北京师范五年级下册数学14页的教程

方形的。好，再来看一看它们的大小关系，哪位同学愿意说说汇报你看到的它的大小关系？来，来说一句，由四条能组成。 嗯，个面。好的，你观察到了，这是他们的大小关系。还有没有不一样的呢？你来说容易，他们的大小关系是相对的面完全相同。有，他说了一个重点的字，怎么样？相同，完全相同。好，他观察到了 左右上下前后相对的什么面完全相 同。这位同学说了很重要的两个字，完全相同。很多同学就觉得面积相同就已经可以了，为什么要完全相同呢？唐老师为大家带来了一样东西， 两个长方形。这个长方形的长是十而宽是九，这个长方形长是十，五而宽是六。他们的面积相同，但是能不能够作为长方体相对的两个面呢？为什么？谁愿意说？有请思雨李来，因为他们 两个面的大小不一样。嗯，还有没有补充的，谢谢。有请李洪汉你说。 好的，谢谢。结合两位同学的说法，那就可以了，表明只是面积相同的两个平，两个长方形不能够作为相对的两个面对吗？好，这就理解了，长方体相对的面完全相同。来，没写好的同学，请你补充上去。 好了，现在我请大家一起来观察一下我们的眼线。 这是将才这位同学数的左面和右面，上面和下面，下面也叫做底面，这是前面和后面它们相对的关系。你看，这是上下面的关系， 这是左右面的关系，这是前后面的关系。归纳起来，相对的面是什么呀？ 完全相同的。好，接下来我们一起来研究有关棱的一些知识，谁愿意说一说？你观察到长方体它究竟有多少条棱呢？有，请你来说。井月， 我观察到有十二条龙，为大家数一数看，一二三四，五六七八九，十，十一，十二。看得出这位同学是从上 往下数的，数完长方形的上面，然后竖着数他的四条龙，然后再数他底面的龙，可以吗？除了这种说法，还有没有跟他不一样的说法呢？也能数到十二条龙的呢？董姐，你来， 一二三四五六七八九十，十一，十二。你是按什么顺序来数的呢？相对的 顺序。好的，他把他说相对的棱，把它数在一起。相对的棱有什么特点？长度相等，长度相等，也就是我们把长度相等的把它归为一类，这样去数对吗？好的，这是这位同学所属的。把它归为一类，这样去数对吗？好的，这是这位同学所属的。把它归为一类，这样去数对吗？好的，这是这位同学所属的。把它归为一类，这样去数对吗？好的，这是这位同学所属的。一共有什么十二 条，那他们都是什么形状的呢？都是线段。一起说这个，以前旧知识来了，都是线段来的好，大小关系，他又有什么大小关系呢？刚才有些同学已经说出来了，哎，我请雪儿，请你说相对的能。

同学们好，家长好，我是教了三十年五六年级的数学老师，今天我们来继续讲解北师大版五年级下册一、分母分作加减法，课本同步，现在正确做这种题，一共分四步，第一步，先同分，把分母变成一样的。第二步，再加减，只把分子向下减。 第三步，看结果，能有个分的一定要有个分。第四步，画成最佳分数。我们这节课主要是把这四步学会，我们就真正的会了。 来，我们来举个例子，比如六分之一加三分之一这一题， 先通分，把分母变成一样的，因为六是三的倍数，所以他们的最小公倍数就是六，那这个六分之一就不需要改变，加上，只需把三分之一的分母化成分母是六的分数三要乘以二等于六，所以分子一也要乘以二， 这是三分之一就变成了六分之二。这道题就变成六分之一加六分之二。第二步，再加减，再加，减的时候分母不变，只把分子向加减。一加二等于三 等于六分之三。第三步，看结果，能约分的一定要约分，六分之三不是最减分数，因为六是三的倍数，所以他们都有公式三 用分子，三除以三等于一，六除以三等于二。这题最终结果就是等于二分之一。二分之一看它是不是最减分数，不是约成了最减分数。第四步，要把它化成最减分数。 这几个，这些掌握住，我们就学会了，这是基础题，考试必考，同学们一定要注意， 要记住哈，一定要注意，要记住，要记住哪些呢？结果能有分 一定要约成，最简，一定要记住。每天跟着老师学一点，数学越来越轻松。

大家好，今天我们来学习北师大版五年级下册数学第一单元分数加减法的第二课时星期日的安排。这一节的主要内容是分数加减混合运算的运算顺序和计算方法。 看这里淘气和笑笑分别调查了本班男女生星期日的活动安排。 看表格，参加户外活动的男生数量占男生总数的七分之二，参加少年宫的男生数量占男生总数的七分之三。那么留在家中的男生占男生总数的几分之几呢？ 首先要把全班男生看作整体，一，依次减去参加户外活动的男生比例，再减去少年宫的男生比例，就可以得到留在家中的男生比例。 可列式为，一，减去七分之二，减去七分之三。像这样的式子要从左到右依次计算，也就是先算一减去七分之二， 再算七分之五，减七分之三，最后可得知是七分之二。 同样也可以先算出参加户外活动的男生比列和去少年宫的男生比列之合，再用一去减， 可列式为，一，减七分之二加七分之三的和。像这样的情况，就要先算括号里，再算括号外。因此，分数加减混合运算的运算顺序与整数是一样的， 没有括号的按从左到右的顺序依次计算，有括号的要先算括号里的，再算括号外的。 那么向分数加减混合运算有没有减变方法呢？ 咱们看这里。九分之四加四分之一加九分之五可以从左到右依次计算，也可以通过加法的交换率和结合率来计算。 先把四分之一和九分之四的位置交换，然后把分母相同的九分之四和九分之五再结合， 这样会更简变。因此咱们整数加法的交换率、结合率对分数加法同样适用。

大家好，今天我们来学习北师大版五年级下册数学第二单元长方体的第一课时长方体的认识。这一节的主要内容是了解长方体和正方体的各部分名称，以及它们的特征关系、冷场总和的计算方法。 看这个小盒子，这是一个长方体上摸上去平平的部分，我们称之为面， 也就是围成长方形的平面图形称之为长方体的面。两个面相交的这个边我们称之为棱，三条 棱相交的点称之为顶点相交，与同一顶点的这三条棱分别称之为长方体的长宽高。 从这个长方体可以看出，它有六个面，八个顶点，十二条棱，并且相对的四条棱长度相等，比如 这条棱和这条棱是相对的，还有和这边的两条也是相对的，所以这四条棱是相等的。 那么通常长方体的六个面都是长方形，但是特殊情况下，有两个相对的面是正方形， 并且它相对的面是完全相同的。那么一个长方体， 他的棱长总和怎样来计算呢？可以看出，跟长一样的棱有四条，跟宽一样的棱也有四条，跟高一样的棱还是四条。所以 咱们可以列式为长乘四、加宽乘四、加高乘四，可以简写为长加宽、加高的和再乘四。

