天津中考数学11题旋转题技巧
天津中考数学第十一题考察的是悬折问题，这道题的解析思路一共分三步，第一步，我们需要把悬折后对应的边和角迅速的标注清楚。 第二步，悬折后呢，会形成两个等腰三角形，我们需要把它相等的顶角、底角以及相等的边都标注清楚。 第三步，我们看看题目当中有没有旋转到一些特殊的位置，从而给我们一些特殊的边和特殊的角。最后呢，我们可以根据一些基础的知识啊，比如说勾股定律啊，这个八字模型啊，去推导出其他的边和角即可。
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07:06查看AI文稿AI文稿今天我们来讲解中考题型十一题旋转。好，我们来看一下这道题目，他说 以 a 为中心，顺时针旋转得到 a、 d、 e， 也就是要把三角形 a、 b、 c 进行旋转， 那么连接 b、 e 点 d 恰好落在 b、 c 上。我们读完这道题目以后，会发现它没有任何特殊条件， 所谓特殊条件就是平行垂直三十度、六十度、四十五度这样的条件是没有的，并且也没有额外附加任何的边长相等，所以我们可以知道就是一个普通旋转。那么对于普通旋转的题目，我们的做法就是找等腰， 因为它旋转以后一定会得到边对应相等，所以我们能够得到的是边相等， 角相等。 还有一点比较重要，它旋转以后旋转角 相等，那么旋转角它会连接完对应的边长以后，它能出等腰三角形，所以别忘记它这两个三角形也是对应相等的，也就是角度对应相等好，旋转角 好，那这就是咱们这里面没有特殊条件的情况下得到的结论。好，我们继续来看一下这道题的结果， 总结果来看，有角度、边长、角度平行四个选项，那么在一般条件下，咱们的顺序是角度 大于边长大于其他，什么意思？也就是说我在这道题中， 如果我是纯蒙的情况下，就是我一点都不会啊，我就是纯蒙，那么咱们要先蒙角和角度相等的题啊，角和角度相等的答案 如果说没有，那咱可以去选择边长相等的答案，如果再没有，那咱们再去选择比如说平行、垂直等等这样的角度，或者是这个平行垂直这样的特殊条件啊，那么对于这道题，我们是可以做的， 从问题上来看，他说一定正确，那这是一定的类型，那他的条件和结论就一定是一一对应的。从题目中可以得到我的结论啊。那我们来看一下 a 选项，他说 b， a、 d 等于角 d a c b， a， d 等于角 d a、 c， 那 也就是说 ad 这个边它平分的角 b、 a、 c， 可是咱们题目中没有任何平分，它有没有可能呢？是有的，但是它不一定好。然后我们再看 c、 b 等于 a、 e 好， 那么 c、 b 这个 长度是三角形 a、 b、 c 的 一个边，那么它转完一定会等于 d、 e， 但是他说等于 a、 e， 有 没有可能呢？也有，咱们暂时可以先保留啊，先不管，然后去看 c 选项，角 a、 b、 e 等于角 a、 d e a、 b、 e 和 a、 d、 e 看似是没有任何关系，但是咱们能够知道角 a、 d、 e 是 等于角 c 的， 那么也就是说我们只要证明 a、 b、 e 和角 c 相等即可。那我们再来看刚才咱们写的，我旋转以后，边相等，角相等，我 a、 c 和 a、 d 是 相等的， a、 b 和 a、 e 是 相等的，所以我就能够知道我 角 a、 c、 d 等于角 a、 d c。 角 a、 b、 e 等于角 a、 e、 b。 同时我这两个三角形的顶角，也就是 d a、 c 和角 e a、 b， 它们两个顶角都是旋转角，所以 顶角相等的等腰三角形底角也相同，所以 c 选项是一定正确的。那么这道题我们就选 c， 那 么四 d 选项这个其他，那肯定就不在咱们考虑范围之内了啊，因为它没有特殊条件。 我们再来看一个有特殊条件的下一题。下面这是二四年中考真题啊，我们来看一下，他说角 b 等于三十度，顺时针旋转六十度，那么这道题问的也是一定正确。针对咱们刚才的一个总结，边 将等角相等、旋转角相等以及角度大于边长大于其他大于其他的情况下，咱们刚才讲的是 题目中没有任何附加条件的时候，那么现在我们是不是已经有附加条件了？那我们就可以着重去考虑垂直平行这样的条件。我们来看一下，先看平行和垂直，刚刚说了着重考虑 a、 c 和 d、 e 平行吗？那平行咱们得需要同位角、内错角以及同旁内角，那么咱们需要去找，那在这里面六十度在这啊，那这道题他不太好找，那怎么办？我们可以先看四 d 选项， 他说 b、 f 垂直 c、 e， 我 们知道这里是六十度，他又给了角 b 是 三十度，所以直接出这里是九十度，直接四 d 选项是一定正确的啊，所以咱们可以按照这样的方法去做。那么如果说四 d 选项不正确怎么办？我们再来看二 b、 a、 c 和 d、 e 平行，这里是三十，所以这里也是三十度，这里是一个九十度，咱们是一定能知道的，那这里是个六十度， 好，那么 a、 c 这边我并不知道角 a、 c、 b 是 多少度啊，所以在这里面如果要和 d、 e 去判定平行的话，我们并没有什么根据啊。如果是这种情况下，二 b 选项也不对，四 d 选项也不对的话，我们就可以去看 a 或者是 c 了。 好，那么这个题型咱们就讲解结束了，那么对于这一类题型的总结，我们要知道按照刚才老师写的这样去做啊，这样去写看看有没有特殊条件，如果没有特殊条件，先优先看角，再看边，再看其他的。 如果要是有特殊条件，优先去看垂直平行，然后再看角，再看边。好，那么咱们就讲解完了。
01:00查看AI文稿AI文稿天津初三的孩子们注意了，今天王老师给你整理了中考五大题型，吃透这五大题型，学会举一反三，刷一道顶百道，复习效率直接翻倍！首先，函数与图像必考，指数，五颗星 选择第七题，考反比例函数十二题，二十三数图像还有解答二十三题，考分段函数二十五题，二十三数综合，全是高频考点。第二类，几何综合题， 五星必考选择题第十题，几何综合十八题，网格题解答题，二十一题，三角函数二十四题，几何压轴，每一种都 得熟练。第三类，统计与概率，五星必考，填空十三题，简单概率解答第二十题，统计计算第四类，方程与不等式，五星必考，选择第九题，分式计算解答第十九题，解不等式组都是基础题型，掌握方法，稳稳拿分。 最后一类，实际应用题，五星必考，像选择十二题，二次函数实际应用解答。第二十二题，三角函数实际应用二十三题，分段函数应用把数学知识和生活结合起来，咱们只要找对等量关系，稳稳的拿分！好了，这五大题型就是咱们天街数学复习的核心内容，赶紧点赞收藏，对照着复习起来吧！加油！
