八年级可以写在风筝上的数学知识

我们小时候都会想，但是很少人去算的问题，方整最高能飞多高？今天我们就来解决一下这个问题。一般情况下，初使的放飞角度是六十度， 所以二千米的线可以放一千四百米高。世界上真的有人去创造放风筝的世界纪录， 它用一点一万米的线让风筝飞了四千八百七十九米，这个风筝面积是十二平方米， 那理论上的值肯定比这个要高，它最高可以飞多高？我们可以用受力分析，稍微的用理想模型去分析一下，忽略许多因素。假设风筝和这个风筝线是垂直的，这个角度阿尔法， 风筝线和水平线的夹角 r。 假设线上的拉力是 f， 风筝的质量是 m， 那 么根据力的平衡， f 乘以 cos。 阿尔法， f 是 水平方向上的力， 它等于空气所受的阻力。风筝在空气里面所受的阻力，它是这样一个表达式， 其中的 cd 是 阻力系数， a 是 风整面积， v 是 速度，风速是空气密度。在数值方向上，它受重力和 f 的 分力， 还有升力风的一个升力的作用。这个升力是 f 乘以 l 除以 d， l 除以 d 叫升阻比，就是升力和阻力的比，叫升阻比。 有这两个式子可以计算出， v 等于根号二 m， g 除以 c， d， l 除以 d 减 tan 阿尔法， 我们知道风速随着高度是不断变化的，在一万米处可以看出来它是二十米每秒风正，假设它质量是二 kilogram， 为了更好算，我们取它的面积是九点八平方米， c， d， d 是 一点三，空气密度是零点五好，一般情况下是一点二，因为是万米高空，所以变小了。 lb 是 三代入其中 求出阿尔法等于七十度，提供这样的声阻比，它能不能达到七十度？可以啊，在博士生的论文里面我们可以看到，达到最佳状态是将提现角度设定为六十五点五度，这个时候风整得到最大的声放角度七十二点九七十度， 小于七十二点九度，所以它完全可以达到万米高空啊。最后新的一年，祝大家越飞越高。

今天我们来推导风筝模型的第二条结论，就是， s 的 三角形 a、 b、 c 的 面积 比 s， 三角形 a、 c、 d 的 面积等于 bo 比 o、 d。 这条结论怎么来的呢？三角形 abc 的 面积是不是等于 s 一 加上 s 三啊？对， a、 c、 d 的 面积呢？是不是等于 s 二加 s 四？对。 那咱们再来看咱们之前推导的这个过程， s 一 和 s 二是不是差的比例前向？对， s 三和 s 四是不是差的比例后向？对啊，比例前向加上比例后向还等于原比例。那我给大家举个例子吧， 八分之六是不是等于四分之三啊？对，那我们就用这组分数来给大家举一下例子， 六加上三比八加上四，这是不是就是他六和八是他的比例前向？对，三和四是他的比例后向。对，等于十二比九， 十二比九，约分之后是不是正好等于八分之六和四分之三呀？对，所以这个结论就是这么推导出来的， 我们风筝模型的第二条结论也推导完了，懂了吗？懂了，完事算人，感觉又能上北大喽啊哈哈哈哈。

今天来给大家推导风筝模型的第三条结论就是，三角形 a、 b、 d 的 面积比，三角形 b、 c、 d 的 面积 等于 a o 比 o c。 那 这条结论到底是怎么来的呢？首先三角形 a、 b、 d。 首先三角形 a、 b、 d 是 不是等于 s 一 加 s 二啊？对， 那 b、 c、 d 呢？等于 s 三加 s 四。那通过昨天的学习，我们知道了这这一个条件，那我现在先看不看后项，只看前项，也就是说我们只看 s 一 比 s 三， s 一 比 s 三，是不是等于 a o 比 oc 啊？ 那我们现在不看前项， s 二比 s 四是不是也等于 a o 比 oc 啊？对，那他们俩都等于 a o 比 oc， 那 这两个三角形的比也就等于 a o 比 oc 了。那光着模型的第三条结论你懂了吗？哦，懂了， 完事走人，等着又能上北大喽，哈哈哈哈。

