2026年安徽省蚌埠市分类招生试卷

同学们好，安徽省教育厅发布通知，从二零二六年开始，安徽省的分类考试将取消基制，全部改为学校自主出卷、自行组织校考的模式。那么也就是说，二零二六年的分类考试将会和以往有很大的不同， 大家一定要提前做好准备。为此呢，我们专门整理了往年分类考试中各个学校的校考真题试卷，并赠送面试真题加题库以及各科知识点手册，有需要的同学可以私信我领取哦！

今天我们来看一下二六年安徽单招的数学题吧，因为现在还没有公布完呢，所以我先收集了几题来看一下啊。第一题，并级，并级就是所有的元素加起来二三四，呃，这里是三，刚刚有了就不用了，所以五六二三四，五六选 d。 上三题已知阿尔法是第二象限啊，画一个图啊，之前经常用的就是全 stc， 这个图全 stc， 他 说阿尔法是第二象限，那么我们来看图啊，第二象限只有三眼是正的，其他都是负的，我们来看一下，那就选 a， 那 就 a 是 对的，三眼是正的，选 a。 三十五题上的一百二十度除以口上的六十度， side 的 一百二十度，它是等于 side 的 六十度 等于二分之根号三口。 side 六十度等于二分之一，那么这里呢，就是用二分之根号三 除以二分之一，对吧，我们写成横式，那就是二分之根号三除以二分之一，那么除以一个数等于乘它的倒数吧，所以就是乘以二了，这里约了等于根号三，所以这题呢，就是根号三了。 三十六题， x 大 于零至 x 等于二零二六的什么条件，我们来看呢，这个大于零，画一个竖轴吧，零在这里，二零二六在这里，它大于零呢，是往右走的，那二零二六呢？只有一点，所以呢，很明显呢，前面是大范围，后面是小范围，前大后小，必要不充分。选 b。 三十七题，八的三分之一次啊，等于这样子啊，有两个方法，我讲其中一个吧，那这个八呢，可以变成二的三次方，二的三次方在三分之一， 那这里就是次数，在次数就是乘方变成了三乘以三分之一，这里约为一吗？二的一次还是得二吗？那 log 三三等于一，那这里就二减一等于一，答案为一。 三八题，解绝对值的不等式，我们用一分为二的方法，第一条是指照抄，第二条是指二 x 减一，改变两个东西， 符号改变这两个符号啊，大于等于变，小于等于五，变成它相反数负五。好，我们先解前面的这个二 x， 先解第一条啊，二 x 大 于等于六 x 大 于等于三。 ok， 再解后面的这条，二 x 小 于等于负，四 x 小 于等于负二，那所以它很明显呢，就是负无穷斗负二，对吧？这里是中括号 b 三，中括号三，斗正无穷。那答案就这个了。三十九题， a 四 a 七 a 一， 我们把它列呃，写出来吧。 a 一 a 四 a 七，我们观察一下它的角标啊，你看，一四七一和四相差了三，四和七也是相差了三，很明显了， a 四为 a 一 和 a 七的等差中项，那么等差中项就是中间的两倍，等于头尾相加。 a 四为十一，那就是二乘以十一二十二， a 一 是我们要求的， a 七为五，那么很明显啦，所以 a 一 等于十七啦，答案为十七。 四十题，抛硬币的题目，抛三枚硬币全是正面朝上的概率啊。我们用速算图的方法，第一啊，第一枚，第二枚，第三枚。硬币有正反两面。 好，第一枚抛了第二枚，在正的情况下又有正反，在反的情况下又有正反。好了，这个不断的把分支列下来，正反 正反，这里也是正反，也是正反。数一下，一个列完了，我现在已经列完了，我数一下有多少种情况， 一二三四五六七八，所以一共是有八种情况，他说全部是正面，我们看正正正，哎，这个符合，其他的都不符合了。正正反，有个反的就不行，有反的就不行，那只有一种情况是符合八分之一。 四十一题，考了一个 sin 的 和角公式，它的和角公式为， sin a cosine b 加 cosine b， 等于 三眼的 a 加 b， 这个是上的和角公式啊，你看啊，这个就是 a 了，这个就是 b 了。所以呢，那这题呢，就是变成了他就直接等于三眼的 a 加 b 嘛。那就等于二十七度加十八度，等于三点四十五度 等于二分之根号二，那这题答案就是二分之根号二。好了，四十三题，两直线的交点在第几项线这里我们只需要连立方程组就行了。来吧， x 减四 y， 我 把这里的这个加三移到右边了，就变成了减三，然后四 x 减 y， 等于我把这里的减三移到右面，就变成了正三，就变成了三了嘛。好了，那么我们再把第一条四指，这个是一，是，这个是二，是把第一条四指进行变形呢，因为我们要把这个 系数变成相同的，我们就把 x 的 系数变成四，就是将第一条四指同时乘以四，那就变成四， x 减十六， y 等于负十二，然后第二条不用变了，我们照抄一下。 好，那这个是第二条，这个变了之后就变成了第三条，现在我们用第三条减去第二条，那这里我们打数来看呢，四 x 减四， x 就 减没了，好，到 y， 那 这里就是减负十六 y 减负 y。 注意了，这里我们要把前面的这个符号带上， 等于负十二减三，这里就是负十六 y 加 y 喽，那就是负十五 y 直接写负十五， y 等于负十五，对吧？ y 等于一，我们再把 y 等于一带入第一条，那就变成带入第一条，就变成了 x 减四等于负三， x 等于负三加四， x 等于一了，所以它的焦点呢，就是一对一，一对一在第几项线呢？那不就是在第一项线呢？ ok 啊，四十五题用斜修法来做吧， t 准，它是等于三眼， r 除以口上 r， 对 吧？对二，那这个二呢，我们可以看成一分之二，一分之二，那这里呢，我们来看呢，我们现在就可以把三眼看成 是这个二，我们打横来对应着看，把三眼看成二，把口，三眼看成一， 对吧？那这里呢？这条四指呢，它就变成了三，二看成二啊。二加一，分母为二乘二减一等于二加一是三，四减一也是等于三等于一，所以四十五题答案为一。好了，那么今天我们就先到这里了，各位再见。

好，今天来讲一下上午刚刚结束的一套试卷，好吧，我们看第五十六题，函数 y 等于 sin 的 这个东西， omega x 加 f， 这个在一个周期内，图像是，这个对不对？好，一个是在负十二分之派，一个在十二分之五派，大家从最高点 去看，最高点 x 是 不是等于负十二分之派？到相邻点什么？ x 等于六分之派，对不对？ x 等于六分之派，它的水平距离是多少？它的水平距离多少？是四分之 t 一个？好， 那么你看那四分之 t 个就等于六分之派，去减掉负十二分之派，对不对？好，这样是不是等于四分之派？那它周期 t 等于多少？周期 t 的 话是不是等于派？好，这样的话，我们再来求这个欧米伽，欧米伽怎么求？我们来求欧米伽，那这样 t 是 等于欧米伽分之 二派的，对吧？欧米伽大于零，那就是说这个欧米伽是等于七分之二派，就等于二派，除以派等于二，好，这样的话，是不是 c 和 d 是 不是就给他排除掉了，对吧？ c， d 给他排除掉了，那我们看往下看，好吧，然后我们 free， 这题我们求 free， 好 吧，那最高点是不是在负十二负十二分之派一之间，对不对？好，带入这个原式，原式在哪？是不是 y 等于 sine 的 带入 y 等于 sine 的 二， x 加这个 f， 好 吧，那就是说 sine 的 二乘上一个负，二乘上一个负的十二分之 pi 加这个 pi 等于一，好，给它化简化解，上面能得到 sine 的 六负六分之 pi 加 pi 就 等于一，那这样我们根据这个正弦函数的这个性质，是不是负六分之 pi 加 pi 等于二分之 pi 加二分之 二 k， 派对不对？好， k 属于这个 z， 对 吧？好，这个 f 的 话解出来是等于多少？是不就是三分之二派加二分二 k 派对不对？结合这个 f 大 于派的取 k 等于零，那么也就得到这个 f 等于多少？ 是不是就等于三分之二派？那这条是不是选 b？ 五十六题选 b， 好， 选吧？好，我们再来看第五十七题，对吧？正方体中点 e、 f 分 别在点上，且 a， e 等于 c， e、 f， 那 是不是这个线对不对？我们画直线，好吧，就这个线，它是要等于这个线的，好吧，我们把它画出来，那是等于三分之一的 aed 的， 那 aed 在 哪？我们来画 aed， aed 一 在这等于三分之一的，这个对不对？