五下数学3单元长方体框架教程

同学们好，我是北京第二实验小学刘老师。 今天我们将一起来学习长方体和正方体单元中长方体和正方体的认识。第二课时， 通过上节课的学习，我想大家已经对长方体和正方体的特征有了一些初步的了解。那你能说一说都有哪些收获吗？ 我知道正方体是特殊的长方体，它们都有六个面，八个顶点和十二条棱。 正方体六个面是完全相同的正方形，而长方体的六个面是长方形，相对的面完全相同。但是，有些特殊的长方体，也有可能有两个相对的面是正方形。 长方体有十二条棱，相对的棱长度相等，正方体十二条棱的长度都相等。 同学们真是善于观察，善于思考，从面、棱、顶点三个角度再次梳理了长方体和正方体的特征。 其实啊，生活中有很多物体的形状是长方体或正方体的，像这个鱼缸， 它的形状就是长方形。而且呀，你们看这个鱼缸，它的每条边都用角铁固定，这个由角铁围成的框架就是长方体框架。 下面我们就一起来亲手制作一个长方体框架。 请你准备好学习用具，用橡皮泥团成一些小球，准备一些长度四厘米、六厘米、八厘米、十厘米的小棒，各四到八根。 没有小棒可以用吸管或细木条来代替。接下来，请你先观察身边长方形形状的物体， 思考，如果在制作的过程中，这些用橡皮泥团成的小球相当于顶点，小棒相当于棱，那我们应该如何来选择并使用它们呢？ 请你把选好的小球和小棒放在桌面中央，闭上眼想象一下用它们制作出的长方体框架长什么样， 真的是这样吗？好，睁开眼睛，现在就让我们一起来动手制作，验证你的想象吧！开始 怎么样？做好了吗？让我们来欣赏同学们的作品。 因为长方体有八个顶点，十二条棱，所以我选择了八个橡皮泥小球和十二根小棒。 这十二根小棒分别是四根四厘米、四根六厘米和四根八厘米的小棒。 我先用两根六厘米和两根八厘米的小棒拼叉出一个长方形做底面，再用四根四厘米的小棒继续向上搭，最后用剩下的两根六厘米和两根八厘米的小棒搭出上面。 搭的时候还要关注上下两个面的六厘米和六厘米要相对，八厘米和八厘米要相对，这样一个长方体框架就搭好了。 屏幕前的你又是如何来制作长方体框架的呢？你呀，也可以像文文这样介绍一下自己的制作方法。这个时候有同学提出了自己的困惑， 我也是用了八个小球和十二根小棒怎么搭出来的，图形怪怪的。看到这位同学的作品，小丽发表了自己的看法， 我觉得你搭出的框架不是长方体，长方体有十二条棱和八个顶点没错，但是长方体相对的棱长度是相等的。所以这十二根小棒要分成三组， 每组的四根小棒要一样长，而你每组只有三根一样长的小棒。这样搭出来的框架有些面不是长方形，所以它不是长方形。 哦，我明白了，在搭长方体时，要根据长方体棱的特征来选择小棒的长度和根数。谢谢你！这时候小红接着说， 我也制作了一个长方体框架，不过比文文搭的长方体框架要高一些，高一些，这又是为什么呢？我们还是先来看看他选择的小棒吧。 原来呀，他选择了四根六厘米、四根八厘米和四根十厘米的小棒。 同学们，你能根据自己的经验想象一下用这十二根小棒搭出的长方体是什么样子。瞧，这就是小红搭出的长方体框架，和你想的一样吗？ 比较一下这两个长方体框架，你有什么发现？我发现这两个长方体框架的上下两个面都是用两根六厘米和两根八厘米的小棒搭成的。 但是在向上继续搭的过程中，左侧的长方体用的是四根四厘米的小棒，而右侧的长方体用的是四根十厘米的小棒，所以就会一个高一个矮。 我还发现这一高右侧长方体的前后左右四个面的面积也随着变大了。 看来小棒的长度决定了长方体每个面的大小。也就是说，长方体的棱发生变化时，相对应的每个面面积的大小也会随之发生变化。 那到底棱长度的改变又与长方体每个面的面积之间存在着怎样的关系呢？我们继续研究。 老师，这里呀，还有一个没有搭完的作品，你能想象出这个长方体的样子吗？ 没错，和你想的一样，如果再去掉一条棱，你还能想象出它的样子吗？现在呢，又有一条棱呢？ 那好，请你想一想，如果想确定一个长方体的样子，至少需要几条棱？ 我觉得至少需要五条棱，其中有四条棱围成底面，然后再向上搭一条棱确定高度，这样就能知道这个长方体的样子了。 我觉得至少需要三条棱就可以了，只知道三条棱够吗？你看，如果知道这三条棱，我们并不能够确定长方体的样子呀。文文也提出了自己的质疑， 只知道这三条棱确实不能确定长方体的样子，但是如果像这样一个颜色代表一种，每种颜色留下一条，就可以确定长方体的样子了。 确实如小丽所说，知道相交于一个顶点的三条棱，我们就能够确定它相对的棱， 这样就可以想象出长方体的样子。我们把相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长宽高。 再次观察刚刚这两个长方体框架，你能分别找到它们的长宽高吗？ 左侧长方体框架长八厘米，高四厘米。右侧长方体框架长八厘米，宽六厘米，高十厘米。 我知道了，就是这三条棱的长度决定了长方体的大小。你们瞧，这两个长方体框架都是长八厘米，宽六厘米，所以它们的上下面一样大， 但是左边这个长方体框架高四厘米，而右边这个长方体框架高十厘米。因为高不同，所以这两个长方体前后左右四个面的面积也不一样。 那如果长或者宽改变了，又会影响到长方体哪些面面积的变化呢？真是个好问题。是啊，长宽的变化又会影响到长方体哪些面面积的变化呢？ 哪些面没变呢？请你先独立思考，闭上眼想象一下，我们一起看屏幕 怎么样？和你想的一样吗？ 随着长的变化，长方体的上下前后四个面的大小发生了改变，但左右面没变。 随着宽发生变化，长方体的上下左右四个面的大小变了，但前后两个面没变，多神奇。 这时小林举着自己的作品说道，我制作的这个长方体框架和你们的不一样。哎，哪不一样呢？屏幕前的你有什么发现？ 对，小林搭成的长方体框架前后两个面是正方形的。那你们知道要想搭出这样的长方体框架，对小棒又有什么要求呢？ 我们还是听听小林是怎样说的。我制作的这个长方体框架有八条棱长度相等，另外四条棱长度相等，所以我选择了八根四厘米和四根十厘米的小棒， 用四厘米的小棒做长和钩用十厘米的小棒做宽，这样就可以搭成相对的两个面是正方形的长方体了。 还有没有同学也搭出了有两个相对的面是正方形的长方体，你们选择小棒的想法是不是也和小林一样呢？ 那如果现在我们要将这个长方体框架变成一个正方体，你有办法吗？只要把它的十二条棱变得一样长，就是正方体了。 对，我们只要把棱长都变成一厘米就可以了， 也可以制作成棱长是两厘米的正方体框架。这时小林说到，我觉得最多只能做成棱长是四厘米的正方体，这又是为什么呢？ 