六年级下册数学，圆周率的做法

从一根圆柱形木料的顶部挖去一块圆锥形木料，剩下木料的体积是原来圆柱形木料体积的几分之几。我们先来分析一下，它要求的是剩下木料体积占 原来圆柱形木料体积的几分之几，那我们肯定要分别求出圆锥形的体积和这个圆柱的体积， 那我们要算他们俩的体积，肯定就要知道他们俩的底面积和他们的高，那我们来观察一下，首先底面积，圆柱跟圆锥的底面积都是相等的，所以应该是一比一， 然后高的话，圆锥是六厘米，圆柱是九厘米，那他们俩高的比就是六比九。 那现在我们先来看圆锥底面积是一，高是六，那他的体积就等于三分之一乘一乘六也就是等于二，那圆柱的体积应该是等于一乘九， 等于九，那现在圆锥的体积是两份，圆柱的体积是九份，那这个阴影部分的体积就是九。减去二等于七份， 那么阴影部分的体积是七份，圆柱是九份，那么这里就是占圆柱的九分之七，你学会了吗？

狗蛋做晚了几个援助，这时材料店的派老板跑了过来， 喂，臭小子，你们付钱了没啊？原来大大咧咧的李狗蛋没结账，挺好，我们店材料按面积收费，每派平方厘米收费十元，赶紧付钱。这下尴尬了，狗蛋完全没注意自己用了多少面积的材料，看来只好乖乖求出这些援助所有表面的面积了，也就是援助的表面积， 一起来帮帮狗蛋吧！ 想求圆柱的表面积，我们就得搞清楚一共是求哪些面积。你觉得圆柱的表面积等于下面哪个算式呢？ 选 b， 像表面积就得算上所有表面，除了显而易见的侧面和上底面，还有一部分你可别忘记就是藏起来的下底面。 所以圆柱的表面积就等于圆柱侧面的面积加上两个底面积。 不过这么长的一串字，是不是看着心烦意乱呀？哎，是时候让简化表世界的大佬字母均登场了，表示面积可以用字母 s， 这里再外加一个字就能搞定，你可看？好喽，依次是表面积， s 表等于次面积， s 测加二 s 底， 是不是清爽无比？明确了？求啥？下一步，狗蛋就得按照设计图分别去求这两个部分了。我们先求两个底面积，二 s 底，也就是两个圆的面积，根据圆面积公式，你来算算，二 s 底等于多少呢？ 选 b， 这个不难算吧，一个圆也就是 s d 乘以 pi r 平方，那二 s d 呢？是二 pi r 平方，代入顶面半径 r 三厘米，得到二乘 pi 再乘三的平方，一共是十八 pi 平方厘米。 最后还剩一个障碍，有点麻烦，就是侧面积 s 测这个弯弯曲曲的面要怎么算面积吗？用公式好像没有哎，苦思冥想的狗蛋盯着制造设计图，突然小眼神犀利了起来，怎么忘了这一茬啊？侧面不就是长方形围起来的吗？ 面积肯定不变，再展开成长方形问题不就迎刃而解了？长方形面积好算吧，就是长乘宽。再看看整个展开的过程，这个长方形的长乘宽对应到圆柱上，其实就是谁乘谁呢？ 雪碧做错的同学你也别灰心，我们再强调一遍，展开后的宽和圆柱的高 h 一 样长，长呢，得和圆柱的底面周长相同，长短才能围成圆柱，所以圆柱的侧面积等于底面周长乘高。 要是用字母均大写的 c 来表示底面周长，就能得到 s 测等于 c h。 现在你来求一下 s 测是多少呢？ 选 a， 我 们知道底面是个圆，周长 c 就 等于二 pi r， 再入到 s 测呢，就是二 pi r h， 再根据半径 r 三厘米和高 h 五厘米， s 测就很简单了。多少呀？二乘 pi 乘三乘五，三十 pi 平方厘米。 另外二 s d 早就有了，等于二 pi r 平方是十八 pi 方厘米。所以圆柱的表面积 s 表的公式就是 s 测。二 pi r h 加上二 s d， 二 pi r 的 平方在这里一共是三十 pi 加上十八 pi， 四十八 pi 平方厘米。 知道了如何求圆柱的表面积，狗蛋很快算清了材料费，但好不容易攒下的压岁钱也就一下子就花完了。总结一下吧。首先我们明确了圆柱的表面积 s 表等于侧面记 s 测加上两个底面积二 s 底， 其中二 s 底等于二 pi r 平方。 s 测呢，根据侧面展开图，等于底面周长 c 乘高 h， 也就是二 pi r h， 所以 s 表等于二倍 r h 加上二倍 r 平方，你学会了吗？