06:43查看AI文稿AI文稿初中数学几何天花板全网爆火的等边三角形网红题，一个旋转模型直接拿下，零基础也能学会这个题很多人束手无策，说设 p 点是等边三角形的一点在这，然后 p a 等于 a， p b 等于 b， p c 等于 c， 求三角形 a、 b、 c 面积在这块的话，它没有告诉你具体数字，但是看到这个图之后，我们的脑海里面第一反应应该是旋转。我们可以把三角形 a、 b、 p， 比如说绕 a 点，沿逆时针方向给它转六十度， 发现啊 a、 b 它和 a、 c 就 重合了，我们记这个点是 p 点对应点，比如说是 p 一， 最后如果连接 c p 的 话，这个 c p 对 应过去，它就是 b p。 题目要求三角形 a、 b、 c 面积， a、 b、 p 面积刚好是一部分，比如说我可以记 a、 b、 p 面积是 s 一， 那么这样转过来之后呢，这个三角形 a、 c、 p 面积它也是 s 一， 你下一步 s 一 能转的话，那么三角形 a、 c、 p 能不能转呢？包括三角形 b、 c、 p， 它能不能转呢？ 哎，也可以啊，可以把三角形 a、 c、 p 拿起来，然后绕 c 点转逆时针方向转到 a、 c 和 b、 c 重合。所以这时我们可以发现啊， c p 它也是转六十度， 我们记这个点是 p 二点就是 p 点对应过来的点。最后呢，连接下 b、 p 二，你既然转过来了，所以两个三角形肯定是一模一样的，那我如果记三角形 a、 c、 p 二面积是 s 二，所以下面这个三角形 b、 c、 p 二面积它也是 s。 紧接着还有最后一个三角形，就是 b、 c p 绕 b 点转，是沿着个逆时针方向转到 b、 c 和 ab 重合，所以这时候 b p 应该是绕 b 点转六十度大致是在这个位置， 我们记这个点是 p 三点，最后连接一下 a、 p 三，比如说我可以记三角形 b、 c p 面积是 s 三，那么这样转过去呢？三角形 a、 b、 p 三面积，它也是 s 三。 哎，我们可以发现，本来三角形呢，这个 a、 b、 c 面的，它不是等于个 s 一 加 s 二加上 s 三吗？就是里面三个相加，那么现在 s 一、 s 二、 s 三分散出去了，那不就是这三个相加吗？把这些全部相加之后的话，形成一个六边形，这个六边形就是总共最大这个图形的面积，它里面包含了几个三角形 a、 b、 c 面积啊，不就是两个吗？所以最后我们可以算出六边形的面积 除以二，这样就行了。关键是这个六边形该怎么计算呢？比如说呢，把这个三角形 a、 b、 p 转过去，有你转的是六十度， 这个六十度比较特殊啊，那么这个角应该是六十度吧，而且旋转前后的话对边相等，那我们可以发现啊，这个 a p 它就等于 a p 一 了，所以这时候等腰加六十度，我们必然要连接一下 p 点和这个 p e 点，为了使图形更加清晰一些的话，我可以把里面这些全部擦掉啊，它会干扰你啊，这边的话就是连一下 p、 p 点和 p 点，那么三角形 a p p 它就是一个等边，三角形边长呢？我们可以知道啊，因为 p a 它等于 a 嘛，所以这个边长它就是 a， 而且你转过来之后的话，由于 b p 它是 b， 所以呢，旋转之后，这个 c p a 它也是 b， 那 么 p c 呢？就是 c 了，你刚才是不是把三角形 b c p 也转过去了啊？那么 b p 它也是转六十度，所以同理，这个角六十度，它们两边还相等，所以肯定要连接一下 p 点和 p 三点，那么三角形 b p p 三，它就是一个等边三角形，而且边长呢，它就等于 b 了，那么这个 p p 三呢，它也是 b。 最后还有下面这个图形啊，你把这个三角形 a c p 绕 c 点转过来了，所以呢， p c 它对应过来呢，就等一个 p 二， c 长度也是 c， 包括这个角它也是六十度，所以你肯定要连接下 p 点和 p 二点了。那么连完之后的话，我们说三角形 p c p 二，哎，它就是一个等边三角形。我们发现啊，这个图里面它有三个等边啊，分别是三角形 a p p 一， 三角形 p c p 二，还有左侧这三角形啊， b p p 三，这三个面积之合呢，它就在大的图形面积里面嘛，所以呢，你先把它们三个相加， 可以了。那么这三个弦怎么算呢？比如说看三角形 a p p 这个边长应该是 a 嘛？边长如果是 a 的 话，我们可以做一条高，这高做完之后的话，它必然会有三线合一啊，所以呢，这个角应该是三十度平分顶角，那么下面垂直嘛，而且平分这个边了， 所以呢，这条边应该是二分之 a。 那 我们讲三十度出现之后的话，而且在直角三角形里面，所以呢，长直角边应该是短直角边的根号三倍，所以高应该是二分之，根号三，再乘以 a， 那 么这个面积的话，应该是 s， 等于二分之一乘以个底 a 嘛，再乘以高二分之根号三 a， 这个结果应该是四分之根号三 乘以 a 方，就是边长的平方，再乘以四根号三，这样就可以了。在这里的话，我们就可以直接套用这个结果了，这个边长应该是 a 嘛，所以它结果应该是四分之根号三乘以 a 方，那么第二个三角形是 p c p 二 p c p 二，边长是 c， 所以呢，这个面积应该是四分之根号三，再乘以 c 方，那么第三个呢，边三角形在这边长应该是 b， 所以 面积应该是 四分之根号三乘一个 b 方。最后的话，我们可以把这个提出来，就是提出四分之根号三，所以呢，这三个面积合应该是四分之根号三乘一个 a 方，加上 b 方，那么再加一个 c 方，那么所有的等边我们就处理完了。剩下还有这一部分啊，这个三角形还没有算吧？ 还有这个三角形你也没算吧？还有这个三角形你也没算啊。这些三角形它是有关系的啊，它是由三角形 a c p 转过来的， 你旋转到下面去的话， a p 对 应过来应该是 b p 二， a p 是 a 嘛？ b p 二它也是 a， 这条边是 c 嘛？然后的话呢，我们可以发现这条边呢，它应该是 b， 这条边是 c 嘛？因为它是等边，所以呢，边长也是 abc， 包括这个三角形的话，边长也是 abc 啊，所以发现三个三角形全等算一个面积，最后乘以三不就行了吗？ 但是在这一块的话，很多同学有问题啊，说，老师啊，你看啊，三条边长告诉我，我应该怎么去算三角形面积呢？可以去翻一下课本啊，课本上面有一个公式叫做海伦公式，这个公式的话这么来写啊，如果给出三角形的三条边，比如说是 a、 b、 c， 那 么这时候面积呢，可以写成根号下 p 乘上一个 p 减 a， 再乘上 p 减 b， 再乘上 p 减 c， 那 比如说 p 是 什么呀？ p 的 话就是周长一半啊，这个 p 它等于二分之， a 加 b 加 c 除以二，所以呢往里面带就可以了，那么在这里其实边长都已经知道了，就是 abc， 最后的话直接套公式就可以了啊，那我们说这三个之合的话，就可以算出来啊， 这个 s 等于 p 乘上一个 p 减 a， 再乘上 p 减 b， 然后呢再乘上一个 p 减 c， 但是呢它有三个，所以最后的话， 这个结果我们需要再乘以三，那么总面积的话就可以写成四分之根号三乘上一个 a 方加 b 方加 c 方，然后呢再加上三倍的这个东西啊， p 乘一个 p 减 a， 再乘以 p 减 b， 再乘以 p 减 c， 那 么最后呢，给这个结果整体呢，再除以二就行了，除以二之后就乘二分之一嘛。 好，这个结果的话就是整个的三角形 a、 b、 c 面积啊，这样我们就全部搞定了。这个题的核心就是一个旋转，你转完之后，它的图形面之间存在些关系，四呢，逐个突破就可以了，你听懂没有？别被几何网红题劝退，学会旋转大法，轻松学透融数学，数学有问题就找龙主任。
