八下数学求取值范围类型题

这是一道八年级下册第一章的数学探索 p u 题，也就是压轴题。这道题难度导致不大，用分类讨论法都能求出来，但是太浪费时间。 我今天讲的主要就是快速求值。我们先看第一题，若等式它成立，则 a 的 取之范围。解决这类根号下平方的问题。关键是先利用公式， 根号下 a 的 平方等于绝对值， a 把根号去掉，转化为绝对值。化解问题，再结合数轴几何意义，快速求解比分类讨论更高效。 我们先复习一下绝对值的意义，比如 m 减 n 的 绝对值，表示的是数轴上数 m 到数 n 的 距离。我们先化简一下原式三减 a 的 绝对值，加上 a 减七的绝对值等于四， 我们把三减 a 的 绝对值转化为 a 减三的绝对值，这样更好理解。所以这个式子就表示的是数轴上数 a 到数三的距离与数 a 到数七的距离之和为四，三到七的距离恰好是四。 当数 a 落在三和七之间时，包含三和七两个端点， a 到三的距离与 a 到七的距离之合刚好就等于四。因此 a 的 取值范围就是 a 大 于等于三，小于等于七。 如果我们采取分类讨论法来解这道题，耗时又费力，我们需要这样写，当 a 小 于三时，元等式为等于十减二， a 等于四，解得 a 等于三，与 a 小 于三，矛盾舍去。第二种情况， 当 a 大 于等于三，小于等于七时，元等式等于 a 减三，加上七减 a 等于四，得出四等于四， 也就是说明 a 在 它的取值范围内横成力，所以 a 就是 大于等于三，小于等于七。第三种情况，当 a 大 于七时，全等式等于二， a 减十等于四，解得 a 等于七，与 a 大 于七矛盾 舍去，所以最终结论就是 a 大 于等于三，小于等于七。这种解法是不是既耗时又费力啊？ 我们看第二题，元等式直接化简为 a 加一的绝对值，加上 a 减五的绝对值等于八。因为求一个数到另一个数的距离全部都是用减法，所以这个 a 加一可以改写为 a 减负一的绝对值， 就表示 a 到负一的距离。点 a 到负一的距离与点 a 到五的距离之和为八。我们看负一到五的距离是六，六小于八，所以数 a 不 在负一和五之间，只能在负一的左侧 或五的右侧。当 a 在 负一的左侧时，记 a 小 于负一， a 到负一的距离加上 a 到五的距离等于八，负一到五的距离是六，所以这左边两段的距离和是二，这一段就是一， a 距离负一有一个单位， a 就是 负二。第二种情况，当 a 在 五的右侧时，记 a 大 于五， a 到五的距离加上 a 到负一的距离也是八，这段是六，这段为两段，一段为一， a 到五的距离就是一， 所以 a 为六。答案就是负二或六，是不是很简单？当然，我们用分类讨论法仍然能解出 a 等于负二或 a 等于六，是不是很简单？当然，我们用分类讨论法仍然能解出 a 等于六。其中另一个答案舍去，我们总结一下， 一就是利用公式根号下 a 的 平方等于 a 的 绝对值，先去根号转化为绝对值的形式，再化解。二、速解技巧，利用数轴上两点距离的几何意义，避免复杂的分类讨论，节省考试时间。 三、易错点注意绝对值化简后的符号判断以及分类讨论中的结果是否在取值范围内，不再则舍去。

八下数学二次根式求字母的取值范围，是八下数学当中必考的重难点题型，虽然它只是一个入门的题型，但是很多孩子一碰到含根号、含分母的式子，就不知道如何列不等式了。 那这个视频呢？林老师就教会你一个方法，教你轻松搞定。你学会之后，再把林老师给你准备的二次根式八大题型包含的详细解析拿去练习，把这些题目都搞懂，二次根式绝对没问题。我们来看题， 求代数是根号内 x 减二，除以根号内三减 x 中 x 的 取值范围。做这类题，你一定要记住一句口诀，那就是根号内要恢复，而分母呢？要不能等于零？ 第一步，先看分子上的根号，你必须大于等于零啊！所以你得到了 x 减二大于等于零，从而 x 大 于等于二。 第二步，再看分母上的根号，这里有两个要求，第一个就是根号内必须大于等于零。第二就是分母不能为零，合起来就是三减 x 要大于零，减得 x 小 于三。 第三步，你再把这两个条件综合起来，取公共部分，得到二小于等于 x 小 于三。搞定 这道题的关键就是分子只看根号，而分母呢？既要看根号，又要不能为零。学会了这一招以后，同类题目再也不会犯错了，加油！

大家好，我们一起来看一个关于二次根式化减这样相关的一个题目。若化减一减 x， 绝对值减去，括号下 x 平方减八， x 加十六的结果是二 x 减五，则 x 去的范围是多少？ 那我们这边结果是二 x 减五，现在不能进行操作，对吧？那么这时候我们就要从左边来进行想办法， 一减 x 暂时改不了来，还是一减 x， 对 不对？先把它写上减去，但是根号下我们看到 x 平方减八， x 加十六，哎，是不是正好是一个完全平方式啊？哎，它就是 x 减几啊，减四或者的平方， 对不对？那到这一步之后，我们就可以利用二次根式的性质，它就继续等于多少呢？一减 x 绝对值减去， 哎，我们的性质是什么呢？根号下 a 的 平方就等于根号绝对值啊，根据这条性质，我们可以把它画成等于根号 x 减四的绝对值，对吧？画到这一步，画到这一步之后，如果这个题目是个解答题的话，咱们需要用到什么？就需要用到零减分段法分清讨论 x 么，小于一啊，大于四啊等等进行讨论，对不对？但是这是一个填空题，咱们就可以把它，哎，就不用这么复杂讨论了，咱们可以怎么做？你看一减 x， 根据咱们根据绝对这双解性，咱们知道啊，一减 x 可能大于零，如果一减 x 大 于零，他是不是就是一减 x 呀？ 如果一减 x 小 于零，那么它画完之后是不是有 x 减一，哎，对不对？是不是？一减 x 的 相反数 x 减一，那从上到里 x 减四可能是谁啊？可能是 x 减四，也可能是谁，是不是也可能等于四减 x 呀？对不对？我们把它俩进行组合，是不就可以？ 那我们来这样组合一下，一减 x， 如果减去 x 减四，然后发现，哎，一减 x 再减 x， 是 不还有个负二 x 呀？它是正二 x， 它负二 x， 所以 它和它是不可以的。那么一减 x 再和减去四减 x， 一减四是不得负三啊？它是二 x 减五，是不是也不可以啊？所以它和它不行，它和它是不是也不可以啊？那么我们用它来和它匹配一下 x 减一，如果减 x 减去， 写在这里啊，哎，用它就对了，减去 x 减四等于多少呢？ 它俩都不行，我们再来它和它这样配一下 x 减一， 减去 x 减四，括起来是不是把 x 消掉了，对不对？然后呢，负一减负四是不是得三啊？所以这个怎么样？是不是也不可以啊？来，最后它和它来写在这儿， x 减一，减去 四减 x， 哎，是不是刚好等于二， x 减五，对不对？这说明什么呢？说明我们的 说明，一减 x 的 绝对值，它就等于 x 减一， x 减四的绝对值，它就等于 四减 x， 对 不对？那你看，一减 x 就 等于 x 减一，说明什么？是不？说明一减 x 小 于等于零啊？哎，一减 x 小 于等于零，那么解得 x 大 于等于一， 那 x 减四等于四减 x 是 不是也是它的相反数，是不是？所以呢， x 减四也是小于等于零，哎，解得 x 小 于等于四，所以呢，这两项同时满足，我们可以得到什么？得到 x 是 大于等于一，小于等于四。 那如果是，呃，填空题的话，选择题的话，咱们就可以快速的用这种方式就把这个选项的结果就给它算出来了。好，你听明白了吗？

