一阶非齐次微分方程特解公式

首先我们把这个形式给出大家前面这一部分都是一样的，后面这个地方是不一样的，如果这个后面整体的是等于零，我们叫做其次的，如果不等于零，我们叫做非其次的， 那么对于这个非其次又有两种形式。第一种形式就是我们给出这个就是前面是 e 的两打 s 方，然后再乘以个 pm， pm 是一个多项式。 第二种形式就是前面是伊德兰文塔 s 方，后面跟的是散引或者扣散引，那么对于第二种形式一般考的比较少。 然后对于这种非其次的，把握住这个蓝位塔，还有这个 pm 是非常重要的。首先我们给出三种方程，然后通过这三种我们来看一下 pm 和两位塔，你比如这里的一的二倍的 s， 那对着这里很容易可以看出来这个栏用它是等于二的，然后这里的 s 加一，那就相当于这里的 pm 位置，那么这个多样式就等于 s 加一。 然后我们再来看一下下面这个很容易可以判断这个两位大师等于三的，那么这里的 pm 到底等于多少？这里并不是没有 pm， 你可以理解为他是等于一的，那就相当于是 s 的零次方，所以说这里的 pm 他是等于一的。 好，下面这个十字我们来看一下，这里你看一下他没有 e 的多少次方向，那我们来对这来看一下这里的栏位，他如果我们是取零的话，那就相当于是 e 的零次方， 一的零次方式等于一吧，所以说对照这种形式，这个栏目他应该是等于零的，然后他的 pm 是等于三， s 加一， 下面我们来给出这个二阶长系数非其次他的解的结构，他的解的结构是等于齐通加菲特所谓的其通，也就相当于我们把后面变成零，对应的是其次方程求这个其次方程的通景，我们记得大腕这就是其通， 然后所谓的菲特也就相当于满足这个方程的一个特解，我们计为万兴花，所以说只要我们找到了他所对应的这个其次方程所对应的通解，然后大腕还有这个特解，把他们加在一块，就是我们要求的这个非其次的通解。 好，下面我们看一下具体的题目，那么根据这个解的结构，首先我们来求一下这个其通，那就相当于把后面这一部分我们当做零，当做零以后，如果我们要求他的通解，首先要写他的特征方程， 那就是二平方减去五倍的二加六等于零，然后通过这个一元二次方程把它的特征根给解出来，二一是等于二的，二二是等于三的， 然后根据这个解的结构，在二一不等于二二的时候，套到这个公式，也就把这里的二一换成二，这里的二二换成三，就直接写出他通解的结构，那么这里是其次方程所对应的通解，那就是大外我们表示出来了。下面一步我们来求一下这个外星花，也就是他特解。 求之前，首先要把蓝文塔还有 pm 写出来，那么把这一部分还有这一部分进行比较，这很容易可以得出来，蓝文塔是等于二的， pm 是等于 s 的。 下面我们直接给出他特解的结构，他是这三项组成。首先我们来看一下第一项 s 的 k 次方， 我们要判断的就是这个 k 的取值， k 的取值规则是依据这个，如果这个栏位他和这个特征根进行比较，他既不等于二一，也不等于二二的话，那么这个 k 值取零。 如果他等于二一或者等于二二，也就相当于这个蓝字塔是他的特征单根的话，那么这个可以取一。 如果这个篮用它等于这个二一，而且是等于二二的，也就相当于这个篮用它是特征重根，那么这个 k 他取二。那么我们对照来看一下， 这里的两个塔是等于二的，这里的二一是等于二二，二是等于三，所以说他应该是他的特征单根，那满足第二条，那么可以取一，这个可以取一的情况下，那这里的 s 的 k 次方，那就是相当于 s 的一次方。所以说 第一部分求出，下面我们来看一下第二部分，就 e 的蓝红塔 s 四方，那么这里的蓝红塔对应的是二，所以说可以直接写出 e 的二倍的 s 四方。第二部分求出，下面看一下第三部分 qm， 首先我们给出这个 qm 的取值规则， 这个 qm 是根据这个 pm 进行取的，如果这个 pm 是等于 s 的，那么这个 qm 是取 ab 的 s 加 b。 如果这个 pm 他是取的 s 方加六，那么这里的 qm 他应该是取 ab 的 s 平方加 bs 再加 c。 如果他取 s 方减 s 加一，那么他应该是取 a 倍的 s 方，加上必备的 s 平方，再加上 c 倍的 s 再加 d， 一次往下减。 如果这个 pm 对应的是长数，那么这个 kim 对应的也是长数。总结一下规律， 对于这个 pm， 我们只看他的最高次向，那么其余的我们都不看你比如说第二个，我们来看一下这里的最高次向，他应该是 s 平方， 所以说对应的 qm， 你从 ab 的 s 平方，然后一次往下减，下面是必备的 s 的一次方，然后 c 倍的 s 的零次方一定要写全， 那么这一题我们对照来看一下，这里是 s 的一次方，所以说对应的 qm， 他应该是 a 倍的 s 加 b， 那么第三项完成。下面我们又解这个常说 a 和 b 这里的特点，也就相当于这个特点，他是满足上面这个方程的， 上面这个方程里面有挖撇，有挖撇撇，所以说我们对这个挖杏花先求倒，先求他的一结岛，求完一结岛以后再求他的二结岛，然后再把这里的二结岛，一结岛，还有这个挖杏花分别带入到上面这些位置，然后整理化解，就可以得到下面这个式子。 得到这个式子以后，对应系数相等，那也就相当于这里的负二乘以 a 倍的 x 是等于这里的 s 的，这里的二 a 减 b， 他应该是等于后面没有，应该是等于零的，我们就可以得到这个放生组。通过解这个放生组可以求得 a 应该是等于负的二分之一， b 应该是等于负一的， 然后再把这两个数带到这里的 a 和 b， 我们就可以求得他的特点应该是等于这个式子，那么特点也完成了，这里的奇通我们完成了， 这里的飞套我们完成了，把他们俩加在一起，就是我们要求的这个通解，那么这个题也就算完成了。首先给大家说一下这里的难点在哪？ 难点在于你写出这个痛节以后，对他求一也倒二也倒的时候，因为这个计算过程是相对比较麻烦的，你算的时候很容易算错。

没有怀里的拍摄，只有满满的干货。这节课磊哥带大家来看一下一阶线性微分方程通解公式的推倒第二集，我们来推一下一阶非其次，现象要现性微分方程啊，首先你要了解什么叫非，其次 就 dybdx 加上 fs 乘以 y 等于 jx。 呃，磊哥上节课已经说过了，区分其次还是非其次，主要看这个等号的右边是否为零，如果是零就是其次啊，就用上集的视频的方法去做啊，如果不是零，它是一个长数啊，这个 jx 可以认为是一个长数或者是一个函数，那我们就说是非其次，好，我磊哥来推一下啊，这个公式磊哥上节课已经给过了，我再来推倒一遍啊，真正以后在做的时候，你就不用再去推倒了啊，只需要记住就行了啊，这推倒的话，我们用一个方法就 长树变异法啊，长树变异法是一个比较重要的方法啊，就我们把啊长树变异，长树变异，把一个长树啊变成一个函数啊，长树变函数就长树变异法。好，那我们来看一下 啊，磊哥，上面这一行，这一行写的是。其次， dybdx 加上啊，他等于领我们上节课推了他的公式 啊，他的公式等于他啊，那我们由他我们来猜测一下，你看他俩很像，只是等号右边一个是零，一个不是零，我们去猜一下本来这个上节课的这个公式，这是一个常数，常数 c 啊，我们常数变异了，我把它变成不是常数，变成一个函数 cx 啊，后头这个啊，我们假设他是一样的啊，这是我们猜出来的一个东西，也就是说我们猜出来这个啊，一阶非其次，他的这个通解是，应该是这个公式，应该是他 啊。现在问题就来了，这个 cx 到底等于谁啊？是关键啊，所以我们现在来求一下这个 cx 到底等于谁？好了，我把这个来折一下。 好，我们接着来看 啊，我们现在已经假设外等于 cx， 这是一个函数啊，我们由那个其次我们去猜测，而这个非其次 啊，应该是一个函数乘以这个，呃，整体的形式。好，我们来看，因为那我们猜的啊，四 x 乘以他啊，然后我们两边两边去倒数，两边同去倒数啊，看下右边，右边是一个乘法的倒数 啊，这是一个函数啊，这是一个，这是一个乘法的导数。那你用公式去做优导威加上尤威导啊，这是一个符合函数，求导。磊哥，这一步就不解释了啊，这是一个符合函数去求导 啊。乘法乘法倒数公式有倒微啊，加上有微倒加号，为什么变减号？嗯，前头提了一个符号出来啊，啊，两边敲完倒数就变成了这个式子啊，这个式子太关键了。好了，那我们来看一下， 看一下我们刚才的这个式子，这是那个非其次那个形式，我们桥完岛得到了一个这样的一个式子，得到了，是这样的一个式子。 好，那我们现在把这个柿子，把这个柿子给他带到这个里头去，把这个柿子，这个柿子带到这个柿子里头去，看一下这个柿子。磊哥画了个箭头，这个柿子就变为 d y b d x d y b d x， 用右边这一堆给他换掉啊，就是磊哥红笔写的这一部分 红笔写的这一部分啊，换掉了以后，然后再你来看啊，这里头还加了一个 fx， 城外 那 fx 照抄啊，加 fx 照抄。 y 是谁啊？看到外了没有？ y 是他啊， y 给他换掉啊，等号右边是 x 照抄啊，这样一换后，你会发现，哎，这一个，这一部分和这一部分一正负全部消掉了。呃，其实我们就得到了啊， c 片 x 乘以一的负的这么多次方，等于 jx， 那负的这么多次方啊，哪个把他踢到右边来啊，就变成正的，就变成正的啊，差个符号符号啊，那个高中都学了，你说 x x 负一次方式不就相对是 x 分之一吗？啊，挪到等号右边去啊，那个符号就没有了。好，就变成这了啊，变成这了以后，两边同时积分，两边同时积分，你给他的导数去积分找原函数，然后这边啊，右边就是他啊，那这样的话，我们就 算出这个四 x 啊，这个通界公式，我们把四 x 啊，用这一堆啊，用这一堆，哎，给他换掉就可以了。好，我们来。很多人觉得啊，这个公式很麻烦啊，所以说需要你自己去反复的去记忆啊，这有一个小技巧，就是这个东西，这个东西和这个东西 和括号里的这个东西啊，我们来观察一下这两个东西啊，这两个东西是互，为什么说的互为导数 倒数啊，分之一啊，分之一。好，因为他差了一个符号。好，我们来通过一个立体来看一下。 好，大家来看这个题啊，这个题的话，磊哥在前面啊，磊哥讲过这个题一模一样的题，你可以去翻一下啊。磊哥，前期的一个视频，我们用的是其次微分方程，其次微分方程啊，用 那个，其次威风方程换了一个 t 去做了啊。这节课我们再来用一下这个公式法。好，首先来看一下题给的这个把，把这个东西给他移个像，把这个移到左边去啊，你看就变成这个样子。那你看一下和这个，其次啊，这长得是一模一样， 这里的 fx 就是负的，负的 x 二，这里的这个 jx 就是负一啊，那我们直接套这个通解公式就可以了，你把啊 jx 和 fx 啊，对应的给他带进去啊，对应的带进来啊，那原式就会变成他啊，变成他了以后我们现在只来看这一部分。 磊哥，把它单独写出来啊。第一步，符号踢出去啊，变成了这东西啊，这东西给他积分浪 x 平方，那这还有个 ee 的 e 的这么多次方，是不就是 e 的这么多次方啊，是不就是 x 的平方啊？这是高中的一个公式，就是 a 的 log， 以 a 为 d， n 的对手等于 n。 高中的公式啊，那他等于 x 的平方啊。磊哥，他已经说了，这个东西和这个东西啊，他俩他俩是互为导数的，互为导导数就是分之一，互为导数。 所以呢，这是 x 的平方啊，那里头这个东西那肯定就是 x 的平方分之一了。那前头负一照抄，那负的 x 平方分之一去积分啊，找原函数，是不是就是 x 分之一啊？所以这个外就出来了啊，呈现了四 x 方啊，磊哥，把这个往上往上抬一点， 所以你给这个东西啊，负的 x 方分之一去积分找原函数 x 分之一啊，加 c 找超， x 方找超，你把 s 方再惩进来，所以这个就出来了啊，当然是一模一样的啊，感兴趣的人可以去发放前面的视频。好了，这节课就跟大家分享到这里。

