辽宁名校联盟3月联考数学立体几何

第一问复数几何含义，角度新颖。第二问，纯计算三角形外心。第三问自己三角形可以直接口算答案，难度不大，考察数学素养。

这是九式联盟二零二六届高三三月质量检测二点二 g 数学 x 十题选择题一到十一题。一、复数运算夯实代数基础。 二、集合并级考察，基础概念。三、等比数列公比生化数列规律。四、三角函数图像变换强化三角应用。 五、切线与函数相切考察，导数应用六、分段函数单条性提升，函数综合分析。七、直线与曲线焦点考察，几何综合八解三角形面积提升三角公式应用。九、圆柱与三棱锥综合强化立体几何。十、椭圆性质与最值提升。解析，几何 十一、抽象函数性质考察，创新思维，梯度衔接自然填空题十二到十四题十二、向量垂直考察，向量运算。 十三、抛物线交半径与斜率提升。解析，几何十四、概率期望生化统计思维夯实核心基础。解答题，十五到十九题 十五、条件概率与回归分析考察，统计与概率应用十六、竖列通向与列向求和生化竖列综合。 十七、翻折面面垂直与二面角强化立体几何。十八、双曲线方程与定点问题提升解析，几何十九、函数单条性不等式证明与极值点考察，导数应用全面覆盖高三核心素养。

挑战二十五分钟带你速通高一数学下一休二第八张立体几何的所有考点主要包括立体几何的表面与体 积空间点直线平面之间的位置关系，空间直线平面的平行垂直划重点从高一到高三高中每 考点阿斌老师我都会持续跟完，后续也会对重点公式的推导过程及典型考法持续更新。做这个系列的原因在于，数学其实本质就是公式的灵活应用，但最重要的是这些公式你能熟练的背下来才能灵活应用。关注阿斌高中数学，带你躺着学高考数学也能 多拿三十分！第八单元多面体旋转体的定义多面体定义若干个平面多边形所围成的几何体图形如下。 相关概念，面围成多面体的各个多边形棱相邻两个面的公共边顶点棱以棱的公共点旋转体，一条平面曲线绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，如图所示。注意，轴形成旋转体所绕的定直线称为轴。棱柱的结构特征棱柱的概念定义有，两个面 互相平行，其余各个面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都是互相平行的。由这些面所围成的多面体叫做棱柱图形即表示， 如图可记作棱柱 abcdef 杠 a 撇 b 撇 c 撇 d 撇。 相关概念，底面两个相互平行的面叫底面侧面，其余各面侧轮相邻侧面的公共边顶点侧面与底边的公共顶点。轮柱的分类按底面多边形数来分，三轮柱、四轮柱、五轮柱。按侧轮 是否与底面垂直，侧轮垂直于底面的轮柱叫做直轮柱，侧轮不垂直于 底面的棱柱叫做斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。知识点，三棱锥的结构特征，棱锥的概念定义，有一个面是多边形，其余各边都有一个公共顶点的三角形， 由这些面围成的多面体叫做楔，图形即表示，如图可记作楔 s、 杠 a、 b、 c、 d， 其中 s 是 顶点。相关概念，底面 是多面形，侧面有公共顶点的各个三角形，面侧能相邻侧面的公共边。顶点各侧面的公共顶点楔四楔，底面是正多边形，并且顶点 与底面中心的连线。垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。知识点，是棱台的结构特征。 棱台定义，用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥底面与截面之间大部分多面体叫棱台，图形即表示。如图可记作棱台 a、 b、 c、 d 杠 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇。 相关概念，上底面平行于轮锥底面的结面，下底面圆轮锥的底面、侧面，其余各面侧能相邻侧面的公共边。顶点侧面于上下底面的公共顶点 分类有，三轮锥、四轮锥、五轮锥。捷德的轮胎分别叫做三轮台、四轮台、五轮台。知识点，五圆柱的结构特征，圆柱定义，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边寻找一周 形成的面所围成的旋转体叫圆柱，形状及表示。图中圆柱表示为圆柱。 o 一 撇 o。 相关概念，圆柱的轴旋转轴，圆柱的底面垂直于轴的边，旋转而形成的圆面。 圆柱的侧面平行于轴的边，旋转而形成的曲面。圆柱侧面的母线无论旋转到什么位置，平行于轴的边。四点六、圆锥的结构特征圆锥定义， 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图形，即表示图中圆锥表示为圆锥。 s o 相关概念，圆锥的轴旋转轴，圆锥的底面 垂直于轴的边，旋转而形成的圆面。侧面直角三角形的斜边旋转而形成的曲面母线，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。知识点七、圆台的结构特征圆台 定义，用平行于圆锥的底面的平面去结圆锥底面与结面之间的部分叫做圆台。图形，即表示图中原台表示为圆台。 o 撇 o。 相关概念，圆台的轴旋转轴，圆台的底面垂直于轴的边，旋转一周所形成的圆面。圆台的侧面 不垂直于轴的边，旋转一周所形成的曲面母线，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。知识点八、球的结构特征球定义， 半圆，以它的直径所在的直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。图形，即表示图中的球表示为球。 o 相关概念，球心， 半圆的圆心半径连接球心和球面上任意一点的线段，直径连接球面上两点并经过球心的线段。 知识点九、简单组合体的结构特征概念，由简单几何体组合而成的这些几何体叫做简单几何体基本形式，一种是由简单几何体 拼接而成，另一种是由简单几何体截去或者挖去一部分而成。知识点时水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤，第一， 画轴，在已知图形中取相互垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于 o 点。 画直观图时，把它们画成对应的 x 撇轴与 y 撇轴两轴相交于 o 撇，且使得角 x、 o、 y 等于四十五度或者一百三十五度， 它们确定的平面表示水平面。第二，画线，已知图形中平行于 x 轴或者 y 轴的线段， 在直观图中分别画成平行于 a 撇轴或者 y 撇轴的线段。第三，取长度。已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图形中保持原长度不变。平行于 y 轴的线段在直观图形中长度为原来的一半。 知识点十一、空间几何体直观图的画法几何体直观图的画法步骤，第一，画轴与平面图形的直观图画法相比，多了一个 z 轴，直观图中与之对应的是 z 撇轴。 第二，画底面平面 x 撇、 o 撇。 y 撇表示水平平面。平面 y 撇、 o 撇、 z 撇和 x 撇。 o 撇， z 撇表示数值平面。按照平面图形的画法画底面的直观图。第三，画侧能 已知图形中平行于 x 轴或者在 x 轴的线段，在其直观图中平行性和长度都不变。 第四，层图去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。知识点十二， 能住、能追、能抬的表面积多面体对应的图形以及表面积。多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积点。十三、能住、能追、能抬的体积能住体积为 v 楞柱等于 s 乘以 h， 其中 s 为楞柱的底面积， h 为楞柱的高楞锥， v 楞锥等于三分之一， s 乘以 h， s 为楞锥的底面积 h 为楞锥的高 楞台， v 楞台等于三分之一。括号内 s 一 撇加上根号下 s 一 撇， s 加上 s， 括号回来再乘以 h， 其中 s 一 撇 s 分 别为轮胎的上下底面面积 h 为轮胎的高知识点。十四、圆柱、圆锥圆台的表面积对于旋转体，圆柱 底面 s 底等于 pi r 平方，其中 r 为底面圆的半径，侧面积 s 侧等于二 pi r， l 表面积 s 等于二 pi r 括号内是 r 加 l， 其中 l 为圆柱的母线，圆锥底面积 s 底等于 pi， r 平方侧面积 s 侧等于 pi r l。 注意， l 是 母线，不是高圆台。 上底面面积 s 上底等于 pi， r 撇的平方，下底面面积 s 下底等于 pi， r 平方，侧面面积 s 侧等于 pi。 括号内 r 撇乘以 l， 加上 r 乘以 l。 l 为母线表面积，表面积 s 等于 pi， 乘以括号内的 r， 一 撇的平方加 r 的 平方加上 r， 一 撇乘以 l， 加上 r 乘以 l。 四点十五、圆柱圆锥圆台的体积 几何体积圆柱微圆柱等于 s 乘以 h 等于 pi， r 平方乘以 h。 说明圆柱底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 圆锥圆锥的体积等于三分之一 s 乘以 h， 圆锥底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 圆台体积圆台的体积等于三分之一。括号内的 s 加上根号下的 s 乘以 s， 一 撇加上 s 乘以 h， 等于三分之一 pi r 的 平方加上 r 乘以 r， 一 撇加上 r 的 平方，再乘以 h， 其中圆台上底面圆的半径为 r， 一 撇面积为 s， 一 撇下底面圆的半径为 r， 面积为 s， 高为 h。 知识点十六、球的表面积和体积公式一、球的表面积公式 s 等于四 pi r 平方，其中 r 为球的半径。二、球的体积公式 v 等于 pi r 的 三次方。知识点十七、平面 一、平面的概念几何中所说的平面是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的。立视于直线，向两端无限延伸。几何中的平面是向四周无限扩展的。 二、平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，他的锐角通常画成四十五度，且横边长等于其邻边的二倍。 如图一，如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，被遮挡部分用细线画出来，如图二，但平面的表示法。图一的平面可以表示为平面 r 法，平面 a、 b、 c、 d。 平面 a c 或者平面 b d。 注意， a、 c 和 b、 d 都是对应的对角。知识点十八、点、线面之间的位置关系一、直线在平面中的概念如果直线 l 上的所有点都在平面阿尔法内， 就说明直线 l 在 平面阿尔法内，或者说平面阿尔法经过直线 l。 二、一些文字语言与符号语言的对应关系 点 a 在 直线 l 上对应的符号表示 a 属于 l。 点 a 在 直线 l 对 应的符号表示是 a 不 属于 l。 点 a 在 平面阿尔法内， a 属于平面阿尔法，点 a 在 平面阿尔法外， a 不 属于平面阿尔法。直线 a， 在 平面阿尔法内，直线 a 包含于平面阿尔法 直线 l。 在 平面 r 法外，直线 a 不 包含于平面 r 法，直线 l， m 相交于点 a， l 与 m 的 并集等于点 a。 平面 r 法与平面贝塔的并集等于直线 l。 四十点十九、平面的基本性质及作用 基本四十一、过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面，相关图形表示符号 abc。 三点不共线存在唯一的平面阿尔法使得 abc 属于阿尔法。作用，一是确定平面，二是证明点线共面问题，三是判断两个平面重合的依据。 基本四十二、如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，点 a 属于直线 l， 点 b 属于直线 l， 且点 a 属于平面而法点 b 属于平面，而法能推导出直线而包含于平面而法 即可判定直线和点是否在平面内，又可以说明平面是无限延展的。基本是十三、如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 p 属于阿尔法，且 p 属于贝塔，能推导出阿尔法与贝塔的并集等于 o 且 p 属于 l。 用途，一、判定两平面相交的依据 二、判定点在直线上。二、利用基本四十一和四十二，再结合两点确定一条直线，可以得到下面三个结论， 推论一，经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。推论二，经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三，经过两条平行直线有且只有一个平面。 知识点二十、空间两直线的位置关系意面直线定义不同在任何一个平面内的两条直线。 意面直线的发滑衬托平面法如图一、二、三所示。为了表示意面直线不够面的特点，作图时通常用一个或者两个平面来衬托。三、判断两直线为意面直线的方法一、定义法二、两直线既不平行也不相交。 空间两直线的三种位置关系，共面直线和异面直线在共面直线中分为了相交直线，即在同一平面内有且只有一个公共点。 平行直线是在同一平面内没有公共点。相交直线与平行直线都属于共面直线。异面直线不同在任何一个平面内没有公共点。 知识点二十一、直线与平面的位置关系直线 a 在 平面阿尔法内则有无数个公共点符号表示是直线 a 包含于平面阿尔法对应的图形表示。若直线 a 在 平面阿尔法外，则有两种情况，一是直线 a 与平面阿尔法相交， 则公共点只有一个公共点，也就是直线 a 与平面阿尔法的并集，等于点 a。 直线 a 与平面阿尔法平行没有公共点的时候，则直线 a 平行于平面阿尔法对应的图形表示。 知识点二十二、平面与平面的位置关系若两平面平行，则没有公共点对应的符号表示平面阿尔法平行于平面贝塔。图形表示 两平面相交有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上，也就是平面阿尔法与平面贝塔的并齐，等于直线 a o 对 应图形表示。知识点二十三、基本是十四、平行于同一直线的两条直线平行。对应的图形语言符号语言，直线 a、 b、 c a 平行于 b， b 平行于 c， 则能推导出 a 平行于 c。 作用 证明两条直线平行。说明基本四十四、表述的性质通常叫平行直线的传递性。 知识点二十四、空间等角定义定义如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 对应的符号语言， o a 平行于 o 撇 a 撇 o b 平行于 o 撇 b 撇，推导出角 a、 o、 b 等于角 a 撇、 o 撇 b 撇或者角 a、 o、 b 加上角 o 撇、 a 撇、 b 撇等于一百八十度。 注意关键点，两角相等或互补。对应的图形语言作用判断或证明两个角相等或互补。推广，如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所形成的锐角或者直角相等。 知识点二十五、直线与平面内一条直线平行， 那么该直线与此平面平行。对应的符号语言，直线 a 不 包含于面，而法直线 b 包含于平面，而法直线 ab 平行，则能推导出直线 a 平行于平面，而法 对应的图形语言知识点二十六、直线与平面平行的性质定律一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。 