绝大部分学生都求不出来的取值范围，八年级数学下册的第二章的不等式的。我这里二十七题的第二小题 已知，非负数，非负数，这又是非负数啊！ x， y， z， 所以 x 大 于等于零， y 大 于等于零， z 大 于等于零。满足二分之 x 减一等于三分之二减 y 等于四分之 z 减三， 这个做一个根证，可能是打印错了啊。 z 减三， w 等于三， x 加四， y 加五， z 求 w 的 奇值范围。 那么对于这题，我们要求起，我们想方设法把这里的 x， y， z 啊，咱们变成，嗯，只含一个字母的，所以我们可以设它等于 k 啊。我们设二分之 x 减一等于三分之二，减 y 等于四分之 z 减三 等于 k， 所以 那么这样呢？ x 减一就等于二 k， 对 吧？二减 y 就 等于三 k， z 三就等于四 k， 对 不？那么这个 x 就 等于二 k 加一， x 要大于等于零，对吧？ x 二 k 大 于等于负一 k 大 于等于负二分离，那就 k 大 于等于负二分离。 我们看到二等于，那么把 y 移的右边了， y 就 等于二减三， k 也要大于等于零。二大于等于三 k， 那 就是 k 要小于等于三分之二， z 呢？那就等于四 k 加三要大于等于零。四 k 大 于等于负三 k 大 于等于负四分之三。 好，那么根据这里我们就可以得到， k 是 大于， k 是 小于， k 是 大于，所以 k 小 于三分之二大于等于。你看这是负零点五，这只是负零点七五 啊，负零点七五，所以，那么我们大大取较大，所以这里我们就取负二分之一了，因为这个， 这个都是大于的啊，这个比这个更大些，所以好 k 的 起的范围求完了，我们现在看到 w， 我 们把 w 都换成为 k 的 w 等于三 x， x 多少呢？ x， 刚才这里是二 k 加一，二 k 加一，加上四倍的 y 是 二减三 k 加三，四 k 加三， 好 w 就 等好二三的六 k 加三加二四的八减一十二 k 加四五，二十 k 加三五，一十五。好 w 就 等于 六 k 加二十，二十六减一十二的话，那就一十四 k 八三一十一加一十五就是二十六。 好 w 等于十四 k 加二十六。由于刚才的 k 呢，在负二分之一与三分之二之间，所以我们来看呢，所以我们就可以知道什么呢，我们这里乘一十四，看一十四 k， 呃，就小于等于乘一十四的话就三分之二十八， 哎，这乘以一十四的话，这个两边左右的一至四的话，那就是负七。 好，我们再来看到。然后呢，一十四 k 加二十六，我们这里加二十六，这里也加二十六啊，我们看到都左中右都加二十六，嗯，二十六的话，那个三分之 三分之二十六乘三分之七十八，七十八九是一百零六，三分之一百零六，呃，这个呢，那就是刚才加的二十六，二十六减七就一十九， 对吧？好，所以我们就知道了， w 就 小于等于三分之一百零六，大于等于一十九。好，这道题我们就就基本上把它给做完了吧， 那这个要每一个符号啊，每一个数字都要看清楚啊，刚才这里呢，我打印的这里有一个错误，把它更正一下啊，这个大家可以截屏截下去看一下这道题的解析过程 啊，这题目对一般的同学来说是比较难的，实际上也不是特别难，如果你要想取得好的成绩，一定每天跟着我练一练，非常好的题目。免费给你讲。你还不给我点个关注，点个赞吗？记得点赞关注哦。

我们八年级下册开学第一周呢，学习了二次根式，那现在还有很多同学呢，关于二次根式内的式子的取值范围啊，或者说 x 的 取值范围还不是很理解。那接下来呢，我给大家通过讲几道题，大家来去理解一下啊。首先我们看一下这个题目说什么？说若下列各式啊，有意义，求字母 x 的 取值范围 啊。首先呢，我们知道二次根式啊，比如说根号 a 啊，里面的这个 a 他 要满足什么条件？ a b 需要 大于等于零，对不对？它不能是个负数，它必须是个非负的。那来我们看第一题啊，根号 x 加二啊， x 加二是一个整体啊，所以说我们 x 加二要满足什么 啊？这个多项式，它必须要满足大于等于零，这个根号才成立，是不是这个根式才成立？所以 x 要满足大于等于负二啊，那这个根式才有意义，对不对？好，那第二个，那我们看一下啊，它是作为分母存在的，那分母是不是，是不是不能为零啊？ 啊？所以说这个根是四减 x， 根号加四减 x 要满足什么四减 x 啊，本来它应该大于等于零，但是它因为它为分母了，所以它不能等于零，所以四减 x 呢？ x 呢？它需要只大于零啊，它不能等于零，因为分母不能为零，所以 x 啊，我们移过来， x 就 属于什么小于四啊，这个大，大家能不能理解啊？这个是我们的第二题， 来，我们接下来看下第三题啊，第三题说什么？ x 减一分之，根号下 x 加二，对吧？那首先我们看看这个二次根式是在哪？哎，这个根式在分子的一个位置上对不对啊？在分子的位置上呢，它可以等于零啊，所以不用说只大于零就可以了。所以这个根号内的 x 加二 啊，是不必须得大于等于零啊，那 x 要干嘛？大于等于负二啊，是不是？这个能理解吧？好，那我们先看一下分母的这个位置啊，这个分母的位置是不是也有一个 x， 对 吧？那咱说了，刚才说了，分母它是不能等于零的， 那也就说 x 减一，它是不能等于零的，那就说 x 是 不能等于一的，对不对？那也就说这道题的答案是什么呢？ x 需要满足大于等于负二，且 x 不 能等于一啊，这个就是交题答案，大家能不能理解？好了，来看下第四题啊，第四题说什么呢？根号下三减 x 分 之，根号下 x 加一，作为分子的是根号下 x 加一，也就是说 x 加一 大于等于零，对不对啊？ x 大 于等于负一，那我们现在来看一下分母根号下三减 x， 刚才讲括号二的时候，老师说了， 分母怎么着不能为零，对不对？所以说呢，根号下三减 x， 我 们需要保证什么？三减 x 需要大于零，那它不能是零， 需要大于零，对不对？所以 x 小 于三啊，把它们两个一综合，也就是说这道题答案是什么？ x 小 于三大于等于负一，这个就是这道题的答案， 所以这几道就是嗯，根号取值范围特别容易混淆的题，大家一定要注意啊，尤其是基础差的孩子，一定要把这个搞懂，大家可以手动进去算一下，看看你的答案算的对不对。

