贵州中考二次函数题湖面倒影2022
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05:29查看AI文稿AI文稿大家好，我是问老师，今天我们来看这样一道题目，二次函数的部分图像，如图所示，图像经过点负一零，对称轴为直线， x 等于二。下列结论正确的有。 题目中给出图像经过负一零这个点，以及它的对称轴是 x 等于二。结合图像，我们再来看一下。首先开口方向是向下的，所以呢， a 应该小于零，对称轴是 x 等于二，也就是 y 轴的右侧，所以呢， b 的 符号应该是右 e， a 小 于零，那么 b 呢，就大于零，与 y 轴交于正半轴，所以 c 也是大于零的。除此以外，我们可以把图像补充完整，利用对称性，能够得出 与 x 轴的另一个焦点，它的横坐标应该是五，因为与 x 轴一个焦点的横坐标是负一，对称轴又是 x 等于二。 求解方法可以得出，负一和二的距离是等于三的，那么另一个焦点也与二的距离是三，所以二加三应该是等于五的。也可以利用对称轴公式，负一加上这个点的横坐标除以二，应该是等于对称轴二的， 所以呢，这个点就应该是等于二。乘以二减去负一，也能得出它的结果是等于五的。再来写一下，对称轴 负二， a 分 之， b 是 等于二的，所以呢，就能得出四 a 是 等于负 b 的。 现在我们来看一下结论。第一个结论，四 a 加 b 等于零，那刚才得出四 a 等于负 b， 所以 一项之后就有四 a 加 b 等于零，因此第一个结论正确。第二个结论， 四 a 加 c 大 于二 b， 我 们移项一下，得到的应该是四 a 减二， b 加 c 大 于零，同样有 a 有 b 有 c 的 式子，咱们就是代点 b 的 前面呢是负二 b， 所以 令 x 等于负二，此时函数的 y 值就等于四， a 减二， b 加 c， 所以 这个式子就表示 x 等于负二的点的纵坐标。结合图像来看一下，与 x 轴的一个交点是负一零， 那负二应该是在这个点的左侧，显然此时它位于第三象限， y 值应该是小于零的，而题目说到它是大于零，所以第二个结论错误。第三个结论，若点 a b c 在 该函数图像上，则 y 一、 y 二、 y 三的大小关系。对于二次函数多个点 y 值的大小关系呢？我们一定是去求出它们与对称轴的距离，利用口诀去解决它们的 y 值大小。结合图像，开口是向下的， 所以呢，距离对称轴越远的话，它的 y 值应该是越小的，所以口诀越远越小。那我们来求一下距离。对称轴是 x 等于二，点 a 的 横坐标是负三， 所以它与对称轴的距离也就是负三减二的绝对值，或者二减负三，也就是五了。点 b 的 横坐标负二分之一，对称轴二，距离为二，减去负二分之一，也就是二分之五了。点 c 横坐标是二分之七， 对称轴二，所以距离是二分之七减二，也就等于二分之三。显然三个点中， 点 a 与对正轴的距离是最远的，所以利用口诀，越远越小。点 a 对 应的 y 值 y 一 应该是最小的， 接下来点 b 次之，所以它对应的 y 值 y 二居中，那 y 三呢，就是最大的了，那选项给到的是 y 一 小于 y 三小于 y 二，所以第三个结论也是错误的。第四个结论， 若方程它的两根为 x 一 和 x 二，那我们先来看一下这个方程， a 倍的 x 加一乘以 x 减五，等于负三。首先，对于等号左侧这个式子特别像二次函数两点式的形式，那我们不妨把咱们现在这个二次函数写成两点式。 首先开口方向和大小不会调整，所以还是 a 再乘以 x 减 x 一， 乘以 x 减 x 二。那 x 一 x 二呢？我们说就是它与 x 轴交点的横坐标，而刚才我们已经得出， 它与 x 轴的两个交点横坐标分别是负一和五，所以 x 减 x 一， 也就是 x 减负一，那就是 x 加一， x 减 x 二，也就是 x 减五。我们会发现，此时这个方程的左侧不就是题目中二次函数的两点式吗？ 所以让它等于负三，也就是让我们二次函数的 y 值等于负三，那 y 值等于负三的点呢？一定是在 x 轴下方的。我们可以画一条平行于 x 轴的直线， 假设这条直线它的 y 值是等于负三的，那此时点 a 和点 b 的 横坐标就是这个方程的两个根。而题目又提到 x 一 是小于 x 二的，所以点 a 的 横坐标就是 x 一， 我们对应到 x 轴上，应该是这个位置是 x 一， 点 b 的 横坐标呢，就是 x 二了。而题目本身，二次函数与 x 轴交点分别是负一和五。结合 x 轴上我们标出的四个点，显然 x 一 是在最左边， 其次是负一，然后是五，最后是 x 二。那由小到大呢，就应该是 x 一 小于负一，小于五，小于 x 二。 所以第四个结论是正确的。因此这道题正确的结论应该是一和四有两个，所以选择的是二 b 选项。好，这是今天这道题目，谢谢大家。
