弹性力学教程第三版 王敏中 PDF

呃，大家好，各位朋友，今天依旧是我的弹性力学学习的一个分享， 然后今天讲的是按硬力求解平面问题。呃，在昨天的一讲里面，我们学习了就是按位移去求解这个平面问题，然后今天我们来看一下这个 按这个硬币去求解这个平面问题，还是跟昨天一样啊，思路都是一样的 啊，按什么来求解呢？就把什么量作为一个基础的未知量之后去求解这个平面问题啊。首先是我们昨天的这个按位值量， u 和 v 两个函数作为基本的这个未知函数。嗯，之后我们通过几何方程和物理方程得到这个拉媒方程。 呃，呃，通过这个几何方程还有物理方程给带入到那个平衡微分方程一开始的那两个方程之后， 呃，这里的几何方程是自动满足的。呃，这个稍后会讲。为什么在我们引力求解当中，他这个几何方程有的时候不是会就是不是自动满足？ 在这种在我们昨天讲的这种按位移求解的情况下，他这个是所有的边界都可以适用的。 那么今天我们按引力球解，他是否可以在所有的边界条件下使用呢？这个就由我们来探索一下。首先一样的，我们这里使用按引力球解，那么就是将呃基本的未知量 就是，嗯，两个正例，一个切例作为一个基本的未知函数。但是需要注意的是，这里我们是有三个独立的未知量。 呃， sigma x， sigma y， x y 是 有三个基本未知量，但是我们的这个平面方程它是只有两个方程的， 这样就就会造成有三个基本的未知函数，但是，呃，只有两个未知方程，这时候是解不出来的，所以我们这里需要引入一个，嗯，引入一个变形协调方程， 也叫做我们的相容方程。 好，接下来我们开始具体的讲解一个东西，首先按任意求解的时候还是还是一样的，我们以 基本的三个未知函数啊，这边来到这个，这个写一下吧， 三个基本的未知函数，分别是 sigma x， sigma y 还有 t x y。 既然要消掉，呃，要消掉，消掉位仪还有应变， 那我们首先想到的还是几何方程，还有这个物理方程 这两个方阵，然后将这五个位置量全部消掉，最后得到一个仅仅由这个引力去表示， 仅仅由引力去表示的这个微分方程，然后再带入边界条件，然后就可以求解这个问题。好，那我们来看第一步就是消去它的一个位移。 通过几何方程消微仪的话，我们首先写出三个几何方程， 这是偏 v 偏 y 到 x， y 等于偏 v 偏 x 加偏 u 偏 y， 呃，这个时候 要消去这个，要消去这个，要消去我们的 u 和 v， 这是我们对这一个方程做一个 呃偏导操作，首先给三个式子编号，首先我们要消掉这个 u 和 v 的 话，我们是这样来操作，呃，对第一个式子，对一式， 呃，对这个呃线应变，然后使它对 y 求两次变道， 然后对第二个式子，呃，让它对 x 求两次变道。 为什么要这么做呢？因为我们注意到这样子会产生呃偏 u 和偏 y， 然后 偏 v 和偏 x 这两个项，然后这两个混合项，最后是可以用这个 to x y 来进行一个化解，我们这里写一下这个结果， 我们对一式求偏导之后得到的是偏 u 的 三次方， 然后偏 x 偏 y 方，然后接下来是对第二个式子， 然后我们化解一下让一式，呃，求解后的这里就化成四四和五，让四式加上五式 就会有这样一个结果。嗯，我们提出一个混合项， 偏 x 偏 y 偏 u 偏 y 加偏 v 偏 x。 好， 这个时候就很明了了，看到没有？这个东西刚好它就是我们的一个切力， 这时候我们再把这个切力给带回去，就有了这样一个式子，呃，前面这一坨也要给它还原，就是左右两边建立这个等式，这里就有 啊，写外放加， 呃，这里是写错了啊，这里是写错了，哈，这里是应变写成硬币的。失误，失误， 给这个擦掉。我说怎么有点不对呢？我说怎么会有，哼， ok， 这样子就改过来了。之后我们现在就是消掉了它的整个卫仪， 呃，消掉了两个卫仪之后呢，我们这里又有一个新的问题，就是，嗯，怎么样去消掉这三个应变， 呃，我们给这个式子算，继续编号，编六号，我们让怎么让这个六式 单纯的去用这个三个硬币分量进行表示，这时候我们就要想到我们的一个，嗯，物理方程，对吧？用物理方程的那个，呃，消掉这个三个变形。 呃，写一下吧，我们这里 平面问题，我们用平面硬币来写吧，平面硬币那个 好写一点，然后剩下的就可以自己去推导一下。 歪， 但是是一样的呀，这个平面问题和平面应变，和平面硬币的问题转换， 呃，无非就是一换成一减六方分之一，然后六换成一减六方分之六而没有方，这里记错了才对。