好，这个线呢？是不是有了？ 好吧，放这里，好，他说意面。 ef 与 cd 所成的角的正切值，那怎么算？ ef 在 哪？ ef 是 不是这个对不对？ ef 与哪个与 cd， cd 的 呢？ cd 是 不是在这，对吧？ cd 是 不是在这？好，那我们看，那这个我们怎么去给它转换掉？那这个 cd 是 跟这个 ab 是 平行的，对不对？好，我们移到这， 他去求他们俩所乘的角正截值，那 e， e 搁哪呢？ e 是 不是搁这个三等分点，这里对不对？好，这是占一份，这里占多少份？这是不是占 两份？三等分点这里，好，那我们再来一个直线过来，是不是？可不可以？那这个地方是不是跟这个地方是也相等的？这两个是不是相等的？是不是也三等分点？好，那这样我们来看，那这，这是不是构造一个什么？这是不是能够到一个什么？一个三角形的一个面，所以说他 ef 这条线是不是跟这个 c d 平移之后的这条线，对不对？因为它跟它是平行的，所成的角是不是这个角所成？角，是不是？我们来换个颜色比，是不是就是这个角？是不是角 fe， 好， 这里我们取个点 g 吧，好吧， g 是 不是这个角？它的正切值不就 ten 呢？等于 对边去比零边，不就是等于 f g 去比什么 e g， 那 好，这也是三等分点，这也三等分点，这不是三分之一吗？对不对？好，它是不是也是等于 e 中间对边对边这个 e g 就是 这个 f g 这个点 f， 这里看就是 f g 比 e g f g 是 不是能求出来是三分之一的 a d 撇 a d 撇，好，我们来设这个 边长为二吧，好吧，我们来设边长，这边长为二，好不好？是这个线，我们把留着留在这是 这个角，求这个角，这记，好，我们来设这个边长为二，二，这个二二对不对？对，二，好，那这个对角线 a d a d 撇 a d 一， 是不是能求出来？是根号下二的平方加二的平方 二到四四，根号八，对吧？就等于二倍根号二，好， a d 点的二倍根号二，那这个 f g 是 三分之一的 f g 是 等于三分之一的 a d 一， 是不是等于三分之一？乘以二倍根号二，是不是等于三分之二倍根号二，对不对？好， 那这样的话还没有完，这上面的话是三分之二倍根号二，那 e g 怎么去求？ e g 怎么去求？ e g 怎么去求， 对不对？ e g 的 话是不是就等于这个 a b？ 那 a b 等于多少？ a b 是 等于二，好，那不就是三分之二倍，根号二就乘上一个二分之一吗？那二二一约是等于多少？是不是等于三分之根号二？选 b d。 五十八题，若圆锥、圆柱的底面半径都是 r 高是 h， 则它们的侧面积相等，则 r 分 之 h 是 等于多少，对不对？好，那圆锥圆锥来算一下这个圆锥 它的母线长是多少？母线 l 是 等于根号下 r 方加 h 方，那它的测面积 s 圆锥圆锥测好吧，是不就等于 pi l 在 根号下 r 方加 h 方，对不对？好，那这样二 pi r h 是 等于派 r， 根号下 r 方加 h 好， 两边去同时出一个派 r 对 不对？好？是不是就得到了二 h 是 等于根号下 r 方加 h 好。 解方程，我们来解这个方程，这样就得到四 h 同时乘以平方就不等于 r 方加 h 方，那这样一转换一下 r 方去除以 h 方就不对。 记转换一下是 h 方，去除上一个 r 方就等于三分之一。因为 h 平方平方大于零， r 也大于零，所以说 h 除以 r 开开下来根号是不是就是三分之根号三， 对不对？好，三分之根号三，这题选 b 好。 我们来看第五十九题，在平面直角坐标系，这个中双曲线左右焦点分别是 f 一、 f 二，图中画好了 右指向出来点 p， 使角 p f 一 f 二是三十度好，也有了好线段。 p f 一 的垂直平分线，这个是关键。 p f 一 的垂直平分线经过圆点 o， 那 也就是说经过圆点 o， 也就是说 o p 它是等于 o f 一， 这是这一题的关键。这一个是一 从一通过一能推出来 o p 是 等于 o f 一 的，等于 c 好， 又因为这个 o 是 f 一 f 二的中点， f f 二终点，所以说 o p 这个是等于二分之一的 f 一 f 二，因此，对吧？因此这个三角形 p f 一 f 二是什么？直角三角形啊？ t 三角形好，那就是说角 f 一 p f 二是等于九十度的好，那么我们已知什么？已经知道角 p f 一 f 二是等于三十度的，那在三角形 这个 p f 一 f 二中，那这个 p f 二是不是 p f 二，是不是等于 f 一 f 二乘上一个 sine 的 三十度，就是等于二 c 去乘上一个二分之一，是不是等于 c 好？ 那个 p f 一 是不是就等于 f 一 f 二乘上一个扩散引的三十度就等于二 c 乘上一个二分之，根号三，就等于根号三 c 好。 我们根据双曲线定义，那不就是 p f 一 去减 p f 二是不是等于二 a， 那 代入是不是根号三 c， 对 吧？去减 c 是等于二 a， 那 c 提出来是不是根号三减一再等于二 a， 那 离心率 e 的 话是不是等于 a 分 之 c 是 不是等于二？除上一个根号三减一，等于二分？母幺力化一下，根号三， 根号三加一，对吧？下面根号三减一，根号三加一，这样的话是不是等于根号三加一？那这句话是不是选 a 好， 我们再来看这个压轴题，因为对数函数，这个对数函数是单调，这个里面对数函数是多少？ 他这个他对数函数单调递增的，所以说 a 的 话是大于一的，知道吧？因为他题目中给了是单调递增，所以说 a 的 话是大于一好。对数函数过点二零对二零，这个点好，图像看出来的好吧，那代入题目的什么？ log 以 ab 的 二加 b 是 不是等于零？退出来二加 b 等于一，再往后推这个 b 的 话，是不是等于负一？ 好，那我们分析这一次函数 y 等于 a， x 加 b， 已经知道什么，已知这个 a 是 大于一的， b 是 等于负一的，所以说这个一次函数，它的公式就是 y 等于 a， x 减一。好，斜率 a 大 于一，是不是值 他的直线上升的对不对？好，呈直线上升的？好，那每个图像都是直线上升的，没什么问题，是呈直线上升趋势，上升趋势。好，那我们再来看。 好吧，那截距 b 等于负一，那直线与 y 轴对吧？交于什么？交于 o 负一，这个点对不对？好，那当这个 y 等于零的时候， a x 减一是不是等于零？那推出来 x 是 不是等于 a 分 之一？ 好，因为 a 是 大于一的，所以说零小于 a 分 之一小于一，对吧？好，那么来看，直线与 x 轴 交于是不是 a 分 之一？零是不是在零到一之间，对不对？它是在零到一之间的，好吧，好，那我们来对比一下选项选项 c， 它直线是过什么？过零负一这个点的对不对？好，那与 x 轴交于 零，在交于零到一之间的对不对？它与 x 轴与 x 轴，它是交于零到一这个区间内的。好，那也就是说它斜率为正啊，是不是且大于一？那 c 没毛病。好吧，选 c 的 话都是对的？好，我们看 d 选项， d 选项截距是在 零一，对不对？好，不符合 b 等于负一，知道吧？所以说 d 就 错了。好，那第六题选 c， 有 没有同学们是对的？ 好，我们再看这个十一题，十一题，这一题我教给大家是两角和差公式，那我们把圆公式还是写在大家，写在边上。 sine 的 阿尔法加这个贝塔是等于 sine 的 阿尔法， cosine 的 贝塔加 cosine 的 阿尔法， cosine 的 贝塔，那这一题里面阿尔法是不是等于二十七？那这个贝塔是不是等于十八？好，那这样 sine 的 二十七， cosine 的 十八 加 cosine 的 二十七， cosine 的 十八是不是等于 cosine 的 二十七度加十八度是不是等于 cosine 的 四十五度？是不是等于二分之根号二，对不对？好，这题的话是不是二分之根号二？ 好，我们再看这个第十二题，计算将一枚硬币连续泡三次，三次全部正面朝上的概率，那不就是 他有二分之一的概率吗？二分之一，这是一次二分之一，再一次，是不是二分之一，再一次再二分之一，是不是等于八分之一？概率不就八分之一吗？对不对？