大部分学生都弄不明白的，有不等式的解析，求大定的字母的起值范围的问题。 八年级数学下册的第二章的不等式，我们看到第十四题的第一小题，若关于 x 的 一元一次不等式组，它的解析是 x 大 于三，求 m 的 解析范围。 好，我们看到这里是第一个，这里是第二个，我们把这个解析啊，我们给它求一下啊， 由第一个我们就可以得到，六减三， x 减三小于 x 减九，嗯，这个 x 一 的左边来就是负 x 负四， x 六减三就是三三一六，本来就是负三负三，负九的话， 负三负九，九三一十二就是负一十二。好，两边同时除以负四 x， 那 么这个就是正三。好，小于号变大小于号耶，这个解集就是 x 大 于三，是吧？ 有第二个我们就可以得到 x 大 于，把负 m 又变了， m 减一， m 减一，那么现在他说啊，这个他的这个不等式则的几级是 x 大 于三，那么问 m 的 起值范围是什么？好，现在我们就要理解，什么东西呢？好，看到这里啊，我们画个图来理解， 嗯，这个零一二三四，好，我们看到它说这个解集是 x 大 于三，就是空心的到这边来，对吧？那么 x 要大于三， x 大 于这个，如果这个 m 减一在这里， 那么他最后的解集就应该是这个，而不是 x 二三。所以如果他的如果，如果这个 m 减一在这里是是 x 二三在这里呢？这里呢？都是 x 二三，但是如果说 m 减一就是三呢？ 那不就是两个这个三重合吗？所以有解集 x 大 于三，我们就可以得到这个 m 减一啊， 它就是可以是三，也可以是比三小的小于等于三，所以 m 小于等于四啊，这道题就是这样做的， m 小 于等于四。好，我们看到第二小题，第二个题目认真类似的，第一个，第二个， 他说不等式组无解，我们看有一得，哎，用不着有一得的哈，他已经写好了的，那么现在看来，关键就是分析什么叫做无解。哎呀，这个无解，我们还是拿竖折来跟他分析。哎呀，这个怎么说呢？ x 小 于我们小于三， a 加好，比如说 x 小 于它， 那么如果说 x 大 于它无解，如果 x 大 于这里，那是有解的，对吧？ a 减四在这，有解的，那么如果说 a 减四在这呢？ a 减四在这呢？哎，这真的是无解啊，真的是无解。我们看呢，首先 x 小 于塞一加二，比如说在这，那么 x 大 于等于这了，大的等于号， a 减四， a 减四， 如果这一减四就是这个呢？一个带了等号，一个没带等号，所以当然这也不是也是无解的，所以那就说 a 减四应该比这个大，也可以是等于这个， 所以有无解，那就 a 减四是大于三， a 加二，也可以是等于三， a 加二， 所以我们把三一的左边呢， a 减三一就是负二，一大于等于负四，一里面呢，正四就是六，嗯，两面除以负二大于等于号，变成小于等于号，就是负三了， a 小 于等于负三。 哎呀，这道题啊，所以你不要光顾着看这个答案，你要看什么东西呢？ 你要看的就是刚才我在跟你分析的时候，这一种就是没有拿笔写出来的这种语言啊。这个 m 小 于等于四，这个 a 小 于等于负三， 每天跟着我一起做这些有意义的题目，能提高思维的题目，我上一讲说你不是九八五，你高考那就是二幺幺 啊，所以一般的人都不愿意去刷我的视频，对吧？如果刷到我的视频，推荐给你周围的亲朋好友啊。这个是特别有意义的，又不收钱的，免费的，能提高你成绩的，你为什么不跟着我一起学一学呢？记得点赞关注哦！

迷糊不等式这道题能算对的概率很低，不等式的题要多难有多难，所以我们要抓住每一个基础难 题，尽量不迷糊。下面这个练习题放在这，听完我的例题之后，你再去做，看能不能一次做对，看能不能不迷糊。我们一起来看题。这是一个普通套卷的第七题， 不等式组， x 大 于 a， x 小 于三的整数解有三个，则 a 的 取值范围是什么？这种求解集中参数的取值范围的问题。第一步，我们要先画一个数轴，确定 a 的 第一个范围，首先它有三个整数解，而且还小于三，那么这三个整数解是谁啊？ 一零三是不包括的，所以二一零是这三个整数解，所以他大于的这个 a 就 一定要在负一和零之间，这个能听懂吗？所以第一步我们是先确定 a 的 一个范围。 第二步，我们要确定两个端点是不是包括在内。首先看如果 a 等于负一的话，这里 x 是 不是大于负一， x 大 于负一， x 如果大于负一的话，没有等于哈。如果 x 大 于负一的话，那这个是不是空的？ a 是 不是在零和一之间没有取到负一的地方，所以它的整数减。零一二是不是对的？所以 x 大 于负一的时候，有几个整数减，有三个整数减， 所以它是符合的。右边的端点，如果 a 等于零的时候， x 是 不是大于零啊？如果 x 大 于零的话，大于零领取空穴的话，那它的解是不是只有一和二啊？因为三也是空穴，那它是几个整数解？是两个整数解啊，是不是就是不可以啊？ 所以我们的两个端点，负一是可以取到的，零是取不到的，所以 a 是 大于等于负一小于零的。千万要注意我们求的 a 的 取值范围。 a 是 什么？ a 是 x 的 解集 的一个端点，一定是在负一和零之间，它的三个整数解才是零，一二这三个是它的整数解。 这道题就是很绕，最后我们做出结果， x 大 于等于负一小于零，选择 a 并勾，你看出来难点在哪了吗？你觉得不难对不对？确实不难，是绕很容易绕迷糊。如果你觉得你行，你把下面这个练习题做出来，看看你能不能绕明白，别怪我没提醒你，小心点，做完我可以给你打分。

