我是直的 高一班要求美国停战

君子曰，学不可以矣。卿取之于蓝，而卿于蓝，冰水为之而寒于水。木直众绳柔， 无以为伦，崎岖重工虽幼，导护不负贫者，有始之然也。 木木兽神则直，经就利则立。君子博学而日参醒乎，体则至明而行无过矣，无常 终日而思矣。不如须鱼之所学也，如常弃而忘矣，不如登高之薄剑也。 登高而昭，必飞家常也。而见者远， 顺风而呼声飞，佳节而闻者，章甲鱼麻者，虽 立足也，而治千里。甲舟及者，虽能水也，而觉江河。君子性非异也，善甲于物也。 蛟龙生烟，积善成德，而神明自得，圣心倍也。故不积魁步，无以 已至千里。不积小流，无以成江海奇迹，一跃不能十步。鲁马持家，功在不舍， 锲而舍之。朽木不折，锲而不舍，今时可烙，因 无爪牙之力，筋骨之强，上食哀吐，下饮黄泉，用心医 窃六桂而二鳌非蛇。善之学无可寄托者，用心造也。

大家好啊，今天咱们来讲一下立体几何中的外接球和内切球的问题，实际上这节课除了外接球和内切球之外，还有一个什么球呢？还有一个棱切球，什么叫棱切球？你听下去就知道了啊。咱们先来看一下第一个问题吧，外接球问题， 外界球问题的话，主要是长方体或者正方体这样一个外界球问题，也会有一些这个四面体的外界球问题，咱们来看一下。首先这个长方体外界球问题的话，他有很多变形 这种外接球，咱们先来看第一个图， a、 b、 c、 d 是一个四面底，或者说是一个三轮锥吧，这个三轮锥的话，他也画出来了，在这样一个三轮锥中，他很特殊。特殊在哪呢？就跟你们家里的墙角一样，墙角的地方，这个 cd 这条缝，还有 cb 这条缝，还有 ca 这条缝啊， cd、 c、 ab 和 ca 两两之间是互相垂直的，所以我们也经常把这样一个丧命追叫做什么呢？叫做墙角模型的这样一个丧命追墙角模型能理解吧？这是第一个图， 那第一个图的话，它特点咱已经说清楚了，那关键是第一个图，它这个外接球的直径，如果是长方体的直径的话，它是非常好求的。这个二 r 或者说二 r 的平方，它等于什么呀？它的话上帝和咱已经说过了，它是等于 a 方加 b 方加 c 方的，这个 abc 分别指的是长、宽、高，对吧？ 那么外接球的直径那怎么求呢？外接球的直径实际上你求的还是。咱们现在必须先下一个结论了，在平面结合里头，大家知道三个不贡献的点，确定一个圆，这个是没有任何问题的啊。在平面结合里头，三个不贡献的点 确定一个圆，但是现在到哪了呢？现在是立体几何，现在咱们可以类比一下，写另外一个定力了啊，在立体几何中哦，四个，四个。什么四个不共面的点？四个啊，最少得四个。四个不共面的点。 确定一个什么？确定唯一的这样一个球体，比如说 abcd， 这是四个顶点吧，这四个顶点就是可以确定唯一的一个球的，这个就是四个不公平的点。确定一个球体，这个就是立体几号里头这样一个定理了，这一定要知道， 那现在咱们看了啊，对于第一个图来说啊，如果你想求他外界球的直径，还是很好求的，只需要把原来的四面体或者说这样一个墙角模型补全成为一个长方体就可以。这个长方体的长方高分别就是小 a、 小 b 和小 c， 你也能看出来吧。所以说，对于第一个图来说， 他这个外接球的直径还是等于什么？外接球的直径还是等于 a 方加 b 方加 c 方的。继续来看第二个啊，第二个图的话也特殊，嗯，然后特殊在哪呢？特殊在他这样一个四面题。哪个四面题啊？ a、 b、 c、 d 这样一个四面题，或者说三分之一以后这样一个四面题的话，他四个面都是直角三角形，比如说，嗯，看哪四个面呢？首先第一个三角形啊， abd 是不是直角三角形？是啊，因为 ab 垂直于整个底面啊，那么还有那三角形 abc， 看第二个图啊，这个图，哎，是不是直角三角形？也是啊，因为 a、 b 垂直于 b、 c 啊，还有别的啊，还有别的面，还有哪个面呢？比如说三角形 c、 d、 b 这个三角形是不是直角三角形？是啊， 因为 cd 垂直于整个侧面， abd 这样一个侧面还有什么？