2027张宇1000题基础篇

好，我们看这个题啊，方程组有无穷多解，这是关于方程组解的一个问题，好，不管是啊，其次的还是非其次的啊，这些情况都给它搞清楚了啊，这个题考的是非其次，现方程组有无穷多解的情况， 既然有无穷多解，那么系数矩阵的质就得等于增广矩阵的质，是吧，就得小于 n， n 是 什么呢？就是系数矩阵的一个列数，也是未知数的一个个数，这个题就是一个三，对吧？好， 那这里啊，我给大家说一下啊，系数矩阵，哎，系数矩阵是不是一个方阵呀？如果是方阵，我们可以借助行列式解题，它有好处。首先第一点好处的话，我们行列式从第一章就开始学了，同学们比较熟悉。好第二点的话， 对于好你系数矩阵的参数是吧？带参数的啊，我们用行列式啊，是比较方便的。如果啊借助质的话，有一些题目啊，他参数比较多，你去哎，进行出等行变换是吧？参数在里面哎，乘以多少加多，加到第二行啊，是吧，第一行乘多少，加到第二行，第一行乘多少， 哎，加到第三行，你操作这个参数啊，有时候会计算量会增大，哎，后续我们做这些题，你就慢慢就体会到了啊。好，就是两点，两点好处啊。 好，那你看，对于这样的啊，非奇线发生组，他可能，嗯说的是有无穷多解，有可能说的是有唯一解吗？那这个题就是有无穷多解，那么既然有无穷多解的话，我们就知道了它这种情况是吧？好，那 既然这个 a 矩阵的一个质是小于三的，对，这个题是吧？小于三，也就是说你是一个降质矩阵，对应的行列式，那肯定就是等于零的， 对不对？那这里我们要提醒大家，好，你算完之后记得验证 a。 为什么要验证 a 呢？也就是说通常我们会求出来两个，两个答案，一般是啊，好要舍去一个答案，为什么要验证呢？ 因为行列是等于零，你是推不出来，你看这是一个啊，这个叉嘛，推不出来有无穷多解，因为它有可能是无解的情况，你看， 哎，行列式完全可能是等于零呀，是不是系数行列式完全可以是等于零的？他有可能不等于增广矩阵，比如说这个题啊，这个系数矩阵的值完全可能等于个一好，那么增广矩阵的值等于二 好，仍然这个系数矩阵的质。系数矩阵，它对应的行列式是不是等于零的呀？好，这个时候就是无解的情况啊，你不能够说行列式等于零，能推出来有无穷多解，而我们可以说有无穷多解，一定可以推出来行列式，系数行列式一定是等于零的。所以我们最后算完之后啊，一定要去验证 a， 因为你是通过 这个，嗯，用这个行列式去解题吗？是吧？你是用行列式等于零去解出来的， a 并不一定能推出来，有无穷多解吗？你再去验证一下吗？好，那如果题目出的是有唯一减呢？ 那有唯一也不是这种情况吗？好，对，这个题就是一个 n， 就是 一个三，是吧？好，唯一减。你看系数矩阵是一个满置的一个矩阵嘛？满置矩阵啊，对应的行列式，系数行列式不等于零的话， 哎，系数行列是不等于零，这个系数矩阵就是一个满置局针，对不对？你再加上一列嘛，再加上一列就是增广矩阵，它也是，它跟这个系数矩阵的质肯定是相等的，是不是 他他们就想等了啊，这是可以退出来啊，有唯一解的，这个是可以过来的，对，自己琢磨琢磨啊，记一记。好，那我们就从行列式的角度去解题，当然你也可以直接啊操作这个矩阵，可以吧？好，那我们写一下啊，借助行列式带参数的啊，还是比较建议的啊。借助 行列式。好，那待会我们也可以啊，来用一下这个矩阵的一个思想。嗯，这个系数矩阵 a 给它斜过来啊，这是一个小 a 一 一是吧？哎，零，哎，不是零哈，是一小 a， 一， 对不对？好，一一 a， 这就是系数矩阵啊，好，对应的一个行列式啊， 我们去，哎，使得这个行列式等于零，去解一下这个 a， 对 吧？ 这个行列式的话，我们就会发现，哎，你不要太着急，我们算的时候你会发现啊，这是 a 一 一，你看第二行，其实它也是这个元素都是 a 一 嘛，行和相等的，咱们说过吧， 这样的，这样的行列式你得会化解啊。行和相等的，那就是把第二第三行都加到第一行呗，对不对？都加过来啊，第二第三行都往第一行进行加，那不就是 a 加上一个二吗？这也是 a 加上一个二， a 加上一个二，对吧？第二第三行就不动啊， 行和相等的啊，好，我们就可以把第一行啊这个 a 加二给它提出来了，是吧？提出来就变成一一一了嘛，一 a 一， 好，一一 a， 这怎么回事？好，那我们现在可以以第一行为基础，是吧？请操作第二第三行。 好，第一行的负一倍加到第二行，第一行的负一倍加到第三行， 是这样的吧。好，我们想让啊，这个行列式是等于零的吗？这个行列式是现在可以算出来了吧，就是一个 a 加上一个二， a 减一换一个上三角了嘛，平方啊，我们让它等于零啊，让它等于零。好，所以可以得出来， a 是 等于负二，或者呢， a 是 等于一的。 好，一般来说要舍掉一个。你有这个想法啊，那我们就找随便找一个验证，哎，一个舍掉另一个，那就肯定就是就是答案了，你总不能一个都写不出来，是吧，那提出的没意思啊，比如说我们看 a 等于一的时候， 当 a 等于一的时候，为什么说 a 等于一，先去验证它呢？比较好好看出来呀，你看， a 等于一就是 a 矩阵，它就是一个质一矩阵，是不是 a 矩阵是一个至一矩阵啊，这时候啊，你会发现啊，增广矩阵的至呢，它是等于二的。好，你可以把这个啊，把这个，把这一列啊一一二拿过来，或者呢，你这样看啊，他会出现啊，这个矛盾的一个方程组了，你看啊，这个是一一一，这是系数矩阵吧，是吧， 再加上啊，自己列一一负二，哎，你看，你看，前两前两个啊，这个方程，这个方程组不相当于 x 一， 哎，这是 x y 啊， x 加 y 加 z 等于一，是吧，这跟这都是表示的啊，是 x y 加 z 等于一，你看，这出现矛盾的方程了啊， x 加 y 加 z 是 等于负二，是不是？哎，你怎么加完之后又等于一又等于负二呢，这是，哎，矛盾的啊，两个方程组是矛盾的，所以通过这里就可以看出来啊，这个方程组是无解的，当 a 等于一的时候是无解的，或者我们刚刚说了啊，你把正方矩阵啊 给它写出来，然后去看一下增光矩阵的值是等于二的，这就这就不用看了吧，是吧，通过这就比较容易看出来啊，有矛盾的一个方程啊，存在了，所以，哎，这个 a 等于一，舍去啊， 那这个就没有必要再验证了啊，作为一个填空题，肯定要填一个答案的，是不是？你想验证的话，你可以去再验证一下，我就不验证了，验证一下就是 r a 等于 r a 一 八小于三，是不是？好，这借助行列式啊，我们也可以从矩阵的一个角度去出发。 好，就是矩阵，矩阵质的一个角度嘛，矩阵质的一个角度， 这代餐的一个问题啊，好像也是，有时候可能更方便一些啊，不容易出错。只是说啊，矩阵质的一个角度，那就是，哎， r a 等于 r a e 八啊。好，我们就把这个 a e 八拿过来是吧？ a e e， 这个是一，嗯，一 a 一。 好，这是一个一一一 a， 这个负二是吧，你带参数啊，进出等行变换的时候就是乘东西加过来，有，有时候啊，会 计算量变大啊，我们看一看。嗯，这个要想操作的话，这第二行友谊是吧？第三行友谊，那我们有以第二行为基础，可以吧？以第二行为基础，那我们把第二行跟第一行去换换一下可以吧。 e a 第二行跟第一行先换一下啊，或者是 第一第二行换到第一行，第三行呢？换到第二行，第一行换到，哎，第三行咱们反正是要它的质嘛，是吧？所以这个换行没有问题的啊，好，换一换，那我们现在就以第一行为基础去操作一下啊，第二行第一行负一倍加到第二行，这是不是零了呀？ 是不是这样的？负一倍，这就是一个负三，好，现在把这个 a 给它变成零，第一行的负 a 倍加到第三行负 a 倍， 负 a 倍一减 a 了，是吧？负 a 倍一减 a。 好， 你看这，这有这个参数是吧？你必须得认真了啊，我们继续。 那我们这个时候是不是想把它给变成零啊？是不是想把它给变成零的话，我们看一下啊？其实这个时候你眼睛比较尖锐的话，这个时候你可以看出来 a， 哎，等于一的时候是比较特殊的了，是吧？ a 等于一的时候，你可以看出来啊，这一行都是一，哎，这两行都是等于零了，对不对？这两行都等于零了，那么系数矩阵的值，那就是一个一，增广矩阵的值我们可以看出来是一个二，这个时候就是无解的一个情况， 对不对？好，那咱先不说了啊，就当我们没看见，没看见的话我们继续继续化呀，化减呀，把它变成零的话，那就是第二行乘一个多少加到第三行，使得等于零，因为有时候我们可能看不出来是不是这个啊？这个一减 a 方其实是可以化一下吗？啊？ a 一 减 a， 一 加 a 嘛， 对，好，那，那很显然，其实这个时候我们把它给它画成这个样子的话，我们就知道第二行乘以的是负一负 a， 对不对？乘一个它嘛，就像你乘以它的一个相反数啊，再加到这个第三行，不就变成了零吗？这里对不对？所以我们第二行乘以的是它，好，写过来啊，一 a 一， 这是一个一零一减 a， a 减一负三。 好，这是零，这是一个这个上面的啊，是一加 a， 添个括号，再加上下面的一减 a， 我 们看这等于多少了。 这是一加 a， 就是 一个 a 加一嘛，所以这是 a 减 a 的 平方减一嘛，添个符号啊，就是一减 a 方，一减 a 方加个一减去个 a， 就 变成了负， a 方减 a 加上一个二，是吧？ 那我们也可以给它化简一下吧，把符号提出来啊， a 方加加 a 减去一个二，是不是？这可以分解音，是吧？一一得一，一二得二，是负。 哎，是一个负的在这，对呗，所以是 a 减一，乘一个 a 加上一个二，好，前面有个符号，符号可以作用于这里吧。对，写成一减去一个 a， a 加上一个二啊，这个搞清楚了啊，你看，这就有点啊，容易出错的一个意思了。 这是一个一减去一个 a， a 加上一个二，是吧？ a 加上一个二，好，当然了，继续啊，这还有一个负三呢。好，这里啊，也搞一下负三乘。以 我们刚刚说的啊，要乘一个负，一负负一减 a 嘛，也就是 a 加一添个符号，就乘一个它啊，乘一个负的它嘛，再加上底下的一减 a， 好， 这就是三 a 加上一个三加一减 a， 是 不是二 a 加上一个四啊？ 这里啊，二 a 加上一个四，好，现在啊，给它划为这个阶梯形的一个矩阵了，我们就可以讨论了。我们得是使得啊，他俩的一个质是相等得小于 n 吗？是不是？好，这个时候你可以看出来啊，就这里吗，就 a 等于一和 a 等于负二比较特殊，是不是？当 a 等于一的时候， a 等于一，很显然啊，我们已经说过了啊，就是前面的啊，这三个数是等于一了，这些都是等于零的，是不是？那这个时候我们就知道系数矩阵的值是等于一的，对吧？而增广矩阵的值呢， 这，这都是零了啊，但这是一个负三吗？增广矩阵的值，那很显然就是等于二的，对吧？是等于二的啊， 你把数一带啊，这个很好看出来的啊，所以它们两个啊，质是不相等的，所以这种情况啊，是无解的情况啊， 对吧，那我们再看一下 a 等于负二的时候，对不对？你这个角啊，看这个角， a 等于负二的话，那很显然啊， 这块我们可以看出来，有二阶子式是不等于零的，那么 a 矩阵的一个值，西数角的值是等于二的，那增广矩阵的值也是等于二，是吧？你看 a 等于负二，这里啊，这是等于零了呀，这第三行都是等于零了，所以他们两个啊， 质是相等的，并且小于三，所以这个时候就是无穷多解，就是满足题的， a 等于负二就行了，你会发现啊，这个我觉得啊，带参数的啊，进行出等行变化，有时候啊，可能会复杂一点点，还是用行列式可以学一学。好吧，用行列式解题啊，细数几针，如果是方阵的话。好，这个题讲到这了， 好，我们看第二题，三维的列向量组，阿尔法一二三，射线无关， kl 是 非零常数 beta 一 二三给了好 b 矩阵就是 beta 一 二三啊，组成的。其次，限性方程组有非零解的充分必要条件，我们知道。其次， 腺性方程组 u 非零结。哎，它的充分必要条件是啥呀？也就是 b 矩阵它的质是小于这个 n 的 啊，小于它的列数是三吧。 b 矩阵是谁呀？是 beta 一， beta 二， beta 三。好 bet 一 二三是有 alpha 一 二三限性组合的呀，这一类的题我们见过多次了，一定要给它写成两个矩阵相乘 是不是？好，后边这个矩阵怎么去写呢？大家很清楚呀，已经做过多次了，看 alpha 一 二三前面的系数呀。好，这是 k， 这是 l 零，看这个呢，是 l 零 k 是 不是呀？ 拆成两个矩阵相乘之后，我们发现 r f 一 二三题里面有信息啊，现象无关，那么你这个矩阵就是满置矩阵，满置矩阵你肯定满足的是列满置，行也满置，我们这个就用列满置去做题就行了。 好，为什么呀？前面也见过好几次了，这个质点大家还清楚不？好，左成一个列满质的矩阵，又成一个行满质的矩阵，是不改变这个矩阵的质的，我们令他为 c 矩阵。好，你是不是左成了一个列满质的矩阵呀？ 好，那么你 c 矩阵的质就等于你们两个相乘的质。好，那么不就是 c 矩阵的质就等于 b 矩阵的质吗？ 所以 c 矩阵的质就等于 b 矩阵的质是小于三的。好，你小于三好说呀，那么 c 矩阵的行列是你就得等于零呀，就利用它去把 k l 哎这个关系定出来呀。 c 矩阵行列式我们写一下啊， k 零 l l k 零好，零 l k 哎，这是行跟列的和都是相等的是吧？每行啊，和是相等的，我们就可以啊， 把后两行都加到第一行呀，这样的话是可以提共音式的，在第一章已经做过多次了。好， l k 零零 l k。 那 现在是不是可以把 k 加 l 提出来呀？ 好，这都是小的套路是吧，这一类型的行列也是要会解啊，幺幺幺 l k 零。好，零 l k。 现在，哎，进行 出等行变换呀，哎，都清楚啊，都是基础知识了。第一行的负 l 倍加过来。好，这是负 l 零 l k 你 就别动了啊，我们现在按着第一列进行展开就可以解出来了呀。好，记着加号啊，怎么回事？ 第一列啊，进行展开好，他的二阶行列。是，是不是就是这块呀？我们直接写了啊。好，就是 k 乘以 k 减 l 减去一个负 l 平方，那就是加上 l 的 一个平方， 再去化简一下，这是 k 加 l。 好， 后边的话我们看啊，是 k 的 平方减去 k l 加上 l 的 平方，是他吧， 你俩乘完的结果得是个零呀。好，这是一个二次方程，我们可以简单给它配个方呀， k 的 平方减去 kl 加上 l 的 平方，哎，这很配方，也很简单，你用得数算也可以啊。 好，它的平方，这是四分之一 l 的 平方，这就是四分之三 l 的 平方，是吧？那肯定啊，这是大于零的呀，是不是 kl 都是非零的一个常数啊？注意，非零常数，所以你是大于零的，你这一块是大于零的，那你呢，只能等于零呀， 不然你怎么结果是零呢？好，那不就得出来结果了吗？ b 选项呀， k 加 l 等于零是不是？好，那这个题目就讲到这里了。 好，我们看第三题啊， a 是 m 行 n 列的矩阵， b 是 n 行 m 列的矩阵啊，这个让判定的是 m 与 n 的 关系怎么样的时候？好，这个 a 乘以 b 的 行列是 a 乘以 b 这个新的一个矩阵，哎，是不是可逆矩阵？这方阵阻是尤为易理解质， 其实我们关注的是不是就是质的问题啊？哎，如果 a 乘以 b 这个矩阵的一个质是满质的话，那一定就可逆，如果不满质的话，那降质，那行列式就等于零，是吧？哎，这个质的一个问题啊。好，那我们就去哎，关注这个质的问题啊， a 乘以 b 的 质的问题， 这个 a 矩阵呢，它是 m 行 n 列， b 矩阵呢？是 n 行 m 列，你如果看着 m n 不 喜欢，那你可以举具体的例子，是吧？二带一，哎，二带一，你可以举例子啊。好， 关于质的话，同学们要知道啊，矩阵质的话是越乘越小的啊， 什么意思呢？你看两个矩阵一乘的话，好，新的一个矩阵的质就会小于等于，哎， 这个 a 的 质也小于等于 b 的 质，就是你这个矩阵越多啊，你这个质就会越小的意思啊，乘的矩阵越多，质就会越小啊，写一下吧。好吧，这个后续也会经常见到这样的题啊，矩阵越乘，那么质就会越小。 好，这你也可以写小于等于这个 r b 是 不是其实就相当于小于等于他们两个最小的值，是吧？哎，比如说这个值是等于二，这个值是等于三，要小于等于二，要小于等于三，所以小于等于他们两个中最小的啊。那个数 我们看一下啊，这个 a 矩阵，它是 m 行 n 列的吗？是吧，我们看它其实就够了啊， a 矩阵是 m 行 n 列的一个矩阵，那么它的一个质的话，肯定是小于等于行的一个数，也小于等于列的一个数，那其实就是小于等于它们两个最小的，是吧？最小的那一个啊， 这个没问题吧？这也是需要大家记住的，是吧？比如说你是两行三列的啊，这一个 a 矩阵，两行三列的一个矩阵的话，这个质的话，肯定是小于等于二的，对不对？它质肯定是小于等于二的啊，小于它们两个中最小的那个数，没问题吧？ 而我们这个时候其实就可以看选项了啊，你看他俩比大小呢啊，这个当 a 跟 b 选项我们可以看出来 m 是 大于 n 的 嘛，那既然 m 是 大于 n 的 话， m 大 于 n， 那 最小的这个时候是不是 n 呀？对不对？如果看 a 跟 b 选项的话啊，看 a 跟 b 选项的话，好，这个取最小的，取最小的就是一个 n 嘛， 是不是？这个时候我们再去看一下啊，再看一下 a 跟 b 相乘完之后，它这个新的一个矩阵啊，是多少行多少列的，是不是 m 行 m 列的呀？它是一个 m 阶矩阵哦， 新的一个矩阵是 m j 的 一个矩阵，是一个方阵，对吧？好，这一个新的一个矩阵啊，它是方阵的话，那它的质肯定也是同样的啊，小于等于行数，小于等于列数，那就其实就是小于等于 m 嘛，对不对？所以啊，就是小于等于 m 的， 而我们的大前提是 n 就是 小于 m， 所以 就没有等于这个说法了，是不是？所以我们现在可以啊，分析出来这样的一个关系式，你这里啊，当然了，你这里写成它也是一样的，因为 b 的 话，它是 n 乘一个 m， 是 吧？ n 行 m 列的，也是小于等于啊，对吧？它俩中最小的，所以这个就不需要来了啊，这就够用了啊， 看一下这个时候啊，我们这个 a 乘以 b 这个矩阵的一个质，他是，哎，质是小于 m 的 吗？这是 m 阶的一个矩阵。好，质小于 m， 那 肯定我们可以知道这个新的一个矩阵是降质矩阵，对吧？降质 不是智商的智啊，是这个智是吧？他的智不是满的啊，如果满的话，就直接就等于 m 等于 m 的 话，那行列式就等于零。现在不是不是满置矩阵，是降置矩阵呀，是不是降置矩阵，那对应的一个行列式就是等于零，那 a 就 对了呀， 是不是降置矩阵的行列式就是对应的行列式就是等于零的？那你看 b 啊，那 m 大 于 n， 就 就这种情况吗？是不是可逆？可逆啥呀，你是个降置矩阵，那就是不可逆的 满置矩阵，哎，才是可逆的是吧？好，这个就错了呀，那考试其实到这我们就结束了啊，不用再看 cd 了，现在没有考试吗？我们可以分析一下啊， c 选项就是 n 大 于 m 啊， n 大 于 m， 同样还是这这一块啊，我们还要给他写过来啊， 这个，这一串是吧，你注意啊，这个新的一个矩阵是 m 行 m 列的啊，同样它还是小于这个，是吧？哎， 那因为我们现在看的是 c d 啊，你看 c d 的 话，是 n 大 于 m， n 是 大于 m， 那 么取它俩中最小的最小的是不是它呀？是等于 m 了啊， 就等于 m， 那 这个时候我们可以看出来啊，这个新的矩阵的一个质的话，是小于等于 m， 对 不对？以这个矩阵我们可以记为 c 的 话啊，是小于等于 m 的 啊，这个 c 矩阵呢，是 m 接的一个矩阵。好，那我们就知道了啊，你这个 c 矩阵有可能质是满的，是吧？质是满的就等于 m， 也可能是 不满的，就是降至距，这样，是吧？完全可以是小于 m， 也可以等于 m， 所以 它有两种情况，那你这个 d 首先可以看出来是错的，是吧？我们已经说了，这个 c 距针的质是小于等于的吗？你不能直接说小于啊，有可能等于啊，是不是？而你这个 c 说的啊，这一个 a 乘以 b 乘以 x， 这个，嗯，其其其次性方阵组有唯一的零解，你是啥意思啊？有唯一的零解，就是说你说这个 a 乘以 b 是 一个满置矩阵，是吧？它完全有可能是降置矩阵，对不对？所以都不对啊，都不对， 这 c 跟 d 读错了，或者你举例子啊，你可以举例子啊，对，二带一，一带二，举个具体的例子也可以，不过还是啊，同学们要掌握这个质的一个关系啊， 矩阵越乘质越小。好， a 矩阵是 m 行 n 列的，那这个矩阵的质肯定是小于等于它俩行和行数和行的这个个数和列的个数的一个最小值，对吧？好，那这个题就梳理一下，讲到这了。 好，我们看第四题， a 是 n 结方阵， a 星的质是等于一好，阿尔法一二是非其次线圈组成的两个不同结。那么求一下非其次方程组的通结结构。大家都知道好，它就等于其次的通结， 加上非其次的特解。好，非其次的特解题里面已经给了呀，他们两个你随便取一个都可以。好，现在主要研究一下其次通解。好， 那么我们就要看一下基础解析里面有几个现行无关的一个解向量，然后再看一下这个向量都是谁啊？解向量都是谁， 是吧？好，那你研究个数就要立刻想到这样的一个式子，是吧？你出现 a 星星，脑子里立刻把这个啊，三三段话想到。好，你这样 a 星的一个质伴随矩阵的质等于一的话， r a 质就得出来了。 好， r a 的 至 n 减一啊，那就是 n 减一。现在人家都说了啊，非其次，线型方程组是有解的啊，它是两个不同的解，那就是有解的意思，既然有解的话，好，系数矩阵就应该等于增广矩阵。 是这个意思啊，你有解也就推出来你们两个的质相等，并且都等于 n 减一。好，你是小于 n 的， 小于列数，所以就是有无穷多解，对吧？有无穷多解的意思啊， 我们已经刚刚讲了，要研究出来。其次形形方程组基础解析里面有几个解向量。好，那这又用到了这一系列的知识是吧？好，它基础解析中有多少个形形无关的解向量呀？应该是有 n 减 r a 个。 好， r a 是 等于谁呀？是 n 减一呀。好，那你不就是一个吗？我们现在就找一下这一个 解向量，把这一个解向量找到就行了呀。好，我们知道 if 一 和 if 二，他都是非其次的解，那么他们两个相减是不是就是其次的解啊？这个结论大家都清楚了啊。好，你们两个相减就是为 好他的解呀，其次的一个解，这个解也不是等于零吧，哎，是不同的两个解，是吧？好，这就可以了，一个啊，这个，这一个解是谁呢？是他呀， 好，找到就行了，所以我们就可以写出来了， r 法一，减去 r 法二。好，你的 k 倍啊，再加上一个非奇次的特解，加个谁都行。好，我们也可以再整理一下，把 r 法一前面的系数 放到一起，那就是 k 加一倍的 r 法一。好，减去 k 倍的 r 法二，看一下这里有没有结果。有啊，就是 d 选项吧。 好，那这个题呢，考的还是基础知识这一块的，还有这一块的，是吧？哎，考来考去就这点东西啊。好，这个题目就讲到这里了。 好，我们看这个题啊，四个列向量构成了矩阵 a， 好， 解，非奇次性方程组吗？通解 非奇通等于奇通加非奇特，这个非奇特非常容易看出来，你去看 f 一 二三四前面的系数就行了，对不对？因为 a 局证就是 f 一 二三四构成的嘛，你看，我们写一下啊，这 a 局证 f 一 f 二 f 三 f 四 乘以啊。好，我们说非奇字方组的一个特解，直接看系数就行了， f 一 前面的系数是零啊， f 二前面的系数， f 三前面的系数， f 四前面的系数，你看这一乘 零。哎，加上一倍的 f 二，加上零倍的 f 三，加上三倍的 f 四。那肯定是的呀，我就看着你去写了，这个非奇特已经写出来了啊，零一零三了， 现在是不是把奇通找到就行了，奇通怎么去，去做呀？好，我们再回顾一下基础知识啊，其次，线方程组的通解怎么去，哎，写啊，就是我们要把 其次线方程组的一个基础解析找到，基础解析找到之后，基础解析中现行无关的解向量的。哎，现行组合就是通解是吧？就是其次通解吗？ 又转化到，哎，去找其次线方程组的一个基础解析是不为一的啊，找一个就行了。 好，基础解析又是什么呢？记住这句话，好，基础解析就是方程组全部解的极大现行无关组啊，全部解的一个极大现行无关组，同样其他现行无关组也是不唯一的，找一个就可以了。找一个其他现行无关组就是可以作为好这个其次幸运方程组的一个基础解析了。 那基础解析里面有多少个现行无关的解向量呢？有这么多个，所以又回归到去求 a 的 质，是不是 a 的 质有了，那基础解析里面有多少个现行无关的解向量你就知道了。好，比如说一个，比如说两个，那你就开始去求解不就行了吗？是不是求解怎么求啊？解方程组吗？化学平行矩阵开始求吗？好，我们现在啊，把 a 矩阵拿过来就行了， 也就是五。这个不就是 a 矩阵吗？四一二一一负一，负二，零四七二负三。 好，等一下都会画吧，我可以把第二行挪到第一行，看着舒服点吧。把一都挪上去了啊。四一负二，七，好，二负一，四负三， 第一行就按兵不动，第一行的负四倍加到第二行，负四加一，负三，负二，负八，加七，负一，第一行的负二倍加到第三行，这就是零负二，负一，负三，好，四 负四，负五，三负七是吧？你第二行我都可以乘个负一吧，接下来呢，第二行再加到第三行，我给大家先详细点啊，基础阶段， 零三二一，第二行加过来，零六负六。那这我都除一个六呗。除一个六，除一个六。好，我继续，我可以化为最减矩阵，因为待会我们也得去减这个方阵组的嘛，所以尽量化减一些啊。 好，三二一我再给他写过来，你看下怎么去画啊？这一行的负二倍，你看可以加到第二行是吧？第三行的负二倍加到第二行这个位置就等于零了吗？再再画减一点，这个负二倍就是二，二加一就是一个三， 对不对？那这个时候我可以第二行都出一个三吧，不影响解方程组啊。好，你看我这个时候又可以啊，化解第二行的负一倍加到第一行，这就是一个零了。负一倍。好，二减一是一个一了吗？哎，这就比较简化了是吧，这一看就看出来了， a 矩阵的质是等于三的呀。 那基础解析里面有四减三等于一个线圈无关的解向量，那所以我们去解这个奇次项方程组的话啊，哎，找一个解向量就行了，就可以作为其次方程组的一个基础解析。是不是 怎么找呀？我们令这个 x 四等于个一不就行了吗？那 x 三就等于一，是不是 x 二的话呢？就等于负一， x 一 的话呢？负一 这个也很好写出来吧。通解方程组会写吧，你看就是 x 一 加上 x 四是等于零的吗？ x 二加上 x 四是等于零的。 x 三减 x 四是等于零的吗？好， 它有一个自由变量是吧？ x 四我可以定为一，当然你也可以定为负一，这是负一的时候，那这是加个一吗？ x 三， x 三也是一个负一，是吧？好，那你这这是负一的话，这就是一个一了， 这是负一，前面这里也是个一，是不是？他是负一，就是差一个符号的问题吗？你写谁都行啊。好，那他就可以作为 其四线方程组的一个基础解析。好，基础解析有了好 k 倍的，是吧？就是通七通了啊，所以这个通解的话就是 k 倍的，写哪个都行啊，负一负一，一一七通，加上非奇特，非奇特，我们一开始就写完了啊，零一零三。 好，这个 k 呢？会任意乘除。 好，这个也是基础知识吧。好，那这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，我把知识点先拿过来，因为要用到啊。好，我们看 a 是 n 阶方程，大于等于二。哦， 那 a 星呢？是伴随，咱们都知道若对任意的，哎，我任取一个 n 维的列向量，阿尔法都有 a 星乘以阿尔法等于零零向量，是不是？你看这个阿尔法是任意的， 任给一个阿尔法过来啊，我在 n 维空间里面任找一个阿尔法过来，那么这个矩阵跟它相乘完之后，都得是零矩零向量啊。零向量， 那任任意来一个，再来一个，再来一个啊，都得满足它，那是不是说明了这个 a 星就是一个零矩阵呀？ 你是一个零矩阵的话，你不管跟谁相乘，乘完肯定是等于这个零向量的，对不对？那有同学觉得这个字眼还是不好理解的话，我通过咱们的哎这个方程组这一块的一个角度给大家解释一下啊。你看， 对于这个七四线方程组的话，我现在让你去解他，解他的话，你得找技术解析，是不是？技术解析是什么呀？技术解析就是全部解的一个极大限行无关组，对不对？全部解好，全部解的一个极大限行无关组。极大限行无关组又是什么呀？就是说你在他解里面 最多能找到多少个异性无关的这个向量，是不是你最多能找到几个啊？最多能找到几个异性无关的解向量？ 那么这个几个，这个几个啊？这几个形形无关的解向量，哎，就可以作为他的解的一个极大形形无关组，也就是基础解析吧，是不是？那我们去看一下啊，你能够找到最多能找到多少个形形无关的解向量呢？你就找到了好 基础解析了，是不是你就找到一个基础解析了啊？好，那你能最多能找到多少个心无关的解向量？你说是 n 为空间吗？那最多能找到 n 个呀，是不是我最多能够找到 n 个心心无关的解向量？这也是很容易啊，你可以找到的。你比如说啊，第一个解向量我找到就是，就是你 第一个位置是一，剩下的都是零，是吧？这是不是满足？哎，这个这个方程呀，好，我再找一个，就是第二个位置是一个一，剩下的又都是零， 哎，以此以此类推，是不是？我是不是可以找到这个 n 个这个信信无关的结项链？你们这肯定是信信无关的吗？因为你们一差一，一差一是不是都差一个？所以啊，你们这些这有 n 个吗？ 你们这 n 个解向量是现行无关的，那我最多就能找到 n 个吗？因为你是 n 位空间，最多找到 n 个，你是三位空间的话，最多能找到三个现行无关的解向量，那这三个现行无关的解向量就可以作为好这个奇次性方程组的一个技术解析，是不是？而我们知道啊，这有个结论吗？技术解析里面就有这么多个现行无关的解向量呀，有这么多个， 这么多。我们已经说了，我们最多就找到 n 个，这 n 个就可以作为奇数线方程组的一个技术解析了，是吧？也就是说技术解析里面有 n 个，有 n 个，这是我们找到的，而这个结论呢？是 n 减 n 减 r， a 嘛，我们现在 a 星啊，好，这么多个就等于我们找到这个 n 个，你看这个 a 星 的质是不是，哎，就是等于零吗？好，这个哎，可以理解，是吧？通过质点的解解释啊，好，质等于零了，你这个矩阵一定是一个零矩阵啊，只有零矩阵的质才是啊。哎，这个零吗？好，那这个知道了之后， 好，痣等于零吗？那我们立刻能够得到 a 的 痣，是吧？这块啊，也是经常考的啊，所以 a 的 痣是小于 n 减一的，你看这这一系列的知识点就来了啊， a 的 痣一定小于 n 减一，那 a 呢？我们说你是一个 n 阶的一个方阵，那你的痣，哎， 最少是个零吗？是吧？你可能，你也可能是一个零，取证吗？你的质啊，大于等于零，小于 n 减一。好，我们现在看看啊，让让，求什么？这个奇次线方程组的技术解析里面所含的线圈无关的解向量的个数。我们说技术解析里面含有多少个线圈无关的解向量啊？有这么多个吗？是吧？有这么多个， 这么多个。好，我们说这个个数呢？它现在另外一个 k 了吗？好，我们把 r a 搞出来不就行了吗？ r a 就 等于 n 减 k， 为什么把 r a 搞出来呢？ r a 有 这个不等关系啊，你可以用了吧。好，这个 r a 呢，就得小于一个 n， 减一就得大于等于一个零，是吧？你把 k 解出来不就完事了？ 你先看这边吧，我把 k 移到右边呢，就是 k 大 于它，这个负一呢，移到左边，是吧？就是 k 大 于一嘛。好，然后再看这这一半， 这一半的话就是 k 移到左边， k 呢，就是小于等于 n， 是 不是？这很好解的啊？ k 小 于等于 n， 所以 这就是 k 的 一个范围，这就是 k 大 于一小于等于 n。 哎，就可以了， 你考来考去还是这些技术知识啊。什么是技术解析？就一句话，全部解的一个极大性无关组。极大性无关组又是什么？就是你在解向量里面最多能找到多少个线圈无关的解向量。 好，那这几个幸运五万的解向量就可以作为好这个奇次性发生组的一个基础解析，是吧？来来回回的啊。好，把这些知识点梳理清楚，记住啊。好，这个题就讲到这了。 好，我们看第五题，已知非其次，限行方程组有三个限行无关的解。好，既，该方程组的一个系数矩阵是 a， 求 ab 的 值，求方程组的通解，然后求一下其次方程组的通解。好，我们写一下解答过程。第一问， 这里其实有个结论啊，给大家写一下啊。好，我们可以记 b 一 表示的是这一块啊，一个向量对吧？列向量啊，负一负一一。好， 非其次线型方程组，它不是有三个无关的解吗？我们令它的解啊，为 e t 一， e t 二， e t 三。好，那么可塞一等于 e t 一， 减去 e t 二，可塞二等于 e t 一， 减去 e t 三。 为其次线圈组的两个无关的 解。这个啊，以后我们遇到好，非其次有三个无关的解，那么就可以得到非其次三个的解向量啊，两个相减之后形成的两个向量就是其次的方程组的两个无关的解。 也就说我们以后呀，不用去写这个证明，这里可以直接写则易证这两个字就可以了，因为我们有些同学是第一次遇到，是吧，我们就给大家证一下，让大家知道这样的一个结论，以后这种题啊，直接写上易证用就行了好不好？ 好证明一下就用定义呗，我们看啊， a 乘以可赛一就等于 a 乘以一，他一减去一他二好等于零。这个是说明一下。好，你们两个是其次线方程的组的一个解，然后再证明他们是无关的。好， a 倍的 科三一减去啊，一打一减去，一打三等于零。好，现在说了啊，他们两个是其次的解，然后再去证明一下他是其次的 现行无关的解。那么就用定义设，我们存在一组一组数好， k 一 k 二，使得 k 一 克塞一加上 k 二克塞二等于零。成立，证明出来 k 一 等于 k 二等于零即可了。好， 那么我们把克塞一，克塞二给它带进去啊，就是一塔一减去一塔二，加上 k 二倍的一塔一减去一塔三， 这是等于零的。我们把一塔一前面的系数整到一起，不就是 k 一 加上 k 二吗？把一塔二前面的系数整到一起，就是 k 一 啊，减去 k 一， 后面这个是减去 k 二倍的一塔三。好，这是等于零的。 我们知道一塔一二三是线圈无关的呀，所以我们可以得到这里写一下吧。啊， 因为一他啊，一他一，一他二，一他三是无关的，所以这些系数你都得给我等于零，这就是无关的定义啊， k 一 加 k 二等于零吧。好， k 一 等于零， k 二等于零，那你这个 就证明出来了是吧？我们说了啊，用定义就证明出来，它们两个系数都等于零，则可塞一可塞二，是现行无关的呀。 好，写完整一点就是限性无关，写不完整的呢，就是无关。我们还是写严谨一点啊，写成限性无关，包括这些啊，加上限性两个字。好 说了啊，以后不用去证明了，直接写上易证两个字，用这个结论就可以了哟，那么我们就可以得到 a x 等于零，他的 基础解析中至少有两个线圈无关的解了，因为我们都证明出来了呀， 好，至少有两个了。我们知道啊，前面已经多次说了，其次，线圈方程组它的基础解析的一个个数啊，基础解析中线圈无关的解的个数是不是这么多个呀？好，那就是等于 n， 这个题是四呀，好，减去 r a 至少有两个了哟，好，那就是大于等于二。 我们再看一下这个系数矩阵啊，这是一一一一四三五负，一 a 一 三 b。 好，一看就有一个二阶的一个子式，它的一个行列是不等于零，所以那么 a 矩阵的质你得是大于等于二。好，这个我们推出来了，是 a 矩阵的质是小于等于二的，那么又因为 a 矩阵的质又大于等于二，那你怎么办呀？你只能等于二呀，是不是？ 这里也就告诉我们了，如果你这里再写一个可塞三好，另一个还有谁没有写相减的呀？也就是一他二减去一他三好，你们三个向量就是相形相关的了，是不是啊？哎， 因为 a 矩阵的质是等于二呀，所以啊，这个可塞三，可塞三，可塞二，可塞一，它们就是线形相关的了，那么线形无关的，哎，就是两个，你任取两个都可以啊，但它三个放到一起，那就是 现象相关了，千万不要理解为他减他，他减他，他再减他，他们三个是现象无关的呦，只有两个啊，是现象无关的，我们去把增广矩阵啊，给他进行出等行变换。为什么写增广矩阵呢？ 因为第二问啊，让我们求这是非其次限成风，非其次限性方程组的通解啊，所以我们，哎，这个一开始的时候就直接啊全部给他写完了，然后这样的话，第二问可以附用第一问的这个我们写的这个 除等号变换，不用再写一遍了啊，好，给他写一下啊，这是负一负一一， 这个大家都会啊，一一一一，我直接写这个了啊。第一行的负四倍加过来，负四倍加过来，这就是一个负一。 好，这个负四倍加过来，这是一个一负四倍加过来，这是负五。好，负四倍的话是四四减一三， 那么第一行的负 a 倍加过来，负 a 倍加过来，负 a 倍加过来，负 a 倍加过来，继续负 a 倍加过来，那这就是一个 a 加一。 继续啊。好，第一行你别动，幺幺幺幺，按兵不动。好，你是零负一，一负五，三，你也别动。好，现在看一下第二行多少倍加到第三行，把你给整成零呀？ 第二行的一减 a 倍加到第三行，是吧？好，那你就是零了。好，你的一减 a 倍就是他加上一个三减 a， 那 就是四减去二 a。 好， 写一下啊，四减二 a。 好， 这个呢，就是负五负五的一减 a 倍加过来。 好，我们去看一下啊，四 a 加上 b 减五，是吧？好，我们往这里再写一下啊，写不下了，四 a 加上一个 b 减去一个五。好，这个三啊，三的一减 a 倍加过来。 好，这就是三减去三， a 加 a 加一，那就是负的二 a 加上一个四，也就是四减二 a， 那么既然你想 a 的 行列是等于零，我们就可以知道，四减去二 a 是 不是得等于零呀？ 好，再加上四 a 加上 b 减去五也得等于零。好，我们就得出来了啊，这 a 不是 等于二吗？好，八减去五等于三， b 就 等于负三呀。好，第一问就求完了，我们看第二问，求该方程组的通解。我们说了啊，是非其次，线圈方程组的通解 直接。哎，由第一问，我们把增广矩阵再写一下呀，现在 可以把 a b 带进去了，是吧？一一一，一，好，负一零负一，一负五，三，主要第三好吗？你带进去都是零呀。好， 继续给他化简成啊，行最简矩阵。这个目的呢？是因为啊，我们写这个通解的时候非常方便。好看一下啊，第二行不动。 好，第一行跟第二行相加一下，也就是第二行加到第一行啊，因为行最减嘛，这必须得是零啊，这是一个二了，那这是一个负四，这是二。好，现在的话，我们把第二行啊，你这个负一是吧？我们想要的是一啊，所以都乘一个负一， 都乘一个负一， ok 了，这就是行最减矩阵。好，现在就直接可以写他的通解了啊， 所以通解为当写到这的时候，要有立刻把通解写出来的这个本事，这个能力啊，你看一下你有没有没有的话啊，这个讲过之后，下一次碰到就必须要有这个能力了啊，我们直接就可以写出来，你看啊，二负三零零， 好， t 加上 k 一 倍的负二一一零 t 好， 加上 k 二倍的四负五零幺。哎，你怎么写这么快啊？有同学他不知道是吧？不知道，同学啊，这一块专注听一下啊， 我们就从哎最基础的去讲了啊，这个第一行我们是不是可以给它写成，一乘一个 x 一， 加上零乘一个 x 二。哎，你这不是方程组吗？二乘一个 x 三，减去四倍的 x 四，是不是得等于二呀？好，第二行，那就是零乘以 x 一 加上一乘一个 x 二减去 一乘以 x 三，好，加上五乘一个 x 四，是等于负三的。好，你看啊，这边这只有两个方程组，剩下的啊。第三第四行，这个就是属于自由的了，也就是 x 三跟 x 四啊，是自由变量了，我们就是可以取自由变量 都等于零呀，就是作为特解的时候啊，这个 x 三跟 x 四是可以取自由变量的。 哎，我们取最简单的自由变量，那就是等于零啊，你是自由变量，我随便取，我就取最简单的，取零零，不可以吗？可以啊，好，好， 那这样的话你看一下啊， x 一 哎，加上零零，那就是等于一个二了，是吧？好，再看一下第二行，那就是 x 二，哎，就等于负三。好， x 三 x 四是我们取的 两个零，所以这个特解是不是就是这一列的呀？你看二负三，另外两个我们补两个零就可以了，这就是特解，非其次的特解，因为非其次的通解就等于非其次的特解。我们找一个就行了呀，找最简单的呀。啊，这两个去零， 再加上其次的通解，是吧？其次的通解我们就找到啊，其次线圈无关的解啊，进行组合就行了呀，是吧？ 这个时候，哎，我们是解的是其次的问题了，你这就变成零了。解其次的问题啊，解出来两个线圈无关的向量啊，我们线圈组合这个，是啊，这个定义对吧？ 好，你现在 x 三 x 四作为自由变量，你就不能都取零了呀，是吧？你 x 三取一个一， x 四取零，这样组合着呀，或者 x 三取零， x 四取一， 是不是这个得会啊，是不是这很基础的东西啊？你现在，哎，你画的这个阶梯形矩阵很明显啊，这个系数矩阵的值是等于二，所以其次，限性方程组里面，这个解向量就得由 n 减去。 r 个 n 不是 等于四吗？四减去 系数决定的质，我们知道是二呀，已经画出来了，所以你减小量的一个数啊，这得有两个呀，所以你自由向自由变量，我们去取值，就取一零和零一，是吧？好，这样的话， 当是这种情况。好， x 三等于一， x 四等于零的时候，那就是 x 二减去一个，一是等于零的，所以 x 二是等于一。 好，那我们这个的话，就是 x 一 啊， x 三不是等于二啊，等于一吗？好，再就是加上一个二好是等于零的，那么可以推出来 x 一 是等于负二的。好，你看是不是你的一个相反数啊？哎，你的一个相反数是不是负二？一是是二和负一的一个相反数呀？所以我们以后就直接把负二 啊一往这一放，哎，你们两个的相反数往这一写，然后这种情况下啊，自由变量是一和零是吧？是一和零啊， 那么另一种就是零和一，我们相应的，哎，可以解出来， x 一 就是四， x 二就是负五，也就是你的相反数和你的相反数呀，四和负五，哎，把这两个自由变量往这一放，是吧？ 再总结一下，就是非其次方程的特解的话，两个自由啊变量我们令成零，而其次方程组啊，一定要注意这个，我们去求解两个先行无关解的时候，这个自由变量啊，你是两个的话，那么我们就令成一个一零，一个零一的一个形式， 如果只有一个自由变量呢？我们是不是就另那一个自由变量等于一就可以了呀？好，以后啊，大家要有有写通解的这个本事，也就是这个化为行最简之后， 无论是写其次信息方程组通解的形式，还是写非其次信息方程组通解的形式，大家以后都要会了，只要化成行最简，你都得会写了，要写快一点，准确一点。第三问 其次向量方程组的通解哦，这里直接可以利用结论，不用去证明啊，这是可以去直接利用的啊，因为 a t a x 与 a x 啊，它们等于零啊。其次，向量方成为同解的方程组， 考试的时候我们是可以啊，直接直接就说他们是同解方程组，你解你就是解你。我们真题已经考过了啊，可以这样写， 你要真的觉得啊，这个写的写的太少的话，你再去证明一下他们是同解方程组，那就简单的证明一下也可以啊，同解方程组怎么证啊？你的解是你的解，你的解就行了，是不是？那我们也可以啊，给大家再去复习一下这块知识，这块就可写，可不写。好吧， 好，你的解是你的解的话，是很好证的吧。 a x 等于零，你看是不是 这个成立的话，一定能推出来这个成立啊， ax 不 等于零吗？你看 ax 等于零向量，是不是？这个是一个矩阵吧，矩阵乘个零向量，那一定是零向量吗？所以，好，你的解一定是你的解了。那再看一下啊， 这个 a t a x 等于零的话，哎，它那个解为什么可以推出来？为什么可以推出来？ ax 等于零，是不是你的解就是你的解了啊？怎么推呢？ 这个地方我们回顾一个向量的一个知识点，还需要用的啊？好，我设阿尔法。好，这是一个列向量啊，一个列向量的话，我就设为这个，这个 a 一 a 二， a 三。好，那阿尔法这个转制呢？就变成行向量了， a 一 a 二 a 三， 那阿尔法转至乘以阿尔法是不是求内积的意思啊？自己与自己求内积，会不会求啊？那不就是 a 一 方加上 a 二方 加上 a 三方嘛。如果我能说说明出来啊，这个向量自己与自己求内积等于零的话，那么就一定能够推出来。什么？这个向量就是零向量的，你看 这一块等于零的话，这些都是数吗？是不是数的平方加到一起等于零，这些数一定是等于零的呀，对不对？这我一定能推出来啊，这个这些数 a 一 a 二 a 三 就一定等于零啊，那 a 二 a 三不就是我们说的这个 r 向量吗？所以就推出来了 r 这个向量是，哎，等于零向量的，我们现在去证明，你看他就看成个 r 向量吗？就证明这个向量等于零，所以我们只需要去证明好这个向量的转至 跟自己相乘。就是就是，求内积嘛，是不是求内积等于零就能整出来了啊？好，那求内积的话怎么求啊？也就是 转至，哎，乘以它是不是，这就求内积的意思嘛？好，能不能说明出来它呢？说明出来它就说明出来了吗？好，当然可以，你看这是谁呢？你可以写一下啊，这就是 x 转至 a t， 然后 a 乘以 x 等于零，是不是这俩是相等的？这俩是相等的，是吧？那你看从左边能不能推出来这呢？当然可以了， a t a x 等于零向量，是吧？你看这里啊，这是一个零向量。前面这个呢？这是一个行向量， 是吧？这是一个行向量啊，乘一个这个零向量是个列向量。好，等于个零，对不对？这个是实数零了啊，总之这个行向量，哎，乘一个列向量， 零向量是零吗？那乘出来的就是一个零，是吧？这是一个零实数，这边呢，是一个啊，零向量。好，总之从从你就到你了，就到你了，好，就到你了，这不是正反了吗？ 是吧，这个方程组的解就是这个方程组的解，好，我说清楚了没有？说清楚了以后咱们啊，可以直接去写啊，那你也想去写下步骤，就这样去写下就行了。 好，那既然解你就是解你，那这是奇次线方程组通解，哎，通解的话，其实在第二问，你看，在这个地方就求过了，是不是？第二问的话是求非奇通吗？非奇通等于奇通加非奇特，奇通就是我们现在想想要的吗？所以 这个 a t a x 等于零的通解，哎，写一下就行了，为 k e 倍的 加上 k 二倍的好， k 一 k 二啊，为任意常数就行了啊， 我得记一记了啊，知道的意思，好，这个题啊，同学们梳理梳理梳理啊，这这这这一块啊，直接给它记一记。后面我们有时候在这个选择题里面啊，选择题里面会见到啊，可以可以，记一记是不是？好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， a 呢，进行裂分块是不是，哎，都是由列向量构成的，经过若干次出等行变换好，变成了 b， 也是，哎，这裂分块的啊，那么 a 与 b 怎么样？好，就是选它， 那这个同学们先记住。好，待会给大家去解释一下啊，就 a 与 b 呢，对应的任何的部分的列向量， 不管是部分的，还是说所有的链向量，那么他与 a 的 所有的链向量啊，他们都是具有相同的线性相关性的。好，那同理啊，如果 a 经过 若干次出等列变换化为了 b， 那 a 与 b 有 对应的任何的部分的横向量组，好，具有相同的形相关性。我给大家去写一下啊，得记住啊，经过的是出等 行变换好就化为了 b 啊， 那么不改变的是列向量组的向量相关性，是吧？列，列啊，这是，这是行，利用个别的笔吧。 列向量组啊，写明白了呢，向量组的向量相关性， 这个得记住啊，还得知道为什么。同理音，如果这边是一个哎列变化 y 的 b， 那 就不改变的是行向量组的心心相关性。 我先好放在这里，我给大家举个具体的例子啊，去解释，这样看的更清晰一些。先不看它啊，我们就看这一部分。这这这列先不看啊，这列先不看 好，这个看成一个 a 矩阵的话，看一下通过一系列的出等行变换啊，好，先化为他，然后化为他，这最后就是这个 b 矩阵了吗？ 为什么他们的列向量组具有相同的现象相关性呢？好，同学们可以看一下我们出等行变换的一个步骤，比如说从这到这的话怎么操作的呀？ 第一行不动，第一行的负一倍加到第二行这个位置就等于零了，你看它要乘一个负一加过来，它要乘一个负一加过来，它要乘一个负一加过来，对不对？那你看一下我们的一个操作啊，是不是对列进行相同的操作啊？你看对列 进行了相同的操作， 第一行的负一倍加到第二行，也就是说你看这三列啊，这三列的 这些位置。好，现在都给我乘一个负一，往第二上，第二行上面去加，也就是说，你看我们是对第一列，第二列，第三列， 你看，只是说是第一个分量而已，是不是第一个分量啊，好，进行相同的一个操作，你其其他的，你这个操作行为也是也是一样的，都是对列，是不是？你比如说我再再进行一一个这个出等行变换，从这到这的话， 好，那我可以是第二行加到第三行，那第二行的话，那这个位置和这个位置，这个位置的话，这些元素是不是对应的？ 第一列、第二列、第三列的，哎，这个第二个分量呀，对不对？第一、第二、第三列的第二个分量，那不就是对列在进行相同的操作吗？你们啊，哎，进行相同的操作都往第三行上面去加， 所以我们啊，出等行变换是对列进行相同的一个操作，那当然你经过啊，一系列的这些操作，好，那我们的列向量组的这个线形相关性就没有发生变化。 同理就是我们要是经过的是除等列变换，那么就不改变的是横向两组的线形相关性，是不是？好， 那我们去看一下 d 选项啊，他说的是 a x 等于 b 和 b x 等于 b 是 同解方程组，这是错的，我们就拿这个例子了啊，好，这就是 a 矩阵，这就是小 b 啊，这列是小 b， 你 看啊，这个 a x 等于 b， 我 们把增广矩阵写过来的话， 好，是不是这个样子的？就这个啊，通过一系列的啊，这个出等行变换的话，你看啊，这个 a 是 化为 b 了，这个 b 啊，现在它不再是一零一，不再是这个小 b 了，变成它了，是不是它变成 b 一 撇了？ 所以啊，你和你，那就不是同解方程组，那应该怎么去改呢？应该改成 a x 等于零和 b x 等于零是同解方程组， 也就说当这个 b 啊取零的时候是其次，向量组的时候它们是同解的，为什么呀？你看其次的话，我们说这一列都是零嘛，是不是这一列都是零啊？ 你就说你无论进行怎样的出等行变换这些位置啊，这这三个零的位置不可能发生变化呀，对不对？你比如说第一行往第二行行上面去加啊，第一行乘一个二，不管是哪一种操作，行行向量的这个操作都不可能把这个零零零进行变化，是不是最后他还是零零零， 所以啊，哎，这个起子线方程组，对不对？关于这个同解方程组啊，同学们也得这个得勾 深刻的去理解它。我们回顾一下，咱们中学的时候，其实就已经为我们的现代啊进行做了 一定的一个奠定基础了。你看啊，比如说我们中学的时候是不是做过这样的题， x 一 加两倍的 x 二好等于个三吧， x 一 呢啊，五倍的 x 一 吧，加上 六倍的 x 二好等于个二十一吧，那让我们去解 x 一 x 二，你自己想一想，你是怎么去解的呢？ 是不是这这两个式子，哎，加加减减，如果出现再来一个 x 三的话，也是三个式子进行，哎，进行加加减减，那其实我们在进行加加减减的这一个过程，那就是就是这些， 哎，这个系数指数，哎，进行助等号变幻，是不是就化为啊？这个哎，减，对减的，或者是阶梯形的一个矩阵嘛，那你去减这个未知数，不就好减了吗？对不对？你看我们怎么去减吧， 也就是第一行我可以乘个二，乘以三吧，乘以三，这不变成六倍了吗？对不对？我乘一个三，那不就相当于得出了行变换的一种行为吗？乘一个三的话，就三 x 一 加上二三得六， x 二三三得九。好，那接下来呢？我这个第三个式子可以去减第二个式子，对不对？ 也就是可以理解为这个第二个式子的负一倍加到第三个十字上面，你的负一倍的话加过来，这不就这一块就消掉了吗？你的负一倍就是负三，加上一个五，加上一个五就变成了一个二吗？ 对不对？好，你的这个负一倍就是负九，负九加上一个，哎，这个二十一，你看这 x 一 解出来了，是不是？我们就是在往这个这个过程上去操作吗？ 对不对？这个行为就是我们出等行变换的一个行为嘛？给它化简一点这个式子呢？给它搞简单一点，是不是？加加减减乘乘的，那就变成了，哎，这种简单的一个式子。好，我们就可以把 x 一、 x 二、 x 三解出来了嘛，你看我们出等行变换也是来进行一系列操作，这不，这不就是 x 一 吗？ 好， x 一 就是等于个零，是不是？这就是 x 二，它对应的这个方程嘛，就是 x 二加 x 三等于个一，你看你就化就化减了，这就很好给它做出来了，对不对？所以说啊， 这个七次线方程组的话，那一定就是同解的吗？是不是一定是同解方程组？因为你这个行为就是啊，解原本的，解原本的这一个啊，哎，这个方程是不是解你就是去解你，对不对？好懂这意思啊， 非其次的不行啊，非其次的他就不是同节了，你我们进行出等行变换，你这些元素也在同步的进行变换啊，是不，变化完之后他会发生变化，所以这里你那些 b 一 撇才行啊。 有同学搁这扣字眼啊，这个任何的部分的，好，我们已经说了，你经过出等行变换的话，就是不改变列向量组的形相关性。你们原本的啊，这三个 r 向量经过一系列的出等行变换后变成了啊，比特 啊，白色的这个三个列向量，你们这个心影相关性是没有发生变化的，那你部分的也是没有发生变化的吗？是不是你们两个什么样的关系，这边还是什么样的关系，你们三个什么样的关系，这边都是对应上的啊，不管是部分还是全体都是一样的，都是没有改变心影相关性的。 我们要看一下 a 和 c 啊， a 的 话说行向量组有相同的形形相关性是错的，如果题目啊改成进行列变换，那么就不改变行向量组的形形相关性，对不对？你就对应着去记啊，这个出等行变换操作的是列，出等列变换操作的是行，你看还看这个例子就行了， 你比如说看这两横向量经过一系列的触动行变换化为了这两行呢？是不是原本的这两行的向量是现行无关的吧，对不对？现行无关的，这很好看出来吧。好，那你看这两行向量呢，这很显然息息相关了呀，对，有零向量了，跟谁放到一起都是息息相关的， 对吧？好，所以这肯定是错的啊，这个 c 一 在说什么呢？对应的任何的 k j 的 指示 同时为零或者同时不为零，这更是瞎说呀，哪有这回事啊，你还看这个吧， 好，任意的 k j 指示，我找这个二阶指示好，再看对应的这边的这个二阶指示的话，是不是非零的都是一减零。是一个一吗？非零的啊，那这一块呢？哎，这是，这是零，你说同时为零了吗？没有同时为零是吧，也没有说同时不为零。好，这些都是乱说的啊， 知道知道，这两句话啊，深刻去理解一下啊。好，那这个题就讲到这了， a 是 三阶非零矩阵， a 平方等于零非。其次，向量方程组有解，那么向量的个数为多少？那不就是去求的是基础解析里面解的一个个数吗？ 这个结论大家已经很清楚了吧，前面强调多次了啊，其次的方程组基础解析里面有 n 减 r 个啊，解向量，那么非其次的方程组里面基础解析里面有 n 减 r 加一个线圈无关的解向量。好，那这个题考的是非其次， 所以它的个数就应该为 n 减去 r a 好 加上一个是吧，我们重点就是去求 r a 呀， n， 我 们知道呀，三阶非零矩阵，所以你就是三呀，三减去 r a 加上一个一好，也就是四减去 r a 个 好去求 r a 呀，怎么去求啊？你看到，哎，零向量出现了，两个矩阵相乘等于零向量，立刻想到，哪个知识点呀，我们已经做过多次了，很多次了，是不是一定要想到啊，那么就用这个， 它里面啊，含有质的一个相关知识点呀，我们去写一下啊，因为 a 的 平方等于零矩阵，所以 a 的 值加上 a 的 值，是吧，你得小于等于 n， n 是 谁呀？你看啊， n 在 这呢啊，我们是三阶的，那这个 n 就是 三呀，小于等于三，好，那就是二倍的 a 的 值小于等于三，那 a 的 值是不是小于等于一点五呀？ 再加上题里面说的啊， a 是 三阶非零矩阵，那你的质至少得是大于等于一，大于等于一，小于等于一点五，你只能等于一啊，我们不可能取半个吧，是吧，所以啊， a 矩阵的质就是等于一，好，那就求出来了呀。哦，四减去一好等于三，没问题吧。哎，就是两个很基础的知识点来回的。考好这个题目就讲到这里了， 已知向量型方程组有解，哎，又是方程组有解的一个问题是吧，哎，这是非奇次解方程组啊。有解，但它没有说是有唯一解，还是有无穷多解，所以我们只能得到的是 r a 等于 r a e 八，是吧，至于等于 n 还是小于 n， 不 用管啊。哎，能得到这个信息 啊，好，这是 a 矩阵三阶的啊，哎，这是两个列向量则啊，这个是则 好， k 等于多少，那就是用这个信息是吧，我们去做题就行了啊。好，这个能够知道的是 r a 等于个 r a e 八， 对吧？有提议的啊，有提议可以得出来。好，我们就把这个增广矩阵给拿过来啊，进出的好变换吗？使得它们两个的质相等啊，看一下啊，这个 k 是 等于多少的好， a 一 八， a 一 八就是 a 一 矩阵，在添上 再添上一个它，是吧，哎，是它哟， k beta 一 加上一个 beta 二， 这个应该没问题啊， a 句正写过来抄，不能抄错啊。好， 这里也会算吧， k 乘以 beta 一 啊，这都成一个 k 嘛，那就是二 k k 三 k 再加一个 beta 二加个一是吧，加个三减个一嘛，拿过来啊。 k 加三，三 k 减一。好，那接下来就是初等行变换了。认真就行了呀，没什么技术含量的问题啊。二 k 加一， 第一行加到第二行是吧？二负二加一，负一加过来加过来，三 k 加上一个四吧。 再看一下，第一行的负一倍加到第三行啊，这是一个零，这是负二了吧？负一倍啊，一减一是一个零，负一倍负二可以负一加三 k 减一 k 减去一个二，是吧？继续啊，继续。 第一行不用动吧，二 k 加一，第二行第二行的话，我们可以把负一给它换为一，或者不换也行啊。换了吧，就乘一个负一嘛。负三 k 负四，好，或者不换啊，不换了，直接这样啊，不换了， 直接操作啊，再方便一点。那第二行乘一个负二是吧，加到第三行吗？就是乘负二就是二吗？减去一个二，好，这就属于零，这也是零了。这里乘这里还是一个零啊。这是一个 三 k 加四乘一个负二是吧？再加上一个 k 减二，我们看是负六 k 减去一个八吗？加 k 减二就是负五 k 减去一个十，负五 k 减去一个十，好，现在啊，可以看啊，我们的条件， 系数矩阵的一个值得等于增广矩阵的一个值。系数矩阵的值很显然可以看出来是等于二的，是吧？你们可以看出来啊，它是等于二，你增广矩阵的值必须得等于二才满足提议嘛。那你增广矩阵的值等于二的话，这一块必须得等于零，是吧？这一行不得等于零吗？好，这个得等于零啊，因为你们得相等啊， 所以负五 k 减十 k 等于负二， 选个定，这个好像没有什么难度吧？这个做错的，你好好反思一下自己喽。好，那这个题讲到这了。

