安徽对口高考数学立体几何

今天我们来看一下二六年安徽单招的数学题吧，因为现在还没有公布完呢，所以我先收集了几题来看一下啊。第一题，并级，并级就是所有的元素加起来二三四，呃，这里是三，刚刚有了就不用了，所以五六二三四，五六选 d。 上三题已知阿尔法是第二象限啊，画一个图啊，之前经常用的就是全 stc， 这个图全 stc， 他 说阿尔法是第二象限，那么我们来看图啊，第二象限只有三眼是正的，其他都是负的，我们来看一下，那就选 a， 那 就 a 是 对的，三眼是正的，选 a。 三十五题上的一百二十度除以口上的六十度， side 的 一百二十度，它是等于 side 的 六十度 等于二分之根号三口。 side 六十度等于二分之一，那么这里呢，就是用二分之根号三 除以二分之一，对吧，我们写成横式，那就是二分之根号三除以二分之一，那么除以一个数等于乘它的倒数吧，所以就是乘以二了，这里约了等于根号三，所以这题呢，就是根号三了。 三十六题， x 大 于零至 x 等于二零二六的什么条件，我们来看呢，这个大于零，画一个竖轴吧，零在这里，二零二六在这里，它大于零呢，是往右走的，那二零二六呢？只有一点，所以呢，很明显呢，前面是大范围，后面是小范围，前大后小，必要不充分。选 b。 三十七题，八的三分之一次啊，等于这样子啊，有两个方法，我讲其中一个吧，那这个八呢，可以变成二的三次方，二的三次方在三分之一， 那这里就是次数，在次数就是乘方变成了三乘以三分之一，这里约为一吗？二的一次还是得二吗？那 log 三三等于一，那这里就二减一等于一，答案为一。 三八题，解绝对值的不等式，我们用一分为二的方法，第一条是指照抄，第二条是指二 x 减一，改变两个东西， 符号改变这两个符号啊，大于等于变，小于等于五，变成它相反数负五。好，我们先解前面的这个二 x， 先解第一条啊，二 x 大 于等于六 x 大 于等于三。 ok， 再解后面的这条，二 x 小 于等于负，四 x 小 于等于负二，那所以它很明显呢，就是负无穷斗负二，对吧？这里是中括号 b 三，中括号三，斗正无穷。那答案就这个了。三十九题， a 四 a 七 a 一， 我们把它列呃，写出来吧。 a 一 a 四 a 七，我们观察一下它的角标啊，你看，一四七一和四相差了三，四和七也是相差了三，很明显了， a 四为 a 一 和 a 七的等差中项，那么等差中项就是中间的两倍，等于头尾相加。 a 四为十一，那就是二乘以十一二十二， a 一 是我们要求的， a 七为五，那么很明显啦，所以 a 一 等于十七啦，答案为十七。 四十题，抛硬币的题目，抛三枚硬币全是正面朝上的概率啊。我们用速算图的方法，第一啊，第一枚，第二枚，第三枚。硬币有正反两面。 好，第一枚抛了第二枚，在正的情况下又有正反，在反的情况下又有正反。好了，这个不断的把分支列下来，正反 正反，这里也是正反，也是正反。数一下，一个列完了，我现在已经列完了，我数一下有多少种情况， 一二三四五六七八，所以一共是有八种情况，他说全部是正面，我们看正正正，哎，这个符合，其他的都不符合了。正正反，有个反的就不行，有反的就不行，那只有一种情况是符合八分之一。 四十一题，考了一个 sin 的 和角公式，它的和角公式为， sin a cosine b 加 cosine b， 等于 三眼的 a 加 b， 这个是上的和角公式啊，你看啊，这个就是 a 了，这个就是 b 了。所以呢，那这题呢，就是变成了他就直接等于三眼的 a 加 b 嘛。那就等于二十七度加十八度，等于三点四十五度 等于二分之根号二，那这题答案就是二分之根号二。好了，四十三题，两直线的交点在第几项线这里我们只需要连立方程组就行了。来吧， x 减四 y， 我 把这里的这个加三移到右边了，就变成了减三，然后四 x 减 y， 等于我把这里的减三移到右面，就变成了正三，就变成了三了嘛。好了，那么我们再把第一条四指，这个是一，是，这个是二，是把第一条四指进行变形呢，因为我们要把这个 系数变成相同的，我们就把 x 的 系数变成四，就是将第一条四指同时乘以四，那就变成四， x 减十六， y 等于负十二，然后第二条不用变了，我们照抄一下。 好，那这个是第二条，这个变了之后就变成了第三条，现在我们用第三条减去第二条，那这里我们打数来看呢，四 x 减四， x 就 减没了，好，到 y， 那 这里就是减负十六 y 减负 y。 注意了，这里我们要把前面的这个符号带上， 等于负十二减三，这里就是负十六 y 加 y 喽，那就是负十五 y 直接写负十五， y 等于负十五，对吧？ y 等于一，我们再把 y 等于一带入第一条，那就变成带入第一条，就变成了 x 减四等于负三， x 等于负三加四， x 等于一了，所以它的焦点呢，就是一对一，一对一在第几项线呢？那不就是在第一项线呢？ ok 啊，四十五题用斜修法来做吧， t 准，它是等于三眼， r 除以口上 r， 对 吧？对二，那这个二呢，我们可以看成一分之二，一分之二，那这里呢，我们来看呢，我们现在就可以把三眼看成 是这个二，我们打横来对应着看，把三眼看成二，把口，三眼看成一， 对吧？那这里呢？这条四指呢，它就变成了三，二看成二啊。二加一，分母为二乘二减一等于二加一是三，四减一也是等于三等于一，所以四十五题答案为一。好了，那么今天我们就先到这里了，各位再见。

哈喽，大家好，我是番茄学术，那么今天我们讲解的是零基础十五课里面的第十课，立体几何的上半部分，我们今天要讲的是各种图形的体积，表面积，体积，表面积。 好，第二个就是平行，第三个是垂直好，空间向量在下一期视频中。 好，那么这一期视频的话，对应的章节就是一数一百，讲里面的几何体的表面积，体积以及位置关系的判定，里面的平行关系的证明大权以及垂直关系的证明大权。如果有这本书的话，可以在课后把这里面的练习完成一下。 好，那我们废话不多说，开始吧。首先立体图形里面，我们先把平面图形里面的呃，一些小小面积啊，周长之类的给它搞明白。那首先是圆，第二个是 弧，圆弧扇形，这叫扇形，对，下面是弧对，弧长。 ok， 来看一下，如果这个圆的半径为 r， 那 么我可以求它的周长和表面积，对不对？那表面积是多少呢？ pi 平方吧，对不对？好，五周长呢？周长， 周长是不是二 pi r， 这个每个人都知道吧，我记得是小学学过的。嗯，好。第二个是这个扇形面积，扇形面积有两种求法，第一个是我如果知道它的弧长，假设弧长为 n， 哈，这个蓝色的叫做弧长，只有圆弧。嗯，我假设它为 n， 然后这个母线假设它为 l， 那 么它的面积怎么求呢？二分之一 n l 面积。 那求扇形面积的话，还有另外一种方法，把这个扇形放在圆里面， 圆里面，你看这个扇形好，假设它角度为 r， 放嘛，然后，哎，那它的半径是 l 喽，对不对？好，那我现在只知道它角度和这这个的弧长。好吧，那我要求它的话，我先求大的 这个圆的面积，圆的面积 pi 平方。好，那我先要求这个。我假设它是弧度值啊，它占多少分呢？它这边占是不是占了二？ pi 分 之二法，如果是按弧度值来说的话，对不对？好，如果是角度的话， 按弧度值来说是这个，如果按角度来说是三百六十分之，假设三百六十分之二法， pi 二方。好， 这样子是角度，你得还是得转换成弧度啊， ok 吧，不然的话你等会这边不知道怎么约啊，约完之后这边是度数啊，知道吧，所以你要知道弧度， ok 吧，弧度制的， 然后这边再进一步约分派派约掉，所以就是二分之一而放而方。 ok， 这个也可以求扇形面积，但是用的比较少，一般还是用这个。对， 好，学完了之后，我们来到柱形，锥形台体以及球的面积与表面积，或者是说侧面积。好，我们来看，首先是 首先是这个柱形，那柱形的体积，我们先看体积哦，体积的话是 s h。 s 是 什么？下面的这个的面积 s h 有 的人会记 pi r 方 h 也是没有问题的。为什么这个底面就是一个圆呐？底面的话可以求啊，底面这个 s 就是 pi r 平方了，对不对？你想记这个记呗，我又不强求你记 不记这个。对，你可以记这个，也可以记这个，但是这个不好记啊， pi r 平方 h 不好记啊， pi r 平方 h 不好记哈，对，所以我们一般记 s h 可以 吧？好，锥体的话，一般锥体的话，所有的锥体它的 体积都是三分之一 s h， 所有的台体都是三分之一 s， 括号 s 上加 s 下，加上根号下， s 上 s 下，括号 h。 好， s 上就是上面这个这个圆的 面积，然后所以就是根号下，然后再根号下 s 上 s 加， 其实这个是前面两个的综合题啊，为什么呢？你看啊，如果这个 r 一 等于零等于零，那他是不是不是圆台了，就变成圆圆锥了，对不对？那等于零的话，零零，那这边就是变成了三分之一 s 下，也就是三分之一 s h， 不 就这个吗？对不对？ 好，那另外一个呢？如果，哎， r 一 跟 r 二一样了，他是不是圆什么圆珠吧，对不对？ 那一样的话，那他加他等于二 s， 那 他他乘他，嗯，开个根号就是 s 三 s， 然后外面乘个三，三分之一三 s h， 哎，不就是 s h 吗？哎，有没有发现跟他一模一样对不对？好，这是他们的体积，大家一定要记住哈，就考试的时候就是用的还是比较多的， 当然我说了啊，就是你记 r， 你 记这个也行嘛，但是这个不好记，你还是记这个吧，老老实实记这个吧。上面和下面可以吗？ 面积慢慢求嘛。这个面积还不好求吧。面积很好求的呀，所以就不要总是把 r 放进去。 为什么总强调？是因为我去年出了一题，别人总说我教错了，可是实际上是没有错的，可以 s 上 s 下，刚好是 s 上下，可以吧，他总记这个 r 去了，知道不？都一样的哈。好，那讲完了体体积的话，我们来讲侧面积哈， 我们来看一下侧面积，这个侧面展开是一个矩形，那矩形怎么求面积啊？底乘高吧，那底怎么求啊？底面怎么求啊？这个底底是多少呀？ 二派儿吧，二派儿下面的周长，然后这边呢？ h， 所以 就是二派儿 h。 好，那到了锥圆锥呢？它的这边是一个什么？它的它的展开图啊，它的侧面展开图啊，我要求侧面记嘛。侧面展开图是一个扇形， 那扇形的话我要知道它下面这个弧长是多少了。弧长是多少也是二 pi r 嘛，对不对？然后它的母线呢？是这个 l， 所以 它是二分之一弧长乘母线二 pi r 乘 l， 然后二分之一和二约掉就变成了 pi r l。 pi r l 好， 最后一个这边的话直接记哈 pi r 一 加 r 二括号 l， 原台的最特殊了。原台的怎么求呢？我们一般是补全，补全之后用呃，用整体的减去这个切掉的这个部分， 但是哈，你不要去正了，也不要去叽里咕噜搞一大堆了，等会会产生歧义，你会搞，搞得等会会觉得 r 二减 r 一， 但是不是的哈，这是按比例来，最后算到的是 pi r 一 加 r 二 l 可以 吧。推就不推了，大家不要去推啊，直接记就好了。推还是比较麻烦的， 这是他们的侧面积好也是直接记就好了，最难记的就是这个。呃，那个台体的嘛， ok， 好 侧面积哦。没没，不是说表面积哦，表面积的话这是要加两个圆哦，这边表面积要加下面这个圆的面积哦，如果要这边的话就是下面和侧面有区别哦。我现在求的是侧面积 ok 吗？侧面积对， 好，接下来是球球，这个我觉得比较好记了，球的话，首先体积的话是三分之四 pi 而立方， 表面积呢？四 pi 而平方。好，我们记住哈。怎么去分别？这两个长得很像对不对？好，一般体积的话是不是立方多少立方多少呀？所以你看他这边是立方， 然后这边大的数，他这边就比较小， ok 吗？所以他是三分之四。好，这边面积的话一般都是平方，所以他是二次方，然后这边小，他就比较大一点，我一般是这样记的。 ok， 那 这些图形的表面积，体积周长什么叽里咕噜一大堆的，一定要记住啊。好的，然后这边题，呃，带大家做一个，然后其他的不建议大家做太多哈，因为有的题还是比较难的啊， 你做一两个，然后只要记住这些图形的面积，表面积，体积之类的，侧面积之类的，我觉得就 ok 了。嗯，好，然后题目遇到了，再就是试卷遇到了再说。对， ok， 当然能做多少做多少喽，看不懂答案的就不做喽，知道吧。好，继续。体底面积是二派，侧面是是六派的圆锥的体积。好， 这种题啊，一定要画图哦，画图稍微画一下，虽然比较丑陋，但是还是要画喽。底面积为二派哦，那这个 r 怎么求呀？面积是派 r 平方，它会等于二派，派派约掉 r 方等于二，那 r 就 等于根号二喽，根号二，根号二。 好，侧面积为六派，侧面积怎么求呀？侧面积是二 pi r 这，这边弧长是二 pi r 这，然后这边是 l。 好， 我们来求一下 二分之一二 pi r l 我 喜欢现场推啊。二分之一 n l 比较好推吧， 就是弧哦，就是扇形的面积嘛，我一般喜欢这样推过来嘛，你直接记 pi 二 l 也 ok， 没问题的，你看二分之一和二约掉了 pi 二， l 等于几啊？侧面积是六， pi 六 pi 好， pi 约掉 pi 约掉 r 等于根号二。刚才已经斜了，那根号二再除以过去， 移向过去了，这边乘法移到左右边就是除法了。好，所以 l 就是， 呃，上下同时乘根号二，二分之六，根号二，二和根号六就消掉，变成三根号二，所以 l 等于三根号二，三根号二。现在求什么？求体积？ 体积怎么求？三分之一 s h 三分之一 s h， s 告诉你了，底面积告诉你了，二派告诉你了，现在就差高了。高怎么求？勾股定律了？看，把它拿出来，把这边全都擦掉。勾股定律， 嗯，这边三根号二，这边呢？根号二，括号平方减去根号二，括号平方等于它的平方嘛。 好，那就是三三得九，二九十八，二九十八，减去二那十六，然后开根号的话就是四，所以这边是四，高是四。好，那三分之一 s， s 是 二， pi h 是 四，所以二四得八， 三分之八怕，所以选 b。 ok， 我 觉得就差不多了。好，那么到第二关，平行与垂直，那平行与垂直的话，我们首先来看平行啊，平行比较简单 啊。平行的话，首先我们从线线开始，因为所有的你，不管是正面线，线与面，面与面，叽里咕噜一大堆的都是从线开始的。对，所以我们首先先看线，线 好，线线怎么会平行呢？好，我们来看到中位线，哎，初中学的吧，对不对？假设这是 a， 这是 b， 这是 d， 这是 e， 把 d e 连起来，假设 d 是 a， c 中点， e 是 b， c 中点，然后把这个连起来，我们叫做中位线。中位线， 那中位线会平行与下面这个 a、 b 会平行且相等， d、 e 平行且等于二分之一的 a、 b， 这个结论非常重要。嗯， 好的，那通过这个的话还有平行四边形。为什么平行四边形？ 那？因为有的时候 a、 b、 c、 d 啊，我们来看哈，有的时候我要证 a、 b 平行， c、 d 不 太好证，那这个时候我们去侧面证 c、 b、 c 与 a、 d 平行且相等，平行且相等的话，那这就代表它是平行四边形，平行四边形多一边就相互平行。呃，那就证明到了 a、 b 平行 c、 d 这第二个，这是第三个。 l 一、 l 二干嘛呢？ l 一 垂直这条线， l 二也垂直这条线，那么他俩就垂直， ok 吗？啊，说错了，他垂直他，他垂直他，那他俩就平行，可以吗？ 就是这个或者是垂垂直于下面这个面， l 一 垂直下面这个面， l 二垂直下面这个面。啊，那也可以的，你不信的话，你拿两支笔插在你桌子上，它俩是会不会平行？垂直往下插，可以吧？ 好，线线平行的话，大概就是这三类，基本上啊，基本上所有的就是这三类，前面两类居多一点，但是这个也非常重要。哦，好吧，那还有一种就是 l 一、 l 二、 l 三， 如果 l 一 平行 l 二、 l 三平行 l 二，那，那那 l 一 和 l 三也会平行，可以吧？ 线线平行，那他们三都平行。对， ok， 这是线与线喽。啊，具体怎么正的话，等会我会带大家过一下，就是具体的思路，具体的怎么去写哈，现在是过一下思路，知道吧？好，即使是线面， 线与面的话是这样子的，我要求这条线与这个面平行，那我们在面里面找一条线就好了，比如说我要证明 l 平行这个而法，我要在而法里面找一个线 a， 如果 l 平行 a， 那 么 l 就 平行，而法好， 线平行面，在面里面找一条线与它平行就 ok 了，我们就证明到了线平行面，这是思路，思路具体写肯定不是不，不会这么简陋，但是我们脑子里第一时间有这个思路就 ok， 然后具体的我们的做题的时候，具体做题的时候要详细的写， 下面继续往下，接着是面与面好，面与面平行的话，首先还是一样的，我先画图， 我要证明什么呢？ r 法与贝塔平行，那我要证明 r 法与贝塔平行，我们只需要在 r 法里面找两条线 a b 干嘛呢？这个 a 平行贝塔， b 平行贝塔，那我们就证明到了什么？而发与贝塔平行，好，那其实这边哈，它平行这个面其实就是它平行这面里面的一条线，根据刚才说的呀，我要找线平行面的话，就是在面里面找一条线嘛，对不对？所以其实啊， 本质上我就只需要在在这个面里面找一点，找 c d， 嗯，我直接找 a 平行 d， b 平行 c a， 那 也是 ok 的， 也能证明到他们俩是平行的，这俩是一样的， ok 吗？ 这是平行的一些思路哈。然后笔记的话我会放在网盘里， b 站的小伙伴的话会在顶顶置评论区，其他同学可以去微信公众号搜索一下我的名字，然后里面会发， 好，我们来，具体的话我们要写这么多，来瞅一眼，来看到这我要证线与面平行的话，需要证明到哪一些呢？首先这个线不在这个面里面，所以写 a 不 在这个面里面， 不在用这个符号表示啊，在的话也用这个符号可以吧？你不用管什么东西，反正在就这个，不在就这个可以吧，这叫属于哦，这叫包含于，但是我一般念属于了。无所谓，你只要会写就行啊，随便你怎么念啊， 念属于肯定是念错的，因为这叫包含于。嗯，回顾一下集合之间的关系吧，集合 元素与集合之间用的是属鱼的符号。那集合与集合之间呢？集合与集合之间 用的什么符号？用的是这个有印象吗？包含鱼有印象吧。好，那这个就是叫什么？包含鱼的一半，那也是包含鱼可以吗？ b 包含在 a 里面。对，就是这个，但是我一般念属于了啊，随便你怎么哈，但是你要理清楚啊，具体写的时候你要理清楚啊。好， 那这个就等于不可能，线不可能等于面，知道吧？线不可能等于面，所以就他就把等于那个直接去掉了，所以就直接只有一个属于了。 ok， 我 们继续啊。好， a 不 在这个面里面，然后另外 b 在 这个面里面，然后 a 如果平行 b， 那 么就证明他了，他是平行的，一定要写这些东西啊，不能偷懒啊，重点还是要都要达到的好。第二个，面与面平行，面与面平行， 我们要怎么做呢？首先 a 与 b 都要在这个而法里面好，其次， a 与 b 还要有一个交点， 不能平行的两条线啊，一定要有交点的两条线哦，分别与另外一个平行。刚才说了，你如果就找两条线也 ok， 因为我要正这条线平行于另外一个面，就是在这个面里面找一条线与它平行，它平行它那就它就平行这个面是不是？所以就是本质还是找两条线可以吗？好， 然后就证明到了 alpha beta 平行。好，那接着。呃，还有两个小东西哈，就是这个，如果这条线平行于这个面，然后如果有一个面呢？正好经过这条线，它就会与另外 就是与这个面有一条交线，这条交线也会与它平行，这个知道一下就好。然后还有这边如果两个面平行，另外一个面经过它交于两个，呃，有两条交线嘛？两个面平行，另外一个面切着，它有两条交线，它这两条交线也会平行。 稍微有一点点印象就好了。因为考试考的不多哈。具体还是前两种。 ok， 然后我们来具体写两个题。嗯，有两个比较经典的题， mac 烊 先花两分钟读一下题。嗯，好，时间差不多啊。这边有个小技巧哈， 在立体图形里面哈，它不管线怎么去扭曲，好比如说一个直角，那它到到这里面就变成这个了 啊。没有关系，角度是会变的。但是两条线，你看两条线啊，如果他平行的话，不管他怎么扭曲，角度怎么扭曲他都是跟着一块扭曲的，你看不管怎么扭扭扭扭扭，三百六十度旋转，三百六十度转一圈， 这两条线都会平行，可以吧？这是平行线的性质，在立体图形里面平行的线也会平行。好，那我们来看一下啊，一般写这种题的话我们先读题，读完题再去看条件 ok 吗？不然的话你看完条件题目又忘了 啊？就是就是，看完条件不知道找什么东西，等会又要读一遍题，又会回去找，这样比较麻烦。 ok， 所以 我们直接先读题。 m n 要平行。 p b c p b c p b c， 线要平行面，好的，那我们家面里面要找一条线与它平行喽，对不对？刚才说了，线是不会那个的，所以我们只需要干嘛呢？线，如果这条线与这条线就叽里咕噜这一堆线平行的话，它是不会有扭曲的，所以我们就有一个方法。干嘛呢？ 拿把尺子，我们来找辅助线。好，这是你的尺子啊，你已经对比了，这条线是 跟它重合的，然后你拉一下，上下左右移，你的尺子上下左右移，那这条线是一直会与 m n 是 平行的，那这条线我要干嘛呢？哎， p b c 到他们顶点上晃一圈，你看一下哪个有焦点，你看是不是 b 这边有一个焦点。哎，大概率就是你要做这条线干嘛呢？与他平行，你看这条线是不是与他平行的吗？是吧，对不对？因为这条线本来就与他平行的。那这这上面这条线是不是也跟他平行啊？好，那这条线怎么做呢？一般我们有两种， 取中点，中点做辅助线。第一步，取中点第二个，呃，对角线相连。对角线， 那我们来看矩形，对角线相连会相互平分，平行四边形相互平分，或者是菱形，或者叽里咕噜这一大堆的东西都是对角线相连，等会会有一个例子。啊， 好，那我们这边的话就是取 p c 中点了，然后连起来，可以吗？好了，那我们等会就是 a b c d e 没有 e 好， 取 p c 中点， e， 好， 等会我们再来看具体怎么做，我们还没看第一步嘛，对不对？好，四棱锥 p a， b， c， d 中底面 a， b， c， d 干嘛呢？是边长为二的菱形。 菱形，菱形是特殊的平行四边形吗？首先会相互平行吗？是不是？然后每条边还会相等吗？是不是 d c p 是 等边三角形， d， c p 是 等边三角形 d， c， b 啊？这，这些不用管，因为这是第二个的，用不到，现在我们用不上这些。好， 继续啊。 m 和 n 分 别是 m 和 n 分 别是什么？ d p 中点和 a b 中点。好，那我们接着来看， 那我们刚才已经说了，就是我要去就这两条平行了，直接证好像证明不到。首先我们第一步要取点了，取 p c 中点。呃， e 好， 连接 连接。呃， b， e， 好， 我们来瞅一眼哈，这边是中点啊，啊，这边又有一个中点，这什么东西啊？连起来是什么东西啊？中位线，哎，如果我们证明到了它与 b、 n 平行且相等，那就证明到了它是平行四边形，可以吧？好， 那大概率就这样喽，对不对？刚才说了，一共就有两种，一种是这个平行他的一半，他平行他嘛，一种是就是平行四边形嘛，对不对？平行四边形，对角对边，相互平行嘛。所以我们这个要用到两个性质，第一个中位线了，连起来，连起来， m e 连起来好。嗯， m e 连起来好， m、 e 分 别为中点，所以 m e 平行且等于 二分之一的 d、 c 可以 吧？平行且等于它的一半。然后呢？因为这是平行四边形，对不对？呃，这是菱形啊，因为是菱形啊，因为是菱形菱形， 所以这两个也是平行的。然后呢，又因为 n 是 中点啊，因为它是菱形，然后 n 为中点为中点写的，写步骤就这样写， n 为中点，然后呢？所以，嗯，所以，嗯， b 平行且等于二分之一的 d， c， 它平行它，然后又等于它一半，可以吧？因为它是中点啊，所以， b 首先 nb 等于 a 一 半的 ab 嘛，又等于一半的 dc 嘛，是不是？ 所以 nb 平行且等于一半啊，平行且等于。是这样写哈，平行且等于等于写到平行的下面。嗯，好，那这样的话，哎，它平行且等于二分之一的 d， c 它平行且等于二分之一。说错了，它平行且等于一半的，它 nb 平行且等于一半的 d c。 好， 那这个 n nb 和 m e 是 不是平行且相等呀？ n， 呃， n b 平行且等于 m e 对 边平行且相等，那点就是所乘的平行四边形的话，是什么啊？所乘的四边形是平行四边形。对，所以， 嗯， b e m 这个四边形是平行四边形，我这边简写了啊，好，所以呢，平行四边形的话， m， 嗯，就干嘛平行？呃， e b 它平行它好，它平行它的话，它就平行这个面了，对不对？所以， m n 平行 p b c 好， 当然你要多写几步哈，首先 m n 不 在这个面里面， b e 在 这个面里面，所以它平行它可以吧？你要多写这两步啊，具体的大家可以对一下答案， 可以截图作业帮或者有艺术的可以直接拿艺术的那个练习册对答案去看。好的，这是第一个题，接着我们来看到这个题还是一样的，我们先瞅一眼哈。我先看题， b e c 干嘛呢？要平行是 a 呢？ a c e d a c e d 好，还是一样的，呵，拿尺子比着，呵，这这边比着比着，你猜一下能比到哪里啊？一共三个点，你把这个尺子挪挪挪，你看哪里有焦点肯定就在哪里，知道吧。 好，挪挪挪吧，很好挪吧。我直接就挪这根线喽，你看挪到这是不是这边有个焦点这边有个焦点，给它连起来好再给它放回去 啊，肯定是正它与它平行了对不对？在不管是平面还是立体里面，线线平行的话它是都是会平行的，所以我们就可以用这个方法，可以吧？ 好哎，这边中点能取直接取中点吗？哎，刚才说了一共有两种，没有对角线，连的话记住连对角线哦。可以吧，矩形、 矩形和那个平行四边形之类的。这一类东西啊，都是连对角线，那直三棱柱，直三棱柱的话旁边是矩形可以吗？矩形的话对角线相连就会相互平分连着 a e c， 哎呃，假设它交于 o 点可以吧？好，连 a， e， c 交于交，交 a， c， e 于 o， 好 连接。呃，连再连什么 o d。 嗯，好， 这是作辅线啊，继续啊。因为值三能助啊，一定要写啊因为它是值三能助，所以 o 为 a， e， c 中点可以吧，一定要写这一步啊，好，又因为 d 为中点，中点， 好哎哎他终点他终点，哎，在这个三角形里面他是不是中规线啊？好，一般哈。在哪个三角形里面是在哪个三角形里面？再呃，多写几步哈。 a e c b e 中 o， d 平行，呃 c d， 呃 c b e 或者这样子，或者 d o。 哎，不要这样写啊，你写 b e， c 平行， 你看，因为答案要我们求 b e c 嘛，所以我们写 b e， c， 你 不要写 c b e 哈，这样不好看，知道吧？ b b e c。 好， 这边从上往下过来的，那你这边也是 d o， 可以 吧？你不要写 o d 哈，最好就是就是这边怎么样的，你另外一边也怎么样，可以吧？ 这样写好看一点。对，就是好看一点，在这个三角形里面，它会平行，那，那等于它的一半就不用写了。为什么？这边是不需要用到边长关系，不需要用到边长关系，我们就不需要去写，那左边的话需要用到边长关系，就是二分之一，那你就多写一步， ok 吗？好的， 好了，那所以啊，多写两步，就是 o， d 在 这个面里面， b， e， c 不 在这个面里面，所以 b e c 平行它啊，我这个我写全一点， 因为 b e c 不 在平面， a， c e d， 呃， d o 在 平面， a c e d， 所以 b e c。 平行平面 a， c d， ok， 完美。好了，那这就是平行。好，接着我们要讲垂直了，那垂直的话跟平行很像了，但是垂直的话这个辅助线需要我们找。 那，那那，那平行就不需要找了，平行拿个尺子比着对一下就好了。对，好，垂直， 首先还是讲线线垂直啊，线线垂直，那线线怎么垂直呢？首先三线合一还是三角形里面的，你看三角形帮我们可多忙了，对不对？刚才中位线这边又三线合一了。 好，如果这边这两条边一样的话，等腰三角形的话，那取这边的中点连起来，它就会。呃，垂直， 三线合一，中位线角平分线还有一个高，对不对？好，那等腰或者是等边呢？这都是一样的哈，只要有两个边 相等的话，就可以取中点，然后连起来。对，好，那还有一个就是圆里面 好，直径所对的圆周角是九十度，它也会垂直，可以吧？这两个边垂直。有的题目会这样子， 那另外一个就是刚才用到的 a l 一 l 二干嘛呢？如果它两平行， l 一 垂直这个，那另外一个也会垂直，这个可以吗？它两平行，它垂直它，那它也会垂直它或者是 l 一 与 l 平行， l 一 垂直这个面，那 l 二也会垂直这个面，可以吧？这是平行线之间性质嘛。好，这就是怎么去正线线垂直，好， 哎，我遗漏了一个，还有一个是菱形，菱形对角线相连，它会相互垂直。 菱形还是菱形啊？随便你们怎么教啊，我语文有也有点不标准。好，那接着我们来学 面面垂直。啊。说错了，线面垂直。慢一点，线面垂直，线面之后再面面。好，那我如果要线垂直面的话，我需要在面里面找两条线，我们来瞅一眼哈。 好，我要求这个 l 垂直 r 发，我们在 r 发这个平面里面找两条线干嘛呢？找两条相交的线，嗯，我假设是 ab， 干嘛呢？这个 l 垂直 a， 这个 l 垂直 b， 那 么就 l 就 垂直这个面了。哎，你也可以是这条，这条都 ok， 都 ok。 对 面里面找两条相交的线，不能是平行线啊，平行线就不行。好，这是线面垂直， 嗯，就这一个，没有别的。接着面面，面面就跟线面是一样的，面面垂直是建立在线面垂直的基础上。我们来瞅一眼，这个 l 如果是垂直而发， l 如果垂直而发，然后呢？ l 又属于贝特，如果贝特是在这个面里面的，嗯， 那么这个贝塔就干嘛？贝塔就垂直而发。嗯，这就是面面垂直， 我要想正一个面啊，这是贝塔，我想正这个面啊，去垂直另外一个面，那我们只需要在这个面里面找一条线去垂直这个面就 ok 了。好， 然后哈面面垂直，有一个有一个。呃，小结论， 呃，如果 a 垂， r 法垂直被它呀， r 法如果垂直被它，那么如果这条线啊垂，它们不是有一条交线吗？ a 垂直于交线，假设交线为 r， 哈， a 垂直于交线， 那 a 就 垂直另外一个面，可以吧？垂直于交线的线垂直于另外一个面，但是建立在它俩先垂直的情况下。哦，好吧， 好了，那接着我们就可以看到怎么如何去证明哈。刚才是思路哦，思路就是做到垂直的时候你要脑子里有这些思路可以吗？你没有这些思路，你就没办法往下写啊，对不对？好，那具体的我们来看。 首先看线面垂直的判定力。我就要，首先你要垂直这两个线 啊，先写前提条件吧。我觉得这个这个应该导一下。先写前提条件就是 ab 干嘛呢？都在这个而法里面， 然后呢？ ab 还有交点，有交点，然后 l 垂直 a， l 再垂直 b 的 话，那么我们就证明到了 l 垂直，而法就是线与面垂直，我们要写这些条件就可以证明到 考试的时候尽量一个都不要少啊。那有时候会省略掉一些，但是尽量还是不要少，能多写一点写写一点呗，我们时间哈哈，挺充足的吧，哈哈。一个小时，现在不是睡就是两个小时，都要睡半睡，睡一个半小时喽，现在喽，很多人同学的基础对不对？所以有时间还是多写点喽。好吧， 好了，往下面面垂直好看，这个如图二。 呃，这个比较简单，如果 a 垂直于 b 它，然后 a 又在而发里面，那么就证明到了 a 而发与 b， 它是垂直的， a 垂直， b， 它 a 在 而发里面，而发垂直， b， 它 就是面面垂直，然后面面垂直的性质就是刚才说的，如果这个 a 垂直于交线，那 a 就 垂直这个面，可以吧？好，记住这些我们就 ok 了。 好，还有一个就是比较普遍的了，就是脑子里一听就会的就是 l 如果垂直于这个面，垂直于一个面，就垂直于面里面的所有的线啊， 其他的我们就可以不用学了。然后我们也是来两个比较典型的例题啊，我们来看到第一个题啊，首先，呃，还是一样的，我们先看一下它要证明什么，然后我们在图里面先看一看它要证明什么呢？证明 p a b。 嗯，红色的 垂直谁啊？ p a d， p a d， 这是要证明两个面垂直对不对？那两个面垂直的话，我们只需要在其中一个面里面找一条线去垂直另外一个面就 ok 了。你可以在这里面找一条线，也可以在这里面找一条线。那哪个好，那哪个好找呢？那肯定是根据题目来看对不对？好，我们来瞅一眼啊。 