七下数学新基础训练答案湘教版多项式

多项式乘多项式是整式乘处理丢分的重灾区，很多同学以为会用分配率就万事大吉，结果一做题就相成漏项，符号出错。今天这个视频带你扣准每一个计算细节，拆解易错步骤，考试再也不在基础题上丢分，需要电子版刷题的可以免费分享。话不多说，我们直接开始 这一讲。我们学习多项式乘以多项式，这里呢，首先我们看一下知识点部分， 多项式与多项式相乘，就是用多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相家 用字母表示呢，它是这样一个式子，这是一个多项式，这也是一个多项式。那首先呢，用这一项去乘以后面的每一项，所以这一个就是 am， 这一个呢就是 an。 然后再用这一个去乘以后面的每一项，它们相乘的结果呢就是 b m， 还有这个 b n， 所以它的计算步骤我们可以分为三步，第一步呢，肯定是逐项相乘，这里一定要注意不重不漏。第二步呢，就是确定符号，同号得正，异号得负。第三步就是合并同类项，能够合并的就把它合并。 下面我们通过题目练习一下。首先第一种题型就是计算这种多项式乘以多项式，这里的第一题它有两项，后面的这每一项都要分配一下，这里一定注意要带上前面的符号。 所以首先是它们三个相乘，它们俩相乘，运算结果是八 x 的 三次方，这一项与这一项的运算结果，它应该是十二 x 平方， y， 这一项与这一项的运算结果加上十八 x y 的 平方。然后就是这一项与后面三个分别计算一下， 这里就注意了啊，一定要带上符号，算的时候千万别出错，它们俩相乘呢，结果是负的十二 x 平方 y 这两项运算一下，它结果应该是负的十八 x y 的 平方， 最后这一个与这一个运算一下，负的二十七 y 的 三次方，下一步合并同一项，这个是 x 平方 y， 这里也有 x 平方 y， 所以 它们俩抵消这两项，你发现也可以抵消， 所以最后呢，就剩下这一个与这一个，那它的结果你就直接把它写下来，减去二十七 y 的 三次方。看一下第二小题，前面这里是多项式乘以多项式，三 a 乘以这个，那就是三 a 的 平方，它再乘以后面这一个，减去十二 a， 然后就是这一项与这一项加上二 a， 最后它们俩相乘，结果就是负八。后面这里千万要注意，这是非常容易错的地方，因为它前面还有一个减号，所以你一步一步来，先把后面这一部分计算出来， 所以前面这里减三，我先不动，先写下来，我先计算后面的结果，这两项运算一下，它与它相乘，结果就是 a 方， 这一个与这一个相乘，减去 a， 它们俩相乘减去二 a， 最后就是这两个加上二。接下来呢，我们把里面这里可以合并一下，所以前面的我直接抄下来，括号里就是 a 方，减去三个 a， 再加上二， 到下一步呢，你再把这个括号去掉这里你去括号的时候一定要注意符号，不要出错，所以前面还是不变，写下来，这里去括号，那就是减去三 a 的 平方，这里应该是加上九个 a， 再减去六，最后一步合并一下，这两个它可以抵消掉。 这里有两个 a， 这里有九个 a， 加起来总共是有十一个 a， 十一个 a， 前面又减去十二个 a， 所以 它们合并应该是负 a， 最后负了八个，这里负了六个，所以总共负了十四个，所以它的结果就是这一个。我们在计算的时候，这个符号千万要注意，下面再看这一个变式，这里第一题先拿这一个与它们俩分别计算一下，首先是六倍 x 的 平方， 它们俩运算应该是减去四倍 x y， 然后它们俩运算一下，结果是加上九个 x y， 最后就是它们俩运算减去六个 y 方，把结果合并一下，它负了四个，它正了九个，所以正五 x y， 减去六个 y 方。再看第二小题，前面这里它是单项式，乘以多项式把它展开，应该是五 x 的 三次方， 加上十倍 x 的 平方，再加上五个 x。 后面这一部分一定要注意，它前面是一个减号，所以符号一定不要出错， 你可以先写一个减号，先把后面这里运算一下，它们俩运算结果是二 x 的 平方，这两运算减去十 x， 这两项运算加上三 x， 最后就是减去十五， 下一步再把这一个括号去掉，那前面这里先不动，直接写下来，这里去括号应该是减去这一个，加上十 x， 减去三 x， 加上十五。下一步合并同类项，这里加了十个，这里减去两个，所以还有八个 x 平方， 这里呢总共是十五个 x， 再减去三个，加上十二 x， 最后再加十五，所以这里计算的时候一定要细心，不要漏乘，也不要算错符号，不要出错。下面看第二种题型，不含某一项，求字母的值， 这里不含某一项，那就说明它前面的系数等于零。这道题说这一个多项式的乘积中不含有 x 的 立方向，求 n 的 值。那首先你肯定是把这一个展开，首先运算一下，它们三个分别算一下 x 的 四次方，它们俩相乘，加上 n 倍的 x 三次方，加上二 x 平方。然后就是这一项与它们三个分别相乘。这里符号不要出错，减去四倍 x 三次方， 减去四 n， x 平方减去八个 x。 下一步合并同类项，这里有三次方，这里也有三次方，这里是平方，这里也是平方。所以把它们合并一下 x 的 三次方，它的系数应该是 n， 减去四。再看后面的 x 的 平方向，它的系数应该是二，减去四个 n， 所以 合并完了是这么一个结果。题目说这个乘积里面不含有 x 的 三次方，那就是不含有这一项，不含有它就让它前面的系数等于零。由 t e 你 知道 n 减四，它是等于零的，所以这个 n 它就是等于四。 这种不含某一项，你就让它的系数等于零就可以了。如果这道题说它也不含有 x 平方向，那你就让它前面的系数等于零就可以。 那下面我们再练习一个变式，这道题说它们的乘积里面不含有 x 和 x 平方向，求 p、 q 的 值。首先还是把它展开，这一项与它们俩分别相乘。计算一下，负 x 的 三次方，加上三个 q， 然后 x 平方， 然后就是这一项与它们俩分别相乘，减去 x 的 平方，加上三 q x。 最后就是这一项与它们俩分别相乘，加上三分之一 p， 然后 x 减去 p 乘以 q， 把这个同类项合并一下，这里是 x 平方向，这里是 x 项，所以 x 平方，它的系数就是三个 q， 再减去一，后面这里 x， 它的系数是三个 q， 再加上三分之一个 p， 最后减去这个 p q 写下来。题目说不含 x 与 x 平方向， 那就是不含这个，不含这个，那就让它们的系数等于零就可以了。所以你根据提议，这一个三 q 减去一，它是等于零的，后面这个三个 q 加上三分之一 p 也是等于零的。把它们俩解一下， q 是 等于三分之一， 解出来 q 之后把它带进去，把这个 p 求出来， p 是 等于负三的。第二小问呢？他让你求这么一个代数式的值，先观察，你发现这两个代数式好像有点复杂， 如果你把这两个值直接带进去，你算的应该比较麻烦，所以先把原式给它整理一下。这一部分呢，它有一个平方，我们先把这个平方算一下，因为这个平方具有非复性呢， 所以它计算完应该是 p 的 六次方， q 的 四次方，加上后面这一部分，先写下来，到这一步，再看一下有没有简单的方法。你发现这里肯定都是 p q 相乘， 那它们俩相乘结果刚好是负一啊，所以可以让 p q 凑在一起，前面这里有六个它相乘，所以你先拿两个出来，它就是 p 的 平方， 再写一个括号，里面就是 p q 的 四次方。后面这里也是一样，这里你拿一个出来，那就是 p， 再乘以 p q 的 二零二三次方，下一步再把这两个值带进去，它们俩相乘，结果是等于负一的，所以这里 p 的 平方，那就是负三的平方， 这里就相当于乘以负一的四次方，加上这里就是负三，再乘以后面这个负一的二零二三次方。前面这里运算一下，这里呢，它就是九九乘以一，加上这个是负三，乘以这一个呢，结果还是负一， 所以它应该是等于九加上三，所以结果就是等于十二。所以这道题呢，它的第一小问就是这种不含问题。 第二小问呢，它是一个求值的问题。下面看第三种题型，这种混合运算的题目，比如说这道题，这里是单项式乘以单项式， 这里是单项式乘以多项式，这两个呢，就是多项式相乘。这种题主要就是计算，你算的细心一点，符号不要出错就行了。前面这里运算一下负的十二 x y 的 平方，后面这里运算一下，加上十二 x y 的 平方，再加上四个 y， 它们俩合并刚好可以抵消，所以结果呢，就是四个 y。 第二小题，这一个与它们两项分别计算一下， a 的 平方，减去三个 a， 然后是这一项与它们两相乘，减去 a， 再加上三。后面这里也是一定要注意，你看有符号的时候千万要小心，不要出错，减去 a 的 平方，加上四个 a， 合并一下，它们俩没有了，前面这里减去四个 a， 加上四个 a， 刚好也没有， 所以结果呢，就等于三。这种混合运算的题目，就按照运算法则把它展开计算就可以了。下面再看第四种题型，化简求值的题型。 这类题你肯定是先化简再求值，所以把这个式子化简一下，前面这里把它展开，这里是二。 a 的 平方，减去六个 a， 这里是加上两个 a， 再减去六，后面这里也是符号，不要出错，减去 a 的 平方，加上三个 a， 合并一下， 两个 a 方，减去 a 方，还有一个 a 方，这里两个 a， 这里三个 a， 总共五个 a， 减去六个 a， 所以 还负了一个 a， 最后再减去六，下一步把这个值带进去， 把 a 等于二，带入这个式子，它就相当于二的平方，再减去二，再减去六，所以这里就是四，减去二，再减去六，结果就是负四，这个就是化简求值的题目。先化简再求值， 这个代入的过程一定要有啊。下面第五种题型，它是这种类型的多项式相乘，我们通过这一道题来看它的特点是什么。首先它是让你观察下列各式，让你总结这个公式。首先看一下 x 啊， 你发现它们 x， 它的系数都是等于一的，也就是说 x 的 系数必须是一。展开之后，它的第一项呢，都是 x 的 平方，所以这一个公式把它展开，它的第一项也是 x 的 平方，所以这是第一个特征， x 的 系数，它必须是等于一。 第二个特征就看这一个一次项，它们的系数是有特征的。系数是跟谁有关呢？跟前面这两个是有关的。怎么样找到这个关系，你可以把它展开， 如果按照常规方法把它展开，它应该是等于 x 平方，加上四个 x， 再加三个 x， 最后再加上十二，中间这两项合并之后，它刚好是这一个七 x， 所以 你可以猜测一下，它这一个依次项的系数肯定是这两个数的合，你可以再随便展开一个验证一下。比如我把这一个给它展开，它应该是等于 x 的 平方，加上四个 x， 减去三个 x， 再减去十二，它们俩合并刚好是正 x， 那 也就是这一个正四加上负三，结果就等于一，所以这个一次项的系数就等于一，所以你这个公式啊，这个一次项的系数，它就是这两个数的和，所以这里呢就是 a 加 b。 最后呢，再看这一个长输项 它的特征，你通过我们刚刚举的这个例子，你也可以找到，这个是怎么得到呢？是它俩相乘，这个也是一样，它俩相乘，所以这里已经告诉你了，这一个长数项，它就是这两个相乘，所以这种类型的多项式它的特征。你可以记住这个依次项，它的系数就是这两个数的和， 这个长数项呢，就是这两个数的乘积。我们随便写一个例子，比如说 x 减去三，再乘一个 x， 加上八，我们随便写的， 你知道这个特征之后，你可以快速的把它展开。首先就是 x 平方依次向的系数呢，是这两个数的和，它们俩的和是正五，所以就是加五。 x 长数项就是它们俩的乘积，所以就是减去二十四，所以这种类型的多项式相乘。记住了啊，前提必须是你这个 x， 它的系数等于 一。下面看这个第二小题，他说这三个均是整数，并且告诉你这一个多项式展开，它等于这个结果，求 m 的 值， 把这个式子展开，那它的一次项系数应该是这两个数的和，所以你得到 a 加 b， 它应该是等于 m 的， 就是等于这个一次项的系数。这个长数项应该就是它们俩的乘积，所以这个 a 乘以 b， 它应该是等于七的。 根据这个条件， a 乘以 b 等于七，它们又都是整数，所以我们可以猜一下，组合一下，一乘以七，它就等于七或者是七乘以一， 或者是负一乘以负七，或者是负七乘以负一，它应该就是这四种可能吧，它们都是整数，所以你根据这个条件，你分析出来了四种可能， a 等于一， b 等于七，或者是 a 等于七， b 等于一，或者是 a 等于负一， b 等于负七，或者是 a 等于负七， b 等于负一。 最后题目问你是 m 的 值，那 m 的 值是他俩的和，这种可能，他们俩的和是等于八，这个也是等于八，这种情况，他们俩的和是负八，他的和也是负八，所以这个 m 的 值应该是两种可能， 他应该是等于八或者是负八。这道题你需要记住的就是这样一个公式，以后遇到这种类型的多项式相乘，你就可以快速的直接写出答案。那下面再看第六种题型，多项式乘法中的规律性问题， 这道题呢，他给了你这些式子，让你观察规律，这里你发现第一个呢，他肯定都是 x 减一。到这里呢，就是一次方、二次方、三次方，这样依次的加下去，从三次加二次加一次，一直加到 x 的 零次方， 他的结果等于什么呢？等于 x 的 四次方减去一，每个都是减一。再看他这一个四次方，他是比这个三大一的三次方呢？比这个也是大一，所以规律大概找到了。 第一小问，让你根据规律写出这个式子的结果，这里呢，应该就相当于这里的左边，它应该是等于 x 的 多少次方再减去一， 那这一个次方呢？你肯定是比这一个数要大一，所以把这个东西再加一，它就是 x 的 n 次方减去一。下面第二小题，让你利用上面的结论来解决下列问题。首先第一小题呢，它跟你这里的规律应该是一样的， 这个左边，你按照它的规律，它应该是等于 x 的 多少次方减一呢？它应该是等于七次方减一，所以左边 x 的 七次方减去一等于多少呢？这个式子的结果是负二，所以这里把它移向一下 x 七次方应该是等于多少负一，所以这里 x， 你 可以解出来，它应该就是等于负一的。 最后题目问，你求这个东西的值，那就把这个 x 等于负一带进去，它就相当于负一的二零二一次方，结果还是负一。再看最后一问，他让你求这么一个式子的值， 这个式子的值，你跟上面对比一下，你发现它缺少了哪一部分呢？缺少了前面这一部分，所以你可以把它加上去，后面这里你先不变，直接给它写下来。这个式子的值，你是没有办法直接算的，所以用我们刚刚学的这个规律， 如果它前面有一个三减一，那你就跟你发现的规律是一样的，这里的三，它就相当于这个 x 嘛，所以前面你可以加一个减去一，那就是 x 减一， 这一堆式子的值，你是可以算出来的，按照这个规律，它应该是等于多少呢？等于这个 x 的 n 次方减去一， 这里的 x 呢？它是三，所以就相对三的多少次方减一啊，三的一百次方减去一，所以这一堆的结果就是三的一百次方减去一。知道了这个式子的值，题目要求的是这一堆的值，所以这一堆的值，你把它当做一个整体，这里呢是二，二 乘以这么一堆东西等于这一个结果，所以这一堆东西你是可以求出来的，它应该是等于这样一个结果， 再除以 r 就 可以了，就是把这一个 r 给它除过来就可以了。所以这个式子的最终结果，那就是这么一个结果，这个就是规律性的问题，你找到规律就好做了。下面第七种题型， 多项式乘法与这种图形面积的问题。这道题说，学校计划用一片空地建造一个矩形的车棚， 为了方便取车，要在这个车棚的内部修建几条小路，其余的部分停放自行车，那这些阴影部分都是路。现在告诉你，车棚的宽等于 x 米，那就是这一段是 x， 长是这么多，现在告诉你，小路的宽等于两米，求停放自行车的面积，它的宽是 x， 它的长是这么多，路的宽度是两米，所以这个是两米，这里都是两米。现在要求的就是这些空白部分的面积， 那这里非常简单，我们直接用拼图游戏，你把这些当做拼图，把它们全部往中间拼，拼到一起去，拼到一起去呢？它应该是一个长方形，这一个长方形呢，它的宽就相当于减少了二， 所以它的宽应该就是 x 减二，它的长呢，应该是在原本的基础上减去两个二，所以应该是这样一个结果，减去三就是在这个基础上再减去四， 那它的面积应该很好求，就是长乘以宽，所以把它的面积计算一下， x 减二乘以这一堆东西把它展开，这里是二分之三， x 平方，这里呢就是减去三 x， 然后是这两个运算，减去三个 x 加上六，合并同类项减去六个 x 加上六，所以停放自行车的面积就是这一个结果。最后一定要记得加上单位平方米， 这是与图形面积有关的题目。下面看第八种题型，整式运算中的新定义问题。这道题他说定义， 如果 a 减 b 等于一，就是它们俩的差等于一，则称 a 与 b 是 关于一的单位数，所以单位数的定义就是什么呢？就是它们的差等于一就可以了。第一小问，他问的是三与多少是关于一的单位数， 那你就看三与谁的差等于一啊。如果三在这个位置，三减去二等于一，对不对？所以他有可能是二。如果你三在这个地方，四减去三是等于一的，所以还有一个答案，他可能是四， 所以这个就是单位数。 x 等于一就可以了。现在他问你 x 减三与谁是关于一的单位数，那这里如果 x 减三在这个位置，那就是 x 减三减去 b 等于一，所以这个 b 你 可以求出来，你把这一个移项移到右边去，把它移过来。 b 应该就是等于 x 减去四，所以它与 x 减四。另外一种情况，如果你这个 x 减三在这个位置，那就是 a 减去 x 减三等于一， 那这一个求出来它应该是多少？ x 减去二，所以另外一个答案， x 减去二。第二小问呢？他说 a 等于这一堆， b 等于这一堆。判断 a 与 b 是 否是关于一的单位数，说明理由， 单位数就是叉等于一，所以这里你可以作叉，你拿 a 减去 b， 或者是 b 减去 a， 看它们的叉是否等于一就可以了。这里我们就直接运算一下， 如果你是拿 a 减去 b， 把这两堆给它抄下来，减去后面这个 b， 它是这一堆。下一步呢，就是把它们展开计算一下，这里就是三 x 的 立方加上六 x 平方减去二 x 加一， 这里是减去三 x 的 立方减去六 x 的 平方，再加上两个 x 合并一下，你发现它俩抵消这一项与这一项抵消，这一项与这一项抵消，所以结果刚好是等于一，所以 a 和 b 它们俩就是关于一的单位数。 做这种新定义的问题，你就按照题目给你的定义去做就行了。最后总结一下我们这节课主要讲的多项式乘以多项式，需要注意的就是我们在计算的时候一定不要漏乘符号，不要出错。最后我们讲的这八类题型，如果你还不熟练，听完之后一定要多练习。