好，我们看这个题给了 f 一 二三四四个列向量，如果 f 一 二三四与 f 一 二三不不等价，好，求小 a， 那 考的知识点就是向量组等价这一块呗。好，我们复习一下啊， 限量组一与限量组二等价的，哎，四个啊，冲量条件要记住啊，这个是用的最多的，这是它的一个定义啊，两个限量组等价的定义就是两个限量组可以相互进行表示吗？你可以表示我，我也可以表示你，是吧？ 好，这个呢，就是三质相等，一向量组的质等于，二向量组的质等于，哎，他们拼起来的，哎，这个大的一个向量组的一个质啊，为什么说他用的多呢？因为三质相等好操作呀，我们求质啊，这个， 嗯，比较好求，是不是出等行变换给他画画，画画是吧，往后边画成阶梯形矩阵嘛。好，第三第四呢？好，一，如果可以由二向量组轻易表示的话， 那你看他不是这个等价的一个定义，等价定义的话，你这个二向量组也得可以由一向量组先表示，但是如果你加了一个质的一个条件好，那就可以得到啊，一向量组与二向量组等价了，同理音好， 这几个啊，知识点复习好，我们看一下这个系啊，他说的是不等价，哎，我们这一块知识点是等价，那怎么办呢？我们去写一下，我们令为 f 一 二三四 是向量组一，向量组二呢？好， f 一 二三，你先观察一下他们两个向量组的区别，就说这个向量组比他多了一个 f 四嘛。你能不能够直接就看出来这个向量组二可以由向量组一先行表示， 这个能力应该是有的啊，为什么我随便找一个向量 f 一 是不是可以由这些向量进行进行表示啊？等于 f 一 加上零倍的 f 二加上零倍的 f 三加上零倍的 f 四，不就行了吗？同理， f 二等于零乘以 f 一， 一乘以 f 二，零乘以 f 三，零乘以 f 四，是吧？ f 三也是一样的。 这这是零倍的啊，这前面是一倍的，他后边是零倍的，对不对？你这个你这个多一个 f 四，我这个表示的时候，我前面搞一个系数为零不就完事了吗？所以说你可以看出来啊，二向量组的每一个向量都可以由向量组一里面的向量进行表示，我们就给它写成二向量组，可以用一向量组进行表示， 但是题目说的是你们不等价，不等价就是说不能够相互限行表示，你现在啊，二可以由一限行表示了，我们现在根据提议的话，一定能得出来一不可由二限行表示。 你看还是要回归到啊这块知识点吗？等价的话是两个向量组可以相互限行表示，现在呢，是不等价 不等价，我们已经知道了这个信息，二可以由一进行表示，那你如果啊这个一也可以由二进行表示的话，那不就是可以相互进行表示，那不就等价了吗？与提议就矛盾了呀。 所以我们现在根据这个这个两个信息好，就得到了一不可以由二进行表示，然后又能得到什么呢？ 一里面你看有三个向量，都是你们三个呀，而这三个向量一定可以由二向量组进行表示，对不对？ r 一 可以写成二向量组里面的，那我再写一遍，好吧， 好， r 二一定可以有第二个向量组的这个向量进行表示啊，它是零倍的，它是一倍的啊，零倍的。同样 r 三也是一样的，可以写成零倍的。零倍的啊，一倍的， 那我们说了啊，你得满足啊，一向量组不可以由二向量组谐音表示，你一向量组里面有三个向量，都可以由二向量组的向量向量表示了，我们要满足它的话，必须要使得这一个向量不能由这三个向量向量表示了， 你还能使它们三个。你如果还能写成这种 alpha 一 二三形形组合的形式，那就是一也可一里面所有的向量都可以有二里面的向量形表示了，是不是？那就是，哎，等价了呀。所以啊，我们现在就得到了这个 alpha 四，一定不可有 这个二向量。第二个向量组里面的向量形形表示了，不可有 alpha 一 二三形形表示， 是不是？哎，这是一层一层的去分析的嘛。好，只要 a 你 满足好这个这个条件的话，我们就可以把 a 求出来了。是，满足这个条件就是符合提议了，就满足提议了嘛。 那我们说 alpha 四如果可以用 alpha 一 二三弦形表示的话，如果啊，是不是可以写成这个样子？ 这个我们写的是 r 法四，可以由 r 法幺二三形表示的话，是不是就写成这个样子？这是不是就是去解非斜线方阵组啊？哦，这个非斜线方阵组如果有解的话，那就是可以由 r 法幺二三形表示，如果无解， 那不就是不可由阿尔法一二三线表示了吗？就转化为方程组解的问题了，是不是？好，那这块的同学说，我还没学到，没学到的话，那你就把第四章学完之后你再做这个题，我们可以先画个圈圈好不好？好，它的等价命题就是说这个方程组无解， 非奇次性方程组无解，而我们知道方程方程组解的问题的话，哎，就这两块知识点，要知道我们现在是非奇次性方程组啊，那无解就要满足系数矩阵的质，不能等于增广矩阵的质。好，你就使得这个事事情成立，就把这个小 a 就 求出来了啊，我们去看一下啊， 这个系数矩阵的话，我们记为这个 a 矩阵的话啊，那个增广矩阵我们记为 a 一 八，我直接都写过来了，好，系数矩阵的话，就是这个 alpha 一 二三嘛，对不对？ alpha 一， alpha 二， alpha 三，好，这个 alpha 四，就是这个这个小 b 嘛，零二二， a， 好，经过出等行变换化阶梯形矩阵解方程组了啊。一二， a， 好， 零，第一行的负一倍加到第二行负一倍，负一倍，好，这是二，第一行的负二倍加到第三行负二，负四，零负二， 好，这是一个二 a， 那 已经是阶梯形矩阵了，对不对？我们要满足这件事， 这是 a 矩阵啊，不能够等于增广矩阵的质，这两个位置就很关键，对不对？这两个位置啊，等于零和不等于零是影响这个质的一个关系吧，所以我们去讨论一下， a 等于二和这个位置等于零的话，是 a 等于三，我们先看 a 等于二呗， a 等于二的时候，看一下这个增广矩阵画成什么了，这就是一二二， 这是零零三，减二是一了，好，零零六减去四，这是一个二。好，二，二得四。 那我这里都除一个二，这里除一个二，这两行是一样的，第二行的负一倍加到第三行，这就变成零了。零了，这个不用再写那么详细了吧。好，建议学过第四章回来再去啊，看这个流程才能看懂的啊。好，我们去看一下啊。这个系数矩阵的一个值， 这不就是这有一个二结非零指示是吧？那痣的话就是等于二嘛。那增广矩阵的痣呢？增广矩阵的痣也是一样的，因为第三行都是零了，对不对？它就等于增广矩阵的一个痣， 这是，这是什么呀？这是有解啊，是吧？相等的话是有解，那到底是有唯一解还是无穷多解？我们也可以看一下它是小于 这个列的一个数的，是不是好小于未知数的个数，所以它是有无穷多解啊，这个时候就有无穷多解。不满足题，是不是？好，我们继续再去看一下 a 等于三的时候， a 等于三的时候，这个增广矩阵化成什么样了？一二三，零，零三减二是零，这是零，这是零，二三得六了，是吧？ 这个六我给他改，改为一也没有问题吧。好，就这样看就行了。这个系数矩阵的值就是 a 矩阵的值，可以看出来是等于二的吧，增广矩阵的值可以看出来等于三的吧，是不是这里有一个一哦，增广矩阵的值是等于三的？ 好，你看，我们想要的就是它们两个值不相等，这个时候就是方程组是无解的。满足题，选三就是 b 就 行了。那我们也可以再去看一下啊， a， 这是等于二。哎，对，等于三的时候，那既不等于二也不等于三呢。不等于二，并且也不等于三的时候呢？ 不等于二，这个位置就是非零的，这个位置也是非零的。那系数矩阵的值是等于二。那增广矩阵的啊，系数矩阵的值等于三啊，增广矩阵的值也是等于三的，所以它又等于这个未知数的个数，就是 矩阵 a 的 一个列数嘛，所以它就这种情况。这个啊，方程组呢？好，它就是有唯一解。是不是这种情况就是有唯一解嘛，咱们复习一下啊，这块就是一个无解，这块就是有无穷多解， 我们现在要的是五减。好，就是 a 等于三就可以了。好，你看这一款考的啊，哎，向量组等价，还有方程组解的一个问题啊，他们的等价命题你搞搞清楚啊。好，那这个题就讲到这了。 好，我们看这个题，向量组 r 一 二三，我们可以记为向量组一 back， 一 二三呢，我们可以记为向量组二。好， 两个向量组等价，求 a 和 b。 上一个题也是。哎，卡向量组等价的相关值点像给你啊，这具体的向量长什么样了？哎，可操作性，可操作性最强的就是它，是吧，这质的话啊，很好操作嘛，我们去利用三质相等， 哎，就是表示啊，两个向量图等价两至，再来一个。好，这个都会写吧，我们直接把这个大的一个矩阵写过来就行了，对不对？好，直接写过来， 一二负三三零负三九六负十五。好，后边的零一负一三 a 一 一一 b。 好，出等行变换化为阶梯形举这样一三九，第一行站在这里老老实实的别动，第一行的负二倍加到第二行，负六，负十八加六，负 二加一，负一。好，第一行的三倍加到第三行，九减三， 三九二十七减去十五，好，十二，这还是负一三的三倍，九加一，十一乘以三，三加 b， 继续， 我直接第二行加到第三行，我直接操作了。好，这就是零，这就是零，加过来零啊，加过来 a 加四， 这个加过来就是 b 加上二了啊， b 加上一个二三至，必须要满足相等哦。 好，对于一向量组的一个至的话，看一下，这不就是二吗？你等于二了啊，这，这都得相等，都得给我等于二， 都等于二的话，这两个位置就必须等于零。是不是一旦有一个不为零，那这个这个大的这个矩阵的一个质好，就等于三了。矩阵的质就等于这个列向量组的质嘛，也等于横向两组的质啊。好，所以这两个位置都得等于零， a 呢就必须等于负四， b 呢就必须等于负二， 你看，求出来了吧，负四负二选 c 啊，根据三至相等啊，好，向左等降。好，那这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊， alpha 一 二三三个列向量， beta 一 等于 alpha 一， beta 二等于等于它， beta 三等于它。好，如果 beta 一 beta 二， beta 三是 什么呀？正交的向量组的话，好， k 一 k 二 k 三，意思是什么？那这个题呢，在这个地方啊，是考的有点超纲了， 这个题呢，用的诗密特正交化公式。那同学们，如果后面第五第六章没学到的话，你可以先画个圈圈 先放在这。好吧，那就先别做它了啊，等第五章学完之后你就知道了，施密特正交化公式是干嘛的？就是就是让三个信性无关的向量进行正交用的，你看这三个向量是不是信性无关的呀？ 你可以啊，给它看成一个行列式，求一下行列式对不对？你可以按照第三第三列进行展开吗？你会发现行列式是不等于零吗？是不是行列式不等于零，那么这三列啊，就是现行无关的吗？或者你看它的质质等于三，现行无关。 好，现行无关，但是呢，他们不正交，我现在把他们三个进行正交，就用到咱们的施密特正交法。公式你看就是 beta 一 等于 alpha 一， beta 二呢，等于 alpha 二减去好，它乘以 beta beta 一， 那这个 k 一 的话是不是就是 就是你啊，你再看 beta 三， beta 三的话就等于 r 八三减去它二加它好，这一块的话就是题里面给的啊，哎， k 二这个就是 k 三，我们把这块这块这块一求 k k 二 k 三就就出来了啊。好， 你现在看到这个视频我就默认啊你，你现在已经知道有这个公式了，所以我们直接求了啊。好， k 一 等于多少呀？就是 bet 一 与 f 二求内积，同学们知道这小括号是求内积对不对？ bet 一 与 bet 一 好，求内积。 看一下 bet 一， 我们说 bet 一 是等于 f 一 的呀，我现在换回来，然后换回来啊。 f 一 f 一， 我们先看一下分母啊。 f 与 f 一 求内积，那就是一的一个平方加一的平方加零的平方都会求啊，它俩求内积呢，就是对应的元素相乘再相加嘛，一乘以一加上一乘以零。 好的，一起详细点啊，零乘以一，这很好求吧，这不就是一个一吗？这是一个二，是不是？你看这两个就错了吧。再看一下 k 二 这个公式，后面我们是要求同学们要记住的啊，要记住的。这个 k 二的话，你看这个分母的话，还是啊，还是它，而分子的话就变成了这个 alpha 一 与 alpha 三求内积了。好，因为 beta 一 就等于 alpha 一 嘛， 这分母我们我们已经求过了，我直接写过来了啊，它们两个求内积的话， 一乘以负一，哎，加上一乘以零，加上零乘以零，那就是负二分之一吧。负二分之一啊，我看一下，那就选 d 了，选 d， 当然我们也去求一下这个 k 三啊。好， k 三有点区别了，它的分母是 beta 二与 beta 二的一个内积了。 beta 二的话啊，在这呢，我们是需要求一下的，对不对？好，分子的话是 beta 二与 alpha 三的一个内积， 我们在这儿求一下 bet 二啊。 f 二减去 k 一， k 一 是 f 一 乘一个 bet 一， bet 二呢？一零一减去二分之一倍的 bet 一， bet 一 就是 bet 一 嘛，所以给它写成二分之一，二分之一零。 对，减减完了吧。好，他自己与自己求内积的话，二分之一的平方，我直接写了负二分之一的平方，一的平方加到一起，你与你求内积。 好，负的二分之一，这两个都是零了吗？你跟谁相乘都是零，所以就是他了啊。看一下分母，这是四分之二，就是二分之一，加一就是二分之三，负二分之一除以三乘以三分之二，所以是负三分之一。 负三分之一。好，就是他这个啊， pass 掉。好，现在你也可以先去记一记，不想记到第五张再记。好，那这个题就讲到这了。 好，我们看这个向量组，我们给它记为一吧，不可以由这个向量组记为二，情形表示，那么 a 的 取值范围。 好，这个题我觉得啊，放在这里是有点超纲的好，就是同学们啊，可以学完第四章向量方程组之后，好再去做这个题啊，这个更好一些啊， 那有的同学说我已经学过心形方程组了，那就这个题就可以啊，继续听了啊。那当然在最后的时候，我也会利用咱们第三章的一个知识啊，去做这个题， 用第三章的话不是很推荐。所以呢，我讲到后面了，你总归咱们现在知识就那点，咱们学完之后做题的时候，肯定是用到哪一张，咱们就拿拿到哪一张的一个知识点过来，是不是？你想这样的题的话，我们就建议啊，用第四张的心形方程组的一个知识去做啊。 好，我们去讲了啊，先去讲啊，按照方程组做，然后再按照第三张的啊知识点做。好， 那我们先不说两个向量，我们先说一个向量，一个向量可以由哎另外的三个向量性质表示的话，等价命题是什么呀？就是方程组有解，就是方程组有解，就是什么呢？ 就是这个方程组的系数矩阵与增广矩阵相等。好，你就可以利用质相等去做题了，有解就行了，你不用去管唯一解还是无穷多解是不是，你看是吧，我们看一下啊，这个 r 一， 我在在这里写一下啊， 可以有，好 bet， 一 二三，信性表示。 为什么等价命题就是方程组有解呢？就是 a 的 值等于 啊，增广角的值，系数的值等于增广角的值，你看一下谐音表示的话，说明什么呀？也就说这个 f 一 可以写成 x 一 倍的 bet 一， 好，加上 x 二倍的 bet 二，加上 x 三倍的 bet 三，是不是好，这不就是这一个。 哎，方程组有解吗？对不对？你把这一个方程解出来，解出来之后这个 x 不 就取的就是 x 一 x 二 x 三吗？那不就是表示的 r 一 可以由 by 的 一二三进行表示吗？是不是这一句话说的意思就是 非奇次线方正组有解，方正组有解呢？那就等价于好系数矩阵的值与增量矩阵的值相等。那同理好， alpha 一 不可由 beta 一 beta 二、 beta 三限行表示。 那不就是说我这个 f 一 不能写成 a 这种组合的一个形式了？也就是说这个非奇次向量成组无解呀。是不是非奇次向量成组无解？也就是说系数矩阵的质不等于正广矩阵的质，我们就研究质就完事了。好吧，我把这里啊擦掉。 那有同学又问了这个题，不是一个不是一个向量呀，他还有两个向量呢，都也都不能够有好这一组啊。向量向量表示，那这里对应的就是什么呀？哎，矩阵方程了，你看啊， 我们刚刚说的是 f 一 可以由 b 的 一二三向量表示的话，就是这个方程，哎，有解对不对？那我 f 二 不也是可以由 bet 一 二三形形表示吗？我这里记为 a 矩阵的话啊，好，是不是这个方程组也有解啊？继续，我 alpha 三也可以有。好，这三个向量形形表示，我把它看成一个矩阵的话，这个方程是有解的。 那我就可以这样啊，哎，我把 f 一 f 二这里给它写成一个矩阵，给它构成一个矩阵， 因为你解三个啊，方程组，你这个工作量太大，是不是你每次都要去写一下新的一个矩阵和这个正广矩阵，你要去出了行变换要三次，那我干嘛不把他们两个也写到这边呢？那这样的话不就是一个矩阵方程了吗？是不是就是说这个矩阵方程有解了， 是吧？这个矩阵方程有解啥意思呢？好，对于这个方程，你解出来的，我们记为这个 x 一。 好，那解出来之后，你往这一放，是不是好？这个 ax， ax 等于 f 二的话，这个方程解出来之后，我们另外它的一个解是 y 的 话，好吧？另外一解是 y 的 话， 我们把解出来的 y 一、 y 二、 y 三放在这，你这里应该再加一个，还有个 x 三，对不对？你看这个 x 的 话，现在就相当于三个，三个方程的一个解了，第一个方程的解呢？我们就排到第一列，是吧？第一列 好，第二个方程的解，第三个方程的解，不就解三个方程组吗？我们就称为啊，这是。哎，去解去整方程了，就把它并到一起。 所以说这个题的一个等价命题是什么呀？如果是写成可以由的话，也就是说这个矩阵方程好是有解的，是不是？是有解的，那么现在不可以由这一组向量形表示，也就是说这个矩阵方程是无解的，对不对？好，不管有解还是无解，总之呢，就是把这个 治研究研究。是不是那矩阵方程的话，你这一块应该写的是什么呀？应该写的是好系数矩阵的一个质等于这个增广矩阵的话，增广矩阵的话，就是说除了这个系数矩阵，它还有还有三列，是不是 还有三列啊？它不是一列了，我们这个是解的是一个一个方程啊，咱们就用这个 a e 八来表示增广矩阵，那现在的 就正反就能就这样的了，对不对？你得会能够啊，举一反三嘛，好，对不对？你这里再加两个这个向量的话啊，好，等价。问题就是它这是可以有限性表示的话，那不可以有，那就说这个质是不相等的，对不对？好，那我们就去研究质就行了啊， 我们这个矩阵即为 a 矩阵了啊，这个矩阵呢？即为 b 矩阵了。好，我们去看一下它不可以由它星星表示，我们已经分析出来了，它的等价命题是什么呀？好，这个 系数矩阵的值就不能等于增广矩阵的值，是吧？这个 b 就是 这三列吗？好，我们就把它哎求一求就行了。好，这个 a 矩阵， b 矩阵你都拿过来了呗，现在开始出等行变换呀，找质了啊， a 矩阵就是后面的一一二。好，这是二三七， 继续 a 零负 a。 好， 我写个竖线 b 矩阵的话，就是一零负一 a 一 一二一一。好，我们要满足它是不是化成阶梯形矩阵啊？ 这是一二 a， 第一行可以不动啊，第一行可以不动，第一行的负一倍加到第二行，这就是零负一倍加过来三减二是个一，这是负 a， 你 的负一倍。 好，一减 a 负二加一负一，第一行的负二倍加到第三行零负四加七，三负二， a 减 a 负三， a， 好， 你的负二倍负三了啊，一减去二 a 负二乘以负二，负四加一是负三，好，继续啊，继续， 那就可以第二行的负三倍加到第三行呀。一二 a， 好， 一 a 二 零一负 a， 这两行先不动哦，按兵不动。好，这就化为零了。这个负 a 的 负三倍，那就是三 a， 三 a 减三 a， 那 不就是零了吗？ 好，你的负三倍就是三，三减三零，你的负三倍负三好，加上一个三 a， 再加一减去个二 a， 这是 a 减二 负一的负三倍就是三，三减三是一个零了。我们去看一下啊，现在的啊，这个是增广矩阵， 是不是纵光矩阵通过出等行变换就化为这个样子了？我们要满足啊，这个质的关系， a 矩阵的质你可以看出来了不？ a 矩阵的质就是二啊， 是不是我们要看一下 a 矩阵的质啊？ a 的 话，你看左边这个矩阵吗？通过一系列的出等行变换，你看化为这个阶梯形矩阵了，这个阶梯形矩阵的质一看就是一个二嘛。 好，经过初步变换，质是不发生变化的吗？所以 a 角质是等于二，我们看一下啊，现在增广角质是不能等于二的，那不能等于二的话，那就只能等于三。哦， 没有别的可能了，是不是？好，只能等于三，你总不能等于一吧？不可能等于一，是不是至少是一个二啊，而又不能等于二，所以只能等于三，那只能等于三的话，你看一下，那就是这个位置必须不能等于零，是不是这个 不能等于零，也就是说 a 不 能等于二，只有 a 不 等于二的时候才是满足。好，你俩的质是不相等的，你俩的质一旦不相等，我们就说了好等价命题就是这个 矩阵方程是无解的，也就等价于第一个向量组不可以有第二个向量组先行表示，是不是？所以 a 是 不能等于二的 好，你这样写其实也可以，只不过我们啊，现在更习惯就是写成这种区间的一个形式。好，同学们也可以养成习惯啊，不等于二，那就是负无穷到负二并上，二到正无穷。 那如果我们要用这个向量组这张的知识去做的话，好利用的是向量组一，可以由向量组二向量组表示的话，我们能得到的是向量组一的值一定小于等于向量组二的值。 那有同学说，这个题是不可以由啊，你看一向量组好，不可以由二向量组先行表示啊， 那我能不能够根据这个结论结论啊，我就自己啊，自己自己用，举一反三得到了一个这个结论，一向量组的值那就大于呗。 你不是说可以游，就是得到的是小于等于，那我不可以游的话，就是大于，没有这这个结论。关于这一块啊，只有这一个结论需要你知道，那剩下的你就不能乱去写，你不能乱去写。你比如说我给大家，哎，举例子， 一向量组就不可以由，你看，这是一向量组，不可以由二向量组进行表示。那么你看质的关系，一的质是大于二的质的一就表示了向量组一啊，二就表示向量组二， 他的值可能是大于啊，这个这个大于确实是吧，那有可能等于，你看我举的例子啊，大家可以看一下，也可能小于，所以说啊，他是三种，三种情况都有可能发生哦，就这个啊，回来也是一样的，三种情况都有可能发生。好， 小于给大家举的例子可以去看一下啊，也就说一不可以由二限限行表示的话，得到质的关系可能是大于可能等于可能小于，同样反过来不也是一样的吗？是不是？哎，大于等于小于都可以得到，一不可以由二限行表示。那你怎么去做这个题呢？那这个题给的就是 一不可以用二进行表示。那我那有可能他，有可能他有可能他，我用制的话是不是做着太费事了，对吧？你这个甚至你都没法做。大于等于小于都有可能，那你咋做呀？好，那就利用啊，这这个知识点的逆否命题，你去看一下啊。逆否命题是什么呢？好，也就是说 向量组一的质如果大于向量组二的质的话，我能得到什么呀？能得到的是哎他的否定题吗？是吧？一不可有二，哎，先行表示， 我们可以根据根据什么？根据哎这个质的关系得到一个粗略的 a 的 范围，待会我们算一下，你会发现这个粗略的范围就是 a 不 等于二。为什么叫粗略的范围呢？我们刚刚说了好，这个质的关系 大于等于小于都有可能推出来的是一不可以用二心形表示啊。而我们现在能确定的是一向量组的质大于二向量组的质的话，一定能够满足题。是不是一定满足题，因为是它的一个逆否命题吗？一定满足，一不可以用二心形表示。 那那那那这两种情况也有可能满足吧。所以我们把粗略的范围，你看你刨开的是哪一哪些哪些范围，我给找出来。那他刨开的就是这个 a 不 等 a 等于二吗？对不对？ a 等于二的话，那我去验证一下。就是单独验证， 单独验证。哎，到底能不能够先行表示？你现在就已经知道 a 具体取什么了，你就带进去去验证就完事了，是不是？哎，懂这个逻辑关系了没有？你看人家说的是一不可以由二先行表示，一不可以由二先行表示，那么 你，哎，能够得到质的关系，那有三种情况，那没法做题。那我们根据充分条件就是这种质的一个关系的话，一定满足提议嘛？一定满足提议，那另外的两种质的关系，那不就是你粗略的算的这个范围的 刨开的这些是吧？刨开这个范围另外的范围，那就是这些质的关系吧，这些质的关系也可能满足提议啊。 那你只能是验证了，对吧？你只能单独验证了，你去做一下啊，我去做一下。好，我们去看一下。二向量组啊，二向量组的质不就等于这个 a 矩阵的质吗？我们把这块记为 a 矩阵啊， a 矩阵的质就是二向量组的质。 好，这个已经知道了吧？在这呢，已经算过了啊。已经算过了，我就不再去算了啊。等于二，我们现在呢让一向量组 的质，那其实就是这里我们写的 b 嘛，给它写成 b 矩阵啊，它的质必须要。哎，大于这个二啊，大于二，你大于二只能等于三了呀。你这个这个 b 矩阵，你会发现啊，它这里有一个二阶非零指示，是不是这个二阶非零指示吗？它的质是至少等于二， 要么是二，要么三，现在满，现在必须要满足啊，大于二那就只能等于三了是吧？只能等于三才是大于二的嘛。那我们去把它拿出来，让它的值等于三，你算一个粗略的一个范围啊。粗略的范围，这个 b 的 话啊，在哪呢？那不在这吗？通过乘法变换，哎，划到这了，我们给它拿过来啊。 这是一个一 a 二负一，一减 a， 负一，零， a 减二零。好， 初等行变宽，我们继续画嘛，是吧？他没有画成一个阶梯形矩阵，所以拿过来继续。第一行加到第二行，那就是，哎，这就这个一了啊，二减一，好，零， a 减二零，继续吧，一 a 二， 这也不动啊。第二行的二减 a 倍加到第三行，这就变成零了。对，二减 a， 我 们现在要满足。哎， b 的 值必须等于三啊，必须等于三，那就是这个位置不能等于零，那就是我们这里说的是吧。哎，我给大家提前算完了啊，现在给大家把步骤写过来好，也就是 a 不 等于二， a 不 等于二，一定满足题意，但是你算的范围不一定是完整的，是吧？这是粗略的范围啊，不一定是完整的啊。粗略范围 a 等于二。单独验证，到底你们三个能不能够由你们三个先行表示呢？那还是把这个增广矩阵写出来好，经过出等行变换去看呀，化为阶梯形矩阵去看。好，这个时候 a 等于二，你带过来吗？这是二零一负二零零零。 好，一二二负一，一减二，二减二，我们直接还在这上面去化减了啊，同学们看好化以对减矩阵呗。第二行的负二倍，你看加到第一行，这个负二倍加过来，这就变成零了吗？ 好，这个负二倍，它就变成四，四加上一个二，四加二就是一个六，你的负二倍就是二，二加一是个三，你的负二倍就是个二，二加二是一个四，同样这里也是一个四。你去看一下， 这三列的话，它原本的项链不是 f 一 二三吗？这三列呢？它原本的项链就是 bet 一， bet 二， bet 三， 你看他们三个啊，他们他们三个啊，能不能有他们三个心形表示，就是通过一系列的出等号变换看一下。好， 哎，这三个能不能由这三个心形表示就行了，是不是你就看这个对应的位置啊，对，好就行了，就表示能不能了啊。你看一下啊，这个他虽然不是 r 法一，但他原本是 r 法一，所以你就看成 r 法一就行了，看成他不一。不是啊，好，那这个 r 一 到底能不能有这三列心形表示呢？当然有，当然可以啊，你看一看， 第一列乘一个三，加上第二列乘一个，哎，负一嘛，对不对？那再加上第三列乘一个零，这一看就看出来了，因为这里是吧，哎，这不两个一在这放着嘛。好，同样这一列也可以有他们三个星星表示嘛， 也就是第一列的四倍加上这一列的负一倍嘛，是不是这一列的零倍？所以啊，他们三个向量都可以由他们三个，哎，限行表示 虽然是化简后的，但它代表的就是原本的这三个向量，那就是可以由他们三个心形表示的，所以不满足题，所以 a 等于二就舍掉， 是吧？这个时候你才分析的是比较完整的啊，那你这个流程的话就是牵涉到这些逻辑关系，你搞搞不清楚了也很头疼的，所以这样的题建议哎，学完心形方程组有解无解等价命题去做。 哎，就把治这把研究一下就 ok 了啊。好，总结，梳理清楚，这个题就讲到这了。好，三域空间中的两个基， f 一 二三， bet 一 二三，那么由 f 一 二三到 bet 一 二三的过渡矩阵这一部分啊，你要把这些 名词是吧定义给它搞清楚就行了。好，谁到谁。好，这个就是新基了啊， 新机旧机到新机肯定有一个过度矩阵，是吧，那过度己矩阵呢？就成到这个啊，来旧机形成的啊，那我们给它构成一个矩阵嘛。好，这个其实也很好记，对吧？我觉得是很好记的啊，旧机这个组成的一个啊 矩阵，你旧机成一个过度矩阵嘛，是吧，好，就等于这个新的一摆它二摆它三嘛， 这两个矩阵我们可以用字母去表示一下，方便去啊。写这个过程呀，这可以定成一个 a 吧， a 乘以 c 就 等于个 b， 我 们要求的就是这个过渡矩阵 c 嘛，是吧，过渡矩阵 c 啊， c 怎么求啊？哎，这个左乘一个 a 的 逆对不对？ 这不是，这不是变成 c 了吗，还躲成一个 a 的 逆，现在其实就是去求 a 的 逆跟 b 矩阵相乘就行了，是吧。这个 b 矩阵啊，这个 b 矩阵我们可以写一下啊，就是摆的一二三吗？好，写过来啊，一二负一二二负一二负一负一。 好，这个 a 矩阵我们也可以写一下啊，是二百一二三吗？一零一二，一零一一， 是吧？好，现在要把 a 的 逆矩阵求一下。好， b 矩阵已经有了，逆矩阵求完之后跟 b 矩阵一称就行了。那对于 三阶矩阵逆矩阵的一个求法的话啊，我们去看一下啊，有常见的两个方法，形式比较简单。什么是形式比较简单呢？你看一二呀，零比较多呀，这就形式比较简单的，可以采用出等号变换。好，那其实啊，大多数题其实用公式法啊，也是很快的，因为三阶的嘛，三阶的啊，我们去 知道他的一个啊，逆矩阵的一个公式公式法。那肯定要知道公式嘛，是吧，就等于 a 星伴随矩阵除以 a 的 一个行列式，你需要把 a 矩阵的行列式先求出来，好，再倒数一下，这是一个系数好，再乘以 a 星伴随矩阵的一个啊，式子给它记住了啊， 这里面你看这是鱼子式吗？是吧，鱼子式前面啊，加一个，加个正负号就变成代数鱼子式了啊，我给他写成这个鱼子式的一个形式啊，加上正符号，比较好记这几个位置哎，你算鱼鱼子式之后，你看十字架吗？算完鱼子式之后，前面加个符号就行了， 对不对？而这个鱼子式的话，它其实就是一个二阶子式吗？就是个二阶行列式，其实非常好算的，对不对？非常好算的啊，好，我们两个方法也都讲一下啊，都去，都去练一下啊。一、求逆矩阵啊， 求逆矩阵出等行变换，怎么去求呢？好，你注意了啊，就是这是一个 a 矩阵，后边给它加一个单位矩阵，经过出等行变换之后呢，好，左侧哎，给它变为单位矩阵，右侧就是 a 的 逆。好，这个知道啊，得知道 好， a 矩阵拿过来啊，一二一零一，一一零一，这就是乘法变换就行了啊，单位矩阵会写吧，一零零零，一零零零一，是吧，好， 我们的一个目标，同学们得，知道啊，知道把这里给他转化为一个单位矩阵，是吧？好，已经出动行变化了啊，我就一一气呵成，好吧，同学们，认真点啊，好，我们想要变成单位矩阵，其实我们知道单位矩阵长啥样啊，我们，我们写到这里啊， 可以看着来啊。好，那是不是，嗯，先把它变零啊，是不是第一行乘一个负一，哎，加到第三行啊，第一行不用动哎，这里啊，零，第二行也不用动，这，这都是啊，都不要动啊。 第一行乘一个负一，加上加到第三行，我还是写一下，好吧，第一行乘一个负一，加到第三行，哎，加到第三行， 好，这就变成一个零了啊，成一个负一就变成负二，好，成一个负一就是负一，加一就是一个零了啊，同样，这里也是一样。对，同样的操作啊，成个负一加过来，这就是负一了，好，这喊原本的啊，传过来， 对，好，继续啊。我们，你看，这是我们的一个目标啊，接下来是不是要把它给变成一个零啊？好，那就是操作第二行就行了，还是写写下步骤啊， 我们看第二行的话，乘一个二加到第三行就行了，是吧？乘一个二加到第三行啊，那第一行咱别动了啊，一二一， 好，一零零，这个前两行都别动啊，零一零，好，乘一个二加过来了啊，这就是零了。乘一个二再加过来，这就是二了。乘一个二，不管了， 这个二，这是一个二，这还是原本的一，是吧？好，你看啊，第三行非常接近我们想要的了，是吧？第三行我们这里是想要个一嘛，所以先看第三行都除一个一呗。第三行都除一个二啊，第三行除一个二啊，一二 一零零零一，一零一零，除一个二就变成一了，就变成负二分之一就变成一，是吧？ 好，你看第三行已经是我们想要的了吧？好，那第三行操作完之后，我们的一个啊，这个顺序你得知道，先把第三行操作操作成功，然后以第三行为基础，把前两行变成我们想要的啊，变成我们想要的。好，你看，哎，第二行的话，只需要把它变成零就行了，那也就是第三行乘一个负一加到第一行，是吧？ 第三行第三行乘一个负一加到第二行就行了啊，刚开始还是写详细一点啊，这就不变了啊， 好，乘一个负一加过来，这就是一个零了呀，这乘一个负一就是负一，负一加一个一就是一个零了，乘一个负一就是负二分之一，对吧？加过去，好，第一行是暂时不动啊， 一零零。好，那我们看一下第二行也操作成功了，是吧？现在我们去操作啊第一行了，第一行这里我们想要一个 零吗？想要一个零的，就是先是第三行去操作啊，把它变成一个零，那就第三行成一个负一加到第一行，是吧？我们直接操作吧啊，成一个负一加过来，这里就变成零了啊，好，这个，这个先不懂啊，是吧？第三行成一个负一加过来还是他俩啊？好，成一个负一的话，是不是变成一个二分之一了？ 哎，这个不变啊，二分之一加过来那就是二分之三乘一个负一就变成一个负一哎加过来这乘一个负一就变成负二分之一 负二分之一这个我就不写了啊。好，现在的话是不是只剩他没操作了把它变成零。哦那就是以第二行为基础去操作啊他了也就是第二行乘一个负二加到第一行啊你乘一个负二的话是变成负一了负一加上一个二分之三 是不是变成了二分之一了好他乘一个负二哎成不成没啥意思是吧。没有没有意义。好你乘一个负二那变成一一减去一个二分之一就变成二分之一了。好我们现在操作成功了啊成功了左侧就是个单位矩阵右侧这就是 a 的 逆矩阵所以我们就已经哎求出来了啊 所以 a 的 逆矩阵就等于二分之一。负一二分之一零负二分之一 负二分之一一二分之一你看着啊我这边写的步骤很多。是的你自己写的话你就是吧来回的擦来回的擦啊其实也很快啊因为它的数字并不是很难的啊。有有零啊有一是比较一还是比较多的数字比较简单可以用乘法变换 继续反二求逆举正是吧哎求逆举证这都得学会啊都是要会的 好公式法嘛我们是不是得把 a 的 一个行列式来求下。你一定要记住这一块啊你考试的时候可以先把它默写到你的呃草稿纸上啊。好， a 的 一个行列式 一二一一零 a sorry 零一一零一好算一下呗。这也不难算吧第一行不动第二行也不动。 第一行乘一个负一加的第三行啊，这是一个负二，这是一个零了，我们直接按照第一列进行展开，可以吧？零减去零减去一个负二嘛，那就是一个二，所以这个行列式就是等于个二。先放在这里啊， 先放在这里，对不对？先放在这里啊，待会是 a 星前面乘一个二分之一就行了。把 a 星去算一下啊， a 星， 你就把这个表格啊，死死的印在你的脑海里，好哎，于子式会吧，去掉第一行第一列啊，去掉第一行第一列。好的，于子式，哎，一减去零，就是一个一，是吧？好，继续啊， 去掉第二行第一列，第二行第一列于子式是不是一个二呀，对吧？好，你注意了啊，你写个二要填个符号，因为我们要的是代数，于子式，对不对？好， 接下来第三行第一列去掉第三行第一列去掉，那就是二减一，就是一个一，往这一写好，去掉第一行第二列，第一行第二列。好，零减去一，负一，要填一个符号，是个正一，是吧？ 好，继续啊，第二行第二列去掉，那就是一减一，是一个零。好，去掉第三第三行。哎，第二列第三行第二列一去的话是一个一吧。嗯，再填个符号呀，对呗，填个符号啊。好，第一行第三列一去是个零减一，是负一， 好，继续了，是吧？第二行第三列好，零减去二，负二，负二，注意要填个符号变成二。好，第三行第三列去掉，是一吧一啊， 是吧， a 星就求出来了。所以啊，这个 a 的 一个 e 就 等于 a 星除以 a 的 一个行列式， a 的 行列式就是一个二了。 所以啊，在 a 星的一个前面除以个二，那我们把这每一个元素都除以个二就行了，是吧？都除以个二啊，二分之一负一，二分之一，二分之一零负二分之一负二分之一。一个二分之一。跟刚才求的一样的啊， 至于，哎，到底考试时候用哪一个，你平时多训练训练，你看你哪一个掌握的啊，就是速度更快，准确率更高，是吧，其实我觉得有时候公式法就也是很快的啊，你就把这个表格给它记住就行了。 还没求完啊，你别把这个结果写上去了，咱没有求完呢啊，咱们是 a 的 逆，要乘一个 b 矩阵嘛，所以 c 矩阵是 a 的 逆矩阵， a 的 逆矩阵写过来啊，好，乘一个 b 矩阵， 这取证相乘了啊，这就没法说。没，没什么说的啊，你就认真算 b 取证拿过来， 负一负一负一。好，我们求一下啊，第一行第一列二分之一减去一个二减去一个二分之一，是吧？ 这就是一个负二呀。好，继续第二行第一列相乘啊，第二行第一列相乘，我就不换了啊，大家看着啊，就是 第一行啊，第二行第一列吗？二分之一加上一个零，加上一个二分之一，就是一个一，对吧。写到这啊，我们再看第三行跟第一列一乘，负二分之一加二减去二分之一二，二减去一个一嘛，就是一个一。 再看第一行第二列啊，第一行跟第二列一乘啊，是个一减去一个二减去一个二分之一，是不是负二加上一个，哎，负二加上一个二分之一，对吧？负二分之三啊。 继续第二行第二列一乘啊，是一加上零加上二分之一，那就是一个二分之三。 好，第三行第二列一乘啊。嗯，负一加个二，再减去一个二分之一，是吧？那就是这是一个二啊，减去一个二分之三吧，是吧？是一个二分之一啊。 好，继续。第一行第三列一乘啊。第一行第三列一乘是个一加上一个一，再减去二分之一，二减去二分之一是二分之三呀。第二行第三列啊，一加上一个零加上一个二分之一，那就是一个二分之三。 好，第三行第三列相乘啊。负一减一，减去一个二分之一，是吧？负二分之五，对不对？负二分之五啊。 好，这就是结果啊。你这就没有什么技术含量的题，你就必须给算对，是吧？你这要是算错了就很亏啊。好，这个题讲到这了。

好，我们看这个题啊， a 大 于零，在零到 a 区间上方程根的一个个数，我们观察到，这是什么呀？变现积分函数呀，同学们做题的时候你得想到变现积分函数出现的话，一般来说考察你求导公式了，是不是？ 好，那我们是否就可以把左侧直接当成一个函数是吧？哎，我们方程根的问题就转化为函数零点的一个问题，而研究函数的话，就可以求导了呀，是不是？哎，求导不就对应上变现极限函数求导这个值点了，来做一串的啊。思考好，我们就另 就问题啊，转化为函数零点问题，好，另， f x 就是 等于这一块。好， 你这个考试时候就没有必要写那么多是吧，我就给大家讲，就在抄写一遍啊。好，四 a 方减， t 方递梯。求导呀，求导，刚好对应上这个知识点了，我们看一下啊，这个还不能太慌是吧，背记函数有没有 x 呀，没有，没有好办啊，直接就是把 t 换成 x 是吧？好，这边呢，也没有，也没有 x， 所以 也是比较好求的。直接就求导嘛，把上线一带带到 t 的 位置，乘以上线的导都是一是吧，还有一个倒数啊， 好，这一阶导函数很显然大于零吧。哎，怎么显然呢？这不都根号吗？是吧，所以就是大于零的，那大于零的话，我们就知道函数是单增的，也就是函数是一个单调函数， 关于单调函数的话，同学们要知道他通常会这样去考，关于这个函数零点问题的话，一个函数是单调的， 单调啊，也就是单调性，加上零点存在定力，通常这样考。哎，你可以积累一下啊，这些考点零点存在定力，然后就把这个函数的零点就确定了，就是一个零点。你想一下啊，一个函数啊， 他是单调的，一个函数的话，我不管，你单增单减啊，好，假设这个题吧，单增是吧，你要么就一个零点是吧，要么就没有零点，不可能出现别的情况呀。 好在根据零点存在定力。哎，通常啊，我们可以啊，在一个区间上啊，找到一个零点，根据零点存在定力，往左侧的和右侧的点对应的函数值，哎，一个大于零，小于零，那么在区间上一定会存在一个点，使得函数等于零。假设，哎，这个 这个点啊，这个点，就这个题的零八，它其实不是零，是不是好，这个区间上吧，有一个零点，好，那就在这区间上至少有一个零点，再根据单调性呢，是吧？单调性就再次的啊，把你束缚到只有一个零点，确定为只有一个零点了，是不是好，如果你对这个这个考点比较啊熟悉的话， 那其实这个题直接就能选出来了，他肯定就考了这一块了，好几同学不知道，是吧，那我们就在，哎，你想想，单调性出来了，那还给了两个端点，那就得往这块去想了，是吧？刚开始做可能想不到，那就慢慢培养做题的思维啊。好，我们看一下两两两点，两个两端，它的一个函数值的一个情况吗？ f 零 f a f 零，这零跟零对吧？上压线一样的，那肯定就是零了呀，还剩了就是 a 到 x e b， 上根号下四 a 方减 t 方 d t， 我 们说把零要带到这里，是吧？哎，零到带到这里，我是不是可以给它添个符号，把上压线对掉呀？零到 a 呀，因为我们知道 a 是 大于零的嘛，我们把上限改为 大于下限的一个数啊，这样是为什么呀？我们可以知道它是大于零的啊。费基还是大于零？下限小于上限，这个积分肯定大于零。听个符号小于零 是吧？我们再看 fa， fa 的 话，把这带个 a， 这块肯定等于零了是吧？那这就是零到 a， 零到 a 上面这是大于零的下限小于上限，积分就是大于零的吗？是吧，好，写一下吧。 四 a 方减 t 的 平方 t t， 所以 啊，这根据零点存在定律是吧？哎，在零到 a 区间上一定是，哎，存在至少啊，怎么回事？根据零点存在定律我就不写了吧，简单写一下啊，零点存在定律 好，至少有一点是吧？ x 零属于这个零到 a 这个区间上，使得 f x 零是等于零的，对不对？一定啊，在这区间上有一个点，使得函数值是等于零的啊， 好，又根据函数单调性，这两块加到一起，你只能是一个零点，也就是方程只有一个根的意思， 对不对？这是一个考点啊，他这两块加到一起，把这个根，把这个零点确定为一个，对不对？单增，哎，再根据这个曲线，至少有一个单调性只有一个，至少有一个就变成了只有一个了。好吧，好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x 具有二阶导，一阶导大于零， f x 就 单增呗。二阶导小于零， f x 是 一段突胡是吧？ a 一 a 二，看一下啊，两个积分复排导牌， f x 乘以 sign 乘以 cosine 啊， 怎么去想呢？首先这 f x 它是个抽象函数，哎，你能不能够举特例呢？就是我们说的特殊指法是吧，哎，能举出来例子的话，哎，我们用特殊指法能做出来题就行， 哎，咱们说啊，你考试的时候，你别管我用什么方法，我做出来就行，找一个 f x 啊，满足一阶导大于零，二阶导小于零， 我们通常用这个密函数，是不是密函数这个行不行呢？你比如说它不行啊，一阶导是满足大于零的，二阶导又是零了，对不对？你平方呢？ 平方的话，我们定域域并不知道对不对，定域域又不知道，那怎么办，想到指数函数啊，有时候我们会用指数函数作为这个特殊函数啊，你看，哎， e 的 x 行不行呢？ e 的 一阶导确实大于零，二阶导它也大于零了，那怎么办呢？这样多一个符号，多一个符号，你看一阶导的话， 这里会多一个符号，哎，是不是大于零了？二阶导的话，是在一阶导的基础上再求一阶导，哎，小于零是不是，哎，这个函数刚好就满足题一的啊， 那你都有这个函数了，你就带进来呗，再求这个积分就比较容易了吧。 i e 就 等于负，拍到拍就是负的， e 的 负 x 三 x 这个会积分吧。我们说对于 指数函数和这个三角函数相乘的话啊，积分咱们是有这个公式的，希望同学们记下来啊，这是二阶行列式，有同学没学到的话啊，后面会学到啊，这个现代里面他俩相乘减去他俩相等，他俩相乘减去他俩相乘啊。 好，你看这个都是用的这个啊，其实都一样的啊，不管勾三还是三，这个 a 的 话是不是取的负一啊， b 的 话取的是一啊，负一的平方加一的平方是一个二，是吧？二分之一啊，负的二分之一好，这一块啊，是 e 的 负 x， 求导，那负的 e 的 负 x 三，求导， 是不是 e 的 负 x。 好， 这一块的话就是 sine x 相乘，减去它俩相乘。好，那我们是不是可以把这个 e 的 负 x 方提出来啊，或者是把负的 e 的 负 x 方提出来，是不是提出来啊？负的 e 的 负 x 方提出来的话，那就是 sine 加上 cosine， 对呗，好，负拍倒拍算一下啊，这个 p t 又卡了啊，把头像卡出去了，我们就继续啊。这个负负得正啊，有二分之一好，上线一带啊，这个符号已经出去了啊，这是负的一个拍，三拍是零嘛，勾三拍是一个负一吧，好，上线一带就这个结果。 减去下线一带啊，下线一带。注意，这里就是 e 的 负的负拍就是一个拍嘛，好， sign 三一复拍是个零，扣三一复拍就是扣三拍就是个负一，对不对？这下线带入了一个结果啊，负的 e 的 拍，你看啊，这负负的正这里啊，就是 e 的 拍次方减去 e 的 负拍次方，是吧，这不是带那个吗？好， 大于零，我们就可以排出两个选项呗，小于零的就错了啊。好，再去看一下 a 二计算也不难嘛。负拍到拍 f x 是 负的 e 的 负 x 好， 扣三 x d x 好， 同样的一个道理吧，因为这这个这个啊，公式一用负的一个二分之一，这是负号啊，二分之一 好， e 的 负 x。 求导，负的 e 的 负 x cosine 求导，负的 sine x， 这，这个是 e 的 负 x， 这是 cosine x， 它俩相乘，减去它俩相乘啊，它俩相乘，减去它俩相乘，就是加上了啊， 是吧？我们可以把 e 的 负 x 提提出来啊，提出来之后，这是三，前面有一个减去一个 cosine 嘛，负拍到拍好算一下就行了啊。嗯，负二分之一啊，提出来了，上线一带 三一拍，扣三一拍负一啊，减去负一就正一，这上线的结果减减去一个，下线带入啊 e 的 拍吧。好， 然后这里面是三一负拍零啊，减去扣三一，负拍是一个负一，减去负一，那就是正的一，那就是一了，对不对？所以就这样的一个结果啊， e 的 负拍减去一个 e 的 一个拍，是吧，它减它那是小于零的，那添个符号呢？打一个嘛，它俩结果其实是一样的，对不对？是一样的啊，它俩都是大于零的哟，那 a 错了吧，那就选 d 啊，特殊指法，我们是来排除的，那 abc 都排除完了，那不就是选 d 吗？好，我们再去看一下啊。反二 就是我们不用特殊指法，正常去做的话，怎么去把它分析出来呢？好看一下啊，这个 a 一 是什么？负拍到拍上面 f x 乘以三 x d x， 像这样的啊，带周期函数的啊，他前面又成了一个东西的，我们可以画画图啊，可以去画画图，我们后面也会见到这样的题啊，得有这样的一个树形结合的一个思想。好，我们可以画画图哎。嗯，三 x 的 话，在副拍到拍上面咱们都会画吧，副拍到拍啊，到这就行了。这里 好，这是一个复拍好，它乘一个 f x， f x 的 一个图像，我们也是可以大致画出来的吧？单增凸的是吧？单增凸的不大概这个样子吧？好， 你比如说这个样就是在 x 轴上方吧，当然它也可能在 x 轴下方，我们就比如说举一个例子，是吧？就跟这这里一样啊，就比如说它就是一个这种情况，它也满图题，对吧？那我们看一下啊，在零到拍上面的话， 好，你看我们这个每每一个啊，对称对称的一个点。好，乘以的这个函数的一个值的一个情况，你能看出来，好，这边的函数值都比这边大的，对不对？也就说在负拍到零的话啊，我们每一个对应的一个位置的话，对，对应的啊，对应的这个位置，他的函数值 都是这个区间上的，大于这个区间上的，所以说他俩相乘的话，在零到拍这个区间上啊，乘出来的这一块整体来说是比在这个区间上好，他俩相乘出来的那个函数值大的。哎，有这个感觉，不就是我们说的一个权重的一个问题啊？好， 那也就是说他俩相乘在这个区间上的话，那我们函数图像大概就这个样子的了啊，好，他俩相乘在这个区间上，负拍到零这个区间上，那乘出来的啊，那函数的一个就是他俩相乘出来的函数图像，大概嘛？大概啊， 就这样的，就是你的一个啊，这个函数相乘出来的一个结果。这个，这个，这个高度是不是就值啊？这个值就是在图像上不是这个高度吗？就没有这边的高啊，没有这边的高。好，那我们积分的话，积分的话，不就是，哎， 这块的面积，是吧？减去这一块的面积吗？这块面积比如说是五，这块面积比如说是个二，这一看就是五减二，是吧？就等于三大于零的吧，是不是？哎，就这就是说我们这个看图说话，你可以理解为乘了一个权重，在这个区间上乘的权重大一点，在这个区间上乘的权中小一些。 好，如果你实在不理解啊，那我们就是去还原，把它换到一个区间上，这是做这一类题型的啊，两个思想就是要么把它看成权重啊，成一个权重，要么就是分割成两个区间，然后在统一区间。好，我们写一下啊， 分割成两个区间就是负拍到零啊。好，然后零到拍 先化为两个区间，然后再统一到一个区间里，这样就可以比较啊，比较大小了，就是大于零还是小于零的好，你要么把零到拍化成负拍到零，要么把负拍到零化成零到拍。都可以啊，都可以， 只是说我们更习惯啊。哎，化成零到拍，零到拍三是正的吗？看着舒服一点好。负拍到零，怎么化成零到拍呢？做一个负代换就行了呗，是吧， x 等于负梯就行了。 好，当 x 取负拍的时候， x 取负拍， t 呢？就是取拍嘛， x 取零的时候 t 取零啊。啊， f x 这个时候是负 t 啊。三， x 是 负 t， 好， d， x 是 负的底 t， 负的底 t 符号可以作用于上下键。好，就变成领导拍了，对不对？好，统一区间啊，这是这里写一下，先拆分区间，再统一区间，统一到。哎，领导拍上面了啊，好， 这个接下来是加上对不对？零倒拍 f x， 哎，三 x d x， 好， 我们看啊，都是零倒拍了，那你就可以把背接函数整理到一起了嘛， 零倒拍，背接函数呢，你看这个是可以把符号提出来吧。负的 f 负 t， 三 e t， d t。 好，这个我们说积分的话，咱们这个变量的话，用哪一个字母是没关系的，是不是？我这个时候改成 x 没关系吧，完全可以改成 x 了。 我们现在改成 x 是 积分，与哪个字母表示是没有关系的。好，这个 x 可跟这里的啊， x 等于负 t 是 没有关联的。对，没有关联啊，现在仅仅是积分与积分表示用哪个字母，你随便用哪个字母都行吗？是不是？好，这个这个时候啊，我就 把它挪过来就行了呗，是不是？那就是加上 f x 乘以三 x， 那 三 x 就 提出去就行了， 因为你合并一下嘛，你看现在就是 f x 减去 f 负 x 嘛，我这样写啊，看得更清楚一些， 减去 f 负的一个 x 嘛。好，我们说三 x 在 零到拍是正的，因为是正的啊。 f x 与 f x 呢？零到拍上面啊，零到拍上面。这个字变量啊，你现在取的正的嘛，对不对？嗯，负的 x 它就是负的呀，这个零到拍添一个负号，我们那就是负的啊。对，负的 函数，你看单增哦，单增的话，你自变量越大，你正的肯定大于负的嘛。自变量越大，函数值越大，是不是它大减小，大减小，那就是正的呗，大于零哦，好，大于零就是正的，两个正的相乘呢，就是正的呗，大于零的啊，大于零积分。好，那就大于零的，是吧。哎，这就是啊，我们按照这个 区间一个分割，最后在统一区间。统一区间好，背记函数就可以整理到一起了嘛？整理到一起就可以比较大小了，有没有别的方法呢？有啊，这个地方啊，还可以用这个 积分中指定理的一个推广啊，我们也可以叫它积分第一中指定理。积分中指定理的推广啊，就是两个函数相乘的一个积分， 如果其中一个啊，在这个区间上是不变号的啊，那么它俩相乘的一个积分就可以把这个 g x 留在里面。好，这个 f x 提出来，把这个 x 改成一个中值点就行了。好，你看，就这里啊， 我们可以用一下吧，三 x 在 负拍到零，三 x 在 零到拍，它都是不变号的，对不对？在这个区间是横负嘛？在这区间是横正，所以它不变号啊，不变号的话，我们可以把它提出来啊， f 可塞一，好，负拍到零，三 x dx 后面也是一样的呗，把 f 啊提出来就是 f 可塞二啊，好，零到一个拍三 x dx。 我 们知道啊，这个对于 三 x 扣三 x， 一 共的面积是不是等于二啊，对不对？无论哪一共啊，一共的面积是等于二的，他都可以积分出来啊，都可以积分出来，这是一个负二吗？积分他有正负啊。好，这是一个二，对不对？这就算出来了已经啊， 这个二我提出来了啊，那就是 f 可在二，这是一个负二啊，负二对不对？这个符号就放这了啊，负的可在一， 没问题吧啊，这是一个负二嘛，好，它减去它，你看可塞二在哪里？可塞二是在这的嘛，对不对？可塞一在负拍到零之间嘛，负拍到零之间啊，可塞二在零到拍之间， 那它更大，它更小。自变量越大，函数值越大吗？函数是单增的吗？大减小是大于零的对不对？也可以啊。好，接下来我们去看一下这个，这个 a 二啊， r 的 话还还可不可以用这样的一个流程呢？它是不太行了。为什么啊？ q 三的一个图像的话，它没有三 x 在 零到拍上横正，嗯，在负拍到零上是横负的啊，看着，嗯，好做题一些。它不一样啊，这个 q 三 x， 你 看 q 三 x 的 话，我们划一下， 这个是拍，这是二分之拍，是吧？这边啊，这边还有 这是负的一个拍，这是负二分的拍，你看，如果你还划分区间，这个负拍到零上你有正有负，对不对？零到拍上也是有正有负的啊，你就算是你统一区间，你统一到零到拍这个区间，统一到负拍到零这个区间，你这个扣三呀， 你这个扩散有正有负，你就没办法像这样在这里一样啊。是正的，哎，这个乘一下好搞，不太好不好，不太好弄，不太好弄，是不是权重你也不太好弄，是吧？因为这边有正有负的，不太好去啊，判定出来啊。那怎么办呢？好， 我们刚刚分析了那么多啊，你看都是哎，关于这个三元出现的时候是比较好判定的。那你这个 a 二跟 a 一 有没有什么关联呢？有啊，你这个扣三元的话，你凑到后面不就出现三元了吗？是不是你就往它上面去靠拢啊？并且呢，我们凑到后面之后不就是底三元吗？ 你错位分就接下来就是分布积分嘛，是不是分布积分的时候就会出现啊，一阶导呀，对不对？你看一阶导出现的时候，积分出现的时候你也要想到啊，这个分布积分 就是两个想法，一个就是扣三，哎，能不能跟三也往往三个上面靠拢。第二点呢，就是一阶导出现了，你，你得想到分布积分对不对？错位分，分布积分里面就会出现导函数了嘛。好，那我们就是啊，把 a 二 整理一下啊，错误一分，分布积分 f x 三 x 负拍倒拍减去负拍倒拍三 x 好， d f x， 那 就是 f 一 撇，是吧？ d x 好 看一下，这里三一拍零呢，减去负减去三，负拍也是零，这块就是一个零，不用管了啊。好，减去负拍倒拍 好，一阶导乘以三 x d x， 你 看啊，到这的话会做了吧？是不是？你看三 x 乘一个东西， 三 x 乘一个东西，那这个现在分析它的话，就是我们分析 i 一 的一个流程，对不对？好，你看三，我们如果用权重的一个方法的话，现在三 x 啊，乘以 f 一 撇 x， 我 们看一 f 一 撇 x 的 图像大概什么样子的啊？ 二阶导小于零，那一阶导的话是不是单减的呀？哎，一阶导单减的啊，一阶导单减好，也就是说这一块是一个单减的，乘以一个三 x， 那 三 x 我 们说本来是这个黑色的一个图像吗？每一个点啊，你看成的是 这边的函数值是越来越小，是不是这边函数值是比这边大的啊，所以乘出来的话，这一块的一个啊，就这边零到拍上啊，那个图像的话，这这个拱的一个弧度啊，是比这边的要 哎，小的是吧？那这个正的一个面，正面积啊，比如这个二，这个面积的话，就是一个五，对不对？那就是负五加二，那就是一个负三就是负的了，对，这块就是负的，添个符号，那是正 的，是吧，懂这意思吧？就是从这个权重的角度，如果你从权重权重的角度啊，不太理解，还是这个流程啊，这个流程的话，你看就是就是他呗，我们往下面写一下啊，负的 零倒拍，我这个整个流程都一样，我就不写了啊。嗯，负的零倒拍好，那就是 f 一 撇 x 减去一个 f 一 撇负的一个 x， 是 吧？乘一个三 x 好， d x 一 阶导的话，我们所说是单减的啊，单减的， 单减的，这个自变量越大，函数值就越小啊，是不是这个自变量是比这个自变量啊小的嘛，所以你自变量越小，你函数值越大，小减大是个负的对不对？负的啊，负的那三 x 在 零到派是正的，所以一乘是一个负的呀，负的积分就是负的，添个括号对不对？就整的打一零就行了。 当然你用这个我们说的推广的这个积分中指定力也可以，是吧，或者，哎，这个等于负的还是这个这个东西吗？是吧，只不过这里是负的二好，应该是 f， f 一 撇可在二减去 f 一 撇可在一 对面。好，一阶导的话，我们说是单减的啊，一阶导单减，你这个字面越大啊，你越小嘛，是不是函数这边小小减大是负的啊，负的填一个负号，那就是正的，对不对？正的啊， 好，都可以呗。好，总结梳理一下这样的题目啊。好，那这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， f x 为连续函数， t 大 于零，证明好， f x 以 t 为周期，你可以看成一个，这是命题 a， 它的充分必要条件是好， 任给一个常数 a， 这个积分都是为常数，我们记为命题。 b 的 话， 你得先搞清楚充分性，必要性是哪个箭头啊？你注意，这是得 a 的 充分条件是 b 的 话，那么是不是 b 推 a 就是 充分性啊，对不对？我们要正 a 的 充分条件是 b 的 话，注意是得它的充分条件是 b， 那 就是 b 往 a 推就是充分性，是吧？ 那 a 往 b 推就是必要型了啊，你先去正哪个都行证明啊，比如说我们先 a 到 b 吧，都可以啊， a 到 b 呢，就是必要型。搞清楚这个方向问题，这是充分型 好必要性的就是 f x 以 a 为周期，以 a 为周期，那不就是啊，以 t 为周期啊，这是一个周期函数是吧？周期函数啊，周期为 t 好， 在这个前提下，你得能给我推出来什么呢？认给一个 a 好， a 加 t， f x d x， 这个积分是一个常数，是吧？我们的一个大前提呢？是好，它是一个周期函数，是吧？周期函数的话，我们说积分，咱们是记住了啊，这样的一个性质的，对不对？你就可以把它当成一个结论去记就行了。 也就是说，周期函数的话，积分的结果只与这个积分的一个长度有关。你去上线减去个下线，不就积分的长度吗？ a 加 t 减去个 a， 不 就是长度就是一个 t 吗？是不是？那你积分的话啊，这个积分的结果好，就等于零到 t 上面啊。对， f x 积分是吧？它的长度是 t， 它的长度也是一个 t 啊。 所以其实我们心里清楚，你你这一块的一个知识点肯定是知道的吗？对，好他呢，就等于一个他好，他的话，积分肯定就是一个常数吗？其实就是来去证明我们心里很清楚的这件事，对不对？ 周期函数积分结果是与积分的一个长度有关的啊？好，那我们怎么去证明？哎，他跟他相等了，你挣出来他，他不就是一个常数吗？是不是 怎么去正呢？怎么正？当然知道了，你得出来一个，出现一个零，出现一个 t 呗，对不对？你出现一个零，出现一个 t， 那 就把区间进行啊，拆一拆嘛，是不是利用区间的一个可加性 出现一个零，出现一个 t， 那 我就 a 到零呗，对不对？ a 到零，零到 t 呗，那 t 得出现吗？好，然后 t 到 a 加 t， 那 区间的可加性，这些都不用看了是吧？不用看，最终就是 a 到 a 加 t 吧，是吧？好， 这就是 f x， 这也是 f x， 好， 这也是 f x 啊， 那我们要证的其实就是他跟他相等嘛。那其实来我心里得想着啊。哎，他俩削一下不就完事了， 我把你变相代换一下不就行了嘛，是不是我要换成这个？嗯，跟零 a 相关的一个上压线嘛， 那我就令这个 x 减去一个 t， 等一个小 t 就 行了，是不是？你当 x 取 t 的 时候，哎， t 不 就取零了吗？当 x 取 a 加 t 的 时候，那不就是取 a 了吗？是不是？好，这个变量代换一下啊？ 这个怎么说呢？或者我把它单拎出来吧。单拎出来啊，其中你这个 t a 加 t， f x， d x 做个变量代换嘛，我令这个 x 减 t， 就 等一个小 t， 好， 就变成了零到小 a 嘛，是吧？ f x 零 f x 现在变成什么了啊？这个是 t 加上一个 t 嘛， d x 就是 一个 d t。 好， 我们大前提得用一下吗？是不是周期函数啊？周期函数的话， t 加大 t， f t 加大 t 就 等于 f， 小 题嘛，是不是这个前提要用的啊？好，你我们说积分的话，你跟用哪个字母表示没有关系，我再换回 x， 当然可以。是不是？你看这是零到 a， 这是 a 到零，那你俩不就是积分的结果互为相反数吗？是不是就算出来了啊？ 这是一个零到 a， f x， d x 加上好，零到 t， f x， d x， 再加上一个零到 a 是 吧？零到 a 我 们就写成负的 a 到零呗， d x 你 看它俩就消掉了啊， 就等于零到 t， f x， d x 一个区间，一个周期上对 f x 积分，那就是一个常数嘛，是不是必要性就证出来了啊？充分性呢，就是从 b 到 a 啊，从 b 到 a， 也就是认给一个常数 a， a， a 加 t， 这个积分呢，是横为一个常数，我得给证出来 f x 以 t 为周期 挣出来这件事，这个怎么去用一下呢？积分出现的时候，有同学说，我考虑积分中止令，你搞一个中止点，跟后面也没啥关系吧。 那好，同学们观察到啊，这有个常数 c 啊， c 出现的时候，同学们可以考虑啊，求导等于零，有时候啊，就是在证明题里面会用到它啊， 你看很简单的一个知识点，它有时候就是出现在这个证明题里面，常数求导等于零，其实咱咱们都知道是不是？好，你看这个求导等于零啊，我们让它两边，两边对谁求导呢？对 a 求导呀，你看对 a 求导之后，它刚好就是 a 加 t， 减去一个 fa， 好， 再求到等于零，直接就证出来了嘛，对吧？我们认给一个 a， 这个 a 是 可以任取的嘛？ a， 现在你可以看成这一个一个变量嘛，是不是一个变量，其实完全啊，你再给它改为 x， 其实就是它了。好，有同学看不看不清楚啊，我把这里啊，小 f x 的 一个原函数， 我们给他记为大 f x， 这样你看的更清楚一些啊，原函数我可以记为一个大 f x， 好， 你看我们先把它积分出来吧。这原函数啊， a a 加 t， 这就是 a 加 t， 这样你看的更清楚一些了吧。好，后面是个 c 是 吧？你两边 对 a 求导，你注意 a， 现在我们看成个变量啊，对 a 求导，任给一个 a， a 现在看成一个变量啊，对 a 求导的话，大 f 求导，那不就是一个小 f 吗？是不是 外层求导，内层求导就是一个一吗？大 f 求导就是一个小 f 啊。好， c 求导就是个零。好，现在就可以看出来了， a 加上一个 t 就 等于 fa， 你 注意 a 是 任给的吗？ a 是 任给的，就是理解为是一个变量就行了吧，是不是你正出来它跟正出来它是一个效果，一个效果啊，一个意思， 好，其实就挣出来了，充分就挣出来了吗？对不对？必要性也挣出来了。所以啊，就是命题得正就正 b 就 行了啊，我就简单写一下。 好，其实这一块啊，积分，这块一个积分嘛，他求导的话就是 fa 加上一个 t 减去一个 fa 嘛。