看不懂题的不等式八年级数学下册报第二章不等式的，我们这里的第三十四题 第一个小题么？当一小于等于 x 小 于等于二时， a x 加二大五零，求 a 的 极值范围。 嗯，我们说 x 在 一和二之间可以等于一，可以等于二，咱们把一二带进去试一下啊。当 x 等于一时，那么一，那就是 a 加二大于零， a 就 大于负二。 当 x 等于二的时候，那就是 a 二二， a 加二大于零二， a 大 于负二， a 大 于负一， 那么所以这个 a 的 起的范围大大起加大，所以 a 大 而负一。让我们联合起来理解。那么同样的第二个，那么当 m 等于一的时候啊， x 当 x 等于一的时候， 那么这个 m 减四小于零， m 就 小于四。当 x 等于四的时候，那就是四四 m 减四小于零，四 m 小 于四， m 就 小于一， 那么小小曲加小，所以最后 m 的 曲值是小如一。嗯，这里呢，感觉到这好像写完了，不太明白什么意思啊？ 嗯，不等式呢，我们要把不等式的基本性质啊，充分的理解清楚。但然后面呢，我们还要把它如那个像方程呢，像平面，直角，坐标系呀啊，咱们都要跟他们建立一些联系来理解。 嗯，当然有的，我们课本上并没有这节题目，但这节题目呢，能够提高你的数学思维分析能力，计算能力啊，把数学学好了，未来，呃，很多能力都会得到提高的，记得点赞关注哦！

这是一道中考题型，涉及到点点距公式的应用。已知一次函数的图形平行于 y 等于二分之一 x， 也就是说啊，这个函数它的斜率也等于二分之一，我们可以将其设为 y 等于二分之一， x 加 b， 因为它经过这个点，所以直接把它带进来，也就是三等于二分之一乘以二，一加上 b， 那 么 b 也就等于二。 所以说，这个一次函数解析式就是， y 等于二分之一， x 加二，它和 x 轴交于点 b， 意味着 y 等于零，那直接把 y 等于零带进来，零等于二分之一， x 加二， x 也就等于负四，点 b 的 坐标就是负四逗零。 第二问说点 c 在 外轴上，意味着点 c 的 坐标是零豆什么？我们将其设为零豆？小 c 问的是，当 a， c 等于 b， c 的 时候，求点 c 的 坐标直接套用点点距公式。 a， c 的 平方等于二，减零的平方加上三减 c 的 平方等于四，加上九加 c 方 减去六， c， b， c 的 平方等于负四减零，括号平方再加上 c 减零，括号平方等于十六加上 c 方， a， c 等于 b， c， 那 它们平方肯定也相等。所以啊，十三加上 c 方减六， c 等于十六加上 c 方， c 方 c 方去掉负六， c 等于三，那么 c 也就等于负的二分之一，所以点 c 的 坐标就是零。逗，负的二分之一。好，听懂同学给老师点个小爱心吧！

这道题是北京中考的常考题型。依次，函数的图像是由 y 等于 x 的 图像平移得到。平移说明什么？说明在平移的过程中啊，函数的斜率是保持不变的， 原来的斜率等于一，那么平移之后，斜率还等于一。所以说这个函数的 k 啊，就等于一，那也就可以把它简化成 y 等于 x 加 b， 如果这个函数还经过一二这个点，那么就可以把一逗二带进去，也就是二等于一加 b， 也就算出 b 等于一。所以说 y 等于 x 加一，这个就是函数的解析式。再来看第二问，咱们画出一个坐标系，把第一问得到的函数图像 y 等于 x 加一，画出来，它要经过零逗一和负一逗零，斜率是正一，截距也是正一。题目说啊，当 x 大 于一的时候，咱们首先在图形中标记出 x 等于一这条数值直线， 那么这条绿色线的左边就表示 x 小 于一的区间，右边就表示 x 大 于一的区间。题目说， x 大 于一的时候，对于 x 的 每一个值， y 等于 mx 值都更大，那也就意味着在 x 等于一的右边， y 等于 mx 这条线要更高，反正 y 等于 mx 经过原点，那么我画这样的一条线，你看 绿色线的右边，的确是红线更高，如果把它变得稍微平缓一点，也就是 m 值减小，同样可以满足继续变得平缓呢？到这里还是可以满足继续变平缓。 那么在绿色线的右边，也就是 x 大 于一的范围内，就不一定满足每一个值都有 y 等于 mx 值更大了。所以说呀， 这条红色的线，也就是 y 等于 mx， 至少要从这个焦点穿过。我们先来看一下这个焦点是什么，也就是把 x 等于一，代入 y 等于 x， 加一算出来，它的焦点就是一逗二。如果红色的线恰好从这里穿过，那么 m 也就等于二。 所以说啊， m 至少应该大于二。那我们来看一下 m 能不能等于二啊？假设 m 等于二，那么这个函数就恰好从这里穿过。当 x 大 于一的时候，也就是这条绿线的右边不包含绿线本身的确有红线比蓝线都高， 满足题目的要求。所以说 m 可以 等于二。本题正确答案是 m 大 于等于二。像这种题目啊，保险起见，你最好还是把临界的情况单独研究一下。

今天我们来分享一次函数的一个区间问题啊，我们来读一下题，平，在平面直角坐标系当中有一个点 p 的 坐标，横坐标 m 加一，重坐标 m 减一， 让我们判断这个点 p 是 否在直线啊。一次函数 y 等于 x 减二上，第一问非常简单，只需要我们把横坐标带入进来，也就是 y 等于 m 加一，减二啊，最后等于 m 减一啊，和我们的中轴标相等了，所以点 p 在 我们的这个 y 等于 x 减二的直线上。 那主要我们来看这个第二问啊，给了我们一个图像，依次函数 y 等于负二分之一， x 加三，这个图像和 x 轴、 y 轴分别交于 a、 b 两点。 点 p 如果在这个三角形内部求 m 的 曲值范围，那我们来看啊，点 p， 如果在这个 三角形内部，那点 p 就 应该满足它的横坐标，横坐标在这么一个区间，它的纵坐标一定要小于这个直线，也就在这直线下方啊，同时大于，大于这个大于零， 那 x 它的横坐标横坐标是 m 加一啊，也就是横坐标 m 加一 啊。我们拿到点 a 呀，先把 a 点的坐标拿到 a 点，也就是 y 等于零， y 等于零， x 等于六，所以点 a 的 坐标六度零，也就是第一个要我们要满足 m 加一，要小于六， 大于零，也就是横坐标要在这个区间内啊，要在这个区间内，那重坐标要在这个直线以下，在这个 x 轴以上，那重坐标重坐标，也就是 m 减一啊， m 减一， m 减一，一样的要大于零， 大一点要小于谁呢啊？小于重坐标一定要小于这个直线以下，那这个直线又是什么表达？这个直线 y 啊，是等于负的，也就等于负负的二分之一 x 加三 啊，要小于这一部分，所以通过一个不等式组，我们可以确定 m 的 范围啊，我来解一下，第一个就是 m 应该小于五，大于负一， 呃，第二个啊，我们把这个同时乘以二，消掉一个二，二分之一啊，也就是二 m 减二小于， 呃，负 x 加六啊，大于零，这里的 x， 我 们还是可以用这个 m 加一换掉的啊。 m 加一也就是负的 m 减一加六啊，小于二 m 减二大于零， 我们在左右两边再加二，消掉一个二加二。哎，到这写啊，也就是二小于二 m 啊，小于加二负 m 啊，八加七啊，所以 m 大 于这个就是一 啊，小于这个 m。 呃，等式的，这边我们可以拆拆过来看啊，它应该小于三分之七，三分之七啊，综合一下 啊，我们 m 的 区间在三分之七和一，这个在五和啊，综合一下，所以我们取到的值取到 m 的 范围就是一到三分之七啊。希望这个题对你有帮助。