因为这个长方体框架的长和高都是四厘米，超出四厘米他们就不够了 哦。看来我们要想把一个长方体结成正方体，还要考虑这个长方体长宽高的实际长度才行。 今天同学们用橡皮泥相当于顶点，小棒相当于棱，搭出了不同的长方体。回顾整个的制作过程，你有哪些收获？ 我们要根据长方体的特征来选择小棒的根数和长度，以及小球的数量。 我们要根据棱长的特征来选择小棒，比如搭正方体框架就比较简单，只要选择十二根长度相等的小棒就可以了。 但是要搭长方体框架，就要将十二根小棒分成三组，每组四根要一样长才行。 我们也可以分别选择八根相同长度的小棒和四根相同长度的小棒搭成。有两个相对面是正方形的长方体， 加的过程中，长宽高决定了长方体的形状和大小。 同学们真是太会学习了，在制作长方体框架的过程中，再一次加深了对长方体特征的理解。那如果还是这个长方体， 你能算出这个长方体框架的棱长之合吗？请你先独立思考，再尝试解决。做好了吗？瞧，这是小刚的做法， 我们听听他是怎样想的。我是先分别求出四条长、四条宽和四条高，再把乘积相加，就是这个长方体框架的棱长之河。 你和小刚的做法一样吗？还有没有其他的想法？ 我是这样想的，因为长方体十二条棱分别对应四组长宽高，所以我先用八加六加四等于十八厘米， 求出一组长宽高的和，再乘四求出四组长宽高的和，也就是这个长方体的棱长之合了。其实啊，在生活中我们也经常会遇到这样的问题， 为迎接五一国际劳动节，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯，地面的四边不装 一只立塘，长九十米，宽五十五米，高二十二米。工人叔叔至少需要多长的彩灯线？请你先静下心来想一想，你打算如何解决？ 同学们也分享了自己的想法，我是这样想的，长方体建筑长九十米，宽五十五米，高二十二米。 要在他的四周装彩灯，就是求棱长之盒，用九十加五十五加二十二的盒乘四等于六百六十八米，至少需要六百六十八米彩灯线。小刚的做法你们同意吗？ 他做的对不对呢？ 我觉得这道题没有做完， 因为题目中说到地面的四边不装，所以还得用棱长之核减去两条长和两条宽，用六百六十八减九十加五十五的核，乘二的积等于三百七十八米。 我觉得小林说的有道理，不过我是这样解答的，我发现装彩灯的位置是两条长、两条宽和四条高， 所以用九十加五十五的和乘二，再加上二十二乘四，也等于三百七十八米。同学们呀，真会思考，虽然刚刚小刚的方法并不完全正确， 但是他能够将题目中的生活问题转化成数学问题，关注到长方体、长、宽、高这三个要素与安装彩灯之间的联系。 而小林和小丽能够更加全面的关注到题目中的信息，采用了不同的策略灵活解决问题。 不知不觉中，这节课我们已经接近尾声了，那回顾今天的学习历程，你又有哪些收获呢？ 我发现在制作长方体和正方体的过程中，要围绕长方体和正方体的特征来选择橡皮泥小球的个数以及小棒的种类和根数。 通过观察想象，我不仅知道了长宽高决定长方体的大小，而且发现了随着它们的长短变化会导致长方体哪些面变了，哪些面没变。 我们还能应用今天学习的知识灵活解决实际问题。 今天我们学习的是数学书第十九页的第二。希望同学们能够在动手做的过程中学会思考，在解决实际问题的过程中感受到数学带给我们的快乐。 今天的作业是数学书第二十一页第七题。 好了，同学们，今天我们的数学课就上到这里，同学们再见！

哈喽，宝宝们，大家下午好，今天通过这一道题给大家来分享我们五下第三单元需要掌握的内容有哪些。这是一个最容易出错的地方，那就是对长方体的特征了解的不透彻，不准确。 那我们就来观察一下问题，长方体的六个面一定都是长方形，那你首先就要知道什么叫做长方体，那我这里拿了一个长方体，我们先来看， 那很明显这个长方体啊，一定是由六个面围成的一个这样的立体图形，我们把它叫做长方体。怎么去描述这个长方体的特征？我们从三个方面，第一个叫做点，第二叫线， 第三个叫面。很明显，我们的面分为前后为一组相对应的面，因为它们的形状相同， 大小相同，左右为一组相对应的面，上下为一组相对应的面，所以长方体我们分成三组，相对应的面，面和面，中间相交的这条线，我们把它叫棱长，那竖着的，我们把它叫做高，所以有四条相同的高。 同样道理，我们把底面，也就是下面的这一个长方形，长一点的边，我们把它叫做长。那长是不是也有四条？这里一条，上面一条，以及上面的后面是不是也有条？所以很明显长也有四条 宽。底面的这个角短的这条边，我们把它叫做宽。下面有两条宽，上面也有两条宽，所以有四条宽，是不是也能够分成 三组？那同样的能长与能长，中间的这个焦点，我们把它叫顶点，很明显上面有四个顶点，下面也有四个顶点，所以呢，一共有八个顶点，这就是从三个方面描述了长方体的特征，那这一个是我们标准的长方体， 还有六个面，每一个面都是长方形，所以你一看好像是对的。但是在我们的生活当中有一种特殊的长方体，我们一起来看， 像我拿了一个这样的一个长方体，可以观察得到他的面。首先你观察到前面和后面是一样的，属于长方形，左边和右边他也是一个长方形， 他的上面和下面却是一个正方形，他说一定都是长方形，所以这道题很明显就是错的。有特殊的情况，两个面是正方形，四个面 是长方形。像这种特殊情况的图形，我们一样的是把它叫做长方体，这道题你学会了吗？好啦，如果下期你还想了解关于五下第三单元长方体的重难点内容，点个关注，明天我们不见不散。

同学们好，我是北京市西城区奋斗小学的李老师。 今天我们对人教版五年级下册长方体和正方体单元进行整理和复习。 课前同学们已经对长方体和正方体这单元的知识进行了梳理，让我们来交流一下吧。 这是文文的整理和复习，看到这幅作品能帮大家回忆起哪些知识呢？ 从文文的作品中可以看到，在这个单元的学习中，我们认识了长方体和正方体的特征，还知道了正方体是长宽高都相等的，长方体 可以用集合圈表示它们的关系。我们还学习了长方体和正方体棱长和的计算方法，就是求十二条棱长度的总和。 把长方体和正方体的六个面分别展开，就可以得到它们的展开图。 长方体或正方体六个面的面积之合就是它的表面积。长方体表面积等于长乘宽、加长乘高、加宽乘高的和乘二。 正方体的表面积等于棱长乘棱、长乘六。 我们还认识了体积，体积就是物体所占空间的大小。学习了长方体和正方体体积的计算方法。长方体的体积等于长乘宽乘高，正方体的体积等于棱长乘棱、长乘棱长。 认识了体积单位以及他们间的进率。