五下人教版数学基础训练253的倍数

五下第二单元啊，关于二、五、三的倍数的特征是考试的一个重点啊，那么关于二的倍数的特征是看个位，个位上是零、二、四、六、八的数，那么这个数就一定是二的倍数，那么五的倍数呢？也是看个位，个位上 只要有零或五，那么我们就说这个数就是五的倍数，那么如果这个数个位上是零，那么这个数他既是二的倍数，同时也是五的倍数。 而三的倍数非常的特殊，我们看的不再是个位，而是各个数位，把各个数位上的数给它加和，如果这个数是三的倍数，举个例子啊，一百零二， 那一百零二各个数加和是三，和是三，三是三的倍数，所以一百零二就是三的倍数。那么你们有没有去探讨过四的倍数呢？那四的倍数又有着怎样的特征呢？ 那四的倍数的特征用一句话来总结就是看末两位，如果末两位这个数，末两位是四的倍数，那么我们就说这个数是四的倍数。举个例子啊，比如说七千八百 一十二，这个数很长，我们以前的方法是用它去除以四，如果没有余数得到是一个整数，那么就说这个数是四的倍数，但是这样太麻烦，那我们可以看末两位，哎，末两位是十二，十二是四的倍数，所以我们就判断七千八百一十二就是四的倍数。 但是在五下呀，有些学生对于比较简单的两位数，无法判断他是否是四的倍数，那今天我带着你一起来探讨王老师，把一到五十以内的所有的是四的倍数的数给他圈出来了，有四、八十、二十六、二十等等， 那么我们来观察这些四的倍数有着怎样的特征呢？光看个位行不行？ 光看个位，我们发现无法判断它到底是否是四的倍数，光看十位行不行呢？哎，也不行，所以我们既要看十位，也要看个位。那么同学们来观察， 有的数是四的倍数，它的十位上是基数，看到没有，一三啊，一三啊，包括还有没写出来的，像五七九等等啊。当这个十位上是基数的时候，我们发现 他必须得大家看。当十位是奇数，他的个位上必须是二或者是六，才能是四的倍数。所以我们来总结啊，当十位上是奇数，个位上必须是 二或者是六，那他才能是四的倍数啊。那么我们发现还有的十位上不是奇数，他是偶数，你看啊，二四、二四啊，当然还有六八，那么当十位上是偶数的时候，那他的个位上 必须得是零四和八，才能是四的倍数。哎，所以啊，当时位上如果是偶数，那他的个位上必须是零四 八，才能是四的倍数。那对王老师所总结的有关于四的倍数的特征，你学会了吗？如果学会了，评论区里边留下学会了。

同学们好，从今天开始，老师就带着大家一起来预习五年级下册的内容，那五年级下册的数学知识难度又再次升级，它的概念比较多，那我们要想把题目做对，必须要先去正确理解它的概念。 我们从第二单元因数和倍数的认识开始，同学们看到因数和倍数， 我们知道它肯定是在乘法和除法当中来进行研究的，因为我们在除法当中被除数，除以除数等于商，在乘法当中因数乘因数等于七。 所以第一个前提因素和倍数一定是在除法算式当中来研究的，并非在加减法算式当中。那我们来看到黑板上的这两种除法算式，我们来看看他们有什么共同的地方和不同的地方呢？ 首先我们来看，哎，这些数呀，都是我们学过的最简单的整数，它没有小数吧，没有分数吧，哎，它们都是整数，那我们把被除数 是整数，除数也是整数，像这种算式，我们把它叫做整数除法。 首先它是一个整数除法，那同学们我们来看看后面部分有什么不同的地方呢？ 非常容易观察到，这里的商是整数，这里的商也是整数，但是这里出现余数了。哎，第一种情况，它没有余数， 它没有余数，并且它的商是整数。好，那今天这节课我们要讲的因数和倍数就是在第一种情况当中去探求它的， 它是有两个前提条件，第一，它是一个整数除法，也就是被除数和除数都是整数，这是第一个前提条件。第二， 他的商也是整数，并且没有余数。哎，如果他的倍数数和除数是小数，是分数了，那因数和倍数就不存在。 同理，他如果有余数了，那因数和倍数也不存在。好，这是他两个大的前提条件。那接下来我们具体来看看，到底什么是因数，什么是倍数呢？我们这样子说， 被除数是除数的倍数，反过来除数是被除数的倍数，那这个倍数还有一个名字也叫做约束， 同学们请看哈，你一定不要把关系弄混了，被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。那我们举个例子，就拿这两个算式，我们一起来说一说。 在十二除以二等于六这个算式当中，我们可以说十二是二的倍数，反过来二是十二的因数。 