呃，微分方程，来先认识一下他先认识一下啊，我们就很直接的啊很直接的。什么样的叫微分方程？ 大家一定要记得他一定含什么，一定含导数这个东西， 一定含这个，比如说，呃， y 方加四 x 等于零，这个他就不是微分方程，因为他没有含导数。 好像这种大家看一下，像这种，你看，哎，就喊导数，你看，像这种，哎，注意啊，这种也是啊。哎，这种你给他改一下嘛改一下就是写成 d y 比 d x 等于 x 分 之 y 嘛， 这个这个把 d x 挪过来，把 x 挪过来。哎，不就这种形式吗？注意。呃， d y d x 挪过来，把 x 挪过来。哎，不就这种形式吗？注意。呃， d y d x 它就是歪撇啊它就是歪撇 啊，当然可以是 y 撇，也可以是 y 两撇，也可以是 y 三撇 啊，或者是注意四节倒啊，四节倒就这样写了啊，就不再四撇了啊，哎，五节倒就五，写个五，这个叫叫五节倒。 好，一定是含这个导数的，叫微分方程。好，微分方程的结，来认识一下什么叫结啊？结是什么意思嘞？他就是最高阶导数的结数， 大家看一下这里这里的最高阶有几阶，导告诉我啊。对，大家看一下，有三阶导，这个就叫他的阶。 哎，注意啊，他不是这样的啊，比如说我这里搞个五次方， 对啊，这里搞了个五次方，最这个结指的是最高结的导数，他不是指的这个次方啊，他不是这个五次方啊， 所以大家要搞清楚这是结数。好，呃，我们涉及到的一般来说就是涉及到二结三结了不起了，基本上就是一结二结就打住了。 好吧，好，现在咱们叫看一下什么叫微分方程的解，什么叫解啊？ 哎，我用通俗的语言来讲，好吧，比如说，比如说这么一个微分方程啊， y 撇等于二 x， 那 么我们可以猜到，哎，我们可以猜到 y 嘞，哎，是 x 的 平方， 当然 y x 的 平方加一也可以， y x 的 平方减一也可以。我问一下大家，这些是不是都是满足这个方程的？ 哎，满足这个方程的函数，我们就叫解， 满足这个方程的函数就叫解，那么解呢？分为通解和特解，哎，什么叫特解啊？大家看一下这个是不是一个哎？实实在在的 对不对？实实在在的就是说确定的，不含什么位置的东西，实实在在的这么一个解，这个就叫特解，这个也叫特解，这个也是特解。 好，什么叫通解嘞？哎，通解就这样了，来重新写一下啊，比如说 y 撇等于 x， 大家看一下它可以是 y 等于 x 的 平方，也可以是 x 平方加一，也可以是 x 平方减一， 这些呢，我们都叫特解。来，我们观察一下他这个结有个什么样的，有什么特点，大家看一下。呃，这一项是确定的， 这一项是确定的，对不对？这一项是确定的，但是这边呢，这个常数可以任意的干什么？ 你加一也行，减一也行，加一万也行，减一万也行，也就说后面这个常数嘞，哎，他可以变都可以，那么我们就可以给到，哎，一个通用的，那你所有的九我都可以写成这样， 加上一个什么呢？加上一个 c， 像这种情况就是，哎，相当于 c 等于零，这种情况呢，就 c 等于一，这种情况呢， c 就 等于负一， 哎，像这种解，我们就叫什么呢？就叫通解，就叫通解。好，这个通解的意思明白了没有 啊？通解的意思明白了没有？明白了。 ok， 好， 那么我们现在就哎有一个直观的认识了，就是说特解， 特解，比如说像这个啊，它的特解，哎，特解里边含不含未知的这个 c 含不含 啊？不含位置的，他这里边的数都是明明白白的，确定的他不含的位置的东西。但是通解嘞，通解里边一定含一个任意常数。 好，这个任意常数，大家注意，如果像这种啊，这个叫一阶一阶微分方程， 一阶微分方程呢，它就含一个啊，任意常数的个数呢？等于方程的结数。你一阶微分方程，它的任意常数呢？就是一个。 像这种是三阶微分方程啊，三阶微分方程，那么三阶微分方程嘞，他就要含多少个任意常数嘞？要含三个， 而且这个任意常数是不可合并的。来，现在给大家讲什么叫不可合并的任意常数？比如说 x 的 平方加 c， 比如说 y 等于 x 的 平方加 c 一， 加 c 二，加 c 一， 加 c 二。当然 c 一、 c 二都是任意场所， 那么在这里，在这里，这两个鬼东西，它就可以干什么呢？它就可以合并 啊，他为什么可以合并呢？你看，你也是任意常数，你也是任意常数，那我把你们俩合起来，用一个 c 表示，是不是也是个任意常数？ 像这种情况，他就是可以合并的任意常数。大家注意，我们这里任意常数的个数是不可合并的，那么什么情况下不可合并呢？哎，像这种 y 等于 x 的 平方加 c e， x 加 c i， 那 我问一下大家，这个 c e 和 c i 你 能不能合成一个 c， 我问一下大家，你能不能合成一个 c， 哎，就合成不了了，好，大家注意啊，就这里他考试嘞，还有点用，我跟大家说啊，这个考试的时候还有有点用，先记住啊，就是说，哎，要是通解的话，这个任意常数肯定要有 有几个嘞，就是你是几阶的，那就有几个，你是三阶微方程就有三个任意常数，三个任意常数就用分别用 c 一， c 二， c 三表示啊，那如果是一个任意常数，你就用 c 表示， 而且是不可合并的。好，我们就用这点知识来看能不能搞定一些题目再说。来啊，先来看一看这个题，好吧，先来讨论讨论这个题，好吧，哎，我们现在呢，哎，想 有些题可以做了，就是我们用最笨的方法做，首先他说这个是不是他的解， 是不是他的结，你就给他套啊，呃，我像这这两个类型题一样的，就说这两个题类型一样，我就讲一道题啊，就讲一道题，好吧， 哎，他说是不是他的结，那你就往里边套，怎么套嘞？你看这里有一个 y 撇， 有一个 y 撇，那你就先根据它求一个 y 撇，你看啊，它求一个 y 撇，就是负的 c e e 的 负 x 加 c， 好， 还有一个 y 连撇， y 连撇呢，你就给他再导一下，就又变成了 c e e 的 负 x 加 c， 好， 把这两个带进来， 哎，把这里带进来，带进来。看满不满足这个方程，如果满足， 如果满足这个方程就是什么啊？满足这个方程他首先是解吧首先是解，哎，我们呢给他带进来以后，哎，他是满足的啊， 哎，满足的，所以他首先是解好。已经确定的是解了啊，所以这个先排除好。我问一下大家，他这里有 c 一 有 c 二有待定的常数，那他是不是特解？ 有，呃，就是说他是有位置的这个数，有位置的数他就不可能是特解吧就不可能是特解好，是不是通解嘞？来，是不是通解来判断啊？大家看一下这里是几阶微分方程。 是二级位方程吧。二级位方程好，二级位位方程有两个位置数，哎，有两个位置数，可以来看看能不能合并来。我们讲了两个位置数是满足了，但是呢他又不能合并 来。大家看下这个大家讲啊，我可不可以写成 c e e 的 负 x 再乘以 e 的 c i， 可不可以写成这样啊？ 啊？可不可以写成这样？好，竟然可以写成这样，我问一下大家，你，哎，大家看下啊， 你是一个数，我也是个数，而且我们俩都是任意的，那我可不可以把 c 一 一的 c 二把它合起来，用个 c 来表示， 用个 c 来表示，可不可以啊？可以吧，那就说明它可以合并。那既然可以合并能不能说是通解 啊？他不能合并，那就不是通解啊，对不对？所以答案就选 d， 答案就选 d。 好， 这就明白了啊，好，来看这道题， 兄弟们现在微分方程求解嘞，我们也还没解啊微分方程求解，我们还没解，但是呢我们微分方程这里有一个最笨的方法， 有一个最笨的方法就干什么嘞？哎，他说他是他的姐，那么这里就相当于 y 等于 y 等于 y 等于 y 等于 你。如果说用最笨的方法你就把他，哎带进来看行不行？你把他带进来看行不行？带到哪个对 哪个就是对的。好，我这里就不给他带了啊，我就不给大家带了。好，你带的话你会发现这个是对的啊，你带进来的话他是对的。好，这个地方大家注意，有兄弟嘞，这里有个绝对值， 有个绝对值他在，哎，就比如说他这个时间就是 y 等于 c i 减绕音 哎， x 加 c 一 嘛，好，他有个绝对值嘞，他求导他就不会了啊，因为这里有 y 撇 y 撇嘞。哎，这个求导没了大家注意， 有绝对值的求导，你当没有，你就当他是干什么嘞？你就当这个东西是大于零的就行了， 你就当他是大于零的就行了。为什么他要这样写嘞？就是说数学的严谨性数学的严谨性就是对数的话，他这个，呃指数嘞，呃，咱们叫底数，叫真数吧， 要求是大于零的，要求大于零的，所以他给了个绝对值。严谨的写法是带绝对值的。那如果说四个答案里面没有绝对值嘞，没有绝对值，我们也当他是对 啊，当它是对的，好吧，好，那么求导求导，你就不要管它，你就就当它是正的就行了。好，那么 y 连撇， y 连撇，那就就变成了 x 加 c e 的 平方分之一。好，你把它带进来， 你就会发现这个是满足的啊这个是满足的。好，呃，这题有没问题？没问题咱们就过了好吧， 呃，没问题，咱们敲个一，好吧，好， ok， 呃，后边我看一下啊， 这个题不讲了啊这个题不讲了，我们讲一下这个题，好吧，讲一下这个题啊，大家看一下。过点，首先啊，首先呢，哎，这个过这个点，就是这个曲线过这个点，然后呢，斜率又是 x， 斜率又 x， 那 么它的表达是首先要过这个点， 过这个点是什么意思呢？也就是说 x 等于一的时候， y 等于二，也可以这样写，哎， 也可以这样写，那么这个东西就是反映的过这个点啊，过这个点好，斜率是这个，斜率是这个，也就说明 y 撇是等于 x 吧， 因为一阶导就表示斜率，一阶导就表示斜率。哎，这道题就出来了，好，有没有问题？没问题，咱们敲个一过了，好吧。啊， 好，这是这道题啊，后面这道题不讲了啊，后面这题不讲了。好，现在咱们讲微分方程的求解。好，这里就要给大家讲了，微分方程的求解， 微分方程的形式那就很多啊，微分方程的形式那就很多，那么我们讲的就是讲考试，呃，就是最基本的哎，也就是考试范围内 最常考的模式，因为针对不同的微分方程，他的通解公式嘞，是不一样的啊，通解公式是不一样的啊，我们就记几种，哎，最常考的就行了啊，一个是可分离变量的微分方程 啊，还有就是一阶限性微分方程，二阶，其次限性微分方程啊，我们就讲这三种，别的呢，别的搞到了，我们就套答案， 就是说我们不会做的题啊，就跟讲跟刚才讲的这个题一样，就说我们不会做，就是说我们自己不会求， 不会求，那我就反着来啊，反着来，我不会求，就说我顺着，不会求，那我就反着来，反着来，我往里边套，我就往里边套，这是最笨的方法， 就不会做了，我们就反着来，但是呢，呃，对于常考的这几种，我还是要把这个方法给他讲一讲，你不能说每一个题都去套啊，是不是啊，我们该顺着来的还是要顺着来啊。好吧，好，现在呢，我们就讲啊，常考的啊，三种， 一个叫可分离变量的微方程呢，就是说他一定可以写成这种形式， 就是说 x 的 放到一边， y 的 放到一边，他一定是可以这样分的， 一定可以分的 x 放到一边， y 放到一边，这样就叫做可分离变量的微方程。那么对于这种方程我们怎么解呢？你看这里是 d x 嘛，那我就左右积分，左右同时积分 左边，大家注意，就对 x 积分，右边就对 y 积分。来，我举个例子啊，比如说我举个例子来，像这种，比如说这个啊， 这个大家首先大家记得这个 y 撇，哎，就是 d y 比 d x 就 这个啊，好，所以我先给他变成这种形式，好，变成这种形式以后大家注意，哎，把这个 a d x， 把 d x 嘞就挪到右边来， 把 d x 挪到右边来。好，大家看一下这个 y 呢？哎，就挪到左边来，大家看一下，把 y 呢就挪到左边来， d x 呢就挪到右边来，大家看一下 这边是不是只有 y， 只有 y， 这边呢就只有 x， 这样呢就叫分离变量了，把 x 的 放到一边去，把 y 的 放到一边去。明白了没有？首先告诉我明白没有 啊？明白了吧？好，明白了，大家看一下左边积分哎，左边积分对 y 积分，它就是绕引 y 这边呢，哎，积分就是 x 方。好，大家注意， 在这里要给大家讲一下啊，按道理来说啊，左右都是不定积分， 这左边和右边都是不定积分，那应该就是写出来就是闹音。 y 加 c 一， 等于 x 方加 c 二，是不是写出来这种形式？那我问下大家，我可不可以把 c 一 挪到右边来，变成 c 二减 c 一， 哎？变成 c 二减 c 一， 大家看他都说任意常数，我是不是可以用一个 c 来表示， 是不是可以用一个 c 来表示？那是不是最终就写成这种形式？所以大家记得啊，像这种情况，我们只写一个， 你就说左边写了 c， 右边就不要写了，或者右边写了 c， 左边就不要写了，你不要写两个啊，因为写两个也是可以合并的。好，写成这种以后大家看一下，当然我还可以给它整理整理。要不要整理嘞？ 要不要整理？你就看那个的选项， a、 b、 c、 d 选项，比如说 a、 b、 c、 d 选项有这个答案，那我就不要整理了， 那他如果给的是这种答案，那我就要继续整理啊，是不是？所以我们再继续整理，就是 a 烙印 y 等于它，那么 y 就 等于它， 那么他嘞又可以写成这种，那么写成这种他嘞，我是不是又可以用一个任意传出来表示？所以他最终的通解就这种形式 啊？就是说我们解出来以后，我们的这个答案可能跟玄奘里边给的答案形式不一样， 形式不一样的时候，我们就要变形，变形就要给它变形，变形，懂这个意思了没有？谁告诉我懂意思没有 啊？懂意思了吧？好了，这就简单了，那这个就不要算了啊，这个就这个就不不解了啊，我给大家解一下这个就行了啊，哎大概价， 哎，给它变形，变形就变成一加 y 方分之 d y 等于 x 方 d x 这步有没有呢 有没有呢啊没问题吧。