我们还认识了容积，容积是容器能容纳物体的体积， 容积和体积既有联系，又有区别。长方或正方体积，容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长宽高 还知道了计量。容积一般用体积单位计量液体如水、油等的体积，常用容积单位升和毫升， 一升液体的体积就是一立方分米，一毫升液体的体积就是一立方厘米。 文文利用思维导图的形式对长方体和正方体单元的相关知识进行了整理和复习，既完整又清晰。 也谢谢小丽和小华他们带领我们一起学习了文文的作品，也帮我们回顾了这个单元学习的内容。 文文也有话要说，我们一起听一听。通过对知识点的梳理，我发现长方体和正方体有很多共同点， 例如长方体和正方体都是由六个面、十二条棱、八个顶点组成的，他们求棱长和的方法都是求十二条棱的长度总和。表面积的计算方法也都是求六个面的面积之和，体积也都可以用底面积乘高来计算。 文文真会学习，不仅注重对长方体和正方体特征相关计算等知识的复习，还关注了知识间的联系，找到了长方体和正方体的共同点。 老师我还有补充，我们还学习了不规则物体体积的计算方法， 就是要把不规则物体想办法转化为规则物体。常用的方法是排水法， 比如把土豆放进长方形的容器中，在这里我要提醒大家，容器中的水要完全没过土豆水面上升，上升的这部分水的体积就是土豆的体积， 这样我们就把土豆的体积转化成长方形的体积了。 你补充的很好，求规则物体的体积可以通过测量相关数据，利用公式计算，不规则物体可以用排水法转化成规则物体来求体积。 我们再来看看其他同学的整理和复习，这是小智的作品，他是这样整理和复习长方体和正方体的体积的，我们请小智来说一说。 我发现求长方体的体积，就是看长方体里有多少个体积单位。例如这个长方体长是六厘米， 说明一行有六个体积为一立方厘米的小正方体，也就是有六个体积单位。宽是两厘米，说明有这样的两行 高是两厘米，说明有这样的两层。六乘二乘二等于二十四，说明这个长方体中包含二十四个体积单位，那么它的体积就是二十四立方厘米。 正方体是特殊的长方体，也可以说是长宽高相等的长方体，所以正方体的体积等于棱长乘棱长。 求正方体的体积也是看正方体中所含体积单位的数量。 而公式中的长乘宽求出的是长方形的底面积，底面积就是代表一层有多少个体积单位，再乘高就是求一共有多少个体积单位， 所以长方形的体积可以用底面积乘高来计算。再看正方体的体积，棱长乘棱长，算出来的是正方体的底面积，另一条棱也可以看作是正方体的高， 因此正方体的体积也可以用底面积乘高来计算，所以长方体和正方体的体积计算公式可以统一为底面积乘高。 你说的真清楚，不仅知道怎样计算长方体和正方体的体积，还知道为什么这样算，并且找到了他们之间的联系。 这两个长方体都是用棱长一厘米的小正方体摆成的，但是都有一部分被遮挡住了，你会计算它们的体积吗？快来试一试吧！ 做完了吗？谁来说说你是怎样计算的？ 我来说第一题。从图中没有被遮挡的部分可以看出，这个长方体一行有三个体积单位，说明长就是三厘米。 有这样的四行，说明宽就是四厘米，有这样的三层高就是三厘米，所以这个长方体的体积就是三乘四乘三等于三十六立方厘米。 我也从第二个长方体露出的部分看出，这个长方体的长是四厘米，宽是四厘米，高也是四厘米，所以列式是 四乘四乘四等于六十四立方厘米。我还发现这个长方体长宽高都相等，这是一个正方体。 两位同学都很善于观察，从两个长方体露出的部分中发现了体积单位个数与长宽高之间的关系，利用这一关系计算出了他们的体积。老师为你们点赞！ 屏幕前的同学们，你们做对了吗？通过刚才的复习，我们知道了，求长方体或者正方体的体积，就是看这个长方体或者正方体中含有多少个体积单位， 长是几就表示每行体积单位的个数，宽是几就表示有这样的几行， 高是几就表示有这样的几层。用每行的个数乘行数乘层数求出的是长方中所含体积单位的个数。 长乘宽乘高等于长方体的体积，而长乘宽求的是长方体的底面积，底面积可以代表一层有多少个体积单位， 再乘高也可以求出长方体含有多少个体积单位。 小丽在复习中还有发现，我们一起来听一听。在复习中我还发现长方体和长方形也有密切的联系， 例如我们在研究长方体和正方体的展开图时，就是把立体图形转化成平面图形来研究的。 而且在我们的数学书中，有很多题目都是利用立体图形和平面图形之间的关系来解决问题的。 如数学书第二十五页的第五题，贴商标纸的问题，就是求侧面积的问题。 如果把这个长方体的侧面展开，就是一个长方形，这个长方形的长就是长方体的底面周长，宽就是长方体的高。 所以长方体侧面积的计算方法是底面周长乘高。 在解决侧面积表面积的问题时，就可以把立体图形转化成平面图形来研究。 我还想到了，在判断哪些图形能围成左侧的正方体时，就需要把平面图形还原成立体图形。解决这些问题都需要把立体图形和平面图形相互转化。 同学们说的真好，我们在解决长方体和正方体的相关问题时，有时就需要由面相体或由体相面，利用平面和立体之间的关系能够更好地帮助我们解决问题， 在这个过程中还可以让我们更深入地认识长方体和正方体的特征。 老师，我还想到了以前我们解决过求颁奖台涂红色油漆的问题，有的同学就是将立体图形转化成平面图形解决了问题。 他是把左面上面和右面展开，变成了一个大长方形，展开后的长方形的长是四十乘三加六十五乘二，宽就是四十， 这个大长方形的面积就是红色油漆的面积一万平方厘米。我觉得他的这种方法就是将立体图形转化成平面图形，巧妙的解决了问题， 所以我在解决涂黄色油漆面积的时候，借鉴了这种方法，是不是也可以将黄色部分变成一个大长方形？我发现这三个长方形的宽都是一样的， 因此我将三角长方形拼成了一个大长方形。因为从前面看的面积和从后面看的面积相同，所以用六十五减十加六十五加四十的和乘四十乘二等于一万两千八百平方厘米。 小雨真是个善于学习的孩子，是的，利用平面图形与立体图形之间的相互转化，可以帮助我们很好的解决问题。 我们来看这道题，屏幕前的同学们你会解答吗？快来试一试吧！ 做完了吗？我们来交流一下吧！从题中我知道了要做二十五个宫灯，宫灯外侧有一层外饰面， 上下面除外。从图中我发现宫灯是由上下两个长方体组成的， 这两个长方体的上下两个相对的面都是正方形。上面长方体的长和宽都是六十六厘米， 高是二十厘米。下面长方体的长和宽都是四十六厘米，高是八十厘米。外世面每平方米十八元，问题是求这些公共的外世面一共要花多少钱？ 