再来变一个下面这个算式，三十是十六的倍数，反过来六是三十的因数。 在这里要强调一个东西，这里的因素和倍数它是一种关系， 他们不能单独存在。举个例子，我是你的老师，你是我的学生，我们是一种老师与学生的关系。 因此我们不能单独的说十二是倍数，二是因数，这样子说是不可以的，只能把它们联系起来说十二是二的倍数。好，理解之后，我们再来练一练，跟着老师一起说。我们来看到这个算式， 我们一起来说一说，哎，二十四是四的倍数，反过来四是二十四的 因素。好，同学们请观察这个算式。我们利用除法算式当中的各部分关系，我们还可以写出另外一个除法算式，也就是二十四除以六等于四， 是不是被除数，除以除数等于商，被除数除以商等于除数。那这个算式我们也可以继续说，二十四是六的倍数， 反过来六是二十四的因数。那同学们，你来观察这两个算式，它的商和除数变了位置， 但是倍除数没有发生变化呀。在这个算式当中，二十四是四的倍数，在下面这个算式当中，二十四是六的倍数，因此我们可以合起来说，二十四是四和六的倍数。 再来一次，二十四是四和六的倍数，那反过来我们也可以合起来说，四和六是二十四的因素，再来四和六是二十四的因素。 同学们，你会说了吗？那我们来总结一下，今天这节课我们一共有这些知识点。首先 你要知道，因数和倍数是在除法算式当中来研究的，它有两个前提条件。我们的这个除法算式啊，没有小数，没有分数，就是我们最简单的整数除法。 被除数和除数都是整数，这是第一个前提条件。第二个，它的商也是整数，并且没有余数。 因此在以后的作业当中，你看到一个除法算是出现小数，出现分数，出现余数了，那他肯定不存在因素和倍数。 好，这是第一两个大前提。第二个难点也是重点，我们一定要捋清楚谁是谁的倍数，谁是谁的倍数，除数是被除数的因素，因素也称约束 好。第三个容易错的地方，因素与倍数呀，它是一种关系， 他们一起存在，一起消失，只要有因素，他就有倍数，只要有倍数，他就有因素。所以我们在说的时候一定要同时说出来，而不能单独说谁是因素，谁是倍数。 好，同学们，下来之后，你自己写几个我们的整数除法，来说一说谁是谁的一数，谁是谁的倍数呢？

上一期视频啊，我们已经学习了如何来找一个数的所有的因素，我们用了两种方法，第一种是列除法算式，第二种呢是列乘法算式。 我们知道一个数的最小的因素是一，最大的因素呢是它本身，它的因素的个数是有限的。 那今天我们来找一个数的倍数，我们依然还可以借助两种方法来找一个数的倍数。第一种方法是列乘法算式，比如说我们来找二的所有的倍数， 那二的倍数我们列乘法算式，那就是二乘一，二的一倍啊，依然还是二，二的二倍呢，二乘二等于四，二的三倍，二乘三啊，等于六啊，还有二的四倍等等，二的五倍。 那么同学们发现二的倍数他有多少个呢？因为后面一倍，二倍，三倍、四倍，他有无数个，对不对？发现二的倍数啊，有无数个， 所以我们可以用列句法把二的倍数给它一一列举出来，那二的倍数有有二，有四，有六啊，等等，有无数个啊。同学们发现，既然有无数个，说明它里边没有最大的倍数， 只有最小的倍数，最小的倍数就是二本身，那同样的道理，这是列乘法算式。那我们还可以用第二种方法，列除法算式。 那列除法算式，你比如是二除以二等于一，二十二的一倍啊，那四除以二就等于二啊，四十二的二倍 啊，那六除以二等于三啊，六十二的三倍啊，那这样的话，我们是不是也可以把他们通通的怎么样列举出来？所以二的倍数有无数个啊，有二、四、六，八十，十，二十，四十六等等等等啊。 那么同学们，我们已经知道了关于一个数的倍数，它的个数是无限的，有最小的这个数的倍数是它本身，没有最大的倍数。那么像三的倍数啊，三的倍数有三啊，六 九十二等等啊，像五的倍数， 像五的倍数有哪些呢？有五十、十五，二十等等啊，他们的 倍数的个数都是无数个，无限个，没有最大的倍数，只有最小的倍数是他们本身。那王老师所讲的关于一个数的倍数的这些知识点，你们学会了吗？关注王老师，让数学变得更简单。

