工程力学扭矩图怎么画

我们刚才讲的都是一个轴上面只有一对外立扭矩，对吧？一对相同的外立扭矩方向相反，那么这个扭矩 就很容易判断了，对吧？那么如果一个轴上面有多个外扭距，然后我们怎么来分析每一段的扭距是多少呢？ 我们也是一样的，跟我们的轴力是一样的。通过逐段分析法，如图所示，一个外一个轴上面有四个外扭距，分别是 m e、 b， m e c， m s e d 跟 m e a， 对吧？这个外里有句都肯定是平衡的，我们在整个才的力学中，我们除了动载和那一张结哎，不是平衡的， 其他的所有的章节都是平衡的。但是东仔和那一章节，运用一个我们的动静法，使用一个惯性力的一概念，使系统重新恢复平衡，其实也是平衡的，对吧？所以整个材料理学中都是围绕平衡来写的， 那我们整个系统是平衡的，那我们就可以通过我们的外力有据平衡原理来求助我们未知的那个理由，对吧？比如说我们 meb 等于三百五十 牛米，对吧？ m c 呢？ m e c 呢？等于三百五十，对吧？牛米？ m e a 呢？等于一千一百四十六牛米，那么 m e、 d 呢？就可以很容易求出来，对吧？因为 b、 c、 d 与 a 是刚好 什么相反的，对吧？那么 b， c、 d 加起来等于 a， 对不对？那么 m e， d 呢？就等于 m e a 减去 m e b 减去 m e c， 其实就很容易求出来，对吧？但是这里面不用我们求，为什么？第一是加在中间的，我们求出我们的 b c， c， d 跟啊 b c c d 跟我们的 a、 d， 我们都不用求助我们那么一 d， 对不对？我们主断分析法，先分析我们 b c 段， b c 段，我们就断开这个截面，对吧？我们取我们的左边进行分析，那么断开这个截面， 我们去左边进行分析，成为 b 点，对吧？有一个沿右是右手定制啊，有一个沿着洁面向里的一个外扭距 m e b 等于多少？等于三百五十， 对不对？那么这里应该也有一个什么垂直洁面向里的，沿着我们洁面的内发型方向有个内地 t， 对吧？ t b tbc tbc， 对吧？那么就是这个 tbc 与这个 meb 平衡大小相等的三百五十牛米，然后呢，它是垂直洁面向里的，那么就是负的三百五十，看到没有？看这个图没有，在我们沿着我们的这个 x 方向有一个负的 三百五十，那么就画出这个复制啊，一定要穿一个就画出这个标志啊，复数值标志。然后呢？ cd 断了 cd 段，我们就什么也是一样的，对吧？也是一样的。同学们， 我们就断开这个洁面，断开 cd 段的洁面，对吧？断开 cd 段的洁面这边有个 m e b， 这么有一个 m e c， 那么 c d 段的洁面呢？这个都是相同的，那么 c d 段的洁面与它与它相反，对吧？那就是垂直洁面也是向里的，对不对？等于多少？ dem m e b 加上 m e c， 因为 b c， 它都是 沿着同一同一个方向，都是垂直于前面向里的歪扭去，对吧？那我们这个时候踢与他相反， 对吧？与他相反，他都是，他都是向左的嘛，就是向右的嘛，那个 t 就向左，对不对？那么就也是垂直界面向底的负的 m e b 加上 m e c 等于多少？七百等于负七百，那我们由求 a d 段呢？我们就 不用这么麻烦了，我们就断开这个界面，对吧？断开这个界面，取右端进行分析，是不是简单一点呢？因为右端只有一个 mea， 对吧？是不是简单一点？那么右端有一个什么与他 方向相反的，对吧？也是什么？那么也是垂直洁面向里，对吧？右手定则四指指向这个扭转方向，看到没有？大拇指指向我们的，我们的扭矩的方向。垂直洁面向里，那么这个 ttad 得多少？等于 一千一百四十六，大小是一千一百四十六，也是 mea， 他也是为负的。垂直洁面向里有句垂直洁面向里也是为负的，对吧？ 你看看这个图不就画出来了吗？对不对？兄弟们，那我们这都是什么？都是我们的大小恒定的 一个外扭距，对不对？