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09:59查看AI文稿AI文稿各位同学，本节课呢，我们继续学习二次函数的图像和性质，那么这节课呢，老师想带领大家去认识一个特殊的二次函数的一个图像和性质，就是 y 等于 ax 方， y 等于 ax 方，它是指当常数项以及一次项系数为零的情况下，这个函数图像它应该是什么样子的呢？ 这种 y 等于 a， x 方呢？它应该是最简单的二次函数图像。我们以这个为最基础，打开对二次函数图像的一个学习，所以本节课呢，很重要，同学们好好听，好老师呢，已经给大家整理出来了，给大家分析一下。好吧， 好好听着啊！来， y 等于 a， x 方，这个 a 的 符号呢，我们会分为大于零和小于零，为什么呢？因为当 a 大 于零和小于零的时候，它的开口方向是不一样的， 所以当 a 大 于零的时候，我们先来看一看大于零的情况下，它的图像开口以及对称轴顶点增减性等等。好，当 a 大 于零的时候，它的大致图像呢，是这个样子的。 这个样子是怎么画的呢？我们可以通过秒点法，因为画图像吗，是通过秒点法来画的啊。首先呢，当 x 取零的时候，我们 y 值等于零。 好吧，当 x 取一的时候呢，哎，他就往这边取一个 a 是 吧？ x 取二的时候呢，往这边取一个四， x 取三的时候呢？出来取个九， 然后呢， x 取。哎，因为小大于零嘛，所以 x 呢？你发现他取负一的时候呢，他也是什么？ a 取负二的时候呢，他仍然是这个四， a 取负三的时候仍然是九 a， 是 不是啊？所以我发现他的左右两边其实是对称的 啊，其实是对称的，因为这个零零这个点其实就是它的顶点啊，就是它的顶点，我们发现它是对称的，因为你当 x 取一的时候，你看它是不是 a 啊？ y 等于 a， x 取二的时候呢？ y 等于四 a， 是 不是啊？可是你发现了没有，当 x 取负一的时候呢， y 也是 a 啊，当 x 取负二的时候， y 也是四 a， 所以 它的左右两边是对称的，更加确定了我们函数二次函数的图像的对称性。好啦，好，那么这个大致图像呢，就在这里啊，把点用圆滑的曲线把它连起来，就连成了这样一个形状。 好，那么当它大于零的时候，我们发现它的开口呢，是向上的啊，开口向上的对称轴呢，就是 y 轴啊，或者是 x 等于零， 那么这个二次函数，此时它的对称轴就是 x 等于零啊， x 等于零，不就是 y 轴吗？是吧？好，顶点坐标呢，是零零啊，顶点坐标是零零，当我们取对称轴 x 等于零的时候，我们发现它的函数值 y 也等于零，所以呢，这个 y 也就是它的顶点 的一个纵坐标，所以呢，顶点坐标就是零零好，增减性啊，我们看，当这个图像增减性的时候，当 x 小 于零的时候，也就是我们取左边的时候呢，它是 y 随着 x 的 增大而减小啊，这个同学们应该能看得出来， 当 x 取大于零的时候呢，它 y 会随着 x 的 增大而增大，这就是它的一个增减性的对称性好吧，然后呢，最值，因为 x 因为 a 大 于零，它是一个开口向上的图形，所以此时它是没有最大值的 啊，只有最小值，就是当 x 等于零的时候，它有最小值也最小值呢，也是零，最小值也是零， 这个呢，就是 y 等于 a， x 方它这个 a 大 于零的图像，那么 a 小 于零的图像，我们来看一下，当 a 小 于零的时候，它的开口方向呢，是向下的啊，向下的， 这时候呢，我们当 x 取一的时候， y 等于 a， 它是个负的， x 取二的时候， y 等于四， a， 哦，它也是个负的，是吧？然后 x 取负一的时候，它也是个 a 是 负的， x 取负二的时候呢，它是个四， a 也是个负的。因为 a 小 于零嘛， 所以呢，我们就会得到一个对称的啊，这是顶点，然后把它曲线把它划过来就可以了啊，圆滑的曲线划一下就可以了。好了，那么他此时的开口方向呢，是向下的啊，因为小于零，所以开口方向向下，但是他的对称轴却没有任何的改变， 我们发现他的开口方向虽然变化了，但是对称轴仍然是 x 等于零，这个对称啊，仍然是 x 等于 零的值呢，与之前 a a 大 于零的时候是完全相反的。 此时我们可以看到，当 x 小 于零的时候，它的 y 随 x 的 增大而增大，而当 x 取大于零的数的时候，它的 y 会随着 x 的 增大而减小啊，这个呢，同学们根据图像的一个走势就能够看得出来，是吧？好，那么最值，因为它 a 小 于零，它是一个开口向下的抛物线， 所以呢，此时当 x 等于零时， y 呢，是有最大值的，它并没有最小值，而是有最大值啊，此时最大值应该是零啊，最大值是零，这个呢，就是我们关于 y 等于 a x 方这一个最简单的二次函数图像的一个分析， 这里面唯一涉及到的呢就是 a 这个字母，所以同学们把它要记住好吗？我们所有后面所有关于这个图像的学习啊，都是在这个方面去慢慢衍生的啊，慢慢衍生的， 好，我们继续看点拨一下二次函数 y 等于 a x 方的图像的一个画法，那么怎么去画它的图像呢？刚刚老师已经说了，首先我们可以列表 把优先作为顶点的圆点零零先把它找出来，找出来之后呢，然后在圆点的两侧对称取点，看到没有对称取点， 把这个对称点呢都给它取出来，比如说一二负一负二这样的啊。描点第二步呢，就是描点，先描出 y 轴其中一侧的几个点，把它曲线描下来，哎，就像这样一样，哎，给它描下来是吧，然后再根据对称性的，我们再根据点点画一个对称的，哎，这就完事了 是吧，我们先描这一侧画下来，再呢往这边对称就可以了，好吧，哎，一般呢就是按照从左到右的顺序呢去描啊，去描点，去画图 啊，注意曲线要出头，为什么曲线要出头呢？你不要瞄到这个点之后，然后在这不出头，因为我说了两边是可以无限延伸的吗？你是一定要出头的好吧，不出头的话，它就局限了它的范围啊，这个呢，就是 y 等于 a x 方的一个图像和性质，同学们听懂了吗？