老师好，同学们好，请坐。谢谢，老师好。昨天呢，我们学习了长方体和正方体的特点，那么大家看，这是一个长方体的盒子，谁来说一说它有几个顶点， 几个面，几条棱？好。马月，你说一下，他有八个顶点，十二条棱，六个面，嗯，非常好。 再请一个同学啊。孔子学，你说一下，他有八个顶点，六个面，十二条棱，嗯，很好。那么他的面都有什么关系呢？他的棱 又有什么特点？谁来说？严鑫，你说一下他们相对的面，两个面相等，相对的两个面，也就是前面、后面，他们的什么相等？面积相等，面积相等还有什么呀？ 上面和下面，左面和右面，他们的面积相等。那么十二条棱又有什么特点呢？嗯，那个相对的两条面的那个棱是一样长的， 相对的几条龙。也就说我们把十二条龙可以分成几组，分成几组啊？ 你再说，分成三组之后，每一组的龙长是一样的啊。分成三组，每一组有几条龙？四条龙，它们是一样的，也就是说这是长方形的。什么呀？ 什么呀？大声说，长，也就说他的四个长怎么样？相等，这是 正方体的四个。什么呀？宽，这四个宽也相等，这是他的高，四个高也相等。很好，请坐。 那么我们又学习了正方体，那么他有几个顶点，几个面，几条棱呢？ 再说一说他们的面和棱的特点。好，赵建龙，你说一下他，他有六个面，六个面，嗯，八个，八个顶点，八个顶点，十二条龙长，嗯，那么他们的面有什么关系？ 嗯，他们的面是相，那个每个面都相等，每个面的面积都怎么样？相等。还有呢？十二条棱呢？ 十二条棱是相，嗯，那个相对的两个，嗯，相对的那个棱长相等，相对的棱长相等吗？别的都不相等吗？啊， 好，秦坤，你说一下他们的棱长的关系，是所有的棱长都相等。哦，这十二条棱都怎么样 相等？哎呀，看来赵建龙还是不太熟悉啊，下去要复习呢，好，坐下。那么正方体他的六个面都怎么样相等，他的十二条棱也都相等。好，这是我们昨天学习的内容。好，那么昨天呢，老师给大家布置了一个任务， 什么任务呢？我们把正方体的盒子 沿着一条棱怎么样剪开，剪开以后呢，让至少有一条边相连。好，现在同学们，把你的作品拿出来，举起来， 我们互相展示一下。哎，都不太一样。李咏萍的是这样子的 啊，刘诗兴的是是这样的，是不是有的同学剪错了， 那么到底是不是呢？我们来现在呢，同桌互相交换，我们来折叠验证一下，看能不能折叠出来一个正方体。好了，交换 好，折叠好的同学举起来哦，全都折叠出来一个正方体，那说明大家剪错了。没有，没有哦，没有剪错，那说明这个正方体沿着棱剪开以后，它的展开是 各种各样的，是不是？是，好，那么下面我们把我们的作品放下，放在桌子上放好，好了，做好了，说明这个展开与折叠是有一定关系的。今天呢，我们就来学习 正方体长方体的展开与折叠。 好，这呢就是李永平的正方体展开以后的形状，我们来看一下他有什么特点呢？ 费亚琴，你说一下，他有六个相同的小正方体，小正方，其实哦，他有 几个？几个小正方形组成的六个啊，这六个小正方形它都怎么样？相等，哦，都相等，它除了是由六个正方形组成的一个图形以外，它还是一个什么图形呢？ 大家看，这是什么图形啊？你说一下情况，它是一个平面图形，说的非常好。嗯，它是一个 平面图形，也就是说它展开以后是一个平面图形。好了，下面呢，同学们再把它折叠起 来，来，把自己的展开图折叠起来。折叠以后，你会发现 他现在变成了一个什么呀？正方体，对，正方体，这是一个什么图形呢？啊？杨志勇，你说一下，现在这是一个正方体，正方体，他又是一个什么图形啊？立体图形。哦，你说的非常好，他是一个立体图形， 从平面图形变成了什么呀？立体图形， 也就是说展开与折叠是什么样的相对应的。好，同学们往这看啊。下面呢，我们来看一下正方体的 展开与折叠的动画演示。认真看 好，这是正方题的展开与折叠。下面呢，同学们看一下，这有一道练习题。 好了，同学们把书翻到第十四页，这是我们的练习题的第一题，下面同学们在练在书上呢。连一连，我请一个同学上黑板跟我们连一下。好，另一篇你来。 所以同学们在树上连的时候呢，要怎么样连线？我们有个习惯是用什么呀？铅笔和尺子。好了，开始连啊。嗯，好了，已经 连完的同学请举手。 嗯，这本同学已经连完了。好，我们来看一下。好下 林平同学连的这些盒子的展开图到底对不对呢？这是一个什么体啊？ 长方，长方体，它的展开图是这样的，跟你们连的一样，不一样，一样，那么这是一个圆柱体，圆柱体展开图是这样的， 要不要？要，这是一个三棱柱，练的对不对啊？对，最后一个是正方题，是这样的，好，全对的同学请举手。嗯，非常好，手放下。好，我们再来看一下练习题的第二题， 我们先来读一下题，下面预备起下面哪些图形沿虚线折叠后能围 成正方体。先想一想，再利用复变一中的图二试一试。好，现在呢，我们先来想一想， 想完以后呢，用铅笔在你的这个上面先标注出来对错，然后呢，再取出我们的学具，再来折叠一下。好了，开始先想一想到底哪一个能折叠成正方体， 想玩的标注完的同学，拿出你的这个题的学具，我们来折叠一下，看一看跟你的想法到底一样还是不一样。 好，叠完的同学，折叠完的同学请举手哦。 嗯， 好了，圈完了音纳，你给大家说一下第一个，第一个不能折叠成正方体，不能折叠成。嗯，那么其他同学呢？ 能不能不能好，那么这个是不能的。第二个呢？第二个可以折叠成这个吗？可以， 跟你们的一样不一样，一样。第三个呢？第三个也可以哦，也可以。好，请坐。老师再叫一个同学，冯云琪，你说一下，四五六，这四个不可以，不可以，这四个可以，那到底可以还是不可以啊？那就是你刚说错了。 好，我们把它擦掉。可以，那你们呢？可以不可以啊？可以。好，第五个也可以，也可以， 最后一个不可以，最后一个不可以，也不能折叠好坐下，那么跟这个答案一样的同学请举手。好，手放下，那么你刚才是自。

是，必须得是乘积是一的两个数才是负为倒数两个数，是这样吗？是。 那我们来看，如果说三分之二乘以二分之三等于一，那么也就是说 三分之二、二三的倒数，是不是也就是说他们互为倒数，也可以说三分之二的倒数是二分之三，二分之三的倒数是三分之二，是不是这样？是。那么 第一个问题，什么是倒数？我们解决了第二个问题，什么样的数？哪些数有倒数呢？现在我们来看， 明明和小红说的这两句话，明明说自然数有倒数，红红说自然数没有倒数，那么你们想想他们两个说的对不对呢？ 不对，不对说明理由是什么？甜甜拎着，自然数有倒数，零没有倒数， 自然数有倒数，但是零，自然数中的零没有，那我们可以说零除外，是不是这样？哎？自然数有倒数，但是要零除外。 好，我们知道了，自然数啊，有倒数，但是要零除外，那我们现在想一想，整数有没有倒数呢？ 整数，比如说整数三，整数也要零除外的，是吧？这已经出现零除外了，比如说整数三，它的倒数是什么呢？ 把你的思考过程也要告诉我。先先给你说三的倒数是三分之一。首先怎样想把三可以看作成一分之三， 一分之三，对不对？对，我们说分母是一的分数，看成一分之三，没说完呢？站起来可以看成一分之三，然后一分之三的倒数 是三分之一，是不是也就是交换了分子和分母的位置，变成了三分之一？那么通过这个我们知道整数有没有倒数，有整数也有倒数，是吗？那么现在我问你，七的倒数是什么？ 七的倒数，你说七分之一是不是七分之一，那么整数有倒数零呢？我们刚说自然数要零除外，整数要零除外，那零有没有倒数呢？没有，没有，是不是说明你有， 为什么他没有倒数呢？请你说，零除以整数得得零，没有得一的是不是零乘以，谁能等于一呀？是不是没有啊？所以说零没有倒数， 那么零没有倒数，我们再想一想，一呢？一有没有倒数啊？有，章鱼说说一的倒数是一，一的倒数是一，为什么呀？ 因为一数一乘一等于一。对了，因为一乘以一等于一。说的很好啊，所以一的倒数就是一。好， 我们说了自然数有倒数，整数有倒数，那我们学过的小数有没有倒数呢？有，想想小数有没有倒数， 比如说零点三是小数吧？是说一说它的小数是什么？把你想的过程也要说出来。林佳琪说十分之三，先把它化成分数，先把它化成分数是多少？ 化成分数多少是多少啊？十分之三。说的挺好，对了，第二步怎么办？