四能追 p a b c d 平行， a b 平行， c d 平行的，嗯， 然后 b a p， 哎， b a p 这个角多少度啊？九十度， c d p 呢？哎，也是九十度，哎，那你看它垂直它，我再如果找到它垂直另这个面的另外一个边，不就证明到了 a b 垂直另外一个面吗？是不是有没有呢？有， 这边是垂直的九十度，这边是垂直的九十度。好，因为什么呀？它两平行啊，它两平行， c， d 垂直 p d。 那 a， b 也垂直 p d 喽，对不对？好，首先先写一下，因为它是九十度，这两个都是九十度，所以， 因为九十度，所以 a， b 垂直 p a。 呃， c， d 垂直 p d。 又因为 a， b 平行 c， d， 所以呢？ 所以是不是 a， b 也垂直 p d？ 好， 我们瞅一眼啊，它俩平行 c， d 垂直这个，那它也垂直啊，它俩是平行的吗？平行的话它垂直，它也垂直。对，所以 a， b 就 垂直了这个面的两条边。 ok， 那 我们就可以写了， 在。哎呀呃 a。 写写慢点。 p a， p d 在 平面 p a， d 里面， ab 不 在 p a， d 里面。我少写两个平面这两字啊，偷懒。 所以 a， b 垂直 p a， d。 我 少写平面的两个字哈，你们不能学我啊，我是，嗯，好。然后又因为 a， b 干嘛呢？在 p a， d 里面，所以 p a， b 垂直 p a， d 平面，平面，你们不要审字啊， 正到了线平行啊，垂直面，我刚是说垂直吧，哈哈，有点忘了。证明到了它垂直这个面，那么它所在的平面也会垂直那个面。对，这不是面面垂直的证明过程吗？是不是？好的，那做完这这一个的话，我们再来看这个啊。 好，我们来瞅一眼四能追 p a， b， c， d， p a d 干嘛呢？哦，还是一样的，看一下证明谁啊？ a， d 垂直 p b， a， d 垂直 p e， b。 我要正线，垂直线的话一般不是特别好正，如果能直接正到的话，那就不会那么好。这这这个题就就不要写了啊，送分给你啊，对不对？所以一般线垂直线的话，我们是需要通过正线垂直面去判断， 你光正正不出来啊，他又不在同一平面内。好，那我们来瞅一眼哈，看一下题目给你什么东西啊？ p a、 d 垂直， a， b， c， d 这两个面会垂直。呃，有什么用呢？没什么用，好像 ok， 然后 a、 b 干嘛呢？ a b 与 c、 d 平行的，其次呢， b a 呃 d， a b 等于六十度 d， a b 六十度， 然后 p a 等于 p d 等于根号二，根号二，根号二，注意哦， p a 还垂直 p d 呢，所以这两干嘛呀？哎， 这是一个等腰直角三角形哎，那二根号二，根号二，这个是多少呀？是不是根号二倍啊？注意哦， 如果这边是四十五度，然后直角嘛，那这边一，一根号二，它们的比例是这样子的，一比一比根号二，那我如果知道它是一的话，那它就是根号二倍，同样的，我知道它是根号二，我要求它的话，你，你就除以根号二就行。 那现在的话，我知道这个边长，也就是这个边长为根号二，那就是二，也就是 a、 d 等于二。 好，然后 a、 b 等于二， c、 d 等于二， a、 b 也等于二耶，哎，二，我们先瞅一眼这个二，二等腰，等腰直角三角形，里面又有一个是六十度，所以它是等边可以吗？它是等边，红色的是等边，下面这个 a b， d ok， 然后现在让我们求的是 a d 垂直， p b 好， 刚讲垂直的时候说了，就是如果你看到等腰或者是等边干嘛，看到等腰干嘛？把中点连起来 找 p d 的。 哦，不是说错了， a d 的 中点，假设这个中点为 o 可以 吗？连起来它会干嘛呀？ p o 是 不是垂直 a d 啊？对不对？取 a d 中点哦， o 连 p o。 好， 那你注意哦，这边三线合一，它垂直 a d， 对 不对？好，这边又是一个等边三角形，这边又可以连起来， o b 也连起来。 拿黄色的啊，不对，拿蓝色的啊。 来看一眼，在这个三角形里面， p o 垂直 a d 在 这个三角形里面， b o 垂直 a d 哎， a d 垂直这两个边，那是不是就垂直这两个边所在的平面呀？ 是不是好，因为 pa 等于 pd 好， 又， a d 等于根，呃， pa 方加 p d 方开个根号，这边倍数关系可以直接用，但是真正写的时候你要勾股定你可以吧？等于二， a b 也等于二，所以， 嗯，然后这边多加一个吧， d a b 等于六十度，所以，哎，慢一点，这边多写几步吧。 ok， 因为它首先因为 pa 等于 pd 嘛，所以 p o 垂直 a d。 好， 接下来另外一个证，它是等边三角形， 所以三角形 a b d 等边三角形， 所以 b o 也垂直 a d。 那 你看 a d 垂直两个边， a d 垂直这个面的两个边就是垂直这个面喽，对不对？ 呃， p o o b 属于 p o b 所，呃，然后再加一条 a d 不 属于 p o b 这个面，平面啊，你要你们不能省啊， 平面 p o b。 所以呢？所以 a d 垂直 p o b 平面，平面不能省。 所以啊，又因为什么？又因为 p b 在 这个面里面，在面里面是这样子，平面 p o b， 所以 a d 垂直 p b。 好 了，那垂直大概都是这样子哈，一般我们要看到等腰三角形一定要敏敏感一点哈，等腰三角形看到了，你就把那个 哎，把另外一个边的那个中点连起来，连起来，然后连起来，这样就垂直了， ok， 不好，就是这个 线垂直，线一般不找，直接找这两个线垂直。一般找线垂直面，进而去找垂直。 ok， 那 么本期视频就到这，那么我们今天学了，就是首先体积表面积，第二个平行，第三个垂直。好了，那么感谢大家的收听，如果觉得视频还不错的话，可以给我点赞投屏加关注。 呃，你们的点赞投币和关注的话是会给。嗯，平台推送给更多的同同学，有需要的同学也是对我的最大的支持。好了，拜拜。

高考例题，几何证明，难倒很多人，今天教你平行证明四个模型，让证明变得如此简单。这节课我们将来学习空间几何中的平行问题，平行问题和垂直问题啊，一般都是第一项问去考的，对吧？但是很多同学都搞不懂，所以今天把平行的几个模型给大家讲一下。 首先啊，就是最简单的线面平行的判定定律，如果我要你去判定一个线和一个面它是平行的，那么我们只用在面里面找一条直线和我平面外的这条直线去平行，那就可以证明线面平行啊，这第一个，然后 第二个就是性质定律，什么叫性质呢？你看啊，就是如果一条直线与一个平面平行，如果过这条直线的平面与此平面相交，则该直线与交线是平行的。就是我图中的这个阿法和我这个 是平行的啊，这个就线面平行，还有一个就面和面平行，那面和面平行，那怎么判定呢？就是分别找两根，你看我先找他平行，然后再找他平行，一定要记住，这两条线一定要相交，他们不能平行， 好吧，就是就是证明两根线互相平行就可以了，但这两根线一定要记住，他们会有个相交的关系，平行的关系是不行的 好吧，所以然后它里面有个性质定律，就是什么呢？就是如果我有两个面平行，然后用一个面去截这两个面，那么截到的两条交线，一个是 a， 一个是 b， 那 么他们也会平行。好吧，然后模型啊，就这个简单定律就不去讲了，反正你用平行，我们遵循几个模型呢？第一个 优先使用什么方法呢？就是我把图画给你们啊，就是你就缠着这个来就可以了， 就是你可以这么去想象，如果我这里有一排蜡烛，好吧？然后我人站在这边看，那么如果我中间放了一个那个成像的屏幕的话，那蜡烛在屏幕上面看到的样子 应该是什么样子的？是不是应该就是这条样子的？就是我把这两个短点分别和我的人这样连接起来，是不是他就可以相当于，呃，在屏幕上面有两个焦点了， 对吧？这样子，我在屏幕上面看的就是这条小的，但是这条小的和和这辆长的它们会平行吗？ 会吧，因为这个我们可以用相似吗？对吧？所以这种你也可以理解成什么中卫线啊，相似啊，对吧？但是我就用图跟你们说，只要我在线的面的另外一端啊，如果能找到一个点，我就先把它们连接起来，连接起来之后我再去证明我的这个 就是我现在这个蓝颜色的这条线，他们是平行的就可以了，好吧，那他是什么意思呢？你比如说啊，就用这个点， 呃，他说 p 杠 a b c d 中， a b c， d 为平行四边形，看一下 a b， c， d， ok， 就是 前面那个面啊，然后 e 为 pa 的 中点，然后 pc 是 让我们证明 pc 平行于面 b、 d， e， 所以按照刚刚讲的那个模型，对吧？我先把线两个端点先标出来，就是这个蓝颜色的就 p、 c 嘛，所以两个端点就 p 点和 c 点，然后面是哪个面呢？是 b、 d， e 就是 这个面， 就中间这个面。那么我是不是要在线的另外一边，线对面的另外一边去找一个点，刚好这里有个点，那么是不是我要把 a 点和线的两个端点先连起来，然后 ap 这里就连了吗？所以这里就会是两个面里面的交点， 所以就是这个红颜色的线，那么我只用证明这个红颜色，红颜色的线是平行蓝颜色的线就可以了，对吧？那么怎么去证明呢？这个你看中点，那中点肯定是中位线嘛，对吧？你看我怎么去写啊？我就说 连接 a c 与 b d 交于点 f 吧，我来说一下，好吧，然后可 知 a b c d 是 平行四边形，所以 f 点为 a c 的 中点，对不对？因为平行四边形对角线会平分吗？就相当于，对吧？然后又因为 e 是 a p 的 中点， 所以 ef 不 就平行于 pc 了，这个就是中位线吗？然后又因为，呃， ef 是 属于面 bde 的， 然后 pc 它不属于面 bde， 所以， 嗯， pc 不 就平行于这个面了吗？对吧？你写就要写的这样详细一点，对吧？所以这个就是我们讲的第一个模型，所以我们看到这种符合这种模型的题，我们优先使用这个方法就可以了。然后我们再来看一道，比如说，嗯，看到相似的，好吧， 嗯，好，我们来看一下这道题啊，他说有个三楞柱， a b c 杠 a 一 b c 一 中侧面 a b b 一 a 一 是一个菱形，就是我涂出这个底面啊，然后他说角 b a a 一 是等于六十度这个角， 然后 e 是 b b 一 的中点，然后 c a 等于 c b， 然后 f 在 a c 上 af 等于两倍的 f c 就 相当于这是一比二，然后要么证明的就是 c b e 平行面 a e e f ok， 先把线画出来， 在这里，对吧？面在哪里呢？面在这里，所以我要在这个线对面的另外一边去找一个点，那这里只有一个点 a 了，所以我就要把它和两个短点去连接起来， 对吧？连接起来之后，把两个角点找到一下，连接，对吧？先把图一画，就很简单了， 那么怎么去证明呢？这里反正我要证明的话，是不是你看这是一，这是二，那同理是不是这应该是二比一啊？所以我就把这个底面给拿出来呗。因为底面刚好是个菱形，我先画一个形状出来， 里面就相当于是个这样的菱形，这是 a a e b e b， 对 吧？然后我连接的是它，然后这里有个中点， 对吧？这是 e 点嘛？然后把它们这样一连，对吧？其实就是让我们证明这是二比一嘛。那怎么证明呢？这不是一比二嘛？两个三角形相似不就出来了嘛， 对吧？然后你们怎么去写的？就说连接 a b e 与这个 a e e 交于点，比如说是个 g 点，对吧？然后你就说，嗯，可知 三角形，这个，这个就点记啊，就是 e g b e 相似于三角形 a e g a， 对 吧？所以 a g 比上 g， b e 就 会等于 a a e 比上 e， b e 就 会等于二比一， 所以它就等于我题目里面的 a f 比上 c f， 所以 就像我这里就省略了，所以你看不就平行了，所以 f g 就 会平行于 c b e 了， 对吧？然后你们按照刚刚那样去完整的写一下就可以了，所以这个就是模型，对吧？很无脑的，因为你只要能找到线，那我就只用根据相似或者中线的关系去求出来就可以了。 然后第二种题型是什么呢？就是如果我没有办法找到这个点，对吧？就是找不到这个点，那我再用什么方法就是做平行四边形， 好吧，我们所以啊，就按照这个顺序啊，你们如果真的有的题做不出来，你们就按照这个顺序来，比如说，嗯，平行四边形的看啊， 就是四棱锥、 p、 杠、 a、 b、 c、 d 中底面， a、 b、 c、 d 为平行四边形，然后 e、 f 分 别为 a、 d， 然后 p、 b 的 中点，然后要我们证明的就是 e、 f 这条线 平行哪一个面呢？就是平行这个面，所以你看这个题我就没有办法在这个右边去找到一个点，对吧？所以我就用第二种方法就过过在平行四边形，然后你们想啊，我要证明线和一个面 是平行的，那么我去做平行四边形的时候，我应该怎么去做？我是不是要通过这个短点去做，对吧？在这个面里面去找点，然后去做这样的平行四边形，所以 你看我做了之后，所以你看我就可以了嘛？因为我只用证明他的对边平行且相等，是不是就证明他是一个平行四边形了？那么我是不是要过这个两个短点去面里面找一个点去做平行？那怎么去找呢？ 这里现成的有一个，在哪里有一个点 d， 看到没有？所以我是不是就相当于我一条已经有了，是不是我要过这个点，然后再去做一条这样的线，然后要和下面的平行。那么怎么样才能平行呢？首先是不是要 找中点？因为我找中点之后，它就平行于 bc 了， bc 又平行于 d 的， 所以平行它具有传递性嘛，不就可以了？所以我这里就很简单，我就出来了，比如说这个点，我把它设成 g， 我 就说找 pc 的 中点 g， 对 吧？然后连接 嗯， f g， 然后可知 f g 是 平行于 bc 的， 然后 bc 它又平行于 e、 d 的， 所以 f g 是 不是就平行于 e、 d？ 然后因为中位线又会相等，对吧？然后，所以这是不是也是相等的， 对吧？就相当于 e d 是， 呃，也不能这么写，哎，我写的清楚一点嘛，对吧？然后又因为 f g 嗯是等于二分之一 bc 的， 然后 e、 d 是 等于二分之一， a， d 又会等于二分之一 bc 的， 所以你看 f g 和 e d 不 就相等了？所以 f g 就 会等于 e， d 看到没两就是对边平行且相等，所以我是不是就能得到？所以 嗯， e f， g， d 就 为平行面形，所以嗯， e f 不 就平行于 d g 了，对吧？ e f 平行于 d g， 然后再说 d g 是 属于面里面的一条线，然后 e f 它不属于，然后它不就平行了， 对吧？所以这个就是第二种，就是用第一种方法做不出来的，我们就用第二种啊。然后再来看一遍， 嗯，他说直四能做 a b c d 杠 a b c， d 得中，里面是一个梯形，然后 ab 是 平行 c， d 的， 然后 b， ad 是 六十度，然后 cd 等于一，这等于一，然后 a， 嗯， a， d 等于二， ab 等于四，然后点 g 在 ab 上，点 g 在 ab 上，然后这是个一比三的关系，就相当于是，然后 a a 也是等于一的。让我们证明的是哪一条线呢？ d， e， g 就 这一条线 平行哪个面呢？ b b e， c e， 你 看一下 b b e， 就 说就是右边那个面嘛， 对吧？然后这里你看我在面的这边也找不到点嘛，所以就不可能用第一种方法，所以就去构造平四面形。首先这里有了一条现成的线，看到没有，对吧？就是刚刚说了， 我要在面里面，我这样去构造的时候，对吧？我，我要让他是一个平四面形嘛，所以这条线就相当于给了你，我只用找另外一根线啊，另外一根线 你看这里天然有了，我们先去看一下这两根线能不能平行的，对吧？首先肯定能平行，因为 c、 e、 d， e 是 平行于 c、 d 的， 对吧？然后 c、 d 它又平行于 ab 的， 所以我是不就能推出来 c e、 d， e， 它是平行于 e、 g 的， 这是第一个，那么还要有一个，是不是就他们要两个相等？那怎么证明相等呢？首先，呃， b g 是 等于一，然后 c e、 d， e 就 会等于 c， d 也等于看没，所以两个平行且相等了嘛， 对不对？所以你看不就证明了这个 d e、 c、 e、 b、 g 为 平行四面形，对吧？所以这个就是第二种模型，就是第一种用不了，那我就去构造平行四面形，然后就是第三种，就是什么呢？就是构造面面 平行，一定要记住，就是前就按照顺序来做啊，如果前面两种都不行，我们才去用第三种的。然后这里找个题，比如说这个题，嗯，找个经典一点的吧。 ok， 都说直角梯形中 a p、 c p， 然后 a、 p 是 平行于 bc 的， 然后这里是个， 嗯，就像这两张纸加上折起来的，对吧？题目你们就自己看一下啊，然后反正我们只看右边这个四等锥啊，然后他让我们证明的是什么呢？ a p， a p 在 哪里？ a p 在 这里，然后平行 e f g e f g 在 这里， ok， 那 我们先考虑第一种方法，对吧？第一种方法要在面的另外一边找一个点， ok， 有 c 点，但是你会发现，如果我把它 c 点连接起来， 到了这里，对吧？到这里我们没办法做呀，那那怎么办呢？其实有方法，因为我要把这个面给扩大，因为这个红颜色的线和面是没有交点的，那我怎么去扩大呢？那么 e f 在 这里，如果我把 g 点这里也做个平行线，那这个面是不就相对这样扩大了， 对吧？扩大面我们就是找平行，就是找平行线的吗？那么现在我就找到了，就这个点，然后我就要证明什么，我这个红颜色的线去平行这个蓝颜色的线，对吧？那能做吗？能做吗？因为这个比例关系一目了然，你看， 嗯，一点是几等？分点，中点，那么是不是就要证明这个比，这个也是一比一就可以了？ ok， 那 这个把底面去拿出来，都不用拿，你看 这个三角形，就这个三角形和我这个三角形一定会相，就是全等吗？所以不就是一比一了， 对吧？所以你看用法一也是可以的，但是很多东西想不到，那法二有没有可能呢？ 法二好像看着 a p 很 长，对吧？然后做平四面形，可能做不做不太了，所以如果你第一种方法想不到，这样想下来，那你就用第三种方法怎么去做呢？就是要去构造面面平行， 然后怎么去构造呢？就是我要找一个面看啊，我找一个面，因为他要你去证明线和面平行吗？那么我这一条线我证明不了，它里面一条线和它平行的时候，我就怎么办？ 在里面找两条另外的线和它平行，那是不是上面这个面和下面这个面就平行了？那平行之后，那上面这个面里面的任何一条线是不是都和下面这个面平行了？所以就是利用的这么一个原理，然后构造的时候啊， 就是找平行线就可以了。比如说，嗯，我这条线还是 pa， 我 要做一个面去平行 e、 f、 g， 那 是不是就相对我过点 a 或者点 p 去做他们的平行线？这个面里面线的如果过点 a， 那 刚好有个天然的 ab， 因为 ab 是平行于 e f 的， ab 啊，是平行于 e、 f 的， 所以我是不是再把题目这个已知，要么证明就是 pa 也平行于这个面， 对吧？所以我是不是就能反向让你去证明的是什么？就是面 p a、 b 要平行于面 f、 g， 这个是我在草稿纸上进行的，这个叫反推吗？对吧？ 垂直里面我们用反推用的是最多的，平行里面倒是还好了，对吧？所以我下面就证明呗。那怎么去证明呢？首先我可以证明 ab 是 不是平行于 ef 的， 对吧？因为 ab 是 平行 c d， 然后 ef 也平行 c d 的 第一个有了。那么还有一条线是谁呢？就是 p b 是 不是会平行于 eg， 对吧？中位线嘛，因为 e 点也是中点， g 点也是中点，看到没有，所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？所以我就可以去写了。但是这里面会有一个重要地方就是面面平行，你正面的时候你要书写规范一点， 你前面的倒是没有什么要点，对吧？但是这里有，你就说，呃，你看啊，我就说因为 ab 平行于 cd， 然后 ef 也平行于 cd 的， 所以 ab 就 平行于 ef， 然后又因为 eg 为嗯对应的终点啊， 所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？然后因为呃，这个 a b 交 p b 等于 b， 你 要把这个相交直线用这个数学语言去写出来，对吧？且 a b， p b 都属于这个面 p a b 的， 对不对？然后就下面还有个面，就是 e f 交 e g 等于 e， 然后且 e f e g 是 属于面 f e g 的， 你这么去写了之后，对吧？所以我就说面 p a b 就 会平行于面 f e g 了，然后又因为呃 p a 是 属于这个面的面这个 p a b 的， 所以 p a 不 就平行于面 e f g 了嘛，对吧？就把一些要点给写出来，因为面面平行的要点就是两条相交的直线啊，好吧，所以你看这个就是构造面和面平行了，对不对？ ok， 然后再看下面这个，这个 p 杠 abc 中 d 是 pa 的 终点，然后 e 也是 cd 的 终点，然后 f 在 p b 上，然后满足一个，这是一，这是一比上三，就相当于是，对吧？然后证明的是谁呢？证明的是这个 ef 平行于 a b c， ok， 平行这个面，那这里就没有办法用第一种方法了，对吧？那有没有可能用第二种方法来构造平行四边形呢？我们先想一下，就是我要过这个点，对吧？去做一个平行线，我看一下啊， 我是不是可以这样子，然后这边也这样子，你看是不是勾折了，对吧？因为它平行于 ad 嘛，然后它也平行于 ad 嘛， 对吧？然后平行就有了，然后这个就这一条边等于 a d 的 一半，然后这一条边等于 pa 的 四分之一，所以也是 a d 的 一半，对吧？对面平行且相等，所以你看也可以。 然后我再看一下，我用这个面面平行行不行？那么我是不是要做过点 f， 做这个底面的一个平行线？ ok， 刚好因为我在这里做一条，然后连接， 我就只用证明这个面和下面这个面去平行就可以了。那么怎么去证明呢？我就说因为刚好 f 点是一个四等分点，那么我找的就是 a d 的 中点嘛， g 点，对吧？所以我就根据相似我就能知道 f g 是 平行于 ab 的， 因为都是一比三嘛，一比三，这也是一比三嘛，对吧？ 对不对？ ok， 然后又因为 g 点和 e 点都是中点，所以又有一个 g， e 是 不是会平行于下面的这个 a c 中位线吗？这个就是 看，不如就证明了两条相交的线就是 e g 交 g f 等于 g 点嘛，然后下面那个就是 a c 加 ab 等于 a 点嘛，看嘛，相交，这个就是相交嘛。然后你写的时候要把这个写出来就可以了，所以方法还是很多，所以你做不出来的时候，就一个方法去试就可以了啊， 好吧，然后熟写就不去写了，反正就按照这个刚刚讲的那么去写就可以了啊，好吧，然后不要嫌麻烦，高考的时候你写的越详细越好， 好吧，记住了，写的越详细越好，好吧，你因为有的时候你写的很详细，它里面有很多拿分点，万一你有哪一步就没写，你可能会扣个一两分啊。好吧，然后第四个模型是什么呢？就是跟垂直有关的，这里就画图啊， 就如果啊，我有两根线，他们都是垂直于这一个 平面，那是不是就有了它平行于它，对吧？这个也很好理解嘛，对吧？然后这里就是我们用题目来讲吧，这个第四种。那我们来看一下这道题啊， 他说三角形 bcd 与 mcd 都是变成为二的正三角形，然后平面 mcd 是 垂直于平面 bcd 的， ok， 然后 ab 又垂直于 bcd 这个面，然后 ab 等于二。 这里我们要证明的是 ab 这么标一下，就这条线要垂，这平行于 mcd， ok， 所以 我们看一下，第一种方法能用吗？面的这边没有点就不能用。那第二种方法构造平行四边形可以吗？这个面不够大也不行。那第三种构造面面平行可以吗？不行，因为构造的面应该是这样子的，它才会平行，对吧？所以我们才会有第四种模型啊， 一般考来考去就是这四种题型。好吧，那怎么办呢？刚刚说了，如果我有两根线，它都垂直于我同一个面， 对吧？那么这两根线就平行嘛，我可以利用这个性质。那么另外一根线在哪里呢？因为我们这里有个面和面垂直，所以看到面垂垂， 等一下啊，垂直于面，我就要想到一个什么样的性质呢？就是如果有，嗯，一个面内有一根线 垂直于他们的交线，那么这根线 就垂直于另外那个面，对吧？ 好吧，所以大家以后看到这个面和面垂直，对吧？反正这个性质是大家一定不能忘的啊。那么这里我们两个面的交线在哪里？在 cd， 那 就要找一根垂直于 cd 的 线在 mcd 里面，那怎么去找呢？不就刚好一个正三角形，我找一个中点不就垂直了吗？就相当于是，对吧？所以我怎么去写呢？我就说找 cd 中点， 假设是 n， 然后连接 m n， 然后就说可知 m n 是 垂直于 cd 的， 然后又因为这个刚刚说了的啊，因为它是个等边三角形嘛。然后又因为面 m c， d 交面 b c d 等于 c d， 且这两个面就是 m c d， 它垂直于面 b， c， d 的， 所以我就说 m n m n， 它就垂直于面 b， c， d 的， 对吧？所以大家一定要记住这个性质啊。然后又因为 ab 是 垂直于面 bcd 的 题目里面有吗？对吧？ ab 这里有吗？所以 m n 就 平行于 ab， 对 吧？然后又因为 ab 属于这个面 mcd 啊，就所以啊， m n 啊， m n， 所以 ab 不 就平行于面 mcd 了吗？对吧？这个就是用那个两个垂直的啊，这个就很简单了，这个， 这是第四种。所以啊，你们以后碰到很难的题目，你们就按照老师一样，自己一个个去套就可以了，因为它本身有很典型的特征嘛， 这个什么时候能用呢？就是我线和面的另外一边，他有个点，对吧？然后这个平行四边形就是我第一种用不了，我就考虑第二种。那第二种用不了呢？就是用构造面，面平行就是通过线段两个短点去做，在面里面也去做两个点，然后形成一个平行四边形，然后第四种，这个就是垂直的， 对吧？一般情况下平行就只用掌握这四种题型，你就可以解决百分之九十九的题了。好吧，然后我们看一道二二年的高考题啊，这题我觉得真的出的非常好，我们来看下题， 他说如图， p o 是 三分之 a， b c 的 高，然后 pa 等于 pb， ok， 标一下， pa 等于 pb， 然后 ab 是 垂直于 ac 的， 反正这个图看着不是特别像。 然后 e 是 p b 的 中点， ok， 这两边相等，然后它让我们证明的就是 o e 平行于平面， p a c， 那 么我们一个个模型来套看，可不可以啊？首先模型 e， 对 吧？就是我把它看作一个面， 然后我这里有一条线，我人站在这里看，对吧？但是这个题会比较特殊啊，你看我连线才会有这条红颜色的线段，我只用这边这条红颜色的线段和蓝颜色的线段，它们平行补角线平行面， 但是这里面是 p a c， 线是 o e， 那 么我是不是要在 p a c 的 这个左边这里找一个点，然后去连接，但是这里有吗？没有。 那没有怎么办呢？那有个特殊情况，就是这个题，所以我就在这边同面去找点，你觉得可以吗？ 他一样的可以啊，所以我就假设这个点是 h， 那 么我这条面里面的这条线就可以了。那么我们只用证明 p h， 它平行于 o e， 那 我这个题目其实就出来了，那怎么去证明呢？首先， 呃， e 点是中点， o 点是中点，那他要平行的话，那么我就能推出来 o e 是 中微线， 这个是他要成立的一个条件，那我们就根据这个条件去证明呗。那他是中微线，那我是不是就是 o 是 b h 的 中点，就是要证明，那他怎么去做呢？我把这个平面你看不清楚，我就把这个平面给拿出来呗， 这是 a 点，这是 c 点，这是 b 点，我拿出来之后， o 点在哪里呢？ o 点是不是一定会在这个 ab 的 垂直平分线上面待在这里，对吧？然后我连接，就这么去连接的 这个点就是 h， 那 么只要证明这个点 o 是 它的终点，那怎么证明呢？你看不是有个直角吗？我连接，那这三条都会相等呢？ 因为直角三角形那个斜边上的中线等于斜边的一半嘛，所以我就能知道 o a 是 等于 o h 等于 o b 的， 不就证明了？那证明了不就反过来就推出来 p h 平行 o e， 那 不就证明了 o e 平行这个面了？所以第一个模型我是可以用的，然后接着我们继续往后面看，看一下第二个模型， 第二个模型我们就是去找啊，做平行四边形，怎么做的呢？ 是不是你只用记住我的模型，我的模型是不是我让你证明他平行这个面，我就过这两个短点，这样看到没做两条平行线，对吧？所以我连接起来之后，只要证明他和他平行且相等，那么他和他不就平行了？所以模型你就是之后我们就以 o 点和 e 点这样去， 对吧？去做呗。那怎么做呢？要平行且相等，那我是不是就相当于我横着这样， ok， 对吧？因为我横着做了之后，我刚刚说了，我如果啊，这是我 ab 的 一个垂直平分线嘛，这个就相当于是 ab 的， 对吧？所以它会等于它，它也等于它，所以你能证明吗？ 能证明吧，对面平行且相等，所以我画的这个，比如这个一样是 h， 这个是一个 g 点，那么是不是 h o e g 我 只用证明它是一个平行面形，那怎么证明呢？刚刚说了 g e 它平行于 ab， 然后 g e 它等于二分之一 ab， 同理， o h 平行于 ab， o h 等于二分之一 ab， 不 就证明了 平行且相等吗？对吧？ ok， 继续。那第三个模型呢？就是找要证明面 线面平行，那我是不是只用我在上面构造一个面，我只用证明我里面的两条交叉线分别和下面的两条交叉线平行，那两个面一平行，那里面上面这个面里面的任何一条线都和下面这个平面去平行了，那怎么找呢？ 一样的，你只要记住模型，我说了我要找两条相交的线分别平行，那么短点是 o e 吗？因为我平面是不是可以有一个三角形，慢慢去扩大，对吧？所以我 o 点去做这个 p a c 里面面里面的一根平行的线，是不是只能这样做， 对吧？因为这是个直角，这也是直角，所以假设这个 h， 那 么 o h 一定会平行 ac， 对 吧？那第二个呢？那我是不是就相当于我只用把它连接起来，我只用证明 e h 它是平行于 pa 的， 是不是就可以了？那 e h 怎么证明呢？还是一样的？那，那要平行的话， h 点一定是中点，就相当于 e h 一定要是中位线，那么我刚刚说了嘛，对吧？它要垂直过 o 点，它要垂直，它一定会是 那个垂直平分线，对不对？所以啊，不就出来了？ 只是你是最证明他是垂直平分线的时候啊，其实你就用那个全等写就可以了，对吧？你这样一连接起来，你就证明这个 p a o 全等于三角形 p b o， 因为我全等之后我就能推出来 a o 等于 b o 嘛， 对吧？那 a o 等于 b o 呢？那 h 一定就为中点了，然后他是中点的话，中位线就有平行，有了平行不就再和两个一起，就能证明这两个就能证明面 平行面，那么这个面里面的一任意一条直线都会平行这个面。好吧，我写就不去写了，思路就是这么个思路，只要你记住了这几个模型， 他其实高考题百分之九十九的题，你用这四个模型去套，绝对都能出来的。好吧，你就不用再每次在盲目的不知道用哪一种方法了，像这道题他三个模型就都可以用。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里。

求体积了。 a， b 等于二，那 a 撇 b 撇等于二， b c 等于三，那这边也等于三， a 它等于四，这不是能追吗？ v 等于什么？底面积乘以高， 底面什么东西？三角形嘛？二分之一乘以二乘以三，高是四，直接代入是十二，选择的是 c 选项。