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同学们好，我是小狐狸老师，今天我们继续来学习整式的乘法。第六节，多项式的乘法第二个课时， 今天的学习目标是掌握多项式与多项式相乘的运算法则，能够灵活的进行多项式与多项式相乘的运算。 怎样去计算多项式这个与多项式这个的乘积呢？ x 减去二 y 乘以三 x 加上 y， 那 这里的时候，我们是不是可以先把后面的这一项当做一个整体，就是把它当做一个整体进行我们乘法分配律的运用。让 三 x 加 y 与多项式 x 减二 y 里面呢？每一项进行相乘，结果就是一个 x 乘以个三 x 加上 y 减去二 y 乘以个三 x 加上 y， 是 不是可以这样我们就把多项式乘以多项式转化成了单项式乘以多项式，两个单项式乘以多项式，然后再让它们的积进行相加减。 那到这一步之后，我们就可以利用我们单项式与多项式的呃运算法则，让 x 与它里面的每一项进行相乘， x 乘以三 x 加上 x， y 减去二 y 乘以个三， x 减去二 y 乘以个 y， 是 不是我们就可以利用单项式与多项式的乘法法则，再把它转化成单项式与单项式相乘，最终的结果就是三倍的 x 平方加上 x， y 减去六倍的 x， y 减去二 y 方，这就是我们最终的运算结果。我们来看这个结果， x 乘以三 x， 其实是不是就是这一项与这个三 x 进行相乘啊？ 是不是 x 与三 x 相乘，而这个 x y 就是 x 与第二项相乘。负的二 y 乘以三 x， 就是 第一项里面的第二项与第二项里面的第一项相乘，负二 y 乘以 y 就是 负二 y 的 第一项与第二项的 第一项相乘，就是第一项里面的第二项里面的第二项相乘。其实你我们看是不是就是把这四项分别交叉相乘啊？ 那这就是我们单项，那这呢就是我们多项式与多项式的乘法运算法则。也就是说我们多项式与多项式相乘的时候，一般就是先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积进行相加。 那根据我们刚才总结出来的最终的结果，我们也可以说多项式与多项式相乘，就是让这个里面的每一项与后面的每一项进行相乘，让第一个多项式里的第二项也与后面的每一项进行相乘，最终的结果就是 am 加 an， 加上 bm 加上 bn。 来，我们来做一下相应的题，进行练习一下。二 x 加 y 乘以 x 减三 y， 就是 让二 x 与后面的每一项进行相乘，再加上 y 与后面的每一项进行相乘，结果就等于二 x 乘一个 x 减去二 x 乘以三 y 加上 y 乘以 x 减去 y 乘以个三 y， 最终的结果就是二 x 平方减去六 x， y 加上 x， y 减去三 y 方。 好，这是我们第一题第二题一样的，五 x 与后面的每一项进行相乘，这是两项乘以三项，一样，就是让它与后面的每项进行相乘， 再让负二与后面的每一项进行相乘。那最终呢？画一下就是五 x 乘以个三 x 平方，我们可以把负二带着符号一起去写，前面先写加号， 然后再加上五 x 乘以个负 x， 再加上五 x 乘以个负五，然后我们再让负二与后面每一项进行相乘，也就是加上负二乘以个负 x， 加上负二乘以个负五，是不是那最终结果，这里就是十五倍的 x 三次方，这里就是负五 x 平方，这里是负二十五 x， 然后这一项是负六 x 平方，这一项是正的二 x， 这一项是正十。你看我们多项式，如果是两项与三项相乘，其实与我们两项与两项相乘的算法是一样的，就是让第一项里面的每一项与后面的每一项进行相乘，就是让他们每一个数都进行一次预算，最终的乘积，让他们进行相加减就可以了。 那在我们观察这两个结果，我们会发现这两步的结果并没有到达最终的运算。为什么我会观察一下，会发现这里是不是一个同类项，而这里和这里，这个和这个这些是不是都是同类项？ 所以说我们在做到这一步之后，乘积的结果之后，我们还要观察有没有同类项，如果说有同类项，我们一定要进行合并，所以这里的结果就是二 x 减去五 x， y 减去三 y 方。 那第二道题呢？这里就应该等于十五倍的 x 三次方，减去十一倍的 x 平方，减去二十三倍的 x 加上十，这才是我们这两道题的最终的结果。好，下面我们再来看两道例题。 第一题， x 减 y 乘以个 x 平方加 x， y 加上 y 的 三次方，仍然是一个二项式与一个三项式相乘，那么我们也是把第一项里面的每项与后面分别进行相乘， 结果就等于 x 乘以 x 平方，加上 x 乘以 x， y 加上 x 乘以个 y 的 平方，然后负 y 乘以个 x 平方， 加上负 y 乘以 x 平方，加上负 y 乘以个 x y 的 平方。那最终的结果，这里等于 x 的 三次方，这里等于 x 平方， y， 这里等于 x y 的 平方，这里等于负 x 平方。 y， 这里是负的 x y 的 平方，这里等于负 y 的 三次方。 我们观察最终的这个结果有没有同类型 x 三次方，没有同类型，直接写下来 x 三次方。然后 x y 的 平方 y 与这个 x y 的 平方 y 是 不是抵消为零？ x y 的 平方与负 x y 的 平方合并同类型仍然为零，最终又剩下一个负 y 的 三次方，减去 y 的 三次方。 这就是我们第一的题的最终结果。我们来看第二题， x 加 y 乘以这样一个多项式，结果就等于 x 乘以 x 平方，减去 x 与第二项相乘， x 乘以个加上 x 乘以个负 x， y 再加上 x 与 y 方相乘， 再加上 y 与 x 平方相乘，再加上 y 与负 x y 相乘，加上 y 乘以个负 x， y 加上 y 与 y 的 平方相乘， y 乘以 y 的 平方，结果就等于 x 三次方。减去 x 平方， y 加上 x， y 的 平方，加上 x， y 平方， y 加上减去 x， y 的 平方，加上 y 的 三次方。我们会发现这里合并同类项为零。哎，不对， 我们会发现这一项与这一项合并，同类项为零，这一项与这一项合并同类项为零。所以最终的结果是 x 三次方加上 y 的 三次方。 那这样两个式子呢？我们会发现两个比较复杂的式子，最终的结果却变成了一个 x 的 三次方， 减去 y 的 三次方和一个 x 三次方加上 y 的 三次方。这里是我们初中需要掌握的一个很重要的公式，这个公式叫做我们的立方差公式，大家可以把这个结论记下来，而这里叫做立方和的公式， 也就是 x 三次方，减去 y 的 三次方等于 x 减 y 乘以个 x 平方加 x， y 加 y 方， x 三次方加上 y 的 三次方等于 x 加 y 乘以 x 平方减 x， y 加上 y 方。这两个公式在我们后面去学因式分解的时候，是两个非常重要的公式，大家可以提前去学一下， 现在就把它记下来，有助于我们以后的学习。好，下面我们来做几道随堂检测题。第一题，计算这样一个式子的结果是一个多项式，相乘， x 乘以 x 乘以七。 第二项是五乘一个 x 减去五乘一个七。最终的结果就应该是 x 平方减去七， x 加上五， x 减去三十五，这里合并等于负二 x， 所以 最终的结果应该是 c 选项 好。第二题计算的下列各式中，计算结果是这样一个式子，是哪个？我们先看 a 项， x 与 x 相乘是 x 平方， x 与十八相乘加上十八， x 负一和 x 相乘减 x 负一与十八相乘等于负十八。最终的结果应该是 x 平方 加上十七， x 减去十八，与我们的结果不一样，所以 a 不是 看 b 项， x 与 x 相乘等于 x 平方， x 与九相乘加上九， x 二与 x 相乘加上二， x 二与九相乘加上十八。所以 b 也不正确看 c 项， x 与 x 相乘， x 平方， x 与六相乘加上六， x 负三与 x 相乘，减三 x 负三与六相乘，减去十八，最终结果是 x 平方加上三 x 加减去十八。所以 c 项也不正确。我们看 d 选项， x 与 x 相乘，结果是 x 平方， x 与九相乘，结果是加上九 x 负二与 x 相乘，减二 x 负二与九相乘，减去十八。这里合并同类项等于七 x， 结果是不是就是我们的 x 平方加上七 x 减去十八呀？ 减去十八，所以最终的结果选 d。 我 们看第三题，下列计算对不对？如果不对，该怎样去改正？三 a 减 b 乘以个二 a 加 b， 那 不就是二三 a 与二 a 相乘吗？三 a 乘以二 a 加上负 b 乘以个 b 啊，他只让第一项与第一项相乘，第二项与第二项相乘，是不是漏掉了两项？那我所以第一个是不正确的，那我们怎样去改正呢？就是让他里面的每一项与后面的每一项也分别去相乘，结果等于三 a 乘以个二 a 加上三 a 乘以个 b 加上，这里负 b 与二 a 相乘，负 b 乘以个二 a 加上负 b 乘以个 b， 所以 最终的结果应该是六 a 方加上三 a， b 减去二 a， b 减去 b 的 平方，这里合并同类项等于一个 a b， 六 a 方加上 a b 减去 b 方。所以说第一题是错的，它漏成了项，最终的结果应该是这个， 我们看第二个。第二个象 x 加三乘一个一减 x， 我 们看它怎么去解的。 x 乘一个一，第一项相乘，再加加上 x 乘以 x， 这一项相乘，但是这一项的符号是不是应该是负的呀？所以说第二个也是错误了， 我们看怎样去改正，结果就应该等于 x 乘一个一减去 x 乘一个 x， 然后三和一相乘，加上三乘以一加上三乘以个负， x 加上三乘以个负 x， 所以 最终的结果是 x 减 x 平方加上三 减去三， x 合并同类项，结果应该等于负 x 平方减去二， x 加上三， 所以说这里的结果应该是一个负的。第二题也是错误的，来我们看第四题，若这样一个多项式相乘的结果等于它，则 m 加 n 的 值，那这里其实也是我们前面学过的待定系数法，就是让这个结果算出来之后，对应系数相等就可以了。 我们看这样一个结果，算出来结果应该是， x 与 x 相乘是 x 平方， x 与负一相乘是负 x， 二与 x 相乘是二， x 二和负一相乘是负二。所以最终的结果是 x 平方加上 加上 x 减去二，那这样一个式子与它是相等的，那不就是我们 m， x 与 x 相等， n 与负二相等，所以 m 等于一， n 等于负二， m 等于 n 等于负二，所以 m 加 n 的 值就应该等于负一。 好。第五题，如图，甲乙丙丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有？我们看第一个，他说二 a 加 b 乘以 m 加 n， 长方形的面积公式就是长乘以宽，是不是 好？我们看，他说二 a 加 b 是 哪段？二 a 加 b， 那 不就是二， a 是 这两段相加，加上一个 b， 就是 这一个长，这一个长加上乘以个 m 加 n 乘以个这一个宽。所以说第一个是正确的，长乘以宽，我们看第二个是不是正确？ 二 a 倍的 m 加 n 加上 b 倍的 m 加 n 加 n 是 这段的长，它二 a 倍的 m 加 a 等于啥？ a 是 这段的长， a 乘以 m 加 n 是 这个长方形的长，他说二倍的 a， 所以 又加上了这样一个长方形的长。 好，这是这一部分，再加上中间这一部分，是不是就对了？中间这一部分不就是 b 乘一个 m 加 n 吗？所以说第二格也是正确的。 我们看第三个 m 倍的括号，二 a 加 b， 二 a 加 b 是 哪段？是这个最长的这个长， 这是二 a 加 b， 他 说 m 倍的二 a 加 b， 那 不就是这个长方形的面积吗？然后 n 倍的二 a 加 b， 不 就是这个长方形的面积吗？相加就是我们总的长方形面积啊。所以第三个也是正确的。 我们看第四个，他说二倍的 am， am 是 哪一部分？ am 应该是这一部分 和这部分是不是好二倍的 a m 这两块儿，然后二倍的 a n， a n 是 这个和这个二倍的 a n 也有了，然后 b m 加 b n， b m 是 这个， b n 是 这个，所以它们相加也是我们整个大长方形的面积， 因此我们第四个也是正确的。好，下面我们来看几道拓展题。已知常数 m n 使得这样一个多项式的结果中不含 x 平方和 x 三次方向求 m n 的 值，那其实就是让这两项的系数为零。是不是？问题就在于我们要把这个多项式进行一个展开，它们的乘积展开， x 平方乘以 x 平方，等于 x 的 四次方， x 平方乘以 m， x 就是 加上 m 倍的 x 的 三次方。 x 平方乘以个八，就是加上八 x 平方 负三 x 乘以个 x 平方，减去三倍的 x 三次方，负三， x 乘以个 m， x 减去三， m 倍的 x 平方负三， x 乘以个八，结果是减去二十四 x。 然后 n， n 和 x 平方相乘，就是加上 n， x 平方， n 与 m， x 相乘，加上 m， n， x， n 与八相乘，就是加上八 n。 那 下面我们就去找同类项。 首先 x 四次方，它没有同类项，抄下来 x 四次方， x 三次方向这一项，这一项没有了，所以就是加上 m 减三倍的 x 的 三次方，再去找 x 平方向这一项， 这一项和这一项，所以就是加上括号八减去三， m 加上 n， 括起来 x 平方。然后最后是我们的一次项，负二十四， x 加上 m， n， x 加上负二十四，加上 m， n 括起来 x 次方，最后加上我们的八 n， 它说不含 x 平方和 x 三次方向，那就这两项的系数为零，也就是 m 减三等于零， 八减去三， m 加上 n 等于零。连立这样一个二元一次方程组，我们就可以解得 m 是 等于三的， m 等于三。代入这样一个式子，就是八减去九，加上 n 等于零，所以说 n 应该等于一，因此 m 等于三， n 等于一。 好，我们来看第二题，分别计算下来各式第一个式子， x 减一，乘以 x 加一，那就是 x 与 x 相乘， x 平方， x 与一相乘，加上 x 负一与 x 相乘，减去 x 负一与一相乘，减去一。所以第一个空就是 x 平方，减 一。下面我们再来看第二个空， x 与 x 平方相乘，是 x 三次方， x 与 x 相乘，加上 x 平方， x 与正一相乘，加上 x 负一与 x 平方相乘，减去 x 平方，负一与 x 相乘，减去 x 负一与一相乘，减去一，所以最终的结果是 x 的 三次方减一。 那看我们的第三个空。 x 与 x 三次方相乘， x 的 四次方， x 与 x 平方相乘，加上 x 平方啊，这里是三次方加上 x 平方， x 与一相乘，加上 x， 负一与 x 三次方相乘，减 x 三次方。负一与 x 平方相乘，减 x 平方。负一与 x 相乘，减 x， 负一与一相乘，减去一，所以最终的结果应该是消掉，消掉，消掉消掉，消掉，消掉 x 的 四次方减一。 那观察前面这三个式子，我们会发现，如果说这一项开头是 x 三次方，也就是第二项里面有四个项，最终的结果我们是 x 四次方减一， 这里后面这项是三三次三个项就是 x 三次方减一，后面是两项是 x 平方减一。前面的项都是 x 减一。那么我们就可以得到规律， x 减一，乘以个 x 的 n 次方，加上 x 的 n 减一次方，加上点点点，一直加到一，最终的结果应该等于 x 的 n 加一次方减一，对不对？ 那我们看这个式子，这个式子里面这个 n 等于九十九，那么最终的结果就应该是 x 的 一百次方减一。 那根据前面的结结论，我们来计算这样一个式子的值，那这样一个式子的值，我们就可以把这个 x 看成一个二，是不是？你看，如果说是二减一， 乘以个二，得九十九次方，加上二，得九十八次方，加上点点点，一直加到一，最终的结果是不是应该等于二的一百次方减一啊？ 二的一百次方减一，结果这里还有一个一，所以说二的九十九加上二的九十八次方加上一，最终的结果等于二的一百次方减一，是不是？ 好，这就是我们这节课学习的内容，我们这节课学习的是多项式乘以多项式。我们，嗯，多项式与多项式的运算法则就是多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每项，再把所得的积进行加， 也就是 a 加 b， 乘一个 m 加 n， 等于 a， m 加 a n 加上 b， m 加 b n。 我 们观察有没有漏项的时候，可以这样去看，如果第一项有两项，第二项有两项，那么最终的 g 应该有四项。 如，呃，除非进行合并同类项，那如果说第二项有两项，第二项有，如果这一项有两项，第二项有三项，最终展开之后应该有六项，六项之内我们再去观察它们能不能合并同类项。 好，那就注意这里的时候，我们就是不要漏成，刚才的这个方法我们就可以去检测你有没有漏成，然后一定要确定各项的符号，结果一定要是最简的，也就是不要忘记合并同类项。好了，这就是我们这节课学习的内容，同学们，再见。

