武忠祥三大计算是什么

好，我们来看这个题目啊，这是个概念性的题目，他说 x 取下 x 零的时候，负 x 极限等于零， 然后他说 x 取下 x 零，你不是负 x 小 于 x， 极限等于一，所以这个极限等于一啊。哎，你负 x 取下零，那一加负的负分之一就等于一啊， 那 f 趋向零 sin x 等加 x sin y 就 等价于 f 啊，那还有什么呢？还有因为 u 趋向零 f u 的 极限是 a， 我 现在是 f f， 这个 f 不是 趋向零吗？那所以这个复合极限就等于 a 啊。 他说下列结论正确的个数，有同学一看四个都是对的，说四个都是对的，那就是经典的错误标准的零分。那我想说的是，这四个都是错的， 所以正确的个数是几个？零个不是四个。但是这种问题我们很多同学会犯错， 那有同学就问了，说，老师为什么会错啊？哎，我们看一个你就明白了啊。 那我问你，这个取下零，你怎么知道这个极限等于一的？你的依据是不是就这个？好，那不是人家 x 取下零的时候，三也 x 比 x， 这个极限等于一啊， 但是你注意你的 far 取下零，这个极限就等于一吗？ 啊？我们说不能断定，为什么实际上还是这个，就是我们在讲极限的时候，这个自变量趋向零，但是这个自变量不能等于谁啊？零， 但是注意，你把我的 x 换成了斐，这个斐的极限等于零，斐作为一个函数，它可以趋向零，它也可以 在有些点上等于零，也可以横等于零啊。他一旦也等于零，这个就没有意义了。那极端一点的情况，我的斐 x 就 很等于零， 那我问你这个条件满足不满足，但是你把斐 x 横等零带到这，这下面就是零，这个极限等于一吗？这就没有意义啊，所以这就错了， 那这些地方都是一样的道理，所以这个也是错的。那既然 side equal 比 side 等于一错了，他说这俩等价也错了，那这个地方也错了。 所以你注意，这实际上是复合函数，求极限。你回去看大学史上没有一个人敢这样写这个结论， 他一定要附加一个什么条件，就是因为这个 u 是 取下零，而不等于零，你把这个 u 用 f 换掉， f 取下零没问题，但是这个地方呢，一定要附加一个条件， 就是 f， x 怎么样不等于零，你回去看大学的书啊，就是 f 呢，是取下零，但是不等于零这个结论才对，所以这四条 要对，都要附加这个加了这个条件，这四个都对，没有这个条件，这四个都是错误的。 比如说给他一个经典的反例，我们不说这个极端状态了，那你比如说我们这个负 x 等于谁啊？我们负 x 等于谁，就等于 x 乘以 x 乘以 x 分 之一，你看 x 趋向零的时候，这个极限是等于零的， 但是你能说这个极限等于一吗？ x 去向零的时候，这个塞盈的 x 塞盈 x 分 之一，除以 x 塞盈 x 四分之一，你能说这个极限等于一吗？这就是经典的错误，标准的零分。 你想他这个函数在零点极限，零点的极限跟零点有没有定义毫无关系，但是零点要有极限，起码零点某个趋近领域处处有定义， 但是注意，因为有它，所以在零点任何虚线领域都有使得 f m 等于零的点，换句话说都有使得这个函数没有定义的点。你想这个函数在这一点的任何虚线领域始终有没有定义的点，这个极限还能存在吗？不存在，所以这个极限应该叫不存在， 所以这就是基本概念。但是很多同学这些细节都不注意，所以考场上一旦考出这种题，我们很多同学都会犯错。 所以对于极限这个概念里边是 x， 是 趋向于 x 零，而不等于 x 零，那就说跟你那一点的函数值毫无关系，这一点特别需要注意。好，有关这个题我们就讲到这个地方。

各位同学好，下面我们来看这样一道题， f 和 g 都是零一区间上连选数 f 小 于 g， 而这个 c 呢，是零一区间里边一个点啊，那这呢是零，这是一，这 c 呢是零一区间里边一个点，然后则下面这个式子哪个成立？ 大家注意，下面这式子里边，实际上都是同一个区间上两个积分大小的比较，但是这给函数之间有这个大小关系，所以我们一看这种题呢，要用哪个知识点呢？就是关于积分的不等式限制。 那注意，我们大学教材上写过一个结论，结论是什么？是这样写的，就是如果 f x 小 于等于 g x， 那 么这个时候呢，立马退出谁啊？退出这个 a 到 b， f x d x 小 于等于谁啊？ a 到 b g x， 但是这个地方呢，这个节呢，在用的时候一定要注意啊，就是一个细节，因为什么细节呢？就是我们大学书上写这个式的时候，说这个式成立， x 属于谁啊？ a b， 那么所以呢，既然写 a b， 所以 这个地方呢，一定要注意这样一点，那就是这个 a 呢，一定是小与等于 b 的 啊，所以呢，就不容忽视这一点。 那么所以呢，这个题做的时候啊，肯定是利用这个条件，但是呢，你要用节呢，那必须要有这个，就是知道下限小与上限倍值就写大， 那你比如说这个对不对？那你注意 f 和 g 这个大小关系，知道了，但是这呢是二分之一到 c， 那 这个大小关系跟这个 ab 的 大小是有关系的，如果你这个 a， 大家注意，如果 a 要大于 b 的 话， 那么这个两边这个呢，就乘一个符号，它这个方向就变了，然后上面的线就掉了。所以呢，如果 a 大 于 b， 那 就不是这个关系，那就这个关系，那就是 a 到 b 这个时候，就是 g x dx 就 应该大于等于谁啊？哎，这个 g x dx 应该小于等于，嗯，就是这个时候呢，刚好这不等式就反过来了啊。那么如果你要写仍然写 这个，这个小于等于的话，那就变成了 g 的 积分小于等于谁啊？ a 到 b f 的 积分。 所以呢，这个时候呢，这个大小关系，他一定跟上下线的大小关系有关系的。所以你像这个的话，关键是就是这两个倍增函数大小关系清楚，但上下线谁大不知道，因为 c 和二分之 c 大 不知道，所以这个你就不能断裂。 这个呢，是同样的问题，也是二分之一和 c， c 和二分之一谁大谁小不知道，你就不能断定。但这个呢，注意， c 肯定是小于一的， 那么 c 小 于一，上限大于下限，基本上背际函数越大值越大，但是这个呢，你看这应该是小于等于，而不是大于，这个明显就错了。 那么这个呢，注意是上限大于下限，这个函数要比它大，那这个肯定是对的，所以应该选它。 所以注意，这个题呢，实际上主要是考的这个知识点，但是这个地方呢，切记就注意，就是 f 小 于等于 g， 要推这个积分，他一定要下限小于等于上限，如果没有这个先决条件，这个结论就不对了。 所以他主要是考察看你在用这个结论的时候，你有没有注意到这一点，这个结论必须下线小于等于上线，主要是这个知识点清楚不清楚。好，这是我们要看的这样一道。

