜蜜。 看着剧情发展直到凌晨不会觉得疲倦， 太阳晒得我懒懒得躺在你 醉的二人洒满了天际狂风情一 生全部逛遍。想跟你旅行， 聆听天下理，想着你是否快乐，现在在哪里，我的假期马上结束，最后 旅程想笑我们带着梦想浪迹天涯，结束半熙攘的浪漫之旅。

刚考完的江南时校联考，这道三角函数压轴题综合考察了函数性质，题型比较经典，快艾特你身边成绩好的同学来试试吧！

江南时校的大连考这套试卷要是搁在高考考场上，我相信又有很多同学是哭着走出考场，因为试卷整体难度是非常大的，但是这道多选压轴题，从整体上看更像是一道送分题目，咱们一起来看一看这道题， 他说这个函数解析式给了问选项当中正确的是，那么对于多选题来说，咱就一个一个判断呗。 a 最小正周期是 pi， 怎么判断呢？咱们来判断一下 f x 加 pi， 它到底跟原来是不是一样就可以了。那代入之后， sin x 加 pi 就是 负的 sin x 后面这个东西没变，二分之一的散引二 x， 而后面这个东西变成了散引三 x 加三派诱导公式又变成了减去三分之一的散引三 x， 很 明显它俩不一样，所以 a 选项错， b 选项图像。关于派零中心对称，用最简单的方法去判断前面这个关于派零中心对称，中间这个同样也是，后面那个也是关于派零中心对称，所以整个函数肯定它是一个对称中心。 二 b 是 正确的， c 选项在判断的时候，我们来看一下它问区间上是不是单调递增的。首先咱们用最简单的方式先去分析一下， 在这个范围内，正弦函数就是有增有减的，而后面这个散音二 x， 二 x 整体在二分之派到二分之三派之间，它又是一个减的，所以用这种最基本的判断方法是解决不了问题的，那只能用常规手段， 就是对这个函数求导，我们来导一下，看一看它是什么。求过导数之后，它应该是 cosine x， 再加上 cosine 二 x， 再加上 cosine 三 x， 到了这一步，咱们来判断它的正负。还是先用最基础的方法在这一部分判断一下这三个是不是分别都为正或者都为负。 很明显不是，那就说明这个式子又要做变形，那变形的方式这里就很多了，有的同学知道三倍角公式，你可以用三倍角公式处理。有的同学呢，知道和差化积公式，那么你就可以把这两个结合用和差化积公式， 如果同学都不知道这俩公式，那咱就只能用两角和差公式去凑。所以把前面这个 x 写成二 x 减 x， 后面这个三 x 呢？写成二 x 加 x， 这个 cosine 它打开会出现 cosine， cosine 加上 cosine， cosine， 后面这个打开会出现 cosine， cosine 减去 cosine 加 cosine， 那 正好一加一减就消掉了， 消完之后呢，它就留下了 cosine 二 x 乘 cosine x 的 两倍，再加上 cosine 二 x 提走公音是 cosine 二 x， 剩下了两倍的 cosine x 再加上一，所以咱们判断它的正负就可以了。来看，在这个范围内， 二 x 是 大于等于二分之派，小于等于二分之三派的，这个范围内的余弦它本身就是一个负的，所以咱们只需要看后面这一部分的正负就可以了。 很明显，当 x 等于三分之二派的时候，这个整体是零，那么小于三分之二派，大于四分之派的时候，它就是一个正数。 而大于三分之二派，小于四分之三派的时候，它就是一个负数，所以肯定不是单调递增的。那么 c 选项就是错的，刚才说了 a 错， b 对， 那既然是一道多选择题，其实四 d 就 不用去判断了，直接是对的， 用这种方式解决这道题呢，就可以很快得出答案。但如果我们平时练习想判断一下 d 到底对不对，我给大家说一个思路。首先这个式子我们可以确定是奇函数，所以它一定有一个零点是零。然后呢，对称中心是派零， 所以说明派对应的也是零。那么我们要想研究清楚对应的这个集合是不是 k 派，咱们就去分析一下零到派之间对应的单调性和极值最值就可以了。 那怎么研究单调性呢？既然 c 选项咱们已经求倒了，直接用它的正负去判断就可以，所以后面的这个 d 选项的具体过程大家自行去判断。对于这道题目来说，在整张卷子里面作为一个压轴题，确实有点不合格。