对，对， a 求导啊，就是它，是不是你看不清楚的话，你就这样去写嘛。对，看不清楚你写个大 f x， 你 就。哎，看清楚了啊， 好，这块就是同学们要把这句话记住的。对，这个题整个其实就是让你记住这个啊，对，周期函数啊，积分的话，至于这个积分那个长度有关吗？好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f s 连续证明他俩相等，你先观察一下啊，这有一个变现积分函数，里面还是一个变现积分函数，是吧？好，同学们不应该陌生了，看一下啊， 第九张，咱们已经做过类似的题了，只不过啊，第九张出现的题目呢，是算啊，具体的啊，积分的一个结果， 他，是啊，哎，一个积分里面又含有一个，哎，变现积分，是吧，这个题呢，其实很类似嘛，总之是有两个积分的，对不对？其中有一个是变现积分， 好，这里呢，它这个外层呢，它是一个定积分，但无所谓，总之它的型号非常相相似，是吧，一个积分里面再套一个积分，好，你的思路就应该往这个上面去想，就是分布积分或者转化为二重积分， 哎，我们做过啊，同类型我们得会啊，出类旁通啊，对吧，你做完一个题之后一定要去思考看看。哎，之前有没有做过类似的呀，是不是它是正名题的，哎，这个是 求具体的值啊，其实呢，思想都是类似的。好，同时我们呢，对于这个题这两个方法之外再补充一个方法，因为它现在证明的啊，是两个，可以有两个函数相等， 那左边我们定为 f， 右边定为 g 的 话，是不是就是证明 f 跟 g 相等呀，是不是就是证明大 f 等于它俩相减等于零呀，是不是？哎，既然证明了一个函数大 f 等于零的话，我们可以这样证啊，就证它的导函数等于零，并且再加一个出式条件等于零就可以了。为什么呀？可以简单看一下啊， 导函数证出来等于零的话，是不是就能够说明了大 f 就是 一个常数啊，因为常数的导数才等于零呀。 好，我们现在再把这个常数定出来，是一个零不就挣出来了吗？再搞一个数字条件。好，哎，比如说我带一个 a， 使得大 f 等于零了，那我就不定出来就 c 等于零了吗？是不是 c 等于零，那就是我挣出来了。大 f x 等于零，我想挣的就是它。 所以说看到变现积分函数这种啊，两边证明相等的，可以构造一个函数，证明导函数等于零，你可以理解为是中指定义的一个推论。好，那我们哎，都写一下。好吧， 那首先呢，还是按照啊这样的一个顺序吧。分布，先给他用分布积分，咱们做一下。好， 肯定是左边啊，是吧，左边分布积分，直接就分布积分了啊，这就是我们的 u d v 对 不对？好，这个这样写吧。啊，等式左边可以这样不？ 等式左边它是等于好开始分布积分 u v 是 吧，这个，这个就是 t 就是 v 了嘛。好，这个零 t f u d u 好， 扩一下啊，上下键再带一下呀，零到 x 是 不是减去零到 x。 好， v d u 对， 它求微分，求导，求导，很简单吧，就是 f t 是吧？哎，好，我们这个化简一下呗，看一下，上线一带的话，就是 x 零到 x f u d u 啊，下线一带是吧，零一带就是零呢。好，再减去一个零到 x t f t d t。 我们注意到啊，这里啊，他用 t 后边证明的。也是啊，这个变量积分变量是个 t， 这个 u 我 们完全可以改成 t， 是 不是？哎，你积分的话，这个用哪个字母无所谓嘛。好，并且你这个 x 也可以挪进来，是吧，因为为了啊，去凑他这个形正的这个形式型号嘛， x 可以 挪过来呀，是吧。积分变量 u， 我 们就换成 t， 没有任何问题吧？没有啊，好，这是 t f t， 这不就已经正出来了吗，是吧，你看一眼，零到 x， 我 们把 f t 往前面一提，因为它的积分的上下线一样嘛，背及函数合并一下 x 减去个 t， d t 是吧，这都等于等式。右边好就正完了啊，写一个正 b 或命题得正就行了。好，分布积分 再看一下。哎，转换为二重积分就得想到交换积分次序这一块啊。二重积分交换积分次序 你看啊，它这里呢，是先对 u 后对 t 积分嘛，你先对 u， 你 能记出来啥吗？记不出来是不是？哎，这也是抽象函数，记不出来。所以啊，我们应该是给它转化为先 t 后 u， 那 么就要把这一个积分区域给它还原出来，是吧。好，还原一下呗， 这是 t 是 吧，它现在是 t 轴和 u 轴了，别搞混了啊， t 的 一个变化的话是零到 x， 这就是零。好，这就是 x 了。 u 的 一个变化是零到 t， 那 u 等于 t， 我 们先画一下， 这是 u 等于 t， 它是 u 要小于 t， 看出来不？ u 小 于 t 大 于零是吧？小于 t 的 话，那就这根线下方还得大于零，那不就是这个区域吗？是吧， t 还得在零到 s 之间，那这个就是它的积分区域了呀，这个很好画出来啊。 好，我们先 t 后 u 的 话，那么你就是把区域给它画成 u 形域，是不是画成 u 形域的话啊，看一下 u 的 一个变化，那就是等式左边。 现在好，你看啊，这个动作表是多少呀？ x 呀，是不是当 t 等于 x 的 时候， u 也等于 x 嘛？好， u 的 一个变化。零到 x 是 吧， 那 t 的 一个变化呢？你，哎，画根线呗，是吧？线内画条线啊，先积后积，这应该是底 t 了是吧，就平行于 t 轴画根线，这是 t 等于 u 吧， 这个是 t 等于 x， 这不就定完上下线了吗？好，这里边呢是 f u， 把 f u 写到这就行了，我们看这是谁啊？零到 x 这里一积分不就是 x 减 u 吗？是不是 x 减 u 记完放前面不就行了吗？ 这直接就挣出来了，你看一下是不是等式右边，他用 t， 我 们现在用的是 u 而已，是吧，再给它换成。 哎， t 变量不就行了吗？是吧？哎， t， 这个是 x 减 t， 它写的什么你也写什么吗？用哪个字母无所谓啊。而这个呢，就是等式 右边结束了，是吧，两个我们已经讲过的思想就写完了。现在啊，因为它不是啊，求一个具体的啊，值了，它是证明两个函数相等，可以从这个角度再扩充一个方法，好，发三。哎，这就直接就发三了。好吧， 我们就令大 f x， 这就是小 f， 哎，这是小 g 是 吧？大 f 就 等于它减，它乘出来大 f 等于零就行了，大 f x 就 等于。好，左边再写一遍是吧， f u d u d t 减去零的 x f t x 减 t 好 d t， 因为我们要去啊，求导，求导的话就是变现积分函数求导了是吧？变现积分函数求导，你这里个整理一下它的一个形式，你特别是这里，是吧，你可以整理成两个部分吗？我们再写一下 第一部分，第一部分不需要怎么整理了吗？ f u d u d t 整理一下这个型号啊， x 的 话，这里可以提出来，零到 x f t d t 加上零到 x t 乘以 f t d t， 是 吧？好，换个笔啊，不然这个有点写的不清楚啊，我们去求导，求导的话看住这里了啊， 这个啊，你有些同学这块啊，变现函数求导看不清楚了，你还是注意我们现在啊， 他先别看这里，你就看这这个积分变量是 t， 我 们这里啊，上上线有个 x， 它属于变现函数，对不对？好，我们现在啊去求导的话是对 x， 求导看一下这个里边。哎，背奇函数，我们说了要检查一下有没有上限的变量，有没有 x， 没有，你会发现这个啊，因为它积分变量是 u， 它的一个，这个上限是一个 t， 对 不对？这个积分完是不是 喊 t 的 呀，函数对不对？这整个这块积分完肯定是喊 t 的， 刚好喊的就是这个积分变量，所以没有任何问题，直接就把 x 带到上限就行了，就这么简单是吧，你就按照我们的一个规则啊，变现积分函数求导的规则啊。好，这个整个是背记函数，把 t 换成 x， 就 这么简单啊， f u d u 就 行了。好，这这一部分就求完导了啊，再减去这一部分，求导这面求导，我们先画一个括号啊，待会就把括号去了。好，乘法求导公式啊， x 求导，后边不求导， x 不 求导，后边这块求导不就是 f x 吗？是吧，好，这个括号就去掉啊，减去它，再减去它， 再加上，哎，这边求到就比较简单了，是吧？这个直接把 x 代替这里边的 t 就 行了。 x f x 是 不是？哎，这个还没去完啊，看这里，这两个就消掉了，这里呢， 他俩是不是长得一样啊？这个 u 用 u 用 t 是 一样的，对不对？他俩消掉了，所以我们就证出来了啊，大 f p x 啊，就等于零的，现在再找一个出式条件。是的，这个啊，你因为你这要写一下原因的啊， 所以啊，这个大 f x 肯定是横等一个长竖的长竖求倒才等于零嘛。现在我们把这个 c 定出来啊，你找一个出条件，你看，哎，我们可以找零，是不是找零呀，也就是我们大 f 在 这呢，看这吧，大 f 在 这呢，你把零一带的话， 好，上下线是不是一样的？上下线是不是一样的？那肯定啊，这个结果就是等于零的。有，因为大 f 零等于零，那你大 f 零等于零，得满足，也得满足这个十字，是不是你零一代的话，好，这个 c 就 求出来了，就是等于零了，所以啊， c 就 等于零，那我们就挣出来了。 大 f x， 是 吧，就等于零，也即是好，他俩相等，我就不写了好不好。哎，这里为什么要想到求导，因为有变现积分函数吗？是不是？哎，给他定成一个大，给他找出来一个辅助函数啊，去求导，这就考察到变现积分函数。求导呀， 是不是因为变现积分函数，求变现积分函数的题目出现的话，你一定要想到他考察的大概率就是求导这块知识点呀，不然他还考察呢，对不对？ 好，梳理一下啊。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， f x g x 连续 x 在 a 到 b， 证明至少存在一点可塞，使得它跟它相等。你先在草稿上啊，划拉几下是吧？划拉划拉可能就出来了，先把中指点啊，这可塞啊，什么 e t 啊，这种见到之后先改成 x， 好 便于分析问题啊。好， g x， 这是 a 到 x， f x d x， 证明他跟他相等。哎，我们是不是就相当于证明他减他等于零，或者他减他等于零啊？哎，你这个分开看，可能有时候啊，看不出来所以然，所以我们要有一个思想，就是挪挪，挪到一起，一起观察。哎，集中到一起去观察，是不是就是后边减去左边或左边减右边，你观察一下啊。好， 所以就证明这个是等于零的呀。好，你，你再看一下啊，我们这个是上限函数，你这个下限我是不是可以改成上限保持一致啊，这也是一个一种思思想吧，是吧，保持一致啊。 x 到 b， 那 你这里是不是得变成加号来？ 好，这个时候你再去，哎，观察一下。主要就是观察啊，你这个眼力劲得有，是吧，你多瞄瞄嘛。好，这有 f， 这跟 f 相关的，你看它求导是不是就是它呀， 对吧，并且基本还是求导呀，而对于他呢，他求导不就是他吗？是不是好一个函数求导？是，哎，跑到这边了，一个函数求导跑到这边了，你自然要想到的就是 两个函数相乘的导数的公式。是不是两个函数相乘的导数公式？不就是一个导一个不导加上一个不导一个导吗？不就是这个这回事吗？我们的辅助函数是不是就来了呀？就是两个函数相乘吗？这两个函数是谁呀？不就是两个变现型函数吗？相乘呀，是不是它乘一个它 对好，这个上面我们要乘的就是大 f 一 撇 x 等于零问题，现在就转化为 对大 f x 求倒等于零的问题了，你看他求倒是不是就是他倒他不倒，加上他不倒他求倒呀，不就是这个东西吗？ 是不是？所以我们，哎，要想去正，他其实就是正啊，大 f 倒还是等于零，倒还是等于零，你自然就要想到多少定律了，是吧？哎，给了两个点，我们把两个点啊带到这个啊大 f 里面，你会发现两个点函数相等，那么自然就在这个区间上 至少存在一个点可赛十的 f 撇可赛等于零，是吧？这不就整出来了吗？等于零，想到多少定律了啊，这个就是简单的在草稿上分析一下，有时候就问题就出来了啊，答案就出来了。好，我们就写一下，简单写一下这个过程啊， 好，证明的话，那我们就是构造辅助函数，是吧？零，大 f x 就 等于好，这个 a 到 x 是 吧？ f x 乘以 b 到 x g x d x。 好，我们看一下两个点的函数值，对吧？你这个还不能着急啊， f a 的 话，这 a 一 乘是吧，上下线一样了，这是零了呀，零跟后边一乘肯定是等于零啊，好， f b 呢？ f b 也是一样的是吧？这边上下线一样，这边是零了，零乘以它，这也是零了，是吧？又因为 fa 等于 f b 等于零，你就可以由是吧罗尔定律， 或者你再说一下，大 f 呢，在 b 间连续开弦隔倒好，有罗尔定律可以啊，有时间的话就是把这些条件写一下。好，那么就是至少存在一点，至少存在一点可塞，使得 使得好，大 f 撇可塞就求倒了呗，是吧，它就求倒， 求导的话啊，求导就是就是这个东西吧，我们再把这个 x 全部换成可塞，对吧？因为它求导就是这个东西，我们把 x 再全部换成可塞吧，好，也就是 g 可塞，是吧？ a 可塞 f， 这个，这是 x 啊， d x 加上 f 可塞 b 到可塞是吧？ g x 好， dx 好， 这就等于零了，这不就是，这不就是它吗？是不是因为我们就这样分析的，现在只是把过程啊，正着去写，逆着推，正着写过程好，则就正出来了啊，再把这个， 再把整个让问你的，让你挣的是啥，你就把这个命题抄过来啊，你不要写成这个就不太不太好吗？是吧，问你啥你就答啥啊，是吧，他跟他就是相等的意思， a 到可算 f x d x 对 不对？就挣完了呀，就用一个罗尔定律构造一个辅助函数，你得能看出来。 好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，证明这两个积分相等，它是趋于无穷的。其实反常积分是吧，并且啊，是正出来啊，这个积分也就是反常积分收敛于四分之根，二拍怎么正呢？ 哎，有些同学好像看到之后是没有思路的，其实我们已经跟大家说过， 就是在第九章的时候已经用过啊，同样的一个思想了，我们说过分母这多项式，分母的次数次方好，远远的大于分子的次方的时候，一般啊，大于等于二，都说是远远大于了啊， 好，倒代换的一个思想。你当时告诉你了，你有没有记下来呢，是吧？平时啊，问一下自己有没有定期的复盘，总结一些题的做题方法。 讲方法是很重要，思考点很重要，是不是这个题也是一样的，你看一下这四次方，分母就是分子就是零次方吗？这是二次方，四大于二是吧？来四大于零，这个就要用到倒代换的思想，哎，对，这就是出类旁通的，你得想到， 想不到，那就我们又讲了一次，请你再次记下来。好吧，倒代换的一个思想。好，我们去写一下。 既然是倒带换的一个思想的话，我们就零 x 等于 t 分 之一，是吧？好，这个 d x 也写一下吧，负的 t 的 平方分之 d t， 这都很熟练，是吧？那对于 左等号左侧的这个积分，这个不习惯写到这啊，写到写到这，它就换成谁的呢？ x 取零， x 取零， t 是 不是取于，因为它是零正，对不对？ t 是 取正无穷啊，正无穷分之一零正呀， 好，当 x 取正无穷的时候，那 t 是 不是就零了呀？零分之一无穷啊，是吧？好，那我们看一下这个被积函数啊， x 的 话，现在就是 t 分 之一四次方呢，那就这样了呗， d x d x 现在就是负的 t 方分之一底 t， 是 吧？好，我就是不喜欢这个下线比上线啊大，是吧，我们就给它调个了，好，调成下线小，上线大，那么就是符号作用于上下线了，是不是现在就换成啊？它 好 e 加上它，这个时候怎么整呢？哎，我肯定是想化简一下嘛，是吧，分子分母都乘一个 t 的 四次方呀。哎，分子分母都乘一个 t 的 四次方化简一下呀，好，分子的话 就变成 t 的 平方了呀，是吧，你这也就是 t 的 四次方加上一底 t 好， 瞄一眼瞄一眼，已经正出来了呀，是不是你用 x 表示的？我用 t 表示的，有啥区别呢？没有区别你就直接把 t 换成 x。 好， x 平四次方加一，一加 x 四方，一样的意思嘛，是不是所以这两个相等就正出来了啊，这一块就正出来了啊。 对，这个是也不能写正 b 吧，还没正完呢，是吧，还得正一下。他们积分的结果是相等的好，这个时候又有同学又要犯难了，这个怎么正出来？这个怎么积分呢，是吧，现在要算积分了吗？正完了怎么算这个积分呢？怎么算？ 好像没有什么思路是吧。好，那你再去盯一盯题目呀，盯一盯题目，题目为什么要给你两个积分相等去让你计算出来他的一个积分，结果为什么要给你两个呀？他想让你用的是合并的一个思想，整体的一个思想。 哎，既然你的积分，你的积分都是他，那你们算完的积分是不是就等于你的积分加上你的积分除一个二呀，是不是合到一起会发现这积分就可以啊，背记函数可以合到一起来。哎，就是这个意思啊，包括我们在后续的啊，这个十四章 二重积分这块你也要想到啊，我们，嗯，关于这个二重积分的时候啊，这个 对称性应用的时候也要用的啊，也通常会用的啊，这个合并那个思想，到时候我们再说。好吧，你现在有个印象，有一点点印象就行了。 好，那我们就知道了啊，我们要正的这个，我们就另这个结果为 i 吧。好吧，你可以在这个答题卡上简单说明一下啊，你这个 i 的 话是不是就是二分之一倍的这两个积分的一个 相加呀，是吧？一比上一加 x 四四方， d x 因为你们积分的结果相等呀。哎，既然相等， 你俩加到一起除以二，不就是你们各自积分的结果吗？是不是？不然你为什么要给我两个相等呢？我肯定要用这个信息嘛。好，一用的话你会发现这可以合并呀，因为上下键都是一样的，我直接合并被积函数了呀。 好，零到正无穷。底下是一加 x 四次方，这就是一加 x 的 一个平方，是吧。好，到这了，这个咱们也画一下啊，关键的点咱们都去圈一下啊，关键的点都圈一下，对吧，这都倒代画是关键的点， 为什么倒带换已经提过了啊，这里好，不会了又，这里还是要积累一些啊，这个做题的一些经验啊。积累需要积累，想不到也是正常的。这个时候啊，需要分子分母都除也 这个 x 的 平方，哎，除以 x 平方，不好想啊，你积累下来。好吧，积累下来这个积分的一些。哎，手法，手段，方法是吧，除以 x 平方，我们看目的是干什么啊？是不是变它了？好，底下除以 x 平方， 这里除以 x 平方是不是它了？好， d x 除以 x 平方的目的就是去凑为分，把分子凑到后边 除以，他的目的是凑微分。哎，这些做题的啊，思想积累，积累，只能说是积累吗？是吧，做一个你积累一个怎么去凑好？为什么又要去凑微分？哎，这就是一串的东西啊， 我们要想凑微分的话，就是谁的导是等于这个紫色的部分呢？好，我们知道 x 平方分之一，谁求导是他呀，不是他吗？他求导不就是 x 平方分之一吗？谁求到等于一啊，不就是 x 吗？好，现在就我们的目的就越来越显眼了，建立他跟他的关系，是不是？我们建立他跟他的关系，他跟他这个很好看出来了已经，是不是已经很好看出来了啊？ 好，你说这两个紫色的部分有什么样的关系？是不是我们把这个凑的微分这一块平方一下跟他就基本上联系到一起了？他平方一下是不是这一块减去个二呀？那你再加一个二不就是等于这个了吗？对不对？好，这个后面啊， x 减去 x 分 之一， 这个二的话，我们是不是可以写成根二的一个平方呀？好，现在会了吧，这就是一个我们常用的一个不定积分率，一个积分率公式，大家记住了吗？这就看这个 t 嘛，是吧， t 的 平方加 a 的 平方分之一啊，积分它的一个公式咱们都背过了，这就没有什么说的了啊，好，直接算了啊，是等于 a 分 之是吧？ a 就是 根二吗？ a 分 之一， ark 摊进的根 a 分 之 x， 这个题就是 x 减 x 分 之一，对不对？这块我不用再去把公式拿过来了吧。好，我默认都会了啊，不会的，你赶紧去查查书了啊。这你不会，那你前面这些就更感觉到有点困难了啊。好， 现在我们积分了啊，二倍的根二分之好，正无穷往这一带啊，这正无穷分之一是吧，极限零了，这就取极限了。现在啊，好，这个零不管了啊，那正无穷除以根二还是正无穷吗？阿克森，正无穷极限是二分之 pi 对 不对？ 好，下限零一带零，我们是零正吧，是吧， x 大 于零吗？是去零正的零，正分之一的话是正无穷呀，千个符号就是负无穷是吧，这个零也不用去看了，所以是 是负无穷是吧，根二也不用管他啊，反正这一块是去负无穷的。阿克泰尼，负无穷是负的二分之拍对不对？减去负的二分之拍，不要忘了啊，是减去负的，这都是取极限了。现在啊， 好，一比上二倍的根二好，二分拍减负。二分拍不就是一个拍吗，是吧，就是一个拍呀，分子分母，我们说根号一般写到分子上啊，这些小的点， 这不就完事了是不是，这不就是整出来了吗？好，这就是啊，写完了啊，你再写一个正 b， 它毕竟啊，也是个证明题吗，对不对？好，你看我们注意注意的点都已经给大家标出来了啊，一个是倒带换的思想， 到这的话，我觉得乘以四次方是很好看出来的。好，这里用到一个整体的，一个思想合并的一个思想。好，到这又需要啊，积累一些做积分的啊，做题的一个想法啊，这个 方法技巧是吧？小技巧啊，好，除以 x 方，然后凑为一分，凑为一分，建立啊，他俩之间那个关系就凑不出来。我们常用的啊，积分的一个，对吧，积分的公式的一个表示了 就就可以积分呀，是不是把一些题目啊，这个串联起来，串联起来，去记一些方法，需要记的啊，一些方法需要记一记，积累一下。好，这个题就讲到这了， 已知函数 f x g x 可导，它导函数大于零，它小于零，那就是 f x 递增， g x 是 递减的， 看着就眼花缭乱的，烦人，是不是？那么这种题啊，我们首先想到特殊执法呀， 法一，特殊执法，哎，你只要选出来答案就行了，你管我怎么做的呢？是不是啊，特殊执法就是排除法的意思， 我们令 f x， 哎，你一阶导大于零，最简单的一个函数 x 吧。好， g x， 你 一阶导小于零，那我就等于负 x 满足提议是不是？好， 那 a 选项，我们看它是 f x 乘以 g x， 那 乘完之后是负 x 平方吧。好， a 选项啊， 负一到零，这就是负 x 平方，对它进行积分是吧，那你积分一下，你看这简单吧，是负三分之一啊。好，我们再看后边这个零到一， 这也是负 x 平方， d x， 哎，这个积分结果也是负三分之一啊，你这好算吧。好，是相等的，那你说大于号不可以啊，我随便举个例子就把你排除了，是吧。好，选啊，不是选啊，看一下 b 选项， 他加绝对值了，加完绝对值，这个被积函数都是 x 平方了，是吧，那你积完的结果肯定也是相等的呀。那零到一，这是 x 平方，哎，他是负一到零，零到一啊，积分的结果都是三分之一了，你可以算一下啊，那你说大于号也不对。好， ab 都排除了 c 选项。好，我们仍然呀，负一到零， f g x。 注意啊， g x 是 不是负 x 呀？现在就是 f 负 x， 那 就是这里换成负 x， 那 最终不是一个负 x 吗？好，这就是负 x d x， 你 这个积分是等于二分之一的，我们看后边这个零到一，那这是一样的，都是负 x。 好，加个括号啊，好看一点，严谨一点啊。不是好看啊，是严谨，你这个积分，这积分都不给大家算了啊，直接负二分之一啊，很简单是吧？ 互为相反吗？负一到零，零到一。好，那这不是一个大于号吗？哎，暂时我们举了一个特例，他是正确的，但是他不一定其他的都对，那暂时是对的，是不是我们看 d 选项，你 d 选项排除的话，那你就选 c 了呀。 好，负一到零 f x， 这不就是 x 吗？好， f x， 它就等于 x 呀。好，现在就是 x， 我 们 d x， 这个是负二分之一吧。好，看一下，后边这个零到一 g g x 是 不是负 x 呀？ g 的 负 x， 那 就是负的负 x， 是 不是 x 呀？哎，这个你得会呀。 d x， 嗯，这是二分之一。好，你说大于号，小于号呀，所以错了，是吧？ a b d 都错了，那我只能选 c 了呀。哎，这个方法还是不错的，是吧，一定要学会这个排除法啊。那法二我们主要就是证明这个 c 选项， 主要先看 c 选项啊，剩下的我们一会也看一下。我们令大 g x 等于，你看啊，它背间函数是不是这个样子呀？复合的啊， 好，这个复合的，我们去看一下这个 g x， 它的一个单调性啊，负函数求导，大家都会吧。好，我们写一下啊，外层求导，然后内层求导。 好，我们看啊， f x 大 于零，哎， g x 是 小于零的，所以一个大于零，一个小于零。哎，你乘完之后是不是小于零的呀？所以 g x 是 不是单减的呀？ 好，单减的话，我们看单调性啊，用单调性去做题。现在是负一到零，零到一，哎，这个区间，这个区间跟这个区间积分，看一下它的情况是吧？你既然是递减的，假如说这个 g x， 哎，它是大于零的一个函数，那么就在上方，是吧？哎，你是递减的，好。负一到零是不是紫色的这一块呀？那零到一 我们换一个颜色好，是蓝色的这个面积是吧？那你很明显啊，是左边的这块面积大呀，那就是大于号，哎，对的是吧，那有同学有疑问啊， 那 g x 小 于零怎么办呢？一样的啊，你小于零的话，你递减对吧？负一到一是不是递减啊？我们 g x 是 递减函数啊，假如说还是这个样子的话，好，你看啊， 负一到零是不是这个面积啊？好，零到一是不是后边这个面积啊？还是蓝色的啊？ 哎，这个面积大，你面积大，你在负呀，你在是负的呀，你积分的结果是不是负值呀？你越大，你加个符号，你越小呀，所以说还是这个积分的结果是大的，能理解不？ 假如说这一块的面积啊，是一个三，这一块的面积是一个五，要加个符号啊，加个符号人家还是大的呀，对不对？你积分的结果 跟面积是两回事啊，如果人家说让你去求面积，你当然说这块面积大了，人家求的是积分呀，积分是分正和负的哟。所以，哎，无论 g x 大 于零，还是 g x 小 于零，最终都是前面大于后边的结果呀，都是前面大于后面，是不是？ 这还有一个方法啊，另一个方法，我希望大家也学会，哎，就是换元法。换元法的目的是什么？目的就是把负一到零这个区间，我们给它整成零到一这个区间，这样的话就两个， 这两个积分是可以合并的呀，这个思想啊，大家也要学会。好，我们令 x 等于 负 t， 好， 那你 d x 是 不是等于负的 d t 了呀？好，现在看一下，换元要三换，看住它啊，先看住它， x 等于负一的时候。好，你这个 t 是 不是等于一啊？ x 等于零的时候。好， t 是 等于零的，是吧？一到零好， f 那 么 g 好， x 现在是不是换成负 t 了呀？好，注意 d x， d x 是 负的 d t。 哎，你这个符号是不是可以作用于上下线呀？那负一到零，我们给它写成零到一，哎，你看看现在是不是可以跟它进行合并了呀，我们左边就换成这个样子了， 你要想证明大于右边的，我这一块减去右边这一块大于零不就行了吗？是吧？好， dx， 你 注意啊，你现在的话，我们这个 t 字母可以随便换了，是不是？你这个得知道啊，你现在可以随便换了，给他换成 x 这个目的是为了啊，跟他保持一致，看着舒服呀，是吧，我们现在证明出来他大于零 c 选项是不是就对了呀？好，这个是我们的目标，要大于零。 哎，你们两个上下线整成一致了，是吧？我们的目的就是把上下线整到一致啊，那这可以合并了吧。背肌函数我们合并到一起，前面的减去后边的是吧？好， 这个啊，再用个大括号扩一下，这样看着舒服一点啊。好，现在怎么样呢？我们去根据单调性呢，你既然区间都一样了，我看这个积分哪个大小，我就看背肌函数就行了，是不是你背肌函数啊？ 如果背记函数，哎，这是大于零，那就是你减，你是大于零的。好，你就大于他，是吧，钱就大于后来。好，我们看一下啊， 现在 x 是 不是在零到一之间取值呀？你看啊，这不是底 x 吗？ x 在 零到一之间呀。好， g x 是 什么样的呀？ g x 是 不是一个单减的呀？那你既然单减的话， 谁的自变量小，谁的函数值大，是吧？那 g 的 负 x 是 大于 g 的 x 的 呀，你注意， x 是 取正的呀，你看 x 取正的，那负的 x 是 比较小的，这个自变量小，那你函数值就比较大呀。 好，现在，哎，你是大于你了，那你们又作为自变量，作为谁的自变量啊？作为 f x， 一个自变量 f x 递增的呀，好，你是不是大的呀？哎，你大，你自变量大，你 f 又是一个增函数，所以前面的整个函数值是不是大于后边函数值呀？ 那你这个减完之后，那不就是大于零的吗？所以啊，这个你这个区间已经整成一致的了，你这个里面，哎，大于零不就是得出来的，就是 整个的，哎，这个表达是大于零吗？是不是我们画个图啊？你这个不要不清楚啊，你看零到一区间，现在我们背积函数是不是大于零的呀？哎，我们背积函数是大于零的，所以你这个整个积分的结果不就是个面积吗？是不是，哎，这个不要乱啊。 好，我们已经证出来了，被积函数是大于零的。好，这个就是我们被积函数啊，我们还说是 g x 吧，是吧，你是大于零的好，在零到一区间上进行积分。好，你不就这个面积吗？那你肯定是大于零的呀。已经确定啊，被积函数大于零了，结果大于零，那你可不就是你 减去你大于零的意思吗？是不是我们就是合并到一起，现在再拆开呀，那就大于零证明出来了呀，是不是这个换元法大家也学会一下啊。 那么我们也看一下 a 和 b 啊，你看啊， a 和 b 的 话，我们可以 令大 f x 吧，好，等于它的背机函数。背机函数是不是 f x 乘以 g x 呀？哎，我们求个导看看是吧，求个导看看，研究一下它的单调性呀。好，你导，你不导，加上你不导，你导， 我们现在已知的信息是你是大于零的。好，你是小于零的，那你们加到一起我不知道呀，我不知道你啥情况，你啥情况我都不知道。这些给的信息相当于太少了。我不知道 f x 是 大于零 还是小于零，我就不知道你这个被积函数单调性，我们不知道被积函数单调性就无法去判断，你看啊， c 选项我们如果知道单调性的话，是可以去判定这个积分的一个大小关系的，是吧？你不知道，那你没法选 b 选项也是一样的呀。你看啊，如果 f x 和 g x 都取正的话，那你对于 第二个选项跟第一个选项就一样了呀，都取正的话，你加上绝对值，是不是你可以把绝对值直接去掉呀？哎，你直接去掉是不是就 a 选项了呀？ 那，那如果 a 选项成立，那你 b 选项是一定成立的。你因为我们假设如果两个函数都大于零的话， ab 就是 相同的两个选项了，你选项的话是不可能同时选两个的，对吧？也是不对的，哎，你不管怎么去整，这个 ab 都是不能选的好，你看 d 选项啊， 我们把它的背极函数求个倒，哎，他求倒，大家会把外层求一下，然后内层求一下。好， f x 它大于零的，乘完以后是大于零的。好，它的背极函数你也是求一下倒。好，这是外层求倒，然后内层求倒， 两个小于零的相乘，哎，是大于零的啊，你们两个背极函数都是递增的是吧？你两个都递增，我没办法去 去比较积分大小呀，因为你不是同一个函数呀，你是两个不同的递增的一个函数，没法去比较。你不像人家 c 是 吧，我是同一个背及函数，他那个单调性是一致的，这可以好，这个题目啊，再梳理一下啊。好，那就讲到这里了。 好，我们看这个题啊， f s， g x 在 零到一区间上连续。好，这，这边的积分大于等于这边的积分成立的条件，哎，这是两个积分相乘大于这边是一个积分啊，成立的条件是什么呢？在零到一区间上好， f x 啊，关于这个单调性的是吧，你 a、 b、 c 都在说单调性， d 选项在说奇偶性，那根据啊，这个多胜少的原则是吧。哎，跟这个奇偶性一般来说没啥关系，你大概率就是来凑一个数，把选项凑成 还四个而已，是吧。人家都在说增减性吗？你这说基友性，你看一般跟基友性也没什么关系，所以这个就是凑数的好，我们就知道了啊，也就是说 f x 他们啊，这个单调性是什么情况下？好，这一个，哎，不等式成立的，你得知道题目的意思，首先啊， g f s g x 是 抽象函数，那我们就要想到了，哎，特殊指法是吧，这个能用特殊指法的，咱们就用特殊指法，能选出来答案，就是 就是，王道，是吧？好，咱们第七题不也一样了吗？好，我们看一下， 特殊指法是用来排除的，你得知道啊， a 选项说他俩都是增函数，我们就举例子了，那既然都有增函数，我就举简单的，哎，都是 x 可以 吧，这不是增函数吗？满足提议啊， 那我们看他能不能使得这个等式成立呢？看一下，这是 x， 这是 x， 这积分很显然是二分之一。零到一虚线的积分应该能描出来吧，一描他就是一个二分之一，这也是二分之一，就是四分之一，是吧？ 四分四分之一是不是大于这边什么呢？ x， x 就是 x 平方啊，这零到一区间上，积分是不是三分之一啊？ a 四分之一大一点三分之一，你说什么瞎话呢，是吧，不能选啊。好， 那我们再看 b 选项，哎，举一个特例就把这个 a 选项排除了吗？啊，好，他说都是减函数啊，那都等于负 x， 这不是满读 t 的 吗？是吧？举一个特例， 好，这是负 x， 这是负 x， 负 x 积分的话，这边是不是负二分之一啊？这边也是负二分之一，乘到一起是不是四分之一啊？好，右边呢， 负 x 负 x， 那 就是 x 平方，积分三分之一啊，他可跟这个说的一样了是吧？这怎么可能，四分之一大一等于三分之一呢？好，又排出来一个，我们再看 c 选项，哎，他说一减一增， 哎，根据我们刚刚说的啊， d 选项你不考虑的话，其实你现在大概率就选 c 了，是不是？好，那我们也是啊，继续举例子看一下，为了更安心一点嘛。减函数，那我还是，哎，就是 负 x， 是 吧？增函数，我就是 g， x， 我 看一下啊，这是负 x 的 话，这边积分就是负的二分之一，这是 x 的 话，积分是二分之一，就负四分之一，是吧？好，右边负的 x 平方啊，对不对？那就是负的三分之一， 哎，左边确实大于等于右边，是吧？负四分之一，你四分之一不能大于等于三分之一。负四分之一是可以的呀，这是对的，而对的你其实特殊执法我们是排除的嘛，你暂时还不能选，对吧？那我们再看一下 d 选项， 你再举吧，哎，虽然你你觉得啊，可能跟奇偶性没关系，为了确保你可以，哎，也就举个例子嘛，是吧。奇函数，那就它呗。好，偶函数，嗯，简单的，是吧，就它。好，我们看一下， x 的 话，这一积分就是二分之一， x 平方，一积分就三分之一，这不就是六分之一吗？好，它说大于等于， 这是 x 三次方，是吧？哎，一积分不是四分之一呢，是吧，所以也是错的呀， 那我们就排除了三个选项了，就选 c 啊，是不是？好，他特殊执法，总之你选出来答案就行了啊，在考场上也不用去纠结啊。他考哪个知识点，我们课下的时候可以研究一下他考的什么知识点，是不是这个题呢？可以从这个二重积分这一块 二重积分的一个角度去理解，你看这边啊，出现了两个积分，是吧？我们从二重积分的一个角度，那很多同学还没学到啊。没关系，你可以先在你的笔记本上啊，上岸笔记本是吧？记上啊，这个是一张第八题。哎，学完二重积分你回来看一下好不好？那学过的你就听一下呗， 好，转化为二重积分的话，我们变量是不是，哎，得改一下，搞成两个变量了，是吧？你这里用哪个字母是无所谓的呀，所以我们就把这边的啊这个 x 改成 y 呀，好， 二重积分，这就是零到一 f x d x。 好， 他说零到一，我 g x 完全可以改成 g y 呀，没问题吧？ 哎， d y 啊，跟哪个字母没关系？好，我们现在呢，就是让这个等式成立，然后推我们看一下啊，这等式成立需要满足什么样条件？就这样，哎，对了，逆着推就可以了啊。好，后面的话， 哎，怎么去写呢？你注意啊你，你要从从二重积分的角度，你左边是二重积分，你右边也给他写成二重积分，你现在看的话是一个定积分是吧？你补一下，就是 f x， g x d x， 你再补一个一吗？是吧？来，零到一，一抵 y， 你 把另一个啊变量给搞过来吗？这积分不就是个一吗，是吧？好，你看左边的话，我们是不是可以知道啊，它是在哪个区域上？ 对， b 级函数积分呢？我们的，我们的积分的一个区域是什么呀？你看 x 零到一， y 是 零到一，所以它的积分的一个区域啊，就是一个正方形是吧？对，是一啊，这是一， 这区域啊，就这样的。哎，正方形的时候你得注意了，它是关于 y 的 x 对 称的积分的区域 d， 关于 y 的 x 对 称，你就要想到轮换对称性了啊，待会再说。好， 嗯，这样的一个啊，二重积分，现在就转化为我们的被积函数，就是 f x g y。 好， 哎，在区域 d 上，积分是不是就写成这个形式？好，右侧也是一样的啊， x y 都是零到一嘛。所以啊，它的积分区域也是这个 d 啊，就这个正方形区域 好。呃， f x， 它的背记含是 f x g x， 哦，对呗。好，那接下来怎么办呢？我们说了啊， y 关于 x 对 称的区域，你要想到轮换对称性，你现在没学到，你肯定 没学到，肯定不知道啊，学过的同学都是知道的，二战同学，你对吧？考我们第十四章很关键的啊，一点就是在积分的时候一定要去考虑一般的对称性区域 d 啊，关于一般对称性和轮换对称性啊。好， 那这个时候啊， y 的 趋 d， 关于 y 的 对称，我们就要用的啊，它常考的两个知识点，这个题用第一，用第一个知识点就行了。也就是说，我们把被积函数的 x 跟 y 对 调，积分结果是一样的。好，既然积分的结果是一样，我就把 x， y 跟 y， x 跟 y 对 调啊，说好，为什么这样干啊，还是不太好想的啊。好，这就是 n g x 了，对不对？你这个积分啊，就是等于我这个积分，你这边也是一样的，去 d 也是关于 y 的 两个对称。好， x 跟 y 就 可以对调， x 的 全部换为 y， 是 吧？也就是说这个等式成立，这个等式也成立，那么左边加上左边是不是也是大于等于右边加上右边呀，对吧？好，那我们就加到一起啊，再去合并就行了。 嗯，左边是 f x g y 是 吧？这个都加到一起啊。 f y g x， 这是左边的好，加到一起它得大于等于右边的，是吧？ f x g x 加上 f y g y， 不好想啊，不好想，可以积累一下做题经验。 好，那你大于你，其实这还可以再去再去整理一下，是吧？哎，我可以把你这样大于等于把这边移过来，是不是大于等于零啊？也就是减去，因为他们的基本区域都是 d 嘛，整个背接还是移到一起没问题吧，是不是？所以啊， 也就是由这个推出来了，哎，这边，然后两边加到一起也是满足啊。哎，大于等于零的，是吧？好，这里边就是可以合并了啊，这时候我们看一下。 好，这有 f x， 我 看一下 f x 的， 我挪到一起。那这左边是一个 g y， 这边是一个 g x 嘛？减去一个 g x， 是 吧？再加上这里有 f y， 是 吧？这有 f y， 那 我就把 f y 再提出来。 好，左边就是一个 g x 啊，这点应该是减号，对吧？这减号啊，因为我们是整个的啊，挪过来，这应该是减号。好，减去 这个 g y， 是 吧？好，这是整个的一个背记函数啊，这个加一等于零啊，把这个括一下，括一个大括号。好吧， 你还可以再整理哦，你瞅一下啊，再整理一下，这里面这个 g y 减 g x， 这 g x 减 g y， 我 是不是可以提个符号就可以又合并了？再填一个符号，符号作用，这里面就变成 g y 减去 g x 啊，是吧？ g y 减 g x， g y 减 g x， 不 又可以提出来了吗？哎，又可以提出来了啊，好，也就是 g y 或者啊，我们就把 啊就这样写吧啊， g y 减去一个 g x 就， 哎，作为一个公因式提出来了，那剩的就是 f x 减去一个 f y， 是 吧？哎，就是这样的啊，好，现在被减函数就它俩相乘了嘛，对不对？这有一个啊，积分 好，我们现在就得说它得大于等于零呢，好，二重积分它的一个几何意义什么呀？ 取顶柱体的体积，是不是被积函数大于等于零就行了？被积函数什么时候大于等于零？那你就看 f f 哎， x 与 g x， f 与 g 的 一个单调性嘛，它俩单调性得是相反的，你可以啊，自己举例看一下。单增和单减都是不行的，你比如说 f 单增，好吧， g 也是单增的，你看啊，当 x 大 于 y 的 时候， 我们不是 g y 减 g x f x 减这个 f y 吗？要比较自变量的大小吗？当 x 大 于 y 的 时候，好，这个是 x， 这是 y， 而且 i 这个是竖轴的话啊，好， f 是 单增的，单增，单增的话，那 f x 减 f y， 这就是正的，是吧？这也就是正的了啊，对，正的好，那么 g x 也是 g g x 单增的话啊，那 g y 减去 g y 减 g x 是 负的，是不是？是负的啊？一负一正，这倍积函数就是负的了， 是吧？负的，那就不满足题了，倍积函数也是小于零的，包括你 x 小 于 y 的 时候，你也可以试一下，倍积函数也是小于零的，而它们两个只要单调性相反，那就满足啊，这两块都大于零的了。我们也可以举下例子，比如说 c 选项， f 单减， g 单增， 你看，当 x 大 于 y 的 时候，好，这是 x， 这个是 y， 这个是 x 啊， x 大 于 y， f 不是 单减的吗？ f 单减，那 f x 减去 f y 是 不是负的呀？这里就是一个负的啊，怎么不能这样写啊，这是负的。那左边呢？ g g x 是 单增的，单增的话， g y 减去一个 g x， 那 很显然也是负的。负负得正是不是？总之，正的呀，背负还是正的，所以 g 分 了一个，结果就是大于等于零的。那 x 小 于 y 的 时候，我们的是背记函数啊，负负得正 x 小 于 y 的 时候， 这是 x， 这是 y 啊。这竖轴好， f 单减 f 单减 f 单减 f x 减去 f y， 那 很显然是正的，是吧？这是正的。那看这一块， g x 是 单增的， 那 g y 减去 g x， g y 减去 g x， 正的呀，是吧？正正好，它俩合到一起相乘也是正的。所以啊，哎，你包括啊，你这里 f 单增， g 单减也可以，只要单调性，相反都是可以的。 那这个地方啊，我们这样的答案也提供一个思路，这个也可以去学习一下啊，学有余力的话可以学习一下。不太好想啊， 我们也提一下。好吧，可学可不学啊。嗯，这个思想其实还是可以的，可以借鉴一下。就说我们刚刚也说了啊，我们转化为二重，二重积分的时候，你看左边就可以转化二重积分，而右边的话，其实他是一个定积分，对不对？我们要统第一件事就是统一量级， 统一量级，统一量级的目的是干嘛？我们现在想去啊，说明出来它大于等于它，那我们通常，哎，可能想去构造一个大 f x， 就是 左边这个函数。好写过来啊， 减去右边的这个函数。哎，我们正过这样的题啊，是不是我想去证明它大于等于它的话，是不是左边减去右边，我能证出来大于等于零就行了呀？好，那这个时候我为什么要统一量级再去构造函数呢？ 如果你不统一量级的话，那么你构造出来函数你就做不出来。为什么统一量级？也就是说你就可以从二乘积分定积分的一个角度。好，那我这里就给他加一个 x 就 统一量级了。好吧，这个不太好想 对不对？哎，这边就相当于两个变量，你这边只有一个变量，我再引入一个变量，哎，两个变量两个变量对应着，这就是量级就统一了。好，除了除了这一块啊，你还得想到这个常数变量化啊。还有常数变量化就是不好想啊。 常数变量化的话，我们在前面章节证明的话也有学过这个思想，只不过结合到这个题里面就不太容易想到啊。也就说我们做的辅助函数是把这个这个常数啊给它变量化了啊，把一全部改成 x。 好， 那你既然改成 x 的 话，这里边的啊， 这就区分得区分变量了，是不是这里边 x 就 得全部改为 t 了啊？改为 t。 好，提提，我现在就是想证明你大于等于零的时候应该满足哪一个条件。 是这个意思啊，需要注意的就是我们构造函数的时候需要统一量级，并且构造函数的时候，哎，想到常数变量化，你想去对吧？你想去构造一个函数去研究问题吗？你这都不是，你看 这上面是吧，这上面都不是变量对吧？先给它搞成一个变现级的函数，哎，函数的形式再去啊，去求导呀，研究函数的一个形态啊。这个还是可以想到的啊，就这个统一量级才好，想到就是给它加一个 x， 这样我们啊函数就构造出来了。 好比较难啊，你可以积累一下这个想法。好吧，积累一下那我们那个目的的话是干嘛呀，是不是想去证明出来 f 一 啊，你看 f 一 对不对把一一带吗？我想证呢就是 f 一 大于等于零的时候好要满足的一个条件对呗，我看一下 f 一 大于等于零需要满足什么样的条件吗。而这个零你会发现就是大 f 零呀， 对吧，你看零一带上下线都是一样的呀。所以其实我现在要中的就是大 f 一 大于等于大 f 零。其实我想要的是什么呀。 f 大 f x 我 想要你单增，看到没是吧。大 f 一 要大于 f 零我想要的就是 f x 单增。什么情况下哎。 abc 哪种情况满足哪一种情况我的大 f x 才是单增的呢。这样去思考问题啊。那就研究函数啊，单调性了。求导好求导呢。就是左边求导， 哎，就变基本上求导了啊，右边呢是不求导再加上左边不求导好右边求导是吧。再减去好这两两部分了啊。左边求导右边不求导 还减去，你注意是减号啊，左边不求导右边求导 是这样的吧。好，这个时候你看这是大 fpx 我 想要大 x 单增，我是不是得判定你是大于零的时候是吧。什么时候大于零 那我得去想着啊，把这些啊，哎。把这些背心函数能合到一起是吧。哎，整个都是零到 x 这个背心函数合到一起的一个思想嘛，那你就整理呗。整理啊，整理这块也是需要有这样你慢慢去培养这个思想，后续一些证明题也会用到，特别是处理这的时候啊， 真题里面已经体现过了，所以说我为什么说这个题这个思想也会给大家讲一下呢？哎，这个地方啊需要注意一下。好，我就统一这个就把型号给写成一致的啊，好，去合并背及函数。那我 f x 完全可以提到这里边呀是吧，你基本上是提你现在相当于一个常数，我提进去没有任何的影响啊。提进去为了合并啊， 这边呢，哎，这个 g x 可以 提过来是吧，提到这个放到这个背接号儿里面没事儿的啊，好，后边儿这也这已经是零到 x 了，这个什么写少写了啊， 好， f t g t d t 啊，你现在并不是我想要的这个型号，你就改是吧，这里就是需要大家注意的啊，我给写一下啊，就说你给写成零到 x 好， f t g t d t 哎， 不就是它吗？是不是我要凑成这个零到 x 这个型号的话你看。对啊，这个是 f x 啊。 sorry 好，我积分变向是 t， 你 f x g x 就 相当一个数，我可以提出来是吧，而倍积分就是个一了一积分的话是不是上限减下限就是个 x 啊，不就这个东西吗？这个啊得会改写，我们在后续一些证明体面会遇到会遇到的啊，所以说我讲一下这里了啊好，我就合并了啊 是吧，零到 x 好， 合并合并你会发现跟我们发二后边就是都一样了啊好，这个减去这个是吧，加上好，他跟他加，减去一个，他跟他加，他跟他减，再减去一个，他跟他减，其实就已经跟， 对吧？第二个方法一样的呀，我们写的那一那一那一那四个，是吧？四个相乘相加的，然后你再去提一个 f x， 再去提一个。好，这个，呃， f t 都可以啊，你提谁之后，然后再一次又可以合并合并同类项，好再去研究啊，它什么时候是大于零？我们先写，再写一下，好吧。 好，这个零到 x， 你 比如说我提 f x 出来 f x 的 话，左边这里有一个 g t 是 吧？这个呢？是 g x 减去一个 g x。 好， 那后面呢？我再提一个 f t， f t 的 话，它前面是一个 g x 是 吧？ 嗯，这里是减去一个 g t 减去一个 g t。 好， 因为这是 g t 减 g x 是 吧？这是 g x 减 g t， 所以 我把符号放到前面，这个符号就来到了这里，是不是所以 g t 减 g x 就 可以提出来了嘛？这个上面一样啊，再写一下。 好， g t 减去一个 g x 就 可以作为新的一个公式提出来了。 好，那剩下就是 f x 减去 f t， 这跟刚刚说的没啥区别了，是吧？好，我现在想要的是什么我们是知道的，我们想要你单增，就想要导函数也是大于等于零的，是不是？你什么时候大于零？好，下限小于上限对不对？ x 是 来个大于零啊，对吧？下下线小于上限，背积函数大于等于零的时候。好，我们的积分再大于等于零吗？是不是什么时候啊？他俩相乘是大于大于零的，跟我们刚刚啊这个二重积分是一样的吧，是吧？只要背积函数啊大于零就行了， 这里也是一样的，背积函数大于零，下线小于上限，积分的结果是大于零的那个是从从二重积分的角度，再从积分的一个定积分的一个角度，是吧， 是不是好那一样的啊，我就不写了。哎，只有他俩，他们两个啊，这个增减性相反的时候就可以满足啊。他俩相乘的结果是正的，要么俩正，要么俩负就正的。积分就是大于零的好，或者大于等于零。等号考虑不考虑都行，是吧，哎，总之，哎，你得 知道啊，这个第第法三呢，你就是可以作为扩扩展你的一个视野吧。好吧，可以学习一下。常说变量化，这个我们是遇到过的啊，前面的证明题就同量级这一块不太好想的好，梳理一下啊，梳理一下这几个，这几个想法。好吧，好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，这些就不读了啊，证明的呢，是它小，也等于它，我们看到了 f x， 看到了 f 撇 x， 我 们可以想到什么呀，证明的一些手法，哎，想法方法的话 想到中指定力是吧。拉尔，中指定力还能想到啊，牛顿莱布尼斯公式啊， 这个后续在一些证明题里面也会体现到的啊，还有数一数三同学在急数哪一张啊。啊，这个思想得有的啊，可以慢慢去培养一下。 f x 与 f p x 出现的时候想到中指定力，想到牛顿莱布尼斯公式啊，这个题用中指定力你会发现证不出来， 那我们就考虑牛顿莱布尼斯公式。好吧，好，慢慢培养一些做题的方法，不用着急的 看一下，我们就把它写过来啊， f x 正这边是， 是不是 f x 啊，是吧？我们这 f x， 它这个是减零啊，我们这个题它是 a 跟 b 嘛，是吧？你把这个零给改成 a 跟 b 就 行了啊，这不是把这个零改成 a 或者是改成 b 啊，它就可以写成，哎。零到 x， f t 一 撇底 t 是 吧？因为他求出来的话，不就等于 f t， 然后上下线一带是吧？这个不是零啊，是 a 是 吧？好，这个没有问题了啊，因为 fa 是 等于零的，那这块其实不用去看了是吧？所以啊， 就 fa 等于零，不用管了啊，你这里要也可以写一下是吧。 fa 等于 f b 等于零，所以那么 f x 减去零就别减了，就等于 a 到 x， f 撇 t， d t 是 不是？哎，你看啊，已经很接近了啊， f x 就 已经出来了，待会我们再取绝对值。怎么出现这个这个二分之一什么的呢？这些是吧你，你这现在用到了 a， 你 还没有用 b 呢，你 b 也用下来是吧？那你同理啊， 一样的呀，是吧，这里的 a 全部改成 b， 那 我们又能得出来 f x 就 等于 b 到 x， f 撇 t， d t， 是 不是？你这里可以写成英文嘛？好，接下来呢，接下来就让两个 f x 相加，相加的话不就出现二倍的了吗？哎，这个二分之一很快就出来了啊，好， 对吧？两个有 a 有 b， 你 就两个都出来嘛，出来相加就有二倍的了，就跟二分之一很接近了嘛。好，左边两个相加，右边两个相加， f 撇 t， d t 加上哦， b 到 x， f 撇 t， d t。 好，这两倍的两倍。我，其实这个二我就可以一会挪到这边了，是吧？好，现在不挪也行，我接下来就得是，哎，你让我干啥我干啥，是不是？取绝对值吗？那就取呗，左边取绝对值，这个二就可以出来是吧？右边我也取绝对值， 可以吧。哎，右边取绝对值，现在就要用到按我们这个绝对值不等式和积绝对值。关于积分的啊，这块加绝对值的有不等式，这些啊，都是常考的，必须要很熟练。 好，现在就是 a 加 b 绝对值是不是小于等于？好，这个 a 的 绝对值再加上 b 的 一个绝对值啊？好， a 到 x， f 撇 t， d t 绝对值加上一个 b 到 x， f 撇 t， d t。 好， 那这里还要多提一句啊，这里是加或者是减的话，后边儿放缩的长的是不是一样的呀？为什么要提它？我们待会儿看 现在啊，继续可以放缩是不是？哎，积分的绝对值小于绝对值的积分，这也是经常要考到的啊。好，我们直接往后边下啊，小于等于把绝对值放到背其函数里面了啊。 f p t。 好， 这绝对值 d t 加上一个 b x 是 吧？ f p t 加个绝对值好， d t， 好，这个时候我是不是可以把二分之一挪过来呀？好，所以啊，你看好把二分之一挪过来，但跟我们的结果啊，我想正的是不太一样的啊，所以这绝对值就小于二分之一倍的。好，后面 这两部分相加对不对？ d t 加上一个 b 到 x， f p t 啊，绝对值 d t， 你 看他跟我们想要的还差在哪呢？ 它是 a 到 b， 你 现在是 a 到 x， b 到 x 是 吧？我是不是可以我想着把它们两个合到一起，然后区间，利用区间的可加性呀，是不是 a 到 x， 如果我能写成 x 到 b 的 话，背机好像长的一样呀，我自然就可以，哎， 这两个加到一起就可以写成 a 到 b， 哎，这个背景函数是吧，哎，积分就行了。好，你现在合不了，合不了，这就回到我们刚刚说的啊，你这个地方可以去处理一下。刚刚我们是加，我们写成减，没有问题吧，对不对？也就说我这里的话 把上下线对调一下，我其实想把上下对调，上下线对调一下就可以合并了吗？是不是 这个地方我可以改一下上下线吗？好， x 到 b， 可以 吧， f 撇 t d t。 好， 那这个地方，哎，我就 改了啊，改成负的 x 到 b 了， a 减去 b 绝对值。我们说了，你这是减号的话，放松的其实是长得一样的吧，是吧，长得一样的啊，只是说我们现在啊，就是这个 x 到 b 了， 对呗， a 到 b 就 小于等于啊，它这个绝对值加上一个后边的这个绝对值，对呗。好，这个时候啊，上下线都改了，你看还是加号啊，这还都是加号好。 x 到 b， 哎，这是 x 到 b， 是 不是根据区间的可加性， a 到 x， x 到 b， 这不就可以合并到一起了吗，这不就正出来了吗，是吧，二分之一倍的好，就可以正出来了。 a 到 b， f p t 绝对值 d t 看到， 哎，这个就完事了啊，你再写一个正 b 就 行了，我再写一下吧，正 b 就是 让探监老师知道你中完了的意思啊。好，你看咱们总结一下啊，这个题你看到他跟他你就联想到要么用牛顿来宾尼斯公，要要么用 啊，这个中日定律是吧，拉拢中日定律，发现啊，中日定律用不了啊，你可以自己试一下是吧？以 f x， 你 可以减去一个啊，这个 f a 往题里面等于 f x 三，哎，这个 x 减 a， 你 发现很难搞出来，哎，搞不出来， 好，就想了 new 的 例子公式。好，那就，哎，写过来，写过来之后得到了一个 f x， 这有二分之一倍的，那还有，对吧？这也出来一个 b， 我 再搞出来一个 f x， 加到一起就除以两倍的了。两倍的这个二分之一往右边一挪，不就出现二分之一了吗？是不是 这个两边相两两个啊，加到一起的一个思想前面也已经提到过了。好，还有啊，这个常见的不等式得记一记。对呗，常见不等式记一记，该改上下线的改一下，哎，曲线的可加性用一下。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，证明题，那观察到啊，有 f x 有 f x， 是 吧？想到我们说的啊，要么你，哎往牛顿莱布尼斯公式上面想第九个题嘛，要么你往中指定力拉个中指定力这里去想是吧，建立 f 啊，与 f 撇之间的一个关系， 我们都可以试一试啊，我们都可以试一试。你比如说我们先试一下啊，这个牛顿莱布尼斯公式它是可以的啊，这个题两个都可以直接就在这里啊，去写就行了。 要用它的话，是不是 f x 减去一个 f 零就等于好，零到 x f 撇 t d t， 而 f 零刚好是等于零的嘛，所以这就是等于 f x 是 吧？ 好，这个时候怎么办呢？我们要往这个上面进行靠拢，现在知道 f x 等于这个，那可能要想到了啊，哎，你是取 求积分的吗？那我就是去求积分，但你求积分的话，发现这边也是积分，再去积分就，哎，麻烦了是不是？好，这个时候你就直接啊往绝对值这去靠了呀，是不是？哎，积分我感觉有点麻烦，我就先取绝对值，你看看嘛。好，先去取绝对值。那右边也是啊， 加一个绝对值吗？这肯定就是相等的是吧？好，我们是往大了放松吗？那就放松呗，这就是积分的绝对值小于等于绝对值的积分，这个用烂了是吧，必须要记住啊。好，零到 x f 撇 t d t 取绝对值 d t。 好，他的话我们知道，哎，在零点一区间上最大值我们记为 m 了，还是往大了放松，我直接把你放成大 m 不 就行了吗？对吧，最大的不是大 m 吗？好，这个积分是不是可以算出来呀，就是等于大 m x 呀。 好，现在的话，我们这个绝对值 f x 跟他又怎么联系呢？哎，你看，这不就是积分的绝对值吗？那自然我们还是要想到这样的一个放缩，是吧？好，这个题目呢？你看，是 这里啊，题目是积分的一个绝对值，它肯定小于等于我们说的把函数啊加个绝对值，是吧，绝对值的一个，哎，积分往这往这上面去靠拢呀。 好，而这个 f s 取绝对值已经知道了，是不是我们，哎，你现在盯住它就行了。好，那我们就是绝对值已经有了，我就在，哎，零到一上面进积分不就行了是吧？零到一区间上， 好，绝对值 f x 积分，那同样这边，哎，这边积分是吧，它就小于等于。好，零到一区间上 m x 积分吗？这积分很显然就是二分之大 m 是 吧？好，你呢？不就是小于，这不是已经算出来了吗？就是小于等于二分之大 m， 对呗。好，这就联系起来了，你小于他，他小于他，那不就是你小于他就挣出来了，是吧？哎，这个要注意啊，你直接在这个地方啊，去求积分的话，这里还积分就会 很繁琐，是不是你就直接取绝对值，怎么建立联系呢？还是看到了啊，积分的绝对值，那就小于等于绝对值的一个积分，这里可以盯住这里去。哎，绝对值弄完之后好再去积分，这样就联系到一起了，是不是记好这就挣完了啊？对， 这就是用牛顿来宾尼斯公式。那我们看一下这个中指定律。拉格是中指定律是吧？拉式定律。好， 那第九题啊，它是给了两个点的函数值相等啊，用它就不太方便，那用的是它这题只给了一个点的函数值，哎，我们尝试一下用拉式定律。好，用拉式定律的话，那就是 f x 减去 f 零就等于这些套话你要写一下啊，哎， 区间连续开减可到 f， 撇可删 x 减零，那就是 x， 而 f 零是等于哎零的嘛，是吧，这个是没问题的吧。那既然没问题的话，好，我这个时候我就可以，哎，你让我干嘛我就干嘛了，是吧？你让我干嘛我干嘛啊？ 因为这边的话，它不是积分那个形式好处理一些吗？你是积分，我现在就是积分呗，这里它是一个积分的形式，这是哎， 哎，医医院喊出的形式，是吧，好处理吗？好，我两边哎，都在领导一区间上进行积分啊，是吧，盯住我们的目标，你让我干嘛我就干嘛。好，两边去积分， 那这个积分的话我们先放在这是吧？哎，我已经干完这件事了，我在干什么呀？取绝对值这件事吗？是不是？那我就取绝对值 相等，那我都都可以加一个绝对值吧。好，这就可以放松了呀，不，就积分的一个绝对值就小于绝对值的小于等于绝对值的一个积分是吧？把里边这里加一个绝对值。 好， x 再零到一 x 是 大于零的吗？是吧？那既然大于零的话，我 x 是 可以取出来的，对不对？好， f 撇 去绝对值直接去就行了。好，他的话就可以往大的放松吗？是吧？最大的去大 m 吗？那就小于等于零到一 x， 我 们放松为大 m 就 提前面了。这个放松为大 m 啊。好， d x， 你 看这里对应积分的话，就二分之一乘一个 m， 二分之 m 是 吧，这不就是从前，这不是题要正的吗？这就正完了是吧。用了一个拉式定力啊， 写一些套话啊，快写一些套话，写一下。哎，这个 f x 是 吧，必须先连续开，先可导，然后再零到零到 x， 区间上一定是存在一个点可塞使得 f， 是 吧？使得啊，这个， 这个式子是成立的吗？有拉式定力是不是？哎，想到啊， f 和 f 撇出现的时候，哎，能够有两个思路往这上面靠拢就行了。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，这题是有点难度的啊，有点难度，哎，做不出来也是正常的，可以积累一下做题经验就行了啊。好，我们观察到 f x 是 一个变现积分函数，证明 x 大 于零的时候，绝对值 f x 小 于等于 x 分 之一。 看到变式函数，有同学说我把它记出来，这里记出来，记不出来呀，你告诉我这个 c e u 的 一个平方元函数是谁？不知道是吧，不知道就记不出来，你就没办法啊，写出来元函数，把上岸线一带，求出来表达式是吧，再取其对值，搞不出来这条路是走不通的。 好，他用到了变量代换啊，这个可以积累一下这个做题的一个技巧。好吧，你这其他的方法也很难想到嘛，是吧，想不到别的路啊。这个 u 的 一个平方嘛，平方出现了会很影响你做题的，对不对？所以我们，哎， 积累下来，哎，就是进行变量代换，我们令 t 就 等于 u 的 一个平方，那么 u 呢，就等于根号 t u 啊，你看是介于 x 到 x 加一之间， x 大 于零吗？所以 u 肯定是大于零的啊。好，那底 u 就 等于二倍的根号 t 分 之一 记 t 是 吧，做变量代换啊，做完这个题你就学到一个啊，做变量代换这个思想就行了。变量代换， 好，那我们看这个 f x 现在长啥样了吧。这个先抄过来一下啊， c u 方 d u 换元是吧？当 u 等于 x 的 时候， u 等于 x 的 时候，那么 t 就 等于 x 的 一个平方呀， 当 u 取 x 加一的时候是吧，一这个 t 就是 x 了啊， d u d u 就是 它。 接下来怎么搞呢？好，凑微分了是吧，两类函数，你想着去凑微分呢，好，一天说凑它，你凑它的话，难搞的，你可以试一试。好吧，我们就把三角函数凑过去啊，就做题的一些 这个经验技巧吧，你是随着你的提量的一个增加，你会慢慢的积累出来的，也不用着急啊，测三角函数好， x 平方， x 加一的一个平方，好一，比上二倍的根号题 d cosine t 要添个负号是吧。好， 得，横着写还得竖着写呢，这样吧，就这样了啊，好负的，这个你凑完之后就是开始分布积分了嘛，对不对？就是 u 乘以 v 好， 上下线 减去，那就是还有一个减号，就是加上了啊，加上 x 方， x 加一的一个平方 v d u 是 吧，对它进行，哎，求导啊，好，求微分，这是 t 的 负二分之一次方，是不是？求导一个草稿上别搞错就行了，负的二分之一对不对？它就等于 t 的 负二分之三次方是吧。所以啊，这应该是 t 的 负二分之三次方，还有一个系数，负二分之一，负二分之一跟二分之一乘就是负的四分之一，是吧。好，第一题，这个认真算啊，我们看第一部分啊， 你这个负号的话，我们是不是可以作用于上下线啊？负号啊，就作用于上下线了，这是 x 的 一个平方， x 加一的一个平方，这样不容易出错啊。我们看上线一带的话啊， 二分之一 x 方再去开方，不就是个 x 吗？我们说 x 取正的呀，对不对？所以这个就是这样的了。 cosine 呢，这里就是 t 给它换成 x 方嘛，减去下线啊， 这是二倍的，这应该是 x 加一再乘以 cos x 加一的一个平方，就这样的吧。它第一部分啊，减去四分之一倍的， 这个时候没有必要啊，你非得把这个积分算出来，为什么？你看我们最后啊，是这样一个不等式呀，是吧，你再去算的话，这很麻烦的是吧，你再凑一分可能还搞不出来啊，搞不出来，那你就先放在这， 有些时候你不要去着急，非要把每一步啊打破砂锅问到底，是吧，我就放在这里， 好，放在这里之后我就开始往目标上进靠拢了呀，那我们的一个目标的话，是去取绝对值，往大了放松吗？是吧，我就取绝对值了，现在对不对？左边取绝对值，右边也取绝对值了啊？好，既然取绝对值的话， 这个吧，二 x 分 之一啊，都给它加到这个绝对值里边，好，再 整个的吧，是吧，我们先整个的加个绝对值， x 加一的一个平方除以二倍的 x 加一。好， x 方 x 加一， 加完绝对值之后，我们就往大了放松就行了，是不是？好，现在往大了放松啊，这绝对值里面不相当于三个部分吗？是不是我们绝对值不等式要求大家啊，必须得记熟练了，是不是你这里啊， a 加 b， 我 们说你不管是加还是减，都是小于等于 a 的 绝对值，加 b 的 绝对值的，是不是好，往大了放松啊，小于等于，这就是第一部分，第二部分，第三部分。是不是我不管加减啊，都小于这一部分，这一部分这一部分，哎，加绝对值就行了，对不对？好，这就是二 x 分 之一 cos x 方，对吧，加上 这个二 x 加一分之 cosin x 加一的一个平方，好，加上，对吧，我不管负的正的啊，都是四分之一倍的 x 方 x 加一，好，平方 cosin t t 的 负二分之三四方 d t， 好， 其实啊，这个绝对值还可以再去整理一下。怎么整理啊？ x 不是 大于零的吗？是吧，它都是大于零的，那大于零其实绝对值，这个大于零的我就可以从绝对值里边拿出来呀，是吧？大于零的拿出来呀，可以吧，是吧？这四分之一可以拿出来呀， 对吧？好，拿出来之后，我们知道这个正弦也好，余弦也好，它是有界量，对吧？小绝对值是小于等于一的，所以我们就继续往大了放松就行了。把你放成一，可以吧，那前面就是二 x 分 之一加上啊，这是二 x 加一分之一，后面 四分之一倍的四分之一倍的。好，这里我们现在整个都在往大了放缩，是吧？它也可以往大了放缩啊。又，这是积分，取决于值， 积分的绝对值就小于等于绝对值的积分，是吧？我可以把这个绝对值往里边拿一拿呀。可以吧，反正我往大了放松啊，这就是 x 方 x 加一的一个平方。好，取，取这个绝对值了啊， cosine t 的 一个绝对值，好，整个本来啊， 真的整整个，他俩应该写到一起的，我可以分开写吧，是吧？我分开写的目的是什么呀？因为 t t 是 正的呀，是吧？你这二分三次方也是正的，我想把你拿出来的意思，对不对？好，我继续可以往大了放松这里啊，是吧？靠近绝对等于它小于等于一，我就再把你放成一。哎， 一直就往往大的，放松就行了啊。好，你不放松的话，你处理这一块很难受，是吧？处理这块很难受，我们尽可能的放缩到这个一啊， 就变成长数的时候，你这积分你就会了呀，这搞成这个样子很难很难受，是吧？好，放成一了，这就是 t 的 负的二分之三四放 d t， 这时候啊，你就会 求它原函数了，这块都可以求出来了，加到一起你会发现就是它。好吧，你，你考试的时候啊，你如果真的不想算了，你直接出一个结果，可能会扣一点点分，那你就再把原函数求一下来计算一下就行了，是吧？二， x 分 之一加上这个啊，朝这前面朝一下， 我们看 t 的 负二分之三四方去求积分了，是吧？原函数求积分，这上面要加一个一，对没加一个一的话，加上二分之二也负二分之一了， 是吧？好，那我们这里原函数负二分之一，那是不是得补一个？它求导的话是多一个负二分之一吗？所以你要补一个负二，前面要补一个负二啊，系数不要忘了。好，这就是 x 方 x 加一的一个平方。 好，再写一步啊，再写一步就出结果就行了。加上，哎，这就是减去二分之一倍的，是吧？好，乘以我们看上限啊，这负二分之一次方不就是 开方分之一嘛，对不对？好，上限一代就是 x 加一平方，开方就是 x 加一嘛，再分之一嘛，是吧？这就是 x 分 之一，你看 是不是消掉一部分就剩我们想要的了？这里是加上它减去它这两块就没有了，是吧？还剩它跟这里减去负的，那加上二分之一倍的，加上二分之一倍的 x 分 之一，其实就是它的两倍吗？它两倍不就是 x 分 之一吗？ 是吧？也就是进行一个变量代换，这个题目啊，就做出来了，就是一直在往大去放松，是吧？用到啊这个 cosy 吗？有介量是吧？小于等于一，还有我们常见的这个绝对值不等式以及，哎，积分的绝对值小于绝对值的积分，还是这些常见的不等式，掌握一下就行了。 做一个题不会做也没关系，听完之后有所有所收获，那这个题做的就是有意义的好不好？好，这个题就讲到这了。