02:25查看AI文稿AI文稿哈喽，来各位同学，咱们今天给大家讲一讲正方形的旋转模型，这个也是在新教改之后考的非常多的这么一种题型，说有个正方形叫做 a、 b， c， d 对 角线，酷酷一连，那教育这个点 o 注意啊，这有一个旋转的九十度，是谁呢？你的 m、 o， n 啊，是一个固定的九十度，但是呢，就这个角度固定，但是它的位置可以变，就是 m 可以 在 b、 c 上动， n 呢，可以在 c、 d 上动， 能理解吧，那相当于有这么一个九十度的角，绕着这个点 o 转，在问你转动的过程当中，这个四边形 o， m， c， n 的 面积是否为定值？是的话，你要证明一下，那么这道题它的逻辑其实很简单，就是政权等，而且我相信各位同学应该看得出来，好像是这个三角形 和这个三角形看起来应该是全等的，你别看起来是他们俩，实际上就是，而你只要挣出来这俩全等，那么这道题就迎刃而解了，我们下面说一说到底怎么去挣这个全等。首先呢，我们先看条件，第一个，他因为是正方形的对角线，平分对角，所以我们就知道这个角角一 和这个角角二，角一和角二肯定是相等的，对吧？角一是等于角二，而且都等于什么？都等于四十五度，这是第一个。那么第二个呢？正方形的对角线互相垂直相等且平分，所以 o m 是 等于 oc 的， o m 等于 oc， 这条边和这条边相等。第三个是什么？第三个，当然你得用九十度了。来，各位同学，你看一下 m、 o， c 是 九十度对吧？因为这个角 b， o， c 等于一个九十度，这个角 m o， n 也等于九十度，你有没有发现这两个九十度中间有个公共部分， b o， c 和 m o， n 两个九十度中间有个公共的部分叫 m o， c， 那 么他们同时减去中间公共的部分，剩下的这个角，这个角 b、 o， m 就 应该等于这个角 c， o， n。 好 了，你看看现在你手上掌握的这三个条件，能不能挣俩黄不拉几的三角形全等，可以的，对吧？所以三角形 b、 o m， 那 全等于三角形 c o， n， 那 既然全等，那你会发现 o， m， c， n 的 面积是不是等于中间这个空白面积加上 o， c， n 的 面积？那我们是不是可以把它看成是 o m c 的 这个面积，加上左边这个三角形 obm 的 面积，对吗？ 所以你会发现我们要求的这个东西的面积，它其实就是三角形 b， o， c 的 面积，是不是定制？是定制，它永远等于正方形面积的四分之一， 所以这个正方形的旋转模型也是很多亚洲体会考到的，大家如果想了解更多的跟四边形相关的小模型，重要的模型，欢迎大家回个六六，好吧，我分享给你。
74施老板数学思维
10:50查看AI文稿AI文稿走这么安静吗？哇塞哇塞，有用吗有用吗？好，现在已知啊，这个三角形我知道，两个特殊度数四十五三十已知， ab 是 四，我想求 a c 和 b。 c 很 明显它是个什么弧线， 得做一个什么样的锤过。哪点做锤过 a 呀？哎， a 向 bc 做锤有问题吗？没有没有。那左边多少度？左面四十五九四五四五四五九十，右面是三六九，那四五四九十分别比是一比一，比跟二对，我四对跟二，那我这俩应该得几？ 三二四倍二，四二倍二。哈哈哈，您这边是不是四五四五九十啊？哎，一比一比二，你跟二的位置是四，不是四除二呢？四除二几倍跟几？ 啊啊啊哈哈哈哈。四除二几呀？二倍。 哈哈哈。那你哈哈哈哈哈哈二倍根号太棒了。我这两根是二倍根二，需要我解释吗？而右面是多少度的呀？三六九三六九吧。三百米多少？一米跟二， 一米跟三比二。那我这个二倍根二对一，对跟三对二的位置对一， ok， 一 是二倍根二，那我二的位置就是 四倍根二是不是乘以二？所以 a c 是 不是有了？嗯，那你 a 是 c 是 几啊？四倍根二的平方减二倍根，二 倍根，二倍根，二倍根六嘛，不直接乘根三嘛，对吧？根三乘根二不就根六嘛，不二倍根六嘛。 所以我的整个 b c 就是 几加几， b c 就是 二倍根二加上二倍根六嘛。 ok， 没问题， 行否？也就是说只要一个三角形，给你两个测试度数，加一个边长，我一定能算出所有边长。那反之，我只给你一个度数，但是给你两个边长， 这是三十啊，这是八，这是五，我想求 d， c 是 几。 来吧，辅助线得做。做哪个过 a？ 错了，过 a 还是做，这是 b c？ 嗯，好，先能算出谁来？先能算出右面的右面是三六九，对吧？嗯，四这儿呢？ 四倍？四倍跟三。好，左面是几？那我的 b a 是 几？ b 是 拿五的平方二十五减十六，四倍等于 硬算的。真硬算啊，求啥来，求 b c。 哦，我这是三，这是四倍跟三。哇塞，不会得七倍跟三吧。各位，三加四能算吗？各位， 不能不能，难度上来了啊。哦，这个三角形是一大小等腰指对吧？已知左边大等腰指是绕着点 b 再转， 问，是不是会有某个刹那你的 c、 d、 e 三个点是共线的？嗯，会吧，会，会的。来，画一下。画下来，这就画了。画好纸，拿去拿去。 c d e 共线， c d e 共线。 好，简直完美，是不是会在这个状态下贡献？对，好，我已知的条件是，左边大等腰值的边长是五 a b 也就是 ab 等于 bc 等于五，而小等腰值的边长是四，就是 b， d 等于 b， e 等于四，求 c e 得几， 这是等腰值。对，左边等腰值，右边等腰值，这是五，这是四，求 c e 四乘以根二等于 d e。 是， 但我想求 c e。 哎，一个三角形里我知道两个边长哎，我想求第三个边长，要上是在是上面点吗？左边还有， 给你两个边长。求一个边长，左边还有没有？有五遍好吗？我这帮妹说只做个垂对对过点 b 怎么做？垂向向 c e， 这个 c e 就是 d e， 对 吧？ 那就很明显这块是二倍根二，跟刚一样对吧？啊，那我是不就差 c h 了，用谁算二倍根二和五对五方减二倍根二方对吧？也就是二十五减八，二十五减八得几十四， 二十五减八十七，那这块是根号十七，有人是吗？为什么二十五减八？因为这块是个勾股定律的， 对吧？还有他刚才其实那个浩轩说了一句话，哦，老师，我第一，他不是四倍根二，我只要算 c d 就 好， c d 算不出来， 你 c d 算不出来，能理解吗？能理解。好，那现在整个是不是就是根号十七加二倍根二？需要我解释？不需要，不需要确定。那你，你们怎么知道这块呢？是个等腰值呢？ 因为他，那是因为。