来，我们来看一道例题， 在同一直角坐标系中画出函数图像， y 等于啊， y 等于二分之一 x 方和 y 等于负的二分之一 x 方，这样的一个图像，好，我们来画一下，首先我们画出平面直角坐标系啊， 好，首先呢，我们取它的顶点是零零，好吧，因为这样的它的顶点是零零啊，零零在这，这是顶点。然后呢，我们取 x 取一的时候呢，我们 y 等于二分之一，好，一的时候，我们大致的画一下就可以了啊，在这个点啊， 好，在这儿。 x 取二的时候 y 等于二好，在这儿 x 取三的时候 y 等于二分之九，好，在这儿。那这时候呢，我们可以取一下它的对称的啊，对称的了。 x 取负一的时候呢，它仍然在这儿。好， x 取负二的时候呢，它是在这儿，是吧， 把它描出来啊，描出来。 x 取负三的时候在这儿，好，这时候呢，我们先描一侧就可以了啊，这时候老师呢，用手描一侧啊， 先描一侧就可以了，然后再根据对称性呢，再画另一侧，哎啊，注意要出头啊，好， 你们画的时候呢，可以肯定画的比老师更好，是吧？好，来， y 等于负的二分之一，好，我们在这里已经画完了，画完之后，我们在旁边写上啊， y 等于二分之一 x 方，和我们之前学的一次函数是一样的啊，你得写上，不然的话没法标识。 那么 y 等于负的二分之一 x 的 方，那么它的顶点呢？仍然还在这个地方啊，顶点还在这，那么这时候呢，当 x 取一的时候呢，我们发现它等于负的二分之一，大概在这 x 取二的时候呢，它等于负二哦，在这 x 取三的时候负的二分之九哦，在这。你看它这边都是对称的 啊，对称的啊，对称的，所以呢，我们画一下，哎，我就画出他的一个平滑曲线就可以了啊，好，这就画出来了啊，因为这上面这个电视这个，这个这个屏幕比较滑一点啊，你们在纸上画的时候呢，肯定会画的比这更好一点啊。 好，这样呢，我们再标记下， y 等于啊，这个呢，是往这边啊，负的二分之一 x 平方，这就画出来了，好吧，哎，这个两个图形呢，就相当于画出来了。 好，从抛物线的开口方向、形状对称轴顶点等方面说出函数图像的相同点和不同点。好，我们先说开口方向啊，开口方向是不同的啊，这个呢是开口朝上的，这个是开口朝下的 啊，形状形状是完全相同的啊，嗯，并且他的开口大小都是一样的。从这里啊，其实也可以看出来，这个抛物线的开口大小其实就和 a a 有 关系，发现没有这个 a 啊，绝对值 a 啊，就决定他的开口的大小 是不是？我们可以再画一个什么，呃，函数的 y 等于 x 方，你就看出来了，是吧？比如说 y 等于 x 方，你要 x 取一的时候呢？零是零， x 取一的时候呢，哎，它是一在这了， x 取二的时候是四在这了，所以你会发现 y 等于 x 方，它的开口呢，会比较小一点， 是吧？这是 y 等于 x 方，哎，它的开口会比较小一点，所以我们大胆的是不是可以预测出它的开口大小，都可以知道了来，开口大小啊，后面还会再上到开口大小与绝对值 a 有 关系是吧？绝对值 a 越大，我们的开口呢，反而越小， 是不是啊？绝对值 a 越小，开口反而越大啊，这个同学们做一个了解，对称轴啊，对称轴，它们两个是完全一样的啊，都是 x 等于零啊，对称轴都是 x 等于零， 顶点顶点也是一样的，都是零，零啊，零度零都是它们的顶点。所以呢，通过这几个方面，我们发现开口方向不同，但是形状 对称轴和顶点都是一样的啊，如果形状要和开口方向挂钩的话，那形状也不同了，是吧？好，第二个说出函数图像的性质和相同点又不同点，那么这两个函数图像它的相同点呢？我刚也说了，顶点坐标是一样的，对称轴是一样的，开口大小是一样的，是吧？那么唯一的不同点就是他们的什么， 它们的开口方向不同，因为开口方向不同，所以函数之 y 随 x 的 变化而变化也不同，是不是？好，那么关于这个呢，我们就讲到这里，那么本节课关于 y 等于 ax 方这个二次函数的图像和性质，我们就上到这里，谢谢大家。
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啊，我一个角度和另外一个角度相等，他们俩呢？是啊，同位角的关系，那他就有平行线，那 l 一 和 l 二如果平行的话， 我们平行线就知道啊，它所在的直线一次项系数呢？是相等的，我可以利用这个一次项系数相等去求直线结一式，对吧？或者是内错角啊，也可以角度与角度相等，它俩内错的关系，那也会带来平行线 啊，这是特殊的位置平行线，那也有可能呢，它会啊，形成角分线，比如两个角它相等了，它们呢是公共的顶点啊，并且呢它们的边也是有一组相 相同的零边的，那这样的话我们就有角分线，那角分线我们就可以利用角分线的轴对称性，对吧？去构造全等去解题 啊，这也是我们一种思考的啊，一种思考的这个方法，那或者更复杂的时候呢？角度与角度相等，他可能啊，这两个角度相等，会带来题目当中特殊的相似， 带来新的相似，比如第一个三角形，他可能会相相似于第二个三角形，我们利用相似的这个特性，比如相似的对应边乘比例去解题 啊，这是我们通常情况下可以去思考的一些切入点，角度与角，角度与角度相等，我们看这个题啊，他说 cd 等于 c、 e、 d， 求 a f 解释啊。 cd e 如果等于 cd 的 话，那就 这边一个 c d e 等于这边的 c、 e、 d， 那 我们怎么解题呢啊？这两个角相等，那很明显这两个角呢，它都是不知道特定的三角函数值的，我 c、 d、 e 也是不知道的，对吧？它不是确定的角， 他本身这个角度数也不知道，对吧？