通过这样子就可以对它的结果进行一个转化，这个东西前面我们也提过，然后现在我们就是 呃推导的时候，也只需要推导其中一个，我们这次的是平面引力下载这个 物理方程转化的话，就用这两个把这个一和六换掉，然后最后那个结果的话，也是可以通过这样子去互换的。不过如果你要加深印象的话，呃，也可以就是也可以就是自己去推导一下这个东西， 这时候我们想思考一个问题啊，这时候我们就有必要思考，当我们在由这个位移去得到这个应变的时候， 它是做了一个什么操作，这个时候我们就来看上面是不是做了一个导数的操作，也就是说这里是一个微分偏导数， 然后我们有应变去得到位移，这个时候是什么？这时候我们是去积分， 好，那么积分会产生一个什么问题呢？这个积分它就会产生一个不定函数，在我们这里就会产生一个不定函数。这个东西就非常难解 啊，一组应变它并非只有一组位宜和它对应 啊，因为它会有这个刚体的那个转动，就我们前面推的 u、 v、 摩密尔这三个东西， x 方向平动、 y 方向平动和一个刚体定轴转动， 这个时候如果我们需要这么去表示的话，我们这里需要就是引入一个我们的协调方程，就是我们刚刚上面这个， 这里讲的有点乱了，刚刚其实讲这里的时候就应该把这个关系稍微带一下，是因为刚刚这里， 呃，想快点推下面这个，想快点把这个页面给带出来，然后讲的有点急，那我们这里需要注意一下这个东西，也就说为什么我们非要去推这个协调方程。 当然我们这里的这个变形协调方程也不是最终的一个补充方程，我们最终的一个补充方程就是需要将这个物理方程给它带入到 我们的这个上面的这个变形协调当中，之后得到的最后的那个变形协调方程就是我们最终的一个补充方程。 然后写一下结果吧，我们把这个平面应变状态下的这个物理方程给带入到上面这个情况，带入到上面这个，呃，变形协调方程之后，我们最终得到的一个结果是这样子的， x y 加 pi x 平方减去六倍的 x y， 呃，记错了， x 加六 x y 混合项，这是 x。 ok， 之后我们就是，呃，严格意义上来说他现在就已经是最终的一个，嗯， 最终的一个补充方程，但是我们这里还可以进行化解，我们这时候已经用了两个方程了，对吧？分别是用了我们的几何方程， 用了我们的几何方程，还有我们的物理方程和和这个位仪按位仪解是一样的，然后我们也用了几何和物理，是不是还有一个方程没有用哪个方程呢？就是我们的 平衡微分方程，我们这样子将平衡微分方程中的两个切逆向给移到等式的一边， 这样子 偏 y 这个 x p x f x。 好， 那么再把这个给带入到上面的这个变形线条，将其中的这个切音逆向给它替代掉， 让我们进行一下化解。然后我们这里需要注意的是， 你不能直接带进去，因为它这里是平方向，所以我们需要对这里的钢尺编号到了六十，是吧？这里就七十八十，我们需要对七十 分别对 x 和 y 求导，然后再相加。我们这个时候需要注意的就是阶梯形的顶点， 那我们最终这里可以得到这样一个式子。写错了，还有个系数， y p x 偏 y， 负的平方平方向 p x 减去平方向偏偏 y 方减去这里的， 呃，他对 x， 然后减去他这里的偏 y， 呃，也就是说对七是偏 x， 然后对八式是做， 呃，对 y 求导，就是对七式是说反了，这里是对 y 有 y 的，是对 y 有 x 对 x 要对应一下，这就是求导。 求一次导数得到这个方程，然后我们再将这个方程给带入到最上面这个最后我们得到的平行接线的方程就是这样子写一下， 这是正因理想一加六，偏 x 加偏， 偏 y 偏 y 啊，这就是我们最后得到的一个九式吧。变形协调，这就是我们最终的一个变形协调，不过这个变形协调是平面硬币的一个变形协调完成。 呃，然后如果是需要那个平面应变的话，就需要用上面这个关系去替换一下就好了。 啊，刚刚我们也讲过，这里 好多了，刚我们也讲过，就是由于这个由这个应变去表示这个谓语的话，会引入这个不定函数，所以我们这个使用毅力求解的话，一般使用的情况是，呃，这个边界条件， 它只有这个异力边界条件，当然在我们的工程和实际中 只有这个异力边界的这个条件，也就是说它只有这个面力边界的这个条件还是有很多的，所以它仍然能解决很多很多的问题。 嗯，好。然后这个就是整体的一个思路，我们可以这里再过一遍， 还是一样的，我们这里已知体力边界条件，然后基本位置量，然后这是三个，让我发现我们的平和 v 方程只有两个方程，解不出这三个未知函数， 那我们就需要最重要的这个变形协角方程，也叫相同方程。 