好，好，我们看第十三题，十三题，这个 tan 的是这个对不对？好，有这个，那我们同时去什么？ 去除以一个扩散引的对不对？好，同时除以扩散引的是不是等于二？ tanne 的 阿尔法加 一，然后这下面的话就是二， tan 的 阿尔法减一，是不是这样的？好，那这样就等于多少？ 二乘以二加一，二乘以二减一，是不是就等于多少？下面的话就是三，上面是五，三分之五，好吧，好，这样的一个题目，第这一题 a b 满足 a b 两个夹角去求 a 减 b， 那 a 减 b， 我 们同时先给他平方，再开根号行不行？ a 减 b 等于这个根号下 a 去减 b 方，好吧？好，是等于根号下 a 方加 b 方减二， a b， 好， 已经知道了。这个这个和这个好，我们往里面带不就完事了吗？那 a b a b 是 不是等于 a 向量的模和 b 向量的模再乘以一个 cosine 的 c 的 是不是等于一乘以二乘以 cosine 的 三分之二派 是不是等于负一？好，负一对不对？好，负一带进这个里面对不对？好，再带进这个式子，就是根号下一的平方去加上二的平方减一，对不对？好，这是一，一减一，没有了，那不二吗？根号二，开出来一 a b 这句话是不是就是二乘以这个负一对二乘以这个负一，对不对？ 好，二乘以负一等于什么？负二，对吧？好吧，负二，然后呢？一的平方加二的平方再去减这个负二，是不是减这个负二，那不就加二，是不是根号下一加四加二是不是等于根号七？那这题是不是根号七？好， 你做对了吗？好，我们看一下下面这一题，在三角形这个里面分别 abc 的 比对吧。真题，你时间真题做的有意义吗？肯定考到了吧？时间真题有这种题对吧？好，我们来看 a， 他 们三个 编的内角和三角形，内角和不是派吗？好，那 a 等于多少？十二分之三派 等于四派，他整整个占十二分之三吗？好， b 是 不是等于十二分之四派等于三分之派？ c 是 不是等于十二分之五派？对，好，那用这个比边比 a， a， 我 们知道 a， 散以 a 等于 b， 散以 b， 对 不对？好， a， 我 们知道，散以 a 也知道，散以 b 也知道，我们是不是就是因为 a 是 等于根号七，对吧？好， 三， a 等于三赢的多少？四分之派是不是等于二分之根号二，那三赢 b 呢？ 三赢 b 的 话是不是等于三赢的？三分之派是等于二分之根号三，那这样的话 b 是 不是就能求出来？ b 的 话就等于 a， 三赢 b 除以三赢 a， 这样就等于根号七，乘上一个二分之 根号三，二分之根号二加上是不是等于根号二十一？去除上一个根号二是不是等于二分之根号四十二，那这条是不是二分之根号四十二？好，然后我们来看这个充分必要条件这一题，因为什么 x 方 x 大 于等于零和 x 方，我跟大家讲了，是不是？昨天晚上是不是给大家讲过 x， 你 是不是相当于也就是压道题了？ 好， x 方是不是真题里面就是真题？往年真题是非常有必要去做的，你们考完是不是发现时间真题还是比较有意义的去做的，他就是围绕真题来的对不对？好，这个他是个大范围， x 可以 说是等于正负 x 的， 对不对？好，所以说他是个大范围，这是小范围，所以说 小能推出大对不对？大推不出小。好，那这样是不是充分不必要条件？好，然后我们再看第二题，第二个，我们先把这个第三个简单的题写完，好吧，咱们再把 抛物线问题我们再放最后去讲，好吧，先把这个集合并 b 对 不对？昨天晚上是不是带大家复习到并 b？ a 中有的加 b 中有的，不就是二三四五六选 d， 这题没毛病。好，然后我们看 第二个，已知抛物线外方等于八 x， 那 这个的话是多少？是不是就是外方，它原式等于二 p x 是 不是？好，那这样的话，它的焦点，这个 f 焦点是不是等于二分之 他二分之二屁，二屁是等于八的，那屁呢？是等于四的，焦点是二分之屁零的，那焦点的话是不是就等于这个二零？好，那准确方程，准确方程 x 是 不是等于负二分之屁也等于负二分之四就等于负二？好，我们设 这个点屁，点屁他是 x 零 y 零，那我们就这也是加班记对不对？昨天晚教大家记得加班记是不是也要必考的一个点？ x 零加二等于十五，那 x 零解出来是等于多少？ x 零解出来是不是等于十三，对不对？ x 零解出来是等于十三，那 x 五就出来了吗？等于十三。好吧， 这是我能拿到了的一些题目，大家可以看一看。对，一对，如果大家这些题目做对，那说明你听少帅的直播是没有什么问题的。我，那我这三个月的辛苦的直播都是有效果的。好吧，祝大家高分上岸，好吧。

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二零二六年蚌埠市书包房最新消息，四所学校呢？继续预警，这下意味着什么呢？ 这次通知的时间呢？赶在春节之前，相当的及时，之前就有传言说二零二六年会解除预警，这下狠狠打脸。现在还没有消息称，一只小书包房和新城本校的书包房在年后会不会推出相应的政策？你们觉得年后会继续推出预警政策吗？

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大家好啊，今天是二十八号，距离我们三月八号的这个文化课考试呢，还有八天的时间，那么这八天的时间你要说有一个复习方向，那么我个人认为这份定心卷就是一个很好的这个备考复习建议啊，它可以说就是我们高考的终极预测。好吧，就是我们高考的终极预测啊。嗯， 首先简单来说啊，这本试卷，我个人认为觉得他不管是从这个命题方向，还是说从你们的备考方向来说，都是非常贴合的一份试卷，那我们就直接废话不多说，进入数学啊。嗯，首先啊， 从数学的角度来看，就是从一个老师的角度来看啊，这份试卷基本上我认为啊，该送的分都已经送了，不该送的分呢，也送你了。为什么这么说呢？那我们就一起来看一下啊， a 呢，是这里有五个元素啊，然后集合 b 呢，他这里没有给你元素了啊，他是给你这个区间的形式，他问你 a 交 b， 其实道理是一样的，你区间如果你给它转化成元素对不对？负三到零，所以也就是负二负一 零，对吧，就这三个元素啊，然后问你 a 交 b， 那 你只需要知道交集的作用是吧？交集是把两个集合公共的元素给它找出来，对不对？那你很明显 a 里面也能找到负二负一零，所以最终答案就是选 a 啊，最终答案就选 a。 三十二题向量 a 和 b 呢，他都告诉你了啊，二分之一减去二分之三 b， 那 么一样的，他怎么说，你怎么做，你带去运算就行了啊，你就等于二分之一 a 向量是多少呢？一一 对吧，减去二分之三，乘以这个 b 向量是多少呢？一负一啊，那你现在给它乘开就行了啊，左边是二分之一，还有二分之一，然后减去右边这个向量是多少呢？二分之三， 负的二分之三啊，那我们现在来看一下啊，现在他不就是问你这个向量的加法啊，或者说向量的减法该怎么做吗？对不对？那么 我们讲过，这种向量之间如果是坐标型，他加减法就是横坐标减横坐标，或者说横坐标加横坐标，那么这个地方就是多少呢？二分之一减去二分之三啊，右边是多少呢？二分之一，这里是减去负的二分之三，负负就得正了吗？加上二分之三， 所以最终这个答案就是什么呢？负一二啊，你给他算出来就选 b。 三十三题，已知抛物线的这个准线方程是 一啊， y 点一，所以你大概的能够画个草图出来。抛物线准线方程是 y 点一，这条直线怎么画呢？经过零一点啊，这里就是 y 等于一，那你很明显他的抛物线形式是不是开口向下，开口向下也就多少呢？ 是不是 x 的 平方等于负的二 p y， 对 吧？首先确定这个形式啊，那么像这种 y 的 平方， y 的 平方这种都已经 排除掉啊，就还剩这个 a 和 c， 那 我们看准线方程是不是二分之 p， 那 么 y 等于二分之 p 要等于一，很明显这个 p 要等于几？ p 是 不是等于二？ p 等于二的话，那么这个地方对应的是不是也就是 x 的 平方等于负四 y， 所以 答案就选 a 选项啊。三十四题，呃，函数，然后让你求定义域，这种都是我们经常考的啊。首先我们来看一下这个 f x 这个函数的形式，它是由一个什么分式，还有一个什么零次密构成啊？