他的三角函数值我也不知道，所以这两个角相等，那我们就不方便用这个三角函数值相等去切入了，那我们发现他俩相等，他其实凑出了一个什么，凑出了一个等腰三角形的结构，对吧？那我们利用这个等腰三角形的结构在这里呢啊，去尝试解体。 好，这里呢，我给两种方法啊，第一种方法我们可以去思考等腰三角形的特性，也就啊利用它三线合一，对吧？我们去做一个垂线，垂直于底边 啊，做一个底边 d、 f 的 垂线啊，这个 c、 m 出来垂线呢？一旦一做呢啊，它就是角平分线，顶角的角平分线，对不对？那做好了之后呢，我们如果能求出这个 c、 n 的 解析式， 那我们就可以求 a、 f 的 解析式，因为 a、 f 和 c、 n 是 互相垂直的，对吧？或者求出这个 x 的 三角函数值啊，这边这个 x 呢，根据八字倒角啊， 它是等于我们这个 ocf 的 一半的，对吧？这三个角度都是相等的，所以这里关键就是如何去求这个 c、 n 的 解析， 那你可以求 m 点坐标，或者求 n 点坐标，那怎么求呢？有角平分线。好，那我做了这个垂线段下去，它就有角平分线了，对吧？有角平分线呢？我们这个三角形的面积啊， 这个 o、 c、 n 这个三角形的面积，它和这个三角形 n、 c、 b 的 面积比呢？啊，它就等同于这个 o、 n 比上 n、 b 啊，因为它们可以看成是以 o、 n、 n、 b 分 别为底， o、 c 为高的这样一个三角形，对吧？ o、 c 是 它们公共高，那变成 o、 n、 b、 n、 b， 它又可以看成什么呢？我们知道这里有角分线，对吧？ 角分线，那我角平分线上点到角点，两边距离相等，所以你如果由 n 点去做 c、 b 的 垂线段的话，这个垂线段它其实是等于 o、 d 的， 那我这个三角形面积呢？利用这个两个垂线段相等，它又可以变成什么？又可以变成 o、 c 比上 o、 b， 它们的比值又可以变成 o c 比 这个 c、 b 啊，比 c b， o c 比 c b 是 三比五的，所以你这里就可以求出我们 o n 的 长度了啊， o n 的 长度啊，这个 o c 比 c b 是 四比五啊， o c 比四， c b 四比五，那 o n 的 长度就可以把它求出来，九份当中的四份嘛，那就九分之四倍的 b o 的 长度， 我们就可以把它算出来，三分之四算出来 o n 的 长度，也就 n 点坐标。知道的话啊，你可以求 c m 解 c n 的 解式，或者是求这个角 啊， o c n 的 正切值，对吧？它的三角函数值正切值是三分之一，那这样的话，我们的角啊， o a d 的 正切值也就出来了，所以啊， a f 的 解式呢，就可以很容易的把它写出来啊，这是我们第一种解法，利用 啊等腰三角形，它三线合一这个辅助线啊，去找条件去构造出角平分线，再利用角平分线的这个知识点去解，对吧？那如果你没有想到这个方法，我们可以换一种方法啊， 比如我这里有是形成一个等腰三角形，对吧？可能有同学啊，就没有去做这个三线合一的这这个弧线，那这个题又怎么做呢？我们可以采用等腰三角形，它两腰相等，对吧？这两腰相等，两腰相等。 那在这里呢，可能有同学会想，两腰相等的话，我是不是可以假设 af 的 解析式啊？第二种方法，我去假设 af 的 解析式， 对不对？ a f 解析式，我设它啊，它的斜率不知道，它一三系数不知道，我设它 y 等于 k 倍的 x 减负一啊，这是它的解析式。设好了之后呢，我强行的把 d 点的坐标用这个 k 把它求出来 啊，这可以求的，对吧？ d 点坐标以及 e 点的坐标呢？利用 a、 f 解析式，结合 bc 的 解析式呢，也把它强行的求出来。最后呢，利用这个 c， d 啊，等于 c， e 啊，这两腰相等去列方程求解。这个方法理论上来说是可行的，可行，但是计算量呢，很复杂，很大，很庞大，容易算错，对吧？所以我不推荐使用这种方法，只是局限于理论可行，对吧？我们换第三种方法， 那这两个角相等的话，我怎么去合理的利用它呢？我不去考虑这个代数法，对吧？去假设直线解式，去连立这个坐标，求减，那我们发现我们是可以干嘛？是可以将这两个角度相等的啊？ 啊？去过度，去做一个平行线，过 b 点去做 a、 f 的 平行线啊，这个平行线一旦做出来呢，它会形成一个 a 字形的相似， 对吧？假设这里垂线呢，做了一个交点，交 y 作为 p 点，那你如果去做这个 b p 平行于我们的 a、 f 的 话，那我们这个三角形 p c、 b， 他 不也就是一个等腰三角形吗？他也相似于我们这个 d、 c， e， 对 不对？他也是个等腰三角形，而我的 p、 c， b， 如果是个等腰三角形的我，我就有 p， c 等于 bc， 等于几啊？等于五，我可以把 p 点的坐标写出来，对不对？ p 点坐标就零一， 当你写出 p 点坐标之后，那你 p b 的 解析式不就出来了吗？对不对？或者它 e 三系数啊，它的一个斜率不就出来了，是负的三分之一，或者你写出它的坐标，对吧？啊？ 写出它的解析式，那利用这个 a、 f 和它平行的话，我们也知道 a、 f 的 e 三系数也应该是负的三分之一，所以你也可以把 a f 的 解析式呢给写出来啊，这里呢就是利用了等腰三角形啊，然后呢，我们去强行的 就再去创造一个等腰三角形，对吧？利用 bc 是 个已知的线段长度啊，等于五的去去构造出啊，我们想要求解的这样一个信息，利用平行线，它的一个 case 的 e 三系数 k 呢是相等的去解体。 