八年级下册16.1函数及其图像试题

同学们，我们来看到关于如何根据一道实际应用题来看图像，他说的是火车匀速通过隧道到长大于火车的长的时候， 火车进入隧道的时间。 x 与火车在隧道内的长度外之间的关系，用图像描述大致是多少？像做这样的题的时候，首先你要明白横坐标和纵坐标分别代表什么，像这道题的横坐标代表的是什么？进入隧道的时间， 那么 y 轴，也就是纵坐标表示的是火车在隧道内的长度。好，我们来看一下，当火车头开始进入隧道的时候，慢慢往前走的时候，它火车在隧道内的长度是越来越 长的，所以它呈上升的趋势啊，它们都呈上升的趋势。当 火车完全进入到隧道内，因为隧道长大于火车的长，所以有一部分的时间火车是完全在隧道内行驶的，这时候它的长度是不变的，也就是它的长度是平行于 x 轴的，也就是它的长度是不变的，永远在这个位置。 紧接着他的火车慢慢的开出隧道，火车的直至完全开出隧道， 所以它的长度是越来越短，越来越短，直至它的长度为零为止。所以符合图像的是选择 b。

同学们好，我们今天来看一下这道题目，他说甲乙两车从 a 层出发前往 b 层， 在整个行驶过程中，甲乙两车距离 a 层的距离 y 和行驶的时间 x 的 函数图像如图所示。 问我们下面说法正确的是哪一个？那我们来看一下他这个图像是不是显示的是从 a 层到 b 层， 他这个车子假车如果到了这里，他的 y 是 不是指这个距离？他的行驶时间是 x 小 时，对不对？ 那我们看这个图像，从图像中我们可以看出来，这两个车子一定不是同时出发，如果同时出发，那么以车的起始点应该是从原点开始，对不对？所以他俩不是同时出发，那以车的速度是多少速度？我们是不是有专门的速度公式去求呀？速度公式是什么？ v 是 不是等于 s 除以 t 那 把带进去，那是不是 y 除以 x 是 不是三百？全长是三百千米，他用了几小时啊？从两小时到五小时，是不是用了三小时？ 是不是一百千米每时？那他是六十，那肯定不对了，对不对？那我们再看他说 c 选项，以车出发两小时后追上的假车， 那我看一下，从这个图像中我们可以看出来，已车如果出发了两小时，是不是到了四小时的位置，那假车运动了多长时间？是不是四小时？ 那我们先求一下假车的速度，假车的速度是不是用三百去除以六，对不对？他用了六小时跑完了全程，那么他的速度就是五十千米每时， 那他假车的速度是五十千米每时，那假车四小时跑了多远？是不应该是五十去乘以四 是不等于两百千米，那乙车两小时对不对？乙车的速度是一百，他两小时是不是一百乘以二等于两百千米， 那他俩是不是同时？他俩是同地，都是从 a 层出发，只是甲车的出发时间要比乙车早，对不对？所以乙车两小时之后追上了甲车，是不是对的？ 那我们看一下 cd 选项，他说当乙车到达 b 层时，甲乙两车相距多远？但乙车到达 b 时， 乙车到了 b， 乙车只开了几小时，是不是只开了三小时，对不对？那乙车开了三小时，那我们看一下假车开了多远？假车是不是开了？他是提前先开了两小时对不对？那假车是不是开了五小时？ 那假设五小时跑了多远？我们看一下他的速度是不是速度？假设的速度是不是五十乘以他的时间，五小时是不等于两千五？两百五十千米对不对？而 ab 两地全长只有三百，现在假设已经跑到了这个地方， 距离 a、 d 已经有两百五十千米，那他剩下乙车是不是跑完了，已经在 b 层了，对不对？所以乙车是在这个地方，所以他俩之间相距多远？是不是五十千米对不对？ 那这题的关键就在于我们要对这个函数图像非常熟悉。好了，那这一题我们就讲到这里结束了。