大家好，我是讲宣城数学的李老师，今天聊一下关于高三刚刚考完的这个呢，是校联考的考试，这个数学卷子问题是偏难的，那么高三的如果一次我觉得能考个一百一十分左右就算是非常棒了， 那么我估计啊，一次大概的平均分也不会太高，五六十分左右吧。所以说这个卷子啊，做的非常的好，适当的做一做这种卷子的五道大题，一道大题的树立，二道大题的统计概率，第三道大题的立体几何，以及第四道大题的匀速曲线， 最后一道大题的导数相对来说都不是那么的简单。如果你能够对个三道大题，我觉得已经算是基本功非常不错的，其中尤其是最后一道大题的导数的第二问，第三问 都不容易做的出来，这点偏移。其实三个变量的用平时训练的时候训练的也少，我估计很少有人能做的出来。 估计这次考试能考一百四十分以上的吧，就已经是相当的稀缺了，总之这个卷子要多体验，多总结。最后还有三个月的时间，我希望大家努力加油，今年高考考出一个好的成绩。

如图，抛线 c 的 方程为 y 方，等于二 p x， 焦点为 f， 圆心在 x 轴上的圆 e 与抛线 c 在 第四象限，尤其只有一个公共点 m， 且它们在点 f 的 切线是同一条直线啊，切是同一条直线，我们把这个切线给它画出来。 好，这个切线呢，和这个 e m 是 垂直的， 若点 m 的 横坐标是三 角 f m e 等于六分之二，这也就是啊， f m e 等于六分之二， 就三十度。求实数 p 的 值为多少？ 好，我们看一下这个这个条件啊， 这个圆 e 与抛线 c 在 第四条线是第四象限，尤其只有一个公点 m， 它们在 m 处的切线是同一条直线。 那现在我们过这个 m 点呢？做 x 轴的平线， 由这个抛线的光线光学性质之， 这个角 e 啊， f m e 和角 e m， 这个我们切切作点 n 吧， e m n 是 相等的。这两个角 啊，这两个角是相等的啊，这个 m n 和 x 轴是平行的啊，根据它光学性质， 根据它的光学性质啊，我们知道这里这个角呢，也是六分之派，就是三十度，那所以角 f e m 呢，也是六分之派。 那么因此等角对等边，所以 e f 啊，它就等于 m f， 而 m f 又等于谁呢？我们知道哎，它的横坐标是三，所以说它等于 x m 加上二分之 p， x m 是 三，三加二分之 p， 那 进而呢，我们可以算出点 e 的 坐标，哎，就 e f 的 长，再加上 o f 这个二分之 p， 就 三加 p， 那么所以这个 m 点的这个哎，哎，这个 m e 的 这个斜率我们就可以写出来了啊， m 点坐标，横坐标是三，纵坐标是负的啊，根号下六 p 二三得六啊， 所以 k m e 等于零减负，六分之 p 就 跟上一下六 p， 零减跟上一下六 p 啊，就跟上一下六 p。 那 么横左边呢？ 横左边之叉就是三加 p， 然后减去这个三 好，这个直线 m e 的 呃，它的斜率呢？又等于这个直线倾斜角的正切值， 它令的角 e m n， 它令的六分之二，三分之根号三好，就利用斜率相等，我们构造一个方程， 然后求解这个 p 的 值。两边平方，左边 p 分 之六啊，这个约分了啊，右边三分之一交叉相乘，所以 p 等于十八啊。 那这一题涉及到抛物线的性，抛物线的支点啊，一个是抛物线的光学性质， 抛线的光学性质啊，平行 x 中的这个光线投射到抛线抛线上，然后它的反射光线呢，会经过这个焦点 f， 经过焦点 f 啊， 好，还有一个，这个角 f m e 等于角 f m n， 这也是它的光学性质啊，因为这个直线 l， 这个切线，光点切线， 是抛线的一个切线啊，抛线的切线，这是切点好。那么还有这个它的交半径的长啊，抛线的这个这个支点交半径的长， 等于横坐标加上二分之 p 啊。