还有三角形哦，还有一个 cda 啊，他是不是直角三角形是因为 cd 这条棱，他是垂直于 ad 这样一个面对角线的，他俩肯定是垂直的， 所以说他四个面就这样一个四面体，他特殊的地方就在于他四个面都是直角三角形，所以有些面系体里头，他问你 是否存在这样的四面题，他的四个面都是直角平角性，你不要下意识的去说没有，其实是有的啊，要记住了， 前头这两个模型是最重要的，最后一个反而不是那么重要啊。对于中间这样一个模型来说，这个 abcd 他的外接球直径怎么球啊？也是啊，我把这样一个四面体拼成一个完整的长方形不就可以了吗？当你补完这样一个长方形 后，你发现他的长宽高分别就是小 a、 小 b、 小 c， 其中小 c 也是 ab 的长度啊，小 b 也是 bd 的长度长宽高吗？ 所以他的结果仍然是直径等于 a 方加 b 方加 c 方。其实你现在也知道了，直径，他实际上就是补全以后的长方体的。什么长方体的体育点儿线嘛， 那最后一个图形咱就不说了啊，最后一个图形反而就更简单了。现在我们来练三道题，第一道题的话，其实人家都没有图，都得你自己去画。已知一个正方体，正方体就是长方体啊，特殊的长方体，他的所有顶点 都在同一个球面上，那不就是球这样一个外接球吗？球外接球的体积，他告诉你，这个正方体他的表面积呢，是十八，表面积是十八的话，那咱写啊，表面积等于六 a 方嘛，如果每条龙长是 a 的话， 等于十八，所以说小 a 算出来是根号三，那么这个小 a 有啥用呢？咱们看了啊，你应该把右边这样一个长方体看成是什么，看成是正方体了啊，正方体他这个小 a， 小 b， 小 c， 他实际上都应该写成小 a 都等于根号三。所以首先咱们求 这样一个外接球的直径，直径的话，那好说呀，其实就是正方体的体对角线 a 方 a 方 a 方取完以后的话，这个 r 是等于二分之三的。好，既然说外接球这样一个球体的半径知道了，所以说体积，咱们套一下公式，三分之四派 r 的立方，对吧？ 最终算完以后就是二分之九拍了，答案呢，就是二分之九拍就可以了，理解我的意思吧，图的话，其实需要你自己来画啊，咱们来看第二个，第二个题，这个题 的话，你看 p a， p b， p c， 两两之间互相都是垂直的，这就是墙角模型吧，那墙角模型的话，你需要先把图画出来啊，而且这个墙角的话，分别它的长度是什么？ p a 等于二， pb 和 pc 呢？都等于一，没问题吧？那现在咱们看一下这个图啊，这个图我稍微改一下顶点就行了，这是 papb， 这个就是 pc 吧。 哦， p a， p b， p c 的长度咱们都知道啊，其中 p a 等于二，然后 p c 呢？还有这个 p b 都等于一，注意啊，这个点是点 p， 我再标一下吧。 好，这不就是墙角模型吗？墙角模型补全成为一个完整的长方体之后的话，它的长方高分别就是刚才的二、一一啊，所以说它外接球的直径其实就是补全的长方体的 对角线的长度，那不就是二的平方加一的平方，再加一的平方，所以说他这个半径呢，其实是等于二分之刚好六的，你半径都求出来了，那体积的话，我们还是掏空值三分之四派 r 的立方， 那最终求案是多少？那，那就是根号六派就可以了，没问题了吧。那我们继续来看第三个啊。这个第三题的话是这么说的啊，已知四面题 abcd， 他四个面都是直角三角形， 你看对应的是我们刚刚介绍的中间那样一个四个面都是直角形条形的四面提拔很重要的啊， 并且告诉你 ab 是垂直于 bcd 的，然后 abbcd， 如果你刚刚学这个立体集合的话，不画图的情况下确实很难做出来啊。我的话，先把这个图画出来吧，稍微改一下这个顶点就行了啊。大家现在看一下这个蓝笔， 然后其中这个的话就是点 c 了啊，这个点是点 c， 然后改一下位置就行了，这个点是点 d。 哦，他是这么说的，四个面都是直角平角型吧，他的长度分别是，哦，这个 ab 等于二， b、 c 等于二， c、 d 呢，也等于二。那你既然四个面都是直角三角形，我们把这样一个四面题 a、 b、 c、 d 补全成为一个什么补全成为一个图中的长方体， 长方体的长宽高显然都是二，其实也就是一个正方体啊，所以说他这样一个外接球，直径是多少？