每天拉十一个几何知识点考试，多考四十分。今天讲解方正模型初中几何常考的六十六个几何模型。今天咱们讲第十个模型，方正模型，它的模型的特点是有一个角 加上两个边，这两个边上它有两个点，以及内内侧还有一个一点 f， 它们就等于构成中共同构成了一个四边形 a、 b、 f、 c， 那 么我们有什么结论呢？ 角 d、 f 加上角 c 啊，角 e、 c、 f 就 等于角 a 加上角 f。 好， 只要咱们考到了方程模型，他一定会用到这个结论。那咱们怎么去证明这个结论呢？ 啊？那咱们首先看，首先我们去连连接这个三角形，连接 a、 f， 好，那么现在我们又分成两个三角形来，这个角 d、 b、 f 是 不是三角形的外角？那么 f、 c、 e 是 不是也是 a、 c、 f 的 外角？那么简单了，好，角 d、 b、 f 就 等于角 b、 a、 f 加上角 b、 f、 a， 好， 那么角 e、 c、 f 就 等于角 c、 a、 l 加上角 a、 f、 c， 是 吧？好，来咱们看一下啊， 这两个角 b、 a、 f 和 c、 a、 f， 它们俩相相加呢？是不是就是 b、 a、 c 也是角 a 吧，那么它们俩相加呢？ b、 f、 a 加上角 a、 f、 c， 那 么是不是就是角 f？ 好， 所以那我们知道了，将一式 一四加上二四，那么我们就推出角 d、 b、 f 加上角 e、 c、 f， 它也就是等于角，这边是角 b， 角 a， 对 不对？那这边是角 c、 o， 角 f， 好， 所以得证。

勾股定律，关于勾股定律的一个非常经典的应用，第一个图形呢，我们呢可以得到结论是 s 三是等于 s 一 加上 s 二的。 这个原理呢，是因为 s 三呢，作为半圆的面积，它是等于二分之一的 pi 乘以 a c 一 半的平方， 那经过化解呢，它是等于八分之一的派 a c 的 平方就是 s 三， 那有这个半圆的公式之后，我们剩下 s 二，其实是等于八分之一派 bc 的 平方， s 一 呢，就等于八分之一派 ab 的 平方。 根据在直角三角形中勾股定律，我们由 a c 方是等于 b c 方加上 a b 方的，所以呢，两边同时乘以八分之一派，就可以得到 s 三等于 s 一 加 s 二， 它的一个变形也非常的经典，就是在第二个图中，这里呢，我们发现半圆 a、 b 的 面积， 这里的半圆指的是 a、 c、 b 这么一个大的半圆，它是等于半圆 a、 c 的 面积，再加上半圆 b、 c 的 面积跟这个 a b 呢，如果画到外侧啊，它只是画到了内侧， 那由这个我们能得到非常经典的什么结论呢？就是这个半圆 ab， 我 们减去这个 s 一， 就一号的这个公形的面积，再减去 s 二这边公形的面积， 也就是减去 s 一 加 s 二做个差，那它剩的呢，就是三角形 abc 的 面积， 中间这个区域的面积。那我们等式的右边呢，也减去 s 一 和 s 二，剩的呢，就是两块阴影的面积，也就是月牙 a c a e、 c 加上第二个小月牙 b f c。 所以 我们可以得到一个非常经典的结论，也就是此图中阴影的面积呢，是等于中间直角三角形 a、 b、 c 的 面积的。

八、下数学最难的二十九个顺口溜全部吃透，开学稳进班级前三。一、有理数的加法运算。三、去填括号法则。四、 一元一次方程。六、完全平方公式。七、因式分解。八、单项式运算。十一元一次方程不等式组的解集。十二、分式混合运算法则。十五、特殊点的坐标特征。十六、象限角的平分线。