好，这是我们第二小问，两个角相等，我们去求这个想要求的这个直线解式，我们看第三小问，要使得角 d c e 等于 d e c 啊，请探索 m 的 取值范围， 这个第三小问呢，它啊，它要的是什么呢？要的是这个 m， 不知道的时候 要我们啊，如果这边一个角要等于这边的角，那这个 m 的 值他必须满足咱的取值范围，他让我们直接写出答案呢，对吧？所以我这个题我们就去重点思考一下， 我们这两个角相等，怎么去锁定 m 的 取值范围呢？那我们思考一下 我这个 r 法呢，它是一定会大于这边的角度 x 或者大于这边的角 y 的， 对不对？ 你这个阿法是一定大于 x 或者说大于这个外的啊，外角是肯定不大，肯定会大于他不相邻的某个内角的，那我这个阿法 说明这边的阿法要大于这个角外，对吧？大于这边的角外，这个阿法要大于这个角外的话啊，根据啊老师说的这个在一个心当中，对吧？大角对大边， 那就说明什么？说明我们 o b 这个边呢，一定要大于 o c 这个边才行，对不对？ o b 也就我们的 m 嘛， o c 是 我们的四嘛 啊，也就强调我们 o b 这个 m 嘛，它的长度一定要大于四才行，你才能保证这边的阿尔法要大于这个 y， 才能保证这边的外角他可能和这边的角相等，对不对？所以呢，这个啊，取的范围直接写呢，就是我要一定要确保一下啊，这个 m 大 于四， 好，我们看第四题，他说如图啊，角 d， c， e 等于 d， e， c， m 为和值的时候， o d 的 长度等于一。 好啊，在第二个小问当中呢，如果这里有一个角 d， c， e 等于这个 d， e， c 啊，这两个 y 相等，那 m 取什么值的时候，能够使得 o d 的 长度等于一呢？ 能够使 o d 的 长度等于一，对不对？那题目说， m 取和值能够使 o d 的 长度等于一，那你就先把 o d 等于一当成条件来反推一下，如果 o d 等于一，又满足这两个外相等的话，那 m 该等于多少呢？对不对？ 所以我们把 o d 等于一当成我们的条件啊，去反向的推一下这个 m 的 值好，当我们两个 y 相等的时候， o d 又等于一的时候，那这个 m 怎么算呢？啊，这也是角度与角度相等，对吧？我们看一看， 它形成了一个等腰三角形啊，在这里呢，我们就要啊，去结合题目的其他条件去求 o a 呢，长度是一，那你 o d 啊，它就是一个等腰直角三角形，所以呢，有四十五度的角，对不对？ 哎，就是我们的 c d， e 啊，它是四十五度角，那根据这个顶角四十五度，它底角就应该啊，这个角外啊，就应该是六十七点五度，两个顶角两个底角六十七点五，而这个外六十七点五度，那这边的角呢，就是二十二点五度， 对吧？啊，我们这个角二十二点五度推出来之后有什么用呢？我们的 o c 的 长度我们是知道等于四，固定不变的，是提纲给我们的信息，所以这里呢，你就可以借助二十二点五度的三角函数值去求。 可能有的同学平时积累的时候呢啊，积累过二十二点五度的三角函数值等于多少，可以直接求。如果你不知道呢，那我们把这个推导过程也讲一下，二十二点五怎么去得出他的真切值呢？啊，我们只需要去啊，在二十二点五度基础上呢，去构造一个啊 等腰三角形，我们取 o b 上的某个点 q， 使得我们的 q c 等于 q b， 那 在这里也创造出一个二十二点五出来， 创造出来之后有什么好处呢？那它的外角就是一个四十五度，四十五度是我们很熟悉的角度，对吧？所以这个 o q 呢，它的长度也等于四， 那根据这个等腰加三角形 c q 的 长度等于四倍的根化，所以 q b 呢，也就四倍的根化，那你就可以把二十二二十二点五度三角函数值求出来，当然这里就没必要求了，对吧？如果你采用这个方法的话，这里我们可以直接算出这个 m 的 长度是四加四倍的根化了 啊，也就我们利用这个二十二点五啊，它是四十五的一半，去利用这个外角呢，去构造一个四十五度角出来，或者如果碰到这里是十五度的，我们也可以类似去构造，构造一个三十度的直角三角形出来，对吧？利用这个外角啊，这就是我们角度问题， 这个题目呢比较复杂啊，大家呢可以细心的去琢磨琢磨，后面呢也会分享更多的角度问题，是我们阿三数当中呢比较难的一类题啊。
42杭州数学Z
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07:34查看AI文稿AI文稿好，今天继续讲二次函数与几何图形综合题，关于正方形判定问题，大家先自己做一下。好，相信大家已经做完了，就是这个 前三小问相对来说比较简单。第二个也很简单，只不过是也是计算量的问题比较大。下面呢，咱一块做下这个题。 第一问是不是很简单？让你这个求 a， 求 a， 告诉你点了，告诉你二者函数了，把这几个点往里一带，看哪个合适就行了，是不是第一个满足要求，第二个不满足啊，这个满足啊，这个满足啊，所以说这一这三个往里一带，正好得到 a， 等于一，这小问很简单。 然后咱再看第二小问，他说的这个菱形的顶点在这个二者函数的图像上，这上面，而且 a、 d 垂直于 对角，这个是垂直的，那菱形什么特点？菱形是不是平行？四个边相等，对边四个边相等，对边平行且相等， 那这样的话，它俩平行，这个是垂直外度，说明这个是不是也是垂直的？那垂直的这个图像是 y a x 方，是不是它俩 b c 关于外周对称啊，那关于外寸对称的话，那我们设 t， 这是 t， 那 这个是不是 t 方？那这个呢？