各位同学大家好，下面我们来看这道题， 这个是二零零九年数学二的一道考题。假设 y 等于 y， x 由这个方程所确定的引函数，这是个二元方程，它确定了 y 是 x 的 一个引函数， 要求这个函数在零点的二阶导数，这是引函数求导，又是求具体点。 那么这个时候呢，我们第一步首先要根据 x 等于零，确定除 y 等于什么，因为后面要用到，这是求一个具体点，引函数导数应该做的第一件事情。 那么由这呢我们可以知道，你看，当这个 x 等于零的时候，我们把它带进去，那么带到这以后呢，我们就会得到一个 y 等于一， 那么由 y 等于一，我们立马得到谁啊？ y 等于零，这就知道到 x 等于零，就是 y 等于零。 那为了求二阶，我们先得求一阶，如何求一阶呢？那引函数求导一个基本方法，就是等式两边对 x 求导。 好，那我们这个等式两边对 x 求导，这是两个相乘，所以首先就是 y 加上谁 x， y 一 撇，然后呢，这下对 x 求，那就等于加上 e 的 y， 再乘上 y 对 x 导数，这就左边对 x， 右边对 x 求导呢，那就是一，然后把 x 等于零， y 等于零带进去， 那么大家看一带的话，这两项都没了，只这一项把 y 等于零带进一，零侧方一，那这个地方就剩了一个谁， y 一 撇的零就等于谁等于一，这求出一结， 那么这个题呢，是要求二结，所以这个式子两边怎么样？再对 x 求一次， 那么这个对 x 求一次，那就是 y 一 撇，这是两个相乘，首先是 x 求倒，后面不动，又一个 y 一 撇，再加上 x 不 动， y 一 撇求倒，那就是 y 两撇， 而这个对 x 求倒呢，是两个相乘。按照乘方法则，先是前面求例外，再乘 y 对 x， 又一个 y 一 撇，所以这就 y 一 撇平方。还有一项 在这个意外不动，外一撇求倒，所以这还有个意外，外两撇。 那么右端求倒呢？长竖求倒，就是零。然后完了以后呢，把 x 等于零， y 等于零和 y 一 撇，零等于一带进去，解出外两撇。 那么大家看一带的话，这两项每项都是一，所以这个地方有个二，这一项一带就零了，那么这一项呢？ y 等于零，带进去，这是一 y 一 撇，零是一，这又是个一。 然后呢，再加上这一项带进去， y 等于零，带一零四方一，那这就是 y 两撇零。 那么由这个式子呢，你看我们那面就得到，谁外两撇的零，就应该等于谁负三， 这题就做完了，所以这是个引函数求导，是求具体点。总结一下基本方法，首先往往第一步就是根据 x 的 值，把相应的外值确定出来，因为后面要用到。 如何求引函数导数呢？就是等式两边求导代值，如果求一节，我这样就做出来了， 那么求二节的话，就这个等式两边再求求导数，把这个点再带进去，这就是引函数求导一个基本的方法。好，有关这个题目，我们就讲到这个。

各位同学大家好，下面呢，我们来看这样一个，求极限。首先判定类型，这一看就是呀，零比零 最常用方法。第一，洛比塔好用吗？显然不好用。第二，等价代换也不好用。第三，泰勒， 但泰勒呢？ cosine， 泰勒好写， cosine， cosine 呢，这个也可以写，所以有很多书上觉得这题就是泰勒公式的题目，能做，但是我们认为并不是最好的方法。 那好的方法是什么呢？好，我们一块来看，你注意这个分子呢？ cosine x 减 cosine sine， 它是不是可以看作 cosine 在 两点函数值的差？大亮点， x 和 cosine 注意，求极限，出现两点上函数值的差。那么这个时候呢，我们通常就可以考虑谁啊？拉格朗是终止点， 当然注意，我们这个地方出现的呢 a b 往往都是变的啊，那就说它往往出现的就是 f， 二反 x 减去谁呀？ f 的 贝塔 x 都是这种形式， 那么这个时候呢，一用就是 f 一 撇的克 c， 然后乘上谁呀？二反 x 减去谁呀？贝塔 x， 但这个可 c 夹在谁啊？二幺 x 和贝塔 x 之间啊，如果二幺 x 和贝塔 x 去向同一个数，可 c 就 去向那个数， 这就是我们出现这个同一个函数，在两点函数之差的时候，用拉格朗中值定律常用的形式。 所以你像这个题我们拿到以后，那注意你得搞清楚你的 f 是 谁，注意，我们的 f， x 就是 谁啊，就是 cosine x， 我 们的阿尔法是 x， 我 们北塔是塞呀，所以这个就可以写成谁 x 趋向于零的时候， 那我们分母呢？仍然 x 四方上面 f 一 撇可 c cos 求到那是塞盈可负的塞盈可 c 乘上谁呀？ b 减 a， b 减 a 是 谁？ x 减塞盈 x， 然后再往下做，我们知道 x 减乘以就等价于六分之 x 的 地方，所以这就等于负的 x 趋向于零的时候，然后呢，下面是 x 四次方， 上面是塞盈可 c 乘上是六分之一 x 立方，那么这个时候就得到一个负的六分之一， 然后这就是 x 曲线零，那么后面呢，就剩一个塞盈的克 c 除以谁啊？ x， 那 这位有同学立马说了哦，克 c 比 x， 极限等于一，所以这个极限等于负六分之一。刚才在前面一个例子专门讲了啊，你不能保证这个克 c 除 x 极限一点等于一， 那我们已经举过反例了，但是这个怎么求呢？还是应该考虑加 b 啊，注意你的可 c 介于谁？我们的可 c 介于 x 和散影之间， 那你注意在这呢，我们的可 c 它应该介于谁啊？应该介于散影 x 跟 x 之间，不管这两谁大，你是加在他两之间，但是我们问的不是散影， 不是可 c 比上 x， 是 塞盈，可 c 比 x， 那 么这个时候呢，大家知道这个塞盈在零点附近是个增函数，所以呢，塞盈可 c， 你 仍然是加在塞盈塞盈 x 和塞盈 x 之间。 那好了，你不是除 x 吗？那我给你除个 x， 你 是不是仍然应该加在它和它之间？不管两边谁大谁小，你总得加在它两之间。 但是这个时候大家注意，这个极限显然等于谁一。这边呢，也等于一啊，因为赛引赛引等加于赛引，赛引等加于 x， 由于这两边都取向一，你夹在中间，你就取向一，所以这个极限等于谁负六分之一， 所以大家看这题呢，实际上你会去试，你要用泰勒也是非常非常麻烦，但是呢，如果用拉根尔定律，那这题就非常简单啊，这是我们要看的这样一道题。