大家好，欢迎来到星星自爱数学，那么今天我们讲的题目每日一题是这道题，他说如图，直三棱柱，哎，我们看到这样一个字眼叫做直三棱柱， 那我们一定要得注意，直三棱柱就是我们的各个棱与底面垂直的这样一条啊，三棱柱就是我的所有的这个棱，就是就是我这垂直于下底面的这样的棱，就是这样有一个这样一个垂直关系。好，所以它就直三棱柱。好，我们知道这个条件以后，再往后看，它说 a、 b 等于 a， c 等于二倍角三，哦，它是二倍角三， 二倍根号三，二倍根号三，然后他说角 b、 a、 c， b， a、 c 为一百二十度，哦，一百二十度，那我们把它拉出来看一下啊，一百二十度 的等腰三角形，那这个是 a， 然后 b、 c， 这是二倍根号三，二倍根号三，那我们要注意，这是一百二十度，那我们可以做一个中线出来，对吧？那他也是垂线，所以他是六十度，那这个是六十度，直角三十度，三十度所对的直角边是斜边的一半，所以这个边就是根号三，然后 我们还可以通过一二根号三，我们可以确定这个的一半是三吗？对吧？然后这也是三，所以这边长是六。哎，我们知道这样一些条件，然后他又说得为 a、 a、 e 的 中点， a， a， e 中点为得，然后还说了一个 e 的 中点， e 为这个 b、 c， e 的 中点，哦， e 也是个中 点。好，没有了，我们只知道这些条件，然后最后我们要得求什么？最后我们要得求这个得 e， 这条线和平面 b、 b、 e， c， c， e 啊，就是这个平面相互垂直， 哦，那就线面垂直。那现在我们看到这么多条件，我们该怎么做呢？哎，我们刚刚发现了有这样一个关系，对吧？我们发现在这就有一个垂直关系，哎，那我们不妨想一想，哎，得一得为终点，一也是终点。哎，我能不能把这个 a 和我这个 bc 的 这个终点我也连在一起，哎，这个叫 f， 可以 吧？好， 那我发现，哎，那我 f 点弄出来了，那我如果平行于 a a e， 我 做一条线出来，哎，我这样的话，好像，哎，我在这里出现了个什么？我在这里是不是出现一个 平行四边形？哎，你看这个得点是中点，对吧？然后 b c e 是 我 e 是 b c e 的 中点，那也说明那个这 e 也是我这条垂线的中点，那我这样的话，我把它连起来，然后 ef 连在一起，然后 af 又刚好也是中线，对吧？所以说明什么？所以说明这是一个平行四边形，那平行四边形的话，我的 d e 和 af 平行，对吧？好，然后我又知道 这个 af 是 下面这条等幺三角形，就是我刚这一百二十度这等幺三角形的中线，对吧？它是三线合一，所以它也有一个垂直关系。哦，那我找到了 af 垂直于 bc， 然后我还知道这条棱就是 b b 一， 这条棱是垂直于 bc， 对 吧？所以我这个 af 又垂直于 b b 一， 然后 af 又垂直于 bc， 所以 af 又垂直于这个平面， 这就没问题，对吧？好。然后又因为我这个平行四边形得 e 和我的这个，呃，这条得 e 和我这个 a f 是 平行的，所以我的得 e 也垂直于这个平面，这，这就完了，对吧？好，那这条，嗯，这个我们就梳理一下这个过程，我们把它写一遍， 它，呃，首先我们要得构造出这样一个平行四边形，对吧？好，然后我可以做什么？做这个 b c 中点为 f， 然后连接 af， 对 吧？然后，呃，我在这个 b e c 一 中点为 f 一， 对吧？这是 f 一， 然后把 f f 一 连在一起， 好，我就连在一起了，对吧？好，连在一起了，那我可以交谁交于。呃 b c e 于点 e， 那 这样就好了，那我连好了。呃，因为什么？这个三角形 a b c 为等腰三角形， 所以等腰三角形，所以说明什么？这个 af 就 垂直于 bc， 对 吧？好， af 垂直于 bc， 然后 af 又垂直于 bb 一， 对吧？然后 bb 一 垂直于呃面 a b c， 然后呃，这个 af 又在这个面 a b c 内， 所以这个 b b 一 就垂直于 af， 这样没问题，对吧？好，现在 af 垂直于 b c， af 垂直于 b b 一， 所以 af 就 垂直于面 b b 一 b c c 一， 对吧？好，我这个平面垂直弄好了，那我再找什么？那我还要得再找这个平行四边形这个关系，对吧？好，那我把这个平行四边形这个关系我写一下。好， 这个点的为终点，对吧？终点，这个的为谁？谁的终点啊？这个 a a 一 的终点，对吧？然后点 e 为 b b b c 一 终点，对吧？好，所以这个的 e 就 要平行于 af 这两个中点，对吧？然后，所以这个，嗯，这样说的话，我们还可以换一种写法，我们可以说这个 a 的 它平行且相等于 f e， 这样就直接结束，所以，呃，四边形， 这个得 e f a 为平行四边形。好，平行四边形，所以得 e 就 平行于 af， 好，我就可以得到什么，我就可以得到这个 a f 垂直于面，这个 b b b c， c e， 对 吧？所以这个得 e， 我 也垂直于面， b e b c c e， 好， 这样就完了，所以我就证明完毕得正好，这，这个就结束， 看下第二问，那第二问的话，它我们就要得开始间隙，然后写条件，然后再做，对吧？好，这个我们看一下怎么间隙， 嗯，我们现在知道下面它是有一个这样一个垂直关系，对吧？好，那这样一个垂直关系，我们不，不要，不用它，那我们就沿着这个键，然后我们除了这条垂直以外，我们还有，哎，这个对吧？好，这个下面下面垂直的，然后我就顺着我刚刚的这个 a a e i f， 那 就建好了，那我们再标一下这个 x y z， 那 我们知道这个肯定是 z 轴，对吧？然后我们是右手螺旋定子，对吧？随着 x 转向 y， 这就是 x 转向 y， 好， 我们接好戏了，那我们就开始这个写一下做题过程。第二问， n e f 为圆点， f c 向量为 x 轴，然后 fa 向量为 y 轴，然后 f f 一 向量为 z 轴，间隙如图， 好，加，好，系，那我们加好系，我们就开始写点坐标，对吧？然后他说了 b b 一 为六，哦，那这是六，那高度是六，好，那我们要得写关键点坐标，对吧？不要，算了，不要啥点都写上 a 点坐标，你看 a 一 点坐标， a e b， 对 吧？然后得 b c e， 对 吧？然后 a e b， 然后得 b c e， 那 我们就只用写四个点坐标，对吧？好，四个点坐标， a 点坐标，怎么写来， 那我这个点是 f， 对 吧？然后这个点是 a， 我 说的这个是根号三，所以 x 为零，对吧？然后 y 是 根号三，然后 z 是 零。好， b 呢？ b 点坐标，我们看一眼， b 点作。哦，哦，对， a 一， 你看啊，看好 a 一 点坐标，它是在上面，那上面的话它还有一个六啊，这没问题。好，这，然后 b 点坐标，我们看一下 b 点坐标，它是沿着负 x 方向走多少走三，对吧？好，负三到零到零，对吧？好，多点坐标 看一下的点坐标，它是先沿着 x， 你 看 x 走不走？不走，对吧？然后沿着 y 走了，根号三。哦，那根号沿着 y 的 话就 x 为零，根号三到，然后还有高度，对吧？高度是一半，所以是三。好， c 一 点坐标， c 一 点坐标，就是沿着 x 走三，然后再往上走，嗯，那就是 y 为零，然后再往上走 六，对吧？好，那这个四个点也写完了，然后我们要得写 a b 一 向量，对吧？你看 a b 一 向量，我发现哦，全是负的，那我就写个 b a 一 呗。那 b a 一 向量呢？全是正的呗。那这样的话呢，就是三 d 根号三 d 六嘛。好，这样就写好了，然后还要得写得 b c 一， 对吧？得 b c 一 里面的向量，那 我们看一下你写哪个好？我们是不是把 b 作为圆点，然后的作为后面那个点更好，对吧？这样的话就是三逗，根号三逗三，对吧？然后，嗯， bc 一， 对吧？ bc 一， 这样一写的话就是三减三，就是三减负三等于六，对吧？六逗零逗六嘛。好，好，通过这两个向量来怎么样？射面的 bc 一 的反向量为 n 等于 x 的 y 的 z， 对 吧？好，然后，呃，这个的呃， b 的 向量点成 n 等于零，然后 b c e 向量点成 n 等于零。好，然后 n 直接写，等于求 x 把 x 挡住，它乘它来，根号三乘。 你看，求 x 把 x 挡住，它乘它减，它乘它，就是根号三乘六倍根号三，对吧？好，六倍根号三，求 y 挡外，求外挡外，它乘它乘它，又是 o， 没有了零， 对吧？然后再取负嘛，啊，无所谓，但是取负不取负都无所谓啊。然后求 z 等 z， 它乘它减，它乘它就是负六倍根号三，负的六倍根号三，然后我一化减，我就可以得到 n， 就 等于，哎，一到零到负一，好，我把向量就算出来了，这两个向量我都有了，怎么办？我就要得写设 这个 a e b 与面得 b c， e 所乘角为 c， 他 对吧？来， 我们是线面角，对吧？线面角是上引角 b a 一， 然后和 n 的 角，对吧？然后我要再绝对值来，就是 b a 一 点乘 n 比，然后绝对值比上 b a 一 的模，点乘 n 的 模，对吧？好，然后我们算一下，它乘它 o 三，然后再减六，哎，绝对值，哎，比上，哎，这个 呢？它是根号，下三个平方是九加三加六，六三十六，对吧？好，我们算一下，等于三，对吧？那绝对值嘛？好，我们把这个算一下，等于 三十六，那四十五，四十五，再加三，四十八，根号四十八，根号四十八，是几乘几？是不是就是三乘十六，三乘十六，那就是十六开除。根号呢？又是四倍根号三倍，再乘以根号二，然后我再把这个根号六上去，那就等于这个四乘以六倍的四乘六倍的三倍根号六，对吧？然后三六一约等于 边是二的八，四二得八，所以最后答八分之根号六，哎，所以撒眼塞，他等于八分之根号六。好，呃，这这几个运算步骤直接调高纸一写就行了，最后答一下就行了。最后这个，呃，直线上面题目怎么写的，你就怎么写 a e b 与面这个 b c， 呃，这个 角的正弦值值为这个八分之根号六。哎，这题就答完了，哎，你看一下啊，这里面我算的过程中，如果你这个法向量 没有像我这样算的这么快，你要得去看哪？你要得看我的这个立体几何大题系统课上，然后我这里面就有讲这个法向量如何求，对吧？嗯，你可以按这个下方，这边有一个章节，对吧？你可以自己去跳到那个法向量如何求那个地方去看。如果你在这里面的这个证明的位置如果有问题，你就要得看这个上里面的这个知识点，对吧？这是怎么弄的？这就是我通过平行的传递性和线面垂直，对吧？好， 然后如果这个公式，你说为什么塞塞它等于口塞它，那你也看上，可以吧？那我们把这些问题就解决掉，然后预算问题，应该没有什么预算问题，对吧？然后你这些套路你要得写出来啊，你高，你高考时候你不能不写这些话，这些话全都是套路。好，你要得写清楚，然后这个问题就很套路，对吧？这个没有什么问题了。好，我们 这期就结束，我们下期再见。

一天一个小技巧，零基础也能向考场。今天讲立体几何最急问题，废话不多说，直接向前提 好。我们来看这道题，他说已知球的半径为一，半径为一，然后呢，四轮锥的顶点为 o， 底面的四个顶点均在球面上，哎，你看四个顶点均在球面上。 他说，则当该四根锥的体积最大时，问他的高等于几？你看这个呢？是不？我们的立体几何的体积的一个对角问题对不对？那该怎么做呢？这款呢，我们有两个方法， 第一个呢，是用到我们的基本不等式思想，也就是我们的 a 加 b 大 约等于二倍根号 a b 去把这个题做出来。第二点呢，就是可以结合我们的求导思想，利用导数把我们的最大值给算出来，这个题他只有一个量对不对？那我们是不是首先得要再设一个量呀？ 那这款是不要求谁射谁啊？他问，他问我们的高对不对？那我们就射高为 h 是 不是？好，你看现在知道了高为 h， 又知道了我们的 o a 等于一，那我是不可以根据勾股定律把我们的 o e a 算出来呀？我们的 o e a 是 不等于我们的根号下一减 h 的 平方对不对？那现在知道这个之后可以干什么呀？他现在在问四棱锥的体积对不对？那我是不是先把公式表达出来呀？我们的棱锥体积公式是不是 v 等于三分之一底乘高对不对？ 嗯，你看我们的高就还是高，对不对？哎，高就我们的 h， 我 们现在是不是得看 s 呀？看看能不能把 s 给它转换成 h 的 形式对不对？ s 该怎么转换成 h 呢？当四棱锥的体积最大，那么呢，我们的底面积是不也越大越好呀？什么时候底面会最大呢？是不？当底面为一个正方形的时候，我们的底面积它最大的， 这是一个结论啊，大家可以记一下，当我们的底面是正方形的时候，往往它底面最大的。那所以呢，你看，我现在知道了 a、 b、 c、 d 是 正方形，我刚刚呢，又把 o、 e， a 算出来了，那么所以呢， 因为 o 为中点，所以呢，我们的 a、 c 是 个二倍的 o e， a 啊，那然后呢，我们该怎么算正方形的底面积呢？我们的正方形底面积，它有个小结论，它呢是我们的对角线乘积的一半。 记住了，我们正方形的面积可以用对角线乘积的一半来算，那所以呢，我们的底面积是等于我们的一个 a c， 哎，乘以 b、 d 对 不对？ 对，角线乘积的一半，再乘个二分之一。那你看，因为它是我们的正方形，对不对？所以 a、 c 是 不等于 b、 d 啊？那这款呢，就等于我们的一个 a、 c 的 平方，对不对？乘以二分之一，那 a、 c 的 平方等于几呀？ a c 的 平方是不等于它的平方呀？是不等于我们四倍的一个 e 减 h 方呀？再给它乘个二分之一，所以呢，是不是应该是二倍的一个 e 减 h 方呀？这款应该等于我们的一个二倍的 e 减 h 方，对不对？ 那你看，我现在是不是的确把 s 用 h 的 形式就表达出来了，所以呢，我们就给他带进去，对不对？我们给他化简一下，等于三分之二倍的 h 减 h 的 三次方， 是不等于我们一个三分之二 h 减三分之二 h 的 三次方呀。哎，你看，我们现在把体积表示成了一个三次函数，但是呢，他说这个体积是有最大值啊，对不对？那么我们的什么函数肯定有最大值呀，是不是二次函数呀？ 那我们该怎么把这个三次函数转换成二次函数呢？是不可以利用求导呀？哎，我们给他导一下，就能把三次函数导成二次函数，对不对？那这里呢，我们就连 fh 等于它，对不对？ 所以呢，根据我们的基本求导公式，这里呢，我们的 f 撇 h 是 不等于三分之二减去一个二 h 的 平方呀，它现在成为一个二函数，对不对？哎，那我是不给求这个二函数的最值了。又，因为我们之前讲过， 一个数的导函数是不就是原函数斜率啊？哎，所以呢，当这个导函数为零的时候，就是我们原函数的极值点，对不对？那么呢，我们就让它等于零，对不对？所以呢，是不是可以解出来呀？二二一约 h 应该等于三分之刚好三，对不对？ 哎，因为它是我们的长度，所以不能为负值，对不对？我们把 h 解出来了，那是不可以列个三段式了？其实考试的话，写到这里就可以直接把答案写上去了，因为就这么一个极值点，所以这个值就是对应的体积最大值。后面就是列三段式正极值点是极大值还是极小值，对导数大题写法有帮助。我们列 h， 还有 f 撇 h， 还有 f h 的 一个三段式，对不对？我们得要知道 h 的 范围对不对？那根据题目呢？因为 h 是 我们的高，所以呢，它肯定要大于零，对不对？那它小于几呢？你看我们的轮锥的顶点是不是为 o 呀？那么所以呢，它的高是不是肯定不能超过半径呀？所以它的高应该小于一，对不对？ 所以呢，我们的 h 应该是一个大于零小于一的数，那么呢，我们就要在这个范围里面去判断函数的增减性。我们的 h 应该是一个大于零小于一的数，那么呢，我们就要在这个范围里面去判断函数的数为零。 我们教判断，在这个区间里面，它是增还是减呢？那我们在这个点里面呢，找个三分之一，然后带进去，你看那这块是九分之四减九分之二，它是不是九分之二，它是大于零的，对不对？原函数的斜率大于零，原函数应该单调递增，对不对？那么同理哎， 在这块找一个点，它应该是我们的小于零，然后单调递减，用函数函数。哎，一增一减是不会有个最大值啊？那么这个点就是我们的最大值点。我们现在需要把 f h 算出来吗？不用吧，为什么呢？你看题目里面，他说当该四棱锥的体积最大时，让我们求 h， 是 不是啊？ 那你看我们现在是不是的确算出来了，哎，当体积为最大的时候，我们的 h 是 不是出来了，就是我们的三分之三， 嗯，所以选 c 对 不对？在这里呢新城也祝各位高三考生高考顺利，祝各位长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

哈喽，大家好，欢迎来到星星子爱数学，那么今天开始更新高考百日冲刺课第一点，我们首先来更新立体几何大题部分。 立体几何为什么要分大题和小题？是因为立体几何的大题和小题他的考点不太一样，所以我们按照考点的侧重点我们来，嗯，把大题分开和小题单独去这种讲解，所以下期我再出立体几何的小题部分。 那大体的话呢，是稍比较具有这个套路化的，所以呢，大家可以通过我后面给的一些例子进行把这些套路给背会，而且把那个几何法常考的模型给记住， 呃，这个立体几何你就可以有望考满分。所以立体几何他是无论出在呃哪种位置，除非他是在最后一道题的位置上，他就会稍微难一些，但是呢，他如果在前面的位置，比如说前四道题的位置，那他都不会很难。所以呢，这个视频可以你可以放心的看完，看完你可以得到立体几何满分，所以，嗯，大家要有点信心。好，那我们开始讲解。 首先，呃，这个内容就是基本知识点和部分的题型讲，讲完了高考的所有的考点，所以大家可以放心观看。然后有一部分题没有讲解，我将把这些题放在评论区，然后再通过后期的每日 每日一根的方式，把每日一根，每日跟一道两道题的这种方式就是按每日一题的方式来进行讲解，所以这部分题大家可以先自己做一做，然后我讲解完这些题，大家也需要进行自行嗯， 梳理和再做一遍，所以因为我讲我能讲的出来和我能自己做对，那是我的本事，所以大家需要你能听懂，也并不是你很厉害。嗯，你能听懂可能， 嗯，只能说明你是一直在跟着我思路，所以你需要自己做一遍才能验证你到底会了没有。所以我建议大家我讲完的那些题目大家可以自己进行。如果你是真的是零基础，一点都不会，你可以听完我的视频以后再做一遍，然后如果你是有点基础，你可以在我讲这个题目之前把它暂停，然后做一遍。然后如果你自己的做法和我的做法是那种比较 呃浓长，而且还比较贵难的方法，那你可以吸取我做的方法，然后改正你的这种思路。如果你觉得你自己的方法够好，那你就用你自己的方法，毕竟高考题也是不止一种方法的好， 所以这个视频大家需要做的就是，嗯，把这个基础知识点进行梳理，并且和这个习题进行自我检测，并且把这些我讲到的这个视频的所有内容看完，你就能，嗯，精通立体结合， 后面就是立体几何小能手。呃，后面这些题我们有讲的这些部分的题，呃，思路和方法和前面讲那些题是一样的，大家可以抽时间每日做一道或每日做两道的方式，把它做掉，放在评论区，大家可以自行去，自行去。这个截图好。 呃，立体几何呢？它分为第一问和第二问，那第一问往往是会考这种证明，所以呢，证明我们要如何证呢？它也有两种方法，第一种是几何法，第二种是间隙法。那么呃， 你，呃，我在这写了一句话，叫做高考一般不会让你在第一问就证明，第一问证明就要让你见戏，因为什么？因为一般在一些模考题或者是一些简单一些的题里面，你发现我所有的条件在题目中给出，那我第一问直接见戏，我就可以很快的用这个见戏的证明方式来解决。那这种方式根本就不用动脑子啊，那就直接两问直接结束了，所以没有什么难 难点。但是呢，我们通常在高考一般是要把这个几何法是因为我们是高一学的内容，那间隙法它是高二学的内容，所以，呃，我们高考是要考全面一些的内容呢，所以往往都是让你第一问几何，第二问间隙来做，所以我们要得都得掌握好，我们来看一下几何法证明。 首先我在这，你，你别看我罗列了这么多东西，但其实不多，呃，有些东西他是不需要你去你记住的，比如说这这些地方，但是呢，我要得讲一下，让你知道我这个几何法是在哪些逻辑上去建立的。那这些，我说上面写的这些基本事实和推论就是我几何法建立的逻辑，那我们要稍微搞清楚一下，如果高二你是掌握的很好，你可以直接跳到，哎，我讲这里的地方啊。好， 首先基本事实一，我是如何去定义平面的呢？我们定义，呃，不在同一条直线上，就是不共线的这三个点可以确定一个平面。哎，这什么定义的那，呃，我是几个点可以确定一条直线呢？ 还记得吗？是两点确定一条直线，对吧？好，所以这第一个点叫做，不过不共线的三个点可以确定一个平面。好，那我们看推论一。那我们说两点可以确定一个平面，那其中这三个点里面的两个点，我们可以确定一条直线，所以呢， 就是如果点在直线外，那有一条直线和一个点，我们可以确定一个平面。好，这个是，呃，他的基本事实和推断。好，再看第二个事实，如果一条直线上的两个点 都在平面内，哎，什么？两点？确定一条直线，对吧？直线上的两个点，那就确定这条直线吗？那这两个点都在平面内，那就说明我的直线就在平面内，这很好理解，没问题吧？好，然后我们再看。呃，这个基本事实三。 嗯，如果两个不重合的平面，如果有一个公共点，你看啊，如果有两个平面具有一个公共点，那么它们尤其只有一条通过该点的公共线，然后那意思是什么？我两个平面，比如说我这样一个平面 和这样一个平面，它具有一个公共点，我把它延伸，延伸，延伸延伸，我发现它们具有一条交线，那这条交线也在这个公共点上啊，是这意思，所以，呃，它就 它就这个很简单的一个事实，能看懂即可。咱们看基本事实四。呃，这叫什么呢？平行于同一条直线的两条直线相互平行，这叫做平行的传递性， a 平行于 b， b 平行于 c， 则 a 平行于 c。 好， 这叫平行传递性啊，这懂就可以了。来，我们再看这个推论二。刚刚讲过推论一了啊，经过两条相交直线，尤其只有一个平面，那这个也是通过它来得到的， 这个能看懂即可。就是两条相交直线可以确定一个平面，这个在后期的这个，呃，平面与平面平行的时候可能会用到，所以我们要注意啊，两条相交直线确定一个平面或者是三个不公线的点，可以确定一个平面，一条直线和一个点确定一个平面。好， 那我们再看推论三，推论三就是两条平行线，尤其只有一个平面。哦，意思是我如果有两条平行线，这两条平行线同在我的平面内是很好，那我们再看等角定律，它是什么？如果两个边，你看，如果两个角的两个边对应平行，则这两个角相等，会互补。这怎么理解呢？比如说我有一条线平行，我有一条线平行，你看啊， 你看这个角和这个角互补吧。如果是这样子啊，平行平行，你看这两个角相等，所以这叫等角定律。所以这就是一些基本事实和这个几何法建立的一些逻辑。那我们再看这个重点考点，我们考到这了啊， 直线与平面平行的判定好这个判定和性质。那我给你们讲一下什么叫判定，什么叫性质？为什么有些人觉得，哦，这个地方我加了个判定，又加了个性质，感觉，哦， 越来越难背了，越来越懂了。你看啊，我们看，首先判定定论。判定定论是什么？判定定论就是我现在不知道这个最后的结果，但是我要得正出这个结果，我要来的这些证明方式，所以意思就是直线和平面的直线和平面平行的判定定论意思是什么？我如何证明直线和平面平行好，就是人话， 那性质定论是什么呢？我如果知道直线和平面平行，他有什么性质呢？哎，这是性质定论，能听懂吧？好，嗯，那我们看下判定定论啊，这个就是我们高的大体往往要考察的内容，就是我如何证明直线和平面平行呢？如果 平面外一条直线和平面内一条直线平行，则先面平行。这句话要记住啊，你可以当顺口溜背，你看直线外一条直线 a 不 属于耳法，来，直线内一条平面内一条直线叫做 b， 属于耳法，看平行 a 和 b 平行，则先面平行。啊，这里面的这个耳法啊，一般你要得写这个面耳法， 我在这着急，我就没有写，所以我们在这个地方我们都要写一个面啊，不要忘记。好，这是判定定力，我们再看性质定力。那性质定力是什么呢？如果我有这个线面平行，你看我线面平行是已知条件，那我你看啊，线面已经平行了，这条线和底面平行了，那会有什么条件呢？那我过这条线做一个平面， 和我这条原来这个平行的这个平面交于一条交线了，对吧？这条交线和我这条线平行，就这句话， 所以呢，我得到线面平行，我可以做一个交面，就是我过这条直线做一个平面，我得到的这个交线呢，我就可以与原来的直线平行，这是一个很好用的结论。好， 我们再看平面与平面平行的性质和判定和性质。那面面平行如何去证明呢？面面平行，你看啊，来两条相交直线，可以确定一个平面，对吧？所以这个平面我就要得用这两条相交直线来确定。 所以前面的知识点重不重要呢？重要。但是，嗯，他影响，影响你考高分，他确实不是很影响啊，来看一下啊。那这个怎么写呢？如果平面就是，如果平面上两条相交直线与下一个平面平行，则面面平行，所以我得写什么？ 写平面内的两条相交直线。你看平面内的两条相交直线， a 在 耳法内， b 在 耳法内， a 和 b 交于点 p， 你 看耳法内的两条相交直线。这三句话是不是搞定了？来，平行于平面，平行于第二个平面，意思就是 a 和贝塔平行， b 和贝塔平行，对吧？好，五句话，我确定了，什么面面平行，这没问题吧？ 好，那我们要怎么得到它的推论呢？首先啊，这个一般来说，你看线面平行是在考试，不会跟你说的。那我要得把这个线面平行要展开吧。我们之间怎么说的？线面平行要写哪句话？看这看这看这，要写三句话，对吧？平面外一条直线和平面内一条直线平行，线面平行，对吧？所以我们要把它拆开，写出三句话来，所以我就会得到这样的一个形式，如果 你看一个平面内的两条相交直线和另外一个平面的两条相交直线平行，则面面平行。哎，这就很好用，对吧？因为我这里面不知道这个线面平行，那我要把下面线面平行给补全，会了吧？会了啊，那这就是两个平行，那我们再看啊，这里有两个推论， 我们看推论二，那这有点像平行的传递性，对吧？来，平行于同一个平面内的两个平面平行。我们刚说过平行与同一条直线的两个平行，对吧？那这个就是如果第一平面和第三平面平行，那第一平面和第三平面平行。 这个很容易看出来啊，这就是平行的传递性，所以在平面里共同适用。那我们再看，如果一个平面与两个平面平行。 呃，如果你看啊，已经有两个平面平行了，那我可以做一个共同交于两个平面的这样一个交面，那它会形成两条交线，对吧？那这两条交线平行，这就是平面与平面平行的性质定律。 好，那记住就可以了。那我们看啊，性质定律都都有些啥？你看线面平行，我可以做一个交面，对吧？交面会产生一条交线，交线和线平行，对吧？面面平行，我可以做一个交面，那它会产生两条交线，那这两条交线平行， 很容易，记住吧？好，那这个就是它的性质，我们刚刚梳理过了，我们就不看了。呃，你可以回去看一看我有没有漏掉的，你可以自己看一看啊。那我们再看直线与平面垂直。线面垂直，线面垂直。如何证明？我们要得看什么？看？判定定力，对吧？如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么线面垂直，这很容易理解的，对吧？ 两条相交直线可以确定一个平面，所以呢，这条直线如果与平面内的两条相交直线，我是不要写出来来， a 和 b 都是，而法内 a 和 b 交于 o， 这不就是平面内的两条相交直线的意思吗？对吧？好，我要得使得这条直线与平面内的两条相交直线都垂直。好，那都垂直，则先面垂直，所以我要写五句话，对吧？ a 属于二法， b 属于二法， a 交 b 与 o， 然后 l 垂直于 a， l 垂直于 b， 则 l 垂直于面。而法啊，这里还要写面啊？面面面面面。好， 我们再看性质定律。那垂直于同一个平面的两条直线平行，这很容易理解，没问题吧？哎，我第一条直线垂直于这个平面的两条直线平行，则这两条直线相互平行。 这个你如果是美术生，你画一下图，你能看得出来？呃，体育生嘛，你也画一下，可以吧？你不至于长这么大，你这个图也画不出来啊。所以，呃，如果两条直线都垂直于这个平面，则线线平行。好，这就是我们直线与平面垂直，如何去证明？我已经讲完了，我们再看一下 这个平面与平面垂直，那我刚会正了。直线与平面垂直，对吧？那直线平面与平面垂直就特别好正，你不要觉得很难来。直线与平面垂直，我刚正出来了，对吧？ 好，如果呢？我有一条平面，就经过这条垂直于这条平面的这个直线，则面面平面垂直，那就这么简单。所以你只需要写一句什么，你就只需要写一句，哎，这个平面就经过这条垂线就结束了。所以就意思就是我这个 l 就 在这个 b 塔平面内， 那 l 已经垂直于 r 平面，则 r 垂直于 b 塔，就这么简单，没有难度，对吧？所以很简单吧。那线面垂直怎么写？还记得吗？还记得吗？还记得吗？来，看这看这看这，我要写五句话，对吧？直线与平面里的两条相交，直线垂直，则线面垂直。 嗯，很好啊，那知道了，这个我们就。嗯，结束。那我们再看性质定义。性质定义，那如果我现在有了这个平面与平面垂直，那我可以找到什么？平面和平面垂直？他们肯定有一个交线，对吧？没问题。好，那这个交线呢？我可以在平面内找到一条直线 l 和我的这个交线垂直，那我就可以得到什么？得到这个 l 就 垂直于这个平面啊，怎么写啊？来看啊， 平面和平面垂直，对吧？那我 l 就 在 b 塔平面内， 那我如果得到 l 和我这个交线垂直，则线面垂直，所以我从面面垂直可以找到线面垂直。我要找什么？找交线和我这个平面内的一条垂线就可以了。很简单啊，这个推断和其他阶段你们自己看一下就行了，基本不会考。那这就是我的几何法证明。那几何法证明里面我没有讲什么， 我是不是直接开始讲线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直，对吧？那我为什么要讲线线垂直，线线平行呢？ 为什么？知道吗？那是因为我们初中学过线线平行，线线垂直，所以呢，我要得有一点初中的基本几何尝试，不然的话，你这个立体几何会错的有点吃力。首先来看一下啊，中位线定力是什么， 还记得吗？记得，对吧？来一个三角形中，我如果找到两个边的中点，我连接，我就会与下面这个平行和这个直线相互平行，且这条直线等于下面这个直线的二分之一，这个中位线定力，对吧？很轻松，没问题吧？不用写那么多，很直接写两个中点。哎，所以他是啊， 两个中点，然后平行就完了，不用想那么多啊，来等腰三角形的性质。来等腰三角形会有什么性质呢？这两个边相等，则我等边对等角。这两个角相等，对吧？还有什么性质啊？ 还有我的这个三线合一，对吧？中线垂线和角平分线是同一条直线，没问题吧？好，我知道这些性质就可以了。来，我们还看一下等边三角形。那等边三角形是什么？是不是六十度的等腰三角形没问题吧？所以这三个边都相等，而且它有三个 三线合一，对吧？它还有一个。呃，三个三角合一有一个重重心，对吧？那个重心它是什么？上面比下面，它这条比这条是多少？比多少？二比一嘛，对吧？一共是三嘛？所以这边占三分之二，这边占三分之一，这个能清楚吧？这是等边三角形的性质。 你初中不太好，稍微补点初中内容啊。这个，这没有办法，我没有那个时间去给你补初中知识。那这个初中知识没有任何问题吧？这三个，那我们再看全等和相似，那全等相似，我不需要让你证明那么多东西，你只需要知道，哎，三个角相等，那就是相似，对吧？来，三个边相等，那就是全等，对吧？两边就是两角，你看两边一角， 呃，相等，那就是全等嘛，对吧？所以这个，呃，你知道基本的一些知识就可以了。然后我们还需要一些知道一些基本的一些几何图形，里面有这些平行垂直的关系，你就知就可以了。比如说什么？比如说我这个梯形， 那无论是我直角梯形还是等腰梯形，那我都有什么？我上下两个平，上下两条直线都平行，都没问题吧？然后我还会有哪些条件？比如说，如果是我的这个直角梯形， 那如果是直角梯形，上面和下面如果是二分之一，则我的这个对角线这个点，它就是一个三等分点，这没问题吧？好，这是几何图形，你要得稍微对这个平面几何有点感觉啊。然后还有什么？比如说正方形，然后长方形， 然后菱形，对吧？这是我们的一些考点，比如说正方形里面，我是四个边都相等，并且它有四个边都有这个垂直，而且我对角线一连也垂直，没问题吧？而且对角线相等。 然后呢，这个长方形它有什么性质呢？它长方形的对角线一连，它相等，但不一定垂直，没问题吧？但是呢，长方形它有什么？它天然有四个垂直，这没问题啊。然后呢？菱形，菱形有什么规则？菱形的对角线一连，它们相互垂直，但是这两个对角线不一定相等，对吧？但是我菱形的四个边都相等， 这没问题啊。好，那知道这些就可以了，基本就差不多。然后再平行四边形，那平行四边形对边相等，对角相等，没问题吧？对角相等，那对边相等且平行。好，所以我有些时候证明平行的时候，我只需要指出它是个平行四边形就可以了。那平行四边形如何证明呢？如果我的对边平行且相等，它就是平行四边形，如果我的四个边 就是对边两两相等，那就是平行四边形，对吧？这个比较好证明吧？这个初中的东西应该没有忘忘光啊。然后在这里啊，我要得在这个垂直，这里我要得稍微补充一个东西，叫做三垂线定律。