那么如果这个不是这个轴上所说的外扭距，不是大小横定的呢？它是一个沿着轴线方向啊，作用着均匀分布的 扭距啊，扭，扭距外里有距，对吧？也是外里有距，那么他在每单元长度的极度是 m， 那么这个扭距是多少呢？扭距就是等于 t 等于 m x 啊，一般都是从自由自由端进行分析，我们分析求扭距啊，一端都是，如果一端是固定的，固定的 预端是自由的，那么一般都是从自由端开始分析，为什么我们也可以从固定端分析，但是呢，我们一定要把固定端的这个固定端的这个扭，这个外扭就取出来，因为固定端与它 有一个什么，有个歪里有句等于多少？等于 m l， 这比如说整个长度是 l， 对吧？那么有个 m l 与他方向相反，那么就麻烦了，对不对？我们一般就可以充什么自由端进行分析，为什么？ 我们看看，其实这个极度啊，其实就很像什么？很像我们的君不咋喝。 均不窄和 q， 对不对？那么这个时候我们沿着这个距距离为 x 的这个均不窄和总体是多少？ f q 是多少？这多少 q x 嘛？这个扭距啊，外扭距也是一样的，对不对？我们断开这个洁面， 我们这个洁面上面这个又取自由单进行分析，那么右边这个洁面是多少啊？右边这个是多少？外六局是多少？ m e x 多少是等于我们 m x， 那么这个也有个外扭距，对不对？有个外扭对吧？有一个扭距与我们的外扭距平衡，对吧？然后就这样子与它方向相反，对不对？ t 就等于 m 一等于多少？ m x 对不对？是不是？ 那么垂直洁面向外，那么就为正的对不对？ 垂直前面向外，那么这个扭距是多少？ m x 对不对？那么这个扭距图是多少？是怎么画的？ 就是 m l 最大值是 m l， 对吧？就这么画，然后正着，然后画出我们的竖线就行了。 t 对不对？这个就是样子极度，不要怕啊。

啊啊啊。

扭转在工程中常遇到承受扭转变形的杆件，例如传统轴 如下图所示，其受力的特点是外力，是一对大小相等、转向相反的力偶作用在垂直于赶轴线的平面内。 其变形特点是各横截面绕轴线相对转动。杆件的这种变形形式称为扭转，以扭转变形为主的杆件称为轴。 在研究扭转的硬力和变形之前，首先要确定作用在轴上的外力偶和横截面上的内力。 对于传动轴，通常已知轴所传动的功率 p， 转速 n， 其扭转外列偶可由动力学公式直接求得。 mo 等于九五五零乘 p 除 n 四中功率 p 单位是千瓦转速， n 单位是转每分钟利偶聚 mo 单位是牛米。 扭矩图为了直观的表明扭力沿感轴线的变化情况， 以横坐标表示横截面的位置，重坐标表示相应截面的扭距，这样做出的图线称为扭距图。 x 轴上方为正直向线，下方为负直向线。根据作用与反作用定律，内力总是成对出现，且等值反向。 根据截面法，将走一截为二，认取其一，该截面所受的扭距与任意一侧扭距的带数和相等。 我们之前学过力对轴之距，力对轴之距。在同一轴线上是带数量 可以直接相加减。注意符号，按右手螺旋法则，逆时针为正，顺时针为负。我们看一下右图所示， 我们以这个方向为 x 轴的正方向，把这一个各个扭矩都标示了正符号。下面我们以结面法分别在一、二、三、四、四个结面上 研究一下洁面所受的例句，我们以左段为研究对象。 洁面仪的左段例句，怠速和为负的一点五千牛 内力，偶具与之等之反向为正的一点五千牛米。洁面二的左段有两个例句，一个负的一点五， 一个正的一。左段例句，代数和为负一点五加一等于负的零点五牵牛米， 内力偶具与之等值反向为零点五千牛米。洁面三的左段例句有三个， 怠速和为负一点五加一加一点五等于一千牛米， 内力，偶具与之等姿反向为负的一千牛米。 洁面四的左段有四个例句，的怠速和为负一点五加一加一点五加二 等于三千牛米内力，偶具与之等值反向为负的三千牛米。根据上述计算结果，分别将数值在正负向线中画出，就得到了该轴的扭矩图 力如出所示，传动轴椅子转速 n 等于九五五转，每分钟功率有主动轮 b 输入 pb 等于一百千瓦。 