呃，这里其实还有一个东西，第四个他这里需要满足。呃，这里讲一下吧，就是需要满足这里的如果是单连体的话， 就是可以直接使用，可以直接使用。然后如果是多连体， 如果是多连体的话，他这里要需要满足位位宜的单值条件。 这里分两个东西讲什么？首什么就是啊，首先就是什么是单连体，什么是多连体啊？可以这么说，单连体也叫做单连玉啊，也就说对于我们的平面问题啊，这里需要特别注意是对于我们的平面问题， 单连体就说仅有一条封闭的边界，就不管你怎么动， 只有一条封封闭的这个边界，它就称作平面问题下的单连体。那多连体呢？就是由两条或是两条以上的封闭边界构成的物体，比如我们在这里挖个孔， 这样它是不是就有两条边界条边，呃，闭合的这个边界分别是一和二，这个就叫多连体。 呃，那之后的什么是位于边界位于的这个单值条件呢？这个就说啊，一个位置，然后它只有一个值，这个就跟高等数学一样，它那个 单值和多值函数这个很好理解，就给你一个坐标，它只会有一个对应的值， 不允许出现多值，就避免以后就是这个物体它重合。这个具体的推导可以在之后的第四章会去进体，进一步去讲这个东西。 对，这里就是需要补充这样的方程， 变形不协调，可能会有不连续，什么重叠或是断，呃，裂开到后面划分网格的时候，这样子重合两个问题有一个重合的部分， 还有就是，呃，完全分开，可能一个完整的东西它就从这里裂开了，中间就分开， 可能出现它的不连续，违反这个连续性假设等等，所以我们就需要引入这个补充方程 啊。这里是啊，这里刚好是一个平面问题的相容方程。呃，然后如果你后面单独去推导的话，可以参考一下这个答案，可以放大一点， 这里有具体的物理意义，包括就是重叠和开裂，就和我刚刚说的一样，这里的单指所对应的就是这里的开裂和重叠。 嗯，阴历表示的形容方程，平面阴历状态，这个就是我们刚刚推的那个， 然后下去简历项也是刚刚推过的。 呃，然后就是这个换算也是一样的，就通过这个式子就可以进行一个换算。 接下来这一部分的话就下一讲再讲吧。让我们先看到这里， 我们先总结一下我们的这个，呃，按这个，按这个硬币来求解这个平面问题的时候需要注意的一些问题，就是我给出你一组应变， 呃，不应该这么讲，这个应该说是如果给出一组硬币， 他是否是这个解，我们怎么去判断呢？首先就是第一个就是需要满足我们的平衡微分方程， 其次就是需要满足我们的一个变形协调方程， 呃，也叫做相容方程。 再然后他就必须要满足我们的边界条件， 我们一般在什么时候使用啊？是不是只有在硬币边界条件下的时候才会去使用这个东西？再然后第四个就是需要满足位宜的 单值条件， 就是单连体和多连多连体，然后我们这里最后是会得到三个方程，然后去解三个那个未知量，跟我们的这个平面，跟我们的这个按位移求解的话 是要多一个方程的。而且这里刚好要说一下，就是昨天讲的一个问题，昨天我后面才发现要我这里给出的这个方方程，它并不是完全的一个弹性方程， 他这里这个是物理方程，然后是需要将这个几何方程带到这个物理方程之后的这个东西，他才这才是那个弹性方程。那昨天这里我没，我没注意看，我以为是直接写的那个弹性方程，所以这里是有问题 的，是要将这个几何方程给带入到这个物理方程之后， 最后得到的才是那个弹性方程，所以这里更正一下。好，那么这就是今天全部的一个分享。然后，嗯， 这个引力函数就是常体力情况下的这个相对方程的化简，我们就是明天再讲。 ok， 感谢大家的聆听，然后今天就到此结束。

弹力的基本概念是八下历学当中常考的一类问题啊，也是开学后的必考题型。那核心点就要去理解弹力啊，它不仅仅只是包含什么弹性，绳子、弹簧，更广义上的来讲，只要物体发生了弹性形变，他想要恢复原来的形状，就会产生一个弹力。 那学会这道题之后呢，一定要把罗老师整理的这套弹力板块的必刷练习啊，拿去开始做一遍，把弹力板块里面的各类题型啊，包括概念题，包括实验都搞懂之后，历学啊，稳拿高分 来多选题。我们一个个来分析，相互接触的物体之间一定产生弹力吗？从基本概念上讲，接触只是其中一个条件， 对吧？你得挤压，你得产生微小型变啊。好，那你如果有这样的两个球，你想一想，他们从天花板上就这样垂掉下来，哎，正常来讲啊，竖直垂掉下来，然后轻轻的挨着，就轻轻的挨着，那他们之间有没有弹力呢？没有。为什么？ 对于球来讲，他的重力和拉力已经在一条直线上平衡了，那么水平方向上，如果你觉得有弹力的话，这不就 不平衡了吗？对吧？