数学分析图怎么画四年级下册

同学们，今天我们讲鞋面上禁止木块的受力分析啊，根据我们的受力分析四步法，我们一要明确研究对象，鞋面上禁止的木块 啊，禁止的木块受力分析，所以研究对象是什么？是木块。第二，找接触点啊，木块和鞋面啊有个接触面好。三、按顺序画力。一、重力啊，重力竖直向下记啊。 二、弹力啊，鞋面垂直于鞋面，接触面有弹力啊。 三、摩擦力，像这个木块在鞋面它有个向下滑动的趋势，所以它会就有一个向上向方向滑动方向相反的一个近摩擦力， 记住静止啊，静止就说明它受力平衡。第四点，液震状态啊， 小木块，小木块禁止受力平和。那我们看一下这个受力画的对不对，对的是吧，这样画绝对没有问题，绝对不会丢分的。

在这个视频里，我要跟你讲讲和过去、现在、将来有关的年龄问题。先看一个例子吧，兄弟俩现在一共二十四岁，当哥哥像弟弟这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的三倍。要你求他俩现在各自多大， 画图看一看，一定先画倍数，哥哥是弟弟的三倍，所以把弟弟画成一份，那哥哥就是三份。 注意，这幅图画的是当哥哥像弟弟现在这么大时，也就是过去的时候，那他俩现在该怎么画呢？ 想一想，这句话里的哥哥是指过去的哥哥，他和现在的弟弟一样大，那现在的弟弟就是这样，也是三份。那现在的哥哥怎么画呢？记出年龄差不变这个法宝吧。过去哥哥比弟弟多两份，所以现在哥哥也得比弟弟多两份，因此是五份。 分数都标完了，找找对应的数量吧。兄弟俩现在一共是二十四岁，那就是这两段一共二十四，对应三加五正好是八份，所以一份就等于二十四，除以八得三， 于是现在的哥哥就是三五十五岁，而弟弟则是三三得九岁，这就做完了。 看来，解决这类问题，画线段图时，需要把不同的时间分开画，像多层蛋糕一样落起来，你可以管它叫蛋糕图，有了蛋糕图，咱还能解决涉及三个时间的题目呢。比如小金鱼跟妈妈说，老妈，我长到像您现在这么大时，您就二十八岁了。 金鱼妈妈说，我像你这么大时，你还只有一岁呢。你知道金鱼妈妈现在多少岁吗？ 想一想，这涉及到小金鱼长大后，也就是将来，以及小金鱼妈妈小时候，也就是过去，另外还有现在，总共三个时间，那就得分别画出这三个时间里他俩的线段图，没有倍数关系。那咱就画现在呗，随便画两段就好。注意，金鱼妈妈得比小金鱼长， 将来的小金鱼得和现在的妈妈一样大，那就是这么长，而妈妈也得跟着长大，还是比小金鱼大这么多。此时的金鱼妈妈已经是二十八岁了。 另外过去的妈妈得和现在的小金鱼一样大，那就是这么长，而小金鱼也得跟着缩小，还是比妈妈小这么多。根据题，此时的小金鱼才一岁， 图画完了，咱来比一比。一岁和二十八岁相差这么多，也就是二十七岁。如果把这个蛋糕切一切，竖着同一排的，每段都一样多，这样就能轻松看出这里其实是三个年龄差，所以一个年龄差就是二十七除以三等于九岁。 那要算妈妈现在的年龄，只要用一岁加上两个年龄差就行了，算一算得十九岁 以上，就是涉及过去、现在、将来的年龄问题。解决这类问题，就要画出蛋糕图，有时还得把蛋糕切开，数量关系才能更明显。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就赶快去做题抢金币吧！

这题期末必考。一个数加上三，我们用一个方框表示这个数，让他加三就等于一个新数又减去五，那就让这个新数减五， 又得出一个新数，乘四，就在乘上四还是一个新数，最后除以六得十六， 那就再除以六，最后的得数就是十六。三角除以六等于十六，所以十六乘以六就等于三角，得出三角等于九十六。同理，三角除以四得出梯形等于二十四。 梯形加五得出圆形等于二十九。圆形减三得出方框等于二十六，这就是最终答案。

每天每一道新式数学题，今天我们来讲观察物体二，先来看你们考试里面都会出重体，重体是什么呢？就是他会给你一个图形，然后他是几个面，让我来拼出这个图形，那考试也不能给拼了，人家就说这个图形可能是以前以下的几个图形，然后出一个立体图形，然后考试 给你，我给你考这种题，那咱们来，那咱们来看一下啊，这个，这个是图形的正面，这个是在右边这个图形上面，那我应该我们这种图形最简单的方法是什么？就动手直接拼，好吧？来，我拿过来了一堆，拿，拿过来了一堆积木来看，他上面就是说 一些方块，它上面说这前正面是这，对吧？然后呢？那你看这正面就是这个，他说右面是这样子，右面是这样子，对吧？那既然右面这样，他说上面是这样的，上面是从上面看上面是这样子吗？ 嗯，那是不就挺好的，对吧？啊？所以这个这个问题看起来很简单的，因为我出了个最基础的问题，我在考试里面，然后可不能让考儿，可不会让你录取进到考试里面，我们应该怎么办呢？没事，我们直接在，我们就在考总结，在我们觉得可以，我就有两种方法，那个如果 你脑，如果你脑思维不强的话，那你就直接在一张纸上画，具体怎么画呢？咱们来看，然后正面是正面，这个你就要画个立体立体图形就行了，画 个立体图形，如果你脑思维强的话，你可以不用浪费时间画，你直接在脑子里构思出来，然后正面是这个，然后那右面是这个连，在脑子里构思出来就能构思出来，那构思不出来就按我刚才说的，你画个立体图形吗？你就画，你就画个立体图形吗？ 对吧？你就画，你就直接画个立体图形就行。立体图形还画不出来，那你干脆，那你干脆你就自己能理解的方式给他画，给他把每一步给画出来就行， 懂吗？那理解不了吗？那我来看他，既然这就这又，那我来简单画一下啊。他既然他就是这证明，那咱们咱们直接画吧，咱们直接画证明， ok 了，那我们如果画不了的话，那它右面，那我们直接这样子照着画嘛， 对吧？啊？那我们直接画，把它这个图形画，我们，我们直接照着它这个图形看嘛。完了，这个这个图形有点特， 这个这个图，这个图形有点特别，这个图形不一样的啊，然后呢？这个图有点特别，那我们就照这个图形看吧。你看，然后你看这个是一个图形的右面，对吧？我们来看他正面，他是不是这个图案，这个图案是不是就像这个一样，对吧？ 那来看他上面，上面我们录的这种图案，是不是还能看到两个图案？像这个一样，对吧？你直接看一下就行，你再看一下，我脑子也不强了，他是不是有点费时间的？我今天照的字，你听懂了吗？