通过从动轮 ac 输出 pa 等于四十千瓦， pc 等于六十千瓦。划出轴的扭矩图解一、根据外力偶具 计算公式， mo 等于九五五零，乘 p 除 n 分别计算各部位扭矩。 我们分别将数字带入，得到了 ma 等于四百牛米， mb 等于一千牛米， mc 等于六百牛米 二、根据洁面法分别计算洁面一杠一、洁面二杠二上左段的扭距、怠速合 洁面一杠一左段的扭距、怠速和只有一个为四百扭米 内力，偶具与之等值反向为负的四百牛米。洁面二的 左段例句，代数和为四百减一千等于负的六百牛米。内利偶句与之等值反向为六百牛米。 根据计算结果，分别将数值在正负直象线中画出，就得到了他的扭矩图，圆轴扭转时横接面上的硬力。 我们看一下圆轴扭转时的变形特征。一、各圆轴线的形状、大小及圆轴线之间的距离均无变化，各圆轴线绕轴转动了不同的角度。二、 所有纵向线人近视的为直线，只是同时倾斜了同一角度伽马。 如右图所示，扭转角度伽马和最大位移量低的对应关系为正切函数。图中这一个为扭转角度， 这一个直线距离为最大位移量。根据右面的比例尺，他的最大位移量是三点九四毫米。 由三角函数我们得出，碳伽马等于 d 除 l 伽马等于碳负一括号内 d 除 l 括号。 也就是说，我们想要求得扭转角度伽马，可以通过最大为一辆 d 和长度的笔直用反正切函数求得。 因为我们工作当中经常都是在骚类的沃克斯的神庙类型插件里去分析他的扭转。由于这个插件通常只给出位移量 相对应的扭转角度，需要我们用上市算出。当然，这里是仅针对 sorry to walks 的，谁没有类型插件来做到讲解。 我们后面的高度计算里面有手动计算的公式。 轴的及惯性锯与抗钮洁面系数及惯性锯又称为洁面二次急锯，是洁面对于洁面上某点惯性的一种衡量， 与横截面和尺寸有关，是计算抗钮洁面系数的一个重要物理量。用 rp 表示，亮钢是长度的四次方，单位是四次方米或四次方毫米。 洁面系数是用于描述零件洁面形状或尺寸，对零件受力、受弯距、受扭距等影响的物理量是机械 零件和构件的一种，洁面剂和餐量就称洁面磨量。 他用以计算零件构件的抗弯强度和抗钮强度，或者用以计算在给定的弯距或扭距条件下洁面上的最大应力，在力学计算中有着很大的作用。 抗钮洁面系数用 wp 表示，亮钢是长度的三次方，单位是三次方米或三次方毫米。 各种型材的这两种系数在机械设计手册中都可以查到。如右下图所示， 图中是实心圆和空心圆的极惯性句和抗钮洁面系数的计算式。我们看一下实心圆洁面的极惯性句 r、 p 等于派四十方 d 除三十二。抗钮洁面系数 wp 等于派乘三次方 d 除十六。空心圆的及惯性局为 rp 等于派乘四次方 d 除三十二乘括号内一减四次方二法括号，其中二法等于内径 除外径。空心圆的抗钮洁面系数 w、 p 等于派乘三次方 d 除十六乘括号内一减四次方二法括号， 同样阿尔法等于内镜除外镜。下面我介绍一款我们常用的型钢洁面计算辅助软件，直接在百度搜索栏里输入型钢洁面计算， 在下面的搜索结果中就可以找到这一个软件的下载地址。 我们看一下这一个软件，我们目前只学到了扭转这一个章节，我们关心的 只是他的极惯性句和抗钮洁面系数。我们看一下这个软件，这一个原钢及原管页面下给出了极惯性句、 抗酒洁面系数这两个参数的值。注意一下他们单位是 四次方厘米和三次方厘米，我们计算的时候需要注意单位的换算关系， 需要提醒的是，这一个和籍贯性句名词差不多的轴贯性句 代表的是另一层意思，我们在弯曲章节才会讲到这里，只希望大家记住不要把这两个概念搞混了。