我先求上面的长方体前后左右四个面的面积，因为四个面面积相等，所以六十六乘二十乘四等于五千二百八十平方厘米。 下面长方体也是前后左右四个面面积相等，所以四十六乘八十乘四等于一万四千七百二十平方厘米。 五千二百八十加一万四千七百二十等于二万平方厘米。算出一个宫灯外世面的面积是二万平方厘米， 因为外室面每平方米十八元，因此需要转化单位，将平方厘米转化成平方米， 二万平方厘米等于二平方米。一共有二十五个宫灯， 再用二乘二十五等于五十平方米，就是二十五个宫灯的外室面的总面积。 十八乘五十等于九百元。答，这些宫灯的外世面一共要花九百元。 老师，我还想到求宫灯外侧外世面的面积，就是求上下两个长方形的侧面积之合。 我把两个长方体的侧面转化成两个长方形，利用侧面积等于底面周长乘高， 我也可以求出上下两个长方形的测面积之和是，六十六乘四乘二十加四十六乘四乘八十等于五千二百八十加一万四千七百二十等于两万平方厘米， 最终求出一共要花九百元。你利用了前面复习的侧面积的计算方法，将立体图形转化成平面图形。真棒！屏幕前的同学们，你做对了吗？ 通过今天的复习，同学们有哪些收获呢？通过今天的复习，使我对长方体和正方体这一单元的知识有了更全面、更深入的认识，还知道了知识之间有着密切的联系。 我还知道了求一个立体图形的体积，就是求这个立体图形中含有多少个体单位。 用底面积乘高，不仅可以计算长方体、正方体的体积，这种计算体积的方法对我有很大的启发。 我想我们以前还认识过圆柱，是不是也可以用这个方法计算圆柱的体积呢？我想课后研究一下。 通过复习长方体和正方体，发现它们和长方形、正方形有密切的联系，在解决问题时可以把立体图形和平面图形进行相互转化，能更好地帮助我们解决问题。 同学们总结的真好，通过今天的复习，不但回顾了长方体和正方体单元的相关知识，还找到了知识间的联系，并感受到平面图形和立体图形相互转化的作用。 相信今天的复习对你今后的学习一定有所帮助。 今天我们一起进行了长方体和正方体单元的整理和复习，具体内容在数学书的第四十二页。 今天的课后练习是完成数学书第四十三页第二题、第三题。这节课我们就上到这里，同学们，再见！

同学们好，这节课我们学习容积和容积单位，一起看看生活里的容器都藏着什么？数学小秘密，大家看，太空舱能装航天员和设备，粮仓能装粮食， 油桶能装油。像太空舱、粮仓、油桶、盒子等所能容纳东西的物体叫做容器，而容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。 这就是我们今天的第一个重点。那么大家肯定会问，容积和体积有什么区别呢？这是我们今天的第一个难点。体积是从物体外面量它的长宽高， 算的是物体本身的大小。而容积是从容器里面量它的长宽高，算的是能装东西的空间。 所以对于同一个容器来说，它的体积一定比容积大，因为容器本身是有厚度的。知道了容积是什么，那么怎么计量它呢？ 其实计量容积一般用体积单位，比如说立方厘米、立方分米、立方米。但是计量水、油这些液体的时候， 我们常用专属的容积单位升和毫升，超市里的饮料、酱油瓶身上都能看到它们的身影。液体的体积我们可以用两桶或烧杯来度量。 同学们想一想，升和毫升有什么关系呢？又和体积单位怎么换算呢？ 这是我们今天的核心重点。大家看，一升的水刚好能倒满一千毫升的量杯，所以一升等于一千毫升。 再看能长一分米的正方体，它的体积是一立方分米，这个正方体积刚好能装一升的水， 所以一升等于一立方分米。同理，棱长一厘米的正方体，体积是一立方厘米，对应的就是一毫升， 所以一毫升等于一立方厘米。同学们，这几个换算关系大家一定要记牢。孩子们，这节课我们还有一个关键的知识点，长方体和正方体容器的容积计算方法 其实和体积计算方法是一样的，但是要注意了，必须是从容器里面去量它的长宽高。 接下来我们一起算一算这个长方体油桶的容积是多少。我们可以直接套用体积公式， v 等于 a b h， 最后等于四十立方分米。孩子们不要忘记要进行体积与容积的转换，所以这个油箱可以装四十升油。下面我们一起练一练， 请你快速计算出车厢的容积是多少，十五平方米就是车厢的容积，是不是很简单。孩子们，课后请你找一找家里的物品， 看看哪些瓶子上标了升和毫升，这些是我们本节课的重点知识，你学会了吗？我们下期再见！

同学们好，这节课我们解锁一个新技能，一起学习如何计算长方体和正方体的体积。那么该怎样计算长方体的体积呢？ 其实求长方体的体积，就是看长方体有多少个体积单位可以把长方体分成若干个单位体积的小正方体数一数。接下来我们先来做个实验， 用十二个体积一立方厘米的小正方体来摆一摆，看看能摆出哪些不同的长方体。 大家看，能摆成长十二厘米、宽一厘米、高一厘米的长方体，也能摆成长四厘米、宽三厘米、高一厘米的长方形。 还可以摆成长六厘米、宽二厘米、高一厘米的长方体，还可以摆成长三厘米、宽二厘米、高二厘米的长方体。 同学们把这些数据填进表格，我们会发现，不管怎么摆，小张方体的个数都是十二，长方体的体积也都是十二立方厘米。 那么重点来了，长方体的体积和长宽高有什么关系呢？长方体所含体积单位的个数实际上就是长方体的体积。 观察数据我们会发现，长乘宽乘高的结果正好等于长方体的体积， 也等于所含体积单位的个数，这就是长方体体积的计算公式，等于长乘宽乘高。 如果用字母 v 表示长方体的体积，用 abh 分 别表示长方体的长宽高，那么长方体的体积计算公式可以写成 v 等于 abh。 同学们接着想一想，正方体是特殊的长方体，他的长宽高都相等，都叫棱长，那正方体的体积怎么算呢？ 对了，正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长。如果用字母 v 表示正方体的体积，用 a 表示它的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成 v 等于 a 乘 a 乘 a， 也可以简写成 a 的 立方，读作 a 的 立方，它表示三个 a 相乘，所以正方体的体积公式我们一般简写成 v 等于 a 的 立方。 接下来我们练习巩固一下，算一算这个长方体的保温箱体积是多少，我们可以直接套用公式， v 等于 abh 等于六乘五乘四等于一百二十立方分米。 再来算这个正方体保温箱的体积，直接套用公式， v 等于 a 的 立方 等于五的立方，最后等于一百二十五立方分米。接下来我们再来学一个超实用的统一的公式。不管是长方体还是正方体，都能用 长方体或正方体底面的面积叫做底面积长成宽。正方体的底面积是棱长成棱长。 我们再结合体积公式，就能得出长方体或正方体的体积等于底面积乘高。 如果用字母 s 表示底面积，上面的公式就可以写成 v 等于 s h。 这个公式非常方便， 下面我们一起练一练。第一题，这是一块长方体的豆腐，我们直接套用公式微等于 abh 等于五百二十五立方厘米。一起看第二题，要想知道这根木料的体积是多少， 我们可以直接用公式微等于 s、 h， 不 用再找它的长宽高，最后等于零点三立方米。同学们，这些是我们今天学习的重点知识，大家一定要记牢，我们下期再见！