首先第一个，这个分母它就不为零 啊，但是这个分母是个什么呢？是个根号，我们讲过，首先根号下的式子，也就是 x 减一，他是不是要大于等于零，但是这个地方呢，他刚好处在这个分母的位置，他比较特殊啊，所以这个等于零呢，就要把它舍去，舍去之后，这里就还只剩一个什么呢？大于零。 第二个，这个零次密，我们讲过，指数是零的时候，底数是不是也要不为零，也就是什么呢？三减 x 啊，要不等于零，所以你对应着把它解出来，第一个 x 减一大于零，你解出来之后是不是得到 x 是 大于一。第二个，很明显 x 是 不等于什么三，所以这样子一看的话，最终答案是选什么呢？ 是不是就是 c 选项，对不对啊？三十五题，等比数列呃，之间通向公式的运用啊，我们来看一下啊， a 五，然后 a 七， a 五跟 a 七之间是不是相差了 q 的 平方，所以 a 七啊，它就是等于什么呢？ a 五乘以 q 的 平方，它是等于多少呢？八，刚好 a 五是等于四，所以你马上就能得出来，这个 q 的 平方是不是等于二。好，我们再来看 a 十一， a 十一跟 a 七之间什么关系，是不是 q 的 四次方，所以 a 十一，它是不是就等于 a 七乘以 q 的 四次方啊？那现在你已知 q 这个 q 的 平方了，那么现在啊，我们进一步是不是就等于 a 七乘以 q 的 平方的平方，那么这个 q 的 四次方是不是出来了， 对不对？那 a 七是几呢？是八乘以 q 的 四次方， q 的 平方是二， q 的 四次方是不是也就是四四八三十二，最终答案就选什么呢？ d 选项三十二啊，三十六题， 二零二五年啊，这个紧跟我们的这个什么时政热点这个题目啊。好，我们直接看主要的部分啊，从五台机器人里面去选中两台，在商场服务，则这两台机器人来自不同公司的，他现在不就有两个公司吗？一个假，一个乙，对不对？那不同公司就是说你比如说有一台是假，那么另一台就不能是假，他必须是乙，所以 从舞台里面去选两台总共有多少种情况呢？是不是就十种？总共就挑选的情况有十种啊，那一台甲一台乙都有多少种呢？是不是？你看这个甲公司有三个，然后呢？乙公司有两个，每个公司是不是抽取一台，也就是 c 三一乘以 c 二一，是不是也就是六种， 对不对？然后概率的话，是不是就是拿满足条件的情况比上所有的三选 c 二三七题 直线方程啊？如果 l 一 平行于 l， 那 么这个时候我们就得到什么呢？ a 一 比上 a 二，是不是也，这里就是一比上二， a 是 等于一加 a 比上，这里是多少呢？四， 对吧？然后还要不等于 a 减二比上，这里是十六啊，那么我们现在来看一下啊，这个数字前面怎么计算呢？对角线相乘，也就是四等于二， a 乘以，这里是一加 a 啊，那我们直接一步预算到位啊，也就是多少呢？这里我们给它乘开之后， 四减去二， a 减去二， a 方，对吧？那我们稍微给它化简一下啊，也就是变成了 a 平方，这里应该是加 a， 然后还要减二等于零，对吧？然后这个就很快啊，十字乘法最终得到这个 a 是 等于一，还有 a 是 等于什么呢？负二的哈，然后现在有两个，对吧？那你要验证一下啊，最终你这个地方 它是平行，不是重合，如果当两直线重合的时候，那么这个值就不行啊，它是平行啊，那我们现在就一个一个带入，把 a 等于一的时候，你带进去， 我们带到这个后面去啊，也就是这部分，因为它不是要不等于吗？对不对？恰恰当 a 带进去 a 点一的时候，带进去多少呢？前面也就是二分之一啊，然后这里一比四分之，这里是一加 a， 一 加一是不是二，四分之二也还是等于二分之一啊？然后呢，我们来看看后面是不是不等于呢？十六分之 一减二是不是负一刚好不等于，所以这个地方 a 就是 等于一，它是可以取的啊？我们再来验证一下，当 a 等于负二，可不可以呢？一样的代继续应用算，主要算后面这两个就行了啊。当 a 等于负二的时候，上面负二减二是多少呢？负四也就是十六分之，这里是负四， 那么前面是多少呢？这里是四分之，这里是一，加上负二，也就一减二是多少呢？负一。好，我们看一下这个样子是不是前后就相等了，也就相当于什么这一串都相等的，是不是不满足他？是，就是重合，所以当一等于负二，这种情况也就怎么样呢？ 直接不用考虑啊，不行。所以最终答案 a 的 值就是什么呢？ d 选项就是一二。嗯，三十八题逆题几何啊，空间中两条直线不相交， 那他俩就一定平行，这种情况是错的吧。还有一种意面情况啊，这种是最基本的啊，不用看第二个平行于同一条直线的，两条直线平行，这很明显就是我们平行的之间的传递性啊，平行线之间的一个传递性 啊。再来看第三题，这个一条直线和两条直线和两条什么平行？直线中的一条相交，这句话对，还错呢。那么在做立体几何中定的时候啊，你最好直接画个正方形出来是最好的啊。我们看一下 假设，我们来看啊，怎么弄的，你怎么去判断呢？其实特别好弄啊，你看我这里正方体画的大一点啊，一条直线与两条平行直线，我假设说这一条直线是 a， 剩下两条平行直线是什么呢？这里一条 b， 这里一条 c， 很 明显，一条直线与两条直线，两条平行直线中一条相交， a 和 b 是 不是相交，那另一条也与它相交吗？不明显吧，这个 a 和 c 是 不是就是一面的关系，对不对啊？你还漏了一种不对啊，三也是错的，一也是错的啊。咱俩看四， 空间中有四条直线， a、 b、 c、 d， a 平行于 b， c 和 d 平行，然后呢， a 又和 d 平行， b 肯定是平行于 c 的， 这为什么？这其实就跟这个第二个是一样的啊，这个二和四，它都是考了一个什么呢？叫做平行线之间的一个传递性质。所以说最终答案就选什么呢？选 b 就 行了 啊，选 b 就 行了啊，我们再来看下一页啊。三十九题，这个就是那个样本容量平数间的关系，他跟你说样本容量是六百，然后呢，在零到二和零点八之间的这个频率是零点七五，所以你马上是不是就能把这一段的平数算出来？这平数怎么算？这也就是六百乘以零点七五， 那么也就是多少呢？四百五啊，这个四百五，它是零点二到零点八之间的平数啊，然后他问你 零点四到零点八，那很明显只要把这个零点二到零点四间的一减就行了，你看零点二到零点三的是九十五，然后呢，零点三到零点四间的是一百二，那他们零点四到零点八间的平数是不是减去这两个？也就是拿四百五十减去九十五啊？再减去一百二， 最终答案是多少呢？二百三十五是不是就选 c， 对 不对啊？四十题，单位圆中，那你要知道单位圆的这个方程是多少呢？ x 的 平方加上 y 的 平方，它是等于一好，然后 他现在跟你说这个 r 法是第二项线段，并且中边与单位元交于这一点，问你三乙 r 法，那我们知道如果这个元它是个单位元的话，那么最终这个三乙 r 法它就是等于 y 啊。这个你可以根据呃正弦函数定义去推的，原本是 y 比 r， 但是底下 如果是单位的话，他后面这个半径是不是一，所以这直接就是 y 啊。那现在要看这个 y 到底是多少呢？你已知这个 p 点是多少？负的五分之三，他俩一加平方，一加不是一吗？那你肯定也就能够得出来现在建一个式子啊，他这个点在这个圆上把它定义计算，也就是负。五分之三的平方 加上 y 的 平方是不是就等于一？前面是多少呢？二十五分之九加 y 的 平方等于多少呢？二十五分之十六。 好，然后现在我们再来看一下啊，你这个 r 法是第二项线角，你很明显第二项线上的值 y 是 不是正的？第二项线坐标特点 x 是 负的， y 是 正的吧，所以最终这个 y 肯定是个正的值，开根号出来，这个 y 就 等于多少呢？五分之四， 答案就选什么呢？ b 选项啊，答案就选 d。 四十一题分段函数求值比较简单啊，第一个 fa 啊，我现在这个 a 我 不知道它到底是什么范围，我先不管，我先把这个 f 一 算出来，一我肯定是知道的对不对？一很明显就带入到上面这个式子里面去啊，也就是一加三是不等于四， 那么现在就得到什么呢？ f a 加上四等于零，所以现在是不是得到 f a 这个式子是等于什么负四的啊？然后你这个时候你不知道 a 的 范围啊，你就一个一个来验证啊，要保证它后面这个 a 的 定域要满足，才能去取这个 a 的 值。