同学们好，我是清华大学附属小学陈军老师，很高兴和全国的小朋友同上一节课。在上课过程中，大家有任何疑问都可以通过直播平台给我留言。好，请做好课前准备，我们开始上课。 今天这节课，我们一起来学习北师大版数学五年级下册第一单元分数加减法第一课折纸 折纸起源于中国，诞生在两千多年前的西汉中期，是中华民族优秀的传统文化。 折纸动手又动脑，既能启迪智慧，又能开发创造力。很多小朋友都非常喜欢笑笑和淘气，就非常喜欢折纸。一张正方形纸，笑笑折小船用了二分之一，淘气折小鸟用了四分之一。 看到这样的信息，你能提出什么数学问题呢？请看！一些同学在预习之后提出了这样的问题。问题一，他俩一共用了这张纸的几分之几。问题二， 笑笑比淘气多用了这张纸的几分之几。问题三，还剩下这张纸的几分之几。你提出同样的问题了吗？ 这些问题该怎样解决呢？我们先来看问题一，他俩一共用了这张纸的几分之几。请你画图表示出结果，列式计算出结果。 对照图式和小伙伴们说一说思考过程。好，开始吧！ 好，让我们一起来看一位同学是怎么思考的。我是用折正方形的方法来解决这个问题的，我将这个正方形纸的面积表示为一。首先，我将这个正方形纸对折， 将这个正方形纸的一半表示为二分之一。 然后，我将这个正方形纸再次对折， 将这个部分表示为四分之一。 那么两个阴影部分的面积之和应该表示为多少呢？从图中我们现在无法直观的看到，所以我在二分之一这里加一条线， 这样整个正方形就被平均分成了四分。折纸两个阴影部分又画图可以很容易得到，四分之三，四分之二，二分之一加四分之一等于四分之三。同学们，你是这样想的吗？还有其他方法吗？我们再来看第二位同学的方法， 我是画正方形图解决的，把正方形平均分成两份，其中一份就是他的二分之一，再把正方形平均分成四份，其中一份就是他的四分之一。二分之一加四分之一等于四分之三，他俩一共用了这张纸的四分之三。 画正方形图可以很直观的表示出是二分之一加四分之一的和，你是这样想的吗？还有其他方法吗？请看第三位同学的方法。 我是用画线段图解决问题的，我先画一条线段表示单位一， 在线段上取一段表示二分之一， 再在二分之一的后面接着取一段表示四分之一。 那么这两条线段和是多少呢？从图中无法直接看出。我们把二分之一再平均分成两份， 这两条线段合就是三份，原来的单位一就被平均分成了四份，所以二分之一加四分之一 等于四分之三。画线段图可以很直观的表示出两部分和的关系。同学们，你想到这种方法了吗？还有什么方法呢？再看第四位同学的方法， 我是列式转化成同分母分数解决的，二分之一和四分之一是一分母分数，分数单位不同，不能直接相加，要先通分转化为同分母分数， 运用分数的基本性质，把二分之一、分子分母都乘二，它等于四分之二。四分之一不动，直接移下来，它就是等于两个四分之一加一个四分之一及三个四分之一，也就是四分之三。 这位同学在计算当中提到了我们以前学过的一个知识，通分。你知道通分能解决什么问题呢？ 通分是把同异分母分数化成了同分母分数，那么通分是运用什么来进行的呢？ 是用我们以前学过的分数的基本性质，可以把分子和分母同时扩大相同的倍数。那么通分就把异分母分数、不同的技术单位转化成了相同的技术单位，便与我们直接相加。你答对了吗？ 好，还有其他方法吗？我们来看一看。淘气是这样计算的，二分之一加四分之一等于六分之一，你同意他的算法吗？ 那么淘气的方法，我们对照前面同学的方法，我们可以发现，异分母分数相加。 我们通常用画图的方法，可以画直观图，也可以画线段图，这两种图都能够清晰地表示出部分与总体的关系，也就是不总关系，我们也可以略视。 通分转化成同分母分数，把不同的技术单位转化成相同的技术单位，然后再把相同的技术单位的个数相加。 那么淘气是把分母直接相加，分子不变，他的计算在计算的道理上是错误的。同学们，你想明白了吗？ 好，接下来解决了问题，我们再来看问题二，笑笑比淘气多用了这张纸的几分之几，请你试一试，算一算，再想一想背后的算理。 这张纸的二分之一是阴影部分，这个阴影部分等于这张纸的四分之二。四分之二减去四分之一，得到的是四分之一。 这是一位同学用画直观图的方法解决的，你是这样做的吗？再看这位同学，三分之一减四分之一， 二分之一和四分之一是异分母分数，分数单位不同，不能直接相减。先通分转化为同分母分数，运用分数的基本性质，把二分之一转化成四分之二， 再用四分之二减去四分之一，就等于四分之一。这位同学列式把分母不同的两个异分母分数 转化成了分母相同的同分母分数，其实也就是把不同的技术单位转化成了相同的技术单位，然后再把相同技术单位的个数相减。看来异异分母分数减法和加法类似，都是找到相同的技术单位，然后进行加减。 接下来，让我们通过这两道题反思总结一下异分母分数加减法的算法和算理。四分之三加八分之五，他们的技术单位不同，我们要通分转化成相同的技术单位。八分之一， 六个八分之一，加上五个八分之一，就等于十一个八分之一，六分之五减三分之二。他们的技术单位不同，要转化成相同的技术单位。六分之一用五个六分之一减去四个六分之一，就得到一个六分之一。 那么这两题都用了转化成相同的技术单位， 那么在转化之后，我们就可以把相同的计数单位的个数再进行相加减，这就是一分母分数加减法的算法和计算的道理，同学们，你是这样总结的吗？ 接下来让我们在填一填当中再进一步去体会一分母分数加减法的算理。 三分之一加九分之一，他们的技术单位不同，是三分之一和九分之一，我们要用通分的方法转化成相同的技术单位九分之一， 然后去三个九分之一，再加上一个九分之一，就得到四个九分之一，也就是三加一得到四个九分之一。 再看第二题，三分之一减六分之一，他们的计数单位分别是三分之一和六分之一，我们要转化成相同的计数单位六分之一，这样两个六分之一减去一个六分之一，就得到一个六分之一。同学们，你是这样填的吗？ 还剩下这张纸的几分之几？ 通过直观图是不是很清楚的能够看到，还剩下就是这张纸的四分之一。 我们也可以画线段图，通过线段图我们很容易发现二分之一、四分之一和还剩的这三部分与总量单位一之间的关系。 我们可以用总量减去前面两部分，也就列式为一减二分之一，减四分之一， 通分转化成相同的技术单位四分之一，然后把相同的技术单位的个数四减二减一，得到一个四分之一，那么我们也可以用总量减去前面两部分之和， 于是列式为一，减去二分之一加四分之一的和，然后统一计数单位， 最后也能够得到四分之一。同学们，你是这样解决的吗？看来线段图真是我们的好帮手。 接下来我们看气象小组统计九月份雨天总天数，九月份雨天占全月总天数的三分之一，晴天占全月总天数的十分之三。请提出数据问题并解答。 同学们，你会提问题吗？一位同学是这样做的，他，首先啊，画出了线段图，表示出雨天、晴天和总量之间的不总关系。这样是不是很容易提出问题了呢？ 我们可以提出和的问题，也可以提出差的问题，甚至还可以提出背的问题。这位同学就提出了和的问题， 他提出了雨天和晴天共占全月总天数的几分之几，于是列式为，三分之一加上十分之三。 他们的技术单位三分之一，十分之一不同，要转化成相同的技术单位。三十分之一，十个三十分之一，加上九个三十分之一，就得到十九个三十分之一。再写上打印。 同学们，你还会提其他的问题吗？课后就试着提一提并解答。好，算一算，四分之三加八分之一，我们该统一成什么技术单位呢？ 统一成八分之一，六个八分之一加一个八分之一，也就等于七个八分之一。再看，九分之二加三分之一，该统一成什么技术单位呢？ 九分之一，二个九分之一，加上三个九分之一，就等于五个九分之一， 十五分之八减去五分之二，我们该统一成什么技术单位？十五分之一，八个十五分之一，减去六个十五分之一，就得到二个十五分之一。 七分之五减去十四分之一，减去十四个。三个十四分之一，就得到七个十四分之一。 再进行约分，就得到二分之一。同学们，你是这样想的吗？好，这节课啊，学到这里。如，如果让你总结一下你的收获，你会怎么总结呢？一位同学是这样总结的， 一，分母分数加减法，它的算法可以去画图、直观图形段图，也可以去列式，然后通过通分转化成同分母分数。 而他背后的算理其实就是把相同的技术单位的个数进行加减。同学们，你会这样总结吗？好，学了这节课你还有什么问题吗？这位同学提出了这样的问题， 分数整数、小数加减法的算理一样吗？请你带着这样的问题走进下一节课的研学。

家长们同学们注意看这道本市大班五年级下册数学必考题，百分之九十的孩子都在硬算，同分算半天，今天老师教你一招，十秒出答案，比同桌快十倍！ 题目是，八分之七减五分之三加八分之一。记住老师一句话，同分母先合并，带着符号搬家。那八分之七和八分之一是同分母，先把它们放一起算，那原式就变成了八分之七 加八分之一。因为他们两个是同分母，要先把他们两个一起算，然后再减去五分之三。 那八分之七和八分之一合在一起是一，减去五分之三等于五分之二。 就这么简单，不用通分，不用复杂，计算又快又准不丢分。学会这招，孩子计算直接起飞！点赞收藏，每天跟老师练一道！