同学们，我们来看一道这样的应用题。他说李大爷按每千个二点一元的价格批发了一批黄瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用，他先按市场价售出一些，后又降价出售， 收出黄瓜的质量为 x， 钱壳也就横坐标，代表的是黄瓜的质量与他手中持有的钱用外来表示，也就是纵坐标，代表是持有的钱。在这里一定要注意，这个持有的钱是含备用零用钱，备用的零钱啊， 他的关系如图所示。结合图像回答下列问题，也就是说，你要想回答这些问题，你要看懂这个图像。那接下来我教大家如何看懂图像。首先你要知道他的特殊的点代表什么含义，比如说像这个点五十， 也就是当 x 等于零的时候，总坐标是五十，说明什么？说明我们当售出的黄瓜就还没往外卖黄瓜的时候 是五十元，手中持有的钱是五十元，那说明这五十元是什么？就是他自带的零钱。好，再看第二个节点，就是这个特殊的点， 这个点也就是当你卖出一百千克的时候，你手中持有的钱是四百一十元。你时刻要牢记啊，手中持有的钱里边含多少含备用钱？ 第三个节点就是什么意思呢？因为你售出一百千克之后呀，他说的是常售出一些后又降价出售， 因为可能是挑挑拣拣剩下黄瓜不太好了啊，降价出售。所以第二阶段呢，他肯定是降价后出售黄瓜。那么到底出售了多少千克不知道，但是我知道卖完之后，他最终的手中持有的钱是五百三十元。好，我们来看第一题， 李大爷自带的零钱是多少钱？我们刚才已经分析了，是五十元来。第二题，降价前，他每千克黄瓜出售的价格是多少？求的是什么？ 求的是出售的单价。那我们来看一下吧。其实就是看第一阶段啊，降价前他卖了一百千克啊， 到手的钱是四百一十元，那根据数量关系啊，单价等于什么呀？总价除以数量。不过这时候的总价可不是四百一十元啊，因为里边含有备用钱，所以他实际是卖了多少钱呢？ 也就是四百一十减五十等于一十减五十等于三百六十。好，这时候的收入是三百六十，总价除以数量等于单价，也就是等于三点六元。好，第三问， 第三问，他是这么说的，他说卖了一段时间，黄瓜的卖相不好了啊，挑挑拣拣的。随后他按每千克降价一点六元，将剩余的黄瓜售完。 这里边有两个关键词，第一个关键词它是全部卖完了，第二个关键词它是每千克降价一点六元，而不是按每千克一点六元去卖的啊。 好，接下来他说这是他手中的钱，还备用钱是五百三十元，他问他一共批发了多少千克黄瓜，我们先不知道他批发了多少千克，但是我们知道批发的全部卖完了，所以我们可以求卖完的黄瓜卖了多少千克。 第一部分我们已经知道了，是卖了一百千克，所以我们接下来任务是把第二阶段卖了多少千克求出来。那第二部分他降价后，是按单价多少钱卖的，也就是三点六 减一点六，这是他的单价，那么我们要求他卖了多少钱？可求数量，就是按总价除以单价。这时候的总价同学们看是五百三十吗？不是呀，这是这一部分所对应的，是这一部分的，对吧？所以他的总价就是五百三十减四百一十。 我想问一下，用不用再减五十了？哎，不用，因为四百一十里边包含了五十，所以总价除以单价就等于数量算完以后是六十千克， 也就是第二阶段，他卖了六十千克，再加上第一部分卖的也就一百加六十，他总共卖了一百六十千克的黄瓜。看一下，第四，问 他问李大爷，亏了还是赚了？若赚了，赚了多少钱？若亏了，亏了多少钱？好，首先我们要知道，那我们得知道怎样才算盈利呀？也就是收入 就等于收入减成本， 如果收入减成本大于零，咱就盈利了，那收入减成本小于零，咱就是亏了。那有的同学说，老师，我知道，你看收入是全部卖完是五百三十元，那么成本呢？我就让二点， 那我就让单价二点一乘一百六十，算完之后让五百三十减它就可以了。同学们，你觉得这个思路对不对？ 肯定不对呀，为什么？因为这个五百三十元并不是你卖黄瓜的钱，因为里边还有什么？还有五十元，所以实际你的收入是 五百三十减五十等于四百八十元。 那接下来重点是算你的成本了啊，你是按二点一元的单价去进的，那你卖了一百六十千克，相当于你就进了一百六十千克，那就让一百六十乘二点一， 等于三百三十六元。嘿，这时候我让收入减成本就是四百八十，减三百三十六，等于一百四十四元，很显然咱们是赚了，赚了一百四十四元。

大家好，我是夏梦老师，今天我们来学习函数图像的画法。学习目标，一，掌握用描点法画一个函数的图像的一般步骤。二，结合函数图像，体会函数的变化情况。 有些问题中的函数关系很难用解析式表示，但是可以用图来直观的反映。对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观。 合作探讨一、正方形的面积 s 与边长 x 的 函数解析式为 s 等于 x 的 平方，其中 x 的 取的范围是大于零。 我们还可以通过在平面直表直角坐标系中画图的方法来表示 s 和 x 的 关系。思考，在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对有序数对来表示，即坐标。平面内点与有序数对是一一对应的。 那怎么获得组成图形的点呢？就要确定点的坐标。怎样确定满足函数关系式点的坐标呢？取一些自变量的值，计算出相应的函数值。 自变量 x 的 一个确定的值与它对应的唯一函数值 s。 是 否确定了一个点 x x 呢？是的，我们来计算并填写下表先好，通过我们计算， 我们能把这个表填完整。那我们猜测自变量 x 的 一个确定的值与它所对应的唯一的函数值 s， 唯一确定的一个点 x s。 这就是 我们可以在呃这，我们可以在这条坐标系中把它表出来。先描点，再连线， 我们会发现这是一条光滑的曲线。在直角坐标系中画出表中各数对 各对数值所对应的点，然后用平滑的曲线依次连接这些点，所得曲线上的每一个点都表示 x 的 值与 s 的 值的一种对应， 用空心圈表示不在曲线上的点，因为 x 等于零，不在 x 的 区域范围之内，所以点零零不在函数图像上，故用空心圈表示。如果这点在函数图像上，则要画成实心点， 用平滑的曲线连接出画出来的点。一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对 对应点分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。前面画出的曲线就是函数 x， s 等于 x 的 平方， x 大 于零的图像。 点例精细例一，在下列式子中， y 是 x 的 函数，画出这些函数的图像，通过图像观察函数与自变量的关系。第一小题， y 等于 x 加零点五解，从式子 y 等于 x 加零点五可以看出， x 去任意实数时，这个式子都有意义， 所以 x 的 取值范围是全体实数。从 x 的 取值范围中选出一些数值，算出 y 的 对应值，列表计算并填写表中的空格。根据表中数值描点 x、 y， 并用线连接这些点。 从函数 y 等于 x 加零点五图像可以看出，直线从左向右上升，即当 x 由小变大时， y 随之增大。 第二个 y 等于 x 分 之三， x 大 于零。我们还是先列表计算，并填填写表中空格，然后再描点， 用平滑的曲线连接这些点。从函数 y 等于 x 分 之三， x 大 于零的图像可以看出，曲线从左向右下降，即当 x 由小变大时， y 随之减小。 小节描点法画函数图像的一般步骤第一步，列表表中给出一些自变量的值及其 对应的函数值。第二步，描点。在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相对相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。第三步，连线。按照横坐标 由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 思考。我们知道函数图像是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点的图形，这样的点有无数个。那么怎么判断一个点是否在函数图像上呢？ 例二，判断点 a 负二，点五负四， b 一 三 c 二点五。四是否在函数 y 等于二， x 减一的图像上。解，当 x 等于负二点五时， y 等于六，所以点 点 a 负二点五负四不在函数 y 等于二， x 减一的图像上。所以我们会发现，我们只需要将点的 x 值、 y 值分别代入计算， 如果他们的 x 值、 y 值满足， y 等于 x， 二， y 等于 r， x 减一，那么这个点在图像上，如果不满足，它就不在图像上。 所以我们总结判断一个点是否在函数图像上。可以把点的横坐标及自变量 x 的 取值代入解型式，求出相应的函数值，看是否等于该点在函数图像上。如果不等于，则该点不在函数图像上。 学堂练习已知点二、三在函数 y 等于 a， x 的 平方减 x 加 e 的 图像上，则 a 等于多少？那这一题很简单，我们只需要将二和三分别代入即可。 我们可以来算一下，此时 x 等于二十， y 等于三，那么三等于四， a 减二加一， 那我们来经我们来计算四， a 就 等于三，加二减一就是四，所以 a 等于 e。 第二步，画出函数 y 等于零点五的图像，并指并指出自变量 x 的 取范围。好，我们可以用描点法先列表，然后描点连线。画出图像， 我们会发现自变量为 x， 取值范围就是任意实数。好，这一题大家可以自己来画一画。请严格按照先列表然后描点的步骤， 从图中观察，当 x 小 于零时， y 随 x 增大而增大还是随还是 y 随 x 增大而减小？当 x 大 于零呢？那我们会发现， 当 x 小 于零时， y 随 x 增大而减小。当 x 大 于零时， y 随 x 增大而增大。最后，我们来总结一下化函数图像。第一步，列表。 第二步，瞄点，并且要正确区分横纵坐标，三步连线。