各位同学大家好，那我们来看这个问题，这是二零一二年数三的一道考题， f x 是 一个分段函数，然后 y 呢，是 f 跟自己的复合，现在要求这个复合函数在 e 这代的导数。 那么这种题拿到以后，当然做的时候有两种思路，一种思路，那就是先求出这个复合函数表达式，然后求导带进去，可以做，但这就是分段函数，符合你的做， 但是呢，这个就比较慢。但还有什么一种方法，就按照复合函数的求导法，那就说你这个 y 等于 f 的 f x， 我 可以把它看作谁啊？就是 y 等于 f 的 u 和 u 等于谁啊？ f x 的 一种复合， 然后你要求这个导数，那就是说 y 对 x 的 导数，那我们知道，按照复合函数的列导法，它等于谁就等于 y 对 u， 那 就是 f 对 u， 然后再乘上 u 对 x， u 对 x， 就是 f 对 x， 只不过你这个地方求的是这个具体点，那我们就把这个 x 等于 e 带进去，那么这呢，也就是把 x 等于 e 带进去， x 等于 e 带的话，后面就是 f 一 撇的 e， 但是这样呢， u 等于谁， u 就 等于 f e， 那 f e 又等于谁？所以我们这个地方关键要看一下这个 f e 等于谁，因为你的 u 就 等于 f e， 那这个 e 呢？它属于大于 e 这个地方，带到这来，那这个是二分之一绕引 e 实际上就是二分之一，这就是 u 就 正好等于二分之一， 那么这样一来的话，你求这个符号函数导数，关键就是求小 f 在 这两点的导数。那好，我们先来看谁啊？先来看 f 在 这两点的导数，那好，我们先来看 f 在 这两点的导数，那好，我们先来看 f 一 撇的 e， 那么 e 呢？它属于大于 e， 所以 直接拿这个求导带进去， 但是它呢，实际上又等于谁？二分之一绕以 x， 所以 这个呢，就等于它求导把 e 带进去，那它求导就是二 x 分 之一，然后把 x 等于 e 带进去，那这应该等于二亿分之一， 然后这个呢？ f 一 撇的二分之一，但是注意二分之一属于小于一，所以应该是这个求导带进去，那这个二 x 减一，求导十二，再把 x 等于二分之一带进去，仍然是二， 然后你要求的导数不是就这两个相乘吗？那所以最后就是二，一分之一乘上谁二，那么再来把二一消，最后答案就是谁啊？一分之一。 所以大家看，这实际上是个负函数求导，但这个地方呢，我们用的是谁练导法？这样一个结论，直接做就比较简单，如果不这样做，那当然有个办法，那就是 刚才我们说的，先求出这个复合函数表达式，那你分段函数求复合函数表达式，这个大家应该会完了以后再求导带一，但他没有这样做来的更方便， 所以这个题主要是考的复合函数求导法。好，有关这个题目我们就讲到这个地方。

各位同学大家好，为了能够使得同学们尽快的掌握高等数学的三大用算，但我老师专门录制了视频课，希望同学们务必参加一下这个课程的学习。考研数学中求极限、求等数、求积分学的怎么样？这九天的课程 能够充分检验并且深度进行巩固和练习。课程也不多，总共九天的学习安排，带大家系统学习和练习三大计算中的 求极限、求导数、求积分，来提升大家的计算能力。前三天主要学习求导数的， 最后三天是求积分的路，每天都会安排配套的十道左右的练习题 进行巩固训练。另外我们还安排了教研老师的直播讲解，吴老师的课程录播的形式可以反复观看，每次课程四十五分钟，你也不用担心课程听不懂，题目不会做。这九天的时间会有答疑，老师 每天七个小时给你答疑，有问题你可以在班级群里边随时提问，完成了九天打卡学习，报名费就会退还给你。大家可以点击下方链接来参与这个课程。

考研数学重点就是考察计算能力，其中一百五十分当中差不多有一百零五分是考察计算。切，大部分是以三大计算为基础，考研中所有的用算都离不开三大计算的基本功，重视基础， 打好基础，重要的还是计算。对此，我们开设了高数三大计算九日特训营， 包含如下的内容，一、九天的课程讲解、一次调研老师的开营直播和一次节营测试讲解直播，吴老师的九次课程讲解 二、共精选了一百九十七道题目，你把这一百九十七道题目做熟了，你三大计算内容基本就掌握了。三、学不会没关系，助教老师每天会在班级群七小时的实时答疑， 有任何考研数学的问题都可以在群里提问，助教都会随时的 完成了。九天打卡学习，报名费就会退还给你，大家可以点击下方链接来参与这个课程。好，同学们加油！

