九年级三角函数自行车简化图59°

一幅图带你搞定初中常用的三角函数值，来一起来看一下。这是一个大的矩形，当中 这两个三角形是含三十度角的直角三角形，中间这里是等腰直角，那么剩的这个三角形就是一个十五度角和七十五度角的直角三角形。来我们一起看啊， 左边的这个三角形，三十度角所对的直角边是斜边一半，所以我就设短直角边为一，斜边为二，所以我们就可以得到了长直角边跟三。同理，右边的三角形边长一跟三， 二，来，你来勾股一下，等腰直角三角形二倍跟二，这条矩形的边长啊，这个矩形的这条边长是跟三加一 来这里的长是根三，所以这一小部分就是根三减一，我们呢就是很轻松的就可以完成这个矩形的填空。来，右边的这个表格是什么呢？你来填一下，照着左边的图已经填完了，我们填的一样吗？评论区里见。

高中数学最难的三角函数与解三角公式全部吃透，逆袭班级前三。三角函数与解三角形公式一，特殊角的三角函数值二、角度至与弧度至的转化四、任意角的三角函数 六、诱导公式八，二倍角公式 九，正余弦定力十一、三角形中的相关公式完整电磁板分项。

很多同学说三角函数万能公式，我知道很重要，但是我不会证，来，刘老师帮大家证一下，记住它如何去证？首先咱看第一个，对于第一个来说， sin 啊法咱都知道，等于二倍的 sin 二分之二法， cos 二分之二法， 接下来咱想一下，当它下边除以一，结果保持不变，接下来我把这个一我是不是可以变成 sum 二分之二法方加上 cos 二分之二法方， 那到这一步之后，上下同时除以 cos 二分之二法方，那么上边就变成了二倍的 tangent 二分之二法， 下边呢，也除以 cos 二分之二法方，除以之后它就变成了 candy 的 二分之二法方，它呢就变成了一看明白没有？第一个会了，那么第二个咱也会整了第二个。同学们，咱来看一下现在要的谁？现在要的是 cos 二法， cos 二法咱利用二倍角公式我就知道它等于 cos 二分之二法方，减去 cos 二分之二法方， 同理啊，我在下边除以一，结果不变，那一呢，接下来还是把它变成 㾪 二分之二法方加上 cos 二分之二法方， 同学们，跟上面的做法是不是一模一样？分母同时除以 cos 二分之二法方，那么除之后就等于上边就是一，减去 贪心的二分之二发方，下边就是一，加上贪心，他二分之二发方学会没有呀？那这两个会了，第三个咱会不会处理了？第三个咱知道呀，贪心他阿法就等于三阿法除以 cos 阿法， 他们两个有了一相处，是不也就得到他了？看懂没有？关注卢老师数学更上一层楼。

同学们好，现在我讲解九年级中考数学模拟卷的有关题型，那么这道填空题呢？跟三角函数有关系？呃，三角函数是必考题型，通常在那个呃大体里边出，或者在选择填空里边都有见到啊。呃，比如说这道例题， 神舟十四号载人航天飞机搭载的机械臂啊，这些是介绍他的。当然了，具体的数据在这里， ab 等于五， bc 等于二，那么这个固定长度的东西都是比较简单的，咱们直接一标上就可以了。他说一百角与 bc 的 一百四十三度， 也就是说这个钝角是一百四十三度，让你求 ac 两点之间的距离，要想求 ac 之间距离，咱们先把 ac 给连上，当然我是用实线连的啊。那现在做题的时候，大家注意，三角函数做题有一定的技巧。第一点就是认真读题。 呃，这句话说了和没说一样啊，就是你做任何题都是你先读题，读已知，读完已知之后，你会发现一些知识点。第二一点，要大胆构建直角三角形， 构建出直角三角形之后，再根据三角函数值，用三角函数去解决一些问题，这样就比较简单。当然最终它求 ac 的 长度，可能能用三角函数直接求出 ac 的 长度，也可能用勾股定律去求，这就是咱们逐渐分析题中一会边做边看了。 也就是说做这种三角函数题，首先把题读懂，读懂之后咱们也能明确的看出来，这个 bc 和 ab 的 长度已经是定值，那么 abc 这个角度是一百四十三度，也已经固定 那一百四十三度。看这三角函数值里边，咱们学的是锐角三角函数，所以说他跟对角给直角，那肯定是咱用不上呀，咱就要把那个钝角给转化成锐角，那一百四十三，他的补角就是三十七度，而且题中 恰恰给了三十七度的三角函数值，那怎么样能出现三十七度呢？那就肯定是这个 abc 的 补角了。你看，我就把这个 c、 b 给顺其自然延长，然后我过 a， 呃，我再做个垂线，这个叫个点吧，就是我过点 a 做 a 的 垂直于 bc 于点的。我简写了啊，于点的，那么这个角的这块就是九十度，这个角 a、 b 的 就是三十七度。现在 ab 等于五，也就是说在 r、 t 三角形 ab 的 中， 根据三角函数，在这个三角函数，咱就可以求出来。呃，那个 b 的 和 a 的 长度， 你看，这个角是三十七度。我要想求 b 的 的话， b 的 咱可用口算也三十七啊。 b 的 就等于 ab， 乘以口算也三十七度。在这里有个细节问题，因为原题中都是约等于，咱们在真正做题的时候，也要用约等于去代 ab。 当然固定值是五，口算也三十七乘以零点八等于四。大家看， b 的 等于四，这个 a 的 可以用勾股定律求出得三来。 这题就显而易见了，在求 a c 的 时候，咱就用 r、 t 三角形 a、 c 的 中用勾股定力就可以求 a c 了。 a c 不 就等于根号下 c 的 方加上 a 的 方吗？嗯，那么 c 的是六的平方，加上 a 的 方是三的平方，最后就求出来 a、 c 两点之间的距离。 当然六方加三方等于三倍根号五。这个题最终他让咱们保留零点一，精确到一位小数，这是最关键的啊，我画红笔，这个最关键的。 所以说大家不要盲目的算出三倍根号五就往空里添，一定他给咱们根号五的值了，怎么往里带？最后求完这个值是约等于六点七米。你看这个题，其实他虽然是小的填空题，但是实则就是一个大的三角函数题。 三角函数题做题的方法已经固定，就像咱刚才分析的，认真读题，明确提议之后，而且要构建直角三角形，再用三角函数去求。呃，这个题如果有什么问题可以随时微我。

三角函数的动态周期是我们期末考试的常考题型，而且往往无论是在我们期末考试还是高考里面，他都是一个压轴题出现。很多同学呢对这种问题说啊，总觉得我这个地方变来变去啊，没有一个什么好的方法，其实都是有套路的啊。那今天华哥呢，带着大家 来摸清这个套路，你看类似这种题目，它总是说什么 f x， 然后呢？ find omega， 它在 x 区域前面有个 omega， 那 说明什么？说明它的周期是个变化的，对不对啊？加上三分派，在某一个范围上单调递增也好啊，或者在某一个范围上面，它是有几个零点也好，或者至少几个零点也好，然后我们去把这个 omega 范围求一下，那这种题目我们的处理的方法是什么呢？ 首先一定要画图对不对啊？一定要画图竖形结合嘛。但是我们再去画这个函数图像的时候，很多人就想啊，我这怎么画呀？你网名卡不是一个变动的东西吗？那我到底该怎么去画一个变动函数图像呢？其实也没有那么复杂啊，只是你要转变一下数学思维， 你比如说对于这个函数图像来讲，那是不是我们整个函数图像左加右减，向左边平移多少多少个单位？那我平移了多少个单位呢？首先我们看啊， 它的周期等于二派除以欧米伽，而我们向左边平移的把欧米伽提取出来之后是 x 加上三分派除以欧米伽，也就是说我要向左边平移三欧米伽分子派个单位，那你的欧米伽是变化的，我向左边平移多个单位能去看呢？ 没法看，对不对啊？它是个变化的平移，那我们该怎么处理呢？听好了啊，我们平移不要平移具体的单位，而是平移它的周期， 因为我们知道周期是等于二派比上欧米伽的，那么我们用这个数字去除异他的周期啊，派除以三倍欧米伽，再除以什么二派比上欧米伽，那你会发现这个欧米伽是不是就约掉了？得到的是什么？得到是不是六分之一个周期，对不对？ 所以我们等于说向左边平移六分之一个周期就行，那你就在这个地方去标记好，它这是负的六分之一个周期，那么到这个点它就变成多少个周期啊？整个这是一个周期，对不对啊？那它是不是应该是六分之五倍的周期？那中间这个点我们是不是也能够把它描述出来？它应该是 三分之一个周期，对不对？好，那么这个点是不是也能够看出来，负六分之 t 和三分之 t 的 中间的那个数对不对？它就是十二分之一个 t。 好， 你看啊，我们整体去画这个图的时候，一定不要想着说我是向左边平了多少个单位，然后去把这个图画掉，而是平了多少个周期，就这么一点点的变化，这个题就很好做了， 然后我们看下题目条件怎么说的。零到三分派上是单调递增的，那说明三分派是不是只能放到这个地方来？你从零到三分派不能超过十二分之 t 是 不就可以了？所以你是不是得到这么一个不等式，我的三分之派要小于或者等于十二分之一 t 呀？那你把这个不等式求出来，我们给他放就出来了， 我说明白了吗？我们再总结一下啊，就你去处理所谓的这种动态周期问题，这个后面的单位，因为这个单位它是个变量，你是没有办法去说的。 但实际上呢，如果你采用周期，我平均按周期再去算的话，它就是可以就变成一个定量了，从一个变的变成一个定的，那么这个图像就很清楚了。 而一旦你知道它是负的六分之一 t， 那 剩下的所有的这些特殊点，极值点也好，零点也好，它的这个点它都可以用周期去描述出来，然后你再结合题目条件去列出对应的不等式就可以了。 好，这是一个啊，第二个呢，其实你会发现啊，我们可以把这些东西稍微的省略一下，大家有没有发现啊？我这个地方我是用三倍的 omega 分 之 pi， 这个地方呢是二 pi 除以 omega， 那 么它们两者相处，你把 omega 约掉之后，你发现没有，它其实就是三分之 pi 除以二 pi， 可以 迅速的判断它的周期的个数，那就是直接拿这个尾巴我们去除以二 pi 就 好了， 我说明白了吗？我们下面来看这道题，他说在零到二派上恰好有三个零点，那我们去求 omega 的 取值范围，那这个地方是不是负的三分之派， 所以我们用负的三分之派，那说明左加右减，那是不是向右平移，那直接用它除以二派，是不是向右平移六分之一个周期就可以了，所以我的图像你看画出来，那就往这边来六分之一个周期，再去画一个整个周期啊，当然你也可以多画几个周期啊，因为这个地方它是三个零点，那么这边是不是也就对应的 就变成这样子了？好，我们把这个六分之一个周期标记上去行不行？那么到这来是不就是多一个周期？他是不是就是六分之七个周期？没问题啊？好，那么再往下面走，他这个地方就变成中间会变成相加除以二，是不是六分八除以二，六分之四是三分之二个周期， 那么你到这个地方来到这个点来，它是几个周期？从三分之二 t 再多一个周期，是不是三分之五个周期啊？你诸如此类所有的这一点，我是不是都能把它用周期把它表达出来了？ 没问题吧？我们再看题目条件，他说零到二派范围内刚好是三个零点，零到二派内有三个零点，你看这是第一个吧，这是第二个零点，第三个零点在这，那么二派是不是就只能到这个范围？他可不可以等于这个点？ 可以吧？所以他大于等于六分之七个周期，可不可以等于这个点？没有办法，如果你等于这个点的话，那是不是说明我有四个零点啊？说明他只能小于三分之五个周期。你把这个不等式一解，我们给他放就出来了， 我说明白了吗？核心是什么呢？就是大家平时再去做这个题的时候，他没有办法去画图，因为他不知道向右边平移了三倍，我们那分之派 是多少，因为我们那是变的，所以我要往右边平移多少呢？你没法去画，但是呢，你实际上用这个东西除以二派得到的是六分之一个周期，那你这边平移过来是六分这个周期，三分这个周期就完事了，这个期就很简单了， 我说明白了吗？这就是这种动态周期的考法，所以同学们以后再遇到这种动态周期的问题，是不是发现也可以轻松拿下了？

九年级的孩子啊，现在大部分都已经开始学到这个升降函数了啊，那么我是不是有这种感觉，就是你看到这个扇口扇摊进它 这些英文字母呢，就觉得有点新奇，有点新鲜，甚至有的孩子会感觉说这个英文字母和这个数字一组合，好像就打开一场什么高端局 啊，不明决裂。然后呢，心里呢，会觉得说这个是不是会很难，然后就开始有点发慌，不要慌，三角函数呢，没有那么难，今天呢，我就几分钟时间给大家讲一下这个三角函数的底层逻辑，你只要抓住这个思路，最终的学习呢，就会变得非常的轻松。 首先呢，咱们要彻底扭转一个观念，就是三角函数本质上他不是计算题，而是你们翻译的语言，他的核心任务其实就一个，就是把角度和边长这两件本来并不相关的事情给精准的对应起来。 那在直角三角形里面呢，一个锐角的大小定了，那么三角形之间的比例关系就固定了，所以算 cosine 这些符号就是给这些谷地的比例起的名字。 所以你在学的其实呢，学的是一套命题规则，就是看到三十度，你要立刻想到它的对边比斜边，那这个比例的名字叫算三十度，而且呢它等于二分之一， 你把你的思维从这个算数切换到翻译和对应，这是理解的第一步。那具体怎么学呢？第一步就是一定要牢牢的记住这个定义， 就在直角三角形里面，把 sin， cosine 这三个最基本的定义像背口诀一样刻在脑子里，不要搞混， 这是所有计算的起点。第二个呢，就要建立起特殊角比例值的快速反应，就是三十度，四十五度、六十度，就记住他们各自对应的值是基本的要求，但更安全的做法需要结合图形去理解，比如等腰直角三角形的对应角四十五度，对吧？两边相等，斜边是直角边的根号二倍， 含三十度直角三角形的最短边的一半。你把图形画出来，那根据第一层的定义呢，自己去推，多推几遍， 自然的呢，就记住了，这一步的目标呢，就达成这个条件反射，比如说看到三十度，脑子里面呢，要立刻弹射出来什么二分之一，二倍根号三，三倍根号三啊，这一列圈的数字啊。第三个呢，我们学三角函数， 其实最终呢就是为了解题嘛，对吧？那这个题目呢，它主要分为两类，那第一类呢，就是直角求边， 题目呢，给了角度，让你去求它的边长，你的思路就是说找到这个角涉及哪个三角，三角函数是三还是口三和贪心糖，然后列出等式，按已知数和未知数呢，带进去去解方程就可以了。 那第二个呢，就是叫做什么叫知边求角，就反反反过来了，题目给了这个边长比例，让你去求角度，这种题的思路就是说有边长比例，让你去求角度。这种题的思路或者要记住啊， 特殊值，找到这个对应的角度，那无论题目多复杂，本质上它就是一个翻译的过程。所以呢，对付这样函数，其实秘诀呢，也很简单，就是把它当做一个新的语言，去牢牢记住， 拿几个英文单词的意思，它代表了什么含义？然后呢，结合图形去理解，记住那几个特殊的角，最后呢，再去反复的去练题，别被那个符号吓到，他只是个名字，当你看到算不再觉得他是个字母，而是说，哦，能想到是这个呃角 a 的 这个什么对边比斜边， 你能把这个画面立刻的在你脑子里面呈现，你就算是真正的入门了，加油吧。