符号语言， a 平行于平面阿尔法 a 属于平面贝塔，平面阿尔法与平面贝塔的交集等于 交线 b 则能推导出直线 a 平行于交线 b 对 应的图形语言知识点二十七、平面与平面平行的判定定律 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行对应的符号语言， 直线 a 在 平面阿法内，直线 b 在 平面阿法内，直线 a 与 b 的 交集等于点 a， 且直线 a 平行于平面北塔，直线 b 平行于平面北塔。 推导出平面阿尔法与平面贝塔平行对应的图形语言知识点二十八、两个平面平行的性质定律 文字语言如果两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行对应符号语言，平面阿尔法平行于平面贝塔，平面阿尔法与平面伽马的交线等于直线 a。 平面贝塔与平面伽马的交线等于直线 b 不 能推导出直线 a 平行于直线 b。 对 应的图形语言 知识点二十九、两直线的位置关系意面直线定义不在任何一个平面内的两条直线画法有以下三种，两条直线的位置关系可以是共面直线和意面直线。如果是共面直线，只有一个公共点，平行直线没有公共点， 意面直线也没有公共点。两个定理基本事实是，文字语言平行于同一直线的两条直线。平行符号语言，直线 abc、 直线 a 平行于直线 b 直线 c 平行于直线 b， 则能推导出直线 a c。 平行。作用证明空间两条直线平行 等角定理内容，如果空间中两个角的两条边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。作用证明两个角相等或互补是平面内两条直线的夹角定义，平面内两条直线相交成四个角，其中不大于九十度的角称为这两条直线所成的角或者夹角。 规定两条直线平行时夹角为零，垂直时夹角为九十度范围。两条直线夹角阿尔法的范围是零到九十度。 知识点三十、意面直线所呈的角定义，已知两条意面直线 a、 b 经过空间任意一点 o 分 别作直线 a 一 撇平行于 a， b 一 撇平行于 b， 则意面直线 a 与 b 所成的角就是直线 a 撇与 b 撇所成的锐角或直角范围 c 塔大于零，小于等于九十度。特别的，当 c 塔等于九十度时， a 与 b 相互垂直，记作 a 垂直于 b。 知识点三十一、直线与平面垂直的定义定义，如果直线 l 与平面阿尔法类的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面阿尔法相辅。垂直记法， 直线 l 垂直于平面阿尔法有关概念，直线 l 叫做平面阿尔法的垂线，平面阿尔法叫做直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足图，是画法。 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直。注意 过一点垂直以已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。 知识点三十二、直线与平面垂直的判定定律文字语言，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 符号语言，直线 l 垂直于直线 a， 直线 l 垂直于直线 b。 直线 a 在 平面 r 法内，直线 b 在 平面 r 法内，且直线 a 与 b 的 交点等于 p， 则直线 l 垂直于 r 法。对应的图形语言知识点三十三、直线与平面所成的角有关概念， 斜线一条直线与平面阿尔法相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。如图中直线 p a 斜竹斜线与平面的交点图中点 a 摄影 过斜线上斜轴以外的一点向平面引垂线过垂足和斜足的直线，叫做斜线。在这个平面上的摄影图中，斜线 pa 在 平面阿尔法的摄影为直线 a o。 直线与平面所成的角。 定义，直线的一条斜线和它在的平面的摄影所成的角途中角 p a o 规定一条直线垂直于平面，它所成的角是九十度。一条直线和一个平面平行，或在平面内，它所成的角是零度。 取值范围设直线与平面所成的角为 c 塔，则 c 塔大于等于零，小于等于九十度。知识点三十四、直线与平面垂直的性质定理 文字语言垂直于同一平面的两条直线平行符号语言， a 垂直于平面 r 法 直线 b 垂直于平面， r 法则直线 a b 平行对应的图形语言注意，一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离。 如果两个平面平行，那么其中一个平面的任意一点到另一个平面的距离都是相等的， 我们把它叫做这两个平行平面间的距离。知识点三十五二、面角的概念定义从一条直线发出的两个半平面所组成的图形相关概念， 这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。画法 记住，二面角阿尔法 l beta 或者二面角阿尔法 ab 杠 beta 或者二面角 p 杠 l 杠 q 或者二面角 p 杠 ab 杠 q， 其中中间是表示的是直线二面角的平面角 若有点 o 属于直线 l o a 在 平面阿尔法内， o b 在 平面贝塔内， o a 垂直于 l o b 垂直于 l， 则二面角 阿尔法 l b 的 平面角是角 a o b。 二面角的平面角阿尔法的取值范围是，大于等于零，小于等于一百八十度。平面角是直角的二面角，叫做直二面角。知识点三十六、平面与平面垂直一、 平面与平面垂直的定义定义一般的两个平面相交，如果他们所呈的二面角是 直二面角，就说这两个平面相互垂直对应的画法记住，平面 r 法垂直于平面贝塔平面与平面垂直的判定定律文字语言，如果一个平面过另一个平面的垂线， 那么这两个平面垂直对应的符号语言，直线 l 垂直于平面阿尔法直线 l 在 平面贝塔内，则能推导出平面阿尔法与平面贝塔垂直对应的图形语言。 知识点三十七、平面与平面垂直的性质定律文字语言，两个平面垂直如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直对应的符号语言， 平面 alpha 垂直于平面 beta， alpha 与 beta 的 交线为 l 直线 a 在 平面 alpha 内， a 与直线 l 垂直，则能推导出直线 a 垂直于平面 beta 对 应的图形语言。好了，以上就是本期视频所有必考知识点和公式结论，一定要点赞收藏哦！从高一到高三，高中每册考点阿斌老师我都会持续跟完， 后续也会对重点公式的推导过程及典型考法持续更新。关注阿斌高中数学，带你躺着学懂高考数学！

立体几何你没有刷过这三十道基础大题的话，你千万别说你空间想象力不行，因为立体几何对逻辑构建的要求本身就很高，他 需要你把常见模型和辅助线做法刻在脑子里。尤其是高二同学，不要急着学普型法、向量间隙的技巧，先用传统几何法把自己的空间想象力锻炼出来。你看这道二零一八年全国卷的折叠问题， 很多同学觉得难，如果你能沉下心，把这三十道基础题老老实实推一遍，把每种图形的辅助线做法都练成肌肉记忆，到时候什么三垂线、定力等体积法自然就融会贯通了。拿走，下载打印吧！你的突破从今晚开始！

哈喽，大家好，我是番茄学术，那么今天我们讲解的是零基础十五课里面的第十课，立体几何的上半部分，我们今天要讲的是各种图形的体积，表面积，体积，表面积。 好，第二个就是平行，第三个是垂直好，空间向量在下一期视频中。 好，那么这一期视频的话，对应的章节就是一数一百，讲里面的几何体的表面积，体积以及位置关系的判定，里面的平行关系的证明大权以及垂直关系的证明大权。如果有这本书的话，可以在课后把这里面的练习完成一下。 好，那我们废话不多说，开始吧。首先立体图形里面，我们先把平面图形里面的呃，一些小小面积啊，周长之类的给它搞明白。那首先是圆，第二个是 弧，圆弧扇形，这叫扇形，对，下面是弧对，弧长。 ok， 来看一下，如果这个圆的半径为 r， 那 么我可以求它的周长和表面积，对不对？那表面积是多少呢？ pi 平方吧，对不对？好，五周长呢？周长， 周长是不是二 pi r， 这个每个人都知道吧，我记得是小学学过的。嗯，好。第二个是这个扇形面积，扇形面积有两种求法，第一个是我如果知道它的弧长，假设弧长为 n， 哈，这个蓝色的叫做弧长，只有圆弧。嗯，我假设它为 n， 然后这个母线假设它为 l， 那 么它的面积怎么求呢？二分之一 n l 面积。 那求扇形面积的话，还有另外一种方法，把这个扇形放在圆里面， 圆里面，你看这个扇形好，假设它角度为 r， 放嘛，然后，哎，那它的半径是 l 喽，对不对？好，那我现在只知道它角度和这这个的弧长。好吧，那我要求它的话，我先求大的 这个圆的面积，圆的面积 pi 平方。好，那我先要求这个。我假设它是弧度值啊，它占多少分呢？它这边占是不是占了二？ pi 分 之二法，如果是按弧度值来说的话，对不对？好，如果是角度的话， 按弧度值来说是这个，如果按角度来说是三百六十分之，假设三百六十分之二法， pi 二方。好， 这样子是角度，你得还是得转换成弧度啊， ok 吧，不然的话你等会这边不知道怎么约啊，约完之后这边是度数啊，知道吧，所以你要知道弧度， ok 吧，弧度制的， 然后这边再进一步约分派派约掉，所以就是二分之一而放而方。 ok， 这个也可以求扇形面积，但是用的比较少，一般还是用这个。对， 好，学完了之后，我们来到柱形，锥形台体以及球的面积与表面积，或者是说侧面积。好，我们来看，首先是 首先是这个柱形，那柱形的体积，我们先看体积哦，体积的话是 s h。 s 是 什么？下面的这个的面积 s h 有 的人会记 pi r 方 h 也是没有问题的。为什么这个底面就是一个圆呐？底面的话可以求啊，底面这个 s 就是 pi r 平方了，对不对？你想记这个记呗，我又不强求你记 不记这个。对，你可以记这个，也可以记这个，但是这个不好记啊， pi r 平方 h 不好记啊， pi r 平方 h 不好记哈，对，所以我们一般记 s h 可以 吧？好，锥体的话，一般锥体的话，所有的锥体它的 体积都是三分之一 s h， 所有的台体都是三分之一 s， 括号 s 上加 s 下，加上根号下， s 上 s 下，括号 h。 好， s 上就是上面这个这个圆的 面积，然后所以就是根号下，然后再根号下 s 上 s 加， 其实这个是前面两个的综合题啊，为什么呢？你看啊，如果这个 r 一 等于零等于零，那他是不是不是圆台了，就变成圆圆锥了，对不对？那等于零的话，零零，那这边就是变成了三分之一 s 下，也就是三分之一 s h， 不 就这个吗？对不对？ 好，那另外一个呢？如果，哎， r 一 跟 r 二一样了，他是不是圆什么圆珠吧，对不对？ 那一样的话，那他加他等于二 s， 那 他他乘他，嗯，开个根号就是 s 三 s， 然后外面乘个三，三分之一三 s h， 哎，不就是 s h 吗？哎，有没有发现跟他一模一样对不对？好，这是他们的体积，大家一定要记住哈，就考试的时候就是用的还是比较多的， 当然我说了啊，就是你记 r， 你 记这个也行嘛，但是这个不好记，你还是记这个吧，老老实实记这个吧。上面和下面可以吗？ 面积慢慢求嘛。这个面积还不好求吧。面积很好求的呀，所以就不要总是把 r 放进去。 为什么总强调？是因为我去年出了一题，别人总说我教错了，可是实际上是没有错的，可以 s 上 s 下，刚好是 s 上下，可以吧，他总记这个 r 去了，知道不？都一样的哈。好，那讲完了体体积的话，我们来讲侧面积哈， 我们来看一下侧面积，这个侧面展开是一个矩形，那矩形怎么求面积啊？底乘高吧，那底怎么求啊？底面怎么求啊？这个底底是多少呀？ 二派儿吧，二派儿下面的周长，然后这边呢？ h， 所以 就是二派儿 h。 好，那到了锥圆锥呢？它的这边是一个什么？它的它的展开图啊，它的侧面展开图啊，我要求侧面记嘛。侧面展开图是一个扇形， 那扇形的话我要知道它下面这个弧长是多少了。弧长是多少也是二 pi r 嘛，对不对？然后它的母线呢？是这个 l， 所以 它是二分之一弧长乘母线二 pi r 乘 l， 然后二分之一和二约掉就变成了 pi r l。 pi r l 好， 最后一个这边的话直接记哈 pi r 一 加 r 二括号 l， 原台的最特殊了。原台的怎么求呢？我们一般是补全，补全之后用呃，用整体的减去这个切掉的这个部分， 但是哈，你不要去正了，也不要去叽里咕噜搞一大堆了，等会会产生歧义，你会搞，搞得等会会觉得 r 二减 r 一， 但是不是的哈，这是按比例来，最后算到的是 pi r 一 加 r 二 l 可以 吧。推就不推了，大家不要去推啊，直接记就好了。推还是比较麻烦的， 这是他们的侧面积好也是直接记就好了，最难记的就是这个。呃，那个台体的嘛， ok， 好 侧面积哦。没没，不是说表面积哦，表面积的话这是要加两个圆哦，这边表面积要加下面这个圆的面积哦，如果要这边的话就是下面和侧面有区别哦。我现在求的是侧面积 ok 吗？侧面积对， 好，接下来是球球，这个我觉得比较好记了，球的话，首先体积的话是三分之四 pi 而立方， 表面积呢？四 pi 而平方。好，我们记住哈。怎么去分别？这两个长得很像对不对？好，一般体积的话是不是立方多少立方多少呀？所以你看他这边是立方， 然后这边大的数，他这边就比较小， ok 吗？所以他是三分之四。好，这边面积的话一般都是平方，所以他是二次方，然后这边小，他就比较大一点，我一般是这样记的。 ok， 那 这些图形的表面积，体积周长什么叽里咕噜一大堆的，一定要记住啊。好的，然后这边题，呃，带大家做一个，然后其他的不建议大家做太多哈，因为有的题还是比较难的啊， 你做一两个，然后只要记住这些图形的面积，表面积，体积之类的，侧面积之类的，我觉得就 ok 了。嗯，好，然后题目遇到了，再就是试卷遇到了再说。对， ok， 当然能做多少做多少喽，看不懂答案的就不做喽，知道吧。好，继续。体底面积是二派，侧面是是六派的圆锥的体积。好， 这种题啊，一定要画图哦，画图稍微画一下，虽然比较丑陋，但是还是要画喽。底面积为二派哦，那这个 r 怎么求呀？面积是派 r 平方，它会等于二派，派派约掉 r 方等于二，那 r 就 等于根号二喽，根号二，根号二。 好，侧面积为六派，侧面积怎么求呀？侧面积是二 pi r 这，这边弧长是二 pi r 这，然后这边是 l。 好， 我们来求一下 二分之一二 pi r l 我 喜欢现场推啊。二分之一 n l 比较好推吧， 就是弧哦，就是扇形的面积嘛，我一般喜欢这样推过来嘛，你直接记 pi 二 l 也 ok， 没问题的，你看二分之一和二约掉了 pi 二， l 等于几啊？侧面积是六， pi 六 pi 好， pi 约掉 pi 约掉 r 等于根号二。刚才已经斜了，那根号二再除以过去， 移向过去了，这边乘法移到左右边就是除法了。好，所以 l 就是， 呃，上下同时乘根号二，二分之六，根号二，二和根号六就消掉，变成三根号二，所以 l 等于三根号二，三根号二。现在求什么？求体积？ 体积怎么求？三分之一 s h 三分之一 s h， s 告诉你了，底面积告诉你了，二派告诉你了，现在就差高了。高怎么求？勾股定律了？看，把它拿出来，把这边全都擦掉。勾股定律， 嗯，这边三根号二，这边呢？根号二，括号平方减去根号二，括号平方等于它的平方嘛。 好，那就是三三得九，二九十八，二九十八，减去二那十六，然后开根号的话就是四，所以这边是四，高是四。好，那三分之一 s， s 是 二， pi h 是 四，所以二四得八， 三分之八怕，所以选 b。 ok， 我 觉得就差不多了。好，那么到第二关，平行与垂直，那平行与垂直的话，我们首先来看平行啊，平行比较简单 啊。平行的话，首先我们从线线开始，因为所有的你，不管是正面线，线与面，面与面，叽里咕噜一大堆的都是从线开始的。对，所以我们首先先看线，线 好，线线怎么会平行呢？好，我们来看到中位线，哎，初中学的吧，对不对？假设这是 a， 这是 b， 这是 d， 这是 e， 把 d e 连起来，假设 d 是 a， c 中点， e 是 b， c 中点，然后把这个连起来，我们叫做中位线。