这款呢，可以说是创下了我们直播间的奇迹，高质量低价格，样样都超级拿得出手。

今天我们讲切圆柱怎样切？竖着切，怎样竖着切？沿直径， 沿底面直径竖着切，所以这种切法是沿直径切， 沿直径切的时候你会发现什么？切开一定会多两个切面， 沿直径切的时候，这个切面是什么形状？是长方形， 几个这样的长方形，两个这样的长方形。那这个长方形跟圆柱有怎样的关系呢？我们来看这一条边，就是圆柱的底面直径， 长方形的这一条边就是圆柱的高，所以我们这个长方形，它的面积就是直径成高。 你们说切开了表面积就增加了六十平方厘米。六十指，谁指这两个切面加起来等于六十平方厘米， 这两个切面的大小是完全一样的，那现在我们是不是就可以得到一个？就是谁三十，所以这个直径乘高就等于三十。 直径跟高谁知道条件有？直径是三米，所以这个直径等于三米， 现在我知道这三米，那我可以求出谁，就可以求出高了。直径跟高都有这道题目，我们要求的是谁？求的是圆柱的体积，圆柱的体积公式等于什么？ 比 a 级乘高等 k 二平方 h， 那 现在高也可以求出直径， 知道那半径就知道，那我们体积就很容易知道。所以我们第一先求高， 两个面合起来是六十，所以六十。首先除以二，已知直径是三，那除以三就会得到它的高十一。然后再根据体积公式， 半径是三，除以二的平方乘三点一四，再乘它的高度是十，结果等于 七十点六立方厘米，所以圆柱的体积是七十点六立方厘米。

今天我们讲剪裁圆柱一个长方形的体型，如下图这样剪裁，然后拼成一个圆柱，求圆柱的表面积。从这幅图上这样剪裁以后，拼成的圆柱需要几块？需要三块，哪三块？ 这两个平面再加一个长方形的面，也就是它的侧边，这三块面积之额就是圆柱的表面积。 圆柱的表面积公式是 s 表，等于底面积乘二加侧面积， 底面积是派二的平方两个二，派二的平方加侧面积是底面周长乘高。来，我们通过这个图找到我们需要的条件，半径和高。 从这个图上我们可以看出来，十八点八四是这个长方形的长，也就是 底面周长。长方形的一条边做底面周长，那另一条边就做他的高，这两个能交换不能，只能这条边做底面周长，因为底面周长一定是直径的 三倍多，这一边不符合。好，我们接着看里面周长是十八点八四，那我们是不是就可以求出直径，就可以求出半径？好，这个解决了。来看长方形的宽是八分， 这长方形的宽包括这一部分是高，远处的高，那这一部分是什么？ 是不是就这一条，这一条就是什么直径？所以这个八是直径加高之后，那我们只要知道直径，就可以求出高矮。 因此我们先求直径，已知周长是十八点八四，那我们的直径就是 十八点八四，除以三点一四，结果等于六分。好，直径是六了，这里等于六，那我们现在可以求高高，就等于宽减去这个直径 两分。然后我们根据表面积公式来，直径六除以二的平方乘三点一四，两个乘二，加上 里面周长乘高，已知里面周长十八点八四，再乘这个高度是两分一。好，这里等于十八块， 加十二分，三十分等于九十四点二平方根， 这个圆柱的表面就是九十四点二平方根。这道题我们通过图形找到里面周长，找到直径，找到高就可以求出表面径。