一个偶数是两位数，它既有因数三，又是五的倍数，这个数最大是多少？最少是多少？首先这道题有几个条件限制四个。好，我们先来看，第一个是偶数， 第二个是两位数，第三个是既有因数三，其实告诉我们是什么三的倍数，那又有又是五的倍数，是不是一共这四个条件？是，这四个条件里边偶数有很多，没办法确定吧？ 两位数也有很多，也没办法确定。因数三，三的倍数也很多，也没办法确定五的倍数能确定不能，能 是多少，个位上是多少？零和五，零和五。所以我们先把这个确定下来，要么是零，要么是五。好，我们先满足这个，那当我们满足了这个时候，我们再去想偶数，我们能确定个位上是几零零，所以我们就能确定个位上是零， 然后他说两位数是不是我只需要找出来十位上是几就行了？是，好，那我们再来看。 我们再来看一个条件，除了这四个条件之外，他还有条件是什么？最大，最大。那我们先来想一下最大的两位数是多少？九十九，十九，也就是说他的十位上是九九。哦， 我是不是先用九来试，其他的都满足了，最后满足因素是三，大家记住，当碰见这些条件的时候，让他最后去满足三的倍数。那我们来看一下，九加零等于几？ 九是三的倍数。不是，是，那你说这个数我们写的对不对？对对，好，写下来。然后我们再来看最小，同样我们确定了个位上是几零零， 我是不是确定十位上是几就行了？十位上他问是最小是几，我从几开始一 一，然后我满足三的倍数就行了。一加零是不是三的倍数？不是不是。那么我来试二加零，是不是？不是？不是。 那如果是三呢？是，是不是？是三加零等于三，刚好是三的倍数，所以最小的是三十。刚才讲的一种方法是不是一个一个在排除？那么还有一种方法， 他说既有因数三，又是五的倍数，其实就是告诉我们这个数他是十五的倍数。三乘五 是不是等于十五？是啊，那他是十五的倍数，我们一个一个往上乘吧。十五乘一等于十五，他个位上不是零，不符合吧？十五乘二等于 三十三十，哎，个位上是零是不是符合？是，所以他最小的是三十。那然后我们再往上乘，去找最大的十五乘六是不是等于九十？是啊，九十，他个位上是零是不是符合的？嗯，那我们再来十五乘七 是不是等于是一百零五？一百零五，他是几位数了？三位数，三位数了，而且他的个位上还不是零，所以他不符合，那我们就去选十五乘六、九十的。写到这里，这两种方法都可以，你用哪一个觉得好用熟练，你就用哪一个。

同学们好，找一个数的因数倍数学习例二，十八的因数有哪些？ 方法一，根据因数的意义和因数与倍数的关系来找十八的因数，想十八是哪两个数的乘积， 一乘十八等于十八，二乘九等于十八，三乘六也等于十八，所以十八的因数就有一、 十八、二九、三六，这样一组一组的写，就不会有遗漏。 再来看方法二，根据乘除法的关系，被除数除以除数等于商。在乘法中，被除数相当于乘法的积，而除数和商相当于乘法的乘数。 所以像十八除以几没有余数，除以一等于十八，除以二等于九，除以三等于六，这些都没有余数， 所以十八的因数就是一、十八、二九、三六这样一组一组的写。 我们采用列举法，把这些十八的因数从小到大排列， 一、二、三、六、九、十八，数和数之间用逗号隔开，写完之后加个句号，这种方法叫做列举法。 还有一种方法叫做集合法，先画一个椭圆，然后把十八的因数从小到大依次写进椭圆形，中间用逗号隔开，写完之后不用再加句号， 然后在椭圆形的上面写上十八的因数，这种方法叫做集合法。 来练一练，三十的因数有哪些？三十六呢？ 我们找三十除以几没有余数，三十六除以几没有余数。我们采用列除法算式这种方法来找，除以一， 除以二，除以三，除以五，当列到除以五等于六的时候，如果再列三十除以六等于五，那五和六已经出现了，所以我们就不再往下写了。 找出三十的因数，有一、三十、二、十五，三十五、六，这样一组一组的写 三十六的因数，我们找出可以从小到大依次排列，一、二、三、四六，九十二十八，三十六。 我们来看最后一个式子，三十六除以六等于六，这里出现两个六，只写一个六就可以。 再来看例，三、二的倍数有哪些？参照找因数的方法。说说找倍数的方法。 先来看方法一，根据倍数的意义和因数与倍数的关系， 二与非零自然数的积。二乘一等于二，二乘二等于四，二乘三等于六等等。二乘四，二乘五， 还有无数个，所以二的倍数我们可以这样写，有二、四、六等等。数和数之间仍然用逗号隔开， 写完六，加个逗号，最后点三个点，表示二的倍数的个数是无限的，要在写出的倍数后加省略号。 再来看方法二，根据乘法的关系，除以二，商整数无余数。 二除以二等于一，四除以二等于二，六除以二等于三。接着写的话是八除以二， 然后十除以二，十二除以二，因此二的倍数有二、四、六等等。 找倍数用乘法更方便。