八年级下册数学一次函数就是拉开差距的重点，很多同学刚学就蒙画图，解析式全乱套，不会求解析式，看图看不懂。应用题不会列函数选择填空总丢分，一次函数学不好，后面几何压轴题更难跟上。 这本一次函数专项练习册，从基础概念图像性质到中考常考题型循序渐进，题型全，针对性强。练完一本函数思路直接打通，专项突破少走弯路，提分快，见效明显，下方小黄车直接带走。

你记住，等腰三角形中考百分之百要考八年级数学下册小册子的第五页纸。我们看到第一题， 在图式房屋人字梁架中， a、 b 的 v、 c。 我 们要练习图形 a、 b 等于 a、 c 啊，那就说 a、 b、 c 是 等幺三的心 d 在 b、 c 上。下列条件不能说明 a、 d 垂直 bc 的 啊，这个 d 在 这里，那么 a、 d 是 不是垂直 bc？ 我 们看的第一个角 a、 d、 b 等于角 a、 d、 c 角 a、 d、 b 等于角 a、 d、 c 是 可以说明的，当这两个角下呢，而这两个角的和等于一个平角的时候，这两个角就都等于一百八十度的一半。 第一个是可以说明的，你看了第二个角 b 等于角 c， 那 么 a、 b 等于 c 就 可以得到角 b 等于角 c， 所以 这个角 b 等于角 c 跟 a、 b 等于 c 啊，是相当于，只是同一个条件，没有办法得到这个 a、 d 乘以 b、 c， 所以这个不能够说明的。这里应该是 b 啊，必定选择 b， 那 我们把 c、 d 来看一下，如果 b、 d 等于 c、 d 的 话，那我们可以根据等幺三角形底边的中线，也是底边的高线，根据三线合一可以得到 啊，所以第二个是可以得到的。我们看到第四个 a、 d 平分 a、 d 平分角 b、 a、 c 等腰上的底边，顶角的平分线与底边的高线是互相重合的，如果已知 a、 d 是 顶角 b、 a、 c 的 平分线，那么 a、 d 同时就是 bc 边上的高线，这也是可以得到的。好，这些基本的结论要把它记住。我们看到第二题 第二题，如图， a、 d 是 等边三角形的 a、 b、 c 的 一条中线 啊，那么这个途径啊，它是它的一条中线，等等边三角，注意，这等边三角，那么等边三角一条中线，那等边三角中线，那也是它的高线，也是角平分线了，那就都是了，对吧？ 使得 a e 等于 a d， a e 在 哪里？ a e 等于 a d， 那 么刚才这是等边三角的每一个角都等于六十度，那么这个 a、 d 是 中线，那是底边的高线，也是顶角的平分线。所以刚才我们说这每个角都等于三十度， 现在有了 a、 e 的 ad， 那 就是 ad 是 等腰三角形，那么于是这个角 ad 等于角 e 角 ad， 呃，就是一百八十度减三十度，除以二，一百八十减三十，一百五十除以七十五度。 好，这两个角都是七十五度，好看。提问问，什么角 edc， 那 么这个角 edc 就 等于角 adc 九十度， 对吧？减去七十五度，那就等于一十五度，对吧？七十八十九。呃，那么这样就选择 d。 好， 第二题，选择 d， 我 们看到第三题 第三题，如图，加 m， o n 等于一百度，那么图形在这加 m o n 等于一百度。呃，点 a 呢？在射线 o m 上点 点，在这以 o 为圆心，以 o a 为半径画弧，加设写 o m 为点 b， 那 就说这里是一个扇形， o a b 这个扇形， 那么这里也就是得到 o a 是 o b 的。 现在如果以点 a、 b 为圆心，以什么呢？以 a、 b 的 长为半径画弧，那么这句话的意思是 以 a、 b 啊，分别以 a、 b 为圆心，以 a、 b 的 长为半径画弧。那我们看了以点 a， 以点 b， 以点 a， 以点 b 为圆心，以 a、 b 为半径的长。 这也就是说这里的 a、 b 的 长度和我们这画的这里它的焦点得到的， 那么这样的一个呢？形成的是一个等边三的形啊，等于 c， 所以 这是六十度，这是六十度，这是六十度，那么由于这个是一百度，所以这个 o、 a 等于 o、 b， 那 么这两个角就都等于四十度， 对吧？一百度，一百八十乘以一百八十除以四十度，那么这角等于六十度。好，题目问，角 o、 a、 c 啊，这个加于点 c， 所以 角 o、 a、 c 等于四十加六十，那就等于一百度，角 o、 a、 c 等于一百度。 好，我们看到第四题。呃，第四题的文字在这，如图，在三角形 a、 b、 c 中， 角 b 等于五十度，角 c 等于九十度。在射线 b、 a 上着一点 d， 使三角形 a、 c、 d 为等腰三角形，则角 a、 c、 d 的 度数。是啊，记住，角 c 九十度，角 b 五十度，有个射线 b、 a 上着一点 a、 c、 d 是 等于二三角。求角 a、 c、 d。 好。图形呢，在这啊，好，这个是五十度，这个是九十度，那么这个就是四十度。在哪里找呢？在这个射线 b、 a 上 啊，找一点 d， 使这个 a、 c、 d 好， 比如说这个 a、 c、 d 啊，比如这个 a、 c、 d 啊 d。 在 这儿，比如说，那么这个，当 a、 c 等于 a、 d 的 时候，那么这个角等于二十度，这个角等于二十度，角 a、 c、 d 就 等于二十度， 那么是不是角 a、 c、 d 就 等于二十度呢？请您注意啊，这道题目有很多人把它卡住了，因为他说在射线 b、 d 上找，这里也属于射线 b、 d 啊，所以这个 a、 c。 那 我们看到这里。 如果说 a、 c 等于 a、 d 的 话，那我们可以以 a 为中心，以 a、 c 啊，你看到吗？你看 a、 c 等于 a、 d、 d 也可以在这里啊，当 d 在 这里的话，这也是 a， c、 d 等于二三角形呢，你看这四十度，那这角就等于七十度啊，对吧？ 这个 a， d 等于 c， 一 百八十减四十除以七十度。好，那我们看到这个 c， a 等于 c、 d 行吗？ 那么 c， a 等于 c， d 呢？ a 就 到这边来了。不行，那我们看到 d， a 等于 dc。 好，比如说 d 在 这啊， d， a 等于 dc 这四十度，这四十度加 a， c、 d 就 等于四十度。所以这有三种情况，加 a， c、 d 等于七十度，加 a， c、 d 等于四十度，加 a， c、 d 等于二十度。所以这里的答案 那就应该是二十度或四十度或七十度。好，这道题呢，很容易出错，也是一道非常好的题目，一定要小心，记得点赞关注哦。