孩子们，我们学习了长方体和正方体，那接下来啊，我们一起来看， 这有四个，还是有几个小正方体组成了一个立体图形，对吧？放在哪了？哎，他用几个拼出来的？ 先生，那你这不普通的是什么样啊？三个不普通的是三个，你同意他是三个还是同意他四个？四个，说说理由。 哎呀，因为表面能看见的话是三个，然后呢，它里面那块还隐藏着一个，请坐。谁听懂啊？王俊文，如果没有下面那隐藏的那个话，那他最上面那个就立不上去了， 是这意思吧？那你这非正常就是他悬浮在空中，对吧？当然这种情况我们在生活当中不存在。的确啊，有时候我们凭借观察哎，可能很难得到答案，但是呢，如果我们再结合我们的哎思考 去想象一下，让他在我们的脑海当中呈现的话，在他们的后面还隐藏了一个小正方体，对不对？我们就可以得到这样一个结论。哎，好了，那我们用四个小正方体拼成了这样一个立体图形，你还能提出什么问题啊？ 好，请坐。谁听明白他提的问题了？ 你在干什么呢？在数，在数呢，是吧？哎，好，请坐。那好，那看来这个问题我们可以解决，对不对？那接下来请听清要求，请你和你的同桌前后桌两个人一起摆一摆， 然后观察一下到底有几个面露在外面，并且把你的想法在这张白纸上简要的记录下来，听懂了吗？哎，两个人可以小声交流，但是也可以有自己的方法，现在开始 可以可以可以记录一下。 哎，还挺那真好，还摆出调料是吧？ 您是这样你还有超能力是吧？是这样来观察观察。你要你你要你怎么去。 正面都歪了正眼都歪了 不填那个问几个面露在外头说记录在这张白纸这张白这张白纸啊，不记一张白纸这个规律现在先不看。 哎有些同学刚没听清啊。记住在这张大的白纸上啊大白纸上。对写你自己的方法你想怎么做就是你能描述清楚的。可以啊， 你能表达出没意思吗？我看着你就表达很舒服。 我不想看那个我就想看看你是怎么观察的这个是你写的是吧这是你写的是吧你是怎么想的啊为什么呀？嗯 不是九个吗？八个人这个票应该看不见咱只能露在外头能数清楚。 这边还有一把墙折出来啊。墙是这样 对吧哎那你们待会咱要讨论的时候。哎你看你这个情况你为什么喜欢那是错的， 这数还是错了？数错了对吧他这有一个重要的数完了吗？ 咳咳 我该说什么了。 好可以。 嗯不错。真棒。 可以可以没问题非常好。好了来同学们停了三二一。 哎刚才耿老师转了一圈啊好多人你像孙家瑞。我我我一问他有几个面都在外头啊他给了我一答案几个哎九个非常清楚对吧那你们数着是不是九个是哎，那咱们一块来看看啊他们这些方法你能不能看懂 有了吧咱先看第一个 看的见吗？后边看的见吗？看的见。嗯 那你给咱们读一读能做的给大家读一读。看上面写吧共有四个正方形有一个被盖住了还剩三个每一个每一个有三面。三乘三等于九个，娃有九个。 哎，他这说法你能看懂吗？这是谁的方法啊？哎，易如易，你能说一说，就是结合我们这个图来说一说你当时是怎么想的吗？ 嗯，就是总共有四个正方体，然后有一个被盖住了，他一面都看不见，然后就看剩下的三个，然后每一个有三个，所以就三乘三。那您过来指一指吗？ 这有三个正方，有三个正方体，然后一个正方小正方体有三个面，所以就是三乘三等于九个面。 好，请回。听懂了吗？听懂了，跟你想一样不一样，一样来，还有一个，他可以这么。嗯，来到前面来，每个都有三个正方形吗？他每个都有，上面一个，最前面一个，这里一个再乘以三，再乘以这个三。 啊，稍微有点紧张，说错了，是吧？应该是三加三加三，对吧？哎，那我们看看他刚才说这方法和 这个同学的他们两个呢？像不像？ 是不是刚才林嘉诚说的那种话？是。嗯，这怎么做？咱们让谁来说一说呀？高伟姐，说说吧。啊，你跟他这个想法一样吗？ 啊，是一样的，是一样。那你来过来讲一讲啊。就是，那我给你切过来。 来，就是像刚刚林嘉诚说的是我们从上面看，从里面看就是能看到的是这三个面， 然后我们再从正面看的话，也是这三个面，然后我们再从这个侧面看的话，是这三个面，所以呢？三加三加三等于它的漏在外面的面是有九个面。好，请回。说的清楚不？清楚。哎，孩子们，刚才咱们俩用了几种方法啊？两种，还有没有其他的方法？ 没有了是吧？没有。习大夫，那咱们来看看啊。哎，那我们刚才第一个是易如意的那个方法，咱给他起一名吧。我这给他总结了一下，因为之前 在做前侧的时候，大家也出现了相同的这种问题，就是相同的方法，是不是逐一去观察每一个小正方体啊？看看他的颈边露在外头，对不对？哎，这是第一种方法。那我们另外一种方法呢？ 哎，从不同的角度来看，那我们可不可以这样说，叫 是不是分别从露出来的方向来看，从各个方向来看，对不对？但是这里边我们要注意一点，不论是第一种方向也好，还是第二种方向也好，我们来做的时候都要注意些什么。 刚才有一个人犯了一个非常小的错误，他数出来是八个， 然后呢，他们组进行了一下小小的反思。刚才你们总结了一个小窍门。好，就是他数的那个问题在哪啊？就是他数的那个没有规律，你同意吗？哎，他数的没有规律。

您好，同学们好，同学们，我们已经认识了长方体，那有关长方体的知识你们了解多少呢？现在请大家打开自学提高， 谁愿意到前面来带领大家复习一下有关的内容。好，小问题请到前面来。 大家好，下面由我来，由我带大家复习有关长方体的知识。请同学们思考，长方体有多少个面？它的面有什么特点呢？ 杜佳鹏，长方体有六个字，它的特点是对面相等，它的上面和下面是相等的，左边和右面面积是相等的，前面和后面面积也是相等的。你回答的非常正确， 长方体有多少个顶点呢？蔡宇轩，有八个顶点，你回答的很正确。那长方体有多少条棱？他的棱的特点是什么？ 张希文，长方体有十二条棱，相对的四条棱相等，你回答的很正确。 请同学们思考一下，长方体有哪些形状呢？王思雨，长方体里面有长方形和正方形。那请同学们思考一下，长方形的面积公式怎样计算？正方形的面积公式怎怎样计算？ 刘子轩，长方形的面积公式是长乘宽，正方形的面积公式是边长乘边长。你回答的很正确，同学们还有什么补充的吗？复习完毕， 复习的很全面，这里面老师给纠正一下。刚才陈卫民同学提出了一个长方形的表面都有哪些形状，是不是注意用词啊？好看来呀，同学们 对长道题已经真正认识了。那今天这节课呀，老师给同学们带来了一件礼物，想把这件礼物送给这节课上爱动脑筋爱发言的同学。但是老师觉得包装礼物的盒子不够精美， 你们能不能给老师提个意见？好，你说把包装纸的几个面都包上漂亮的包装，那个包装皮。哦，意思我明白了，谁来再说一说？ 蔡雨轩把盒子包装美丽的包装纸啊，还有想说的吗？在哪包装纸啊？你说， 我认为，我认为把长方体的六个面都包装，都包装成包装纸，在它的表面包装上精美的纸，是吗？嗯哦，这个主意主意不错，现在看起来就精美多了，是不是？ 那同学们，你们知道这张包装纸的大小吗？想不想知道？想通过这节课的学习啊，我们就会知道了。那现在同学们想想，刚才大家说在盒子的表面 包装纸，那你知不知道什么是表面？表面指的是什么？王静怡，就是六个面的小拍图啊。那么现在请同学们各小组拿出你们准备的长方来摸一摸长方体的表面。 好，谁给大家来展示一下？各小组同学可以摸一摸长方体的表面是什么？好，谁给大家来展示一下？好，吹点吹，你来。 长方体的表面高一米二是没有看的啊，长方体的表面是上面、下面、左面、右面、前面和右面后面， 是不是是上面、下面、前面、后面、左面、右面这些合在一起就是长方体的什么呀？ 表面。好，请坐。那么今天这节课我们就要研究的是长方体的表面肌， 大家都已经知道了啊，长方体的表面指的是什么？那么你们能不能说一说什么是长方体的表面肌，它的意义是什么呢？ 现在告诉大家。嗯，王鹏程，长方体六个表面的面积的组合就叫长方体的表面肌，还有想说的吗？ 下面则长方体六个面的面积之合就是长方体的表面积。看下来再说一遍 成果，长方体六个面的面积之合就是长方体的表面积。 好，我们知道了，长方体的表面积的意义，就是指长方体六个面的面积之合。了解了它的意义，想不想知道它的计算方法呀？想好， 那么这节课我们就要研究长方体表面积的计算方法。 我们研究的方法是以小组合作的形式共同探讨来解决这个问题。下面老师请同学们看题目，我们给大家的操作提示，请一位同学读一下。 男学员，组内交流，确定思路，分工合作，做好记录，讨论交流，得出结论。好，那么接下来我们各校的组长就要带领同学们利用桌面上的长方体剪刀， 按照提示的方法动脑筋想一想，剪一剪，摆一摆，找出长方体表面积的计算方法。好，现在开始！ 啊啊 这首歌， 哎呀， 我说， 啊 哈哈哈哈， 哎 呀 哎呀 啊啊 啊 啊 上架！ 然后 最后最后， 好同学们都找到方法了吗？找到了，请大家说，通过各小组的共同研究啊，同学们都找到了长方形表面积的计算方法，那接下来我们就要 各小组的代表到节目来汇报你们的计算方法。哪个小组同学先来哦，这么多同学好，卢俊玉到前面来， 其他同学认真听听一听他的方法和你们的方法是不是相同，然后看看你们有什么什么好的意见啊。开始我是小组的解说员，张一红是展示员，王文轩是书写员。 我们小组是把长方体分为六个部分。好，你给展示一下。怎么分呢？ 请同学们看大屏幕。我们小组是把这个、这个、这个，这 上面、下面、前面、后面、左面、右面分成六个部分，然后再把这六个部分相加，就得出了长方体的表面积的记计算公式。 那你先比分。