好，同学们好，上一节视频我们预习了正方长方体的这个体积公式推导，那么这一节呢，我们来预习一下正方体的体积， 那我们知道正方体，它是一个长宽高都相等的一个特殊的长方体，所以呢，我们正方体的体积公式同样可以用什么呢？同样可以用长方体的体积公式去推导我们呢？在上个视频，我们 推倒了这个长方体的体积公式，我们知道长方体的体积公式是是长乘宽乘高 啊，而我们的正方体，我们说正方体，它是一个特殊的长宽高都相等的一个特殊的正方体，那所以呢，我们这个正方体的体积公式同样可以套用长方体积公式，就是 在我们的正方体当中，它的长宽高叫什么呢？叫楞，楞长，所以我们就是楞长 乘以楞啊，楞长乘以楞长，那么也就是我们这样正方体的体积是楞长乘以楞长，再乘以楞长，这是正方体的体积公式，其实也就是刚才我们说的套用的是长方体的体积公式。好，那如果我们用字母去表示的话，应该怎么去表示呢？ 我们知道啊，我们刚才在上一个视频说了，体积啊，用 v 去表示，那么我们能用 a 字母 a， 那 就刚才说能长乘以能长，再乘以能长，那就 a 乘以 a 再乘以 a， 也就是 v 等于 a 乘以 a 乘以 a， 但是呢，这样写是不是有点不方便呢？好，我们呢，可以怎么去写呢？我们可以这样去写啊， v 等于 a 的 立方，那么这个三表示什么呢？我们可以写，这样可以读作什么呢？读作 a 的 立方， 那什么意思呢？这个三什么意思呢？表示的就是三个 a 相乘，哎，三个 a 相乘， 好，那我们来做一道题啊，那么这是一个保温箱，然后让我们去计算一下它的体积。首先我们观察一下它是一个正方体还是一个长方体呢？哎，我们发现呢，棱长都相等。哎，那它是一个正方体，我们刚才学了正方体的体积公式。是啊， a 的 立方是不是，那么 a 是 多少呢？ a 是 五好五的立方，那么怎么去计算呢？ a 三表示三个五相乘，那就五乘以五，再乘以五，我们看等于多少呢？ 等于一百二十五立方分米，在这我们一定要记着去代单位啊， 立方分米。好，这是我们今天学的这个正方体的这个体积公式非常简单，套用直接套长方体体积公式就可以。好，那么如果有不明白的可以这个后台私信我。

刚刚我们讲到的是分割的问题，对不对？那还有一种题型叫做什么？拼接问题。那我们一起来看这道题到底在说什么？两个长八厘米、宽六厘米、高四厘米的长方体，比如就是这两个长方体，我们就想这是不是两个长方体是一样的，是吧？拼成一个 大长方体，那这个大长方体的表面积最大是多少？最小是多少？首先同样的问题，这两个拼成大长方体的表面积最大是多少？最小是多少？首先同样的问题，这两个拼成大长方体的表面积最大是多少？首先同样拼法 好，第一种可以怎么拼啊？把你用面来说，第一种我们可以用上面，上面和下面再拼在一起。好，上面和下面这样子的话，好，这个拼的过程中， 拼前和拼后由两个变成一个，对不对？好，表面积发生了什么变化？减少从这两个，这两个表面积对不对？现在变成了一个表面积了，变成一个大长方形，表面积减少。那我这么拼，它减少的是哪几个面？ 好？分别是这两个面，你看这两个面，这两个面如果是分开的，它是完全暴露在外面，对不对？我这样拼接，这两个就在他的内部了，那这两个这个上面跟这个，这个上面跟这个下面，能算这个大长方形的表面积吗？不能，不能，所以这个拼接他减少了上面和下面这两个面。 好，那还有，还有怎么，还可以，怎么拼好前面和后面？哎，本来是想这样对不对？我这样子拼， 这是不是一个大长斑点呀？那它面表面积发生了什么变化？减少，减少了哪两个面？这两个面，这两个接在一起的面，对不对？相当于减少了它左右两个面还可以怎么拼？刚刚我们说了上下两个面，左右两个面还可以怎么拼？前后好， 就这样子。那还有一种是这样子，是这两个面前后啊，前后两个面对还可以这么拼，是这么拼，其实我们会发现也一样的，减少的是这两个面对减少的是前后两个面。那我们会发现我们的拼接跟刚刚的风格其实是完全， 其实是什么？是反着来的，对不对？刚刚是增加了上下左右前后，而拼接他就减少了上下左右前后。那我来看看他要觉得是什么问题， 他问的是什么呀？他问的是增加还是减少吗？他问的是什么？这个长方形的表面积最大，问的是这个最最大，最大最大是多少？首先要求大长方形的表面积大长方形的表面积你可以怎么求？我们可以怎么求？ 怎么求？第一个，第一种解法我可以，我可以先求两个行不行？两个减去减少的两个面可不可以啊？ 第二种方法，我直接取油行不行？可不可以直接取油啊？那我就现在的长城要把它高加了，然后那个就那个高，还不用还其他的高，那么就用长加一个，就像我们跟他三册书一样，那三本书三册对不对？ 我们发现他什么增加，我们就给他什么怎么比，对不对？好，所以表面积最大，我们可以怎么求？来，那我们可以用，那我这边就介绍一种方法，我们就介绍就介绍那个比较很容易理解的好。首先原来两个表面积怎么求？原来两个是一样的，我可以先求一个，再乘以二。先求原来 原来两个长方形的表面积怎么求？第一个是八乘六，加上八乘四，加上四乘六的和乘二，这是一个的，对不对？那我再来一个一样的，就是给它怎么样？再乘一个二， 这是原来两个，对不对？那钥匙，原来那个钥匙拼接后的那个大长方形的表面积最大，那其实就是让它减少的， 减少的最小，他是减少的最小。那你觉得这三个数据里面哪两个相乘减少是最小的？是不是四个六？是不是四个六？是不是四个六？宽和高，其实就是左右两个面，对左右两个面减少的最小的。好，所以他减去，减去多少？ 减去四乘六还应该怎么样呢？对了，他减少的是几个面？两个面， 所以呢？再乘以一个。哦，减少的。剩下就是那个长方形的表面积，那他说最小，那最小。那我们这么剪它是怎么样？这么剪它是最大的，那最小应该怎么办呢？那最小的把把最大的两个面容。 好，这个是原来两个长方的面积，这个是减去的，怎么样？减少的，减少的两个面，那剩下的就是什么？大长方的， 那这个是最多，这个是最大，那我们最小最小，那就让他。好，还是原来两个长方的表面积 减去减少的，那我减少的这个是减少的，减去两个，那我要最小就要减去那个比较大的两个面，对哪两个面是比较大的？六跟八是比较大，对不对？减去六乘八乘以二。好，能听懂，同学举手。 能听懂吗？能，好，放下，那这是我们的拼接问题，其实跟我们的分割问题是相反的，你就这么理解就。