今天我们来分享一个一次函数与几何图形的一个例题，如图，一次函数 y 等于负四分之三， x 加三的图像分别与 x、 y 轴交于 ab 两点， 以线段 ab 啊，在 ab 为边，你说这条边， 在第一项线内做一个等腰直角三角形， a、 b c 也就这个啊，它是一个等腰直角，那么角 b 也就是这个角，是一个直角， 让我们求点 c 的 坐标，在这里啊，我们以前学过啊，这是一个等腰直角，在这里我们可以直接套用一个模型，也就是一线三垂直的模型 啊。假设我们做一条垂线，过点心做 x 轴的一条垂线，这个时候我们看这就是一个一线三垂直的模型，那么告诉我们， ab 是 x 轴 y 轴的一个交点， 那我们可以把焦点坐标求出来，当 x 等于零啊， y 是 等于三的，也就是 b 点的坐标零到三，当 y 等于零， x 等于四的， a 点的坐标啊，就是四到零， 哎，这样我们就得到了 b， o b 是 三， o a 呢，就是四， 我们去做一线三垂直，这个角一加上，角二是九十度，那么角一加角三也是九十度，所以角二等于角三啊，有边有边有角，那么同样的 角二加角四是等于九十度，角一等于角四，所以这两个三角形呢，全等，全等，全等以后，我们 a e 应该等于 o， b 是 三啊，这个 c 就等于 o a， 这是四，这是三，这是四，那么我们这一段 o e 就是 七啊， o e 是 七，这是四，所以我们点 c 的 坐标啊，七斗四 啊，这是利用了我们这个一次函数，结合了我们一线三等角，一线三垂直的一个几何模型， 得到了点 c 的 坐标啊， c 都是啊。希望这个例题对你有帮助。