自由分区的四象限图，先插入一个空白的散点 图，右键添加选择数据，添加 s 轴和 y 轴的内容，删除网格线， 确定好 h 轴和 y 轴的最大跟最小值，比如这里最大的整数是一百，最大的百分数也是百分之一百。确定好最大的边界值之后， 根据自己的需要画四个色块，比如我要根据二八定律去划分的，那么我就需要设置四个色块，分别是二乘以八、八乘以八，二乘以二、八乘以二的。

四年级下册相遇问题要练，追集问题要练，火车过桥问题要练，鸡兔同笼问题要练。下册数学应用题难度直线增加。如果开学你能让孩子每天练一页带画图解析的应用题，新学期你就会知道他的数学思维有多好。就是这本带解析技巧的思维应用题，完全同步下册课本，每一类题都有母题精讲， 引导孩子用画图法和公式法把抽象的问题变得直观好理解，掌握答题技巧，学完再做，强化练题，让孩子学会一道题就会一类题，每一道题都用画图法理解分析，并用彩色字体标注好了关键信息， 帮助孩子快速审题，轻松找到答题思路，内容精准覆盖四年级应用题核心重难点，附赠一本重点计算专项。开学每天坚持练一夜，新学期数学越学越自信！

乘法分配律，好多同学都觉得它难，其实我发现用黑板上的两个长方形，就能把它的原理和应用讲得清清楚楚，保证大家一听就懂。大家看黑板，这里有两个紧紧挨在一起的长方形， 它们的高度都是一样的，都是 a。 左边这个图一，它的宽度是 c。 第一题，图一和图二的面积是多少？第一个问题来了，这两个长方形拼在一起一共有多大呢？我有两种办法算。办法一，分开算，先算图一的面积，图一的面积就是 a 乘以 b， 然后再算图二的面积，图二的面积等于 a 乘以 c， 最后再把它们加起来， a 乘以 b 加上 a 乘以 c。 方法二，合并算。我们把这两个长方形看成一个大大的长方形， 这个大长方形的高度还是 a， 但是它的宽度却变成了 b 加 c 的 和。 你看，这两种办法算的都是同一个面积，所以它们肯定是相等的。 a 乘以 b 加上 a 乘以 c 等于 a 乘以 b 加 c 的 和。这就是乘法分配律的加法版，是不是超简单？第二题，图一比图二的面积大多少？ 同样，我也有两种办法，办法一，分开算，用图一的面积减去图二的面积， a 乘以 b 减去 a 乘以 c， 办法二，合并算。我们可以想象一下，从图一里挖掉一块和图二一样的小长条，剩下的这一块，它的高度还是 a， 宽度就变成了 b 减 c， 所以 它的面积就是 a 乘以 b 减 c 的 差。 所以这两个式子也是相等的， a 乘以 b 减去 a 乘以 c 等于 a 乘以 b 减 c 的 差。 这就是乘法分配律的减法版，是不是也很容易？你看是不是算的又快又准？以后遇到类似的题目就可以。像我这样，先想想两个长方形的原理就通了。我们下次再见。拜拜。

来看这两个树状图，把树状图改写成综合算式。先来看第一个树状图，一百一十八减五十等于六十八，六十八乘十二等于 八百一十六，八百一十六除以三十四，结果等于二十四，然后再把这个树状图改写成综合算式。 树状图改写综合算式有两种方法，第一种方法，先列分布算式，然后再去列综合算式。第二种方法，也就是把这个树状图从上往下，从左往右的顺序定好数字的位置之后列出来，然后再加上括号。那我们用第一种方法 改写第一个数状图，计算出结果之后，先把每一步列成分布算式。那第一步算的是一百一十八减五十等于六十八。第二步算的是六十八乘十二等于八百一十六。 第三步算的是八百一十六除以三十四等于二十四，然后回忆分式。改写综合算式的方法，第一步先来找相同的数， 六十八和六十八是相同的数，八百一十六和八百一十六是相同的数。找到相同的数之后，消消乐式子换数，也就是用与这个数相等的 等号左边的这个式子，把这一个具体的数字给它换掉。首先来看六十八是相同的，把它们消掉之后，用与六十八相等的这个式子 替换掉。写到这里，那这时第二个算式就改写成了一百一十八减五十乘十二等于八百一十六。再来观察一百一十八减五十，他们是一个整体，他俩得出来的六十八如果不加括号的话， 五十就要先跟十二去相乘去计算了。所以所以我们列出式子之后，把是一个整体的这一部分加括号括起来，然后接着再来找八百一十六和八百一十六是相同的数字。同样的， 把第三个算式里面的八百一十六用我们改写出的这个式子替换掉，也就是一百一十八减五十的差乘十二，再除以三十四等于二十四来检验一下。 根据一百一十八减五十，我们得出了六十八，也就他俩是一个整体。那根据六十八乘十二，这是第二个式子吧。得出了八百一十六，得出了倍数数八百一十六，那这是一个整体。因为这个除法在后面 同级运算的话，从左往右依次计算，就不涉及加括号了啊。然后最后再除以三十四等于二十四。接着再来看第二个数状图。第一步，先算四百七十，加上一百三十等于六百， 这是第一步吧。第二步，六百除以八等于七十五。第三步，二十乘七十五等于一千五百，那算出每一步的结果之后，用第二个数状图的综合算式， 按照从上往下，从左往右的顺序，定好每一个数字的位置。什么意思呢？从上往下去看，然后水平方向的数字呢？从左往右去写，不能改变数字的顺序啊。最上面是四百七十，加上一百三十，那最上面的写完了，再往下边这一行又除以了八。 第二行写完了，在第三行在最左边添了个二十一个乘号，最后写好之后，再来加括号。 第一步算的是加法，所以我们要在加号这里加上小括号。第一步，先算加法，第二步算的是除法，那我们看算完加法之后，如果没有中括号的话，成和除是同级运算，需要从左往右依次计算。那要想先算除法，加完小括号之后，在除法这里还需要再加一个中括号。