今天呢，我们来讲第三章当中单项式、多项式的乘除法法则，这里呢，主要涉及到单项式与单项式、单项式和多项式，以及多项式和多项式的乘法和除法法则。 我们先来看第一个单项式与单项式的相乘法则，也就是说，他们的系数同底数密 分别相乘，其余字母连同它们的指数不变，作为基的因式。我们来举个例子，比如说三 x 平方， y 的 三次方乘以负五 x 平方， y 的 平方， 我们把系数呢分别相乘，第一项的系数是三，第二项的系数是负五，两个相乘，然后同底数呢， x 的 平方和第二项的 x 的 平方进行相乘，第一项的 y 的 三次方和第二项的 y 的 平方进行相乘。 最后呢，我们得到负十五 x 的 四次方， y 的 五次方。第二个呢，是单项式除以单项式的法则。单项式除以单项式呢，跟单项式乘以单项式类似，就是把它们的系数和同底数密分别消除作为商的音式。 但是呢，对于只在被除数里面含有的字母，需要连同它的指数作为商的一个音式。 比如说这里面八 a 的 六次方， b 的 四次方， c 去除以四 a 方 b 方，我们先把它们的系数相除， 被除数的系数是八，除数的系数是四，那就是八除以四。被除数和除数当中都有 a 和 b 的 四次方，去除以 a 的 平方， b 的 平方。 被除数当中有一个只有被除数才有的字母 c， 我 们把它单独拎出来，所以呢，这个商呢，就等于系数乘以同底数密乘以被除数里独有的字母，而这个系数呢，就是被除数的系数，除以除数的系数 同底数密呢，就是底数变值数相减。被除数里面独有的因素呢，我们需要保留在商里面作为因式。第三个法则呢，是单项式与多项式相乘的法则， 那么就是单项式去乘以多项式当中的每一项，再把它们所得的积呢进行相加。 比如说有一个单项式 m 去乘以 a 加 b 加 c 这么一个多项式，那么就把多项式当中的 m 去乘以多项式当中的 a、 b、 c 进行分别相乘，得到 m， a、 m b 和 m c， 再把所得的这个积呢进行相加，这就是单项式与多项式的相乘法则，在这里呢，我们要注意，绝对不可以漏乘哈。那么一个单项式乘以一个多项式，有几项多项式我们就要进行相乘。 那么第二呢，我们要注意，它的这个符号需要连同单项式和多项式的系数一起进行相乘，来判断整个式子的正符号。 第四呢是多项式除以，单项式的法则就是多项式中的每一项去除以这个单项式，再把所得的商进行相加。 比如说有一个多项式， a 加 b 加 c， 那 么我们要去除一个单项式 m， 我 们就把多项式当中的每一项 a、 b、 c 分 别去除以 m 得到 a 除以 m， b 除以 m， c 除以 m， 再把所得的商进行相加。 那么当然了，这个式子当中的分母啊，这个 m 不 能为零。第五个法则呢，就是多项式与多项式相乘的法则。 先用多项式中的每一项去乘以另一个多项式中的每一项，再把所得的积呢进行相加。比如说我们有一个多项式， a 加 n， 要乘以另一个多项式， b 加 m， 我 们先把 a 加 n 当中的 a 去乘以后面那个多项式中的每一项， a 乘以 b， a 乘以 m， 再把前面那个多项式中的内一项去乘以下一个多项式中的每一项， b 乘以 n， m 乘以 n， 再把所得的 g 呢进行相加。在这一小节当中，单项式和多项式的乘除法当中，我们需要注意三点， 第一，当我们遇到多项式的乘除的时候呢，千万千万不可以漏乘，并且呢，我们要注意整个式子的符号问题，正正得正，负负得正，正负为负。 第二呢，在所有的五个法则当中，是没有单项式去除以多项式的法则的，也就是说单项式 m 去除以 a 加 b 加 c 这样一个多项式的法则是没有的，而且呢，它不等于 m 除以 a 加 m 除以 b 加 m 除以 c， 是 不可以进行分配律的啊。第三，有同类项的我们要进行合并， 当我们遇到单项式乘以多项式，或者是多项式乘以多项式的时候，乘出来之后发现如果有同类项，我们要进行化简合并，这才是最后的结果。这五个法则呢，要牢牢记住，并且把它熟练的背出来。

七下数学将迎来重大变化，知识点增多，难度进一步加大。所以每学完一单元，一定要及时练习。如果你能让孩子从现在开始，每天练习一张测试卷，等到月底的第一次考试，直接冲进班级前三。就是这套初中同步测试卷，与新版课本完全同步，可以综合考察孩子对知识的掌握情况。 比如，数学包含了十二套单元卷、两套月考卷、七套专项卷和两套期中期末卷，整个学期都可以用这套卷子进行查漏补缺。题型丰富多样，难度有浅入深，一步步帮助孩子打牢基本功。重难题扫码就有视频讲解，并搭配细致的参考答案，不怕孩子搞不懂！语、数、英等七大科全都有，抓紧安排一套吧！