中位线， 那中位线会平行与下面这个 a、 b 会平行且相等， d、 e 平行且等于二分之一的 a、 b， 这个结论非常重要。嗯， 好的，那通过这个的话还有平行四边形。为什么平行四边形？ 那？因为有的时候 a、 b、 c、 d 啊，我们来看哈，有的时候我要证 a、 b 平行， c、 d 不 太好证，那这个时候我们去侧面证 c、 b、 c 与 a、 d 平行且相等，平行且相等的话，那这就代表它是平行四边形，平行四边形多一边就相互平行。呃，那就证明到了 a、 b 平行 c、 d 这第二个，这是第三个。 l 一、 l 二干嘛呢？ l 一 垂直这条线， l 二也垂直这条线，那么他俩就垂直， ok 吗？啊，说错了，他垂直他，他垂直他，那他俩就平行，可以吗？ 就是这个或者是垂垂直于下面这个面， l 一 垂直下面这个面， l 二垂直下面这个面。啊，那也可以的，你不信的话，你拿两支笔插在你桌子上，它俩是会不会平行？垂直往下插，可以吧？ 好，线线平行的话，大概就是这三类，基本上啊，基本上所有的就是这三类，前面两类居多一点，但是这个也非常重要。哦，好吧，那还有一种就是 l 一、 l 二、 l 三， 如果 l 一 平行 l 二、 l 三平行 l 二，那，那那 l 一 和 l 三也会平行，可以吧？ 线线平行，那他们三都平行。对， ok， 这是线与线喽。啊，具体怎么正的话，等会我会带大家过一下，就是具体的思路，具体的怎么去写哈，现在是过一下思路，知道吧？好，即使是线面， 线与面的话是这样子的，我要求这条线与这个面平行，那我们在面里面找一条线就好了，比如说我要证明 l 平行这个而法，我要在而法里面找一个线 a， 如果 l 平行 a， 那 么 l 就 平行，而法好， 线平行面，在面里面找一条线与它平行就 ok 了，我们就证明到了线平行面，这是思路，思路具体写肯定不是不，不会这么简陋，但是我们脑子里第一时间有这个思路就 ok， 然后具体的我们的做题的时候，具体做题的时候要详细的写， 下面继续往下，接着是面与面好，面与面平行的话，首先还是一样的，我先画图， 我要证明什么呢？ r 法与贝塔平行，那我要证明 r 法与贝塔平行，我们只需要在 r 法里面找两条线 a b 干嘛呢？这个 a 平行贝塔， b 平行贝塔，那我们就证明到了什么？而发与贝塔平行，好，那其实这边哈，它平行这个面其实就是它平行这面里面的一条线，根据刚才说的呀，我要找线平行面的话，就是在面里面找一条线嘛，对不对？所以其实啊， 本质上我就只需要在在这个面里面找一点，找 c d， 嗯，我直接找 a 平行 d， b 平行 c a， 那 也是 ok 的， 也能证明到他们俩是平行的，这俩是一样的， ok 吗？ 这是平行的一些思路哈。然后笔记的话我会放在网盘里， b 站的小伙伴的话会在顶顶置评论区，其他同学可以去微信公众号搜索一下我的名字，然后里面会发， 好，我们来，具体的话我们要写这么多，来瞅一眼，来看到这我要证线与面平行的话，需要证明到哪一些呢？首先这个线不在这个面里面，所以写 a 不 在这个面里面， 不在用这个符号表示啊，在的话也用这个符号可以吧？你不用管什么东西，反正在就这个，不在就这个可以吧，这叫属于哦，这叫包含于，但是我一般念属于了。无所谓，你只要会写就行啊，随便你怎么念啊， 念属于肯定是念错的，因为这叫包含于。嗯，回顾一下集合之间的关系吧，集合 元素与集合之间用的是属鱼的符号。那集合与集合之间呢？集合与集合之间 用的什么符号？用的是这个有印象吗？包含鱼有印象吧。好，那这个就是叫什么？包含鱼的一半，那也是包含鱼可以吗？ b 包含在 a 里面。对，就是这个，但是我一般念属于了啊，随便你怎么哈，但是你要理清楚啊，具体写的时候你要理清楚啊。好， 那这个就等于不可能，线不可能等于面，知道吧？线不可能等于面，所以就他就把等于那个直接去掉了，所以就直接只有一个属于了。 ok， 我 们继续啊。好， a 不 在这个面里面，然后另外 b 在 这个面里面，然后 a 如果平行 b， 那 么就证明他了，他是平行的，一定要写这些东西啊，不能偷懒啊，重点还是要都要达到的好。第二个，面与面平行，面与面平行， 我们要怎么做呢？首先 a 与 b 都要在这个而法里面好，其次， a 与 b 还要有一个交点， 不能平行的两条线啊，一定要有交点的两条线哦，分别与另外一个平行。刚才说了，你如果就找两条线也 ok， 因为我要正这条线平行于另外一个面，就是在这个面里面找一条线与它平行，它平行它那就它就平行这个面是不是？所以就是本质还是找两条线可以吗？好， 然后就证明到了 alpha beta 平行。好，那接着。呃，还有两个小东西哈，就是这个，如果这条线平行于这个面，然后如果有一个面呢？正好经过这条线，它就会与另外 就是与这个面有一条交线，这条交线也会与它平行，这个知道一下就好。然后还有这边如果两个面平行，另外一个面经过它交于两个，呃，有两条交线嘛？两个面平行，另外一个面切着，它有两条交线，它这两条交线也会平行。 稍微有一点点印象就好了。因为考试考的不多哈。具体还是前两种。 ok， 然后我们来具体写两个题。嗯，有两个比较经典的题， mac 烊 先花两分钟读一下题。嗯，好，时间差不多啊。这边有个小技巧哈， 在立体图形里面哈，它不管线怎么去扭曲，好比如说一个直角，那它到到这里面就变成这个了 啊。没有关系，角度是会变的。但是两条线，你看两条线啊，如果他平行的话，不管他怎么扭曲，角度怎么扭曲他都是跟着一块扭曲的，你看不管怎么扭扭扭扭扭，三百六十度旋转，三百六十度转一圈， 这两条线都会平行，可以吧？这是平行线的性质，在立体图形里面平行的线也会平行。好，那我们来看一下啊，一般写这种题的话我们先读题，读完题再去看条件 ok 吗？不然的话你看完条件题目又忘了 啊？就是就是，看完条件不知道找什么东西，等会又要读一遍题，又会回去找，这样比较麻烦。 ok， 所以 我们直接先读题。 m n 要平行。 p b c p b c p b c， 线要平行面，好的，那我们家面里面要找一条线与它平行喽，对不对？刚才说了，线是不会那个的，所以我们只需要干嘛呢？线，如果这条线与这条线就叽里咕噜这一堆线平行的话，它是不会有扭曲的，所以我们就有一个方法。干嘛呢？ 拿把尺子，我们来找辅助线。好，这是你的尺子啊，你已经对比了，这条线是 跟它重合的，然后你拉一下，上下左右移，你的尺子上下左右移，那这条线是一直会与 m n 是 平行的，那这条线我要干嘛呢？哎， p b c 到他们顶点上晃一圈，你看一下哪个有焦点，你看是不是 b 这边有一个焦点。哎，大概率就是你要做这条线干嘛呢？与他平行，你看这条线是不是与他平行的吗？是吧，对不对？因为这条线本来就与他平行的。那这这上面这条线是不是也跟他平行啊？好，那这条线怎么做呢？一般我们有两种， 取中点，中点做辅助线。第一步，取中点第二个，呃，对角线相连。对角线， 那我们来看矩形，对角线相连会相互平分，平行四边形相互平分，或者是菱形，或者叽里咕噜这一大堆的东西都是对角线相连，等会会有一个例子。啊， 好，那我们这边的话就是取 p c 中点了，然后连起来，可以吗？好了，那我们等会就是 a b c d e 没有 e 好， 取 p c 中点， e， 好， 等会我们再来看具体怎么做，我们还没看第一步嘛，对不对？好，四棱锥 p a， b， c， d 中底面 a， b， c， d 干嘛呢？是边长为二的菱形。 菱形，菱形是特殊的平行四边形吗？首先会相互平行吗？是不是？然后每条边还会相等吗？是不是 d c p 是 等边三角形， d， c p 是 等边三角形 d， c， b 啊？这，这些不用管，因为这是第二个的，用不到，现在我们用不上这些。好， 继续啊。 m 和 n 分 别是 m 和 n 分 别是什么？ d p 中点和 a b 中点。好，那我们接着来看， 那我们刚才已经说了，就是我要去就这两条平行了，直接证好像证明不到。首先我们第一步要取点了，取 p c 中点。呃， e 好， 连接 连接。呃， b， e， 好， 我们来瞅一眼哈，这边是中点啊，啊，这边又有一个中点，这什么东西啊？连起来是什么东西啊？中位线，哎，如果我们证明到了它与 b、 n 平行且相等，那就证明到了它是平行四边形，可以吧？好， 那大概率就这样喽，对不对？刚才说了，一共就有两种，一种是这个平行他的一半，他平行他嘛，一种是就是平行四边形嘛，对不对？平行四边形，对角对边，相互平行嘛。所以我们这个要用到两个性质，第一个中位线了，连起来，连起来， m e 连起来好。嗯， m e 连起来好， m、 e 分 别为中点，所以 m e 平行且等于 二分之一的 d、 c 可以 吧？平行且等于它的一半。然后呢？因为这是平行四边形，对不对？呃，这是菱形啊，因为是菱形啊，因为是菱形菱形， 所以这两个也是平行的。然后呢，又因为 n 是 中点啊，因为它是菱形，然后 n 为中点为中点写的，写步骤就这样写， n 为中点，然后呢？所以，嗯，所以，嗯， b 平行且等于二分之一的 d， c， 它平行它，然后又等于它一半，可以吧？因为它是中点啊，所以， b 首先 nb 等于 a 一 半的 ab 嘛，又等于一半的 dc 嘛，是不是？ 所以 nb 平行且等于一半啊，平行且等于。是这样写哈，平行且等于等于写到平行的下面。嗯，好，那这样的话，哎，它平行且等于二分之一的 d， c 它平行且等于二分之一。说错了，它平行且等于一半的，它 nb 平行且等于一半的 d c。 好， 那这个 n nb 和 m e 是 不是平行且相等呀？ n， 呃， n b 平行且等于 m e 对 边平行且相等，那点就是所乘的平行四边形的话，是什么啊？所乘的四边形是平行四边形。对，所以， 嗯， b e m 这个四边形是平行四边形，我这边简写了啊，好，所以呢，平行四边形的话， m， 嗯，就干嘛平行？呃， e b 它平行它好，它平行它的话，它就平行这个面了，对不对？所以， m n 平行 p b c 好， 当然你要多写几步哈，首先 m n 不 在这个面里面， b e 在 这个面里面，所以它平行它可以吧？你要多写这两步啊，具体的大家可以对一下答案， 可以截图作业帮或者有艺术的可以直接拿艺术的那个练习册对答案去看。好的，这是第一个题，接着我们来看到这个题还是一样的，我们先瞅一眼哈。我先看题， b e c 干嘛呢？要平行是 a 呢？ a c e d a c e d 好，还是一样的，呵，拿尺子比着，呵，这这边比着比着，你猜一下能比到哪里啊？一共三个点，你把这个尺子挪挪挪，你看哪里有焦点肯定就在哪里，知道吧。 好，挪挪挪吧，很好挪吧。我直接就挪这根线喽，你看挪到这是不是这边有个焦点这边有个焦点，给它连起来好再给它放回去 啊，肯定是正它与它平行了对不对？在不管是平面还是立体里面，线线平行的话它是都是会平行的，所以我们就可以用这个方法，可以吧？ 好哎，这边中点能取直接取中点吗？哎，刚才说了一共有两种，没有对角线，连的话记住连对角线哦。可以吧，矩形、 矩形和那个平行四边形之类的。这一类东西啊，都是连对角线，那直三棱柱，直三棱柱的话旁边是矩形可以吗？矩形的话对角线相连就会相互平分连着 a e c， 哎呃，假设它交于 o 点可以吧？好，连 a， e， c 交于交，交 a， c， e 于 o， 好 连接。呃，连再连什么 o d。 嗯，好， 这是作辅线啊，继续啊。因为值三能助啊，一定要写啊因为它是值三能助，所以 o 为 a， e， c 中点可以吧，一定要写这一步啊，好，又因为 d 为中点，中点， 好哎哎他终点他终点，哎，在这个三角形里面他是不是中规线啊？好，一般哈。在哪个三角形里面是在哪个三角形里面？再呃，多写几步哈。 a e c b e 中 o， d 平行，呃 c d， 呃 c b e 或者这样子，或者 d o。 哎，不要这样写啊，你写 b e， c 平行， 你看，因为答案要我们求 b e c 嘛，所以我们写 b e， c， 你 不要写 c b e 哈，这样不好看，知道吧？ b b e c。 好， 这边从上往下过来的，那你这边也是 d o， 可以 吧？你不要写 o d 哈，最好就是就是这边怎么样的，你另外一边也怎么样，可以吧？ 这样写好看一点。对，就是好看一点，在这个三角形里面，它会平行，那，那等于它的一半就不用写了。为什么？这边是不需要用到边长关系，不需要用到边长关系，我们就不需要去写，那左边的话需要用到边长关系，就是二分之一，那你就多写一步， ok 吗？好的， 好了，那所以啊，多写两步，就是 o， d 在 这个面里面， b， e， c 不 在这个面里面，所以 b e c 平行它啊，我这个我写全一点， 因为 b e c 不 在平面， a， c e d， 呃， d o 在 平面， a c e d， 所以 b e c。 平行平面 a， c d， ok， 完美。好了，那这就是平行。好，接着我们要讲垂直了，那垂直的话跟平行很像了，但是垂直的话这个辅助线需要我们找。 那，那那，那平行就不需要找了，平行拿个尺子比着对一下就好了。对，好，垂直， 首先还是讲线线垂直啊，线线垂直，那线线怎么垂直呢？首先三线合一还是三角形里面的，你看三角形帮我们可多忙了，对不对？刚才中位线这边又三线合一了。 好，如果这边这两条边一样的话，等腰三角形的话，那取这边的中点连起来，它就会。呃，垂直， 三线合一，中位线角平分线还有一个高，对不对？好，那等腰或者是等边呢？这都是一样的哈，只要有两个边 相等的话，就可以取中点，然后连起来。对，好，那还有一个就是圆里面 好，直径所对的圆周角是九十度，它也会垂直，可以吧？这两个边垂直。有的题目会这样子， 那另外一个就是刚才用到的 a l 一 l 二干嘛呢？如果它两平行， l 一 垂直这个，那另外一个也会垂直，这个可以吗？它两平行，它垂直它，那它也会垂直它或者是 l 一 与 l 平行， l 一 垂直这个面，那 l 二也会垂直这个面，可以吧？这是平行线之间性质嘛。好，这就是怎么去正线线垂直，好， 哎，我遗漏了一个，还有一个是菱形，菱形对角线相连，它会相互垂直。 菱形还是菱形啊？随便你们怎么教啊，我语文有也有点不标准。好，那接着我们来学 面面垂直。啊。说错了，线面垂直。慢一点，线面垂直，线面之后再面面。好，那我如果要线垂直面的话，我需要在面里面找两条线，我们来瞅一眼哈。 好，我要求这个 l 垂直 r 发，我们在 r 发这个平面里面找两条线干嘛呢？找两条相交的线，嗯，我假设是 ab， 干嘛呢？这个 l 垂直 a， 这个 l 垂直 b， 那 么就 l 就 垂直这个面了。哎，你也可以是这条，这条都 ok， 都 ok。 对 面里面找两条相交的线，不能是平行线啊，平行线就不行。好，这是线面垂直， 嗯，就这一个，没有别的。接着面面，面面就跟线面是一样的，面面垂直是建立在线面垂直的基础上。我们来瞅一眼，这个 l 如果是垂直而发， l 如果垂直而发，然后呢？ l 又属于贝特，如果贝特是在这个面里面的，嗯， 那么这个贝塔就干嘛？贝塔就垂直而发。嗯，这就是面面垂直， 我要想正一个面啊，这是贝塔，我想正这个面啊，去垂直另外一个面，那我们只需要在这个面里面找一条线去垂直这个面就 ok 了。好， 然后哈面面垂直，有一个有一个。呃，小结论， 呃，如果 a 垂， r 法垂直被它呀， r 法如果垂直被它，那么如果这条线啊垂，它们不是有一条交线吗？ a 垂直于交线，假设交线为 r， 哈， a 垂直于交线， 那 a 就 垂直另外一个面，可以吧？垂直于交线的线垂直于另外一个面，但是建立在它俩先垂直的情况下。哦，好吧， 好了，那接着我们就可以看到怎么如何去证明哈。刚才是思路哦，思路就是做到垂直的时候你要脑子里有这些思路可以吗？你没有这些思路，你就没办法往下写啊，对不对？好，那具体的我们来看。 首先看线面垂直的判定力。我就要，首先你要垂直这两个线 啊，先写前提条件吧。我觉得这个这个应该导一下。先写前提条件就是 ab 干嘛呢？都在这个而法里面， 然后呢？ ab 还有交点，有交点，然后 l 垂直 a， l 再垂直 b 的 话，那么我们就证明到了 l 垂直，而法就是线与面垂直，我们要写这些条件就可以证明到 考试的时候尽量一个都不要少啊。那有时候会省略掉一些，但是尽量还是不要少，能多写一点写写一点呗，我们时间哈哈，挺充足的吧，哈哈。一个小时，现在不是睡就是两个小时，都要睡半睡，睡一个半小时喽，现在喽，很多人同学的基础对不对？所以有时间还是多写点喽。好吧， 好了，往下面面垂直好看，这个如图二。 呃，这个比较简单，如果 a 垂直于 b 它，然后 a 又在而发里面，那么就证明到了 a 而发与 b， 它是垂直的， a 垂直， b， 它 a 在 而发里面，而发垂直， b， 它 就是面面垂直，然后面面垂直的性质就是刚才说的，如果这个 a 垂直于交线，那 a 就 垂直这个面，可以吧？好，记住这些我们就 ok 了。 好，还有一个就是比较普遍的了，就是脑子里一听就会的就是 l 如果垂直于这个面，垂直于一个面，就垂直于面里面的所有的线啊， 其他的我们就可以不用学了。然后我们也是来两个比较典型的例题啊，我们来看到第一个题啊，首先，呃，还是一样的，我们先看一下它要证明什么，然后我们在图里面先看一看它要证明什么呢？证明 p a b。 嗯，红色的 垂直谁啊？ p a d， p a d， 这是要证明两个面垂直对不对？那两个面垂直的话，我们只需要在其中一个面里面找一条线去垂直另外一个面就 ok 了。你可以在这里面找一条线，也可以在这里面找一条线。那哪个好，那哪个好找呢？那肯定是根据题目来看对不对？好，我们来瞅一眼啊。 四能追 p a b c d 平行， a b 平行， c d 平行的，嗯， 然后 b a p， 哎， b a p 这个角多少度啊？九十度， c d p 呢？哎，也是九十度，哎，那你看它垂直它，我再如果找到它垂直另这个面的另外一个边，不就证明到了 a b 垂直另外一个面吗？是不是有没有呢？有， 这边是垂直的九十度，这边是垂直的九十度。好，因为什么呀？它两平行啊，它两平行， c， d 垂直 p d。 那 a， b 也垂直 p d 喽，对不对？好，首先先写一下，因为它是九十度，这两个都是九十度，所以， 因为九十度，所以 a， b 垂直 p a。 呃， c， d 垂直 p d。 又因为 a， b 平行 c， d， 所以呢？ 所以是不是 a， b 也垂直 p d？ 好， 我们瞅一眼啊，它俩平行 c， d 垂直这个，那它也垂直啊，它俩是平行的吗？平行的话它垂直，它也垂直。对，所以 a， b 就 垂直了这个面的两条边。 ok， 那 我们就可以写了， 在。哎呀呃 a。 写写慢点。 p a， p d 在 平面 p a， d 里面， ab 不 在 p a， d 里面。我少写两个平面这两字啊，偷懒。 所以 a， b 垂直 p a， d。 我 少写平面的两个字哈，你们不能学我啊，我是，嗯，好。然后又因为 a， b 干嘛呢？在 p a， d 里面，所以 p a， b 垂直 p a， d 平面，平面，你们不要审字啊， 正到了线平行啊，垂直面，我刚是说垂直吧，哈哈，有点忘了。证明到了它垂直这个面，那么它所在的平面也会垂直那个面。对，这不是面面垂直的证明过程吗？是不是？好的，那做完这这一个的话，我们再来看这个啊。 好，我们来瞅一眼四能追 p a， b， c， d， p a d 干嘛呢？哦，还是一样的，看一下证明谁啊？ a， d 垂直 p b， a， d 垂直 p e， b。 我要正线，垂直线的话一般不是特别好正，如果能直接正到的话，那就不会那么好。这这这个题就就不要写了啊，送分给你啊，对不对？所以一般线垂直线的话，我们是需要通过正线垂直面去判断， 你光正正不出来啊，他又不在同一平面内。好，那我们来瞅一眼哈，看一下题目给你什么东西啊？ p a、 d 垂直， a， b， c， d 这两个面会垂直。呃，有什么用呢？没什么用，好像 ok， 然后 a、 b 干嘛呢？ a b 与 c、 d 平行的，其次呢， b a 呃 d， a b 等于六十度 d， a b 六十度， 然后 p a 等于 p d 等于根号二，根号二，根号二，注意哦， p a 还垂直 p d 呢，所以这两干嘛呀？哎， 这是一个等腰直角三角形哎，那二根号二，根号二，这个是多少呀？是不是根号二倍啊？注意哦， 如果这边是四十五度，然后直角嘛，那这边一，一根号二，它们的比例是这样子的，一比一比根号二，那我如果知道它是一的话，那它就是根号二倍，同样的，我知道它是根号二，我要求它的话，你，你就除以根号二就行。 那现在的话，我知道这个边长，也就是这个边长为根号二，那就是二，也就是 a、 d 等于二。 好，然后 a、 b 等于二， c、 d 等于二， a、 b 也等于二耶，哎，二，我们先瞅一眼这个二，二等腰，等腰直角三角形，里面又有一个是六十度，所以它是等边可以吗？它是等边，红色的是等边，下面这个 a b， d ok， 然后现在让我们求的是 a d 垂直， p b 好， 刚讲垂直的时候说了，就是如果你看到等腰或者是等边干嘛，看到等腰干嘛？把中点连起来 找 p d 的。 哦，不是说错了， a d 的 中点，假设这个中点为 o 可以 吗？连起来它会干嘛呀？ p o 是 不是垂直 a d 啊？对不对？取 a d 中点哦， o 连 p o。 好， 那你注意哦，这边三线合一，它垂直 a d， 对 不对？好，这边又是一个等边三角形，这边又可以连起来， o b 也连起来。 拿黄色的啊，不对，拿蓝色的啊。 来看一眼，在这个三角形里面， p o 垂直 a d 在 这个三角形里面， b o 垂直 a d 哎， a d 垂直这两个边，那是不是就垂直这两个边所在的平面呀？ 是不是好，因为 pa 等于 pd 好， 又， a d 等于根，呃， pa 方加 p d 方开个根号，这边倍数关系可以直接用，但是真正写的时候你要勾股定你可以吧？等于二， a b 也等于二，所以， 嗯，然后这边多加一个吧， d a b 等于六十度，所以，哎，慢一点，这边多写几步吧。 ok， 因为它首先因为 pa 等于 pd 嘛，所以 p o 垂直 a d。 好， 接下来另外一个证，它是等边三角形， 所以三角形 a b d 等边三角形， 所以 b o 也垂直 a d。 那 你看 a d 垂直两个边， a d 垂直这个面的两个边就是垂直这个面喽，对不对？ 呃， p o o b 属于 p o b 所，呃，然后再加一条 a d 不 属于 p o b 这个面，平面啊，你要你们不能省啊， 平面 p o b。 所以呢？所以 a d 垂直 p o b 平面，平面不能省。 所以啊，又因为什么？又因为 p b 在 这个面里面，在面里面是这样子，平面 p o b， 所以 a d 垂直 p b。 好 了，那垂直大概都是这样子哈，一般我们要看到等腰三角形一定要敏敏感一点哈，等腰三角形看到了，你就把那个 哎，把另外一个边的那个中点连起来，连起来，然后连起来，这样就垂直了， ok， 不好，就是这个 线垂直，线一般不找，直接找这两个线垂直。一般找线垂直面，进而去找垂直。 ok， 那 么本期视频就到这，那么我们今天学了，就是首先体积表面积，第二个平行，第三个垂直。好了，那么感谢大家的收听，如果觉得视频还不错的话，可以给我点赞投屏加关注。 呃，你们的点赞投币和关注的话是会给。嗯，平台推送给更多的同同学，有需要的同学也是对我的最大的支持。好了，拜拜。

高考例题，几何证明，难倒很多人，今天教你平行证明四个模型，让证明变得如此简单。这节课我们将来学习空间几何中的平行问题，平行问题和垂直问题啊，一般都是第一项问去考的，对吧？但是很多同学都搞不懂，所以今天把平行的几个模型给大家讲一下。 首先啊，就是最简单的线面平行的判定定律，如果我要你去判定一个线和一个面它是平行的，那么我们只用在面里面找一条直线和我平面外的这条直线去平行，那就可以证明线面平行啊，这第一个，然后 第二个就是性质定律，什么叫性质呢？你看啊，就是如果一条直线与一个平面平行，如果过这条直线的平面与此平面相交，则该直线与交线是平行的。就是我图中的这个阿法和我这个 是平行的啊，这个就线面平行，还有一个就面和面平行，那面和面平行，那怎么判定呢？就是分别找两根，你看我先找他平行，然后再找他平行，一定要记住，这两条线一定要相交，他们不能平行， 好吧，就是就是证明两根线互相平行就可以了，但这两根线一定要记住，他们会有个相交的关系，平行的关系是不行的 好吧，所以然后它里面有个性质定律，就是什么呢？就是如果我有两个面平行，然后用一个面去截这两个面，那么截到的两条交线，一个是 a， 一个是 b， 那 么他们也会平行。好吧，然后模型啊，就这个简单定律就不去讲了，反正你用平行，我们遵循几个模型呢？第一个 优先使用什么方法呢？就是我把图画给你们啊，就是你就缠着这个来就可以了， 就是你可以这么去想象，如果我这里有一排蜡烛，好吧？然后我人站在这边看，那么如果我中间放了一个那个成像的屏幕的话，那蜡烛在屏幕上面看到的样子 应该是什么样子的？是不是应该就是这条样子的？就是我把这两个短点分别和我的人这样连接起来，是不是他就可以相当于，呃，在屏幕上面有两个焦点了， 对吧？这样子，我在屏幕上面看的就是这条小的，但是这条小的和和这辆长的它们会平行吗？ 会吧，因为这个我们可以用相似吗？对吧？所以这种你也可以理解成什么中卫线啊，相似啊，对吧？但是我就用图跟你们说，只要我在线的面的另外一端啊，如果能找到一个点，我就先把它们连接起来，连接起来之后我再去证明我的这个 就是我现在这个蓝颜色的这条线，他们是平行的就可以了，好吧，那他是什么意思呢？你比如说啊，就用这个点， 呃，他说 p 杠 a b c d 中， a b c， d 为平行四边形，看一下 a b， c， d， ok， 就是 前面那个面啊，然后 e 为 pa 的 中点，然后 pc 是 让我们证明 pc 平行于面 b、 d， e， 所以按照刚刚讲的那个模型，对吧？我先把线两个端点先标出来，就是这个蓝颜色的就 p、 c 嘛，所以两个端点就 p 点和 c 点，然后面是哪个面呢？是 b、 d， e 就是 这个面， 就中间这个面。那么我是不是要在线的另外一边，线对面的另外一边去找一个点，刚好这里有个点，那么是不是我要把 a 点和线的两个端点先连起来，然后 ap 这里就连了吗？所以这里就会是两个面里面的交点， 所以就是这个红颜色的线，那么我只用证明这个红颜色，红颜色的线是平行蓝颜色的线就可以了，对吧？那么怎么去证明呢？这个你看中点，那中点肯定是中位线嘛，对吧？你看我怎么去写啊？我就说 连接 a c 与 b d 交于点 f 吧，我来说一下，好吧，然后可 知 a b c d 是 平行四边形，所以 f 点为 a c 的 中点，对不对？因为平行四边形对角线会平分吗？就相当于，对吧？然后又因为 e 是 a p 的 中点， 所以 ef 不 就平行于 pc 了，这个就是中位线吗？然后又因为，呃， ef 是 属于面 bde 的， 然后 pc 它不属于面 bde， 所以， 嗯， pc 不 就平行于这个面了吗？对吧？你写就要写的这样详细一点，对吧？所以这个就是我们讲的第一个模型，所以我们看到这种符合这种模型的题，我们优先使用这个方法就可以了。然后我们再来看一道，比如说，嗯，看到相似的，好吧， 嗯，好，我们来看一下这道题啊，他说有个三楞柱， a b c 杠 a 一 b c 一 中侧面 a b b 一 a 一 是一个菱形，就是我涂出这个底面啊，然后他说角 b a a 一 是等于六十度这个角， 然后 e 是 b b 一 的中点，然后 c a 等于 c b， 然后 f 在 a c 上 af 等于两倍的 f c 就 相当于这是一比二，然后要么证明的就是 c b e 平行面 a e e f ok， 先把线画出来， 在这里，对吧？面在哪里呢？面在这里，所以我要在这个线对面的另外一边去找一个点，那这里只有一个点 a 了，所以我就要把它和两个短点去连接起来， 对吧？连接起来之后，把两个角点找到一下，连接，对吧？先把图一画，就很简单了， 那么怎么去证明呢？这里反正我要证明的话，是不是你看这是一，这是二，那同理是不是这应该是二比一啊？所以我就把这个底面给拿出来呗。因为底面刚好是个菱形，我先画一个形状出来， 里面就相当于是个这样的菱形，这是 a a e b e b， 对 吧？然后我连接的是它，然后这里有个中点， 对吧？这是 e 点嘛？然后把它们这样一连，对吧？其实就是让我们证明这是二比一嘛。那怎么证明呢？这不是一比二嘛？两个三角形相似不就出来了嘛， 对吧？然后你们怎么去写的？就说连接 a b e 与这个 a e e 交于点，比如说是个 g 点，对吧？然后你就说，嗯，可知 三角形，这个，这个就点记啊，就是 e g b e 相似于三角形 a e g a， 对 吧？所以 a g 比上 g， b e 就 会等于 a a e 比上 e， b e 就 会等于二比一， 所以它就等于我题目里面的 a f 比上 c f， 所以 就像我这里就省略了，所以你看不就平行了，所以 f g 就 会平行于 c b e 了， 对吧？然后你们按照刚刚那样去完整的写一下就可以了，所以这个就是模型，对吧？很无脑的，因为你只要能找到线，那我就只用根据相似或者中线的关系去求出来就可以了。 然后第二种题型是什么呢？就是如果我没有办法找到这个点，对吧？就是找不到这个点，那我再用什么方法就是做平行四边形， 好吧，我们所以啊，就按照这个顺序啊，你们如果真的有的题做不出来，你们就按照这个顺序来，比如说，嗯，平行四边形的看啊， 就是四棱锥、 p、 杠、 a、 b、 c、 d 中底面， a、 b、 c、 d 为平行四边形，然后 e、 f 分 别为 a、 d， 然后 p、 b 的 中点，然后要我们证明的就是 e、 f 这条线 平行哪一个面呢？就是平行这个面，所以你看这个题我就没有办法在这个右边去找到一个点，对吧？所以我就用第二种方法就过过在平行四边形，然后你们想啊，我要证明线和一个面 是平行的，那么我去做平行四边形的时候，我应该怎么去做？我是不是要通过这个短点去做，对吧？在这个面里面去找点，然后去做这样的平行四边形，所以 你看我做了之后，所以你看我就可以了嘛？因为我只用证明他的对边平行且相等，是不是就证明他是一个平行四边形了？那么我是不是要过这个两个短点去面里面找一个点去做平行？那怎么去找呢？ 这里现成的有一个，在哪里有一个点 d， 看到没有？所以我是不是就相当于我一条已经有了，是不是我要过这个点，然后再去做一条这样的线，然后要和下面的平行。那么怎么样才能平行呢？首先是不是要 找中点？因为我找中点之后，它就平行于 bc 了， bc 又平行于 d 的， 所以平行它具有传递性嘛，不就可以了？所以我这里就很简单，我就出来了，比如说这个点，我把它设成 g， 我 就说找 pc 的 中点 g， 对 吧？然后连接 嗯， f g， 然后可知 f g 是 平行于 bc 的， 然后 bc 它又平行于 e、 d 的， 所以 f g 是 不是就平行于 e、 d？ 然后因为中位线又会相等，对吧？然后，所以这是不是也是相等的， 对吧？就相当于 e d 是， 呃，也不能这么写，哎，我写的清楚一点嘛，对吧？然后又因为 f g 嗯是等于二分之一 bc 的， 然后 e、 d 是 等于二分之一， a， d 又会等于二分之一 bc 的， 所以你看 f g 和 e d 不 就相等了？所以 f g 就 会等于 e， d 看到没两就是对边平行且相等，所以我是不是就能得到？所以 嗯， e f， g， d 就 为平行面形，所以嗯， e f 不 就平行于 d g 了，对吧？ e f 平行于 d g， 然后再说 d g 是 属于面里面的一条线，然后 e f 它不属于，然后它不就平行了， 对吧？所以这个就是第二种，就是用第一种方法做不出来的，我们就用第二种啊。然后再来看一遍， 嗯，他说直四能做 a b c d 杠 a b c， d 得中，里面是一个梯形，然后 ab 是 平行 c， d 的， 然后 b， ad 是 六十度，然后 cd 等于一，这等于一，然后 a， 嗯， a， d 等于二， ab 等于四，然后点 g 在 ab 上，点 g 在 ab 上，然后这是个一比三的关系，就相当于是，然后 a a 也是等于一的。