电路分析每日一题，今天我们来讲第三十七题，用卡诺图化简逻辑函数 y 等于 ab 或 a 非 c 或 b 非 d， 以上 a、 b 非 c 非 d 或 a 非 c， d 或 b c， d 或 b、 c、 c 这道题目要求用卡诺图来化解函数，那在做卡诺图之前，我们首先要做的是，先 要先把这个函数啊的最小项先算出来，要先求函数为一的 最小象啊，那也就是，嗯，要求出它的这个啊， y 的 表达式当中的这个最小象啊。那么 y 呢，是这样的一个表达式，我们首先可以设一下 f 一 等于 a、 b 或上 a 非 c 或上 b 非 d 啊，那么 f 二 可以是 a、 b 非 c 非 d。 抄一遍啊，再或上 a 非 c、 d 或上 b、 c、 d 或上 b 非 c 啊，那么 y 呢，就是 f 一 再与上 f 二，对吧？那么呃，展开 展开乘法 y 呢，就等于 a、 b、 f 二，对吧？ f 一 嘛，展开再获上 a 非 c， f 二，再获上 b 非 d f 二啊，好，我们先来看一下第一个啊， a、 b、 f 二啊，第一个 a、 b、 f 二 展开啊，展开，首先 a、 b、 f 二是 a、 b、 c 非 d 啊，那第一个 a、 b 与上 a、 b 非 c 非 d， 那 因为等于零，为什么？因为 b、 b 非为零啊，所以说第一个为零。第二， a、 b 遇上 a 非 c、 d 对 吧啊， e 也为零，为什么？因为 a、 a 非为零，这里有 a、 a 非啊啊，第三个， 第三个 a、 b 与上 b、 c、 d 啊， a、 b、 c、 d 三个是 b、 c、 d 这一项嘛。啊，那就等于 a、 b、 c、 d 对 吧，这个是没问题。 b、 b 等于 b 嘛？ a、 b、 c、 d 第四个， 第四个 a、 b 遇上 b 非 c 啊，也为零，因为 b、 b 非等于零，对吧啊，所以说我们第一项 a、 b、 f 二就是 a、 b、 c、 d 啊，这第一项好。第二项， a 非 c、 f 二， a 非 c、 f 二，第一个同样也展开啊啊！ a 非 c， 再遇上 a、 b 非 c 非 d 为零，因为 a、 a 非等于零，对吧？ a、 a 非等于零，是第一项为零。好，再看第二项，再看第二项， a 非 c， 再遇上 a 非 c、 d 啊，那是什么？ a 非 a 非，那就是 a 非 c、 d， a 非 c、 d 啊。第三项， a 非 c， 再遇上 b、 c、 d 就是 a 非 b、 c、 d， a 非 b、 c、 d 啊，我们现在有可能是有包含的关系啊，我们先把它全部列出来啊。第四个，第四个， a 非 c、 f 二。最后一项是 b 非 c， 对 吧？啊，遇上 b 非 c， 那 就是 a 非 b 非 c 啊，所以说我们第二项 a 非 c、 f 二呢，就是 a 非 c、 d。 货上 a 非 b、 c、 d 在 货上 a 非 b 非 c 啊，这个是第二项。第二项，再看第三项，就是 b 非 d、 f 二，对吧？啊？接下来 b 非 d、 f 二啊，那么第一个 b 非 d 在 与 f 二 d 相是 a， b 非 c 非 d， 对 吧？抄上去， a、 b 非 c 非 d 等于 a， b 非 c 非 d 啊，这是第一项。第二项， b 非 d 遇上 a 非 c、 d， 那 等于什么？等于 a 非 b 非 c、 d 啊？第三项， b 非 d， 再遇上 b、 c、 d， 那 就是零，对吧？因为 b、 b 非等于零。第四项，第四项， b 非 d， 再遇上 b 非 c， 等于 b 非 c、 d 啊， b 非 c、 d， 所以 说我们最后 统计一下，它就是 b 非 d、 f 二呢，就是 a、 b 非 c。 呃， a、 b 非 c 非 d， 再或上 a 非 b 非 c、 d， 再画上 b 非 c、 d 啊，那么这样的话呢，我们就可以把 y 的 表达式呢全部写出来，对吧？啊，所以说 y 呢，我们先不管它是不是有这个包含的关系啊， a、 b、 c、 d， 这个是 a、 b、 f 二，对吧？再和上 a 非 c， d， 再和上 a 非 b， c、 d， 再和上 a 非 b 非 c， 再豁上 a， b 非 c 非 d， 再豁上 a 非 b 非 c， d， 再豁上， 再豁上 b 非 c， d， b 非 c、 d 啊，这个是全部的。这个呃， a、 b、 f 二 a， a 非 c， f 二和 b， d， b 非 d， f 二，那就是 y， 对 吧？ y， 好， 我们把每一项的这个所有的啊 m 的 表达式都写出来啊， a、 b、 c、 d 幺幺幺幺，对吧？ a 非 c、 d， 那 就是零幺幺幺，也有可能是 b， 没说啊，对不对？那就可有可能零零 幺幺啊，零零幺幺。第三个 a 非 b， c， d， a 非 b， c、 d 呢，是零幺幺幺， a 非 b， c 呢？ 零零幺零，还有零零幺幺，因为第一没说啊，第四个 还有一个是幺零零幺，对吧？ a， a、 b 非 c 非 d， 那 还有个 a 非 b 非 c， d 呢，是零零幺幺。呃， b 非 cd 是 幺零幺幺和零零幺幺啊，好，那么把它表达出来 多少 m 的 值是，这是十五，对吧？这个是七和三，这是七，这是二和三，这是九，这是三， 这是十一和三啊，那所以说我们综合出来 y 呢，就等于这个嘛， m 二三七九十一十五，对吧？这里有些重复的，那么我们呃，归总下，就是六项，所以说它的最小项呢，就是 m 二三七九十一十五。 好，那就是我们把它列一下啊，那就是 m 二就是零零幺幺。 m 三是 我们换一页啊，换一个。呃，草稿就是 m 二啊。上一，嗯，就是算出来 y 呢， 等于四个码 m 二三七九十一十五，对吧？啊，那所以说 m 呢？ m 二就是零零幺零， m 三呢是零零一一， m 七是零幺幺幺，还有 m 九是幺零零幺， m 十一是幺零幺幺， m 十五是幺幺幺幺啊，一共是六个元素啊，那我们这样的话，接下来画四变量的卡诺图， 对吧？四变量操作，那画的时候注意一下，四变量 ab 行的话是 ab 为呃，它的那个顺序零零零幺幺幺零列 c、 d 是 零零零幺幺幺零啊，好，那我们画出来 a、 b、 c、 d， 对 吧？零零零幺幺幺幺 零零零零零零幺幺幺幺零， 把卡通图画出来啊，好，然后，嗯，一个个看啊。首先 m 二是零零幺零，对吧？零零幺零，嗯， m 三零零幺 幺零零零幺零零，嗯， m 九幺零零幺幺零幺， m 十一幺零幺幺幺， m 十五幺幺幺幺 幺幺幺幺，那还有一个是，呃，零幺幺幺，对吧？零幺幺 m 七， 这里不对啊，错了，这个，这个是 m 七是零幺幺幺，对吧？零幺幺，不是零幺幺零啊，好，那么六个元素，其他都是为零零零零零零零零零零，好， 那么，呃，我们接下来根据卡诺图来确定一下。首先，首先我们是， 首先这肯定是一个，对吧？它，那么呃，红色 红色列，那肯定是 c、 d 是 一一 列固定，所以 c、 d 就是 啊， 所以这是 c、 d 啊。第二个，我们再看一下右上角，对吧？这肯定是啊， 这是一个啊， 右上角是 这什么？ ab 肯定是 a 非 b 非啊，对不对？那 c 的 话是一， d 的 话是零和一都行，对吧？那就是右上角，它是 a 非 a 非 b 非 c 啊，还有什么？还有这个没覆盖到，对吧？啊？换一个， 好，这是下方，下方的话是，呃，肯定是 a、 b 非，对吧？ a、 b 非。然后呢？这是 c 的 话，零和一都有 a b 非 d 啊，所以下方是 a b 非 d 啊，因为 c 零一都可以，所以说我们把它相加，根据卡洛图相加的所有的结果，所以说 y 呢，就等于 c d 再豁上 a 非 b 非 c， 再豁上 a b 非 d 啊，这就是我们啊，根据 呃他的这个卡诺图化简得出了最终的结果。所以说我们这道题目呢，利用卡诺图化简逻辑函数啊，他，首先你要把这个呃呃他的这个呃最小项啊算出来，就是呃一的最小项是 m 至 二三七九十一十五。然后呢，要根据他的这些元素来确定卡诺图的各个位置。零零零幺幺幺幺零，确定位置以后呢，我们再根据卡诺图来得出他的这个逻辑函数的一个化简的方式啊。好，这就是我们今天的题目。