你不需要弹力了，这个时候仅仅是轻轻挨着，没有相互的这个弹力的作用， ok 吧？或者你换一个角度，把这个球拿走，对他有没有任何影响？没有任何影响，所以就没有弹力啊，所以这也是不一定的。好在看 b 压力支持力，拉力都属于弹力吗？ 哎，你受到的对吧？压力知识与拉力，它这这些力都是由于物体发生了什么接触、挤压、微小型变所产生的，所以广义上来讲，推拉支压都属于弹力啊。再看 c， 弹力仅仅是指弹簧形变的时候对它的物体的作用吗？仅仅是指弹簧吗？那很多的物体啊，对吧？桌面上的物体它也不是弹簧，它也有弹力， 所以 b 是 对的， c 就是 错的了。好弹力是指发生弹性形变的物体，由于要恢复它的原状，从而对接触的物体产生的力，正确，对吧？所以这个题的答案多。选择题选择 b 和 d， 你 学会了吗？

大家晚上好，我们呢继续来学习弹性力学，那么这次课呢，我们继续往下讲讲这个硬力解法。 这个硬力解法呢是什么意思呢？跟我们的位一解法是对应的，嗯，硬力解法就是以硬力作为这个基本的变量去求解， 那么这时候呢，就要求在体内满足这个平衡微分方程，然后相应的这个应变分量呢，还得需要满足这个应变协调方程，所以呢，这个应力接法规解为就是在给定的这个边界条件下，就是求解这个平衡微分方程 啊，然后呢物理方程和这个应变协调方程。那么我们刚才说了是以受力作为基本变量求解，所以说现在要从中消去这个应变分量，然后呢让他们变成一组以受力分量表示的方程， 由于这个平衡方程本来就是用受力分量表示的，这就不用动了，所以说呢，下面只需要把这个应变协调方程和这个物理方程消去这个应变分量就可以了。 那么书中呢，写的不是很详细啊，只是给出了最终的这个指标的形式的结果。那么在这里边呢，我给大家从头到尾推导一下，看看他这个过程究竟是怎么样的，这些公式究竟是怎么来的。 其实这个物理方程很好去这个改造啊，我们先把这个物理方程给他写一写一遍物理方程， 大家呢也可以跟着我一块写一写这个弹性力学的这些方程啊，确实很复杂，我们怎么才能把它记住呢？之前我上课也说过，就是多写啊， 就是我每道一个章节，比如说需要用到物理方程，需要用到几何方程，我推导一遍我就把它写一遍啊，这样呢，等你把整本弹性力学都学完了之后，你这些方程自然而然的就记住了， 这个呢是物理方程啊，然后呢，我们看一下怎么去把这里边的这个说白了用硬力去表示它。 实际上大家看这个物理方程，我们已经是后边只有硬力，前面 这个只有应变了，但是这里边我们为了推导方便啊，为了后续的计算方便，我们把它依旧是改写一下啊， 改写一下，改写成什么样呢？改写成这个形，这种形式后边的这东这些不用动，后边的这一部分不用动，只是把前面的东西这一部分改写一下，改写后的结果就是这个， 说白了把它变成这个， 这个前面的结果改写完之后就是它了啊，那么此时此刻这个圈 h 它等于什么呢？ sigma x 加 sigma y 加上一个 sigma z， 然后呢我们把这组式子啊带入到这个应变协调方程中的第一个式子和第四个式子，我们看能得到一个什么结果。 这个时候呢，我们把这个应变协调方程我们再写一遍，刚才我说了，这个咱们需要的时候就把它写一遍，需要的时候就把它写一遍，这样的话呢就能加深印象啊，我在学习的过程中就采取的是这样一个方法，不然的话，嗯，这些方程如果说你就想一遍就把它记住，这个真的是很费劲。 那么应变协调方程，我们看看它的第一个式子和第四个式子， 这是第一个式子，然后第四个式子是哪个呢？第四个式子是这个 啊， 然后呢我们需要把这个式子，把这个他带入到第一个式子，把这一组，把这一组式子 啊带入到他的第一个式子和第四个式子里边去，我们看能得到一个什么结果啊？也就是说大家可以看得出这里边的一个 zero z 啊，也就是他，我要对他对外求 这个二阶偏导，然后呢 e、 b、 c、 o、 y 对 z 求二阶偏导，然后呢？伽玛伽玛 y、 z， 嗯，上面这个，然后呢我们先对外求导，再对 z 求导啊，后边依旧是这样啊，这个我们看一下， 看最后能得到一个什么结果，我把结果就直接给大家写出来了啊，它可以得到的结果是什么呢？嗯，带入 能够得到的结果就是 它得到的是这么一组式的，然后呢我们轮换的这个 x、 y、 z 还能够得到其余类似的四个关系式啊， 然后呢我们呢想把这个这两个式子，这两个式子，他这个形式我们看起来依旧还是比较复杂啊，那么我们再利用平衡方程对这个式子做一些简化 啊，我们看看能得到什么结果，也就是说给大家写一下这个过程啊， 利用 平衡方程 对上述进行简化处理啊，也就是说呢，把这个平衡方程的第二个式子，第三个式子对这个 y、 z 求一阶偏导，之后 将加再利用这个第一式，然后就能得到这么一个式子啊，我给大家把这过程写一下吧。 