多做好题，出成绩。八年级数学下册小册子的第六页纸，我们看到第八题，以至于图在四边形 a d b c 中， b c 等于二倍的 b d， 这句话什么意思呢？ b c 等于这个两个乘 b a 平分角 d b c 啊，这两个角相等， ab 等于 c， 哎，这里有个等幺三角形， ab 等于 c 等幺三角形，那我们就有底边上的高，底边的中线， 嗯，那么这里要证明的是，这里是直角，哎，我们说我们能不能得到这里直角，这个或者说都什么东西呢？我们看到如果说我们做 a h 垂直于 b d 啊， a h 垂直于 b c 于 h， 呃，因为 a b 等于 a c， 对 吧？所以这个 b h 等于 c h， 那 就等于二分之一 b c 了。 当然了，你要是做中线，做中线可以得到垂直，做垂直可以得到中线， 当然您做这个角平分线其实也是可以的，为什么呢？因为等腰三角形，底边的中线，底边的高线，顶角的平分线呢？是同一条线段是互相重合的啊。当然你就看您这做哪个你证明比较好。写好， bh 等于 c h， 那么刚在这里我们来看到这个因为什么？因为这个 bc 等于两倍的 bd， 那 么它也等于两倍的 bh， 两倍的 bd 为 h， 所以 这个 bd 就 应该等于 bh， 对吧？就说 bc， 以这条结论说 bc 的 bd 的 两倍，我们刚才 bh 的 c h 的 二分的 bc 就是 bc 的 两倍的 bh 的 意思好要因为 b a 平分角，呃，叫什么角 dbc， 所以 角 dba 等于角 hba， 那我们看到在三角形 dba 与三角形 hba 中， 那我们就有这个 bd 等于 bh， 刚才正了角 dba 等于角 hba 刚才与这里面角平行，然后这个 b、 a 是 公共 b a， b， a 等于 b a， 所以三角形 b， d， a 全等于三角形 b， h， a 好， 这里理由叫走 s a， s 边角边好，那么所以有了角 b， d， a 就 等于角 b， h， a 就 等于九十度， 好，九十度就是垂直的意思，所以 a、 d 垂直于 b、 d 好， 这样我们就正完了。那么在这地方呢，我们要证明这两个三角形呢？这个地方跟这地方角都是直角，就意味着垂直好，合理利用三线合一的内容。 好，下面我们看到第九题，在这如图，在三个 a、 b， c 中，角 a， b， c 等于四十五度，好，这个角是四十五度，然后呢？ cd 垂直。呦，垂直到这角不也是四十五度了吗？ 嗯，这角不也是四十五度啊。那么我们再来看到 d 等于 ad， d 在 哪里？ d 在 这里等于 ad b 的 这，哎，这是直角，我们看到 a、 d， c 和 b， d， e 好， 这个过程我都不写了。在三角形 b、 d、 e 和三角形 c， d， a 中， b， d 等于 c， d 哪来的 b， d 等于 c， d 呢？因为这个 c、 d 垂直 ab 啊，并且这个角 abc 是 等腰直角三角形，所以 b、 d 等于 c、 d， 对吧？这里直角那是车的油，那么这个 d， e 等于 d， a， 所以 三角形 b、 d、 e 且等于三角形 c， d， a。 这里的理由是 s a， s 啊，这个比较简单，我都不写那么多了，没有数的时间写了啊。 好，第二个呢，若 ab 等于 bc， 如果 ab 等于 bc 的 话，那么这个 abac 就 成了等幺三角形，对吧？就成了等幺三角，等幺三角形。那我们看到这里 等幺三角形之后呢？那我们能够得到什么呢？你看题目求证的是什么？求证 b 等于两倍的 c、 f 啊。求证 b 等于两倍的 c、 f、 b、 e 等于两倍的 c、 f。 在 那里，刚才我们证明这个三角形 b、 d、 e 与三角 c、 d、 a 两个三圈等的时候啊，那就有了一个叫做 b、 e、 d、 c、 a 了 啊，有个 b e、 d、 c、 a 好 b、 e、 d、 c、 a。 要求成 b、 e、 d。 两倍的 c、 f 就 求成 c， a 等于两倍的 c、 f 要求成 c， a 等于两倍的 c、 f。 