好，那一个一个来，第一个 f a 等于四，那么也就是 f a 上面那个式子是不是变成了 a 加三等于四的，所以 a 是 不是可以取？这里是二， a 加三是负四啊，所以这里 a 是 多少呢？负七，我们看负七是不是满足小于等于一，所以这个负七就可以取啊，再来看后面啊，有没有可能是什么呢？这个 f a 他有没有可能是等于二 a 呢？二 a 的 话，这里 a 就是 算出来 a 等于什么？负二， a 等于负二，很明显不满足大于一这个条件，不满足这个低于二，所以最终这个地方这个 a 就 只能取多少呢？负七啊，最终这个 a 就 只能取负七。四十二题，向量之间这个内积的计算啊，这也不， 然后呢，我们看啊，直接这里很明显就是用什么分配率吗？ a 乘以 a， 然后加上向量 a， 点乘向量 b 啊，这个时候前面两个 a 一 乘，是不是就等于 a 模的平方加上这里？因为内积公式打开， a 点乘 a 的 模， 加上 a 的 模，乘以 b 的 模，乘以它们之间加角的余弦值，对吧？然后这个时候你计算就行了啊， a 的 模是一，所以 a 模的平方是不是也还是一 对吧，加上这里是多少呢？一乘以二啊，乘以他们之间的加角口，三以三分之二半，也就多少呢？负的二分之一。所以最终这个答案是不是就变成了一减一就是什么呢？零啊，就是零。 四十三题，已知等差数列的前两项，一个是 a 一， 一个是 a 二，那很明显，根据我们等差数列的这个定义，他之间的公差是不是出来了，已知后一项和前一项嘛，所以 d 就 等于 a 二减 a 一 多少呢？ e 就 等于二，然后让你求 s 十，也就前十项和。那这个地方你直接应用这个等差向量减 n 项和公式，也就是多少呢？ n 乘以 a 一 加上 n 乘以 n 减一，比上二乘以 d 啊，大小，这个 n 是 什么呢？ n 就是 这个项数十 a 一 就是竖列的首项， d 就是 这个竖列的公差啊，那你把它带进去这里是不是就变成了是十乘以一， 然后加上这个上面是不是十乘以九以上二，然后再乘以一个二，这两个二很明显可以约最终不就是多少十加上九十吗？也等于一百二，也就前十项和答案直接选什么 c 选项就行了。二，四十四题， 两角和正切公式的运用啊，你看为什么呢？这个一，我们可以把它看作什么 ten 整的四十五度啊，所以这个上面这个式子就变成了什么呢？ ten 整的四十五减去 ten 整一百零五度啊，这个底下怎么把它看作呢？也就是一，然后这里 ten 整的四十五，莫名其妙不是一吗？然后再乘以一个 ten 整的一百零五啊，你这个样子不就是我们两角和的正切吗？也就是等于 ten 四十五度 减去一百零五度啊，那么这个时候它就是等于多少呢？ ten 乘负的六十度，负六十度是多少呢？这个根据我们诱导公式啊，它就等于负的 ten 乘六十度，那么是不是负根号三，答案选 d 啊，就是考察了这个，嗯，合角公式与诱导公式之间的一个变形啊。 四十五题，这个很简单了啊，点都告诉你了，然后呢？直线也告诉你了，那你直接用两点，就是点到直线的距离，公式直接算这个 d 啊，那我们这里把公式列出来， a x 加上 b， y 加 c 的 绝对值比上根号下底下是 a 平方加上 b 平方。好，我们来看啊，这里 a 就 相当于四， x 就是 二，所以你一样的带进去这个地方是多少呢？四乘以二，然后减去三乘以，这里是负一，然后减八的绝对值比上底下是多少？三的平方加上四的平方，那么上面是多少呢？八加三减八， 三底下是五啊，最终答案就是，选什么呢？ c 选项五分之三啊，五分之三。再来看四十六题， 充分必要条件，考察你的什么逻辑推理能力啊？ x 小 于零，然后呢，这个数的绝对值出来是负的，这肯定是对的啊，这肯定前推后是没有问题的，对不对？也就是说，假设这个前面 的是结论啊，条件 p， 后面是结论 q， 此时此刻这个 p 推 q 肯定是可以的，这个你就根据初中生都会啊，但是后面推前面就不一定了，为什么呢？你看，假设你 x 的 绝对值出来等于负， x 在 去绝对值的时候，一定要考虑这个零这个玩意 啊，因为零的话，你不管是正还是负的，它都相同，对不对？那你这里是不是缺少了一个小于等于零这个条件，所以 q 推 p 啊就不行，答案就什么呢？必要不充分啊？必要不充分。 再来看四十七题，判断这个是奇函数，那我们奇函数有一个什么样的特点？是不是就是 f x 是 等于负的？ f x 只要满足像这样的形式啊，在定义内，那么它就是个奇函数。首先 a 这个选项 y 等于 x 加一，这个很明显就是我们的什么 一次函数嘛，那很明显，如果一次函数我们讲过它要是奇函数的话，一次函数啊，是什么形式呢？ k x 加 b， 它要是奇函数的话，你是不是只能令这个 b 等于零？在这里 b 等于一啦，他肯定错了啊，不用看 b， x 的 立方的绝对值，原本啊， x 的 立方它是个奇函数，但它打了一个绝对值之后，是不是就向上翻折，把负的那部分 x 啊，取负的那部分给它翻上去了？翻上去之后不就关于什么外周对称偶函数了啊，也是错的， c 选项，这个是对的，这个怎么办呢？这个就是可以看做我刚刚讲的什么一次函数的形式啊，后面这个 b 等于没有了，所以答案就是选 c d d 这个东西你不太好判断，你就老老实实的用这个 d e 啊去算什么呢？ f 负 x， 那 么现在是不是等于负 x 的 平方减去 x 啊？那我们看一下是不是等于 x 的 平方减 x， 这很明显它也不等于我们负的 f x， 如果是负的 f x 怎么办啊？我们直接算一下负的 f x， 那 么它这个式子是不是就等于负 x 的 平方？这里也是减 x， 这很明显两个都不相等啊， d 肯定也不是减数，所以最终答案就选 c， 就 选 c 就 行了啊。 再来看后一页四十八题，四十八题这个题目其实有的人觉得很难，它就是那个比大小推来推去啊，那这种题目怎么做呢？我们讲过它有这种临界点 啊，有零这个数字在这里的时候，你特别好取， a 大 于 b 大 于零大于 c， 你 直接二大于一，二大于零，大于什么呢？负一就行了，一个一个算嘛啊， a 选项 b， c 大 于 c 方，你看 b 是 一， c 是 负一，所以 b， c 是 不是还是负一，它是大于什么呢？ c 平方，负一的平方是一，很明显，负一跟一之间 以负一大于一吗？啊？ a 就 错了， b， a 平方是几呢？四它是不是大于 a？ c， a 是 几呢？这个二 c 是 负一，所以大于负二没问题， b 是 对的呀，答案就选 b 啊，我后面这个 c 和 d 我 都不用去验证了，肯定都不对啊。四十九题， 诱导公式啊，口三以 pi 加二法等于三分之一。那前面诱导公式，口三以 pi 加二法是等于三分之一的，那我们这个样子就得出来什么呢？口三以二法是等于负的三分之一 啊，然后呢，三引二法是小于零。那根据我们这个平方关系，好多人要问啊，平方关系是啥呢？就是三引的平方加上口三引的平方等于一，所以现在你要求这个三引的话，你给他变形一下，他还是个负的啊，你提前锁定 负的根号，下一减去扣三引二的平方，那么这个地方是不是就是负的根号下一减去多少呢？三分之一的平方，我们开根号出来，这里是不是就等于是负的三分之二倍？根号二二，然后它要求添减的，添减的其实也特别好办，怎么办呢？ 三引二法比上一个口三引二法是不就等于添减的二法，对不对？然后你算出来，这个三引它是等于多少呢？口三引二法是多少呢？ 负的三分之一啊，两个都是负的，最后结果你是正的嘛？然后呢，这个时候同分母啊，反分数俩分母三和三一约，最终答案就是什么呢？这个二倍跟二，我们看有没有这个选项啊，也就是选什么呢？ d 选项啊，也就选 d 选项。 五十题，这个函数它告诉你它是一个指数函数，那我们讲过，指数函数前面，指数型函数前面系数必须是一，这个系数也就是什么呢？ m 的 平方减去二， m 减二要等于一，还有这个底数就是指数函数这个底数啊，要大于零，求等于一， m 大 于零，且 m 不 等于一啊，如果 m 等于一的话，是不是就没有意义了，对不对啊？那我们就主要是来解上面这个式子啊，那么我们看一下啊，给它稍微的分解一下， m 的 平方减去二 m， 然后减三等于零， 对吧？