这个视频里，我来给你讲讲同底数密的乘法。 在之前你已经学习过了乘方，比如这个就是八的三次方，而这个就是八的四次方，那它俩相乘。由于底数都是八，那咱就把这种乘法叫做同底数密的乘法。那这个乘法的结果会等于多少呢？ 根据乘方的含义，八的三次方，也就是三个八相乘，而八的四次方，当然就是四个八相乘了。现在把它俩乘在一起，那相乘的八的个数也就是三加四，等于七个，写成幂的形式，也就是等于八的七次方，这就是相应的结果了。 再来看一个更一般的例子，比如 a 的 m 次方乘以 a 的 n 次方，其中 m 和 n 都是正整数， 把这俩乘在一起，就相当于 m 个 a 的 乘积，再乘上 n 个 a 的 乘积，也就是一共有 m 加 n 个 a 相乘，写成 m 的 形式，也就是 a 的 m 加 n 次方。 不难发现，这俩数的底数都是八，乘积的底数还是八，而这俩的底数是 a， 乘积的底数还是 a， 都没有发生变化，也就是说同底数的两数相乘，底数不变。 接下来再来看看指数，这俩数的指数分别是三和四，结果的指数是七，恰好等于三加四的和，而这俩数的指数分别是 m 加 n， 最终的指数也是 m 加 n 的 和。换句话来说，同底数的两数相乘，结果的指数只需要把之前那俩指数相加即可。 因此，同底数密乘法的计算法则就是同底数密相乘，底数不变，指数相加。掌握了这个法则，那同底数密的乘法对你来说就没啥难度了。比如 a 的 五次方乘负 a 的 三次方得多少呢？ 先来观察一下这个式子，第一个数的底数是 a， 而第二个数的底数可是负 a 不 一样，那当然不能直接相乘，因此，咱得先把它变变形。 负 a 的 三次方由于是基数次，那自然等于负的 a 的 三次方。接下来就好办了，与 a 的 五次方相乘，就等于负的 a 的 五次方乘 a 的 三次方。这回俩数底数相同，那就可以直接把指数相加了，五加三就得八，那结果也就等于负的 a 的 八次方。搞定， 简单的你会了，那接下来咱再看个难点的，已知 a 的 四次方乘 a 的 m 次方等于 a 的 七次方，在这里， m 等于多少呢？ 这个指数是个未知数，该咋考虑呢？其实也一样，由于这里是同底数密相乘，那结果的指数应该是前面两数的指数相加才对，也就是说，七应该等于四加 m。 有 了这个式子，那 m 的 值就不难搞定了。把四移向到右边，变成负四，合并一下，就得到 m 等于三了，这就是最后的结果。 好了，就讲这么多，总结一下，在计算同底数幂的乘法时，只需要记住它的运算法则就行，也就是同底数幂相乘，底数不变，指数相加。怎么样？听懂了吧，赶紧动手试试吧！ 这个视频里，我来给你讲讲幂的乘方，比如这个例子， x 的 四次方的三次方，像这种给一个数的乘方再乘方，就叫做幂的乘方了，那它该等于多少呢？ 根据乘方的含义， x 的 四次方的三次方，也就是有三个 x 的 四次方相乘。哎，这不就是同底数密的乘法吗？ 根据同底数密相乘，底数不变，指数相加，那结果也就是 x 的 四加四加四次方，即 x 的 四乘三次方。 算一算，也就是 x 的 十二次方。不难发现，在这个运算中，之前的底数是 x 结果的，还是 x 没有发生变化，而结果的指数十二，就相当于之前的四和三，这俩数的乘积 用更一般的形式来表示， a 的 m 次方的 n 次方，其中 m 和 n 都是正整数，那它的结果就相当于有 n 个 a 的 m 次方相乘。根据同底数幂的乘法，结果就是 a 的 m 加 m 加 m 等等等等，一共有 n 个 m 相加这么多次方， n 个 m 自然就是 a 的 m 乘 n 次方喽。 所以， a 的 m 次方的 n 次方就等于 a 的 m 乘 n 次方。换句话来说， m 的 乘方底数不变，只要把指数相乘即可。 学会了这条法则，那咱再来看个例子，告诉你，三的 m 次方等于二，九的 n 次方等于五。问你三的四 n 加 m 次方等于多少？很明显，你没法根据这俩式子算出 m 和 n 分 别等于多少，那咱就没法根据 m 和 n 来求最后的结果了。因此，咱得换个思路， 先来看看这个结果，三的四 n 加 m 四方，这里有个加法。根据同底数幂乘法的性质，三的四 n 加 m 四方，就应该等于三的四 n 次方，乘上三的 m 四方。哎，三的 m 四方，这里不是说它等于二吗？把它带进来就等于三的四 n 乘二了。 三的 m 四方搞定了，接下来再来看看他。按照刚才的思路，三的四 n 次方和九的 n 次方会不会有啥关系呢？这里都有个 n， 貌似有点联系，不过这俩底数分别是三和九不一样，那咱就得先给他变变形。 九不就是三的平方吗？那九的 n 次方也就等于三的平方的 n 次方，根据 m 的 乘方，也就等于三的二 n 次方。到这就好办了。不难看出，三的四 n 次方，也就是三的二乘二 n 次方，这不就是三的二 n 次方的平方吗？都有三的二 n 次方，那他们总算联系起来了。 九的 n 次方等于五，那三的二 n 次方就也等于五，所以，三的二 n 次方的平方自然等于五的平方，也就是二十五。最后三的四 n 次方就也是二十五。再回到刚才的算式里，结果就是二十五乘二，算一算就得五十了，这就是最后的答案了。 好了，就讲这么多，总结一下，在计算 m 的 乘方时，只需要记住它的运算法则就行，也就是 m 的 乘方。底数相乘怎么样？听懂了吧，赶紧动手试试吧！ 这个视频里，我来给你讲讲积的乘方，比如这个例子， a 乘 b 的 三次方等于多少呢？ 像这种给一个乘积再乘方，就叫做积的乘方了，那它该等于多少呢？根据乘方的含义， a 乘 b 的 三次方，也就是有仨， a、 b 相乘， 把 a 放在一起， b 也放在一起。三个 a 相乘就是 a 的 三次方，三个 b 相乘，就是 b 的 三次方。那 a 乘 b 的 三次方，就等于 a 的 三次方乘 b 的 三次方了。这不就相当于把乘积中的 a 和 b 分 别乘方吗？ 用更一般的形式来表示 a、 b 的 n 次方，其中 n 是 正整数，那它的结果就相当于有 n 个 ab 相乘，把 a 放在一起， b 也放在一起，结果就有 n 个 a， 再乘 n 个 b， 算一算就是 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方了。所以 a、 b 的 n 次方就等于 a 的 n 次方乘 b 的 n 次方。 换句话来说， g 的 乘方等于把 g 的 每一个音式分别乘方，再把所得的面相乘，学会了这条法则，那 g 的 乘方你就都能搞定了。比如三 a 的 平方，也就是三的平方，再乘 a 的 平方，算一算得九 a 方。 到此，正整数指数密的运算咱就都学过了，除了刚才学过的积的乘方，还有幂的乘方，也就是底数不变，指数相乘，最后还有同底数密的乘法，也就是底数不变，指数相加。掌握了这些，咱就可以来判断一下这些算式都是不是正确的了。 先来看看第一个， a 的 三次方乘 a 的 二次方，同底数密相乘，应该把指数相加猜对，那结果就应该等于 a 的 三加二，即五次方并不等于 a 的 六次方，那就错了。 第二个，五 a 方的平方，也就是给五和 a 方分别平方，五方等于二十五， a 方的平方就是 a 的 四次方，成在一起就是二十五倍的 a 的 四次方，正确。 第三个， a 的 三次方的四次方，这是幂的乘方，也就等于 a 的 三乘四记十二次方，并不是 a 的 七次方，错。最后一个还是同底数幂相乘，三乘五得十五， x 方乘 x 立方，也就等于 x 二加三记五次方，乘在一起就是十五倍的 x 的 五次方，还是错。 所以在这里面只有第二个是正确的。在这几种幂的运算当中，同底数幂的乘法因式中的底数相同，而积的乘方当中则是乘积中的指数相同。 所以以后咱再遇到相应的计算，就要围绕相同的底数和相同的指数这俩目标来处理。比如这个例子，负零点一二五的七次方乘以二的二十一次方，这该等于多少呢？ 先来观察一下，这里是个小数，为了方便计算，咱先给他换成分数。负零点一二五就等于负的八分之一，那现在也就是负八分之一的七次方乘二的二十一次方了。 在这里，底数明显不同，还没法变成相同的底数，因此，咱就得想想法子，看看能不能把指数变相同。这里是七次方，而这里是二十一次方，很明显，二十一不就是七的三倍吗？也就等于三乘七， 而二的三乘七次方，根据幂的乘方就可以写成二的三次方的七次方，算一算，也就是八的七次方了。到此，这俩数的指数终于相等了，那之后该咋办呢？ 指数相同，就要想到 g 的 乘方，那咱就来看看 g 的 乘方。由于 ab 的 n 次方就等于 a 的 n 次方，乘 b 的 n 次方， 结果当中的 a、 b 的 指数相同，都是 n， 那 倒过来，当 a、 b 的 指数都等于 n 时，那它们的乘积就一定等于 a 乘 b 的 n 次方，这就是积的乘方的逆用了。有了这个，那咱的问题就好办了，负八分之一的七次方乘八的七次方，不就等于先把负八分之一和八相乘，再七次方吗？ 它俩相乘，约掉个八就等于负一，而负一的奇次方就还是负一，这就是最后的结果了。好了，就讲这么多，总结一下，正整数指数密的计算有三种，分别是同底数密的乘法、密的乘方和积的乘方。 在计算时，除了记住它们的运算法子之外，在看到相同的底数时，要想到同底数密的乘法，而看到相同的指数时，要想到积的乘方才行。怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！ 这个视频里我来给你讲讲整式的乘法。整式分为单项式和多项式，那整式的乘法就有单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式这三种。 先来看看第一种，俩单项式相乘比较简单，比如三 a 放 b 乘二 a。 先来看看系数，这的系数是三，这的系数是二，那乘积自然就是三乘二。 接下来看看字母，这有 a， 这也有 a， 把它俩相乘，就是 a 方乘 a， 最后这还有个 b， 那 就直接乘上它。接下来分别计算二乘三，当然就是六 a 方乘 a， 根据同底数密乘法，就等于 a 的 二加一记三次方，最后再乘 b， 那 结果就是六倍的 a 的 三次方乘 b， 搞定。不难看出，俩单项式相乘，其实就是数字和数字相乘，字母和字母相乘。 这个搞定了，再来看看单项式乘多项式，比如 a 乘 b 加 c 的 和根据乘法分配率，白乘进去乘给 b 就是 ab， 乘给 c 就是 ac， 那 结果就等于 ab 加 ac。 很 明显，单项式乘多项式其实就是乘法分配率而已。 举个例子来说，二 x 乘三 x 方加 x y 方的，和，把二 x 分 配进去，也就是二 x 乘三 x 方加二 x 乘 x y 方。先看这部分，二乘三就是六 x 乘 x 方就是 x 的 一加二记三次方。搞定。接着再来看这系数嘛，就是二 x 乘 x 得 x 方， y 方直接拿过来，结果就是二 x 方外方，那答案也就是六 x 的 三次方加二 x 方外方了。 这个搞定了，最后咱再来看看多项式乘多项式，比如 a 加 b 乘 d， 这该咋算呢？别怕，咱先把 c 加 d 当成一个整体，直接分配给 a 加 b， 那结果就等于 a 乘 c 加 d 加 b 乘 c 加 d。 接下来就好办了，利用单项式乘多项式的法则，把 a 分 配进来得 a， c 加 a， d， 把 b 分 配进来得 bc 加 b、 d。 不 难发现，其实这结果不就相当于把第一个式子中的 a 与第二个式子中的 c 和 d 分 别相乘，再把 b 与 c 和 d 分 别相乘吗？也就是说，多项式与多项式相乘，其实就等于用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项而已。 举个例子来说，二 x 加一乘三 x 减二，它的结果就相当于，先用二 x 去乘这俩数，那二 x 乘三 x 得六 x 方，二 x 乘负二得负四 x， 再用一去乘这俩，那一乘三 x 得三 x， 一 乘负二，还得负二，把这些合并起来，结果就等于六 x 方减 x 减二了，这就是最后的结果。 好了，就讲这么多，总结一下整式的乘法就这三种，俩单项式相乘，就是数和数相乘，字母和字母相乘，单项式与多项式相乘，就相当于字母的乘法分配律而已。最后俩多项式相乘，那就用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项即可。 怎么样，听懂了吧？赶紧动手试试吧！这个视频里，我来给你讲讲同底数密的除法，比如二的五次方，除以二的三次方。像这种底数相同的除法，就叫同底数密的除法了，那它该等于多少呢？ 在初中，我们一般就用分数的形式来表示除法，因此这个式子就可以表示成二的三次方，分之二的五次方了。 那接下来就简单多了，这里有五个二，这里有三个二，约个分，分母就剩一，而分子还剩两个二，那答案自然就是二的平方了。不难发现，在这个运算里，一开始俩数的底数是二，结果中的底数也是二，没有发生变化，而结果中的指数二，恰好等于这俩指数五和三的差。 换句话说，同底数密相除，底数不变，只要把指数相减即可。用更一般的形式来表示，就是 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方，就等于 a 的 m 减 n 次方。其中 a 是 除数的底数，那它可不能等于零。另外，在这里， m 和 n 都得是正整数，并且 m 要大于 n 才行。 学会了这条法则，那同底数的除法对你来说就是小菜一碟了。比如 a 的 六次方除以 a 的 二次方，由于底数都是 a 是 相同的，那结果自然就是 a 的 六减二，即四次方。 而如果要是 a 的 六次方除以 a 的 六次方呢？底数依然相同，那结果就是 a 的 六减六得零次方，指数为零了。这是啥情况啊？ 别怕，仔细想一想，按照除法的定义， a 的 六次方就等于 a 的 六次方，那他俩相处自然应该等于一啊。所以，咱就规定，刚才那个奇怪的， a 的 零次方就等于一。不过，在这里要特别注意， a 还是不能等于零， 换句话说，任何不为零的数的零次密都等于一，这就是零指数密的运算了。掌握了这些，那咱再来看个例子，比如派减三的零次方加二分之一的平方，这该等于多少呢？ 这里是个零次方，那只要底数不为零，他就一定等于一。派减三当然不是零了，那这里就是一了。接下来把这部分算出来就欧了，二分之一的平方就相当于二的平方，分之一的平方算一算就是四分之一，那一加四分之一，答案自然就是四分之五了，这就是最后的结果了。 好了，就讲这么多，总结一下同底数密的除法法则就是同底数密相除，底数不变，指数相减。而其中特别要注意的是，任何不等于零的数的零次密都等于一，零的零次密没有意义。怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！ 这个视频里，我来给你讲讲整式的除法。比如六倍的 a 方 b 除以二 a， 像这样俩单项式消除就是整式除法的一种了。那这又该咋算呢？很简单，还是写成分数的形式，也就是二 a 分 之六， a 方 b。 接下来约个分，先来算算系数六和二，约六个二，剩三和一。接下来看看字母 a 方和 a， 约六个 a， 还剩一个 a， 最后这还剩个 b， 整理一下，结果就等于三 a b 了。 不难发现，这俩单项式消除结果的系数三就是这俩单项式的系数六和二的商 a 就是 a 方除以 a 的 结果，而这里的 b 就 直接把它放在结果中即可。 换句话来说，单项式相处其实就是数字和数字相处，字母和字母相处，这就是单项式除以单项式的法则了。掌握了这些，那单项式的除法就没啥可怕的了。比如十五倍的 a 的 三次方乘 b 方除以五 a b， 这该等于多少呢？ 先把它写成分数的形式就是这样，接下来约个分十五和五约掉五得三 a 的 立方和 a 约掉个 a 之后，还剩个 a 方，最后 b 方和 b 约掉一个 b， 还剩一个 b， 整理一下，就等于三 a 方 b 了，这就是相应的结果。 除了单项式，除以单项式，整式的除法当中还有多项式除以单项式，比如 a， c 加 b， c 除以 c， 这该咋算呢？和单项式乘多项式类似，咱只要把除以 c 分 配进去即可。都写成分数的形式就是这样， a c 除以 c， c 约掉剩个 a， 再给 b， c 除以 c， c 同样约掉，那结果就等于 b 把它俩加起来，那答案就等于 a 加 b 了。不难看出，多项式除以单项式其实不就是个分配率吗？ 掌握了这条法则，那咱就来看看复杂点的例子，比如二十倍的 x 的 四次方乘 y 的 立方加十五倍的 x 乘 y 的 立方，乘 z 的 平方，减去十倍的 x 方 y 方，最后除以五 x y， 这该等于多少呢？ 按照刚才的结论，那咱就把除以五 x y 分 配进去。先来看看第一项，把它写成分数的形式就是这样， 接下来还是约分二十和五约掉五剩四 x 的 四次方和 x 约掉一个 x， 剩 x 的 三次方， y 的 立方和 y 约掉一个 y， 还剩 y 的 平方，结果就是四倍的 x 的 立方乘外方。这个搞定了，再来看看第二个，十五和五约掉五得三，俩 x 全约掉 y 的 立方和 y 约掉个 y 还剩个外方，那结果就是三倍的外方 z 方。 接下来就是最后一个了，负十和五约掉个五，就得负二。 x 方和 x 约掉一个 x， 还剩个 x， y 方和 y 约掉个 y 还剩个 y， 那 结果也就是负二倍的 x， y 都搞定了，那就把它们加起来，这就是最后的答案了。 好了，就讲这么多，总结一下，整式的除法可以分为两类，第一类就是单项式除以单项式，只要把数字和数字相处，字母和字母相处即可。第二类就是多项式除以单项式，说穿了其实就是个分配率而已，也没啥好怕的。 怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！在之前你已经学习过了整式乘法，那 a 加 b 乘 a 减 b， 这俩多项式相乘，你肯定会算了， 不就是让这个式子中的每一项去乘这里的每一项吗？先用 a 去乘 a 得 a 方，再乘负 b 得负 a b， 接着用 b 去乘 a 得 a b， 再乘负 b 得负 b 方。都乘完了，就来合并一下负 a、 b 和 a b 抵消，结果就是 a 方减 b 方了。 像这样俩数的和与这俩数的差相乘，结果积等于这俩数的平方差的情况，咱就把它叫做平方差公式， 以后遇到这样形式的式子，咱就可以用平方差公式直接写出答案了。不过有一点需要你注意，在 这俩因式当中， a 和 a 是 完全相同的，对应的就是第一项 a 方，而 b 和负 b 这俩互为相反数，那对应的结果可是第二项负 b 方。你在应用时一定要注意这一点，千万可别弄反了， 比如 a 加二， b 乘 a 减二 b， 其中 a 和 a 完全相同，那它们的结果就应该做第一项 a 方，而二 b 和负二 b 互为相反数，那对应的结果就是负二 b 的 平方，也就是负四 b 方了。所以答案就是 a 方减四， b 方。 简单的，你会了，那咱再来看个复杂点的，比如这个例子，七减一乘七加一，乘七方加一，再乘七的次次方加一，这该等于多少呢？式子有点多，那咱就从简单的搞起。先来看这里，七减一乘七加一，这不就是俩数的差与俩数的和相乘吗？活脱一个平方差公式， 其中七和七相同，结果就是七方负一和一相反，结果就是负一方，也就是负一。这俩因式搞定了，接下来再乘上它试试看。 七方减一乘七方加一，这不还是平方差公式吗？这俩七方相同，那结果就是七方的平方，也就是七的四次方。负一和一相反，结果就是负一方还是负一，最后再乘上它 七的四次方减一，乘七的四次方加一，不用想当然，还是平方差公式，俩七的四次方相同，结果就是七的四次方的平方，即七的八次方。负一和一相反，结果就是负一方依然是负一。所以最终的答案就是七的八次方减一了。总算搞定了。 好了，就讲这么多，总结一下，平方差公式就是 a 加 b 乘 a 减 b， 等于 a 方减 b 方。利用这个公式计算时，关键是要找到这俩意思当中完全相同的是啥，互为相反数的又是啥？剩下的就很简单了。怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！ 这个视频里，我来给你讲讲完全平方公式。那啥叫完全平方公式呢？先来看个例子，比如 a 加 b 的 平方，这该咋算呢？其实很简单， a 加 b 的 平方，不就相当于俩 a 加 b 相乘吗？ 再根据多项式的乘法， a 乘 a 就是 a 方， a 乘 b 就是 ab， 再用 b 乘 a 得 ab， b 乘 b 得 b 方， 计算完了，合并一下，就是 a 方加二 ab 加 b 方向，这样俩数的和的平方等于他俩的平方和，再加上他俩乘积的二倍，那咱就把这个式子叫做完全平方公式了。 除了俩数之和，其实俩数之差也成立。比如 a 减 b 的 平方，根据多项式乘法，它的结果就是 a 方减二 ab 加 b， 在 这里，俩数的差的平方等于他俩的乘积的二倍，这也叫完全平方公式。 不难发现，这里是加，那这里也是加，这里是减，那这里就也是减，那咱就把这俩式子综合在一起写成这样，也就是 a 加减 b 的 平方等于 a 方加减二 a， b 加 b 方，其中加对应加，减对应减。 以后遇到这种形式的式子，那咱就都可以用完全平方公式直接写出答案了。比如二 x 减三 y 的 平方。根据完全平方公式，俩数差的平方，首先要有他俩的平方和，这俩数分别是二 x 和三 y， 那 结果就等于二 x 的 平方和三 y 的 平方， 算一算，也就是四 x 方和九 y 方。其次，由于这里是减号，那结果就要减去这俩数的乘积的二倍，也就是减去二倍的二 x 乘三 y， 算一算，就是减去十二 x y 合在一起，那答案就是四 x 方减十二 x y 再加九 y 方，搞定 好了，就讲这么多，总结一下完全平方公式就是 a 加减 b 的 平方等于 a 方加减二， ab 再加 b 方，其中加要对应加，减要对应减。怎么样？听懂了吧？赶紧动手试试吧！ 在之前咱学习了完全平方公式，也就是 a 加减 b 的 平方等于 a 方加减二， ab 加 b 方，其中加对应加，减对应减。 那在这个视频里，我就来跟你讲讲与完全平方公式有关的一类特殊问题。比如这个例子， x 方加四， x 加 k 等于 x 加二的平方，问你其中 k 等于多少？这也太简单了，告诉你这俩相等，那你只要把这个完全平方式展开，然后对比一下不就得了吗？ x 加二的平方，算一算，就等于 x 方加四， x 加四，这个搞定了。接下来就来对比一下 x 方和 x 方向，等四 x 和四 x 相等，那剩下的 k 自然要和这个四相等喽，所以 k 就 等于四。 刚才这个比较容易，因为这里给了你相应的完全平方式，那如果不给你这个条件，你还能搞定吗？ 比如已知 x 方加八， x 加 k 是 个完全平方式，还是问你 k 是 多少？这回没有相应的式子，那咱就得换个思路， 回顾一下完全平方公式的内容。俩出的和或差的平方等于他俩的平方和再加上或减去他俩 g 的 二倍。在这里有 x 方，他是 x 的 平方，那就说明在相应的完全平方式中一定有 x。 这里是加号，那这里就一定也是加号， 这里是八 x， 由于它是俩数乘积的二倍，那咱就把二提出来，得二乘四 x， 那 四 x 就 一定是 x 和另一个数的乘积了，所以这个数就是四。到此，这个式子就应该等于 x 加四的平方。 展开这个完全平方式，就得 x 方加八， x 加十六，对比一下 k， 当然等于十六了，这就是相应的答案了。 不难看出，用对比法可以很轻松的搞定常数项是参数的问题，简单的你会了，那咱再来看个复杂点的，比如已知四 x 方加 k， x 加九，是完全平方式，还是问你 k 是 多少？这回 k 是 个系数，那该咋办呢？还是先来看看这个式子会等于啥样的完全平方式。 这里有四 x 方，它是二 x 的 平方，那这里就一定有二 x， 这里有九，它是三的平方，那这里就一定也有三。剩下的就差二 x 和三中间的这个符号了。 这里是加号还是减号呢？由于这里是个参数，看不出正负，那加减就都有可能。如果是加，那二 x 加三的平方，就等于四 x 方，加十二， x 加九，对比一下，此时 k 就 等于十二。 如果是减的话，那二 x 减三的平方就等于四 x 方减十二， x 再加九，对比一下，此时 k 就 应该等于负十二，那这里的 k 就 有俩值，即正负十二，这就是最终的结果了。 好了，就讲这么多，总结一下，如果题目让你求出相应的参数，再给你完全平方式的时候，那咱就直接把它展开，然后对比一下即可。如果没有给你，那咱就得根据结果把完全平方式补上。在这里你需要注意一点，如果参数是完全平方式的常数项，那就只有一个答案， 而如果参数是中间这项的系数，那就会有俩答案了。怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！ 这个视频里我来给你讲讲整式的化简求值。先看这个题，已知二 x 减三等于零，让你求五 x 乘 x 减一，减去 x 减二，乘 x 减三，再加一。这个代数式的值 要求的这个式子很复杂，虽然题目没有要求你化简，但是你也必须把它化简了才行。先去这个小括号，把五 x 乘进去，乘给 x 就 得五 x 方，乘给负一，就得负五 x。 接下来就到这俩括号，这是多项式乘多项式，那就先让 x 乘它俩得 x 方和负三 x， 再让负二乘它俩得负二 x 和六，把它们加起来，再合并一下，得 x 方减五 x 加六。 注意，原来括号前可是有减号的，所以打开括号就得到负 x 方加五， x 减六，最后再加上这个一就 o 了。接下来就是合并五 x 方减 x 方就得四 x 方，负五 x 和五 x 抵消负六加一，就是负五。化简完毕， 现在终于把整式化到了最简，可以代入数字计算了。那 x 究竟等于多少呢？由于条件中说二 x 减三等于零，把负三移过去变成三，那 x 也就等于二分之三了， 这就是 x 的 值。把它带入式子，等于四乘二分之三的平方减五，二分之三的平方也就是四分之九。遇到四就等于九，再减去五，那答案就是四了。搞定， 只有一个字母的你会了。接下来再来看看俩字母的。比如给你个代数式， a 加二 b 的 平方，减去 a 加二 b 乘 a 减二 b， 最后再除以四 b 让你化简，那就一定得把这个式子化简了才行。 有括号，那就来搞定括号里的这部分。先来看看这个式子， a 加二 b 的 平方就是俩 a 加二 b 相乘。根据多项式乘法，就是先用 a 乘 a 加二 b， 再用二 b 乘 a 加二 b， 把 a 乘进去就得 a 方加二 a， b， 把二 b 乘进去就得二 a， b 加四 b 方，合并一下就是 a 方加四 a， b 加四 b 方。这个搞定了，再来看看这部分， 同样利用多项式乘法，就得到 a 乘 a 减二 b 加上二 b 乘 a 减二 b， a 乘进去得 a 方减二 a b， 二 b 乘进去得二 a、 b 减四 b 方，合并一下得到 a 方减四 b 方。接下来这两部分做叉 拆掉。括号里边要变号，所以就变成减 a 方加四 b 方，再合并一下 a 方和负 a 方，消掉四 b 方加四 b 方，就得八 b 方。到此，括号里边终于搞定了， 接下来就要除以四 b， 那 把四 b 分 配进来，四 a、 b 除以四 b， 四 b 约掉还剩个 a 八 b 方除以四 b， 八除以四得二 b 方除以 b 就 得 b， 那 最后的结果就等于 a 加二 b 了。 搞定了式子，接下来就该代入数值运算了。条件里说 a 等于一， b 等于二分之一，那带进来就等于一加二乘二分之一，算一算得二，这就是最后的结果了。 好了，总结一下，搞定整式的化简与求值，只需要你注意一点，那就是无论题目中是否要求你化简，你都一定要把整式化到最简，然后再代入求值，否则的话，那答题时可就要扣分了。怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！ 这个视频里，我来给你讲讲整式乘法的系数问题，先来看看这个例子，若代数式 x 方减 mx 加一乘， x 减二，它的结果不含有 x 的 一次项，问你 m 的 值是多少？ 这里 m 是 个参数，直接求显然不可能。那咱还是先来化简一下这个式子。根据多项式乘法，先用 x 乘这里的每一项得 x 的 三次方减 mx 方加 x， 再用负二乘这里的每一项得负二 x 方加二， mx 减二 乘。完了，就来合并一下 x 的 三次方，直接拿下来负 m x 方和负二 x 方加起来就是负的 m 加二倍的 x 方， x 和二 m x 加起来就是二 m 加一倍的 x， 最后还有个常数项负二， 所以结果就是 x 的 三次方减 m 加二倍的 x 方加二， m 加一倍的 x， 最后减二，这就是整式乘法的运算结果了。 搞定了这个，再来看看题目中还有啥条件。这里说结果中是不含 x 的 一次项的，那也就是说在这个结果中不应该含有二 m 加一倍的 x 这一项，不含这一项，那只要让 x 前面的系数等于零就可以了。因此二 m 加一就等于零，算一算 m 就 等于负二分之一了，这就是最后的结果。 好了，就讲这么多，总结一下。在面对这类不含某些项，让你求参数值的问题，通常你只需要先把等式乘法计算出来，然后合并同类项，而其中不该存在的项，那就让它的系数等于零即可。剩下的就很简单了。怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！ 这个视频里我来给你讲讲降次法求值。先来看看这个例子，入 x 方加 x 等于一， 让你求 x 的 四次方加 x 的 三次方加 x 减五的值是多少？给你的是 x 的 平方加 x 的 值，让你求的却是 x 的 四次方和三次方。条件的次数太低，让求的次数却太高，这该咋办呢？别急，咱先来观察一下 要求的式子中最高次项也就是 x 的 四次方，它相当于四个 x 相乘，那自然也可以写成俩 x 方相乘了。 如果有关于 x 方的式子，就可以直接带进来了。哎，条件中不就有吗？只要把 x 移过来， x 方就等于一减 x 了。这就是关于 x 方的式子， 把它带进来，就变成一减 x 乘一减 x 了。根据多项式乘法，俩一减 x 相乘，就相当于先用一去乘一减 x， 一 乘一得一，一乘负 x 就 得负 x， 接着再用负 x 乘一减 x， 负 x 乘一就得负 x， 负 x 乘负 x 就 得 x 方，合并一下就是一减二 x 加 x 方。不难发现，由于刚才的代入替换，式子中的 x 的 四次方就变成了一个最高只有 x 的 平方的多项式， 像这种使得次数降低的代入计算，就叫做降次法了。那用同样的方式，这个 x 的 三次方就也能写成 x 的 平方乘 x， 把 x 方等于一减 x 带进来，就得到一减 x 乘 x， 再把 x 乘进去，就是 x 乘，一减 x 乘 x， 即 x 减 x 方。到此， x 的 三次方就也转换成了只含有 x 平方的多项式。 之后再把这俩带回到原式当中，就得一减二， x 加 x 方加 x 减 x 方加 x 减五，最后再合并一下，一和负五就是负四负二， x 和这俩 x 消掉， x 方和负 x 方也消掉，那答案就是负四了。搞定 好了，就讲这么多，总结一下，当条件式的次数太低，而要求的式子次数太高时，可以利用降次法把条件式反复带入，将次数逐渐降下来，最后再进行求值。怎么样，听懂了吧，赶紧动手试试吧！