给它分离变量然后再左右积分， 那么左边积分就是阿格腾腾腾 y 右边呢就是三分之 x 的 三次方，好加一个积分场数 c 哎就这种，哎就这种， 好，这就很简单。所以分离变量的微分方程呢很好解。 就是你分离变量以后他的基本功就是我们前面讲的不定积分啊他的基本功就是归结到咱们前面讲的不定积分了啊，好， ok， 呃这些 不要讲了吧，就兄弟们这题都不要讲了吧，非礼勿恋的都不要讲了吧啊他很简单啊，我就不讲了好吧这个题了我讲了就浪费，你们自己去做好吧啊这个题都很简单啊， 好自己下去做好吧。好，呃这个也不讲了啊不讲了，来减下这道题啊这道题要减一减这道题兄弟们 这道题我跟大家说这道题很容易做错很可能就选了 a 或者是选了 b 这道题很容易做错，大家看一下啊，像这种题啊 像这种题我们一般都是干什么嘞左右求导 一般都左右求导，大家看一下啊，左边求导就是 f x 边右边求导嘞，大家注意啊这公式大家记不记得这个属于什么啊这个叫什么？叫做变上限 变上限积分吧变上限积分啊，变上限积分，大家记得啊他求导是上限带入乘以上限求导减去下限带入乘以下限求导。 好到了这一步以后我们讲了，你看这个有个很明显的特点，就是说行数，行数的导数， 行数的导数等于行数本身， 大家看到没有，就是说行数的导数等于他自己。那么大家注意哪种行数有这个特点呢？哪种行数有这个特点呢？就是这种行数最好， c 是 一个常数啊， c 是 个常数，就是说这种行数他就有这个特点，他导完以后等于自己， 就是说一带 x 倒完以后是他自己，但是前面再配个长数也是一样的，配个长数也是一样的好，所以很多兄弟就直接咔选了他， 他选了他。大家看一下啊，就是说根据这一步啊，根据这一步 我们就可以确定 f x 就是 这种，就这种，我们可以敲定它就这种，但是大家不要忽略了 c 它有没有说不能等于零？它有没有说不能等于零？ 没有说吧，谁没说不等于零，他可以等于零的。好，来这里有个特殊，我念，念什么呢？念 x 等于零， 念 x 等于零。那左边就是 f 零啊，右边呢？零到零的积分。我问一下大家，零到零的积分就是零啊，也就是说 f 零等于零， 来带进来 f 零就等于 c 一 的零，次方等于零，等于零的话，所以 c 就 等于零， c 就 等于零 啊， c 等于零，所以答案就是 c， 所以 这道题大家很容易错啊，很容易错。好，这个地方我也给大家强调一下啊，大家注意一个函数 在积分上下线一样的时候，他的积分永远是零啊，就说他积分上限和积分下线都是一样的时候，也就是说是一个点是一个点的时候，他的积分是零啊，积分是零， 积分是零，所以我们在前面有遇到一个题，前面遇到一个题，它是这样给的，大概是分子啊，分母忘记了，就说 x 趋近于零吧，应该是这样的啊， 或者是说好像是 t 趋近于零还是 x 趋近零啊，反正就这种形式。 哎，它这个是具体的啊，像这种情况， x 趋近于零的时候，它的积分就是零啊， 你就把它当成零就行了。趋近于零我就取 x 等于零，它的积分就是零啊。呃，之前有个这种题的，好像它是分子再分子嘛，分母嘛。 啊，因为分母是是极限是零，所以分子的极限也是零，所以我们可以用洛比打，但是我们用洛比打做了的吗？啊，但是有兄弟问了问说，为什么他是是零啊？啊，大家对这个题有没有印象啊？有，我记得有这么一个题的啊。 啊，大家如果有印象，咱们敲个一。好吧，应该是有印象的啊，因为当时在群里边。呃，有兄弟还问在问这个问题啊，好吧好，这是这个题啊，好，现在咱们就来讲另外一个了啊， 这个属于什么呢？哎，这个属于一阶限行违法，这属于高高评考点啊， 你如果说考微分方程考分离变量的微分方程也考，但是没有考这个的。这么多。 好，来，首先来认识它，好吧，首先来认识它啊，首先我们要记住它就是 y 撇加 p x， y 等于 q x 啊，就这种就说它的通式啊， 它的同时是这样的， y 撇加 p x， y 等于 q x 啊，好，这种呢，我们叫 e 阶向量微分方程。来，我带大家怎么看？ 首先微分方程，因为它有导数，所以叫微分方程，这没问题。好， e 阶， e 阶，也就说它的最高阶， 就是说最高阶就是一，所以叫一阶。好，这个象形是什么意思啊？这个象形是什么意思？就说他没有出现这种平方啊，或者说三次方啊， 就是说没有出现什么平方，三次方，四次方这种，它都是属于什么？它是不是都属于一次？就说这里边的念都是一次，它没有出现平方，就 y 撇啊， y 啊， 就 y 撇和 y 都是依次的，我们， 哎，一次方啊，哎，都是一次方，所以叫现信。好，哎，这个名字这个意思懂了没有啊？名字这么个意思，懂了吧？所以他为什么叫一阶现信为方程。好，大家记住， 大家记住啊，我也不讲多了，大家记住这个 p x 嘞，他可能是三 x 加五，也可能就是个五啊，也可能就是个五， 当然也可能是零啊，也可能是零，反正他可能是 x 的 函数，也可能是常数，也可能是零， q x 也是一样的。好，大家记得他的通解公式。你也不要问我怎么来的， 哎，你也不要问我怎么来的，我就告诉你，你要记住它，你要解这种微分方程，它很通，套路，很很 套路，就是这么个套路啊，你不要去研究，你说我要自己想怎么把它解出来，你不要去想了，我们站在巨人的肩膀上，别人把这个套路给我们搞清楚了，我们就按这个套路搞就行了。 好，它的通解公式就是 y 等于什么嘞？一，好，大家注意啊，一的什么嘞？ p x 的 积分前面加个符号，然后括号，然后 q x 乘以一 p x 的 积分，这这个积出来以后再积分再加个任意场作 c， 哎，公式记住了就好。棒，来，我们做题，做一下这个题，好吧，来，大家看一下啊，来，这个呢，大家不熟悉， 不熟悉呢，你就写成 y 撇减 x， 一 分之 y 等于 x。 好， 大家看一下啊，那么这里边的 p x 是 多少啊？ p x 多少？大家注意啊，这个地方是加啊，这个地方是加，一定要看清这里是加，所以这个 p x 是 不是负的 x 分 之一， 有没有问题先告诉我啊。 q x 嘞， 这个 q x 嘞，就这个 x， 就 这个 x。 好， 哎，然后嘞，我们就有了这个好套公式， 套公式，你就给他套，一步一步积就行了啊，你给他套进来，你给他套进来啊，套进来，把这个公式套进来，你记住了，它就简单了， 就简单了。这个没办法，在公司必须要记，你不记不行。好，来来，我们先搞它，大家看一下啊，先搞它。哎，这里有个符号，这里有个符号就抵掉了啊，抵掉了，所以这里积出来， 这里积出来就是烙印 x， 这里积出来就烙印 x。 好， 那么这里嘞这里积出来，所以就是负的烙印 x。 好， 然后嘞再一写，好，大家注意哎，这一个嘞，这一个就是 x r， 然后这里呢，大家注意这个地方，他这个负负的呢，你给他变一下形，就这个地方啊，你给他变一下形，他呢就可以写成一的烙印 x， 负一，就这个东西啊， 就可以写成它，所以它就等于 x 的 负一，也就 x 分 之一 x 分 之一。好，这里个 x， 哎，这里 x 一 约掉就是一了，就这么来的，那后边就就不要讲了，后边就不要讲了。 好，呃，明白了没有？呃，这个明白没有套路很简单你把公式一写 就说你把公式一写后边的活就不是微分方程的活了后边的活就是积分的活了， 哎后面的活就积分的活了，积分我们又会了，是不是我们都好熟练了对不对？来做题来做题，来来，大家这种概念题也考的啊，来看下这道题，来看这道题， 大家看一下啊。呃这个嘞，兄弟们兄弟们这个题嘞很也蛮味道。 就是我们正常啊，我们正常的微分方程都是 y 撇加 p x y 等于 q x 就 正常的微分方程都是这种， 因为我们印象中就是说我们习惯就是说习惯啊，习惯呢 x 就是 自变量， y 嘞就是音变了，对不对？哎我们习惯这样，但是我如果有一天 我出这么一道题我搞成什么嘞？ x 撇加 p y x 等于 q y 我 问一下大家如果有一天我出现这么一个大家会不会解 啊？你看你的通解，你的通解 就是这种模式你的通解是 y 等于什么什么什么那如果是说我是这种形式它的通解是不是就写成 x 等于 e 的 负的 p y 对 y 积分然后再 a q y 在一的 p y d y 再 d y 再加 c 哎我问一下大家，呃这样类比你会不会类比？你会不会类比 是不是一个道理？是一个道理吧。哎所以大家不要就就想被这个所束缚了啊。好，有了这个思想我们就好棒了。你看这里是 d y 比 d x 等于这种，那我可不可以给他倒过来， 就是说左右就说我左边取一个倒数，这样是，呃叫倒数啊， 哎我左右给他颠都给他颠倒一下那么这个颠倒完是不是就是这种那么右边呢是不就是哎这种了？那再变形一些啊是不是就是 x 撇减 y x 等于 y 方是不这种 啊？给它颠倒一下。那么大家看一下这种是不是写成了 x 撇加 p y x 等于 q y 这种形式了？这种形式了所以它是不是其次的我问一下大家是不是其次的 啊？ 呃哦哦其次这个地方没给大家讲 注意啊其次这个地方没给他讲啊。就是说如果，哎如果啊 就这种这种我们叫做什么呢？叫非其次叫非其次啊。如果他等于零就右边的是零了，是零我们就叫其次啊 零就是其次这里呢不是零就是非其次啊就非其次哈因为这里你看这里不是零 不是零所以是非其次啊。是非其次好。他是不是可分离变量你分离不了。为什么分离不了不了嘞你看这种形式你是分离不了的你这个 y 不 可能能够移到一边去 你这个 y 是 不可能移到一边去， x 移到一边的所以可分离变量你是分离不了的。好 e 阶 e 阶没问题你看 e 阶向量都是依次的， 所以答案选 c 是 e 阶的向量的好。这个题有没有问题？没问题咱们敲个一好吧 呃没问题，咱们敲个一了啊 好吧没问题了吧。呃这道题没问题吧。呃我们讲的那个次是针对那个 x 的 啊 就是说几次啊几次的话。呃我们针对的是 不是针对的是那个 y 针对针对的是音变量啊不是质变量啊真的是音变量啊。 就是说我们这个线圈啊我们这个线圈针对的是 y 这里啊，这个 x 没关系 x 是 一次二次三次都没关系啊，我们针对的是这个地方，它是它是一次一次方一次方啊 哈呃，剩下的题目，呃，题目不要讲了吧啊， 因为都是套公式啊因为都是套公式。像这个大家看一下哎像这个大家看一下。我就给它变形，大家一定记得啊一定要记得变成 y 撇加 p x y 等于 q x 这种形式啊一定要记得变成这种 形式。所以你看这里有个 x 有 个 x， 你 就给他同时除以一个 x 啊你就给他同时除以一个 x 就 行了就变成 y 撇减去 x 一 分之 y 等于 x 一 的 x 就 说你同时给他除一个 s 大家一定要记得要变成这种通用的 形式一定要变变成这个形式你才能去套公式啊你才能去套公式。好，那么这道题其实也不用讲啊不用讲你就给他干什么嘞？你就给他左右导一下啊 左右给它导一下。左右求导啊左右求导。就是 y 撇等于 e x 加 y 啊，加 y 那 么就又变成了 y 撇减 y 等于 e x 嘛 啊那么这里的 p x 就是 负一了啊 q x 就是 e 的 x 次方哎 就是，呃，写成这种通用的形式就是 y 撇加 p x y 等于 q x 啊，然后你来，对嘛？你看对到这里 对到这里是不是负一啊你看这个地方是不是负一啊哎，对到这里就是 ex 啊啊然后后边的就是，呃，就是套公式了好，明白了没有啊明白了没有啊 好吧， ok ok 啊。你不要想着什么都拿答案去套啊你不要想着什么都拿答案去套，有的时候还是要自己会做啊，有的时候还是要会自己做啊。好，现在咱们讲另外一种啊，另外一种就像这种形式的啊，就是像这种， 就像这种，大家注意，像这种它实际上就是分离变量的微方程， 他实际上就是分离变量的违反者。你就左右积分，你看像这种啊， 我左边积分一次，右边积分，你看三阶导，三阶导，积分一次就二阶导。那三 e x， 积分出来就是负的 cos x 加上一个 ce， 好， 就得到这一个， 就得到这个，然后再积分一次，大家注意啊，每积分一次就要多一个 c， 多一个任意长度，你看它再积分一次就变成 y 撇，那么这边积分呢？这边积分出来就是负的三 x， 注意，这个 c 也要积分啊， c 积分出来 c e x， 好， 再加个 c 啊，好，然后嘞？然后 到了这一步了，那我再左右积分一次，你看 y 撇，积分就变成 y 了。好，他积分他积分呢？哎，他积分出来就扩散 x， 他 积分出来呢，就是二分之一 c x 八，他积分出来呢，就 c i x， 然后再加一个 c 叉， 就说每积分一次就加一个任意常数，像这种类型的高阶导数， 我们就左右一次积积一次，积两次积三次。