重庆几何压轴题八年级重庆一中

快来看这道题，你需要几分钟？好，今天我们再来看一道八上期末的几何压轴大题。 题目说，在四边形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于 ad， 角 b、 a、 d 和角 b、 c、 d 是 互补的两条对角线相交于点 o， 并且 o 点还是 a、 c 的 中点， 然后将三角形 b、 c、 d 沿着 b、 d 向上翻折，得到三角形 b、 e、 d。 题目问，若 c、 d 等于五， b、 f 等于七，让我们求 e、 f 的 长度 好。读完题目之后，我相信啊，咱们反应快的同学在看到 a、 b 等于 a、 d 和这个互补关系的时候，肯定马上就想到了对角互补模型。 这个模型我之前也出专题讲过，在它的三个条件中，一、对角互补。二、邻边相等三角平分线，知道任意两个都能推出第三个，而且辅助线都是一样的，都是过 a 点，分别向两边做垂线。 首先我们可以用角角边判定三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 d、 f 全等，从而得到 a、 e 等于 af。 然后再用 h、 l 判定三角形 a、 c、 e 和三角形 a、 c、 f 全等，从而就得到了 ca 平分角 b、 c、 d。 这个结论就是这道题的第一小问让我们证明的东西。 他的第二问把图形做了特殊化处理，然后让我们探究 bc、 ac 和 dc 之间的数量关系。那这一问是不是也是送分的呀？这双等边手拉手，我都不知道跟你们讲多少回了。 好，现在我们继续来看这第三问，不知道大家的思路有没有清晰了一点呢？其实通过前两小问，我们可以知道这道题的核心考点就是对角互补模型了，所以我们要抓住这个关键点。 不过虽然题目给的这个四边形 a、 b、 c、 d 确实是满足对角互补模型的，但是如果你发现它对最终的问题没有什么帮助的话，那就需要抛弃它，然后构造一个新的对角互补模型了。我们来分析一下啊， 因为翻折全等的关系， d、 e 和 c、 d 是 相等的，然后还有角 b、 e、 d 等于角 b、 c、 d， 那 也就是说现在角 b、 e、 d 和角 b、 a、 d 是 互补的。 如果我们分别延长 b、 a 和 d、 e 的 话，这个小的四边形是不是也满足对角互补的关系啊？接着我们再连接 a 一 还有 o、 e， 因为 o 点是 a、 c 的 中点，再加上三角形 o、 e、 d 和三角形 o、 c、 d 是 反折全等的关系，所以 o、 e 和 o、 a 是 相等的。然后再简单倒个角，就可以知道角 o、 e、 a 和角 d、 o、 e 是 相等的， 那这样一来， a 一 和 b、 d 就是 平行的了，所以角 e、 a、 d 和角 a、 d、 b 是 相等的，还有角 g、 a、 e 和角 g、 b、 d 是 相等的。你们看这第二个条件，角平分线是不是出来了呀？ 所以根据对角互补模型，我们是不是可以得到 e、 g 等于 ef 呀？好，走到这一步之后，我相信大家应该都能想到，大概率是要证明 d、 g 等于 b、 f 了。那这个全等三角形该怎么来构造呢？ 不知道你们注意到了没有，这个角 a、 f、 b 和角 a、 g、 e 是 相等的，而且 ab 和 ad 也是相等的。 不过显然三角形 a、 b、 f 和三角形 a、 d、 g 不是 全等的，因为另一个角 b、 a、 f 和角 d、 a、 g 是 互补的关系。那如何来构造第二组相等角呢？是不是可以通过等腰三角形来转化呀？ 我们可以在 a g 上取一点 h， 并且令 h d 等于 a d。 那 这样一来，这个三角形 d a h 就是 等腰三角形了，这个时候角 d h g 和角 b a f 就 相等了。现在全等条件就够了吧。 所以三角形 d h、 g 和三角形 b a、 f 是 全等的，全等之后， d 七的长度就等于七了，所以 e 七的长度就等于二。那 e f 的 长度自然也是二了，你学会了吗？