好的，那么这个视频的话，我们来稍微的梳理一下这个三角函数的图像和性质啊，我们呢学了两个三角函数，对吧？一个呢叫做 y 等于 sine 的 x， 另一个呢叫做 y 等于 cosine 的 x， 就是 正弦函数和余弦函数，它们的图像呢，我们来画一下啊，首先是 sine 的 图像， 这呢咱们就把握他关键的五个点，对吧？音呢叫做零斗零，然后呢又经过了二分之派斗一，这是二分之派，二分之派斗一，又经过了拍斗零以及二分之三派斗负一，最后呢是一个二派， 然后把他们用一个光滑的曲线呢，这样连起来，那么这个就是咱们这个三引函数的一个图像。好，但他的图像呢，其实是有很多的啊，这里也可以继续延长过去，这里呢也可以延长过来，对吧？这是咱们这里稍微画一段啊。 ok， 这是三引图像，那么也把这个扣三图像画一下。 好，那么他的这个关键的五个点的坐标，对吧？应该是经过了零斗一，然后呢是二分之派斗零，然后呢是派斗负一， 然后呢是二分之三派斗零，最后呢这是二派斗一。好，连完的话呢是长这样子的。 好，这是我们余弦的一个图像，我们这里可以再画一段啊。 ok， 好， 那么这是我们两个图像的一个基本的形态啊，注意他们的五点呢是有区别的啊。好，现在咱们来看他的一些性质啊，既然是个函数的话呢，就会有相应的这么一些性质，比如说第一个我们会有定义域， 就是我们的 x 的 取值范围，那么发现呢，不论是三引函数还是 cosine 函数呢，它们的定义域就是 s 的 范围呢，都是可以取完所有的实数，所以呢，定义域的话呢，都是 r。 第二，咱们看它的值域，也就是这个 y 的 范围，对吧？那么这个 y 呢，我们发现呢，它最高哎，应该是一，而最低呢，则应该是负一。同理，扣三也是一样的，最高是一哎，最低呢是负一，所以值域的话呢，都是 负一到一之间，而且是 b 区间。好，接下来咱们看它的周期哈， 那么呢，因为这个图像呢，它是可以不断的这样延伸出去的啊，我们发现呢，不论是三亿函数还是扣三亿函数，它的周期啊，都是一样的，都是多少呢？哎，都是这么多啊，二派看到没有？都是二派的周期啊。 好，接着咱们来看它的这个奇偶性啊，我们可以发现呢，可以，三元函数的话呢，是关于圆点对称的，而扣三元函数呢，则是关于这个外轴对称的，那么就对应到咱们的奇函数和偶函数。所以第四个 奇偶性，我们会发现呢，三引呢，是一个奇函数，而口三引 x 是 一个口函数啊。好，在这咱们来看它的一个叫做它的对称性， 这个对称性呢，它又分了对称轴和对称中心，对吧？我们先看对称轴，我们看到这个三引函数的对称轴， 我们发现呢，他有很多根对称轴啊，比如说，呃，二分之派，对吧？ x 点二分之派， x 等于二分之三派， x 等于负的二分之派，这些都是对称轴。那么怎么来统一描述呢？我们的方法就是找到一个啊，先找个代表，比如说这根线叫做 x 等于二分之派， 我们会发现呢，它是每隔半周期就会产生一根对称轴，那么它们之间的间距呢，应该是派，所以咱们可以统一的写成是 x 等于二分之派，加上 k 派， k 派指的就是半周期的整数倍， 那么其中 k 呢，也是属于整数的好，同理呢，咱们把它的对称中心也找一找 好，那么三元函数对乘中心呢？我们看到啊，比如说零斗零，就是一个对乘中心，对吧？那么接着往下的话呢，还有什么？还有派斗零， 以及二派斗零等等等等，那么他们怎么规律呢？应该是横坐标呢，有零有拍有二拍，那么从零出发，应该是也是半周期一个，所以他会统一的写为呢这个结构，哎，叫做 k 派逗零啊，其中 k 呢也属于 z， 这是我们三引的对称轴和对称中心， 那么因此我们来看一下 q 三引的对称轴和对称中心，那么 q 三的话，它的对称轴呢？我们会看到啊，比如说 第一根呢，就应该这个叫做 y 轴，也叫做 x 等于零，那么第二根是这个叫做 x 等于派，再往下呢是 x 等于二派，就咱们可以统一的写成呢，是从零开始呢，加上半周期的整数倍啊，那么就叫做 x 等于 k 派，对吧。好， k 属于 z， 那 它的对称中心我们看一下啊，从这个点出发哎，它叫做二分之派斗零， 接着呢是二分之三派斗零，对吧？后面还会有，那么是从二分之派开始啊，我们把它呢加上半周期的整数倍，再给它斗零，因为它这个坐标哈，要把它写成一个坐标结构 好，那 k 呢也属于 z， 这就是我们这个扣三引函数的对称中心。好，最后咱们看一个它的单调性。 好，我们会发现呢，不管是三引还是口三引，他们都有很多的真区间，有很多的减区间，我们怎么来描述呢？我的方法也是跟咱们前面对称的方法是类似的，我们先找个代表， 比方说咱们要求三引函数的单调递增区间，我们就先找到一段单调递增区间，找一段完整的啊，那么应该是负的二分之拍 到正的二分之拍，这一段呢，是一个完整的单增区间，那么后面是不是还会有单增区间？好，为了表示所有的单增区间，我们可以把这个区间两端都加上周期的整数倍， 这是因为你从一个单针区间到达下一个单针区间，他们之间呢，其实是相差了一个周期和并非是半个周期。我们看这个点呢，从这里到了这里，这是隔一个周期， 或者说这个点从这里到了这里，这个也是隔了半呃，一个周期啊，所以咱们这里呢，就说写的是负的二分之派 啊，负的二分之派到正的二分之派，那么两边呢？哎，都加上二 k 派， 那么这个就是我们三引函数它所有的单调递增区间，那么我们要找递减的话呢，也是类似的啊，我们就找到一段完整的递减区间， 比如说是二分之派到二分之三派，那么答案呢，就应该是二分之派或加上二 k 派， 这边是二分之三派加上二 k 派啊，这只 k 呢，都是要属于 z。 哈，好，那么有了这个经验的话呢，我们也可以来研究扣三的单增单减，那我们先找到扣三的一段单增区间，比如说这一段， 那么这个横坐标我们要稍微的看一下，应该是个负派，所以说负派斗灵 负派到零是我们的一段完整的单增区间，那么可以两边哎，加上周期的整数倍，那么这个零呢？这里可以省略不写啊，那么就变成负派加二 k 派到这个二 k 派， 那么这个就是我们余弦函数的单调递增区间。好，我们再往后面看他的递减，那应该是零到派，对吗？所以呢，左边是零加二 k 派，也就是二 k 派，右边是派加二 k 派， 就是递减区间，没问题吧？ ok， 这是我们这个关于他的图像的一些基本的性质啊。

都藏着掖着是不是？今天呢，我就要把这个三角函数的口诀交给初中生，以后呢，再碰到三角函数的计算题，就全部轻松搞定了。家长们点赞保存，说不定什么时候呢，视频就下架了， 一二三三二一三九二十七，所有根号别忘记啊，三是二扣三是二，看着呢，写三放分母化简写成最终值，学会了吗？我等你们今年回来报喜！

同学们好，我是镇江市江南学校的贺红秋老师。今天我们共同交流学习的课题是用锐角三角函数解决问题。第一课时， 同学们，你们都爬过山吧？观察下面两幅山坡的图片，你觉得哪个坡爬起来更累一些呢？ 显然爬第一个坡更累，因为第一个坡更陡，它的倾斜程度更大。那你想一想，如何对它们的倾斜程度进行描述呢？ 两个山坡，我们可以把它看作是两个三角形，把生活问题数学化。 山坡和水平面的夹角，我们把它记为 r 法，我们发现这个角 r 法越大，山坡就会越陡。 角 r 发越小，山坡就会越平缓。因此，我们可以用 r 发的大小来描述山坡的倾斜程度。把山坡的倾斜程度数量化。 我们除了用角来描述，有时候我们也可以用边的角度来描述。 比如说这个山坡的水平距离是 l， 数值高度是 h， 在 水平距离 l 不 变的情况下，山坡越高，显然它越陡。 那么我们也可以用山坡的数值高度 h 比上水平高度 l 来衡量山坡的倾斜程度。 那刚刚老师从角和边两个角度来描述了山坡的倾斜程度，那我们把这两个方面分别定义为，一个是坡角， 坡角指的是斜坡与水平面的夹角，如图所示，角 r 法就是坡角。 第二个是坡度，坡度指的是斜坡的垂直高度与水平距离的。比如图所示， 斜坡的垂直高度是 h， 水平距离是 l， 那 么通常我们用字母 i 来表示它的坡度， i 就 等于 h 比 l， 那在这个直角三角形中， h 是 角 r 发的对边， l 是 角 r 发的邻边， 那这个坡度其实就可以看作是角 r 发的正切值，所以 i 等于 tangent 二法。 那生活中不仅山坡是有坡度的，我们常常也会研究房屋顶部啊，楼梯啊等等的坡度。 我们看第一个图片，这个房屋顶部有些凹凸不平，我们要研究它的坡度，该怎么办呢？ 我们可以把它近似的看作是这条线的坡度类似的，如果我们想研究楼梯的坡度， 我们只需找到楼梯对应点所在的直线。我们研究这两条线的坡度，那就是楼梯的坡度。 生活中我们有时候也会研究一些大坝的坡度， 那在这个水坝中，一侧称为引水坡，另一侧称为背水坡。那你知道这个水坝的横截面是一个什么图形吗？ 是的，水坝的横断面是梯形，我们表示为梯形 a、 b、 c、 d。 在 这里面 a、 d 表示的就是水坝的盈水坡， b、 c 表示的就是水坝的背水坡。 第一个问题，如果盈水坡 a、 d 的 坡度 i 等于一比根号三，那么角 a 是 多少？ 我们知道角 a 是 a、 d 这个坡的坡角， 那 tangent 的 角 a 就 应该等于 i， i 是 一比根号三，也就是三分之根号三。 tangent 的 三十度等于三分之根号三，所以角 a 等于三十度。 下面我们看第二个问题，如果背水坡 bc 长为十米， 大坝高为六米，我们可以作出它的高，则 b、 c 的 坡度等于多少？ 我们知道坡度等于大坝的数值高度，比上水平距离，那数值高度是六。我们知道了水平距离可以由勾股定律求得，等于八， 因此坡度就是六比八，也就是四分之三。 下面我们看第三个问题。如图，水坝的横断面是梯形 a、 b、 c、 d。 如果坡度矮，等于一比二， b、 c 等于八，则大坝的高度为多少？我们作出大坝的高度， 由于它的坡度是一比二，这个一比二表示的是大坝的数值高度比上水平距离， 那么我们不妨设它的数值高度 c、 e 为 x， 则水平距离就是二 x 斜坡长八米。这样在三角形 c、 e、 b 中，我们就可以用勾股定律建立方程解决问题。 在 r、 t。 三角形中，我们设出未知数，列出方程解，这个方程解得高度是五分之八倍，根号五。 下面我们看问题四，如果迎水坡 a、 d 的 坡角为三十，度为一比一点二， 坝顶 c、 d 等于二点五米，坝高为四点五米，求坝底 ab 的 长。 我们要求坝底 ab 的 长，这个 ab 它可以看作是线段 a、 f、 f、 e 和 e、 b 三段的和。 只要我们分别求出三段的长度，就可以求出 ab 的 长了。 我们首先来求 a、 f。 在 r、 t 三角形 a、 d、 f 中，我们知道角 a 的 度数以及它的对边 d、 f 的 长度。 角 a 等于三十度，角 a、 d、 f 就 等于六十度，这样 a、 f 就 等于 d、 f 乘以 tan 的 角 a、 d、 f 也就是四点五乘 tan 的 六十度， 这样我们就表示了 a、 f 的 长度。下面我们再来求一下 e、 b 的 长度。 在 r、 t 三角形 c、 e、 b 中，这个坡度的比值， c、 e 比 e、 b 等于一比一点二， e、 b 就 等于一点二， c、 e 也就是等于一点二乘四点五，等于五点四， 就剩下一段 e、 f 了。显然 e、 f 和 d、 c 的 长度相等等于二点五， 所以 a、 b 就 等于三段的和，我们把它加起来约等于十五点七米。 我们利用锐角三角函数的相关知识就可以解决这个问题。答，坡底 ab 的 长约为十五点七米。 那我们把这个题目再变一下。在问题四的条件下，为了提高堤坝的防洪能力，市防训指挥部决定加固堤坝，要求坝顶 d、 c 加宽零点五米， 在这里面加宽的地方就是 c g。 被水坡 b、 c 的 坡度改为一比一点四。 已知堤坝的总长度是五千米，求该项工程所需的土方。那同学们观察一下这个堤坝的横断面，哪个图形是我们增加出来的呢？ 是不是梯形 b、 c、 g、 k 呀？我们增加出来的这部分的横断面乘以堤坝的总的长度就是所需的土方数。 已知低坝的长度，我们只需求梯形 b、 c、 g、 k 的 面积即可。 要求梯形的面积，我们需要梯形的上底、下底和高梯形的上底是零点五， 下底 b、 k 我 们不知道，那梯形的高 gh 是 四点五，已知梯形的上底 c、 g 和高 gh， 只需求梯形的下底 b、 k 即可。 那么这个问题就转换成了求 bk 的 问题了， bk 怎样求？ 通过观察图形，我们发现 bk 是 等于 hk 减去 hb 的， 那么我们只要分别求出这两条线段，就能得到 b、 k 的 长度。我们先来求 h k， 它在三角形 g、 h、 k 中， 那么在这个三角形中， g h 比上 h k， 也就是 g k 的 坡度是一比一点四。我们知道 g h 的 长度是四点五， 那么我们就能求出 h k 是 一点四乘四点五，也就是六点三，下面我们看一下 h b 是 多少呢？ h b， 它是等于 b e 减去 e h 的 b e。 在 上一个问题当中，我们已经求得它是五点四， e、 h 的 长度和 c、 g 的 长度相等是零点五，所以它们的差是四点九， 这样我们就得到了 kb 的 长度是 h， k 减 h， b 等于六点三，减四点九等于一点四， 我们就可以解决梯形的面积问题了。这个梯形 b、 c、 g、 k 的 面积就等于二分之一，上底零点五加下底一点四乘以高四点五 等于四点二七五，因此所需的土方数就是这个。