哎，因为我知道这个，这个 b d， e， 它本来是等腰直，因为角 e 四十五度，对吧？还有个角高线吗？对吧？需要我解释一下，你们两个等于四十五，这，这俩不都等腰直吗？ a， b， a， b， c 和我的 b， d， e 不 都等腰直吗？ 对吗？好，继续下一个说啊，别急别急。还有一个，还有一个问题啊，这块能理解吧？嗯，等等啊，以 ab 作为 x 轴 上轴，以 bc 作为 y 轴。是的，我想求点 e 的 横坐标是多少 点 d 的 横，第二个点 e 的 横坐标对，点 e 的 横坐标往外往 x 轴做垂吗？往外轴？对， 可以啊，是不是相当于我在求来一延长一下。不是延长，是这个点假设为啊，不能 h q 吧，我是在求 q e 得几对。好，那 q e 应该怎么算？ 把这个图拎下来啊，画简化版图。好，这是 y 轴没错吧？这是那个 好，呃，这里是五，这里是四，这里是根号十七，加上二倍根二，它这个总不能是二平行来， 那能把点。当然了，当然了，等会啊，这是 c， 这是 b， 这是 e， 这是 h， 我 这个 b h 是 二倍根二的问题吗？没有吧。好，我想去美国， 怎么能求二分之 c e？ 不 可能啊，二分之 c e 不 可能。这又，这又不是三十度。哦，对吧？不可能三十度嘛。然后我说求了 c q 的 话，它就也是 c b， 可你求不了 c q 了，求是 e q 了。你想求 c q 你， 你只有 q e 才能勾股，求 c q 只是一点，可以把 q e 看做。哎。对对，非常好，你可以把 q e 看做三角形的高线。那 q e 是 哪个三角形的高线？呃， c q e c q e 或者 c b 来告诉我。此时此刻你这个小绿啊，这个 c b e 的 面积可以写成二分之一 c e 乘 b h。 对 对， b 乘高吗？你还可以写成对，是不是二分之一的 c b 乘一个小蓝 就是 q 一， 需要我解释？对，等面积法底升高。等底升高？嗯，是男的是男的。是男的，需要我再解释吗？不需要啊，没明白，我说我好像男的。 我问你们二分之一是不是等于没有啊？对啊，没有，没有，不就 c e 乘 b h 等于 c d 乘 h 吗？啊，那所有的 h 相加，谁乘谁除以谁，就是 c e 乘以 b h 再除以 c d， 只不过很难算而已嘛。他可是三百六在转，对吧？你除了我，我 c d e 贡献只能在右侧贡献吗？不能，我左面也可以有换，换出来 画出来还是 c d e 三点共线还是 c d e 三点共线？你快点。你只能在右面共线吗？不是的，你还可以转到这面来吗？这面共线对不啦？ c e c e d 贡献就是还是 c b e 贡献还是这三个点贡献啊？我就把那个转到那边对，划出来。那我的问题就是到底是这个是 d 还是这个是 d？ 抬头看 相当于把你的 b d， e 是 不是转到这面对，下面是 d， 上面是 e， 对 吧？好，这是 d， 这是 e， 那 我想求 c e 可能是倒计时加二这个二了， 那我此时 c e 多少？二百十七，不要十七减二百个。为什么是减？算算一下，老规矩一样的，这还是多少度？四十五度吧，这还是四，这还是我。照样怎么做？弧线 从哪个点向谁做？垂直线过点 b 向 c， e 就是 c d， 对 吧？有问题吗？ 没有，没有吧，那我现在是不照样，这是二倍根二，这是二倍根二，这还是二倍根二啊，对吧？那我想求 c 一， 那我现在这是不是刚好十七？我的，哎，这是 c h 还是跟十七？那还是无减二比二的方法。 c 一 不就是根二十七？对啊，那不就刚好十一减二比二吗？
41教数学的老吴
03:46查看AI文稿AI文稿我们一起来看二零二五年天津的第十一题，学长这里没有秒杀技巧，全都是考场实战经验，遇到题目怎么破题？原原本本告诉你，我们直接来读题 角， a、 c、 b 等于九十度，将三角形 a、 c、 b 绕点， a 顺时针得到 a、 b 撇， c 撇，那么还有 a、 c 等于四， c、 d 等于三，看我们求谁线段 c、 c 撇的长。那么这道题的解题关键在哪里？第一个， 旋转在初中阶段哈，我们知道初中几何有四大变化，旋转、平移、翻折、对称，每一种变化呢？都真都有专门的解题方法，那么旋转我们有什么解题方法呢？第一个，旋转能带来什么？全等，那么全等我们要干嘛呢？同步信息 如何？同步信息，同步边同步角，我们来看一下这题哈。首先第一个， ac 会等于 ac 撇， ab 会等于 ab 撇，然后呢， bc 这条边是不是会等于 b 撇 c 边这条边？ 然后再来同步角，这个角会等于这个角，这个角会等于这个角。还有一个角， a、 c、 b 等于九十度，那么 a、 c 撇 b 撇也等于九十度。我们这里要注意的是什么？你既然标了这边这个角，那他旁边这个角是不是也是直角？我们要顺势给他标上去。好，现在我们已经同步完了哈， 他现在要我们求线段 c、 c 撇的长，对不对？那我们再知道哈。初中阶段求线段长有三种方法，勾股等面积法相似。我们再来看一下他给我们提供的条件哈。第一个， a、 c 等于四， c、 d 等于三。 小笨蛋发没发现这是一股什么数呀？很好，在直角三角形里面，这是一组什么勾股数呀，对不对？只要我们连接 a、 d， 那 我们就可以得出 a、 d 等于多少呀？ a、 d 等于五三四五，这是最简单的勾股数了，对不对？好，我们再来看一下，你把 c、 c 撇放到这个四边形 a、 c、 d、 c 撇当中去看，你会发现 c、 c 撇跟 a、 d 你 大胆的猜一下，它应该会是什么关系？ 如果你现在看不出来哈，我们再来看一下这边，我们 a、 c 会等于 a、 c 撇，对不对？这个直角也会相等，还有什么公共边 小笨蛋没看到呀？三角形 a、 c、 d 跟三角形 a、 c 撇 d 是 什么关系啊？全等呀，是不是？它是不是 h、 l 能够证明它们全等呀？有一个 直角边，有一个斜边相等的直角三角形是全等的，对不对？很好，那我们这时候就能够证明谁了呀？ c、 d 是 不等于 c 撇 d 了呀？说明 c、 d 等于 c 撇 d 啦，聪明的你会发现， 那么我们讲这里是 o， 那 么 c、 c 撇跟 a、 d 它会是什么关系呢？你看一下， a、 c 会等于 a、 c 撇， c、 d 会等于 c、 c 撇。那么一个点到一条线段的两个端点距离相等的话，那说明 这个点会在这条线段的什么垂直平分线上，那么 a 点在 c、 c 撇的垂直平分线上， d 点也在 c、 c 撇的垂直平分线上，那说明 a、 d 怎么样垂直平分 c、 c 撇呀， 那么中间这就是垂直了对不对？而且 c、 o 会等于 c、 p、 o， 那 么很好办了，现在我们是不是只要能够求出 c、 o 或者 c、 p、 o， 我 们就能够得出 c、 c 撇？好， 那么把 c、 o 放到这里面，它是一个什么线呢？把它放到直角三角形 a、 c、 d 里面，你可以看到 c、 o 是 属于什么线？高线呀小笨蛋，是不是？那么我们求高线会怎么样呢？想等积 什么意思呢？我们表示一下。三角形 a、 c、 d 这个面积怎么表示？我们来表示一下哈。第一个 s 三角形 a、 c、 d 会等于二分之一乘以的 a、 c 乘以 c、 d， 对 不对？在什么二分之一乘以 a， d 乘以 c、 o， 那 我们可以直接求出来 c、 o 是 不是等于 a、 c 乘以 c、 d 除以。什么 a、 d 呀？它是不是等于五分之十二？那么 c、 c 撇是不是等于两倍的 c、 o 是 不是等于五分之二十四？答案就是选 d 完美。