让我们证明的是哪一条线呢？ d， e， g 就 这一条线 平行哪个面呢？ b b e， c e， 你 看一下 b b e， 就 说就是右边那个面嘛， 对吧？然后这里你看我在面的这边也找不到点嘛，所以就不可能用第一种方法，所以就去构造平四面形。首先这里有了一条现成的线，看到没有，对吧？就是刚刚说了， 我要在面里面，我这样去构造的时候，对吧？我，我要让他是一个平四面形嘛，所以这条线就相当于给了你，我只用找另外一根线啊，另外一根线 你看这里天然有了，我们先去看一下这两根线能不能平行的，对吧？首先肯定能平行，因为 c、 e、 d， e 是 平行于 c、 d 的， 对吧？然后 c、 d 它又平行于 ab 的， 所以我是不就能推出来 c e、 d， e， 它是平行于 e、 g 的， 这是第一个，那么还要有一个，是不是就他们要两个相等？那怎么证明相等呢？首先，呃， b g 是 等于一，然后 c e、 d， e 就 会等于 c， d 也等于看没，所以两个平行且相等了嘛， 对不对？所以你看不就证明了这个 d e、 c、 e、 b、 g 为 平行四面形，对吧？所以这个就是第二种模型，就是第一种用不了，那我就去构造平行四面形，然后就是第三种，就是什么呢？就是构造面面 平行，一定要记住，就是前就按照顺序来做啊，如果前面两种都不行，我们才去用第三种的。然后这里找个题，比如说这个题，嗯，找个经典一点的吧。 ok， 都说直角梯形中 a p、 c p， 然后 a、 p 是 平行于 bc 的， 然后这里是个， 嗯，就像这两张纸加上折起来的，对吧？题目你们就自己看一下啊，然后反正我们只看右边这个四等锥啊，然后他让我们证明的是什么呢？ a p， a p 在 哪里？ a p 在 这里，然后平行 e f g e f g 在 这里， ok， 那 我们先考虑第一种方法，对吧？第一种方法要在面的另外一边找一个点， ok， 有 c 点，但是你会发现，如果我把它 c 点连接起来， 到了这里，对吧？到这里我们没办法做呀，那那怎么办呢？其实有方法，因为我要把这个面给扩大，因为这个红颜色的线和面是没有交点的，那我怎么去扩大呢？那么 e f 在 这里，如果我把 g 点这里也做个平行线，那这个面是不就相对这样扩大了， 对吧？扩大面我们就是找平行，就是找平行线的吗？那么现在我就找到了，就这个点，然后我就要证明什么，我这个红颜色的线去平行这个蓝颜色的线，对吧？那能做吗？能做吗？因为这个比例关系一目了然，你看， 嗯，一点是几等？分点，中点，那么是不是就要证明这个比，这个也是一比一就可以了？ ok， 那 这个把底面去拿出来，都不用拿，你看 这个三角形，就这个三角形和我这个三角形一定会相，就是全等吗？所以不就是一比一了， 对吧？所以你看用法一也是可以的，但是很多东西想不到，那法二有没有可能呢？ 法二好像看着 a p 很 长，对吧？然后做平四面形，可能做不做不太了，所以如果你第一种方法想不到，这样想下来，那你就用第三种方法怎么去做呢？就是要去构造面面平行， 然后怎么去构造呢？就是我要找一个面看啊，我找一个面，因为他要你去证明线和面平行吗？那么我这一条线我证明不了，它里面一条线和它平行的时候，我就怎么办？ 在里面找两条另外的线和它平行，那是不是上面这个面和下面这个面就平行了？那平行之后，那上面这个面里面的任何一条线是不是都和下面这个面平行了？所以就是利用的这么一个原理，然后构造的时候啊， 就是找平行线就可以了。比如说，嗯，我这条线还是 pa， 我 要做一个面去平行 e、 f、 g， 那 是不是就相对我过点 a 或者点 p 去做他们的平行线？这个面里面线的如果过点 a， 那 刚好有个天然的 ab， 因为 ab 是平行于 e f 的， ab 啊，是平行于 e、 f 的， 所以我是不是再把题目这个已知，要么证明就是 pa 也平行于这个面， 对吧？所以我是不是就能反向让你去证明的是什么？就是面 p a、 b 要平行于面 f、 g， 这个是我在草稿纸上进行的，这个叫反推吗？对吧？ 垂直里面我们用反推用的是最多的，平行里面倒是还好了，对吧？所以我下面就证明呗。那怎么去证明呢？首先我可以证明 ab 是 不是平行于 ef 的， 对吧？因为 ab 是 平行 c d， 然后 ef 也平行 c d 的 第一个有了。那么还有一条线是谁呢？就是 p b 是 不是会平行于 eg， 对吧？中位线嘛，因为 e 点也是中点， g 点也是中点，看到没有，所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？所以我就可以去写了。但是这里面会有一个重要地方就是面面平行，你正面的时候你要书写规范一点， 你前面的倒是没有什么要点，对吧？但是这里有，你就说，呃，你看啊，我就说因为 ab 平行于 cd， 然后 ef 也平行于 cd 的， 所以 ab 就 平行于 ef， 然后又因为 eg 为嗯对应的终点啊， 所以 e g 是 不是就会平行于 p b， 对 吧？然后因为呃，这个 a b 交 p b 等于 b， 你 要把这个相交直线用这个数学语言去写出来，对吧？且 a b， p b 都属于这个面 p a b 的， 对不对？然后就下面还有个面，就是 e f 交 e g 等于 e， 然后且 e f e g 是 属于面 f e g 的， 你这么去写了之后，对吧？所以我就说面 p a b 就 会平行于面 f e g 了，然后又因为呃 p a 是 属于这个面的面这个 p a b 的， 所以 p a 不 就平行于面 e f g 了嘛，对吧？就把一些要点给写出来，因为面面平行的要点就是两条相交的直线啊，好吧，所以你看这个就是构造面和面平行了，对不对？ ok， 然后再看下面这个，这个 p 杠 abc 中 d 是 pa 的 终点，然后 e 也是 cd 的 终点，然后 f 在 p b 上，然后满足一个，这是一，这是一比上三，就相当于是，对吧？然后证明的是谁呢？证明的是这个 ef 平行于 a b c， ok， 平行这个面，那这里就没有办法用第一种方法了，对吧？那有没有可能用第二种方法来构造平行四边形呢？我们先想一下，就是我要过这个点，对吧？去做一个平行线，我看一下啊， 我是不是可以这样子，然后这边也这样子，你看是不是勾折了，对吧？因为它平行于 ad 嘛，然后它也平行于 ad 嘛， 对吧？然后平行就有了，然后这个就这一条边等于 a d 的 一半，然后这一条边等于 pa 的 四分之一，所以也是 a d 的 一半，对吧？对面平行且相等，所以你看也可以。 然后我再看一下，我用这个面面平行行不行？那么我是不是要做过点 f， 做这个底面的一个平行线？ ok， 刚好因为我在这里做一条，然后连接， 我就只用证明这个面和下面这个面去平行就可以了。那么怎么去证明呢？我就说因为刚好 f 点是一个四等分点，那么我找的就是 a d 的 中点嘛， g 点，对吧？所以我就根据相似我就能知道 f g 是 平行于 ab 的， 因为都是一比三嘛，一比三，这也是一比三嘛，对吧？ 对不对？ ok， 然后又因为 g 点和 e 点都是中点，所以又有一个 g， e 是 不是会平行于下面的这个 a c 中位线吗？这个就是 看，不如就证明了两条相交的线就是 e g 交 g f 等于 g 点嘛，然后下面那个就是 a c 加 ab 等于 a 点嘛，看嘛，相交，这个就是相交嘛。然后你写的时候要把这个写出来就可以了，所以方法还是很多，所以你做不出来的时候，就一个方法去试就可以了啊， 好吧，然后熟写就不去写了，反正就按照这个刚刚讲的那么去写就可以了啊，好吧，然后不要嫌麻烦，高考的时候你写的越详细越好， 好吧，记住了，写的越详细越好，好吧，你因为有的时候你写的很详细，它里面有很多拿分点，万一你有哪一步就没写，你可能会扣个一两分啊。好吧，然后第四个模型是什么呢？就是跟垂直有关的，这里就画图啊， 就如果啊，我有两根线，他们都是垂直于这一个 平面，那是不是就有了它平行于它，对吧？这个也很好理解嘛，对吧？然后这里就是我们用题目来讲吧，这个第四种。那我们来看一下这道题啊， 他说三角形 bcd 与 mcd 都是变成为二的正三角形，然后平面 mcd 是 垂直于平面 bcd 的， ok， 然后 ab 又垂直于 bcd 这个面，然后 ab 等于二。 这里我们要证明的是 ab 这么标一下，就这条线要垂，这平行于 mcd， ok， 所以 我们看一下，第一种方法能用吗？面的这边没有点就不能用。那第二种方法构造平行四边形可以吗？这个面不够大也不行。那第三种构造面面平行可以吗？不行，因为构造的面应该是这样子的，它才会平行，对吧？所以我们才会有第四种模型啊， 一般考来考去就是这四种题型。好吧，那怎么办呢？刚刚说了，如果我有两根线，它都垂直于我同一个面， 对吧？那么这两根线就平行嘛，我可以利用这个性质。那么另外一根线在哪里呢？因为我们这里有个面和面垂直，所以看到面垂垂， 等一下啊，垂直于面，我就要想到一个什么样的性质呢？就是如果有，嗯，一个面内有一根线 垂直于他们的交线，那么这根线 就垂直于另外那个面，对吧？ 好吧，所以大家以后看到这个面和面垂直，对吧？反正这个性质是大家一定不能忘的啊。那么这里我们两个面的交线在哪里？在 cd， 那 就要找一根垂直于 cd 的 线在 mcd 里面，那怎么去找呢？不就刚好一个正三角形，我找一个中点不就垂直了吗？就相当于是，对吧？所以我怎么去写呢？我就说找 cd 中点， 假设是 n， 然后连接 m n， 然后就说可知 m n 是 垂直于 cd 的， 然后又因为这个刚刚说了的啊，因为它是个等边三角形嘛。然后又因为面 m c， d 交面 b c d 等于 c d， 且这两个面就是 m c d， 它垂直于面 b， c， d 的， 所以我就说 m n m n， 它就垂直于面 b， c， d 的， 对吧？所以大家一定要记住这个性质啊。然后又因为 ab 是 垂直于面 bcd 的 题目里面有吗？对吧？ ab 这里有吗？所以 m n 就 平行于 ab， 对 吧？然后又因为 ab 属于这个面 mcd 啊，就所以啊， m n 啊， m n， 所以 ab 不 就平行于面 mcd 了吗？对吧？这个就是用那个两个垂直的啊，这个就很简单了，这个， 这是第四种。所以啊，你们以后碰到很难的题目，你们就按照老师一样，自己一个个去套就可以了，因为它本身有很典型的特征嘛， 这个什么时候能用呢？就是我线和面的另外一边，他有个点，对吧？然后这个平行四边形就是我第一种用不了，我就考虑第二种。那第二种用不了呢？就是用构造面，面平行就是通过线段两个短点去做，在面里面也去做两个点，然后形成一个平行四边形，然后第四种，这个就是垂直的， 对吧？一般情况下平行就只用掌握这四种题型，你就可以解决百分之九十九的题了。好吧，然后我们看一道二二年的高考题啊，这题我觉得真的出的非常好，我们来看下题， 他说如图， p o 是 三分之 a， b c 的 高，然后 pa 等于 pb， ok， 标一下， pa 等于 pb， 然后 ab 是 垂直于 ac 的， 反正这个图看着不是特别像。 然后 e 是 p b 的 中点， ok， 这两边相等，然后它让我们证明的就是 o e 平行于平面， p a c， 那 么我们一个个模型来套看，可不可以啊？首先模型 e， 对 吧？就是我把它看作一个面， 然后我这里有一条线，我人站在这里看，对吧？但是这个题会比较特殊啊，你看我连线才会有这条红颜色的线段，我只用这边这条红颜色的线段和蓝颜色的线段，它们平行补角线平行面， 但是这里面是 p a c， 线是 o e， 那 么我是不是要在 p a c 的 这个左边这里找一个点，然后去连接，但是这里有吗？没有。 那没有怎么办呢？那有个特殊情况，就是这个题，所以我就在这边同面去找点，你觉得可以吗？ 他一样的可以啊，所以我就假设这个点是 h， 那 么我这条面里面的这条线就可以了。那么我们只用证明 p h， 它平行于 o e， 那 我这个题目其实就出来了，那怎么去证明呢？首先， 呃， e 点是中点， o 点是中点，那他要平行的话，那么我就能推出来 o e 是 中微线， 这个是他要成立的一个条件，那我们就根据这个条件去证明呗。那他是中微线，那我是不是就是 o 是 b h 的 中点，就是要证明，那他怎么去做呢？我把这个平面你看不清楚，我就把这个平面给拿出来呗， 这是 a 点，这是 c 点，这是 b 点，我拿出来之后， o 点在哪里呢？ o 点是不是一定会在这个 ab 的 垂直平分线上面待在这里，对吧？然后我连接，就这么去连接的 这个点就是 h， 那 么只要证明这个点 o 是 它的终点，那怎么证明呢？你看不是有个直角吗？我连接，那这三条都会相等呢？ 因为直角三角形那个斜边上的中线等于斜边的一半嘛，所以我就能知道 o a 是 等于 o h 等于 o b 的， 不就证明了？那证明了不就反过来就推出来 p h 平行 o e， 那 不就证明了 o e 平行这个面了？所以第一个模型我是可以用的，然后接着我们继续往后面看，看一下第二个模型， 第二个模型我们就是去找啊，做平行四边形，怎么做的呢？ 是不是你只用记住我的模型，我的模型是不是我让你证明他平行这个面，我就过这两个短点，这样看到没做两条平行线，对吧？所以我连接起来之后，只要证明他和他平行且相等，那么他和他不就平行了？所以模型你就是之后我们就以 o 点和 e 点这样去， 对吧？去做呗。那怎么做呢？要平行且相等，那我是不是就相当于我横着这样， ok， 对吧？因为我横着做了之后，我刚刚说了，我如果啊，这是我 ab 的 一个垂直平分线嘛，这个就相当于是 ab 的， 对吧？所以它会等于它，它也等于它，所以你能证明吗？ 能证明吧，对面平行且相等，所以我画的这个，比如这个一样是 h， 这个是一个 g 点，那么是不是 h o e g 我 只用证明它是一个平行面形，那怎么证明呢？刚刚说了 g e 它平行于 ab， 然后 g e 它等于二分之一 ab， 同理， o h 平行于 ab， o h 等于二分之一 ab， 不 就证明了 平行且相等吗？对吧？ ok， 继续。那第三个模型呢？就是找要证明面 线面平行，那我是不是只用我在上面构造一个面，我只用证明我里面的两条交叉线分别和下面的两条交叉线平行，那两个面一平行，那里面上面这个面里面的任何一条线都和下面这个平面去平行了，那怎么找呢？ 一样的，你只要记住模型，我说了我要找两条相交的线分别平行，那么短点是 o e 吗？因为我平面是不是可以有一个三角形，慢慢去扩大，对吧？所以我 o 点去做这个 p a c 里面面里面的一根平行的线，是不是只能这样做， 对吧？因为这是个直角，这也是直角，所以假设这个 h， 那 么 o h 一定会平行 ac， 对 吧？那第二个呢？那我是不是就相当于我只用把它连接起来，我只用证明 e h 它是平行于 pa 的， 是不是就可以了？那 e h 怎么证明呢？还是一样的？那，那要平行的话， h 点一定是中点，就相当于 e h 一定要是中位线，那么我刚刚说了嘛，对吧？它要垂直过 o 点，它要垂直，它一定会是 那个垂直平分线，对不对？所以啊，不就出来了？ 只是你是最证明他是垂直平分线的时候啊，其实你就用那个全等写就可以了，对吧？你这样一连接起来，你就证明这个 p a o 全等于三角形 p b o， 因为我全等之后我就能推出来 a o 等于 b o 嘛， 对吧？那 a o 等于 b o 呢？那 h 一定就为中点了，然后他是中点的话，中位线就有平行，有了平行不就再和两个一起，就能证明这两个就能证明面 平行面，那么这个面里面的一任意一条直线都会平行这个面。好吧，我写就不去写了，思路就是这么个思路，只要你记住了这几个模型， 他其实高考题百分之九十九的题，你用这四个模型去套，绝对都能出来的。好吧，你就不用再每次在盲目的不知道用哪一种方法了，像这道题他三个模型就都可以用。好吧，好的，这个视频我们就讲到这里。