平衡方程， 嗯，能够得到一个什么结果呢？就能得到这么一个结果，就是二倍的 可以得到这么一个柿子，我们看，然后呢把这个柿子带入到这个，带入到上边这个柿子里边， 带入到这个式子的右边啊，我们可以看得到这两个东西它是相等的，对吧？ 啊？然后呢？把它带入到这个式子里边，然后我们再把这个圈 h 用这个 sigma y 加 sigma z 去代替一下啊，带入 代入，然后呢，我们把这个 sigma y 加上 sigma z， 它等于什么呢？等于圈 h 减去 sigma x， 对 吧？然后化简， 化简后能得到什么呢？能得到这么一个式子，我就直接给大家写结果了，嗯，因为这里边计算太太多了，如果说全写完的话，我这个一个小时的时间可能都不够，不够，不够讲了。嗯， 写完了 能够得到这么一个式子， 然后轮换，继续式，轮换 x、 y、 z， 然后还能够得到类似这样两个关系式 啊，然后把这个式子与轮换后的其他两个式子相加，就能得到一个很很重要的公式。比如说把这个式子我们轮换之后呢，轮换之后还可以得到类似的这两个式子，对吧？然后呢？嗯，我就把这个轮换的结果给大家写一遍吧，嗯， haha。 哎。 啊，得到这么一种式子，然后呢？相加啊，上面这几个式子相加，相加后 啊，相加之后我们能得到这个 啊，能够得到这么一个式子， 然后我们再把这个柿子带回去，把这个柿子反带回这个上面的这个柿子里边去。反带回反，哎呀， 把这个柿子反带回到这里边来啊，第一个柿子里边来啊，也就是说我们这个里边它含有含有什么呀？还有这个，对吧？我们把它用， 把这个用下边这一部分给它替换掉，啊，是这个意思，然后我们再把它划剪整理， 我们看，嗯，能得到一个什么结果啊？带入，带入之后呢？它能得到的结果就是这个 ahh， 那我们就能得到这么一个式子，然后呢继续是轮换这个 x、 y、 z， 那 么就能得到什么呢？类似的其他两个式子，我们可以继续轮换 x、 y、 z 啊，轮换完事之后他就能得到这么个式子，大家能看得懂吧？然后我们现在呢再对上边这个式子进行简化， 再对这个式子啊，也就是我们的第二个式子 对它进行一下简化，因为我们刚才对第一个式子进行简化，第二个式子还没弄呢，啊，对吧？我们再对第二个这个式子进行简化，简化呢，就是说将这个平衡方程里边的第二式、第三式分别对 y 和 z 由一切偏导，然后相加， 嗯，给大家再写一遍吧，把这个式子写下来，嗯，对， 对这个式进行简化，简化的这个方法呢，就是将 平衡方程 第二式、第三式 分别对什么呢？ c、 y 求一阶偏导， 然后相加， 然后我们可以得到什么呢？得到这么一个式子， 然后把这个式子和上面这个式子相加，这两个式子， 嗯，然后呢相加整理，嗯， 得到什么呢？ 然后同样是轮换 x、 y、 z， 那 么我们能够得到其余的两个式子，也就是这个， 那么我们这两个狮子，这个狮子这一组 和这一组狮子合起来啊，这两个狮子合起来，这两个狮子合起来就被称为什么呢？贝尔特拉米米歇尔方程啊， 这一组就被称为什么呢？叫贝尔特拉米， 然后呢叫米歇尔， 嗯，也就是说就是它，嗯， 然后如果体力为常数的话，那么我们后边的这一部分就是零，上面的这一部分就是零啊，还可以简化一下。那么贝尔特拉米米歇尔方程呢？它的本质和应变协调方程一样的，就是以硬力的方式去表示它啊， 所以说到这我们就可以翻回到前面去看了，看什么呢？实际上我们的指标形式就是它， 对吧？写成指标形式就是它了，那么当以硬力作为这个基本未知量去求解的时候，它的定解问题就变成了啊，满足这个它，然后呢平方成这个是这个是面力，对吧？ 这定解问题就变成这个了。那么上边这个书中所说的就是把这个硬力应变关系带入到应变协调方程中，然后呢可以导出这个，刚才我给大家讲的就是这个具体的过程， 大家明白了吗？所以说在这个书中就说在推导过程中用到平方成的导数形式啊，就是说我们刚才这个求导，对吧？然后呢 没有用过这个平方成本身，所以说采取硬力解法时呢，必须把这个平方成和上述的这个贝尔特拉米方程连力求解边界条件呢，主要采用这个面力的边界条件啊，就是这样。 好，那么今天我们就先讲到这，这个东西比较多，比较复杂，但是呢思路还是比较简单的，是计算过程比较复杂啊，大家回去可以再看一看。好，就讲到这，大家晚安。