大家好，我是夏蒙老师，今天我们要学习的是函数的概念思考。第一小题，潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象。 我国某港口潮水的高度简称潮高。在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量 t 与 h， 这两个变量之间有什么关系？ 对于 t， 每一个确定的值 h 都有唯一确定的值与其对应。二、某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率，如表所示，存款期限与年利率分别记作变量 x 和 y， 这两个变量之间有什么关系？ 我们通过表也可以知道，对于表中每一个确定的存款期限 x 都有一个确定的年利率 y。 我们总结，一般的在一个变化过程中，如果两个变量 x 与 y， 并且对于 x， 每一个确定的值 y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是 自变量， y 是 x 的 函数。当 如果当 x 等于 a 或 y 等于 b 时，那么 b 就 叫做自变量的值为 a 时的函数值。 特别提醒，函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性，两两两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。对自变量 x 的 不同值， y 值可以相同，如函数 y 等于 x 的 平方，当 x 等于负一时， y 的 对应值都是。一。 回顾。上节课的问题一、指出其中函数关系的函数关系和自变量，并举出函数值的例子。问题一，汽车以六十千米每时的速度 匀速行驶，当行驶时间 t 分 别为一小时、两小时、五小时时，行驶路程 s 分 别为多少？ s 的 值随 t 的 值变化而变化吗？ 时间 t 是 自变量路程 s 是 t 的 函数，当 t 等于一时，函数值 s 等于六十。当 t 等于二十，函数值 s 等于一百二十。当 t 等于五十，函数值 s 等于三百。 在前面所给的我国港口潮水的高度变化。图中及存款的期限和利率表中两个变量之间是不是函数关系呢？ 在图中，时间 t 是 变量朝高， h 是 t 的 函数。在表中，存款期限 x 是 资本量， 年利率 y 是 x 的 函数。那我们能得到的结论就是，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型。许多问题中，变量之间的关系都可以用函数来表示。 例一，如图各曲线中表示 y 是 x 的 函数的式。好，我们大概我们看一下。我们先来看 a， y 是 x 的 函数，那么我们要确定的就是 x 一 的一个值， y 是 否也有一个唯一确定的值与其对应？如果是，则 y 就是 x 的 函数，如果不是 y 就 不是 x 的 函数。所以，那么 a 和 b 对 于一个唯一的 x 值， y 都有一个唯一与其对应的函数，所以 y 就是 x 的 函数。 最后我们来总结一下判断一个关系是否是函数关系的方法，一看是否存在于一个变化过程中。二、二看过程中是否存在两个变量。 三看对于一个变量，每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与值对应，三者必须同时满足。 好。逆二，已知函数 y 等于 x， 加一分之四 x 减二。第一，小题求当 x 等于二三负三时，函数的值，这个我们 依次代进去就可以。第二小题，当 x 取什么值时，函数值为零，那么我们就要令 y 等于零，也就是 x 加一分之四， x 减二等于零，最后解得 x 等于二分之一。 好，这节课我们就讲到这里，这节课我们主要学习的就是判断一个关系，是否是函数的关系，这就是我们的重点。

同学们好，今天呢，我们来看期末复习里面比较重要的一种类型题，依次函数的图像与性质。那我们来先看第一道题，第一道题的话，它是在一个坐标系里面，既有依次函数，也有正比例函数，让我们判断下面哪一个符合题目的要求。 那我们来先观察这两个函数的表达式，第一个是 y 等于 x 加 b， 那 就是一次函数的一个表达式，那第二个呢？是 y 等于 b x， 也就是说这里面的 b 和这里面的 b 表示的是三等数字，所以我们先来分析的话，那我们一个一个选项来看，那 b 的 话，它有两种情况， 要不然是正的，要不然是负的。那我们来先看第一种情况，根据这个图像，我们能够得到，对于正比例函数来说，它的是 y， x 增大而减小，所以它的 b 是 小于零的。 我们再来看依次函数，依次函数的话，那 k 表示的是它的一个增减性，那我们根据这个图像能得到它的 k 是 小于零的。关键是我们来看 b， 那 b 的 话，表示的是与外轴的交点坐标，所以这里的 b 是 大于零的，所以与这个两个是相矛盾的，所以 a 是 错误的。 那同理，我们来看一下 b 选项，那 b 选项的话呢，对于正比例函数来说，它的是 y 随 x 增大而增大，所以我的 b 是 大于零的。那对于这一个依次函数来说呢，我们只需要看 b 就 行了。那这里的 y 与呃图像与 y 轴交于负半轴，所以它的 b 是 小于零的，所以也是与两个相矛盾的，所以这个也 是错误的。那我们来看 c 选项， c 选项的话，先看正比的函数 y， x 增大而减小，所以这里的 b 是 小于零的。那我们再来看一次函数，一次函数，这里面的 b 是 大于零的，所以它们两个也是相矛盾的， c 也不对。那我们来看一下 d 选项， 对于 d 选项来说，正比例函数 y， x 增大而减小，所以它的 b 是 小零的。那对于一次函数来说，它这里面的 b 表示的是与 y 轴交点坐标，与 y 轴交于负半轴，所以它的 b 也是小于零的，所以它们两个是同时成立的，所以最后题答案就选 d。 所以 对于这种题的话，重点还是我们要掌握一次函数的表达式，那我们在这里面再把一次函数表达式复习一下。一次函数表达式是 y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零， 那么这里面是一道两个字母，一个就是 k， 一个就是 b， 那 这两个字母分别代表的是两个不同的含义。比如像 k 它代表的就是增减性， 那对应的话就是 k 有 两个情况，一个是 k 大 于零，图像是 y， x 增大而增大，也就是往上的，就相当于我们正常通俗说的是上山，那对于 k 小 于零来说，那 y x 增大而减小，所以它相当于是下山，从左往右是依次往下降的， 所以是 y 算增大减小。那 b 表示什么含义呢？我们会发现 b 和 x 没有关系，所以我们当 x 等于零的时候，我的 y 就 等于 b， 所以 它表示的坐标就是一定过零到 b 这个点。那我们观察会发现，这个点的坐标，它的横坐标为零，说明在 y 轴上，所以 b 表示的就是与 y 轴的 交点坐标， 那么 b 就 有两种情况，一个是 b 大 于零， b 大 于零的话，它就说明与 y 轴交于正半轴， y 的 正半轴， 那如果 b 小 于零的话，它就交于 y 的 负半轴。所以如果 k 和 b 来确定的话，那我们的函数图像大概就能画出来。那比如像我们来看下一道题，下一道题的话，它是告诉我们的函数表达式，让我们判断 a、 b、 c、 d 哪一个说法是不正确的， 那我们看一下这个题表达是不是明确告诉我们了。 k 等于负二， b 等于六，那我们能大概的画出来它的一个函数图像，因为它的 k 是 负二，所以它的外速 x 增大而减小，它的图像是往下的， 那 b 等于六的话，说明它与外周交于正半周，并且交于零到六，这个点往下的话，那就大概是这样子的。所以我们图像画出来以后，那我们依次来看 a、 b、 c、 d 这四个点， 对于四个选项，对于 a 选项来说，不经过第三项线，它确实没有经过第三项线，所以 a 是 正确的，那对于 b 选项来说，点二都二。在这个图像上，我们判断点是否在这个图像上的话，我们把点带入，但是不要把两个点同时带入，我们把 x 等于二带入， 我们求一下， y 就 等于负二乘以二，再加上六就等于负四加六等于二，刚好和这个 y 的 二是相等的，所以 b 也是正确的。 那我们来看 c 选项与 y 等于负二， x 平行，那这个是正确的。因为 k 表示的除一个增减型，还有个倾斜程度， k 相等，说明它们的倾斜程度是相同的，所以它们两条直线是平行的关系，那我们来看 d 选项， 这两个点在函数图像上，则 y 小 于 y， 那 我们来看，要我们比较 y 和 y 二，也就是我们已知 x 去比较 y， 那 第一种情况我们可以代入，我们可以把 x 等于负一 代入，然后求得 y 一， 那 x 等于二代入求得 y 二。但这种情况的话，仅限于我已知表达式的情况下，我才能求出来具体的值。那第二种情况的话，就可以根据我们的增减性。 怎么根据增减性呢？因为这个表达式确定了它是 y 随 x 增大啊，减小的， y 随 x 的 增大而减小，那就说明 x 和 y 的 变化是相反的，也就 x 越大， y 反而越小。那我们来看这里面的 x， 一个是负一，一个是二， 那二肯定是大的，那它所对应的 y 二就是小的，所以我们能够根据这个来判断出来， y 二是小的，所以是 y 大 于 y， 所以 这里面不正确的答案是 d 选项。所以对于这个函数图像的话，那我们第三种的话，我们还可以通过画图 来分析，比如像这个图像画出来以后，我们可以找到 x 等于负一，好，大概在这个位置，它所对应的 y 一 就是这个点，那 x 第二个情况， y 二的话，它对应的 x 就是 二， 那它对应的 y 二就是这个点。那我们根据图像也可以发现出来， y 一 是比 y 二更高的，所以 y 一 大于二。 所以对于一次函数的图来题，题目来说的话，一定一定要首先知道这里面的表达式里面的 k 和 b 分 别表示的含义，然后我们再去画图分析题目，这是这个类型题。