大家好，欢迎来到欣欣子爱数学，今天我们的每日一题是这道题，我们来看一下，他说三角形 a、 b、 c 内接于圆 o， 哦，我们要得知道啊，内内接于圆 o， 那 我们他说三角形在内接于圆 o， 那 说明这个三角形的外接圆就是这个圆啊，我们要得知道这条件，然后他说 ab 是 圆的直径，哦，圆的直径。你看啊，这个圆的直径是 ab， 那第二、第三条这个顶点，我们我们在初中学过，那如果这个三角形的顶就是三角形，他就是三角形的外接圆，如果这条边是我的圆的半径，那我这个这个点如何动？无论是在这样子还是这样子，那他都是垂直，对吧？我们知道这一条线，好， 那我们就知道了这样一个条件，那 a、 c 就 垂直于 c、 b 啊，这条垂直的，然后他又说了个 c、 d 垂直于平面， a、 b、 c， 哦，那就是这个 c、 d， 它是垂直于这个底面的啊，那非常好。哎，那我们发现了它垂直于这个底面的，垂直于这个底面的任何一条线，哦，所以三个线垂直，那等会第二问，怎么间隙啊？哎呦，我们就按照这个方向去间隙，对吧？然后 这个方向，然后这个 c 的 方向键来，我们间隙条件都出来了，对吧？来，我们我们再第一问，再继续看啊，我们第一问继续看，他说这个 e 为这个 a 的 中点，你看 a 的 中点是 e， 哦，点 e 是 a 的 中点。然后我们要得证明什么， bce， 你 看 bce 这个平面和 a、 c 的 垂直。 哎，那 bce 这个平面中哪条线和 a、 c 的 垂直呢？我们是不是这个，呃，这个 bc 这条线和这个 a c 的 这个平面垂直， 这，这显然，对吧？我们渐细的话，我们必须得三三两两。垂直嘛，那必然。这个，呃，比如说我这个渐的是 z 轴，那这个就是 x 轴，这是 y 轴，对吧？那必然。 y 轴是垂直于 x 轴的， y 轴垂直于 z 轴的，那 y 轴垂直于这个 x o z 这个平面的，对吧？所以说明这个，呃， bc 就 垂直于这个平面 a、 c、 d 嘛，这，这必然的嘛？好，那必然呢？ 那然后我们线面垂直，那是不是就是面面垂直？那我这个 bce 这个平面，那 bce 是 不是在这个 bce 这个平面内？好，我线面垂直了，那面面就垂直，对吧？好，那这个我们该怎么去写这个条件呢？是不是因为这个？呃，因为这个 ab 是 直径， ab 为圆，呃，这个圆 o 直径， 哎，所以，嗯，直径写好。然后，所以呢？所以这个 a c 是 不是就垂直于 c b？ 好， 那 c， b 垂直于 a c， 然后我又因为这个得 c 是 不是垂直于面 a， b， c， 哎，然后这个 c b 在 这个面 a， b c 里， 所以这个得 c 垂直于 c b， a， c 垂直于 c b， 那 a c 和这个得 c， 它交于点 c， 所以 说明我的这个，呃，你看，啊，哦，我还要得写一个什么，那 a c， 然后得 c， 再面， 哎，我们，我们要得写一个再平面，你看，在平面这个 a、 c、 d 中，哎，所以谁？所以这个 d c， a， c， d， 对 吧？ 好，那 c， b 就 垂直于面 a， c， d， 对 吧？好， c， b 就 垂直于面 a， c、 d， 然后这个，因为 c、 b 在 这个平面，这个， 呃，那个我们要所求的是 bce， 对 吧？ bce 中，哎，所以，所以我们可以说面 bce 垂直于面 a c 根，好，我这个过程就写好了，那第一个非常轻松，对吧？我们再看第二个，那间隙条件我们都有了，然后我们就去标一下嘛， ab 等于根号五，哎，这个，呃，斜边是根号五，然后 bc 等于一，哦，这个边是一，然后 c 得等于二倍根号三，二倍根号三。好，那 x、 y、 z 轴上的所有点都出来了，但是我这个 x 轴上的点还没有出来，对吧？来，这个斜边是根号五，这个零边是一，那就是五。减一等于四，那就是二嘛，对吧？这个边就是二，好，那我们就开始间隙，对吧？你那个第二个，那个间隙过程，你不要忘记以 c 为 昨天那个。这道题比较难，对吧？我没有写那些间隙过程呀之类那些过程，对吧？那今天我们再复述一遍啊。以 c 为圆点，然后 c a 向量为 x 轴，那不要忘记向量啊。呃，然后 c b 向量为 y 轴，对吧？然后再写这个 c 的 向量为 z 轴间隙 啊，如图，大家写好，然后我要得写 c 点坐标，对吧？零到零到零，哎，我要求的是啥？我要求的是 b c e 平面和 b d e 平面，对吧？那就先要写 b 点， c 点， e 点，然后 b， d， e， 对 吧？ b， d， e， 哦，还有一个得点，好，就这四个点，对吧？好， b 点坐标，我们看一眼 b 点坐标，它是在外轴上，对吧？那就是零到 一到零，对吧？好，一点，坐标，一点坐标，它是在这个 x、 o， 这个 z 这个平面，对吧？一点还是这个 a 的 中点，对吧？那中点的话，那它是在 x 轴的中点上五， z 轴的中点上，对吧？那我们看一下，一点坐标，它就是 x 呢，就是一到零到二倍杠三，就是根号三，对吧？好，一点就出来了，得点坐标，得点坐标就是零到零到二倍杠三， 零到零到二倍根号三。我们要得写那个 bce， 对 吧？那设面这个 bce 的 法向量 为 n 等于 x 到 y 到 z， 好， 然后 b c e 的 话呢？ c 点是圆点呢？就是写 c b 向量，然后再写个 c e 向量等于，呃， 零到一到零，对吧？然后 c e 向量呢？就是呃一到零到根号三，对吧？好，我们再直接写。呃，这个我们还要得写一个过程，叫什么？两个向量，向量和向量乘积，对吧？ 来，我们要写一下向量和向量乘 n 等于零，然后这个 c e 向量点乘 n 等于零，对吧？然后我们要得写 n 了， n 等于来求 x 反 x， 它乘它减它乘它哦，刚好三。然后求 y 等 y， 它乘它减它乘零哦，零 go 求 z 等 z， 零乘它减它哦，负一，对吧？我 n 就 出来了，然后我还要再写一个设 面，哪个平面？来两个平面嘛，对吧？ b 得 e， 对 吧？ b 得 e 的 法向量雷 n m 等于 x 到 y 到 z， 好， 然后我们写一个哪个向量比较好？写，我们是不是 b 的 向量比较好？写 b 的 向量等于零到负一到二倍根号三，对吧？然后呃，我们再写一个 e 点的话，我们是不是 b e 也比较好写 b e 向量好， b e 向量呢？就是一到负，一到根号三，对吧？好，我两项量出来了，我们再写一个 m 点乘 b 等于零，对吧？把 m 乘 x 乘 x 乘它减乘它哦，那就是 这等于多少负的根号三，再减去二倍根号三，再乘负一，对吧？那就加上二倍根号三，二倍根号三减三等于根号三，对吧？然后求 y 档 y， 它乘它减它乘它，哦，那就是二倍根号三，对吧？然后求 z 档 z 它乘它，减它乘它，哦， 那就是一嘛，对吧？好，我法向量就求出来了，法向量求出来了，我就把它擦干净啊。好，我法向量，两个法向量都出来了，对吧？我要写什么？两个平面的二面角，对吧？二面角的余弦值。你看两个平面，平面与平面所成角，呃，如果他说是二面角所成的角，那就是嘛，那就肯定都是有正有负，对吧？那，那无所谓，我们都直接求就行了。设 这个面，嗯，你看啊，设面 bce 与面，这个 b 的 e 所成 角为 c， 它，对吧？然后我们写口三也 c， 它等于口三也角 m 和 n 的 加角，对吧？好，嗯，对对对对，对啊。来，我们直接算，要是 m 点乘 n 比上 m 的 模点乘 n 的 模，对吧？好，然后算一下， m 点乘 n 的 就是 n 在 上面啊，刚好三乘刚好三，就是三，对吧？三，然后二倍刚好三没有了，然后再减一，对吧？减一比上下面， 哎，我们再算一下，下面啊，下面的话就是，呃，上面的膜就是根号三的平方等于三，加一等于四，就是二，对吧？然后再乘以根号下，呃，三的平方等于根号三的平方，三，对吧？然后三，再乘四，三，四，十二，十二，十三，十四、十五、十六，十六，对吧？十六的话，那就是四嘛？好，那就是四， 这边就是四。来，我们直接写三减一等于二，二二约掉有四分之一，所以口三也塞它等于四分之一，好，我们就直接写答案，对吧？好，这个平面与平面所成二面角的余弦值啊，你就再把它答一遍，平面与平面所成角的二面角的余弦值等于四分之一。好，这题就答完了。好，这样的，呃，答一下就完了。好， 昨天的那个格式一定要不要忘记啊，昨天我讲的时候我好多东西都省略了。 如何去间隙，你要得把间隙过程写好，然后点坐标写好，你还要得写一下这个设这个平面。呃呃，这，这就不用写了，然后再写这个设这个平面的反向量为 x y z， 然后写出这个反向量，对吧？呃，然后还要得写这个线面角设这个哪个线和哪个面做成的角为 c t， 然后线面角等于它，然后往里面带着，一算啊，就出来了就。 呃，我们要得，一定要注意格式要怎么写，一定要在控制在它是十三分钟内把它的过程也写出来。好，大家加油。

大家好，欢迎来到星星自爱数学，那么今天我们讲的题目每日一题是这道题，他说如图，直三棱柱，哎，我们看到这样一个字眼叫做直三棱柱， 那我们一定要得注意，直三棱柱就是我们的各个棱与底面垂直的这样一条啊，三棱柱就是我的所有的这个棱，就是就是我这垂直于下底面的这样的棱，就是这样有一个这样一个垂直关系。好，所以它就直三棱柱。好，我们知道这个条件以后，再往后看，它说 a、 b 等于 a， c 等于二倍角三，哦，它是二倍角三， 二倍根号三，二倍根号三，然后他说角 b、 a、 c， b， a、 c 为一百二十度，哦，一百二十度，那我们把它拉出来看一下啊，一百二十度 的等腰三角形，那这个是 a， 然后 b、 c， 这是二倍根号三，二倍根号三，那我们要注意，这是一百二十度，那我们可以做一个中线出来，对吧？那他也是垂线，所以他是六十度，那这个是六十度，直角三十度，三十度所对的直角边是斜边的一半，所以这个边就是根号三，然后 我们还可以通过一二根号三，我们可以确定这个的一半是三吗？对吧？然后这也是三，所以这边长是六。哎，我们知道这样一些条件，然后他又说得为 a、 a、 e 的 中点， a， a， e 中点为得，然后还说了一个 e 的 中点， e 为这个 b、 c， e 的 中点，哦， e 也是个中 点。好，没有了，我们只知道这些条件，然后最后我们要得求什么？最后我们要得求这个得 e， 这条线和平面 b、 b、 e， c， c， e 啊，就是这个平面相互垂直， 哦，那就线面垂直。那现在我们看到这么多条件，我们该怎么做呢？哎，我们刚刚发现了有这样一个关系，对吧？我们发现在这就有一个垂直关系，哎，那我们不妨想一想，哎，得一得为终点，一也是终点。哎，我能不能把这个 a 和我这个 bc 的 这个终点我也连在一起，哎，这个叫 f， 可以 吧？好， 那我发现，哎，那我 f 点弄出来了，那我如果平行于 a a e， 我 做一条线出来，哎，我这样的话，好像，哎，我在这里出现了个什么？我在这里是不是出现一个 平行四边形？哎，你看这个得点是中点，对吧？然后 b c e 是 我 e 是 b c e 的 中点，那也说明那个这 e 也是我这条垂线的中点，那我这样的话，我把它连起来，然后 ef 连在一起，然后 af 又刚好也是中线，对吧？所以说明什么？所以说明这是一个平行四边形，那平行四边形的话，我的 d e 和 af 平行，对吧？好，然后我又知道 这个 af 是 下面这条等幺三角形，就是我刚这一百二十度这等幺三角形的中线，对吧？它是三线合一，所以它也有一个垂直关系。哦，那我找到了 af 垂直于 bc， 然后我还知道这条棱就是 b b 一， 这条棱是垂直于 bc， 对 吧？所以我这个 af 又垂直于 b b 一， 然后 af 又垂直于 bc， 所以 af 又垂直于这个平面， 这就没问题，对吧？好。然后又因为我这个平行四边形得 e 和我的这个，呃，这条得 e 和我这个 a f 是 平行的，所以我的得 e 也垂直于这个平面，这，这就完了，对吧？好，那这条，嗯，这个我们就梳理一下这个过程，我们把它写一遍， 它，呃，首先我们要得构造出这样一个平行四边形，对吧？好，然后我可以做什么？做这个 b c 中点为 f， 然后连接 af， 对 吧？然后，呃，我在这个 b e c 一 中点为 f 一， 对吧？这是 f 一， 然后把 f f 一 连在一起， 好，我就连在一起了，对吧？好，连在一起了，那我可以交谁交于。呃 b c e 于点 e， 那 这样就好了，那我连好了。呃，因为什么？这个三角形 a b c 为等腰三角形， 所以等腰三角形，所以说明什么？这个 af 就 垂直于 bc， 对 吧？好， af 垂直于 bc， 然后 af 又垂直于 bb 一， 对吧？然后 bb 一 垂直于呃面 a b c， 然后呃，这个 af 又在这个面 a b c 内， 所以这个 b b 一 就垂直于 af， 这样没问题，对吧？好，现在 af 垂直于 b c， af 垂直于 b b 一， 所以 af 就 垂直于面 b b 一 b c c 一， 对吧？好，我这个平面垂直弄好了，那我再找什么？那我还要得再找这个平行四边形这个关系，对吧？好，那我把这个平行四边形这个关系我写一下。好， 这个点的为终点，对吧？终点，这个的为谁？谁的终点啊？这个 a a 一 的终点，对吧？然后点 e 为 b b b c 一 终点，对吧？好，所以这个的 e 就 要平行于 af 这两个中点，对吧？然后，所以这个，嗯，这样说的话，我们还可以换一种写法，我们可以说这个 a 的 它平行且相等于 f e， 这样就直接结束，所以，呃，四边形， 这个得 e f a 为平行四边形。好，平行四边形，所以得 e 就 平行于 af， 好，我就可以得到什么，我就可以得到这个 a f 垂直于面，这个 b b b c， c e， 对 吧？所以这个得 e， 我 也垂直于面， b e b c c e， 好， 这样就完了，所以我就证明完毕得正好，这，这个就结束， 看下第二问，那第二问的话，它我们就要得开始间隙，然后写条件，然后再做，对吧？好，这个我们看一下怎么间隙， 嗯，我们现在知道下面它是有一个这样一个垂直关系，对吧？好，那这样一个垂直关系，我们不，不要，不用它，那我们就沿着这个键，然后我们除了这条垂直以外，我们还有，哎，这个对吧？好，这个下面下面垂直的，然后我就顺着我刚刚的这个 a a e i f， 那 就建好了，那我们再标一下这个 x y z， 那 我们知道这个肯定是 z 轴，对吧？然后我们是右手螺旋定子，对吧？随着 x 转向 y， 这就是 x 转向 y， 好， 我们接好戏了，那我们就开始这个写一下做题过程。第二问， n e f 为圆点， f c 向量为 x 轴，然后 fa 向量为 y 轴，然后 f f 一 向量为 z 轴，间隙如图， 好，加，好，系，那我们加好系，我们就开始写点坐标，对吧？然后他说了 b b 一 为六，哦，那这是六，那高度是六，好，那我们要得写关键点坐标，对吧？不要，算了，不要啥点都写上 a 点坐标，你看 a 一 点坐标， a e b， 对 吧？然后得 b c e， 对 吧？然后 a e b， 然后得 b c e， 那 我们就只用写四个点坐标，对吧？好，四个点坐标， a 点坐标，怎么写来， 那我这个点是 f， 对 吧？然后这个点是 a， 我 说的这个是根号三，所以 x 为零，对吧？然后 y 是 根号三，然后 z 是 零。好， b 呢？ b 点坐标，我们看一眼， b 点作。哦，哦，对， a 一， 你看啊，看好 a 一 点坐标，它是在上面，那上面的话它还有一个六啊，这没问题。好，这，然后 b 点坐标，我们看一下 b 点坐标，它是沿着负 x 方向走多少走三，对吧？好，负三到零到零，对吧？好，多点坐标 看一下的点坐标，它是先沿着 x， 你 看 x 走不走？不走，对吧？然后沿着 y 走了，根号三。哦，那根号沿着 y 的 话就 x 为零，根号三到，然后还有高度，对吧？高度是一半，所以是三。好， c 一 点坐标， c 一 点坐标，就是沿着 x 走三，然后再往上走，嗯，那就是 y 为零，然后再往上走 六，对吧？好，那这个四个点也写完了，然后我们要得写 a b 一 向量，对吧？