找倍数有列取法，还有集合法 列取法，写上二的倍数，然后依次从小到大， 因为二的倍数的个数是无限的，要在写出的倍数后加省略号。这个集合法椭圆形理写完了，十二加逗号，也要写上省略号 来练一练。三的倍数有哪些？五呢？三与非零自然数的积，我们采用列乘法算式找三的倍数，五的倍数， 三乘一等于三，三乘二等于六，三乘九 啊，三乘三等于九等等，然后找出三的倍数，末尾要写省略号，再列出乘法算式，找出五的倍数，写完之后末尾也要写上省略号。 在上面找因数和倍数的过程中，你有什么发现？我们来总结一下。 一个数的最小因素是一，最大因素是它本身，一个数的最小倍数是它本身没有最大倍数。 一个数的因素的个数是有限的，一个数的倍数是无限的。

这是一道有关三的倍数的常规变式题，我们一起来看一下。如果，哎，七七等等等七，然后后面还有一位这个数啊，它是三的倍数， 那么筐里面最小是几，最大是几。那很明显，这道题它考察的就是我们三的倍数特征。那同学们来想一想，三的倍数具有什么样的特征呢？哎，我们知道三的倍数啊，是各个数位上数字之和除以三，除得尽。 好，那么我们三的倍数的特征就是各个数位数字之和除以三，能除尽，我们也可以说成是和是三的倍数。那接下来我们就把这个数字啊，把各个数位上的数字相加，然后算出他们的和啊。首先我们这里知道了啊，这里一共是有两千零二十四个七， 那我就可以先把前面的这些数字之和相加，那么两千零二十四个七，就是用两千零二十四来乘以七。好，乘以七了以后，我们可以算出它的结果等于的是一万四千一百六十八， 这一位上的数字我们不知道，我们可以先不去看他，我们先去算一算这个地方的数啊，他的和能不能被三整除，那我们就来算一算啊，一四一六八，去除以三，我们算出来以后，他的结果等于四千七百二十二，还余了二。来。同学们想一想， 他余了二，那我要想使这一整个数字数字之和能被三整除，那说明咱们这里余下来的二，我是不是要给他凑成 三的倍数呀？那么这个地方是二，我给他怎么样去凑他能得到三的倍数呢？哎，有的同学就知道了，老师我给这再加上一个一，他就变成了三的一倍数， 所以我们这里你看是不是就可以填一个一啊？那我们还可以加上几呢？哎，你看二加一等于三是三的倍数了， 那我们还可以加上几呢？二加几呢？同学们，我们是不是还可以加上一个四呀？他可以得到六，那我还可以加二加七，是不是可以得到九，他也是三的倍数，因此我们最后一位就可以给他添上一个一 或者是四，还有是七。那么最终这个空里面我们所填的就是最小的就是一， 最大的就是七。你看他没有直接去考你三的倍数的特征，而是给你变换了一种方式进行考察，但是我们所使用的理论依据仍然是三的倍数的一个特征。这就是啊，咱们的一个变式题的一个应用，你学会了吗？

同学们，今天我们来学习找一个数的倍数， 二的倍数有哪些？这里我们有两种方法。第一种方法，想除法。我们在用想除法时，依然要做到有序思考，不重复，不遗漏。 我们可以想，己除以二得一个整数，且没有余数。我们从最小的整数一开始， 己除以二得一，二除以二得一，二是二的一倍。四除以二得二，四是二的二倍。 六除以二等于三，六是二的三倍。八除以二等于四，八是二的四倍。这样的算式我们写也写不完，所以我们用省略号来表示。第二种方法，想乘法， 观察这一组成法算式，二乘一等于二，二的一倍是二，二的二倍是四，二的三倍是六，二的四倍是八，二的五倍是十。 这样的算式我们仍然写不完，所以我们依然用省略号表示。 一般情况下，列乘法算式找一个数的倍数比较简单， 但是在给出的一些自然数中，找一个数的倍数或判断一个数是不是另一个数的倍数时，用除法算式更简单。比如，判断九十六是四的倍数吗？用九十六除以四 等于一个整数二十四，我们就可以判断出九十六是四的倍数。同学们，说一说你是怎样找二的倍数的？是的， 我们让二依次乘从一开始的自然数所得的乘积就是二的倍数， 这样的算是我们写也写不完，所以二的倍数有二、四、六、八、十等等等等很多。这里我们用省略号表示。 倍数的表示方法有两种，第一种方法，列局法，二的倍数有二、四、六、八等等， 后面加上省略号。第二种方法，集合法写上二的倍数，下面画一个圆圈，里面写上二的倍数，二、四、六、八、十、十二等等等等。这里一定要注意加省略号。 