好的各位同学们，大家好，然后呢我们今天呢对我们这个什么呀，对我们这个英语课的分析这块啊，单元体这块画法啊，有同学不太会，然后我们呢补充来进行讲解一下。首先来说我们看一下这个单元体，这个单元体呢，我们采用了几个视力啊，采用了几个视力，然后呢我们首先要还是知道一下什么是单元体的概念，单元体的概念呢，大家一定要知道它是什么呀？它是正六面体， 所以说单元体它是个体，而不是平面，在考试的过程当中有的啊，参考答案上给的是平面啊，大家呢我建议大家一直画成单元体，因为你画成单元体一定不会错， 来看一下这个单元体怎么来画。首先轴向拉伸压缩的啊，我们呢从任意一个洁面，任意一个点上取出一个单元体，我们知道轴向拉伸压缩的时候，它在横洁面上的受力分布是均匀的，所以说此时它的分布就是一个拉用力，因为这个什么呀，这个梁，这个杆，它受到的拉用力作用，然后呢它的受力大小多少呢？就是用它的拉力啊，比上洁面面积啊，这就是它的什么呀， 轴向拉伸压缩时候的单元体，这种状态呢，被称之为单向受力状态，我相信这个啊，大家都没什么问题，主要大家的弯曲啊，还有什么扭转，我们先来看一下我们的扭转， 扭转呢我们知道他此时呢会，一般来说啊，我们在研究，然后还有就是我们在考试的过程当中啊，一般会遇到哪几个特殊点呢？一个就是在顶面的一个点，还有在什么就是表面上这个点，我们首先啊，先来看一下我们在什么呢？我们在表面的这个点 啊，这是我们的 a 点，我们来看一下我们的 a 点，此时啊我在这标个 a 啊，防止我们弄混。我们来看此时这个 a 点啊，在这个，我在这一块给他取个小 a 段出来，就在我们这个位置。然后呢这个就是我们表面的这个什么 a 点的位置。首先我们大家一起来看一下，对于我们整个的这个是不是这个旋转是不是逆时针转的， 对吧？逆时针转的话，我们发现整个的这个扭矩作用对于哪会产生影响，是不是啊？是不是对于我们这个单元体的啊？我换个颜色啊，我换一个红色的笔啊，来给大家看一下， 我换一个黑色的，黑色的清楚一些，我们这个整个的扭矩作用是不是沿着这个方向会发生一个转动，沿着这个方向发生转动，大家来看这个界面上啊，就是我们这个界面上它是不是会受到吸引力的作用？那这个吸引力是哪个方向的呢？我们知道之前在学的时候啊，之前我们在学什么呀？在学吸引力的时候，我们知道这个什么呀？它的分布方向啊，它的分布方向是不是和我们扭矩方向相同？ 所以说牵引力是如何分布的呢？哎，是这样的啊，是这样分布的， 对吧？牵引力呢？箭头指向这边牵引力的，是呢，指向与我们外和载的方向相同的，外和载是这样，牵引力也是一样，所以说我们来看外和载是逆时针，那牵引力一定是向下的，在这个界面牵引力向下，那我们来看这个结面对应着牵引力向下，是不是在这个面牵引力向下的， 对吧？然后呢，我们知道既然这个方向切入向下的，我们根据什么呀？我们之前学的切入互能定律，我们是不是上前面就是这个方向？然后呢这个方向的切入就是向上的，底面呢？就是指向右的，这就是什么呀？这就是我们啊 a 点它的什么呀？切入的画法啊，这个大家目前还有问题吗？啊？我给大家讲明白了吗？这个知道 a 点的怎么画了吧？ 有问题吗？还好的，那我们继续来看下一个 b 点 b。

嘿，大家好，我是中卫的女工程师，今天咱们来聊一个工程师每天都要面对的问题。一个特别基础但又超级重要的问题，就是，当好几个粒从四面八方作用在同一个点上的时候，它们合在一起到底是个什么效果？ 咱们今天就跟着习伯乐的经典教材历历学，一步一步把这个谜题给解开。你看，现实世界里随便一个工程结构，比如一座大桥的吊索，或者一栋楼的某个节点，他都不是只受一个力的，他时时刻刻都在承受着一场看不见的拔河比赛。就像这些土里画的，好几个力 从不同方向拉着同一个点，那工程师就必须得搞清楚，这场拔河比赛最终会是什么结果。 所以问题就来了，咱们能不能找到一个超级英雄一样的力，他自己一个就能产出和原来那一大堆力一模一样的效果。这个能代表所有力总和的力，就是咱们今天要找的主角合力。为什么找到这个合力这么重要呢？ 你想想看，在设计任何东西之前，你总得知道他最后到底要承受多大的劲，往哪个方向受力。这就好比你要是不知道拔河比赛哪边会赢，绳子会往哪边跑，那你怎么做准备呢？这一步要是算错了，那后果可是不堪设想的。 