你看 a b 一 向量，我发现哦，全是负的，那我就写个 b a 一 呗。那 b a 一 向量呢？全是正的呗。那这样的话呢，就是三 d 根号三 d 六嘛。好，这样就写好了，然后还要得写得 b c 一， 对吧？得 b c 一 里面的向量，那 我们看一下你写哪个好？我们是不是把 b 作为圆点，然后的作为后面那个点更好，对吧？这样的话就是三逗，根号三逗三，对吧？然后，嗯， bc 一， 对吧？ bc 一， 这样一写的话就是三减三，就是三减负三等于六，对吧？六逗零逗六嘛。好，好，通过这两个向量来怎么样？射面的 bc 一 的反向量为 n 等于 x 的 y 的 z， 对 吧？好，然后，呃，这个的呃， b 的 向量点成 n 等于零，然后 b c e 向量点成 n 等于零。好，然后 n 直接写，等于求 x 把 x 挡住，它乘它来，根号三乘。 你看，求 x 把 x 挡住，它乘它减，它乘它，就是根号三乘六倍根号三，对吧？好，六倍根号三，求 y 挡外，求外挡外，它乘它乘它，又是 o， 没有了零， 对吧？然后再取负嘛，啊，无所谓，但是取负不取负都无所谓啊。然后求 z 等 z， 它乘它减，它乘它就是负六倍根号三，负的六倍根号三，然后我一化减，我就可以得到 n， 就 等于，哎，一到零到负一，好，我把向量就算出来了，这两个向量我都有了，怎么办？我就要得写设 这个 a e b 与面得 b c， e 所乘角为 c， 他 对吧？来， 我们是线面角，对吧？线面角是上引角 b a 一， 然后和 n 的 角，对吧？然后我要再绝对值来，就是 b a 一 点乘 n 比，然后绝对值比上 b a 一 的模，点乘 n 的 模，对吧？好，然后我们算一下，它乘它 o 三，然后再减六，哎，绝对值，哎，比上，哎，这个 呢？它是根号，下三个平方是九加三加六，六三十六，对吧？好，我们算一下，等于三，对吧？那绝对值嘛？好，我们把这个算一下，等于 三十六，那四十五，四十五，再加三，四十八，根号四十八，根号四十八，是几乘几？是不是就是三乘十六，三乘十六，那就是十六开除。根号呢？又是四倍根号三倍，再乘以根号二，然后我再把这个根号六上去，那就等于这个四乘以六倍的四乘六倍的三倍根号六，对吧？然后三六一约等于 边是二的八，四二得八，所以最后答八分之根号六，哎，所以撒眼塞，他等于八分之根号六。好，呃，这这几个运算步骤直接调高纸一写就行了，最后答一下就行了。最后这个，呃，直线上面题目怎么写的，你就怎么写 a e b 与面这个 b c， 呃，这个 角的正弦值值为这个八分之根号六。哎，这题就答完了，哎，你看一下啊，这里面我算的过程中，如果你这个法向量 没有像我这样算的这么快，你要得去看哪？你要得看我的这个立体几何大题系统课上，然后我这里面就有讲这个法向量如何求，对吧？嗯，你可以按这个下方，这边有一个章节，对吧？你可以自己去跳到那个法向量如何求那个地方去看。如果你在这里面的这个证明的位置如果有问题，你就要得看这个上里面的这个知识点，对吧？这是怎么弄的？这就是我通过平行的传递性和线面垂直，对吧？好， 然后如果这个公式，你说为什么塞塞它等于口塞它，那你也看上，可以吧？那我们把这些问题就解决掉，然后预算问题，应该没有什么预算问题，对吧？然后你这些套路你要得写出来啊，你高，你高考时候你不能不写这些话，这些话全都是套路。好，你要得写清楚，然后这个问题就很套路，对吧？这个没有什么问题了。好，我们 这期就结束，我们下期再见。

好，各位大佬们，今天吕哥教大家一个非常逆天炸裂的立体几何当中的一些秒杀大招跟小技巧。好，我们举的题目也是刚刚考完的二零二六年江南石校 刚刚考完的新鲜出炉的立体几何多选择题啊，这题是第十题，位置六分，我这个视频教大家用结论直接秒掉这六分，压根就不用间隙啊，间隙又慢又 难，算是吧。好，我们直接用各种结论加几何法，全部把这四个选项轻松干掉，六分到手。好，各位，听我娓娓道来，听我给大家讲解一遍，我将讲的非常详细，你基础不好也能听懂。好，看， 如图，已知，这是个正方体的人长为二。好，正方体我们把它圈出来啊，所有人边都为二 好，现在 b c， 哎，这条线和我们 b， c， 哎，这两个交角点 o 啊， m 为 ab 的 中点啊，正方体的其余各面中心都为 e， f， g， h， i 啊，每个中心都为它，那这个选项我们第四体才要用到，我们现在先别晃。 好，首先我们下面说法正确是，来啊，各位来。好，你们各位，在座很多同学看到例题的多选择题，哎呀，可能就蒙一个就走了，技术好一点，中档一点的同学呢，哎，见个戏啊见个戏，这算半天啊，技术好的同学就是结论加方法信息差，全部 带走。好，所以这里打破性杀，老师教给你看好了啊， a 选项 d o a 教你证明这条线，这条线垂直于我们的 bc。 好， 证明这条线跟我们的 bc 是 垂直的， 证明线线垂直啊，证明线线垂直。在例题题和多选择题当中，肯定是可以用一些特殊的手法， 比如说三线合一，比如说勾股定律啊，再比如说线面垂直，那现在我想证明 d、 o 跟 b、 c。 大家听好， 只要去转化在体内的那条线，这两个我们看明白了，这两条线哪个在体内？毋庸置疑， b、 c 在 我们外面，在表面上只有我们 d、 o 在 体内，所以我们要把 d、 o 给它 转化到我们的一个平面当中，因为他在体内，听懂没有？因为 d、 o 在 这个正方体的体内，要把它转化成一个平面当中。好，所以转化这一条， 转化这条，把这个 d、 o 放在一个平面当中，怎么放？怎么扩展结面，各位看好了啊，看好了，我们 b、 c、 e 我 们是要有的，要用的，所以 b、 c、 e 我 肯定要留着，我不动， 我 d、 o 要扩展个平面，并且跟 b、 c、 e 要有什么交界，要有连接处，要有我们的磕碰处，所以 b、 c、 e 不 懂，要把 d、 o 包括在里面，毋庸置疑。怎么办？把 b、 d 跟我们的 d、 c、 e 连接起来，不就结束了吗？ 听懂这个思路没有？我讲的很慢了啊，讲的很慢。好，我把这两个连接起来。看好了啊，把 b、 d 跟我们的 d、 c、 e 给它连接起来， 好，连起来。你看现在哪个平面在平面 d、 b、 c、 e 当中啊？看平。看好了啊，再讲一遍，在平面 b、 c、 e、 d 当中，这个平面，因为这个平面，我问你，这三角形是什么三角形？ b、 d、 c 什么三角形？等边三角形啊，看明白了，因为三条边，你看我们的 d、 c 这条边，我们的 b、 d 这条边，我们的 bc 这条边，都为 怎么我们的一个正方体，一个一个正方形的什么斜边吗？啊，所以我们 a 选项直接秒掉了，好，我写慢一点啊，来，由于，怎么呢？由于我们的三角形 b， d， c， e。 为什么等边三角形，对不对？为，哎呀，等边三角形好，等边三角形，因为三条边都为正方形的一个斜边对吧，斜边都是一样的 好，他对，等边上角形又又由于什么又由于我们 o 为中点，好，结束了。等边上角形，那 b， d 等于 c， d， o 也为中点，所以 d， o 所以 d， o 垂直于我们的 bc。 什么东西？三线合一轻松搞定， 听懂六六六啊，弹幕扣出来，六六六啊，搞定，所以我 a 选项你 基础好点，你能听到，你学会，下次可以直接建立。我是讲慢一点，为什么这样做，我们的平面把 b， d 跟 d， c， e 做起来，所以有的同学说，哎，为什么辅助键他想不到，所以我讲个思路，到底为什么这样做？听懂了，好，所以 a 就 对了吧。好， a 秒掉一个， 好，继续看 b 选项啊。 b 选项这里，哎呀，完蛋完蛋，有点尴尬，这个点我，这我写下面的，因为 b 选项我要补行啊。看啊 三， d， b， e， d， b， e 哪个？ d， b， e 这条线，哎， d， b， e 我 们都能看出它是什么啊，体对角线，发现没有？ d， b， e 这条线是不是体对角线嘛？ d， b， e 我 没画，我没连啊。 d， b， e 是 条体对角线 与 c， m， a 与这条线所成角的正弦值为它。现在 b 选项几何法直接搞定啊，你间隙太慢，直接几何法，几何法，线线几何怎么办？平移相交，所以 b 选项我们用的方法叫做平移相交， 平移相交现在又由于它考我们的体对角线，各位在平时复习当中，一旦有体对角线， 线线所成角线线，其中有一个是体对角线，直接我们的扩前面啊，不是扩前面是不行啊，直接不行。看，所以你的思路应该像我这样行云流水， 两个线线所成角一其中一条线啊，一条线，它是体对角线，是体内的一条对角线，不管是正方体还是长方体， 都是给他补行。听明白了，补行就是给他 copy 啊，给他复制把他，我恨不得把这个复制一下，然后点一下粘贴贴上去就好了，我还懒得画了啊。所以各位听到这里给老师一键三连投个币啊，奖励几个，真的不容易啊，我还画图画半天， 对吧，我的我的手写的啊，不容易啊，各位投个币好不好，求求了。好，所以现在这里啊，我加快我们的视频，直接扩比一个正方形出来，直接画正方形放旁边。好，我们一起来加速啊，开始把它画一个正方体，直接给它扩比过来啊，我们随便画个草图，哎，画太丑了。没关系没关系， 就给他扩比一下好，这样这边上面也给他扩比一下 好，上面这里也得扩比一下好，就把这里叠起来，大家，大家知道我意思就可以了啊，就是把这地方给它画一个一模一样出来啊，一模一样出来，现在直接平移出来啊，我们这两条线段， d b 一 跟 c m 平移一条，就可以平移一条，随便平移哪一条，比如说我们就平移我们的这个体对角线吧，把 d b 啊，把这个点 用 b 二表示啊， b 二表示，因为 d b 一 它是平行，我们的 c b 二的都为体对角线，发现没有好，所以现在题目结束了，结束了好把这体对角线连接起来啊。 d b 这条体对角线跟我们的 c b 二这两条体对角线是平行的啊，因为都为体对角线，所以一旦平，把这条 d b 一 平移到我们的 c b 二。 c b 二跟我们的 c m 是 不是有一个角点？ c 点，所以这个角就是我们要找的什么线线角好，最后我们把 b 二 m 给它连接起来，此题结束。好，此题结束。所以我放在这个上角形 c m b 二当中，我用一遍余弦令理，那我们这个角的正弦值啊，余弦值出来了，余弦值出来了，那我们正弦值就出来了。听懂六六六 搞定好，那自己给它算一下吧啊，给它算一下，首先这三边好不好算？ c m b 二 m c b 二好不好算？都很好算啊，都很好算，购物定礼啊！首先我们算 c m 吧， c m 等于什么？ c m 这条边等于根号下二的二的平方，这是二平方，加上一的平方就是根号五，搞定一个， 搞定一个。好，继续我们的 b 二 m 算一算啊。 b 二 m b 二 m 是 整个这段，整个这段 b 二 m 等于根号下，这是二，这是一，有三个平方，加上我们的这个 b 二 m 放在这上面，这上面当中啊，放表面这张当中，这是二的平方， 多少？九加四的话，刚好十三吧。啊，刚好十三好，还有一个我们的 c b 二，对不对？ c b 二好， c b 二怎么算？ c b 二还是一样用我们的。哎，把这个连接起来，听懂没有？ c b 二怎么算？把我们体对角线怎么算？应该都会吧。啊，两边各五厘米吧，算一下吧，把这个连接起来吧。 好，所以 c b 二在这一个直角上，直角上当中等于我们这一段，这段是我们二的平方，加上我们这一段，这一段放在底下直角上中。二，一根号五，根号五的话就是啊，不是五二二，根号八，二倍根号二是八嘛，二倍根号二平方嘛， 二倍杠二平方。长这样，好，再算出来就是根号十二，根号十二的话是我们的二倍杠三。题目结束了，三边都搞定，那求这个角的什么余弦值，再求正弦值，好，我们直接背什么余弦定零，好。这个图看上这个造型啊，很好看，是吧，我就不答出来了，所以现在我们求扩上引 角 mc 二的余弦值，余弦定，你直接开杠，两零边的平方，也就是两零边一个 c m， 一个是我们的 b 二 c 啊，就这两个， 也就是我们二倍根号三的平方加上一个根号十三的平方啊，根号十三的平方啊，不对，不是根号十三平方，对吧？根号五的平方啊，根号五的平方，减去斜边，减去对边，对边是我们的 b 二 m b 二 m 是 我们的 根号十三，减去根号十三的平方。好，底下是二，乘上二倍根号三乘上一个根号五，这个算出来就是我们的。呃，可算四，根号十五， 下面是，呃，十二加五七七，十三，下面是四，对吧？四，好，约掉一个四，根号十五分之一也是十五分之。根号十五，好，各位看到没有？现在各位大佬们还要通过我们的根号十五分之一也是十五分之。根号十五，好，各位看到没有？现在各位大佬们啊，一减去余弦值吗？不用了， 因为他的小题，他说线段所角的正弦值为十五分之二五，我们明明算出来的是余弦值等于十五十五分之二十五啊，对吧？正弦值应该是 e 减去十五分之根号十五的平方啊，所以他是不是正弦值应该是余弦值才对，所以 b 就 错了， 听懂六六六，听懂六六六好搞定！那现在各位啊，看好了，我们 a 跟 b 其实也算比较常规的解法，那现在大招正式来袭，就是我们的 c 跟 d 这两个选项，看看到底有多快，领会一些论的方法。 首先看好了啊，看好了，我们点 m， 他 为你点 m， 这个点到平面， a， b， c， 好， a， b， c， a， b， c， 我 们把它画一下啊，把它画一下，因为我红笔找不到了啊，我，我随便给大家看一下啊，把 a， b， c 给它画出来，好， a， b， c 这个平面吧， a， b， c， 好， 这个平面好，这个平面我为了好看，我把它画成我们的阴影部分啊，阴影部分好，各位奖励的几何啊，还是多选题，非常的难讲啊，非常的辛苦，各位 小帅小美们，赶紧给老师一键相连啊，一键相连真的是制作不易啊好不好，我们把它给它画，全为了好看一点嘛，哎，你看，还是为了大家好看一点啊，好看点好，这个平面好，问你点 m 看点 m 到这个平面的距离啊，这个平面的距离为多少？ 现在直接结论啊，你看啊，我问你，我把 b 点 m 到这个平面距离， 点 b 到这个平面距离。我问你啊，我问各位，点 m 到这平面距离跟点 b 到这平面距离有什么关系？二分之一的关系，这个大家都能听懂，对不对？点 m 到这平面距离，等于二分之一的点 b 到这平面距离。因为 m 也是中点，这可以理解成一个中位线，能懂吗？ 这是不是它整个上角形的什么中位线？所以这一段等于二分之一的它啊？所以我们点 m 到这平面距离。 点 m 到这平面距离，等于二分之一的点 b 到这平面距离。所以我现在算点 m 到平面的到这个平面 a、 b、 e、 c 的 距离，我直接转化。为什么 转化为 b 到这个平面？ a、 b、 e、 c 的 距离，现在就好算了啊，好，算了。哎，那又有人要为了，而是你总按到这个，我点 b 到这平面距离怎么搞啊？首先你如果这个会的话，常规方法换顶点，等体积法搞定。 那我现在不常规了，我都讲这什么意思呢？不常规直接结论就可以了，直接秒掉就可以了。好，我们点 b 到这个平面距离啊。看好了，点 b 到这个平面的距离，就这一段啊，这一段，这一段。点 b 到平面距离就是等于体对角线的三分之一。 神奇。小结论。好，不知道怎么来了啊，各位，我二零二四年我就讲过了啊，各位看啊，各位，看我的主页啊，我的主页点到这个利益几何当中啊，利益几何当中。这个视频，这个视频，各位看啊，二零二四年八月五号这个视频， 你们进去看一下啊，这个视频我就讲过这个结论了。好，所以推导过程也讲过了，你们自己感受一下啊，感受一下，又考到了，所以非常高，你看我当时写立体几何，常常考结论模型每年都考，高考也会考啊。所以自己去补啊。自己去补。 所以我们点 b 到这平面距离就什么？就是的，就是我们这个体对角线的三分之一，这一段占三分之一。体对角线 这个平面把体对角线平均分成三份，我要的这份就占三分之一。听懂六六六，没听懂啊，没听懂，你们自己看补视频去吧。啊，我以为我在直播呢啊， 听懂了吧。好，现在我们拿出我们的一张白纸看好了啊，由于什么呢？由于我们 b 到这个平面 a、 b、 e、 c 的 什么距离？就是等于三分之一的体对角线。 b 第一。好， b 第一。我刚刚已经算过。题对角线啊，题对角线刚才算过。就是一二嘛。就是我们的二倍杠三，对吧？