四点二七五乘以五千等于两万一千三百七十五， 所以需要土方数为两万一千三百七十五平方米。 本题我们进一步用锐角三角函数的相关知识来解决了相关问题。 小节思考本节课我们研究了坡度和坡角的相关概念，如图所示，坡度 i 等于 h， 比上 l 等于 tangent。 二、八、 我们利用坡度、坡角以及锐角三角函数的相关知识来解决了一些实际问题。本节课就到这里，同学们再见！ 同学们好，我是来自南京市第十三中所经分校的周丞丞老师。今天我们学习的课题是七点六，用锐角三角函数解决问题。三、 同学们，今天我们再和小明一起坐一坐热气球呢，看看热气球又会带来哪些新的有趣的问题呢？先看问题一， 小明在游乐场某处利用侧角仪观测热气球的仰角为二十七度，然后他沿着正对气球的方向前进了五十米， 此时观测气球的仰角为四十度，如果侧角仪的高度为一米，那么气球的高度是多少呢？ 我们还是先来抽象图形，请同学们在学习单上跟着老师一起画一画。根据实际情景，我们来发挥一下自己的想象力。 我们可以把地面抽象为一条直线，在直线上任取一点作为某处， 再画出热气球的位置及点 c 的 位置。这里有一个新名词，羊角。我们来认识一下 仰角的定义，从低处观测高处目标时，视线与水平线所呈的夹角。 相对的还有俯角的定义，从高处观测低处目标时，视线与水平线所呈的锐角。我们来看左面这幅图，可以清楚地明白什么是仰角和俯角。 那么在这个问题中，我们需要画出水平线和视线，从而标注出阳角。 沿着正对气球的方向前进了五十米，到达了 f、 b 处，我们还是要再画出此时的阳角， 那么要求的是什么呢？气球的高度？我们来一起看一下这个数学问题。 先来梳理题目中的已知和未知，为了方便表达，我们可以过点 a 做 a、 h 垂直， cd 垂足为 h， 由题意可知，点 b 也在 a、 h 上面，那么这个时候仰角我们就可以表示为角 c， a、 b 等于二十七度，另一个仰角 c、 b、 h 等于四十度。 还有 a， b 等于 ef 等于五十米， a、 e 等于 b， f 等于 d， h 都等于一米，要求的是 cd 的 长。 同学们思考一下这个已知和未知之间有什么样的联系呢？ 同学们有想法了吗？这个图形看上去没有那么简单哦，我们在分析这个问题之前，不妨先思考这两个问题呢？ 第一个问题， cd 需要转化吗？如何转化？观察图形， cd 等于 c h 加 h d， 而 d h 就 等于一米，那么问题就转变成只要求 c h 就 可以了。 那么随之第二个思考就出现了， ch 与哪些已知量有关呢？请同学们观察图形。先想一想， 我们不难发现 ch 同时存在于两个直角三角形当中，可惜的是，这两个直角的角都只是已知一个角，我们无法直接解除 ch。 但是我们可以根据已知角的三角函数得到三边关系。例如，在直角三角形 c b h 中，我们可以根据已知角 c b h 得到 c h 的 关系。 同样，在直角三角形 c h 中，我们可以根据已知角 c h 的 三角函数得到 c h 与 a h 的 关系。 那么这里为什么我们要选择 c h 与 b h 以及 a h 的 关系呢？请大家观察图形， 我们看出 a h 和 b h 与已知量之间联系紧密，我们可以找到它们与 ab 之间的数量关系。带着这两个思考，我们再来分析也许就清楚多了。 先从三角形 c a h 出发，利用 tangent 二十七度等于 c h 比 a h， 从而得到用 c h 来表示 a h。 同样，在直角三角形 c b h 中，利用 tangent 四十度等于 c h 比 b h， 从而得到用 c h 来表示 b h， 而 a h 减掉 b h 等于 ab。 这里我们只要设 c h 为 x， 即可得到一个方程，从而求解出 c h。 在 这个思路过程中，我们是从已知条件出发，不断地推向未知。像这样的思维方法是在由因导果。 解决这个问题之后，我们不妨再回顾一下整个分析过程。在这个问题图形中出现了两个直角三角形，而且都无法直接解出， 但是两者之间有一个公共边，这时候我们可以选择设这条公共边为 x， 再利用已知角的三角函数找到边与边之间的关系，即可用 x 表示出其他未知边。最后再利用图形存在的线段之间的等量关系建立方程求解。 当然，这道题也有其他的解法，我们选择的未知数不同，建立的方程也就不同，同学们课后可以尝试一下，然后再互相交流对比下，看看谁建的方程更方便解答呢？ 下面我们一起来看一下这个方法的具体解答。首先描述辅助线，交代已知条件，并设出未知数。然后利用三角函数分别用 x 表示出其他的未知边。 接着再根据数量关系建立方程，大致分为三段，选择合适的未知数，利用三角函数表示其他的未知量，根据线段的数量关系建立方程求解。 小明神奇地发现，原来用测阳角的方式就能得到热气球的高度了，于是他登上热气球之后，又尝试了用同样的方式去测量大楼的高度。请看便士。 小明乘坐热气球到达一百米高处时，从热气球探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的阳角为四十五度，看这栋楼底部的俯角为三十度。求这个高楼的高度。 我们同样要先抽象图形，相信这个时候同学们已经可以画的很快了。 点 a， 即小明到达一百米高速时，从热气球显示看一栋高楼的顶部仰角为四十五度，即从点 a 处看点地的仰角为四十五度， 看这栋楼底部的俯角为三十度，即从点 a 看点 c 的 俯角为三十度。求这个高楼的高度及 c d 的 长。同学们先思考一会儿， 我们发现 c d 在 一个一般三角形里，根据之前所学的解一般三角形的经验，你会怎么做呢？ 对，我们可以化邪为直，将一般三角形转化为直角三角形， 我们可以过点 a 做 a h 垂直， cd 垂足为 h， 这时候 cd 就 可以分解成 c h 和 h d 了， 而 c h 就 等于 ab 等于一百米。那么问题就转变成如何去求 d h。 我们发现 d h。 在 直角三角形 a d h 中，我们可以根据 tangent 四十五度等于 d h 比 ah， 从而得到 d h 就 等于 a h 乘以 tangent 四十五度， 那么我们就需要把 a h 的 值找到就可以了。进一步观察 a h 在 直角三角形 a h c 中，而 a h c 中我们已知一角和一边，那么即可解出 a h。 我 们可以利用 tangent 三十度等于 c h 比 a h， 从而解得 a h， 得到 d h， 进而得到 c d 的 长， 这样我们的路线就打通了。在这个思路过程中，我们是从带球的结论出发，逐步靠拢已知条件，像这样的思维方法，我们是在执裹索因，下面我们来看一下具体解答。 在这个问题中，我们不需要建立方程，可以直接的过程，最后精确到一米。 小明的测高实验再次成功了。可见，在我们生活中测量高大的建筑物本来是很困难的事，但是有了三角函数的帮忙，一切都变得简单了，数学知识就是如此的奇妙， 我们可以用锐角三角函数知识解决测高问题。接下来我们来看例一， 如图，在以笔直的海岸线上，有 a、 b 两个观测站， a 在 b 的 正西方向， a、 b 等于两千米。 从 a 测得船 c 在 北偏东五十六度的方向，从 b 测得船 c 在 北偏西二十度的方向，求船 c 离海岸线的距离。 这里出现了方位角，我们来认识清楚。 如图，绿色的线表示北偏西三十五度方向，红色线方向我们可以称之为南偏东六十四度。 也就是说，方位角我们一般都是从南北偏东西，不从东西偏南北。理解了方位角之后，请同学们在图中标出方位角。 下面我们一起来看这个问题如何解决。要求船 c 离海岸线的距离可以过点 c 做 c h。 垂直 a b 即求 c h 的 场。那么该怎么求呢？ 我们先来梳理已知和未知。这个题目中已知的两个方位角并不在三角形中，我们可以找出它们的余角转化成三角形的条件， 即角 c a、 h 等于三十四度，角 c b a 等于七十度。当然还有 ab 等于两千米。我们要求 c h， 请同学们先自己找一找已知和未知的联系， 同学们，找好了吗？我们发现这个图形中虽然有两个直角三角形，却依然不满足可解条件。 根据之前测热气球高度的问题，同学们有什么启发呢？两个问题有相似之处吗？ 我们发现这两个问题中都有一条公共边， c、 h 是 两个直角三角形的公共边。 那么我们可以在直角三角形 c h 中利用已知角 c h 的 正弦表示出 a h， 再在直角三角形 c、 b、 h 中，同样利用已知角 c b a 的 正切 表示出 b h 的 长。而观察图形，我们可以找到 a h、 b h 与已知线段 a b 之间的数量关系，即 a h 加 b h 就是 ab 的 长， 从而我们可以设出 c h 等于 x 米。建立方程求解 这个思路，过程依然是在由因导果，接下来我们来看一下具体的解答。 整个过程依然分为三段，选择合适的未知数，在两个直角三角形中，分别根据已知角的三角函数值，从而用 x 来表示出其他的未知量，在寻求线段之间的数量关系建立方程求解 有这个问题，我们发现锐角三角函数不仅可以解决测高问题，同样还可以解决测质问题呢。接下来我们一起来挑战一下。立二 大海中某小岛周围的十千米范围内有暗礁。一海轮在该岛的南偏西五十五度的方向某处，由西向东行驶二十千米后，到达该岛的南偏西二十五度方向的另一处。 如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？ 这个问题是要发挥同学们的想象力，首先在脑海里面想象一下海伦行驶的情景，并根据提议把你抽象的图形在学习单上画出来。可以先按暂停键， 同学们画好了吗？有一定难度吧，我们一起来交流一下呢。大海中某小岛， 我们用点 a 表示周围的十千米，用圆 a 来表示半径为十千米。 一海轮在该岛的南偏西五十五度的方向的某处，我们画出方位角，得到点 b 处，由西向东二十千米后到达该岛的南偏西五十二十五度的方向。我们可以向东行驶， 直到方位角，在南偏西二十五度的方向得到点 c。 如果该海轮继续行驶，会有触礁的危险吗？ 请同学们想一想，我们可以通过什么依据来判断是否促交呢？ 我们先画出轮船继续向东行驶的路线，即延长 b c。 这时候所谓促交即可理解为这条延长线与圆 a 是 否有公共点，也就是要判断直线与圆的位置关系。 同学们的思考方向清晰了吗？我们可以过点 a 做 a h 垂直， b c 的 延长线垂足为 h， 那 我们只要把 a h 的 长求出来即可。该如何求呢？ 我们依然可以延续前几个问题的思路。我们发现 a h 也在两个直角三角形当中， 可以在 a h b 中利用 tangent 五十五度等于 b h 比 h， 从而我们可以用 a h 来表示 b h。 同样在三角形 a h、 c 中，我们可以根据 tangent 二十五度等于 c h 比 h， 从而实现用 a h 来表示 c h。 而由图中可以看出， b h 减 c h 等于 bc， 而 bc 是 已知的，从而我们只需要设公共边， a h 为 x 即可。建立方程求解 决这个问题之后，我们把今天的几个问题联系在一起回味和对比呢？请大家观察今天的四个问题的图形结构， 你有什么看法呢？ 不难发现，这四个图形中都有两个直角三角形， 并且都含有一条公共的直角边，我们可以归纳为有公共边的双直角三角形模型。 那么这四个图中又有什么区别呢？你又会怎么将它们分组呢？ 像这样两个直角三角形在公共边的同侧的，我们称之为同侧母子形。像这样两个直角三角形在公共边的翼侧，我们称之为翼侧背靠背形。 这两种模型在我们解直角三角形的问题中比较常见，通常我们都是设公共边为 x， 在 寻求线段之间的等量关系，建立方程求解。 我们归纳模型并不代表我们在解析时都需要去寻找模型，模型带给我们的是亲切感和熟悉感，这样可以帮我们更快的找到解析思路哦！ 现在我们进行本节课的小节，通过这几节课的几个问题解决，我们进一步认识了锐角三角函数知识对我们生活的影响。 同学们现在可以总结用锐角三角函数解决实际问题的方法了吗？ 我们首先需要将实际问题转化为数学问题，再利用三角函数结合见方程解直角三角形。 当然我们可能遇到的是直角三角形，也可能是一般三角形，那么我们就需要添加辅助线转化为直角三角形的问题，再解直角三角形，从而得到实际问题的答案。 那么这个方法我们又是如何找到的呢？经历这几节课解决问题的过程，我们更重要的是领悟了很多数学思想，例如 转化思想、方程思想、模型思想、塑形结合思想等等， 而这些数学思想指引着我们如何思考问题，并找到解决问题的正确方法。希望同学们在以后的学习中可以获得更多的数学思想和方法，从而解决生活中更多的问题。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是来自南京市第十三中学索金分校的刘老师，今天我将和大家一起来学习测量建筑物的高度。同学们，在我们的校园里有很多美丽宏伟的建筑， 请你和你的小伙伴课间仔细观察校园，讨论交流一下学校有哪些建筑物。下面请同学们观看一段视频，通过视频观察学校的建筑物，看看有没有你熟悉的建筑物， 我们来一起来欣赏刘老师的校园。 虽然大家学校建筑物的风格各不一样，但是我们发现每一位同学学校都有国旗杆， 那你知道如何测量学校国旗杆的高度呢？想要完成这个问题，请你和小伙伴们一起思考讨论。你们考虑好如何测量学校国旗杆的高度了吗？ 想要完成这项活动需要经历哪些过程呢？其实想要解决这个问题，我们需要经历先设计方案，再根据设计好的方案，实施方案，最后来总结得出结论。 在设计方案环节，我们需要借助相似三角函数等知识帮助我们来完成， 然后设计适当的数学模型，再根据模型进行合理的分工。这里我们一般每个小组四到八人， 最后再选用合适的使用工具，如卷尺、侧角仪、粉笔、长尺、手机支架、笔、量角器等。 下面请同学们按下暂停键，一起来行动吧！同学们，你们是不是已经完成了国旗杆的测量呢？ 请问你测的国旗杆高度是多少呢？