超难的几何压轴题也能十秒有思路！今天我们要看的是一道八年级月考真题当中最后一道大题的最后一个小问，他给到你 p a 的 长度为根号二，将这里 p b 呢？倒着点 p 旋转九十度之后 绕到了这里的 p m， 问你的是线段 a m 的 最大值。对这道题目来说， a b 两点的坐标我都是已知的，但是 p 点的位置是不确定的，那转过去之后， m 点的位置也就不固定，我 a m 的 长度肯定是在变化的， 练到什么时候他能达到一个最大，这其实就要从图形出发去构造模型了。很多同学拿到这种题目，根本不知从何下手，要构造什么样的模型，怎么去构造模型，完全想不出来，没有思路，也就被迫放弃对应的分数。那今天曾曾老师教你一种特征识别法，让你 十秒看出到底应该使用什么样的模型，再配合曾曾老师为你贴心整理的八年级几何模型手册，不仅包含整个初中所涉及到的所有重难点模型的讲解，并且有对应的例题，还有与例题配合的类题练习。 当然这一套就不用用别的资料啦。那回到我们这道题目，这道题目最明显的特征是这里的 b p 旋转到了这里的 mp， 也就是说这里出现了一个九十度，加上对应边乡的一个经典的等腰直角三角形。 那么见到这种等腰直角三角形呢？比较常见的思考方向其实有两类的，第一类是我们的三垂直，第二类呢是手拉手，那到底应该使用哪一个？我们把这两个模型挑出来做一个小对比， 想要使用三垂直，他要求的是在一条直线上出现三个直角，所以一般来说，题目会给你一条直角线，我需要做的是在这条直角线之上去做另外两个垂直，得到对应的两个全等三角形。 而第二种手拉手模型的特点呢，是共顶点顶角相等的等腰三角形，所以这边公共的顶点 p 出发出现了两个等腰，并且顶角都得是九十度。它需要构造的应该是这样的，一条与 pa 垂直并且与它相等的线段 去左手拉左手，右手拉右手，从而得到一组全等三角形。那对我们这道题目来说，我已知的是 pa 的 长度，并且要求的是 am 的 最大值， 所以我特别希望对这个三角形进行一个充分的利用。而题目当中 a m 的 长度不好求，所以我就采用一个手拉手模型对它进行转移就好了。那么这个时候 p b p m 是 相等的 pa 这里 已经存在了，我需要再做一条 pa， 使它垂直于 pa， 并且与 pa 相等，所以这里 pa 的 长度也为根号二。连接最后的 b n 三角形 b p a 一定全等于这里三角形 m p a 全等的依据是什么呀？ s a s。 通过这样的构造手拉手，我把整条线段 a m 转移到了这里的 b n， 要求它的最大值，我只需要把 b n 的 最大值求出来就可以了。 我已知的线段长度呢，只有 p a 和 p n 的 长度都是根号二。我可以利用这里等腰直角三角形的特点去把它的斜边为二给算出来，而 a b 的 坐标你也知道，中间的距离也为二，那你发现在三角形 a b n 当中， 两边之隔大于第三边，所以我的 b n 是 小于二加二得四的，共线之时，最大值也就取到了，所以这边 b n 的 最大值得到四，它也就是 a m 的 最大值喽。这道题答案为四，搞定其中数学哪加强？青青草原我最狂，早练早进步哦！

这道题你需要几分钟？四边形 a、 b， c、 d 为正方形角 e， a、 f 等于四十五度， b， e 为六。问 c、 f 的 长度， 很多人应该注意到了，角 e、 a、 f 是 四十五度，那么就可以考虑半角模型。像这样做辅助线，此时三角形 a、 k、 b 全等于三角形 a、 d、 f 再连接 k e 和 e f， 那 么这两个三角形就全等。并且 k、 e、 f 好 像是共线的，我们可以尝试证明一下。换句话说，只需要让这两个角相等就好了。这样做平行后，不难看出，三角形 m、 e、 f 全等于三角形 k、 b、 e。 怎么证明呢？ 我们继续往下看，梳理一下目前知道的条件。 d f 等于 m f 也等于 k b， e， f 等于 t e 角 e， m f 等于角 k b e 我 们都知道这是 s s a， 不 可以证明全等，但我们可以造直角，用 h l 实现全等。 就像这样，现在这两个角为直角，于是这两个三角形全等，故 l f 等于 k n， 此时三角形 e、 l、 f 全等三角形 k n e， 那 么就成功地证明了贡献。所以三角形 a、 e、 f 就是 一个等腰直角三角形。 接下来就好办了，通过手拉手构造全等，此时两三角形全等，那么 h f 平行 bc， 因此 h b 等于 fc。 计算部分就不写了，你学会了吗？