各位同学大家好，下面我们来看这道题，这是二零零零年数一数二的考题， f g 是 恒大于零的可导函数， 并且 f 一 撇 g 减 f， g 一 撇小于零，则当 x 大 于 a 小 于 b 的 时候，有下面哪个式子成立？ 那么拿到这种题以后，首先我们的思路从哪里来？那你注意给的条件里边出现了谁导数小于零，但是这个选项里边都是函数值的大小关系， 所以我们就立马就想，那导数的正负跟函数值的大小， 或者说跟函数的增减性是不是密切相关的，所以我们思路就有了，那就是根据这个小与零，我们能不能得到某一个函数的导数小与零或者大于零， 那么这个时候呢？自然想谁求导数会出现左边这两个差呢？你看 f 一 撇 g 减 f 这一撇， 那我想大家立马就会想到谁啊，商的导数公式，因为大家知道，如果我们令这个大 f 等于谁，就等于这个小 f x 除以 g x 的 话， 根据他给的条件，两都大于零，两都可导，这个商就可导，所以我们立马就得到谁大 f 一 撇 x 等于谁，他就等于分母的平方分子，导数乘分母， 然后减去分母，倒数乘上分子。我为什么想到他？因为你看他的分子刚好就是他，那这个时候分母大于零，分子小于零，这个就小于零。 哎，他的导数小于零，我立马就知道这个大 f x 就是 一个什么函数啊，减函数， 那这个时候注意，它第一个选项牵涉到 x 和 b， 那 x 和 b 是 这个关系啊，它是减函数，减函数，我们立马就知道大 f 的 b 就 应该小于谁啊？大 f 的 x， 我 们把这个式子写出来，大 f b 是 谁？大 f b 就是 小 f b 除以 g b， 然后呢就小于大 f x， 大 f x 就是 f x 除以 g x。 由于 f g 是 正的，我们把它交叉乘一下，交叉乘一下，我们是不是就立马得到 f x 乘上 g 的 b 一定大于谁啊？大于这个 f b 乘上谁啊？ g x。 哎，大家看看，那不就这个吗？哈哈，所以我们立马就知道这个是正确的，所以这个题就做完了。那么这个题主要考什么？谁说是考倒数的正负用来判定谁啊？函数的增减性。 但是这个题拿到以后的关键是谁，那就说他给你的条件里边出现倒数，并且这个地方小于零，但是他问的这里边都是函数值的大小比较，所以我们首先得想到一个重要的知识点， 倒数的正负可以用来判断函数的增减性，这个就很关键。然后再来一下这个小乙零，他能推出哪一个函数倒数大于零或者小乙零，那就说谁求倒数会出现左边这个形式呢？ 那我们就想到了商的导数，他会出现这个形式啊。这就这个题做题最关键的一个思想。好，这样一来我们这个题就做完了。好，这个题我们就讲到这个地方。

在我们考卷里边，它是有测重的基本概念，基本理论这个地方差不多是百分之三十，也就是四十五分左右。基本方法呢，它是百分之七十。但是考我们基本方法讲的通俗点都是通过计算题来考， 重点就是基本方法，也就是一百五十分里边差不多有一百零五分是要通过计算来得到的， 所以计算能力不行，计算的准确率不行，你考的分数肯定高不了。所以三级的重点是基本方法，基本理论是难点，只要猜测到一些概念性的题，理论性的题，很多同学就怕， 因为概念理论是我们大学学数学的，是一个不弱环节，但这地方是个难点，你想这个地方得高分，那你要在这个多下功夫。

各位同学大家好，下面我们来看这个问题，那这是二零零零年初二的考题，假设函数 f x 满足这个关系，并且告诉零点导数等于零，则下面那个成立。 大家看，这个题跟前面一天的题目应该是类似的，所以我们也就想到用这个条件，那就说在这个式子里令谁啊？ x 等于零，那这个时候我们会得到谁？ f 两撇零，这个一代就是零，等于右端也等于零， 大家注意，一节等于零，极值的必要条件。二节等于零，拐点的必要条件。但是要问极值拐点这两个都断裂不了，那怎么办呢？是不是应该看这一点的更高级？ 那么根号线从哪来？我们是不是应该拿这个两边再求导？所以你看这个时候一求导，这就是 f 三撇 x， 然后再加上谁二倍 f 一 撇 x， 再乘上谁 f 两撇 x 就 等于谁一， 然后把 x 等于零带进去，那么带进去以后呢，这个时候就得到 f 三撇零，加上这个这个一带，因为这个等于零，所以就等于一。 哎，那你注意，你看，这就条件就够了啊，这一点二节等于零，这是关键的必要条件，那么这一点的三节呢？不等于零， 那就满足这个拐点的充分条件，所以从这个地方立马就可以断定对应的这个点零， f 零就是曲线的，谁啊？拐点。 当然这个地方呢，有同学有问题，有问题很好，没有问题反倒不好，有什么问题呢？人家只告诉你这个关系是，那就意味着 f 应该是二阶可导， 但是你怎么两边再求导数啊？没有说三节课导啊，如果这个三节导数没有，你这样求就没有用啊。 但是我们说事实上是正确的，但是你从数学上你得搞清楚为什么正确。 主要的是虽然你告诉我这个式子，就告诉我二节课道，但是我说立马能推出三节课道，为什么？因为有这个式子我们可以得到谁 f 两撇就等于谁 x 减去 f 一 撇 x 的 谁啊？平方 u 与 f， 二节课倒，所以这个就课倒，那这个显然是课倒，右端课倒，左边就课倒，所以这个三节倒数是有的，没有问题，但是我们学数学就没不对的，搞清楚，学懂，那么这样子上了考场我们应对的才比较自如。 所以你看这个也是关于一个，这个给的一个方程讨论极值和拐点的问题，但是这个带进去你又得到这个等于零，你什么都得不到，这个是一个常用的方法，谁啊？等式两边再求一次导数，带进去立马就断定是拐点。