好了，同学们，我们接着学习新的内容，复式折线统计图。在刚刚过去的五一假期，清华附小举行了一次如火如荼的线上运动会， 其中啊，跳绳就是一个重要的项目，学校要求每个班级抽取一名代表来参加校级的决赛。为了在运动会中取得好成绩，五年二班提前一周进行了班级的初选， 有三个跳绳高手脱颖而出，每分钟的跳绳成绩达到了二百个以上。那么应该选谁来参加决赛呢？ 饼的成绩最高了，应该选饼。我也同意要选成绩高的，但是只看一次的成绩不够全面，我们可以让这三名同学在接下来的一周每天练习，记录成绩，最后看看谁的进步更大。 哦，我们都听出来了，意思就是我们不仅要看三名同学成绩的高低，还要看他们经过一段时间的练习成绩是如何变化的。 那么就采纳大家的建议，我们将甲乙丙三类同学一周的训练成绩整理到了表格中，现在你有答案了吗？ 通过观察表中的数据，我发现甲和乙一分钟内的跳绳成绩都在不断进步，而丙的成绩一会高一会低，而且最后丙的成绩没有甲和乙的成绩高，所以丙可能不是合适的人选。 在刚才这位同学发言的时候，相信电视机前的你一定紧紧的盯着表格中的这些数据。那么现在如果我们想用更直观清晰的方式来观察这些数据，你有什么好办法吗？ 就像上节课那样，我们将表格中的数据化成统计图，而且要化成折线统计图。哎，为什么要化成折线统计图呢？不是刚刚学过条形统计图吗？ 因为折线统计图更方便我们看出数量的增减变化，同学们特别好，能够根据需要灵活的选择方法。 那么这里就是对甲乙丙三位同学一周内跳绳成绩的折线统计图的表示。老师也将这三个统计图带过来了，我们一起来看。 还真是这样，通过图，我们可以直观地看出，甲和乙的成绩都是在不断进步的，而丙的成绩忽高忽低， 虽然丙一开始的成绩比甲和乙的成绩高，但是最后都被甲和乙超过去了。 看来有了图，我们可以一眼就看出丙和甲乙两名同学最显著的差距了。 那么现在我们可要在甲和乙中间做决定了，到底应该选谁呢？我们一起来听听同学们的想法。 我选乙，因为乙最好的成绩比甲最好的成绩高，但是甲同学的进步也很快呢， 还是得比较两人成绩的变化趋势。但是这两条折线长得好像啊！是啊，同学们好像又遇到问题了，想想怎么办呢？ 我想到了把两条折线统计图合并在一起，你可真聪明，相信大家也想到了我们刚刚学过的复式条形统计图也合并到一起， 那么应该怎样合并呢？合并之后又会有什么神奇的反应呢？ 我们来看，这就是将甲乙两名同学一周的跳绳成绩合并到一起的折线统计图。那么你能读懂吗？合并前后哪里一样，哪里不一样呢？ 我能读懂。我先注意到了标题变成了甲乙两人一周内一条绳成绩统计图， 这个统计图中也增加了图例，有了图例，我知道红色代表甲的成绩，蓝色代表乙的成绩。这个统计图的横轴和纵轴都没有发生变化，两条折线的样子也没有变，只不过为了方便区分，按照图例分别画成了红色和蓝色。 好了，同学们，如果现在我们想给这样的折线统计图也取个名字，相信大家可以异口同声地说出来了。对了，它就是复式折线统计图。 但是啊，我们的问题还没解决呢，到底是应该派谁来参加决赛呢？ 接下来的时间交给大家，我们一起来讨论讨论。来看活动要求，结合统计图想一想，说一说，应该选谁呢？为什么呢？接着再说一说，你还能从途中发现哪些信息呢？ 讨论过后，让我们一起来交流一下吧。 我认为应该选乙，因为从图中我能看出，乙同学的成绩上升趋势更明显一点。哎，他说的上升趋势更明显是什么意思呢？谁能来具体的解释一下呢？ 最开始，红色线在上面说明甲的成绩比乙的成绩高，后来差距逐渐缩小，到了星期四，两条折线相交，说明甲的成绩和乙的成绩一样了。到了后三天，乙的成绩超过了甲的成绩， 所以通过练习，乙的进步是很快的。同学，是啊，应该选乙来参加决赛。 这位同学说的多好呀，他能够结合统计图详细的分析并且描述了甲乙两名同学成绩的变化。那么结合图，我们既比较了成绩的大小，还分析了他们的变化趋势。最后我们发现呀， 你确实是一个更加合适的人选。那么同学们，结合着这幅复式折线统计图，你还能发现哪些信息呢？我们一起来交流一下。 我还能发现，这两条折线都是在不断上升的，但是上升的速度不同，如果折线比较陡，说明上升的比较快。我们看 周三到周五这段时间，乙成绩的折线更陡一些，说明这几天乙的进步是更快一些的。受他的启发，我也发现了甲乙两名同学都是在最开始的几天进步特别快， 到了后面两天，折线的坡度逐渐变缓，说明他们成绩提升的速度也减慢了。哎，这是一个很有意思的发现，那我们能尝试着分析一下，为什么他们两人的成绩的进步都是先快后慢吗？ 我们的体能是有限度的，不可能一直无限的升高，所以通过练习达到了较高的水平之后，再提高成绩就有些困难了。 还真是这样呢，看来呀，我们只有多加练习，增强体能，才能够不断地超越自己。 好了，同学们，我们通过数据来提取信息，不仅能够帮助我们做出一些判断，还能够帮助我们解决很多的实际问题呢。 在十一国庆假期到来之前，小东一家决定来北京游玩。为了给家人提供一些具体的穿衣的建议， 小东查到了北京市十月一日到十月七日的天气预报，并将这七天的最高温和最低温整理在了表格中。 同学们，我们仔细看一下表格中的数据，你认为我们应该关注哪些信息呢？为了更好的观察数据，你有哪些建议呢？ 看天气预报就要关注气温的高低，气温的变化，还要关注温差的变化，所以我们可以将表格中的数据用复式折线统计图来表示。那么接下来同学们想不想亲自画一个复式折线统计图呢？ 我们来看活动要求。首先画一画，将表格中的数据用复式折线统计图表示出来，再说一说，你能从中得到哪些信息，可以给家人提出哪些出行的穿衣建议呢？ 没有画完也不要着急，也许你能从同学们的画法中受到很多的启发呢，我们一起来看。 我先画好图，利用实线表示最高温，期限表示最低温。对应着表格，我将这七天的最高温和最低温的点都描出来，十月一日的最高温是三十摄氏度， 最低温是十八摄氏度， 我像这样把所有的点都画好， 再把它们连起来。 哎，接下来应该连哪里呢？我好像找不到了。这位同学好像遇到困难了，那你能来帮帮他吗？ 我觉得可以这样，先把这七天最高温的点都描出来， 用实线依次连接， 再找到最低温的点， 用虚线连好， 这样就不会乱了。我最后核对了一下数据 是对的，我们看这位同学的方法是，先描出最高温的所有点，依次连线，再描出最低温的所有点，再依次连线。同学们，你们都是这样画的吗？还有不同的方法吗？ 我还有一种方法，我用红色代表最高温，用蓝色代表最低温。描点时分别画不同颜色的点，再依次连接相同颜色的点。 所以呀，画图的时候我们要注意了，首先我们先要确定好图例， 再观察横轴和纵轴的信息，确定好点的位置，再根据图例按照一定的顺序连线，最后别忘了核对一下数据哦。 那么现在有了这样的复式条形统计图了，你能给小东的家人提出哪些出行的穿衣建议呢？我们听听同学们的想法吧。 我发现十月一日和二日这两天，北京最高温和最低温都比较高，可以穿 t 恤或者比较轻薄的衣服。 到了三日，最高温还是比较高的，但是最低温开始有大幅度的下降，那天的温差是最大的，所以如果出门游玩，可以穿一件短袖，再带一件外套，到了晚上天气变凉，可以把外套穿上，小心感冒。 我来接着说，十月四日最高气温有一次骤降， 最低气温也持续下降，两点之间的距离最近，所以这一天的温差是最小的，但却是这七天中整体气温最低的一天， 要提醒家人穿厚一些。而且从十月三日和四日的气温来看，北京这两天可能会下雨，要及时查看天气预报，带好雨具。 还有还有，我发现十月四日以后，最低温和最高温都开始回升，但是最低温还是比较低的，要提醒家人晚上还要多穿一些。 同学们的建议细致入微，而且善于用数据说话，真要替小东的家人感谢大家呢。 那么同学们，这节课的内容我们也学完了，让我们一起来回顾一下我们今天的学习。 在第一节课，我们探究了投球距离的问题，认识了复式条形统计图， 而且发现复式条形统计图可以帮助我们更直观的比较数据的大小。 在本节课，我们研究了派谁参加决赛的问题，绘制了复式折线统计图，发现复式折线统计图可以帮助我们更直观的比较数据的变化趋势， 所以他们各有特点，但是都清楚直观，而且便于比较。以后我们在解决实际问题的时候也要像这样根据问题。