七下数学寒假预习之第八章实数今天我们一条视频，把实数这一章节的所有的基础知识全部都梳理清楚，点赞收藏。我们开始我们先来简单认识一下这三个根，首先要你去求十六的 平方根，那么我们就思考一下，谁的平方等于十六呢？哎，是不是四啊？四的平方它等于十六，那还有谁 负四的平方它也等于十六，所以说恭喜你会求平方根了，十六的平方根它就是正负四两个数。那么再看要你去求十六的算数平方根呢？就是要两个平方根里边的正的那一个，所以说十六的算数平方根就是四。 好，恭喜你会求算数平方根了。那最后再看立方根，求八的立方根，那你就思考一下，谁的立方等于八？二 二的立方它等于八，所以说八的立方根你也会求了，等于二。那这回有没有负二呢？没有啊，同学们，为什么没有负二？因为负二的立方它等于负八呀，所以说负八的立方根是 负二。好，那我们就具体来看一下。首先平方根它的定义呢，就是如果一个数 x 的 平方等于 a 的 话，也就是有 x 平方等于 a 的 话，那么这个数 x 就 叫做 a 的 平方根，或者是二次方根，那求一个数 a 的 平方根的这样的运算，它就叫做开平方。比如你看给正一或负一进行平方的话，结果就是一，对吧，给正二或负二平方，结果就是四，给正三或负三平方，结果就是九，那我们给这个一 开平方就是正一和负二，给四开平方还是原来的正三和负三，所以说你会发现平方 和开平方他俩是互为逆运算的，那我们会发现，给一个数开平方的结果都有两个数，也就是一个数，他有两个平方根，对吗？同学们，哎，同学们，这个说法他可不太精确，应该是一个正数他才有两个平方根。比如说九，他有两个平方根，为正三和负三， 他们俩一正一负互为相反数，但是呢，零，你看零的平方根，他就是零，只有一个。你再看负数 负数呢？它是没有平方根的，为什么呢？因为你看啊，一个数它要想求它的平方根，那么是不是得有一个数的平方等于它呀？比如在这正三负三的平方都等于九，但是如果说负九有任何一个数的平方等于负九吗？没有吧， 因为我们的平方它是有非负性的啊，所以说没有任何一个数的平方是负数，那么负 负数它就没有平方根。好，能理解吧？那么平方根我们可以用符号来表示，这个根号 a， 它表示 a 的 正的平方根，而 负的根号 a 表示 a 的 负的平方根。把它们俩合起来呢，就是正负根号 a 表示 a 的 两个平方根。好，那特别的零的平方根，它应该是根号零 等于零。好，那注意啊，这个 a 它一定是大于等于零的，因为我们的负数它没有平方根。一定要注意啊，如果说它小于零的话呢，式子它就没有意义了。 好，那么接着啊，我们前面说了，正负两个平方根当中，正的那一个平方根，它就是什么换数平方根， 我们可以得出算数平方根的定义就是，如果一个正数 x 的 平方，它等于 a 的 话，也就是 x 平方等于 a， 那 么这个正数 x 就 叫做 a 的 算数平方根，即为根号 a， 那 这回它没有这个正负号了啊。好，那么零的算数平方根，我们特别规定它就是零，那我们来写一下这些数的平方根和算数平方根。那首先零零的平方根是零，算数平方根呢，也是零，一的平方根呢，是正负一，对吧？一的平方也等于一 负，一的平方，它也等于一，所以说一的平方根就是正负一，那算数平方根呢，应该是这里边的正的那一个，也就是 一，那接下来二十五的平方根也是一样，由于正负五的平方它都等于二十五，所以说呢，二十五的这个平方根，这么表示应该就等于正负五 五。好，那么算数平方根就是里边的正的那一个正五。好，那三的平方根怎么表示呢？哎，我们就用这个形式来表达就可以了，也就是正 负根号三。哎，这就是三的平方根，那三的算数平方根应该是根号三啊，没有这个正负号，那么再看这个他的平方根，应该是正负的四分之十五，对吧？而算数平方根应该是四分之十五。 好，那再看这个代分数，要求它的平方根的话呢，我们先把它化为假分数，也就是九分之十三，那你会发现这个分母九的平方根是可以求出来的，应该是正负三，但是这个分子呢，我们只能表示为正负根号十三，所以也就是正 负的三分之根号十三。那它的算术平方根呢，应该是其中的正的，也就是三分之根号十三。好，最后一百六十九的平方根应该是正 十三，而算数平方根应该是十三。好，那同学们我们可以去把二十以内的平方数都给记住，比如十三的平方就是一百六十九，十四的平方呢，就是一百九十六啊，十五的平方就是二百二十五。那这些都记住的话呢，后面计算会比较便利。那么我们需要注意啊，算数平方根，根 根号 a， 他 要想要有意义呢，得满足一个条件，就是双重非负性。那这个也是我们算数平方根的性质，就是说首先被开方数 a， 他 得是非负的，那同时呢，这个根号 a 算数平方根本身也是非负的。那为什么呢？首先我们要想对这个数 a 进行开放，那么这个数 a 他 必须得是某个数的平方才可以开放，对吧？那一个数的平方他可能是负数吗？不可能，对吧？ 所以说这个被开方数 a 要满足非负，也就是大于等于零。那这个前面其实已经说过了，也就是一个正数，它有两个平方根，一正一负，那零呢？只有一个平方根为零，负数没有平方根。那为什么根号 a 本身是非负的呢？因为你看这个根号 a， 它代表的是 a 的 两个平方根当中的 正的那一个平方根，算数平方根，所以它肯定是正的，或者是根号零零的算数平方根就等于零，所以说综合两种情况，一定是大于等于零非负的。 那么到目前为止呢，其实我们已经学习了三个非负性了。首先一个数的平方它是大于等于零的，像四次密、六次密、八次密、十次密也都是大于等于零的。那第二个一个数的 绝对值，它也是大于等于零的。 a 绝对值代表的是这个数在数轴上到原点的距离，那距离肯定是要么为正，要么为零，不能是负数。好，那第三个就是我们的算数平方根，根号 a 大 于等于零，那 这三个非复性呢？我们一定要记住，应用非常广泛，比如说我们之前学过的零零模型，同学们还记得吗？哎，就比如说有几个像这样的大于等于零的部分，相加等于零的话，那么各个部分都一定分别等于零。比如说啊， x 平方加上 y 的 绝对值，再加上根号 c， 它等于零的话，那么 x、 y、 z 肯定都分别等于零，这就是零加零加零才能等于零的零零模型。接着我们来看立方根的定义，如果说一个数 x 的 立方等于 a 的 话，也就是像这样，那么这个 x 呢，就是 a 的 立方根， 也叫做三次方根。记作这个形式啊，那你会看到这边呢，根号的旁边有一个小小的数字三，这就表示根指数为三。那么前面求算数平方根就是根号 a， 对 吧？这边根号上面他没有数字，但其实呢，他的根指数是二，只不过根指数为二的时候，他可以省略掉，但是根指数是三的时候呢，他不能省略，那读作 三次方根 a。 好， 那同学们，我们前面呢，求算数平方根，必须得满足被开方数为非负数，负数没有算数平方根，但是呢，我们任何一个数他都有 利方根，而且每个数都只有一个立方根，比如二十七的立方根呢，应该等于三，因为三的立方根就是三，那零的立方根呢？应该是零，对吧？因为零的立方就是零，那 负二十七的立方根应该是多少？应该是负三，因为负三的立方等于负二十七。好，所以你会发现呢，正数的立方根是正数， 零的立方根是零，负数的立方根是负数，而且其中啊，你看二十七和负二十七是互为相反数的，对吧？一正一负只有符号不同，那么互为相反数的两个数，求他们的立方根也是互为相反数的，你看 三和负三也是互为相反数的，所以我们可以看到啊，如果说这个三次根号下边有负号的话，咱们可以直接把它提取到这个根号外边。 好了，现在我们来简单总结一下这三个根。首先求平方根，就是去求哪两个数的平方等于这个数，我们表达为根号 a， 前面还有正负号，不要忘了，那 算数平方根呢，就是去求哪一个正数的平方等于这个数，我们表达为根号 a。 好， 那么注意啊，这两个都有一个条件，就是这个被开方数 a， 它大于等于零，也就是非 a 负。那么求立方根呢，就是去求哪个数的立方等于这个数，我们表达为三次根号 a， 这个时候这个 a 呢，是没有限制条件的，每个数都有一个立方根。好，那我们分类讨论一下，当我们的这个 a 大 于零的时候，也就是正数的时候，我们的平方根呢，就是有两个，对吧？一正一负 互为相反数的两个平方根，那算数平方根呢，应该是有一个，而且是正的。好，那立方根呢，应该是有 一个，而且也应该是正的，正数的立方根也是正数。好，那如果说 a 等于零的话呢，求零的平方根应该是 零，零的算数平方根也是零，零的立方根也是零。好，那如果说 a 小 于零的话呢？我们的平方根它是没有意义的，不存在的。算数平方根也是不存在的，那立方根呢？负数的立方根它也是负数。好，最后我们再来思考一下啊， 平方根是这个数本身的数有哪些呢？是不是只有零啊？因为除了零的平方根是零本身之外，我们的正数它都有两个平方根，那算数平方根是它本身的数有哪些呢？首先零，对吧？零的算数平方根是零，那还有谁？一的算数平方根是不是一？ 好，所以说还有一，其他呢，就没有了。好，接着再看，那么立方根是这个数本身的数有哪些呢？还有呢，就是我们的一以及负一， 一和负一的立方根都是它本身。来，同学们，我们来练习一下啊。首先看第一题，根号八十一的平方根是多少？很多同学这道题啊，上来直接就是求八十一的两个平方根，正负九选择 a， 对 吗？掉坑里了啊？不是，我们先去求这个根号八十一，也就是八十一的 算数平方根是多少？应该是九，对吧？所以说我们要去求九的平方根为正负三，所以这道题呢，应该是选择 b 选项。好，在 再来看第二题，我们要去选择其中正确的有哪些？先看第一个啊，十的平方根是根号十肯定不对，对吧，平方根它是有两个的，所以要在前面加上正负号，那第二个 负二是四的一个平方根，没错吧？四的两个平方根就是正负二，那负二是其中的一个，没问题。那第三个九分之四的平方根是三分之二？又错了，平方根咱们有两个，那应该是正负 三分之二。好，再看第四个零点零零一的算数，平方根是零点一，这个也特别容易错啊。同学们，仔细去看一下零点零零一的算数平方根是零点一的话，这说明零点一的平方应该等于这个零点零零一， 但其实零点一的平方它是多少啊？它应该是零点零一啊。同学们，所以说这道题也是错的。好，再看第五题，根号二十五等于正负五，那又错了，这个根号代表的是 算数平方根，算数平方根只有一个，而且是其中的正的平方根，也就是五，所以说这里面正确的只有第二 个。接着再看第三题，一个正数 x 的 平方根分别是 a 加一和 a 减三来含参数，那让我们去求这个参数 a 的 值以及这个正数是多少。好，那么我们的平方根有什么样的 点呀？两个平方根应该是一正一，负负为相反数，那么根据我们相反数的性质，我们可以略视啊，这两个数相加应该 等于零，那整理一下，二， a 等于二，那么 a 就 等于一。好， a 等于一，先写上， 那这个正数 x 怎么去求呢？来，同学们，那我们得把这个平方根分别是多少先给求出来，对吧？那我们把 a 等于一带入进去，这个就是二，这个带入进去就是负二。好，所以说哪一个正数的平方根是正负二啊，应该是 四，所以说 x 等于四。接着我们再看第四题，若这个式子它等于零，那么 x 减 y 的 值是多少？哎，那这道题它就是一个非负性的应用。我们的这个算数平方根以及 平方，它都是非负的，大于等于零的，那么两个大于等于零的部分相加等于零，这就是我们的零零模型，各自都应该等于零，所以说 x 加 y 减一等于零，并且说 y 加三等于零。那首先根据这个式子，我们求得 y 应该等于负三，那么再把这个 y 等于负三代入到这来，那就是 y 减三减一等于零，所以说 x 就 等于四。好，所以说 y 等于负三， x 等于四，四减负三，也就是七了。好，再看最后一道题，已知 x 减二的平方根是正负二呢？四根， 所以说 x 减二等于四的话， x 就 等于六，那么这个立方根呢？又等于三，让我们去求出 x 平方加上 y 平方的 平方根，那么还是要把这个 x 和 y 的 值分别给求出来。那刚才我们已经求出了这个 x 的 值等于六，那我们还需要再根据这个式子求出这个 y 的 值。好，那么它的立方根等于三的话，这个部分应该等于多少啊？ 三的立方等于二十七，对吧？所以说，二 x 加 y 加七应该等于二十七，那么 x 等于六，带入进去就是 十二加 y 加七等于二十七，那么二十七减十二减七， y 就 等于八。哎，所以说我们把这两个数带入到这来，那就是六的平方加上八的平方，也就是三十六加六十四等于一百。好，最后别忘了求它的平方根应该是正负 十。好了，同学们，平方根、算数平方根、立方根，你都学会了吗？接着我们再看算数平方根当中的两大性质公式。首先第一个啊，我们如果说给这个 a 先 求算数平方根，然后再去平方的话，那么结果就是这个数本身。为什么呢？那你看啊，这个根号下边的被开方数是不得满足它大于等于零啊，而且呢，我们的 平方的结果是不是也是非负的大于等于零啊？所以说呢，这两个数是一致的，那我们再看这个式子，先给他平方，然后再去开方，这样的话呢，我们要给这个数带上绝对值。为什么呢？同学们，你看这个底数我们有没有要求啊？没有要求正数、负数还是零，都可以去求它的 平方。那如果说这个数是负数的话，比如 a 等于负二，那负二的平方去求它的算数平方根应该是根号 四，那也就是二，你看这两个数是不是互为相反数啊？二应该是负二的绝对值。好，所以说同学们，这个绝对值它其实包含了 三种情况，如果说这个数它本身就是正数的话呢，它确实出来之后还是正数，那如果说这个数是零的话呢，它出来呢也是零，但是如果说这个数是负数的话呢，它出来之后就是原数的相反数了。好，那这两个呢，其实也是开根号的两种方法，第一种方法呢，是给他整体 平方，这样的话呢，出来就是这个根号底下的元素。那第二种方法就是在根号底下去凑平方， 那么开根号出来呢，它就是一个带绝对值的结果。好，接着我们再来看算数平方根与立方根的变化规律。刚才我们在求平方根和算数平方根的时候，同学们有没有发现，就是我们的这个被开方数他越大， 我们的算数平方根的值他也越大，立方根也是越 大的，都是同向变化的。所以说，如果我们要比较算数平方根之间的大小，或者是立方根之间的大小的时候呢，我们可以先求他们的平方或立方，然后呢再比较这个被开方数，被开方数它越大，我们的这个对应的根也越 最大。好，那到底这个大的程度是多少呢？我们可以探究一下。首先被开方数是零点零零一的时候，我们求一下它的算数平方根，那应该是零点零一，对吧？那如果说被开方数是零点零一的话，那这个算数平方根应该是零点一， 因为零点一的平方等于零点零一嘛。好，那如果说被开方数是一的话呢，算数平方根应该是一，那如果是一百呢？应该是十，如果是一万的话呢，应该是一百。好，那你会看到这个被开方数扩大一百 倍，那么我们的这个算数平方根扩大多少倍？十倍，对吧？好，这也是一样，一百倍，这里是一百倍，这里是一百倍，这里是 十倍。所以说呢，我们可以得到一个结论，就是当被开方数扩大 n 平方倍的时候，我们的算数平方根呢是扩大 n 倍的，这个扩大的这个幅度呢是平方的关系。立方根呢，当被开方数扩大 n 的 立方倍，那么立方根呢？就扩大 n 倍，这个扩大幅度是立方的关系，那么按照这样的变化规律呢？我们来解决一下这两道题。首先第一题，已知根号三约等于多少，根号三十约等于多少，则根号零点三约等于多少呢？好，那同学们根据我们的算数平方根的变化规律，应该是被开方数扩大一 百倍，那么算数平方根就扩大十倍。那么我们来找一下，这个被开方数是零点三的一百倍，或者是一百分之一的一个数，应该是这个三十，对吧？他是他的一百倍，那么他的算数平方根应该是他的算数平方根的十倍，所以说求这个算数平方根应该是他的 十分之一，也就是零点五四七七，把这个小数点向左挪动一位。好，那么根据这个三呢？我们是没法求的，因为三和零点三才扩大了十倍。再看第二题， 已知根号十五等于 k， 根号零点一五等于 a， 而根号一千五呢，等于 b， 那 么要我们去求出 a 等于多少， b 等于多少，用含这个 k 的 代数式来表示。好，那么我们可以看到呢，零点一五和十五是什么关系？它是它的一百分之一，也就是 缩小了一百倍，那这个一千五呢？应该是比十五扩大了一百倍，所以说按照我们的算数平方根的变化规律，他的算数平方根应该是缩小十倍，也就是 十分之 k， 而他的算数平方根应该是扩大十倍，也就是十 k。 好， 所以说 a 就是 十分之 k， 或者是十分之一 k， b 应该等于十 k 了。 好，那么怎么去估算一个算数平方根的大小呢？来，首先我们需要先找出与被开方数比较接近的两个完全平方数的算数平方根。那什么叫做完全平方数呢？就是像一四、九十六、二十五等等 啊，它本身呢是一个整数，同时它又能以另一个整数的平方来表示的这种数就叫做完全平方数。你像一呢可以表示为一的平方啊，四可以表示为二的平方，九可以表示为三的平方等等。 那么假如说我们要去估算根号二的大小，那我们就去找和这个被开方数二比较接近的完全平方数，应该是一和四，对吧？那二在一和四之间的话， 根号二就应该在这个一和二之间啊，一和二是一和四的算数平方根。好，那么接下来进一步的 我们又可以在这个一和二之间找出一点四的平方是一点九六，一点五的平方是二点二五，那么被开方数二，它介于这两个数之间，所以说算数平方根，根号二呢，也是在这两个数的算数平方根之间，也就是大于一点四，小于一点五， 那么这个估值呢，就精确到十分位了。那么接着我们又发现二呢，它是大于一点九八八一，又小于二点零幺六四，所以说算数平方根，根号二，它就啊在这两个数的算数平方根，一点四一和一点四二之间，又精确到百 百分位了。好，那么接着再来一步，就精确到千分位，接着一直下去呢，我们可以让这个估值更加精确，那么一直下去你会发现根号二它是一个无限不循环 小数，那么我们知道无限不循环小数，它其实就是五里数，那常见的五里数包括这三类，第一个是开方开不进的数，比如说这个根号二 啊，根号三也是开不进的，根号六也是开不进的，但是根号九或者是根号四就不是五理数，因为他们可以开方啊，根号九开方出来就是三，根号四开方就是二，他们很明显是整数，属于是有理数。 好，所以说呢，我们一定是开方开不进的数才是五理数。再就是含有圆周率 pi 的 一类数， 只要这个数当中含有派啊，二派，二分之派还是根号，派还是派的平方，都是无理数。还有就是以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数， 比如说零点一零一零零一零零零一零零零零等等等等，看起来很有规律，每次呢都多加一个零，但是呢，它不是循环小数，而是无限不循环的小数，所以呢，它也归类为是 有理数。那么我们之前常见的有理数和无理数呢，统称为实数。实数。我们看一下分类。首先先按照定义来分，先分为有理数和无理数的话， 那么有理数里边就有正有理数零负有理数，无理数里边有正无理数和负无理数。那么在小数里边看呢，我们的有限小数和无限循环小数呢，是可以化为分数形式的，所以说在初中阶段，我们把它们化为 分数的范围里边。好，那么我们知道分数和整数统称为有理数，所以说呢，他们就属于是有理数，而无限不循环的小数呢，它就是 无理数了。我们也可以把实数按照符号来分，分为正实数零和负实数，那正实数里边呢，有正的有理数，也有正的无理数，那负实数里边呢？有 负的有理数，也有负的无理数。好，那么之前我们在学习有理数的时候说过了，有理数和数轴上的点并不是一一对应的，因为数轴上的点除了有理数之外，还有 五理数。那么现在我们出现了实数的概念，实数里边既有有理数，又有五理数，所以这回实数和数轴上的点呢，是一一 对应的，也就是每一个实数呢，都可以用数轴上的点来表示，同时数轴上的点呢，都是 实数。那么之前学习的相反数和绝对值的概念也可以在实数范围内应用。首先相反数就是只有符号不同的两个数叫做互为相反数，所以说实数 a 的 相反数就是 负 a， 那 绝对值呢，就是在数轴上表示数 a 的 点到原点的距离，也就是实数 a 的 绝 绝对值呢？首先如果这个实数大于零，那么它的绝对值就是它本身，如果这个实数等于零，那么零的绝对值就是零，那如果说这个实数小于零的话呢，求绝对值就是它的相反数。好的，那我们来练习一下。首先根号三的相反数，就是直接给他加上一个负 负号，那就是负的根号三。好，那么负的根号五分之一的倒数应该是多少呢？倒数就是分子和分母调换过来，对吧？符号动不动，符号不动，所以就是负的一分之根号五，也就是负的根号五 好。第三个负五的立方根，它的绝对值是多少？那么同学们，我们记得前面立方根的一个性质吗？就是如果两个数互为相反数，那么他们的立方根也是互为相反数的，所以说负五的立方根和五的立方根应该是互 为相反数，相加等于零，那么我们把它移向到这里，就是移向编号变成负的五的立方根。 好，那你看啊，也就是我们如果说三次根号下边有负号的话，可以提到前面来，那你看啊，它就相当于它，对吧？所以说我们再去求它的绝对值，应该是把这个负的变成正的，那也就是五的 地方根了。那第二题求一减去根号二的相反数。好，求相反数，就是在这个数前面加上一个负号，所以说也就是负一加根号二，也就是根号二减一，那么求它的绝对值呢？咱们得先判断这个数是正数零还是负数， 那么这个根号二咱们前面已经估值过了，它是一点四幺四，什么什么什么什么，所以说它是比一要大的，那小的数减去大的数，整个数就是一个负数，所以说求负数的绝对值呢，就是它的相反数，也就是根号二减一。 好，那么再看第三题，已知 x 平方等于三，那么在数轴上与实数 x 对 应的点是哪一个点？ 那么我们看这个 x， 它是不是对应的有两个数啊？因为根号三的平方等于三，而负的根号三的平方也等于三，所以说我们需要找出这两个数在数轴上对应的点可能在哪。 那么我们要想知道根号三在哪两个数之间，咱们得先去找这个被开方数三，它在哪两个 相近的完全平方数之间，对吧？所以说根号三呢，应该在一和二之间， 那么也就是一和二之间，这个 p 四就是表示根号三的点，那么负的根号三呢？就是关于原点对称，对吧？也就是在负一和负二之间的这个点 p 一 上，这个就是表示负的根号三的点，所以说就是选 d 选项。好，接着再看第四题，在如图所示的数轴上，点 c 与点 b 关于点 a 是 对称的，那么 c、 a 两点呢？对应的实数分别是根号五 一，那么点 b 对 应的实数是多少？好，那么首先点 c 和点 b 关于点 a 对 称，这说明这两个点到点 a 的 距离是相等的，对吧？这段距离和这段距离相等，那么这两个点对应的数已知，所以可以求出这两个点之间的距离应该是它减它， 也就是根号五减一。那么要想再去求点 b 对 应的数，那就是点 a 现在的这个数减去距离，根号五减一，好，那么计算一下，应该是一减去根号五，再加一，那就是二减去根号五 好，所以说点 b 对 应的实数就是二减去根号五。那么实数范围内的运算方法呢？也是和有理数的运算类似，像我们的相反数绝对值的概念， 以及我们的加减、乘除、乘方的运算法则，还有我们的交换率、结合率、分配率，这样的运算率也都可以推广到实数的范围内来计算。那么运算顺序上呢，也是一样的， 先算括号，然后再算乘方，再算乘除，再算加减。但是要注意，因为我们实数范围内会涉及到一些平方根、立方根的运算，要注意一些运算性质。你像如果说对一个非负数 先开方再平方的话，那么就是原数本身，但如果先平方再开方的话，就得根据这个数具体是大于零的，等于零的来判断它的值。那如果说我们对一个数， 先去求它的立方根，再去求立方，或者是先去求它的立方，再去开立方，这个值呢？都是和原数一样的。那么我们来练两道题。首先第一题， 先计算这个负八的立方根应该是负二，对吧？然后呢，再去算根号三减二的绝对值，那我们先判断它是正数负数还是零呢？那根号三我们知道它是大于一小于二的，所以说它比 比他小，那么小减大就是负数，所以说求他的绝对值就是求他的相反数，那就是二减去根号三，然后再加上 负三，先平方再开方，那由于这个算数平方根他一定是大于等于零的，所以说他出来一定是 三，对吧？变成正数，那或者是说我们也可以直接算一下负三的平方是九九的算数，平方根就是三。好，那接着减去负三就是 负，负得正加上根号三，那么计算一下，负二和加二互相抵消掉等于零，减去根号三和加上根号三互相抵消等于零，那么就剩下加三，所以结果就等于三。好。再看第二题，先算这个根号四十九，也就是四十九的算数，平方根应该是 七，因为七七四十九，然后再减去二十七的立方根应该是三，然后再加上他的绝对值，那判断这个一减去根号二是正的还是负的呢？ 负的，对吧？因为根号二他大于一小于二，小减大就是负的，所以说变成相反数出来，就是根号二减一，然后再加上先算一下，一减去三分之四，应该是负的三分之一，那么给他先平方，再开方出来，他肯定是变成正数了，也就是三分之一。 好，那么计算一下，首先七减三，再减一，那就是变成三三，再加上三分之一，那就是三分之九，加三分之一，也就是三分之十，然后呢，再加上根号二， 这就是这道题的答案。好了，那么到这里呢，我们就把第八张实数的所有的基本内容全部都总结完了，那么关注小青老师下节呢，我们继续来看第九张平面直角坐标系。