今天讲一道切圆柱的综合题，也是大部分同学都未难的出错的一道题，看准。从图中我们可以看到一个圆柱用两种方式切开，第一种叫做什么？沿直径切， 第二种方式叫做平行于底面切， 不管怎样的切，只要一切开，它的表面积就会增加， 沿直径切的增加了两个什么样的面？长方形的面，一条边是直径，一条边是高，所以这两个面合起来，比如说 一百八十平方，所以这一百八十等于两个长方形的面，也就是直径层高再层高， 那我们就可以得到什么一个长方形的面就是多少，就是九十，所以这直径层高就是九十一个切面，那平行于底面切，它会增加这两面 两个什么币？两个底面，这两个底面合起来多少？五十六点五二， 所以两个底面等于五十六点五二，就等于底面积 s d 乘二。 好，题目要求的是谁？要求的是这个圆柱的表面积，我们知道圆柱的表面积公式是什么？ s 点等于 s， 底乘二加 s 侧。 现在我们两个底面积已经知道是多少？五十六点五啊，所以这一个 知知道现在要求的就是测面积。测面积的公式是什么？是底面周长乘高。 题目里有底面周长吗？有高吗？都没有。那我接着往下测面积还等于什么？还等于太 d h a 太 d h， 看看这里有个什么 d h。 直径乘高就等于多少？九十，所以这里就等于九十。那么九十乘二 是不是就得到侧面进 a？ 这题的最大的一个难题我们就突破了来，所以我们首先第一步就侧面进 九十，怎么来两个前面一个八十，一百八十除以二，得了一个前面也就是直线层高的层积，再乘三点一十， 结果等于九十块二百八十二点六平方零，这得到测面积，我们接着求表面积， 两个里面的面积是五十六点五啊，我们不需要求一个了，直接两个加上二百八十二点六，结果等于三百三十九点一，二平方等于三百三十九点两。 这道题我们通过分析两种七跟表面积的关系，找到了直径与高的乘积，就是九十，那它两个乘以三等于十，就得侧面积，接着就可以求出 表面积，你明白了吗？

ok， 同学们好，今天我们来梳理六年级数学下册第五单元的核心知识点。那第一课就是什么是歌潮原理？让我们来看一个最简单的例子，把四支笔放进三个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有两支铅笔。 把五支铅笔放进四个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒至少有两只铅笔。把六支铅笔放进五个笔筒里呢？结果也是一样的，你发现规律了吗？当物体数比歌巢数多一时，不管怎么放，总有一个歌巢里至少有两个物体 分。一般的原理是，如果物体数除以个巢数有余数，那么总有一个个巢里至少有括号商家。一个物体二，关键词的理解 总有意思是一定有，肯定存在，没有例外，至少意思是最少可能比这个数多，但绝对不会比这个数少。 第二课，如何运用鸽巢原理解析呢？首先第一步，识别鸽巢和物体，这是最关键的一步，你要读懂题目，弄清楚谁是鸽子，就是要被分配的东西，谁是巢分配去的地方。 首先我们来看这个例题，例题一，十三个同学中至少有几个人的生日在同一个月呢？分析一下，物体是十三个同学，歌巢是十二个月份，我们要把同学分配到月份里去计算，十三除以十二等于一于一。 结论，一加一等于二，所以至少有两个人的生日在同一个月。那例题二呢？大家课下自己去看哦！ 解题公式，至少数就等于商加一，这里的商是物体数除以割草数得到的商。第三课，逆向思维的应用，有时候题目会反过来问，需要我们求物体数至少是多少？来看一下这个例题啊。 在一个袋子里有红黄蓝三种颜色的袜子，各十只，不分左右，至少拿多少只才能保证有两只颜色相同的袜子呢？ 这里要保证一定有两个颜色相同，也就是要构造一个割潮。最坏的情况，也就是最不利的情况是，我们每种颜色各拿一只，共拿三只，颜色都不同，这时再随便拿一只，无论什么颜色，都会和之前拿的某一种颜色相同。 计算割巢数，也就是颜色数是三。最快的情况是每个割巢里先放一个三只，至少要保证有一个割巢，有两个就需要再拿一个，所以是三乘一加一等于四只，所以至少得拿出四只。 总结一下规律啊，也是逆向问题，至少保证的数就等于 k， 那 么物体数至少就等于割巢数乘以一个括号， k 减一再加一。 最后老师来总结一下这个单元呢，要掌握以下三点理解原理，牢牢记住，物体数比歌巢数多，总有一个歌巢，至少有括号，商家一个物体。二、找准歌巢。解题的第一步永远是正确区分题目中的物体和歌巢， 是同一个月还是同一个生肖，是同一种颜色还是同一个抽屉。三、运用最不利的原则在解决，保证没问题时，要思考运气最差、最高糟、最糟糕的情况是什么，在这个基础上再加一，就能保证结果成立。 最后呢，老师给你们留了两个练习题，大家可可一定要记得做哦，没有的要去找老师要。好了，今天就先到这里了，我们下期见，拜拜！