前几天刚考完的江南职校高三三月联考数学卷全网都在热议难度。这份试卷精准铆定二零二六高考核心命题热点，全卷计算量拉满，对考生的知识掌握熟练度、考场应变能力和综合解析思维要求极高，堪称近年江南职校联考中难度天花板级别的存在。选择题基础送分少， 中档拉差距，后三题直接拉高了整卷的入门难度。第六题，对数比大小题型，同类题型刚现身深圳异模单选压轴难度直接对标母考压轴水准。第七题，以日常最常用的 a 四纸为背景，结合几何、图形考察等比数列，看似贴近生活，实则对地推规律和预算精度要求很高，稍不注意就会丢分。 第八题，作为单选压轴考察抛物线语言的综合问题，将切线性质、几何角度关系与坐标运算深度融合，对考生数形结合的能力要求极高。多选择题更是没有送分题，三道题全是跨模块综合考点。 第九题，一个选项对应一个统计核心考点，把样本相关系数事件独立与互斥、独立性检验、混合数据、方差全部囊括，稍有知识漏洞就会失分。第十题，例题几何综合题， 垂直证明、意面、直线夹角、点面距离、多面、体内切球四大考点全覆盖，必须对立体几何核心模型烂熟于心，才能快速破题。第十一题，三角函数综合题，将三角横等变换周期性、对称性、单调性、零点判定与导函数深度结合， 综合性拉满也是新高考高频考察的热点题型。填空题重细节，考综合易错题陷阱拉满填空部分三道题处处设坑，对细节把控要求极高。第十二题，平面向量、投影向量第十三题，解三角形综合问题都需要对公式定律做到灵活变形，精准运用。 第十四题，概率题更是近年高考高频易错题，必须借助容斥原理做好精准分类讨论，分类逻辑稍有遗漏，技术出现半点偏差就会直接算错，结果特别考验考生的细心程度和逻辑严谨性。解答题，基础题藏陷阱， 中档题耗时间，压轴题拼硬实力大题前三题看似相对基础，实则全程埋坑，及其消耗考场时间。第十八题，圆锥曲线压轴题 第一问求椭圆轨迹方程指示入门，二、三问直接聚焦三角形内心与重心坐标的求解，最终面积计算还需要用好垂距公式简化运算，考场上一旦解析方向选错，就会陷入海量的无效计算中，记号时间又极易算错。第十九题全卷最难的导数压轴题，以指数函数结合三角函数为背景，考察多变量不等式证明， 三问梯度设置明显。第三问虽是高考常规的零点不等式证明题型，但全程的求导预算、三角横等变换函数、单调性分析与放缩技巧，对考生的计算能力和逻辑推导能力都提出了极致要求。 总的来说，这套江南时效联考卷核心热点全覆盖，运算能力与思维能力双重考察，不仅是对知识点的检验，更是对考场时间分配、硬式心态的全面考验，是高三考生查漏补缺、打磨硬式能力的优质模考卷。

高三的江南市校大联考终于是结束了啊，把不少孩子给整麻了，尤其是今天下午刚刚结束的数学，连选择题都上强度了，像九十十一这三道题，我估计很多孩子都拿不到分。当然不得不说人家的试卷出的确实有水平，不愧是号称安徽的江南大屠杀。最后的压轴题就不用说了，普通学生肯定拿不到分 的。那试卷和答案解析呢？我都准备好了，全套的电子版，一定要拿回去练一练。那有需要的扣江南市校私信找我要一下。