大家好，我们一起来看看这道题。在一个雾霾天，狐狸、兔子和狗熊去卖口罩，狐狸说狗熊卖一元一个，我就卖四元一个， 狗熊卖两元一个，我就卖八元一个，狗熊卖三元一个，我就卖十二元一个。 兔子说我卖的价格是狐狸的一半，结果他们卖了相同数量的口罩，一共卖了二百一十元，那么狐狸卖了多少元呀？我们一起来看一看。狗熊， 狐狸，兔子 啊，狐狸说了，狗熊卖一元一个，我就卖四元一个，狗熊卖两元一个，我就卖八元一个， 狗熊卖三元一个，我就卖十二元一个八也是二的四倍，十二就是三的四倍，所以呢，狐狸卖的价格就是狗熊的四倍。兔子呢 卖的价格是狐狸的一半，看一看，狐狸卖的价格是狗熊的四倍，是狗熊卖的价格是三角。狐狸呢，一个三角，两个三角，三个三角，四个三角。 兔子呢是狐狸的一半，四个三角的一半就是多少啊？两个三角，结果他们三个卖的口罩的数量相等， 总共是卖了二百一十元。狗熊呢是一个三角，加上狐狸的四个三角，加上兔子的两个三角，总共就是二百一十元， 七个三角等于二百一十元，等号两边同时除以七，这边变成一，这里呢就是变成了三十，三角就等于三十元。狗熊他是卖了三十元 一个三角就是三十，三十，每个三角都是三十。 看看狗熊他是卖了三十元。狐狸呢，一个三十，两个三十，三个三十，四个三十四乘以三十等于多少呀？四 乘以三十等于一百二十元，狐狸是一百二十元， 六十元，三十加上一百二等于一百五十元，加上六十元，正好等于二百一十元。答， 狐狸卖了一百二十元，你是这样做的吗？

是爸爸买的正方体，没有磁性，一碰就容易倒。这是奶奶买的正方体，塑料的外壳容易摔坏，小朋友用起来还特别不安全。这是我妈妈给我买的升级版的彩色磁力正方体， 它是这种透明亚克力的材质，摔下去还不容易损坏，右面带磁性的设计，拿起来也不容易掉，可以动态还原课本上这些立体模型的拼搭过程， 看，第一排有六颗，第二排有四颗，把它们组合起来一共就是十颗，每一颗的六面都有不同的颜色，动动小手组合拼搭一下，可以让我们更加直观的观察物体的三式图。比如从前面看有四颗， 从上面看一共有七颗，从左面看很明显可以看出一共有四颗，他还是透明收纳盒的包装，带去学校也特别方便，还有配套的专项练习，用来巩固基础，全套一起可以一直用到小学毕业了。 这爸爸买的正方体，没有磁性，一碰就容易倒。这是奶奶买的正方体，塑料的外壳容易摔坏，小朋友用起来还特别不安全。这是我妈妈给我买的升级版的彩色磁力正方体，它是这种透明亚克力的材质， 摔下去还不容易损坏，右面带磁性的设计，拿起来也不容易掉，可以动态还原课本上这些立体模型的拼搭过程，你看第一排有六颗，第二排有四颗，把它们组合起来一共就是十颗，每一颗的六面都有不同的颜色，动动小手组合拼搭一下， 可以让我们 i love you。