今天让我们来做这道题。首先我们先来读题，在一个高为十厘米，底面直径为两厘米的圆柱捆成一捆，将一用一张纸将这捆圆柱的侧面 包起来，纸要绷紧，此时的剪面如图所示，至少需要多少平方厘米的纸？ 那我们再来看这是一道圆和圆柱的常考题。我们来看如果这道题是一道关于圆的题目，那他就是问的这条绳子的长度。如果我们 比如这道题是三个圆柱的话，那他求的就是包起来的这张纸的面积了。我们来分析一下这张纸，这张纸展开是一个长方形， 我们知道它的宽，也就是这个圆柱的高，但是我们不知道它的长，就没有办法求出来至少需要多少平方厘米的纸。那我们来分析一下这个结面， 它是由三条直边和三个区边组成。我们来看一下三条直边，三条直边就相当于三个圆柱，三个圆柱的底面周长，我们用 二乘以三，也就等于六，单位是厘米。 我们再来看三条区边，这三条区边正好就是一个圆柱底面周长的三分之一，那有三个的话，我们就用三分之一乘以三，也就等于一，也就等于一个圆柱底面周长。圆柱底面的周长，我们用 二乘以三点一四，等于六点二八厘米。 我们知道了三条直边的长度是六厘米，三条区边的长度是六点二八厘米，我们再把它相加，这个就是 侧面展开图的长，六点二八加上六，这里就是这个 侧面的长，我们扩起来再乘以宽，也就是十六点二八加上六等于十二点二八乘以十等于一百二十二点八平方厘米， 所以至少需要一百二十二点八平方厘米的纸。那我们最后总结一下要点，做这种题目的时候， 先来看观察这一个图，这一这一个结面的图有几个圆柱，那么他就有几个圆柱底面的直径， 再加上一个圆柱底面的周长。最后再进行计算。答， 至少需要 一百二十二点八平方厘米的纸。 答，至少需要一百二十二点八平方厘米的纸。