哎，那 f 如果是中点就好了啊， f 至终点呢？我们刚才是 b、 a 的，是 b、 c 的 时候，如果我们要能够得到，得到什么呢？得到这个， 哎，得到这个 b、 f 是 角平分线，等幺三角形顶角的平分线，也是底边的高线，也是底边的中线就可以了， 那我们哪里能得到角平分线呢？我们再来看啊， b、 d、 c。 刚才这说明是等腰直角三角形， 那么等腰直角三角形之后，我们刚才证明的 b、 d、 e。 等于 c、 d、 a。 这个角四十五度，那我们就可以得到角 a。 等于角 b、 c、 a 等于多少呢？一百八十减四十五除以二，六十七点五度， 对吧？角 a 等于这角六十七点五，六十七点五度，那我们就可以得到这个四十五的这个角叫做角 a、 c、 d、 e 呢？是等于刚才这个角 d、 b、 e 的 等于角 d、 b、 e 的， 那就应该等于六十七点五减四十五，二十二点五度，那么这个角二十二点五度，这个角也是二十二点五度，所以这个角 c、 b、 e。 对，就等于角 a、 b、 e 也是等于二十二点五度，所以我们就可得到的 b、 f 平分角 abc 好， 由于时间的关系啊，这过程没有写清楚啊。 b f 平分角 abc 好， 等腰三角形 ba 等于 bc， 顶角的平分线也是底边的中线，所以 c a 等于 c f 的 两倍。由于第一个证明 b e 等于 c a， 所以 b e 等于 c f 的 两倍。好，自己把这过程把它理。记得点赞关注哦。

哈喽，小朋友们大家好，我是龙门的上锁老师，今天给大家带来的是关于风筝模型的应用。首先我们先看一下题，如图，正方形 a、 b、 c、 d， 这是一个正方形 b、 e 等于二倍的 a， 也就是说这一段是它的两倍 f 为 ab 的 周点，所以 af 跟 b、 f 相等的好。 b、 e、 c、 s 相交于这个点，这个是 b e， 这个是 c， f 相交于点 o， 那 么 f、 o、 b、 o、 c 的 比为多少？ f、 o 是 这一段，而 o、 c 是 这一段，这两段线段的比，而我们看这两段线段是在 c、 f 这一条线段上的，所以我们可以观察下图，发现这又有一个 b、 e 这道题。看到这两个相交的交叉的十字线，我们就要联想到我们的风灯模型，所以这里要想看风灯模型，还差点。风灯模型摆 在四边形当中呢，连接它的对角线，那我们就连接这样叉叉的四个顶点，这就是 b、 f、 e、 c 连接这四个顶点， 把它一连接，那这就是一个任意的四边形了。连接好之后，任意的四边形，我们就可以把它看成一个风筝，就可以用到风筝模型的结论，那 f、 o 比上 o、 c 就是 头骨比尾骨，那头骨比尾骨，对应的风筝模型的结论就是头比尾头的面积比上尾的面积。所以这道题我们就把线段的转化成这一个三角形面积的， 可以将这个三角形面的比，把它转化成两个三角形面的比。之后我们要求的是这一个三角形面，还有这一个三角形的面积。好，那我们要算一算，这道题只给了一个正方形，只给了两个比，所以我们这道题要有设数法，那就是设正方形的边长，当然你可以直接设正方形边长，原因为了方便计算，它是 一比一，它是一比二，所以我们找二和三的角度是六，设正方形边长为六，它就是三，它也是三，那这是二，这是四，这个线段我们就可以表示出来了。所以三角形 b、 f、 e 就是 我们要求的分格模型的头这个三角形面积，它就是三乘二，除以二，三， 这一个三角形 b、 c、 e， 我 们也要求它的面积，那这么一边呢？是六呢？它也是六，高也是六，所以十六乘六再除以二，这结果等于十八。所以这两个三角形面积我们都算出来了，那 f、 o 比上 oc， 就 等于三角形 b、 f、 e 的 面积， 再叠成三角形 b、 c、 d 的 面积等于三比十八。我们要给它画成最简的就是一比六，所以它的 b 就是 一比六。这就是我们今天关于风筝模型的应用啊，大家再见。