二零二三年这个考题，你看这是 f x 加二减 f x 等于这个零二积分等于零，然后呢？一到三的积分， 当然上了考场，有很多同学想到啊，这个不是，网上经常说区间在线，结果呢，就在线了，半天在线不出来，所以这个地方大家要注意啊，区间在线 它身上是一种特殊的变量代换，它只是变量代换，这个一般方法里边一个特殊方法，它适合，不是所有的题都用什么区间在线就在线出来，它只适合那个背际函数，不好找那些特殊题型，它并不是一般方法。 所以很多同学以为啊，区间在线就是个万能的方法，上了考场拿区间在线在线了半天在线不出来，那还有同学怎么做啊？什么令 x 等于 t 加二，做了半天做不出来，很多同学这个题没做出来， 那么这个题有什么思路呢？你看算这个积分，知道的是这个积分，所以跟刚才一样，让这个积分里边出现零二积分， 这个思想刚才也用了，怎么让这个积分里边出现零二积分？你这是一，我这从一开始，我为什么要到零呢？因为你这是零二啊，所以一到零，零到二，这就出现零二积分，然后呢二，再到上限，谁啊？三，这就利用区间的可加性。 那么这个时候呢，大家注意，这个积分是等于零的，那现在关键就是这两个，这两个你看这是二到三，这是一到零，身上是负的，零到一，这个下限和这个下限二差个二，这一和三差一个二，这个条件是不就用上了？ 所以这个时候呢，你看，我们把这个拿来，就是把你这个积分拿来，因为这个跟这个里边的变量刚好差个二，所以令这个 x 等于 t 加二的话，那我们就会得到这个二到三的积分就等于零到一， f t 加二， 那么这个时候呢？根据这个式子， f t 加二，那这个是就等于 f x 加二，它就等于 f x 加 x， 那么这样的话我们就会得到他等于零，一积分加二分之一，这个等于零，一积分加二分之一，这还有一个一零积分一，零积分跟零积分就消掉了，这个又等于零，那么这样的话这个题就做出来了二分之一。 那你看这个跟刚才那个周期函数那个地方就这步很关键，思想是一样的，一到三利用区间可加性，从一开始让他出现已知积分，所以就是一到零，零到二，再加二到三，最后你就发现这两个区间之间正好差个二，一个变量代换就解决问题。 当然这种题更简单的方法是什么？就是注意到看这两点之间距离是二，这个上限减下限是二，三减一也是二，所以考虑这两个积分上限减下限都是二，考虑一个 x 到 x 加二这样一个积分， 那么这个是这个做法的一个关键，但是怎么会想到他的呢？因为你这这三减一是二，二减零也是二，这个减这个也是二，所以我考这个 x 到 x 加二，那么这样子这个条件有利于什么？这个 f 求倒 就等于 f x 加二， g f x 它就等于 x 啊， f 一 撇等于 x， f 等于谁？ f 就 等于二分之一， x 平方加 c 怎么定？ c 这是谁？这不就是 f 零吗？ 啊？ f 零就等于零，二积分等于零，既然 f 零等于零， c 就 等于零，那大 f 就 等于二分之一 x 平方，那这个时候这个积分等于谁？是不是就是在这把 x 用一带进去啊？所以你让我算的这个积分，一到三的积分就等于 f 一 啊， 那 f 一 等于谁？ f 等于二分之 x 平方， f 一 就等于二分之一啊。所以这两个解法里边还是这个变上面积分这个方法简单，但是这个方法也具有一定的普遍性， 就是知道这个积分，让我算这个积分，那一个基本的想法就从下线出发，让右端出现已知积分， 所以就是一到二，一到零，零到二，二到三，最后这两个之间刚好差一个二，一个变量代换就做完了。你看这就找到了这一类题在做的时候一些通用的方法。 那我讲这个例子呢，就是为了强调就是我们现在这个卷子，每年总有那么几道题目，那会在近多少年可能没考过的， 但是在过去可能考过，我们就举了这个例子，二零二三考的这个题，实际上呢在前面只考过一次，九一年三十年前考过， 所以就建议大家十五近十五年的题精做，至少做两遍，十五年以前的题选做选做，哪些题选做那些近多少年没有考和你不熟悉的题目做熟悉的，你就不用做了啊。

各位同学大家好，下面我们来看这个极限 x 去向零， 那首先是判别类型，然后选择方法，那我们看这什么类型呢？ x 去向零，这个烙印里边去向一，所以这去向零，这个也是零，同理这是零，这是个零比零， 那我自然想到洛比塔好用吗？可以用，但是这个求导数就复杂了， 那还有什么办法呢？等价代换，注意这个地方呢是两相相减啊， 那所以呢，这个你用，你还得验明条件，那么在这呢，我们看我们是不是可以把它改写一下，因为这一个烙印这个 e x， 那 我们知道烙印 e x， 也就是这个 x 啊， 哦，所以那我们这是不是可以这样改写，那就说这个原式就把它写成谁啊？ x 趋向于零的时候，然后上面呢，这就是烙印的塞印平方 x 加上 ex， 然后减烙印的 ex， 然后这个呢就是烙印 x 平方，加 e 二 x， 然后减烙印 e 二 x， 对数相减，就变成里边消除，所以 x 去向零的时候，上面呢就可以写成谁，就可以写成幺幺的一加上它除以 e x， 就 乘 e 负 x， 那 就是 e 负 x， 然后乘上谁塞盈平方 x， 那么这个里边一除的话，绕 n 里边也变成了一加 x 平方除以二 x， 那 就是 x 平方，乘上一负二 x。 好 了，这个时候大家注意 x 去向零的时候，这个绕一加，后面两个都去向零，所以这个应用向这个等价代换，绕一加 x， x 去向零等于谁啊？ x， 所以 我们马上就可以得到这个极限，就等于 x 去向零， 分子等价于谁？ e f x 塞盈平方 x， 而分母呢，等价于 e f 二 x x 的 平方 作为这个和这个都是 e 零次方一，可以先求出来塞盈方与等价 x 方立马就得到这个极限等于一， 所以这样一个零比零的极限大家看一上来没有用洛贝塔也没有直接用等价代换，所以这一步改写很重要，改写把它分子写成一个整体，然后用等价代换，这个处理就变得非常方便。好，这是我们要看的这样一个立体。