上一期我们已经学了，工程师们想出了一个特别聪明的办法，就是分而治之，不是硬要把这些力加起来，而是先玩个拆解游戏。 这个核心思路其实特别直观，你想象一下，任何一个斜着往外拉的力，其实都可以看成是他在同时往水平方向拉，又在同时往竖直方向拉， 我们要做的就是把它精准的拆成一个纯粹的水平的力和一个纯粹的竖直的力，这两个力加起来的效果跟原来那个斜着的力不多不少，一模一样。那具体要怎么拆呢？我们一般有两种特别好用的工具，如果这个力的角度我们是知道的，那就直接用角度。 但有的时候工程图纸上可能没给角度，而是告诉我们一个坡度，比如说这个力作用的方向是前进三米，抬高四米这种，那这个时候用所谓的斜率三角形就方便多了。你看，不管用哪种方法，咱们用的都是最最基础的数学， 用角度就是三角函数里的正弦余弦，用斜率三角形就是利用相似三角形的边长比例。说白了，这两种方法都是把一个几何问题变成了咱们小学就会的乘法运算，这样就能特别精确的算出 x 和 y 方向上的分力大小了。 好了，现在力已经被我们拆成一个个分量了，那接下来我们得有一种语言来描述这些分量才行。在工程里头主要就有两种方言，一种叫标量法，一种叫迪卡尔食量法。 这两种方法最大的区别在哪呢？就在于怎么处理方向。标量法简单粗暴，咱们规定往右就是正，往左就是负，往上是正，往下是负。而 d k 实量法就更严谨一些，它用 i 和 j 这两个小小的方向盘，明确的告诉你哪个是 x 方向，哪个是 y 方向。 在咱们现在这种二维平面问题里，可能感觉标量法更快一点，但是你想象一下，要是到了三维空间，有了 x、 y、 z 三个轴，光用正负号那可就乱成一锅粥了，到那个时候，使量法的优越性就体现的淋漓尽致了。好了，理论知识储备的差不多了，光说不练假把式吗？ 咱们现在就来看一个教材里的经典例子，看看这套方法到底是怎么解决一个真实问题的。好挑战来了，你看这个吊臂的 o 点，也就是那个角接点正，同时被三个大小方向都不同的力拉扯着， 咱们的任务就是把这三个力拧成一股绳，找到那个能代表他们仨总效果的唯一的合力。第一步也是最核心的一步，就是咱们刚刚学的绝招拆。我们把 f 一、 f 二和 f 三这三个例一个一个的全都拆成他们各自的水平分量和数值分量。拆解完成之后，最神奇的一步就来了，你看，我们把一个复杂的几何问题彻底的变成了一个简单的算术题，我们把所有水平方向的分量加在一起， 再把所有数值方向的分量加在一起。这里的关键是什么呢？就是要注意正负号，它自动就帮你处理了方向问题。你看，往左的力，往下的力就是负的，往右的力，往上的力就是正的， 这样一来，连方向问题都变成了加减法。好了，现在我们手上有了总的水平效果和总的数值效果，这就像我们先把一个玩具拆成了零件， 现在就要用勾股定律把这些总的零件再组装回去，算出最终合力的大小。你看这张图简直是完美的展示了咱们的最终成果，所有 x 方向的力加起来，所有 y 方向的力加起来，它们俩构成了一个全新的超级简单的直角三角形。 而我们费了半天劲追求的那个最终合力 fr 就是 这个三角形的斜边。那么把数字都带进去，算一下，最后这个合力的大小是多少呢？ 答案是四八五牛顿。这就是那三个力加在一起的总效果。当然了，光有大小还不够，我们还得知道方向，通过一个反正切函数，我们就能算出它的方向是斜向左上方的，跟水平线之间夹了个三十七点八度的角。好了， 到此为止，大小方向都有了，我们对这个合力就有了一个完整精确的描述。那么咱们回过头来总结一下，从刚才这一整个求解过程里，我们真正学到的最核心的思想到底是什么呢？ 我觉得这句话简直是抓住了精髓，分量法就是把复杂的几何问题变成了简单的代数问题。没错，我们用这个方法彻底告别了以前可能需要用尺子量、用量角器画图的繁琐操作， 取而代之的是清清楚楚不容易出错的代数加减法。这就是工程思维的魅力所在，化繁为简。所以下次你再碰到类似的问题，记住这个万能的四步流程就行了。