hello， 同学们怎么学好八年级下册数学？我们今天呢分章节给它掰开了，揉碎了，讲一讲每个章节需要我们重视的考点，易错点、重点和难点。 那么第一个章节呢？我们学的是二次根式，这个章节相对来说是整个八下最简单的一个章节， 他起到一个衔接的计算工具作用。那么易错点是什么呢？计算容易失误是吧？然后开根号的时候，如果 a 的 平方在根号里面， 那我们出来要套一个 a 的 绝对值，这个细节容易出考点，容易出易错点。怎么突破呢？就是反复的改错，计算题的易错点，没有别的，就是错的多了，改的多了，后面错的就少了。重复是可以对冲我们的失误的， 重复可以对冲失误，所以这种类型的题像这样这样这样，我们多练呗，反复练呗，怎么去根号，怎么分母有理化，上下同乘，根号二十七怎么化解成最减二次根式，怎么二次根式进行合并， 这个过程就是练错改，然后错的就少了 啊。好，那么第二，我们讲一下我们的难点，难点呢，它往往会结合我们的英式分解的两个公式和我们的分式进行一系列的复杂的变形。怎么突破呢？复习两个公式，第一就是平方差公式，第二是完全平方公式。老师呢，我们 初二上册学了那么多英式分解相关的公式，什么拆天象呀，啊，什么英式定理呀，大除法呀，用不上吗？啊，在这里用不上，在这里呢，其实真正用的也就这两个公式，平方差和完全平方 平方差呢？在分母有理化的时候经常用到，如果分母下面是根号三减根号二上面是个分子，那我们上下同乘，根号三加根号二，这是对平方差用的最多的地方。 那完全平方用的最多的地方呢？就是根号里面给你给了 a 方加二， a 加一，然后这样化解，我们发现可以把它变成 a 加一整体的平方再开方，记得出来以后要给他加一个绝对值，这是易错点和难点的结合。 老师，如果我对这两个公式不太熟悉，对因式分解不太熟悉，怎么办呢？那就复习这两个公式就行了，找到问题，解决问题呗，刻意练习呗， 是吧，花不了多长时间，这两个公式很简单的。好，那么我们举个例子，比如说它涉及到 a 加什么这个玩意儿，然后 a 等于几，让你直接硬算，当然没法算，怎么办呢？我对它进行一个化解，化解完一减 a 的 平方出来以后，是 a 加一减 a， 是 这样吗？ 哎，我们得考虑它是一减 a 的 绝对值，是不是把开方和我们的绝对值做了结合。那么同理， a 减去三整体的平方再开方出来，应该是 a 减三的绝对值， a 是 负的二零二二，所以 a 减三的绝对值是个负数，所以要变成三减 a， 是 吧？ 三减一就是三加二零二二。好，所以这里细节需要注意。那么第三呢，就是我们考试经常考到一些新方向的命题，现在特别喜欢考， 怎么办？怎么突破？遇到账期字一般比较多，我们耐心一点，读题的时候耐心一点，然后照着他给出的方式，用特别耐心的态度去一步一步的去计算，就好比如说给了个五角星，定义了个新的五角星运算，这也常考考题， 对吧？给了规则，什么 a、 b 加 b 分 之三，减根号三，那你照着它照猫画虎地把第一个数字和第二个数字带进去算就行了。算的过程中要求细心一点， 其他方法呢，全跟我们加减乘除的规律是一模一样的，就十二根号，十二加根号三。哎，老师，根号十二是二， b 根号三， 再加根号三是三倍根号三，然后再五角星一个根号十二，五角星一个二倍根号三，然后把这两个数字按照这个规则给他带进去，第一个乘，第二个加上第二个分之三啊，第二个作为分母，分之三，再减一个根号三，算出来就行。解方程也是一样的。 这种新定义，新预算，照猫画虎，那最后呢？压轴难点他往往会考什么？他往往会考到我们的二次根式的估值，和估值结合起来去比大小和配方结合起来，甚至有些学校会考到我们的这个多重根号的化解。 那么这种难点呢，就涉及到配方呀，阅读理解的一种理解力啊，怎么突破呢？