好，那三垂线定律是什么呢？如果啊，我在这个平面而法内有一条这个 a 直线， 对吧？然后 l 是 一条这样一个斜线，但是交于平面没有问题啊，那我可以做这个 l 他的一个垂线过来，那我可以在这个平面内找到这个 l 的 一个摄影， 清楚吧？你看斜线摄影，这垂线没问题啊，如果我这条线和我这个斜线的摄影垂直，则这条线和这个斜线就垂直，这没问题啊。嗯，因为这个垂线肯定垂直于这个 a 的。 好，如果这条线垂直于这个 摄影，那就垂直于这条线吗？对吧？如果现在有什么这条线垂直于这个斜线，则这条线就垂直于这个摄影啊，倒过来用也可以。所以他到底是啥呢？我他其实就是一个线面，就是线面平行， 没问题啊，你看这条线和这个垂线肯定是垂直的，因为垂线肯定要垂直这个平面嘛，所以他垂直于他没问题。如果我证明出他垂直于他，那说明一条线与一个平面内的两条相交，直线垂直，则线面垂直，线面垂直，则直线和平面内的任意一条直线都垂直， 都没问题啊。所以，然后再来一个，比如说这条是垂线，对吧？垂线和这条线垂直，那斜线也和这条线垂直，那就说明这条线和这条线垂直，所以这条线就和这条线垂直啊，所以这个就是三垂线定律。其实就是什么？ 就是一个线面垂直不断在用而已，就是正过来，反过来用，所以这是我们初中的一些几何知识，我们要得会，然后这个几何法证明就这么多内容。 你很快就几何法证明的时候，还有一个点，就是我们初中可能会学过的一个知识，叫什么？叫如果是个直角三角形，我肯定有什么，肯定可以用勾股定律，对吧？如果给你一些边长关系让你去证明这个垂直，你可以用什么证明啊？ 我可以用勾股定律来证明垂直啊，不要忘记有些题他就是让你反反复复的在用勾股定律来证明。呃，那这个算不算高中学的内容呢？肯定不能算高中学的内容啊，你这个勾股定律一定要记住。好，那我们再看一下间隙法如何去证明。好， 我们先看一下啊。第二问，我们要一般考察什么？我们第二问，一般考察什么？二面角呀，线面角呀，点面具呀，面具呀，线面具呀，动点问题啊，外接球啊这类的一个问题。那。呃，一般来说呢，这些东西 我可不可以用几何法来做？可以，那我要用几何法怎么做呢？我肯定是在这个这一大堆图形里面，我要去，比如说 啊，我要找这个二面角，对吧？我可以找二面角的平面角，比如说我如果要求这个平面和这个底面的二面角，那我怎么找来？我要得找这条线做一个这样垂线，找出这个垂线，然后呢？再找出这条垂线。好，我要算这个角，那这个算这个角怎么算？我可以再做一个垂直，用勾股定律算，对吧？这是？ 嗯，这是几何法的做法，对吧？这也是你高一学过的内容。这不是你高一没学过，高一我们没有学间隙，所以我们高一这种什么二面角呀，还有这种下面角呀，我们都是用什么做的？都是用几何法去找那个角，找那个角的平面角，然后，嗯，然后用勾股定力把它算出来的。这个， 呃，但是高考题会让你这样做吗？那个图形一般都很复杂，你要去搁那找角，你肯定是在那段时间里面是找不出来的。所以呢，我们用几何法做这样的计算题是很不方便的啊，我们最好不要用几何法来做。 那我们用什么方法呢？我们可以间隙，那间隙是干嘛？首先间隙首要得找出三条两两垂直的线，以右手来间隙来，拿出你的右手 能不能比出像这样的一个图形来，你能不能把你的大手可以比成这样的形状，可以吧？好，那我们规定什么？你看，规定你的中指叫 z 轴，叫 z 轴。好，那你这样张出来，这个轴叫做 x 轴，然后你的这个 x y， z 还可以随意旋转。那比如说，哎，我长这样子， 那我现在啊，我的图形就是长这样子，那我现在规定他叫做这轴。那我可不可以用你刚才那个右手来怎么弄？我把右手张开，你的拇指指到哪了？拇指是不是指到这了？所以这是 x 轴，那食指指到哪了？食指是不是指到这了？这是 y 轴， 你能弄懂，你能弄清吧？可以啊，你要你如果把手摆成这样子，你的拇指就是 x， 食指就是 y， 中指就是 z， 一定要，一定，不要忘记，一定要摆成这样子啊。好， 那我们还有一个方法叫做这个，学过物理的人都知道这叫什么？这个叫右手螺旋定则，对吧？这也是拿出你的右手啊，不要拿出你的左手，把你左手收回去。好，拿右手。好，拿右手啊，拿右手，拿右手，拿右手。重要的事情说很多遍，好，我们一定要拿出右手来，你把它螺旋这样放着，你看啊，你的这个大拇指朝上，对吧？这就是 z 轴。好，那谁是 x 轴，谁是外轴呢？ 好，你看啊，你的拇指螺旋方向是哪个方向？是不是这个方向？你看啊，我们的 x 轴向外轴，这样就是 y， 对吧？所以这个就是你看你的卷法，你的，你如果手最后卷出来，应该是这样子的，你如果手卷出来是这样子的，你看，我如果在这建了个这轴，那你手如果卷成这样子了，那谁是 x 轴，谁是 y 轴呢？由 x 指向外，所以这边有一个 x， 那 这边肯定有一个 y， 肯定吧，你看，就这样卷的来，比如说这个，你看我这轴已经确定了，来，我右手来卷一下，是从哪指向哪，你的卷法应该是绝对是这样，对吧？从 x 指向 y。 好， 我再举个例子， 比如说我的 z 轴向下，那我的，呃，那我现在画这两条线，这条在前面，这条在后面啊。来，我拇指是不是这样放下去了？你的，你这个是我从哪卷到哪？是不是从这卷到这， 对吧？所以从 x 指向外，这是 x， 这是 y， 所以 这也很好做啊，要么你把你的手伸成这样子啊，都是右手啊，不要弄错，都是右手。来，你把你的右手拿出来做一遍来，这个右手指成这样子啊，拇指是 x， 食指是 y， 中指是 z， 任意旋转都可以。好，然后你可以把你的手弄成这样，螺旋状，由 x 弯向 y。 好，这个就是我的解析方法。所以我解析的时候呢，写法是什么？你刚刚是不是在图上已经把这个箭头已经标好了它如果是这样一个几何图形，我这个箭头已经标好了，对吧？那它上面肯定有 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g， 那 么一堆一堆点，对吧？好，那你要先把圆点写清楚，这是以什么？什么为圆点，以 a 为圆点， 以 b 为圆点，以 c 为圆点，都可以，对吧？好，以 a 为圆点，什么？哪个向量为 x 轴？你看啊，一定要得记住啊，有些人很多时候都要写什么 a、 b 为 x 轴， a、 c 向量为 y 轴， a， d 向量为 y 轴， a， d 向量为 z 轴来解析。如图， 如图要写，因为你要在图里面做箭头啊，那个你高考做图的时候啊，你用铅笔把它写好，画好以后，你再用中性笔把这个箭头给描一遍，因为过不去那个机子，识别不了你那个铅笔画的啊。所以你要得让老师看你的间隙，你要得写一个如图给写好啊，然后按照题目的信息，我要得先写出点坐标 来，你 x、 y 在 你都清楚了，如果说这个 a、 b 长度为二，那 x 等于多少？ x 肯定是二嘛。那如果我说你看 b 点这个坐标，如果我说这个长度是二，那在 x 轴上，那要怎么写？ b 点坐标， b 点坐标，是不是只有 x 是 二零零，对吧？这个很会写吧， 如果在每个轴上，那对应的哪个轴以外的两个，比如说，如果我在 x 轴上，那 y 和 z 肯定是零嘛，对吧？他演的顺序也是 x， y， z， 对 吧？这个点的顺序也是 x、 y、 z， 所以 你要写出点坐标，慢慢写，你写个五分钟都没有关系，你这个点坐标写慢点啊，然后因为点坐标不能写错，如果写错了，那你这道题就全部废了，没有办法。然后呢，我还得写下量 啊，我要按照题目信息写点坐标，题目让你写哪个点坐标，你就写哪个点坐标，不要写那么多，你看啊，比如说这道题，你看啊，题目说了什么来？ p、 b、 c 和平面 p， d， c 的 夹角的余弦值。那我应该写哪些点坐标？我是不是写 p 点坐标， b 点坐标， c 点坐标写过了，把 p 点坐标写过了，所以我只要写 p、 b、 c、 d 四个点坐标，对吧？ 有些人就很可笑啊，你还要写 p 点坐标， a 点坐标， b 点坐标， c 点坐标， e 点坐标， d 点坐标，全写出来，你浪费时间不？很浪费时间啊，这没必要啊，你只需要把那个题目啊，要求你写的给写清楚就行了。好，点，坐标写好了，我要求向量，对吧？我要求向量，向量怎么求？就是中点起调，对吧？来，我教你如何写点坐标啊，你把点坐标竖着写 来，你看，一一对齐，对齐在这，可以吧？来，你项链也给我竖着写，来 a、 b 项链，那我就是 b 点减 a 点，对吧？中点减七点，来 x 中点减七点，就是得减 a， 得减 a， e 减 b， e 减 b， f 减 c， f 减 c， 对 吧？ e 的， 你看，这就写出来了， 你看啊，我让你竖着写的目的是什么？不要算错。很多人啊，这个横着写完以后啊，你看， a 写在这， b 写在这， c 写在这， d 写在这，然后呢，你 x 减 x 的 时候，你可能是用 y 减 x， 你 说你亏不亏吧？所以啊，你把这个竖着写好，你不容易出错啊。那个减的时候，你就是对应这样减，对应这样减，对应这样减，来中点减起点，你看啊，这 a b， 那 b 放在后面，对吧？就是 b 减 a， 得放在后面，对吧？得减 c 来，得减 c， g 减 e， k 减 h， 到 l 减 r， 这不完了吗？所以你要得会写这个点坐标啊。向量，向量会写了吧？向量就是终点减起点，终点就是这个起点就是这个，对吧？来复习一下啊。向量它是一个有象线段。好，这样一个有象线段，对吧？那这个有象线段它有些什么性质呢？首先，向量我要得会写，比如说这个叫，如果我知道这两个点坐标， 我可以通过中点减七点，中点减七点，中点减七点来把这项量算出来，对吧？这项量怎么写？会写了吧？如果现在知道一个项量，对吧？这是个项量啊，这项量来这里有一个误区，大家特别会 错，点坐标不用写等号，你看我写等号了吗？点坐标我写等号了吗？点坐标我写等号了吗？但是项量必须写等号，不要忘记啊。所以很多人可能就是点坐标也写等号，项量也写等号，要么点坐标不写等号，项量也不写等号 啊。这这这。呃，见怪了啊，说，我不要这样搞，你看点坐标不写等号，向量写等号，嗯，记住啊，记住就行了。所以我现在如果知道这两个向量，随便一个向量，对吧？那向量的模怎么算？模就是我每个，你看 x， y， z， 对 吧？ x， y， z， 那 这 abc 这三个点我要怎么办？都平方和，你看平方和，再开根号，这不就是我的模吗？ 就是我的长度。向量的长度怎么算？就这么算。好，那这个两个向量的点击就是点乘乘 y， z 乘 z， 三个加起来，你看 a 的 加 b， e 加 c， f， 错了吧？好，那数乘就是比如说这个拉姆达就是个三，或者是二，或者是一，对吧？那这样一个数乘一个向量，那就是意思是我每个点坐标都要得乘这个数，那比如说我这是未知数，可以吧？那拉姆达乘以 a， 那 就是 a 倍的拉姆， b 倍的拉姆达， c 倍的拉姆达。你看我都乘这数乘它还是向量，但是点乘我就变成一个数，你看这是个数， 没问题啊。好，所以这是空间向量的一些基本知识，我就变成一个数，你看这是个数，没问题啊。好，所以这是空间向量的基本就用到这些，其他的不用知道就行了。好，然后这个向量 我就讲完了，向量如何做？没问题啊，现在如果我找到了两个平，就是平面内的两个不共线的向量，那两个不共线的向量也就是两个不共线的直线吧。那两个不共线的直线可以确定一个平面，对吧？那两个不共线的向量也能确定一个平面。好，那我如果要得求法向量的时候，我要得写什么来看清楚啊？向量如何求？来这里啊，非常重点，重点，重点，重点， 我要得首先写一个叫做设平面某某某的法向量为 n 等于 x、 y、 z。 哎，这句话必须写，就比如说，哎，我在这里你看他说平面 p、 b、 c， 那 我是不是要求平面 p、 b、 c 的 法向量，对吧？怎么写？设平面？平面，面吧，面别面 p、 b、 c 的 法向量 为 n 等于 x 到 y 到 z， 你 看是啥你就写啥，你看我就默写，默写啊，然后我再找出这个平面两两个不共线的向量，可以吧？我找出两个不共线向量，那我要干嘛？法向量是什么来？比如说这是个平面，那法向量就是与这个平面垂直的向量， 那垂直于这个平面，那意思是我这条这个法向量就垂直于这个平面的所有直线，那我是不是在平面内找了两个不共线的向量，那这个法向量是不是与这两个不共线的向量都垂直？那我就要列一个这样的式子，叫做这条向量乘以法向量等于零，因为你看啊，如果是向量和它垂直，那我可以互推出。你看啊， 这个 r 向量和我这个 n 向量如果是垂直的，那他们两个点击就为零，那这就是我两个向量点击为零，你就写成这样就行了。来，法向量具体怎么求的，我现在告诉你 啊，原来你们的法向量求法的话，你就要得写出这个式子来啊， a 点乘 n， a 点乘 n， 怎么写啊？来， x 乘 a， 那 就 a， x 加上 b， y 加上 c， z， 对 吧？等于零，然后这边是得 x 加上 y 加上 f， z 于零，然后你要解这两个方程，对吧？啊，你别这样了啊，我们直接就做。呃，首先啊，我们的口诀叫做求谁挡谁，交叉相乘外取负好，比如说，我要得求这个法向量，你看法向量里面的 x， 对 吧？我把这两个向量竖着写好，对吧？竖着写好，我求谁挡谁，我要求 x， 我 就把 x 挡住，你看， x 挡住了，挡住了，挡住了。来交叉相乘，它乘它，它乘它相减， 它乘它减它乘它。就是 b， f 减 c， e， 你 看 b， f 减 c， e， 可以 吧？交叉相乘相减。好，呃，那个我们再看 z。 怎么求？来，看啊，我要求 z 挡 z， 我 把 z 挡住，来，它乘它减，它乘它， a 乘 e 减 b， 等于， 可以吧？好，求 y 挡 y， 我 把 y 挡住，交叉相乘， a 乘 f， 再乘 n， 再减 c 乘 d， 对 吧？来，我要 y 取负，对吧？来，我要取个符号。 为什么要取符号？来，我给你看演示一下啊。我求 x 的 时候我挡住了，这四个是不是连在一起啦？ 我求 z， 我 求 y 的 时候，来，这四个断开了，那我是不是应该怎么样？我断开了，是不是规则稍微不太一样？那我就加个符号嘛。这行了， 所以你就这么理解这个到底是什么原因？你到大学你就知道了。好，这个不用管，你法向量这么求就行了。你这个不要把这个过程写上去啊，你也不要把这个口诀写上去。呃，你偷摸着用就行了。来，你看设这个向量来，点击为零，来，这三句话写好了，对吧？直接写法向量，比如说这是个一二三 一二一二三，这是个三四六。好，你会求法向量吧，你直接就算就行了，你看二乘六减四乘三，写出 x 来求 y 等 y， 对 吧？然后三乘 忘记了，哈，就那样一算就行了，一算就行了，这就结束，对吧？好，这个法向量会算了，对吧？法向量就是平面里与平面垂直的向量，算出来就行了。就他只要说平面，你看，比如说这样一个题，他说平面与平面的夹角，那我就要算这个平面的法， 这个平面的反向量。哎，我要得解决这个问题。你看二面角。二面角啥意思呢？来， a p d， 你 看 a， p d， 你 看 a p d， 这个平面和那个平面呢？ p d c p d c o， 这个平面。好，两个半平面的夹角，就是这个平面和这个平面的夹角。那我要算什么？这个平面的反向量。这个平面的反向量会算吗？会算啊，不要忘了我们会算好 反向量，会算了，我们再看怎么算后面的部分，比如说算二面角。二面角。什么二面角？就是我两个半平面的夹角，你看啊，这个叫半平面，这个叫半平面， 那我这两个半平面之间可以形成一个夹角，对吧？那这个夹角最小是多少度？最大是多少度，你知道吗？知道，对吧？你拿出你的卷子来翻一下，哎，我是可以从这个零度，你看我是可以从这样的形状可以一直翻过来，对吧？翻到一百八十度， 你再往下翻，和上面翻的一样，对吧？反正就是你零到一百八十度吗？那如果是两个平面的夹角是啥意思？那平面他是无限延伸的，他长这样的，对吧？来，平面是无限延伸的， 哎呀，这个是来，这是两个平面的夹角，对吧？它会形成一二三四四个角，那我要取哪个角呢？我要取小的角。所以如果考点是什么？考点？如果是两个平面的夹角，那我最后算出来，我只需要算它的最小的那个角就行了， 可以吧？但是如果是两个二面角的夹角，那它是从零到一百八十度的，对吧？零到一百八十度的，嗯，所以它的余弦值肯定有正有负。好，我们再看。呃，这个出两个 m n， 两个反向量，对吧？那我要得设，你看啊，二面角也有一些规则要写啊，你要得设二面角为 theta 啊，你就这么写就行了。然后 cos theta 啊，但是标准的写应该叫做设二面角的平面角为 theta。 好， cos theta 等于 cos theta m n， 那 cos theta m n 怎么算？ m 乘 m 的 摩乘 n 的 摩乘 n 的 摩， 可以吧？这很好记吧？好，很好记啊，那 m 点乘 n 会算吧？它们的对应 x 相乘，对应 y 相乘，对应 z 相乘，加起来，对吧？那 n 的 模怎么算呢？它的 x y z 全部平方开根号，对吧？加起来，然后它也是全部平方加起来开根号，对吧？这很好算啊。然后如果看图，看图，如果是钝角，那我就取它的负值。看图，如果是锐角，我们就取它的正值，如果你的观察力不强，你就直接取正值，往往百分之九十题都是正的。 好，这样就行了。好，最后你答一下，你就答一下。说什么你这个算出来口算谁？他他是我这两个向量的夹角。那我最后要答一下，你说什么？二面角口算，二面角的余弦值是多少多少就完了。如果让你算算怎么弄？算的话，我就用这个公式，根号下一减口算一方。这个公式有没有不会的？ 会的吧，一定会的啊，一定会啊。如果你算出来这个口算呀，然后你也可以画个直角三角形，然后你这个口算，如果是一个 a 比 b， 那 口算也是 a 比 b 呢？就是零边比斜边嘛，对吧？这是 b， 零边是这是谁他嘛？零边就是 a 嘛，对吧？然后 a 比 b， 那 我可以用勾股定力稍微算一下这个，那这个就是根号下 b 方减 a 方嘛。 然后呢？算一次他就是谁根号下 b 方减 a 方分之 b 嘛，对吧？这个，嗯，你也可以画直角三角形，也可以，干嘛也可以用这个嘛？这个我们怎么用？我们知道算一方 set 加 cosine 方， cosine 等于一嘛，所以我可以用这个公式，这是个三幺乘法式，对吧？如果要算 cosine， 我 可以把它移过去，叫做一减 cosine， 对 吧？平方我要看更好，这不就完了吗？这不是公式嘛。所以一定要记住啊。这个，如果他让你算正弦值，你就要得用这个方法算，没问题吧？那正弦值的话就轻松了。如果余弦值我不知道。正负无所谓，我平个方，你正负都无所谓了啊。那一减它，那 cosine 肯定是正的， 这没问题啊。好，我们知道了。二面角如何算？我们还要得看线面角如何算，对吧？线面角是什么？直线与平面的夹角，对吧？你看直线与平面的夹角，那这个角怎么算呢？来，这个角算出来叫做 sin theta。 来，注意，注意，注意，注意。你看二面角算出来叫做 cos theta， 对 吧？线面角算出来是 cos theta， 那 cos theta 是 啥呢？就是 cos theta。 这个 a 和 n a 是 什么？ a 就是 直线向的向量，比如说这直线向我取的向量叫做 a 向量， 可以吧？完全可以啊。然后呢？平面 r 的 反向量很向量。好，那怎么算？口算 a n 会算吧？口算 a， n 就是 a 乘 n 的 幺 n 幺，对吧？那算 x， 它肯定是一百零到一百八十度嘛，那肯定是正的，所以我给这个整体去绝对值，所以最后算出来，无论是正还是负，我都去 正会了吧。好，那口算 x， 它怎么算？来根号下一减三方，这就很好弄啊，那这个线面角就结束，线面角就这么算，那线面角的话也要得，也要写这句话，叫做设，你看某个直线与平面的夹角，也叫做设，某个线面角等于 x， 它 设什么？什么 vc 碳啊，你要写这句话，然后算完以后，最后还要得搭一下，搭一下，搭一下。好，那个距离，那距离公式是这个，那得等于一条距离是什么？距离是点面距，线面距，面面距，你看点到平面的距离，直线到平面的距离。呃，平面到平面的距离。 好，那怎么算？那我首先啊，点面距，我要转换成线面距，那点面距我要得有一条直线可以相交于这个平面，那我在这条直线上找向量 a， 那这个就向量 a， 那 直线那就好弄了，那直线上的向量就是 a。 向量好，平面，那平面的话呢？我要在这个平面和这个平面相交的这个部分，我要得找一个 向量 a， 所以 他们三个，比如说点面具我要转换成向量面面具我要转换成向量，所以我最后算的就是向量 a， 那 这个向量 a 是 啥，知道了吧？ a 就是 我的这个直线上的向量好，那就是法向量来，直接在这个公式来。这个公式和这个公式有什么区别？我不除以 a 的 模二。 看清楚啊，我不除以 a 的 模儿好，一定要注意啊，这个公式不要背错， a 点乘 n 比上 n 的 模儿好，这是距离公式来，呃，这个动点问题，动点问题是什么？动点问题就是这个意思，如果我有一个直线，比如说这叫做 ab 向量，这是 ab 向量，没问题啊，那我知道 a 点坐标叫做得 e f， 那我算出来这个 a b 向量是这个，对吧？这没问题。那现在我知道点 p， 我 如果上面写着什么 p 点在 a b 上运动，哦， p 点 p 点在这个 p a b 上，也没说 p a b 多长，对吧？那我就说了点 p 点在 a b 上，那我可以列什么？那我可以用向量共线定律，你看 a p 和 a b 共线，所以 a p 等于 a b 的 楞大倍。你看 a p 等于楞大倍的 a b， 那 楞大倍的 a b， 那 我 a b 向量，我知道的，那就是直接就是 那么大， b 那 么大， c 那 么大，那我可以写出这个点，对吧？好，那 a p 就是 p 点减 a 点，那我把 p 点设为 x 的 y 的 z， 可以 吧？那 x 减谁？你看 a p 嘛，那 p 点减 a 点，那 p 点减 a 点，我知道，就是 x 减得，你看 x 减得，那就是 a 那 么大， 没问题吧？ a p 嘛，好， y 减 e 等于 b 篮板， z 减 f 等于 c 篮板。我可以通过这个 p 点减 a 点，我可以得到 a p 向量，那 a p 向量这个我是用 lambdas 表示出来了，对吧？呃，表示出来了，好，我最后把这个 x 一 解，那 p 点的坐标又出来了。你看 x 一 解出来，那 x y z 就是 p 点的坐标吗？那 p p 点坐标也出来了，那 p 点坐标我出来了以后，我虽然带着 lambdas， 但我也是一个 p 点的表示方法，没问题吧？所以我 p 点的这种动点我表示出， 那表示出来了，我可以带进题目信息，比如说他告诉你了什么二面角呀，我可以带进去把这个拉曼解出来，这个就是重点问题，很简单啊，这个没有那么难。后面我们有题，我们可以做让我们看外接球，那外接球半径，我可以通过间隙把所有的顶点 给写出来，然后呢，我可以射球心叫做 o 的 x y z， 然后我知道什么外接球，那就是，呃，如果是这样的一个图形，那意思就是我外接球就是我所有的顶点都在球面上，那球面到圆心的距离都相等， 没问题吧？所以我可以把这个 o a 向量， o b 向量， o c 向量， o 的 向量就是所有顶点和这个 o 的 向量写出来，那他们的模，那他们的模不就是我原先到每个顶点的距离都是我的半径吗？我可以列这样一个式子，叫做 o， a 的 的模等于 o， c 的 模等于 r， 我 可以解出什么 o 点坐标，我可以算出这个 r， 这个 说着比较轻松，但是呢，计算量稍微有点大，那几何法也是可以通过这个外接球来算的，但是呢，啊，这个 不太直，就是，呃，用几何法去看那个外接球，他是不是那么很容易看出来的，所以我们能用间隙的时候，就是能直接用间隙来求外接球的话，嗯，我们用间隙来求，虽然说计算量比较难，但是我们不会花那么多时间在看图上。 如果你要用几何法来去弄这个外接球也好弄，但是需要再补充更多的一些知识，那个就是比较分数比较高的一些人的选择，那我们也可以再把它放在小题里讲，因为小题考外接球是考的真的比较少。那近年的话， 去年的高考题就考了一次吧但是，呃去年高考题也是考在一卷里了二卷基本没考二卷一直都是那个难度一直都是比较常规的题型但是呢我们也会补充，呃这个外接球在大题里如何考因为有这样的一个题我放这了啊所以外接球的话呃结合法的方式可以做但是我不会去大奖特奖在这个大题里那我们呃 在小题里把这个几何法的外接球在那个时候再建好这个几何法这个间隙法的这个计算我稍微讲了一下啊间隙法你发现哦这个计算其实很有套路对吧我只需要什么写这个我只要找出两两垂直的这个情况我可以间隙对吧。间完系我要写这句话写完这句话我要写点坐标写完点坐标我要写向量写完向量 我就开始求法。向量对吧向量就是要写这三句话然后向量哐哐哐一下就算出来了对吧然后二面角我要得设设对吧设然后设好以后可以代公式一下就算出来了你发现哦还真的挺 套路的你发现真的没有难度啊这个没有什么难度的然后线面角也是你设线面角为什么 set 然后呢算 set 代公式一下就出来了。好你要得算出反向量啊然后的这个距离也是你算这个点面距啊或者线面距啊面面距你就设它为的好那的往这一代公式就出来了。好 动点问题的话呃他如果说这样 p 点在某某个直线上运动那我要得写什么向量共线定力对吧。向量共线定力我把它写出来，然后我反解，把 p 点反解出来，然后用 log 表示 p 点，那我用这个动点， 把这个动点我画成了定点，对吧？那我至少我这个 p 点的这个坐标我可以表示出来，那表示出来以后带入题目信息，我截出来，这就很轻松啊。然后外界求半径的话，我就是要弄什么，我把顶点全部写出来，顶点坐标写出来，然后干嘛？射球星坐标 x、 y、 z， 然后通过什么？我球星坐标到球星到 这个顶点的距离就是半径来，我可以列一个等式，把这个 x、 y、 z 给算出来，这个就还是算量稍微有点大，然后别的就很简单，对吧？然后我们看一下几何间隙法证明是什么东西， 因为有些题目他那个第一问题目信息就给的比较全，所以我们直接用几何法来证明。好，我们这个很快就能看完啊。来线面平行，那我如果要得证这个线面平行，那我还能证什么？你看线面平行，我前面是用那个直线外平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行，对吧？ 我还得找平面内那条直线是哪个，对吧？我现在我建好细了以后，直接可以算平面的法向量。法向量不就是垂直于平面的向量吗？如果线面平行呢？意思就是我这条直线和平面平行，则什么？ 这条直线后的法向量就是垂直的？好，所以我只需要正这条向这条直线上的向量和我这个法向量是垂直的，那意思就是我垂直就是点击为零呗，这就完了，我只需要算 a 乘 n 等于零就完了。好，如果是平面与平面平行，那，呃，我两个平面的法向量可以算出来，对吧？那这两个法向量就是平行的。 好，那我要得正，两个法向量平行，那我可以是它的数倍。要做平面向量基本定律嘛，对吧？这个向量和向量平行，他们是数倍关系， m 就是 那么大的 n 嘛。好，然后线面垂直，线面垂直，就是 直线与平面垂直，那这个直线和平面垂直，那他与法向量就是平行的。好，那他与法向量平行，那我可以用 他们是数倍关系吗？这就完了，我只要把这个向量算出来就可以了。一看他是一个两三倍关系啊，三倍关系还是两倍关系，我就证明出来了。这个向量和法向量垂平行，则直线与平面垂直，这不就完了吗？然后我再可以找什么面面垂直， 我还有什么方式？我算出来以后，他如果与我这平面内的两条向量 垂直，那也说明我线面垂直啊，这，这也比较轻松。然后面面垂直，面面垂直的话，就是我两个反向量嘛，对吧？这两个反向量，那面面垂直，我两个反向量也是垂直的，那我只需要这两个反向量垂直，那两个反向量垂直，我只需要把它们算一下点击是不是零就完了。那点击还会算吧？会算啊，会算 x y z 对 应，相乘相加就行了。好，这个就是我的间隙法证明，那间隙法证明明显就 不需要任何的知识点，直接一算就可以了。然后，呃，这个几何法证明要掌握清楚啊，一定要得。注意啊，这个勾股定律一定要得。会用。那个第一本可能会用到勾股定律。好，这就是我这个百日冲刺课立体几何的思路部分。那我们再看题目来练习一下啊。题目练习一下，这个不刷，光讲不练，那就是空本事。我们要得练练题。