这题是一个复杂的数阵图，我们先来读题，将一到八填入下图，使得 a、 b、 c、 d 四个方格中的数恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中填数之差，其中 b 填七，那么 d 填多少？ 那这道题呢？他唯一告诉我们的信息就是 b 等于七，他让我们求 d 是 多少，我们已经很明确的找到了突破口，也就是七。那我们现在把其他方格也编上字母， 我们就可以知道，一减 a 等于七，或者是 a 减 e 等于七，那 反正他们减下来等于七的，那只有八减一等于七，那么 e 等于一，要么 e 等于八，要么 a 等于一，要么等于 a 等于八，因为他最大数字是十八，最小数字是一，那他们减起来刚好就是等于七。那这个时候我们肯定知道 a 绝对等于一，如果他等于八的话， a 的 上面还有公共边的两个方格中间他他有一个公共边上方，那这是 a 的 上方的公共边就是这两条， 他上方那两个格子，也就是 f 和 g 格，说明 f 减 g 就是 等于 a， 那 八如果是最大的填在 a 这里，那肯定是不符合这道题的题目要求了，那 a 只能填一， e 只能填八， 现在已经确定了三个数，我们再来看 f 减 g 等于 a， 也就是等于一，就是比如零之数就会减起来等于一，那我们现在把一到八八个数字写下来， 那刚才说呢，其实就是三减二、四减三、五减四、六减五这种零之数，那现在我们已经用掉了八、七一、 八减一十，那我们现在只剩下二、三、四、五、六这五个数，那我们刚才已经说了， f、 g 是 一个邻居数，我们先不着急填，再看 c 格， 那 c 格呢？它也有上方的公共边，就是这两条边，所以的格子就是 a 格和 h 格。那我们就可以知道， f、 g、 h、 c 这四个数字肯定是连在一起的，比如二、三、四五、三四五、六这种，那这个时候 d 肯定只有两种可能，一是二，二是六， 这样才能够连续。如果把三、四、五拿去任意一个，那就无法连续了。我们再来看，就是 d 不 可能是六，因为七减一，它是等于六，而六不能填在这里啊。如果 d 要填在六的话呢？ c 必须等于一，但是我们一已经定在了 a 位，所以 d 必须 等于二。那这道题呢？我们虽然这道答案还需要验证一下。 二我们用掉之后，那我们只有三、四、五、六这四个数来填。首先我们填最大的六呢，肯定要填在 h 个，因为 f、 g、 h、 c 它是这样一个循环，然后 c 它是等于 h， 再减去 a 的， 所以 h 我 们填六， c 它就是五，那剩下四和三就填，哪里都可以。 f 格可以填四，也可以填三，那 g 格可以填四，也可以填三，所以这道题呢， d 反正都是一种填法，就等于二。这道题呢？你学会了吗？

大家好，我们一起来看看这道题。军运和大伟早晨八点整从甲地出发去乙地，军运开车速度每小时六十千米，大伟步行 速度每小时四千米。如果君君到乙地后停留一小时立即返回，恰好在十点整遇到正在前往乙地的大伟， 那么甲乙两地之间的距离是多少千米啊？我们一起来看一看。是从甲地到乙地，君君、大伟、 君君和大伟他们俩八点整从甲地出发到乙地，君君开车每小时六十千米，大伟呢步行每小时四千米， 君君到乙地停留一小时立即返回，十点整 正好遇到大伟正在前往一地，在这里相遇了。看看大伟从八点出发到十点在这里和君君相遇， 那他用了多长时间呢？也就是十减八是两小时，对吧？大伟走的这段路程可以求君君呢，从八点出发 到十点，两小时，停留一小时，办事走这一段路正好用的是一小时。一小时走了这些，大伟是两小时走了这些， 当他们相遇的时候，总共这是走了多少路程呢？看，如果我们是甲乙之间的这个路程为 s 的 话， 看，这是君君走的一个 s 往回走，当他相遇的时候，他俩又走完一个 s， 他 们俩从八点到十点这一段时间内，他们走了是两个 s。 大 伟从十点到八点是两小时， 大伟君君呢，用了两小时，他在以地停留了一小时等于二，减去一，他 走了一小时，走这段路程实际是用了一小时。大伟走的路程就是每小时四千米，乘以两小时等于八千米， 这一段是八千米。军军走的是一小时，每小时行六十千米， 一小时走了是六十千米。军军走的是从这里 到这里，这是六十千米，他们俩合起来就是两个 s 均均的是六十千米，大伟的是八千米，总共是六十八千米。 两个 s 等于六十八，两边同时除以二， s 就 等于三十四千米， s 就 等于这个三十四乘以一等于六十四乘以二等于八，六十八除以二正好是三十四。答， 甲乙两地之间的距离是三十四千米，你是这样做的吗？

大家好，我们一起来看看这道题。果果有红黑蓝三种颜色的笔若干支，把它们按照两黑三蓝一红这样的规律 摆放成一列，最后一只刚好是红色，数数有九只红笔。问，果果一共有多少只笔啊？我们一起来看一看。果果呀，有三种颜色的笔， 两只黑的，三只蓝的一只红的，两黑三蓝一红，后边接着两黑三蓝一红， 两黑三蓝一红，就是一个循环，也就是一个周期，往后他有好多的循环，最后这一只呢是红色，两黑 三蓝一红，每一组以及是一个循环呀，接着又往下循环下去了，到最后这一只是红色，说明什么呢？就说明啊，最后这一组也是一个整循环，两黑三蓝一红，数了数，一共有九只红的， 一组里边有一只红色，九只红笔，那就有九个组，看一看这一组有多少只笔啊？两只，三只，一只，总共合起来是六只。 二，加上三加上一，一组有六只， 每一组有六只，总共有九组，有多少只彩色笔呢？六，每一组有六只，有九组。六九， 五十四，五十四只。答， 果果一共有五十四支笔，你是这样做的吗？