第一，还是熟练我们英式分解的公式，这样方便我们配方和开出来，对吧？ 第二呢，就是第一问的思路，要从第二问的思路，从第一个你找一个大题，他往往会给一二三四好几问，然后第三问，第四问的时候不会做。那我们看看第一问，第二问，我们是怎么解决的？举个例子，比如说这样一道压轴题啊，是我们这个单元测验的一道压轴题， a 给出一个数字， b 给出很很复杂，看起来有点吓人，但是实际上他会给你给一个介绍类的方法，你按照方法，你只要 还是耐心一点把它读懂，怎么回事是吧？哎，我们把分母有理化变成了分子有理化，分子有理化和分子相同比分母大小。哦，这个读法我读明白了，又结合了我们因子分解的基本公式，知道怎么分子有理化了，那么我就可以对它进行一个 变形和使用了。那给出 x， 给出 y 是 比较 x 和 y 大 小，直接比，我们比不了呀。那么按照他题目中给出的方法，第二问，结合第一问给出的方法，我们就能把它推演出来了。 这个章节知识点本身并不难，主要考一个计算的细心，主要考一个读题的耐心，主要考一个对上册的英式分解知识的一个结合。 所以结合我说说的这三点，我们这个章节一定能学好啊。之后呢，主要是针对勾股定底啊，平行四边形啊，易函数啊，还会给你们分析易错点、重点、难点和压轴点，后面会发现，哇，这个总结对你们的帮助是非常大的。

八、下数学最难的八个解析思路全部掌握，稳拿班级前三，平行四边形最指。八个解析思路，思路一，一个洞点求两条线段的和做一个对称点。二，两个洞点求几条线段的和做两个对称点。 五，两个洞点求一条线的最小值，利用等量代换，根据垂线最短。六、构造全等利用三边关系最值。八、造桥选址模型完整版领取！

好的，同学们，今天呢，我们也不讲新课，把第二十张的这个勾股定律它复习题里面的几道题来给大家讲一下。好，我们直接来看题啊， 这个第七题呢，我们上节课已经讲过了啊，这节课就不讲了，那我们直接来看第八题吧。那么他说如图啊，在三角形 a、 b、 c 中呢， a b 等于 a， c 等于 b c 啊，这三条边都是相等的，说明就是个等边三角形嘛，然后告诉 a b 等于 h， 说明这个长度是 h， 对 吧？然后求 a b， 让你求这个等边三角形的边长是多少。那么我们根据之前所学的这个等腰三角形呢，他就具有三线合一的，对吧？那等边三角形当然也具有，那么这条线他既是高，又是 中线，又是角，平分线，对吧？那么这两个角相等，好的，嗯，他告诉他的长度是 h 的 话， 并且啊，它平分这两个角啊，等边三角形，它的角当然是六十度了，然后这个当然是三十度了，对吧？那三十度出现在直角三角形中吗？我们就要注意了，三十度所对的边等于斜边的一半，那么 b d 就 等于二分之一 ab 啊，意思是什么呢？我设 b d 等于 x， 那 a 就等于二 x， 二 x 的 平方等于 x 的 平方，加上 h 的 平方，对吧？就可以求出 x 来，对吧？那你求出 x 来，是求出 b d 来的，然后再乘以个二，不就是 ab 了吗？对吧？ 还有一种方法，在一个直角三角形中呢，出现三十度啊，它的三条边的比例分别是一比根号，三比二啊，那根据这个呢，咱们可以非常简单的 求出来，你比如说他说 ab 等于 h， 对 吧？那你 h 比上 ab， h 比 ab 是 不是等于根号三比二呀啊？ h 比 ab 等于这个的话，那你直接 h 再除以这个不就是了吗？你 h 除以这个就相当于 h 乘以根号三分之二啊，相当于 h 乘以三分之二倍根号三，对吧？那你最后的这个 ab 就是 三分之二倍根号三 h 了呀，非常简单，对吧？好的，我们再来看一下第九题啊。第九题其实啊，没必要讲，我稍微讲一下，就是小正方形的边长都是一啊， 这个边长都是一，然后告诉这个求这个面积和周长啊，求它的面积和周长，那你面积的话，当然你可以用这个大的减去那些小的，对吧？