这么积啊，这种题型啊，也考过啊，也考过，但是考的少啊。这种题讲的啊，这种题讲的，你就左右一直积就行了啊，一直积到歪， 记得歪啊。好， ok， 咱们休息一下啊，休息一下开始讲这个重头戏啊。呃，未完成我们前面讲的内容可能，呃，应该是占到了一分啊，这个地方是基本基本上每年必考的啊基本上每年必考的啊。休息一下啊， 八点四十四十七吧啊八点四十七多休息一下啊，奢侈一把休息八分钟啊 喂。呃，大家回来了吗？回来咱们就开始了啊，回来敲个一好吧 好，咱们开始上课啊。好，现在咱们讲另外一种就是这个呢。呃，比刚才那个还考的多，就是说比这一个啊， 比这一种他考的更加的平凡考的更加的平凡。这一个方程呢他也有固定的套路也有固定的套路。来我们先认识他啊先来认识他叫做什么呢？ i 接长系数，其次限行为慢整来我先来给大家讲通用的形式啊，它就是这种 y 撇 y 连撇加 p， y 撇加 q， y 等于零 就做他的通标准形式就这种好，大家注意大家注意这个 p 和 q 都是常数，都是常数，当然可以等于零啊。可以等于零 可以等于零哈，那么 i j i j 就是 它的最高次是 i 所以 叫 i j 常系数常系数就是 p q 都是常数， 都是常数所以叫常系数好。其次是什么意思呢？其次就这样的，这边是等于零，等于零就叫其次，比如说不是等于零呢，比如等于五呢？ 等于五大就叫非其次啊，叫非其次等于零就是其次。好，现信现信什么意思嘞？就是说这里边这个这个这个都是一次发， 他都是一次方，叫线系好，这个意思明白了啊，所以合起来叫二阶常系数，其次先系微方程好，那么这个呢基本上每年都考 哎基本上每年都考，而且呢他也有固定的套路。那么我们第一步是干什么呢？第一步就是写他的特征方程， 特，特征方程的目的就是求什么啊？叫做求特征根。 大家也别跟我见，我们就是这个固定的公式去求，那么这个特征方程怎么写？那么把这个，把这个就变成 r 的 平方， 把这一个就变成 r， 这个 y 就 不要了，就所以它的特征方程就是 r 方加 p， r 加 q 等于零，实际上就是要解，解什么呢？解 r 假，好像这种我们叫做什么？像这种你如果这样写的话，就是 a x 方加 p， x 加 q 等于零嘛，不就相当于这种形式吗？我们这个叫做什么？ 是不是叫做一元，叫做一元二次方程嘛，对不对？叫一元二次方程嘛。那么一元二次方程我们是不是有一个？呃，求根公式， 大家高中还记不记得？求根公式等于它等于什么？等于 p 方减四 q， 实际上我们高中记的是记的这种，呃， 叫做什么呢？ a x 方加 b， x 加 c 等于零，这种嘛，只不过到了这里就相当于 a 固定等于一了嘛。 那么这种的话，我们那个求根公式大家记不记得？对大，对是吧？ b 的 平方减四 a c 嘛？ b 的 平方减四 a c 嘛，因为到了这里，到了这里，这个 a 这里相当是一啊，所以它就是 p p 的 平方减四 q 啊。 呃，唤起大家的一点回忆没有，呃，这个求求根公式大家记起来没有？记起来吧，好固定的啊，对，它就等于 p 方减四 q。 好， 现在就要讨论了啊，有三种情况啊，有三种情况，哎，就说对它大于零， 如果得它大于零，那么这个鬼东西嘞，就有两个不等的时根，就有两个不等的时根，那么一个用 r 表示，一个用 r 表示，一个用 r 一， 一个用 r 表示，那么 r 一 就等于什么嘞？ a 公式， r 二分之负 p， p 就 这个 r 二分之负 p 加根号的。

开始大学数学救命课第二十期，今天我们来说一下其次微分方程的通解。什么叫其次微分方程呢？就是右边俩都是零，比如像力 t 一 啊，等号右边是零， 力 t 二等号右边是零啊，那这种东西我们就管它叫其次微分方程，非常简单，一共分成三步。第一步，把 y 的 几节导写成 r 的 几节导，那我就把它写成 r 的 平方， 这个玩意是 y 的 一解导，我就给它写成啊 r 的 一次方，前面这些系数该抄的抄就行，这 y 没有导，没有导，就是 r 的 零次方，那就是一呗，别的都不变。第二步，解出这个 r 就 行 啊，那这样的话非常非常简单。我们给这个东西啊，十字相乘，在因式分解得到了这么一个东西， 解得 r 一 等于二， r 二等于三。好，紧接着第三步，重点，大家一定要把这三个东西都给他背下来，这是我们考试经常会遇到的类型，如果我们解出来的 r 一 和 r 二不一样，那么这个通解就长成右边这个样子 啊，这只是以 r 一 和 r 二，如果你还有个 r 三的话，那这个后面再加上 c 三乘上 e 的 阿尔法三四方乘 x 四方就可以了。如果你有这个 r n， 而且跟它们这些解都不一样，那最后再加上 c n 乘上 e 的 阿尔法 n x 四方就行了。 如果我们这个解的那些 r 一、 r 二那些根都一样，那我们就把通解带入到第二个式子里就可以了。 如果我们的这个二二一二二是带挨的，就换句话说，他是有虚入根的，我们就带入第三个方程就行了。总之这三行大家务必把右边那个通解都给他背下来。 比方说上面第一个题吧，刚刚解出二一等于二，二等于三，这是不属于第一种类型啊。 ok， 我 们往这个里头带就行了。这个通解长什么样啊？这个通解就是 我们假如说啊，用这个 y 杠来表示通解，就是等于 c 一 再乘上 e 的 啊， r 发一就是 r 一， 那在这里就是 e 的 二 x 四方， 加上 c 二倍的 e 的 r 发二在这里就是 r 二就是 e 的 三 x 四方。 ok， 这就是它的通解。同样的道理，我们来看一下例题二，第一步，把 y 的 解导变成 r 的 几次方， 在这里就是 r 方减四倍 r 的 一次方加四等于零， 非常非常简单。那这样的话，很明显 r 一 等于 r 二等于二， 那这个很明显是属于是个第二种类型，我们往这个通解里头带就行。这个通解最后等于 e 的 二 x 四方， 括号乘上啊，这个你有几个，那后面就 c 几，那这有两个根，那后面就一直跟到 c 二就行，括号 c 一 加上 c 二 x 就 可以了。 好，我们再练一题，比如说这个题，例题三啊，还是啊，第一步，把 y， y 的 几结导变成 r 的 几次方，就是这个样子， 这个东西肯定是没有实数解的嘚，它小于零嘛，那我们先给它配方再说，把它变成这个样子， 把那个四给它挪到右边去，虽然没有实数解，但它有虚数解啊，就是带 i 的 解，那这样的话，我两边开平方，那么小，二加一就等于正负二 i 就可以了啊。意思就是你虽然没解，但我强行给你开个平方根，后面再跟个 i 就 行了，对吧？啊？ i 方等于负一，这事咱们高中都学过， ok 啊，那这样的话，小 r 一 就等于负一加二 i， 小 r 二就等于负一减二 i， 那 这个属于什么？这个是属属于上面的这个第三种类型啊，对吧？往那个 r 一 和二里这样一带，这个阿尔法很明显是负一吗？这个贝特很明显是正二吗？ 然后往这个通解里带，这个通解是什么呀？就是 e 的 负 x 四方啊，现在是有两个，那就是 c 一 乘上 cosine 二 x 加上 c 二乘上 sine 二 x 就 可以了，所以非常非常简单。大家遇到这种其次通解的这种题，首先第一步，把 y 的 极解导变成 r 的 极次方。 第二步啊，解这个二，第三步往这三排里的这个通解公式里带就可以了。总之大家务必背下来啊，老师写的第三步，下面这三种通解形式就可以了。

一个视频学完微分方程，大家元宵节快乐，我是窜天猴，欢迎来到一周学完专升本高数。 本节课主要讲如何求解。微分方程包括两种，一阶微分方程，分别是可分离变量方程和一阶向量方程和二阶非其次方程。 在正式学习如何求解之前，我们需要先了解几个重要的概念。第一个是结， 这个结是啥意思呢？它指的是方程中导数的最高结数。如果方程只含有一阶导数，就叫做一阶微分方程。比如 y 一 撇减 y 等于 e 的 x 次方， 这个方程只含有一阶导数 y 一 撇，所以它是一阶方程。如果方程的最高阶导数是二阶的，就叫做二阶微分方程。 比如 y 两撇减 y 一 撇减二， y 等于零。这个方程最高阶导数是二阶导数 y 两撇，所以它是二阶方程。 我们需要了解的第二个概念是通解，这是微分方程和其他类型的方程的一大区别。 其他类型的方程比如二元一次方程。一元二次方程求解的结果一般都是具体的数，而微分方程不一样，它的求解结果叫做通解。通解一般是含有任意常数 c 的 表达式。 第三个概念是特解，如果题目中给了初解求出方程的特解，特解一般是不含有任意常数 c 的 表达式。 接下来我们看怎样求解微分方程。微分方程有很多种形式，每一种形式都有着对应的解析套路。所以只要是求微分方程的题目，我们就要先判断方程的形式， 然后再根据方程的形式选择对应的解析套路来求方程的通解。每一种形式对应一个套路，把所有的套路都学会了，微分方程的题目就会做了， 下面我们来讲一阶方程。一阶方程分为可分离变量方程和一阶向量方程。 先来看可分离变量方程，学习每一种方程，我们都要先了解它的形式，也就是它长什么样。可分离变量方程的形式是，方程的左边是 d y 比 d x， 也就是一阶导数。 方程的右边是 f， x 乘以 g， y， 也就是一个含有 x 的 函数，乘以一个含有 y 的 函数。 然后我们看可分离变量方程的解析套路，它分为两步，第一步，移项， 把和 y 有 关的全放在左边，所以我们将右边的 g y 移到等式左边来，然后把和 x 有 关的全放在右边，所以我们将左边的 d， x 移到等式右边去。 第二步，等式左右两边同时积分，这样就可以得到一个含有 x 和 y 的 表达式，也就是方程的通解。 我们来看一道山东的真题，求微分方程的通解，这道题只含有一阶导数 y 一 撇，所以它是一阶方程。那它是一阶方程的哪种形式呢？看不出来。 在没有思路的时候，我们可以把方程整理整理，看看能不能把它转化成我们熟悉的形式。 首先把 y 一 撇，写成 d， y 比 d， x， 接着再把 e 的 y 次方移到等式右边去。 现在左边是 dy 比 d x， 右边的 x 方是含有 x 的 函数。五、加上 e 的 y， 四方比上 e 的 y， 四方是含有 y 的 函数，它俩相乘正好就是 f x 乘以 g y， 所以 微分方程符合可分离变量方程 dy 比 d， x 等于 f， x 乘以 g y 的 形式， 这样我们就判断出了这道题的微分方程属于可分离变量方程。既然是可分离变量方程，我们就按照可分离变量方程对应的解题套路来做就行了。它分为两步，第一步，移项， 把和 y 有 关的全放在左边，把和 x 有 关的全放在右边。第二步，等式左右两边同时积分。现在我们只要把等式左右两边的两个积分算出来，这道题就做完了。 那我们来求一下等式右边背及函数 x 方是可以直接积分的，关键是等式左边这个积分怎么处理？ 我们观察一下左边的背及函数分子分母都有 e 的 y 次方，可以尝试一下，看看能不能用凑微分法来做。我们把 e 的 y 次方 d y 凑成 d， e 的 y 次方，现在计算变量是 e 的 y 次方，而背及函数的分母是 e 的 y 次方加五，差一个五， 那我们给积分变量加五，让它变成 d， e 的 y 四方加五，这样左边的积分就可以把 e 的 y 四方加五看成一个整体。由于 e 的 y 四方始终大于零，那么 e 的 y 四方加五必然大于零，所以左边的不定积分等于 lo 的 y 四方加五。 再看右边 x 方的不定积分是三分之一， x 的 三次方后面再加个 c， 这样我们就得到了一个含有 x 和 y 的 等式，它就是微分方程的通解， 所以这道题做到这就算是做完了。做微分方程的题目经常会有一种不知道算没算完的感觉， 大家记住，如果题目中没给出止条件，就是正常求通解的话。当我们做到出现了一个不带积分符号的，含有 x 和 y 的 等式的时候，就算是做完了。 此外需要注意的是，有时候题目中的微分方程并不能一眼就看出是哪种形式，这个时候我们应该整理一下，看看能不能把它转化成我们熟悉的形式。一旦转化成我们熟悉的形式，就可以按照套路来做了。 接下来我们看一阶向量方程，它的形式是 y 一 撇，加上 p x， y 等于 q x， 这里的 p x 和 q x 既可以是含有 x 的 表达式，也可以是常数。 一阶向量方程的解析套路是所有微分方程里面最简单粗暴的就是直接套公式。这个公式比较长，大家要背下来 它的通解。 y 等于 e 的 负的 p x 的 积分次方乘以一个中括号，中括号里面是一个积分加上 c， 这个积分的背记函数是 q x 乘以 e 的 p x 的 积分次方。 