今天我们来分享一次函数的一个实际问题啊，某快递公司，每天上午九点到十点为集中揽件和派件时段， 假仓库用来揽收快件，以仓库用来派发快件。该时段内，假以两仓库的快件数量 y 与时间 x 之间的函数图像如图所示。那么两仓库快递件数相同时，此时此刻时间是多少？也就是啊，当相同件数相同，也就是在这个交点的时候 啊，在 y 轴的交点，这个这就是件数相同，那在这一点的时候，我们的时间是多少？也就让我们求 x 啊，这样我们去表达 两条直线的这个解析式，连立解析式就可以求出焦点坐标，也就拿到我们的时间啊，我们可以设啊，假 y 假等于 k， x 加 b 啊，当然 x 呢是应该是有个范围， x 大 于等于零，小于等于六十，这样 假，我们有两点，一个是啊，零到四十，一个是零到四十，另一点是啊，六十到四百，六十到四百， 两点坐标带入我们的解析式，我们就可以拿到这个啊，假的直线的解析式，我们带入一下啊， 啊，这样我们能解出 b 是 等于四十 k 啊， k 是 四十是六啊，所以我们得到了 y 角等于六， x 加四十， 好，这样我们就拿到了这个假的减一次。那同样的办法，我们呢，可以拿到乙，也就是 y， 乙 y 等于 k， x 加 b， 同样的一样的啊， x 要等于六十大的零。好，乙也有两点，一个是零豆，零豆二四零，另一个是六十度零， 代入到几至？我们来算一下， k 等于负四啊，也就是我们的 b 等于二四零， k 等于负四啊，这样我们拿到了这个乙的 y 等于负四 x 加二四零。好，有了甲，乙 有了假一两个解析式，我们就能够连立，也就是六 x 加四十等于负四 x 加二四零 啊，移过来十 x 等于两百， x 等于二十 啊，所以得到了我们这一点的横坐标就是二十。那我们的时间呢？从九点到十点，也就是这是九点，这就是九点二十。答案选 b。 好， 希望这个题对你有帮助。