首先哈，我们二零二七年考研数学的话还得分数一、数二和数三，呃，我们内容的话和近几年的考试大纲内容是基本一致，没有什么变化，所以我们对于备考资料的一个选择， 只要求里面的话有相关的一些配套书籍，近几年和我们前几年的一个考试大纲基本不变哈。呃，首先给大家说一下我们数一哈，咱们考的是我们的高数，现代还有概率的一些内容，非常的全，难度系数也大，适合我们理工科专业的同学的话去 进行一个选择备考的。然后我们数二他只考高数和我们的限行代数，不考概率问题，他的内容的话比较少，但是计算量的话比较大。然后我们数三的话，他是这个板块的话，适合我们的一个农学哈。呃，或者是工文学类的同学会考的比较多一点，数三的话是我们经济管理学的， 数三的话是我们经济管理类的同学考的比较多，他考的话是高数，限性代数，还有概率的问题都考的多，侧重于我们经济的应用，适合咱们经济类管理类的。如果县级段咱们想要去备战我们二零二七年考研数学， 想稳稳上岸的，推荐大家可以入手我们章鱼老师主编的哈，考研数学的基础三十讲加我们一千道题。首先基础三十讲的话，目前分类的话比较多，这个的话是我们高等数学， 这个的话是限行代数哈。然后还有一个咱们这个的，呃，还有个概率问题，三本书的话都有，然后他专门给咱们二期考研的同学去打基础的哈，内容效果的话非常明显， 他开篇的话会有一个思维导图啊，让你去了解一下本个章节他的一个思路框架是什么，然后是以立体的形式去铺开这个知识点，给大家去 以点带面的形式去讲解，像这个的话是目录章节，然后紧跟其后的话就是我们的答题过程啊，答题流程，咱们每一道题有很多种解法，所以在解法的过程中，他有会有两到三种解法，让大家去进行 我们答题能力和答题水平，或者是见更多题型的一个讲解。然后买书的话，这个基础三十讲，他有赠送章鱼老师配套的视频课程啊，咱不用担心看不懂， 老师带你去学，打好基础，咱们后期的刷题的话才如有神助哈。然后看完书过后的话，再去搭配一下。我们的刷题利器就是咱们章鱼老师组编的我们经典例题一千道上册题本，下次的话，答案解析题的话是由我们的基础篇和我们的拔高篇，咱们基础薄厚的先从基础开始去进行海量刷题哈。 前面题本题的话是我们真题原题的一个模拟版，然后结合老师的一个章节板块去进行每章的所学巩固和加强，不会让你死记硬背，只会让你去进行刷题练手。结合我们的答案解析， 把我们的答题能力和解析思路还有解析视野更进一步的话去进行扩展啊。这个的话是我们的试卷测，然后答案解析测的话是非常厚实的，也是很详细的看一下这个解析， 我们的解析步骤，答题流程，还有我们的一个知识盲区，还有我们的一个得体要点，他都会给大家去讲的清清楚楚，明明白白。所以现在阶段咱们想要打牢我们考研数学的一个基础的，可以先用三十讲准备起来哦。

一千题正确率越高，你可能越危险。这话不是故意吓你，我见过太多同学，基础篇正确率七八成，信心满满进了强化片，结果被综合题打回原形，心态直接崩了。反而是那些一刷基础篇只对了三四成，老老实实回去补地基的人，后来二刷直接起飞，我自己就是后者。 我考研的时候，第一次翻开一千题基础篇，拿着三十讲的笔记，觉得自己准备的够充分了。结果呢？一道极限求职题，我用了三种方法全算错，一道变现积分求导，愣是把求导顺序搞反了。更离谱的是有道中直定力的构造题，我连辅助函数往哪个方向构都没想法， 一晚上做了二十道题，红叉比对勾多一倍，那种窒息感到现在都记得。你明明每一讲都听了，笔记都整理了，怎么一碰题就像没学过一样？ 我终于搞明白了，听懂和会用之间那道红沟有多深。章宇，一千题的设计逻辑，本质上不是拿来学的，是拿来验的，他默认已经把每个知识点的底层逻辑吃透了。大部分人刚听完三十讲，脑子里装的是一堆碎片化的记忆，但具体到一道题该从哪里切入，怎么串联多个知识点，计算中哪一步最容易翻车，完全没有形成体系。 当时面对复习中频繁出现的红叉，我意识到基础不牢，地基必歪。偶然间我发现了帮我针对性提分的智能型，后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的。这就是为什么很多人一千题一刷像在开盲盒，表现极度不稳定。 不是你不努力，是地基有裂缝，盖上去的楼当然会歪。先说一个很多人不愿意面对的事实，听懂并不等于会做。章鱼老师的三十讲讲的确实好，但一千题和三十讲的例题之间，隔着一道巨大的红沟。 学姐打个比方，这就像爬楼梯，如果习题测的难度相当于十五层楼，你需要从第一层开始。假设一杠三层是基本概念，八杠十层是多知识点组合，十一杠十五层才是综合强的难题。张宇，一千题假设你已经站在第十层左右，但实际上很多同学可能才在第三杠四层， 这就解释了为什么你觉得题目似曾相识，但就是做不对。而且一千题还有一个让新手头疼的地方，一题一个，解法很零散，做完之后的感受就是答案眼花缭乱，解题思路混乱。 传统习题测能帮你从一百到一百三十，但无法帮你从零分到一百分。从零分到一百分，这个过程要靠我们自己来补充。学姐当时就是被这个问题卡了很久，后来发现了智能型。 她做的事情说起来很简单，把知识点划分的够细，然后给你一条从最基础到综合应用的完整路径。以函数极限为例，传统教材可能只分为三个类型的不定式，而其实在每个不定式下都有几套适合不同场景的技巧，并不是粗略的指导方法就可以。你在智能型上把一个专题刷到等级三，对应的知识点就算真正吃透了。 我当时的体验是，智能型刷到三级满六六零八八零一千，这些题测一刷正确率都在百分之八十至九十以上。这不是学姐吹，是平台跟踪了五千名同学的数据得出的结论。如果你现在刷的很痛苦，不妨先点击下方的智能型传送门，把对应专题练到位。 很多同学问学姐，二十七版一千题和二十六版有啥区别？章鱼老师提到了两个变化，一是加了知识点，二是计算量更大了。但说实话，风格上和二十六版没有本质差异。不过有一点值得注意，章鱼老师说，二十七版增加了一些他认为会再考的冷门知识点。 这个判断是有道理的，因为考研数学命题具有规律性，冷门考点一旦出现，往往会连续考好几年。比如二五年考了引力的定期分应用，二六年果然又考了。本质上就是要求学生真正掌握如何去进行微元法。类似的还有复利业、极数方向、导数、欧拉方程，这些冷门其实都有迹可循。 冷门知识点覆盖最全的一直是智能型，与其猜今年会不会考，不如把智能型上的考点一个个过完，该覆盖的自然就都覆盖到了。计算能力如果不强，平时不自己好好的去计算，遇到计算题就交给答案，你练不出自己的计算能力，这个在考试的时候要出大问题的。 学姐的经验是，很多计算问题都是小的知识点概念不清造成的，比如你记分公式记的不扎实，或者三角函数变换不熟练，就会导致计算过程中频繁卡壳。智能型在训练你解析的同时，其实也在训练计算，因为它的每一道题都要求你自己算出来，不是选，选 a、 b、 c、 d 就 完事。 所以面对二七版一千题，学姐的建议非常明确，不用就选版本差异，核心是你的底层能力够不够，底子打好了，什么版本的一千题你都能 hold 住。章鱼老师说得很清楚，把这名题抛掉后，统计正确率，二刷保持在百分之九十左右，就是合格水平。 学姐先明确一个标准，百分之九十正确率不是一刷的要求，而是二刷的目标。一刷的时候，最重要的不是做对多少题，而是暴露问题。每道题给自己五分钟独立思考的时间，如果五分钟还没有思路，就去看答案，听视频讲解， 别觉得看答案丢人，题目见得多了，总结多了，你的 input 多了， output 慢慢就会变多。但学姐特别想强调一点，不要忽视五分钟思考的过程，就会训练你独立思考的能力和遇到新题时候的心态。很多同学要么一看不会马上翻答案，要么死磕半小时钻牛角尖，这两种都不对。五分钟是一个经过验证的黄金时间。 一刷的核心动作是做好标记，做错的题，标红做对但思路模糊的题，这些就是你二刷的重点目标。二刷的根本原则是优先刷错题加做对但依旧模糊的题， 千万别从头到尾再来一遍，时间根本不够。为什么大家学的这么痛苦？因为完全不知道自己的真实进度。学姐当时就深有体会，后来用了智能型，他有一个能力进度条，你能清清楚楚看到自己每个知识点掌握到了什么程度。假如你知道考研数学一共就六百个考点，弄懂了就没有新的了，是不是突然感觉没那么可怕了？ 只要像打游戏一样，把六百个属性都练满，把进度条涨上去，练起来就会复习。很笃定知能行，就是把这套逻辑做成了产品，你能看见自己在哪些点还差哪些点已经过关，复习的方向感一下子就有了。二刷结束后，别急着扎进强化阶段，花几天将知识点巩固一遍， 温故而知新可能一轮复习被隐藏的问题，就等着这个时候你去发现它。这一步很多人会跳过，但学姐的经验是，这几天的巩固比多刷五十道新题更有价值。 张宇老师的建议是，最晚最晚七月中旬结束一轮基础复习，包括高数、现代概率论。如果进度稍慢，你需要增加每日数学学习时长。先把刷题的节奏适当放缓，多多回顾已经学过的重难点和公式，把解决掉的错题重新回顾一遍，把基础夯实。 基础到强化阶段，也就是现在到九月主攻之能行。这个阶段不用太纠结基础和强化的界限，重点是九月前要达到真题一百二十分的水平，记住，达到目标才是关键，具体过程因人而异，不要每天在焦虑我是不是进度太慢了。 学姐建议的完整节奏是这样的，智能型，一个专题练到等级三，后期配合 ai 猜功能，开始刷一千题，六六零八八零的对应专题， 这时你的一刷正确率会在百分之八十至九十以上，你会发现，原来让你崩溃的一千题刷起来突然顺畅了。冲刺阶段，智能型，每天练半小时，保持手感，重点转向模拟卷和近年真题训练现实做题的能力。学姐也是从一站一零八到二站一百四十三，中间吃了很多亏，才摸索出这套方法。 一千题不可怕，零基础也不可怕，先把地基打好，百分之九十的正确率自然就来了。当你能够熟悉各个基本题型的标准解法，回头再看一千题，会发现原来也就那么回事。时间是悄无声息的，它在默默度量着你的努力，各位加油！

接下来我们讲一下先行代数啊，这块的题呢，它没有高等数学内容多，也没有高等数学难，所以希望大家用心一点，先行代数是可以拿满分的啊，希望大家都能拿满分啊。第一题 f x 等于零的根的个数，我们就把行列式进行化简，是吧？那你看一下啊，这个第一列，它是 x 减二，这有二 x， 这有 x 二 x。 同样的啊，所以我们以第一列为基础，然后第一列的负一倍加到第二列，第一列的负负一倍加到第三列，第一列的负一倍加到第四列， 可以消一些，消一消，然后就会出现一些零出来了啊，我们的目标就是整出来尽可能多的零。负一倍加到第二列，看一下，二减一，一，二减一一，然后三减二是一，那这个是负三。 好，第一列的负一倍加到第三列，这是不是零了呀？好，这也是一个零了，这是 x 减二，这是 x 减七了，负一倍，第一列的负一倍加到第三列，那就是二减三负一，二减三负一， 这个呢，是负二了，是吧？就是三减五嘛。好，这个是负三。好，我们看一下，还可以整出来零，不？可以啊，我们把这个第二列加到第四列，是不是 这个给它抄下来啊？第二列也不动， 第三列也不动，尽可能整对零出来，第二列加过来，这是零，这是零，这是一个负一，这是负六了。 好，这怎么去算呢？哎，你看这四阶的，四阶的出现了零了，他不就是提醒你给他矩阵分块吗？是不是我们分成四块，这就考的是拉普拉斯展开式，你看是哪一种呀？ 嗯，是斜对角线啊，这个负对角线是有一个零矩阵的是吧？就是考的这一个啊，所以它的一个结果就是这个矩阵的一个行列式乘以这个矩阵的行列式。我们去给他写一下啊。 第一部分，它，它的一个行列式怎么算啊？ x 减去二，二阶的是吧？ x 减去二，再减去二， x 减二 好，乘以啊，就是乘以后边的这个行列式的值， x 减二，乘以负六，我们乘以负六啊， 减去负一，乘以 x 减七，那就是减去七减 x。 好， 你再整理一下啊，这块的话，这里边就只剩一个负 x 了是吧，后边的我们看一下啊， x 这里啊，负的六啊，直接写了负六， x 加上十二减去七，加上 x， 这就是负五， x 加五是吧，负五 x 加五， 你是不是等于零呀？啊，那么我们这里可以求出来了呀，五倍的 x 的 平方减去五 x 等于零， 五 x 提出来，哎，这不是两个根吗？二次方程两个根是吧？一个零，一个是一，所以选的是 b 选项好，就是行列式的话啊，这个考眼力劲的，你把零给他整出来，然后 零越多越好，是不是啊，考了一个拉布拉斯展开式啊，四节方程给它化成方块矩阵。好，这个题目就讲到这里啦， 设这个行列式是等于他 a， 四阶的 a 一 j 是 不是是表示元素的啊？代数与子式，求 a 一 一减去 a 一 二。 那这里再给大家回顾一下基本知识啊，有时候啊，你再不回忆的话就总弄错。有同学啊，都考到最后了，就考研备考到最后了，还不知道代数与子是啥呢。 好，那代数与子式跟与子式啊，就差了一个正负号呀，注意啊，它，它是带符号的啊，就是带符号的，你就这样记就行了。代数嘛，是不是带这个数好，就是带这个正符号的意思，那么这个题目呢，它就有两种方法，首先最 最能想到的是吧，最普通的一个方法啊，这个是大家都得会啊，通， 哎，你就是用这个代数与子式，是吧，给他去求就行了。好，那你看一下 a 幺幺， a 幺幺等于谁啊？哎，把第一行第一列的这个给它去掉啊，这个数给它去掉，还剩的是不是这个三阶的啊？行列式。 那你那你这个代数代数要把这个数带上啊，你看是第一行第一列吗？所以这样的好，乘以它的一个余字是，是吧？好，幺幺，那么剩下的我们看啊，给他抄对了啊，负一一，负二二，负一零三四， 好，给他求一下啊，这个直接就是一个一了，不用管了啊，好，这简单呀，是不是 把第一行呀看成一个基础啊，把以他为基础去进行化简，他的一个两倍乘到第二行啊，加到两倍加到第二行啊，那么这是一个零，这是一个零，这是一个一。 好，这个就不用动了，我们再按照第二行进行啊，展开是吧，第二行的话，这样，哎，这样的话只有就是负三，好，负三， 因为你第二行啊，你这个这个是第二行第三列的一个啊，你得有一个符号，或者你直接按照第一列进行展开啊，按照第一列展开是不是？这样的话看也可以啊，负三啊，怎么都是负三， 我们再算一下 a 幺二，把第一行第二列给它去掉，剩下的三阶的给它写一下啊，注意是代数与子式要带个符号，第一行第二列，所以它有一个符号， 把与子式往这一写，负的好， m 一 二，这给它抄下来啊， 抄完了，那么我们一般啊，是以第一行或者以第二第一列啊，第一行或者第一列为这个基础进行化解嘛，但是你看这有一个负二，我要是以它为基础，第一行为基础的话，得乘一个二分之三加到啊，这个第二行是不是 才能把第一个这个给他搞成零？但是啊，这你分数出现容易出错啊，大家又再去找其他的，你看这多好啊， 直接看他呀，是不是以这个一为基础呀？好，我们直接把第一行直接就加过来了，你不用去盯着他看，你盯着他看，是不是？好， 我们把第一行加到第二行，这就变成一个零了呀？好，这是一个一，这是一个一，我们把第一行的负四倍，负四倍，然后再加到 第三行，哎，这又变成一个零，是不是？那你负四倍的话，这是一个七，这是一个八。好，这有两个零出现了，我们可以去化简了， 这丢个符号，是不是？这符号还不能丢，我们按照第一第三列展开。哎，这样的话，直接七减八，是负一，负一，前面有个负一，所以是一个一，是不是？ 好，这是负三，减去这个 a 幺二是一，所以是负四，可以做出来。好，第二个方法， 给它补成一个新的行列式，去求新的一个行列式的一个值。我们看啊，这个是 a 幺幺，减去 a 幺二，是我们求的哎，我后面给他补一个零，可不可以啊？零倍的 a 幺四， 我们现在盯住这个系数啊，这是一个一，这里可以给他写成加上负一，没问题吧？这加上一个零，加上一个零。好，我们的行列他就等于这样的一个行列是按照第一行展开， 你看系数，一负一零零，是不是第一行啊？给他写成这个系数负一零零，其他的抄下来 好看一下，是不是这个样子啊？我们按照这个行列式的一个第一行进行展开，是不是一乘，以它对应的代数与子式加上负一乘以它对应的代数与子式加上零乘以，加上零乘以， 这个样子是不是就是这个行列式啊？我们按照第一行进行展开，那么我们只需要去求这个行列式的值就可以了呀， 这里大家不要去迷惑呀。嗯，就是说有同学说，那你说是按照第一行进行展开，为什么就求这个行列式的值就可以了呢？ 我们行列式的一个值可以怎么求呀？按照任何一行进行展开，任何一列进行展开都可以啊，算出来的结果不就是行列式的一个值吗？是不是啊？我们只需要把这个值给它求出来就行了啊？ 只是说我们这个意思是按照第一行进行展开，那不也是去求他的行列式的值的意思吗？哎，不要去把自己绕进去啊。好，我们去观察一下， 这有两个零了，哎，我们看着第一，看把第一行能不能再搞一个零出来，是不是？哎，这个可以啊，我们把第一列加到第二列，这不就是这个位置，不就出现一个零了吗？好， 这就变成一个零，这是一个负一了，这是一，这是零。好，后边这两列抄下来， 这抄抄的时候认真一点啊，那你第一列是不变的啊，也抄下来。好，你这就就好做了，是不是我们按照第一行进行展开 用这笔画啊，因为这个容易给它画的乱七八糟的啊，这个容易，这个笔笔色给它掩盖了。好，你看这个就掩盖了啊， 这有一个一啊。好，那剩下的三阶的负一负一，一二负一，零三四，是不是 这有一个零？哎，我们这里能不能出来一个零呢？可以啊，第一行加的第二行就可以了呀。 好，第一行你是作为一个基础往这一放。好，你加的第二行，这是一个零，这是一个一，这是一个零，这是一个零，这是三，这是四。好，我们按照第一列进行展开， 第一列的话，这有一个负一，不要忘了啊，那么第一行第一列这是一加一，这个符号就没有了啊，然后再看这一个啊，这个是四四，减去一个零，是不是也就是这个四啊？所以就是一个负四，是不是？ 好，这个题啊，这个方法大家得学会啊，这个这个方法得学会，因为在考研里面，他有时候就是会给你出一些呃， 这样的题目，就是让你去灵活应用的意思啊，它是让你灵活应用的意思，要灵活的去理解这些行列式的一个展开，是不是？好，这个题目就讲到这里了。 好，我们讲啊，就是涉及到啊，一个行列式，让你求它的三次方向啊，二次方向啊，一次方向或者是常数项。 哎，他的一个系数为多少的话，咱们真体面也多次考到了，那这里呢，推荐大家用行列式的逆序数法定义去求，准确率更高。 好，那当然了，有同学我就不学，我就要就是按照某一行某一列进行展开，我去看一下三次方向的前面系数为多少。可以，但是你会慢， 哎，你像这个题你，你就比别人慢啊，那他如果出四次四次向了啊， x 四次方向的一个系数的话，真题已经也已经出过了啊， 你这个计算量就更大了。你去展开吗？是不是按某一行某一列进行展开？你没有啊，按照这个定义更快啊，所以希望大家把这一块啊，咱们再去 梳理一下，给它搞清楚，见到这一类型的题，咱就先用逆序算法去做。那有，那假设你考试真的忘了，那你再去是吧，再慢一点，用来展开式的，按某一科和某一列径展开，全部展开，看一下，数一数它的一个系数加到一起是多少。好吧， 那这里因为它是 nj 行列式的定义，很多同学呢，看的有点头皮发麻，是吧，那我们就举简单的例子，三 j 行列式去理解一下这一个逆序数法怎么去定义的行列式好不好？ 好，我们看啊，这里的求和其实说的是这里的意思，是吧，表示对所有 n 个列下标。哎，排列进行求和，我们先别求和啊，先进行列下标，排列以三阶行列式为主。那么列下标的话，是不是就是一二三呀？ 好，列下标是一二三进行排列，有几种情况呀？那肯定就是三的结成像是吧？有这么多有这么多种情况啊，有这么多种情况。一二三，我们写一下呗。一三二是吧？二一三， 二三一三一二三，二一。是不是三的结成有六种情况呀？对，首先这个，哎，我们给他改了啊，三个列下标进行排列，然后再求和。求和是怎么个求法？我们继续往下读。好吧， 注意到行下标已经顺排了，看到没？ a， 是 吧？这是，这是求和，我们不求和的话，抽出来某一某一项的话啊，某一项的话，好，你看它的一个行是不是 这个行标是不是顺序排列的？这个是行标啊，一呀，二呀，接下来是三呀，是不是顺序排的呀？你看我们这里啊，你看行标一二三一二三一二三一二三一二三一二三，是不是行标已经顺排了，这个是前提条件 好，当然了啊，你如果把这个定力啊，给他这个，这所所有的这个列换成行，所有的行换成列也是 ok 的， 只是我们更习惯啊，行下标顺排，这样做题更顺手一些啊。 好，而列下标呢，是任一个三级排列，我们现在啊，就是以三阶行列式为主嘛，是任一个三级排列，那不是这六种情况吗？ 而每一项呢，是取自不同行不同列的好，三个元素进行乘积，这就是每一项啊，我们已经说了，总共啊，这个 列下标进行排列的话，有六种情况，是吧？然后把行标啊行标都是按顺排的，一二三一二三一二三。好，他们就组成了六项，是吧？六项进行求和，你看六项啊，二三 四五六，六项求和，每一项好，每一项啊，这每一项都是取自不同的行，不同的列，这个一定要记住，是不同的行，不同的列啊。好，三个元素的乘积，三个元素转成到一起了。好，组成有六项，这个能理解了吧？好， 那我们再看啊，每一项的一个正负号取决于这什么呀？这其实就是逆序数的意思， 怎么去啊，把这一个正负号确定下来呢？好当列的下标啊，因为我们顺排的是行啊，所以我们去看列的一个下标为基排列，那么前面加符号列的下标呢？为偶排列，那么就加正号，好列下标啊， 其实就是去看我们刚刚说的有六种情况列列下标啊，排的时候我们这里就是一个用掏来表示，就是去求逆序数的意思，我们就把这种情况啊列下标给它搞过来。一二三，好，我们看一下这个逆序数是等于多少？等于的是偶数的话，那么这一向前面就添个正好， 如果啊，这个涛的逆序数等于的是基数的话，那么前面就填一个符号，是这个意思，我们看逆序数怎么去求啊？一二三，逆序，逆序，它就不是顺序呗，它是逆着的，我们看它的一个逆序数，好，一，是不是比二 哎大呢？不是，因为逆序的话，前面哎比后面大才叫逆，前面比后面小，那就顺了。好，你比你小，那就不是逆的，是吧，你也比你小。好，看完了再看二，哎，你也比你小，好，那就没有逆序数，逆序数啊，逆序数就是零啊，我们再看他， 先看一一，跟他比小小，不用管了是吧，比他小，他就写个一，逆序数就是一，是吧，那就，那就看完了呀。好，那我们再看这一个， 那二一三嘛，这种情况了，他比他哎大是吧？大的话，那这就写个一，他比他小哎，小不写。他比他小哎，不写是吧？因为我们写逆的嘛， 所以逆虚数就等于一，我们再看二三一的，二三一的话，那先看二，他比他小，没问题，小没问题，不管是，哎，不对不对，二比三是小没问题啊，但二比一是大的，对不对？逆啊，逆着了，二比一是大的。好，那就填个一，那我再看他，他比他大，那再填个一，是不是小，没问题？ 大就得写过来了啊。好，就等于二，我们再看他，他比他大，他比他大。好，三，这边就得是对应一个数字。二是吧，他比他小，没问题啊，不管了， 那再看他好，他比他大，他比他大，是不是要写个二呀？好，他比他大，再写个一，所以二加一等于三，是不是？好，我们这些数已经求出来了，看谁是基数吧。这这三个是基数，所以 这个一三二二一三啊，三二一，这个列排列就是我们的列的一个序号啊，是这三三种情况的，那么前面就要填符号，因为逆序数现在是基数了，看到没？基数就是基排列嘛，前面填符号，这三种情况，你看这三种情况， 就填一个符号，其他的就是正号。那我们再去说一下啊，好，就是这三， 这每一项啊，都是有不同行不同列的一个元素，是吧？哎，进行组成的，我们去看啊。好，这个时候呢，因为我们刚开始就已经给大家说了啊，咱们就是建议就是行标顺排，然后去看列表的一个情况，列表进行啊，排列是吧？求和。好，那么我们做这样的题的时候，哎， 怎么就快速的啊，把这些都给他写出来呢，对不对？这是四阶的，这是一个三阶的。好，我们说怎么去去做这件事了，那些四阶的怎么写呢？不管三阶、四阶还是五阶啊，同学们，记住，怎么去做这样的题啊？记忆方法， 我们平时想一想啊，给你一个三阶行列式的话，那么大多数同学怎么去把这个行列式做出来啊？就比如说一个具体的啊，一二三啊，四五六啊，七八九啊，一个行列式，你怎么做出来？大多数同学，咱们是不是都是按行或者是按列进行展开啊？对不对？ 好，那么你就这样去记。记忆方法，给了一个行列式这样的题，你就记住按第一行展开， 按第一行展开，你去看一下啊，你看，你看一下啊，咱们按照我们大多数同学做行列式题目的一个方法啊，按第一行展开的话，我们先去写一写啊，好，是不是 a 一 一乘以代数与子式。代数与子式是谁？ 去掉第一行第一列，是不是他呀？好，我们写过来，那就是 a 二二 a 三三，减去 a 三二 a 二三， 代数与子式，它有个正号，是吧？正号就不写了啊，按第一行展开，然后再去看一下，加上 a 一 二乘以代数与子式，好去掉第一行第二列，所以它有一个负一，是不是？好，与子式看一下，那就是它俩相乘，减去它俩相乘吗？好，写一下啊， a 二一乘一个 a 三三，减去一个 a 二三乘一个 a 三一，是吧？继续啊，接下来是加上 a 一 三乘以好， a 一 三，代数与子式啊，一三的话，那就是正一，是吧？乘以与子式与子式，就是它俩相乘，减去它俩相乘啊， a 二一乘以 a 三二减去一个 a 二二乘一个 a 三一，是吧？你把好我们写的啊，这三部分你给他拆一拆，全部拆开之后就是这六部分，你看是不是 a 一 a 二， a 三三，是不是他？你看这一部分呢？ a 一 一， a 三二， a 二三， 是他吧？前面有个符号对不对？你再继续负的 a 一 二， a 二一， a 三三，是不是他再看一下后面的这个符号，这个符号就正好了啊？正好 a 一 二， a 二三， a 三一，对不对？然后这两项，哎，就是就是他。所以说我们做这样的题的时候，你就记住， 哎，我们平时做做题的话，就是按照第一行展开，但我们现在不是第一行展开，对不对？我们是按照逆序数法去定义的，但是，但是这个按第一行展开之后，我们知道你给他整理完之后，他就是这个逆序数法，逆序数法定义的行例式，对不对？ 当然了啊，你继承按照第二行展开，或者是按照第三行进行展开，那么 你展开之后跟我们刚刚写的一样啊，三三部分吗？然后你成进去，成完之后，你会发现还是这六部分， 不管你是继承按第一行展开第二行、第三行，或者好，按照第一列、第二列、第三列进行展开，你把它们拆分到底，都是这六项，懂这意思吗？我们可以去试一个 按照第二行展开的，可以吧，让大家彻底的理解这一块啊，按照第二行展开的话，就是 a 二一乘一个代数，一字十，是吧？ a 二二乘以 a 二二， a 二三乘一个 a 二三，好， a 二一的代数与子式就有一个负一。哦，好，那么余子式写一下啊，去掉第二行第一列是不是？那就是 a 一 二乘一个 a 三三吧，减去一个 a 一 三乘一个 a 三二，好，继续 a 二二乘以 a 二二， 好，把余子式写过来就行了啊，前面是个正号，是不是？好，他俩相乘， a 一 一乘，一个 a 三三，减去一个 a 一 三乘，一个 a 三一，好，继续去掉第二行第三列， 第二行第三列，所以这是负的了啊， a 二三乘以余子式，好， a 一 一 a 三二，减去 a 一 二 a 三一。你整理整理，是不是这六项，你看一下啊，我们先看这块吧，这里有个符号，这是负 a 二一啊， 负的 a 二一，我们看这里在哪里啊？ a 二一的话在这里。好，是不是负 a 二一负 a 一。 这个啊，就它第二部分，这负负的正啊， a 二一 a 一 三， a 三二 a 二一 a 一 三， a 三二，对不对？你再去看这一块，好，这我就不说了吧，对不对？你拆开之后啊，拆到底之后，就是啊，这六项，不管你是啊怎么去记， 那我们一般来说更习惯啊，就是按照第一行展开去记，对不对？我们按行的话，其实就是这里的行标都已经排列好了，如果你是继承按照第一列进行展开，那就是，哎，列表已经顺排，那就是行所有的 n 个行，是吧？下标排列求和， 咱不用去记那么多，你就记住，这样的题出现的时候，你就按照第一行展开，我们拆分到底，就是逆序数法的一个定义，那 关键点就是要记住逆序算法，逆序算法定义啊。好，这这这里面的每一项都是由不同行不同列的好三个元素乘积组成的，是不是？好，我们去取元素，就说做这样的题，你得知道取元素 是吧？我第一项要取三个元素吗？第二项要取三个元素，好，怎么去取？你看我们按照第一行展开这个这个记忆吗？是不是？好，我先去取第一行的， 那么取了 a 一 了啊，那么对应的行和列第一行第一列都不能再取了，是不是又有不同行不同列啊？第二个元素呢，只能从这些里面去取了。 好，第二元素我可以去取你是不是？你看我第二元素取你啊，当然我第二个元素的话也可以取你待会再说。我第二元素取你之后，第三个元素就对应的啊，第二行第二列都不能再取了，对不对？第三个元素只能取你，你看 是不是取完了啊？这种情况取完了，那他前面是正号还是负号呢？就根据我们说的逆序数是吧，好，去判定就行了。那接下来第二项，第二项的话，我们刚刚啊取了这个元素了，第一行好， 第一点都不能再取了啊，第二个元素，那么我们刚刚第二个取了它，我们现在不取它了，第二个取它，就这种情况是不是？好，那第三个元素呢，就不能取对应的这一行和这一列了，是不是你对应的行和列都不能再取了？第三个元素只能取你，你看你是不是会写了？会写怎么把这六项给写出来了呀？ 好，它前面是正负号呢？那你就看一下它的叨等于谁是吧？奇数还是偶数？我们再看第三项怎么去写啊？我们刚刚是不是好，这个 a 一 取完之后，所有的情况都已经搞完了呀？是不是？第二第二个元素要么取它，要么取它已经结束了。 好，接下来呢，就是盯住它，对不对？我们我们这个啊，本质就是按照第一行展开嘛，是不是？所以啊，这个第一行的啊，第一个元素已经讨论结束了，接下来讨论啊，第一行的第二个元素了，好，我第一个元素我取 a 一 二的话，你看，我取 a 一 二， 那么第二个元素呢？就不能取他对应的行和列了，是不是？第二元素只能取你或者你？好，接下来我第二元素取你的话，取你啊，好，第三个元素就不能取好对应的行和列，就你对应的行和列不能取了，那只能取你，是不是？好，那还有还有一种情况，就是我第一个元素取你， 第二元素我不取你了，是吧？我取你，那就这个了，是不是？哎，我取你，那第三个元素就不能取对应的行和列了，那就只能取你，看到没有，你就会写了啊，怎么把 这个逆序算法定义的行列？是啊，给他写出来几项，对不对？接下来呢？你第一行的，你看总共总共三个元素，你得讨论完吗？第一个第二元素都讨论完了，那接下来是他是不是？好，第一个元素我娶你的话，第二个元素就不能取对应的行和列了， 那第二元素可以娶你和你，是不是？如果我娶你的话，好，第三个元素只能娶你，看到没有，是不是？那我第二个元素我娶你呢，你看第三个元素呢，只能娶你，是不是写出来了？哎，现在我相信同学们啊，应该会去写逆序数法的好这个式子了， 是不是？哎，给你一个三阶行列式，你得知道逆序数法定义的话，他就会有三的阶成像，对不对？也就是有六项，六项之合，那么这六项的话， 每一项都是有不同列不同行的三个元素进行组成的，这三个元素怎么去取呢？那么就盯住第一行吗？是不是盯住第一行，我先取，你取你完之后，好把所有的，哎情况讨论完，是不是就两种情况吗？ 然后我再盯住第一行的第二个元素，是不是？然后再去把情况讨论完好，再去盯住第一行的第三个元素，好把剩下的，哎两种情况也都给他讨论完了，就是情况都给他考虑到位了，是不是也就相当于按照第一行进行展开吗？我们盯住第一行，对吧？好，那 我们去学这一块的目的主要是解决这一块的一个题目啊，你看他简变在哪里呢？简变在哪里啊？好，你看这样的题，一般来说 行列式中含有 x 多少次方向的一个系数？好，我们这个题的话就是含有 x 三次方向的系数。好，咱们逆序数法定义的话，你看每一项不是有几个数相乘的吗？几个元素相乘是吧？乘出来之后它可能是 x 零次方向，也有长数项， 也可能是一次项，也可能二次项，也可能三次项，也可能四次项，是不是？那么我们关注的是 x 的 三次方，对不对？你这个里面乘完之后有 x 的 三次方，是我关注的， 是吧？你这个乘完之后是个零了，这个乘完之后有 x 平方向，我根本就不关注这些，根本不关注这些，我只关注这些，所以说我们只需要把我们关注的给他挑出来，你看你这不就简变很多吗？对不对？好， 那对于一个这个题，四阶的一个行列式的话，如果让你写他的逆序数法的啊，一个 定义的话，他有几项呀？是不是四的阶成像也就是四三二一。 好，二十二十四项对不对？加加减减有二十四项啊，每一项呢，都是有不同行不同列的四个元素 相乘，对不对？好，那虽然有二十四项，但二十四项里面含有 x 三次方向的可能就就一两个或者两三个，那我们给它挑出来不就完事了吗？怎么去挑啊？就是取元素吗？怎么挑？盯住第一行吗？是不是 盯住第一行就会把所有的情况给他讨论完？是不是我们先去看第一行的啊？第一个元素？好，如果啊，我四个啊，我每一项不是有四个元素吗？好，我第一个元素取的是你的话，是不是先以他开头啊？我第一个元素取你的话，我第二第三第四个元素看一下。 第二个元素只能从这些里面取，是不是？我不能跟你同行同列啊？我第二元素可以取你可以取，你可以取你，我们写一下啊。好， 你看第二元素，我可以取 x， 可以 取二，可以取负一，如果我选 x 的 话，好，去掉第二行第三列了， 也就剩下元，剩下的两个元素只能从这这些里面去挑，对不对？好，那我第三个元素我可以去挑你，当然也可以挑你，是吧？好，第三个元素啊，你看如果这种情况的话，你别感觉很复杂啊，我们写写就发现没有那么复杂啊。 第三个元素可以取 x， 可以 取一吗？我如果取你的话，你看第四个元素只能取你了，是不是？第四个元素只能取你，那么你们一乘就是四次方了，我想要的是三次方向，是不是？所以说这种情况是不行的，哎，不行啊，擦掉，那如果我第三个元素取的是你呢？ 好，你第四个元素只能取你，是不是？那你看，那是两个 x 相乘呀？ x， x 一 跟一，是不是乘完之后是两个 x， 我 们想要三个 x 啊，这也是不行的。 好，那我们再去看一下第二个元素取二或者是负一呢，行不行呢？第二个元素你一定不要讨论漏了啊啊，写一写这样的题，写两个就就就会了啊， 第二个元素我娶你的话。好，第三个元素只能从这些里面去挑是不是？你看啊，不管第三个第四个元素怎么挑，也最多挑出来一个 s， 是 不是最多挑一个 s， 那 你们称完之后最多就两个 s， 不 行，是不是？那如果第二元素挑你呢？ 你第三个和第四个元素啊，最多就是挑出来一个 x， 因为剩下两个元素只能从这些里面挑，最多就只能挑一个，是不是？你乘出来还是啊，不管怎么乘啊，乘出来也最多就两个 x， 不 行了。所以说 我们啊，就是说就有四个，就是每一项有四个数相乘吗？那么第一个数你是取你的话不行了，对不对？那我们接下来就轮到你了啊，把第一行搞完，就把所有情况讨论完了吗？好，我四个元素啊，我现在第一个元素是你，是不是你了啊？好，第二元素呢？挑挑挑啊，好看一下啊， 我第二元素如果，哎，直接就不用去第二元素啥了，你瞅瞅啊，我剩下的三个元素只能从这些这些元素里面挑，是不是这些元素里面你看啊，最多就两个 x 嘛， 我只能是把你这两个 x 都挑出来，才能达到我想要的，是不是我想要的就是 x 三次方向，其他的我不关注啊，对不对？所以说如果啊，你第一个元素取的是你剩剩下的啊，剩下的这三个元素里面必须要把这两个 x 取出来，是不是必须把这两个 x 取出来？那你看一下啊，怎么去把它俩取出来， 好把它取完把它取，把这两个必须要取出来，那么第二元素只能取你，是不是第二元素只能取你啊？那第三个第四个你去把它对应的啊？哎，这个元素的位置写一下，这就是第一行第二列，是吧？这个一呢是第二行第一列，这个 x 呢是第三行第三列，这个 x 是 第四行第四列， 对呗，待会我们去看他前面的是正号还是负号吧。好，先给他写一下啊，是不是你看我们四个元素里面第一个位置取你的话，只有这种情况，没有了，你自己随便取，你看我取你之后，我剩下的如果第二个取你， 你看我这个第一对应的啊，这样再划掉，然后我第二个如果取你的话，你看你就不可能再来两个 x， 是 不是你取完它之后，你必须要把这两个 x 取到？好，只有这种情况了啊，所以我们接下来就讨论你了，是不是你的已经讨论完了，剩下的根本就不需要了， 接下来我们就去看好你了，是不是？好，如果第一个元素我是取一的话，去掉第一行第二列 接下来的啊，这三个元素只能是从这些里面挑吗？是不是你挑的话，你最多就挑出来两个 x 对 不对？你最多挑出来两个 x 啊？那你看一看，你 最多两个 x， 我 们说了最多两个 x 啊，你三个里面最多挑了两个 x， 他 们四个相乘完之后最多就两个 x， 是 不是不行？所以说你，你开头的话，情况结束了，根本别的都不用去讨论了，是不是？好，那就是娶你了，第一行要搞完吗？是吧？一个依次的给他讨论完啊。好，剩下的 这是第一个元素，我取二 x 的 话，好对应的行和列叉掉啊，接下来呢？接下来你看还有两个 x， 必须要取到，必须要取到乘完之后才有三个 x 吧，是不是我要取到你， 我要娶到你，把对应的横格列要划掉啊，那就还有一个你，就是你，是吧？你看这谁啊？二 x x x 二，把对应的位置写下来啊，这是 a， 第一行第四列，这是第二行第二列，这是第三行第三列，这是第四行第一列， 对不对？没有情况了，你看到没有，我第一个元素娶你的话，只能是把我们挑的这种情况挑出来就行了，其他的怎么娶都不行，不可能乘出来是有 s 三四方，对吧？比如说我娶你， 我再娶你是不是？你怎么乘出来三个 s 码？你看其实情况很少，对呗，满足我们题里面条件的啊，就就这两种情况。所以说同学们啊，学一学，你做两三个题之后，你发现很简单的啊，接下来我们去看他的系数了啊，看一下掏吧， 咱们是按行取的对不对？按行取的，那就是行标已经是顺排了，看列表的这个逆序数啊，好，二一 二一三四，对不对？你看二一三四嘛，掏等于多少呢？二比一大，好，大写一下，二比三小，二比四小小就算了啊，不管一比三比四都小，不管了，三比四也小，没了，对吧？好，掏就等一，我们说这是 g 排列， g 排列前面要填个负号， 对不对？所以这块的话就是负的 x 三次方那个。再看这一块啊，好，他的掏等于多少？四二三一， 四比二，四比二大呀，四比三也大，是不是四比一也大？所以这对应的因素是个三。继续看，他比他小，他比他大，加个一， 他比他大，是不是加一个一，那就是三四五五五是个基数，基排列，基排列前面添个符号，所以这块乘完之后，你看等于多少？就等于负的 这个四的 x 三次方，是不是？那就这这两项一加，那就是负的五的 x 三次方，是吧？ x 三次方向的系数就是负五，就是负五，是不是他有很多项，总共不是二十四项吗？只有两项含有 x 三次方向，剩下的都不含有 x 三次方向，我们不用去关注对不对？ 所以同样把这一块一定要梳理清楚，给他搞清楚，搞明白。这样的题绝对是迎刃而解的啊，非常简化你的一个计算量，减少你的一个计算量啊， 好，听不懂的再听一遍，再听一遍，一定可以听得懂啊，你不要再傻傻的啊，这四节行列是是吧？把第一行直接按照第一行展开，又去代数与指示，你得算半天啊，是不是你得去算半天啊？好，梳理，总结清楚， 这是四阶的行列式，零还是比较多的啊，挺友善的呢，那么我们可以按照第一列进行展开呀，是不是？哎，第一列有两个零，哎，第一行也可以。好，第一列的话，那么首先是它 一乘，以它对应的这个代数与子式，第一列是不是那么剩下的是三阶的 往这一抄，哎，这就是一个上山脚啊，很不错，我们再看接下来的第一列展开吗？还有这个，还有这个第四行啊，第一列是吧， 这是一个 a， 第四行，第一列好，对应的鱼子式好， a 零零一， a 好看一下，这很好做了啊，这个是符号，是一个一，不用管了， 这个是一个上三角呀，所以直接就是一个一，后面这个是负 a， 是 不是？这有个符号啊， 这是下三角，是不是？哎，直接就是一个 a 的 三次方，这个题没有难度啊，就是一个上三角，下三角，你得能够看出来，一减去 a 的 四次方。好，这个题目就讲到这里了， 嗯，这个行列式呢，看行相加等于十，哎，每一行都是这个样子，每一列也都是这个样子，是不是？哎，他每一行每一列都是一二三四这几个数，所以啊，他属于行列之和相等的题， 这一类的题，他是有做题套路的啊，就是说我们可以把二三四行的元素全部都给我加到第一行，哎，因为它核都一样啊，加到第一行之后，第一行就变成 四个相同的数了，这样我们就可以提共音式了，提完共音式就只剩四个一了，这做题就简单了啊， 好，我们就按行啊，大家也可以按列是一样的，我们把第二、第三、第四啊，就是第二、 第三、第四行全部加到第一行，全部给他加到第一行，那么第一行变成十十，十十， 好，后边这些都不变啊。三四一，二二三四一，一二三四。好，那十是不是可以提出来了呀？提出来之后就变成四个一了，这做题就顺利多了。 好，三四一二二三四一，这样的话，我们就以第一行为基础进行 化简。这个行列式是不是第一行的负三倍，对吧？负三倍加到第二行，然后负二倍加到第三行，负一倍加到第四行。好，我们去写了啊，这个很清晰了啊。一一一一。 好，负三倍加到第二行，这就是零一，负二，负一，负二倍加到第三行，零一二，负一，负一倍加到第四行，零一二三，是不是？ 好，那这样的话，我们按照第一列进行展开。第一列进行展开是不是只剩后边这个了啊？一负二三节的把它抄下来， 抄下来之后，这也很好做了，我们仍然以第一行为基础进行去展开行列式。好，他的负一倍加到第二行，是吧？零四， 然后零，他的负一倍加到第三行。零四四，其实你做到这按照第二行就可以展开了啊。好，那这个的话，你看按照第一列进行展开，那么只剩这一块了。第一列展开。好，那就是四四十四，四十六啊，就是一百六十， 当然了，我们把第二、第三、第四列全部加到第一列是一样的啊，那科亚可以做一下，把这个套路记下来啊。好，这个题目就讲到这里了， 四节行列式观察一下呗。这这这，除了这三个对角，其他的是不是都是零呀？那么他就是三对角的行列式。 好，或者说是渐行。是不是咱们这个教材上啊，是有这样的行列式的， 它呢？有时候啊，会存在这个地推关系在里面，但是这个题它没有啊，没有的话我们就是按照这个化零的个方法就行了，你可以把哎负一二 负二和负三这三个啊给他画成零，或者你画这这三个也可以，都可以啊，我们就负一负二负三呗，你 abc 毕竟是一个字母，看着不舒服，是不是？我们就把负一负二负三给他画掉啊？知道他的一个做题的一个方法啊，这这一类的一个行列式。 好，第一行为基础进行画零了，那么第一行直接加到第二行，是吧？那你就变成一个零，这是一个二，这是一个 b， 这是一个零。好，那你这个画零了， 其他的行先给他抄下来啊，这个答案不能够急躁，如果你连着画两行，你这容易出错呀，是不是？我们接下来再去看，接下来我们的目的是把负二这个位置的给他画成零， 这些抄下来。好，那你想把这个负二划成零，直接他第二行加到第三行不就行了？好，你加过来，这是不是一个零了呀？你加过来，这是一个三，这是一个 c， 好， 这是零。零 负三四减 c， 是 不是我们接下来是把这个位置给它换成零呀？ 好，给他换成零的话，也就是第三行加到第四行，那你这个就变成零了，你第三行加到第四行，这就是一个四，是不是我们直接给他写了啊？ 这是零，这是四。好，接下来我们按照第一列进行展开呀， 直接就可以看出来，都不用展开了，这是一个上上三角，是不是一乘以二，乘以三，乘以四呀？好，二十四，是不是 好的做题思路啊？很确定啊，是不是你把这些啊，这个位置啊，就是这个斜着的三角的，这个给它全部换成零，这样不就是成为一个上三角了吗？是不是我们多画出来这个三角，上三角或者是下三角的话，做题快呀， 哎，总，总之就是多搞出来点零，对吧？好，我们这个教材里面也有啊，这例题里面会有一些递推关系的题，在 大家也要掌握啊，递推关系的一些题就是这一类的行列式，它是存在递推关系的，有些题目对这个题是没有的啊，好，这个题目就讲到这里啦。 好，那这类的题啊，大家一定要注意啊，从现在此刻就要注意，我们在后面第五章，第六章啊，这个解特征值的时候啊， 基本上都是这个样子的啊，这个样子的一个行列式去解好，不是让你去硬拆啊，你不要去硬拆， 你就是硬硬拆，硬算的话啊，是不推荐的，不然你到后面啊，你解这个特征值的时候非常费事，我们的方法是有的啊，是有这个套路的。套路是什么？就是说我们把一个行列式， 哎，比如说第三行，我们给他找出来一个零，剩下的两部分他含有一个啊，他们两个是有这个共音式存在的，我们的目的就是这样的，然后把这个共音式提出来。 好，你这不就是出现两个一了吗？然后再进行运算，这样才是我们的正确的解析思路啊，对于我们后面养成习惯啊，养成习惯这样做题的一个思路，对于我们后面是非常有帮助的啊，必须养成，不然你后面很难搞的啊。好，那么我们去看一下啊， 看能不能先搞出来个零。哎，这个 lamb 的 二，二，我们放在这里，这很明显，我们可以第二行加到第三行，那么你第三行这就变成一个零了，是不是你这个就变成 lamb 的， 这个变成 lamb 的， 你第二行先不变啊， 知道，我们的目的啊，就是第二行加到第三行，是不是第二行加到第三行，你看，这有一个零出来了，那这有一个 lamb 的， 这有个 lamb 的。 好，我们就是目的就已经达到了。 lamb 的 给它提出来呀。好，这些都给它，不变啊， 都不变。好，零一一。好，接下来好作了，是不是我们再整出来一个零就行了呀？这整零很好整呀，我们把第三列的负一倍加到第二列就可以了。好，这不变，第一列不变， 第三列不变，第三列的负一倍加到第二列，这就是一个零，负一倍加到第二列，这是负四了，是吧？ 好，这就是零了，所以我们就可以按照第三行进行展开。好，第三行进行展开，那就只剩他了， 因为这里面这有这有个符号，不要忘了啊，是乘一个正一，咱就不成了。好，负二， lamb 的 减去四，哎，这就做，做出来了，是不是 lamb 的 平方，然后乘以 lamb 的 减四。好，那你想等于零， lamb 的 就是等于零，或者 lamb 的 等于四。 好，零或四。哎，这个做题的一个手法，要知道啊，我们搞出来一个零，剩下的啊，是可以提供音式的，这个方法在后面啊，非常有帮助，大家养养成这个习惯啊。好，这个题目就讲到这里了， 之， alpha 一、 alpha 二， alpha 三， beta gamma， 均为四位的列向量。好，给出来了，这是相当于四节行列式呀，它的一个值是等于 n， 这后面也是四节的，等于 m， 让我们求这样的一个四节行列式的一个值，我们就要去看他们之间的一个关系，去联系到一起，是不是？好，那怎么去联系呢？哎，这里面出现了相加，哎，我们是可以给它拆成两部分呀，是不是以它入手啊？ 我们找啊，找我们能够利用的一个信息，它既然出现两部分相加，我给它拆开呀。好，这是 bet， 加上伽马， 伽玛阿尔法二，阿尔法三。给它拆成两部分啊，阿尔法一， better， 阿尔法二，阿尔法三。 好，再拆第二部分，这就是伽玛阿尔法二，阿尔法三。 然后观察呀，这个结果是等于 m 的， 我们看这两个跟题里面谁比较相关呢？跟它呀，是不是它跟它的区别在哪呀？就是这两个位置不一样，是不？它是伽玛阿尔法一，我们现在是阿尔法，伽玛，你给它换个位置呀， 换个位置，你相当于列列进行互换，就要加符号，是不是我们这里给它换一下啊？换一下，你就注意要加个符号，给它改成一个符号，那么把它的位置换一下。好，这是 伽玛，这是阿尔法一，没问题吧？好，你是谁呀？你就是 n 呢，是吧？所以这个东西就等于 m 加上 n 了呀。 好，再去联系一下，它跟我们求的这个东西有啥的关系？ alpha 一， alpha 二， alpha 三，三倍的 bet。 那 我把这个三提出来不行吗？可以啊，这是我们要求的，它等于多少？是不是等于三倍的 alpha 一， alpha 二， alpha 三 bet， 哎，又写了一遍啊，不用写了，那么它跟这个我们现在已知信息就是它了， 它有啥关系呢？这不就是位置的进行互换吗？对吧？列进行互换呀，我们先把这个 bet 啊，给它换成第二个位置，对吧？因为这个在第二个位置，我们要用它去解析啊，换到这儿好，三倍的 alpha 一， 那 bet 跟 alpha 二换一下啊， f 二就换到这了，那你换的话要加符号对不对？那么接下来继续去观察好，这这两个位置一样了，那你这两个位置跟我又是相反的，所以我就再去换一下，把你两个换一下，换一下，再加个符号，再加个符号啊，那就直接换了啊， f 二， 阿尔法三。好，这就可以了呀，这三倍的，这就是我们想利用的这个已知信息，他是 m 加 n 了呀，这不就是三倍的 m 加 n 了吗？ 是不是？哎，就是来回换一下列而已啊，换一次你要加个符号，换一次要加个符号呀。好，这个题目就讲到这里了， 已知 f 一 f 二， f 三是三维的列向量，那么这个行列式的值不等于零，如果把它看成一个矩阵的话，这就是告诉你这是一个可逆矩阵，是不是 有同学没学到？没关系啊，那么 a 是 三阶矩阵，满足 a f 一， a f 二， a f 三，让我们求的是这个矩阵取行列式的一个值，是不是？ 好，那这个题吗？如果我们这个有现代基础的话，利用后面的这个矩阵的一个相似去做，是非常简单的啊，这个这类的题啊，在后面会经常见的，我们先看一下， 那有同学没复习到？没关系，后面再回来看一下呗。好，我们这个 a 矩阵乘以这 alpha 一， alpha 二三组成的一个三行三列的一个矩阵的话，我们可以给它写成 alpha 一、 alpha 二，因为要利用题里面的已知信息啊， 是不是题里面给出来他们的信息了呀？ alpha 二减去二倍的 alpha 三， alpha 一 减去 alpha 二，加上二倍的 alpha 三，二倍的 alpha 一 加上 alpha 二。 好，那接下来就怎么去写呢？就可以给它写成 r 一 r 二 r 三这个三阶的啊。三行三列的一个矩阵乘以另一个矩阵， 这个矩阵怎么去写呢？好，就直接去看 r 一 r 二 r 三前面的系数呀，你看它 alpha 一 前面的系数是零没有，那么就按照列相写啊，写这个系数。 alpha 二前面的系数是一，这三前面的系数是负二，所以是一负二，就这样写下来， 这个就是一负一，二，是不是系数啊？按列给他写下来，这里利用的就是矩阵的一个乘法啊，你看二一零，是不是把系数给他写过来，你看这不是矩阵的相乘吗？第一行是不是乘以第一列，这个结果不就是这个吗？是不是？哎，这个是 套路啊，这个就是他的一个做题的矩阵的一个相乘啊，答案会，嗯，我们以后就直接看系数就可以了。好，那么这个地方我们给他看成一个 p 矩阵的话，哎，这也是 p 矩阵，这是一个新的矩阵 b， 那么 p 矩阵它是可逆的呀，我们说了啊，刚刚已经说了是可逆的，所以根据这个相似矩阵的一个定义， a p 等于 p b， 那 么 a 就是 相似与 b， 我 们可以，哎，在这个前面啊，给它乘一个 p 的 一个可逆矩阵， 是不是就得到了 b 矩阵呀？这就是相似矩阵的一个定义啊，那么既然相似的话，它们两个 行列式要相等，哎，这是相似的几个必要条件啊。好，既然他的行列式跟他行列式相等，我们就去去求一下 b 的 行列式啊，这个矩阵对应的这个行列式了。负二二零，这行列式很好求，是不是？第一行放在这里，第二行放在这里，第二行的两倍加到第三行，这就是一个零， 这是一个零，这是一个二，我们按照啊第三行进行展开，第三行展开好，那就是二乘以零，一一负一，好，这是一个负二，是不是？所以结果就是负二。 好，咱们利用这个后面的知识，嗯，讲的话是解的话是很快的，是不是？那对于县级段的话，如果同学还没复习到的话，我们就这样去理解啊， 这个取行列式，这个取行列式，他就等于他取行列式，他取行列式，是不是？那你跟你是一样的了，所以你的行列式就等于你的行列式，是吧？ 好，那后面我们学完之后回来再看一下也可以啊，那这个题目就讲到这里了。