今天讲剪裁圆柱，将一根长方形的铁皮这样裁剪以后就拼成了一个圆柱，求这个圆柱的表面积， 这个长方形这样裁，怎样拼成圆柱？拼成圆柱需要几块？哪几块在哪里？ 我们知道圆柱的表面积需要两个底面，两个圆，再需要一个侧面，侧面展开是一个什么长方形，所以在这个裁剪过程中，他需要这样的几块， 这两个圆，还有这个长方形，所以这是它的两个顶点，这是它的侧面， 这三个部分的面积合起来就是这个圆做的表面积。那现在只有一个条件，八分，八分米是这个长方形的宽还是什么？ 还是这两个圆的直径之和，所以它是两个直径，那一个直径就会是几，就会是四。好，接着再看 直径，知道了，我们两个底面就可以知道了，对不对？那现在这个长方形是它的侧面积，侧面积的长一条边是它的底面，中长一条边是它的高， 你确定只能这样吗？可不可以交换过来？这边是高，这边是底面周长，不可以，为什么不可以？我们知道底面周长等于 pi d， 也就是说 周长是直径的三倍多，所以这个长度应该是相当于三个直径多一点。 这个长度有三个直径吗？没有，他只有几个两个直径，所以以这条边来卷是围不成这个圆柱的，所以只能是这里高，这里底面周长。那现在这里是高的话， 说明高就是八分，那直径有了底面周长就可以求出来。那现在我们要求这个圆柱的表面积。 圆柱的表面积等于什么？等于底面积乘二两个加侧面积， 侧面积等于什么？侧面积等于底面周长乘高也等于 pi d h。 来我们代入条件计算， 先求直径等于八除以二等于四分，那么它的高也等于八分。 好，直径四除以二的平方乘三点，一次一个底面，再乘二两个底面，再加上侧面积，底面周长二 d， 那 就四乘三点，一次底面周长乘高八。结果这里等 八派加三十二派，结果等于四十派，那他的表面积就是一百二十五点六平方分。 这个圆柱的表面积是一百二十五点六平方分。这一道题只有一个条件， 我们用这一个条件找出直径，找出高，就可以求出表面积。

六年级下册数学学习圆柱需要用到圆柱三合一演示器，我们先把它打开，组装成一个圆柱，用皮筋做固定，用长方形的表面基纸包住，圆柱用胶带固定好。 还有上下两个底面积，圆柱是由三个面围成的，圆柱上下两个面叫做底面，圆柱周围的面上下底面除外叫做侧面。圆柱的两个底之间的距离叫做高。从上图我们可以看到， 圆柱的表面积等于圆柱的侧面积，加两个底面积的面积。打开这个圆柱的表面积，得到的是两个圆形，一个长方形，所以圆柱的表面积是侧面积，加两个底面积与教材同步。

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今天我分享一道常考易错的有关圆柱测面积的问题，我们一起看题。如图，一根高是底面直径三倍的圆木，截去一分米后，测面积减少了六点二八平方分米，这根圆木现在的测面积是多少？ 那么我们通过读题，我们观察这个图形，这一根原木原来的高度，这是原来的高度，那么这是截去的一分米，那么这是现在的高度。 截取一分米后，我们知道截取一分米后，它的上下底面没有发生改变，因为原来这个圆柱是由两个底面一个侧面构成，截取一分米后，现在它还是两个底面，但是它减少的面积就是这一个。截取着一分米这个圆柱的侧面积， 那么这个突破口就是减少的六点二八平方分米。我们知道圆柱的侧面积就是底面周长乘以高，它就等于六点二八， 那么现在高是以分米，那么我们能求出截取这个以分米，这个圆柱的底面周长 c， 它就等于侧面积。除以它的高就等于六点二八。除以一，它就等于六点二八分米。 这个圆柱的底面周长是六点二八分米，那么再看其中的第一个条件，高是底面直径的三倍，那么要想求高，我们首先要求出这个圆柱底面圆的直径，那现在有底面周长，我们知道底面周长 c， 它就等于派 d， 那么我们现在求 d， 它就等于 c， 除以 pi， 那 么就等于六点二八。除以三点一四。我们求出这个直径 d， 它就等于二分米， 那么直径是二分米，那么高是底面直径的三倍，我们竟然能求出原来的高， 原来的 h， 它就等于二乘以三等于六分米，原来的高是六分米。截去了一分米后，我们进而能求出现在的高， 那就是六减一就等于五分米。现在的高有，它求的是现在的测面积是多少。那么现在的测面积 s 测就等于底面周长，六点二八 就等于 c， h 就 等于六点二八乘以现在的高度五，它就等于三十一点四平方分米。 这个题的突破口就在于，我们先有减少的侧面积，找着底面周长，有底面周长，我们进而求出底面圆的直径。 有底面圆的直径，我们进而又求出这个圆柱原来的高，用原来的高进而求出现在的高。然后就突破了这个题的难点，把这个题收藏起来，让孩子们试一试。