第一步，建立坐标系。第二步，把所有的力都拆解开。 第三步，把 x 方向的加一起， y 方向的加一起。最后一步，用勾股定律把它们再重新组合起来。这四个步骤能帮你解决任何一个平面上的力的合成问题。今天咱们算是把二维平面上的力给彻底搞明白了， 但这自然就引出了一个更大的挑战，当这些力不只是在一个平面上，而是指向三维空间中的任意方向时，咱们这套方法还管用吗？ 咱们又需要什么新的工具来应对这个更复杂的世界呢？这就是西伯勒那本经典的经济学教材里一个最核心的概念，三 d 低卡尔时量。好，那咱们怎么一步步掌握它呢？首先得有个统一的坐标系，这就像我们的地图学学怎么用数学语言来表示时量， 接着搞明白怎么算它的大小和方向之后，看看好几个力凑在一起该怎么办。最后，咱们拿个时机的例子，把学到的东西都用上。 好，第一部分你想想，在咱们分析三维空间里的这些力之前，必须得先统一一套游戏规则，或者说一套语言， 不然的话，工程师各说各的，那计算肯定就乱套了，对吧？所以这套统一的语言就是三维坐标系。你可能觉得右手坐标系听着挺简单的，但你可别小看这个右手定则，它其实是个特别重要的国际标准， 有了它，全世界的工程师在算例句、旋转这些东西的时候，才能保证得出的结果是一致的，不会因为方向搞错了，最后酿成大问题。来，你看这张图就特别清楚了，你现在就可以伸出你的右手跟着试一下，让你的四个手指头从 x 轴的方向弯向 y 轴的方向， 你看你的大拇指是不是自然而然的就指向了 z 轴的正方向，就是这么个关系，而且这三个轴永远是这样互相垂直的。行，咱们的地图也就是坐标系现在已经有了，那下一步干嘛呢？当然是在这张地图上精确的标出一个力来， 说白了就是怎么把一个现实世界里的力变成一个严谨的数学公式。你看图上这个矢量 a， 一个在三维空间里歪七扭八的力，看见挺复杂，对吧？但其实咱们可以分两步把它拆解开。第一步，先把它分解成一个数值方向的，也就是沿着 z 轴的分量和它在水平 x y 平面上的一个投影。 然后第二步，再把这个水平面上的投影分解成沿着 x 轴和 y 轴的两个分量。这么一弄，一个复杂的空间矢量不就变成了三个相互垂直，处理起来特别简单的分量了吗？那么方向怎么表示呢？ 为了解决这个问题，我们引入了三个很特别的小东西，叫单位矢量，就是图上的 ijk， 你 记住他们就干一件事，他们的长度永远是一， 它们分别就指向 x、 y、 z 轴的正方向，你可以把它们想象成三个永远指向东、指向北、指向上的路标。 好，现在最关键的一步来了，我们把刚才分解出来的三个分量的大小，也就是 a x、 a y 和 a z， 跟咱们的方向路标 i、 j、 k 结合起来，你看就得到了这个迪卡尔矢量的最终形式。 这个公式 a 等于 a x i 加 a y， j 再加 a z， k， 看着特别简洁，但它真的非常强大，因为它把一个矢量的大小和方向信息完美的融合在了一起。 ok， 我 们现在能把一个矢量写成分量的形式了。那反过来想，如果我只知道这三个分量，怎么能求出这个矢量的总大小，也就是它的长度，还有它到底指向哪个方向呢？这正是我们接下来要解决的两个问题。先说大小，你看这个公式是不是有点眼熟？ 没错，他其实就是咱们初中就学过的勾股定律，只不过是升级到了三维空间板。 你可以想象一个长方体，这个矢量的长度就等于这个长方体对角线的长度。算法很简单，就是把长宽高个子的平方加起来，最后再开个根号。那这个公式到底是怎么来的呢？你看这张图，其实推导过程特别巧妙，他就是用了两次勾股定律， 第一次先在底下的 x、 y 平面里，用一次算出那个投影的长度，把这个投影当成一条直角边，把 z 方向的分量当成另一条直角边，再用一次勾股定律， 嗖的一下，这个三维矢量的总长度就算出来了。好了，大小解决了，那方向，要精确描述方向，我们就需要知道这个矢量跟 x、 y、 z 三个轴的夹角，我们管它们叫 arfa、 beta、 gamma。 