小的这些空出来的，那周长的话，你可以用勾股精把这条四条边分别给求出来，加起来就 ok 了，对吧？然后呢，他还问这个 他是直角吗？咱刚才求这个周长的时候，你就会求出他和他，那你把他俩连起来，在这个三角形中勾股定律一求啊，然后把这三段距离都求出来，之后呢，你看一下 b 方加 c 地方等不等于 b 地方，不就知道他是不是直角了吗？对吧？满足不满足勾股定律吗？对吧？ ok 啊， 那我们就简单过一下，那他说一根竹子高是一丈啊，你看这说了一丈等于十尺啊，十尺， 然后呢，折断后竹子顶端落在离竹子底端三尺处啊，说明这段是三尺，对吧？然后折断处离地面的高度是多少？他问这一段高度，对吧？这这一段高度是 x， 对 吧？我们射它是 x， 然后这一段呢，当然就是这个十减 x 了， 那你 x 的 平方加上三的平方等于十减 x 的 平方嘛，对吧？那我算一下吧，算一下， x 的 平方加上九等于十减 x， x 的 平方就是一百减去，这个一百加 x 方减去二十 x， 那 你 x 方消去之后呢？ 然后这个二十 x 移到左边来，右边呢，就是九十一了，那 x 就 等于二十分之九十一了嘛，对吧？非常简单啊。 好的，咱们再来看一下第十一题啊。第十一题稍微有点意思啊，就是古希腊的哲学家柏拉图呢，曾指出，如果 m 表示一个大于一的整数啊，必须大于一，并且是个整数，然后 a 等于二， mb 等于 m 方减一， c 等于 m 方加一，那么 abc 呢？就称为勾股数，你认为对吗？咱们看一下 两个边的平方和等不等于第三个边的平方，不就 ok 了吗？咱们直接先看平方吧， a 方等于啊，四 m 方，对吧？那 b 方等于什么？ m 的 四次再加一，再加啊，再减上二 m 方，对吧？那 c 方呢？等于 m 四加一，再加上二 m 方，对吧？哎，你看，有的同学可能直接就看出来了，你这两个的平方，你不就是加起来等于 c 的 平方吗，对吧？ 好，那没问题，那他就是勾股数啊，既然 m 是 大于一，我们设他为二，那 a 就是 等于四了，对吧？那 b 的 话等于二的平方，四四减一等于三，对吧？那 c 等于二的平方再加一五了，对不对？那三四五就是 勾股数了，对吧？啊？你可以把他带一下其他数字，比如说带个三四呀，这些都是 ok 的， 只要 m 是 大于一的整数就 ok 了。好吧， 好，我们再看一下第十四题啊，他说设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为啊，我随便画个图呗，对吧？这是一个直角三角形，然后 a b， 然后斜边上的高，对吧？这个是 h， 对 吧？然后求证， a 方分之一加 b 方分之一等于 h 方分之一，对吧？那我可以设他斜边是 x 呀，咱们未知数就直接设 x 就 ok 了。然后 我们根据这个直角三角形的面积呢，可以知道，二分之一 ab 是 它的面积，对吧？那二分之一 x h 是 不是也是它的面积？那你看这个 ab 是 不是等于 x h， 对 吧？那我们给他把这个左边给他 化解一下， a 方分之一加上 b 方分之一，那可以写成 a 方， b 方分之 a 方加 b 方，对吧？ 好，那么 a 方加 b 方呢？在这个三角形里面是不是等于 x 方呀？我们把它上面变成 x 方，然后下面呢是一个 a 方 b 方，那就是 ab 整体的一个平方嘛，对不对？那就是 x 方 h 方嘛， 对吧？ x 方 h 方，那就不用我说了吧，上下一消就是 h 方分之一了嘛，这边正好就是 h 方分之一，对吧？那么说明我们就挣出来了，好吧， 好，那么以上呢，就是这节课的全部内容，大家想听什么题呢？或者说想了解什么内容，也可以评论区或者私信直接给我发，我给大家解答，好吧，那么这节课呢，就上到这，同学们下课拜拜。