高考数学前面的选择填空题会有这个五分到十分的这个立体几何，这个我们是必须要满分拿下来的。这个高考还有这个一百天， 我们是不是过关了？你用这个题目来检测一下自己的立体几何怎么样，掌握的怎么样啊？ 他说一个人长为二的这个正方题， a、 b， c、 d 和 a b， c d， e 点和 f 点是中点啊，分别是 a、 b 和 c， d 中点 点记在 c c 撇上，不含这个 c 撇和 c 的 两个端点。在下面的这个说法正确的是，首先 a 选项 e f g， 他 说这个 e f g 是 一个钝角三角形啊，这个其实你猜都能猜出来它是正确的啊，你猜都能猜出来它是正确的。 这个 a 选项我给大家提供两种解法，第一种解法就是你就如果它是一个钝角三角形的话啊，这个 e f 平方加上一个 f g 的 一个平方，一定是小于 e g 的 个平方。嗯，我们第一个法 e a 选项的法一，你就是直接算，因为它每个边长是二，这两个是中点， e f 是 可以算出来的， f g 也是可以算出来的， e g 也是可以算出来的啊， e g 你 用这个直角三角形可以算出来的，怎么算？你自己去算了，我给大家提供思路啊。 然后你算了以后， e f 的 平方加 f g 的 平方，刚好小于 e g 的 平方，所以 a 选项就是对的，这是法一法二 a 选项。我给大家提供一个向量的这个解法啊，如果我们的扩散 f e 向量和 f g 向量所形成的夹角，如果它小零的这个东西，它等于 f e 向量点成一个 f g 向量，除以一个 f e 的 模， 乘以一个 f g 的 模，对吧？如果这个小零，我们只要这上面小零就 ok 了。 也指示 f e 向量点成一个 f g 向量，看它是正负。 f e 向量，我们做一个转换，它等于一个 f b 向量加上一个 b e 向量，然后再点成一个 f g 向量。 为什么做这个转换？这个转换以后，这个 b e 向量和 f g 向量 b e g 向量和 f g g 向量点乘是等于零的。因为两个垂直 b e 和 f g， b e 向量垂直于这个侧面，所以 b e 向量和这个 f g g 向量点乘以等于零的，所以它只剩下前面这个，它就等于一个 f b 向量 点成一个 f g 向量，后面是零。 f b 向量 f b 向量和 f g 向量，显然这是一个钝角，它是小于零的，这两个向量点成肯定是小于零， 所以我们的这个扩散 f e 向量和 f g 向量就是小于零，所以这里个夹角 就是蹬脚啊。反二是用向量的方法，如果不清楚，同学反复观看一下啊。这个反二，也就是说 a 选项，我们用了两个方法 推出来 a 选项是正确的， b 选项了，这个 b 选项大家一定要仔细听，因为 这个我往网上观看，有个老师讲这个 b 选项，我个人认为他讲错了。嗯，比方这个是讲错的。这个老师他做的图啊，他说延长这个 f， 他 说延长这个 f 和这个 a a 撇教育 n， 然后他说这个面就是 e、 f g 的 一个平面，我个人认为这个是不正确的啊，我个人认为这个是不正确的，懂吧？ 我个，所以他说这个 e f g 的 这个洁面是一个五边形 啊，所以我个人认为它是不正确的，那么正确的方法是什么？我讲给大家听啊，仔细听。所以这个 b 选项很重要啊，这个 e f g 这个洁面，如果我们把它扩大的话，你看好了， e f 和 a c 是 平行的，那么 a c 会和这个 g 和 a a 撇上某个点连接起来是平行的。比方这个点是 a 吧， 我们连接，也就是我们做一条平行线，肯定能做出来，这个是 a， 就我们一定能做出来。 ng 平行于 ef， 平行于 ac， 懂吧？ ng 平行 acac 平行 ef， 因为 ef 是 用周期啊，这样可以做出来，这个做出来以后我们就扩大把 efg 这个平面就扩大成 efg 原音了， 这是可以的吧？这是完全可以的啊。我连接这个，首先我们这么扩大，然后我们再进一步的把它扩大。怎么扩？你看好了，我用蓝颜色的笔，我延长 f g， 他 会和 b 撇 c 撇交与 交于某个点，嗯，然后我们再延长 e a 音，它会和 a 撇 b 撇交于某个点， 然后我们再连接这两个点，嗯，这两个点就是这两个点，它会和这两颗边交相交， 我们连接好这两个点，相交的话，交的这个点，然后加我们是 m， 这个是 m， 这两个点加这个点还是 m， 这个点是 k 吧。 好，然后我们连接剩下的这个 m a 和 k g， 那 所以 m k g m k g f e n 就是 洁面，我这个洁面可以说逻辑最严谨啊。所以正常情况下它是一个六边形， 不是平行四边形。即使你这个 g 点和 cp 点重合，你即使你这两这个点重合了，他才有可能是四边形，但是我们这不包含这个两个端点，所以他永远不可能是四边形，只可能是六边形。 我再讲一遍啊，这个 b 选项很重要，有的老师都讲错了啊，有的老师讲的它的可能的形状是四边形。 ok， 好 了， 然后我们再讲啊，这个 c d 选项，把这个图擦掉啊，我把这个图擦掉是说，所以 b 选项是错的， 他说，即使 c 撇 c 的 终点时， e f、 g 与底面 a b， c d 所成角的正确时，当然你可以间隙 一起几何。我个人的主张，如果你能用几何的方法，就不用间隙啊。 e f、 g 和底面所成的角，我们可以直接把它找出来。怎么找？延长 e f o 延长 e f， 延长这个 e f 啊，我还是借用那个老师的图吧。还是借用那个老师的图， 你看，延长 e f， 懂吧？下面以 c 点做 e f 的 垂线 h， 也就是说这个角是直角，根据三垂线定律，那么 g h 就 一定垂直于 e f。 再讲一遍啊，下面这个 c h 就 垂直于 e f， 也就是 e h， 那 么根据三垂线定律，那么 g h 也一定垂直于 e h。 那 么角 我们要求的正确字就是角 c h g， ok， 也就是这个角就是我们要求的这个 两个平面所形成的角。 e f、 g 和底面所成形成的角，懂吧？我们把它找出来了，找出来了，这个角是啥？它那个 c h g 就 等于， 就等于这个是 c 点，就等于 c g。 除以一个 c h， c g 等于多少，它终点它是等于一， c h 等于多少。很简单啊， 因为这个是中垂线，所以这个角是四十五度，这个是一个等于二直角三角形，这个 c f 是 等于一，所以 c h 是 二分之根号二，所以 c h 是 二分之根号二，所以刚好是等于根号二的，所以 c 选项是正确的。好，所以 c 选项是正确的， ok， 懂了吧？所以 c 选项是正确的， c 选项是正确的。我们再看 d 选项啊， d 选项我给大家提供两种方法去做， ok， 第一种方法就是无脑间隙法啊， 就是当我们如果没有达到一个很高的一个水平，一起几何的话，你就间隙，对吧？你就间隙，你就按照这个方向间隙 这个 z， 这个是 x， 这个是 y， 我 们间隙 这个，他说这个 g 点 e 点 b 点 f 点这个三轮锥，这个三轮锥 是在一个外接球，噢，是在一个，有一个外接球，这个外接球的半径一定是在底面 e、 b、 f 的 外圆的圆心，也就是 ef 的 中点，这个中点往上升，就垂直于这个 这个 ef 的 这个中点就是底面的外接圆的圆心，这个垂线上面加这个外地球的球心 o， 在 这里，懂 𠲎， 这个 o 在 这里， 这个 o 点的坐标 o， 假如下面的外锥圆的圆形，我们 o 一 撇外地球，整个这个三棱锥外地球球形，我们 o， 那 么这个 o 点的坐标 我们可以做出来是二分之三，二分之三是它的高，是 h， 极点的坐标就是零二 h 一 撇 异点的坐标，就这个异点的坐标是二一零， 因为外地球的球形 o e 等于 o g 等于 o f 等于 o b， 对 吧？我们 o e 就 等于 o g， 就 等于外地球的半径，所以 o g 就 等于一个 o e 就 等于一个外地球的半径 r， ok， 我 们平方的话就是 o g 的 平方就等于 o e 的 平方就等于二的平方。 o g 的 平方，我们可以用这个坐标来表示出来，这是二分之三的平方， 加上一个二分之一的平方，加上一个 h 减 h 撇的平方就等于 o 一 的平方， o 一 的平方就是二减二分之三的一个平方，加上二分之一的平方，加上一个 h 的 平方，这两面很容易约掉，这里面 h 平方，这里面 h 平方只有二分之一平方和二分之一的平方约掉了，对吧？ 那最终很容易就弄出来。 h 就 等于一个二， h 一 撇， h 一 撇平方加二就等于二分之 h 一 撇加上一个 h 一 撇分之一。 根据这个均值不等式，它大于二，乘上一个根号下二分之一，也就是根号二， ok， h 带领跟和二，那我们的半径的平方就等于这个。后面这个你看 o 一 的平方就等于二减二分之三的一个平方，加上一个二分之一的平方，加上一个 h 的 平方， ok， 那 它就等于一个二分之一，加上一个 h 平方，它就大于等于二分之一。加上 h 大 于零，根号 h 一 平方就大于零，二就等于二分之五。 那外地球，他说外地球的表面积最小值 s 就 等于四派， i 平方，那就大于等于四派，乘以 i 平方乘一个二分之五就等于十派，所以 d 选项就是对的。第一种方法是间隙啊，无脑间隙， ok， 那 除了间隙，我们是不是还有其他方法？当然有哦，我们还有一种方法，就是 除了间隙，我们可以用几纯几何的方法。这个外接球的球心，你看 o e 的 平方等于 o g 的 平方， o e 的 平方等于 o e 撇的平方加上 o e 的 g 的 平方，我们可以做一个，我们可以做一个这个，我们可以做一个垂直， 大家看不清楚吧？红颜色的笔画一下做一个垂直，做一个垂直以后，你看这个点啊，这样的话，在这个直角三角形当中， o g 的 平方就等于这个平方加上这个的平方，这个加这个，这个点，我们用这个点是用一个，呃，叫什么点？叫 w 吧，这个垂直角 w 的 话，那所以我们用两个勾，五厘米啊，你看 o e 的平方，我们在这里写啊， o e 的平方就等于一个 o o 一撇的平方加上一个这个 e o 一撇的平方。 o o 一撇的平方，也就是 h 的平方加上 e o 一撇的平方。 e o 一撇很简单啊，就是二分之根号二的平方， 也就等于 h 的 平方加上一个二分之一 o e 的 平方就是国际球半径 r 的 平方，所以 r 的 平方就等于 h 平方加上二分之一，对吧？好了。 然后 o e 的 平方，它又等于一个，等于一个 o g 的 平方，就等于这个 o g 的 平方， o g 的 平方就等于 o w 平方加 g w 平方，它就等于一个 o w 平方加上一个 g w 的 平方。 o w g w 是 这个 g 的 个高度， g 的 高度我们加 h 一 撇就是 h 一 撇，减去一个 h 的 平方，就是 g w 的 平方加上 o w 的 平方。看看 o w 平方，下面 o w 平方，这是一个 和下面这一个是一个矩形， o w 和 o 一 撇 c 是 相等的，它就得 o 一 撇 c 的 平方， o 撇 c 的 平方， o 撇 c 是 多少？有的同学 o 撇 c 他 弄不出来啊，你看好了， o 撇 c 怎么弄啊？ o 撇 c 在 这里， o 撇 c， 这里又可以做一个直角三角形，你用这个垂线啊，你用这个 o 撇做这个 e b 的 这个平行线，这里有一个直角三角形，这个直角三角形一个边，这个边 是这个长度的二分之一，这个长度是等于二分之三的啊，自己慢慢想。那所以 v 撇 c 的 平方就等于二分之一的平方， 加上一个二分之三的一个平方。好，大家再仔细想一下，也就等于也就是这个平方等于这个平方，这和我们刚才见 c 的 结果是不是一样啊？ 我们间隙的结果，你看最终的这边和这个是一样的， h 的 平方加二分之一， 我们的我们的这边右边这一坨，它等于 h 的 平方加上一个二分之一，我们左边这一坨和这个东西是一模一样，也就是说 两条道路最终指向了同一个这个终点。剩下我就不讲了，既然他们结果是一样，后来的方法都是一样啊，后来的方法都是一样， ok， 后来的方法都是用均值不等式，都是用一个均值不等式， ok， 懂 𠲎。 所以 如果你分数比分平时都是一百二十五分或者一百二十分左右，把这个把我讲的这个方法仔细看，首先自己按个暂停，看自己能不能做出来啊，尤其是这个 b 选项和 d 选项， a 选项我讲了两种方法， d 选项我也讲了两种方法， ok， 嗯， 这个大家同学们自己仔细的把这个方法好好吸收一下，如果你不看我的这个视频，自己做出来，恭喜你啊，这个高考数学立体几何这一块应该没有什么太大的问题了。

必刷题这么厚，有人刺杀我用它来挡刀都只能捅到目录，所以小王学姐就来带咱们疏通高考必刷题里的重点题型。话不多说，咱们上阵餐！哈 喽呀，小宝们，那今天呢，咱们继续来把这个立体几何这块讲完啊，还剩最后几个考点，那首先今天要讲的第一个考点呢，就是空间角和距离啊，那这一块呢，也是咱们高考啊比较容易 好的一个啊，立体几何的知识点。那来看这道题啊，就是咱们一道高考题，已知正三棱台 a， b， c， a， e， b， c 的 体积为三分之五十二，哎，那 a， b 等于六， a， e， b 等于二折， a， e， a 与咱们平面 a， b， c 所呈角的正弦值为 好。我们要求啊，这条直线，哎，与咱们这个平面底面所成角的正弦值，哎，我是不是只需要我找一条这个垂直于平面 abc 的 直线，然后，哎，给他平移，哎，让他跟这条直线相交啊，他觉得正弦啊，就是咱们这条高比上咱们这条边的长度。 那这道题又告诉了咱们它的一个体积，那很显然啊，我们是不是就可以通过它的一个体积啊，去求出它这个啊，立体几何这个图形的一个高啊，那从而呢，用这两个值相比就行了。那这是一个比较常规的思路啊，除，我已经换在这了，我们来看一下 那题目中说的是啊，这个求正弦值嘛，那我先想到的是，先把 c， b 和 c 一 b 啊，它的中点给它连起来，我假设这是 d 吧，那这是咱们的 d 一， 哎，我们再把 d， d 一 连起来， 哎， a 一 d 一 连起来， a， d 连起来，哎，那我们这边是六，这边是二，那我们 a 一 d 一 的长度是不是就知道了？它是多少呀？是根号三， 那 a d 它的长度是多少呀？哎，是咱们三倍根号三。好，那现在啊，我要通过它的体积把它的高求出来。哎，那我求出来是不是应该就是这样的一条线啊？我过 a e 做这个 a d 的 垂线 啊，那我垂到这个点，我假设这是什么呢？假设它是 m 吧，那过 b 一 啊，也做这个 a d 的 垂线到 n。 好， 那我现在啊，是不是只需要把这个高求出来？那我的 a， e， m 啊，它就等于 d， e， n， 哎，是不是等于咱们的 h 它的高呀？ 对不？那三轮台的体积咱怎么去算？哎，很多同学可能在考场上都记不住啊，都记不住比较麻烦的。咱们三轮台的体积他应该是等于三分之一，哎，乘以什么呢？他的上底加上 下底，再加上根号下上底乘下底面积的一个，呃，乘积，然后再乘以咱们的高。哎，这是咱们三轮台的一个这个 体积公式。那我们接下来呢，只需要什么？只需要把咱们 s 一 s 二求出来，这个边长都知道了，对不对？那最后求出咱们的高。哎，那这里高，它应该是等于三分之四倍根号三的啊，这么去求，求出来以后，哎，高知道了， h 知道了，那我们现在只要把 am 给它求出来就行了。那 am 等于多少呢？ a m 等于多少呢？哎，我们 a d 长度知道了， a m 不知道啊， m n 长度就跟 a， e， d 长度一样嘛，这是根号三，对吧？这一段知道了，那左边这段和右边这段不知道，那我们就假设一个为 x， 一个为多少呢？两倍根号三减 x 啊，那我用什么这两条边相等吗？ 嗨，我用他的这个，呃，直角三角形的一个两边平分和等于斜边的，对不对？那他的高是相等的，我就利用这个等式啊，来给他把这个 x 求出来，那咱们的正切值啊就给他找出来了。那这样做呢，是比较常规的做法啊，大家有没有觉得也比较麻烦呀？ 啊，那我该怎么做呢？哎，如果是小汪学姐做啊，我就不会这么麻烦，哎，当我知道我要求他的高的时候啊，我会想到啊，那三轮台的体积本身就是很难算的，我在考场上，哎，我算这个东西可能就要花费十分钟甚至十五分钟， 对我来说是非常不划算的。那我看到这个三轮台啊，哎，我就想到他既然是正三轮台，哎，那我能不能给他补一下， 哎，补成什么呢？补成咱们的正三轮锥呢？我能不能呢？ 哎，我是可以的，那我就补成这样的一个形式，那我就假设上面这点是屁啊，那我要求，哎他的一个体积，首先啊，我们底下这个三轮台的体积已经知道了，那我们补上这个之后啊，我们的 a 一 b 一， 它是二，那 ab 是 六，那我的这个啊， p a 一， 它是不是比上这个 a 一 a 就 跟咱们的 a 一 b 比上 ab， 它的一个比值是相等的？哎，我写出来啊，念起来有点奇怪，哎，那咱们这条比上这条，它是不是等于这条比上这条， 那他们相比是等于几呢？哎，等于二比六，等于咱们的三分之一啊，也就是说啊，我们上面这个体积比上下面这个部分的体积，他应该是多少呀？是不是应该是一比上三的三次方，哎，他的 v， 哎，上比上 微下就应该是二十七分之一了。那我下面这个部分啊，我就是说相当于整个啊，这个三轮锥，它的体积啊，微锥，它是不是就应该是咱们的三分之五十二，比上咱们的二十七分之二十六呀， 对不对？因为底下这个部分占二十七分之二十六份啊，他占二十六份，上面那个占一份啊，所以咱们这个三柱体积它就等于多少？三分之五十二 乘以二十六分之二十七，哎，那给他约一下哈，这样这个数字是不是就看起来舒服多了呀，没有那么复杂了呀。 啊，那我的三轮锥哎，它的体积是十八，那底下的面积咱也知道哎，它又是等于什么？三分之一 s， 三角形 a， b， c， 哎，乘以咱们的 h， 对 不对？那咱们 h 就 很轻松的就算出来了，哎，这里是多少？ 看一下。咱们底面积是二分之一乘六乘六乘以二分之根号三，三九倍根号三，三分之一乘以九倍根号三乘以 h 等于十八啊，那咱们的 h 多少呢？六除以根号三，两倍根号三，我们 h 就 出来了，应该没算错啊， 咱们 h 是 两倍根号三。好，那我们这个三角形啊，它这个 h 垂下来，它是不是自然而然的这条高啊？它就是垂直于咱们这个底面 abc 的， 且它这个高一定是落在咱们 abc 这个三角形的高线上的 啊。那我接下来想求他的正切，我是不是只要用这条高，哎，我就想这点是 o 啊， p o 比上 a o 就 可以了，那最后求出来也是一这道题的答案，咱们就选一，所以这道题他有两种解法啊，第一种解法呢，其实就 计算量是非常大的，但是可能也是大部分人啊，第一想到的一个解题方法，那第二个呢，也是我之前强调过的割补法，在咱们这个空间几何里啊，用的非常多啊，那这道题用这个割补法就能给你简化一些计算量， 那这是这道题，我们接下来来看一下啊，一个与球有关的这个问题。那与球有关啊，我们经常常考的就是 内切球与外接球啊，那这道题呢，也是一道高考题啊，它考的就是什么？就是咱们的外接球，在正方题 a、 b、 c、 d 与 a、 e、 b、 c、 d、 e、 d、 e 中，哎，咱们 e、 f 分 别为 a、 b、 c、 d、 e 的 终点来画图， a、 b、 c、 d， 哎，上面是 a、 e、 b、 e、 c、 e、 d， e， 好， 那 e 在 这里， ab 的 中点对不对？ c、 e、 d、 e， 哎，在这， f 的 这个在这里啊，那我们的这个 e、 f 给它连起来，哎，你会发现什么呢？哎，发现它这条线一定过什么？一定过咱们这个立体图形的中心，也就是说什么呢？它的圆心啊，因为它是以 e、 f 为直径吗？那它的圆心一定是这个立体几何的中心，那我们来看一下它的直径 e、 f 长度是多少呢？ 这是底边啊，这边是咱们的 a， 哎，我假设它的这个边长为 a 二，那这边是 a 啊，这个 f 往下垂啊，这条边也是 a， 那 我们的 e、 f 它是不是就应该是根号二倍的 a， 哎，那它的半径 r 是 不是就等于二分之根号二 a， 那它的半径是二分之根号二 a， 那 我要看它这个球啊，它的这个球面与该正方体的棱共有几个公共点，我是不是只需要看，哎，我这个圆心啊，到我这个个边，它的一个距离是大于还是等于还是小于，咱们的半径， 我就能判断它有几个公共点了。那我们来看一下啊，这个圆心，我到这个 a 一 d 一， 这边到它的一个距离是多少呢？ 这边是什么？二分之 a， 那 这边是不是也是二分之 a， 哎，那这条边刚好是二分之根号二 a 刚好是他的半径， 那到其他边也是如此啊，你会发现好像他到他的每一条边，每一个人，他的这个长度刚好是等于咱们的半径 r 的， 因此啊，他的轮共有几个公点啊？有十二个，这里不叫他的外接球啊，外接球应该是跟他的顶点 哎，相切的，那这里呢，是跟文相切的啊，所以说这道题咱们答案是十二个公共点， 咱们把这个最后一个考点讲了哈，就是咱们二面角及平面与平面所成角，哎，这个呢，就是咱们高考也是最常考的一个题型，哎，就是考大题了，让你去求它的二面角，那这个呢，咱们一般用什么？哎，你可以用这个几何法，也可以用。哎，咱们的间隙。 那我们来看下这道题啊，也是高考题。那如图，平行四边形 a， b， c， d 中 ab 等于八， cd 等于三， ad 等于五倍，根号三。哎，然后角 a， d， c 的 九十度，哎，这是垂直的，这里是三十度 啊。点 e f 满足 a， e 等于五分之二 a， d， 哎，这项量啊，那 a， f 等于二分之一 a， b 将三角形 a， e f 沿 e f 折叠至 p e f， 得到 p c， 哎，它是等于四倍根号三的， 那以上信息咱们都了解到了哈，那它说要证明 e f 垂直于 pd， 好， 我们这里啊，要证这个 e f 垂直于 pd， 它们是没有相交点的。看到这个，一般要把这个 线线垂直的证明转换成线面垂直，证明咱们先证线面垂直，从而再去证这个线线垂直。好，那我们来看啊，咱们 pd， 哎，它是不是刚好存在于咱们的 fe 这个面上呀？那 pd 刚好和咱们的 fe 有 有交点，那 除了 p d 之外啊，我们不正它垂直这个，那我们是不是就要正啊，这个 e f 垂直于 p e 以及 e f 垂直于 e d 啊？哎，我们先正这两个相交的啊，处在同一平面的这个直线都和咱们这条线垂直，再得出这个 p d 垂直于 e f， 好， 那这个怎么正呢？ 首先大家要想到啊，题目中已经给了咱们这么多每条边的长度这么多角度啊，那我们首先应该想到的是这个垂直，我能不能用它的这个啊，直角三角形三边的一个定律来求它们平方和相加还是等于最长边的平方的，那我们先来看一下行不行哈， 那我想先证，哎， e f 它垂直于 e d， 那 是不是其实就是在证 e f 垂直于 a d 啊，对不对？它们都是同一条线嘛，那我只要证出 e f 垂直 a e， 那 是不是就证出了它垂直于 a d 啊？ 那我来看一下 a e， 它是等于五分之二 a d 的， 那就是多少呀，哎，这条线是应该是两倍根号三吧，那 a f 应该是等于四，角度是三十度，哎，大家有没有发现啊，两边一角，求第三边，哎，咱们用什么呀？用余弦定理来求解。那余弦定理，哎，我写到这啊， e f 的 平方是不是就等于 a f 方加上 a e 方，哎，减去两倍， a f 乘以 a e， 再乘以咱们的 cosine 三十度，哎，那最后等于多少呀？等于二十八减二十四等于四，那咱们 e f 是 不是就等于二呀？ 那这条边等于二，那你来看一下，二二倍刚好三四，哎，是不是刚好是咱们的直角三角形的三边呀？哎，这两边的平方和刚好等于四的平方呀， 对吧？所以说啊，这里就已经证出来了，咱们这个三角形，它是直角三角形哦， a e 它垂直于 e f。 到这一步了啊，有同学就不知道这个另外一条边该怎么正垂直了哈，但是你注意啊，你注意，咱们 p e 是 不是 a e 通过翻折以后得到的， 也就是说，哎，我的 e f 垂直于 a e 的 话，那当 a e 翻折过来的话，我的这个 p e， 它其实也垂直于咱们的 e f 的， 哎，这样呢，就直接得到了，哎，直接得到了咱们这两条交线与 e f 垂直的一个信息，对吧？哎， e f 垂直于这条，哎， e f 又垂直于 a d， 所以 咱们呢， e f 它垂直于平面 p e d， 自然呢，就垂直于这个平面上的一条线啊，就是 p d， 哎，所以说，第一问就得正了哈。 好，我们再来看一下第二问啊，第二问，他说，求平面 p c d 与平面 p b f 所成的二面角。小王学之前就说了，一般来说，你第一要先想到的是间隙，那间隙，那咱们首先要去做的什么呢？找垂直关系。 那刚刚呢，咱们在第一问啊，已经证出了，咱们的 e f， 它垂直于 a， d 的 啊， e f 也垂直于 b， e 的， 它垂直于这两边，那这个点好像是最好间隙的一个点，但是啊，我们现在这个 p e 和 ed 它的一个垂直关系还是未知的，我不知道 是不是垂直，那我想正他垂直，哎，我该怎么正呢？还是那句话啊，这道题他的每个边的长度已经给咱们了，对不？哎，我们第一要想到的是用来直角三角形这个两边的平方和等于第三边。那 e d 长度咱知道啊，三倍根号三哎， pe 的 长度就是 a e 的 长度，两倍根号三。 好，那现在 p d 不知道呀，那我 p d 怎么去求呢？注意啊，注意，咱们的 c， d 是 不是已经告诉咱们了， cd 是 多少呀？ cd 是 三啊，那我的 pc 也告诉咱们了，是四倍根号三 啊。然后上一题呢，咱们又已经证出了这个 e f， 它垂直于 ad， 那 同理，还有 cd 它也垂直于 ad 啊，这个条件咱们还没用上呢。 那这里呢，我们就会发现啊，它们俩都垂直于同一条直线，所以 ef 它是平行于 c d 的， 那我们 ef 垂直于这个平面 p e， d， 我 的 c d， 哎，是不是也垂直于咱们这个平面？ p e， d 啊？那我 c d， 哎，垂直于这个平面，那我 c d， 哎，自然就垂直这个平面上的一条线 p d 了，哎，你会发现，哦，原来咱们的 p c d， 哎，这个角它是直角啊，它是一个直角三角形，哎，那这两边知道了，第三边咱们就求出来了吗？它应该是多少呀？ 我看一下啊，三得九加上十六乘三四十八，那应该是多少呢？他这里是直角，这边是那个四十八减九等于 三十九，哎，所以说这边他应该是根号三十九啊， p d 他 等于根号三十九。好，那我来看一下啊， p d 和和这个 p e， e d， 哎，他们这三边，哎，能不能构成一个直角三角形呢？哎，我会发现啊， p d 方， 哎，好像刚好等于 e 地方加上 p e 方吧，对吧？你把这个数字带进去，它刚好是等于的，所以啊，我们就得到了 p e， 它也是垂直于 d e 的 啊，那正垂直吗？三边两两垂直，那我就直接间系了，哎，原点在 e， 哎，我们来间系，哎，这是咱们 x 轴，这是 y 轴，这是 z 轴啊，那接下来啊，把每个点 坐标给他写出来，然后去求这两个面的法向量，哎，那求法向量之间的夹角，哎，就求出来咱们的这个二面角的正弦值了。这里呢，哎，我们还有一个方法啊，小王旭之前也一直有说的，我们除了啊去设法向量，然后去根据哎他跟每个面的这个数量级等于零，哎来求解的话，我们还有一个方法， 哎，就是你直接，哎把跟这两个面有关的点先标注出来，然后任取两条，哎，就比如说我 p c d 这个面，我就任取两个这条面的向量啊， p f b， 哎，这个面我也任取这个面的两条向量，那我用什么呢？我用糖葫芦法，哎，直接去求解，那比如说啊，我给大家示范一下那各个点的坐标，以及，哎，这个向量我已经给大家求出来了哈， 那你看 p c， p d， 哎，是不是咱们 p c d 这个面上的呀，那我来求求这个面的发向量。哎，先怎么呢？先把各个向量的这个值啊， 来给它默写两遍。那另一个呢？也是啊，默写两遍，这个时候糖葫芦开始了，头尾全去掉。哎，一个圈，两个圈， 三个圈啊，那每个圈呢，你都用什么呢？来用咱们的这个主对角线的乘积减去负对角线的乘积啊， 这样子是主，这样子是负。那第一个圈是多少呢？是零，第二个圈是六倍根号三，第三个圈是九倍根号三。好，那我们的法向量啊，给他约一下，你会发现他们的公共值是多少呀？三倍根号三是吧？那我都约一下，那就变成了零二三。好，咱们这个 p c d， 哎，这个平面的反向量啊，就已经求出来了啊，那同样的，咱们的另一个平面也可以这么去求它的反向量。那最后，哎，这个正弦值，哎，咱们就通过这个反向量的这个角度去求解就行了。啊，那这道题呢，我就不继续往下算了哈，咱们掌握了方法比其他的更重要 啊，我们可以自己去试一下。那这个糖葫芦算法啊，大家也可以熟练应用一下，在考场上是能够节省很多计算时间的。那今天的这个视频就到这里结束啦，我们下期再见，拜拜。

好，今天来讲一下上午刚刚结束的一套试卷，好吧，我们看第五十六题，函数 y 等于 sin 的 这个东西， omega x 加 f， 这个在一个周期内，图像是，这个对不对？好，一个是在负十二分之派，一个在十二分之五派，大家从最高点 去看，最高点 x 是 不是等于负十二分之派？到相邻点什么？ x 等于六分之派，对不对？ x 等于六分之派，它的水平距离是多少？它的水平距离多少？是四分之 t 一个？好， 那么你看那四分之 t 个就等于六分之派，去减掉负十二分之派，对不对？好，这样是不是等于四分之派？那它周期 t 等于多少？周期 t 的 话是不是等于派？好，这样的话，我们再来求这个欧米伽，欧米伽怎么求？我们来求欧米伽，那这样 t 是 等于欧米伽分之 二派的，对吧？欧米伽大于零，那就是说这个欧米伽是等于七分之二派，就等于二派，除以派等于二，好，这样的话，是不是 c 和 d 是 不是就给他排除掉了，对吧？ c， d 给他排除掉了，那我们看往下看，好吧，然后我们 free， 这题我们求 free， 好 吧，那最高点是不是在负十二负十二分之派一之间，对不对？好，带入这个原式，原式在哪？是不是 y 等于 sine 的 带入 y 等于 sine 的 二， x 加这个 f， 好 吧，那就是说 sine 的 二乘上一个负，二乘上一个负的十二分之 pi 加这个 pi 等于一，好，给它化简化解，上面能得到 sine 的 六负六分之 pi 加 pi 就 等于一，那这样我们根据这个正弦函数的这个性质，是不是负六分之 pi 加 pi 等于二分之 pi 加二分之 二 k， 派对不对？好， k 属于这个 z， 对 吧？好，这个 f 的 话解出来是等于多少？是不就是三分之二派加二分二 k 派对不对？结合这个 f 大 于派的取 k 等于零，那么也就得到这个 f 等于多少？ 是不是就等于三分之二派？那这条是不是选 b？ 五十六题选 b， 好， 选吧？好，我们再来看第五十七题，对吧？正方体中点 e、 f 分 别在点上，且 a， e 等于 c， e、 f， 那 是不是这个线对不对？我们画直线，好吧，就这个线，它是要等于这个线的，好吧，我们把它画出来，那是等于三分之一的 aed 的， 那 aed 在 哪？我们来画 aed， aed 一 在这等于三分之一的，这个对不对？好，这个线呢？是不是有了？ 好吧，放这里，好，他说意面。 ef 与 cd 所成的角的正切值，那怎么算？ ef 在 哪？ ef 是 不是这个对不对？ ef 与哪个与 cd， cd 的 呢？ cd 是 不是在这，对吧？ cd 是 不是在这？好，那我们看，那这个我们怎么去给它转换掉？那这个 cd 是 跟这个 ab 是 平行的，对不对？好，我们移到这， 他去求他们俩所乘的角正截值，那 e， e 搁哪呢？ e 是 不是搁这个三等分点，这里对不对？好，这是占一份，这里占多少份？这是不是占 两份？三等分点这里，好，那我们再来一个直线过来，是不是？可不可以？那这个地方是不是跟这个地方是也相等的？这两个是不是相等的？是不是也三等分点？好，那这样我们来看，那这，这是不是构造一个什么？这是不是能够到一个什么？一个三角形的一个面，所以说他 ef 这条线是不是跟这个 c d 平移之后的这条线，对不对？因为它跟它是平行的，所成的角是不是这个角所成？角，是不是？我们来换个颜色比，是不是就是这个角？是不是角 fe， 好， 这里我们取个点 g 吧，好吧， g 是 不是这个角？它的正切值不就 ten 呢？等于 对边去比零边，不就是等于 f g 去比什么 e g， 那 好，这也是三等分点，这也三等分点，这不是三分之一吗？对不对？好，它是不是也是等于 e 中间对边对边这个 e g 就是 这个 f g 这个点 f， 这里看就是 f g 比 e g f g 是 不是能求出来是三分之一的 a d 撇 a d 撇，好，我们来设这个 边长为二吧，好吧，我们来设边长，这边长为二，好不好？是这个线，我们把留着留在这是 这个角，求这个角，这记，好，我们来设这个边长为二，二，这个二二对不对？对，二，好，那这个对角线 a d a d 撇 a d 一， 是不是能求出来？是根号下二的平方加二的平方 二到四四，根号八，对吧？就等于二倍根号二，好， a d 点的二倍根号二，那这个 f g 是 三分之一的 f g 是 等于三分之一的 a d 一， 是不是等于三分之一？乘以二倍根号二，是不是等于三分之二倍根号二，对不对？好， 那这样的话还没有完，这上面的话是三分之二倍根号二，那 e g 怎么去求？ e g 怎么去求？ e g 怎么去求， 对不对？ e g 的 话是不是就等于这个 a b？ 那 a b 等于多少？ a b 是 等于二，好，那不就是三分之二倍，根号二就乘上一个二分之一吗？那二二一约是等于多少？是不是等于三分之根号二？选 b d。 五十八题，若圆锥、圆柱的底面半径都是 r 高是 h， 则它们的侧面积相等，则 r 分 之 h 是 等于多少，对不对？好，那圆锥圆锥来算一下这个圆锥 它的母线长是多少？母线 l 是 等于根号下 r 方加 h 方，那它的测面积 s 圆锥圆锥测好吧，是不就等于 pi l 在 根号下 r 方加 h 方，对不对？好，那这样二 pi r h 是 等于派 r， 根号下 r 方加 h 好， 两边去同时出一个派 r 对 不对？好？是不是就得到了二 h 是 等于根号下 r 方加 h 好。 解方程，我们来解这个方程，这样就得到四 h 同时乘以平方就不等于 r 方加 h 方，那这样一转换一下 r 方去除以 h 方就不对。 记转换一下是 h 方，去除上一个 r 方就等于三分之一。因为 h 平方平方大于零， r 也大于零，所以说 h 除以 r 开开下来根号是不是就是三分之根号三， 对不对？好，三分之根号三，这题选 b 好。 我们来看第五十九题，在平面直角坐标系，这个中双曲线左右焦点分别是 f 一、 f 二，图中画好了 右指向出来点 p， 使角 p f 一 f 二是三十度好，也有了好线段。 p f 一 的垂直平分线，这个是关键。 p f 一 的垂直平分线经过圆点 o， 那 也就是说经过圆点 o， 也就是说 o p 它是等于 o f 一， 这是这一题的关键。这一个是一 从一通过一能推出来 o p 是 等于 o f 一 的，等于 c 好， 又因为这个 o 是 f 一 f 二的中点， f f 二终点，所以说 o p 这个是等于二分之一的 f 一 f 二，因此，对吧？因此这个三角形 p f 一 f 二是什么？直角三角形啊？ t 三角形好，那就是说角 f 一 p f 二是等于九十度的好，那么我们已知什么？已经知道角 p f 一 f 二是等于三十度的，那在三角形 这个 p f 一 f 二中，那这个 p f 二是不是 p f 二，是不是等于 f 一 f 二乘上一个 sine 的 三十度，就是等于二 c 去乘上一个二分之一，是不是等于 c 好？ 那个 p f 一 是不是就等于 f 一 f 二乘上一个扩散引的三十度就等于二 c 乘上一个二分之，根号三，就等于根号三 c 好。 