啊，十五题，十五题里面的啊，正比的函数你算的是多少？第一问，我算出来 y 等于 uh 二分之三， x 好 正确，那么它的第二问 我看看啊，我要找到我的第二问，第二问的时候，呃，要求截距比的取值范围，你是多少？ 没算出来啊，刚才小杨一下子告诉我没算出来，其实一点都不难啊，你看看啊，做这个时候我们是怎么思考的？ 我先，呃，还是那个方法，我画图，我画出来我这个草图，我就大概知道我这个范围在哪。好，我把草图画一下 啊，那根据我这个 a b 的 函数解析，是 y 的 一个负的二分之一的 x 加二，所以我确定 a 点的坐标在这里， 当 y 等于零的时候， a 是 四，逗号零，然后当 x 等于零的时候， b 点的坐标是零，逗号二，是不是这样呢？ 然后呢，我们把直线画上，好，把直线画上，由于在直线上有一个点 c， c 点的坐标，你求对了一逗号二分之三，所以这个正比的函数你也做对了，是它 明白哈？对，哎，好了，那下面问题来了，他是这样的说，他说你把这个正比的时候，有这么一个这个 正比的函数跟 a、 b 线段之间的交点为 d， 那 我可以知道 d 可以 在这， d 也可以在这，但是 d 不 能超过线段，所以它有一个这个，对吧？ 哎，还有一个，这个才要他的取值范围，那我这个地方我设他交了一个点 m， 那 我现在知道这个比点就有用，为什么说它有用呢？它是不是代表的这个截距比就可以等于二啊，对吧？ 我只要不超出这个范围，我小于等于二不就可以了吗？是不是？关键是这个怎么求啊？这个怎么求？ 求它的时候我是想，反正你跟我这个平行，那你们俩的 k 值是一样的， y 都是等于二分之三 x， 然后加一个 b 不 就行了吗？把 a 点带进去就求出来了是不是？ 嗯嗯，简单吗？那我写过程的时候我怎么写到第二？问了。那我就是因为直线 y 等于个负的二分之一的 x 加二于 x 轴， 顿号 y 轴，这都是它的已知条件哈。交于点 a b， 然后我就列 y 等于零，然后，所以 x 等于四， a 点的坐标就是四，逗号零，然后呢，我们再令 x 等于零，所以 y 就 等于个二，所以 b 点的坐标是零，逗号二，因为 y 等于二分之 x， 呃， 上下平移，对吧？嗯，哎，上下平移。第一种情况，当切点滴在线段 a b 上。第一种情况，当点滴与点鼻重合时， 重合时，那么我们 y 等于二分之三 x 加 b 七 b 就 等于二，能理解了吧？嗯啊，第二个，当点 d 与点 a 重合时， 那我们就设 y 等于二分之三， x 加 b， 将 a 点的坐标带进去，将 a 点的坐标四逗号零带入， 那这时候就有零等于一个二分之三乘四加 b， 所以 我这个 b 等于个负六，所以 b 的 取值范围 因为它下面不能超过负六了，不能比负六再小，所以鼻的曲值范围大于等于负六。小于等于二，可以理解吗？嗯，哎，给它表述明白就把题做好了。这个题不难。