但是在这里需要注意的一点是，如果题目当中有限制词，比如说写出十以内二的倍数，写出五个二的倍数，像这样的情况我们就不用再加省略号了， 根据找二的倍数的方法来找出三和五的倍数，三的倍数 三到一倍是三，三到二倍是六，三到三倍是九，三到四倍十二，三到五倍，十五等等很多很多，这里我们用省略号表示 五的倍数，用同样的方法，五的一倍是五，五的二倍是十五的三倍十五，五的四倍，二十五的五倍二十五等等等等。同学们，我们来观察一下， 三的最小的倍数是三，是它本身，五的最小的倍数是五，也是它本身。所以我们知道一个数最小的倍数是它本身， 倍数的个数是无限的，数也数不完，所以没有最大的倍数。 根据上一节课我们找因数的方法和这一节课我们找倍数的方法，可以总结出来这样的结论，一个数的最小因数是一， 最大因素是它本身，一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，一个数的因素的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。 课下请同学们完成教材第七页，练习三一至五题，检验一下这节课你学会了吗？ 同学们，这节课我们就上到这里，我们下期再见。

学完了因数和倍数，现在我们要去找他们之间到底有怎样更密切的联系来看到这个题，说十四和二十一它都是七的倍数，那十四与二十一的和 是七的倍数吗？方法一，你可以把它的和算出来，看它是不是七的倍数，是不是算出来，是吗？是，是。那现在我们不仅要知道它是七的倍数，还要知道为什么。来，我们来推理一下哈。 我们先来看十四和二十一为什么是七的倍数，来，第一个，十四 等于说七乘二，七乘二，来接着二十一是七的几倍，三倍，那我们就写成二十一等于七乘三。 刚才我们说了十四是七的两倍，二十一是七的 三倍，那么合起来十四与二十一的和就应该是七的五倍，它们是七的五倍，因此它是七的倍数，能明白吗？好，那么这是第一种用法，用倍数关系来想来。方法二，我们可以用算式来表达 十四加二十一，我们把这两个算式给它写上去，刚才我们的十四等于七乘二，二十一等于七乘三，七乘三，要把它们加起来，哎，你看这个算式 联想到什么呀？乘法分配律来提取相同的因数，七乘二加三的和等于七乘五，哎，你看 现在这个叫做二十四与二十一的和等于七乘五，是不是就把这一句话变成了一个乘法算式呀？是不是在乘法算式当中， 这个七是这两个因素的倍数，因此二十四与二十一的和不就是他的七吗？是不是他确实是七的倍数，确实是七的倍数，是七的几倍呢？五万，对，能听能听，明白吧？来，我们回顾一下。方法一， 他是两倍，他是三倍，合起来是五倍，可以这样子想。方法二，用乘法分配律把这个算式列成这个样子，也变成一个乘法算式，也可以发现他们的和是七得五倍， 好用。同样的思想，我们来看第二道题，二十七和十八都是九的倍数，问他们的什么呀？ 差，这个是问他们的和，这个是问他们的差。一个加法，一个减法，虽然符号不同，但是思想一模一样。 来，我们看看。首先按照那边的思路，我们举一反三。一下啊，你们说老师写来，二十七是九的倍数，几倍呢？三倍，因为二十七等于九乘三，他是他的三倍。 下一个十八是九的几倍呢？两倍，因为十八等于九乘二，他是他的两倍。 那现在要问，二十七与十八的差，二十七与十八的差，一个是三倍，一个是两倍，那他们的差就是他的一倍差的一倍了。 三倍减两倍就是一倍，是不是？好，这个是这个想法，可以来，同样我们可以用把这个算式表示出来，它就等于二十七写成九乘三，九乘三，十八写成九，二九乘二，中间是九。哎，同样也可以利用 乘法分配，等于九乘三减二的差等于九乘一，你看这个叫做二十七与十八的差， 是不是？九的倍数等于九乘一，是不是？是，那它是九的几倍啊？一倍，九的一倍。哎，一样也符合我们刚才推出来的这个原理，能明白吧？嗯，好，所以哈。由这两个题我们得到一个结论，我写这题， 如果告诉你了 a 和 b， 它们两个都是 c 的 倍数， 告诉你了这个数学信息你能当什么？地点？我请人回答。 张玉可， a 加 b 的 和也是 c 的 倍数。嗯，听明白的举手。 a 和 b 都是 c 的 倍数，无论它是几倍，它们的和不也是 c 的 倍数。不就是那边的第一题吗？能懂吧？你们一起说就说明了钱 就证明了 a 加 b 的 和是 c 的 倍数。倍数很好，请做上一课表扬。这是定格式信息，还知道什么？ 已经举了一个例子了哟，剩下的就应该会说了哟。谁来易米诺， a 减 b 的 叉还是 c 的 倍数？对， a 减 b 的 叉，它也是 c 的 倍数。前提 前提 a 大 于 b。 这个结论记住了没有？好，请坐原理，刚才老师给你们推出来了哈，利用我利用具体的数给你们推出来了。为什么 几倍加起来也是他的倍数，几倍相减也是他的倍数，听懂了吧？嗯，好，把这个结论记在你的树上。