道题是在哪里出现的呢？课本，好，那黑板上这道题是我们课本的一道课后练习题，看着难不难？不难，那为什么老师要单独把它拎出来再说一遍呢？其实我要介绍， 你们要介绍另外一种方法给大家看一下。好，我们先来看这道题，注意力集中，没有看黑板的同学是坐姿不端正的同学，是 一个长方形的饼干盒，告诉我们长宽高，如果围着它贴一圈标三标纸，贴一圈三标纸，上下面不贴。上一次作业里面有个同学问老师说，老师，这个贴三标纸是要贴，要贴一小块还是都贴满啊？ 肯定是什么贴满，对了，肯定是要贴满，贴一小块，你知道它有多大吗？对不对？人家都说了，围着它贴一圈，把它贴完整，对不对？ 上下面不贴，哎，也就是求几个面，其实就是求几个面，四个面。那要问这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？那其实就是求什么？求四个面的表面积。四个面的表面积。好，我们来介绍第一种方法。那第一种方法是什么？ 第一种方法我们可以怎么样？直接四个面相加 直接四个面相加。好，那现在我们不看图形的情况下，他告诉我们上下面不贴，对不对？那还剩哪四个面？ 左右、左右跟前后跟左右。好，前后看的那个是什么成什么？前面是什么成什么？前面是什么成什么， 能想起来吗？我现在不用这个图形，你能想起来前面是什么成什么吗？长成高，那他对应给他再乘一个二。 好，接下来左面是什么成什么？宽长宽长高，左面是宽长高宽长高，六乘十二，还有一个右面，这是第一种方法，四个面向加，对不对？好，第二种方法还可以，怎么算呢？ 减去这四个面，其实可以理解为有几种面，几对几组。几组可以分为几组，两组，两组，两组面， 两组面相加，哪两组？哪哪两组 好？前后左右面看前面。我们刚刚说它是上下面不贴，对不对？好，比如说上，比如说这个是上下面不贴哈，老师不贴是不是给它镂空了？我这样子放，可不可以前后 左右？是前后左右，那我可以理解为这是一组命，对不对？看黄色跟绿色的，黄色跟蓝色的，这是一组，然后给它乘号，是不是对面一组是一样的？其实也也是相当于把这个乘号给它。怎么样提取出来，我可以先取哦。一个面来 哪一个面？上下面不填好。前面是什么乘什么？前面是十乘十二，加上右面是什么？六六，六乘十二。前面和右面分作为一组，他有这样的几组呢？两组直接再给他乘二，这是第二种方法，前两种方法同学们都能掌握。那接下来老师要介绍最很重要的一种方法，叫做 第三种方法是什么？好，也就是将他的其实我们可以理解为上下面不贴的话，这一圈其实可以理解为是他的什么面积。侧面肌， 侧面肌，侧面肌，侧面肌。我们可以理解为看老师这个图形，我这样的立着看啊，上下面是不是没贴了？有没有贴？这一圈是他侧面？对。好，我可以把侧面肌。 刚刚我们这两种方法都是把它分分分块去求的，对不对？是分块去求的。对啊，这两块，这两块或者是这两块成啊？对，分块去求的。那侧面筋能不能把它能不能变成一块？能变成一块吗？同学们想一想，侧面筋展开会变成什么？ 对，侧面经展开会变成什么图形？老师，先不展开，你们想象一下，我把这个侧面经展开，它是个什么图形？长方形。对，老师先展开给大家看来，展开之后它是个什么图形？是不是一个大长方形？好，所以侧面经展开成一个长方形， 那能不能直接其实就是求这个大长方形的面积，对不对？那这个长方形的面积等于什么？它到底是长乘宽对不对？那对于他来说，对于这个图形来说其实是什么？长加宽？这个，这个，这个图形弄得有点那个啥？神秘， 有点神秘。好，是不是？这个？那，那你们现在头脑空间想象一下，现在老是不摆空间想象一下，他这个上下不贴。哎呀， 按道理来说，他这个长宽没错，长，这里面的长是多少？来，我应该怎么放？老师，看，这么放可不可以？应该是可以的。好，现在我这样拿，长是多少？ 你看我，我是这么立着的，对不对？他的长是多少？长是长是是多少？十？长是十，宽是多少？ 六，这个是不是六？高是最高的是多少？十二，刚好跟老师这个模型大概差不多，高是最长的，是不是？对，好，再说一遍，长是十，宽是六，高是十二，是不是十二？好，那 这个大长方形的面积是不是用这个乘以？这个是不是用这个乘以？这个有没有问题？那这个对于长方形来说是它的什么？ 这个我们可以理，是不是？其实就是用下面这一圈 乘以它，那下面这一圈可以理解为是什么？两个六个。哎，这一圈的长度叫做什么？在数学上一圈的长度叫做什么？周长。对了，我们可以理解为它的什么周长？拿一根面的周长， 下下面的周长，或者你底面的周长去乘以这个，这个是多少高，能理解吧？所以可以侧面积可以理解为是底面周长乘高， 底面周长乘高。好，这里面底面周长分别是什么？你看底面，底面应该是底面，就是下面下面的两个元素是什么？是长和宽，它有几种？长和宽，两条长，两条宽，是两条长，两条宽。对，好，所以我可以，我可以等于。等于什么？等于 底面周长是多少？两条长，两条宽，分别就是十加六乘二，这样可不可以？是不是两个十，两个六？是不是它的底面周长？那这个是不是相当于这个长方体的什么？ 这个大侧面展开的长方形的宽，相当于这个长方形的高，高是多少？二，所以第三种方法可以理解为把它展开展开出去，侧面积可以等于底面周长乘高。能理解，同学举手。好，那当然， 正常我们都用前两种方法，对不对？那第三种也是一种思路，明白了没有？好，现在请同学们可以把第三种方法好，把这三种方法写在数学课本的二十二十五页第五题，对，二十五页的第五题。前两种你只要写个文字就可以了，不用写算式。第三个你可以写一写好，开始不要抄。