哎，同学们，你们知道吗？我啊，是一个摄影爱好者，今天啊，我先给大家带来了几张我拍的作品，咱来欣赏欣赏好吗？好 美不美啊？这是我二月份去上海的时候拍的，这是二月份拍的，咱济南， 来对比一下，你有什么感觉呀？那个小男孩，你来说济南，济南雾蒙蒙的，感觉，上海天气晴朗。哦，这是你的感觉，还有想说的吗？你来说，我觉得上海的天气比济南的好， 但是这仅仅是我们的感觉，事实真的是这样吗？济南和上海的空气质量到底谁的更好啊？要解决这个问题，我们应该怎么办？ 来，你先来说，我们应该调查一下。哎呦，他还真有调查的意识，他想用数据说话是不是？那我们应该收集哪些相关的数据呢？ 来，那个小姑娘，嗯，就是那个每天的雾霾的高低程度。哦，你想收集这方面的资料大约多长时间呀？ 来，你来说一个月哦，一个月还有想说的吗？来，你说一个星期哦，一周还有吗？你说 一个月那个晴晴天有几天，然后阴天有几天，雾霾天有几天，你也想统计这一个月的是吧？可以统计一周的，也可以统计一个月的。今天为了方便我们先从一个月开始研究行吗？行，那这一个月的数据我怎样才能查到呢？ 来，你说可以从网上查。对，我就是采用了这种方式。来，你说说同学，可以从每天晚上的天气预报哦，可以，你说可以亲身感受。 是这样的，我啊，就是通过刚才这个同学所说的上网调查，查到了气象局统计的今年二月份上海的空气质量等级情况， 这是济南的空气质量等级情况。济南轻度污染有多少天呀？ 来，你说十一天，你怎么知道的呀？你说说。 来，你说数的数的，通过它我们不能直接看出结果，有什么好办法？ 来，你先来说，用统计图。哦，用统计图还有其他的办法吗？先说，你说统计表吗？对啊，既可以用统计图，也可以用统计表。我们先来看看统计表。这是啊，整理后的统计表，他统计的是什么内容？ 来，你反应最快。二零一七年二月济南上海空气质量等级统计表，他既统计了济南的，也统计了上海的。这个统计表就是我们三年级学习的 复式统计表。现在你知道济南轻度污染有多少天了吧？多少天？十一天。有的同学还提到了用统计图来表示 这是哪个城市的？上海，一起告诉我，上海，你怎么知道的？ 来，这个小男孩上面写的哪个地方？上海空气质量等级统计图。哎呦，咱班同学习惯真好，看图的时候先看题目，再看什么呢？ 来，那个小女孩，她的统计，她的统计数量，还有她的统计的方式哦，她统计的数量， 统计数量在哪个轴上？来，你说纵轴上，纵轴上，然后除了纵轴还有。来，你说横轴。哦，还有横轴，横轴上表示的是？ 来，你说等级等级，那现在看着这个图看，你能回答我几个问题吗？能，哎，哪个等级的天数最多？ 来，你来说凉的天气最多。判断对哪个等级的天数最少？来，那个小男孩判断，对，哎呦，你们怎么都反应这么快？来，你说说。这上面写着。哦，你发现了这里面的数据信息还有其他的方法吗？ 老姑娘，你来他那个，他这个统计图的高低。哎呦，对呀，条形统计图的特点就是能让我们直接看出谁最多，谁最少。下面我们再来看看济南的， 再来回答我几个问题。行吧，好，这一次咱看谁反应快。第一个，济南凉的天数比上海少几天 来，那个小男孩七天判断对。第二个，济南中度污染的天数比上海多几天来，你来说多一天判断对。在回答这几个问题的时候你有什么感觉？最后面那个女生， 我觉得上海的空气比济南的好啊，你请坐，你的反应和刚才比是 来，你说慢了很多哦，他感觉他的反应慢了很多。为什么呀？ 那个小男孩，你来，因为这个我们要记住上一次的那个统计的数量，再来比，再来跟这次统计的数量比较，对呀，不好比较怎么办呀？ 来，你说，我建议把两个同心图都放在一个图片上。哦，你的意思是说把他俩放到啊，一张一张图片上是吗？这是你的想法，还有其他的办法吗？ 我们还可以怎么办呀？来，你说，我觉得可以把这两个统计图结合起来，也就是把它合合在一起，一起，你能给把这个，把这两个统计图合并在一起，这个新的图你能取个名字吗？ 来，你来说复式条形统计图？是的，今天这节课啊，我们就来一起学习复式条形统计图， 这是之前咱们整理好的统计复式统计表，根据复式统计表制作复式条形统计图，看看图上都有什么了呀？ 来，你来说，图上里面有横轴和纵轴，哎，你观察的真仔细，还有吗？来，你再来说， 还有空气的污染等级哦，他们在纵轴上已经列出来了是吗？ 除了衡州藏州，你还想补充？论文上还有数据对，你说，这是济南和上海的空气质量统计图。哎呦，你听见他说了吗？把标题都给 合起来了。你的手里啊，也有一张这样的作业纸，下面就请同学们同样两个合作，根据统计表中的数据制作复式条形统计图。要求听清楚了吗？来，开始吧。 来，请画完的同学坐端正，把你的作业纸放到右上角。哎呀，你真快，你，哎，你们小组也很快，后面的同学抓紧时间， 哪个小组想把你的作品展示给我们大家呀？来，请你。 那你们在这讲，我把作业纸给你们放上， 请大家看这里，这是我们小组汇报的结果。我们当时想，如果，如果把上海和济南都涂上阴影的话，那么济南和上海就分不清了。所以说，所以说我们用了把阴影当成了济南，把上海不涂上阴影。 请问大家还有什么意见？徐绍伟，我觉得应该在上面表示，上图阴影代表济南，不图阴影代表上海。 那你上来给他展示展示你的你的方法好吗？来，你们两个请回去，谢谢你们。作业纸先留下，孩子，你先回去，你回去吧， 来对比一下啊。可以，你还想对比一下？ 大家看这里，如果像他这样不标上哪个是济南，哪个是上海，那别人就会以为这个白色的条是上，呃，白色的条是济南，图阴影的条是上海。 如果再这样表示上来，别人就不会误以为，然后这样就可以更清楚的表示数据，请大家还有什么问题吗？ 习正伟，你说的没错，但是我认为如果是比较小的，比如说两个都是一的话， 你那么小的区别根本你就分不开。而且如果是很多的车辆的话，你这个方法根本就什么都看不清楚，就是一团乱麻，而且如果有不一样的话，很小的，很多的你都分不开，所以这种方法是不对的，我觉得我们的方法比你们这种方法还要好，还要精确。 