你和你的同学们测量的结果一样吗？ 请大家和同学们比较一下，看看你们测量的国旗杆高度是否一样，请同学们按下暂停键，一起和小伙伴进行讨论。 我们发现同学们对测量国旗杆高度这样一项活动兴趣非常浓厚，其实我们学校的学生对测量国旗杆的高度也很感兴趣。 刘老师在他们活动的过程当中抓拍了一些视频和图片，下面我们一起来通过视频和图片观察他们是如何进行测量火气杆高度的。 在观看视频和图片前，老师给大家布置一个小任务，你们思考一下他们的测量方法是什么， 并且寻找一下这些小组他们设计方案当中有哪些几何模型呢？ 如果发现了，请你将它记录下来，写在自己的学习单上面，同时标上这里所需要的待测数据。带着这些问题，下面我们来欣赏第一小组的视频。 我们小组是借助轿棒来测量旗杆的高度，下面我将轿棒放到面前，移动是轿棒和旗杆缠缚 旗杆到郑小璐同学的距离和旗杆到轿棒的距离。 欣赏完第一小组的设计，请同学们按下暂停键完成学习单，它们的活动过程中运用了相似的模型， 这里的概测数据是线段 e， f， e， g 和 cd。 看照片中的第二组同学，他们在干什么？我们一起通过视频来听听他们的方案分析吧。 这次较周的王岐然站在点 d 的 位置，然后再让这次较矮的朱文元站在点 f 的 位置，通过朱文元自己去呃调整身高，让王让 自己的眼睛和王贤的头和罗琦的最高点在同一条直线上，此时，呃，此时就可以画出一个呃相似三角形。 然后呢，这时我们再去测量 d， f， e， f， c， d 和 b， g 和 b d 的 值，就可以测出罗琦的高。欣赏完第二小组同学的设计，请同学们按下暂停键完成学习单的内容。 在他们的活动过程当中，他们运用到了相似模型，这里需要添加辅助线 e， g。 概测数据是线段 e， f， c， d， f， d 和 f b。 下面请欣赏第三小组同学的作品。我们小组是通过镜子来测量国旗杆的高度的，我们前后移动，直到可以看到国旗杆的顶部位置。 下面我们来测量齐丹到齐丹的距离和齐丹到李佳敏同学的距离。 欣赏完第三小组同学的设计，请同学们按下暂停键完成学习单。 我们发现他们的活动过程当中是借助了入射角等于反射角。运用了相似的模型。这里的待测数据是线段 e， d， e， b 和 c， d。 我们再看图中他这个同学，他们在干什么呢？下面我们来通过视频 走进他们的方案分析吧。图上我们可以看到卓亮同学拿了一个呃类似于三脚架的东西，呃，这个呢，是为了帮助我们固定住台阶的高度， 也就是说我们测量时候已经排除掉台阶的高度，再利用侧角仪固定好四十五度。呃，众所周知，四十五度的探值是一，所以我们只用求出 d c 的 长度为十七点六一，我们就可以知道那个旗杆 a， c 的 高度也是十七点六一米。欣赏完第四小组同学的设计， 请同学们按下暂停键，我们发现它们的活动过程当中运用了特殊角的三角函数值，这里的代测数据是 b c 和角 c。 下面我们来欣赏第五小组他们的作品吧。从图片当中我们发现天气很好，阳光明媚，图片中的同学好像在用粉笔在地上标记着什么， 下面我们通过视频来具体的看看他们是如何设计的吧，我们来一起来欣赏。 测得了张立义的那个隐藏就是 e f 是 一点五八米，然后我们又测得了那个旗杆的隐藏是十三点一米，然后我们应用那个 从一时刻下太阳光那个物高与长成比例，然后可以最后再减去那个台阶的高度，就算出来了七班的长度，这是十四点。欣赏完第五小组同学的设计，请同学们按下暂停键完成学习， 我们发现它们在活动过程当中借助了同一时刻太阳光下不同物体的物高与长成比例， 这里的待测数据是线段 e， f， d， e， c， d， 从而解决了这个问题。 这五组同学都通过了实验得到了国旗杆的高度， 可是为什么他们所得到的这些国旗杆的高度不一样呢？大家思考一下， 确实，因为在我们的实验过程当中是存在误差的，那么我们学校国旗杆的高度究竟是多少呢？我们看图片当中的同学是借助国旗杆的拉伸， 将皮尺的一端扣在国旗杆拉绳的一端，然后将皮尺拉入到国旗杆的顶端，由此测量得出学校国旗杆的高度是十五点六米。 显然每一个小组在活动过程中或多或少都存在了一些误差，那请同学们思考一下，我们该如何在活动过程当中减少误差呢？ 我们可以看这里，我们可以仿照一下第三小组同学，他们在测量的过程当中进行了多次测量来减少误差。 当然我们在测量的过程当中，在使用工具时要规范使用，比如我们在使用皮尺的时候，我们要将它拉直与地面平行， 在使用侧角仪时，我们要注意规范使用等等。 这五组同学给我们带来了这么多种方案，那请同学们现在再来思考，你能不能将他们测量的方法进行一般化呢？大家思考一下。 刘老师带领大家一起来看第一个模型，这里需要待测的数据是线段 e、 f、 e、 g， c、 d。 那 么如何用已知的线段来表示线段 a、 d 呢？大家思考一下。 好，我们一起来完成。我们可以根据相似三角形，三角形 e、 c、 d 相似于三角形 e、 a、 b 得到比例式， 再根据比例式由已知的线段表示出这里的 a、 b 的 长，它等于 c、 d 乘以 e、 g。 除以 e、 f。 还有四个方案请同学们课后完成。观看完这五组同学的设计， 有没有给你一些新的启发和思考呢？下面请同学们自己再思考一个新的测量方法， 请同学们按下暂停键，和你的小伙伴一起去完成吧。请看刘老师在玄武湖跑步时拍一张照片， 大家看我的身后是南京标志性建筑物紫风大厦。同学们，你们知道紫风大厦吗？ 紫峰大厦，它是于二零零八年九月二十六日封顶，它共有楼层八十九层，目前是世界第二十二高，中国大陆第十高的摩天大楼， 也是江苏省目前最高的摩天大楼。那么你能否用刚才学习的方法来测量紫风大厦的高度呢？ 大家思考一下。我们发现不冷，因为此时我们不可以直接穿过玄武湖到达紫峰大厦的底部， 对于底部不能直接到达的建筑物的高度，我们该如何测量呢？ 请小组讨论，设计出你的测量紫峰大厦高度的方案，我们来观摩智慧小组同学的方案。 放学后我们来到玄武，利用侧角仪来测量紫峰大厦的高度，然后我们利用这个侧角仪先把这个位置来画一下， 然后我们调整一下这个侧角移，使它的这个阳阳角的延长线与阳延长线与此峰的顶峰刚好相交，然后我们来读一下数值， 再将侧角移向前移动一段距离，然后确定来来确定一下位置， 再调整这个阳角，使它的延长线再次与紫峰大厦的顶峰相交，然后我们再这时再读取一下数值。最后我们来测量一下移动前后的距离 以及侧角的高度， 它们是借助测角仪，通过测量角一角二的度数以及线段 d r 的 长，再利用三角函数模型来解决这个问题。 欣赏完它们的方案，现在大家思考一下，在你的城市里，请问最高的建筑物 是什么？你能不能通过今天所学习的知识，能不能通过智慧小组的活动经验进行测量你的城市最高建筑物的高度呢？ 大家思考一下，如果有想法可以和你的同学讨论，课后一起去实践吧！ 今天的课即将接近尾声，通过本节课的学习，同学们你们有哪些收获呢？ 本节课我们先测量学校国旗杆的高度，然后我们也欣赏了视频当中五个小组同学他们的经验分享。 我们从活动当中抽象出我们的数学模型，将他们的方法进行一般化， 然后再根据如何去测量紫峰大厦高度。我们发现在测量建筑物的高度可以分为两类问题，一类是底部可以直接到达的建筑物， 还有一类像紫峰大厦这样底部不可以直接到达的这样的建筑物。通过今天这节课的学习，我们学会测量底部可以直接到达底部不方便直接到达的建筑物的高度。 希望同学们在今后的生活当中做一个有心人，学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的思维思考现实世界，学会用数学的语言表达现实世界。 最后，我希望大家以后看到自己喜欢的建筑物，可以尝试去测量它的高度，记录在你的数学兴趣本上， 希望通过这样的尝试，能够让大家的数学生活更加丰富多彩。今天的课就上到这里，同学们再见！ 同学们好，我是来自南京市玄武高级中学的陆燕老师。今天我们学习的课题是锐角三角函数小结与思考 一、直角三角形是我们现实生活中的常见图形，与之相关的运算实际利用非常普遍。 在这一张中，我们学习了锐角的正弦、余弦正切的概念。下面我们就以问题为引领，对这一张的知识与思想方法进行梳理，请看问题一， 锐角三角函数是如何确定的？我们看一下这幅图， 在这张图中，我们利用相似三角形的知识可以证明， 当角 a 确定时，角 a 的 对边与斜边的比、角 a 的 邻边与斜边的比、角 a 的 对边与邻边的比都是确定的， 从而定义了锐角的正弦、余弦和正切概念，即 sin a 等于角 a 的 对边比，斜边 cosine a 等于角 a 的 邻边比，斜边贪婪的 a 等于角 a 的 对边比，上角 a 的 邻边 角 a 的 正弦、余弦正切都是角 a 的 锐角三角函数。那下面就请同学们利用锐角三角函数的概念完成填空， 大家做好了吗？这里我们需要注意，计算锐角三角函数的前提是在直角三角形中。题目只给出了三角形的三条边长， 由勾股定律的例理可知，三角形 a、 b、 c 是 直角三角形，其中角 c 是 直角，所以我们可以依次写出结果， sin a 等于五分之三， 五分之四， cosine a 等于五分之四， cosine b 等于五分之三，贪婪的 a 等于四分之三，贪婪的 b 等于三分之四。 这里还有两个常用的结论，不知道同学们还记得吗？ 一个锐角的正弦等于它余角的余弦。或者说一个锐角的余弦等于它余角的正弦，我们也可以用符号来表示，就是 sign a 等于 cosine， 括号九十度减 a。 另一个结论是互于两角的正切值，互为倒数，用符号语言表示，就是 tangent 的 a 乘以 tangent 的 括号九十度减 a 等于一。掌握了这些结论，可以帮助我们有更多的途径去解决问题，下面我们一同看。例一， 如图，在直角三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度， c、 d 是 斜边， ab 上的高， ab 等于五， ac 等于三，求相应角 b、 c、 d 的 值， 你会怎么做呢？ 我们先从已知条件出发，结合图形可以看到图中有相似的三角形，直角三角形 a、 b、 c。 直角三角形 b、 d、 c 和直角三角形 a、 d、 c 都是相似的。 另一方面，结合勾股定律，相似三角形中对应边成比例，我们可以求出这个图中很多线段的长度。 有了这样的认识，我们再来看看要求什么呢？要求 sin 角 b、 c、 d。 可以 理解为在直角三角形 b、 d、 c 中求 b、 d 比上 bc， 这两条线段的长度都是未知的，我们可以选择足条求出，也可以利用相似做整体的代换。 例如，我们可以通过两角对应相等证得三角形 b、 d、 c。 相似于三角形 b、 c、 a。 再根据对应线段乘比例可得 b、 d 比上 bc 就 等于 bc 比上 ab。 其中 a、 b 是 已知的， b、 c 的 长度则可以由勾股定律求得，所以我们得到答案， sin 角 b、 c、 d 等于五分之四，我们还可以换个角度来考虑， 因为锐角确定，锐角的正弦值也确定，所以要求上角 b、 c、 d。 我 们也可以在途中找一个与角 b、 c、 d 相等的角，求出它的正弦值。 依据同角的与角相等可知，角 a 就 等于角 b、 c、 d。 那 么上角 b、 c、 d 等于上角 a 等于 b、 c 比上 a、 b 等于五分之四。 这两种思路都是常见的求三角函数值的方法，同学们可以根据实际情景选择恰当的方法来解析， 接下来就请同学们算一算。 这里我们主要复习的是特殊角的三角函数值，要熟练掌握三个特殊角的三角函数值，关键是熟悉这一对直角三角形。 由于这一对直角三角形的边除了符合勾股定律以外，还有特殊的数量关系，所以我们可以求得它们锐角的三角函数的精确值。让我们复习一下， 我们可求得， sine 三十度等于二分之一， cosine 三十度等于二分之，根号三。贪婪的三十度等于三分之根号三。 sine 四十五度和 cosine 四十五度都等于二分之根号二。贪婪的四十五度等于一。 sin 六十度等于 cosine 三十度等于二分之，根号三。 cosine 三十六十度也可以等于 cosine 三十度等于二分之一， tangent 的 六十度等于根号三。 最后我们核对一下这两题的计算结果，第一题答案为零，第二题结果是根号三。 下面请看问题二。 在三角形 abc 中，角 c 等于九十度， a 等于根号二， b 等于根号六。解这个直角三角形。 在这一题当中，我们首先要弄清楚什么是解直角三角形呢？ 规定由直角三角形边角中的已知元素求出所有边角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形。 那么直角三角形中都有哪些元素？各元素之间又有哪些关系呢？除直角外，还有两个锐角，两条直角边和一条斜边。 从边上看，有 a 方加 b 方等于 c 方。从角上看，有角 a 加角 b 等于九十度。 从边角关系上看，则有 sin a 等于 c 分 之 a， cosine a 等于 c 分 之 b， 贪婪的 a 等于 b 分 之 a， 当然还有角 b 的 三角函数。 回顾完这些知识点，我们再来看这道题。现在已知两直角边，我们可以先根据勾股定律求出斜边的长。 接下来如何求角度呢？可以利用三角函数，因为三边都已经知道了，所以三个三角函数是可以任意选择的，这里我选择使用角 a 的 正切 计算。贪婪的 a 等于三分之根号三，所以可以求得角 a 等于三十度，角 b 等于六十度。 解完这道题就要请同学们思考了，你能根据不同的已知条件归纳出相应的解直角三角形的方法吗？ 这里先要解决的是有哪些不同的已知条件可以确定一个直角三角形呢？也就是说两个直角三角形全等需要具备什么条件呢？ 我们可以一一列举一下。已知一个锐角和斜边， 已知一个锐角和直角边。已知两直角边。 已知一直角边和斜边。一共四种情况，这些组合可以判断两直角三角形全等。也就是说， 一个直角三角形可以由五个元素当中的两个，其中至少有一个是边来唯一。