我们复盘第六章，第六章呢，他是一元微分学的应用，也是应用，只不过呢，他里面所涉及到的是中直定律、微分等式与微分不等式，这这块内容呢，其实是所有人，基本上是所有人在考研复习里面所遇到的难点。 当然这个一千题里面，这几个题倒不算太难，因为他没有太多的涉及到这个关于中直定理的证明题，大部分还是一个求这个方程的根啊，这里问题还好一些， 那么再说这个之前，我们还是先跟这个导图看一下所涉及到的东西。这里面呢， 如果说涉及到这个微分微分这个里面呢，用中直定理的话， 在这些题里面涉及到这个罗尔中的定律，拉格朗日、泰勒以及柯西，然后主要集中在这个方程的根，或者说用函数性态、常数变量法证明不等式，然后这些 题涉及到的不难，其实这个题里面最难的是最后一个题，用这个多种定律或者性质去综合运用去证明出来这类题的话，他没有一个常规的套路，而是见招拆招，看到 呃写到一步，然后去处理一步，这样去慢慢走下去，没有那种太传统的套路。那么先看第一题，第一题的话，它方程的根判断方程有几个实根这一类题呢，它比较容易的，它先给你一个函数 f x， f x 呢，它是个三次函数， 并且呢，我们是能够容易地去找到它有三个根的，对吧？然后你再结合洛尔定律， 因为卢尔定律的话，两个含两个点的函数是相等，那么其这两个点之间呢，会存在一个点，使得这个导数等于零，同样的这个地方也有一个导数等于零，然后呢，你这个时候就找到两个点是等于零的，使得这个 f 撇 x 等于零， 然后再结合，因为这个时候是找到至少有两个了，但是你还不能确定是两个，那你再结合这个 f 撇 x 这个函数，它是个多少次函数，它是个二次函数，二次函数的话它至多有两个根，这样子的话就可以确定出来它只能有两个根， 然后第二个，第二个的话是说这个方程在一个区间上零到一上有解，然后求 k 的 最小值。那这类问题呢？我习惯于这样去求解，就是你把这个参数给它分开， 这样分开的话，你去研究这边这个函数它的图像是什么样子，然后研究出它的图像的话，再看这个右边这个 k 去什么情况下，它和这个图像有几个焦点，这样子去求解， 因为它有解嘛，就相当于它和它有焦点，它有它有焦点的话，就求这个 k 的 最小值就可以了。那你研究出来这个 f x， 它是这个单调减的，单调减的话，那它这个取最小值，那是 f 一 等于一就可以，也就 k 等于一就可以有交点。然后这个第三个， 第三个也是这个给你一个函数说它有两个零点，它有两个零点的话，就相当于是它等于零的话有两个减，那这类问题的话，我也是喜欢于它等于零的话有两个减，那这类问题的话，我也是喜欢于分分分开到一边，然后去研究 后者。只不过这个题的话用分离参数会麻烦一些，稍微麻烦一些，因为这个时候你分离的话，你先得讨论 x 不 能等于零， 对吧？因为你这个时候分开的话， x 放在分母了，所以说你要考虑 x 等于零和 x 不 等于零。你先考虑 x 等于零的话，你发现 x 如果等于零的话， 那么它就不是这个 f， x 的 零点，它就不是它的几，它等于零几，因为这个地方等于零，前面是 a 不 得零的， 所以说它不行，所以说这个 x 不 得零，那你这样就分开了，分开以后呢，再着重研究这个这个函数的形态形态问题，研究它的话，就先研究它的单调性嘛， 在什么区间单调增，在什么区间单调减，这个研究出来，然后呢再研究这个零正以及正无穷大，他取得取值范围，就画出他的这个图像，画出图像以后，可以找到他有两个焦点时候这个范围， 然后再讨论一下 x 小 于零， x 小 于零的话基本是单调的，那他单调的话，那么他就不会和这个曲线有两个交点，所以说 这个范围就不用考虑。然后另一种方法呢，实际上是研究这个 ex 和这个 a 分 之 b， x 的 交点就相当于两个，呃，一个曲线，这个 ex 曲线和这个过圆点的斜率为 b 处 a 的 这个直线，他有两个交点，他在什么情况 这时候呢？其实咱们只需要找到和他相切的时候那个斜率是多少，然后再往上走的话，那么他就会有两个， 这个要注意一下，那么这个时候就设这个，如果说设切点是 x 零 y， 那 根据这个切点性质的话，一个是斜率相等，另一个是这个 y 的 值相等，然后解除这个 k 和 x 零就可以了，这是一种方法。 然后第四个，第四个的话，它也是跟上面那个差不多，它说这个函数有两个零点，就它等于零，有两个零点，那么你就分开分成 a 等于它，然后再把右侧设成一个函数，就是说，呃，这个 y 这个，比如说这个 h x 等于 a 和这个 g x 有 两个焦点时候，它这个取值范围是多少就可以了。其实重点重要研究的也是后面这个函数，它的这个形态问题，单调性， 还有他的这个去计小值的时候，以及这个领证和政务承纳时候的取值范围是一样的，通过这个找焦点会更好做一点。然后第五个的话，第五个的话，他给了这个， 给他这个 x 乘以 x 等于什么什么，然后求这个里面的 set 的 这个极限，那这个的话要求 set 的 极限，那你首先得知道这个 set 的 表达式是啥，在 x 区间有零的时候， 那就通过这个式子反解出来 c 的 反解出来 c 了以后呢？然后再去求极限，其实这种求极限有两个平方相减的话，呃，给他这个平方差公式会更好一些，因为平方差公式的话，他变成乘法了，变成乘法以后可以用这个等价算算一下， 然后后续的话也可以这个泰勒展开，泰勒展开无非就是注意精度问题嘛，就因为这个分母是四次方，那么你分子也抵是四次方就可以了。 然后六和七是一样的，这两个不等式呢，都是经常用的一个不等式，这个要敏感一些，因为做一些证明题的话，它可能是一个 小地方吧，如果你敏感的话，能够及时判断出来，会有利于你去做出这个证明题，包括后续的这个推进。 那它证明的过程也比较容易理解，就是用拉格朗日终止定力证明就可以用拉格朗日终止定力，你可以把这个洛恩加 x 减去，洛恩一写成这个 在分之一 x， 然后这个它在一和一加 x 的 范围内嘛，然后你在两段给它放松就可以了。然后第七题也是，然后第八题的话 说这个 fs 可导，然后给了这个一阶导的绝对值情况，然后去判断后面的东西。其实这种有这个一阶导的出现的话，其实也是比较容易优先考虑拉格朗，而重力定律或者用泰勒也是可以的。 然后去先写出这个拉格朗日终止定律的表达式，因为要角的值吗？判断角的值，那你就加角的值，包括这个地方你要产生这个 不等号的话，绝对值里产生不等号，那其实就是绝对值 a 加 b， 它等于绝对值 a 加绝对值 b， 这是一个常用的，它小于等于，这是一个常用的不等式，要注意一下，然后就可以放松写成了，然后这个泰勒展开也是可以做的，其实都是一样的思路啊， 其实只不过这两个式子本质是一样，只不过它的这个出发点不一样。然后第九题，第九题的话，这个也是这类问题，也是比较容易考的，就说给了一个这个 f x 的这个说它一阶导数是连续的，并且给了这个一阶导的极限是等于零的，然后下面去判断一些极限，有的时候是判断关于 f、 x 的 这个情况，有的时候就判断和它相关的一些情况，它有多种 多种类别嘛？这个的话其实还好，这个的话其实咱们如果想判断的话，其实最好的话先判断这个相减的情况，因为你相减的情况可以用到咱们这个拉格朗日众神经里，然后咱们之前学过的可以直接用上，直接用上去判断， 然后先把它相减，相减就是判断这两个相减 f 二 x 减去 f x， 等于这个是增相减以后呢？ 上线以后的话，你知道这个 f 撇 e， 它，然后两边取极限的话，你知道它是等于零呢？但是前面是 x 是 无穷大，那你无穷大乘零的话，其实不确定，这个 b 不 确定，但这个 c 和它就不一样了。 c 的 话它两个差值是很小的，就是一是常数，那么两边再取极限的话，它极限是零，那么自然左边极限也是零， 然后 a 和 d 的 话就得找返利，找返利的话，其实呃导数的极限等于零，咱们一定不要忘记一个特殊的函数，就常数函数，常数函数的话，它的极限就嗯，它的它的这个导数极限就是零， 然后去举一个常数，就可以直接把这个 a 和 d 给排除掉。所以说这个题其实难度不算太大，之所以标一个中的话，可能是因为大家刚接触这种题，会感觉到有点棘手，喝多了就还好一些。然后第十题的话， 最后求一个极限，然后这个题里面又涉及到什么？涉及到一点的导数，涉及到一点的导数求极限，那其实，呃，经过咱们之前的练习，咱们就应该想到用导数定义去做就可以了，只不过这里说的一阶导数连续这个地方用落笔打还是可以的， 但如果没有说这个一节导数连续，这个就不能用洛必达了。然后下面的话，他这个题设置的也挺好的，第十一题就直接让你再做一次，只不过这个题地方呢，他可以把条件给虚弱了，虚弱成只告诉你这一点的导数是等于多少。然后你再去求极限， 那这个地方其实导数定义一就可以做，只不过是不能用洛必达了。然后十二题就是考察一个泰勒公式也是比较 容易的一个题，第一个题就是直接套公式就可以了。在这里需要注意的一个地方就是它说展开成一阶带拉格朗二余项的它的公式，那么这个拉格朗二余项呢？它不不体现在一阶，而是在下一阶余项，在这个 n 加一阶上，这个细节要注意一下，注意到这个以后呢，然后再去 证明后面这个不等式，证明后面这个不等式的话，其实这种有一二问的话要用上这个疑问的这个 结果需证明用用泰勒给他这个替换掉，替换掉以后呢，再给他进行这个放缩就可以了。放缩的话这个 sin 可赛他放缩乘一这个也是比较常用的，因为三角函数的最大值就是一嘛，所以说放缩三角函数的话就放给他，放大乘一就可以了。 然后十三题也是求方程的根，其实跟前面那几个都是差不多的，然后你这个的话，你就把这个 函数两个函数的这个单调性以及它这个极限情况给它分析清楚，然后再去研究，可以了，再通过图像研究，可以了。不过它的这个这种关键点的位置一定要研究清楚，因为这种关键点的位置决定于， 决定于他能不能有焦点，你万一这个点这个点比他小的话，那其实这个地方就没有了，对吧？就这种关键点一定要研究清楚， 然后这个十四题啊，这个十十四题是比较重要的一种题，和这种题相关的真题啊，模拟题是非常常见的，这个题大家第一次做的话可能不太会做，因为什么呢？ 他给你这个条件里面这么一个不等式，然后就判在下面，下面你发现又千奇百怪的，一会 a f x， 一 会 b f x， 一 会 x f d， 就 很杂乱，是吧？但这种题的话，其实跟咱们 所这个做鲁尔定律需要构建那个辅助函数是一类题差不多，只不过那个地方的话是等式等于零，然后去构造一个辅助函数，这个呢，其实给了一个不等式，然后其实也需要构建辅助函数，因为你要判断下面的大小关系的话， 如果能知道某个函数的单调性，那就很好判断了。但这个东西给了你，就是想让你知道某个函数的单调性， 那你就利用这个 x f 撇 x 减去 f x 小 微零，去找出谁的导数是它，然后你这样子就能判断出上一级它的这个函数的单调性，你就能进入判断了，那你就是这个 f 撇乘 x 减去 f x， 这个是商的 求导的一个利用这个在章鱼的这个三人讲上是有这个明确的 标注的，这个一步，这一部分一定要熟练知道这个以后呢，就找到这个大 x， 找到大 x 呢，因为他求到以后，下面是大呃大于零的，上面小于零的题目告诉了，所以说你知道大 x 是 单调减的，那 再去判断的话，就很好判断了，这类题要熟练掌握。然后这个和这个题相关的这个十七题也是这一类题，这一类题都是一样的题，再关注一下，重点关注一下， 就这一点。然后十五题，十五题说这个方程有两个不相等的时根求 b 的 曲值范围， 有不相等的时候，其实这个参数还是带着笔，那其实就相当于你如果可以给它分离参数， 那你就找这个 f x 和 g x 等于负 b， 它有两个焦点就可以了。那你就找出这个 f x， 它的图像，它的情况，单调性以及这个基值点情况，然后再去画图和它有两个焦点，这是一种分析方法。 然后第二种呢，第二种我就直接研究这个函数它的情况，它和这个 x 轴交点情况，然后研究分析呢，你发现它只有一个计数点，并且它这个负无穷和正无穷极限都是正无穷大， 那他图像就是这种图像，那你只需要把这个知识点让他小一点就可以了，他就可以和这个 x 有 两个交点，这是第二种情况。然后第十六题，第十六题，其实呢，本质呃，他是让你判断这个间断点个数，是吧？但实际上呢，其实就找这个 下面等于零的零点个数，因为他呃上面是一下面，只要是无定一点他，他取得零的话，他不能取得零，他极限如果是零的话，那他就是无穷大，所以说他一定是这个无穷极大点，那你就找这个等于零的 零点个数就可以，同样的还是利用上面那个画图去找焦点就可以。这例题也是一样的。 然后十八题，十八题的话，实际上这种题就是虽然说是证明不等式，但是这种题也是比较呃容易的一个题，也是一个和导数相关的题，你只需要把这里面这个函数呃这个式子列成一个函数，去求这个函数的最大最小值就可以了。 然后十九题，十九题的话，他也是研究这个方程的根，一个方程的实根个数，只不过里面带着参数去研究，那你其实只要把这个呃 参数给分离开来，然后把这个图像画出来，然后去讨论这个 k 的 取值情况，然后去就可以研究出它这个焦点个数嘛。这种题其实咱们在高中也是经常做的一种题，那第二个题呢？第二个题呢？其实 才相当于刚刚步入到这个中值定律的这个内容里面， 给他这个 f x 在 b 之间连续开之间可导，然后说呃去证明这个式子等于零，至少有个十根，那至少有个十根的话，就相当于 看到这种式子 f 撇 x r x， 然后其实这一坨和这一坨都可以看成一个，看成一个常数，那这样子去构造一个辅助函数，去用这个罗尔定律的话， 那就是看他的上一级函数是谁，那谁谁的导数是 f 片，那就是 f 啊，这个移过去 x 二 x 的 原函数就是 x 平方啊，这个时候如果你这个式子 能够导出他的这个上一级函数，只需要找两个点，如果你这个时候能成功找出两个点， f 等于 f， 那 么你直接利用罗尔定，你可以找出一点 f 片可再等于零，那么就可以知道他是有根的，这是一种方法。另一种方法呢？ 你跟他，你给他一下，发现就是左边是 b 和 a 的 式子，右边是 x 的 式子，你发现这个式子是比较像这个科西的，它相当于它的求道，它相当于它的求道，所以说也可以用科西证明。 然后第二十一题，第二十一题虽然说是呃也是方程的根，但是它也会用到这个中值定律里面那种。这个题的难点在于，呃，你怎么去处理这个方程和前面这个式子等于零，它能给你什么信息？其实你要证明这个 方程，它它这个有没有实根，判断一下 这个题如果在第一次做的话，其实不太好想，因为 证明它有没有根，其实你可以从这个条件入手去出发。它这边是 n 加一 a n， 那你和这个怎么去联系呢？这个是 n 次方，它是不是相当于可能就是这个地方本来是 n 加一次方，它求完倒以后就可以变成这个式子，这是一种联系方法。然后呢，这个 x n 加一次方 a， 这个 a 零 x， 你 发现把这个式子拎成这个 f x， 发现 f 一 是等于零等， f 零也是等于零等，那就相当于找到这个函数，它两个点的函数是相等的，然后又找到这个 f 撇呢？ 他求到完以后是这个式子，刚好可以用罗尔定律，其实这种就相当于是一个巧合，也是一个出题，人家这样出的这种就是看一个经验了，也不是说每一种题他都会是这种情况， 具体情况具体分析法需要一个积累的过程，所以说难度给到一个中。然后其实第二十二题是一个比较难的题，第二十二题的话，他是去年章鱼八套卷的一个题。简单说一下，第一题的话，其实让你证明这个拉格朗日种植定律，那证明拉格朗日种植定律的话， 是可以用通过这个鲁尔定律去证明的。鲁尔定律证明的话，关键在于构造辅助函数，这个题其实可以直接构造出辅助函数，就是呃，你把这个 f 片儿 再变成 f x， 然后这个呃给他乘一个 x， 因为他刚好是他求导过来的，然后呢 f c 等于负一后用二就可以了。然后第二种方法的话，就你可以学习一下统计课本里面，他结合这个几何意义去构造这个辅助函数也是可以的，就是使让这个 f x 和这个和这个直线它两个的这个距离当成一个辅助函数，这样的话你就可以找到呃，在它在这这两个点的那个距离函数，它等于零的，然后就可以使用洛尔定律，这是它的一个核心思想。 然后第二问呢？第二问相当于再找一个点 e t， 它数个 a b， 然后也满足这个 f b 减减去 f a 等于和上面格式一样，但是呢，它这个 e t 有 要求还是要大于可三， 就是对于这个中值定力有要求的话，咱们要有这么个意识，你要区分出中值的大小关系，那就是在你使用中值定力的时候，要给它进行分段，你就分开段以后，你比如说本来是 ab， 是 这一段， c 这一段，如果这一段出一个中值，这一段出个中值，那是那肯定这个中值比这个中值大，所以说只要涉及到这个中值有大小的关系的话，那一定是分段这个分区间使用拉格朗日中值定律的，这是一个问题的核心， 所以说你就这样子一写， f b 减 f a， 你 这时候给他减 f c 加 f c， 给他分开段，分开段以后呢？ 这个式子和咱们所要证明的不是一样的，因为人家只有一个终止，就在这个时候你需要考虑一个是考虑把这个终止合并， 另一个是考虑什么呢？人家是 b 减 a， 你 这个地方不是 b 减 a， 要解决掉这两个关键点，所以说我说这个题他不是一个传统的套路题，你需要见招拆招。那你怎么去给他合并以及给他变成 b 减 a 呢？变成 b 减 a， 其实你可以 乘一个 b 减 a， 除一个 b 减 a， 就是 你给它呃， 在在这个地方乘一个 b 减 a， 除一个 b 减 a， 然后这个时候你就可以写出一个 b 减 a 来，然后面一坨，那么你这个时候 b 减 a 的 系数是有了，但是你后面这个地方还不是一个中值， 那其实咱们在函数里面想到，如果说你把两个函数合成一个函数值的话，可以用介式定义，但是在这个导数里面其实他也有这种定义，那么这个定义咱们书上是没有的，所以说有一点点超范围啊，就是叫达布定律，或者这个导数介值定导数介值定律去进行 做，想到这个地方其实已经很很厉害了，呃，哪怕在后期能做出这种题都是很牛逼的。然后这个时候呢，你还需要熟悉一下这个导数戒指的定义，导数戒指的定义呢，其实说 f x 在 b 之间可导，然后两个端点的导数值不相等，那么再介于两个端点导数值之间找一个导数是等于命的，这是它的基础定律。 那么这个技术经理说了，你一定要不相等才能用嘛？所以说你这个时候还需要讨论一下这个和这个相等不相等，他如果相等的话，那其实你所求的这个 e t 就是 e t 机，然后不相等的话，我写成这个样子是为了让让你理解， 就是这个式子呢，这个值，这个整体的值，它是介于两个端点的这个两个端点的这个导数值之间的，因为什么呢？你写成这个样子， f 撇 e 一 加上 t 位的这个两个相减， 这个相当于什么呢？是不是相当于，比如说一条线段，这个地方是，这个地方是 a， 这个地方是 b， 那么你怎么表示两个点之间的取值呢？是不是你可以写成 a 加减 c， 它然后乘以 b 减 a， 这条是零到一取值的，那就相当于是什么在这一点上给它加上几分之几这个长度。如果说 c 它取零的话，那取的就是 a， 如果 c 它取一的话，那取的是 b。 c 它如果取二分之一的话，那取的是中点，就这个意思。 那么知道这些情况以后呢，那你就可以再用这个导数介值定律去找到这个 f 撇 e， 并且 e 是 大于 cosine， 那 这个题是有难度的， 这个题大家可以先理解理解，如果不理解的话后面再说也不是太重要，对于现在这个阶段。

好，我们看这个题啊，关于数一数二啊，一元函数，积分学物理应用这一块，刚开始学的话，很多同学可能有点苦恼，不太会分析这样的题，不用着急啊，这里给大家，哎，多说几句话，不要着急， 我们一个一个题的去分析，哎，你不会做也没事，你去听一听讲的这个题目，你听完之后，哎，你了解了，你听懂了，好，接下来呢，你自己，哎，单独的再去给自己讲一遍，哎，当时老师怎么讲的，你自己给自己讲一遍，好， 逐渐的啊，你这样这类型的题你就会了啊，自己给自己讲一遍，讲着讲着自己做着讲一点，自己做一点，自己给自己分析一下，绝对是能学会的啊。 好，关于这个这一块啊，他的一个内容其实不是很多的啊，哎，主要就是要用到微元法，每一点点的去分析哪一类型的题，哎，对，微元法应该怎么去用是吧， 哎，就是万有引力啊，出水做工呀，净水压力啊，便利做工呀，来来回回就这些该记的公式，去记一记，哎，关键点记一记，哎，我们去找啊，这个微圆，哎，微圆，你看这体积微圆，质量微圆， 好，面积微圆，哎，关键点已经给大家标出来了，这个题的话，就是你看万有引力这一块了，其实关键点就是质量微圆，你找到找到之后呢，好，就去积分了是吧？哎， 就是这样的一个过程啊，我们去分析一下，一定要会画图啊，把图画明白了啊，然后去，哎，一点点分析。好，我们看沿 y 轴上的，那我们就把 x y 这个直角坐标系画出来是吧？ y 轴上零到一区间上放一根长度为一的面线，密度为 root 啊，均匀的一个细杆子。好，这就是零，这是一吧，往上来来也行啊，这就是一吧。 好，那这对应的啊，这有个一是吧？好，这有个细杆子，这个细杆子呢，我们就用这个颜色的笔吧，让大家看清晰一些嘛， 这很细了是吧？细杆子啊，在这放着，在 x 轴 x 等于一米处有一个单位的置点，这个置点呢，我们用紫色的来表示，可以吧。 好，单位置点是啥意思啊？就是它的质量为一的意思。好吧，好，那么则该细杆就这个细杆子啊，细杆对这个字， 对这个置点的一个引力，沿着 x 轴正向的一个分力，你得搞清楚它在问什么是吧？它并不是说，哎，问的是这个细杆子对这个置点的一个引力，而是 引力沿着 x 轴正向的一个分力，这又考察到我们中学、高中学的力的一个分解了。力的分解啊，是吧，力的一个分解，我觉得这款啊，你可以忘的话，你再去复习一下是吧？好， 我们先别说力的分解了，先把细杆子对质点的引力这个方向啊，你得搞清楚，因为这个力的话，它是有大小有方向的，它是一个矢量啊， 力是一个矢量，对不对？这高中都学过啊，咱们都是理科的呀，是吧，有大小有方向的啊。好，一定要注意方向的问题。好，我们先把啊这个 细杆子对质点的引力求出来，那这个方向你怎么定呢？既然是细杆子对质点的引力，你对你的一个引力，你说这个方向朝哪啊？ 是不是朝向他呀？是不是细杆子对质点的一引力，那么这个方向啊，就是朝向细杆子的那细杆子，细杆子他有很多个点呀，是吧？每一个点，他 膝杆子上的每一个点对置点的引力它都是不一样的，但是方向我们是确定的，都是这样的一个方向，是不是？好，那我们现在啊，你没办法确定这个整个的引力是大小是多少，我们就是要采用微圆法吗？是吧？你取方向，反正你已经确定了啊，我们取一小段嘛，对不对？哎，取一小段 非常小的一段啊，好，我这个画的已经很很很高了啊，不是很小了，为了让大家看到这个，你就认为它很短啊，很短的一段，这个是 y 到 y 加底 y， 也就说这个距离就是一个底 y， 哎，这个非常短啊，底 y 嘛， y 加上一个底 y， 好， 这一段啊，很窄的一段的一个底 y 很 短，好，这一段啊，很窄的一段的一个西干字，好，它对这一个 质点的一个引力，你先算出来，是吧？哎，这个引力我们已经知道，方向就是朝着细杆子吧，是吧？朝着细杆子，好，把它算出来，那现在啊，就是把力的微圆，是吧？力的微圆求出来，其实本质上就会转化为啊，质量的微圆了，我们去看一下啊，微圆 力的微圆，那现在把它拿过来了，是不是好记大 m， 我 们说这个红色的这小段啊，这个细杆子的一个质量，我们记为大 m 的 话， 好，就这样去写吧。好，其实应该用 d 大 m， 对 不对？整个的细杆的一个质量，我们记为大 m 啊，整个细杆的质量记为大 m 的 话，我们这一小段红色的这一小段的一个质量就 d 大 m 了吗？是不是？哎，这个质量为圆了啊，你取的是一小段，咱们就称为微圆吗？这一小段的一个质量就是质量微圆。好， 然后小 m， 小 m， 我 们就是表示这个指点，可以吧？这个质点那个质量吗？记大 m 小 m 了啊，小 m 就是 一个一吧，再写一下啊，待会再代值。好，除以他俩之间的一个距离。 好，我们取的啊，这不是一个 y 吗？而且这个这个这个距离是非常短的，你就可以忽略。你不管啊，你就这个距离就可以忽略了，所以这是 y， 这你也给他认为是 y 就 行了。 好，那这个距离呢？是一个一，这个距离是一个 y， 或者你直接啊，这个箭头就指向于这个 y 就 行了，对吧？你不管指向于这一点，还指向于这一点，还指向于这个中间的任何一个点，哎，你都认为啊，我还指向这吧，或者指向这，你看着舒服一点。 我这个箭头无论是指向他还是指向他，你都认为啊，这个距离就是 y， 因为我们取的这个小段是非常窄的，就忽略为，就直接认为是零就行了，所以这个距离就是一个 y， 好 吧，我的指向他，你的距离也是 y， 你 一定要这样告诉自己，不然你会搞的很乱啊。 好，这就距离是一个 y， 这是一个一，所以这个啊，就根据勾股定律嘛，是吧，斜边不就是一加 y 的 一个平方嘛，现在我就是要的是，哎，两点之间的一个距离嘛，是吧，这个 r 就是 两点之间的距离啊，好，就是一加根号，哎，一加 y 的 一个平方开方呀， 距离，然后再平放，别搞错了啊，距离再去平放一下。好吧，现在我就是求的啊，这一段细杆子对这一个点的一个 眼力，是吧，哎，这个直接就忽略。这个已经看成一个点。哦，我现在就是画的比较高啊，要不我画短一点？行吧，画画窄再窄一点啊，基本上就是，哎，跟这一个啊 y 靠近啊，就没啥距离，你就理解为他俩就挨的非常近好吧，挨的非常近 y 加上一个 d y， 好，这就忽，这就变成个点了吗？因为非常近就看这个点吗？两点之间好，这个距离一算是吧，质量一算利用啊，两点之间这个万有引力的一个公式吗？是吧，万有引力的公式。好，就算出来了，这就是这个好，力的为圆就算出来了，是不是其实本质上就是算质量为圆。 dm 怎么算出来呢？好题里面啊，给了这个线密度，好，我们这里写了啊，线密度你得知道它是等于啊 m 比 l 的， 我们现在啊要要求的是这个 dm 啊，也就是 dm 它除以。哎，你， 你不是取的是最小段是吧？哎，它的一个质量咋么怎么算呢？它的一个质量怎么算？我们现在把 m 推导出来，不就等于 u 乘以 l 吗？是吧，那 d m 质量它就等于 u 乘以 l， 它的一个，它的一个高度就是 d y 呀，是吧， 它的高度就是一个 d y， 所以 你 d m 就 算出来了啊， d m 就 等于这个好，如乘一个 d y， 是 吧，这个小 m 是 等一一，我就写到前面了好吧，一就写到前面了啊，好，除以底下就是一加 y 的 一个平方了吗？ 对不对？哎，我们取的这一段啊，其实就看成一个点。哦，你外有引力，不是，你不是两个物体之间的引力公式吗？是吧？哎，这看这个点啊，不要把它看的太长啊，就是一个点距离就是 d y 是 非常小，可以看成零就行了。好， 这个现在求的是相当于哎，这一个小小段的一个细杆子对质点的一个引力算出来了。我们说了啊，现在要最终的一个目的啊，是要把它沿着 x 轴正向的分力算出来。你算这个引力不行啊，那现在就牵扯到力的一个分解了啊，我们去分解一下 分解会吧，是不是往竖着，往横着去分解啊？好，他竖着分解的话，沿这个纵轴的方向是不是朝这的？哎，就朝这了吗？好，沿这个啊，水平方向是不是朝这的？因为它整个的方向是这样的吗？所以你分出来的就是朝这的和朝这的。 好，那也就是说朝着 x 轴负向的一个引力，我们是可以求出来的，而人家让求的是正向的引力，是吧？那你就把这个求得的结果再添一个符号就行了，你就记住最终求的结果再添一个符号，好吧。哎，再添一个符号。好， 那现在啊，这个这个方向的力已经求出来了，那这个分解出来的朝着 x 轴负向的一个力怎么算呢？那不就是 d f 乘一个 cosine rf 不 就行了，是不是还乘一个 cosine rf？ cosine rf 是 可以算的啊，你看 这个邻边有了是吧，斜边也有了，这不就直接算出来了吗？这不就 cosine r 方吗？好，一加上 y 的 平方开方是不是？好，那我们现在直接添个符号得了。好吧，别到时候忘了把这个符号添一下， 天然负号的话，就是说这个细杆子对这个质点沿着 s 轴正向的一个引力已经算出来了，接下来就是积分的问题了，积分的话是没有问题了，是吧，直接零到一区间上啊，对这一块进行积分就行了吗？这里我们可以再化解一下吗？负的点 f， 点 f 不 就是这个吗？好， g 除以 y 一 平方呢，所以是二分之三次方， 现在这就是我们的力的微圆了啊，就是这个题目的啊，要问的正上的分力的一个微圆求出来了，所以我们整个的啊，要求的这个力的话，就等于零到一区间上，零到一这个区间上，对这个力的微圆进行积分， 好，是吧？哎，无缘法结束了就无缘，已经找到了，那么就开始积分了。好，一加上 y 的 一个平方，二分之三四方，这个 d y 我 就习惯写后边积分，我觉得是没问题的啊，把常数提出来。 这里面啊，看到了一加 y 的 平方，我肯定想到，是吧，三角还原是吧，我就令 y 等于它，你的 t 啊，它是， 它是这种型号的，是不是好，当 y 取零的时候， t 取零呀，当 y 取一的时候， t 取四分之拍法。好，这里边 一加上 tan 的 t 方是 sine 的 t 方，六次三次方吗？是吧？ sine 的 t 的 平方，这三次方是六次方，六次方开方，你要注意了，是三次方的绝对值是吧？ 好，你这个思考的步骤不要忘啊，三次方的绝对值 d y 的 话，那就等于 seven t 的 一个平方， d t 是 不是好，再去去绝对值，那 seven t 的 话，在零到四人拍是正的，所以这个时候再去掉，但你这个思考的过程，哎，过程不要去忘了。好吧， 这里一消一下， seven t 方除以 seven t 的 三次方，还剩这底下 seven t 分 之一不就是 cosine 吗？是不是 这已经出来结果了吧。啊，这是 cosine 题了呀，看出来了吧， cosine 原函数不就是 sin 吗？是不是 sin？ 好， 零的四分之 pi， 负的 g 乘以如，四分 sin， 四分之 pi 就是 二分之根二，是不是二分之根二既数零一代是零吗？好，负的二分之根二既如。 哎，你分析分析，你发现也没那么难，是吧，有些同学他就下不了手，怎么下不了手呢？你就，哎，按照我们说的一个步骤，这个题呢，关于引力的，引力的最终啊，其实找力的微源，最后还是来到了这个质量微源的力。质量微源就是我们取的这一小段啊， 这个相当于一个小指点了，是不是它的一个质量怎么去算？哎，这个质量的公式就等于如乘以 l 嘛，你这小段的一个质量就等于如乘以你的长度，你的长度是非常窄的，就是 d y 嘛，它就算出来了。好，这个根据我们这个案例的一个分解，还有方向的一个问题，别忘了，是吧，高中的知识再去复习一下啊。 好，哎，这个微元找到了积分就行了。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，瞄一眼，哎，它是属于净水压力的这类型题目，是吧，哎，还是微元法吗？你得知道压力是等于加强乘以受力面积。 好，加强式 ugh， 把这些公式给它备注啊。好，我们就是要求这个力的微原理就是加强的微原理乘以受力面积啊。 好，那其实呢，你看这个压墙来说的话，主要是这个 h 入距 h 看一下啊，这个距离怎么去定，还有这个受力面积，他也是啊，哎，把这个微圆给求出来，主要就是 h 和 d s 啊，好， 我们看这个题啊，边长为 a 的 哎，正方形平板，至于水面下，这就是，哎，水面啊，好，且一个顶点呢，与水面是相齐的 其中一条对角线，这条吧与水面是垂直的是吧，好，水的密度，重力加速度好，那么一侧所受的净水压力，就是说这个平板啊受的净水压力， 为什么我给画两个呢？同学们看一下啊，如果我们哎，我们取，我们用微元法的话，我们先取一小节这个平板是吧，你看你取这里和取这里，那么它受的啊 力是不一样的啊，你看，我们主要是要把这块力的微圆求一下嘛，入 g h 乘以 d s 是 吧，你看入 g 是 没有问题的，如果我们取的微圆啊，取的这个一小节木板在这的话，就是这这里啊， 好，这个 h 的 话，是不是，哎，这木板子到水面的一个距离啊，你注意这个距离啊，就木板子到水面的一个距离，那我们取在这的话，好，你看木板子这啊，这个红色的到水面的距离 h 是 不是长得不一样呀，对不对？并且啊，这个受力面积就我们取的啊， 这小角木板，他近四的就是一个长近四看成长方形是吧，求他的一个面积吗？哎，这个面积的话，这里就是好，这个长度乘以这个宽度，这个宽度的话，我们都记为，可以都记为底 y， 底 y 是 一样的，但这个长度呢， 也是不一样的，对不对？这个长度也是不一样的，所以啊，我们去算啊，这个木板子受的净水压力的话，我们就给他，哎，分成两部分去算，第一部分我们取的一个微圆呢，哎，就是这样的，第二部分取的微圆呢，就这样的， 你无论啊怎么去建立坐标系，你会发现都要分情况讨论啊。好，我们建立直角坐标系了。好，它既然在水下，那我就是朝这个方向，可以吧？好，这是 x 轴，这个是坐标原点，可以吧？好， 这是 y x 坐标原点，我们先看这种情况。好，这个我们把这里记为 y， 这个这个点的坐标就是 y 加底 y， 是 吧，这个能看清吧？ y， y 加底 y 就是 这个宽度嘛，是吧？就是底 y 啊，任取啊。 y y 加底 y 是包含于你这个这个点的一个动作边是多少呀？好，这个是 a， 这是 a， 这都是直角呀，是不是这都是直角啊，并且这些角度都是四十五度，就这些小的角度都是四十五度，是不是这是 a a， 所以 它的一个斜边的话就是根号二 a 呀，对吧？这就是根号二 a， 它是包含于零到根号二 a 的，是吧？好，我们的一个 目标啊，把受力的这个微原理的微源给它找过来，对吧？入距 h 乘以啊，面积的微源。好，入距 h， 就是 啊，这木板子到水面的距离就是一个 y 吗？是吧？这个厚度你就忽略啊，厚度是忽略的， 嗯，这个 d s 就是 我们取的这一小角的木板子的一个面积，是不是长乘以个宽呀？宽，我们知道，就是 d y， 是吧？好，这个长怎么算呢？也是很好算的呀，哎，这一角是不是歪啊，这些角度我们说了都是四十五度呀，是吧？所以啊，这一角也是歪，对不对？ 是不是？这是 y， 这就是 y 了呀，其实我们这里应该用 x 来表示，对不对？它是沿着的轴吗？我们用 x 来表示的话，因为它四十五度，所以 x 就 等于 y 了，对不对？我们就用 y 来表示，因为这个积分变量我们是用的 y 嘛，所以啊， 这一角是 y， 因为它是还有两侧呢，是吧，哎，左侧还有一个 y， 所以 就是二 y 就 行了，对呗。 哎，这个啊，搞清楚啊，这就是长乘以宽，或者你算一半的，然后一半的这个受力再乘一个二也行。那我们直接啊，就画画一个画长条得了啊，一下算完它 好力的微圆已经算完了，我们现在去积分就行了，我们说是上面这些，是吧，上面的板子，所以它的积分的区间就是零到这个地方，对不对？零到这个地方啊，这就是二分之根二 a 啊，二分之根二 a 是吧？ d f 这积分就行了，这积分很简单吧，把该提出来，提出来啊，二倍的入 g 提出来了啊，好，零到二分之根二 a， 这里面就是 y 的 一个平方，是吧？ d y 算一下啊， y 的 一个平方 d y y 的 平方的原函数是 y 的 三次方，除以个三三就放这啊，二入 g， 好， y 的 一个三次方啊， 零二分之二分之根二，是不是可以写成根二分之一啊，好，为什么这样写啊，这样可以化简，看的更清晰一些啊， 好，他的一个三次方不就是 a 的 一个三次方，还有根二的一个三次方，就是二倍的根二，对吧？二倍的一个根二，这是二三得六了。二，这一个二，这一个根二，所以就消成这里是一个根二了， 是吧？我们再看，哎，这一小节板子啊，受的这个净水压力， d f 二是吧？入 g h 乘以啊， d s， 好， 这个高度的话啊，我们同样啊，这个点即为 y， 这下边这个点是 y 加 d y 嘛，是吧？还是这个套路嘛？ 好，这个高度啊，就是木板子距离水面的一个距离，是吧？哎，木板子距离水的一个高度啊，水面的一个高度，水面的高度就是就这个 y 吗？是不是所以 h 就是 y 啊？搞清楚， 就是个 y， d s 呢？ d s 这个高度啊，这个高度仍然是 d y， 是 吧？长方形的面积，算一下吗？好，这个长度怎么算呢？用中学的知识你自己划了两下，你看，我们现在要要这个，是吧？先把它求出来，然后再乘以到二，不就整个的长了吗？高，已经知道了， d y 长怎么算呀？ 这是不是 y 啊？哎，整个这个长度是多少呀？是二，哎，是根二， 哎呀，跟二 a 减去一个 y， 跟二 a 减去这个长度，不还剩下边这个长度了吗？是不是这个长度是不是就算出来了？这个长度有了，我们说这些角度都是四十五度呀，是吧？这个角这个长度有了，那个，这个横着的跟这个竖着的长度是一样的吧，对吧？就算出来了啊？ 好，这个底 y 往后写，我们应该就是跟二 a 减去一个 y， 好， 就是蓝色的，竖着的，蓝色的，横着蓝色的，跟它一样，那我们要两倍，是吧？哎，两倍，两个蓝色的，所以就乘一个二，不算完了吗？好，我们积分的话啊，你注意是从这是吧这里到这里啊， 上面这是，这是多少啊？这应该就是二分之根二 a， 对 不对？到根二 a 啊，好， d f 二算一下就行了啊， 把该提出来提出来啊，入记二可以提出来是吧？二分之根二 a， 根二 a， 还有这个跟这个了啊，我们给它乘成两部分吧啊，第一部分的话就是根二 a y 是 吧？根二 a y， 第二部分就是 y 的 一个平方嘛， 好，一点点算一下啊，二入记对于它来说积分，它的原函数呢，就是根二 a， 提出来 y 的 话就是 y 的 一个平方，除以一个二，是吧？好，咱们写成两块儿积分啊， 看的更清晰啊，减去同样这个系数，别忘了二入记啊， y 的 一个平方，原函数 y 的 三次方除以三了啊，二分之根二 a， 根二 a， 好 算一下啊， 二根二消掉了啊，还有是根二入记 a 好， y 的 一个平方，根二 a 的 平方就是二 a 的 一个平方，再减去它的一个平方，它是根二分之一 a 嘛，是吧，平方一下就是二分之一 a 的 一个平方， 这多少呀？二分之三 a 的 一个平方，对不对？减去看一下后面的啊， 三分之二入记好， y 的 一个三次方啊，根二 a 的 三次方，二倍的根二 a 的 三次方吧，减去它的一个三次方，我们说了它是根二分之一 a， 三次方就是二倍的根二好， a 的 一个三次方， 是不是这个化简一下吧啊，二倍的根二减去这个根二的话，我给他提上去吧， 再乘一个根二就是一个四好，看一下这个给它除一个四的话，这就是一个八，对不对？四分之七倍的根二， a 的 三次方， 四分之七倍的根二， a 的 三次方。好，再划减一下，第一部分是二分之三倍的根二入记 a 的 三次方，减去第二部分二，根底下的这个消掉了， 而这是一个六了，是吧？六分之七倍的根二入 g a 的 三次方， 这个是六乘一个三，这就是九。好，这就是六分之二倍的吧，是不是根二入 g a 的 三次方。好，就它了。 入 g a 的 三次方，这是六分之二倍的根二，这是六分之根二，所以它们加到一起是六分之三倍的根二入 g a 的 三次方，三消一下，是不是就是它这个结果加到一起。哦，两个加到一起啊， f 一 加上 f 二，二分之根二入 g a 的 三次方。写到这里， 作为一个填空题，它确实计算量是还是有一点的，但其实过程的话是很简单的吧，你得把该记的公式记一记，知道要分啊，两部分加到一起， 你坐标系，包括你见到这个中间的话也是一样的，你可以试一下，咱就不讲了啊，这个总之都要分成两部分进行算的。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，将地面上质量为一的物体牵直的向上举高，好，地球的半径啊， 哎，地球的质量引力常数，则物体摆脱地球引力至少需要做的功。那这个题它牵涉到这个便利做工，还有引力做工，是不是？我们其实画画图啊， 这个利用微元法是吧？还是核心就是微元法吗？把图可以画一下啊，建立一下坐标系，假设这个就是地球和这是球心，好吧，那么这个地球的表面吗？是吧？哎，地球， 地面上没有地球的表面吗？哎，这就是表面上啊，好，质量为一的一个物体，我们向上哎，进行举高，把它举高啊，咱们建议坐标系的话，那就连连，连到这个球心，可以吧？这个绿色的啊，是我们的这个物体啊， 好，我们知道地球的一个半径是 r， 我 们建议直角坐标系啊，咱们建议坐标系啊，便于做题吗？ 好，那就以他为这一个零点，可以吧，往这个方向去看啊，往这个方向去看，可以吧？哎，这是零啊，好， 那我们知道啊，你往上举高的话，这个物体到达这里，到达这里，到达每一个地方的话，地球对他的引力都是不一样的，其实就是便利做工， 对呗？好，我们就假设啊，这个物体现在从这到这，哎，我们从这举到这的话，好，他这个克服地球引力需要做多少功？我们算出来，然后再整个的话去积分不就行了吗？是不是？哎，先取一段微元吗？ 好，那这个坐标的话，我们就记为 x 到 x 加底 x， 从这里，哎，往上一点点，是吧？好，这一段距离它做的一个公，我们先把这个公的微圆求出来了，是吧？哎，公的微圆求出来， 它是不是就等于利的微圆乘以这个利方向上的一个位移啊？是吧？从这到这的话，那位移不就是底 x 吗？ 是吧？那我们现在就把力的微元求出来，力的微元怎么求啊？好，你物体是不是现在啊？就现在啊，从这举到这，其实这个我们说了啊，你算这个距离的时候，把它整个这一这一个，哎， 这个距离就给它当成一个点就行了，是吧？哎，此时我们这个物体就相当于这是一个点了啊，给他看这个点，好，他到这个 球心的一个距离，不就是 x 吗？是吧？我们记为这个这个座，这个坐标轴的话，我们是这个方向，记为这个 x 轴的话啊，这个是圆点吗？好，他到啊，到这里，这里我们说的是 x 吗？好，那这个他， 他跟地球之间的一个引力好，是不是就是 g 大 m 乘以小 m 就是 一吗？好，除以他俩之间的一个距离，是吧？哎， 好，地球对这个物体的引力啊，这就是 x 平方了，是吧？零到啊，这个 x， 他 俩那个距离吧，好，也就是说物体在这的时候，那么 地球对它的一个引力的一个大小就是这么大，是吧？哎，再再乘以啊， 从这，哎，到这一点点，这一点点距离，他做的一个公，这就是公的威严就求出来了，哎，不要迷惑这一点啊，你不要在这个 x 平方，你在 写成二 x 加点 x 的 平方啊，我们去算距离的时候，前面已经说过了，你就把它看成一个点就行了，是吧？因为这个距离是非常短的啊，非常短的，整个就看成一个点，一个点。哦，到这个圆点的一个距离，就是到那个球心的一个距离嘛，是吧？就是一个 x 就 行了， 公的微源已经有了，我们现在啊，这个物体想要摆脱地球，哎，想要摆脱地球的引力啊， 他一开始是不是在这个表面上，地球的表面上，你想摆脱的话，也就说，其实我们就从这个地球表面上把它移到无穷远处啊，是不是？我把你移到无穷远处，那么你不就是把这个地球引力给克服了吗？是吧？你跑的非常远呀。 好，那一开始我们知道啊，这个距离，你看他这，他一开始在这吗？好，这个零，这个原点到啊，他待的这个位位置的这个距离是不是 r 呀？我们从这哎移到无穷远处吗？所以就是从 r， 哎， 是吧？因为我们那个圆点在这呢，哎，从这哎移到无穷远处，所以就是从 r 到无穷哎，进行积分是吧？对，公的一个位元积分就是摆脱地球引力做的功了，对呗，一开始在这移到无穷远处， r 到正无穷对立的一个 为呃，公的一维元积分，这就得出来啊，他克服引力说至少做的公了啊，一到无穷远处不就克服了吗？好，现在就积分的问题了啊， r 的 正无穷 d w 已经算出来了呀， g 大 m 小 m 比上一个 x 平方 d x g 大 m 是数，放到前面 x 平方分之一，原函数就是负的 x 分 之一是吧？负号可以作用于上下限，那就是正无穷到 r 是 吧？好， g 大 于 m 这个上限一代是吧？再减去下限一代，无穷分之一就取极限是个零了，所以就是 r 分 之 g 大 m， 对 吧？ g 大 m 比上一个 r 就是 便利做功这个功，哎，这块又用到了万有引力的一个公式， 对吧？还是微元法啊，把这个功的微元搞完之后直接积分嘛。好，这个题就讲到这了。 好，我们把第四题啊和第六题一起讲，直接一起讲了，它很类似的，你看旋转泡沫面容器， 旋转泡沫面水缸，是吧？咱们一起讲了啊，这个题他牵涉到啊这个抽水做工的问题，抽水做工呢，其实就是克服重力做工，我们知道工的话，就等于 力乘以这个力方向上的一个位移，而克服重力，是吧？那就是这个力，我们就，哎给它相当于啊，是重力嘛，对不对？你抽水做功相当于就是克服的重力做功，你就理解为这个力啊，其实等于大 g 重力好，而大 g， 我 们知道 m g， 小 m g 嘛，是不是？而这是液体哦，液体的话好，它的一个质量是不等于 v 啊，所以就转化为 v g s 了，是吧？好，这个 v g s， 那 我们本质上啊，去求这个 做的一个公的话，那就要就要把这个公的微元去，哎，写出来，写出来之后再去积分，是吧？微元法吗？而本质上又回到了啊，这个更细致的一个点，其实就是去找哎，这个体积微元是吧？公的微元，其实就是体积微元嘛。好，就把这个 公式记住，哎，咱们把微元找到哎，去积分不就行了吗？好，那这个题呢，我们读一下，把图可以画一下啊，画一下，图 有一内表面为旋转抛物面的一个水缸，旋转抛物面怎么形成的？同学们得知道啊，它是由抛线，我们用一个别的笔吧 抛线哎，绕一个轴旋转出来的呀，就抛线哎，比如说绕这个 y 轴啊，这个旋转出来的一个旋转体，我们就称为啊旋转抛物面， 那光看这个面啊，旋转朋友面，好，那这个时候就要多给大家说两句话了，有同学呢，说，去求这一个啊，旋转就是这个我们旋转出来的啊，是不是一个立体啊，对吧？就是类似家里的一个碗吗？是不是？ 你看是不是像你家的碗，哎，去求这个碗的一个体积的时候，有同学就有问题了啊，他说求这个碗的一个体积的话，直接就是求用球的啊，体积公式求一下，哎，那再除一个二，不就是这个碗的一个体积了吗？ 你看对不对？球的一个体积公式，哎，再除一个二就是等于这个碗的一个体积，不对啊，这跟球有什么关系呢是不是？你看你家的碗，你家的一个碗的话，是球是一个球的一半吗？ 不是吧，对不对？你这跟抛物线有关系啊，对吧？你抛物线可能是长这个样子的，长这么窄的，或者是长这么宽的，你去旋转出来的形成的一个啊，这个立体是吧，形成的这个碗，你这这个跟你的这个抛物线有关系，跟这个球没关系啊。你，你确定你这个抛物线旋转出来的就是， 对吧？就是，都是均匀的吗？对不对？你这个抛物线长得很窄，长得很宽，你旋转出来的怎么可能就是球了， 方方正正的均匀的一个球的一半呢？一定要搞清楚，我们去求这个旋转抛物体，就是这个啊，这个立体的一个体积的时候，可不是用球体积除以二啊，那一定要注意了，好，继续啊，这个深度呢，是 a， 深度是 a， 假设啊， 这是圆点吗？也就是这个距离就是一个 a， 对 吧？距离是 a 啊，坐标轴啊，好，钢口的直径是二 a， 直径是二 a， 那 半径不就是 a 吗？是不是半径就是 a 呀？所以这个点啊，抛线吗？抛线就是我们画的这个蓝色的线啊，它就过 a a 这个点吧，是不是？哎，这个横横坐标是个 a， 纵坐标也是一个 a 吗？那我们知道了啊，他过这个点的话，其实就可以把抛物线的一个方程求出来，求出来肯定是有用的啊，待会我们再求也行啊，缸内呢，就盛满了水，这里边都是水啊，一碗水好，水的密度如，如果以 每秒哎 q 立方米的速率把这个缸里边的水全部都抽出来，需要多少时间呢？需要多做多少功呢？ 好，需要多长时间？是不是我们就要把这个碗的一个体积求出来呀？那就缸的体积求出来，体积求出来再除以啊，你这个 速率是吧，你抽的一个速率吗？你一秒抽 q 立方米吗？这，这个不就是体积单位吗？是吧，一秒抽这么多，总共有这么大的一个体积除以啊，你这个速度相当于不就等于你需要多长时间了，是不是？好，本质上要把体积求出来。 第二问就是做工的问题，那就是我们刚刚说的啊，把这个体积微元哎找出来。好，我们先看啊，第一问需要多长时间， 那么就要把体积算出来，算体积的时候，其实啊，它跟第二问就有关系了，是吧？我们把第不是跟第二问有关系啊，我们第一问就会把体积微元求出来，第二问刚好也要用到体积微元，所以他们哎， 就是联系到一起了啊。好，我们把体积微圆求出来，那是不是得取一层很薄的水面是吧？取一层很薄的水面啊，取的一层，你自己想象一下，家里的碗我取一层很薄的一个水面，这个距离呢？这个啊，这就是一个 y 到这个 y 加底 y 这高度嘛，是吧？这一层水面这是 y， 这是 y 加底 y， 这个一层水面这个这层水面的一个高度的话，就是底 y 嘛，非常薄的一层啊，水，好吧，好， 那我们现在要把底 v 去求一下，是不是你可以这样写一下啊，任取这个 y 到 y 加底 y 嘛，它是不是包含于零到 a 呀？ 好，这个底微怎么求啊？哎，就是你渠的这一层水面的一个体积微圆，是吧？哎，我们这一层水的一个体积求出来就是体积微圆嘛，好，想象一下这个体积怎么求？哎，你家的碗的话，一层非常薄的一个水的话，这一层的一个水的体积怎么去求啊？ 你，你可以给它，是不是可以看成，哎，它就是一个圆柱圆柱体啊，对不对？圆柱体啊，就是一个圆柱体，好重新画啊， 对不对？哎，这一层水，你看一下你家的碗不就是一个圆柱体吗？这很薄的一层水，在你碗在你家碗里，哎，你去求这一层水的一个体积啊，它就是一个圆柱的一个体嘛， 这边就是圆柱体的一个体积，求出来就是这一层水的体积啊，好，对，圆柱体的体积我们都知道啊，是底面积乘以高，是不是高，我们知道啊，就是取的底 y 吗？ y 到底 y 距离就是底 y 高，已经有了底面积呢，不就是圆的一面积吗？拍 r 的 一个平方是吧？ 这个 r 怎么求呢？好，我们就得射出来了啊，我们射坡物线啊， 方程是吧？设抛物线的一个方程，这时候就得求方程了啊，为 y 等于好，因为我们这样建立坐标系的，所以它的一个方程就是 y 等于 k x 平方嘛，是吧？因为 它过哎， a a 这个点，所以 k 就 可以求出来了，是吧？ a 就 等于 k 乘以 a 的 一个平方， a 是 大于零的呀，对不对？这个 a 大 于零咱就不写了吧，它深度为 a 肯定大于零啊。好，这也可以写一下啊， a 大 于零，都除一个 a， 除一个 a， 还剩一个 a， k 就 等于 a 分 之一，所以我们抛物线的一个方程就求出来了 a 分 之一 x 的 一个平方，是吧？好，那我们现在啊，要求这一个底面积，就要把这一个半径求出来，半径其实不就这个长度吗？是不是这个长度不就是 x 了吗？因为你的一个高度你是记为 y 的 吗？对吧？这个高度我们记为 y 啊， 那它对应的，哎，这个长度不就是 x 吗？因为我们的方程就是 y 等于 k x 方了，是吧？好，这个好，这个半径就有了啊，底面积就求出来了啊，所以底 v 就 等于拍 r 的 一个平方，好，乘一个高度，是吧？这一层水的一个体积就求出来了，体积微圆就出来了。接下来呢，我们去积分呀，总共呢，是 它的一个高度是零到 a， 是 吧？因为我们只取了这么高的一层水，体积求出来了零到 a， 哎，它的高度是从零高度是 a 吗？从零到 a， 对 体积微圆进行积分，不就得的是体积了吗？好，零到 a， d v 就是 pi x 平方， d y 嘛，嗯， x 平，因为现在是 d y， 所以 我们要把 x 平方给改一下，是吧？ x 平方嘛，给改什么 y 呀？积分变量是 y 呀，那 x 平方是现在就可以用了， x 平方不就等于 a 乘以 y 吗，是吧？ a 乘以 y 呀， d y 好， a 乘一个 y， d y， 那 a 拍都可以提出来 y 的 积分二分之一 y 的 一个平方，领到 a， 好， 那就是二分之一 a 乘一个拍，再乘一个 a 的 一个平方，就是 a 的 三次方， 体积就求出来了，是吧？也就是 v 就 求出来了啊，好，这个往左边来，来吧， 需要多长时间呢？我们已经说了，再除以这个 q 就 行了，体积除以 q 就 行了啊，走， 哎，我们需要的时间就等于 v 除以一个 q， 拍 a 的 三次方，除以个二，再除以个 q， 这时间有没有单位啊，秒啊什么的，没秒是吧，那我们带上单位啊，就是这么多秒就行了啊，也可以在下个结论，我就写了第二问，哎，需要做的功，需要做的功，我们说了体积微圆已经有了，那你这个做工就非常简单了，是吧？好，由第一问。 哎，我们知道 d v 是 我们想要的啊，拍 a y d y， 好， 接下来就是公的一个微圆，是吧？公的一个微圆的话， 就等于这个 u g， d， v s 嘛，你记下来嘛，是吧？ u g d v s， 好， 这个 s 的 话，你看一下啊，应该写多少呢？待会儿我们要改一下啊。 u g d v 已经有了啊，拍 a y d y， 现在就是这个 s s， 什么意思呀？ 也就是说我们是取的这一层，这红色的这一层水面，我们要把它抽出去，是吧？这一层水，哎，给它抽，抽出去需要做的功，那抽出去的一个距离，哎， 这个就把这一层水啊抽出去了，这个距离的话，不就是这个 a 减去这个 y 吗？是吧？这就是我们抽出去的一个距离呀， 对吧？便利做工，也就是说利方向上的一个谓语，谓语就是，哎， a 减上一个 y 嘛。啊， a 减去一个 y， 这里呢，要不你就别写 s 了是吧，写上也行吧。可以啊，可以这样写 s 现在又给它换为 a 减 y 了， 好， d w 有， d w 都有了。那你整个做工是吧，只需要积个分就行了啊，工的维元已经有了，我们，哎，整个啊，积分就行了啊。零到 a， d w 入机拍 a y， a 减 y d y， 是 吧，很简单了啊。 嗯，入看，能提出来的都提出来啊。入机拍 a 都能提出来，这里边就剩这块了呗。我们看， 嗯， a 乘以 y 的 原函数是不是就它？ y 的 平方的原函数是不是就它？哎，这积分就很简单，主要是分析的过程啊。入记拍 a， 这里面二分之一 a 的 三次方呀，减去三分之一 a 的 三次方是吧，这不就是六分之一 a 的 三次方吗？那就是六分之一入记拍 a 的 四次方。 做多少公他都有单位，那我们就带上公的单位，不是交而吗？交是吧，我们，哎，就顺便把第六题做了啊，你看他前面这些序数啊，这序数是不是就跟第四个题是一样的呀，是吧，我们也把图画一下啊，好， 再画一遍，加深一下印象。旋转，抛面 抛物线旋转啊，绕着 y 轴旋转一周得出来的啊， 这个容器啊，就是就是一个碗嘛，对吧。深度为 a 口径啊，端容器口直径为二 a 跟刚刚一模一样啊，一模一样，它过这个点， a a 这个点是吧，这是一个动作标，也是一个 a。 好，我们同样啊，先把这个方程求一下，咱们这面已经求过了，就是它是吧，再写一遍啊，好，嗯，设抛物线啊， 方程，这个 y 等于 k x 方，它过 a a 这个点，所以啊， k 就 等于 a 分 之一，是吧，则这个 y 就 求出来了。这肯定要求出来要用它的啊， y 等于 a 分 之一 x 方啊，好套话啊，该该写的要写一写，写完了这个，接下来读一下题啊，它呢，是以每秒 q 立方米的速率。速率这块题啊，牵涉到相关变化率了啊， 这个速率你看啊，这是单位，是立方米，也就是体积哎，对时间的一个导，是吧。这就是啊，每每秒 q 立方米的一个速率就表示成非对 t 的 一个导，这个你得能写出来，是吧。好，我们以 一秒啊 q 立方米的速率往容器里面注水。第四个题是啥呀？是盛满了水往外抽抽水做工，这是往里面注水啊，好， 容第一问啊，容器的容积和表面积内表面的面积啊，容积的话不就是还是去算啊，这个碗的一个体积吗？是吧，咱已经算过了，就是它还是它啊，再写一下，好吧，再写一下啊，好，仍然啊。取一层哎，很薄的 水面，直接这样画了，这个距离我们就是 y 到 y 加底 y 啊，这一层水面好 写一下啊，这个慢慢的啊，等多写一点，加深一下印象，任取 y y 加底 y 这一段啊，很窄的一个水面，它包含于零到 a， 是 吧。 好，我们就把啊体积为圆去求一下。体积为圆我们已经说了，他是等于拍 x 的 一个平方哎，底面积乘以高高就是这个底 y， 是 吧，圆柱体的体积公式就行了。我们因为积分变量是 y， 所以 把 x 换成 y 了啊。 x 平方就等于 a 乘以 y 嘛， a 乘一个 y 好， d y 好， 体积，容积，不就是啊，这个碗那个体积吗？是吧？ v 就 等于零到 a， 哎，积分呢？体积为圆，一积好，拍 a y d y 拍 a， 这个 y 的 话是二分之一 y 的 平方，是吧？二分之一 y， a 的 一个平方，那就 a 的 一个三四方，好吧，这个单位要不要写一下？它有这个米是吧？容积我们就写成立方米，刚刚是不是没写啊，写一下也行， 对吧？这个体积啊，看是不是一样的，一样的啊。好，表面积这一块需需要注意一下啊，这个警醒一下自己， 关于题里面说到表面积或者说到侧面积，一个东西啊，或者说到弧长，就就这点儿东西啊，你就记住我们的一个微圆，这个高度啊，这个高，这这个高度的一个微圆就不再是 d y 了啊，就变成 d s 了。 d x 的 话我们前面都已经学过了，是吧？好，是一加 y 对 x 求导的平方， d y 或者呢？哎， x 对 y 求导的平方，哎，这个，这是 d x 啊， 至于用哪一个，你根据题目是吧，这个题目我们都写成 y 变量啊，底 y 了，所以那就选这一个就行了，记住这一点啊，弧长侧面积，表面积出现的时候，我们的一个啊，这个微圆就是不要去取这个底 y 了啊，你看，我们先把这一这个 很窄的一个，对，现在啊，是容器的一个表面积，咱们就不应该去取一层薄薄的水面，是吧，给它展开水怎么去展开呢？应该是啊，就是取这样的很窄的啊一段，你去把这个碗这一段啊，给它截，截掉，用剪子给截，你可以理解为它是一个 这个纸碗吧，用纸做的碗。行吧，用纸做的碗，我们就取这么窄的一段，好，用剪刀给它剪开，剪开之后它就是啊， 就相当于一个长方形，对呗，你想象一下，剪纸吗？就一个长方形，你看这个，这个就是它的一个高度，这就是它的一个高度。好，那你这个啊，这个长度呢？哎，我们先是把这个 面积的一个微圆先求出来啊，现在有才知道我们的目的啊，面积微圆求出来之后再去求啊，整个的面积就积分就行了。好，也就说我们取啊， 这个碗的一小圈吗？是吧，你想象一下，哎，很窄的一段啊，一小圈，来，给它拆，拆下来 用，用剪刀给剪下来，然后给它铺平啊，铺平之后是不是就是一个长方形了呀？好，这个高度就不是啊，这高度就不再是这个 d y 了，就这这个弧长了啊，这段的弧长。哎，是作为我们的啊， 这个微圆了，就是 d s， 现在是小的 d s 啊，我们现在是算的啊，表面积的微圆。好，它就等于这个啊，长方形的， 这个长乘以高。就是啊，这个表面积的一个微圆啊，好，这个长方形的一个面积不是底乘以高吗？高，我们你知道了，就这个底。小 s 啊， 这个长呢，长的话是不是就是我们刚刚说的啊，它很像这个这个圆柱体吗？是吧，它底面积就是这个圆的一个周长呀，是吧，那我们刚刚说它是一乘四 水的时候啊，你给它算体积的时候，我们就近四维啊，它是一个圆柱体，那么你现在啊，只是说我们现在去求表面积了，你用纸用这个剪刀剪开，给它铺平，给它看成 长方形就行了，而它的一个长方形的一个长的话，那么就是底面，对吧，给它展开了吗？底面的圆的一个周长呀，对，圆的一个周长，公式就是二拍 r， r 就是 我们说的 x 吗？是吧？这就是一个 x 呀，这就是它的一个底，底面的圆的一个半径 r 拍 x， 哎，就这样的啊。 x 的 话，你从这里可以给它解一下， x 平方是等于 a 乘以 y， x 就 等于根号下 a y， 因为我们待会都是 d y 嘛，所以把 x 都换成啊，跟 y 相关的信息。 d s 呢？我们已经说了啊，这个微圆现在就是它了啊，就不不要给它写成 d y 了啊。长乘以宽不是乘的 d y， 千万记住，不是乘的底 y， 不是。 我们算体积的时候这个微圆底 y 了啊，高度不是底 y 了，是用这个弧长代替的啊。高度好，一加上 x 对 y 求导，这个平方好，底 y 就 行了。 x 对 y 求导。你在这求一下 二倍的根号下 a， y 分 之 a， 是 吧？那 x 对 y 求导的一个平方，你也可以算一下 a 的 一个平方。四 a， y 削一个 a 削一个 a， 不 就是 a 除以一个四 y 吗？ 好，我们写过来。二拍，根号下 a y， 一 加上 s 对 y 求导的一个平方就是它嘛。 a 出一个四 y 好， 再开个方是吧？ d y 还可以再划减一下吧。二拍，这个是啊，大 s， 这个是啊，高的一个微圆吗？小 s 写小一点， 根号下 a y 这里啊，四 y 你 通分啊，这样题你通分就行了。四 y 加个 a 开方，这底下开方，这开方不就是二乘以根号 y 吗？是吧？ 根号下四 y 加上一个 a， 除以二根号下 y， 你 看这可以消一下吧。这有根号 y， 这有根号 y， 二根二也消掉了，所以还剩一个拍根号 a 呀，对不对？这里跟这里消掉了，二消掉了，只前面只剩一个 拍和根号 a 了啊，搞清楚。好，四 y 加上一个 a， 你 这里化简多一多一些步骤的话，接下来我们去求啊，这个面积 就是零到 a 区间上啊。对，我们的面积为圆积分不就行了是吧？这时候你就哎好做多了啊， 就不用再去化减了，因为上面化减的很彻底了。这积分简单呀，是吧？这拍根号 a， 往前一提，这里这根号就写成二分之一次方百是吧？我们再去凑个微分呀，拍这个四 y 加上一个 a， 二分之一，你这就是 d， 四 y 加上一个 a， 那 补一个四分之一是吧？四分之 pi 跟好 a 乘以这边函数简单的很呀。那二分之三补一个三分之二是吧？ 一个三分之二零到 a 去算一下啊，二跟这底下削一个，还有个六拍根号 a， 这里面我们看 a 往这一加的话就是五 a 了。五 a 的二分之三四方，五的二分之三四方不就是五倍的根五吗？在 a 的 二分之三四方，另一代就是 a 的 二分之三四方，是吧？你这里还可以合并一下， a 的 三四方可以跟根号 a 一 乘，就是 a 的 平方了呀，对不对？