弹力的辨析是八下物理必考一错题型，但是呢，依然有很多同学搞不清楚弹力到底是怎么产生的，谁形变产生的弹力？今天呢，我分别用四道题让你彻底理解并掌握此类题型。我们来看第一道， 如图所示，一根弹簧，一端固定在树枝墙上，在弹性限度内用手水平向右拉弹簧的另一端， 对吧？哎，往这边往右边去拉。下列有关弹簧形变产生的力描述，正确的是让你对弹簧形变产生的力进行分析。在做此类题型之前呢，我们一定要记着两句话，第一个就是谁行变 谁施力，哎，谁施力。 第二个，谁施力 谁形变。 我们再回到这句话，弹簧形变，哎，弹簧形变，那就是弹簧式受力物体，对吧？然后我们在选项里面找哪一个选项是用弹簧做受力物体的。 a。 手对弹簧的拉力，谁是失力物体啊？手是失力物体，不符合题，对吧？一定要找弹簧是失力物体的啊！ b。 弹簧对手的拉力，谁是失力物体啊？弹簧是失力物体，哎，这个符合题。 c。 强对弹簧的拉力，谁是失力物体啊？强是失力物体，哎，所以说它也不符合题，正确的只有哪一个？只有选择，只有 b 的 答案， 对吧？然后我们再来看第二题，如图所示，一个铁块放在一块宝木板上，下列关于铁块和木板受力情况叙述，正确的是第一个，木板受到向下的弹力，哎，木板受到向下的弹力， 很明显是谁给的呀？是这个铁块给的，那铁块就是失力物体，他就要发生形变，也就是说，谁失力谁形变，铁块失力，铁块发生形变，那看他描述对不对啊？是因为铁块发生了弹性变形，哎，很明显他是正确的，那第二个呢？他就错了。 再来看第三题，铁块受到向上的弹力，哎，铁块受到向上的弹力， 那很明显，这个受力物体是谁呀？很明显是这个木板呀，木板是受力物体，所以说木板要发生弹性形变， 那看他描述对不对？铁块受到向上弹力，是因为木板发生弹性形变，哎，非常正确，所以说第三个也是正确的。第四个，那就错了，正确答案是谁呀？是 a， 一 三，对吧？ 好，再来看第三题，所以说利用这个，呃，两句话，你可以完全秒杀磁力弹性题啊。第三个，如图所示，手指用力压这种玻璃，使其弯曲，手指压玻璃，手，手指是磁力物体，对吧？那使玻璃弯曲的力 是谁形变产生的？那谁是失利物体啊？手是失利物体，手把它压弯去了，所以说手要发生形变，写就行了啊，谁失利谁形变？手失利，手形变。好，咱来看第四题。 第四题的话，我们一定要认真分析他每一句话到底是什么意思。把一个足球放在一个长的薄木板上，如图所示，以下说法正确的是。 a， 木板被压弯是由于谁造成的？木板被压弯是由于谁造成的？ 哎，那很明显木板怎么被压弯了？谁把它压弯了？足球把它压弯了，对吧？那足球是失利物体，所以说足球要发生形变，对吧？它要发生弹力，那很明显是由于什么呀？由于足球吧，哎，足球是失利物体啊， 足球把它压弯了，足球产生的弹力造成的，对吧？所以说这个是错误的。 b， 木板产生的弹力就是 足球对木板的压力，哎，你看木板产生的弹力，木板产生弹力，木板产生弹力，也就是说木板是失力物体，他产生弹力吗？对吧？他是失力物体，给谁呀？给足球 给足球，那就木板是失力物体，那就是谁呀？那就很明显是木板啊，我们写在这啊，那就是木板 对什么？对足球的弹力或者是支持力，对吧？支持力或者是弹力啊，那所以说 b 也是描述错误的。 c， 足球发生形变是由于，哎，你一定要看看他怎么说的啊，是由于谁造，怎么造成的？因为说足球发生形变， 那很明显谁把它搞形变了，肯定是这个木板把它搞形变，搞形变了吧？木板把足球，哎，搞形变了，木板就是受力物体，那很明显就是什么呀？是由于木板对足球 啊，他要失力吗？他要什么力啊？向上的支持力吗？向上的支持力或者是弹力造成的，所以说 c 也是错误的。 d， 足球受支持力， 哎，足球受支持力啊，你看足球受向上的支持力，谁给的？很明显是又是木板呀，木板是失力物体， 木板他就要发生弹性形变，对吧？那看他描述正确不正确。足球受支持力谁给的？木板给的，那木板就是受力物体， 那他就要发生形变，是因为木板发生弹性形变，哎，非常正确。所以说正确答案选什么？选择 d 答案好，这就是比较常见的弹力的变细体，现在你学会了吗？