一起来看，这是一个什么图形呢？长方形，好，这是一个正方形，对了，那他的三大特征是哪三大特征呢？首先是他们的面，什么叫做面呢？ 摸过去面，摸过去怎么样？平平的，而像这样叫做他的面好，第二个特点，第二个特征是棱，读作什么棱？我们来看什么叫做棱呢？ 面和面相交的线叫做冷，好叫做冷。老师拿出来看，这个就是这一条，一条 叫做他的什么人，还有的特征是顶顶，顶顶啊，什么叫做顶点呢？人和人相交的点叫做顶顶，不管是长方体还是正方体，他们都具备，都有面，人顶点。那接下来我们来回忆一下三方面到底有哪些特征，那我们一起来看一下来， 首先我们来看看，接下来我们来对比一下长方体和正方体他们关于这几个方面，首先顶点 面冷，还有他们的冷场总和，以及他们之间的关系是怎样的。好，我们一起来看。同学们现在把笔都放下来，坐姿端正， 跟着老师一起来回忆来。长方题有几个顶点，八个，要反应很快，长方题有八个点，那正方题呢？八个点，对了，也是有八个顶点，我们说我们如何有序的数全他的顶点呢？ 我们可以看他的什么，上面几个顶点四个，下面也是四个，这样子看他都是 好，当然前后也可以，对不对，按照一定的方向去数都可以，他们都是八个顶点。好，面有长方体，有几个面？六个面好，这方体呢？六个面，长方体几个面？六个面好，这方体有几个面呢？有六个面，面的形状是怎样的呢？ 好，长方形，他的每个面是长方形的，正方形对的是长方形。在特殊情况下，他有一组相对的面是正方形，有正方形的每个面都是正方形。正方形，这个简单了啊，每个面都是正方形。好，接下来我们来看他的面有什么特点呢？ 相对的面，好，我们来看长方体有六个面，六个面我们可以分为几组啊？三组，我们说相对的面，他们的面积和他们的大小和形状完全相同，所以我们可以说全班来说一遍，这个怎么读？开始 相对的面完全相同。好，那这方题他的六个面怎么样？所有的面，所有的六个面都是完全相同，除了六面完全相同，他六个面都是 正方形，他的六个面都是完全相同的正方形。老师边说边马上贴到里面，明白了吗？好，接下来我们来看人，关于人最重要的，人是最重要，因为面其实我们以前有接触过，对不对？不难。 这个相对的面是哪一些？相对的面，来，我们来说一下来哪些角相对的面，上面、下面、前面、后面、左面、右面，这个叫做相对的面，他们是完全相同的。坐好，不要趴在桌面上。 好，那我来看人，人就比较难了，人可以说是比较难的，因为人的数量怎么样？多，很多同学数着数着就晕了。好，我们来看他有长方体，有几条人？ 十二十二条人。好，那这盘题有几条人，也是十二条人，对不对？他们都有十二条，那这十二条人我可以给它分为几组，你是怎么分的？三组，你不要把它看成咱俩的十二条。十二条可以看成什么？三组，好，三组，每组几条？四条，这三组每组四条，这三组可以理解为哪三组 长长有四条，对了，这里面，在这里面来长有几条？人有三组，这三组分别叫做什么？长、宽、高，而且每组来这一组，这个长有几条？ 好，跟我一起来数一下。来，开始一二三四，长有四条宽，一二三四，高有 一二三四。好，所以马上记到里面来。人有三组，每组四条，其实可以理解为长四条，宽四条高四条。就这么记， 一定不能只记十二条，你要记它的特点，否则它数量很多，会乱。好，那接下来我们来看，那正方体呢？它有几条？它的十二条人有什么特点呢？完全就 好，所有的人长，所所有的人长度相同，他十二条人的长度都相等。那基于人的特点，我们来看，如果要求长方体的人长总和是多少？就是所有的箭头发呆，长方体的人长总和是多少？ 就是说什么叫人长总和，十二条的，十二条的和，对不对？很经常会出现，他会让我们说，求一些啊，求这个长方的人长总和。 那你要怎么求呢？十二条，十二条，一条一条加起来，是不是有没有减变算法？四条啊，有些同学说可以四条长加四条宽，加四条 高，还有更减变的算法吗？我说四条长加四条宽加四条高，哦，都是四条，对不对？我可以把这个层次给他提取出来。所以就剩下什么 人长总和，长方体的人长总和，等于全班读一遍开始啊，加高加高的和，哎，乘多少？老师写乘多少乘四。那正方题人长总和就简单了，直接是多少？一条正方形的一条叫做什么？ 一条，一条人对人长乘十二或十二乘人长。好，那最后长方形和正方形他们之间的关系是什么？长方形， 正方方体是特殊的。好，如果我用一个围图，有个大圈和一个小圈，长方 体谁在？谁是小圈？谁是大圈，谁是小圈？正方体更特殊，所以我们说正方体是特殊的。长方体 这定义就是正，就是正方体，是长宽高多相等。好，现在请同学们拿出数学课本，把这个人长组合的给他写公式，给他写下来。

一个长方体如果高增加了两厘米，就会变成一个正方体，那我们知道正方体他的，他是特殊的长方体，他是长宽高都相等的长方体，那也就是高增加了两厘米以后，他的长宽高就相等了，是不是？对了？所以根据第一句话 我们可以知道，根据第一句话我们可以知道长等于宽等于高增加了两厘米，对，高加二等于高加二， 这个有没有问题？那我们来看第二句话，关键是第二句话表面积比原来增加了五十六表面积比原来增加，那我们来看原来的表面积是多少？是不是这六个面？对六个面，那我们来看增加厚的表面积在哪里？ 好，我们拿一个出来来，让我给他晃一晃，现在我们给他的高增加两厘米，让他变成一个。好，假如这个就是增加了两厘米， 好，比如说现在给他的高增加了两厘米以后，他就变成一个正方体，那我们来看，我们来寻找一下这表面积增加的部分在哪里？我们先来看原来的表面积在哪里？原来的表面积， 原来表面是不是这六个面有没有问题？那我们来看，那你能在增加后的表面里面找到原来那个六面，给它抠除掉剩下的部分，是不是就是增加的部分？好，这六个面我们来找，我们来对一下，哎，底面跟底面有没有变化？底面跟底面，好，这个底面， 底面跟底面是没有变化，对不对？好，还有这四个侧面，其实就是这四个侧面，这四个侧面，还有这后面这四个侧面，哎，这五个面我们找到一样，对不对？那这边还有一个什么上面， 那能不能在这边走到上面呢？能，我们可以看这个上面是不是原来的表面积，那我们会发现增加以后，哎，增加后的表面积，他就把这个上面给他压在里面了，就不算了，对不对？增加以后他就是上面、下面，然后这四个侧面对不对？所以我可以看成这个跟这个是怎么样 一样的？这个跟这个是不是一样的？那我就在这边扣除了原先的这六个面，所以剩余的部分就是他多出来的，所以多出来的是哪一些面？多出来的是这四个红色的面，这四个侧面， 这四个侧面，所以表面积增加的部分是表面积增加的部分，正好是这个添加部分的四个侧面。能理解同学举手。好，那我们现在来算一算，来，那说明说这四个侧面的面积， 所以那四个侧面有什么特点？我们来观察一下 这四个侧面，这个四面他的这个，这个是他的这四个面，这个是他的长，这个是他的宽，这个是他的高，这里面的高， 这个增加了这四个侧面，这个长是多少长宽，他们这四个长宽都相等了，然后高也是高是多少？