确定 其中已知两直角边。解直角三角形的情况我们刚刚就已经练习过了，接下来就请同学们完成其他三种情况， 请同学们用五分钟的时间完成这道例题。 好，我们一起来看一下解答第一小题。已知角 a， 则角 b 等于九十度减角 a。 因为已知的是斜边， c 要求两直角边，所以只能选择正弦或余弦来进行计算。 我们可以求得 a 等于 c 乘以撒引 a， b 等于 c 乘以 cosine a。 当然你也可以选择用角 b 的 三角函数来表示直角 a 和 b， 当然你也可以选择用角 b 的 三角函数来表示直角边 a 和 b。 第二小题的思路与第一小题大致相同，不同的是三角函数的选择， 因为已知的是一个锐角和一直角边，所以要关注锐角与直角边之间的位置关系，选择正确的函数关系来列式， 分别求出斜边和另一直角边。 第三小问是已知一直角边和斜边，先依据勾股定力求出另一直角边， 这时三边都已经知道了，我们可以根据三角函数值求出锐角的度数，这里只展示了其中的一种解法。 通过这三小问，我们就对解直角三角形做了比较全面的总结。 接下来我们就想把在解直角三角形中获得的方法和经验进一步拓展。请同学们考虑一下， 在一般三角形中已知哪些元素就能解这个三角形呢？ 和前面一样，我们可以将这个问题转化为两个三角形全等需要具备什么条件呢？ 相信同学们都非常熟悉，一共有四种方法， 边角边角边角角角边和边边边。对照解直角三角形的思路，大家来总结一下， 一个任意三角形可由六个元素当中的三个来唯一确定，其中已知的三个元素当中至少要有一个是边。 好，接下来我们就一起来完成两个例题，请看例一， 在三角形 abc 中，已知 ab 等于四， ac 等于二角 c， a， b 等于一百二十度，求 bc 的 长。 这是一个一般的三角形，我们已知了其中两边及其夹角，要求的是第三边， 解决问题的突破口应该是在将一般三角形转化为直角三角形，这时候就要需要添加适当的辅助线， 你会做什么样的辅助线呢？在这里我们做三角形边 ab 边上的高 cd， 这样就得到了两个直角三角形， 分别是直角三角形 a、 dc 和直角三角形 bdc。 其中在直角三角形 a、 d、 c 中，我们已知了角 d、 a、 c 等于六十度， a、 c 等于二。利用三角函数就可以求出它的两条直角边的长度， 再利用已知条件 a、 b 等于四，就可以求得直角三角形 c、 d、 b 中两直角边的长度。 最后结合勾股定律可求得斜边 bc 的 长度。同学们可以先自己书写一下解答过程， 写好后我们一起来看一遍。先说明添加的辅助线， 因为这里有多个直角三角形，所以使用三角函数时，建议大家说明清楚是在哪一个直角三角形当中。 在直角三角形 a、 d、 c 中，我们利用三角函数可以求得 c、 d 等于根号三， a、 d 等于一， 所以 b、 d 等于五。 在直角三角形 c、 d、 b 中，利用勾股定律可以求得 b、 c 的 长，等于两倍的根号期。 接下来我们看例二， 在三角形 abc 中，角 a 等于三十度，摊进的 b 等于二分之根号三 ac 等于二，根号三，求 ab 的 长。 在这个问题中，我们一样可以沿用刚才的思路，将一般三角形转化为直角三角形。那么这一次你会怎样添加辅助线呢？ 考虑到角 a 等于三十度，所以我们选择做三角形边 a、 b 上的高， 这样就将圆三角形分割成两个直角三角形，直角三角形 bdc。 在 直角三角形 adc 中已知一个锐角和一边， 我们是可以解这个直角三角形的，求得它的边 a、 d 和 c、 d 的 长。而另一个直角三角形 b、 d、 c 与其有公共的直角边，并且还知道一个锐角的正切值，这就等同于知道两条直角边的比值。 我们可以利用这两个三角形求出现段 a、 d 和 b、 d 的 长，从而最终求得 a、 b 的 长。 还是请同学们先自己写一写， 下面我们一起看一下具体的解答过程。做， c、 d 垂直于 a、 b， 垂足为 d。 首先在直角三角形 a、 d、 c 中 求得 c、 d 等于根号三， a、 d 等于三。 再在直角三角形 b、 d、 c 中求得 b、 d 的 长等于二根号三， 最后求得 a、 b 等于三加二根号三。 通过这两个例题，同学们可以总结一下我们在解一般三角形的思路与方法。 好，今天我们一同复习了锐角三角函数的相关知 识，梳理了直角三角形中的边角关系，再一次巩固了锐角三角函数的概念，并能够利用这些关系解直角三角形。 锐角三角函数在实际中有很多应用，我们将在下节课和同学们继续学习，今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是来自南京市第五十四中学的陆芳老师。今天我们学习的课题是第七章锐角三角函数小节与思考。二、 锐角三角函数在生活生产中有着广泛的应用，如测量航海工程技术中有关距离、高度、角度等的计算， 我们可以将问题转化为解直角三角形的问题。那么今天这节课我就将带领各位同学利用锐角三角函数做一个数学活动，测量校园内旗杆的高度。 为了测量校园内旗杆 a、 b 的 高度，小明、小丽和小军同学分别采用如下方案， 一、小明的方案如图一，小明站在地面上，点 c 处观测旗杆顶部，测得仰角角 a、 d、 e 等于二法，并测得 bc 长度为 a 米。 若小明的眼睛离地面 h 一 米，请根据小明的方案计算其杆 a、 b 的 高度，用含有 a、 h 一 阿尔法的代数式表示。 在小明的方案中出现了一个名词，羊角。那么什么是羊角呢？ 阳角就是从低处观测高处的目标时，视线与水平线所呈的锐角，在本图中就是角 a、 d、 e。 下面让我们一起来分析一下。 首先将题目中的数据标在图上，根据仰角的定义，我们延长 d、 e 即可构造出直角三角形， 要求其杆 ab 的 高度，就是要分别求出线段 a、 f 和 b、 f 的 长度。 因为四边形 f、 d、 c、 b 是 矩形，所以可以根据矩形的性质对边相等得到 d、 f 等于 b， c 等于 a， b、 f 等于 c， d 等于 h、 e， 求出了线段 b、 f。 下面来求 af。 我们观察到在 r、 t 三角形 a、 d、 f 中已经知道了一条直角边 d、 f 和一个锐角阿尔法， 那么我们可以依据锐角阿尔法的正切求出线段 a、 f 的 长度，最后加上线段 b、 f 的 长度，即可得到旗杆 ab 的 高度。 在我们的分析过程中可以发现，如果在直角三角形中已知一边一锐角，那么就可以直接解直角三角形，从而得出结果。 我们来看一下这道题目的规范解答。首先交代辅助线的做法， 其次将实际问题数学化，把题目中所提供的已知条件写出来。接下来根据矩形得出线段的长度， 再根据已知角的正切求出 a、 f 等于 a 乘 tangent 的 阿尔法。 最后根据线段的和差关系写出现段 a、 b 的 长度。不要忘记实际问题，还要写答。 继续来看小丽的方案，如图二，小丽先站在地面上点 f 处观测旗杆顶部，测得仰角角 a， g、 n 等于北塔， 然后他向旗杆方向前进了臂米，此时观测旗杆顶部，测得仰角角 a、 m， n 等于伽马。 若小丽的眼睛离地面 h 二米，请根据小丽的方案计算旗杆 a、 b 的 高度。用含有 b、 h 二、北塔、伽马的代数式表示。 我们先将线段长度标注在图上，下面一起来分析。 用同样的方法添加辅助线构造直角三角形，还是先有矩形的性质，得到 g m 等于 f， h 等于 h。 二、 要求其杆 ab 的 高度，就是要求出现段 ap 的 长度。 我们可以发现线段 ap 存在于两个直角三角形中，分别是 r t 三角形 a， g p 和 r t 三角形 amp。 在这两个直角三角形中，已知的元素都只有一个，锐角、北塔和伽马，那么就无法像之前那道题目一样直接解直角三角形了。 但是我们可以发现，这两个直角三角形都共用一条边 a p， 并且这两个直角三角形的另外一条直角边存在等量关系，即 g p 减 m p 等于 g， m 等于 b， 所以 我们可以利用北塔和伽玛的阵切 建立起两条直角边的比，如果设 a p 为 x， 那 么就得到了线段 gp 和 mp 关于 x 的 代数式。 再利用刚刚发现的线段等量关系建立方程解出 x， 最后加上线段 b p 的 长度，即可得到其杆 ab 的 高度。 来看一下规范解答。首先交代辅助线的做法和将实际问题数学化，并且设两个直角三角形的共边为 x， 由矩形得出线段的长度。然后分别在两个直角三角形中根据已知角北塔和伽玛的正切 求出 g p、 m p 关于 x 的 代数式。接下来根据线段等量关系建立方程得解， 最后加上线段 b p 的 长度，就得到了旗杆的高度 a b。 由这道题的解答过程我们可以发现，在 应用图形中无直接可解的直角三角形，可以根据图形所显示的线段等量关系建立方程得解。 这道题我们也可以设 m p 等于 x， 那 么 g p 等于 b 加 x， 还是根据已知角北塔和伽马的正切得到线段 ap 关于 x 的 两种代数式，再根据 ap 等于 ap 建立方程得解。 最后来看小军的方案， 如图三，小军先站在地面上点 g 处观测旗杆顶部，测得羊角角 a i k 等于北塔， 然后他向旗杆方向前进了 c 米，此时观测旗杆顶部，测得羊角角 a、 o、 q 等于 c 塔。 若小军的眼睛离地面 h 三米，请根据小军的方案计算其杆 a、 b 的 高度，用含有 c、 h 三北塔 c t 的 代数式表示。我们先在图中标出已知量， 下面让我们一起来分析一下。同样添加辅助线构造直角三角形， 我们还是发现在构造出的两个直角三角形中都是只知道一个元素，锐角北塔和 c 塔。 但是同样发现这两个直角三角形有共边 a r， 并且另外两条直角边有 o r 加 i。 二、等与 c 的 等量关系。 那么我们可以仿照上一题的做法，设共边 a r 为 x， 根据已知角的正切得到 o r 等于 x 比 tangent theta i。 二、等于 x 比 tangent beta。 利用找到的等量关系建立方程解出 x， 最后加上 b r 的 长度即可得到其杆 a b 的 高度。 规范解答过程，同学们可以仿照上一题在课下把它完成。 通过三种测量旗杆高度的方法，我们来总结一下如何利用锐角三角函数解决实际问题。 如果在直角三角形中已知一边一锐角或已知两边，那么可以直接解直角三角形。 如果在应用图形中无直接可解的直角三角形，那么可以在两个直角三角形中根据图形所显示的线段等量关系建立方程得解。 常见的模型有背靠背和母子图，它们都有一个共同特点，就是共边。通常我们都是设共边为 x， 再根据等量关系建立方程得解。 接下来让我们一起来看几个例题。 第一，公交总站 a 点与 b、 c 两个站点的位置如图所示， 已知 a c 等于六千米角， b 等于三十度角， c 等于十五度。求 b 站点离公交总站的距离及 a、 b 的 长，结果保留根号。 我们先在图当中标出数据，此图没有直角三角形，那如何利用锐角三角函数解决问题呢？同学们可以想一想。 对，我们可以化斜为直，添加辅助线，构造可解的直角三角形。于是我们过点 c 作 cd， 垂直于 ab， 垂足为 d， 此时出现了两个直角三角形。屏幕前的同学肯定有人看出来了，这张图很像母子图，所以第一反应就是设 x 建立方程。 那么这道题真的需要设未知数求解吗？同学们可以暂停视频思考一下这个问题。 在问题中给出了两个角度，角 b 等于三十度，角 a、 c、 b 等于十五度。 我们可以根据三角形的外角性质得到角 cad 等于四十五度， 那么在 r、 t。 三角形 a、 c、 d 中就已知一边一锐角了。可以直接解直角三角形求出线段 c、 d 和 a、 d 等于三倍根号二。 求出来以后，另一个 r、 t。 三角形 b、 c、 d 也同样已知一边一锐角。观察图形可以看出三十度的对边 c、 d 等于三倍根号二。 那么我们可以利用三十度的正切求出现断 b、 d。 再根据线段的和差关系直接计算出 ab 的 长度。 当然，这道题也有其他的做法，同学们可以尝试过点 b 做 a、 c 的 垂线段，或过点 a 做 b、 c 的 垂线段，看看能不能解决这个问题。 下面来看一下这道题目的规范解答。首先交代辅助线的做法， 利用三角形外角性质求出角 c、 a、 d 等于四十五度。 在 r、 t。 三角形 c、 a、 d 中，利用四十五度的正弦求出现断 c、 d 等于三倍根号二。 利用四十五度的余弦求出现断 a、 d 等于三倍根号二。 在 r、 t。 三角形 b、 c、 d 中，利用三十度的正切求出现断 b、 d 等于三倍根号六。 最后根据线段的和差关系计算出 ab 等于三倍根号六，减三倍根号二。 我们再来看一道例题。例二，如图，为了测量建筑物 ab 的 高度，在 d 处树立标杆 cd， 标杆的高是两米。 在 d、 b 上选定观测点 e、 f， 从 e 测得标杆和建筑物的顶部 c、 a 的 阳角分别为五十八度、四十五度， 从 f 测得 c、 a 的 阳角分别为二十二度、七十度，求建筑物 a、 b 的 高度精确到零点一米。 此图较为复杂，共有四个直角三角形，是直接解直角三角形呢？还是需要设 x 建立方程求解呢？让我们一起来分析一下吧。 首先将实际问题转化为数学问题。题目中共给出了四个锐角和一条线段长度。 通过观察 r、 t。 三角形 c、 d、 e 和 r t。 三角形 c、 d、 f 都是已知一边一锐角， 是可以直接解直角三角形，求出现断 d、 e 和线段 d、 f。 在 r、 t。 三角形 c、 d、 e 中，利用五十八度的正切求出 d、 e。 在 r、 t。 三角形 c、 d、 f 中，利用二十二度的正切求出 d、 f。 再根据线段和差关系计算求得线段 e、 f 的 长度。 因为此题是要求线段 ab 的 长度，那么我们观察线段 ab 是 r、 t。 三角形 abf 和 r t。 