我们根据双曲线定义，那不就是 p f 一 去减 p f 二是不是等于二 a， 那 代入是不是根号三 c， 对 吧？去减 c 是等于二 a， 那 c 提出来是不是根号三减一再等于二 a， 那 离心率 e 的 话是不是等于 a 分 之 c 是 不是等于二？除上一个根号三减一，等于二分？母幺力化一下，根号三， 根号三加一，对吧？下面根号三减一，根号三加一，这样的话是不是等于根号三加一？那这句话是不是选 a 好， 我们再来看这个压轴题，因为对数函数，这个对数函数是单调，这个里面对数函数是多少？ 他这个他对数函数单调递增的，所以说 a 的 话是大于一的，知道吧？因为他题目中给了是单调递增，所以说 a 的 话是大于一好。对数函数过点二零对二零，这个点好，图像看出来的好吧，那代入题目的什么？ log 以 ab 的 二加 b 是 不是等于零？退出来二加 b 等于一，再往后推这个 b 的 话，是不是等于负一？ 好，那我们分析这一次函数 y 等于 a， x 加 b， 已经知道什么，已知这个 a 是 大于一的， b 是 等于负一的，所以说这个一次函数，它的公式就是 y 等于 a， x 减一。好，斜率 a 大 于一，是不是值 他的直线上升的对不对？好，呈直线上升的？好，那每个图像都是直线上升的，没什么问题，是呈直线上升趋势，上升趋势。好，那我们再来看。 好吧，那截距 b 等于负一，那直线与 y 轴对吧？交于什么？交于 o 负一，这个点对不对？好，那当这个 y 等于零的时候， a x 减一是不是等于零？那推出来 x 是 不是等于 a 分 之一？ 好，因为 a 是 大于一的，所以说零小于 a 分 之一小于一，对吧？好，那么来看，直线与 x 轴 交于是不是 a 分 之一？零是不是在零到一之间，对不对？它是在零到一之间的，好吧，好，那我们来对比一下选项选项 c， 它直线是过什么？过零负一这个点的对不对？好，那与 x 轴交于 零，在交于零到一之间的对不对？它与 x 轴与 x 轴，它是交于零到一这个区间内的。好，那也就是说它斜率为正啊，是不是且大于一？那 c 没毛病。好吧，选 c 的 话都是对的？好，我们看 d 选项， d 选项截距是在 零一，对不对？好，不符合 b 等于负一，知道吧？所以说 d 就 错了。好，那第六题选 c， 有 没有同学们是对的？ 好，我们再看这个十一题，十一题，这一题我教给大家是两角和差公式，那我们把圆公式还是写在大家，写在边上。 sine 的 阿尔法加这个贝塔是等于 sine 的 阿尔法， cosine 的 贝塔加 cosine 的 阿尔法， cosine 的 贝塔，那这一题里面阿尔法是不是等于二十七？那这个贝塔是不是等于十八？好，那这样 sine 的 二十七， cosine 的 十八 加 cosine 的 二十七， cosine 的 十八是不是等于 cosine 的 二十七度加十八度是不是等于 cosine 的 四十五度？是不是等于二分之根号二，对不对？好，这题的话是不是二分之根号二？ 好，我们再看这个第十二题，计算将一枚硬币连续泡三次，三次全部正面朝上的概率，那不就是 他有二分之一的概率吗？二分之一，这是一次二分之一，再一次，是不是二分之一，再一次再二分之一，是不是等于八分之一？概率不就八分之一吗？对不对？好，好，我们看第十三题，十三题，这个 tan 的是这个对不对？好，有这个，那我们同时去什么？ 去除以一个扩散引的对不对？好，同时除以扩散引的是不是等于二？ tanne 的 阿尔法加 一，然后这下面的话就是二， tan 的 阿尔法减一，是不是这样的？好，那这样就等于多少？ 二乘以二加一，二乘以二减一，是不是就等于多少？下面的话就是三，上面是五，三分之五，好吧，好，这样的一个题目，第这一题 a b 满足 a b 两个夹角去求 a 减 b， 那 a 减 b， 我 们同时先给他平方，再开根号行不行？ a 减 b 等于这个根号下 a 去减 b 方，好吧？好，是等于根号下 a 方加 b 方减二， a b， 好， 已经知道了。这个这个和这个好，我们往里面带不就完事了吗？那 a b a b 是 不是等于 a 向量的模和 b 向量的模再乘以一个 cosine 的 c 的 是不是等于一乘以二乘以 cosine 的 三分之二派 是不是等于负一？好，负一对不对？好，负一带进这个里面对不对？好，再带进这个式子，就是根号下一的平方去加上二的平方减一，对不对？好，这是一，一减一，没有了，那不二吗？根号二，开出来一 a b 这句话是不是就是二乘以这个负一对二乘以这个负一，对不对？ 好，二乘以负一等于什么？负二，对吧？好吧，负二，然后呢？一的平方加二的平方再去减这个负二，是不是减这个负二，那不就加二，是不是根号下一加四加二是不是等于根号七？那这题是不是根号七？好， 你做对了吗？好，我们看一下下面这一题，在三角形这个里面分别 abc 的 比对吧。真题，你时间真题做的有意义吗？肯定考到了吧？时间真题有这种题对吧？好，我们来看 a， 他 们三个 编的内角和三角形，内角和不是派吗？好，那 a 等于多少？十二分之三派 等于四派，他整整个占十二分之三吗？好， b 是 不是等于十二分之四派等于三分之派？ c 是 不是等于十二分之五派？对，好，那用这个比边比 a， a， 我 们知道 a， 散以 a 等于 b， 散以 b， 对 不对？好， a， 我 们知道，散以 a 也知道，散以 b 也知道，我们是不是就是因为 a 是 等于根号七，对吧？好， 三， a 等于三赢的多少？四分之派是不是等于二分之根号二，那三赢 b 呢？ 三赢 b 的 话是不是等于三赢的？三分之派是等于二分之根号三，那这样的话 b 是 不是就能求出来？ b 的 话就等于 a， 三赢 b 除以三赢 a， 这样就等于根号七，乘上一个二分之 根号三，二分之根号二加上是不是等于根号二十一？去除上一个根号二是不是等于二分之根号四十二，那这条是不是二分之根号四十二？好，然后我们来看这个充分必要条件这一题，因为什么 x 方 x 大 于等于零和 x 方，我跟大家讲了，是不是？昨天晚上是不是给大家讲过 x， 你 是不是相当于也就是压道题了？ 好， x 方是不是真题里面就是真题？往年真题是非常有必要去做的，你们考完是不是发现时间真题还是比较有意义的去做的，他就是围绕真题来的对不对？好，这个他是个大范围， x 可以 说是等于正负 x 的， 对不对？好，所以说他是个大范围，这是小范围，所以说 小能推出大对不对？大推不出小。好，那这样是不是充分不必要条件？好，然后我们再看第二题，第二个，我们先把这个第三个简单的题写完，好吧，咱们再把 抛物线问题我们再放最后去讲，好吧，先把这个集合并 b 对 不对？昨天晚上是不是带大家复习到并 b？ a 中有的加 b 中有的，不就是二三四五六选 d， 这题没毛病。好，然后我们看 第二个，已知抛物线外方等于八 x， 那 这个的话是多少？是不是就是外方，它原式等于二 p x 是 不是？好，那这样的话，它的焦点，这个 f 焦点是不是等于二分之 他二分之二屁，二屁是等于八的，那屁呢？是等于四的，焦点是二分之屁零的，那焦点的话是不是就等于这个二零？好，那准确方程，准确方程 x 是 不是等于负二分之屁也等于负二分之四就等于负二？好，我们设 这个点屁，点屁他是 x 零 y 零，那我们就这也是加班记对不对？昨天晚教大家记得加班记是不是也要必考的一个点？ x 零加二等于十五，那 x 零解出来是等于多少？ x 零解出来是不是等于十三，对不对？ x 零解出来是等于十三，那 x 五就出来了吗？等于十三。好吧， 这是我能拿到了的一些题目，大家可以看一看。对，一对，如果大家这些题目做对，那说明你听少帅的直播是没有什么问题的。我，那我这三个月的辛苦的直播都是有效果的。好吧，祝大家高分上岸，好吧。

啊，各位高中家长同学们啊，这个之前粉丝问我是张老师，你讲讲这个立体几何证明这个东西到底该怎么去学吧。啊，今天张老师给你们把咱们立体几何问题的处理逻辑给大家说一下， 有人说老师那立体几何那么长那么长，咱们不说具体，就你们所谓那些题型啊，咱们就说立体几何证明题的处理问题处理方法，证明题的处理方法，那么证明题的处理方法，咱们首先说我要知道立体几何证明咱们有处理哪些问题，是吧？ 啊？首先一条，一个是证明，一个是计算，咱们先说就说证明，证明的话无非就是什么啊，我的线面的什么垂直啊，平行啊，是不是？对不对？包括什么面？面的平行垂直是不是？ 这是问题，是不是让我证明哪个哪条线垂直于哪个面？是不是？或者证明哪条线平行于哪个面？是不是？我们先从问题出发这个问题，比如说啊， 是要证一个线面垂直问题，你看老师为什么不给你们用具体的举例，就是要告诉你，你们有的时候做题的时候大家做不上，或者说大家慌，就是因为你们杂念太多，你看这里头没有题， 我就直接是摆问题，我问你是不是咱们任何的那个图形，他甭管图形长成什么模样，是不是就这么大概就这么几样，是吧？ 是吧？就是证明线面关系呗，是不是？或者可能这是证明，哎，我证明个一面，证明个两条直线垂直，是不是线线，线面是不是？那再加个线线吧，是不是线线关系是吧？啊？ 我要正线面垂直，正出一个线面垂直之后来首先第一条先定位问题，搞定第二个第二步 上题目里边去定位去，此时我们才去定位去啊，我看了一题，几十题，我告诉你就怎么看，我都不看题，我第一步都压根，我就不看图，我就直接先看问题，你让我正啥？ 正完之后我先脑瓜子里头先反应出来啊？先变垂直，他需要什么东西啊？判定定理，性理是不是那些东西？然后紧接着第二步 上题目里找条件去，我要证明线面垂直，我需要哪些条件？此时干啥？用判定定理是吧？ 确定需要的条件，所需条件 啊，用判定定理确定所需条件 干啥？我这不正线面垂直吗？线面垂直咱们用干啥？我第一步首先是我要干啥？一垂二是吧？一条线垂直于一个面里的两条相交线，是不是？是吧？两条相交线，对吧？ 这就是所谓的判定定律，是吧？我用判定定律，我要确定一个我需要哪些条件， 你看这些这块我都不需要看图是啥？看图或者看条件， 需要看好了啊，我需要的东西。然后第三步它是干啥？去图形和条件中 找所需呗。 先看条件，因为我们比如说我线面垂直，我是俩条件，是吧？俩条件，两个垂直。两个线线垂直吗？是吧？两个线线垂直。我题目条件可能会有一个这个题目，这个有的条件他可能不是直接给你的， 我可能是用啥线面垂直的性质给你的，可能是用固定利率给你的，是吧？我给你一堆边长，让你给我算出直角来，是吧， 对吧？也可能是什么？比如说我是有等边，我三线合一这种东西，有中有终点是吧？有性质，几何性质。反正我能给出一个题目条件，一般的话大概就要有一个这个垂直条件，然后目的就是剩下的干啥？找剩下的找缺的条件 找，然后才是上题目找缺的条件，这时候找缺的条件时候干啥？大家记住了，找缺的条件时候你们要记着换个位。你比如说我现在 我如果给你一个，我证明 p a 垂直于一个平面 abc 就 这个底，一个垂直，就这么一个三中锥是吧？ p a b c 是 吧？我要证明 p a 垂直于 a b c 这一个简单图形，老师举个例子啊，那我现在这个有了，但是我另外一边我现在有一个垂直条件，你不管是我给你边长让你去给我求出来，然后或者是干啥， 另外一个我不知道，那我这时候不知道的时候，你记着，我就说我 pa 垂直于 ac， 我 找不定的时候，这时候干啥？记着要转换条件，我要正 ac 垂直于 pa， ac 垂直于 pa， 我 可以往下推， ac 垂直于 pa 所在的面儿 是吧？我不一定非得去挣个你，我跟 pa 和我，我挣 ac 垂直 pa， 我 有时候我可能挣不出来，就是这这个东西，老师只是举个例子啊，但具体的条件是不是会出现这种情况？那么但是我如果 ac 垂直 pa 所在的面的时候，此时我不一定非得 我非得去纠结于 ac 和 pa 的 垂直，我可以找 pa 所在的另外一个面的，我这个 ac 和其他的另外一个面的，我这个 ac 和其他的两个线段垂直就行了，是不是啊？对不对？ 条件的转化，转换干啥？我把它塞到另外一个面上去， 看见没有？就这种转换思想，然后有的说老师那有的还要做辅助线或者干嘛？做辅助线的原则是干啥？是让我们要找到我们所缺的条件是不是？那我做辅助线的原则是不是也跟这个一样啊？ 我得一点点找去，是不是啊？我要求点面距离，首先我得找点在面上的投影，那么我如果找不到，那就干啥？我找底面的垂面，就 过这个点的垂面就行了，是不是？找垂面，找交线，然后再做垂线，这么出来是不是 听明白了吗？但是前提是你得知道啊，我要做点面，垂点面距离，我要找啊， 点到面，点在面上的投影，也就是说把这过这个点的垂线，那这个垂线怎么去找？有的时候就就只有一个点，底下没有面，那怎么办？我找到这个垂面，找到交线，然后干啥？ 再往交线上做垂线去，是不是啊？有问题一步一步去找，去看见没有？这个路我是 由问题出发，问题需要哪些条件？需要的条件里面题目有哪些缺哪些？缺的东西我怎么去找？我用性质定律去找条件， 看见没有？而且我线面线面的找不着的话，我先找面面，然后再找线面升高为，然后再往低为转， 听明白了吗？就是立体几何是一个纯考逻辑思维的，有时候老师这玩意我们之后之后有那个间隙或者啥的，你们看一下子行，间隙这个东西有时候很无脑，是很无脑，但是间隙的这个东西有的时候 两条，我们高考出题立体几何这块东西需要考察我们的是对几何性质的掌握，直接拿间隙的话，几个几个几何性质这些东西就全都跑掉了，那变成直接考向量计算了，对吧？ 人家就是要让你去干啥？我要去间隙就不让你去间隙就不给你，这个咱们不给你，那个直角坐标系不让你做出来，你看咱们之前头两头两年，你看那个立即有人提是吧？就这样子，他不给你，系， 你没有这种三线垂直，你怎么找啊？你做都做不出来，你，你怎么整？我没有一个，我，我找不到两个垂面， 我找不到这两个互相垂直的面，我，咱找到两个互相垂直的面，我做垂线做，我做垂线是吧？我可以找到这种是不是？ 但是他这种都不给你，就是让你纯干啥？做几何证明你包括做角，包括做线面角，做二面角，怎么样子？我把把这个线面角，我把在立体图上，我线面角咱得是在一个平面上，是不是啊？ 把它转成平面的，把立体转平面，高位转低位是吧？找条件的时候找不着的时候干啥？低位转高位是吧？我线线找不着的时候往线面上找，然后再往 利用线面的性质，再往低位，再往线线上找，看见没有？这就是完整的一个啥。咱们立体几何的一个解析思路，就是大家做事的时候就这样子去做，先从简单题开始做，把性质定律 还有基本的辅助线是吧？我平行的时候干啥？找终点是吧？我垂直的时候干啥？我要先找垂面，是不是啊？对吧？ 就是这些基本的东西一点点往出练啊，一点一点练啊，纯练逻辑思维的。但是这个逻辑思维的路线从哪里起始？直接看问题，然后一步一步干啥？往下去找啊？听懂了吗？啊？

hello， 大家，他说如图，在梯形 a、 b、 c、 d 中，他说梯形 a、 b， c， d， a， b， c， d。 你 看啊， a， b， c、 d， 它是个梯形。好，那 a、 b、 c、 d， 它是个梯形，他说什么？角？ a， b， c， 你 看 a、 b、 c， 它是个九十度， 等一下啊，它是九十度，然后还有什么角？ b， a， d， 角 b， a， d， 它是九十度。哦，它是个。等，它是个直角梯形。 比如说，我可以把它这样画出来，那是什么？这边是 b， 这边是 a， 这边是 d， 这边是 c。 好， 你看，这边是直角，它不就直角题型嘛，对吧？好，他说 a 等于两倍的 b， c， a 等于两倍的 bc， 哦，所以这个边是这个边相等，对吧？ a 等于两倍， b， c 等于二，你看 a 等于二， a 等于二，所以它是一，它也是一，那它也是一。然后呢？呃，这个根号二倍的 ab 等于二，那根号二倍的 ab 等于 ab 呢？就等于 二除以根号二，对吧？上下同乘，根号二等于多少？二分之二倍根号二，对吧？我约掉等于根号二，所以 a、 b 等于根号二，这个会算数吧？好，会算啊。好， a， b 等于根号二。好，会算了。好，算完了。那 e 为 a 的 中点， e 是 a， b 的 中点， e 是 a、 b 的 中点。哦，好， 然后 e、 c 的 中点。好，所以再将把 a、 b、 e， 你 看，把 a、 b、 e 给翻折上去了哦，所以 a 点变成了 p 点。好，翻折过去了啊，所以我翻过去以后呢？这个边和这个边和我原来是一样的吧，所以它也是一，它也是根号二吧？这没问题啊，没问题。好，我要得求证。什么？ p， e、 c， 你 看 p， e， c， o， 这条线 换个笔，你看 p、 e、 c， 哎，这个平面和哪个平面垂直？ a， b， c， d， 哦，那就是底面嘛，对吧？我这条线和底面垂直啊，这条平面和底面垂直，那我要怎么怎么写呢？面面垂直，我只需要正线面垂直，对吧？还记得吧？还记得啊，所以面面垂直，我要得正线面垂直。那线面垂直是哪条线呢？ 大家注意啊。好，我现在它是一根号二，没问题吧？这是一根号二，那现在我只需要找一个垂直于底面的直线， 我要得看一下边长关系啊，现在他说的一根号二，那我这条线是多少？你看啊，我把我把这个里面给换一下，他叫做这个是根号二，这没问题啊。然后 a e， 你 看 a e 这边是 e， 这个 e 点，这是一，然后 bc 也是一，好，这也是一，这也是一，对吧？然后我现在这个垂直，现在他是把 a b e 给翻过去了。那 a b e 的 话，那 b e 是 多长呢？ 我可以通过勾股定律算一下吧。可以啊，一的平方加根号的平方就是二，加一等于三，所以是根号三，所以这个长度是根号三。 好，根号三，那现在我知道这个长度是根号三，那我 e c 等于多少呢？那 e c 就是 和 a b 平行背，它也是根号二呗，所以这个也是根号二， 没问题啊。那 p c 是 多少呢？ p c， 他 说，他说了吗？啊？ p c 等于一，那 p c 是 一，这是 p c 是 一，那 a b 是 根号二， a b 是 根号二， a b 是 根号二，那 p c 是 一。 好，这个是一，那我刚翻折过去之前，你看，翻折过来之前，我原来是把这个 a b 这条平面，你看，我把 a b 翻折过来变成了 p b， 对 吧？那它是变成了根号二，它是变成了一，所以它这个是一，它这个是一，它是个等幺三角形。等幺三角形有什么规则还记得吗？三线合一嘛，对吧？所以它垂直过来。它，是啊， 垂直的，对吧？所以他找到一个终点呢？就是垂直，对吧？所以我可以在这找一个 f 点，做这个 e c 的 终点，就做 f 点，对吧？好， f 点，那他我就可以找到一个垂直，那他就垂直于这条线，这没问题吧？我还得找这个上面的垂线。找到一条垂线，对吧？那我再找，那这条线我还得垂直于这个底面上的另外一条线，那怎么做呢？ 我是不是还要得再找一下？可以啊，那我现在再把这个给拉出来，你看 p f 和这是 f 点，对吧？这是 p 点。好，然后我再跟你看 p f 这条长度，知不知道呢？我可以知道啊，你看我把这个三角形直接拉出来，你看这个下面是根号二，这个就是二分之根号二都没问题啊，这个是一，那这个长度是多少呢？ 可以算出来吧？这个也是二分之根号二。勾股定，你们算一下，可以算出来，然后这个是二分之根号二。那我在下面这个底面，我能不能再找一条？你看他已经垂直于这个底面了，那我再找他垂直于另外底面上另外一条线，那我可以找谁跟他没有连在一起，对吧？那可不可以连一下，把这个 f b 给连在一起？可以连在一起啊，那我再把这个底面再拉一下，比如说你看 我长这个样子，这没问题啊，这是 b 点，这是 c 点，这是 e 点，这是 d 点，这个是 a 点，对吧？然后我把 e c 连在一起，中点叫做 f 点。好，那这又是垂直，那这个是一，那这个是二分之根号二，对吧？那 f b f b 多长呢？会算吗？会算啊，会，会算。这是二分之根号二，这个是一，所以这个长度就是 多少呢？算一下，它是二分之根号六，对吧？平方和嘛，对吧？二分之根号六，我就算出来了，那 b f 是 二分之根号六，我可以在这个三角形里，你看啊，我把这个三角形拉出来，你看， p b， 这是 p， 这个是 f b， 对 吧？那我在这个三角形里面， f b 是 二分之根号六，这没问题啊， p f 是 多长？二分之根号二，然后呢？ p b 多长？ p b 是 根号二，那它符不符合勾股定律？算一下来，四分之六加四分之二等于四分之十，四分之十就是二分之。 那你看，我算一下，二分之根号六，有四分之六加四分之二，四分之二等于四分之八嘛，四分之八就是 呃，根号二嘛，这就对了嘛。好，所以，那我算出来就是根号二嘛，所以它就符合勾股定律，对吧？所以它是直角，所以我就可以得到那 p f 垂直于它，这是我用等腰长形垂直中来的，对吧？然后我再通过勾股定律，我算出来， p f 垂直于它，所以一条直线与平面，呃，底面的两条相交，直线垂直于它，所以一条直线与平面，呃，底面垂直，对吧？线面垂直，那就意味着 哇， p f 又是哪个平面内的？ p b c 平面内的，所以面面垂直。哦， p e c p e c 啊，所以面面垂直，这就弄出来了，对吧？所以这道题在考什么？这道题一直在让我们用什么？用勾股定律，对吧？所以咱要好会用啊。所以我们写一下过程啊，这个过程就是就这么写就可以了。首先我刚是怎么想的？这想法， 我把它全部，那不用擦掉啊。首先我是知道这个 a d b c 根号二倍的 ab， 对 吧？好，所以我在这里画这个。把它们拎出来是干嘛？你看我为什么会拎出来？你为什么不会拎出来？我们要得有一点点这个。嗯，这种做题的，这种交流。呃，我可以把图拎出来，你能不能把这个图拎出来画呢？所以我，我们要学会把图拎出来画啊。呃，因为什么？ 你看啊。呃，我刚第一个图画的是哪个？第一个图画的是他，对吧？嗯，我，我通过这个画图，我是原来知道他是根号二，对吧？他是一，我翻折过去哪个地方没变，你看翻折后我是不是要写一个这样的画，因为我翻折了嘛，我翻折后性质不变，对吧？ 要得写这句话啊，所以哪个边变成哪个边了？我翻的谁？我是把 a e b 翻过去，对吧？ a b e 翻过去了。好， a b e 翻过去了，所以 ab 等于谁？ pb， 对 吧？它就等于根号二，这没问题啊。然后 a e 等于 pe 等于一，对吧？这没问题吧？好，没有问题。然后在三角形 a b、 e 中， 它是，呃，直角三角形，对吧？所以我们写个 r t 也行， r t 三角形 a、 b、 e 中，我就可以得到什么 b e， 就 可以通过勾股定根号三，对吧？就不用写那么多字。好，我只要写一个这样的字就行了。好， b e， 我 算出来了，那 b e 是 根号三，那没问题啊，那 b、 e 是 根号三，那我到哪个三角形去了？好，我可以开始往我这个要正的这个三角形去，对吧？ e c 我 知道了，然后 e p 我 知道吗？ e p 我 只知道 e p 是 怎么算出来等于一的，还记得吗？那我是因为我知道 p c， 对 吧？那 p c 是 等于一的吧？好， p c 又是一的吧？你看 p c 等于一，你看 p e 又等于一，所以三角形什么 p p 谁？ p e c 为等幺三角形呢？ 好，这可以写出来吧，所以我找出来它是等幺三角形了，所以我可以做什么？做 e c 中点为 f， 对 吧？然后连谁呢？连 p f 啊？ p f， p f 和谁呢？我要得写 f b， 对 吧？好，连 p f 和 f b。 现在我要得把这个三角形拎出来看了，对吧？那 p f b 里面我知道谁呢？我知道它和它都等于一，然后中间又是那个中位线，对吧？所以下面我是被分为了什么？分为了这个二分之根号二，对吧？好，所以 三角形 p 什么？ f c 中，我可以得到 p c 等于多少？ p p f 等于多少 p f 我 可以算出来等于二分之根号二，对吧？这没问题，我可以算出来二分之根号二，没问题吧？二分之根号二算出来了，然后我在哪里看？我在这里看，对吧？在三角形，你看这都是直角三角形吧？二 t 三角形， 你看在 r t 直角三角形，哪个三角形中？ b f c 中，对吧？你看 b f c 中，我通过这个一二分之根号二，我可以算出来什么 b f 等于二分之根号六，这没问题吧？所以最后在三角形哪个中？ p e p f c， 对 吧？ p f c 中，我可以发现什么 p f 的 平方加上 f b 的 平方等于 p b 的 平方，所以什么？ p f 垂直于 f b？ 你 看等腰三角形，我还可以写出什么 p e c 是 等腰三角形，所以什么 p f 垂直于什么 ec， 对 吧？你看我一条垂直，两条垂直，我两条垂直出来了，对吧？我还要得写什么？你看 p f 垂直于 e c， p f 垂直于 f b， 对 吧？那 e c 和 f b， 那 e c， 你 看 e c 在 f c 这，对吧？ e c 和 f b 交于 e c 交 f b 于 f 点，对吧？你看一条直线与平面内的两条相交直线吗？ e c， 你 看和 f b 都属于面，哪个平面内 a b c 的 吗？ 所以谁谁垂直于谁？ p f p f， 对 吧？ p f 垂直于平面， a 比 c 得好，线面垂直正出来了，对吧？那线面垂直正出来，我要得求面面垂直，我还得写什么？因为 p f 属于平面，哪个平面？ p e c， 对 吧？所以什么面 p e c 垂直于面 abc 的， 这就是我的证明思路。所以大家会做证明了吗？会了吧，你看我通过什么？我通过勾股定律，搁这一点一点的来，我就可以把这个呃给证明出来，这没问题啊，所以我把证明思路放这里， 可以吧？好，那证明我们会了，那我们看一下第二文如何去求证这个角，你看我把它拎出来，所以你要得画，你也得会画这样的图，你也得会有这样的一个思路，所以大家得会做这样的方式 就行了。那我们再看一下第二个的思路啊，那这个证明会了吧？好，会了啊，那我们再看证明。呃，第二个，他说 p b c 与平面 p d c 的 夹角的余弦值，那我就稍微把图擦一擦， 干嘛了？是不是要证明？呃，不，我们要得写这个余弦值，对吧？那我要得怎么解析来看一下来，我现在刚刚找到了一条垂，呃，我发现它是一个等腰梯形，对吧？它也是垂直，它也是垂直，对吧？好，那我找到垂直了，那我要得正 p b c， 你 看 p 点 b 点 p 点 c 点 b 点，对吧？然后 p 点 c 点和的点，我在哪间隙比较好，能看出来吗？我是不是在这里间隙会更好？你看，这是个垂直，这是个垂直，可以吧？嗯，我就能见系吧这完全可以啊，那我就能见系了。好，那见系就这样见，那哪个是 x， 哪个是 y， 还记得吗？ 有 x 指向 y 吗？对吧？这是 x， 这是 y， 好， 那我见好系了，那我就要得写清楚这句话，对吧？是吗？那你看第二个，我要写哪句话？以 c 为圆点，对吧？ 然后 c b 向量为 x 轴，然后 c e 向量为 y 轴，然后 c， 呃，对到垂直于 e b c 的 直线见 z 轴 z 轴。好，如图，你把如图写好，这东西它就能理解好，这就弄好了，对吧？我还要写哪些点？你看啊，我是要写 p 点坐标， b 点坐标， c 点坐标就没有了，对吧？我只需要写四个点坐标来，能不能写出来？ p 点坐标可不可以写出来？ p 点坐标不太好写，对吧？我往后写嘛，我先写 b 点坐标。那 b 点坐标我是不是知道 c b c b 是 多少，还记得吗？你看啊， c b 是 一，对吧，可以吧？然后呢？ ec 是 多少？ ec 是 根号二嘛，对吧？然后这个 p， 这个 pc p c， 它是什么？那个等腰三角形，它在这个平面内，对吧？所以，而且我又知道 p f 又垂直于这个底面，对吧？所以我知道这个 p p 点，它的这个终点是按这个终点来走的嘛，对吧？我刚是按 f 来算的嘛，对吧？还记得啊，所以这个我能找到这个 p 点坐标，这个也可以找到啊。 b 点坐标是 x 为一，对吧？然后 y 为零，对吧？一 b 点坐标是一到零到零， 这个问题啊， c 点坐标， c 点坐标，是啊，你看我 e d， e， d 是 多少一，对吧。然后 d 点坐标是先往哪走？先往外轴走， 走到一，再往负向的 x 走一，对吧？来，先往 x 负向，负向 x 一， 那是负一嘛，对吧？然后 y 轴走到 e， e 是 多长呢？ e 是 e， c 是 多长？根号二，对吧？那是根号二，然后，呃，零，对吧？他在没有，在这轴有分量。 ok， 好， 这个我就表示好了。那表示好了，我再把 p 点算出来，那 p 点是我向 x 轴走多少？ 走根号二，对吧？你看我在外周有没有，我在 x 轴有没有， x 轴没有，对吧？零，然后走二分之根号二，对吧？然后这周这周我要走多少？我刚算了 f， 它 p 等于根号二吗？这个我刚算过，是二分之根号二，对吧？好，所以它是二分之根号二。那不知道在哪看这啊？看这好， 所以 pbc 的 我就能都能写出来，对吧？然后我要得写什么？ pbc 和 pbc 的 发向量，对吧？那我要得写 pbc， 那 就是什么射面？ pbc 的 发向量 为 n 等于 x 到 y 到 z， 对 吧？还要得写什么 p b 向量，对吧？然后 p b， c， 你 看啊，我 c 点在这个这三个点里面，那我最好用什么？你看我 c 点是圆点，对吧？零零零，我 谁减谁最好，方便，那是 b 减 c 更方便， b 减 c 更方便。那就直接写 c p 向量。 c b 向量就是 p 点坐标嘛。零到二分之根号二到二分之根号二嘛，这个很好写，对吧？ c b 向量， c b 向量，我再写下，一到零，对吧？就很清楚吧？好，我还要得写个什么话来， c b 向量点成 n， 对 吧？就很清楚吧？好，我还要得写个什么话来， c b 向量点成 n 等于零， 我要干嘛了？我要开始求反向了，对吧？来， n 直接写，等于。来，我求住 x， 挡住 x， 它乘它，你看根二根二分之根号二乘零，再减零乘二分之根号二，那就是零嘛，对吧？来，求外挡外，那就是零乘零等于零，再减一乘根号二分之根号二，再取负，对吧？那就是二分之根号二。本来是负的二分之根号二，我要得在外的取个负，对吧？那我要得求 z 来，那零乘零，再减 一乘二，二分之二就是负的二分之二， n 向量我就算出来了，那 n 向量算出来了，我要干嘛了？我要得算另外一个法向量，对吧？好，另外一个法向量，我现在把 p、 b、 c 都算出来了，对吧？我还要得算 p， d， c， 对 吧？那也有 c， 那 也有 c， 那 怎么办？我也好写，对吧？设面 p d， c 的 法向量 为 m， 等于 x 到 y 到 c， 好 弄，对吧？来， p 到 c， 那 c 作为圆点，那就是 c p， 然后 c、 d， 对 吧？这个好写的哈。零到二分之根号二到二分之根号二，然后 c， d， c、 d 向量的话，就写来负一到根号二到零，对吧？得点坐标。好，我还得再默写什么 c， p 点成 m 等于零， c， d 点成 m 等于零。所以 那大家这边我可以开始就不说怎么做了，你们自己做一下。那这边我们可以看到这个向量还可以化简，对吧？我们可以同时除以根号二，我就得到了根号二到一到负一，对吧？所以最后我们再开始求两个向量的夹角，那就是口算 e c， 它就等于口算 e m n， 对 吧？好，所以我们就一解就行了。 等于默写公式。来， m 点乘 n 比上 m 的 模，嗯，点成 n 的 模，对吧？来，你不会的话直接写正的。好， m 点乘 n， 那 m 点乘 n 来算一下，零乘以根号二，零，对吧？一乘以二分之根号二，二分之根号二，对吧？然后在这个点，这个点也能化简，对吧？这个化简一下等于多少？等于东乘以二 就没有了，对吧？然后再同除以根号二，那就是零到一到负一嘛，这也能化解啊？然后我们再除以一，然后再加上负一，乘负一还是一，对吧？加一比上谁？ m 的 魔， n 的 魔， n 的 魔，等于根号下，他加他等于根号二嘛， 对吧？然后再乘以他是根号下二加一加一等于二三四，根号四等于二嘛，对吧？