07:18查看AI文稿AI文稿今天我们来看一道求最值的题目，矩形 a， b， c， d 当中 ab 等于八， bc 等于十二， m 为矩形的一点， e 为 bc 上任意一点。要我们求 m a 加 md 加 me 的 最小值，这看似是一个非常遥不可及的目的，因为这三条线段没有任何的联系， 但是我们如果遇到这种什么都没有的题目，我们可以通过旋转六十度求对值，我们利用的是什么呢？一条线段旋转六十度，得到时的一个等变三角形，等变三角形三边都相等，可以将不同的线段 顺次拼接起来，我们也可以在这道题当中试一下。目前这张图当中只有一个三角形三角形 a d m， 那 我们如果想求对值，我们肯定会想着把它往上面旋转， 让我们来把这个三角形往上面旋转。首先 a d 旋转六十度构成的是一个等边三角形，大家稍等，我用尺规作图一下，尺规作图做出来的是更准的， 我们把线段 a d 绕点 a 逆时针旋转六十度， 同时我们还需要将线段 a m 也绕点 a 逆时针旋转六十度，我们也来此规作图一下， 然后我们再把这两个点相连接，我们就可以得到旋转后的三角形，我们把它记为三角形 a d 撇 m 撇， 那在这个三角形当中， a m a m p 以及 m m p 都是相等的，并且 d 撇 m p 它们可以通过与 a i m 相等的这条线段 m m p 再与下面的 m e 相连，这就是旋转六十度的神奇效果了。 另外呢，就是等边三角形的性质，三边相等， 然后我们要求 m a 加 m， d 加 m e 的 最小值，我们就要过这个顶端往下做垂线， 这条垂线段的长度就是三者长度相加得到的最小值。 因为垂线段最短，不管怎么样移动，这三节线段都会拼在一起，并且这长长的一节 都是从这个一点出发。最短的时候就是三指成一条直线，并且它们与 b、 c 这条边垂直，这个时候三条线段的和是最小的，我们标垂足为 f。 我 们来具体写一下这道题的做法。将三角形 a d、 m 绕点 a 逆时针旋转六十度， 然后我们连接 m m 撇， 并且过 d 撇点做 d 撇 f 垂直 bc 与 f d p、 f 的 长度就是三个线段的和的最小值。 那 d、 p、 f 的 长度是多少呢？观察可以得到 d、 p、 f 同时也与 a、 d 垂直， 并且因为如果我们把 d 撇和 d 两个点连接，会发现这里又形成了一个等边三角形，等边三角形也是等腰三角形，也具有三线合一的性质。 所以因为 d 撇 m 撇与 a、 d 是 垂直的 高线，同时也是中线，那么 am 撇就是 ad 的 一半， ad 就是 b、 c， 所以 这里应该要写成是二分之一 ad 十六。因为这里还有六十度，所以 d 撇 m 撇就应该要是 a m 撇的根号三倍， 这个是已经非常常见的模型了。含三十度的直角三角形，三边长的比例是一比，根号三比二短，直角边长，直角边与斜边的比一，比根号三比二，这个一定要很熟练，有助于提升做题速度。 那么这里是六根号三，这一段和 ab 一 样是八， 那么最小值就是 d p m p 与 f m p 两条线段的长度之和，也就是八加六根号三， 这道题答案就选出来了。 今天我们学会了 旋转六十度求最时，要利用等边三角形的性质，将不同的线段腾挪拼接解决问题。今天的讲解就到这里。
03:47查看AI文稿AI文稿第四题，这个题目呢，稍微有一点点难度，注意他有坑啊，有坑，同学们尝试一下，有坑别掉坑里，做好了打一。哎，这嘉琪又做对了，嘉琪正确率还挺高啊。提示一下，这个题目有两个答案啊。好，时间到，我们一起看一下这个题目啊。看来这个题目比较有难度了。 其实做这个题目的时候，我们不需要你看啊，很多同学在看这个题目，它是好像表面上旋转的，是这个三角形，对不对？你需要看着这个三角形旋转吗？根本不需要，你只要看到这个 b f 旋转就可以了，这个两条边压根不用管。听懂这意思吗？就是当你旋转完之后，我们的 c f 要跟 ab 平行，那么它的言外之意就是什么呀？它的言外之意，我们把这个图重新给它 来，我把这个图重新给它，把这个不要的部分给它擦掉，给它擦了。 好，我把这个图给大家，重新把它截屏一下。 好，换句话说是什么意思呢？你只要看到这个 b d 就 可以了，这个就是 b b b f， 它旋转之后是 b f， 那 么你要想它旋转之后的这段 b f 和什么是平行的呀？ c f 要和 ab 平行，所以我不妨过点 c 做一条直线 a o， 看得懂吗？过点 c 做一条直线 a o。 那 此时此刻我只要保证什么？只要保证我们的 b d 怎么样？ b d， 它绕着点 b 旋转之后，这个 f 点正好到达 a o 上， a f 在 这行不行？ 肯定是可以的吧？啊，这一种 f 的 情况不要漏了，很多人把这种 f 的 情况漏掉了，所以这个点叫 f 一 给它取名。那此时此刻 c f 的 长度是不是要求这一小段的长度啊？ 等一下求解。算我们再算。我先把这个，因为你是这个三角形旋转，我不需要管后面的这两条边是怎么旋转的，我只要管这条 b、 d 这条边怎么旋转，因为它最终要保证 c、 f 要平行于 a b， c、 f 要平行于 a、 b、 f 就 必须落在这个直线 a、 o 上，只有过点 c， 过直线外一点，尤其只有一条直线与已知直线平行。 所以你这个 a、 o 既然要平行于 a、 o 的 话，那你 f 必须漏着，必须落在我们的 a、 o 上面，那么继续，然后换一种颜色的笔，蓝色的笔，这个 b、 d 啊，继续它绕这个旋转、旋转、旋转旋转旋转旋转旋转，是不是还有可能 f 到这个位置？哦，这是 f 二的位置，能不能看懂？ 所以此时 c、 f 的 长度是不是等于这段长度啊？能看得懂吗？所以我们要求的 c、 f 的 长度要么是这一小段，要么是这一大段，那么不管是这一小段还是这段，这两段长度都是相等的，都等于 bode 的。 bode 的 长度等于几？根据题目的意思，我们知道 bode 等于几，能不能算出来是可以算出来的吧。好，我们计算一下。题目告诉我们， c、 d 是 等于根号二， 这段长度是根号二，这段长度是二，根号二，所以这段长度就根号十，所以很快就有了 b dog 是 根号十， b dog 是 根号十，所以我们的 b、 f 就是 根号十， b f 是 根号十，这个也是根号十。 