三角形 abe 的 边， 而这两个直角三角形都是已知一锐角，缺少边的已知量，那么我们就需要设未知数，借助于方程解决问题。 习惯上我们会设共边 ab 为 x， 但是也可以设其他的线段。那么此题我们尝试设线段 b、 f 为 x， 在 r t。 三角形 a、 b、 f 中利用七十度的正切求得 a、 b 等于 x 乘 tangent 的 七十度。 在 r t。 三角形 a、 b、 e 中利用四十五度的正切得到 a， b 等于 b， e 等于 x 加 ef， 根据 ab 等于 ab 建立方程解出 x， 最后用 x 加 e f 求出线段 ab 的 长度规范。解答过程，同学们可以在课后按照思维导图的分析完整的写出来。 现在我们进行本节课的小节。本节课是第七章锐角三角函数的应用复习课。在处理应用问题上， 首先需要将实际问题转化为数学问题，再在直角三角形中利用锐角三角函数进行解决。那如何利用呢？我们需要根据题目中所给出的条件在图形中进行观察。 如果在直角三角形中已知一边一锐角或两边，那么可以直接解直角三角形。 如果没有可以直接解的直角三角形，那么可以在两个直角三角形中根据图形所显示的线段等量关系建立方程得解。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是来自南京市金陵中学仙林分校中学部的汪红林老师。今天我们共同学习八点一中学生的视力情况调查。一、 这节课我们将共同探索如何收集数据，以及怎样保证样本的代表性与普遍性，请看活动。一、 为了对本地区的视力情况进行调查，五名同学决定采用不同的方式进行调查，即视力低于五点零为视力不良，请对他们的调查结果进行分析。 学生 a 的 调查结果，我在眼镜店里调查了五十名中学生的视力情况，如图所示。我们首先看关键词，眼镜店， 我们再看右边这幅平数分布直方图，一共五十名同学，四点零到四点五有十一人，四点六到四点九有三十七人，五点零到五点三仅有两人。 那么这样一来，视力低于五点零已经达到了四十八人呢？好，我们再看学生 b 的 调查结果， 学生 b 说，我在邻居中调查了二十名学生，他们的视力情况如图所示，我们看关键词是邻居， 而且我们读右边这幅图，四点零到四点五有百分之三十五，四点六到四点九占百分之四十，而五点零到五点三仅占百分之二十五。 我们再看学生 c 的 调查结果，我调查了我校每个年级的十名学生，他们的视力如图所示。关键词，我校，那我们再看右边是一幅折线统计图， 这幅折线统计图的视力不良率是在逐渐上升的，随着年级的增加。 再看学生 d， 查阅了该地区每个中学医务室检查学生的视力资料，并计算出该地区中学生的视力不良率为百分之六十六点一。我们可以分析一下每个中学医务室， 那这样一来，我们可以认为 d 进行的是普查，那他的视力不良率应该是非常准确的。我们再看学生 e， 随机调查了该地区百分之十的中学生的视力， 并计算出他们的视力不良率为百分之六十六点二。关键词，随机， 该地区百分之十的中学生，尽管亦是百分之十的中学生，但是他的视力不良率非常接近普查的结果，这是为什么呢？我们继续分析。 第一个问题，五名同学分别采用哪种方式收集数据的？ 因为整个活动音我们都在讲如何收集数据。我们回顾一下题目， a 是 眼镜店， b 是 邻居， c 是 我校每个年级是名学生， d 是 查阅了该地区每个中学医务室， e 是 随机调查了该地区百分之十的中学生的视力，那么可以得出， 其中 a、 b、 c、 e 都属于抽样调查。 c 又特殊一点，因为是我校每个年级实名，那它就属于分层抽样。 d 为普查。 第二个问题，学生 a、 b、 c 调查所得到的视力不良率各是多少？ a 的， 刚才我们说了，视力不良的有四十八人，总数是五十人， 所以不良率算出来是百分之九十六，非常高，与普查的结果相差很大。 学生 b， 因为是邻居中，那我们算一下他的不良率，应该是百分之四十加百分之三十五是百分之七十五，与普查结果也有差距，并且差距也不太小。 再看 c 的 调查结果， c 的 调查结果，因为他调查的是我校每个年级十名学生，所以我们可以直接把这些不良率加起来除以六，约等于五十六点七百分之。 为什么可以这样计算的原因是因为是每个年级抽查的学生人数是一样的，也就是他们的权重是一样的， 只有权重一样的时候，才可以这样加起来除以六。如果权重不一样，我们应该分别用这些百分比乘以权重加起来除以权重之和。 这里面其实又涉及到了加权平均数。当然， c 的 调查结果与普查也有差别，它是低于普查的结果的。 那么下面我们就要想知道，你认为哪位同学收集数据的方法最好呢？说说你的理由。我们可以知道， abc 一个是眼镜店，一个是邻居，一个是自己的学校， 都是对本地区的特殊群体进行的调查，所抽取的样本缺乏代表性，对总体的估计偏差是较大的。 也就是说，不是说我们随机抽取一个样本就可以，我们一定要保证样本具有代表性，不能对特殊群体进行抽查。 当然学生 d 的 调查结果肯定是很好的，但是它是普查，工作量非常大，其实中运算量也很大。 最后我们再来看看学生 e， 学生 e 抽取的样本是具有代表性的，因为它的结果和普查的结果非常接近，所以我们认为它对总体的估计是比较准确的， 因此判定学生 e 的 方法最好。 那接下来我们就要说说怎么样收集数据是最好的呢？它有一个什么名字呢？ 我们看下一个例题，如果要从某校九年级八百名学生中抽查五十名学生的视力，怎样抽取才能使样本具有代表性呢？ 我们说应该将这八百名学生依次进行编号，号码从一、二到八百， 并将号码写在形状、大小、质地都相同的号签上，这样是保证抽签的公平性。 接下来每次从中抽取一个号签，注意一定要是随机抽取的，还要保证抽出的号签不放回，那么号签的号码所对应的个体就入学， 也就保证了抽取的随机性。最后连续抽取五十次，便能得到一个容量为五十的样本。刚才我们说这样的方法，我们要给它起个名字，就叫做简单随机抽样。 简单随机抽样的定义是一般的从个体总数为大 n 的 总体中抽取容量为小 n 的 样本，小 n 要小于大， 且每次抽取样本时，总体中的每个个体被抽到的可能性相同，这种抽样方法就叫做简单随机抽样。 我们来理解一下这个定义，那么这个定义中要注意小 n 小 于大 n， 如果小 n 等于大 n， 那 么其实就是普查了，还要保证 是随机抽取的。最后我们要保证每个个体被抽到的可能性是相同的，也就是说简短随机抽样具有随机性。第二个， 总体中的每个个体被抽到的可能性相同，这是简单随机抽样的特点。 我们再来整理一下简单随机抽样的步骤一，将总体中所有的个体编号号码从 e 到大 n。 二、将这大 n 个号码写在形状、大小、质地都相同的号签上，放入一个盒子中搅匀。刚才我们说这一步是为了保证抽样的公平性。 三、从盒中每次随机抽取一个号签，随机性抽出的号签不放回，这个要注意，因为我们抽样是有放回抽样和不放回抽样， 并记录其编号。连续抽取小 n 次， 最后从总体中将与抽到的号签的编号相一致的个体取出，得到一个容量为小 n 的 样本，这个就是我们简短随机抽样的步骤。 了解了简单随机抽样的定义及步骤和特点以后，我们看活动二， 活动二，我们将对简单随机抽样进行辨析。为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园， 某初中学校组织全校一千二百名学生参加了垃圾分类知识竞赛。为了解学生的答题情况，学校考虑简采用简单随机抽样的方法 抽取部分学生的成绩进行调查分析。学校设计了以下三种调查方案。方案一， 从初一、初二、初三年级中指定不分学生成绩作为样本进行调查分析。关键词，指定不分学生成绩。我们回忆一下简单随机抽样的特点， 第一个特点就是需要具有随机性，那么这个题是指定的，就不具有随机性，它应该不属于我们的简单随机抽样好，再看方案二， 从初一、初二年级中随机抽取不分男生成绩，即在初三年级中随机抽取不分女升及关键词， 不分男生，不分女生。好！方案二，确实保证了具有随机性，因为是随机抽取的。但是方案二不能保证每个个体被抽到的可能性相同。为什么我们这样说呢？我们分析一下， 初一、初二年级中抽取的是不分男生成绩，也就是意味着初一、初二年级中的女生没有被抽到， 而初三年级中抽取的是不分女生成绩，也就意味着初三年级中的男生成绩没有抽到。这不符合简单随机抽奖中的每个个体被抽到的可能性相同。我们再看方案三， 从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析。那么我们这里的关键词 就是随机抽取部分学生，这是在三个年级中抽的，这样我们就认为它是简单随机抽样，既是随机性 二，又能保证每个个体被抽到的可能性相同。我们就认为这样的方法具有代表性，因为我们说不是怎么样收集数据都是可以的。 像在活动一中，比如说特殊群体啊，像刚刚讲到的什么眼镜店啊、邻居啊、我校啊，这些都属于特殊群体，都不能保证样本具有代表性。 因此我们在这道题中选择方案三， 也就是保证样本具有代表性 好，我们看活动三。活动三是一个很有意思的问题， 已知某地高中生的 sat 考试平均分是四百分，这个 sat 考试就相当于我们中国的高考随机抽取了五个高中生样本， 前四名学生的分数分别是三百八、四百、二、六百和四百。你觉得第五名学生的分数最可能是下面三个成绩中，哪一个？ a 是 两百分， b 是 三百五十分， c 是 四百分。 有没有同学认为这个非常好计算呢？ 因为已经给了四个人的成绩，又给了平均分。 那么就有同学做出这样的计算， 设第五名学生的分数为 x， 因为三百八加四百，二加六百加四百加 x 除以五等于四百，解得 x 等于二百，故认为第五名学生的成绩为两百分。 这个我们就要回到提议中去思考一下。的确，当地高中生的 sat 考试平均分是四百分， 但并不意味着这个小样本的平均分就一定是四百分，因为这个样本的容量实在是太小，仅为五。 那么我们认为这个样本不具有代表性，其实也不具有普遍性， 我们并不能用这个小样本的平均数去代表整个该地高中生的平均分，这里面还是强调了样本既要具有代表性，也要具有普遍性。 我们再看 b 的 算法， 因为前四名学生的成绩是告诉了的，那我们可以用三百八加四百，二加六百加四百除以四，算出前四名学生的平均分为四百五十分， 那么就设第五名学生的分数为 x， 然后用四百五加 x 除以二等于四百， 算出 x 等于三百五，故认为第五名学生的成绩为三百五十分。我们思考一下，这样的计算有道理吗？ 其实这个计算比 a 错的还远哦，因为 a 的错误是没有考虑到样本的代表性和普遍性，而 b 的 错误直接就是平均数的错误了。这里没有理解平均数的定义， 这不是正确平均数的求法，因为并不能把前四名学生的平均数算一次，再与第五名同学去计算一次。也可以发现，如果这样计算，和 a 的 差值还是很大的， 也就是我们要掌握每一个统计量的计算方法。 再看 c 选项，其实本道题最可能的如果是在下面三个成绩中，真的应该是四百，因为当地高中生的 sat 考试平均分就是四百分。那么我们说 我们常常是用样本去估计总体，也就是说第五名学生的分数其实与前面看到的四个学生的分数是无关的，因为随机抽取的样本容量仅为五，不具有代表性与普遍性， 所以我们认为最可能是四百。 当然这是一个选择题，给了特定的选项，如果是填空题，这个答案就不太好填了。好，我们来回顾一下。活动三，我们讲的是样本要具有普遍性，即代表性。 我们总结一下，这节课我们学习了哪些内容呢？ 这节课我们讲到了统计学的基本思想就是样本去估计总体，无论是活动一还是活动二，亦或是活动三，我们都在收集数据，但是我们一定要注意 收集数据，要保证样本的代表性和普遍性。也就是说，不是所有的样本都能很好地去估计总体，尽管我们统计的思想是这样。 第二个，我们复习了简单随机抽样的定义特点和步骤特点，尤其是要注意，一 要具有随机性。二要保证每个个体被抽到的可能性相同。第三个，还是我们所强调的， 尽管是用样本估计总体，但是为了使估计推断更加准确，因为达到我们统计最终的目的，那么抽样时一定要注意样本的代表性与普遍性， 尽量采用简单随机抽样的方法来解决本节课所遇到的问题。今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！ 同学们好，我是来自南京市金陵中学仙林分校中学部的汪红林老师。今天我们共同学习八点一中学生的视力情况调查。二、 上节课我们学习了如何收集数据，这节课我们将在上节课的基础上继续探索如何整理和描述数据，请看活动一、 为了了解中学生的视力情况，某市有关部门采用抽查的方法，从两万名中学生中抽查了三百名学生的视力，用这三百名学生的视力情况去估计所有中学生的视力情况，请看具体的抽查方法。 从每个年级中抽查一百名学生，例如从九年级的三千二百名学生中抽查了一百名。 关键词，每个年级中抽查一百名。第一个问题，本次调查的总体是什么？样本容量是多少？本次调查的总体应该是该市两万名中学生视力情况的全体， 请不要忘记写上全体两个字，样本容量。因为我们抽查的是三百名学员的视力，所以样本容量是三百。这里面的回答呢，就是第一个要注意总体中的全体，第二个样本容量就是抽了多少就是多少。 第二个问题，因为刚才我们强调是从每个年级中抽查一百名学生。下面我们要问，为什么不直接从该市两万名七到九年级学生中随机抽查三百名学生的实力，而是从每个年级中抽。 这个问题我们就要考虑到七年级到九年级学业压力的不同，学习时间的不同，学习强度的不同所导致视力的情况的差异性。 因此我们说由于三个年级的学生视力有明显的差异，所以我们从每个年级中抽查一百名学生。 注意，这种并没有直接采取简单随机抽样的原因，就是因为出现了三个年级的学生视力有明显的差异。这种抽样的方法我们叫做分层抽样，后面我们也会详细的介绍。 虽说在整个两万名学生中并不是使用简单随机抽样，但是我们在每个年级中抽取的时候，仍然使用的是简单随机抽样。 我们用简单随机抽样的方法，从每个年级中把这一百名学生的视力抽样出来，并整理成统计表，大家可以看一下这个统计表。 