来看一个有关二、五、三的倍数特征的题，从零、二、四、六、七、九中选出四个数，组成一个同时是二、五、三的倍数的四位数，问最大是多少？ 那先来分析一个数如果同时满足是二、五、三的倍数的话，他会有哪些特征。我们来想，如果一个数要满足是二的倍数的话，他的个位上要是零，二、四、六、八的数就是二的倍数。满足是五的倍数呢？ 个位上是零或者五的数是五的倍数。也就是说，如果要满足是二和五的倍数的话，他的个位上要是零。如果一个数要满足是三的倍数的话，各个数位上相加的和要是三的倍数，那结合在一起，二、五、三的倍数特征， 个位上是零，且各个数位上的数字相加之和也要是三的倍数。那根据这句话我们就可以确定的是组成的这个四位数个位上必须是零。 再来看问最大是多少？要想找最大的数，我们就从这些数中大的那些数往高位上去写，最高位千位上写九， 百位上写七。接着再来确定十位，首先他个位上已经是零了，说明这个数字不管怎么写，一定是二和五的倍数。再来看他如果要想满足是三的倍数的话，这三个数位上相加数字之合得是三的倍数。 九加七等于十六，也就是说十六再加一个数，要是三的倍数，十六加几呢？十六加六，二十二不行吧？十六加四，二十也不行。十六加二 等于十八，十八是三的倍数，也就是说十位上可以填二，填二的话，这个数字同时满足是二、五、三的倍数。

第一题，用四、五、六组成一个三位数，这个三位数一定是谁的倍数，它组成的是一个三位数。如果我们四放在百位的话，可能会出现四百五十六和四百六十五两种情况。 如果我们把五放在百位的话，就五百四十六和五百六十四。如果把六放在百位的话，就是六百五十四和六百四十五。 我们观察这些数，如果它是二的倍数，它必须要保证个位数零、二、四、六、八，所以 a 排除掉，那 d 也排除掉。如果它是三的倍数，它只要保证各个数位上相加之和是三的倍数， 它是由四、五、六三个数组成的。四加五加六等于十，五，十五是三的倍数。所以这三个数字不管怎样排列，它组成的三位数都是三的倍数，应该选的是 b。 第二题，小明用数字卡片组成了两个三位数， m、 三、四和五一 m 要使 m 三四是三的倍数，那这个时候就要求 m 加三加四，它是三的倍数。 五一 m 是 二的倍数，那就 m 可以 等于零，或者是二，或者是四，或者是六，或者是八这几种情况。问 m 是 谁或者是谁， 它要保证 m 三、四是三的倍数，还要保证五百一十。 m 是 二的倍数，那我们就要排除一下哪一种情况符合。当 m 等于零的时候，三加四等于七，不符合。 当 m 等于二的时候，二加三等于五，五加四等于九，二是复合的。当 m 等于四的时候，四加三等于七，七加四等于十一，十一是不符合的。当 m 等于六的时候，六加三等于九，九加四等于十三，十三是不符合的。 当 m 等于八的时候，八加三等于十一，十一加四等于十五，十五是复合的。所以说要想保证 m 三四是三的倍数，且五一 m 是 二的倍数， m 只能等于二或者是八。

黑板上的这两个判断题非常容易弄混淆，我们一起来看一下哈。来，第一个四的倍数一定是二的倍数，有的小朋友看到一定他就觉得他是错的，那我们来分析来，这道题你们的判断是怎么样的？对，判断是对的， 我们来说说为什么？我们先举例子吧，举一个四的倍数，随便说一个举多少， 十二吧，十二吧，十二。举个例子，十二它是等于四乘三的，是不是？好，接着我们可以把这个四拆分，拆分成什么？二二乘二，拆分成二啊，我们判断它是不是二的倍数呀？是不是好拆分成二乘二，后面乘三不变， 好到这里二乘二的积再乘三。我们可以把括号打开，利用乘法结合律，把这个二先提取出来，等于二乘，把后两个数相乘。什么呀？二乘三等于 二乘六，现在四的倍数，这个十二我把它变成了二乘六，它是不是就有一个因素是 二，所以二就是他的因素，所以四的倍数他一定也是二的倍数。