一点就是负梯梯方， 那这样的话，那这个 b、 c 的 长度是不是就二 t， 那 所以说 a b 是 不是也是二 t 啊？那 b 这个是写成 e 的 话，那这个就是 t， 那 这个 a e 就是 根三 t， 那 a 点的坐标是什么呀？ a 点是不是零 零，这个这个高度是梯方，梯方加根三 t 是 不是？ 那这个 d 点什么呀？我们设 n， 这不是 n 方啊，那这样的话， 这个 n 这个长度是不是就是二 t 啊？也就说这个这个 d 点应该是用 t 的 话就是二 t 啊，是 t 方， 那这个这个 a 点和 d 点的外值是不是相等啊？所以说就是 t 方加根三 t 根三， t 等于四 t 方，这样 t 等于三分的根三， t 等于根三，而那这个菱形的边长是不是三倍的二倍，三分的二倍的根三根三啊？这就是二次函数与几何图形转换做出来的。 这个这个小问也不难，主要是有有这么一个几何关系，知道菱形的特点。第三小问。第三小问，他说的是这个是正方形的顶点 b、 d， 在 二次函数的图像上， b、 d 在 外轴的同侧，在外轴的同侧，他是不是没有说在外轴的左侧还是在右侧呀？是不是左右都有可能呀？ 这个是注意一下的，然后点 b 在 点 d 的 左侧，也就是说 b、 d 他 俩的位置方向是一定的，只不过说他有可能是这样的， b 始终在左，也就是 b 是 在这样，只不过是他是在同一侧，有可能在左，有可能在右，只不过是 b、 d 的 位置关系，他俩是这么有关系。 然后告诉你呢，它俩的横坐标为 m n， 假如说这个在这 b 点是 m， 那 这个是 m m 方，那么这个就是 n n 方， 然后让你探求 n 减 m 是 不是一个定值 n 减 m 是 啥呀？是不是就是这个 d 的 x 坐标减去 b 的 x 坐标呀？ 那 d d 的 x 坐标的是不是就是这个 n 的 长度是多少啊？是不是就这个长度啊？ 这个是不是 n 啊？那 m 的 长度是啥？是不是这个长度啊？他问的是 m 减 n， 那 这又转化为几何值？这个和这个是不是全等啊？ 这不是咱讲的之前讲的一线定三垂啊，这种 是不是一下定三垂啊？为什么？这俩相等的话，这垂直是不是这个角？它俩相加是不是等于九十度啊？ 这俩相加是不是等于九十度啊？所以这个角等于这个角，是不是这三个角对应对应角都相等啊？然后这个边是相等的，所以说这两个是相等的，那相等的，那这个 n 加 m， n 加 m 等于什么？ n 加 m， 它加它是等于它加它，那这两个加是不是就等于 n 方减 m 方啊？等于 n 方减 m 方，哎，这样咱就能找到 n 减 m 了。那这个是 n 加 m 等于 n 减 m 乘以 n 加 m， 这是在第一向下，那如果都在第二向下呢？那都在第二向下，那就是在负 m 减 n 等于什么呀？等于 m 方减 n 方，是不是 因为这里？如果在这里的话，这个这个 b 点呢，就是占大值了，而且到这里是都是这个距离的话，这里面都是负号，负的就是负 m 加负 n， 其实是这样解出来的。什么呀？得到 n 减 m 等于一， 这是这一位，只要是你能掌握了这一位， 那第二小第二小题这一节和这一位是相关联的，那你也就能做出来了，只不过是他考虑的情况会多一些，但是原理都是一样的。他这个讲的什么呀？他只不过是这样，没有告诉你 a 是 多少，他告诉你的是 a， 那 这里我们的点是不是就是 a n 方，然后 am 方前面这里都带个 a， 那 这里化简是不是都带 a 啊？那最后这里是不是变成 a 分 的一了，就这里 不一样，然后他还考虑的情况，这里咱考虑了两种情况，一个是都在一象限啊，都在二象限，他是告诉你了是在同侧，在这里是不是他只 告诉你了 b 在 d 的 左侧，没法是在同一侧呀？那是不是有可能这个 b 点在第二象限， d 点在这个一象限呀？那这样的情况下，是不是就多了一种情况呀？ 多了一种情况，也就是说是化简的时候，我们化简的是 m 加 n 等于 a 倍的 n 加 m， n 减 m， 化简了这以后，如果它俩一个在二项链，一个在一项链，是，这是不是 m 加有可能等于零呀？ 那这里那就是说它俩这个满足等量的关系的话，那就是 m 加 n 等于零，那 n 减 m 啊，又等于多少？ a 分 的一，就这么一个关系，这是第二小问。 其实这如果你做出来这个第一题的第三小问的话，第二、第二这个第二小题， 他是只不过在第三小问的延伸基础上出来的这一问会了，你这一问就会了。 好，今天的题就讲到这里，大家有什么疑问，欢迎在下面留言。
41漫天飞雪666
12:03查看AI文稿AI文稿二次函数的题目是初三以及中考的必考题目，二次函数结合几何图形求最值，更是中考的压轴题。今天我们来看这样一道中高难度的二次函数求面积最值问题，来一起看题。 二次函数 y 等于负 x 平方，减去 x 加三，与 y 轴 x 轴交于点 a， 点 a 的 坐标是零三点 b， 负三零两点 p 是 直线 ab 上方抛物线的一个动点，与 ab 不 重合，求三角形 p a、 b 面积的最大值， 这是这道题目的图形。我们一起对着题目来分析一下二次函数，这是一个二次函数抛物线，它与 y 轴 x 轴，这是 y 轴交于点 a， 这个是零三 交于点 b， 这个是点 b， 负三零。他说点 p 是 直线 ab 上方这一段抛物线上面的一个洞点，这 p 是 a 到 b 的 这个一个洞点，与 ab 不 重合，也就是说 p 点与 ab 两个点组成一个三角形 p、 a、 b， 他让我们求三角形 p a、 b 面积的最大值。