所以就是六分之拍 五倍的根五减去一个一嘛，五倍的根五减去一个一 a 的 平方呀，这个跟前面的根号 a 就 成成 a 的 平方了呀，是吧？这就是它的一个结果啊。表面积的话，面积啊，应该是平方米，是吧？第二问啊，写到这里了， 容器中水深为二分之一 a 米的时候，水面上升的一个速率，哎，这个题考察到相关变化率了，是吧？哎，这个地方出现了啊， 一个啊，关于相关变化率的一个提示，好，这是 v 对 时间的导，是等于 q， 现在又牵涉了一个高度的问题，是吧？你得能够分析出来啊。好，我们要求的啊，这个水深他说是二分之一 a 米啊，我先设成 h 米， 当水升为 h 的 时候，好，这个水面上升的一个速率上升，那不就是高度吗？是吧，其实就是去求高度，对时间的一个导嘛， 对，要求的就是它啊。而这个里，在这个地方提示你的什么呀？而提示你的是 v 是 关于时间的一个函数，是吧？ v 是 关于时间的函数，现在让求的是 h 关于的函数，那么我们自然就能够知道， v 肯定是关于 h 的 一个函数， h， 哎，关羽 t 的 函数是吧，这不就是相关变化率的这一套吗？从这里可以看出来，你看我们这个水深现在升为 h 的 时候，是不是可以求出来，哎，这个当水升为 h 时的这个水的一个体积压往里面注水吗？ 数的高度为 h 的 时候，此时水的一个体积是不是关于 h 的 一个函数啊，对吧？关于 h 的 一个函数，而很显然 h 又关于时间是 h， 关于 t， h 又是关于 t 的 一个函数，对吧？好，所以我们现在哎，就是设 水深为 h 的 时候，哎，把体积的一个表达式求出来，在两边对时间求导，是吧？该把该带的带一带，这个不就是等于 q 了吗？ 好，这个体积体积等于多少呀？不就是零到 h， 哎，体积微圆，把第一问的体积微圆拿过来了，把这个 a 现在换成 h 了，对不对？好，零到 h d v 是 多少呀？ 拍 a y d y 是 吧？拍 a 提出来 y 的 原函数二分之一 y 的 一个平方就是 h 的 平方。好，两边对踢球岛就行了。两边对踢球岛， 对吧？ v 呢？就对踢球岛，这个其实就是等于 q 的 嘛。对，踢球岛啊，其实就是 v 对 h 球岛， h 对 踢球岛嘛。 v 对 h 球岛。二下来了，那就是拍 a h 是 吧？好，接下来就是 h 对 提求的。现在呢？不是说了吗？好，这个 h 等于二分之一 a 米吗？把它换成二分之一 a， 这不就直接求出来它了吗？是吧？好，将 h 等于你。不要啊，一开始就要搞一个数，在这里你一定是用啊，一个变量表示把该求的求完之后再把变量赋值，是这样的过程啊， h 等于二分之一 a， 代入这个一是吧？ 好，就可以得了。 h 对 t 得一个到等于多少呢？那不就是 q 是 吧。 q 除以 a 乘一个 a， 再乘一个 h， 这样吧啊， h 是 二分之一 a， 然后平方 pi 乘一个啊，我们要求的是等于 q， 所以 那就等于 q 除以 拍 a 的 一个平方，再乘以二。是这样的啊，这个就没什么说的，慢慢求。好，这随便上升，是高度吗？是吧，所以是每每秒啊，这个速率就是它 这个相关变化率的问题啊，应该是不难的。好，把这两个题啊是放到一起进行做一做啊，自己给自己讲一遍，慢慢的啊，就会做了啊。好，这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，哎，有抽水做工是吧，还有相关变化率的问题啊，在一个高为一米的圆柱形内哎，储存某种液体横着放，注意是横着放啊，圆柱体横着放 好底面圆的一个方程，就当圆吗？如果容器内除满了液体，你把它当成水不就行了？好，以 零点二毫米每分钟的一个速率将液体从容器顶端抽出，那么第一问，页面在 y 等于零的时候，页面下降的一个速率。第二问啊，一平方米的液体呢，受的重力是一牛，那么我们把所有的液体都抽完需要做多少功呢？ 我们做这样的题是不是得把图画出来呀，哎，横放的这个圆柱体应该怎么画？你想象一下，我们生活中见过类似的一些东西，不 见过啊，好，油罐车或者是我们说的哎，路上啊，咱们都见过啊，就是洒水车都见过吧，包括啊，这个声音我觉得同学们听过啊，可以听一下啊，我是天天听哦，是吧，这个叫什么兰花草 好，就这样了啊，就是给大家加深一下印象啊，就是见到这个横放的一个圆柱体的话，得想到啊，这个是吧，洒水洒水车， 那这个还不太好画，我直接啊把家里的这个牙签牙签盒给它装上水，这样看来更清晰，是吧，就跟这个啊，我们说的哎，洒水车是一样的，对吧，这样便于我们去做这个题啊，我就直接把它放过来啊，更直观一点好， 它的一个高度为一，就是这个整个的一个长度是一，这是不是横着放的哎，这个就是它的高度为一啊，我们现在呢啊，先看第一问啊，页面 y 等于零的时候，页面下降的一个速率，你像求页面下降的速率，页面进行下降了，是不是就是高度啊，高度的一个问题。关于高度的问题，其实它就是求的，就是 h 对 t 的 一个导的意思，你得能够分析出来吧， 这个怎么去求呢？哎，我们想一下啊，你是里边啊，盛满了液体，我们是把液体哎，抽出去，是吧？往上抽出去啊，你抽出去的话，那肯定啊，随着时间的延长的话，我们这个水的一个体积是不是越来越少啊？所以它跟体积又是有关系的，一定要往体积上面去想， 也就说体积肯定是关于时间的一个函数，这肯定没有问题，对不对？你这个随着时间的一个延长的话，你的这个液体的一个体积会越来越小，越来越少吗？好，那 体积肯定是关于高度的函数，高度也关于又又是关于 t 的 函数，这样是不是？哎，就联系起来了。这样的题，其实你做前面咱们已经做过类似的了，对不对？好，你看这句话其实也提示你了吗？ 这个速率是什么呀？这不是立方米每分钟吗？不就是体积对时间的导吗？他都已经告诉你了，这个是零点二，是吧？现在啊， 我们要求这个高度啊，高度等于零的时候，好，这个啊，页面下降的速率就是求它，是吧？那我们是不是关键点就是把体积对时间的对高度的一个导出来呀？我们是不是得把体积给求出来呀？对不对？把整个啊，这个这里边的水的体积求一下，我们就要用到维元法了呀， 把体积微圆找到是不是？好，那我们现在是不是就得建立坐标系了呀？那既然底面啊，它是圆吗？是一个单位圆， 那我们就以圆心作为坐标轴的一个圆心，坐标轴的一个圆心是吧？坐标系轴的圆点啊，不是圆心啊，圆点就这样建立坐标轴不就行了吗？是吧，这半径啊，都是一哦，都是一，好， 体积微圆找出来，我们是不是去任取啊？一层很薄的一个水面，这个高度呢，就是 y 到 y 加底 y 可以 吧？这一层啊，很窄的啊，一层水面。 好，我们就取啊，把这把这一小层的啊，水的一个体积求出来，不就是体积微圆求出来了吗？再去是吧，还再去搞这些求导的事。 好，我们就任取这个 y 到 y 加底 y 很 薄的一层水面是吧，它包含于这应该是负一是吧？这个啊，这就是负一了呀，这是一呀，是吧？好，负一到一， 我们看这个体积怎么算啊？好，我们知道啊，如果一个圆柱啊，这个这个咱们不横着放的话，好，我们取一层， 哎，一一，一层水是吧，薄薄的一层水的话，这个体积是不是？哎，就算这个圆柱体的体积啊，底面积乘以高就行了呀，现在你想一下，他还是一个圆柱体吗？这么 这么窄的一层水面的话，你看他是圆柱体吗？你这样看对不对？你自己想象一下。哎，这个油罐车，这个洒水车，这个横着去看的话， 哎，你取一层，你取薄薄的一层，你看过来，从这往往这边看的话，他是不是一个近似，近似为一个长方题啊，对不对？他是长方题的形状哦，这得搞清楚啊，那长方题可不是圆柱体了， 哎，这个长方体了，对不对？哎，这个长方体的一个体积就是我们这一小层水面的啊。体积。好，这个长方体的一个体积公式我们知道，就是底面积乘以这个高，高的话不就是这个油罐车，是吧？这个就这个啊，圆柱形，这个 就这个容器啊，他的一个长度吗？长度就是这个长方形的一个高就是一个一，现在算一下底面积。对，底面积，底面积不就是这不就是这个吗？是吧？就我们取的这一薄层的一个水面啊，这个就给他径四吗？这就这圆圆的就给他径四为径四为直的吗？哎，就是，哎，这个 长方长方形了啊，在它侧面了，对不对？你看一下，哎，从这，从这，你视线往那里面去看啊，往里面去看，不要，往，不要这样去看，这样去看，是不是这样去看啊？好， 长方体的这个底面积怎么算呀？不就是我们刚画的这个吗？好，这个长乘一个宽就行了，宽呢？不就是这个底 y 吗？是吧？宽就是一个底 y， 这个这个长呢？这是长吗？宽是底 y， 长怎么算呢？长的话我们描一下， 连一个线啊，我们想要这个长，是吧？好，这个圆那个半径不是等于一吗？这个高度不是一，这个高度不是 y 吗？好，这个长不就根据勾股定底吗？一减去 y 的 一个平方，开方是这段长，我们是两段加到一起，是吧？哎，这是整个的啊，一个长一个高， 这个高就是底 y， 这个长的话就是两倍的根号，下一减 y 的 平方嘛，对不对？底 乘以高就是底面积，好，底面积有了这个高度，再一乘就长方体的一个体积了啊，好，那就是二倍的根号下一减 y 的 一个平方，这是底面积再乘一个高高就是一吗？是吧，这么长。好，这个搞清楚啊， 体积微圆就求完了啊，咱就不，你还是要写一下告诉别人是吧，你知道这件事吗？那就现在化解一下， 我们是不是要把这个 v 给表示出来呀？好，你再读一下题啊，页面高度是吧，它指的就是高度啊，哎，当这个页面啊，这个高度为多少的时候，好，这个页面下降的一个速率求的是它。 我们说这样的题，你不要是先去看具体的啊，这个高度为多少的时候，你先啊，哎，去设出来一个变量 h， 把这个该求的导都求完之后，好再把 h 等于零带一下，是这样的一个过程啊，不要直接就是看盯住这一个啊， 相当于给你的条件，对吧？给你的一个具体的条件，不要去盯它，我们现在就设页面高度，哎，页面它指的就是高度啊， 为 h 的 时候，好，我们就把哎此时的液体的体积求一下，好吧，体积那不就是等于零到 h， 哎，负一到 h， 你 注意了啊，我们的坐标系，你看底下是负一是吧，负一到 h， 然后，哎，体积微远积分嘛，对，体积微远积分。 好，这是 h 二倍的根号下一减 y 的 平方 d， y 有 必要积出来吗？没有必要，不用积出来， 因为我们待会要去求导了，是吧？哎，关于关于求导呀，那你干嘛还要积呢，积完还得再回来呀，还得求导图啥呢？好，接下来就是两边对梯求导 是吧？好， v 对 t 求导，我们知道 v， 你 看关于高度的一个函数是吧，也就相当于 v 对 h 求导， h 对 t 求导，这已经分析过了啊，好， v 对 h 求导，变现积分函数求导。二倍的根号下 e 减 h 的 平方呀， 好， d h 逼上一个 d t， 这个时候再把 h 是 吧，页面高度，哎，等于零，带到这里面就行了啊，我们就把 h 等于零。 还有什么还有 d v 比 d t 的 题里面说了呀，是等于零点二嘛，我们就代入这个式子就求出来了，代入一式就可以得， 好， h b t b d t d h 比 d t 啊，这左左边是零点二，右边是二，根号下一减零嘛，好， d h 比上一个 d t， 这是一，这是一个二，二挪这里，这不就是零点一嘛，是不是零点一，好米每分钟对吧，因为关于高度嘛， 就求完了，对呗，来仔细分析一下啊，好，第二题，抽水做功了啊，看好这这一串的公式是吧，我们是抽水做功，是克服重力做功啊，我们这个哎，这个它受的力其实就是重力，它俩要相等，理想条件下啊，就把它抽出来了啊， 好，最终其实我们说过了啊，就是去求公的位，员工的位源呢，其实就，哎，就是体积的位源了，其实就这块对吧，关键就是他呀。好，我们那就把公的位源写过来，咱们直接 背下来了是吧，入记底微以及啊，这个力的方向上，哎，走的一个位移对不对？哎，这就是移动的一个位移啊， 好，我们现在看一下啊，今天没有给这这这个入机怎么办？我们现在先不用去管那么多，先把这个入机先放在这里，那么 d v d v 上面是有的，抄过来就行了，是吧？有第一问， d v 就是 二倍的根号，下一减 y 的 平方 d y， 好， 我们是不是取的是 这样的一层，哎，这样的一层刚刚还是这层水面啊， 好，把它抽出去，是不是？哎，抽出去，你看一下在它抽出去经经历的这个长度是多少嘛，对吧？哎，它这个力的方向往那个位移嘛，抽出去多多高呀，你看它多高，总共这里是一个一，对吧。这个高度是一个 y， 那 它抽出去的一个高度， 这，这段就这段嘛，一减去一个 y 呀，是吧，所以这个 s 就是 一减 y， 是吧，哎，力的方向上的位一啊，现在就是如基，如基的话我们你要知道啊，他是客户，重力做工的话自己就可以推导出来，你看一下如基等于谁？你看这里 mg 是 不是等于 v 基啊，对不对？ mg 等于 v 基， mg， 嗯， g 跟 g 相等， m 就 等于如 v 嘛，因为液体的一个质量的话，就等于如乘以 v， 你 得这些得搞清楚啊，高中的知识了，你看一下如 g 等于谁？如 g， 这不是如 g， 哎，现在现在就求如 g 的 呀，如 g 就 等于 m， g 除一个 v 啊，这是其实就给你了，你看 一立方一立方米的液体所受的一个重力等于 u， 不， 不等于一 u 啊，这不就是这个，这个意思不就是等于一立方米的哎，这个液体所受的一个重力吗？ 对不对？这其实就给你了呀，就是等于一啊，我问你，大 g 除以 v， 是 是是，啥意思？是不是就是一立方米的液体所受的重力啊，这不就给了吗？就是一立方米的液体所受的重力啊，对不对？能看出来吧？ 好，如果你这个啊，哎，忘了，是吧？这些高中学的一个知识忘了，那我们再回到这里，哎，你让我去求 d w， 是 不是就是去求哎，力的一个位元乘以这个力方向的位仪啊？力的方向位仪，我其实知道的就是他，那 这个力的话，我们说他就是克服重力做功，其实就是等于哎，重力，是吧？乘以这个我们是往上的啊，为乘以这个位仪。 好，这个重力的话，你看一立方米的液体受的力是受的重力是一扭有多少立方米呢？哎，我们说了啊，你现在是力的，你现在是啊，求微圆的是吧？那我们就这么多的， 哎，这么多毫米的一个液体，那么你受的一个力是不是就是跟你的一个体积有关系啊？你一毫米就受一牛的一个力，你五毫米就受五牛的力，你现在有多少有多少毫米啊？有 d v 个 d v 不 就是表示的这个 叫什么呀？哎，体积为圆吗？就是你有多少多少平方米的一个液体，是吧？多少平方米的液体你就受哎，多大的一个重力就受多大的啊。这个抽水的那个力，对不对？就是拉力吗？抽水做工其实那就是拉力了， 对吧？所以说你受的这个力就是等于你的一个体，对吧？哎，力的微元就等于体积微元，这个能搞清楚吧，咱们就不写那么多了，它其实等于体积微元呀，再乘以这个 s， s 就是 我们说的 e 减 y， d v 的 话，我们再抄一下上面的 是吧。再乘一个 e 减 y， 你 看跟它一样吧。一样的啊，你就自己理解一下啊，你多多少立方多少立方米，那么它所受的一个力，哎，就是多少，是吧，所以它们对着的啊。 好，现在我们就知道的是 w， 哎，这个做工的一个位元已经有了，那接下来不就是积分了吗？是不是积分的话啊，我们是把所有的液体都抽出去，哎，他的这个按你看，从负一到一啊，哎，从负一到一 好， d w 这就全抽出去了啊。负一到一 d w 我 写过来了，二倍的根号，下一减 y 的 一个平方，好，一减 y， d y 是 吧，对称区间上积分，你肯定要考虑一下基友星了。你看， 第一部分是二倍的根号，下一减 y 的 个平方 d y， 第二部分就是个零，你看啊，它跟它一样乘，这块是偶函数，这块是奇函数，是吧？在对数圈上积分等于零。第二部分是个零，咱不写了啊，第一部分的话，你看我们可以用几何意义吧，是不是 这个时候啊，可以转化为二倍的，这个二已经挪这里了啊。接下来是负一到一对它进行积分，是不是可以写成两倍的，因为它是偶函数，背积函数是偶函数啊，二倍的好，对它进行积分，根据定积分的几何意义，是吧？这个咱们已经做过多次了，你别看不出来了啊， 他是四分之一圆那个面积，对不对？哎，那不就是拍 r 的 一个平方是一个四吗？前面是一个四，再四分之拍 r 的 平方好，就是一个拍，是吧？其实你这里不转化为二倍的话，他其实就是 半圆的一个面积，对吧？再乘一个，前面本来有个二吗？也可以啊，这个单位呢？哎，交耳就行了，交交耳是吧，好，自己分析一下啊，这些该记的公式记一记，微元法掌握了啊。好，这个题就讲到这了，我们看这个题设以单位质量， 单位质量为一的意思吗？细杆的长是一，既是引力常数，当质量为 a 的 至点，在细杆延长线上距杆右端点的二分之一处，处啊，一到三分之一处，使引力做工大小，这是不是考察的便利做工呀，这个力的话是不是万有引力啊？好，那我们可以啊，把这个图画一下，咱们看的更清晰一些啊， 你要你要建立坐标系啊，你刚开始的时候可能不知道怎么建，我们做做做题你就知道了啊，你比如说我这样建立的话，你这个细杆子你往哪放呢？你放到这边也行，放到这边也行，是不是？比如说我们放到这边吧，放这边的话，好，细杆子的一个长度 不是等于一吗？好，在坐标系上的话，那是不是，哎，这个点就是负一，这个点，这就是细杆子啊，好，我们看啊，质量为 a 的 质点在哪呢？我们先这里长度是一个一啊，这个一大概在这的话， 他说是好细杆的延长线上距距杆子右端点的二分之一处啊，右端点的二分之一处，比如说在这，对不对？你看二分之一处啊，好，一到三分之一处，三分之一，那大概这个位置呗，对不对？ 差不多就行了啊，质点呢，就是从这好到这，那这个细杆子对我们质点做工的一个大小。 好，我们说了啊，这块呢，做功的话便利做功，功的话是力乘以谓仪，那这个力的话怎么去求谓仪？咱们待会再去说这个力的话，我们刚刚提到了是万有引力，而万有引力的话，咱们说的是两个质点之间，是吧？他的万有引力的公式是这个啊。 好，他的一个质量为大 m， 这个质点的质量为小 m 的 话，他们之间的一个万有引力就是这个公式。你现在是杆子，对这个 这个置点好，他们之间的 y o 以内怎么去算呢？那不就是微元法吗？是不是我们先去啊，在这个杆子上啊， 取一个点呗，但取一个点你没法做，对不对？我们取一个 x， 这这个很小的一个距离，你就近四为一个点嘛。好，这是 x， 加上一个 d x， 你 就认为啊，这是一个很小的一个距离啊，这个是 d x 嘛，对不对？这一小段是一个 d x 啊。 好，你就认为是一个点就行了，非常小吗？好，那这次近似一个点。好，这不是出现两个点了吗？是不是两个点？有了那两个点之间的一个万有引力是不是就可以求出来了？好，这就是力的一个微圆吗？ 那用一下我们的万有引力公式啊，大 g 乘以。好，这个我们的细杆子取了是很短的一点，就近似为一个点吗？但它还是有距离的，是吧？我们给它画长一点，这样便于去讲解啊。 好，那这个细杆子的一个质量等于多少呢？质量等于多少？哎，我们可以用质量密度乘以这一个细杆这一段杆子的一个长度呗，是不是质量密度是等于多少呀？那就是 大 m 除以 l 嘛，是不是就是一除以一啊？那我们这一段的一个质量等于多少呀？再乘以这一个 长度不行了吗？这一小段的一个长度 dx 是 不是乘以一个 dx， 那 不就是 dx 吗？对不对？能理解不？这一小段的一个质量就是 dx， 或者你这样去理解也行。 整个细杆子质量是大 m 的 话，好，它对应的一个长度是不是我们记为 l 好，这一段的话，它这个质量我们记为 m 一 撇的话，好，那它的一个长度的话，我们说是 d x 嘛，哎，你这样也能够算出来对不对？ m 一 撇，这不就是一吗？也是 d x 嘛。 你这个细杆子我们考考察这种题的话，质量分布均匀，我们考的话都是质量分布均匀嘛，其实这就是质量密度的意思，是吧？这质量密度的意思嘛。好， 好，我们这一小段啊，这个细杆的一个质量我就知道了，就是一个点 x， 好， 这就有了啊，点 x 好， 这个啊，置点。它的一个质量是小 a 吗？ 除以它俩之间的距离，我们的置点啊，就是在 x 轴上，我们，嗯，给它记为一个位置的话啊，这就用 t 来表示就行了。它俩之间的一个距离的话，那不就是 t 减去一个 x， 对 不对？好，平方一下不就行了吗？ 是吧？哎，两个至点之间的一个距离不就是右端点减去左端点吗？对不对？这个你就看成一个点吗？一个点记为这个是 x 就 行了，这个就可以忽略的吗？这整个就看成啊，这个在 x 轴上是一个，我们记为 x 吗？是不是 t 减去一个 x 就 行了啊？好，这个 力的一个微圆就求出来了，是不是？而我们细杆子的话，它就是由无数个点构成的吗？这一个点对 置点，这个引力是，哎，这个样子的，那其他点也是这个样子的，所以我们积分就行了，积分的话就算出来了，这个细杆好，对，这个置点的引力对不对？好，积分，积分呢，就是从负一到零嘛， 这就是细杆对置点的啊，引力好，负一到零，这个 g a 我 们可以提出来了啊，负一到零，好底， x 放到后面 是不是它呀，这会算吧，这简单呀，直直接凑一分得了啊，这个 x 的 话，我就凑成 t 减 x， 那 再添一个负号前面啊，这等于多少？ 好，这个看成一个 u 吗？是吧， u 的 平方分之一，原函数不就是负 u 分 之一吗？符号跟前面符号消掉了，那就是 u 分 之一吗？原函数啊，这就是 u 分 之一。注意还有个 ga 啊，好，上下键一带就行了，我们看一下等于多少啊？ ga 往这一放，这个我就 分割线一下吧。啊，零，你注意我们对 x 积分啊，是不是积分变量是 x 啊，零一代的话 t 分 之一，负一代的话 t 加一对 t 减去负一嘛，就它了啊。好，我们现在就知道了啊，这个细杆子对这一个啊，质点的一个力就是哎，它，你会发现啊，这个力就是引力， 这个引力的话，它是跟这个 t 有 关的，关于 t 的 函数，也就是说你这个置点啊，你在哪一个位置， 因为这个引力它都是不一样的，所以它是一个变与做工问题啊。好，接下来我们去求这个公的一个啊大小， 那我在求功之前啊，给同学们稍微补充一下，复习一下这个高中的一个知识啊。有同学呢，算的是一个赋值，有点迷糊，问题出在哪里啊？好， 首先啊，我们考到啊，这个做功的一个问题的话，一般问的就是让你求做功的一个大小，让你求的是做功的大小，大小一旦出现的话，那一定取的是正值，懂这意思吧？ 做工大小一般就这样考的啊，那一定是正的值，比如说我们求得的是一个哎，正五， 对不对？哎，我们不可能是求一个零零角尔的，这样的题几乎没有是吧，搞半天是一个零，做工为零没意思啊。好，做工大小，那么就是取正值，记住这一点就行了。一般就是啊，考的就是让你求大小的，所以你找正的这个值就行了， 你会发现都给正的值，那你得算一个准确的值就行了。现在就是跟大家去区分一下啊，有同学非要较真的话，如果题目问的是好，引力做功 就是这样的，哎，引力做功为多少好，那做功的话啊，他可能做的是正的功，也可能是负的功，那因为这个题有同学算的是一个负的一个值，他不太清楚，所以还是哎，给大家也补充一下这个高分的知识，再复习一下嘛。好， 那你要注意了啊，这里的正负号表示的啊，是方向吗？不是啊，我们说公，它是一个标量，标量是啥意思啊？只有大小，没有方向。 那你这个正负号表示的啥意思呢？正负号表示的是意义，什么意义呢？ 那这个正五交耳，比如说好立的一个方向是朝这，那么位宜的方向也是朝这个方向。好，他们的一个方向相同的话，我们说立做的就是正宫，就是表示的是意义，它表示的不是方向啊。 好，如果是负的一个五角耳呢？那就是力的一个方向，与我们位宜的一个方向是相反的。你比如说摩擦力做功做的就是副功，对不对？这个正负号表示的是一个意义啊，它不是表示方向的好，对应的呢就是矢量， 他的正负号表示就是方向啊。食量呢，是有大小有方向，有大小有方向。好，那用正负号就是表示方向的正负号表示方向。我们常见的一个食量是什么呀？这个谓语呀， 因为速度呀，还有你比如说，比如说力啊，是吧？这个题有用到这个力嘛？好，功呢，是常见的一个标量，还有常见的标量还有什么呀？你比如说质量，时间对不对？都是常见的一个标量啊。那现在我们回归这个题啊， 好，首先他问的是引力做工的大小，我们已经强调了，只要问大小，那么结果一定是正的值啊，这个结果已经已经确定了，一定是正的值， 好，对不对？你选项你必须找正的值啊，当然了，一般都是这样考的啊。如果，如果他是考察哦引力做工为多少，那这个时候有可能为正，有可能为负吗？那怎么去判定呢？我们已经说了，你看力和位移的方向是不是一致的就行了， 那你看一下，如果这个题问的是做工为多少，那到底是正还是负呢？你也可以判定一下啊。好，我们说是细杆子对这个质点的力做工对不对？细杆子不是在这呢吗？好，他对 质点的一个力的一个方向是，是哪个方向？是不是这个方向，对不对？你对你的万有引力不就这个方向，你看谁对谁？我们是细杆子 对支点的一个外有引力，对不对？你对人家的一个力，那当然是朝你来呀，对不对？这个力的方向是不是？哎？朝左的呀？谓移的方向呢？你看看是从二分之一移到三分之一，是不是也是这个方向呀？ 所以啊，力和谓移的方向是一致的，就算他问的是做工为多少，你也能够判定出来就是正的一个值，对不对？无论如何啊，这个题结果一定是正的一个值。我们知道这件事之后，好，你算得的这个公啊 得是取正的吗？如果你算的是一个负的一个值，你加个绝对值就完事了。你算的一个负的值的话，你就是把这个力和位移的方向搞搞反了，但是这个值 你算的是对的，懂这意思吧？哎，你力跟位移的方向一样的话，这个力呢，做的是正功。好，就比如说我们是推箱子， 箱子在这，你这样去推，力跟位移都是这个方向，那你这个力呢？就是起到推动的作用，就是我们说的这个正号表示的是一个意义，推动的一个作用是不是是前进的动力？那如果我们这个力的一个方向跟位移的一个方向相反的话，比如说摩擦力做功， 对不对？你摩擦力，你在走路的时候，好，你往这边走的话，你的这个脚鞋啊，跟地之间的一个摩擦力，是不是向另一个方向呀？好，那你这个摩擦力做的就是一个副攻，那就是起到一个阻碍的一个作用，阻阻，阻碍的一个作用啊， 这就是我们说的一个意义啊。不管怎么样，那你算的这个值，这个，这个这个数肯定是对的，对不对？只是一个方向的问题，你可能分析错了，但没关系，你加一个绝对值就行了，是不是？你把答案肯定能选对吗？好，我们去看一下啊， 这个力有了嘛？我们现在呢，就是成个位移，对不对？我们比如说啊，我们这个置点啊，在 x 轴上啊，是，就在在这个位置，我们记为 t 了嘛，是不是我们啊，移动一点点移动一点点，我们记为啊，这个这个，这个距离就是一个底 t 嘛，是不是我们给画大一点啊， 这是一个 t， 你 这个可以认为是个 t 减 t 吧， t 减底 t 啊，就这个啊，这个距离我们记为底 t 嘛，是不是移动这一点点做的一个功是多少呢？这就是这个是一个微圆，是吧，这个功的一个微圆嘛。好，这个 f 已经有了嘛， 存一个底 t 是 不是立这移动这一点点啊，做的一个功的话，不就是积分就行了嘛，是不是？ 好，这里就牵涉到啊，可能有同学这个上下线写的不一样，那结果有可能是正的，有可能是负的，但你已经清楚了，得取正的嘛，那你算完之后，负的就变成正的，正的，那就直接就正的呗，你看算一下啊，好，二分之一，三分之一 f 的 话， g a t 分 之一，哎，减去一个 它好， d t 这个元函数也很好求吧。那不就是 lone t 减去 lone t 加一，那我们可以整理一下呗， 是它吧，这不用加绝对值了，因为取正的吗？对对，这个提取的是正值啊，好，二分之一到三分之一看一下 ga lone 三分之一带的话，除以三分之四，那就是乘以四分之三是吧？就是四分之一， 好，减去 lone 二分之一，带二分之一加一二分之三吗？乘以三分之一，这是谁呀？这不就是添一个符号负 lone 三吗？那就是正的 lone 三， 这里呢，负的 lo 四嘛，这块的话就是 lo 三减 lo 四，那 lo 三减 lo 四，我们知道那是小于零的，对不对？你整个公就是小于零的了，那你要填一个 这个绝对值嘛，就变成正的就行了啊。好，这 lo 三除以 lo 四，所以这个公啊，我们我们要求的这个公啊，就得是，哎，就是取正值嘛，是吧？ w 我 们要取正那个值，这就是你心里清楚的一件事嘛，那就是 lo 四除以三，这里是吧，去正的一个值啊。好，你看选谁啊？那就选 a 就 行了。 那有同学有同学纠结啊，为什么你这里算的是一个小于零的呢？那我们说了啊，你问题就会出在你的力根位移啊，你可能分析的有点问题。好，我们也去给大家去啊，说一下解释的话，又牵涉到我们刚刚补充的这个高中的知识了啊。 好，就是标量，尺量的问题啊，尺量的话，我们说有大小，有方向，比如说我举一个位移吧。好，那我们首先要规定一个啊，这个正的一个方向，比如说我规定啊，向右这个方向啊，就是我们的正方向，你这个得提前规定一个正方向啊。向右。 好，规定完了，那如果我从零这个点出发，向右移动五米，好，向右移动五米， 那么位移我们怎么去记呢？就是记为正的五米，如果从原点往左位移，哎，移动了五米啊，那位移应该怎么去记呢？就是记负的五米，是不是？哎，这个正负号表示的就是方向的问题，与你规定的方向是一致的，那就记为一个正号，与你规定的方向 相反的话，就记为一个负的一个方向，而力和位移都是矢量，所以你要去算这个弓的话，你要去规定一个啊，这个方向的问题。比如说你看这个题，我们已经分析到了啊，你这个力的话，向左位也向左吗？那我就规定向左是一个正方向， 对，我规定向左，对，规定的啊，向左为正方向，我们说啊，他对他的一个引力的话，是朝这个方向的吧，好，朝这个方向与我们规定的一个方向是一致的，所以呢，这个力前面，哎，加一个正号，对不对？表示这是他的大小，这他的方向吗？大小，哎，是正的吗？对不对？大小也是正的啊，这 刚好它也是正的啊，加一个正号就表示啊这个矢量了，对吧？就这样表示的好，位移呢？我们说啊，位移它也是这往这个方向的，与我们规定的方向是一致的，对不对？与我们规定的方向是一致的啊， 那也就是说你位移比如说移动了啊，移动了一个三米吧，移动三米的话，那你前面就得是这是大小，这是一个方向，得这样去表示这个位移，对不对？你看啊，你这样积分的话，你看这个底 t 我 们说了是一个正的吧，对，只要是底底，什么它都是一个距离，是一个正的了啊，但你这个积分的话，你看 从二分之一到三分之一，这不是跟位移有关系吗？对不对？你记从这到这，你这个不是在说位移的事吗？好，积分的话，我们说你下限大于上限了，你积出来这个结果就是一个负的呀，我们现在要一个正的，对不对？你的位移啊，你这个跟位移相关，你得是添一个正号啊，所以你这个就不行，对不对？ 你这个不行，也就说我们得给他改成三分之一到二分之一才保证的啊。这个谓语是一个正的吗？对不对？好，力跟谓语都是正的，一乘出来就是正的，哎，乘出来这样的话啊，这个因为我们上下线就反了吗？是吧？三分之一到二分之一三分之一，那结果就是啊，就是我们说的这个对不对？就这个问题啊。好， 那有同学感觉还是迷迷糊糊的。那你就不要搞这些了。好吧，这些方向问题你不用不用管了啊，一般来说就是去考大小的，你如果求得的是一个负的，你就直接选正的，不就完事了吗， 对不对？实在他再难一点，真的要去出这种好做工为多少？你提前分析一下力的方向跟位的方向一步一致，如果你分析的是一个负值，好，你求的是负的，那就直接是负的呗，对不对？哎，就这个意思啊，懂就行了啊。 好，本质上还是微圆法啊。这个做题啊，这几种情况是不是万用引力定律，做工还是这些嘛。好，那这个题就讲到这了。 嗯，这个题啊，直角三角板的斜边长为一，将该直角三角板竖直的插到水里面，我们可以画图啊，画图顺便把直角坐标系也可以建立出来。这边比如这 x 轴就是水，水面的话 竖直的插到水里面，其中一个直角边与水面是对齐的，你比如说这个是一个直角边跟水面对齐吗？还有一个直角边，那另一个就是斜边吗？这就是直角的一个三角板啊。 那你 y 轴的话，你可以往上也可以往下，那因为它是关于哎降水压力的问题，是吧？降水压力的话，我们可以把 y 轴哎建立到这个方向上，可以吧？建在这个方向上的话，这些点啊，都是取的正值吗？当然你往上也是可以的啊。好，三角板 受到水的压力最大的时候，水平直角边的一个长度，你能读出来什么意思？不 就是说这个三角板的啊，这个水平的这个直角边的一个长度不同，这个三角板受到的压力就是不同的吗？是不是也就是压力？他是跟这个啊直角边的长度是有关系的，那我们可以把这一个啊 这个点设为一个梯点吧。好，那三角板受到的压力怎么去求呢？你先别最最大啊，你先把压力求出来再说。好，这个压力的话，这就是咱们说的净水压力的问题吗？那就微元法吗？我们先取 取一小段的一个三角板，对吧？这是一个 y， 任取 y， 这是 y 加底 y， 这个高度就是一个底 y 嘛。好，这个紫色的这一段啊，这一块小一小块三角板，他受到的压力先求出来，然后我们再积分就行了呗。好， 这是这个这一段紫色的三角板啊，他受到的一个净水压力怎么求啊？也是力的一个微圆，是不是加强乘以这个受力面积啊，对不对？加强的话就是入 g h 高度，高度的话不就是这个吗？ y 对 不对？高度是 y 啊， 好，你这个底 y， 你 就认为它非常短嘛，所以就是这个高度就是一个 y 啊，这个面积呢？这个紫色的啊，这一小块，它这个面积的话，不就是近似是一个什么呀，长方形吗？ 他的一个高，我们已经知道了，现在就是算这个长度，对长乘一个宽吗？宽就是我们说的高啊，长乘以宽，面积就出来了，长怎么算呢？像这样的题一般都是用到相似三角形啊，你看我们把这个啊 三角板画出来啊，三角板画出来上面的是长度是 t 啊，好，那斜边我们知道啊，斜边长度是个一，对不对？斜边是个一，这一块呢，就是一减去 t 方开方吗？对，没？好， 我们要算这个这个长度吗？是不是这个长度怎么去算呢？这个三角形底下这个三角形是不是与整个的这个直角三角形是相似的呀？那这这个长度啊，我们要算这个长度，即为 t 一 撇的话，好，那相似三角形啊， 它的这个小三角形的底比上大三角形的一个底，就得等于小三角形的一个平方开方吗？ 那这个高度怎么算呢？这个高度的话，不就是你减去个你吗？是吧？这个不是这个这个点，这里不是一个 y 吗？是不是这个 y 吗？整个的减去啊，这个距离 y 吗？ 好，那这个这个点啊，它在坐标上是一减 t 方开放啊，好，跟好下一减 t 方开放，再减一个 y， 是 不是这个减这个啊，就是这一段了吗？好，那我们去看一下这个 t 一 撇啊，那就是交叉相乘吧， t 乘以 乘一个它，再除一个它呗，除一个它这回算啊。好，你看等于多少？我们可以给它写成两部分吧，第一部分这一块就消掉了嘛， 就是一个 t 减去第二部分 t 啊， y 比上一个根号加一减 y 放 t 也可以提出来， t 提出来啊，你就是一减去它是这 t 一 撇啊，就是我们要求的这个，这个微圆的一个长嘛，好，写过来啊。 d y 代入来写啊， t 一 减 y， b 上根号下。 好，这个就是 a， 我 们取的这一段微圆这一小块三角板，它受到的这个净水压力，是不是那整块的一个三角板受到的一个压力？那不就是积分不就行了吗？是不是这是零啊，零到这个根号下积分就行了。好，立 零到根号下，以减 t 方 f， 我 们看啊，把这些常数啊给它提出来入积我们积分的话，你看是对 y 变量积分，那其他的都看成常数了是吧？ t 也提出来啊，好，零的 对， y 得乘进去了啊。乘进去 y， 减去 y 方 d， y 积分也不难哟。入 g t， 这个是圆函数，它吧，减去这个先抄下来 y 的 平方的圆函数， y 三次方除以一个三嘛。好，零到根号下，一键提方 入 g， t 上线带过来就行了，下线一带是零嘛，上线带一下好，它的平方嘛， 底下上面它的三次方，一减 t 的 平方，开方的三次方是不是它呀？底下开方其实就二分之一次方嘛，那就减一个二分之一，把它消掉，这是不是一个一了呀，好，没了啊， 看一下，一减 t 方，提出来二分之一减三分之一，那就是六分之一嘛，六分之一一减 t 方对不对？这个 t 也可以乘进去嘛？ t 减 t 的 三次方， 好，我们可以看出来啊，这个力呢，关于 t 的 一个函数是不是这个力啊？是关于 t 的 函数，就是我们刚刚一开始给大家说的嘛， 你这个力的一个大小是跟哎这个直角边的一个长度是有关系的，对不对？这个 t 的 话，它的一个范围它肯定是大于零的嘛，对不对？你长度嘛，肯定要小于斜边嘛，你直角边一定小于斜边的是不是？好， 那也就是说这个关于 t 的 一元函数在这个区间上求最大值不就行了吗？对不对？提取什么的时候 f t 最大吗？这咱们都会了吧，求导就完事了。 一减去三 t 的 平方哦，令导函数等于零解柱点就行了是吧？可以得柱点，你会发现就只有一个 v 一 的一个注点就是三分之根三， 唯一的注点一定就是极大值点，你看是不是？等于零的话，三 t 方等于一， t 方等于三分之一， t 等于啊， t 等于正负，三分之根三 t 不 可能取负的，所以只能取正的，这个点就是好这个函数啊，唯一的一个注点，那它就是 最大之点是吧？当 t 啊，就是取这个三分之根三的时候吗？压力是最大的啊，好，选 a 就 行了，对不对？当然你也可以令它大于零解一下单增区间，小于零解一下单减区间，你会发现啊， 三分之根三到一就是单减的，零到三分之根三就单增的，哎，这个点就是啊，几大几点？最大之点吗？唯一的几大之点就是最大之点，这都没有问题了啊，好，净水压力微元法是吧？一点点分析也不难吧。相似三角形啊。好，那这个题就讲到这了。

二七年考研数学章与基础三十讲，专为数学小白编注，从零基础学起，一步步踏实搭建数学体系，搭配题圆探析一千题，边学边练，解析详细，轻松吃透考点。

好，我们看这个题啊，这是求在一个点处的一个权微分，我们知道权微分呢，是等于偏微分的核， 所以本质上就是去求两个偏导，是吧，好，求，哎，一个点处偏导的值，你看一个点处偏导的值吗？这是我们的哎，目标是不是？好，那通常有两个想法， 那推荐啊，是先带后求，你对 x 求偏倒这个 y 啊，你就可以先带进去，跟 y 没关系嘛，是吧，把 y 看成常数啊，带进去好，这个 哎，是先求后代，先求后代的话啊，你就是要一直带上，你对 x 边呢，一直带上这个弯，有时候眼花缭乱，会容易出错，所以对于啊，一个点处求偏导值的话，建议先带后求，对于一些题目也是比较简单的啊。好，当然了，我们也都讲一下，你自己体会一下。 好，先代后求后求，我们先看对 x 求偏的，是吧，我们先把这个 y 带到啊，这个函数里面是吧？ arg tangent 就是 y 是 pi 嘛，所以就是 pi， x 加上 cosine， x 加上一个 pi。 好， 这里边都有 x 了，看着很顺眼呀，是吧，因为我们一元函数学得好呀。 好，这就是求导了，一般函数求导都会吧，对 x 求导，这先是外层求导，再是内层求导，恋式法则是吧，好， ar 弹性求导的话，我们知道是一加上好这一块，这个平方分之一是吧，好，拍 x 加上 cosine， x 加拍 好它的平方分之一。好，接下来是它，它求导也很简单吧，直接就是拍写一个括号吧，加上 cos 求导的话是负的吧。 c x 加拍，这里面再求一下啊，再对 x 求导，那就是个一也不写了啊，好， 这就，哎，求完了，我们再把这个 x 等于零一带就行了啊，你看 x 等于零一带。 好，我们直接草稿上写了啊，一加上，这是，这里边是零加上，我们知道靠信拍的话，是不是负一啊？负一啊， 这是一个负一，这整个这里边就是一个负一平方。一下不就是一吗？一加一就是二，二分之一是吧，二分之一乘以看到后面啊，拍减去，这是零，那就是信拍，信拍是零啊，所以它结果就是二分之拍啊。 好，那我们接下来是求一下啊，这个 z 对 y 的 偏导在这个点处的值。也是啊，我们先带就是带谁呀？把 x 等于零带到函数里面是吧， x 等于零的时候，这个是 y 等于拍的时候，这是 x 等于 零，这就是零了吧。这 x 等于零，这个里边就剩的啊，是一个 cosy 了，是不是 cosine y 还是过一下啊，看得更清晰。好，我们是对 y 求偏导，那也是啊，负函数求导嘛，一加上 cosine y 的 一个平方，再。哎，这个是分之一是吧，再对它求导是负的。 c 沿 y 好把点，这个时候带一下。哎，我们现在是带 y 是 吧，等于拍一带，哎，我们知道 c， 你 拍零了呀，是吧，直接就是零了啊，所以这个结果我们就求出来了吧，这块是二分之拍，这块是个零，所以就是二分之拍 d， x 完事了是不是？好，接下来我们哎也做一下先求后带，先把两个偏导求出来，再去带，这个点 好，我们先对 x 求偏的好吧，好，那就是把 y 看成长数呗。好，一加上这个里边是吧？ x， y 加上 cosine， x 加 y 好， 平方。 对于这个题啊，它没有这两个方法，基本上这个没有省多少力气啊。第一个方法没省多少力气，但对于其他的很多题目啊，先代后求，它会省很多力气的， 好，在这里面是吧，对 x 求偏导嘛，那就是把 y 看成长数啊，这不就是一个 y 吗，减去了啊， cosine 求导是负的 c 对 这里面的对 x 求导就是个一，不写了吧。好，咱们再哎对 y 求下偏导，一加上是吧，先外层求导，这个分母的都是一样的了啊， cosine 外层都是 arc tangent 的 嘛。 内存这里面啊，对 y 求变到 x 看成长数好好，同样啊， cosine 求导是负 c， 里面对 y 求导是个一了，是吧，这个时候我们就是把点带进来零拍啊，是吧，因为这里面有 x 有 y， 所以 你带的是一个点了啊， 我们这上面呢，只是带一个这个 x， 或者是带一个 y 的 一个值，是吧？零拍，我们求一下啊， x 等于零的时候， y 等于拍，拍减去这个是 c， 这是零，加上拍 c 拍就是零，所以上面就是一个拍， 是吧，底下好， x 等于零了，这里边跟刚刚我们算一样是吧，负一的平方一，一加一等于二，好，就是它了嘛。再看这里， x 等于零了，这个 y 等于拍，是吧， c 拍等于零，所以这是零了，一样的，对不对？还是啊二分之拍 d x 好，还是建议啊，先带后求，在这个题你可能体会不到啊，因为它计算量基本一致啊，体会不到它的一个好处哎，其他题目我们会体会到的好不好。好，那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f u 是 可导的哎，我们把这块就可以看成 u 是 吧，给它看成一个中间变量嘛，变量代换一下 好，是可导的。那么求啊，他加他，你看一下关键点。哎，是求 z 对 x， z 对 y 偏导是吧，好，这是抽象的负函数求偏导的问题。这应该是没什么。没有什么问题。我觉得啊，好， z 对 x 求偏导啊，我们这个怎么写都行啊，它是一个意思是吧，好， 先是 y 形求导，就是 f 求导，对不对？好，我们就不加这个尾巴了。好吧， f 求导在里面，里面呢，对 x 求偏导，那就把 y 看成常数，对 x 求导就盯住这里嘛。好， cosine 求导是负 sin 还有一个符号，所以就是 sin 了， 是吧，这就结束了。好，再看一下 z 呢，对 y 求偏导。哎，这是我们要的目标啊， 这样写也行，好，写仍然啊，这是不是漏了？漏了啊，这个还有再加上这个 y 嘛，对 x 求偏的 y 看成常数啊，好，继续。 对 y 求偏的还是啊，先是外层的 f 求完的之后再看里里层是吧，内层对 y 求偏的好，那就是负的 c y 是 吧，负的 c y 还有一部分啊，对 y 求偏的 x 看成常数，这两个求完了啊，这个乘一下加一下不就行了。好，我们看一下 e 比上 c x 乘以 c 对 x 求偏的，我们看啊， e 除以 c x， 把上面求的啊拿过来呗。 哎，拿过来，这就没有什么技术含量，你别算错啊，认真一点， c c 是 不是消掉了，还剩一个 f 了，撇啊，再加上 y 比上一个 c x 好， 再把它算一下啊， e 比上 c， y 好， 乘以 z 对 y 求偏的， 求的刚刚是负的啊，别忘了再加一个 x， 它跟它。哎，乘一下 sin， sin 消掉了，负的啊， f 一 撇，再加上 x 比上 sin y 是 不是接下来是把它们两个加到一起啊，走， 那我们要求的我记记为 i 了啊，加到一起它俩就消掉了，不就剩它俩了吗？好， y 比上 c x 加上 x 比上 c y， 这就是结果， 最后抄可别抄错了啊，求偏导嘛，是吧，这个都会的啊。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，跟上题一样的啊，是抽象的负函数求偏导的问题啊。好，这里我们看到了秘制函数型号， 那么建议啊，给他指数化。秘制函数指数化，因为变成指数函数的话，你求导，哎，不容易出错是吧，或者啊，要么你把这公式记熟练， a x 方求导是 a x 方乘以 a。 那 有同学他 总是记不住的话，那你就给它改成，哎，密值函数。好，它求导，你会啊，先把它抄下来，再对指数部分求导。捞以 a 是 吧，再把它回带回来，好，这不容易出错啊，看你的记忆力了好吧。 嗯，还是建议给它改成指数函数的一个型号，可以吧。好，那这个时候我们看 z 的 话，是 f f 啊，这个 y f， 它的话就变成了 y f 改成指数函数啊， 一切都是为了啊，减少出错的可能嘛，减少出错率啊，好，求偏导。先看对 x 的 一个偏导，那就把 y 看成长数是吧， y 看成长数，往这一放，看它了，先外层求导，再，哎，内层求导是吧，一层一层的啊，对，它求导的话，指数函数超过来， 哎，负函数求导呀，好，在内层是吧，哎，从外到内，对于它来说的话，对 x 求导，那 y 方就是长数了，哎，老远 x 求导就是 x 分 之一是吧，我们可以化简一下啊，那就是 y 的 三次方， 比上一个 x， 还有 f 一 撇，还有它，它现在你可以还原回来，是吧。 x y 的 平方 好就行了啊，看有没有什么问题。没有，在 z 呢，对 y 的 一个偏导。看好这有 y 啊，是吧， y 现在是变量啊，那就用乘法求导公式，左导右不导，加上左不导，右导，左导右不导，左导是个一啊，右不导 哎，右不倒写个 f， 一 会再写括号的啊，加上左不倒右右倒，先是外层，再是内层，内层的话先把指数超过来，再是头上的对 y 求导，那么龙眼 x 就是 常数 y 方，求导。二二 y 啊，二 y 是 吧，这个求完了，我们可以哎，整理一下吧，这个二 y 跟 y 的 话，就是二 y 的 平方，待会再写也行啊，我们直接 去算这个结果了啊。二 x 乘以它乘以它，我们的 x 是 不是可以消掉啊，还剩一个二好 y 的 三次方直接化简了啊，这时候啊，我们就把这里边的东西给带上了啊，因为要出结果了，你不要这样写啊，这样写就是不太完整。 好 x， y 的 平方，这是第一部分吧，再加上好 y 乘以 z， 对 y 求偏导啊， y 跟它相乘， y 跟它相乘，好吧，都乘进去啊。好， y 乘以 f， f 把这里边东西带上啊，好， 再加上 y 跟它乘，那就是 y 平方。还有这个 y y 的 一个三次方了是吧，还有个二带上还有一个 f 一 撇啊，他的话我们再给他回带一下啊，这个再写一遍吧啊，就是二 y 的 平方是吧。 f 一 撇， lonely x 给它回带回去 x y 的 平方了啊， x， y 的 平方是吧？还有一个 lonely x， 看写完了没有啊？写完了好，是不是可以化解一下呢？它跟它看一下， 二 y 三方，有 f 一 撇， f 一 撇，还是给它都带上啊，带上这个里边的东西， lonely x 是不是它都有这一部分啊，对不对？它这里啊，除了 lonely x， 这它俩是长的一样吧，所以可以再化简一下，把它提出来吧。二 y 的 一个三次方， f 一 撇 x， y 的 一个平方提出来，那你就是前面就是一个一了，加上后面，这就是多了一个 lonely x 嘛。哎，能整理就整理一下啊，还有这一部分超过来 f y f 啊， 好，这就行了啊，这就是答案呢，你也不能够再简化了是吧？哎，包括啊，你这里，你不想进行指出话的话也行，你看，你不想指出话的话， z 对 x 求偏的，我们看一下啊， 那 y 同样是一个常数是吧？是个常数好，看，它先外层求导在内层，内层，我们说了， y 现在是个常数，你可以给它理解为一个五吧。 x 五次方，怎么求导呀？是不是五下来，然后 x 的 y 的 一个平方减一啊，哎，对不对？五减一四次方吗？这个意思 看一下，跟这里一样吧。说，这是 x 负一次方吗？这是 y 的 平方， y 三次方，好，一样的啊，再看一下， z 对 y 求偏倒，对 y 求偏倒。好，也是两部分啊，看两部分，用乘法求导公式，左倒右不倒， 加上左不倒右倒，先是外层是吧，再是内层，内层的话， x y 的 一个平方， y 是 变量， x 就是 常数了，你给它看成这里的 a， 是 不是就用这个公式了？好，它就等于 a x 四方，那就是 x 的 y 的 一个平方，再乘以零 a a 的 题里面就是 x 嘛， 你注意负函数求导还要对它求导呢，来一个二 y 是 吧，就是这个时候你就容易出错了，我们看一下跟这里是不是一样的 f 加上二 y 的 一个平方是吧。 f 一 撇 lo x 它一样的啊，哎，你看你的习惯了好吧，哎，建议指给它指数化，不容易出错的啊。 好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，二元函数是由方程确定的，这是引函数的问题了吧。引函数啊求导的问题。好，我们知道啊，关于这一块，希望同学们啊掌握两个方法就够了啊。好，要么用公式法，要么是等式两边同时求导，他们啊，各有 优优点啊，公式法的话就是变量之间什么关系就忽略他们的关系，就不存在函数关系。 好，那等式两边同时求导要注意函数关系。哎，就这一点啊，但是我们要是求二阶导，你函数求二阶导的话，建议的就是等式两边同时求导就行了，你想想嘛，你 用公式法的话，一阶导就是分式结构了，你二阶导分式结构求导很烦人的呀，是不是这样的题，其实更建议的就是等式两边同时求导就行了。那当然了啊。嗯，对于啊，这个 求一阶导的话也可以采用啊第三个方法啊，等上边同时求微分。那有些题目求微分啊，很多同学他比较困难，所以我们就哎采用两个通用的方法就足以应对考研了啊。有些题目求微分比较简单，有些题目他是有点难，你求不好就求错了，你就别求了呗，是吧。 好，那我们看一下啊，建，首先建议的啊，就是等式两边同时求导，你注意 c 是 关于 x， c 是 关于 y 的 函数就行了。好吧，好，那我们也都练习一下平式啊，把公式法当然也会练习一下。好，这是等式两边 同时同时对 x 求导，求偏导。 注意啊，函数关系，先看它这边有 x， z 里边也有 x 啊，是吧， z 是 关于 x， y 的 函数啊，所以看这两部分啊，用乘法求导公式了，左边求导是个一，右边不求导，加上左边不求导，右边求导。 好， z 对 x 求偏导，你用这样个表示形式，或者这个表示形式是一样的啊。好，再加上左边。哎，这个已经求完了是吧，哎，该这个了啊，加上二倍的 好， y， 那 这个时候就看成长数了是不是？哎， y 跟 x 没什么关系啊。好，这里 lone， z 先是外层求导， lone 求导，然后内层 z 对 x 求偏导，是吧，再减去看这里 arc tangent。 先外层求导啊， e 加上这块的平方啊， 分之一在内层。好，这里边对谁对 x 求导是个零了。好， 我们要求的就是 z 对 x 啊，偏倒在这一点的值，在这一点的值，我们是不是得把 z 也得确定出来呀，好，哎，看到这样的题，你先把这个 z 给确定出来也可以的啊，我们看 x 等于零， y 等于二的时候啊， 这等于零，这是一，是吧，所以就剩一个 z， 再加上好， y 是 等于二，是不是？这就是四倍的平方， z， h 等于零，二个贪心，零是零了啊，等于一。像这样的啊，等式确定这个变量的话是很好确定的，直接就是瞄眼瞄一眼啊，基本上零呀，一呀二呀就能瞄出来了啊，不用去过于担心 alone 的， 我们肯定先想到一是吧。 alone 一 是等于零的，哎，刚好一加零是等于一的， 不用去管有没有别的 z 呢。好，我们考研考的都是单值函数啊， 哎，对于一元函数的话，好一个 x， 哎，对应一个 y， 引函数这边啊，这个 二元函数的话，那就一个 x， 一个 y 对 应一个 z， 所以 你找到一个 z 就 到此为止，就够做题的了啊，你不要再去想啊， z 有 没有可能取别的值，没有可能，就你找到这个值就是唯一的，哎，就这样就行了啊， 好，我们把这点是吧。 x 等于零， y 等于二，还有什么？ z 等于一，带入上面的式子就行了。带入一式，这就一式， 我们可以得啊， z 对 x 偏导在这一点的一个值，是吧，得求一下啊，我们在这写了啊， z 是 个一，加上零加一， z 对 x 求偏导，加上 y 等于二，二得四，一除以一， z 对 x 求偏导，减去 y 是 一个二，一加上零，好，就这是一个二， 对吧。盯住这个一式啊，四加一五倍的，这是负，二加一是负一，一这边就是个一，所以就求出来了，是吧，就是五分之一啊， 所以等式两边同时求导。你就注意啊，有这个函数关系啊， z 关于 x y 的 函数就行了，好用，公式法呢，它也有好处，但它也有坏处，就是感觉有点啰嗦繁琐些。这个过程啊，你可以尝试着看一看。好吧，我平时练一下公式法。 你公式法是不是你得把这个大 f f， x 就 大 f。 行啊，令 大 f 呢，是等于啊，这个它减去个一，你注意不要把这个一漏了啊。 x 加一， z 加上二， y 零， z 减去 ark 它的 x， y 减去一，是吧，好，这公式法，哎，这都记住它啊，好，这是 z 对 求偏导也好啊，求这个全导也好，嗯，都是这样的公式是吧？负的大 f 对 x 求偏导，大 f 对 z 求偏导，我们看这大 f 吗？对 x 求偏导，那其他的啊， y 啊， z 啊，全部看成长数，它们三者之间没有任何关系啊，这样去理解 好，你看，我们对 x 求偏导的话，这 z 就是 常数嘛，是吧？哎，其实就剩这块就是 x 乘以 z 嘛，对 x 求偏呢，就是一个 z， 对 吧，这是 z 常数。不管了啊，再看这里， 这，这都没有 x 是 吧？这块是有 x 的 啊，那就是减去 x， 这里求求导的话，是一加 x 方， y 方分之一，这里面对 x 求导，那就是一个 y， 是 吧？哎， 好， f 对 z 求导，对 z 求导，就找带 z 的， 那就这块和这块有是吧，哎，这对 z 求导啊，这都是常数了啊，超过来 好结束了这一部分，这里呢，对 z 求导，这个二 y 呢？哎，就是常数了，好，龙引。 z 求导，不就是 z 分 之一吗，是吧。这个时候把 我们的 x 等于零， y 等于二， z 等于一，是吧，带到这个式子里面就行了啊。我们求一下，负的 c 是 个一吧，减去 y 是 一个二，一加上零，零加一加上二乘一个二啊，这是个一了，我们看负的一减去二吧，一加上二得四，是吧，好，上面就是一个负一，前面有个符号，符号消掉了五分之一， 对不对？显得有点啰嗦，但还好，是吧，他就不用去管啊，这个函数关系什么的啊，对不对？ x 求导，你就找 x 就 行了，其他的啊，全部看成常数对 z 求导。哎，其他的看成常数找 z 就 行了。好，都希望啊，哎， 知道这两块的一个解题方法都要掌握啊。好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊， 这是求二阶偏导了，那就求呗，是吧，把一阶偏导求完，再去求二阶偏导就行了。好，这就牵涉到什么呀，变现积分函数求导了，是不是积分变量是 t？ 你 先整理一下它啊，把这个跟 t 无关的啊，给它移出来啊， 是吧，该移的移出来整，把格式整清楚了，形式写清楚了再去求导是吧？ x 减 y， 这就是第一部分是吧？乘以 e 的 t 次方递梯第二部分减去好，零 x 减 y， t e 的 t 次方递梯。 把格式整理清楚，整理明白了，我们就可以去求导了。先看 e 阶偏导对 x， e 阶偏导看两部分吧。哎，乘法求导公式，左边求导，左边对 x 求导是个一，右边不求导， 加上左边不求档，右边求档，求档好，把 t 换成上限，乘以上限的档，上限。对啊，求档是个一。好，再看一下后面啊，把 t 换成 x 减 y， 这个比较简单，是吧？ 上线的档是个一，不用写了啊，这是不是可以整理一下，你看他跟他长得一模一样，一加一减没有了啊， x 减 y， e 的 t 字旁 d t， 我们要的是二阶偏导呀，再来一次，在他的基础上对 x 求偏导也非常简单，是吧，不就他吗？好，这个求完了啊，我们继续啊，看一下对 y 的 一阶偏导，盯住这里了吧。 对 y 的 话，同样看成两部分，第一部分对 y 求导，第二部分不求，加上第一部分不动，第二部分对 y 求导。好，这里要注意啊，上线对 y 求导，是一个负一，好，减，去后边把 t 换成上限， 就注意它前面啊，有个符号是吧？对，整个对 y 求导会有一个负一啊，就注意这一点，整理一下吧， 这前面倒不能消啊，零，哎， x 减去 y， e 的 t， 脂肪 d， t 看下后边可不可以啊。 这有个符号，符号乘过来就是 y 减去 x， 是 吧？ e 的 x 减 y， 这有一个符号 是吧，这有一个负号，那就是正号，正号啊， x 减 y， e 的 x 减 y。 好， 它跟它刚好是互为相反数的，是不是？我们把 e 的 x 减 y 提出来，那它跟它相加，不就是等于零吗？所以这块也消掉了啊，这块消掉了，就就这样了。 好， f 对 y 求二阶偏导。求一下呗，也简单吧，负的 e 的 x 减 y， 再乘一个负一。 好，负，负得正了是吧，这是他，这个是他，那他俩是不是长得一样啊，你看一下，一样的，那加到一起不就是两倍的 e 的 x 减 y 吗？ 是不是，哎，还是变函数求导这一块啊，你得先把这这个这块给整理清楚了。一定要整理清楚啊。 好，或者你可以把 x 减 y， 哎，当成一个 u 当成一个 u， 好， 我们先是哎对 u 求导，再 u 对 x 求导也行，但其实也没必要是吧，我们直接这样求就行的啊。好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，给了偏导是吧，哎，让我们求对 y 偏导，当 y 等于 c， x 的 值好，偏导出现，他考察的是偏积分呀。 哎，我们先对 x 偏积分，把 f， x， y 求出来是吧，再对 y 求偏导。好，是这样的一个过程啊，这里就相当于给了一个出式条件了，是吧？ y 等于 c x， 好， 先看这里。好，对 x 偏积分，是吧？ 对 x 偏积分好，这就是 f x y 好， 一对 x 积分，那就是 x， 是 吧？也就说谁求导是一，谁求导是他。好，那就是二倍的 c x 再加上一个，这里就是关键啊。 哎，这应该是加一个 f y 对 x 偏积分，后面要加一个 y 的 一个函数，对 y 偏积分，要加一个 x 函数，这个，哎，注意就行了啊。好， 我们是不是要把这个 f y 给定出来呀？好，这就是给了出式条件呀，是吧？这就是给的出式条件，用上呀， 把 y 等于 cx， 是 吧？带到这个表达式里面我们就知道了。好，也就这个 y 等于 cx 的 时候，这是 cx， 是 吧？ 这是二，哎，这是 x 加上二倍的 cx， 哎，加上好，这个 y， 我 们用 cx 代替。 现在我们的 f x， y 是 不是长这个样啊？而 y 等于 c x 的 时候，本身它应该是等于 x 加 c x 的， 那你们都是 f x c x， 所以 你们肯定要相等呀。 好，我们这个时候可以哎，你就对照着把这个 five c x 可以 解出来，是吧？它跟它相等的话，也就是 five c x 就 等于等于谁呢？这一块减去这一块呗，是吧？ c x 啊，减去二倍的就是负的 c x， x 跟 x 消掉了，是吧？ 其实我们就得到的是什么呀？分 y， 我 们是令 y 的 c x 对 不对？分 y 其实就等于负 y， 这个能看出来吧？哎，我们就能求出来这个时候啊， f x y 的 表达式了。二元函数表达式啊， x 加二 c x 分 y 就是 一个负 y， 是 吧？哎，好，我们 对 y 求偏导吧，对 y 求偏导啊，对 y 求偏导，你这跟 y 没关系是吧？快看 y 就 行了啊，把 x 看成常数，就是个负一， 对不对？好，我二元函数对 y 求偏导，得的是负一，我无论把 y 等于谁带进去，它都是一个常数，是吧？是一个定值，所以就是负一，你带谁都无所谓的啊，都是确定的啊，所以就是个负一，考到了偏积分，哎，注意这一点 好处，条件一带，把这个 f y 解出来，好，再去求偏导。