放在王羲提中间，王王王王羲提剩八百多天，光耀头只剩四百多天了啊。 来，一般的复习一下，形如 y 等于 k， l 加 b， kb 为常数， k 不 等于零，叫一次函数， b 等于零，前儿一次函数就变成了正比例函数。所以说我们说正比例函数是一种特殊的函数。 第二个，一次函数的特征有这几个知识点有三个特征， k 不 等于零，自变量系数是一， b 是 任意的正比例函数都是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。那今天我们领大家来学习一下图像的画法。 首先龚浩德拿话筒来回答问题，错了就站着啊，来判断， 拆开说一个是是吗？哦，可，可以没说不等，哎，缺少 k 不 等于零，第二个是不是？第二个不是，因为它不是整式，对，次数不是一 第，第三个的话，那个 i， 那 个 k 没说就是，那也不是一次，那 s 方那是二次，对它两个，这点下一个是不是？ 是是，而且是正比例函数中非常特殊的什么函数？哎，一次函数中正比例函数，那么 k 得几？ k 等于 k 多少？三分之五，这个函数的图像过哪？哪几个象限？ e 三象限要属于图像，马上要用这个啊， e 三象限， k 大 于零， y 随着 x 增大，干嘛增大？哎，正确。好，今天我们来学习一次函数图像， 了解一次函数图像跟正比例函数一同，然后会根据一次函数图像性质来解决实际问题。首先我们来画图，我们知道正比例函数呢，是经过原点的直线， 那么一次函数图像是不是也是一条直线呢？是不是有经过原点呢？有哪些性质呢？带着这些问题，我们来画三个图， 我们知道画函数图像几步，三步列表秒点连线，当你知道它图像的时候，那你可以直接用两点去，首先我们列表 这边上的曲值是全体实数，我们列表，然后把点描上连线， 仔细观察这三个函数图像，你发现它们有什么特点？它们给我们感觉都是什么线？直线，而且它们的倾斜程度干嘛相同 啊？倾斜程度相同 来， 根据图像的观察结果，我们来添这个空格，这行三个图像的形状都是直线，并且倾斜程度相同，而 y 等于负六， x 的 图像经过圆点，而一次函数的图像以 y 轴交点，坐标 以 y 轴交点，一个点落在 y 轴上，什么坐标为零？横坐标为零，因此它坐标坐标是零斗井 零到五，可以看作由直线 y 等于负六， x 往哪平移上 平移几个单位？五个单位，而一次函数 y 等于负六， x 减五，以 y 轴的焦点坐标 i 等于零，零到负五，可以看作由直线 y 等于负六， x 往哪平移？往下平移几个单位？五个单位。哎，五个单位。 这样的话，我们联想到上面的结果，我们就得出以下结论，一次函数的图像是一条直线，第二个记笔记啊， y 等于 k x 加 b， 以 y 等于 k x 互相平行， 也就是说谁决定了两条直线平行 a， 因此 k 高中把它叫什么东西？叫斜率， 什么叫斜率？你们知道有什么分率，有利率，有这个带率的斜率就是反映的直线的什么程度，倾斜程度，数率，这些都是这特点。 那么也就是说 y 等于 k， x 加 b， 可以 看作由直线正比例函数记笔记。李正达的同学， y 等于 k， x 平移得到 b 大 于零，向上平移， b 小 于零，向下平移。 哎呀，今天满分多啊，满分二十五人，五十七分，二十二人。五十七分的二十二人有，陈子睿、宠佳旭、范玮涵、李格雅、李笑、刘文一、 曲美琳、任恒瑞。任恒瑞的成绩波动太大啊，就要调整一下。孙浩哲、孙惠博、王熙迪、王子涵、魏元素、徐浩哲、许博涵、张一宁、张雨涵、章子瑞、赵俊怡、朱崇 伟、朱启腾。满分的二十五人，他们是，陈世轩、江志轩、 李成泽、李天意、李亦涵、李正达、任存义、陆雨瑞、马华天、随一飞、田石林、王涵、王嘉瑞、王英周、王月为、吴越寻、李玉明、刘月权与善交流、麦瑞、 张百越、张韩宇、张家赫、张佩恩、张展硕、 张子文，你没教啊，以后你来早点啊，子文啊，来早点啊。好，这就是这样的一个推推向， 也就是说，一次函数的图像完全可以用跟它特殊的 b 等于零的正比例函数平移得到 b 大 于零，沿着 y 轴的正方向往上走， b 小 于零，沿着 y 轴的负方向往下走啊。平移， 那我们知道你正比例函数可以找两点， 哪两点？零零和啥？一 k， 那 反到这个 y 等于 k， x 加 b， 你 们也找两点，你们认为哪两点画图简单， 一定跟坐标轴的交点。一个就是 x 等于零， y 得 b， 也就是说你的零勾 b， 一个就是 y 等于零， x 得几， y 的 零， x 等于负 k 分 之 b 负零。记完了吧？好，这个就是刚才的总结，你刚才记的位置这呢这呢？没记完，在这呢啊，就是这个位置 是吧？就这这个位置跟刚才文字不一样，就可以做。做过总结啊。那么第一个就是一次函数图像的画法，采用两点法，请记笔记。两点法画一次函数图像， 零逗币。背熟啊，背熟。这两点一定要和坐标轴的焦点再次强调一下啊，打到坐标轴上简单，因为落在坐标轴上就有一个另外的坐标为零，你落在 x 轴上，谁坐标为零？ 重坐标为零。那你落在重坐标上什么坐标为零？横坐标为零。哎，有一个是零，一定有一个是零，这叫两点法化函数图形。 第二个你看刚才我们研究研究 y 等于 k， i 加 b， 就 y 等于负六 x 加五和负六 x 减五和负六 x 的， 我们用什么方法？你看记得笔记第一条 用什么法，你总结出三三个字，什么法啊？大于零往上平移，小于零往，哎，用，我可以用平移法。第二方法，平移法画一次函数图像从来都是有两种方法， 因此刚才记的笔记，你可以把它标上。平移法，画一次函数图像 记下来。龚耀德， 来，下一个，记下没？没有啊，两点法，零逗币和负配分之 b 逗零两点法。 第二个，张一宁记下没啊？加同学，记笔记速度快点啊，让你记啥，快，抓紧记。 第二种方法，平移法，只记三个字就行了，你记完了，刚才笔记的第一条就是 b 大 a 零沿 y 轴正方向往上平移， b 小 a 零往 y 轴的负方向往下平移。平移法， 因此画一次函数的图像方法有两种，另一种是两点法，这个通用 共用。第二个，已知跟他对应的正比例函数图像，你可以完全采用平移法，就做平行线往上推是吧？哎，往上推平移法只记三个字啊，千万不要记，都记过了。好了，那我们来研究图像呗， 大家拿出超高纸，你们也画一下， y 等于二， x 减一和 y 等于负零点五， x 加一，那我建议你用什么两点法？例如这个你只需要找两点，一个就是零斗几， 一个就是几斗零， 二分之一斗零，那这个一个就是零斗几 零到一，一个就是几到零啊，这都是初一下一元式方程没学好的产物 是不？哎，这不是剩八百块钱，就是一千天前，这没学好。 来，那么你们画呗，画这两个图像，你们看看是不是这样画的，这你们看一下 是吧？ 来看一下这两个函数图像的特点， 你看一下绿色的线 y 随着 s 的 增大而增大，对吗？蓝色的线 y 随着增大而干嘛减小？因此 k 不 但决定了斜率，还决定了什么 直线或函数的什么增减性，是吧？哎，增减性，绿色的线 k 等于负零点五小于零。 第二个知识点，探讨一下一次函数的性质。我们画出 y 等于 x 加二和 y 等于负， x 加二来看它们正负性， 那么 y 等于 x 加二，只需要走零到二和负二到零这个点 y 等于负， x 加二的。蓝色的线 y 等于 x 加二的。观察一下红色的线 y 随着 x 增大而增大，蓝色的线 y 随着增大而减小，减小， 然后有几个符号希望大家掌握，来看一下， k 大 于零， b 大 于零，落在。