我们先自己思考一下， 很多同学见到这个抛物线求最大值，哎，他就会说这个最大值，那肯定是不是在这个抛物线这个这个最高点， 但是我们这个题目，它是让我们求面积的最大值啊，它求 p a、 b 面积最大值，不是要求这个抛物线最大的 y 值啊，这个注意，很多同学就用这根 抛物线的对称轴的这个点去求它的最大值，这个是有问题的啊，我们来看一下它让我们求三角形 p a、 b 的 面积，那么我看一下这个三角形 p a、 b， 它好像底也不知道，高也不知道，那么我们怎么求它的面积？ 我们是不是可以先用割补法来先分解这个 p、 a、 b 的 面积啊？怎么分解？我从这个 p 点，我向 x 轴做一条垂线，做一条垂线， 你再看这条垂线与 a、 b， 我 假设它相交于一点 c， 你 再看这个 p a、 b， 它是不是可以分成 p a、 c 的 面积加上 p b、 c 的 面积啊？ 我们是不是就将 s 三角形 p a、 b 的 面积分解成了 s 三角形 p a、 c 的 面积加上 s 三角形 p b、 c 的 面积啊？ 我们先用割补法将这个三角形的面积分解为这两个小三角形的面积。这两个小三角形的面积，它有什么特点？它是不是 这是它的底，这是它的高。这左边三角形，这是它的底，这是它的高。 这个 h 一 加上 h 二，它是不是一个固定的值？ o b 啊？这个 s 一 加 s 二，它是不是等于 o b 的 值等于三啊？ 这能不能理解？我们用割股法将这个三角形转化为两个三角形的面积之后，我们现在看它的高加起来是固定的，那么 s 三角形 p a、 b 的 面积，它是不是等于二分之一 pc 乘以 h 一 加 h 二，等于二分之三 pc 的 值， 我们现在就将三角形的面积转化为二分之三 pc， 也就是说要求 pc 的 最大值。 我开始讲了，有同学可能会用这个点对称轴的这个点去当做它的最大值，这其实是不对的啊，你看这个上面的高度，它是不是看不出来？ 所以我们是无法确定这个 p c 的 最大值，它就是这个对称轴的点。到了这一步，我们就必须要想办法去求出它的确切的值。 好，到了这里，我先把这里擦掉啊，等于二分之三 pc， 也就是这个面积等于二分之三 pc， 那 么我们现在这个题目要求的值，我们就是转化为了要求 pc 的 值。 pc 的 值，它是不是 p 点的重坐标减去 c 点的重坐标，那么 p 点的坐标，我设它为 x， 那 它的 y 值是不是就是负 x 平方减去二， x 加三， 负 x 平方减去二， x 加三，这个就是 p 点的坐标，那么 c 点的坐标呢？ c 点的坐标，它是不是在直线 ab 上面？直线 ab 就是 一个简单的意思函数， y 等于 k， x 加 b， k 是 等于一的， 因为 a 的 y 值是三， b 的 x 值是负三，它的斜率是一，所以 y 等于 x 加上，当 x 等于零的时候， y 等于三， 所以直线 ab 的 一次函数就是 y 等于 x 加三，那么 c 点它是在直线上面，所以 c 点的坐标是 x， x 加三， 这能不能理解？ p 点 c 点两个点的坐标出来了，那么 p c 的 值， 它 p c 的 值是不是等于 p 点的 y 坐标？负 x 平方减二， x 加三，减去 c 点的 y 坐标减去 x 减三， 它就等于负 x 平方减去三， x 三根负三抵消了。 那么到了这一步， p c 的 值，它是不是转化为了这样一个 二次函数啊？他说现在让我们求最大值，是不是变成了求这个二次函数的最大值， 那么这个二次函数的最大值怎么求？这又它这个又变成了一个二次函数， y 等于负 x 平方减三 x， 它 x 值的坐标是不是大于负三？因为在这一段区间内嘛，所以 x 值是大于负三，小于零的。 现在整个题目我们是不是转化为了求这个二次函数的最值问题？那么这个二次函数的最值问题， 我将它继续化简一下，提一个负 x 出来， x 加三这个二次函数，我再画一个抛物线图像， 它与 x 轴的交点是零，负三 开口向下的，是不是一个这样的图像？它的最大值在哪个地方取？ 是不是它的对称轴数？这个对称轴就是负三加零除以二，负二分之三处， 所以 x 为负二分之三的时候，他求得最大值，我们算一下等于多少？负二分之三前面是负，负得正，负二分之三 加上三，这等于二分之三，等于四分之九。所以这个 y 它其实就是 p c 的 值， p c 的 最大值就为四分之九。我们将 p c 的 最大值带入这个地方， 三角形 p a、 b， 它等于二分之三，乘以 p c 的 最大值，所以答案就是二分之三乘以四分之九，等于 八分之二十七。我们再来回顾一下这个二次函数求面积最值问题，它经常作为中考压轴题来考啊，同学们一定要掌握 我们这道题。首先它让我们求三角形 p a、 b 的 面积最大时， 我们在这个图形中间是不是不规则的，它底不知道，高不知道。我们首先就要用割补法将这个三角形分成两个小三角形， p a， c 和 p b， c 分解成了两个三角形之后，我们发现它的高的和是固定的，就是 o b 的 值为三，所以三角形 p a、 b 的 面积就等于这个底， 这个底就是 p c 乘以它的高，这个高的和就是三，再除以二。 所以这个题目用割补法分解之后，我们将题目就转化为了二分之三乘以 p c， 我 们就求 p c 的 最大值就行了，那么 p c 的 最大值我们怎么去求？ 当然不是用肉眼去看它的哪个点最大啊，我们需要用坐标去求出它确切的值。 p 点在抛物线上面，所以 p 点的坐标为它 c 点在直线 ab 上面，我们先求出直线 ab 的 函数，然后再求出点 c 的 坐标， 那么 p c 的 值它是不是 p 点的重坐标减去 c 点的重坐标啊？ 所以 pc 它又转化为了一个二次函数，负 x 平方减三 x。 现在我们就将题目转化为了求这个二次函数的一个最值问题， 我们又知道它 x 的 坐标范围，那么这个二次函数它的最值就很容易求出来了，是在 x 等于负二分之三的取最大值， 进而就求出了这个面积的最大值。听懂的点个关注，关注不迷路，数学题分快一步！