各位同学大家好，下面我们来看这道题。 f x 等于 x 平方乘上一减 x 方，则 f 两撇等于零。 在零一上无十根，右侧仅有一个十根，右侧仅有两个十根，右侧仅有三个十根。这个呢，也是一个方程根的个数的问题， 那大家注意这个地方不是问 f， 是 f 的 两撇，如果你要用零点定力说明根的存在性，那要对 f 二阶导数用，你就得求出二阶导数，然后找二阶导数一号的区间， 那这个呢，你看就求二阶导数，二阶导数的式子就比较复杂，还有没别的办法呢？我们不是说明根的存在性，还有一个叫罗尔定力， 哎，如果 f 满足罗尔定律，我可以说明他的一阶导数有零点，而一阶导数如果满足罗尔定律，不是可以说明二阶导数有零点吗？所以那我们这个题呢，应该考虑罗尔定律， 那么罗尔定律呢，在这个区间上要用的话，那么首先对 f 用起，它要满足 b 区连续开区可导两段点值相等， 实际上你看 b 七连线开起可等没有问题，两端点值相等也没有问题。你看 f 零显然等于谁零啊，然后呢， f 的 一也等于零，所以罗尔定律满足， 那么罗尔定律满足。根据罗尔定律，我们就可以知道，在零一这个区间内 一定存在一个谁，根据罗尔定律就存在一个克 c 数与谁数与零一，然后使得谁使得 f 一 撇克 c 等于零。换句话说， f 一 撇等于零，这个方程至少有一个实根， 但是人家问的不是 f 一 撇等于零，是两撇等于零，所以我们得对谁用罗尔定律呢？应该对 f 一 撇用罗尔定律， 那么 f 一 撇用罗尔定律的话，那要求 f 一 撇要连续，必须连续开局，可倒没问题。关键呢，要找 f 一 撇在两点之相等，那我们现在呢， f 一 撇在这个地方是等于零了， 那实际上，另外呢，我们注意，你看为什么 f 零等于零，是因为有 x 平方，注意，这是个二次因子，所以不带 f 零等于零，实际上 f 一 撇的零也等于零。 同样的道理，为什么 f 一 等于零？因为这有一减 x 这个因子又是二次，所以不带 f 一 等于零， f 一 撇一也等于零。 但这个时候大家知道，你看 f 一 撇是不是有三个点，零点，可 c 点，还有一点，这三点的一阶导数都等于零， 所以我可以在这个区间和这个区间分别。对 f 一 撇用罗尔定律，这个里边存在克 c 一， 这个里边存在克 c 二，所以根据罗尔定律，那么应该存在克 c 一， 这个克 c 一 呢，应该属于零。克 c 能够使得谁使得 f 两撇的克 c 一 等于零， 那这说明这个方程在前半段至少有个实根。同理，在后半段再用罗尔定律，那就是从在可 c 二数与谁数与可 c 一， 然后能够使得谁 f 两撇的可 c 二等于零， 这就说明谁啊？这就说明 f 两撇等于零。这个方程至少有两个实根， 但是到底是两个还是三个呢？个数怎么说明？我们是最常用方法，单调型，如果你要用单调型的，对谁用两撇，你得求出二阶导数，然后再说明二阶导函数单调。 这个呢，可以做，但是就有点慢，还有没有别的方法呢？啊？所以我们这个就是一定要注意，根据题目的特点灵活使用方法。 那么大家注意，你看我们原来这个 f 左边呢，实际上它是一个四次 x 的 一个四次多项式，那你这样的话，你求导 f 两撇 x 等于零 四次多项式，求两次导数，这就是二次，所以这实际上是个二次方程。 关于 x 的 这样一个一元二次方程，最多几个？十个，最多两个， 那这呢说明至少有两个实根，这个又说明最多有两个实根，两结合有，并且只有两个实根，所以这个题的正确的选项 c 选项。 那在这个题目里边就说明根的存在性就是用的谁啊？罗尔定的，反复用罗尔定的。而说明根的个数呢，它是根据题目的特点，就是他这是一个四次的， 那么 f 两撇等于零，是个二次方程，关于 x 的 一元二次方程，最多两个实根，那最后说明有，并且只有两个实根。好，这是我们要看的这样一道题。