一乘法法教你秒杀所有的弹性碰撞计算题，一点都不夸张，别再傻傻解方程了，算半天也算不对，同老师原创技巧，考场上直接帮你省下半小时！各同学，咱们知道碰撞是高考必考的内容对吧？每年几乎都会考啊，其中最容易考的是咱们的弹性碰撞， 其中有两个类型，一个是一动碰一动，一个是一动碰一镜，那么我们知道一动碰一镜是咱们会有一个二一结论去支撑咱们计算的，但是如果让你考一动碰一动的话，你只能是怎么 自己来自己算，对吧？那我们有没有一种简单的方法呢？就是能让我们很快的把这个结果给他做出来。那咱们今天呢，老师就要教你一个大招，来我们一起来看一下啊！首先我们先来看一个这个类型，有两个小球在光滑的水平面上，对吧？一呢，他以 v 零去碰撞这个二球，那么我们现在来看他已知的一些条件啊， v 零应该等于一米每秒， m 一 是一千克， m 二是两千克。 ok， 那 我们知道我们肯定要用到干什么呀？一个动量守恒，一个动能守恒，然后去把它两式子解出来，对吧？大家还记不记得它的二一结论呢？咱们先背一下啊， v 一 应该等于什么？等于 m 一 加上 m 二分之 m 一 减 m 二乘上为零，对吧？那 v 二等于什么呢？ 二应该等于 m 一 加上 m 二分之二倍的 m 一 为零。这个式子一定要现在脱口而出了啊，不要再说，如果也背不过的话，一定还要多去背几遍，一定一定要背过的。好，那我们可以直接带入这个答案啊，我们算一下这个答案应该多少呢？应该是 m 一 减 m 二就是负一，对吧？负一，然后呢这两个相加是负三分之一为零，所以说负三分之一米秒，然后第二个的话就应该等于什么二倍的 m 一 乘以三分之二米秒，对吧？好，那咱们来看一下，这个是咱们非常常见的一个方法了，那我们有没有一种这个新的方法？如果说我现在把这个 v 二我也给他有个助度了，那他能不能用一些 比较简单的方法去计算呢？我们来看一下啊，我们要讲的是什么图像法，我们一起来看一下。这个怎么去用啊？我先给大家直接讲，然后呢待会告诉大家原理。首先我们先把这个一二的两个速度给他标出来， 对于一来说，他的这个速度应该是一米每秒，对吧？那我们在这画个一那二的话是零咱就不用管了。 ok， 然后我们来做件什么事呢？我们把它看成完全非弹性碰撞去算一个他们共速的速度，也就是 m 一 乘以一等于一，对吧，然后他应该等于 m 一 加上 m 二乘以微共，那就应该等于三分之一， 就说我们算下来了一个他们共速的一个速度应该是三分之一。好，那我们接下来干一个什么事呢？就是去连接一点和三分之一，包括零点和三分之一， 其中这个点点在哪啊？其实不重要，就是说他可以点在这，可以点在这，可以点在这任意一个位置，咱们的横轴其实就是把这个速度给他拉出来的一种感觉啊。好，那我们把这个点到这个地方之后呢？连接完了之后干一个什么事？延长啊，并且不是随便的延长，是对称的延长。 好，我们什么意思？来看零到三分之一他加了多少？他是不是加三分之一？那我们就再延长一个三分之一啊？他到 三分之二的一个位置。好，那么一和三分之一的延长，那就怎么样？到零下面了，对吧？它应该是个负三分之一。 ok， 那 我们知道这个一是谁的速度，是不是 m 一 的速度？零是谁的速度，是不是 m 二的速度？所以它对应出来的这个负三分之一就应该是 m 一 的速度，它这个三分之二就应该是 m 二的速度， 是不是跟咱们刚刚解的是完全一样的？好，那这个他是一个什么原理啊？我们可以把他从他这个碰撞的最本质的地方去分析一下，就是如果说我们两个球他碰撞，他的速度是怎么样交换的呀？其实啊，不管是弹性碰撞还是非弹性碰撞，他们都会发生一个什么， 都会发生一个挤压，对吧？两个球压缩到了一块，然后呢？什么是弹性碰撞呢？弹性碰撞是一个能量不损失的碰撞，所以说他们在挤压之后呢，他的弹性形变还会完全恢复，然后呢？另外一个球呢？可能还受到一个向后这个力， 所以说第二个前面这个去撞这个球，他的速度一定会变小，而前面那个被撞的球呢？一定速度就怎么样减压了。好，那我们说这个 当他们把他看成是一个完全非弹性碰撞的时候是什么时候？是不是他们两个压缩量最大的时候，那么那个时候他其实就是正中间这个点 啊，我把这个点点出来之后，他们两个就会因为他是弹性碰撞嘛，所以说前面他压缩了多少能量，后面就会给出去多少能量，所以说我直接把他做了一个什么，做了个对称，所以他柿子做出来啊，一定是跟咱们这个碰撞是一样的。那你说如果他是一动碰一动的话，对吧？一动碰一动适不适用啊？完全适用， 比如说我这个零，它不是在零的这个位置，它在零点五的位置，二分之一的位置，我们再用刚刚完全一样方法去把它二分之一带到它一开始的那个完全非弹性碰撞那个点啊，就中间这个点列着一个式子，我给你写一下吧，应该就是什么 m 一 乘上 v 一， 加上 m 二乘上 v 二，等于 m 一 加上 m 二乘上 v 共， 我们把这个共速算出来之后呢，再给他做推推就可以了，那算出来的两个速度就是分别是他们两个的进步速度了。好，那咱们今天这节课就到这，我们这个方法是一个非常非常非常非常重要的十字， 他一定一定把它整到本上，然后呢进行内化好吗？最好呢咱们还可以拿出咱们的错题啊，去做一下咱们之前的问题，你就会发现，哇，这么难的题我一下子就解出来了，还想听到更多关于技巧的内容呢。把你的疑惑留在评论区，我们下期解决的就是你的问题，记得点赞关注。