现在我们来讲第一次作业的 第一题，计算，五的六次方乘以五的四次方， 底数都是五，它们是同底数密相乘啊，底数不变，底数还该是五，把它们的指数相加，这里是六，这里是四。好，我们来解解。 一、第一小题，原式等于 底是还是五？把指数相加，六加四，写小一点，哈，指数写在右肩膀上，写小一点，等于五的十次方。 第二小题，底数都是 x， 它们是同底，是密相乘， x 乘以 x 的 三次方。注意了，这里 x， 这里没有写指数，就说明是一次方， 原式等于二小题吧。括号二，二小题，原式等于 x， 底数还是 x， 把指数相加，这里指数是一，哈 一，写小一点，这里指数是三，它就等于 x 的 四次方。我们看第三小题，三原式等于 原式，等于 底数是负二，这里底数也是负二， 他们是同底，是米相同，那么底数还是底数不变，还是分。把指数相加，这里是三次方，这里是四次方。三加四次方， 就等于负二的七次方，因为负二的七次方，这个数字不大，我们可以算出来七个符号，结果是负的，然后二的七次方一百 二十八，负的一的负的一百二十八， 四、小题圆是等于。 好，我们先确定符号，这里有一个符号，那最后结果就得负。系数是负一， 底数是五，底数是五，同底数密相乘，底数是 a， 底数是 a， 哈，底数是 a， 底数是 a， 指数相加，这里指数是五，这里指数是五，五加五， 等于负的 a 的 十次方。第五小题，原式等于 底数都是 x， 哈，它们是同底，是密相乘，那么底数就还是 x， 同底是密相乘，底数不变，指数相加，这是同底，是密相乘的法则。哈，好，这个指数是 m 加一， 这个指数是 m 减一，好，算出来就得 x 的 二 m 次方。我们看一下啊， m 加 m 就是 二 m 了，加一减一就没有了啊，所以指数相加后就得二 m， 结果是 x 的 二 m 次方，好来写题。借， 原式等于一吧。一小题，原式等于 x 二次方， x 三次方乘上 x 四次方，底数都是 x， 这是三个同底数密相乘，底数不变，还是 x 把指数相加二 加三加四，最大只需要写小一点，写在右肩膀上，就等于 x 的 二加三加四，九次方。二小题圆四等于。 我们先确定符号，哈，这里有一个符号，这里有一个符号，一共两个符号，最后相乘就得正。 再看这把绝对值。相乘好，这里就是 x 乘，这里是 x 三次方乘 x 的 五次方， 好，就等于。这里 x 没有写指数，就是一次方哈，一次方加，这里是三次方，这里是五次方，好，就等于 x 的 九次方。 三页题，原式等于 x 的 n 次方乘以 x， n 加一次方乘 x 的 n 加二次方，底数都是 x 哈，它们是三个同底数密相乘，那么结果底数变，还是 x 把它们的指数来相加，这是 n 加，这里是 n 加一， 这里是 n 加二，好，底是 x。 指数 n 加 n 加三次方。三 n 一 加二，三 好，结果就是 x 的 三 n 加三次方。 就讲到这里了。