那这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊， f x y 具有二阶连续偏导，这句话出来的时候，我们立刻就能能得出来啊，它跟它相等，也就是说我们求二阶混合偏导，跟这个顺序是无关的。好，它有什么样的一个好处呢？ 对于一些题目，比如说啊，他给出来这个型号的话，好，他先对 x 求偏导，再对 y 求偏导，那他就可以写成 先对 y 求偏的，再对 x 求偏的，因为是相等的嘛，是吧，就等于一。有些题目啊，好，我们一般来说出现偏导了，那他可能考察就是求偏积分嘛，是不是？好，如果你直接，哎，对于他来说，去求偏积分，是不是先对 y 求偏积分呀？ 好，那你会发现啊，他没有先对 x 求偏积分好，求计算更简变。那所以这个地方就是先给大家提个醒，后续啊，会做的类似的一个题目。 对于这个题目的话啊，你先对 y 偏几分，先对 x 偏几分，计算量没有等，没有大的一个区别，基本上是一样的。但很多题目啊，很多题目我们后续会见到，你先对它和对它就是不一样啊，就是不一样，计算量。好，得知道这一点啊。 好，当你对他积分，哎，感觉费事的时候，你就想到啊，先给他积分，这个题没什么影响啊。好，这是偏导啊，两个先对他，对他偏导，等于一两个出题条件求，哎，在这个点的函数值，你是不得把这个函数求出来呀，再把点带进去，好，那就是考偏积分的是吧？考偏积分的啊， 你知道考点是什么，那我们就哎按照题目给的啊，哎，这个先对 y 求偏积分，再对 x 求偏积分。好吧，你待会我们也可以试一下，先对它，后对它有什么？有没有什么计算量的影响啊？我们先对 先对谁？哎， y 偏积分是吧，对 y 偏积分得的是不是对 x 的 一个偏导呀？对 y 偏积分，那就是 y 再加上 x 的 函数是吧？ x 的 函数啊，好， 不要忘了不要忘了啊，这个时候，哎，没有关于一阶偏导的输入条件是吧？没有，没有的话，那我们就继续偏积分，继续偏积分就会出现函数了吗？表达式了吗？才可以啊，带出条件是不是好，再对 x 偏积分，那记两次啊，偏两次积分，好，哎， 再对 x 偏移积分，那不就是得 f x y 了吗，是吧，好，对， x 偏移积分， y 看成常数，那就是 x y 是 吧，再加上，好，这是一个关于 x 的 函数呀，你对 x 偏移积分的话，你是不是得这样写了，哎，就是不定积分写成不定积分的形式喽， 好，再加上，哎，对 s 边积分加上一个 f y 啊，对不对？好，我们要去带啊，这出条件了，所以同学们要把这一块哎给它写成一个函数的形式，总之我积分完之后肯定是关于 x 的 函数，是吧，你写成啊，比如说 g， 你可以写成 h 吧，是吧？ h x， 总之是关于 x 的 函数嘛。好，这写成这个型号是为了干嘛？为了去带出的条件好去书写对吧？好，去书写以及去。呃， 根据两个出条件啊，去把这一部分表达式啊，给他求一求。如果你写成这个型号的话，不太好表示出来啊，你带这些点的时候不太好写这个形式不容易啊，出结果知道这一点就行了啊。好，我们就把这两个哎带一下啊。 好，零 y 是 吧， x 等于零一代嘛？ x 等于零一代都没有了是吧，这就变成了 h 零，你看这写着多舒服。好，就是否 y， 如果你不写成 h x 的 话，你看你写成啥了啊，你写的是零，加上好 g， 你看你这就不好书写。你说我把 x 等于零带过来，这表达式我也不知道，对吧？这记出来表达式我不知道，我这个 x 等于零怎么带呢？你没法书写了啊，记住这点好，那 f 还有一个出式条件是吧？这个写完了没有啊？出式条件写完了啊。 好，这是等于多少呀？题目说的啊，是等于 c y 的 啊。嗯，这个出条件呢，是把 y 等于零一代，那这就是零了。好， y 等于零一代，是不是？这是 f 零了，那么这是等于多少？等于 c x， 我 们的目标是把 f x y 的 表达式求出来，是不是要把这个 h x 和 f y 求出来呀？那你肯定就是用这两个出式条件 看能不能搞出来嘛。好，这一块儿的话，是不是否 y 可以？ 哎，出来啊，我们想要否 y 啊，否 y 就 等于这个 sin sin y 减去一个 h 零吧。对啊，好，再看，我们想要 h x 就等于 c x 减去三零，是吧？好，这两个表达式有了啊，所以 f x y 是 不是可以基本上写出来它的一个表达式了？ h x 在 这呢，好，超过来三 y 呢，在这呢， 好，有同学说，嗯，还没解出来，对，没解出来，你看你表达式里面有否零，有 h 零，请问它们是等于谁呢？好，这个时候是不是我们还想要一个出式条件呀？哎，怎么怎么 怎么找出式条件呢？好，你这个 y， 这个 x 是 不是你完全可以负为零呀？哎， f 零零是非常特殊的一个出式条件，你得能够找出来啊。出式条件啊，这里其实还隐藏一个， 就是 f 零零，把 y 等于零一带不就零吗？把 x 等于零一带是不是零零啊？这隐藏一个你得能揪出来啊，哎，这个可以，你可以记一记隐藏的除条件，揪出来它是有用的啊，你现在 f x y 不 等它吗？它又过零零点，对吧？ 又，因为 f 零零等于零，所以我们看一下能得到什么信息。零一代，零一代是不是只剩的是负的，负的，负的 h 零的，这些都是等于零的呀？好，结果等于多少呀？等于 零啊，是吧，等于零，好，也就说这一块跟这一块是不是已经求出来了，哎，就是零，所以这个时候我们，哎，真正就真正的把 f x y 的 表达式求出来了，是吧？就是 x y 加 c x 加 c y， 因为你们两个啊，是等于零了，根据 f 零零得出来的啊。好，我们把，哎，二分之二，二分之一带就行了，是吧？我们算一下啊，所以 f 二分之二，二分之二等于多少呢？ 嗯，二分之拍的就是四分之拍的一个平方， c 二分之拍就是一个一， c 二分之拍是个一，再加上一个二，对吧？这就是我们的一个结果了啊，这是二加上 四分之八的平方。同样啊，我们也简单的去写一下。哎，就是一开始提到的啊，提到的有些题目，他就是先对 x 篇积分，再对 y 篇积分，计算量就会小很多。这个题没有体现，但我们也可以做一做。好吧，我们可以在这里写 先对 x 偏积分，你会发现啊，步骤是一样的了，对 x 偏积分是不是？是，得的是对 y 的 一个偏导呀，对 x 偏积分，那这就是 x， 再加上一个 a 反 y， 可以 吧，再对 你肯定要继续偏几分呀。好，对， y 偏几分？好，这就得 f x y 了，对 y 偏几分是吧？哎，你看，这步骤基本是一致的啊，再加上一个 x 的 一个函数， 是吧？同理啊，这一块给它写成一个函数的形式，不然不好去带啊，出示条件书写上你很难搞出来啊。好，这就是关于 y 的 一个函数，那我们就写成 h y， 对 吧。 这这边的话，就还是 g x 嘛，初数条件一代吗？一样了啊， f 零 y 零一代是吧，就是 h y g 零 i 等于零一代吗？它是等于 c y 的 好， 这个 x 零 y 等于零一代，那就是 h 零。哎， g x 就 等于 c x 同样。好，我们把这个 h y 是 吧， g x 表示出来，再根据 f 零零等于零。好，也是啊，把这块求出来，就是这个啊，负两个，两个负的是不是等于零？这就不写了啊，后面就是一样的操作了啊，这个题没有没有体现出来啊，他的一个优点，后续我们在其他题目再去说，好吧， 哎，两次偏积分好，这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，这是让求 f 对 x 的 偏导，我们是不是得把 f x y 求出来呀？表达是求出来，你再去求偏导呀。 好，这里会发现啊，这是 x 加 y， 哎，这个位置是吧，这个位置呢，是 y 分 之 x 这样的题目啊，你记住它做题流程流程就行了。哎，就是先变量带换， 变量代换就一个位置，你另乘 u 一个位置，另乘 v 好， v 好， 就是 x 比 y， 那 么就解出来 x 等于多少 u 多少 v 的 一个形式啊， y 也是一样的， x， y 都解成啊，关于 u v 的 一个函数表达式的情况。 好，接下来呢，我们就可以啊，把 f u v 求出来了。 f u v 其实就是 f x y， 我 们把这个 u 换成 x， v 换成 y 好， 这表达式就求出来了，那么再去求偏导。就这样的一个做题的流程啊， 我们去解一下啊，你看这个 u 等于 x 加 y 分 之 x， 那 x 是 不是就是等于 y 乘以 v 呀，你这个得慢慢解啊。好，这个 x 的 话，我们现在就是等于 y 乘一个 v， 对 不对？这个带过来了啊，他俩是连立吗？ x 等于 y， y 乘以 v 再加上一个 y， y 是 不是可以提出来呀，就是 v 加一呀，所以我们可以看一下啊，这个东西， 它现在就是等于 u 的， 我们现在 y 是 不是可以解出来了？ y 就 等于 u 除以 v 加一，这个慢慢解啊，不要着急。哎， y 啊， u 除以一个 v 加一， x 和 y 都表示成关于 u v 的 函数哦，注意它的一个做题流程啊。 好，那 x 等于多少？ x， 它不就等于 y 乘以 v 吗？这不就是 y 吗？再乘一个 v 啊，再乘一个 v 啊，是吧，这就表示完了啊，表示完之后我们把 f、 u v 去求一下。怎么去求呢？好，你看啊， 我们是令的，它是等于 u， 是 吧？这块啊，等于 v， 也就是 f u v 呢，它就等于 这里边的 x 和 y， 现在我们就可以用关于，哎，关于 u 和 v 表达式，是吧？带过来了呀，这个能看出来吧。 x 现在不是等于它吗？好，就是 u v 比上一个 v 加一 的平方呀，减去 x 跟 y 一 乘，它俩一乘嘛，那就是 u 的 一个平方， v 是 吧， v 加一的平方，再加上 y 的 平方。好， u 的 一个平方除以 v 加一的平方。好，这里的一个平方我也可以这样写，两个 分别写开啊，因为它都是分开的嘛，这便于我们去化减，对不对？好， v 加一的一个平方，我们看分子啊， u 方 v 方减去 u 方 v， 是 吧，再加上 u 方， 这个有没有漏掉啥呢？没有，对吧，那就这样了，这个 u 方可以提出来，对呗，然后 v 方减 v 加上一个一，是这样的吧。 u 方，然后 v 方减 v 加上一个一， 这还能化解什么了吗？好像不能，不能了啊，那 f u v 就 求出来了， f u v 求出来，不就是 f x y 求出来了吗？对不对？你得能够理清楚啊， 现在我们的把 u 和 v 换成 f， 这里边 x 和 y 的 形式就跟上面就没有关系了，不要再去盯上面。你不是说 x 跟 u v 是 这样的关系吗？不是了啊，现在就是，哎，表达是已经出来了，我们只是把字母换一下，跟上面没关系的啊。搞清楚，那就是 x 平方。 好， y 一个平方减去一个 y 加一，是吧？除以这个 y 加一括号一个平方，再去对 x 求偏的就行了， 好，嗯，求了啊，对 x 求偏的，把 y 看成长数是吧？把 y 看成长数，这就是长数了。我就。哎，往这一放，行吧，你就是长数了啊，这分之一也是长数，只只需要看分子对 x 求导就行了，这也是长数啊， 对吧，这都是长数。那其实这儿吗， x 方对 x 求导不就是二 x 吗？这就完事了，这就是我们的最终的一个结果。 好，填上去就行了，我就不写了啊，注意它的做题的一个流程。会了吧，把它拎成 u， 把你拎成 v， 好， 把 x y 解为关于 u v 的 一个函数。好，这就往里面带，往里面带。哎， f u v 求出来了，那我们就是只是把字母换一下是吧？就 像我们一元函数里面，把 f t 求出来之后，我把 t 换成 x， 这个 x 跟前面的这个 x 就 没什么关系，不要去往前面的这个 x 就 行了，是吧？好，这个题目就讲到这了。 好，我们看这个题啊， f x y 等于它，这有绝对值，牵涉到去绝对值的问题了啊。好，求的是 f 对 x 的 一个偏导， 那如果题目给你的是它，哎，你会求 f x 对 x 偏导吗？会，我觉得都会， 是吧。好，当 x 大 于零去绝对值的问题，是吧？ x 大 于零的时候，直接去那表达式就是它， x 等于零的时候就等于零， x 小 于零的时候，绝对值去掉，添个符号，那就是它。 好，对， f x 就是 分段函数是吧？分段函数求导的话，它就是它不能求偏导了，就是求导，是吧？ 求导的话，那就是非分段点处，哎，我们直接用这个公式法去求，是吧？分段点处用导数的定义，这咱们一元函数，哎，分段函数求导这里都 做过很多题了，那二元函数也是一样的，根据他这个型号加绝对值了，那么他就可以写成分段函数的形式，那么在分段点处用导数的定义，非分段点处，哎，用导数求导公式，是吧？用求导公式求导就行了。好，我们知道啊，他的 方向就行了呗。哎，我们的目标你得清楚，是对 x 求偏的。那其实 y 我 不不是很关注你，对吧？哎，我不是很关注你啊，所以我们把 x 大 于零， x 等于零， x 小 于零， 哎，以 x 大 于零，小于零等于零啊，去进行分段就行了。对 x 求偏的，你注意我们的啊，关键的点在哪里？好 看一下那表达式是不是？哎，写成分段的呀，就是 x 大 于零的时候， y 我 根本就不管你。 x 大 于零的话，先啊，先这样，你先再写一步，写成 好这个 x 绝对值，根号下 y 的 一个绝对值，可以吧？这样去想，因为我们并不关注 y， 你 爱大于零和 x 小 于零， x 等于零的问题。 好， l 大 于零，这里其实我们已经知道，它就是根号 x 嘛，是吧？根号 x 好， 后面就是根号 这个 y 的 一个绝对值，对不对？你也可以给它挪到一起，就 x， y 的 一个绝对值， y 的 话，就是说你 从负无穷到正无穷都是可以取的呀，是不是根据啊？首先根据这个题目的话， x 跟 y 本身 x 就是 可以取负无穷到正无穷的， 对不对？ y 呢，也是负无穷的，正无穷都是可以取的，对吧？因为它在绝对值里面嘛，所以全平面上的点它们都是可以取的。 因为我们的关注点是 x， 所以 就分 x 大 于零， x 等于零， x 小 于零。注意关键点啊，不需要再去把 y 大 于零，小于零等于零再去写一遍了。不需要啊，好， x 等于零的时候，同样 y 还是这个样子就行了。 x 等于零，那很显然整个 f x y 就 等于零了是吧？ x 小 于零的话， y 你 就哎，把你的定义域写过来就行了。 好，这里，这就是根号下，就是我们这里说的是负的 x， 是 吧，根号下 y 的 一个绝对值， 这时候我们就类比一元的分段函数求导的一个公式去求一下。哎， 分段点处呢？用导数的定义是吧，我们先看啊， x 大 于零， x 小 于零的时候是吧，这就是非分段点的意思，只是这里啊，二元函数，它其实就是区域的问题了啊。好，直接用导数的求导公式是吧，求导公式就行了。 f 对 x 求偏导。嗯， 那 y 看成长数不就完事了是吧。好，根号 x 对 x 求偏导。哎，不就是你吗？这也可以稍微整理一下吧。对呗，都有根号，合到一起呗， 这是 y 的 绝对值，那 x 也可以给他合进去是吧，为了这个形式看着更舒服一些，你不想合也行。好吧，这个 x 完全可以进去啊，给他写到一起。好，这个就是这种情况了啊，当 x 小 于零的时候也是啊，用求导公式就行了， 看它呀。嗯，根号下这个 y 的 绝对值也是看着长数往这一放。好，这里呢，对 x 求导，先是它这里，再对 x 求导，是一个负一吧，也可以整理一下这个形式。二分之一是吧？ 符号啊，写前面根号下它都有根号，我们也可以挪到一起，是吧，也可以这样去写啊， 对呗，哎，这样去写的话，上面就是 y 的 绝对值，下面是 x 绝对值， x 绝对值开出来就是负 x 嘛，以 x 小 于零也可以这样写啊。好，当然你怎么写都行啊， 对吧，你怎么写这里？不不不，给他绝对值啊，给他俩放在一起也行啊。好，接下来就是 x 等于零。好，这个时候需要给大家强调一下啊，他跟一元函数分段点处，要用导数的定义了，对不对 导数的定义，这样情况呢？这两种情况就是用求导公式，哎，这要分成两种了啊，两种情况， x 等于零，还有一个 y 到底等不等于零的问题，依然函数不涉及，是吧？那这里就是 y 不 等于零， 因为你 y 等于零和 y 不 等于零，有时候啊，它的结果啊，这这两种结果的。所以你就记住这样的一个流程，就是分 x 等于零，有又分出来 y 等于零和 y 不 等于零。好，用倒数的定义就行了。 我们看这个情况， f 对 x 求偏导，在 x 等于零的时候，是吧，这个导数的一个值嘛，你就类比一元函数，在零对点求导数定义的话，是不是我们一元函数是 f， x 减去 f， 零除以 x 减零。求极限呀？ 好，现在的话，哎，只是 y 等于零了，你把 y 拿过来而已，是吧？只是拿过来而已。好，你这跟一元函数啊，几乎没什么区别，把 y 看成长数就行了啊，看一下这个极限啊， 这是 x x y 等于零， y 等于零的话，很显然表达式就是等于零了，是吧？这就是确切的一个零啊，减去 f 零，零，那也是等于零啊，底下是区域零，咱们在一元函数那边就说过了，上面是确切的零是吧？就它真真切切的啊，是个零呀， 货真价实的零，这是去零，你不是货真价实的零，你是去零啊，一个确定的零除以去零是吧？去零零零零零一啊之类的，反正你不是零，那零除以一个啊，不是不是零的，一个数乘一个不是零的数，它都是零呀，对不对？这个啊，记住啊，等于零，我还是用紫色的笔啊， 提醒一下大家。好，这种情况就完了，那我们再看这种情况，哎，一样的是吧，用导数定力啊，好， 只是说这个位置给它换成 y 了， y 不 等于零是吧，直接用这个范范的一个字母来表示就行了。好， 就是一个 y 嘛，写成 y 了啊，怨函数学清楚了，这块也是很简单吧， f x y， 因为 x 是 去零的， y 不 等于零，直接就 f x y 表达式往这一挪就行了。表达式我们说了，就是它 乘一个它，你就现在看这个红色的就行了，是吧？减去 f 零 y， 当 x 等于零的时候， f x y 是 等于零的啊，这就等于零除以一个 x。 电脑卡了一下啊，我们继续， 对于这个极限的话，它是不存在的，我们看啊，这个 x 去零，你把 y 这个啊挪到前面就行了。 x 去零，根号下 x 的 绝对值比上一个 x 好，上面你会发现啊，这是相当于 x， 你 不用管绝对值的问题的话，这是二分之一次方，这是 x 一 次方。 好， x 区域零的时候，它属于高阶了呀，对不对？下面区域零的速度更快吧。你这一次方呀，肯定大于二分之一次方呀， 你去零的速度更快，所以这个极限就无穷大了，对不对？我们不用去看 s 区零正零负的问题，其实你要想看的话，我们就是 s 区零正，你看看一下，它就是无穷了啊，对不对？ s 区零正的时候，这是不是就是绝对值？去掉就是一个 x， 就是 根号， x 就是 x 的 二分之一次方， 对呗，然后这是 x 一 次方，所以这就是一个无穷大了。那 x 趋零负你就不用去看了是吧？去一次这个极限都不存在了，更更说更别说趋于啊两侧了。好，而且这个时候你看 y 是 不等于零的嘛。对呗，你也是不等于零的，所以这个极限肯定就是无穷就不存在的。 极简不存在。好，那也就是我们这里说的啊， x 等于零的时候，你要分两种情况，你看这种情况就存在，这种情况不存在。我们最后啊，来总结一下啊，是个大题啊。好， f 对 x 求偏导 分段函数是吧？当 x 哎，大于零 y 的 话，就是在它定义内就行了，是不是二分之一根号下好， y 比上一个 x， 那 当 x 小 于零的时候，这样 这个 y 的 话得用个别的笔了，不然看不清晰了。是不是红色的吧。 y 负无穷正无穷好，再改回来， 这多少呀？二分负，二分之一根号下 y b x 绝对值。当 x 等于零， y 也等于零的时候，是不是等于零呀？ 好，这种情况其实你写不写都行，毕竟它都不存在，是吧，你写个不存在，写不写都可以啊，想写的就写一下。 x 是 等于零， y 是 不等于零吗？也直接不存在。 好像这样的题的一个关键点就是你模仿一元函数，那你能看出来，带绝对值的可以写成分段函数，对 x 求偏的 y， 不 用去关注是吧？把 x 大 于零，小于零等于零，哎，关注到位，分成三段。 好在是，哎，大于零小于零的时候求到公式去求，等于零的时候用倒数的定义，这个时候再分出来一种情况，哎，就这么简单，是吧，记住做题流程就行了。好，这个题目就讲到这了。好，我们看这个题，设 q x y 等于它好， y 大 于零， x 没有要求，是吧？那就 x 是 属于 r 的 呗。 好， p d x 加 q， d y 是 某二元函数的权微分，这个 p 啊，可以取。哎，哪一个选项呢？好，我们知道啊，一个二元函数， 它的权微分是怎么写的呀？是不是对 f 就 二元函数对 x 偏导 d， x 加上 f 对 y 的 偏导 d y 啊？我们设这个二元函数，就是 f x， y 的 话，它是这个二元函数的权微分。那你看对应一下呗。 好， d x 加上 q， d， y。 首先这个题啊，在这个 q， x， y 呢，好，它是 有要求的， x 呢？属于 r， y 呢？大于零，对不对？那么这个 p 啊，也得是这样的一个要求，为什么呢？你看一下啊，这个 p 和 q 是 怎么来的呀？ 是不是就是 f， 哎，对 x 的 偏导， f 对 y 的 个偏导呀？是不是你这两个位置就是 f 对 x 求偏导， f 对 y 求偏导呀？那你这个位置啊，虽然它它们两个也都是二元函数，你这个 x 和 y， 那 那取值肯定是跟这里的 x y 是 一样的嘛，是不是你是从根上过来的嘛？ 好，那我们现在知道，哎，你的一个啊， x 和 y 的 一个取值是它了，那其实就是对应的，你的 x， y 的 一个取值就是这个，那 p 也是一样的，对不对？你们啊，这个 取值范围都得是一样的，是吧？那既然一样的话，你看一下啊，选项啊，选项，这个 p， 这个 d 就 可以排除了。 d 的 话， 一定要求 x 不 等于零啊， x 如果等于零的话，那就没有意义了，是不是？你写成这个样子，要求的就是 x 不 等于零，这是潜台词吗？而我们说了这 x 必须属于 r， 是 吧，这三个选项啊，可以作为备选吗？你这个 d 首先就排除了。好，接下来我们去看一下 abc， 怎么去选呢？ 怎么去选？你像啊，这个偏导出现，哎，权威分出现，你要想到这个什么呀，偏基分啊，它的一个考点啊， 我们现在知道的是 q 嘛， q 是 谁呀？ q 是 f 对 y 的 偏导呀，是吧，就等于这个 q 啊，等于 x 比上 y 的 平方，那我们是对 y 求偏导，那我们对 y 呢，就偏积分呗， 常见的套路是吧，偏积分的话，我们就可以得到 f x， y 等于多少呀？它好对 y 进行积分， 我们说对 y 积分，这个 x 看成一个常数嘛，是吧？等于 x， 谁求导等于它呀，那不就是负的 y 分 之一嘛，所以是负的 y 分 之 x。 注意啊，对 y 偏积分后面要加一个 x 的 函数，是吧？ 好，接下来怎么样啊？怎么样，那不就是 f 对 x 求偏导了吗？因为我们知道 f 对 x 求偏导，就是这里的一个 p 吗？好，这里求一下啊，求一下导，对 x 求导， y 看成长数哦，那就是它加上它对 x 求偏导啊，好，就是我们说的 p 吗？是不是 你看 p x y 里面得含有一个负 y 分 之一哦，那只有它有，你看 abc 里面只有它有，是吧？这两个就错了嘛，选 b 就 可以了，是吧。哎，这个定义域啊，你得是保持一致的嘛，对不对？你这个位置和这个位置都是由 f 求来的嘛，求倒过来的， 所以 p q f 啊，你这个 x 和 y 这个取值都是一样的啊，那这是数一数二数三啊，这个通用的一个解法。对于这个题的话，数一的同学啊，我们也可以从 平面曲线积分与路径无关哎，这一块啊，去做题。好， p q 呢，在单联通区域里面具有一阶连续偏导的话，好，曲线。我们知道啊，曲线积分呢，与路径是无关的 好，冲要条件就是在这个单联通区域内处处有它俩相等。而我们知道啊，曲线积分与路径无关的话，你也可以说成 好，在单联通区域内存在二元函数 u x y， 使得这个式子成立。其实就是这个题的一个意思嘛，对不对？好， p d x 加 q， d y 是 某二元函数的全微分，表示的就是啊，曲线积分与路径无关。好，它的一个冲要条件就是在单联通区域内啊，好，它俩是相等的， 它俩相等的。我们去看一下啊， p 对 y 求偏的就得等于 q， 对 x 求偏的 q 呢？对 x 求偏的 y 看成常数嘛，那就等于 y 的 平方分之一。这块是不是 好，我们现在就知道了啊， p 对 y 求偏导得等于它，那 p 得等于谁啊？两边对 y 偏积分嘛，对不对？对 y 积分，那就是负 y 分 之一嘛。对 y 积分要加一个 x 函数，所以我们可以看出来 p 得是这个样子的，对不对？得含有一个负 y 分 之一嘛？这个没有，这个也没有，那就是看它两个了， 它两个的一个区别是什么呀？还是我们刚刚说到这个定域问题？那从从这一个曲线基本与路径无关的话，怎么去理解这个定域呢？就是单连通这三个字，你得理解啊， 这是 x 轴， y 轴的话，你看啊，这个 q 的 话，要求 y 大 于零就行了。 y 大 于零，那就 x 是 任取的吗？是吧？ x 任取， 你看这个区域是不是这一块啊？那你这一个 p 的 话啊，你看，如果你选 d 选项的话，我们得去 去掉这个 y 轴上的一个点，对不对？你 y 轴上的点就去掉，必须得去掉才满足这个 d 选项的啊，这些就没有了，你看就不满足单联通区域了。 单联通区域是什么呢？我们韧化一个封闭的一个小圈的话，得是这个样子的，你不能够啊，刨除，刨除某些点的啊，不能有洞，对，不能有洞啊？ 你看你如果选 d 选项的话，你就有洞了，你随便圈一个圈，你看你不能够包含这个红色的点吗？是不是你就这种情况了？你有洞了啊，就不是单连同区域了，对不对？你 b 选项就没有这个要求， x 随便取吧，所以这就是单连同区域了，是吧？把这个啊 这个啊再补上吧，你看不要刨除这一块啊，这些，哎，就是单连同区，你怎么画圈都是这种情况嘛，是吧？这就是单连同区域啊。好， 这是数一啊，数一的这个同学学到这块知识点。那对于数二数三的同学啊，你用我们的这个通法就够了啊。好，那这个题就讲到这了。

好，我们看这个题啊，如果它是小 f x 的 一个圆函数，求定积分。我们看到这个被积函数里面啊，有一个抽象函数，我们需要把 f x 表达式求出来，再把 f 哎笼引 x 表达式求出来，再去求定积分，是吧？ 好，我们称大 f x 为小 f x 原函数的话，它是不是要满足大 f x 一 撇就等于小 f x 呀？这个题它不就是大 f m 大 f x 吗？好，它求导是不是就是小 f x？ 好，它求导式什么呀？这简单吧，直接就是它了。好， f x 已经有了表达式，我们把 f ln x 一 求好，就把这里边的 x 换成 ln x 就 行了。 负的 ln x 这个符号头上的这个符号是不是可以提到这个上面呀？也就是 ln x 这个负一其实就是 x 分 之一嘛， 是吧？啊，这一块的话，不就是 x 分 之一吗？那就是负的 x 分 之一。好，我们现在可以求啊，就定积分了啊，一比一到根二一除以 x 方，他现在就写成负的 x 分 之一。 d x 这个底下的话是 x 三次方了，有个符号是吧？ x 三次方分之一，那就是负三次方呗。 d x， 好， 这个逆函数的原函数很好求吧，是吧？ x 负三次方，再加个一就是负二次方，前面补一个负二分之一， 前面又有个符号，所以就是二分之一。 x 的 负二次方也是 x 平方分之一，这就是这一块啊，就加上符号的一个不定积分，是吧？一到根二原函数，原函数求完以后，上下线一带二分之一放前面吧， 上限一代根号的平方是个二呀，二分之一减去一分之一就是一个一吗？这是一个负二分之一，前面又一个二分之一，负四分之一。 选 a， 这题没有难度，是不是？你要仔细算一下就行了啊，知道什么是原函数对吧？好，那这个题就讲到这了。 好，我们看这个题，如果 f x 连续 g x 是 一个变现型函数，则 x 去临证的时候， g x 是 根号 x 的 什么皆无通项。 首先我们看到啊，哎，小 f x 是 一个抽象函数，对于选填题的话，抽象函数我们是可以具体化的，也就是说采用特殊指法这个思想的话，同学们要有的啊，前面已经做过啊一些题目了。 好，那既然你是一个连续函数的话，我找最简单的，我就是一个横等于零的一个长值函数，可以吧？这样的话，你看我们的 g x 啊， g x 它背记函数不就是啊零吗？是吧，那零的话，你的积分肯定也是一个零啊， g x 就是 一个零了，零 是根号 x 的， 肯定是高阶啊，这个没有问题吧，零是任何非零无穷小的。哎，高阶无穷小，为什么呀？我们说谁是谁的高阶无穷小的话，从定义上面怎么去看的呀？也就是它除一个根号 x， 看这个极限 是否等于零，如果等于零的话，它就是它的一个高阶无穷小呀，是不是？好，它就是横等于零啊， g x 横等于零，除一个区域零的数，那肯定是横等于零，是不是？所以啊，根据高阶无穷小的一个定义的话，它除以它极限等于零，上面就是下面的一个高阶， 所以就选 a 就 行了，或者你这另乘一也可以，你看一下，如果等于零，你感觉别扭的话啊，你就横等一个一，横等一的话我们接 x， 你 看一下，这就是零二 x， 这是一了底 t， 好， 这积分那个结果就是二 x， 是 吧？你这个二 x 是 根号 x 也是高阶啊，对不对？因为这根号 x 是 二分之一次方，这一次方前面是后面的高阶也是可以判定出来的，是吧？这是特殊指法那， 哎，正经的去做的话，他这里可以看出来， g x 是 一个变现积分函数，可能他要考到求导这个知识点，是吧？变现积分函数对应的知识点不就是求导这一块吗？所以啊，我们这里就直接从哎， 从这个谁是谁的一个几，高阶还是低阶的话，还是等价啊还是什么的这些无穷小的一个定义来说的话，无穷小比阶这一块定义的话，我们就直接 g x 比上根号 x， 看这个极限等于多少，是不是在判定啊，它是它的高阶还是低阶还是什么的 好，这个时候 g x 的 话就拿过来了，零到二 x f x 加上一个好，它 d t 除以根号 x， 好，我们说了啊，他出现背极限函数可能就是考求导了，求导的话，你要注意啊，这个背极限函数里面是不能够含有上下限的这个变量 x 的， 是不是？好，这就我们要进行预处理，一定要注意了啊，他经常这样去考，是不是要预处理， 你知道这样的题的一个套路啊，知道这题的一个套路，那我们去预处理它啊，这样把这个分子部分啊，变现及函数单独拿出来处理一下，预处理 好，那我们就是令 x 哎，加上一个二分之 t 就是 等于 u 啊，是吧？好，这就是 f u 了， 那我们看提取零的时候，提取零的时候 u 就 取 x， 提取二 x 的 时候，那除一个二就是 x， 再加 x 就是 二 x d t 呢？ d t 等于多少 d u 那 左边的话啊，我们把 d 这个啊 u 减去 x， 这也乘以个二，哎，其实这也可以看出来，是不是哎， d t 就 等于二倍的一个 u 啊，咱们左边求微分吧，直接别移向啊， 点左边求归一分，右边求归一分嘛，是吧。这块的话啊，是二分之一，我们现在看的是 t 跟 u x， 你 就当成常数就行了啊，这个时候好的，二分之一底 t 等于底 u 嘛，是吧，底 t 就 等于二倍的底 u 啊，二倍的 好，底 u。 我 们现在啊，就把分子域处理完了啊，等于 limit x 去领证是吧，领证啊， 好，上方的话我们已经给它写成二倍的，可以写成 x 二 x 刚刚处理的这个结果啊， x 的 二分之一次方是吧，好，现在的话求极限哎，判定下类型零比零对不对？零比零就洛比达了呀，刚好洛比达的话就是要考到，哎。变基本函数求到这一块了吗？ 好，这个支点用上来了，我们二的话就先写前面了啊，并且还是说这个类型的回求吧。把上线一带 乘以上线的一个档，再减去下线一带乘以下线的档是吧，下线档就是个一，不写了吧， 它求导，其实这里直接还是根号 x 吧。根号 x 求导，我们知道二倍的根号 x 分 之一是不是，好，这块给它上去吧，它在分子上面上去了啊，那就是二倍的根号下 x 乘以二，是四倍的根号下 x， 根号下 x 乘以这一块的话， f 二 x 两倍啊，再减去一个 f x， 我们看啊， x 是 去零正的，那么根号 x 就 去零正啊，是吧？我们知道 f x 是 连续的，这 f 二 x 复合完之后，这也是连续的，是不是？ 所以啊， x 去零正求它那个极限的话，那其实就是等于把零带到啊，这个函数里边是不是因为它连续的吗？极限值函数再去零的时候，极限值等于函数值啊，所以它就是等于二倍的。一个 f 零减去一个 f 零， 二倍的 f 零减去 f 零就是一个 f 零，是吧？ f 零一个零乘以一个数了啊，那肯定就是等于零啊，它除以它的一个极限等于零，所以 g x 是 根号 x 的 高阶无穷小量是吧？ 好，他考到的啊，并且函数求导预处理一下，用到洛必达，因为用洛必达的话，刚好就考他求导嘛，这都是一套的一个东西啊。好，这个题讲到这了， 好，我们看这个题啊，小 f x 在 x 等于零的某领域内是连续的，在 x 等于零处可导， f 零等于零， f x 是 分段函数，这里面看到变现积分函数了啊，则 f x 在 x 等于零处可以连续可导啊。主要这些问题。 好，我们仍然啊，借助上的题的思想的话，小 f x 它是一个抽象函数，我们可以具体化，所以先去想到一个特殊指法是不是？哎，对于选填题该想到特殊指法的话，赶紧想到啊，他有时候做题是不是很快的呀， 我们只需要把答案选出来就行了，你不要管我怎么做的，是吧？好，那我还是找最简单的啊，对， f x 我 直接等于零，满图题一吧。满图题呀，好，那看一下 f x， 我们直接就不定它啊。否 x 的 话看一下啊，这是零到 x 我 们就直接等于零了嘛，是吧？零除一个，这个 x 是 不等于零的啊，这个分母，所以零除以不等于零的，那就是一个零嘛，是吧。 x 不 等于零的时候它也去零，否 x 就是 一个零啊， 对，否 x 就是 零啊。好，那你说否 x 在 x 等于零处不连续吗？错呀，你说连续不可导错啊，是吧？ 可导，对的啊，导函数，导函数还是还是零，你说在零处不连续吗？零连连续啊。所以啊，你举一个特殊指法就把 a、 b、 c 排除了，选 d 就 行了，很简单啊。 好，这个品做考试的时候啊，可以用特殊指法，平时我们还是要训练一下，是吧，它的一个考点呀，它的考点的话，看到变现期的函数了，肯定要考到。求导这块知识点是不是？好，我们先看一下啊，这 a、 b、 c、 d 啊，它它判定要我们这个 去判定的有哪些方方面，是吧。首先关于连续这一块，连续性是吧，那连不连续呢？我们知道啊， 连不连续就看一下 x 去零的时候，这个 f x 的 极限是否等于 f 零就行了，是吧，我们去把。哎， x 去零的时候啊， f x 极限求一下不就完了， x 去零，再 x 呢，就是零 x t f t 抵 t 吗？除以 x 平方， 求极限判定类型。好，零比零，零比零，洛比达刚好这个知识点也可以用上了。变现急门函数求导吗？上面求导的话， x f x 上线的导是个一，不用写了，除以啊。二 x x 跟 x 消掉了，还剩的是二分之一倍的 x 去零的时候， f x 极限啊， f x 在 零哎，点的某零域内连续啊，在零的点也连续啊，所以啊，极限值就等于函数值了。 f 零 f 零等于谁啊？零啊，题目说了啊，而这个零的话，是不是就是斐零啊？ x 取零的时候，斐 x 是 等于零的，我们可以看到啊，这个极限就等于斐零，所以 连续啊，这个就对了啊。好，这个我们还是啊先写问号，然后又判定出来了，接下来看一下啊， b 选项可不可导，可不可导，我们说啊，在分段点处我们优先考虑啊，导数的定义，或有些同学学到了导数极限定力也可以啊，我们都看一下。 导数定义的话啊，就是关于可导性啊，连续性的判定。可导性的判定啊， 好，可不考导上导数的定义，也就是否一撇零。导数定义， x 去零的时候，否 x 减去一个，否零除一个 x 减零否 x 还是这个变现积分函数啊，超过来零 x t f t d t 出一个分母是一个 x， 我 们是不是可以把它俩整理到一起啊，好，再写一步啊，那就变成 x 三次方了呀，零 x t f t d t 求极限判定类型，零比零，零比零，零比零，就洛比达是吧，洛一下啊， x 三次方呢，就三 x 平方，求到嘛，上面一样的 x 跟刚刚一样啊。好， x 跟 x 削掉一个 分母，还剩一个吧，这看清了吧，还剩一个 x 分 子呢，就剩 f x 了，这非常像啊，零这点导数定义啊，如果 f 零等于零的话是吧， f 零刚好就是等于零，所以我减去一个零没有问题吧。好， f 零等于零啊，这就是零这点的导数定义啊， f 撇零是吧，在零的一点可导呀，可导的话，那么零的一点导数就存在了嘛。所以啊， f 撇零就是等于啊，它的这存在的啊，所以是可导的，你说不可导错的是吧？ 或者这个地方我们说了啊，有些同学他学到了的导数极限定律是选学啊，可以学，可以不学，前面也也有提到过啊，不想学就直接忽略快进，然后接下来看，哎，后边的 c 和 d 的 一个判定啊， 或者导数极限定律的话，我们也提一下啊，有些同学总是吃不饱是吧，咱喂饱导数极限定律， 但它只是适适用于个别题目啊。首先，第一条满不满足呢？ five x 在 零这一点连不连续呢？连不连续就看一下啊，零这一点连不连续我们已经判定过了是吧， five x 在 零这点连续满足。第一条，它必须啊，得满足三条啊，才可用到二阶定律，看这个题能不能用还不好说呢。 然后第二条的话，在去心领域，哎，不包含零这个点啊，的左右领域。去心领域可不可导呢？可不可导，我们就得是去求一下 哎， f 撇 f 一 撇 x 呢，是吧，可不可导，这可以看出来啊，这是一个变函数，函数除以 x 方，它确实是可导的是吧，它可以求导，它可以求导，那么整个就是可导的嘛，所以它其实啊，可以看出来的是可导。导导函数呢，就是这一块去 求个导就行了，用公式法一求好，第三条满不满读呢？第三条满不满读就是看一下啊，导函数在这一点的一个极限等不等，哎，是存不存在的啊， 哎，如果存在的话，那么我们这一点的一个导数值就等于导函数在这点的极限值，那我们是不是得把三一撇 x 求一下呀，是吧，三一撇 x 的 话我们就写到这里了啊，三一撇 x 等于。 好哎，这个是 x 不 等于零的时候啊，应该这样写，或者咱们直接这样啊， x 等于零的时候，我们已经知道啊，它是等于三分之一倍的 f 撇零啊。 x 不 等于零的时候好求导是吧。求导的话啊，咱们写过来了， 零到 x， t， f t， d t 除以 x 的 一个平方这一块求导呀，是吧，我们往后写写啊。求导的话好分母的四次方了， x 四次方了，分子求导， 乘以分母不求导， x 平方就变成三次方了。减去分子不求导，分母求导就是二 x 是 吧。二 x 啊，减去一个二 x， 我 们看上下是不是可以约一个 x 啊？这是 x 平方， f x 减去二被的零 x t， f t， d t， 也就说 x 不 等于零的时候否 x 导函数就是这样的一个表达式。是不是现在就是看一下 x 趋于零的时候否一撇 x 这个极限存不存在的问题了。存在的话就可以导出极限定律了嘛，存不存在我们看看去。求求 x 趋零的时候否 x 极限不就是看这块这个极限吗？是吧，那看一下 x 趋于零的时候否一撇 x 又是求极限了啊，挪挪过来啊，这是 x 的 平方 f x 减去二倍的零， x， t， d t 除以 x 三次方求等。哎，零比零洛比达是吧，摞一下分母的话 是三 x 平方分子啊，左边求等，右边不求等，右边求等再减去。 好，这个，这边求导的话，变线器还是求导吗？是吧？二 x f x， 你 会发现啊，这里消掉了。 二 x， f x 消掉了，那它剩的是 x 方， f p x 比上三 x 方 x 方它都有个 s 方，它都消掉了，所以它剩的是三分之一倍的 f p x， 是 吧，那还是用这个笔吧， 三分之一倍的 f 撇 x 到这的话，你发现没法做了，这个方法就不对了啊， 对吧？你这个题目只有零这个点， f x 是 可导的，导函数在零这个点的一个附近领域内，导航存不存在不知道，我们说了一个点可导的话，领域内不一定可导是不是？ 或者呢，我们也说过了啊，零这点可导，那么导函数在这一点连不连续也是不清楚的，也就说这一步啊，洛必达的时候就已经错了，这就是我们前面说的啊，哎，一定要注意一个点，哎，可导我们不要啊。进行洛必达这个问题前面是不是讲的很详细啊，从这其实就错了啊， 因为因为这边啊你，你一落的话，这边就会出现一个 fpx， 一 旦出现 fpx， 这题就错了，因为题目给的只是一个点数，可导这里就不能漏被答，咱们前面讲的很新奇吧，再回顾一下啊，好，那不能漏被答，那你你也不能够说这个极限不存在啊， 是不是？哎，我们看到了相减，我能不能把它拆成两部分呢？对不对？你换个思路啊，你换个思路啊，从这的话这样去做， 哎，我拆一拆，那能不能拆我先试试呗，是吧，好分子， x 平方跟这里啊， x 三次方削一个，还是你看它，我拆一拆，你会发现极限存在的，那就 ok 啊，好，零 x t f t d t 除以 x 三次方，为什么存在啊？这是零这个点的一个导数定义，是吧，这是零这个点的一个导数定义，是吧？这呢，这往上面已经做过了，看到没？这里 看到没有，是不是它呢，是等于三分之一倍的 f 撇零，乘一个二呢，三分之二倍的 f 撇零，这不就等于三分之一倍的 f 撇零吗？是不是这个极限存在，并且呢，它就等于 三分之一倍的 f 撇零，是不是？那么既然啊，第三条要满足，整个三条满足了，好，我们就说啊，零这一点，它的一个导数是存在的，并且就等于啊这个极限值。 好，所以啊，看一下 c 选项，他说零这点可导是对的，导函数在这一点不连续，我们现在你会发现啊，哎，导函数在这一点连不连续的话，是不是去看一下，哎， 三 e p x 当然确定的是极限值等不等于，哎，这点啊，导函数在这一点的一个极限，导函数在这一点的函数值，是不是， 哎，满足啊，满足他跟他相等，所以导函数在零这一点是连续的啊，所以就选择一个 d， 是 吧，用导数极限定理的话啊，如果三条都满足的话就可以用了，可以用的话，那么我们自然就得出来了啊，三一撇 x 在 零这一点是连续的，对不对？因为 这点的导数值就等于这个三一撇 x 当 x 去零的时候，极限值嘛，是不是？好，这块，如果啊，原图是没有学的吗？那我们就按照啊这个常规常规的一个做法的话，好，那我们是不是看一下还是去看啊， 看谁呀？ x 趋于零的时候，翻一撇 x 的 极限是否等于翻一撇零？他不是说在零这点连不连续的问题吗？导函数在这点连不连续的问题吗？所以啊，这个是翻一撇 x 在 x 等于零处连不连续的一个问题啊， 我们就去看一下啊，这个等式成不成立？那这个等式成不成立呢？我们是不是得把翻译一撇，当 x 不 等于零的时候，翻译一撇 x。 求一下呀，好，求一下之后，那就是它这个步骤还是要进行的，是不是好进行了啊，进行完了假设啊， 那好，我们去看一下啊。哎，进行完之后去求极限啊，是吧？求极限好，求完了就是它，然后再看一下，好，求完之后它就是三分之一位的 f 撇零了，它整个的过程其实是一样的啊，再看一下是不是等于 i f 一 撇零呢？ 三一撇零，他确实就是等于三分之一倍的 f 撇零，是吧？左边跟右边就是相等的，所以啊，这就是对的，是吧，相当于这个过程啊。哎，来到这里，用常规的，常规的做题的一个步骤的话，这边的过程一挪，挪到这就行了，所以不管你学没学等式间推理， 这些步骤都是少不了的，是不是？哎，不管你学没学导数鉴定，你们其实判定的这个整个的一个过程，书写的过程都是少掉的。少不掉吧，都没有少掉啊，还是这些东西啊，好梳理一下啊。这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，若连续周期函数啊， f x 对 任何的 x 恒有这个式的成立。小 f x 的 周期既然也是周期函数，我令周期是 t， 那 是不是得满足 f x 加 t 就 得等于 f x 呀。 好，那我又观察到啊，这个题的关键就是这个等式，这是变现积分函数，那肯定要想到求导这一块知识点是不是？好，我们把它搞过来，那去求导就行了，是吧？ 哎，我们发现啊，这个变量在下方，在下线，我们一般来说给他改到上限啊，改到上限不容易出错。求导的时候啊，好，你一旦上下线换号，这里就变成负号了，是吧？变成负号了，你不在这里换， 不在这里去换。上下线的话，那就是求导的时候要注意一下啊，这里就是一个符号了，都可以的啊。好，那就是 f t d t 等于是两边同时对 x 求导边线积分，还是求导 把 x 加六带到 t 的 位置，再乘以上线的档，是个一减去。好， x 减三带到 t 的 位置乘以上线的档，是吧，这就等于零啊。 对，十四求档是等于零啊，或者你这里的时候没有去改成这个样子，那对于这块对 x 求档是不是就是负的？那就是负的，因为上限是个常数嘛，那就是相当于零减去，对吧？零减去一个把下限带到啊，这个位置的乘以下限的档嘛。对，好， 现在的话，我们得到的是 f x 加六等于 f x 减三， 这能看出来它周期谁了吗？九啊，你，你看这个式子，你就能看出来的，就是这个位置减去这个位置是不是就它周期啊，是不是 x 加 t 减去 x 是 不是周期 t 啊？那 x 加六减去一个 x 减三吗？这个位置减这个位置 是不是六减去负三加三是个九呀，周期就是个九啊，是吧？九啊，选 c， 你 虽然说没看出来，没看出来，我们变量代换一下，你可以令 x 减三等于个 t 是 吧？这里令成一个 t 可以 吧？可以啊， x 就 等于三加 t 了，所以 x 等于三加 t 啊，再加一个六九加 t 是 吧？ f 这个 x 减三就是一个 t 了。 好，可以看出来了， f x 我 们现在相当于 f t 等于 f， 小 t 加九九，是不是就它的一个周期啊？是因为你这里用 t 表示，用 x 表示是一样的嘛，所以 t 就 等于九也行啊。这里看不出来的话，变量再换一下就看出来了 好，还是考的变现积分，求导。这个题就讲到这了。好，我们看这个题啊，小 f x 呢，是负 a 到 a 区间上连续的偶函数， a 大 于零， g x 是 一个积分好，在负 a 到 a 区间上 g x 的 单调性，极偶性。 我们观察到啊，小 f x 是 一个抽象函数，想到什么呀？想到特殊指法呀，是吧？抽象函数咱们已经做过几道题了，应该能想到了啊， 只要能选出来答案，你别管我用什么方法做的，是不是选填题啊？好，那我们前面是不是做的题另的值等于零啊？等于零这个题不太行啊， f l 等于零的话，它满足啊。偶函数吗？好，那 g x 等于零了， g x 等于零，那它确实啊，它不是。哎，单调减也不是单调增的吗？是吧，是一一个横线啊，是吧？长值函数， 但是 c 和 d 你 就没法去排除了啊。你这个 g x 啊，等于零的话，它即使 g 函数也是有函数啊，是不是？所以不行？那我们就另个一呗，换个想法不就行了，我们令它等于一个一横等一啊，那么 g x 呢？ 负 a 到 a， x 减去 t 绝对值，这是一了是吧，这就是底 t 了。 好，我们去积分的时候看到绝对值，你要想到去去掉这个绝对值，好，怎么去去掉呢？如果 x 大 于 t， 那 就直接就是 x 减 t 去绝对值了， x 小 于 t 去绝对值加个符号，那就 t 减 x， 是 吧？北极函数啊， 好，我们积分的一个区间是负 a 到 a， 对 不对？而 t 呢，是介于啊负 a 到 a 之间，我们现在要比较的是 x 与 t 之间的关系。所以啊，这样的题目做过几个之后你要知道了啊，用 x 把区间分成两部分， 你看，在这个区间的时候，我们是对 t 变量积分， t 就是 小于 x 的， t 小 于 x， 那 就是，哎，背起函数去就是它了。 那在这个区间呢？我们积分嘛，是吧，在这个区间，积分对 t， t 这个积分变成积分啊， t 是 大于 x， t 大 于 x， 哎，被加上就是它了嘛。所以这样的题要知道啊，去绝对值的话，要把区间哎给它用 x 分 成两个区间啊，利用区间的可加性， 好，我们就分为负 a 到 x 和哎， a 到哎，负 a 到 x， x 到 a 是 吧， x 减 t， d t， 这不是区间的可加性吗？ 对呗，好，这个时候我们知道啊， t 是 小于 x 的， t 小 于 x 为例函数 x 减 t 啊， x 减去一个 t 好， d， t 加上 x， a， 这个时候啊， t 呢，是大于 x 的， 所以就是 t 减 x 了啊， 去绝对值加个符号了。好，这个 g x 表达式是不是可以求出来啊，直接也给它求出来得了啊，对于它积分的话， x 积分， t 变量，飞机还是？呃，积分变量是 t 吗？ x 看成一个常数了啊，所以就是上限减去一个，下限就是这一部分啊，积分的结果，再减去 t 这一块啊， 积分的结果啊，它就是二分之一 t 的 平方。负 a 到 x 加上一个 x， 这个积分了啊， t 的 话，这里是二分之一 t 的 一个平方 x， a， 再减去 x， 上线减去下线，定好积分变量啊，定好积分变量， 好，这就是 x 方加上一个 a， x 减去一个 a 方，是吧？加上二分之一， 好，这是 a 减 a 的 平方啊。减去 x 方，再减去 ax， 加上 x 的 平方，整理一下， x 方负二分之一 x 方负二分之一 x 方消掉了，是吧？哎，还剩一个 x 方， 看一下，这是 a x 二分之一 ax， 哎，这个啊，是 ax， 看 x 啊，这是负 ax， 这两块又消掉了， 好，还剩这里了啊，是正的二分之一 a 的 平方，正的二分之一 a 的 平方，那不就是 a 的 一个平方吗？是吧，所以我们 g x 的 表示就求出来了啊，那求出来的话，这是一个抛物线呀，是不是你图像都能画出来了吧， 你看这个样子的是吧？ a 他 是不是大一点的吗？对吧，所以这个就是他的一个图像啊。再负 a 到 a 上，我们可以看出来，有单增区间，有单减区间，你直接说在区间上单减单增是错的， 是吧？那很显然是一个偶函数啊，你说 g 函数是错的，选 c 就 行了。或者这样想呢，我们不把 g 的 表达式求出来，我们，哎，看到了，这是变现积分函数，我能不能求导呢？我直接是变现积分函数求导，看一下导函数的一个奇偶性， 如果导函数判定出来它是奇函数的话，哎，原函数是不是就是偶函数啊？就到这的时候，如果我们不去把 g x 表达式求出来的话，直接用变现积分函数求导的话，是这个把 g p x 求出来了，去判定奇偶性的啊，我们也可以复习一下。好吧， 从从这，哎，复习一下。变现积分函数求导，这就是负 a x， 也就是 x x 啊， d t 是 不是减去一个负 a x t d t 加上一个 x a t d t 减去一个 x x a 好， d t 这里边啊，就是都是一吗？ 这还可以进一步呗，这都可以积出来的啊， x 这一亿积分的话就是上限减去下限嘛，是吧。 x 减去一个负 a 就是 加 a 了啊，再减去一个， 好，其实好像也并没有啊，减少计算量你发现是吧，那既然做了，硬着头皮做下去吧，加上啊， x a t， d t 减去一个，这边积分的话，就是 a 减 x 啊， 是吧，硬着头皮啊，给它做下去。这是 x 方加 a x， 这是减去 a x 加上 x 方，也就是二 x 方，是吧？二 x 方，两个变现积分， 两个边线积分啊，好，那我就求倒了，正好求倒啊，二二得四 x 啊，减去这边求倒的话，是不是直接这个 x 啊，这里 再再再加，这边求倒，这边求倒 x 在 下线嘛，所以是减去啊， x， 对， 所以这是四 x 减去 x 再减 x 是 二 x 嘛？ 导函数可以看出来啊，它是一个奇函数啊，这是一个奇函数，导函数是奇函数，那么我们能推出来 g x 就是 偶函数。对， g x 是 偶函数，求导就是奇函数， g x 是 奇函数，求导就是偶函数。这块性质还记得吧，所以通过这的话也可以把 c 选项选出来，好再看一下别的想法呢。 别的想法啊，其实还是跟这一块的这个思路很相似，就是题目出现了啊， 选项啊，题目选项出现了基函数，偶函数这一块。基有性嘛，那么我们优先去判定基有性。为什么呀？因为基有性比较好判定呀，是不是优先判定基有性啊， 这个同学们应该知道吧。是吧，咱们在前面章节是做过的基友性，那就直接去看一下 g 的是吧，负 x 跟 g x 之间的一个关系吗？如果基友性可以选出来一个选项的话，那我单调性不用去看了。你要是先判定 a 和 b 的 话，好， 那肯定是比基有性。呃，稍稍微啊，步骤多一点，因为你要去求导单调性，你得是去求导函数，是不是？所以我们优先判定基有性啊，看能不能选出来选项。那就看记负 x 与 g x 关系啊。记负 x 的 话，那就是负 a 到 a， 这就是负 x 是 吧？负的一个 t 好 f t d t， 现在我们没办法啊，去看出来 g 负 x 与 g x 之间的一个关系。看不出来呀，条件用完了没有啊？没有用完呢啊， f x 是 个偶函数，那就满足 f， 负 x 是 等于 f x， 而关于 f 啊，这块是不是出现了呀？我们，哎，给它出现啊，这个负 x 的 型号，那这个时候就要想到变量代换啊，变量代换我们就令 t 等于负 u， 哎，变量代换得出现这个符号啊，好， t 就 等于负 u 了。我们看啊，这是负 a 到啊，这个时候我们看一下， 就相当于是边内环相对画圆吗？是不是上下线啊，得看一下要换的啊，当提取负 a 的 时候，我们现在 u 就 相当于负 t 吗？是不是提取负 a 的 时候，那么 u 是 就取 a 呀？当提取 a 的 时候，好， u 就 取负 a 呀。 好，现在的前面是负的 x 先放在这儿，负 t 呢，负 t 就是 u 了是吧？好， f t f t 现在就是 f 负 u， d t 呢？ d t 就 等于负的 f u 啊，是不是负的？ 嗯？ d u 啊，刚刚说错了啊， d t 是 等于负的 d u 负的。哎， d u 的 啊，好，对，画画完了啊，不要漏掉一些东西。那我们看到啊，这个下线跟上线的关系啊，下线比上线还大呢，我们一般来说给他换回来啊，再给他换成负 a 到 a， 因为要判定啊，他有 g x 关系吗？ 上下线一对调，那么这个要添个符号，符号跟这个符号就消掉了，是不是？所以还剩的就是负 x 加上一个 u f 负 u 可以 用它了吧？哎，用的就是它吗？ f u 就 等于 f u 啊， f u 好， d u。 这时候你会发现啊，这这 u 的 话，我们用哪个字母都行。我现在再给他改回来题，可以吧，我再给他改成题，为了对照题目的啊， 题目的那个 g x 的 一个型号，那他俩现在一不一样呢？哎，只有这个地方不一样，但是啊，这个绝对值啊。好，绝对值的话，我们是不是可以哎，把这里边啊写成他的一个相反数也没问题吧。好， x 减去一个 t， 负一嘛，提出来一个负一，负一在绝对值里面被吸收了呀，提个符号嘛，是不是 x 减去一个 t 啊，负一在绝对值里面被吸收了，其实它不就是这个 g x 吗？你看哪一点不一样呢？ 对，所以 g 负 x 就 等于 g x， 这不就是这个偶函数啊，写到这里得了啊。 哎，先判定基友星已经选出来的答案，那我就不要再去看别的了，考试的时候是不是，那平时的话啊，我们还是要去判定一下是吧，你到底啊，你这个 g x， 他 说的，哎， 单单调性的一个问题，我们也判定一下，那就是去求导的问题了，是吧，去求导的问题啊。那你想去求导的话，你注意了啊，你这有一个绝对值是不是？我们肯定是先把啊这个绝对值去掉把 g x 本来是求出来再去求导啊，再去求导，而不是直接求导，直接求导你没你没法做 是吧。好，接下来就是判定一下单调性的问题啊。 好，那把 g x 表示，哎，把绝对值给它去掉啊， 去绝对值，我们已经说了，是不是把 x 插进来，把区间给它分成两段呀，是吧。区间的可加性分成两段，在这一段绝对值可以直接去掉，在这一段啊，绝对值要加个符号啊，去绝对值要加个符号的意思 好，现在一样的啊，负 a 到 x， x 减 t， f t， d t 先是区间的可加行吗？ x 再到 a， x 减 t， f t， d t 绝对值先按啊，去掉了啊，这块直接去掉，前面说过了就不再说了吧。 后面去掉加个符号是吧？ x 到 a， 去掉之后加个符号或者写写上加上 t 减 x 也行啊。 f t， d t 好， 负 a 到 x， x， f t， d t 减去一个负 a 到 x， t， d t 减去一个 x 到 a， x x 放前面吧是吧？ t x 放前面了啊，还剩的是 f， t， d t 拆成几个部分嘛。 s a t f t， d t 这个 x 放前面啊，我们基本变量是 t 嘛，你就暂时看成一个常数，先放前面。接下来呢，我们就是对 g x 求导研究单调性嘛，是吧，求导的话，这个时候它就是变量了，左边求导，右边不求导， 加上左边不求导，这里右边求导。求导呢，就是 f x 减去这里求导也非常简单， x f x 减去一个，减去一个啊，这个左边求导，右边不求导， 加上左边不求导，右边求导，右边求导。因为这个这个 x 在 下方是吧，所以求导的话啊，把 x 带过来之后要注意，这是一个符号。 好，再加上这边也是一样的啊，他在下线嘛，所以这是负的啊，就到 x f x 看一下这是等于谁了啊， 他跟他消掉了是不是这里啊，这块可以去掉，减去他，加上他了啊，再加上一个他，又减去一个他，其实现在剩的就是这一块跟这一块嘛，好 负。 a x f t d t 减去一个 x 到 a 是 吧？ f t t t 这个时候怎么办呢？这时候我们仍然啊，可以用一下啊，这个题目的一个信息，你现在判定单调性的时候没有用到啊，这个偶函数的信息，我们还是做一下变长代换试一下嘛，是吧，你到这的话，你确定确实没办法判定大于零小于零啊， 再做一下变量代换，仍然是 t 就 等于负 u， 当啊 t 取负 a 的 时候，那 u 就是 取 a 了，是不是当 t 取 x 的 时候， u 就 取负的 x 没问题吧？好，再减这个啊，这个直接就是 f， 这是负 u， d t 就 等于负的 d u 减去一个 x 到 a f t d t 看一下啊，写到这了啊，快写不下了，我们知道它是一个函数。 f u 就 等于 f u 就 等于 f u 嘛，是吧？这里的话上下线， 上下线的话可以对调呀，是吧？符号作用于上下线，没问题吧？没问题啊，对调一下就是变成负 x 到 a 了，符号已经作用完了， f u 就 等于 f u。 好， 后面的话 就减去它。我们也作用于上下线啊，符号作用于上下线，就变成了一个 a 到 x 了， 是吧？ a 到 x 啦，你会发现啊，现在就是负 x 到 a， 哎，加上 a 到 x 这个根据区间的可加性背积还是长的一样的呀，是吧？负 x 到 a， a 到 x， 整个不就是负 x 到 x 积分吗？是不是 负 x 到 x 啊？对的，进积分， f f u， 你 写成 t 都行啊，这个时候。 好，那我们现在就知道 g、 p、 x 现在就变成这个样子了，变成这个样子的话，它到底是增还是减函数呢？ f x 给的信息就是一个偶函数，那我们现在并不知道这个积分的结果到底大于零还是小于零，你判定不出来呀，是吧？ g x 大 于零，小于零我们不知道，就负 x 到 x 上面对这一个啊， 不知名的一个 f x 进行积分的话，判定不出来，你咋判定吧，你说是吧，无法判定，根据题目的一个信息，根本无法判定你到底是大一零还是小一零的，所以你没办法啊，你去玩 g e、 p、 x 的 话，没办法判定 a 跟 b 是 不是正确的， 判定不出来，你就不能去选它，那你自然就要去判定奇偶性了，是不是去判定奇偶性了。好，那就根据啊，这个奇函数与偶函数啊它这边的一个定义，看一下 g 负 x 与 g x 的 一个关系就行了， 是不是好？包括啊，我们这个判定单调单调性这一块的话，你求完 g 撇 x 的 话，我们可以利用这边的一个信息， g 撇 x 的 信息 去判定基有性也行。是，刚刚也说过了，你可以通过 g 撇 x 去判定 g x 基有性。好，你看啊，现在 g 撇 x 我 不知道它大一点小一点，单调性我不判定了啊，假设我我一开始没有这样做的话，我先判定单调性。好，我顺便把基有性判定一下， 我现在是不是可以看出来啊， g 一 撇 x， 它的一个表达是我把 g 两撇 x 判定出来得了，因为这是变现积分函数嘛，我求个导啊，求个导之后，它就变成了 f x， 是 吧？