那么紧接着下面我要如果要求这个 c、 f， 我 们根据我们平行线之间的距离是处处相等，这个距离是处处相等啊，那么大家看一下，对于这个等腰直角三角形 c 到 b、 a、 b 的 距离是几，我们能不能算出来？哎？等腰直角三角形，这个是可以的吧？这是二杠二，这是二杠二，这是四，所以这段长度就是二，所以这个高处处相等，这段长度是不是二啊？所以我们把它标出来，这个就是二， 看得懂吗？哦，这个就是二，也就是说这个高是二，这个是根号十，所以对于我们而言，这一小段能不能算出来？哦，根号十，这是二，所以这段长度是根号十的平方就是十，减去二的平方就是根号六。哦，原来这段就是根号六，这段是根号六，那我们要算小小的这一段怎么算？说根号六减这块啊，这块是几二吧， 看得懂吗？所以紧接着下面我们只要求做一个垂线下来，根据题目，等腰直角三角形，这段长度是等于斜边的一半，而根据三线合一，斜边是四，所以这个是二，这个也是二，所以这个小小的一段是用根号六减去二啊。 哦，根号六减二，就这一段，而这段跟这段相等，所以它的长度就是根号六减二，得到了。那另外一边的这个呢？换蓝色的笔给你看一下啊，此时一样的做法，根据题目，我们知道这个，这是根号十，所以这段长度我们就知道了，是根号六吧， 而这段长度是多少，这段长度跟下面这段是一样的，都等于二吧，所以这个是二，所以此时的 c、 f 二的长度就是根号六加二。所以这个题答案有两个，一个是根号六加二，另外一个是根号六减二结束。
01:51查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来看图形变换的另一种类型，图形旋转变换应用图形旋转变换解决问题是数学转化思想方法的具体体现，也是中考数学中的常考题型。 今天我们就用这个例题让同学们体会一下旋转变换在解析中的重要作用。请你先仔细阅读题目内容，五秒后思路点拨！ 思路点拨！观察动图，发现三角形 m、 b、 n 的 三边随旋转角度的变化而变化，但其周长 p 等于四不变， 是正方形 o， b， c 边长的两倍。这说明 m， n 的 长度等于 a， m 与 c n 的 长度之合，那么只需证明将 a， m 与 c n 组合起来的直线段等于 m n 即可。下来看参考解答。结论，在旋转过程中， p 值横为四，证明 当点 a 绕点旋转某一角度，此时 o a 与麦轴正半轴的夹角为旋转角角， c o n 也为旋转角，而 o a 等于 o c。 故考虑将三角形系 o n 绕点 o 逆时针旋转九十度，此时 c 点的对应点为点，点 n 的 对应点落在麦轴的正半轴上，即为 n 撇。再根据线段的垂直关系，可正 n 撇 a 比三点共线。接下来由旋转的性质可证的三角形 n 撇 o， m 全等于三角形 n， o， m， 于是可以得到艾姆恩等于 a， 艾姆加细恩，这样就证得了三角形艾姆比恩的周长为四。解答完毕，欢迎在评论区提问和讨论，感谢观看，下期再见！
32欢乐门
03:08查看AI文稿AI文稿这个视频我要跟你讲讲旋转线段与定点距离最值问题。这类问题往往都出现在几何综合题中，下面我们就来看一个例子， 如图，已知三角形 a、 b、 c， a， b 等于四， b， c 等于五角， c 等于四十五度， e 是 ab 的 中点， p 是 a， c 上一个动点。将三角形绕着点 b、 c 旋转，得到三角形 a e b c、 e， 这是 p 的 对应点 p e。 请问旋转过程中， e、 p、 e 的 最大值是多少？最小值又是多少？下面就来分析一下。你看， e 是 个定点， p， e 是 个动点。怎么确定 e， p e 的 最值呢？ 不妨先来研究一下 p e 的 运动轨迹。 p， e 是 a e c， e 上一个动点，所以只要确定 a e、 c e 的 运动轨迹就可以了。 那怎么确定这条线段的运动轨迹呢？不妨先考虑它的一个端点，那它的轨迹是什么呢？你看，三角形是绕着点 b 旋转的，所以 c、 e 也是绕着点 b 旋转，那它的轨迹就是这样的一个圆。 这个端点看完了，再来考虑另一个端点 a、 e 的 轨迹是什么呢？显然也是一个圆。好了，既然线段端点的轨迹都是圆，那线段的轨迹是什么呢？估计你已经想到了，没错，就是圆环。但是有个问题得注意一下，这个圆并不是圆环的内圆， 你看，线段有一部分在这个圆环外，所以它的轨迹肯定也在这个圆环外。那怎么确定这部分线段轨迹的范围呢？ 不难发现，点的轨迹都是圆，距离 b 点越远，圆就越大，距离 b 点越近，圆就越小。什么时候距离 b 点最近呢？对了，垂线段最短，所以这个点离 b 点最近，把它的轨迹画出来，这才是内圆。 好了，圆环确定了，这就是线段 a、 e、 c、 e 的 轨迹。 p e 是 线段上一个动点，所以 p e 的 轨迹就是这个圆环。明白了，这个再来求一比一的最值。 e 是 个定点， p e 移动到哪，一比一会有最大值呢？ 这个很容易想到， p e 在 这就可以了。此时 p e、 b e 这三个点共线，所以 e， p e 就 等于 e b 加上 b p e b 的 一半等于二， b p e 等于五，加起来就是七，这就是最大值。 最大值搞定了，还得求最小值，什么时候会有最小值呢？对了， p 一 在这就可以了。此时 p 一、 e、 b 这三点也共限，所以一 p 一 就等于 b， p 一 减去 b e、 b e 好 办，就等于二。关键是 b p 一， 它等于几呢？ b 撇一是内圆的半径，等于 b q、 b q 在 这个三角形中，角 c e 等于四十五度，所以这是个等腰直角。已知斜边是五，所以直角边是五，除以根号二，等于二分之五倍，根号二。 b q 算出来了， b 撇一就知道了，也是二分之五倍。根号二。 这一段求出来了，减去二就可以了，这就是一撇一的最小值。搞定好了，最后来总结一下，如果一条线段绕着一个点旋转， 线段的轨迹肯定是个圆环，特别的，圆环的内径不是这个端点与旋转中心的连线，而是这条垂线。明白了，这个剩下的就好办了。
27初中学习资料
01:01查看AI文稿AI文稿来，同学们先看一下这道题吧。第二题，六十六页的第二题，给大家记个时啊，做好的评论区。飘二啊，这么快的，这个其实不算很难啊，就是我们常说的那个手拉手的利用，嗯，积加题。对了，这道题的关键就是你要站到这个角是直角，如果你站到它是直角，这个题目就结束了。最后二十秒来，所有同学，我们来讲一讲这个题。 首先根据题目，他要求的是 b、 d， 这是 x， 这段是二，这是三，那么这段长度是不是一定是 x 加二啊？因为我们知道这个跟这个相等对不对？那这个角到底是不是直角呢？其实这个角一定是直角，为什么？因为你看这个角跟这个角相等等腰三角形，两个顶角是相等的情况下，它的底角是不是也相等？所以我不妨设这四个角，阿尔法， 这是阿尔法，这个角是阿尔法，这个角也是阿尔法，这四个角是不是都是阿尔法呀？我们是知道的，那么同学们看一下这个角，我知道阿尔法与阿尔的和不就九十度，所以你看阿尔法和不就九十度，所以这个是九十度是必然的。 这个九十度，当你正到就是九十度的时候，用勾股定 x 平方，加三的平方等于 x 加二的平方，所以解方程 x 算出来等于四分之五，所以答案就是四分之五。结束好像也并不是很难啊，主要是这个题目的关键就是九十度，你能不能正到，如果正到，这题就很简单了。