注意，中括号前面这个 e 的 指数部分是有负号的，而中括号里面的 e 的 指数部分是没有负号的。 这个公式背下来性价比非常高，因为微分方程的题目就它能套公式，直接出结果，只要我们能把它背下来，一阶向量方程的题目立马就能做出来。所以我强烈建议大家一定要把这个公式背下来。 好，我们来看一道河南的真题，求微分方程的通解。这道题方程中有 d y， 有 d x， 没有地方 y 也没有 d x 方，所以它是异阶方程。 但是具体哪种形式目前看不出来，我们整理一下，看看能不能把它转化成我们熟悉的形式。等式两边同时除以 d x， 这样就出现了 d y 比 d x， 然后把括号打开，把 e 的 x 次方移到等式右边去，再把 d y 比 d x 写成 y 一 撇。现在等式左边是 y， 一 撇减 y， 可以 看成是 y 一 撇，加上常数负一乘以 y。 等式右边是一个含有 x 的 表达式。 所以微分方程符合一阶向量方程 y 一 撇加 p x， y 加 q， x 的 形式。其中 p x 等于负一， q， x 等于 e 的 x 次方。 既然是一阶向量型方程，那直接套公式就行了。我们把 p x 等于负一， q， x 等于 e 的 x 次方代入一阶向量型方程通解公式中。括号前面这个指数函数算出来是 e 的 x 次方。 中括号里面这个指数函数算出来是 e 的 负 x 次方， e 的 负 x 次方和 e 的 x 次方相乘等于一一的不定积分是 x， 所以 最终结果是 e 的 x 次方乘以 x 加 c。 这道题考的是一阶向量方程，它的难点其实不在于套公式求通解，而在于前面的整理步骤。我们需要通过一项等式左右两边同时乘或者除等手段，把它转化成我们熟悉的形式。 下面我们来学习二阶方程。二阶方程分为二阶其次方程和二阶非其次方程。 先看二阶其次方程，它的形式是 y 两撇加 p， y 一 撇加 q， y 等于零。 它的解析套路分为两步，第一步，我们要列一个特征方程， r 方加 p， r 加 q 等于零。 这里的 r 是 特征方程的变量， p 和 q 是 二阶奇次方程的 p 和 q。 我 们求解这个方程，可以得到两个解，分别是 r 一 和 r 二，这两个解叫做特征根。 第二步写出通解。通解的表达式和刚才求出来的特征根有关，如果 r 一 不等于 r 二，通解 y 等于 c 乘以 e 的 r 一 x 次方，加上 c 二乘以 e 的 r 二 x 次方。 如果 r 一 等于 r 二，通解 y 等于 c 一 加 c 二 x 倍的 e 的 r 一 x 次方。 前两种情况， r 一 r 二都是实数。还有一种情况，当特征方程得它小于零时， r 一 r 二是负数的形式，等于 alpha 加减 beta i。 这个时候通解 y 等于 e 的 alpha x 次方，乘以 c 一 倍的 cosine beta x 加上 c 二倍的 sine beta x。 我们来看一道江西的真题，求微分方程，满足初使条件的特解。这道题方程最高阶导数是二阶导数 y 两撇，所以它是二阶方程。 那它是二阶方程的哪种形式呢？我们看等式，左边 y 两撇减 y， 一 撇减二， y 可以 看成 y 两撇加上负一乘以 y， 一 撇加上负二乘以 y 等式，右边是零， 所以微分方程符合二阶奇次方程 y 两撇加 p， y 一 撇加 q， y 等于零的形式。其中 p 等于负一， q 等于负二。由于题目让我们求的是满足出使条件的特解， 那我们需要先求出通解，然后再把出使条件带进去，从而求出特解。好，我们先来求通解。 首先要列出特征方程， r 方加 p， r 加 q 等于零。把这道题的 p 等于负一， q 等于负二带进去，特征方程就是 r 方减 r 减二等于零，解出特征根， r 一 等于负一， r 等于二，所以 r 一 不等于 r 二。 接着我们写出通解，刚才讲了，当 r 一 不等于 r 一 x 次方，加上 c 二乘以 e 的 r 二 x 次方。 把特征根 r 一 等于负一， r 二等于二带进去，所以通解 y 等于 c 一 乘以 e 的 负 x 次方，加上 c 二乘以 e 的 二 x 次方。这样我们就求出了微分方程的通解。如果题目没给出使条件的话，求出通解这道题就算是做完了。 但是这道题给了出式条件，并且让我们求特解，下面我们来看特解怎么求。由于出式条件 x 等于零时， y 一 撇等于一，涉及到了 y 一 撇，所以我们需要先把 y 一 撇的表达式求出来。 对刚才求出来的通解 y 求一阶导，可以得到 y 一 撇的表达式。接下来我们把题干中的两个数值条件分别带入 y 和 y 一 撇的表达式。第一个数值条件 x 等于零时， y 等于二，带入 y 的 表达式可以得到 c 一 加 c 二等于二。 第二个数值条件 x 等于零时， y 一 撇等于一，带入 y 一 撇的表达式可以得到负的 c 一， 加上二倍的 c 二等于一， 然后连立这两个含有 c 一 和 c 二的方程，解二元一次方程组算出来 c 一 等于一， c 二也等于一。最后我们把 c 一 和 c 二的值代入通解 y， 从而得到特解 y 星的表达式为 e 的 负 x 次方，加上 e 的 二 x 次方。 这道题考的是二阶梯次方程，求通解的解析套路分为两步，第一步求解特征方程，得到特征根。第二步，根据特征根的情况写出通解 y 的 表达式。 如果题目没给出出式条件，求出通解就做完了，而这道题给了出式条件，所以我们根据出式条件求出特解 y 星。 下面我们来讲一下二阶非奇次方程，它的形式比较复杂，是 y 两撇加 p， y 一 撇加 q， y 等于 f x。 我 们回忆一下，二阶奇次方程的形式是 y 两撇加 p， y 一 撇加 q， y 等于零和二阶非奇次等于右边是零，而二阶非奇次等于右边是 f x。 接下来我们看二阶非奇次方程的解析套路。这个地方非常复杂，一共有四步。第一步，求二阶奇次方程的通解，也就是把右边的 f x 拿掉换成零，然后求通解。 在此过程中求出的特征根即为 r 一。 r 二求出的通解即为 y 上面加一道波浪线。 第二步，也是最麻烦的一步，我们要设一个特解 y 星， y 星是由二阶非奇次方程等式右边的 f x 和我们第一步求出来的特征根 r 一 二共同决定的。 如果右边的 f x 是 指数函数 e 的 拉曼特 x 次方乘以多项式 p x 的 形式，那么 y 星分为三种情况。第一种情况，当拉曼特既不等于 r 一 也不等于 r 二时， y 星等于 e 的 拉曼特 x 次方乘以 q x。 第二种情况，当拉曼特等于 r 一 或者二的其中一个时， y 星等于 x 乘以 e 的 拉曼特 x 次方再乘以 q x。 第三种情况，当拉姆特既等于 r 一 又等于 r 二时， y 型等于 x 方乘以 e 的 拉姆特 x， 四方再乘以 q x。 接下来还有如果右边的 f x 是 指数函数 e 的 拉姆特 x， 四方乘以三角函数 sine b 它 x 或者 cosine b 它 x 时，那么 y 型分为两种情况。 第一种情况，当 r 一 二不等于拉摩特加减倍特 i 时， y 型等于 e 的 拉摩特 x， 四方乘以 a 倍的 cosine 倍特 x， 加上 b 倍的三 a 倍特 x。 第二种情况，当 r 一 二刚好等于拉摩特加减倍特 x 时， y 型等于 x 乘以 e 的 拉摩特 x， 四方再乘以 a 倍的 cosine 倍特 x， 加上 b 倍的三 a 倍特 x。 好，第三步，把我们设的这个特解 y 星带入二阶非奇次方程，求出 y 星的表达式。第四步，写出二阶非奇次方程的通解 y， 它等于二阶奇次的通解 y。 波浪线加上二阶非奇次的特解 y 星。 我们来看一道浙江的真题，问微分方程的特解应该设，为什么？这道题微分方程符合二阶非奇次方程 y 两撇加 p， y 一 撇加 q， y 等于 f x 的 形式，其中 p 等于四， q 等于八。 右边的 f x 等于 e 的 二 x， 四方三 x。 刚才我们讲了右边的 f x 的 形式对设特解是有影响的。那这道题右边的 f x 属于哪种形式呢？ 应该属于 e 的 拉姆特 x 字方乘以三倍特 x 的 形式，其中拉姆特等于二，倍特等于一。以上就是我们能够从题干中获取的所有已知条件。再看这道题，没让我们求通解，问的是特解怎么设？ 那他问的是刚才讲的四个步骤里面的哪一步呢？应该是第二步，设特解。更具体来说是右边的 f x 等于 e 的 拉姆特 x， 次方乘以三 a 比特 x 或者扣三 a 比特 x 时，怎么设特解？ 刚才讲了这种时候分为两种情况，主要是看 r 一 r 等不等于拉姆特加减比特 i。 现在拉姆特和贝特得多少我们是知道的，不知道的是 r 一 r 二得多少。接下来我们按照大题的完整解析步骤来算一下特解 y 星应该怎么设。 首先要看 r 一 r 二等不等于拉姆特加减贝特 a， 所以 我们需要求出 r 一 r 二。那我们写一下二阶奇次方程的特征方程，把 p 等于八代入 r 方加四， r 加八等于零，得到 r 方加四， r 八等于零， 这个特征方程应该怎么解呢？我们把 r 方加四， r 凑成完全平方，把其余部分移到等式右边，这样左边变成了 r 加二，括号外的平方，右边是负四， 负四可以看成是负一乘以四，而负一是 a 的 平方，所以它等于 a 方乘以四，从而解出 r 加二等于负二加减二 i。 由于这道题 lamb 等于二， be 等于一，那么 lamb 加减 be 它 i 就 等于二加减 i， 所以 lamb 加二不等于 lamb 加减 be 它 i。 刚才讲了，当 lamb 加二不等于 lamb 加减 be 它 i 时，特解 y 虚应该设为 e 的 lamb 它 x 次方乘以 a 倍的 cosine be 它 x， 加上 b 倍的 cosine be 它 x。 我们把拉姆特等于二，比特等于一带进去，所以特解 y 星等于 e 的 二 x 次方乘以 a 倍的口散 x 加上 b 倍的散 x。 答案选 b。 以上是这道题作为大题的完整解析过程，先判断 a 一 二等不等于拉姆特加减比特 a， 再写出特解 y 星的表达式。但这道题毕竟是一道选择题，还有简易方法， 下面讲一下这道题作为选择题的简易方法。前面还是要从题干中获取已知条件， 接下来我们思考一下 r 一 r 二等不等于 lm 加减倍，它 a 到底能对特解 y 形产生什么影响呢？无非就是前面有没有 x。 r 一 r 二不等于 lm 加减倍，它 a 时， y 形前面没有 x 等于 lm 加减倍，它 a 时， y 形前面有 x。 而这道题的四个选项前面都没有 x， 说明阿一阿二不可能等于 lambit 加减备胎，所以二阶七次方程的特征方程就不用求了，怪累的。我们直接把 lambit 等于二，备胎等于一带进去，就可以得到 y 星的表达式，所以答案选 b。 之所以选了这样一道例题来讲，主要是想提醒大家，微分方程这一块的题目计算量很大，如果出大题要按照严谨的解析套路来计算，但是小题如果可以的话，还是要尽量找找简易方法， 不然可能会在一道小题上花费太多时间，最后却发现有些步骤白算了，给自己气够呛。 最后我们来总结一下，本节课主要讲了四种微分方程，包括两种一阶方程，两种二阶方程。一阶方程，第一种是可分离变量方程，形式是 d y 比 d， x 等于 f， x 乘以 g y。 解题套路是一项两边求积分 异阶方程的。第二种是异阶向量方程，形式是 y 一 撇加 p， x， y 等于 q， x。 解析套路是直接套公式 二阶方程，第一种是二阶，其次方程形式是 y 两撇加 p， y 一 撇加 q， y 等于零。解析套路是先求解特征方程，得到特征根，然后根据特征根的情况写出通解 二阶方程。第二种是二阶非奇次方程，形式是 y 两撇加 p， y 一 撇加 q， y 等于 f x。 解析套路是先求出二阶奇次方程的通解 y 波浪线，再根据特正根的情况设一个特解 y 星，然后把这个特解 y 星带入二阶非奇次方程，求出 y 星的表达式，最后通解 y 等于 y 波浪线，加上 y 星。 好速成课第十一讲到此结束，下节课我们讲空间几何，感谢大家的观看，再见！