八下数学最难的一次函数十六大题型，寒假吃透逆袭班级前三！八下数学寒假预习一次函数十六大必考点及例题。考点一，一次函数的概念。 考点二，判断一次函数的图像。考点三，根据一次函数的性质求参数。考点五，确定一次函数经过的象限 考点七，根据一次函数的性质比较函数数值大小。考点八，根据一次函数的性质比较自变量大小。考点十一、一次函数的平移完整版分享！

我在画他的图像的时候，你选择的点是什么啊？就是格点，就是具体的你会选哪些点？零 零， x 的 零， y 的 零，就是延点啊，零零，还有还有一负二，一负二，请坐，这是一个什么函数？整个平方，那我们说正义函数一定画哪个点？原因， 如果我告诉你，将直线 y 等于 x 向下平两单位，问，此时得到的直线是什么呢？因为什么？大家真快啊！ y 等于 x， x 加二。 在学生解决问题的过程中，建立了解析式与图像的双向连接，既是巩固，也是目标检测。 在提出问题，接下来我们来探讨哪种情况呢？将课堂的主动权交给学生的同时，引导学生从特殊到一般探索路径的思考，请看课堂实录。 现在，请大家在我们刚才的坐标系中再画出一个函数的图像，这两个函数的解析式要求是，注意，要与 y 等于二， x 加一的 k 不 相同， b 相同， 这个是 y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一，这个是 y 等于二， x 加一和 y 等于 x 加一。 来，大家看看你有什么发现？你发现了什么？发现了什么？还有谁来？你来说，他们都交于 y 轴上的同一点，那为什么呢？因为他们的，他们的。呃，陛下， b 相同，那 b 相同，为什么它就交在 y 手上同一点呢？当 x 等于零的时候，它们 y 值相同，也就是说，这条直线它的 x 等于零的时候， 万是一， y 等于 b， 那 他也过零等于零一，所以他们交于 y 轴同一点。好，请坐，大家发现都是这个吗？好啊，那也就是当 k 不 相同， b 相同时， 这两条直接什么关系？相交相交，交于灵璧交于灵璧，灵璧。 通过不断追问为什么激发学生思考，培养学生思维的严谨性，在迁移与提升环节中设置了应用图像解决问题的严谨性，从形到数，实现了数形结合的闭环探究。请看课堂实录。 就是我们刚才得到一个结论，就是呃两个一次函数它的 b 相等，那么它们两个就交于呃 y 的 一点上，所以我们可以看到呃它这个 p 是 在这个 y 轴上的， 所以我们就可以得到它们两个的 b 是 相等的，也就是说这个负 m 就 等于 m 减四，然后列出这个方程之后，解方程就可以得到 m 等于二。好，请回。 在小节中，从单元的角度出发，在学生学什么，怎么学，为什么学这几方面进行了知识与思想方法的总结，让同学通过本节课的学习，能够掌握研究函数的一般思路和基本方法。请看课堂实录。 那么今天这节课的学习，你有怎样的收获呢？怎样收获？ 来，你来说。通过这节课的学习，我知道了一次函数的图像是一条直线，然后并学习了它的证明方法。还有，当呃一次函数 k 相同， b 不 同， k 不 同， b 相同时，他们两个图像的位置关系好。请坐。亲爱的，您还有想说的吗？ 嗯，来，你来说。嗯，我们改学到了如何改进画一次图像的方法，我们从我一开始的五点法改进到了现在的两点法。 请坐。刚才这两名同学呢，分别从知识内容和解决问题的方法上总结了本节课他们各自的收获。那么今天这节课呢，我们再一次从解析式表格图像，也就是式数 行三个方面学习了一次函数，再一次感受了一次函数所刻画的变化规律。 那么今后我们再学习函数的时候，比如后期我们要学二次函数、反比函数，高中之后我们要学指数函数、对数函数、 b 函数等等。这些函数的时候， 我们其实仍然会从解析式表格图像这三个方面共同来体会函数所刻画的变化规律。那么函数作为一种解决生活中。

八下数学最难的十二大压轴题全部吃透，稳进班级前三！八下数学一次函数十二类压轴题题型一，两个一次函数图像共存问题 题型三，一次函数与三角形全等问题题型四，一次函数与三角形存在问题 题型五，一次函数中折叠问题题型六，利用一次函数解决分配方案问题 题型八，利用一次函数解决行程问题。完整版分享！

四个情境，那么学生通过四个情境的能够啊，具体的体会出在一个变化过程中， 两个变量之间的依赖关系，同时呢，能够概括出变量和常量的相关概念。 那么了解了变量和常量概念之后啊，紧接着我们进行了任务二，探索变量间的依赖关系，这也是本节课的一个难点， 那么对于这个难点的突破呢，我采用视频加数据矩阵化单值对应，通过加油机视频的直观演示，结合具体的数据举例，将抽象的单值对应转化为看得见算得出的实力， 有效突破教学难点。5。 在了解完两个变量间的遗传关系之后呢，为了强化学生 对这一概念的理解呢，我设置了化学课的实践，我选用了人教版物理啊，八年级物理教材的一个关于重力。