28阿广讲数学思维
09:40查看AI文稿AI文稿好，今天继续讲二的函数与几个图形综合体。关于相似三角形判定问题，大家先自己独立的做一下。好，相信大家也做完了，下面由我带领大家再做一下。 第一小便是不是很简单？这个是告诉你，抛物线截取了，求三点的坐标，跟之前的正好反过来，因为很简单，这抛物线截取有了，对，它因此分解，是不是就是 y 等于 x 减四， x 加二，那这样的话，这两点是不是就出来了？这个是 负二零，这个呢？四零，这个是零负八，很简单。咱再看第二问，他说在图一中，这个直线是 x 等于 t， t 是 在零到四之间， 那么也画一下子，这个是 x 等于 t 交抛物线于 c 一 线啊，不是 x 轴线段。 b、 c 抛物线分别是 d、 e、 c， d， e 啊？ d、 e、 f、 f 连接 c、 f， 它说的啥？ b、 d、 e 与 c、 e、 f 相似， b， d、 e 与 c、 e、 f 相似，这是对点角，没问题。那这个 b、 d、 b、 d、 e、 b、 d e、 c、 c、 e、 f， 那 这个这个对点角，没问题。这两个角对应哪两个角？是不是没说呀？ 那所以说这个关键是，这里是有两种可能，要么是 c、 e、 f 跟 d、 b、 e 相等，或者是 e、 f， c 跟 d、 b、 e 相等。所以说这里应该是有两个答案，因为它没说哪个是对应角，是不是有两种可能。第二位有两种可能，第一种可能是这个三角形 b、 d、 e 相似于三角形 c， f e， c， f e， 那 这样的话，如果相似的话，这里是垂直的，它，它 c、 f、 e 是 不是也是垂直的？ 那第一种可能就很简单了，这是垂直的，这个是相似这个角，这是四 t， 那 这个这个点是不就能求出来了？这是 d 点，是 t， 零，这个呢是 它俩的中点。哦，这相似不是相等。这个，这个点是什么呀？ y 等于抛物线的这个解 x 是 什么啊？这是四至八，这是二二 x 加几啊？当 x 等于零的时候减八， 当 x 等于 t 的 时候，这个 y 是 这个一点的，是 t 二 t 减八， f 点呢？ f 点呢？是 t 等 t 的 抛物线长是 t 方减二， t 减八，然后第一种它俩是垂直的，那垂直的话，那这个 c、 f 和 d、 b 平行呢？ f 点和 c 点的这个外坐标是不是相等啊？也就是说这种情况下，是 t 方减二， t 减八等于负八， 那 t 等于零， t t 等于零，舍得掉它，这个 t 是 在零到四，所以要舍掉，所以 t 等于多少？ t 等于二 t， 第一种可能，第二种可能呢？是 e、 c、 f 是 直角，它是直角的时候，那就说这样 f 撇，这不也有可能啊，也就是说 e、 c、 f 撇和 e、 d、 b 相似的时候，三角形 e、 d、 b 相似于三角形 e、 c、 f 撇，这不也有可能啊。那如果是这种情况下的话，那这个 f 撇的坐标是什么呀？ 咱是不是用到了一线定三垂啊？这是垂直啊，这是垂直啊。是不是做垂线的话，这这这几个边都相似的呀？那 f 现在的它是字母表示，还是这一个，因为它在抛物线上，那这里呢？它是相似的，那这里是一比二，是不是四八一比二，那所以说它也是一比二，所以说 f 的， 嗯， 这个是多少？这个是 t， 那 这个是二分之 t， 这个呢是负八，那所以说负八减二分之 t 等于多少？是不等于外值啊？等于 t 方减二， t 减八， t 等于它把它抵消掉， t 等于二分之三，是不是？ 关键的是能想到这是有两种，两种结果，其实解这个就是解，解和知识，这个很简单了。好，咱再看第三小问， 他说的将抛物线平移到这个位置，平移的时候，它是由 x 方减二， x 减八，它平移它平移的这个位置，是不是这个没有了？坐标轴跟关于这个 y 轴对称，是不是这个就没有了？所以说这个是多少？这个是 y 等于二 x 方，那这个呢？这个已经告诉你了，是 y 等于二 x， y 等于二 x， 然后他说的过 o g 的 中点 h 呢？交这个抛物线呀，于 m n， 然后过 ga， n 和 mo 交于 p 点， p 点是不是在直线上？那是不是我们先求出 p 点的坐标呀？要想求 p 点的坐标，是不是我们要求出 ga， n 和 mo 的 直线截 s 啊？那要想求出这两个直线的截 s， 现在 o， g 这两点已经知道了， o o 是 零零， g 呢？ g 是 二四， a 四是一二，那我们只要找到 m， a 这两个坐标，是不是这两个直线解数就有了？那我们先试一下子， m 点坐标是 m， m 方，这个是 n n 方，那这样的话，这两个解数是不是就能表示出来了？ 那这两个直线解数上是不是又能。
29漫天飞雪666