拿上你的来给大家看看。 来你在这讲，在这 请大家看这里，我们和徐政，我们就像徐政委说的一样，黑色代表济南，白色代表上海，但是呢，我们把它们重叠在一起， 黑色黑，这样一眼都能看清楚，一共六个上海代表白色，白色就到这， 所以呢，我们用这种方法开始，你不会弄混你，他就是这样，他就是这样的，如果是这样的话，你一眼就能看清楚，不管多少，这个格子肯定要比这个粗，你一眼就能变清楚。大家还有什么不同的意见吗？ 道具，嗯，那如那如果就是向老师提问的话，问上海比济南，呃，比如说这个优多几天的话，那怎么才能看出来济南是是有几天呢？ 我可以为你解答，我们这个方法是按照上面的我们一个一个比着来的，我们这个方法就是要结合上面的统计表来，还有谁有不同的意见。宋思妍，我如果万一那个济南和上海有一个有一个轻度污染，比如说轻度污染一样，那你这个怎么办呢？轻度污染一样，那我们 输入五二一样的话那我们就选其中的一个。我们我说了我们是根据上面的那个，我们要结合起来虽然麻烦，但是我们这方法更精确，还有谁有不同的意见？就这员 要是要是在上面要是用，十要是用，呃，说是济南，济南这梁和上海的梁要是相差多少天的话，那要是这样子还得从这里一起来比比比比比的这里目标数据要比 还有比也得花这些时间像徐小伟这样一下直接就飙出来，这样更好的能清晰。我们都说了是跟着上面的，他们是结合来看的， 这两个是工具参照的，我们这个更有难度一些，像他们这个毫无新意，他们只是用了一种最传统最简单的方法，我们是根据结合一块来看，这是一个重叠的东西。刚才啊咱班同学讨论的可真热烈呀，我都忍不住想参加了， 哎。我们来对比你们两个先回去行吗？谢谢你们 这种方法它实际上是把这两个纸条赠来，你说合并在一起了？是 合并在一起，你说是重叠在一起，重叠在一起了，这种方法呢？ 你说合并在一起也就是把它们并起来并列的放对吧。你更喜欢哪一种方法？ 这个女孩子你来哦。我更喜欢右边那种方法，你能说说为什么吗？因为要是左边那种的方法重度污染的话他零怎么标也不能就是。嗯，直接涂上阴影，要不就看成济南的了。 你感觉数据不够清晰对吗？你还想补充？我觉得应该是右边的哈，因为他刚才说了如果一样的话只选一个标就行了，那如果有一个是零，有一个是一，那怎么标呢？哎，你也感觉数据标起来不方便，那这个到底有什么好处呀？ 来，那个男孩，你说这个和这个商品我喜欢右边的，因为这个看起来简便，一看一看就能知道哪个多哪个少。这个这个的话他一看的话还看不出什么来，然后你得自己去仔细的看。然后呢？ 但是长形补地图它主要是让你看着简便，所以右边这个更好。你的意思是说这个看起来不够清晰，这个看起来很清晰，所以我们喜欢这种方法对吗？对， 那你现在能清楚的看清楚哪是济南，哪是上海吗？能从哪个地方看出来的 来。最后面那个女孩，嗯，从那个统计条形统计，从上面最上面他标的那个数据看出来是这个地方吗？对对对。哎，你知道他叫什么名字吗？在数学上他叫图力。 图力是干什么用的呀？ 来这个男孩他是为了能更清楚的分别两两个事物有什么不同。对呀，有了他我们就可以非常清楚的区分两组数据，而且图例我们在画的时候啊，一般都画在右上角，而且一上一下。 首先，哎，他是阴影，是表示的济南，济南，所以先画济南的， 后面空白表示上海。 这个图啊，我也制作了我的图例，你能看明白吗？能，先来说说 来那个女孩子，呃，老师你做的和和徐胜伟，呃。和徐胜伟他们俩做的，呃，是一样的，用的都是图例。那我是怎么表示的呀？ 来，你来说，你是用黄色表示济南，蓝色表示上海，哦，我是用颜色区分的，除了用颜色图例还能有哪些形式呀？ 你说可以把济南表示成呃，那么空白的把上海表示成一宁的，也就是说只要他们对比明显，就都可以用来当图例。你看，除了图例，一副完整的复式条形统计图还有哪些部分呀？ 你来，横轴和纵轴。哎呦，你还想补充？你来，横，横轴上要画上等级或者什么而而竖，而纵轴需要画上天数啊，数量什么的，还有没有啊？ 来，你说一定要在那个直条上面标上数据，要不然你就看不清楚。对呀，还有直条呢，还要补充，你来，你补充还得写上题目，要不不知道是哪两个城市做比较。对呀，一幅完整的复式条形统计图就是有标题横轴，纵轴， 直条表示数据的直条还有图例组成的。那现在看着这个统计图，你能再回答刚才那几个问题吗？咱看谁反应快。一个济南凉的天数比上海少几天，你反应最快，七天。好的，对，第二个济南中度污染的天数比上海多几天。 来，你来说四句判断。对，哎，这一次你们怎么反应这么快了？来，那个小姑娘戴眼镜的。你来说，呃，因为他两个合并在一起有，有对比。呃，不像刚才的，还得记着上一个统计表上他的数据。 对呀，复式条形统计图的优点就是方便比较。 刚才我们把这两个统计图合并成了一个统计图，大家的想法非常好，但是他为什么能合并在一起呢？仔细的观察观察 这个小姑娘，你来说，那是因为他的数据是不一样的，如果数据一样就不用再合并了。哦，这是你的理解，还有补充吗？你来补充，嗯，而且这是都是，嗯，二零一七年二月的，而且， 而且下面的那些，呃，而且下面都是幽灵，轻度污染，重度污染，而且不是一些别的什么什么东西的。哎呦，你观察的可真仔细啊，他们统计的都是 同样的内容，正是因为他们有很多相同点，我们才可以把它合并在一起，合并以后，这一个就可以代表上面的 两个，两个，哎，我们回顾一下，刚才我们是怎么合并的嘞？刚才啊，我们把 u 的 合并在一起，把梁合并在一起，依次类推，制作出了复式条形统计图。现在我们刚才的问题能解决了吗？济南和上海的空气质量到底谁更好？ 你说上海的空气质量比济南的好，你是怎么知道的？给大家说一说。因为可以看这个蓝的，蓝色的这个条形的统计和这个黄色条形的统计，这个蓝色的比黄黄色的 粮和油要高，而轻度污染他比他要矮，所以呢，很清楚的就看出来上海的空气质量比济南的好，所以我们就可以下结论说济南二月份的空气质量确实是不如上上海。