各位同学大家好，接下来我们进行第四个专题，微分方程的学习。那么这一部分啊，我们主要是分为四个大类，分别对应了四类特殊的微分方程，包括可分离变量的微分方程，其次的一阶的和二阶的。 其中啊，一节的又分为是其次非其次，二节也分为是其次非其次。那么在这个里边，一节的其次是可以转化为可分离变量型，而我们这个其次型方程也可以转换成可分离变量型。 在这里啊，提醒大家一下，这个其次与我们一节微分方程这个框架里边的其次是不一样的概念。 在一节微分方程里的其次指的是等号，右边这个项等于零，这叫其次。而其次形的这个其次指的是里边含有 y 比上 x 这样一个比较整齐的一个形式，这叫其次。 所以说这个整个微分方程，大家就主要是区分这四大类方程的类型，会了它的类型，知道它的解法，我们就可以解这个方程了。好，首先我们来看一下微分方程的基本概念， 那么我们把含有自变量、未知函数以及未知函数导数的这类方程就叫做微分方程。 比如说，如果说有一个方程是 dy 比上 dx， 它等于二倍的 x y， 那 么这类方程既含有自变量 x， 又含有函数 y， 也含有啊 dy 比 dx 函数的导数，所以说它就是微分方程。 我们要求微分方程中必须含有导数，至于啊，这个 x y 没有特别的要求。比如说啊，我们写这样一个方程，说是一加 x 的 平方， y 的 两节导等于二 x y 的 一节导，在这个里边涉及到 x y 的 一节导， y 的 两节导没有涉及到 y 本身，但是啊，我们仍然把它叫做微分方程。 好，那么从这两个式子里面大家也可以看出，微分方程既然涉及到导数，那就势必要考虑涉及到是一阶导还是二阶导数。 所以说，根据导数的不同，我们也定义了微分方程的阶，我们把微分方程中出现的最高阶导数的阶数就叫做微分方程的阶数。比如说啊，上边这个微分方程，他的最高阶导数是二阶导，那么他就是一个二阶微分方程。 那么左侧这个微分方程，它只有一节导数，所以说它就是一个一节的微分方程。 那么就像是一般的方程啊，要解出这个未知数等于多少，我们的这个微分方程是要解未知函数 y 等于多少， 那么这个解因为要从导数要算到这个函数本身，势必涉及到积分， 那么这个里边是不定积分。我们已经讲过要带上任意常数 c， 我 们把这些带有任意常数 c 的 解就叫做通解，如果说可以通过一些条件把任意常数 c 解出来，那么这个解就叫做特解。所以说啊，这是微分方程的两类解。 那么在这里啊，我首先给大家介绍两类最基本的微分方程，叫做可分离变量型和奇次型， 其中可分离变量型的基本形式是这样的，可以看到它是一个一阶方程，只涉及到一阶导数。在这个里边啊，等号的左边是 d y 比 d x， 这是一个一阶导，等号的右边呢，是一个关于 x 的 函数和一个关于 y 的 函数， 那么不难发现，在等号右边的形式里边呀， x 和 y 这两个变量可以说是镜位分明哎，属于 x 的 在一起，属于 y 的 在另一块，那么这种就叫做可分离变量的微分方程。 所以说啊，我们的做法就是将含有 y 的 放在一起，大家来看，你的等号的左边是有一个 d y 的 话呢，我把等号右边的 g y 给它挪过来， 那么等号的右边有一个 f x， 我 把左边这个除以 d x 的 这个 d x 也给它乘过来，所以说这样的话，我们就得到了这个 变量被分离以后的式子。那么左侧是关于 y 的， 右侧是关于 x 的， 因为左右两侧都涉及到了微分，所以说大家可以想到后边的工作，就是应该两边同时加一个积分符号，把它变成一个积分的问题，那么从这个积分的问题里，我们就可以求出这个未知函数 y， 因为涉及到不定积分，所以说大家不要忘了加 c。 那 么另一类叫做其次型微分方程。这类微分方程的基本形式啊， 也是等号的左边是 dy 比 d x， 等号的右边呀，是关于 x 分 之 y 的 一个函数，大家可以看出来啊，这个函数的形式是 x 和 y 刚好是一次方比一次方， 哎，两者的形式比较整齐，所以说就把它叫做其次型。那么对于这种整齐的形式啊，我们的出力办法第一步当然是要把它整体做一个换元，把它换成 u。 好， 这个地方就涉及到一个问题，既然你把这个 y 比 x 换成 u 了，那么 y 是 就等于是 u 乘 x， 我想大家学过积分走到这一步啊，大家应该是可以想到接下来的工作啊，应该是把式子中的 y 给替换成 u 好， 那么等号右边是 d y 比 d x， 那 么 d y 比 d x 不 就可以写成 d u x 比 d x 吗？相当于是 u x 这个函数对 x 的 导数。那么这个导数啊，是一个乘积的导数，涉及到前倒后不倒加后倒前不倒，所以说 这个里边也要注意 u 本身是不是也是 x 的 函数啊，所以这个得到的就是前边的先是 x 求导， u 不 求导，然后是 u 求导，后边还得再乘个 x 不 求导好，这个地方要补一个 x 啊，这个 ppt 里边没有打上这个 x 好， 那么得到了这个式子以后，我们大家来看这个东西是不是就等于是 f u， 也就是说啊，这个 u 加上 d u 比 d x， 再乘上这个 x 是 不是就等于 f u f u 从哪里来？是不是等号的右边 这个 f 里边的这个 y 比 x 被整体替换为 u？ 那 这样的话，大家可以看到，我们已经得到了一个关于 u 和 x 的 可分离变量型的微分方程。所以说后边的工作啊，其实就跟我们左侧可分离变量型的这个解题步骤是一样的，把同一种变量写到一边，然后两边同时积分就可以了。 但是啊，大家一定要注意哈，因为你经过了换元，你从这个可分离变量型里边啊解出来的是函数 u， 而我们要求的是函数 y， 所以 说还需要把它再转化回我们需要找的这个函数 y。 这一步啊，大家不要忘了。 好，我们接下来通过一个例子来给大家解释一下这个具体的计算方法。首先拿到一个问题，这是一个一节的微分方程，里边似乎是 x 和 y 是 镜位分明的， 这个 x 和 y 没有绞在一起，对吧？随时可以通过除法把它们分开，这个呢又是只有关于 x 的 式子，所以说这个方程就是一个可分离变量型，那么我们不妨把它挪一下，我们把 d y 就 留在这个等号的左边， d x 就 放在等号的右边。那么我们可以看出，如果说你把 d x 挪过去的话，是不是应该加上一个负号， 好加上一个符号，那么含 x 的 通通放在等号的右边。我们来看跟着 d x 一 起来的是不是有一个 x 啊？那么 d y 搭配的这个 x 平方加一，是不是应该给它除到等号的右边来？那么等号的左边， 大家想一想，本来这个 d x 是 不是还跟着有一个 y 啊？那么这个 y 是 不是应该除到等号的左边？好，这样的话我们就把这两种变量给分离开，分离开以后，我们开始两边同时做积分， 那么左侧这个积分大家应该比较熟悉，应该是等于多少？是等于 law y， 当然 y 要加上绝对值，那么等号右侧的这个积分，那么大家也应该比较熟悉了。这个 x 是 不是可以拿去凑微分？ 没问题吧？拿去凑微分以后，是不是凑成是 x 的 平方，当然你还需要补一个二分之一， 补一个二分之一，那么微分这个后边啊，是不是就可以凑成是 d x 平方加一的形式？那么最后是不是可以得到 lon 一 加 x 的 平方，因为前面有一个符号，如果拿到 lon 的 里边，那么 lon 里边是不应该变成是倒数， 也就变成了 lon 一 加 x 方分之一，那么因为是不定积分，所以说我们要加上 c 两侧都是不定积分，在一侧加 c 就 可以了。 好，那么这个问题啊，其实写到这一步已经解开了哈，我们需要从这个式子里边把 y 的 具体表达式给算出来，这个怎么考虑呢？我想啊，大家可以这样来思考， 首先因为这个 loan 里头啊，就是一个正数，一加 x 平方分之一就是个正数，所以说我说把这个二分之一，我也给它塞到 loan 的 里边，放到 loan 的 里边，是不是就变成了开二次根号，也就变成了 loan 一 加 x 的 平方分之一。 我说这个加 c 咱也不要写成加 c 了，因为 c 既然是任意常数，我就可以任意的去写，比如说我把这个加 c 写成 lon 绝对值， c 是 不是也可以？ 好，那么两个 lon 相加，是不是可以转换成 lon 的 乘法？因为这一项本身就是个正的，我给它挂一个绝对值也无所谓，因此 lon 里边就是绝对值，乘上 c 乘 这个一加 x 平方开根号分之一，那么我们对比一下，前后两个 loan 里边的东西是不是要相等，这不就解出来了， y 就 应该等于 c 倍的根号下一加 x 平方分之一， 那么得到的解里面包含了任意常数 c， 所以 说我们得到的就是一个通解。但是这个题目里面其实又告诉你了， y 零是等于一的，也就是说如果你把 x 等于零，代入 y 是 等于一的，那在这个里面， c 是 不是可以解出来就是等于一？ 如果 c 等于一的话，那 y 是 不是就可以等于根号下一加 x 方分之一？哎，这样得到的解是不是就不带任意常数了？这个任意常数 c 被这个初使条件代入给解出来了，所以说这样得到的解呀，就是一个特解。 好，那么这道题啊，我们就相当于是找到了微分方程的通解和特解。好，我们再来看一道问题，这道问题拿到以后啊，还是 等号的左边是 d y 比 d x， 等号的右边呢？很明显，它是关于 x 分 之 y 这么一个比较整齐形式的这样一个函数哈，所以说它是一个很明显的其次型。 那么针对于奇次型，我们的第一步是要把这样一个 y 和 x 比较整齐的形式给它做一个换元，也就是 u 等于 x 分 之 y， 那 这样的话，我们的这个 y 就 等于是 u x， 既然是 u x 的 话， 我们等号左边的 dy 比 d x 是 不是就可以等于是 u 加上 x 倍的 d u 比 d x 好，那么这是等号左边的式子，等号右边的式子是不是已经写成了 u 加上 tangent u， 大家看， x 分 之 y 是 不是写成 u， tangent x 分 之 y 的 这个 x 分 之 y 也写成 u 了， 所以说我们真正要解的就是这样一个关于 u 和 x 的。 呃，这个可分离变量型微分方程， 那么这个还比较简单呀，左右两侧的这个 u 是 不是都抵消掉了？相当于只有一个 x 和等号右边的 tangent u， 那 么还是老规矩，我们把含 u 的 放在一边就是 tangent u 分 之一 d u， 那 么另一侧呀，是 x 分 之一 d x， 那 么两边我们同时做不定积分，那么这个 x 分 之一啊，做不定积分就是 loon x， 那 么等号的左边左边是不是可以写成是 python u 分 之 cosine u d u， 那 么这个 cosine u 可以 凑到后边变成 d cosine u， 所以 说等号左侧的积分应该是 loon 绝对值 sign u， 不要忘了，我们不定积分是不是最后要加一个常数 c， 那 么有了刚才的经验啊，大家是不是可以大可不必加一个 c， 我 们直接可以把它写成是 lone c 没错吧。所以说写成这样的话呀，这两个 lon 的 和是不是就可以把它写成乘法？那么你再对比左右两侧 lon 里边的东西，是不是就可以得到 sine u， 就 等于是 c x， 这样的话呀，就得到了一个关于 u 的 引函数的表达式，当然这还不算完，因为我们最后要解的是关于 y 的 表达式，所以说啊，你可以把 u 再写回到 y 比 x， 它就是 sine y 比 x 就 等于是 cx， 因为这个里边没有给我们的初使条件，所以说没有办法把这个任意常数 c 解出来，我们只能得到一个通解，并且这个通解啊，还不是 y 等于什么什么 x 的 形式，它是一个引函数的形式，这个结果也是可以的。 好，那么有了刚才的关于可分离变量型和奇次型的这些常用的解法，那么接下来我们再给大家介绍一类叫做一阶限性微分方程，这类微分方程的基本形式，当然因为它是一节，所以说最多是不是只涉及到一节导数， 只不过在这个里面涉及到一节导数，还涉及到一个关于 x 的 式子，乘以 y 等于另一个关于 x 的 式子， 那么我们可以根据这个式子来分成两类，如果说等号右边的这个 q x 等于零，他就叫一阶其次微分方程，如果说不等于零，他就叫非其次。这个其次非其次的定义与我们先行代数中的定义是一致的， 他与我们刚才讲的其次型是不一样的。我们刚才讲的其次型，指的是 y 与 x 的 次数是整齐的，排在一起，是一个 y 比 x 的 形式，这一点啊，大家要注意区分。 好，那么大家可以看到哈，如果说这个 q x 等于零，对于 e 接其次的微分方程，它是不是就只剩下一个 dy 比 d x 加上 p x y 等于零， 这是不是就本身转换成了一个可分离变量型？所以说啊，一节其次的我们处理起来比较简单。那么如果是一节非其次怎么办呢？