来，首先第一问，他就跟你以前做的不太一样，对吧？你会发现第一问呢？对于这个一次函数来说，他只给了你一个点，叫做说这个一次函数的图像经过点负二到负三，那么各位，养成一个条件反射，各位，养成一个条件反射， 只要函数的图像经过某个点， 那就干嘛呢？各位，就将这个点的坐标带入到函数解析式当中， 所以各位同学，我们会发现，我们将负二负三这个点带入到一次函数 y 等于 k， s 加 b 当中，那也就是负三等于负二， k 加 b。 各位，我们是得到了这样的一个等式，但是你会发现，由于这道题只有一个点，那一个等式又没有办法同时求出来 k 和 b， 所以 这道题一定还会有第二个条件，什么条件呢？各位，这个条件叫做 一次函数 y 等于 k， s 加 b 与一次函数 y 等于二分之一， x 加一平行。各位， 平行意味着什么呢？平行意味着依次项系数相等。 各位，什么是依次项系数？对于左边这个函数来说，各位，依次项系数就是 k， 对 于右边这个函数来说，依次项系数是多少？是二分之一， 所以依次项的系数平行。各位，同啊，所以各位，平行意味着依次项系数相等，那就意味着什么呢？各位，意味着 k 等于二分之一 啊，所以这里说明的一个事情是平行。我们知道依次项系数相等，所以 k 等于二分之一，那么 k 等于二分之一了。之后，朋友们， 我们把 k 等于二分之一，再代入到上面这个式子当中，你就会算出来，负三等于负二，乘以二分之一再加 b， 所以 各位， b 等于多少？ b 等于负二， 那么朋友们，我们就能干嘛呢？我们就能求出来这个函数解析式是 y 等于二分之一， x 减二。那么各位，画出来图像就是长什么样子的，长这个样子， 哎，这就是我们画出来的图像，这条黄色的直线就是我们的 y 等于二分之一， x 减二。 来，各位，所以这道题考察的核心。第一问，考察的核心是什么？是我们依次函数当中最常见的两种条件反射。第一个条件反射叫做点在函数图像上。哎，那我们就要干什么？就要将这个点的坐标带入到解析式当中，这是第一个条件反射得到这个 好。第二个条件反射是什么？第二个条件反射指的是两个函数平行，两个函数平行意味着什么？意味着依次向系数相等，所以我们就得到了 k 等于二分之一， 这就是我们的第一问啊。好，各位，紧接着我们再来看第二问。第二问在做的时候呢，跟我们之前所做的是一致的。各位，首先他给了你一个 x 大 于负二，所以你要画一个 s 等于负二， 你要画一条竖线，然后告诉自己，你接下来要找的区域在哪呢？你接下来要找的区域在这条竖线的右侧，这边是你要看的一个区域。 好，紧接着它又给了一条一个函数，叫做 y 等于 mx。 各位， y 等于 mx， 我 们之前说了， 由于依次向系数不确定，各位， y 等于 mx， 由于依次向系数不确定，也就是 m。 各位，依次向系数是 m， 它不定，所以代表了它一定是旋转的， 它是旋转的直线。而各位，旋转的时候，你得有一个旋转中心吧？哎，旋转中心是什么呢？各位，旋转中心 是不论 m 取什么值？对，旋转中心是不论 m 取什么值， x 和 y 都不会变的点。 来。各位，旋转中心是不论 m 取什么值， x 和 y 都不会变的点。那怎么样达成这个条件呢？各位，怎么样达成这个条件呢？你只需要干什么？各位，你只需要让 m 乘以的那个数变成零就行了。 来，各位，我再教一遍啊，这个很重要，我们怎么去找这个旋转中心呢？我们怎，我们怎么去找不管 m 怎么变，这个函数都会过的那个点呢？非常简单，你只需要让 m 乘的那个数变成零就行了。 那各位，在这道题当中， m 乘的是 x， 所以 你只需要让 x 等于零，你会发现 x 等于零的时候， y 等于几呢？各位， y 也等于零，所以这个一次函数永远过谁？各位，永远过零到零这个点就在这。 那么同时我们又知道，各位，它是 y 等于 mx， 它是什么？它是你随便画一个点，然后它就绕这个零到零就开始干嘛？就开始旋转，对不对？它就绕着这个零到零开始旋转，就这么转，对吧？就这么转 啊，就这么转好，然后他说在转的这个过程当中，他要我们干什么？各位，他让我们去找 红色直线的函数啊，红色直线的这个函数值要大于谁？大于我们所求出来这个黄色直线的函数值，也就是什么呢？各位， 也就是它让我们去找红色直线要整体比谁高，要整体比黄色直线高，并且它限定了在哪个部分？各位，它是不是限定了在 s 大 于三的这部分啊？啊？在 s 大 于负二的这部分啊？各位，是不是它限定了在 s 大 于负二的这部分？ 好，各位，那这道题我们就翻译完了。各位，这道题我们就翻译完了，紧接着我们就要开始操作了。来，各位瞅一瞅你对于这道题的一个理解，有没有问题？ 哎， y 等于 mx， 这条直线是绕着零到零旋转的一条直线， y 等于二分之一， x 减二是这条黄色直线的右方。 那么题干当中想要问我们的是什么情况下，我们红色直线会在蓝啊？红色直线会在 s 大 于负二的时候，永远都比黄色直线要高。各位，这就是他问我们的一个事情，对吧？ 来，各位瞅一瞅这道题的一个问题，有没有不理解的地？ 那没有的话，各位，我就要，我就要来开始讲这个操作了。各位，旋转的操作会比我们平移的操作要难一些。 对，但是如果你抓住了，刚才我教你那个东西。各位，如果你抓住了，刚才我们说只要有焦点，只要两条直线相交，它们有焦点，焦点一左一右。各位，只要两条直线相交 啊，不管是什么样子的香蕉，各位，不管你是这个样子的香蕉还是这个样子的香蕉，只要两条直线有交点，那么在交点的左边和交点的右边交点的左右， 他们的高低关系一定不同，对吧？焦点左边是红高啊，焦点右边就变成蓝高了。所以只要两条直线相交，那在焦点的左右关系啊，那在焦点的左右，他们的高低关系是不同的， 只要你能够抓住这一个点，你会发现旋转起来就变简单了。好，各位，那我要来开始讲这个旋转的操作了啊。旋转，各位，我们讲究一个全面、细致、有序动。 来，各位，缓一口气啊，注意听，集中注意力这边比较重要。旋转，咱们讲究一个全面、细致、有序动。所以各位，我，各位，我的一个做题习惯是什么？