那 怎么算这三个角呢？ 最方便的办法不是直接算角度，而是算他们的余弦值，也就是所谓的方向余弦。你看这公式，每个方向的余弦值就等于那个方向上的分量在处于矢量的总大小。 很简单，这张图就很清楚的告诉我们这三个角到底在哪。你一定要注意，阿尔法、贝塔、伽玛，这三个方向角全都是从矢量的尾巴， 也就是坐标原点开始量到三个正半轴的。有了这三个角，这个矢量在三维空间里的指向就被唯一的精确的确定下来了。好，这里有几个特别关键的结论，你得记一下。首先，一个矢量的单位 矢量，就是那个长度为一指表示方向的矢量，他在 ijk 上的分量不多不少，正好就是这个矢量的三个方向余弦。其次，也是非常重要的一点，这三个方向余弦不是随便取的，他们的平方加起来永远等于一， 这意味着什么呢？这意味着只要你告诉了我其中两个角，那第三个角其实已经定下来了，根本不用再算。到目前为止，我们说的都是怎么处理一个孤零零的矢量，现在咱们来看看，如果有很多个例作用在一起，我们该怎么把它们合并起来。 你马上就会发现，这事其实出奇的简单。矢量加法最棒的地方就在于它太简单了，我们完全不需要画那些复杂的平行四边形，你只要做一件事， 把所有矢量在 x 方向上的分量加在一起， y 方向的分量加在一起， z 方向的分量加在一起，各管各的，互不干扰，就这么简单。你看，把 a 和 b 的 分量这么一加，就得到了一个新的和矢量 r， 从物理意义上说， 这个 r 产生的效果就跟原来 a 和 b 两个力一起作用的效果是完全一模一样的，一个顶量。而且这个原理不光对两个力有效， 就算你有十个一百个例，方法也是完全一样的，只要把所有例的 x 分 量、 y 分 量、 z 分 量分别加起来就行了。 所以说这个方法在分析那些受力很复杂的系同时就显得特别强大。好了，理论讲了这么多，是时候拉出来练练了。咱们就用一个教材上的原题，把刚才学到的所有知识都串起来，用一遍好来看题。情况是这样的， 这个掉钩上已经有一个已知的力 f 一 了，现在我们要再加一个力 f 二上去。我们的目标很明确，要让这两个力的合力 f 二大小正好是八百牛顿，而且方向要笔直的沿着 y 轴向上。问题就是这个 f 二的大小和方向应该是多少呢？ 碰到这种问题，解析思路基本是固定的，就三步，第一步，把所有你知道的力，包括 f 二，全部用迪卡尔矢量的形式写出来。 第二步，列方程很简单，就是 f 二等于 f 一 加 f 二。第三步，解这个方程，把未知的 f 二的三个分量 f 二、 x、 f 二、 y、 f z 给算出来，思路非常清晰，我们把计算过程跳过，直接看结果。你看解出来之后，我们发现要实现咱们的目标， 这个例 f 二的大小必须是七百牛顿，它的方向也确定了，跟 x、 y、 z 轴的夹角分别是一百零八度、二十一点八度和七十七点六度。 你看图上这个 f 二，就是我们最终要找的那个例。好，我们来快速总结一下今天内容的核心要点。其实咱们就构建了一套完整的三 d 矢量分析工具箱，记住这几条，第一，永远用右手坐标系， 保证大家说的都是一回事。第二，任何三维矢量都能拆成 ijk 三个分量。第三，算大小，用三维勾股定律算方向，用方向余弦。最后，矢量相加，就是把对应的分量加起来，就这么简单， 那么现在你已经学会了怎么在三维空间里分结合组合这些力，这会不会改变你看待周围世界的方式呢？想想看，下次你再看到一座大桥，一栋高楼，甚至就是你屁股底下的这把椅子，你是不是能看到那些隐藏在他们内部无形的互相作用的力了呢？

轴力图怎么画？今天我们来教大家画轴力图，首先我们求之返利并且分段， 然后我们要建立 nx 直角坐标系， 然后在外力的作用处，轴力发生突变，突量变等于外力值，并且 按照左上右下的原则画轴力图。 最后我们来标记轴力的大小和正负， 像这样我们的轴力图简单的画法就完成了。