我们有一个固定的公式，大家需要背下来，也就是说啊，你找到了一节线性非其次微分方程， 那么写成标准形式以后，找到了 p x， 找到了 q x， 那 么我们把 p x 做一个积分，哎，把这个积分呢加上一个符号，放在 e 的 头顶， 再把这个 p x 啊做一个积分，这次不要加符号，放在 e 的 头顶，拿着这一项乘上 q x， 再做一次积分，那么这个得到的值就是我们 y 的 表达式， 因为这个里边涉及到的积分要加上常数 c， 因此这个给定的是一个通解的表达式。所以说大家拿到一阶限性非其次的微分方程也不要怕，只要把它换成是标准形式，找到了 p x q x， 直接套公式即可。 好，那么我们继续来看一道例题，那么这道题啊，我们可以看到，这是一个 e j 的 微分方程，那么根据我们的标准形式哦，大家知道啊，它的标准形式就应该是 y 一 撇加上 p x， y 等于 q x。 所以说啊，首先根据标准型，找到 p x 应该是等于二，找到 q x 应该是等于四倍的 e 的 r x。 那 么找到这个以后，我们是不是可以直接写它的通解表达式，所以说它的通解表达式 f x 就 应该是等于 这个 e 的 负积分。对谁积分？首先是对 p x 积分，也就是二倍的 dx， 那 么再乘上积分符号四倍的 e 的 二 x， 再乘上 e 的， 这次没有符号了哈，就是积分二倍 dx。 最后啊，在外边有一个微分 d x 再加 c， 那 么这个积分应该比较简单哈，这个对二积分积出来就应该是 e 的 负二 x， 那么里边这个积分相当于是四倍的 e 达 r x， 这也是 e 达 x， 相当于成在一起是 e 的 四 x， d x 加 c。 好， 那这个解啊，应该大家可以写出来吧， 这个积分是不是就直接是 e 的 负 r x 一 乘， 得到的应该是一打正二 x， 再加上 c 倍打一打负二 x， 好， 那这就得到了一个关于啊，这个跟任意常数 c 有 关的这样一个解，这个解就是我们的通解，但是这个题目里面告诉你了， f 零是等于零的，所以说我们其实可以把这个代入，如果 f 零取零，那么 这一跨应该是等于一，这个 e 的 负二 x， 得到的结果应该是一，所以说要想让它等于零， c 是 不只能等于负一。因此啊，我就可以得到函数 f x 的 一个特解，就是 e 的 二 x 减去 e 的 负二 x， 这就得到了一个特解。好，这就是啊，面对一节向量微分方程，我们可以直接代入公式。 我们再来看一道题，这道题也是啊，是不是？我首先拿到是一个一阶的微分方程，我先把它的标准形式写出来，它的标准形式是 y 一 撇加上 p x， y 等于 q x， 所以 说啊，在这个里边， p x 就 等于一， q x 就 等于二， 所以说我们代入公式，这个 y 就 等于是 e 的 负积分，对一，积分 dx， 没错吧？然后里边呢是括号 二倍的这个二就是 q x， 哈， e 的 这次没有符号了，积分对一，积分 dx， dx 加 c， 那么这个积分比较简单哈，外边积出来就是 e 的 负 x， 里边呢，就是二倍的 e 的 x 加上 c， 所以 说把它乘进去，最后就得到了二，加上 c 倍的 e 的 负 x。 显然这个得到的是一个通解， 因为它与任意常数 c 有 关。好，这个就是关于一阶向量微分方程的解法。那么接下来我们继续来看， 如果是对于二阶的微分方程，我们可以看到哈，一阶的微分方程有一个标准形式，那么二阶的微分方程也有一个对应的标准形式，就是 y 两撇加上 p， y 一 撇加上 q， y。 在这个里边，大家注意区分，一阶向量非奇次微分方程是 y 一 撇啊， y 一 撇， p x， y 等于 q x。 在 这个里边的 p 和 q 是 不是都是关于 x 的 多相似，当然也包括常数， 但是对于二阶来说啊，这个 p 和 q 我 们一般都是取的长数，所以说啊，这个地方大家要注意，这叫做二阶。其次，长系数的微分方程 好，那么拿到这个微分方程以后啊，我们首先是要求解它的特征方程，这个特征方程写法也非常简单啊， 我们直接把这个 y 两撇改造成 r 的 平方，把这个 y 一 撇啊，改造成 r， 这个 y 呢，就变成是一，这是不是得到了一个关于 r 的 一元二次方程 好，也就是说啊，对于一个二阶的其次，为什么是其次啊？因为等号的右边等于零，对吧？对于一个二阶其次的微分方程，我们可以啊，根据它的形式改造，得到一个对应的特征方程。那么从这个特征方程里，我们是不是可以找到它的解？ 我们知道，一个一元二次方程解有三种情况，有两个不同的实根，有两个相同的实根，或者啊，就是没有实数解，也就得到了一对共讷负根， 因此他的通解也分为三种情况。我们知道这个就是相当于是根的判别式，如果根的判别式得它是 p 平方，减去四 q， 如果大于零，那他应该得到两个不同的实根。那这样的话呀，我们的通解形式可以写成这样， 首先第一个常数 c 乘上 e 的 第一个实根乘上 x， 加上 c 二是第二个任意常数乘上 e 的 第二个实根乘上 x。 如果我们的根的判别式是等于零的，说明它是有两个相同的实根，那么这种情况下呀，它就相当于是 c 一 加上 c 二， x 乘上 e 的 这个唯一的实根乘上 x。 如果是一对共恶复根的话，我们就需要找到它的实部，找到它的虚部，那么把实部放在 e 的 头顶，把这个虚部呢，放在 cosine 里边，再放在 sin 里边，两个 e 组合就得到了共恶复根下的通解。 所以说啊，要求解二阶。其次的微分方程也比较简单，它的简单之处啊就在于我们可以直接根据特征方程根的情况来把通解套公式写出来。 接下来我们来看一道例子，比如说要解一个微分方程，这个微分方程是 一个二阶的，我们来看啊，根据标准形式，我们说二阶。其次的微分方程是外两撇加上屁，外一撇加上 q， y 等于零，因为是其次的，所以等号右边是零。好，那么根据这个 大家可以看到，这是不是就是一个标准的二阶？其次，长系数的微分方程，其中 p 是 等于二， q 是 等于一。 那么拿到一个二结方程，我是不是第一步先写他的特征方程？特征方程就是把二结导改成 r 的 平方，把一结导改成 r， 不 求导呢，本身就是一，所以说我就得到了一个关于 r 的 这个叫一元二次的方程，我们可以看它的根的情况。在这个里边大家应该比较熟悉啊，这个应该是得到了两个相同的时根，也就是 r 一 等于 r 二等于负一。 我们回想一下，如果得到两个相同的时根，我们的通结怎么写啊？是不是应该写成是 y 等于 c 一 加上 c r x e 的 r x， 所以 说我们直接代入公式，它就等于是 y 等于括号 c 一 加上 c r x， 这个 r 就 相当于是负一， 那就相当于是 e 的 负 x， 那么得到的这个东西啊，带有任意的常数 c 一 和 c 二，所以说它得到的是一个通解， 那么由这个通解再怎么求呢？我们是不是看它给定了两个条件，如果说把 x 等于零，带入 y 是 等于四的，如果把 x 等于零，带入 y 一 撇是等于负二的，所以说呀，看样子两个方程两个未知数，可以把 c 一 c 二给解出来， 大家可以代入一下代入 y 来求解一个，再把这个 y 求一个导数，再把这个 x 等于零带入导数，还能再求出一个这个任意常数，那么最后得到的结果啊，就是 c 一 等于四， c 二等于二，因此最后我们就可以写这个 特解，这个特解啊，就等于是四加上二 x e 的 负 x， 这样的话，这道题就完成了。 好，那么刚才所讲的啊，是关于二阶奇次的微分方程，那么如果等号的右边不是零，它就变成了一个非奇次的微分方程， 那么我们可以看到哈，等号右边是一个 f x 的 形式，那么这个问题相对就比较复杂一些了哈。 我们说二阶非其次的微分方程，它有一个基本的原则，叫做你要求这个非其次的通解，它就等于你对应其次的通解，需要先求出来， 怎么求？就是按照我们刚才所说的，对吧？你对应其次，相当于是把等号右边的那个 f x 给它直接抹成零， 那这不就是对应其次吗？对应其次，刚才已经说过了，求特征方程，根据特征方程他跟的情况来套不同的公式 好，那么得到对应其次的通解，我再加上非其次的特解这个问题就可以了。而这个里边最大的难点在于如何去计算非其次的特解。 我们来看，第一步就是解对应其次的通解，这个大家比较熟悉。第二步如何去求这个非其次本身的一个特解，这个求法呀，需要根据我们等号右边的这个 f x 的 具体形式来去写。 比如说啊，我们先给出一个特殊的情况，就是说 f x 现在是等于 e 的 蓝布特 x p m x 写成了这样一种形式， 这个 p m x 就 相当于是 x 的 m 次多项式，也就写成标准形式，就是 a e x 的 m 次方，加上 a r x 的 m 减一次方类似的这种。 好，那么得到了这个形式以后啊，我们可以先把一个特解给他舍出来，比如说啊，我就舍出来他的特解形式长这个样子， 这个怎么设出来的呢？我们来看啊，首先第一项是 x 的 k 次方，哎，这一项是 e 的 蓝的 x， 应该是照抄的，对不对？ 那么这个 x 的 k 次方怎么确定啊？这里边有一个参数 k， 我 们这里啊给出一个 k 的 确定方式，这个 k， 也就是说你刚才第一步不是算出了其次的 特征方程对应的特征根吗？如果说你的这个特征根 r 一 和 r 二两个都不等于一，如果两个都等于，那么就取二， 这就是关于 x 头顶上这个参数 k 的 一个取法，它比较的就是特征根和 e 的 头顶上这个系数之间的关系。 好了，有了这两个以后啊，我们来看中间是不是还有一个东西，这个是不是也是 x 的 m 皆多相似？那大家想跟上面的 p m x 的 区别在哪里啊？ 为什么一个用 p 来表示，一个用 q 来表示，是不是都是 m 次的多相似，但是它的系数是不同的，所以说这个我可以写成是 b 一 x 的 m 次方加上 b r x 的 m 减一次方，一直加加加。 那么现在的关键要想确定这个特解是不是本质上就需要把里边的 b 一 和 b 二一直到 b n 给它算出来，也就说这个特解里头我真正不知道的数就是这个 q m x 这个 m 次多相式里边的系数我都不知道， 那么怎么办呢？我们想他既然是一个特解，是不是肯定满足原方程？所以说我们可以采用一个哎最直观的办法哈，我们把这个外星啊求一解导，再把这个外星求二解导带入到原方程里头，是不是可以列一个 等式？哎，列这么一个等式的话，就可以把 b 一， b 二、 b 三这些系数给他解出来，这样的话我们就唯一确定了这个特解。 所以说二阶非其次微分方程的难点在于哪里啊？难点在于第一，他首先要求一个其次的通解，这个大家要学会。第二，他需要找一个非其次的特解，而这个特解我不可能直接找到，所以说我首先要先舍出来他的基本形式， 这个舍特解的基本形式啊，它的方法就是像我刚才所说的 e 的 栏杆 x 是 不是照抄 x 的 k 次方，这个 k 你 来确定一下， k 应该是去几主要比较的是特征跟 r 和 e 的 头顶上这个系数栏杆之间的关系， 同时呢，还需要把这个 p m x 就是 m 结多相似给它对应的舍出来。这里边最重要的就是求这个系数，这个系数没有什么特别好的办法，我们只能把它求一解导，求二解导代入圆方程。 所以说啊，可以看出这个特解舍出来应该是比较好舍的，但是啊，可能它在这里边的系数 b 一 到 b n 不 太好解，我们接下来啊，通过一个例子大家来体会一下 好这个地方啊，要解一个微分方程，这个微分方程应该是一个标准的二阶的非奇次，我们可以看到等号的右边不是零，并且啊，它是不是还是我们所讲的标准的形式 e 的 栏目 x 乘上关于 x 的 m 阶多项式， 这个相当于是 x 的 一节多项式，是一个最简单的形式。那么拿到以后啊，我们首先知道第一步是要干什么，是不是应该求它对应其次的通解，那么这个对应其次的通解是找它的一元二次方程对不对？ 也就相当于啊， y 的 两节导写成是 r 的 平方， y 的 一节导写成 r， 那 么 y 本身如果不求导的话，是不是就写成一，那这样的话，我就可以得到一个一元二次的方程。 从这个方程里啊，大家可以解出来， r 一 等于二， r 二等于三，它就相当于是有两个不同的时根， 那么如果有两个不同的时根的话，那么对应其次的通解就应该等于是 c e e 的 二 x 加上 c r e 的 三 x， 那 么第一步完成，我就找到了它对应其次的两一个通解， 那么第二步我需要去找它的特解，那么特解首先第一你是不是先得把特解的基本形式给它找出来？ 