下面呢，我们来看这个极限，首先也是判别类型选择方法，什么类型呢？ x 趋向正无穷， e 正无穷，当我们知道是正无穷， 下面呢，这是一加 x x 平方次方，要没有这个平方，它趋向 e， 它在外面再来 x， 所以 这个肯定也是趋向无穷，无穷比无穷。 那么这个无穷比无穷呢？首先想到了洛比塔，好用吗？大家看这个求导很简单，这个呢是个秘制函数，求导就很麻烦， 那么还有什么方法呢？注意，碰到这种秘制函数求极限，这个常用也是非常有效的思想，就是把秘制函数怎么样指数化啊，改写成指数， 那么改写成指数以后呢？那么这个时候呢，如果能够用 e x 减一等价于谁啊？ x， 问题就变得简单了，所以呢，求这个密值函数极限，一个常用的思想就是密值函数指数化， 那么基于这个思想的话，那我们这个题就有想法了，那我们的想法就是解，然后把分母这个密值函数指数化，那么这样的话 x 趋向于正无穷， 那注意上面呢是 e， x 底下一指数化，就 e 的 x 平方烙印的，然后谁啊？一加 x 分 之一， 那这个时候呢，对这个题能不能用这个结论呢？你注意这个上面他不是趋向零的，他也没有解一，因为这个上面趋向无穷，所以不好用这个结论，那怎么办呢？ 你看上面是 e 底下 e， 这不是同底数密相除吗？那我们知道就等于指数相减啊， 所以这个就可以写成谁啊，就可以写成这个式子，就是 x 趋向于正无穷的时候， e 的 上面就是 x 减 x 平方绕引的谁啊？一加 x 分 之一， 然后呢？求这个极限的核心就是求这个指数的极限，那么下面呢，我们来看， x 趋向于正无穷，这个极限又怎么求？ x 减 x 平方绕引的一加 x 分 之一， 这个极限算数等于 a， 原式极限就 e 的 a 次方，这个极限如何求呢？也是要判别类型，选择方法，它又是什么类型？你看前面呢，这个显然是趋向于无穷， 后面呢， x 趋向无穷，劳引 e 加 x 分 之一，它等价于 x 分 之一，乘上平方无穷，这是无穷减无穷。 那么过去我们老师教我们说，无穷减无穷，一般是谁通风把它化成零比零，或者无穷比无穷也落北它，但是这个怎么通风呢？连分母都没有。所以有的树上做的时候啊，有很多树是这样做的， 什么令 x 等于 t 分 之一啊，做一个倒代化，然后再通风，再做可以，但是就有点慢了， 但是也有的书上呢，做的比较快，用谁用泰勒，但是我们同学不大容易想得到， 那么这个题呢，还有没有别的好的方法呢？大家注意，由于 x 去向无穷这个烙印，一加 x 分 之一，这个 x 分 之一去向零。 哎，这个时候我们就想能不能用这个结论呢？我们刚在前面讲过一个结论，就是 x 去下零的时候， x 减绕引的一加 x， 它等价于谁？二分之一 x 平方， 你注意，我们这的 x 分 之一可是趋向零的，你要用这个键呢？我想大家立马想到，哎，如果能出现这个形式，就是一加 x 分 之一，前面正好是谁？ x 分 之一，如果能出现它，那 x 分 之一趋向零，我就可以用这个键了， 那么上面这个式子能不能让它出现这个形式呢？我想大家一下就看出来，只要往外提一个谁啊？ x 的 平方 啊，这个时候把平方一提出来，然后呢？这个时候大家看这是个乘积关系，我说这题已经做出来了， 那你看这个 x 趋向于正无穷，前面平方不动，后面这个用这个解呢，立马可以知道它等价于谁，二分之一倍的 x 方分之一立马就得到，这个等于谁？二分之一， 那么这个等于二分之一，那原式就等于谁？ e 的 二分之一四方做完了 啊。所以作为在这个解法里边，注意第一点就是这个秘制函数把它怎么样指数化，这步很重要。然后完了以后注意就看出两个同底数密相除，可以写成指数相减， 到这来以后处理这个极限，就联想到这个结论啊，在这方往外 t x 平方用等价代换，这样子。这个题目做的比较简单， 但是也有同学做这个题做的更简单，那怎么做？哎，他说，老师啊，这题简单呀， 为什么简单？哎，刚才分析的时候有同学就已经注意到了，那我这个地方不是可以这样看吗？那你看，哎，你这不是就是 x 趋向于正无穷， 你上面不是就是 e x， 等一下呢？哎，等一下，你不是就是一加 x 分 之一的 x 平方次方，那不就是它的 x 次方再 x 次方， 这个没有问题，他为什么写这个呢？他一看哪边趋向 e， 哎，这不是 x， 那 这不就等于这个吗？ 这不就等于 x 趋向于正无穷，那这个上面呢？ e x， 下面这个不是 e， 这有个 x， 这不是也是 e x 吗？那这个就等于谁啊？就等于一，这多简单。哎，他怎么跟你这个答案不一样呢 啊？大家注意这个呢，就是我们经常说的经典错误标准的巅峰啊，这就是经典啊，经典错误标准的巅峰 啊，这个一定要注意。那为什么错了？实际上主要就是这个等号啊，就这错了，前面这个改写没问题，就这啊，这样子写这个等号，这就是个经典的错误标准的年份。 那为什么不能这样写？那你注意，你这个相当于极限分两步走啊，就是这个 x， 你 先别着急，我先算里边，里边算完以后，然后再算你外面。那你注意求极限能不能这样？你想先算哪里就先算哪里。 如果求极限能这样做，你想想求极限有难题吗？肯定没有难题，你达到一个极限不好算，那哪里 哪里，你想现算哪里哪里空了，你把哪里先一算，然后再去做，你就发现极限就没有难题。 但是求极限没有这个原则，它是个整体求极限，那么我们讲过可以先算，也只讲过一种情况。讲过什么情况呢？就是讲过这种情况啊，就是 f x 乘 g x， 那么这个呢？如果 f x 就是， 如果 f x 有 极限， 那它不得零，这个可以先算出来，那就等于 a 倍。等于谁啊？这个 g x， 但是注意这个先算是两个要求，你一定要注意什么两个要求呢？你看他必须跟整个式子是成的关系，所以先算的必须是整个式子的因子。第二个要求，这个极限还要怎么样？不等于零， 但是这位你先算这个，他不是整个式的因子，他的你都跑到这个底数里边去先算去了，这个可没有这个结论，所以这样做是个经典的错误， 所以我们求这些切记不能这样子乱做，那这就是犯了一种经典错误。好，这是我们要看的这样一道。