老师给你们讲过，孩子的孩子，他也是他的孩子， 所以以后在做这种题的时候，你就去看二是不是四的倍数因素，如果二是四的因素的话，那他肯定就是那四的倍数，肯定就是二的倍数了，能明白不？嗯，好。根据这个题，我们来看这个 一个数等因数有十八，它还有哪些因数？ 哪些因素？和这个题一样的道理，如果一个数有一个因素是十八了，那他还有哪些因素呢？一个数有一个孩子是十八，那还有哪些孩子呢？我们说孩子的孩子也是他的孩子，是不是还有哪些？ 一一十八，二九三六，所以这里的二九三六也是这个数的音数。听明白了没有？好，那我反过来，我们看到第二题， 如果二的倍数一定还是四的倍数吗？ 那这个题反过来，二的倍数一定是四的倍数吗？不是。你们的判断是怎样的？错，你们的判断是错了。首先我可以采用举个例子。 首先哪个例子是错的？是最简单的例子，二的倍数。最简单的是谁？二，他本身二嘛。二是四的倍数吗？不是，二还比四小了呢，是不是？再举个例子，还有谁六，六也不是四的倍数，还有吗？ 十也不是。哎，这些统统都不是。我反过来，小的，这个不一定是大的，这个 会混淆不，同学们不会哈。那今天上午老师讲了四的倍数有怎样的特征，还记得吗？ 二的二的倍数我们是看它的个位，那四的倍数我们是看它的末两位，末两位是四的倍数，那这个数它就是四的倍数。我举个例子， 五百三十二，他是四的倍数吗？是，是，看的是哪两个数字？三十二，末两位，也就是十位和个位。三十二、四八，三十二是四的倍数，所以这整个数他就是四的倍数。注意哈，你 不仅要知道我们书上学的二三五老师给你拓展的知识点，你也要会听白居上。好，放下。

同学们好，学习三的倍数的特征，回顾一下二、五倍数的特征，个位上是零、二、四、六或八的数都是二的倍数， 个位上是零或五的数都是五的倍数。试着猜测三的倍数特征， 个位上是三、六、九的数都是三的倍数，对吗？来学习列二，把表中三的倍数圈起来，看看三的倍数有什么特征。动手来圈， 三、六、九、十二十五、十八、二十一，依次圈出， 一直圈到九、十九，这些都是三的倍数。观察这些倍数，你发现了什么？ 横着看圈起来的前十个数个位分别是哪些数字？我们来看前十个数，三六、九、 十、二十五、十八、二十一、二十四、二十七、三十。这十个数字。我们来观察个位 有三、六、九、二、五、八、一、四、七、零。这十个数字，他的个位从零一直到九 都出现了。 只看个位可以确定三的倍数特征吗？很显然，看个位不能确定是不是三的倍数。那怎么来确定呢？ 斜着看你发现了什么？三十二、二十一、三十。 我们来把十、二十位和个位这两个数字相加，一加二等于三。 二十一，十位和个位数字相加，二加一等于三。 三十，十位和个位数字相加，三加零等于三。很显然，这四个数字把它十位和个位的数字相加都等于三。 斜着看三的倍数，各个数位上的数的和都是三的倍数。 任意找几个三的倍数，刚才我们找了三十二、二十一和三十， 那我们再随便找几个，把个位数它的数字相加，看一下有什么规律，是不是都得三，或者是都能够被三整除。 二十四，把十位和个位的数字相加，二加四等于六，六除以三等于二，那六是三的倍数。三十 三加零等于三，也是三的倍数。九、十九九加九等于十，八，十八也是三的倍数。 由此我们总结一个数，各个数位上的数的和是三的倍数，这个数就是三的倍数。这里要注意是各个数位上的数的和 好。我们来做一下练习题，在下面的数中圈出三的倍数，并与同学交流。我们来圈一下， 在圈之前，我们把这个数十位和个位的数字相加，五加三等于八， 八加七等于十五，那八十七就是三的倍数。十五能够除得开，能够被三整除。 三加六等于九，九也是三的倍数。六加四等于十， 这个不是。六加零等于六，六十也是三的倍数。一加二加三等于六。一百二十三是三的倍数。 四加五加二等于十，一，十一不是三的倍数。我们来总结一下这节课的收获。三的倍数的特征， 三的倍数，各个数位上的数字之和是三的倍数，这个数就是三的倍数。 二、三的倍数，个位上是零，二、四、六、八，且各个数位上的数字之和是三的倍数，这样的数字就是二、三的倍数。 三五的倍数，个位上是零，五，且各个数位上的数字之和是三的倍数，这个数就是三、五的倍数。 二、三五的倍数，个位上是零，且各个数位上的数字之和是三的倍数，这个数字就是二、三、五的倍数。