这个特解的基本形式根据我们讲的，这个外星是不可以写成是，首先一打二 x 是 不是照抄啊？乘上一个多相似，这个多相似是不应该是个依次多相似对吧？依次多相似的标准形式是不应该是 ax 加 b， 对 吧？跟它所对应吧。 然后后边还需要再乘上一个 x 的 k 次方，那么这个 x 的 k 次方啊，这个 k 如何确定？是不就是比较我们的这两个特征根与我们 e 的 头顶上这个系数之间的关系，大家可以看到 是不是 e 的 头顶上这个数是 r， 两个特征根里是不是有一个是 r？ 所以 说在这个里边 k 应该去几啊？ k 是 不是直接取一就可以了，所以就相当于是 x 的 一次方，哎，大家可以看到这样的话，我是不是就把外星这个特解的基本形式给找到了，那么找到了以后，我就要找外星的一节导 和外星的两节导带入到我们的这个圆方程里边，那么大家可以分别去求导算一下啊。这个地方涉及到了 乘法的倒数，也就是前倒后不倒加后倒前不倒大家可以练习一下，那么你代入圆方程以后，得到的结果应该是负二倍的 a， x 减去 b 加上二 a 等于 x， 所以 说比较这么一个形式，我们可以看到等号的左右两边呀，都有 x， 那 x 的 系数 根据右边应该是一，所以说负二 a 应该是等于一的，那就意味着 a 应该等于负的二分之一，如果 a 等于负的二分之一，那么这一块是不应该等于 负一，那么整个的系数这一堆左右两边对比一下，这边没有系数，而这边没有常数，所以说这个 b 是 不应该等于负一，跟这个二 a 抵消掉， 这样的话我就可以找到了 a 和 b 的 具体取值，那么这个 y 星我就可以唯一的确定下来， y 星就等于是 这个 x 被的负二分之一 x 减去一，再乘上 e 的 二 x， 那 么你把这个 y 星和这个对应其次的通解 y 两个式子加起来，就得到了我们这个二阶非其次方程的通解。 好，这就是这个题的一个基本解法。好，那这个就是关于微分方程这一部分的全部内容，那么涉及到的知识点啊也比较多，希望大家能够认真复习这部分的知识。好，谢谢各位同学。

铲件式作品。

一个公式快速解决一阶微分方程，就是我们一阶线性微分方程的一个通景，那这里的话，我们实际上本质就是一个公式，叫 大家掌握了这个公式呢，做题就不难了。首先我们来看给出我们一个定义的形式，这个定义呢， d y 比 x 加上，注意啊，我们 y 对不对也是我们要求的这个部分乘以 px， 也就是说这个 px 应是我们 x 的某种形式，等于 qx 啊，这就是我们一接线性我们的方程，并且呢，我们 px 和 qx 一定是我们已知的，我们通常给出我们的这个题型之后，我们这个 px qx 一定是很明显的，对不对？然后呢，我们下面给出如下的一个定义，如果说我们这里的话， qx 如果他是等于零的话， 我们就称我们这个方程是我们其次线性方程，注意是其次的。然后呢，如果说我们这个 qx 它不等于零的话，给出的就是非其次，那其次它的含义实际上就是我们等于零，等等式的右边等于零，那就是我们的其次。 而我们这个董事右边如果说有一个具体的 x 的形式的话，就是我们非起色的形式。而这里的话，我们给出如下了一个解题的一个方法，先求出我们其次线性方程的题， 注意我们的公式要如何去记忆。首先先给出我们任意长数 c 对不对？乘以什么呀？以 e 为底，主要以 e 为底。然后我们的指数呢，是关于我们 px 作为我们被击函数的形式， px 作为我们的被击函数 dx。 然后呢，前面要乘以一个长数 c 啊，前面要乘以一个符号，前面乘以一个符号之后，然后再乘以我们前面的长数 c， 就是我们骑士线性方程的解，那这里的话解实际上非常简单的对不对？对他进行积分就可以了， 对我们 px 进行积分。然后第二步就是求解我们的这个非其实线性方程和解如何书写呢？首先我们 前面已经给出了，对不对？我们的这个其次方程的这个减的部分，我们注意把这个长数 c 如果去除掉的话，就可以作为我们这个非其次方程的第一个部分。然后呢我们再乘以第二部， 这个第二部分是有个整体构成，构成什么呢？首先将我们原先的这个长数 c 作为第一个加项，而第二个加项略微复杂，需要大家进行一个掌握，他的什么形式呢？首先 是一个被击函数，被击函数是原先的等式，右边这个 qx 乘以我们以一为底，然后指数是一个积分，那个积分呢？和我们前面相类似，但是将我们符号进行一个排除就变成什么样？以一为底， 以 px 作为我们被击函数的一个积分的形式，注意没有符号，原先这个 px 是什么形式？我们完完整整原原本本的写下来，然后呢这两个部分相酬，就是我们的这个第二个加项的被击函数， 然后你对他进行一个积分就可以了。所以说我们这里就会发现，如果你将我们的这个通解形式给掌握住的话，那给出我们任意的我们的一接线性微分方程对不对？ 无论这个 pxqx 什么形式？你只要进行代入，然后积分就可以了。所以说这是我们的一个通检的一个公式，需要大家进行一个记忆。

第一个呢，是关于一阶的线性的非其次的微分方程的解的模板。这里注意有几个定语啊，一阶的线性的非其次的。 根据这三个地理呢，咱们就能够把这个微信方程给大家写出来。一阶的所含的一阶岛，只能含有一阶岛，不能含有二阶岛，这叫一阶岛。然后呢，是线性的。什么叫做线性的呢？就是关于 y 一撇，还有 y， 他们都得是一次，不能是两次。 还有非其次，非其次呢，就是他的右边又要等于 q 了，他的等号的右端不等于零，这个叫做非其次的。其中这个 p 是一个函数，是关于 x 的函数， q 呢，也是关于 x 的函数。好，大家先把这个方程给记好，他是一阶的线性的非其次。 这个考察的次数比较多哈，我们这些模板都是根据真题的数据得来的。因为这样子的题目呢，基本每年都会考，它是属于高频高频考点了。 所以一定要记住什么叫做一阶的线性的非其次的，就这种样子啊，就这种样子，只要能够画成这种样子的威风方程呢，都叫做一阶线性非其次的。那么他的结，他的结 看这个模板。首先先设 p 等于方框， q 等于三角形。那么这个 p 什么东西啊？ p 呢，就是 y 前面这坨啊。 y 前面的这坨。 q 呢，是等号的右端这坨，右端这一坨。好。先设好 p， q 则 由通解公式得到。通解为直接把这个公式写下来。那么这里呢，大家就要就要把这个公式给记好哈。关。 关于一阶的线性的非其次的微分方程结就是这个公式。首先题目是这样子的函数 y 等于 x， y 等于 yx， 它是有微分方程，它 满足条件的特解。这个这里呢是求特解了哈，不是求通解。如果求特解的话，那么咱们还得带入这个所谓的初始条件，去把那个常数 c 给确定，才能够得到特解。如果没有叫你求特解，只叫你求通解的话，那就只需要用公司做到这一步就行了，只要只要两步就行了。 解红色字体是写到色调上去的。解这个蓝色的字体呢，是说明性的文字。第一步设 p q， 这是给大家说明性的文字哈。蓝色的。蓝色的是说明性的文字，不用写到试卷上。蓝色表示的是说明 咱们写到试卷上去的。只要写红色的，红色的就算要写到试卷上去的啊。写啊分这个黄色，这个方方框。黄色的是需要填入具体的数据的。每一个题，具体的题目，要把具体的数据呢填上去。 第一步设 pq 好写出来。第二步由通解公式，这里是说明新文字。这个通解呢，需要大家记住这个公式，需要大家记住的。注意一外面是有这个括号，外面这里呢积分符号是有符号的，括号里头呢，这个积分符号是没有，是没有符号的。 写出这个公式来之后，则带入具体的数据，就得到通解了。那么这个通解如果你不会做不定积分，你是零基础。如果大家是零基础的 的话，你就写到这一步，写到这一步就行了。写到这一步就有百分之六十的步骤分了啊，哪怕你得不到最后的答案，只要一二两步射，大家都会。 p q 等于什么东西？ p 是什么东西？ p 呢？就是这个 y 前面这一坨啊。 q 呢，就是等号右端这一坨。 所以这第一步很简单。第二步，只要你能够把这个公式写出来好，到此为止，你就有百分之六十的分了。当然，如果你的基础稍微再好一点，能够把这个公式里头的两个积分做出来，好满分。 如果这个题目是求特解的，那咱们把通解求出来之后呢？再带入初始条件。第三步代入初始条件，就把 c 给确定了，把 c 确定的解就叫做特解。

如何做得到吗？ 如果我说错了， 那你又为何垂头丧气抱怨现在的生活不快乐？ 又如何做得到吗？

你有没有见过保安也会做大学数学题？现在我求一个 e j 限性非其次微分方程的通解， 我现在解说一下什么叫 e j 限性非其次微分方程。 e j 指的是 d 的 后面是一次方，不是平方，不是三次方。 限性就是所有的代数都是一次方，这边画成 y 一 撇之后也是一次方， 所以就是限性非。其次就是转化成这个形式之后，他的右边是二 x 是 x 的 形式，而不是零 微分，就是有 d x， dy 就是 微分，所以这个方程就是 b j 限性非其次微分方程。 现在我来介绍一下解这道题的整体思路。第一步，我们要将现有的微分方程，也就是题目中这个微分方程转化成一阶向量微分方程的标准形式。 然后我们就可以知道 p x 和 q x 的 值，这两个值带入到求通解的公式进行计算，这就是求通解的公式，很正常的一串， 把 p x 和 q x 带入到这个求通解的公式以后，进行化简计算和化简，就得到这样的形式。然后这个形式有点复杂，它属于多项式，和指数函数相乘， 这串属于多项式，和指数函数相乘。遇到这样的形式，我们需要用到分布积分，所以第三步就是用分布积分进行化简，化，简到最后就得到了最后的结果。这就是这道题的三步。一二三。 现在我来讲解。第一步，先把 dx 分 成 dy， 换成 y 一 撇，然后原有的微分方程就变成了这样的形式，再把 y 移到左边，就成了负 y， 然后就得到了一个一阶向量微分方程的标准形式。 然后我们就知道了， p x 的 值是负一， q x 的 值是二 x， 这里要注意， p x 就是 y 前面的系数负一。 然后就来到了第二步，把 p x 等于负一， q x 等于二 x 带入这一长串公式里面去。由于这个公式比较长，所以我们分为四小个部分来带入。首先第一小步就是把这个 p x 等于负一带入到这个指数上面去， 然后计算的结果是负 x， 然后还要把 p x 等于负一带入到这个指数上面去，这个指数呢，它跟这个指数唯一的区别就是多了一个符号，所以我们把这个的符号改一下，它是负 x， 所以 把它的符号 改成正 x。 然后第三小步和第四小步太简单，我就不经性解释了。有了这四小步的转化之后，这个大的公式就变成了这样的形式。 然后我们要把这个积分算出来，这个积分它里面有多项式和指数函数相乘，这里二 x 为什么是多项式？因为把它看成二乘以 x， 它就是多项式， 这个二 x 是 单项式还是多项式不重要。现在我们用分布积分方法把这个括号里面的内容算出来。首先把这个二先放一边，先算没有二的这部分， 算出来以后结果是这一串，然后要把之前没有管的这个二给存回去，存回去就是要把二乘以这三项，得到这样的结果，这个结果就是括号里面的内容， 然后还要把括号里面的乘以这个一的 x 次方，就得到了这个步骤就得到了这一串。现在要把一的 x 次方乘以括号里面的三小项， 第一小项乘以一的 x 次方等于负的二 x， 第二项得负二，第三项得 c， 组合起来就是这一串。 现在我来解说一下分布积分的地方。先设 u 等于 x， 就 得到了 d， u 等于 d x， 再设 d v 等于这一串，又得到了 v 的 值。 记忆技巧就是设 u 得 d u， 设 d v 得 v， 然后再把这四个部分一二、三、四 带入到这个公式里面去，这个是计算分布积分的标准公式，就得到了这一串。接下来我介绍一下需要记忆的地方。首先 d x 分 子 d， y 等于 y 的 导数，然后要记住 一阶向量微分方程的标准形式是这个，有了这个我们才知道 p， x， q， x 是 多少。然后要记住这个求通解的公式。 接下来要记住，积分一， d x 等于 x， 重复一遍，积分一， d x 等于 x。 然后要记住什么时候用分布积分。我这里写的这个笔记不一定对多项式和指数函数相乘时用分布积分， 这个应该不完全对，以后遇到指数函数的时候，我会考虑用这个分布积分，什么时候应该用分布积分，也希望大家在评论区多多交流， 我确实不太懂。接下来要记住，一的 x 次方乘以一的负 x 次方等于一。最后要记住，二 c 等于 c， 三 c 等于 c， 四 c 等于 c， c 的 意思是任意乘数，所以它乘以多少都是任意乘数，都是 c。 如果我有说的不对的地方，希望大家多多指点。