我喜欢将一条直线 从水平开始，从水平开始做逆时针转动，然后恢复到水平 位置。啊，就算做完一圈啊，就算做完，啥意思呢？各位，对于这条红色直线，红色直线它不是一个可以旋转的吗？对不对？我就让这条红色直线干嘛呢？从水平开始做一个逆时针，转什么呢？转上一百八十度， 转完一百八十度之后，你会发现他又恢复到了水平位置，那我就认为，哎，我自己已经转完一圈了，这就是我的一个习惯，这个习惯有什么好处呢？各位，我们来首先来研究第一个， 你会发现你转完这一圈，转完这一百八十度，他肯定是能够把所有 m 的 任何值的情况下都考虑到的。同时各位，你会发现直线在逆时针转动的时候， 我们的斜率是怎么变化的呢？ 来，各位，从一开始的水平位置。各位，水平位置，你记住是斜率。 m 等于零时，它有的时候是不可取的 啊，各位，它，它有的时候是不可取的，但是在水平位置的时候确实是 m 等于零。好，各位，从一开始水平位置的时候开始进行逆时针转动。 我发现各位，来，对于我们这条红色直线来说，我们做一个逆时针转动，各位，我发现随着我逆时针转动的时候，各位，你有没有发现这个斜率是在逐渐增加的呀？ 来，朋友们，我们举个例子，一开始斜率 m 是 等于零的，然后各位，假如我的直线逆时针旋转到这个位置的时候，你会发现它过什么呢？各位，它过这个三斗一，过三斗一，意味着此时的 m 一 等于多少？等于三分之一。 好，然后各位，我还可以再接着逆时针旋转，哎，你会发现逆时针旋转的时候，旋转着旋转着，你这个点就过多少了，就过三到二了， 哎，各位，过三到二的时候，是不是意味着我们这个直线的斜率是多少？是三分之二， 哎，所以你会发现它从三分之一逆时针旋转，它就会转到三分之二。然后各位，如果你再做逆时针旋转，你会发现它又会过多少？它又会过三斗三。 所以过三斗三的时候，各位，我们注意到 m 三就等于多少了，这个斜率此时就等于一了， 这个斜率此时就等于一。当你再做旋转，各位，你会发现它又会过谁？又会过三斗四？那过三斗四的时候，各位，这个斜率 m 四就等于多少？就等于三分之四了。所以你会发现，随着我们这条红色直线做逆时针旋转， 你会发现我们的斜率是从零开始增加的。各位，你会发现随着我们开始进行逆时针旋转， m 的 值，也就是斜率的值， 斜率的值从零开始增加，哎，或者说从零开始增大。各位 来瞅一下有没有问题，有没有问题？朋友们，逆时针增加的过程当中，我们会发现斜率的数值是在增加，呃，是是，是在增大的 啊，斜率的数值是在增大的，那么各位，我们会发现它一直增大，一直增大，增大到什么时候呢？哎，你会发现发，发现，各位， 随着它不断贴近于我们的外轴，各位，随着这条直线不断的旋转到我们的外轴的时候呢，我们会注意到它其实就变成什么了，它其实就变成了一个无限大啊，从零开始增大，一直无限增大， 一直无限增大，各位，直到我们这个斜率啊，各位，直到我们这条直线逆时针旋转成竖直状态的时候。注意各位， 逆时针旋转成竖直状态时，各位，由于此时不算做函数，各位，当我们红色直线变成一条竖直线的时候，它是不算做函数的，所以这种情况下，各位你记得要排除它， 这是一定会排除的啊，一定会排除的，因为它此时不叫做函数。各位，然后越过了数值状态之后，各位，越过数值状态之后继续逆时针旋转。 各位，我们会发现，越过数值数值状态之后，你会发现 k 的 值一下子就平，就从大于零变成了小于零了。各位， 来，我们再来一遍，各位， k 的 值啊，或者说斜率的值，它一开始进行逆时针旋转的时候都是大于零的，但是各位，它一旦越过了数值状态，到达了左半部分的时候，各位，到达了这边的左半部分， 到达了这边的左半部分的时候，各位，你就会发现它就斜率的值就变成了一个负数， 哎，斜率的值就变成了一个负数。所以各位，你在这要记住，越过数值状态之后，继续逆时针旋转的时候，这里边斜率会有一个突变， 有一个什么突变呢？各位，从大于零的数一下子变成小于零的数， 这是很重要的一个变化，各位，这是很重要的一个变化，而且各位，你会发现，当它变成小于零的数值之后，各位，我们来看，假如这个点是经过这个的，这是多少呢？这个是负一斗一，二三四五，这是负一斗五。 那么各位，当这条直线经过负一斗五的时候，你会发现它的斜率是多少？各位，它的斜率 k 是 等于负五的， 对吧？各位，当它经过负一斗五的时候，它它的斜率 k 是 负五的。好，然后再做一个逆时针转化变化。各位，因为它随着逆时针旋转，它又过谁了？它又过负一斗四了，所以这个时候 k 是 等于什么？ k 是 等于负四的 好，各位，来再进行逆时针变换，你会发现他又过多少了？他又过负一斗三了。各位，此时的 k 是 多少？ k 是 负三好，然后再逆时针变化，各位，过多少过负一斗二， 哎，此时 k 是 等于负二的。好了，各位，你会发现，我举的这几个例子的时候，各位，我们的 k 是 不是就从负四负五变到负四，变到负三，又变到负二， 它这样的变化是怎么变化的？是随着我们这条红色直线做逆时针转动的时候变化的，对不对？所以各位，我们会发现， 当 k 小 于零的时候，各位，我们只要是逆时针转动，是不是我们的斜率也是在增加的呀？毕竟负二是大于负三，大于负四，大于负五的 对不对？所以各位，你会发现在斜率小于零时，我们直线做逆时针旋转，斜率呢？依然是增加的 啊，斜率依然是增大的，而且各位你会发现它增大着，增大着它又有一个奇值。各位，一开始是负五，后边是负四，然后是负三，然后是负二，然后是负一，那你知道再往后走就可能就是负的。 负的四分之三，三分之二，二分之一，三分之一，四分之一，五分之一，六分之一，七分之一，八分之一，九分之一。各位是，你是不是会一直增加，一直增加，直到到什么时候，直到它达到水平位置，也就变成零了， 所以斜率会从负数开始一直增加， 直到斜率变为零。各位啊，这个是我们今天要重点掌握的一个内容，如果你把这个内容掌握了之后，你会发现你接下来再做所有直线旋转的题目，做起来就会很放松了 啊，做起来就会很轻松了。来，各位好好研究研究这道题啊，好好研究研究这个变化的一个过程。