第一题，两个质数的和是十五，基是二十六，求这两个数分别是多少？他们的和呀，是十五，十五是基数，只有基数加偶数的时候才等于基数。在质数当中唯一的一个偶质数是二，说明啊，其中一个质数是二， 他们的和是十五。十五减二等于二十六，也就是这两个数分别是二和十三。 第二题，两个次数的和是八十一，积是多少？他们的和是八十一，八十一是积数。同样的道理，积数加偶数等于积数，唯一的一个偶质数是二 二加一个数等于八十一，那这个数就等于七十九。七十九也是一个质数，那他们的积就等于七十九，乘二，计算出等于一百五十八。 第三题，两个质数的积是六十五，和是十八，这两个数是多少，我们可以列据出二十以内的质数是多少，因为他们俩的和是十八，所以说我们可以列据出二十以内的质数，二三五、 七十一，十三、十七。通过观察呀，我发现十一加七等于十八，十三加五等于十八，他还要满足两个数的积是六十五，所以只能选择十三乘五等于六十五，这组，也就是这两个数是十三和五。

五年级下册第二单元，因数与倍数怎么学？重点点在哪里？易错点有哪些？今天我一个视频给大家理清楚，不啰嗦，全是干货。因数与倍数这一单元概念多，规律强，是考试中的高频考点。 首先我们来看第一个知识点，因数与倍数的意义。在整数出发中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数， 除数和商是被除数的因素。因素与倍数是相互依存的关系，不能单独存在。比如在算式七乘九等于六十三，中，七和九是六十三的因素，六十三是七和九的倍数。 找一个数的因素，我们常用乘对列举法，因素的个数是有限的，找一个数的倍数，我们用这个数依次乘一、二、三倍数的个数是无限的， 一个数的最大因素和最小倍数都是它本身。这里我们要重点的去理解，不需要死记硬背。第二个知识点，二、三、五倍数的特征，这是本单元最重要的规律。二 的倍数，个位上是零或五三的倍数，各个位上的数字和是三的倍数，同时是二和五的倍数，个位上一定是零，同时是二、三、五的倍数，个位是零，且个位数字之合是三的倍数。 比如用零四、五组成三位数，同时是二、三、五的倍数，答案就是四百五和五百四。第三个知识点，奇数与偶数是二的倍数的数叫偶数， 是零是最小的偶数，不是二倍数的数是奇数，一是最小的奇数。奇数与偶数在运算中也有固定的规律，奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数等于偶数，奇数加偶数等于奇数。 乘法中偶数乘任何数都等于偶数。比如有一百零五名乘客乘坐大巴车，其中一辆车的游客是偶数，那么另一辆车的游客一定是基数。知识点四，质数与核数只有一，和它本身两个因素的数叫做质数， 除了一和它本身还有别的因素的数叫和数。这里我们要特别的记住，一既不是质数，也不是和数，最小的质数是二，也是唯一的偶质数，最小的和数是四。在一到二十这些数里呢，我们要快速的分清质数和数、基数、偶数， 这是考试最常考的基础判断。第五个知识点，分解质音数。把一个和数写成几个质数相乘的形式，就是分解质音数。最常用的方法呢是短除法，比如把三十分解质音数，结果三十等于二乘三乘五分解质音数，它不仅是一个考点，更是解决复杂应用题的关键工具。 掌握了以上五个知识点，我们再梳理一下考试最常考的高频题型。第一类，二三五倍数的特征及其综合应用。比如给一个不完整的多位数，让他同时被二三五整除。 我们要先定位个位数是零，再看数字和满足三的倍数。第二类，奇偶性判断。这一类题目我们不用算出准确的结果，就能快速的判断对错。第三类，质数和数的实际应用。 像这种给除法算式的题型，我们要掌握好除数和余数的关系。第四类，分解至因数，给三个数的乘积，求这三个数，我们我们要知道这种题的解析思路。第五类，实际的问题，比如分装物品、分组、剩余等问题，这些典型的题目我们都总结好了，去练就行了。 再往后就是本单元的易错卷和单元卷，可以用来检测一下学习效果。分数与倍数这一个单元看似概念很多，实际上逻辑非常清晰，只要细致的去理解知识点，再配合例提高频考点。易错卷，单元卷去多加练习，就能把这个单元的分数给稳稳的拿到手。 我们的资料厚实细致，每一个知识点，每一道题都有配套的视频讲解，扫码识别一下就可以听了，可以快进，可以倍速无限次的回放。一本手写解析加上一本空白练习 题包邮到家。可以从评论区进入橱窗来下单，选择视频的版本，每天下午发货，早下单早收货，赶紧让孩子做起来吧！关注我下一期更新第三单元！