各位同学大家好，下面我们来看这道题，他说 n 趋向于无穷烙印，这是开 n 方， 里边呢是一加 n 分 之一平方，乘上一加 n 分 之二平方，再乘一直乘到一加 n 分 之 n 的 平方，等于下面哪一个？ 那么大家注意下面呢是定积分，实际上就要看这个极限到底等于下面哪个定积分，这也是过去的一道考题， 那这个时候我们知道定积分本身就是一个合适的极限，现在要看这个极限等于哪个定积分， 那么这个首先当然是要从定积分定义出发来看，所以我们在这回忆一下我们定积分的定义啊，你看 a 到 b f x 这个积分， 那我们知道它身上是用个合适极限来定义的，那这个是怎么定义的呢？是这样定义，你看这是 ab 区间， 那他说把这个呢分成 n 个小区间啊， n 个小区间，然后假如说这个就是 d k 子区间， 在这个 d k 子区间上任意取一个点，可 c k， 然后呢算出 g 的 函数值， f 可 c k， 然后再乘上 d k 子区间的长度的，它 s k 就是分成 n 个小区间，以后啊，每个小区间上取一点函数值，乘上相应小区间的长度， 然后呢再把每个子渠，这样做出来的函数值与子渠间长度这个乘积加起来，可以从一到 n， 最后呢再取一个极限， 那这个 d 呢，表示 n 个次区间长度的最大值，那当地取向零的时候， 那么如果对区间的任意分法点的任意取法，这个合适极限都存在，那么这个时候呢，就说这个函数在区间定积分存在，并且这个定积分就定义为这个合适的极限值， 所以你看我们现在他要问你这个极限等于下面哪个定积分？那么首先呢，我们得把它写成这个合适的极限，然后通过这个来看 f 是 谁，区间是谁， 但是这呢，这个不是一个和式啊，但是大家注意里边是乘积，这个有取对数，哎，那我们知道这个对数以取，首先用这个开方开方就可以写成 n 分 之一， 然后呢 n 向连乘取对数，不是就变成加的形式吗？所以我们立马就可以拿来。哦，原来你这个可以写成合适，所以我们立马可以写你这个原式就等于 等于谁，那等于这个因为这个开方，所以我们这就可以写成 n 取向无穷的时候， 然后呢这个前面呢应该有个 n 分 之一，然后里边呢就变成谁啊？变成一个合适， 那么这个合适是一个什么呢？为了大家看起来方便，我们把它写开啊，你看他的第一项是谁，第一项呢？谁上是二倍的烙印的谁啊？一加 n 分 之一， 然后他的第二项是谁？第二项就是加上二倍的烙印的，一加 n 分 之二，然后他的 d k 项是谁？那这就是加上二倍的烙印的，一加上 n 分 之 k， 然后呢再到这个地方，最后一项就是加上二倍的 lo 引一加上 n 反折。 好了，这已经写成一个合适了，但是这个时候呢，我们要看出它是哪一个函数，在哪个区间上七分啊，哎，人家这是一点函数之乘子区间长度，你这这个 n 分 之一，哎，那我把 n 分 之一可以乘到每一项去啊， 那么这样子的话，我就可以把它写成谁，写成 n， 取向无穷。那么第一项，二倍的烙印一加上 n 分 之一，乘以给谁 n 分 之一。 第二项呢，加二倍的烙印的一加 n 分 之二乘 n 分 之一， 那这个一般项我们不写了，一直写到后面这个地方就是二倍的幺幺的一加 n 分 之 n 乘 n 分 之一。 哎，那这个时候呢，就是通过这个和式来看背记函数是谁？积分区间是谁？ 大家注意他这方给你的这几个积分啊，都是一到二啊，都是一到二区间，不用你确定，你关键是确定背接函数。然后呢，你就得看 delta x k 是 谁？ f， 可谁看 f 是 谁。 那么大家注意，我们刚才说这都成了个 n 分 之一，那么这个 n 分 之一身上就是我们这地方的谁啊？ delta x k， 那因为这个区间的长度是一，它相当于把这个区间呢，以等分，因为等分以后，那么这个时候每个子区间的长度是不都等于谁啊？ n 分 之一，所以这个 n 分 之一就是我们的 delta x k， 哎，那这个地方的 f 可 c k 是谁啊？那它的 f 可 c k 就等于谁？二乘烙影的一加 n 分之 k， 那实际上呢，大家注意，你看这个，这样一分以后，第一个字区间的右端点，这就是一加上谁 n 分 之一，哎，这不是就是一加 n 分 之一吗？第二个字区间右端点是一加 n 分 之二， 那 d x 区间的右端点就是一加二分之 k， 所以 我们的可 c k 实际上就是一加二分之 k， 那 你说 f 是 谁啊？ f 显然就应该是谁啊，二倍的烙印 x 啊， 那么二倍烙印 x 在 d x 区间，它取这个点的时候就取的，可 c k 都取的是右端点， 那么所以这样的话，我们就知道这个呢，他就应该是谁一到二这个区间上哪个函数积分啊？就是二倍烙印 x 这个函数的积分啊， 那么这样子二又可以提出去，所以就是二倍的一到二烙印的 x d x， 那么这样的话，我们一看，哎，人家里边不是有这个吗？你看这个 b 选项就是二倍的烙印 x 一 到二呀， 所以就应该选 b 呀，啊，那这样子这个题就做出来了啊， 好，那么在这，在这呢，那有同学可能就问了，你看这个呢，就是我们拿到以后一看，看成这个样子以后，那要么 b， 要么 c， 不 可能是 a， 也不可能是 d， 因为这有个平方，我们这没有平方， 但是有同学说，那为什么是这个，那为什么又不是这个呢？那大家注意啊，你看这个地方呢，它是如果要是这个的话，那相当于我们这个地方呢，可 c k 就是 n 分 之 k 啊，如果要写这个倍数函数，我们这就是 n 分 之 k， 那 你这个可 c k 是 不是从 n 分 之一到 n 分 之 n， 那这个地方呢？就不是一到二了，这就应该写成谁啊？零到一，就是如果倍增函数是他的话， 那么这个应该写成他，所以如果你把这个选项写成二倍的零到一，这个烙印的一加 x， 这个也就对了啊，因为这个时候这是 n 分 之一到 n 分 之 n， 那 就是零到一，但是呢，他肯定你这是浪，一加 s， 这写成一到二就不对啊，所以这个要对，必须写成零到一，实际上大家看这个积分和这个积分是相等的， 因为你在这做一个变量代换，如果把这个地方的一加 x 换成 t 的 话，大家看一加 x 等于 t， 那大家注意这不就是二倍绕引 t dx， 也就是 dt， 那 你看你 x 等于零，我的 t 是 不等于一，你 x 等于一，我的 t 就 等于二。所以呢，就是说如果这个题把这写成二倍的零到一的话，那这个也是对的，这就说明就是这样一个合适的极限。 那么这个地方呢，我也可以看作是浪引 x 在 一二倍的浪引 x 在 一到二的积分，同时也可以看成二倍的浪引一加 x 在 零一区间上的积分。啊， 那么这种呢，就是我们平时做的积累，我们上了考场就做题，会做的更快，那也许人家 b 选项不给你写这个，给你写成二倍的零到一，你要能够认出来他也是对的。 好，这种主要就是考定积分的定义。好，有个这个题目我们就看到。