胶合木检测是保障其结构性能与使用安全的关键技术手段，包含外观质量、物理力学性能、胶层性能等核心检测项目。常用仪器包括万能试验机、木材测试仪、显微镜等。 检测时先通过目视与量距检查胶合木的结疤、裂纹、胶缝、缺陷等外观指标，再依据 g、 b、 t 二六八九九二零幺幺等标准，采用拉伸、弯曲、剪切试验测试其强度与弹性模量，借助含水率测定义检测木材含水率， 利用显微镜观察胶层的胶合状态与缺陷。整套检测流程严格遵循国家标准与行业规范，可有效判定胶合木是否满足建筑结构、家具制造等不同场景的使用要求。

一分钟学一个物理知识，今天学习弹性和弹力。物体受到外力后会发生形变，外力撤走后，物体不能恢复原状，这种性质叫做塑性。比如橡皮泥被压扁后不会恢复原状，而有的物体受外力后同样发生形变， 但是外力撤走后，他又可以恢复原状。比如弹簧受到拉力被拉长了，但是把拉力撤走后，弹簧又恢复了原有的长度。 比如两个球碰撞后发生形变，但是弹开后，两个球又恢复原状了，这种性质我们叫做弹性。具有弹性这种性质的物体，在发生形变后，因为想要恢复原状，所以就产生了一个力。弹力。什么条件下 才会产生弹力呢？一、两个物体相互接触。二、相互接触的两个物体要相互挤压，发生形变。再看这两个相互碰撞的皮球，他们互相接触了，并且发生了相互挤压，所以他们都产生了弹力， 把彼此弹开了。弹力的难点是弹力方向的判断。记住，弹力方向跟物体形变方向相反。比如图中的桌面受到手的挤压，桌面发生了向下的形变，因此产生了向上的弹力， 这个弹力表现为桌面对手的支持力。生活中弹力处处可见。图中的地面、凳子，表面看起来没有发生形变，但事实上他们都发生了形变，只是形变很小， 肉眼观察不到。当人站在地上时，地面向下行变，产生了向上的弹力，这个弹力表现为地面对人的支持力。此刻坐在凳子上的你 也受到来自凳子的弹力，我们也把这个弹力叫做支持力。事实上，压力、支持力、拉力、推力，这些力本质都是弹力。

弹力的产生啊，是八下物理弹力这个板块必考的题型之一，而且呢，他经常跟平衡力啊相互重力结合在一起考，非常考验孩子对于基础知识点的理解和掌握啊。 那学会这道题之后，一定要把罗老师整理好的八下历学知识清单，还有弹力必刷八大题型啊，这两套资料拿去给孩子巩固一遍，把这些题型啊都搞懂，那么弹力板块轻松满分来，首先我们说弹力啊，就有六个字，叫做什么呢？谁失利谁行变。哎，什么意思啊？ 就是当我们在描述一个力的时候，你发现这个弹力是谁施加的，就说明这个弹力是由于谁形变所产生的，明白吗？好，什么意思？我们来看这个选项啊，他说 桌面受到向下的弹力是谁给的呢？这个力，桌面受到向下的弹力，那肯定是茶杯给的， ok， 谁失力谁形变，明白吗？这个逻辑 a 正确。 好，同样的茶杯受到向上的支持力，它也属于弹力啊，对吧？那谁失力谁形变？茶杯受到向上的支持力，这个弹力是谁给的呢？是桌面给的，那当然是桌面发生了形变，所以这个题多选啊，选择 a， c 正确，你学会了吗？

筋膜放松与压力释放的核心机制在于重建结缔组织网络的力学平衡与神经调控功能。筋膜作为包裹肌肉骨骼的三维胶原纤维网络，其张力状态直接影响自主神经系统的应激反应。 当长期处于心理压力或机械负荷下，筋膜会因胶原纤维异常胶连形成高张力区，压迫穿行其中的血管与神经末梢，触发筋膜压力恶性循环，局部缺血缺氧，导致炎症因子释放，进一步激活伤害感受器，加速焦虑情绪与肌肉紧张。 科学放松通过机械硬力干预打破这一循环。动态拉伸可重塑胶原纤维排列，降低筋膜粘弹性阻力。深层按压刺激高尔基件器官，抑制阿尔法运动，神经元过度激活，缓解肌缩敏感化 温热疗法促进机制流动性，加速代谢废物排出。这些干预通过机械转导通路调节细胞外机制成分，恢复筋膜的滑动性与弹性，从而降低交感神经兴奋度，使皮质醇水平回落，实现从物理放松到神经内分泌调节的系统性压力释放。