直径就是二方，二方就是三个二的平方加起来，那不就是二倍根号三啊。 我们把这个球体的半径等于根号三，其实是已经算出来了，那算完这个之后的话，表面几乎就是四派 r 的平方，最后等于多少？ 等于十二派就结束了吗？讲完了这个外接球之后的话，接下来就得看一下这个内切球和棱接球了。什么叫内切球呢？你看第一个图啊，第一个图的话肯定大家都熟悉啊，对于这样一个正方体来说，因为他的啊，八个顶点吧，八个顶点的话，他都是在哪， 都是在某一个球体上，所以这个球体的话叫什么名字啊？叫做正方体的外接球，主要看后两个啊， 第二个图，第二个图的话，谁跟这个球体相切啊？你一定要注意的是每条棱他一共有十二条棱啊，每条棱他都是跟这个球体相切的，此时他不叫内切球，人家叫什么？ 哎呀，人家叫棱切球，这个东西叫棱切球的哈，一定要区分清楚。然后呢，最后一个题，那最后一个图，他当然就是内切球，什么叫内切球啊？内切球就 指的是一个球体，他跟正方体每一个面都是相切的，这个就叫内切球了，一定注意这个名字，那我们分别来球一下吧。 第一个图啊，他这个外接球半径这一号球吧，首先你这个直径的话，是等于根号下 a 方， a 方再加上 a 方的这个没有任何问题， 那么整理之后的话，这个 r e 不就是二分之根号三 a 的意思吗？这个没问题的啊，咱们主要来看第二个和第三个，第二个图的话是什么呢？第二个图注意了， 这个叫什么名字？这个叫棱切球，棱切球的话，其实我们应该看的是他这样一个立体图形，他的主视图当你把这个主视图也就是这个平面图画出来之后的话，就很简单了，主视图的话我就直接画了啊，先画一个正方形肯定是有的。另外你画完这个主视图，画完正方形之后的话，还得画圆， 圆的话，你注意看啊，他这个主视图主视图的话，实际上就是垂直于 abcd 这个面去垂直的看他们，然后他这个圆在哪啊？这个圆实际上是这个正方形在主视图里头啊，这个圆是正方形的。什么呀？这个圆是正方形的这样一个外接圆， 你注意他这个长度等于多少？每条冷长都等于 a 吧，那你说这条长度等于多少呢？也就是说这样一个半径，半径的话好说呀， 你看图中这样一个 oab 形成了一个什么？形成了一个等要直角形角形，所以我们直接写二分之根号二就行了。这个呢是第二个图也没什么问题，来看第三个图啊，第三个图那就更简单了，第三个图我们只需要改造一下这个主视图的样子就可以了。第三个图，首先你告诉我啊，他叫什么名字 啊？他叫内切球啊，对于内切球来说的话，我们现在还是先把这个正方形主视图里头啊这个正方形给画出来，画完之后的话，主视图里头你肯定也能想象到这个圆呢， 实际上是跟每条边都是相切的。既然你这个边长都是等于 a， 所以我这个半径肯定等于二分之 a 吧，所以最后一个写二分之一就行了。当你了解了这个内切球和棱切球之后，接下来这个问题肯定难不住你了。我们来看啊 啊，二十四，他这个表面节二十四的话就意味着二十四等于六 a 方嘛，也就是说这个正方体每条棱他都是等于二的。 二算完之后的话，你看先算什么？先算？那就先算外接球吧。这个外接球的话刚刚刚说完，他这个半径是二分之根号三，然 然后这个是 a， 对吧？然后这个 r r 的话是内切球，那内切球的话应该是等于多少的内切球？内切球正好是等于二分之一的啊，二分之一 a 算完之后的话就是等于多少，就是等于一的。二十三的话，实际上就是棱贴球啊，这个球体呢，跟每条棱都是相切的。那既然相切的话，还记得刚才那样一个比制吧？刚讲完啊，二分之根号二 a， 那么算完之后的话，其实就是根号二了。我们最终整理一下，既然你球体的半径咱们都分别算出来了，那表面积很简单吧，表面积的话分别是四派二方。第一个是十二派吧，那第二个攻守就不写了啊，第二个的话算完以后是四派， 第三个呢？第三个算完以后是八派呗。所以说横线上的答案就是十二派，四派还有八派就结束了，应该理解了吧。分享康康知识，感受数学之美。我上班老师下集和再见。