首先我们先来读题，把二分之一、三分之一、四分之一、六分之一、三分之二、四分之三、十二分之一、十二分之五、十二分之七分别填入下图中，使每一行 横行竖列和对角线上的三个数的和相等。本题中对角线是指大正方形两个不相邻的线段反扩。 我们来看他们的所有分母都是十二的因素，那我们把他们全部都化为十二，二分之一化为十二之 六，三分之一化为十二分之四，四分之一化为十二分之三，六分之一化为十二分之二，三分之二化为十二分之八，四四分之三化为 a。 十二分之 九，十二分之一就是十二分之一，十二分之五就是十二分之五，十二分之七就是十二分之七。然后我们来算这个这些数的数和，把它们全部相加， 因为它们的分母都是一样的，我们只用把分数相加之后，再把分母带进去就可以了， 也就是六加四、加三、加二、加八、加九、加一、加五、加七。我们来看凑十的九和一可以凑十，八和二可以凑十，三和七可以凑十，六和四可以凑十，那就凑出来一、二、 三、一、二三，四个十，然后还有个五，那么就是分词就是四十五，分母就是十二。然后我们来约分，可以同时除以三 等于四分之十五，这是他们的总数和，然后我们来求每一个线按他们相加的和应该等于多少。首先 我们来看每三行线和每三行数或每三行数都可以得出它的总数和，那么我们就用总数和四分之十五除以三，就等于每条线的线和， 也就是四分之五跨为十二，就等于十二分之十五。我们知道了线和，知道了总数和，我们就来求中间的这个数。 我们由此发现，穿过这个点的数，有一的线有一、二、三四条， 那么这个点就被重复多算了三次，其他周围的点都，哦，只算了一次， 我们就先嗯再重复算的四条。嗷嗷。线和四线和 和总数和 呃之间相比，就可以得出我中间这个呃多算了这个数的三次，那我们就把这个数设为 a 嘛，就是三 a， 我们知道四线四条，我们知道线和，我们知道总数和，那么四乘以十二分之十五等于 十二分之六十， 总数和是十二分之四十五，十二分之六十减十二分之四十五等于 一十十二分之一十五，十二分之一十五就是中间这个数的三倍， 那么再用十二分之一十五除以三等于十二分之五，那么中间这个数就填十二分之五是不变的。 我们知道了每一条线 and 和和中间这个数，我们就可以求剩下的数了。 呃，十二分之五已经用过了，我们来看，嗯，他的总线和是十五。十二分之十五，那么十二分之十五减十二分之五等于十二分之十， 那么剩下的呃上下左右，哦，其他的数五和中间这个数五相加，就必须得要等到十五，那中间已经有五了，那剩下两个数相加，就必须得要得十，剩下得十的有九一二八三七四六， 我们先随便填，嗯，把大的和小的先填上去，十二分之九和十二分之一填在这里，这一排就刚好等于十二分之十五，那么如果我们把 八十二分之八和十二分之二填在这里是明显不行的，因为中间已经没有数来，给他凑成十来，给他凑成十五了，所以说必须填在斜线或横线上。 我们先把十二分之二填在这里，十二分之八填在这里，但是十二分之八加十二分之九已经超了，所以说我们把十二分之二和十二分之八的顺序调换一下，上面填十二分之八，下面填十二分之几，十二分之二， 十二分之二加啊，十二分之九等于十二分之十一，线盒是十二分之十五，呃，我们就用十二分之十五减去十二分之二加十二分之九 等于 十二分之四，那这里就填十二分之四。这里填了十二分之四，那和它可以凑成十的就是十二分之六，那这里就填十二分之六， 那么剩下的就只有三和七了。我们来看三填在哪边？七填在哪边？如果我们把三填在这边，八加四等于十二，十二加三刚好等于十五，那么这边就是十二分之三，那这边就哦是十二分之七了。 但是填到这里可就没有结束，可还没有结束，我们还要把它们写回原本的分数。十二分之六等于二分之一， 十二分之四等于三分之一， 十二分之三等于四分之一， 十二分之二等于六分之一， 十二分之八等于三分之二， 十二分之九等于四分之三， 剩下的都是没变的数，所以说整个图就是这样的，你们听懂了吗？

下面让我们继续研究分数乘整数的问题。 上一节课，我们围绕着这样的一个算式，到底可以解决哪些问题呢？展开了思考。同学们提出的这些问题都可以用八乘四分之三来解决， 那除了这些问题，你还能从别的角度想到它可以解决的问题吗？有一位同学结合自己经历的图书义卖活动，想到了这样的一个问题， 我想到了一个关于图书易卖的问题，一本绘本原价八元，在图书易卖活动上，它的价格便宜了四分之三，那便宜了多少元呢？ 哎，这个问题我们得好好想想，便宜了四分之三，应该是比原价少了四分之三，那这个少的四分之三又是什么意思呢？ 这节课就让我们一起来研究研究这类问题。请看图，从图中你能提出哪些数学信息呢？ 这两个信息你一定捕捉到了。女生植了二十棵树，男生植树的棵数比女生的多四分之一，那男生比女生多植树多少棵呢？ 要解决这个问题，关键我们得理解这关键信息。下面就请你画一画，用画图的方法表示男生值数的棵数比女生的多四分之一是什么意思？ 然后结合你刚刚画的图，说一说你是怎么理解的？ 好了，同学们在表示男生值数的棵数比女生的多四分之一这句话意思的时候，老师发现同学们用到了几种不同的画图的方法，下面我们就来看看这两位同学是怎么画的呢？ 我用一个圆代表一棵树，这二十个圆就是女生值的二十棵树，男生值的数比女生值的数要多，多出来的这部分就是我们要求的。由问题可知，男生值的数比女生值的数要多四分之一， 这四分之一显然不是四分之一棵树，那这四分之一是谁的四分之一呢？嗯，应该是女生的四分之一，所以我把女生值的这些数平均分成了四份， 然后取其中的一份，所以就是五棵树， 也可以列式表示为二十乘四分之一。哎，你和他画的图一样吗？还有的同学画了不一样的图，我们来看一看。 我画了一个长方形代表女生值的二十棵树，又画了一个长方形代表男生值的数量。我们不知道男生值的数量应该比女生多， 那么多出来的这一部分是多几的四分之一呢？我觉得应该把比女生多四分之一这句话补充完整，应该是比女生多女生值数颗数的四分之一。那么我们把女生值数颗数分成四份， 每份呢就是四分之一，也是阴影部分，也就是我们要求的。 所以呢，我们可以列出一个算式，就是二十乘四分之一， 听明白了吗？为这两位同学清晰的数学表达点赞！好了，我们一起来看看刚刚这两位同学画的这样的两种图， 虽然图不一样，但是我们发现他们关注的核心问题是一样的，都是在想这个多的四分之一到底是谁的四分之一呢？ 我们一起来看。因为男生之数的克数比女生的多四分之一比的是女生，所以多的应该是女生的四分之一，也就是把女生平均分成四份，多出来的就是其中的一份。 好啦，我们在解决这个问题的过程中，其实只要你画的图能够清晰地表达题目中的数量关系都可以。 但是像这样的面积模型的图和线段图是我们今后学习分数相关内容的时候常用的画图的方法，不妨你也可以试一试哦。 刚才我们解决了谁比谁多几分之几的问题，那下面请你提出一个类似的问题，然后把你的问题写下来，然后再用画图的方法尝试去解决。 同学们，我们一起来看看其他同学都提了哪些问题呢？他们又如何解决的呢？女生值数十五颗，如果男生值数的颗数比女生多三分之二，男生比女生多值多少颗呢？ 这个问题和最开始的问题很像，我画的是线段图，这条线段代表女生值数的颗数，男生比女生多的三分之二是女生值数颗数的三分之二， 所以把这条线段平均分成三份，取其中的两份，这也就是多出的部分的长度，所以男生比女生多值了十五乘三分之二等于十颗。 刚才他说他提的这个问题跟我们刚刚研究的这个问题特别的像，然后我们一起对比着来看一看， 我们由从多四分之一变成了多三分之二，其实他们的道理是一样的，因为他们比的都是女生，所以多出来的四分之一，多的三分之二也是多女生的三分之二。 好了，还有的同学提出了不一样的问题，听听看，男生值数二十五颗，女生值数的颗数比男生少五分之二，女生比男生少值数多少颗呢？ 哎，我们刚刚一直研究谁比谁多几分之几的问题，那这个少五分之二又是什么意思呢？又是少谁的五分之二呢？ 这位同学在解决这个问题的过程中，画了这样的两幅图，我们仔细看一看，从图中可以看出，这两幅图都表示女生值数的棵数比男生的少， 但是好像他们是有区别的，那哪一幅图是对的呢？我认为第一幅图是正确的，因为在这个问题里，是女生值数的颗数比男生少了，男生值数颗数的五分之二 单位一不是女生了，男生才是单位一。第二幅图中虽然也有五分之二，但却是女生的五分之二，单位一找错了，所以它表示的应该是男生值数的棵数比女生多五分之二。让我们好好看看这两幅图， 他们的五分之二其实都表示的是一种关系，但是上面这幅图少五分之二，因为比的是男生，所以应该是男生的五分之二，也就是将男生平均分成五份，女生少了其中的两份。 而下面这个五分之二应该是比的是女生，所以多的是女生的五分之二，也就是将女生平均分成五份，男生多了这样的两份， 所以听起来感觉挺像的两句话，但是由于他们的单位一发生了变化，所以他们存在着很大的差异。哦，那我们在解决这类问题的过程中，一定要注意到底多或者是少，是谁的几分之几呢？ 所以经过我们刚才的分析，我们发现确实上面这幅图是对的。那我们在做图的过程中，一定要注意女生比男生少，所以我们这部分画的是虚线。 好了，回过头来看看这个问题你会解决了吧？这道题我是这么想的，便宜了四分之三，意思就是便宜了原价的四分之三， 原价就是八元，意思就是便宜了八元的四分之三。而根据便宜了八元的四分之三，我列出的算式是八乘四分之三。我先约分，最终得出了结果，便宜了六元。 集油的这个问题你会解决吗？我们先来画一画，由于淘气的数量是已知的，我们就先把淘气的六十三表示成一条线段，再来画奇思，奇思比淘气少的九分之二是淘气的九分之二。