就是乘二就是一，加一等于二，就是二分之根号二，算出来了，那余弦值等于二分之根号二。那我最后算出来了吗？那直接就是答案，余弦值就是他。最后答一下， 什么来面 p b c 于面什么 p d c 的 夹角等于弦值为二分之根号。那这题就拿满分了，多少分？十七分，你说值不值？很值，对吧？好，我们把它整理一下，我把它整理在，我们拿这个满分吧。应该可以啊。 好，所以拿这个满分容易吧？很容易啊，这个，嗯，立体几何就这么做的，所以我们觉得慢，其实不是很慢啊，很容易啊这个，嗯，立体几何就这么做的，所以教大家要多做点题。 我们看一下这道题，他说如图，在四棱锥 p a， b， c， d 中底面 a， b， c， d， 它是一个平行四边形。哦，给了平行四边形的意思就是下面就可以是平行的，对吧？就是我有平行的这样一个关系。然后他说什么 a、 d 垂直于 b d， 他 说 a、 d 垂直于 b、 d， 哦，这样先垂直 好，垂直好，然后他说 p a， p a 等于 p 得等于 a 得，哦，有 p a 等于 p o， p a 等于一，然后 p 得等于一，所以这个 a d 也等于一，然后 b、 d 也等于一，然后 f 是 哪个点？ f 是 中点 a， 所以 这个是二分之一 a， 二分之一。嗯，好，重标一下啊， 好，二分之一，二分之一。好，标好了，那我们再看。他说 p b 等于根号二，那 p b 等于根号二 o， 这是根号二。 好，那现在知道这些条件了。他说点 f 为零， p 的 中点 f 是 p 的 中点。好，这没问题。他说 af 垂直于，我要得证明什么？我要得证明 af 垂直于 bp， oh， af 要垂直于 bp oh， 这条线。看啊，我要正，这条线和 这条线垂直。感觉好像我们学过一些证明。你看我们的，我们学过线面平行，嗯，然后面面平行，线面垂直，面面垂直，对吧？但是我们学过线线这种类型吗？ 哎，我们发现好像，呃，不好正啊，对吧？但是我们正过什么？我们正过线面垂直，对吧？那如果我们线面垂直的话，我们就能证明线就是一条直线和平面垂直，那这条直线和平面的所有直线垂直吗？那我如果能正出来线面垂直也挺好的，对吧？这样的朋友也能做，所以 那我就要得想办法找能不能往线面垂直往上走。可以啊，我们这个思路可以搞一下，然后我们看一下这些那么多三角形，然后给那么多边长，那我大概率要用 勾股定力，对吧？好，来，首先给了这个一一，哎，你看啊，这个 a 的 b， a 的 b， 这个三角形它给了一一，所以我这个 ab， 然后它又这个又是个直角，你看这又是个直角，那 ab 等于多少呢？ ab 等于根号二，对吧？好，它等于根号二，然后呢？ pba。 哦， pba 这个是根号二，根号二一，所以它又是等幺三角形，然后这样可以看到啊。呃，好像没用，那我们放着吧，然后 还能怎么看？然后我这边知道了，这边是一，这边是一，然后这是二分之一，还有呢？你看啊， af， 那 af 我 就知道呢，你看 p a 的 这个三角形，它是什么？你看 p a 的 这个三角形， p a 的 这个三角形，你发现这边是一，这边是一，这边是一。哦，他是一个等边三角形，可以吧？好，等边三角形，所以我又引了他的中线，这个点是 a f 点，对吧？所以他是一个垂线，没问题吧？三线合一嘛。对，好，所以这边是二分之一，这边是二分之一，这个没有任何问题，所以他这个垂直我可以找到。哎，我可以找到，是吗？ 这个 af 和 p 的 垂直，嗯，那 af 要和 pb 要垂直的话，我要怎么弄？那我是不是要找 af 和这个平面垂直？哎，也行啊，可以，那我要怎么找到第二条线呢？那我再找一下啊。你看，我找到第一条垂直，那我再看一下与它相交的另一条直线，能不能找到一个垂直？你看在这个三角形里， 我发现它好像不好找，那我再看看边长，这边是一，然后这边是二分之一，然后这边是根号二。哎，你在这个三角形我看啊，我把这个 p， 我把的放这 b， 放这屁，放这屁的 b。 可能黄色，有点黄眼啊，黄颜色。我们把这个屁的 b 给拎出来，我们看一下。屁的 b， 我 们拎出来。他这个是根号二，那这个是一，然后这也是一。哦，我发现这是个垂直， 这我也没问题，所以我发现 o p 得 b， 那 这个角是垂直的，这，这没问题吧？好，所以，所以我在这里还能再怎么看，这是个垂直。那 f 点在这， f 点在这啊， f 点在这，然后这长度是一，所以这是二分之一。好，那我可以把这条线给算出来吧。这条线怎么算？这是二分之一一，那算出来等于二分之根号五吗？对吧？二分之根号五。 所以 p f 不 就等于二分之根号五，那这条长度是二分之根号五。好，那我在最后一看。哎，这条线长度，知道了，你看这，我用荧光笔看一下。你看我这条线长度，我知道。这条线长度，我知道。这条线长度我也知道。我是不是可以带一下勾股定律尝试一下？可以啊，所以我试一下。那我把这个三角形又拎出来， 你看这个点是 a， 这个点是 b， 这个点是 f。 哎，你发现这个哪个点来着？ f b， 对 吧？ f， b 是 二分之根号五，刚算，对吧？然后 ab 等于根号二，然后呢？ a f 等于 ab 等于多少？我们看一下。 ab 等于 啊，在这里看啊，二分之一一，那就是二分之根号三嘛，对吧？二分之根号三。好，那我们看一下它是符不符合勾股定律？来，稍微算一下，等于四分之三加四分之五开，根号等于四分之八，四分之八等于根号二。 哦，可以，所以他符合勾股定律。这是个直角哦，那就挣完了。那就是 a f 垂直于 f b， 那 a f 垂直于 f b 啊，我用荧光笔你看， a f 刚刚是三线合一，垂直于 p d， 然后 a f 又垂直于 f b， 所以呢， a f 垂直于这个底面的所有直线，所以 a f 垂直于 p b。 哎，利润挣完很轻松啊。所以我们梳理一下这个过程。 所以这种证明题，其实呢，就是你不断的画三角形，哎，大致画着画着哦，你可能就证明出来了。这个，嗯，你要说，呃，有没有一个通用的方法呢？这是找不出来的，但是我们可以发现这些方法基本都是源于什么。源于，我这样耐心去做题，慢慢去读题，然后我一点点拆解这个图形，我就能找到规律，对吧？好 在，首先我第一个长方形画的是哪个？是它，对吧？你要得，一定要记住你的顺序啊，这是我第一个长方形，在三角形那个 a p 的 中，对吧？呃，这个，呃，我可以直接说什么，呃，看啊，它上面是 pa 给了，然后 p 的 给了， a 的 也给了。好，直接就写了。那我们直接写它叫 因为三角形 a p 的是等边三角形， 所以什么 a f 垂直于 p 的， 没问题吧？并且什么 a f 等于二分之根号三。好，然后这是我第一个图形找到的规律，然后我再看我第二个画的图，我第二个画的图是这个图形。那在三角形什么 p 的 b 中会怎么样？我是不是可以找到 这个 p b？ 那 p 的 我知道的吧？你看我 p 的， p 的 我知道的，然后 p b 我 也是知道的，然后，呃，得 b 我 也是知道的，对吧？所以在三角形中，那它也是个直角三角形，写个 r t， 在 直角三角形中我就可以有什么 f b， 我 可以算出来等于二分之根号 五嘛，对吧？好，哎， b 我 可以算出来。好，那最后我们在三角形哪个中 a f b 中，它有什么规律啊？你看 af 的 平方加上 b f 的 平方等于 ab 的 平方，所以谁垂直谁 af 垂直于 bf， 这不就完了吗？好，那 a f 垂直于 b f， 然后还有哪个垂直 a f 垂直于 p 的， 所以呢？那 p 的 和 b f 交于哪个点啊？你看 p 的 p 的 和 b f 交于 f 点，对吧？好， f 点。你看，三句话写出来了，而且还有写什么 p 的 和 b f 都属于哪个平面？你看 p 的 和 b f 都属于平面 p 的 b， 对 吧？面 p 的 b， 所以 谁垂直谁？ a f 垂直于平面 p 的 b， 所以呢？ af 垂直平面 p 的 b， 所以 它垂直于平面内的所有直线。那这条直线包包含 b p 呢？那 b p 在 不在这条直线上，在，对吧？ b p 属于面 p 的 b， 对 吧？所以 af 垂直于 b p。 哎，证明完毕，这就结束了，很轻松吧？很轻松啊。好，所以我们的思路就是这样来，我们就很快很快就结束。 那我们在求什么？二面角 a p 的 c 好。 呃，你有可能会看不懂这个，这个是什么意思啊？呃，这个我们要得，怎么看？你要得这样看，你看我断句的时候我就有三个，三个一个断，你看 a p 的 可以吧？然后 p 的 c， 可以 吧？来， a p 的是一个平面， p 的 c 是 一个平面，就这意思。好，那 a p 的 这个平面，你看 a p 的 这个平面，这个平面 和 p 得 c 这个平面， p 得 c 这个平面。哦的二面角可以，求出来吧。可以啊。好，那我要怎么间系呢？有间系方法吗？我们知道这是个等边三角形，而且下面已经是垂直，那怎么弄？那我就按着这个垂直建呗。那我就比较好建。哦， 那我就按这个垂直直接间系，然后你看这个一个箭头，然后再来一个箭头， 可以吧？好，我这样解析，那我，嗯，我这样解析，好，对吧？那我要得写清楚哪个是 x 轴，哪个是 y 轴，哪个是 z 轴，可以吧？我知道这个是 z 轴，没问题吧？我大拇这个右手右手螺旋一下，从哪指向哪？ 从 x 指向 y， 对 吧？这就是 x， 这是 y。 好， 我们标好那标好箭头。来，我们开始写点坐标，写二面角 a p 得 c 的 正弦值，那 a 点知道 d 点知道 p 点也好，求 c 点也好做，对吧？好，那这个题要不要写一遍？写一遍啊，以什么的为圆点？ 嗯的， a 向量为 x 轴的， b 向量为外轴，然后垂啊，直于的面的 a， b 为 z 轴，渐线 如图。哎，你要写如图啊，你这个箭头是要画到图上去的。好，记好了，那记好 c 了，那怎么我要写点坐标，先写点坐标， a 点， b 点， a 点坐标，对吧？然后的 p 点坐标坐标和 c 点坐标，对吧？好， a 点坐标是哪？ x 是 一到零到零，对吧？ p 点坐标， p 点坐标是。 你看 p 点是向 x 的 二分之一，然后就是往上走，对吧？往上走多少高度呢？是不是二分之根号三，对吧？二分之一，二分之根号三。哎，不对不对不对，来， y 有 没有， y 是 没有，对吧？ y 是 零，然后二分之根号三，对吧？来，会求的。来，看过来， 这这这，这，不会啊，来看，这个是，这是中点，对吧？这是中位线，这是二分之一，来，这个高度是多少？这边是一，这边是二分之一，所以这边是二分之根号三嘛，对吧？所以你别不会求啊，你会求来得点坐标原点嘛？零零零零， c 点坐标， c 点坐标来，会不会求？你看啊， c 点坐标，它是什么？你看这条线，你看 a 的 这条线和 b、 c 这条线，它是相互平行的，都没问题吧？所以啊， 那我往 a 的 方向走，是往 x 的 正方向走，那往 b 的 b， b、 c 方向走，就是往 x 的 负方向，对吧？而且它下面是平行四边形，那我 a 就是 向 x 走，走一，那我往 c 走，那就是向 x 走，走负一呗。好，那 x， 那 c 的 话呢？ c 的 话是哪？ c 的 话是 x， 就是 负一，对吧？然后 y 呢？ y 式啊，我是不是还要走到这个 b， 我 才能往这拐，对吧？那 b 的 话是一嘛？然后零嘛，对吧？平面内好， a p c 得，我就出来了，然后我要得写 a p 得，对吧？ a p 得向量， a p 得平面，那就像写什么面， a p， 我 得设法向，对吧？设面 a p 得的法向量为， 嗯，等于 x 的 y 的 z。 来，我先看一眼啊，哪个是 a p 的 向量？ a p 的， 你发现 a p 的 这个平面全部都在哪个轴上？来？我，我是这样间接的写，没问题吧？这是 z 轴，这是 x 轴，然后 a p 的 就在这个面上，这没问题吧？那我要得求它的法向量，我要不要去算呢？我应该不用算吧。我 z 轴，你看我 y 轴是不是就垂直于它？垂直于这整个平面， 没问题吧？所以啊，我这个法向量就不用，不用不用，不用使了，不用使了。所以啊，嗯，怎么写啊？我们就直接这样写，由图可知。 呃，面 a p 的 的法向量为，你看我是外周，对吧？那外周我有一个量就可以了。那这个 n 我 就在外面取个一就行了，零到一零就完了，你看，这是代表外周，对吧？好，这是法向量。说好了，那我们再算另外一个向量，那设什么？第二个向量叫做哪一个向量？ p 的 c 吧，设面 p 的 c 的 法向量 为 m， 对 吧？好，等于 x 的 外的 c 的 好， p 的 c 的 平面 p 的 c， 这个平面，哦，好像不规整，对吧？那我们就要得算好。那 p 的 c 我 们有没有圆点在里面有对吧的点，写向量会更好写，对吧？好，那就是的屁。然后的 c 来得 p 向量写一下，得 p 向量就是 p 点坐标二分之一到零到二分之根号三，然后得 c 向量写一下负一到一到零，对吧？好，我要得求 m 了，对吧？呃，求 m， 我 们还要写一个过程，叫什么要写得。呃，得 p 点乘以 m 等于零，对吧？然后得 c 点乘以 m 等于零，对吧？ 好，我们要写好这些话，对吧？然后最后写 m 直接写，对吧？ m 来求 x 乘 x 零乘零减一乘二倍二分之三，那就负的二分之根号三，对吧？来求外导外二分之一乘零，再乘一减，那负一再乘二分之三，就是减个。呃，就它乘它减，它乘它就是 正的二分之三嘛。然后我再取负嘛。就是负的二分之根号三，对吧？外取负来求 z 挡 z， 然后二分之一乘一，然后乘零嘛，对吧？又是二分之一。好，我发现哦，我可以约掉一个二，约掉一个二分之一，对吧？然后负号我有两个月比较多嘛。那我就弄个少一点的。那我这边都带一个正的负号，可以吧。这边是根号三逗，根号三逗一来负一 可以吧。我这样化解没有问题吧？我可以这样化解好。那化解好了，两个法向量算出来了。那我最后要得写什么二面角的正弦值？我要得设什么二面角的平面角。嗯，设哪二面角呢？好，还要写一下 设二面角，抄一下 a 杠 p c a 杠 p d a 杠 p d 杠 c 的 平面角为 c， 它可以吧？然后我要写考算 c， 它对吧？考算 m 和 n 的 角，没问题啊。等于 m 点乘 n 的 模，乘 n 的 模没问题吧？好， m 点乘 n 来算一下 m 点乘零就是零乘以根号三来这边这边这边来零乘高三没有吧？一乘高三。那上面就是个根号三，没问题吧。下面 m 的 幺， m 的 幺就是它的幺，那它的幺就是根号三平方三，对吧？三加三等于六，六加一等于七，对吧？根号七，然后再乘以这个根号一，对吧。那是一嘛？好，那这是我的 cosine 值。那我先不要化简它，然后我要算 cosine 它， 那算一 c， 它等于根号下一减口算一方 c 它，对吧？记好公式好，带进去，等于根号下谁减谁一减去七分之三就是七分之七，减七分之三等于七分之四嘛，对吧？然后最后就是七分之四开根号就是七分之二倍根号七嘛，这不就做完了。所以二面角的正弦指数就算出来了，最后打一下， 嗯，最后怎么答？八面角角，这个 a 杠 p 的 杠 c 的 正弦值为什么七分之二倍更好，七，这就完了。好，所以我们通过这道题，我们知道了什么？我们可以。呃，我们可以要通过这道题，我们发现就是你如果把这些模板背会了，没有难题啊，没有难题，好，这个就全部套模板就可以了，对吧？这样的题完全就很轻松。 别看我写的大位置，你打卡就写这么多，你看我写的多，对吧？你看我写的不多吧。好，所以，呃，我们练过程中就就把这个答题方式就先练完了，就是做法， 所以立体几何的时候是会马上，对吗？这道题他说四棱锥 p 杠 abc 的， 它的底面边长为二的菱形，哦，它是菱形，下面是个菱形，我们一般就会想到什么，你看下面边长是二，那菱形我们一般都想到的是四个边都相等，对吧？还有对角线相连，就是垂直，对吧？好，把对角线连上，所以想到菱形，我们就连对角线。好，我把对角线连起来。好，它垂直。好，它垂直。嗯， 好，那现在我垂直了，那现在菱形也完了。那现在他说了什么？没有了，对吧？他又说了个角 abc 为三分之派，三分之派多少度？六十度，对吧？这个实在不行啊，你如果不会，这个多少派，多少分之派是多少？你把派到一百八十度来，除以三，那也是六十度，好。嗯，小插曲，好，那角 abc 就是 六十度，这个角是六十度。哦，好了，那我就把它先拉出来，我给你看一眼。啊。来，这个菱形 啊，大概就这么画一下。好，这菱形就叫 abc 的 好， abc 的 好，然后我对角线互相垂直，嗯，垂直好， 它是边长为二，又是六十度，对吧？六十度的，等。你看这个这边，你看 a、 b、 c， 它是一个等边三角形，对吧？那它又是六十六度等边三角形，对吧？所以有的 a、 c 也是二，那中间又会平分，所以是一，一，对吧？好，那我这又是个角平分线，就是它三线合一嘛，也是角平分线，所以它是三十三十度的角，三角形就是一，二，刚好三，对吧？所以这个边是刚好三，这也是刚好三， 这就完了，所以这个，这个是根号三。哎，这个是根号三，这个是一。好，我该标的长度标完了。那他他给我说了个 pa 等于 pc 啊， pa 等于 pc。 哦，这个三角形，你看 pa 和 pc 相等，都等于根号二，根号二，然后呢？ acac 是 多少？ ac 是 二，对吧？中间有一个点啊，这个是二，好， 哎，这又是等幺三角形，等幺三角形又有一个三线合一嘛，对吧？好，那现在我要给证明什么？证明 ac 垂直于 p 得，你看 ac 在 哪？ ac 在 下面， ac 要垂直于 p 得， 看着好远，对吧？那这么老远的线，我要怎么去证明呢？是不是也要得用一些很多知识点？你看 a c 和 p p 的 啊，很远。那我们的连接点在哪？我发现连接点在这，这个平面是连接点哎， 如果能正出来，如果能正出一个垂直，你看我要得正，他和他垂直，要么我先正线面垂直，我就能正出这个，这条线和这条线垂直，对吧？要么我就通过各种勾股定律，我算出来它有垂直关系就可以了。那但是这种意面的它又不在同一个方形里， 那我就不能用那拼音法，用个固定来做，对吧？好，那我再想别的办法，那我刚看到了，我刚分析到了这个三角形，对吧？这个三角形，我刚说的等腰三角形，对吧？那中点，那我们把中点设为一个值，叫做 o 吧，对吧？叫 o 点， 好，那这样的话，我甚至都连了这个 o， 那 我要得使得这个，你看 a c 和 p 的 有点关系，那是不是把 o p 给连起来，这样我就有关系了，对吧？好，首先我 a c 是 不是和 p o 垂直，对吧？这是我这个三线合一得来的吗？ a c 和 p o 垂直，嗯，然后呢？还有关系吗？ 你看 ac 还要跟屁的要有关系的话，那我这个 ac 要如何去搭上这个屁的呢？有没有办法 啊？我现在目前看不出来，对吧？好，那我把这个，嗯 b， 你 看 bpo， 你 发现我在这里面有一个 bpo， 对 吧？那我把 bpo 这个三角形，可不可以把它给分析一下？那我稍微分析一下这个 bpo， 啊，好，因为我感觉就直觉来了啊，好，那 bpo 这三角形，那 bpo 我 知道的，它是根号三，然后呢？ bpo 我 不知道多长，然后呢？ bp b p 我 也不知道多长，那先放着那 p o 的 话，哎，其实我知道 p o 多长，从哪知道？我从这个等腰三角形可以看出来啊？这边，这边，对吧？这边是根号二，你看这边又是一，这边又是一，那我直角三角形，所以它也是一嘛，所以我 p o 也等于一啊，对吧？一根号三。那 b p b p 我 知道吗？哎， b p 不知道，对吧？那 b p 就 放着吧。那 b p 我 不清楚多长。 那，那没有办法，那这条感觉这种感觉没有了。那现在我要如何去证明这个 p 的 和这个 a c 垂直呢？你看 a c 和 p 的 垂直，你看 e 面垂直嘛，对吧？我能找到它的平行线，比如说，呃，它的平行线是哪个呢？你看 p 的， 我们仔细看一下啊。哎，这条 a c， 我 发现啊，我发现了，你看 a c 和这个 p 的 要垂直，但是我现在找到了 a c 和 p o 垂直。 哎，那我可以正什么 a c 和 p o d 这个平面垂直线面垂直嘛。好，那我只需要正什么 a c 和 o d 垂直啊，这不就直接出来了吗？菱形对角线垂直嘛，这不就完了。好，因为什么 a b c d 为菱形，对吧？ 所以这个，嗯， a c 垂直于 b 的， 好。嗯，取 b 的 交 a c 于 o 点，好，这样就行了。好，所以 o o o 的 垂直于 o 的 垂直于 a c， 好， 这样行了， o 的 垂直于 a c， 好， 然后再你看啊，再 三角形 p a c 中我是不是存在等腰三角形 p a c 等于 p c， 所以 三角形 p a c 为等腰等腰三角形， 哎，所以它会怎么样？我这个 p o 垂直于 a c， 这就完了。看 a c 和的 o o 的 垂直， a c 又和 p o 垂直。那我还在写一个什么 p o 和 o 的 交于 o 的 交于 o 点，然后 p o 属于面， 什么屁 o 得，然后这个 o 的 屁，那我觉得 o 的 和屁屁 o 都属于平面，那你看平面内的两条相交直线，一条直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直，对吧？所以 a c 垂直于面 屁 o 得，那这样的话，我只我要得证什么屁得，是吧？好，那屁得是不是在这个平面内呢？在，对吧？在平面屁 o 得中，所以 a c 垂直于屁得就结束了。好，这就是证明方法。这个证明应该比较轻松吧，大家可以很清楚的题还是比较好做啊， 所以大家要有点信心，这个刷题是可以提分的。 好，把这个放这。好，那我们再看第二本，第二本的话，它，它给了什么？ p b 和 p 的 所成的余弦值，对吧？好， 那我要得开始第二个开始解析了，对吧？那现在我在菱形这里，我是唯一知道什么，唯一知道对角线垂直，那我现在不知道第三个垂直条件在哪里，对吧？第三个垂直条件我不知道在哪。他给了若 p b 和 p d 所得的余弦值为，这个你看 p b 告诉了 p d 啊，这两个的余弦值告诉了，然后呢？ p b 小 于 p d， 所以 p 点还是个动点。好，那我要求直线 c d c 得与平面 p b c， p b c c 得与 p b c 组成的角一致。哦，那我要开始剪辑了，对吧？好，那我剪一下。嗯，我想要这样剪好，然后这个为 我可不可以这样剪辑，可以，对吧？好，那我们标一下吧，这个是 z 轴，然后哪个是 x 轴，哪个是 y 轴？有 x 弯向 y， 对 吧？这是 x， 这个是 y。 好， 我们要写清楚， e o 为圆点， 这个 o b 向量为 x 轴， o c 向量为 y 轴， o 垂直于面 a、 b c 的 为 z 轴间隙 不涂好，写好了，对吧？那写好了，我们就可以开始点坐标，我要得，求什么？你看，我要得，先表示这个 p 点，对吧？我要先表示 p 点，因为 p 点它在动，对吧？那我先把这个 p b， p d 这个关系里面，我是不是可以算出来这个 p 点坐标的？你看 p b 和 p d 所成的相值为三分之高三，那我是不是可以通过列这个 p d 和 p d 这个向量所得角等于三分之高三，可以算出 p 点坐标的，可以吧？好， 现在 p 点我不知道什么情况，那我把 b 点和得点先写出来，得点，得点，它是负的，根号三到零到零，对吧？然后 b 点它是在根号三到零到零，根号三到零，零到零。好， p 点它在哪？它是不是在 x 轴和？你看 x 轴和 z 轴这个位置的平面内，就是，它不在外轴，它外轴的分量为零，对吧？那我直接写零，然后，但是我不知道 x 和 z， 对 吧？那我就果断说 a 和 b 就 完全可以吧？ 好，那这里面呢？ a 肯定是要怎么样？你看 a 是 什么？ x 的 分量，那我这个在图里面表示出来的 x， 它明显就是在 a 是 x 它上面，它绝对是正的，那 a 肯定是大圆的，那 b 呢？ b 是 我 z 轴上的分量，对吧？ z 轴上的分量，我发现明显在上面，对吧？那肯定 b 也是大圆的，那好吧，那我们告诉了 p b 和 p d 所得的均值，那 p d， p d 是 吧？那就可以写 p b 相等，对吧？ p b 相等，等于根号三减 a， 对 吧？然后零到负 b， 对啊，对吧？然后 p 的 向量，那 p 的 向量就是负的，根号三减 a 到零到负 b， 好， 然后 p 和 p 的 作成一个向量，和 p 的 向量所形成的夹角，等于看他们是不是 p b 向量变成 p 的 向量，然后再比上 p b 的 模，乘 p 的 模。你看我备注那个公式，我就能直接开始用，对吧？ p b 乘 p d 就是 对应相乘嘛，那它就是平方差嘛？对，平方差 p d 乘 p d， 你 看对应相乘 交叉一下，这个乘以一在一起就是三，再减，你看，嗯，这边是负 a 加高三，负 a 减高三就是负 a 的 平方是 a 方，然后再减高三，平方就是三嘛，对吧？这是什么答案。然后再乘零加起来零，对吧？然后再加上 b 方，上面算吗？下面，下面的话是模嘛？个子模，根号下这个会算吗？根号三减 a 的 平方就是三减二倍，根号三 a， 然后再加 a 方，对吧？ 这是？然后再加上 b 方，都没问题吧？然后再乘根号下谁乘谁，那就是负的高三，那负的高三也是三，加上二倍，根号三 a 加 a 方，然后再加 b 方，对吧？这是我的分。那两个毛也算出来了，平方也有了，对吧？好，然后我还有一个什么条件，你看 p p 点，他这边是还有一个叫做 p c， 对 吧？我可以把 c 点表示一下，你看 c 点是多少？零到一到零，对吧？零到一到零。好，那我通过 p c， 我是 可以把 p c 的 长度表示一下，你看 p c 向量就是 c 减 p， 那 就是负 a 到一到 b 负 b， 好， 那我得算它的膜，也就是它长度，你看 p c 的 膜等于多少？等于根号二。 p c 的 膜哪根号二，那就等于它的平方呢？根号下 a 方加一，再加 b 方， 对吧？这是我的答案吗？那我可以两边平方和两边平方可以得到 a 和 b 关系呢？ a 和 b 关系就是 a 方加 b 方等于。来，我剪头减一，那是 a 方加 b 方等于一，我同样是关系。哎，我下面还有什么关系啊？我上面下面是也有 a 方加 b 方加 b 方，对吧？ 对对，对吧。 a 方加地方，所以可以把 a 方加地方全部换成一嘛，对吧？好，那口算引，口算引，这个这东西它等于乘到 a 方加地方等于一减三，等于负二，对吧？然后比上这大坨，这大坨的话就 a 方加地方是一，一加三等于四减二倍根号三 a 开根号，对吧？然后再乘根号下四加二倍根号三 a 啊，会算吗？这会算了吧，来，两个相乘成在一起的也平方差，对吧？四乘四六，四平方十六再减它的平方，对吧？ a 方，然后这是三乘三，对吧？二得四四三十六，十六，对不对？四三十二， 对吧？好，这个然后再开根号，这就是我的呃，分母，然后分之二，他要等于多少呢？来，我直接打个对折吧，可以吧。然后三，你知他等于多少？他说余弦等于三分之三，三分之三。那 我通过这个式子我可不可以解出来呢？完全可以吧。来，这个下面的话可以提个数叫做十六，我提出去等于十六，提四出去二倍根号下四再减去十二，提了个四出去，等于三分之根号。三两边同时平分开掉两边开方的话，那三倍根号就刚好三分之一，刚好三分之一，那四减三， a 方等于 a 方，我这么一算，等于三分之一，那 a 就 等于三分之根号三 解出来 a， a 等于三分之三，所以这块内容在草稿纸自己算，对吧？要会算把自己算出来就擦掉了啊。会算吧。好，我刚算了一遍， a 等于三分之三解得，你看他要得等于多少？我刚等于三分之根号三，所以 a 最后等于三分之根号三，对吧？这是我刚解的过程，你刚不会不会解的，刚自己看表。然后我 a 又算出来了。 a 算完以后， p 点坐标是不是重新可以写出来了？所以 p 点坐标就是三分之根号三到零到 b， b 是 多少？ 那 b 方等于一减一方，一减一方就是一减去三分之三的平方三分之三平方多少张？根号三分之一，三分之二，三分之二开根号就是三分之刚好六，三分之刚好六，那 b 是 不是这个答案对吧？我把 b 算出来应该没问题吧？看一下， 对，没问题啊，那 p 点我算对了，那 p 点的值我就知道了。那我 p 点的值我就知道了。那我最后得干嘛？我得求直线线面角线面角线面角算出来叫做正弦值，对吧？然后最后求余弦值，对，就稍微复杂一些。那下面的话我得写什么？ c 的 向量，对吧？看啊， c 的 向量要写一下。 c 的 向量是？嗯， d 减 c 就是 负的根号三，负一到零嘛。然后 p b c p b c 的 话， p b c 三个点 p b c， 嗯，我可以写 p b， 我可以写 c， p b 好 像可以写吧。那 p b 向量， p b 向量就是多少呢？三分之二倍，根号三到零到负的三分之根号六，对吧？然后我还可以写个 c b 嘛。 c b 向量，那就等于这个算出来是根号三到负一到零嘛，对吧？好，通过这两个向量，我可以算出这个 m， 对 吧？然后你该有套路，你要有一下叫设面 p b， c 的 反向量 为 n 等于 x， y， z， 对 吧？然后然后写一个 p b 乘 n 等于零， p a c b 乘以 n 等于零，然后你把 n 一 写，那这个过程就不写了啊，你顺着我那个做法做，还没有化解速度是刚好六到三倍，刚好二到二倍，刚好三，然后你把它化解一下，化解不了，那就这答案，那刚好六到三倍，刚好二到二倍，刚好三。那这个 n 我 算出来了。 n 算出来以后呢？来算一只。那我还可以算出来这个射什么？射 c 的 与面 p b c 的 所乘角 v c， 它，对吧？然后我算的是三 c， 它就是等于扣三也。什么扣三也 c 的 和 n 的 向量值，对吧？然后再对值，那最后这个扣三值我也不也算了啊，算出来等于，嗯，算出来，最后化简是二分之根号二。大家踊跃的下去算一下。然后算出来，我要算最后余弦值，扣三等于根号下减一减去余方 c， 它，对吧？那这算出来就等于二分之二，等于二分之二。 好，所以我最后的左算角的余弦值就是二分之二。最后答一下就行了。这题就比较轻松啊，这题就结束了，就是这题的步骤稍微有点多，但是他也没有轻松啊，这题就结束了，就是这题的步骤稍微有点多。但是我放这好， 大家回去算一下啊。这边我忽略了几个知识点呢。忽略了几个销量啊，比如说这个，嗯，等算的，然后还有这个口算值等算的对，可能如果销量薄，算能力弱的话，你就必须得好好算一下啊。这个到底怎么来的，你自己来一遍。所以答题卡呈现出答题卡最后呈现出这样一个效果，这就差不多了，不需要把你所有的算数都放上去。好， 他说三棱台 a b c a b a b c e， 他 中，他说 a e b a e a e a 等于 a e a 等于 b， c 等于二。哦，这个是二，这个是二。好， 然后 b b 一， b b 一， 它是根号二，这个是根号二。好， a， c e a， c e 啊，这个和 b c e 一 样长。看啊，这条线和这条线一样长啊，这个很容易能想到，这是个等腰三角形，对吧？好，等腰三角形，然后我们要最终成这个正什么呢？ ab， 你 看 ab 和 bc 垂直， 所以我们不知道这是垂直，我们要得正态垂直。好，那我们能看到那个垂直条件，你能，目前很快就能写出来的话，你赶紧写上。因为什么？ a， c， e， 你 看啊，我再写点， 因为 a c e， 它等于 b c e， 所以 三角形。 a， c e， b 为等腰三角形， 所以你看啊，我取 a b 中点为啊， a b c 的 吧。好，这个点叫的，然后连 c e 的 来，我把 c e 的 连在一起，我就会有什么 c， e 的 垂直于 a b。 好， 这是我得到的一个条件。好， 那我现在有了这样一个条件了，然后我又知道什么其他的都不清楚，对，我都不清楚的情况下，我现在还有一个乘比例嘛，对吧？我，我还有乘比例。 那首先啊，我们这个台体肯定是一个横切的，原来是一个三棱锥，我横切了以后，它是个台体，所以上上底面的各种边长和下底面的各个边长，它们的边长对应成比啊。