从这个统计表呢，我们可以看一下，七年级的学生呢，四点六以下是零人，八年级呢，是四点四以下是零人，九年级是四点一以下是零人。 我们觉得这幅统计表呢，看起来不是那么清爽，那么为了更方便分析，你认为应该如何处理以上的数据， 我们说构建平数分布表是不是更清晰一些呢？看一下 在平数分布表中，我们可以看出在这一个 范围内的频率，比如说七年级学生四点五五到四点七五 的平数是八，频率是零点零八。而在这同一个范围内，八年级是平数是十，频率是零点一九年级。这我们再举例子看最后一行， 五点一五到五点三五。那么七年级有十三人，频率是零点一三，八年级九人频率零点零九，九年级是七人，频率是零点零七，那九年级占的人数就最少了，因为这里的视力就比较好了。 如果觉得这一幅数据仍然不够直观，我们问怎样可以使处理后的数据特点更为直观呢？那我们说把这幅平数分布表画出平数分布值方图如下， 这样我们就画了三幅图，第一幅图是七年级的一百名学生视力的评述分布值方图，第二幅是八年级，第三幅是九年级的。 那么刚才我们既看了统计表，又看了视力评述分布表，还看了视力评述分布值方图，你能获得哪些信息？ 我们回答问题的时候，还是要注意从图表中获取信息，用数据说话的原则。 我们可以计算一下七年级样本学生的平均视力。这个的算法仍然是使用加权平均数的算法，比如说四点六的权重为四，四点七的权重也为四 等，等到五点三的权重还是四，然后加起来，最后除以权重之和为一百，算出七年级样本学生的平均视力为五点零，同理 可以算出八年级样本学生的平均视力为四点九二一。九年级样本学生的平均视力为四点八五五， 这是计算的平均视力，也就是我们统计量中的第一个平均数。 第二个，我们可以算出七年级的视力不良率，因为我们说了，即视力五点零以下为不良，那么就是四加四加八加十六，除以总数一百人，七年级的样本学生的视力不良率为百分之三十二， 同理可以算出八年级样本学生的视力不良率是百分之四十二。九年级样本学生的面中表格的对角线上是有内容的。 在猎取过程中，我们发现，当视力不良率从七年级到九年级是逐渐增高的， 我们也可以计算出所抽查的三百名样本学生的平均视力。因为每个年级抽查的都是一百人，所以我们可以直接拿五点零加四点九二一加四点八五五除以三， 算出所抽查的三百名样本学生的平均视力是四点九二五。注意，能加起来除以三的原因还是因为每个年级抽查的人数是一样的，否则仍然要使用加权平均数的算法。 由于人数一样，所以视力不良率也可以用百分之三十二加百分之四十二加百分之五十四除以三，算出百分之四十二点七，这些都应该属于我们的分析。 我们在第一条中是用平均数和分布情况来获取有效信息的，那么接下来我们还可以从哪些方面来获取有效信息呢？我们可以想一想中位数或者是中数。 由于在每个年级抽查的是一百名学生的视力，因此我们将这一百名学生视力进行排序，中位数是第五十和第五十一名学生的视力， 所以得到七年级、八年级、九年级样本中位数分别在四点九五到五点一五、四点九五到四点九五范围内。 如果我们考虑一下种数，那么视力都集中分布在四点七五到五点一五之间，当然这是一个范围，分别约占学生总数的百分之七十九、百分之七十二、百分之六十五。 我们再看这个平数分布值方图，与七年级对比，八年级样本的平数分布值方图相对偏左，而九年级的样本视力平数分布值方图明显偏左。 以上都是我们获取的有效信息，针对这些信息，你对该市七到九年级学生的视力情况做怎样的分析和推断？ 因为刚才我们已经是从平均数啊分布情况中位数上来看的，那接下来我们看看平均视力，视力不良率能推导出什么呢？ 我们说由此可以估计该市七到九年级学生的平均视力为四点九二五，样本的视力不良率约为百分之四十二点七，由此可以估计该市的 七到九年级学生的视力不良率为百分之四十二点七，这个方法就是样本估计总体。 因为该市有两万名学生，所以我们也可以通过这个视力不良率计算出约有两万乘以百分之四十二点七，等于八千五百四十名学生视力不良。前面是我们的推断， 这就是我们统计的目的。用样本去估计总体，那我们接下来进行推断。 由刚才的中位数和视力集中分布情况，还有八年级样本 评述分布值方图的情况和九年级样本视力评述数分布值方图的情况说明该市七年级学生的视力变化范围相对较小，而八年级学生的视力变化范围相对较大。 九年级学生的视力变化范围明显变大，同时低视力的比例也在明显增多。 问题五和问题六主要比较了获取信息和进行分析推断的不同。信息是直接读出来的，分析和推断是在原有的信息上进行加工处理的。 我们再看问题七， 由于我们数据的描述方法有以下这些统计图，那我们看一下这个问题。 我们经常将调查收集得到的数据用各类统计图进行整理与描述。 下列统计图中能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的事，我们先看看这几个统计图分别有什么特点吧。 条形统计图直接体现数量的多少，扇形统计图能清晰地体现各部分数量与总数之间的关系，折线统计图清晰地体现数量的增减变化趋势。 平数分布直方图有以下特点，一、能清楚地显示各组平数的分布情况。二、能显示出各组之间平数的差别。 三、根据图形体现的样本的频率分布，大致估计总体的分布。 有这个问题，我们看扇形统计图才是体现各部分数量与总数之间的关系，因此既然是部分与整体的关系，应该选择扇形统计图。 活动一，我们回顾了样本的收集、整理及各种描述方法，包括这些统计图的特点。 接下来我们来看活动二。活动二是关于数据的收集的一个立体， 现有三十个零件，需从中抽取十个进行检查。问，如何抽样得到一个容量为十的样本？ 我们说简单随机式抽样其实适合总体个数较少的情况，像本道题中总体个数只有三十个，所以可以使用抽签法，也就是我们的简单随机抽样。那我们再回顾一下简单随机抽样的步骤。 一、将这三十个零件依次编号，号码从一、二到三十，并将号码写在形状、大小、质地都相同的号签上，放入一个盒子中搅匀。 二、抽签时每次从中抽取一个号签，注意是随机抽取抽出的号签，不放回号签的号码，所对应的个体就入选这个我们说要保证随机性。 三、连续抽取十次便得到一个容量为十的样本，这个就是我们的简单随机抽样。 那是不是所有的样本的收集的时候都适合用这个方法呢？不一定，我们来看类二、 a p 产品中有一级品一百个，二级品六十个，三级品四十个，如何采用简单随机抽样得到一个容量为二十的样本？ 我们在看到这个问题时候就会想到前面的视力的抽查的时候，是从每个年级中抽一百名，而不是从三个年级中直接抽取三百名。 那么这道题是否从两百中直接抽取容量为二十的样本呢？把两百进行编号，进行抽签，我们思考一下。 思考后我们知道，当总体由差异明显的几个部分构成时， 常采用分层抽样的方法，因为这个的总体有一极品、二极品、三极品，它们的差异很明显，就像我们刚才说的七年级、八年级、九年级的视力差异比较明显一样， 所以要采用分层抽样的方法。那分层抽样具体应该怎么抽呢？ 解答过程如下，大家可以自主参考一下。 集中抽取的样本的容量是不是在三个中都抽取一样呢？和刚才一样不，这道题和视力有明显的不同，是因为每一极品的个数 差值比较大，那我们应该怎么计算呢？我们应该计算一下一级品、二级品、三级品的比例， 然后抽取一级品的个数应该是拿二十这个总数乘以一级品的比例，一级品的比例应该是总数两百， 一极品一百占比是二百分之一百，所以算出是十个。同理，抽取二极品的个数应该是用二十乘以两百分之六十等于六个。 抽取三极品的个数应该是二十乘以两百分之四十等于四个。 因此分别抽取一级品、二级品和三级品的个数为十六和四。首先我们确定呢个数，然后再在每一集中用简单随机抽样的方法抽取十、六、四， 也就是在每一集中再进行抽签法， 后面的方法和简单随机抽样方法是一样的，前面确定个数的时候需要使用分层抽样的方法。这里面我们也比较了这两个方法的不同。 简单随机抽样的它的特点就是，一具有随机性。二保证呢每个个体被抽到的可能性相同。分层抽样呢，主要适用于总体由差异明显的几个部分构成的情况。 好了，我们总结一下这节课我们学习了哪些内容吧。这节课我们继续讲到了样本的收集和整理以及描述。 整理的时候我们一般使用的是评述分布图，那描述的时候有条形统计图、扇形统计图、折线统计图以及评述分布直方图等。 第二个，我们利用了统计数图表分析数据，挖掘出信息之后，并针对这些信息作出推断。 第三个，我们在例题中比较了简单随机抽样与分层抽样的区别，当然他们也是有联系的，因为分层抽样确定出每个级别抽取的个数之后，还是使用简单随机抽样的方法。 今天的课就上到这里，谢谢观看，同学们再见！

这本书用图解的形式把三角函数讲透了，他从三角函数诞生的历史背景讲起，让读者明白三角函数是如何产生的，为什么会这样定义。 接着通过大量的图示讲解了三角函数的基础知识与核心定律，像中学常见的余弦定律和正弦定律，不仅从几何角度给出了直观的证明过程，还说明了他们的实际应用，让读者真正理解定律的本质。 同时，作者还用生活实力来进行类比介绍，比如用摩天轮吊舱的旋转来类比讲解正弦、余弦和正切函数的变化，非常的直观易懂。 最后，作者还拓展了三角函数的定义，展示了如何用三角函数描述波动现象，并介绍了功能强大的富力页分析，非常精彩的一本书，强烈推荐！

这本图解数学趣味三角函数最大的特点就是把初中到高中的三角函数用图一演讲明白不是让孩子应对公式，死记数值，而是用大量生动、清晰的图解，把原本抽象的正弦、余弦正切变成能看懂、能感受到变化过程的知识。 这套图解数学趣味一共五本，包含对数与指数、微积分、概率论、统计学。三角函数整体定位就是帮助孩子更轻松地完成初高中数学入门。 其中三角函数这一本内容衔接非常自然。前面先从初中常见的特殊角入手，把几个关键的正弦值、余弦值、正切值变化画的很直观，孩子看图就能建立印象。 后面再过渡到高中，内容用像摩天轮旋转这样的场景去展示正弦函数、余弦函数是怎么形成的，连正切函数的变化也能看得更清楚，强烈推荐！

锐角三角函数的运算强化常用三角函数值的掌握，求下列各式的值。第一小题求易加上三十度的正弦，余弦的积的负二倍的和， 代入三十度正弦二分之一和余弦二分之根号三，解得结果等于二分之二，减去根号三。 不知道你有没有发现，二倍三十度的正弦和余弦的积正好等于六十度的正弦。这里有三角函数的一个重要公式，你能猜想得到吗？ 二、求三十度的正切的三倍加上负的四十五度的正切，再加上六十度正弦的二倍的和， 代入三十度正切三分之根号三，四十五度正切一，六十度正弦二分之根号三。化简得到结果是二倍根号三加负一。三、求三十度的余弦和正弦的平方和与六十度的正切的积 可以代入三十度的余弦二分之根号三，正弦二分之一以及六十度的正切根号三，括号内的和等于一。也可以直接运用万能公式得到三十度的余弦正弦平方和等于一，再乘以根号三，结果是根号三。 下一个视频要强调锐角函数的一一对应关系，是由锐角函数值反推锐角的练习，敬请关注。

今天和大家分享速刻版九零零速学下册锐角三角函数的知识清单。锐角三角函数，一个定义，一个应用啊！ 第一，什么叫正切知识清单一啊！在 r、 d 三角形当中，角在九十度，锐角 a 的 边与连边之比叫做角 a。 正切近处它的 a， 它的 a 等于 b 分 之 a。 性质，锐角 a 的 正弦是随着角的增大而增大。 其。答案，正弦与弦。在 r、 t 三角形当中，角 c、 角 a 的 对边与斜边的比，叫做角 a 的 正弦记作三 a 等于角 a 对 边比斜边等于 c 分 之 a 与弦角 a 的 邻边比斜边之比较，角 a 的 与弦记作 cos a。 cos a 等于角 a 的 邻边比斜边等于四分之 b。 性质，三， a 在 零到一， cos a 在 零到一。三， a 随角度增大而增大， cos a 随角度增大而减小。 故一角三角函数关系三， a 九十度，减角 a 等于 cos a 小 于九十度，减角 a 等于三 a。 特殊角的三角函数值是吧？三英三十度二分之一四十五度二分之高。三，六十度二分之高。二，三英六十度等于二分之高三， 扣三英。扣三英三十度二分之高三，扣三英四十五度二分之高二，扣三英六十度二分之一。贪心三十度。三，贪心四十五度。一，贪心六十度。根号三，这叫熟练记熟啊！ 清单四，有三角函数，求锐角啊。三幺二八等于二分之一，二十八就是三十度。三幺二八等于二分之二，二八就是四十五度。 三幺二八是二分之二，三二八等于六十度。这都是锐角三角函数啊。扣三幺二八等于二分之二，二八就是三十度。扣三幺二八等于二分之二二八四十五度。扣三幺二八等于二分之一，二八等于六十度 tan， 二十八等于三分之三，二十八等于三十六 tan， 二十八等于一，二十八等于四十五度 tan， 二十八等于三，二十八等于六十度。 解直角三角形，在二 t 三角形 a b、 c。 中角 c 九度。已知元素边或角，求未知元素的过程。元素关系是吧。两锐角互余 勾股定力三边三 a 等于四分之 a 扣三 a 四分之 b 探点 a 等于 b 分 之 a。 解法，给两只角边勾股定力求斜边，利用探点 a 等于 b 分 之 a 求出角 a 度数，再拿角 b 减去角 a 度数，得到角 b 度数。 已知直角边 a 和斜边 b 用勾固定于求，而且斜边 c 勾固定于求 b 用三 a 等于四分之 a 求出角 a， 然后再求角 b。 已知直角边 a 和锐角 a 可以先求角 b 等于九入角 a， 再利用 tanthan a 来求 b， b 等于 tanthan a 分 之 a， c 等于三 a 分 之 a。 已知斜边和锐角 a 是 吧？ 求变 a， a 等于 c 乘以 a， b 等于 c 乘以 a。 角 b 等于角度减角 a 用锥角三角函数解决问题啊。仰角俯角问题，视线以水平线的夹角向上为仰角，向下为俯角坡比啊 i 等于 tan， angle 等于铅直高度除以水平宽度方位角啊。 解析步骤，画实意图，构造直角三角，选择三角函数，求为质量作答，注意单位和精度。