因式分解十字乘法啊， m 减三乘以，这里是 m 加一等于零，最终你解得这个 m 是 等于三的，还有一个 m 是 等于什么呢？负一的，因为你这里底下 m 要大于零，所以你这个负一就不用考虑了啊。最终答案就是什么呢？选 a 选项是三五十一题， 以 ab 为直径的圆，所以 ab 是 直径，也就是说 a 和 b 之间的距离是直径它俩的一半，是不就半径对不对？然后呢，它俩中间的那个点中点是不就相当于圆心的位置啊？我给大家举个例子，这里是 a， 这里是 b 啊，我现在这两个点一连， 那么这个终点的位置 o 点是不是就相当于圆心？所以你第一步要先把这个圆心 o 给它算出来，也是利用什么呢？两点之间终点的坐标公式啊，负一加三比上二，然后 y 的 坐标呢？零加六比上二， 所以这个圆心坐标就是多少呢？一三啊，圆心坐标是一三。再来看你现在 他在这里求一般方程，那这个地方你直接求一般方程肯定不好求，你要先把它的标准方程求出来，标准方程也就是什么呢？已知圆心啊，所以它的标准方程 x 减一的平方加上括号 y 减三的平方要等于半径的平方，你还求这个半径，半径是不是刚好 o 到 a 的 距离，或者你可以看到什么 ab 之间距离的一半啊？那你这个时候算 ab 的 距离就行了， a b 两点之间的距离公式啊，这个我就不写了，我就直接算了。好吧，这个也就是等于多少呢？三减去这里是负一的平方，然后加上这里是六减零的平方，那我们看一下最终结果，根号十六加三十六多少？二倍，根号十三， 二倍根号十三，所以最终这个半径就等于什么呢？根号十三，根号十三的平方就是多少呢？十三啊，然后这里不是圆的标准方程吗？你把它打开， 这里就是多少呢？ x 的 平方减去二 x 加一，加上 y 方减去三 y， 然后呢，加上九减十三等于零啊。这个地方你只需要把这个常数项一呀九啊十三，稍微运算一下，最终的结果就是什么呢？ x 的 平方， 然后减二 x 啊，首先找 x 平方减二， x 是 不是就 c 和 d 就 可以排除了？就还剩 a 和 b 选项，我们最终看一下啊，这里一加九是十，十减十三是不是负三？负三的话，这里又锁定了啊，最终答案就什么呢？ b 选项啊，最终答案就 b 选项五。十二题 不等式的解集，刚好这个不等式小于零，取中间的形式，也就说明什么呢？负二和四就是这个方程的两个根啊，那你这个时候就可以应用什么呢？根与系数间的关系，那么也就是著名的什么呢？回答定律啊，什么东西呢？ 两根之合 x 一 加上 x 二，等于负的 a 分 之 b 啊，我这个地方说的负的 a 分 之 b， 不是 这个题目中的 a 分 之 b 啊，它是基于什么情况呢？基于这个 二次函数 a， x 的 平方加上 b， x 加 c 等于零，是基于这个式子的负的 a 分 之 b 啊。再来看两根之积 x 一 乘以 x 二等于什么呢？ a 分 之 c。 然后这个时候我们来看，如果你用了这个东西，是不是这个题目就做出来了，对吧？你就要想到啊，所以现在怎么办呢？我们看两根之合，这两个根，一个是负二，一个是四，我们把这个过程在这里啊，所以第一个两根之合 x 一 加上 x 二，是不等于负二加四？ 负二加四，这个地方应用负的 a 分 之 b 啊，也就是负的 a 就 相当于这里的二次项，系数是多少呢？ a， 也就是负二加四等于负 a， a 就 等于多少呢？负二 啊。再来看后面， x 乘以 x 二， x 一 乘以 x 二等于 a 分 之 c， 这里是不是也就是这个地方的 b 啊？也就是负二乘四，对吧？负二乘四， b 等于多少呢？负八。然后问你， a 加 b， 负二加上负八，也就负二减八负十，最终答案是不是就选什么呢？ a 选项啊，五十三题， 立体几何啊？线面角，线面角，最重要的就是什么？这条直线在这个底面，或者说在这个平面内的摄影啊，这个摄影这条斜线所成的角就是叫线面角，如果你这个弄懂的话，这个题目就特别简单啊， a e， c， 我 们看一下， a e， c 是 这条斜线与这个平面的摄影是啥呢？是不是也就是这条 a c a， c 也就是它的摄影？所以这个时候呢，这条线这个平面所成角的正切值啊，也就是多少呢？也就这个角角，然后 a 一 c a， 然后让你求正切值吗？也就是前面加个 can 啊，那么现在我们看一下啊，正切是等于什么？对边比平边这个角的对边是多少呢？ a e， a 要比上这里是多少呢？ a c 啊，我们来看一下， a e a， 它告诉你的是五啊，这个底下是多少呢？这里它不是个什么长方体吗？底面这个地方 a， b， c 肯定是这个直角， a， b， c 是 二，所以这个 a c 根据度数定啊，也就是根号下 一的平方加上二的平方，这不得根号五，也就根号五分之什么呢啊，最终答案还是什么呢？根号五选 d 啊，选 d。 五。十四题，一个圆锥的轴结面，好，我们这个题目啊，给大家把圆锥画出来， 圆锥的轴洁面，你怎么去看待？你就相当于一一个刀下去，把圆锥一切两啊，大概是长这个样子吧。圆锥的轴洁面啊，这是个圆锥轴洁面，什么呢？中间那里横着一刀下去啊，他跟你说这个轴洁面，我们这里轴洁面就用虚线表示出来啊，这个底面啊， 旁边这个也是啊，轴极面就是这样一个等腰三角形啊，这地方可能不是很明显啊，不过没有关系，不影响我们做题，它等于说它的腰长是根号二，那么对于这个圆锥来说，也就母线为根，号二也就什么呢？这一段为根号二啊，底边上的高是一，这个是不是一， 它任你求。圆锥的什么呢？侧面积，那我们根据圆锥侧面积公式是什么呢？ pi r l， 那 你 r 就 等于半径下，这个 r 就 等于根号下， 这里是根号二的平方，减去什么呢？一的平方，那么是不是就等于一，所以最终这个测面积给他带进去 s s 就 等于多少呢？ pi 乘以二是一， l 是 什么呢？根号二 l 就 相当于什么无限 r， 所以 最终就是根号二。 pi 选什么呢？ b 选项 r 五十五题五十五题，这个式子一看，如果你现在还不知道的话，那你这个复习真的要好好重视了啊。余弦定理这个地方怎么办呢？你给它写的什么？ a 方加上 b 方减 c 方，然后很明显底下就是什么呢？二 a b， 那 么这个式子对应是哪个余弦定理呢？是不是也就是什么？口三以 c， 这里就是我们的口三以 c 啊。然后我们看一下，上面是对于 a b 的 底下也是等于什么呢？二 a b， 所以 现在把这两个 a b 约最终口三以 c 等于二分之一，口三以 c 等于二分之一，所以这个 c 是 等于多少呢？三分之派 啊， c 等于三分之派，然后问你三以 c， 也就问你三以三分之派吗？三以多少？六十度二分之根号三，答案选什么呢？ c 选项啊，我们这里基本上做了有几页了，三页了啊，基本上没有什么难度啊。再来看最后一页， 函数五十六题啊，开始上难度了啊，函数在这个定义域上，它是个减函数啊，首先我认为 一个函数拿到，你优先给我考虑它的定义域再说，第一步就先把这个定义给我求出来，你这个定义域 x 是 负一到一，所以这里对应的一减 a 啊，小于这个是你先别管它，你首先优先的把这两个后面的 x 这个定义给我优先的算出来， 第一步也就多少呢。定义啊，负一，然后呢，这里一减 a 是 大于负一小于一的，同样二 a 减一，大于什么呢？负一小于一好，再来看啊， 他跟你说这个函数它是一个什么减函数，减函数很明显自变量大，函数值反而越小，也就什么呢？假设 x 一 是小于 x 二，那么减函数这是 f x 一 是大于 f x 二，那这里 一减 a 是 小于的一 f 一 减 a 小 于 f 二 a 减一，也就是一减 a 要大于二， a 减一就行了啊。然后最最终这个题目就变成了什么解，这个不等式组一个一个来解啊， 这里一减 a， 这个地方怎么办呢？我们给他首先把这个两边通乘负一变成 a 减一，然后这个地方两边通减一就行了啊，最终解出来这个 a 的 范围就是什么呢？零到二 这个底下，首先两边同时加一，把这个负一给它去掉，然后最后的结果两边再还要同时除以二，那么这个 a 算出来就是多少呢？零到一之间， 这个一减 a 大 于二，一减一，这个好办， a 小 于三分之二啊，然后这个时候呢，我们把它三个分别取什么交集，最终也就什么呢？