再减去一个 f 负的 x 乘一个负一，就是加上它， 而我们知道 f x 跟 f 负 x 是 一样的，所以就等于二倍的 f x， f x 是 一个偶函数，所以 g 两撇 x 是 一个偶函数，可以吧？ g 两撇 x 是 偶函数的话， g 一 撇 x 就是 一个奇函数，那么进而的 g x 就是 一个偶函数，可以吧？可以的啊， 或者你不不不，求二解导的话，也可以通过这个啊表达式啊，根据 g 函数函数的一个啊性质，你从 g 一 撇负 x 去判定出来啊，它等于负的 g 一 撇 x。 好， 如果这个式子成立的话，可以判定出来的是 g 一 撇负 x。 哎， g 一 撇 x， 它是一个奇函数，对吧？那自然 g x 是 一个函数也行啊， 这个这块我没有讲乱吧，也就说如果啊，一开始你没有优先判定基有性的话，你先去判定单调性以后你会发现判定不出来了，判定不出来呢？那既然导函数我已经求出来了吗？导函数表达是，反正它是一个变现积分函数，我知道变现积分函数有求导这个支点，我就求导， 求导，我自然这个判定不出来，我就看一下这个奇偶性的一个判定了，是吧？求完导之后，发现它是个偶函数，那行，你是偶函数，那我就来到了 g x 自然就是，哎，也是一个偶函数， 是不是或者 g x g 一 撇 x 表达式求出来了？我去看一下 g 一 撇负 x， 它与 g 一 撇 x 的 关系啊，我发现是这样的关系，所以判定出来。哎， g e p s 是 奇函数，不求导的情况下， g e p x 也判定出来了它的奇函数，偶函数的一个信息。那当然了，好，自然就得到了 g x 是 偶函数， 这个过程大家写一下就行了。好，刚刚刚这里啊，我再去补充一句话啊，我们说，嗯，通过啊，这这个地方对 g x 啊，进行求导，判定基有性，是不是好？基有性，哎，判定出来了，也可以看一下它的单调性是可以看一下的啊， 你这个导函数大于零，不就是 g x 是 单增的啊，你这个 x， 你 看啊，我们 x 现在是 是在负 a 到 a 之间，是吧，那 a 的 话，它是正的嘛。所以啊，这个整个一个区间上啊，是负 a 到零，这是取负的一个区间，这个零到 a 是 取正的一个区间。对呗，这是负 a 到零，零到 a。 所以 说啊，在这个区间上， s 取的是负的值，负的值。导函数啊，就是小于零的，那 g x 就是 单减的，在这个区间上取的是正的值，那么 二 s 就 大于零吧，就单单增的，所以在整个区间上它是不具有单调性的啊，在左边有单调性，右边，哎，这这个区间和这个区间是有单调性的啊，这也可以去看出来 a 跟 b 是 错的啊。 好，总之，哎，这个题目，嗯，讲的有点多，你看一下能不能梳理啊，梳理清楚了啊，能判定既有性，先判定既有性啊。好，这个题讲到这了， 好，我们看这个题啊，大 f x 好， 是一个积分，大 f 撇零，我们需要把大 f x 求出来，再求倒，再把零带进去，对不对？好，他看到了绝对值就牵涉到去绝对值的问题了， 那也就是 x 大 于 t 的 话，绝对值直接就去掉是吧？ x 小 于 t 呢？去绝对值要加个符号呀。好，也就是 t 减 x 呗。 好，这个时候怎么去？哎，把绝对值去的正确呢？好，我们积分区间是不是负拍到拍啊，你就画个数轴，我们关键点其实就 x 与 t 比大小嘛，那 x 就 插在啊这个区间里面就行了，我们积分的一个区间就分成两段， 在这个区间的话，很显然我们是负，哎，负拍到 x， 也就是 t 就是 小于 x 嘛，是吧，我们积分变量是 t 啊，负拍到 x， t 肯定就是小于 x 的。 对， t 小 于 x， 那 这种情况在这个区间呢？我们，哎，从 x 到拍进行积分，积分变量是 t 啊， t 就是 大于 x 的是吧？ t 大 于 x 啊，那 好，在这个区间上啊，我们去绝对值之间就是 t 减 x， 是 吧，咱们做过几个题之后你就知道了啊，关键点，你看就这个 x， 把这个区间给它分成两部分就行了啊。 好，我们看大 f x， 那 么给它分成两部分，负拍到 x 是 吧，你绝对值可以先不先不去也行，我们相当于先根据区间的可加性好把积分给它分成两部分是吧？负拍到 x， x 到拍， 是不是 x 减 t， c， t， d t 这一步没问题吧？哎，区间可押性啊。好，那在这个区间上积分直接，哎，就是 x 减去 t， 对 不对？对吧， x 减 t 啊，这个时候 t 是 小于 x 的 啊， 好， c， n t， d t， 再加上这个区间上 t 是 大于 x 的， 那么去绝对值加一个符号啊，也就是 t 减 x 就 行了， 好， sine t， d t， 那 我就会发现啊，你可以给它拆成四个部分哎，这有那个上限或者下限，是变量的变现积分函数，哎，考到变现积分函数求导嘛。对，那我们给它拆成啊几个部分，第一部分 x， 你 就往前面提是吧，你得注意了，你经变了是 t 啊，把 x 提到前面啊，好，减去一个负拍 x， t， c， n t， d t 再加上 x 拍，哎， t c， n t， d t 减去 x 倒拍，那这个 x 是 不是可以提前面好？ c， n t， d t， 嗯，这个能不能消掉一部分呢？好像不行是吧？它附拍到 x， x 拍呀，不行不行，那就继续直接求导了。来，我们去求导呀。 求导，对，变线基本上求导啊，那几种情况都搞清楚啊，就是左边求导是个一，右边不求导。乘法求导公式嘛， 加上左边不求导，对，右边求导。求导的话，直接 x 带到 t 的 位置是吧， 上线的导是个一，不管了啊，好，减去这个 x， 往这一带， x， c x 加上好这个变量啊，在下线的我们通常给它改成上上线的一个啊， 变上线这个函数负的，你上下线对调吗？ x 到拍等于写成拍到 x 就 得听个符号，是不是这个 x 到拍能拍到 x 填个符号，你不给他改成上限的也行啊，看你的习惯了，我们给他改成上限的话，求导不容易出错啊。好，这个时候就是减去好 x 往这一带吗？ x c x 好， 后面就是加上还是乘法求导公式，左边求导是个一，右边不求导， 加上左边不求导，右边求导。求导的话，那就是 c x 这时候能不能消去部分呢？它没了是吧？它它，所以现在还剩的是 两部分吧，复拍到 x 还有加上拍到 x， 这两部分能合并吗？不行不行啊， 这时候呢，你有两个想法了啊，就是这还是变现积分函数，我们让求的是 f 撇零，你可以直接就把零往这一带是吧？零啊，一带，或者呢，你把这个啊变现积分函数再积一积，积出来之后我们再去把零一带都行。那我们看直接带呢， 你看哪个更快呢？我直接带没问题啊，是吧？零一带呀，反正让我求的 f 撇零 fps 不 就是它吗？ 零一代，这个啊，是快一点的。为什么啊？因为我们的背积函数是 c， x 是 正弦函数，正弦函数，我们说让大家记住这个积分的一些结果的啊， 一拱的面积是不是等于二，这个需要记下来的啊，哎，提高我们的计算的一个速度啊，我们就画副拍到，拍后拍到零啊，零到拍好，这后边其实不关键啊。 好，就这样了啊，一拱的面积是不是就是二呀，就记下来啊，你不记下来的话你还要这样，每次遇到之后，哎，去算一下圆函数啊，再去上下线一一带才才算出来的啊。面积等于二，记下来，一定要记下来。 好，你看一拱的面积是等于二的话，这个负拍到零，负拍到零也是一拱啊，是不是只是说这个时候面积是二，我们现在是积分呀，积分的话与面积你得看一下啊，这个它与 x 轴为成的啊，这个区域是吧，它是在 x 轴上方还是下方？ 它在下方，所以说积分它是有正负的。面积都是正的嘛，这个面积是等于二没有问题，但是积分的话，它现在就是一个负的值了，能理解吗？咱们前面说过啊。好，这就是一个负二是吧，这个积分的结果是一个负的值啊，别搞错了。 好，这拍到零，哎，拍到零，如果是零到拍的话，直接就是一个二了是吧？拍到零的话，你上下线对调一下， 负的拍到零变成零到拍，因为这个下线小于上线。我们积分的话，哎，就知道他的一个集合意义就是这块的面积，这块面积就是一个二吗？所以就减去一个二是吧，这块不就是二吗？因为他在上方呀，直接他积分结果就是等于这个面积二的，所以负二减去二就是负四， 是吧？选 a， 哎，你到这儿好像不需要把它积分结果算出来，当然有同学说，我就给它算出来，我们可以算一算，是吧。这个大 f p x， 哎，可以积一积，是不是 c n x 的 话， 它就是原函数，是负的。靠 c n t 啊，是 c n t。 好， 这个负派 x 加上这个 c n t 一 样的啊，是负的 cosine t 拍到 x， 你 这样算的话，就相当于你没有啊，你没有去观察到这个被积函数是正弦函数，然后它的积分的一个区间呢，刚好是一拱的一个长度，是不是你观察到的话，这就很快没观察到你就这个样子是吧， 或者是你这个时候还没有观察到你，还是啊，要把这个是吧，把这个原函数求出来，把上下限一带。我们求一下啊， 这个符号的话作用于上，可以作用于上下线啊，就平时的话，你看你的个人习惯了，就是把这个符号直接作用于上下线。写 x 到负拍，因为有时候前面那个符号积分是 容易容易出错嘛，是吧，我写成加上之后好 x 到拍这个样子来看一下它。 cosine 负拍， cosine 负拍就是 cosine 拍嘛，是不是 cosine 拍的话是不是负一啊？ 好，减去一个 cosine x 再加上 cosine 拍，一样的啊，负一再减去一个 cosine x。 好， 整理一下负的二倍的 cosine x 嘛，负一负一就是一个负二。好，你这个大 fps 求完之后好把零一代零一代的话，负二倍的 cosine 零减去二。 cosine 零是个一嘛，是吧，负二负二就是负四也行啊。这块还是希望记一记没有记的同学记一记啊。 再补充一点啊，有些同学看到了，求的是一个点数的导数的值，那么要想到什么呀？导数的定义是吧，前面章节咱们也是训练了啊，很多题目你要想到它，这是很棒的啊。好， 那把导数定义再复习一下啊。大 f x 减去大 f 零除以 x 减零，那就 x。 你 既然让我求它的一个值，并且可以看出来确实是存在的这个值，也就是说这个极限就是存在的。极限存在的话，分母小于零，分子就必须小于零，是吧？而零比零的话，我们可以考虑洛必达，因为它变现积分函数，你肯定要考虑洛必达， 正好去考察你的就是变现函数求导，哎，在极限里面就用洛比达来考你的，对不对？好，分母求个导，是个一一，咱不写了啊，那分子的话，这数也求导是个零，那还就是剩它了，对不对？ 好，那这个时候啊，求导函数 s 距离的时候极限，那我们还是要把这两块给写一下，省不了，过程都是省不了的是不是？你去求导嘛，那你肯定要把大 f x 表达式哎，写一写，还是要分区间是吧？去去对值，再把大 f p x 求一下， 求完之后呢，好去求极限，这个时候啊，你看我们可以。哎，这两个过程没省啊，没省啊，来到了这里，好，就是复拍到 x sin t d t， 加上一个拍到 x sin t d t， 我们发现啊，这被积函数是连续的，被积函数连续的啊，这个变现积分函数，那肯定是连续的，是吧？积分完之后，大 f x 嘛，就相当于它对应大 f x 是 连续的函数，连续的函数的话，那你 x 区域零一个连续函数的一个极限不就是等于把 这个，哎，零一带的意思吗？是不是我们说了啊，在一个这个函数在一点处连续的话，那么极限值不就等于函数值吗？所以说这个时候啊，就直接把 x 等于零一带。你看，又来到了 我们刚刚说的那个过程了，对，直接一带，现在又来到了这里圈又来到了这里啊，或者呢， 你用这个也行，这个地方我们就直接哎去求一求这个他的一个积分，那个结果求完之后就是一个他是吧？求完之后一个他的话，你求极限，这也是一个连续函数是吧？这一个连续函数，这个点的极限值就等于啊，把这个点这一点的函数值，极限值等于函数值吧，零一代是吧，其实还是他，还是求他， 对不对？还是这就咱就不想啊，主要就是你能想到导数定义也是不错的啊。好，那这个题就讲到这了，好，我们看这个题啊，函数是一个变现积分函数，求二阶导，把 a 等于负一带到二阶导里边求下值是吧。好，那我们求呗，先求一阶导， 边形函数求导啊。对，很熟练，看一下背及函数没有 x， 那 可以，这就比较简单的了，把 x 的 平方带到 t 的 一个位置是吧，负的根号下 x 的 平方，好，再乘以上线的导。不是二 x 吗？得写到这了，二，二啊， x， 好，这个时候是不是可以把 x 写前面呢？可以啊，因为我们还要求二解导的吗？他在前面，嗯，他谁在前面都行啊。好，这个时候啊，是有易错点的，有些同学呢，直接就写成二 x， e 的 负的 x， x 平方开方就是 x 呀，这错了啊，咱们一再的强调， x 的 一个平方再开方的话，它是等于 x 的 绝对值，也就是说分两种情况，如果 x 大 于零的话，根号 x 平方 来，平方开方就是一个 x， x 小 于零的话， x 方开方是不是负的 x 要清楚啊，清楚，这一点你不能够直接啊，就你就认为 x 大 于零的不行的啊，所以这一步肯定是错的，不要去，不要去写了。 那这个时候你不用去管啊，你不用去管，这块开方是 x 还是负 x 就 放在这呀。对，放在这，求，继续求二阶导啊。好，二阶导求一下。好，我们把它看一整体看，把它看一整体嘛，左边求导是个二，右边不求导， 加上左边不求导，右边求导。先是把它抄下来，再去看这一块求导有一个符号是吧？符号 括号就往这一抄啊，那接下来看它根号下求导。我们知道啊，是二倍的根号下 x 方在分之一。好，根号完，求完了，括号是求导啊，一层一层的，最内层是 x 方，再去求导是一个二 x， 是吧？就是这个样子的呀，整理一下呀。二， e 的 负的根号下 x 方。好，符号往这里写了啊，符号那一写， x 跟这个 x 一 乘的话，是 x 的 一个平方，对，这里的话是一比上，根号下 x 的 一个平方，我们看一下系数啊，这个二跟这个二消掉了，那后面记着还有一个二吗？那写到这了啊。好，还有一个 e 的 负根号下 x 方，看对不对啊？ x x x 方，哎，在这，这一个它还有一个它，是吧？好，这个时候我们可以代值了呀， 不就是把负一带过来吗？是吧，负一带过来我们就知道了呀，哎，也就是说它就属于这种情况，是不是？ 现在是根号下 x 方， x 我 们现在知道是小于零的 x 等于负一，所以小于零开放出来就是负的 x， 我 们现在是把 x 等于负一，哎，代入它这个结果，那就是一个一， 对不对？哎，对不对？好，是一个一了啊，这个结果是二的 e 的 负的一是，这一块是一啊，这一块是一啊，好， 再减去，这是负一。一代的话，负一的一个平方是一个一了啊，好，二，一数一，我们知道这块是谁呀？是一个一，对吧？好，这块是谁呀？是一个一， 好，这就没有问题了吧，二倍的一乘一分之一啊，这一的负一次方不就是他吗？后边还是还是他，是吧？减去一个啊，这个一分之二 等于零，是吧？等于零啊，如果啊，如果我们把这个根号下 x 方直接等于 x 的 话，那你看一下你的一个错解啊你，你应该是你的结果应该选的是谁呢？就这个地方啊， 等错解就用这个紫色的笔写了啊。好， y 等于负一带过来。好，二倍的 e 的， 因为你已经默认啊，它就是一个 x 的，是吧？你先先写过来啊， x 放好， e 比上，这就默认为 x 啊，默认为 x 把 x 的 一个负一一带 好，这就是二的一的，因为这是负一的。添个符号就是一了，不写了，减去一个二。好，这负一的平方还是一个一，这里呢，负一的 倒数就是一个一，负一的一个倒数还是一个负一啊，负一填个符号是一个正号啊，好，后边是 e 的 一次方，是吧？二 e 加二 e 是 等于四 e 的 四 e 你 就选的是 d 了，是吧，所以选 d 就是 错的了，一定要注意的什么？这个题，哎，根号加 x 方，它是等于负的 x 不是 等于 x 的。 关键点在于什么呢？关键点就是说这一块好开放出来，它其实是等于负的 x， 对 于这个题啊，对，对于这个题，它其实就是一个负 x。 好， 也就是说我们看到啊，你看，看到了啊，它最后让我们带的值是一个负一，你就默认为，哎，这个 x 是 小于零的，进行开放就行了， 对不对？关键点不就是在这儿吗？开放的时候你出的错呀，为什么出错呀？你认为的是 x 大 于零的，但是其实人家提醒你，最后是 x 去负一，那去负一，不就它属于 x 小 于零这一这一号了吗？是吧？属于这种情况呀， 所以一开始的时候，你看到它的时候啊，可以直接就是，哎，认为 x 小 于零，哎，就认为 x 小 于零，所以这一步的时候，你可以，哎，稍微简化一下，但 你不认为也行，是吧？我们就这样做啊，求一阶导，求二阶导，把它放在这里就行了，放在这里，最后去开方，哎，你自然就知道它是取负的值，然后它就是这种情况了，是不是？ 或者一开始你就认为 x 小 于零，好，那 y 一 撇 x 呢，它就等于二倍的 e 的 负的，因为这是我们认为小于零的嘛，开方之后就负 x 啊，所以这就是一个 x， 也是二倍的 x e 的 x 次方，是吧？好，这就是一阶导。你这就简化了吗？稍微简化一点啊，简化了完之后啊，你再求二阶导，左边求导，这是一个整体啊，右边不求导，加上左边不求导，右边求导。好，求完导之后，把 x 等于负一一带，是吧？二的一的负一次方 减去二的啊，这个一的负一次方，是吧？等于零，对，对的，哎，都行啊，关键点就是在这里，你知道就行了，你这里要是理解不了，你就直接啊，一节道，二节道，求完再代值就行了。好吧，好，那这个题就讲到这了。 好，我们看这个题啊，让我们求的是零到一区间上 x 乘以 f x 的 啊，定积分。那小 f x 是 啥呀？是一个变现积分函数这样的题目啊，通常就哎，有两个想法，要么是分布积分错位分，分布积分 好，要么呢是给它转化为二重积分啊，这样的题啊，你做一个两个你就知道啊，他通常的想法就两个啊，就是转化为二重积分，有同学说我还没有复习到二重积分。没关系， 你在你的本子上啊，找一个本子，你记下来，这个题号十八题是吧，你记下来，等学完 iphone 积分，你再回来去做一下，可以吧，学过的，那我们就一起听一下啊。分布积分的话，那肯定是先凑为分是吧？好，这个 i 的 话，我们记为 i， 这是 f x， 那 么 x 跟 d x 一 凑，就是 d x 平方，要补一个二分之一是吧。 好，接下来分布积分二分之一 x 的 平方， f x 零到一，减去二分之一，零到一 x 的 平方。好，应该是 d f x 是 吧。为什么分布积分这里 就来到了啊？它是一个变现积分函数，求它的微分不是求导吗？是不是所以就考察变现积分还是求导了呀？所以啊，它对应的知识点啊，这里就是分布积分，正好考到啊，求导这一块是吧，求导的话， 这里边，哎，没有 x， 哎，很不错是吧，一加上 x 的 三次方。好，二分之一，那求微分嘛，要带上啊， d x。 好， 我们整理一下。 一一代的话，这是一 f 一 f 一， 很显然是个零，上下线一样的吗？说 f 一 是个零，零呢，零一代也是零啊，所以前面部这一部分整个就是零啊，零的话可以省，也不用写。减去二分之一倍的。后面啊，后面看一下， 这有 x 三次方，这有 x 平方，很显然又要凑微分了，是吧？凑微分啊，好，一加上 x 三次方，这是二分之一次方，抵，我们凑 x 三次方，加上一个一，是吧？你注意啊，你凑 x 三次方的话，你求微分是三 x 平方抵 x， 你 会多一个三，所以前面要补一个三分之一。 补一个三分之一，好，负的六分之一是吧，现在就把它看成一个整体就行了。看这个 t t 的 二分之一的，哎， 不定积分是吧。原函数那就是 t 的 二分之三四方，再补一个三分之二呀，补一个三分之二，一加上 x 三四方，那就这个 t 啊，好，二分之三四方。那么把上弦一带算一下就行了，是吧？好，慢慢算一下啊， 前面是负的二根六消一个啊，除以二三得九是吧。上线一带的话，一加上一是二二的二分之三次方。 二倍的根二呀，是吧。二倍的根二减去下限一代零，一加零是一个零，零的啊，不，一加零是一啊，一的二分之三四方也是个一，所以这是下限的结果。符号也可以乘进去是吧？乘进去啊，九分之一一减去二倍的根二。 我们这是习惯啊，有的人说写成这样行不？也行，习惯的话，符号前面不写符号是不是做题的习惯吗？那就写一下了，这就是最终的结果。好，那转化为二重积分，我们看一下啊，也就直接把小 f x 带过来就行了，好吧，零到一 x， 小 f x 是 小 f x 跟它写到一起，小 f x 弄到最后，然后把它抄过来，也就是一 到 x 根号下一加上 t 的 三四方 d t。 一 般来说，为了啊，我们看着更舒服，不容易出错的话，我们通常用的变基本变量是 x 和 y 嘛，是吧，你可以把这个 t 啊给它 换为 y， 你 更熟悉一些啊，不容易出错。当然了，也在说我，我换成啥字母我都能做对，反正你就不用换啊，就是说习惯上啊，我们给它换成 y， 看得更舒服一点啊。 对，你用哪个变量都无所谓啊，那我就用 y 了呀， y 了，我们二重积分，那这个时候通常就是考察的是二重积分的交换积分次序的一个知识点啊，交换积分次序， 因为你会发现啊，我先对 y 积分的话，你看他的圆，还说你求出来了呢，不太会求，不太好，不太会求，是不是？所以要交换积分次序，我们先对 x， 再对 y， 他 先对 y 后对 x 吗？我们先对 x 后对 y。 那 这个时候还要注意一点啊。还有一点， 嗯，这个啊，这样写吧，以及就是说我们要想交完积分四局，那你肯定先得是把积分的一个区域，是吧，还原出来，那还原出来的时候要注意啊，这个 x， 你 看 x 的 一个积分区间的话，是 x 是 从零到一的，是不是？而这是零到一的话，他就没有这个一大嘛，对不对？而你没有一大的话，你跑到上面了，跑到上面的话，你去画积分区域是画不出来的，必须是下限要小于上限。你现在啊， 下线大于上线了，因为你是在零到一之间嘛，所以要注意一点啊，就是把这个啊上下线去改成，哎，这个下线是小的，上限是大的，积分区域才可以画出来，注意这一点就行了啊，这两点 好，那我们这里啊，就把下线，哎，变小，上限变大，那就上下线调一下位置，是吧？调一下位置，那就填个符号啊，零到一 x d x， 好，这就是 x 到一，就是从小到大啊，这个积分的一个区间。好， d y， 我 们把 a 积分区域划出来，不划你怎么积分呢？是不是这是 x， 这是 y， x 是 零到一 y 呢？我们看一下啊，假设这是 y 等于 x 啊， 那 y 呢？要大于 x， 要小一啊。 y 大 于 x， y 大 于 x， 这根线的左侧是不是还得是小一，这就是一啊，这是 y 等于一根线， y 等于一，这根线在它的下方，是不是？哎，在这根线的下方， x 满足零到一 y 呢，还得大于 x， 不 就是这个积分区域吗？对不对？如果啊，如果你没有注意到啊，把这按线对掉的话，你画不出来，积分区域，你没法进行下去。来，你看一下，如果你直接看它的话， 好，你看一下这积分区域，你能画出来不？ x 是 零到一 y 呢， 这是 y 等于 x 啊，这是 y 等于一。好， y 要小于 x， y 还得大于一，是不是？你首先要满足 x 啊，在这个区间再满足 y 小 于 x， y 还要大于一，这是 y 等于一， y 要大于一，在这根线的上方，还得 y 小 于 x， 是 吧？ y 小 于 x 这一根线的上方，这是 y 等于 x 这根线它的一个下方，是不是它的下方它的一个上方？你看看 这跟这，你这区域在哪呢？你们说这区域在哪？画不出来呀，是吧？你满足这一块的话，你就满足不了 x 在 零到一了， x 在 零到一的话，那 y 你 就画不出来对应的是不是？反正他们交不出来一个区域，你就 错了，对吧？你就做不出来题了。那不行的，咱们这个二重积分这块你就注意啊，上下线得从小到大。好，那积分区域就画出来了，那我们现在呢？积分就行了。好，负的， 这是先 y 后 x。 不 不行了嘛，我们就是先 x 后 y， 把积分的一个区域啊，给它转化为 y 型域，是吧？ y 型域的一个积分。好，那 y 的 一个变化的话，就是零到一啊，零到一， y 的 变化，零等于 x 的 变化呢？ x 的 变化就是平行于 x 轴，你看它嘛，就是平行于这个这个 x 啊，这是 x 就 平行于 x， 这是 y 的 话，就平行于 y， 平行于 x。 你 画根线， 就是线内画条线平行于 x 的 意思。好，先交写下线，后交写上线，左边呢是 x， y， 对不对？哎，这是 x 等于 y 吗？这是 x 等于零。好，把这个 x 往这一写，把一加 y 三次方开放一写，积一下就先放在这了啊， 我们把它积一下的话， x 的 积分那不就是二分之一 x 平方吗？零到 y， e， g 就是 二分之一 y 的 一个平方。好， d， y 这个积分结果已经写过来了啊，好，继续。 负的二分之一，这很显然，这有三次方，这有平方，那就是凑个微分就行了，跟上面啊一样了，对不对？好，写一下吧，凑后到凑后面啊， 零到一根号下，一加 y 的 三次方， d， y 的 三次方，加个一，那你要补一个三分之一， 对吧？你看到这了吧，负二分之一，负三分之一，零到一，哎，这个一加，它这边是 x， 我 们这里呢，是用 y， 其实是一样的嘛，变量用哪一个都行了啊，到现在为止后边都是一样的了，所以就不往下写了吧，是吧，结果就是，哎，还是它呀， 好，这样的题，知道它的一个做题方法就行了，哎，做的时候认真一点嘛，该注意的注意到位就没有什么问题啊，是吧，好，这个题就讲到这了， 好，我们看这个题啊，连续函数小 f x 满足，好，你得知道啊，这是啥，这是变现积分函数啊，是不是，那么他求导完之后是不是就是他呀，同学们得记住一句话啊，我们令大 f x 是 小 f x 的 原函数的话，那么大 f p x 是 不是就等于 f x？ 这个我觉得是没有问题的啊，还要记，记住一句话啥呢，就是变现积分函数啊，变上限积分函数是小 f x 的 一个原函数啊，哎，就是 这个这个题的吗？好，变现积分函数是小 f x 的 一个原函数， 我们会在后续的学习中点微分方程那一章啊，会用到啊，这个积分上限函数是小 f x 一 元函数这个知识点的啊， 通常我们就取小 f x 的 一个元函数啊，去解析的，记下来啊，好，嗯，它既然是它的元函数，你看它求完导之后，它求完它就是大 f x 嘛，是吧，求完导之后就是它呀，好，这是熟练应用啊，那这样的话 我就求导，对吧，哎，法一，哎，这个啊，用红笔吧， 考到变现基本函数求导，我两边都去求导了，我还是啊，令大 f x 就是 零到 x 啊，小 f t d t， 这个去求导 好，它求导，求导呢，就是小 f x 了，对吧？小 f x， 你 搞清楚啊，这个就是我们说的大 f x 了，它是小 f x 的 一个原函数，而小 f x 现在的话，它是谁啊？就是 x 乘以 e x 方求导嘛，就相当于两边都去求导。大 f x 求完导之后就是小 f x。 好，他求完导之后，那求一下就知道了。 x 求导， e x 不 求导， x 不 求导 e x 次方求导，那就是一加 x e x。 这个我们经常见，答案可能都记住答案了， 所以小 f x 表达式你都求出来了，求出来之后，我们是不是可以把 f 零 x 表达式求出来呀？所以啊，这个 f 零 x 就是把这里的 x 换成 loan x 就 行了， e 加上 loan x， e 的 x 换成 loan x， 是 吧？左边右边这不就剩一个 x 了吗？就是一个 x 啊。好，这个表达式已经有了，你再出一个 x 去求这样的一个，哎，点击分就行了。 好，就是这个，再除以个 x， 除以 x， 剩的就是一加上龙眼 x， 对 它积分的话，就上线减下线， e 减去个 e， 加上一到 e 龙眼 x dx。 这个积分咱们也是经常做的，直接分布积分就行了，是吧？ e 减一加上 x 龙眼 x， 好， 一到一减去一个，一到一 x， 是 吧？我们在这写了啊，加上。 好，再写一步吧，再写一步啊， e 减去一个一，加上 e 乘以 one 一 是个一吗？减去一个一乘以 one 一 是零了啊，再减去后面的 e， 减去一个 e， e 减一减去个 e 减一就没有了，还剩一个 e， 结束了，对吧？这个想法呢，就是把小 f x 表达式求出来，你得知道变现积分就是小 f x 吗？对，求完，求完就是小 f x 啊， 那两边求倒，它求倒，那就把小 f 表达式求完了，那就把它求出来了，好在有没有别的想法呢？有吗？ 哎，你观察一下啊，你会发现这里有一个 x 分 之一对呗，它在分母上吗？不相当于有一个 x 分 之一吗？ x 分 之一跟点 x 可以 凑个微分呀，刚好凑出来 lone x， 而这又是 lone x， 对 呗。好，这又想到啊，凑微分啊， 你观察一下我们要求的啊，这个结果也从目标你出发的话，我先不管啊，这个 f 零 x 是 不是我先去凑一分，这就是 d 零 x 呢？ 对，按一按，这个往底下写写吧，看着难受。 f 零 x d 零 x， 哎，这个时候我是否可以变量代换一下呀？是吧，这个看着不舒服啊，你这个 long x， 这个 long x， 你 看着不舒服的时候，有时候会容易出错的，所以我们变量代换，也就是换圆一下，令 t 等于 long x， 这样你看得更清晰啊。好， 那我们就把 x 等于一带到 long x 里面， x 等于一带 long x 里面，那就是 long 一 就等于零了嘛， t 就 等于零，换也要三换啊，当 x 取 e 的 时候呢， long e 也是等于一，所以说啊，这个把上弦换掉了，这就是 f t， 对 吧？ d， 因为我们直接就令的啊，这个 long x 就是 t 嘛，所以 d long x 就是 等于 d t 啊， 三换已经换完了是不是？好，这时候的话，我们瞟一眼题啊，零到一 f t 抵 t， 不 就是一乘以一的一次方吗？是吧，这个你别忘了呀。好，这就等于一乘以一的一次方，不就是一了吗？直接就来到了答案是吧。 好，那还有没有别的想法呢？这个地方啊，就这个地方，这里这样吧，这个地方我们可以写个或前面啊，这不变 好，或者直接从这里这里吧，也就是说我们，哎，也是啊，把它进行错微分，错微分之后变成代换，代换之后，因为我们知道啊，这个大 f 求导就是小 f， 那 么对，小 f 积分的话，那不就是一个大 f 吗？是不是就是大 f t 了呀？ 好，也，假设不看这一块的话，那基本就是大 f t 把零到一代是不是它的原函数不就是大 f 吗？大 f 取完倒不就是小 f 吗？这个点能反应过来啊，我们令的它就是一个大 f 吗？大 f x 是 吧？好，那就是 f 一 对减去一个 f 零 f 一， 大 f 一 就是零到一这个区间上啊，进行积分，好，这个时候呢，还是啊，直接还是得看他是吧。大 f 一 的话就是零到一嘛，一乘以一的一次方好是等于个一减去大 f 零，大零就是好 零，对吧？大 f 零的话就是一个零了吗？肯定就是一个零啊，从这里能看出来，或者从这里看都行啊，就是一个零，一减零等于一也行，就是大 f 与小 f 之间的关系得搞清楚啊，得搞清楚， 变现积分函数是小 f x 元函数后续啊，在无限方程那一块会有一些题目啊，经常考到我们只取一个元函数，就是变现积分函数解决问题。好，这个题讲到这来， 好，我们看这个题啊， a n 呢，是一个积分，这里边看到了根号下，哎，一减 x 方可能要想到什么呀，根设代换，是不是注意这是一个 n 次方啊， 好，求一个极限，那我们主要就是把这个里边先给它化简了，化简完之后再去求极限，对不对？看到根号了，我们说想到根式代换，换圆啊，三角换圆，那么我们就令给写个结吧，令 x 就 等于 a， 就是 一乘以 c n t 吧。 cosine t 也行啊， cosine t 我 们常用的 d x 呢？就是等于 cosine t d t 是 吧？ a n 我 们看一下， 换言要三换啊。第一，换上下限 x 取零的时候， c 多少等于零啊？ c 多少等于零？零啊， x 取一， c 多少等于一啊？二百分之 pi 好， 第一换，第二换 背极函数 x 现在换成 c t n 次方一减去，还有这个 c x 方， cosine x 方开方是 cosine cosine t 啊， cosine t 的 一个绝对值。我们知道啊， cosine t 的 零到二拍是正的，所以要绝对值直接去掉就行了。好，这个 dx dx 就 等于 cosine t dt。 现在是不是就这样的呀？ 这有 c， 这有 cosine， 我 们把 cosine 是 不是可以往 sin 上面进靠拢呀？ sin 先放在这儿，因为 sin 这块它是 n 次方呀，不好搞的，我就搞后边这个 e 减去 sin t 方，不就是 cosine t 方呢，是吧。现在的话可以给它写成两部分吧，第一部分是 sin t 的 n 次方，好的， d t。 第二部分 c n t 的， 这是 n 加二次方了吧， n 加二次方了。好，这样 d t。 哎，这是什么？能想到什么华丽式公式呀？这个我们给它记为 i n 对 不对？后边的话，因为它次方是 n 加二次方， n 次方就 i n， n 加二次方就是 i n 加二。 我们得知道他俩之间的一个关系啊，同学们是需要记下来的。先先把这个华裔式公式公式记下来，这也没问题吧？ n 去 o， n 去 g， 好， 再去记下来 i n 加二与 i n 的 一个关系，只要你记下来他，其他的你都能够写出来了呀。我们看啊， 记的话怎么去记？就是它这个标，角标与它的角标是叉二的，对不对？叉二，然后呢？它前面啊，这个角比较小的啊，这个，这个 i n 啊，它角标比较小的啊，它前面的系数应该是这一个 n 加二放到分母上， 好，那分子呢？就比这个分母小一，是不是很好记吧？ i n 加二等于多少的？多少倍的 i n 呢？就是把它的角标放到这儿上面呢，来减一个一就行了， n 加二减一就 n 加一嘛，为什么是这样的呢？ 为什么？我们去看一下啊，你就知道了，这个 n 不 管取基数还是偶数都有这样的一个关系啊。我们看假设，我们举个例子， n 取二的话，我们现在讨论一下， n 取二，这是 i 二，前面就是 i 四，你看他的他们两个啊，他的关系是不是要补充的是一个四分之三呢？ 按照我们记的，这是四，这是三，是不是呢？是的啊，我们看 i 四的话写到这里啊， i 四就是这里取四啊，取四的话，它的一个结果就是四三二一二分之拍，对呗，它结果就是四三二一二分之拍。 i 二呢，你看 i 二的话，不就是二分之一乘以二分之拍吗？ 你看他们两个是不是就差了这一个系数啊？对，这个是一吗？他前面多了四分之三，所以 i 四就等于四分之三倍的 i 二， 对吧？同理啊，同理，你 n 取基数也是一样的，你取一个三吧，取三，我们去看一下 i 五与 i 三它们的关系，是不是像我们记的，把五放到这，这写一个四，是不是呢？好，同样啊， i 五是等于谁， i 三是等于谁？ i 五的话，好，就是五四三二一啊，对不对？ 五四三二一， i 三呢？ i 三不就是三二一吗？三二一系数 差的是不是就这个系数啊？ i 五跟 i 三的一个关系就是 i 三前面乘以这个系数，对不对？所以说不管 n 取基数还是取偶数，记住这样的一个啊， 递推关系式就行了，你只需要记住它，那剩下的啊，比如说我们去求一下啊，这个 i n 与 i n 加二的一个关系是不是一样的呀？只要它跟它差， 脚标叉的是二，脚标叉的是二，都是这样的一个递推关系式，记住它，所有的都记住了，对吧？好，等于多少倍的呢？哎，一样的，是吧，把这一个 n 往这一放好，这上面就是一个 n 减一， 你记住这个规律，剩下的都会写了。对，我同样，我这里给它换成 i n 减一，那么它与 i n 减三的关系是不是也能写出来了？好，这个题啊，要用到这个了，只要你记住它，这个自然就自己就可以推出来了，是吧？要用到它， 好，那我们现在啊，把这个 i n 加二，是不是就可以这两个都用到了啊？两个都用到了，我们给他化简一下。 为什么要化简？哎，问的好，我看有些人问到了，是吧？你不化简的话，我们现在要把它俩除完之后还要化简呢，你现在 i n 都没有化简完，是不是？好，我们就化简啊，把这个 i n 加二就给他化简为，哎，跟 i n 相关的是不是？哎，我们公式会了吧，也就是一个 n， 然后一个 n 减一， 哎，对不对？这 i n 加二啊？ sorry， sorry， 搞错了啊，你看，不能错， i n 加二，你把 n 加二往这一放，这就是一个 n 加一，好，给它换成 i n， 这是不是可以整理一下？都有 i n， 我 就把 i n 提到后边，那就是一减去一个 n 加一，除一个 n 加二，是吧？那这是什么呢？ n 加二减 n 减一减一， n 跟 n 没有了，二减一就是一个一，所以就是一除一个 n 加二好， i n， 我们把 a n， 哎，就化简为 n 加二分之 i n 了。现在还要把 a n 减二，哎，也写一下，然后让他俩除一下，这应该会写了吧，比如画瓢呀，把这里的 n 给它换成 n 减二就行了。所有的 n 都换成 n 减二啊，别有的换，有的没换啊，全部换成 n 减二， 换成 n 减二，看下是谁了，是不是就是 n 分 之 i n 减二啊？我们想要的是 a n 比上一个 a n 减二 好，如果你啥也不干的话，就是它比上一个它，你这个 i n 是 消不掉的，对不对？你 i n 消不掉的话，你怎么去接下来去求这个极限呢？我们肯定不想要这个带 i 的 东西，对不对？ 不想要它的话，那 i n 与 i n 减二是有什么关系啊？哎，不就是，还是这个递推关系是吗？ i n 与 i n 减二什么的关系，我们都往这个 i n 减二上进行靠拢不就行了，对不对？ 哎，就多来一步而已啊。往 i n 减二上进行靠拢啊，都出现 i n 减二不就消掉了吗？或者都出现 i n 都不就消掉了？那 i n 减二小一点，往这上面靠拢，好，写一点嘛。对， i n i n 的 话，现在就等于啊，就这个地方，现在就可以写成 n 分 值说，把 n 往底下一写，上面是比它小一，然后这个角标呢，给它写成 n 减二。对，就是这里来。 好，现在就写完了呀，写完了。好，我们就往这上面去带了 a n 现在是不是就是 n 减一，除一个 n 乘一个 n 加二， i n 加二呀？就是这个，我现在抄过来了，对不对？抄的对吧？对，好，现在把 a n 减二也抄过来， 是不是都有 i n 减二了呀？哎，我就可以把它消掉了，这个 n 分 之一上去之后就把这个 n 消掉了。对，消掉之后，现在剩的就是 n 减一，除以 n 加二了。好，现在终于把这一块搞定了。搞定完求极限就比较简单了啊。好，所以这个极限的话就可以求了， 就是 n 减一，除一个 n 加二的 n 次方。求极限 n 去无穷。判定一下类型。求极限吗？ n 去无穷的就是一了，是吧？极限是一，一的无穷大次方。我们知道哎，三步走是吧？第一步改写标准型， 标准型就是一加上谁，一加上谁呢？本来是啊，是他你多加一个一，要减个一嘛，你就减 n 减二嘛。 n 跟 n 没有了啊，所以是一个负三， 这就是标准型啊。好，他的一个结果的话，是不是等于 e 的 a 次方呀？这第一步来标准型，第二步呢？求这个极限 a， 第三步写答案，极限 a 是 谁跟谁的极限？是，是他跟他相乘的极限啊，他跟他相乘的话就是负三， n 出一个 n 加二，当 n 趋于无穷的时候，抓大就行了， n 加二就看成 n 就 行了，二不要了，对吧？好，就是一个负三吗？这个极限抓大， a 就是 一个负三了啊， a 就是 一个负三，就是 e 的 负三四方。这个不用再说了吧，前面求极限也做过多次了啊， e 的 负三四方就行了，这个擦掉了啊， 好，这题就是熟练的去应用一下滑理式公式，知道递推关系式，知道原理之后把它记下来。怎么去记？已经说过了是吧？还有有同学呢，说我不用这个三角换元，不用三角换元的话，你用什么啊？可能想到了凑微分分布积分， 你凑的时候，你如果啊没有好好地观察的话，你会发现直接把 x n 凑到后面你是解不出来的。你想凑的话，那么就得是把 x n 给它换成 x 乘以 x n 减一把 x 跟抵 x 去凑一下，这是第一次凑， 哎，凑完之后啊，凑完之后之后，这里边有一个一减 x 的 平方开方，这个啊，又有一减 x 平方了，这个凑完之后会有一个一减 x 平方往外补，再把系数一补的话，好再一次凑为分，把它看成一个整体。对，又凑一次啊， 凑完之后就分布积分，这个过程啊就容易出错，所以不建议，不建议凑为分分布积分。看到根号了直接，哎，三角换元 跟十代画三角画圆就行了，因为这是 n 次方嘛，你错位分容易出错的，你可以看一下，想了解的话你可以看一下，就这样做，哎，就是比较推荐的一个方法了啊，好，这个题就讲到这了。

好，我们看二点一，求的是 a 的 平方减 b 的 平方，以及 a 减 b 乘以 a 加 b， 它的意思就是你不能给我选的相等的呀，这两个相等了，是不是你不能选这种相等的？ 为什么？通常情况下啊，它们两个是不相等的，我们看后面这一块啊，它乘完以后是 a 的 平方加上 a， b 减去 b， a 减去 b 的 平方，是不是你要想跟这个相等，那么你这个 a b 就 得等于 b a， 是 不是如果你跟它相等的话啊， a b 得等于 b a， 那 么一般情况下啊，咱们说的是一般情况下啊，它们两个是不相等的。 哎，除非是单位矩阵吗？是不是你一个 a 矩阵乘个单位矩阵，那当然等于单位矩阵乘个 a 矩阵呀？好，这就属于特殊情况啊，一般情况下，他们两个是不相等的，所以你不能选 a 相等的。这种是不是他主要想告诉你这个意思啊， 我们先算 a 的 平方减 b 的 平方，负一负二。 好， b 矩阵幺幺负三负二，两个 b 矩阵啊，都是一样的啊。 好，矩阵相乘，那是得必须得会啊，不会的话星星代数没法学了啊，是不是？好，我们看第一个元素啊，第一行跟第一列对应相乘再相加，是不是三三得九九减去四，这是一个五。第二个元素第一行和第二列 三四十二十二减去八，是吧？是一个四。好，第二行第一列是负三， 加上一个二，所以是负一。最后一元素，第二行第二列啊，相乘再相加，负四加上四，那就是一个零了。好，看，这个，这边 第一行跟第一列那就是相乘，再相加一减去三是负二。好，第一行第二列一减去二，那就是负一， 第二行第一列负三加上六，那就是三呀。好，第二行第二列是负三加四，是不是是一个一？ 好，那相减的话就是元素对应相减就可以了。五减去负二是七，四减去负一是个五负一减三负四，零减一负一，是吧？好，接下来我们看 a 减 b 乘以 a 加 b， a 减 b 的 话，我们直接看了啊， a 减去 b， 把元素对应的相减就可以了。三减去一，四减去一负一减去负三， 负二减去负二是他吧。好，接下来 a 加上 b， 好， 加了啊，元素对应相加即可，四五负四负四没问题吧？好，我们再去给他乘一下， 第一行跟第一列相乘又相加啊，相乘后再相加，二四得八，八减去十二是负四。好，第一行第二列 二五一十十减去十二负二。好，第二行第一点，那么二四得八，是吧？ 第二行第二列二五一十，是不是是他吧，我们看一下选项啊，那就是 c 选项呀，负四是不是 c 选项啊？ 好，那这期就没有什么难度，你就把这个乘法这块啊得得给他会成就行了呀。好，这个题目就讲到这里了。 好，我们看一下，二点二， f x 等于它， a 矩阵是一个二阶的好定义， fa 等于它。哎，这不就是考察的矩阵相乘又加减的问题，是不是？哎，我们去写一下 fa， f a 它等于 a 的 平方减去五 a 加上三 e 呀， a 的 平方，那就是矩阵的相乘， 这是二阶的容易，是吧？减去五 a 五 a 的 话，就去把 a 乘一个五就可以了，五乘进来，五乘进来。 好，再加上三倍的单位矩阵。好，我们知道单位矩阵是这个样子，是吧？三倍的话，把这个一给他改成三就可以了呀。三三是不是 第一部分矩阵相乘好，第一行第一列二得四，四加三七。 第一行第二列是负二减去三负五。好，第二行第一列负六减去九负十五，第二行第二列三加上九十二，好，减去。这一段 我们先先写这，然后再去运算啊，这加减就没有什么难度了呀，你去加去减就可以了啊。我们看第一个元素啊， 七减去十负三加上一个三零，好，负五， 嗯，减去一个负五，那就是零了，再加个零，他还是零。负十五减去一个负十五，零了，你再加个零也是零。好，十二减去十五，负三加三零呀，是不是？ 这不就四个零吗？选 c 是 吧，都选 c。 好， 这个题目就讲到这里了。 好，我们看二点三设 n 阶矩阵是方阵啊， abc 满足关系式，它们三个相乘是等于单位矩阵的，是吧？则必有。你看这个 a、 b、 c、 d 还是三个矩阵相乘的一个问题，等于单位矩阵，那么同学们要知道矩阵相乘 满足的一些什么率，是吧？哎，满足，哎，这个结合率 也满足分配率，分配率这个题目没有体现，你比如说 a 乘以 b 加 c， 你 可以写为 ab 加 ac 啊。好，它是没有啊，没有这一个交换率的 矩阵相乘啊，没有，没有交换率，也就说 a 跟 b 相乘不一定是等于 b 跟 a 相乘的， 你看这个 a 选项，它就错了啊。第一个 abc 相乘等于 e， 你 这个 a 是 还在这啊，它这是 b 乘以 c， 是 吧？它是 c 乘以 b， 它的意思就是 b 跟 c 相乘就等于 c 乘以 b 不 一定啊，是不是它不满足这个交换率的啊？好，所以这个 a 肯定是错的啊， 接下来的这个选项，如果我们还是按照这个啊，考察这个交换率啊，这个结合率的话，好像选不出来答案了是不是？你看啊，这个是三个，是顺序是 abc， 那 这个呢？它交换好几次对不对？你看 c 的 话啊，它挪到第一个位置了，这个， 呃， b 跟 a， 哎，这个是 n 跟 b 啊，挪到后边，然后 a 跟 b 又调换了，变成 b 跟 a， 这怎么怎么去看呢？是不是接下来？ 好，那我们还能想到什么呀？哎，矩阵相乘等于单位矩阵，你要想到可逆矩阵的定义，是不是一个矩阵跟那个矩阵相乘等于单位矩阵，它俩是不是互逆的呀？对不对？ a 的 逆矩阵就是等于 b 矩阵， 哎，前提是可逆啊， b 的 逆矩阵是不是就等于 a 矩阵呀？它俩是互逆的啊，相乘等于一个单位矩阵的话，它是三个相乘也没关系啊，你我们说了啊，相乘是具有这个结合率的，我们可以把两个放到一起，或者你俩放到一起都是 ok 的， 是不是？ 但是我把你俩放到一起，看成一个矩阵啊，这就是两个矩阵相乘了，它是也是两个矩阵，就是互逆，对吧？那既然互逆的话，好，我调个个也是 ok 的 呀，是不是 c 乘以这个啊？ a 跟 b 是 不是也就等于单位矩阵对不对？ a 跟 b 相乘等于单位矩阵，这不就是相当于 b 跟 a 相乘也是单位矩阵吗？ 你们是互逆的一个关系是吧？这个时候啊，就是可以交换了啊，你不要不要给搞混了啊，单独的 a 乘以 b 是 不一定等于 b 乘以 a 的， 但是现在的话是两个矩阵相乘等于单位矩阵，你俩是互逆的一个关系，这个时候就可以调换，你俩调换之后还是等于单位矩阵的好，搞清楚啊。 好，这就相当于 a 跟 b 相乘，就等于 b 跟 a 相乘，就等于 b 跟 a 相乘，等于单位矩阵，你俩互逆，是不是有这样的答案？没有呢？ c 乘以 ab， 这 c 乘以 b， a 不 行，是吧？ 那我们看一下 c 跟 d， c 跟 d 的 话是 b 在 前方，好，那我们就往这个答案上进行靠拢，对不对？进行靠拢的话，好，那我们现在不让它俩去结合了，可以这样去结合吧， c 跟 a 结合到一起，把 b 放到一起， 没问题吧？嗯，矩阵相乘有结合率的呀。好，你俩相乘等于单位一矩阵，就你俩就可以调个了，是吧？ b 放到前面，好， c， a 放到后面了，等于单位一矩阵是吧？把 b 放到前面就有答案了呀。你看， b， c， a， b， c， a， 那 就选它就行了，它就不对， 是不是选 d？ 当然了，一开始的时候你也可以把 bc 放到一起，你看是一样的啊，结合率啊，把它俩放到一起等于单位矩阵，那么它们调个啊，调个个 bc 放到一起， a 放到这里，好，等于单位矩阵，对不对？好，同样啊，这个时候我我让它单独放到一起， 好，把它放到一起，同样 c， a 调个跟，这个 b 调个，是不是等于 e 啊？其实这个时候就已经答又答案了啊，这是 c a b， 哎，等于等于 e， 哎，这边跟这边是一样的，是不是？哎，就是这几个答案，你去上 a、 b、 c 里面去挑一挑，能挑出来啊。 好，这个题就讲到这了，设 a 是 三阶矩阵，将 a 的 第二行加到第一行得 b， 再将 b 的 第一列的负一倍加到第二列，得到 c。 好， p 是 这样的一个矩阵啊，出等矩阵 c 等于谁呢？哦，那这个题在考研里面出过多次了，不能说这一个这一类的啊，出过多次了，一定要会啊，他对应的一个知识点就是出等矩阵这一块啊，出等矩阵这几个知识点 好，他有三类是不是哎，有被乘出等矩阵，还有第三类的叫被加出等矩阵，就这三类吗？啊，掌握一下。还有这个 就是我们这三类变换后的一个逆矩阵，要知道是谁，是不是要知道是谁啊，这题都都会用到， 那么最根本的要知道就是在矩阵矩阵 a 的 一个左边，哎，就是左乘出等矩阵是相当于进行行变换，右乘出等矩阵相当于列变换，这个要清楚啊， 那么我们写一下看一下啊，这是行还是列变换呢？你得会写这个啊，你看 b 怎么来的呀？ b 是 a 进行出等行变换过来的，所以要左乘一个矩阵，是不是左乘出等矩阵， 那你 c 又怎么来的呢？ c 呢，是将 b 进行一个列的一个变换得来的，是吧？那列变换那就是在右边乘一个出等矩阵呀。 好，我们看一下 p 一 是谁，哎，你这个初等矩阵怎么变来，怎么怎么怎么过来的是吧，你是怎么来的？这里面写的有啊， 好，也就是单位矩阵进行这样的一个变换，第二行加到第一行了，那么这就变成一个一了，是吧？第二行加到第一行了呀，这就是一了，这些都是零呀， 所以 p 一 就是他呀。哎，你要知道啊，我们这个 p 一 是出等矩阵，在他在 a 的 左边乘一个出等矩阵，就相当于对这个 a 矩阵进行这样的一个变换，懂不？就进行第二行加到第一行的一个变换啊，大家都清楚啊，学过基础知识，学过基础知识的话，那么 p 二这个出等矩阵是啥呢？把单位矩阵先写出来。 好，它是第一列的负一倍加到第二列。好，它的负一倍加到第二列，那么就是这个变成负一了，其他的没啥变的呀，是吧？好，那么再看一下， 嗯， c 等于谁？人家问的就是 c 呀， c 等于 b 乘以 p 二。好， b 我 们现在可以给它换一下，换成 p 一 乘以 a， 然后，哎，这个 p 二往这里再一抄，那现在就是 p 一 跟 p 二的关系了，对不对？我们看这里啊，这里就用到这这个了。我们这个题 考的出等矩阵，是不是这个被加出等矩阵呀？是不是第几行的第几几倍加到第几行，第几行第几列的几倍加到第几列呀？所以啊，它的一个逆的话，你看 p 一 的一个逆的话，它等于谁呀？ 注意啊，这个是负 k， 我 们负 k， 就 把这个位置给他换成一，他不相当于 k 了吗？给他换成负 k 啊，那就是负一了呀，是不是？哎，然后我们对比一下，这不就是 p 二吗？你这不就是 p 二吗？是不是？ 所以我们可以给它写成 p 一 乘以 a。 p 二是谁呀？就是 p 一 的腻，而 p 一 就是我们体上的这个 p 啊，是不是？所以那就是等于 p a p 的 腻，选谁呀？选 b 选项呀，是不是 好这一块知识点啊，大家要非常熟练，包括这种情况和这种情况的啊。好，这个题目就讲到这里了， 设三阶矩阵 a， 这个矩阵啊，类型我们是见过的啊，行和列和相等， b 是 不等于零的， a 的 伴随矩阵的质是等于一，那么 ab 应该满足的关系是什么？他出选择题啊，其实就是 比较简单了，如果出填空题，有同学可能会填错哟，好，伴随矩阵出现的话，考质相关的立刻想到这样的一个公式，是不是？好，我们看 这个题呢，伴随矩阵，它的质是等于一，这是三阶的矩阵，也就是 n 取三， n 取三，你是取一的，所以 a 的 一个矩阵是不是就等于二了呀？三减一是等于二的 好，我们就知道 a 矩阵它的质是等于二， a 你 是三阶的，你质是等于二，所以这个行列是你得等于零吧，是不是？ 好，我们就根据这个去计算了啊，行列式给它算出来，我们说了啊，这是行和列和相等的一个矩阵，我们把第二行、第三行全部加到第一行， 那么就是 a 加上二 b， a 加上二 b， 这样去提供因式，是不是我们的目的很明显呀，这些都不变， 把共音式给它提出来啊，直接提出来了 a 加上二 b， 把这些全部变成一，好，这样再去化简是比较容易的了啊， a 加上二 b， 好， 以第一行为基础去化简。 第一行的负 b 倍加到第二行，是吧？所以是 a 减 b， 这又是一个零了。第一行的负 b 倍加到第三行，好，这就是零了， 两个零，这是 a 减去一个 b， 是 不是？好，这不是一个上三角吗？那就直接可以写结果了， a 减 b 括号的平方。好，现在这个行列式，它的值得等于零，我们可以解出来， a 等于负的二 b 或者 a 等于 b。 做到这一定要注意去验证啊，去验证，这这两个可能会有一个不符合啊，一般情况下都是有一个不符合的啊，大家知道这个，呃，做题的一个套路技巧啊。 好，那假如说我们验证 a 等于 b 好， a 等于 b 的 时候，这个很明显啊，这就等于一了，是不是看行列是全部都是 b 啊，你全部都是 b 的 话，我这两行肯定可以化成零，对不对？ 这，这懂吧，也就是我们这这些全部都是 b 的 话，你的负一倍，第一行的负一倍加到第二行，这不是，这又是零了吗？第三行同样可以换成零啊。所以啊，这个质的话，他就是一个一了呀，你把 b 再提出来，这很明显啊，质是一 好，你这个时候 a 的 制是一，不可以啊，我们说了啊，在前面已经知道了，制是二，你不满足提议了。所以啊，这个 a 等于 b 要舍掉， 舍去，你舍去这一个，那你指定就只有这种情况了呀， a 等于负的二， b 好， 是不是选它呀？好，一定要注意验证啊。那这个题目就讲到这里了， 设 a 矩阵是四行三列的 b 矩阵，三行四列的非零矩阵， a 乘以 b 呢，是零矩阵，其中 a 是 这个样子的。好，当 t 等于六和不等于六时，这个 b 矩阵的一个质的一个问题。 好，那做这个题之前，我们先回忆一下，这一块有两个结论，大家要记住啊，对应的就这两个结论，都要记住啊，经常考的 两个矩阵相乘等于零矩阵的话，两个结论，第一个 a 矩阵的值加 b 矩阵的值要小于等于这个数，知道不？这个数好，然后是 b 的 每一个列向量啊， 都是 a x 等于零这个方程方程组的一个解向量。好，这个在后面也会见到这样的题啊，好，我们去写一下。 那么看这个题啊， a 它是四乘以三，是不是 b 三乘以四？好，它是等于零吧，我们去利用这个结论了啊，那 a 矩阵的值加上 b 矩阵的值要小于等于这个位置的数啊，一定要注意好，是三小于等于三， 那么 b 注意啊， b 是 非零矩阵， b 是 非零矩阵，也就是 b 的 一个质，他得大于等于一啊，请问他大于等于一了，他们两个加到一起是小于等于三的，所以这个 a 小于等于二，你最多就是等于二了，是不是？好，接下来呢，我们去把这个 a 矩阵给他简化一下，一二 t 抄下来啊， 给他画成啊，最简阶梯形的矩阵，看一下他的一个质呀，是不是？好，我们第一行就不变了啊，以他为基础呢。那么第一行的负三倍加到第二行，好，这是一个零，那这就是 t 减六，这是十八减三， t 第一行的负二倍加到第三行，好，这是零，这就是零，是吧？负二倍吗？好，这也是零，那么第一行的负一倍 加到最后一行负一倍，这就是零了，那是负二，那就是六减去 t 负 t， 这就是三， t 减去十八。好，你看啊，这一行跟这一行是互为相反数的，是吧？那他的话加到这一行，那么就把这一行就变成零了， 也就是说啊，他们两个是成比例的，这一行肯定能换成零啊，给他换成零。好，这样我们看 a， a 举着那个质的话，也就是可能是一，可能是二，就看这个 t 减六等于谁了。 t 减六等于零的时候，好，你这是零，那 t 是 等于六呀， 你这个也是零了，是不是？所以你这个时候质是等于一。好，你质等于一， 我们看这里，好，你现在质是一了，那么我们可以推出来 b 的 一个质，它就是小于等于二了，是不是？哎，这种情况下，我们能够得出来 b 矩阵的一个质是小于等于二的呀，你小于等于二，你不能说是等于二，也不能说是等于一吧，是不是这情况都可以啊？小于等于二，然后再再再写一下啊，大于等于一， 所以你可能是一，可能是二，你不能说 b 啊，是吧？好，那么第二种情况， t 减六不等于零的时候， 那 t 这个时候是不等于六？很明显，这个时候 a 的 一个矩阵的一个质，它就是等于二了，是吧？哎，这个时候等于二了， 那 a 等于二。看，继续看我们最最初的这个啊，你是等于二的，你加上一个 b 的 质是小于等于三，可以推出来这个 b， 他的一个质得是小于等于一吧。 好，你还要满足大于等于一，你又让我小于等于一，又让我大于等于一，所以这种情况下， b 矩阵的质只能是一，是不是？所以不等于六的时候，是 b 为一， 那就选 a 选项了呀，是不是就讨论一下就行了？最基础的是这一块的一个知识得掌握啊，我们把这一块再划一下， 这个啊，得给他记住，必须得记住啊。好，这个题目就讲到这里了，这题很经典啊，这个题很经典，要注意了啊，质为一的这个矩阵是不是，你看啊，它都是成比例的啊，横是成比例，列是成比例，质就是为一的矩阵， 那么这个矩阵它的一个 n 次方，形成新的一个矩阵，它是有公式的啊，这个 a 矩阵，它的一个 g。 哎，我们是这样表示的啊，大家后面会学到。有同学还没学到啊，跟大家说一下， a 幺幺加 a， 二二加 a， 三三对角线的元素相加，就是这个 g。 好， 我们把这个 g 写到这里，他是有公式的啊，记得 n 减一次方，然后乘以 a 矩阵，这就是他最终的一个结果啊，大家可以去记一下， 同学们只要学过这一块的，应该都已经记下来了，是不是好结果就可以直接写出来啊，当然我们会再推推算一下啊。好，他的记的话，你看负四负三，还有一个一，是吧，这就是一个负六啊。 好， n 减一次方，然后 a 矩阵给它抄下来，这结论也很好记，推导也很好推导大家再复习一遍这一块的知识啊，给大家再推导一下，至为一的矩阵， 矩阵它是可以写成哎，向量相乘的形式呀。我们看啊， a 矩阵不是这个样子吗？ 负二负四，二三六负三，好，给他写成一个向量看一下啊，我们就以这个这一列为主吧，一负二三，一个列向量啊，乘一个 向量的一个转制，我们说向量，一般都是说列向量吗？啊，所以再乘一个列向量的转制就是行向量了啊，好，因为它乘比例啊，我们就看一二负一就可以了，你看它乘以它，是不是它这一列这一行好 置为一的矩阵啊？它都是乘比例的，你看这一行是不是它的一个负二倍啊，这一行是它的一个三倍， 好，那么就可以写成阿尔法这个向量乘以 beta 向量的转置，那么 beta 向量呢？就是这个样子的啊，幺二负一，我们说向量，一般是列向量啊，转置之后就是一个行向量了， 是不是？好，那你 a 的 一个 n 次方的话，就可以写成 a 乘以 a， 乘以 a 乘以 a， 一 直乘乘有 n 个 a， 是 不是这有 n 个 a 相乘呀？ 好，那么我们知道阿尔法乘以 bet 的 一个转制是一个矩阵， 那 beta 的 一个转至乘以阿尔法呢？这就是向量的内积了呀，我们看啊， beta 的 转至是一二负一，是不是乘以阿尔法向量？ 好，一负二三，这是向量，内积，算出来就是一个数呀，是不是？ 一乘以一，减去二，乘以二，然后减去三，这不就是一个负六吗？是吧？一减去 四，减去三，这就是一个负六啊，就是内积，这个内积刚好就是我们这个矩阵 a 的 一个 g， 是 吧？对，角线元素啊，这个地方。 好，那你看啊，我们这个时候把 a 矩阵就可以给它写成阿尔法乘以柏特的转制，阿尔法柏特的一个转制，阿尔法柏特的转制，得得得得， r 法， bet 的 转置，你看中间啊，这些是可以结合到一起的啊，不要去觉得不可以啊，这都是可以结合到一起的。 bet 的 转置，乘以 r 法，就是我们说的啊，向量内积，好，这样一直结合，哎，一直结合到这个样子，是吧？它有 n 减一个 这个 g 啊，你看他跟他乘，不就是我们说的这个 g 吗？就是最终是负六呀。还有多少个呀？是 n 减一个呀，所以就是负六的 n 减一次方，最终还剩他跟他相乘。他跟他相乘就是我们的 a 矩阵，是不是 负六的一个 n 减一次方，然后 a 矩阵就可以了。哎，这是可以结合的，这这些 结合的结果就是啊，向量内积啊，好，这类型的，你直接把这个结果记下来就行了，对不对？这有规律的记下来就可以了。好，那这个题目就讲到这里呢。