好，我们会发现，哎，这，这因为我们的底面是一个正方形，原来的长跟宽是相等的，所以这块跟这条也是相等的，那这个高是多少？ 最高是二，所以这四个侧面其实是四，是四个完全相同的长方形， 是不是完全相同的长方形？而且这，所以我们先用五十六除以四等多少等于 多少？十四等于十四，这是一个面的面积，是不是一个面的面积？好，那一个一个面的面积是十四的话，那它的这个宽是多少？ 这个是多少？二，我就可以求出这个的长是不是十五、六十四，怎么样？除以二等于七，这个指的是他的长厘米，是不是厘米啊？所以这个，这个是七，那这个也是七，那原来的宽也是七，是不是七啊？对，那原来的高是多少？ 对了，这个是增加以后，他是七，对不对？倒数原来的原来的，有没有那个二啊？没有，所以那个高就是七。减二等于五，这个是原来的高，那宽也是七，长和宽都是七，对不对？所以我们就可以求出它的体积就是七乘七乘五等于多少？ 多少口算下等多少？二百四十、二百四十五，二百四十五。 好，现在有一位同学举手。所以我们数学题一定要记住，你不能没办法一眼去看出来答案是多少，你只能逐逐句去分析，根据第一句话，我得到了什么是结论，根据第二句话我又得到了什么结论？然后我们看题目要求的是什么？一步步去推导， 明白吧？数学很多时候稍微难一点的题目是不可能你一眼就可以看出答案的，一定是需要我们逐逐逐句去分析，去解答。根据这个条件，你知道什么结论，你也可以像老师一样一步一步写下来，明白吗？

进行怎么样切割？这两个是不是一样的长方形啊？那，那我可以发现，在我们可以旋转的过程中，发现发现什么表面积的另一种题型叫做切割问题。好，跟着老师的思路，我们一起来， 小明用橡皮泥做了一个长宽高分别是十六四厘米的长方体，他想切一刀，把这个长方体分割成什么？他的要求分割成什么长方体？分割成两个相同的长方体。分成两个相同的长方体。请你帮小明画出分割线，让你画。 如果你想到有不同的方法，可以用不同的颜色的分割线表示，那我们说把它分割成两个相同的长方体，有几种分法？ 三种有三种方法，我们说可以，如果把它分割成两个相同的长方体，可以从三个角度去分割。第一个分割长，分割长怎么表述？今天数学课本上也有说 要沿着长的终点的连线，比如说这边终点，这边终点，这边终点还有一条这个在这里，对不对？四条终点的连线。好，那我们这道题目就这样子移到终点给他进行怎么样切割？这两个数是一样的长方形啊？ 那，那我可以发现，在我们可以旋转的过程中发现发现什么？发现它的表面积增加还是减少？增加了哪两个面？ 增加了两个面，分别是红色这两个面，对不对？红色这两个面其实对于这个大大长方体来说，就是他的左右两面，所以头脑想象一下来以后我们你看头脑想象一下一个大长方体，如果切割他的长切下来，他增加的是他的左右两面。 好，继续，现在如果我们去切割他的宽，你就要先找到宽在哪里？宽在哪里？这条叫宽，宽的这四条叫宽，一二，还有两条在哪里？三四，这四条叫宽。那我们去切割到他终点的位置。 好，切割到他终点的位置。好，那我来切割。同样的他增加了几个面，这两个面是，这两个绿色的面是增加的，这两个面分别是这个大长方形的， 前后两个面面积是相等的，是吧？好，接下来是切割他的什么高，高在哪里？高，这四条是高。 好，分别切割以后，我们发现面积增加了，这这两个上下，这个黄色的和这个黄色，这个黄色色的，它的大小跟上下是一样的，对不对？好，那我们回过来，所以第一个他让我们怎么样呢？ 画画风格线，所以我们就去找他的长宽高，去低的去找他的长，找到这个长的什么。很多同学在画的过程中画错了，或者画的非常乱。第一步先找到他们的终点，这个终点大致在这里，还有这个终点，然后先找他，先找到 四条长的中点，再跟他们进行怎么样连线，他这个在后面，我这个就会虚线，要实线也可以。好，这是一种分割方法，明白了没有？先找到四个中点，然后连接起来。好，第二个 我换个颜色，现在我要沿着高曲分割，当然你们在画的时候要用到什么来画？尺子先画，老师画完一会就给你们时间停着，接下来看他们的宽。宽在哪里啊？在哪里？这个是宽， 找到他中点，这个是宽，找到他的中点，这也是宽，有四条宽，去找到他中点，然后怎么样去连这个在上面，在外表 看不见的地方，就这是一种方法。对，第三种，找到他的什么高好，高在哪里？在这里找到他的四条，找到四条高的终点，然后连线， 一会再盯着，你们要用尺子画，你们用尺子画就会好看一些，明白了没有？所以很多同学你，你这个也不用想着怎么画，你就找到他的终点连线就可以了。所以这边最关键的是一 要找到他们的终点去连线，而且有三种方法，分别是沿着长宽高的终点 连线进行分割。好，我们来看第二题，一起一起讲完，一会定正把笔放下。第二题，如果把它分割成两个长方题， 如果要是切成了两个长方的表面积之合最小，那么这两个小长方的表面积之合比原来表面积增加了多少？也就是要表面积最小， 要是切成的两个长方形的表面积之和最小，怎样使它的表面积之和最小？两个最小怎样怎样最小？让增加的面积，也就是他说让他切成的两这两个表面积最小，对不对？那其实就是让什么最小就可以， 就是让增加的最小就可以，因为他这个他这个灰色的部分，他都不管怎么切，灰色的部分也就是大正方形的面积，他就是那个，对不对？我们切割多的部分是不一样的，我们可以多两个上，多两个上底多两个，上面多两个，前面多两个，左面 多的部分，我们就让多的部分最小，那他增加就最小，那么那么一般肯定是。好，刚刚我说这些话能听懂，同学举手。要是千层的两个长方形的表面积之合最小，其实就是让他增加的那两个面最小，就可以 增加的两个面最小，因为他不管怎么切他都会增加两个面，只要那两个面最小，那那那他的汁和就最小，对不对？那我们来看那最小增加多少？那三种问题我们要怎么样呢？ 那你看看那两个面怎样增加最少？反增加无非是增加两个，前面两个，上面两个，左面。对，那我们就把这些都给他写出来。哎，第一种好，两个前面是多少？两个前面是多少？ 两个前面是多少？没有声音。两个前面是十乘四乘二等于多少？八十，待会自己写 好。第二种，两个上面是多少？两个上面十乘六乘二多少？一百二，一百二十。好，两个右面是多少？ 四乘六，四乘六乘二等多少？四十八。通过比大小我会发现四十八小于八十，小于一百二，所以它的面积值和最小增加了四十八平方厘米。能听懂同学举手， 因为这道题其实很明显可以看出来左右两面那个面是最小的，对不对？那有时候模特两可的情况下，最好把这三个都写出来，比大小就可以知道他最少增加了多少。好。