零到三分之二，所以答案选 c， 选项二， 五十七题。好，五十七题就开始上难度了啊。嗯，五十七题这个题目如果是我做的话，因为我们这个这个离心率啊，它是有一个二级结论的。嗯，这个我们慢慢来说啊，我们先看他的常规做法，我们先把他的图给他画出来啊，我们首先画一个 图给平面上，给他标，给他做起来啊，然后呢再把这个图给它画出来，你看一下啊， 然后我们稍微移一下啊，我们重点放大来看啊，然后呢，他跟你说啥？他跟你说 f 一 f 二是两个焦点，那你先把这两个焦点给它表示出来再说 啊，这里是 f 一， 这里是什么呢？ f 二啊，他跟你说啥呢？ p 是 这个椭圆上一点，并且 p f 一 是垂直于 p f 二， p f 一 垂直于 p f 二，我假设这个 p f 一 跟 p f 二垂直就行了 啊，也就说这个角是直角，对吧？这个角是直角啊，并且这个 p f 一 和它之间还是一个什么呢？两倍的一个关系啊。那么这个地方你就可以根据什么呢？椭圆的第一定义去做啊，怎么去弄呢？我们讲过椭圆的第一个定义是什么？也就是 椭圆上一点到两个焦点距离之和为二 a 为定值啊，也就什么呢？ p f 一 加上 p f 二，它不是等于二 a 吗？那你现在又知道了，这个 p f 一 是等于两倍的 p f 二，所以 这个时候我们就假设这个 p f 二为 m 好 了，所以这个 p f 一 是不就是二 m， 对 不对？那么现在也就知道三 m 两个，一加 p f 一 加 p f 二，是不就得三 m， 等于什么呢？二 a， 所以 这个 m 也就是等于多少呢？三分之二 a m 等于三分之二 a， 然后所以现在这个 p f 一 是不是可以表示出来了？ p f 一 就是等于多少呢？三分之四 a 啊， p f 二是不是就等于三分之二 a， 对 吧？然后我们来看啊，他跟你说这个地方又是个直角，是直角，怎么办呢？勾股定律啊，勾股定律， 勾股定律，也就是 p f 一 的平方加上 p f 二的平方等于 f 一 f 二 f 一 f 二，它两个交点啊，所以 f 一 的坐标是负 c 零， f 二的坐标就是 c 零，所以现在根据勾股定律就是什么呢？ p f 一 的平方加上了 p f 二的平方，它是整与 f 一 f 二的平方 啊，那你现在来列一下这个式子也就是多少呢？这个 p f 一 p f 一 的平方，这里是不是也就是三分之四 a 方，然后三分之四，哦，这里三分之四 a 的 平方啊，然后呢？ p f 二是多少呢？三分之二 a 方，然后就等于什么呢？二 c 方啊，然后这个时候呢，你就把它计算，展开计算就行了啊，这个地方是多少我们看一下啊，这里就是九分之， 上面我们直接写啊。呃，十六 a 方，加上这里是四 a 方，也就二十 a 方，然后呢，也知道呢，九分之二十的 a 方等于这里是什么呢？四 c 方， 对吧？然后这个时候九分之二十 a 方等于四 c 方，所以这个 a 和 c， 他 不是最终问你求什么，他让你求这个离心率吗？离心率意义是等于 a 分 之 c， 所以 这个地方对应的一笔 a 方分之什么呢？ c 方是不是就等于九分之五？ 所以最终开根号出来也就等于什么呢？三分之什么根号五啊？就等于三分之根号五，这个是我们常规的做法啊。呃，如果你跟着我寒假课程来学习的话，这个地方我们直接就是用奥数结论会更快啊，你看 假设这个呢是二法，假设这个呢是贝塔啊，这个地方你就可以怎么办呢？他不是跟你说这个是直角吗？所以你现在就得到这个二法加上贝塔是等于九十度的啊。那么这个离心率还有一个公式他是怎么来的呢？这个地方我们有时间我们给大家慢慢讲啊，他就直接等于什么呢？三 c 塔，这个 c 塔就是这个什么呢？ f 一 p f 二比上什么呢？这里就是三引二法加上三引贝塔啊，就等于这个玩意，所以这个地方最终你根据二法加贝塔等于九十度啊，它俩不是三引贝塔， 是等于扣三引被的二法啊，这个地方你就能算出来这个三引二法是等于多少，扣三二法是等于多少。然后你这个地方你再直接用这个公式一等于这个一笔就行了啊，这个样子也可以更快的做出来，答案也是一样的，三分之根号五啊，感兴趣的同学可以去试一下。五十八题函数图像啊， 这种题目可以说是经常考的。那么第一步一个一个求，你看这里参数有 a， 有 omega， 有 范，一个一个去求，先求 a， a 的 话就看这个图像 y 的 值是多少呢？二，所以第一步 a 就 等于二，很快弄出来了啊。第二步 再来求这个 omega， 这个 omega 怎么求呢？我们就要看这个点上的坐标。嗯，这个地方我是这么看的啊，你看这个图像从六分之派到三分之二派之间是不是半个周期？半个周期这里，或者你把这个图像从六分之派到三分之二派之间是不是半个周期这里，或者你把这个正弦函数分成四分 一二三四四份，然后三分之二派到六分之派之间是不是占了两份，对吧？他是不是占了两份？所以现在也就是什么呢？ 四分之二 t 也就是等于什么呢？三分之二派减去六分之派啊，我们来看一下，前面是多少呢？二分之 t， 这个后面一减刚好是等于二的，所以二分之 t 等于派。 t 等于派的话，那你很快就能推出来。 omega 是 等于二， 我们俩是等于二啊，所以这个函数你已经大功告成了。 f x 它就等于二倍的三 x 加 find 啊，你已经已经写出一半了，还有最后一个凸项怎么弄呢？我们再来看啊，凸项这个地方你就找一个点就行了，你很明显，这个函数随便你找哪个点啊，这里我就找这个最高点吧。六分之 pi 和二，你把它带进去就行了啊， 然后你带入啊，这个地方也就多少呢，二是等于二倍的三二乘以六分之 pi 加 five 啊，这个地方我们来看，所以也就得到后面这个式子。三二乘以六分之派，是不是三分之派加 five 是 要等于一，然后这个时候还有个重要的条件啊，你这个 five 的 绝对值要小于二分之派，也就说你这个 five 不 能超出二分之派这个范围，所以你这个 five 最终 也就是等于什么呢？这个二分之派减去三分之派，最终这个 five 是 不是等于六分之派？ find， 六根 find， 你 现在三个参数都出来了， a 出来了啊， omega 也出来了，然后呢？ find 也出来了啊，最终答案我们看一下，就选什么呢？ y 二倍的这个玩意啊， 选 b。 五十九题五十九题，其实我认为这个题目，嗯，放在这个地方我有点不太妥，我认为应该把它放到前面一点啊，这个其实不难，你看啊， 呃，很多同学估计被他吓到了，其实是纸老虎一个，你看， a 等于 f 四分之一，你 f x 这个绝对值函数都告诉你把它带进去啊，那么它是不是就等于 lo in 这里是四分之一的绝对值，这个 lo in 四分之一的绝对值，它就是等于 lo in 四 啊，我估计这个同学这一部分同学不不明白，我们讲一个后面的也是一样的啊，为什么呢？我们先来把绝对值去掉，先算一下这个 lo in 四分之一， 这个 loin 四分之一，我们是不是又把它看成 loin 四的负一次方，四的负一次方，把这个负一这个值根数上的指数拿到前面去，就负一乘以 loin 四，也就负 loin 四，所以 loin 四分之一这个式子就等于负的 loin 四。但是我们前面还有个绝对值呢，也就等于 loin 四啊，所以 a 就是 等于什么呢？ loin 四同理， b 就是 什么呢？ loin 二啊， c 就是 什么呢？ loin 三就行了啊。然后我们这个时候其大小我们来看一下这个函数到底是增还是减？ loin 这个函数我们讲过，它以 e 为 e， 是 二点多，大于一，它肯定是个增函数，所以 这个地方也就得到什么呢？ loin 二小于 loin 三，也就什么呢？ loin 四这个样子看的话，也就什么呢？ loin 二最小也就 b 最小吗？答案就是选四 是 c 还是 d？ 我 看一下啊，我这里有点看错了，四的话是 a 二选 d 啊，选 d 好， 最后一题啊，六十题。嗯，六级这个题目啊，我给大家讲一下啊，在二零二四年普通高中考试那个九省联考里面有一个跟这样一模一样的题目，也不说一模一样吧， 他是把这个地方换成了什么呢？