那全年怎么样呢？ 这一次啊，我们来重点研究济南行吗？这是一个关于什么的统计表 来，那个女孩，你来说靠煽惑的，关于济南空气的，呃，关于济南空气的 一个说的更完整一点，最后面那个男女孩，呃，就是二零一六年济南空气质量等级的统计局。请作根据统计表制作复式条形统计图来。雾霾天气怎么表示？ 一起告诉我。灰色灰色其他天气怎么表示。绿色绿色下面我们来一起看一看这个制作过程。 你想说点什么。物美天气太多了这个表格都盛不下了。对呀，这可怎么办呀。 你来说我们我们以后不要再呃我们。呃呃雾霾天气很多我所以我们以后出行不要再用那些骑车。呃。一定要步行，不能再开车了。您请坐这张换登票啊。已经装不下了怎么办呢？ 来你说。我觉得可以把它缩小还有其他的办法吗？你说可以把那个纵楼上的单位改好把单位可以变 大大变大我以一当十行吧来试试能装下了吧。能，但是看起来还是有点 有点大，你有感觉是吧那除了把单位变大还有其他的办法吗？你有办法我觉得可以分成两个条形统计图你请做你的理解。还有其他的办法吗？ 你来说。老师我的办法是可不可以横着再变。哎呦，咱试试你的想法挺好的 这次舒服多了吧。嗯哎横过来以后发生了什么变化 最后面那个女孩呃这些这些条装不下了确实是来你说这些横轴变成了竖轴竖轴变成了横轴。哎呦你观察的可真仔细啊 你还想补充而且数据和那个第一季度那些全变了你再看看 变了吗？没变，数据没有发生变化正是因为他们的横轴变成了纵轴纵轴变成了横轴所以他们直调的 方向也发生了变化。像这样直条是横向的就叫横向复式条形统计图。 那直条是纵向的叫什么？纵向的统计图。纵向复式条形统计图。 你感觉我们什么时候用横向，什么时候用纵向？你来说数据较小的时候用纵向，数据较大的时候用横向。你的理解 你还想补充，就是他那个选择，或者就是底下选择数量多的用纵向，假如说他的天数或数据多的用横向，而且多的怎么样了？ 盛不下了，我们的纸张或换动票盛不下了，这时候我们就可以换一个形式，他们两个只是形式不同， 在实际生活中我们要根据实际的情况灵活选择。现在你对复式条形统计图是不是已经有了一个完整的认识？对，那接下来我要考考你能行吗？能，先看第一题， 看谁反应快。第一个，哪一年两种天气的天数相差最大？ 你反应挺快。二零一四年，你怎么看出来的？你怎么看出来的？因为一个一个都到二百四十，一个才是一百二十五，也就是说他们的差距是 最大的，只看高度差就可以，是吗？第二小题，谁来读题？ 哎，你来吧，哪一年两种天气的天数相差最小？谁来回答？你来，应该是二零一六年的相差最少来判断。对。第三小题，谁来读题？ 这个女孩，你来仔细观察这四年天气变化情况，你觉得二零一七年会怎么样？仔细观察观察 最后面那个男孩，对你，我觉得他这个是慢慢变好的，所以二零一七年应该会比二零一六年还要再好一些。你怎么看出来的？你站到前面给我们讲讲行吗？ 我们先不说二零一三年的，我们就你稍微等一会，你这样让大家都看见手，这样指可以吧？请大家看这里， 我们先不管二零一三年的，我们先看二零一四年的，二零一四年的有这么多，这个只有，但是晴朗的只有这么点，你看二零一五年，二零一五年雾霾指数明显的减少了， 空气啊，优秀的空气指数也明显的增加了，到这个优秀的空气指数已经很明显的比雾霾指数要多了，所以我觉得二零一七年优良的空气指数应该会像这么多，这这个一样多，而雾霾应该会像这个一样少。 谁还有不同的意见？看来大家都同意你的想法，谢谢你，请回去。大家都感觉二零一七年我们的空气质量会越变越好，那作为一名小学生，要使我们的空气质量越来越好，我们应该怎么办？ 那个小姑娘，你来。呃，要步行，还要骑自行车，不要，尽量不要那个开车。嗯，请坐，还有吗？来，你说绿色出行，少开车。哦，你还知道绿色出行， 生活中有哪些绿色出行方式呀？你来说说骑自行车，电动车和步行。你们今天是怎么来到学校的？ 你呢？你怎么来的啊？我是骑电动车来的，是妈妈带着你过来的。是吗？请坐来，你是怎么来的？我是步行来的。哦，还有呢，你是怎么来的？对，你也是步行来的。那如果我想知道咱班出行的具体情况应该怎么办？ 那里边那个男孩，你来做一个横向的条形统计图，你想统计一下是吗？那下面我们就来一起做个小调查，统计一下咱班同学今天早上的出行情况，我需要几个小助手，谁想帮帮我？ 来，请你请你请你请你。来，到前面来， 我给你们分分工行吗？嗯，你来当小主持行吗？嗯，你们两个来数数，我们全班这样分两个大组，这边是一组，这边是 二组，你来数一组的好吗？去那边站好，你来数二组的。那你就是我的小小记录员，我把表格贴上 来粉底，那下面我就把舞台交给你们了。呃，今天早上两个大组，呃，开车的人数有有几个人请起立 七个人， 稍微打断一些一下行吗？这两个小统计员报报数好吗？这样更好算行吗？一组是四个，二组是三个，一共七个人 坐下。呃，今天早上两个大组骑车来的，有多少人再坐？一组是九个，二组是三位，一共十二个人 不行。呃，今天早上两位大组坐公交车来的，请起。一组是两位， 二组是五位，一共七个。今天早上步行来的请起，一组是七位，二组十二位，一共十九个。 根据我们的统计表来来说，呃，大部分人都是步行和骑车来的，所以，呃，我们咱们班的，咱们班绿色出行的人数比不绿色出行的人数要多。 哦，你们都得到结论了，那咱们统计的对不对呀？ 哎呦，你有想法？你快帮帮他们。我觉得应该是对的，只不过你们在前面的四位没有统计上，这四位不算行吧？ 不许笑不许笑，怎么都说不行呢？来那个男孩他们也是人呐，不能不算呐。你们四个是不是也应该算上？这可怎么办？ 快点，你是怎么来的？告诉大家。我是步行来的我是开车来的。我也是步行来的，我是骑电动车来的。那你快修改一下数据。 哎，有板擦，孩子，这里有板擦，这。