知其然，知其所以然，吃透知识点，以不变应万变。我们这个视频来看整式乘法里边的多项式乘多项式，我们课本上对这个法则是这么规定的， 多项式与多项式相乘，先用一个多项式里边的每一项，去乘另外一个多项式里边的每一项，最后把所得的积相加。这个运算法则它的实质是什么？它的核心是什么？我们来看一下 a 加 b， 乘以 c 减 d 啊，这是两个二项式相乘，在这里啊，它的实质啊，也是用的这个分配率。我们看一下，在这里我们可以把这个 c 减 d 看成一个，整体看成一个。我们知道 a 加 b， 如果乘以一个 m 的 话，我们可以把 m 分 配进去， 那这里我们可以把 c 减 d 看是一个整体，给它进行反馈啊，那就是 a 乘以 c 减 d， 然后是正 b， 哎，乘以 c 减 d， 你 看，通过这个分配律的应用，我们就把多项式成多项式，转化成单项式成多项式， 继续用乘法分配，那结果是 a、 c 啊，加上 a、 c 加上负的 a、 d 啊，加上负的 a、 d， 就是 减 a d， 然后再加上 b、 c， 然后再加上负的 b、 d， 那 负加上负的 b、 d， 那 就是，那就是减 a d 了 啊。你看，我们通过两次用这个乘法规律，把多项式乘多项式，最终转化成了单项式乘单项式啊，来求解啊，这就是他这个法则的实质啊， 我们看一下这个结果，结果里面有四项啊， a、 c 是 一项负的 a， d 是 一项正的， bc 是 一项负的 b， d 是 一项。我们看他这几项啊，我们看他这几项是咋来的？我们看， 我们看 a、 c 是 不是这个 a 和 c 啊？正 a 和正 c 它两之积，这个负的 a、 d 是 不是正 a 和负 d 它两相之积， 然后 b、 c， 你 看它两之积是不是正的 b、 c， 然后负的 b、 d 是 不是这个 b， 正 b 和负 d 之积，我们看它的结果，正如我们法规所说的啊，用 用一个多项式里面的每一项去乘另外一个多项式的每一项，那你看直接乘完以后 怎么样再把它们的积求和相加，他们之间默认的都是一个加的关系啊，都是一个加的关系，默认的都是一个加的关系， 这个加号我们就不用刻意的再去相加了。你看我们最终的结果就是把它们每两项之积给它罗列出来就可以了啊，给它罗列出来就可以了，罗列出来，朋友们注意在这里啊， 要注意每两项之积，我们在乘积的时候一定先要确定符号，确定符号，然后完了 a 乘 c， 然后 a 和负 d， 正 a 负 d， 那 他们之积必然前面的符号是负的，所以先 a 和负 d 相乘，先是确定符号是负的，先确定完符号，再去用 a 乘 d。 用这种方法我们来做题的时候就比较简单了啊，不用再先写上加号，最后再拆加号， 直接把他们每两项之积罗列出来。第一步是先确定在求在乘积的时候先确定符号啊，那么看一下，先把一给他两个分别进去啊，那一这个是零点六，两个都是正数，那他们的积必然是正的啊，那 你看这个一和负 x， 一 是正的，这边是负的，先确定符号是负的，然后是一再乘 x， 这个是负 x， 这个是零点六，一负一正，符号必然是负的，负的 x 乘零点六啊，然后负 x 乘负 x， 两个都是负的，负负得正，那它的符号是加加上 x 乘 x 啊， 那下来我们进行整理就可以了，那这就是零点六啊，减去 x， 再减去零点六 x， 再加上 x 平方啊，那么看一下 这是不是我们最终的结果，同学们一定要注意啊，多项式成多项式，最后我们要看这里面有同啊，如果有同类项，我们一定要去合并啊，一定要合并同类项，那你看这里边这个负 x 和负的零点六 x， 它俩是属于同类项啊，那么最终的结果啊，那么最终的结果，那就是 零点六减一点六 x， 再加上啊 x 方，我们最后再再进行它最后结果。这个书写的时候，我们一定啊，最好能按照一个声次 生密或者降密的这种形式把它写出来，看起来就比较顺眼一点啊。你看这个，我们是从从这个长数到 x 的 一次密到它的二次密啊，或者你从 x 平方减去一点六 x 再加上零点六，这样写也可以啊，这样看着比较舒服啊。我们下来再看，这个 方法是一样的，先把负二 x 去跟后面的这个多项式的每一项去相乘，然后再把正万和后面的这个多项式里面的每一项去相乘啊，在每两项之基，我们第一步要做的是先确定符号，那么看一下，这是负二 x 乘，以这个 x 一 负一正，那他们两个乘完以后，前面的符号必然是负的，那就是负的 二 x 乘 x， 然后负 x 再乘这个负 y， 你 是负的，你也是负的负，负得正，那他们的符号就是加啊，加上二 x 乘 y 啊，加上二 x 乘 y， 然后我们再看 y， 正 y 正 x， 两个都是正好，那它的 g 也必然是啊，前面也是正好，那是正的 x y， 然后正 y 负 y， 它两个积一正一负，最终的结果肯定是负的，负的 y 乘以 y， 哎，然后在这里，那就是负的二 x 平方，加上二 x y， 加上 x y， 再减去 y 方看看。这里面是有同一项的啊，我们要进行把同一项进行合并，那就是负的二 x 平方，哎，加上三倍的 x y， 再减 y 方，哎，这就是它最终的结果啊。 这就是我们多线式成多线式，内容并不复杂啊。内容并不复杂，就是我们在这里面像计算这一块，我们要把它的这个运算法则要给他吃透啊，要给他吃透，灵活掌握，快速求解啊。好，我们这个视频就到这，下期再见。

七下数学想要一百一十以上，就要狠抓计算，因为七年级数学拉开距离的就是计算能力，可以给孩子准备这套七八九天天练，包含了七年级下册所有的计算题型，每章节都先教孩子算理与算法， 然后再做练习难度，循序渐进，有练法则、练题型、练基础、练重点、练速度、练运算能力，一步一步打牢数学基本功。参考答案也非常详细， 孩子一看就能懂。让孩子每天花十五分钟攻克一个计算难点，打牢计算能力，提高做题的速度和准确率，给孩子准备起来吧！