01:45查看AI文稿AI文稿中考数学复习关注我持续更新旋转解体方法。五、图形旋转的概念与性质的运用 旋转前后的两个图形大小、形状均不变，所以在利用旋转解决问题时，要注意找准旋转前后的对应关系，充分挖掘过程中线段之间的关系。 例如如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度，角 a、 b、 c 等于四十度。将三角形 a、 b、 c 绕点 b 逆时针 旋转到三角形 a 撇、 b、 c 撇的位置，点系的对应点 c 撇正好落在了边 a、 b 上，则角 c、 a、 a 撇的度数求占角度数。 我们看一下解离方法解，在 r 七、三角形 a、 b、 c 中，角 a、 b、 c 等于四十度，这样一个角等于四十度，所以就有角 c、 a、 b 等于九十度。减四十五等于五十度。由题已知，以为是两个三角形是旋转的关系，所以就有角 a、 b、 a 撇 a、 b、 a 撇 这样个角就等于角 a、 b、 c 等于四十度，且 ab 等于 a 撇 b 这样一个线段跟 a 撇、 b 是 相等的，所以这样一个三角形就是一个等腰三角形，因此就可以得到 角 a 撇 a、 b 就 等于二分之一，括号一百八十度。减去角 a、 b、 a 撇，代入得七十度， 则角 c、 a、 a 撇所斜角等于角 c、 a、 b 加上角 a 撇 b、 a 撇 a、 b 就 等于五十度。加七十度。几何为一百二十度，因此所截的度数为一百二十度。
26哨子老师
13:05查看AI文稿AI文稿欢迎各位新老朋友，现在我们一起学习初中数学一盘棋第十二个作品开窍之见的 第二百二十二题标题中，我们用四句个性化的口诀概括了学习的重点和难点，请大家在学习的过程当中认真的去体会。如果你在手机上学习，建议选择全屏观看， 条件允许的话，投屏到电视上面观看，学习效果会更好。当然最好的选择是把我们的视频课程下载到 u 盘或者电脑里边随时观看学习结合图形，我们看题目等。腰直角三角形 ab 三 ab 等于 b 三， 不好意思，请大家改一下 a， b 等于 a 三， a， d 是 斜边 b 三边上的高 e， d 在 a d 上 b， e 的 延长线交 a 三于 d f， b， e 的 长度二倍的根号。五、 c， f 的 长度等于三，让我们求 if 的 长度。老规矩，请大家按下视频课程的暂停键，自己先审题找思路！老规矩，请大家按下视频课程的暂停键，自己先审题找思路！老规矩，请大家按下视频课程的暂停键，自己先审题找思路！老规矩，请大家按下视频课程的暂停键，自己先审题找思路！ 审题的过程当中遇到问题，接下来带着问题和老师一起来学习探讨，现在我们一起来看这样的解析思路是如何找到的，不缺图形的辅助线是如何做出来的。 为了方便大家学习，课后我们会把这里的思维导图解析课间发给大家。 在这里我们首先给出了解决这个问题需要的两个解析的模型，一个是旋转说法相似的模型，一个是字母相似的模型。 学习的时候，家长可以让我们家的孩子看着这里的解析模型和解析口诀省题，叫做口诀点题模型省题， 也就是看着这里的解析模型的提示，以及我们给出的解析模型，审题找思路，现在我们一起来看解析的思路究竟是如何被我们找到的。 首先三角形 ab 三是一个等腰直角三角形，那么这里的角 abd 四十五度， 角 a、 b、 d 等于四十五度，并且在 b 点处出现了一条已知线段， 这里的 b、 e 的 长度已经告诉我们二倍的根号五，看一下解题思路究竟是如何想到的。在 b 点处出现了 定比定角，看一下定比定角 b、 d 比上一个 b， i 等于一，比根号二，并且角 a、 b、 d 等于四十五度，也就是说出现了共端点的两条定比的线段，并且夹角四十五度。定角定 b， 并且在共端点的端点处出现了第三条已知线段 b、 e 等于二倍的根号五， 这样 b、 d、 b、 i 和 b、 e 就 组成了所谓的一个鸡爪图。跟着老师一起学下来的话，马上想到老师作品中一句经典的口诀， 共端点，定笔线，绕着端点来旋转，也就是将这里的 b、 e 绕着 b 点逆时针旋转四十五度， 一边旋转一边按照 b、 d 比上一个 b、 i 等于一比根号二的比例放大共端点等线段，绕着端点来旋转，绕着端点来旋转， 将这里的 b、 e 绕着 b 点逆时针旋转一个四十 五度，然后共顶点的等角套，等角套套等角，看一下角 j、 b、 i 和这里的角 f、 b、 d 都等于都等于四十五度，减去这里的角 i、 b、 e 等量解等量差相等， 等角套套，等角说的就是这件事情，这两个角相等，下面以套出来的等角为线数去构造相似三角形， 那么连接这里的 ig 就是 一件顺理成章的事情。这个时候请大家务必注意，我们用旋转找到了思路， 用这里的旋转的模型找到了解题的思路，但是有一个问题，如果我们用旋转的话，三角形 b、 d、 e 相似于三角形 b、 i、 j， 两边对应成比例，夹角相等， 这个时候我们当然可以证明这里的 b、 i、 j， 证明这里的 b i、 j 等于九十度。这个时候一定要注意一件事情，如果你用旋转的话，那么接下来就需要证明，或者 说明叫这点 i 点和三点 f 点这几个点贡献。记住用旋转好多时候都需要证明三点贡献，这点 i 点和 f 点贡献在这里， b i、 j 等于九十度， d i b i 三也等于九十度，九十度加九十度一百八十度，这是必须要证明的，那么请大家想一下，我们用旋转模型找到了思路，那么能不能避开三点贡献呢？ 当然可以，我们只需要延长 f i 到这点，延长 f i 到这点，使得这里的 d、 e 比上一个 ig 等于 一比根号二，这样同样可以证明三角形 b、 d、 e 相似于三角形 b、 i， 这两边对应成比例，并且夹角都是直角，这 a、 b 和 e、 d、 b 都是直角，所以这两个三角形同样相似，殊途同归， 那么请大家根据情况自己做出选择，这个时候我们如愿，我们如愿以查看一下，把这里的 b、 e 等于 二倍的根号五，通过相似转化到了 b j 的 位置，并且进行了一个放大， b e 比上一个 b j 相似，比一比根号二。