黑板上的这两个判断题非常容易弄混淆，我们一起来看一下哈。来，第一个四的倍数一定是二的倍数，有的小朋友看到一定他就觉得他是错的，那我们来分析来，这道题你们的判断是怎么样的？对，判断是对的， 我们来说说为什么？我们先举例子吧，举一个四的倍数，随便说一个举多少， 十二吧，十二吧，十二。举个例子，十二它是等于四乘三的，是不是？好，接着我们可以把这个四拆分，拆分成什么？二二乘二，拆分成二啊，我们判断它是不是二的倍数呀？是不是好拆分成二乘二，后面乘三不变， 好到这里二乘二的积再乘三。我们可以把括号打开，利用乘法结合律，把这个二先提取出来，等于二乘，把后两个数相乘。什么呀？二乘三等于 二乘六，现在四的倍数，这个十二我把它变成了二乘六，它是不是就有一个因素是 二，所以二就是他的因素，所以四的倍数他一定也是二的倍数。老师给你们讲过，孩子的孩子，他也是他的孩子， 所以以后在做这种题的时候，你就去看二是不是四的倍数因素，如果二是四的因素的话，那他肯定就是那四的倍数，肯定就是二的倍数了，能明白不？嗯，好。根据这个题，我们来看这个 一个数等因数有十八，它还有哪些因数？ 哪些因素？和这个题一样的道理，如果一个数有一个因素是十八了，那他还有哪些因素呢？一个数有一个孩子是十八，那还有哪些孩子呢？我们说孩子的孩子也是他的孩子，是不是还有哪些？ 一一十八，二九三六，所以这里的二九三六也是这个数的音数。听明白了没有？好，那我反过来，我们看到第二题， 如果二的倍数一定还是四的倍数吗？ 那这个题反过来，二的倍数一定是四的倍数吗？不是。你们的判断是怎样的？错，你们的判断是错了。首先我可以采用举个例子。 首先哪个例子是错的？是最简单的例子，二的倍数。最简单的是谁？二，他本身二嘛。二是四的倍数吗？不是，二还比四小了呢，是不是？再举个例子，还有谁六，六也不是四的倍数，还有吗？ 十也不是。哎，这些统统都不是。我反过来，小的，这个不一定是大的，这个 会混淆不，同学们不会哈。那今天上午老师讲了四的倍数有怎样的特征，还记得吗？ 二的二的倍数我们是看它的个位，那四的倍数我们是看它的末两位，末两位是四的倍数，那这个数它就是四的倍数。我举个例子， 五百三十二，他是四的倍数吗？是，是，看的是哪两个数字？三十二，末两位，也就是十位和个位。三十二、四八，三十二是四的倍数，所以这整个数他就是四的倍数。注意哈，你 不仅要知道我们书上学的二三五老师给你拓展的知识点，你也要会听白居上。好，放下。

亲爱的同学们，大家好，很高兴我们又见面了。今天我们要学习的内容是北师版教材五年级下册第六单元确定位置。 下面就让我们带着已经准备好的这些学具走进今天的课堂。 同学们，二年级我们学会了用东南、西北、东北、西北、东南、西南八个方向来描述物体的位置。 四年级我们还学会了用方向和距离来描述简单的路线图， 并且我们知道了像在教室这样的地方，可以用数对来确定每个人的位置。但是在很多的实际问题中，对我们确定位置的方法又提出了新的要求。 这节课我们就来进一步研究确定位置。在茫茫的大海上，有一艘船发生了故障， 它不能行驶，进退不得。海上搜救中心的值班员通过雷达扫描发现了这艘船就在距离灯塔不远的地方。 那大家想一想，如果值班员要组织附近的救援船队前往救援，他要做什么呢？ 我觉得值班员需要弄清楚这艘船的准确位置，然后把位置报告给附近的救援船队，让他们前去开展救援。 是啊，组织救援时，必须要报出故障船所在的位置，这样救援船队才能准确地进行营救。 大家请看，这是当时故障船和灯塔所在的位置。那如果你是值班员，你能向救援队发出准确的求救信息吗？ 我觉得能。通过看图，我发现故障船在灯塔的东北方向。 我不同意你的说法，如果是救援船队听到这个求救信息，只知道往东北方向走，但是图上这一片区域都属于灯塔的东北方向，到底在哪呢？需要往东北走多远呢？还是不知道？ 是啊，我们现在需要的是向救援队发出准确的求救信息。那如果是你，你会怎么办呢？ 大家想一想，以灯塔为观察点，要向救援队发出准确的求救信息，那求救信息里应该说明哪些关键信息呢？ 想好了之后，借助你手中的工具画一画，量一量，最后结合你所画的图和测量的结果，说一说你的求救信息是什么？ 好了，我们一起来看看同学们是怎么想的。 我觉得只说方向肯定不行，还应该进一步说清楚故障船距离灯塔有多少千米。所以我把灯塔和故障船的位置用线连起来量了一下，发现是五厘米，而图上的一厘米代表实际的三千米，所以就是十五千米。 我发出的信息是故障船在灯塔的东北方向，并且距离灯塔十五千米。 那结合刚刚这位同学所说的，现在请大家闭上眼睛想一想，假设你现在就在灯塔的位置，那向东北方向走十五千米，你能找到故障船吗？ 我觉得那可不一定，照这样说，故障船可就不一定只在这个位置了。大家看这一个点也在灯塔的东北方向，离灯塔也是十五千米， 除了这个点还有好多个点，我觉得这些点都能表示故障船的位置。 也就是说如果发出的信息是这样的，故障船在灯塔的东北方向，并且距离灯塔十五千米。 通过这一信息，我们只能判断出故障船所在的位置应该在这条线上，但是并不能够确定出故障船的准确位置。 那怎么样才能更准确呢？ 我觉得应该把角度也说清楚，这样他的位置就固定了。 我在课外书中了解到，在军事作战中，一般用几点钟方向来确定位置。我看了一下这幅图，故障船应该在灯塔的两点钟方向，距离灯塔十五千米。 哎，听完这位同学的发言，还有些同学有疑问和补充，我们一起来听一听。 我对刚才同学的发言有补充，我觉得用两点钟的方向不太好，虽然在这个问题中，两点钟方向正好是六十度， 但是如果是六十一度，六十五度呢？用几点钟就不好说了。所以我觉得说度数比说几点钟方向更准确。你同意他说的吗？ 我同意在求救信息中加入角度， 我用连角器量了一下，这个角的度数 是六十度， 我会这样发出求救信息，故障船应该在灯塔的从北再向东过去六十度，距离灯塔十五千米。 你听懂了吗？这位同学所说的从北向东再过去六十度是什么意思呢？ 我们结合图来看一看。在图上上北下南，左西右东，那从北向东再过去六十度，指的就是从正北的方向再往东六十度， 也就是这个方向了。为了方便我们交流，在数学上我们将这样的方向表述为东北偏东六十度。 好了，你能像这样表示具体的方向了吗？还有的同学也量了脚，我们一起来看一看。 我受同学和老师的启发，我同意刚才这位同学的方法，我也是用量角器量的，我量的是这个角， 是三十度， 所以故障船应该在东偏北三十度，距离灯塔十五千米， 哎，这位同学量的角和刚刚那位同学量的角不一样。对比这两位同学的想法，我们发现 不管是用北偏东六十度还是东偏北六十度，其实通过他们的发出的求救信息，我们都能够准确地确定出故障船所在的位置。 其实在图上我们再来看一看，北偏东六十度， 也就是东偏北三十度。好了，听完刚刚这三位同学的分享，我们发现 有的同学借助几点钟方向来说，有的同学通过测量出具体角的度数来说，其实这些都跟角度有关系。 用角度去确定东北方向的不同位置确实是个好方法。有了角度，方向就更准了，再加上距离，哎，这艘船的位置也就确定下来了， 所以方向、角度、距离缺一不可。好了，我们知道了以灯塔为观察点，故障船在灯塔的什么位置。 那反过来大家想一想，以故障船为观察点，灯塔在故障船的什么位置呢？ 针对这个问题，有一组同学展开了讨论，我们一起来听一听他们都是怎么说的。 我认为灯塔在故障船的南偏西六十度，距离故障船十五千米。 我不同意他说的，我认为灯塔在故障船的西偏南六十度，距离故障船十五千米。 他俩说的我都不同意，我觉得故障船和灯塔都没动，所以位置也应该不变，还是北偏东六十度，距离故障船十五千米。 听完这三位同学的发言，我们发现他们的想法都不一样， 但是他们的争议点主要集中在灯塔在故障船的什么方向，那是南偏西六十度还是西偏南六十度还是北偏东六十度呢？ 你认为他们谁说的对呢？ 我觉得第三个同学的想法是不对的，因为现在观察点变了，所以方向应该是反过来的，就比如说你在我的东边，那我应该就在你的西面，那故障船在灯塔的东北面，灯塔就应该在故障船的西南面。 我同意他说的，因为现在观察点发生变化了，所以应该在故障船这里看灯塔的位置，方向标应该挂在故障船，那 如果像第三个同学说那样，灯塔应该在这个区域，所以是不对的。从图中可以看出，灯塔在故障船的西南方向。 哎，那是南偏西六十度还是西偏南六十度呢？ 我们来看一下灯塔所在的位置，应该是从正南的方向往西六十度，所以是南偏西六十度。而西偏南指的是从正西的方向再往南， 灯塔所在的方向应该是从正西的方向再往南三十度，所以是西偏南三十度，而不是西偏南六十度。哦， 看来啊，在确定位置的时候，方向、角度、距离很重要，找准观察点也是非常关键哦。 好了，同学们，救援信息一发出，附近有这么多救援船队都能够参与营救，他们向值班员汇报了他们在灯塔的什么位置， 其中有一艘船在灯塔的南偏西四十度，距离灯塔九千米。那大家想一想，这是其中的哪一艘船呢？ 我认为在灯塔的南偏西四十度，应该是在灯塔的西南方向，所以肯定不是 a 和 e。 我觉得 d 也不可能，因为南偏西四十度应该不到一半，也就是四十五度的位置，只可能是 b 和 c， 可是船距离灯塔九千米，应该在距离灯塔三厘米的位置，而 b 离灯塔太远了，和故障船到灯塔的距离差不多了，所以 b 也不是 c， 就是 那艘船， 也就是说在灯塔的南偏西，让我们知道了这艘船就应该在灯塔的西南方向的这个面上，又知道了是南偏西四十度，说明这艘船就应该在这条线上。 又根据距离灯塔九千米，说明这艘船的位置就在 c 点的位置。 好了，再回看刚刚我们发救援信息的这个过程， 同样也经历了由面到线再到点的过程。其实不论是寻找确定某一个物体的具体位置，还是根据信息找出这个物体在哪里， 在明确了观察点的前提下，方向和距离都是缺一不可的。好了，同学们，这节课我们就上到这里，请大家稍微休息一下，喝点水放松放松眼睛。