二倍杠三就等于三分之一乘上一个二倍根号三，也就是我们的 多少三分之二倍根号三啊，三分之二倍根号三啊，二倍杠三。好，所以这也别急啊，别急。哎，同学，三分之二倍杠三，所以 c 错了，不是没 不对啊，因为我这个是指的是点 b 到这平面距离。我题目要是点 m 到这平面距离，他说什么关系一半的关系，中位线出一半的关系，所以我们 m 点到平面 a、 b、 e、 c 距离就他的一半，所以三分之根号三秒掉，所以选 c 对 逆不逆，天震不震撼，非常好用啊。自己去看啊，二零二四年我就讲过了。好， d 选项又直接秒掉啊， d 选项直接秒掉。看好多面体这个，因为每一个点都为每个平面什么点，每个平面什么中点， 每一个平面的中点看到没有？中心嘛，所以他绝对是一个什么什么东西？正八面体，正八面体的一个内接球半径，直接结论秒掉。好，这里我讲，先讲了一遍。好，各位看好怎么操作啊？来来来， 非常的辛苦啊，你看，又画了一个图，我给大家看一下啊，看好了啊，中点嘛，这个平面的中点嘛，这是 e 点嘛，然后这个是我们的 底下，这是我们的一个 g 点嘛，前面这个终点是 h 点嘛？啊，后面这个终点是 i 点嘛，后面这篇终点是 i 点嘛，是吧，题目都有啊，已经告诉你了啊，这些东西把它画出来就可以了。好，看。好，现在把所有的终点给它连接起来，各位看好了啊， 来来来，才子操作，连接一下，然后跟后面这个终点连接一下。好，跟我们背面这个终点也连接一下。好，长这样，跟我们前面这个终点把它这样连接 好，连接一下。好，这里也连接一下，每，反正每个终点两两连接就行了。好，这里也连接一下 啊，真的不容易啊，第一节讲讲起来真费劲啊，所以各位认真听啊，认真听。好，再把这个全部复制一遍嘛，啊，连接在一起，连接在一起啊，这边也连接在一起。 好，这边也连接在一起。好，各位，像不像我们那个成龙历险记当中那个潘潘什么毛那个宝盒呀？就是巴拉恶魔那个，看到没有？结束了， 所以我们可以得到，看图说话啊，即我们的 e、 f、 g、 h、 i、 o。 这个为什么为正 八面体？为正八面体。好，那么正八面体它的一个内切球的半径啊，正八面体的内切球半径也就直接小结论秒掉，小结论等于三倍的体积，除上我们的表面积结束。 好，那现在，哎，这还还有一条线没画啊，现在这里还一条线没画，这两个点中间还没连接起来啊，这个好看了啊，所以现在直接套结论啊。套结论怎么算呢？因为它的正八面体所有都相等啊，所有每一个面都为什么都为都一样，都为都一样， 而且是一个，我们等边上角形，对吧？等边上角形好算，随便画个，随便构建一个，我们勾股定力啊，用这边勾股定力吧啊， 我们的人长就是 e f， 等于我们的一加一根号二啊，所以人长为二啊，所有的都为二，都为根号二，说错了，都为根号二。 所以我们这道结论，三倍的体积，体积是三分之一，我们的根号二的平方乘上一个二表面积呢？一个表面积，表面积是一个面，一个面是等边长的形，等于四分之根号三边长的平方，根号二的平方是有八个，给它乘上一个八，搞定好，这个算出来也就是三分之根号三结束秒掉， 对不对？哎，对了，好，随便选 a、 c、 d， 各位讲完了，不容易啊，能不能跟下来？好，所以你看看啊，非常的震撼， 所有选项压根就别间隙啊，别间隙！这六分其实是比较简单的啊，非常的有说服力，刚考完的江南十校的例题解答题送给大家，各位能听懂，觉得老师讲的可以，你能听懂啊，给老师一键相连， 辛苦一下啊！比较感谢各位大佬好，我们今天这个视频我们在这里自己体会一下，做好笔记好不好，各位再见！

高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考这种老掉牙的三十头的还原了， 以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三式图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？你要抓的是教材背后的拓展模型， 这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置，有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 柱体啊，常见的柱体，锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分，就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四点线面的位置关系，这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六，一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂。因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积表面积里面的一些分析，全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合，不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么巨型模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三、垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题，辅助线一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角，二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做？甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面， 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略。 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型。胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好，好好下课！

今天主要针对二零二零年十二月份辽宁名校联盟高三联考的第二十题进一个讲解。这个二题考察之点呢，主要是立体几格哈，咱们一起来看一下。首先咱们只要 bc 的长是二倍，杠二三， 看咱们这一半就是刚上啊，因为 q 重点角 abc 至三十度，然后直角边 bc 是二倍刚上，那说明这个角是直角哈，那这个角也是六十度， 然后 m 也是重点，然后咱们只有三十度的，这个就是二了，能取出来哈， am 也是二， mb 也是二， am 也是二，因为折叠过来， 然后折完以后呢，他说 aam 垂直 mb， 说明这个是什么呢？直角啊， aam 是垂直于 mb 的，也就相当于垂直于 ab。 第一问，证明 aeb 垂直于 mq， 因为 mq 和 ac 平行，相当于，咱们要挣什么呢？是不是证明 aeb 垂直于 ac 就会可以了？ ab 要吹吹 ac 的话，那咱们就得吹对面了哈。首先咱们这是二，这是二能球，在 ab 的长度是二倍高二，然后这个 bc 是二倍高三，那 ac 和 ac 又相等 ac 十二， 所以说咱们会发现 aec 的平方啊，加上 aeb 的平方，就等于 bc 的平方，所以说咱们能知道角 caeb 等于九十度 啊，这是直角哈，所以说咱们就有什么呢？ bae 垂直于 ac， 然后这个时候咱们再把 aa 连上， 因为这个 aem 垂直于 ab 吗？对不对？那这个指定都是四十五度了哈， 第一问就挣出来了哈。然后接下来咱们看第二问，第二问指定得天细了哈， mb 和这个平面手上角的自动延迟。那咱们因为 ab 吹 vmq mq 呢，他也是垂直于这个 bc 的啊，因为这是垂直的，是终点和后面线，根据这两个条 咱们还能得到 mq 呢。垂直于平面 aebc 啊， mq 是垂直平面 aebc 的，所以说咱们就可以以 q 点键系了哈，那 qbv 这块 vi 轴， qm 这块为 yt， 这周就是 q 连往上做锤就行了啊，这个意思意思就行了。好，那咱们现在研究出来以后了，咱们会发现因为 mq 他是外轴吗？对不对？垂直于平面 abc， 说明 abc 相在哪了，是不？ abc 就在这个 soc 这个平面上， 其实这个图不太准哈，所以说导致学生做不出来啊。咱们其实应该正常给他规范一下， 因为也便于咱们求 ae 这个坐标哈，这是 x， 这是 opp， 是 z 哈，正常来讲 的话，他这个图应该怎么画呢？这是必点啊，这是 c 点啊，这都是高三，然后咱们这个四 a， 一是二哈，这差不多应该是在这个位置啊， 对不对？玩这块是二百公园啊，这是直角，你看这时候咱们 ae 这个相当于在哪呢？把这个擦掉哈， 下面这个点是 a e， 看到没啊，咱们就得做锤来把这个 a ea 的坐标大概算一下， 这个点咱们是个 m 点啊，那 cm 的长度咱们能求出来吧， 换个蓝颜色的笔吧， cm 的长度应该是二除以二除钢三，是不是三分之二 高三？那整个 c o 的长是高三的，这块长是三分之高三，他这个高的话就再成一个 高二就行了，三分之二为高二六。所以说这时候 ae 坐标咱们就求出来了哈，他其实外外的坐标是零，这就是负的三分之二三都有，零到三分之二为高二六啊， a 坐标有了，然后咱们再来一下 b 点坐标，那 b 点坐标就简单了，就是什么高三零零，然后还有十点坐标，那十一点坐标就是负，高三零零，还有谁啊？ m 点坐标， m 点坐标也简单，对不对？零一零啊，这个沟里你能出来是一， 这些都有了，接下来咱们求项链了啊， mb 项链， mb 项链的话 就是高三都是负一头零哈，自然闭。然后这个平面 amc 反应量咱们得求一点，那先求这个 cm 限量吧， cm 限量是高三都一都零哈，然后再求一个 cae 项亮 ce 项量就是三分之二倍高三 豆零豆三分钟二倍高六。那咱们这时候就射这个平面 amc 反量 是这反量 syj 呗。啊，这个就是咱们常规操作了，对不对？然后 cm 项量乘以反应量等于零，这是第一个，第二个就是 cae 项量乘以这个反应量也是零，那就是高三 x 加 y 等于零， 另外一个就是三分之二倍高三 x 加上三分之二倍高六， z 等于零，所以说这个时候咱们 n 点 n 销量坐标时候就知道了，那咱们就赋予 这位负一吧啊，这位负一，这位负一的话 x 九杠二， 那外就是负杠六哈，咱们反应量就出来了，然后 mb 和反应量夹角，那咱们直接就是设这个夹角为谁的哈，赛谁的就得扣赛 绝对值，别忘加了 cm 和这个反量的夹角与弦啊，那就等于 cm 像量乘以反应量的绝对值以上， cm 的膜乘以反量的膜，那就是高三一乘以这个哈。所以说分子应该是 是高二六，高二都负，高二六，高二三都是负一啊，这个哈， mp 我看错了，把这改了， 这都改了哈，这是 m b， 然后这也是 m b 哈。 哎，和这个相称，那就是高二六加高二六分子应该是二倍。高二六，那他的模式是二，他的模式是二加六加一，一二三哈，所以说开出来就是三分之二六啊。那咱们这道题就完事了哈， 难点就在这块哈，你只要能把 a 点出来，我求出来。其实这道题就非常简单了啊，听懂的大家关注并点赞。

今天主要针对二零二零年十二月份辽宁名校联盟高三联考的第十二题进行讲解。这个十二题考察的支点呢，主要是立地起格哈，咱们一起来看一下。首先举行 b、 d、 e、 f 所在的平面与这个 abcd 这个平面呢是互相垂直的， 告咱们一对对，一是二，那因为举行，所以说 b、 f 也是二， abbccd 都是二。 然后现在说技能为 ae 这个线段上的一个动点，问你选项正确的是哪个？首先咱们看 a 选项哈， ae 和 cf 垂直， 其实咱们都知道这都是二了，以后呢，咱们这个得意应该是能知道垂直于这个底面啊，因为得意，垂直得意嘛，这点 两个面的嚼劲还是对比，所以说就能吹出来一点，吹出这个面啊，所以说咱们给他还原出来一个正方体啊，他其实就是一个正方体砍掉两个三两嘴得到的啊。 好，我现在把它还原出来了哈，接着 a 去点吧，接着挨点。 那 ae 是不是相当于这个面的一个对角线呢？对不对？那这长度都是二对不对？他就是一个二维楞长的一个正方体， ae 和 cf 一看就是垂直的哈，这个 a 是对的，这属于白给。 然后咱们来看 b 球断面体 abc 的 ef 这样一个体积，那咱们可以看成一个大的一个正方体，减去两个 三张嘴，对不对？是咱们 v 就等于应该是八减去二倍的 va 脱 hef 啊，因为这个和那个是对称的哈，全能的 八减二乘以三分之一，那底面你就二分之一乘二，乘二，高再乘二，所以说算出来应该是三分之十六啊，那必就是错的。 然后咱们来看 cc 的，话说 g 为现在 a 的终点，则 gb 平行于平面 cf 啊，这已经告诉咱们是终点了。那首先这个 gd 要是平均这个面的话，咱们可以利用面面平行来推这个线面平行，因为 b 地首先他和 ef 就是平行的 啊， b 对和 el 首先他就是平行的。那这时候咱们再挖掘一个边呗，那咱们就连接基地啊，连接基地，基地和 cf 也是平行的， 为什么基地和 ci 平行，咱们连接 hd 一定过基点，因为 agd 和 mc 平行哈，所以说基地和 fc 平行， 那咱们现在就能知道了。那我这一个面上的两条边都和另一面两条边都是平行的，所以说咱们能推出来平面 gdp 就是平行于平面 cef 啊，所以说咱们连接 gb， 那这时候 gb 就平均平板 cf， 所以说咱们这道题 c 也是对的， 那咱们就剩最后一个选项四 d 了啊，这道题难就难在四 d 上啊。我把这个前面的过程都擦掉啊，没啥用。 师弟他说 m 点呢，是 af 上的一个动点， m 在这，那我把这个也擦掉吧，这个没啥用，二都擦掉了啊。 然后这个恩典呢，是 ac 以上一个终点， t 呢？在这个平面 bcf 内啊，说白了 t 就是在这个 正方形这个平面内啊。那提点咱们随便标一个呗，比如就在这，现在咱们要求的是什么呢？ mt 加 nt 的最好值啊，看看是不是这个三分之四倍高的。 那这种问题的话，咱们求这个两个线段盒的最小值，怎么还得找对称呢，对不对？所以说咱们可以把这个恩典 关于这个面的对称点找到啊，所以说咱们把这个 ab 延长，备长 ab 啊，比如说咱们延长到 ap， 我连接 cap， 那这个时候恩典呢？对称过来就在这了，这个就是恩品。 那现在我求的是 mt 加上 nt 的 最小值，是不可以转化成 mt 加上 n 撇 t 啊，对不对？ mt 加上 n 撇 t， 我把 n 撇 t 连上啊， 因为这两个是对称的啊，所以说一定是相等的。那 mt 加安撇的什么时候最小？他是不是大于等于 m 和安撇直接连呢？对不对？因为两点之间线段最短 啊，这个 m n 撇就出来了。那 m n 撇什么时候最短呢？ m 在哪上？ m 在 a f 上， n 撇在 a 撇 c 上，所以说咱们 m n 撇的长度呢， 他一定是大于等于这个地的。这个地是什么呢？就是 af 与 apc 之间的距离哈，这两个直线之间的距离， af 和 apc 之间的距离。又因为 apc 是平行于 ef 的啊，所以说咱们求这个 这个距离呀，相当于求的是他 d 就等于 c 到平面 aef 的距离啊，这个距离相当于这个点 c 到平面 aef 的距离。因为我这个 apc 呢，平行于 ef 啊， apc 平行 efm 点又在 af 上啊，那 c 到平板 ef 的距离就是谁啊？就是三分之二的 c h 的程度啊，那 c h 就是这个体调线，所以说三分之二乘以二倍高三，三三就是三分之四倍高， 所以说咱们这个最小值就是三分之四倍高三，哈，所以说四 d 是对的。那这个时候有的学生会质疑， m 和 n 撇这个时候位置在哪啊？这个位置就是搁置在这个 am 和这个 apc 的三等分点上啊，靠近 m 点和 c 点的三等分点上， 那么这题就完事了哈，听懂的大家关注并点赞！