那我们可以得到，你发现这个 a 一 c 一 a， 我 发现它和什么和我的这个 a 的 相等， 这，这没问题吧？好，哎，哎，肯定不一样，好，看错了啊，我们这个 a 一 b 一 a 一 b 是 一嘛，对吧？ a 一 b 一， 它和我的这个 a 的 相等都等于一，而且又它又平行，你看 a 一 b 一， 它平行于 a 的， 所以啊，在这里我们能，我们能干嘛？我们能把它给画一个平行四边形，可以吧？我把这个 b、 e、 d， 你 看我把这个 c、 e、 d 和 b e、 d 连在一起，把 b、 e、 d 连在一起，那我可以说什么？你看平行且相等，所以四边形 a 一 b 一 a 的 为平行四边形。嗯，好，那平行四边形了，那我刚有一个垂体条件，对吧？那平行四边形，那意思就说 a 一 a 就 平行于得，呃， b b 一 得，嗯，我觉得这个条件， 哦，然后我有这个条件了，那我可以看一下，现在这里面是不是有三个边长关系，我发现这个 b 一 的和 b 这三角形 b 一 得 b 中是不是？嗯，你看我这三角形，我再稍微换一下， 它这边是 b 一， 这边是得，然后这是 b， 那 b 的 它是一，然后得 b 也是一，这边是根号二，那我们可以看出它就符合勾股定律，对吧？嗯，这个 b 一 得的平方加得 b b 的 方，然后等于 b b 一 平方，所以这个 b 的 它就垂直于的 b 嘛。好，那我就有一个垂直关系，那有了垂直关系，然后我们还有第二条垂直关系，你看这条垂直关系，我刚刚还有哪条垂直关系来着？ c 得一，看 c 得一，嗯， c 一 得和 ab， 那 我 ab 已经垂直两条交线了，那 我把这个相交给写清楚， c 一 的和我这个 b 的 相交于点的，哎，然后 c 一 的和 b 的 它都属于面 b 的 c e， 所以 直线 ab， 它就垂直于面 ab 的 c e， 对吧？现在我也就找到了直线和平面垂直 b 的 c 一， 所以 a b 就 垂直于 b c 对 b c b c 在 哪？你看 b c 啊，然后我还有一个这个关系啊，然后这个 b e c e 属于面 b 的 c e。 看看啊， b 一 得一， c 一 b 一 得一 c 啊，得 b b 得得得 b， 然后 b b 一 得一啊，这样就对了，这样就对了，这个 b 一 都都得带 b 一 啊，都得带 b 一。 好，那，那这个问题就结束了。然后，嗯，我们就可以说这个 ab 它就垂直于 b 一 c 一， 对吧？ b 一 c 一， 然后又因为这个 b 一 c 一， 它又平行于 bc， 那 平行的话，那我就可以得到 ab 就 垂直于 bc。 好， 这就证明完毕了。这个，这个证明应该比较轻松，大家都能掌握。 看一下第二问，那第二问的话，他这个就是我就可以开始解析了嘛，他说什么 a b a b， 然后 b e a e， 哦，这个前面这个平面和底面是垂直的，都可以开始解析，他说求平面的二面角的正弦值啊，这个就还是很常规方法嘛，对吧？怎么建这个系呢？ 大家想一下，你看前底面和底面垂直，那现在我刚我第一问又正出来，这个 a b 和 b c 垂直，那我就顺着这个垂直解析呗，可以吧？好， 这是第一条垂直来，第二条垂直，是不是这样？我们第三条垂直，我可以垂直于这里，这样写可以吧？我就这样建吧。那这样建，然后 x， y， z 标好，这个是 z 来，我右手来挪曲，从哪挪到哪，从 x 转到 y， 对 吧？ x 转到 y， 右手右手，好，这个建好。系了，那我就可以开始写了，对吧？拿掉了。以 b 为圆点， 这个 b， c 向量为 x 轴， b， a 一 向量为 y 轴，垂直于 a， b， c 为 z 轴间隙如图。好，这就写好了，然后开始点坐标，全部都写完，求这面来，求这面到二角，那这平面的话，我这边三点，这边三点，我们挑空点来， c， c， c， c 一 到这面， 那我们就不要把所有点坐标都写上啊，我们把这个只需要写关键点， c c 一， c， c 一， 这是我写的必须要写的两个点， c， c 一， 对吧，然后还要写哪个点呢？你看我第一平面它是有 b 和 b、 e， 然后第二个平面它是有 a 和 a、 e， 我们要写哪些比较方便呢？你看我这个里面要是不要写个 b， 那 b 一 写不写？不用了，我这三个就够了吧。 b， b 还是一个圆点，我还动什么脑？然后 a 和 a 一， 我要挑哪个？那我就挑个 a 嘛，就完了，这就是我写的四个点，不用多写了啊，就这么多。来， c 点坐标，我们看啊， c 点坐标，它是在 x 轴上走二，二到零到零，对吧？ c 点坐标来， c 点坐标不好写，是吧？ c 点坐标就不好写。 呃，那 c 点坐标呢？那你先放会啊，那我们再看这个 b 点坐标， b 点坐标是零零零，然后 a 点坐标是这个零二零，然后 c 一， 再看 c 一 啊，你看 c 一， 我从这里观看我从这里观看啊， c 一， 它是在 y 轴上运动了一对吧，然后在 x 轴上又运动了一，所以我们大概这么想，它应该是一到一到这个高度，这个高度是多少呢？啊？这高度还得稍微算一下， 对吧？啊，不用算，这高度还是一对吧？这是整个高度还是一啊？这个也好写嘛。 c 一 点左边就是一逗，一逗一好写完了。如果呢？你这个 c 实在写不出来怎么办？那你可不可以把 b 一 挑出来写上，可以吧？然后我把 b 一 挑出来写上，对吧？ c 两个平面都不写 c 一 的话，好写吗？这， 嗯，要么你就写这个情况，要么你就不写 c 一， 你把 a 一 和 b 一 给写上去，嗯，都好做啊，都好做。然后前三个平面，前三个是一个平面，然后前两个和最后一个也是平面，对吧？那我就要开始求两个平面的发向量，好，设面， c， c， e b 为。嗯，设面，它的反向量为 n 等于 x y， z， 然后，嗯，这个完了。 c， c， e b， 对 吧？然后我就把 b 当圆点， b c 向量， b， c， e 向量， b， c 向量是二到零都零，然后 b， c， e 向量就是一到一到一，然后 b c 点成 n 等于零，然后 b， c， e 点成 n 等于零啊， 减 n 等于来求 x 倒 y 乘一，再减乘一零，对吧？然后求 y 倒 y， 然后乘一，再减零二嘛，然后加负二，然后加负二，然后，然后最后一划减，就是零，负一到一就是反量，然后我们再算第二个反向量，对吧？第二个反向量它是啥？ a， c， c， 你 看， a c a c c c e a e a e 也不，也不平等，那，那我就设面 这个 a， c， c e 反向量为 m 等于 x y z 那 好，那我就设面这个 a， c， c， e 一 反向量为 m 等于 x y z， 好， 那我就设面这个， a， c， c， c， e 一 反向量为 m， 等于二到负，二到零，然后 a， c， e 一 向量， 嗯， a c 一 向量，那就是一到负，一到一，然后，呃，也同样， a c 乘 m 等于零， a c 一 乘以 m 等于零，所以 m 就 等于这个数。来，你们自己算一遍。我直接写了啊，等于负二，负二零，然后 可以化简，它就是一到一到零。你应该这样算，算的啊，然后你可以化简出来，然后你要干嘛了？求两个平面的二面角，对吧？那我就要得设 a c， c， e b 与面 a， c， c， e 形成角为 c， 它，然后呢？口算 c， 它等于口算圆角。 m 和 n 的 夹角就是 m 乘以 n 比上 m 的 魔，再乘 n 的 魔，大家就这么一算，这应该会算数啊，零乘它，零乘它就是一嘛，对吧？然后比上，上面的魔是根号二，上下面的魔就是根号二，等于二分之一嘛，我算出来二分之一，然后最后我得算什么正弦值呢？ c， c， 它等于根号下一减口三一方 c， 它等于二分之二，所以算出来了，最后打一下就行了。 打一下，好，那这题就结束了吧。他说如图，在四棱台， a， b， c 得 a， b， c 得 e， b， c 得 e， d 得 e， d 得 e， d， 所以 算出来了。然后中，他说下，里面是二的正方形，下面是二 对二，二二好，然后侧棱这个得得一，长得得得，然后与底面垂直。哦，这是垂直。然后他又说，正方形，哎，很好，间隙没问题啊。然后他又说，得得得等于一，然后得一， c 也等于一。我们要知道啊，侧棱台，我们，我们一般来说，我们是把这个锥体，比如说像这样的锥体， 这样，这样一切我们怎么切的啊？你要看清楚。哎，我是如果是平行的底面切的，我们才能叫台体，对吧？好，所以我们平行的底面切的，所以呢，我们这边长会和底面成比例，好，他，我们这边长会和底面成比例。好，他，我们这边长会和底面成比例。他说是这条线 一 b， 好， 我要平行于哪个？ a c 得一， a c 得一。好，这条平面，那么你看这是个线面平行吧。我，首先这个最后的结论叫线面平行，我们可以按结论往回走来。 b， 嗯， 用个黑色笔，你看，我的结论叫做 b b 一 平行于平面， a c 得一，对吧？我为了要推出线面平行，我要写什么？我要写平面外一条直线与平面内一条平行线平行，对吧？然后，嗯，它要平行于平面内一不属于面 a c 得一，对吧？然后，嗯，它要平行于平面内条直线，那内条直线是哪个呢？ 对吧？我要得搞清楚，所以我要得找辅助线。好，我们看一下。哎，在这里如果能找到跟他差不多平行的线，哎，我找一下，哦，大概好像是这条，可以吧。那这条，那这条具体是哪条呢？好，我大概看一下。啊，你看的一 b 这条对角线连起来了，那我是不是把下面对角线也连起来，哎，连起来，你看，连起来以后，下对角线和上对角线绝对是平行的，这没问题吧？因为这是台体嘛，对吧？好，所以我可以干嘛？这边有做个图。呃，做 这个的 b 连接啊，你可以写连接的 b， 好， 我们写连得 b 交啊。 好，交于 a 交 a， c 交 a b c 的 e 版啊，这是 e 点，可以吧？好， e 点，坐标 e。 好， 那现在我是不是要干嘛连的 e e， 那 我在这里看出来，大致看着好像是平行四边形，对吧？好，我只要证明它是一个平行四边形，我就能证明完毕，对吧？这就是就当平行了，对吧？好，那我再看一看，它上面这个 d e b， 有 没有条件啊？有，对吧？你看 d e b， 它是我上面这个正方形的，对吧？上面的正方形它是变成唯一的嘛，对吧？嗯，好，所以 d e b， 呃，得一比一，你看啊，得一比一，它等于多少呢？一，一根号二嘛，对吧？只有根号二。好，我在下底，我是不是也可以算一下来得 b 等于多少？得 b 等于。我们算一下，下面也是正方形，是二倍根号二，二倍根号二，而且这个 e 点又是中点，对吧？ e 为，你看。呃，这个得 b 中点，所以这个得 e， 它等于根号二 啊。也可以说我们，我们数的，我们求的不是得 e 啊，我们要求 e b 嘛。 e， 那 这条线是根号二，而且又平行，那意思就是你看，所以我把这块往下放一放。啊，这块往下放一放。好， 我现在有了个相等，对吧？你看这个相等吧，然后平行且相等，就是平行四边形，对吧？好，又因为这个得一 b 一， 平行于这个 e b 平行且相等，所以什么四边形？ 这个得一 b 一 b e 为平行四边形，好吧，所以什么得一 e 平行于 b e b， 那 就完了。好，那平面外一条直线与平面内一条直线平行，那平面内那个哪条是内的？得一 e 吗？对吧？得一 e 属于平面 a c 得 e。 好， 这不就证明完毕了吗？对吧？这个很好证明吧。 不要说不会啊，这你也没见到过比这还简单的题目，我们如何解析呢？你看我，我这第一问，第一问做完直接就可以解析了啊。来，我发现哦，这又是个垂直，那怎么建？哎，这样建呗，可以吧。哎，这个建的非常好。 嗯，好，哪个是 x， 哪个是 y， 哪个是 c， 可以 可以，秒出吧。来。这是 z 轴，对吧？这是 x 轴，这是 y 轴，对吧？好记，好细。呃，我们稍微写一下，它的那个支点怎么写啊？以得为圆点，什么为 x 轴？得 a 向量为 x 轴，对吧？然后得 c 向量为 y 轴，然后得得一向量为 z 轴，间隙如图，对吧？ 如图好，就结束了，然后如图，那我就开始写点坐标。来写点坐标，你看 a c 得一，那要写 a 点坐标， c 点坐标得一点坐标，然后还得写，你看 b c c 一 b 一， 我都需要写吗？ b c c 一 b， 我 只需要写三个点就可以了。 b， 然后 c 有 了，那就 b c c 一 吧。 b c c 一。 好，这样就可以结束了。那 a 点坐标我们写一下吧。 a 点坐标是 x， 二零零，对吧？ c 点坐标就是零二零，对吧？高度一好，然后 b 点坐标，那 b 点坐标就是二二零嘛。 然后 c 一 点坐标，那 c 一 点坐标就是。你看 c 一， 它是什么？是往外轴一，对吧？ x 没有走，那 x 就是 零一零啊。 c 一 是往高度还有一，对吧？高度还有一。好，这就说点坐标 好，那我写好点坐标要干嘛呢？开始写反向量，对吧？那 a c 得一，我们看一下。 a c 得一是 a， c 得一，哦，不，是一个对称平面，它如果在这个 x 轴和外轴微成平面， x 轴和这轴微成平面，外轴和这轴微成平面的话，我们就可以直接写反向量，对吧？那这两面好像不是，那我就得设反向量，设 a 面， a 得一， a， c 得一的反向量 为 n 等于 x， y 都 z， 对 吧？然后我要写 a c a c a， 那 就写一个 a， 好 吧，算它少减，那多 a 我 减一下，那就是二到零都负一嘛。然后再写一个 a， c c， 它就是零到二都负一嘛。然后我要再写 a a 向量点乘 n 等于零，得 a， c 向量点乘 n 等于零等于零。所以你看我 n， 我 写出来等于来去 x， x 乘以负一再减，减成二乘负一，那就是负的嘛？那是负的嘛？那是负的嘛？ 然后求 y 到 y， 然后负一乘零，再减负一乘二嘛？还是负二，嗯，它乘它减它乘它乘它乘它乘二，对吧？ 二，然后二得四四百，所以就除以二，就是一斗一斗二嘛。好了，然后再写一个射面哪面呢的 c c b 吧。那我就写的 b b c c 一 b b c 一 c 的 反向量为 m 等于 x， y， z 就 写成了。好，那 b c、 c 一 的话，那写什么呢？ c b 吧， c、 b 相等，就是 c b 相等，就 b c 减二斗负，二斗零斗零嘛，对吧？ b c， b 减 c 好， 然后 c e b c b 好 写 c， b 好 写 c， b 一 斗负一嘛。 然后我再写这个 c、 b 向量点成 m 等于零，然后 c e、 b 点成 m 等于零，那 m 向量直接写来，求 x 乘零乘零乘零乘二，再减负二，对吧？ 二好，二乘负一，然后再减零乘二嘛，对吧？然后我再取个负嘛，外取负，然后再求 z 加 z， 二乘一减零嘛？等于零一一，这就求完了，反向了。那求完反向呢？我可又开始搞那题目，对吧？还要求两角的加角， 加角为 c， 它，对吧？然后它就等于 m 点成 n， 比上 m 的 魔，再乘 n 的 魔，对吧？好， 然后在这里啊，我要去正的。为什么？你要清楚吗？我在这里虽然是是两个面的交叉，上面说是两平面的交叉，如果是二面角加角，它是零到一百八十度。如果是平面角加角，我要取最小角。这个我在前面讲过，还记得吧？不要忘记那两边乘以乘以一， 然后再加上二乘以二，然后比上下面母二的话，就是一加一加四，四五六，对吧？根号六，然后再乘以根号二，没问题吧？等于三，比上多少就是二倍根号三嘛，对吧？二倍根号三。那我同时告诉他，就等于二分之根号三，这会不会约？这个应该，这个初中就算，应该没什么问题吧？好，那二分之根号三，他应该是六十度的余弦值，是 二分之杠三。呃，三，三十度，对吧？三十度的余弦值是六三二分之杠三，对吧？三十度是不要拍六分之拍，对吧？三十度。好，那 c 它等于六分之拍。那最后我要你看它求的是假角大小，那这题就结束了，你看是三分，得手很容易吧。

好，各位大佬们，今天吕哥教大家一个非常逆天炸裂的立体几何当中的一些秒杀大招跟小技巧。好，我们举的题目也是刚刚考完的二零二六年江南石校 刚刚考完的新鲜出炉的立体几何多选择题啊，这题是第十题，位置六分，我这个视频教大家用结论直接秒掉这六分，压根就不用间隙啊，间隙又慢又 难，算是吧。好，我们直接用各种结论加几何法，全部把这四个选项轻松干掉，六分到手。好，各位，听我娓娓道来，听我给大家讲解一遍，我将讲的非常详细，你基础不好也能听懂。好，看， 如图，已知，这是个正方体的人长为二。好，正方体我们把它圈出来啊，所有人边都为二 好，现在 b c， 哎，这条线和我们 b， c， 哎，这两个交角点 o 啊， m 为 ab 的 中点啊，正方体的其余各面中心都为 e， f， g， h， i 啊，每个中心都为它，那这个选项我们第四体才要用到，我们现在先别晃。 好，首先我们下面说法正确是，来啊，各位来。好，你们各位，在座很多同学看到例题的多选择题，哎呀，可能就蒙一个就走了，技术好一点，中档一点的同学呢，哎，见个戏啊见个戏，这算半天啊，技术好的同学就是结论加方法信息差，全部 带走。好，所以这里打破性杀，老师教给你看好了啊， a 选项 d o a 教你证明这条线，这条线垂直于我们的 bc。 好， 证明这条线跟我们的 bc 是 垂直的， 证明线线垂直啊，证明线线垂直。在例题题和多选择题当中，肯定是可以用一些特殊的手法， 比如说三线合一，比如说勾股定律啊，再比如说线面垂直，那现在我想证明 d、 o 跟 b、 c。 大家听好， 只要去转化在体内的那条线，这两个我们看明白了，这两条线哪个在体内？毋庸置疑， b、 c 在 我们外面，在表面上只有我们 d、 o 在 体内，所以我们要把 d、 o 给它 转化到我们的一个平面当中，因为他在体内，听懂没有？因为 d、 o 在 这个正方体的体内，要把它转化成一个平面当中。好，所以转化这一条， 转化这条，把这个 d、 o 放在一个平面当中，怎么放？怎么扩展结面，各位看好了啊，看好了，我们 b、 c、 e 我 们是要有的，要用的，所以 b、 c、 e 我 肯定要留着，我不动， 我 d、 o 要扩展个平面，并且跟 b、 c、 e 要有什么交界，要有连接处，要有我们的磕碰处，所以 b、 c、 e 不 懂，要把 d、 o 包括在里面，毋庸置疑。怎么办？把 b、 d 跟我们的 d、 c、 e 连接起来，不就结束了吗？ 听懂这个思路没有？我讲的很慢了啊，讲的很慢。好，我把这两个连接起来。看好了啊，把 b、 d 跟我们的 d、 c、 e 给它连接起来， 好，连起来。你看现在哪个平面在平面 d、 b、 c、 e 当中啊？看平。看好了啊，再讲一遍，在平面 b、 c、 e、 d 当中，这个平面，因为这个平面，我问你，这三角形是什么三角形？ b、 d、 c 什么三角形？等边三角形啊，看明白了，因为三条边，你看我们的 d、 c 这条边，我们的 b、 d 这条边，我们的 bc 这条边，都为 怎么我们的一个正方体，一个一个正方形的什么斜边吗？啊，所以我们 a 选项直接秒掉了，好，我写慢一点啊，来，由于，怎么呢？由于我们的三角形 b， d， c， e。 为什么等边三角形，对不对？为，哎呀，等边三角形好，等边三角形，因为三条边都为正方形的一个斜边对吧，斜边都是一样的 好，他对，等边上角形又又由于什么又由于我们 o 为中点，好，结束了。等边上角形，那 b， d 等于 c， d， o 也为中点，所以 d， o 所以 d， o 垂直于我们的 bc。 什么东西？三线合一轻松搞定， 听懂六六六啊，弹幕扣出来，六六六啊，搞定，所以我 a 选项你 基础好点，你能听到，你学会，下次可以直接建立。我是讲慢一点，为什么这样做，我们的平面把 b， d 跟 d， c， e 做起来，所以有的同学说，哎，为什么辅助键他想不到，所以我讲个思路，到底为什么这样做？听懂了，好，所以 a 就 对了吧。好， a 秒掉一个， 好，继续看 b 选项啊。 b 选项这里，哎呀，完蛋完蛋，有点尴尬，这个点我，这我写下面的，因为 b 选项我要补行啊。看啊 三， d， b， e， d， b， e 哪个？ d， b， e 这条线，哎， d， b， e 我 们都能看出它是什么啊，体对角线，发现没有？ d， b， e 这条线是不是体对角线嘛？ d， b， e 我 没画，我没连啊。 d， b， e 是 条体对角线 与 c， m， a 与这条线所成角的正弦值为它。现在 b 选项几何法直接搞定啊，你间隙太慢，直接几何法，几何法，线线几何怎么办？平移相交，所以 b 选项我们用的方法叫做平移相交， 平移相交现在又由于它考我们的体对角线，各位在平时复习当中，一旦有体对角线， 线线所成角线线，其中有一个是体对角线，直接我们的扩前面啊，不是扩前面是不行啊，直接不行。看，所以你的思路应该像我这样行云流水， 两个线线所成角一其中一条线啊，一条线，它是体对角线，是体内的一条对角线，不管是正方体还是长方体， 都是给他补行。听明白了，补行就是给他 copy 啊，给他复制把他，我恨不得把这个复制一下，然后点一下粘贴贴上去就好了，我还懒得画了啊。所以各位听到这里给老师一键三连投个币啊，奖励几个，真的不容易啊，我还画图画半天， 对吧，我的我的手写的啊，不容易啊，各位投个币好不好，求求了。好，所以现在这里啊，我加快我们的视频，直接扩比一个正方形出来，直接画正方形放旁边。好，我们一起来加速啊，开始把它画一个正方体，直接给它扩比过来啊，我们随便画个草图，哎，画太丑了。没关系没关系， 就给他扩比一下好，这样这边上面也给他扩比一下 好，上面这里也得扩比一下好，就把这里叠起来，大家，大家知道我意思就可以了啊，就是把这地方给它画一个一模一样出来啊，一模一样出来，现在直接平移出来啊，我们这两条线段， d b 一 跟 c m 平移一条，就可以平移一条，随便平移哪一条，比如说我们就平移我们的这个体对角线吧，把 d b 啊，把这个点 用 b 二表示啊， b 二表示，因为 d b 一 它是平行，我们的 c b 二的都为体对角线，发现没有好，所以现在题目结束了，结束了好把这体对角线连接起来啊。 d b 这条体对角线跟我们的 c b 二这两条体对角线是平行的啊，因为都为体对角线，所以一旦平，把这条 d b 一 平移到我们的 c b 二。 c b 二跟我们的 c m 是 不是有一个角点？ c 点，所以这个角就是我们要找的什么线线角好，最后我们把 b 二 m 给它连接起来，此题结束。好，此题结束。所以我放在这个上角形 c m b 二当中，我用一遍余弦令理，那我们这个角的正弦值啊，余弦值出来了，余弦值出来了，那我们正弦值就出来了。听懂六六六 搞定好，那自己给它算一下吧啊，给它算一下，首先这三边好不好算？ c m b 二 m c b 二好不好算？都很好算啊，都很好算，购物定礼啊！首先我们算 c m 吧， c m 等于什么？ c m 这条边等于根号下二的二的平方，这是二平方，加上一的平方就是根号五，搞定一个， 搞定一个。好，继续我们的 b 二 m 算一算啊。 b 二 m b 二 m 是 整个这段，整个这段 b 二 m 等于根号下，这是二，这是一，有三个平方，加上我们的这个 b 二 m 放在这上面，这上面当中啊，放表面这张当中，这是二的平方， 多少？九加四的话，刚好十三吧。啊，刚好十三好，还有一个我们的 c b 二，对不对？ c b 二好， c b 二怎么算？ c b 二还是一样用我们的。哎，把这个连接起来，听懂没有？ c b 二怎么算？把我们体对角线怎么算？应该都会吧。啊，两边各五厘米吧，算一下吧，把这个连接起来吧。 好，所以 c b 二在这一个直角上，直角上当中等于我们这一段，这段是我们二的平方，加上我们这一段，这一段放在底下直角上中。二，一根号五，根号五的话就是啊，不是五二二，根号八，二倍根号二是八嘛，二倍根号二平方嘛， 二倍杠二平方。长这样，好，再算出来就是根号十二，根号十二的话是我们的二倍杠三。题目结束了，三边都搞定，那求这个角的什么余弦值，再求正弦值，好，我们直接背什么余弦定零，好。这个图看上这个造型啊，很好看，是吧，我就不答出来了，所以现在我们求扩上引 角 mc 二的余弦值，余弦定，你直接开杠，两零边的平方，也就是两零边一个 c m， 一个是我们的 b 二 c 啊，就这两个， 也就是我们二倍根号三的平方加上一个根号十三的平方啊，根号十三的平方啊，不对，不是根号十三平方，对吧？根号五的平方啊，根号五的平方，减去斜边，减去对边，对边是我们的 b 二 m b 二 m 是 我们的 根号十三，减去根号十三的平方。好，底下是二，乘上二倍根号三乘上一个根号五，这个算出来就是我们的。呃，可算四，根号十五， 下面是，呃，十二加五七七，十三，下面是四，对吧？四，好，约掉一个四，根号十五分之一也是十五分之。根号十五，好，各位看到没有？现在各位大佬们还要通过我们的根号十五分之一也是十五分之。根号十五，好，各位看到没有？现在各位大佬们啊，一减去余弦值吗？不用了， 因为他的小题，他说线段所角的正弦值为十五分之二五，我们明明算出来的是余弦值等于十五十五分之二十五啊，对吧？正弦值应该是 e 减去十五分之根号十五的平方啊，所以他是不是正弦值应该是余弦值才对，所以 b 就 错了， 听懂六六六，听懂六六六好搞定！那现在各位啊，看好了，我们 a 跟 b 其实也算比较常规的解法，那现在大招正式来袭，就是我们的 c 跟 d 这两个选项，看看到底有多快，领会一些论的方法。 首先看好了啊，看好了，我们点 m， 他 为你点 m， 这个点到平面， a， b， c， 好， a， b， c， a， b， c， 我 们把它画一下啊，把它画一下，因为我红笔找不到了啊，我，我随便给大家看一下啊，把 a， b， c 给它画出来，好， a， b， c 这个平面吧， a， b， c， 好， 这个平面好，这个平面我为了好看，我把它画成我们的阴影部分啊，阴影部分好，各位奖励的几何啊，还是多选题，非常的难讲啊，非常的辛苦，各位 小帅小美们，赶紧给老师一键相连啊，一键相连真的是制作不易啊好不好，我们把它给它画，全为了好看一点嘛，哎，你看，还是为了大家好看一点啊，好看点好，这个平面好，问你点 m 看点 m 到这个平面的距离啊，这个平面的距离为多少？ 现在直接结论啊，你看啊，我问你，我把 b 点 m 到这个平面距离， 点 b 到这个平面距离。我问你啊，我问各位，点 m 到这平面距离跟点 b 到这平面距离有什么关系？二分之一的关系，这个大家都能听懂，对不对？点 m 到这平面距离，等于二分之一的点 b 到这平面距离。因为 m 也是中点，这可以理解成一个中位线，能懂吗？ 这是不是它整个上角形的什么中位线？所以这一段等于二分之一的它啊？所以我们点 m 到这平面距离。 点 m 到这平面距离，等于二分之一的点 b 到这平面距离。所以我现在算点 m 到平面的到这个平面 a、 b、 e、 c 的 距离，我直接转化。为什么 转化为 b 到这个平面？ a、 b、 e、 c 的 距离，现在就好算了啊，好，算了。哎，那又有人要为了，而是你总按到这个，我点 b 到这平面距离怎么搞啊？首先你如果这个会的话，常规方法换顶点，等体积法搞定。 那我现在不常规了，我都讲这什么意思呢？不常规直接结论就可以了，直接秒掉就可以了。好，我们点 b 到这个平面距离啊。看好了，点 b 到这个平面的距离，就这一段啊，这一段，这一段。点 b 到平面距离就是等于体对角线的三分之一。 神奇。小结论。好，不知道怎么来了啊，各位，我二零二四年我就讲过了啊，各位看啊，各位，看我的主页啊，我的主页点到这个利益几何当中啊，利益几何当中。这个视频，这个视频，各位看啊，二零二四年八月五号这个视频， 你们进去看一下啊，这个视频我就讲过这个结论了。好，所以推导过程也讲过了，你们自己感受一下啊，感受一下，又考到了，所以非常高，你看我当时写立体几何，常常考结论模型每年都考，高考也会考啊。所以自己去补啊。自己去补。 所以我们点 b 到这平面距离就什么？就是的，就是我们这个体对角线的三分之一，这一段占三分之一。体对角线 这个平面把体对角线平均分成三份，我要的这份就占三分之一。听懂六六六，没听懂啊，没听懂，你们自己看补视频去吧。啊，我以为我在直播呢啊， 听懂了吧。好，现在我们拿出我们的一张白纸看好了啊，由于什么呢？由于我们 b 到这个平面 a、 b、 e、 c 的 什么距离？就是等于三分之一的体对角线。 b 第一。好， b 第一。我刚刚已经算过。题对角线啊，题对角线刚才算过。就是一二嘛。就是我们的二倍杠三，对吧？二倍杠三就等于三分之一乘上一个二倍根号三，也就是我们的 多少三分之二倍根号三啊，三分之二倍根号三啊，二倍杠三。好，所以这也别急啊，别急。哎，同学，三分之二倍杠三，所以 c 错了，不是没 不对啊，因为我这个是指的是点 b 到这平面距离。我题目要是点 m 到这平面距离，他说什么关系一半的关系，中位线出一半的关系，所以我们 m 点到平面 a、 b、 e、 c 距离就他的一半，所以三分之根号三秒掉，所以选 c 对 逆不逆，天震不震撼，非常好用啊。自己去看啊，二零二四年我就讲过了。好， d 选项又直接秒掉啊， d 选项直接秒掉。看好多面体这个，因为每一个点都为每个平面什么点，每个平面什么中点， 每一个平面的中点看到没有？中心嘛，所以他绝对是一个什么什么东西？正八面体，正八面体的一个内接球半径，直接结论秒掉。好，这里我讲，先讲了一遍。好，各位看好怎么操作啊？来来来， 非常的辛苦啊，你看，又画了一个图，我给大家看一下啊，看好了啊，中点嘛，这个平面的中点嘛，这是 e 点嘛，然后这个是我们的 底下，这是我们的一个 g 点嘛，前面这个终点是 h 点嘛？啊，后面这个终点是 i 点嘛，后面这篇终点是 i 点嘛，是吧，题目都有啊，已经告诉你了啊，这些东西把它画出来就可以了。好，看。好，现在把所有的终点给它连接起来，各位看好了啊， 来来来，才子操作，连接一下，然后跟后面这个终点连接一下。好，跟我们背面这个终点也连接一下。好，长这样，跟我们前面这个终点把它这样连接 好，连接一下。好，这里也连接一下，每，反正每个终点两两连接就行了。好，这里也连接一下 啊，真的不容易啊，第一节讲讲起来真费劲啊，所以各位认真听啊，认真听。好，再把这个全部复制一遍嘛，啊，连接在一起，连接在一起啊，这边也连接在一起。 好，这边也连接在一起。好，各位，像不像我们那个成龙历险记当中那个潘潘什么毛那个宝盒呀？就是巴拉恶魔那个，看到没有？结束了， 所以我们可以得到，看图说话啊，即我们的 e、 f、 g、 h、 i、 o。 这个为什么为正 八面体？为正八面体。好，那么正八面体它的一个内切球的半径啊，正八面体的内切球半径也就直接小结论秒掉，小结论等于三倍的体积，除上我们的表面积结束。 好，那现在，哎，这还还有一条线没画啊，现在这里还一条线没画，这两个点中间还没连接起来啊，这个好看了啊，所以现在直接套结论啊。套结论怎么算呢？因为它的正八面体所有都相等啊，所有每一个面都为什么都为都一样，都为都一样， 而且是一个，我们等边上角形，对吧？等边上角形好算，随便画个，随便构建一个，我们勾股定力啊，用这边勾股定力吧啊， 我们的人长就是 e f， 等于我们的一加一根号二啊，所以人长为二啊，所有的都为二，都为根号二，说错了，都为根号二。 所以我们这道结论，三倍的体积，体积是三分之一，我们的根号二的平方乘上一个二表面积呢？一个表面积，表面积是一个面，一个面是等边长的形，等于四分之根号三边长的平方，根号二的平方是有八个，给它乘上一个八，搞定好，这个算出来也就是三分之根号三结束秒掉， 对不对？哎，对了，好，随便选 a、 c、 d， 各位讲完了，不容易啊，能不能跟下来？好，所以你看看啊，非常的震撼， 所有选项压根就别间隙啊，别间隙！这六分其实是比较简单的啊，非常的有说服力，刚考完的江南十校的例题解答题送给大家，各位能听懂，觉得老师讲的可以，你能听懂啊，给老师一键相连， 辛苦一下啊！比较感谢各位大佬好，我们今天这个视频我们在这里自己体会一下，做好笔记好不好，各位再见！