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天来学习整式的乘法中的第五节，多项式的乘法第一节课，我们今天的学习目标是掌握多项式与单项式相乘的运算法则，能够灵活地进行多项式与多项式相乘的运算。 我们怎样去计算单项式二 x 与多项式三 x 平方减 x 减五的乘积呢？在学习这个知识之前，我们来回顾一个我们已经学过的一个运用的非常熟练的一个运算率，就是我们的乘法分配率， a 加 b 括起来乘以 c 等于 a， c 加上 bc， 这是我们大多数同学都知道的一个运算率。我们的 a 其实就是一个单项式， b 和 c 分 别也是单项式， 那这个运算率其实本质上就是一个单项式和一个多项式进行了相乘，然后我们把 c 分 别进行一个分配， a 和 c 相乘， b 和 c 相乘得到 a， c 加上 b， c， 是 不是？那同样的，我们的二 x 乘一个三 x 平方减去 x 减五，是不是也可以利用我们的乘法分配律，让二 x 分 别和它里面的每一项进行相乘啊？所以结果就等于二 x 乘一个三 x 平方减去二， x 乘以 x 减去二 x 乘以五，是不是？那我们这到了这一步之后，是不是从一个单项式与多项式相乘转化成了三个单项式相乘之后再进行相加减，是不是？ 那到了这一步，我们就可以利用我们上几个学习的单项式与单项式相乘的运算法则。第一个，这里二乘三等于六， x 和 x 平方相乘， x 的 三次方 减去二倍的， x 的 平方减去二和五相乘等于十 x 作为一个音式抄下来，所以最终的结果就是六 x 三次方减去二 x， 平方减去十 x。 我 们看一下这个过程， 他们相乘分别对他进行一个乘法分配率的运用，然后就得到六 x 三次方减去二 x， 平方减去十 x。 所以 说我们在做单项式与多项式相乘的时候，就是 利用的我们整式的乘法里面满足我们乘法对加法的一个分配率，把我们单项式与多项式的相乘转化为单项式与单项式的相乘， 那从这里我们就可以总结出单项式与多项式相乘的乘法法则，就是单项式与多项式相乘，要先用单项式去乘以多项式中的每一个项，再把它们所得的积进行相加， 就是 m 扩起来， a 加 b 加 c 相乘就等于 m， a 加上 mb 加上 mc。 我 们在做单项式与多项式相乘的时候，一定要注意不要漏乘，你不能说 m 只乘以 a， m 只乘以 b， m 只乘以 c， m 要跟他们里面的每一项进行相乘。 而且一定要注意一个问题，就是我们单项式与多项式相乘的时候，是要带符号一起乘的，就是假如说我们单项式与多项式相乘的时候，是要带符号一起乘的相乘。 下面我们具体来运用一下，大家就比较熟悉了，我们来看这个例题，二 x 平方减，呃乘一个四 x， y 减去二分之一， x 加上一，那就是让我们把这个单项式与它里面的每项进行相乘， 结果就等于二 x 平方乘以个四 x， y 减去二 x 平方乘以个二分之一 x 加上二 x 平方乘一个一， 那下面就是我们单项式与单项式相乘，结果等于二乘四等于八。 x 平方乘以 x， x 三次方，把 y 抄下来，减去二和二分之一相乘等于一，一作为系数，一般省略不写。 x 平方乘以 x 等于 x 三次方，加上二乘一等于二， x 平方直接抄下来，所以最终的结果就是把 x 三次方， y 减去 x 三次方，加上二 x 的 平方。我们的单项式不管是在前面还是在后面，都可以对它运用我们乘法对加法的分配率，是不是所以这个与它里面每一项相乘 相乘，所以最终结果等于负三， x 平方乘以个负十五 x y。 然后下一步就是单项式与单项式的乘法，负三乘以负四十五等，呃，负十五等于四十五， x 平方乘以 x 等于 x 三次方，把 y 作为一个因式抄下来，加上五分之一乘以负十五，是不是等于负三呀？ 负三，然后 y 的 平方乘以 y 等于 y 的 三次方，这里还有个 x， x， 我 们一般写在 y 的 前面 x， y 的 三次方，所以最终的结果等于四十五 x 三次方， y 减去三倍的 x， y 的 三次方。到这一步跟大家强调一下，我们这里 这个括号一般是要去掉的，把我们加号省略改写成减号。下面我们再来看几道题，巩固一下我们单项式与多项式的乘法，看下面计算结果对不对，不对的话应该怎样去改正。这里是个多项式，这里是个单项式，我们就要让 x 乘以它里面的每一项三 x 平方， y 乘以个 x 就等于三 x 平方， y 乘以个 x 减去 x， y 方乘以个 x， 这一项应该等于三倍的 x 三次方 y 是 不是 减去 x 与 x 相乘？ x 平方， y 的 平方直接抄下来，所以最终的结果是不是错误的呀？应该是三 x 的 三次方与 x 平方， y 的 平方。好，我们看第二问，这个负二 x 与里面的每一项相乘，是不是让负二 x 与它们里边每一项分别相乘啊？负二 x 乘以个三， x 加上负二， x 乘以个负一， 是不是这样？我们要带着符号去进行计算，你可以这里写上减去负二 x 乘以一，也可以写成加上负二 x 乘以负一，因为这个符号是跟着我们的一进行计算的。负二和一相乘，结果应该是负二 x 和 x 平方等于 x 三次方 减去负二乘以三，是不是负六啊？所以减六 x 和 x 相乘， x 平方，负二， x 乘以负一，结果应该是正的二 x， 所以 最终的结果是不是错误的？这里应该缺了一个 x， 第一个是错的，第二个也是错的，我们看第三个是否正确。 x 与它里面的每一项进行相乘， x 与 x 相乘，就是 x 的 平方， x 与负三分之一 y 相乘，等于负的三分之一 x， y 是 不是正确的？ x 与 z 相乘，结果是 x z， 所以 第三个是正确的。 我们看下面一个例题，计算这样一个式子的值，并且第二问是当 x 取二，外取负一的时候，计算一中多项式的值。我们先对第一个式子进行一个化简，是单项式与多项式相乘，减去一个单项式与单项式相乘。所以我们先算乘法，再算减法， 让这个单项式与多项式里面的每一项进相乘，原式等负二分之一 x 平方乘一个四倍的 x y， 它先与它相乘，然后再让它与负六外方相乘， 加加上负二分之一 x 平方乘一个负六外方，然后减去。这里是一个单项式与单项式的乘法，先抄下来负 x y。 好，下面应该我们系数与系数相乘，负二分之一乘以四等于负二， x 平方与 x 相乘 x 三次方把 y 抄下来，然后再加上负二分之一与负六相乘，等于正三， x 平方抄下来， y 的 平方抄下来，然后减去 四和负一相乘，是不是负四啊？所以就是加四 x 的 三次方 y， 然后到了这一步之后， 如果说最后剩的是加法，我们一定要注意有没有同类项，有的话就要进行合并。观察这三项式子，我们会发现这个和这个是一个同类项，所以说最终的结果应该让它的系数再进行相加减， 结果等于二倍的 x 三次方 y， 再加上三倍的 x 平方 y 的 平方，对不对？这是我们第一问的结果，然后看第二问，当 x 取二外去负一的时候，那第二问就原式等。 x 等于二外等于负一，原式 等于二乘一个二的三次方，乘一个负一，加上三乘一个二的平方，乘一个负一的平方，结果就等于二乘以八等于十六，结果是负十六，加上三乘以四等于十二，而负一的平方等于正一，加上十二，结果等于负四。 好，下面我们来做几道隋唐检测题。我们这节课学习的内容比较简单，单项式和单项式相乘，用的就是我们上一节课的内容了， 我们看这个单项是 x 与 x 平方减一相乘， x 与 x 平方相乘等于 x 三次方， x 与负一相乘就是负 x， 所以 最终的结果答案选 b。 我 们看第二题，这个单项是与它里面分别相乘， x 平方与 x 平方相乘是 x 四次方， x 平方与负 x y 相乘，结果是负 x 三次方， y x 平方与外方相乘，结果就是 x 平方 y 的 平方。所以说，答案是不是选 d 啊？ 好，我们看第三题，若 a 与这个式子相乘，结果等于它，则代数式 a 的 值是多少？那我们这个 a 是 一个单项式，就把 a 与它进行相乘，得到了我们的第一项， m 的 三次方。 谁与 m 的 平方相乘等于 m 三次方啊，那不就是只有 m 吗？是不是？那我们再观察一下， m 与这个负三 n 相乘，是不是等于负三 m n 呢？是不是正好等于负三 m n， 所以 说，哎，所以说代数是 a 的 值就应该是 m。 好， 第四题，下列计算正确的是 a 项。三 a 乘以二 a， 结果应该是六倍的 a 和 a 相乘是平方 b， 二倍的 a 加 b， 这不就是我们最典型的一个乘法分配律吗？二 a 加上二 b 对 不对？ c 项负三乘以 a 减一， 符号一定要带进去一起运算，负三乘以 a 应该是负三 a 负三和负一相乘是不是正三呢？负三 a 加三，那不就是三减三 a 吗？所以说 c 项是正确的，我们看 d 项哪里错了？ d 项首先进行的是一个积的密，所以要对三分之一进行一个平方， 然后再对 a 的 三次方进行一个平方，结果就应该等于九分之一倍的 a 得六次方，所以 d 项也是错误的，答案应该选 c。 我 们看第五题，下列计算结果对不对？如果不对，应该怎样去改正？先看这里，这是一个多项式，与三 x 相乘，那它的结果应该等于五和三相乘，等于十五 x 平方与 x 相乘，应该是 x 的 三次方，这里是不是错了？然后 y 直接抄下来， 负二 x 外方与三 x 相乘，负二与三相乘，结果是负六， x 与 x 相乘， x 的 平方外方直接抄下来，所以最终的结果应该是十五 x 三次方， y 减去六倍的 x 平方， y 的 平方 好看。第二个负二 t 与三 t 相乘，结果应该是负二与三相乘，是负六， t 与 t 相乘是 t 方，这个是正确的。负二 t 与 t 方相乘，负二直接抄下来， t 和 t 的 平方相乘，等于 t 的 三次方，负二 t 减一，结果应该是加上二 t， t 要抄下来，所以第二个也是错误的。 我们看第三个，这个单项是与它分别相乘，单项是系数与系数相乘，负三分之一与负三相乘，结果等于正一，系数为正一， x 与 x 相乘， x 平方外方与外相乘 y 的 三次方，第一项是正确的。 第二项负三分之一与九相乘，结果是负三，正确的 x。 这第二项里面没有 x， x 直接抄下来， y 的 平方与这个 y 相乘， y 的 三次方 z 这里只有一个 z 直接抄下来，第二项也是正确的。 我们看第三项，减去一，减去一，不就是让它本身抄下来，符号改变一下吗？结果应该等于加上三分之一 x y 方，所以第三个也是错误的。 我们看第四题，这个与它相乘，那就是 a 的 n 次方乘一个二倍的 a 的 n 次方，系数二不变，抄下来， a 的 n 次方乘以 a 的 n 次方， a 的 二， n 次方。没错， a 的 n 次方减去。 嗯，与负三， a 的 n 减一次方相乘，负三直接抄下来， a 的 n 次方乘以 a 的 n 减一次方。结果指数相加， n 加上 n 减一，等于二， n 减一，这个也是正确的。 看最后一项， a 的 n 次方与 a 相乘，底数不变，指数相加 a 的 n 加一次方。所以说第最后一项也是正确的。答案第四个应该是正确的。 好，我们看第六题。若三角形的底边长为二 n， 高为二， n 减一，则三角形的面积为三角形的面积，公式是二分之一底乘以高，底是二， n 乘以它的高二 n 减一， 所以说二分之一和二相乘等于个一，结果就是 n 乘以个二， n 减一， n 与它里面的每一项相乘，结果等于二 n 方减去 n， 所以 说答案应该选 c。 好，下面我们来看第七题。定义这个三角形就可以表示为三倍的 abc， 定义这个方框表示为 x， z 加上 w， y， 那 么这样一个三角形乘以这样一个方框的结果。我们先看这个三角形等于什么，这个三角形等于三倍的这三个数相乘，所以结果就是三乘以三，乘以 m 乘以 n， 然后再乘以这里的一个方框。方框等于八 m 加上五 n 乘以个八 m， 加上五 n， 那 这里就是一个九倍的 m， n 乘以个八 m 加上五 n。 利用我们单项式与多项式乘法法则，九 m， n 乘以个八 m， 结果就是七十二倍的 m 平方 n 九 m， n 乘以个五 n， 就是 加上四十五倍的 m n 方，所以最终的结果应该选 c。 好，下面我们来看两道拓展拔高题。第一题已知这样一个代数式经过化简之后不含 ab 项，那也就是说 ab 项的系数为零，所以我们对它进行一个化简，我们先用单项式乘以多项式，运用我们的法则给它去括号， 结果等于七 a 乘以 a 等于七 a 方减去七 a 乘一个 kb， 就是 七 a kb， 然后减去三 b 方 负三乘一个负十四， a b 就是 加上四十二倍的 a b 负三乘以负一就是加上三。 在到这里之后，我们需要找到 a b 的 项， a、 b 的 项就是这一项和这一项，那我们把它们两个放在一起，结果七 a 方减去三， b 方加上三， 加上负七 k 加上四十二，括起来乘以 ab， 是 不是？那我们要让这一项，嗯，不含它，不含它就是它的系数为零，就是负七 k 加上四十二等于零，所以说我们的 k 等于六。 好了，这就是我们这节课学习的内容，我们这节课学习的是单项式乘以多项式，就是先用单项式乘以多项式中的每项，再把所得的积进行相加。 我们在做单项式与多项式的运算的时候，一定要注意不要去漏乘，每一项都要相乘。去括号的时候一定要注意符号的确定，只需要记住一点，我们所有的运算都带着符号去运算就可以了。好了，我们今天的内容到这里就结束了，同学们再见。

括号 x 减一，乘以括号 x 平方加 a， x 减 b 的 展开式中不含有 x 平方和 x 项，求 a 和 b 的 值，那么这是一个典型的五官体型，那我们简单来说就是不含有某个项，那么就是这个项的 系数为零，所以呢，我们想要知道 ab 的 值，我们是不是就得把这个式子给它展开，展开以后呢，去使得它系数为零，那就可以求出我们所要求的 ab 的 值了，我们一起来写一下过程。 那首先呢，是 x 减一，括号乘以括号 x 平方加 a， x 减 b， 那 么展开以后呢，它就是 x 的 三次方， 加上 a， x 平方，减去 b x， 然后减 x 平方，再减 a x 再加 b， 然后呢，我们把啊 同类项进行合并呢， x 三次方呢？没有同类项，然后呢，它和它是同类项，所以合在一起呢，就是 a 减一，括号的 x 平方，然后呢，负 b x 和负 a x， 它俩是同类项，那合并在一起呢，就是负 b 减 a， 括号的 x 加上 b， 那 么题目中告诉我们的是不含有 x 型方向和 x 项，我们看一下， x 型方向的系数是 a 减一，所以呢，它的系数也就是零。同样，我们的 x 项的系数是不是负 b 减 a， 那 么它的系数呢，也是等于零的， 那么由此我们是不是可以得出 a 是 等于一的，那 b 呢，就是等于负一的，所以呢，我们是不是就直接算出来了？

七年级下册千万不能偷懒！数学一定要狠抓计算题，如果你能让孩子每天练一页计算题，等到月考，你就知道他的成绩有多好。推荐就用这本初中数学计算一百。他与七年级相册课本同步，包含了实数的计算、二元一次方程的计算、 不等式和不等式组的计算等着。这本书最大的亮点在于先引导孩子进行知识积累，接着展示典型题型，帮助孩子掌握答题技巧。有基础练习 巩固基础提升练习提升计算速度与准确率。拓展练习提升举一反三，运算能力。难度由易到难逐步提升，帮孩子打牢数学基本功。遇到难题还有详细的视频讲解，不怕孩子学不会。 数学考试百分之九十都与计算相关，只要计算能力过关，孩子在初二、初三学习数学时就会轻松很多了。

长沙七项数学基础题，三十道题答案免费完整版可打印，需要的评论二一。

完全平方公式，要把蘑菇圆改成一个更大的正方形，不过，啊嘿，好像不是很难。 本来我的蘑菇圆形状是边长为 a 的 正方形，我只要把它的两组对边同时增加同样的长度，就可以使它变成面积更大的正方形。不过，我还想知道面积会变成多少呢？ 改建之前，蘑菇圆形状是边长为 a 的 正方形，面积为 a 的 平方。如果把每条边都增加 b， 它就变成了边长为 a 加 b 的 正方形，其面积应该为 a 加 b 乘以 a 加 b 等于 a 加 b 的 平方。 可是 a 加 b 的 平方到底是多少呢？哎，有了，我可以把这个边长为 a 加 b 的 大正方形分割成这样四个图形， 再分别计算它们的面积，最后把它们的面积加起来，就等于大正方形的面积。一号图形是边长为 a 的 正方形，面积为 a 的 平方。二号图形是长方形，长为 b， 宽为 a， 面积为 ab。 三号图形也是长方形，长为 a， 宽为 b， 面积为 ab。 四号图形是边长为 b 的 正方形，面积为 b 的 平方。这四个小图形的面积加起来就是 a 的 平方，加上 ab 加上 ab 加上 b 的 平方， 等于 a 的 平方。加上二 ab 加上 b 的 平方。之前已经算过，改建之后的蘑菇圆面积应该为 a 加 b 的 平方。 那不就是说 a 加 b 的 平方等于 a 的 平方，加二 a， b 加 b 的 平方吗？哎呀，这可是一个重大发现呢！等等， 为了有备无患，我也得考虑一下怎么把蘑菇圆改成更小的正方形。本来我的蘑菇圆形状是个边长为 a 的 正方形， 得把它的两组对边同时减少同样的长度，才能使它变成更小的正方形。假如把两组对边都减少 b， 它就变成了边长为 a 减 b 的 正方形，它的面积就应该为 a 减 b 乘以 a 减 b 等于 a 减 b 的 平方。 可是， a 减 b 的 平方究竟是多大呢？没关系，我仍然可以按刚才计算 a 加 b 的 平方的方法来计算 a 减 b 的 平方。 我把这个边长为 a、 面积为 a 的 平方的正方形分割成了这样四个小图形，其中一号图形就是边长为 a 减 b 的 平方。 我只要用 a 的 平方减去二、三、四号图形的面积，就一定等于一号图形的面积了。二号图形是长方形，长为 b， 宽为 a 减 b， 面积为 b 乘以 a 减 b 等于 ab 减 b 的 平方。 三号图形是长方形，长为 a 减 b， 宽为 b， 面积为 a 减 b 乘以 b 等于 ab 减 b 的 平方。 四号图形是边长为 b 的 正方形，面积为 b 的 平方。 所以，二、三、四号图形的面积之和为 ab 减 b 的 平方。加上 ab 减 b 的 平方，加 b 的 平方等于二 ab 减 b 的 平方， 那么一号图形的面积就为 a 的 平方。减去括号里二 ab 减 b 的 平方等于 a 的 平方。减二， ab 加 b 的 平方。 之前已经算过，一号图形的面积应该为 a 减 b 的 平方，所以 a 减 b 的 平方等于 a 的 平方。减二 ab 加 b 的 平方。哇哇哇，不得了了，这又是一个重大发现呢！ 今天我一共有两个重大发现， a 加 b 的 平方等于 a 的 平方。加上二 ab 加 b 的 平方， a 减 b 的 平方等于 a 的 平方。减二 a、 b 加 b 的 平方。哼哼，别看我长得袖珍，短小的才精悍，浓缩的才是精华。

开学了，我整理了一份七级下册数学各单元的一个压轴题，比如平行线单元的几何模型、辅助线和压轴题，平面直角坐标系、动点问题、方程和不等式的参数问题等， 都是书上没有，但是要考的一个拓展压轴题型占分百分之三十左右，基础到中档过关主要卡在培优压轴，不会的同学可以用做练习巩固。 如果说没有系统学过这些压轴题型，不会做这份压轴题的练习，可以通过我的拓展视频来学习题型框架跟核心解析思路，学懂之后再去做题，可以减少摸索时间，提高学习效率。