去年刚考的，对吧？这个第一问呢，很简单，手拉手，是不是啊？两三人全等。第二问， 只能说这个有一点点小难度吧，但是这个东西我们是讲过的，而且呢，第一问也更得提示了，对吧？肯定是往手拉手去想，所以第二问，我们去做什么？做一个垂直， 做完垂直之后，首先由于这个地方八字形，我们是不是可以得到角一等于角二，对不对？然后因为我们做的是垂直，原来有个垂直，加上我们的垂直减去公共角之后，角三是不是等于角四？ 那么是不是就可以得到这个三角形和这个三角形全呢？ 是吧？好，那最后什么关系啊？这个 c e 肯定是是最长的 c e， 最后是变成了假设，这个叫 f， 好 吧，就我刚刚那个辅助线，我写下来啊，我们要做 d f 垂直 d e 啊，就是我做的是垂直啊，你不要说做等腰直角三于 d e f， 这是做不到的，对吧？我们只能做一个垂直好，做完了之后，我们通过正全等可以证明这个边和这个边等，就是证明它这个等腰直角三角形，对吧？这是正出来的。好，那最后 c e 等于什么？ e f 加上 c f， 而 e f 呢？根据全等于是 a e， 所以就是这么个关系。嗯，这应该是开学第二次课或者第一次课里面有一道类似的题目。接下来第三问。 第三问呢，大家有没有印象中，我们这学期某一节课就是讲这个稍微难一点的几何作图，当时讲过这个什么如何做等腰直角三角形呢？还记得吗？就当时比较简单的说，有两条水平线 说让你做等腰直角三角形，那个好像都好做，对吧？然后后来又升级说这两条线啊，比如是这样的说，请你什么去做等腰直角三角形，还记不记得 啊？其实这样的问题以后还会遇到啊，而且你不管他给的是什么相交线啊也好，水平线也好，或者这个题的三角形也好，甚至说等你下学期还会什么在矩形中、菱形中让你去做类似于等腰直角三角形的这些事情。 我认为这些东西的方法都是一个共同之处，叫 股东联动啊。听我跟你分析讲完你就知道了该怎么做了，大家看他最后想要的结果是不是是这样的， 对不对？好，那我确实不知道怎么画，但是我们可以这样去理解啊，如果我们这个地方等一下，我先，我先不要插啊。 如果我把这个地方 n 当做是一个主动点， m 是 当做一个从动点啊，就是说，首先我先先不关心 m 是 不是在这个线上啊，我假设 n 点就是 点 n 是 什么？是 a c 上的一个动点， 那么点 m 是 不是就是它的从动点，这个可以理解吧，对吧？随着 n 在 从 c 移到 a 的 这个整个整个过程中，那么 n 的 轨迹就是 c a， 那 么 m 是 不是也应该有一条轨迹？ 这是我们以前讲过的吧。那你是不是只要能把 m 的 轨迹找到和 ab 相交，那那个点就是我们想要的点？ 这话能明能明白吧？就是我们现在把点 n 看作是一个从 c 到 a 在 移动的一个主动点，那么 n 相 m 呢？相应的也会有一个 m 的 运动轨迹，就始终保持。呃，保证 d m n 是 一个等效函数，对不对？ 好，我们现在在 m 的 运动轨迹里面，我们就找和 ab 相交的那一个点，那个点就可以既保证它是等腰直角三角形，也可以保证这个 m 点正好在 ab 上。这思路能不能听明白？好，如果能听明白这一点，我们现在开始干嘛 找 m 的 运动轨迹？ m 的 运动轨迹很好找，因为我们学过主动联动，我们知道 m 的 轨迹一定是一条直线，所以我们只要找两个特殊点就行了。比如说当 c， 就是 当 n 在 c 的 时候， d m 在 哪？ d m 是 不是在这儿啊？假设这叫 n 一， 这叫 m 一， 如果当 n 在 这里的时候， 这点 m 在 哪？是不是在这可以理解吧。所以说 m 的 运动轨迹是个什么？是不是这条线？ 