四 a 方啊，其实道理是一样的，换汤不换药。如果寒假跟着我学习的同学这门试卷，如果你在考场上看到这个题目，你应该是很高兴的啊，你应该是很高兴的。好，我们来看啊， 这个双曲线，反正我建议同学们什么呢？遇到平面几何，你第一步先把这个图给他弄出来再说啊，你管他呢，先把这个双引线给他弄出来啊，这个时候我们再来看啊，双曲线啊，左焦点为 f 啊，左焦点为 f， 先把这个左焦点给他弄出来 f 啊，然后呢？直线，这个直线什么呢？ y x 过圆点吧，与双曲线左右两只分别交于 ab 两个点啊，你随便怎么画，这是不是交于两个点了，对不对？我这里假设这个点是 f 啊，他跟你说 f， a 乘以 f， b 等于零。 好，两个向量乘以 g 等于零，就说明这个角刚好是个直角啊，我们看下，这里是 a， 这里是什么呢？ b 下面 啊，这里是 a， 这里是一个 b 向量啊。然后你看啊，这个题目有两种说法，我两种话都跟大家讲一遍啊，这怎么弄呢？第一种，你可以把这个东西给他补全啊，你看啊，怎么说呢，这个地方是不是个直角，你把这里双曲线肯定有一个右焦点了，对不对？我假设这个右焦点是 f 二， 假设这个右焦点是 f 二，你把这个图形给它补全，补全是个啥呢？你这里 f 二应该还再过来一点啊，这里是 f 二啊。然后你现在把这个图形给它补全， 补全之后它其实就是个什么平行四边形，为什么我说它是个平行四边形？我们来看一下啊。首先这个第一点 啊，我们一个一个来看啊。嗯，我们看一下啊，为什么说它这个是个平行四边形呢？ 首先，呃，这个地方，这个你是不是可以把它看作这个地方是这个 o 点是不是图形的圆点？这个 o 点 它既是什么？ f 和 f 二之间的终点，它也是两个顶点之间距离的终点嘛？所以这里还是个直角，刚好直角三角形，斜边上的中线等于什么？斜边的一半啊？直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个地方 o 它是 ab 的 中点， o 是 不是还是 ab 的 中点，对吧？因为你这个直线 k x 过圆点了， o 呢？它不仅是这个 f， 还有 f 二中点，它也是这个什么呢？ ab 的 中点， 所以这个时候你是不是就能推出来它是个平行四边形，也就是什么东西呢？这个 f a、 f 二 b 啊，它是一个什么呢？平行四边形， 平行四边形的话，你也就得出来 f b 是 等于这个什么呢？ af 啊 啊，然后我们再来看一下，再怎么做呢？它现在不是跟你说 f a 乘以 f b 是 等于零吗？等于零也就说明这个角刚好是个直角啊，这点你最基本了，也就是角什么呢？ af b 是 等于九十度的啊。然后我们再来看一下再怎么做呢？这个时候你可以用双曲线的定义了啊，双曲线定义是啥呢？一点到两交点距离之差，绝对值等于定值二 a， 所以 现在这个地方怎么办呢？也就是 a f 二啊，然后呢，减去 a f af， 我 们讲过它是不是等于定值是二 a， 所以 现在它告诉你了， fa 是 三分之二 a， 所以 现在你马上是不是可以求得这个 a、 f 二， 它就是等于什么呢？ a 加上 a f， 也就加上三分之二 a， 它们是不是等于三分之八 a， 对 不对？这个 a 是 等于三分之二 a， 那 么它是平行四边形 a f 二是等于 f b 的， 也就是说 f b 它也是等于三分之八 a 啊。所以这个地方就怎么办呢？又可以运用什么呢？这个勾股定律啊，在这个三角形 a f b， 在 a f b 这个三角形里面，你这里 fa 的 平方加上 fa 的 平方， 是不是等于 ab 的 平方，对吧？然后你这个地方就可以把它带入进去啊，你看， 也就是三分之二 a 的 平方，加上这里是三分之八 a 的 平方，是等于 a b a b 的 平方，我这里它其实就是什么呢？二 c 的 平方啊。可能很多人问，为什么这个地方 a b 的 平方差是等于二 c 的 平方啊？你看一下啊， 这个地方，你看这个地方 o， 它是不是又是它的中点，所以你也就能得出来 f o， 它是等于什么呢？二分之一 a b 看一下啊， f o 是 等于二分之一 a b， f o 是 什么？交点到原点之间的距离也就什么焦距，所以也就得到什么呢？ ab 等于二 c， 也就 a b 等于二 c， a b 也就什么呢？二 c 就 什么两交点成的距离吗？ a b 点二 c 二勾股定力，这个地方直接一运用就行了。然后我们看下这个地方，前面啊，我们就直接写了啊，是等于九分之，这里是多少呢？这里就是四 a 方加上六十 四倍的 a 方，它是等于多少呢？这里是四 c 方啊，这个时候我们上面啊直接一比，这个时候呢，前面是等于九分之六十八倍的 a 方，所以这个时候我们一比， a 方分之什么呢？ c 方，它就是等于这里是九分之十七啊，我们直接快速的约分啊。然后现在 这个 a 方分之 c 方，它是不是离心率的平方？那么离心率的平方和进进线之间有一个什么样的关系呢？这个地方你就可以通过这个 c 方是得 a 方加 b 方，所以现在 a 方分之这个 b 方啊，它就等于什么？离心率的平方， e 的 平方减一， e 的 平方刚好是不是等于 a 方分之 c 方，也就是等于多少呢？九分之十七减一，是不是刚好是等于九分之八？ 近近线的平方是等于九分之八，所以你这个开根号出来也就是等于多少呢？三分之二倍根号二啊，前面有正负，所以答案就是选什么呢？ a 选项啊，这个是我认为是一个比较简单一点的做法，把它补全，它就是一个什么呢？平行四边形啊。 好，那我们一份试卷啊，数学的我们就讲完了。好吧，那我们总体来回顾一下，其实我认为这份试卷出的还是很好，你看它函数也有，然后呢，这个例题几和三角函数啊，都涉及到了。那我给大家简单的交个底啊，我认为明年数学最后一题会考啥呢？就是函数， 所以什么呢？圆锥曲线啊，就是一个函数和圆锥曲线，大概就这两部分，跑不掉了。呃，只是我个人的猜测啊，朋友们可以在这个备考复习方向的时候呢，大概往这方里面去走一走。我觉得圆锥曲线的概率可能很小，如果要考就考双曲线 啊，函数的概率还是比较大一点的，我个人认为啊，我个人认为啊。好，那我们这个试卷啊，我们就讲到这里，拜拜，我们下回再见哦。

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我们安徽今年走分类和对口的中职学生和普高学生。三月八号我们全省统考，中职学生和普高学生考同一张试卷，语文、数学、英语总分是三百分，语文和数学是一百二，英语是六十。 三月八号开始考试，那么三月八号之前要打印这个准考证，大概三月三号开始登录这个系统来打印准考证， 这个学校不会给你打印的，正常都是自己打印的。学校如果给你打印的话，那最好了，如果自己打印的话，就登录这个系统上去保存那个一个文件，拿到打印店去打印。 打印好了以后三月八号呢，上面会告诉你去哪里考试。呃，到时候要带自己的有效身份证去全省统考，三百分，这个分值很重要，直接关系到你接下来。呃，要填哪些公办的大专或者本科， 如果还有关于安徽分类和对口不了解的信息，可以单独问我。

有罪谁为你？月下无 能独自归。 笑似狂野照，影来风 飘去无踪，人间烟火映红在。

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一共有四本，然后这个大的呢，它是校考真题试卷会编，它总共会编了六十所单招院校的真题。好，它这个总共有三十套试卷啊，这上面的题目都不是随随意的登记上去的，它是根据历年那些单招的考生考完之后去回忆，然后去会编的。这一套试卷 啊，总共有三十套，一天大概写个两套左右啊，后面也是有答案可以查阅的啊，做错了的直接对答案，或者说直接问 vi， 问豆包，都是非常方便的。然后我们来看一下这个小册子，这三本小册子可是单招校考的必杀技啊，一本一本的，大家看一下。 第一本是校考必刷题库，他是把这个六十所单招院校的真题，然后经常考的题目给他汇总在这里面，就是方便你去查找，反复的看，做错了没关系，直接询问豆包，这一本如果你刷完了，对你的校考绝对是有非常非常大的帮助的。