第一个，锐角三角函数定义是吧？没有图呢，我们可以画个图啊。小 c 九十度 a c 十六， 它定 b 等于二，求 b， c 它定 b 等于 a， c 比 b， c 等于二， a， c 是 六， 那 b、 c 是 三，第二啊。 ac 五 a， b 十三，求扣三 a， 扣三 a 十三分之五， a， b 等于 a、 c 等二，三角形，常规弧度线作高，三线合一好，三 a 等于五分之四啊，这是占四份， 这在我们 a、 b 是 十除以八，它是十，它就是八啊，那就是 a， d 就 六， a、 b 就是 啊， 好，错了错了，说错了，给错了啊。 a、 b 是 十， a， b 是 十 啊， a， b 是 十，这是中间三 a， 这是四 x， 这是五 x， 那 这就是三 x， 这是三 x， 是 吧？这个 六 x 等于十， s 等于三分之五，要求 a、 c 等于五 x 三分之二十五。题型二，特殊角，三角函数值啊，等边三角形， 每个角都六十度啊，扣三十六度啊，二分之一，二分之一平方四分之。 这个三角形中括号 a、 b 没有直角，所以要先做垂线二分之二，这是四十五， 这个四十五。 a、 c 是 五，三英是五，四比五，那这就是四，这就是四啊，这个，这就是四点二三， 哎，不对，五五五四三呢？五四三，对不对？好，这个七四十四。 餐厅四十五度一二加二分之一， 这个三十六度二分之一，杠三平方 啊，一减 是吧？一减二分之三等于负二分之一， 这个三英四十五度等于二十五，二分之根号二，所以二十八等于六十度。餐厅六十度等于根号三。 另一个三角形 a、 b、 c 当中 cos 也等于二分之二，三啊， 所以角 a 是 三十度，这个啊，二分之一角 a 六十度，四十五度一百八，一减七十五度， 这个 a、 b 是 根号五， b， c 是 三啊，做垂线 扣三 a、 b 啊，就是 b、 d 等于根号五，乘以五分之二为根号五，所以等于二啊，这等于二， 对吧？乘以五分之二倍，刚好五。对了，这是二，这 b、 d 是 二， b、 d 是 二，那这就是一，这二得四，这也是一勾股定律四十五度， 这个 ab 是 三，这个 b、 d 比 c、 d 一 比二。 求，首先三英， b 是 三分之二，三英对边啊，所以是三分之二十六， 三分之二十六，三分之二十六啊。 然后利用勾固定力求出 b、 c 求出 b、 c、 b、 c 长等于十三平方，减三分之二十六平方，是吧？这里有十三平方 啊，所以给它开出来是三分之啊。化简，看看是多少？化简一下， 这是十三平方，减去十三平方，乘以三分之四 十三平方，一减九分之四，还有九分之五， 也就是十三分之十三倍根号五啊，也就是三分之十三倍 根号五啊。 bc 求出来了，这个按照二比一 啊，然后它占三分之一，那 c、 d 就 出来了，九分之十三倍根号， 再用勾固定里就算出来啊，再用勾固定里，最后九分之十三倍，根号四十一。这一题九十度探点 a， 它的 a 四四分之三，那就是三 x， 四 x 就是 五 x 啊。 这一节不需要 a、 c 长都可以求出来啊。那三 a 五分之三 啊。 q， 三 a 五分之四，这一题是吧？要做两道辅助线 是吧？这是三比四，这是六，三比三比四比六，是吧？那这就是这五分之六， 就是五分之十八，五分之二十四啊。然后这是五分之十八， 这 b、 d 是 五五二十五，五分之四十九，这是 c 的 阳角六十度啊，这是三十度，五分之四十九，根号三。 好，最后等于 a、 g、 d 啊。建筑高度， 这个小建筑物八米，在 b 处测得仰角六十度，在 a 处测得仰角四十五度。求建筑物高度 x， 而 c、 d 要求 c d。 好， 我们这是八，实际上就是求这个 设为 x， 这一段就是 x， 这一段就是 x 啊。嗯， x 等于 啊， x 加八等于根号三 x 求出 x 再加八就出来了啊， 括号三减一，括号 x 等于八，然后 x 等于括号三减一等于八，然后四括号，括号三加一，然后再加八啊，就得到啊， 这个啊， c f 十六米在啊，在 b 在 a 处，一点六米，这是一点六米啊，这也一点六米，所以给它连接并延长， 这样就下边都是长方形。呃， a d 测了仰角三十九度，前进三十米，到 b 处测在仰角五十度 啊，根据这个求出 c f 高度，那这一点六啊，这点好，我们先做辅助线啊，就是要求这是一点六，那就要求出 c h 长度去 啊，要求 c h 这点有一个五十度，这点有一个三十九度，这点有一个三十米 啊，那就是这段不知道，这设为 x， 这设为 y， 一个用二十九度啊。三十九度的探停值，一个四十五度的探停值，也组成方程组就可以了 哇，最后啊， 这两个组成完整组就好解了啊。最后 s y 都解出来，比这更简洁一些。 d 型六方位角问题是吧，这是三十七度，那这点就是三十七度，这是四十五啊，这也是四十五，对吧。 一艘轮船 p 在 北边中，距离灯塔以北海里，这是以北啊， 到达位于登塔 p 啊，向正南行，所以这里都是垂直啊。要求 a b 之间的距离是吧。这用三 三英三十七度。假设这点是 c 等于啊， p c 比一百，那一百 p c 就 等于一百乘以三英三十七度五分之三六十啊，同理，求出这是八十，这是四十五，六十八十加六十一百四， 这个啊，这个二十五度，方位二十五度，这还有一个夹角七十七十度，七十度呢，就是四十五度啊，这就是四十五度， 是吧。要求 ab 等于三千米啊，这是二十五，这是二十五，那这就是五十。要求 a、 c 长，那自然要做垂线， 是吧，这是五十。用三根五十求出 b e， 然后 b e 乘以刚好三得到 啊，根号二得到 c e 进一个呢，再求出 a e 啊，最后两个 a e 加 c e 加减就可以了啊， 两个加减就可以利用三英，求 b d， 利用扣三英求 a d 啊，直接就是 b d 加 a d， 而且这是次序图啊， 下一题啊，下一题，这个路线一个人路线， a d， b a， 这是 北环线，南环线 a， b， c， a 南环线啊， 角度都给了第一，求南环线的长度，南环线的长度，对吧，我们 这是就这一个五千米啊，那就要把这两个求出来，那就要做垂线 啊，做辅助线第一步啊，这是五米是吧？这个做垂线， 这是三十度啊，这就可以接这一只幺三零啊，这是三十度啊，这点四十五度好，这又可以接这一只幺三零，最后把三面加起来就可以了 啊，你看 a b 五， b， c 二分之五啊， a c 啊， bc 是 二分之五加二分之五为刚好三啊，这是 bc 啊，然后 ac 二分之五为刚好六，最后代入约等于十八， 这是第一道路线，第二道路线是吧。这个小 小月扯 d 走，他从 b 走，小黄在这当中发现两个相机落在自己的背包中，于是小黄决定 啊，到 b 点以后，前往地点与小月会合，因为它们速度之比是六比五，那就设一个六 x， 一个五 x， 结果同时到达地点就是时间相等，那就是要求出它们路程，然后跟速度之比就得到它们的 啊关系求北纬线的长木啊。那么这一题啊，做发誓是吧，给一些角度都求好是吧， 这是三十度啊，这角六十度是吧，这个 a、 d， 那我们就这个是二分之 a、 d， a、 f 是 二分之根号三 a、 d 啊， b、 f 这是五，这是二分之根号三 a、 d 减五 是吧，这就出来了。然后这个勾固定于 b、 d 平方都有， 是吧？现在这个你如果能求出啊，刚才说了，速度我们设成一个六 x 五 x 好， 它们路程一个是五加 b、 d， 一个是 a、 d， 一 比就表达出来。 b、 d、 b、 d 用 a、 d 来表示， b、 d 是 五分之 六， a、 d 减五，实际上呢是 a、 d、 x 啊，这里用 a、 d、 x 啊，利用勾股定律求出 a、 d 长啊，非常复杂， 非常复杂， a、 d 有 了， b、 d 就 有了，你看 b、 d 啊，代入求出 b、 d， 最后它们路程之合最后约等于十六点八就结束了，比较繁琐。 这一题啊，这个坡比一比刚好三 b、 c 是 三十，那是十五，那十五倍刚好三， 这是三十啊，三十加十五倍刚好三，那这是三十七度。 用贪停求出，假设这点是一求出 a、 e 再减十五，就得到 a、 b 啊 k 题 i 一 比杠三，那这就是三十度。 a、 b 六十斜边上有个有一个股处 o p 啊，这个侧的阳角六十度，那这也是三十度，这是垂直，那这是六十度。这股数也是垂竖直的，那这也六十，那这是三十度，那这两面相的， 是吧？那个从 b 仰角十五度，所以这条再做垂直斜线就是十五度啊。好，我们可以 要求 o p， 那 实际上就求 a o， 我 们可以设置两段长为 x， 这是十五度，这是三十度，那这就是四十五度，这是三十度，这就四十五度。所以我如果再过这一点做垂线，你看 设这个 v x， 这个 x， 这是二分之一 x， 这是二分之根号三 x， 二分之根号三 x。 最后三段加起来等于六十列方程，就求出古数的上 啊，三段加起来平方等于六十，最后 o p 六十减二十等于多少？三， 这一题。海拔高度一六八零八，按一，直接爬到山顶 八二二，先从山脚下步行八百米，到达 b 处仰角三十度，那就是四维。四维根号三啊，这就加上一，是吧？就在做垂直， 那这点就是四维，这点，这在做垂直，这就是一二八零。 好，下面夹角五十三度啊，这样是吧？ 第一位啊，四倍很简单，是吧？第一位，四倍就出来了啊。第二位啊，我们刚才说了，这个是四倍， 那这也是四零，那上面是一二八零，这是五十三度。用贪停求出 b e， 对 吧？ 用贪停啊，用三音可以求出 b e 啊，就都能求出来。然后我们要走的如果它的路程，那应该求 b c， b c 就 有三，约等于一千六，再拿 a 除以速度，速度是三百六，移除四点四分钟， 这个就用函数值，是吧？这是二分之杠三的平方，这是二分之杠二平方减去根号三乘以三分之杠三。 好，最后化解。这是一啊，加负二加三减二倍杠二减四乘以二分之杠二， 最后化简等于二。这个啊， 二乘二分之杠三减根号三加二分之杠二乘二分之杠二。最后结果。这个一加二乘二分之一加四减一 接一个啊，二分之二，三乘以二，三减去二分之二，平方加上一接一个，刚好三减一加一加二减根号三 对九啊，各点三就行。问 b， c 长勾股定律幺九 b， c 长 三点 b， 你 看这个角点，取这个 c、 m 用直角三角形二分之三，请在方格纸上画一个点三角形，使它与三角 a、 b、 c 以 a 为位次中心 且中心且位次比为二比一。那把它放大，那边没有出方格，值了啊。 下一题，以线段 a、 b 为边画三角形，使点 c 在 各点上，且探听 b 啊，等于四比三，这正好四比三。 第二，以 a、 b 为边画等腰三角形， 以线段 a、 b 为边画等腰三角形。是 d 落在个点上啊， 等腰三角形。那这一题是吧，你就对正过来就行了。这是三四五，这就直接五在这，再这样截一个五就行。这是三四，这斜边是五这样画的啊， 你要在这点画也行，这样一个等号也行。所以这题没说什么样啊，都可以下面再画一个三角形 a、 b、 e 使 e 在 各点上摊平 b， 摊平 b 等于二分之一。那这题的思路啊，摊平 b 等于二分之一。 那就根据刚才这个题啊，判定 b 等于二分之一啊，这个角 b 就是 角 d 就是 像判定 d 等于二分之一啊，这点有中点啊，连接啊。所以这题思路是建立在第二题思路基础上来做的啊， 无刻度的直尺。第一个 在 b、 c 上找一点 d， 连接 a、 d 时，两个面积相等，实际是找中点，直接这是个点，直接连，连接了就行了，这就直接找一点就行了。点一点，在 b、 c 上找一点 e， 使三角形 a， b， e 是 二倍的 a、 c、 e， 实际上就把它三等分。那这个题怎么作呢？啊，就要注意看， 那 思路是什么，是吧？作出来了， 我们要进行证明， a、 b、 e 的 面积是二倍的 a、 c、 e 面积，为什么是吧？ 哎，大家一起研究这题怎么去做， 我们就是要造出 b， e 比 c， e 是 二比一，是吧？ 我们这里边三角形 p， b、 e， 这是 q， 这里应该加两个字母比较好。好，你看我们占这点，这个是二，这是一。 首先一开始先取一个 p 点和 q 点啊，然后一连接，这相似二比一啊，输啊，交于 b， c 于点 e， 再连接 e 啊，速度，这边听下思路啊，大家好好 在这边取一点 p， 在 这边取一点 q 啊， b， p 是 二， c， q 是 一，这一连接，这两三角相似，好就出来了啊，出来下一问啊。 用贪听角， c， b、 p 等于二分之一，那这题怎么做？贪听二分之一，你看这题已经是四了，所以我们这得找一点，这题就是二啊。 c、 b、 f， 那 不就 c、 b、 f 吗？连起来就行了，是吧？ 好，这一点就是 f 就 结束了啊，实际上是先找出的这一点，加上第一点啊。好，这节课就到这里了。

这不是押题，这是必考知识点，如果你不能说出三三十度等于几扣三，一百三十五度等于几这种一百八十度以内的特殊角，这个视频看完看完，考试当中你绝对不会再忘了。 先看零度到九十度的三一值怎么记？分母都是二分之几，分子超级好记。零一二三四，不要忘了填根号，你已经记着了， 烤散值呢？相反，四三二一零依旧根号，贪进的更不用记，贪进的等于烤散。尔法分之塞亚尔法。你知道任意一个角 口算都能口算出来，比方说现在问你半九十度等于几来九十度，这个二分之二四也就是一。比方说，问你贪进的四十五度等于几来四十五度，二分之二 扣三，四十五度二分之根二。图上扣三就是乘上的导数，根号二分之二二二约了根号二根号约了等于一。考试当中把这个顺手写研陶纸上，你就不用记了。 大于九十度的特殊角值怎么记？如果一个角 a 加另一个角 b 等于一百八十度，他们一定有正弦值相等，余弦值互为相反数，这两个特性怎么用？问你三，一百三十五度等于几？ 一百三十五度加上四十五度等于一百八十度，那么散一百三十五度就等于散，四十五度 就是等于二分之二。如果问你扣散一百五十度等于几？一百五十度加三十度等于一百八十度，那么扣散值互相反数等于负。扣散三十度，扣散三十度二分之二三，那就等于负二分之二三。搞定全部。