那么这个点是不是我们要的点 能听得懂吧？有点难啊，帮大家再梳理一下。就是说我们一直把 n 呐，就当做是 c a 上的动点，那这样呢？我们就不用考虑说什么 n 在 不在这个上面的事情呢？它一定在 啊，当 n 在 上面移动的时候，所有的能使得 m d n 为等腰直角三角形的 m 点，我们能把它找到，就是这条直线， 对吧？就是这条直线上的每一点，都可以使得 n 这上面的 n 点它们形成一个等效。正因，那我们在这个上面只有一个点是我们需要的，就是这一个。 那也就是说，这个题如果我把它改得更可怕一点啊，我哪怕把这个 a b 啊，我不把它呃是看作一个线段，哪怕它就是一个曲线， 对吧？下次我把题目改成说，这左边是一个曲线，右边是一个直线，请你在上面找一点这个 m， 在 这上面找一点 n， 不 也是这样做吗？ 能听懂我这个逻辑吧？而且说不定如果你这是一个曲线的话，说不定还能有两个焦点， 对不对啊？所以按照这个方法做，你根本不用管原来的图形是什么，你只要把它的轨迹找到就行。想参加我们 tu 训练营的家长可以在评论区留言哦。

好，我们今天一起来看一下海洋市八年级上学期数学期末统测的解答题的亚洲题。这是一道几何最值问题，是第二十五题的第三小问，所以在三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 等于六， c， d 是 高， a， b 等于二， c、 d 求 a、 c 长的最小值。那这道题目呢，本身是比较困难的， 一般的思路呢，可能要设 c、 d 为 h， b， d 为 x， a， b 则二 h， 然后呢，用勾股定律 把 a、 c 呢用参数表示比较麻烦，那个我们这里面的话有第一二问，其实可以给我们提供思路， 大家看到第一问呢，是一个一线三垂直模型，角 a c b 九十度 a， d 垂直 c e， b e 垂直 c、 e 题目当中有一个一线三垂直模型，那么第二题呢，有一个等腰直角三角形 角 a， c b 九十度 a、 c 等于 bc， 然后呢又有 a、 d 垂直 bc， 那 么这个时候呢，我们也更近一线三垂直，再做一个垂直，大家就会做了，所以我们的第三题呢，就应该 想方设法的用第一问，第二问提供的思路就是构建一线三垂直制作，那么你要先构建一线三垂直的话呢，就要先构造一个等腰直角三角形，那么怎么构造等腰直角三角形呢？ 啊，这里面有一个垂直了啊，我们就可以以 b、 c 这里面啊，再再过点 b 做一条垂线，做 b h 垂直于 b c， 并且呢使 b h 等于 b、 c， 这样的话呢，三角形 c、 b、 h 就是 个等腰直角三角形 c、 h 呢，就等于六， c、 h 就 等于六根号二，那我们要求 a、 c 的 最小值的话，如果能够把 a、 h 求出来，那么根据三角形的三边关系，我们就可以求到 a、 c 的 最小值了，最大值也可以求。 那现在大家是不是有思路了？我，我再可以暂停想一想。 好，我们这道题目的思路就是构建一性三垂直模型，再利用三角形三边关系来求最值。首先做 b、 e 垂直 bc， 并且呢， b、 e 等于 bc， 我 们连接 c， e， bc 十六， b， e 也是六，那么 c， e 呢？就是六根号二， 我们易得三角形 b、 c、 d 和三角形 b， e、 f 全等 做 e、 f 垂直 b、 a 之后呢，这里面构建了一个全等三角形 b， c、 d 全等于三角形 e、 b、 f， 所以 就可以得到 b， f 等于 c、 d， 从而 b、 f 等于 c、 d， 也就是等于二分之一个 ab， 它 a、 b 等于二 c、 d， 所以 b、 f 和 a、 f 就 相等，这样 e、 f 呢，就是一个垂直平分线，所以 a、 e 等于 b， e 等于六。 在三角形 a、 e、 c 中， a， e 等于六， e， c 等于六根号二，所以 a、 c 就 小于就大于，等于 六根号二减六啊，所以 a、 c 的 最小值就是六，根号二减六。当然我们也可以求它最大值，最大值就是六根号二加六。