也就是说 b e 比上一个 b j 等于这里的 b d 比上一个 b i 一， 比根号二，那么很容易计算出 b j 的 长度， b j 的 长度二倍的根号十。接下来请大家一起来想一下，下面如何来做，下一步如何来做， 回头看，让每一个已知条件充分的发挥它的作用。 f 三等于三， 然后大家看一下，如果让你来做，能不能想到下面的关键的这一步，这里的角塞等于四十五度， 注意这里的角 ibf 也等于四十五度，那么你发现了什么了呢？ 看一下这样的两个相等的角，加上这里的这点公共角，你是否能够想得到三角形 z、 b、 f 和三角形 z 三 b 一 段相似的三角形，字母形的相似的三角形， 看一下就是左边的这个解体模型，黄色的三角形和绿色的三角形相似，因为角 z 是 公共角， z b f 等于角 z 三 b 等于四十五度，两个角对应相等，所以这两个三角形相似。字母形的相似，请大家务必注意字母的顺序， z b、 f 逆时针旋转，另一个三角形 z 三 b 顺时针旋转，一定要注意不能写错字母的顺序，字母型的，下次请大家想一下它有一个重要的结论 就是这里的 z b 的 平方， z b 的 平方等于等于 z f 乘上这里的 z 三。当然在书写解题过程的时候，要先写等比相似三角形对应边乘比例，把等比化成等积，就可以得到 b z 的 平方等于 b， f 乘上等于 g， f 乘上一个 g 三，那么在里边看一下 b， g 是 已知的， b， f 是 未知的， 那么 g 三等于 g， f 乘上一个 f 三，那么为了发变序数，你可以设这里的 g f 等于一个 m， 那 么 b z 的 平方二倍的根号十的平方就等于 m 乘上一个 z 三， m 加三解法成，我们就可以得到 m， 也就是 z f 等于五。 到了这里，不要忘记我们的目标是要求这里的 i f 的 长度，我们再一次的设参数条件不够，参数来凑，我们设这里的 i f 的 长度为 k， 那 么 i 三的长度就是 k 加三，也就是这里的 ib 的 长度 k 加三， i b 的 长度 k 加三。然后 i j 的 长度因为 j f 等于五， f 等于 k， 所以 i j 的 长度五减 k， i j 的 长度五解开。到了这里，万事俱备，紫气东升，看一下直角三角形 i j b 里边利用勾股定力裂发成 i b 的 平发， k 加三的平发加上一个 i j 的 平发，五解开的平发 等于 b， j 就是 二倍的根号十的平方。解方程就可以得到看的值，也就是要求的 f 的 长度。计算的过程留给大家 f 的 长度为三， f 的 长度等于三。看一下，在使用我们的课程的时候，首先让我们的孩子根据这里的 解题口诀的提示和这里的解题模型的引导， 去寻找解析的思路，然后让咱们家的孩子对照这里的所谓的解析的图谱加解析的思路讲给家长听，也就是利用这里的图谱 总结，让学生讲题。最后在电脑或者电视上面播放课间和视频复盘内化。好了，今天的课就到这，下课再见。
02:14查看AI文稿AI文稿中考数学复习关注我，持续更新图形的旋转解体方法。六、图形旋转与全等相结合的解体方法由旋转的性质可知，任意一组对应点与旋转中心所连的夹角都等于旋转角对应点到旋转中心的距离相等， 解决以图形的旋转为背景的问题。试探借助这些性质，并结合全等三角形的知识，把已知条件和未知条件联系起来，主动进行旋转，可以构造出全等三角形。 你如图，在等边三角形 a、 b、 c 中有一点 p 连接 p a、 p、 b、 p、 c。 将 bp 绕着点 b。 逆时针 e。 旋转六十度，得到 b、 d 连接 p d、 a、 d。 证明如下一、二、三、 e。 好， 我们看解离方法 正比一，尤其可以得 b、 d 等于 b、 p， 这是由旋转的性质。角 d、 b、 a、 d、 b、 a 也等于角 p b、 c、 b、 a。 等于 b、 c。 是 由等边三角形的性质， 就有三角形 b、 d、 a。 二、由题可以得到角 p、 b、 d。 等于六十度 旋转角也有两边相等 b、 d。 等于 b、 p， 所以 就有三角形 b、 d、 p。 是 等边三角形。三、由一由权的三角形可以得到对应的角。等角 b、 d、 a。 等于角 b、 p、 c。 等于一百五十度， 由二等边三角形亦得角 b、 d、 p。 等于六十度，所以就有角 a、 d、 p。 等于角 b、 d、 a。 减去角 b、 d、 p。 等于九十度，就有一个直角三角形 a、 d、 p。 我 们有 pa 方等于 p d 方加 d， a 方。由全等三角形可以得到 d， a 等于 p b， 所以 就有 pa 方等于 p b 方加上 p、 c 方。
24哨子老师
02:31查看AI文稿AI文稿中考数学复习关注我，持续更新图形的旋转解体方法六、我们看第二个地方，如图，三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，三角形 b、 d、 c 是 等腰三角形，且角 b、 d、 c 已知等于一百二十度，以点 d 为顶点作角 作六十度。角角的两边分别交 a、 b、 a、 c 于 m 和 n 连接 m， 猜想 b、 m、 bm、 m、 n 及 n、 c 之间的关系，并加以证明。我们看解例方法。答， m、 n 等于 b， m 加 n， c， 证明将三角形 d、 n、 c 绕着点 d 逆时针旋转一百二十度，等 与使得 c 点与 b 点重合，得到三角形 d， n 撇 b。 所以三角形 d、 n 撇 b。 全等于三角形 d、 n、 c。 我 们给你，因为角 b、 d、 c 等于一百二十度，按你 b、 d 又等于更棒 c、 d， 所以 就有角 b、 d、 c 等于三十度，一百八十度减一百二十度再除以二， 因为角 a、 b、 c， a、 c、 b 等于六十度，有等边三角平面性质，所以就有角 d、 c、 n 等于九十度，等于六十度，再加三十度，所以这是一个直角，就等于角 d、 b、 n 撇。 那么同理，角 d、 b、 m 也等于九十度，所以就有 m、 b， n 撇三点是共线的，所以这是在一条直线上面。 由一，就这样个全等三角形的性质可以得到角 n 撇 d， b 等于角 n， d， c， d， n 撇等于 d， n， b， n 撇等于 c， m。 因为角 m， d， n 等于六十度或以八十，所以角 d、 b 和以 b、 d、 m 这样的 d， d、 m 加上角 n， d， c 就等于角 b， d、 c。 减去角 m， d， n 等于六十度，就等于角 b， d， m 加上角 n 撇 d， b 就 等于角 n 撇 d， m 等于角 m 减 n， 又因为 d m 等于 d m， 所以 就 m 得得 b m 加 c n。
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