大家好，今天我们来看含参二次函数的第二节类型二，参数在点的坐标中。二零二三年的威海中考原题 第一问很简单，在我们将已知条件 a、 b、 c、 d 以及顶点 e、 f 的 坐标分别标出以后，由抛物线 l、 e 与 x 轴的两个交点 a 和 c 的 坐标给知道。 该抛物线的对称轴呢，也就是直线 x 等于三，所以顶点点 e 的 坐标，也就是三 k。 同理，抛物线 l 二的对称轴，也就是直线 x 等于六，所以顶点 f 的 坐标呢，六 k 这样水平线段 e、 f 的 长呢，也就是三。 第二问，有抛物线 l 一 上的 m 点和抛物线 l 二上的 n 点横坐标呢？一直，然后让我们比较重坐标第一第二的大小。这一问呢，我感觉也不是太难，就是考察了一个运算能力， 利用抛物线的顶点式，有 l 一 的顶点，坐标三 k， 那 我们可以设 l 一 的表达式，然后将点 a 的 坐标一零带入，可以解得 a 呢，就等于负四分之一的 k， 这样 l 一 的表达式就可以表示出来，然后将 m 点的坐标带入，可以得到第一的值。当然是含 k 的 代数式， 同理，有 l 二的顶点六 k， 可以 设它的表达式，然后将 b 点的坐标二零带入，同样可以解得 a 片的值。所以 l 二的表达式呢，也可以表示出来，然后将 n 点的坐标带入，同样可以表示出 d 二的值。 因为第一第二呢，均是含 k 的 代数式，那我们可以利用作差来比较它们的大小。在表示出第一第二的差以后，因为 k 的 值呢，很明显是小于零的，所以它们的差呢，就大于零，那最终第一就大于第二， 下面重点我们来看第三问，因为第三问的内容呢，只与抛物线 l e 有 关。再将图形简化以后，下面将给出五种解体方法， 解法一直接计算，无需讨论，由第二问。在我们表示出 l 一 的表达式以后，将点 p 的 坐标带入，可以得到 f 一 的值，同样将点 q 的 坐标带入，可以表示出 f 二的值， 因为 f 一 小于 f 二，这样我们就得到了一个不等式，将该不等式进行化简，然后利用十字相乘得到三 n 减四与 n 减四的乘积大于零， 然后利用二次函数的两点式，有图形可以直观的看出，最终的结果呢，就是 n 小 于三分之四或 n 大 于四。 解法二远近比较乏，因为抛物线的开口方向呢，向上对称轴直线 x 等于三，点 p 的 重坐标 f 一， 小于点 q 的 重坐标 f 二。那在我们过点 p、 q 分 别做对称轴的垂线以后， 根据上期视频讲到的必备知识点，无论 p q 的 位置如何，点 p 到对称轴的距离要小于点 q 到对称轴的距离， 这也就意味着点 p 距离对称轴呢较近。所以我们就会得到一个含有绝对值的不等式，再将该不等式两边同时平方，得到了与刚才解法一相同的不等式，那以下的解法就是完全一样的，这里我们就不再重复的讲了， 我看有的博主呢，他是这样解释的，分别过 p q 做水平的直线，因为点 p 的 重坐标 f 一， 小于点 q 的 重坐标 f 二。那么点 p 所在的水平直线 必定在点 q 所在的水平直线的下方，并将这样的两条水平直线呢称之为等高线。 这种说法呢，也很好，不但简洁，还很直观，因为点 p 所在的等高线呢在下方，这也就意味着点 p 到对称轴的距离小于点 q 到对称轴的距离，所以点 p 呢，距离对称轴是较近的。 明白了等高线的说法，下面我们来看第三种解法，远近比较法。这一个方法呢，要画草图进行讨论， 下面就针对点 q 的 位置进行讨论。第一，若 q 点在对称轴的右侧， 因为 f 一 小于 f 二，那么点 p 所在的水平直线一定位于点 q 所在的水平直线的下方， 这是图中的点 p q 的 横坐标需要满足三个条件，第一， q 点在对称轴的右侧，所以其横坐标二 n 减一大于三。 下面的两个条件就是，第一，因为点 p 所在的水平直线在下方，所以无论点 p 在 对称轴的左侧还是右侧，点 p 的 横坐标 n 减一， 同时有上期视频中的必备条件，此时线段 p q 的 中点点 h 必定位于对称轴的右侧，所以其横坐标呢大于三。这样我们就得到了一个不等式组，接这一个不等式组，然后由通大取大， 这种情况呢，最终的结果就是 n 大 于四。第二种情况，若 q 点在对称轴的左侧， 那由 f 一 小于 f 二。同样的道理，图中点 p q 的 横坐标同样要满足三个条件， 第一，点 q 在 对称轴的左侧，所以其横坐标二 n 减一呢小于三。第二，点 p 的 横坐标 n 加三，大于点 q 的 横坐标二 n 减一。 第三，线段 p q 的 中点点 h 位于对称轴的左侧，所以中点坐标公式，其横坐标呢小于三。 这样我们也会得到一个不等式组，解这个不等式组，然后从小取小。该种情况最终的结果就是 n 小 于三分之四，最终的结果呢，仍然是两种情况， 解法式，远近比较法。这个呢，也是利用图形讨论。在平面直角坐标系中，我们知道两点之间的水平距离呢，是其横坐标的差，由 p q 两点可以知道， 那么其横坐标的差呢，等于 n 减式。这里我们用 q 点的横坐标减去 p 点的横坐标。 下面我们就以这个差的大小来讨论 p q 两点的左右位置情况。第一，若 n 减四等于零，也就是 n 等于四， 此时 p q 两点呢，重合 f 一， f 二相等不合体。情况二，若 n 减四大于零，也就是 n 大 于四的前提条件下，点 p 的 横坐标 n 加三大于七， 点 q 的 横坐标二 n 减一也大于七，并且点 q 的 横坐标二 n 减一大于点 p 的 横坐标 n 加三。所以这种情况下呢，点 p、 q 均在对称轴的右侧， 并且点 p 又在点 q 的 左侧，那利用此时抛物线对称轴的右侧增减性外随 x 的 增大而增大，可以知道，此时 f 一 小于 f 二呢，是成立的， 所以该种情况 n 大 于四就是成立的。第三种情况，若 n 减四小于零，也就是 n 小 于四，可以知道此时点 q 呢，在点 p 的 左侧。 但是光是点 q 在 点 p 的 左侧，并不能保证始终 f 一 小于 f 二，就像这种情况下， f 一 是大于 f 二的， 而这种情况下呢， f 一 又小于 f 二的，如何保证 f 一 小于 f 二永远成立呢？ 那我们还引入前面的等高线， f 一 小于 f 二，要向横成立，那么点 p 所在的水平直线一定位于点 q 所在的水平直线的下方， 那如何保证这种情况恒成立呢？其实呢，很简单，连接 p q， 只要使得线段 p q 的 终点点 h 位于对称轴的左侧就行了。 大家来看动图，只要总点点 h 在 对称轴的左侧，那么过点 p 的 水平直线一定在下方， f 一 一定是小于 f 二的。假如总点位于对称轴的右侧，那情况呢，刚好相反。 所以综合以上分析中点点 h 的 横坐标小于三，这样可以解的 n 呢，小于三分之四，那这种情况从小取小 n 小 于三分之四。三种情况讨论下来，最终的结果呢，仍然是这两种情况。 最后一种结法，结法五，利用抛物线的对称性，也就是对称法。这里呢，我们选择重坐标较大的 f 二所在的点点 q， 对 它来进行讨论。第一种情况， 若点 q 在 对称轴的右侧，那么点 q 的 横坐标二 n 减一呢，大于三，因为是利用抛物线的对称性 做出点 q 关于对称轴的对称点。当然这个对称点 q 片的坐标呢，是可以表示出来的。若 f 一 小于 f 二，这屁点必在跑物线上 q 片 q 之间运动。 也就是说点 p 呢，一定在直线 k o k o 片的下方，在直线的下方。所以点 p 的 横坐标 n 加三，大于 k o 片的横坐标七减二。 n 小 于 k o 点的横坐标二 n 减一。 注意，此时得到的是一个连续的不等式，其实是一个不等式，主最终解得呢， n 大 于四。 第二种情况，若点 k o 在 对称轴的左侧，此时的横坐标二 n 减一呢，小于三， 同样作出点 k o。 关于对称轴的对称点 k o 片有 f 一 小于 f 二，那屁点呢，仍然在抛物线上， k o 片 k o 之间运动，也就是屁点呢，在直线 k o 片的下方， 此时点 p 的 横坐标 n 加三，大于 q 点的横坐标二 n 减一，小于 q 偏的横坐标七减二 n。 这里呢，仍然是一个不等式组，解得 n 小 于三分之四。综合以上分析，结果呢，仍然是这样两种情况。 好视频的最后呢，给大家提供一道同类型的中考原题，二零二三年福建省的中考原题。假如你要是感兴趣的话，不妨呢来做一下，可以将你的答案呢发布在评论区里面。

没时间解释了，高等数学最难的题目，求抽象函数的定义域，一分钟十道题不在话下，来吧，请看教你两招来专门解决抽象函数定义域的问题。第一招是定义域一定是指 x 的 取值范围，这招可以用来读懂题。看这道题，已知 f x 的 定义域是三到五，求 f 二 x 加一的定义域就是求这个 x 的 范围。 好，第一招使完，我们已经明白题目给了什么，让我们求什么了。再强调一遍，只要看到定义域就一定是指 x 的 范围。现在题目弄懂了，接下来要求答案 别急，我们来用第二招。第二招是括号内的范围等同，这句话的意思就是这个括号里二 x 加一的范围等于这个括号里 x 的 范围，因为这个 x 的 范围是大于三小于五， 所以这个二 x 加一的范围也是大于三小于五。现在题目要求它的定义域，刚刚说过，定义域一定是指这个 x 的 范围，所以得把 x 的 范围求出来， 得出来的结果是这个，那么这个就是 f 二 x 加一的定义域，写成集合形式就是 x 大 于一小于二。怎么样，你学废了吗？