五年级下册数学所有知识点及公式，看这八页就够了，吃透，轻松逆袭前三！一、常用单位换算包含体容积、面积、长度等六类单位换算，尤其记住重点口诀，大化小乘进率小化大除以进率。 二、常用数据包含特殊数、乘积平方数、立方数，还有工程销售问题基础公式。三、运算定律、乘法结合率和乘法分配率是常见必考公式，同学们一定要掌握。 四、数量关系五、几何图形、六、因数和倍数。老师总结了这一类题最常见的重点题型，尤其记住重点口诀，相同为偶，不同为奇。老 师还总结了一百以内计数表及专属记忆口诀。七、常见数学模型汇总、利润、盈亏、流水等九类应用题公式是应用题解析核心。以上七大模块对于五年级的同学非常有用，各位家长可以打印，方便孩子使用。

下面我们开始学习北师版小学数学五年级下册第二单元展开与折叠。在开始上课之前，我们先来看一组有意思的照片， 同学们看出他们在做什么了吗？他们呀，在拆纸盒，画纸盒，做纸盒，那他们为什么要做这些事呢？ 因为啊，这是李老师给他们留的数学寒假作业。那李老师为什么要留这样的作业呢？ 因为李老师觉得只有多动手操作，多展开想象，才能帮助我们学习好第二单元的内容，尤其是学习我们今天的展开与折叠的内容。 在下面的学习过程当中，如果你有哪想不明白的，千万别着急，只要你多动手操作，多多的展开想象，慢慢的你会非常喜欢这部分内容的。好了，言归正传，我们先来说说什么是展开图吧， 像笑笑这样，把一个正方体盒子沿着棱剪开，就得到一个展开图，注意可不能像鸡零狗这样哟。那我们来看看同学们是如何把一个正方体纸盒展开的吧！ 想得到这个正方体的展开图，我们可以先把这个正方体顶面的这三条龙依次剪开，得到这样一个图形。然后我们再把这个正方体左面的这两条龙依次剪开，得到这样一个图形。 最后我们再把这个正方体右面的这两条龙依次剪开，这样我们就可以得到这个正方体的展开图了。同学们，你能想象的出来吗？我们再来看另外一位同学的操作。 首先我们将正方题上面的这三条棱剪开，然后我们将正方题左边的这条棱和下面的这条棱剪开。最后我们将正方题下面的这两条棱剪开， 于是我们就得到了这个正方体的展开图。同学们，如果给你一个正方体纸盒，李老师，相信呀，你肯定也能够正确的展开。 那刚才这两位同学展开的可都是正方体哦，它们的展开图是不一样的，如果你来展开，相信你的展开图也有可能和它们不一样的。 那如果我们手中没有这样的展开图可控操作，我们该如何进行想象呢？我们听听这位同学怎么说。 我想象着，先沿着正面的这三条红色的棱剪开，前面就展开了，然后再沿着这四条黄色的棱剪开，就得到完整的展开图了。 怎么样，同学们是不是觉得他说的有点快呀？经过反复的练习呀，相信你也可以达到这样的程度。那接下来大家就跟随李老师一起来一次慢想像，我们一起来练习一下 陶器，沿右图所示的粗实线和粗虚线剪开正方体纸盒，然后将纸盒各面向外展开。那么展开后得到的图形形状是哪幅图呢？ 你想好了吗？接下来和李老师一起来想象吧！在开始想象之前呀，我们先来回忆一下刚才的三位同学在展开正方体的时候，尤其是展开第一个面的时候，它们剪开了几条棱呢？ 三条，对了，那我们开始啦，李老师想象。这样，我先沿着上面的三条粗线剪开，上面就打开了， 我再沿着下面的三条粗线剪开，下面也打开了，你能想象出现在的样子吗？上面打开，下面也打开，中间的四个面是连在一起的， 最后我沿着剩下的这条粗线剪开这个长方，这个正方体就完全打开了， 答案就是 c， 你 选对了吗？可能有的同学呀，觉得，哎呀，挺轻松的，我很快就想到了。也有的同学觉得这事太烧脑了，怎么想不明白呢？ 如果你是后者，也不用着急，课后多找几个纸盒子拆了想，想好了再拆，你也会越来越熟练的。 刚才呀，我们把正方体展开了，现在我们还要把展开图折叠成正方体。我们先来看看视频中的同学是如何操作的。 把这个展开图折叠成正方体，我是这样想的，我们先从底部入手，把二号面 设为这个正方体的底部，剩下的也就是四个侧面和一个上面。再看看二号面相邻的三个面，一五三， 也就是这个正方体的三个侧面。我们把这三个面折上一五三， 折成了三个侧面。第四个侧面，也就是与三相邻的六号面。向六号面折过来，四个侧面就折好了， 剩下的四号面也就是它的上面了，折过来正方体就完成了。 怎么样，同学们，是不是挺简单的，如果有一幅展开图放在你的手上，我相信你肯定也没问题。 那现在问题来了，我们只有这样的展开图，没办法放在手上，我们只能靠想象把它折叠成正方体。像刚才视频中的同学，他把其中的一个面当做底面来进行想象，这就是一个好方法哟。 我们当然也可以固定其中一个面当做前面，或者当做左面，都是可以的。那下面李老师让把其中的一个面当做底面来想象一下。我们把三号面当做底面来想象 它旁边的二号面、六号面、四号面和它相邻。 我先把六号面向上折作为这个正方的前面，再把四号面向上折作为这个正方的右面， 然后把二号面向上折作为这个正方的左面。这个时候呀，一号面和五号面也跟着二号面一起折上来喽。 我再把一号面向下折作为正方体的上面，最后只剩下五号面了，它就是这个正方体的后面。 这位同学在进行折叠正方体的时候呀，在图上做了这样的标记，你能看懂吗？ 我看懂了他的想法，画有相同符号的面是正方体中相对的面。按照这一思路，我很快就能把这幅展开图想象成正方体了。画有相同符号的面，是在正方体中相对的面。 利用展开图与正方体各面之间的关系，我们可以很好地进行折叠。在进行折叠的时候，还有的同学习惯从展开图的一端开始折叠，我们看看他是怎么做的。 那刚才我们没有看到这幅图像，它是从一端开始折叠，直至折叠成一个正方体。在后面我们还会看到这次图片的， 在刚才我们展示的三种方法当中，你喜欢哪一种呢？有没有自己更喜欢的方法呢？ 在学习这部分内容的时候呀，只要你多动手操作，多想象，就一定会越来越熟练，越来越习惯这样的思考方式的。你，还有什么想要继续研究的问题吗？ 是不是只要有六个小正方形连在一起的平面图形，就都可以围成正方体呢？ 正方体的展开图有多少种？嗯，真是一些好问题。在课后，你可以利用手中的正方体，或者通过画图继续来研究这些问题。 你也可以在课后坐一坐，想一想做什么呢？你可以找一个纸盒展开 折叠回来，粘贴好，然后换一些棱，再展开，再折叠，再粘贴好。在如此反复的过程中，你一定会有新的发现的。 还有一个特别有意思的想象的小游戏，你可以想象着把自己的房间展开，你站在地面上，你的四面墙会铺展到哪里去呢？你的天花板随着哪面墙铺展开了呢？ 这是一个特别有意思的小游戏，当然，你别忘了把你的房间折叠回来哟。好了，今天的课我们就上到这里，下面请你站起身，活动一下身体，跟随展开的正方体舒展一下筋骨吧！